| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Полуправильные многогранники Госсета В. Н. Берестовскийa, Ю. Г. Никоноровb a Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск b Южный математический институт Владикавказского научного центра Российской академии наук, г. Владикавказ
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9169e 
Реферативные базы данных:
    § 1. Введение и основной результатВ статье [1] введены и рассмотрены класс конечных однородных метрических пространств, его подклассы нормальных, обобщенных нормальных и сильно обобщенных нормальных однородных пространств, однородных по Клиффорду–Вольфу пространств и соотношения между этими классами. Подобные классы изучались для римановых многообразий, см. книгу [2], в которой приведена обширная библиография по данной тематике. Частными случаями конечных однородных метрических пространств являются множества вершин компактных выпуклых (в том числе правильных и полуправильных [3]–[5]) многогранников в евклидовых пространствах с транзитивной на множестве вершин группой изометрий. Мы будем называть полуправильным многогранником компактный выпуклый многогранник в евклидовом пространстве с правильными гипергранями и однородным множеством вершин. В [1] были исследованы на принадлежность к соответствующим подклассам множества вершин правильных и полуправильных многогранников в трехмерном евклидовом пространстве, а также гиперкубов, их двойственных многогранников (гипероктаэдров) и правильных симплексов в евклидовых пространствах произвольной размерности. В статье [6] исследованы метрические свойства всех правильных и архимедовых многогранников. В частности, в ней изучаются специальные свойства архимедовых тел и их явные представления в виде выпуклых оболочек множества своих вершин. Но основным результатом этой работы является доказательство того, что множество вершин каждого правильного многогранника размерности не меньше $4$, отличного от 120-ячейника в $\mathbb{R}^4$, однородно по Клиффорду–Вольфу. Классификация правильных многогранников произвольной размерности впервые получена Л. Шлефли и приведена в его книге [7], см. также книгу Г. Кокстера [4] и его статьи [8]–[10]. Список полуправильных многогранников произвольной размерности был впервые приведен без доказательства в работе Т. Госсета [11]. Позже этот список появился в работе Э. Л. Элте [12]. Доказательство полноты этого списка получено значительно позднее Г. Блиндом и Р. Блинд, см. статью [13] и цитируемые в ней работы ее авторов. В настоящей работе нас интересуют только полуправильные (неправильные) многогранники в $\mathbb{R}^n$ при $n\geqslant 4$, которые мы будем называть многогранниками Госсета. Много дополнительной информации можно получить на сайте [14]. По классификации полуправильных многогранников в $\mathbb{R}^n$, $n\geqslant 4$, (см. [13] и [11]), помимо правильных многогранников, существуют три полуправильных многогранника в $\mathbb{R}^4$ и по одному полуправильному многограннику в $\mathbb{R}^n$ при $n=5,6,7,8$. При $n=4$ полуправильными многогранниками являются полные усечения, т. е. выпуклые оболочки середин ребер, четырехмерного правильного симплекса и $600$-ячейника, а также курносый $24$-ячейник (см. подробности в следующем параграфе). Единственный (с точностью до подобия) полуправильный многогранник Госсета в $\mathbb{R}^n$ при $n \in \{5,6,7,8\}$ мы будем обозначать символом $\operatorname{Goss}_n$. Теперь мы можем сформулировать основной результат настоящей работы (все необходимые вспомогательные определения приведены в следующем параграфе). Теорема 1. Пусть $P$ – один из полуправильных многогранников Госсета в $\mathbb{R}^n$, $n\geqslant 4$, а $M$ – множество его вершин, снабженное индуцированной метрикой из $\mathbb{R}^n$. Тогда выполнены следующие утверждения: 1) $M$ однородно по Клиффорду–Вольфу, если $P=\operatorname{Goss}_5$ или $P=\operatorname{Goss}_8$; 2) $M$ нормально однородно, но не однородно по Клиффорду–Вольфу, если $P$ – полное усечение четырехмерного правильного симплекса, $P=\operatorname{Goss}_6$ или $P=\operatorname{Goss}_7$; 3) $M$ не является нормальным однородным метрическим пространством, если $P$ – полное усечение $600$-ячейника или курносый $24$-ячейник. Эта теорема завершает описание метрических свойств множеств вершин правильных и полуправильных многогранников в евклидовых пространствах с точки зрения нормальной однородности и однородности по Клиффорду–Вольфу (точные формулировки ранее полученных результатов даны в следующем параграфе). Вся имеющаяся информация по этой теме приведена в краткой форме в табл. 1, где: $n$ – размерность многогранника; степени регулярности: $\mathrm{R}$ – правильный многогранник, $\mathrm{SR}$ – полуправильный (неправильный) многогранник; метрические свойства множества вершин: $\mathrm{NH}$ – нормальная однородность, $\mathrm{CWH}$ – однородность по Клиффорду–Вольфу. Таблица 1.Метрические свойства правильных и полуправильных многогранников
Теорема 1 непосредственно следует из предложения 20, следствий 4 и 6, теорем 4, 5, 7, 8 и 9, доказываемых далее. Следует отметить, что в настоящей работе получены также результаты для других классов многогранников (см., например, предложения 12, 14 и 19) и изучены некоторые специальные свойства многогранников Госсета (теорема 6, предложения 21 и 22). Кроме того, в разных частях текста сформулирован ряд нерешенных проблем. Структура настоящей статьи следующая. В § 2 мы приводим необходимые определения и ранее полученные результаты о метрических свойствах множеств вершин правильных и полуправильных многогранников в евклидовых пространствах. В § 3 обсуждаются решетки и многогранники Госсета в размерностях $6$, $7$ и $8$. Параграф 4 посвящен доказательству некоторых вспомогательных утверждений. Наконец, в §§ 5–8 последовательно исследуются многогранники Госсета в размерностях $4$, $5$, $6$, $7$ и $8$. § 2. Предварительные сведенияМы предполагаем, что пространство $\mathbb{R}^n$ снабжено стандартным скалярным произведением и индуцированной им метрикой. Далее $\rho$ означает евклидово расстояние между точками в $\mathbb{R}^n$, $n\geqslant 1$. Нам потребуются некоторые определения и результаты работ [1] и [6]. Определение 1. Конечное метрическое пространство $(M,d)$ называется однородным, если для любых точек $x,y\in M$ существует изометрия $f$ пространства $(M,d)$ на себя такая, что $f(x)=y$. Определение 2. Отображение $f\colon (M_1,d_1)\to (M_2,d_2)$ метрических пространств называется субметрией, если для каждой точки $x_1\in M_1$ и каждого числа $r\geqslant 0$ выполнено равенство $f(B_{M_1}(x_1,r))=B_{M_2}(f(x_1),r)$, где $B_{M_i}(x_i,r)$ – замкнутый шар в $M_i$ с центром $x_i$ радиуса $r$ при $i=1,2$ [15]. Определение 3. Конечное однородное метрическое пространство $(M,d)$ называется нормальным однородным, если для группы $G$ его изометрий и ее стабилизатора $H$ некоторой точки $x\in M$ существуют транзитивная на $M$ подгруппа $\Gamma$ группы $G$ и биинвариантная метрика $\sigma$ на $\Gamma$ такие, что каноническая проекция $\pi\colon (\Gamma,\sigma)\to (\Gamma/(\Gamma\cap H),d)=(M,d)$ – субметрия. Определение 4. Конечное метрическое пространство $(M,d)$ называется обобщенным нормальным однородным, если для любых точек $x,y\in M$ существует изометрия $f$ (называемая $\delta$-сдвигом в точке $x$) пространства $(M,d)$ на себя такая, что $f(x)=y$ и $d(x,f(x))\geqslant d(z,f(z))$ для любых $z\in M$. Определение 5. Переносом Клиффорда–Вольфа метрического пространства $(M,d)$ называется изометрия $f$ пространства $(M,d)$ на себя, сдвигающая все точки $M$ на одно и то же расстояние, т. е. $d(x,f(x))=d(y,f(y))$ для любых $x,y\in M$. Определение 6. Конечное метрическое пространство $(M,d)$ называется однородным по Клиффорду–Вольфу (кратко $\mathrm{KB}$-однородным), если для любых точек $x,y\in M$ существует перенос Клиффорда–Вольфа $f$ пространства $(M,d)$ такой, что $f(x)=y$. Пусть $\mathrm{FCWHS}$, $\mathrm{FGNHS}$, $\mathrm{FNHS}$, $\mathrm{FHS}$ обозначают соответственно классы конечных $\mathrm{KB}$-однородных пространств, конечных обобщенных нормальных однородных пространств, конечных нормальных однородных пространств и конечных однородных пространств. В теореме 1 из [1] доказано, что
$$
\begin{equation*}
\mathrm{FCWHS}\subset \mathrm{FGNHS} = \mathrm{FNHS}\subset \mathrm{FHS},
\end{equation*}
\notag
$$
при этом указанные включения строгие. Подчеркнем, что свойства нормальной однородности и обобщенной нормальной однородности для конечных метрических пространств равносильны (что не так, скажем, в случае римановых многообразий [2]). Отметим, что проверка условия обобщенной нормальной однородности проще, чем проверка условия нормальной однородности, и этим обстоятельством мы будем пользоваться далее без дополнительных комментариев. Напомним теперь определения однородных, правильных и полуправильных многогранников в евклидовых пространствах. Будем говорить, что $n$-мерный многогранник $P$ в $\mathbb{R}^n$ однороден (или вершинно-транзитивен), если его группа изометрий действует транзитивно на множестве его вершин. Далее, $P$ называется многогранником с правильными гранями (соответственно многогранником с конгруэнтными гранями), если все его гиперграни являются правильными (соответственно конгруэнтными) многогранниками. Одномерный многогранник – это замкнутый отрезок, ограниченный двумя конечными точками. Он является правильным по определению. Двумерными правильными многогранниками являются правильные многоугольники на евклидовой плоскости. Выпуклый $n$-мерный многогранник при $n\geqslant 3$ называется правильным, если он однороден и все его гиперграни являются правильными конгруэнтными друг другу многогранниками. Хорошо известно, что существует всего пять правильных трехмерных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Эти многогранники традиционно называются платоновыми телами. В работах [1] и [6] исследованы метрические свойства множества вершин для каждого правильного евклидова многогранника. Очевидно, что вершины одномерного многогранника (отрезка) и вершины каждого правильного двумерного многогранника (правильного многоугольника) образуют однородные по Клиффорду–Вольфу метрические пространства. В трехмерном случае мы имеем более любопытную ситуацию. Множества вершин тетраэдра, куба или октаэдра в трехмерном евклидовом пространстве образуют однородные по Клиффорду–Вольфу метрические пространства [1]. При этом множество вершин икосаэдра образует нормальное однородное, но не однородное по Клиффорду–Вольфу метрическое пространство, а множество вершин додекаэдра образует метрическое пространство, не являющееся даже нормальным однородным (см. [1; теоремы 7 и 8]). Для многомерного случая справедлива следующая теорема. Теорема 2 (см. [6; теорема 1]). Множество вершин $M$ каждого правильного многогранника размерности $n \geqslant 4$ с индуцированной из $\mathbb{R}^n$ метрикой однородно по Клиффорду–Вольфу, за исключением $120$-ячейника в $\mathbb{R}^4$, множество вершин которого не является даже нормальным однородным. Напомним теперь определение более широкого класса полуправильных выпуклых многогранников. При $n=1$ и $n=2$ полуправильные многогранники определяются как правильные. Выпуклый $n$-мерный многогранник при $n\geqslant 3$ называется полуправильным, если он однороден и все его гиперграни являются правильными многогранниками. В трехмерном пространстве (помимо платоновых тел) существуют следующие полуправильные многогранники: $13$ архимедовых тел и две бесконечные серии прямых призм и антипризм. Теорема 3 (см. [1; теорема 9]). Множество вершин каждого архимедова тела – однородное, но не нормальное однородное метрическое пространство. Следует отметить также, что множество вершин любой прямой призмы и множество вершин любой прямой антипризмы являются однородными по Клиффорду–Вольфу, что существенно отличает призмы и антипризмы от архимедовых тел. Теперь мы более подробно опишем многомерные многогранники Госсета. Как уже отмечалось, в $\mathbb{R}^n$, $n\geqslant 4$, помимо правильных многогранников, существуют три полуправильных многогранника в $\mathbb{R}^4$ и по одному полуправильному многограннику в $\mathbb{R}^n$ при $n=5,6,7,8$ (см. [13] и [11]). Начнем со случая $n=4$. Классификация правильных многогранников в $\mathbb{R}^4$ дается в [6; табл. 2]. Существует шесть таких правильных многогранников: четырехмерный правильный симплекс ($5$-ячейник), гиперкуб ($8$-ячейник), гипероктаэдр ($16$-ячейник), $24$-ячейник, $120$-ячейник, $600$-ячейник, гипергранями которых являются соответственно правильные тетраэдры, кубы, тетраэдры, октаэдры, додекаэдры, тетраэдры согласно их символам Шлефли $\{3,3,3\}$, $\{4,3,3\}$, $\{3,3,4\}$, $\{3,4,3\}$, $\{5,3,3\}$, $\{3,3,5\}$. Полные усечения в точности трех правильных 4-мерных многогранников – правильного симплекса, гипероктаэдра и 600-ячейника – являются полуправильными многогранниками. При этом полное усечение гипероктаэдра имеет $16+8 = 24$ октаэдра в качестве гиперграней (согласно его символу Шлефли и числу его гиперграней и вершин) и $24$ вершины по числу его ребер, как у правильного $24$-ячейника, оно и является правильным $24$-ячейником [6]. Полные усечения правильного симплекса и $600$-ячейника – полуправильные многогранники Госсета. Полное усечение правильного четырехмерного симплекса имеет пять тетраэдров (трехмерных правильных симплексов) и пять октаэдров в качестве гиперграней и $C_5^2=10$ вершин согласно его символу Шлефли и числу ребер. Полное усечение $600$-ячейника имеет $120$ икосаэдров и $600$ октаэдров в качестве гиперграней и $720$ вершин согласно его символу Шлефли и числу вершин, гиперграней и ребер $600$-ячейника по табл. 2 в [6]. Это согласуется с описаниями последних двух полученных многогранников в [11]. Третий многогранник Госсета – курносый $24$-ячейник (см. [16]). Согласно его описанию в [11] он имеет $24$ икосаэдра, $120$ тетраэдров (всего $24+120=144=12^2$ гиперграней), $480$ треугольников, $432$ ребра и $96$ вершин. Кроме того, в [11] сказано о пересечениях граней различной размерности и о том, что радиус описанной сферы равен длине его ребра, умноженной на золотое сечение $\varphi=(1+\sqrt{5}\,)/2$. Курносый куб (додекаэдр) является выпуклыми оболочками всех правильных $4$-угольников (5-угольников), каждый из которых расположен внутри $6$ ($12$) $4$-угольных ($5$-угольных) граней куба (додекаэдра). В то же время, из описания рассматриваемого многогранника Госсета следует, что он получен как-то иначе, чем курносые куб и додекаэдр. Поскольку исходный $24$-ячейник $\{3,4,3\}$ имеет $96$ ребер, возникает предположение, что $96$ вершин курносого $24$-ячейника $s\{3,4,3\}$ расположены на ребрах у $\{3,4,3\}$, но не посредине их, а как-то иначе. Оказывается, что это действительно так. Приведем цитату из статьи Г. Кокстера [9] о результате, доказанном в его книге [4]: Каждая вершина у $s\{3,4,3\}$ лежит на ребре в $\{3,4,3\}$, но не на середине ребра. На самом деле, $96$ вершин в $s\{3,4,3\}$ делят $96$ ребер $24$-ячейника $\{3,4,3\}$ согласно золотому сечению $\varphi:1$ или $\varphi^{-1}:\varphi^{-2}$ ($\varphi^{-1}+\varphi^{-2}\,{=}\,1$). В $\{3,4,3\}$, данного перестановками координат точек $(\pm 1,\pm 1,0,0)$, типичное ребро $[(1,1,0,0),(1,0,1,0)]$ делится в указанном отношении точкой $(1,\varphi^{-1}, \varphi^{-2},0)$. Так что 96 вершин у $s\{3,4,3\}$ даются четными перестановками координат всевозможных точек вида $(\pm 1,\pm \varphi^{-1},\pm \varphi^{-2},0)$, или, после подходящего растяжения, Существует универсальный двулистный накрывающий эпиморфизм групп Ли $\operatorname{pr}\colon \operatorname{SU}(2)=\operatorname{Sp}(1)\to \operatorname{SO}(3)$ с центральным ядром $\{\pm 1\}$. Бинарно тетраэдральная и бинарно икосаэдральной группами называют соответственно группы $\operatorname{BT}=\operatorname{pr}^{-1}(\operatorname{T})$ и $\operatorname{BI}=\operatorname{pr}^{-1}(\operatorname{I})$, где $\operatorname{T}$ и $\operatorname{I}$ – группы собственных изометрий правильного тетраэдра и правильного икосаэдра. С другой стороны, известно (см. [6]), что выпуклые оболочки бинарно тетраэдральной и бинарно икосаэдральной подгрупп
$$
\begin{equation*}
\operatorname{BT}\subset \operatorname{BI}\subset \operatorname{SU}(2)=\operatorname{Sp}(1)=S^3(0,1)\subset \mathbb{R}^4
\end{equation*}
\notag
$$
являются соответственно правильным $24$-ячейником и правильным $600$-ячейником с символами Шлефли $\{3,4,3\}$ и $\{3,3,5\}$. При этом разность $\operatorname{BI}-\operatorname{BT}$ бинарно икосаэдральной подгруппы $\operatorname{BI}$ порядка $120$ и бинарно тетраэдральной подгруппы $\operatorname{BT}$ порядка $24$ в группе $\operatorname{Q}$ единичных кватернионов получается путем четных перестановок координат всевозможных точек вида Формулы (1) и (2) показывают, что с точностью до подобия имеются две разных энантиоморфных формы полуправильного многогранника Госсета: $s\{3,4,3\}$ и $\operatorname{conv}(\operatorname{BI}-\operatorname{BT})$. Согласно [11] полуправильные многогранники Госсета в $\mathbb{R}^n$ при $n=8,7,6,5$ имеют соответственно $240$, $56$, $27$ и $16$ вершин. Замечательно, что все они являются соответственно выпуклыми оболочками эффективных однородных пространств групп Вейля $\operatorname{W}(\operatorname{E}_8)/\operatorname{W}(\operatorname{E}_7)$, $\operatorname{W}(\operatorname{E}_7)/\operatorname{W}(\operatorname{E}_6)$, $\operatorname{W}(\operatorname{E}_6)/\operatorname{W}(\operatorname{D}_5)$ [10] и $\operatorname{W}(\operatorname{D}_5)/\operatorname{W}(\operatorname{A}_4)$, где в скобках указаны приведенные корневые системы соответствующих простых компактных алгебр Ли. § 3. Многогранники Госсета, системы корней и решеткиСистемы типа $\operatorname{A}$, $\operatorname{D}$, $\operatorname{E}$ являются в точности приведенными системами корней для простых компактных алгебр Ли, все корни которых имеют одну и ту же длину. Каждая такая система имеет простое геометрическое описание как множество наименее удаленных от нуля ненулевых векторов одноименной решетки, элементы которой – центры шаров некоторой упаковки в евклидовом пространстве соответствующей размерности. Как следствие, число корней равно контактному числу $\tau$ этой решетчатой шаровой упаковки, а соответствующая группа Вейля – линейная (под)группа $G_0$ автоморфизмов решетки [17]. Здесь $\tau$ равно числу всех шаров упаковки, касающихся данного шара упаковки. Дадим описание этих решеток из [17]. Стандартной кубической решеткой в $\mathbb{R}^n$ является $\mathbb{Z}^n$. При $l\geqslant 3$ положим
$$
\begin{equation}
\operatorname{D}_l=\{(x_1,\dots,x_l)\in\mathbb{Z}^l\colon x_1+\dots + x_l\text{ четно}\}.
\end{equation}
\tag{3}
$$
При $l\geqslant 1$ положим
$$
\begin{equation}
\operatorname{A}_l=\{(x_1,\dots,x_{l+1})\in\mathbb{Z}^{l+1}\colon x_1+\dots + x_{l+1}=0\}.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Положим
$$
\begin{equation}
\operatorname{E}_8 =\Bigl\{(x_1,\dots,x_8)\in\mathbb{Z}^8\colon \text{все } x_i\text{ четны или нечетны},\ \sum x_i=0\ (\operatorname{mod} 4)\Bigr\},
\end{equation}
\tag{5}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{E}_7 = \{(x_1,\dots,x_8)\in\operatorname{E}_8\colon x_1+\dots +x_8=0\},
\end{equation}
\tag{6}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{E}_6 = \{(x_1,\dots,x_8)\in \operatorname{E}^8\colon x_1+x_8=x_2+\dots+ x_7=0\}.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Контактные числа и порядки групп Вейля этих решеток равны соответственно
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \tau(\operatorname{A}_l)=l(l+1),\quad |\operatorname{W}(\operatorname{A}_l)|=(l+1)!,\qquad \tau(\operatorname{D}_l)=2l(l-1),\quad |\operatorname{W}(\operatorname{D}_l)|=2^{l-1}\cdot l!, \\ \tau(\operatorname{E}_6)=72,\quad |\operatorname{W}(\operatorname{E}_6)|=2^7\cdot3^4\cdot 5, \qquad\tau(\operatorname{E}_7)=126,\quad |\operatorname{W}(\operatorname{E}_7)|=2^{10}\cdot3^4\cdot 5\cdot 7, \\ \tau(\operatorname{E}_8)=240,\quad |\operatorname{W}(\operatorname{E}_8)|=2^{14}\cdot 3^5\cdot 5^2\cdot 7. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что $\operatorname{A}_l$ – приведенная система корней простой компактной алгебры Ли $\mathfrak{su}(l+1)$, $\operatorname{D}_l$ – приведенная система корней простой компактной алгебры Ли $\mathfrak{so}(2l)$, остальные системы – приведенные системы корней одноименных простых компактных алгебр Ли (с малыми готическими буквами). Решетки $\operatorname{E}_6$, $\operatorname{E}_7$ и $\operatorname{E}_8$ называются в [17] решетками Госсета. Решетка или квадратичная форма называется в [17] целочисленной, если скалярное произведение любых двух векторов решетки – целое число. Эквивалентным образом, решетка $\Lambda$ целочисленна тогда и только тогда, когда $\Lambda\subset \Lambda^{\ast}$, где
$$
\begin{equation*}
\Lambda^{\ast}_n=\{x\in \mathbb{R}^n\colon x\cdot u\in\mathbb{Z}\text{ для всех } u\in\Lambda_n\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Целочисленная решетка $\Lambda$ унимодулярна или самодвойственна, если $\Lambda=\Lambda^{\ast}$. Все решетки $A$, $D$, $E$ целочисленны. Заметим, что определенные здесь решетки $E$ получаются из определенных в [17] умножением на $2$. Если следовать определениям из [17], то решетка $E_8$ унимодулярна, $\tau(E^{\ast}_7)=56$, $\tau(E^{\ast}_6)=54$. Можно сказать, что многогранники Госсета в размерностях $8$ и $7$ – выпуклые оболочки наиболее коротких ненулевых векторов решеток $E^{\ast}_8$ и $E^{\ast}_7$, а в размерности $6$ – выпуклая оболочка произвольного максимального подмножества попарно несмежных вершин выпуклой оболочки кратчайших ненулевых векторов решетки $E^{\ast}_6$. Так мы получаем геометрическое описание этих многогранников Госсета. В [17; гл. 21, § 3, п. 3.D] утверждается, что многогранники Вороного для решеток $E_8$ $E_7$, $E_6$ двойственны соответственно многогранникам Госсета $4_{21}$, $2_{31}$, $1_{22}$, описанным в [4; § 11.8]. Другими словами, эти многогранники Госсета – многогранники Делоне [18] решеток $E_8$, $E_7$, $E_6$. Многогранники Вороного произвольной решетки в $\mathbb{R}^n$ обладают особым свойством – они являются заполняющими пространство многогранниками: все пространство $\mathbb{R}^n$ может быть заполнено непересекающимися сдвинутыми копиями одного и того же многогранника. Замечательно, что в качестве многогранника Госсета в $\mathbb{R}^8$ можно взять систему корней типа $\operatorname{E}_8$ [10], [19]. Многогранник Госсета в $\mathbb{R}^8$ также реализуется в виде некоторой замкнутой по умножению системы единичных октав, называемых целыми числами Кэли [10], [17]. Кроме того, в [10] представлены знаменитые двумерные ортогональные проекции МакМаллена многогранников Госсета в $\mathbb{R}^8$ и $\mathbb{R}^7$, где проекции вершин располагаются соответственно на восьми концентрических окружностях (окружностях Госсета) по $30$ вершин в каждой [19] и на трех концентрических окружностях по $18$ вершин в каждой. Первая проекция получается из рисунка на фронтисписе книги [5] добавлением некоторых $240$ линий [10]. Проекция МакМаллена обобщается на любые комплексные простые алгебры Ли; окружности Госсета обобщаются посредством орбит корней относительно элемента Кокстера. Б. Костант нашел легко определяемый оператор на алгебре Картана, отношения собственных значений которого те же, что для квадратов радиусов соответствующих обобщенных окружностей Госсета (этот результат приведен в работе [19] наряду с полезным его обсуждением). Отношения масс $8$, $7$, $6$ частиц в моделях Фатеева–Замолодчикова [20] конформной теории поля для $E_8$, $E_7$, $E_6$ есть в точности отношения радиусов соответствующих (обобщенных) окружностей Госсета. Эти модели получили экспериментальные подтверждения [19]. Согласно [17; гл. 14, § 1] в решетчатой упаковке в $\mathbb{R}^8$ с центрами в точках решетки $\operatorname{E}_8$ имеется $240$ шаров, касающихся одного шара, $56$ – касающихся каждого шара из пары касающихся шаров, $27$ – касающихся каждого шара из тройки попарно касающихся шаров, $16$ – касающихся каждого шара из четверки попарно касающихся шаров, $10$ – касающихся каждого шара из пятерки попарно касающихся шаров, $6$ – касающихся каждого шара из шестерки попарно касающихся шаров. Фактически это дает единообразный способ построения полуправильных многогранников Госсета: восьмимерного, семимерного, шестимерного, пятимерного и одного из трех четырехмерных, а именно, полного усечения четырехмерного правильного симплекса; $6$ – число вершин правильного октаэдра. Для $\operatorname{A}_4$ получаем $4\cdot 5=20$ корней и порядок группы Вейля $(4+1)!