| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Новые оценки коротких сумм Клоостермана с весами Н. К. Семенова Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9168 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ 1926 г. Х. Д. Клоостерман в работе [1] рассмотрел тригонометрические суммы вида
$$
\begin{equation*}
S(m;a, b)=\sum_{\substack{\nu=1\\ (\nu, m)=1}}^{m}{e_m(a\overline{\nu}+b\nu)}, \qquad e_m(\nu)=e^{2\pi i \nu/m},
\end{equation*}
\notag
$$
где $m$, $a$, $b$ – целые числа, $(a, m)\,{=}\,(\nu, m)\,{=}\,1$. Через $\overline{\nu}$ обозначается вычет, обратный к $\nu$ по модулю $m$, $\nu \overline{\nu} \equiv 1 \pmod{m}$. Такие суммы впоследствии получили название сумм Клоостермана. Неполной суммой Клоостермана называется сумма вида
$$
\begin{equation}
\sum_{\substack{\nu \leqslant x\\ (\nu, m)=1}}{e_m(a\overline{\nu}+b\nu)}, \qquad 1<x<m.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
При $x \geqslant m^{1/2+\varepsilon}$ нетривиальная оценка таких сумм следует из классических результатов А. Вейля (см. [2], [3]). Для оценок “коротких” сумм, отвечающих условию $x \leqslant \sqrt{m}$, в начале 1990-х гг. А. А. Карацубой был предложен принципиально новый метод (см. [4]–[6]), получивший дальнейшее развитие в работах Ж. Бургейна и М. З. Гараева [7], М. А. Королёва (см. [8]–[11]). Достаточно подробный обзор исследований по этой тематике содержится в статье [12]. Наряду с суммами (1.1) рассматриваются и так называемые неполные суммы Клоостермана с весами, т. е. суммы вида
$$
\begin{equation}
S(x)=S(m,x;f,a,b)=\sum_{\substack{\nu \leqslant x\\ (\nu, m)=1}}{f(\nu)e_m(a\overline{\nu}+ b\nu)},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $f(\nu)$ – некоторая арифметическая функция. Как и для сумм (1.1), оценка сумм (1.2) при $x \geqslant m^{1/2+\varepsilon}$ может быть выведена из оценки А. Вейля (см. [2]). Случай короткой суммы ($x \leqslant \sqrt{m}$) был впервые рассмотрен в [9]. В настоящей работе мы, используя идеи и приемы работ [5]–[9], [13], уточняем оценки сумм (1.2), полученные в [9]. § 2. Формулировка основных результатовВведем ряд обозначений, необходимых для дальнейшего:
Основным результатом для “однородных” сумм (т. е. сумм, отвечающих условию $b\equiv0 \pmod{m}$) является следующая теорема. Теорема 1. Пусть $m\,{\geqslant}\, m_0$ – достаточно большое простое число, $(a,m)\,{=}\,1$, и пусть Тогда имеет место оценка
$$
\begin{equation*}
\Biggl| \sum_{\substack{\nu \leqslant x\\ (\nu, m)=1}}{f(\nu) e_m(a\overline{\nu})} \Biggr| \ll F(x)\Delta,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Delta=\biggl(\frac{\ln m}{(\ln x)^{3/2}} (\ln\ln m)^2 \biggr)^\alpha (\ln\ln m)^\beta,
\end{equation*}
\notag
$$
причем постоянная в знаке Виноградова абсолютная. В случае неоднородных ($b\not\equiv0 \pmod{m}$) коротких сумм с весами имеет место следующая теорема. Теорема 2. Пусть $m\,{\geqslant}\, m_1$ – достаточно большое простое число, $(a,m)\,{=}\,1$, и пусть Тогда где причем постоянная в знаке Виноградова абсолютная. Замечание 1. В статье [9] для суммы (1.2) получена оценка, понижающий множитель которой имеет вид Замечание 2. В частном случае $x=m^\varepsilon$, $f(\nu)=\tau_r(\nu)$, где $0<\varepsilon \leqslant 0.5$, $r \geqslant 2$ – фиксированные числа, оценки теорем 1 и 2 принимают вид Используя теоремы 1 и 2, можно показать, что имеют место следующие утверждения. Теорема 3. Пусть $m\,{\geqslant}\, m_0$ – достаточно большое простое число, $(a,m)\,{=}\,1$, и пусть Теорема 4. Пусть $m\,{\geqslant}\, m_0$ – достаточно большое простое число, $(a,m)\,{=}\,1$, и пусть Замечание 3. Для сумм, указанных в правых частях равенств теорем 3 и 4, верны следующие асимптотические формулы: § 3. Однородные короткие суммы Клоостермана с весами3.1. Вспомогательные утвержденияНам понадобится ряд вспомогательных утверждений. Лемма 1. Пусть $a_n, b_n \geqslant 0$, $n=1,\dots, N$, $k$ целое, $k \geqslant 2$. Тогда имеют место следующие неравенства: Лемма 2. Пусть $N<m$, и пусть $J_{2k}(N)$ – число решений сравнения в простых числах $p_1, \dots, p_{2k}$ с условием $p_{1}, \dots , p_{2k} \leqslant N $. Тогда Это есть теорема 6 из [7]. Следствие 1. Пусть $m$ – простое число, $k$ – целое, $2 \leqslant k<X<X_1 \leqslant 2X$, и пусть $I_k(X)$ – число решений сравнения в простых числах $p_1, \dots, p_{2k}$ с условиями $X<p_1, \dots, p_{2k} \leqslant X_{1}$. Тогда Лемма 3. Пусть $m$ – простое число, $k, s \geqslant 2$ целые, и пусть $ k<P<P_1 \leqslant 2P$, $s<Q<Q_1 \leqslant 2Q$. Пусть далее $\xi(p)$ и $\eta(q)$ – произвольные арифметические функции, определенные соответственно на множествах простых чисел из промежутков $P<p \leqslant P_1$, $Q<q \leqslant Q_1$, причем Доказательство. Будем следовать рассуждениям из [13]. Прежде всего, имеем
$$
\begin{equation*}
|W_1|=\biggl| \sum_q \eta(q) \sum_{p} \xi(p) e_{m}(a\overline{p}\, \overline{q})\biggr| \leqslant \sum_q |\eta(q)| \biggl| \sum_p \xi(p) e_{m}(a\overline{p}\, \overline{q}) \biggr|,
\end{equation*}
\notag
$$
где через $\sum_p$, $\sum_q$ обозначаются соответственно суммы по множествам простых из промежутков $P<p \leqslant P_1$, $Q<q \leqslant Q_1$. Возведя модуль суммы $W_1$ в степень $k$ и применив второе неравенство леммы 1, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |W_1|^k &\leqslant \biggl(\sum_q|\eta(q)| \biggr)^{k-1}\sum_q |\eta(q)| \biggl| \sum_p \xi(p) e_{m}(a\overline{p}\, \overline{q}) \biggr|^k \\ &\leqslant \eta_{0}^{k-1}\eta \sum_q \biggl| \sum_p \xi(p) e_{m}(a\overline{p}\, \overline{q}) \biggr|^k \\ &= \eta_{0}^{k-1}\eta \sum_q \biggl| \sum_{p_1, \dots, p_k} \xi(p_1)\cdots \xi(p_k) e_{m}(a \overline{q}(\overline{p}_1+\dots+ \overline{p}_k)) \biggr| \\ &= \eta_{0}^{k-1}\eta \sum_q \Biggl| \sum_{\lambda=0}^{m-1} e_{m}(a \overline{q} \lambda) \sum_{\substack{p_1,\dots, p_k\\\overline{p}_1+\dots+ \overline{p}_k \equiv \lambda \ (\operatorname{mod} m)}} \xi(p_1)\cdots\xi(p_k) \Biggr|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая
$$
\begin{equation*}
A_k(\lambda)=\sum_{\substack{p_1,\dots, p_k\\\overline{p}_1+\dots+ \overline{p}_k \equiv \lambda \ (\operatorname{mod} m)}} \xi(p_1)\cdots\xi(p_k),
\end{equation*}
\notag
$$
будем иметь
$$
\begin{equation*}
|W_1|^k \leqslant \eta_{0}^{k-1}\eta \sum_q \biggl| \sum_{\lambda=0}^{m-1} e_{m}(a \overline{q} \lambda) A_k(\lambda) \biggr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\theta(q)$ – аргумент внутренней суммы. Тогда
$$
\begin{equation*}
|W_1|^k \leqslant \eta_{0}^{k-1}\eta \sum_q e^{-i \theta(q)}\sum_{\lambda=0}^{m-1} A_k(\lambda) e_{m}(a \overline{q} \lambda) =\eta_{0}^{k-1}\eta \sum_{\lambda= 0}^{m-1}A_k(\lambda) \sum_q e^{-i \theta(q)} e_m(a\overline{q}\lambda)
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
|W_1|^k \leqslant \eta_{0}^{k-1}\eta \sum_{\lambda=0}^{m-1} |A_k(\lambda)| \biggl| \sum_q e^{-i \theta(q)} e_m(a\overline{q}\lambda) \biggr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Возведем полученное неравенство в степень $s$ и вновь применим лемму 1, получим
$$
\begin{equation*}
|W_1|^{ks} \leqslant \eta_{0}^{s(k-1)}\eta^{s} \biggl( \sum_{\lambda=0}^{m-1} |A_k(\lambda)| \biggr)^{s-1} \sum_{\lambda=0}^{m-1} |A_k(\lambda)| \biggl| \sum_q e^{-i \theta(q)} e_m(a\overline{q}\lambda) \biggr|^s.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим первую сумму:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{\lambda=0}^{m-1} |A_k(\lambda)| &\leqslant \sum_{\lambda=0}^{m-1} \sum_{\substack{p_1, \dots, p_k\\\overline{p}_1+\dots+ \overline{p}_k \equiv \lambda \ (\operatorname{mod} m) }} |\xi(p_1)| \cdots |\xi(p_k)| \\ &= \sum_{p_1, \dots, p_k} |\xi(p_1)| \cdots |\xi(p_k)|=\biggl( \sum_p |\xi(p)| \biggr)^k= \xi_0^k. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
|W_1|^{ks} \leqslant \eta_{0}^{s(k-1)}\eta^{s} \xi_0^{k(s-1)} \sum_{\lambda=0}^{m-1} |A_k(\lambda)| \biggl| \sum_q e^{-i \theta(q)} e_m(a\overline{q}\lambda) \biggr|^s.
