| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Бирациональная геометрия многообразий, расслоенных на полные пересечения коразмерности два А. В. Пухликов Department of Mathematical Sciences, University of Liverpool
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9146 
Реферативные базы данных:
    Введение0.1. Основные результатыЗафиксируем пару целых чисел $(d_1,d_2)$ таких, что $d_2\geqslant d_1\geqslant 2$ и $d_2\geqslant 27$. Положим $M=d_1+d_2-2$ и обозначим через ${\mathbb P}$ комплексное проективное пространство ${\mathbb P}^{M+2}$ с однородными координатами $(x_0:\cdots:x_{M+2}$). Цель настоящей работы – доказать бирациональную жесткость расслоений Фано–Мори $\pi\colon V\to S$, каждый слой которых есть полное пересечение типа $d_1\cdot d_2$ в ${\mathbb P}$, удовлетворяющее некоторым естественным условиям общности положения, в предположении, что расслоение $V/S$ достаточно закручено по базе. При фиксированной базе $S$ большинство семейств расслоений удовлетворяет условию закрученности. Требование общности положения для каждого слоя ограничивает размерность базы $S$ константой, зависящей только от $M$ (с ростом размерности слоя $M$ эта константа растет как $M^2/2$). Ключевое свойство, которым должен обладать каждый слой расслоения $V/S$ для того, чтобы работало наше доказательство, – это ограниченность, в некотором естественном смысле, особенностей каждого дивизора. Перейдем к точным формулировкам. Пусть $S$ – неособое проективное рационально связное многообразие положительной размерности. Под расслоением Фано–Мори над $S$ мы понимаем сюръективный морфизм $\pi\colon V\to S$, каждый слой которого неприводим, приведен и имеет размерность $\operatorname{dim}V-\operatorname{dim}S\geqslant 3$, многообразие $V$ проективно, факториально, имеет, самое большее, терминальные особенности, причем для чисел Пикара справедливо равенство $\rho(V)=\rho(S)+1$ и антиканонический класс $(-K_V)$ обилен на общем (и потому на каждом) слое. (Мы изначально предполагаем базу расслоения рационально связной, а его тотальное пространство факториальным, потому что тотальные пространства всех рассматриваемых нами расслоений рационально связны и факториальны.) Пусть $\pi'\colon V'\to S'$ – рационально связное расслоение, т. е. сюръективный морфизм неособых проективных многообразий, общий слой которого – неприводимое рационально связное многообразие и база $S'$ рационально связна. Скажем, что бирациональное отображение (если таковое существует, в частности, $\operatorname{dim}V=\operatorname{dim} V'$) является послойным, если существует рациональное доминантное отображение $\beta\colon S\dashrightarrow S'$ такое, что $\pi'\circ\chi=\beta\circ\pi$, т. е. коммутативна диаграмма отображений Подчеркнем, что послойность не предполагает, что $\beta$ бирационально: $\chi$ отображает слой расслоения $\pi$ на, вообще говоря, некоторое замкнутое подмножество слоя расслоения $\pi'$, так что обратное отображение $\chi^{-1}$ может и не быть послойным (точнее, оба отображения $\chi$, $\chi^{-1}$ послойны тогда и только тогда, когда отображение $\beta$ бирационально).Пусть теперь $\pi'\colon V'\to S'$ – расслоение Мори, т. е. особенности $V'$ и $S'$ терминальны и ${\mathbb Q}$-факториальны, антиканонический класс многообразия $V'$ относительно обилен и справедливо равенство $\rho(V')=\rho(S')+1$. Определение 0.1. Расслоение Фано–Мори $V/S$ является бирационально жестким, если для любого бирационального отображения $\chi\colon V\dashrightarrow V'$ на тотальное пространство (любого) расслоения Мори $V'/ S'$ существует бирациональное отображение $\beta\colon S\dashrightarrow S'$ такое, что $\pi'\circ\chi=\beta\circ\pi$, т. е. $\chi$ бирационально отображает слой общего положения проекции $\pi$ на слой общего положения проекции $\pi'$. Если при этом ограничение $\chi$ на общий слой проекции $\pi$ всегда есть бирегулярный изоморфизм, то расслоение Фано–Мори $V/S$ бирационально сверхжесткое. Для $d\in{\mathbb Z}_+$ пусть $\mathcal{P}_{d,M+3}$ – линейное пространство однородных многочленов степени $d$ от переменных $x_0,\dots,x_{M+2}$ и
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}=\mathcal{P}_{d_1,M+3}\times\mathcal{P}_{d_2,M+3}
\end{equation*}
\notag
$$
– соответствующее пространство пар $(f_1,f_2)$. Скажем, что множество $\{f_1=f_2=0\}\subset{\mathbb P}$ их общих нулей есть полное пересечение коразмерности $2$ с хорошими особенностями, если теоретико-схемное пересечение гиперповерхностей $\{f_1=0\}$ и $\{f_2=0\}$ есть неприводимое приведенное подмногообразие $F=F(f_1,f_2)\subset{\mathbb P}$ коразмерности $2$, причем для любой точки $o\in F$ имеет место один из следующих трех случаев: (1) точка $o\in F$ неособа; (2) точка $o$ неособа на одной из гиперповерхностей $\{f_1=0\}$, $\{f_2=0\}$, а многообразие $F$ имеет в точке $o$ квадратичную особенность ранга $\geqslant 5$; (3) точка $o$ является квадратичной особенностью на обеих гиперповерхностях $\{f_1=0\}$ и $\{f_2=0\}$, причем в терминах разложения неоднородных представлений многочленов $f_1$, $f_2$ относительно некоторой системы аффинных координат $z_1,\dots, z_{M+2}$ с началом в точке $o$ на однородные компоненты
$$
\begin{equation*}
f_1 = f_{1,2}+\dots+f_{1,d_1},\qquad f_2 = f_{2,2}+\dots+f_{2,d_2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\deg f_{i,j}=j$, квадратичные формы $f_{1,2}$ и $f_{2,2}$ удовлетворяют следующему условию общности положения. Чтобы удобнее было его сформулировать, дадим следующее определение, которое будет полезно в дальнейшем. Определение 0.2. Ранг набора квадратичных форм $q_1,\dots, q_k$ от некоторого набора переменных есть число (минимум берется по всем наборам $(\lambda_1,\dots, \lambda_k)\in {\mathbb C}^k\setminus \{0\}$). Теперь условие общности положения для форм $f_{1,2}$ и $f_{2,2}$ выглядит так: Точки типа (3) мы называем биквадратичными особенностями $F$. Квадратичные и биквадратичные особенности будут подробно рассмотрены в § 1. Если $F$ – полное пересечение коразмерности $2$ с хорошими особенностями, то справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\operatorname{Sing}F\subset F)\geqslant 4,
\end{equation*}
\notag
$$
так что в силу теоремы Гротендика [1] многообразие $F$ есть факториальное полное пересечение, $\operatorname{Pic}F={\mathbb Z}H$, где $H$ – класс гиперплоского сечения, и $K_F=-H$, т. е. $F$ – примитивное многообразие Фано. Нетрудно проверить (см. п. 1.7), что особенности многообразия $F$ терминальны. Открытое подмножество пар $(f_1,f_2)\in\mathcal{F}$ таких, что множество общих нулей $\{f_1=f_2=0\}$ есть полное пересечение коразмерности $2$ с хорошими особенностями, обозначим символом $\mathcal{F}_{\mathrm{bq}}$. Пусть теперь $S$ – неособое проективное рационально связное многообразие положительной размерности и $\pi_X\colon X\to S$ – локально тривиальное расслоение со слоем ${\mathbb P}$. Подмногообразие $V\subset X$ коразмерности $2$ есть расслоение на полные пересечения типа $d_1\cdot d_2$, если база $S$ покрывается открытыми по Зарисскому подмножествами $U$, над которыми расслоение $\pi_X$ тривиально, $\pi^{-1}_X(U)\cong U\times{\mathbb P}$, и для каждого из них существует отображение такое, что для каждой точки $s\,{\in}{\kern1pt}U$ подмногообразие общих нулей $\{\Phi_U(s)\,{=}\,0\}\,{\subset}\,{\mathbb P}$ есть $V\cap\pi^{-1}_X(s)$ в смысле указанной выше тривиализации. Иными словами, над $U$ многообразие $V$ задается парой уравнений коэффициенты которых суть регулярные функции на $U$, при этом для каждого $s\in U$ Ограничение проекции $\pi_X$ на $V$ обозначим символом $\pi$. Как будет показано в п. 1.7, особенности многообразия $V$ терминальны, само многообразие $V$ факториально. Далее,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Pic}V={\mathbb Z}K_V\oplus\pi^*\operatorname{Pic}S,
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. $\pi\colon V\to S$ есть расслоение Фано–Мори над $S$. Для того, чтобы сформулировать первый основной результат настоящей работы, напомним еще одно известное определение. Определение 0.3. Примитивное многообразие Фано $F$ (т. е. факториальное проективное многообразие с терминальными особенностями, группа Пикара которого порождена каноническим классом) дивизориально каноничное, если для любого $n\geqslant 1$ и любого эффективного дивизора $D_F\in|{-nK_F}|$ пара $(F,(1/n)D_F)$ канонична, т. е. для любого исключительного дивизора $E$ над $F$ справедливо неравенство Теперь все готово для формулировки первого основного результата – достаточного условия бирациональной сверхжесткости построенного выше расслоения Фано–Мори $V/S$. Мы несколько злоупотребляем обозначениями и отождествляем пару $(f_1,f_2)$ и соответствующее подмногообразие $\{f_1=f_2=0\}$, так что пишем, например, $F\in\mathcal{F}_{\mathrm{bq}}$ для слоя расслоения $\pi$. Теорема 0.1. Предположим, что построенное выше расслоение Фано–Мори $\pi\colon V\to S$ обладает следующими свойствами: (i) для любой точки $s\in S$ соответствующий слой $F_s=\pi^{-1}(s)\in\mathcal{F}_{\mathrm{bq}}$ есть дивизориально каноничное многообразие; (ii) для любого эффективного дивизора $n\geqslant 1$, класс $Y$ псевдоэффективен на $S$;(iii) для любого подвижного семейства неприводимых рациональных кривых $\overline{\mathcal{C}}$ на базе $S$, заметающего открытое плотное подмножество $S$, и кривой $\overline{C}\in\overline{\mathcal{C}}$ никакая положительная кратность класса алгебраического цикла (где $F$ – класс слоя проекции $\pi$) не является эффективной, т. е. рационально не эквивалентна эффективному циклу размерности $\operatorname{dim}F$ на $V$.Тогда для любого рационально связного расслоения $V'/S'$ любое бирациональное отображение $\chi\colon V\dashrightarrow V'$ является послойным, а само расслоение $V/ S$ является бирационально сверхжестким. Подчеркнем, что два утверждения теоремы 0.1 независимы друг от друга: из послойности любого бирационального отображения $\chi$ на тотальное пространство любого рационально связного расслоения не следует бирациональная сверхжесткость (и бирациональная жесткость), как и бирациональная сверхжесткость не влечет первого утверждения о послойности. Таким образом, теорема 0.1 является существенным усилением теоремы 1.1 в [2] (как мы увидим ниже, в § 1, доказательство теоремы 0.1 проходит без изменений для расслоений Фано–Мори, рассмотренных в [2], и соответствующим образом усиливает результаты этой работы). Предположения теоремы 0.1 несколько отличаются от предположений теоремы 1.1 в [2]; взаимосвязь между ними обсуждается в § 1. Отметим лишь, что предположение (ii) в теореме 0.1 есть хорошо известное $K$-условие для расслоения $V/S$: антиканонический класс $(-K_V)$ не содержится во внутренности псевдоэффективного конуса, а именно, Теорема 0.1 мотивирует следующую общую гипотезу.Гипотеза 0.1. Предположим, что произвольное расслоение Фано–Мори удовлетворяет $K$-условию и слой общего положения является бирационально жестким (соответственно бирационально сверхжестким) многообразием Фано. Тогда это расслоение является бирационально жестким (соответственно бирационально сверхжестким) и любое бирациональное отображение его тотального пространства на тотальное пространство произвольного рационально связного расслоения (если такие отображения существуют) является послойным. В частности, на тотальном пространстве исходного расслоения нет структур рационально связного расслоения над базой большей размерности, чем размерность базы исходного расслоения. Кроме теоремы 0.1, настоящая работа содержит два других основных результата, смысл которых состоит в том, что они позволяют строить очень большие классы расслоений Фано–Мори, удовлетворяющих условиям теоремы 0.1. Точная формулировка этих результатов дана ниже. 0.2. Условия общности положенияПусть $o\in{\mathbb P}$ – произвольная точка и $(z_1,\dots,z_{M+2}$) – система аффинных координат с началом в этой точке. Злоупотребляя обозначениями, используем те же символы $f_1$, $f_2$ для соответствующих неоднородных многочленов от $z_*$. Предположим, что $f_1$, $f_2$ обращаются в нуль в точке $o$ и запишем где $i=1,2$, многочлены $f_{i,j}$ однородны степени $j$. Например, система уравнений $f_1=f_2=0$ задает в окрестности точки $o$ неособое полное пересечение коразмерности $2$ тогда и только тогда, когда линейные формы $f_{1,1},f_{2,1}$ линейно независимы. Упорядочим пары индексов $(i,j)$ лексикографически: $(i_1,j_1)<(i_2,j_2)$, если $j_1<j_2$ или $j_1=j_2$, но $i_1<i_2$. Расположенные в этом порядке многочлены $f_{i,j}|_{\{f_{1,1}=f_{2,1}=0\}}$ при $j\geqslant 2$ образуют последовательность
$$
\begin{equation*}
f_{1,2}|_{\{f_{1,1}=f_{2,1}=0\}},\quad\dots,\quad f_{2,d_2}|_{\{f_{1,1}=f_{2,1}=0\}},
\end{equation*}
\notag
$$
которую мы обозначим символом $\mathcal{S}$. Удаляя из нее $k\geqslant 1$ последних многочленов, получим последовательность $\mathcal{S}[-k]$. Отметим, что в случае квадратичной особенности линейное подпространство $\{f_{1,1}=f_{2,1}=0\}$ имеет коразмерность $1$, а в случае биквадратичной особенности – есть все пространство ${\mathbb C}^{M+2}_{z_1,\dots,z_{M+2}}$. Сформулируем теперь условия общности положения (условия регулярности), которые необходимы, чтобы доказать условие (i) теоремы 0.1 для достаточно большого класса полных пересечений коразмерности $2$. Для некоторого линейного подпространства $\mathcal{L}\subset\{f_{1,1}=f_{2,1}=0\}$ ограничение последовательности $\mathcal{S}[-k]$ на $\mathcal{L}$ (т. е. последовательность, состоящая из ограничений всех многочленов из $\mathcal{S}[-k]$ на $\mathcal{L}$) обозначаем символом $\mathcal{S}[-k]|_\mathcal{L}$. Условие регулярности в неособой точке. Предположим, что линейные формы $f_{1,1}$ и $f_{2,1}$ линейно независимы. Точка $o$ регулярна, если выполнено следующее условие (R1). (R1) Для любого линейного подпространства коразмерности $2$ последовательность $\mathcal{S}[-5]|_{\mathcal{L}}$ регулярна, т. е. множество ее общих нулей в ${\mathbb P}(\mathcal{L})\cong{\mathbb P}^{M-3}$ имеет размерность $2$.Условие регулярности в квадратичной точке. Предположим теперь, что линейные формы $f_{1,1}$ и $f_{2,1}$ линейно зависимы, но не равны обе тождественно нулю: $f_{1,1}=\alpha_1\tau$ и $f_{2,1}=\alpha_2\tau$, где $\tau(z_*)$ – ненулевая линейная форма и $(\alpha_1,\alpha_2)\neq(0,0)$. Скажем, что точка $o$ регулярна в этом случае, если выполнено следующее условие (R2). (R2) Квадратичная форма имеет ранг не меньше $9$ и для любого линейного подпространства $\mathcal{L}\subset\{\tau=0\}$ коразмерности $1$ (относительно гиперплоскости $\{\tau=0\}$) последовательность $\mathcal{S}[-4]|_\mathcal{L}$ регулярна, т. е. множество ее общих нулей в ${\mathbb P}(\mathcal{L})\cong{\mathbb P}^{M-2}$ имеет размерность $3$.Условия регулярности в биквадратичной точке. Предположим теперь, что обе линейные формы $f_{1,1}$ и $f_{2,1}$ тождественно равны нулю. Пусть $\widetilde{\mathbb P}\to{\mathbb P}$ – раздутие точки $o$ и $E_{\mathbb P}$ – исключительный дивизор. Аффинные координаты $(z_1,\dots,z_{M+2})$ порождают однородные координаты на $E_{\mathbb P}\cong{\mathbb P}^{M+1}$. Точка $o$ регулярна, если выполнены сформулированные ниже условия (R$2^2$.1), (R$2^2$.2) и (R$2^2$.3). Второе и третье из них зависят от значения степени $d_1$, первое условие является общим для всех значений $d_1$.(R$2^2$.1) Справедливо неравенство причем ранг по крайней мере одной из двух квадратичных форм $f_{1,1}$ и $f_{2,2}$ не меньше $18$. Мы увидим ниже (см. п. 1.7), что из условия (R$2^2$.1) следует, что система уравнений определяет неприводимое приведенное полное пересечение $E\subset E_{\mathbb P}$ коразмерности $2$, удовлетворяющее неравенству
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\operatorname{Sing}E\subset E)\geqslant 10.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим теперь, что $d_1\geqslant 4$. (R$2^2$.2) Для любого линейного подпространства $\mathcal{L}\subset{\mathbb C}^{M+2}$ коразмерности $2$ система уравнений
$$
\begin{equation*}
f_{1,2}|_\mathcal{L}=f_{2,2}|_\mathcal{L}=f_1|_\mathcal{L}=f_2|_\mathcal{L}=0
\end{equation*}
\notag
$$
определяет неприводимое приведенное полное пересечение коразмерности $4$ в $\mathcal{L}\cong{\mathbb C}^M$. (R$2^2$.3) Для любого линейного подпространства $\mathcal{L}\subset {\mathbb C}^{M+2}$ коразмерности $\operatorname{codim}\mathcal{L}\in \{2,3\}$ последовательность
$$
\begin{equation*}
\mathcal{S}[-\operatorname{codim}\mathcal{L}-1]|_\mathcal{L}
\end{equation*}
\notag
$$
регулярна. Предположим, что $d_1=3$. В этом случае второе и третье условия регулярности принимают следующий вид. (R$2^2$.2) Для любого линейного подпространства $\mathcal{L}\subset{\mathbb C}^{M+2}$ коразмерности $2$ система уравнений
$$
\begin{equation*}
f_{1,2}|_\mathcal{L}=f_{1,3}|_\mathcal{L}=f_{2,2}|_\mathcal{L}= f_{2,3}|_\mathcal{L}=f_2|_\mathcal{L}=0
\end{equation*}
\notag
$$
определяет неприводимое приведенное полное пересечение коразмерности $5$ в $\mathcal{L}\cong{\mathbb C}^M$. (R$2^2$.3) Для любого линейного подпространства $\mathcal{L}\subset {\mathbb C}^{M+2}$ коразмерности $\operatorname{codim}\mathcal{L}\in \{2,3\}$ последовательность
$$
\begin{equation*}
\mathcal{S}[-\operatorname{codim}\mathcal{L}]|_\mathcal{L}
\end{equation*}
\notag
$$
регулярна. Предположим, наконец, что $d_1=2$. В этом случае второе и третье условия регулярности таковы. (R$2^2$.2) Для любого линейного подпространства $\mathcal{L}\subset{\mathbb C}^{M+2}$ коразмерности $2$ система уравнений
$$
\begin{equation*}
f_{1,2}|_\mathcal{L}=f_{2,2}|_\mathcal{L}=f_{2,3}|_\mathcal{L} =f_2|_\mathcal{L}=0
\end{equation*}
\notag
$$
определяет неприводимое приведенное полное пересечение коразмерности $4$ в $\mathcal{L}\cong{\mathbb C}^M$, а условие (R$2^2$.3) такое же, как в случае $d_1=3$. Скажем, что пара многочленов $(f_1,f_2)\in\mathcal{F}$ регулярна, если каждая точка множества их общих нулей регулярна в смысле соответствующего условия (R1), (R2) или (R$2^2$). Множество регулярных пар обозначим символом $\mathcal{F}_{\mathrm{reg}}$. Для $(f_1,f_2)\in\mathcal{F}_{\mathrm{reg}}$ соответствующее полное пересечение $F(f_1,f_2)$ также назовем регулярным. Понятно, что регулярное полное пересечение есть полное пересечение коразмерности $2$ с хорошими особенностями, так что оно является примитивным многообразием Фано. Следующее утверждение есть второй основной результат настоящей работы. Теорема 0.2. При $d_1\neq 3$ дополнение $\mathcal{F}\setminus\mathcal{F}_{\mathrm{reg}}$ имеет в $\mathcal{F}$ коразмерность не меньше, чем При $d_1=3$ дополнение $\mathcal{F}\setminus\mathcal{F}_{\mathrm{reg}}$ имеет в $\mathcal{F}$ коразмерность не меньше, чем Из теоремы 0.2 следует, что если при $d_1\neq 3$ (при $d_1=3$ правую часть последнего неравенства нужно заменить на $(M^2-19M+82)/2$), то для любого объемлющего проективного расслоения $\pi_X\colon X\,{\to}\,S$ общее подмногообразие $V\subset X$ коразмерности $2$, которое локально по $S$ задается парой уравнений для $(f_1(s),f_2(s))\in\mathcal{F}$, есть расслоение Фано–Мори на полные пересечения типа $d_1\cdot d_2$, потому что можно считать, что
$$
\begin{equation*}
(f_1(s),f_2(s))\in\mathcal{F}_{\mathrm{reg}}\subset\mathcal{F}_{\mathrm{bq}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Возможность применить теорему 0.1 к расслоению Фано–Мори $\pi\colon V\to S$ дает следующий факт, который является третьим основным результатом настоящей работы. Теорема 0.3. Регулярное полное пересечение $F\in\mathcal{F}_{\mathrm{reg}}$ дивизориально канонично. Следующий пример показывает, что условия (ii) и (iii) теоремы 0.1 проверяются без труда. Пример 0.1. Предположим, что $d_1\neq 3$ и $m$ – целое число, удовлетворяющее неравенству Рассмотрим прямое произведение $X={\mathbb P}^m\times{\mathbb P}^{M+2}$ и общее подмногообразие $V$ коразмерности $2$, которое является полным пересечением двух гиперповерхностей бистепени соответственно. Проекцию многообразия $V$ на ${\mathbb P}^m$ обозначим символом $\pi$. Очевидно, $\pi\colon V\to{\mathbb P}^m$ есть расслоение Фано–Мори на полные пересечения типа $d_1\cdot d_2$. Пусть $H_S$ и $H_{\mathbb P}$ – классы гиперплоскостей в ${\mathbb P}^m$ и ${\mathbb P}$ соответственно. Эти же символы используем для их подъемов на $X$ и затем для их ограничений на $V$. С учетом этого соглашения имеем Легко видеть, что условия (ii) и (iii) теоремы 0.1 выполнены, если справедливо неравенство Замечание 0.1. Предположение о том, что $d_2\geqslant 27$, ограничивающее снизу размерность рассматриваемых нами полных пересечений (поскольку $M=d_1+d_2-2$), связано только с тем, что для меньших размерностей оценка в теореме 0.2 дается конкретными значениями, а не одной простой формулой, имеющей вид квадратичного многочлена от $M$. Существенным является предположение о ранге одной из квадратичных форм $f_{1,2}$, $f_{2,2}$ в условии (R$2^2$.1) – если его опустить, то нужно исключить из рассмотрения биквадратичные точки, что еще сильнее ограничивает сверху допустимую размерность базы $S$. В силу этих причин для того, чтобы основные результаты формулировались просто, мы предполагаем, что $d_2\geqslant 27$, так что и размерность $M\geqslant 27$. 0.3. Структура статьиВ § 1 доказана теорема 0.1. На самом деле будет установлен гораздо более общий факт: бирациональная сверхжесткость расслоений Фано–Мори, удовлетворяющих некоторым дополнительным предположениям. Эти предположения автоматически выполнены для расслоений на гиперповерхности Фано индекса $1$, рассмотренных в [2], поэтому из доказательства теоремы 0.1 сразу следует существенное усиление основной теоремы этой работы: не только послойность бирациональных отображений на рационально связные расслоения, но и бирациональная свержесткость в полном объеме, т. е. единственность структуры расслоения Мори с точностью до послойных бирациональных перестроек, бирегулярных на общем слое. Мы докажем теорему 0.1 в том виде, в котором она сформулирована, и затем выделим условия, которые используются в наших рассуждениях. Общий факт, следующий из доказательства теоремы 0.1, относится и к расслоениям Фано–Мори, слои которых – кратные проективные пространства индекса $1$, недавно изученные в [3], [4]: эти многообразия реализуются как гиперповерхности во взвешенном проективном пространстве, имеют по этой причине гиперповерхностные особенности, которые можно предполагать квадратичными ограниченного снизу ранга. В § 2 доказана теорема 0.2. За исключением условия (R$2^2$.2), оценка коразмерности множества пар $(f_1,f_2)\in\mathcal{F}$, не удовлетворяющих условиям регулярности хотя бы в одной точке, проводится рутинными методами, многократно применявшимися и описанными, например, в [5]. Однако условие (R$2^2$.2) представляет собой существенно более трудную задачу. Мы рассмотрим общий вопрос: оценить коразмерность множества наборов многочленов, множество общих нулей которых приводимо или неприведено. Сравнивая оценки коразмерности для нарушения каждого из условий регулярности, получаем утверждения теоремы 0.2. Оставшаяся часть работы, § 3–§ 5, посвящена доказательству теоремы 0.3. Это наиболее трудная часть работы. Опишем ее основные этапы. В § 3 теорема 0.3 доказана в предположении, что справедливы несколько утверждений – глобальных и локальных. Считая, что эти утверждения выполнены, мы приводим к противоречию предположение, что пара $(F,(1/n)D_F)$ не канонична, где $D_F\sim n(-K_F)$. Для получения противоречия используется техника гиперкасательных дивизоров [5; гл. 3], основанная на условиях регулярности для слоя $F$. Таким образом, теорема 0.3 сведена к нескольким фактам глобальной и локальной геометрии. Глобальные утверждения, относящиеся к геометрии полных пересечений двух квадрик в проективном пространстве, доказаны в § 4. Они необходимы для локального анализа слоев $F$ в биквадратичных точках. Для доказательства использована элементарная, но геометрически нетривиальная техника, развитая в [6; § 4] для одной квадрики. В случае двух квадрик изучение максимальных линейных подпространств на их пересечении существенно сложнее. Локальные факты, характеризующие поведение неканонической особенности пары $(F,(1/n)D_F)$ в квадратичной и биквадратичной точках при раздутии, доказаны в § 5. Отметим, что локальный факт для квадратичной особенности радикально упрощает доказательство дивизориальной каноничности гиперповерхностей Фано индекса 1 с квадратичными особенностями в [2; теорема 1.4], а также кратных проективных пространств в [3]. Такое же радикальное упрощение получается для основного результата [7], вошедшего в качестве теоремы 3.2 в [5; гл. 7]. Подробное обсуждение того, как доказанные в § 5 локальные факты улучшают уже известные результаты, содержится в п. 3.10. 