| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Размерности Гельфанда–Кириллова простых модулей над скрученными групповыми алгебрами А. Гуптаa, У. Аруначаламb a Department of Mathematics, Ramakrishna Mission Vivekananda Educational and Research Institute (RKMVERI), India b Harish-Chandra Research Institute, India
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9182e 
Реферативные базы данных:
     ВведениеПусть $k$ – поле, а $k^\times$ обозначает группу $k\setminus\{0\}$. Пусть $\mathfrak q$ – мультипликативно антисимметричная $(n\times n)$-матрица с элементами в $k^\times$. Это значит, что элементы $q_{ij}$ матрицы $\mathfrak q$ (так называемые мультипараметры) удовлетворяют условиям $q_{ii}=1$ и $q_{ji} = q_{ij}^{-1}$. Квантовый тор $\Lambda_{\mathfrak q}$ ранга $n$ – это ассоциативная алгебра, порожденная над полем $k$ переменными $X_1,\dots,X_n$ вместе с их обратными с учетом соотношений
$$
\begin{equation}
X_i X_j = q_{ij}X_j X_i \quad \forall\, 1 \leqslant i, j \leqslant n.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Эти алгебры играют важную роль в некоммутативной геометрии [1] и нашли приложения в теории представлений нильпотентных групп без кручения [2]. Например, если $H$ – конечно порожденная нильпотентная группа без кручения класса два с центром $\zeta H$, то центральная локализация $kH(k \zeta H \setminus \{0\})^{-1}$ – алгебра этого типа. Хотя много разных аспектов, включая неприводимые и проективные модули [3]–[9], автоморфизмы и дифференцирования [10]–[14], размерности Крулля и глобальные размерности [2], [15]–[17] и так далее, этих алгебр изучались в недавнем прошлом (обзор можно найти в [18]), настоящая статья посвящена размерностям Гельфанда–Кириллова (ГК-размерностям) простых модулей над квантовыми торами. Во всей статье под модулем мы понимаем правый модуль. ГК-размерность является фундаментальным инвариантом конечно порожденных модулей над аффинными алгебрами. Пусть $M$ – конечно порожденный модуль над $k$-алгеброй $\mathcal A$, снабженный конечномерным порождающим подпространством, скажем, $M_0$. Пусть $\{a_0, \dots, a_{m-1}, a_m\ (= 1)\}$ – конечный набор образующих (включающий $1$) для алгебры $\mathcal A$. Эта алгебра фильтруется с помощью последовательности конечномерных подпространств
$$
\begin{equation*}
\mathcal A_0=k, \qquad \mathcal A_1=\sum_{i=0}^m k a_i, \qquad \mathcal A_l=\mathcal A_1^l\quad (l \geqslant 2).
\end{equation*}
\notag
$$
Эта возрастающая фильтрация алгебры $\mathcal A$ дает возрастающую фильтрацию $\{M_0 \mathcal A_l\}_{l \in \mathbb N}$ модуля $M$. ГК-размерность модуля $M$ является мерой роста $M$ и определяется формулой
$$
\begin{equation*}
\mathscr{GK}(M)=\lim \sup_{l \to \infty} \frac{\log (\dim_k(M_0 \mathcal A_l))}{\log l}.
