| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Эволюционные силовые биллиарды А. Т. Фоменко, В. В. Ведюшкина Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9149e 
Реферативные базы данных:
    § 1. Введение. Силовой (эволюционный) биллиард. Наглядное описание1.1. Инварианты слоений Лиувилля на $Q^3$ и их реализация биллиардамиВажным подходом для качественного анализа динамических систем оказалось изучение фазовой топологии таких систем (С. Смейл [1]). Для интегрируемых гамильтоновых систем фазовое пространство системы обладает структурой слоения Лиувилля, т. е. разбиения пространства на регулярные торы и особые слои. В случае двух степеней свободы в работах [2]–[6] А. Т. Фоменко, его научной школы и соавторов была построена теория топологической классификации таких систем, ограниченных на трехмерный неособый уровень $Q^3$ энергии $H=h$, при помощи инвариантов Фоменко–Цишанга (конечных графов с числовыми метками). Подробно она описана в монографии А. В. Болсинова и А. Т. Фоменко [7]. Как оказалось, системы разной природы бывают лиувиллево эквивалентны друг другу в некоторых неособых зонах энергии, т. е. замыкания почти всех их решений устроены одинаково. Возник естественный вопрос о реализации (или моделировании) слоения Лиувилля более сложной (в некоторым смысле) системы с помощью более простой. Класс интегрируемых биллиардов оказался очень перспективным для такой задачи по ряду причин. Во-первых, особые режимы движения таких систем гораздо более наглядны (например, при проекции на биллиардный стол), в отличие от классических интегрируемых систем механики. Во-вторых, данный класс допускает разнообразные обобщения и расширения, сохраняющие интегрируемость системы. Среди них как новые: предложенная В. В. Ведюшкиной [8] склейка локально плоского стола-комплекса из плоских областей по общим дугам границы, так и хорошо известные ранее: добавление подходящего потенциала, постоянного магнитного поля или метрики постоянной кривизны. Два ключевых класса плоских интегрируемых биллиардов (без потенциала) – софокусные и круговые биллиарды – задаются на столах, ограниченных дугами софокусных квадрик или дугами концентрических окружностей и отрезками их радиусов. В серии работ [9]–[12] В. В. Ведюшкиной и А. Т. Фоменко с помощью интегрируемых биллиардов, в частности, топологических биллиардов и биллиардных книжек, удалось реализовать (в смысле лиувиллевой эквивалентности) многие известные интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы (далее ИГС). Однако каждый раз эта реализация достигалась “по отдельности” на какой-то одной изоэнергетической 3-мерной поверхности. Дело в том, что у топологических биллиардов [8], [13], [14], а также биллиардных книжек [15], [16], введенных В. В. Ведюшкиной, энергия биллиардного шара (материальной точки) является всего лишь масштабным параметром. Это означает, что его изменение не меняет топологию слоения Лиувилля на изоэнергетической 3-мерной поверхности. В то же время большинство интегрируемых систем геометрии и физики “живут”, будучи параметризованы значением энергии (гамильтониана), одновременно на целом множестве изоэнергетических 3-мерных поверхностей, отвечающих разным уровням энергии и других параметров системы. Так, системы с двумя степенями свободы “живут” на четырехмерных симплектических фазовых многообразиях $M^4$. Эти 4-мерные многообразия расслоены на поверхности постоянной энергии. Для почти всех значений энергии изоэнергетические поверхности регулярны и трехмерны. При особых значениях энергии они, вообще говоря, уже не являются 3-мерными многообразиями, т. е. являются особыми слоями слоения $M^4$ на уровни постоянной энергии. При этом изменение зоны энергии (переход через особый уровень) может повлечь изменение топологии изоэнергетических 3-мерных поверхностей. Тем самым интегрируемая система “эволюционирует”, перестраивается с ростом энергии. Значение энергии является важным параметром, от которого зависят многие свойства системы и ее поведение. Отметим, что многие классические системы динамики допускают задание на шестимерных алгебрах Ли. В этом случае четырехмерный симплетический лист (с ИГС на нем) можно выбрать, зафиксировав неособую пару значений функций Казимира скобки Ли–Пуассона (для ряда систем совпадающих с геометрическим интегралом и интегралом площадей). К настоящему моменту поведение многих интегрируемых систем геометрии, динамики и математической физики, а также их аналогов на алгебрах Ли удалось описать при помощи инвариантов Фоменко–Цишанга или инвариантов Фоменко [17] (граф без числовых меток) их слоений Лиувилля на неособых изоэнергетических 3-мерных поверхностях $Q^3$. Среди них – классические системы динамики: интегрируемые случаи Эйлера и Лагранжа [7], Ковалевской [18], Клебша [19], Стеклова и Соколова [20], Ковалевской–Яхьи [21], [22], а также их аналоги на алгебрах Ли [23]–[26]. Активно изучаются некомпактные системы, их инварианты (см. [27]–[30]) и возможность их реализации биллиардами [11]. Например, в статье [30] изучаются интегрируемые системы с двумя степенями свободы с неполными потоками. В ней описано слоение Лиувилля вблизи регулярного слоя, с точностью до послойного симплектоморфизма. Важным направлением оказалась классификация геодезических потоков с интегралами степеней $1$ и $2$ с последующим вычислением их инвариантов (см. [31]–[33]). Класс таких интегрируемых геодезических потоков в случае ориентируемой поверхности (сферы или тора) был полностью промоделирован В. В. Ведюшкиной и А. Т. Фоменко в работе [34]. Отметим также недавние работы Е. О. Кантонистовой [35], Д. С. Тимониной [36], Е. А. Кудрявцевой и А. А. Ошемкова [37], в которых изучалась топология интегрируемых систем на поверхностях вращения. Широкий класс интегрируемых систем (в ограничении на 3-уровень энергии) и их топологических инвариантов удалось реализовать подходящими биллиардами. В работе [38] А. Т. Фоменко сформулировал фундаментальную гипотезу о реализации интегрируемых систем и их инвариантов биллиардами. Ряд ее положений к настоящему моменту полностью доказан: биллиардами удалось реализовать невырожденные боттовские 3-атомы [15], [16], грубые молекулы [39] (базы слоений Лиувилля), числовые инварианты ИГС (локальная версия гипотезы А. Т. Фоменко, [40], [41]). Кроме того, В. В. Ведюшкиной удалось построить биллиардные книжки, реализующие $Q^3$ из некоторых классов гомеоморфности [42]. Напомним, что класс изоэнергетических многообразий ИГС совпадает (см. [7]) с известным классом граф-многообразий Вальдхаузена [43], [44]. Наиболее сильный раздел гипотезы Фоменко – ее пункт $C$, предполагающий возможность реализовать произвольный инвариант Фоменко–Цишанга с помощью биллиарда (из подходящего класса) – пока в полной мере не доказан. Тем не менее это удалось сделать для многих классов слоений Лиувилля систем динамики и геометрии [9], [11], [45] и [46]. Для этого рассматривались различные классы биллиардов: круговые и софокусные биллиарды, склеенные из них топологические биллиарды и биллиардные книжки, системы биллиарда в метрике Минковского [47], биллиарды в магнитном поле [46] или в поле действия потенциальных сил [48]–[50], геодезические потоки на квадриках [51], в том числе в поле потенциала Гука на эллипсоиде [52]. Вопросы интегрируемости и свойства биллиардов или геодезических потоков, в том числе при добавлении различных структур (потенциала, магнитного поля, метрики Минковского), подробно описаны в монографиях [53]–[55]. В недавних работах А. А. Глуцюка [56], А. Е. Миронова и М. Бялого [57]–[59] были доказаны различные версии гипотезы Биркгофа в случае полиномиальной интегрируемости. Оказалось, что софокусные и круговые биллиарды действительно являются единственными (с некоторыми условиями и уточнениями) интегрируемыми биллиардами с гладкой границей. Данный эффект имеет место как при добавлении постоянного магнитного поля (подходят только круговые биллиарды), так и при переходе к сфере и плоскости Лобачевского – односвязным пространствам постоянной кривизны. В работах А. Соррентино и В. Ю. Калошина [60], [61] была доказана локальная версия гипотезы Биркгофа. Тем самым, предложенный В. В. Ведюшкиной переход к биллиардам на клеточных комплексах (биллиардным книжкам и топологическим биллиардам) позволил существенно расширить класс рассматриваемых систем в условиях наличия фундаментальных ограничений на вид границы стола биллиарда для его интегрируемости. 1.2. Эволюционные силовые биллиардыЕстественным образом возник вопрос: можно ли задать новый класс биллиардов, реализующих ИГС “не по частям”, а целиком на всем фазовом 4-мерном многообразии $M^4$? Иными словами, мы хотим реализовать данную гамильтонову систему в ее эволюции, как бы “в развертке во времени”, где роль времени играет энергия системы. То есть так, чтобы изменяющийся биллиард реализовывал систему “целиком”, сразу на всем $M^4$. Тем самым показывая изменения, возникающие в системе с ростом ее энергии. Напомним, что по интегрируемой системе на симплектическом листе $M^4$ можно построить “код” – последовательность инвариантов Фоменко–Цишанга для каждой регулярной зоны энергии системы. На основе локально плоских биллиардов будем искать новый класс, подходящий для реализации “кода” ИГС. Тем самым, указанный класс должен реализовывать топологию слоений Лиувилля (замыканий решений) системы во всех неособых зонах энергии. Оказывается, такой класс биллиардов действительно существует. При этом мы не будем вводить потенциалы или накладывать дополнительные условия на четырехмерную топологию системы биллиарда. Дело в том, что добавление потенциала к биллиарду или геодезическому потоку порождает систему не только с нетривиальным “кодом”, но и обладающую иными, чисто четырехмерными инвариантами. Полный классифицирующий инвариант ИГС на $M^4$ с некоторыми дополнительными требованиями был предложен Н. Т. Зунгом [62], однако авторам неизвестны примеры его подсчета для конкретных систем из приложений. Простейшими примерами собственно четырехмерных инвариантов являются локальные и полулокальные топологические инварианты 4-мерных особенностей системы. Большинство ИГС из приложений содержат такие 4-мерные особенности, причем как невырожденные (классификация была предложена