0.4. Исторические замечанияБольшинство результатов о бирациональной жесткости относятся к абсолютному случаю (многообразия Фано, рассматриваемые как расслоения Фано–Мори над точкой) и к расслоениям Фано–Мори над ${\mathbb P}^1$, см. [5] и библиографию в этой книге. За исключением теоремы Саркисова о расслоениях на коники [8], [9], до недавнего времени единственным результатом типа бирациональной жесткости для расслоений над базой размерности выше $1$ была теорема о прямых произведениях Фано [10] (воспроизведенная в [5; гл. 7]). Отметим, что теорема 0.3 включает полные пересечения Фано коразмерности $2$ индекса $1$ в класс многообразий, которые можно взять в качестве прямых сомножителей прямых произведений Фано с сохранением бирациональной жесткости. Наибольший интерес, однако, представляют теоремы о бирациональной жесткости общих расслоений Фано–Мори, реализующие принцип: достаточная “закрученность” по базе влечет бирациональную (сверх)жесткость и единственность структуры расслоения Мори на данном многообразии. Первый результат такого типа был получен в [2] для расслоений на примитивные гиперповерхности Фано и двойные пространства над фиксированной базой. Одной из главных трудностей в работе с расслоениями над базой размерности выше $1$ является ухудшение особенностей слоев над некоторыми точками и подмногообразиями в сочетании с необходимостью бирациональных перестроек базы. Для одномерных слоев (коник) эти трудности можно было преодолеть 40 лет тому назад. Именно поэтому единственность структуры расслоения на коники, достаточно закрученного по базе (или имеющего достаточно сильные вырождения), является старой теоремой. В [2] был найден способ обходить описанную выше трудность, беря в качестве слоев многообразия Фано с ограниченными особенностями, устойчивыми относительно раздутий, и получая расслоения, базу которых можно раздувать, сохраняя свойства расслоения Фано–Мори. Этот подход используется и в настоящей работе, однако у полных пересечений особенности могут ухудшаться гораздо сильнее. Поэтому техника, развитая в [2], нуждается в существенном усилении, что и сделано в данной статье (§ 2, § 4 и § 5). В качестве вознаграждения получается упрощение доказательства основного результата в [2] и усиление полученных там результатов. Теорема 0.3 может быть сформулирована в терминах глобальных канонических порогов: она утверждает, что для $F\in\mathcal{F}_{\mathrm{reg}}$ имеет место неравенство $\operatorname{ct}(F)\geqslant 1$. На самом деле, для доказательства теоремы 0.1 достаточно, чтобы каждый слой $F$ расслоения $\pi\colon V\to S$ удовлетворял вместо условия (i) двум более слабым условиям: равенству $\operatorname{lct}(F)=1$ для глобального логканонического порога и неравенству $\operatorname{mct}(F)\geqslant 1$ для подвижного канонического порога; никаких изменений в доказательстве (данном в § 1) не требуется. Эти более слабые условия следуют из дивизориальной каноничности. Нужно иметь в виду, что техника доказательства теоремы 0.3 (в § 3–§ 5) дает сразу дивизориальную каноничность, и замена этого условия на два более слабых никак не упрощает доказательства. По этой причине условие (i) дано в наиболее сильном варианте. Вычисление и оценка глобального логканонического порога стала в последнее время весьма популярной темой: см., например, [11], [12] и еще больше работ в последние два–три года. Это связано с приложениями к комплексной дифференциальной геометрии – с такими вопросами, как существование метрики Кэлера–Эйнштейна и $K$-стабильность. Другая тема, популярная в последнее время и связанная с теорией бирациональной жесткости, – это изучение групп бирациональных автоморфизмов рационально связных многообразий. После замечательного результата о жордановости групп бирациональных автоморфизмов [13], [14], работы в этом направлении, начатом статьей Серра [15], стали появляться одна за другой. Отметим, что из теоремы 0.1 вытекает факт, настолько стандартный для теории бирациональной жесткости, что мы не формулировали его специально: для общего расслоения $V\to S$ на полные пересечения коразмерности $2$ группа бирациональных автоморфизмов $\operatorname{Bir}V$ тривиальна. Теорему 0.1 о бирациональной сверхжесткости расслоений на полные пересечения коразмерности $2$ можно рассматривать как фрагмент бирациональной классификации рационально связных многообразий. В этом контексте упомянем новый подход к доказательству стабильной нерациональности через “разложение диагонали”, развитый К. Вуазен, использованный в большом количестве недавних работ многих авторов, см., например, [16]–[21]. Этот метод позволяет доказывать стабильную нерациональность очень общего многообразия в заданном семействе. Еще один подход, основанный на использовании кольца Гротендика, был недавно предложен в [22], см. также [23]. Отметим, что результаты, полученные с помощью метода максимальных особенностей, прежде всего, теорема о прямых произведениях Фано [10], находятся “на противоположном полюсе” от перечисленных выше работ: в качестве прямого сомножителя берутся дивизориально каноничные примитивные многообразия Фано (а не ${\mathbb P}^N$), и получается бирациональная классификация, стабильная относительно таких прямых произведений. Наконец, упомянем еще один важный момент. Существуют два варианта техники, используемой в теории бирациональной жесткости: линейная и квадратичная. Линейная техника основана на анализе особенностей общего дивизора в линейной системе, задающей бирациональное отображение; именно эта техника применяется в настоящей работе. Впервые эта техника была развита и применена в [10]. Квадратичная техника основана на анализе особенностей самопересечения подвижной линейной системы, задающей бирациональное отображение, т. е. теоретико-схемного пересечения двух общих дивизоров в этой линейной системе. Квадратичная техника восходит к работе В. А. Исковских и Ю. И. Манина о трехмерной квартике [24]; почти все результаты о бирациональной жесткости в абсолютном случае и для расслоений Фано–Мори над ${\mathbb P}^1$ получены с помощью этой техники. Из недавних работ, где она применяется для доказательства бирациональной жесткости, сошлемся на [25]–[27]. В [28], [6] использованы обе техники. По-видимому, квадратичная техника способна ослабить ограничение сверху для размерности базы $S$ расслоения Фано–Мори. Однако ее применение к расслоениям над базой размерности не меньше $2$ наталкивается на значительные трудности. Самое большее, что удалось сделать в этом направлении с помощью квадратичной техники, – это теорема о бирациональной геометрии расслоений на двойные пространства индекса $1$ в [29]. § 1. Бирационально жесткие расслоения Фано–МориВ этом параграфе доказана теорема 0.1. В п. 1.1 объяснена основная идея доказательства и введены его главные конструкции: подвижная линейная система $\Sigma$ и подвижное семейство $\mathcal{C}$ неприводимых рациональных кривых на $V$. В п. 1.2 начато рассмотрение максимальных особенностей подвижной линейной системы $\Sigma$. В п. 1.3 мы послойно перестраиваем расслоение $V/S$ так, чтобы центры всех максимальных особенностей накрывали дивизор на базе. В п. 1.4 доказано первое утверждение теоремы 0.1 – о послойности бирационального отображения в рационально связном случае, а в п. 1.5 доказано второе утверждение этой теоремы – о бирациональной жесткости. Наконец, в п. 1.6, рассматривая свойства расслоения $V/S$, которые использовались в доказательстве теоремы 0.1, мы формулируем в самом общем виде теорему о бирациональной сверхжесткости расслоений Фано–Мори, частным случаем которой (для расслоений на полные пересечения коразмерности $2$) является теорема 0.1, и которая доказывается дословным повторением рассуждений пп. 1.1–1.5. 1.1. Постановка задачи и план доказательстваЗафиксируем расслоение Фано–Мори $\pi\colon V\to S$, удовлетворяющее условиям теоремы 0.1. Для расслоения $\pi'\colon V'\to S'$ будем одновременно рассматривать два варианта: – либо рационально связное расслоение, т. е. база $S'$ и слой общего положения рационально связны; в этом случае скажем, что рассматривается рационально связный случай, – либо расслоение Мори; в этом случае скажем, что рассматривается случай расслоения Мори. Зафиксируем расслоение $\pi'\colon V'\to S'$, относящееся к любому из двух этих случаев, причем $\operatorname{dim}V'=\operatorname{dim}V$. Предположим, что существует бирациональное отображение $\chi\colon V\to V'$. Зафиксируем и его. В рационально связном случае необходимо доказать, что отображение $\chi$ послойно, т. е. существует рациональное доминантное отображение базы $\beta\colon S\dashrightarrow S'$ такое, что коммутативна диаграмма В случае расслоения Мори необходимо доказать, что вдобавок отображение $\beta$ бирационально, так что для точки общего положения $s\in S$ отображение $\chi$ индуцирует бирациональный изоморфизм слоев $F_s=\pi^{-1}(s)$ и $F'_{\beta(s)}=(\pi')^{-1}(\beta(s))$. Этот изоморфизм является бирегулярным ввиду бирациональной сверхжесткости слоев $F_s$. Замечание 1.1. Прежде всего, отметим, что обратное бирациональное отображение $\chi^{-1}\colon V\dashrightarrow V'$ может быть послойным только в том случае, когда $\chi$ является послойным, причем соответствующее отображение базы $\beta\colon S\dashrightarrow S'$ бирационально. В самом деле, предположим, что существует рациональное доминантное отображение $\beta'\colon S'\dashrightarrow S$ такое, что $\beta'\circ\pi'=\pi\circ\chi^{-1}$, причем $\beta'$ не бирационально. Тогда $\operatorname{dim}S'>\operatorname{dim}S$ и для точки $s\in S$ общего положения отображение В силу сделанного замечания будем предполагать, что $\chi^{-1}\colon V\dashrightarrow V'$ не является послойным. При этом $\chi$ все еще может быть послойным, но в случае расслоения Мори это предположение должно приводить к противоречию. Опишем теперь два основных объекта, которые играют ключевую роль в доказательстве теоремы 0.1. Первый объект – это подвижная линейная система $\Sigma$, связанная с отображением $\chi$. В рационально связном случае это та же самая система, что в [2; § 2]: рассмотрим очень обильную систему $\overline{\Sigma'}$ на $S'$ и обозначим символом $\Sigma'$ ее $\pi'$-подъем на $V'$. Теперь – ее собственный прообраз на $V$, где $n\in{\mathbb Z}_+$. В случае расслоения Мори (напомним, что мы рассматриваем оба случая одновременно) в качестве $\Sigma'$ возьмем очень обильную полную линейную систему на $V'$, где $m'\geqslant 1$, символ $K'$ обозначает канонический класс $K_{V'}$ и $Y'$ – некоторый очень обильный дивизор на $S'$. Линейную систему $\Sigma$ определим формулой (1). Это подвижная линейная система на $V$, но в случае расслоения Мори имеем $n\geqslant 1$. Для единообразия обозначений в рационально связном случае положим $m=0$. Ключевым фактом в доказательстве теоремы 0.1 является следующее утверждение.Очевидно, что из теоремы 1.1 сразу следует утверждение теоремы 0.1 в рационально связном случае: мы получаем, что $n=0$, так что линейная система $\Sigma$ поднята с базы $S$ и отображение $\chi$ является послойным. Не так трудно и завершить доказательство теоремы 0.1 в случае расслоения Мори, если доказана теорема 1.1. Поэтому наша цель – доказать эту теорему. Начиная с этого момента (и до конца доказательства теоремы 1.1), предполагаем, что справедливо неравенство $n>m$; в частности в рационально связном случае отображение $\chi$ не является послойным. Второй основной объект нашего доказательства – это семейство кривых $\mathcal{C}$ на $V$. Оно строится так же, как в [2; § 2]. Напомним его конструкцию. Пусть $\varphi\colon\widetilde{V}\to V$ – разрешение особенностей отображения $\chi$ и $\mathcal{E}_{\mathrm{exc}}$ – множество всех простых $\varphi$-исключительных дивизоров $E$ на $\widetilde{V}$ таких, что их образ на $V'$ дивизориален, и простой дивизор $[\chi\circ\varphi](E)\subset V'$ на $V'$ накрывает базу расслоения $\pi'$, т.е. Рассмотрим теперь семейство (неприводимых рациональных) кривых $\mathcal{C}'$ на $V'$, стягиваемых проекцией $\pi'$, заметающих открытое плотное подмножество в $V'$, не пересекающих множество неопределенности рационального отображения
$$
\begin{equation*}
[\chi\circ\varphi]^{-1}\colon V'\dashrightarrow\widetilde{V}
\end{equation*}
\notag
$$
и пересекающих каждый дивизор $[\chi\circ\varphi](E)$, $E\in\mathcal{E}_{\mathrm{exc}}$, трансверсально в точках общего положения, см. [2; п. 2.1]. Кривые $C'\in\mathcal{C}'$ лежат в слоях проекции $\pi'$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\mathcal{C}=\varphi_*\circ[\chi\circ\varphi]^{-1}(\mathcal{C}')
\end{equation*}
\notag
$$
– собственный прообраз семейства $\mathcal{C}'$ на $V$. Это подвижное семейство (неприводимых рациональных) кривых на $V$, заметающих открытое плотное подмножество многообразия $V$. В силу замечания 1.1 кривые $C\in\mathcal{C}$ не содержатся в слоях проекции $\pi$, так что образ этого семейства на базе $S$ есть подвижное семейство кривых на $S$. Для $C\in\mathcal{C}$ будем писать $\overline{C}$ для образа $\pi(C)$. Линейная система $\Sigma\subset|-nK_V+\pi^*Y|$ и семейство кривых $\mathcal{C} $ – основные элементы нашей конструкции. Поскольку система $\Sigma$ подвижна, в силу условия (ii) теоремы 0.1 дивизор $Y$ псевдоэффективен, так что для кривой $C\in\mathcal{C}$ и ее образа $\overline{C}$ на $S$ имеем Основная идея доказательства теоремы 1.1, – исходя из неравенства $n>m$, получить противоречие с условием (iii) теоремы 0.1. Очевидно, для общего дивизора $D\in\Sigma$ класс цикла
$$
\begin{equation*}
(D\circ\pi^{-1}(\overline{C}))\sim-n(K_V\cdot\pi^{-1}(\overline{C}))+ (\overline{C}\cdot Y)F
\end{equation*}
\notag
$$
эффективен. Мы покажем, что теоретико-схемное пересечение слева содержит достаточно много слоев проекции $\pi$, вычитая которые, мы получим все еще эффективный цикл, противоречащий условию (iii) теоремы 0.1. 1.2. Максимальные особенностиПредставим множество $\mathcal{E}_{\mathrm{exc}}$ всех простых $\varphi$-исключительных дивизоров, образ которых на $V'$ дивизориален и накрывает базу $S'$, в виде дизъюнктного объединения
$$
\begin{equation*}
\mathcal{E}_{\mathrm{exc}}=\mathcal{E}_S\sqcup\mathcal{E}_{\mathrm{div}}\sqcup\mathcal{E},
\end{equation*}
\notag
$$
где $E\in\mathcal{E}_S$ (соответственно $\mathcal{E}_{\mathrm{div}}$ и $\mathcal{E}$) тогда и только тогда, когда центр $\varphi(E)$ дивизора $E$ на $V$ накрывает базу $S$, т. е. (соответственно накрывает простой дивизор и неприводимое замкнутое подмножество коразмерности не меньше $2$ на $S$). Полагая $\widetilde{K}=K_{\widetilde{V}}$ и опуская для простоты обозначений символ $\varphi^*$, получаем
$$
\begin{equation*}
\widetilde{K}=K_V+\sum_{E\in\mathcal{E}_{\mathrm{exc}}}a_EE+(\,{\dots}\,),
\end{equation*}
\notag
$$
и для собственного прообраза $\widetilde{\Sigma}$ линейной системы $\Sigma$ на $\widetilde{V}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\Sigma}\subset\biggl|-n\widetilde{K}+\biggl(\pi^*Y- \sum_{E\in\mathcal{E}_{\mathrm{exc}}}\varepsilon(E)E\biggr)+(\,{\dots}\,)\biggr|,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varepsilon(E)=b_E-na_E$, $b_E=\operatorname{ord}_E\varphi^*\Sigma$ и символ $(\,{\dots}\,)$ в обоих случаях обозначает линейную комбинацию простых $\varphi$-исключительных дивизоров, не принадлежащих множеству $\mathcal{E}_{\mathrm{exc}}$ (т. е. либо их образ на $V'$ не дивизориален, либо он дивизориален, но не накрывает базу $S'$ – эти простые дивизоры для нашей конструкции несущественны). Если $\varepsilon(E)>0$, т. е. справедливо неравенство Нётера–Фано то простой дивизор $E$ есть максимальная особенность в сильном смысле линейной системы $\Sigma$ (максимальные особенности, удовлетворяющие неравенству Нётера–Фано, могут быть и среди несущественных простых дивизоров, попавших в $(\,{\dots}\,)$). Имеет место следующее утверждение. Предложение 1.1. Хотя бы для одного $E\in\mathcal{E}_{\mathrm{exc}}$ справедливо неравенство $\varepsilon(E)>0$, т. е. максимальные особенности в сильном смысле существуют. Множество всех максимальных особенностей в сильном смысле обозначим через $\mathcal{M}$. Следующее утверждение несколько усиливает предложение 2.2 в [2]. Предложение 1.2. Имеет место включение $\mathcal{M}\subset\mathcal{E}$, т. е. образ центра максимальной особенности $E\in\mathcal{M}$ на $V$ при проекции $\pi$ имеет коразмерность не меньше $2$ на $S$. Доказательство. Предположим противное: центр максимальной особенности $E$ накрывает или базу $S$, или простой дивизор на базе. Пусть $s\in\pi[\varphi(E)]$ – точка общего положения. Поскольку линейная система $\Sigma$ не имеет неподвижных компонент, слой $F_s=\pi^{-1}(s)$ не содержится в ее базисном множестве. Для общего дивизора $D\in\Sigma$ пара $(V,(1/n)D)$ не канонична и, более того, $E$ есть неканоническая особенность этой пары, причем $F_s$ не содержится в носителе $|D|$ дивизора $D$. Обозначим символом $D_F$ ограничение тогда $D_F\sim-nK_{F_s}$ и если $\operatorname{codim}(\pi[\varphi(E)]\subset S)=1$, то пара $(F_s,(1/n)D_F)$ не логканонична в силу обращения присоединения, а если $\pi[\varphi(E)]=S$, то пара $(F_s,(1/n)D_F)$ не канонична – в любом случае это противоречит условию (i) теоремы 0.1, что и завершает доказательство предложения. Замечание 1.2. (i) В случае, когда центр $\varphi(E)$ накрывает базу $S$ (этот случай рассмотрен в предложении 2.2 работы [2]), дивизор $D_F$ есть общий дивизор подвижной линейной системы $\Sigma|_{F_s}$, поэтому для его исключения достаточно предположить, что мобильный канонический порог слоя не меньше $1$; в случае, когда $\varphi(E)$ накрывает дивизор на $S$, достаточно более слабого, чем условие (i) теоремы 0.1, предположения, что $\operatorname{lct}(F_s)=1$. Дивизориальная каноничность сильнее каждого из этих двух условий. (ii) Доказательство предложения 1.2 без изменений работает для произвольной максимальной особенности, т. е. простого $\varphi$-исключительного дивизора $E\subset\widetilde{V}$, удовлетворяющего неравенству Нётера–Фано Свойство иметь дивизориальный образ на $V'$, накрывающий $S'$, в доказательстве никак не используется. Это замечание понадобится ниже при доказательстве бирациональной сверхжесткости расслоения $V/S$.Теперь, следуя [2; п. 2.2], рассмотрим некоторую послойную модификацию расслоения $V/S$. Нам необходимо добиться того, чтобы центр любой максимальной особенности в сильном смысле накрывал хотя бы дивизор на базе расслоения. 1.3. Послойная бирациональная перестройкаПусть $\sigma_S\colon S^+\to S$ – композиция раздутий с неособыми центрами такая, что центры всех особенностей $E\in\mathcal{E}$ на $V^+=V\times_SS^+$ накрывают простой дивизор на $S^+$. Это – минимальное требование к бирациональному морфизму $\sigma_S$. В дальнейшем нам понадобится дополнительное свойство: базисное множество собственного прообраза системы $\Sigma$ на $V^+$ не содержит слоев модифицированного расслоения Фано–Мори. Положим $\sigma\colon V^+\to V$ и $\pi_+\colon V^+\to S^+$ – проекции расслоенного произведения, так что коммутативна диаграмма Существование такой перестройки доказано в [2; п. 2.2]. Морфизм $\pi_+\colon V^+\to S^+$ есть расслоение Фано–Мори: многообразие $V^+$ факториально, а его особенности терминальны. Это легко следует из построения расслоения $V/S$ в п. 0.1, см. п. 1.7.Введем теперь некоторые новые обозначения. Пусть $\mathcal{T}$ (соответственно $\overline{\mathcal{T}}$) – множество простых $\sigma$- (соответственно $\sigma_S$-) исключительных дивизоров на $V^+$ (соответственно на $S^+$). Проекция $\pi_+$ определяет биекцию $\mathcal{T}\to\overline{\mathcal{T}}$. Для $T\in\mathcal{T}$ и $\overline{T}=\pi_+(T)\in\overline{\mathcal{T}}$ имеем равенство дискрепантностей Кроме того, определим множество $\overline{\mathcal{T}}_{\mathrm{div}}$ простых дивизоров на $S$, которые являются $\pi$-образами подмногообразий $\varphi(E)\subset V$ для $E\in\mathcal{E}_{\mathrm{div}}$. Соответственно, пусть $\mathcal{T}_{\mathrm{div}}$ – множество всех простых дивизоров на $V$ вида $\pi^{-1}(\overline{T})$, где $\overline{T}\in\overline{\mathcal{T}}_{\mathrm{div}}$.Пусть $\Sigma^+$ – собственный прообраз линейной системы $\Sigma$ на $V^+$. Имеем:
$$
\begin{equation*}
\Sigma^+\subset \biggl|-nK_V+\pi^*Y-\sum_{T\in\mathcal{T}}b_T T\biggr|
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторых $b_T\in{\mathbb Z}_+$ (мы снова опускаем символ поднятия $\sigma^*$). Как и в [2; п. 2.3] считаем, что разрешение $\varphi\colon\widetilde{V}\to V$ пропускается через $\sigma$, т. е. имеет вид $\psi=\sigma\circ\varphi_+$, где $\varphi_+\colon\widetilde{V}\to V^+$ – некоторая последовательность раздутий с неособыми центрами. По построению имеется отображение где $\lambda(E)=T\in\mathcal{T}$ есть однозначно определенный $\sigma$-исключительный дивизор, для которого при этом $\pi_+[\varphi_+(E)]=\overline{T}=\pi_+(T)$. Аналогичным образом определяется отображение
$$
\begin{equation*}
\lambda_{\mathrm{div}}\colon\mathcal{E}_{\mathrm{div}}\to\mathcal{T}_{\mathrm{div}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для дискрепантностей имеем очевидное равенство где $T=\lambda(E)$ и $a^+_E=a(E,V^+)$. Может случиться, что $a^+_E=0$: это происходит в точности тогда, когда $E=T$ (и $a_E=a_T$). Для исключительных дивизоров $E\in\mathcal{E}_S\sqcup\mathcal{E}_{\mathrm{div}}$ имеем равенство $a_E=a^+_E$. Далее, подвижная линейная система $\widetilde{\Sigma}$ есть подсистема полной линейной системы
$$
\begin{equation*}
\biggl|\varphi^*_+\biggl(-nK_V+\pi^*Y-\sum_{T\in\mathcal{T}}b_TT\biggr) -\sum_{E\in\mathcal{E}_{\mathrm{exc}}}b^+_E E-(\,{\dots}\,)\biggr|,
\end{equation*}
\notag
$$
где $b^+_E\in{\mathbb Z}_+$ и символ $(\,{\dots}\,)$ имеет тот же смысл, что и раньше. Для $E\in\mathcal{E}$ имеем равенство где $T=\lambda(E)$. Опять же, $b^+_E=0$ тогда и только тогда, когда $E=T$. Доказательство практически дословно повторяет доказательство предложения 1.2: предположим противное, т. е. выполнено неравенство $b^+_E>n\cdot a^+_E$. Тогда $b^+_E>0$, а потому $E\neq T$ для $T=\lambda(E)$, т. е. центр $E$ имеет коразмерность не меньше $2$ на $V^+$, а тогда и $a^+_E>0$. Далее, пара $(V^+,(1/n)D^+)$ не канонична для $D^+\in\Sigma^+$ в силу сделанного предположения. Поскольку линейная система $\Sigma^+$ подвижна, можно считать, что для точки $s\in\overline{T}$ общего положения слой $F_s=\pi^{-1}_+(s)$ не содержится в носителе дивизора $D^+$, так что пара $(F_s,(1/n)D^+_F)$ не логканонична, где $D^+_F=(D^+\circ F)\sim-nK_{F_s}$. Это противоречит предположению о свойствах слоев расслоения $V/S$ (которые являются и слоями расслоения $V^+/S^+$). Предложение доказано. Следствие 1.1. Для максимальной особенности $E\in\mathcal{M}$ справедливо неравенство где $T=\lambda(E)$. Доказательство сразу следует из неравенства $b_E>n\cdot a_E$, предложения 1.3 и приведенных выше явных формул для $b_E$ и $a_E$. Следствие доказано. Вернемся теперь к подвижному семейству неприводимых рациональных кривых $\mathcal{C}$ на $V$, построенному в п. 1.1. Семейство $\mathcal{C}$ есть собственный прообраз подвижного семейства $\mathcal{C}'$ на $V'$. В рационально связном случае линейная система $\Sigma'$ поднята с базы $S'$, так что для дивизора $D'\in\Sigma'$ и кривой $C'\in\mathcal{C}'$ имеем равенство В случае расслоения Мори имеем равенство так что при $l>m$ получаемСимволами $\widetilde{\mathcal{C}}$, $\mathcal{C}^+$ и $\overline{\mathcal{C}}^+$ обозначим собственные прообразы семейства $\mathcal{C}$ на $\widetilde{V}$, $V^+$ и образ семейства $\mathcal{C}^+$ на $S^+$ соответственно. Соответствующими символами будем обозначать и общую кривую: $\widetilde{C}\in\widetilde{\mathcal{C}}$, $C^+\in\mathcal{C}^+$ и $\overline{C^+}\in\overline{\mathcal{C}^+}$ (где $\overline{C^+}=\pi_+(C^+)$). Семейство $\overline{\mathcal{C}^+}$ кривых на $S^+$ подвижно и заметает открытое плотное подмножество базы, поэтому для общего дивизора $D^+\in\Sigma^+$ корректно определен алгебраический цикл теоретико-схемного пересечения – эффективный цикл размерности $\operatorname{dim}F$ на $V^+$. Оценивая класс этого цикла, мы завершим доказательство теоремы 1.1.1.4. Ограничение на прообраз кривойОчевидно,
$$
\begin{equation*}
(D^+\circ\pi^{-1}_+(\overline{C^+})) \sim -n(\sigma^*K_V\cdot\pi^{-1}_+(\overline{C^+}))+bF,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
b=\biggl(\biggl[\sigma^*_S Y -\sum_{\overline{T}\in\overline{\mathcal{T}}}b_T\overline{T}\biggr] \cdot\overline{C^+}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Следующее утверждение является ключевым. Предложение 1.4. (i) В рационально связном случае справедливо неравенство (ii) В случае расслоения Мори справедливо неравенство Доказательство. Поскольку $(\pi_+)_*C^+=\overline{C^+}$, имеем
$$
\begin{equation*}
b=\biggl(\biggl[\pi^*Y-\sum_{\overline{T}\in\overline{\mathcal{T}}}b_TT\biggr]\cdot C^+\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
(символ $\sigma^*$, как всегда, опущен). При этом $(C^+\cdot T)\neq 0$ только для дивизоров $T\in\lambda(\mathcal{E})$, так как кривая $C'\in\mathcal{C}'$ не пересекает множество неопределенности отображения $(\chi\circ\varphi)^{-1}$ по построению. Ввиду того, что семейства $\mathcal{C}$ и $\widetilde{\mathcal{C}}$ заметают открытые плотные подмножества многообразий $V$ и $\widetilde{V}$ соответственно, имеем неравенства
$$
\begin{equation*}
(K_V\cdot C)<0\quad\text{и}\quad (\widetilde{K}\cdot\widetilde{C})<0
\end{equation*}
\notag
$$
для $C=\sigma(C^+)\in\mathcal{C}$ и $\widetilde{C}\in\widetilde{\mathcal{C}}$. С другой стороны, для общего дивизора $\widetilde{D}\in\widetilde{\Sigma}$ имеем в рационально связном случае равенство а в случае расслоения Мори – равенство
$$
\begin{equation*}
(\widetilde{D}\cdot\widetilde{C})=(D'\cdot C')=-m(K'\cdot C').
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
\widetilde{D}\sim-n\widetilde{K}+\biggl[\pi^*Y-\sum_{E\in\mathcal{E}_{\mathrm{exc}}}(b_E-na_E)E \biggr|+(\,{\dots}\,),
\end{equation*}
\notag
$$
где $(\,{\dots}\,)$ есть линейная комбинация дивизоров, не пересекающих $\widetilde{C}$, получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl(\biggl[\pi^*Y-\sum_{E\in\mathcal{E}_{\mathrm{exc}}} (b_E-na_E)E\biggr]\cdot\widetilde{C}\biggr)\leqslant-(n-m)
\end{equation*}
\notag
$$
(напомним, что в рационально связном случае мы полагаем $m=0$). Однако для $E\in\mathcal{E}_S\sqcup\mathcal{E}_{\mathrm{div}}$ имеем (см. предложение 1.2), а для $E\in\mathcal{E}$ имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
b_E-na_E=(b^+_E-na^+_E)+\operatorname{ord}_E\varphi^*_+T \cdot(b_T-na_T),
\end{equation*}
\notag
$$
где $T=\lambda(E)\in\mathcal{T}$, так что с учетом предложения 1.3 получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl(\biggl[\pi^*Y-\sum_{T\in\lambda(\mathcal{E})}(b_T-na_T) \sum_{E\in\lambda^{-1}(T)}(\operatorname{ord}_E\varphi^*_+T)E\biggr] \cdot\widetilde{C}\biggr)\leqslant-(n-m).
\end{equation*}
\notag
$$
Однако для каждого $T\in\lambda(\mathcal{E})$ дивизор
$$
\begin{equation*}
\varphi^*_+T-\sum_{E\in\lambda^{-1}(T)}(\operatorname{ord}_E\varphi^*_+T)E
\end{equation*}
\notag
$$
(где собственный прообраз $\widetilde{T}$ дивизора $T$ на $\widetilde{V}$ также может входить в сумму справа, если $\widetilde{T}\in\lambda^{-1}(T)$, при этом, очевидно, $\operatorname{ord}_{\widetilde{T}}\varphi^*_+T=1$) эффективен и имеет нулевое пересечение с $\widetilde{C}$, так как не содержит ни одной неприводимой компоненты, дивизориальной на $V'$. Следовательно, индекс пересечения
$$
\begin{equation*}
\biggl(\biggl[\pi^*Y-\sum_{T\in\lambda(\mathcal{E})}(b_T-na_T)\varphi^*_+T\biggr] \cdot\widetilde{C}\biggr)= \biggl(\biggl[\pi^*Y -\sum_{T\in\mathcal{T}}(b_T-na_T)T\biggr]\cdot C^+\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
не превосходит числа $-(n-m)$ (напомним, что для $T\in\mathcal{T}\setminus\lambda(\mathcal{E})$ имеем равенство $(T\cdot C^+)=0$). Поэтому
$$
\begin{equation*}
b=\biggl(\biggl[\pi^*Y-\sum_{T\in\mathcal{T}}b_T T\biggr]\cdot C^+\biggr) \leqslant-(n-m)-n\biggl(\biggl[\sum_{T\in\mathcal{T}}a_TT\biggr]\cdot C^+ \biggr)\leqslant-2n+m.
