| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Каноническое представление М. И. Белишев, А. В. Каплун Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9179e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение1.1. О работеСуществует подход к обратным задачам математической физики – метод граничного управления (BC-метод) [1]. Подход имеет выражено междисциплинарный характер: он основан на связях обратных задач с теорией систем и теорией управления, использует асимптотические методы, функциональный анализ, теорию операторов и др. Разработана алгебраическая версия BC-метода, основанная на связях с банаховыми алгебрами, давшая новое решение задачи реконструкции риманова многообразия по граничным данным [1]–[3]. Наша перспективная цель – применение этой версии к обратным задачам на графах. Данная работа – шаг в этом направлении. Алгебраическая версия основана на фундаментальном факте: топологическое пространство характеризуется адекватной алгеброй. Как пример, компактное хаусдорфово пространство $\Omega$ с точностью до гомеоморфизма определяется алгеброй непрерывных функций $\mathfrak{A}=C(\Omega)$ (И. М. Гельфанд, 1943). При этом спектр алгебры – множество $\widehat{\mathfrak{A}}$ ее неприводимых представлений, снабженное адекватной топологией, – гомеоморфен пространству: $\widehat{\mathfrak{A}}\cong\Omega$. Как следствие, располагая любым представлением $\mathfrak{A}'$ алгебры $\mathfrak{A}$ и находя его спектр $\widehat{\mathfrak{A}'}\cong\widehat{\mathfrak{A}}\cong\Omega$, мы получаем гомеоморфную копию пространства $\Omega$. По этой схеме решается задача реконструкции: из данных обратной задачи извлекается представление $\mathfrak{A}'$ и находится его спектр $\widehat{\mathfrak{A}'}$, который и доставляет решение задачи – гомеоморфную копию подлежащего восстановлению многообразия $\Omega$. Содержательная часть подхода заключается в нахождении алгебры $\mathfrak{A}'$ по известным данным. В качестве последней используется алгебра эйконалов $\mathfrak{E}$, определяемая динамической системой, которая описывает распространение волн в $\Omega$. Варианты BC-метода для обратных задач на графах предложены в [4]–[6]. Версия, использующая алгебру эйконалов, инициирована в [7] и дополнена в [8]. Наша работа развивает этот подход. Его общее направление – изучение связей между свойствами алгебры $\mathfrak{E}$ (блочной структурой, алгебраическими инвариантами, представлениями) и геометрией графа. Перспективная цель – реконструкция графа по его граничным данным. 1.2. Алгебра эйконаловДля наглядности и без потери общности граф $\Omega$ можно представлять как связный компактный граф в $\mathbb{R}^3$, состоящий из гладких кривых (ребер) $\{e_1,\dots,e_l\}=E$, скрепленных во внутренних вершинах1 $\{v_1,\dots,v_m\}=V$. Имеются граничные вершины $\{\gamma_1,\dots,\gamma_n\}=\Gamma$, из которых выходит по одному ребру. Метрика (внутреннее расстояние) в $\Omega$ индуцирована евклидовой метрикой из $\mathbb{R}^3$. Ребра графа “материальны”: вдоль них распространяются колебания (волны), инициированные точечными источниками (управлениями), которые помещены в граничных вершинах. Волны движутся от границы с единичной скоростью, постепенно заполняя граф. Процесс описывается динамической системой
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} &u_{tt}-\Delta u=0 &\quad &\text{в }\mathscr{H},\quad 0<t<T, \\ &u|_{t=0}=u_t|_{t=0}=0 &\quad &\text{в }\Omega, \\ &u=f &\quad &\text{в }\Gamma \times [0,T], \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathscr{H}=L_2(\Omega)$, $\Delta$ – лапласиан, определенный на гладких функциях, удовлетворяющих условиям сшивания (Кирхгофа) во внутренних вершинах; $f=f(\gamma,t)$ – граничное управление класса $L_2(\Gamma\times [0,T])=:\mathscr{F}^T$; $u=u^f(x,t)$ – решение (волна), $u^f(\,{\cdot}\,,t)\in\mathscr{H}$ при $0\leqslant t\leqslant T$. Имеется возможность управлять волнами не со всей границы, а с ее части $\Sigma\subset\Gamma$: в этом случае используются управления класса
$$
\begin{equation*}
\mathscr{F}^T_\Sigma:=\{f\in\mathscr{F}^T\mid \operatorname{supp} f\subset \Sigma\times[0,T]\}=\bigoplus\sum_{\gamma\in\Sigma}\mathscr{F}^T_\gamma.
\end{equation*}
\notag
$$
Каждой граничной вершине сопоставлено семейство достижимых множеств $\mathscr{U}^t_\gamma:=\{u^f(\,{\cdot}\,,t)\mid f\in\mathscr{F}^T_\gamma\}$, $0\leqslant t\leqslant T$, и соответствующих проекторов $P^t_\gamma$ в $\mathscr{H}$ на $\mathscr{U}^t$. Оператор $E^T_\gamma:=\int_0^Tt\,dP^t_\gamma$ называется эйконалом, отвечающим вершине $\gamma$. Эйконалы суть самосопряженные операторы – элементы алгебры ограниченных операторов $\mathfrak{B}(\mathscr{H})$. Для $C^*$-алгебры $\mathfrak{A}$ и множества $S\subset\mathfrak{A}$ через $\vee S$ обозначим $C^*$-алгебру, порожденную этим множеством, т. е. минимальную $C^*$-подалгебру в $\mathfrak{A}$, содержащую $S$. Алгебра эйконалов, отвечающая выделенному семейству граничных вершин $\Sigma\subset\Gamma$, есть операторная $C^*$-алгебра
$$
\begin{equation}
\mathfrak{E}^T_\Sigma:=\vee\{E^T_\gamma\mid\gamma\in\Sigma\}\subset\mathfrak{B}(\mathscr{H}).
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
1.3. Результаты и комментарииКак установлено в [7], алгебра $\mathfrak{E}^T_\Sigma$ имеет блочную структуру: она изометрически изоморфна некоторой подалгебре алгебры $\bigoplus_{j=1}^J C([0,\epsilon_j];\mathbb M^{m_j})$ и отличается от последней наличием связей между блоками. Для простейших графов (трехлучевых звезд) характер этих связей и их эволюция с изменением $T$ рассмотрены в [8]. Главный результат данной работы – каноническое блочное представление алгебры эйконалов. Это представление, во-первых, выделено отсутствием связей между блоками и, во-вторых, инвариантно: с точностью до тривиальных преобразований (перестановки блоков, замены параметризации и т. п.) оно определяется по любому представлению алгебры (1.1). Последнее и подкрепляет надежду на полезность $\mathfrak{E}^T_\Sigma$ в обратных задачах, данные которых определяют ее с точностью до изометрии. Разумеется, об эффективности подхода в полной мере можно будет судить по конкретным приложениям в обратных задачах. В данной работе их нет, но приведенные выше результаты представляются важным шагом в этом направлении. Алгебра эйконалов относится к классу $C^*$-алгебр с конечномерными представлениями разных размерностей [9], [10]. Приведение к канонической форме равносильно построению функциональной модели, которая реализует $\mathfrak{E}^T_\Sigma$ в виде алгебры непрерывных матрично-значных функций на ее спектре. Она относится к типу моделей, описанных в работе Н. Б. Васильева [9]. Определение (1.1) фактически воспроизводит определение соответствующих алгебр, используемых в [1]–[3] для реконструкции многообразий. Собственно, успех такого применения и мотивировал попытку перенести подход на задачи на графах. Препятствием оказалась некоммутативность алгебры $\mathfrak{E}^T_\Sigma$. Эта проблема встречалась и раньше – в обратной задаче электродинамики [3], но там она снималась факторизацией по идеалу компактных операторов, с помощью которой дело сводилось к коммутативной $C(\Omega; \mathbb R)$. Некоммутативность $\mathfrak{E}^T_\Sigma$ неустранима, что существенно осложняет ее изучение. Обратные задачи на графах – вполне актуальная тема. Различные постановки и подходы содержатся в работах С. А. Авдонина, П. Б. Курасова, М. Новачик, А. С. и В. С. Михайловых, П. А. Кучмента, В. А. Юрко. В [11]–[17] BC-метод, а также другие подходы используются для решения динамических и спектральных обратных задач для различных классов графов. Работы В. А. Юрко и его учеников используют спектральный подход к обратным задачам для дифференциальных операторов на графах [18]–[20]. Упомянем содержательный обзор П. А. Кучмента и Г. М. Берколайко по всей тематике квантовых графов, в том числе, и обратным задачам на них [21]. Весьма объемная вводная часть работы фактически повторяет соответствующие разделы из [7] и [8]. Это неизбежно, поскольку изложение относящихся к $\mathfrak{E}^T_\Sigma$ фактов и результатов требует основательной подготовки. Техническая часть довольно сложна, поскольку работа имеет дело с максимально общим объектом – произвольным компактным связным метрическим графом, имеющим границу. Для понимания может быть полезен разбор простых примеров, проведенный в [7], [8] с иллюстрациями. Также рекомендуем работу [22], в которой на примере простейшего графа детально описана процедура приведения $\mathfrak{E}^T_\Sigma$ к канонической форме. Данная работа рассчитана на специалистов по $C^*$-алгебрам со вкусом к приложениям и/или специалистов в области математической физики, разделяющих мнение о полезности абстракций. Алгебра эйконалов – сложный и богатый свойствами объект, достойный всестороннего исследования. Для обратных задач отдельный интерес представляют возможные связи между ее алгебраическими инвариантами и геометрией графа. Как пример, упомянем гипотезу о соответствии кластеров в спектре $\mathfrak{E}^T_\Sigma$ внутренним вершинам $\Omega$. Очень интересен вопрос о том, как влияет на структуру спектра наличие циклов в графе. § 2. Волны на графе2.1. ГрафПусть $\Omega=E\cup W$ есть связный компактный граф в $\mathbb{R}^3$ с ребрами $\{e_1,\dots,e_L\}=E$ и вершинами $\{w_1,\dots,w_M\}=W$. Ребра суть гладкие2 кривые, концами которых служат вершины. Удобно считать ребра открытыми, не относя к ним их концы. Вершина $w$ и ребро $e$ инцидентны (мы пишем $w\prec e$), если $w$ является концом $e$. Вершины $\{\gamma_1,\dots,\gamma_N\}=\Gamma$, каждая из которых инцидентна единственному ребру, называются граничными; вершины $\{v_1,\dots,v_{M-N}\}=V=W\setminus\Gamma$ суть внутренние. Число $\mu(w)$ ребер, инцидентных вершине $w$ называется ее валентностью; для $\gamma\in \Gamma$ имеем $\mu(\gamma)=1$. Дополнительно предполагаем, что вершин с $\mu(w)=2$ нет, так что во внутренних вершинах выполнено $\mu(v)\geqslant 3$. Граф снабжен метрикой (внутренним расстоянием) $\tau$, индуцированной евклидовой метрикой из $\mathbb{R}^3$. При этом $\tau(a,b)$ есть минимум длин кусочно гладких кривых, лежащих в $\Omega$ и соединяющих точки $a$ и $b$. Для множества $A\subset\Omega$ через
$$
\begin{equation*}
\Omega^r_A:=\{x\in\Omega\mid \tau(x,A)<r\},\qquad r>0,
\end{equation*}
\notag
$$
обозначается его метрическая окрестность радиуса $r$. Каждое ребро $e$ параметризовано длиной $\tau$, отсчитываемой от одного из его концов. Для функции $y$ на графе знак производной по длине $dy/d\tau$ зависит от выбора конца, но вторая производная $d^2y/d\tau^2$ от этого выбора не зависит. Для вершины $w$ и инцидентного ей ребра $e$ определяется производная
$$
\begin{equation*}
\biggl[\frac{dy}{d\tau}\biggr]^+_e(w):=\lim_{e\ni x\to w}\frac{dy}{d\tau}(x)
\end{equation*}
\notag
$$
по направлению, исходящему из $w$. Величина
$$
\begin{equation*}
F_w[y]:=\sum_{e\succ w}\biggl[\frac{dy}{d\tau}\biggr]^+_e(w)
\end{equation*}
\notag
$$
называется потоком функции $y$ через вершину $w$. Метрика $\tau$ на графе определяет (вещественное) гильбертово пространство $\mathscr{ H}=L_2(\Omega)$ со скалярным произведением:
$$
\begin{equation*}
(y,u)_\mathscr{H}:=\int _\Omega y u\,d\tau = \sum_{e \in E} \int _e y u\,d\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $C(\Omega)$ есть пространство непрерывных функций с нормой $\|y\|\,{=}\sup_\Omega|y(\cdot)|$. Функцию $y$ отнесем к классу Соболева $H^2(\Omega)$, если $y\in C(\Omega)$ и на каждом ребре выполнено $dy/d\tau,d^2y/d\tau^2\in L_2(e)$. Определим класс Кирхгофа
$$
\begin{equation*}
\mathscr{K} := \{y \in {H}^2(\Omega)\mid F_v[y]=0,\, v\in V \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оператор Лапласа на графе вводится определением
$$
\begin{equation}
\Delta\colon \mathscr{H}\to\mathscr{H}, \quad \operatorname{Dom}\Delta=\mathscr{K},\qquad (\Delta y)|_e=\frac{d^2y}{d\tau^2}, \quad e \in E.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Он плотно задан и замкнут. 2.2. ВолныНачально-краевая задача, описывающая распространение волн в графе, имеет вид
$$
\begin{equation}
u_{tt}-\Delta u=0 \quad \text{в }\mathscr{H},\quad 0<t<T,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
$$
\begin{equation}
u(\,{\cdot}\,,t)\in \mathscr{K} \quad \text{при }0\leqslant t\leqslant T,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Здесь $T >0$ – финальный момент времени, $f=f(\gamma ,t)$ – граничное управление, $u=u^f(x,t)$ – решение (волна). При гладком (по $t$) управлении $f$, исчезающем вблизи $t=0$, задача имеет единственное классическое решение $u^f$. Из определения (2.1) на каждом ребре $e$ решение $u^f$ удовлетворяет уравнению однородной струны $u_{tt}-u_{\tau \tau}=0$. Отсюда видно, что волны распространяются от границы внутрь $\Omega$ с единичной скоростью. Как следствие, если управление действует с части границы $\Sigma\subseteq\Gamma$, т. е. выполнено $\operatorname{supp}f\subset\Sigma\times[0,T]$, имеем соотношение
$$
\begin{equation}
\operatorname{supp}u^f(\,{\cdot}\,,t) \subset \overline{\Omega^t_\Sigma}, \qquad t>0.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Ниже вводятся (обобщенные) решения задачи (2.2)–(2.5) для управлений класса $L_2(\Gamma \times [0,T])$. Их определение требует некоторой подготовки. Через $\delta_x$ обозначим меру Дирака, т. е. функционал на $C(\Omega)$, принимающий значения по правилу $\langle\delta_{x},y\rangle=y(x)$. Пусть $\delta=\delta(t)$ есть дельта-функция Дирака. Ближайшая цель – определить и описать фундаментальное решение задачи (2.2)–(2.5) с $T=\infty$, отвечающее управлению $f=\delta_\gamma\delta(t)$, которое действует мгновенно из граничной вершины $\gamma$. Для описания решения $u^{\delta_\gamma \delta}$ удобно использовать следующий формализм “динамики импульсов”. 0. Под импульсом понимается мера $a\delta_x$; постоянная $a\ne 0$ называется его амплитудой. 1. Каждый импульс $a\delta_{x(t)}$ движется по ребру со скоростью $1$ в одном из двух возможных направлений, так что $|\dot x(t)|=1$ при $x(t)\in e$. 2 (принцип суперпозиции). Импульсы движутся независимо друг от друга. Если в момент $t$ имеется несколько импульсов $a_1\delta_{x(t)},\dots,a_p\delta_{x(t)}$, расположенных в точке $x(t)\in\Omega\setminus\Gamma$, то они складываются, образуя импульс $[\,a_1+\dots + a_p\,]\delta_{x(t)}$. 3 (прохождение через внутреннюю вершину). Перемещаясь вдоль ребра $e$ и проходя через внутреннюю вершину $v$, импульс $a\delta_{x(t)}$ делится на $\mu(v)$ импульсов: один отраженный и $\mu(v)-1$ прошедших. Отраженный импульс движется вдоль $e$ в обратном направлении и имеет амплитуду $(2-\mu(v)/\mu(v))a$. Каждый из прошедших импульсов движется вдоль своего (инцидентного $v$) ребра в сторону от $v$ и имеет амплитуду $(2/\mu(v))a$. Таким образом, общая амплитуда составляет
$$
\begin{equation*}
\frac{2-\mu(v)}{\mu(v)}\,a+[\mu(v)-1]\frac{2}{\mu(v)}\,a=a,
\end{equation*}
\notag
$$
что соответствует закону сохранения токов Кирхгофа $F_v[y]=0$. 4 (отражение от границы). Как только импульс $a\delta_{x(t)}$ достигает вершины $\gamma\,{\in}\,\Gamma$, он мгновенно меняет свое направление на противоположное и инвертируется: изменяет амплитуду с $a$ на $-a$. Приняв эти правила, можно описать решение $u^{\delta_\gamma\delta}$ следующим образом (напомним, что $\tau$ – это расстояние в $\Omega$): $(*)$ при $0\leqslant t\leqslant\tau(\gamma,V)$ имеем $u^{\delta_\gamma\delta}=\delta_{x(t)}$, где $x(t)$ – точка ребра $e\succ\gamma$ такая, что $\tau(x(t),\gamma)=t$. Таким образом, при малых временах $u^{\delta_\gamma\delta}$ – это уединенный импульс единичной амплитуды, вошедший в граф из вершины $\gamma$ и движущийся по $e$ с единичной скоростью; $(**)$ дальнейшая эволюция при временах $t>\tau(\gamma,V)$ определяется правилами 1–4. Нетрудно убедиться, что такое описание является вполне детерминированным. В каждый момент времени $t\geqslant 0$ решение $u^{\delta_\gamma\delta}$ представляет собой набор конечного числа импульсов, движущихся в $\Omega$. С физической точки зрения эта картина описывает, например, распространение острых сигналов (скачков напряжения) в электросети – графе, составленном из проводов. Таким образом, фундаментальное решение есть некоторое пространственно-временное распределение в $\Omega\times\{t\geqslant 0\}$. Структура его такова, что для управлений вида $f=\delta_\gamma\varphi$ c $\varphi\in L_2[0,T]$ свертка по времени
$$
\begin{equation}
u^f(x,t):=\bigl[u^{\delta_\gamma\delta}(x,\,{\cdot}\,)\ast \varphi\bigr](t), \qquad x\in\Omega,\quad 0\leqslant t\leqslant T,
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
корректно определена. Кроме того, можно показать, что $u^f\in C([0,T];\mathscr{H})$ и, если $\varphi$ является гладким и исчезает около $t=0$, то $u^f$ совпадает с классическим решением задачи (2.2)–(2.5). С этого момента функция $u^f$, определяемая соотношением (2.7), рассматривается как (обобщенное) решение для управлений указанного вида. В более общем случае для $f\in L_2(\Gamma\times[0,T])$ вида $f=\sum_{\gamma\in\Sigma}f_\gamma$ с $f_\gamma=\delta_\gamma\varphi_\gamma$ полагаем
$$
\begin{equation}
u^f(x,t):=\sum_{\gamma\in\Sigma}u^{f_\gamma}(x,t), \qquad x\in\Omega,\quad 0\leqslant t\leqslant T.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Нетрудно показать, что и для обобщенного решения соотношение (2.6) остается верным. Оно показывает, что метрическая окрестность $\Omega^T_\Sigma$ есть часть графа, захваченная волнами, идущими от $\Sigma$, к моменту $t=T$. 2.3. ГидраЗдесь мы вводим пространственно-временной граф, который используется для эффективного описания волн. Фиксируем граничную вершину $\gamma$. Рассматривая фундаментальное решение как пространственно-временное распределение, определим множество
$$
\begin{equation*}
H_\gamma:=\operatorname{supp}u^{\delta_\gamma\delta}\subset \Omega\times{\overline{\mathbb R}}_+,
\end{equation*}
\notag
$$
которое будем называть гидрой [6]. По существу это пространственно-временной граф, образованный траекториями импульсов в ходе эволюции, описываемой правилами 1–4 и $(*)$, $(**)$ (рис. 1)3. Его ребра суть характеристики волнового уравнения (2.2). Определим проекции
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} &\pi\colon H_\gamma \ni h=(x,t)\mapsto x\in \Omega, &\qquad \pi^{-1}(x) &:=\{h\in H_\gamma\mid \pi(h)=x\}; \\ &\rho\colon H_\gamma \ni h=(x,t)\mapsto t\in \overline{\mathbb R}_+, &\qquad \rho^{-1}(t) &:=\{h\in H_\gamma\mid \rho(h)=t\}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
На гидре зададим функцию (амплитуду) $a(\,{\cdot}\,)$ по следующему правилу: – для точки $h\in H_\gamma$ такой, что $\pi(h)=x\in\Omega\setminus\Gamma$ и $\rho(h)=t>0$, имеем $u^{\delta_\gamma \delta}(\,{\cdot}\,,t)=a\delta_x(\,{\cdot}\,)$ и определяем $a(h):=a$; – для $h\in H_\gamma$ такой, что $\pi(h)\in \Gamma$ и $\rho(h)>0$, полагаем $a(h):=0$; – для $h\in H_\gamma$ такой, что $\pi(h)=\gamma$ и $\rho(h)=0$, полагаем $a(h):=1$. Как видно, амплитуда является кусочно постоянной функцией, определенной на всей гидре $H_\gamma$ (рис. 2). Уточним, что в точках самопересечения $p$ согласно правилу 2 эволюции импульсов имеем $a(p)=-4/9+1/3=-1/9$. Точки вида $p$ суть вершины $H_\gamma$, которые проектируются в $\Omega\setminus[V\cup\Gamma]$. Приведем представление, ради которого введена гидра (см. [7]). Используя запись $h=(x,t)\in H_\gamma$ и $a(h)=a(x,t)$, для управления $f=\delta_\gamma\varphi(t)$ с $\varphi\in L_2[0,T]$ согласно (2.7) получим
$$
\begin{equation}
u^f(x,T)=\sum_{t\in \rho(\pi^{-1}(x))}a(x,t)\,\varphi(T-t),\qquad x\in\Omega.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
В общем случае, когда управление $f=\sum_{\gamma\in\Sigma}\delta_\gamma\varphi_\gamma(t)$ действует из нескольких граничных вершин, согласно (2.8) имеем
$$
\begin{equation}
u^f(x,T)=\sum_{\gamma\in\Sigma}\,\sum_{t\in \rho(\pi^{-1}(x))}a_\gamma(x,t)\varphi_\gamma(T-t), \qquad x\in\Omega,
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
где $a_\gamma$ суть амплитуды на гидрах $H^T_\gamma$. Приведенные представления вполне эффективны: по ним можно вычислять значения волн. Однако для предстоящего анализа алгебры эйконалов потребуется их модификация, к описанию которой мы переходим. Модификация использует разбиение графа $\Omega$ на части (семейства), согласованное со структурой гидр. Во всех подробностях и с графическими иллюстрациями оно описано в [7]. 2.4. Разбиение $\Pi$В дальнейшем мы имеем дело с усеченными гидрами Введем одно понятие общего характера. Пусть дано множество $X$ и рефлексивное симметричное (но, вообще говоря, не транзитивное!) бинарное отношение $\sim_0$ на нем. Элементы, связанные этим отношением, будем называть соседними. Соседство определяет эквивалентность по следующему правилу. Мы говорим, что $x$ и $y$ эквивалентны (и пишем $x\sim y$), если в $X$ имеется конечный набор элементов $x_1,\dots,x_n$ такой, что выполнено $x\sim_0 x_1\sim_0 \dots\sim_0 x_n\sim_0 y$. Класс эквивалентности $[x]$ элемента $x\in X$ по введенному выше отношению $\sim$ можно описать конструктивно. Введем операцию $\operatorname{ext}$, расширяющую подмножество $B\subset X$ по правилу
$$
\begin{equation}
B\mapsto \operatorname{ext}B:=\bigcup_{b\in B}\{x\in X\mid x\sim_0 b\};
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
обозначим $\operatorname{ext}^1B:=\operatorname{ext}B$ и $\operatorname{ext}^jB:=\operatorname{ext}\operatorname{ext}^{j-1}B$, $j\geqslant 2$. Нетрудно убедиться в справедливости представления
$$
\begin{equation}
[x]=\bigcup_{j\geqslant 1}\operatorname{ext}^j\{x\}.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Если множество $X$ конечно, то последовательность $\operatorname{ext}^j$ на некотором шаге стабилизируется: $\operatorname{ext}^1\{x\}\subset\dots\subset \operatorname{ext}^N\{x\}=\operatorname{ext}^{N+1}\{x\}=\dots=[x]$. Этот случай встретится в работе. Рассмотрим эквивалентность такого вида на гидре. Скажем, что точки $h,h'\in H^T_\gamma$ суть соседние ($h\sim_0 h' $), если выполнено хотя бы одно из условий: $\pi(h)=\pi(h')$ или $\rho(h)=\rho(h')$. Через $\stackrel{\gamma}{\sim}$ обозначим отношение эквивалентности, порожденное таким соседством. Класс эквивалентности
$$
\begin{equation*}
\mathscr{L}[h]:=\{h'\in H^T_\gamma\mid h'\stackrel{\gamma}{\sim} h\}
\end{equation*}
\notag
$$
назовем решеткой. Можно показать, что этот класс состоит из конечного числа точек. Для подмножества $B\subset H^T_\gamma$ определим решетку Заметим, что операция $B\mapsto \mathscr{L}[B]$ обладает следующими свойствами:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, B\subset \mathscr{L}[B],\qquad \mathscr{L}[\mathscr{L}[B]]=\mathscr{L}[B],\qquad \mathscr{L}[B_1\cup B_2]=\mathscr{L}[B_1]\cup\mathscr{L}[B_2], \\ \pi^{-1}(\pi(\mathscr{L}[B]))=\rho^{-1}(\rho(\mathscr{L}[B]))=\mathscr{L}[B]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Первые три свойства показывают, что она является топологическим замыканием (по Куратовскому). С каждой точкой $x\in\overline{\Omega^T_\gamma}$ свяжем множество
$$
\begin{equation}
\Lambda[x]:=\pi(\mathscr{L}[\pi^{-1}(x)])\subset \overline{\Omega^T_\gamma}
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
(замыкание в метрике $\Omega$), которое назовем множеством определенности точки $x$. Это множество конечно. Нетрудно проверить, что отношение
$$
\begin{equation*}
x\sim x'\quad \Longleftrightarrow\quad \Lambda[x]=\Lambda[x']
\end{equation*}
\notag
$$
есть эквивалентность, а операция $A\mapsto\Lambda[A]:=\bigcup_{x\in A}\Lambda[x]=\pi(\mathscr L[\pi^{-1}(A)])$ – топологическое замыкание. Множества $A=\Lambda[A]$ мы называем $\Lambda$-замкнутыми. На полной гидре точку $h\in H_\gamma$ назовем угловой, если $\pi(h)\in V\cup\Gamma$ или $h$ является точкой самопересечения (как $p$ на рис. 2). Последние суть вершины гидры валентности $4$, которые проектируются в $\Omega\setminus[V\cup\Gamma]$. На усеченной гидре $H^T_\gamma$, помимо содержащихся в ней угловых точек полной гидры, отнесем к угловым и точки множества $\rho^{-1}(T)$. Через $\operatorname{Corn}H^T_\gamma$ обозначим множество всех угловых точек усеченной гидры. Решетка $\mathscr{L}[\operatorname{Corn}H^T_\gamma]$ разделяет гидру на конечное число открытых пространственно-временных интервалов. На каждом интервале амплитуда $a$ принимает постоянное значение. Точки, составляющие конечное множество
$$
\begin{equation*}
\Theta:=\pi\bigl(\mathscr{L}[\operatorname{Corn}H^T_\gamma]\bigr)\subset \overline{\Omega^T_\gamma},
\end{equation*}
\notag
$$
называются критическими. Оставшиеся точки $x\in \overline{\Omega^T_\gamma}\setminus \Theta$ назовем регулярными. Критические точки делят $\overline{\Omega^T_\gamma}$ на части. Множество регулярных точек представляет собой совокупность конечного числа открытых интервалов, каждый из которых принадлежит некоторому ребру $e$. Таким образом, $\overline{\Omega^T_\gamma}=\Pi\cup\Theta$ есть разбиение части графа $\Omega$, захваченной волнами, определяемое структурой гидры $H^T_\gamma$. Пусть $\omega=(c,c')\subset \Pi$ есть максимальный интервал, состоящий из регулярных точек. Максимальность означает, что концы интервала $c$ и $c'$ суть критические точки, так что расширение $\omega$ сохранением регулярности внутренних точек невозможно. Несложно убедиться, что множество
$$
\begin{equation}
\Phi:=\Lambda(\omega)=\pi(\mathscr{L}[\pi^{-1}(\omega)])
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
состоит из максимальных интервалов $\omega_1,\dots,\omega_m$ одинаковой длины:
$$
\begin{equation*}
\Phi=\bigcup_{k=1}^m \omega_k, \qquad \operatorname{diam}\omega_1=\dots=\operatorname{diam}\omega_m=\tau(c,c')=:\epsilon_\Phi,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\tau$ – расстояние на графе. Будем говорить, что интервалы $\omega_k$ являются клетками семейства $\Phi$. Сравнивая определения (2.13) и (2.14), приходим к представлению где $\omega$ – любая из клеток $\Phi$.Пусть $\omega'\subset\Pi$ есть максимальный интервал, не лежащий в семействе $\Phi$. Он определяет еще одно семейство $\Phi'=\Lambda[\omega']$, состоящее из клеток и так далее. В результате множество $\Pi$ оказывается конечным объединением непересекающихся семейств $\Phi^1,\dots,\Phi^J$, каждое из которых состоит из непересекающихся клеток:
$$
\begin{equation}
\Pi=\bigcup_{j=1}^J\Phi^j=\bigcup_{j=1}^J\bigcup_{k=1}^{m_j}\omega^j_k,
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
где $m_j$ – количество клеток в $\Phi^j$. В пару к множеству определенности (2.13) каждому $x\in\overline{\Omega^T_\gamma}\setminus\Gamma$ сопоставим множество При этом для $x\ne x'$ выполнено либо $\Xi[x]=\Xi[x']$, либо $\Xi[x]\cap\Xi[x']=\varnothing$. Также определим $\Xi[B]:=\bigcup_{x\in B}\Xi[x]$.Пусть $\Phi=\bigcup_{k=1}^{m_\Phi}\omega_k\subset\Pi$ есть семейство. Легко проверить, что множество
$$
\begin{equation}
\Psi:=\Xi[\Phi]=\bigcup_{i=1}^{n_\Phi}\psi_i\subset [0,T]
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
состоит из временных интервалов $\psi_i:=(t_i,\widetilde{t}_i)$ таких, что $0\leqslant t_1<\widetilde{t}_1\leqslant t_2<\widetilde{t}_2\leqslant \dots\leqslant t_{n_\Phi }<\widetilde{t}_{n_\Phi}\leqslant T$ и имеющих одинаковую длину $\widetilde{t}_i-t_{i}=\epsilon_\Phi$. Множество $\Psi$ также будем называть семейством, состоящим из временных клеток $\psi_i$. В дальнейшем используются функции $\tau^i\colon \Phi \to [0,T]$, связанные с разбиением графа на семейства. Они вводятся следующим образом4. Пусть $x\in\Phi$, положим
$$
\begin{equation}
\tau^i(x):=\psi_i\cap \rho(\mathscr{L}[\pi^{-1}(x)]),\qquad i=1,\dots, n_\Phi.