=120$. Вопрос 1. Верно ли, что в качестве вершин полного усечения четырехмерного правильного симплекса ($5$-ячейника) можно взять половину системы $\operatorname{A}_4$? Предложение 1. Ответ на вопрос 1 отрицательный. Доказательство. Вершины усеченного четырехмерного правильного симплекса можно представить как точки, полученные из точки $(1,1,0,0,0)$ перестановками координат. Угол между двумя радиус-векторами таких точек равен либо $\pi/2$, либо $\pi/3$. При этом легко выбрать три радиус-вектора такого вида так, чтобы угол между любыми двумя из них равнялся $\pi/3$ (например, можно взять $(1,1,0,0,0)$, $(1,0,1,0,0)$ и $(0,1,1,0,0)$). Корни корневой системы $A_4$ получаются из вектора $(1,-1,0,0,0)$ перестановками координат. Угол между любыми такими векторами равен одному из следующих трех значений: $\pi/2$, $\pi/3$ или $2\pi/3$. С другой стороны, невозможно выбрать три таких корня с углом $\pi/3$ между любыми двумя из них. Действительно, предположим, что существуют три таких корневых вектора и обозначим их $a$, $b$ и $c$. Таким образом, $(a,b)=(a,c)=(b,c)=1$. Пусть у вектора $a$ ненулевыми являются компоненты $a_i$ и $a_j$, т. е. $\{a_i,a_j\}=\{-1,1\}$. Тогда у вектора $b$ ненулевыми компонентами будут $b_i$ и $b_k$ для некоторого $k\notin \{i,j\}$, а для вектора $c$ ненулевыми компонентами будут $c_j$ и $c_k$. При этом $1=(a,b)=(a,c)=(b,c)=a_i\cdot b_i=a_j \cdot c_j=b_k\cdot c_k$. Но тогда $1=(a_i\cdot b_i)\cdot (a_j \cdot c_j)\cdot(b_k\cdot c_k)=(a_i\cdot a_j)\cdot (b_j \cdot b_k)\cdot(c_j\cdot c_k)=-1$, что невозможно. Предложение доказано. Замечание 2. Аналогично доказывается, что в качестве вершин полного усечения $n$-мерного правильного симплекса нельзя взять половину системы $\operatorname{A}_n$, $n\geqslant 2$. Предложение 2. Группа $\operatorname{BT}$ изоморфна просто транзитивной подгруппе автоморфизмов системы корней $\operatorname{D}_4$, являющейся подгруппой индекса $8$ в $\operatorname{W}(D_4)$. Доказательство. На рис. 8.1 в [17; гл. 8, § 4] приведена двумерная проекция самодвойственного правильного многогранника $\{3,4,3\}$ ($24$-ячейника), вершинами которого являются $24$ минимальных вектора из решетки $\operatorname{D}_4$, представленных как элементы из решетки $\mathbb{Z}[\zeta]$, где $\zeta=e^{\pi i/4}$. Вследствие этого и согласно [6] система корней $\operatorname{D}_4$ изоморфна бинарно тетраэдральной группе $\operatorname{BT}$. Поэтому можно считать, что $\operatorname{BT}$ – просто транзитивная подгруппа автоморфизмов системы корней $\operatorname{D}_4$, являющаяся подгруппой индекса $|\operatorname{W}(\operatorname{D}_4)|/|\operatorname{BT}|=192/24=8$ в группе Вейля $\operatorname{W}(D_4)$. Отметим, что проекции $24$ вершин системы корней $\operatorname{D}_4$ (вершин проекции) на рис. 8.1 располагаются на трех концентрических окружностях по восемь вершин на каждой. Утверждение доказано. Предложение 3. Группы $\operatorname{W}(\operatorname{A}_4)$ и $\operatorname{BI}$ (порядка 120) не изоморфны. Доказательство. Для доказательства достаточно установить возможные порядки элементов этих групп. Из формулы (4) легко понять, что группа $\operatorname{W}(\operatorname{A}_4)$ есть симметрическая группа $\mathbf{S}_5$ перестановок пяти координат [17]. Почти очевидно хорошо известное утверждение, что каждая перестановка $p\in \mathbf{S}_5$ есть произведение попарно коммутирующих независимых циклов длины не меньше $1$ с суммой их длин, равной $5$, причем порядок элемента $p$ равен Н.О.К. длин этих циклов. Отсюда следует, что порядками элементов из $\mathbf{S}_5$ могут быть только числа $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$. Напомним, что $\operatorname{BI}=\operatorname{pr}^{-1}(\operatorname{I})$, где $\operatorname{pr}\colon \operatorname{SU}(2)=\operatorname{Sp}(1)\to \operatorname{SO}(3)$ – универсальный двулистный накрывающий эпиморфизм групп Ли с центральным ядром $\{\pm 1\}$, а $\operatorname{I}$ – группа собственных изометрий правильного икосаэдра. Тогда $\operatorname{pr}\colon \operatorname{BI}\to \operatorname{I}$ – эпиморфизм с тем же ядром. Возможные порядки элементов из $\operatorname{I}$: $1$, $2$, $3$, $5$. Мы утверждаем, что в $\operatorname{BI}$ есть элемент порядка $10$. Действительно, пусть $x\in \operatorname{I}$ имеет порядок $5$ и $y\in \operatorname{pr}^{-1}(x)$. Тогда $y^5=1$ или $y^5=-1$. В последнем случае $y$ имеет порядок $10$, и все доказано. В первом случае положим $z=(-1)y$. Тогда $z^5=-1$ и $z$ имеет порядок $10$. Предложение доказано. Далее в тексте мы используем обозначение $C_n$ для циклической группы порядка $n$. Предложение 4. Пусть $C_{10}$ – циклическая подгруппа порядка $10$, порожденная элементом $y$ или $z$ из доказательства предложения 3. Тогда: 1) $C_{10}$ – подгруппа некоторой $1$-параметрической подгруппы в $\operatorname{SU}(2)$ – геодезической в $S^3(0,1)\subset \mathbb{R}^4$, разбивающая ее образ на дуги одинаковой длины; 2) $\operatorname{BT}{\cap}\, C_{10}=\{\pm 1\}$ и $\operatorname{BI}=\operatorname{BT}{\cdot}\, C_{10}$, $\operatorname{BI}=C_{10}\,{\cdot} \operatorname{BT}$ – разложения группы $\operatorname{BI}$ по левым и правым смежным классам групп $C_{10}$, $\operatorname{BT}$ с дублированием каждого смежного класса; 3) разложения из п. 2) дают два разных разбиения группы $\operatorname{BI}$ (другими словами, множества вершин правильного $600$-ячейника в $\mathbb{R}^4$) на $12$ десятиточечных правильных подмножеств больших окружностей в $S^3(0,1)$, имеющих двухточечные пересечения с $\operatorname{BT}$ и переводимых друг в друга только левыми или правыми сдвигами на элементы подгруппы $\operatorname{BT}$, являющимися переносами Клиффорда–Вольфа в $S^3(0,1)$; 4) разложения из п. 2) дают два разных разбиения группы $\operatorname{BI}$ (другими словами, множества вершин правильного $600$-ячейника в $\mathbb{R}^4$) на пять подмножеств, состоящих из вершин правильных $24$-ячейников и имеющих двухточечные пересечения с $C_{10}$, а также переводимых друг в друга только правыми или левыми сдвигами на элементы подгруппы $C_{10}$, являющимися переносами Клиффорда–Вольфа в $S^3(0,1)$; 5) есть $12$ разбиений для $\operatorname{BI}$, аналогичных данным в каждом из пп. 3), 4). Доказательство. 1) Подгруппа порядка $5$, порожденная элементом $x$ из доказательства предложения 3, является подгруппой единственной с точностью до перепараметризации $1$-параметрической подгруппы $\gamma=\gamma(t)$, $t\in\mathbb{R}$, вращений вокруг оси, соединяющей некоторую пару диаметрально противоположных вершин икосаэдра. Тогда существует единственная периодическая $1$-параметрическая подгруппа $\widetilde{\gamma}(t)$ в $\operatorname{SU}(2)=\operatorname{Sp}(1)=S^3(0,1)\subset \mathbb{R}^4$ такая, что $\operatorname{pr}(\widetilde{\gamma}(t))=\gamma(t)$, $t\in\mathbb{R}$. Ясно, что $C_{10}$ – подгруппа $1$-параметрической группы $\widetilde{\gamma}(t)$, $t\in\mathbb{R}$. На $\operatorname{Sp}(1)=S^3(0,1)$ существует единственная биинвариантная риманова метрика, совпадающая с внутренней метрикой $d$ единичной сферы $S^3(0,1)$. Следовательно (см. [2]), $\widetilde{\gamma}(t)$, $t\in \mathbb{R}$, – геодезическая в $S^3(0,1)$, а $C_{10}$ – подмножество некоторой большой окружности в $S^3(0,1)$, разбивающее ее на дуги одинаковой длины. 2) Легко проверить, что каждый элемент группы $C_{10}$, кроме $1$ и $-1$, имеет порядок $5$ или $10$. Тогда $\operatorname{BT}{\cap}\, C_{10}=\{\pm 1\}$, так как группа $\operatorname{BT}$ порядка $24$ не может содержать элементов порядка $5$ или $10$. Отсюда следуют все утверждения п. 2). Из 1) и 2) следуют 3) и 4). Утверждение п. 5) вытекает из сказанного и того, что у правильного икосаэдра существует шесть различных пар диаметрально противоположных вершин. Предложение доказано. Следствие 1. Существуют разложения $\operatorname{BI}-\operatorname{BT}=\operatorname{BT}{\cdot}\, (C_{10}-\{\pm 1\})$ и $\operatorname{BI}-\operatorname{BT}=(C_{10}-\{\pm 1\})\cdot \operatorname{BT}$ вершин полуправильного многогранника Госсета с дублированием левых и правых сдвигов множества $C_{10}-\{\pm 1\}$. Есть 12 различных способов разбиения множества $\operatorname{BI}-\operatorname{BT}$ на 12 восьмиточечных подмножеств больших окружностей в $S^3(0,1)$, переводимых друг в друга только правыми или левыми сдвигами на элементы группы $\operatorname{BT}$, являющимися переносами Клиффорда–Вольфа в $S^3(0,1)$. Следствие 2. Проекция $\operatorname{pr}$ указанных в п. 2) предложения 4 разложений дает прямые разложения в произведения подгрупп $\operatorname{I}=\operatorname{T}{\cdot}\, C_5$, $\operatorname{I}=C_5\,{\cdot}\operatorname{T}$, где $\operatorname{T}$ – группа собственных изометрий правильного симплекса. Предложение 5. Система корней $\operatorname{E}_8$ содержит точку $v=(1,1,\dots,1)$, стационарной группой которой является подгруппа $\operatorname{W}(\operatorname{E}_7)\subset \operatorname{W}(\operatorname{E}_8)$. Следовательно, $\operatorname{E}_8$ реализуется в виде однородного пространства $\operatorname{W}(\operatorname{E}_8)/\operatorname{W}(\operatorname{E}_7)$. Доказательство. Вследствие [17] радиус решетчатой упаковки шаров для решетки $\operatorname{E}_8$ равен $\sqrt{2}$. Отсюда и из формулы (5) следует, что $v$ – элемент не только решетки $\operatorname{E}_8$, но и системы корней $\operatorname{E}_8$. Известно, что группа Вейля системы корней простой компактной алгебры Ли действует транзитивно на каждом подмножестве ее корней одинаковой длины. Следовательно, система корней $\operatorname{E}_8$ – орбита точки $v$ относительно группы Вейля $\operatorname{W}(\operatorname{E}_8)$. Из формулы (6) вытекает, что вектор $v$ ортогонален решетке $\operatorname{E}_7$. Решетка $\operatorname{E}_8$ слоистая [17]; ее слоями являются некоторые параллельные сдвиги решетки $\operatorname{E}_7$. Следовательно, действие каждого элемента из $\operatorname{W}(\operatorname{E}_7)$ на $\operatorname{E}_7$ единственным образом продолжается до линейного автоморфизма решетки $\operatorname{E}_8$, оставляющего на месте вектор $v$, т. е. действия некоторого элемента группы $\operatorname{W}(\operatorname{E}_8)$ на $\operatorname{E}_8$ c неподвижным вектором $v$. Таким образом, можно считать, что $\operatorname{W}(\operatorname{E}_7)\subset\operatorname{W}(\operatorname{E}_8)$. Кроме того, $\operatorname{W}(\operatorname{E}_7)$ – стабилизатор точки $v$ в группе $\operatorname{W}(\operatorname{E}_8)$, так как $\operatorname{W}(\operatorname{E}_7)$ не имеет неподвижных векторов в линейной оболочке решетки $\operatorname{E}_7$. Из сказанного вытекает второе утверждение предложения 5. Предложение доказано. Из предложения 5 и описания группы Вейля $W(E_8)$ в [17; гл. 4, п. 8.1] вытекает следующее утверждение. Следствие 3. Все элементы системы корней $\operatorname{E}_8$ получаются из $v$ применением в любом порядке композиции следующих действий: всех перестановок восьми координат, всех четных замен знаков и умножения (слева) на матрицу $\operatorname{diag}(H,H)$, где $H$ есть $(4\times 4)$-матрица Адамара из [17; гл. 4, п. 7.1]. Предложение 6. Решетка $\operatorname{E}_7$ содержит точку $w=(-3,1,1,1,1,1,1,-3)$, стационарной группой которой является подгруппа $\operatorname{W}(\operatorname{E}_6)\subset \operatorname{W}(\operatorname{E}_7)$. Следовательно, однородное пространство $\operatorname{W}(\operatorname{E}_7)(w)= \operatorname{W}(\operatorname{E}_7)/\operatorname{W}(\operatorname{E}_6)$ – полуправильный многогранник Госсета в $\mathbb{R}^7$. Доказательство. Вследствие формул (6) и (7) решетка $\operatorname{E}_6$ – подрешетка решетки $\operatorname{E}_7$ и $w$ – элемент решетки $\operatorname{E}_7$, ортогональный решетке $\operatorname{E}_6$. Решетка $\operatorname{E}_7$ слоистая [17]; ее слоями являются некоторые параллельные сдвиги решетки $\operatorname{E}_6$. Далее доказательство такое же, как для предложения 5. Предложение доказано. Предложение 7. Формула задает