\end{equation*}
\notag
$$
Это завершает доказательство предложения 1.4. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\sigma_*(D^+\circ\pi^{-1}_+(\overline{C^+})) \sim-n(K_V\cdot\pi^{-1}(\overline{C}))+bF,
\end{equation*}
\notag
$$
где $b\leqslant -n-(n-m)$, и эффективность алгебраического цикла слева влечет эффективность класса что противоречит условию (iii) теоремы 0.1. Мы предположили, что $n>m$, и получили противоречие. Этим доказательство теоремы 0.1 завершено. В частности, в рационально связном случае (где $m=0$) имеем равенство $n=0$, т. е. отображение $\chi$ является послойным: первое (“рационально связное”) утверждение теоремы 0.1 доказано. Пусть $\beta\colon S\dashrightarrow S'$ – рациональное доминантное отображение такое, что $\beta\circ\pi=\pi'\circ\chi$. Теперь мы переходим к доказательству второго утверждения теоремы 0.1 – бирациональной сверхжесткости расслоения Фано–Мори $V/S$. Сделаем, прежде всего, следующее наблюдение. Замечание 1.3. Из доказательства предложения 1.2 или предложения 1.3 легко усмотреть, что если простой $\varphi_+$-исключительный дивизор $E\subset\widetilde{V}$ есть особенность линейной системы $\Sigma^+$, т. е. выполнено неравенство причем замкнутое подмножество (состоящее из всех слоев проекции $\pi_+$, содержащих хотя бы одну точку центра $E$ на $V^+$) не содержится целиком в базисном множестве $\operatorname{Bs}\Sigma^+$, то справедливо неравенство В самом деле, из нашего предположения следует, что для точки общего положения слой $F_s$ не содержится в носителе общего дивизора $D^+\in\Sigma^+$, так что доказательство предложения 1.3 (или 1.2), основанное на обращении присоединения, проходит без изменений. 1.5. Доказательство бирациональной жесткостиНам нужно доказать, что отображение $\beta$ является бирациональным. Как и выше, предположим, что это не так. Поскольку общий слой расслоения Мори неприводим, отсюда следует, что $\operatorname{dim} S'<\operatorname{dim} S$ и общий слой отображения $\beta$ есть неприводимое многообразие положительной размерности. Покажем, что такого не может быть. Пользуясь обозначениями п. 1.3, предположим дополнительно, что последовательность раздутий $\sigma_S\colon S^+\to S$ разрешает особенности отображения $\beta$, так что сквозное отображение есть морфизм (общий слой которого неприводим). Сквозное отображение обозначим символом $\chi_+$. Поскольку рассмотрение рационально связного случая закончено, мы находимся в случае расслоения Мори, так что – очень обильная полная линейная система на $V'$ и $m\geqslant 1$. Ее собственный прообраз на $V$, ввиду теоремы 1.1 удовлетворяет неравенству $n\leqslant m$. Рассмотрим собственный прообраз $\Sigma^+$ системы $\Sigma$ на $V^+$. В дополнение к сделанным предположениям о бирациональном морфизме $\sigma_S$, мы будем считать, что $\sigma_S$ уплощает особенности линейной системы $\Sigma$ над $S$ в следующем смысле: никакой слой $F_s$, $s\in S^+$, проекции $\pi_+$ не содержится в базисном множестве $\operatorname{Bs}\Sigma^+$. Теперь имеем где $K^+=K_{V^+}$, а $Y^+$ – некоторый дивизор на базе $S^+$. Снова рассмотрим разрешение $\varphi_+\colon\widetilde{V}\to V^+$ особенностей отображения $\chi_+=\chi\circ\sigma\colon V^+\dashrightarrow V'$, и пусть $\varphi'=\chi_+\circ\varphi_+\colon\widetilde{V}\to V'$ – соответствующий бирациональный морфизм. Символом $\mathcal{E}'$ обозначим множество всех простых $\varphi'$-исключительных дивизоров на $\widetilde{V}$, накрывающих базу $S'$, а символом $\mathcal{E}^+$ – множество всех простых $\varphi_+$-исключительных дивизоров на $\widetilde{V}$ (мы больше не требуем, чтобы образ $E\in\mathcal{E}^+$ на $V'$ был дивизориален). Для канонического класса $\widetilde{K}=K_{\widetilde{V}}$ имеем равенство
$$
\begin{equation}
\widetilde{K}=K^++\sum_{E\in\mathcal{E}^+}a^+_E E =K'+\sum_{E'\in\mathcal{E}'}a(E')E'+(\,{\dots}\,),
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $a^+_E$ и $a(E')$ – дискрепантности относительно $V^+$ и $V'$ соответственно, а в скобках $(\,{\dots}\,)$ стоит эффективная линейная комбинация $\varphi'$-исключительных простых дивизоров на $\widetilde{V}$, образ которых на $V'$ не накрывает базу $S'$. Пусть $F'=F'_t=(\pi')^{-1}(t)$ – слой общего положения проекции $\pi'$. Очевидно, входящие в $(\,{\dots}\,)$ дивизоры не пересекают собственный прообраз $\widetilde{F'}$ на $\widetilde{V}$. Обозначим символом $G$ подмногообразие Очевидно, его собственный прообраз $\widetilde{G}$ на $\widetilde{V}$ есть $\widetilde{F'}$. Для собственного прообраза $\widetilde{\Sigma}$ системы $\Sigma^+$ на $\widetilde{V}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\Sigma}\subset\biggl|-nK^++\pi^*_+Y^+-\sum_{E\in\mathcal{E}^+}b^+_EE\biggr|
\end{equation*}
\notag
$$
(опуская, как обычно, символы подъема $\varphi^*_+$), так что справедливо равенство дивизориальных классов
$$
\begin{equation*}
-mK'+(\pi')^*Y'=-nK^++\pi^*_+Y^+-\sum_{E\in\mathcal{E}^+}b^+_EE.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда несложными вычислениями с помощью формулы (2) получаем равенство
$$
\begin{equation}
(m-n)K^++(\pi^*_+Y^+-(\pi')^*Y')=\sum_{E\in\mathcal{E}^+}(b^+_E-ma^+_E)E +m\sum_{E'\in\mathcal{E}'}a(E')E'+(\,{\dots}\,),
\end{equation}
\tag{3}
$$
где символ $(\,{\dots}\,)$ имеет тот же смысл, что и в формуле (2). Поскольку ни один слой проекции $\pi_+$ по построению не содержится в $\operatorname{Bs}\Sigma^+$, согласно замечанию 1.3 имеем Пусть $F=F_s\subset G$ – общий слой проекции $\pi_+$ и $\widetilde{F}$ – его собственный прообраз на $\widetilde{V}$. Поскольку
$$
\begin{equation*}
\pi^*_+Y^+|_F=0\quad \text{и} \quad (\pi')^*Y'|_{\widetilde{G}}=(\,{\dots}\,)|_{\widetilde{G}}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
ограничивая равенство (3) на $\widetilde{F}$, получаем
$$
\begin{equation*}
(m-n)K^+|_{\widetilde{F}}=\sum_{E\in\mathcal{E}^+} (b^+_E-ma^+_E)E|_{\widetilde{F}}+m\sum_{E'\in\mathcal{E}'}a(E')E'|_{\widetilde{F}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя к обеим частям операцию прямого образа $(\varphi_+)_*$, получаем равенство дивизориальных классов на $F$, где слева при $n<m$ стоит отрицательный дивизор, а справа – эффективный дивизор
$$
\begin{equation*}
m\sum_{E'\in\mathcal{E}'}a(E')(\varphi_+)_*E'|_{\widetilde{F}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда заключаем, что $n=m$. Теперь, ограничивая равенство (3) на $\widetilde{G}$, получаем
$$
\begin{equation}
\pi^*_+Y^+|_{\widetilde{G}}+\sum_{E\in\mathcal{E}^+} (na^+_E-b^+_E)E|_{\widetilde{G}} =\sum_{E'\in\mathcal{E}'}a(E')E'|_{\widetilde{G}}.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Снова применяя $(\varphi_+)_*$ и учитывая, что все дискрепантности $a(E')$ строго положительны, получаем эффективность дивизориального класса Следовательно, в равенстве (4) слева и справа стоят эффективные дивизоры. Однако все дивизоры $E'|_{\widetilde{G}}$ являются исключительными для бирационального морфизма $\varphi'|_{\widetilde{G}}\colon\widetilde{G}\to F'$, так что любая их линейная комбинация с положительными коэффициентами есть неподвижный эффективный дивизор. Мы заключаем, что на многообразии $\overline{G}=\beta^{-1}_+(t)=\pi_+(G)\subset S^+$ существует конечное множество простых дивизоров $Y_i$, $i\in I$, таких, что для некоторых $m_i\geqslant 1$, причем для любых $m^*_i\in{\mathbb Z}_+$ полная линейная система $\bigl|\sum_{i\in I}m^*_iY_i\bigr|$ состоит из единственного дивизора – самого дивизора $\sum_{i\in I}m^*_iY_i$. Рассмотрим ${\mathbb Q}$-векторное пространство
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}=\operatorname{Pic}\widetilde{G}\otimes{\mathbb Q}
\end{equation*}
\notag
$$
и его подпространство $\mathcal{D}\subset\mathcal{A}$, порожденное классами неприводимых компонент дивизоров $E'|_{\widetilde{G}}$ для всех $E'\in\mathcal{E}'$. Очевидно, имеет место равенство так как число Пикара слоя $F'$ есть $1$. С другой стороны, заменяя в (4)
$$
\begin{equation*}
\pi^*_+Y^+|_{\widetilde{G}}\quad\text{на} \quad (\varphi_+|_{\widetilde{G}})^*(\pi_+|_G)^*\sum_{i\in I}m_iY_i,
\end{equation*}
\notag
$$
получаем ввиду неподвижности дивизора в правой части физическое равенство (а не просто линейную эквивалентность) двух эффективных дивизоров, откуда следует, что гиперплоскость $\mathcal{D}\subset\mathcal{A}$ порождена классами неприводимых компонент дивизоров $E|_{\widetilde{G}}$, $E\in\mathcal{E}^+$, и дивизоров
$$
\begin{equation*}
(\varphi_+|_{\widetilde{G}})^*(\pi_+|_G)^*Y_i,\qquad i\in I.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем теперь, что равенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dim}_{\mathbb Q}\mathcal{A}/\mathcal{D}=1
\end{equation*}
\notag
$$
невозможно. В самом деле, класс любого обильного дивизора $\overline{\Delta}$ на многообразии $\overline{G}$ в пространстве $\operatorname{Pic}\overline{G}\otimes{\mathbb Q}$ не может принадлежать подпространству, порожденному $Y_i$, $i\in I$, ввиду своей подвижности. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\Delta=(\pi_+|_G)^*\overline{\Delta}\notin\mathcal{D}
\end{equation*}
\notag
$$
(мы снова опускаем символ $(\varphi_+|_{\widetilde{G}})^*$ подъема на $\widetilde{G}$). Отсюда следует, что Однако кривая общего положения $\Gamma\subset F$ в слое общего положения $F$ проекции $\pi_+|_G$ не пересекает множество неопределенности отображения
$$
\begin{equation*}
(\varphi_+|_{\widetilde{G}})^{-1}\colon G\dashrightarrow\widetilde{G},
\end{equation*}
\notag
$$
и поэтому ее прообраз $\widetilde{\Gamma}=\Gamma$ на $\widetilde{G}$ имеет нулевое пересечение с любым дивизором, класс которого содержится в $\mathcal{D}$, и с любым дивизором, поднятым с базы $\overline{G}$. Таким образом, кривая $\widetilde{\Gamma}$ имеет нулевое пересечение с любым дивизором на $\widetilde{G}$, что абсурдно. Полученное противоречие доказывает, что рациональное доминантное отображение $\beta\colon S\dashrightarrow S'$ бирационально и, следовательно, $\chi$ бирационально отображает слой общего положения $F_s$ на слой общего положения $F'_{\beta(s)}$. Ввиду бирациональной сверхжесткости многообразия $F_s$, терминальности и ${\mathbb Q}$-факториальности особенностей многообразия $F'_{\beta(s)}$ и равенства $\rho(F'_{\beta(s)})=1$ мы заключаем, что бирациональное отображение является изоморфизмом. Теорема 0.1 доказана. 1.6. Обобщение теоремы 0.1В доказательстве теоремы 0.1 (включая доказательство теоремы 1.1) никак не использовалась явная конструкция расслоения $V/S$, но использовались его свойства, вытекающие из этой конструкции. Утверждение теоремы 0.1 справедливо для любого расслоения Фано–Мори, обладающего этими свойствами. Пусть $\pi\colon V\to S$ – произвольное расслоение Фано–Мори над неособой рационально связной базой $S$, т. е. многообразие $V$ факториально, имеет терминальные особенности, справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Pic}V={\mathbb Z}K_V\oplus\pi^*\operatorname{Pic}S
\end{equation*}
\notag
$$
и антиканонический класс $(-K_V)$ относительно обилен. (Многообразия $V$ и $S$ предполагаются проективными.) Определение 1.1. Расслоение Фано–Мори $\pi\colon V\to S$, каждый слой которого неприводим и приведен, устойчиво относительно послойных бирациональных перестроек, если для любого бирационального морфизма $\sigma_S\colon S^+\to S$, где $S^+$ неособо, соответствующий морфизм является расслоением Фано–Мори (т. е. $V^+$ факториально и его особенности терминальны). Теперь из доказательства теоремы 0.1 в пп. 1.1–1.5 получаем следующий общий факт. Теорема 1.2. Предположим, что расслоение Фано–Мори $\pi\colon V\to S$, каждый слой которого неприводим и приведен, устойчиво относительно послойных бирациональных перестроек. Кроме того, предположим, что выполнены следующие условия: (i) для любой точки $s\in S$ соответствующий слой $F_s=\pi^{-1}(s)$ имеет глобальный логканонический порог $\operatorname{lct}(F_s)=1$ и подвижный канонический порог $\operatorname{mct}(F_s)\geqslant 1$; (ii) выполнено $K$-условие, т. е. для любого эффективного дивизора где $n\geqslant 1$, дивизориальный класс $Y$ псевдоэффективен на $S$;(iii) для любого подвижного семейства неприводимых рациональных кривых $\overline{\mathcal{C}}$ на базе $S$, заметающего открытое плотное подмножество $S$, и кривой $\overline{C}\in\overline{\mathcal{C}}$ никакая положительная кратность алгебраического цикла где $F$ – класс слоя проекции $\pi$, не является эффективной.Тогда для любого рационально связного расслоения $V'/S'$ любое бирациональное отображение $\chi\colon V\dashrightarrow V'$ (если таковое существует) является послойным, а само расслоение $V/S$ является бирационально сверхжестким. 1.7. Квадратичные и биквадратичные особенностиДокажем, что расслоения Фано–Мори $V/S$, построенные в п. 0.1 и п. 0.2, устойчивы относительно послойных бирациональных перестроек. Это несложно, но удобно это сделать в более общем контексте. Напомним сначала, что алгебраическое многообразие $\mathcal{X}$ является многообразием, имеющим, самое большее, квадратичные особенности ранга не меньше $r$, если в окрестности каждой точки $o\in \mathcal{X}$ это многообразие реализуется как гиперповерхность в неособом многообразии $\mathcal{Y}$ с локальным уравнением в точке $o$ вида где $(u_*)$ – система локальных параметров на $\mathcal{Y}$ в точке $o$, и либо линейная форма $\beta_1\not\equiv 0$, т. е. точка $o\in\mathcal{X}$ неособа, либо $\beta_1\equiv 0$ и тогда квадратичная форма $\beta_2$ имеет ранг не меньше $r$. В [2; п. 3.1] было доказано, что свойство иметь квадратичные особенности ранга не меньше $r$ устойчиво относительно раздутий в следующем смысле: пусть $B\subset\mathcal{X}$ – неприводимое подмногообразие, тогда существует открытое множество $\mathcal{U}\subset\mathcal{Y}$ такое, что1) $\mathcal{U}\cap B\neq\varnothing$, причем многообразие $\mathcal{U}\cap B$ неособо; 2) для его раздутия $\sigma_B\colon \mathcal{U}_B\to \mathcal{U}$ собственный прообраз пересечения $\mathcal{X}\,{\cap}\,\mathcal{U}$, который есть гиперповерхность $\mathcal{X}_B\subset\mathcal{U}_B$, – снова многообразие, имеющее, самое большее, квадратичные особенности ранга не меньше $r$. Легко видеть, что если $\mathcal{X}$ – многообразие с квадратичными особенностями ранга не меньше $5$, то оно факториально и его особенности терминальны. В доказательстве устойчивости относительно раздутий, данном в [2], использован следующий очевидный факт. Пусть $\mathcal{X}$ – гиперповерхность в неособом многообразии $\mathcal{Y}$ и $\mathcal{Z}\subset\mathcal{Y}$ – неособая гиперповерхность, а $o\in\mathcal{X}\cap\mathcal{Z}$ – некоторая точка. Пусть $\beta(u_*)=0$ – локальное уравнение $\mathcal{X}$ в точке $o$ относительно системы параметров $(u_*)$ в этой точке. Если уравнение задает гиперповерхность, имеющую в точке $o$ квадратичную особенность ранга не меньше $r$, то и $\mathcal{X}$ имеет в точке $o$ такую особенность. Из этого наблюдения следует, что если $\mathcal{X}\cap(\mathcal{Y}\setminus\mathcal{Z})$ имеет, самое большее, квадратичные особенности ранга не меньше $r$ и то же самое справедливо для ограничения $\mathcal{X}|_\mathcal{Z}$, то и гиперповерхность $\mathcal{X}$ имеет, самое большее, квадратичные особенности ранга не меньше $r$. Если в качестве гиперповерхности $\mathcal{Z}$ взять исключительный дивизор раздутия подмногообразия $\mathcal{U} \cap B$, то и получается устойчивость такого типа особенностей относительно раздутий.Рассмотрим теперь биквадратичные особенности. Зафиксируем пару $(r_1,r_2)\in{\mathbb Z}^2_+$, где $r_2\geqslant r_1+2$. Определим класс многообразий, имеющих, самое большее, квадратичные особенности ранга не меньше $r_1$ и биквадратичные особенности ранга не меньше $r_2$: многообразие $\mathcal{X}$ принадлежит этому классу, если в окрестности каждой точки $o\in\mathcal{X}$ это многообразие реализуется как полное пересечение коразмерности $2$ в неособом многообразии $\mathcal{Y}$ с локальными уравнениями в точке $o$ вида
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0&=\beta_{1,1}(u_*)+\beta_{1,2}(u_*)+\cdots, \\ 0&=\beta_{2,1}(u_*)+\beta_{2,2}(u_*)+\cdots, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $(u_*)$ – система локальных параметров на $\mathcal{Y}$ в точке $o$, причем имеет место в точности один из трех случаев:
Легко видеть, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\operatorname{Sing}\mathcal{X}\subset\mathcal{X}) \geqslant\min(r_1-1,r_2-3).
\end{equation*}
\notag
$$
Для краткости будем говорить, что $\mathcal{X}$ имеет особенности типа $(r_1,r_2)$. Теорема 1.3. Предположим, что $\mathcal{X}$ имеет особенности типа $(r_1,r_2)$ и $B\subset\mathcal{X}$ – неприводимое подмногообразие. Существует открытое множество $\mathcal{U}\subset\mathcal{X}$ такое, что $\mathcal{U}\cap B\neq\varnothing$, причем $\mathcal{U}\cap B$ – неособое подмногообразие и раздутие $\sigma_B\colon \mathcal{U}_B\to \mathcal{U}$ вдоль $B$ дает многообразие $\mathcal{U}_B$ с особенностями типа $(r_1,r_2)$. Доказательство. В силу устойчивости квадратичных особенностей, доказанной в [2], достаточно рассмотреть случай, когда $B$ целиком содержится во множестве биквадратичных особенностей. Пусть $\mathcal{U}$ – такое открытое множество, что подмногообразие $\mathcal{U}\cap B$ неособо, ранги $\operatorname{rk}\beta_{1,2}$, $\operatorname{rk}\beta_{2,2}$ и $\operatorname{rk}(\beta_{1,2},\beta_{2,2})$ постоянны вдоль $\mathcal{U}\cap B$. Рассматривая $\mathcal{U}\cap B$ как подмногообразие неособого многообразия $\mathcal{Y}$, заданное парой уравнений, выберем такую систему локальных параметров, относительно которой $B$ задается системой уравнений Раздувая $B\subset\mathcal{Y}$ с исключительным дивизором $E_B\subset\widetilde{\mathcal{Y}}$, реализуем раздутие $\mathcal{U}_B$ как подмногообразие коразмерности $2$ в $\widetilde{\mathcal{Y}}$, заданное парой уравнений $\widetilde{\beta_1}=\widetilde{\beta_2}= 0$. Достаточно проверить, что особенности $\mathcal{U}_B$ на пересечении $\mathcal{U}_B\cap E_B$ либо квадратичны ранга $\geqslant r_1$, либо биквадратичны ранга не меньше $r_2$. Понятно, что система уравнений задает неприводимое приведенное подмногообразие коразмерности $2$ в $E_B$, расслоенное над $B$, причем слой над точкой $b\in B$ есть полное пересечение двух квадрик ранга не меньше $r_2$ в ${\mathbb P}^{k-1}$. Обозначим этот слой символом $E_b$. Если $p\in E_b$ – неособая точка, то и $\mathcal{U}_B$ неособо в точке $p$. Если $p\in E_b$ – квадратичная особенность, то ее ранг не меньше $r_2-2\geqslant r_1$, потому что ранг квадратичной формы падает, самое большее, на $2$ при ограничении на гиперплоскость. В этом случае $\mathcal{U}_B$ либо неособо в точке $p$, либо имеет квадратичную особенность ранга не меньше $r_1$. Наконец, если $p\in E_b$ – биквадратичная особенность, то ранг любой квадратичной формы в пучке не меньше $r_2$. Поэтому если $p\in \mathcal{U}_B$ – особая точка, то она есть либо квадратичная особенность ранга не меньше $r_2-2\geqslant r_1$, либо биквадратичная особенность ранга не меньше $r_2$, что и требовалось доказать. Отметим, что для особенностей типа $(r_1,r_2)$ действует тот же принцип, что и для квадратичных особенностей: если для неособого дивизора $\mathcal{Z}\subset\mathcal{Y}$ ограничение $\mathcal{X}|_\mathcal{Z}$ имеет особенности типа $(r_1,r_2)$, то это справедливо и для особенностей $\mathcal{X}$ в точках пересечения $\mathcal{X}\cap\mathcal{Z}$. В доказательстве теоремы мы использовали этот принцип. Если $r_1\geqslant 5$ и $r_2\geqslant 7$, то в силу доказанной теоремы особенности типа $(r_1,r_2)$ факториальны и терминальны, как и утверждалось в п. 0.1. Для слоев расслоения $V/S$ в теореме 0.1 имеем $(r_1,r_2)=(5,7)$, что гарантирует факториальность и терминальность особенностей каждого слоя, а в силу конструкции расслоения $V/S$ как подрасслоения локально тривиального расслоения $\pi\colon X\to S$ со слоем ${\mathbb P}$ – факториальность и терминальность особенностей самого многообразия $V$. Если $\sigma_S\colon S^+\to S$ – бирациональный морфизм, то $V^+=V\times_S S^+$ есть подрасслоение локально тривиального ${\mathbb P}$-расслоения и поэтому многообразие $V^+$ факториально и его особенности терминальны. Это доказывает устойчивость расслоения Фано–Мори $V/S$, которое построено в п. 0.1, относительно послойных бирациональных перестроек. (Значения $(r_1,r_2)=(9,13)$ в п. 0.2 нужны для доказательства дивизориальной каноничности в § 2 и § 3.)Сделаем еще несколько заключительных замечаний. Замечание 1.4. Если база $S$ одномерна, т. е. $S={\mathbb P}^1$, то утверждение теоремы 0.1 можно усилить: бирациональное отображение $\chi\colon V\dashrightarrow V'$ на тотальное пространство расслоения Мори $V'/S'$ есть бирегулярный изоморфизм, см. [6; теорема 1, (iv)] – доказательство дословно такое же, как в [6; п. 1.5]. Замечание 1.5. Условия (ii) и (iii) теоремы 0.1 (и теоремы 1.2) можно заменить одним более сильным условием (как это сделано в [2]): класс не является эффективным ни для какого $N\geqslant 1$. Это условие легче проверить (см. пример 0.1). Однако $K$-условие, по-видимому, близко к критериальному (см. в трехмерном случае [30], [31] для многообразий с пучком поверхностей дель Пеццо степени $1$) и является одним из фундаментальных условий для расслоений Фано–Мори. Замечание 1.6. В [2; п. 2.3] в выключной формуле (2.2) имеется опечатка: пропущен класс $\pi^* Y$. Это не влияет на результат вычислений – пропущенный класс в них учтен и окончательный результат (в конце п. 2.3) верен. § 2. Регулярные полные пересеченияВ этом параграфе доказана теорема 0.2 и получены оценки сверху для кратностей особых точек некоторых подмногообразий регулярных полных пересечений $F\in \mathcal{F}_{\mathrm{reg}}$. В п. 2.1 доказательство теоремы 0.2 сведено к некоторой оценке для коразмерности дополнения ко множеству наборов однородных многочленов, задающих неприводимое приведенное полное пересечение соответствующей коразмерности в проективном пространстве (теорема 2.1). В п. 2.2 доказана эта теорема. В п. 2.3 с помощью техники гиперкасательных дивизоров, основанной на условиях регулярности, получены оценки сверху для отношения кратности к степени для простых дивизоров на сечениях многообразия $F$ линейными подпространствами в проективном пространстве ${\mathbb P}$. 2.1. Доказательство теоремы 0.2Пусть $o\in{\mathbb P}$ – произвольная точка и $\mathcal{F}(o)\subset\mathcal{F}$ – замкнутое подмножество таких пар $(f_1,f_2)$, что $f_1(o)=0$, $f_2(o)=0$. Зафиксируем некоторую систему аффинных координат $z_1,\dots,z_{M+2}$ с началом в точке $o$. Для пары однородных многочленов $(f_1,f_2)\in\mathcal{F}(o)$ обозначим теми же символами $f_1$ и $f_2$ соответствующие неоднородные многочлены от переменных $z_*$. Запишем $i=1,2$, где $f_{i,j}(z_*)$ – однородный многочлен степени $j$. Определим подмножества $\mathcal{B}(?)\subset\mathcal{F}(o)$ для следующим образом. Подмножество $\mathcal{B}(1)$ состоит из таких пар $(f_1,f_2)$, что линейные формы $f_{1,1}$ и $f_{2,1}$ линейно независимы, но условие (R1) не выполнено. Подмножество $\mathcal{B}(2)$ состоит из таких пар $(f_1,f_2)\in\mathcal{F}(o)$, что но условие (R2) не выполнено. Наконец, подмножества $\mathcal{B}(2^2.*)$ состоят из таких пар $(f_1,f_2)\in\mathcal{F}(o)$, что но соответствующее условие (R$2^2$.*) не выполнено. Положим $\mathcal{B}=\cup \mathcal{B}(?)$. Поскольку точка $o\in{\mathbb P}$ произвольна, а $\operatorname{codim}(\mathcal{F}(o)\subset\mathcal{F})=2$, имеем очевидное неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}((\mathcal{F}\setminus\mathcal{F}_{\mathrm{reg}}) \subset\mathcal{F})\geqslant\operatorname{codim}(\mathcal{B}\subset\mathcal{F}(o))-M.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому для доказательства теоремы 0.2 достаточно оценить снизу коразмерности
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\mathcal{B}(?)\subset\mathcal{F}(o))
\end{equation*}
\notag
$$
и выбрать наихудшую из этих оценок. Для их получения мы будем использовать следующие хорошо известные факты и методы: – стандартные свойства биномиального коэффициента; – тот факт, что множество квадратичных форм ранга не больше $r$ от $N$ переменных имеет коразмерность $(N-r)(N-r+1)/2$ в пространстве всех квадратичных форм; – “метод проекций” для оценки коразмерности множества нерегулярных последовательностей, см. [5; гл. 3, п. 1.3]. Рассмотрим сначала неособый случай. Пусть $\xi_1(z_*)$ и $\xi_2(z_*)$ – линейно независимые линейные формы. Положим
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}(o,\xi_1,\xi_2)=\{(f_1,f_2)\in\mathcal{F}(o)\mid f_{1,1}=\xi_1,\, f_{2,1}=\xi_2\}
\end{equation*}
\notag
$$
и $\mathcal{B}(1,\xi_1,\xi_2)=\mathcal{B}(1)\cap\mathcal{F}(o,\xi_1,\xi_2)$. Очевидно,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\mathcal{B}(1)\subset\mathcal{F}(o)) =\operatorname{codim}(\mathcal{B}(1,\xi_1,\xi_2)\subset\mathcal{F}(o,\xi_1,\xi_2)),
\end{equation*}
\notag
$$
так что можно считать, что линейные формы $f_{1,1}$ и $f_{2,1}$ фиксированы. Пусть – некоторое подпространство коразмерности $2$ и
$$
\begin{equation*}
\mathcal{B}(1,\xi_1,\xi_2,\mathcal{L})\subset\mathcal{B}(1,\xi_1,\xi_2)
\end{equation*}
\notag
$$
– подмножество, состоящее из таких пар $(f_1,f_2)$, что последовательность $\mathcal{S}[-5]|_\mathcal{L}$ нерегулярна. Очевидно, коразмерность
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\mathcal{B}(1,\xi_1,\xi_2) \subset\mathcal{F}(o,\xi_1,\xi_2))
\end{equation*}
\notag
$$
не меньше, чем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\mathcal{B}(1,\xi_1,\xi_2,\mathcal{L}) \subset\mathcal{F}(o,\xi_1,\xi_2))-2(M-2).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому достаточно оценить коразмерность множества $\mathcal{B}(1,\xi_1,\xi_2,\mathcal{L})$. Применим теперь метод проекций (учитывая, что $d_1\leqslant d_2$). Этот метод, предложенный в [32], оценивает коразмерность множества нерегулярных последовательностей, фиксируя первый момент нарушения регулярности: таким образом получается оценка коразмерности для множества последовательностей, в которых регулярность впервые нарушается в $k$-м члене последовательности; после этого из всех оценок выбирается наихудшая. Из недавних работ, где подробно описана эта техника, см. [27; § 3]. В нашем случае коразмерность множества $\mathcal{B}(1,\xi_1,\xi_2,\mathcal{L})$ не меньше, чем минимум следующего набора целых чисел, который удобно разделить на две части. Предположим сначала, что $d_2\geqslant d_1+5$. Тогда первая часть набора состоит из чисел а вторая – из чисел Отсюда, используя обычные свойства биномиальных коэффициентов, легко заключить, что минимум этого набора достигается на одном из его концов; сравнивая числа элементарной проверкой убеждаемся, что первое меньше второго. Такой же результат получается и в пропущенных пяти случаях, когда Например, при $d_2=d_1$ в первой части набора $k=2,\dots, d_1-3$, а вторая часть состоит из одного числа при $d_2=d_1+1$ в первой части имеем $k=2,\dots,d_1-2$, а вторая часть пуста и так далее. Минимум последовательности всегда есть Отсюда с учетом сделанных выше замечаний получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\mathcal{B}(1)\subset\mathcal{F}(o))\geqslant\frac12(M^2-9M+14).
