| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях) Сильная сходимость аттракторов системы реакции–диффузии с быстро осциллирующими членами в ортотропной пористой среде К. А. Бекмаганбетовab, В. В. Чепыжовc, Г. А. Чечкинde a Казахстанский филиал Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, г. Нур-Султан b Институт математики и математического моделирования Министерства образования и науки Республики Казахстан, г. Алматы c Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва d Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, г. Москва e Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра Российской академии наук, г. Уфа
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9163e 
Реферативные базы данных:
     ВведениеВ настоящей работе изучается поведение аттракторов начально-краевой задачи для системы нелинейных дифференциальных уравнений в перфорированных областях, зависящих от малого параметра, при стремлении параметра к нулю. При этом в отличие от работы [1] удается доказать сильную сходимость аттракторов. Задачи в перфорированных областях в последние годы привлекают большое внимание специалистов (см., например, [2]–[7]). Были изучены периодические, локально периодические, почти периодические, а также случайные структуры. Здесь упомянем работы [8]–[14], где можно также ознакомиться с подробной библиографией. Мы изучаем сильную сходимость и предельное поведение аттракторов при стремлении малого параметра, характеризующего в частности и перфорацию, к нулю. Для изучения этого явления используем методы усреднения (см., например, [2], [9], [10], [12], [14]–[16]), а также тонкие методы анализа траекторных и глобальных аттракторов. Отметим несколько работ по усреднению аттракторов, которые появились в последнее время (см. [17]–[19]). В [17] и [19] изучалось усреднение аттракторов скалярных эволюционных уравнений с диссипацией в периодически перфорированной области. Аттракторы описывают поведение решений диссипативных нелинейных эволюционных уравнений при стремлении времени к бесконечности, а также характеризуют устойчивость и неустойчивость предельных структур соответствующих динамических систем (см., например, монографии [20]–[22] и ссылки в них). Нас интересует асимптотическое поведение траекторных и глобальных аттракторов системы уравнений реакции–диффузии с быстро осциллирующими членами в перфорированной области, которые описывают поведение ортотропных сред. Принцип усреднения Боголюбова [23] был использован в первых работах [24]–[26] об усреднении аттракторов эволюционных уравнений с быстро осциллирующими членами. Усреднение глобальных аттракторов для параболических уравнений с осциллирующими параметрами рассматривалось в [21], [27]–[30]. Некоторые вопросы, связанные с усреднением однородных глобальных аттракторов для диссипативных волновых уравнений, были рассмотрены в [31]–[34] при наличии быстрых колебаний по времени и в [21], [35]–[37], когда имеются быстрые колебания по пространственным переменным. Аналогичные задачи для автономных и неавтономных двумерных уравнений Навье–Стокса были изучены в [21], [36], [38], [39]. Статьи [39]–[43] посвящены изучению дифференциальных уравнений в частных производных, содержащих сингулярные осциллирующие члены. Диссипативные системы уравнений в частных производных и теория траекторных аттракторов для них были разработаны и описаны в [21], [44], [45]. В случае неединственности решений этот подход особенно эффективен, как в случае, когда теорема единственности соответствующей исходной задачи еще не доказана (например, для неоднородной трехмерной системы уравнений Навье–Стокса) или не имеет места (для системы уравнений реакции–диффузии, рассматриваемой в настоящей статье). В статье доказывается, что траекторный аттрактор $\mathfrak{A}_{\varepsilon}$ системы уравнений реакции–диффузии в перфорированной области сильно сходится при $\varepsilon \to 0$ к траекторному аттрактору $\overline{\mathfrak{A}}$ усредненной системы уравнений в соответствующем функциональном пространстве. Здесь $\varepsilon$ также характеризует диаметр полостей и расстояние между ними в перфорированной среде. В § 1 определяются основные понятия и формулируются теоремы о траекторных аттракторах автономных эволюционных уравнений. В § 2 определяется геометрическая структура перфорированной области, формулируется задача для изучения и описываются необходимые функциональные пространства. В § 3 строятся траекторные аттракторы системы реакции–диффузии в сильной топологии при фиксированном параметре $\varepsilon$. Параграф 4 посвящен изучению усреднения аттракторов автономной системы уравнений реакции–диффузии с быстро осциллирующими членами в перфорированной области, а также демонстрируется появление “странного члена” (потенциала) в усредненной системе уравнений (о появлении “странного члена” см. пионерские работы [2], [3]). § 1. Траекторные аттракторы эволюционных уравненийВ этом параграфе излагается общая схема построения траекторных аттракторов автономных эволюционных уравнений. Рассматривается абстрактное автономное эволюционное уравнение
$$
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial t}=A(u),\qquad t\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Предполагается заданным нелинейный оператор $A(\,{\cdot}\,)\colon E_1\to E_0$, где $E_1$, $E_0$ – банаховы пространства и $E_1\subseteq E_0$. Например, $A(u)=\lambda\Delta u-af(u)+g$ (см. § 2). Мы будем исследовать решения $u(s)$ уравнения (1) в целом как функции переменной $s\in \mathbb{R}_+$. Здесь $s\equiv t$ обозначает переменную времени. Множество решений (1) будем называть пространством траекторий $\mathcal{K}^+$ уравнения (1). Опишем пространство траекторий $\mathcal{K}^+$ более подробно. Прежде всего рассмотрим решения $u(s)$ уравнения (1), определенные на фиксированном отрезке времени $[t_1,t_2]$ из $\mathbb{R}$. Изучим решения уравнения (1), принадлежащие некоторому банаховому пространству $\mathcal{F}_{t_1,t_2}$, которое зависит от $t_1$ и $t_2$. Пространство $\mathcal{F}_{t_1,t_2}$ состоит из функций $f(s),s\in [t_1,t_2]$, таких, что $f(s)\in E$ для почти всех $s\in [t_1,t_2]$, где $E$ – банахово пространство. Предполагаем, что $E_1\subseteq E\subseteq E_0$. Например, пространством $\mathcal{F}_{t_1,t_2}$ может быть пространство $C([t_1,t_2];E)$ или пространство $L_{p}(t_1,t_2;E)$, $p\in [1,\infty ]$, или пересечение пространств такого вида (см. § 2). Предположим, что $\Pi_{t_1,t_2}\mathcal{F}_{\tau_1,\tau_2}\subseteq \mathcal{F}_{t_1,t_2}$ и
$$
\begin{equation}
\| \Pi_{t_1,t_2}f\|_{\mathcal{F}_{t_1,t_2}}\leqslant C(t_1,t_2,\tau_1,\tau_2) \|f\|_{\mathcal{F}_{\tau_1,\tau_2}}\quad \forall\, f\in \mathcal{F}_{\tau_1,\tau_2},
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $[t_1,t_2]\subseteq [\tau_1,\tau_2]$ и $\Pi_{t_1,t_2}$ обозначает оператор сужения на отрезок $[t_1,t_2]$. Постоянная $C(t_1,t_2,\tau_1,\tau_2)$ не зависит от функции $f$. Обычно рассматривается однородный случай пространств, когда $C(t_1,t_2,\tau_1,\tau_2)=C(t_2-t_1,\tau_2-\tau_1)$. Пусть $S(h)$ для $h\in \mathbb{R}$ обозначает оператор сдвига Очевидно, если аргумент $s$ функции $f(\,{\cdot}\,)$ принадлежит отрезку $[t_1,t_2]$, то аргумент $s$ функции $S(h)f(\,{\cdot}\,)$ будет принадлежать отрезку $[t_1-h,t_2-h]$ для $h\in \mathbb{R}$. Предположим, что отображение $S(h)$ является изоморфизмом из $F_{t_1,t_2}$ в $F_{t_1-h,t_2-h}$ и
$$
\begin{equation}
\| S(h)f\|_{\mathcal{F}_{t_1-h,t_2-h}}= \| f\|_{\mathcal{F}_{t_1,t_2}}\quad \forall\, f\in \mathcal{F}_{t_1,t_2}.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Это предположение вполне естественно, например, для однородных по времени пространств. Предполагается, что если $f(s)\in \mathcal{F}_{t_1,t_2}$, то $A(f(s))\in \mathcal{D}_{t_1,t_2}$, где $\mathcal{D}_{t_1,t_2}$ – некоторое более широкое, чем $\mathcal{F}_{t_1,t_2}$ банахово пространство, $\mathcal{F}_{t_1,t_2}\subseteq \mathcal{D}_{t_1,t_2}$. Производная $\partial f(t)/\partial t$ понимается как обобщенная функция со значениями в $E_0$, $\partial f/\partial t\in D'((t_1,t_2);E_0)$. Предполагается также, что $\mathcal{D}_{t_1,t_2}\subseteq D'((t_1,t_2);E_0)$ для всех $(t_1,t_2)\subset \mathbb{R}$. Функция $u(s)\in \mathcal{F}_{t_1,t_2}$ называется решением уравнения (1) в пространстве $\mathcal{F}_{t_1,t_2}$ (на интервале $(t_1,t_2)$), если выполняется равенство $\partial u(s)/\partial t=A(u(s))$ в смысле обобщенных функций в пространстве $D'((t_1,t_2);E_0)$. Определим также пространство
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}}=\{f(s),\,s\in \mathbb{R}_+\mid \Pi _{t_1,t_2}f(s)\in \mathcal{F}_{t_1,t_2}\ \forall\, [t_1,t_2]\subset \mathbb{R}_+\}.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Например, если $\mathcal{F}_{t_1,t_2}=C([t_1,t_2];E)$, то $\mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}}=C(\mathbb{R}_+;E)$, а если $\mathcal{F}_{t_1,t_2}=L_{p}(t_1,t_2;E)$, то $\mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}}=L_{p}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;E)$. Функция $u(s)\in \mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}}$ называется решением уравнения (1) в $\mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}}$, если $\Pi_{t_1,t_2}u(s)\in \mathcal{F}_{t_1,t_2}$ и функция $\Pi_{t_1,t_2}u(s)$ является решением уравнения (1) для любого отрезка времени $[t_1,t_2]\subset \mathbb{R}_+$. Пусть $\mathcal{K}^+$ – некоторое множество решений уравнения (1), принадлежащих $\mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}}$, которое не обязательно является множеством всех решений этого уравнения, принадлежащих $\mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}}$. Элементы множества $\mathcal{K}^+$ называются траекториями, а само пространство $\mathcal{K}^+$ – пространством траекторий уравнения (1). Предполагается, что пространство траекторий $\mathcal{K}^+$ является трансляционно-инвариантным в следующем смысле: если $u(s)\in \mathcal{K}^+$, то $u(h+s)\in \mathcal{K}^+$ для любого $h\geqslant 0$. Это условие является естественным свойством решений автономного уравнения в однородном пространстве. Рассмотрим теперь операторы сдвигов $S(h)$ в $\mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}}$: Ясно, что множество отображений $\{S(h),\, h\geqslant 0\}$ образует полугруппу в $\mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}}$: $S(h_1)S(h_2)=S(h_1+h_2)$ при $h_1,h_2\geqslant 0$ и $S(0)=\mathrm{Id}$ – тождественное отображение. Заменим переменную $h$ на переменную времени $t$. Полугруппа $\{S(t),\, t\geqslant 0\}$ называется полугруппой сдвигов. В силу сделанного предположения трансляционной инвариантности полугруппа сдвигов отображает пространство траекторий $\mathcal{K}^+$ на себя:
$$
\begin{equation}
S(t)\mathcal{K}^+\subseteq \mathcal{K}^+\quad \forall\, t\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Изучаются свойства притяжения полугруппы сдвигов $\{S(t)\}$, действующей на пространстве траекторий $\mathcal{K}^+\subset \mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}}$ при $t\to +\infty$. Определим некоторую топологию в пространстве $\mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}}$. Пусть $\rho_{t_1,t_2}(\,{\cdot}\,,{\cdot}\,)$ – какая-то метрика определенная на пространстве $\mathcal{F}_{t_1,t_2}$ для всех отрезков $[t_1,t_2]\subset \mathbb{R}$. По аналогии с (2) и (3) предположим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \rho_{t_1,t_2}(\Pi_{t_1,t_2}f,\Pi_{t_1,t_2}g)\,{\leqslant}\, D(t_1,t_2,\tau_1,\tau_2)\rho_{\tau_1,\tau_2}(f,g)\quad \forall\, f,g\,{\in}\, \mathcal{F}_{\tau_1,\tau_2},\ \ [t_1,t_2]\,{\subseteq}\, [\tau_1,\tau_2], \\ \rho_{t_1-h,t_2-h}(S(h)f,S(h)g) =\rho_{t_1,t_2}(f,g)\quad \forall\, f,g\in \mathcal{F}_{t_1,t_2},\quad [t_1,t_2]\subset \mathbb{R},\quad h\in \mathbb{R}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для однородных пространств обычно коэффициент $D(t_1,t_2,\tau_1,\tau_2)=D(t_2-t_1, \tau_2-\tau_1)$. Обозначим через $\Theta_{t_1,t_2}$ соответствующее метрическое пространство на $\mathcal{F}_{t_1,t_2}$. Например, $\rho_{t_1,t_2}$ может быть метрикой, порожденной нормой $\|\,{\cdot}\,\|_{\mathcal{F}_{t_1,t_2}}$ банахова пространства $\mathcal{F}_{t_1,t_2}$. В приложениях также бывает, что метрика $\rho_{t_1,t_2}$ порождает топологию $\Theta_{t_1,t_2}$ более слабую, чем топология сильной сходимости банахова пространства $\mathcal{F}_{t_1,t_2}$. Обозначим через $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$ пространство $\mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}}$, снабженное топологией локальной сходимости на $\Theta_{t_1,t_2}$ при любом $[t_1,t_2]\subset \mathbb{R}_+$. Точнее, по определению последовательность функций $\{f_k(s)\}\subset \mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}}$ сходится к функции $f(s)\in \mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}}$ при $k\to \infty $ в $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$, если $\rho_{t_1,t_2}(\Pi_{t_1,t_2}f_k,\Pi_{t_1,t_2}f)\to0$ при $k\to \infty $ для любого отрезка $[t_1,t_2]\subset \mathbb{R}_+$. Нетрудно доказать, что топология $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$ метризуема, например, с помощью метрики Фреше
$$
\begin{equation}
\rho_+(f_1,f_2):=\sum_{m\in \mathbb{N}}2^{-m} \frac{\rho_{0,m}(f_1,f_2)}{1+\rho_{0,m}(f_1,f_2)}.