линейный неизометрический изоморфизм решетки $\operatorname{D}_5$ на решетку При этом $\operatorname{W}(\operatorname{D}_5')\cong \operatorname{W}(D_5)$. Вследствие последнего утверждения этого предложения в следующем предложении $\operatorname{D}_5$ отождествляется с $\operatorname{D}_5'$. Предложение 8. Решетка $\operatorname{E}_6$ содержит точку $u=(2,0,0,0,0,0,0,-2)$, стационарной подгруппой которой является группа $\operatorname{W}(\operatorname{D}_5)\subset \operatorname{W}(\operatorname{E}_6)$. Следовательно, однородное пространство $\operatorname{W}(\operatorname{E}_6)(u)= \operatorname{W}(\operatorname{E}_6)/\operatorname{W}(\operatorname{D}_5)$ – полуправильный многогранник Госсета в $\mathbb{R}^6$. Доказательство. Вследствие предложения 7 решетка $\operatorname{D}_5$ – подрешетка решетки $\operatorname{E}_6$ и $u$ – элемент решетки $\operatorname{E}_6$, ортогональный решетке $\operatorname{D}_5$. Решетка $\operatorname{E}_6$ слоистая [17]; ее слоями являются некоторые параллельные сдвиги решетки $\operatorname{D}_5$. Далее доказательство такое же, как для предложения 5. Предложение 9. Решетка $\operatorname{D}_5$ содержит точку $q=(2,2,2,2,2)$, стационарной подгруппой которой является группа $\operatorname{W}(\operatorname{A}_4)\subset \operatorname{W}(\operatorname{D}_5)$. При этом однородное пространство $\operatorname{W}(\operatorname{D}_5)(q)= \operatorname{W}(\operatorname{D}_5)/\operatorname{W}(\operatorname{A}_4)$ – наибольшее подмножество $C$ попарно несмежных вершин гиперкуба в $\mathbb{R}^5$ с центром в нуле и ребром длины $4$, гиперграни которого параллельны координатным гиперплоскостям, содержащее вершину $q$. Следовательно, выпуклая оболочка множества $C$ – известный полуправильный многогранник Госсета в $\mathbb{R}^5$, содержащий $16$ вершин гиперкуба, называемый полугиперкубом или полупентерактом. Доказательство. Вследствие формул (3) и (4) решетка $\operatorname{A}_4$ – подрешетка решетки $\operatorname{D}_5$ и $q$ – элемент решетки $\operatorname{D}_5$, ортогональный решетке $\operatorname{A}_4$. Решетка $\operatorname{D}_5$ слоистая [17]; ее слоями являются некоторые параллельные сдвиги решетки $\operatorname{A}_5$. Так же, как в случае предложения 5, получаем, что $C:=\operatorname{W}(\operatorname{D}_5)(q)= \operatorname{W}(\operatorname{D}_5)/\operatorname{W}(\operatorname{A}_4)$. Легко проверить, что $|\operatorname{W}(\operatorname{D}_5)|/|\operatorname{W}(\operatorname{A}_4)|=16$. Кроме того, вследствие [17; гл. 4, п. 7.1] группа $\operatorname{W}(\operatorname{D}_l)$ при всех $l\geqslant 3$ порождена всеми перестановками и переменами знака у четного числа координат. Из сказанного следует данное в предложении 9 описание выпуклой оболочки множества $C$, являющееся известным описанием полуправильного многогранника Госсета в $\mathbb{R}^5$, называемого полугиперкубом или полупентерактом. Предложение доказано. Замечание 3. Полученные аналогичным способом при всех $l\,{\geqslant}\, 3$ выпуклые оболочки однородных пространств $\operatorname{W}(\operatorname{D}_{l+1})/\operatorname{W}(\operatorname{A}_l)$, $\operatorname{W}(\operatorname{A}_{l+1})/\operatorname{W}(\operatorname{A}_l)$ и $\operatorname{W}(\operatorname{D}_{l+1})/\operatorname{W}(\operatorname{D}_l)$ являются соответственно полугиперкубами, правильными симплексами и правильными гипероктаэдрами. Вопрос 2. Каждая решетка ниже, кроме $\operatorname{A}_2$, содержит следующую за ней: Верно ли, что для каждой решетки $L$ в этой последовательности, кроме крайних ее членов, композиция ортогональных проекций каждой линейной оболочки решетки вдоль ее ненулевого вектора (начиная с $L$ и заканчивая решеткой $\operatorname{A}_3$), ортогонального линейной оболочке следующей решетки, на последнюю оболочку взаимно однозначно отображает множество ненулевых векторов в $L$ минимальной длины (т. е. систему корней, одноименную $L$) в линейную оболочку решетки $\operatorname{A}_2$? Замечание 4. Из формул (5), (6) и предложения 5 следует, что для $\operatorname{E}_8$ ответ на аналог вопроса 2 отрицателен. Плотнейшая шестимерная (соответственно восьмимерная) решетка $\operatorname{E}_6$ (соответственно $\operatorname{E}_8$) легко описывается как овеществление решетки в $\mathbb{C}^3$ (в $\mathbb{H}^2$) над кольцом $\mathcal{E}$ ($\mathcal{H}$) целых эйзенштейновых (соответственно гурвицевых) чисел (см. [17; гл. 2, конец п. 2.6]). Приведем предложенный в [17] нетривиальный и интересный способ построения решетки $\operatorname{E}_8$. Бинарно икосаэдральная группа $\operatorname{BI}$ называется в [17] группой икосианов. По ходу отметим, что двулистно накрываемая ею икосаэдральная группа изоморфна знакопеременной группе $\mathbf{A}$$_5$ четных перестановок на пяти символах. Кольцо икосианов $\mathcal{J}$ – множество всех конечных сумм элементов из группы икосианов. Элементы кольца $\mathcal{J}$ называются просто икосианами. Типичный икосиан имеет вид $q=\alpha + \beta i +\gamma j + \delta k$, где координаты $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ принадлежат полю золотого сечения $\mathbb{Q}(\varphi)$ и поэтому имеют вид $a+b\sqrt{5}$, где $a,b\in\mathbb{Q}$. Сопряженный икосиан – это $\overline{q}=\alpha -\beta i-\gamma j - \delta k$ и $q\overline{q}=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\delta^2$. Для $v\in\mathcal{J}$ используются две различные нормы: кватернионная норма $\operatorname{QN}(v,v)=(v,v):=v\overline{v}$, являющаяся числом вида $a+b\sqrt{5}$ с $a,b\in\mathbb{Q}$, и евклидова норма $\operatorname{EN}(v)=a+b\geqslant 0$. Икосианы с кватернионной нормой $1$ образуют группу икосианов. По отношению к кватернионной норме икосианы принадлежат четырехмерному пространству над $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$, по отношению к евклидовой норме они лежат в восьмимерном пространстве. В действительности в евклидовой норме кольцо $\mathcal{J}$ изоморфно решетке $\operatorname{E}_8$ в этом пространстве. Табл. 8.1 из [17; гл. 8, § 2] (занимающая целую страницу) демонстрирует этот изоморфизм. § 4. Вспомогательные утвержденияДокажем одно техническое утверждение, которое будет полезно при доказательстве нормальной однородности множества вершин некоторых многогранников. Предложение 10. Пусть выпуклый многогранник $P \subset \mathbb{R}^n$ обладает следующими свойствами: 1) $P$ однороден (вершинно-транзитивен); 2) расстояние между парами различных вершин $P$ может принимать лишь значения $d_i$, $1\leqslant i \leqslant s$, $d_1<d_2<\cdots <d_{s-1}<d_s$; 3) группа изотропии некоторой вершины $v \in P$ действует транзитивно на множестве вершин $P$, находящихся на расстоянии $d_i$ от $v$ при любом $1\leqslant i \leqslant s-1$; 4) для всех $1\leqslant i \leqslant s-1$ существует изометрия $\psi$ многогранника $P$ с максимальным смещением вершин $P$ на расстояние $d_i$. Тогда множество вершин многогранника $P$ является нормальным однородным метрическим пространством. Доказательство. Требуется доказать, что для любых вершин $v_1,v_2 \in P$, $v_1\neq v_2$, существует изометрия $\eta$ многогранника $P$, переводящая $v_1$ в $v_2$ и имеющая максимальное смещение в точке $v_1$. Если $\rho(v_1,v_2)=d_s$, то в качестве $\eta$ можно взять произвольную изометрию многогранника $P$, переводящую $v_1$ в $v_2$ (такая существует в силу однородности многогранника). В силу условия 2) нам осталось рассмотреть случай $\rho(v_1,v_2)=d_i$ для некоторого $1\leqslant i \leqslant s-1$. Согласно условию 4) существует изометрия $\psi$ многогранника $P$ с максимальным смещением вершин $P$ на расстояние $d_i$. В силу условий 1) и 3) мы можем считать без ограничения общности, что $\psi(v_1)=v_2$. Таким образом, $\psi$ является нужной изометрией. Предложение доказано. Известно, что вершины любого однородного выпуклого многогранника в $\mathbb{R}^n$ лежат на некоторой гиперсфере c центром в центре тяжести многогранника, называемом далее центром многогранника (на описанной гиперсфере). Далее вводится понятие почти совершенного многогранника, играющее важную роль в исследовании шестимерного многогранника Госсета. Определение 7. Будем называть невырожденный однородный многогранник $P\subset \mathbb{R}^n$ почти совершенным, если каждая гиперповерхность второго порядка в $\mathbb{R}^n$, содержащая все вершины $P$ и симметричная относительно центра $P$, совпадает с его описанной гиперсферой. Лемма 1. Однородный многогранник $P\subset \mathbb{R}^n$ является почти совершенным тогда и только тогда, когда для любого эллипсоида $E$ в $\mathbb{R}^n$ с центром, совпадающим с центром $P$, и отличного от описанной вокруг $P$ гиперсферы, найдется вершина $P$, не лежащая на $E$. Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что центр $P$ совпадает с началом $O$ некоторой декартовой системы координат. Если существует отличный от описанной вокруг $P$ гиперсферы эллипсоид с центром в $O$, который содержит все вершины $P$, то $P$ не является почти совершенным, поскольку эллипсоиды являются поверхностями второго порядка. Докажем теперь утверждение в другую сторону. Предположим, что многогранник $P$ не является почти совершенным. Пусть $\sum_{i=1}^n x_i^2-r^2=0$ – уравнение описанной вокруг $P$ гиперсферы, и пусть $F\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ – такая квадратичная форма, что $F(A)-1=0$ для любой вершины $A$ многогранника $P$ и $r^2F(X) \neq \sum_{i=1}^n x_i^2$. Понятно, что для любого $\mu \in \mathbb{R}$ гиперповерхность второго порядка, задаваемая уравнением $\sum_{i=1}^n x_i^2-r^2+\mu(F(x)-1)=0$, содержит все вершины многогранника $P$, отлична от гиперсферы и симметрична относительно центра $O$. Кроме того, при достаточно малых по модулю $\mu$ эта гиперповерхность является эллипсоидом. Лемма полностью доказана. Нетрудно доказать, что любой правильный $n$-угольник на плоскости является почти совершенным при $n\geqslant 5$ (различные кривые второго порядка пересекаются не более чем в четырех точках). Но это не так при $n=4$. Действительно, пусть $L\in \mathbb{R}$, тогда кривая второго порядка $Lx^2+(2-L)y^2=1$ содержит четыре точки вида $(\pm 1/\sqrt{2},\pm 1/\sqrt{2})\in \mathbb{R}^2$, т. е. вершины квадрата с длиной стороны $\sqrt{2}$. Описанная вокруг этого квадрата окружность получается при $L=1$. Отметим, что правильный треугольник также является почти совершенным. Действительно, любая кривая второго порядка, содержащая вершины правильного треугольника и симметричная относительно его центра, содержит и точки, симметричные его вершинам относительно центра треугольника, т. е. она содержит вершины правильного шестиугольника, а значит, совпадает с описанной окружностью. Лемма 2. Пусть $a>0$ и $F\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, $n\geqslant 2$, – такая квадратичная форма, что $F(\pm a, \pm a,\dots, \pm a)=1$ для любого выбора знаков $\pm$, т. e. гиперповерхность $F(x)=1$ содержит все вершины $(\pm a, \pm a,\dots, \pm a)$ $n$-мерного гиперкуба. Тогда $F(x)=\sum_{i=1}^n l_i x_i^2$, где $\sum_{i=1}^nl_i=1/a^2$, в частности, главные направления гиперповерхности параллельны ребрам гиперкуба. Обратно, любая квадратичная форма указанного вида содержит все вершины рассматриваемого $n$-мерного гиперкуба. Доказательство. Пусть $F(x)=\sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_ix_j$, где $a_{ij}=a_{ji}$. Зафиксируем произвольные $i\neq j$ и докажем, что $a_{ij}=0$. Рассмотрим четыре вершины гиперкуба $A_0$, $A_i$, $A_j$, $A_{i,j}$ такие, что все координаты $A_0$ равны $a$, $A_i$ ($A_j$) отличается от $A_0$ знаком $i$-й (соответственно $j$-й) координаты, а $A_{i,j}$ отличается от $A_0$ знаками сразу $i$-й и $j$-й координат. Ясно, что эти точки являются вершинами некоторой квадратной грани. Равенства равносильны соответственно равенствам Вычитая из суммы первых двух этих равенств третье, получаем $2a_{ij}=0$. Это рассуждение доказывает первое утверждение леммы; второе очевидно. Лемма доказана. Предложение 11. Каждый $\mathrm{KB}$-перенос $f$ множества вершин $M$ почти совершенного однородного многогранника $P^n$ в $\mathbb{R}^n$, $n\geqslant 2$, с описанной сферой $S^{n-1}=S^{n-1}(0,1)\subset \mathbb{R}^n$ на расстояние $r$, где $0<r \leqslant 2$, является и $\mathrm{KB}$-переносом сферы $S^{n-1}$ на $r$. Если $0<r<2$, то $n=2m$, $\mathbb{R}^n$ разбивается в прямую ортогональную сумму $\mathbb{R}^n=\bigoplus_{l=1}^m\mathbb{R}^2_l$, ограничение $f$ на каждую евклидову $2$-плоскость $\mathbb{R}^2_l$, $l=1,\dots, m$, есть поворот на угол $2\pi t/k$, где $k\geqslant 3$ – делитель числа вершин $|M|$, $t\in [1,k/2)$ – натуральное число такое, что $t/k$ – несократимая дробь и $r=2\sin(\pi t/k)$. Доказательство. Если $r=2$, то $f$ – центральная симметрия на $M$, являющаяся ограничением центральной симметрии на $S^{n-1}$. В другом случае $\mathbb{R}^n$ разбивается в прямую ортогональную сумму