\end{equation*}
\notag
$$
Возводя последнее неравенство в квадрат и используя лемму 1, находим
$$
\begin{equation*}
|W_1|^{2ks} \leqslant \eta_{0}^{2s(k-1)} \eta^{2s} \xi_0^{2k(s-1)} BC,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
B=\sum_{\lambda=0}^{m-1} |A_k(\lambda)|^2, \qquad C=\sum_{\lambda=0}^{m-1} \biggl| \sum_q e^{-i \theta(q)} e_m(a\overline{q}\lambda) \biggr|^{2s}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценивая сумму $B$, будем иметь:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, B &=\sum_{\lambda=0}^{m-1} |A_k(\lambda)|^2=\sum_{\lambda=0}^{m-1} \Biggl| \sum_{\substack{p_1, \dots, p_k\\\overline{p}_1+ \dots+\overline{p}_k \equiv \lambda \ (\operatorname{mod} m)}} \xi(p_1) \cdots \xi(p_k) \Biggr|^2 \\ &\leqslant \sum_{\lambda=0}^{m-1} \sum_{\substack{p_1,\dots p_{2k}\\ \overline{p}_1+\dots+ \overline{p}_k \equiv \lambda \equiv \overline{p}_{k+1}+\dots+ \overline{p}_{2k} \ (\operatorname{mod}m)}} |\xi(p_1)| \cdots |\xi(p_{2k})| \\ &\leqslant \xi^{2k} \sum_{\lambda=0}^{m-1} \sum_{\substack{p_1, \dots, p_{2k}\\ \overline{p}_1+\dots+ \overline{p}_k \equiv \lambda \equiv \overline{p}_{k+1}+\dots+ \overline{p}_{2k} \ (\operatorname{mod}m)}} 1 \\ &=\xi^{2k} \sum_{\substack{p_1, \dots, p_{2k}\\ \overline{p}_1+\dots+ \overline{p}_k \equiv\overline{p}_{k+1}+\dots+ \overline{p}_{2k} \ (\operatorname{mod}m)}} 1=\xi^{2k} I_k(P). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценивая сумму $C$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C&=\sum_{\lambda=0}^{m-1} \sum_{Q<q_1, \dots, q_{2s} \leqslant Q_1} e^{-i (\theta(q_1)+ \dots -\theta(q_{2s}))} e_m(a\lambda (\overline{q}_1 +\dots -\overline{q}_{2s})) \\ &=\sum_{Q<q_1, \dots, q_{2s} \leqslant Q_1} e^{-i (\theta(q_1)+\dots -\theta(q_{2s}))} \sum_{\lambda=0}^{m-1}e_m(a\lambda (\overline{q}_1 +\dots -\overline{q}_{2s})), \\ |C| &\leqslant \sum_{\substack{Q<q_1, \dots, q_{2s} \leqslant Q_1 \\ \overline{q}_1+\dots+ \overline{q}_s \equiv \overline{q}_{s+1}+\dots+ \overline{q}_{2s} \ (\operatorname{mod}m)}} m=m I_s(Q). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
|W_1|^{2ks} \leqslant \eta_0^{2s(k-1)}\eta^{2s}\xi_0^{2k(s-1)} \xi^{2k} m I_k(P) I_s(Q).
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользовавшись леммой 2, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|W_1|^{2ks} {\leqslant}\, (\eta_0 \xi_0)^{2ks}(\eta_0^{-1} \eta)^{2s} (\xi_0^{-1}\xi)^{2k} m (16k)^k (16s)^s P^k Q^s \biggl( 1{\kern1pt}{+}{\kern1pt}\frac{P^{2k-1}}{m} \biggr) \biggl( 1{\kern1pt}{+}{\kern1pt}\frac{Q^{2s-1}}{m} \biggr) \\ &\ = (\eta_0 \xi_0)^{2ks}(4 \eta_0^{-1} \eta \sqrt{s})^{2s} (4\xi_0^{-1}\xi \sqrt{k})^{2k} P^{2k} Q^{2s} \biggl( \frac{\sqrt{m}}{P^k}+\frac{P^{k-1}}{\sqrt{m}} \biggr) \biggl( \frac{\sqrt{m}}{Q^s}+\frac{Q^{s-1}}{\sqrt{m}} \biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, где
$$
\begin{equation*}
\Delta\,{=}\,(4\xi \sqrt{k})^{1/s} (4\eta \sqrt{s})^{1/k} \biggl( \frac{P}{\xi_0}\biggr)^{1/s} \!\biggl( \frac{Q}{\eta_0}\biggr)^{1/k} \! \biggl( \biggl( \frac{\sqrt{m}}{P^k}+\frac{P^{k-1}}{\sqrt{m}} \biggr) \biggl( \frac{\sqrt{m}}{Q^s}+\frac{Q^{s-1}}{\sqrt{m}} \biggr) \biggr)^{1/(2ks)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Следствие 2. В случае $\xi(\nu)=\eta(\nu)=f(\nu)$ для суммы $W_1$ справедлива оценка $|W_1| \ll PQ \Delta_1$, где Доказательство. Перепишем оценку леммы 3 в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |W_1| &\leqslant \xi_0^{1-1/s} (\xi P)^{1/s} \eta_0^{1-1/k} (\eta Q)^{1/k} (4\sqrt{s})^{1/k} (4\sqrt{k})^{1/s} \\ &\qquad\times \biggl( \biggl( \frac{\sqrt{m}}{P^k}+\frac{P^{k-1}}{\sqrt{m}} \biggr) \biggl( \frac{\sqrt{m}}{Q^s}+\frac{Q^{s-1}}{\sqrt{m}} \biggr) \biggr)^{1/(2ks)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим случай $\xi(\nu)=\eta(\nu)=\tau_r(\nu)$. Пусть постоянная $x_0$ выбрана так, что при всех $x \geqslant x_0$ выполнено неравенство Тогда, замечая, что $\xi=\eta=r$,
$$
\begin{equation*}
\xi_0=r (\pi (P_1)-\pi(P)) \leqslant r \pi_1(P), \qquad \eta_0 \leqslant r \pi_1(Q),
\end{equation*}
\notag
$$
при $P, Q \geqslant \max(x_0, e^{2r^2})$ будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \xi_0 (\xi_0^{-1} \xi )^{1/s} &=\xi_0^{1-1/s} \xi^{1/s} \leqslant \bigl(r\pi_1(P)\bigr)^{1-1/s} r^{1/s}= r \bigl( \pi_1(P)\bigr)^{1-1/s} \\ &\leqslant r \biggl( \frac{2P}{\ln{P}} \biggr)^{1-1/s}=r \biggl( \frac{2}{\ln{P}} \biggr)^{1-1/s} P^{1-1/s} \leqslant r \sqrt{\frac{2}{\ln P}}\, P^{1-1/s} \leqslant P^{1-1/s}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично $\eta_0 (\eta_0^{-1} \eta )^{{1}/{k}} \leqslant Q^{1-{1}/{k}}$. Поэтому итоговая оценка для $W_1$ выглядит следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |W_1| &\leqslant PQ \cdot 4^{1/{s}+{1}/{k}} k^{{1}/({2s})} s^{1/({2k})} \biggl( \biggl( \frac{\sqrt{m}}{P^k}+\frac{P^{k-1}}{\sqrt{m}} \biggr) \biggl( \frac{\sqrt{m}}{Q^s}+\frac {Q^{s-1}}{\sqrt{m}} \biggr) \biggr)^{{1}/({2ks})} \\ &\leqslant PQ \cdot 4 k^{1/({2s})} s^{1/({2k})} \biggl( \biggl( \frac{\sqrt{m}}{P^k}+\frac {P^{k-1}}{\sqrt{m}} \biggr) \biggl( \frac{\sqrt{m}}{Q^s}+\frac{Q^{s-1}}{\sqrt{m}} \biggr) \biggr)^{1/({2ks})}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В оставшихся случаях справедливость искомого равенства устанавливается аналогично. Следствие доказано. Также нам понадобятся следующие вспомогательные леммы. Лемма 4. Пусть $H_0\,{<}\,H\,{\leqslant}\,\sqrt[3]{x}$; обозначим через $F(x;H)$ следующую сумму: Тогда $F(x;H) \ll F(x) H^{-1/2} $. Это есть лемма 1 из [9]. Лемма 5. Пусть $x>x_0$, обозначим через $N(x)$ сумму Тогда для $N(x)$ верна следующая оценка: Это есть лемма 2 из [9]. Лемма 6. Пусть $y_0<y<x$, $G(x, y)$ – сумма значений $f(\nu)$ по бесквадратным $\nu$, $\nu\leqslant x$, все простые делители которых больше $y$, т. е. Тогда справедливо неравенство Доказательство. В случае $f(n)=\mu^2(n)$ и $f(\nu)=\mu(n)$ искомое неравенство следует из классической оценки для числа целых $n \leqslant x$ с условием $P^{-}(n)>y$ (см., например, [14; гл. I, § 4.2, теорема 2]); в случае $f(n)=\tau_r(n)$ утверждение следует из леммы 6.1 работы [15]. Наконец, в случае $f(n)=b(n)$ искомое неравенство следует из теоремы 2 работы [16]. Лемма доказана. 3.2. Доказательство теоремы 1Оценка суммы $S(x)$ проводится следующим образом. Слагаемые, отвечающие числам $\nu$, $1 \leqslant \nu \leqslant x$, которые не имеют простых делителей из специальных промежутков, оцениваются тривиально. Все оставшиеся слагаемые можно сгруппировать в суммы, к которым применима оценка из следствия леммы 3. Шаг 1. Положим $H=\exp (2\sqrt{\ln x}) $. Пусть $S_1$ – часть суммы $S(x)$ по тем $\nu$, которые имеют вид $\nu=c^2 d$, где $c>H$. Согласно лемме 4 $S_1 \ll F(x)e^{-\sqrt{\ln x}}$. Заметим, что все оставшиеся $\nu$ будут иметь вид $\nu=c^{2} d$, где $c\leqslant H$, $d$ – бесквадратное число, $\mu(d)\neq 0$. Прежде чем перейти к шагу 2, введем следующие параметры. Пусть $ R=\exp (\ln x/\ln \ln x)$ и определим целое $l$ из условия $m^{1/(2l)} \leqslant R<m^{1/(2l-2)}$. Пусть $n$ удовлетворяет условию $3l \leqslant n \leqslant (1/4)\sqrt{\ln m}$ (точное значение $n$ выберем позднее), $\delta=1/(4n)$. Для целого $k$, $l \leqslant k \leqslant n$, положим
$$
\begin{equation*}