Н. Т. Зунгом, см. [63]), так и вырожденные (о случае параболических особенностей см. [64]–[67]). Изучение особенностей ИГС и их инвариантов – отдельная содержательная область науки. Недавние результаты в ней получены и изложены в работах [63], [64], [68]–[72]. В работе [73] инвариант (круговая молекула) некоторых седловых особенностей реализован биллиардной книжкой с потенциалом Гука. Отметим, что добавление потенциала, например к локально плоскому биллиарду, усложняет динамику системы: звенья траектории общего вида перестают быть прямолинейными отрезками (между ударами шара о границу). Мы же постараемся реализовать ИГС биллиардами с классическим движением материальной точки по геодезическим локально плоской метрики или римановой метрики с интегрируемым геодезическим потоком. Ответ на поставленный выше вопрос оказался положительным: А. Т. Фоменко был введен новый класс биллиардов, названный “эволюционными биллиардами”. Иногда также будем использовать термин “силовые биллиарды”. Термин “эволюционный” указывает, что вид биллиардного стола зависит от вещественного параметра, условно называемого энергией. Термин “силовые” указывает на силу, с которой биллиардный шар (материальная точка) ударяется о стенку (границу) биллиардного стола. Насколько нам известно, в ранее изучавшихся математических моделях биллиардов эта сила не учитывалась. Точнее, при отсутствии внешних сил, считалось, что скорость биллиардного шара постоянна по модулю и для простоты полагалась равной единице. Это приводило к тому, что модуль скорости (первый интеграл системы) превращался в простой масштабный параметр, по существу не влияющий на поведение системы. В частности, его изменение никак не влияло на топологию решений, например, на геометрию бифуркаций интегральных траекторий. Термины “силовые биллиарды” и “эволюционные биллиарды” мы считаем эквивалентными и будем иногда пользоваться то одним, то другим. В таких системах с ростом энергии биллиард меняет свою топологию и законы “отражения–преломления” на своих границах и “ребрах”. Будем считать, что сила удара шара о границу биллиардного 2-мерного стола определяется скоростью шара. Предлагаемая идея силового биллиарда состоит в том, что с изменением скорости шара (силы удара) будет меняться как геометрия самого биллиардного стола, так и закон отражения–преломления шара. Можно считать, что 2-мерный стол не обязательно плоский или локально плоский (в смысле евклидовой метрики). В наших работах уже рассматривались биллиардные столы, являющиеся двумерными (или многомерными) римановыми многообразиями, по которым точка движется по геодезическим траекториям, отражаясь от границ-“стенок”. Но пока для простоты будем говорить о локально плоских биллиардах. Идея эволюционного биллиарда состоит в том, чтобы рассмотреть биллиарды, зависящие от параметра (энергии, времени) и меняющиеся, перестраивающиеся, по некоторым “естественным” правилам. Понятие “естественности” можно формализовать по-разному. Важным аргументом в пользу вводимой ниже “естественности” является тот факт, что на этой основе авторам удается обнаружить ранее неизвестные связи между различными интегрируемыми системами. 1.3. Основные результатыКратко опишем основные результаты настоящей работы. Подробности будут изложены в следующих ее разделах. Первый результат. Оказывается, эволюционные (силовые) интегрируемые биллиарды реализуют (в смысле лиувиллевой эквивалентности) некоторые важные и хорошо известные в приложениях гамильтоновы системы “целиком”, т. е. сразу на всем фазовом симплектическом многообразии $M^4$ (за исключением, быть может, сингулярных изоэнергетических 3-мерных поверхностей). Иными словами, сразу на всех регулярных изоэнергетических 3-мерных поверхностях. То есть с ростом энергии $h$ материальной точки биллиардный стол довольно просто и наглядно меняет свою топологию, причем (тоже наглядно) меняются законы отражения–преломления на ребрах биллиарда (на его “изломах”). При этом шаг за шагом меняются (тоже достаточно просто) трехмерные уровни постоянной энергии эволюционирующего биллиарда. В результате интегрируемая и эволюционирующая биллиардная система, “живущая” на этих последовательно меняющихся уровнях энергии, шаг за шагом реализует интересующую нас гамильтонову систему из геометрии, топологии, математической физики на всех ее уровнях энергии. В качестве ярких примеров мы “целиком” реализовали системы Эйлера, Лагранжа, а также на подходящем интервале значений энергии реализована система Горячева–Чаплыгина–Сретенского, хорошо известная в динамике тяжелого твердого тела (пока это не полная реализация). Второй результат. Оказывается, при биллиардной реализации в случае Эйлера обнаруживаются, в качестве скрытых параметров, “софокусные квадрики”, а в случае Лагранжа – “скрытые концентрические окружности”. В итоге, естественная и простая деформация софокусных квадрик в окружности (при слиянии фокусов), оказывается, и “превращает” полный набор слоений Лиувилля случая Эйлера в полный набор слоений Лиувилля для случая Лагранжа. Напомним, что случай Эйлера интегрируем при помощи квадратичного интеграла, а случай Лагранжа – при помощи линейного интеграла. Такое “превращение” квадратично интегрируемой системы в линейно интегрируемую – интересный факт. Мы будем говорить, что в указанном смысле система Эйлера и система Лагранжа “биллиардно эквивалентны”. Замечание 1. В работе [52] путем добавления потенциала Гука к геодезическому потоку на трехосном эллипсоиде были реализованы все три различных движения системы Эйлера. Каждое из них реализовывалось в некоторой зоне энергии, однако в отличие от построенного нами эволюционного биллиарда, они не получались непосредственно друг из друга при эволюциях системы (т. е. с ростом энергии). Дело в том, что поток на эллипсоиде с потенциалом имеет и другие зоны энергии, с более сложными молекулами Фоменко–Цишанга. Эти молекулы в системе Эйлера не встречались. § 2. Определения и постановка задачи. Основные свойства эволюционных биллиардов2.1. Носитель эволюционного биллиардаНижеследующие определения введены А. Т. Фоменко. Определение 1. В качестве носителя (т. е. модельного пространства) $X$ для эволюционного силового биллиарда $X(h)$ рассмотрим конечный двумерный комплекс $X$, содержащий вершины, ребра и двумерные замкнутые области- листы $L_i$, гомеоморфные замкнутым односвязным областям евклидовой плоскости, т. е. двумерным дискам. Каждое ребро считаем гомеоморфным замкнутому отрезку, т. е. его граница – это две вершины. Граница каждого замкнутого листа $L_i$ состоит из конечного числа ребер. Далее, на каждом таком листе носителя биллиарда зададим локально плоскую евклидову метрику. Потребуем, чтобы углы между ребрами равнялись $\pi/2$. Если два листа имеют общее граничное ребро, вдоль которого они склеены, то считаем, что эта склейка является изометрией. То есть граничное ребро одного листа изометрично склеивается с граничным ребром соседнего листа. Таким образом, комплекс $X$ получается склейкой локально плоских биллиардных листов по некоторым граничным ребрам-корешкам. Назовем получившийся 2-мерный комплекс $X$ – носителем эволюционного биллиарда. Замечание 2. Можно было бы пока не предполагать биллиардную систему интегрируемой в каком-либо смысле. Конечно, интегрируемые биллиарды будут представлять для нас главный интерес. Однако многие вопросы интересны и для неинтегрируемых биллиардов. Замечание 3. В теории плоских интегрируемых биллиардов встречаются плоские неодносвязные биллиарды-листы (например ограниченные двумя софокусными эллипсами), а также биллиарды, границы которых являются регулярными кривыми без изломов (биллиард в эллипсе). Однако такие биллиарды легко разбиваются на гомеоморфные дискам биллиарды, граница которых состоит из отрезков, стыкующихся под прямыми углами. В дальнейшем мы будем рассматривать в том числе биллиарды, листы которых могут быть неодносвязными (но легко разбиваются на диски так, чтобы динамика осталась неизменной). В частности, в работе нам потребуются биллиарды, ограниченные концентрическими окружностями. Замечание 4. Как мы уже сказали, вместо локально плоской метрики на листах носителя эволюционного биллиарда можно задавать риманову метрику. Такой пример мы приведем ниже. В этом направлении возникает много интересных вопросов. Обозначим через $H$ модуль вектора скорости материальной точки (ее энергию) и пусть $h>0$ – какое-то конкретное его значение. 2.2. Эволюционный (силовой) биллиард как динамическая система на меняющемся биллиардном столеОпределение 2 (носитель эволюционного биллиарда и меняющиеся состояния биллиарда). Это определение включает в себя следующие четыре пункта. 1. Назовем носителем эволюционного биллиарда связный двумерный локально плоский клеточный комплекс $X$ (“стол”), описанный в определении 1. Например, важным классом, интересным для приложений, будут биллиардные книжки $X$ (см. [16], [42]). Напомним, что такие биллиарды задают интегрируемые системы с двумя степенями свободы. 2. Для каждого значения $h$ рассмотрим в связном носителе $X$ замкнутый клеточный подкомплекс $X(h)$, не обязательно связный. Будем считать, что энергия $h$ изменяется от 0 до бесконечности. Назовем $X(h)$ состоянием эволюционного (силового) биллиарда, отвечающим значению $h$. При изменении параметра $h$ состояние $X(h)$ будет, вообще говоря, меняться. Будем считать, что комплекс $X$ является объединением всех состояний эволюционного биллиарда. То есть все состояния “живут” внутри объемлющего комплекса-носителя $X$, как-то непрерывно меняются с ростом $h$ и их объединение исчерпывает весь носитель $X$, и, более того, при увеличении $h$ состояние $X(h)$ увеличивается. То есть если $h_1<h_2$, то $X(h_2)$ содержит или совпадает с $X(h_1)$. Другими словами, с ростом $h$ состояние $X(h)$ “поглощает” все предыдущие состояния, см. рис. 1. Это условие естественно, поскольку параметр $h$ имеет смысл энергии. При увеличении энергии шара область биллиарда увеличивается, т. е. шар проникает в большую область в комплексе-носителе. При этом некоторые стенки, ранее бывшие непроницаемыми для шара, теперь становятся проницаемыми, или же гладко деформируются (отодвигаются) под воздействием ударов шара, так что область состояния $X(h)$ разрастается монотонно.
