| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Об одном классе квазилинейных уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями В. Н. Павленкоa, Д. К. Потаповb a Челябинский государственный университет b Санкт-Петербургский государственный университет
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9175e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение, постановка задачи и формулировка основных результатовВ ограниченной области $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ класса $C^{1,1}$ (см. [1]) рассматривается краевая задача с однородным граничным условием Дирихле для квазилинейного уравнения эллиптического типа с неотрицательным параметром $\lambda$ и разрывной нелинейностью $g(x,u)$ следующего вида:
$$
\begin{equation}
\begin{split} Lu(x)&\equiv -\sum_{i,j=1}^na_{ij}(x,u(x))u_{x_ix_j}+\sum_{i=1}^nb_i(x,u(x),\nabla u(x))u_{x_i} \\ &\qquad +a(x,u(x))u=\lambda g(x,u(x)),\qquad x\in\Omega, \end{split}
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Предполагается, что для коэффициентов дифференциального оператора $L$ выполнены следующие условия: (i1) $a_{ij}(x,t)=a_{ji}(x,t)$ на $\overline\Omega\times\mathbb R$, и существует невозрастающая положительная на $\mathbb R_+$ функция $\chi(t)$ такая, что для любых $(x,t)\in\overline\Omega\times\mathbb R$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\sum_{i,j=1}^na_{ij}(x,t)\xi_i\xi_j\geqslant\chi(|t|)\cdot |\xi|^2\quad\forall\, \xi\in\mathbb R^n;
\end{equation*}
\notag
$$
(i2) функции $a_{ij}(x,t)$ и $a(x,t)$ непрерывно дифференцируемые на $\overline\Omega\times\mathbb R$, а $b_i(x,t,\eta)$ непрерывно дифференцируемые на $\overline\Omega\times\mathbb R\times\mathbb R^n$, причем $a(x,t)\geqslant 0$ на $\overline\Omega\times\mathbb R$. Нелинейность $g(x,t)$ удовлетворяет условиям: (g1) $g(x,t)$ борелева $(\operatorname{mod} 0)$ на $\Omega\times\mathbb R$ [2], т. е. она отлична от некоторой борелевой на $\Omega\times\mathbb R$ функции лишь на множестве $\omega\subset\Omega\times\mathbb R$, проекция которого на $\Omega$ имеет меру нуль; (g2) существуют неубывающая на $\mathbb R_+$ положительная функция $\psi(t)$ и функция $d(x)$ из пространства $L_p(\Omega)$ ($p>n$) такие, что для почти всех $x\in\Omega$ верно
$$
\begin{equation*}
|g(x,t)|\leqslant d(x)+\psi(|t|) \quad\forall\, t\in\mathbb R;
\end{equation*}
\notag
$$
(g3) для некоторой положительной на $\Omega$ функции $\beta(x)$ справедливо неравенство $g(x,t)\geqslant\beta(x)$ на $\Omega\times\mathbb R$. Заметим, что из условия (g1) следует суперпозиционная измеримость $g(x,t)$ на $\Omega\times\mathbb R$ [2], т. е. для любой измеримой на $\Omega$ функции $u(x)$ композиция $g(x,u(x))$ измерима на $\Omega$. Если суперпозиционно измеримая на $\Omega\times\mathbb R$ функция $g(x,u)$ монотонная по $u$ на $\mathbb R$, то она борелева $(\operatorname{mod} 0)$ [2]. Каратеодориева на $\Omega\times\mathbb R$ функция $g(x,u)$ (измеримая по $x$ для любого $u\in\mathbb R$ и непрерывная по $u$ для почти всех $x\in\Omega$) также борелева $(\operatorname{mod} 0)$ [2], хотя она может не быть борелевой на $\Omega\times\mathbb R$. В дальнейшем понадобится также условие: (g4) существует множество $\omega\subset\Omega$ нулевой меры Лебега такое, что множество
$$
\begin{equation*}
D=\bigcup_{x\in\Omega\setminus\omega}\{u\in\mathbb R\colon g_-(x,u)\neq g_+(x,u)\}
\end{equation*}
\notag
$$
имеет меру нуль, и $a(x,t)\equiv 0$ на $\overline\Omega\times\mathbb R$. Здесь и далее $g_-(x,u)=\liminf_{\eta\to u}g(x,\eta)$, $g_+(x,u)=\limsup_{\eta\to u}g(x,\eta)$ для функции $g\colon \Omega\times\mathbb R\to\mathbb R$, у которой сечение $g(x,{\cdot}\,)$ – локально ограниченная функция для почти всех $x\in\Omega$. Исследуется структура множества решений задачи (1.1), (1.2). При этом под решением задачи (1.1), (1.2) понимаем упорядоченную пару $(\lambda,u)$, где $\lambda\geqslant 0$, а $u\in W_p^2(\Omega)$, $p>n$, в определенном смысле удовлетворяет уравнению (1.1) и имеет нулевой след на границе $\partial\Omega$. Множество решений задачи (1.1), (1.2) рассматривается в прямом произведении $\mathbb R$ и $S$, где $S$ – функциональное банахово пространство, непрерывно вложенное в $W_p^1(\Omega)$, и в которое компактно вложено пространство $W_q^2(\Omega)$ ($p\geqslant q >n$, $q\geqslant 2$). В данной работе $S=C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$, $0<\alpha<(p-n)/p$. Определение 1. Обобщенным решением задачи (1.1), (1.2) называется пара $(\lambda,u)$ такая, что для почти всех $x\in\Omega$ функция $u(x)$ удовлетворяет включению $Lu(x)\in \lambda[g_-(x,u(x)),\,g_+(x,u(x))]$ и граничному условию (1.2). Мотивировкой изучения структуры множества обобщенных решений класса задач типа (1.1), (1.2) явилось вхождение в этот класс известной задачи Х. Дж. Купера о нагреве проводника, помещенного в однородное электрическое поле интенсивности $\sqrt\lambda$ (см. [3]). В задаче Купера дифференциальный оператор в левой части уравнения (1.1) имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, -\sum_{i=1}^n(k(x,u(x))u_{x_i})_{x_i} &= -\sum_{i=1}^nk(x,u(x))u_{x_ix_i} \\ &\qquad- \sum_{i=1}^n\bigl(k_{x_i}(x,u(x))+k_u(x,u(x))u_{x_i}\bigr)u_{x_i}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $u(x)$ – температура проводника в точке $x\in\Omega$, $k(x,u(x))$ – коэффициент теплопроводности. Роль нелинейности $g(x,u)$ в задаче Купера играет удельная электропроводность, которая при определенных температурах может меняться скачкообразно, например, при рекристаллизации. В данной статье топологическим методом доказывается существование в множестве обобщенных