X_{k}=m^{(1-\delta)/(2k) }, \qquad Y_{k}=m^{(1+\delta)/(2k) }.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что для всех рассматриваемых $k$ будет выполняться $X_{k-1}>2Y_k$. В самом деле,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{X_{k-1}}{Y_k} &=m^{(1-\delta)/(2k-2)-(1+\delta)/(2k)}= m^{(1-(2k-1)\delta)/(2k(k-1))} \\ &> m^{(1-2k\delta)/(2k^2)}\geqslant m^{(1-2n\delta)/(2n^2)}=m^{1/(4n^2)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и достаточно проверить, что $2^{4n^2}<m$. Но так как $n \leqslant (1/4) \sqrt{\ln m}$, то $2^{4n^2} \leqslant 2^{\ln m/4}<m^{7/40}<m$. Шаг 2. Отнесем к сумме $S_2$ те оставшиеся слагаемые $S(x)$, отвечающие числам $\nu$, все простые делители которых не превосходят $m^{1/(2l)}$. В силу выбора $l$ и согласно лемме 5 для $S_2$ верна оценка $S_2 \ll F(x) \exp (-(1/5)(\ln \ln x ) \ln \ln \ln x)$. Заметим, что все оставшиеся $\nu$ будут иметь хотя бы один простой делитель $q$ такой, что $m^{1/(2s)}<q \leqslant m^{1/(2s-2)}$, где $s \leqslant l$. Обозначим через $J$ множество всех простых чисел из объединения промежутков $m^{1/(2s)}<q \leqslant m^{1/(2s-2)}$, где $s \leqslant l$. Шаг 3. Обозначим через $I$ множество простых чисел из объединения промежутков $(Y_k, X_{k-1}]$, $l<k\leqslant n$. Отнесем к сумме $S_3$ те оставшиеся слагаемые $S(x)$, что отвечают числам $\nu$, не имеющим простых делителей из $I$. Пусть $M=m^{1/(2l)}$, $Y=Y_n$, $X=X_l$; обозначим через $K$ множество простых чисел из объединения промежутков $(1;Y]$, $(X_k; Y_k]$, где $ l<k< n$, $(X, M]$. Замечая, что $Y>H$, можно заключить, что $\nu$ будет иметь вид $\nu=c^2 u v$, где $1\leqslant c \leqslant H$, $\mu(uv)\neq 0$, причем все простые делители $v$ принадлежат $J$, а $u= 1$ либо все простые делители $u$ принадлежат $K$. Оценим $S_3$ для каждой из функций $f(\nu)$ в отдельности. 1) Случай $f(\nu)=\mu(n)$ или $f(\nu)=\mu^2(\nu)$. Так как $f(\nu) \neq 0 $ лишь при $c= 1$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |S_3| &\leqslant \sum_{c^2uv\leqslant x} \mu^2(c^2uv) \leqslant \sum_{u\leqslant x/M} \mu^2(u) \sum_{v \leqslant x/u} \mu^2(v) \\ &=\sum_{u\leqslant x / M}\sum_{M \leqslant v \leqslant x/u} 1= \sum_{u\leqslant x/M} G\biggl(\frac{x}{u}; M\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $u$ и $v$ пробегают указанные выше множества. Таким образом, пользуясь леммой 6, получаем
$$
\begin{equation*}
|S_3| \ll \sum_{u \leqslant x/M} \frac{x}{u} \frac{1}{\ln M} \ll \frac{x}{\ln M} \sum_{u \leqslant x} \frac{1}{u} \ll \frac{x}{\ln M} \prod_{p \in K} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr) \ll \frac{x e^{\sigma_1}}{\ln M},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\sigma_1=\sum_{p \in K} \frac{1}{p}=\sum_{p \leqslant Y} \frac{1}{p}+\sum_{l<k<n}\, \sum_{p \in (X_k, Y_k]} \frac{1}{p} +\sum_{X<p\leqslant M}\frac{1}{p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{X_k<p \leqslant Y_k} \frac{1}{p} &=\ln\ln Y_k-\ln\ln X_k +O\biggl(\frac{1}{\ln X_k}\biggr) \\ &=\ln \ln m^{(1+\delta)/(2k)}-\ln \ln m^{(1-\delta)/(2k)}+O\biggl( \frac{k}{\ln m}\biggr) \\ &=\ln (1+\delta)-\ln (1-\delta)+O \biggl( \frac{k}{\ln m}\biggr)=2 \delta+O (\delta^3)+O \biggl( \frac{k}{\ln m}\biggr) \\ &=\frac{1}{2n}+O\biggl( \frac{1}{n^3}\biggr)+O \biggl( \frac {k}{\ln m}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=l+1}^{n-1}\biggl( \sum_{X_k<p \leqslant Y_k} \frac{1}{p}\biggr)=\frac{n-l-1}{2n}+ O\biggl(\frac{1}{l^2}\biggr)+O \biggl(\frac{n^2}{\ln m}\Big )=O(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, Окончательно находим
$$
\begin{equation*}
|S_3| \ll \frac{x}{\ln M}\, \frac{\ln Y}{\ln X} \ln M \ll x \frac{\ln Y}{\ln X} \ll x \frac{(\ln m)/n}{(\ln m)/l} \ll x \frac{l}{n} \ll F(x) \biggl(\frac{l}{n}\biggr)^\alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
2) Случай $f(\nu)=\tau_r(\nu)$. Замечая, что $ \tau_r(gh) \leqslant \tau_r(g) \tau_r(h)$ для любых $g$ и $h$, находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |S_3| &\leqslant \sum_{c^2uv\leqslant x} \tau_r(c^2) \tau_r(u) \tau_r(v) \leqslant \sum_{c \leqslant H} \tau_r(c^2) \sum_{u \leqslant x(c^2M)^{-1}} \tau_r(u) \sum_{M \leqslant v \leqslant x(c^2u)^{-1}} \tau_r(v) \\ &=\sum_{c \leqslant H} \tau_r(c^2) \sum_{u \leqslant x(c^2M)^{-1}} \tau_r(u) G\biggl( \frac{x}{c^2 u}; M\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь леммой 6, находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |S_3| &\ll \sum_{c \leqslant H} \tau_r(c^2) \sum_{u \leqslant x(c^2M)^{-1}} \tau_r(u) \frac{x}{c^2u}\, \frac{1}{(\ln M)^r}\biggl(\ln \frac{x}{c^2 u }\biggr)^{r-1} \\ &\ll \frac{x (\ln x)^{r-1}}{(\ln M)^r} \sum_{c \leqslant H} \frac{\tau_r(c^2)}{c^2} \sum_{u \leqslant x(c^2M)^{-1}} \frac{\tau_r(u)}{u} \ll \frac{x (\ln x)^{r-1}}{(\ln M)^r} \sum_{c =1}^{+\infty} \frac{\tau_r(c^2)}{c^2} \sum_{u \leqslant x} \frac{\tau_r(u)}{u} \\ &\ll \frac{x (\ln x)^{r-1}}{(\ln M)^r} \prod_{p \in K} \biggl( 1+\frac{r}{p}\biggr) \ll \frac{x (\ln x)^{r-1}}{(\ln M)^r} e^{\sigma_2}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\sigma_2=r \sum_{p\in K} \frac{1}{p}=r(\ln\ln Y+\ln\ln M-\ln\ln X)+O(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
|S_3| \ll \frac{x (\ln x)^{r-1}}{(\ln M)^r} \biggl( \frac{\ln Y}{\ln X}\biggr)^r (\ln M )^r \ll x (\ln x)^{r-1} \biggl(\frac{l}{n} \biggr)^r \ll F(x) \biggl(\frac{l}{n} \biggr)^\alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
3) Случай $f(\nu)=b(\nu)$. Так как все простые делители $v$ лежат в $J$, то $(v, c^2u)=1$ и $b(c^2uv)=b(c^2u)b(v)$. Покажем, что $b(c^2 u)=b(c^2)b(u)=b(u)$. Если $(c, u)=1$, то это очевидно. Пусть теперь $(c,u)>1$. Так как $u$ – бесквадратное число, то $(c, u)=q_1\cdots q_k$, где $q_i$ – различные простые числа. Тогда $c=q_1^{\alpha_1}\cdots q_k^{\alpha_k}c_1$ и $u=q_1\cdots q_k u_1$, где $(c_1, u_1)=1$. Имеем
$$
\begin{equation*}
b(c^2 u)=b(q_1^{2\alpha_1+1}\cdots q_k^{2\alpha_k+1})b(c_1^2)b(u_1)=b(q_1\cdots q_k)b(u_1)=b(u).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
|S_3| \leqslant \sum_{c \leqslant H }\sum_{u \leqslant x (c^2 M)^{-1}} b(u) \sum_ {M \leqslant v \leqslant(c^2 u)^{-1}} b(v) \leqslant \sum_{c \leqslant H } \sum_{u \leqslant x (c^2 M)^{-1}} b(u) G\biggl( \frac{x}{c^2 u}; M\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь леммой 6, находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |S_3| &\ll \sum_{c \leqslant H } \sum_{u \leqslant x (c^2 M)^{-1}} b(u) \frac{x}{c^2 u } \, \frac{1}{\sqrt{\ln(x/(c^2u))}}\, \frac{1}{\sqrt{\ln M}} \\ &\ll \frac{x}{\ln M} \sum_{c \leqslant H }\frac{1}{c^2} \sum_{u \leqslant x (c^2 M)^{-1}} \frac{b(u)}{u} \ll \frac{x}{\ln M} \sum_{u \leqslant x} \frac{b(u)}{u}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $u$ бесквадратное, то $b(u)=1$ тогда и только тогда, когда все простые делители $u$ сравнимы с единицей по модулю $4$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\sum_{u \leqslant x} \frac{b(u)}{u} \leqslant \prod_{\substack{p \in K \\ p \equiv 1 \ (\operatorname{mod}4)}} \biggl( 1+\frac{1}{p}\biggr) \leqslant e^{\sigma_3},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sigma_3 &=\sum_{\substack{p \in K\\ p \equiv 1 \ (\operatorname{mod}4)}} \frac{1}{p} =\sum_{\substack{p \leqslant Y\\ p \equiv 1 \ (\operatorname{mod}4)}} \frac{1}{p}+\sum_{l<k<n} \sum_{\substack{p \in (X_k, Y_k]\\ p \equiv 1 \ (\operatorname{mod}4)}} \frac{1}{p} +\sum_{\substack{X<p\leqslant M \\ p \equiv 1 \ (\operatorname{mod}4)}}\frac {1}{p} \\ &=\frac{1}{2} (\ln\ln Y+\ln\ln M -\ln\ln X)+O(1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |S_3| &\ll \frac{x}{\ln M}\, \sqrt{\frac{\ln Y}{\ln X}}\, \sqrt{\ln M}\ll \frac{x}{\sqrt{\ln M}}\, \sqrt{\frac{\ln Y}{\ln X}} \ll \frac{x}{\sqrt{\ln x}}\, \sqrt{\ln \ln x}\, \sqrt {\frac{l}{n}} \\ &\ll F(x) \biggl(\frac{l}{n} \biggr)^ \alpha (\ln\ln m)^\beta. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, для всех рассматриваемых функции $f(\nu)$ верна оценка
$$
\begin{equation*}
|S_3| \ll F(x) \biggl( \frac{l}{n}\biggr)^{\alpha} (\ln \ln m)^\beta.