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим теперь квадратичный случай. Рассуждая как выше, зафиксируем пару пропорциональных линейных форм $\xi_1$, $\xi_2$, не равных одновременно нулю, и определим подмножества $\mathcal{F}(o,\xi_1,\xi_2)$ и $\mathcal{B}(2,\xi_1,\xi_2)$ теми же формулами, что и выше в неособом случае. Запишем
$$
\begin{equation*}
\xi_1=\alpha_1\tau\quad\text{и}\quad \xi_2=\alpha_2\tau,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\tau(z_*)$ – ненулевая линейная форма и $(\alpha_1,\alpha_2)\neq(0,0)$. Пусть $\mathcal{L}\subset\{\tau=0\}$ – некоторое подпространство коразмерности $1$ и
$$
\begin{equation*}
\mathcal{B}(2,\xi_1,\xi_2,\mathcal{L})\subset\mathcal{B}(2,\xi_1,\xi_2)
\end{equation*}
\notag
$$
– подмножество, состоящее из таких пар $(f_1,f_2)$, что последовательность $\mathcal{S}[-4]|_\mathcal{L}$ нерегулярна. Аналогично неособому случаю, множество $\mathcal{B}(2,\xi_1,\xi_2)$ имеет относительно $\mathcal{F}(o,\xi_1,\xi_2)$ коразмерность не меньше, чем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\mathcal{B}(2,\xi_1,\xi_2,\mathcal{L}) \subset\mathcal{F}(o,\xi_1,\xi_2))-M,
\end{equation*}
\notag
$$
так что достаточно оценить последнюю коразмерность. Элементарные вычисления, основанные на методе проекций, мы не приводим: коразмерность подмножества $\mathcal{B}(2)$ относительно $\mathcal{F}(o)$ оказывается выше, чем коразмерность подмножества $\mathcal{B}(2^2.3)$, которую мы оценим ниже. Рассмотрим, наконец, биквадратичный случай. Обращение в нуль линейных форм $f_{1,1}$ и $f_{2.1}$ дает $2(M+2)$ независимых условий. Оценим сначала коразмерность множества $\mathcal{B}(2^2.1)$, потому что условие (R$2^2$.1) не зависит от $d_1$. Если то либо $\operatorname{rk}f_{1,2}\leqslant 12$, либо $\operatorname{rk}f_{1,2}\geqslant 13$ и $f_{2,2}$ лежит на конусе в пространстве $\mathcal{P}_{2,M+2}$, вершина которого есть форма $f_{1,2}$, а база – замкнутое подмножество форм ранга не больше $12$, откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\mathcal{B}(2^2.1)\subset\mathcal{F}(o))\geqslant\frac12(M-9)(M-10)-1+2(M+2),
\end{equation*}
\notag
$$
потому что условия $\operatorname{rk}f_{i,2}\leqslant 17$, $i=1,2$, вместе дают $(M-14)(M-15)$ независимых условий для пары квадратичных форм $(f_{1,2},f_{2,2})$, что гораздо больше. Рассмотрим теперь условия (R$2^2$.2) и (R$2^2$.3). Предположим сначала, что $d_1\geqslant 4$. Оценим коразмерность множества $\mathcal{B}(2^2.3)$. Пусть $\mathcal{L}\subset{\mathbb C}^{M+2}$ – некоторое линейное подпространство коразмерности $2$ или $3$. Пусть $\mathcal{B}(2^2.3,\mathcal{L})\subset\mathcal{F}(o)$ – подмножество, состоящее из таких пар $(f_1,f_2)$, что $f_{1,1}\equiv f_{2,1}\equiv 0$ и последовательность
$$
\begin{equation*}
\mathcal{S}[-\operatorname{codim}\mathcal{L}-1]|_\mathcal{L}
\end{equation*}
\notag
$$
нерегулярна. Случай $\operatorname{codim}\mathcal{L}=3$ дает худшую оценку коразмерности, поэтому рассматриваем его. Применяя метод проекций, как в неособом случае, получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\mathcal{B}(2^2.3,\mathcal{L})\subset\mathcal{F}(o)) \geqslant\binom{M-1}{2}+2(M+2),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда с учетом того, что $\mathcal{L}$ варьируется в $3(M-1)$-мерном грассманиане, следует оценка
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\mathcal{B}(2^2.3)\subset\mathcal{F}(o)) \geqslant\frac12(M^2-5M+16).
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим теперь условие (R$2^2$.2). Здесь нам понадобится следующий общий факт. Пусть $\underline{m}=(m_1,\dots,m_k)$ – набор целых чисел, причем
$$
\begin{equation*}
2\leqslant m_1\leqslant m_2\leqslant\dots\leqslant m_k
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\mathcal{P}(\underline m)=\prod^k_{i=1}\mathcal{P}_{m_i,N+1}
\end{equation*}
\notag
$$
– пространство наборов $(\underline{g})=(g_1,\dots,g_k)$ однородных многочленов степени $m_1,\dots,m_k$ от $N+1$ переменных, которые мы рассматриваем как однородные многочлены на проективном пространстве ${\mathbb P}^N$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\mathcal{B}^*(\underline{m})\subset\mathcal{P}(\underline{m})
\end{equation*}
\notag
$$
– множество таких наборов $(g_1,\dots,g_k)$, что схема их общих нулей не является неприводимым приведенным подмногообразием коразмерности $k$ в ${\mathbb P}^N$. Применяя теорему 2.1, получаем следующее неравенство для коразмерности подмножества $\mathcal{B}(2^2.2,\mathcal{L})\subset\mathcal{F}(o)$, где $\mathcal{L}$ – линейное подпространство коразмерности $2$ в ${\mathbb C}^{M+2}$, состоящее из пар $(f_1,f_2)$ таких, что $f_{1,1}\equiv f_{2.1}\equiv 0$ и условие (R$2^2$.2) не выполнено:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\mathcal{B}(2^2.2,\mathcal{L})\subset\mathcal{F}(o)) \geqslant\frac12(M^2-15M+58)+2(M+2),
\end{equation*}
\notag
$$
так что с учетом произвольности подпространства $\mathcal{L}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\mathcal{B}(2^2.2)\subset\mathcal{F}(o)) \geqslant\frac12(M^2-15M+66).
\end{equation*}
\notag
$$
Выбирая из полученных оценок для коразмерности наихудшую (она соответствует нарушению условия (R$2^2$.2)), и вспоминая, что замкнутое подмножество $\mathcal{F}(o)$ имеет коразмерность $2$, а точка $o$ варьируется в $(M+2)$-мерном проективном пространстве, завершаем доказательство теоремы 0.2 при $d_1\geqslant 4$. Рассмотрим теперь оставшиеся две возможности $d_1\,{=}\,2,3$. Коразмерность множества $\mathcal{B}(2^2.3)$ оценивается методом проекций, как и выше. Если же коразмерность пространства $\mathcal{L}$ равна $2$, то наихудшая оценка коразмерности
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\mathcal{B}(2^2.3,\mathcal{L})\subset\mathcal{F}(o))
\end{equation*}
\notag
$$
соответствует нарушению регулярности в последнем члене последовательности $\mathcal{S}[-\operatorname{codim}\mathcal{L}]|_\mathcal{L}$ и дается числом откуда следует, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\mathcal{B}(2^2.3)\subset\mathcal{F}(o)) \geqslant \binom{d_2}{2}-M+7
\end{equation*}
\notag
$$
(где $d_2=M+2-d_1\geqslant M-1$). Это лучше, чем утверждает теорема 0.2. Для оценки коразмерности множества $\mathcal{B}(2^2.2)$ воспользуемся теоремой 2.1. Пусть сначала $d_1=3$. Этот случай выделяется из общего ряда тем, что условие (R$2^2$.2) требует неприводимости и приведенности полного пересечения коразмерности $5$ (во всех остальных случаях эта коразмерность равна $4$). С помощью теоремы 2.1 для фиксированного линейного подпространства $\mathcal{L}\subset{\mathbb C}^{M+2}$ получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\mathcal{B}(2^2.2,\mathcal{L})\subset\mathcal{F}(o)) \geqslant\frac12(M^2-17M+74)+2(M+2).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом произвольности подпространства $\mathcal{L}$ получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\mathcal{B}(2^2.2)\subset\mathcal{F}(o)) \geqslant\frac12(M^2-17M+82).
\end{equation*}
\notag
$$
Принимая во внимание, что замкнутое подмножество $\mathcal{F}(o)$ имеет коразмерность $2$, а точка $o$ варьируется в ${\mathbb P}^{M+2}$, завершаем доказательство теоремы 0.2 при $d_1=3$. В случае $d_1=2$ оценка коразмерности множества $\mathcal{B}(2^2.2)$ проводится дословно так же, как при $d_1\geqslant 4$, поскольку в условии (R$2^2$.2) речь идет о полном пересечении коразмерности $4$. Доказательство теоремы 0.2 завершено. 2.2. Неприводимые приведенные полные пересеченияДокажем теорему 2.1. Наши рассуждения аналогичны рассуждениям [27; § 2], но имеют более общий характер и более формальны. Идея доказательства состоит в том, чтобы использовать индукцию по $k$. Случай $k=1$ почти очевиден, коразмерность множества приводимых многочленов оценить очень легко. Однако для того, чтобы осуществить шаг индукции, необходимо рассматривать такие наборы многочленов, которые определяют не только неприводимые приведенные подмногообразия нужной коразмерности, но вдобавок факториальные подмногобразия – это позволяет добавить еще один многочлен. Наши обозначения близки к обозначениям [27; § 2], насколько это возможно. Итак, пусть
$$
\begin{equation*}
\mathcal{P}^{\geqslant j}=\prod^k_{i=j}\mathcal{P}_{m_i,N+1}
\end{equation*}
\notag
$$
– пространство укороченных наборов $(g_j,\dots,g_k)$, которые мы будем обозначать символом $g_{[j,k]}$. Вместо возрастающей индукции по $k$ используем эквивалентную ей убывающую индукцию по $j=k,\dots,1$. Удобнее, когда степень добавляемого многочлена не выше, чем степени уже имеющихся. Символом $\mathcal{P}^{\geqslant j}_{\mathrm{mq}}$ обозначим открытое по Зарисскому подмножество пространства $\mathcal{P}^{\geqslant j}$, состоящее из таких наборов $g_{[j,k]}$, что схема их общих нулей есть неприводимое приведенное полное пересечение, имеющее коразмерность $k-j+1$ и, самое большее, факториальные мульти-квадратичные особенности (см. [27; § 2]). Напомним смысл последнего условия. Пусть $o\in V(g_{[j,k]})$ – произвольная точка и $w_1,\dots,w_N$ – система аффинных координат на $\mathcal{P}^N$ с началом в этой точке. Пусть – разложение неоднородного представления многочлена $g_a$ (обозначаемого тем же символом) на однородные по $w_*$ компоненты. Если
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dim}\langle g_{j,1},\dots,g_{k,1}\rangle=k-j+1,
\end{equation*}
\notag
$$
то в окрестности точки $o$ схема $V(g_{[j,k]})$ есть неособое подмногообразие коразмерности $k-j+1$. Предположим, что
$$
\begin{equation*}
l=k-j+1-\operatorname{dim}\langle g_{j,1},\dots,g_{k,1}\rangle\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\varphi_{\mathbb P,o}\colon X\to{\mathbb P}^N$ – раздутие точки $o$ с исключительным дивизором $E_X\cong{\mathbb P}^{N-1}$. Разобьем множество индексов $\{j,\dots,k\}$ на два дизъюнктных подмножества $I_1\sqcup I_2$ таких, что линейные формы $g_{\alpha,1}$, $\alpha\in I_1$, линейно независимы, причем
$$
\begin{equation*}
\langle g_{j,1},\dots,g_{k,1}\rangle=\langle g_{\alpha,1}\mid\alpha\in I_1\rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
так что для $\gamma\in I_2$ существуют однозначно определенные константы $c_{\gamma\alpha}$ такие, что
$$
\begin{equation*}
g_{\gamma,1}=\sum_{\alpha\in I_1}c_{\gamma\alpha}g_{\alpha,1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\Pi=\{g_{\alpha,1}=0\mid\alpha\in I_1\}\subset{\mathbb C}^N$ и построим квадратичные формы для $\gamma\in I_2$:
$$
\begin{equation*}
g^*_{\gamma,2}=g_{\gamma,2}-\sum_{\alpha\in I_1}c_{\gamma\alpha}g_{\alpha,2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\operatorname{rk}(g^*_{\gamma,2}|_{\Pi},\,\gamma\in I_2) \geqslant 2l+3,
\end{equation}
\tag{5}
$$
то в окрестности точки $o$ схема $V(g_{[j,k]})$ есть неприводимое полное пересечение с мульти-квадратичной особенностью типа $2^l$, см. [27]: пусть $V^+(g_{[j,k]})$ – собственный прообраз $V(g_{[j,k]})$ на $X$ и $Q=V^+(g_{[j,k]})\cap E_X$ – исключительный дивизор раздутия $V^+(g_{[j,k]})\to V(g_{[j,k]})$ точки $o$, тогда $Q\subset E_X$ есть неприводимое приведенное полное пересечение типа $2^l$ в линейном подпространстве
$$
\begin{equation*}
{\mathbb P}(\Pi)=\{g_{\alpha,1}=0 \mid \alpha\in I_1\}\subset E_X
\end{equation*}
\notag
$$
коразмерности $(k-j+1-l)$, причем в силу [27; § 2, лемма 2.1] имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\operatorname{Sing}Q\subset Q)\geqslant 4.
\end{equation*}
\notag
$$
Если неравенство (5) справедливо для любой особой точки $o\in V(g_{[j,k]})$, то $V(g_{[j,k]})$ есть неприводимое приведенное факториальное многообразие коразмерности $k-j+1$. Будем доказывать теорему 2.1, оценивая коразмерность дополнения
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}((\mathcal{P}^{\geqslant j}\setminus\mathcal{P}^{\geqslant j}_{\mathrm{mq}})\subset\mathcal{P}^{\geqslant j})
\end{equation*}
\notag
$$
для $j=k,\dots,1$. Таким образом, мы рассуждаем убывающей индукцией по $j$. Основание индукции. Замкнутое множество приводимых многочленов степени $m_k$ на ${\mathbb P}^N$ имеет коразмерность в пространстве $\mathcal{P}_{m_k,N+1}$. Если $g_k\in\mathcal{P}_{m_k,N+1}$ – неприводимый многочлен, то условие, что гиперповерхность $\{g_k=0\}$ имеет хотя бы одну особую точку, которая не является квадратичной особенностью ранга не меньше $5$ (т. е. факториальной квадратичной особенностью), накладывает на коэффициенты $g_k$ не менее независимых условий. Поскольку $m_k\geqslant 2$, получаем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}((\mathcal{P}^{\geqslant k}\setminus\mathcal{P}^{\geqslant k}_{\mathrm{mq}})\subset\mathcal{P}^{\geqslant k}) \geqslant\frac12(N-3)(N-4)+1.
\end{equation*}
\notag
$$
Шаг индукции: неприводимость. Пусть
$$
\begin{equation*}
g_{[j+1,k]}\in\mathcal{P}^{\geqslant j+1}_{\mathrm{mq}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассуждения, аналогичные [27; п. 2.2], показывают: множество таких многочленов $g_j\in\mathcal{P}_{m_j,N+1}$, что $V(g_{[j,k]})$ либо приводимо, либо не приведено, либо имеет “неправильную” коразмерность $(k-j)$ в ${\mathbb P}^N$, имеет в $\mathcal{P}_{m_j,N+1}$ коразмерность не меньше, чем (Это следует из факториальности многообразия $V(g_{[j,k]})$ и теоремы Лефшеца: группа Пикара этого многообразия порождена гиперплоским сечением и каждый дивизор высекается гиперповерхностью в ${\mathbb P}^N$. Именно здесь используется условие $2\leqslant m_1\leqslant m_2\leqslant\dots\leqslant m_k$.) Теперь предполагаем, что схема $V(g_{[j,k]})$ есть неприводимое приведенное полное пересечение коразмерности $(k-j+1)$ в ${\mathbb P}^N$. Шаг индукции: факториальность. Оценим коразмерность множества таких наборов $g_{[j,k]}$, что неприводимое приведенное многообразие $V(g_{[j,k]})$ не удовлетворяет условию иметь факториальные мульти-квадратичные особенности. Это проще сделать заново, т. е. не предполагая, что многообразие $V(g_{[j+1,k]})$ имеет факториальные мульти-квадратичные особенности. Пусть $o\in V(g_{[j,k]})$ – некоторая точка. Символом $\mathcal{Q}(l)$ обозначим пространство квадратичных форм на линейном пространстве $\Pi$. Размерность последнего есть $\operatorname{dim}\Pi=N+j-k+l-1$. Поскольку $|I_2|=l$, вместо наборов $(g^*_{\gamma,2}|_{\Pi},\,\gamma\in I_2)$ варьирующихся независимо друг от друга квадратичных форм будем для упрощения формул рассматривать наборы
$$
\begin{equation*}
h_{[1,l]}=(h_1,\dots,h_l)\in\mathcal{Q}(l)^{\times l}.
\end{equation*}
\notag
$$
Символом $\mathcal{R}_{\leqslant a}$ обозначим замкнутое подмножество квадратичных форм ранга не больше $a$ в $\mathcal{Q}(l)$,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\mathcal{R}_{\leqslant a}\subset\mathcal{Q}(l))= \frac12(N+j-k+l-a)(N+j-k+l-a-1),
\end{equation*}
\notag
$$
а для $e\in\{1,\dots,l\}$ пусть $\mathcal{X}_{e,a}\subset\mathcal{Q}(l)^{\times e}$ – замкнутое множество таких наборов $h_{[1,e]}=(h_1,\dots,h_e)$, что Имеет место следующее утверждение. В частности, подставляя $e=l$ и $a=2l+2$, получаем, что коразмерность замкнутого подмножества $\mathcal{X}_{l,2l+2}$ в пространстве $\mathcal{Q}(l)^{\times l}$ (т. е. в точности подмножества наборов квадратичных форм $g^*_{\gamma,2}|_{\Pi}$, $\gamma\in I_2$, не удовлетворяющих неравенству (5)) не меньше, чем Возвращаясь к полному пересечению $V(g_{[j,k]})$, которое считаем неприводимым и приведенным, оценим коразмерность множества наборов
$$
\begin{equation*}
g_{[j,k]}\notin\mathcal{P}^{\geqslant j}_{\mathrm{mq}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $o\in{\mathbb P}^N$ – фиксированная точка и – целое число. Множество таких наборов $g_{[j,k]}$, что $o\in V(g_{[j,k]})$ и
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dim}\langle g_{j,1},\dots, g_{k,1}\rangle=k-j+1-l,
\end{equation*}
\notag
$$
имеет в $\mathcal{P}^{\geqslant j}$ коразмерность Нарушение условия (5) дает дополнительную коразмерность (7). Учитывая, что точка $o$ варьируется в ${\mathbb P}^N$, но сохраняя значение $l$ фиксированным, получаем квадратичную функцию от $l$, минимум которой достигается при $l=1$ и равен Это выражение оценивает снизу коразмерность дополнения $\mathcal{P}^{\geqslant j}\setminus\mathcal{P}^{\geqslant j}_{\mathrm{mq}}$ в $\mathcal{P}^{\geqslant j}$, поскольку оно заведомо меньше, чем (6). Наконец, рассматривая (8) как функцию переменной $j\in\{1,\dots,k\}$, видим, что его минимум достигается при $j=1$ и равен Это завершает доказательство теоремы 2.1. Замечание 2.1. В условии регулярности (R$2^2$.2) речь идет о полном пересечении в аффинном пространстве $\mathcal{L}$, а не в проективном пространстве. Объясним, как теорема 2.1 применяется к аффинной ситуации. Рассмотрим $\mathcal{L}$ как аффинную карту ${\mathbb C}^M\subset{\mathbb P}^M$. Очевидно, уравнения $f_{1,2}$, $f_{2,2}$ (однородные по построению) и $f_1$, $f_2$ (возвращаемся к исходным однородным многочленам на ${\mathbb P}$), ограниченные на ${\mathbb P}^M$, определяют неприводимое приведенное полное пересечение коразмерности $4$ в ${\mathbb P}^M$ тогда и только тогда, когда выполнено условие (R$2^2$.2). Если то же самое справедливо для ограничений этих четырех многочленов на “гиперплоскость на бесконечности” ${\mathbb P}^M\setminus{\mathbb C}^M$, то условие (R$2^2$.2) выполнено. Эту гиперплоскость можно отождествить с проективизацией ${\mathbb P}(\mathcal{L})$, и тогда получаем набор четырех однородных многочленов 2.3. Степени и кратностиИз условий регулярности обычным образом (см. [5; гл. 3]) получаются оценки для кратности особых точек подмногообразий $Y\subset F\in\mathcal{F}_{\mathrm{reg}}$. С этого момента зафиксируем регулярное полное пересечение $F\in\mathcal{F}_{\mathrm{reg}}$. Как обычно, обозначаем отношение кратности $\operatorname{mult}_oY$ к степени $\deg Y$ (относительно вложения $Y\subset F\subset{\mathbb P}$) символом Рассмотрим сначала точки, неособые на полном пересечении $F$.Предложение 2.1. Предположим, что $\Delta\subset F$ – сечение многообразия $F$ произвольным линейным подпространством коразмерности $2$ в ${\mathbb P}$, точка $o\,{\in}\,\Delta$ неособа и $Y\subset\Delta$ – простой дивизор. Тогда справедливо неравенство Доказательство. Отметим, что неравенство (9) является точным: сечение $\Delta$ любой гиперплоскостью, касательной к $\Delta$ в точке $o$, дает равенство. Предположим противное: имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{mult}_o}{\deg}\, Y>\frac{2}{d_1d_2},
\end{equation*}
\notag
$$
и покажем, что это предположение приводит к противоречию. Наши рассуждения основаны на технике гиперкасательных дивизоров и полностью аналогичны рассуждениям [5; гл. 3, § 2]. Мы остановимся подробно только на тех фрагментах наших рассуждений, в которые нужно внести изменения. В силу условий (R2) и (R$2^2$.1) имеет место неравенство $\operatorname{codim}(\operatorname{Sing}F\subset F)\geqslant 10$, так что для подмногообразия $\Delta\subset F$ получаем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\operatorname{Sing}\Delta\subset\Delta) \geqslant 6.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\Delta\subset{\mathbb P}^M$ – факториальное полное пересечение коразмерности $2$ и $\operatorname{Pic}\Delta={\mathbb Z}H_{\Delta}$, где $H_{\Delta}$ – класс гиперплоского сечения. Символом $|H_{\Delta}\,{-}\,2o|$ обозначим пучок касательных гиперплоскостей в точке $o$. Пусть $D_{1,1}\in|H_{\Delta}-2o|$ – произвольный дивизор. В силу условия (R1) имеем $\operatorname{mult}_oD_{1,1}=2$, так что $D_{1,1}\neq Y$ и поэтому алгебраический цикл $(D_{1,1}\circ Y)$ теоретико-схемного пересечения $D_{1,1}$ и $Y$ корректно определен. Это эффективный цикл коразмерности $2$ на $\Delta$, причем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mult}_o(D_{1,1}\circ Y) \geqslant 2\operatorname{mult}_oY
\end{equation*}
\notag
$$
и $\deg (D_{1,1}\circ Y)=\deg Y$, так что имеется неприводимая компонента $Y_2$ этого цикла (считая $Y_1=Y$), которая удовлетворяет неравенству
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{mult}_o}{\deg }\, Y_2>\frac{4}{d_1d_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $P\ni o$ – общее $7$-мерное линейное подпространство в ${\mathbb P}^M$, содержащее точку $o$. Тогда $\Delta_P=\Delta\cap P$ – неособое $5$-мерное полное пересечение в $P\cong{\mathbb P}^7$, так что для численной группы Чжоу классов циклов коразмерности $2$ на $\Delta_P$ имеем где $H_P\in\operatorname{Pic}\Delta_P$ – класс гиперплоского сечения. Пусть $D_{2,1}\neq D_{1,1}$ – другой элемент касательного пучка, тогда имеем так что $(D_{1,1}\circ D_{2,1}\circ\Delta_P)= D_{1,1}\cap D_{2,1}\cap\Delta_P$ есть неприводимое подмногообразие, а потому и $(D_{1,1}\circ D_{2,1})=D_{1,1}\cap D_{2,1}$ есть неприводимое подмногообразие коразмерности $2$ на $\Delta$, которое в силу условия (R1) удовлетворяет равенству и потому $Y_2\neq (D_{1,1}\circ D_{2,1})$. Поскольку $Y_2\subset D_{1,1}$ по построению, имеем $Y_2\not\subset D_{2,1}$, так что корректно определен эффективный цикл $(D_{2,1}\circ Y_2)$ теоретико-схемного пересечения $D_{2,1}$ и $Y_2$. Найдется неприводимая компонента $Y_3$ этого цикла, удовлетворяющая неравенству
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{mult}_o}{\deg }\, Y_3>\frac{8}{d_1d_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь применим технику гиперкасательных дивизоров дословно так же, как в [5; гл. 3]: определим гиперкасательные линейные системы в терминах системы аффинных координат $z_1,\dots,z_{M+2}$ формулой
$$
\begin{equation*}
\Lambda_j=\biggl|\sum^{\min\{j,d_1-1\}}_{a=1}f_{1,[1,a]}s_{1,j-a}+\sum^j_{a= 1}f_{2,[1,a]}s_{2,j-a}\biggr|,
\end{equation*}
\notag
$$
где $j=2,\dots,d_2-1$, и символ $f_{i,[1,a]}$ обозначает левый отрезок длины $a$ (неоднородного) многочлена $f_i$, а однородные многочлены $s_{i,j-a}(z_*)\in\mathcal{P}_{j-a,M+2}$ произвольны и независимы друг от друга. Если $j\leqslant d_1-1$, то выберем в линейной системе $\Lambda_j|_{\Delta}$ два общих дивизора $D_{1,j}$ и $D_{2,j}$; если $j\geqslant d_1$, то выберем в системе $\Lambda_j|_{\Delta}$ один общий дивизор $D_{2,j}$. Расположим построенные таким образом дивизора на $\Delta$ лексикографически (как это было сделано в п. 0.2) и уберем из полученной последовательности самый первый и пять последних дивизоров. Мы построили последовательность, состоящую из $M-8$ гиперкасательных дивизоров, которые удобно обозначить соответственно Теперь, начиная с уже имеющегося подмногообразия $Y_3$, построим по индукции последовательность неприводимых подмногообразий
$$
\begin{equation*}
Y_3,\quad Y_4,\quad \dots,\quad Y_{M-6},\quad Y_{M-5}
\end{equation*}
\notag
$$
коразмерности $\operatorname{codim}(Y_k\subset\Delta)=k$ следующим образом: если подмногообразие $Y_k$ уже построено, то условие (R1) гарантирует, что $Y_k\not\subset|Z_k|$, так что корректно определен алгебраический цикл теоретико-схемного пересечения $(Z_k\circ Y_k)$ коразмерности $k+1$, и мы выбираем в качестве $Y_{k+1}$ такую компоненту этого цикла, которая имеет максимальное значение отношения $\operatorname{mult}_o/\deg $. Подробности мы не приводим, потому что эта техника многократно применялась и хорошо известна. Подмногообразие $Y_{M-2}$ трехмерно и для него отношение $\operatorname{mult}_o/\deg $ строго больше, чем:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \frac43\frac{(d_1-2)(d_2-3)}{d_1d_2} &\geqslant 1 &\quad &\text{при} &\quad &d_1=d_2\quad\text{или}\quad d_1=d_2-1, \\ \frac43\frac{(d_1-1)(d_2-4)}{d_1d_2} &\geqslant 1 &\quad &\text{при} &\quad &d_1=d_2-2\quad\text{или}\quad d_1=d_2-3, \\ \frac43\frac{d_2-5}{d_2} &\geqslant 1 &\quad &\text{при} &\quad &d_1\leqslant d_2-4. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
В любом случае получаем противоречие, завершающее доказательство предложения. Рассмотрим теперь квадратичные точки полного пересечения $F$ и его гиперплоских сечений. Предложение 2.2. Предположим, что $o\in F$ – квадратичная особенность многообразия $F$ и $\Delta\subset F$ – некоторое гиперплоское сечение многообразия $F$, содержащее точку $o$, причем $o\in\Delta$ есть квадратичная особенность многообразия $\Delta$. Пусть $Y\subset\Delta$ – простой дивизор. Тогда справедливо неравенство Доказательство. Поскольку точка $o$ является квадратичной особенностью многообразия $F$ и его гиперплоского сечения $\Delta$, в обозначениях п. 0.2 для линейной оболочки $\langle\Delta\rangle\subset{\mathbb P}$, т. е. высекающей $\Delta$ гиперплоскости, имеем $\langle\Delta\rangle\neq\{\tau=0\}$. Отметим, что существует однозначно определенное гиперплоское сечение многообразия $\Delta$ (гиперплоскостью $\tau|_{\langle\Delta\rangle}=0$), для которого неравенство (10) превращается в равенство, т. е. утверждение нашего предложения является точным. Теперь предположим противное: для некоторого простого дивизора $Y\subset\Delta$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{mult}_o}{\deg}\, Y>\frac{4}{d_1d_2},
\end{equation*}
\notag
$$
и покажем, что это предположение приводит к противоречию. Поскольку ранг квадратичной формы при ограничении на гиперплоскость падает, самое большее, на $2$, из условия (R2) следует, что ранг квадратичной особенности $o$ многообразия $\Delta$ не меньше $7$. Пусть $D_1$ – описанное выше гиперплоское сечение многообразия $\Delta$, для которого неравенство (10) превращается в равенство. Имеем $D_1\neq Y$, так что корректно определен алгебраический цикл $(D_1\circ Y)$ теоретико-схемного пересечения, в котором найдется неприводимая компонента $Y_2$ коразмерности $2$ относительно $\Delta$, удовлетворяющая неравенству Теперь применяем технику гиперкасательных дивизоров дословно так же, как в неособом случае, используя условие регулярности (R2). Получаем подмногообразие положительной размерности в ${\mathbb P}$, кратность которого в точке $o$ больше, чем его степень. Это противоречие завершает доказательство предложения. Рассмотрим теперь биквадратичные точки полного пересечения $F$. Зафиксируем произвольную биквадратичную точку $o\in F$. Предложение 2.3. Предположим, что $\Delta\subset F$ – сечение многообразия $F$ произвольным линейным подпространством коразмерности $2$ или $3$, содержащим точку $o$, и $Y\subset\Delta$ – простой дивизор. Если $\operatorname{codim}(\Delta\subset F)=2$, то справедливо неравенство Если $\operatorname{codim}(\Delta\subset F)=3$, то справедливо неравенство Доказательство проводится точно так же, как в неособом и квадратичном случаях: предполагается, что простой дивизор $Y$ не удовлетворяет соответствующему неравенству, после чего с помощью техники гиперкасательных дивизоров, основанной на условиях регулярности (R$2^2$.2) и (R$2^2$.3), с помощью последовательных пересечений строится подмногообразие положительной размерности в ${\mathbb P}$, дающее противоречие. В этой процедуре нестандартно только ее начало, связанное с условием (R$2^2$.2), и на этих первых шагах мы остановимся подробнее. Предположим, что $d_1\geqslant 4$, причем $\Delta$ – сечение многообразия $F$ линейным подпространством $\langle\Delta\rangle\subset{\mathbb P}$ коразмерности $2$. Гиперкасательная система $\Lambda_2$ есть пучок квадрик, порожденный квадратичными формами $f_{1,2}$ и $f_{2,2}$. Гиперкасательный дивизор $D_{1,2}=\{f_{1,2}|_{\Delta}=0\}$ неприводим (он не может быть суммой гиперплоских сечений в силу условия (R$2^2$.1) или (R$2^2$.3)), причем справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mult}_oD_{1,2}=12\quad\text{и}\quad \deg D_{1,2}=2d_1d_2,
\end{equation*}
\notag
$$
так что $D_{1,2}\neq Y$ и корректно определено теоретико-схемное пересечение $(D_{1,2}\circ Y)$. Выбирая в последнем цикле неприводимую компоненту $Y_2$ (коразмерности $2$ на $\Delta$) с максимальным отношением кратности в точке $o$ к степени, получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{mult}_o}{\deg}\, Y_2>\frac{9}{d_1d_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $D_{2,2}=\{f_{2,2}|_{\Delta}=0\}$ – второй гиперкасательный дивизор. Из условия (R$2^2$.2) следует, что $(D_{1,2}\circ D_{2,2})=D_{1,2}\cap D_{2,2}$ – неприводимое подмногообразие коразмерности 2 на $\Delta$. В силу условия (R$2^2$.1) (или (R$2^2$.3)) имеет место равенство откуда следует, что $Y_2\neq(D_{1,2}\circ D_{2,2}$). Однако $Y_2\subset|D_{1,2}|$ по построению, так что $Y_2\not\subset |D_{2,2}|$ и поэтому корректно определен эффективный алгебраический цикл теоретико-схемного пересечения $(D_{2,2}\circ Y_2)$ коразмерности $3$ на $\Delta$. Его компонента $Y_3$ с максимальным значением отношения $\operatorname{mult}_o/\deg $ удовлетворяет неравенству Оставшаяся часть процедуры применения техники гиперкасательных дивизоров совершенно стандартна, и мы ее опускаем: используется только условие (R$2^2$.3) и в гиперкасательной системе $\Lambda_3$ выбирается один общий дивизор, а не два, после чего продолжаем как в неособом или квадратичном случае, завершая доказательство. Если $d_1=3$, то модифицированное условие регулярности (R$2^2$.2) позволяет рассуждать, как выше, пересекая $Y=Y_1$ последовательно с гиперкасательными дивизорами
$$
\begin{equation*}
D_{1,2}=\{f_{1,2}|_{\Delta}=0\},\qquad D_{2,2}=\{f_{2,2}|_{\Delta}=0\}, \qquad D_{2,3}=\{f_{2,[2,3]}|_{\Delta}=0\},
\end{equation*}
\notag
$$
затем пропуская гиперкасательный дивизор $D_{2,4}$ и продолжая стандартным образом. Если $d_1=2$, то $f_1=f_{1,2}$, так что пересекаем $Y$ с гиперкасательными дивизорами $D_{2,2}$ и $D_{2,3}$, пропускаем $D_{2,4}$ и завершаем построение стандартным образом. Этим предложение доказано в случае $\operatorname{codim}(\Delta\subset F)=2$. В случае $\operatorname{codim}(\Delta\subset F)=3$ предположение
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{mult}_o}{\deg}\, Y>\frac{8}{d_1d_2}
\end{equation*}
\notag
$$
настолько сильное, что стандартная техника гиперкасательных дивизоров (в линейной системе $\Lambda_2|_{\Delta}$ выбираем один общий дивизор, после чего рассуждаем как в неособом случае) обеспечивает противоречие. Отметим, что условие (R$2^2$.3) состоит из двух частей: когда $\operatorname{codim}(\mathcal{L}\subset{\mathbb C}^{M+2})$ равен $2$ или $3$, и в доказательстве применяется та из них, где
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim\,}(\mathcal{L}\subset{\mathbb C}^{M+2})=\operatorname{codim}(\Delta\subset F).