решений $U$ задачи (1.1), (1.2) связной, замкнутой и неограниченной компоненты в банаховом пространстве $\mathbb R\times S$, содержащей $(0,0)$. Проекция этой компоненты на $\mathbb R$ – связное множество, поэтому это либо полуинтервал, возможно, $[0,\infty)$, либо отрезок с левым концом нуль. Для задачи Купера это означает, что если квадрат интенсивности электрического поля, в которое помещен проводник, принадлежит этой проекции, то существует стационарное распределение температуры. Заметим, что при сделанных предположениях, в силу принципа максимума, для всякого обобщенного решения $(\lambda,u)$ с $\lambda>0$ задачи (1.1), (1.2) функция $u(x)$ положительная почти всюду на $\Omega$. Связную, замкнутую и неограниченную компоненту множества обобщенных решений $U$ в пространстве $\mathbb R\times S$, содержащую $(0,0)$, называют континуумом обобщенных положительных решений, соединяющим $(0,0)$ и $\infty$, в пространстве $\mathbb R\times S$. Рассмотрим еще два определения решения задачи (1.1), (1.2) – сильное и полуправильное. Определение 2. Сильным решением задачи (1.1), (1.2) называется пара $(\lambda,u)$, где функция $u(x)\in W_p^2(\Omega)\cap\mathring{W}^1_p(\Omega)$ ($p>n$) удовлетворяет уравнению (1.1) почти всюду на $\Omega$. Определение 3. Полуправильным решением задачи (1.1), (1.2) называется такое сильное решение $(\lambda,u)$ этой задачи, что множество $x\in\Omega$, для которых $u(x)$ – точка разрыва функции $g(x,{\cdot}\,)$, имеет меру нуль. Если для почти всех $x\in\Omega$ справедливо включение
$$
\begin{equation}
g(x,t)\in [g_-(x,t),\,g_+(x,t)]\quad \forall\, t\in\mathbb R,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
то сильное решение является и обобщенным. Полуправильное решение задачи (1.1), (1.2) будет и обобщенным решением этой задачи. Понятие полуправильного решения было введено М. А. Красносельским и А. В. Покровским в [4]. Укажем на последние работы авторов [5]–[16], где рассматривалась проблема существования обобщенных, сильных и полуправильных решений задачи (1.1), (1.2) с дифференциальным оператором $L$, линейно зависящим от $u$. Исследуемый в данной статье квазилинейный случай требует иных подходов к изучению задачи (1.1), (1.2). В [17] Х. Дж. Купер рассматривал задачу (1.1), (1.2) с дифференциальным оператором в дивергентной форме и $a(x,u)\leqslant 0$ на $\Omega\times\mathbb R$. От нелинейности $g(x,u)$ Купер требовал выполнения следующих условий: (a1) $g(x,u)=g_0(x,u)+\psi_1(x,u)-\psi_2(x,u)$, где $g_0(x,u)$ каратеодориева на $\Omega\times\mathbb R$ функция, функции $\psi_j(x,u)$ ($j=1,2$) непрерывны по $x$ на $\Omega$ при каждом $u\in\mathbb R$ и неубывающие по $u$ на $\mathbb R$ для всех $x\in\Omega$; (a2) для функции $g_0(x,u)$ из условия (a1) верна оценка
$$
\begin{equation*}
|g_0(x,u)|\leqslant d(x)+\psi(|u|)\quad\forall\, (x,u)\in\Omega\times\mathbb R,
\end{equation*}
\notag
$$
где $d(x)\in L_p(\Omega)$ ($p>n$), $\psi(t)$ – неубывающая функция на $\mathbb R_+$; (a3) для некоторой положительной на $\Omega$ функции $\beta(x)$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
g(x,t)\geqslant\beta(x)\quad\forall\, (x,t)\in\Omega\times\mathbb R.
\end{equation*}
\notag
$$
Из условия (a1) следует, что множество точек разрыва $g(x,u)$ по фазовой переменной $u$ не более чем счетно, т. е. не более чем счетно множество
$$
\begin{equation*}
D=\{t\in\mathbb R\colon \text {существует } x\in\Omega \text { такое, что } g_-(x,t)\neq g_+(x,t)\}
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [17]). Если в условии (a1) отказаться от непрерывности $\psi_j(x,t)$ по $x$, заменив ее на измеримость по $x$ на $\Omega$, то множество $D$ может быть несчетным. Пример 1. Определим функцию $f\colon [0,1]\times\mathbb R\to\mathbb R$ следующим образом: Пример 2. Пусть функция $f(x,t)$ задана на $[0,1]\times\mathbb R$ следующим образом: где $A$ – неизмеримое подмножество $[0,1]$. Тогда $f(x,t)$ не является суперпозиционно измеримой на $[0,1]\times\mathbb R$, так как композиция $f(x,t(x))$, где $t(x)\equiv 1$ на $[0,1]$, неизмеримая на $[0,1]$ функция (она равна $1$ при $x\in A$ и $2$ при $x\in [0,1]\setminus A$). Отметим, что в примере 2 функции $f_-(x,t)$ и $f_+(x,t)$ суперпозиционно измеримы, поскольку при любом $x\in [0,1]$ функция $f_-(x,{\cdot}\,)$ ($f_+(x,{\cdot}\,)$) непрерывна слева (справа) на $\mathbb R$ и для любого $u\in\mathbb R$ функция $f_-(x,u)$ ($f_+(x,u)$) измерима по $x$ на $\Omega$ [18]. В [17] доказана теорема существования континуума положительных решений задачи (1.1), (1.2) в пространстве $\mathbb R\times S$, соединяющего $(0,0)$ и $\infty$. Для доказательства Купер использовал специальную аппроксимацию разрывной нелинейности $g(x,u)$ непрерывными нелинейностями на $\Omega\times\mathbb R$. Для аппроксимирующих задач установлено существование континуума положительных решений, соединяющего $(0,0)$ и $\infty$, с помощью теоремы Красносельского [19; теорема 5.5]. Затем предельным переходом получено существование континуума положительных решений для исходной задачи. В работе [20] К.-Ч. Чанг к задаче (1.1), (1.2) с оператором $L$ в дивергентной форме применил топологический метод. Относительно правой части уравнения (1.1) у него те же предположения (a1)–(a3), что и у Купера. В отличие от Купера у Чанга $a(x,u)\geqslant 0$ на $\Omega\times\mathbb R$. Заметим, что для Купера условие $a(x,u)\leqslant 0$ на $\Omega\times\mathbb R$ существенно, и он дополнительно требует от дифференциального оператора $L$ коэрцитивности (см. [17; условие $L$-2]). В [20] Чанг формулирует теорему о существовании континуума положительных решений задачи (1.1), (1.2), соединяющего $(0,0)$ и $\infty$, в $\mathbb R\times W_p^1(\Omega)$, $p>n$, для более общего вида чем в уравнении (1.1) квазилинейного оператора $L$ эллиптического типа в дивергентной форме. Существование континуума обобщенных положительных решений задачи (1.1), (1.2), соединяющего $(0,0)$ с $\infty$, в пространстве $W_p^1(\Omega)$, утверждает Чанг, следует из [20; теорема 2.12]. Однако проверка выполнения условий этой теоремы в работе отсутствует. Приведем формулировки основных результатов данной работы. Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия: 1) область $\Omega\subset\mathbb R^n$ класса $C^{1,1}$; 2) коэффициенты дифференциального оператора $L$ удовлетворяют условиям (i1), (i2); 3) для нелинейности $g(x,t)$ выполнены условия (g1)–(g3) и для почти всех $x\in\Omega$ справедливо включение (1.3). Тогда задача (1.1), (1.2) имеет континуум обобщенных положительных решений, соединяющий $(0,0)$ и $\infty$, в пространстве $\mathbb R\times C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$, $0<\alpha<(p-n)/p$, $p>n$. Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и дополнительно выполнено условие (g4). Тогда все обобщенные решения задачи (1.1), (1.2) являются полуправильными. Доказательство теоремы 1 сводится к операторной постановке задачи (1.1), (1.2), а затем проверке выполнения условий теоремы 2.12 из [20]. Указано достаточное условие полуправильности обобщенных решений задачи (1.1), (1.2) (теорема 2). По сравнению с работами [17] и [20] ослаблены ограничения на нелинейность $g(x,u)$ (условие (a1) заменено на более общее условие (g1)). В частности, множество точек разрыва $g(x,u)$ по фазовой переменной $u$ может быть несчетным (см. пример 1). § 2. Операторная постановка задачи (1.1), (1.2), вспомогательные результатыФиксируем $p>n$ и $\alpha\in (0,(p-n)/p)$. В этом случае соболевское пространство $W_p^2(\Omega)$ компактно вложено в пространство Гёльдера $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$ (см. [21]) с нормой
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|u\| &=\sup_\Omega|u(x)|+\sup\Bigl\{\sup_\Omega|u_{x_j}|\colon j=1,\dots,n\Bigr\} \\ &\qquad+\sup\biggl\{\sup_{x,y\in\Omega,\, x\neq y} \frac{|u_{x_j}(x)-u_{x_j}(y)|}{|x-y|^\alpha}\colon j=1,\dots,n\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Норму в соболевском пространстве $W_q^l(\Omega)$ ($q\geqslant 1$, $l\in\mathbb N$) обозначим $\|\,{\cdot}\,\|_{q,l}$, а в пространстве Лебега $L_q(\Omega)$ ($1\leqslant q\leqslant\infty$) через $\|\,{\cdot}\,\|_q$. Для каждого $u\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$ определим на $E=W_p^2(\Omega)\cap\mathring{W}^1_p(\Omega)$ дифференциальный оператор $L(u)$ со значениями в $L_p(\Omega)$ равенством
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, L(u)v &\equiv-\sum_{i,j=1}^na_{ij}(x,u(x))v_{x_ix_j} \nonumber \\ &\qquad+\sum_{i=1}^nb_i(x,u(x),\nabla u(x))v_{x_i}+a(x,u(x))v\quad \forall\, v\in E. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Здесь функции $a_{ij}(x,t)$, $b_i(x,t,\eta)$ и $a(x,t)$ те же, что и в уравнении (1.1), и они удовлетворяют условиям (i1), (i2). Поэтому оператор $L(u)$ равномерно эллиптический на $\Omega$, его коэффициенты непрерывны на $\overline\Omega$ и коэффициент при $v$ неотрицателен на $\Omega$. Более того, коэффициенты $a_{ij}(x,u(x))$ непрерывно дифференцируемы на $\overline\Omega$. Отсюда следует (см. [1; лемма 9.17]), что существует постоянная $M>0$, независящая от $v\in E$, такая, что
$$
\begin{equation}
\|v\|_{p,2}\leqslant M\|L(u)v\|_p\quad \forall\, v\in E.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Отображение $L(u)\colon E\to L_p(\Omega)$ биективно (см. [1; теорема 9.15]). Из оценки (2.2) следует, что обратный оператор $L^{-1}(u)$, $u\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$, ограниченный ($E$ берется с нормой $W_p^2(\Omega))$ как оператор из $L_p(\Omega)$ в $E$. Далее будем рассматривать $L^{-1}(u)$ как оператор, действующий из $L_p(\Omega)$ в $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$. В силу компактности вложения $W_p^2(\Omega)$ в $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$ ($p>n$, $\alpha\in (0,(p-n)/p)$) оператор $L^{-1}(u)$ компактный. Имеет место следующая лемма. Лемма 1. Пусть выполнены условия (i1), (i2), и $B(\theta,R)$ – шар в пространстве $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$ радиуса $R$ с центром в нуле $\theta$ этого пространства. Тогда существует постоянная $M>0$, зависящая только от $R$, такая, что для произвольного $u\in B(\theta,R)$ верна оценка (2.2). Доказательство. Из условий (i1), (i2) следует, что для каждого $u\in B(\theta,R)$ существует постоянная $C>0$, независящая от $v\in E$, такая, что
$$
\begin{equation}
\|v\|_{p,2}\leqslant C(\|L(u)v\|_p+\|v\|_p)\quad \forall\, v\in E.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Постоянная $C$ зависит от $\chi(\|u\|_\infty)$ ($\chi(t)$ – функция из условия (i1)), $\|da_{ij}(x,u(x))/dx_s\|_\infty$, $\|b_i(x,u(x),\nabla u(x))\|_\infty$, $\|a(x,u(x))\|_\infty$ и $\mu(\|u\|_\infty)$, где $\mu(r)=\max\bigl\{\max\{|a_{ij}(x,t)|\colon x\in\overline\Omega,\, |t|\leqslant r\},\ i,j=1,\dots,n\bigr\}$ [22; с. 233]. Константу $C$ можно выбрать неубывающей от перечисленных выше величин. На шаре $B(\theta,R)$ величины $\chi(\|u\|_\infty)$, $\|da_{ij}(x,u)/dx_s\|_\infty$, $\|b_i(x,u,\nabla u)\|_\infty$, $\|a(x,u)\|_\infty$ и $\mu(\|u\|_\infty)$ ограничены. Поскольку $C$ монотонно зависит от этих величин и они ограничены, то можно указать значение $C$ равное $C_1$, которое годится для всех $u\in B(\theta,R)$.