\end{equation*}
\notag
$$
Оставшиеся слагаемые отнесем к сумме $S_4$. Все числа $\nu$, им отвечающие, имеют хотя бы один простой делитель $p$ из $I$ и хотя бы один простой делитель $q$ из $J$. Таким образом, все такие $\nu$ имеют вид $\nu=c^2uvw$, где $1\leqslant c \leqslant H$, $\mu(uvw)\,{\neq}\,0$, все простые делители $u$ принадлежат множеству $I$, все простые делители $v$ принадлежат множеству $J$, a $w$, напротив, не имеет простых делителей из $I$ и $J$. Сгруппируем вместе те слагаемые $S_4$, для которых $u$ и $v$ состоят из $\mu$ и $\lambda$ сомножителей соответственно:
$$
\begin{equation*}
S_4=\sum_{\mu\geqslant 1} \sum_{\lambda \geqslant 1} S_4(\mu, \lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\Phi(n)=e_m(a \overline{n})$. Тогда, замечая, что $f(c^2 u v w)=f(c^2w)f(u)f(v)$, найдем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |S_4(\mu, \lambda)| &=\biggl| \sum_{c^2uvw \leqslant x}f(c^2uvw) \Phi (c^2uvw) \biggr| \\ &\leqslant \sum_{c \leqslant H} f(c^2) \sum_{w}f(w) \biggl| \sum_{uv \leqslant x(c^2w)^{-1}}f(u)f(v) \Phi(c^2uvw)\biggr|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $w$ пробегает возрастающую последовательность чисел, не имеющих простых делителей из $I$ и $J$, $w \leqslant x(c^2 Y^\mu M^\lambda )^{-1}$. Пусть $c$ и $w$ фиксированы. Сравним внутреннюю сумму $S_4(\mu, \lambda; w )$ по $u$ и $v$ со следующей суммой:
$$
\begin{equation*}
S' (\mu, \lambda;w)=\frac{1}{\mu\lambda} \sum_{u_1,v_1}\sum_{p,q}{f(u_1)f(p)f(v_1)f(q) \Phi(c^2u_{1}pv_{1}qw)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $u_1$, $v_1$ независимо пробегают возрастающие последовательности чисел, которые являются произведениями $\mu-1$ и $\lambda-1$ различных простых сомножителей из $I$ и $J$ соответственно, а $p$ и $q$ принимают значения простых из $I$ и $J$, причем выполнено условие $u_{1}v_{1}pq \leqslant x(c^2w)^{-1}$. Числа $u$ и $v$, отвечающие слагаемым из $S_4(\mu, \lambda; w)$, представляются в виде $u= u_{1}p$ и $v=v_{1}q$, где $(u_{1},p)=1$ и $(v_{1},q)=1$, соответственно $\mu$ и $\lambda$ способами. Следовательно, любое слагаемое этой суммы встретится в $S'(\mu, \lambda; w)$ с коэффициентом единица. Кроме того, в $S'(\mu, \lambda; w)$ встретятся слагаемые, для которых нарушено хотя бы одно из условий $(u_{1},p)=1$, $(v_{1},q)=1$. Обозначая их вклад через $S''(\mu, \lambda; w)$ и полагая $u_{1}=u_{2}p$, $v_1=v_{2}q$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &| S'' (\mu, \lambda; w)| \leqslant \frac{1}{\mu\lambda} \biggl(\sum_{p^{2}qu_{2}v_{1} \leqslant x(c^2w)^{-1}}f(pu_{2})f(p)f(v_1)f(q) \\ &\ +\sum_{pq^{2}u_{1}v_{2} \leqslant x(c^2w)^{-1}}f(u_1)f(p)f(v_{2}q)f(q) \,{+}\sum_{p^{2}q^{2}u_{2}v_{2} \leqslant x(c^2w)^{-1}}f(u_2p)f(p)f(v_{2}q)f(q) \biggr) \\ &= \frac{1}{\mu\lambda} (S_1'' +S_2''+S_3''). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим сумму $S_1''$. Так как $pu_{2}$ бесквадратное, то
$$
\begin{equation*}
S_1''=\sum_{p^2qu_{2}v_{1} \leqslant x(c^2w)^{-1}} f(pu_2) f(p)f(v_1)f(q)=\sum_{p^2qu_{2}v_{1} \leqslant x(c^2w)^{-1}}f^2(p)f(v_1 u_2 q).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $d=v_1 u_2 q$. Число представлений $d$, заданного в виде такого произведения, не превосходит $\lambda$. Имеет место следующее неравенство:
$$
\begin{equation*}
S_1'' \leqslant \lambda \sum_{p \in I} f^2(p) \sum_{p^2d \leqslant x(c^2w)^{-1}} f(d) \ll \ln x \sum_{p \in I} f^2(p) F\biggl( \frac{x}{p^2c^2w} \biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $F(x/t) \ll (F(x)/t)\ln x$, при $1\leqslant t \leqslant x/2$, то получаем следующую оценку:
$$
\begin{equation*}
S_1'' \ll \frac{F(x)}{c^2w} ( \ln x)^2 \sum_{p \in I} {\frac{f^2(p)}{p^2}} \ll \frac{F(x)}{c^2w} ( \ln x)^2 \sum_{p \geqslant Y} {\frac{1}{p^2}} \ll \frac{F(x)}{c^2w}\, \frac{(\ln x)^2}{Y}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичные оценки верны и для сумм $S_2'', S_3''$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |S''(\mu, \lambda; w)| \ll \frac{1}{\mu\lambda}\, \frac{F(x)}{c^2w}\, \frac{(\ln x)^2}{Y}, \\ | S_4(\mu, \lambda;w)| \ll |S'(\mu, \lambda; w)|+|S''(\mu, \lambda; w)| \ll |S'(\mu, \lambda; w)|+\frac{1}{\mu\lambda}\, \frac{F(x)}{c^2w}\, \frac{(\ln x)^2}{Y}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
S'(\mu, \lambda; w)=\frac{1}{\mu\lambda}\sum_{u_1}\sum_{v_1} f(u_1)f(v_1) \widetilde{S},
\end{equation*}
\notag
$$
и для фиксированных $\mu, \lambda, w, u_1, v_1$
$$
\begin{equation*}
\widetilde{S}=\sum_{pq \leqslant Z} {f(p)f(q)\Phi(c^2 u_1 v_1 w pq)}, \qquad Z=\biggl[ \frac{x}{c^2 u_1 v_1 w} \biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Представим $\widetilde{S}$ в виде
$$
\begin{equation*}
\widetilde{S}=\sum_{pq\leqslant Z} f(p)f(q)e_m(a_1\overline{p}\, \overline{q}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_1 \equiv a (\overline{c^2 u_1 v_1}) \pmod m$. Далее разобьем области изменения $p$ и $q$ на промежутки вида $P<p \leqslant P_1 \leqslant 2P$, $Q<q \leqslant Q_1 \leqslant 2Q$, причем выберем величины $P$, $P_1$, $Q$, $Q_1$ так, чтобы всякий промежуток $(P, P_1]$ содержался целиком в некотором промежутке $(Y_k, X_{k-1}]$, $l<k\leqslant n$, а всякий промежуток $(Q, Q_1]$ содержался целиком в некотором промежутке $(m^{1/(2s)}, m^{1/(2s-2)}]$, $s \leqslant l$. Таким образом, $\widetilde{S}$ разбивается на не более чем $(\ln m)^2$ сумм вида
$$
\begin{equation*}
S(P, Q)=\sum_{P <p\leqslant P_1} \sum_{\substack{Q< q\leqslant Q_1\\ pq \leqslant Z}} f(p)f(q)e_m(a_1 \overline{p}\, \overline{q}).