$$
\begin{equation}
\mathbb{R}^n=\mathbb{R}^q\oplus\mathbb{R}^{s}\oplus \biggl( \bigoplus_{i=1}^{j}\mathbb{R}^2_{i} \biggr),
\end{equation}
\tag{8}
$$
где $q,s\geqslant 0$, причем $q+s\geqslant 1$, если $n$ нечетно; $n=q+s+2j$, ограничение $f$ на $\mathbb{R}^q$ (соответственно $\mathbb{R}^s$) имеет собственное значение $-1$ (соответственно $1$), $\mathbb{R}^2_i$, $i=1,\dots,j$, отвечает паре отличных от $1$ комплексно-сопряженных значений для $f$, так что ограничение $f$ на $\mathbb{R}^2_i$ есть поворот на угол $2\pi t_i/k_i$, $k_i\geqslant 3$, $t_i\in [1,k_i/2)$. Пусть $(x_1,\dots,x_n)$ – система координат относительно ортонормированного базиса в $\mathbb{R}^n$, адаптированного к разложению (8). Тогда для $a_i:=2\sin(\pi t_i/k_i)$, $i=1,\dots, j$, для произвольной вершины из $M$ с координатами $(x_1,\dots,x_n)$. Поскольку многогранник $P^n$ почти совершенный, то должно быть $q+s=0$, $j=m$, $n=2m$, $a_i^2=r^2$, $k_i=k$, $t_i=t$, $i=1,\dots,m$, $r=2\sin(\pi t/k)$. Предложение доказано. Вопрос 3. Является ли $n$-мерный правильный симплекс почти совершенным многогранником при $n\geqslant 3$? § 5. Четырехмерные многогранники ГоссетаНапомним, что четырехмерными многогранниками Госсета являются полные усечения четырехмерного правильного симплекса и $600$-ячейника, а также курносый $24$-ячейник. Сначала мы исследуем полные усечения правильных симплексов (в пространствах произвольной размерности). Правильный $n$-мерный симплекс $T_n=T_n(\sqrt{2}\cdot l)$ c длиной ребра $\sqrt{2}\cdot l$ можно представить как выпуклую оболочку точек $A_i \in \mathbb{R}^{n+1}$, $i=1,\dots,n+1$, таких, что все координаты точки $A_i$ равны нулю за исключением ее $i$-й координаты, которая равна $l$. Понятно, что при этом все координаты центра $C$ этого симплекса равны $l/(n+1)$. Расстояние от $C$ до каждой точки $A_i$ равно $\sqrt{n/(n+1)}\,{\cdot}\, l$ и совпадает с радиусом описанной гиперсферы для $T_n(\sqrt{2}\cdot l)$. Полное усечение правильного симплекса $T_n(2\sqrt{2})$ можно представить как выпуклую оболочку точек $B_{i,j} \in \mathbb{R}^{n+1}$, $i,j=1,\dots,n+1$, $i<j$, таких, что все координаты точки $B_{i,j}$ нулевые, за исключением ее $i$-й и $j$-й координат, которые равны $1$. Понятно, что таких точек ровно $C_n^2=n(n-1)/2$. Расстояние между (различными) точками $B_{i,j}$ и $B_{s,t}$ равно $d_1:=\sqrt{2}$ при $i=s$ или $j=t$ и $d_2:=2$ при $\{i,j\}\cap \{s,t\}=\varnothing$. Предложение 12. Множество $M$ вершин полного усечения правильного симплекса $T_n$ произвольной размерности нормально однородно. Доказательство. Нам достаточно разобраться с реализацией полного усечения правильного симплекса $T_n(2\sqrt{2})$, приведенной выше. Очевидно, что рассматриваемое множество $M$ однородно. Зафиксируем две точки $B_{i,j}, B_{s,t} \in M$ и докажем существование $\delta$-сдвига $\psi$ в точке $B_{i,j}$, переводящего ее в точку $B_{s,t}$. Если $d(B_{i,j}, B_{s,t})=d_2$, то в качестве $\psi$ можно взять любую изометрию $M$, переводящую $B_{i,j}$ в $B_{s,t}$. Пусть $d(B_{i,j}, B_{s,t})=d_1$. Это значит, что точки $B_{i,j}$ и $B_{s,t}$ различаются в точности по двум координатам (т. е. $i=s$ и $j \neq t$ или $i\neq s$ и $j=t$). Рассмотрим изометрию $\psi$ множества $M$, порождаемую перестановкой этих двух координат. Понятно, что $\psi(B_{p,q})=B_{p,q}$, если эти координаты у точки $B_{p,q}$ равны, в то время как $d(B_{p,q}, \psi(B_{p,q}))=d_1$, если эти координаты у точки $B_{p,q}$ различны. Таким образом, все точки либо остаются на месте, либо сдвигаются на расстояние $d_1$. Следовательно, $\psi$ является $\delta$-сдвигом в точке $B_{i,j}$, переводящим ее в $B_{s,t}$. Предложение доказано. Легко проверить, что выпуклый многогранник $K= \operatorname{conv}(M)$, где имеет $n+1$ гипергрань $G_i=\{x=(x_1,x_2, \dots, x_{n+1}) \in K \mid x_i=1\}$, каждая из которых является $(n-1)$-мерным правильным симплексом с длиной ребра $d_1=\sqrt{2}$, и $n+1$ гипергрань $O_i=\{x=(x_1,x_2, \dots, x_{n+1}) \in K \mid x_i=0\}$, каждая из которых является $(n-1)$-мерным полным усечением $(n-1)$-мерного правильного симплекса c длиной ребра $d_1=\sqrt{2}$. Отметим, что полное усечение $T_n$ при $n=2$ является треугольником, а при $n=3$ – октаэдром.При $n\geqslant 4$ $(n-1)$-мерное полное усечение $(n-1)$-мерного правильного симплекса не является $(n-1)$-мерным правильным симплексом (в полном усечении расстояние между двумя различными вершинами не является константой). Это простое наблюдение влечет следующее утверждение. Лемма 3. При любой изометрии многогранника $K$, $n\geqslant 4$, каждая гипергрань $G_i$, $1\leqslant i \leqslant n+1$, отображается на гипергрань $G_j$ для некоторого $1\leqslant j \leqslant n+1$. Замечание 5. При $n=3$ грань $G_i$ может также отобразиться на некоторую грань $O_j$, поскольку все грани $K$ в этой размерности являются правильными треугольниками. Более того, мы знаем, что множество вершин $M$ октаэдра является однородным по Клиффорду–Вольфу метрическим пространством. Предложение 13. При любой изометрии множества $M$ вершин полного усечения правильного симплекса $T_n$, $n \geqslant 4$, существует точка в $M$, которая либо неподвижна, либо сдвигается на величину $d_1$. Доказательство. Допустим, что существует изометрия $\psi$ множества $M$, сдвигающая каждую точку на расстояние $d_2$. Ясно, что эта изометрия не имеет неподвижных точек. Кроме того, она естественно распространяется до изометрии многогранника $K=\operatorname{conv}(M)$, которую мы будем обозначать также символом $\psi$. Пусть $\eta$ – перестановка на множестве $\{1,2,\dots, n, n+1\}$ такая, что $\psi(G_i)=G_{\eta(i)}$, $1\leqslant i \leqslant n+1$ (см. лемму 3). Предположим, что $\eta(i)=i$ для некоторого индекса. Тогда $\psi(G_i)=G_i$, а так как все вершины в гиперграни $G_i$ находятся друг от друга на расстоянии $d_1$, мы нашли вершину, не смещающуюся на расстояние $d_2$ под действием изометрии $\psi$, что противоречит нашему предположению. Таким образом, $\eta(i)\neq i$ для всех индексов. Пусть $j=\eta(1)\neq 1$ и $k=\eta(j)\neq j$. Тогда $\psi(G_1)=G_j$ и $\psi(G_j)=G_k$. Понятно, что $B_{1,j}\in G_1 \cap G_j$, следовательно, $\psi(B_{1,j})\,{\in}\,\psi(G_1)\,{\cap}\, \psi(G_j)=G_j\,{\cap}\,G_k$. Таким образом, $\psi(B_{1,j})=B_{j,k}$ при $j<k$ или $\psi(B_{1,j})=B_{k,j}$ при $j>k$. Следовательно, точки $B_{1,j}$ и $\psi(B_{1,j})$ совпадают при $k=1$ и различаются в двух координатах (с номерами $1$ и $k$) при $k \neq 1$. В обоих случаях расстояние между $B_{1,j}$ и $\psi(B_{1,j})$ не превосходит $d_1$. Полученное противоречие доказывает предложение. Предложение 14. Множество $M$ вершин полного усечения правильного симплекса $T_n$, $n \geqslant 4$, не является однородным по Клиффорду–Вольфу метрическим пространством. Доказательство. Поскольку существуют вершины из $M$, находящиеся друг от друга на расстоянии $d_2$ (например, $B_{1,2}$ и $B_{3,4}$), то для однородности по Клиффорду–Вольфу необходимо существование изометрии $\eta$, смещающей все точки $M$ на расстояние $d_2$, что невозможно по предложению 13. Предложение доказано. Из предложений 12 и 14 при $n=4$ получаем следующее утверждение. Следствие 4. Множество вершин полного усечения правильного четырехмерного симплекса нормально однородно, но не однородно по Клиффорду–Вольфу. Теперь мы приступим к изучению курносого 24-ячейника (предполагаем, что множество его вершин совпадает с множеством $\operatorname{BI}-\operatorname{BT}$). Лемма 4. Каждое нетривиальное собственное движение тетраэдра – вращение порядка два или три вокруг некоторой оси в $\mathbb{R}^3$. Доказательство. Пусть $O$ – центр тетраэдра. Тогда каждое движение тетраэдра оставляет на месте точку $O$. Хорошо известно, что каждое нетривиальное собственное движение в $\mathbb{R}^3$ с неподвижной точкой $O$ есть вращение вокруг некоторой оси, проходящей через $O$. Если оно еще и изометрия тетраэдра на себя, то эта ось должна проходить либо через середины некоторой пары непересекающихся ребер тетраэдра, либо через некоторую его вершину и центр противолежащей грани. В первом случае получаем вращение порядка два, во втором – порядка три. Лемма доказана. Теорема 4. Множество $M=\operatorname{BI}-\operatorname{BT}$ вершин курносого 24-ячейника не является нормальным однородным. Доказательство. Аналогично доказательствам предложений 3 и 4, из леммы 4 следует, что каждый элемент из $\operatorname{BT}-\{\pm 1\}$ порождает одну из циклических подгрупп вида $C_{4}$ или $C_3$, $C_{6}$, состоящую из элементов, лежащих на некоторой большой окружности в $S^3(0,1)\subset \mathbb{R}^4$. Подгруппы $C_{4}$ и $C_{6}$ включают элементы $\pm 1$, а $C_3$ элемент $1$, но не $-1$. Минимальные расстояния между различными элементами последних трех групп равны соответственно $2\sin(2\pi/8)=2\sin(\pi/4)$, $2\sin(\pi/6)$, $2\sin(\pi/3)$; минимальное из них равно $2\sin(\pi/6)$. В то же время минимальное расстояние между различными элементами множества $C_{10}-\{\pm 1\}$ равно $2\sin(\pi/10)$, что меньше $2\sin(\pi/6)$. На основании следствия 1 $\operatorname{BI}-\operatorname{BT}$ раскладывается на левые сдвиги множества $C_{10}-\{\pm 1\}$ элементами из $\operatorname{BT}$, являющиеся переносами Клиффорда–Вольфа. При этом вследствие сказанного расстояние от любого элемента из $C_{10}-\{\pm 1\}$ до любого элемента из $(\operatorname{BI}-\operatorname{BT})-(C_{10}-\{\pm 1\})$ не меньше $2\sin(\pi/6)$. Поэтому, если $\operatorname{BI}-\operatorname{BT}$ нормально однородно, то для любой пары $x$, $y$ точек из $C_{10}-\{\pm 1\}$ с расстоянием $d(x,y)=2\sin(\pi/10)$ должна существовать изометрия $f$ многогранника $\operatorname{BI}-\operatorname{BT}$ на себя такая, что $f(x)=y$ и $d(z,f(z))\leqslant 2\sin(\pi/10)$ для любой точки $z\in (\operatorname{BI}-\operatorname{BT})$, причем $f(C_{10}-\{\pm 1\})=C_{10}-\{\pm 1\}$. Но ясно, что такая изометрия должна быть поворотом большой окружности в $S^3(0,1)$, включающей $C_{10}-\{\pm 1\}$, на угол $\pm 2\pi/10=\pm\pi/5$. Но тогда $f(z)=1$ для одной из двух точек из $C_{10}-\{\pm 1\}$, находящихся на расстоянии $2\sin(\pi/10)$ от точки $1$, чего не должно быть. Теорема доказана. Далее, рассматривается полное усечение правильного $600$-ячейника в $\mathbb{R}^4$. Однородность множества его вершин $M$ следует из того, что каждая изометрия правильного $600$-ячейника в $\mathbb{R}^4$ индуцирует изометрию его полного усечения. Верно и обратное к выделенному утверждению (см. [21; разд. 5]). Предложение 15. Полное усечение правильного $600$-ячейника имеет ту же группу симметрий порядка $14400$, что и сам $600$-ячейник. Далее, в предложениях 16–18 последовательно доказывается следующая теорема. Предложение 16. Длина ребра у правильного $600$-ячейника, вписанного в сферу $S^3(0,1)$, равна $2\sin(\pi/10)$, а у его полного усечения – $\sin(\pi/10)$. Доказательство. Аналогично доказательству леммы 4 устанавливается, что нетривиальные собственные движения икосаэдра являются вращениями порядков $2$, $3$ или $5$. Затем первое утверждение следует из того, что такой правильный $600$-ячейник можно отождествить с $\operatorname{BI}$, и доказательств предложений 3, 4 и теоремы 4. Второе утверждение следует из первого и того, что каждое ребро полного усечения этого $600$-ячейника является одной из трех средних линий некоторой двумерной грани $600$-ячейника, являющейся правильным треугольником. Предложение доказано. Следствие 5. Длина ребра полного усеченного $600$-ячейника, вписанного в единичную сферу $S^3(0,1)\subset \mathbb{R}^4$, есть Доказательство. Первое равенство следует из предложения 16 и того, что расстояние от середины ребра $600$-ячейника до его центра равно $\cos(\pi/10)$. Второе равенство вытекает из того, что $\cos(\pi/5)=\varphi/2$ (см. [6]) и известного выражения синусов и косинусов через косинус двойного угла. Следствие доказано. Предложение 17. Если существует нетривиальная изометрия $f$ полного усечения $600$-ячейника такая, что $\rho(v,f(v))\leqslant l$ (число $l$ указано в следствии 5) для евклидовой метрики $\rho$ и всех $v\in M$, то $\rho(y,f(y))\leqslant 2/(\sqrt{5}\,\varphi^2)$ для всех $y\in S^3(0,1)$. Доказательство. Гипергранями усеченного $600$-ячейника являются правильные икосаэдры и октаэдры с длиной ребра $l$. Тогда радиусы описанной сферы икосаэдра и октаэдра равны соответственно $(l/2)\bigl((\sqrt{5+\sqrt{5}})/\sqrt{2}\bigr)$ и $(l/2)\sqrt{2}$ и первое число больше второго. Для каждой точки $x\in \mathbb{R}^4$ $\rho(x,f(x))=|f(x)-x|$ и функция $x\to f(x)-x$ линейна на $\mathbb{R}^4$. Пусть $x$ – произвольная точка какой-нибудь гиперграни рассматриваемого многогранника – октаэдра или икосаэдра. Тогда $x=\sum_{k=1}^6x_kv_k$ или $x=\sum_{k=1}^{12}x_kv_k$, где $x_k\geqslant 0$, $\sum_kx_k=1$ и $v_k$ – вершины октаэдра или икосаэдра,
