| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Об интеграле Ютилы в проблеме круга М. А. Королёвa, Д. А. Поповb a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва b Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Научно-исследовательский институт физико-химической биологии имени А. Н. Белозерского
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9211 
Реферативные базы данных:
    Светлой памяти профессора Александара Ивича (6.3.1949–27.12.2020) § 1. ВведениеДля произвольного $x\geqslant 1$ обозначим через $\Delta(x)$ разность где $\tau(n)$ – количество делителей целого $n\geqslant 1$, а $\gamma$ – постоянная Эйлера. Помимо классической проблемы делителей Дирихле, которая состоит в доказательстве оценки $\Delta(x) = O(x^{1/4+\varepsilon})$ ($x\to +\infty$, $\varepsilon>0$ – сколь угодно малое фиксированное число), имеется ряд других нерешенных задач, связанных с поведением функции $\Delta(x)$. В их числе – гипотеза М. Ютилы1, согласно которой при $x\to +\infty$ и любом $U$, $1\leqslant U\ll \sqrt{x}$, выполняется оценка Доказательство (1) является, по-видимому, очень трудной задачей: известно, например, что из (1) следует решение проблемы делителей.В качестве характеристики поведения разности $\Delta(x+U)-\Delta(x)$ “в среднем” Ютила ввел в [2] интеграл
$$
\begin{equation}
\mathcal{Q}_{\Delta}=\mathcal{Q}_{\Delta}(X;H,U) =\int_{X}^{X+H}\bigl(\Delta(x+U)-\Delta(x)\bigr)^2\, dx,
\end{equation}
\tag{2}
$$
и в случае, когда параметры подчинены условиям $1\leqslant U\ll \sqrt{X}\ll H\leqslant X$, получил для него явную формулу. Ее следствием явилась правильная по порядку двусторонняя оценка
$$
\begin{equation}
\mathcal{Q}_{\Delta}\asymp HU\biggl(\log{\frac{\sqrt{X}}{U}}\biggr)^3,
\end{equation}
\tag{3}
$$
которая справедлива при дополнительном условии $HU\gg X^{1+\varepsilon}$. Из (3), в частности, следует, что гипотеза Ютилы верна “для почти всех” $x$. Относительно связи результатов М. Ютилы с проблемой круга см. [1] и [3]. В настоящей работе мы рассматриваем аналог величины $\mathcal{Q}_{\Delta}$ для функции $P(t)$, т. е. величину
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Q}_{P}=\mathcal{Q}_{P}(T;H,U)=\int_{T}^{T+H}\bigl(P(t+U)-P(t)\bigr)^2\, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $P(t)$ – остаточный член в проблеме круга, т. е. разность где $r(n)$ – количество представлений $n$ суммой двух квадратов целых чисел. Так как результаты работы [2], относящиеся к $\Delta(x)$, опираются на так называемую усеченную формулу Вороного–Харди2, то они (с очевидными изменениями) переносятся на величину $P(t)$. Верно и обратное: все приводимые ниже результаты о $P(t)$ можно перенести на случай функции $\Delta(x)$. Приведем формулировку теоремы Ютилы для величины $P(t)$. Теорема Ютилы. Пусть $T\to +\infty$, и пусть $1\leqslant U \ll \sqrt{T}\ll H\leqslant T$. Тогда Замена третьей степени логарифма в (3) на первую в (5) связана с различием в поведении средних значений величин $\tau^2(n)$ и $r^2(n)$, а именно:
$$
\begin{equation*}
\sum_{n\leqslant x}\tau^2(n)\sim\frac{1}{\pi}x(\log{x})^3,\qquad \sum_{n\leqslant t}r^2(n)\sim 4t\log{t}.
\end{equation*}
\notag
$$
Введем “корреляционную функцию”
$$
\begin{equation*}
\mathcal{K}_{P}=\mathcal{K}_{P}(T;H,U)=\int_{T}^{T+H}P(t+U)P(t)\, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Из определения $\mathcal{Q}_{P}$ легко заключить, что
$$
\begin{equation}
2\mathcal{K}_{P}(T;H,U)=I(T+U,H)+I(T,H)-\mathcal{Q}_{P}(T;H,U),
\end{equation}
\tag{6}
$$
где – второй момент функции $P(t)$ на промежутке $T\leqslant t\leqslant T+H$. Асимптотика второго момента $P(t)$ на промежутке $0\leqslant t\leqslant T$ была впервые найдена Э. Ландау:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \int_0^{T}P^2(t)\,dt=\frac{A}{3\pi^2}T^{3/2}+O(T^{1+\varepsilon}), \\ A=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}} =\frac{16\zeta^2(3/2)L^2(3/2,\chi_4)}{\zeta(3)(1+2^{-3/2})} =50.1560561426\dots \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8}
$$
(оценка остаточного члена в (8) впоследствии неоднократно уточнялась; подробнее см. [4]). Аналог формулы (8) для $I(T,H)$ в случае $\sqrt{T}(\ln{T})^2=o(H)$, $H = o(T)$ имеет вид (см. лемму 9 настоящей работы). Из (4), (6) и (9) следует, что в случае $U\geqslant T^{2\varepsilon}$, $U = o(\sqrt{T})$ и $T^{1+\varepsilon}U^{-1}\leqslant H = o(T)$ для корреляционной функции справедлива следующая асимптотическая формула:
$$
\begin{equation}
\mathcal{K}_{P}(T;H,U)=\frac{A}{2\pi^2}H\sqrt{T}\bigl(1+o(1)\bigr).
\end{equation}
\tag{10}
$$
Определяя величину $k_{P}(T;H,U)$ равенством
$$
\begin{equation*}
k_{P}(T;H,U)=\frac{2\pi^2}{H\sqrt{T}}\mathcal{K}_{P}(T;H,U),
\end{equation*}
\notag
$$
формуле (10) можно придать следующий вид: В то же время, применяя к интегралу $\mathcal{K}_{P}(T;H,U)$ неравенство Коши наряду с асимптотикой (9), заключаем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, |k_{P}(T;H,U)|\leqslant \frac{2\pi^2}{H\sqrt{T}}\sqrt{I(T,H)}\,\sqrt{I(T+U,H)}=A+o(1), \\ -A+o(1)\leqslant k_{P}(T;H,U)\leqslant A+o(1) \end{gathered}
\end{equation}
\tag{12}
$$
при любых $T$, $H$ и $U$ с условиями $H, U = o(T)$, $\sqrt{T}(\ln{T})^2 = o(H)$. Таким образом, формулы (10) и (12) означают, что при всех малых $U$, $T^{\varepsilon}\ll U = o(\sqrt{T})$, и достаточно больших $H$ корреляционная функция принимает наибольшее возможное значение. Это вполне согласуется с “наивным” пониманием величины $\mathcal{K}_{P}$ как меры независимости $P(t)$ и $P(t+U)$, рассматриваемых как случайные величины: если $U$ мало, то $P(t)$ и $P(t+U)$ “сильно” зависимы и их корреляция велика3. В статье [2] отмечено, что в случае $U\gg \sqrt{X}$ величины $\Delta(x+U)$ и $\Delta(x)$ должны вести себя уже как независимые случайные величины и потому исследование интеграла $\mathcal{Q}_{\Delta}(X;H,U)$ уже не представляет интереса. Подобное суждение можно было бы вынести и относительно функций $\mathcal{Q}_{P}$ и $\mathcal{K}_{P}$. Однако анализ поведения $\mathcal{Q}_{P}$ и $\mathcal{K}_{P}$ в случае больших $U$, $U\gg \sqrt{T}$, показывает, что их поведение оказывается более сложным, чем это можно было бы ожидать. В частности, оказывается, что помимо “барьера” для $U$ порядка $\sqrt{T}$, при переходе через который в корне меняется поведение $\mathcal{Q}_{P}$, важную роль начинает играть отношение $\varkappa = HU/T^{3/2}$. Так, если оно ограничено снизу положительной постоянной, то корреляционная функция $\mathcal{K}_{P}$ уже не достигает своего максимального положительного значения (теорема 1). Это отвечает интуитивно ожидаемому эффекту “ослабления” зависимости между $P(t)$ и $P(t+U)$. В случае “средних значений” $\varkappa$ существуют пары $H, U$, для которых $\mathcal{K}_{P}$ максимально близко к верхней границе, а также пары $H, U$, для которых $\mathcal{K}_{P}$ максимально близко к предполагаемой неулучшаемой нижней границе (теорема 2). Наконец, в случае, когда отношение $\varkappa$ очень мало, устанавливаются неулучшаемые верхняя и нижняя границы для $\mathcal{K}_{P}$ (последняя отлична от указанной в (10)), причем доказывается, что при заданных $T$ и $H$ близость $\mathcal{K}_{P}$ к верхней и нижней границам, а также близость ее абсолютной величины к нулю имеют место на множествах значений $U$ положительной меры (теоремы 3–5). В случае малых $\varkappa$ также удается доказать существование пар $H, U$ таких, при которых корреляционная функция принимает аномально малые по модулю значения (теорема 6). Перейдем теперь к точным формулировкам основных результатов статьи. Теорема 1. Пусть $\varepsilon_0>0$ – произвольная постоянная, $T\to +\infty$, $H,U = o(T)$, $\sqrt{T}(\log T)^2 = o(H)$, $\sqrt{T} = o(U)$, и пусть $\varkappa = HU/T^{3/2}\geqslant \varepsilon_0$ при $T\,{\geqslant}\, T_0(\varepsilon_0)$. Пусть, далее, Тогда справедливо неравенство причем величину $\delta$ можно взять равной $A - 4B/(\pi\varepsilon_0)$ в случае $\varepsilon_0\geqslant 1$ и равной $A(\pi\varepsilon_0)^2/128$ в случае $0<\varepsilon_0<1$. Теорема 2. Пусть $\varepsilon_0, \varepsilon_1$ – достаточно малые абсолютные постоянные, $D = D(T)$ – сколь угодно медленно возрастающая при $T\to+\infty$ неограниченная функция такая, что Теорема 3. Пусть $\varepsilon$ – сколь угодно малое фиксированное число, $D = D(T)$ – сколь угодно медленно возрастающая при $T\to+\infty$ неограниченная функция, $H, V = o(T)$, $\sqrt{T} = o(V)$, $\sqrt{T}(\log T)^2 = o(H)$, и пусть при $T\geqslant T_0(\varepsilon)$ выполняются неравенства Тогда существуют постоянная $c = c(\varepsilon)>0$ и множество $\mathcal{E}\subset (V,2V)$ с мерой $\operatorname{mes}(\mathcal{E})>cV$ такие, что для всякого $U\in \mathcal{E}$ будет выполнено неравенство Теорема 4. В условиях теоремы 3 существуют постоянная $c = c(\varepsilon)>0$ и множества $\mathcal{E}_1, \mathcal{E}_2\subset (V,2V)$ с мерами $\operatorname{mes}(\mathcal{E}_j)>cV$ такие, что для всякого $U_j\in \mathcal{E}_j$ будут выполнены неравенства Теорема 5. Пусть $T\geqslant T_0$, $D = D(T)\leqslant T^{1/6}$ – сколь угодно медленно возрастающая монотонная и неограниченная при $T\to +\infty$ функция, и пусть $H = o(T)$, $\sqrt{T}(\log T)^2 = o(H)$, $U\leqslant T/(4D^2)$, $\sqrt{T} = o(U)$. Тогда справедливы неравенства Теорема 6. Пусть $0<\delta<1/6$ – произвольная постоянная, $T\geqslant T_0(\delta)$, и пусть $\sqrt{T}(\log T)^3\leqslant H\leqslant T^{1-2\delta}$. Тогда существует $U$ с условиями $\sqrt{T}\log{T}\leqslant U\leqslant T^{1/2+\delta}$ такое, что где постоянная в знаке $O$ абсолютная. Это утверждение означает существование таких $U$, при которых величина $\mathcal{Q}_{P}=\mathcal{Q}_{P}(T;H,U)$ “аномально” мала. Более точно, имеет место следующее утверждение. Следствие 1. Для величин $T$, $H$ и $U$ из теоремы 6 справедлива оценка где постоянная в знаке $\ll$ абсолютная. Из асимптотической формулы (8) следует существование неограниченной последовательности значений $t_{k}$, $k = 1,2,\dots$, такой, что $|P(t_{k})|\gg t_{k}^{1/4}$. Иначе говоря, оценка $P(t) = o(t^{1/4})$ при $t\to +\infty$ не может иметь места4. Второе следствие теоремы 6 утверждает, однако, существование таких (достаточно больших) $U$, что для “почти всех” $t$ из промежутка $T\leqslant t\leqslant T+H$ значения $P(t)$ и $P(t+U)$ отличаются не более чем на $o(t^{1/4})$. Следствие 2. При указанных в теореме 6 значениях $T$, $H$ и $U$ для всех $t$ из промежутка $T\leqslant t\leqslant T+H$, за исключением значений из множества меры $\ll H(\log\log{T})^{-1/2}$, выполнено равенство Обозначения: через $\theta, \theta_1, \theta_2,\dots, \theta',\theta_1',\dots$ обозначаются некоторые комплексные числа, не превосходящие по абсолютной величине единицы, в разных соотношениях, вообще говоря, разные; $c_1, c_2, \dots$ – абсолютные постоянные, в разных соотношениях разные; через $h(n)$ обозначается мультипликативная функция, определяемая равенствами где $\chi_4$ – неглавный характер Дирихле по модулю $4$.§ 2. Леммы о тригонометрических интегралахПусть величины $T$, $H$, $U$, $N$ удовлетворяют условиям
$$
\begin{equation*}
T\geqslant T_0,\qquad H,U = o(T),\qquad \sqrt{T}(\log T)^2=o(H),\qquad N = \frac{T}{4U}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть, далее, $\lambda,\mu>0$. Введем следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \kappa_1(\lambda)=\int_{T}^{T+H}\sqrt{t}\,e^{2\pi i\lambda\sqrt{t}}\,dt,\qquad \kappa_2(\lambda)=\int_{T}^{T+H}\sqrt{t}\,e^{2\pi i\lambda\sqrt{t+U}}\,dt, \\ \omega_1(\lambda,\mu)=\int_{T}^{T+H}\sqrt{t}\,e^{2\pi i(\lambda\sqrt{t+U}+\mu\sqrt{t})}\,dt, \\ \omega_2(\lambda,\mu)=\int_{T}^{T+H}\sqrt{t}\,e^{2\pi i(\lambda\sqrt{t+U}-\mu\sqrt{t})}\,dt. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Интегралы такого типа возникают при вычислении интегралов Ютилы $\mathcal{Q}_{\Delta}$, $\mathcal{Q}_{P}$, и их оценки (для определенных значений параметров $\lambda$ и $\mu$) были найдены в [2]. Ввиду труднодоступности работы [2] и удобства читателя мы приводим доказательства оценок $\kappa_j(\lambda)$, $\omega_j(\lambda,\mu)$, отличные от приведенных в упомянутой статье и опирающиеся лишь на вторую теорему о среднем (см., например, [6; п. 306]). Доказательство. Заменой $v = \lambda\sqrt{t}$ интеграл $\kappa_1(\lambda)$ приводится к виду
$$
\begin{equation*}
\frac{2}{\lambda^3}\int_{v_1}^{v_2}g_1(v)e^{2\pi iv}\,dv,\qquad g_1(v)=v^2,\quad v_1=\lambda\sqrt{T},\quad v_2=\lambda\sqrt{T+H}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя к вещественной и мнимой частям последнего интеграла вторую теорему о среднем, при некоторых $v_3$, $v_4$ с условиями $v_1\leqslant v_2$, $v_3\leqslant v_4$ будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \kappa_1(\lambda) &=\frac{2}{\lambda^3}g_1(v_2)\biggl(\int_{v_1}^{v_3}\cos(2\pi v)\, dv+i\int_{v_1}^{v_4}\sin(2\pi v)\, dv\biggr) \\ &=\frac{g_1(v_2)}{\pi\lambda^3}\bigl(\sin(2\pi v_3)-\sin(2\pi v_1)+i(\cos(2\pi v_1)-\cos(2\pi v_4))\bigr) \\ &=\frac{g_1(v_2)}{\pi\lambda^3}\bigl(ie^{2\pi iv_1}+\sin(2\pi v_3)-i\cos(2\pi v_4)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
|\kappa_1(\lambda)|\leqslant \frac{g_1(v_2)}{\pi\lambda^3}(1+\sqrt{2}) =\frac{1+\sqrt{2}}{\pi}\,\frac{T+H}{\lambda}<\frac{4T}{5\lambda}.