\end{equation*}
\notag
$$
Хотя на вид это определение зависит от выбора порождающего подпространства $M$, а именно, $M_0$, и набора множества порождающих алгебры $\mathcal A$, а именно, $\{a_0,\dots, a_{m-1}, a_m\}$, ГК-размерность фактически не зависит от этого выбора. Хотя определение носит несколько технический характер, ГК-размерность модулей оказывается полезным и важным инвариантом. Кроме того, известно, что для широкого круга алгебр, включая многие квантовые группы, ГК-размерность конечно порожденных модулей – это целое число [19]. Для модулей над алгебрами, которую мы изучаем, ГК-размерность связана с другим важным инвариантом для модулей, а именно, размерностью Крулля [16] (дополнительную информацию о ГК-размерности см. в [20], [21]). Вопрос о ГК-размерности простых модулей над алгебрами $\Lambda_{\mathfrak q}$ был впервые рассмотрен в [16; разд. 6], где было показано, что любой простой модуль над наследственным (глобальной размерности один) квантовым тором $\Lambda_{\mathfrak q}$ ранга $n$ имеет ГК-размерность $n-1$. Данная проблема остается открытой и для других значений глобальной размерности $\Lambda_{\mathfrak q}$. Эта же проблема для некоторых других классов алгебр рассматривалась в [22]–[25]. Для $D$-модулей этот вопрос особенно важен [26], [27]. Таким образом, определение ГК-размерности простых модулей – существенный шаг в изучении различных классов алгебр, включающих квантовые группы и кольца дифференциальных операторов. Структура алгебры $\Lambda_{\mathfrak q}$ и модулей над ней может меняться в существенной зависимости от матрицы мультипараметров $\mathfrak q$. Например, если $\mathfrak q$ содержит элементы, порождающие подгруппу в $k^\times$ максимального возможного ранга (без кручения), а именно, $n(n-1)/2$, то кольцо $\Lambda_{\mathfrak q}$ – простая наследственная нётерова область [16], в то время как, если та же подгруппа имеет ранг нуль, то та же алгебра конечно порождена над своим центром. Отметим, что во всех этих случаях алгебра $\Lambda_{\mathfrak q}$ имеет одну и ту же ГК-размерность. Следовательно, ситуация требует наличия дополнительного инварианта, который достаточно удобен для работы и в то же время хорошо подходит для нашей цели изучения простых модулей квантовых алгебр тора. Этот инвариант обеспечивается размерностью Крулля некоммутативных колец, которая в нашем случае совпадает с другим размерностным инвариантом, а именно, с глобальной размерностью [16]. Как отмечалось выше, простые модули над квантовым тором в случае, когда тор имеет размерность Крулля, равную единице, изучалась в [16], а также в [5], [8] (для квантового тора общего положения). В [28] и [29] центр внимания был перенесен на случай, когда размерность Крулля на единицу меньше максимально возможной, т. е. $n-1$. В [28] дихотомия для ГК-размерностей простых $\Lambda_{\mathfrak q}$-модулей была установлена в предположении, что $\Lambda_{\mathfrak q}$ имеет размерность Крулля $n-1$ и сама проста. В настоящей статье мы показываем, что эта дихотомия сохраняется, даже когда предположение простоты снято. Теорема 1. Пусть $\Lambda_{\mathfrak q}$ – $n$-мерная квантовая алгебра тора размерности Крулля $n-1$. Для ГК-размерности простого $\Lambda_{\mathfrak q}$-модуля $M$ справедлива следующая дихотомия: где $\mathcal Z(\Lambda_{\mathfrak q})$ – центр $\Lambda_{\mathfrak q}$. Замечание 1. В дополнительном предположении, что $\Lambda_{\mathfrak q}$ – простое кольцо, в [28] было показано, что для простого $\Lambda_{\mathfrak q}$-модуля $M$ либо $\mathscr{GK}(M)=1$, либо $\mathscr{GK}(M)=n-1$. Отметим, что эта гипотеза простоты означает, что центр $\mathcal Z(\Lambda_{\mathfrak q})$ кольца $\Lambda_{\mathfrak