На интервале изменения $h$ выделим конечное число значений $h=1$, $h=2$, $\dots$, $h=N$, которые назовем особыми (сингулярными), остальные значения назовем регулярными, см. рис. 2. 3. Ребрами-корешками состояний $X(h)$ являются дуги софокусных квадрик или отрезки фокусных прямых. В составе границ состояний $X(h)$ могут быть также окружности, которые при критических значениях энергии могут вырождаться в точки. 4. Эволюционным (силовым) биллиардом на носителе $X$ назовем динамическую систему, задаваемую движением материальной точки (биллиардного шара) по отрезкам геодезических внутри листов $L_i$ с постоянным модулем скорости, равным $h$, и со своим законом отражения–преломления $Z(h)$ на границе каждого листа биллиарда, т. е. либо на ребре-корешке, либо на граничной окружности. Замечание 5. Иногда удобно рассматривать носитель $X$ и состояния $X(h)$ с точностью до гомеоморфизма, т. е. временно игнорируя наличие локально плоской метрики на листах биллиарда. Это позволяет более наглядно представлять (например, изображать на двумерных моделях в трехмерном евклидовом пространстве) топологические свойства носителя и состояний биллиарда. Конкретный пример показан на рис. 1. Оказывается, он возникает при анализе случая Эйлера в динамике твердого тела. Здесь локально плоский носитель $X$ гомеоморфен двумерному эллипсоиду, а состояния $X(h)$ гомеоморфны гладко деформирующимся областям на эллипсоиде. Напомним неформальное определение биллиардной книжки (подробнее см. работу [16] В. В. Ведюшкиной и И. С. Харчевой). Пусть дан комплекс $X$, состоящий из двумерных клеток-листов. Напомним, что мы потребовали, чтобы каждая клетка являлась областью на плоскости, ограниченной кусочно гладкой кривой, такой что все углы равнялись $\pi/2$. Эти клетки склеены друг с другом вдоль одномерных ребер-корешков. Занумеруем листы книжки. Каждому одномерному ребру сопоставим циклическую перестановку из группы $S(k)$, где $k$ – это число листов книжки, сходящихся в данном ребре. При этом перестановка записана так, чтобы сохранить единую нумерацию биллиардных листов. Спроектируем $X$ на плоскость. Рассмотрим множество границ всех биллиардов-листов. Пусть на плоскости две границы образовали угол. Потребуем, чтобы в их прообразе соответствующие им перестановки коммутировали. Здесь под перестановкой в прообразе гладкой граничной дуги понимается перестановка, состоящая из объединения циклических перестановок всех корешков, проектирующихся на данную дугу. Тогда движение на полученном комплексе определяется так. Материальная точка, двигаясь по листу $i$, после удара о границу переходит на лист с номером $\sigma(i)$, где $\sigma$ – перестановка, приписанная данной границе. Условие коммутирования обеспечивает корректность отражения при попадании в угол. В этом случае номер листа определяется по композиции перестановок, приписанных сторонам данного угла. 2.2.1. Законы отражения–преломления, проницаемые и непроницаемые ребраСледующие четыре пункта описывают законы отражения–преломления. 1. Закон отражения–преломления зависит, вообще говоря, от параметра $h$ и от ребра склейки $r$ на границе биллиардного листа в состоянии $X(h)$. Поэтому будем записывать его как $Z(h,r)$. Это означает задание некоторой циклической перестановки из группы перестановок $S(n)$, где $n$ – число листов, сходящихся на ребре $r$. Тогда $Z(h)=\{Z(h,r)\}$ – набор законов отражения–преломления в состоянии $X(h)$. Будем считать, что $Z(h)$ является кусочно постоянной функцией от $h$. Пусть, для простоты, функция $Z(h)$ имеет лишь конечное число точек разрыва-скачков на интервале от $0$ до бесконечности, см. рис. 2. Если параметр $h$ меняется внутри интервала регулярности функции $Z(h)$, то законы отражения–преломления на всех ребрах состояния $X(h)$ остаются неизменными. Закон $Z(h)$ на каком-то ребре может измениться, только когда параметр $h$ проходит через критическое значение (это есть точка скачка кусочно постоянной функции). 2. Может случиться, что для некоторого критического $h$ какое-то ребро $r$ в комплексе-носителе $X$ становится “проницаемым” (“прозрачная стенка биллиарда” ), т. е. с ростом энергии биллиардный шар теперь проходит через него, а не отражается внутрь того же листа, с которого он пришел на ребро $r$. 3. Будем считать, что в интегрируемом биллиарде ребра-корешки комплекса–состояния $X(h)$ при изменении $h$ могут гладко меняться в классе софокусных квадрик. Такая операция может быть интерпретирована как раздвигание стенок биллиарда. При критических значениях параметра $h$ они могут сливаться (склеиваться) с другими ребрами (см. рис. 3), вырождаться, превращаться в отрезки фокусных прямых. То есть ребра-корешки и свободные границы (непроницаемые ребра) в $X(h)$ являются гладкими функциями от $h$. 4. Поясним предыдущий пункт. Пусть регулярное значение $h$ меняется в интервале $D_i$ между двумя соседними критическими значениями, см. рис. 2, т. е. топология состояния $X(h)$ пока не меняется. Будем считать, что границы склеиваемых листов гладко меняются в классе софокусных квадрик. Это условие естественно, так как в теории интегрируемых биллиардов это задает эквивалентные биллиарды [8]. Напомним, что деформация биллиарда в его классе эквивалентности не меняет топологию слоения Лиувилля его изоэнергетической 3-мерной поверхности (см. [13]). Другими словами, происходит переход к лиувиллево эквивалентной динамической системе. При этом здесь (в регулярном случае) предполагается, что граничные дуги листов не ложатся на фокальную прямую. Опишем подробнее эволюцию комплексов-состояний $X(h)$ внутри неизменного носителя $X$. 2.2.2. Перестройки состояний биллиарда: склейки корешков1. Операция склейки листов биллиарда при критическом значении $h$. При этой операции происходит склейка листов вдоль границ, которые являются одной и той же дугой одной и той же квадрики, см. рис. 3. В частности, мы можем склеивать не только корешки, но и свободные границы. Поскольку несколько корешков склеились теперь в один корешок, то на нем появляется новый цикл- перестановка. 2. В момент скачка мы разрешаем биллиардам, ограниченным софокусными квадриками, менять свой класс эквивалентности. А именно, пусть сегмент границы какого-то листа при критическом значении $h$ лег на фокальную прямую. В этом случае до задания новых перестановок (см. операции выше) необходимо объединить сегменты границы каждого плоского листа, если между ними образовался развернутый угол ($180$ градусов) или же сегмент “сложился пополам” (см. пример на рис. 1). Для этого необходимо сделать разрез на листе, но не раздвигать берега разреза, а объявить разрез новым ребром (сохраняя на нем перестановку и закон движения). Такая техническая тонкость возникает в связи с тем, что у правил склейки биллиардов есть ряд ограничений. В частности, склейка всегда происходит по сегментам границы (сегмент – это либо окружность, либо дуга квадрики от одного прямого угла до другого). Но так как мы разрешаем биллиардам в момент скачка менять свой тип, то скачком угол в $90$ градусов может стать равным $180$. В этот момент дуга квадрики перестает быть сегментом, и ее необходимо объединить с какими-то другими дугами, которые мы и добавляем (см. пример на рис. 4). 3. Операция объединения корешков в граничных точках. Разрешается склеивать в граничных точках корешки одного состояния $X(h)$ в том случае, когда (при скачке) они легли на одну граничную гладкую дугу, т. е. когда угол между ними стал развернутым ($180$ градусов). Приведем пример. Рассмотрим биллиард, ограниченный двумя эллипсами и двумя отрезками фокальной прямой. Пусть меньший эллипс при скачке лег на фокальную прямую. Тогда разрешается объединить этот меньший выродившийся эллипс, а именно отрезок между фокусами, с отрезками фокальной прямой в единый сегмент, см. рис. 4. 4. Все такие последовательные преобразования $\{Z(h,r)\}$, склейки корешков назовем скачками или перестройками состояния $X(h)$ при критических значениях $h$. Следовательно, стартуя с начального состояния, мы наблюдаем деформации-скачки подкомплексов $X(h)$ внутри неизменного (“неподвижного”) носителя $X$ эволюционного биллиарда. 