\end{equation*}
\notag
$$
Той же заменой интеграл
$$
\begin{equation*}
\kappa_2(\lambda)=\int_{T_1}^{T_1+H}\sqrt{t-U}\,e^{2\pi i\lambda\sqrt{t}}\,dt,\qquad T_1=T+U,
\end{equation*}
\notag
$$
приводится к виду Поскольку $g_2(v)$ возрастает, то из второй теоремы о среднем находим Лемма доказана. Доказательство. Сделаем в интеграле замену $v = v(t) = \lambda\sqrt{t+U}+\mu\sqrt{t}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\frac{dv}{dt}=\frac{\lambda\sqrt{t}+\mu\sqrt{t+U}}{2\sqrt{t}\sqrt{t+U}},\qquad \frac{dt}{dv}=\frac{2\sqrt{t}\sqrt{t+U}}{\lambda\sqrt{t}+\mu\sqrt{t+U}},
\end{equation*}
\notag
$$
так что $\omega_1(\lambda,\mu)$ принимает вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_{v_1}^{v_2}f(v)e^{2\pi iv}\,dv, \\ f(v)=\sqrt{t}\,\frac{dt}{dv}=\frac{2t\sqrt{t+U}}{\lambda\sqrt{t}+\mu\sqrt{t+U}},\qquad v_1 = v(T),\qquad v_2 = v(T+H). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Несложно проверить, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{df}{dt} &=\frac{2\lambda\sqrt{t}(t+0.5U)+2\mu(t+U)^{3/2}}{\sqrt{t+U}(\lambda\sqrt{t}+\mu\sqrt{t+U})^2}, \\ \frac{df}{dv} &=\frac{df}{dt}\frac{dt}{dv}=4\sqrt{t}\, \frac{\lambda\sqrt{t}(t+0.5U)+\mu(t+U)^{3/2}}{(\lambda\sqrt{t}+\mu\sqrt{t+U})^3}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $f(v)$ возрастает с ростом $v$. Применяя вторую теорему о среднем, найдем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\omega_1(\lambda,\mu)| &\leqslant \frac{f(v_2)}{2\pi}\,(1+\sqrt{2})=\frac{1+\sqrt{2}}{2\pi}\, \frac{2(T+H)\sqrt{T+H+U}}{\lambda\sqrt{T+H}+\mu\sqrt{T+H+U}} \\ &<\frac{1+\sqrt{2}}{\pi}\,\frac{\sqrt{T+H}\sqrt{T+H+U}}{\lambda+\mu}<\frac{4T}{5(\lambda+\mu)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось. Лемма доказана. Лемма 3. Пусть $1\leqslant m<n$ – целые числа, причем $m\leqslant N$, и пусть $(\lambda,\mu)$ – любая из пар $(\sqrt{m},\sqrt{n})$, $(\sqrt{n},\sqrt{m})$. Тогда имеет место оценка Доказательство. Положим $v = v(t) = \lambda\sqrt{t+U}-\mu\sqrt{t}$ и обозначим
$$
\begin{equation*}
u_1 = v(T), \qquad u_2 = v(T+H), \qquad v_1 = \min{(u_1,u_2)}, \qquad v_2 = \max{(u_1,u_2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Этой заменой интеграл приводится к виду
$$
\begin{equation*}
\omega_2(\lambda,\mu)=\int_{u_1}^{u_2}g(v)e^{2\pi iv}dv,\qquad g(v)=\sqrt{t}\,\frac{dt}{dv}=\frac{2\sqrt{t}\sqrt{t+U}}{\lambda\sqrt{t}-\mu\sqrt{t+U}},\quad t = t(v).
\end{equation*}
\notag
$$
Выражение для производной $dg/dt$ получается из найденного в лемме 2 переменой знака $\mu$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\frac{dg}{dv}=4\sqrt{t}\,\frac{P}{Q^3},\quad\text{где}\quad P = \lambda\sqrt{t}(t+0.5U)-\mu(t+U)^{3/2},\quad Q = \lambda\sqrt{t}-\mu\sqrt{t+U}.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что $g(v)$ – возрастающая функция параметра $v$. Для этого достаточно убедиться, что выражения $P$ и $Q$ имеют один знак. Действительно, пусть $\lambda = \sqrt{m}$, $\mu = \sqrt{n}$. Тогда при любом $t$, $T\leqslant t\leqslant T+H$, имеем
$$
\begin{equation}
-Q=\mu\sqrt{t+U}-\lambda\sqrt{t}\geqslant \sqrt{t}(\mu-\lambda)\geqslant \sqrt{T}(\sqrt{n}-\sqrt{m})>0,\qquad Q<0.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Аналогично,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, -P &=\mu(t+U)^{3/2}-\lambda\sqrt{t}(t+0.5U)>\mu(t+U)^{3/2}-\lambda\sqrt{t}(t+U) \\ &=-(t+U)Q>0,\qquad P<0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь $\lambda = \sqrt{n}$, $\mu = \sqrt{m}$. Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Q &=\sqrt{nt}-\sqrt{m(t+U)}=\frac{nt-m(t+U)}{\sqrt{nt}+\sqrt{m(t+U)}} =\frac{(n-m)t-mU}{\sqrt{nt}+\sqrt{m(t+U)}} \notag \\ &\geqslant \frac{T(n-m)-NU}{\sqrt{nt}+\sqrt{m(t+U)}}\geqslant \frac{T(n-m-1/4)}{(\sqrt{n}+\sqrt{m})\sqrt{T+H+U}} \notag \\ &\geqslant \frac{T}{4\sqrt{T+H+U}}\,\frac{n-m}{\sqrt{n}+\sqrt{m}} \geqslant \frac{\sqrt{T}}{5}(\sqrt{n}-\sqrt{m}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14}
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
P=\sqrt{nt}(t+0.5U)-\sqrt{m}(t+U)^{3/2} =\frac{nt(t+0.5U)^2-m(t+U)^3}{\sqrt{nt}(t+0.5U)+\sqrt{m}(t+U)^{3/2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая $\delta = U/t$, числитель последней дроби представим произведением $t^3R$, где $R = n(1+0.5\delta)^2-m(1+\delta)^3$. Замечая, что
$$
\begin{equation*}
\delta \leqslant \frac{U}{T}=\frac{1}{4N}\leqslant \frac{1}{4m}\leqslant \frac{1}{4},
\end{equation*}
\notag
$$
будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R &=n-m+(\delta n - 3\delta m)+\biggl(\frac{\delta^2}{4}n-\delta^3m\biggr)-3\delta^2m\geqslant n-m-2\delta m-3\delta^2m \\ &\geqslant n-m-3\delta m\geqslant n-m-\frac{3}{4}\geqslant \frac{1}{4}(n-m)>0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $P>0$. Итак, $g(v)$ – возрастающая функция $v$. Из неравенств (13), (14) также следует, что производная
$$
\begin{equation*}
\frac{dv}{dt}=\frac{\lambda\sqrt{t}-\mu\sqrt{t+U}}{2\sqrt{t}\sqrt{+U}}
\end{equation*}
\notag
$$
отрицательна в случае $\lambda = \sqrt{m}$, $\mu = \sqrt{n}$ и положительна в случае $\lambda = \sqrt{n}$, $\mu = \sqrt{m}$. Таким образом, полагая $\varepsilon = -1$ в первом случае и $\varepsilon = 1$ во втором, находим
$$
\begin{equation*}
\omega_2(\lambda,\mu)=\varepsilon\int_{v_1}^{v_2}g(v)e^{2\pi iv}\, dv.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя к вещественной и мнимой частям последнего интеграла вторую теорему о среднем и замечая, что получаем что и требовалось. Лемма доказана. § 3. Явная формула для $\mathcal{K}_{P}$ и ее следствияВ настоящем параграфе мы выводим аналог формулы (4) для интеграла Ютилы. Этот вывод опирается на так называемую усеченную формулу Вороного–Харди (лемма 4), а также на оценки некоторых сумм, содержащих функцию $r(n)$ (лемма 5). Отметим, что использование глубокого результата Ф. Чамизо о среднем значении величины $r(n)r(n+k)$ (лемма 6) позволяет в итоге сэкономить степень логарифма в оценке суммы леммы 7 и, как следствие, в оценках остаточных членов формул лемм 8, 10–12. Последнее, в свою очередь, влияет на нижнюю границу параметра $H$ в следствии леммы 8 и в последующих утверждениях5. Здесь же доказывается асимптотическая формула для второго момента $P(t)$ на промежутке $T\leqslant t\leqslant T+H$ (лемма 8), которая необходима для получения явной формулы для корреляционной функции $\mathcal{K}_{P}$ (леммы 12, 13). Лемма 4. При $t\to +\infty$ и любом $N\geqslant 1$ справедлива формула где Доказательство. Эта формула выводится с помощью тех же рассуждений, что и усеченная формула Вороного для $\Delta(x)$ в [7; § 3.12]. Последняя доказывается с остаточным членом порядка $N^{\varepsilon} + t^{\varepsilon}\sqrt{t/N}$. Но соответствующие рассуждения допускают требуемое уточнение в силу неравенства которое справедливо при любом $c>\log{2}$. Лемма доказана. Лемма 5. При $X\to +\infty$ справедливы следующие соотношения: Доказательство. Первое соотношение (в более точной форме) было установлено В. Серпинским в 1908 г. [8] (также см. [9]). Второе и третье неравенства получаются из него с помощью преобразования Абеля. Для доказательства двух последних оценок следует рассмотреть при $\operatorname{Re} s >1$ ряд Дирихле
$$
\begin{equation*}
F(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{h^2(n^2)}{n^{s}}=\prod_{p}F_{p}(s),\qquad F_{p}(s)=1+\frac{h^2(p^{2s})}{p^{s}}+\frac{h^2(p^{2s})}{p^{2s}} +\frac{h^2(p^{6s})}{p^{3s}}+\cdots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Несложная проверка показывает, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_{p}(s) &=\biggl(1-\frac{1}{p^{s}}\biggr)^{-1}\quad\text{при}\quad p\not\equiv 1\ (\operatorname{mod}4), \\ F_{p}(s) &=1+\frac{3^2}{p^{s}}+\frac{5^2}{p^{2s}}+\frac{7^2}{p^{3s}}+\cdots= \frac{1+6p^{-s}+p^{-2s}}{(1-p^{-s})^3} =\biggl(1-\frac{1}{p^{s}}\biggr)^{-9}\biggl(1-\frac{20}{p^{2s}} \\ &\qquad+\frac{64}{p^{3s}}-\frac{90}{p^{4s}}+\frac{64}{p^{5s}}-\frac{20}{p^{6s}} +\frac{1}{p^{8s}}\biggr) \quad\text{при}\quad p\equiv 1\ (\operatorname{mod}4). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда можно заключить, что $F(s) = \zeta^5(s)\Phi(s)$, где функция $\Phi(s)$ аналитична в области $\operatorname{Re} s > 1/2$. Стандартным применением метода комплексного интегрирования отсюда выводим асимптотическое равенство где $P_4(u)$ – некоторый полином четвертой степени, $0<c<1$. Искомые оценки получаются из этой асимптотики преобразованием Абеля. Лемма доказана. Лемма 6. Пусть $k$, $N$ – целые числа, $1\leqslant k \ll N$, и пусть $2^r\parallel k$. Тогда имеет место оценка где $\sigma(d)$ – сумма делителей $d$, а постоянная в знаке $\ll$ абсолютная. Это есть следствие 5.3 из работы [10]. Доказательство. Обозначая сумму через $S(\nu)$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
S(\nu)\ll \sum_{1\leqslant m<n\leqslant \nu}\frac{r(m)}{m^{3/4}}\,\frac{r(n)}{n^{1/4}}\,\frac{1}{n-m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $S_1(\nu)$ – вклад в правую часть от $m\leqslant n/2$. Очевидно,
$$
\begin{equation*}
S_1(\nu)\ll \sum_{n\leqslant \nu}\frac{r(n)}{n^{5/4}}\sum_{m\leqslant n/2}\frac{r(m)}{m^{3/4}}\ll \sum_{m\leqslant \nu}\frac{r(n)}{n}\ll \log{\nu}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть, далее, $S_2(\nu)$ – вклад от слагаемых с условием $n/2<m\leqslant n-1$. Тогда, полагая $n = m+k$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_2(\nu) &\ll \sum_{1\leqslant m\leqslant \nu}\,\sum_{m+1\leqslant n\leqslant 2m}\frac{r(m)r(n)}{m(n-m)}\ll \sum_{1\leqslant m\leqslant \nu}\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{km}\,r(m)r(m+k) \\ &\ll \sum_{1\leqslant k\leqslant \nu}\frac{1}{k}\sum_{k\leqslant m\leqslant \nu}\frac{1}{m}\,r(m)r(m+k). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Внутреннюю сумму разобьем на промежутки вида $M<m\leqslant M_1$, где $M_1\leqslant 2M$, $k\leqslant M\leqslant \nu/2$. Тогда в силу леммы 6 получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_2(\nu) &\ll \sum_{k\leqslant \nu}\frac{1}{k}\mathop{{\sum}'}_{M}\frac{1}{M}\sum_{M<m\leqslant M_1}r(m)r(m+k)\ll \sum_{k\leqslant \nu}\frac{1}{k}\mathop{{\sum}'}_{M}\frac{1}{M}\,\frac{2^r}{k} \, \sigma\biggl(\frac{k}{2^r}\biggr)M \\ &\ll (\log{\nu})\sum_{k\leqslant \nu}\frac{2^r}{k^2}\, \sigma\biggl(\frac{k}{2^r}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $2^r\parallel k$. Полагая $k = 2^rt$, где $t$ нечетное, найдем Лемма доказана. Доказательство. Действительно, этот интеграл преобразуется к виду
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{T}^{T+H}\sqrt{t}\sum_{m,n\leqslant T}\frac{r(m)r(n)}{(mn)^{3/4}}e^{2\pi i(\sqrt{n}-\sqrt{m})\sqrt{t}}\,dt \\ &\qquad=\biggl(\sum_{n\leqslant T}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\biggr) \int_{T}^{T+H}\sqrt{t}\,dt+\sum_{\substack{m,n\leqslant T \\ m\ne n}}\frac{r(m)r(n)}{(mn)^{3/4}}\kappa_1(\sqrt{n}-\sqrt{m}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу лемм 1 и 7 последняя сумма не превосходит по порядку
$$
\begin{equation*}