q}$ равен $k$ [16]. Вообще говоря, из [2; теорема A] и [14; лемма 1.1] следует, что квантовый тор $\Lambda_{\mathfrak q}$ ранга $n$, имеющий размерность Крулля $n-1$, может иметь центр, изоморфный (обычному) кольцу многочленов Лорана над $k$ вплоть до $n-2$ переменных. Таким образом, предположение, что $\Lambda_{\mathfrak q}$ проста, недостаточно общее. Это было частично исправлено в [29], где было показано, что если $\Lambda_{\mathfrak q}$ имеет размерность Крулля $n-1$, но необязательно является простым кольцом, и если $M$ является простым $\Lambda_{\mathfrak q}$-модулем, то $\mathscr{GK}(M)=1$ или $\mathscr{GK}(M) \geqslant \mathscr{GK}( \Lambda_{\mathfrak q})- \mathscr{GK}(\mathcal Z(\Lambda_{\mathfrak q}))-1$. В теореме 1 мы даем точное определение ГК-размерности всех возможных простых $\Lambda_{\mathfrak q}$-модулей для квантового тора $\Lambda_{\mathfrak q}$ с размерностью Крулля (или глобальной) $n -1$. При изучении простых модулей над квантовыми многочленами часто оказывается полезным наложить некоторое предположение независимости на мультипараметры $q_{ij}$. Например, при рассмотрении простых модулей в [5], [8] предполагается, что мультипараметры находятся в общем положении, т. е. порождают в $k^\times$ подгруппу максимального ранга. Очевидно, $n$-мерный квантовый тор $\Lambda_{\mathfrak q}$ можно представить как косое кольцо многочленов Лорана над подкольцом $\Lambda'$, порожденным переменными $X_1^{\pm 1},\dots, X_{n -1}^{\pm 1}$. Таким образом, $\Lambda_{\mathfrak q} = \Lambda'[X_n^{\pm 1}; \sigma]$, где $\sigma$ – скалярный автоморфизм $\Lambda'$, заданный формулой $X_i \mapsto p_iX_i$ для $p_i \in k^\times$. В дальнейшем мы будем обозначать набор ГК-размерностей простых модулей над данной квантовой алгеброй тора $\Lambda_{\mathfrak q}$ символом $\mathscr V(\Lambda_{\mathfrak q})$. Наша следующая теорема выражает $\mathscr V(\Lambda_{\mathfrak q})$ через $\mathscr V(\Lambda')$ в предположении независимости мультипараметров (см. теорему 2). Определение 1. (i) $\lambda$-группа $\mathscr G(\Lambda_{\mathfrak q})$ квантовой алгебры тора $\Lambda_{\mathfrak q}$ определяется как подгруппа в $k^\times$, порожденная мультипараметрами $q_{ij}$. (ii) Для данного скалярного автоморфизма $\sigma$ алгебры $\Lambda_{\mathfrak q}$ определим $\mathscr H_\sigma$ как подгруппу в $k^\times$, порожденную скалярами $p_i$ ($i=1, \dots, n$). Теперь мы можем сформулировать нашу вторую теорему. Теорема 2. Пусть $\Lambda_{\mathfrak{q}}$ – $n$-мерная квантовая алгебра тора; рассмотрим косое расширение Лорана Здесь $\mathscr V(\Lambda_\mathfrak q)+1$ – множество $\{u+1 \mid u \in \mathscr V(\Lambda_\mathfrak q)\}$. Замечание 2. Теорема 2 необязательно означает, что для каждого значения $d$ из множества В конце п. 3.2 мы приводим несколько примеров, иллюстрирующих наши две теоремы. Эта статья, завершает цикл работ о ГК-размерностях простых модулей над квантовым тором $\Lambda_{\mathfrak q}$ в случае, когда $\mathrm{K}.\dim(\Lambda_{\mathfrak q})=n-1$, начатый в [28] и продолженный в [29]. В [16] соответствующая задача была рассмотрена для $\mathrm{K}.\dim(\Lambda_{\mathfrak q})=1$, и получен ответ. Таким образом, наша работа естественно приводит к следующему вопросу. Вопрос. Пусть $\Lambda_{\mathfrak q}$ – $n$-мерная квантовая алгебра тора, размерность Крулля которой равна либо $2$, либо $n-2$. Существует ли неголономный простой $\Lambda_{\mathfrak q}$-модуль с ГК-размерностью $n-1$? Если да, то как можно построить такой простой модуль? Каковы возможные значения ГК-размерности простых $\Lambda_{\mathfrak q}$-модулей? § 1. $n$-мерный квантовый торВ этом параграфе мы напомним некоторые известные факты о квантовых алгебрах тора, нужные для развития наших последующих результатов. 