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим одну из таких сумм. Избавимся от ограничения $pq \leqslant Z$. Так как $p \leqslant Z/Q$, то $ P<p \leqslant P_2$, где $P_2=\min (P_1, Z/Q)$. Следовательно, $Q< q\leqslant Q_2$, где $Q_2=\min (Q_1, Z/p)$. Преобразуем сумму так, чтобы верхняя граница $q$ не зависела от $p$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S(P, Q) &=\sum_{P <p\leqslant P_2} \sum_{Q< q\leqslant Q_{1}} \biggl( \frac{1}{m} \sum_{|d|<m/2}\, \sum_{Q< \xi \leqslant Q_2} e_m\bigl( d(q-\xi)\bigr) \biggr) f(p)f(q)e_m(a_1\overline{p}\, \overline{q}) \\ &=\sum_{|d|<m/2} {\frac{1}{|d|+1}} \sum_{P<p\leqslant P_2} \frac{|d|+1}{m} \biggl(\sum_{Q<\xi \leqslant Q_2}{e_m(-d\xi)}\biggr) \\ &\qquad\times\sum_{Q<q\leqslant Q_1} e_m(dq)f(p)f(q)e_m(a_1 \overline{p}\, \overline{q}) =\sum_{|d|<m/2}{\frac{T(d)}{|d|+1}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, T(d)=\sum_{P<p\leqslant P_2} \sum_{Q<q\leqslant Q_1} {\alpha(p) \beta(q) e_m(a_1 \overline{p}\, \overline{q})}, \\ \alpha(p)=\frac{|d|+1}{m} \biggl(\sum_{Q<\xi \leqslant Q_2}{e_m(-d\xi)} \biggr) f(p), \qquad \beta(q)=e_m(dq) f(q). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $|\alpha(p)| \leqslant |f(p)|$, $|\beta(q)| \leqslant |f(q)|$, то согласно следствию леммы 3 $|T(d)| \ll PQ\Delta_1$, где
$$
\begin{equation*}
\Delta_1=k^{1/(2s)} s^{1/(2k)} \biggl( \frac{\sqrt{m}}{P^k}+\frac{P^{k-1}}{\sqrt{m}} \biggr)^{1/(2ks)} \biggl( \frac{\sqrt{m}}{Q^s}+\frac{Q^{s-1}}{\sqrt{m}}\biggr)^{1/(2ks)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из условий на $P$, $Q$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\sqrt{m}}{P^k} \leqslant \frac{\sqrt{m}}{m^{(1+\delta)/2}}= m^{-\delta/2} , \qquad \frac{P^{k-1}}{\sqrt{m}} \leqslant \frac{m^{(1-\delta)/2}}{\sqrt{m}} \leqslant m^{-\delta/2} ,\qquad \frac{\sqrt{m}}{Q^s}+\frac{Q^{s-1}}{\sqrt{m}} \leqslant 2.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta_1 &\ll k^{1/(2s)}s^{1/(2k)} m^{-{\delta}/{(4 ks)}} \ll l^{1/(2k)} n^{1/(2s)}m^{-1/(16ln^2)} \ll l^{1/(2l)} n^{1/ 2} m^{-1/(16ln^2)} \\ &\ll \sqrt{n}\, m^{-1/(16ln^2)}\ll {(\ln m)}^{1/4}m^{-1/(16ln^2)}=\Delta_2 {(\ln m)}^{1/4}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $ T(d) \ll PQ\Delta_2 (\ln m)^{1/4}$, откуда
$$
\begin{equation*}
S (P, Q) \ll PQ\Delta_2 (\ln m)^{5/4} \ll Z \Delta_2 (\ln m)^{5/4}, \qquad \widetilde{S}\ll Z \Delta_2 (\ln m)^{13/4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Перейдем к оценке суммы $S_4$. Последовательно получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_4(\mu, \lambda; w) &\ll \frac{1}{\mu \lambda} \sum_{u_1} \sum_{v_1} f(u_1)f(v_1) \frac{x\Delta_2 (\ln m)^{13/4}}{c^2 u_{1} v_{1}w}+\frac{1}{\mu\lambda} \, \frac{F(x)}{c^2w}\, \frac{(\ln x)^2}{Y} \\ &\ll \frac{x\Delta_2}{\mu \lambda} \, \frac{(\ln m)^{13/4}}{c^2w} \sum_{u_1} \frac{f(u_1)}{u_1} \sum_{v_1} \frac{f(v_1)}{v_1}+ \frac{1}{\mu\lambda}\, \frac{F(x)}{c^2w}\, \frac{(\ln x)^2}{Y}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_4(\mu, \lambda) &\ll \frac{x\Delta_2 (\ln m)^{13/4}}{\mu \lambda} \sum_{c\leqslant H} \frac{f(c^2)}{c^2} \sum_{w} \frac{f(w)}{w} \sum_{u_1}\frac{f(u_1)}{u_1} \sum_{v_1}\frac{f(v_1)}{v_1} \\ &\qquad+ \frac{1}{\mu\lambda}\, \frac{F(x)(\ln x)^2}{Y}\sum_{c\leqslant H} \frac{1}{c^2} \sum_{w}\frac{1}{w}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_4 &\ll \sum_{\mu, \lambda \geqslant 1} {|S(\mu, \lambda)|} \\ &\ll x \Delta_2 (\ln m)^{13/4} \sum_{\mu \geqslant 1} \sum_{\lambda \geqslant 1} \frac{1}{\mu \lambda} \sum_{c\leqslant H} \frac{f(c^2)}{c^2} \sum_{w\leqslant x}\frac{f(w)}{w} \sum_{u_1 \leqslant x}\frac{f(u_1)}{u_1} \sum_{v_1 \leqslant x}\frac{f(v_1)}{v_1} \\ &\qquad+ \frac{F(x) (\ln x)^2}{Y} \sum_{\mu \geqslant 1} \sum_{\lambda \geqslant 1} \frac{1}{\mu \lambda}\sum_{c\leqslant H} \frac{1}{c^2} \sum_{w\leqslant x} \frac{1}{w} \ll x \Delta_2 (\ln m)^{13/4} D+\frac{F(x)}{H} (\ln x)^5, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
D =\sum_{\mu \geqslant 1} \sum_{\lambda \geqslant 1} \frac{1}{\mu \lambda} \sum_{c\leqslant H} \frac{f(c^2)}{c^2} \sum_{w\leqslant x} \frac{f(w)}{w} \sum_{u_1 \leqslant x} \frac{f(u_1)}{u_1} \sum_{v_1 \leqslant x} \frac{f(v_1)}{v_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценивая сумму $D$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D &\ll \biggl( \sum_{c=1}^{+\infty} \frac{f(c^2)}{c^2}\biggr) \biggl( \sum_{w \leqslant x} \frac{f(w)}{w}\biggr) \biggl( \sum_{\mu \geqslant 1} \sum_{u_1} \frac{f(u_1)}{u_1}\biggr) \biggl( \sum_{\lambda \geqslant 1} \sum_{v_1} \frac{f(v_1)}{v_1}\biggr) \\ &\ll \biggl( \sum_{w \leqslant x} \frac{f(w)}{w}\biggr) \sum_{u} \frac{f(u)}{u} \sum_{v} \frac{f(v)}{v}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $u$ и $v$ пробегают возрастающие последовательности бесквадратных чисел, все простые делители которых принадлежат множествам $I$ и $J$ соответственно, а $w$ пробегает бесквадратные числа, не имеющие простых делителей из $I$ и $J$. Далее находим
$$
\begin{equation*}
D \ll \prod_{\substack{p \leqslant x\\ p \notin I,\, p \notin J }}\biggl( 1+ \frac{f(p)}{p}\biggr) \prod_{p \in I}\biggl( 1+ \frac{f(p)}{p}\biggr) \prod_{p \in J}\biggl( 1+ \frac{f(p)}{p}\biggr) \ll \prod_{p \leqslant x}\biggl( 1+ \frac{f(p)}{p}\biggr) \ll (\ln x)^\alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
S_4 \ll x \Delta_2 (\ln m)^{13/4} (\ln x)^\alpha+\frac{F(x)}{H} (\ln x)^5 \ll F(x) \Delta_2 (\ln m)^{17/4}+\frac{F(x)}{\sqrt{H}},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S &\ll F(x) \exp \biggl( -\frac{1}{5} (\ln\ln x) \ln\ln\ln x \biggr) \\ &\qquad+ F(x)\biggl(\frac{l}{n}\biggr)^\alpha (\ln\ln x)^\beta+ \frac{F(x)}{\sqrt{H}}+F(x)\Delta_2 (\ln m)^{17/4} \\ &\ll F(x)\biggl( \biggl(\frac{l}{n}\biggr)^\alpha (\ln\ln x)^\beta+(\ln m)^{17/4} m^{-1/(16ln^2)}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем теперь $n$ так, чтобы выполнялось неравенство где $C \geqslant \alpha+5$ постоянная. Замечая, что
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2}\, \frac{\ln m}{\ln x} \ln\ln x \leqslant l<\frac{1}{2}\, \frac{\ln m}{\ln x} \ln\ln x+ 1<\frac{3}{4}\, \frac{\ln m}{\ln x} \ln\ln m,
\end{equation*}
\notag
$$
находим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{1}{16ln^2}>\frac{1}{16n^2} \, \frac{4 \ln x}{3 \ln m}\, \frac{1}{\ln\ln m} \geqslant \frac{1}{12n^2}\, \frac{\ln x}{(\ln m) (\ln\ln m)}, \\ m^{1/(16ln^2)}> \exp \biggl( \frac{1}{12n^2}\, \frac{\ln x}{\ln\ln m }\biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, условие (3.1) будет выполнено, если выбрать $n$ так, чтобы
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{12n^2}\, \frac{\ln x}{\ln\ln m } \geqslant C \ln\ln m, \quad \text{т. е.} \quad n^2 \leqslant \frac{1}{12C}\, \frac{\ln x}{(\ln\ln m)^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
n=\biggl[ \frac{1}{\sqrt{12C}} \, \frac{\sqrt{\ln x}}{\ln\ln m}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку неравенство $ n \leqslant (1/4)\sqrt{\ln m}$ очевидно, необходимо лишь проверить, что $3l \leqslant n$. В свою очередь, для этого достаточно убедиться, что
$$
\begin{equation*}
\frac{2 \ln m}{\ln x} \ln\ln m<\frac{1}{4\sqrt{C}}\, \frac{\sqrt{\ln x}}{\ln \ln m}
\end{equation*}
\notag
$$
или, что то же самое, $(\ln x )^{3/2}>8\sqrt{C} (\ln m) (\ln\ln m)^2$. Но последнее неравенство следует из условия теоремы. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