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство предложения 2.3 закончено. Замечание 2.2. Для наших целей достаточно, чтобы в случае $\operatorname{codim}(\Delta\subset F)=2$ было справедливо несколько более слабое неравенство § 3. Дивизориально каноничные полные пересеченияВ этом параграфе доказана теорема 0.3, т. е. дивизориальная каноничность полных пересечений коразмерности $2$, удовлетворяющих условиям регулярности. Предполагая, что утверждение теоремы неверно, мы фиксируем некоторую неканоническую особенность $E^*$ пары $(F,(1/n)D)$ и последовательно исключаем возможности, когда центр $B$ особенности $E^*$: не содержится во множестве особых точек $\operatorname{Sing} F$ (п. 3.1); содержится в $\operatorname{Sing} F$, но не содержится во множестве биквадратичных особенностей многообразия $F$ (п. 3.2); наконец, содержится во множестве биквадратичных точек (пп. 3.3–3.9). Последний случай наиболее трудный и занимает большую часть параграфа. В доказательстве используются некоторые локальные факты (доказанные в § 5) и некоторые факты проективной геометрии (доказанные в § 4). В п. 3.10 мы кратко обсуждаем, как один из этих локальных фактов упрощает ряд предшествующих работ. 3.1. Начало доказательства. Неособые точкиНачнем доказательство теоремы 0.3. Пусть $F\in\mathcal{F}_{\mathrm{reg}}$ – регулярное полное пересечение. Предположим, что существует такой эффективный дивизор $D\sim nH$, где $H\in\operatorname{Pic}F$ – класс гиперплоского сечения, что пара $(F,(1/n)D)$ не канонична, т. е. для некоторого дивизора $E^*$ над $F$ справедливо неравенство Нётера–Фано Дивизор $E^*$ (и другие исключительные дивизоры, которые будут возникать в ходе доказательства, удовлетворяющие неравенству Нётера–Фано или его логверсии, $\operatorname{ord}_{E^*}D>n\cdot(a(E^*)+1$)) будем также называть неканонической особенностью пары $(F,(1/n)D)$ или максимальной особенностью дивизора $D$ (соответственно не логканонической особенностью пары $(F,(1/n)D)$ или логмаксимальной особенностью дивизора $D$ в случае логверсии неравенства Нётера–Фано). В силу линейности неравенства Нётера–Фано по $D$ можно считать, что $D$ – простой дивизор. Пусть $B\subset F$ – центр максимальной особенности $E^*$ на $F$.Для того чтобы доказать теорему 0.3, покажем, что предположение о существовании такого дивизора $D$ (обладающего максимальной особенностью $E^*$) приводит к противоречию. Символом обозначим объединение центров всех максимальных особенностей дивизора $D$. Считая $D$ фиксированным, предположим дополнительно, что $B$ есть неприводимая компонента замкнутого множества $\operatorname{CS}(F,(1/n)D)$; в частности, в окрестности общей точки подмногообразия $B$ пара $(F,(1/n)D)$ канонична вне $B$. Приведение к противоречию (“исключение максимальной особенности”) осуществляется по-разному в зависимости от того, является ли точка общего положения $o\in B$ неособой, квадратичной или биквадратичной точкой полного пересечения $F\subset{\mathbb P}$. Докажем, прежде всего, следующее утверждение.Предложение 3.1. Пара $(F,(1/n)D)$ канонична на множестве неособых точек $F\setminus\operatorname{Sing}F$, т. е. $\operatorname{CS}(F,(1/n)D)\subset\operatorname{Sing}F$. Доказательство. Предположим противное: Прежде всего покажем, что $B$ имеет достаточно высокую коразмерность. Доказательство леммы. Предположим противное: $\operatorname{codim}(B\subset F)\leqslant 7$. Тогда имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(B\subset{\mathbb P})\leqslant 9.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $P\subset{\mathbb P}$ – общее 11-мерное линейное подпространство и $F_P=F\cap P$ – соответствующее сечение многообразия $F$. Поскольку, напомним, справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\operatorname{Sing}F\subset F)\geqslant 10,
\end{equation*}
\notag
$$
имеем $\operatorname{codim}(\operatorname{Sing}F\subset {\mathbb P})\geqslant 12$, так что $F_P$ есть неособое полное пересечение коразмерности $2$ в $P\cong{\mathbb P}^{11}$, причем Согласно [33; предложение 3.6] или [34], для любой поверхности на $F_P$ кратность эффективного дивизора (где символ $H_P$ обозначает класс гиперплоского сечения многообразия $F_P\,{\subset}\,{\mathbb P}^{11}$) вдоль этой поверхности не превосходит $n$. Это противоречит неравенству которое справедливо, потому что $B\not\subset\operatorname{Sing}F$ есть центр максимальной особенности дивизора $D$. Лемма доказана. Вернемся к доказательству предложения 3.1. Пусть $o\in B$ – точка общего положения, так что $o\notin\operatorname{Sing}F$. Рассмотрим общее 10-мерное линейное подпространство $P\subset{\mathbb P}$, содержащее точку $o$. Пусть $F_P=F\cap P$ – соответствующее сечение многообразия $F$. Полагая $D_P=(D\circ F_P)$, получаем, что пара $(F_P,(1/n)D_P)$ имеет точку $o$ изолированным центром неканонической особенности, т. е. точка $o$ является неприводимой компонентой множества $\operatorname{CS}(F_P,(1/n)D_P)$. Хорошо известно (см., например, [5; гл. 7, предложение 2.3]), что отсюда альтернатива – либо справедливо неравенство либо на исключительном дивизоре $E\cong{\mathbb P}^{M-1}$ раздутия $\varphi\colon F^+\to F$ точки $o$ имеется (однозначно определенная) гиперплоскость $\Theta\subset E$, для которой справедливо неравенство где $D^+$ – собственный прообраз дивизора $D$ на $F^+$. Вторая возможность формально включает в себя первую, так что рассматриваем только ее. Символом $|H-\Theta|$ обозначим (проективно двумерную) линейную систему гиперплоских сечений $F$, общий элемент которой есть дивизор $W\ni o$, неособый в этой точке и удовлетворяющий равенству (иными словами, $W^+$ высекает $\Theta$ на $E$). Для такого гиперплоского сечения $W$ ограничение $D_W=(D\circ W)$ есть эффективный дивизор на факториальном многообразии $W$, удовлетворяющий неравенству которое можно переписать в таком виде:
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{mult}_o}{\deg}\, D_W>\frac{2}{d_1d_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее неравенство противоречит предложению 2.1. Это противоречие завершает доказательство предложения 3.1. Отметим, что мы использовали утверждение предложения 2.1 не в полную силу: для эффективного дивизора на гиперплоском сечении многообразия $F$, в то время как в предложении 2.1 рассматривается дивизор на сечении многообразия $F$ линейным подпространством коразмерности $2$. В полном объеме утверждение предложения 2.1 будет использовано ниже, при исключении биквадратичного случая. 3.2. Квадратичные особые точкиСимволом $\operatorname{Sing}^{(2\cdot 2)}F$ обозначим замкнутое множество биквадратичных точек многообразия $F$. Таким образом, $\operatorname{Sing}F\setminus\operatorname{Sing}^{(2\cdot 2)}F$ есть множество квадратичных особых точек. Предложение 3.2. Пара $(F,(1/n)D)$ канонична на открытом по Зарисскому множестве $F\setminus\operatorname{Sing}^{(2\cdot 2)}F$, т. е. Доказательство. Предположим противное: Пусть $o\in B$ – точка общего положения. Это квадратичная особенность ранга не меньше $11$ многообразия $F$. Символом $P$ теперь обозначим общее 5-мерное линейное подпространство в ${\mathbb P}$, содержащее точку $o$. Положим $F_P=F\cap P$. Точка $o$ является невырожденной (в частности, изолированной) квадратичной особенностью трехмерного многообразия $F_P$ (на самом деле, единственной особенностью этого многообразия). Поскольку $B\subset\operatorname{Sing}F$, справедливо неравенство $\operatorname{codim}(B\subset F)\geqslant 10$, так что сечение $F_P$ можно строить в два шага: сначала пересечь $F$ с общим линейным подпространством $P'\ni o$ в ${\mathbb P}$ размерности а затем с общим $5$-мерным подпространством $P\subset P'$, содержащим точку $o$. Это позволяет применить обращение присоединения и заключить, что пара $(F_P,(1/n)D_P)$, где $D_P=(D\circ F_P)\sim nH_P$ ($H_P$ есть класс гиперплоского сечения многообразия $F_P$), не логканонична, но канонична вне точки $o$. Пусть – раздутие точки $o$ с исключительным дивизором ${\mathbb E}_P\cong{\mathbb P}^4$ и $F^+_P\subset P^+$ – собственный прообраз многообразия $F_P$ (очевидно, $F^+_P$ есть раздутие $F_P$ в точке $o$). Положим Это неособая двумерная квадрика $\cong{\mathbb P}^1\times{\mathbb P}^1$ в некоторой гиперплоскости $\langle E_P\rangle\cong {\mathbb P}^3$ в проективном пространстве ${\mathbb E}_P$. Очевидно, так что, записывая $D^+_P\sim nH_P-\nu E_P$ (где $D^+_P$ – собственный прообраз дивизора $D_P$ на $F^+_P$), получаем две возможности: (Q1) $\nu>2n$, так что $E_P$ есть не логканоническая особенность пары $(F_P,(1/n)D_P)$, (Q2) $n<\nu\leqslant 2n$, и тогда замкнутое множество
$$
\begin{equation*}
\operatorname{LCS}\biggl(\biggl(F_P,\frac{1}{n}D_P\biggr),F^+_P\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
– объединение центров всех не логканонических особенностей исходной пары $(F_P,(1/n)D_P)$ на $F^+_P$ – есть связное замкнутое подмножество неособой квадрики $E_P\subset\langle E_P\rangle$, которое может быть: (Q2.1) либо (возможно, приводимой) связной кривой $C_P\subset E_P$, (Q2.2) либо точкой $x_P\in E_P$. Возвращаясь к исходному многообразию $F$, рассмотрим раздутия
$$
\begin{equation*}
\varphi_{\mathbb P}\colon{\mathbb P}^+\to{\mathbb P}\quad \text{и}\quad \varphi\colon F^+\to F
\end{equation*}
\notag
$$
точки $o$ на ${\mathbb P}$ и $F$ соответственно, где $F^+\subset{\mathbb P}^+$ – собственный прообраз $F$. Исключительные дивизоры этих раздутий обозначим символами ${\mathbb E}$ и $E$, так что ${\mathbb E}\cong{\mathbb P}^{M+1}$, а $E\subset {\mathbb E}$ есть квадратичная гиперповерхность ранга не меньше $11$ в гиперплоскости $\langle E\rangle\subset{\mathbb E}$. Запишем собственный прообраз где $\operatorname{mult}_oD=2\nu$. Теперь из предложения 2.2 следует, что случай (Q1) не реализуется. Несложно исключить и случай (Q2.2): поскольку $P\ni o$ – общее линейное подпространство, в случае (Q2.2) получаем, что на квадрике $E$ имеется линейное подпространство $\Lambda$ коразмерности $2$ (относительно $E$) такое, что $x_P=\Lambda\cap E_P$. Однако на квадрике ранга не меньше $11$ нет линейных подпространств коразмерности $2$ (достаточно неравенства $\operatorname{rk}E\geqslant 7$). Таким образом, имеет место случай (Q2.1). Поскольку где ${\mathbb H}$ – класс гиперплоского сечения квадрики $E$, каждая неприводимая компонента связной кривой $C_P\subset E_P$ имеет бистепень вида $(l,l)$ относительно представления $E_P\cong{\mathbb P}^1\times{\mathbb P}^1$, где $l\geqslant 1$. Теперь нам понадобится следующий локальный факт. Пусть $o\in \mathcal{X}$ – росток изолированной особенности, $\operatorname{dim}\mathcal{X}\geqslant 3$ и $\varphi_\mathcal{X}\colon\mathcal{X}^+\,{\to}\,\mathcal{X}$ – раздутие точки $o$. Предположим, что выполнено следующее условие: $(G)$ исключительный дивизор $\mathcal{Q}=\varphi^{-1}_\mathcal{X}(o)$ неприводим, приведен и неособ в коразмерности 1, т. е.
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\operatorname{Sing}\mathcal{Q}\subset\mathcal{Q})\geqslant 2,
\end{equation*}
\notag
$$
причем справедливо равенство $a(\mathcal{Q},\mathcal{X})=1$. Очевидно, $\operatorname{Sing}\mathcal{X}^+\cap\mathcal{Q}\subset\operatorname{Sing}\mathcal{Q}$. Предположим, далее, что пара $(\mathcal{X},(1/n)\mathcal{D})$ не логканонична, но канонична вне точки $o$, и $\mathcal{E}\neq\mathcal{Q}$ – некоторый исключительный дивизор над $\mathcal{X}$ – есть не логканоническая особенность этой пары, центр которой на $\mathcal{X}^+$ есть простой дивизор $\mathcal{W}\subset\mathcal{Q}$. Предположим, наконец, что где $\nu_\mathcal{Q}\leqslant 2n$ и символ $\mathcal{D}^+$ обозначает собственный прообраз эффективного дивизора $\mathcal{D}$ на $\mathcal{X}^+$. В этих предположениях и обозначениях справедливо следующее утверждение.Теорема 3.1. (i) Простой дивизор $\mathcal{W}$ входит в теоретико-схемное пересечение $(\mathcal{D}^+\circ\mathcal{Q})$ с кратностью $\mu_\mathcal{W}> n$. (ii) Имеет место неравенство Из первого утверждения теоремы 3.1 следует, что кривая $C_P$ неприводима и имеет бистепень $(1,1)$, т. е. является плоским сечением квадрики $E_P$. Отсюда и из второго утверждения теоремы 3.1 следует, что на квадрике $E$ имеется гиперплоское сечение $\Lambda\subset E$ такое, что Рассмотрим пучок $|H-\Lambda|$ гиперплоских сечений многообразия $F$, общий дивизор $W\in|H-\Lambda|$ в котором содержит точку $o$, а его собственный прообраз $W^+\subset F^+$ высекает $\Lambda$ на $E$: Очевидно, квадрика $\Lambda$ есть исключительный дивизор раздутия точки $o$ на многообразии $W$. Положим теперь $D_W=(D\circ W)$, так что для собственного прообраза этого дивизора на $W^+$ имеем где $\nu_{W}=\nu+\operatorname{mult}_{\Lambda}D^+>2n$ и $H_W$ – класс гиперплоского сечения многообразия $W$. Таким образом, для эффективного дивизора $D_W$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{mult}_o}{\deg}\,D_W>\frac{4}{d_1d_2},
\end{equation*}
\notag
$$
что противоречит предложению 2.2. Это завершает доказательство предложения 3.2. 3.3. Биквадратичные точки: начало доказательстваИсключение биквадратичного случая представляет наибольшую трудность. Пусть $B$ – неприводимая компонента замкнутого множества $\operatorname{CS}(F,(1/n)D)\subset\operatorname{Sing}^{(2\cdot 2)}F$, и $o\in B$ – точка общего положения. Поскольку нам придется рассматривать сечения многообразия $F\subset{\mathbb P}$ различными линейными подпространствами, удобно ввести следующие обозначения. Для $k\geqslant 1$ символ $P_k$ обозначает $k$-мерное линейное подпространство в ${\mathbb P}$, содержащее точку $o$. Это подпространство предполагается общим в своем семействе, которое будет каждый раз оговариваться: либо это семейство всех линейных подпространств размерности $k$ в ${\mathbb P}$, содержащих точку $o$, либо это какое-то более специальное семейство, например, семейство $k$-мерных подпространств в некоторой гиперплоскости, содержащей точку $o$. В любом случае этой общности положения достаточно для того, чтобы пересечение (символ $(\,\circ\,)_{\mathbb P}$ обозначает теоретико-схемное пересечение в ${\mathbb P}$) было неприводимым приведенным полным пересечением типа $d_1\cdot d_2$ в ${\mathbb P}$. Далее, раздутие точки $o$ в пространстве ${\mathbb P}$ обозначается символом ${\mathbb P}^+$, а его исключительный дивизор – символом ${\mathbb E}$; полагаем $E=(F^+\circ{\mathbb E})=F^+\,{\cap}\,{\mathbb E}$, где $F^+\subset{\mathbb P}^+$ – собственный прообраз $F$ на ${\mathbb P}^+$, очевидно, $E\subset{\mathbb E}$ – полное пересечение двух квадрик в ${\mathbb E}\cong{\mathbb P}^{M+1}$. Собственный прообраз подпространства $P_k$ на ${\mathbb P}^+$ обозначается символом $P^+_k$, так что $P^+_k\to P_k$ есть раздутие точки $o\in P_k$. Исключительный дивизор этого раздутия обозначим символом ${\mathbb E}_k$, т. е. ${\mathbb E}_k={\mathbb E}\cap P^+_k\cong{\mathbb P}^{k-1}$. Собственный прообраз подмногообразия $F_k$ на $P^+_k$ обозначим символом $F^+_k$. Во всех случаях, рассматриваемых ниже, общности положения подпространства $P_k$ достаточно для того, чтобы пересечение
$$
\begin{equation*}
E_k=(F^+_k\circ{\mathbb E}_k)=(F^+_k\circ{\mathbb E})=F^+_k\cap{\mathbb E}_k
\end{equation*}
\notag
$$
было неприводимым приведенным полным пересечением двух квадрик в ${\mathbb E}_k$. Подъем на $F^+_k$ дивизориального класса на $F_k$ обозначаем тем же символом, а собственный прообраз на $F^+_k$ эффективного дивизора на $F_k$ обозначаем добавлением верхнего индекса $+$. Ограничение $D|_{F_k}=(D\circ F_k)$ дивизора $D$ на $F_k$ обозначим символом $D_k$. Таким образом, исходная пара $(F,(1/n)D)$ порождает пару $(F_k,(1/n)D_k)$ на $(k-2)$-мерном многообразии $F_k$. Поскольку
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\operatorname{Sing}F\subset F)\geqslant 10
\end{equation*}
\notag
$$
и выполнено условие (R$2^2$.1), для общего подпространства $P_{11}$ получаем: многообразие $F_{11}$ имеет единственную особую точку $o$, причем $F^+_{11}$ – неособое многообразие и $E_{11}\subset{\mathbb E}_{11}\cong{\mathbb P}^{10}$ – неособое пересечение двух квадрик. Далее, точка $o$ есть связная компонента множества
$$
\begin{equation*}
\operatorname{LCS}\biggl(F_{11},\frac{1}{n}D_{11}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. имеется не логканоническая особенность этой пары, центр которой – точка $o$, а сама пара $(F_{11},(1/n)D_{11})$ канонична вне точки $o$ в некоторой окрестности этой точки. То же самое верно для пары $(F_6,(1/n)D_6)$, где $P_6\subset P_{11}$ – общее подпространство (напоминаем, все подпространства $P_k$ по умолчанию содержат точку $o$). Ввиду предложения 2.3 справедливо неравенство $\operatorname{mult}_o D\leqslant 6n$, так что где $\nu\leqslant (3/2)n$, и потому $D^+_6\sim D_6-\nu E_6$. Отметим, что $a(E_6,F_6)=1$, так что $E_6$ не является не логканонической особенностью пары $(F_6,(1/n)D_6)$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\operatorname{LCS}\biggl(\biggl(F_6,\frac{1}{n}D_6\biggr),E_6\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
обозначает объединение центров всех не логканонических особенностей пары $(F_6,(1/n)D_6)$ над точкой $o$ на исключительном дивизоре $E_6$. Как мы отметили выше,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{LCS}\biggl(\biggl(F_6,\frac{1}{n}D_6\biggr),E_6\biggr)\neq E_6,
\end{equation*}
\notag
$$
так что $\operatorname{LCS}((F_6,(1/n)D_6),E_6)$ есть собственное связное замкнутое подмножество неособого трехмерного многообразия $E_6$. Это подмножество может: (B1) содержать поверхность $S(P_6)\subset E_6$; (B2) быть связной кривой $C(P_6)\subset E_6$; (B3) быть точкой $x(P_6)\in E_6$. Очевидно, случай (B3) невозможен: если этот случай имеет место, то неособое $8$-мерное полное пересечение двух квадрик $E_{11}\subset{\mathbb P}^{10}$ содержало бы линейное подпространство размерности $5$, в то время как для численной группы Чжоу классов циклов коразмерности $3$ где ${\mathbb H}_{11}$ – класс гиперплоского сечения многообразия $E_{11}\subset{\mathbb P}^{10}$.Покажем, что и случай (B1) невозможен. В самом деле, для особенности $o\in F_6$ выполнены все предположения теоремы 3.1. Поскольку неособое трехмерное многообразие $E_6$ есть полное пересечение двух квадрик в ${\mathbb E}_6\cong{\mathbb P}^5$, имеем
$$
\begin{equation*}
A^1E_6=\operatorname{Pic}E_6={\mathbb Z}{\mathbb H}_6,
\end{equation*}
\notag
$$
где ${\mathbb H}_6$ – класс гиперплоского сечения относительно вложения $E_6\subset{\mathbb E}_6$ (и всюду далее символ ${\mathbb H}_k$ обозначает класс гиперплоского сечения многообразия $E_k$, вложенного в проективное пространство ${\mathbb E}_k$). Теперь имеем однако в силу теоремы 3.1 эффективный дивизор $(D^+_6\circ E_6)$ содержит простой дивизор (поверхность) $S(P_6)$ с кратностью, строго большей $n$. Поскольку $\nu\leqslant(3/2)n$, мы заключаем, что поверхность $S(P_6)$ есть гиперплоское сечение многообразия $E_6$, причем в силу утверждения (ii) теоремы 3.1 имеет место неравенство Поскольку $P_{11}$ и $P_6\subset P_{11}$ – линейные подпространства общего положения, содержащие точку $o$, мы можем заключить, что имеется гиперплоское сечение $\Lambda$ многообразия $E$, удовлетворяющее неравенству Теперь рассуждаем почти дословно так же, как при исключении случая (Q2.1) в доказательстве предложения 3.2: рассмотрим гиперплоское сечение $W$ многообразия $F$, содержащее точку $o$ и высекающее $\Lambda$ на $E$, (В биквадратичном случае такое гиперплоское сечение однозначно определено, в то время как в квадратичном случае имеется пучок таких сечений.) Полагая $D_W=(D\circ W)$, получаем эффективный дивизор $D_W$ на гиперплоском сечении $W$ многообразия $F$, удовлетворяющий неравенству
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{mult}_o}{\deg}\, D_W>\frac{8}{d_1d_2},
\end{equation*}
\notag
$$
что противоречит предложению 2.3. Это завершает исключение случая (B1). Следовательно, мы можем предполагать, что имеет место случай (B2). 3.4. Анализ случая (B2)Напомним, что пара $(F_6,(1/n)D_6)$ канонична вне точки $o$ (в некоторой окрестности этой точки), но имеет не логканоническую особенность, центр которой на $F^+_6$ есть неприводимая кривая $C(P_6)$. Обозначим эту кривую для согласованности обозначений символом $\Lambda_6$. Теперь нам понадобится еще один локальный факт. Пусть $o\in\mathcal{X}$ – росток изолированной особенности, удовлетворяющий условию $(G)$ п. 3.2. Предположим, что пара $(\mathcal{X},(1/n)\mathcal{D})$ не логканонична, но канонична вне точки $o$ и $\mathcal{E}\neq\mathcal{Q}$ – не логканоническая особенность этой пары, центр которой на $\mathcal{X}^+$ есть неприводимое подмногообразие $\mathcal{W}\subset\mathcal{Q}$, которое не содержится в $\operatorname{Sing}\mathcal{Q}$, причем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\mathcal{W}\subset\mathcal{Q})\geqslant 2.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что $\mathcal{D}^+\sim-\nu_{\mathcal{D}}\mathcal{Q}$, где $\nu_{\mathcal{D}}\leqslant 2n$. В этих предположениях справедливо следующее утверждение (доказательство дано в § 5). Теорема 3.2. Справедливо по крайней мере одно из двух неравенств: (1) $\operatorname{mult}_{\mathcal{W}}\mathcal{D}^+>n$; (2) $\operatorname{mult}_{\mathcal{W}}(\mathcal{D}^+\circ\mathcal{Q})>3n-\nu_{\mathcal{D}}$. Отметим, что теоретико-схемное пересечение $(\mathcal{D}^+\circ\mathcal{Q})$ есть ограничение эффективного дивизора $\mathcal{D}^+$ на исключительный дивизор $\mathcal{Q}$, так что
$$
\begin{equation*}
(\mathcal{D}^+\circ\mathcal{Q})\sim\nu_\mathcal{D}H_\mathcal{Q},
\end{equation*}
\notag
$$
где $H_\mathcal{Q}=-(\mathcal{Q}\circ\mathcal{Q})$ есть “гиперплоское сечение” $\mathcal{Q}$. Применяя теорему 3.2 к паре $(F_6,(1/n)D_6)$, мы получаем следующий факт. Доказательство. Предположим противное: В силу теоремы 3.2 получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mult}_{\Lambda_6}(D^+_6\circ E_6)>3n-\nu.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что $F_6$ есть сечение $F_{11}$ линейным подпространством $P_6\subset P_{11}$ общего положения, так что существует неприводимое подмногобразие $\Lambda_{11}\subset E_{11}$ коразмерности $2$ такое, что $\Lambda_6=\Lambda_{11}\cap P^+_6=\Lambda_{11}\cap F^+_6$, т. е. $\Lambda_6$ есть сечение $\Lambda_{11}$ линейным $5$-мерным подпространством общего положения в ${\mathbb E}_{11}\cong{\mathbb P}^{10}$, причем справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mult}_{\Lambda_{11}}(D^+_{11}\circ E_{11})>3n-\nu.