1.1. Структура скрученной групповой алгебрыКак уже отмечалось, алгебры $\Lambda_{\mathfrak q}$ имеют структуру скрученной групповой алгебры $k \ast A$ свободной абелевой группы ранга $n$ над $k$. Мы вкратце напоминаем, что это за структура, и отсылаем читателя к [30] за подробностями. Для данной группы $G$ $k$-алгебра $R$ называется скрученной групповой алгеброй группы $G$ над $k$, если $R$ содержит в качестве $k$-базиса такую копию $\overline{G}:=\{ \overline{g} \mid g \in G \}$ группы $G$, что умножение в $R$ удовлетворяет условиям
$$
\begin{equation}
\overline g_1 \overline g_2=\gamma(g_1, g_2)\overline{g_1g_2},
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $\gamma\colon G \times G \to k^{\times}$. Ассоциативность умножения означает, что скручивающая функция $\gamma$ является $2$-коциклом, т. е. Для подгруппы $H$ группы $G$ $k$-линейная оболочка множества $\overline{H}:=\{\overline{h}\mid h\in H\}$ – подалгебра в $R$, которая является скрученной групповой алгеброй группы $H$ над $k$, причем определяющим коциклом является ограничение коцикла $\gamma$ на $H\times H$. Обозначим эту подалгебру $k\ast H$. В случае абелевой группы $G$ известно, что центр $k\ast G$ имеет вид $k\ast Z$ для подходящей подгруппы $Z\leqslant G$ (см., например, [14; лемма 1.1]). 1.2. Коммутативные скрученные групповые (под-)алгебры и размерность КрулляВ случае квантовых торов $\Lambda_q=k \ast A$ подгруппы $B$, для которых подалгебра $k\ast B$ коммутативна, играют важную роль. Например, следующий факт был предположен в [16] и доказан в [31]. Теорема 3. Для квантовой алгебры тора $k \ast A$ верхняя грань рангов подгрупп $B\leqslant A$ таких, что соответствующая скрученная групповая (под)алгебра $k \ast B$ является коммутативной, равна как размерности Крулля, так и глобальной размерности алгебры $k \ast A $. Следующий факт представляет собой переформулировку [31; теорема 3]. Предложение 1. Предположим, что квантовая алгебра тора $k \ast A$ имеет конечно порожденный модуль ГК-размерности $m$; тогда в $A$ есть подгруппа $B$ с рангом, равным $\operatorname{rk}(A)-m$, для которой соответствующая скрученная групповая (под)алгебра $k\ast B$ коммутативна. Приводимое далее следствие 1 очевидно вытекает из объединения двух последних результатов, если напомнить [16], что ГК-размерность конечно порожденного $k \ast A$-модуля – целое неотрицательное число (см. [16]). Следствие 1. ГК-размерность конечно порожденного $k \ast A$-модуля $M$ удовлетворяет условию где $\mathrm{K.dim}(k \ast A)$ – размерность Крулля алгебры $k \ast A$. 1.3. Подмножества Оре и подгруппы конечного индекса в $A$Используя тот факт, что $A \cong \mathbb Z^n$ – упорядоченная группа (с лексикографическим порядком), нетрудно показать, что $k \ast A$ не имеет делителей нуля, и каждая единица в этом кольце имеет вид $\mu \overline a$ для $\mu \in k^{\times}$ и $a \in A$. Пусть $M$ – конечно порожденный $k \ast A$-модуль. Если $A_0$ – подгруппа $A$ конечного индекса, то $M$ – конечно порожденный $k \ast A_0$-модуль. Напомним, что в кольце $R$ элемент $r\in R$ нормализует подкольцо $S$, если $rS=Sr$. Алгебра $k \ast A$ является конечным нормализующим расширением своей подалгебры $k \ast A_0$, т. е. порождается над $k \ast A_0$ конечным числом нормализующих элементов, а именно, образами в $k\ast A$ трансверсали $T$ к $A_0$ в $A$. Известно (см., например, [16]), что для подгруппы $B \leqslant A$ ненулевые элементы скрученной групповой (под)алгебры $k \ast B$ образуют подмножество Оре в $k \ast A$. 