S(x) \ll F(x) \Delta, \qquad \Delta=\biggl(\frac{\ln m}{(\ln x)^{3/2}} (\ln\ln m)^2 \biggr)^\alpha (\ln\ln m)^\beta.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1 доказана. Замечание 4. В случае фиксированного $\varepsilon$, $0<\varepsilon \leqslant 1/2$, и $x=m^\varepsilon$ верна следующая оценка: § 4. Неоднородные короткие суммы Клоостермана с весами4.1. Вспомогательные утвержденияДля доказательства основной теоремы в случае неоднородных сумм нам понадобится оценка, аналогичная оценке леммы 3. Лемма 7. Пусть выполнены условия леммы 3. Тогда для суммы $W_2$, Доказательство. Следуя [13] и пользуясь обозначениями леммы 3 наряду с неравенствами леммы 1, последовательно находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |W_2|^s &\leqslant \biggl( \sum_{p} |\xi(p)| \biggl|\sum_{q}{\eta(q) e_{m}(a\overline{p}\, \overline{q}+bpq)} \biggr|\biggr)^s \\ &\leqslant \biggl( \sum_{p} |\xi(p)|\biggr)^{s-1} \sum_{p}|\xi(p)| \biggl| \sum_{q} \eta(q) e_{m}(a\overline{p}\, \overline{q}+bpq)\biggr|^s \\ &= \xi_{0}^{s-1} \sum_{p} |\xi(p)| \biggl| \sum_{q} {\eta(q) e_{m}(a\overline{p}\, \overline{q}+bpq)}\biggr|^s \\ &\leqslant \xi_{0}^{s-1} \xi \sum_{p}\biggl| \sum_{q_1,\dots, q_s} \eta(q_1)\cdots \eta(q_s) e_{m}\bigl(a\overline{p}(\overline{q}_1+\dots+\overline{q}_s)+bp({q_1}+\dots+{q_s})\bigr) \biggr| \\ &= \xi_{0}^{s-1} \xi \sum_{p} \biggl| \sum_{\lambda=1}^{m} \sum_{sQ< \mu \leqslant sQ_1} e_m(a\overline{p}\lambda+bp\mu) A_s(\lambda, \mu) \biggr|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
A_s(\lambda, \mu)=\sum_{\substack{q_1, \dots, q_s\\\overline{q}_1+\dots+ \overline{q}_s \equiv \lambda \ (\operatorname{mod}m) \\ q_1+\dots+q_s \equiv \mu \ (\operatorname{mod}m)}}\eta(q_1)\cdots \eta(q_s).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\theta(p)$ – аргумент внутренней суммы. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |W_2|^s &\leqslant \xi_{0}^{s-1} \xi \sum_{p} e^{-i\theta(p)} \sum_{\substack{1\leqslant \lambda \leqslant m \\ sQ<\mu \leqslant sQ_1 }} {A_s(\lambda, \mu) e_m(a\overline{p}\lambda+bp\mu)} \\ &= \xi_{0}^{s-1} \xi \sum_{\substack{1\leqslant \lambda \leqslant m \\ sQ<\mu \leqslant sQ_1}} A_s(\lambda, \mu) \sum_{p}{e^{-i\theta(p)} e_m(a\overline{p}\lambda+bp\mu)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
|W_2|^s \leqslant \xi_{0}^{s-1} \xi \sum_{\substack{1\leqslant \lambda \leqslant m \\ sQ<\mu \leqslant sQ_1}} |A_s(\lambda, \mu)| \biggl| \sum_{p} e^{-i\theta(p)} e_m(a\overline{p}\lambda+bp\mu)\biggr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Возведем полученное неравенство в степень $k$ и применим лемму 1
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |W_2|^{ks} &\leqslant \xi_{0}^{k(s-1)} \xi^{k} \Biggl( \sum_{\substack{1\leqslant \lambda \leqslant m \\ sQ< \mu \leqslant sQ_1}} |A_s(\lambda, \mu)|\Biggr)^{k-1} \\ &\qquad\times \sum_{\substack{1\leqslant \lambda \leqslant m \\ sQ<\mu \leqslant sQ_1}} |A_s(\lambda, \mu)|\biggl| \sum_{p} {e^{-i\theta(p)} e_m(a\overline{p}\lambda+bp\mu)}\biggr|^k \\ &\leqslant \xi_{0}^{k(s-1)} \xi^{k} \eta_0^{s(k-1)} \sum_{\substack{1\leqslant \lambda \leqslant m \\ sQ<\mu \leqslant sQ_1}} |A_s(\lambda, \mu)| \biggl| \sum_{p} {e^{-i\theta(p)} e_m(a\overline{p}\lambda+ bp\mu)}\biggr|^k. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Возведя неравенство в квадрат и используя лемму 1, получим
$$
\begin{equation*}
|W_2|^{2ks} \leqslant \xi_0^{2k(s-1)} \xi^{2k} \eta_0^{2s(k-1)} BC,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
B=\sum_{\substack{1\leqslant \lambda \leqslant m \\ sQ<\mu \leqslant sQ_1}}|A_s(\lambda, \mu)|^2, \qquad C=\sum_{\substack{1\leqslant \lambda \leqslant m \\ sQ<\mu \leqslant sQ_1}} \biggl| \sum_{p} {e^{-i\theta(p)} e_m(a\overline{p}\lambda+bp\mu)}\biggr|^{2k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценивая сумму $B$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{\substack{1\leqslant \lambda \leqslant m \\ sQ<\mu \leqslant sQ_1}}|A_s(\lambda, \mu)|^2 = \sum_{\substack{1\leqslant \lambda \leqslant m \\ sQ<\mu \leqslant sQ_1}} \Biggl|\sum_{\substack{q_1, \dots, q_s\\\overline{q}_1+\dots+ \overline{q}_s \equiv \lambda \ (\operatorname{mod}m) \\ q_1+\dots+q_s \equiv \mu \ (\operatorname{mod}m)}}{\eta(q_1)\cdots \eta(q_s)}\Biggr|^2 \\ &\ \leqslant \sum_{\substack{1\leqslant \lambda \leqslant m \\ sQ<\mu \leqslant sQ_1}} \sum_{\substack{q_1, \dots, q_{2s}\\ \overline{q}_1+\dots+ \overline{q}_s \equiv \lambda \equiv \overline{q}_{s+1}+\dots+ \overline{q}_{2s} \ (\operatorname{mod}m) \\ q_1+\dots+q_s \equiv \mu \equiv q_{s+1}+\dots+q_{2s} \ (\operatorname{mod}m)}}|\eta(q_1)|\cdots |\eta(q_{2s})| \\ &\ \leqslant \eta^{2s} \sum_{\substack{1\leqslant \lambda \leqslant m \\ sQ<\mu \leqslant sQ_1}} \sum_{\substack{q_1,\dots, q_{2s}\\ \overline{q}_1+\dots+ \overline{q}_s \equiv \lambda \equiv \overline{q}_{s+1}+\dots+ \overline{q}_{2s} \ (\operatorname{mod}m) \\ q_1+\dots+q_s \equiv \mu \equiv q_{s+1}+\dots+q_{2s} \ (\operatorname{mod}m)}} 1 \\ &\ = \eta^{2s} \sum_{\substack{q_1, \dots, q_{2s}\\ \overline{q}_1+\dots+ \overline{q}_s \equiv \overline{q}_{s+1}+\dots+ \overline{q}_{2s} \ (\operatorname{mod}m) \\ q_1+\dots+q_s \equiv q_{s+1}+\dots+ q_{2s} \ (\operatorname{mod}m)}}\!\!\!\!\!1\leqslant \eta^{2s} \sum_{\substack{q_1, \dots, q_{2s}\\ \overline{q}_1+\dots+ \overline{q}_s \equiv \overline{q}_{s+1}+\dots+ \overline{q}_{2s} \ (\operatorname{mod}m)}}\!\!\!\!\!1 \\ &\ =\eta^{2s} I_s(Q). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценивая сумму $C$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C &= \!\sum_{\substack{1\leqslant \lambda \leqslant m \\ sQ<\mu \leqslant sQ_1}} \!\!\sum_{p_1,\dots, p_{2k}} \!e^{-i(\theta(p_1)+\dots-\theta(p_{2k}))} e_m\bigl(a\lambda(\overline{p}_1+\dots- \overline{p}_{2k})\,{+}\,b\mu (p_1+\dots -p_{2k})\bigr) \\ &= \!\sum_{p_1,\dots, p_{2k}} e^{-i(\theta(p_1)+\dots-\theta(p_{2k}))} \!\!\!\sum_{\substack{1\leqslant \lambda \leqslant m \\ sQ<\mu \leqslant sQ_1}} \!e_m\bigl(a\lambda(\overline{p}_1+\dots- \overline{p}_{2k})\,{+}\,b\mu (p_1+\dots -p_{2k})\bigr) \\ &\leqslant \sum_{p_1,\dots, p_{2k}} \Biggl| \sum_{\substack{1\leqslant \lambda \leqslant m \\ sQ<\mu \leqslant sQ_1}} e_m\bigl(a\lambda(\overline{p}_1+\dots-\overline{p}_{2k})+b\mu (p_1+\dots -p_{2k})\bigr)\Biggr| \\ &=\sum_{\sigma=1}^{m} \sum_{|\tau| \leqslant kP} j_k(\sigma, \tau) \biggl| \sum_{sQ< \mu \leqslant sQ_1} \sum_{\lambda=1}^{m} e_m(a\lambda\sigma+b\mu \tau)\biggr|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $j_k(\sigma, \tau)$ – число решений системы при заданных условиях на $p_j$, $j= 1,\dots, 2k$,
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \overline{p}_1+\dots+\overline{p}_k \equiv \overline{p}_{k+1}+\dots+\overline{p}_{2k}+ \sigma \pmod{m}, \\ p_1+\dots +p_k \equiv p_{k+1}+\dots +p_{2k}+\tau \pmod{m}. \\ \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C &\leqslant \sum_{\sigma=1}^{m} \sum_{|\tau| \leqslant kP} j_k(\sigma, \tau) \sum_{sQ< \mu \leqslant sQ_1} \biggl| \sum_{\lambda=1}^{m} e_m(a\lambda\sigma)\biggr| \\ &\leqslant sQ \sum_{\sigma=1}^{m} \biggl(\sum_{|\tau| \leqslant kP} j_k(\sigma, \tau)\biggr) \biggl| \sum_{\lambda=1}^{m} e_m(a\lambda\sigma) \biggr| =sQm \sum_{|\tau| \leqslant kP} j_k(0, \tau) \leqslant smQ I_k(P). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так получаем
$$
\begin{equation*}
|W_2|^{2ks} \leqslant \xi_0^{2k(s-1)} \xi^{2k} \eta_0^{2s(k-1)} \eta^{2s} smQ I_s(Q)I_k(P).