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Так как для любого $x_k\in\Lambda[x]$ выполнено $\mathscr{L}[\pi^{-1}(x)]=\mathscr{L}[\pi^{-1}(x_k)]$, то эти функции постоянны на множествах определенности: $\tau^i(x)=\tau^i(x_k)$. Из определения следует, что
$$
\begin{equation}
\tau^i(x)\ne \tau^{i'}(x)\quad\text{при}\quad i\ne i',\ \ x\in\Phi.
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
С изменением $x$ внутри клетки $\omega=(c,c')\subset\Phi$ изменяется множество $\Lambda[x]$. При этом значение $\tau^i(x)$ заметает клетку $\psi_i=(t_i,\widetilde t_i)\subset\Psi$ и, как нетрудно видеть из определения (2.18), справедливо одно из двух представлений
$$
\begin{equation}
\tau^i(x)=t_i+\tau(x,c)\quad \text{или}\quad \tau^i(x)=\widetilde t_i-\tau(x,c).
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Имея ввиду это представление, можно сказать, что функции $\tau^i$ зависят от $x\in\omega$ линейно. Свойство (2.20) позволяет доопределить функции $\tau^i$ в критических точках: если $x\in\omega=(c,c')$, $x\to c$, то $\tau^i(c)=t_i$ или $\tau^i(c)=\widetilde t_i$ в зависимости от того, какое из представлений (2.20) имеет место. Для каждого семейства $\Phi\subset\Pi$ набор функций $\tau^i$ свой и при необходимости мы отмечаем это обозначением $\tau^i_\Phi$. Добавим, что в силу (2.19) и (2.20) равенство $\tau^i_\Phi(x)=\tau^{i'}_{\Phi'}(x)$ для разных $\Phi$ и $\Phi'$ возможно лишь в критических точках $x$. Разбиение графа на семейства мотивировано, в частности, тем, что волны $u^f$ зависят от управлений $f$ локально в следующем смысле. Как видно из (2.9), значения $u^f(\,{\cdot}\,,T)|_{\Phi}$ определяются значениями $f|_{\Xi[\Phi]}$. Более того, условия
$$
\begin{equation}
\operatorname{supp}f\subset \Xi[\Phi]\quad\text{и}\quad \operatorname{supp}u^f(\,{\cdot}\,,T)\subset \Phi
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
являются равносильными. Модификация представлений (2.9) и (2.10), о которой говорилось в конце предыдущего пункта, состоит в эффективном представлении волн на множествах определенности. Оно использует функции (векторы) на $\Lambda[x]$, к описанию которых мы переходим. 2.5. Амплитудные векторыТекущие рассмотрения по-прежнему относятся к одной граничной вершине $\gamma\in\Gamma$, фиксированному $T>0$ и соответствующему разбиению $\Pi$. Пусть $A=\{x_1,\dots,x_m\}\subset\overline{\Omega^T_\gamma}$ есть конечное $\Lambda$-замкнутое множество и
$$
\begin{equation*}
\Xi[A]=\rho(\mathscr L[\pi^{-1}(A)])=\{t_1,\dots, t_n\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $t_1<\dots<t_n$. Множеству $A$ сопоставим функции (амплитудные векторы) $\alpha^i\colon A\to\mathbb{R}$, $i=1,\dots,n$, по правилу
$$
\begin{equation*}
\alpha^i(x_k):=\begin{cases} a(x_k,t_i), &\text{если }(x_k,t_i)\in H^T_\gamma, \\ 0, &\text{если }(x_k,t_i)\notin H^T_\gamma, \end{cases}\qquad k=1,\dots,m.
\end{equation*}
\notag
$$
Набор $\{\alpha^1,\dots,\alpha^n\}$ назовем $\alpha$-набором над множеством $A$. Для каждого $x\in\overline{\Omega^T_\gamma}$ множество определенности $\Lambda[x]$ является $\Lambda$-замкнутым и над ним имеется свой $\alpha$-набор. Из (2.6) следует, что величина есть время заполнения всего графа $\Omega$ волнами, идущими (с единичной скоростью) от вершины $\gamma$. Справедлива лемма 1.Лемма 1. Пусть $x$ есть точка в $\overline{\Omega^T_\gamma}$, $\Lambda[x]$ – ее множество определенности, и пусть $\alpha^1,\dots,\alpha^n$ есть $\alpha$-набор над $\Lambda[x]$. Если $T<T_\gamma$, то векторы $\alpha^i$ линейно независимы. Доказательство. Фиксируем какой-либо момент времени $t^*=t_i\in\Xi[x]$ с $i\neq 1$. В решетке $\mathscr{L}[\pi^{-1}(x)]$ обязательно найдется точка $(x^*,t^*)$ такая, что $x^*$ принадлежит границе $\overline{\Omega^{t^*}_\gamma}\setminus{\Omega^{t^*}_\gamma}$ области ${\Omega^{t^*}[\gamma]}$, захваченной волнами к моменту $t=t^*$. Эта граница непуста в силу $t^*\leqslant T<T_\gamma$; при этом $x^*\in\Lambda[x]$, $t^*=\tau(x^*,\gamma)$ и, очевидно, $a(x^*,t^*)=\alpha^i(x^*)\ne 0$. В то же время, во всех точках $(x^*,t)$ с $t\in\Xi[x^*]=\Xi[x]$, $t<t^*$, выполнено $a(x^*,t)=0$, поскольку такие $(x^*,t)$ не лежат на гидре $H^T_\gamma$. Последнее соответствует простому факту: при указанных временах $t$ волны от $\gamma$ не успевают дойти до точки $x^*$ (см. (2.6)). Таким образом, в точках $(x^*,t)$ с $t=t_k\in\Xi[x]$, $t_i<t^*$ ($k=1,\dots,{i-1}$) имеем $a(x^*,t_k)=\alpha^k(x^*)=0$ и, в то же время, $a(x^*,t^*)=\alpha^i(x^*)\ne 0$. Это исключает линейную зависимость $\alpha^i$ от $\alpha^1,\dots,\alpha^{i-1}$. В силу произвольности $i$ получаем линейную независимость всего набора $\alpha^1,\dots,\alpha^n$. Лемма доказана. В самом деле, из доказательства леммы 1 видно, что условие $T<T_\gamma$ обеспечивает непустоту множества $\rho^{-1}(t)\subset H^T_\gamma$ при $0\leqslant t\leqslant T$, что равносильно равенству $\Xi[\overline{\Omega^T_\gamma}]=[0,T]$. Вернемся к представлению (2.9). В терминах амплитудных векторов оно может быть записано в форме
$$
\begin{equation}
u^f(x_k,T)|_{x_k\in\Lambda[x]}=\sum_{i=1}^{n[x]}\varphi(T-t_i)\alpha^i(x_k),\qquad \text{где}\quad f=\delta_\gamma\varphi,\ \ n[x]:=\sharp\,\Xi[x],
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
представляющей волну не только в точке $x$, но и на всем множестве определенности $\Lambda[x]$. Более того, согласно (2.15), варьируя точку $x$ внутри клетки $\omega\subset\Phi$, мы представляем волну $u^f(\,{\cdot}\,,T)$ на всем семействе $\Phi$. Заключительный шаг к модификации исходного представления (2.9) состоит в переходе в (2.22) к более удобной системе амплитудных векторов. 2.6. $\beta$-представление волнПусть опять $A=\Lambda[A]=\{x_1,\dots,x_m\}\subset\overline{\Omega^T_\gamma}$. Введем пространство $\mathbf{l}_2(A)$ функций (векторов) на $A$ со скалярным произведением
$$
\begin{equation*}
\langle f,g\rangle=\sum_{x\in A}f(x)g(x)=\sum_{k=1}^{m} f(x_k)g(x_k).
\end{equation*}
\notag
$$
Оно содержит подпространство
$$
\begin{equation*}
\mathbb{A}[A]:=\operatorname{span}\{\alpha^1,\dots,\alpha^{n}\},\qquad \operatorname{dim}\mathbb{A}[A]\leqslant n,
\end{equation*}
\notag
$$
определяемое $\alpha$-набором над $A$. Используя процедуру Грама–Шмидта, перейдем в $\mathbb{A}[A]$ к набору
$$
\begin{equation*}
\beta^i:= \begin{cases} \dfrac{\alpha^1}{\|\alpha^1\|}, &\text{если }i=1, \\ \dfrac{\alpha^i-\sum _{j=1}^{i-1}\langle \alpha^i,\beta^j\rangle \beta^j}{\|\alpha^i-\sum_{j=1}^{i-1}\langle \alpha^i,\beta^j\rangle \beta^j\|}, &\text{если }i\geqslant 2\text{ и }\alpha^i \notin \operatorname{span}\{\alpha^1, \dots, \alpha^{i-1}\}, \\ 0, &\text{если }\alpha^i \in \operatorname{span}\{\alpha^1, \dots, \alpha^{i-1}\}, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\beta^i$ – вектор с компонентами $\beta^i(x_1),\dots,\beta^i(x_m)$. Для ненулевых элементов набора выполнено $\langle \beta^i,\beta^j \rangle=\delta_{ij}$, а их линейная оболочка, очевидно, совпадает с $\mathbb{A}[A]$. Совокупность векторов $\{\beta^1,\dots,\beta^n\}$ назовем $\beta$-набором над множеством $A$. Для каждого $x\in\overline{\Omega^T_\gamma}$ над множеством определенности $\Lambda[x]$ имеется свой $\beta$-набор. Согласно лемме 1 при $ T<T_\gamma$ векторы $\alpha^i$ линейно независимы. Как следствие, при таких $T$ все векторы $\beta^i$ суть ненулевые и выполнено $\operatorname{dim}\mathbb{A}[\Lambda[x]]=n\leqslant m$. С использованием $\beta$-набора над множеством $A=\Lambda[x]$ представление (2.22) приобретает окончательный вид
$$
\begin{equation}
u^f(x_k,T)|_{x_k\in\Lambda[x]}=\sum_{j=1}^{n[x]}c^\varphi_j\beta^j(x_k),\qquad c^\varphi_j=\sum_{i=1}^{n[x]}\rho_{ji}\,\varphi(T-t_i),
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
где $\rho$ – матрица перехода, связывающая наборы $\alpha$ и $\beta$. 2.7. Гидра $H^T_\Sigma$Введенные выше понятия и объекты относились к одной граничной вершине $\gamma$. В дальнейшем, указывая на это при необходимости, мы используем обозначения $\overset{\gamma}\sim$, $\mathscr L_\gamma$, $\Lambda_\gamma$ и т. п. Для набора граничных вершин $\Sigma\subseteq\Gamma$ определим пространственно-временной граф
$$
\begin{equation*}
H^T_\Sigma:=\bigcup_{\gamma\in\Sigma}H^T_\gamma\subset\Omega\times[0,T].
\end{equation*}
\notag
$$
На нем задаются аналоги объектов, введенных ранее для отдельных гидр $H^T_\gamma$. Опишем их. Проекции из $H^T_\Sigma$ в $\overline{\Omega^T_\Sigma}$ и в $[0,T]$ суть $\pi((x,t)):=x$ и $\rho((x,t)):=t$; под $\pi^{-1}$ и $\rho^{-1}$ понимаются полные прообразы в $H^T_\Sigma$. Соседство $h\sim_0 h'$ на $H^T_\Sigma$ по определению означает, что $\pi(x)=\pi(x')$ и/или $\rho(x)=\rho(x')$. Соседство определяет эквивалентность $h\overset{\Sigma}\sim h'$. Через $\mathscr L_\Sigma[h]$ обозначается класс эквивалентности (решетка) точки $h\in H^T_\Sigma$. Операция $H^T_\Sigma\supset B\mapsto \mathscr L_\Sigma[B]$ есть (топологическое) замыкание. Множество $\Lambda_\Sigma[x]:=\pi(\mathscr{L}_\Sigma[\pi^{-1}(x)])$ назовем множеством определенности точки $x\in\overline{\Omega^T_\Sigma}$. Отметим очевидное вложение $\Lambda_\gamma[x]\subset\Lambda_\Sigma[x]$ для $\gamma\in\Sigma$. Операция $\overline{\Omega^T_\Sigma}\supset A\mapsto \Lambda_\Sigma[A]$ есть (топологическое) замыкание. Множество угловых точек $\operatorname{Corn}H^T_\Sigma$ состоит их всех угловых точек гидр $H^T_\gamma\subset H^T_\Sigma$ плюс точки (трансверсального) пересечения ребер разных гидр $H^T_\gamma$. Критические точки в $\overline{\Omega^T_\Sigma}$ суть $\Theta_\Sigma:=\pi(\mathscr L_\Sigma[\operatorname{Corn}H^T_\Sigma])$, регулярные суть $\Pi_\Sigma:=\overline{\Omega^T_\Sigma}\setminus\Theta_\Sigma$. Имеет место разбиение
$$
\begin{equation*}
\Pi_\Sigma=\bigcup_{j=1}^J\Phi^j=\bigcup_{j=1}^J\bigcup_{k=1}^{m_j}\omega^j_k,\qquad \operatorname{diam}\omega^j_k=\epsilon_j:=\epsilon_\Phi,
\end{equation*}
\notag
$$
на семейства и клетки, вполне аналогичное разбиению (2.16). Для каждого семейства $\Phi\subset\Pi_\Sigma$ множество
$$
\begin{equation*}
\Xi_\Sigma[\Phi]:=\rho(\mathscr L_\Sigma[\pi^{-1}(\Phi)]) =\bigcup_{i=1}^{n_\Phi}\psi_i\subset [0,T]
\end{equation*}
\notag
$$
состоит из временных интервалов $\psi_i=(t_i,\widetilde{t}_i)$ таких, что $0\leqslant t_1<\widetilde{t}_1\leqslant t_2<\widetilde{t}_2\leqslant \dots \leqslant t_{n_\Phi }<\widetilde{t}_{n_\Phi}\leqslant T$, все интервалы имеют одинаковую длину $\widetilde{t}_i-t_{i}=\epsilon_\Phi$. На каждом семействе определен набор функций $\tau^i$:
$$
\begin{equation}
\tau^i_\Phi(x):=\psi_i\cap \rho(\mathscr{L}_\Sigma[\pi^{-1}(x)]),\qquad x\in\Phi,\quad i=1,\dots, n_\Phi.
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
Эти функции постоянны на множествах определенности: $\tau^i_\Phi(x)=\tau^i_\Phi(x')$ для регулярных $x,x'\in \Lambda_\Sigma[x]$. Для них выполнено (2.19) и справедливо представление (2.20). Последнее позволяет доопределить функции $\tau^i_\Phi$ в критических точках (концах клеток $\omega$) по непрерывности. Пусть $\gamma\in\Sigma$, $\Phi\subset\Pi_\Sigma$ и $x\in \Phi$. Нетрудно показать, что множество $\Lambda_\Sigma[x]\cap {\Omega^T_\gamma}$ является $\Lambda_\gamma$-замкнутым (в $\Omega^T_\gamma$). Следовательно, на нем имеется $\beta$-набор векторов $\beta^1_{\gamma\Phi},\dots, \beta^{n_\Phi}_{\gamma\Phi}$. Условимся считать их заданными на всем $\Lambda_\Sigma[x]$, продолжив с $\Lambda_\Sigma[x]\cap \Omega^T_\gamma$ на $\Lambda_\Sigma[x]$ нулем. Повторив построение для всех $\gamma\in\Sigma$, получим совокупность $\beta$-наборов
$$
\begin{equation}
\{\beta^1_{\gamma\Phi},\dots,\beta^{n_{\Phi}}_{\gamma\Phi}\mid\gamma\in\Sigma\},
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
где $\beta^i_{\gamma\Phi}$ – вектор с компонентами $(\beta^i_{\gamma\Phi})_1,\dots,(\beta^i_{\gamma\Phi})_{m_{\Phi}}$ и $m_{\Phi}=\sharp\Lambda_\Sigma[x]$. Каждый из наборов ортонормирован в $\mathbf{l}_2(\Lambda_\Sigma[x])$. Соответственно на каждом семействе $\Phi\subset\Pi_\Sigma$ заданы функции $\beta^i_{\gamma\Phi}(\,{\cdot}\,)$, принимающие постоянные значения $(\beta^i_{\gamma\Phi})_k$ на клетках $\omega_k\subset\Phi$. Для данного семейства $\Phi$ и разных вершин $\gamma\in\Sigma$ набор $\{\beta^1_{\gamma\Phi},\dots,\beta^{n_{\Phi}}_{\gamma\Phi}\}$ содержит одно и то же число векторов, равное $n_{\Phi}$, а функции $\tau^i_\Phi$ суть одни и те же. Тем не менее, примем по определению
$$
\begin{equation}
n_{\gamma\Phi}:=n_{\Phi},\qquad \tau_{\gamma\Phi}^i(x):=\tau_{\Phi}^i(x),\qquad x\in\Phi, \quad \gamma\in\Sigma.
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
Это на первый взгляд избыточное обозначение (индекс $\gamma$) окажется удобным в дальнейших рассмотрениях.