Получим оценку для $\|v\|_p$ через $\|L(u)v\|_p$ для произвольного $v\in E$, справедливую для всех $u\in B(\theta,R)$. В начале оценим $\sup_\Omega|v(x)|$. Запишем $v(x)$ в виде $v(x)=v^+(x)+v^-(x)$, где $v^+(x)=\max\{v(x),0\}$, $v^-(x)=\min\{v(x),0\}$. Тогда $(-v(x))^+=-v^-(x)$, $|v(x)|=v^+(x)+(-v)^+(x)$, $\sup_\Omega v^+(x)=\sup_\Omega v(x)$ и $\sup_\Omega (-v)^+(x)=\sup_\Omega (-v(x))$. Для оператора $L(u)$ через $D$ обозначим определитель матрицы $A(x,u)$ с элементами $a_{ij}(x,u(x))$, а через $D^*=D^{1/n}$ – среднее геометрическое собственных значений матрицы $A(x,u)$ (в силу условия (i1) матрица $A$ – положительно определенная). Заметим, что $D^*\in [\lambda_{\min},\lambda_{\max}]$, где $\lambda_{\min}$, $\lambda_{\max}$ – наименьшее и наибольшее собственные значения матрицы $A(x,u)$ соответственно. Пусть $L(u)v=f$, $u\in B(\theta,R)$, $v\in E$, и, значит, $v=L^{-1}(u)f$. Согласно слабому принципу максимума Александрова (см. [1; теорема 9.1])
$$
\begin{equation*}
\sup_\Omega v(x)\leqslant\sup_{\partial\Omega} v^+(x)+C_2\|f/D^*\|_n,
\end{equation*}
\notag
$$
где постоянная $C_2$ зависит только от $n$, $\operatorname{diam}\Omega$ и $\|b_j(x,u(x),\nabla u(x))/D^*\|_n$, $j=1,\dots,n$, монотонно. В силу условия (i1) найдется постоянная $\alpha>0$ такая, что $\lambda_{\min}>\alpha$ для всех $u\in B(\theta,R)$. Отсюда и из ограниченности $\|b_j(x,u(x),\nabla u(x))\|_n$, $j=1,\dots,n$, на $B(\theta,R)$ следует, что постоянную $C_2/D^*$ можно выбрать независящей от $u\in B(\theta,R)$. В результате с учетом того, что $v(x)=0$ на $\partial\Omega$, заключаем о существовании постоянной $C_3$, независящей от $u\in B(\theta,R)$, для которой $\sup_\Omega v^+(x)=\sup_\Omega v(x)\leqslant C_3\|L(u)v\|_n$ для любого $v\in E$ и $u\in B(\theta,R)$. Аналогично, заменяя $v$ на $-v$, и учитывая, что $L(u)(-v)=-f$, получаем оценку $\sup_\Omega (-v^-(x))=\sup_\Omega (-v(x))\leqslant C_4\|L(u)v\|_n$ для любого $v\in E$ и $u\in B(\theta,R)$. Здесь постоянная $C_4$ не зависит от выбора $u\in B(\theta,R)$. Таким образом,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sup_\Omega |v(x)| &=\sup_\Omega (v^+(x)+(-v^-(x))) \nonumber \\ &\leqslant \sup_\Omega v^+(x)+\sup_\Omega (-v^-(x)) \le (C_3+C_4)\|L(u)v\|_n \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
для любого $v\in E$ и $u\in B(\theta,R)$. Поскольку $p>n$, то $L_p(\Omega)$ непрерывно вложено в $L_n(\Omega)$. Пространство $L_\infty(\Omega)$ непрерывно вложено в $L_p(\Omega)$. Отсюда из оценки (2.4) следует существование постоянной $C_5$, независящей от $u\in B(\theta,R)$, такой, что $\|v\|_p\leqslant C_5 \|L(u)v\|_p$ для любого $v\in E$ и произвольного $u\in B(\theta,R)$. Последняя оценка вместе с неравенством (2.3), в котором $C$ заменена на $C_1$, влечет (2.2) для произвольного $u\in B(\theta,R)$ с константой $M=C_1(1+C_5)$, независящей от $u\in B(\theta,R)$. Лемма 1 доказана. Пусть функция $g(x,t)$ удовлетворяет условию 3) теоремы 1. Сопоставим ей многозначное отображение $G$ из $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$ в $L_p(\Omega)$, положив для любого $u\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, G(u) &=\{z\colon \Omega\to\mathbb R\colon z \text { - измеримая на } \Omega, \text{ и } \nonumber \\ &\qquad z(x)\in [g_-(x,u(x)),\,g_+(x,u(x))] \text { почти всюду на } \Omega\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
В дальнейшем понадобятся два факта. Предложение 1 (см. [23; лемма]). Пусть $T\colon E_1\to E_2$ – локально ограниченное отображение на банаховом пространстве $E_1$, и банахово пространство $E_2$ рефлексивно. Тогда овыпукливание оператора $T$ слабо-сильно замкнуто, т. е. из $u_n\to u$, $y_n\in T^\Box u_n$, $y_n\rightharpoonup y$ следует, что $y\in T^\Box u$ ($\operatorname{\overline{co}}V$ – замкнутая выпуклая оболочка множества $V$ в $E_2$, $\rightharpoonup$ означает слабую сходимость). Предложение 2 (см. [2; теорема 27.1]). Пусть функция $f(x,t)$ борелева $(\operatorname{mod} 0)$ на $\Omega\times\mathbb R$ ($\Omega$ – ограниченная область в $\mathbb R^n$), и для почти всех $x\in\Omega$ верна оценка где $a(x)\in L_s(\Omega)$, $b$ – положительная константа, $s\geqslant 1$, $q\geqslant 1$. Отображение $F(u)=f(x,u(x))$ понимается как отображение из $L_q(\Omega)$ в $L_s(\Omega)$. Для функции $f(x,{\cdot}\,)\colon \mathbb R\to\mathbb R$ ($x\in\Omega$) через $f_t^\Box$ обозначим ее овыпукливание,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_t^\Box(u) &=\{z\colon \Omega\to\mathbb R\colon z(x) \textit { - измеримая функция на } \Omega, \textit { и} \\ &\qquad\qquad z(x)\in f_t^\Box(x,u(x))\textit { почти всюду на } \Omega \}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда значения $F_t^\Box$ и $F^\Box$ лежат в $L_s(\Omega)$ и $F_t^\Box=F^\Box$ на $L_q(\Omega)$. Справедлива следующая лемма. Лемма 2. Пусть функция $g(x,t)$ удовлетворяет условию 3) теоремы 1, и $G$ – многозначное отображение, заданное на $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$ равенством (2.5). Тогда 1) значения $G$ лежат в $L_p(\Omega)$, и $G$ ограниченные множества в $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$ переводит в ограниченные в $L_p(\Omega)$; 2) значения $G$ – выпуклые и замкнутые множества в $L_p(\Omega)$; 3) отображение $G$ слабо-сильно замкнуто, т. е. если $u_n\to u$ в $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$, $y_n\in G(u_n)$ и $y_n\rightharpoonup y$, то $y\in G(u)$. Доказательство. В силу условия (g2) значение $G(u)\subset L_p(\Omega)$ для любого $u\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$ и, если $U$ – ограниченное множество в $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$, то $G(U):=\bigcup_{u\in U}G(u)$ – ограниченное множество в $L_p(\Omega)$. Согласно условию 3) теоремы 1 $g(x,u(x))\in G(u)$ для любого $u\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$. Заключение 1) доказано.
Докажем 2). Пусть $u\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$, $y_1$, $y_2\in G(u)$. Тогда для почти всех $x\in\Omega$, $j=1,2$. Поэтому для любого $t\in [0,1]$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (1-t)y_1(x)+ty_2(x)\geqslant (1-t)g_-(x,u(x))+tg_-(x,u(x))=g_-(x,u(x)), \\ (1-t)y_1(x)+ty_2(x)\leqslant (1-t)g_+(x,u(x))+tg_+(x,u(x))=g_+(x,u(x)) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
почти всюду на $\Omega$, т. е. для любого $t\in [0,1]$ Выпуклость $G(u)$ установлена.