T\sum_{m<n\leqslant T}\frac{r(m)r(n)}{(mn)^{3/4}}\,\frac{1}{\sqrt{n}-\sqrt{m}}\ll T(\log T)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно лемме 5 откуда и следует утверждение леммы. Лемма доказана. Следствие 3. Пусть $T\to +\infty$, $H = o(T)$, $\sqrt{T}(\log T)^2 = o(H)$. Тогда справедлива асимптотическая формула Лемма 9. Пусть $T\to +\infty$, $\varpi(T) = (\log{T})^{3/2}\log\log{T}$, и пусть $H = o(T)$, $\sqrt{T}\,\varpi(T) = o(H)$. Тогда справедливо равенство Доказательство. Искомое соотношение является непосредственным следствием формулы
$$
\begin{equation*}
\int_0^{T}P^2(t)\, dt=\frac{A}{3\pi^2}T^{3/2}+O\bigl(T\varpi(T)\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
из работы [4]. Лемма доказана. Лемма 10. Пусть $T\to +\infty$, $H,U = o(T)$, $\sqrt{T}(\log T)^2 = o(H)$. Тогда справедливо равенство в котором Доказательство. Положим $\psi(t) = (t+U)^{1/4}-t^{1/4}$, так что $\psi(t)\ll UT^{-3/4}$ при $T\leqslant t\leqslant T+H$. Тогда в силу леммы 4 будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &P(t+U)-P(t) =-\frac{1}{\pi}(t^{1/4}+\psi(t))\sum_{n\leqslant T}\frac{r(n)}{n^{3/4}} \cos\biggl(2\pi\sqrt{n}\sqrt{t+U}+\frac{\pi}{4}\biggr) \\ &\qquad\qquad+\frac{t^{1/4}}{\pi}\sum_{n\leqslant T}\frac{r(n)}{n^{3/4}}\cos\biggl(2\pi\sqrt{n}\sqrt{t}+\frac{\pi}{4}\biggr)+ O\bigl(\varphi(T)\bigr) \\ &\qquad=-\frac{t^{1/4}}{\pi}\sum_{n\leqslant T}\frac{r(n)}{n^{3/4}} \biggl(\cos\biggl(2\pi\sqrt{n}\sqrt{t+U}+\frac{\pi}{4}\biggr) -\cos\biggl(2\pi\sqrt{n}\sqrt{t}+\frac{\pi}{4}\biggr)\biggr) \\ &\qquad\qquad-\frac{\psi(t)}{\pi}\sum_{n\leqslant T} \frac{r(n)}{n^{3/4}} \cos\biggl(2\pi\sqrt{n}\sqrt{t+U}+\frac{\pi}{4}\biggr)+O\bigl(\varphi(T)\bigr) \\ &\qquad=-(\mathcal{A}(t)+\mathcal{B}(t)+\mathcal{C}(t)), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где смысл обозначений ясен. Соответственно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathcal{Q}_{P}(T;H,U) \\ &\qquad=\int_{T}^{T+H}\bigl(\mathcal{A}^2(t)+\mathcal{B}^2(t)+\mathcal{C}^2(t)+ 2\mathcal{A}(t)\mathcal{B}(t)+2\mathcal{A}(t)\mathcal{C}(t) +2\mathcal{B}(t)\mathcal{C}(t)\bigr)\,dt \\ &\qquad=\mathcal{Q}^{(1)}+\dots+\mathcal{Q}^{(6)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, $|\mathcal{Q}^{(4)}|\leqslant 2\sqrt{\mathcal{Q}^{(1)}\mathcal{Q}^{(2)}}$, $|\mathcal{Q}^{(5)}|\leqslant 2\sqrt{\mathcal{Q}^{(1)}\mathcal{Q}^{(3)}}$, $|\mathcal{Q}^{(6)}|\leqslant 2\sqrt{\mathcal{Q}^{(2)}\mathcal{Q}^{(3)}}$. Далее, $\mathcal{Q}^{(3)}\ll H\varphi^2(T)$. Согласно следствию 3
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{Q}^{(2)} &\leqslant \frac{1}{\pi}\int_{T}^{T+H}\psi^2(t)\biggl|\sum_{n\leqslant T}\frac{r(n)}{n^{3/4}}\cos\biggl(2\pi\sqrt{n}\sqrt{t+U}+\frac{\pi}{4}\biggr)\biggr|^2\, dt \\ &\ll \frac{U^2}{T^{3/2}}\int_{T}^{T+H}\biggl|\sum_{n\leqslant T} \frac{r(n)}{n^{3/4}} \cos\biggl(2\pi\sqrt{n}\sqrt{t+U}+\frac{\pi}{4}\biggr)\biggr|^2\, dt \\ &\ll \frac{U^2}{T^2}\int_{T+U}^{T+H+U}\sqrt{t}\,\biggl|\sum_{n\leqslant T} \frac{r(n)}{n^{3/4}}\cos\biggl(2\pi\sqrt{n}\sqrt{t}+\frac{\pi}{4}\biggr)\biggr|^2\, dt \\ &\ll \frac{U^2}{T^2}\int_{T+U}^{T+U+H}\sqrt{t}\,\biggl| \sum_{n\leqslant T} \frac{r(n)}{n^{3/4}}e^{2\pi i\sqrt{n}\sqrt{t}}\biggr|^2\, dt\ll \frac{U^2}{T^2}H\sqrt{T}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, грубая оценка $\mathcal{Q}^{(1)}$ дает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathcal{Q}^{(1)} \leqslant \frac{1}{\pi^2}\int_{T}^{T+H}\sqrt{t}\,\biggl|\sum_{n\leqslant T} \frac{r(n)}{n^{3/4}}\bigl(e^{2\pi i\sqrt{n}\sqrt{t+U}}-e^{2\pi i\sqrt{n}\sqrt{t}}\bigr)\biggr|^2\, dt \\ &\ \leqslant\frac{2}{\pi^2}\int_{T}^{T+H}\sqrt{t}\,\biggl(\biggl|\sum_{n\leqslant T}\frac{r(n)}{n^{3/4}}e^{2\pi i\sqrt{n}\sqrt{t+U}}\biggr|^2+\biggl|\sum_{n\leqslant T}\frac{r(n)}{n^{3/4}}e^{2\pi i\sqrt{n}\sqrt{t}}\biggr|^2\biggr)\, dt\ll H\sqrt{T}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal{Q}^{(4)}\ll H\sqrt{T}\,\frac{U}{T},\qquad \mathcal{Q}^{(5)}\ll H\sqrt{T}\,\frac{\varphi(T)}{\sqrt[4]{T}}, \\ \mathcal{Q}^{(6)}\ll H\sqrt{T}\,\frac{U}{T}\,\frac{\varphi(T)}{\sqrt[4]{T}}\ll H\sqrt{T}\,\frac{\varphi(T)}{\sqrt[4]{T}}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Q}_{P}=\mathcal{Q}^{(1)}+O\biggl(H\sqrt{T}\biggl(\frac{U}{T} +\frac{\varphi(T)}{\sqrt[4]{T}}\biggr)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $N = T(4U)^{-1}$ и введем следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W(t) &=\frac{e^{\pi i/4}}{\pi}\sum_{n\leqslant T}\frac{r(n)}{n^{3/4}}\bigl(e^{2\pi i\sqrt{n}\sqrt{t+U}}-e^{2\pi i\sqrt{n}\sqrt{t}}\bigr) \\ &=\frac{e^{\pi i/4}}{\pi}\biggl(\sum_{n\leqslant N}+\sum_{N<n\leqslant T}\biggr)\frac{r(n)}{n^{3/4}}\bigl(e^{2\pi i\sqrt{n}\sqrt{t+U}}-e^{2\pi i\sqrt{n}\sqrt{t}}\bigr)=W_1(t)+W_2(t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Re}^2W(t) &=\biggl\{\frac{1}{2}(W_1+W_2+\overline{W}_1+\overline{W}_2)\biggr\}^2 =\frac{1}{4}(W_1+\overline{W}_1+W_2+\overline{W}_2)^2 \\ &=\frac{1}{2}|W_1|^2+\frac{1}{2}\operatorname{Re}(W_1^2)+\operatorname{Re}{(W_1W_2)} +\operatorname{Re}{(W_1\overline{W}_2)}+\operatorname{Re}^2(W_2), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда $\mathcal{Q}^{(1)} = q_P/2+q_1/2+q_2+q_3+q_4$, где смысл обозначений ясен. Прежде всего,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q_1 &=\operatorname{Re} \frac{i}{\pi^2}\int_{T}^{T+H}\sqrt{t}\,\sum_{m\leqslant N<n\leqslant T}\frac{r(m)r(n)}{(mn)^{3/4}} \\ &\qquad\qquad\times\bigl(e^{2\pi i\sqrt{m}\sqrt{t+U}}-e^{2\pi i\sqrt{m}\sqrt{t}}\bigr) \bigl(e^{2\pi i\sqrt{n}\sqrt{t+U}}-e^{2\pi i\sqrt{n}\sqrt{t}}\bigr)\, dt \\ &=-\frac{1}{\pi^2}\operatorname{Im}\sum_{m,n\leqslant N}\frac{r(m)r(n)}{(mn)^{3/4}} \\ &\qquad\qquad\times\bigl(\kappa_1(\sqrt{m}+\sqrt{n})+\kappa_2(\sqrt{m}+\sqrt{n}) -\omega_1(\sqrt{m},\sqrt{n})-\omega_1(\sqrt{n},\sqrt{m})\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь леммой 1, находим
$$
\begin{equation*}
q_1\ll T\sum_{m,n\leqslant T}\frac{r(m)r(n)}{(mn)^{3/4}}\,\frac{1}{\sqrt{m}+\sqrt{n}}\ll T\log{T}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подобным образом получаем и оценку интеграла $q_2$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q_2 &=\operatorname{Re} \frac{i}{\pi^2}\int_{T}^{T+H}\sqrt{t}\,\sum_{m\leqslant N<n\leqslant T}\frac{r(m)r(n)}{(mn)^{3/4}} \\ &\qquad\qquad\times\bigl(e^{2\pi i\sqrt{m}\sqrt{t+U}}-e^{2\pi i\sqrt{m}\sqrt{t}}\bigr) \bigl(e^{2\pi i\sqrt{n}\sqrt{t+U}}-e^{2\pi i\sqrt{n}\sqrt{t}}\bigr)\, dt \\ &=-\frac{1}{\pi^2}\operatorname{Im}\sum_{m\leqslant N<n\leqslant T} \frac{r(m)r(n)}{(mn)^{3/4}} \\ &\qquad\qquad\times\bigl(\kappa_1(\sqrt{m}+\sqrt{n})+\kappa_2(\sqrt{m}+\sqrt{n}) -\omega_1(\sqrt{m},\sqrt{n})-\omega_1(\sqrt{n},\sqrt{m})\bigr) \\ &\ll T\log{T}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, пользуясь оценками лемм 3 и 7, заключаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q_3 &=\frac{1}{\pi^2}\operatorname{Re} \int_{T}^{T+H}\sqrt{t}\,\sum_{m\leqslant N<n\leqslant T}\frac{r(m)r(n)}{(mn)^{3/4}} \\ &\qquad\qquad\times\bigl(e^{2\pi i\sqrt{m}\sqrt{t+U}}-e^{2\pi i\sqrt{m}\sqrt{t}}\bigr) \bigl(e^{-2\pi i\sqrt{n}\sqrt{t+U}}-e^{-2\pi i\sqrt{n}\sqrt{t}}\bigr)\, dt \\ &=\frac{1}{\pi^2}\operatorname{Re} \sum_{m\leqslant N<n\leqslant T}\frac{r(m)r(n)}{(mn)^{3/4}} \\ &\qquad\qquad\times\bigl(\overline{\kappa}_1(\sqrt{n}-\sqrt{m})+\overline{\kappa}_2(\sqrt{n}-\sqrt{m})- \omega_2(\sqrt{m},\sqrt{n})-\overline{\omega}_2(\sqrt{n},\sqrt{m})\bigr) \\ &\ll T\sum_{m\leqslant N<n\leqslant T}\frac{r(m)r(n)}{(mn)^{3/4}}\,\frac{1}{\sqrt{n}-\sqrt{m}}\ll T(\log T)^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, переходя к оценке $q_4$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q_4 &\leqslant \frac{2}{\pi^2}\int_{T}^{T+H}\sqrt{t}\biggl(\biggl|\sum_{N<n\leqslant T}\frac{r(n)}{n^{3/4}}e^{2\pi i\sqrt{n}\sqrt{t+U}}\biggr|^2+\biggl|\sum_{N<n\leqslant T}\frac{r(n)}{n^{3/4}}e^{2\pi i\sqrt{n}\sqrt{t}}\biggr|^2\biggr)\, dt \\ &\leqslant \frac{4}{\pi^2}\int_{T_1}^{T_1+H}\sqrt{t}\biggl|\sum_{N<n\leqslant T}\frac{r(n)}{n^{3/4}}e^{2\pi i\sqrt{n}\sqrt{t}}\biggr|^2\, dt, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $T_1$ – то из значений $T$, $T+U$, при котором интеграл максимален. Соответственно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q_4 &\leqslant \frac{4}{\pi^2}\int_{T_1}^{T_1+H}\sqrt{t}\sum_{N<m,n\leqslant T}\frac{r(m)r(n)}{(mn)^{3/4}}e^{2\pi i(\sqrt{n}-\sqrt{m})\sqrt{t}}\, dt \\ &=\frac{4}{\pi^2}\biggl(\int_{T_1}^{T_1+H}\sqrt{t}\,dt\biggr)\sum_{N<n\leqslant T}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}+ \frac{4}{\pi^2}\sum_{\substack{N<m<n\leqslant T \\ m\ne n}}\frac{r(m)r(n)}{(mn)^{3/4}}\kappa_1(\sqrt{n}-\sqrt{m}) \\ &\ll H\sqrt{T}\,\frac{\log{N}}{\sqrt{N}}+T(\log T)^2\ll H\sqrt{U}\log{\frac{T}{U}}+T(\log T)^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\sum_{k = 1}^4|q_{k}|\ll H\sqrt{U}\log{\frac{T}{U}}+T(\log T)^2\ll H\sqrt{T}\biggl(\frac{\sqrt{T}}{H}(\log T)^2+\sqrt{\frac{U}{T}}\log{\frac{T}{U}}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{Q}^{(1)} &=\frac{1}{2\pi^2}\int_{T}^{T+H}\sqrt{t}\biggl|\sum_{n\leqslant N}\frac{r(n)}{n^{3/4}}\bigl(e^{2\pi i\sqrt{n}\sqrt{t+U}}-e^{2\pi i\sqrt{n}\sqrt{t}}\bigr)\biggr|^2\, dt \\ &\qquad+O\biggl(H\sqrt{T}\biggl(\frac{\sqrt{T}}{H}(\log T)^2 +\sqrt{\frac{U}{T}}\log{\frac{T}{U}}\biggr)\biggr), \\ \mathcal{Q}_{P} &=\frac{1}{2\pi^2}\int_{T}^{T+H}\sqrt{t}\biggl|\sum_{n\leqslant N}\frac{r(n)}{n^{3/4}}\bigl(e^{2\pi i\sqrt{n}\sqrt{t+U}}-e^{2\pi i\sqrt{n}\sqrt{t}}\bigr)\biggr|^2\, dt \\ &\qquad+O\biggl(H\sqrt{T}\biggl(\frac{\sqrt{T}}{H}(\log T)^2+\frac{U}{T} +\sqrt{\frac{U}{T}}\log{\frac{T}{U}}+\frac{\varphi(T)}{\sqrt[4]{T}}\biggr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Замечая, что
$$
\begin{equation*}
\frac{U}{T}\leqslant \sqrt{\frac{U}{T}}\log{\frac{T}{U}},
\end{equation*}
\notag
$$
приходим к искомому утверждению. Лемма 10 доказана. Лемма 11. В условиях леммы 10 для интеграла $q_{P}$ справедливо равенство в котором Доказательство. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q_{P} &=\int_{T}^{T+H}\sqrt{t}\sum_{m,n\leqslant N}\frac{r(m)r(n)}{(mn)^{3/4}} \\ &\qquad\qquad\times \bigl(e^{2\pi i\sqrt{m}\sqrt{t+U}}-e^{2\pi i\sqrt{m}\sqrt{t}}\bigr) \bigl(e^{-2\pi i\sqrt{n}\sqrt{t+U}}-e^{-2\pi i\sqrt{n}\sqrt{t}}\bigr)\, dt \\ &=\sum_{n\leqslant N}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\int_{T}^{T+H}\sqrt{t}\,\bigl|e^{2\pi i\sqrt{n}\sqrt{t+U}}-e^{2\pi i\sqrt{n}\sqrt{t}}\bigr|^2\, dt +\sum_{\substack{m,n\leqslant N \\ m\ne n}}\frac{r(m)r(n)}{(mn)^{3/4}} \\ &\qquad\qquad\times\bigl(\kappa_1(\sqrt{m}-\sqrt{n})+\kappa_2(\sqrt{m}-\sqrt{n}) -\omega_2(\sqrt{m},\sqrt{n})-\overline{\omega}_2(\sqrt{n},\sqrt{m})\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценивая вклад от слагаемых с $m\ne n$ с помощью лемм 1–3, 7, приходим к искомому соотношению. Лемма доказана. Следствие 4 (аналог формулы Ютилы для интеграла $\mathcal{Q}_{P}$). Пусть $T{\to}\,{+}\infty$, $H,U = o(T)$, $\sqrt{T}(\log T)^2 = o(H)$. Тогда имеет место равенство Заметим, что интеграл $I(n)$, определенный в (15), отличается от интеграла
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{I}(n) = \frac{1}{n^{3/2}}\int_{T}^{T+H}\sqrt{t}\,\bigl|e^{\pi iU\sqrt{n/t}}-1\bigr|^2\, dt
\end{equation*}
\notag
$$
в исходной формуле Ютилы (4). Можно показать, однако, что при $U\leqslant T^{2/3-\varepsilon}$ интеграл $\mathfrak{I}(n)$ служит достаточно точным приближением к $I(n)$. Действительно, замечая, что
$$