$$
\begin{equation*}
\rho(x,f(x))=|f(x)-x|=\biggl|\sum_kx_k(f(v_k)-v_k)\biggr|\leqslant \sum_kx_k|f(v_k)-v_k|\leqslant \sum_kx_kl=l.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом величина смещения центральной проекции $y$ точки $x$ на сферу $S^3(0,1)$ не превосходит частного от деления $l$ на расстояние от центра гиперграни до $0$. У икосаэдра последнее расстояние меньше, чем у октаэдра, поэтому при получении верхней оценки для $\rho(y,f(y))$ будем рассматривать икосаэдр. Тогда вследствие сказанного, а также равенств $l^{-2}=5+2\sqrt{5}$ и $2\varphi^4=7+3\sqrt{5}$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\cos\biggl(\arcsin \biggl(\frac{l}2\frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}\biggr)\biggr) =\sqrt{1-\frac{(5+\sqrt{5})l^2}{8}} \\ &\qquad=\frac{1}{2\sqrt{2}}\,\sqrt{8-\frac{5+\sqrt{5}}{5+2\sqrt{5}}}= \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\, \sqrt{\frac{7+3\sqrt{5}}{5+2\sqrt{5}}} =\frac{\sqrt{5}}{2}\, \sqrt{\varphi^4l^2}=\frac{\sqrt{5}\,l\varphi^2}{2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем Предложение доказано. Предложение 18. Изометрии $f$ из предложения 17 не существует. Доказательство. Предположим, что такая изометрия $f$ существует. Тогда $f(v_1)=v_2$ для некоторых $v_1,v_2\in M$ таких, что $\rho(v_1,v_2)=l$. Следовательно, $v_1$ и $v_2$ – середины некоторых двух смежных ребер $600$-ячейника, соединяющих соответственно его вершины $w_0$, $w_1$ и $w_0$, $w_2$. Ясно, что вследствие предложения 15 возможны два случая:
1) $f(w_0)=w_0$, $f(w_1)=w_2$; 2) $f(w_0)=w_2$, $f(w_1)=w_0$. В случае 1) $w_0$, $w_1$, $w_2$ – вершины равностороннего сферического треугольника на некоторой двумерной сфере $S^2(0,R)\subset S^3(0,R)\subset\mathbb{R}^4$, где $S^3(0,R)$ – описанная сфера для $600$-ячейника. Продолжения сторон $[w_0,w_1]$, $[w_0,w_2]$ этого сферического треугольника высекают на экваторе сферы $S^2(0,R)$ с полюсом $w_0$ точки $Z_1$ и $Z_2$ такие, что $f(Z_1)=Z_2$. При этом $\rho(Z_1,Z_2)>R$, так как угол $C$ этого равностороннего сферического треугольника больше $\pi/3$. Тогда пересечения отрезков $[0,Z_1]$, $[0,Z_2]$ со сферой $S^3(0,1)$ дают точки $z_1$, $z_2$ такие, что $f(z_1)=z_2$ и $\rho(z_1,z_2)>1$. Но по предложению 17 должно быть $\rho(z_1,f(z_1))\leqslant 2/(\sqrt{5}\varphi^2)< 1$, противоречие. В случае 2) придется делать более точные оценки, в том числе вычислить угол $C$. Сделаем растяжение с коэффициентом $1/R$ так, чтобы $S^3(0,1)$ была описанной сферой $600$-ячейника. Сохраним при этом те же обозначения для $Z_1$, $Z_2$ (вместо $z_1$, $z_2$) и вершин $w_0$, $w_1$, $w_2$ рассмотренного треугольника. Тогда длина стороны треугольника есть $a=2\arcsin(l/R)$, где
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{R}=\cos \frac{\pi}{10} =\sqrt{\frac{1+\cos(\pi/5)}{2}}=\sqrt{\frac{1+\varphi/2}{2}} =\frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вследствие теоремы косинусов сферической геометрии для угла $C$ рассматриваемого треугольника
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \cos C=\frac{\cos a - \cos^2a}{\sin^2a}=\frac{\cos a(1-\cos a)}{1-\cos^2a}=\frac{\cos a}{1+\cos a}, \\ \cos a = 1 - 2\sin^2\biggl(\arcsin\biggl(\frac{l}{R}\biggr)\biggr) =1-\frac{2l^2}{R^2} =1-\frac{\sqrt{5}+1}{4(2+\sqrt{5})} =\frac{7+3\sqrt{5}}{4(2+\sqrt{5})}, \\ \cos C=\biggl(\frac{7+3\sqrt{5}}{4(2+\sqrt{5})}\biggr)\cdot \biggl(1+\frac{7+3\sqrt{5}}{4(2+\sqrt{5})}\biggr)^{-1}= \frac{7+3\sqrt{5}}{15+7\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
На этот раз $f(Z_1)$ равно не $Z_2$, а сдвигу $-Z_2$ на угол $a$ в направлении к $Z_2$ по полуокружности $[(-Z_2)Z_2]$ с серединой $w_0$. Тогда сферическое расстояние
$$
\begin{equation*}
d(Z_1,f(Z_1))\geqslant \pi -C -a =\pi-(a+C)= \pi -\biggl(\arccos\biggl(\frac{7+3\sqrt{5}}{4(2+\sqrt{5})}\biggr) + \arccos\biggl(\frac{1}{\sqrt{5}}\biggr)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
а вследствие предложения 17 должно быть
$$
\begin{equation*}
d(Z_1,f(Z_1))\leqslant \arccos\biggl(\frac{31+15\sqrt{5}}{35+15\sqrt{5}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Компьютерные вычисления показывают, что правая часть предыдущего неравенства больше правой части последнего на $1.062800925\dots$ . Полученные в обоих случаях противоречия доказывают предложение 18. § 6. Пятимерный многогранник Госсета $\operatorname{Goss}_5$Докажем одно общее утверждение для пространств произвольной размерности. Предложение 19. Множество вершин каждого полугиперкуба в $\mathbb{R}^n$ с индуированной из $\mathbb{R}^n$ метрикой однородно по Клиффорду–Вольфу. Доказательство. Напомним, что $n$-мерный гиперкуб с длиной ребра $2$ можно представить как выпуклую оболочку точек вида $(\pm1,\pm1,\dots,\pm 1)\in \mathbb{R}^n$ с произвольно выбираемыми знаками каждой координаты. Ясно, что на множестве вершин этого гиперкуба просто транзитивно действует группа $(\mathbb{Z}_2)^n$, где $\mathbb{Z}_2=\{-1,1\}$ (вершины гиперкуба естественно отождествляются с элементами этой группы), состоящая из переносов Клиффорда–Вольфа множества вершин гиперкуба. Рассмотрим подмножество вершин $G$ гиперкуба, состоящее из всех вершин с четным количеством знаков “$-$” в координатах, и отождествим его с подмножеством группы $(\mathbb{Z}_2)^n$, которое также будем обозначать $G$. Нетрудно проверить, что произведение элементов из $G$ остается в $G$. Таким образом, $G$ является подгруппой индекса $2$ в группе $(\mathbb{Z}_2)^n$. Выпуклая оболочка всех вершин из $G$ является по определению полугиперкубом. Группа $G$ коммутативна и действует на множестве вершин гиперкуба переносами Клиффорда–Вольфа. При этом она просто транзитивна на $G$ и вследствие коммутативности $G$ состоит из переносов Клиффорда–Вольфа множества вершин полугиперкуба. Действительно, зафиксируем некоторый элемент $b\in G$. Для произвольных $x,y \in G$ существует элемент $a\in G$ такой, что $y=a\cdot x$ (композиция в группе $G$). В силу того, что $a\cdot b = b \cdot a$ и метрика $\rho$ инвариантна относительно левых сдвигов в $G$, мы имеем $\rho(y,b\cdot y)=\rho(a\cdot x,b\cdot a \cdot x)=\rho(a\cdot x,a\cdot b \cdot x)=\rho(x,b \cdot x)$, т. e. умножение на $b$ является переносом Клиффорда–Вольфа. Предложение доказано. Поскольку пятимерный многогранник Госсета является полугиперкубом, то мы немедленно получаем следующее утверждение. Следствие 6. Множество вершин многогранника Госсета $\operatorname{Goss}_5$ в $\mathbb{R}^5$ однородно по Клиффорду–Вольфу. § 7. Шестимерный многогранник Госсета $\operatorname{Goss}_6$Шестимерный многогранник Госсета $\operatorname{Goss}_6$ можно реализовать разными способами. Зададим его координатами вершин в $\mathbb{R}^6$, как это сделано в работе [12]. Пусть $a=\sqrt{2}/4$ и $b=\sqrt{6}/12$. Зададим точки $A_i \in \mathbb{R}^6$, $i=1,\dots,27$, так:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} A_1 &=(0,0,0,0,0,4b), &\qquad A_2 &=(a,a,a,a,a,b), \\ A_3 &=(-a,-a,a,a,a,b), &\qquad A_4 &=(-a,a,-a,a,a,b), \\ A_5 &=(-a,a,a,-a,a,b), &\qquad A_6 &=(-a,a,a,a,-a,b), \\ A_7 &=(a,-a,-a,a,a,b), &\qquad A_8 &=(a,-a,a,-a,a,b), \\ A_9 &=(a,-a,a,a,-a,b), &\qquad A_{10} &=(a,a,-a,-a,a,b), \\ A_{11} &=(a,a,-a,a,-a,b), &\qquad A_{12} &=(a,a,a,-a,-a,b), \\ A_{13} &=(-a,-a,-a,-a,a,b), &\qquad A_{14} &=(-a,-a,-a,a,-a,b), \\ A_{15} &=(-a,-a,a,-a,-a,b), &\qquad A_{16} &=(-a,a,-a,-a,-a,b), \\ A_{17} &=(a,-a,-a,-a,-a,b), &\qquad A_{18} &=(2a,0,0,0,0,-2b), \\ A_{19} &=(0,2a,0,0,0,-2b), &\qquad A_{20} &=(0,0,2a,0,0,-2b), \\ A_{21} &=(0,0,0,2a,0,-2b), &\qquad A_{22} &=(0,0,0,0,2a,-2b), \\ A_{23} &=(-2a,0,0,0,0,-2b), &\qquad A_{24} &=(0,-2a,0,0,0,-2b), \\ A_{25} &=(0,0,-2a,0,0,-2b), &\qquad A_{26} &=(0,0,0,-2a,0,-2b), \\ A_{27} &=(0,0,0,0,-2a,-2b). &\qquad & \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Многогранник Госсета $\operatorname{Goss}_6$ – выпуклая оболочка этих точек. Легко проверить, что $\rho(A_1, A_i)=1$ при $2\leqslant i \leqslant 17$ и $\rho(A_1, A_i)=\sqrt{2}$ при $18\leqslant i \leqslant 27$. Замечание 6. Используя обозначение $\overline{a_1,a_2,\dots,a_m}$ для множества всех перестановок, полученных из элементов $a_1,a_2,\dots,a_m$, множество точек $A_i$ при $3\leqslant i \leqslant 27$ можно записать более компактно: $A_3 - A_{12}=(\overline{-a,-a,a,a,a},b)$, $A_{13} - A_{17}=(\overline{-a,-a,-a,-a,a},b)$, $A_{18}-A_{22}=(\overline{2a,0,0,0,0},-2b)$, $A_{23}-A_{27}=(\overline{-2a,0,0,0,0},-2b)$. Ясно, что точки $A_2 - A_{17}$ являются вершинами пятимерного полугиперкуба (соответствующий гиперкуб имеет $32$ вершины вида $(\pm a, \pm a,\pm a,\pm a,\pm a,b)$), а точки $A_{18} - A_{27}$ являются вершинами пятимерного гипероктаэдра (ортоплекса), являющегося гипергранью многогранника $\operatorname{Goss}_6$ (лежащей в гиперплоскости $x_6=-2b$). Начало координат $O=(0,0,0,0,0,0)\in \mathbb{R}^6$ является центром описанной вокруг $\operatorname{Goss}_6$ гиперсферы с радиусом $4b=\sqrt{2/3}$. Отметим, что среди вершин указанного выше пятимерного гипероктаэдра есть пять пар вершин, точки каждой из которых находятся на расстоянии $d_2=\sqrt{2}$ друг от друга. Вместе с вершиной $A_1$ каждая такая пара образует правильный треугольник с длиной стороны $d_2$. Всего таких треугольников $27\cdot 5/3=45$. Будем называть их большими треугольниками в $\operatorname{Goss}_6$. Каждый такой треугольник имеет начало координат $O$ своим центром масс. Более того, этим свойством обладают лишь эти $45$ треугольников. Действительно, если у нас есть три вершины $A_i,A_j,A_k \in \operatorname{Goss}_6$ такие, что $A_i+A_j+A_k=O=(0,0,0,0,0,0)$, то без ограничения общности можно считать, что $i=1$ (в силу однородности многогранника $\operatorname{Goss}_6$). Поскольку последняя компонента $A_1$ равна $4b$, то $18 \leqslant i,j \leqslant 27$ и, кроме того, первая ненулевая компонента у $A_j$ должна иметь тот же номер, что и первая ненулевая компонента у $A_k$. Таким образом, точки $A_i$, $A_j$, $A_k$ образуют правильный треугольник с длиной стороны $d_2=\sqrt{2}$. Легко видеть, что множество изометрий пространства $\mathbb{R}^6$, которые переводят $\operatorname{Goss}_6$ в себя и оставляют прямую $Ox_6$ неподвижной, действует транзитивно на множестве всех вершин $A_i$ при $2\leqslant i \leqslant 17$ и при $18\leqslant i \leqslant 27$. Предложение 20. Множество вершин шестимерного многогранника Госсета $\operatorname{Goss}_6$ нормально однородно. Доказательство. Воспользуемся утверждением предложения 10. Хорошо известно, что многогранник Госсета $\operatorname{Goss}_6$ однороден, а расстояние между различными его вершинами принимает два значения ($d_1=1$ и $d_2=\sqrt{2}$ с точностью до подобия), см. выкладки выше. Покажем, что (в вышеприведенных обозначениях) группа изотропии $I(A_1)$ вершины $A_1$ действует транзитивно на множестве точек $A_i$, $i=2,\dots, 17$. Отметим, что $I(A_1)$ содержит все перестановки координат $x_i$ и $x_j$, где $i,j =1,\dots,5$, $i\neq j$. Кроме того, $I(A_1)$ содержит преобразование
$$
\begin{equation*}