§ 3. Эйконалы3.1. Достижимые множества и проекторыЗдесь мы рассматриваем задачу (2.2)–(2.5) как динамическую систему и снабжаем ее атрибутами теории управления – пространствами и операторами. Пространство управлений $\mathscr{F}^T :=L_2(\Gamma \times [0,T])$ со скалярным произведением
$$
\begin{equation*}
(f,g)_{\mathscr{F}^T}=\sum_{\gamma \in \Gamma} \int_{0}^T f(\gamma ,t)g(\gamma ,t)\,dt
\end{equation*}
\notag
$$
называется внешним пространством системы (2.2)–(2.5). Оно содержит подпространства управлений, действующих с отдельных граничных вершин $\gamma \in \Gamma$:
$$
\begin{equation*}
\mathscr{F}^T_\gamma:=\bigl\{f \in \mathscr{F}^T\bigm| \operatorname{supp}f \subset \{\gamma\} \times [0,T]\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Каждое управление $f \in \mathscr{F}^T_\gamma$ имеет вид $f=\delta_{\gamma}\varphi$ с некоторым $\varphi\in L_2[0,T]$. Подмножеству граничных вершин $\Sigma\subseteq\Gamma$ соответствует подпространство
$$
\begin{equation*}
\mathscr{F}^T_\Sigma:={\sum_{\gamma \in \Sigma}}^\oplus \mathscr{F}^T_\gamma
\end{equation*}
\notag
$$
действующих с него управлений (слагаемые ортогональны в $\mathscr{F}^T$). Пространство $\mathscr{H}=L_2(\Omega)$ называется внутренним; волны $u^f(\,\cdot\, ,t)$ суть его элементы, зависящие от времени. Для множества $B\subset\Omega$ определим подпространство $\mathscr H\langle B\rangle:=\{y\in\mathscr H\mid \operatorname{supp}y\subset\overline B\}$ функций, локализованных в $B$. Множество волн
$$
\begin{equation*}
\mathscr{U}^s_\gamma:=\{u^f(\,{\cdot}\,,s)\mid f \in \mathscr{ F}^T_\gamma\}\subset \mathscr{H}, \qquad 0\leqslant s\leqslant T,
\end{equation*}
\notag
$$
называется достижимым (с вершины $\gamma$ к моменту $t=s$). Из представлений (2.9) и (2.10) видно, что $\mathscr{U}^s_\gamma$ суть (замкнутые) подпространства в $\mathscr H$. С ростом $s$ они расширяются: $\mathscr{U}^s_\gamma\subset\mathscr{U}^{s'}_\gamma$ при $s<s'$. Отмеченная в (2.21) локальность соответствия “управление–волна” ведет к разложению по семействам
$$
\begin{equation}
\mathscr{U}^T_\gamma={\sum_{\Phi\subset\Pi_\Sigma}}^\oplus \mathscr{U}^T_\gamma\langle\Phi\rangle,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где подпространство $\mathscr{U}^T_\gamma\langle\Phi\rangle\subset\mathscr H\langle\Phi\rangle$ состоит из волн $u^f(\,{\cdot}\,,T)\in\mathscr U^T_\gamma$, локализованных в $\Phi\cap\Omega^T_\gamma$. Ортогональность слагаемых – следствие дизъюнктности семейств: $\Phi^j\cap\Phi^k=\varnothing$ для $j\ne k$. Фиксируем граничную вершину $\gamma\in\Sigma$; пусть $P^T_{\gamma}$ есть проектор в $\mathscr{H}$ на подпространство $\mathscr{U}^T_\gamma$. Обсудим его свойства и опишем его действие. Как следствие (3.1), имеем представление
$$
\begin{equation}
P^T_\gamma=\sum _{\Phi \subset \Pi_\Sigma}P^T_{\gamma}\langle\Phi\rangle,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где $P^T_{\gamma}\langle\Phi\rangle$ суть проекторы в $\mathscr{H}$ на $\mathscr{U}^T_\gamma\langle\Phi\rangle$. Таким образом, проектор $P^T_\gamma$ приводится подпространствами $\mathscr{U}^T_\gamma\langle\Phi\rangle$ и его характеризация сводится к описанию действия проекторов $P^T_{\gamma}\langle\Phi\rangle$. Как показано в [7], проекторы $P^T_{\gamma}\langle\Phi\rangle$ выражаются через векторы (2.25) и отвечающие им функции $\beta^i_{\gamma\Phi}(\,{\cdot}\,)$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
(P^T_{\gamma}\langle\Phi\rangle y)(x)= \begin{cases} {\displaystyle\sum _{i=1}^{n_{\gamma\Phi}} \langle y|_{\Lambda_\gamma[x]}, \beta^i_{\gamma\Phi}\rangle \beta^i_{\gamma\Phi}(x)}, &x \in \Phi, \\ 0, &x \in \Omega \setminus \Phi, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где $y \in \mathscr H$ – произвольная функция на графе5. Это представление выводится из представления (2.23), для получения которого и вводились векторы $\beta^i$. Как видно из (3.2) и (3.3), если проектируемая на $\mathscr{U}^T_\gamma$ функция $y\in\mathscr{H}$ непрерывна и такова, что $y|_{\Lambda_\gamma[x]}\equiv 0$, то и $(P^T_\gamma y)|_{\Lambda_\gamma[x]}\equiv 0$. Другими словами, значения проекции $P^T_\gamma y$ на множестве $\Lambda_\gamma[x]$ вполне определяются значениями $y$ на $\Lambda_\gamma[x]$. Именно в этом состоит повод называть $\Lambda_\gamma[x]$, а с ними и $\Lambda_\Sigma[x]$, множествами определенности. Напомним, что векторы $\beta^i_{\gamma\Phi}$ суть элементы подпространства $\mathbb A[\Lambda_\Sigma[x]]\subset\mathbf{l}_2(\Lambda_\Sigma[x])$. Из сказанного выше следует, что проектор $P^T_\gamma$ определяет в $\mathbf{l}_2(\Lambda_\Sigma[x])$ оператор $p_{\gamma\Phi}[x]$, проектирующий на $\mathbb A[\Lambda_\gamma[x]]\subset\mathbb A[\Lambda_\Sigma[x]]$. Пусть $\chi_1,\dots, \chi_{m_\Phi}$ есть (стандартный) базис в $\mathbf{l}_2(\Lambda_\Sigma[x])$, состоящий из индикаторов точек множества $\Lambda_\Sigma[x]$; в нем $(\beta^i_{\gamma\Phi})_k=\langle\beta^i_{\gamma\Phi},\chi_k\rangle$. Согласно (3.3) в этом базисе матрица проектора $p_{\gamma\Phi}[x]$ принимает вид
$$
\begin{equation}
{\check p}_{\gamma\Phi}[x]=B^*_{\gamma\Phi}[x]B_{\gamma\Phi}[x],\qquad B_{\gamma\Phi}[x]:= \begin{pmatrix} (\beta^1_{\gamma\Phi})_1(x) & \dots &(\beta^1_{\gamma\Phi})_{m_{\Phi}}(x) \\ (\beta^{2}_{\gamma\Phi})_1(x) & \dots & (\beta^{2}_{\gamma\Phi})_{m_{\Phi}}(x) \\ \dots & \dots & \dots \\ (\beta^{n_{\gamma\Phi}}_{\gamma\Phi})_1(x) & \dots & (\beta^{n_{\gamma\Phi}}_{\gamma\Phi})_{m_{\Phi}}(x) \end{pmatrix} .
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
3.2. ЭйконалСемейство $\{P^s_\gamma\mid 0\leqslant s\leqslant T\}$ проекторов в $\mathscr{H}$ на достижимые множества $\mathscr{U}^s_\gamma$ определяет оператор эйконала (коротко – эйконал)
$$
\begin{equation*}
E^T_\gamma\colon\mathscr{H}\to \mathscr{H},\qquad E^T_\gamma:=\int^T_0 s\,dP^s_\gamma.
\end{equation*}
\notag
$$
Из определения следует, что $E^T_\gamma$ есть ограниченный самосопряженный положительный оператор. Как и проектор $P^T_\gamma$, эйконал $E^T_\gamma$ приводится подпространствами $\mathscr{H}\langle\Phi\rangle$: для него справедливы соотношения $E^T_\gamma\mathscr{H}\langle\Phi\rangle\subset\mathscr{H}\langle\Phi\rangle$ и разложение
$$
\begin{equation*}
E^T_\gamma=\sum_{\Phi\subset\Pi}E^T_\gamma\langle\Phi\rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
где $E^T_\gamma\langle\Phi\rangle:=E^T_\gamma|_{\Phi}$ есть сужение $E^T_\gamma$, действующее в $\mathscr{H}\langle\Phi\rangle$. Как показано в [7], справедливо согласованное с (3.3) представление
$$
\begin{equation}
(E^T_\gamma\langle\Phi\rangle y)(x)= \begin{cases} {\displaystyle\sum _{i=1}^{n_{\gamma\Phi}} \tau^i_{\gamma\Phi}(x)\langle y|_{\Lambda_\gamma[x]},\beta^i_{\gamma\Phi}\rangle \beta^i_{\gamma\Phi}(x)}, &x \in \Phi, \\ 0, &x \in \Omega \setminus \Phi, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
в котором $y \in \mathscr H$ произвольно, а функции $\tau^i_{\gamma\Phi}$ даются определениями6 (2.24) и (2.26). Оператор $E^T_\gamma$ индуцирует в $\mathbf{l}_2(\Lambda_\Sigma[x])$ оператор $e_{\gamma\Phi}[x]$. Согласно (3.4) и (3.5) в базисе $\chi_1,\dots, \chi_{m_\Phi}$ его матрица имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, {\check e}_{\gamma\Phi}[x]=B^*_{\gamma\Phi}[x]D_{\gamma\Phi}[x] B_{\gamma\Phi}[x], \\ B_{\gamma\Phi}[x]:= \begin{pmatrix} (\beta^1_{\gamma\Phi})_1(x) & \dots &(\beta^1_{\gamma\Phi})_{m_{\Phi}}(x) \\ (\beta^{2}_{\gamma\Phi})_1(x) & \dots & (\beta^{2}_{\gamma\Phi})_{m_{\Phi}}(x) \\ \dots & \dots & \dots \\ (\beta^{n_{\gamma\Phi}}_{\gamma\Phi})_1(x) & \dots & (\beta^{n_{\gamma\Phi}}_{\gamma\Phi})_{m_{\Phi}}(x) \end{pmatrix},\qquad D_{\gamma\Phi}[x]=\operatorname{diag}\{\tau^i_{\gamma\Phi}(x)\}_{i=1}^{n_{\gamma\Phi}}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Подпространство $\mathbb A_{\gamma\Phi}[x]=\operatorname{span}\{\beta^1_{\gamma\Phi}, \dots, \beta^{n_{\gamma\Phi}}_{\gamma\Phi}\}\subset \mathbf{l}_2(\Lambda_\Sigma[x])$ приводит эту матрицу, а ее ненулевой блок в базисе $\beta^1_{\gamma\Phi}, \dots, \beta^{n_{\gamma\Phi}}_{\gamma\Phi}$ есть $\operatorname{diag}\{\tau^i_{\gamma\Phi}(x)\}_{i=1}^{n_{\gamma\Phi}}$. Как видно из (2.19), все ее собственные значения $\tau^i_{\gamma\Phi}(x)$ внутри клеток семейства различны; при изменении $x$ в $\omega\subset\Phi$ они заметают интервалы $(t_i,\widetilde t_i)\subset\Xi[\Phi]$. Согласно следующему далее предложению 1 при $T<T_\gamma$ объединение (по всем семействам $\Phi\subset\Pi$) всех сегментов $[t_i,\widetilde t_i]$ совпадает с $[0,T]$. Из приведенных рассмотрений легко усматриваются общие свойства эйконала как оператора в $\mathscr{H}$ (см., например, [23]). Предложение 1. Пусть для эйконала $E^T_\gamma$ выполнено $\overline{\operatorname{Ran}E^T_\gamma}=\mathscr{U}^T_\gamma$ и $\operatorname{Ker}E^T_\gamma=\mathscr{H}\ominus\mathscr{U}^T_\gamma$. Эйконал приводится частями достижимого множества: $E^T_\gamma\mathscr{U}^T_\gamma\langle\Phi\rangle \subset\mathscr{U}^T_\gamma \langle\Phi\rangle$, $\Phi\subset\Pi_\Sigma$. При $T<T_\gamma$ оператор $E^T_\gamma|_{\mathscr{U}^T_\gamma}$ имеет простой абсолютно непрерывный спектр, заполняющий сегмент $[0,T]$. Замечание 1. Из представления (3.5) следует, что при временах $T>T_\gamma$ спектр $E^T_\gamma|_{\mathscr{U}^T_\gamma}$ есть объединение сегментов $[0,T_0]\cup[T_1,T_2]\cup\dots \cup[T_{N-1},T_N]$, где $T_\gamma\leqslant T_0<T_1<\dots <T_N\leqslant T$, а каждый сегмент состоит из областей значений функций7 $\tau^i_{\gamma\Phi}$ (замыканий временных клеток ${\psi^i_{\gamma\Phi}}$, см. (2.17)). 3.3. ПараметризацияВыберем семейство $\Phi=\bigcup_{k=1}^{m_{\Phi}}\omega_k\subset\Pi_\Sigma$; пусть $\omega=(c,c')\subset \Phi$ – одна из его клеток. Напомним, что все клетки имеют одинаковую длину $\epsilon_\Phi=\tau(c,c')$. Для $x\in\omega$ введем обозначение $x=x(r)$, если $\tau(c,x)=r$. Наряду с $x$, множество определенности также оказывается параметризованным: $\Lambda_\Sigma[x(r)]=\{x_k(r)\}_{k=1}^{m_{\Phi}}$. При изменении $r$ в интервале $(0,\epsilon_\Phi)$ точки $x_k(r)$ непрерывно меняют положение и заметают клетки $\omega_k$. Таким образом, семейство $\Phi$ параметризовано. Параметризованы по $r$ и все элементы представлений (3.3) и (3.5): векторы
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \beta^i_{\gamma\Phi}=\{(\beta^i_{\gamma\Phi})_k(r)\}_{k=1}^{m_{\Phi}}, \\ (\beta^i_{\gamma\Phi})_k(r):= \beta^i_{\gamma\Phi}(x_k(r)) =(\beta^i_{\gamma\Phi})_k=\mathrm{const},\qquad 0<r<\epsilon_\Phi, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
и функции $\tau^i_{\gamma\Phi}(r):=\tau^i_{\gamma\Phi}(x(r))$. Последние согласно (2.20) принимают значения
$$
\begin{equation}
\tau^i_{\gamma\Phi}(r)=t_{i\Phi}+r \quad\text{или}\quad \tau^i_{\gamma\Phi}(r)=\widetilde{t}_{i\Phi}-r=(t_{i\Phi}+\epsilon_\Phi)-r.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Отметим, что параметризаций семейства $\Phi$ суть две: принятая выше с $r=\tau(x,c)$ и отвечающая параметру $r=\tau(x,c')$. Они вполне равноправны. В дальнейшем будем считать, что каждое семейство $\Phi\subset\Pi_\Sigma$ параметризовано каким-либо одним из двух способов. Параметризация определяет матричные представления функций и операторов на графе. Пусть $\Phi\subset\Pi_\Sigma$ есть параметризованное семейство, $y\in\mathscr H$ – функция на графе, $x=x(r)\in\Lambda_\Sigma[x(r)]=\{x_k(r)\}_{k=1}^{m_{\Phi}}\subset\Phi$, $0<r<\epsilon_{\Phi}$. Легко проверить, что отображение
$$
\begin{equation*}
U_\Phi\colon \mathscr H\to L_2([0, \epsilon_{\Phi}]; \mathbb{R}^{m_{\Phi}}),\qquad (U_\Phi y)(r):= \begin{pmatrix} y(x_1(r))\\ \dots \\y(x_{m_{\Phi}}(r)) \end{pmatrix}, \quad r\in(0,\epsilon_{\Phi}),
\end{equation*}
\notag
$$
унитарно. Для каждой вершины $\gamma\in\Sigma$ определим (постоянные, см. (3.6)) столбцы и образованные ими матрицы
$$
\begin{equation*}
\beta^i_{\gamma\Phi}= \begin{pmatrix} (\beta^i_{\gamma\Phi})_1\\ \dots \\(\beta^i_{\gamma\Phi})_{m_{\Phi}} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{m_{\Phi}},\qquad B_{\gamma\Phi}:= \begin{pmatrix} (\beta^1_{\gamma\Phi})_1 & \dots & (\beta^1_{\gamma\Phi})_{m_{\Phi}} \\ (\beta^{2}_{\gamma\Phi})_1 & \dots & (\beta^{2}_{\gamma\Phi})_{m_{\Phi}} \\ \dots & \dots & \dots \\ (\beta^{n_{\gamma\Phi}}_{\gamma\Phi})_1 & \dots & (\beta^{n_{\gamma\Phi}}_{\gamma\Phi})_{m_{\Phi}} \end{pmatrix};
\end{equation*}
\notag
$$
введем матрицы
$$
\begin{equation*}
D_{\gamma\Phi}(r):=\{\tau^i_{\gamma\Phi}(r)\,\delta_{ij}\}_{i,j=1}^{n_{\gamma\Phi}},\qquad r\in(0,\epsilon_{\Phi}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\tau^i_{\gamma\Phi}(r)$ имеют вид (3.7). При изменении параметра $r$ матрица $B_{\gamma\Phi}$ не меняется в силу постоянства ее элементов в клетках $\omega_1,\dots,\omega_{m_\Phi}$ семейства $\Phi$. Вместе с ней постоянна и матрица $B_{\gamma\Phi}^*B_{\gamma\Phi}$. Последняя в силу того, что столбцы $\beta^i_{\gamma\Phi}$ составляют ортонормированный набор, является проектором в ${\mathbb R}^{m_{\Phi}}$ на подпространство
$$
\begin{equation*}
\mathscr{A}_{\gamma}[\Phi]:=\operatorname{span}\{\beta^1_{\gamma\Phi}, \dots, \beta^{n_{\gamma\Phi}}_{\gamma\Phi}\}=[B^*_{\gamma\Phi} B_{\gamma\Phi}] \mathbb{R}^{m_{\Phi}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Матрица-проектор $B_{\gamma\Phi}^*B_{\gamma\Phi}$ допускает разложение в сумму попарно ортогональных одномерных проекторов
$$
\begin{equation}
B_{\gamma\Phi}^*B_{\gamma\Phi}=\sum_{i=1}^{n_{\gamma\Phi}}P^i_{\gamma\Phi},\qquad P^i_{\gamma\Phi}:=\langle\,{\cdot}\,,\beta^i_{\gamma\Phi}\rangle\,\beta^i_{\gamma\Phi},
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
где $\langle\,{\cdot}\,,{\cdot}\,\rangle$ – стандартное скалярное произведение в $\mathbb R^{m_\Phi}$. В соответствии с (3.5) имеем представление
$$
\begin{equation*}
(U_\Phi\, E^{\,T}_\gamma\!\langle\Phi\rangle y)(r)=[B_{\gamma\Phi}^* D_{\gamma\Phi}(r) B_{\gamma\Phi}](U_\Phi{y})(r), \qquad r \in (0,\epsilon_{\Phi}),
\end{equation*}
\notag
$$
с матрицами
$$
\begin{equation}
B_{\gamma\Phi}^* D_{\gamma\Phi}(r)B_{\gamma\Phi}=U_\Phi E^T_\gamma\langle\Phi\rangle U^{-1}_\Phi\stackrel{(3.5), (3.8)}{=} \sum_{i=1}^{n_{\gamma\Phi}}\tau_{\gamma\Phi}^i(r) P_{\gamma\Phi}^i.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Опишем параметризацию пространств и операторов, отвечающую разбиению $\Pi_{\Sigma}$ в целом. Аналог разложения (3.1) приобретает вид
$$
\begin{equation*}
\mathscr{U}^T_\Sigma = \oplus \sum_{\Phi \subset \Pi_\Sigma} \mathscr{U}^T_\Sigma\langle\Phi\rangle,\qquad \mathscr{U}^T_\Sigma\langle\Phi\rangle:=\operatorname{span} \{\mathscr{U}^T_\gamma\langle\Phi\rangle\mid \gamma\in\Sigma\},
\end{equation*}
\notag
$$
причем каждое из подпространств-слагаемых приводит все эйконалы одновременно:
$$
\begin{equation*}
E^T_\gamma\mathscr{U}^T_\Sigma\langle\Phi\rangle\subset\mathscr{U}^T_\Sigma\langle\Phi\rangle, \qquad \gamma\in\Sigma.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя параметризации в семействах, имеем
$$
\begin{equation*}
U_\Phi \mathscr{H}\langle \Phi \rangle = L_2([0,\epsilon_\Phi];\mathbb{R}^{m_\Phi}),\qquad U_\Phi \mathscr{U}^T_\Sigma[\Phi] = L_2([0,\epsilon_\Phi]);\mathscr{A}_\Sigma[\Phi]),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathscr{A}_\Sigma[\Phi]:=\operatorname{span}\{\mathscr{A}_\gamma[\Phi]\mid \gamma\in\Sigma\}$, а части $E^T_\gamma\langle{\Phi}\rangle$ эйконалов умножают элементы $L_2([0,\epsilon_\Phi];{\mathbb R}^{m_\Phi})$ на матрицы-функции (3.9). Соглашение 1. Условимся об обозначениях. Для пространств $\mathscr S_1,\dots ,\mathscr S_n$ сумма $\mathscr{S}=\bigoplus\sum_j \mathscr{S}_j$ есть пространство наборов $s=\{s_1,\dots,s_n\}$, $s_j\in\mathscr S_j$ (с покомпонентными операциями). Для операторов $A_1,\dots, A_n$, $A_j\in\operatorname{End}\mathscr{S}_j$, сумма $A=\bigoplus\sum_j A_j\in \operatorname{End}\mathscr{S}$ есть оператор, действующий по правилу $As:=\{A_1s_1,\dots,A_ns_n\}$. Для матриц $M_1,\dots,M_n$, $M_j\in \mathbb M^{\varkappa_j}$, сумма $M=\bigoplus\sum_j M_j\in\mathbb M^{\varkappa_1+\dots+\varkappa_n}$ есть блочно-диагональная матрица с блоками $M_1,\dots, M_n$ (мы также пишем $[M]_j=M_j$). Для алгебр $\{\mathfrak{A}_1,\dots,\mathfrak{A}_n\}$ $\mathfrak{A}=\bigoplus_j\mathfrak{A}_j$ есть прямая сумма алгебр-слагаемых (мы также пишем $[\mathfrak{A}]_j=\mathfrak{A}_j$ и называем $\mathfrak{A}_j$ блоками). Параметризация всего $\Pi_\Sigma$ реализуется оператором $U:=\bigoplus\sum_{\Phi\subset\Pi_\Sigma}U_\Phi$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag U\mathscr{H}\langle \Omega^T_\Sigma \rangle &=\bigoplus\sum_{\Phi\subset\Pi_\Sigma}L_2([0,\epsilon_\Phi];\mathbb{R}^{m_\Phi}), \\ UE^T_\gamma U^{-1} &=\bigoplus\sum_{\Phi\subset\Pi_\Sigma}U_\Phi E^T_\gamma \langle\Phi\rangle U^{-1}_\Phi \stackrel{(3.9)}{=} \bigoplus\sum_{\Phi\subset\Pi_\Sigma}\sum_{i=1}^{n_{\gamma\Phi}}\tau^i_{\gamma\Phi}P^i_{\gamma \Phi}, \qquad \gamma\in\Sigma. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
3.4. Смещенные эйконалыВ техническом отношении при описании алгебры, порожденной эйконалами, удобно использовать операторы (смещенные эйконалы)
$$
\begin{equation}
\dot E^T_{\gamma}:=\int_0^T(s+1)\,dP^s_{\gamma} = E^T_{\gamma}+ P^T_{\gamma}.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Установленные ранее свойства и представления для $E^T_\gamma$ очевидным образом переформулируются для $\dot E^T_\gamma$. Так, аналог представления (3.10) имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag U\dot E^T_{\gamma}U^{-1} &=\bigoplus\sum_{\Phi\subset\Pi_\Sigma}U_\Phi \dot E^T_{\gamma}\langle\Phi\rangle U^{-1}_\Phi =\bigoplus\sum_{\Phi\subset\Pi_\Sigma}[B_{\gamma\Phi}^* \dot D_{\gamma\Phi}(\,{\cdot}\,) B_{\gamma\Phi}] \\ &\!\!\!\!\!\stackrel{(3.10)}{=} \bigoplus\sum_{\Phi\subset\Pi_\Sigma}\sum_{i=1}^{n_{\gamma\Phi}}\dot\tau^i_{\gamma \Phi}P^i_{\gamma \Phi}, \qquad \gamma\in\Sigma, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