1.4. Скрещенные произведения, получаемые из локализации ОреБолее общая структура, чем скрученная групповая алгебра, – это скрещенное произведение $R \ast G$ группы $G$ над кольцом $R$. Здесь основное кольцо $R$ необязательно должно быть полем, и скаляры в $R$ необязательно должны быть центральными в $R\ast G$. Как и в случае скрученной групповой алгебры, копия $\overline G$ группы $G$, содержащаяся в $R \ast G$, является базисом $R$-модуля, а умножение базисных элементов определяется точно так же, как в (2). Однако, как уже отмечалось, скаляры в $R$ не обязаны коммутировать с базисными элементами $\overline g$, но соотношение $\overline g r= \sigma_g(r)\overline g$ выполняется для $r \in R$ и $\sigma_g \in \operatorname{Aut}(R)$ (дополнительную информацию о скрещенных произведениях см. в [32]). Помимо обобщения скрученных групповых алгебр, скрещенные произведения также возникают как подходящие локализации исходных колец. Именно в этой последней форме скрещенное произведение возникнет в нашей статье. Например, локализация Оре $(k \ast A)(k \ast B \setminus \{0\})^{-1}$ – это скрещенное произведение $D \ast A/B$, где $B \leqslant A$ и $D$ – тело частных нётеровой области $k \ast B$. § 2. ГК-размерность конечно порожденных $\Lambda_{\mathfrak q}$-модулейГК-размерность является особенно хорошей размерностью для конечно порожденных модулей над изучаемыми нами алгебрами. Одна из причин в том, что аппарат Гильберта–Самуэля, который работает для почти коммутативных алгебр, может быть адаптирован также для алгебр $\Lambda_{\mathfrak q}$ (см. [16; разд. 5]). Например, справедливо следующее предложение. В [31] конечно порожденные модули над скрещенными произведениями свободной абелевой группы конечного ранга над кольцом с делением $D$ изучались с точки зрения теоретико-групповых приложений. Была введена и изучена размерность для конечно порожденных модулей, которая, как было показано, совпадает с ГК-размерностью (измеренной относительно $D$). Мы стремимся использовать эту размерность в исследованиях простых модулей над рассматриваемыми нами алгебрами, которые являются частными случаями вышеупомянутых скрещенных произведений. Сформулируем далее определение этой размерности и некоторые ее ключевые свойства, которые были установлены в [31]. Эта размерность используется в сочетании с соответствующим понятием критического модуля (обсуждение см. ниже). Определение 2 (см. [31]). Пусть $M$ – конечно порожденный $\Lambda_{\mathfrak{q}}$-модуль. Размерность $\dim M$ модуля $M$ – это максимум таких $r$, $0 \leqslant r \leqslant n$, что для некоторого подмножества $\mathcal I := \{i_1, \dots, i_r\}$ индексирующего множества $\{1, \dots, n\}$ модуль $M$ не является модулем кручения как $\Lambda_{\mathfrak q, \mathcal I}$-модуль, где $\Lambda_{\mathfrak q, \mathcal I}$ обозначает подалгебру в $\Lambda_{\mathfrak q}$, порожденную переменными $X_i$ для $i \in \mathcal I$ и их обратными. Замечание 3. В [31] показано, что размерность $\dim M$ модуля $M$ в смысле последнего определения совпадает с ГК-размерностью $M$. Более того, понятие размерности в определении 2 было введено в [31] в более общем случае для конечно порожденных модулей над скрещенными произведениями свободной абелевой группы над кольцом с делением. Эти скрещенные произведения включают локализации Оре алгебр $\Lambda_{\mathfrak{q}}$, обсужденные в п. 1.4. Следующие факты из [31], которые мы формулируем для алгебр $\Lambda_{\mathfrak q}$, были доказаны для более общих скрещенных произведений. Лемма 1. Пусть $M$ – конечно порожденный $\Lambda_{\mathfrak{q}}$-модуль ГК-размерности $d$, и $\Lambda_1$ – подалгебра $\Lambda_{\mathfrak{q}}$, порожденная переменными $\{ X_{i_i}, \dots, X_{i_d} \}$ и их обратными. Тогда в $M$ нельзя вложить свободный $\Lambda_1$-подмодуль