\end{equation}
\tag{6}
$$
В случае, когда все метрические пространства $\Theta_{t_1,t_2}$ полны, очевидно, что метрическое пространство $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$ также является полным. Заметим, что полугруппа сдвигов $\{S(t)\}$ непрерывна в топологии $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$. Это непосредственно вытекает из определения топологического пространства $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$. Определим также следующее банахово пространство:
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}_+^{\mathrm b}:=\{f(s)\in \mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}}\mid \| f\|_{\mathcal{F}_+^{\mathrm b}}<+\infty \},
\end{equation}
\tag{7}
$$
где норма
$$
\begin{equation}
\| f\|_{\mathcal{F}_+^{\mathrm b}}:=\sup_{h\geqslant 0}\| \Pi_{0,1}f(h+s)\|_{\mathcal{F}_{0,1}}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Например, если $\mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}}=C(\mathbb{R}_+;E)$, то пространство $\mathcal{F}_+^{\mathrm b}=C^{\mathrm b}(\mathbb{R}_+;E)$ с нормой $\| f\|_{\mathcal{F}_+^{\mathrm b}}=\sup_{h\geqslant 0}\| f(h)\|_{E}$, а если $\mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}}=L_{p}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;E)$, то $\mathcal{F}_+^{\mathrm b}=L_{p}^{\mathrm b}(\mathbb{R}_+;E)$ с нормой $\| f\|_{\mathcal{F}_+^{\mathrm b}}=\bigl( \sup_{h\geqslant 0}\int_{h}^{h+1}\| f(s)\|_{E}^{p}\, ds\bigr)^{1/p}$. Отметим, что $\mathcal{F}_+^{\mathrm b}\subseteq \Theta_+^{\mathrm{loc}}$. Банахово пространство $\mathcal{F}_+^{\mathrm b}$ необходимо для определения ограниченных множеств в пространстве траекторий $\mathcal{K}^+$. При построении траекторного аттрактора в $\mathcal{K}^+$ мы не рассматриваем соответствующую равномерную метрику банахова пространства $\mathcal{F}_+^{\mathrm b}$ при определении притяжения к аттрактору. Вместо этого мы используем метрику локальной сходимости $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$, которая существенно слабее. Будем предполагать, что $\mathcal{K}^+\subseteq \mathcal{F}_+^{\mathrm b}$, т. е. любая траектория $u(s)\in \mathcal{K}^+$ уравнения (1) имеет конечную норму (8). Сформулируем определения притягивающего множества и траекторного аттрактора полугруппы сдвигов $\{S(t)\}$, действующей на $\mathcal{K}^+$. Определение 1.1. Множество $\mathcal{P}\subseteq \Theta_+^{\mathrm{loc}}$ называется притягивающим множеством полугруппы сдвигов $\{S(t)\}$, действующей на $\mathcal{K}^+$, в топологии $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$, если для любого ограниченного в $\mathcal{F}_+^{\mathrm b}$ множества $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{K}^+$ множество $\mathcal{P}$ притягивает $S(t)\mathcal{B}$ при $t\to +\infty $ в топологии $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$, т. е. для любой $\varepsilon$-окрестности $O_{\varepsilon}(\mathcal{P})$ в $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$ существует $t_1\geqslant 0$ такое, что $S(t)\mathcal{B}\subseteq O_{\varepsilon}(\mathcal{P})$ при любом $t\geqslant t_1$. Свойство притяжения $\mathcal{P}$ можно сформулировать в следующей эквивалентной форме: для любого множества $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{K}^+$ ограниченного в $\mathcal{F}_+^{\mathrm b}$ и для любого $M>0$
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dist}_{\Theta_{0,M}}\bigl(\Pi_{0,M}S(t)\mathcal{B},\Pi_{0,M}\mathcal{P}\bigr)\to 0,\qquad t\to +\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dist}_{\mathcal{M}}(X,Y):=\sup_{x\in X} \operatorname{dist}_{\mathcal{M}}(x,Y)=\sup_{x\in X} \inf_{y\in Y}\rho_{\mathcal{M}}(x,y)
\end{equation*}
\notag
$$
обозначает (несимметричное) полурасстояние по Хаусдорфу от множества $X$ до множества $Y$ в метрическом пространстве $\mathcal{M}$. Определение 1.2 (см. [21]). Множество $\mathfrak{A}\subseteq \mathcal{K}^+$ называется траекторным аттрактором полугруппы сдвигов $\{S(t)\}$ на $\mathcal{K}^+$ в топологии $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$, если (i) $\mathfrak{A}$ ограничено в $\mathcal{F}_+^{\mathrm b}$ и компактно в $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$; (ii) множество $\mathfrak{A}$ строго инвариантно относительно полугруппы сдвигов: $S(t)\mathfrak{A}=\mathfrak{A}$ при всех $t\geqslant 0$; (iii) $\mathfrak{A}$ является притягивающим множеством полугруппы сдвигов $\{S(t)\}$ для $\mathcal{K}^+$ в топологии $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$, т. е. для любого $M>0$ Замечание 1.1. Используя терминологию из [20], можно сказать, что траекторный аттрактор $\mathfrak{A}$ является глобальным $(\mathcal{F}_+^{\mathrm b},\Theta_+^{\mathrm{loc}})$-аттрактором полугруппы сдвигов $\{S(t)\}$, действующей на $\mathcal{K}^+$, т. е. $\mathfrak{A}$ притягивает $S(t)\mathcal{B}$ при $t\to +\infty $ в топологии $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$, где $\mathcal{B}$ – любое ограниченное (в $\mathcal{F}_+^{\mathrm b}$) множество из $\mathcal{K}^+$: Сформулируем основные теоремы о существовании и структуре траекторного аттрактора уравнения (1). Теорема 1.1 (см. [20], [21], [44]). Пусть пространство траекторий $\mathcal{K}^+$, соответствующее уравнению (1), удовлетворяет условию (5). Предполагается, что полугруппа сдвигов $\{S(t)\}$ имеет притягивающее множество $\mathcal{P}\subseteq\mathcal{K}^+$, которое ограничено в $\mathcal{F}_+^{\mathrm b}$ и компактно в $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$. Тогда полугруппа сдвигов $\{S(t),\,t\geqslant 0\}$, действующая на $\mathcal{K}^+$, имеет траекторный аттрактор $\mathfrak{A}\subseteq \mathcal{P}$. Множество $\mathfrak{A}$ ограничено в $\mathcal{F}_+^{\mathrm b}$ и компактно в $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$. Опишем структуру траекторного аттрактора $\mathfrak{A}$ уравнения (1) в терминах полных траекторий этого уравнения. Рассмотрим уравнение (1) на всей числовой оси времени
$$
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial t}=A(u),\qquad t\in \mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Мы уже определили пространство траекторий $\mathcal{K}^+$ уравнения (9) на $\mathbb{R}_+$. Теперь распространим это определение на всю ось $\mathbb{R}$. Если функция $f(s)$, $s\in\mathbb{R}$, задана на всей оси времени, то сдвиги $S(h)f(s)=f(s+h)$ также определены при отрицательных $h$. Функция $u(s)$, $s\in \mathbb{R}$, называется полной траекторией уравнения (9), если $\Pi_+u(s+h)\in \mathcal{K}^+$ при любом $h\in \mathbb{R}$. Здесь $\Pi_+=\Pi_{0,\infty}$ обозначает оператор ограничения на полуось $\mathbb{R}_+$. Мы ввели пространства $\mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}},\mathcal{F}_+^{\mathrm b}$ и $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$. Аналогичным образом определяются пространства $\mathcal{F}^{\mathrm{loc}}$, $\mathcal{F}^{\mathrm b}$ и $\Theta^{\mathrm{loc}}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{F}^{\mathrm{loc}} &:=\{f(s),\, s\in \mathbb{R}\mid \Pi_{t_1,t_2}f(s)\in \mathcal{F}_{t_1,t_2}\ \forall\, [t_1,t_2]\subseteq \mathbb{R}\}; \\ \mathcal{F}^{\mathrm b} &:=\{f(s)\in \mathcal{F}^{\mathrm{loc}}\mid \| f\|_{\mathcal{F}^{\mathrm b}}<+\infty \}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\| f\|_{\mathcal{F}^{\mathrm b}}:=\sup_{h\in \mathbb{R}}\| \Pi_{0,1}f(h+s)\|_{\mathcal{F}_{0,1}}.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Топологическое пространство $\Theta^{\mathrm{loc}}$ совпадает (как множество) с $\mathcal{F}^{\mathrm{loc}}$, и по определению $f_k(s)\to f(s)$ $(k\to \infty)$ в $\Theta^{\mathrm{loc}}$, если $\Pi_{t_1,t_2}f_k(s)\to \Pi_{t_1,t_2}f(s)$ $(k\to \infty)$ в $\Theta_{t_1,t_2}$ при любом $[t_1,t_2]\subseteq \mathbb{R}$. Ясно, что $\Theta^{\mathrm{loc}}$ является метрическим пространством также, как и $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$. Определение 1.3. Ядро $\mathcal{K}$ в пространстве $\mathcal{F}^{\mathrm b}$ уравнения (9) есть объединение всех полных траекторий $u(s)$, $s\in\mathbb{R}$, уравнения (9), ограниченных в $\mathcal{F}^{\mathrm b}$ по норме (10): Теорема 1.2. Пусть выполнены условия теоремы 1.1. Тогда Множество $\mathcal{K}$ компактно в $\Theta^{\mathrm{loc}}$ и ограничено в $\mathcal{F}^{\mathrm b}$. Полное доказательство приведено в [21], [44]. При доказательстве того, что некоторый шар из $\mathcal{F}_+^{\mathrm b}$ является компактным в $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$, нами будет использоваться лемма 1.1. Пусть $E_0$ и $E_1$ – банаховы пространства такие, что $E_1\subset E_0$. Рассмотрим банаховы пространства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W_{p_1,p_0}(0,M;E_1,E_0)&=\{\psi(s),\, s\in 0,M\mid \psi(\,{\cdot}\,)\in L_{p_1}(0,M;E_1), \\ &\qquad\qquad\psi'(\,{\cdot}\,)\in L_{p_0}(0,M;E_0)\}, \\ W_{\infty,p_0}(0,M;E_1,E_0)&=\{\psi(s),\, s\in 0,M\mid \psi(\,{\cdot}\,)\in L_{\infty}(0,M;E_1), \\ &\qquad\qquad\psi'(\,{\cdot}\,)\in L_{p_0}(0,M;E_0)\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(где $p_1\geqslant 1$ и $p_0>1$), с нормами
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \| \psi \|_{W_{p_1,p_0}}& :=\biggl( \int_0^M\| \psi (s)\|_{E_1}^{p_1}\, ds\biggr)^{1/p_1} +\biggl( \int_0^M\| \psi'(s)\|_{E_0}^{p_0}\, ds\biggr)^{1/p_0}, \\ \| \psi \|_{W_{\infty,p_0}}& :=\operatorname{ess\,sup} \{\|\psi(s)\|_{E_1}\mid s\in [0,M]\} +\biggl( \int_0^M\| \psi'(s)\|_{E_0}^{p_0}\, ds\biggr)^{1/p_0}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1.1 (Обэна–Лионса–Симона, см. [46]). Предположим, что $E_1\Subset E\subset E_0$. Тогда следующие вложения компактны: В следующих параграфах будут изучаться системы уравнений реакции–диффузии и их траекторные аттракторы, зависящие от малого параметра $\varepsilon >0$. Определение 1.4. Будем говорить, что траекторные аттракторы $\mathfrak{A}_{\varepsilon}$ сходятся к траекторному аттрактору $\overline{\mathfrak{A}}$ при $\varepsilon\to 0$ в топологическом пространстве $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$, если для любой окрестности $\mathcal{O}(\mathfrak{A})$ в $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$ найдется $\varepsilon_1\geqslant 0$ такое, что $\mathfrak{A}_{\varepsilon}\subseteq \mathcal{O}(\overline{\mathfrak{A}})$ при любом $\varepsilon<\varepsilon_1$, т. е. для любого $M>0$ § 2. Обозначения и постановка задачиПусть $\Omega$ – ограниченная область в $\mathbb{R}^n$, $n\geqslant 3$, содержащая точку $0$, с кусочно гладкой границей $\partial\Omega$. Пусть $G_0$ – область, принадлежащая $Y=(-1/2, 1/2)^n$, такая, что $\overline{G}_0$ является компактом диффеоморфным шару. Пусть $\delta>0$ и $Z$ – некоторое множество, введем следующее обозначение: $\delta Z=\{x\colon \delta^{-1}x\in Z\}$. Предположим, что $\varepsilon>0$ достаточно мало, чтобы Для $j\in\mathbb{Z}^n$ определим
$$
\begin{equation*}
P^j_\varepsilon=\varepsilon j, \qquad Y^j_\varepsilon=P^j_\varepsilon+\varepsilon Y, \qquad G^j_\varepsilon=P^j_\varepsilon+\varepsilon^{n/{(n-2)}}G_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим область $\widetilde{\Omega}_\varepsilon=\{x\in\Omega\colon \rho(x, \partial\Omega)>\sqrt{n}\,\varepsilon\}$ и множество допустимых индексов
$$
\begin{equation*}
\Upsilon_\varepsilon=\bigl\{j\in\mathbb{Z}^n\colon G^j_\varepsilon \cap \overline{\widetilde{\Omega}}_\varepsilon\neq\varnothing\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $|\Upsilon_\varepsilon|\cong d\varepsilon^{-n}$, где $d>0$ – некоторая постоянная. Рассмотрим область
$$
\begin{equation*}
{\Omega}_\varepsilon=\Omega\setminus\overline{G}_\varepsilon,\quad \text{где}\quad G_\varepsilon=\bigcup_{j\in \Upsilon_\varepsilon} G^j_\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Введем следующие обозначения для цилиндрических областей:
$$
\begin{equation*}
Q_\varepsilon=\Omega_\varepsilon\times (0,+\infty), \qquad Q=\Omega\times(0,+\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
Мы будем изучать асимптотическое поведение траекторных аттракторов следующей начально-краевой задачи:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} &\frac{\partial u_\varepsilon}{\partial t} =\lambda\Delta u_\varepsilon- a\biggl(x, \frac x\varepsilon\biggr)f(u_\varepsilon) +g\biggl(x, \frac x\varepsilon\biggr), &\quad x&\in \Omega_\varepsilon, \\ &\frac{\partial u_\varepsilon}{\partial \nu} +\varepsilon^{n/(n-2)} B^j_\varepsilon(x) u_\varepsilon =0, &\quad x&\in \partial G^j_\varepsilon,\ j\in \Upsilon_\varepsilon,\ t\in(0,+\infty), \\ &u_\varepsilon =0, &\quad x&\in \partial\Omega, \\ &u_\varepsilon= U(x), &\quad x&\in\Omega_\varepsilon,\ t=0, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{13}
$$
где $u_\varepsilon(x,t)=(u^1_\varepsilon,\dots, u^N_\varepsilon)^\top$ – неизвестная вектор-функция, $f=(f^1,\dots, f^N)^\top$ – известная нелинейная функция, $g=(g^1,\dots,g^N)^\top$ – известная функция правых частей, и $\lambda$ – матрица размерности $N\times N$ с постоянными коэффициентами, имеющая положительную симметричную часть: $(\lambda+\lambda^{\top})/2 \geqslant \beta I$ (здесь $\beta>0$, а $I$ – единичная матрица порядка $N$), $\nu$ – вектор единичной внешней нормали к границам областей $G^j_\varepsilon$. Функция $a(x,y)\in C(\overline{\Omega} \times \mathbb{R}^n)$ такая, что $0<a_0 \le a(x,y) \le A_0$ с некоторыми постоянными $a_0$, $A_0$. Предполагается, что функция $a_\varepsilon(x)=a(x,x/\varepsilon)$ имеет среднее $\overline{a}(x)$ при $\varepsilon \to 0+$ в пространстве $L_{\infty,*w}(\Omega)$, т. е.