где $\dot D_{\gamma\Phi}(\,{\cdot}\,):=D_{\gamma\Phi}(\,{\cdot}\,)+ I$, $I$ – единичная матрица соответствующей размерности и $\dot\tau_{\gamma\Phi}^i(r) :=\tau_{\gamma\Phi}^{i}(r)+1$. Аналог предложения 1 имеет следующий вид. Предложение 2. Для оператора $\dot E^T_{\gamma}$ выполнено ${\operatorname{Ran}\dot E^T_{\gamma}}=\mathscr{U}^T_\gamma$, $\operatorname{Ker}\dot E^T_{\gamma}=\mathscr{H}\ominus\mathscr{U}^T_\gamma$ и $\dot E^T_{\gamma}\mathscr{U}^T_\gamma\langle\Phi\rangle\subset\mathscr{U}^T_\gamma \langle\Phi\rangle$, $\Phi\subset\Pi$. При $T<T_\gamma$ он имеет собственное значение $0$ бесконечной кратности и простой абсолютно непрерывный спектр, заполняющий сегмент $[1,T+1]$. При $T>T_\gamma$ согласно замечанию 1 выполнено где $T_\gamma\leqslant T_0<T_1<\dots <T_N\leqslant T$, а сегменты суть объединения областей значений функций $\dot\tau^i_{\gamma\Phi}$ (смещенных на $1$ временных клеток $\dot\psi^i_{\gamma\Phi}$). § 4. Алгебра эйконалов4.1. Определения и общие фактыНапомним, что $C^*$-алгеброй называется банахова алгебра с инволюцией [24], [25]. Таковыми, в частности, являются алгебры ограниченных операторов $\mathfrak{B}(\mathscr{H})$ в гильбертовом пространстве $\mathscr{H}$, в которых роль инволюции играет операторное сопряжение. Запись ${\mathfrak A}\cong{\mathfrak B}$ будет означать, что $C^*$-алгебры ${\mathfrak A}$ и ${\mathfrak B}$ связаны изометрическим $*$-изоморфизмом (далее коротко – изометричны). Для множества $S\subset \mathfrak{A}$ через $\vee S$ обозначается минимальная $C^*$-(под)алгебра в $\mathfrak{A}$, содержащая $S$. Под $\mathbb{M}^n$ понимается алгебра вещественных $(n\times n)$-матриц, рассматриваемых как операторы в $\mathbb R^n$ и снабженных соответствующей (операторной) нормой. Она неприводима. Через $C([a,b],\mathbb{M}^n)$ обозначается алгебра непрерывных $\mathbb{M}^n$-значных функций с нормой $\|c\|=\sup_{a\leqslant t\leqslant b} \|c(t)\|_{\mathbb{M}^n}$. Тем же символом мы обозначаем операторную (под)алгебру в $\mathfrak{B}(L_2([a,b];\mathbb R^n))$, элементы которой умножают квадратично-суммируемые $\mathbb R^n$-значные функции на функции из $C([a,b],\mathbb{M}^n)$. Соответствие $c\mapsto c\cdot$ устанавливает изометрию этих алгебр. $C^*$-подалгебру $\mathfrak A\subset \mathbb{M}^n$ условимся считать неприводимой, если выполнено $\mathfrak A\cong \mathbb{M}^k$, где $k\leqslant n$. Такая алгебра в подходящем базисе в $\mathbb R^n$ принимает блочно-диагональную форму и состоит из двух блоков, один из которых есть $\mathbb{M}^k$, а второй (если имеется) – нулевой. Приведем сводку известных результатов8. Предложение 3. Любая $C^*$-подалгебра алгебры $\mathbb{M}^n$ изометрична прямой сумме $\bigoplus_{k}\mathbb{M}^{n_k}$, где $\sum_{k}{n_k}\leqslant n$. Предложение 4 (см. [24]). Пусть $\mathfrak{P}\subset\mathbb{M}^n$ и $C^*$-подалгебра $\mathfrak{A}\subset C([a,b];\mathfrak{P})$ такова, что для любых $t,t'\in[a,b]$ и $p,p'\in\mathfrak{P}$ найдется элемент $u\in\mathfrak{A}$, для которого выполнено $u(t)=p$, $u(t')=p'$. Тогда $\mathfrak{A}= C([a,b];\mathfrak{P})$. Представление $C^*$-алгебры $\mathfrak{A}$ – это гомоморфизм $\pi\colon \mathfrak{A}\to\mathfrak{B}(H)$, где $H$ – гильбертово пространство. Эквивалентность представлений $\pi\sim\pi'$ означает, что $\iota\,\pi(a)=\pi'(a)\iota$, $a\in\mathfrak{A}$, где $\iota\colon H\to H'$ – изометрия пространств представлений. Представление неприводимо, если операторы $\pi(\mathfrak{A})$ не имеют общего ненулевого инвариантного подпространства в $H$. Спектром $C^*$-алгебры $\mathfrak{A}$ называется множество $\widehat{\mathfrak{A}}$ классов эквивалентности ее неприводимых представлений. Класс эквивалентности (точку спектра), отвечающий представлению $\pi$, будем обозначать через $\widehat\pi$. Спектр снабжен канонической топологией Джекобсона [24], [25]. Изометрия алгебр $\mathrm{u}\colon \mathfrak{A}\to\mathfrak{B}$ определяет соответствие представлений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widehat{\mathfrak{A}}\ni\pi\to\mathrm{u}_*\pi\in\widehat{\mathfrak{B}}, \quad(\mathrm{u}_*\pi)(b):=\pi(\mathrm{u}^{-1}(b)), \qquad b\in\mathfrak{B}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
которое продолжается до канонического гомеоморфизма спектров:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widehat{\mathfrak{A}}\ni\widehat\pi\to\mathrm{u}_*\widehat\pi\in\widehat{\mathfrak{B}},\qquad \mathrm{u}_*\widehat\pi:=\{\mathrm{u}_*\pi\mid \pi\in\widehat\pi\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Предложение 5. Представления неприводимы; их классы эквивалентности исчерпывают спектр алгебры $C([a,b],\mathbb{M}^n)$. Для любого неприводимого представления $\pi$ алгебры $C([a,b],\mathbb{M}^n)$ существует единственная точка $t\in[a,b]$ такая, что $\pi\sim\pi_t$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\dot C([a,b]; \mathbb M^n):= \{\phi\in C([a,b]; \mathbb M^n)\mid \phi(a)\in \mathbb M_a,\, \phi(b)\in \mathbb M_b\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbb M_a,\mathbb M_b$ суть $C^*$-подалгебры $\mathbb M^n$, которые мы называем граничными. Из предложения 3 следует, что
$$
\begin{equation}
\mathbb M_a\cong\bigoplus_{k=1}^{n_a} \mathbb M^{\varkappa_k},\quad \varkappa_1+\dots+\varkappa_{n_a}\leqslant n; \qquad \mathbb M_b\cong\bigoplus_{k=1}^{n_b}\mathbb M^{\lambda_k},\quad \lambda_1+\dots+\lambda_{n_b}\leqslant n.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
В случае $\mathbb M_a=\mathbb M_b=\mathbb M^n$ имеем $\dot C([a,b]; \mathbb M^n)= C([a,b]; \mathbb M^n)$. Алгебры $\dot C([a,b]; \mathbb M^n)$ мы будем называть стандартными. Спектр стандартной алгебры состоит из классов $\widehat\pi_t$, $t\in(a,b)$, неприводимых представлений вида (4.3) и представлений $\widehat\pi_a$, $\widehat\pi_b$, которые могут оказаться приводимыми. Если, например, $n_a\geqslant 2$, то $\pi_a$ распадается на неприводимые представления
$$
\begin{equation*}
\pi_a^k\colon \phi(a)\mapsto [\phi(a)]^k\in\mathbb M^{\varkappa_k},
\end{equation*}
\notag
$$
где $[\,{\cdots}\,]^k$ есть $k$-й блок блочно-диагональной матрицы в представлениях (4.4). В этом случае мы говорим, что $\widehat\pi_a^1,\dots,\widehat\pi_a^{n_a}$ образуют кластер в спектре стандартной алгебры. Этот термин мотивирован тем, что они неотделимы друг от друга в топологии Джекобсона. Аналогичный кластер может иметься и на правом конце $t=b$. В то же время, все $\widehat\pi_t$ с разными $t\in(a,b)$ отделимы друг от друга и от кластеров (см. [7], [8]). Спектр алгебры $C([a,b]; \mathbb M^n)$ кластеров не содержит. Центральным объектом работы является алгебра эйконалов графа $\Omega$
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{E}^T_{\Sigma}:=\vee\{E^T_{\gamma}\mid \gamma\in\Sigma\}\subset\mathfrak{B}(L_2(\Omega))
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [7], [8]). Входящие в нее подалгебры
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{E}^T_{\gamma}:=\vee E^T_\gamma,\qquad \gamma\in\Sigma,
\end{equation*}
\notag
$$
мы называем парциальными. В рассмотрениях удобно использовать “смещенные” алгебры
$$
\begin{equation*}
\dot{\mathfrak{E}}^T_{\gamma}:=\vee \dot E^T_\gamma,\qquad\dot{\mathfrak{E}}^T_{\Sigma}:=\vee\{\dot E^T_{\gamma}\mid \gamma\in\Sigma\}= \vee\{\dot{\mathfrak{E}}^T_{\gamma}\mid \gamma\in\Sigma\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Переход от $\mathfrak{E}^T_{\gamma}$ к $\dot{\mathfrak{E}}^T_{\gamma}$ состоит в добавлении проектора $P^T_\gamma$, играющего роль единицы в $\dot{\mathfrak{E}}^T_{\gamma}$ (см. (3.11)), а алгебра $\mathfrak{E}^T_{\gamma}$ оказывается подалгеброй в $\dot{\mathfrak{E}}^T_{\gamma}$. Согласно функциональному исчислению самосопряженных операторов и в силу ортогональности проекторов $P^i_{\gamma \Phi}$ в (3.12) имеем
$$
\begin{equation}
\varphi(\dot E^T_\gamma)=\int_{\sigma_{\mathrm{ac}}(\dot E^T_\gamma)}\varphi(s)\,dP^s_\gamma =U^{-1}\biggl[\bigoplus\sum_{\Phi\subset\Pi_\Sigma}\sum_{i=1}^{n_{\gamma\Phi}} (\varphi\circ\dot\tau^i_{\gamma\Phi})P^i_{\gamma \Phi}\biggr]U
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
для $\varphi\in C(\sigma_{\mathrm{ac}}(\dot E^T_\gamma))$. Задаваемое первым равенством соответствие $\varphi(\dot E^T_\gamma)\leftrightarrow\varphi$ есть изометрия алгебр $\dot{\mathfrak{E}}^T_\gamma$ и $C(\sigma_{\mathrm{ac}}(\dot E^T_\gamma))$. Соглашение 2. Далее всюду, если не оговорено противное, мы имеем дело только со смещенными эйконалами и опускаем $(\,\dot{}\,)$ в относящихся к ним обозначениях: $\dot E^T_\gamma\equiv E^T_\gamma$, $\dot\tau^k_{\gamma l}\equiv\tau^k_{\gamma l}$, $\dot\psi^k_{\gamma l}\equiv\psi^k_{\gamma l}$, $\dot{\mathfrak{E}}^T_{\Sigma}\equiv\mathfrak{E}^T_{\Sigma}$ и так далее. 4.2. Представления и связи между блокамиИз (3.2) и (3.5) имеем представление
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{E}^T_\Sigma=\vee\left\{\bigoplus\sum_{\Phi\subset\Pi_\Sigma} E_\gamma\langle\Phi\rangle\,\,\bigg|\,\,\gamma\in\Sigma\right\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Параметризация (3.10) приводит к представлению
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mathfrak{E}^T_\Sigma &\cong U\mathfrak{E}^T_\Sigma U^{-1} \\ &\!\!\!\!\stackrel{(3.12)}{=} \vee\biggl\{\bigoplus\sum_{\Phi\subset\Pi_\Sigma}\sum_{i=1}^{n_{\gamma\Phi}} \tau^i_{\gamma\Phi}(\,{\cdot}\,) P^i_{\gamma\Phi}\biggm| \gamma\in\Sigma\biggr\}\subset\bigoplus_{\Phi\subset\Pi_\Sigma} C([0,\epsilon_\Phi],\mathbb{M}^{m_{\Phi}}) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
в виде операторной алгебры; ее элементы умножают функции из пространства представления
$$
\begin{equation}
\mathscr{R}^T_\Sigma:=\bigoplus\sum_{\Phi\subset\Pi_\Sigma} L_2([0,\epsilon_\Phi];{\mathbb R}^{m_{\Phi}})
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
на непрерывные матрицы-функции соответствующего вида. В более наглядной блочно-матричной записи представления (4.6) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag U\mathfrak{E}^T_\Sigma U^{-1} &= \vee\left\{\begin{pmatrix} {\displaystyle\sum_{i=1}^{n_{\gamma \Phi^1}} \tau^i_{\gamma \Phi^1}(\cdot_1) P^i_{\gamma \Phi^1}}\\ & \ddots\\ &&{\displaystyle\sum_{i=1}^{n_{\gamma \Phi^J}} \tau^i_{\gamma\Phi^J}(\cdot_J) P^i_{\gamma \Phi^J}} \end{pmatrix}\Biggm| \gamma\in\Sigma\right\} \\ &\subset \begin{pmatrix} C([0,\epsilon_1]; \mathbb{M}^{m_{\Phi^1}})\\ & \ddots\\ &&C([0,\epsilon_J]; \mathbb{M}^{m_{\Phi^J}} \end{pmatrix}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
здесь нулевые внедиагональные блоки опущены, $\Pi_\Sigma=\Phi^1\cup\dots \cup\Phi^J$. Обозначение $(\,\cdot_j)$ подчеркивает, что аргументы $r_j\in[0,\epsilon_j]$ у функций $\tau^i_{\gamma \Phi^j}$ суть разные в соответствии с представлением (4.7). Определим наборы проекторов $\mathbb P_{\Phi^j}:=\{P^i_{\gamma \Phi^j}\mid i=1,\dots,n_{\gamma \Phi^j};\, \gamma\in\Sigma\}$. Тогда с привлечением алгебр
$$
\begin{equation}
\mathfrak{P}_{\Phi^j}:=\vee\mathbb P_{\Phi^j}\subseteq\mathbb{M}^{m_{\Phi^j}}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
вложение в (4.8) уточняется следующим образом:
$$
\begin{equation}
U\mathfrak{E}^T_\Sigma{ U^{-1}}\subset\bigoplus_{j=1}^J C([0,\epsilon_j];\mathfrak{P}_{\Phi^j}).
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Как можно предвидеть из (4.8) и (4.10), описание структуры алгебры эйконалов сведется к установлению связи между ее блоками $[U\mathfrak{E}^T_\Sigma U^{-1}]_j(\,\cdot_j)$, отвечающими разным семействам $\Phi^j\subset\Pi_\Sigma$. Именно эти связи отличают $U\mathfrak{E}^T_\Sigma U^{-1}$ от алгебры в правой части (4.10), у которой блоки вполне независимы. Приводимая ниже лемма – шаг в изучении связей между блоками алгебры $U\mathfrak{E}^T_\Sigma{ U^{-1}}$. Определим проекторы
$$
\begin{equation*}
\mathcal P^i_{\gamma \Phi^j}{:=} \begin{pmatrix} O_1 \\ & \ddots\\ && P^i_{\gamma \Phi^j}\\ &&& \ddots\\ &&&& O_{\mathcal J} \end{pmatrix} {\in} \begin{pmatrix} \mathfrak{P}_{\Phi^1} \\ & \ddots\\ && \mathfrak{P}_{\Phi^j}\\ &&& \ddots\\ &&&& \mathfrak{P}_{ \Phi^J} \end{pmatrix} {=}\bigoplus_{j=1}^J \mathfrak{P}_{\Phi^j},
\end{equation*}
\notag
$$
где $O_k$ – нулевые матрицы соответствующей размерности. Как и $P^i_{\gamma \Phi^j}$, эти проекторы попарно ортогональны. Определим также “точки” $\mathbf{r}:=\{r_1,\dots ,r_J\}$ с координатами $r_j\in[0,\epsilon_j]$, матрицы
$$
\begin{equation}
(U{ E}^T_\gamma{ U^{-1}})(\mathbf{r}) :=\bigoplus\sum_{j=1}^J\sum_{i=1}^{n_{\gamma\Phi^j}}\tau^i_{\gamma \Phi^j}(r_j) P^i_{\gamma\Phi^j}=\sum_{j=1}^J\sum_{i=1}^{n_{\gamma\Phi^j}}\tau^i_{\gamma\Phi^j}(r_j) \mathcal P^i_{\gamma\Phi^j} \in\bigoplus_{j=1}^J \mathfrak{P}_{\Phi^j}
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
(см. (3.12)) и матричные алгебры
$$
\begin{equation*}
(U\mathfrak{E}^T_\Sigma U^{-1})(\mathbf{r}):=\vee \{(UE^T_\gamma U^{-1})(\mathbf{r})\mid \gamma\in\Sigma\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 2. Фиксируем $\gamma$, $i$, $j$. Пусть точки $\mathbf{r}$ и $\mathbf{r}'$ таковы, что их координаты удовлетворяют условиям $r_j\in(0,\epsilon_j)$ и ${r_j}\ne {r_j'}$. Тогда найдется элемент $e\in U\mathfrak{E}^T_\Sigma U^{-1}$, для которого выполнено $e(\mathbf{r})=\mathcal{P}^i_{\gamma j}$ и $e(\mathbf{r}')=O$. Доказательство. В силу попарной ортогональности проекторов в (4.11) при $\mathscr{U}\in\mathbb N$ имеем Как следствие, для полинома $q=q(t)=a_\nu t^\nu+\dots+a_1t$ выполнено По условию на координаты точек $\mathbf{r}$ и $\mathbf{r}'$ и свойству (2.19) в наборе число $\tau^i_{\gamma j}(r_j)$ встречается один раз. Выберем полином так, чтобы он обращался в $1$ при $t=\tau^i_{\gamma j}(r_j)$ и в $0$ во всех остальных точках набора. Для $e:=q(UE^T_\gamma U^{-1})$, очевидно, имеем $e(\mathbf{r})= \mathcal P^i_{\gamma j}$, $e(\mathbf{r}')=O$. Лемма доказана.Следствие 2. Если координаты точки $\mathbf{r}$ не принимают крайних значений, т. е. $r_j\notin\{0,\epsilon_j\}$ для всех $j$, то выполнено Если координаты таковы, что для фиксированного $j$ выполнено $0<a_j\leqslant r_j\leqslant b_j<\epsilon_j$, а остальные координаты произвольны, то справедливо соотношение Первое соотношение – прямое следствие утверждения леммы; второе легко выводится из первого с использованием предложения 4. Равенство (4.13) указывает на отсутствие связей между блоками $[U\mathfrak{E}^T_\Sigma U^{-1}]_j$ при принятых ограничениях на координаты. Если координаты точки $\mathbf{r}$ принимают крайние значения, то равенство (4.12), вообще говоря, нарушается: в матричной алгебре $[U\mathfrak{E}^T_\Sigma U^{-1}](\mathbf{r})$ появляются связи между ее блоками. Именно они отличают левую и правую части во вложении (4.10): у состоящей из стандартных алгебр правой части такие связи отсутствуют. Поясним это на примерах. Из определения и свойств функций $\tau^i_{\gamma \Phi^j}$ (см. (2.19)) следует, что равенства $\tau_{\gamma \Phi^j}^i(r_j)=\tau_{\gamma\Phi^{j'}}^{i'}(r_{j'})$ возможны только при крайних значениях координат, т. е. при $r_j\in\{0,\epsilon_j\}$ и $r_{j'}\in\{0,\epsilon_{j'}\}$. Пусть функции $\tau^i_{\gamma\Phi^j}$ таковы, что выполнено $\tau^i_{\gamma\Phi^j}(\epsilon_j)=\tau^{i+1}_{\gamma\Phi^j}(\epsilon_j)=\tau$. В этом случае $j$-й блок эйконала в (4.8) примет вид
$$
\begin{equation*}
\bigl[[UE^T_\gamma U^{-1}](\mathbf{r})\bigr]_j=\tau^1_{\gamma\Phi^j}(\epsilon_j) P^1_{\gamma \Phi^j}+\dots+\tau( P^i_{\gamma\Phi^j}+ P^{i+1}_{\gamma \Phi^j}) +\dots+\tau^{n_{\gamma\Phi^j}}_{\gamma \Phi^j}(\epsilon_j)P^{n_{\gamma\Phi^j}}_{\gamma \Phi^j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому в семейство образующих алгебры $[U\mathfrak{E}^T_\Sigma U^{-1}](\mathbf{r})$ проекторы $P^i_{\gamma \Phi^j}$ и $P^{i+1}_{\gamma \Phi^j}$ войдут не порознь, а в составе суммы $P^i_{\gamma \Phi^j}+ P^{i+1}_{\gamma \Phi^j}$ и, таким образом, число образующих уменьшится на $1$. Как следствие, возможно (и в содержательных случаях происходит) нарушение (4.12): вместо равенства гарантировано лишь вложение $[U\mathfrak{E}^T_\Sigma U^{-1}](\mathbf{r})\subset\bigoplus_{j=1}^J \mathfrak{P}_{\Phi^j}$. Аналогичным образом могут связываться проекторы, входящие в разные блоки. Пусть $\tau^i_{\gamma \Phi^j}$ таковы, что для каких-то разных $j$ и $j'$ выполнено $\tau^i_{\gamma\Phi^j}(\epsilon_j)=\tau^{i'}_{\gamma\Phi^{j'}}(\epsilon_{j'})=\tau$. В этом случае в (4.8) блоки с номерами $j$ и $j'$ примут вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bigl[[UE^T_\gamma U^{-1}](\mathbf{r})\bigr]_j &=\tau^1_{\gamma\Phi^j}(\epsilon_j) P^1_{\gamma \Phi^j}+\dots+\tau P^i_{\gamma\Phi^j} +\dots+\tau^{n_{\gamma\Phi^j}}_{\gamma \Phi^j}(\epsilon_j) P^{n_{\gamma\Phi^j}}_{\gamma \Phi^j}, \\ \bigl[[U\, E^T_\gamma U^{-1}](\mathbf{r})\bigr]_{j'} &=\tau^1_{\gamma \Phi^{j'}}(\epsilon_{j'})P^1_{\gamma \Phi^{j'}}+\dots+\tau P^{i'}_{\gamma \Phi^{j'}} +\dots+\tau^{n_{\gamma\Phi^{j'}}}_{\gamma\Phi^{j'}}(\epsilon_{j'}) P^{n_{\gamma\Phi^{j'}}}_{\gamma\Phi^{j'}} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и окажутся связанными (через проекторы $P^i_{\gamma \Phi^j}$ и $P^{i'}_{\gamma \Phi^{j'}}$), что также может привести к уменьшению числа образующих алгебры $[U\mathfrak{E}^T_\Sigma U^{-1}](\mathbf{r})$. 4.3. ПриводимостьАлгебры $\mathfrak{P}_{\Phi^j}$, определяемые наборами проекторов $\mathbb P_{\Phi^j}$ в (4.9), вообще говоря, приводимы: по предложению 3 имеем
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{P}_{\Phi^j} = \bigoplus_{k=1}^{q_j}\mathfrak{P}_{\Phi^j}^k,\qquad \mathfrak{P}_{\Phi^j}^k \cong \mathbb M^{\varkappa_{j,k}}, \quad \varkappa_{j,1}+\dots+ \varkappa_{j,q_k}\leqslant m_{\Phi^j}
\end{equation*}
\notag
$$
и вложение (4.10) принимает вид
$$
\begin{equation}
U\mathfrak{E}^T_\Sigma{ U^{-1}}\subset\bigoplus_{j=1}^J C\biggl([0,\epsilon_j];\bigoplus_{k=1}^{q_j}\mathfrak{P}_{\Phi^j}^k\biggr)= \bigoplus_{j=1}^J\bigoplus_{k=1}^{q_j}C([0,\epsilon_j];\mathfrak{P}_{\Phi^j}^k)
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
с неприводимыми $\mathfrak{P}_{\Phi^j}^k$. Ниже в алгебраической теореме 1 в числе прочих результатов будет установлено равенство
$$
\begin{equation}
\mathfrak{P}_{\Phi^j}^k = \vee \mathbb P_{\Phi^j}^k,
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
где $\mathbb P_{\Phi^j}^k$ суть некоторые поднаборы из $\mathbb P_{\Phi^j}$ такие, что
$$
\begin{equation}
\bigcup_{k=1}^{q_j} \mathbb P_{\Phi^j}^k=\mathbb P_{\Phi^j},\qquad \mathbb P_{\Phi^j}^k \cap \mathbb P_{\Phi^j}^{k'}=\varnothing\quad\text{при}\quad k\neq k'.