\begin{equation*}
\sqrt{t+U}-\sqrt{t}=\frac{U}{2\sqrt{t}} + O\biggl(\frac{U^2}{T^{3/2}}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
при $T\leqslant t\leqslant T+H$, и пользуясь тем, что для любых комплексных $u$, $v$, находим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \bigl|e^{2\pi i\sqrt{n}(\sqrt{t+U}-\sqrt{t})}-1\bigr|^2 = \bigl|e^{\pi iU\sqrt{n/t}}-1\bigr|^2+O\biggl(\frac{U^2\sqrt{n}}{T^{3/2}}\biggr), \\ I(n)=\frac{1}{n^{3/2}}\int_{T}^{T+H}\sqrt{t}\biggl(\bigl|e^{\pi iU\sqrt{n/t}}-1\bigr|^2+O\biggl(\frac{U^2\sqrt{n}}{T^{3/2}}\biggr)\biggr)\, dt=\mathfrak{I}(n)+O\biggl(\frac{HU^2}{nT}\biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $U\gg \sqrt{T}$, то, как будет следовать из доказательства леммы 12, $I(n)\asymp {H\sqrt{T}}/{n^{3/2}}$, так что
$$
\begin{equation*}
\frac{HU^2}{nT} \asymp I(n)\frac{U^2\sqrt{n}}{T^{3/2}}\ll I(n)\frac{U^2}{T^{3/2}}\sqrt{\frac{T}{U}}\ll I(n)\frac{U^{3/2}}{T}\ll I(n)T^{-3\varepsilon/2},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{I}(n) =I(n)\bigl(1+O(T^{-3\varepsilon/2})\bigr),\qquad I(n)=\mathfrak{I}(n)\bigl(1+O(T^{-3\varepsilon/2})\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Если же $U\leqslant 0.5\sqrt{T}$, то, как следует из результатов работы [2], $\mathfrak{I}(n)\asymp (HU/n^{3/2})\log({\sqrt{T}}/{U})$, и поэтому
$$
\begin{equation*}
\frac{HU^2}{nT} \ll \mathfrak{I}(n)\frac{U\sqrt{n}}{T}\ll \mathfrak{I}(n)\frac{U}{T}\sqrt{\frac{T}{U}}\ll \mathfrak{I}(n)\sqrt{\frac{U}{T}}\ll \mathfrak{I}(n)T^{-0.25},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда Для указанных $U$ формула следствия дает
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Q}_{P}(T;H,U)=\frac{1}{2\pi^2}\sum_{n\leqslant N}r^2(n)\mathfrak{I}(n)+O(R),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R &\ll H\sqrt{T}\biggl(\frac{\sqrt{T}}{H}(\log T)^2+\sqrt{\frac{U}{T}}\log{\frac{T}{U}} +\frac{\varphi(T)}{\sqrt[4]{T}}+\frac{U^2}{T^{3/2}}(\log T)^2\biggr) \\ &\ll H\sqrt{T}\biggl(\frac{\sqrt{T}}{H}(\log T)^2+\sqrt{\frac{U}{T}}\log{\frac{T}{U}} +\frac{\varphi(T)}{\sqrt[4]{T}}\biggr)\ll T^{\varepsilon}\bigl(T+H\sqrt{U}+H\sqrt[4]{T}\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $U\,{\ll}\,\sqrt{T}$, то использование в доказательстве леммы 10 неравенства $\mathcal{Q}^{(1)}\ll HU\log{(\sqrt{T}/U)}$ вместо неравенства $\mathcal{Q}^{(1)}\ll H\sqrt{T}$ позволяет избавиться в оценке $R$ от слагаемого $H\sqrt[4]{T}$ и прийти в точности к формуле Ютилы (4). Пусть всюду далее $T$ – растущий параметр, $T\to +\infty$, $U = o(T)$, $N = T(4U)^{-1}$, и пусть $F(n)$ – произвольная числовая последовательность ($1\,{\leqslant}\, n\,{\leqslant}\,N$). Для дальнейшего будем использовать следующее обозначение: Для работы с суммой $\Sigma_{I}$, где величины $I = I(n)$ определены в лемме 11, потребуется следующая лемма. Лемма 12. Пусть $T\to +\infty$, $H,U = o(T)$, $\sqrt{T} = o(U)$. Тогда для интеграла $I(n)$ имеет место представление Доказательство. Положим в исходном интеграле $\tau = \pi\sqrt{n}(\sqrt{t+U}-\sqrt{t})$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sqrt{t}\, dt=-\frac{1}{4\pi^3}\,\frac{1}{\tau^4n^{3/2}}(\pi^4n^2U^2-\tau^4) (\pi^2nU-\tau^2)\, d\tau, \\ \bigl|e^{2\pi i\sqrt{n}(\sqrt{t+U}-\sqrt{t})}-1\bigr|^2 =|e^{2i\tau}-1|^2=4\sin^2 \tau, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
I(n)=\frac{1}{(\pi n)^3}\int_{\sigma_n}^{\tau_n} (\pi^4n^2U^2-\tau^4)(\pi^2nU-\tau^2)\frac{\sin^2 \tau}{\tau^4}\, d\tau,
\end{equation*}
\notag
$$
где наряду с $\tau_n$ использовано обозначение $\sigma_n = \pi\sqrt{n}(\sqrt{T+H+U}-\sqrt{T+H})$. Преобразуя $I(n)$ далее, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I(n) &=\frac{1}{(\pi n)^3} \int_{\sigma_n}^{\tau_n} \bigl(\pi^{6}n^3U^3-\pi^4n^2U^2\tau^2-\pi^2nU\tau^4+\tau^{6}\bigr) \frac{\sin^2 \tau}{\tau^4}\,d\tau \\ &=(\pi U)^3\int_{\sigma_n}^{\tau_n}\frac{\sin^2 \tau}{\tau^4}\,d\tau-\frac{\pi U^2}{n}\int_{\sigma_n}^{\tau_n}\frac{\sin^2 \tau}{\tau^2}\,d\tau-\frac{U}{\pi n^2} \int_{\sigma_n}^{\tau_n}\sin^2 \tau\, d\tau \\ &\qquad+\frac{1}{(\pi n)^3}\int_{\sigma_n}^{\tau_n}\tau^2\sin^2 \tau\, d\tau=(\pi U)^3A(n)-B(n)-C(n)+D(n). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим теперь величины $\Sigma_{B}$, $\Sigma_{C}$ и $\Sigma_{D}$. Для этого положим $h_n = \tau_n-\sigma_n$ и заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \tau_n=\pi\sqrt{nT}\biggl(\biggl(1+\frac{U}{T}\biggr)^{1/2}-1\biggr)=\frac{\pi U}{2\sqrt{T}}\sqrt{n}\biggl(1-\frac{U}{4T}+O\biggl(\frac{U^2}{T^2}\biggr)\biggr) \asymp\frac{U\sqrt{n}}{\sqrt{T}}, \\ \sigma_n \asymp \tau_n \asymp \frac{U\sqrt{n}}{\sqrt{T}}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, h=\bigl(\sqrt{T+U}-\sqrt{T}\bigr)-\bigl(\sqrt{T+H+U}-\sqrt{T+H}\bigr), \\ f(v)=\sqrt{v},\qquad g(v)=f(v)-f(v+H). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, применяя несколько раз теорему о конечных приращениях, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h &=g(T+U)-g(T)=Ug'(t)+\frac{1}{2}U^2g''(T+\theta_1U) \\ &=U\bigl(f'(T)-f'(T+H)\bigr)+\frac{1}{2}U^2\bigl(f''(T+\theta_1U)-f''(T+\theta_1U+H)\bigr) \\ &=U\biggl(-Hf''(T)-\frac{1}{2}H^2f^{(3)}(T+\theta_2H)\biggr)-\frac{1}{2}HU^2f^{(3)}(T+\theta_1U +\theta_3H) \\ &=-HUf''(T)-\frac{1}{2}H^2Uf^{(3)}(T+\theta_2H)-\frac{1}{2}HU^2f^{(3)}(T+\theta_1U+\theta_3H) \\ &=\frac{HU}{4T^{3/2}}-\frac{3H^2U}{16T^{5/2}}\biggl(1+\frac{\theta_2H}{T}\biggr)^{-5/2} -\frac{3HU^2}{16T^{5/2}}\biggl(1+\frac{\theta_1U+\theta_3H}{T}\biggr)^{-5/2} \\ &=\frac{HU}{4T^{3/2}}\biggl(1-\frac{3(H+U)}{4T}+O\biggl(\frac{(H+U)^2}{T^2}\biggr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h_n &=\pi h\sqrt{n}=\frac{\pi}{4}\,\frac{HU}{T^{3/2}}\,\sqrt{n} \biggl(1-\frac{3(H+U)}{4T}+O\biggl(\frac{(H+U)^2}{T^2}\biggr)\biggr) \\ &=g_n\biggl(1-\frac{3(H+U)}{4T}+O\biggl(\frac{(H+U)^2}{T^2}\biggr)\biggr)=g_n+\varepsilon_n, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
g_n=\frac{\pi}{4}\,\frac{HU}{T^{3/2}}\,\sqrt{n}=\frac{\pi\varkappa}{4}\sqrt{n},\qquad \varepsilon_n\ll \frac{H+U}{T}g_n\ll \frac{(H+U)HU}{T^{5/2}}\sqrt{n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так получим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, B(n)\leqslant \frac{\pi U^2}{n}\int_{\sigma_n}^{\tau_n}\frac{d\tau}{\tau^2}\leqslant \frac{\pi U^2}{n}\,\frac{h_n}{\sigma_n^2}\ll \frac{HU}{\sqrt{T}}\,\frac{1}{n^{3/2}}, \\ \Sigma_{B}\ll \frac{HU}{\sqrt{T}}\ll H\sqrt{T}\,\frac{U}{T}; \end{gathered}
\end{equation}
\tag{16}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, C(n)\leqslant \frac{U^2}{\pi n^2}\int_{\sigma_n}^{\tau_n}\, d\tau\leqslant \frac{Uh_n}{\pi n^2}\ll \frac{HU^2}{T^{3/2}}\,\frac{1}{n^{3/2}}, \\ \Sigma_{C}\ll \frac{HU^2}{T^{3/2}}\ll H\sqrt{T}\,\frac{U^2}{T^2}\ll H\sqrt{T}\,\frac{U}{T}; \end{gathered}
\end{equation}
\tag{17}
$$
наконец,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, D(n)\leqslant \frac{1}{(\pi n)^3}\int_{\sigma_n}^{\tau_n}\tau^2\, d\tau\leqslant \frac{\tau_n^2h_n}{(\pi n)^3}\ll \frac{HU^3}{T^{5/2}}\,\frac{1}{n^{3/2}}, \\ \Sigma_{D}\ll \frac{HU^3}{T^{5/2}}\ll H\sqrt{T}\,\frac{U^3}{T^3}\ll H\sqrt{T}\,\frac{U}{T}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{18}
$$
Преобразуя величину $A(n)$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
A(n)=\frac{1}{2}\int_{\sigma_n}^{\tau_n}\frac{1-\cos 2\tau}{\tau^4}\,d\tau=\frac{1}{6} \biggl(\frac{1}{\sigma_n^3}-\frac{1}{\tau_n^3}\biggr)- \frac{1}{4}\biggl(\frac{\sin 2\tau_n}{\tau_n^4}-\frac{\sin 2\sigma_n} {\sigma_n^4}\biggr)-b(n),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
b(n)=\int_{\sigma_n}^{\tau_n}\frac{\sin 2\tau}{\tau^5}\,d\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно,
$$
\begin{equation*}
|b(n)|\leqslant \frac{h_n}{\sigma_n^5}\ll \frac{HT}{U^4}\,\frac{1}{n^2},
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation}
U^3\Sigma_{b}\ll \frac{HT}{U}\ll H\sqrt{T}\,\frac{\sqrt{T}}{U}.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{4}\biggl(\frac{\sin 2\tau_n}{\tau_n^4}-\frac{\sin 2\sigma_n} {\sigma_n^4}\biggr)=\frac{1}{4\tau_n^4}\bigl(\sin 2\tau_n-\sin 2\sigma_n\bigr)+c(n),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
c(n)=\frac{1}{4}\sin 2\sigma_n\biggl(\frac{1}{\tau_n^4}-\frac{1}{\sigma_n^4}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation}
|c(n)|\leqslant \frac{1}{4}\biggl(\frac{1}{\sigma_n^4}-\frac{1}{\tau_n^4}\biggr) =\int_{\sigma_n}^{\tau_n}\frac{d\tau}{\tau^5}\leqslant\frac{h_n}{\sigma_n^5}, \qquad U^3\Sigma_{c}\ll \frac{HT}{U}\ll H\sqrt{T}\,\frac{\sqrt{T}}{U}.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Также заметим, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{4\tau_n^4}\bigl(\sin 2\tau_n-\sin 2\sigma_n\bigr) =\frac{1}{4\tau_n^4}\bigl(\sin 2\tau_n-\sin2(\tau_n-g_n)\bigr)+d(n) \notag \\ &\qquad=\frac{1}{2\tau_n^4}\sin g_n\cos(2\tau_n-g_n)+d(n),\quad \text{где}\quad d(n)=\frac{\sin 2(\tau_n-g_n)-\sin 2\sigma_n}{4\tau_n^4}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{21}
$$
Тогда из определения $\varepsilon_n$ находим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, d(n)=\frac{\sin2(\tau_n-g_n)-\sin2(\tau_n-g_n-\varepsilon_n)}{4\tau_n^4} =\frac{\sin\varepsilon_n \cos(2(\tau_n-g_n)-\varepsilon_n)}{2\tau_n^4}, \\ |d(n)|\leqslant \frac{\varepsilon_n}{2\tau_n^4}\ll \frac{(H+U)HU}{T^{5/2}}\sqrt{n} \frac{T^2}{U^4n^2}\ll \frac{H(H+U)}{U^3\sqrt{T}}\,\frac{1}{n^{3/2}}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
U^3\Sigma_{d}\ll \frac{H(H+U)}{\sqrt{T}}\ll H\sqrt{T}\,\frac{H+U}{T}.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Наконец,
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{6}\biggl(\frac{1}{\sigma_n^3}-\frac{1}{\tau_n^3}\biggr)=\frac{h_n}{2\tau_n^4}+e(n)= \frac{g_n}{2\tau_n^4}+e(n)+f(n),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
e(n)=\frac{1}{6}\biggl(\frac{1}{\sigma_n^3}-\frac{1}{\tau_n^3}-\frac{3h_n}{\tau_n^4}\biggr),\qquad f(n)=\frac{\varepsilon_n}{2\tau_n^4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подобно (22), имеем Дважды применяя к $e(n)$ формулу конечных приращений, при некоторых $\theta_1$, $\theta_2$ с условиями $0\leqslant \theta_1, \theta_2\leqslant 1$ будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, e(n) &=\frac{1}{6}\biggl(\frac{1}{(\tau_n-h_n)^3} -\frac{1}{\tau_n^3}-\frac{3h_n}{\tau_n^4}\biggr)= \frac{1}{6}\biggl(\frac{3h_n}{(\tau_n-\theta_1h_n)^4}-\frac{3h_n}{\tau_n^4}\biggr) \\ &=\frac{h_n}{2}\biggl(\frac{1}{(\tau_n-\theta_1h_n)^4}-\frac{1}{\tau_n^4}\biggr)= \frac{\theta_1h_n^2}{2(\tau_n-\theta_2h_n)^5}\ll \frac{h_n^2}{\tau_n^5}\ll \frac{H^2}{U^3\sqrt{T}}\,\frac{1}{n^{3/2}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation}
U^3\Sigma_{e}\ll \frac{H^2}{\sqrt{T}}\ll H\sqrt{T}\,\frac{H}{T}.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Итак,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A(n) &=\frac{g_n}{2\tau_n^4}+e(n)+f(n)-\frac{1}{2\tau_n^4}\sin g_n \cos(2\tau_n-g_n)-b(n)-c(n)-d(n) \\ &=\frac{g_n}{2\tau_n^4}\biggl(1-\frac{\sin g_n}{g_n}\cos(2\tau_n-g_n)\biggr)+a(n), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $a(n) = e(n)+f(n)-b(n)-c(n)-d(n)$. В силу неравенств (19), (20), (22)–(24) находим
$$
\begin{equation}
U^3\Sigma_{a}\ll H\sqrt{T}\biggl(\frac{H+U}{T}+\frac{\sqrt{T}}{U}\biggr).