$$
\begin{equation}
\int_{\Omega}a\biggl(x, \frac x\varepsilon\biggr)\varphi(x)\, dx \to \int_{\Omega}\overline{a}(x)\varphi(x)\, dx,\qquad \varepsilon \to 0+,
\end{equation}
\tag{14}
$$
для любой функции $\varphi\in L_1(\Omega)$. Для вектор-функции $g(x,y)$ предполагается, что при любом $\varepsilon>0$ функции $g^i_\varepsilon(x)=g^i(x,x/\varepsilon)\in H^{-1}(\Omega)$ и имеют средние $\overline{g}^{\,i}(x)$ в пространстве $V'=H^{-1}(\Omega)$ при $\varepsilon \to 0+$, т. е.
$$
\begin{equation*}
g^i\biggl(x, \frac x\varepsilon\biggr) \rightharpoondown \overline{g}^{\,i}(x) \qquad (\varepsilon \to 0+) \quad \text{слабо в }V'
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation}
\int_{\Omega}g^i\biggl(x, \frac x\varepsilon\biggr) \varphi(x)\, dx\to\int_{\Omega}\overline{g}^{\,i}(x)\varphi(x)\, dx,\qquad \varepsilon \to 0+,
\end{equation}
\tag{15}
$$
для любой функции $\varphi\in V=H_0^1(\Omega)$ и для всех $i=1,\dots, N$. Из условия (15) следует, что нормы функций $g^i_\varepsilon(x)$ равномерно ограничены по $\varepsilon$ в пространстве $V'$:
$$
\begin{equation}
\|g^i_\varepsilon(x)\|_{-1}\leqslant M_0\quad \forall\, \varepsilon\in (0,1].
\end{equation}
\tag{16}
$$
В граничных условиях (13) матрица $B_\varepsilon^j(x)$ является диагональной, причем на ее диагонали стоят ограниченные элементы
$$
\begin{equation*}
b^{11}\biggl(x, \frac{x-P^j_\varepsilon}{\varepsilon^{n/(n-2)}}\biggr),\ \dots,\ b^{NN}\biggl(x, \frac{x-P^j_\varepsilon}{\varepsilon^{n/(n-2)}}\biggr),\qquad j\in \Upsilon_\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
где $b^{kk}(x,y)\in C(\Omega \times \mathbb{R}^n)$ – 1-периодические по $y$ функции такие, что с некоторыми постоянными $b_0$, $B_0$ для всех $k=1, \dots, N$. Обозначим также вектор
$$
\begin{equation*}
\overline B(x,y):=\bigl(b^{11}(x,y), \dots, b^{NN}(x,y)\bigr)^\top,
\end{equation*}
\notag
$$
а диагональную матрицу с элементами $b^{11}(x,y), \dots,b^{NN}(x,y)$ обозначим через $B(x,y)$. Предполагается, что вектор-функция $f(v) \in C(\mathbb{R}^N;\mathbb{R}^N)$ удовлетворяет следующим неравенствам:
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^N|f^i(v)|^{p_i/{(p_i-1)}}\leqslant C_0\biggl(\sum_{i=1}^N|v^i|^{p_i}+1\biggr),\qquad 2\leqslant p_1\leqslant \dots \leqslant p_{N-1}\leqslant p_{N},
\end{equation}
\tag{18}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^N\gamma_i|v^i|^{p_i}-C\leqslant \sum_{i=1}^N f^i(v)v^i\quad \forall\, v\in \mathbb{R}^N,
\end{equation}
\tag{19}
$$
где $\gamma_i>0$ для всех $i=1, \dots, N$. Неравенство (18) связано с тем, что в реальных системах уравнений реакции–диффузии функции $f^i(u)$ являются многочленами с возможно различными степенями. Неравенство (19) называется условием диссипативности для системы уравнений реакции–диффузии (13). В простом модельном случае $p_i\equiv p$ для всех $i=1, \dots, N$, условия (18) и (19) сводятся к следующим неравенствам:
$$
\begin{equation}
|f(v)| \leqslant C_0(|v|^{p-1}+1),\quad \gamma |v|^p-C\leqslant f(v)v\qquad \forall\, v\in \mathbb{R}^N.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Заметим, что выполнение условия Липшица для функции $f(v)$ относительно переменной $v$ не предполагается. Замечание 2.1. Излагаемыми методами можно также исследовать системы, у которых нелинейные члены имеют вид $\sum_{j=1}^m a_j(x,x/\varepsilon) f_j(u)$, где $a_j$ – матрицы, элементы которых допускают усреднения, а $f_j(u)$ – векторы-многочлены по $u$, которые удовлетворяют условиям вида (18), (19). Для краткости мы изучим случай $m=1$ и $a_1(x,x/\varepsilon) =a(x,x/\varepsilon) I$, где $I$ – единичная матрица. Рассмотрим некоторые примеры функций, удовлетворяющих условиям усредняемости (14) и (15). Обоснование можно найти в работе [36]. Пример 2.1. Пусть функция $a(x,y)\in C(\overline{\Omega} \times \mathbb{R}^n)$ является периодической по каждому аргументу $y_k$, $k=1,\dots,n$, с периодом $1$. Тогда свойство (14), очевидно, выполнено для функции $a(x, x/\varepsilon)$, причем среднее где $\mathbb{T}^{n}=\mathbb{R}^{n}\ (\operatorname{mod} 1)$ – $n$-мерный тор. Пусть вектор-функция $g(x,y)\in C(\mathbb{R}^n;H^{-1}(\Omega))$ также является $1$-периодической со значениями в $H^{-1}(\Omega)$ по каждому аргументу $y_k$, $k=1,\dots,n$. Свойство (15) выполнено для $g(x, x/\varepsilon)$ со средним Пример 2.2. Пусть функции $a(x,y)$ и $g(x,y)$ являются квазипериодическими в соответствующих пространствах, что, к примеру, для $a(x,y)$ означает существование непрерывной функции которая является $1$-периодической по каждому аргументу $\xi_{ij}$ и такая, что где $\{\alpha_{ij}\}_{j=1,\dots,k_i}^{i=1,\dots,n}$ – некоторые рационально независимые вещественные числа. Аналогичные формулы должны выполняться для компонентов вектор-функции $g(x,y)$. Средняя функция $\overline{a}(x)$ получается усреднением функции $A(x,\,\cdot\,)$ по всем торам $\mathbb{T}^{k_1}\times \dots \times\mathbb{T}^{k_n}$: Множество $\overline{\Omega }\times \mathbb{T}^{k_1}\times \dots \times \mathbb{T}^{k_n}$ компактно. Поэтому функция $a(x,y)$ – равномерно непрерывна по $x$:
$$
\begin{equation}
|a(x_1,y)-a(x_2,y)|\leqslant \alpha (|x_1-x_2|)\quad\forall\, x_1,x_2\in \overline{\Omega},\quad \forall\, y\in \mathbb{R}^n,
\end{equation}
\tag{23}
$$
где $\alpha (s)\to 0$ $(s\to 0+)$ и $\alpha (s)$ не зависит от $y$. Пример 2.3. Рассмотрим функцию $a(x,y)\in C_b(\overline{\Omega} \times \mathbb{R}^n)$, удовлетворяющую условию (23). Пусть также функция $a(x,y)$ является почти периодической по $y$ в смысле Бора, т. е. существуют квазипериодические функции $a_N(x,y)\in C_b(\overline{\Omega}\times \mathbb{R}^n)$ (см. (21)), которые удовлетворяют (23) с одной и той же функцией $\alpha(s)$, и такие, что Аналогично строятся примеры вектор-функций $g(x,y)$, являющихся почти периодическими функциями со значениями в $H^{-1}(\Omega)$, для которых функция $g(x,x/\varepsilon)$ допускает усреднение по $\varepsilon$. Отметим, что во всех рассмотренных примерах допускаются вектор-функции
$$
\begin{equation*}
g\biggl(x, \frac x\varepsilon\biggr)=G_0\biggl( x,\frac x\varepsilon \biggr) +\sum_{i=1}^n\partial_{x_i}G_i\biggl( x,\frac x\varepsilon \biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $G_i(x,y)\in C(\mathbb{R}^n;L_2(\Omega))$ являются периодическими, квазипериодическими или почти периодическими функциями со значениями в пространстве $L_2(\Omega)$ и имеют средние $\overline G_i(x)\in L_2(\Omega)$, $i=0,1,\dots,n$. Следовательно, возможен неограниченный рост $L_2(\Omega)$-норм функций
$$
\begin{equation*}
\partial_{x_i}G_i\biggl( x,\frac x\varepsilon \biggr) =G_{ix_i}\biggl( x,\frac x\varepsilon \biggr) +\frac 1\varepsilon\, G_{iy_i}\biggl( x,\frac x\varepsilon \biggr)\quad \text{при}\quad \varepsilon \to 0{+}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эти функции ограничены лишь в пространстве $H^{-1}(\Omega)$. Введем обозначения для пространств $\mathbf{H}:=[L_2(\Omega)]^N$, $\mathbf{H_\varepsilon}:=[L_2(\Omega_\varepsilon)]^N$, $\mathbf{V}:=[H_0^1(\Omega)]^N$, $\mathbf{V}_\varepsilon:=[H^1(\Omega_\varepsilon;\partial\Omega)]^N$ – множество вектор-функций из $[H^1(\Omega_\varepsilon)]^N$ с нулевым следом на $\partial\Omega$. Нормы в этих пространствах определяются соответственно
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \| v\|^2 &:=\int_{\Omega}\sum_{i=1}^N|v^i(x)|^2\, dx, &\qquad \|v\|^2_\varepsilon &:=\int_{\Omega_\varepsilon}\sum_{i=1}^N|v^i(x)|^2\, dx, \\ \| v\|_1^2 &:=\int_{\Omega}\sum_{i=1}^N|\nabla v^i(x)|^2\, dx, &\qquad \|v\|_{1\varepsilon}^2 &:=\int_{\Omega_\varepsilon}\sum_{i=1}^N|\nabla v^i(x)|^2\, dx. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $\mathbf{V}':=[H^{-1}(\Omega)]^N$ – двойственное пространство к пространству $\mathbf{V}$, и $\mathbf{V}'_\varepsilon$ – двойственное пространство к $\mathbf{V}_\varepsilon$. Пусть $q_i=p_i/{(p_i-1)}$ для всех $i=1,\dots, N$. Будем использовать следующие векторные обозначения: $\mathbf{p}=(p_1, \dots,p_N)$ и $\mathbf{q}=(q_1, \dots, q_N)$, а также определим пространства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbf{L}_\mathbf{p} :=L_{p_1}(\Omega)\times\dots\times L_{p_N}(\Omega), \qquad \mathbf{L}_{\mathbf{p},\varepsilon}:=L_{p_1}(\Omega_\varepsilon)\times\dots\times L_{p_N}(\Omega_\varepsilon), \\ \begin{aligned} \, \mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{L}_{\mathbf{p}}) &:=L_{p_1}(\mathbb{R}_+;L_{p_1}(\Omega))\times\dots\times L_{p_N}(\mathbb{R}_+;L_{p_N}(\Omega)), \\ \mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{L}_{\mathbf{p},\varepsilon}) &:=L_{p_1}(\mathbb{R}_+;L_{p_1}(\Omega_\varepsilon))\times\dots\times L_{p_N}(\mathbb{R}_+;L_{p_N}(\Omega_\varepsilon)). \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Как и в [21], [48], будем исследовать слабые решения начально-краевой задачи (13)
$$
\begin{equation*}
u_\varepsilon(x,t)\in \mathbf{L}_\infty^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{H}_\varepsilon) \cap \mathbf{L}_2^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{V}_\varepsilon)\cap \mathbf{L}_{\mathbf{p}}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{L}_{\mathbf{p},\varepsilon}),
\end{equation*}
\notag
$$
которые удовлетворяют задаче (13) в смысле обобщенных функций, т. е. имеет место интегральное тождество
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &-\int_{Q_\varepsilon} u_\varepsilon \cdot\frac{\partial\psi}{\partial t} \, dx\, dt+ \int_{Q_\varepsilon} \lambda\nabla u_\varepsilon \cdot\nabla \psi\, dx\, dt+ \int_{Q_\varepsilon} a_\varepsilon(x) f(u_\varepsilon)\cdot\psi\, dx\,dt \nonumber \\ &\qquad+\varepsilon^{n/(n-2)}\sum_{j\in\Upsilon_\varepsilon} \int_0^{+\infty} \int_{\partial G^j_\varepsilon} B^j_\varepsilon (x) u_\varepsilon \cdot\psi\, d\omega\, dt =\int_{Q_\varepsilon} g_\varepsilon(x)\cdot\psi\, dx\, dt \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
$$
для любых функций $\psi\in \mathbf{C}_0^\infty(\mathbb{R}_+;\mathbf{V}_\varepsilon\cap \mathbf{L}_{\mathbf{p},\varepsilon})$. Здесь $y_1\cdot y_2$ означает скалярное произведение векторов $y_1, y_2\in\mathbb{R}^N$. Через $d\omega$ обозначается элемент $(n-1)$-мерного объема на границах $\partial G^j_\varepsilon$. Если $u_\varepsilon(x,t)\in \mathbf{L}_{\mathbf{p}}(0,M;\mathbf{L}_{\mathbf{p},\varepsilon})$, то из условия (18) следует, что $f(u(x,t))\in \mathbf{L}_{\mathbf{q}}(0,M;\mathbf{L}_{\mathbf{q},\varepsilon})$. В то же время, если $u_\varepsilon(x,t)\in \mathbf{L}_2(0,M;\mathbf{V}_\varepsilon)$, то $\lambda\Delta u_\varepsilon(x,t)+g_\varepsilon(x) \in \mathbf{L}_2(0,M;\mathbf{V}'_\varepsilon)$. Поэтому для произвольного слабого решения $u_\varepsilon(x,s)$ задачи (13) имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial u_\varepsilon(x,t)}{\partial t}\in \mathbf{L}_{\mathbf{q}}(0,M;\mathbf{L}_{\mathbf{q}, \varepsilon})+\mathbf{L}_2(0,M;\mathbf{V}'_\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Из теоремы вложения Соболева следует, что
$$
\begin{equation*}