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Тем самым, приведение алгебры $U\mathfrak{E}^T_\Sigma{ U^{-1}}$ к сумме неприводимых блоков в (4.14) сведется к адекватной группировке проекторов внутри каждого из наборов $\mathbb P_{\Phi^j}$. При группировке удобно перейти к новой нумерации. Первым шагом является переход к сквозной нумерации алгебр, входящих в (4.14):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathfrak{P}_{\Phi^1}^1,\, \dots,\, \mathfrak{P}_{\Phi^1}^{q_1};\quad \mathfrak{P}_{\Phi^2}^1,\, \dots,\, \mathfrak{P}_{\Phi^2}^{q_2};\quad\dots;\quad \mathfrak{P}_{\Phi^J}^1,\, \dots,\, \mathfrak{P}_{\Phi^J}^{q_J} \\ &\qquad\Longrightarrow \mathfrak{P}_1,\, \dots,\, \mathfrak{P}_{q_1};\quad \mathfrak{P}_{q_1+1},\, \dots,\, \mathfrak{P}_{q_1+q_2};\quad \dots;\quad \mathfrak{P}_{q_1+s+q_{J-1}},\, \dots,\, \mathfrak{P}_L, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
где $L:={q_1+\dots+q_{J}}$. Аналогично (т. е. формальной заменой $\mathfrak{P}$ на $\mathbb P$ в (4.17)) перейдем от наборов $\mathbb P_{\Phi^j}^k$ к наборам $\mathbb P_{l}$, где $l=1,\dots, L$. Каждый набор $\mathbb P_{l}$, в свою очередь, можно разбить на поднаборы, отвечающие отдельным вершинам $\gamma\in\Sigma$:
$$
\begin{equation*}
\mathbb P_l=\bigcup_{\gamma\in\Sigma}\mathbb P_{l}^{\gamma},\qquad \mathbb P_{l}^{\gamma}:=\{P^i_{\gamma' \Phi^j}\in\mathbb P_{l}\mid \gamma'=\gamma\}=\{P^{i_1}_{\gamma\Phi^j},\dots,P^{i_{n_{\gamma l}}}_{\gamma \Phi^j}\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $n_{\gamma l}:=\#\mathbb P_{l}^{\gamma}$. Наконец, перенумеруем проекторы внутри каждого $\mathbb P_{l}^{\gamma}$:
$$
\begin{equation*}
P^{i_1}_{\gamma \Phi^j},\ \dots,\ P^{i_k}_{\gamma \Phi^j},\ \dots,\ P^{i_{n_{\gamma l}}}_{\gamma \Phi^j}\quad \Longrightarrow\quad P^1_{\gamma l},\ \dots,\ P^{k}_{\gamma l},\ \dots,\ P^{n_{\gamma l}}_{\gamma l},
\end{equation*}
\notag
$$
а с ними – функции $\tau_{\gamma \Phi^j}^i$ и проекторы $\mathcal P_{\gamma \Phi^j}^i$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\tau^{i_1}_{\gamma \Phi^j},\, \dots,\, \tau^{i_k}_{\gamma \Phi^j},\,\dots,\, \tau^{i_{n_{\gamma l}}}_{\gamma \Phi^j};\quad \mathcal P^{i_1}_{\gamma \Phi^j},\, \dots,\, \mathcal P^{i_k}_{\gamma \Phi^j},\, \dots,\, \mathcal P^{i_{n_{\gamma l}}}_{\gamma \Phi^j} \\ &\qquad\Longrightarrow \tau^1_{\gamma l},\, \dots,\, \tau^{k}_{\gamma l},\, \dots,\, \tau^{{n_{\gamma l}}}_{\gamma l};\quad \mathcal P^1_{\gamma l},\, \dots,\, \mathcal P^{k}_{\gamma l},\, \dots,\, \mathcal P^{{n_{\gamma l}}}_{\gamma l}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В новой нумерации вложение (4.14) запишется в форме
$$
\begin{equation}
U\mathfrak{E}^T_\Sigma{ U^{-1}}\subset\bigoplus_{l=1}^{L} C([0,\varepsilon_l];\mathfrak{P}_{l}),
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
где $\varepsilon_1=\dots =\varepsilon_{q_1}=\epsilon_1$; $\varepsilon_{q_1+1}=\dots =\varepsilon_{q_1+q_2}=\epsilon_2$; $\dots$, а представление эйконалов (3.10) и соотношение (4.12) примут согласованный с (4.18) вид
$$
\begin{equation}
UE^T_\gamma U^{-1}= \bigoplus\sum_{l=1}^L \biggl[\sum_{k=1}^{n_{\gamma l}}\tau^k_{\gamma l} P^k_{\gamma l}\biggr] =\sum_{l=1}^L \biggl[\sum_{k=1}^{n_{\gamma l}}\tau^k_{\gamma l} \mathcal P^k_{\gamma l}\biggr]
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
и
$$
\begin{equation*}
(U\mathfrak{E}^T_\Sigma U^{-1})(\mathbf{r})=\bigoplus_{l=1}^L \mathfrak{P}_l,
\end{equation*}
\notag
$$
где координаты точки $\mathbf{r} = \{r_1,\dots,r_{L}\}$ не принимают крайних значений. Отметим, что именно при смене нумерации становится необходимым использовать индекс $\gamma$ для функций $\tau^i_\Phi$ (см. (2.26)). Это связано с тем, что исходные равные функции $\tau_{\gamma \Phi^j}^i=\tau_{\gamma'\Phi^j}^i $ для фиксированного семейства $\Phi^j$ могут соответствовать проекторам $P_{\gamma \Phi^j}^i$ и $P_{\gamma'\Phi^j}^i$, которые после смены нумерации оказываются в разных блоках $\mathfrak{P}_l$ и $\mathfrak{P}_{l'}$. Как показывают следствие 2 и последующие комментарии, связи между блоками алгебры $U\mathfrak{E}^T_\Sigma{ U^{-1}}$ возможны только на границах интервалов $[0,\varepsilon_j]$. Для детального описания этих связей удобно использовать следующий формализм. Фиксируем вершину $\gamma\in\Sigma$ и рассмотрим набор $(k,l,r_l)$, отвечающий значению $\tau_{\gamma l}^k(r_l)$ функции $\tau_{\gamma l}^k$. Скажем, что наборы $(k,l,r_l)$ и $(k',l',r_{l'})$ связаны и будем писать $(k,l,r_l)\leftrightarrow (k',l',r_{l'})$, если выполнено $\tau_{\gamma l}^k(r_l)=\tau_{\gamma l'}^{k'}(r_{l'})$. По свойствам (2.19) и (2.20) такие равенства возможны только при крайних значениях параметров $r_l\in\{0,\varepsilon_l\}$ и $r_{l'}\in\{0,\varepsilon_{l'}\}$; в приводимом ниже предложении фигурируют только такие значения. Эти же свойства ведут к следующим свойствам связи $\leftrightarrow$. Предложение 6. Для заданного набора $(k,l,r_l)$ выполняется одно и только одно из следующих условий: В соответствии с предложением 6 условимся разделять наборы $(k,l,r_l)$ на соответствующие типы $\mathbf 1$, $\mathbf 2$ и $\mathbf 3$. Лемма 3. Пусть $\mathbf{r}=\{r_1,\dots, r_l,\dots,r_\mathcal L\}$, $r_l\in\{0,\varepsilon_l\}$. 1. Если $(k,l,r_l)\in \mathbf 1$, то для любого $\widetilde{\mathbf{r}}$ с координатой $\widetilde r_{l}\neq r_l$ существует элемент $e\in U\mathfrak{E}^T_\Sigma U^{-1}$ такой, что выполнено
$$
\begin{equation*}
e(\mathbf{r})={\mathcal P}^k_{\gamma l},\qquad e(\widetilde{\mathbf{r}})=O.
\end{equation*}
\notag
$$
2. Если $(k,l,r_l)\in \mathbf{2}$ и $(k,l,r_l)\leftrightarrow(k',l,r_l)$, то для любого $\widetilde{\mathbf{r}}$ с $\widetilde r_{l}\neq r_l$ существует элемент $e\in U\mathfrak{E}^T_\Sigma U^{-1}$ такой, что выполнено
$$
\begin{equation*}
e(\mathbf{r})={\mathcal P}^k_{\gamma l}+{\mathcal P}^{k'}_{\gamma l},\qquad e(\widetilde{\mathbf{r}})=O.
\end{equation*}
\notag
$$
3. Если $(k,l,r_l)\,{\in}\, \mathbf 3$ и $(k,l,r_l)\,{\leftrightarrow}\,(k',l',r_{l'})$, то для $\mathbf{r}\,{=}\,\{r_1,\dots, r_l,\dots,r_{l'},\dots,r_\mathcal L\}$ и любого $\widetilde{\mathbf{r}}$ с координатами $\widetilde r_{j}\neq r_j$, $ \widetilde r_{j'}\neq r_{j'}$ существует элемент $e\in U\mathfrak{E}^T_\Sigma U^{-1}$ такой, что выполнено Доказательство вполне аналогично доказательству леммы 2: как и последнее, оно сводится к выбору подходящего полинома $q$. Причина “склейки” проекторов в суммы та же, что и в рассмотренных ниже примерах следствия 2. Как отмечалось, отличие алгебры $U\mathfrak{E}^T_\Sigma U^{-1}$ от $\bigoplus_{l=1}^L C([0,\varepsilon_l];\mathfrak{P}_l)$ состоит в возможных связях между блоками матричной алгебры $(U\mathfrak{E}^T_\Sigma U^{-1})(\mathbf{r})$, которые могут появиться, когда координаты $r_l$ принимают крайние значения. Для изучения связей будет использована граничная алгебра
$$
\begin{equation}
\partial (U\mathfrak{E}^T_\Sigma U^{-1}):=\bigl\{ e(\mathbf{0})\oplus e(\boldsymbol{\varepsilon})\bigm| e\in U\mathfrak{E}^T_\Sigma U^{-1}\bigr\} \subset \biggl[ \bigoplus_{l=1}^L \mathfrak{P}_l\biggr]\oplus\biggl[ \bigoplus_{l=1}^L \mathfrak{P}_l\biggr],
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
где $\mathbf{0}=\{0,\dots,0\}$ и $\boldsymbol{\varepsilon}=\{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_L\}$. Для их описания сначала рассмотрим результаты общего характера, касающиеся структуры матричных алгебр типа $\bigoplus_{l=1}^L \mathfrak{P}_l$. 4.4. Алгебры, образованные одномерными проекторамиПусть в гильбертовом пространстве $\mathscr{G}$ со скалярным произведением $\langle\,{\cdot}\,,{\cdot}\,\rangle$ задан набор одномерных проекторов $P^1,\dots,P^n: P^i=\langle\,{\cdot}\,,\beta^i\rangle\beta^i$, где $\|\beta^i\|=1$; обозначим
$$
\begin{equation*}
\mathscr A:=\operatorname{span}\{\beta^1,\dots,\beta^n\},\qquad \mathfrak P:=\vee\{P^1,\dots,P^n\}\subset\mathfrak{B}(\mathscr{G}).
\end{equation*}
\notag
$$
На наборе $B:=\{\beta^1,\dots,\beta^n\}$ введем отношение $\beta^i\sim_0\beta^{i'}$, если $\langle\beta^i,\beta^{i'}\rangle\neq 0$. Оно определяет эквивалентность $\beta^i\sim\beta^{i'}$, если найдутся векторы $\beta^{i_1},\dots,\beta^{i_k}$ такие, что $\beta^i \sim_0\beta^{i_1}\sim_0 \cdots\sim_0\beta^{i_k}\sim_0 \beta^{i'}$. Перенесем эту эквивалентность на проекторы, приняв $P^i\sim P^{i'}$, если $\beta^i\sim\beta^{i'}$. Пусть $B=B_1\,{\cup}\,{\cdots}\,{\cup}\, B_q$ есть разбиение на классы эквивалентности; обозначим $\mathscr A_k:=\operatorname{span}B_k$. Из определения отношения $\sim$ следует $\mathscr A_k\perp \mathscr A_l$ при $k\neq l$. Таким образом, имеем разложение $\mathscr A=\mathscr A_1\oplus\dots\oplus \mathscr A_q$, которое, очевидно, приводит все проекторы $P^i$. Предложение 7. Алгебра $\mathfrak P$ приводится подпространствами $\mathscr A_k$, причем справедливо разложение где $\mathfrak P|_{\mathscr{A}_k}\cong\mathbb{M}^{\varkappa_k}$, $\varkappa_k=\operatorname{dim}\mathscr A_k$. Приводимость очевидна; равенство для размерности следует из того, что любой $\beta^i\in\mathscr A_k$ является циклическим в $\mathscr A_k$ для части $\mathfrak{P}|_{\mathscr A_k}$. Для приведения $\mathfrak P$ к виду (4.21) можно воспользоваться процедурой (2.11), (2.12). Следующие рассмотрения моделируют ситуацию, которая встретится при изучении алгебры эйконалов. А именно, в абстрактной форме обсуждаются возможные связи между ее блоками в представлении (4.8). Пусть имеются три гильбертовых пространства $\mathscr{G}_k$, $k=1,2,3$, в каждом из которых задан набор одномерных проекторов $P^1_k,\dots,P^{n_k}_k\colon P^i_k=\langle\,{\cdot}\,,\beta^i_k\rangle\beta^i_k$, $\|\beta^i_k\|=1$, где $\beta^i_k$ суть векторы из наборов
$$
\begin{equation*}
B_k:=\{\beta^i_k\mid i=1,\dots,{n}_k\}\subset \mathscr{G}_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Проекторы порождают алгебры
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{P}_1=\vee\{P^1_1,\dots,P_1^{n_1}\},\qquad \mathfrak{P}_2=\vee\{P_2^1,\dots,P_2^{n_2}\},\qquad \mathfrak{P}_3=\vee\{P_3^1,\dots,P_3^{n_3}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Составим алгебру
$$
\begin{equation}
\mathfrak{P} := \mathfrak{P}_1\oplus\mathfrak{P}_2\oplus\mathfrak{P}_3 \subset\mathfrak{B}(\mathscr{G}_1\oplus \mathscr{G}_2\oplus\mathscr{G}_3)
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
(подалгебру алгебры ограниченных операторов, действующих в пространстве $\mathscr{G}_1\oplus\mathscr{G}_2\oplus\mathscr{G}_3$) с образующими
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal{P}_1^i:=P_1^i \oplus O_2 \oplus O_3,\qquad i=1,\dots,n_1, \\ \mathcal{P}_2^i:= O_1\oplus P^i_2\oplus O_3, \qquad i=1,\dots,n_2, \\ \mathcal{P}_3^i:= O_1\oplus O_2 \oplus P^i_3,\qquad i=1,\dots,n_3, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
где $O_k$ – нулевой оператор, действующий в $k$-й компоненте пространства $\mathscr{G}_1\oplus\mathscr{G}_2\oplus\mathscr{G}_3$. Об алгебрах $\mathfrak{P}_k$ в (4.22) будем говорить как о блоках алгебры $\mathfrak{P}$. Заметим, что в текущих рассмотрениях, грубо говоря, алгебры $\mathfrak{P}_1$ и $\mathfrak{P}_2$ отвечают какой-то паре выделенных блоков в (4.8), а $\mathfrak{P}_3$ – “все остальное”. Скажем, что алгебра $\mathfrak{Q}\subset\mathfrak{P}$ разделяет (не связывает) блоки $\mathfrak{P}_1$ и $\mathfrak{P}_2$ в (4.22), если вместе с любым элементом $q_1\oplus q_2\oplus q_3\in\mathfrak{Q}$ в ней содержатся элементы $q_1\oplus O_2\oplus q_3'$ и $O_1\oplus q_2\oplus q_3''$, где $q_3'$, $q_3''$ – некоторые элементы $\mathfrak{P}_3$. В противном случае будем говорить, что она эти блоки связывает. Аналогично определяется связь (или ее отсутствие) для любой пары блоков в (4.22). Отметим очевидный факт: если алгебра $\mathfrak{Q}$ допускает систему образующих, каждая из которых имеет вид либо $q_1\oplus O_2\oplus q_3'$, либо $O_1\oplus q_2\oplus q_3''$, то она разделяет блоки $\mathfrak{P}_1$ и $\mathfrak{P}_2$. Пусть
$$
\begin{equation}
\mathbb P:=\{\mathcal{P}_k^i\mid i=1,\dots,{n}_k;\, k=1,2,3\}
\end{equation}
\tag{4.24}
$$
есть полный набор образующих алгебры $\mathfrak{P}$. Зададим на нем отображение (инволюцию) $\mathcal{T}\colon \mathbb P\to\mathbb P$ такое, что если $\mathcal{T}(\mathcal{P}_k^i)=\mathcal{P}_{k'}^{i'}$, то $\mathcal{T}(\mathcal{P}_{k'}^{i'})=\mathcal{P}_{k}^i$, а также выполнено одно (и только одно) из условий:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{T}(\mathcal{P}_k^i)=\mathcal{P}_k^i\quad\text{или}\quad \mathcal{T}(\mathcal{P}_k^i)\mathcal{P}_k^i=\mathcal{P}_k^i\mathcal{T}(\mathcal{P}_k^i)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Это отображение определяет разбиение множества $\mathbb{P}$ на пары $\{\mathcal P,\mathcal T(\mathcal P)\}$, причем компоненты в каждой из пар либо совпадают, либо ортогональны друг другу. Видно, что такие $\mathcal{T}$ найдутся, причем во множественном числе. Однако в алгебре эйконалов отображение $\mathcal{T}$ окажется вполне конкретным и будет определяться значениями функций $\tau^k_{\gamma l}(r)$ при $r=0$ и $r=\varepsilon$. По данному отображению определим проекторы $\mathcal{Q}_k^i$:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Q}_k^i := \begin{cases} \mathcal{P}_k^i, &\text{если }\mathcal{T}(\mathcal{P}_k^i)=\mathcal{P}_k^i, \\ \mathcal{P}_k^i+\mathcal{T}(\mathcal{P}_k^i), &\text{если } \mathcal{T}(\mathcal{P}_k^i)\mathcal{P}_k^i=0, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
среди которых могут быть совпадающие. Если $\mathcal{T}$ не тождественно, то за счет совпадений их общее число, очевидно, будет меньше $n_1+n_2+n_3$. Образуем алгебру
$$
\begin{equation}
\mathfrak{Q}:=\vee\{\mathcal{Q}_k^i\mid i=1,\dots,{n}_k;\,k=1,2,3\}\subset \mathfrak{P}.
\end{equation}
\tag{4.25}
$$
Она определяется отображением $\mathcal T$. В то же время, разным допустимым $\mathcal T$ и $\mathcal T'$ может отвечать одна и та же алгебра $\mathfrak{Q}$. Этот факт используется ниже в доказательстве теоремы 1. Далее обсуждается вопрос о том, при каких условиях введенная таким образом алгебра $\mathfrak{Q}$ разделяет или связывает блоки $\mathfrak{P}_1$ и $\mathfrak{P}_2$. Разобьем определенный в (4.24) набор проекторов $\mathbb{P}$ на части $\mathbb{P}_k:=\{\mathcal{P}_k^i\mid i=1,\dots,{n}_k\}$, $k=1,2,3$. Каждой части сопоставим матрицы
$$
\begin{equation*}
G(\mathbb P_k):=\{\|\mathcal{P}^i_k\mathcal{P}^j_k\|\}_{i,j=1}^{n_k}= \begin{pmatrix} \|\mathcal{P}^1_k\mathcal{P}^1_k\| &\cdots &\|\mathcal{P}^1_k\mathcal{P}^{n_k}_k\| \\ \vdots & \ddots &\vdots\\ \|\mathcal{P}^{n_k}_k\mathcal{P}^1_k\| & \cdots & \|\mathcal{P}^{n_k}_k\mathcal{P}^{n_k}_k\| \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
и ${G}(\mathcal{T}(\mathbb{P}_k))=\{\|\mathcal T(\mathcal{P}^i_k)\mathcal T(\mathcal{P}^j_k)\|\}_{i,j=1}^{n_k}$. Пусть
$$
\begin{equation*}
B:=\{\beta^i_k\mid i=1,\dots,{n}_k;\,k=1,2,3\} = B_1\cup B_2\cup B_3,\qquad B_k=\{\beta^i_k\mid i=1,\dots,{n}_k\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу очевидных равенств и $\|\mathcal{P}^i_k\,\mathcal{P}^j_{k}\|=|\langle\beta^i_k,\beta^j_{k}\rangle|$ имеем
$$
\begin{equation*}
G(\mathbb{P}_k)= \begin{pmatrix} |\langle\beta_k^1,\beta_k^1\rangle| &\cdots &|\langle\beta_k^1,\beta_k^{{n}_k}\rangle| \\ \vdots & \ddots &\vdots\\ |\langle\beta_k^{{n}_k},\beta_k^1\rangle| & \cdots & |\langle\beta_k^{{n}_k},\beta_k^{{n}_k}\rangle| \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следующий результат о связи блоков используется ниже при изучении структуры алгебры эйконалов. Теорема 1. Пусть блоки $\mathfrak{P}_1$ и $\mathfrak{P}_2$ алгебры (4.22) таковы, что каждый из отвечающих им наборов $B_1$ и $B_2$ является классом эквивалентности по отношению $\sim$. Тогда алгебра $\mathfrak{Q}$ может связывать $\mathfrak{P}_1$ и $\mathfrak{P}_2$ только в том случае, если Доказательство. 1. Для $k,k'=1,2,3$, $k'\neq k$, положим
$$
\begin{equation*}
\mathbb{Q}_{k k'}:= \{\mathcal{Q}_k^i=\mathcal{P}_k^i+\mathcal{T}(\mathcal{P}_k^i)\mid \mathcal{T}(\mathcal{P}_k^i)\in\mathbb P_{k'}\}
\end{equation*}
\notag
$$
и отметим следующее из инволютивности $\mathcal T$ равенство:
$$
\begin{equation*}
\mathbb{Q}_{k' k} = \{\mathcal{Q}_{k'}^{i'}=\mathcal{P}_{k'}^{i'}+\mathcal{T}(\mathcal{P}_{k'}^{i'})\mid \mathcal{T}(\mathcal{P}_{k'}^{i'})\in\mathbb P_{k}\} = \mathbb{Q}_{k k'}.
\end{equation*}
\notag
$$
При $k=k'=1,2,3$ примем
$$
\begin{equation*}
\mathbb{Q}_{k k}:= \Biggl\{\mathcal{Q}_k^i= \begin{cases} \mathcal{P}_k^i+\mathcal{T}(\mathcal{P}_k^i), &\text{если }\mathcal{P}_k^i\ne \mathcal{T}(\mathcal{P}_k^i)\in\mathbb P_{k}, \\ \mathcal{P}_k^i, &\text{если }\mathcal{P}_k^i=\mathcal{T}(\mathcal{P}_k^i), \end{cases}\Biggm| i=1,\dots,n_k\Biggr\}\Biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, все $\mathbb{Q}_{k k'}$ состоят из одномерных и двумерных проекторов, а алгебра $\mathfrak{Q}$ представляется в виде
$$
\begin{equation}
\mathfrak{Q}=\vee[\mathbb{Q}_{11}\cup\mathbb{Q}_{22}\cup\mathbb{Q}_{33}\cup\mathbb{Q}_{12} \cup\mathbb{Q}_{13}\cup\mathbb{Q}_{23}].
\end{equation}
\tag{4.26}
$$
Из вида проекторов (4.23) легко усмотреть, что связывать блоки $\mathfrak{P}_1$ и $\mathfrak{P}_2$ алгебра $\mathfrak{Q}$ может только при условии $\mathbb{Q}_{12}\neq \varnothing$; в противном случае она их разделяет. 2. Предположим, что алгебра $\mathfrak{Q}$ допускает представление
$$
\begin{equation}
\mathfrak{Q}=\vee [\mathbb{Q}_{11}'\cup\mathbb{Q}_{22}'\cup\mathbb{Q}_{33}\cup\mathbb{Q}_{13}\cup \mathbb{Q}_{23}],
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathbb{Q}_{11}':=\mathbb{Q}_{11}\cup\,\{\mathcal{P}_1^i\mid \mathcal{P}_1^i+\mathcal T(\mathcal{P}_1^i)\in\mathbb{Q}_{12}\},\qquad \mathbb{Q}_{22}':=\mathbb{Q}_{22}\cup\,\{\mathcal{P}_2^i\mid \mathcal{P}_2^i+\mathcal T(\mathcal{P}_2^i)\in\mathbb{Q}_{12}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда она разделяет блоки $\mathfrak{P}_1$ и $\mathfrak{P}_2$. В самом деле, в этом случае в алгебру $\mathfrak{Q}$ вместе с элементами $\mathcal Q^i_1=\mathcal{P}_1^i+\mathcal T(\mathcal{P}_1^i)$ и $\mathcal Q^i_2=\mathcal{P}_2^i+\mathcal T(\mathcal{P}_2^i)$ порознь войдут все проекторы $\mathcal{P}_1^i={P}^i_1\oplus O_2\oplus O_3$ и $\mathcal{P}_2^i=O_1\oplus{P}^i_2\oplus O_3$. Вводя их в число образующих алгебры ${\mathfrak{Q}}$ вместо элементов из $\mathbb Q_{12}$, легко убедиться в том, что разделение имеет место. Здесь поясним следующее. Определение отображения $\mathcal T$ исключает одновременное присутствие элементов $\mathcal Q^i_k=\mathcal P^i_k+\mathcal T(\mathcal P^i_k)$ и $\mathcal P^i_k$ в списке образующих $\{\mathcal{Q}_k^i\mid i=1,\dots,{n}_k;\,k=1,2,3\}$ алгебры $\mathfrak Q$ (см. (4.25)). Тем не менее, содержаться в самой алгебре они вполне могут. Это соответствует возможности заменить $\mathcal T$ на другое отображение $\mathcal T'\colon \mathbb{P}\to\mathbb P$ так, чтобы отвечающая ему алгебра $\mathfrak Q'$ совпала с исходной $\mathfrak Q$. 3. Покажем, что если
$$
\begin{equation*}
\mathbb{Q}_{11}\cup\mathbb{Q}_{13}\cup\mathbb{Q}_{22}\cup\mathbb{Q}_{23}\neq \varnothing,
\end{equation*}
\notag
$$
то для алгебры $\mathfrak{Q}$ справедливо представление (4.27) и, следовательно, она разделяет блоки $\mathfrak{P}_1$ и $\mathfrak{P}_2$. Последующие рассмотрения в силу равнозначности $\mathfrak{P}_1$ и $\mathfrak{P}_2$ вполне аналогичны для частей $\mathbb{Q}_{11}\cup\mathbb{Q}_{13}$ и $\mathbb{Q}_{22}\cup\mathbb{Q}_{23}$. Проведем их для случая $\mathbb{Q}_{11}\cup\mathbb{Q}_{13}\neq\varnothing$. При этом имеем $\mathbb{Q}_{12}\ne \varnothing$, ибо в противном случае блоки $\mathfrak{P}_1$ и $\mathfrak{P}_2$ заведомо разделены. Каждый элемент $\mathcal{Q}_1^i\in\mathbb{Q}_{11}\cup\mathbb{Q}_{12}\cup\mathbb{Q}_{13}$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathcal{Q}_1^i:=\begin{cases} \mathcal{P}_1^i+\mathcal{T}(\mathcal{P}_1^i), &\text{если } \mathcal{T}(\mathcal{P}_1^i)\neq\mathcal{P}_1^i, \\ \mathcal{P}_1^i, &\text{если } \mathcal{T}(\mathcal{P}_1^i)= \mathcal{P}_1^i. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
Каждому вектору $\beta_1^i$ из набора $B_1$ отвечает проектор $\mathcal{P}_1^i=P_1^i \oplus O_2\oplus{O}_3=\langle\,{\cdot}\,,\beta^i_1\rangle\beta^i_1\oplus O_2 \oplus O_3$, который, в свою очередь, определяет соответствующий проектор $\mathcal{Q}_1^i$ вида (4.28). Это позволяет определить отображение $\mathbf{b}\colon B_1\to \mathbb{Q}_{11}\cup\mathbb{Q}_{12}\cup\mathbb{Q}_{13}$ по правилу Заметим, что если $\mathcal{Q}_1^i=\mathcal P^i_1+\mathcal T(\mathcal P^i_1)=\mathcal P^i_1+\mathcal P^{i'}_1\in\mathbb{Q}_{11}$, то имеются два вектора $\beta_1^i$, $\beta_1^{i'}$ таких, что $\mathbf{b}(\beta_1^i)=\mathbf{b}(\beta_1^{i'})=\mathcal{Q}_1^i=\mathcal{Q}_1^{i'}$. Далее под $\mathbf{b}^{-1}(\,\cdot\,)$ понимается полный прообраз. По условиям леммы $B_1$ есть класс эквивалентности по отношению $\sim$. Из условия $\mathbb{Q}_{11}\cup\mathbb{Q}_{13}\neq \varnothing$ следует, что найдется пара векторов $\beta_1^i\in\mathbf{b}^{-1}(\mathbb{Q}_{12})$ и $\beta_1^{i'}\in\mathbf{b}^{-1}(\mathbb{Q}_{11}\cup\mathbb{Q}_{13})$ таких, что $\langle\beta_1^i,\beta_1^{i'}\rangle\neq 0$. В самом деле, отсутствие такой пары означало бы, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{span}B_1=\operatorname{span}\mathbf{b}^{-1}(\mathbb Q_{12})\oplus\,\operatorname{span}\mathbf{b}^{-1}(\mathbb Q_{11}\cup\mathbb Q_{13}),
\end{equation*}
\notag
$$
что невозможно по определению эквивалентности $\stackrel{*}{\sim}$. Выбранная пара векторов определяет проекторы $\mathcal{Q}_1^i= \mathcal P^i_1+\mathcal T(\mathcal P^i_1)=\mathbf{b}(\beta^i_1)\in\mathbb Q_{12}$ и $\mathcal{Q}_1^{i'}= \mathbf{b}(\beta^{i'}_1)\in\mathbb{Q}_{11}\cup\mathbb{Q}_{13}$, а с ними и элемент
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal{Q}}_1^i:= \mathcal{Q}_1^i\mathcal{Q}_1^{i'}\mathcal{Q}_1^i\in \mathfrak{Q}.