2.2.3. Итоговое определение силового эволюционного интегрируемого биллиардаОпределение 3 (А. Т. Фоменко). a) Описанный выше комплекс $X$ назовем носителем силового эволюционного интегрируемого биллиарда. Мы считаем его неизменным, “неподвижным”. b) Семейство разрастающихся подкомплексов $X(h)$, “живущих внутри” носителя $X$, назовем состояниями эволюционного биллиарда, зависящими от $h$. Отметим, что носитель $X$ совпадает с последним (“максимальным”) состоянием $X(N+\varepsilon)= X(\infty)$. Подчеркнем, что носитель $X$ рассматривается как топологический комплекс, на ребрах которого никакие перестановки не указаны. c) Непроницаемые ребра состояний $X(h)$ могут становиться проницаемыми, но не наоборот. Ребра могут склеиваться. Граничные окружности могут стягиваться в точки. d) Интегрируемую систему с двумя степенями свободы, задаваемую динамикой биллиардного шара на меняющихся состояниях $X(h)$ назовем силовым эволюционным интегрируемым биллиардом (биллиардной системой). e) Поведение этой системы на регулярных и сингулярных изоэнергетических 3-мерных поверхностях (включая “деления биллиардного шара” и возникающую двузначность потока) будет определено ниже. Замечание 6. Поиск связного эволюционного биллиарда, который естественным образом (в указанном смысле) реализует конкретную гамильтонову интегрируемую систему, может быть непростым. Казалось бы, можно поступить тривиальным способом. Рассмотрим последовательные изоэнергетические 3-мерные многообразия $Q_1,Q_2,\dots$, несущие на себе данную интегрируемую систему на соответствующих последовательных уровнях энергии $h_1,h_2,\dots$ . Предположим, что соответствующие слоения Лиувилля на $Q_i$ реализуются биллиардными столами $A_i$. Чтобы сделать эволюционный биллиард, надо чтобы состояние $X_i$ было бы биллиардом $A_i$. Но если $A_i$ не включает в себя $A_{i-1}$, то этого по нашим правилам сделать невозможно. Иначе говоря, их “вульгарная” склейка сразу приведет к тому, что появится новое состояние $X$, отличное от состояний $X_i$ и $X_{i-1.}$ В этом состоянии биллиардный шар в некоторый момент начнет перемещаться с одного биллиарда на соседний, с ним склеенный, т. е. система начнет “перемешиваться”. Но в таком случае меняется топология изоэнергетических 3-мерных многообразий и слоений Лиувилля на них. Следовательно, изначальная интегрируемая система заменяется на какую-то другую. То есть такая попытка реализовать биллиардами исходную систему сразу на всех ее изоэнергетических многообразиях кончается неудачей. 2.3. Фазовые 4-комплексы эволюционного биллиардного стола, отвечающие регулярным зонам энергииПусть $h$ – регулярное значение энергии из какого-то интервала $D_i$. Соответствующий комплекс-состояние обозначим через $X(D_i)$. Определение 4. Точкой фазового комплекса $TX(D_i)$ является пара $(x,v)$, где $x$ – точка биллиардного стола $X(D_i)$, а $v$ – вектор скорости частицы в точке $x$. Когда точка $x$ оказывается на границе листа $L_i$, соседствующего с листом $L_k$, то склейка соответствующих пар $(x,v)$ и $(x,w)$ происходит по закону отражения–преломления $Z(r, h)$, действующего на данном ребре склейки $r$. Таким образом, эволюционный (силовой) биллиард с носителем $X$ задается набором данных $(X(D_i),\, \{X(h)\},\, \{Z(r,h),\, \text{склейки}\},\, N)$, где целое число $N$ определяет разбиение вещественной полуоси значений $H=h$ от нуля до бесконечности, задаваемое числами $0,1,2,3,\dots,N$. Повторим, что функции $X(h)$ и $Z(r,h)$ постоянны на каждом открытом интервале $(i,i+1)$. Точки $1,2,\dots$ задают скачки функции отражения–преломления, т. е. это – критические значения параметра $h$, см. рис. 2. Общее число интервалов постоянства функции $Z(r,h)$ равно $N+1$. Конечные интервалы регулярности этой функции обозначим через $D_i$, т. е. $D_1,\dots,D_N$. Последний, уже бесконечный интервал регулярности, обозначим через $D_\infty$. Отметим, что нуль мы не считаем критическим значением, так как скорость $v$ материальной точки всегда отлична от нуля. 2.4. Регулярные изоэнергетические 3-поверхности эволюционного (силового) биллиардаОпределение 5. Регулярной изоэнергетической 3-поверхностью (комплексом) $Q_h$ назовем подмножество в четырехмерном фазовом комплексе $TX(D_i)$, задаваемое уравнением $H= h$ (т. е. “уровень постоянной энергии”), где $h$ – регулярное значение параметра. В случае интегрируемых биллиардных книжек 3-мерные поверхности постоянной энергии, отвечающие регулярным значениям $h$, являются топологическими 3-мерными многообразиями (теорема Ведюшкиной–Харчевой см. [74]). Ниже мы обсудим сингулярные поверхности $Q_h$, т. е. поверхности, отвечающие критическим значениям $h$. В общем случае это уже не многообразие, а некоторый клеточный комплекс с особенностями. Формально это определение совпадает с классическим понятием изоэнергетической поверхности для систем с двумя степенями свободы, не обязательно интегрируемых. В том числе и для двумерных топологических биллиардов и биллиардных книжек. Для силового биллиарда каждому интервалу $D_i$, $D_\infty$ (где $i=1,2,\dots,N)$ отвечает, вообще говоря, своя регулярная изоэнергетическая поверхность $Q_h$. Следовательно, число таких поверхностей равно $N+1$. Обозначим их через $Q_1,Q_2,\dots,Q_N,Q_\infty$ (см. рис. 2). Конечно, некоторые из них могут оказаться гомеоморфными друг другу. Напомним, что для классических топологических биллиардов и биллиардных книжек топология слоения Лиувилля на $Q^3_h$ не зависит от выбора конкретного (ненулевого) значения $h$ энергии $H=|v|^2$, т. е. все регулярные изоэнергетические 3-поверхности имеют один и тот же тип. В качестве важного примера биллиардных столов будем рассматривать столы интегрируемых топологических биллиардов и биллиардных книжек, с точностью до естественных эквивалентностей, см. статью В. В. Ведюшкиной [8]. 2.4.1. Наглядный комментарийИдея эволюционного (силового) биллиарда является новой, так как учитывает энергию материальной точки. Качественные изменения динамической системы при изменении энергии частицы изучаются, например, в физике, квантовой механике. При увеличении энергии электроны, вращающиеся вокруг ядра атома, “перескакивают” с одного энергетического уровня на другой. Тем самым, “накачка” энергии приводит к бифуркациям системы. Оказывается, нечто подобное обнаруживается и в математических биллиардах. Стенки биллиардных столов становятся “чувствительными” к силе удара материальной точки. Другими словами, в эволюционном биллиарде стенки реагируют (каждая по-своему) на энергию точки, ударяющейся о стенку. При критических значениях энергии стенки меняют свои свойства и движение материальной точки изменяется в соответствии с новым законом отражения–преломления. 2.5. Сингулярные изоэнергетические 3-поверхности эволюционного (силового) биллиардаТеперь разберемся, как устроены “сингулярные” изоэнергетические 3-мерные поверхности эволюционного биллиарда. Они условно изображены на рис. 2 как 3-мерные поверхности $K_1,K_2,\dots,K_N$. Они соответствуют сингулярным значениям энергии $h=1,2,3,\dots,N$. Пусть $h=i$ – сингулярное значение энергии. Обозначим через $X(i-\varepsilon)$ левый биллиардный стол-состояние, а через $X(i+\varepsilon)$ – правый биллиардный стол-состояние. Рассмотрим какое-нибудь ребро-корешок $r$ на левом 2-мерном столе $X(i-\varepsilon)$, на котором сейчас поменяется закон отражения, а также произойдут склейки. Сингулярный комплекс $X_i$ устроен так. Возьмем комплекс $X(i-\varepsilon)$ и приклеим к корешку $r$ те листы, которые должны быть подклеены к этому корешку после данного скачка, т. е. в комплексе $X(i+\varepsilon)$. Рассмотрим два “соседних” регулярных 3-мерных многообразия: $Q_i $ (назовем его левым) и $Q_{i+1}$ (назовем его правым), соответствующих столам $X(i-\varepsilon)$ и $X(i+\varepsilon)$. Определим “заключенную между ними” сингулярную 3-поверхность $K_i$, см. рис. 2. Оснастим каждую точку листа комплекса $X_i$ вектором скорости длины $h=i$. Сначала отождествим по стандартному закону отражения вектора скорости на тех корешках, закон отражения на которых не меняется. Теперь рассмотрим корешок, на котором поменялся закон отражения. В каждой его точке мы отождествим все векторы скорости с одинаковым направлением в том случае, если они отождествлялись либо в $Q_i$, либо в $Q_{i+1}$. Это приводит к тому, что конструируемая нами 3-мерная поверхность $K_i$ является компактной, однако в ней появляются особенности, отвечающие этим корешкам. Эта 3-мерная поверхность уже, вообще говоря, не является 3-мерным многообразием. Окрестность любой точки корешка, оснащенной вектором скорости, в 3-мерной поверхности $K_i$ уже не гомеоморфна трехмерному диску. По сути поверхность $K_i$ получается из поверхности $Q_i$ отождествлением пар $(x,v)$ (точка-вектор) с теми парами $(x,w)$, которые должны быть отождествлены в $Q_{i+1}$. В каждом случае неоднозначности это приведет к отождествлению трех пар точка-вектор (одна входящая на корешок и две исходящих), а не двух, как происходит на корешках в регулярном случае. Именно этот эффект и приводит к возникновению особенности. Как устроена сингулярная 3-мерная поверхность? Это не топологическое многообразие, это клеточный комплекс. Он является стратифицированным 3-мерным многообразием. Его страты – гладкие многообразия. Согласно гипотезе А. Т. Фоменко он является полуалгебраическим многообразием. Мы описали топологию сингулярной 3-мерной поверхности $K_i$, “зажатой” между двумя “соседними” топологическими 3-мерными многообразиями $Q_i$ и $Q_{i+1}$. Отметим, что здесь имеется аналогия с гладкими гамильтоновыми интегрируемыми системами с двумя степенями свободы. Там сингулярные изоэнергетические 3-мерные поверхности тоже зажаты между двумя соседними регулярными 3-мерными поверхностями постоянной энергии. Для гладких систем сингулярность 3-мерной поверхности означает, вообще говоря, что она уже не является гладким многообразием, на ней $\operatorname{grad}(H)$ вырождается в некоторых точках. Причем характер вырождения может быть довольно разнообразен и зависит, в том числе, от конкретного вида гамильтониана $H$. В случае силового биллиарда картина похожа, и выше мы ее описали. 