\mathbf{L}_{\mathbf{q}}(0,M;\mathbf{L}_{\mathbf{q},\varepsilon}) +\mathbf{L}_2(0,M;\mathbf{V}'_\varepsilon)\subset \mathbf{L}_{\mathbf{q}}(0,M;\mathbf{H}^{-\mathbf{r}}_\varepsilon),
\end{equation*}
\notag
$$
где пространство $\mathbf{H}^{-\mathbf{r}}_\varepsilon:=H^{-r_1}(\Omega_\varepsilon)\times\dots\times H^{-r_N}(\Omega_\varepsilon)$, $\mathbf{r}=(r_1,\dots,r_N)$, и показатели $r_i=\max \{1,n(1/{q_i}-1/2)\}$ при $i=1,\dots, N$. Здесь $H^{-r}(\Omega_\varepsilon)$ обозначает пространство, сопряженное к пространству Соболева $H^{r}(\Omega_\varepsilon)$ с показателем $r>0$ в перфорированной области $\Omega_\varepsilon$. Следовательно, для любого слабого решения $u_\varepsilon(x,t)$ задачи (13) ее производная по времени $\partial u_\varepsilon(x,t)/\partial t\in \mathbf{L}_{\mathbf{q}}(0,M;\mathbf{H}^{-\mathbf{r}}_\varepsilon)$. Замечание 2.2. Существование слабого решения $u(x,t)$ задачи (13) для любой начальной функции $U\in \mathbf{H}_\varepsilon$ и фиксированного $\varepsilon$ доказывается стандартным способом (см., например, [20], [48]). Это решение может быть не единственным, поскольку функция $f(v)$ удовлетворяет лишь условиям (18), (19) и для нее не предполагается выполнение условия Липшица относительно $v$. Следующая лемма доказывается аналогично [21; предложение XV.3.1]. Лемма 2.1. Пусть $u_{\varepsilon}(x,t)\in \mathbf{L}_2^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{V}_{\varepsilon})\cap \mathbf{L}_{\mathbf{p}}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{L}_{\mathbf{p},\varepsilon })$ – слабое решение задачи (13). Тогда (i) $u_\varepsilon\in \mathbf{C}(\mathbb{R}_+;\mathbf{H}_{\varepsilon})$; (ii) функция $\| u_{\varepsilon}(\,{\cdot}\,,t)\|^2$ является абсолютно непрерывной на $\mathbb{R}_+$, и более того
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{2}\, \frac{d}{dt}\| u_{\varepsilon}(\,{\cdot}\,,t)\|^2+\int_{\Omega_{\varepsilon}} \lambda \nabla u_{\varepsilon}(x,t)\cdot \nabla u_{\varepsilon}(x,t)\, dx +\int_{\Omega_{\varepsilon}}a_\varepsilon(x)f(u_{\varepsilon}(x,t))\cdot u_{\varepsilon}(x,t)\,dx \notag \\ &\qquad+\varepsilon^{n/(n-2)}\sum_{j\in \Upsilon_{\varepsilon}}\int_{\partial G_{\varepsilon}^j}B_{\varepsilon}^j(x)u_{\varepsilon}(x,t)\cdot u_{\varepsilon}(x,t)\, d\omega =\int_{\Omega_{\varepsilon}}g_\varepsilon(x)\cdot u_\varepsilon (x,t)\, dx \end{aligned}
\end{equation}
\tag{25}
$$
для почти всех $t\in \mathbb{R}_+$. В неравенстве (25) интегралы по границам областей $G_{\varepsilon}^j$ являются неотрицательными в силу условия (17), поэтому, проинтегрировав это дифференциальное неравенство по времени, получаем, что любое слабое решение $u(t)$ задачи (13) удовлетворяет следующим неравенствам:
$$
\begin{equation}
\| u_{\varepsilon}(t)\|^2\leqslant \| u_{\varepsilon}(0)\|^2e^{-\lambda_1\beta t}+R_1^2,
\end{equation}
\tag{26}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\beta \int_t^{t+1}\| u_{\varepsilon}(s)\|_1^2\, ds+2a_0\sum_{i=1}^{N}\gamma_i\int_t^{t+1} \|u^i_{\varepsilon}(s)\|_{L_{p_i}(\Omega_\varepsilon)}^{p_i}\, ds \\ &\qquad+2B_0\varepsilon^{n/(n-2)}\sum_{j\in \Upsilon_{\varepsilon}}\int_t^{t+1} \|u_{\varepsilon}(s)\|_{\mathbf{L}_2(\partial G_{\varepsilon}^j)}^2\, ds \leqslant \|u_{\varepsilon}(t)\|^2+R_2^2, \end{split}
\end{equation}
\tag{27}
$$
где $\lambda_1$ – это первое собственное значение оператора $-\Delta $ с нулевыми граничными условиями. Положительные величины $R_1$ и $R_2$ зависят от числа $M_0$ (см. (16)) и не зависят от $u_{\varepsilon}(0) $ и $\varepsilon$. Подробный вывод приведен в [21].
§ 3. Построение траекторного аттрактора системы реакции–диффузии в перфорированной областиВ этом параграфе будет построен траекторный аттрактор системы реакции–диффузии (13) в перфорированной области при фиксированном $\varepsilon$. В дальнейшем мы будем опускать индекс $\varepsilon$ в обозначениях решений системы (13) и функциональных пространств там, где это не вызывает разночтения. Теперь применим схему, описанную в § 1, для построения траекторного аттрактора задачи (13), которая имеет вид (1), если мы положим $E_1=\mathbf{L}_{\mathbf{p}}\cap \mathbf{V}$, $E_0=\mathbf{H}^{-\mathbf{r}}$, $E=\mathbf{H}$ и $A(u)=\lambda\Delta u-a(\,{\cdot}\,)f(u)+g(\,{\cdot}\,)$. При описании пространства траекторий $\mathcal{K}_{\varepsilon}^+$ для задачи (13) будем следовать общей схеме § 1 и определим банаховы пространства для каждого отрезка $[t_1,t_2]\in \mathbb{R}$:
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}_{t_1,t_2}:=\mathbf{L}_{\mathbf{p}}(t_1,t_2;\mathbf{L}_p)\cap \mathbf{L}_2(t_1,t_2;\mathbf{V})\cap \mathbf{L}_{\infty }(t_1,t_2; \mathbf{H})\cap \biggl\{ v \biggm| \frac{\partial v}{\partial t}\in \mathbf{L}_{\mathbf{q}}(t_1,t_2;\mathbf{H}^{-\mathbf{r}})\biggr\}
\end{equation}
\tag{28}
$$
с нормой
$$
\begin{equation}
\| v\|_{\mathcal{F}_{t_1,t_2}}:=\| v\|_{\mathbf{L}_{\mathbf{p}}(t_1,t_2; \mathbf{L}_{\mathbf{p}})} +\| v\|_{\mathbf{L}_2(t_1,t_2;\mathbf{V})}+ \|v\|_{\mathbf{L}_{\infty }(0,M;\mathbf{H})}+\biggl\| \frac{\partial v}{\partial t}\biggr\|_{\mathbf{L}_{\mathbf{q}}(t_1,t_2;\mathbf{H}^{-\mathbf{r}})}.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Очевидно, что условие (2) выполняется для нормы (29), а полугруппа сдвигов $\{S(h)\}$ удовлетворяет (3). Положив $\mathcal{D}_{t_1,t_2}=\mathbf{L}_{\mathbf{q}}(t_1,t_2;\mathbf{H}^{-\mathbf{r}})$, получаем, что $\mathcal{F}_{t_1,t_2}\subseteq \mathcal{D}_{t_1,t_2}$, а если $u(s)\in \mathcal{F}_{t_1,t_2}$, то $A(u(s))\in \mathcal{D}_{t_1,t_2}$. Далее можно рассматривать слабые решения задачи (13) как решение системы уравнений из общей схемы § 1. Определив пространство (4), получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}} &=\mathbf{L}_{\mathbf{p}}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+; \mathbf{L}_{\mathbf{p}})\cap \mathbf{L}_2^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{V})\cap \mathbf{L}_{\infty }^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{H})\,{\cap} \biggl\{ v \biggm| \frac{\partial v}{\partial t}\in \mathbf{L}^{\mathrm{loc}}_{\mathbf{q}} (\mathbb{R}_+;\mathbf{H}^{-\mathbf{r}})\biggr\}, \\ \mathcal{F}_{\varepsilon,+}^{\mathrm{loc}}&=\mathbf{L}_{\mathbf{p}}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+; \mathbf{L}_{\mathbf{p},\varepsilon})\,{\cap}\, \mathbf{L}_2^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{V_\varepsilon})\,{\cap}\, \mathbf{L}_{\infty }^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{H_\varepsilon})\,{\cap} \biggl\{ v \biggm| \frac{\partial v}{\partial t}\,{\in}\, \mathbf{L}^{\mathrm{loc}}_{\mathbf{q}} (\mathbb{R}_+;\mathbf{H_\varepsilon}^{-\mathbf{r}})\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\mathcal{K}_\varepsilon^+$ множество всех слабых решений задачи (13). Напомним, что для любой функции $U\in \mathbf{H}$ существует хотя бы одна траектория $u(\,{\cdot}\,)\in \mathcal{K}_{\varepsilon}^+$ такая, что $u(0)=U(x)$. Следовательно, пространство траекторий $\mathcal{K}_{\varepsilon}^+$ задачи (13) не пусто и достаточно велико. Ясно, что $\mathcal{K}_{\varepsilon}^+\subset \mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}}$ и пространство траекторий $\mathcal{K}_{\varepsilon}^+$ является трансляционно-инвариантным, т. е. если $u(s)\in \mathcal{K}_{\varepsilon}^+$, то и $u(h+s)\in \mathcal{K}_{\varepsilon}^+$ для любых $h\geqslant 0$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
S(h)\mathcal{K}_{\varepsilon}^+\subseteq \mathcal{K}_{\varepsilon}^+\quad \forall\, h\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, используя норму пространства $\mathbf{L}_2(t_1,t_2;\mathbf{H})$, определим метрики $\rho_{t_1,t_2}(\,{\cdot}\,,{\cdot}\,)$ в пространствах $\mathcal{F}_{t_1,t_2}$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\rho_{t_1,t_2}(u,v)=\biggl( \int_{t_1}^{t_2}\| u(s)-v(s)\|^2\, ds\biggr)^{1/2}\quad \forall\, u(\,{\cdot}\,),v(\,{\cdot}\,)\in \mathcal{F}_{t_1,t_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эти метрики порождают топологию $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$ в пространстве $\mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}}$ (соответственно $\Theta_{\varepsilon,+}^{\mathrm{loc}}$ в $\mathcal{F}_{\varepsilon,+}^{\mathrm{loc}}$). Напомним, что последовательность $\{v_k\}\subset\mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}} $ сходится к функции $v\in \mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}}$ при $k\to \infty $ в $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$, если $\|v_k(\,{\cdot}\,)-v(\,{\cdot}\,)\|_{\mathbf{L}_2(0,M;\mathbf{H})}\to 0$ $(k\to \infty)$ для любого $M>0$. Топология $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$ метризуема (см. (6)), и соответствующее метрическое пространство является полным. Мы рассматриваем топологию в пространстве траекторий $\mathcal{K}_{\varepsilon}^+$ задачи (13). Полугруппа сдвигов $\{S(t)\}$, действующая на $\mathcal{K}_{\varepsilon}^+$, непрерывна в рассматриваемой топологии $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$. Следуя общей схеме § 1, определим ограниченные множества в $\mathcal{K}_{\varepsilon}^+$, используя банаховы пространства $\mathcal{F}_+^{\mathrm b}$ (см. (7)). Ясно, что
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}_+^{\mathrm b}=\mathbf{L}_{\mathbf{p}}^{\mathrm b}(\mathbb{R}_+; \mathbf{L}_{\mathbf{p}})\cap \mathbf{L}_2^{\mathrm b}(\mathbb{R}_+;\mathbf{V})\cap \mathbf{L}_{\infty }(\mathbb{R}_+;\mathbf{H})\cap \biggl\{ v \biggm| \frac{\partial v}{\partial t}\in \mathbf{L}^{\mathrm b}_{\mathbf{q}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{H}^{-\mathbf{r}})\biggr\}
\end{equation}
\tag{30}
$$
и $\mathcal{F}_+^{\mathrm b}$ – подпространство пространства $\mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}}$. Рассмотрим полугруппу сдвигов $\{S(t)\}$ на $\mathcal{K}_{\varepsilon}^+$, $S(t)\colon \mathcal{K}_{\varepsilon}^+\to \mathcal{K}_{\varepsilon}^+$, $t\geqslant 0$. Из неравенств (26) и (27) вытекает следующее утверждение. Утверждение 3.1. Пространство траекторий $\mathcal{K}_{\varepsilon}^+$ принадлежит $\mathcal{F}_+^{\mathrm b}$, и для любой траектории $u(\,{\cdot}\,)\in \mathcal{K}_{\varepsilon}^+$ выполнены неравенства где $\sigma =\beta \lambda_1$, и числа $R_3$, $R_4$ определяются по $R_1$, $R_2$. Они не зависят от $u(0)$ и $\varepsilon $. Подробное доказательство неравенства (31) приведено в [21], а неравенство (32) следует непосредственно из (25), аналогично (27). Из неравенства (31) заключаем, что шар
$$
\begin{equation*}
\mathcal{B}_0=\{ u\in \mathcal{F}_+^{\mathrm b}\mid \| u(\,{\cdot}\,)\|_{\mathcal{F}_+^{\mathrm b}}\leqslant 2R_3\}
\end{equation*}
\notag
$$
является поглощающим множеством для полугруппы сдвигов $\{S(t)\}$ на $\mathcal{K}_{\varepsilon}^+$, т. е. для любого множества $\mathcal{B}\subset \mathcal{K}_{\varepsilon}^+$, ограниченного в $\mathcal{F}_+^{\mathrm b}$, найдется такое число $t_1=t_1(\mathcal{B})$, что $S(t)\mathcal{B}\subseteq \mathcal{B}_0$ при всех $t\geqslant t_1$. Рассмотрим множество
$$
\begin{equation*}
\mathcal{P}_{\varepsilon}=\mathcal{B}_0\cap \mathcal{K}_{\varepsilon}^+.