Пусть теперь $(y_n)\subset G(u)$ и $y_n\to y$ в $L_p(\Omega)$. Существует подпоследовательность $(y_{n_k})$ последовательности $(y_n)$ такая, что $y_{n_k}(x)\to y(x)$ почти всюду на $\Omega$. Поскольку $y_{n_k}\in G(u)$, то $g_-(x,u(x))\leqslant y_{n_k}(x)\leqslant g_+(x,u(x))$ почти всюду на $\Omega$. Переходя к пределу при $k\to\infty$, получим $g_-(x,u(x))\leqslant y(x)\leqslant g_+(x,u(x))$ почти всюду на $\Omega$, т. е. $y\in G(u)$. Замкнутость $G(u)$ доказана. Перейдем к доказательству заключения 3) леммы 2. Пусть $(u_n)\subset C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$, $u_n\to u$ в $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$, $y_n\in G(u_n)$, и $y_n\rightharpoonup y$ в $L_p(\Omega)$. Заметим, что $g_t^\Box(x,t)=[g_-(x,t),g_+(x,t)]$. Поэтому $G(v)=G_t^\Box(v)$ для произвольного $v\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$. Существует постоянная $c>0$ такая, что для любого $n\in\mathbb N$ имеем $|u_n(x)|\leqslant c$ для любого $x\in\overline\Omega$ и $|u(x)|\leqslant c$ для любого $x\in\overline\Omega$, поскольку $u_n\to u$ в $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$. Определим функцию $\widehat{g}(x,t)$ на $\Omega\times\mathbb R$ следующим образом: $\widehat{g}(x,t)=g(x,t)$ при $(x,t)\in\Omega\times [-c-\varepsilon,c+\varepsilon]$ ($\varepsilon>0$ фиксировано), $\widehat{g}(x,t)=g(x,-c-\varepsilon)$, если $x\in\Omega$, $t<-c-\varepsilon$, и $\widehat{g}(x,t)=g(x,c+\varepsilon)$, если $x\in\Omega$, $t>c+\varepsilon$. Тогда $\widehat{g}(x,t)$ борелева $(\operatorname{mod} 0)$ на $\Omega\times\mathbb R$, и в силу оценки из условия (g2) имеем на $\Omega\times\mathbb R$, где $d(x)\in L_p(\Omega)$. Следовательно, для $f(x,t)=\widehat{g}(x,t)$ выполнены условия предложения 2 с $s=p$ и $q\geqslant 1$. Из чего заключаем, что овыпукливание оператора $F(v)=\widehat{g}(x,v(x))$, $v\in L_p(\Omega)$, совпадает с $F_t^\Box(v)$ с $f(x,t)=\widehat{g}(x,t)$. В силу предложения 1 отображение $F_t^\Box$ слабо-сильно замкнуто как многозначное отображение из $L_q(\Omega)$ в $L_p(\Omega)$. Так как из сходимости $(u_n)$ в $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$ к $u(x)$ следует сходимость $(u_n)$ к $u(x)$ в $L_q(\Omega)$ и $y_n\in G(u_n)=F_t^\Box(u_n)$, $y_n\rightharpoonup y$ в $L_p(\Omega)$, то $y\in F_t^\Box(u)=G(u)$. Заключение 3) леммы 2 доказано. Лемма 2 доказана.Имеет место следующая лемма. Лемма 3. Пусть для коэффициентов дифференциального оператора $L$ в уравнении (1.1) выполнены условия (i1), (i2), $p>n$, $\alpha\in (0,(p-n)/p)$, $u_0\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$ и $r>0$. Тогда существует постоянная $K>0$ такая, что для любого $u$ из шара $B(u_0,r)$ в пространстве $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$ и $v\in W_p^2(\Omega)$ верно неравенство где $\|\,{\cdot}\,\|$ – норма в $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$. Доказательство. Пусть $u\in B(u_0,r)$, $v\in W_p^2(\Omega)$. Оценим поточечно на $\Omega$ функцию $B(x)=|(L(u(x))-L(u_0(x)))v(x)|$. Имеем для почти всех $x\in\Omega$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, B(x) &\leqslant\sum_{i,j=1}^n|a_{ij}(x,u(x))-a_{ij}(x,u_0(x))|\cdot|v_{x_ix_j}(x)| \\ &\qquad+\sum_{i=1}^n|b_i(x,u(x),\nabla u(x))-b_i(x,u_0(x),\nabla u_0(x))|\cdot|v_{x_i}(x)| \\ &\qquad+|a(x,u(x))-a(x,u_0(x))|\cdot|v(x)|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, применяя формулу Лагранжа, получим для почти всех $x\in\Omega$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &B(x) \leqslant\sum_{i,j=1}^n \bigl|a_{{ij}_t}\bigl(x,u_0(x)+\theta_{ij}(u(x)-u_0(x))\bigr)\bigr| \cdot|u(x)-u_0(x)|\cdot|v_{x_ix_j}(x)| \nonumber \\ &+ \sum_{i=1}^n\biggl(\sum_{s=1}^n\bigl|b_{i_{\eta_s}}\bigl(x,u_0(x)+\theta_i(u(x)-u_0(x)),\, \nabla u_0(x)+\theta_i\nabla (u-u_0)(x)\bigr)\bigr| \nonumber \\ &\ \times |u_{x_s}(x)\,{-}\,u_{0_{x_s}}(x)| \,{+}\, \bigl|b_{i_t}\bigl(x,u_0(x)\,{+}\,\theta_i(u(x)\,{-}\,u_0(x)),\, \nabla u_0(x)\,{+}\,\theta_i\nabla (u\,{-}\,u_0)(x)\bigr)\bigr| \nonumber \\ &\ \times |u(x)-u_0(x)|\biggr)\cdot |v_{x_i}(x)| \nonumber \\ &+ \bigl|a_t\bigl(x,u_0(x)+\theta_0(u(x)-u_0(x))\bigr)\bigr|\cdot|u(x)-u_0(x)|\cdot|v(x)|, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где $\theta_{ij}(x)$, $\theta_i(x)$ и $\theta_0(x)$ из интервала $(0,1)$. Для любого $u\in B(u_0,r)$ имеем $\|u\|\leqslant r+\|u_0\|$ в пространстве $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$. По условию производные $a_{{ij}_t}(x,t)$, $a_t(x,t)$ непрерывны на $\overline\Omega\times\mathbb R$, а $b_{i_{\eta_s}}(x,t,\eta)$ и $b_{i_t}(x,t,\eta)$ непрерывны на $\overline\Omega\times\mathbb R\times\mathbb R^n$. Поэтому они ограничены на ограниченных подмножествах множеств $\overline\Omega\times\mathbb R$ и $\overline\Omega\times\mathbb R\times\mathbb R^n$ соответственно. Из чего заключаем о существовании постоянной $K_1>0$, ограничивающей значения производных коэффициентов оператора $L$ из уравнения (1.1) в неравенстве (2.7) для почти всех $x\in\Omega$ и любого $u\in B(u_0,r)$. Отсюда в силу неравенства (2.7) получим оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, B(x) &\leqslant K_1\|u-u_0\|\sum_{i,j=1}^n|v_{x_ix_j}(x)| \\ &\qquad+K_1\|u-u_0\|\cdot \sum_{i=1}^n\sum_{s=1}^{n+1}1\cdot|v_{x_i}(x)| +K_1\|u-u_0\|\cdot|v(x)| \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
почти всюду на $\Omega$, любого $u\in B(u_0,r)$ и $v\in W_p^2(\Omega)$. Из чего следует
$$
\begin{equation*}
\|B\|_p\leqslant K_1(n^2+n(n+1)+1)\cdot\|u-u_0\|\cdot\|v\|_{p,2}
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $u\in B(u_0,r)$ и $v\in W_p^2(\Omega)$. Таким образом, установлено (2.6) с константой $K=K_1(2n^2+n+1)>0$. Лемма 3 доказана. Существование обобщенного решения задачи (1.1), (1.2) в пространстве $W_p^2(\Omega)$ ($p>n$) эквивалентно существованию решения у включения в пространстве $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$, где оператор $L^{-1}(u)$, $u\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$, определен выше, отображение $G$ задается формулой (2.5), $\lambda\geqslant 0$.Положим для любого $u\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$. Тогда включение (2.8) примет вид $u\in\lambda\Phi(u)$, где $\lambda\geqslant 0$.Справедлива следующая лемма. Лемма 4. Пусть выполнены условия 1)–3) теоремы 1. Тогда отображение $\Phi$, определенное формулой (2.9), обладает следующими свойствами: 1) образ любого ограниченного множества из $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$ при отображении $\Phi$ – предкомпактное множество в $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$; 2) значения $\Phi$ – выпуклые компакты в $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$; 3) отображение $\Phi$ полунепрерывно сверху на $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$ [24], т. е. для любого $u_0\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$ и произвольного открытого множества $U\supset\Phi(u_0)$ найдется окрестность $V$ точки $u_0$ такая, что $\Phi(V)\subset U$. Доказательство. Пусть $A$ – ограниченное множество в $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$, т. е. найдется шар $B(\theta,R)$, содержащий $A$ ($\theta$ – нуль пространства, $R>0$). В силу леммы 1 существует постоянная $M>0$ такая, что для любых $u\in B(\theta,R)$ и $v\in W_p^2(\Omega)$ верно неравенство (2.2).