бесконечного ранга. Определение 3. Ненулевой $\Lambda_{\mathfrak q}$-модуль $M$ называется критическим, если для любого ненулевого подмодуля $N$ в $M$ выполняется неравенство Предложение 3 (см. [31; предложение 2.5]). Любой ненулевой $\Lambda_{\mathfrak{q}}$-модуль содержит конечно порожденный критический подмодуль. § 3. Результат о дихотомии3.1. Доказательство теоремы 1Как и в § 1, мы можем записать $\Lambda_\mathfrak q$ как скрученную групповую алгебру $\Lambda_\mathfrak q :=k \ast A$ свободной абелевой группы $A$ ранга $n$. Кроме того, пусть $\overline {a}$ обозначает образ $a \in A$ в $\Lambda_\mathfrak q$. Заметим, что $\mathcal Z(\Lambda_{\mathfrak q})$ имеет вид $k \ast Z$ для подходящей подгруппы $Z$ в $A$ (см., например, [14; лемма 1.1]). Поскольку (см., например, [16]), последняя альтернатива в утверждении теоремы имеет вид
$$
\begin{equation*}
\mathscr{GK}(M)=\operatorname{rk}(A)-\operatorname{rk}(Z)-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $P$ – аннулятор $M$ в $k \ast Z$. Действие $k \ast Z$ на $M$ дает вложение
$$
\begin{equation*}
k \ast Z)/P \hookrightarrow \operatorname{End}_{\Lambda_{\mathfrak q}}(M).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\operatorname{End}_{\Lambda_{\mathfrak q}}(M)$ является кольцом с делением, то $P$ является простым идеалом в $k \ast Z$. Известно (см., например, [16; предложение 9.4.21]), что квантовая алгебра тора $k \ast A$ удовлетворяет теореме о нулях (Nullstellensatz) и, в частности, $\operatorname{End}_{\Lambda_{\mathfrak q}}(M)$ алгебраичен над $k$. Следовательно, то же верно для $(k \ast Z)/P$. Поскольку коммутативная аффинная алгебраическая область является полем [33], следовательно, $P$ – максимальный идеал в $k \ast Z$. Положим $K=(k \ast Z)/P$ и $Q=P\Lambda_{\mathfrak q}$. Ясно, что $M$ – простой $\Lambda_{\mathfrak q}/Q$-модуль. Согласно [32; гл. 1, леммы 1.3, 1.4] $k$-алгебра $\Lambda_{\mathfrak q}/Q$ является скрученной групповой алгеброй $K \ast A/Z$ группы $A/Z$ над $K$ с трансверсалью $T$ для $Z$ в $A$, дающей $K$-базис в виде множества $\{ \overline t+Q \mid t \in T\}$. Кроме того, элементы $\zeta+Q$, где $\zeta \in k \ast Z$, образуют копию $K$ в $\Lambda_{\mathfrak q}/Q$. Отметим, что теоретико-групповой коммутатор $[\overline{t_1}+Q , \overline{t_2}+Q]$ со значениями в группе единиц $\Lambda_{\mathfrak q}/Q$ для любых $t_1, t_2 \in T$ удовлетворяет условию
$$
\begin{equation}
[\overline{t_1}+Q , \overline{t_2}+Q]=[\overline{t_1},\overline{t_2}\,]+Q \in k^\times+Q.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Теперь, учитывая [20; предложение 5.1, (c)], имеем
$$
\begin{equation*}
\mathscr{GK}_{k \ast A}(M) = \mathscr{GK}_{K \ast A/Z}(M),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathscr{GK}_R(M)$ для подходящего кольца $R$ означает ГК-размерность $M$, рассматриваемого как (правый) $R$-модуль. В последнем уравнении как в левой, так и в правой частях ГК-размерность измеряется относительно $k$. Поскольку $K$ конечно порождена и алгебраична над $k$, то $[K:k]<\infty$ и, ввиду [34; лемма 2, (ii)], достаточно определить возможные значения ГК-размерности простого $K \ast A/Z$-модуля $M$, измеренной относительно $K$. Главное для нас при переходе к алгебре $K\ast A/Z$ в том, что она центральна как $K$-алгебра, т. е. имеет центр $K$. В самом деле, было показано в § 1, центр группы $K \ast A/Z$ имеет вид $K\ast Y$ для подгруппы $Y$ группы $A/Z$. Если образ $\overline t+Q$ некоторого смежного класса $tZ \in Y$ централизовал все элементы $K \ast A/Z $, то, используя (3), получаем
$$
\begin{equation*}