\end{equation*}
\notag
$$
Множество $\mathcal{P}_{\varepsilon}\subseteq\mathcal{K}_{\varepsilon}^+$ также является поглощающим, т. е.
$$
\begin{equation*}
S(t)\mathcal{P}_{\varepsilon}\subseteq \mathcal{P}_{\varepsilon}\quad \forall\, t\geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
причем $\mathcal{P}_{\varepsilon}$ равномерно (по $\varepsilon $) ограничено в пространстве $\mathcal{F}_+^{\mathrm b}$. С помощью леммы 1.1, в которой следует положить $E_1=\mathbf{V}$, $E_0=\mathbf{H}^{-\mathbf{r}}$, $E=\mathbf{H}$ и $p_1=2$, $p_0=q_{N}$, получаем следующее утверждение. Утверждение 3.2. Множество $\mathcal{P}_{\varepsilon}$ компактно в топологии $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$ и равномерно ограничено в норме $\mathcal{F}_+^{\mathrm b}$. Пусть $\mathcal{K}_{\varepsilon}$ означает ядро задачи (13), которое состоит из всех слабых решений $u(s), s\in \mathbb{R}$, ограниченных в пространстве
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}^{\mathrm b}=\mathbf{L}_{\mathbf{p}}^{\mathrm b}(\mathbb{R}; \mathbf{L}_{\mathbf{p}})\cap \mathbf{L}_2^{\mathrm b}(\mathbb{R};\mathbf{V})\cap \mathbf{L}_{\infty }(\mathbb{R};\mathbf{H})\cap \biggl\{ v \biggm| \frac{\partial v}{\partial t}\in \mathbf{L}^{\mathrm b}_{\mathbf{q}}(\mathbb{R};\mathbf{H}^{-\mathbf{r}})\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользовавшись утверждениями 3.1 и 3.2, применяем теоремы 1.1 и 1.2. Утверждение 3.3. При выполнении условий (18), (19) задача (13) имеет траекторные аттракторы $\mathfrak{A}_\varepsilon $ в топологическом пространстве $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$. Множество $\mathfrak{A}_\varepsilon $ равномерно (по $\varepsilon \in (0,1)$) ограничено в $\mathcal{F}_+^{\mathrm b}$ и компактно в $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$. Более того, ядро $\mathcal{K}_\varepsilon $ – непусто и равномерно (по $\varepsilon \in (0,1)$) ограничено в $\mathcal{F}^{\mathrm b}$. Напомним, что пространства $\mathcal{F}^{\mathrm b}_+$ и $\Theta^{\mathrm{loc}}_+$ зависят от $\varepsilon$. Отметим, что
$$
\begin{equation}
\mathfrak{A}_\varepsilon \subset \mathcal{B}_0\quad \forall\, \varepsilon \in (0,1).
\end{equation}
\tag{33}
$$
Далее покажем, что траекторный аттрактор ${\mathfrak{A}}_{\varepsilon}$ в “слабой” топологии $\Theta_+^{\mathrm{loc}}=\mathbf{L}_2^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{H})$ является также траекторным аттрактором в сильной топологии, порожденной пространствами $\mathcal{F}_{t_1,t_2}$. Обозначим через $\Theta_+^{s,\mathrm{loc}}$ топологию в $\mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}}$, которая порождена сходимостью в метрических пространствах $\mathcal{F}_{t_1,t_2}$. Таким образом, по определению последовательность $\{v_k\}\subset \mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}}$ сходится к $v\in \mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}}$ при $k\to \infty $ в $\Theta_+^{s,\mathrm{loc}}$, если $\|v_k(\,{\cdot}\,)-v(\,{\cdot}\,)\|_{\mathcal{F}_{t_1,t_2}}\to 0$ для любого $(t_1,t_2)\subset\mathbb{R}_+$ (см. (29)). Введенная топология, очевидно, является метризуемой. Теорема 3.1. Траекторный аттрактор ${\mathfrak{A}}_{\varepsilon}$ компактен в топологии $\Theta_+^{s,\mathrm{loc}}$ и притягивает ограниченные множества траекторий из $\mathcal{K}_{\varepsilon}^+$ в этой топологии, т. е. ${\mathfrak{A}}_{\varepsilon}$ является траекторным аттрактором в сильной топологии $\Theta_+^{s,\mathrm{loc}}$. Доказательство. Зафиксируем $\varepsilon >0$. Поскольку множество $\mathcal{P}_{\varepsilon}$ является поглощающим, достаточно установить, что множество $S(1)\mathcal{P}_{\varepsilon}$ компактно в сильной топологии пространства $\mathbf{L}_{\mathbf{p}}(0,M;\mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\Omega))\cap \mathbf{L}_2(0,M;\mathbf{V})$ при любом $M>0$. Заметим, что $\mathbf{L}_{\mathbf{p}}(0,M;\mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\Omega)) =\mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\Omega\times [0,M])$.
Необходимо проверить, что любая последовательность $\{u_k(t)\}\subset \mathcal{P}_{\varepsilon}$ имеет сильно сходящуюся подпоследовательность в пространстве $\mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\Omega\times [1,M])\cap \mathbf{L}_2(1,M;\mathbf{V})$ при каждом $M>0$. Множество $\mathcal{P}_{\varepsilon}$ ограничено в пространстве $\mathcal{F}_+^{\mathrm b}$. Следовательно, $\{u_k(t)\}$ ограничено в пространствах $\mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\Omega\times [0,M])$ и $\mathbf{L}_2(0,M;\mathbf{V})$. Переходя к подпоследовательности, которую мы обозначаем опять $\{u_k(t)\}$, можно считать, что $u_k(\,{\cdot}\,)\rightharpoondown \widehat{u}(\,{\cdot}\,)$ при $k\to \infty $ слабо в пространствах $\mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\Omega\times [0,M])$ и $\mathbf{L}_2(0,M;\mathbf{V})$, где $\widehat{u}(t)$ – это некоторое решение системы (13), которое принадлежит $\mathcal{P}_{\varepsilon}$. Из леммы Лионса–Маженеса (см., [49], [50]) следует, что $u_k(t)\rightharpoondown \widehat{u}(t)$ слабо в $\mathbf{H}$ при каждом $t\in [0,M]$. Кроме того, из классической теоремы вложения следует, что $u_k(\,{\cdot}\,)\to \widehat{u}(\,{\cdot}\,)$ сильно в пространстве $\mathbf{L}_2(\Omega\times [0,M])$, и $u_k(x,t)\to \widehat{u}(x,t)$ при почти всех $(x,t)\in \Omega\times [0,M]$. Заметим, из неравенства (32) вытекает, что последовательность $\{u_k(t)\}$ ограничена в пространстве $\mathbf{L}_2(\partial G_{\varepsilon}^j\times [0,M])$ при каждом $j\in\Upsilon_{\varepsilon}$. Поэтому, переходя еще раз к подпоследовательности, можно также считать, что $u_k(\,{\cdot}\,)\rightharpoondown \widehat{u}(\,{\cdot}\,)$ при $k\to \infty$ слабо в пространстве $\mathbf{L}_2(\partial G_{\varepsilon}^j\times [0,M])$ при каждом $j\in\Upsilon_{\varepsilon}$. Напомним факт из функционального анализа: если последовательность $\chi_k\rightharpoondown \widehat{\chi}$ слабо в банаховом пространстве $X$, то
$$
\begin{equation*}
\| \widehat{\chi}\|_{X}\leqslant \liminf_{k\to \infty}\| \chi_k\|_{X}
\end{equation*}
\notag
$$
(см., например, [51]). Следовательно, для слабо сходящейся последовательности траекторий $\{u_k(\,{\cdot}\,)\}$ получаем следующие предельные соотношения:
$$
\begin{equation}
\| \widehat{u}(M)\| \leqslant \liminf_{k\to \infty} \| u_k(M)\|,
\end{equation}
\tag{34}
$$
$$
\begin{equation}
\int_0^M\int_{\Omega}s\lambda\nabla \widehat{u}\cdot \nabla \widehat{u}\,dx\, ds \leqslant \liminf_{k\to \infty}\int_0^M\int_{\Omega}s\lambda\nabla u_k\cdot \nabla u_k\,dx\, ds,
\end{equation}
\tag{35}
$$
$$
\begin{equation}
\int_0^M\int_{\Omega}sa_{\varepsilon}(x)|\widehat{u}^{\,i}|^{p_i}\,dx\, ds \leqslant \liminf_{k\to \infty}\int_0^M\int_{\Omega}sa_{\varepsilon }(x)|u_k^i|^{p_i}\,dx\, ds,\qquad i=1,\dots,N,
\end{equation}
\tag{36}
$$
$$
\begin{equation}
\int_0^M\int_{\partial G_{\varepsilon}^j}sB_{\varepsilon}^j(x)\widehat{u}\cdot \widehat{u}\, d\omega\, ds \leqslant\liminf_{k\to \infty}\int_0^M\int_{\partial G_{\varepsilon}^j}sB_{\varepsilon}^j(x)u_k\cdot u_k\,d\omega\, ds, \qquad j\in\Upsilon_{\varepsilon},
\end{equation}
\tag{37}
$$
где для краткости обозначено $u_k=u_k(x,s)$ и $\widehat{u}=\widehat{u}(x,s)$. Нормы в (35)–(37) соответствуют взвешенным пространствам $\mathbf{L}_{2,s}(0,M;\mathbf{V})$, $\mathbf{L}_{\mathbf{p},sa_{\varepsilon}(x)}(\Omega\times [0,M])$ и $\mathbf{L}_{2,sB_{\varepsilon}^j(x)}(\partial G_{\varepsilon}^j\times [0,M])$ с весами $s$, $sa_{\varepsilon}(x)$ и $sB_{\varepsilon}^j(x)$ соответственно. Кроме того, квадратичная форма $\lambda y\cdot y$ при $y\in \mathbb{R}^{N}$ эквивалентна стандартной норме вектора $y$ в $\mathbb{R}^{N}$, поскольку матрица $\lambda$ имеет положительную симметричную часть. Следовательно, квадратичная форма $\int_{\Omega}\lambda\nabla v(x)\cdot \nabla v(x)\, dx$ эквивалентна норме функции $v(\,{\cdot}\,)$ в пространстве $\mathbf{V}$.
Отметим также, что слабая сходимость $u_k(\,{\cdot}\,)\rightharpoondown \widehat{u}(\,{\cdot}\,)$ имеет место во взвешенных пространствах $\mathbf{L}_{2,s}(0,M;\mathbf{V})$, $\mathbf{L}_{\mathbf{p},sa_{\varepsilon}(x)}(\Omega\times [0,M])$ и $\mathbf{L}_{2,sB_{\varepsilon}^j(x)}(\partial G_{\varepsilon}^j\times [0,M])$. Рассмотрим непрерывную скалярную функцию
$$
\begin{equation*}
F(v)=\sum_{i=1}^{N}f^i(v)v^i-\sum_{i=1}^{N}\gamma_i|v^i|^{p_i},\qquad v\in \mathbb{R}^{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $sa_{\varepsilon}(x) F(u_k(x,s))\to sa_{\varepsilon}(x) F(\widehat{u}(x,s))$ при $k\to \infty $ для почти всех $(x,t)\in \Omega\times [0,M]$, поскольку функция $F(v)$ непрерывна. Утверждается, что
$$
\begin{equation}
\int_0^M\int_{\Omega}sa_{\varepsilon}(x) F(\widehat{u}(x,t))\, dx\, ds\leqslant \liminf_{k\to \infty}\int_0^M\int_{\Omega}sa_{\varepsilon }(x) F(u_k(x,t))\, dx\, ds.
\end{equation}
\tag{38}
$$
Доказательство этого неравенства использует неравенства $F(v)+C_1\geqslant 0$, $a_{\varepsilon}(\,{\cdot}\,)\geqslant 0$ (см. (19), (17)), сходимость последовательности $\{u_k(x,s)\}$ при почти всех $(x,s)\in \Omega\times [0,M]$, а также лемму Фату об оценке сверху интеграла от предельной функции через нижний предел интегралов от сходящейся последовательности неотрицательных функций (см., например, [51]).
Напомним, что слабые решения $u_k(\,{\cdot}\,)$ и $\widehat{u}(\,{\cdot}\,)$ системы (13) удовлетворяют дифференциальному тождеству (25). Умножая это тождество на $t$, интегрируя результат по $[0,M]$ и используя определение функции $F(\,{\cdot}\,)$, получаем следующие тождества:
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}\| u_k(M)\|^2+\int_0^M\int_{\Omega}s\lambda\nabla u_k\cdot \nabla u_k\,dx\, ds +\sum_{i=1}^{N}\gamma_i\int_0^M\int_{\Omega}sa_{\varepsilon}(x)|u_k^i|^{p_i}\,dx\,ds \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+\int_0^M\int_{\Omega}sa_{\varepsilon}(x) F(u_k)\,dx\, ds+ \varepsilon^{n/(n-2)}\sum_{j\in\Upsilon_{\varepsilon}}\int_0^M\int_{\partial G_{\varepsilon}^j}sB_{\varepsilon}^j(x)u_k\cdot u_k\,d\omega\, ds \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=\frac{1}{2}\int_0^M\int_{\Omega}|u_k|^2\, dx\, ds +\int_0^M\int_{\Omega}g_{\varepsilon}(x)\cdot u_k\,dx\, ds,
\end{equation}
\tag{39}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}\| \widehat{u}(M)\|^2+\int_0^M\int_{\Omega}s\lambda\nabla \widehat{u} \cdot \nabla \widehat{u}\,dx\, ds +\sum_{i=1}^{N}\gamma_i\int_0^M\int_{\Omega}sa_{\varepsilon}(x) |\widehat{u}^{\,i}|^{p_i}\,dx\, ds \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+\int_0^M\int_{\Omega}sa_{\varepsilon}(x) F(\widehat{u})\,dx\, ds +\varepsilon^{n/(n-2)}\sum_{j\in\Upsilon_{\varepsilon}}\int_0^M\int_{\partial G_{\varepsilon}^j}sB_{\varepsilon}^j(x)\widehat{u}\cdot \widehat{u}\,d\omega\, ds \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=\frac{1}{2}\int_0^M\int_{\Omega}|\widehat{u}|^2\,dx\, ds +\int_0^M\int_{\Omega}g_{\varepsilon}(x)\cdot \widehat{u}\,dx\, ds.