\end{equation*}
\notag
$$
Однако $(D^+_{11}\circ E_{11})\sim\nu{\mathbb H}_{11}$ – эффективный дивизор на неособом полном пересечении двух квадрик $E_{11}\subset{\mathbb E}_{11}\cong{\mathbb P}^{10}$, высекаемый на $E_{11}$ гиперповерхностью степени $\nu$, а $\Lambda_{11}\subset E_{11}$ – неприводимое подмногообразие размерности $6$, так что согласно [33; предложение 3.6] имеет место неравенство и поэтому $\nu>(3/2)n$, что невозможно. Это противоречие завершает доказательство предложения. Поднимаясь до исходного многообразия $F\subset{\mathbb P}$, мы заключаем, что на исключительном дивизоре $E\subset{\mathbb E}$ существует неприводимое подмногообразие $\Lambda\subset E$ коразмерности $2$, для которого выполнено неравенство 3.5. Секущее многообразиеТеперь нам понадобится один простой, но нетривиальный факт проективной геометрии, который будет доказан в § 4. Пусть $Q\subset{\mathbb P}^N$ – неприводимое полное пересечение двух квадрик, где $N\geqslant 16$. Точнее, $Q=Q_1\cap Q_2$, где $Q_i=\{q_i=0\}\subset{\mathbb P}^N$ – квадратичная гиперповерхность. Предположим, что выполнены два условия общности: (C1) $\operatorname{max}\{\operatorname{rk}q_1,\operatorname{rk}q_2\}\geqslant 16$; (C2) $\operatorname{rk}(q_1,q_2)\geqslant 10$. Как мы видели в п. 1.7, из условия (C2) следует, что справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\operatorname{Sing}Q\subset Q)\geqslant 7.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $X\subset Q$ – неприводимое подмногообразие коразмерности $2$. Введем следующие обозначения. Для пары точек $p\neq q$ в ${\mathbb P}^N$ символ $[p,q]$ обозначает прямую, соединяющую эти точки. Для упрощения некоторых формул удобно положить $[p,p]=\varnothing$, так что при использовании символа $[p,q]$ не нужно оговаривать, что $p\neq q$. Далее, для пары различных точек $p\neq q$ на $Q$ символом $[p,q]_Q$ обозначим прямую $[p,q]$, если она целиком содержится в $Q$. В противном случае положим $[p,q]=\varnothing$. Для удобства положим $[p,p]_Q=\varnothing$. Теперь определим секущее многообразие подмногообразия $X$ на $Q$ формулой
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Sec}(X\subset Q)=\overline{\bigcup_{p,q\in X}[p,q]_Q}
\end{equation*}
\notag
$$
(черта сверху означает замыкание). Имеет место следующее утверждение. Теорема 3.3. Реализуется в точности одна из следующих трех возможностей: (S1) $\operatorname{Sec}(X\subset Q)=Q$; (S2) $\operatorname{Sec}(X\subset Q)$ есть гиперплоское сечение многообразия $Q$, на котором $X$ высекается гиперповерхностью степени $d_X\geqslant 2$ в ${\mathbb P}^N$; (S3) $X=\operatorname{Sec}(X\subset Q)$ есть сечение многообразия $Q$ линейным подпространством коразмерности $2$ в ${\mathbb P}^N$. В любом случае $\operatorname{Sec}(X\subset Q)$ есть замыкание объединения всех таких прямых $[p,q]_Q$, что $[p,q]_Q\cap\operatorname{Sing}Q=\varnothing$. Теперь рассмотрим секущее многообразие $\operatorname{Sec}(\Lambda\subset E)$. Следующее утверждение почти очевидно. Предложение 3.4. Носитель $|D^+|$ эффективного дивизора $D^+$ содержит замкнутое множество $\operatorname{Sec}(\Lambda\subset E)$. Доказательство. В силу последнего утверждения теоремы 3.3 достаточно показать, что для любой пары различных точек (в частности, $p,q\notin\operatorname{Sing}F^+$) имеем включение При этом можно предполагать, конечно, что $[p,q]_E\neq\varnothing$. Предположим противное: Ограничивая эффективный дивизор Картье $D^+$ на прямую $[p,q]=[p,q]_E$, получаем Противоречие завершает доказательство. Из предложения 3.4 следует, что для секущего многообразия $\operatorname{Sec}(\Lambda\subset E)$ возможность (S1) (в обозначениях теоремы 3.3) не реализуется: $\operatorname{Sec}(\Lambda\subset E)\,{\neq}\, E$. Нетрудно исключить и возможность (S3). Предложение 3.5. Подмногообразие $\Lambda\subset E$ не есть сечение многообразия $E$ линейным подпространством коразмерности $2$ в ${\mathbb E}$. Доказательство. Предположим противное: Через $|H-\Lambda|$ обозначим пучок гиперплоских сечений многообразия $F$, общий элемент $W$ в котором содержит точку $o$ и его собственный прообраз $W^+$ содержит $\Lambda$. Таким образом, собственный прообраз $|H-\Lambda|^+$ пучка $|H-\Lambda|$ на $F^+$ высекает на $E$ пучок гиперплоских сечений многообразия $E\subset{\mathbb E}$, содержащих $\Lambda$. Пусть $W\in|H-\Lambda|$ – общий элемент пучка. Для ограничения $D_W=(D\circ W)=D|_W$ дивизора $D$ на гиперплоское сечение $W$ имеем где $H_W$ – класс гиперплоского сечения $W\,{\subset}\,{\mathbb P}^{M+1}$ и $E_W\,{=}\,(E\circ W^+)\,{=}\,E\cap W^+$ – исключительный дивизор раздутия точки $o$ на $W$, причем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mult}_{\Lambda}D^+_W=\operatorname{mult}_{\Lambda}D^+> n.
\end{equation*}
\notag
$$
Дивизор $D_W$ эффективен, но может быть приводимым и содержать в качестве компоненты подмногообразие – однозначно определенное сечение $F$ линейным подпространством коразмерности $2$ в ${\mathbb P}$, содержащим точку $o$, такое, что Подмногообразие $F_{\Lambda}$ есть, очевидно, гиперплоское сечение многообразия $W$. Теперь запишем: где $a\in{\mathbb Z}_+$ и эффективный дивизор $\Xi_W$ на $W$ не содержит $F_{\Lambda}$ компонентой. Поскольку $F^+_{\Lambda}\sim H_W-E_W$ и $\operatorname{mult}_{\Lambda}F^+_{\Lambda}=1$, получаем где $\operatorname{mult}_{\Lambda}\Xi^+_W>n-a$ и $\nu-a>n-a$. В частности, дивизор $\Xi^+_W$ ненулевой. Теперь можно построить корректно определенный эффективный дивизор на многообразии $F_{\Lambda}\subset{\mathbb P}^M$, причем $D_{\Lambda}\sim(n-a)H_{\Lambda}$ (где $H_{\Lambda}$ есть класс гиперплоского сечения $F_{\Lambda}$) и, более того,
$$
\begin{equation*}
D^+_{\Lambda}\sim(n-a)H_{\Lambda}-\nu_{\Lambda}\Lambda,
\end{equation*}
\notag
$$
где коэффициент $\nu_{\Lambda}$ удовлетворяет неравенству
$$
\begin{equation*}
\nu_{\Lambda}\geqslant(\nu-a)+\operatorname{mult}_{\Lambda}\Xi^+_W>2(n-a).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, на сечении $F_{\Lambda}$ многообразия $F$ некоторым линейным подпространством коразмерности $2$ в ${\mathbb P}$ мы построили эффективный дивизор $D_{\Lambda}$, удовлетворяющий неравенству
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{mult}_o}{\deg}\, D_{\Lambda}>\frac{8}{d_1d_2},
\end{equation*}
\notag
$$
что противоречит предложению 2.3 и завершает доказательство предложения 3.5. Мы заключаем, что из трех возможностей, перечисленных в теореме 3.3, реализуется вторая возможность (S2): $\operatorname{Sec}(\Lambda\subset E)$ есть гиперплоское сечение многообразия $E\subset{\mathbb E}$, на котором $\Lambda$ высекается гиперповерхностью степени $d_{\Lambda}\geqslant 2$. 3.6. Ограничение на гиперплоское сечениеПусть $R$ – однозначно определенное гиперплоское сечение многообразия $F$ такое, что $o\in R$ и
$$
\begin{equation*}
E_R=E\cap R^+=(E\circ R^+)=\operatorname{Sec}(\Lambda\subset E).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу предложения 3.4 носитель $|D^+|$ эффективного дивизора $D^+$ содержит $E_R$. Оценим теперь кратность дивизора $D^+$ в точке общего положения подмногообразия $E_R$. Для этого нам понадобится еще один локальный факт. Пусть $o\in\mathcal{X}$ – росток трехмерной изолированной невырожденной биквадратичной особенности: если $\varphi_\mathcal{X}\colon\mathcal{X}^+\to\mathcal{X}$ – раздутие точки $o$, то $\mathcal{X}^+$ и исключительная поверхность $\mathcal{E}=\varphi^{-1}(o)$ неособы, причем $\mathcal{E}\cong\mathcal{Q}_1\cap\mathcal{Q}_2\subset{\mathbb P}^4$ – поверхность дель Пеццо степени $4$. Пусть $L\subset\mathcal{E}$ – некоторая прямая и $p\neq q$ – две различных точки на $L$. Пусть, далее, $\mathcal{D}$ – эффективный дивизор на $\mathcal{X}$ и $\mathcal{D}^+\sim-\nu_\mathcal{D}\mathcal{E}$ – его собственный прообраз на $\mathcal{X}^+$, где $\nu_\mathcal{D}\in{\mathbb Z}_+$. Предположим, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mult}_p\mathcal{D}^+=\operatorname{ mult}_q\mathcal{D}^+=\mu\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство дано в § 5. Оно совершенно аналогично доказательству леммы 4.2 в [2] и леммы 4.5 в [35; п. 3.7], однако мы не можем просто сослаться на эти утверждения, потому что нормальный пучок прямой $L$ относительно $\mathcal{X}^+$ не такой, как в этих леммах, и поэтому рассуждения [35], [2] требуют небольшой модификации. Пусть теперь $p,q\in\Lambda$ – общая пара различных точек такая, что прямая $[p,q]$ содержится в $E$ и не пересекает множества $\operatorname{Sing}E$. Рассматривая сечение $F_5=F\cap P_5$ многообразия $F$ общим $5$-мерным линейным подпространством $P_5\ni o$ таким, что и применяя теорему 3.4, получаем, что кратность дивизора $D^+$ вдоль $E_R$ не меньше, чем $(1/3)(2\mu-\nu)$, где $\mu=\operatorname{mult}_{\Lambda}D^+>n$. Поэтому для эффективного дивизора (пара $(F,R)$ канонична, а дивизор $D$ по предположению неприводим, так что $D\neq R$) имеем где $H_R$ – класс гиперплоского сечения многообразия $R\subset{\mathbb P}^{M+1}$, а для $\nu_R$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\nu_R \geqslant\nu+\frac13(2\mu-\nu)=\frac23(\nu+\mu)>\frac43n.
\end{equation*}
\notag
$$
К сожалению, этого неравенства еще недостаточно для получения противоречия с помощью оценок § 2, как это было сделано в предыдущих случаях. Однако мы сделали некоторый шаг вперед: для пары $(R,(1/n)D_R)$ справедливо неравенство $\nu_R>(4/3)n$, которое существенно сильнее, чем неравенство $\nu>n$, которому удовлетворяет исходная пара $(F,(1/n)D)$. В силу предложения 2.3 по-прежнему $\nu_R\leqslant(3/2)n$. Теперь для исключения максимальной особенности, центр которой содержится в замкнутом множестве $\operatorname{Sing}^{(2\cdot 2)}F$ биквадратичных точек, мы проанализируем особенности пары $(R,(1/n)D_R)$ в точке $o$ и покажем, что всю процедуру исключения, которая выше была проведена для исходной пары $(F,(1/n)D)$, можно (и даже с некоторыми упрощениями, если использовать уже известные факты) повторить для новой пары $(R,(1/n)D_R)$ и завершить доказательство теоремы 0.3. Гиперплоскость в ${\mathbb P}$, которая высекает подмногообразие $R$ на $F$, есть линейная оболочка $R$ и поэтому обозначается символом $\langle R\rangle$. Гиперплоскость в ${\mathbb E}$, которая высекает подмногообразие $E_R$ на $E$, обозначаем символом ${\mathbb E}_R$. Очевидно,
$$
\begin{equation*}
{\mathbb E}_R=\langle E_R\rangle={\langle R\rangle}^+\cap{\mathbb E},
\end{equation*}
\notag
$$
где ${\langle R\rangle}^+\subset{\mathbb P}^+$ – собственный прообраз на раздутии точки $o$. Напомним хорошо известный факт: размерность особого множества полного пересечения в проективном пространстве при взятии гиперплоского сечения увеличивается не более чем на $1$, см. [36], [37]. Поэтому справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\operatorname{Sing}R\subset R) \geqslant 8,
\end{equation*}
\notag
$$
так что сечение многообразия $R\subset{\langle R\rangle}\cong{\mathbb P}^{M+1}$ общим $9$-мерным линейным подпространством не имеет особенностей. Теперь удобно распространить систему обозначений, введенную в начале п. 3.3, на сечения многообразия $R$. Для достаточно общего $k$-мерного линейного подпространства $P_k\ni o$ пересечение $R\cap P_k$ обозначается символом $R_k$. Если $P_k\subset\langle R\rangle$ по построению, то $R_k=F_k$. В этом случае, очевидно,
$$
\begin{equation*}
\mathbb E_k= {\mathbb E}\cap P^+_k={\mathbb E}_R\cap P^+_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Собственный прообраз подмногообразия $R_k$ на $P^+_k$ обозначаем символом $R^+_k$, и тогда имеем Для ограничения дивизора $D$ на $F_k$ имеем Ввиду полезности этих равенств включение $P_k\subset\langle R\rangle$ будет всегда оговариваться. Общее $k$-мерное линейное подпространство (в ${\mathbb P}$ или $\langle R\rangle$), от которого не требуется, чтобы оно содержало точку $o$, обозначается символом $\Pi_k$. 3.7. Неособые точки многообразия $R$Прежде всего, установим аналог предложения 3.1 для пары $(R,(1/n)D_R)$. Доказательство аналогично доказательству предложения 3.1 и мы лишь проследим его основные шаги. Предположим противное:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{CS}\biggl(R,\frac{1}{n}D_R\biggr) \not\subset\operatorname{Sing}R.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $B^*\subset R$ – центр некоторой максимальной особенности $E^*_R$ пары $(R,(1/n)D_R)$ такой, что $B^*\not\subset\operatorname{Sing}R$ и $B^*$ является неприводимой компонентой замкнутого множества $\operatorname{CS}(R,(1/n)D_R)$. Прежде всего, поскольку сечение $R\,{\cap}\,\Pi_9$ многообразия $R$ общим $9$-мерным подпространством $\Pi_9\subset\langle R\rangle$ есть неособое полное пересечение коразмерности $2$ в $\Pi_9\cong{\mathbb P}^9$, мы можем рассуждать, как в доказательстве леммы 3.1 и заключить, что Пусть $p\in B^*$ – точка общего положения; в частности, $p\notin\operatorname{Sing}R$ (символ $o$ продолжает обозначать нашу фиксированную биквадратичную точку). Продолжая рассуждать, как в доказательстве предложения 3.1, рассмотрим общее $8$-мерное линейное подпространство $\Pi_8\subset\langle R\rangle$, содержащее точку $p$. Пара имеет точку $p$ изолированным центром неканонической особенности, так что в силу [5; гл. 7, предложение 2.3] либо $\operatorname{mult}_pD_R>2n$, либо на исключительном дивизоре $E(p,R)\cong{\mathbb P}^{M-2}$ раздутия $R^{(p)}\to R$ точки $p$ имеется однозначно определенная гиперплоскость $\Theta(p)\subset E(p,R)$, для которой справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mult}_pD_R+ \operatorname{mult}_{\Theta(p)}D^{(p)}_R>2n,
\end{equation*}
\notag
$$
где $D^{(p)}_R$ есть собственный прообраз $D_R$ на $R^{(p)}$. Вторая возможность включает в себя первую. Символом $|H_R-\Theta(p)|$ обозначим проективно двумерную линейную систему гиперплоских сечений многообразия $R$, общий элемент $W$ в которой содержит точку $p$, неособ в этой точке и удовлетворяет равенству Для общего дивизора $W\in|H_R-\Theta(p)|$ ограничение $D_R|_W=(D_R\circ W)$ удовлетворяет неравенству $\operatorname{mult}_p(D_R\circ W)>2n$, так что
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{mult}_o}{\deg}\, (D_R\circ W) >\frac{2}{d_1d_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Однако $(D_R\circ W)$ есть эффективный дивизор на сечении $W$ многообразия $F$ некоторым линейным подпространством коразмерности $2$, содержащим точку $p$, причем $W$ неособо в этой точке. Получаем противоречие с утверждением предложения 2.1. Это завершает доказательство предложения 3.6. Следствие 3.1. Для общего $9$-мерного подпространства $\Pi_9\subset\langle R\rangle$ пара канонична. 3.8. Особенности пары $(R,(1/n)D_R)$ в точке $o$Вернемся к рассмотрению биквадратичной точки $o$. Напомним, что для сечения $F_{11}$ многообразия $F$ общим $11$-мерным линейным подпространством $P_{11}\ni o$ точка $o$ есть связная компонента замкнутого множества $\operatorname{LCS}(F_{11},(1/n)D_{11})$, причем
$$
\begin{equation*}
D^+_{11}\sim D_{11}-\nu E_{11}\sim nH_{11}-\nu E_{11}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, ввиду общности подпространства $P_{11}$
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mult}_{[E_{11}\cap E_R]}D^+_{11}= \operatorname{mult}_{E_R}D^+,
\end{equation*}
\notag
$$
где $E_{11}\cap E_R$ есть гиперплоское сечение многообразия $E_{11}\subset{\mathbb E}_{11}\cong{\mathbb P}^{10}$. Рассмотрим линейное подпространство С одной стороны, $P_{10}$ есть общее $10$-мерное линейное подпространство в $\langle R\rangle$, содержащее точку $o$. С другой стороны, $P_{10}$ есть гиперплоскость в $P_{11}$, так что $F_{10}=F\cap P_{10}$ есть гиперплоское сечение многообразия $F_{11}$. Однако $P_{10}$ есть специальным образом выбранная, вообще говоря, однозначно определенная гиперплоскость в $P_{11}$, т. е. не гиперплоскость общего положения в $P_{11}$, содержащая точку $o$. Поэтому в силу обращения присоединения мы можем только утверждать, что
$$
\begin{equation*}
o\in \operatorname{LCS}\biggl(F_{10},\frac{1}{n}D_{10}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $D_{10}=(D\circ F_{10})=(D_R\circ F_{10})\sim nH_{10}-\nu_RE_{10}.$ Понятно, что $E_{10}\,{=}\,E_{11}\,{\cap}\, E_R$. Многообразие $F_{10}$ есть сечение многообразия $F_{11}$ некоторой специально выбранной гиперплоскостью, поэтому $\operatorname{Sing}F_{10}$ может быть больше, чем $P_{10}\cap\operatorname{Sing}F_{11}$, в частности, больше, чем $\{o\}$. Однако мы имеем неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\operatorname{Sing}R\subset \langle R\rangle)\geqslant 10,
\end{equation*}
\notag
$$
из которого следует, что особенности многообразия $F_{10}=R_{10}$ нульмерны; в частности, точка $o$ есть изолированная особенность этого многообразия. Предложение 3.7. Замкнутое множество $\operatorname{CS}(F_{10},(1/n)D_{10})$ нульмерно. В частности, пара $(F_{10},(1/n)D_{10})$ канонична вне точки $o$ в некоторой окрестности этой точки, а сама точка $o$ есть центр некоторой не логканонической особенности пары $(F_{10},(1/n)D_{10})$. Доказательство. Рассмотрим гиперплоскость $\Pi_9\subset P_{10}$ общего положения (в частности, не содержащую точку $o$). Поскольку $P_{10}\subset\langle R\rangle$ – общее $10$-мерное подпространство, содержащее точку $o$, подпространство $\Pi_9\subset P_{10}$ есть общее $9$-мерное подпространство, без каких-либо ограничений. Применяя следствие 3.1, получаем первое утверждение предложения. Остальные два следуют из него непосредственно. Предложение доказано. Теперь мы получили то, что хотели: пара $(R,(1/n)D_R)$ в точке $o$ обладает свойствами, полностью аналогичными свойствам исходной пары $(F,(1/n)D)$ в этой точке. Поскольку для общего подпространства $P_6\subset\langle R\rangle$ пара $(R_6=F_6,(1/n)D_6)$ не логканонична в точке $o$, но канонична в некоторой проколотой окрестности этой точки, причем $a(E_6,R_6)=1$ и $\nu_R\leqslant(3/2)n$, для замкнутого множества
$$
\begin{equation*}
\operatorname{LCS}\biggl(\biggl(R_6,\frac{1}{n}D_6\biggr),E_6\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
имеются три возможности $(\mathrm{B}1)_R$, $(\mathrm{B}2)_R$ и $(\mathrm{B}3)_R$, идентичные возможностям (B1), (B2) и (B3) п. 3.3. Случай $(\mathrm{B}3)_R$ исключается почти дословно так же, как случай (B3): если бы он имел место, то неособое $7$-мерное полное пересечение двух квадрик $E_{10}\subset{\mathbb P}^9$ (для общего подпространства $P_{10}\subset\langle R\rangle$) содержало бы линейное подпространство коразмерности $3$ относительно $E_{10}$, в то время как для численной группы Чжоу имеем где ${\mathbb H}_{10}$ – класс гиперплоского сечения многообразия $E_{10}\subset{\mathbb P}^9$, противоречие. Почти дословно так же, как в п. 3.3 исключается случай $(\mathrm{B}1)$, мы исключаем случай $(\mathrm{B}1)_R$: из неравенства $\nu_R\leqslant(3/2)n$ мы выводим, что поверхность $S(P_6)$ есть гиперплоское сечение многообразия $E_6$. Отсюда, применяя утверждение (ii) теоремы 3.1 и учитывая, что $P_6\subset P_{10}\subset\langle R\rangle$ – подпространства общего положения, мы заключаем, что имеется гиперплоское сечение $\Lambda(R)\subset E_R$ многообразия $E_R$, удовлетворяющее неравенству Теперь рассматриваем гиперплоское сечение $W$ многообразия $R$, содержащее точку $o$ и высекающее $\Lambda(R)$ на $E_R\colon W^+\cap E_R=\Lambda(R)$. В результате получаем эффективный дивизор $(D\circ W)_R$ на гиперплоском сечении $W$ многообразия $R$, удовлетворяющий неравенству
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{mult}_o}{\deg}\, (D\circ W)_R> \frac{8}{d_1d_2},
\end{equation*}
\notag
$$
что противоречит предложению 2.3. Таким образом, случаи $(\mathrm{B}1)_R$ и $(\mathrm{B}3)_R$ невозможны и мы можем предполагать, что имеет место случай $(\mathrm{B}2)_R$. 3.9. Анализ случая $(\mathrm{B}2)_R$Наши рассуждения аналогичны рассуждениям п. 3.4. Пара $(R_6,(1/n)D_6)$ канонична вне точки $o$ в некоторой окрестности этой точки, но имеет не логканоническую особенность, центр которой на $R^+_6$ есть неприводимая кривая $\Lambda_6(R)$. Доказательство полностью аналогично доказательству предложения 3.3 (с очевидной заменой $\nu$ на $\nu_R$, $F_{11}$ на $F_{10}=R_{10}$, $P_{11}$ на $P_{10}\subset\langle R\rangle$, $\Lambda_{11} \subset E_{11}$ на $\Lambda_{10}\subset E_{10}$, $\Lambda_6$ на $\Lambda_6(R)$ и так далее) и мы не будем повторять это рассуждение. Предложение доказано. Продолжая рассуждать, как в п. 3.4, мы поднимаемся до многообразия $R$ и заключаем, что на исключительном дивизоре $E_R\subset{\mathbb E}_R$ существует неприводимое подмногообразие $\Lambda(R)\subset E_R$ коразмерности $2$, удовлетворяющее неравенству Следующий этап нашего доказательства параллелен рассуждениям п. 3.5. Поскольку ранг квадратичной формы при ограничении на гиперплоскость падает, самое большее, на $2$, теорема 3.3 применима к подмногообразию $\Lambda(R)$ на полном пересечении двух квадрик $E_R\subset{\mathbb E}_R$. Очевидно, что $\operatorname{Sec}(\Lambda(R)\subset E_R)\neq E_R$. Предложение 3.10. Подмногообразие $\Lambda(R)\subset E_R$ не есть сечение многообразия $E_R$ линейным подпространством коразмерности $2$ в ${\mathbb E}_R$. Доказательство полностью аналогично доказательству предложения 3.5. Обозначения, однако, необходимо изменить, поэтому мы кратко проследим ход рассуждений. Вместо пучка $|H-\Lambda|$ (в доказательстве предложения 3.5) мы рассматриваем пучок $|H_R-\Lambda(R)|$, общий элемент которого $W$ есть гиперплоское сечение многообразия $R$, содержащее точку $o$ и такое, что $W^+\supset\Lambda(R)$. Полагаем снова и получаем $D^+_W\sim nH_W-\nu_RE_W$, где $H_W$ есть класс гиперплоского сечения $W$ и причем $\mu_R=\operatorname{mult}_{\Lambda(R)}D^+_W=\operatorname{mult}_{\Lambda(R)}D^+_R>n$. Вместо $F_{\Lambda}$ рассматриваем подмногообразие Это сечение многообразия $R$ линейным подпространством коразмерности $2$ в $\langle R\rangle$, содержащим точку $o$, причем $R^+_{\Lambda(R)}\cap E_R=\Lambda(R)$. Очевидно, подмногообразие $R_{\Lambda(R)}$ есть гиперплоское сечение многообразия $W$. Теперь запишем где $a\in{\mathbb Z}_+$ и эффективный дивизор $\Xi_W$ не содержит $R_{\Lambda(R)}$ компонентой. Получаем причем $\operatorname{mult}_{\Lambda(R)}\Xi^+_W>n-a$ и $\nu_R-a>n-a$, так что есть корректно определенный эффективный дивизор на многообразии $R_{\Lambda(R)}$, удовлетворяющий неравенству
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{mult}_o}{\deg}\,D_{\Lambda(R)}>\frac{8}{d_1d_2},
\end{equation*}
\notag
$$
что противоречит предложению 2.3 (которое теперь используется в полную силу). Это завершает доказательство предложения 3.10. Таким образом, $\operatorname{Sec}(\Lambda(R)\subset E_R)$ есть гиперплоское сечение многообразия $E_R$, на котором $\Lambda(R)$ высекается гиперповерхностью степени $d_{\Lambda(R)}\geqslant 2$. Пусть $Z$ – однозначно определенное гиперплоское сечение многообразия $R$ такое, что $o\in Z$ и
$$
\begin{equation*}
E_Z=Z^+\cap E_R=(Z^+\circ E_R)= \operatorname{Sec}(\Lambda(R)\subset E_R).