Из заключения 1) леммы 2 следует ограниченность множества $G(A)$ в $L_p(\Omega)$, т. е. существование постоянной $C>0$ такой, что для любого $z\in G(A)$ имеем $\|z\|_p\leqslant C$. Последнее влечет оценку $\|L(u)v\|_p\leqslant C$ для любых $u\in A$ и $v\in\Phi(u)$. Отсюда и оценки (2.2) следует, что $\|v\|_{p,2}\leqslant MC$ для любого $v\in\Phi(A)$. Из чего заключаем о предкомпактности множества $\Phi(A)$, поскольку вложение $W_p^2(\Omega)$ в $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$ компактно ($p>n$, $0<\alpha<(p-n)/p$). Докажем, что значения $\Phi$ – выпуклые компакты в $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$. Пусть $u\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$. В силу леммы 2 множество $G(u)$ ограниченное, выпуклое и замкнутое в $L_p(\Omega)$. Поскольку при фиксированном $u$ оператор $L^{-1}(u)$ линейный и компактный из $L_p(\Omega)$ в $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$, то множество $\Phi(u)=L^{-1}(u)G(u)$ выпуклое и предкомпактное. Осталось доказать, что оно замкнутое. Пусть $(v_n)\subset\Phi(u)$ и $v_n\to v$ в $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$. Тогда $v_n=L^{-1}y_n$, где $y_n\in G(u)$. Так как $L_p(\Omega)$ рефлексивно, а множество $G(u)$ ограниченное, то существует подпоследовательность $(y_{n_k})$, слабо сходящаяся к $y$. Поскольку ограниченное множество $G(u)$ выпуклое и замкнутое, то $y\in G(u)$. Из слабой сходимости $(y_{n_k})$ к $y$ и компактности оператора $L^{-1}(u)$ следует, что $L^{-1}(u)y_{n_k}\to L^{-1}(u)y$. Значит, $v=L^{-1}(u)y\in\Phi(u)$. Замкнутость $\Phi(u)$ установлена. Перейдем к доказательству заключения 3) леммы 4. Необходимо показать, что для любого $u_0\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$ и произвольного числа $\varepsilon>0$ найдется число $\delta>0$ такое, что $\Phi(B(u_0,\delta))\subset\Phi(u_0)+B(\theta,\varepsilon)$, $\theta$ – нулевой элемент пространства $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$. Последнее включение означает, что для любых $u\in B(u_0,\delta)$ и $v\in\Phi(u)$ найдется $v_0\in\Phi(u_0)$ такой, что $\|v-v_0\|<\varepsilon$. Фиксируем $u_0\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$ и $\varepsilon>0$. Согласно лемме 1 существует постоянная $M>0$ такая, что для произвольных $u\in B(u_0,1)$ и $v\in W_p^2(\Omega)$ верна оценка (2.2): Поскольку пространство $W_p^2(\Omega)$ компактно вложено в $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$, то существует константа $C>0$ такая, что
$$
\begin{equation}
\|v\|\leqslant C\|v\|_{p,2}\quad\forall\, v\in W_p^2(\Omega).
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Известно [2], что отображение $G$ как многозначная функция из $C(\overline\Omega)$ в $L_p(\Omega)$ полунепрерывно сверху. Поскольку пространство $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$ компактно вложено в $C(\overline\Omega)$, то $G$ и как отображение из $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$ в $L_p(\Omega)$ будет полунепрерывно сверху. Поэтому по данному $\varepsilon>0$ найдется $\delta_1>0$ такое, что для любого $u\in B(u_0,\delta_1)$ справедливо включение
$$
\begin{equation}
G(u)\subset G(u_0)+B\biggl(\theta,\frac{\varepsilon}{2MC}\biggr),
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
где $M$ и $C$ константы из неравенств (2.2) и (2.10) соответственно. Поскольку множество $\Phi(u_0)$ ограниченное в $W_p^2(\Omega)$, то найдется $\delta_2>0$ такое, что
$$
\begin{equation}
\delta_2K\|w\|_{p,2}<\frac{\varepsilon}{2MC}\quad\forall\, w\in\Phi(u_0),
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
где константа $K$ соответствует шару $B(u_0,1)$ в неравенстве (2.6) (см. лемму 3).