\end{equation*}
\notag
$$
В соответствии с (4.22) имеем представления
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal{Q}_1^i = (\mathcal{Q}_1^i)_1\oplus(\mathcal{Q}_1^i)_2 \oplus (\mathcal{Q}_1^i)_3,\qquad \mathcal{Q}_1^{i'} = (\mathcal{Q}_1^{i'})_1\oplus(\mathcal{Q}_1^{i'})_2 \oplus (\mathcal{Q}_1^{i'})_3, \\ \widetilde{\mathcal{Q}}_1^i = (\widetilde{\mathcal{Q}}_1^i)_1 \oplus(\widetilde{\mathcal{Q}}_1^i )_2 \oplus (\widetilde{\mathcal{Q}}_1^i )_3, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $(\mathcal{Q}_1^i)_k,(\mathcal{Q}_1^{i'})_k,(\widetilde{\mathcal{Q}}_1^i)_k\in\mathfrak{P}_k$, $k=1,2,3$; при этом выполнено
$$
\begin{equation*}
(\widetilde{\mathcal{Q}}_1^i)_k = (\mathcal{Q}_1^i)_k(\mathcal{Q}_1^{i'})_k(\mathcal{Q}_1^i)_k, \qquad k=1,2,3.
\end{equation*}
\notag
$$
По выбору вектора $\beta^i_1$ имеем $\mathcal{Q}_1^i=\mathbf{b}(\beta^i_1)\in\mathbb{Q}_{12}$. Поэтому $(\mathcal{Q}_1^i)_3=O_3$, а значит, и $(\widetilde{\mathcal{Q}}_1^i)_3=O_3$. Аналогично, если $\mathcal{Q}_1^{i'}\in\mathbb{Q}_{11}\cup\mathbb{Q}_{13}$, то $(\mathcal{Q}_1^{i'})_2=O_2$, а значит, и $(\widetilde{\mathcal{Q}}_1^i)_2=O_2$. Таким образом, ненулевой может быть только компонента $(\widetilde{\mathcal{Q}}_1^i)_1$. В этой ситуации имеются две возможности. 1) Пусть $\mathcal{Q}_1^{i'}\in\mathbb{Q}_{13}$. Тогда $(\mathcal{Q}_1^{i'})_1= P_1^{i'}$ и $(\mathcal{Q}_1^i)_1= P_1^i$, а $(\widetilde{\mathcal{Q}}_1^i)_1$ имеет вид
$$
\begin{equation}
(\widetilde{\mathcal{Q}}_1^i)_1 = P_1^i P_1^{i'}P_1^i = \langle\beta_1^i,\beta_1^{i'}\rangle^2 P_1^i.
\end{equation}
\tag{4.29}
$$
2) Пусть теперь $\mathcal{Q}_1^{i'}\in\mathbb{Q}_{11}$. Если $\mathcal{Q}_1^{i'}=\mathcal{P}_1^{i'} $, то рассмотрения, вполне аналогичные приведенным выше, ведут к тому же равенству (4.29). Рассмотрим случай, когда $\mathcal{Q}_1^{i'}=\mathcal{P}_1^{i'} + \mathcal{T}(\mathcal{P}_1^{i'})$, причем $\mathcal{T}(\mathcal{P}_1^{i'})= \mathcal{P}_1^j\in\mathbb{P}_1$ и $\mathcal{P}_1^j\mathcal{P}_1^{i'}=O_1$. Проектору $\mathcal{P}_1^j$ соответствует вектор $\beta_1^j\in B_1$. Тогда $(\widetilde{\mathcal{Q}}_1^i)_1$ имеет вид
$$
\begin{equation}
(\widetilde{\mathcal{Q}}_1^i)_1 = P_1^i (P_1^{i'}+P_1^j)P_1^i = [\langle\beta_1^i,\beta_1^{i'}\rangle^2+\langle\beta_1^i,\beta_1^j\rangle^2]P_1^i.
\end{equation}
\tag{4.30}
$$
Сопоставляя (4.29) с (4.30), приходим к соотношению
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal{Q}}_1^i = c \mathcal{P}_1^i,\qquad c\geqslant\langle\beta_1^i,\beta_1^{i'}\rangle^2>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Это значит, что в алгебру $\mathfrak{Q}$ по-отдельности входят проекторы $\mathcal{P}_1^i\in\mathbb{P}_1$ и $\mathcal{T}(\mathcal{P}_1^i)\in\mathbb{P}_2$. Об этом результате скажем, что проектор $\mathcal Q_1^i=\mathcal{P}_1^i+\mathcal{T}(\mathcal{P}_1^i)$ распался на независимые (в алгебре ${\mathfrak{Q}}$) одномерные части $\mathcal{P}_1^i$ и $\mathcal{T}(\mathcal{P}_1^i)$. Далее рассмотрим отображение $\mathcal T'\colon {\mathbb P}\to\mathbb P$, отличающееся от $\mathcal{T}$ значениями только на двух проекторах $\mathcal{P}_1^i$ и $\mathcal{T}(\mathcal{P}_1^i)$, и положим
$$
\begin{equation*}
\mathcal{T}'(\mathcal{P}_1^i):=\mathcal{P}_1^i,\qquad \mathcal{T}'(\mathcal{T}(\mathcal{P}_1^i)):=\mathcal{T}(\mathcal{P}_1^i).
\end{equation*}
\notag
$$
При этом алгебры $\mathfrak{Q}$ и $\mathfrak{Q}'$, определенные отображениями $\mathcal{T}$ и $\mathcal{T}'$, очевидно совпадают, а для $\mathfrak{Q}'$ справедливо свое представление вида (4.26):
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{Q}'=\vee[\mathbb{Q}_{11}'\cup\mathbb{Q}_{22}'\cup\mathbb{Q}_{33}'\cup\mathbb{Q}_{12}' \cup\mathbb{Q}_{13}'\cup\mathbb{Q}_{23}']=\mathfrak{Q},
\end{equation*}
\notag
$$
причем его связь с (4.26) такова:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbb{Q}_{11}'=\mathbb{Q}_{11}\cup\{\mathcal{P}_1^i\}, \qquad \mathbb{Q}_{22}'=\mathbb{Q}_{22}\cup\{\mathcal{T}(\mathcal{P}_1^i)\}, \qquad \mathbb{Q}_{12}'=\mathbb{Q}_{12}\setminus\{\mathcal{Q}_1^i\}, \\ \mathbb{Q}_{13}'=\mathbb{Q}_{13},\qquad\mathbb{Q}_{23}'=\mathbb{Q}_{23}, \qquad\mathbb{Q}_{33}'=\mathbb{Q}_{33}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, распад $\mathcal Q^i_1$ привел к тому, что часть $\mathbb Q_{12}$, отвечающая за связь блоков $\mathfrak{P}_1$ и $\mathfrak{P}_2$, уменьшилась на один проектор. Повторяя рассмотрения для части $\mathbb{Q}_{12}'\subset\mathbb{Q}_{12}$, убедимся, что и из нее можно изъять очередной проектор, не меняя при этом алгебры $\mathfrak{Q}$. Продолжение процедуры за конечное число шагов приведет к распаду всех проекторов, содержавшихся в $\mathbb{Q}_{12}$ и, как следствие, к представлению (4.27). Итак, показано, что условие $\mathbb{Q}_{11}\cup\mathbb{Q}_{13}\cup\mathbb{Q}_{22}\cup\mathbb{Q}_{23}= \varnothing$ необходимо для того, чтобы алгебра связывала блоки $\mathfrak{P}_1$ и $\mathfrak{P}_2$. Заметим, что условие $\mathbb{Q}_{11}\cup\mathbb{Q}_{13}=\varnothing$ эквивалентно тому, что $\mathcal{T}(\mathbb{P}_1)\subset\mathbb{P}_2$, а условие $\mathbb{Q}_{22}\cup\mathbb{Q}_{23}=\varnothing$ – тому, что $\mathcal{T}(\mathbb{P}_2)\subset\mathbb{P}_1$. Поскольку отображение $\mathcal T$ инволютивно, отсюда получаем, что $\mathbb{Q}_{11}\cup\mathbb{Q}_{13}\cup\mathbb{Q}_{22}\cup\mathbb{Q}_{23}= \varnothing$ выполняется тогда и только тогда, когда $\mathcal{T}(\mathbb{P}_1)=\mathbb{P}_2$. 4. С этого момента будем считать, что условие $\mathcal{T}(\mathbb{P}_1)=\mathbb{P}_2$ выполнено, а значит, для алгебры $\mathfrak{Q}$, связывающей блоки $\mathfrak{P}_1$ и $\mathfrak{P}_2$, справедливо представление
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{Q}=\vee[\mathbb{Q}_{12}\cup\mathbb{Q}_{33}].
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда видно, что $\mathfrak{Q}=\mathfrak{Q}_{12}\oplus\mathfrak{Q}_{3} $, где $\mathfrak{Q}_{12}:=\vee \mathbb{Q}_{12}$, $\mathfrak{Q}_{3}:=\vee \mathbb{Q}_{33}$, причем алгебра $\mathfrak{Q}$ разделяет блоки $\mathfrak{Q}_{12}$ и $\mathfrak{Q}_3$. Далее мы уточним структуру алгебры $\mathfrak{Q}_{12}$. С этой целью удобно использовать матричную запись:
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{Q}_{12} = \vee\biggl\{\mathcal{Q}^i:= \begin{pmatrix} P_1^i &\\ & P_2^{i'} \end{pmatrix}\biggm| \mathcal{T}(\mathcal{P}_1^i)=\mathcal{P}_2^{i'};\, i=1,\dots,n_1 \biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
(нулевые элементы опущены) и представление
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Q}^i= \begin{pmatrix} \langle\,{\cdot}\,,\beta_1^i\rangle\beta_1^i & \\ & \langle\,{\cdot}\,,\beta_2^{i'}\rangle\beta_2^{i'} \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
через векторы $\beta_k^i$, отвечающие проекторам $P_1^i$ и $P_2^{i'}$. Теперь предположим, что ${G}(\mathbb{P}_1)\neq{G}(\mathcal{T}(\mathbb{P}_1))$. Отметим, что это возможно, только если в каждом из наборов $B_1$ и $B_2$ больше одного элемента. В этом предположении в алгебре $\mathfrak{Q}_{12}$ найдутся такие $\mathcal{Q}^i$ и $\mathcal{Q}^j$, что $|\langle\beta_1^i,\beta_1^j\rangle|\neq|\langle\beta_2^{i'},\beta_2^{j'}\rangle|$. Для произведения $\mathcal{Q}^i\mathcal{Q}^j\mathcal{Q}^i\in\mathfrak{Q}_{12}$ получаем представление
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Q}^i\mathcal{Q}^j\mathcal{Q}^i= \begin{pmatrix} \langle\beta_1^i,\beta_1^j\rangle^2 \langle\,{\cdot}\,,\beta_1^i\rangle \beta_1^i&\\ & \langle\beta_2^{i'},\beta_2^{j'}\rangle^2\langle\,{\cdot}\,, \beta_2^{i'}\rangle\beta_2^{i'} \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
и приходим к соотношениям
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal{Q}^i = \begin{pmatrix} P_1^i &\\ & O_2\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} O_1 &\\ & P_2^{i'}\end{pmatrix}, \\ \mathcal{Q}^i\mathcal{Q}^j\mathcal{Q}^i = \langle\beta_1^i,\beta_1^j\rangle^2\begin{pmatrix} P_1^i &\\ & O_2 \end{pmatrix}+ \langle\beta_2^{i'},\beta_2^{j'}\rangle^2\begin{pmatrix} O_1 &\\ & P_2^{i'}\end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из них с учетом неравенства $|\langle\beta_1^i,\beta_1^j\rangle|\neq|\langle\beta_2^{i'},\beta_2^{j'}\rangle|$ заключаем, что алгебра $\mathfrak{Q}_{12}$ содержит каждый из проекторов
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}P_1^i &\\ &O_2 \end{pmatrix} \quad\text{и}\quad \begin{pmatrix} O_1 &\\ & P_2^{i'}\end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
по-отдельности. Следовательно, алгебра $\mathfrak{Q}$ разделяет блоки $\mathfrak{P}_1$ и $\mathfrak{P}_2$, и справедливо представление
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{Q}=\mathfrak{P}_1\oplus\mathfrak{P}_2\oplus \mathfrak{Q}_3.
\end{equation*}
\notag
$$
5. Таким образом, условие ${G}(\mathbb{P}_1)={G}(\mathcal{T}(\mathbb{P}_1))$ также необходимо для того, чтобы алгебра $\mathfrak{Q}$ связывала блоки $\mathfrak{P}_1$ и $\mathfrak{P}_2$. При его выполнении справедливо представление
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{Q}_{12}=\vee\biggl\{ \begin{pmatrix} \mathcal P &\\ & \mathcal{T}(\mathcal P) \end{pmatrix} \biggm| \mathcal P\in\mathbb{P}_1 \biggr\}=\vee\{\mathcal P\oplus\mathcal T(\mathcal P)\mid \mathcal P\in\mathbb P_1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Этим завершается доказательство теоремы 1. Укажем на важное обстоятельство. Если условия теоремы 1 выполнены, то наличие связи между блоками $\mathfrak{P}_1$ и $\mathfrak{P}_2$ исключает связь какого-либо из этих блоков с блоком $\mathfrak{P}_3$. Это следует из факта о разделении блоков $\mathfrak{Q}_{12}$ и $\mathfrak{Q}_3$, отмеченного курсивом в начале п. 4 доказательства. Следующий результат Д. В. Корикова [26], позволяет уточнить структуру алгебры $\mathfrak{Q}_{12}$ из теоремы 1. Пусть выполнено равенство $\mathcal{T}(\mathbb{P}_1)=\mathbb{P}_2$ и соответственно $n_1=n_2=:n$. Выберем согласованную нумерацию в этих наборах:
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_1=\{\mathcal{P}_1^i\mid i=1,\dots,{n}\},\qquad \mathbb{P}_2=\{\mathcal{P}_2^i\mid \mathcal{P}_2^i=\mathcal{T}(\mathcal{P}_1^i);\,i=1,\dots,n\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Каждому проектору $\mathcal{P}_k^i$ сопоставим одномерное подпространство $L_k^i$:
$$
\begin{equation*}
L_k^i:= P_k^i \mathscr{G}_k = \operatorname{span}\{\beta_k^i\}\subset \mathscr{G}_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Угол между подпространствами $L$ и $M$ задается соотношением
$$
\begin{equation*}
\phi(L,M):=\arccos \|P_{L}P_{M}\|\in\biggl[0,\frac{\pi}2\biggr],
\end{equation*}
\notag
$$
где $P_{L}$, $P_{M}$ суть соответствующие ортогональные проекторы. Семействам подпространств сопоставим наборы углов
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \varphi^i_k &:=\phi(L^i_k,L^1_k+\dots+L^{i-1}_k), &\qquad i &=1,\dots,n, \\ \varphi^{ij}_k &:=\phi(L^i_k,L^j_k), &\qquad i,j &=1,\dots,n,\, i<j, \\ \varphi^{ij,l}_k &:=\phi(L^i_k+L^j_k,L^l_k), &\qquad i,j,l &=1,\dots,n,\, i<j<l. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Прямое применение критерия унитарной эквивалентности семейств подпространств из работы [26] приводит к следующему результату. Лемма 4. Пусть наборы $\mathbb{P}_1$ и $\mathbb{P}_2$ удовлетворяют условиям теоремы 1. Тогда отображение $\mathcal{T}$ продолжается с образующих $\mathcal{P}_k^i$ до изометрии алгебр $\mathcal{I}\colon \mathfrak{P}_1\to\mathfrak{P}_2$, а алгебра $\mathfrak{Q}_{12}$ имеет вид если и только если выполнены равенства для всех $i$, $j$, $l$. Также несложно показать, что нарушение хотя бы одного из равенств леммы 4 приводит к тому, что алгебра $\mathfrak{Q}_{12}$ не связывает блоки $\mathfrak{P}_1$ и $\mathfrak{P}_2$. Тем самым, одновременное выполнение условий теоремы 1 и леммы 4 гарантирует, что блоки связаны и существует изометрия $\mathcal{I}$, а невыполнение хотя бы одного из условий приводит к разделению соответствующих блоков алгеброй $\mathfrak{Q}$. Рассмотрим более общую ситуацию. Пусть имеется $N$ гильбертовых пространств $\mathscr{G}_k$, $k=1,\dots,N$. В каждом $\mathscr{G}_k$ задан свой набор одномерных проекторов
$$
\begin{equation*}
\mathbb P_k:=\{P^1_k,\dots,P^{n_k}_k\},\qquad P^i_k=\langle\,{\cdot}\,,\beta^i_k\rangle\,\beta^i_k,\quad \|\beta^i_k\|=1,
\end{equation*}
\notag
$$
определяемый набором векторов $B_k:=\{\beta^i_k\mid i=1,\dots,{n}_k\}\subset \mathscr{G}_k$, причем каждый $B_k$ является классом эквивалентности по отношению $\sim$. Проекторы порождают алгебры
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{P}_k:=\vee\mathbb P_k=\vee\{P^1_k,\dots,P_k^{n_k}\} \cong \mathbb{M}^{l_k},
\end{equation*}
\notag
$$
где $l_k:=\operatorname{dim}\operatorname{span}B_k$. Составим алгебру с образующими
$$
\begin{equation*}
\mathcal{P}_k^i:= O_1\oplus \dots \oplus {O}_{k-1} \oplus P_k^i \oplus{O}_{k+1}\oplus\dots \oplus O_N,
\end{equation*}
\notag
$$
где ${O}_k$ – нулевой оператор, действующий в $k$-й компоненте пространства $\bigoplus\sum_{k=1}^N\mathscr{G}_k$. О слагаемых $\mathfrak{P}_k$ в (4.31) будем говорить как о блоках алгебры $\mathfrak{P}_*$. На полном наборе образующих
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}:=\mathbb P_1\cup\dots\cup\mathbb P_N=\{\mathcal{P}_k^i\mid i=1,\dots,{n}_k;\,k=1,\dots, N\}
\end{equation*}
\notag
$$
алгебры $\mathfrak P$ зададим отображение $\mathcal{T}\colon\mathbb{P}\to\mathbb{P}$ такое, что если $\mathcal{T}(\mathcal{P}_k^i)=\mathcal{P}_{k'}^{i'}$, то $\mathcal{T}(\mathcal{P}_{k'}^{i'})=\mathcal{P}_{k}^i$, а также выполнено одно (и только одно) из условий:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{T}(\mathcal{P}_k^i)=\mathcal{P}_k^i\quad\text{или}\quad \mathcal{T}(\mathcal{P}_k^i)\mathcal{P}_k^i=\mathcal{P}_k^i\mathcal{T}(\mathcal{P}_k^i)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
По данному отображению определим проекторы $\mathcal{Q}_k^i$:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Q}_k^i := \begin{cases} \mathcal{P}_k^i, &\text{если }\mathcal{T}(\mathcal{P}_k^i)=\mathcal{P}_k^i, \\ \mathcal{P}_k^i+\mathcal{T}(\mathcal{P}_k^i), &\text{если } \mathcal{T}(\mathcal{P}_k^i)\mathcal{P}_k^i=0, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
среди которых могут быть совпадающие. Образуем алгебру
$$
\begin{equation}
\mathfrak{Q}:=\vee\{\mathcal{Q}_k^i\mid i=1,\dots,{n}_k;\,k=1,\dots, N\}\subset \mathfrak{P}
\end{equation}
\tag{4.32}
$$
и опишем ее структуру, используя результаты теоремы 1 и леммы 4. Из блоков, составляющих алгебру $\mathfrak{P}$ в (4.31), составим всевозможные пары $\{\mathfrak{P}_k, \mathfrak{P}_{k'}\}$ с $k\ne k'$ и отберем те из них, в которых компоненты связаны через алгебру $\mathfrak{Q}$ (в том же смысле, что и $\mathfrak{P}_1$, $\mathfrak{P}_2$ в теореме 1 и лемме 4). Такой отбор однозначен, поскольку, как отмечалось после доказательства теоремы, каждый из $\mathfrak{P}_k$ может быть связан лишь с одним $\mathfrak{P}_{k'}$. Перенумеруем блоки в (4.31), выделяя пары связанных блоков и независимые блоки:
$$
\begin{equation}
\underbrace{\mathfrak{P}_1, \mathfrak{P}_{2}};\,\dots;\,\underbrace{\mathfrak{P}_{2k-1}, \mathfrak{P}_{2k}};\,\dots;\,\underbrace{\mathfrak{P}_{2N_1-1}, \mathfrak{P}_{2N_1}};\,\mathfrak{P}_{2N_1+1};\,\dots;\, \mathfrak{P}_{2N_1+j};\,\dots;\,\mathfrak{P}_{N},
\end{equation}
\tag{4.33}
$$
и соответствующим образом сгруппируем составляющие набора $\mathbb P$:
$$
\begin{equation*}
\underbrace{\mathbb{P}_1, \mathbb{P}_{2}};\,\dots;\,\underbrace{\mathbb{P}_{2k-1}, \mathbb{P}_{2k}};\,\dots;\,\underbrace{\mathbb{P}_{2N_1-1}, \mathbb{P}_{2N_1}};\,\mathbb{P}_{2N_1+1};\, \dots;\, \mathbb{P}_{2N_1+j};\,\dots;\, \mathbb{P}_{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее используется именно эта нумерация. Видно, что такая группировка приводит отображение $\mathcal T$ в следующем смысле:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal T(\{\mathbb P_{2k-1},\mathbb P_{2k}\})=\{\mathbb P_{2k-1},\mathbb P_{2k}\},\quad \mathcal T(\mathbb P_{2k-1})=\mathbb P_{2k},\qquad k=1,\dots,N_1; \\ \mathcal{T}(\mathbb P')=\mathbb P',\quad \text{где}\quad\mathbb P':=\mathbb P_{2N_1+1}\cup\dots\cup\mathbb P_{N}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.34}
$$
Блоки $\mathfrak{P}_{2N_1+j}$ выделены тем, что они попарно разделены (не связаны) алгеброй $\mathfrak{Q}$. Из разделенности следует: если проектор
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Q}_{2N_1+j}^i=\mathcal{P}_{2N_1+j}^i+\mathcal{T}(\mathcal{P}_{2N_1+j}^i)
\end{equation*}
\notag
$$