\end{equation}
\tag{25}
$$
Наконец, замечая, что
$$
\begin{equation*}
(\pi U)^3\frac{g_n}{2\tau_n^4} =\frac{HU^4}{8(nT)^{3/2}}\,\frac{1}{(\sqrt{T+U}-\sqrt{T})^4} =\frac{H\sqrt{T}}{8n^{3/2}}\biggl(\sqrt{1+\frac{U}{T}}+1\biggr)^4,
\end{equation*}
\notag
$$
и полагая
$$
\begin{equation*}
(\pi U)^3\frac{g_n}{2\tau_n^4}\biggl(1-\frac{\sin g_n}{g_n}\cos(2\tau_n-g_n)\biggr) =\frac{2H\sqrt{T}}{n^{3/2}}+k(n),
\end{equation*}
\notag
$$
будем иметь
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, |k(n)|\leqslant \frac{H\sqrt{T}}{8n^{3/2}}\biggl(\biggl(\sqrt{1+\frac{U}{T}}\biggr)^4-1\biggr)\biggl(1 -\frac{\sin g_n}{g_n} \cos(2\tau_n-g_n)\biggr) \ll \frac{HU}{\sqrt{T}}\,\frac{1}{n^{3/2}}, \\ \Sigma_{k}\ll \frac{HU}{\sqrt{T}}\ll H\sqrt{T}\,\frac{U}{T}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{26}
$$
Обозначив через $J(n)$ разность между $I(n)$ и величиной
$$
\begin{equation*}
\frac{2H\sqrt{T}}{n^{3/2}}\biggl(1-\frac{\sin g_n}{g_n}\cos(2\tau_n-g_n)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
согласно (16)–(18), (25), (26) получим
$$
\begin{equation*}
\Sigma_{J}\ll H\sqrt{T}\biggl(\frac{H+U}{T}+\frac{\sqrt{T}}{U}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 12 доказана. Следствие 5. Пусть $T\to +\infty$, $H,U\,{=}\,o(T)$, $\sqrt{T}\,{=}\,o(U)$, $\sqrt{T}(\log T)^2\,{=}\,o(H)$, $N=T(4U)^{-1}$. Тогда справедлива формула Следствие 6. При выполнении условий следствия 5 справедливо равенство Доказательство. В силу леммы 9
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I(T+U,H) &=\frac{A}{2\pi^2}H\sqrt{T+U}\biggl(1+O\biggl(\frac{H}{T}\biggr) +O\biggl(\frac{\sqrt{T}}{H}\varpi(T)\biggr) +O\biggl(\frac{\varphi(T)}{\sqrt[4]{T}}\biggr)\biggr) \\ &=\frac{A}{2\pi^2}H\sqrt{T}\biggl(1+O\biggl(\frac{H+U}{T}\biggr) +O\biggl(\frac{\sqrt{T}}{H}\varpi(T)\biggr)+O\biggl(\frac{\varphi(T)}{\sqrt[4]{T}}\biggr)\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varpi(T) = (\log{T})^{3/2}\log\log{T}$, откуда
$$
\begin{equation*}
I(T+U,H)+I(T,H)\,{=}\,\frac{A}{\pi^2}H\sqrt{T}\biggl(1+O\biggl(\frac{H+U}{T}\biggr) +O\biggl(\frac{\sqrt{T}}{H}\varpi(T)\biggr) +O\biggl(\frac{\varphi(T)}{\sqrt[4]{T}}\biggr)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя это выражение в равенство
$$
\begin{equation*}
2\mathcal{K}_{P}(T;H,U)=I(T+U,H)+I(T,H)-\mathcal{Q}_{P}(T;H,U)
\end{equation*}
\notag
$$
и пользуясь леммой 12 наряду с равенством приходим к искомому утверждению. Следствие доказано. Следующая лемма позволяет упростить формулу леммы 12 в случае, когда отношение $\varkappa = HU/T^{3/2}$ мало. Лемма 13. Пусть $T\geqslant T_0$, $D = D(T)\leqslant T^{1/6}$ – сколь угодно медленно возрастающая монотонная и неограниченная при $T\to +\infty$ функция, и пусть Доказательство. Воспользуемся тождеством
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{\sin g_n}{g_n}\cos(2\tau_n-g_n)=\cos 2\tau_n+a(n), \\ a(n)=\cos 2\tau_n\biggl(\frac{\sin 2g_n}{2g_n}-1\biggr)+\sin 2\tau_n\frac{\sin^2 g_n}{g_n}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{27}
$$
Несложно видеть, что $N\geqslant T/(TD^{-2}) = D^2$. Если $1\leqslant n\leqslant D^2$, то
$$
\begin{equation*}
g_n=\frac{\pi}{4}\,\frac{HU}{T^{3/2}}\sqrt{n}\leqslant \frac{\pi}{4D} D=\frac{\pi}{4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Замечая, что наибольшее значение функции
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{x}\biggl(1-\frac{\sin 2x}{2x}+\frac{\sin^2 x}{x}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
на отрезке $0\leqslant x\leqslant \pi/4$ достигается в правом конце, для указанных $n$ находим
$$
\begin{equation*}
|a(n)|\leqslant 1-\frac{\sin 2g_n}{2g_n}+\frac{\sin^2 g_n}{g_n}\leqslant \frac{4g_n}{\pi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если же $D^2<n\leqslant N$, то
$$
\begin{equation*}
|a(n)|\leqslant 1-\frac{\sin 2g_n}{2g_n}+\biggl|\frac{\sin g_n}{g_n}\biggr|\leqslant 3.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому замена в формуле леммы 12 произведения $(\sin g_n/g_n)\cos(2\tau_n-g_n)$ величиной $\cos 2\tau_n$ приводит к ошибке, не превосходящей по модулю
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{H\sqrt{T}}{2\pi^2}\biggl(\sum_{n\leqslant D^2}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\,\frac{4g_n}{\pi}+3\sum_{D^2<n\leqslant N}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\biggr) \\ &\qquad\leqslant \frac{H\sqrt{T}}{2\pi^2}\biggl(\sum_{n\leqslant D^2}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\,\frac{\sqrt{n}}{D} +3\sum_{n>D^2}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\biggr) \\ &\qquad\ll H\sqrt{T}\biggl(\frac{1}{D}\sum_{n\leqslant D^2}\frac{r^2(n)}{n} +\sum_{n>D^2}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\biggr)\ll H\sqrt{T}\,\frac{(\log D)^2}{D}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. § 4. Леммы о совместных приближенияхПусть $\nu\geqslant 2$, и пусть $1\leqslant n_1<n_2<\dots<n_s\leqslant \nu$ – произвольные бесквадратные числа. В настоящем параграфе приводится несколько утверждений о совместных приближениях чисел $\sqrt{n_1}, \sqrt{n_2},\dots,\sqrt{n_s}$. Лемма 14. Пусть $\nu\geqslant 2$, $s\geqslant 2$, $1\leqslant n_1<\dots<n_s\leqslant \nu$ – различные бесквадратные числа, $m_1,\dots, m_s$ – целые числа, не все равные нулю. Пусть, далее, $Q = m_1\sqrt{n_1}+\dots+m_s\sqrt{n_s}$. Тогда справедливо неравенство Доказательство. Будем следовать рассуждениям А. Сельберга, содержащимся в его неопубликованной рукописи [11] (также см. лемму 5 из [12]). Рассмотрим произведение
$$
\begin{equation*}
P=\prod_{(c_2,\dots,c_s)}\bigl(m_1\sqrt{n_1}+c_2m_2\sqrt{n_2}+\dots +c_sm_s\sqrt{n_s}\,\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где каждая из величин $c_j$ независимо от других принимает значение $\pm 1$. Поскольку числа $\sqrt{n_1},\dots,\sqrt{n_s}$ линейно независимы над полем рациональных чисел (см., например, [13; гл. VIII, § 6]), то все сомножители $P$ отличны от нуля. С другой стороны, $P$ не меняется от замены $\sqrt{n_j}$ на $(-\sqrt{n_j})$. В случае $2\leqslant j\leqslant s$ это очевидно; в случае $j = 1$ это следует из равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\prod_{(c_2,\dots,c_s)}\bigl(-m_1\sqrt{n_1}+c_2m_2\sqrt{m_2}+\dots+c_sm_s\sqrt{n_s}\,\bigr) \\ &\qquad=(-1)^{2^{s-1}}\prod_{(c_2,\dots,c_s)}\bigl(m_1\sqrt{n_1}-c_2m_2\sqrt{m_2} -\dots-c_sm_s\sqrt{n_s}\,\bigr) \\ &\qquad=\prod_{(c_2',\dots,c_s')}\bigl(m_1\sqrt{n_1}+c_2'm_2\sqrt{m_2} +\dots+c_s'm_s\sqrt{n_s}\,\bigr)=P, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку набор $(c_2',\dots,c_s') = (-c_2,\dots,-c_s)$ пробегает то же множество, что и набор $(c_2,\dots,c_s)$. Поэтому все слагаемые, образующиеся при раскрытии скобок в $P$, будут содержать лишь четные степени $\sqrt{n_j}$. Значит, число $P$ целое. Следовательно, $|P|\geqslant 1$. Кроме того, при любых $c_2,\dots, c_s$ имеем
$$
\begin{equation*}
|m_1\sqrt{n_1}+c_2m_2\sqrt{n_2}+\dots+c_sm_s\sqrt{n_s}\,|\leqslant (|m_1|+\dots+|m_s|)\sqrt{\nu},
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 1 &\leqslant |P|\leqslant |Q|(|m_1|+\dots+|m_s|)^{2^{s-1}-1}(\sqrt{\nu})^{2^{s-1}-1} \\ &\leqslant |Q|\nu^{2^{s-2}-0.5}s^{2^{s-1}-2}\sum_{j=1}^{s}|m_j|^{2^{s-1}-1}\leqslant |Q|\nu^{2^{\nu}}\sum_{j=1}^{s}|m_j|^{2^{s-1}-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Лемма 15. Пусть $\nu\geqslant 2$ – целое число, $0<\varepsilon<10^{-2}$ – фиксированная постоянная, $c = 0$ или $c = 1/2$. Тогда существуют положительные величины $h$ и $\lambda$, зависящие лишь от $\nu$ и $\varepsilon$, такие, что на всяком промежутке $(y,y+h)$ найдется интервал $E$ длины $\lambda$ такой, что для всякого $t\in E$ неравенство $\|t\sqrt{n}-c\|<\varepsilon$ будет выполнено для всех бесквадратных $n$, $1\leqslant n\leqslant \nu$. Доказательство. Пусть $r$ – количество бесквадратных чисел, не превосходящих $\nu$. Положим $\alpha = c-\varepsilon/2$, $\beta = c+\varepsilon/2$, $\Delta = \varepsilon/2$, $R = 2^{r-1}$ и построим по этим параметрам “стаканчик Виноградова” $\psi(x)$ так, как это описано в [14; гл. 1, § 2]. Тогда $\psi(x+1) = \psi(x)$ для всех $x$ и, кроме того,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \psi(x) = 1\quad&\text{при}\quad c-\frac{1}{4}\varepsilon\leqslant x\leqslant c+\frac{1}{4}\varepsilon, \\ \psi(x) = 0\quad&\text{при}\quad c+\frac{3}{4}\varepsilon\leqslant x\leqslant 1+c-\frac{3}{4}\varepsilon, \\ 0<\psi(x)<1\quad&\text{при}\quad c-\frac{3}{4}\varepsilon<x<c-\frac{1}{4}\varepsilon\quad\text{и}\quad c+\frac{1}{4}\varepsilon<x<c+\frac{3}{4}\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При этом разложение в ряд Фурье функции $\psi(x)$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\psi(x)=\varepsilon+\mathop{{\sum}'}_{m = -\infty}^{+\infty}c(m)e^{2\pi imx},
\end{equation}
\tag{28}
$$
где штрих означает, что $m\ne 0$, а коэффициенты $c(m)$ удовлетворяют условию Определим функцию $\Psi(t)$ равенством где двойной штрих означает произведение по всем бесквадратным числам $n\leqslant \nu$. Несложно заметить, что выполнение для некоторого $t$ неравенства $\Psi(t)>0$ влечет выполнение для всех рассматриваемых $n\leqslant \nu$ неравенств $\psi(t\sqrt{n})>0$ и, следовательно, неравенств $\|t\sqrt{n}-c\|\leqslant ({3}/{4})\varepsilon<\varepsilon$. Рассмотрим при произвольном $y$ и некотором положительном $h$ интеграл
$$
\begin{equation*}
I=I(\nu,\varepsilon; h,y)=\int_{y}^{y+h}\Psi(t)\, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Заменяя каждый сомножитель в (29) выражением (28) и раскрывая скобки, получим (далее $1=n_1<n_2<\dots<n_{r}$ – все бесквадратные числа, не превосходящие $\nu$)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\Psi(t) =\prod_{j=1}^r\biggl(\varepsilon+\mathop{{\sum}'}_{m_j}c(m_j)e^{2\pi itm_j\sqrt{n_j}}\biggr)=\varepsilon^r+\varepsilon^{r-1}\sum_{1\leqslant j\leqslant r}\mathop{{\sum}'}_{m_j}c(m_j)e^{2\pi itm_j\sqrt{n_j}} \\ &+\varepsilon^{r-2}\sum_{1\leqslant j_1<j_2\leqslant r}\, \mathop{{\sum}'}_{m_{j_1}, m_{j_2}}c(m_{j_1})c(m_{j_2})e^{2\pi it(m_{j_1} \sqrt{n_{j_1}}+m_{j_2}\sqrt{n_{j_2}})} \\ &+\dots+\varepsilon^{r-s}\!\!\!\sum_{1\leqslant j_1<\dots<j_s\leqslant r}\,\mathop{{\sum}'}_{m_{j_1},\dots, m_{j_s}}\!\!\!c(m_{j_1})\cdots c(m_{j_s})e^{2\pi it(m_{j_1}\sqrt{n_{j_1}} +\dots+m_{j_s}\sqrt{n_{j_s}})}+\cdots\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Интегрируя получившееся выражение по $t$, получим
$$
\begin{equation*}
I=h\varepsilon^r+\varepsilon^{r-1}\sum_{\mathbf{n}_1}W(\mathbf{n}_1) +\varepsilon^{r-2}\sum_{\mathbf{n}_2}W(\mathbf{n}_2) +\dots+\varepsilon^{r-s}\sum_{\mathbf{n}_s}W(\mathbf{n}_s) + \dotsb,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbf{n}_s$ – наборы вида $(n_{j_1},\dots, n_{j_s})$, а
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W(\mathbf{n}_s) &=\mathop{{\sum}'}_{m_{j_1},\dots, m_{j_s} = -\infty}^{+\infty}c(m_{j_1})\cdots c(m_{j_s})\int_{y}^{y+h}e^{2\pi itQ}\, dt, \\ Q &= m_{j_1}\sqrt{n_{j_1}}+\dots+m_{j_s}\sqrt{n_{j_s}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к оценкам и пользуясь неравенством леммы 14, находим:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |W(\mathbf{n}_s)| &\leqslant \frac{1}{\pi}\mathop{{\sum}'}_{m_{j_1},\dots, m_{j_s} = -\infty}^{+\infty}g(m_{j_1})\cdots g(m_{j_s})|Q|^{-1} \\ &\leqslant \frac{\nu^{2^{\nu}}}{\pi}\mathop{{\sum}'}_{m_{j_1},\dots, m_{j_s} = -\infty}^{+\infty}g(m_{j_1})\cdots g(m_{j_s}) \bigl(|m_{j_1}|^{2^{s-1}-1}+\dots+|m_{j_s}|^{2^{s-1}-1}\bigr) \\ &\leqslant \frac{2^{s}\nu^{2^{\nu}}}{\pi} \sum_{m_{j_1},\dots, m_{j_s} = 1}^{+\infty}g(m_{j_1})\cdots g(m_{j_s}) \bigl(m_{j_1}^{2^{s-1}-1}+\dots+m_{j_s}^{2^{s-1}-1}\bigr) \\ &\leqslant \frac{s 2^{s}\nu^{2^{\nu}}}{\pi}\sum_{m_{j_1},\dots, m_{j_s} = 1}^{+\infty}g(m_{j_1})\cdots g(m_{j_s}) m_{j_1}^{2^{s-1}-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
g(m)\leqslant \frac{1}{\pi m}\biggl(\frac{2R}{m\varepsilon}\biggr)^{R}\quad\text{при}\quad m\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
|W(\mathbf{n}_s)|\leqslant \frac{s}{\pi}2^{s}\nu^{2^{\nu}}\biggl(\frac{2R}{\varepsilon}\biggr)^{sR} \frac{1}{\pi^{s}}\sum_{m_1=1}^{+\infty}\frac{m_1^{2^{s-1}-1}}{m_1^{R+1}} \biggl(\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{1}{m^{R+1}}\biggr)^{s-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $R = 2^{r-1}\geqslant 2^{s-1}$, то $(R+1)-(2^{s-1}-1)\geqslant 2$ и
$$
\begin{equation*}
\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{m^{2^{s-1}-1}}{m^{R+1}}\leqslant \sum_{m=1}^{+\infty}\frac{1}{m^2}=\frac{\pi^2}{6}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{m=1}^{+\infty}\frac{1}{m^{R+1}} &\leqslant 1+\int_1^{+\infty}\frac{du}{u^{R+1}}=1+\frac{1}{R}, \\ \biggl(\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{1}{m^{R+1}}\biggr)^{s-1} &\leqslant \biggl(1+\frac{1}{R}\biggr)^{s}\leqslant e^{s/R}\leqslant e^{r/R} \leqslant \sqrt{e}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
|W(\mathbf{n}_s)|\leqslant \frac{s 2^{s}\sqrt{e}}{6\pi^{s-1}} \biggl(\frac{2R}{\varepsilon}\biggr)^{sR}\nu^{2^{\nu}}< \frac{7}{10}\biggl(\frac{2R}{\varepsilon}\biggr)^{sR}\nu^{2^{\nu}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Общее число различных наборов $\mathbf{n}_s$ равно $\binom{r}{s}$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |I-h\varepsilon^r| &\leqslant \frac{7}{10}\nu^{2^{\nu}}\sum_{s=1}^r\binom{r}{s}\varepsilon^{r-s} \biggl(\frac{2R}{\varepsilon}\biggr)^{sR} \\ &=\frac{7}{10}\nu^{2^{\nu}}\biggl(\biggl(\frac{2R}{\varepsilon}\biggr)^{R}+1\biggr)^r= \frac{7}{10}\nu^{2^{\nu}}\biggl(\frac{2R}{\varepsilon}\biggr)^{R} \biggl(1+\frac{\varepsilon^{R+1}}{(2R)^{R}}\biggr)^r. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последний сомножитель не превосходит
$$
\begin{equation*}
\exp{\biggl(\frac{r\varepsilon^{R+1}}{(2R)^{R}}\biggr)}=\exp{\biggl(\varepsilon r\biggl(\frac{\varepsilon}{2R}\biggr)^{R}\biggr)}\leqslant \exp{\biggl(\varepsilon\biggl(\frac{\varepsilon r^{1/R}}{2R}\biggr)^{R}\biggr)}<\exp{\biggl(\varepsilon\biggl(\frac{\varepsilon}{R}\biggr)^{R}\biggr)}<\frac{10}{7},
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
|I-h\varepsilon^r|<\nu^{2^{\nu}}\biggl(\frac{2R}{\varepsilon}\biggr)^{Rr}.