2.6. Биллиардные потоки на сингулярных изоэнергетических 3-мерных поверхностях эволюционного биллиарда. Распад-деление биллиардного шара на два шара на сингулярных биллиардных 2-мерных столахТеперь можно разобраться с тем, какой “двузначный поток” порождают на сингулярной 3-мерной поверхности $K_i$ “сближающиеся” биллиардные потоки на 3-мерных многообразиях $Q_i$ и $Q_{i+1}$, когда они “стремятся” (слева и справа по $h$) к зажатой между ними 3-мерной поверхности $K_i$. Грубо говоря, каждый из этих потоков порождает поток на сингулярной 3-мерной поверхности $K_i$. Эти предельные потоки различны. На корешках, на которых закон отражения меняется после скачка, невозможно корректно определить траекторию шара после отражения (преломления) (см. рис. 5). Отметим, что мы знаем, как ведет себя шар на левом $X(i-\varepsilon) $ и правом $X(i+\varepsilon)$ биллиардных столах. При достижении данного корешка шар до и после скачка переходит на разные листы (на правом и на левом столах). Неформально говоря, на сингулярном комплексе $X(i)$ после пересечения этого корешка траектория шара “раздваивается”. То есть шар идет как бы по двум листам одновременно, см. рис. 5. Иными словами, можно считать, что шар, ударившись о такой корешок, “раскалывается” на два, и каждый из этих шаров “начинает жить собственной жизнью”. Итак, когда значение энергии $h$ становится равным $i$, на сингулярном 2-мерном столе возникает распад (деление) биллиардного шара на два шара. Каждый из них движется “по своему” листу. Иными словами, сближающиеся биллиардные потоки на трехмерных изоэнергетических поверхностях “садятся” в пределе на сингулярную 3-мерную поверхность $K_i$, порождают на ней “ветвящийся поток”. Ветвление индуцируется делением (распадом) шара на два в момент удара о корешок $r$. Отметим, что эта ситуация происходит только на тех корешках-склейках силового биллиарда, на которых меняется закон отражения при скачке. “Элементарная частица” при этом распадается на две. В этом отличие от гладкого случая. В гладком случае на сингулярной изоэнергетической 3-мерной поверхности возникает гамильтонов поток с особенностями, диктуемыми особенностями 3-мерной поверхности. Этот поток однозначен, в том смысле, что в каждой фазовой точке 3-мерной поверхности “сидит” один вектор. А для эволюционных биллиардов поток на сингулярной 3-мерной поверхности тоже особый, но тут он становится ветвящимся. Один набор его “ветвей” приходит “справа”, а второй набор “ветвей” приходит “слева”. Поэтому здесь в каждой сингулярной фазовой точке “сидят” два вектора. § 3. Интегрируемые биллиарды, ограниченные дугами софокусных квадрикЗафиксируем семейство софокусных квадрик соотношением
$$
\begin{equation*}
(b-\lambda)x^2+(a-\lambda)y^2=(b-\lambda)(a-\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $a$, $b$ – фиксированные параметры семейства, которые, в частности, фиксируют расстояние между фокусами. Если $a>b>0$, то данное соотношение описывает семейство софокусных эллипсов и гипербол, в которые включены фокальная прямая $y=0$ и предельная гипербола $x=0$. Под элементарным биллиардом понимается компактная связная часть плоскости, граница которой состоит из дуг софокусных квадрик и не содержит углов $3\pi/2$. Отметим, что софокусные квадрики всегда пересекаются под прямым углом. Запрет углов $3\pi/2 $ позволяет корректно определить биллиардное движение после попадания материальной точки в угол. А именно, после отражения точка продолжает движение в противоположном направлении по тому же отрезку, по которому попала в угол. Пусть семейство софокусных квадрик состоит из эллипсов и гипербол. Имеет смысл расширить множество элементарных биллиардов, включив в него накрытия над областью, ограниченной двумя эллипсами, а также части этих накрытий. На множестве элементарных биллиардов можно ввести естественное отношение эквивалентности, которое сохраняет слоение Лиувилля. Нестрого говоря, два биллиарда называются эквивалентными, если один получается из другого изометрией плоскости или же изменением параметров границ так, чтобы изменяемые дуги границ во время деформации не меняли бы своего типа (подробнее см. [8]). Определение запрещает сегменту изменяемой границы менять свой тип, т. е. сегменты во время деформации остаются либо эллиптическими (т. е. параметры квадрик, на которых располагаются эти сегменты, непрерывно меняются в пределах $(-\infty,b)$), либо гиперболическими (т. е. параметры квадрик, на которых располагаются эти сегменты, непрерывно меняются в пределах $(b,a]$), либо все время лежат на фокальной прямой (во все время деформации параметр остается равным $b$). При этом повторим, что в нашем предположении все эллипсы и гиперболы принадлежат одному семейству софокусных квадрик с параметрами $a$ и $b$. § 4. Случай ЭйлераПерейдем к конкретным примерам силовых эволюционных биллиардов, реализующих важные интегрируемые системы геометрии, механики, математической физики. В качестве первого примера рассмотрим знаменитый случай Эйлера в динамике тяжелого твердого тела. Покажем, как можно реализовать силовым эволюционным биллиардом случай Эйлера сразу на всем фазовом многообразии $M^4$, т. е. на всех регулярных изоэнергетических 3-мерных поверхностях. Эта система описывается на шестимерной алгебре Ли $e(3)$ группы движений трехмерного евклидова пространства. В естественных координатах на дуальном пространстве $e(3)^*$ скобка Пуассона принимает вид
$$
\begin{equation*}
\{S_i, S_j\}=\varepsilon_{i j k} S_k, \qquad \{R_i,S_j\}=\varepsilon_{i j k} R_k, \qquad \{R_i, R_j\}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\{i, j, k\}=\{1,2,3\}$ и $\varepsilon_{i j k}=(i-j)(j-k)(k-i)/2$. Гамильтонова система на $e(3)^*$ описывается так называемыми уравнениями Эйлера: где $H$ – гамильтониан.Фиксируем симплектический лист, т. е. четырехмерную поверхность уровня двух интегралов уравнений Эйлера: $f_1$ (геометрический интеграл) и $f_2$ (интеграл площадей), получаем
$$
\begin{equation*}
M_{c, g}^{4}=\{f_1=R_1^2+R_2^2+R_3^2=c,\, f_2=S_1 R_1+S_2 R_2+S_3 R_3=g\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для почти всех значений $c$ и $g$ совместная поверхность уровня функций является гладким подмногообразием в $\mathrm{e}(3)^*$, на котором скобка Пуассона невырождена, что приводит к существованию симплектической структуры на этом подмногообразии. В дальнейшем полагаем, что $c$ и $g$ – регулярные значения. Случай Эйлера $(1750) $ описывает динамику тяжелого твердого тела, закрепленного в центре масс. Гамильтониан и дополнительный интеграл имеют вид
$$
\begin{equation*}
H=\frac{S_1^2}{2 A_1}+\frac{S_2^2}{2 A_2}+\frac{S_3^2}{2 A_3}, \qquad K=S_1^2+S_2^2+S_3^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем считать, что $f_1=1$. Тогда различные 3-мерные поверхности $Q^3$ задаются параметрами $g$ и $h$. Рассмотрим бифуркационную диаграмму пары интегралов $f_2$ и $H$. Кривые бифуркационной диаграммы разбивают плоскость $R^2(g,h)$ таким образом, что для всех точек $(g,h)$ из одной области топологический тип соответствующих изоэнергетических поверхностей будет одним и тем же. Рассмотрим отображение
$$
\begin{equation*}
F=(f_2, H)\colon S^2\times \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2(g,h),
\end{equation*}
\notag
$$
заданное формулой $F(P)=(f_2(P),H(P))\in \mathbb{R}^2(g,h)$. Для случая Эйлера бифуркационная диаграмма $(f_2,H)$ была вычислена А. В. Болсиновым и А. Т. Фоменко [7; т. II] и приведена на рис. 6. Для каждой из получившихся камер ранее был найден интегрируемый биллиард, лиувиллево эквивалентный системе Эйлера (см. [11]). На рис. 6 приведены эти пять биллиардов, а также инварианты Фоменко–Цишанга, описывающие их слоения Лиувилля. При этом для каждой изоэнергетической поверхности был обнаружен свой биллиард. Как было сказано во введении, давно обсуждался вопрос, можно ли реализовать биллиардами гамильтонову систему сразу, целиком на $M^4$, одновременно на всех ее регулярных изоэнергетических поверхностях. Оказалось, что эволюционные биллиарды позволяют это сделать. Покажем как добиться этого для случая Эйлера. 