\end{equation}
\tag{40}
$$
Напомним, что $u_k(\,{\cdot}\,)\to \widehat{u}(\,{\cdot}\,)$ сильно в пространстве $\mathbf{L}_2(\Omega\times [0,M])$. Следовательно, правая часть уравнения (39) стремится к правой части уравнения (40). Значит, и левая часть (39) также стремится к левой части (40). Тогда из неравенств (34)–(38) вытекает, что каждая из пяти числовых последовательностей, образующих сумму в левой части равенства (39), имеет предел при $k\to\infty $, который совпадает с соответствующей величиной, которая стоит в левой части равенства (40). В частности,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{k\to \infty }\int_0^M\int_{\Omega}s\lambda\nabla u_k\cdot \nabla u_k\, dx\, ds &=\int_0^M\int_{\Omega}s\lambda\nabla \widehat{u}\cdot \nabla \widehat{u}\,dx \,ds, \\ \lim_{k\to \infty }\int_0^M\int_{\Omega}sa_{\varepsilon}(x)|u_k^i|^{p_i}\, dx\, ds &= \int_0^M\int_{\Omega}sa_{\varepsilon}(x)|\widehat{u}^{\,i}|^{p_i}\,dx\, ds,\qquad i=1,\dots,N. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Известно, что в равномерно выпуклом банаховом пространстве $X$ слабая сходимость $\chi_k\rightharpoondown \widehat{\chi}$ элементов и сходимость их норм $\| \chi_k\|_{X}\to \| \widehat{\chi}\|_{X}$ влечет сильную сходимость $\| \chi_k-\widehat{\chi}\|_{X}\to 0$ при $k\to \infty $ (это утверждение следует из теоремы Мазура, см. [51]). Взвешенные пространства $\mathbf{L}_{2,s}(0,M;\mathbf{V})$ и $\mathbf{L}_{\mathbf{p},sa_{\varepsilon}(x)}(\Omega\times [0,M])$ являются равномерно выпуклыми. Следовательно, слабая сходимость последовательностей функций $u_k^i(\,{\cdot}\,)$ к функции $\widehat{u}(\,{\cdot}\,)$ и сходимость их норм в пространстве $\mathbf{L}_{2,s}(0,M;\mathbf{V})\cap \mathbf{L}_{\mathbf{p},sa_{\varepsilon}(x)}(\Omega\times [0,M])$ влечет сильную сходимость функций $u_k(\,{\cdot}\,)\to \widehat{u}(\,{\cdot}\,)$ в пространстве $\mathbf{L}_{2,s}(1,M;\mathbf{V})\cap \mathbf{L}_{\mathbf{p},sa_{\varepsilon}(x)}(\Omega\times [1,M])$, которая эквивалентна сильной сходимости в пространстве $\mathbf{L}_2(1,M;\mathbf{V})\cap \mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\Omega\times [1,M])$ (без весов). Мы доказали компактность множества $S(1)\mathcal{P}_{\varepsilon}$ в сильной топологии пространства $\mathbf{L}_{\mathbf{p}}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\Omega))\cap \mathbf{L}_2^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{V})$. Компактность соответствующего множества производных $\partial_tu(\,{\cdot}\,)$ в сильной топологии пространства $\mathcal{L}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+) :=\mathbf{L}_2^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{V}') +\mathbf{L}_{\mathbf{q}}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{L}_{\mathbf{q}}(\Omega))$ следует непосредственно из уравнения (13) и из непрерывности оператора Немыцкого $u\,{\mapsto}\,f(u)$, который в силу (18) действует из $\mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\Omega\,{\times}\, [0,M])$ в $\mathbf{L}_{\mathbf{q}}(\Omega\,{\times}\, [0,M])$ (см. [52]), и, значит, $a_{\varepsilon}(\,{\cdot}\,)f(u_k(x,s))\to a_{\varepsilon}(\,{\cdot}\,) f(\widehat{u}(\,{\cdot}\,))$ сильно в $\mathbf{L}_{\mathbf{q}}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{L}_{\mathbf{q}}(\Omega))$. Вместе с этим очевидно, что $\lambda\nabla u_k(\,{\cdot}\,)\to $ $\lambda\nabla \widehat{u}(\,{\cdot}\,)$ сильно в $\mathbf{L}_2^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{V}')$. Значит, из уравнения (13) заключаем, что $\partial_tu_k(\,{\cdot}\,)\to \partial_t\widehat{u}(\,{\cdot}\,)$ сильно в $\mathcal{L}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+)$. Осталось заметить, что множество $\mathcal{P}_{\varepsilon}$ принадлежит пространству $C^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{H})$ (этот факт следует из дифференциального тождества (25)), и множество $S(1)\mathcal{P}_{\varepsilon}$ компактно в $C^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{H})$. Последнее утверждение вытекает из непрерывности вложения
$$
\begin{equation*}
\mathbf{L}_2(0,M;\mathbf{V})\cap \mathbf{L}_{\mathbf{p}}(0,M;\mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\Omega)) \cap \{ \partial_tv\in \mathcal{L}(0,M)\} \subset C([0,M];\mathbf{H}),
\end{equation*}
\notag
$$
которое доказано, например, в [21]. Этим завершается доказательство теоремы 3.1. § 4. Усреднение аттракторов в задаче для уравнений реакции–диффузии в перфорированной областиВ этом параграфе изучается предельное поведение траекторных аттракторов ${\mathfrak{A}}_{\varepsilon}$ для уравнений реакции–диффузии (13) при $\varepsilon \to 0+$ и их сходимость к траекторному аттрактору соответствующего усредненного уравнения. В предельном уравнении возникает некоторый дополнительный “странный член” (потенциал). Чтобы его определить, рассмотрим следующую задачу:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} &-\Delta_y v=0, &\qquad &y\in \mathbb{R}^n\setminus G_0, \\ &\frac{\partial v}{\partial \nu_y} + B(x, y) v =\overline{B}(x, y), &\qquad &y\in \partial G_0, \\ &v\to 0, &\qquad &|y|\to \infty, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{41}
$$
где матрица $B(x,y)$ и вектор $\overline B(x,y)$ были определены выше. В этой задаче переменная $x$ играет роль медленного параметра. Определим предельный потенциал по формуле
$$
\begin{equation}
V^{kk}(x)=\int_{\partial G_0}\frac{\partial}{\partial \nu_y}v^k(x,y)\,d\omega_y, \qquad k=1, \dots, N.
\end{equation}
\tag{42}
$$
Усредненная (предельная) задача для рассматриваемой системы реакции–диффузии имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} &\frac{\partial u}{\partial t} =\lambda\Delta u-\overline{a}(x)f(u)-V(x)u +\overline{g}(x), &\qquad &x\in \Omega, \\ &u =0, &\qquad &x\in \partial\Omega, \\ &u= U(x), &\qquad &t=0, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{43}
$$
где $V(x)$ – диагональная матрица с элементами $V^{kk}(x)$, $k=1,\dots, N$. Средние функции $\overline{a}(x)$ и $\overline{g}(x)$ определены в формулах (14) и (15). Следующая лемма аналогична лемме 2.1. Лемма 4.1. Пусть $u(x,t)\in \mathbf{L}_2^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{V})\cap \mathbf{L}_{\mathbf{p}}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{L}_{\mathbf{p}})$ – слабое решение задачи (43). Тогда (i) $u\in \mathbf{C}(\mathbb{R}_+;\mathbf{H})$; (ii) функция $\| u(\,{\cdot}\,,t)\|^2$ является абсолютно непрерывной на $\mathbb{R}_+$, и, более того,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\| u(\,{\cdot}\,,t)\|^2 +\int_{\Omega}\lambda\nabla u(x,t)\cdot \nabla u(x,t)\, dx +\int_{\Omega}\overline a(x)f(u(x,t))\cdot u(x,t)\, dx \\ &\qquad+\int_{\Omega}V(x)u(x,t)\cdot u(x,t)\,dx=\int_{\Omega}\overline g(x)\cdot u(x,t)\, dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для предельной системы выполнены утверждения 3.1–3.3, а также теорема 3.1 в соответствующих пространствах $\mathcal{F}^{\mathrm{loc}}_+$ и $\Theta^{s,\mathrm{loc}}_+$ в области $\Omega$ без перфорации. Задача (43) имеет траекторный аттрактор $\overline{\mathfrak{A}}$ в пространстве траекторий $\overline{\mathcal{K}}^{\,+}$, соответствующем задаче (43), причем где $\overline{\mathcal{K}}$ – ядро задачи (43) в пространстве $\mathcal{F}^{\mathrm b}$ (в области $\Omega$ без перфорации).Сформулируем теорему об усреднении траекторных аттракторов систем реакции–диффузии в перфорированных областях и с быстрой осцилляцией коэффициентов в слабой топологии. Теорема 4.1. В топологическом пространстве $\Theta_+^{\mathrm{loc}}$ справедливо предельное соотношение Кроме того, Замечание 4.1. Функции из множеств $\mathfrak{A}_\varepsilon$ и $\mathcal{K}_\varepsilon$ заданы на перфорированных областях $\Omega_{\varepsilon}$. Однако все эти функции допускают такое продолжение внутрь отверстий, что нормы продолженных функций в пространствах $\mathbf{H}$, $\mathbf{V}$ и $\mathbf{L}_{\mathbf{p}}$ (определенных без перфорации) совпадают с соответствующими нормами в перфорированных пространствах $\mathbf{H}_{\varepsilon}$, $\mathbf{V}_{\varepsilon}$ и $\mathbf{L}_{\mathbf{p},\varepsilon}$. Поэтому в теореме 4.1 все расстояния измеряются в пространствах без перфорации с учетом продолжения внутрь отверстий. Доказательство теоремы 4.1. Ясно, что (45) влечет (44). Поэтому достаточно доказать (45), т. е. показать, что для любой окрестности $\mathcal{O}(\overline{\mathcal{K}})$ в $\Theta^{\mathrm{loc}}$ найдется число $\varepsilon_1=\varepsilon_1(\mathcal{O})>0$ такое, что
$$
\begin{equation}
\mathcal{K}_\varepsilon\subset \mathcal{O}(\overline{\mathcal{K}})\quad \text{для всех}\quad \varepsilon<\varepsilon_1.
\end{equation}
\tag{46}
$$
Проведем доказательство от противного. Предположим, что (46) неверно. Тогда найдется окрестность $\mathcal{O}'(\overline{\mathcal{K}})$ в $\Theta^{\mathrm{loc}}$, последовательности $\varepsilon_k\to 0+$ $(k\to \infty )$ и $u_{\varepsilon_k}(\,{\cdot}\,)=u_{\varepsilon_k}(s)\in \mathcal{K}_{\varepsilon_k}$ такие, что
$$
\begin{equation}
u_{\varepsilon_k}\notin \mathcal{O}'(\overline{\mathcal{K}})\quad\text{для всех}\quad k\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{47}
$$
Функции $u_{\varepsilon_k}(s)$, $s\in \mathbb{R}$, удовлетворяют уравнениям
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} &\frac{\partial u_{\varepsilon_k}}{\partial t} =\lambda \Delta u_{\varepsilon_k} -a_{\varepsilon_k}(x)f(u_{\varepsilon_k}) +g_{\varepsilon_k}(x), &\qquad x&\in \Omega_{\varepsilon_k}, \\ &\frac{\partial u_{\varepsilon_k}}{\partial \nu} +\varepsilon_k^{n/(n-2)} B^j_{\varepsilon_k}(x) u_{\varepsilon_k} =0, &\qquad x&\in \partial G^j_{\varepsilon_k},\, j\in \Upsilon_{\varepsilon_k}, \\ &u_{\varepsilon_k} =0, &\qquad x&\in \partial\Omega, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{48}
$$
на всей оси времени $t\in \mathbb{R}$.
Чтобы получить равномерную по $\varepsilon$ оценку решения, воспользуемся следующими леммами (см. [53; гл. III, § 5] и [54] соответственно). Лемма 4.2. Предположим, что является билинейной формой на $\mathbf{V}_\varepsilon$, и пусть $q(x)\geqslant0$ и $r(x)\geqslant 0$ ($q\not\equiv0$ или $r\not\equiv0$). Тогда билинейная форма $W(f,g)$ задает скалярное произведение на $\mathbf{V}_\varepsilon$, которое эквивалентно скалярному произведению В утверждении 3.3 доказано, что ядра $\mathcal{K}_{\varepsilon}$ равномерно ограничены (по $\varepsilon$) в пространстве $\mathcal{F}^{\mathrm b}$ (см. (33)). Следовательно, последовательность $\{u_{\varepsilon_k}(s)\}$ ограничена в $\mathcal{F}^{\mathrm b}$, т. е.