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая
$$
\begin{equation*}
h=\frac{2}{\varepsilon^r}\nu^{2^{\nu}}\biggl(\frac{3R}{r}\biggr)^{Rr},
\end{equation*}
\notag
$$
найдем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I&>h\varepsilon^r-\nu^{2^{\nu}}\biggl(\frac{2R}{\varepsilon}\biggr)^{Rr}=h\varepsilon^r \biggl(1-\frac{\nu^{2^{\nu}}}{\varepsilon^r}\,\frac{\varepsilon^r}{2\nu^{2^{\nu}}} \biggl(\frac{\varepsilon}{3R}\biggr)^{Rr}\biggl(\frac{2R}{\varepsilon}\biggr)^{Rr}\biggr) \\ &=h\varepsilon^r\biggl(1-\frac{1}{2}\biggl(\frac{2}{3}\biggr)^{Rr}\biggr) >\frac{2}{3}h\varepsilon^r. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, на промежутке $(y,y+h)$ найдется точка $t_0$ такая, что $\Psi(t_0)>(2/3)\varepsilon^r$. Дифференцирование дает
$$
\begin{equation*}
\Psi'(t)=\mathop{{\sum}''}_{n\leqslant \nu}\sqrt{n}\,\psi'(t\sqrt{n}) \mathop{{\prod}''}_{\substack{m\leqslant \nu \\ m\ne n}}\psi(t\sqrt{m}),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
|\Psi'(t)|\leqslant \mathop{{\sum}''}_{n\leqslant \nu}\sqrt{n}\,|\psi'(t\sqrt{n})|.
\end{equation*}
\notag
$$
Почленным дифференцированием ряда Фурье для $\psi(x)$ находим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \psi'(x)=2\pi i\mathop{{\sum}'}_{m=-\infty}^{+\infty}m c(m)e^{2\pi imx}, \\ |\psi'(x)|\leqslant 2\pi\mathop{{\sum}'}_{m=-\infty}^{+\infty}m g(m)\leqslant 2\mathop{{\sum}'}_{m=-\infty}^{+\infty} \biggl(\frac{2R}{|m|\varepsilon}\biggr)^{R} =4\biggl(\frac{2R}{\varepsilon}\biggr)^{R}\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{1}{m^{R}}< \frac{9}{2}\biggl(\frac{2R}{\varepsilon}\biggr)^{R}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Окончательно находим
$$
\begin{equation*}
|\Psi'(t)|\leqslant \frac{9}{2}\sqrt{\nu}\biggl(\frac{2R}{\varepsilon}\biggr)^{R} \frac{2\nu}{3}=3\nu^{3/2}\biggl(\frac{2R}{\varepsilon}\biggr)^{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим теперь
$$
\begin{equation*}
\lambda=\frac{\nu^{-3/2}}{18}\biggl(\frac{\varepsilon}{2R}\biggr)^{R}\varepsilon^r.
\end{equation*}
\notag
$$
Беря в качестве $E$ тот из интервалов $(t_0, t_0+\lambda)$, $(t_0,t_0-\lambda)$, который содержится в $(y,y+h)$ (очевидно, $\lambda < 1<h$), для всякого $t\in E$ будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, |\Psi(t)-\Psi(t_0)|&=|\Psi'(\xi)(t-t_0)|\leqslant 3\nu^{3/2}\biggl(\frac{2R}{\varepsilon}\biggr)^{R}\lambda \\ &=3\nu^{3/2}\biggl(\frac{2R}{\varepsilon}\biggr)^{R}\frac{\nu^{-3/2}}{18} \biggl(\frac{\varepsilon}{2R}\biggr)^{R}\varepsilon^r:= \frac16 \varepsilon^r, \end{aligned} \\ \Psi(t)\geqslant \Psi(t_0)-\frac{1}{6}\,\varepsilon^r\geqslant \frac{2}{3}\,\varepsilon^r-\frac{1}{6}\,\varepsilon^r= \frac{1}{2}\,\varepsilon^r>0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу сказанного выше, отсюда легко следует искомое утверждение. Лемма 15 доказана. Замечание 1. Как следует из приведенного выше рассуждения, в качестве $h$ и $\lambda$ можно брать величины Поэтому утверждение леммы 15 остается справедливым, если в качестве $h=h(\nu,\varepsilon)$ и $\lambda = \lambda(\nu,\varepsilon)$ брать указанные выше значения. § 5. Леммы о распределении значений одного тригонометрического рядаПусть $\tau$ – вещественное число, и пусть $\nu\geqslant 2$. Положим
$$
\begin{equation*}
S(\tau)=\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{r^2(m)}{m^{3/2}}\cos(2\pi\tau\sqrt{m}),\qquad S_{\nu}(\tau)=\sum_{m\leqslant \nu}\frac{r^2(m)}{m^{3/2}}\cos(2\pi\tau\sqrt{m}).
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду того, что
$$
\begin{equation*}
S_{\nu}(\tau)=S(\tau)+O\biggl(\frac{\log{\nu}}{\sqrt{\nu}}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
и что величина $S_{\nu}(\tau)$ (при $\nu = N$) участвует в выражении для $k_{P}$ (см. лемму 13), естественно поставить вопрос об области значений функции $S(\tau)$. Из неравенства
$$
\begin{equation*}
|S(\tau)|\leqslant S(0)=A=\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{r^2(m)}{m^{3/2}}
\end{equation*}
\notag
$$
следуют оценки верхняя из которых, очевидно, достижима. Оказывается, однако, что значения $S(\tau)$ лежат в более узком диапазоне, а именно: причем постоянная нижняя граница $-3A/4$ не может быть заменена большей. Доказательство этих утверждений и составляет цель настоящего параграфа. Лемма 16. Пусть $0<\varepsilon<10^{-2}$ – достаточно малое число, $\nu\geqslant e^{6}$, и пусть вещественное число $\tau$ таково, что неравенство выполнено для всех бесквадратных $n$, $1\leqslant n\leqslant \nu$. Тогда существуют абсолютные постоянные $a,b>0$ такие, что Доказательство. Пусть задано целое $k$ такое, что
$$
\begin{equation}
3\leqslant k<\min{\biggl(\frac{1}{4\varepsilon},\sqrt{\nu}\biggr)}.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Замечая, что всякое целое $m\geqslant 1$ единственным образом представляется в виде $q^2n$, где $n$ бесквадратное, находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_{\nu}(\tau) &=\sum_{m\leqslant \nu}\frac{r^2(m)}{m^{3/2}} \cos(2\pi\tau\sqrt{m})=\sum_{q^2n\leqslant\nu}\frac{\mu^2(n)r^2(q^2n)}{(q^2n)^{3/2}} \cos(2\pi\tau q\sqrt{n}) \\ &=\sum_{q\leqslant \sqrt{\nu}}\frac{1}{q^3}\sum_{n\leqslant \nu/q^2} \frac{\mu^2(n)r^2(q^2n)}{n^{3/2}}\cos(2\pi\tau q\sqrt{n}) \\ &=\biggl(\sum_{q\leqslant k}+\sum_{k<q\leqslant \sqrt{\nu}}\,\biggr)\frac{1}{q^3}\sum_{n\leqslant \nu/q^2} \frac{\mu^2(n)r^2(q^2n)}{n^{3/2}}\cos(2\pi\tau q\sqrt{n}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $n$ – бесквадратное число, то $h(q^2n)\leqslant h(q^2)h(n)$. Действительно, если $n$ делится на простое число $p$ вида $4\ell+3$, то $p$ входит в разложение каждого из чисел $q^2n$ и $n$ в нечетных степенях, и потому $h(q^2n) = h(n) = 0$. В противном случае представим $q$ и $n$ в виде $q = 2^{\alpha}q_1q_2$, $n = 2^{\beta}n_1$, где $\alpha,\beta\geqslant 0$, все простые делители $q_1$, $n_1$ имеют вид $4\ell + 1$, а все простые делители $q_2$ имеют вид $4\ell+3$. Замечая, что $h(q_1^2n_1) = \tau(q_1^2n_1)$, и пользуясь неравенством $\tau(uv)\leqslant \tau(u)\tau(v)$, которое справедливо при любых целых $u,v\geqslant 1$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h(q^2n) &=h(2^{2\alpha+\beta}q_1^2q_2^2n_1)=h(q_1^2n_1)=\tau(q_1^2n_1) \\ &\leqslant \tau(q_1^2)\tau(n_1)= h(q_1^2)h(n_1) =h(2^{2\alpha}q_1^2q_2^2)h(2^{\beta}n_1)=h(q^2)h(n). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
r(q^2n)=4h(q^2n)\leqslant 4h(q^2)h(n)=\frac{1}{4}r(q^2)r(n).
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя лемму 5, заключаем, что вклад от $q>k$ в $S_{\nu}(\tau)$ не превосходит по модулю
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{16}\sum_{q>k}\frac{1}{q^3}\sum_{n\leqslant \nu/q^2} \frac{r^2(q^2)r^2(n)\mu^2(n)}{n^{3/2}} \leqslant \frac{1}{16}\sum_{q>k}\frac{r^2(q^2)}{q^3} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\mu^2(n)r^2(n)}{n^{3/2}} \\ &\qquad\ll \sum_{q>k}\frac{r^2(q^2)}{q^3}\leqslant c_1\frac{(\log{k})^4}{k^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
S_{\nu}(\tau)=S_1+\theta_1c_1\frac{(\log{k})^4}{k^2},\qquad S_1=\sum_{q\leqslant k}\frac{1}{q^3}\sum_{n\leqslant \nu/q^2}\frac{\mu^2(n)r^2(q^2n)}{n^{3/2}}\cos(2\pi q\sqrt{n}).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, по условию для всякого бесквадратного $n\leqslant\nu$ найдется целое число $k_n$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\tau\sqrt{n}=k_n+\theta(n)\frac{\varepsilon}{2\pi},\qquad |\theta(n)|\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, при любом целом $q$, $1\leqslant q\leqslant k \leqslant (4\varepsilon)^{-1}$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, 2\pi\tau q\sqrt{n}=2\pi qk_n+\theta(n)q\varepsilon, \\ \cos(2\pi\tau q\sqrt{n}) =\cos(\theta(n)q\varepsilon) =1-\frac{1}{2}\theta'(n,q)(q\varepsilon)^2,\qquad |\theta'(n,q)|\leqslant 1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда заключаем, что
$$
\begin{equation*}
S_1=\sum_{q\leqslant k}\frac{1}{q^3}\sum_{n\leqslant \nu/q^2}\frac{\mu^2(n)r^2(q^2n)}{n^{3/2}} \biggl(1-\frac{1}{2}\theta'(n,q)(q\varepsilon)^2\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Вклад от последнего слагаемого в скобках не превосходит по модулю
$$
\begin{equation*}
\frac{\varepsilon^2}{2\cdot 16}\sum_{q\leqslant k}\frac{r^2(q^2)}{q} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\mu^2(n)r^2(n)}{n^{3/2}}\ll \varepsilon^2\sum_{q\leqslant k}\frac{r^2(q^2)}{q}\leqslant c_2\varepsilon^2(\log{k})^5,
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
S_1=S_2+\theta_2c_2\varepsilon^2(\log{k})^5,\qquad S_2=\sum_{q\leqslant k}\frac{1}{q^3}\sum_{n\leqslant \nu/q^2}\frac{\mu^2(n)r^2(q^2n)}{n^{3/2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ошибка от замены суммы по $n\leqslant \nu/q^2$ на бесконечную оценивается величиной
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{q\leqslant k}\frac{1}{q^3}\sum_{n>\nu/q^2}\frac{\mu^2(n)r^2(q^2n)}{n^{3/2}}\leqslant \frac{1}{16} \sum_{q\leqslant k}\frac{r^2(q^2)}{q^3}\sum_{n>\nu/q^2}\frac{\mu^2(n)r^2(n)}{n^{3/2}} \\ &\qquad\ll \sum_{q\leqslant k}\frac{r^2(q^2)}{q^3}\,\frac{\log{(\nu/q^2)}}{\sqrt{\nu/q^2}}\ll \frac{\log{\nu}}{\sqrt{\nu}} \sum_{q\leqslant k}\frac{r^2(q^2)}{q^2}\ll \frac{\log{\nu}}{\sqrt{\nu}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
S_2=\sum_{q\leqslant k}\frac{1}{q^3}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\mu^2(n)r^2(q^2n)}{n^{3/2}} +\theta_3c_3\frac{\log{\nu}}{\sqrt{\nu}}= S_3+\theta_3c_3\frac{\log{\nu}}{\sqrt{\nu}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, замена суммы по $q\leqslant k$ бесконечной приводит к ошибке, не превосходящей
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{16}\sum_{q>k}\frac{r^2(q^2)}{q^3}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\mu^2(n)r^2(n)}{n^{3/2}}\ll \sum_{q>k}\frac{r^2(q^2)}{q^3}\leqslant c_4\frac{(\log{k})^4}{k^2},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
S_3=\sum_{q=1}^{+\infty}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\mu^2(n)r^2(q^2n)}{(q^2n)^{3/2}}+ \theta_4c_4\frac{(\log{k})^4}{k^2}=A+\theta_4c_4\frac{(\log{k})^4}{k^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
S=A+\theta\biggl((c_1+c_4)\frac{(\log{k})^4}{k^2}+c_2\varepsilon^2(\log{k})^5 +c_3\frac{\log{\nu}}{\sqrt{\nu}}\biggr)=A+\theta R.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $(4\varepsilon)^{-1}\leqslant \sqrt{\nu}$, то положим $k = [(5\varepsilon)^{-1}]+1$. Тогда для величины $R$ получим неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R &\leqslant (c_1+c_4)\frac{\bigl(\log{(1/\varepsilon)}\bigr)^4}{(5\varepsilon)^{-2}}+ c_2\varepsilon^2\biggl(\log\frac{1}{\varepsilon}\biggr)^5+c_3\frac{\log{\nu}}{\sqrt{\nu}} \\ &=\biggl(c_2+25(c_1+c_4)\biggl(\log{\frac{1}{\varepsilon}}\biggr)^{-1}\biggr)\varepsilon^2 \biggl(\log{\frac{1}{\varepsilon}}\biggr)^5+c_3\frac{\log{\nu}}{\sqrt{\nu}} \\ &\leqslant\frac{a\log{\nu}}{\sqrt{\nu}}+b\varepsilon^2\biggl(\log{\frac{1}{\varepsilon}}\biggr)^5, \qquad a=c_3,\quad b = c_2+\frac{25}{2\log{10}}(c_1+c_2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если же $\sqrt{\nu}<(4\varepsilon)^{-1}$, то положим $k = [\sqrt{\nu}\,]$. Тогда, учитывая, что $\nu\geqslant e^{6}$, находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R &\leqslant (c_1+c_4)\frac{(\log{\sqrt{\nu}})^4}{(0.5\sqrt{\nu})^2}+ c_2\varepsilon^2(0.5\log{\nu})^5+c_3\frac{\log{\nu}}{\sqrt{\nu}} \\ &=(c_1+c_4)\frac{(\log{\nu})^4}{4\nu}+c_3\frac{\log{\nu}}{\sqrt{\nu}} +c_2\varepsilon^2\biggl(\log{\frac{1}{\varepsilon}}\biggr)^5 \\ &=\frac{\log{\nu}}{\sqrt{\nu}}\biggl(c_3+(c_1+c_4)\frac{(\log{\nu})^3}{4\sqrt{\nu}}\biggr) +c_2\varepsilon^2\biggl(\log{\frac{1}{\varepsilon}}\biggr)^5 \\ &\leqslant\frac{a\log{\nu}}{\sqrt{\nu}}+b\varepsilon^2\biggl(\log{\frac{1}{\varepsilon}}\biggr)^5, \qquad a=c_3+\frac{1}{4}\biggl(\frac{6}{e}\biggr)^3(c_1+c_4),\quad b = c_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 16 доказана. Лемма 17. Пусть $0<\varepsilon<10^{-2}$ – достаточно малое число, $\nu\geqslant e^{8}$, и пусть вещественное число $\tau$ таково, что неравенство выполнено для всех бесквадратных $n$, $1\leqslant n\leqslant \nu$. Тогда существуют абсолютные постоянные $a,b>0$ такие, что Доказательство. Выбирая целое $k$ с условиями (30), находим
$$
\begin{equation*}
S_{\nu}(\tau)=S_1+\theta_1c_1\frac{(\log{k})^4}{k^2},\qquad S_1=\sum_{q\leqslant k}\frac{1}{q^3}\sum_{n\leqslant \nu/q^2}\frac{\mu^2(n)r^2(q^2n)}{n^{3/2}}\cos(2\pi\tau q\sqrt{n}).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, для всякого бесквадратного $n$, $1\leqslant n\leqslant\nu$, найдется целое $k_n$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\tau\sqrt{n}=k_n+\frac{1}{2}+\theta(n)\frac{\varepsilon}{2\pi},\qquad |\theta(n)|\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, для любого целого $q$, $1\leqslant q\leqslant k$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, 2\pi\tau q\sqrt{n}=2\pi qk_n+\pi q+\theta(n)\varepsilon q, \\ \cos(2\pi\tau q\sqrt{n})=\cos(\pi q+\theta(n)\varepsilon q) =(-1)^{q}\cos(\theta(n)\varepsilon q)=(-1)^{q}-\frac{1}{2}\theta'(n,q)(\varepsilon q)^2, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $|\theta'(n,q)|\leqslant 1$. Применяя те же рассуждения, что и выше, последовательно находим
$$
\begin{equation*}
S_1=\sum_{q = 1}^{+\infty}\frac{(-1)^{q}}{q^3} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\mu^2(n)r^2(q^2n)}{n^{3/2}}+ \theta_2c_2\varepsilon^2(\log{k})^5+\theta_3c_3\frac{\log{\nu}}{\sqrt{\nu}} +\theta_4c_4\frac{(\log{k})^4}{k^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть, далее,