Выберем $\delta=\min\{1,\delta_1,\delta_2\}$. Покажем, что $\Phi(B(u_0,\delta))\subset\Phi(u_0)+B(\theta,\varepsilon)$. Пусть $u\in B(u_0,\delta)$ и $v\in\Phi(u)$. Тогда $v=L^{-1}(u)y$, где $y\in G(u)$. В силу (2.11) найдется $y_0\in G(u_0)$ такой, что $\|y-y_0\|_p<\varepsilon/(2MC)$. Положим $v_0=L^{-1}(u_0)y_0$. Заметим, что $v_0\in\Phi(u_0)$. Оценим $\|v-v_0\|$. В силу (2.2) и (2.10) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|v-v_0\| &\leqslant C\|v-v_0\|_{p,2}\leqslant CM\|L(u)(v-v_0)\|_p \nonumber \\ &\le CM\bigl(\|(L(u)-L(u_0))v_0\|_p+\|L(u)v-L(u_0)v_0\|_p\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Заметим, что $L(u)v=y$, $L(u_0)v_0=y_0$, и в силу леммы 3
$$
\begin{equation*}
\|(L(u)-L(u_0))v_0\|_p\leqslant K\|u-u_0\|\cdot\|v_0\|_{p,2}\leqslant K\delta_2\|v_0\|_{p,2}<\frac{\varepsilon}{2MC}
\end{equation*}
\notag
$$
(воспользовались неравенством (2.12)). Отсюда в силу (2.13) с учетом выбора $y_0$ получим
$$
\begin{equation*}
\|v-v_0\|\leqslant CM\biggl(\frac{\varepsilon}{2MC} +\|y-y_0\|_p\biggr)<\frac{\varepsilon}2+\frac{\varepsilon}2=\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
На этом доказательство полунепрерывности сверху отображения $\Phi$ завершается. Лемма 4 доказана. Пусть $X$, $Y$ – банаховы пространства, $S$ – метрическое пространство, $\Gamma(Y)$ – множество всех непустых замкнутых выпуклых подмножеств $Y$. Предположим, что отображение $\varphi_1 \colon S\to \Gamma (Y)$ – компактное, т. е. оно полунепрерывно сверху на $S$, и $\varphi_1(S)$ – предкомпактное множество в $Y$, $\varphi_2 \colon Y\to X$ – однозначное непрерывное отображение. Тогда $\varphi=\varphi_2\circ\varphi_1\colon S\to 2^X$ называется компактной последовательностью отображений первого типа (см. [20]). Имеет место следующая лемма. Лемма 5. Пусть выполнены условия 1)–3) теоремы 1. Тогда для любого открытого ограниченного множества $A$ в пространстве $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$ отображение $\Phi$, определенное формулой (2.9), есть компактная последовательность первого типа на $\overline A$. Доказательство. Положим $X=Y=C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$, $S=\overline A$ с метрикой пространства $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$, $\varphi_1=\Phi\vert {}_{\overline A}$, $\varphi_2$ – тождественное отображение в $C^{1,\alpha}(\Omega)$. В силу леммы 4 отображение $\varphi_1\colon S\to\Gamma (Y)$ – компактное, а $\varphi_2\colon Y\to X$ – однозначное непрерывное отображение. Поскольку $\Phi\vert {}_{\overline A}=\varphi_2\circ\varphi_1$, то оно является компактной последовательностью первого типа на $\overline A$. Лемма 5 доказана. Доказательство утверждения теоремы 1 о существовании континуума обобщенных положительных решений, соединяющего $(0,0)$ и $\infty$, сводится к проверке условий теоремы 2.12 из [20]. Приведем ее формулировку. Теорема 3. Пусть $X$, $Y$ – вещественные банаховы пространства, и $X$ полуупорядочено конусом $P$, $\varphi=\varphi_2\circ\varphi_1\colon [0,R]\times \overline A\to \Gamma(Y)\to 2^P$ – компактная последовательность отображений первого типа для каждого $R>0$ и произвольного открытого ограниченного множества $A\subset P$. Предположим, что $\varphi(0,\theta)=\theta$ ($\theta$ – нуль пространства $X$) и $\theta$ – единственная неподвижная точка отображения $\varphi(0,{\cdot}\,)$. Кроме того, предположим, что существует $\rho>0$, для которого $\nu x\notin\varphi(0,x)$ для любых $x\in S_\rho^+=\{y\in P\colon \|y\|=\rho\}$ и $\nu\geqslant 1$. Тогда множество решений $\Sigma=\{(\lambda,x)\in\mathbb{R}_+\times P\colon x\in\varphi(\lambda,x)\}$ содержит неограниченное связное и замкнутое подмножество, содержащее $(0,\theta)$ (т. е. континуум положительных решений включения $x\in\varphi(\lambda,x)$, соединяющий $(0,\theta)$ и $\infty$). Теорему 3 можно рассматривать как аналог теоремы Лере–Шаудера для многозначных отображений. Теорема 3 доказывается с помощью теории степени, построенной Чангом в [20] для компактных последовательностей отображений. Ниже приведем ответ на вопрос, что помешало провести доказательство теоремы 1 по схеме Купера. На первом этапе доказательства основной теоремы в [17] Купер устанавливает существование континуума положительных решений для аппроксимирующей задачи с непрерывной нелинейностью в правой части. Доказательство этого опирается на общую теорему из [25; теорема 2.5], которая является следствием теоремы Красносельского о собственном векторе [19; теорема 5.5]. В теореме 2.5 из [25] утверждается следующее. Если в банаховом пространстве $Y$, полуупорядоченном конусом $K$, оператор $T\colon [0,\infty)\times K\to K$ компактный и непрерывный, то существует континуум положительных решений уравнения $x=\lambda T(\lambda,x)$, соединяющий $(0,0)$ и $\infty$. Положительность решения $(\lambda,x)$ означает, что $\lambda\geqslant 0$ и $x\in K$. Если в теореме 1 нелинейность $g(x,u)$ аппроксимировать непрерывными нелинейностями также как у Купера, то, используя лемму 4 и предположение (g3), можно доказать, что оператор $T_k(u)\equiv L^{-1}(u)G_k(u)$, действующий в $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$, компактный и непрерывный, причем $T_k(K)\subset K$, где $K$ – конус неотрицательных функций в пространстве $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$. Здесь $G_k$ – оператор Немыцкого, порожденный аппроксимирующей $g(x,u)$ нелинейностью $g_k(x,u)$. В силу теоремы 2.5 из [25] следует существование континуума положительных решений в $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$ для аппроксимирующих задач (это следует и из [3; теорема 17]). Таким образом, первый этап доказательства по схеме Купера проходит и в условиях теоремы 1. На втором этапе доказательства у Купера реализуется предельный переход. В его обосновании ключевым является следующее утверждение. Если последовательность решений аппроксимирующих задач сходится в $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$, то предельная функция – это сильное решение исходной задачи с разрывной нелинейностью. При доказательстве этого утверждения Купер использовал ряд предположений, которые не следуют из условий теоремы 1. Такими являются предположение (a1) о структуре нелинейности $g(x,u)$ (которое влечет, что число точек разрыва $g(x,u)$ по $u$ не более чем счетно), дивергентная форма уравнения и коэрцитивность левой части в $\mathring{W}^1_2(\Omega)$ [17; условие $L$-2], неположительность $a(x,u)$. По этой причине реализация второго этапа в схеме Купера при