(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6) \mapsto (-x_1,-x_2,x_3,x_4,x_5,x_6).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что некоторый элемент группы $I(A_1)$ перемещает наперед заданную точку $A_i$ в другую заданную точку $A_j$, $i,j =2,\dots,17$. Таким образом, выполнено условие 3) из предложения 10. Отметим, что отображение $\eta$, действующее по правилу $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6){\kern1pt}{\mapsto} (x_2,x_1,x_3,x_4,x_5,x_6)$, является изометрией многогранника Госсета $\operatorname{Goss}_6$. При этом $\rho (A_i, \eta(A_i)) \leqslant d_1=1$ для всех $i=1,\dots,27$. Кроме того, $\rho (B, \eta(B)) = d_1=1$, где $B=(2a,0,0,0,0,-2b)$. Тогда условие 4) из предложения 10 также выполнено. Теперь утверждение нашего предложения следует из предложения 10. Предложение доказано. Доказательство. В силу компактности множества $U$ решение рассматриваемой задачи на минимум существует. Без ограничения общности можно считать, что $x_1\leqslant x_2\leqslant x_3\leqslant x_4\leqslant x_5$. Нетрудно понять, что решение получается в случае, когда число $2x_5=2\max\{x_1,\dots,x_5\} = \sum_{i=1}^5 x_i$ минимально. Если $x_5= \sum_{i=1}^4 x_i \leqslant 1/\sqrt{2}$, то $\sum_{i=1}^5x_i^2\leqslant \bigl( \sum_{i=1}^4 x_i \bigr)^2+x_5^2\leqslant 1$, причем равенство между крайними частями возможно лишь при $x_4=x_5=1/\sqrt{2}$ и $x_1=x_2=x_3=0$. Ясно, что при таких значениях искомая величина равна $\sqrt{2}$. Лемма доказана. Предложение 21. Для произвольного двумерного векторного подпространства $P^2$ в $\mathbb{R}^6$ существует его единичный вектор, для которого его скалярное произведение на одну из вершин в $\operatorname{Goss}_6$ не меньше $1/2$, или, при нормировке описанной сферы этого многогранника до единичной, $\sqrt{3/8}$. Доказательство. Ясно, что подпространство $P^2$ содержит $1$-мерное подпространство $P^1$, лежащее также в гиперплоскости $x_6=0$. Пусть $e$, $-e$ суть единичные векторы из $P^1$. Для одного из этих векторов, пусть это будет $e$, все произведения его координат с соответствующими координатами одной из вершин $A_2$–$A_{17}$ неотрицательны. Тогда скалярное произведение этих двух векторов равно произведению суммы модулей координат вектора $e$ на $a$. А скалярное произведение $e$ на какой-нибудь вектор из $A_{18}$–$A_{27}$ равно произведению модуля произвольно выбранной его координаты на $2a$. Из утверждения леммы 5 получаем, что скалярное произведение вектора $e$ на одну из вершин не меньше $\sqrt{2}\, a=1/2$. При нормировке описанной сферы до единичной получаем число $\sqrt{3}/(2\sqrt{2})$. Предложение доказано. Теперь мы установим еще одно примечательное свойство многогранника $\operatorname{Goss}_6$. Напомним, что определение почти совершенных многогранников и описание их свойств приведены в § 4. Доказательство. Пусть $F\colon \mathbb{R}^6 \to \mathbb{R}$ – такая квадратичная форма, что $F(A_i)=1$ при $i=1,2,\dots,27$. Пусть $F(x)=\sum_{i,j=1}^6 a_{ij} x_ix_j$, где $a_{ij}=a_{ji}$ для всех индексов. Поскольку $F(A_1)=16b^2a_{66}=(2/3) a_{66}=1$, то $a_{66}=3/2$. Далее, $F(A_{18})=4a^2a_{11}+4b^2a_{66}-8aba_{16}=1$ и $F(A_{23})=4a^2a_{11}+4b^2a_{66}+8aba_{16}=1$, поэтому $a_{16}=0$ и $(1/2)a_{11}+(1/6)\cdot (3/2)=1$, т. е. $a_{11}=3/2$. Аналогично рассматривая пары точек $A_i$ и $A_{i+5}$ при $i=19,20,21,22$, мы получаем $a_{k6}=0$ и $a_{kk}=3/2$ при $1\leqslant k \leqslant 5$. Заметим теперь, что $F(x)=F(-x)$, поэтому вместе с каждой вершиной многогранника $\operatorname{Goss}_6$ гиперповерхность второго порядка $F(X)=1$ содержит симметричную ей точку относительно $O$. Так как $a_{k6}=0$ при $1\leqslant k \leqslant 5$, то смена знака у шестой координаты произвольной точки на этой гиперповерхности дает опять точку на гиперповерхности. Таким образом, на рассматриваемой гиперповерхности лежат все точки вида $(\pm a, \pm a, \pm a, \pm a, \pm a, b)$ для любого выбора знаков $\pm$. Если рассмотреть $G\colon \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}$, где $G(x)=\sum_{i,j=1}^5 a_{ij} x_ix_j$, то для любой вершины $B=(\pm a, \pm a, \pm a, \pm a, \pm a)$ пятимерного гиперкуба мы имеем
$$
\begin{equation*}
G(B)=F(B')-a_{66}b^2=1-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{24}=\frac{15}{16},
\end{equation*}
\notag
$$
где точка $B'\in \mathbb{R}^6$ получается из $B$ добавлением шестой координаты $b$. Теперь лемма 2 влечет справедливость равенства $a_{ij}=0$ при $1\leqslant i,j \leqslant 5$, $i\neq j$. Таким образом, мы получаем, что $F(x)=(3/2) (x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2)$. Теорема доказана. Замечание. Поскольку многогранник Госсета $\operatorname{Goss}_6$ является многогранником Делоне решетки $\operatorname{E}_6$, то результат приведенной теоремы легко следует из леммы 1 и того факта, что этот многогранник является совершенным, т. е. сфера Делоне соответствующей решетки является единственным описанным вокруг него эллипсоидом, см. подробности в [22]. Теорема 7. Множество вершин $M$ многогранника $\operatorname{Goss}_6$ не допускает $\mathrm{KB}$-переноса на расстояние $1$ (и не однородно по Клиффорду–Вольфу). Доказательство. Для применения предложения 11 нам удобно нормировать $\operatorname{Goss}_6$ так, чтобы радиус его описанной сферы был равен $1$. Тогда речь идет о $\mathrm{KB}$-переносе на $r_0\,{=}\,\sqrt{3}/\sqrt{2}:=2\sin(\alpha/2)$. Тогда $\cos\alpha= 1- 2(\sqrt{3}/(2\sqrt{2}))^2=1/4$. Так как по теореме 6 многогранник $\operatorname{Goss}_6$ – почти совершенный многогранник, то вследствие предложения 11 $\mathbb{R}^6$ разбивается в прямую ортогональную сумму $\mathbb{R}^6=\bigoplus_{l=1}^3\mathbb{R}^2_l$ так, что ограничение $f$ на каждую евклидову $2$-плоскость $\mathbb{R}^2_l$, $l=1,2,3$, есть поворот на угол $2\pi t/k$, где $k\geqslant 3$ – делитель числа $27$, $t\in [1,k/2)$, $r=2\sin(\pi t/k)$. Тогда $\alpha=2\pi t/k$, и может быть $k=3,9,27$. В случае $k=3$ должно быть $t=1$ и получаем $\mathrm{KB}$-перенос единичной сферы на $r=2\sin(\pi/3)=\sqrt{3}$. Этот $\mathrm{KB}$-перенос для $M$ действительно существует, но $\sqrt{3}>\sqrt{3}/\sqrt{2}$. При $k=9$ и $t=1$ получаем $\mathrm{KB}$-перенос единичной сферы на
$$
\begin{equation}
r=2\sin\frac{\pi}9 < 2\sin\frac{\pi}8= \sqrt{2-\sqrt{2}}<1 <\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.
\end{equation}
\tag{9}
$$
При $k=9$ и $t=2$ получаем перенос Клиффорда–Вольфа единичной сферы на
$$
\begin{equation}
r=2\sin\frac{2\pi}9, \qquad \cos\frac{4\pi}9= \sin\frac{\pi}{18}= 0.1736481777\ldots < \frac14,\quad r>r_0.
\end{equation}
\tag{10}
$$
При $k=27$ с учетом неравенств (9), (10) остается рассмотреть случаи $t\,{=}\,4,5$:
$$
\begin{equation*}
\cos\frac{8\pi}{27} = 0.5971585916\ldots > \cos\frac{10\pi}{27}= 0.39607976657\ldots > \frac14, \quad r < r_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Неоднородность по Клиффорду–Вольфу множества $M$ теперь следует из того, что $\rho(A_1,A_2)=1$. Теорема 7 доказана. Можно привести явный пример переноса Клиффорда–Вольфа со сдвигом $\sqrt{2}$ для многогранника $\operatorname{Goss}_6$. В стандартном базисе в $\mathbb{R}^6$ такой перенос, например, задается матрицей (примем договоренность, что отображение, соответствующее матрице $A$, задается формулой $x \mapsto x \cdot A$)
$$
\begin{equation*}
\widetilde{A}= \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & -1& -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & \sqrt{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -\sqrt{3} & -1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта матрица имеет два собственных значения $(-1 \pm \mathrm{i}\sqrt{3})/2$ кратности три и задает перенос Клиффорда–Вольфа $I$ на сфере $S(0,1)$. Отметим, что множество вершин $A_i$, $1\leqslant i \leqslant 27$ разбивается на девять циклов по три элемента при соответствующем переносе Клиффорда–Вольфа. Эти циклы следующие (мы указываем номера вершин): $(1,27,22)$, $(2,15,25)$, $(3,17,19)$, $(4,9,26)$, $(5,14,18)$, $(6,24,10)$, $(7,12,23)$, $(8,16,21)$ и $(11,20,13)$. Понятно, что каждый из этих циклов определяет большой треугольник в многограннике $\operatorname{Goss}_6$. Заметим, что в качестве попарно ортогональных и инвариантных относительно $I$ двумерных плоскостей можно рассмотреть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \pi_1 &= \{(x_1,x_2,x_3,0,0,0)\mid x_1-x_2+x_3=0\}, \\ \pi_2 &= \{(x_1,x_2,x_3,x_4,0,0)\mid x_1+x_2=0,\, x_1=x_3\}, \\ \pi_3 &= \{(0,0,0,0,x_5,x_6)\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это легко проверить с учетом следующих перемещений точек под действием $I$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (1,1,0,0,0,0) \to (-1,0,1,0,0,0) \to (0,-1,-1,0,0,0) \to (1,1,0,0,0,0), \\ (0,0,0,2,0,0) \to (1,-1,1,-1,0,0) \to (-1,1,-1,-1,0,0) \to (0,0,0,2,0,0). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку многогранник $\operatorname{Goss}_6$ однороден, а группа изотропии произвольной его вершины действует транзитивно на множестве вершин, находящихся от нее на расстоянии $\sqrt{2}$ (то же справедливо для множества вершин, расположенных на расстоянии $1$ от выбранной вершины), то вышеприведенный пример переноса Клиффоорда–Вольфа показывает, что любую вершину $u$ многогранника $\operatorname{Goss}_6$ можно перевести в любую другую его вершину $v$, находящуюся на расстоянии $\sqrt{2}$ от $u$, подходящим переносом Клиффорда–Вольфа для множества вершин многогранника $\operatorname{Goss}_6$. Рассмотрим еще одну изометрию многогранника $\operatorname{Goss}_6$, порождаемую матрицей
$$
\begin{equation*}
\widetilde{B}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1& 1 & -1 & -3 & -1& -\sqrt{3}\, \\ -3& 1 & -1 & 1 & -1& -\sqrt{3} \\ 1& 1 & -1 & 1 &3& -\sqrt{3} \\ 1& -3 & -1 & 1 &-1& -\sqrt{3} \\ 1& -1 & 3 & -1 &1& \sqrt{3} \\ \sqrt{3} &\sqrt{3} & -\sqrt{3} &\sqrt{3} & -\sqrt{3} & 1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта матрица имеет два собственных значения $(1 \pm \mathrm{i}\sqrt{3})/2$ кратности два и два собственных значения $(-1 \pm \mathrm{i}\sqrt{3})/2$ кратности один. При этом множество вершин $A_i$, $1\leqslant i \leqslant 27$, разбивается на пять циклов под действием этой изометрии. Один из этих циклов (мы указываем номера вершин), $(2,15,25)$, имеет три элемента, которые перемещаются на расстояние $\sqrt{2}$ (циклическое перемещение вершин большого треугольника). Остальные вершины перемещаются на расстояние $1$ и образуют циклы $(1,11,27,20,22,13)$, $(3,7,17,12,19,23)$, $(4,14,9,18,26,5)$, $(6,21,24,8,10,16)$. Каждый из этих четырех циклов определяет по два больших треугольника, которые переводятся друг в друга рассматриваемой изометрией. Определение 8. Метрическое пространство $(M,d)$ назовем пространством с $\mathrm{MD}$-свойством (от “Minimum Displacement”), если для любых двух точек $u,v \in M$ существует изометрия $I$ рассматриваемого пространства такая, что $I(u)=v$ и $d(u,v)=\min_{x\in M} d(x,I(x))$. Изометрии такого вида в определенном смысле противоположны $\delta$-сдвигам (см. определение 4). Естественно возникает вопрос об описании метрических пространств с $\mathrm{MD}$-свойством. Ясно, что все такие пространства однородны и что каждое однородное по Клиффорду–Вольфу метрическое пространство обладает $\mathrm{MD}$-свойством. Но $\mathrm{MD}$-свойством обладают не только $\mathrm{KB}$-однородные пространства. Предложение 22. Множество вершин $M$ многогранника $\operatorname{Goss}_6$ обладает $\mathrm{MD}$-свойством. Доказательство. Для произвольных различных точек $u,v \in M$ мы имеем $\rho(u,v)=1$ или $\rho(u,v)=\sqrt{2}$. Если $\rho(u,v)=\sqrt{2}$, то, как показывают рассуждения выше, существует $\mathrm{KB}$-перенос $I$ множества $M$ такой, что $I(u)=v$. Понятно, что $\rho(u,v)=\min_{x\in M} d(x,I(x))$, поскольку $d(x,I(x))\equiv \sqrt{2}$. Если $\rho(u,v)=1$, имея в виду пример изометрии, порожденной матрицей $\widetilde{B}$ выше, однородность многогранника $\operatorname{Goss}_6$ и то, что группа изотропии произвольной его вершины действует транзитивно на множестве вершин, находящихся от нее на расстоянии $1$, мы заключаем, что существует такая изометрия $J$ множества $V$, что $J(u)=v$ и не существует вершин, неподвижных относительно $J$. Последнее