4.1. Построение эволюционного биллиардаФиксируем на бифуркационной диаграмме прямую $g=\mathrm{const}\neq0 $ (см. рис.7). Этой прямой будет соответствовать симплектический лист $M_g^4$, состоящий из трех кусков, каждый из которых соответствует своему типу изоэнергетической поверхности. Обозначим через $h_0$, $h_1$ и $h_2$ критические значения $H$, при которых меняется тип изоэнергетической поверхности. При $H\in(h_0,h_1)$ изоэнергетические поверхности гомеоморфны несвязному объединению двух сфер $S^3$, при $H\in(h_1,h_2)$ изоэнергетическая поверхность гомеоморфна прямому произведению $S^1\times S^2$, при $H\in (h_2,\infty)$ изоэнергетическая поверхность гомеоморфна проективному пространству $\mathbb{R}P^3$. Замечание 7. На всех последующих рисунках силовых эволюционных биллиардов стрелками на листах биллиарда изображены траектории биллиардного шара. Построим силовой эволюционный биллиард, соответствующий данному симплектическому листу $M^4_g$. Оказывается, три из четырех биллиардов, показанных на рис. 6, являются тремя состояниями эволюционного биллиарда. Начальным (стартовым) биллиардом является несвязный биллиард, не имеющий общих точек с фокальной прямой. Он гомеоморфен двум дискам. При эволюции биллиарда он превратится в кольцо. На рис. 6 изображены два кольца, любое из них нам подходит. Наконец, на заключительном этапе эволюции кольцо превращается в сферу (эллипсоид). Получившийся силовой биллиард показан на рис. 1. Сейчас мы опишем этот процесс подробнее с указанием траекторий биллиардного шара и склейкой корешков. Эта более подробная эволюция начального биллиарда показана на рис. 7 (при движении снизу вверх). Рассмотрим два склеенных по границе диска, ограниченных одним и тем же эллипсом. Получим поверхность $E$, гомеоморфную эллипсоиду. Фиксируем гиперболу $m$ с параметром $\lambda_{m}>b$ и эллипс $e$ с параметром $\lambda_{e}<b$. Рассмотрим области на поверхности $E$, ограниченные фиксированными выше эллипсом $e$ и гиперболой $m$. Выберем из этих областей две области, не имеющие общих точек с фокальной прямой (см. рис. 7). Каждая из них гомеоморфна диску. Начальный комплекс $X$ при $H\in(h_0,h_1)$ эволюционного биллиарда состоит из этой пары областей. При увеличении параметра $H$ будем менять границы биллиарда, оставаясь в классе софокусных квадрик. Устремим параметр $\lambda_{e}$ граничного эллипса $e$ к $b$ так, чтобы при $H=h_1$ параметр $\lambda_{e}$ принял значение $b$. В этот момент происходит перестройка состояния биллиарда. При этом мы склеим горизонтальные границы двух биллиардных столов в кольцо (см. рис. 7). Это кольцо является подмножеством поверхности $E$, высекаемым из нее двумя ветвями гиперболы $m$ с параметром $\lambda_{m}$. При $H\,{\in}\,(h_1,h_2)$ будем уменьшать параметр $\lambda_{m}$ гиперболы $m$ до значения $b$. При $H=h_2$ получим следующий скачок. При этом в комплексе силового эволюционного биллиарда граничные гиперболы легли на фокальную прямую. Углы между их дугами и отрезками фокальной прямой (вдоль которых была склейка на предыдущем скачке) стали развернутыми. Поэтому при скачке, во-первых, мы разрежем склеенные ранее сегменты. Затем объединим сегменты, имеющие общие граничные точки в один. И наконец, склеим все биллиардные столы в один стол, гомеоморфный поверхности $E$ (см. также рис. 1). Построенный силовой эволюционный биллиард включает в себя два скачка (две перестройки) между тремя меняющимися биллиардными столами. Теорема 1. Построенный выше эволюционный биллиард, носитель которого гомеоморфен эллипсоиду, реализует (в смысле лиувиллевой эквивалентности) интегрируемый случай Эйлера сразу на всем фазовом симплектическом многообразии $M^4_g$, т. е. на всех его регулярных изоэнергетических 3-мерных поверхностях для всех регулярных значений обоих параметров $g$ и $h$. Отметим, что эволюция стенок биллиарда происходит в классе софокусных квадрик, что обеспечивает интегрируемость системы в каждый момент ее эволюции. Доказательство. Воспользуемся теоремой А. Т. Фоменко и Х. Цишанга о инварианте лиувиллевой эквивалентности. Для этого необходимо для всех построенных биллиардов вычислить инварианты Фоменко–Цишанга и проверить, что они совпадают с инвариантами, кодирующими слоения Лиувилля на изоэнергетических поверхностях случая Эйлера. Для этого необходимо сначала описать бифуркации торов Лиувилля, вычислить грубую молекулу – граф Риба, в вершинах которого расположены коды бифуркаций (так называемые атомы). Затем необходимо указать, как бифуркации склеены между собой по граничным торам Лиувилля. Для этого по правилам, указанным в [7], необходимо выбрать допустимые базисы из циклов $\lambda$, $\mu$ в группе гомологий граничных торов и вычислить матрицы перехода от одного допустимого базиса к другому вдоль ребра молекулы, соединяющего две выбранные бифуркации. Из этих матриц склейки необходимо извлечь метки $r$, $\varepsilon$ (которые ставятся на ребрах) и $n$, которые ставятся на так называемых “семьях”. Для случая Эйлера эти инварианты были вычислены А. В. Болсиновым и А. Т. Фоменко [7], а для перечисленных выше трех типов биллиардов – В. В. Ведюшкиной [13]. Сравнивая эти инварианты (см. рис. 6), получаем, что они одинаковые. Это означает, по теореме Фоменко–Цишанга, что эти системы лиувиллево эквивалентны. Теорема доказана. Рассмотрим стандартный трехосный эллипсоид в $\mathbb{R}^3$. Согласно теореме Якоби–Шаля касательные к геодезической на эллипсоиде касаются фиксированного гиперболоида, конфокального с данным эллипсоидом. Рассмотрим геодезический биллиард в области, высекаемой на эллипсоиде конфокальными однополостными и двуполостными гиперболоидами. Материальная точка геодезического биллиарда движется в этой области по отрезкам геодезических и отражается от границ по стандартному закону. Эти биллиарды интегрируемы (см. книгу В. В. Козлова и Д. В. Трещёва [53]), поскольку касательные к траектории точки также касаются некоторого фиксированного гиперболоида (однополостного или двуполостного). Слоения Лиувилля таких биллиардов с точностью до лиувиллевой эквивалентности были изучены Г. В. Белозеровым [51]. В частности, он вычислил инварианты Фоменко–Цишанга для всех таких биллиардов и дал полную классификацию двумерных областей на эллипсоиде, являющихся интегрируемыми биллиардными столами. Выделим из них три биллиарда. Первый биллиард представляет собой две области, гомеоморфные дискам. Эти области одновременно высекаются на эллипсоиде конфокальными гиперболоидами – одним однополостным и одним двуполостным. При этом эти два диска пересекаются со средней полуосью эллипсоида (см. рис. 1). Второй биллиард на эллипсоиде ограничен однополостным гиперболоидом. Третий – представляет собой весь эллипсоид. Как было показано Г. В. Белозеровым [51], каждый из этих биллиардов лиувиллево эквивалентен случаю Эйлера на соответствующей изоэнергетической поверхности. А именно, первый биллиард реализует слоение Лиувилля случая Эйлера на несвязном объединении двух трехмерных сфер $S^3$. Второй – на прямом произведении $S^1\times S^2$, а третий – на проективном пространстве $\mathbb{R}P^3$. Сконструируем из этих трех биллиардов один эволюционный биллиард (см. рис. 1). За начальный биллиард возьмем первый описанный выше биллиард, гомеоморфный двум дискам. При эволюции два листа первого биллиарда расширяются, постепенно заполняя кольцо, высекаемое однополостным гиперболоидом. В момент скачка они склеиваются в кольцо, являющееся вторым биллиардом. Затем это кольцо продолжает расширяться на эллипсоиде, постепенно заполняя его целиком. В момент последнего скачка оно превращается в полный двумерный эллипсоид (см. рис. 1). Повторим, что при этой эволюции границы (стенки) биллиарда деформируются в классе конфокальных квадрик. Теорема 2. Построенный геодезический эволюционный биллиард на двумерном эллипсоиде реализует (в смысле лиувиллевой эквивалентности) интегрируемый случай Эйлера сразу на всем фазовом симплектическом многообразии $M^4_g $, т. е. на всех его регулярных изоэнергетических 3-мерных поверхностях для всех регулярных значений обоих параметров $g$ и $h$. Отметим, что эволюция стенок биллиарда происходит в классе дуг, высекаемых конфокальными гиперболоидами на эллипсоиде. Это обеспечивает интегрируемость системы в каждый момент ее эволюции. Носителем этого эволюционного биллиарда является эллипсоид. Доказательство. Как было сказано выше, согласно теореме Г. В. Белозерова [51] вне скачков каждый биллиардный стол-состояние послойно моделирует систему на одной из изоэнергетических поверхностей случая Эйлера. Этот факт был также доказан путем сравнения соответствующих инвариантов Фоменко–Цишанга. При описанной выше эволюции биллиарда изоэнергетические поверхности меняют свой тип в том же порядке, в котором меняет свой тип изоэнергетическая поверхность $Q^3$ в симплектическом листе $M^4_g$ случая Эйлера. Теорема доказана. Замечание 8. Напомним, что согласно теореме А. В. Болсинова и А. Т. Фоменко случай Эйлера лиувиллево (и даже непрерывно траекторно) эквивалентен задаче Якоби, т. е. геодезическому потоку на двумерном эллипсоиде (см. [7]). В случае силового эволюционного биллиарда снова всплывает трехосный эллипсоид. Замечание 9. Построенный нами силовой эволюционный биллиард на самом деле реализуется на одной двумерной поверхности – носителе, гомеоморфном эллипсоиду. Другими словами, изменения и перестройки указанных состояний эволюционного биллиарда “живут” на одном и том же эллипсоиде – носителе (см. рис. 1, 7). § 5. Случай ЛагранжаСлучай Лагранжа описывает движение осесимметричного тяжелого твердого тела с закрепленной точкой, лежащей на оси симметрии. Интегралы имеют вид (здесь $A$ и $B$ параметры волчка):
$$
\begin{equation*}
H=\frac{S_1^2}{2 A}+\frac{S_2^2}{2 A}+\frac{S_3^2}{2 B}+a R_3, \qquad K=S_3.