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя теорему 3.4 и рассуждая как в п. 3.6, для эффективного дивизора имеем где $H_Z$ – класс гиперплоского сечения многообразия $Z\subset{\mathbb P}^M$, а для $\nu_Z$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\nu_Z\geqslant\nu_R+\frac13(2\mu_R-\nu_R)=\frac23(\nu_R+\mu_R)> \frac{14}{9}n>\frac32n
\end{equation*}
\notag
$$
(напомним, $\mu_R=\operatorname{mult}_{\Lambda(R)}D^+_R>n$). Это противоречит предложению 2.3 (которое опять применяется в полную силу) и завершает исключение биквадратичного случая. Теорема 0.3 полностью доказана. 3.10. Замечание о гиперповерхностях индекса $1$В заключение обсудим, как теорема 3.1 упрощает доказательства ряда известных результатов. В [10] была доказана дивизориальная каноничность общих по Зарисскому неособых гиперповерхностей $F\subset{\mathbb P}^{M+1}$ степени $M+1$, где $M\geqslant 5$ (символ $F$ после завершения доказательства теоремы 0.3 свободен). Более того, как показано, например, в [2], коразмерность множества гиперповерхностей, для которых условия общности положения (условия регулярности) нарушаются хотя бы в одной неособой точке, оценивается снизу функцией, квадратичной по $M$ (точнее, растущей как $M^2/2$). Однако любое нетривиальное семейство гиперповерхностей содержит гиперповерхности с особенностями. Поэтому в [7] было начато изучение гиперповерхностей $F\subset{\mathbb P}^{M+1}$ степени $M+1$ с квадратичными особенностями: для $M\,{\geqslant}\, 8$ были рассмотрены гиперповерхности с невырожденными квадратичными точками. Основной результат [7] – это дивизориальная каноничность (т. е. каноничность любой пары $(F,(1/n)D)$, где $D\sim nH_F$ – эффективный дивизор, $H_F$ – класс гиперплоского сечения $F$) гиперповерхности $F$, в предположении, что неособые точки удовлетворяют условиям регулярности [10], а каждая особая точка $o\in F$ есть невырожденная квадратичная особенность и удовлетворяет следующим условиям. Пусть $(z_1,\dots,z_{M+1}$) – система аффинных координат с началом в точке $o$ и – уравнение гиперповерхности $F$ относительно $z_*$, разложенное на однородные по $z_*$ компоненты. Предполагается следующее:– последовательность $q_2,\dots,q_{M+1}$ регулярна; – для любого $k\in\{2,3,4,5\}$ и любого линейного подпространства $P$ коразмерности $2$, содержащего точку $o$, множество коразмерности $k+1$ относительно $F$ неприводимо и имеет в точке $o$ кратность $(k+1)!$.Для таких сильных и громоздких условий регулярности оценить коразмерность множества гиперповерхностей, для которых они нарушаются, очень трудно. По существу, в [7] доказана дивизориальная каноничность гиперповерхности $F$ с единственной особой точкой общего положения, что позволяет применить этот результат только к расслоениям Фано $V/{\mathbb P}^1$ над одномерной базой. Отметим, что данное в [7] доказательство технически очень трудное, это относится и к § 2 (“Локальный анализ дивизора в квадратичной точке”), и к § 3 (“Исключение максимальной особенности”). В частности, основная теорема [7] напрямую не была применима к изучению бирациональной геометрии гиперповерхностей Фано индекса $2$ в ${\mathbb P}^{M+2}$: для этого требуется дивизориальная каноничность любого гиперплоского сечения, а они образуют $(M+2)$-мерное семейство и квадратичные особенности сечений могут сильно вырождаться. Поэтому в [28; пп. 2.3–2.5] рассуждения [7] были модифицированы и условия общности положения ослаблены настолько, чтобы для общей гиперповерхности индекса $2$ каждое гиперплоское сечение им удовлетворяло. Однако доказательство дивизориальной каноничности в [28] основывалось на подходе [7] и все еще было очень сложным. Следующий шаг в упрощении доказательства дивизориальной каноничности был сделан в [2]. От уравнения $f=q_2+\dots+q_{M+1}$ теперь требовалось, чтобы ранг квадратичной формы $q_2$ был не меньше $8$, дивизор на квадрике $\{q_3=0\}$ не был суммой трех (необязательно различных) гиперплоских сечений из одного пучка и, наконец, для любого подпространства $\Pi\subset{\mathbb C}^{M+1}_{z_1,\dots,z_{M+1}}$ коразмерности $c\in\{0,1,2\}$ последовательность была регулярной, см. [2; § 3, п. 3.3]. Однако исключение максимальной особенности, центр которой содержится во множестве квадратичных точек, все еще представляет собой трудное техническое рассуждение, см. [2; п. 4.3]. Это же рассуждение использовано и в [6], где для описания бирациональной геометрии гиперповерхностей Фано индекса $2$ с квадратичными особенностями необходимо, чтобы каждое гиперплоское сечение было дивизориально каноничным.Теорема 3.1, сформулированная в п. 3.2 настоящего параграфа и доказанная в § 5, превращает исключение максимальной особенности для квадратичного случая в несложное упражнение. Достаточно предположить, что уравнение $q_2+\dots+q_{M+1}=0$ гиперповерхности удовлетворяет двум условиям общности положения: $\operatorname{rk}q_2\geqslant 7$ и последовательность регулярна при $k=\ulcorner(3M-1)/4\urcorner$ для любой гиперплоскости $\Pi\subset{\mathbb C}^{M+1}_{z_1,\dots,z_{M+1}}$. Повторяя доказательство предложения 3.2 (с упрощениями), исключаем максимальную особенность, центр которой содержится во множестве квадратичных особенностей гиперповерхности $F$.§ 4. Проективная геометрияВ этом параграфе доказана теорема 3.3. В п. 4.1 напоминается классификация секущих многообразий в проективном пространстве для замкнутых подмножеств коразмерности $2$. В п. 4.2 изучены пересечения неприводимых подмногообразий на квадрике с общим линейным подпространством максимальной размерности на этой квадрике. На этой основе в п. 4.3 классифицируются секущие подмногообразия на квадрике для неприводимых подмногообразий коразмерности $2$. После этого в п. 4.4 завершено доказательство теоремы 3.3. 4.1. Секущее многообразие в проективном пространствеМы пользуемся обозначениями, которые были введены в п. 3.5 для формулировки теоремы 3.3: есть неприводимое подмногообразие коразмерности $2$ на полном пересечении двух квадрик, удовлетворяющем условиям (C1) и (C2). Теорему 3.3 докажем в три этапа: сначала рассмотрим подмногообразие коразмерности $2$ в проективном пространстве (когда классификация секущих многообразий тривиальна), затем установим некоторые факты о пересечении неприводимого подмногообразия на квадрике с линейным подпространством максимальной размерности (уточняя и усиливая утверждения § 4 в [6]) и, наконец, секущие многообразия на полном пересечении двух квадрик. Начнем с подмногообразий проективного пространства.Пусть $Z\subset{\mathbb P}^m$ – неприводимое замкнутое множество коразмерности $2$. Положим
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Sec}(Z)=\overline{\bigcup_{(p,q)\in Z\times Z}[p,q]}
\end{equation*}
\notag
$$
(напомним, что $[p,p]=\varnothing$ по определению, см. п. 3.5). Рассматривая очевидный случай неприводимой кривой в ${\mathbb P}^3$, легко видеть, что имеются три возможности: $(1.1)$ $Z=\operatorname{Sec} (Z)$ – линейное подпространство коразмерности $2$ в ${\mathbb P}^m$; $(1.2)$ $\operatorname{Sec}(Z)$ есть гиперплоскость в ${\mathbb P}^m$, а $Z$ – гиперповерхность степени $d_Z\,{\geqslant}\, 2$ в этой гиперплоскости; $(1.3)$ $\operatorname{Sec}(Z)={\mathbb P}^m$. Более того, если $\Xi\subset{\mathbb P}^m$ – замкнутое множество коразмерности не меньше $4$ в случае $(1.1)$, коразмерности не меньше $3$ в случае $(1.2)$ и коразмерности не меньше $2$ в случае $(1.3)$, то для общей пары точек $(p,q)\in Z\times Z$ прямая $[p,q]$ не пересекает $\Xi$, так что $\operatorname{Sec}(Z)$ есть замыкание объединения всех таких прямых $[p,q]$ для $(p,q)\in Z\times Z$, что $[p,q]\cap\Xi=\varnothing$. Предположим теперь, что подмножество $Z\subset{\mathbb P}^m$ приводимо: где $Z_i\subset{\mathbb P}^m$ – неприводимые подмногообразия коразмерности $2$, причем $Z_i\,{\neq}\,Z_j$ при $i\neq j$ и $|I|\geqslant 2$. Нетрудно убедиться, что в этом случае для секущего многообразия $\operatorname{Sec } (Z)$ (которое заметается прямыми $[p,q]$, где точки $p$, $q$ могут принадлежать как одной, так и разным компонентам множества $Z$) имеются следующие возможности:$(2.1)$ $\operatorname{Sec}(Z)$ есть гиперплоскость в ${\mathbb P}^m$, содержащая все подмногообразия $Z_i$; $(2.2)$ $\operatorname{Sec}(Z)$ есть объединение нескольких (не меньше $2$) гиперплоскостей в ${\mathbb P}^m$; $(2.3)$ $\operatorname{Sec}(Z)={\mathbb P}^m$. Возможность $(2.2)$ нетрудно уточнить, но нам не понадобится более точное описание. Отметим, что простейший пример случая $(2.2)$ дают три прямые в ${\mathbb P}^3$, проходящие через одну точку, но не содержащиеся в одной плоскости: в этом случае секущее многообразие есть объединение трех плоскостей. Отметим также, что если $\Xi\subset{\mathbb P}^m$ – замкнутое множество коразмерности не меньше $3$ в случаях $(2.1)$ и $(2.2)$ и коразмерности не меньше $2$ в случае $(2.3)$, то $\operatorname{Sec}(Z)$ есть замыкание объединения всех таких прямых $[p,q]$ для $(p,q)\in Z\times Z$, что $[p,q]\cap\Xi=\varnothing$. 4.2. Пересечения подмногообразий на квадрикеПусть теперь $G\subset{\mathbb P}^m$ – неприводимая квадрика. Ее вершинное подпространство $\operatorname{Sing} G\subset{\mathbb P}^m$ имеет размерность $m-\operatorname{rk}G$, где $\operatorname{rk}G=\operatorname{rk}g$ есть ранг квадратичной формы $g$, задающей эту квадрику. Если $\operatorname{rk} G=m+1$, то $\operatorname{Sing}G=\varnothing$ имеет размерность $(-1)$. Символом $G^{\mathrm{sm}}$ обозначим множество $G\setminus\operatorname{Sing}G$ неособых точек. Через каждую точку квадрики проходит по крайней мере одно линейное подпространство $P\subset G$ максимальной размерности $m-\ulcorner(1/2)\operatorname{rk}G\urcorner$. Пусть $\mathcal{L}$ – семейство всех линейных подпространств $P\subset G$ максимальной размерности. Если $\operatorname{rk}G\in 2{\mathbb Z}$, то $\mathcal{L}=\mathcal{L}_1\sqcup\mathcal{L}_2$ состоит из двух связных компонент, каждая из которых есть неособое неприводимое проективное многообразие; если $\operatorname{rk}G\notin 2{\mathbb Z}$, то $\mathcal{L}$ есть неособое неприводимое проективное многообразие. Пусть $Y\subset G$ – неприводимое подмногообразие, которое не содержится целиком в $\operatorname{Sing}G$, и $P\in\mathcal{L}$ – линейное подпространство общего положения (очевидно, $P\supset\operatorname{Sing}G$). Следующее утверждение уточняет и усиливает предложение 4.1 в [6]. Предложение 4.1. (i) Замкнутое множество либо пусто, либо каждая его неприводимая компонента имеет в $P$ коразмерность $\operatorname{codim}(Y\subset G)$. (ii) Предположим, что справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(Y\subset G)\leqslant \biggl[\frac12\operatorname{rk}G\biggr]-2.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $Y\cap P$ – непустое замкнутое множество, каждая неприводимая компонента которого имеет в $P$ коразмерность $\operatorname{codim}(Y\subset G)$, причем алгебраический цикл $(Y\circ P)^{\mathrm{sm}}$ теоретико-схемного пересечения $Y$ и $P$ на неособой части $G^{\mathrm{sm}}$ содержит каждую неприводимую компоненту с кратностью $1$. (iii) Предположим, что справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(Y\subset G)\leqslant \biggl[\frac12\operatorname{rk}G\biggr]-3.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда замкнутое множество $Y\cap P$ неприводимо, а теоретико-схемное пересечение $(Y\circ P)^{\mathrm{sm}}$ приведено. Более того, имеет место включение так что вне множества $\operatorname{Sing}G$ подмногообразие $Y\cap P$ либо неособо, либо коразмерность его особого множества относительно $P$ есть Доказательство. (i) Предположим, что
$$
\begin{equation*}
Y\cap(P\setminus\operatorname{Sing} G)\neq\varnothing.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим проекцию из подпространства $P$. Замыкания слоев проекции $\pi_P$ суть подпространства $\Lambda\supset P$ размерности $\operatorname{dim}P+1$. Для такого подпространства имеем где $G(P,\Lambda)\in\mathcal{L}$, причем если $P\in\mathcal{L}$ – подпространство общего положения и $\Lambda=\overline{\pi^{-1}_P(s)}$ для точки $s\in{\mathbb P}^{\ulcorner(1/2)\operatorname{rk} G\urcorner-1}$ общего положения, то и $G(P,\Lambda)$ – подпространство общего положения. Для любого слоя $\Lambda$ проекции $\pi_P$ пересечение есть гиперплоскость в $P$ (и в $G(P,\Lambda)$), содержащая вершинное пространство $\operatorname{Sing}G$, причем легко проверить, что, варьируя точку $s\in{\mathbb P}^{\ulcorner(1/2)\operatorname{rk} G\urcorner-1}$, мы получаем всю линейную систему гиперплоскостей в $P$, содержащих $\operatorname{Sing}G$ (и то же самое, конечно, справедливо и по отношению $G(P,\Lambda)$). Ограничивая морфизм $\pi_P$ на неприводимое квазипроективное многообразие $Y\setminus(Y\cap P)$, мы видим, что для точки $s$ общего положения замкнутое аффинное множество либо пусто, либо каждая его неприводимая компонента имеет в $G(P,\Lambda)$ коразмерность $\operatorname{codim}(Y\subset G)$. Подпространства $P$ и $G(P,\Lambda)$ играют в нашей конструкции симметричную роль, так что мы можем заключить, что для общей точки $s$ каждая неприводимая компонента замкнутого аффинного множества имеет в $P$ коразмерность $\operatorname{codim}(Y\subset G)$ (потому что это множество непусто в силу исходного предположения и отмеченной выше подвижности гиперплоскости $P_{\Lambda}\subset P$). Но это и означает, что каждая неприводимая компонента множества имеет коразмерность $\operatorname{codim}(Y\subset G)$. Утверждение (i) доказано. Докажем утверждение (ii). Поскольку
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(Y\subset {\mathbb P}^m)= \operatorname{codim}(Y\subset G)+1,
\end{equation*}
\notag
$$
каждая компонента непустого замкнутого множества $Y\cap P$ имеет относительно пространства $P$ коразмерность, не превосходящую числа $\operatorname{codim}(Y\subset G)+1$. Из предположения части (ii) следует, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dim}P-\operatorname{codim}(Y\subset G)-1\geqslant \operatorname{dim}\operatorname{Sing}G+1,
\end{equation*}
\notag
$$
так что никакая неприводимая компонента множества $Y\cap P$ не совпадает с $\operatorname{Sing}G$ и не содержится в этом множестве. Применяя уже доказанное утверждение (i) и учитывая (в обозначениях доказательства утверждения (i) выше), что каждая компонента слоя общего положения проекции $\pi_P|_{Y\setminus(Y\cap P)}$ приведена в общей точке, получаем утверждение (ii). Обратимся к части (iii). Она состоит из трех утверждений: о неприводимости, приведенности и об особенностях. Рассмотрим их по очереди. Для доказательства неприводимости множества $Y\cap P$ будем рассуждать так же, как в доказательстве [6; предложение 4.1]. Предположим противное: для общего подпространства $P\in\mathcal{L}$ где $|I|\geqslant 2$ и $Y_i(P)$ – все различные неприводимые компоненты множества $Y\cap P$. В силу части (i) каждая из них имеет коразмерность $\operatorname{codim}(Y\subset G)$ относительно $P$. Из предположения части (iii) следует неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dim} Y_i(P)\geqslant\operatorname{dim}\operatorname{Sing}G+3.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому (в обозначениях доказательства части (i)) для общего слоя $\Lambda=\overline{\pi^{-1}_P(s)}$ замкнутое множество $Y_i(P)\cap P_{\Lambda}$ неприводимо (потому что образ множества $Y_i(P)$ при проекции из подпространства $\operatorname{Sing}G$ имеет размерность не меньше $2$) и справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}((Y_i(P)\cap P_{\Lambda})\subset P)= \operatorname{codim}(Y\subset G)+1.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, для общего слоя $\Lambda$ проекции $\pi_P$ неприводимые замкнутые множества $Y_i(P)\cap P_{\Lambda}$, $i\in I$, все различны (это следует из того, что гиперплоскость $P_{\Lambda}\subset P$ варьируется в линейной системе гиперплоскостей, содержащих $\operatorname{Sing}G$). Таким образом, неприводимые компоненты $Y_i(P)$ идентифицируются своими гиперплоскими сечениями $Y_i(P)\cap P_{\Lambda}$. Снова воспользуемся симметрией подпространств $P$ и $G(P,\Lambda)$ в нашей конструкции. Получаем, что имеется взаимно однозначное соответствие между неприводимыми компонентами пересечения $Y\cap P$ и неприводимыми компонентами пересечения $Y\cap G(P,\Lambda)$: две компоненты соответствуют друг другу, если их пересечения с $P_{\Lambda}$ совпадают. Поэтому мы можем записать:
$$
\begin{equation*}
Y\cap G(P,\Lambda)=\bigcup_{i\in I}Y_i(G(P,\Lambda)).
\end{equation*}
\notag
$$
Но тогда для каждого $i\in I$ множество
$$
\begin{equation*}
Y_i=\overline{\bigcup_{s\in U}Y_i\bigl(G(P,\overline{\pi^{-1}_P(s)})\bigr)},
\end{equation*}
\notag
$$
где объединение берется по точкам непустого открытого по Зарисскому подмножества $U\subset{\mathbb P}^{\ulcorner(1/2)\operatorname{rk} G\urcorner-1}$, есть неприводимая компонента исходного множества $Y$, причем при $i\neq j$, $i,j\in I$, имеем $Y_i\neq Y_j$. Это противоречие с неприводимостью множества $Y$ завершает доказательство первого, теоретико-множественного утверждения части (iii). Приведенность теоретико-схемного пересечения $(Y\circ P)^{\mathrm{sm}}$ следует из того, что слой общего положения морфизма $\pi_P|_{Y\setminus P}$ приведен: как и в доказательстве утверждения (i), получаем приведенность теоретико-схемного пересечения
$$
\begin{equation*}
\bigl(Y\circ[G(P,\Lambda)\setminus P_{\Lambda}]\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда ввиду симметрии подпространств $P$ и $G(P,\Lambda)$ в нашей конструкции следует приведенность теоретико-схемного пересечения $Y$ и $P\setminus P_{\Lambda}$ для общей гиперплоскости $P_{\Lambda}\subset P$, содержащей подпространство $\operatorname{Sing}G$, откуда и следует приведенность пересечения $(Y\circ P)^{\mathrm{sm}}$. Наконец, установим последнее утверждение части (iii) – об особенностях квазипроективного многообразия $Y\cap P\cap G^{\mathrm{sm}}$. По теореме Бертини для точки общего положения $s\in{\mathbb P}^{\ulcorner(1/2)\operatorname{rk} G\urcorner-1}$ имеем равенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Sing}[Y\cap(G(P,\Lambda)\setminus P_{\Lambda})]= (\operatorname{Sing}Y)\cap(G(P,\Lambda)\setminus P_{\Lambda}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Lambda=\overline{\pi_P^{-1}(s)}$. Снова используя симметрию нашей конструкции, получаем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Sing}[Y\cap(P\setminus P_{\Lambda})]= (\operatorname{Sing}Y)\cap(P\setminus P_{\Lambda})
\end{equation*}
\notag
$$
для общей гиперплоскости $P_{\Lambda}\supset\operatorname{Sing}G$ в $P$. Отсюда с учетом части (i) следует последнее утверждение части (iii). Доказательство предложения 4.1 завершено. 4.3. Секущие многообразия на квадрикеПусть теперь $G\subset{\mathbb P}^m$ – квадрика ранга $\operatorname{rk}G\geqslant 8$. Для различных точек $p,q\in G$ символ $[p,q]_G$ обозначает прямую $[p,q]$, если она целиком содержится в $G$; в противном случае полагаем $[p,q]_G=\varnothing$. Как обычно, $[p,p]_G=\varnothing$. Положим для замкнутого подмножества $Y\subset G$
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Sec}(Y\subset G)= \overline{\bigcup_{(p,q)\in Y\times Y}[p,q]_G}.
\end{equation*}
\notag
$$
В качестве $Y$ берем некоторое неприводимое подмногообразие коразмерности $2$. Через будем обозначать некоторую неприводимую компоненту замкнутого множества $\operatorname{Sec}(Y\subset G)$, обладающую следующим свойством: для общего линейного подпространства $P\in\mathcal{L}$ максимальной размерности $\operatorname{Sec}^* (Y\subset G)$ содержит неприводимую компоненту секущего многообразия $\operatorname{Sec} (Y\cap P)$ (в смысле п. 4.1). Предложение 4.2. Имеет место одна из трех возможностей: (1) $Y=\operatorname{Sec}(Y\cap G)$ есть сечение квадрики $G$ линейным подпространством коразмерности $2$ в ${\mathbb P}^m$; (2) $\operatorname{Sec}(Y\cap G)$ есть гиперплоское сечение квадрики $G$ (квадрика ранга не меньше $6$), и $Y$ высекается на нем гиперповерхностью степени $d_Y\geqslant 2$; (3) $\operatorname{Sec}(Y\cap G)=G$. Доказательство. Пусть $P\subset G$ – общее линейное подпространство максимальной размерности $m-\ulcorner(1/2)\operatorname{rk}G\urcorner$. В силу предположения о ранге квадрики $G$ применимо утверждение (ii) предложения 4.1: каждая компонента множества $Y\cap P$ имеет коразмерность $2$ в $P$, причем теоретико-схемное пересечение $Y$ и $P$ приведено в общей точке каждой из этих компонент. Предположим, что $Y\cap P$ есть линейное подпространство коразмерности $2$. Пусть $\Pi\subset P$ – общая двумерная плоскость; в частности, $\Pi\cap\operatorname{Sing}G=\varnothing$. Тогда $Y$ и $\Pi$ пересекаются трансверсально в одной точке, неособой на $G$. Рассмотрим общее $7$-мерное линейное подпространство $R\subset{\mathbb P}^m$, содержащее плоскость $\Pi$. Очевидно, $G_R=G\cap R$ есть неособая $6$-мерная квадрика, так что для численной группы Чжоу классов циклов коразмерности $2$ имеем (где $H_R$ – класс гиперплоского сечения квадрики $G_R$), причем $Y_R=Y\cap R$ – неприводимое подмногообразие коразмерности $2$ в $G_R$ и для некоторого $m_Y\geqslant 1$. На самом деле так что $\deg Y_R=\deg Y=2$ и $Y$ есть квадратичная гиперповерхность в своей линейной оболочке $\langle Y\rangle\cong{\mathbb P}^{m-2}$. Следовательно, есть сечение квадрики $G$ линейным подпространством коразмерности $2$ в ${\mathbb P}^m$.Предположим теперь, что $\operatorname{Sec}(Y\cap P)$ есть гиперплоскость в $P$. Тогда, если $\operatorname{Sec} (Y\subset G)\neq G$, то $\operatorname{Sec}^* (Y\subset G)$ есть простой дивизор на $G$, высекаемый на факториальной квадрике $G$ гиперповерхностью степени $s_Y\geqslant 1$ в ${\mathbb P}^m$. Неприводимое подмногообразие $\operatorname{Sec}^* (Y\subset G)$ коразмерности $1$ удовлетворяет предположению части (iii) предложения 4.1 и потому – неприводимая гиперповерхность в $P$, содержащая гиперплоскость $\operatorname{Sec}(Y\cap P)$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Sec}^*(Y\subset G)\cap P= \operatorname{Sec} (Y\cap P)
\end{equation*}
\notag
$$
и $s_Y=1$, так что $\operatorname{Sec} (Y\subset G)=\operatorname{Sec}^*(Y\subset G)$ есть гиперплоское сечение квадрики $G$. Это гиперплоское сечение в силу неравенства $\operatorname{rk}G\geqslant 8$ факториально, так что $Y$ высекается на нем гиперповерхностью степени $d_Y\geqslant 1$. Однако случай $d_Y=1$ невозможен: в этом случае $\operatorname{Sec}(Y\subset G)=Y$. Следовательно, $d_Y\geqslant 2$. Предположим теперь, что $\operatorname{Sec}(Y\cap P)$ есть объединение не меньше двух гиперплоскостей. Рассуждая как выше, получаем, что если $\operatorname{Sec} (Y\subset G)\neq G$, то замкнутое множество есть одна из этих гиперплоскостей. Поскольку $Y$ не может содержаться в двух различных гиперплоскостях в ${\mathbb P}^m$ (в этом случае мы снова получили бы равенство $\operatorname{Sec}^*(Y\subset G)=Y$ вопреки предположению), мы заключаем, что Наконец, если $\operatorname{Sec}(Y\cap P)=P$, то, очевидно, снова имеем $\operatorname{Sec}(Y\subset G)=G$.Это завершает доказательство предложения 4.2. Замечание 4.1. Поскольку из предположения о ранге квадрики $G$ следует неравенство так что подмногообразие $\operatorname{Sec}(Y\subset G)$ заметается секущими $[p,q]_G$ для таких пар $p,q\in Y$, что $[p,q]_G\cap\operatorname{Sing}G=\varnothing$. 4.4. Секущие подмногообразия на полном пересечении двух квадрикДокажем теорему 3.3. Мы пользуемся обозначениями п. 3.5. Для определенности предполагаем, что $\operatorname{rk}q_1\geqslant 16$, где $Q_1=\{q_1=0\}$. В силу утверждения (iii) предложения 4.1 для общего подпространства $P\subset Q_1$ максимальной размерности пересечение $Q\cap P=Q_2\cap P$ есть неприводимая квадратичная гиперповерхность, причем коразмерность $\operatorname{codim}(\operatorname{Sing}(Q\cap P)\subset P)$ не меньше, чем
$$
\begin{equation*}
\min\{\operatorname{codim}(\operatorname{Sing}Q_1\subset P), \operatorname{codim}(\operatorname{Sing}Q\subset Q_1)\}\geqslant 8,
\end{equation*}
\notag
$$
так что $\operatorname{rk}q_2|_P\geqslant 8$. Пусть $X\subset Q$ – неприводимое подмногообразие коразмерности $2$, тогда $\operatorname{codim}(X\subset Q_1)=3$ и мы снова можем применить утверждение (iii) предложения 4.1. Получаем, что $X\cap P$ есть неприводимое подмногообразие коразмерности $3$ в $P$. Оно содержится в квадрике $Q\cap P$ ранга не менее $8$ и имеет коразмерность $2$ относительно этой квадрики. Применяя предложение 4.2, получаем, что реализуется одна из трех возможностей: (1) $X\cap P=\operatorname{Sec}((X\cap P)\subset(Q\cap P))$ есть сечение квадрики $Q\cap P$ линейным подпространством коразмерности $2$ в $P$; (2) $\operatorname{Sec}((X\cap P)\subset(Q\cap P))$ есть гиперплоское сечение квадрики $Q\cap P$, на котором неприводимое подмногообразие $X\cap P$ высекается гиперповерхностью степени $d_X\geqslant 2$ в $P$; (3) $\operatorname{Sec}((X\cap P)\subset(Q\cap P))=Q\cap P$. При этом в силу замечания 4.1 и рассуждений п. 4.1 секущее многообразие $\operatorname{Sec}((X\cap P)\subset(Q\cap P))$ заметается прямыми $[p,q]_{Q\cap P}$, не пересекающими множества $\operatorname{Sing}Q_1\cup\operatorname{Sing}Q$. В случае (3) имеем $\operatorname{Sing}(X\subset Q)=Q$. Предположим, что имеет место случай (2), причем $\operatorname{Sec}(X\subset Q)\neq Q$. Снова введем обозначение $\operatorname{Sec}^*(X\,{\subset}\, Q)$: это неприводимая компонента $\operatorname{Sec}(X\subset Q)$, пересечение которой с общим подпространством $P\subset Q_1$ максимальной размерности содержит множество $\operatorname{Sec}((X\cap P)\subset(Q\cap P))$. Очевидно, $\operatorname{Sec}^*(X\subset Q)$ есть простой дивизор на $Q$, причем согласно части (iii) предложения 4.1 теоретико-схемное пересечение этого дивизора с $P$ неприводимо, приведено и содержит гиперплоское сечение квадрики $Q\cap P$, а потому является этим гиперплоским сечением. Многообразие $Q\subset{\mathbb P}^N$ факториально, так что где $s_X\geqslant 1$ и $H_Q$ – класс гиперплоского сечения многообразия $Q$. Ограничивая на $P$, получаем $s_X=1$, так что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Sec}^*(X\subset Q)=\operatorname{Sec}(X\subset Q)