$$
\begin{equation*}
A_j=\sum_{q\equiv j\, (\operatorname{mod}2)}\frac{1}{q^3} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\mu^2(n)r^2(q^2n)}{n^{3/2}},\qquad j = 0,1.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $A_0+A_1 = A$. С другой стороны,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1 &=16\sum_{q\equiv 1\, (\operatorname{mod}2)}\frac{1}{q^3}\biggl(\sum_{n\equiv 1\, (\operatorname{mod}2)}\frac{\mu^2(n)h^2(q^2n)}{n^{3/2}}+\sum_{n\equiv 1\, (\operatorname{mod}2)}\frac{\mu^2(2n)h^2(2q^2n)}{(2n)^{3/2}}\biggr) \\ &=16\biggl(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\biggr)\sum_{q\equiv 1\, (\operatorname{mod}2)}\ \sum_{n\equiv 1\, (\operatorname{mod}2)} \frac{\mu^2(n)h^2(q^2n)}{(q^2n)^{3/2}} \\ &=\biggl(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\biggr)\sum_{m\equiv 1\, (\operatorname{mod}2)}\frac{r^2(m)}{m^{3/2}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A &=\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{r^2(m)}{m^{3/2}}=16\prod_{p}\biggl(1+\frac{h^2(p)}{p^{3/2}}+ \frac{h^2(p^2)}{p^3}+\frac{h^2(p^3)}{p^{9/2}}+\cdots\biggr) \\ &=16\biggl(1+\frac{1}{2^{3/2}}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^{9/2}}+\cdots\biggr)\prod_{p\ne 2} \biggl(1+\frac{h^2(p)}{p^{3/2}}+\frac{h^2(p^2)}{p^3}+\frac{h^2(p^3)}{p^{9/2}}+\cdots\biggr) \\ &=\biggl(1-\frac{1}{2\sqrt{2}}\biggr)^{-1}\sum_{m\equiv 1\, (\operatorname{mod}2)} \frac{r^2(m)}{m^{3/2}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
\sum_{m\equiv 1\, (\operatorname{mod}2)} \frac{r^2(m)}{m^{3/2}} =\biggl(1-\frac{1}{2\sqrt{2}}\biggr)A,\qquad A_1=\biggl(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\biggr)\biggl(1-\frac{1}{2\sqrt{2}}\biggr)A=\frac{7}{8}A.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
A_0=A-A_1=\frac{1}{8}A,\qquad A_0-A_1=-\frac{7}{8}A+\frac{1}{8}A=-\frac{3}{4}A.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, S_1=-\frac{3}{4}A+ \theta_2c_2\varepsilon^2(\log{k})^5+\theta_3c_3\frac{\log{\nu}}{\sqrt{\nu}}+ \theta_4c_4\frac{(\log{k})^4}{k^2}, \\ S_{\nu}(\tau)=-\frac{3}{4}A+\theta R,\qquad R\leqslant c_3\frac{\log{\nu}}{\sqrt{\nu}}+(c_1+c_4)\frac{(\log{k})^4}{k^2}+c_2\varepsilon^2(\log{k})^5. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Выбирая $k$ подобно тому, как это делалось при доказательстве леммы 16, приходим к искомому утверждению. Лемма доказана. Лемма 18. Наименьшее значение функции $\varphi(x)=\sum_{k = 0}^{+\infty}2^{-3k}\cos^2{(2^{k}x)}$ равно $1/7$. Доказательство. Достаточно минимизировать $\varphi(x)$ на отрезке $0\leqslant x\leqslant \pi$. Положим
$$
\begin{equation*}
\varphi_n(x)=\sum_{k = 0}^{n}\frac{1}{2^{3k}}\cos^2{(2^{k}x)},
\end{equation*}
\notag
$$
так что $\varphi(x)\geqslant \varphi_n(x)$ при любом $x$. Несложно проверить, что минимум $\varphi_n(x)$ достигается в точке $x = \pi/2$, причем Следовательно, Устремляя $n$ к бесконечности, заключаем, что $\varphi(x)\geqslant 1/7$ при всех $x$. Проверкой убеждаемся, что $\varphi(\pi/2) = 1/7$. Отсюда следует искомое утверждение. Лемма доказана. Доказательство. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S(\tau)+A &=\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{r^2(m)}{m^{3/2}}\bigl(1+\cos(2\pi\tau\sqrt{m})\bigr) \\ &=2\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{r^2(m)}{m^{3/2}}\cos^2(\pi\tau\sqrt{m})= 32\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{h^2(m)}{m^{3/2}}\cos^2(\pi\tau\sqrt{m}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, разобьем сумму на две: по $m = 2^{2k}n$ и по $m = 2^{2k+1}n$, где $k\geqslant 0$, $n$ нечетное. Получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &S(\tau)+A=32\mathop{{\sum}'}_{n=1}^{+\infty}\sum_{k=0}^{+\infty}\biggl( \frac{h^2(2^{2k}n)}{(2^{2k}n)^{3/2}}\cos^2(\pi\tau\, 2^{k}\sqrt{n})+ \frac{h^2(2^{2k+1}n)}{(2^{2k+1}n)^{3/2}}\cos^2(\pi\tau\,2^{k}\sqrt{2n})\biggr) \\ &=32\mathop{{\sum}'}_{n=1}^{+\infty}\sum_{k=0}^{+\infty}\biggl(\frac{h^2(n)}{2^{3k}n^{3/2}} \cos^2(\pi\tau\,2^{k}\sqrt{n})+ \frac{1}{2\sqrt{2}}\,\frac{h^2(n)}{2^{3k}n^{3/2}} \cos^2(\pi\tau\,2^{k}\sqrt{2n})\biggr) \\ &=32\mathop{{\sum}'}_{n=1}^{+\infty}\frac{h^2(n)}{n^{3/2}}\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^{3k}}\cos^2{(2^{k}\pi\tau\sqrt{n})}+\frac{32}{2\sqrt{2}} \mathop{{\sum}'}_{n=1}^{+\infty}\frac{h^2(n)}{n^{3/2}}\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^{3k}}\cos^2{(2^{k}\pi\tau\sqrt{2n})} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(штрих означает суммирование по нечетным $n$). В силу леммы 18 каждая из внутренних сумм не меньше $1/7$. Значит,
$$
\begin{equation*}
S(\tau)+A\geqslant \frac{32}{7}\biggl(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\biggr)\mathop{{\sum}'}_{n=1}^{+\infty} \frac{h^2(n)}{n^{3/2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Замечая, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &16\mathop{{\sum}'}_{n=1}^{+\infty}\frac{h^2(n)}{n^{3/2}} =16\prod_{p\ne 2}\biggl(1+\frac{h^2(p)}{p^{3/2}}+\frac{h^2(p^2)}{p^3}+\cdots\biggr) \\ &\qquad =16\biggl(1+\frac{1}{2^{3/2}}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^{9/2}}+\cdots\biggr)^{-1} \prod_{p}\biggl(1+\frac{h^2(p)}{p^{3/2}}+\frac{h^2(p^2)}{p^3}+\cdots\biggr) \\ &\qquad =16\biggl(1-\frac{1}{2\sqrt{2}}\biggr)\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{h^2(m)}{m^{3/2}}= \biggl(1-\frac{1}{2\sqrt{2}}\biggr)A, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
находим Лемма доказана. § 6. Доказательства теорем 1–6 Доказательство теоремы 1. Из следствия 2 леммы 12 заключаем
$$
\begin{equation*}
|k_{P}(T;H,U)|\leqslant \sum_{n\leqslant N}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}} \biggl|\frac{\sin g_n}{g_n}\biggr|+o(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим сперва, что $\varepsilon_0\geqslant 1$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{\sin g_n}{g_n}\biggr|\leqslant \frac{1}{g_n}=\frac{4}{\pi\varkappa\sqrt{n}}\leqslant \frac{4}{\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{\sqrt{n}},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation}
|k_{P}(T;H,U)|\leqslant \frac{4}{\pi\varepsilon_0}\sum_{n\leqslant N}\frac{r^2(n)}{n^2}+o(1)\leqslant \frac{4B}{\pi\varepsilon^0}+o(1).
\end{equation}
\tag{31}
$$
Пусть теперь $0<\varepsilon_0<1$. Замечая, что $g_1\geqslant \pi\varepsilon_0/4$, для любого $n\geqslant 1$ будем иметь
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{\sin g_n}{g_n}\biggr|\leqslant \frac{\sin (\pi\varepsilon_0/4)}{\pi\varepsilon_0/4},
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation}
|k_{P}(T;H,U)|\leqslant \frac{\sin (\pi\varepsilon_0/4)}{\pi\varepsilon_0/4} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}+o(1) =A\,\frac{\sin(\pi\varepsilon_0/4)}{\pi\varepsilon_0/4}+o(1).
\end{equation}
\tag{32}
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
\frac{\sin x}{x}\leqslant 1-\frac{x^2}{8}\quad\text{при}\quad 0\leqslant x\leqslant \frac{\pi}{2},
\end{equation*}
\notag
$$
то из (32) заключаем
$$
\begin{equation}
|k_{P}(T;H,U)|\leqslant A\biggl(1-\frac{1}{8}\biggl(\frac{\pi\varepsilon_0}{4}\biggr)^2\biggr)+o(1).
\end{equation}
\tag{33}
$$
Из (31) и (33) следует утверждение теоремы 1. Теорема 1 доказана. Доказательство теоремы 2. Зададим произвольное значение $\varkappa$, $D^{-1}\leqslant \varkappa\leqslant \varepsilon_0$, и положим $\nu = [(c_0/\varkappa)^2]$, где абсолютная постоянная выбрана так, чтобы выполнялось неравенство $\nu\geqslant 44$. Тогда для любого $U$ с условиями $\sqrt{T}(\log T)^3\leqslant U\leqslant Te^{-2\sqrt{\log{T}}}$ и $N = T/(4U)$, будем иметь
$$
\begin{equation}
44\leqslant \nu \leqslant \biggl(\frac{c_0}{\varkappa}\biggr)^2\leqslant (c_0D)^2=\bigl(c_0\varepsilon_1\sqrt{\log\log{T}}\bigr)^2=(c_0\varepsilon_1)^2\log\log T <N.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\biggl|\sum_{\nu<n\leqslant N}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\,\frac{\sin g_n}{g_n}\cos(2\tau_n-g_n)\biggr|\leqslant \sum_{\nu>n}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\ll \frac{\log{\nu}}{\sqrt{\nu}}\leqslant c_1\varkappa\log\frac{c_0}{\varkappa},
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_1>0$ – абсолютная постоянная. Теперь из следствия 2 леммы 12 для произвольного $H$, $\sqrt{T}(\log T)^3\leqslant H\leqslant T(\log{T})^{-1}$ заключаем
$$
\begin{equation}
k_{P}(T;H,U)=\sum_{n\leqslant\nu}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\,\frac{\sin g_n}{g_n} \cos(2\tau_n-g_n)+ \theta_1c_1\varkappa\log{\frac{c_0}{\varkappa}}+O\biggl(\frac{1}{\log{T}}\biggr).
\end{equation}
\tag{35}
$$
Вновь пользуясь тождеством (27) и неравенством
$$
\begin{equation*}
1-\frac{\sin 2x}{2x}+\frac{\sin^2 x}{x}\leqslant 1,\qquad 0\leqslant x\leqslant \frac{\pi}{4},
\end{equation*}
\notag
$$
заключаем, что замена множителя $(\sin g_n/g_n)\cos(2\tau_n-g_n)$ величиной $\cos 2\tau_n$ в (35) не превосходит по модулю
$$
\begin{equation*}
\sum_{n\leqslant\nu}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\biggl(1-\frac{\sin 2g_n}{2g_n}+\frac{\sin^2 g_n}{g_n}\biggr)\leqslant \sum_{n\leqslant\nu}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\,\frac{4g_n}{\pi} =\varkappa\sum_{n\leqslant\nu}\frac{r^2(n)}{n}\leqslant c_2\varkappa\biggl(\log{\frac{c_0}{\varkappa}}\biggr)^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_2>0$ – абсолютная постоянная. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
k_{P}(T;H,U)=\sum_{n\leqslant\nu}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}} \cos 2\tau_n +\theta_1c_1\varkappa\log{\frac{c_0}{\varkappa}} +\theta_2c_2\varkappa\biggl(\log{\frac{c_0}{\kappa}}\biggr)^2+O\biggl(\frac{1}{\log{T}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, пользуясь леммой 15 и замечанием к ней, по числам $\varepsilon_0$ и $\nu$ определим величину $h = h(\nu,\varepsilon_0)<(4\pi\nu\varepsilon_0^{-1})^{2^{\nu}}$ так, чтобы всякий промежуток $(y,y+h)$ содержал значения $\tau$, удовлетворяющие неравенствам $\|\tau\sqrt{n}\|<\varepsilon_0/(2\pi)$ для всех бесквадратных $n$, $1\leqslant n\leqslant\nu$. Если $\varepsilon_0$ достаточно велико, то
$$
\begin{equation*}
\varkappa^2\leqslant \varepsilon_0^2\leqslant \frac{1}{3}c_0^2\varepsilon_0,\qquad \frac{4\pi}{\varepsilon_0}\leqslant \frac{2}{3}\biggl(\frac{c_0}{\varkappa}\biggr)^2<\nu.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, пользуясь (34), найдем
$$
\begin{equation*}
h<\nu^{\,2\cdot 2^{\nu}}<\exp (e^{\nu})\leqslant \exp{(e^{(c_0D)^2})} =\exp (e^{(c_0\varepsilon_1)^2\log\log{T}}) <e^{\sqrt[3]{\log{T}}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, беря $y = (\log T)^3$, получим $\tau\leqslant y+h<2e^{\sqrt[3]{\log{T}}}$. Положив теперь $U_1 = \tau(2\sqrt{T}+\tau)$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, 2\sqrt{T}(\log T)^3<U_1<5\sqrt{T}e^{\sqrt[3]{\log{T}}}<\sqrt{T}e^{\sqrt{\log{T}}}, \\ \tau_n=\pi\sqrt{n}\bigl(\sqrt{T+U_1}-\sqrt{T}\bigr)=\pi\tau\sqrt{n}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 16 в обозначениях § 5 имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{n\leqslant\nu}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\cos 2\tau_n=S_{\nu}(\tau)=A+\theta\biggl(a\frac{\log{\nu}}{\sqrt{\nu}}+ b\varepsilon_0^2\biggl(\log{\frac{1}{\varepsilon_0}}\biggr)^5\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $a,b>0$ – абсолютные постоянные. Полагая $H_1=\varkappa\, T^{3/2}/U_1$, находим
$$
\begin{equation*}
H_1\geqslant \frac{T^{3/2}}{DU_1}\geqslant \frac{T^{3/2}}{\sqrt{T}}\, \frac{e^{-\sqrt{\log{T}}}}{\varepsilon_1\sqrt{\log\log{T}}}>Te^{-2\sqrt{\log{T}}},\qquad H_1\leqslant \frac{\varepsilon_0T^{3/2}}{U_1}<T(\log{T})^{-3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для так выбранных $U_1$ и $H_1$ справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &k_{P}(T;H_1,U_1) \\ &=A+\theta\biggl(a\frac{\log{\nu}}{\sqrt{\nu}}+b\varepsilon_0^2 \biggl(\log{\frac{1}{\varepsilon_0}}\biggr)^5+c_1\varkappa\log{\frac{c_0}{\varkappa}}+ c_2\varkappa\biggl(\log{\frac{c_0}{\kappa}}\biggr)^2\biggr)+O\biggl(\frac{1}{\log{T}}\biggr) \\ &=A+O\biggl(\varepsilon_0\log^2{\frac{1}{\varepsilon_0}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство второго утверждения теоремы проводится аналогично, с той разницей, что параметр $\tau$ выбирается так, чтобы для всех бесквадратных $n\leqslant \nu$ выполнялись неравенства $\|\tau\sqrt{n}-0.5\|\leqslant \varepsilon_0/(2\pi)$. Теорема 2 доказана. Доказательство теоремы 3. Согласно лемме 13 для всякого $U\in (V,2V)$ справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
k_{P}(T;H,U)=\sum_{n\leqslant N}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\cos 2\tau_n +\frac{1}{2}\theta_1\varepsilon, \qquad N = \frac{T}{4U}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\nu=\biggl[\biggl(\frac{c_0}{\varepsilon}\log{\frac{1}{\varepsilon}}\biggr)^2\,\biggr],
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_0\geqslant 1$ – достаточно большая абсолютная постоянная. Тогда
$$
\begin{equation*}
\biggl|\sum_{\nu<n\leqslant N}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\cos 2\tau_n\biggr|\leqslant \sum_{n>\nu}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}} \ll \frac{\log{\nu}}{\sqrt{\nu}}<\frac{\varepsilon}{4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вновь пользуясь обозначениями § 5, будем иметь
$$
\begin{equation*}