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \| u_{\varepsilon_k}\|_{\mathcal{F}^{\mathrm b}} &=\sup_{t\in \mathbb{R}}\| u_{\varepsilon_k}(t)\| +\sup_{t\in \mathbb{R}}\biggl(\int_t^{t+1}\| u_{\varepsilon_k}(s)\|_1^2\, ds\biggr)^{1/2} +\sup_{t\in \mathbb{R}}\|u_{\varepsilon_k}(s)\|_{\mathbf{L}_{\mathbf{p}}(t, t+1; \mathbf{L}_{\mathbf{p}})} \nonumber \\ &\qquad +\sup_{t\in \mathbb{R}}\biggl\| \frac{\partial u_{\varepsilon_k}}{\partial t}(s)\biggr\|_{\mathbf{L}_{\mathbf{q}}(t, t+1;\mathbf{H}^{-\mathbf{r}})}\leqslant C\quad \forall\, k\in \mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{50}
$$
Следовательно, найдется подпоследовательность $\{u_{\varepsilon_k'}(s)\}\subset \{u_{\varepsilon_k}(s)\}$ такая, что
$$
\begin{equation}
u_{\varepsilon_k}(s)\to \overline u(s)\quad\text{при}\quad k\to \infty \text{ в } \Theta^{\mathrm{loc}},
\end{equation}
\tag{51}
$$
где $\overline u(s)\in \mathcal{F}^{\mathrm b}$ и $\overline u(s)$ удовлетворяет (50) с той же константой $C$. Из (50) получаем, что $u_{\varepsilon_k}(s)\rightharpoonup \overline u(s)$ $(k\to\infty )$ слабо в $\mathbf{L}_2^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R};\mathbf{V})$, слабо в $\mathbf{L}_{\mathbf{p}}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R};\mathbf{L}_{\mathbf{p}})$, $*$-слабо в $\mathbf{L}_{\infty }^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{H})$ и $\partial u_{\varepsilon_k}(s)/\partial t\rightharpoonup \partial \overline u(s)/\partial t$ $(k\to \infty )$ слабо в $\mathbf{L}_{\mathbf{q},w}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R};\mathbf{H}^{-\mathbf{r}})$. Утверждается, что $\overline u(s)\in\overline{\mathcal{K}}$. Уже доказано, что $\| \overline u\|_{\mathcal{F}^{\mathrm b}}\leqslant C$. Осталось проверить, что $\overline u(s)$ является слабым решением (43). Используя (50) и (15), получаем
$$
\begin{equation}
\frac{\partial u_{\varepsilon_k}}{\partial t}-\lambda\Delta u_{\varepsilon_k} -g_{\varepsilon_k}(x) \to \frac{\partial \overline u}{\partial t}-\lambda\Delta \overline u- \overline{g}(x) \quad \text{при}\quad k\to \infty
\end{equation}
\tag{52}
$$
в пространстве $D'(\mathbb{R};\mathbf{H}^{-\mathbf{r}}_\varepsilon)$, потому что оператор производной непрерывен в пространстве обобщенных функций. Докажем, что
$$
\begin{equation}
a\biggl( x,\frac x{\varepsilon_k}\biggr) f(u_{\varepsilon_k})\rightharpoondown \overline a(x) f(\overline u\,)\quad \text{при}\quad k\to \infty
\end{equation}
\tag{53}
$$
слабо в $\mathbf{L}_{\mathbf{q},w}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R};\mathbf{L}_{\mathbf{q}})$. Зафиксируем произвольное число $M>0$. Последовательность $\{u_{\varepsilon_k}(s)\}$ ограничена в $\mathbf{L}_{\mathbf{p}}(-M,M; \mathbf{L}_{\mathbf{p},\varepsilon}) $ (см. (50)). Тогда в силу (18) последовательность $\{f(u_{\varepsilon_k}(s))\}$ ограничена в $\mathbf{L}_{\mathbf{q}}(-M,M; \mathbf{L}_{\mathbf{q},\varepsilon})$. Поскольку $\{u_{\varepsilon_k}(s)\}$ ограничена в $\mathbf{L}_2(-M,M; \mathbf{V}_\varepsilon)$ и $\{\partial_tu_{\varepsilon_k}(s)\}$ ограничена в $\mathbf{L}_{\mathbf{q}}(-M,M; \mathbf{H}^{-\mathbf{r}}_\varepsilon)$, можно предполагать, что $u_{\varepsilon_k}(s)\to \overline u(s)$ при $k\to \infty $ сильно в $\mathbf{L}_2(-M,M; \mathbf{L}_2) =\mathbf{L}_2(\Omega \times\,]{-}M,M[\,)$ и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
u_{\varepsilon_k}(x,s)\to \overline u(x,s)\quad\text{ при }k\to \infty\text{ для почти всех } (x,s)\in \Omega \times\, ]{-}M,M[.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как функция $f(v)$ непрерывна по $v\in \mathbb R$, заключаем
$$
\begin{equation}
f(u_{\varepsilon_k}(x,s))\to f(\overline u(x,s))\quad\text{при }k\to \infty \text{ для почти всех } (x,s)\in \Omega \times\, ]{-}M,M[.
\end{equation}
\tag{54}
$$
Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &a\biggl( x,\frac x{\varepsilon_k}\biggr) f(u_{\varepsilon_k})-\overline a(x) f(\overline u\,) \nonumber \\ &\qquad= a\biggl( x,\frac x{\varepsilon_k}\biggr) \bigl( f(u_{\varepsilon_k})-f(\overline u\,)\bigr)+\biggl( a\biggl( x,\frac x{\varepsilon_k}\biggr) -\overline a(x) \biggr) f(\overline u\,). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{55}
$$
Покажем, что оба слагаемых в правой части (55) сходятся к нулю при $k\to \infty $ слабо в $\mathbf{L}_{\mathbf{q}}(-M,M; \mathbf{L}_{\mathbf{q}}) =\mathbf{L}_{\mathbf{q}}(\Omega\times\, ]{-}M,M[)$. Во-первых, последовательность $a(x,x/\varepsilon_k) (f(u_{\varepsilon_k})-f(\overline u\,))$ стремится к нулю при $k\to \infty $ для почти всех $(x,s)\in \Omega \times\, ]{-}M,M[$ (см. (54)), и она ограничена в $\mathbf{L}_{\mathbf{q}}(\Omega\times\, ]{-}M,M[\,)$ (см. (17)). Применяя [50; гл. 1, § 1, лемма 1.3], заключаем, что
$$
\begin{equation*}
a\biggl( x,\frac x{\varepsilon_k}\biggr) \bigl( f(u_{\varepsilon_k})-f(\overline u\,)\bigr) \rightharpoondown 0\quad\text{при}\quad k\to \infty
\end{equation*}
\notag
$$
слабо в $\mathbf{L}_{\mathbf{q}}(\Omega \times ]{-}M,M[)$. Во-вторых, последовательность $(a(x,x/\varepsilon_k)- \overline a(x)) f(\overline u\,)$ также сходится к нулю при $k\to \infty$ слабо в $\mathbf{L}_{\mathbf{q}}(\Omega \times\, ]{-}M,M[\,)$, потому что по условию $a(x,x/\varepsilon_k) \rightharpoondown \overline a(x)$ при $k\to \infty $ $*$-слабо в $\mathbf{L}_{\infty,*w}(-M,M; \mathbf{L}_2)$ и $f(\overline u\,)\in \mathbf{L}_{\mathbf{q}}(\Omega \times\, ]{-}M,M[)$. Тем самым, (53) доказано. Следуя [55] и [56], можно доказать лемму 4.4. Лемма 4.4. Для любой функции $\varphi \in \mathbf{H}_\varepsilon$ и для всех $t$ справедливо неравенство Доказательство. Доказательство неравенства (56) проводится по той же схеме, что и в [56; лемма 2, неравенство (21)]. Умножаем уравнение задачи (41) на функцию $\varphi \in \mathbf{H}_\varepsilon$ и интегрируем по частям в области $\Omega_\varepsilon$. Вычтем и прибавим в полученное равенство слагаемое $\int_{\Omega}V(x)\overline \varphi\, dx$. Далее, переносим в левую часть равенства разность
$$
\begin{equation*}
\varepsilon^{n/(n-2)}\sum_{j\in\Upsilon_\varepsilon} \int_{\partial G^j_\varepsilon} B^j_\varepsilon(x) \varphi\, d\omega- \int_{\Omega}V(x)\overline \varphi\, dx
\end{equation*}
\notag
$$
и оцениваем ее по модулю, таким образом получая оценку (56).
Для доказательства сходимости (57), прежде всего, подставив $u_\varepsilon$ в качестве тестовой функции в (24), можно получить равномерную ограниченность
$$
\begin{equation*}
\|\nabla u_\varepsilon\|_{\mathbf{H}_\varepsilon}\le K, \qquad \sum_{j\in\Upsilon_\varepsilon} \int_{\partial G^j_\varepsilon} B^j_\varepsilon u_\varepsilon \psi\, d\omega \le K\varepsilon^{-n/(n-2)},
\end{equation*}
\notag
$$
где постоянная $K$ не зависит от $\varepsilon$.
Рассмотрим семейство операторов продолжения
$$
\begin{equation*}
P_\varepsilon \colon \mathbf{V}_\varepsilon\to\mathbf{V}
\end{equation*}
\notag
$$
таких, что $P_\varepsilon v = v$ почти всюду в $\Omega_\varepsilon$ и
$$
\begin{equation*}
\|\nabla P_\varepsilon v\|_{\mathbf{H}} \le \|\nabla v\|_{\mathbf{H}_\varepsilon}\quad \text{для любой функции } v\in \mathbf{V}_\varepsilon
\end{equation*}
\notag
$$
(подробности построения таких операторов см. в [11]).
Имея в виду предыдущее неравенство и оценку (50), заключаем, что последовательность $\widetilde u_\varepsilon = P_\varepsilon u_\varepsilon$ является ограниченной в $\mathbf{V}$. Следовательно, она слабо сходится в $\mathbf{V}$. Тогда существует функция $u\in\mathbf{V}$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\widetilde u_\varepsilon\rightharpoonup u \quad \text{в }\mathbf{V}\text{ при } \varepsilon\to0.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее будем использовать запись $u_\varepsilon$ вместо $\widetilde u_\varepsilon$.
Обозначим $T^j_r=\{ x\in \mathbb{R}^n \colon |x-P_\varepsilon^j|\le r\}$. Рассмотрим следующую вспомогательную функцию $v_\varepsilon^j$, удовлетворяющую задаче
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} &\Delta v_\varepsilon^j=0, &\qquad x&\in T^j_{\varepsilon/4}\setminus \overline{G^j_\varepsilon}, \\ &\frac{\partial v_\varepsilon^j}{\partial \nu}+\varepsilon^{n/(n-2)}B_\varepsilon^j(x) v_\varepsilon^j=\varepsilon^{n/(n-2)}\overline{B}_\varepsilon^j(x), &\qquad x&\in \partial G_\varepsilon^j, \\ &v_\varepsilon^j=0, &\qquad x&\in \partial T^j_{\varepsilon/4}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{58}
$$
Несложно показать, что
$$
\begin{equation*}
\varepsilon^{n/(n-2)}\sum_{j\in \Upsilon_\varepsilon}\int_{\partial G_\varepsilon^j} B_\varepsilon^j(x) u_\varepsilon \phi\, d\omega=- \sum_{j\in \Upsilon_\varepsilon} \int_{\partial T^j_{\varepsilon/4}} \frac{\partial v_\varepsilon^j}{\partial\nu}\, u_\varepsilon \phi\, d\omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом установлено, что
$$
\begin{equation}
\mathcal{V}_\varepsilon(x)= \begin{cases} v_\varepsilon^j(x), &x\in T^j_{\varepsilon/4}\setminus \overline{G^j_\varepsilon},\ j\in \Upsilon_\varepsilon, \\ 0, & x\in \mathbb{R}^n\setminus \overline{T^j_{\varepsilon/4}}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{59}
$$
В [55] доказывается, что
$$
\begin{equation*}
\|\mathcal{V}_\varepsilon\|^2_{\mathbf{V}_\varepsilon}\le K\varepsilon^2
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\widetilde {\mathcal{V}}_\varepsilon\rightharpoonup 0 \quad\text{слабо в }\mathbf{V}, \qquad \widetilde {\mathcal{V}}_\varepsilon\to 0 \quad\text{сильно в }\mathbf{H}\quad\text{при}\quad \varepsilon\to0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde {\mathcal{V}}_\varepsilon=P_\varepsilon \mathcal{V}_\varepsilon$.
С помощью [55; леммы 4.1, 4.2] получаем, что
$$
\begin{equation}
\biggl|\sum_{j\in \Upsilon_\varepsilon}\int_{\partial T^j_{\varepsilon/4}} \frac{\partial v_\varepsilon^j}{\partial\nu}\, h_\varepsilon\, d\omega+\int_{\Omega}V(x) h\, dx\biggr|\to 0
\end{equation}
\tag{60}
$$
при $\varepsilon\to0$ для функций $h_\varepsilon$, $h\in \mathbf{V}$, таких, что $h_\varepsilon\rightharpoonup h$ в $\mathbf{V}$.
Наконец, из (60) получается сходимость (57). Лемма 4.4 доказана. Используя (52), (53) и (57), переходя к пределу в уравнении задачи (48) при $k\to \infty$ в пространстве $D'(\mathbb{R}_+; \mathbf{H}^{-\mathbf{r}})$, получаем, что функция $\overline u(x,s)$ удовлетворяет уравнениям
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} &\frac{\partial \overline u}{\partial t} =\lambda \Delta \overline u -\overline{a}(x)f(\overline u\,)-V(x)\overline u +\overline{g}(x), &\qquad x&\in \Omega, \\ &\overline u =0, &\qquad x&\in \partial\Omega. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{61}
$$
Следовательно, $\overline u\in \overline{\mathcal{K}}$. Выше было доказано, что $u_{\varepsilon_k}(s)\to \overline u(s)$ при $k\to\infty$ в $\Theta^{\mathrm{loc}}$. Из условия $u_{\varepsilon_k}(s)\notin \mathcal{O}'(\overline{\mathcal{K}})$ следует, что $\overline u\notin \mathcal{O}'(\overline{\mathcal{K}})$ и, тем более, $\overline u\notin \overline{\mathcal{K}}$. Получено противоречие. Теорема 4.1 доказана. Используя компактные включения (11) и (12), можно усилить сходимость (44). Следствие 4.1. Для каждого $0<\delta \leqslant 1$ и для любого $M>0$ Для доказательства (62) и (63) повторим доказательство теоремы 4.1, заменяя топологию $\Theta^{\mathrm{loc}}$ на $\mathbf{L}_2^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{H}^{1-\delta })$ или $\mathbf{C}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{H}^{-\delta })$. Возникает естественный вопрос: верны ли предельные соотношения (62) и (63) при $\delta=0$? Ответ будет утвердительным при некоторых дополнительных условиях. Для простоты мы будем предполагать, что коэффициент $a_{\varepsilon}(x)$ не зависит от $\varepsilon$, т. е. функция $a(x,y)=a(x)$ не зависит от быстрой переменной $y$. Кроме того, для функции $g_\varepsilon(x)$ вместо (15) необходимо потребовать более сильное условие усреднения: при любом $\varepsilon>0$ функции $g^i_\varepsilon(x)=g^i(x,x/\varepsilon)\in L_2(\Omega)$ и имеют средние $\overline{g}^{\,i}(x)$ в пространстве $L_2(\Omega)$ при $\varepsilon \to 0+$, т. е.