\end{equation*}
\notag
$$
есть гиперплоское сечение $Q$, а $X$ есть простой дивизор на этом сечении. Однако множество особых точек любого гиперплоского сечения полного пересечения $Q$ имеет относительно этого сечения коразмерность не меньше $5$, а само это сечение есть неприводимое полное пересечение двух квадрик в ${\mathbb P}^{N-1}$, так что оно является факториальным многообразием. Поэтому $X$ высекается на $\operatorname{Sec}(X\subset Q)$ некоторой гиперповерхностью степени $d_X\geqslant 2$ в ${\mathbb P}^{N-1}$. Осталось рассмотреть случай (1). Пусть $\Pi\subset[Q\cap P]$ – двумерная плоскость общего положения и $R$ – сечение многообразия $Q\subset{\mathbb P}^N$ общим $7$-мерным линейным подпространством, содержащим $\Pi$. Тогда $R\subset{\mathbb P}^7$ – неособое полное пересечение двух квадрик, так что для численной группы Чжоу классов циклов коразмерности $2$ имеем и $X_R=X\cap R=(X\circ R)_Q\sim d_{X,R}H^2_R$ для $d_{X,R}\geqslant 1$. В частности, имеем Однако $(X_R\cdot\Pi)=d_{X,R}=1$, так что $\deg X=4$.Многообразие $X$ имеет размерность $N-4$, так что оно содержится в некоторой гиперплоскости в ${\mathbb P}^N$. Следовательно, $X$ есть простой дивизор на некотором гиперплоском сечении многообразия $Q$, и это сечение, как мы отметили выше, является факториальным полным пересечением коразмерности $2$ в ${\mathbb P}^{N-1}$. Отсюда уже следует, что $X$ есть сечение многообразия $Q$ некоторым линейным подпространством коразмерности $2$. Тот факт, что секущее многообразие $\operatorname{Sec}(X\subset Q)$ заметается прямыми $[p,q]_Q$, не пересекающими особое множество $\operatorname{Sing}Q$, следует из сделанных выше замечаний. Теорема 3.3 полностью доказана. § 5. Локальные фактыВ этом параграфе доказаны локальные утверждения, использованные в § 3 в доказательстве дивизориальной каноничности полных пересечений: теорема 3.1 (в пп. 5.1–5.3), теорема 3.2 (в п. 5.4) и теорема 3.4 (в п. 5.5). 5.1. Ориентированный граф особенности $\mathcal{E}$Начнем доказательство теоремы 3.1. Мы пользуемся обозначениями п. 3.2: отображение $\varphi_\mathcal{X}\colon\mathcal{X}^+\to\mathcal{X}$ есть раздутие изолированной особенности $o\in\mathcal{X}$, для исключительного дивизора $\mathcal{Q}=\varphi^{-1}_\mathcal{X}(o)$ выполнено условие $(G)$ и пара $(\mathcal{X},(1/n)\mathcal{D})$ не логканонична, но канонична вне точки $o$. Эта пара имеет логмаксимальную особенность $\mathcal{E}$, которая в силу неравенства $\nu_\mathcal{D}\leqslant 2n$ не может совпадать с исключительным дивизором $\mathcal{Q}$. По предположению центр $\mathcal{W}$ особенности $\mathcal{E}$ на $\mathcal{X}^+$ есть простой дивизор на $\mathcal{Q}$. Справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{ord}_\mathcal{E}\mathcal{D}>n\cdot(a_\mathcal{E}+1),
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_\mathcal{E}=a(\mathcal{E},\mathcal{X})$ – дискрепантность $\mathcal{E}$ относительно $\mathcal{X}$. Первое (и основное) утверждение теоремы 3.1: подмногообразие $\mathcal{W}\subset\mathcal{Q}$ входит в теоретико-схемное пересечение $(\mathcal{D}^+\circ\mathcal{Q})$ с кратностью $\mu_\mathcal{W}>n$. Рассмотрим разрешение особенности $\mathcal{E}$ в смысле [5; гл. 2, § 1]: последовательность раздутий
$$
\begin{equation*}
\varphi_{i,i-1}\colon\mathcal{X}_i\to\mathcal{X}_{i-1},
\end{equation*}
\notag
$$
$i=1,\dots,N$, где $\mathcal{X}_0=\mathcal{X}$, $\mathcal{X}_1=\mathcal{X}^+$ и $\varphi_{1,0}=\varphi_\mathcal{X}$, бирациональный морфизм $\varphi_{i,i-1}$ раздувает центр $B_{i-1}$ особенности $\mathcal{E}$ на $\mathcal{X}_{i-1}$ (таким образом, $B_0=o$ и $B_1=\mathcal{W}$); исключительный дивизор раздутия $\varphi_{i,i-1}$ обозначим через $E_i$ (нет опасности спутать эти обозначения с обозначениями § 1), так что $E_1=\mathcal{Q}$, и, наконец, исключительный дивизор $E_N\subset\mathcal{X}_N$ последнего раздутия реализует особенность $\mathcal{E}$ (т. е. дискретные нормирования $\operatorname{ord}_E$ и $\operatorname{ord}_{E_N}$ совпадают). В силу сделанных предположений многообразия $B_1,\dots,B_{N-1}$ суть подмногообразия коразмерности $2$ в $\mathcal{X}_1,\dots,\mathcal{X}_{N-1}$ соответственно, причем при $i=1,\dots,N-1$, так что над непустым открытым по Зарисскому подмножеством подмногообразия $B_{i-1}$ исключительный дивизор $E_i$ есть локально тривиальное ${\mathbb P}^1$-расслоение при $i=2,\dots,N$. Пусть $\Gamma=\Gamma_\mathcal{E}$ – ориентированный граф разрешения особенности $\mathcal{E}$ (см. [5; гл. 2, § 1]): индексы суть его вершины и пара вершин $i$, $j$ соединена ориентированным ребром (стрелкой) $i\to j$, если $i>j$ и где верхний индекс $a$ обозначает собственный прообраз на $\mathcal{X}_a$, в частности, $E^{i-1}_j$ есть собственный прообраз исключительного дивизора $E_j\subset\mathcal{X}_j$ на $\mathcal{X}_{i-1}$. Пусть, как обычно, символ $p_{ij}$ обозначает при $i\neq j$ число путей в ориентированном графе $\Gamma$ из вершины $i$ в вершину $j$ (так что $p_{ij}=0$ при $i<j$), и для всех $i=1,\dots,N$ положим $p_{ii}=1$. Для упрощения записи пишем $p_i$ вместо $p_{Ni}$. Положим для $i=2,\dots,N$ и $\mu_1=\nu_\mathcal{D}$. Теперь наше предположение, что $\mathcal{E}$ (или $E_N$) является логмаксимальной особенностью пары $(\mathcal{X},(1/n)\mathcal{D})$, принимает явный вид логнеравенства Нётера–Фано
$$
\begin{equation*}
\sum^N_{i=1}p_i\mu_i>n\cdot\biggl(\sum^N_{i=1}p_i+1\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $L_i\subset E_i$ – слой проекции $E_i\to B_{i-1}$ над общей точкой многообразия $B_{i-1}$. Пересекая собственный прообраз $\mathcal{D}^N$ с собственным прообразом $L^N_i$, мы видим, что кратности $\mu_i$ при $i\geqslant 2$ удовлетворяют неравенствам Напомним, что по предположению $\mu_1\leqslant 2n$. Поскольку многообразие $\mathcal{X}_1$ неособо в общей точке подмногообразия $\mathcal{W}=B_1$ коразмерности $2$, получаем неравенство Поэтому утверждение (i) теоремы 3.1 вытекает из следующего факта.Мы докажем предложение 5.1 в два этапа: сначала сведем его к некоторому утверждению выпуклой геометрии, которое, в свою очередь, будет сведено к некоторому комбинаторному утверждению о графе $\Gamma$. 5.2. Доказательство предложения 5.1: выпуклая геометрияНапомним два хорошо известных свойства графа $\Gamma$. Если $i\to j$ и $l$ – некоторая вершина между $i$ и $j$, т. е. то $i\to l$. (Это следует из того, что образ $B_{i-1}$ на $\mathcal{X}_{l-1}$ есть $B_{l-1}$.) Поскольку центры раздутий $B_1,\dots,B_{N-1}$ суть подмногообразия коразмерности $2$, каждый из них может содержаться, самое большее, в собственных прообразах двух предшествующих исключительных дивизоров, откуда следует второе свойство: из каждой вершины $i$ выходят, самое большее, две стрелки, одна из которых есть $i\to(i-1)$ (при $i\geqslant 2$).Рассмотрим теперь вещественное пространство ${\mathbb R}^N$ с координатами $t_1,\dots,t_N$. Определим линейные функции и при $i=1,\dots,N$ (так что, в частности, $\lambda_N=t_N$). Положим
$$
\begin{equation*}
\lambda(t_1,\dots,t_N)=\sum_{i\to 1}t_i=t_2+\dots+t_k,
\end{equation*}
\notag
$$
где число $k\in\{2,\dots,N\}$ определяется тем, что в графе $\Gamma$ имеются стрелки и либо $k=N$, либо $(k+1)\nrightarrow 1$. Рассмотрим гиперплоскость
$$
\begin{equation*}
\Pi^*=\biggl\{\lambda^*_0(t_1,\dots,t_N)=\sum^N_{i=1}p_i+1\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и компактное выпуклое множество $\Delta^*\subset\Pi^*$, заданное набором неравенств
$$
\begin{equation*}
\lambda_i\geqslant 0 \quad\text{при}\quad i=1,\dots,N\quad \text{и}\quad t_1\leqslant 2.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассматривая точку $(1/n)(\mu_1,\dots,\mu_N)\in{\mathbb R}^N$, видим, что предложение 5.1 следует из неравенства Положим, далее, и перепишем уравнение гиперплоскости $\Pi^*$ в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
\lambda_0(t_2,\dots,t_N)=\sum^N_{i=2}p_i+1+p_1(1-t_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда заключаем, что достаточно рассмотреть наихудший случай $t_1=2$, т. е. доказать неравенство Поэтому мы можем перейти к вещественному пространству ${\mathbb R}^{N-1}$ с координатами $t_2,\dots,t_N$. Учитывая равенство получаем, что множество $\Delta^*\cap\{t_1=2\}\subset{\mathbb R}^{N-1}$ есть симплекс $\Delta$ в гиперплоскости
$$
\begin{equation*}
\Pi=\biggl\{\lambda_0(t_2,\dots,t_N)=\sum^N_{i=k+1}p_i+1\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
(если $k=N$, то в правой части уравнения стоит $1$), который задан системой линейных неравенств
$$
\begin{equation}
\lambda_i(t_2,\dots,t_N)\geqslant 0\quad\text{при} \quad i=2,\dots,N.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Таким образом, для доказательства предложения 5.1 достаточно установить неравенство Легко видеть, что если $k=N$, то и $\lambda_0=\lambda$, так что необходимое неравенство (13) выполнено тривиальным образом. Предполагаем поэтому, что $N\geqslant k+1$. Доказательство. Справедливость неравенства (13) в тривиальном случае $k=N$ позволяет использовать индукцию по $N$. Для самой верхней вершины $N$ имеются две возможности: (1) из $N$ выходит единственная стрелка $N\to (N-1)$; (2) из $N$ выходят две стрелки $N\to(N-1)$ и $N\to l$ для некоторого $l\leqslant N-2$. Разберем вторую, первая проще. Пусть $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ – подграфы графа $\Gamma$ с вершинами $1,\dots,N-1$ и $1,\dots,l$ соответственно. Поскольку первый шаг любого пути из $N$ в $i<N$ проходит либо через $(N-1$), либо через $l$ (при $i\leqslant l$), имеем $p_i=p_{N-1,i}+p_{l,i}$. Для любой точки учитывая равенство $p_N=p_{N,N}=1$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda_0(b_2,\dots,b_{N-1},0) &=\sum^{N-1}_{i=2}p_{N-1,i}b_i+\sum^l_{i=2}p_{l,i}b_i =\sum^{N-1}_{i=k+1}p_{N-1,i}+\sum^l_{i=k+1}p_{l,i}+p_N+1 \\ &=\biggl(\sum^{N-1}_{i=k+1}p_{N-1,i}+1\biggr)+ \biggl(\sum^l_{i=k+1}p_{l,i}+1\biggr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(если $l\leqslant k$, то сумма по $k+1\leqslant i\leqslant l$ равна нулю). Следовательно, выполнено по крайней мере одно из двух неравенств: или Умножая вектор $(b_2,\dots,b_{N-1})$ на $1/(1+\varepsilon)$ для некоторого $\varepsilon>0$, можно добиться того, чтобы это неравенство стало равенством и применить предположение индукции. Если реализуется возможность (1), доказательство очевидно. Лемма доказана. Минимум функции $\lambda$ на симплексе $\Delta$ достигается в одной из его вершин, которые получаются заменой знаков неравенства на знак равенства во всех неравенствах (12), кроме одного. В силу доказанной леммы достаточно рассмотреть вершину, заданную уравнениями $\lambda_i=0$ для $i=2,\dots,N-1$. Координаты $(a_2,\dots,a_N)$ этой вершины легко вычислить, идя “сверху вниз”. Скажем, $\lambda_{N-1}(t_{N-1},t_N)=t_{N-1}-t_N$ и потому $a_{N-1}=a_N$ и вообще, имеют место равенства где $a_N$ вычисляется из соотношения
$$
\begin{equation*}
\biggl(\sum^N_{i=2}p^2_i\biggr)a_N=\sum^N_{i=k+1}p_i+1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому предложение 5.1 вытекает теперь из следующего чисто комбинаторного факта. 5.3. Доказательство предложения 5.2Будем рассуждать индукцией по числу вершин $\Gamma$, сводя утверждение предложения к аналогичному утверждению для подграфа с вершинами $a,\dots,N$. В качестве первого примера разберем случай $k=2$. Здесь неравенство (14) принимает вид неравенства
$$
\begin{equation*}
p_2\left(\sum^N_{i=3}p_i+1\right)\geqslant\sum^N_{i=2}p^2_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что вершины $3,\dots,l$ соединены с вершиной $2$ стрелками, однако $(l+1)\nrightarrow 2$. Тогда и в силу предположения индукции
$$
\begin{equation*}
(p_3+\dots+p_l)\biggl(\sum^N_{i=l+1}p_i+1\biggr)\geqslant \sum^N_{i=3}p^2_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Добавляя $p^2_2$ к обеим частям последнего неравенства, завершаем доказательство в случае $k=2$. Предположим, что $k\geqslant 3$. Пусть сначала В этом случае из вершин $i\geqslant k+1$ нет стрелок в вершины $j\leqslant k-1$, поэтому $p_2=\dots=p_k$. Предположим, что имеются стрелки но $(l+1)\nrightarrow k$, так что $p_2=\dots=p_k=p_{k+1}+\dots+p_l$. Неравенство (14) принимает вид
$$
\begin{equation*}
(k-1)p_2\biggl(p_2+\sum^N_{i=l+1}p_i+1\biggr)\geqslant(k-1)p^2_2 +\sum^N_{i=k+1}p^2_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Это неравенство очевидным образом следует из оценки
$$
\begin{equation*}
(p_{k+1}+\dots+p_l)\biggl(\sum^N_{i=l+1}p_i+1\biggr)\geqslant \sum^N_{i=k+1}p^2_i,
\end{equation*}
\notag
$$
справедливой в силу предположения индукции. Наконец, рассмотрим случай Предположим, что в $\Gamma$ имеются стрелки
$$
\begin{equation*}
k\to(k-1),\quad (k+1)\to(k-1),\quad \dots,\quad l\to(k-1),
\end{equation*}
\notag
$$
но $(l+1)\nrightarrow(k-1)$. В этом случае и левая часть неравенства (14) может быть преобразована следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &((k-3)p_2+p_{k-1}+p_k)\biggl(\sum^l_{i=k+1}p_i+ \sum^N_{i=l+1}p_i+1\biggr) \\ &\qquad=((k-3)p_2+p_k)\biggl(\sum^N_{i=k+1}p_i+1\biggr)+ p_{k-1}\biggl(\sum^l_{i=k+1}p_i\biggr)+ p_{k-1}\biggl(\sum^N_{i=l+1}p_i+1\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что по предположению индукции
$$
\begin{equation*}
p_{k-1}\biggl(\sum^N_{i=l+1}p_i+1\biggr)\geqslant \sum^N_{i=k}p^2_i,
\end{equation*}
\notag
$$
а в силу леммы 2.7 в [5; гл. 2] можно оценить снизу левую часть неравенства (14) выражением
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &((k-3)p_2+p_k)p_{k-1}+(p_{k-1}-p_k)p_{k-1}+\sum^N_{i=k}p^2_i \\ &\qquad=(p_2+\dots+p_{k-1})p_{k-1}+\sum^N_{i=k}p^2_i=\sum^N_{i=2}p^2_i, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось доказать. Предложение 5.2 и, тем самым, предложение 5.1 и утверждение (i) теоремы 3.1 полностью доказаны. Замечание 5.1. Предположим дополнительно, что $\mathcal{X}^+$ и $\mathcal{Q}$ факториальны, причем Доказательство утверждения (ii) теоремы 3.1 проводится дословно так же, как доказательство предложения 9 в [10; § 3] или предложения 2.4 в [5; гл. 7]. В обозначениях п. 5.1 утверждение (ii) теоремы 3.1 принимает вид неравенства Мы не будем повторять здесь этих рассуждений. Теорема 3.1 полностью доказана. 5.4. Доказательство теоремы 3.2Напомним, что в предположениях теоремы 3.2 центр $\mathcal{W}\subset\mathcal{Q}$ логмаксимальной особенности $\mathcal{E}$ на $\mathcal{X}^+$ есть неприводимое подмногообразие коразмерности не меньше $2$ (относительно $\mathcal{Q}$), которое не содержится в $\operatorname{Sing}\mathcal{Q}$, т. е. $\mathcal{Q}$ и $\mathcal{X}^+$ неособы в общей точке $\mathcal{W}$. Остальные предположения совпадают с предположениями теоремы 3.1. Снова рассмотрим разрешение особенности $\mathcal{E}$. В данном случае удобнее несколько изменить обозначения, введенные в п. 5.1: полагаем $\mathcal{X}_0=\mathcal{X}^+$ и $\mathcal{X}_{-1}=\mathcal{X}$, т. е. сдвигаем нумерацию раздутий $\varphi_{i,i-1}$ и многообразий $\mathcal{X}_i$ на единицу вниз. В частности, $E_0=\mathcal{Q}$ и $B_0=\mathcal{W}$. Таким образом, разрешение имеет вид последовательности раздутий
$$
\begin{equation*}
\mathcal{X}_{-1}=\mathcal{X}\leftarrow\mathcal{X}_0= \mathcal{X}^+\leftarrow\mathcal{X}_1\leftarrow\dots\leftarrow\mathcal{X}_N.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть раздутия $\varphi_{i,i-1}\colon\mathcal{X}_i\to\mathcal{X}_{i-1}$ соответствуют центрам $B_{i-1}\subset\mathcal{X}_{i-1}$ коразмерности не меньше $3$ (относительно $\mathcal{X}_{i-1}$) при $i=0,1,\dots,L$, а при $i\geqslant L+1$ имеем $\operatorname{codim}(B_{i-1}\subset\mathcal{X}_{i-1})=2$. Снова рассматриваем граф $\Gamma$ разрешения особенности $\mathcal{E}$: теперь его множество вершин есть Мы пользуемся обозначениями $p_{ij}$ и $p_i=p_{Ni}$ для числа путей в графе $\Gamma$, введенными в п. 5.1. Единственная разница состоит в том, что индексы $i$ и $j$ могут принимать значение $0$. Определим число $k\geqslant 1$ условием для $i=1,\dots,k$ (т. е. $i\to 0$), так что Полагая $\mu_0=\nu_\mathcal{D}$ и $\mu_i=\operatorname{mult}_{B_{i-1}}\mathcal{D}^{i-1}$, получаем следующую хорошо известную явную форму логнеравенства Нётера–Фано:
$$
\begin{equation*}
p_0\mu_0+\sum^N_{i=1}p_i\mu_i>\biggl(p_0+\sum^N_{i=1}p_i\delta_i+1\biggr)n,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\delta_i=\operatorname{codim}(B_{i-1}\subset\mathcal{X}_{i-1})-1$. Доказательство. Предположим противное: $k\leqslant L$. Из логнеравенства Нётера–Фано получаем Поскольку $\mu_1\leqslant n$, тем более $\mu_i\leqslant n$ для всех $i\geqslant 1$, так что выписанное выше неравенство невозможно: для $i\in\{1,\dots,k\}$ имеем для $i\in\{k+1,\dots,L\}$ имеем $\delta_i\geqslant 2$. Это противоречие завершает доказательство леммы. Поскольку неравенство $\mu_1>n$ есть в точности неравенство (1) теоремы 3.2, будем предполагать, начиная с этого момента, что $\mu_1\leqslant n$, поэтому в силу доказанной леммы имеем $k\geqslant L+1$. Теперь логнеравенство Нётера–Фано можно переписать в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum^L_{i=1}p_i\mu_i+\sum^k_{i=L+1}p_i\mu_i+\sum^N_{i=k+1}p_i\mu_i \\ &\qquad>\biggl(\sum^L_{i=1}p_i(\delta_i+1-\frac{\mu_0}{n})+ \biggl(2-\frac{\mu_0}{n}\biggr) \sum^k_{i=L+1}p_i+\sum^N_{i=k+1}p_i+1\biggr)n. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Отметим, что $\delta_{E,i}=\delta_i-1$ при $i=1,\dots,L$ есть дискрепантность исключительного дивизора $E_i\cap E^i_0=E_i\cap\mathcal{Q}^i$ раздутия подмногообразия $B_{i-1}\subset E^{i-1}_0$ относительно $E^{i-1}_0$:
$$
\begin{equation*}
\delta_{E,i}=\operatorname{codim}(B_{i-1}\subset E^{i-1}_0)-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 5.3. Из каждой вершины выходит только одна стрелка, $a\to(a-1)$. В частности, подграф графа $\Gamma$ с вершинами $L+1,\dots,k$ есть цепь, если $k\geqslant L+2$. Доказательство. По построению для этих значений $a$ имеем $\operatorname{codim}(B_{a-1}\subset\mathcal{X}_{a-1})=2$. Поскольку $B_{a-1}\subset E_{a-1}$ (для любого $a$) и $B_{a-1}\subset E^{a-1}_0$ (поскольку $a\leqslant k$), имеется единственная возможность: Таким образом, $\varphi_{a,a-1}$ раздувает дивизор на $E^{a-1}_0$ и потому $\varphi^E_{a,a-1}$ суть тождественные отображения, так что Все предшествующие раздутия $\varphi^E_{i,i-1}$ с $i\leqslant L$ раздувают подмногообразия коразмерности не меньше $2$ на $E^{i-1}_0$, поэтому они нетривиальны и для $i\leqslant L-1$, поэтому для $a\in\{L+1,\dots,k\}$ для $i\leqslant L-1$ и потому, раз $B_{a-1}\subset E^{a-1}_0$, получаем т. е. $a\nrightarrow i$. Лемма доказана. Поскольку для любых вершин $i<j<l$ из $l\to i$ следует $j\to i$, из леммы следует, что кроме стрелки $(k+1)\to k$, из вершины $(k+1)$ может выходить, самое большее, еще одна стрелка $(k+1)\to(k-1)$. Отсюда получаем следующее утверждение. Предложение 5.3. (i) Если в графе $\Gamma$ имеется стрелка $b\to a$, где $a\leqslant k$ и $b\geqslant k+1$, то $a=k-1$. (ii) Имеют место равенства
$$
\begin{equation*}
p_L=\dots=p_{k-1}\quad\textit{и}\quad p_{k-1}=p_k+\sum_{k\neq i\to(k-1)}p_i.
\end{equation*}
\notag
$$
(iii) Для $i=1,\dots,L$ справедливы равенства Доказательство. Утверждение (i) очевидно в силу леммы 5.3, (ii) следует из (i), потому что любой путь в вершину $a\in\{L,\dots,k-1\}$ должен проходить через $(k-1)$. Наконец, утверждение (iii) следует из того, что любой путь из вершины $N$ в вершину $i\in\{1,\dots,L\}$ проходит через вершину $L$, а потому является композицией некоторого пути из $N$ в $L$ и некоторого пути из $L$ в $i$. Предложение доказано. Завершим доказательство теоремы 3.2. Учитывая, что по предположению $\mu_i\leqslant n$ для $i\geqslant 1$, из неравенства (15) получаем
$$
\begin{equation*}
p_L\biggl(\sum^L_{i=1}p_{Li}\mu_i+\sum^{k-1}_{i=L+1}\mu_i\biggr)+ p_k\mu_k> p_L\sum^L_{i=1}p_{Li}\biggl(\delta_{E,i}+2-\frac{\mu_0}{n}\biggr)n,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда с учетом очевидного неравенства $p_k\leqslant p_{k-1}=p_L$ немедленно следует оценка
$$
\begin{equation}
\sum^L_{i=1}p_{Li}\mu_i+\sum^k_{i=L+1}\mu_i> \sum^L_{i=1}p_{Li}\biggl(\delta_{E,i}+2-\frac{\mu_0}{n}\biggr)n.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Полагая для $i\leqslant k-1$
$$
\begin{equation*}
\varphi_{k,i}=\varphi_{i+1,i}\circ\dots\circ\varphi_{k,k-1} \colon\mathcal{X}_k\to\mathcal{X}_i
\end{equation*}
\notag
$$
и $\varphi_{k,k}=\operatorname{id}_{\mathcal{X}_k}$, рассмотрим эффективный дивизор
$$
\begin{equation*}
\mathcal{D}^k=\varphi^*_{k,0}\mathcal{D}^+- \sum^k_{i=1}\mu_i\varphi^*_{k,i}E_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\mathcal{D}^+$ не содержит $\mathcal{Q}=E_0$ компонентой, ограничение $\mathcal{D}^k$ на $E^k_0$ есть эффективный дивизор
$$
\begin{equation*}
(\mathcal{D}^k\circ E^k_0)=(\varphi^E_{k,0})^*\mathcal{D}^+_E- \sum^k_{i=1}\mu_i(\varphi^E_{k,i})^*(E_i\circ E^i_0),
\end{equation*}
\notag
$$
где смысл символов $\varphi^E_{k,i}$ очевиден, а $\mathcal{D}^+_E=(\mathcal{D}^+\circ E_0)$ есть ограничение $\mathcal{D}^+$ на $\mathcal{Q}$. В частности, последний исключительный дивизор $(E_L\circ E^L_0)$ вычитается из $(\varphi^E_{k,0})^*\mathcal{D}^+_E$ с кратностью Положим теперь для $i\in\{1,\dots,L\}$
$$
\begin{equation*}
\nu_{E,i}=\operatorname{mult}_{B_{i-1}}\mathcal{D}^{i-1}_E,
\end{equation*}
\notag
$$
и получим, что $(\varphi_{L,0}^E)^*\mathcal{D}^+_E$ (напомним, что при $a\in\{L+1,\dots,k\}$ отображения $\varphi^E_{a,a-1}$ тождественны, так что $\varphi^E_{L,0}=\varphi^E_{k,0}$) содержит $(E_L\circ E^L_0)$ с кратностью
$$
\begin{equation*}
\sum^L_{i=1}p_{Li}\nu_{E,i}\geqslant \sum^L_{i=1}p_{Li}\mu_i+\sum^k_{i=L+1}p_{Li}\mu_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Из неравенства (16) получаем
$$
\begin{equation*}
\sum^L_{i=1}p_{Li}\nu_{E,i}> \sum^L_{i=1}p_{Li}(\delta_{E,i}n+2n-\mu_0).
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что $\delta_{E,i}\geqslant 1$ и кратности $\nu_{E,i}$ не возрастают, заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\nu_{E,1}=\operatorname{mult}_\mathcal{W}\mathcal{D}^+_E>3n-\mu_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\mu_0=\nu_\mathcal{D}$, это завершает доказательство теоремы 3.2. 5.5. Доказательство теоремы 3.4Здесь $o\in\mathcal{X}$ – росток трехмерной невырожденной биквадратичной особенности. Мы пользуемся обозначениями п. 3.6: $\mathcal{E}\subset{\mathbb P}^4$ – неособая поверхность дель Пеццо степени $4$, $L\subset\mathcal{E}$ – некоторая прямая, $p\neq q$ – различные точки на $L$. Поскольку
$$
\begin{equation*}
(L^2)_\mathcal{E}=-1\quad\text{и} \quad (\mathcal{E}\cdot L)_{\mathcal{X}^+}=-1,
\end{equation*}
\notag
$$
имеем $\mathcal{N}_{L/\mathcal{X}^+}\cong\mathcal{O}_L(-1)\oplus\mathcal{O}_L(-1)$, поэтому для раздутия $\varphi_L\colon\mathcal{X}_L\to\mathcal{X}^+$ прямой $L$ получаем: исключительный дивизор
$$
\begin{equation*}
\mathcal{E}_L=\varphi^{-1}_L(L)\cong{\mathbb P}^1\times{\mathbb P}^1
\end{equation*}
\notag
$$
изоморфен прямому произведению $L$ (первый сомножитель) и слоя ${\mathbb P}^1$. Классы слоев проекций поверхности $\mathcal{E}_L$ на прямые сомножители обозначим символами $s_L$ и $f_L$ (где $f_L$ – класс слоя проекции $\pi_L\colon\mathcal{E}_L\to L$), так что
$$
\begin{equation*}
A^1\mathcal{E}_L=\operatorname{Pic}\mathcal{E}_L={\mathbb Z}s_L\oplus{\mathbb Z}f_L.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 5.4. Класс теоретико-схемного пересечения $(\mathcal{E}_L\circ\mathcal{E}_L)$ как дивизора на поверхности $\mathcal{E}_L$ есть $-s_L-f_L$. Доказательство. Пусть $\widetilde{\mathcal{E}}=\varphi^*_L\mathcal{E}-\mathcal{E}_L$ – собственный прообраз поверхности $\mathcal{E}$ на $\mathcal{X}_L$, $\widetilde{\mathcal{E}}\cong\mathcal{E}$. Поверхности $\widetilde{\mathcal{E}}$ и $\mathcal{E}_L$ трансверсально пересекаются вдоль неособой кривой $C$, сечения проекции $\pi_L$. Очевидно, Из прямого разложения нормального пучка $\mathcal{N}_{L/\mathcal{X}^+}$ (или из численных равенств $(C^2)_{\mathcal{E}_L}=(\widetilde{\mathcal{E}}\cdot C)_{\mathcal{X}_L}= (\varphi^*_L\mathcal{E}\cdot C)_{\mathcal{X}_L}- (\mathcal{E}_L\cdot C)_{\mathcal{X}_L}=(\mathcal{E}\cdot L)_{\mathcal{X}^+}-(\mathcal{E}_L\cdot C)_{\mathcal{X}_L}=0)$ следует, что $C\sim s_L$ на $\mathcal{E}_L$. Запишем для некоторого $x\in{\mathbb Z}$. Из приведенных выше равенств следует, что $x=(\mathcal{E}^2_L\cdot \widetilde{\mathcal{E}})_{\mathcal{X}_L}$. Однако что и доказывает лемму. Рассмотрим теперь эффективный дивизор $\mathcal{D}$ на $\mathcal{X}$ и его собственные прообразы $\mathcal{D}^+\sim-\nu_{\mathcal{D}}\mathcal{E}$ на $\mathcal{X}^+$ и $\mathcal{D}_L\sim-\nu_{\mathcal{D}}\mathcal{E}-\nu_L\mathcal{E}_L$ на $\mathcal{X}_L$, где Очевидно,
$$
\begin{equation*}
\mathcal{D}_L|_{\mathcal{E}_L}\sim\nu_{\mathcal{D}}f_L+\nu_L(s_L+f_L) =\nu_Ls_L+(\nu_\mathcal{D}+\nu_L)f_L.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, собственный прообраз $\mathcal{D}_L$ имеет кратность $(\mu-\nu_L)$ вдоль слоев $\varphi^{-1}_L(p)$ и $\varphi^{-1}_L(q)$ проекции $\pi_L$, так что $1$-цикл $\mathcal{D}_L|_{\mathcal{E}_L}$ содержит эти слои с кратностью не меньше $\mu-\nu_L$. Поэтому справедливо неравенство (поскольку псевдоэффективный конус $A^1_+\mathcal{E}_L$ поверхности $\mathcal{E}_L\cong{\mathbb P}^1\times{\mathbb P}^1$ есть, очевидно, ${\mathbb Z}_+s_L\oplus{\mathbb Z}_+f_L$). Отсюда заключаем, что справедливо неравенство Доказательство теоремы 3.4 закончено. БлагодарностиАвтор благодарен сотрудникам отделов алгебраической геометрии и алгебры Математического института им. В. А. Стеклова за интерес к его работе, а также коллегам-алгебраическим геометрам в Ливерпульском университете за общую поддержку. Автор также благодарит рецензентов за работу над статьей и ряд полезных замечаний.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Puk22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|