k_{P}(T;H,U)=S_{\nu}(\tau)+\frac{3}{4}\theta_2\varepsilon,\qquad \tau=\sqrt{T+U}-\sqrt{T}.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что $S_{\nu}(\tau)$ имеет на промежутке $(VT^{-0.5},2VT^{-0.5})$ большое число нулей, причем расстояние между соседними достаточно велико. Узкие окрестности таких нулей лягут в основу построения множества $\mathcal{E}$. Определим функции $F_{k}(\tau)$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, F_0(\tau)=S_{\nu}(\tau),\qquad F_{k}(\tau)=\int_0^{\tau}F_{k-1}(t)\, dt+C_{k},\quad\text{где}\quad C_{k}=0\text{ при нечетном }k, \\ C_{k}=\frac{(-1)^{\ell}}{(2\pi)^{2\ell}}\sum_{n\leqslant\nu}\frac{r^2(n)}{n^{\ell+3/2}} \quad\text{при}\quad k = 2\ell,\quad \ell\geqslant 1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда несложно проверить, что $S_{\nu}(\tau) = F_{k}^{(k)}(\tau)$ и
$$
\begin{equation}
F_{k}(\tau)=\frac{1}{(2\pi)^{k}}\sum_{n\leqslant\nu}\frac{r^2(n)}{n^{(k+3)/2}}\, \phi_{k}(2\pi\tau\sqrt{n}),\quad\text{где }\ \phi_{k}(t)= \begin{cases} \cos t, &k\equiv 0\ (\operatorname{mod}4), \\ \sin t, &k\equiv 1\ (\operatorname{mod}4), \\ -\cos t, &k\equiv 2\ (\operatorname{mod}4), \\ -\sin t, & k\equiv 3\ (\operatorname{mod}4). \end{cases}
\end{equation}
\tag{36}
$$
Первые три слагаемых ряда (36) равны соответственно
$$
\begin{equation*}
16\phi_{k}(2\pi\tau),\quad \frac{16}{2^{(k+3)/2}}\,\phi_{k}(2\pi\tau\sqrt{2}),\quad 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Из леммы 5 заключаем, что сумма оставшихся не превосходит по модулю
$$
\begin{equation*}
\sum_{4\leqslant n\leqslant\nu}\frac{r^2(n)}{n^{(k+3)/2}}\leqslant 16c_3 \frac{(k+3)}{2^{k+3}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак,
$$
\begin{equation*}
F_{k}(\tau)=\frac{16}{(2\pi)^{k}}\biggl(\phi_{k}(2\pi\tau) +\frac{\phi_{k}(2\pi\tau\sqrt{2})}{2^{(k+3)/2}}+\theta \frac{c_3(k+3)}{2^{k+3}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Выбирая число $k\equiv 1\pmod{4}$ настолько большим, чтобы сумма двух последних слагаемых не превышала по модулю $1/2$, получим
$$
\begin{equation*}
F_{k}(\tau)=\frac{16}{(2\pi)^{k}}\bigl(\sin (2\pi\tau)+0.5\theta'\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, для любой пары точек $\tau_s = s-0.25$, $\sigma_s = s+0.25$ ($s$ целое) будем иметь
$$
\begin{equation*}
F_{k}(\tau_s)=\frac{16}{(2\pi)^{k}}\bigl(-1+0.5\theta_1'\bigr)<0,\qquad F_{k}(\sigma_s)=\frac{16}{(2\pi)^{k}}\bigl(1+0.5\theta_2'\bigr)>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $F_{k}(\tau)$ имеет нуль на всяком промежутке вида $(s-1/4,s+1/4)$ и, следовательно, имеет по крайней мере $k+1$ различных нулей на всяком промежутке вида $(s-1/4,s+(k+1)+1/4)$. В силу теоремы Ролля на таком промежутке $F_{k}'(\tau)$ имеет по крайней мере $k$ различных нулей, $F_{k}''(\tau)$ – не менее $k-1$ различных нулей, …, $F_{k}^{(r)}(\tau)$ – не менее $k-r+1$ различных нулей, …, $F_{k}^{(k)}(\tau) = S_{\nu}(\tau)$ – хотя бы один нуль. Пусть $s_0 = [VT^{-0.5}]+2$, так что $s_0-1/4>VT^{-0.5}$. Обозначим через $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_{m}$ нули $S_{\nu}(\tau)$, лежащие на промежутках
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &E_1=\biggl(s_0-\frac{1}{4},s_0+(k+1)+\frac{1}{4}\biggr), \\ &E_2=\biggl(s_0+(k+2)-\frac{1}{4},s_0+(2k+3)+\frac{1}{4}\biggr), \\ &\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ &E_{m}=\biggl(s_0+(m-1)(k+2)-\frac{1}{4},s_0+m(k+2)-1+\frac{1}{4}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где целое $m$ определяется неравенствами
$$
\begin{equation*}
s_0+m(k+2)-1+\frac{1}{4}\leqslant \frac{2V}{\sqrt{T}}<s_0+(m+1)(k+2)-1+\frac{1}{4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, очевидно,
$$
\begin{equation*}
\xi_{j+1}-\xi_j>\frac{1}{2}\quad\text{и}\quad m>\frac{1}{k+2}\biggl(\frac{V}{\sqrt{T}} +\biggl\{\frac{V}{\sqrt{T}}\biggr\}+\frac{3}{4}\biggr)>\frac{1}{k+2}\,\frac{V}{\sqrt{T}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, заметим
$$
\begin{equation*}
S_{\nu}'(\tau)=-2\pi\sum_{n\leqslant\nu}\frac{r^2(n)}{n}\sin (2\pi\tau\sqrt{n}),
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
|S_{\nu}'(\tau)|\leqslant 2\pi\sum_{n\leqslant\nu}\frac{r^2(n)}{n}\leqslant c_4(\log \nu)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, положив $\delta = \varepsilon(4c_4(\log \nu)^2)^{-1}$, для всякого $\tau\in (\xi_j-\delta,\, \xi_j+\delta)$ в силу теоремы Лагранжа о конечных приращениях будем иметь
$$
\begin{equation*}
S_{\nu}(\tau)=S_{\nu}(\tau)-S_{\nu}(\xi_j)=(\tau-\xi_j)S_{\nu}'(\eta),\qquad |S_{\nu}(\tau)|<\delta|S_{\nu}'(\eta)|\leqslant \delta c_4(\log \nu)^2=\frac{\varepsilon}{4}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом интервалы $(\xi_j-\delta,\,\xi_j+\delta)$, $1\leqslant j\leqslant m$, не пересекаются и на их объединении имеем $|S_{\nu}(\tau)|<\varepsilon/4$. Пусть, далее,
$$
\begin{equation*}
\mathcal{E}_j=\bigl((\xi_j-\delta)(2\sqrt{T}+\xi_j-\delta),\, (\xi_j+\delta)(2\sqrt{T}+\xi_j+\delta)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
и пусть $\mathcal{E}$ – объединение всех $\mathcal{E}_j$, $1\leqslant j\leqslant m$. Тогда для всякого $U\in \mathcal{E}$ будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \tau=\sqrt{T+U}-\sqrt{T}\,\in\,\bigcup_{j=1}^{m}(\xi_j-\delta,\,\xi_j+\delta),\qquad |S_{\nu}(\tau)|<\frac{\varepsilon}{4}, \\ |k_{P}(T;H,U)|<\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{4}=\frac{\varepsilon}{2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
При этом, очевидно,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mes}(\mathcal{E})\geqslant 2\sqrt{T}\cdot 2\delta m>\frac{4\delta\sqrt{T}}{(k+2)}\, \frac{V}{\sqrt{T}}=\frac{4\delta V}{k+2}=\frac{\varepsilon V}{c_4(k+2)(\log \nu)^2}=c(\varepsilon)V,
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось. Теорема 3 доказана. Доказательство теоремы 4. Согласно лемме 13 для произвольного $U$ с условиями $V<U<2V$ и $N = T/(4U)$ имеем
$$
\begin{equation*}
k_{P}(H;T,U)=\sum_{n\leqslant N}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\cos 2\tau_n+o(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая
$$
\begin{equation*}
\nu=\biggl[\biggl(\frac{c_0}{\varepsilon}\log{\frac{1}{\varepsilon}}\biggr)^2\biggr]+1,
\end{equation*}
\notag
$$
при достаточно большом $c_0$ получим
$$
\begin{equation*}
k_{P}(H;T,U)=\sum_{n\leqslant N}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\cos 2\tau_n+\theta_1\,\frac{\varepsilon}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, пользуясь леммой 14, по заданным $\nu$ и $\varepsilon$ определим числа $h<(4\pi\nu\varepsilon^{-1})^{2^{\nu}}$ и $\lambda\geqslant (\varepsilon/(2\pi))^{2^{\nu}}$ так, чтобы всякий промежуток $(y,y+h)$ содержал интервал $E$ длины $\lambda$ такой, что для любого $\tau\in E$ и для всех бесквадратных $n$, $1\leqslant n\leqslant \nu$, выполнялись неравенства Разобьем промежуток $(V T^{-0.5}, 2V T^{-0.5})$ на не менее чем $h^{-1}[V T^{-0.5}]$ промежутков вида
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{V}{\sqrt{T}}+(m-1)h,\frac{V}{\sqrt{T}}+mh\biggr],\qquad 1\leqslant m\leqslant \frac{1}{h}\biggl[\frac{V}{\sqrt{T}}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
В каждом из них выделим интервал $E_{m}$ длины $\lambda$ так, чтобы для всех $\tau\in E_{m}$ и всех бесквадратных $m$, $1\leqslant n\leqslant \nu$ выполнялось неравенство (37). Наконец, по каждому $\tau\in E_{m}$ определим $U = \tau(2\sqrt{T}+\tau)$. Тогда всякому интервалу $E_{m}$ будет отвечать интервал $\mathcal{E}_{m}$ изменения $U$ с длиной, не меньшей, чем $2|E_{m}|\sqrt{T}\geqslant 2\lambda\sqrt{T}$. Возьмем в качестве $\mathcal{E}$ объединение всех интервалов $\mathcal{E}_{m}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mes}(\mathcal{E})\geqslant 2\lambda\sqrt{T}\, \frac{1}{h}\biggl[\frac{V}{\sqrt{T}}\biggr] \geqslant \frac{\lambda}{h}\,V=c(\varepsilon)V.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, пусть $U\in \mathcal{E}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\sqrt{T+U}-\sqrt{T} = \tau,\qquad 2\tau_n=2\pi\sqrt{n}\bigl(\sqrt{T+U}-\sqrt{T}\bigr)=2\pi\tau\sqrt{n},
\end{equation*}
\notag
$$
и при этом для всех бесквадратных $n\leqslant\nu$ справедливо (37). Но тогда в силу леммы 15 имеем
$$
\begin{equation*}
\biggl|\sum_{n\leqslant\nu}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\cos 2\tau_n-A\biggr|\leqslant a\,\frac{\log{\nu}}{\sqrt{\nu}}+b\varepsilon^2\biggl(\log{\frac{1}{\varepsilon}}\biggr)^5,
\end{equation*}
\notag
$$
где $a$, $b$ – абсолютные постоянные. Считая постоянную $c_0$ достаточно большой, а величину $\varepsilon$ достаточно малой, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a\frac{\log{\nu}}{\sqrt{\nu}}\,{\leqslant}\, a\frac{2\log((c_0/\varepsilon)\log(1/\varepsilon))} {(c_0/\varepsilon)\log(1/\varepsilon)} \,{=}\, \frac{2a}{c_0}\,\varepsilon \frac{\log(1/\varepsilon)+\log\log(1/\varepsilon)+\log c_0}{\log(1/\varepsilon)} \,{\leqslant}\, \frac{3a}{c_0}\,\varepsilon\,{<}\,\frac{\varepsilon}{4}, \\ b\varepsilon^2\biggl(\log{\frac{1}{\varepsilon}}\biggr)^5=\varepsilon b\varepsilon\biggl(\log{\frac{1}{\varepsilon}}\biggr)^5<\frac{\varepsilon}{4}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из этих неравенств следует первое утверждение теоремы. Второе утверждение доказывается аналогично, но с использованием леммы 16. Теорема 4 доказана. Доказательство теоремы 5 сразу следует из формулы леммы 13, равенств
$$
\begin{equation*}
\sum_{n\leqslant N}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\cos 2\tau_n=\sum_{n\leqslant\nu}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\, \cos(2\pi\tau\sqrt{n})+O\biggl(\frac{\log{\nu}}{\sqrt{\nu}}\biggr),\qquad \tau = \sqrt{T+U}-\sqrt{T}
\end{equation*}
\notag
$$
и утверждения леммы 19. Доказательство теоремы 6. Беря $D = (\log T)^2$ в лемме 13 и замечая, что
$$
\begin{equation*}
\frac{HU}{T^{3/2}}\leqslant \frac{T^{3/2-\delta}}{T^{3/2}}=T^{-\delta}\leqslant \frac{1}{D},
\end{equation*}
\notag
$$
находим
$$
\begin{equation*}
k_{P}(T;H,U)=\sum_{n\leqslant N}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\cos 2\tau_n +O\biggl(\frac{1}{\log{T}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть, далее, $c_0$ – достаточно малая абсолютная постоянная,
$$
\begin{equation*}
\nu=\biggl[\frac{c_0\delta\log{T}}{\log\log{T}}\biggr],
\end{equation*}
\notag
$$
так что $1<\nu<N$. Тогда в силу леммы 5 будем иметь
$$
\begin{equation*}
\biggl|\sum_{\nu<n\leqslant N}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\cos 2\tau_n\biggr|\ll \frac{\log{\nu}}{\sqrt{\nu}}\leqslant c_1\frac{(\log\log{T})^{3/2}}{\sqrt{\delta\log{T}}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно теореме Дирихле о совместных приближениях (см., например, [15; приложение, § 8, теорема 4]) для любого $t_0\geqslant 1$ и любого целого $q\geqslant 2$ найдется $\tau$ с условием $t_0\leqslant \tau\leqslant t_0q^{\nu}$ такое, что для каждого $n$, $1\leqslant n\leqslant\nu$, будет выполнено неравенство $\|\tau\sqrt{n}\|\leqslant q^{-1}$. Тогда, определяя $U$ из соотношения $\tau = \sqrt{T+U}-\sqrt{T}$, для $\tau_n = \pi\tau\sqrt{n}$ будем иметь $\|\tau_n/\pi\|\leqslant q^{-1}$. Значит, для всякого $n$, $1\leqslant n\leqslant\nu$, найдется целое $k_n$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\tau_n=\pi k_n+\frac{\pi\theta_n}{q},\quad |\theta_n|\leqslant 1,\qquad \cos 2\tau_n =1-\theta_n'\frac{2\pi^2}{q^2},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{n\leqslant \nu}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\cos 2\tau_n &=\sum_{n\leqslant \nu} \frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\biggl(1-\theta_n'\frac{2\pi^2}{q^2}\biggr) \\ &=\sum_{n\leqslant \nu}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}} -\frac{2\pi^2\theta}{q^2}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}=A-\sum_{n> \nu} \frac{r^2(n)}{n^{3/2}}+O\biggl(\frac{1}{q^2}\biggr) \\ &=A+O\biggl(\frac{1}{q^2}\biggr)+O\biggl(\frac{(\log\log{T})^{3/2}}{\sqrt{\delta\log{T}}}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, k_{P}(T;H,U) &=A+O\biggl(\frac{1}{q^2}\biggr) +O\biggl(\frac{(\log\log{T})^{3/2}}{\sqrt{\delta\log{T}}}\biggr) +O\biggl(\frac{1}{\log{T}}\biggr) \\ &=A+O\biggl(\frac{1}{q^2}+\frac{(\log\log{T})^{3/2}}{\sqrt{\delta\log{T}}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $t_0 = \log{T}$. Тогда, беря $q = [\log{T}]$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\tau\leqslant t_0q^{\nu}\leqslant (\log{T})^{\nu+1}\leqslant \exp{\biggl(\frac{2c_0\delta\log{T}}{\log\log{T}} \log\log{T}\biggr)}\log{T}=T^{2c_0\delta}\log{T}\leqslant \frac{1}{3}T^{\delta},
\end{equation*}
\notag
$$
если $c_0 < 1/2$. Но тогда
$$
\begin{equation*}
U=\tau(2\sqrt{T}+\tau)\leqslant 2\tau\sqrt{T}\leqslant 3\tau\sqrt{T}\leqslant T^{1/2+\delta},\qquad U\geqslant 2\tau\sqrt{T}>\sqrt{T}\log{T}
\end{equation*}
\notag
$$
и, наконец,
$$
\begin{equation*}
k_{P}(T;H,U)=A+O\biggl(\frac{(\log\log{T})^{3/2}}{\sqrt{\delta\log{T}}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 6 доказана. Следствие 5 получается из последней формулы и определения $\mathcal{Q}_{P}(T;H,U)$. Следствие 6 получается из оценки следствия 5 и неравенства Чебышёва (см., например, [15; приложение, § 7, теорема 1]). БлагодарностиАвторы благодарят рецензента за труд по ознакомлению с текстом работы и высказанные замечания, а также академика С. В. Конягина, предложившего идею доказательства леммы 15 о совместных приближениях.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KorPop22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|