\end{equation*}
\notag
$$
А. В. Болсинов и А. Т. Фоменко показали, что в зависимости от параметров системы существует четыре типа бифуркационных диаграмм [7]. Все они показаны на рис. 8. Отметим, что несмотря на наличие в каждом случае бифуркационной диаграммы своих наборов регулярных симплектических листов, всего в случае Лагранжа обнаруживается ровно пять различных типов симплектических листов. 5.1. Топологические биллиарды, соответствующие камерам бифуркационных диаграмм случая ЛагранжаВсе такие биллиарды ограничены дугами концентрических окружностей. $\bullet$ Для реализации системы Лагранжа на трехмерной сфере $S^3$ возьмем топологический биллиард, склеенный из диска, ограниченного окружностью, и кольца, ограниченного этой же окружностью и окружностью меньшего радиуса. $\bullet$ Для реализации системы Лагранжа на прямом произведении $S^1\times S^2$ рассмотрим два кольца, склеенных вдоль общей окружности большего радиуса. $\bullet$ Для реализации системы на проективном пространстве $\mathbb{R}P^3$ рассмотрим два склеенных друг с другом диска. На рис. 9 один из этих дисков разбит на меньший диск и кольцо. $\bullet$ Для реализации системы на несвязной сумме $S^3 \cup(S^1\times S^2)$ рассмотрим биллиард, построенный для реализации $S^3$, и кольцо такое, что радиус его большей граничной окружности не превосходит радиус меньшей окружности кольца, взятого для реализации $S^3$ (см. рис. 9). $\bullet$ Для реализации системы Лагранжа на несвязной сумме $2S^3$ рассмотрим биллиард, построенный для реализации $S^3$, и диск, радиус граничной окружности которого не превосходит радиуса меньшей окружности кольца, взятого для реализации другого экземпляра $S^3$ (см. рис. 9). 5.2. Классификация перестроек топологических состояний-биллиардов при переходах между камерами бифуркационных диаграммПредложение 1. Эволюции гамильтоновых систем случая Лагранжа при переходах через дуги бифуркационных диаграмм могут быть реализованы следующими семью перестройками соответствующих состояний-биллиардов (см. рис. 10). 1. При перестройке $S^3\to \mathbb{R}P^3$ внутренняя окружность кольца, приклеенного к диску, сжимается в точку. В результате получается гомеоморфный сфере биллиардный стол, склеенный из двух дисков. 2. При перестройке $S^1\times S^2\to S^3$ внутренняя окружность одного из колец сжимается в точку. Получается диск. 3. При перестройке $S^3\to 2S^3$ из выделенной точки рождается маленький диск, радиус граничной окружности которого не превышает меньший радиус кольца. Двумерная поверхность становится гомеоморфной несвязному объединению двух дисков. 4. При перестройке $2S^3\to \mathbb{R}P^3$ граничная окружность диска склеивается с граничной окружностью кольца, приклеенного к большему диску. Полученный биллиард, очевидно, представляет собой два склеенных по границе диска, т. е. гомеоморфен сфере. 5. При перестройке $S^3\to S^3\cup(S^1\times S^2)$ новый экземпляр $S^1\times S^2$ появляется из окружности, раздуваясь в кольцо, радиусы граничных окружностей которого не превосходят радиуса меньшей окружности кольца, взятого для реализации $S^3$. 6. При перестройке $S^3\cup(S^1\times S^2)\to S^3$ большая окружность кольца склеивается с меньшей граничной окружностью топологического биллиарда, соответствующего $S^3$. Полученный биллиард гомеоморфен диску. 7. При перестройке $S^3\cup(S^1\times S^2)\to 2S^3$ большая окружность кольца, соответствующего $S^1\times S^2$, стягивается в точку. В результате получается несвязное объединение двух дисков. 5.3. Силовые эволюционные биллиарды для случая ЛагранжаПри анализе бифуркационных диаграмм случая Лагранжа (см. рис. 8) получаем, что все симплектические листы принадлежат к одному из пяти типов. Гамильтонова система на каждом симплектическом листе задается с ростом энергии $h$ некоторой цепочкой перестроек ее инвариантов, т. е. меченых молекул. При этом моделируется также цепочка перестроек соответствующих изоэнергетических 3-мерных поверхностей. Построим для каждого типа симплектических листов подходящий эволюционный биллиард. 1. Симплектический лист первого типа задает следующую цепочку перестроек: $S^1\times S^2 \to S^3\to \mathbb{R}P^3 $ (такой симплектический лист появляется в бифуркационной диаграмме случая (a), см. рис. 8). Начальный биллиард-состояние – это два кольца, ограниченных двумя концентрическими окружностями и склеенных вдоль окружности большего радиуса. При перестройке $S^1\times S^2 \to S^3$ внутренняя окружность одного из колец сжимается в точку. При перестройке $S^3\to \mathbb{R}P^3 $ внутренняя окружность другого кольца сжимается в точку. Биллиард–состояние становится гомеоморфным сфере. Соответствующий эволюционный биллиард обозначим через $\operatorname{Bill}_1$ (см. рис. 11). 2. Симплектический лист второго типа задает перестройку $S^3\to \mathbb{R}P^3 $ (такой симплектический лист появляется во всех четырех типах бифуркационных диаграмм, соответствует например $g=0$). Начальный биллиард-состояние – это кольцо, ограниченное двумя концентрическими окружностями и приклеенное вдоль окружности большего радиуса к диску. При перестройке $S^3\to \mathbb{R}P^3 $ внутренняя окружность этого кольца сжимается в точку. Биллиард-состояние становится гомеоморфным сфере. Соответствующий эволюционный биллиард обозначим через $\operatorname{Bill}_2$. 3. Симплектический лист третьего типа задает следующую цепочку перестроек: $S^3\,{\to}\, 2S^3\,{\to}\, \mathbb{R}P^3 $ (такой симплектический лист появляется в бифуркационных диаграммах (c) и (d), см. рис. 8). Начальный биллиард-состояние – это кольцо, ограниченное двумя концентрическими окружностями и приклеенное вдоль окружности большего радиуса к диску. При перестройке $S^3 \to 2S^3$ из точки рождается новый диск, ограниченный окружностью небольшого радиуса. В дальнейшем радиус этой окружности увеличивается, пока не совпадет с радиусом меньшей окружности исходного кольца. В момент перестройки $2S^3\to \mathbb{R}P^3 $ два биллиарда склеиваются вдоль граничных окружностей (получается сфера). Соответствующий эволюционный биллиард обозначим через $\operatorname{Bill}_3$. 4. Симплектический лист четвертого типа задает следующую цепочку перестроек: $S^3 \to S^3\cup (S^1\times S^2)\to 2S^3\to \mathbb{R}P^3 $ (такой симплектический лист появляется только в бифуркационной диаграмме (d), см. рис. 8). Начальный биллиард- состояние – это кольцо, ограниченное двумя концентрическими окружностями и приклеенное вдоль окружности большего радиуса к диску. При перестройке $S^3 \to S^3\cup (S^1\times S^2)$ из окружности небольшого радиуса (меньшего чем радиус внутренней окружности исходного кольца) рождается новое кольцо, ограниченное окружностями небольшого радиуса. В дальнейшем внутренняя окружность этого кольца стягивается в точку, что соответствует перестройке $ S^3\cup (S^1\times S^2)\to 2S^3$. Далее граничная окружность полученного диска увеличивается, пока не совпадет с граничной окружностью исходного кольца. При перестройке $ 2S^3\to \mathbb{R}P^3 $ происходит склейка двух дисков (напомним, что в начальном биллиарде к исходному кольцу был уже приклеен диск). На рис. 12 показана сфера, гомеоморфная носителю данного эволюционного биллиарда, и его состояния, гомеоморфные меняющимся областям на сфере. 5. Симплектический лист пятого типа задает следующую цепочку перестроек: $S^3 \to S^3\cup (S^1\times S^2)\to S^3\to RP^3$ (такой симплектический лист появляется только в бифуркационной диаграмме (d), см. рис. 8). Начальный биллиард-состояние – это кольцо, ограниченное двумя концентрическими окружностями и приклеенное вдоль окружности большего радиуса к диску. При перестройке $S^3 \to S^3\cup (S^1\times S^2)$ из окружности небольшого радиуса (меньшего чем радиус внутренней окружности исходного кольца) рождается новое кольцо, ограниченное окружностями небольшого радиуса. В дальнейшем большая окружность этого кольца увеличивается, и в момент перестройки $ S^3\cup (S^1\times S^2)\to S^3$ происходит склейка нового кольца с начальным биллиардом. Перестройка $ S^3\to RP^3$ происходит в результате стягивания граничной окружности в точку. Этот эволюционный биллиард обозначим через $\operatorname{Bill}_5$. На рис. 13 состояния биллиарда изображены областями на двумерной сфере. Теорема 3. Интегрируемый случай Лагранжа на каждом своем регулярном симплектическом 4-мерном листе $M^4_g$ реализуется (в смысле лиувиллевой эквивалентности) одним из описанных выше силовых эволюционных биллиардов $\operatorname{Bill}_1$–$\operatorname{Bill}_5$, у которых биллиарды-состояния ограничены концентрическими окружностями. Отметим, что эволюция стенок биллиарда происходит в классе концентрических окружностей, что обеспечивает интегрируемость системы в каждый момент ее эволюции. Доказательство. Инварианты Фоменко–Цишанга для систем на регулярных изоэнергетических поверхностях биллиардов $\operatorname{Bill}_1$–$\operatorname{Bill}_5 $ были вычислены в работе [34]. Полученные инварианты имеют вид $A$ – $A$. Метка $r$ равна нулю в случае, если биллиард гомеоморфен диску, равна $1/2$ в случае, если биллиард гомеоморфен сфере, и бесконечна в случае, когда биллиард гомеоморфен кольцу. Метка $\varepsilon=1$. Сравнивая полученные инварианты с инвариантами, вычисленными для случаев Лагранжа [7], получаем их совпадение. Это обеспечивает лиувиллеву эквивалентность рассматриваемых систем. Теорема доказана.
§ 6. Биллиардное преобразование случая Эйлера в случай ЛагранжаВ этом параграфе мы предъявим обнаруженный нами факт, показывающий ценность эволюционных биллиардов при моделировании интегрируемых систем. Рассмотрим два известных случая интегрируемости в динамике тяжелого твердого тела. А именно, случай Эйлера и случай Лагранжа. Качественно эти случаи существенно различны. В частности, интеграл случая Эйлера квадратичен, а интеграл случая Лагранжа линеен. Это объясняет существенное отличие в топологии данных систем. Биллиарды позволили обнаружить нетривиальный факт, который “не виден” при классическом подходе к этим системам. Случай Эйлера “живет” на одном регулярном симплектическом 4-мерном многообразии. Как мы показали, он реализуется описанным выше силовым эволюционным биллиардом. Случай Лагранжа “живет” на пяти регулярных 4-мерных многообразиях (отвечающих различным значениям интеграла площадей $g$). Как мы показали, на каждом из этих симплектических 4-мерных листов, случай Лагранжа реализуется соответствующим силовым биллиардом. Оказывается, между “силовым биллиардом Эйлера” и пятью “силовыми биллиардами Лагранжа” обнаруживается интересная (“скрытая”) связь. Рассмотрим эволюционный биллиард, реализующий случай Эйлера. Каждый из топологических биллиардов ограничен дугами софокусных эллипсов и гипербол. Если устремить фокусы друг к другу, то эллипсы перейдут в концентрические окружности, а каждая гипербола перейдет в пару прямых, проходящих через центр вышеупомянутых окружностей (т. е. в свои асимптоты). Оказывается, что слоения Лиувилля регулярных изоэнергетических поверхностей случая Эйлера перейдут в слоения Лиувилля всех трех типов регулярных изоэнергетических поверхностей случая Лагранжа. Теорема 4. Рассмотрим эволюционный (силовой) биллиард, моделирующий случай Эйлера. Устремляя фокусы друг к другу, деформируем границы этого биллиарда: семейство софокусных эллипсов и гипербол переходит в семейство концентрических окружностей и прямых, проходящих через общий центр. Тогда этот биллиард (для случая Эйлера) перейдет в новый эволюционный биллиард, полный набор лиувиллевых слоений которого совпадает с полным набором лиувиллевых слоений случая Лагранжа. Такие системы мы назовем “биллиардно эквивалентными”. Замечание 10. Отметим, что это обнаруженное “превращение” случая Эйлера в случай Лагранжа не переводит симплектический лист случая Эйлера в какой-либо из пяти типов симплектических листов случая Лагранжа. Оно устроено сложнее. А именно, полный набор лиувиллевых слоений случая Эйлера превращается в полный набор лиувиллевых слоений случая Лагранжа. При этом порядок и даже количество компонент связности регулярных изоэнергетических поверхностей меняется. В частности, именно это обстоятельство при классическом подходе не позволяло ранее заметить превращение этих систем друг в друга. Как выяснилось, для такого превращения сначала потребовалось обнаружить в случае Эйлера “скрытые софокусные квадрики”, а в случае Лагранжа – “скрытые концентрические окружности”. В итоге, естественная и простая деформация софокусных квадрик в окружности (при слиянии фокусов), оказывается и “превращает” случай Эйлера в случай Лагранжа (в смысле лиувиллевой эквивалентности). Здесь мы фактически ввели новую операцию над системами, допускающими биллиардную реализацию. Пусть одна система $V$ реализуется биллиардом на семействе софокусных эллипсов (гипербол), а другая система $W$ реализуется биллиардом на семействе концентрических окружностей. Предположим, что при деформации биллиарда, а именно, при слиянии фокусов эллипсов в одну точку, первая система переходит во вторую (в указанном выше смысле). Определение 6. Будем говорить, что такие интегрируемые гамильтоновы системы $V$ и $W$ “биллиардно эквивалентны”. Доказательство теоремы 4. На рис. 14 показано как меняются инварианты Фоменко–Цишанга при таком преобразовании силового биллиарда. Почти все они могут быть извлечены из работ [8], [34]. Осталось показать, что гомеоморфный диску биллиард сохраняет свой инвариант при переходе от семейств софокусных эллипсов и гипербол к концентрическим окружностям и прямым через их центр.