\end{equation*}
\notag
$$
Применив к $I_k(P)$, $I_s(Q)$ лемму 2, приходим к искомому утверждению. Лемма 7 доказана. Следствие 3. В случае $\xi(\nu)=\eta(\nu)=f(\nu)$ для суммы $W_2$ справедлива оценка $|W_2| \ll PQ \Delta_1$, где 4.2. Доказательство теоремы 2Будем придерживаться той же схемы рассуждений, что и при доказательстве теоремы 1. Шаг 1. Положим $H=\exp(2\sqrt{\ln x})$. Пусть $S_1$ – часть суммы $S(x)$ по тем $\nu$, которые имеют вид $\nu=c^2d$, $c>H$. Согласно лемме 4 $S_1 \ll F(x)e^{-\sqrt{\ln x}}$. Остальные $\nu$ будут иметь вид $\nu=c^2d$, где $c \leqslant H$, $d$ – бесквадратное число, $\mu(d) \neq 0$. Шаг 2. Обозначим $R=\exp(\ln x/\ln\ln x)$ и выберем целое $l_1$ из условия $m^{1/(2l_1)} \leqslant R<m^{1/(2l_1-2)}$. Отнесем к сумме $S_2$ те из оставшихся слагаемых $S(x)$, что отвечают числам $\nu$, все простые делители которых не превосходят $M= m^{1/(2l_1)}$. Тогда согласно лемме 5 будет верна оценка
$$
\begin{equation*}
S_2 \ll F(x)\exp\biggl(-\frac{1}{5} (\ln\ln x) \ln{\ln\ln x} \biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Все $\nu$, которые остались, будут иметь хотя бы один простой делитель, больший $M$. Прежде чем перейти к шагу 3, введем следующие параметры. Пусть $n_1$ удовлетворяет условию $3l_1 \leqslant n_1 \leqslant (1/60)\sqrt{\ln m}$ (точное значение $n_1$ выберем позднее), $\delta=1/(4n_1)$. Для целого $k$, $l_1 \leqslant k \leqslant n_1$, положим
$$
\begin{equation*}
X_k=m^{(1-\delta)/({2k})}, \qquad Y_k=m^{(1+\delta)/({2k})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подобно тому, как это делалось выше, несложно проверить, что $X_{k-1}>2Y_k$ для всех рассматриваемых $k$. Пусть $l_2$, $n_2$ удовлетворяют $l_2 \geqslant 5n_1$, $n_2 \geqslant 3 l_2$, $n_2 \leqslant (1/4) \sqrt {\ln m}$ (точные значения $l_2$, $n_2$ укажем позднее). Положим Обозначим через $J$ множество простых чисел из $(U, V]$, через $I$ – множество простых из объединения $(Y_k, X_{k-1}]$, $l_1<k\leqslant n_1$. Шаг 3. Отнесем к $S_3$ те оставшиеся слагаемые $S(x)$, что отвечают числам $\nu$, не имеющим простых делителей из $I$. Практически дословно повторяя рассуждения шага 3 теоремы 1, приходим к оценке
$$
\begin{equation*}
|S_3| \ll F(x) \biggl( \frac{l_1}{n_1} \biggr)^\alpha (\ln\ln x)^\beta.
\end{equation*}
\notag
$$
Шаг 4. Отнесем к $S_4$ те слагаемые, которые остались в $S(x)$, что отвечают числам $\nu$, не имеющим простых делителей из $J$. Аналогично шагу 3 получаем следующую оценку:
$$
\begin{equation*}
|S_4| \ll F(x) \biggl( \frac{l_2}{n_2} \biggr)^\alpha (\ln\ln x)^\beta.
\end{equation*}
\notag
$$
Слагаемые, не вошедшие в рассматриваемые выше суммы, отнесем к сумме $S_5$. Все числа $\nu$, им отвечающие, имеют хотя бы один простой делитель из $I$ и хотя бы один простой делитель из $J$. Таким образом, все такие $\nu$ имеют вид $\nu=c^2 uvw$, где $1\leqslant c\leqslant H$, $\mu(uvw) \neq 0$, причем все простые делители $u$ принадлежат множеству $I$, все простые делители $v$ принадлежат множеству $J$, а $w$, напротив, не имеет простых делителей из объединения множеств $I$ и $J$. Зададим целые числа $\lambda$, $\mu \geqslant 1$ и обозначим через $S_5(\mu, \lambda)$ сумму тех слагаемых из $S_5$, что отвечают числам $\nu=c^2 u v w$, у которых $u$ и $v$ состоят соответственно из $\mu$ и $\lambda$ простых сомножителей. В таком случае
$$
\begin{equation*}
S_5=\sum_{\mu \geqslant 1} \sum_{\lambda \geqslant 1} S_5(\mu, \lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\Phi(n)=e_m(a\overline{n}+bn)$, тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |S_5(\mu, \lambda)| &=\biggl| \sum_{c^2uvw \leqslant x}{f(c^2uvw)\Phi(c^2uvw)}\biggr| \\ &\leqslant \sum_{c\leqslant H}{f(c^2)} \sum_{w}{f(w)} \biggl| \sum_{uv \leqslant x(c^2w)^{-1}}{f(u)f(v)\Phi(c^2uvw)}\biggr|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $w$ пробегает возрастающую последовательность чисел, не имеющих простых делителей из объединения промежутков $I$ и $J$, $w \leqslant x (c^2 X^{\mu} U^{\lambda})^{-1}$. Пусть $c$ и $w$ фиксировано. Сравним внутреннюю сумму $S_5(\mu, \lambda; w)$ по $u$, $v$ с суммой
$$
\begin{equation*}
S'(\mu, \lambda; w)=\frac{1}{\mu\lambda} \sum_{u_1, v_1} \sum_{p, q} {f(u_1)f(p)f(v_1)f(q) \Phi(c^2u_1pv_1qw)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $u_1$, $v_1$ независимо пробегают возрастающие последовательности чисел, которые являются произведениями $\mu\,{-}\,1$ и $\lambda\,{-}\,1$ различных простых сомножителей из $I$ и $J$ соответственно, а $p$ и $q$ принимают значения простых из $I$ и $J$, причем выполнено условие $u_1 v_1p q \leqslant x(c^2w)^{-1}$. Числа $u$ и $v$, отвечающие слагаемым из $S_5(\mu, \lambda; w)$, представляются в виде $u= u_{1}p$ и $v=v_{1}q$, где $(u_{1},p)=1$ и $(v_{1},q)=1$, ровно $\mu$ и $\lambda$ способами. Следовательно, любое слагаемое из $S_5(\mu, \lambda; w)$ входит в $S'(\mu, \lambda; w)$ с коэффициентом единица. Кроме того, в $S'(\mu, \lambda; w)$ встретятся слагаемые, для которых нарушено хотя бы одно из условий $(u_{1},p)=1$, $(v_{1},q)=1$. Обозначим через $S''(\mu, \lambda; w)$ сумму по таким слагаемым. Полагая $u_{1}=u_{2}p$, $v_1=v_{2}q$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|S'' (\mu, \lambda; w)| \leqslant \frac{1}{\mu\lambda} \biggl(\sum_{p^{2}qu_{2}v_{1} \leqslant x(c^2w)^{-1}} f(pu_{2})f(p)f(v_1)f(q) \\ &+\sum_{pq^{2}u_{1}v_{2} \leqslant x(c^2w)^{-1}} f(u_1)f(p)f(v_{2}q)f(q)+ \!\sum_{p^{2}q^{2}u_{2}v_{2} \leqslant x(c^2w)^{-1}} f(u_2p)f(p)f(v_{2}q)f(q) \biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценивая $S''(\mu, \lambda; w)$ аналогично тому, как это делалось в теореме 1, получаем оценку
$$
\begin{equation*}
|S''(\mu, \lambda; w)| \ll \frac{1}{\mu\lambda}\, \frac{F(x)}{c^2w}\, \frac{(\ln x)^2}{H}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $|S_5(\mu, \lambda; w)|\leqslant |S'|+|S''|$, где
$$
\begin{equation*}
S'(\mu, \lambda; w)=\frac{1}{\mu\lambda} \sum_{u_1} \sum_{v_1}f(u_1)f(v_1) \widetilde{S},
\end{equation*}
\notag
$$
и для фиксированных $\mu, \lambda, w, u_1, v_1$
$$
\begin{equation*}
\widetilde{S}=\sum_{pq \leqslant Z} f(p)f(q)\Phi(c^2 u_1 v_1 w pq), \qquad Z=\biggl[ \frac{x}{c^2 u_1 v_1 w} \biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Представим $\widetilde{S}$ в виде
$$
\begin{equation*}
\widetilde{S}=\sum_{pq\leqslant Z} f(p)f(q)e_m(a_1\overline{p}\, \overline{q}+b_1pq),
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_1 \equiv a (\overline{c^2 u_1 v_1}) \pmod{m}$, $b_1 \equiv bc^2 u_1 v_1 w \pmod{m}$. Далее разобьем области изменения $p$ и $q$ на промежутки вида $P\,{<}\,p \,{\leqslant}\, P_1 \,{\leqslant}\, 2P$, $Q\,{<}\, q \,{\leqslant}\, Q_1\,{\leqslant}\,2Q$, причем выберем величины $P$, $P_1$, $Q$, $Q_1$ так, чтобы всякий промежуток $(P, P_1]$ содержался целиком в некотором промежутке $(Y_k, X_{k-1}]$, $l_1<k\leqslant n_1$, а всякий промежуток $(Q, Q_1]$ содержался целиком в некотором промежутке $(m^{1/(2s)}, m^{1/(2s-2)}]$, $ l_2<s \leqslant n_2$. Таким образом, $\widetilde{S}$ разбивается на не более чем $(\ln m)^2$ сумм вида
$$
\begin{equation*}
S(P, Q)=\sum_{P <p\leqslant P_1} \sum_{\substack{Q< q\leqslant Q_1\\ pq \leqslant Z}} f(p)f(q)e_m(a_1 \overline{p}\, \overline{q}+b_1pq).