таков, что $\mathcal{T}(\mathcal{P}_{2N_1+j}^i)\notin\mathbb{P}_{2N_1+j}$, то в алгебру $\mathfrak{Q}$ по-отдельности входят проекторы $\mathcal{P}_{2N_1+j}^i$ и $\mathcal{T}(\mathcal{P}_{2N_1+j}^i)$. Это позволяет заменить $\mathcal T|_{\mathbb P'}$ новым отображением $\mathcal T'\colon {\mathbb P'}\to{\mathbb P'}$, которое определяется на $\mathcal{P}_k^i\in\mathbb{P}'$ по правилам
$$
\begin{equation*}
\mathcal T'(\mathcal{P}_k^i):= \begin{cases} \mathcal{P}_k^i, &\text{если }\mathcal{T}(\mathcal{P}_k^i)\notin \mathbb{P}_k, \\ \mathcal{P}_k^i, &\text{если }\mathcal{T}(\mathcal{P}_k^i)= \mathcal{P}_k^i, \\ \mathcal{T}(\mathcal{P}_k^i), &\text{если }\mathcal{T}(\mathcal{P}_k^i) \in \mathbb{P}_k \text{ и } \mathcal{T}(\mathcal{P}_k^i) \neq \mathcal{P}_k^i. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что отображение
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal T}\colon \mathbb P\to\mathbb P,\qquad\widetilde{\mathcal T}:=\begin{cases} \mathcal T &\text{на }\mathbb P\setminus\mathbb P', \\ \mathcal T' &\text{на }\mathbb P', \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
определяет ту же алгебру $\mathfrak{Q}$, что и $\mathcal T$, и в дополнение к (4.34) приводится независимыми блоками $\widetilde{\mathcal T}(\mathbb P_{2N+j})=\mathbb P_{2N+j}$. Внутри этих блоков оно либо действует тождественно, либо сопоставляет проектору ортогональный к нему. Отображение $\mathcal T$ определяет алгебру ${\mathfrak{Q}}$ через проекторы-образующие $Q^i_k$ согласно (4.32). Вполне аналогично, отображение $\widetilde{\mathcal T}$ задает соответствующие проекторы $\widetilde Q^i_k$, генерирующие ту же алгебру. Особенность последних заключается в их форме: по построению имеем
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal{Q}}^i_k=\begin{cases} {\mathcal P}_k^i+\widetilde{\mathcal T}({\mathcal P}_k^i), &\text{если } \widetilde{\mathcal T}({\mathcal P}_k^i)\in\mathbb{P}_k,\ \widetilde{\mathcal T}({\mathcal P}_k^i)\neq{\mathcal P}_k^i, \\ {\mathcal P}_k^i, &\text{в остальных случаях}, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. все двумерные $\widetilde{\mathcal{Q}}^i_k$ суть суммы проекторов, входящих в один и тот же блок $\mathfrak{P}_k$. Обозначим $\mathbb{Q}_k:=\{\widetilde{\mathcal{Q}}_k^i\mid i=1,\dots,n_k\}$. Следующий результат резюмирует проведенные выше рассмотрения. Напомним, что блоки пронумерованы согласно (4.33). Предложение 8. Для алгебры $\mathfrak{Q}$ справедливо представление где $\mathfrak{Q}_k^{\mathrm{I}}:=\{A\oplus \mathcal TA\mid A\in\mathfrak{P}_{2k-1}\}\subset\mathfrak{P}_{2k-1}\oplus\mathfrak{P}_{2k}$ и $\mathfrak Q^{\mathrm{II}}_k:=\vee \mathbb Q_k\subset \mathfrak P_k$. 4.5. Каноническое представлениеИспользуем установленные выше результаты для описания структуры алгебры эйконалов. Оно сведется к некоторому каноническому представлению. Группировка проекторов в (4.16), проведенная в соответствии с разложением (4.15), есть разбиение наборов $\mathbb P_{\Phi^j}$ на классы эквивалентности $\mathbb P_{\Phi^j}^k$ (они же суть классы $\mathbb P_{l}$) по отношению $\sim$. Она мотивирована предложением 7 и подготавливает применение теоремы 1. Роль алгебры $\mathfrak P$ из теоремы 1 (см. (4.31)) играет алгебра
$$
\begin{equation*}
\mathfrak P^\partial:=\biggl[ \bigoplus_{l=1}^{L} \mathfrak{P}_l\biggr]\oplus\biggl[ \bigoplus_{l=1}^{L}\mathfrak{P}_l\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Она состоит из $2L$ неприводимых блоков и имеет представление $\mathfrak P^\partial=\vee \mathbb P^\partial$, в котором
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\mathbb P}^\partial &:= \{\mathcal{P}_{\gamma l}^k\oplus O\mid k=1,\dots,n_{\gamma l};\, l=1,\dots,L;\, \gamma\in\Sigma\} \\ &\qquad\cup\{O\oplus\mathcal{P}_{\gamma l}^k\mid k=1,\dots,n_{\gamma l};\, l=1,\dots,L;\, \gamma\in\Sigma\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal{P}_{\gamma l}^k$ суть проекторы из (4.19), $O$ – нулевой элемент алгебры $\bigoplus_{l=1}^{L} \mathfrak{P}_l$. Обозначив
$$
\begin{equation*}
\mathcal P_{\gamma l}^{k r}:= \begin{cases} \mathcal{P}_{\gamma l}^k\oplus O, &r= 0, \\ O\oplus\mathcal{P}_{\gamma l}^k, &r =\varepsilon_l, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
имеем
$$
\begin{equation*}
{\mathbb P}^\partial= \{\mathcal{P}_{\gamma l}^{k r}\mid k=1,\dots,n_{\gamma l},\, l=1,\dots,L,\, r=0,\varepsilon_l; \, \gamma\in\Sigma\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Зададим отображение $\mathcal{T}\colon {\mathbb P}^\partial\to{\mathbb P}^\partial$ с помощью введенного ранее формализма, определяющего связи между наборами $(k,l,r_l)$:
$$
\begin{equation}
\mathcal{T}(\mathcal P_{\gamma l}^{k r_{l}}):= \begin{cases} \mathcal{P}_{\gamma l'}^{k' r_{l'}}, &\text{если } (k',l',r_{l'})\leftrightarrow(k,l,r_l), \\ \mathcal{P}_{\gamma l}^{k r_l}, &\text{если } (k,l,r_l)\text{ не связан ни с каким } (k',l',r_{l'}). \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.36}
$$
Несложно проверить, что набор $\mathbb P^\partial$ и отображение $\mathcal T$ удовлетворяют всем условиям теоремы 1, а определяемая ими согласно (4.25) алгебра $\mathfrak Q$ совпадает с граничной алгеброй (4.20):
$$
\begin{equation*}
\mathfrak Q=\partial ({U}{\mathfrak{E}}^T_\Sigma U^{-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
При приведении алгебры эйконалов к канонической форме будет использовано соединение ее блоков, связанных через граничную алгебру. Опишем эту конструкцию. Пусть имеются две стандартные алгебры $\mathfrak{A}=\dot C([0,\varepsilon];\mathfrak{P})$ и $\mathfrak{B}=\dot C([0,\varepsilon'];\mathfrak{P}')$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{A}(\varepsilon):=\{a(\varepsilon)\mid a\in\mathfrak{A}\}=\mathfrak{P},\qquad \mathfrak{B}(0):=\{b(0)\mid b\in\mathfrak{B}\}=\mathfrak{P}',
\end{equation*}
\notag
$$
и пусть $\mathfrak{P}\cong\mathfrak{P}'$ через изометрию $\mathcal I\colon \mathfrak{P}'\to\mathfrak{P}$. Определим алгебру
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{A}^{\oplus}\mathfrak{B}:= \{a\oplus b\mid a\in\mathfrak{A},\, b\in\mathfrak{B}, \, a(\varepsilon)=\mathcal I b(0)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Алгебры такого вида появятся при переходе к каноническому представлению в ситуации, когда в граничной алгебре $\partial (U\mathfrak{E}^T_\Sigma U^{-1})\,{=}\,\mathfrak Q$ в представлении (4.35) имеются блоки типа $\mathfrak{Q}_{k}^I$, связывающие граничные значения $\mathfrak{A}(\varepsilon)$ и $\mathfrak{B}(0)$ какой-то пары блоков $\mathfrak{A}$ и $\mathfrak{B}$ алгебры эйконалов. Для $a\in\mathfrak{A}$ и $b\in\mathfrak{B}$ таких, что $a(\varepsilon)=\mathcal I b(0)$, определим элемент $a\sqcup b\in C([0,\varepsilon+\varepsilon'],\mathfrak{P})$ по правилу
$$
\begin{equation}
(a\sqcup b)(r):=\begin{cases} a(r), &r\in[0,\varepsilon], \\ \mathcal I b(r-\varepsilon), &r\in[\varepsilon,\varepsilon+\varepsilon'], \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.37}
$$
который будем называть соединением $a$ и $b$. Затем определим соединение алгебр $\mathfrak{A}$ и $\mathfrak{B}$:
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{A}\sqcup\mathfrak{B}:= \{a\sqcup b\in C([0,\varepsilon+\varepsilon'];\mathfrak{P})\mid a\in\mathfrak{A},\, b\in\mathfrak{B},\, a(\varepsilon)=\mathcal I b(0) \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Видно, что $\mathfrak{A}\sqcup\mathfrak{B}$ есть подалгебра в $C([0,\varepsilon+\varepsilon'];\mathfrak{P})$, являющаяся стандартной алгеброй, для которой справедливо представление
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{A}\sqcup\mathfrak{B}=\{c\in C([0,\varepsilon+\varepsilon'];\mathfrak{P})\mid c(0)\in\mathfrak{A}(0),\, c(\varepsilon+\varepsilon')\in\mathcal I [\mathfrak{B}(\varepsilon')]\},
\end{equation*}
\notag
$$
и выполнены равенства
$$
\begin{equation*}
(\mathfrak{A}\sqcup\mathfrak{B})(0) = \mathfrak{A}(0),\qquad (\mathfrak{A}\sqcup\mathfrak{B})(\varepsilon+\varepsilon') = \mathcal I [\mathfrak{B}(\varepsilon')].
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что алгебры $\mathfrak{A}^{\oplus}\mathfrak{B}$ и $\mathfrak{A}\sqcup\mathfrak{B}$ изометрически изоморфны. Резюмируя рассмотрения, условимся говорить, что алгебры $\mathfrak{A}$ и $\mathfrak{B}$ допускают соединение через концы $r=\varepsilon$ и $r'=0$. Отметим при этом, что вид алгебр $\mathfrak{A}(0)$ и $\mathfrak{B}(\varepsilon')$ на возможность соединения и его результат влияния не оказывают. Очевидным образом изменяя определение (4.37), можно ввести соединение $\mathfrak{A}\sqcup\mathfrak{B}\subset C([0,\varepsilon+\varepsilon'];\mathfrak{P})$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\text{через концы }r=\varepsilon \text{ и } r'=\varepsilon', \text{ если } \mathfrak{A}(\varepsilon)=\mathcal I[\mathfrak{B}(\varepsilon')]; \\ &\text{через концы }r=0 \text{ и } r'=\varepsilon', \text{ если } \mathfrak{A}(0)=\mathcal I[\mathfrak{B}(\varepsilon')]; \\ &\text{через концы } r=0 \text{ и } r'=0, \text{ если } \mathfrak{A}(0)=\mathcal I[\mathfrak{B}(0)]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.38}
$$
На элементах алгебры $\mathfrak{A}=\dot C([0,\varepsilon],\mathfrak{P})$ определим транспозицию $t\colon a\mapsto a^t$, $a^t(r):=a(\varepsilon-r)$, $r\in[0,\varepsilon]$, и примем $\mathfrak{A}^t:=\{a^t\mid a\in\mathfrak{A}\}$. Изометрия ${\mathcal M}\colon \mathfrak{P}\to\mathfrak{P}$ определяет преобразование $\check{\mathcal M}\colon C([0,\varepsilon],\mathfrak{P})\to C([0,\varepsilon],\mathfrak{P})$, $(\check{\mathcal M}a)(r):=\mathcal M [a(r)]$, $r\in[0,\varepsilon]$. Для стандартной алгебры $\mathfrak{A}$ примем $\check{\mathcal M}\mathfrak{A}:=\{\check{\mathcal M} a\mid a\in\mathfrak{A}\}\subset C([0,\varepsilon],\mathfrak{P})$. Алгебры $\mathfrak{A}^t$ и $\mathcal M\mathfrak{A}$ также являются стандартными; легко видеть, что $\check{\mathcal M}\mathfrak{A}\cong{\mathfrak{A}}^t\cong{\mathfrak{A}}$ и выполнено
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{A}^t(0)=\mathfrak{A}(\varepsilon),\quad \mathfrak{A}^t(\varepsilon)=\mathfrak{A}(0);\qquad (\check{\mathcal M}\mathfrak{A})(0)= \mathcal M[\mathfrak{A}(0)],\quad (\check{\mathcal M}\mathfrak{A})(\varepsilon)=\mathcal M[\mathfrak{A}(\varepsilon)].
\end{equation*}
\notag
$$
Переход к каноническому представлению алгебры эйконалов вполне подготовлен и описывается следующей процедурой. Шаг 1. Определим изометрию $\mathbf{U}_0\colon \mathfrak{E}^T_{\Sigma}\to U\mathfrak{E}^T_\Sigma U^{-1}\stackrel{(4.18)}{\subset} \bigoplus_{l=1}^L C([0,\varepsilon_l],\mathfrak{P}_l)$, задав ее на образующих:
$$
\begin{equation*}
\mathbf{U}_0 E^T_{\gamma} := U E^T_{\gamma}U^{-1}\stackrel{(4.19)}{=} \bigoplus\sum_{l=1}^L \biggl[\sum_{k=1}^{n_{\gamma l}}\tau^k_{\gamma l} P^k_{\gamma l}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Блоки алгебры $\mathbf{U}_0 \mathfrak{E}^T_{\Sigma}$ суть
$$
\begin{equation*}
[\mathbf{U}_0 \mathfrak{E}^T_{\Sigma}]_l:=\vee\biggl\{\sum_{k=1}^{n_{\gamma l}}\tau^k_{\gamma l} P^k_{\gamma l}\biggm| \gamma\in\Sigma\biggr\}\subset C([0,\varepsilon_l];\mathfrak{P}_l).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть блоки $[\mathbf{U}_0 \mathfrak{E}^T_{\Sigma}]_l$ и $[\mathbf{U}_0 \mathfrak{E}^T_{\Sigma}]_{l'}$ таковы, что их граничные значения $[\mathbf{U}_0 \mathfrak{E}^T_{\Sigma}]_l(\varepsilon_l)$ и $[\mathbf{U}_0 \mathfrak{E}^T_{\Sigma}]_{l'}(0)$ образуют один блок типа ${\mathfrak{Q}}_k^I$ в граничной алгебре $\partial(\mathbf{U}_0 \mathfrak{E}^T_{\Sigma}):=\partial (U\mathfrak{E}^T_\Sigma U^{-1}) = \mathfrak Q$ (см. предложение 8). В этом случае отображение $\mathcal T$ (см. (4.36)) определяет изометрию $\mathcal I\colon \mathfrak{P}_{l'}\to\mathfrak{P}_l$:
$$
\begin{equation*}
\mathcal I (P^{k'}_{\gamma l'}) = P^{k}_{\gamma l },\quad \text{если}\quad \mathcal T(\mathcal P^{k' 0}_{\gamma l'})=\mathcal P^{k \varepsilon_l}_{\gamma l }.
\end{equation*}
\notag
$$
Как следствие, корректно определена алгебра $[\mathbf{U}_0 \mathfrak{E}^T_{\Sigma}]_l\sqcup[\mathbf{U}_0 \mathfrak{E}^T_{\Sigma}]_{l'}$ – соединение этих блоков через концы $r_l=\varepsilon_l$ и $r_{l'}=0$. Несложно проверить, что элементы
$$
\begin{equation*}
\bigl( [\mathbf{U}_0 E^T_{\gamma}]_l\sqcup [\mathbf{U}_0 E^T_{\gamma}]_{l'}\bigr)(r) :=\begin{cases} {\displaystyle\sum_{k=1}^{n_{\gamma l}}\tau^k_{\gamma l}(r) P^k_{\gamma l}}, &r\in[0,\varepsilon_l], \\ {\displaystyle\mathcal I \biggl[\sum_{k'=1}^{n_{\gamma l'}}\tau^{k'}_{\gamma l'} (r-\varepsilon_l)P^{k'}_{\gamma l'}\biggr]}, &r\in[\varepsilon_l,\varepsilon_l+\varepsilon_{l'}], \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
составляют систему ее образующих. По свойствам отображения $\mathcal T$ из существования связи между блоками следует, что $n_{\gamma l}=n_{\gamma l'}$ для любого $\gamma\in\Sigma$, а соединения $[\mathbf{U}_0 E^T_{\gamma}]_l\sqcup [\mathbf{U}_0 E^T_{\gamma}]_{l'}$ могут быть представлены в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
\bigl( [\mathbf{U}_0 E^T_{\gamma}]_l\sqcup [\mathbf{U}_0 E^T_{\gamma}]_{l'}\bigr)(r) =\sum_{k=1}^{n_{\gamma l}}[\tau^k_{\gamma l }\sqcup\tau^{k'}_{\gamma l'}](r)P^k_{\gamma l}, \qquad r\in[0,\varepsilon_l+\varepsilon_{l'}],
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
[\tau^k_{\gamma l}\sqcup\tau^{k'}_{\gamma l' }](r):= \begin{cases} \tau^k_{\gamma l}(r), &r\in[0,\varepsilon_l], \\ \tau^{k'}_{\gamma l'}(r-\varepsilon_l), &r\in[\varepsilon_l,\varepsilon_l+\varepsilon_{l'}]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Функции $[\tau^k_{\gamma l}\sqcup\tau^{k'}_{\gamma l'}]$ являются непрерывными в силу равенства $\tau^k_{\gamma l}(\varepsilon_{l})=\tau^{k'}_{\gamma l'}(0)$, определяющего связь между наборами $(k,l,\varepsilon_{l})$ и $(k',l',0)$, которая, в свою очередь, определяет отображение $\mathcal T$ и изоморфизм $\mathcal I$. Напомним, что каждая $\tau^k_{\gamma l}$ есть линейная функция одного из двух видов:
$$
\begin{equation*}
\text{либо }\tau^k_{\gamma l}(r)= t^k_{\gamma l}+r, \text{ либо } \tau^k_{\gamma l}(r) =t^k_{\gamma l }-r,
\end{equation*}
\notag
$$
где $t^k_{\gamma l }=\mathrm{const}\geqslant 0$. Пусть для определенности $\tau^k_{\gamma l}(r)= t^k_{\gamma l}+r$. Тогда из условия $\tau^k_{\gamma l}(\varepsilon_{l})=\tau^{k'}_{\gamma l'}(0)$ и того, что равенство $\tau^k_{\gamma l}(r_{l})=\tau^{k'}_{\gamma l'}(r_{l'})$ возможно только в случае граничных значений параметров $r_l$ и $r_{l'}$ (в нашем случае $r_l=\varepsilon_l$, $r_{l'}=0$), следует, что $\tau^{k'}_{\gamma l'}(r)= t^{k'}_{\gamma l'}+r$, причем $t^{k'}_{\gamma l'}= t^{k}_{\gamma l}+\varepsilon_l$. Это приводит к следующим равенствам:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [\tau^k_{\gamma l}\sqcup\tau^{k'}_{\gamma l'}](r) &= \begin{cases} t^k_{\gamma l }+r, &r\in[0,\varepsilon_l], \\ (t^{k}_{\gamma l}+\varepsilon_{l})+(r-\varepsilon_l), &r\in[\varepsilon_l,\varepsilon_l+\varepsilon_{l'}], \end{cases} \\ &=\begin{cases} t^k_{\gamma l}+r, &r\in[0,\varepsilon_l], \\ t^{k}_{\gamma l}+r, &r\in[\varepsilon_l,\varepsilon_l+\varepsilon_{l'}], \end{cases} = t^k_{\gamma l }+r,\qquad r\in[0,\varepsilon_l+\varepsilon_{l'}]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичные рассуждения справедливы и в случае $\tau^k_{\gamma l}(r)=t^k_{\gamma l}-r$. Таким образом, соединение функций $\tau^k_{\gamma l}$ и $\tau^{k'}_{\gamma l'}$ является линейной функцией того же вида, что и сами $\tau^k_{\gamma l}$ и $\tau^{k'}_{\gamma l'}$. Из этого следует, что соединение блоков $[\mathbf{U}_0 \mathfrak{E}^T_{\Sigma}]_l\sqcup[\mathbf{U}_0 \mathfrak{E}^T_{\Sigma}]_{l'}$ есть стандартная алгебра с образующими того же вида, что и у исходных блоков. В рассмотренном случае граничные значения $[\mathbf{U}_0 \mathfrak{E}^T_{\Sigma}]_l(\varepsilon_l)$ и $[\mathbf{U}_0 \mathfrak{E}^T_{\Sigma}]_{l'}(0)$ связаны. Вполне аналогично рассматриваются случаи других возможных связей между граничными значениями, допускающих соединение блоков (см. (4.38)). Шаг 2. Пусть блоки $[\mathbf{U}_0 \mathfrak{E}^T_{\Sigma}]_l$ и $[\mathbf{U}_0 \mathfrak{E}^T_{\Sigma}]_{l'}$ допускают соединение. Определим отображение
$$
\begin{equation*}
\mathbf{U}_1\colon\mathfrak{E}^T_{\Sigma}\to\mathbf{U}_1 \mathfrak{E}^T_{\Sigma}\subset\biggl[\bigoplus_{\lambda=1\ (\lambda\neq l,l')}^{L} C([0,\varepsilon_\lambda];\mathfrak{P}_\lambda)\biggr]\oplus C([0,\varepsilon_{l}+\varepsilon_{l'}];\mathfrak{P}_{l}),
\end{equation*}
\notag
$$
задав его на образующих
$$
\begin{equation*}
\mathbf{U}_1 E^T_{\gamma} := \biggl[\bigoplus\sum_{\lambda=1\ (\lambda\neq l,l')}^{L} [\mathbf{U}_0 E^T_{\gamma}]_\lambda\biggr] \oplus \bigl([\mathbf{U}_0 E^T_{\gamma}]_{l}\sqcup [\mathbf{U}_0 E^T_{\gamma}]_{l'}\bigr),\qquad \gamma\in\Sigma .