[\overline t, \overline {t_1}\,]+Q=1+Q \quad \forall\, t_1 \in T.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $[\overline t, \overline{t_1}\,] \in k^\times$, то $[\overline t, \overline{t_1}\,]=1$. Таким образом, если $\overline t+Q$ лежит в центре $K \ast A/Z$, то $\overline t$ должен лежать в центре $k \ast Z$ алгебры $k \ast A$. Поскольку $t \in T$, это возможно только, если $t=1$. Как уже отмечалось в § 1, по теореме Брукса [2] размерность $k \ast A$ равна верхней грани рангов таких подгрупп $B\leqslant A$, что подалгебра $k \ast B$ коммутативна. В нынешней ситуации это означает существование такой подгруппы $B$ в $A$ ранга $n-1$, что $k \ast B$ коммутативна. При переходе к $K \ast A/Z$, хотя центр становится равным основному полю, возникает небольшая трудность, а именно, $A/Z $ не обязана быть группой без кручения. Чтобы преодолеть это, мы можем заменить $A$ на такую подгруппу $A_0$ конечного индекса, что $A_0/Z $ – группа без кручения. Тогда $B_0:=A_0 \cap B$ – подгруппа $A_0$ ранга $n-1$, и ясно, что $k \ast B_0$ – коммутативная подалгебра в $k \ast A_0$. Очевидно, $k\ast B_0Z$ коммутативна и, следовательно, согласно предыдущему абзацу $\operatorname{rk}(B_0Z) = \operatorname{rk}(B_0)$. Заменяя при необходимости $B_0$ на $B_0Z$, мы можем считать, что $B_0 \geqslant Z$. Ввиду (3), подалгебра $K \ast B_0/Z$ в $K \ast A_0/Z$ коммутативна. Очевидно,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{rk}(B_0/Z)=n-1-\operatorname{rk}(Z)=\operatorname{rk}(A_0/Z)-1= \operatorname{rk}(A/Z)-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее уравнение означает, что $K \ast A_0/Z$ является $n-\operatorname{rk}(Z)$-мерным квантовым тором над $K$ размерности (Крулля или глобальной) $n-\operatorname{rk}(Z)-1$. Как модуль над подалгеброй $K \ast A_0/Z$, простой $K \ast A/Z$-модуль $M$ может перестать быть простым. Однако, поскольку $K \ast A/Z$ является конечным нормализующим расширением для $K \ast A_0/Z$ (см. § 1), то $K \ast A/Z$-модуль $M$ распадается в конечную прямую сумму простых $K \ast A_0/Z$-модулей (см., например, [35; упражнение 15A.3]). Таким образом, как $K \ast A_0/Z$-модули. Согласно [31; лемма 2.7]
$$
\begin{equation*}
\mathscr{GK}_{K \ast A/Z}(M)=\mathscr{GK}_{K \ast A_0/Z}(M).
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, ГК-размерность конечной прямой суммы модулей является максимумом ГК-размерностей слагаемых (см. [20; предложение 5.1]). С учетом этих замечаний для доказательства теоремы достаточно показать, что если $F$ – поле и $F \ast \mathbb Z^r$ – скрученная групповая алгебра с центром $F$ и размерности, равной $r-1$, то для любого простого $F \ast \mathbb Z^r$-модуля $N$ выполняется следующая дихотомия:
$$
\begin{equation}
\mathscr{GK}(N)=1 \quad \text{или} \quad \mathscr{GK}(N)=r-1.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Но именно это и утверждает [28; теорема 2.1]. 3.2. Доказательство теоремы 2Будем писать $\Lambda^\ast$ вместо ${\Lambda^\ast}_{\mathfrak{q}, \sigma}$ и $\Lambda$ вместо $\Lambda_{\mathfrak{q}}$. Учтем предложение 3, и пусть $N$ – конечно порожденный критический $\Lambda$-подмодуль $M.$ Рассмотрим $\Lambda^\ast$-подмодуль $N'$ в $M$, порожденный $N$:
$$
\begin{equation}
N^\prime :=N\Lambda^\ast=\sum_{i \in \mathbb{Z}} N Y^i.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Поскольку $N$ – критический по предположению, то $N \ne 0$ и $N^\prime=M$. Если сумма в (5) прямая, то $N \Lambda^\ast \cong N \otimes_{\Lambda} \Lambda^\ast$, и по [31; лемма 2.4] Более того, поскольку (левый) $\Lambda$-модуль $\Lambda^\ast$ свободен, то он строго плоский, и отсюда следует, что $N$ должен быть простым $\Lambda$-модулем. Принимая во внимание уравнение (6), получаем, что
$$
\begin{equation}
\mathscr{GK}(M) \in \mathscr V (\Lambda_\mathfrak q)+1.