Пусть граница плоского биллиарда состоит из дуг концентрических окружностей, с центром в начале координат и, быть может, прямых, проходящих через начало координат. Тогда любая траектория биллиарда касается некоторой окружности (быть может нулевого радиуса), с центром в начале координат. За дополнительный интеграл можно взять радиус этой окружности или же ориентированный угол между траекторией и фиксированной окружностью, например границей биллиарда. Докажем, что слоение Лиувилля изоэнергетической поверхности для биллиарда, изображенного на рис. 14 справа сверху, соответствует инварианту $A$ – $A$, с метками $r=0$, $\varepsilon=1$. Здесь в качестве дополнительного интеграла удобно взять радиус окружности, которой касается траектория. Тогда значению интеграла, совпадающего с радиусом большой окружности – выпуклой дуги склейки биллиарда, очевидно соответствует одна окружность. Эта окружность является траекторией, которая проходит по выпуклой дуге биллиарда. Нулевому значению интеграла отвечают траектории, лежащие на прямых, проходящих через начало координат. Такие траектории образуют изоинтегральную поверхность, гомеоморфную кольцу – прямому произведению окружности на отрезок. Здесь окружность – это произвольная траектория, а отрезок – это дуга концентрической окружности, лежащая внутри области и оснащенная векторами скорости (внутрь или наружу). Все остальные изоинтегральные поверхности, как можно легко понять, гомеоморфны двумерным торам. Таким образом, изоэнергетическая поверхность склеена из двух полноторий. Очевидно, что ось каждого полнотория стягивается в точку внутри другого (см. рис. 15), что означает, что метка $r$ в молекуле $A$ – $A$ равна нулю (а метка $\varepsilon$ зависит от ориентации и может быть положена равной единице). Теорема 4 доказана. Замечание 11. Возникающие в гладких гамильтоновых системах бифуркации типа $A $ описывают стягивание торов на окружность. В нашем случае бифуркацией такого типа является стягивание торов на кольцо. Тем не менее в обоих типах полученных полноторий корректно определены цикл $\lambda$, стягивающийся в точку внутри полнотория, и цикл $\mu$, гомотопный произвольной интегральной траектории на кольце. § 7. Силовые биллиарды и случай Горячева–Чаплыгина–СретенскогоСлучай Горячева–Чаплыгина описывает движение тяжелого твердого тела с закрепленной точкой и специальными условиями симметрии, указанными ниже. При этом интеграл энергии $H$ и дополнительный интеграл $K$ имеют вид:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H &=\frac{S_1^2}{2 A}+\frac{S_2^2}{2 A}+\frac{2 S_3^2}{A}+a_1 R_1+a_2 R_2, \\ K&=S_3(S_1^2+S_2^2)-A R_3(a_1 S_1+a_2 S_2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь интеграл $K$ – третьей степени. В этом случае центр масс тела расположен в плоскости симметрии тела, отвечающей первым двум осям инерции тела, т. е. в экваториальной плоскости эллипсоида инерции. Здесь скобка Пуассона функций $H$ и $K$ выглядит так: Отсюда видно, что функции $H$ и $K$ не находятся в инволюции на всех 4-многообразиях $M^4_{1,g}$, поэтому система интегрируема лишь на одной специальной 4-поверхности $\{f_1=1,\ f_2=0\}$, т. е. на $M^4_{1,0}$. Это – случай так называемой частичной интегрируемости, отвечающий нулевому значению интеграла площадей $f_2$. Случай Сретенского описывает движение гиростата в поле силы тяжести. Пара интегралов $H$ и $K$ имеет вид:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H &=\frac{S_1^2}{2 A}+\frac{S_2^2}{2 A}+\frac{2(S_3+\lambda)^2}{A}+a_1 R_1+a_2 R_2, \\ K &=(S_3+2 \lambda)(S_1^2+S_2^2)-A R_3(a_1 S_1+a_2 S_2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Этот случай является обобщением случая Горячева–Чаплыгина, который получается из него, когда параметр $\lambda$ равен нулю. Здесь, как и в случае Горячева–Чаплыгина, система интегрируема лишь на одной 4-мерной поверхности $\{f_1=1,\ f_2=0\}$. Дополнительный интеграл существует лишь на одной 4-мерной поверхности $\{f_1=1,\, f_2=0\}$. Поэтому для описания инвариантов этого интегрируемого случая нет необходимости изучать отображение момента $(f_2, H)$. Топологический тип $Q^3$ и инвариант Фоменко для $Q^3$ в данном случае зависят от значения параметра $\lambda$ системы и значения $h$, определяющего изоэнергетическую 3-мерную поверхность $Q^3_h=\{f_1=1,\, f_2=0,\, H=h\}$. Поэтому для случая Сретенского бифуркационная диаграмма строится на плоскости $\mathbb{R}^2(\lambda,h)$. Поясним, что дуги бифуркационной диаграммы разделяют различные типы изоэнергетических поверхностей. На этой же плоскости $\mathbb{R}^2(\lambda,h) $ также изображаются кривые, разделяющие гомеоморфные изоэнергетические поверхности, но с различными слоениями Лиувилля. На рис. 16 изображена бифуркационная диаграмма с разделяющими кривыми. Для некоторых из получившихся камер был найден интегрируемый биллиард, лиувиллево эквивалентный системе Сретенского. Эти камеры на рис. 16 выделены более темным. Выделим два симплектических листа $A$ и $B$, лежащих в прообразах пунктирных прямых (также обозначаемых $A$ и $B$) на рис. 16. Прямые $A$ и $B$ проходят через области, выделенные на бифуркационной диаграмме темным, т. е. мы можем найти эволюционный биллиард, который частично моделирует слоения Лиувилля на соответствующих симплектических листах. 7.1. Подробное описание силовых эволюционных биллиардов $A$ и $B$Объемлющий носитель эволюционного биллиарда $A$ (см. рис. 17 вверху справа) состоит из следующих трех биллиардов. А именно, биллиарда $A_1$, содержащего один фокус и ограниченного дугой эллипса и дугой гиперболы, и двух конгруэнтных четырехугольных биллиардов класса $B_1$, ограниченных дугами тех же эллипса и гиперболы, что и биллиард $A_1$, а также дугой большего эллипса. Начальным состоянием является биллиард, состоящий из трех кусков: одного биллиарда $A_1'$ (т. е. половины биллиарда $A_1$) и двух биллиардов $B_1'$ (т. е. половин биллиарда $B_1$). Один из биллиардов $B_1'$ приклеен к биллиарду $A_1'$ вдоль дуги меньшего эллипса (на рис. 17 это есть склейка вдоль пунктирной линии), а к другому биллиарду $B_1'$ – вдоль дуги большего эллипса. В момент первого скачка происходит склейка вдоль вогнутых эллиптических границ биллиардов $B_1'$. В момент следующего скачка каждый из составляющих биллиардов расширяется, склеиваясь с равным себе биллиардом по другую сторону фокальной прямой (т. е. можно сказать, что в начальном комплексе фокальная прямая становится проницаемой стенкой). Эволюционный биллиард $B$ (см. рис. 17) описывает один скачок – переход от половины биллиарда $A_1 $ к биллиарду $A_1$. При таком скачке, как и в предыдущем случае, стенка биллиарда, лежащая на фокальной прямой, становится проницаемой. Теорема 5. Построенные эволюционные биллиарды $A$ и $B$ (см. рис. 17) реализуют (в смысле лиувиллевой эквивалентности) интегрируемый случай Горячева–Чаплыгина–Сретенского на части фазовых симплектических многообразий $M^4_\lambda$, соответствующих прямым $A $ и $B$ на рис. 16. Подчеркнем, что эволюция стенок биллиарда происходит в классе софокусных квадрик, что обеспечивает интегрируемость системы в каждый момент ее эволюции. Доказательство теоремы следует из вычисленных инвариантов Фоменко–Цишанга, которые могут быть найдены в работах [7] и [45]. Авторы благодарят В. А. Кибкало за ряд ценных замечаний, а также рецензента за внимание к работе и множество замечаний, способствовавших улучшению качества текста. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{FomVed22} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|