означает, что $1=\rho(u,v)=\min_{x\in M} d(x,I(x))$. Предложение доказано. Теорема 7 и предложение 22 порождают естественный вопрос. Вопрос 4. Каково минимальное число вершин многоугольника $P$ в евклидовом пространстве, множество вершин которого не однородно по Клиффорду–Вольфу, но при этом обладает $\mathrm{MD}$-свойством? Задача 1. Классифицировать все однородные многогранники в евклидовых пространствах, множества вершин которых обладают $\mathrm{MD}$-свойством. Поскольку расстояние между различными вершинами многогранника $\operatorname{Goss}_6$ принимает лишь два значения, естественно рассмотреть следующую проблему. Задача 2. Классифицировать все однородные многогранники в евклидовых пространствах, расстояние между различными вершинами которых принимает лишь два значения. Если расстояние между различными вершинами некоторого многогранника одно и то же, то этот многогранник является правильным симплексом (даже без предположения однородности). § 8. Семимерный многогранник Госсета $\operatorname{Goss}_7$Семимерный многогранник Госсета $\operatorname{Goss}_7$ можно реализовать разными способами. Мы зададим его координатами вершин в $\mathbb{R}^7$, как это сделано в работе [12]. Далее символом $\overline{a_1,a_2,\dots,a_m}$ будем обозначать множество всех перестановок, полученных из элементов $a_1,a_2,\dots,a_m$. Пусть $a=\sqrt{2}/4$, $b=\sqrt{6}/12$ и $c=\sqrt{3}/6$. Зададим точки $B_i \in \mathbb{R}^7$, $i=1,\dots,56$, так:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, B_1=(0,0,0,0,0,0,3c), \qquad B_2=(0,0,0,0,0,4b,c), \quad B_3=(a,a,a,a,a,b,c), \\ \begin{alignedat}{2} B_4-B_{13} &=(\overline{-a,-a,a,a,a},b,c), &\quad B_{14}-B_{18} &=(\overline{-a,-a,-a,-a,a},b,c), \\ B_{19}-B_{23} &=(\overline{2a,0,0,0,0},-2b,c), &\quad B_{24}-B_{28} &=(\overline{-2a,0,0,0,0},-2b,c), \\ B_{29}-B_{33} &=(\overline{-2a,0,0,0,0},2b,-c), &\quad B_{34}-B_{38} &=(\overline{2a,0,0,0,0},2b,-c), \\ B_{39}-B_{48} &=(\overline{a,a,-a,-a,-a},-b,-c), &\quad B_{49}-B_{53} &=(\overline{a,a,a,a,-a},-b,-c), \\ B_{54} &=(-a,-a,-a,-a,-a,-b,-c), &\quad B_{55} &=(0,0,0,0,0,-4b,-c), \\ B_{56} &=(0,0,0,0,0,0,-3c). &\quad & \end{alignedat} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Многогранник Госсета $\operatorname{Goss}_7$ можно представить как выпуклую оболочку этих точек. Понятно, что последние $28$ точек получаются из первых $28$ точек c помощью центральной симметрии относительно начала координат $O$. Таким образом, радиус описанной вокруг рассматриваемого многогранника гиперсферы равен $3c=\sqrt{3}/2$. Ясно, что выпуклая оболочка точек $B_i$ при $2\leqslant i \leqslant 28$ является многогранником Госсета $\operatorname{Goss}_6$ (вершинной фигурой для вершины $B_1\in \operatorname{Goss}_7$). Симметричный ему многогранник образуют точки $B_i$ при $29\leqslant i \leqslant 55$. Легко проверить, что $\rho(B_1, B_i)=1$ при $2\leqslant i \leqslant 28$, $\rho(B_1, B_i)=\sqrt{2}$ при $29\leqslant i \leqslant 55$ и $\rho(B_1, B_{56})=\sqrt{3}$. Следует отметить, что центральная симметрия в $\mathbb{R}^7$ относительно начала координат является изометрией многогранника $\operatorname{Goss}_7$ и смещает все его вершины на расстояние $d_3=\sqrt{3}$ (таким образом, является переносом Клиффорда– Вольфа). Легко видеть, что множество изометрий пространства $\mathbb{R}^7$, которые переводят $\operatorname{Goss}_7$ в себя и оставляют прямую $Ox_7$ неподвижной, действует транзитивно на множестве всех вершин $B_i$ при $2\leqslant i \leqslant 28$, а также при $29\leqslant i \leqslant 55$ (что по сути означает однородность многогранника Госсета $\operatorname{Goss}_6$). Действительно, любая изометрия $\operatorname{Goss}_6$ может быть рассмотрена как изометрия вершинной фигуры $\operatorname{Goss}_7$ при выбранной неподвижной вершине и естественно распространяется на изометрию всего многогранника $\operatorname{Goss}_7$. Предложение 23. Множество вершин семимерного многогранника Госсета $\operatorname{Goss}_7$ является нормальным однородным метрическим пространством. Доказательство. Воспользуемся утверждением предложения 10. Хорошо известно, что многогранник Госсета $\operatorname{Goss}_7$ однороден и, как показано выше, расстояние между различными его вершинами принимает три значения ($d_1=1$, $d_2=\sqrt{2}$ и $d_3=\sqrt{3}$ с точностью до подобия). Покажем, что (в вышеприведенных обозначениях) группа изотропии $I(B_1)$ вершины $B_1$ действует транзитивно на множестве точек $B_i$, $i=2,\dots, 28$ (множестве вершин $\operatorname{Goss}_7$, находящихся на расстоянии $d_1$ от вершины $B_1$). Это действительно так, поскольку соответствующее множество точек образует однородный многогранник Госсета $\operatorname{Goss}_6$. Точно так же многогранник Госсета $\operatorname{Goss}_6$ образует множество точек $B_i$, $i=29,\dots, 55$ (он центрально симметричен предыдущему). Таким образом, группа изотропии $I(B_1)$ вершины $B_1$ действует транзитивно и на множестве точек $B_i$, $i=29,\dots, 55$ (это в точности множество вершин $\operatorname{Goss}_7$, находящихся на расстоянии $d_2$ от вершины $B_1$). Следовательно, выполнено условие 3) из предложения 10. Отметим, что отображение $\eta$, действующее по правилу
$$
\begin{equation*}
(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7) \mapsto (x_2,x_1,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7),
\end{equation*}
\notag
$$
является изометрией многогранника Госсета $\operatorname{Goss}_7$. При этом $\rho (B_i, \eta(B_i)) \leqslant d_1=1$ для всех $i=1,\dots,56$. Кроме того, $\rho (B, \eta(B))\,{=}\, d_1\,{=}\,1$, где $B=(2a,0,0,0,0,-2b,c)$. Следовательно, мы нашли изометрию $\operatorname{Goss}_7$ с максимальным смещением вершин $d_1=1$. Рассмотрим теперь изометрию $\theta$ шестимерного многогранника Госсета $\operatorname{Goss}_6$ с максимальным смещением вершин $d_2=\sqrt{2}$ (такая изометрия существует в силу однородности многогранника $\operatorname{Goss}_6$). Рассмотрим изометрию $\theta'$ многогранника Госсета $\operatorname{Goss}_7$, определяемую следующим образом: $\theta'$ оставляет неподвижными вершины $B_1$ и $B_{56}$, действуя на вершинной фигуре относительно вершины $B_1$ как $\theta$ (вершинной фигурой $\operatorname{Goss}_7$ является $\operatorname{Goss}_6$ при естественном отождествлении). Ясно, что изометрия $\theta'$ этими свойствами полностью определяется, при этом она действует согласованно с центральной симметрией относительно точки $O=(0,0,0,0,0,0,0)\in \mathbb{R}^7$ на вершинной фигуре $\operatorname{Goss}_7$ относительно вершины $B_{56}$. Таким образом, мы нашли изометрию $\operatorname{Goss}_7$ с максимальным смещением вершин $d_2=\sqrt{2}$. Следовательно, условие 4) из предложения 10 также выполнено. Теперь утверждение нашего предложения следует из предложения 10. Предложение доказано. Предложение 24. Не существует $\mathrm{KB}$-переноса $f$ на расстояние $\sqrt{2}$ множества вершин многогранника $\operatorname{Goss}_{7}$. Доказательство. Предположим, что такой перенос $f$ существует. Гипергранями многогранника $\operatorname{Goss}_{7}$ являются шестимерные правильные симплексы и ортоплексы с длиной ребра $l=1$. Тогда радиусы их описанных сфер равны соответственно $\sqrt{6/(2\cdot 7)}=\sqrt{3/7}$ и $\sqrt{2}/2$. Второй радиус больше. Поэтому с учетом того, что радиус описанной сферы многогранника равен $\sqrt{3}/2$, радиус его вписанной сферы и $\cos\xi$ центрального угла $\xi$, под которым виден радиус описанной сферы ортоплекса, равны соответственно
$$
\begin{equation*}
r=\sqrt{\frac{3}{4}-\frac{2}{4}}=\frac{1}{2},\qquad \cos\xi = \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
\end{equation*}
\notag
$$
В книге [23] доказана следующая лемма. Лемма 6 (см. [23; лемма 6.5.2]). Сферические шары радиуса $\eta<\pi/2$ на единичной сфере $S^d(0,1)\subset\mathbb{R}^{d+1}$ покрывают $S^d(0,1)$ тогда и только тогда, когда выпуклая оболочка их центров в $\mathbb{R}^{d+1}$ содержит евклидов шар радиуса $\cos\eta$ с центром в $0$. Вследствие этой леммы, сферические шары на описанной сфере $S^6(0,\sqrt{3}/2)$ многогранника $\operatorname{Goss}_{7}$ с угловым радиусом $\eta=\arccos(1/\sqrt{3})$ и с центрами в его вершинах образуют покрытие сферы $S^6(0,\sqrt{3}/2)$. Эти вершины смещаются под действием $f$ на угловое расстояние $\alpha>0$, где
$$
\begin{equation*}
\cos\alpha=\cos\biggl(2\arcsin\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\biggr)=1-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\arccos(1/\sqrt{3})<\arccos(1/3)$, то вследствие неравенства треугольника для углового расстояния каждая точка сферы $S^6(0,\sqrt{3}/2)$ смещается на угловое расстояние, не большее
$$
\begin{equation*}
\arccos\frac1{\sqrt{3}}+\arccos\biggl(-\frac13\biggr)< \pi.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $f$ индуцируется собственным ортогональным преобразованием нечетномерного пространства $\mathbb{R}^7$, не имеющим собственных значений $-1$ и поэтому, как хорошо известно, имеющим по крайней мере одно собственное значение $1$ и соответствующий собственный вектор $x\in S^6(0,\sqrt{3}/2)$, так что $f(x)=x$. Поэтому $f$ тождественно на векторном подпространстве $\mathbb{R}^1\subset \mathbb{R}^7$, содержащем $x$. По доказанному существует вершина $y$ многогранника $\operatorname{Goss}_{7}$ такая, что Соответственно этому
$$
\begin{equation*}
0 < \rho(y,\mathbb{R}^1)=\rho(y,z)\leqslant \frac{\sqrt{2}}2
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторой точки $z\in\mathbb{R}^1$. Так как $f$ – изометрия, то
$$
\begin{equation*}
\rho(f(y),f(z))=\rho(f(y),z)\leqslant \frac{\sqrt{2}}2.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\rho(y,f(y))=\sqrt{2}$, то $z$ – середина отрезка $[y,f(y)]$. Ясно, что поэтому $f(a(y-z))=-a(y-z)$ для любого $a\in\mathbb{R}$. Это противоречит тому, что $f$ смещает все точки сферы $S^6(0,\sqrt{3}/2)$ на угловое расстояние, меньшее $\pi$. Предложение 24 доказано. Предложения 23 и 24 немедленно влекут следующее утверждение. Теорема 8. Множество $M$ вершин многогранника $\operatorname{Goss}_7$ в $\mathbb{R}^7$ нормально однородно, но не однородно по Клиффорду–Вольфу. § 9. Восьмимерный многогранник Госсета $\operatorname{Goss}_8$Напомним, что многогранник Госсета $\operatorname{Goss}_8$ в $\mathbb{R}^8$ может быть реализован в виде выпуклой оболочки некоторой замкнутой по умножению системы единичных октав, называемых целыми числами Кэли [10], [17], [24]. Эта система не является группой относительно операции умножения, но является лупой Муфанг [25], [26]. Явные выражения для целых чисел Кэли и обсуждение их свойств есть в [24]. Теорема 9. Множество $M$ вершин многогранника Госсета $\operatorname{Goss}_8$ в $\mathbb{R}^8$ однородно по Клиффорду–Вольфу. Доказательство. Отождествим $M$ с лупой Муфанг единичных октав, состоящей из $240$ элементов [25]. Но фактически нам достаточно более общих свойств обратимых луп [27]. Далее $|\,{\cdot}\,|$ означает норму в $\mathbb{O}=\mathbb{R}^8$. Необходимо учесть, что для произведения октав справедливо равенство $|a b|=|a|\cdot |b|$. Из свойств луп Муфанг выделим особо наличие двустороннего обратного элемента для каждого элемента лупы (мы используем обозначение $x^{-1}$ для двустороннего обратного элемента к элементу $x$) и равенство $(yx^{-1})x=y(x^{-1}x)=y$ для любых элементов $x$ и $y$. Далее рассматриваются только элементы из $M$ (все они имеют единичную норму). Каждый элемент $x\in M$ можно перевести в любой другой элемент $y\in M$ умножением слева на некоторый элемент из $M$: Левое умножение – изометрия:
$$
\begin{equation*}
\rho(xy,xz)=|xy-xz|=|x(y-z)|=|x|\,|y-z|=|y-z|=\rho(y,z).
\end{equation*}
\notag
$$
Каждое левое умножение есть перенос Клиффорда–Вольфа:
$$
\begin{equation*}
\rho(xy,y)=|xy-y|=|(xy-y)y^{-1}|=|(xy)y^{-1}-yy^{-1}|=|x-1|=\rho(x,1).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 9, а вместе с ней и теорема 1 полностью доказаны. Авторы выражают благодарность М. Дютур Сикиричу за полезные обсуждения. Авторы признательны анонимному рецензенту за ценные замечания, которые помогли значительно улучшить качество текста.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BerNik22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|