\end{equation}
\tag{7}
$$
В этом случае утверждение теоремы верно. Остается возможность, когда сумма $\sum_{i \in \mathbb{Z}} NY^i$ не является прямой. Согласно [31; лемма 2.4] в этом случае имея в виду, что размерность, о которой идет речь в лемме, совпадает с ГК-размерностью, измеренной относительно основного поля $k$. Обозначим через $d$ общее значение в последнем уравнении. Ввиду определения 2 и последующего замечания, существует такое подмножество $I=\{i_1, \dots, i_d\}$ множества индексов $\{1, \dots, n \}$, что $N$ (и, следовательно, $M$) не является модулем $S:=\Lambda_{\mathfrak q}(I)\setminus \{0\}$-кручения, где $\Lambda_{\mathfrak q}(I)$ обозначает подалгебру в $\Lambda$, порожденную неизвестными $X_i^{\pm 1}$ для $i \in I$. Рассмотрим локализацию Оре $\Lambda^\ast S^{-1}$. По определению $S$ мы знаем, что $M$ не является модулем $S$-кручения и, следовательно, соответствующая локализация $MS^{-1}$ ненулевая. Заметим, что кольцо $\Lambda^\ast S^{-1}$ содержит тело частных $\mathscr D:=\Lambda_{\mathfrak q}(I)S^{-1}$. Используя лемму 1, видим, что $MS^{-1}$ – конечномерное $\mathscr D$-пространство. Положим $s=\dim_{\mathscr D} M S^{-1}$. Введем и пусть $\mathscr G(I)$ обозначает следующую подгруппу в $\mathscr G(\Lambda_\mathfrak q)$:
$$
\begin{equation*}
\mathscr G(I) := \langle q_{kl} \mid k, l \in I \rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее для любого $j \in J$ введем
$$
\begin{equation*}
\mathscr G(I, j) := \langle q_{kj} \mid k \in I \rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Нам также нужно будет использовать подгруппу $\mathscr H( I)$ в $\mathscr H_\sigma$, определенную следующим образом: Как следует из условия теоремы, Это в точности ситуация из [16; разд. 3.9] (где “нелокализованные” порождающие – это порождающие, индексированные элементами $J$): точно так же должны выполняться отношения зависимости
$$
\begin{equation}
p_j^s \in \langle \mathscr G(I), \mathscr G( I, j), \mathscr H( I) \rangle \quad \forall\, j \in J.
\end{equation}
\tag{9}
$$
По условию теоремы $\mathscr G(\Lambda_{\mathfrak q}) \cap \mathscr H_\sigma=1$ и, следовательно, $p_j^s \in \mathscr H(I)$. Но это означает, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{rk}(\mathscr H_\sigma) \leqslant |I|=d=\mathscr{GK}(M).
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось показать, что $\mathscr{GK}(M)<n + 1$. Для этого предположим, что $\mathscr{GK}(M)=n+1$. Поскольку $\Lambda^\ast$ – скрученная групповая алгебра, из определения 2 и замечания 3 следует, что в $M$ можно вложить копию правого регулярного модуля $\Lambda^\ast$. Поскольку $M$ прост, имеем $M \cong \Lambda^\ast$. Но это значит, что $\Lambda^\ast$ – кольцо с делением, что явно не так. Доказательство завершено. Рассмотрим пример, иллюстрирующий теорему. Пример 1. Пусть $F$ – поле, и пусть $\mathfrak q \in \mathrm{M}_n(F)$ – мультипликативно антисимметричная матрица, заданная формулой Авторы благодарны рецензенту за предложения, которые помогли значительно улучшить рукопись. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GupAru22} |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|