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим одну из таких сумм. Избавляясь от условия $pq \leqslant Z$, подобно тому, как это делалось в теореме 1, находим
$$
\begin{equation*}
S(P, Q)=\sum_{|d|<m/2}\frac{T(d)}{|d|+1}, \qquad T(d)=\sum_{P<p\leqslant P_2}\sum_{Q<q \leqslant Q_1}\alpha(p) \beta(q) e_m(a_1\overline{p}\, \overline{q}+b_1pq),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\alpha(p)=\frac{|d|+1}{m} \biggl(\sum_{Q<\xi \leqslant Q_2} e_m(d\xi) \biggr)f(p), \qquad \beta(q)= e_m(dq)f(q),
\end{equation*}
\notag
$$
причем $|\alpha(p)| \leqslant |f(p)|$ и $|\beta(q)| \leqslant |f(q)|$. Согласно следствию леммы 7 для $T(d)$ справедлива оценка $|T(d)| \ll PQ \Delta_1$, где
$$
\begin{equation*}
\Delta_1=k^{1/(2s)} s^{1/(2k)}Q^{1/(2ks)} \biggl(\frac{P^{k-1}}{\sqrt{m}} +\frac{\sqrt{m}}{P^{k}}\biggr)^{1/(2ks)} \biggl(\frac{Q^{s-1}}{\sqrt{m}} +\frac{\sqrt{m}}{Q^s}\biggr)^{1/(2ks)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из условий на $P$, $Q$ заключаем:
$$
\begin{equation*}
\frac{\sqrt{m}}{P^k} \leqslant \frac{\sqrt{m}}{m^{(1+\delta)/2}}=m^{-\delta/2}, \qquad \frac{P^{k-1}}{\sqrt{m}}\leqslant \frac{m^{(1-\delta)/2}}{\sqrt{m}} \leqslant m^{-\delta/2}, \qquad \frac{\sqrt{m}}{Q^s}+\frac{Q^{s-1}}{\sqrt{m}} \leqslant 2.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta_1 &\ll k^{1/(2s)} s^{1/(2k)} (m^{1/(2l_2)} m^{-\delta/2})^{1/(2ks)} \\ &\ll n_2^{1/(2l_1)} n_1^{1/(2l_2)} (m^{1/(10n_1)-1/(8n_1)})^{1/(2ks)} \\ &\ll n_2^{1/(2l_1)} \biggl(\frac{1}{5} l_2\biggr)^{1/(2l_2)} m^{-1/({80n_1ks})} \ll (\ln m)^{1/4} m^{-1/(80n_1^2 n_2)}= \Delta_2 (\ln m)^{1/4}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $T(d) \ll PQ\Delta_2 (\ln m)^{1/4}$, откуда
$$
\begin{equation*}
S(P,Q) \ll PQ \Delta_2(\ln m)^{5/4} \ll Z\Delta_2 \ln m, \qquad \widetilde{S} \ll Z\Delta_2 (\ln m)^{13/4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Перейдем к оценке суммы $S_5$. Последовательно получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_5(\mu, \lambda;w) &\ll \frac{1}{\mu\lambda} \sum_{u_1}\sum_{v_1} f(u_1)f(v_1) \frac{x \Delta_2 (\ln m)^3}{c^2u_1v_1w}+\frac{1}{\mu\lambda}\, \frac{F(x)}{c^2w}\,\frac{(\ln x)^2}{H} \\ &=\frac{x\Delta_2}{\mu\lambda}\, \frac{(\ln m)^3}{c^2 w}\sum_{u_1} \frac{f(u_1)}{u_1} \sum_{v_1} \frac{f(v_1)}{v_1}+\frac{1}{\mu\lambda}\, \frac{F(x)}{c^2w}\,\frac{(\ln x)^2}{H}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
S_5(\mu, \lambda) \ll \frac{x \Delta_2 (\ln m)^3}{\mu \lambda} \sum_{c\leqslant H}{\frac{f(c^2)}{c^2}} \sum_{w}{\frac{f(w)}{w}} \sum_{u_1}{\frac{f(u_1)}{u_1}} \sum_{v_1}{\frac{f(v_1)}{v_1}}+\frac{1}{\mu\lambda}\, \frac{F(x)(\ln x)^3}{H}.
\end{equation*}
\notag
$$
Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям теоремы 1, находим
$$
\begin{equation*}
S_5 \ll x \Delta_2(\ln m)^{13/4} (\ln x)^\alpha+\frac{F(x)}{\sqrt{H}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S(x) &\ll F(x) \biggl( \frac{l_1}{n_1}\biggr)^\alpha (\ln\ln x)^\beta+F(x) \biggl( \frac{l_2}{n_2}\biggr)^\alpha(\ln\ln x)^\beta \\ &\qquad+\frac{F(x)}{\sqrt{H}}+F(x) (\ln m)^{17/4} m^{-{1}/{(80n_1^2 n_2)}} \\ &\ll F(x) \biggl( \biggl( \frac{l_1}{n_1}\biggr)^\alpha (\ln\ln x)^\beta+\biggl( \frac{l_2}{n_2}\biggr)^\alpha(\ln\ln x)^\beta+(\ln m)^{17/4} m^{-{1}/{(80n_1^2 n_2)}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем теперь $n_1$, $n_2$ так, чтобы выполнялось неравенство где $C\geqslant \alpha+ 5$ постоянная. Данное условие будет выполнено, если выбрать $n_2$ так, что
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{ 80 n_1^2 n_2} \ln m \geqslant C \ln\ln m, \quad \text{т. е.} \quad n_2 \leqslant \frac{1}{80 C}\, \frac{\ln m}{ n_1^2 \ln\ln m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
n_2=\biggl[ \frac{1}{80C}\, \frac{\ln m}{n_1^2 \ln\ln m}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Замечая, что
$$
\begin{equation*}
n_2 \geqslant \frac{\ln m}{80C n_1^2 \ln\ln m}-1 \geqslant \frac{\ln m}{102C n_1^2 \ln\ln m},\quad \text{т. е.}\quad \frac{1}{n_2} \leqslant \frac{102C n_1^2 \ln\ln m}{\ln m},
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2}\,\frac{\ln m}{\ln x} \ln\ln x \leqslant l_1 \leqslant \frac{1}{2}\, \frac{\ln m}{\ln x} \ln\ln x+1<\frac{3}{4}\, \frac{\ln m}{\ln x} \ln\ln m,
\end{equation*}
\notag
$$
находим
$$
\begin{equation*}
\biggl( \frac{l_1}{n_1}\biggr)^\alpha+\biggl( \frac{l_2}{n_2}\biggr)^\alpha \ll \biggl( \frac{3}{4}\, \frac{\ln m}{n_1 \ln x} \ln\ln m \biggr)^\alpha+\biggl( 102C \frac{l_2 n_1^2 }{\ln m} \ln\ln m \biggr)^\alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим $n_2$, $l_2$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
n_1=\biggl[ \frac{1}{\sqrt[4]{680C}}\, \frac{\sqrt{\ln m}}{(\ln x)^{1/4}}\biggr], \qquad l_2=5n_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\biggl( \frac{l_1}{n_1}\biggr)^\alpha+\biggl( \frac{l_2}{n_2}\biggr)^\alpha \ll \biggl( \frac{\sqrt{\ln m}}{(\ln x)^{3/4}}\ln\ln m \biggr)^\alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку неравенства $l_2 \geqslant 5n_1$, $n_2 \leqslant (1/4)\sqrt{\ln m}$ и $n_2 \leqslant (1/60) \sqrt{\ln m}$ очевидны, необходимо лишь проверить, что $3l_1 \leqslant n_1$, $3l_2 \leqslant n_2$. В свою очередь, для выполнения первого неравенства достаточно убедиться, что
$$
\begin{equation*}
2\frac{\ln m}{\ln x} \ln \ln m<\frac{1}{6\sqrt[4]{C}}\, \frac{\sqrt{\ln m}}{(\ln x)^{1/4}}
\end{equation*}
\notag
$$
или, что тоже самое,
$$
\begin{equation*}
(\ln x)^{3/4}>12 \sqrt[4]{C}\, (\ln m)^{1/2} \ln\ln m.
\end{equation*}
\notag
$$
Но последнее неравенство следует из условия теоремы. Справедливость второго неравенства будет следовать из оценки
$$
\begin{equation*}
15 n_1 \leqslant \frac{\ln m}{102C n_1^2 \ln\ln m}, \quad \text{т. е.} \quad \frac{5}{9\sqrt[4]{C^3}}\, \frac{(\ln m)^{3/2}}{(\ln x)^{3/4}} \leqslant \frac{1}{102 C}\, \frac{\ln m}{\ln\ln m},
\end{equation*}
\notag
$$
или, что тоже самое,
$$
\begin{equation*}
(\ln x)^{3/4} \geqslant \frac{170}{3} \sqrt[4]{C}\, (\ln m)^{1/2} \ln\ln m.
\end{equation*}
\notag
$$
Но последнее соотношение следует из условия теоремы. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
S(x) \ll F(x) \Delta, \qquad \Delta=\biggl( \frac{\sqrt{\ln m}}{(\ln x)^{3/4}} \ln\ln m\biggr)^\alpha (\ln\ln m)^\beta.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2 доказана. Замечание 5. В случае фиксированного $\varepsilon$, $0<\varepsilon \leqslant 1/2$, и $x=m^\varepsilon$ верна следующая оценка: Автор выражает глубокую благодарность М. А. Королёву за постановку задачи и постоянное внимание к работе. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sem22} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|