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно видеть, что отображение $\mathbf{U}_1$ есть изометрия: изометричность алгебр $\mathbf{U}_0\mathfrak{E}^T_{\Sigma}$ и $\mathbf{U}_1\mathfrak{E}^T_{\Sigma}$ вполне аналогична изометричности $\mathfrak{A}^{\oplus}\mathfrak{B}$ и $\mathfrak{A}\sqcup\mathfrak{B}$. Изометрия $\mathbf{U}_1$ переводит алгебру эйконалов в алгебру того же вида, что и $\mathbf{U}_0\mathfrak{E}^T_{\Sigma}$, но с меньшим на $1$ количеством блоков; при этом в граничной алгебре $\partial(\mathbf{U}_1\mathfrak{E}^T_{\Sigma})$ блоков типа ${\mathfrak{Q}}_{k}^I$ становится также на $1$ меньше. Последовательно заменяя аналогичным образом все пары связанных блоков на их соединения, придем к некоторому изометрическому изоморфизму $\mathbf{U}_N\colon \mathfrak{E}^T_{\Sigma}\to\mathbf{U}_N\mathfrak{E}^T_{\Sigma}$ такому, что в граничной алгебре $\partial(\mathbf{U}_N\mathfrak{E}^T_{\Sigma})$ уже не содержится ни одного блока типа $\mathfrak{Q}_{k}^I$. Таким образом, отображение $\mathbf{U}_N$ переводит алгебру эйконалов в алгебру той же структуры, что и $\mathbf{U}_0\mathfrak{E}^T_{\Sigma}$, но уже с независимыми блоками. Отметим также, что в процессе перехода к представлению $\mathbf{U}_N\mathfrak{E}^T_{\Sigma}$ несколько (больше двух) блоков исходного представления $\mathbf{U}_0\mathfrak{E}^T_{\Sigma}$ могут соединиться в один новый блок. Шаг 3. На заключительном шаге еще раз используется неприводимость алгебр $\mathfrak{P}_l$. Для каждой из них подберем преобразование, реализующее изометрию $\mathfrak{P}_l\,{\cong}\,\mathbb M^{\varkappa_l}$. Как следствие, определится изометрия $\mathbf{U}\colon \mathfrak{E}^T_{\Sigma}\,{\to}\, \bigoplus_{l=1}^\mathcal L \dot C([0,\zeta_l];\mathbb{M}^{\varkappa_l})$, заданная на образующих равенствами
$$
\begin{equation*}
\mathbf{U} E^T_{\gamma}:=\bigoplus\sum_{l=1}^\mathcal L\biggl[\sum_{k=1}^{s_{\gamma l }}\widetilde\tau_{\gamma l}^k(\cdot_l) \widetilde P_{\gamma l}^k\biggr],\qquad \gamma\in\Sigma,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde P_{\gamma l}^k\in\mathbb{M}^{\varkappa_l}$ суть одномерные (матричные) проекторы, попарно ортогональные для фиксированной вершины $\gamma\in\Sigma$, а $\widetilde\tau_{\gamma l}^k$ – линейные функции одного из двух видов: либо $\widetilde\tau^k_{\gamma l}(r)=\widetilde t^{\,k}_{\gamma l}+r$, либо $\widetilde\tau^k_{\gamma l}(r)=\widetilde t^{\,k}_{\gamma l}-r$, $r\in[0,\zeta_l]$, где $\widetilde t^{\,k}_{\gamma l }\geqslant0$ суть постоянные, а каждое $\zeta_l$ есть сумма какого-то набора длин $\varepsilon_k$. Таким образом, последовательными преобразованиями исходного параметрического представления (4.6) мы получаем представление такой же структуры, но уже с независимыми блоками, являющимися стандартными алгебрами. Сформулируем итоговый результат. Теорема 2. Существует изометрия $\mathbf U$, доставляющая алгебре $\mathfrak{E}_{\Sigma}^T$ и ее образующим-эйконалам представление Представление такого вида будем называть каноническим. Оно не единственно, но можно показать, что любые два таких представления отличаются друг от друга нумерацией блоков $[\mathbf{U}\mathfrak{E}^T_{\Sigma}]_l$, их транспозицией $[\mathbf{U}\mathfrak{E}^T_{\Sigma}]_l\to[\mathbf{U}\mathfrak{E}^T_{\Sigma}]_l^t$ и изометриями $[\mathbf{U}\mathfrak{E}^T_{\Sigma}]_l\to\check{\mathcal M}[\mathbf{U}\mathfrak{E}^T_{\Sigma}]_l$. Неоднозначность, связанная с транспозицией, очевидно, отвечает двум направлениям изменения аргумента каждой из функций $\widetilde\tau_{\gamma l}^k$ на интервале $[0,\delta_l]$ (двум возможным параметризациям $l$-го блока). В качестве комментария к теореме 2 отметим следующее. Исходное параметрическое представление алгебры эйконалов (4.8) отвечало разбиению части графа $\Omega^T_\Sigma$ на семейства $\Phi^1,\dots,\Phi^J$. Мы полагаем, что переход к каноническому представлению соответствует некоторому новому разбиению. Это не доказано, но подкрепляется известными примерами [7], [8]. § 5. Приведение к канонической форме5.1. Каноническое представление и спектрыГлавное достоинство канонического представления состоит в том, что из него легко извлекается полная информация о спектре алгебры $\mathfrak{E}^T_\Sigma$ и определяется ряд ее инвариантов. Перейдем к их описанию. Сопоставим содержание теоремы 2 и предложения 2. С учетом отмеченной после теоремы 2 неоднозначности канонического представления будем считать, что нумерация и параметризация его блоков фиксированы. Само представление (4.39) перепишем в обновленных удобных для дальнейшего обозначениях (заменив $\zeta_l$ на $\varepsilon_l$ и $s_{{\gamma l}}$ на $n_{\gamma l}$ , а также убрав $(\,\widetilde{\ }\,)$):
$$
\begin{equation}
\mathbf U \mathfrak{E}_{\Sigma}^T =\bigoplus_{l=1}^\mathcal L \dot C([0,\varepsilon_l];\mathbb{M}^{\varkappa_l}),\qquad \mathbf{U} E_{\gamma}^T = \bigoplus\sum_{l=1}^\mathcal L\biggl[\sum_{k=1}^{n_{\gamma l}}\tau_{\gamma l}^k P_{\gamma l}^k\biggr], \quad \gamma\in\Sigma.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
\psi_{\gamma l}^k :=\{\tau_{\gamma l}^k(r_l)\mid r_l\in(0,\varepsilon_{l})\}=(\tau^k_{\gamma l}(0),\tau_{\gamma l}^k(\varepsilon_l))
\end{equation*}
\notag
$$
суть временные клетки, соответствующие каноническому представлению. Правая часть представления (5.1) для оператора $\mathbf{U} E_{\gamma}^T$ определяет его спектр и в силу изометричности $\mathbf{U}$ спектр эйконала:
$$
\begin{equation}
\sigma_{\mathrm{ac}}({E}^T_{\gamma}) =[1,T_{1}^{\gamma}]\cup[T_2^{\gamma},T_3^{\gamma}] \cup\dots\cup[T_{N_{\gamma}-1}^{\gamma},T_{N_{\gamma}}^{\gamma}] =\bigcup_{l=1}^{\mathcal{L}}\bigcup_{k=1}^{n_{\gamma l}}\overline{\psi_{\gamma l}^k},
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
где каждый из сегментов $[T^\gamma_{i-1},T^\gamma_i]$, в свою очередь, покрывается клетками $\overline{\psi_{\gamma l}^k}$, которые либо не пересекаются, либо имеют общие концы. По предложению 2 то же верно и для клеток $\overline{\psi^i_{\gamma\Phi}}$, связанных с параметрическим представлением (3.12). Сравнивая разложения (5.2) и (3.13), заключаем, что каноническому представлению соответствует новая (каноническая) нарезка спектра эйконала на временные клетки. Можно показать, что каждая новая клетка состоит из старых, т. е. переходу к каноническому представлению отвечает укрупнение временных клеток. Как отмечалось в п. 4.1, спектр стандартной алгебры $ \dot C([a,b];\mathbb M^n)$ состоит из (классов эквивалентности) неприводимых представлений, отвечающих внутренним точкам сегмента $[a,b]$ и кластеров (если таковые имеются) $\{\widehat\pi^1_a,\dots,\widehat\pi^{n_a}_a\}$ и $\{\widehat\pi^1_b,\dots,\widehat\pi^{n_b}_b\}$, примыкающих к его концам. Такой спектр, оснащенный топологией Джекобсона, гомеоморфен пространству, которое естественно назвать сегментом с расщепленными концами. Оно описывается следующей конструкцией (см., например, [27]). Рассмотрим $n_a$ полусегментов $[a,b)$ и $n_b$ полусегментов $(a,b]$ с топологией из $\mathbb R$. Отождествим внутренние точки всех полусегментов, имеющие одинаковые координаты. Образовавшееся факторпространство $\mathscr{S}_{[a,b]}$ состоит из части $S_{(a,b)}$, гомеоморфной $(a,b)$ и двух наборов попарно неотделимых точек (двух кластеров) $K_a$ и $K_b$, которые состоят из $n_a$ и $n_b$ точек и отвечают концам $a$ и $b$ соответственно. Каждый из кластеров неотделим от $S_{(a,b)}$. Часть $S_{(a,b)}:=\operatorname{int}\mathscr{S}_{[a,b]}$ есть множество внутренних точек, каждая из которых имеет окрестность, гомеоморфную (открытому) интервалу вещественной оси. По первому из представлений (5.1), спектр алгебры $\mathbf U \mathfrak{E}_{\Sigma}^T$ гомеоморфен дизъюнктному объединению сегментов
$$
\begin{equation*}
\mathscr{S}^T_\Sigma=\mathscr{S}_{[0,\varepsilon_1]}\cup\dots \cup\mathscr{S}_{[0,\varepsilon_\mathcal L]}, \qquad\mathscr{S}_{[0,\varepsilon_l]}:=K^l_{0}\cup S_{(0,\varepsilon_l)}\cup K^l_{\varepsilon_l}.
\end{equation*}
\notag
$$
Каждый сегмент $\mathscr{S}_{[0,\varepsilon_l]}$ характеризуется как максимальная компактная линейно-связная компонента пространства $\mathscr{S}^T_\Sigma$, а часть $S_{(0,\varepsilon_l)}=\operatorname{int}\mathscr{S}_{[0,\varepsilon_l]}$ – как множество его внутренних точек. Спектры алгебр $\mathfrak{E}_{\Sigma}^T$ и $\mathbf U \mathfrak{E}_{\Sigma}^T$ связаны гомеоморфизмом $\mathbf U_*\colon \widehat{\mathfrak{E}_{\Sigma}^T}\to\widehat{\mathbf U \mathfrak{E}_{\Sigma}^T}$ (см. (4.2)). Следовательно, $\widehat{\mathfrak{E}_{\Sigma}^T}$ гомеоморфен пространству $\mathscr{S}^T_\Sigma$ и допускает представление
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathfrak{E}_{\Sigma}^T}=\mathscr{S}_1\cup\dots \cup\mathscr{S}_\mathcal L, \qquad \mathscr{S}_l=\eta(\mathscr{S}_{[0,\varepsilon_l]})=\mathscr{K}^l_0\cup S_l\cup\mathscr{K}^l_{\varepsilon_l},
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
где $\eta\colon\mathscr{S}^T_\Sigma\to\widehat{\mathfrak{E}_{\Sigma}^T}$ – гомеоморфизм, $S_l=\eta(S_{(0,\varepsilon_l)})$, $\mathscr{K}^l_0=\eta(K^l_0)$, $\mathscr{K}^l_{\varepsilon_l}=\eta(K^l_{\varepsilon_l})$. Оно определяет разбиение спектра на максимальные компактные линейно-связные компоненты и, как таковое, имеет инвариантный топологический смысл. Последнее относится и к разбиению сегментов $\mathscr{S}_l$ на внутренние точки $S_l$ и кластеры $\mathscr{K}^l_0$, $\mathscr{K}^l_{\varepsilon_l}$. Множество внутренних точек спектра есть $\operatorname{int}\widehat{\mathfrak{E}_{\Sigma}^T}=S_1\cup\dots \cup S_\mathcal L$. 5.2. КоординатыНапомним, что алгебры $\mathfrak{E}_{\gamma}^T=\vee\{{E}^T_{\gamma}\}\subset\mathfrak{E}_{\Sigma}^T$, отвечающие отдельным эйконалам, мы называем парциальными. Через $\pi$ и $\widehat\pi$ обозначаются неприводимое представление и его класс эквивалентности. Соответствие $\varphi({E}^T_{\gamma})\leftrightarrow\varphi$ есть изометрия алгебр $\mathfrak{E}_{\gamma}^T$ и $C(\sigma_{\mathrm{ac}}( E^T_\gamma))$, определяемая первым равенством в (4.5) (см. [23]). Каждая $\mathfrak{E}_{\gamma}^T$ есть коммутативная подалгебра в $\mathfrak{E}_{\Sigma}^T$. Ее спектр (множество характеров) $\widehat{\mathfrak{E}_{\gamma}^T}$ исчерпывается мерами Дирака:
$$
\begin{equation*}
\widehat{\mathfrak{E}_{\gamma}^T}=\{\widehat{\delta}_t \mid t\in \sigma_{\mathrm{ac}}(E^T_{\gamma})\},\qquad \mathfrak{E}_{\gamma}^T\ni \varphi(E^T_\gamma)\stackrel{\delta_t}{\mapsto} \varphi(t)\in\mathbb R,
\end{equation*}
\notag
$$
при этом $\widehat\delta_t=\{\delta_t\}$ (см. [25], [28]). Таким образом, каждому характеру отвечает точка (число) $t$ из объединения сегментов (5.2), которую мы будем рассматривать как его $\gamma$-координату. Отметим также, что любое матричное приводимое представление алгебры $\mathfrak{E}_{\gamma}^T$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\rho \sim\delta_{t_1}\oplus\dots\oplus\delta_{t_p},\qquad \rho(\varphi(E^T_\gamma))\sim\operatorname{diag}\{\varphi(t_1),\dots,\varphi(t_p)\}.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Числа $t_1,\dots,t_p$, однозначно определяющие класс $\widehat\rho$, назовем его $\gamma$-координатами. Следующий шаг – координатизация спектра алгебры $\mathfrak{E}_{\Sigma}^T$. Если коммутативная алгебра имеет конечное число образующих, то они составляют координаты на ее спектре (см. [28; гл. III, теорема 6]). Здесь используется адекватный аналог этого факта для некоммутативной $C^*$-алгебры, образующие которой суть самосопряженные операторы с простым спектром. А именно, каждому $\widehat\pi\in\widehat{\mathfrak{E}_{\Sigma}^T}$ мы сопоставим набор $\{\widehat\pi|_{\mathfrak{E}_{\gamma}^T}\mid \gamma\in\Sigma\}$ сужений на парциальные алгебры. Каждый элемент набора есть представление вида (5.4), уже снабженное $\gamma$-координатами $t^1_{\gamma},t^2_{\gamma},\dots$ . Соответствие
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathfrak{E}_{\Sigma}^T}\ni\widehat\pi \to \bigl\{\{t^1_{\gamma},t^2_{\gamma},\dots\}\bigm| \gamma\in\Sigma\bigr\},\qquad t^k_{\gamma}=t^k_{\gamma}(\widehat\pi),
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
доставляет требуемую координатизацию спектра. Уточним некоторые детали. Соответствие (5.5), вообще говоря, не является инъективным, но оказывается таковым при сужении на $\operatorname{int}\widehat{\mathfrak{E}_{\Sigma}^T}$. Поскольку множество $\widehat{\mathfrak{E}_{\Sigma}^T}\setminus\operatorname{int}\widehat{\mathfrak{E}_{\Sigma}^T}$, состоящее из точек, образующих кластеры, конечно (так что, почти все точки спектра суть внутренние), то употребление термина координаты представляется оправданным. Если $\widehat\pi\in S_l\subset\mathscr{S}_l$ (см. (5.3)), то $\mathbf U_*\widehat\pi$ есть внутренняя точка спектра $\widehat{\mathbf U_*\mathfrak{E}_{\Sigma}^T}$ и ей, по первому из представлений (5.1), соответствует определенное значение параметра $r\in (0,\varepsilon_l)$. В этом случае точку $\widehat\pi$ обозначим через $\widehat\pi_r$ и выясним, каковы ее $\gamma$-координаты. Пусть $\varphi\in C(\sigma_{\mathrm{ac}}( E^T_\gamma))$. Из эквивалентных представлений, составляющих $\widehat\pi_r$, выберем $\pi_r$ из условия
$$
\begin{equation*}
({\mathbf U_*}\pi_r)({\mathbf U}E^T_\gamma)=\sum_{k=1}^{n_{\gamma l}}\tau_{\gamma l}^k(r) P_{\gamma l}^k
\end{equation*}
\notag
$$
(см. (5.1)). Для такого $\pi_r$ имеем соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\pi_r\bigl(\varphi( E^T_\gamma)\bigr) \stackrel{(4.1)}{=} (\mathbf U_*\pi_r)\bigl(\mathbf U \varphi( E^T_\gamma)\bigr)=(\mathbf U_*\pi_r)\bigl(\varphi(\mathbf UE^T_\gamma)\bigr) \\ \notag &\stackrel{(5.1)}{=} (\mathbf U_*\pi_r)\biggl(\varphi\biggl(\bigoplus\sum_{l=1}^\mathcal L\sum_{k=1}^{n_{\gamma l}}\tau_{\gamma l}^k P_{\gamma l}^k\biggr)\biggr) \\ \notag &\,\,= (\mathbf U_*\pi_r)\biggl(\bigoplus\sum_{l=1}^\mathcal L\sum_{k=1}^{n_{\gamma l}}(\varphi\circ\tau_{\gamma l}^k) P_{\gamma l}^k\biggr) \\ &\,\,=\sum_{k=1}^{n_{\gamma l}}(\varphi\circ\tau_{\gamma l}^k)(r) P_{\gamma l}^k= \sum_{k=1}^{n_{\gamma l}}\varphi(t_{\gamma l}^k) P_{\gamma l}^k =\sum_{k=1}^{n_{\gamma l}}\delta_{t^k_{\gamma l}}(\varphi) P_{\gamma l}^k, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
где
$$
\begin{equation}
t_{\gamma l}^k = t_{\gamma l}^k(\widehat\pi_r) :=\tau_{\gamma l}^k(r), \qquad r\in(0,\varepsilon_l),\quad k=1,\dots,n_{\gamma l}.
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Сопоставляя начало и конец этой выкладки, заключаем, что представление $\pi_r|_{\mathfrak{E}^T_\gamma}$ эквивалентно приводимому представлению $\bigoplus\sum_{k=1}^{n_{\gamma l}}\delta_{t^k_{\gamma l}}$ алгебры $\mathfrak{E}^T_\gamma$, а числа $\tau_{\gamma l}^k(r)$ суть $\gamma$-координаты точки $\widehat\pi_r\in S_l\subset\operatorname{int}\widehat{\mathfrak{E}^T_\Sigma}$. Они определены корректно, поскольку выбор другого $\pi\ne \pi_r$, $\pi\in\widehat\pi_r$ приведет лишь к замене в (5.6) проекторов $P^k_{\gamma l}$ на унитарно-эквивалентные им проекторы. При $\varphi(t)=t$ соотношение (5.6) принимает вид
$$
\begin{equation}
\pi_r( E^T_\gamma)=\sum_{k=1}^{n_{\gamma l}}\tau^k_{\gamma l}(r)\,P_{\gamma l}^k,\qquad r\in (0,\varepsilon_l),\quad\gamma\in\Sigma,
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
что мы используем ниже. Как видно из (5.7), при вариациях точки $\widehat\pi$ в $S_l$ ее координаты $t_{\gamma l}^k(\widehat\pi)$ заметают временные клетки $\psi_{\gamma l}^k\subset\sigma_{\mathrm{ac}}( E^T_\gamma)$, и выполнено
$$
\begin{equation}
\psi_{\gamma l}^k=\{t_{\gamma l}^k(\widehat\pi)\mid \widehat\pi\in S_l\},\qquad k=1,\dots,n_{\gamma l}, \quad l=1,\dots,\mathcal L,\quad \gamma\in\Sigma,
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
что указывает на инвариантный характер этих клеток, а значит, и разбиения (5.2). Мы имеем ввиду, что они однозначно определяются самой алгеброй эйконалов; точнее – структурой (5.3) ее спектра. Длины клеток $\varepsilon_l$, $l=1,\dots,\mathcal L$, суть числовые инварианты алгебры ${\mathfrak{E}^T_\Sigma}$. При фиксированном $k$ соответствие $\operatorname{int}\psi^k_{\gamma l}\ni t^k_{\gamma l}(\widehat\pi)\leftarrow\widehat\pi\in S_l$ биективно и определяет естественную параметризацию сегмента9 $\mathscr{S}_l$. Для его внутренних точек примем
$$
\begin{equation}
r(\widehat\pi):=|t^k_{\gamma l}(\widehat\pi)-\tau^k_{\gamma l}(0)|\in(0,\varepsilon_l),\qquad\widehat\pi\in S_l,
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
где $\tau^k_{\gamma l}(0)$ – левый конец клетки $\psi^k_{\gamma l}$. Затем распространим параметризацию на “концы” $\mathscr{S}_l\setminus S_l$ по непрерывности, принимая для них $r=0$ и $r=\varepsilon_l$ соответственно. Из (5.7) следует, что для внутренних точек выполнено $r(\widehat{\pi}_r)=r$. Выбрав параметризацию описанным выше способом, мы, очевидно, параметризуем остальные клетки $\psi^{k'}_{\gamma l}$, $k'\ne k$, и определяем функции $\tau^k_{\gamma}(r)$, $r\in(0,\varepsilon_l)$, $k=1,\dots,n_{\gamma l}$, согласно (5.7). Они также являются инвариантами алгебры эйконалов. 5.3. ПриведениеКаноническое представление (5.1) было получено “переформатированием” параметрического представления (4.8). Покажем, как прийти к нему, отправляясь от самой алгебры $\mathfrak{E}^T_\Sigma$ и используя ее инварианты. Итак, в нашем распоряжении эйконалы $E^T_\gamma$, $\gamma\in\Sigma$, и образованная ими алгебра $\mathfrak{E}^T_\Sigma$. Шаг 1. Найдем спектр $\widehat{ \mathfrak{E}^T_\Sigma}$, оснастим топологией (Джекобсона) и выделим в нем сегменты и их компоненты согласно (5.3). Шаг 2. Найдем спектры $\sigma_{\mathrm{ac}}( E^T_\gamma)$ и введем на $\operatorname{int}\widehat{ \mathfrak{E}^T_\Sigma}$ $\gamma$-координаты. Определим клетки $\psi^k_{\gamma l}$ по (5.9). Параметризуем сегменты по (5.10). Шаг 3. Для каждого $l$ выберем представления $\pi_r\colon \widehat{\mathfrak{E}^T_\Sigma}\to\mathbb M^{\varkappa_l}$, $\pi_r\,{\in}\,\widehat\pi_r\,{\in}\, S_l$, $r\in(0,\varepsilon_l)$, так, чтобы для всех $e\in \mathfrak{E}^T_\Sigma$ $\mathbb M^{\varkappa_l}$-значные функции $\pi_r(e)$ были непрерывны по $r\in(0,\varepsilon_l)$ и продолжались по непрерывности10 на $[0,\varepsilon_l]$. Шаг 4. Определим собственные значения $\tau^k_{\gamma l}(r)$ и собственные проекторы $P^k_{\gamma l}$ матриц $\pi_r(E^T_\gamma)$ (см. (5.8)). По ним зададим отображение
$$
\begin{equation*}
\mathbf{U}\colon E^T_\gamma \mapsto \sum_{k=1}^{n_{\gamma l}}\tau^k_{\gamma l}(\,{\cdot}\,)P_{\gamma l}^k\in \dot C([0,\varepsilon_l];\mathbb M^{\varkappa_l}),\qquad l=1,\dots,\mathcal L,\quad \gamma\in\Sigma,
\end{equation*}
\notag
$$
и продолжим его с образующих-эйконалов до изометрии алгебр ${\mathbf U}\colon \mathfrak{E}^T_\Sigma\to\bigoplus_{l=1}^\mathcal L \dot C([0,\varepsilon_l];\mathbb M^{\varkappa_l})$. Отображение $\mathbf U$ приводит $ \mathfrak{E}^T_\Sigma$ к канонической форме (точнее к одной из ее версий: см. комментарий после теоремы 2). Все полученные результаты относятся к смещенным эйконалам $\dot E^T_\gamma$ (см. соглашение 2). Их переформулировка для исходных $E^T_\gamma=\dot E^T_\gamma-P^T_\gamma$ очевидна и фактически сводится к замене в (5.1) функций $\tau^k_{\gamma l}$ на $\tau^k_{\gamma l}-1$. КомментарииОтображение ${\mathbf V}\colon \mathfrak{E}^T_\Sigma\to\bigoplus_{l=1}^\mathcal L \dot C(\mathscr{S}_l;\mathbb M^{\varkappa_l})$, задаваемое на образующих соотношением
$$
\begin{equation*}
\bigl(\mathbf{V}(E^T_\gamma)\bigr)(\widehat\pi):= \sum_{k=1}^{n_{\gamma l}}\tau^k_{\gamma l}(r(\widehat\pi)) P_{\gamma l}^k,\qquad \widehat\pi\in\mathscr{S}_l,\quad l=1,\dots,\mathcal L,\quad\gamma\in\Sigma,
\end{equation*}
\notag
$$
реализует элементы алгебры $\mathfrak{E}^T_\Sigma$ как матрично-значные функции на ее спектре и, тем самым, доставляет инвариантную функциональную модель алгебры эйконалов. К этой модели, со всеми ее атрибутами – клетками $\psi^k_{\gamma l}$, функциями $\tau^k_{\gamma l}$, длинами $\varepsilon_l$, размерностями $\varkappa_l$ – можно перейти, отправляясь от любой изометричеcкой копии алгебры $ \mathfrak{E}^T_\Sigma$ и используя процедуру Шаг 1–4. Это важно для обратной задачи, поскольку ее данные определяют одну из таких копий. Вопрос в том, в какой мере эти атрибуты определяют строение графа $\Omega$. Следующее наблюдение, возможно, окажется полезным в обратной задаче. На точках спектра $\widehat{\mathfrak{E}^T_\Sigma}$ введем отношение $\widehat\pi\stackrel{\gamma}{\sim_0}\widehat\pi'$, если среди $\gamma$-координат этих точек имеются совпадающие, т. е. выполнено $\tau^k_{\gamma l}(\widehat\pi)=\tau^{k'}_{\gamma l'}(\widehat\pi')$. Затем определим эквивалентность $\widehat\pi\sim\widehat\pi'$, если найдутся точки $\widehat\pi_1,\dots,\widehat\pi_p\in\widehat{\mathfrak{E}^T_\Sigma}$ и вершины $\gamma_1,\dots,\gamma_{p+1}\in\Sigma$ такие, что $\widehat\pi\stackrel{\gamma_1}\sim_0\widehat\pi_1\stackrel{\gamma_2}\sim_0\cdots \stackrel{\gamma_p}\sim_0\widehat\pi_p\stackrel{\gamma_{p+1}}{\sim_0}\widehat\pi'$. Можно показать, что при факторизации спектра по отношению $\widehat\pi\sim\widehat\pi'$ отождествляются только точки, входящие в кластеры. При этом факторизация превращает $\widehat{\mathfrak{E}^T_\Sigma}$ в пространство, гомеоморфное некоторому графу. В примерах прослеживается, что получившийся граф гомеоморфен заполненной волнами области $\Omega^T_\Sigma$, факторизованной по некоторому отношению, имеющему простой геометрический смысл. В известных примерах [6], [8] кластеры появляются, когда внутренняя вершина графа $\Omega$ перекрывается волнами, идущими, по крайней мере, от двух граничных вершин. Мы полагаем, что это общий факт. Также интересен вопрос: можно ли характеризовать наличие циклов в $\Omega^T_\Sigma$ в терминах алгебры $ \mathfrak{E}^T_\Sigma$ (см. [6])? Вопрос открыт.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BelKap22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|