выполнении условий теоремы 1 оказалась проблематичной. Для доказательства утверждения теоремы 2 о полуправильности обобщенных решений понадобится еще одна лемма. Лемма 6. Пусть $\Omega$ – ограниченная область в $\mathbb R^n$ класса $C^{1,1}$, равномерно эллиптический дифференциальный оператор в $\Omega$, коэффициенты которого $a_{ij}(x)$ непрерывно дифференцируемы, а $b_i(x)$ непрерывны в $\overline\Omega$. Предположим, что $u\in W_p^2(\Omega)$ ($p>n$) сильное решение задачи где функция $f$ положительная на $\Omega$ и принадлежит $L_p(\Omega)$, а множество $\sigma\subset\mathbb R$ имеет меру нуль. Тогда $u^{-1}(\sigma):=\{x\in\Omega\colon u(x)\in\sigma\}$ – множество меры нуль. Доказательство. Допустим противное, т. е. $\operatorname{mes}_nu^{-1}(\sigma)\neq 0$ ($\operatorname{mes}_n$ – мера Лебега в $\mathbb R^n$). Так как $p>n$, то $u\in C^1(\overline\Omega)$. Значит, $\nabla u(x)$ непрерывна на $\overline\Omega$. Поскольку $u\in W_p^2(\Omega)$, то $u_{x_i}(x)\in W_p^1(\Omega)$, $i=1,\dots,n$. Поэтому, если $A=\{x\in\overline\Omega\colon \nabla u(x)=0\}$, то обобщенные производные $u_{x_ix_j}(x)$ равны нулю почти всюду на $A$ (см. [1; лемма 7.7]). Из чего следует, что $Lu(x)=0$ почти всюду на $A$. Однако это возможно только если $\operatorname{mes}_nA=0$, поскольку $Lu(x)=f(x)>0$ почти всюду на $\Omega$. В силу непрерывности $\nabla u(x)$ на $\overline\Omega$ множество $A$ замкнуто, поэтому его дополнение $A^c=\Omega\setminus A$ открыто. Множество $u^{-1}(\sigma)$ измеримое и содержится в $\Omega$. По предположению его мера не равна нулю. Поскольку $\operatorname{mes}_nA=0$ и $A^c$ открыто, то найдется $n$-мерный параллелепипед $\Pi=[a_1,b_1]\times\dots\times[a_n,b_n]$, содержащийся в $A^c$, такой, что $\operatorname{mes}_n(u^{-1}(\sigma)\cap\Pi)\neq 0$. Более того, $\Pi$ можно выбрать так, что для некоторых $i_0\in \{1,\dots,n\}$ и $\varepsilon>0$ дополнительно $|u_{x_{i_0}}(x)|\geqslant\varepsilon$ на $\Pi$. Не теряя общности, можно считать $i_0=1$. Определим отображение $R\colon \Pi\to\mathbb R^n$ равенством $R(x)=R(x_1,x_2,\dots,x_n)=(u(x),x_2,\dots,x_n)$ для произвольного $x\in\Pi$. Функция $R\in C^1(\Pi)$ и ее якобиан равен $u_{x_1}(x)$. Согласно обобщенной лемме Сарда [26] отображение $R^{-1}$ переводит множества меры нуль в множества меры нуль. Из чего следует, что $R$ отображает множества положительной меры в множества положительной меры. Этим же свойством обладает функция $\varrho\colon \mathbb R^n\to\mathbb R$, $\varrho(y_1,\dots,y_n)=y_1$, а значит, и композиция $\varrho\circ R$, совпадающая с $u|_\Pi$. Поскольку $\operatorname{mes}_n(u^{-1}(\sigma)\,{\cap}\,\Pi)>0$, то в силу доказанного выше множество $u(u^{-1}(\sigma)\cap\Pi)\subset\sigma$ имеет положительную меру. С другой стороны, $\operatorname{mes}_1\sigma=0$ по условию леммы 6. Получено противоречие. Лемма 6 доказана. Заметим, что доказательство леммы 6 аналогично доказательству теоремы 6 из работы [3]. Однако в [3] оператор $L$ записан в дивергентной форме и предполагается его коэрцитивность: существует постоянная $c>0$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\int_\Omega\biggl(\sum_{i,j=1}^na_{ij}(x)v_{x_i}v_{x_j}+\sum_{i=1}^nb_i(x)v_{x_i}v\biggr)\, dx\geqslant c\|v\|_{2,1}^2\quad \forall\, v\in\mathring{W}^1_2(\Omega).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $Lv\equiv -\sum_{i,j=1}^n(a_{ij}(x)v_{x_i})_{x_j}+\sum_{i=1}^nb_i(x)v_{x_i}$.
§ 3. Доказательство основных результатов Доказательство теоремы 1. Существование обобщенного решения задачи (1.1), (1.2) в пространстве $W_p^2(\Omega)$ ($p>n$) эквивалентно существованию решения включения $u\in\lambda\Phi(u)$ в пространстве $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$, $0<\alpha<(p-n)/p$, $\Phi(u)=L^{-1}(u)G(u)$, где оператор $L(u)$ определен равенством (2.1), $L^{-1}(u)$ – оператор, обратный к $L(u)$, рассмотренный как оператор из $L_p(\Omega)$ в $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$, отображение $G$ задано формулой (2.5), $\lambda\geqslant 0$.
Введем частичную упорядоченность в вещественном банаховом пространстве $X=C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$ с помощью конуса $P$ неотрицательных функций из $C^{1,\alpha}(\overline\Omega)$: $u\leqslant v$, если $u(x)\leqslant v(x)$ на $\overline\Omega$. В силу условия (g3) для некоторой положительной на $\Omega$ функции $\beta(x)$ верно неравенство $g(x,t)\geqslant \beta(x)$ для любых $(x,t)\in\Omega\times\mathbb R$. Поэтому из сильного принципа максимума [1] следует, что обобщенные решения задачи (1.1), (1.2) положительные в $\Omega$, если $\lambda>0$. Из чего заключаем, что значения отображения $\varphi(\lambda,u)=\lambda\Phi(u)$, $\lambda\geqslant 0$, лежат в конусе $P$. Поскольку $\varphi(0,u)\equiv\theta$ ($\theta$ – нулевой элемент в $X$), то у $\varphi(0,{\cdot}\,)$ единственная неподвижная точка $\theta$ и для любого $u\neq\theta$ и произвольного $\nu\geqslant 1$ элемент $\nu u\notin\varphi(0,u)$. В силу леммы 5 для любого открытого ограниченного множества $A$ в пространстве $X$ отображение $\Phi$ – компактная последовательность первого типа на $\overline A$. Отсюда следует, что для любого открытого ограниченного множества $A$ в $X$ и произвольного $R>0$ отображение $\varphi(\lambda,u)$ на $[0,R]\times\overline A$ – компактная последовательность первого типа. Таким образом, выполнены все условия теоремы 3 с $Y=X$. Поэтому существует континуум обобщенных положительных решений задачи (1.1), (1.2), соединяющий $(0,\theta)$ и $\infty$. Теорема 1 доказана. Доказательство теоремы 2. Пусть $(\lambda,u)$ – обобщенное решение задачи (1.1), (1.2). Тогда существует измеримая на $\Omega$ функция для почти всех $x\in\Omega$ такая, что почти всюду на $\Omega$, $u(x)=0$ на $\partial\Omega$. Из условия (g3) следует, что $z(x)>0$ почти всюду на $\Omega$. Если в уравнении (1.1) функция $a(x,t)\equiv 0$ на $\overline\Omega\times\mathbb R$, а функции $a_{ij}(x,t)$ и $b_i(x,t,\eta)$ удовлетворяют условиям (i1), (i2), то оператор $L(u(x))$ в уравнении (3.1) удовлетворяет условиям леммы 6. Из условия (g4) следует, что за исключением множества $\omega\subset\Omega$ меры нуль, множество $\sigma$ значений $u(x)$, для которых $g_-(x,u(x))\neq g_+(x,u(x))$, имеет меру нуль. В силу леммы 6 имеем, что $u^{-1}(\sigma)$ – множество меры нуль. Из чего следует, что $(\lambda,u)$ – полуправильное решение задачи (1.1), (1.2). Теорема 2 доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PavPot22} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|