$$
\begin{equation}
\int_{\Omega}g^i\biggl(x,\frac{x}{\varepsilon}\biggr)\varphi(x)\, dx\to \int_{\Omega}\overline{g}^{\,i}(x)\varphi(x)\, dx, \qquad \varepsilon \to 0+,
\end{equation}
\tag{64}
$$
для любой функции $\varphi\in L_2(\Omega)$ и для всех $i=1,\dots, N$. Для доказательства нам потребуется следующее утверждение, аналогичное лемме 4.4. Лемма 4.5. При выполнении условий леммы 4.4 имеет место предельное соотношение Замечание 4.2. Отметим, что при доказательстве основной теоремы 4.2 сходимость (65) можно заменить на более слабое неравенство Доказательство леммы 4.5. Оценим разность, вычтя и добавив соответствующие члены. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl|\varepsilon_k^{n/(n-2)}\sum_{j\in\Upsilon_{\varepsilon_k}} \int_0^M\int_{\partial G_{\varepsilon_k }^j}sB_{\varepsilon_k}^j(x)u_{\varepsilon_k}(x,s)\cdot u_{\varepsilon_k}(x,s) \,d\omega\, ds \nonumber \\ &\qquad\qquad-\int_0^M\int_{\Omega}sV(x) \overline{u}(x,s)\cdot \overline{u}(x,s)\,dx\, ds \biggr| \nonumber \\ &\qquad\le\biggl|\varepsilon_k^{n/(n-2)}\sum_{j\in\Upsilon_{\varepsilon_k}} \int_0^M\int_{\partial G_{\varepsilon_k }^j}sB_{\varepsilon_k}^j(x)u_{\varepsilon_k}(x,s)\cdot u_{\varepsilon_k}(x,s)\,d\omega\, ds \nonumber \\ &\qquad\qquad-\varepsilon_k^{n/(n-2)}\sum_{j\in\Upsilon_{\varepsilon_k}}\int_0^M \int_{\partial G_{\varepsilon_k }^j}sB_{\varepsilon_k}^j(x)\overline{u}(x,s)\cdot u_{\varepsilon_k}(x,s)\,d\omega\, ds\biggr| \nonumber \\ &\qquad+\biggl|\varepsilon_k^{n/(n-2)}\sum_{j\in\Upsilon_{\varepsilon_k}}\int_0^M \int_{\partial G_{\varepsilon_k }^j}sB_{\varepsilon_k}^j(x)\overline{u}(x,s)\cdot u_{\varepsilon_k}(x,s)\,d\omega\, ds \nonumber \\ &\qquad\qquad-\int_0^M\int_{\Omega}sV(x) \overline{u}(x,s)\cdot u_{\varepsilon_k}(x,s)\,dx\, ds \biggr| \nonumber \\ &\qquad+\biggl|\int_0^M\int_{\Omega}sV(x) \overline{u}(x,s)\cdot u_{\varepsilon_k}(x,s)\,dx\, ds \nonumber \\ &\qquad\qquad- \int_0^M\int_{\Omega}sV(x) \overline{u}(x,s)\cdot \overline{u}(x,s)\,dx\, ds \biggr|= I_1+ I_2+ I_3. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{67}
$$
Применяя неравенство Коши–Буняковского к слагаемым $I_1$ и $I_3$, имея в виду сильную сходимость $u_{\varepsilon_k}(x,s)\to \overline{u}(x,s)$ в $\mathbf{L}_2(\Omega\times [0,M])$, показываем, что $I_1\to0$ и $I_3\to0$ при $\varepsilon_k\to 0+$. Оставшееся слагаемое $I_2$ стремится к нулю по предыдущей лемме 4.4. Лемма 4.5 доказана. Сформулируем основную теорему о сходимости траекторных аттракторов системы (13) в сильной топологии $\Theta_+^{s,\mathrm{loc}}$, в которой построены траекторные аттракторы при фиксированном $\varepsilon$ (теорема 3.1). Теорема 4.2. Предположим, что коэффициент $a=a(x)$ не зависит от $\varepsilon$, а функция $g_{\varepsilon}(x)$ удовлетворяет условию (64). Тогда имеет место следующая сходимость в сильной топологии $\Theta_+^{s,\mathrm{loc}}$: Кроме того, Доказательство. Повторяя рассуждения из доказательства утверждения 4.1, строим ограниченную в $\mathcal{F}^{\mathrm b}$ последовательность $\{u_{\varepsilon_k}(s),\, s\in \mathbb{R}\}$ полных траекторий систем (13), которые сходятся в топологии $\Theta^{\mathrm{loc}}$ при $\varepsilon_k\to 0+$ к функции $\overline{u}(s)$, которая является ограниченной полной траекторией предельной (усредненной) системы (43).
Утверждается, что $u_{\varepsilon_k}(s)$ сходится к $\overline{u}(s)$ в сильной топологии $\Theta_+^{s,\mathrm{loc}}$. Чтобы проверить это, воспользуемся методом энергетических тождеств из доказательства теоремы 3.1. Достаточно проверить, что последовательность $\{u_{\varepsilon_k}(s)\}$ имеет подпоследовательность, которая сильно сходится к $\overline{u}(s)$ в пространстве $\mathbf{L}_{\mathbf{p} }(\Omega\times [-M+1,M])\cap \mathbf{L}_2(-M+1,M;\mathbf{V})$ при каждом $M>0$. Для любого фиксированного $M$, сдвигая время назад на $s=-M+s'$, можно предположить, что функции $\{u_{\varepsilon_k}(s')\}$ и $\overline{u}(s')$ определены на интервале $[0,M']$, $M'=2M$, и мы ищем подпоследовательность, которая сильно сходится в $\mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\Omega\times [1,M'])\cap \mathbf{L}_2(1,M';\mathbf{V})$. Для краткости будем опускать штрих в $s'$ и $M'$. Поскольку $\{u_{\varepsilon_k}(s)\}$ ограничены в пространствах $\mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\Omega\times [0,M])$ и $\mathbf{L}_2(0,M;\mathbf{V})$, можно предполагать, что $u_{\varepsilon_k}(\,{\cdot}\,)\rightharpoondown \overline{u}(\,{\cdot}\,)$ при $\varepsilon_k\to 0+$ слабо в пространствах $\mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\Omega\times [0,M])$ и $\mathbf{L}_2(0,M;\mathbf{V})$. Можно также считать, что $u_{\varepsilon_k}(M)\rightharpoondown \overline{u}(M)$ при $\varepsilon_k\to 0+$ слабо в $\mathbf{H}$. Аналогично (34)–(36) получаем, что
$$
\begin{equation}
\| \overline{u}(M)\| \leqslant \liminf_{k\to \infty}\| u_{\varepsilon_k}(M)\|,
\end{equation}
\tag{70}
$$
$$
\begin{equation}
\int_0^M\int_{\Omega}s\lambda\nabla \overline{u}\cdot \nabla \overline{u}\, dx\, ds \leqslant \liminf_{k\to \infty}\int_0^M\int_{\Omega}s\lambda\nabla u_{\varepsilon_k}\cdot \nabla u_{\varepsilon_k}\, dx\, ds,
\end{equation}
\tag{71}
$$
$$
\begin{equation}
\int_0^M\int_{\Omega}sa(x)|\overline{u}^{\,i}|^{p_i}\, dx\, ds \leqslant \lim\inf_{k\to \infty} \int_0^M\int_{\Omega}sa(x)|u_{\varepsilon_k}^i|^{p_i}\,dx\, ds,\qquad i=1,\dots,N,
\end{equation}
\tag{72}
$$
где для краткости обозначено $u_{\varepsilon_k}=u_{\varepsilon_k}(x,s)$ и $\overline{u}=\overline{u}(x,s)$. Кроме того, в силу леммы 4.5 выполнено соотношение (66).
Аналогично (38) получаем
$$
\begin{equation}
\int_0^M\int_{\Omega}sa(x) F(\overline{u}(x,t))\, dx\, ds\leqslant \liminf_{k\to \infty} \int_0^M\int_{\Omega}sa(x) F(u_{\varepsilon_k}(x,t))\, dx\, ds
\end{equation}
\tag{73}
$$
(напоминаем, что рассматривается случай, когда функция $a(x)$ не зависит от $\varepsilon$).
Теперь мы применяем энергетические тождества для функций $u_{\varepsilon_k}(s) $ и $\overline{u}(\,{\cdot}\,)$, и получаем аналогично (39) и (40) следующие равенства:
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}\| u_{\varepsilon_k}(M)\|^2+\int_0^M\int_{\Omega}s\lambda\nabla u_{\varepsilon_k}\cdot \nabla u_{\varepsilon_k}\, dx\, ds +\sum_{i=1}^{N}\gamma_i\int_0^M\int_{\Omega}sa(x) |u_{\varepsilon_k}^i|^{p_i}\, dx\, ds \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+\int_0^M\int_{\Omega}sa(x)F(u_{\varepsilon_k})\, dx\, ds + \varepsilon^{n/(n-2)}\sum_{j\in\Upsilon_{\varepsilon}}\int_0^M \int_{\partial G_{\varepsilon_k}^j}sB_{\varepsilon_k}^j(x)u_{\varepsilon_k }\cdot u_{\varepsilon_k }\,d\omega \, ds \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=\frac{1}{2} \int_0^M\int_{\Omega}|u_{\varepsilon_k}|^2\, dx\, ds +\int_0^M\int_{\Omega}g_{\varepsilon_k}(x)\cdot u_{\varepsilon_k}\, dx\, ds,
\end{equation}
\tag{74}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}\| \overline{u}(M)\|^2+\int_0^M\int_{\Omega}s\lambda\nabla \overline{u} \cdot \nabla \overline{u}\, dx\, ds +\sum_{i=1}^{N}\gamma_i\int_0^M\int_{\Omega}sa(x) |\overline{u}^{\,i}|^{p_i}\, dx\, ds \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+\int_0^M\int_{\Omega}sa(x) F(\overline{u})\, dx\, ds +\int_0^M\int_{\Omega}sV(x) \overline{u}(x,s)\cdot \overline{u}(x,s)\,dx\, ds \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=\frac{1}{2} \int_0^M\int_{\Omega}|\overline{u}|^2\, dx\, ds +\int_0^M\int_{\Omega}\overline{g}(x)\cdot \overline{u}\, dx\, ds.
\end{equation}
\tag{75}
$$
Рассмотрим разность
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl| \int_0^M\int_{\Omega}g_{\varepsilon_k}(x)\cdot u_{\varepsilon_k}\, dx\, ds -\int_0^M\int_{\Omega}\overline{g}(x)\cdot \overline{u}\, dx\, ds\biggr| \notag \\ &\qquad=\biggl| \int_0^M\int_{\Omega}g_{\varepsilon_k}(x)\cdot (u_{\varepsilon_k}-\overline{u}) \, dx\, ds +\int_0^M\int_{\Omega}\bigl(g_{\varepsilon_k}(x) -\overline{g}(x)\bigr) \cdot \overline{u}\, dx\, ds\biggr| \notag \\ &\qquad\leqslant \| g_{\varepsilon_k}(\,{\cdot}\,)\|_{\mathbf{L}_2}\| u_{\varepsilon_k}-\overline{u}\|_{\mathbf{L}_2}+\biggl| \int_0^M\int_{\Omega}\bigl( g_{\varepsilon_k}(x)-\overline{g}(x)\bigr) \cdot \overline{u}\, dx\, ds\biggr|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{76}
$$
Напомним, что $u_{\varepsilon_k}(\,{\cdot}\,)\to \overline{u}(\,{\cdot}\,)$ сильно в пространстве $\mathbf{L}_2(\Omega\times [0,M])$ и $g_{\varepsilon_k}(\,{\cdot}\,)\rightharpoondown \overline{g}(\,{\cdot}\,)$ слабо в $\mathbf{L}_2(\Omega\times [0,M])$ (см. (64)) и, значит, $g_{\varepsilon_k}(\,{\cdot}\,)$ равномерно ограничено в $\mathbf{L}_2(\Omega\times [0,M])$. Следовательно, оба слагаемых в (76) стремятся к нулю и, тем самым,
$$
\begin{equation}
\int_0^M\int_{\Omega}g_{\varepsilon_k}(x)\cdot u_{\varepsilon_k}\, dx\, ds\to \int_0^M\int_{\Omega}\overline{g}(x)\cdot \overline{u}\, dx\, ds\quad \text{при} \quad \varepsilon_k\to 0{+}.
\end{equation}
\tag{77}
$$
Таким образом, правая часть уравнения (74) стремится к правой части уравнения (75), и тогда левая часть уравнения (74) также стремится к левой части уравнения (75). Объединяя это наблюдение с неравенствами (70)–(73) и (66), заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \lim_{k\to \infty }\| u_{\varepsilon_k}(M)\|^2 =\|\overline{u}(M)\|^2, \\ \lim_{k\to \infty }\int_0^M\int_{\Omega}s\lambda\nabla u_{\varepsilon_k}\cdot \nabla u_{\varepsilon_k}\, dx\, ds =\int_0^M\int_{\Omega}s\lambda\nabla \overline{u}\cdot \nabla \overline{u}\, dx\, ds, \\ \lim_{k\to \infty }\int_0^M\int_{\Omega}sa(x)|u_{\varepsilon_k}^i|^{p_i}\, dx\, ds =\int_0^M\int_{\Omega}sa(x)|\overline{u}^{\,i}|^{p_i}\, dx\, ds,\qquad i=1,\dots,N, \\ \lim_{k\to \infty }\int_0^M\int_{\Omega}sa(x)F(u_{\varepsilon_k})\, dx\, ds =\int_0^M\int_{\Omega}sa(x) F(\overline{u})\, dx\, ds, \\ \begin{aligned} \, &\lim_{k\to \infty}\varepsilon^{n/(n-2)}\sum_{j\in\Upsilon_{\varepsilon}}\int_0^M \int_{\partial G_{\varepsilon_k}^j}sB_{\varepsilon_k}^j(x)u_{\varepsilon_k }\cdot u_{\varepsilon_k }\,d\omega \, ds \\ &\qquad =\int_0^M\int_{\Omega}sV(x) \overline{u}(x,s)\cdot \overline{u}(x,s)\,dx\, ds. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для завершения доказательства воспользуемся рассуждениями из конца доказательства теоремы 3.1 и получим, что $u_{\varepsilon_k}(\,{\cdot}\,)\to \overline{u}(\,{\cdot}\,)$ сильно в пространстве $\mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\Omega\times [0,M])\cap \mathbf{L}_2(0,M;\mathbf{V})\cap C([0,M];\mathbf{H})$ и $\partial_tu_{\varepsilon_k}(\,{\cdot}\,)\to \partial_t\overline{u}(\,{\cdot}\,)$ сильно в пространстве $\mathcal{L(}0,M)$ при $\varepsilon_k\to 0+$. Мы доказали (69), а значит, и (68). Теорема 4.2 доказана. Замечание 4.3. Теорема 4.2 справедлива также и в более общем случае, когда коэффициент $a_{\varepsilon}(x)$ зависит от $\varepsilon$ и удовлетворяет условию усредняемости (14). Наконец, рассмотрим системы уравнений реакции–диффузии, для которых имеет место теорема единственности в задаче Коши. Для этого достаточно предположить, что нелинейный член $f(u)$ в системе (13) удовлетворяет условию
$$
\begin{equation}
(f(v_1)-f(v_2),\, v_1-v_2) \geqslant -C|v_1-v_2|^2\quad\forall\, v_1,v_2\in \mathbb{R}^{N}
\end{equation}
\tag{78}
$$
(см. [21], [48]). В [48] было доказано, что если выполнено (78), то системы (13) и (43) порождают динамические полугруппы в $\mathbf{H}$, имеющие глобальные аттракторы $\mathcal{A}_{\varepsilon}$ и $\overline{\mathcal{A}}$, ограниченные в пространстве $\mathbf{V}=\mathbf{H}_0^1(\Omega)$ (см. также [20], [22]). При этом выполнены равенства
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}_{\varepsilon}=\{u(0)\mid u\in \mathfrak{A}_{\varepsilon}\},\qquad \overline{\mathcal{A}}=\{u(0)\mid u\in \overline{\mathfrak{A}}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Сходимость (63) в этом случае влечет следствие 4.2. Следствие 4.2. В условиях теоремы 4.2 имеет место предельное соотношение 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BekCheChe22} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|