| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях) Асимптотики типа Планшереля–Ротаха для совместно ортогональных многочленов Эрмита и рекуррентные соотношения А. И. Аптекаревa, С. Ю. Доброхотовb, Д. Н. Туляковa, А. В. Цветковаb a Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук, г. Москва b Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9138 
Реферативные базы данных:
    § 1. Введение1.1. Постановка задачиСовместно ортогональные многочлены (СОМы) Эрмита $H_{\vec{n}}(x)$, $x\in\mathbb{C}$, с мультииндексом $\vec{n}=(n_1,n_2)\in\mathbb{Z}_+^2$, степени $\deg H_{\vec{n}}=|\vec{n}|=:(n_1+n_2) $, определяются соотношениями ортогональности:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} {\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}H_{\vec{n}}(x)x^\nu e^{-x^2-2ax}\,dx=0}, &\nu=0,1,\dots,n_1-1, \\ {\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} H_{\vec{n}}(x)x^\nu e^{-x^2+2ax}\,dx=0}, &\nu=0,1,\dots,n_2-1, \end{cases}\qquad a\neq 0.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Отметим, что оба веса ортогональности в (1.1) являются весами для классических многочленов Эрмита $H_{{n}}$, ${n}\in\mathbb{Z}_+$, степени $\deg H_{{n}}={n}$, взятыми с разными центрами локализации “гауссианов”: в точках $\pm a$. Для классических многочленов Эрмита $H_{{n}}(x)$ асимптотика при больших $n$ впервые была получена в [1]. Отличительной особенностью этих асимптотических формул (также см. [2]) является то, что стремление степени $n\,{\to}\,\infty$ сопровождается согласованным ростом переменной $x$. Такие асимптотики (в честь авторов [1]) называют асимптотиками Планшереля–Ротаха (ПР-асимптотики). Для $H_{{n}}(x)$ этот согласованный рост параметров выглядит так: где $K$ – компакт.Асимптотические свойства СОМ-ов ${H}_{(n, n)}(x)$ относительно переменных (т. е. зависящих от параметра $n$) весов Эрмита $\exp\{-x^2 \pm n \,a x\}$ изучались в [3] в связи с предельными распределениями собственных значений случайных матриц и плотностью траекторий броуновских мостов. В частности, в той работе для собственных значений матрицы, возмущенной матрицами гауссовского унитарного ансамбля, была получена предельная средняя плотность и доказана универсальность их распределения. Получение и обоснование этих результатов производилось асимптотическим методом наискорейшего спуска для матричной задачи Римана–Гильберта. Этот метод был предложен в [4] и развит в [5]–[7]. Отметим, что использованная методика позволяет вывести асимптотические формулы для СОМ-ов относительно переменных весов Эрмита. Однако этот момент не был мотивирован в [3], и поэтому соответствующие формулы приведены не были. Целью данной работы является получение ПР-асимптотик для СОМ-ов Эрмита. При этом другой, более важной, для нас целью было развитие методик получения асимптотик последовательностей многочленов, определяемых рекуррентными соотношениями. Востребованность таких методик возникает в ситуациях, когда объект асимптотического анализа может быть задан рекуррентно, а другие характеризации: интегральные представления, матричная задача Римана–Гильберта неизвестны. Примером такого объекта могут служить $N$-окрашенные $q$-многочлены Джонса $J_{N}(\mathcal{K}, q)$ (представления инварианта узла $\mathcal{K}\subset S^{3}$, см. [8]), которые удовлетворяют рекуррентным соотношениям (по $N$) высокого порядка, см. [9], и их асимптотика (при $N \to \infty$) играет ключевую роль в гипотезе о гиперболическом объеме $S^{3} \setminus \mathcal{K}$, см. [10]. Для классических многочленов Эрмита асимптотики были получены Планшерелем и Ротахом в [1] (также см. [2]), исходя из интегрального представления. В [11] для той же цели использовался метод матричной задачи Римана– Гильберта (базирующийся на соотношениях ортогональности). В работах [12], [13] для классических многочленов Эрмита $H_{{n}}(x)$ асимптотики были получены исходя из рекуррентных соотношений:
$$
\begin{equation}
H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x),\qquad H_0=1,\quad H_{-1}=0,\quad n \in \mathbb N.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Асимптотики типа Планшереля–Ротаха описывают многочлен в трех основных зонах: зонах свободных от нулей многочленов (здесь многочлены с ростом степени демонстрируют экспоненциальный рост), зонах сосредоточения нулей (здесь многочлены осциллируют) и в переходных зонах. В этих зонах грубое масштабирование вида (1.2) уточняется (указанием областей в которых лежит компакт $K$), а сами асимптотики имеют разный вид. Приведем полученные в [12] главные члены асимптотических разложений классических многочленов Эрмита1 при фиксированных $\varepsilon > 0$ и $\operatorname{Im}(x)\geqslant0$. Пусть
$$
\begin{equation}
\mathfrak{F}_{n}(x):= \frac{(x+\sqrt{x^2 - 2n})^{n-1/2}}{\sqrt{2}\,\sqrt[4]{x^2 - 2n}} \exp\biggl\{\frac{(x-\sqrt{x^2 - 2n})^{2}}4\biggr\},
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
a) для свободной от нулей зоны: $2n<|x|^2-|x|^{\varepsilon+2/3}+\operatorname{Im}(x)$, имеем b) для зоны осцилляций: $2n>|x|^2+|x|^{\varepsilon+2/3}$, $x\in \mathbb{R}$,
$$
\begin{equation}
H_{n-1}(x)= \bigl(\mathfrak{F}_{n}(x)+\overline{\mathfrak{F}_{n}(x)}\bigr)(1+o(1));
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
с) для переходной зоны $2n=x^2+zx^{2/3}$, $|z|\lesssim|x|^{4/3-\varepsilon}$,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, H_{n-1}(x)=\frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt[6]{2}}\, x^{n+2/3} \exp\{E(z)\}\operatorname{Ai}(h(z)), \\ E(z)=\frac{x^2}4+\frac{z^2}{8x^{2/3}} +\dots+\mathcal O \biggl(\frac{|z|^{(k+3)/2}}{|x|^{2k/3}}\biggr), \\ h(z):=\frac{-z}{2^{2/3}}+ \frac1{(2x)^{2/3}} + \frac{2^{1/3}z^2}{15x^{4/3}}+\dots +\mathcal O\biggl(\frac{|z|^{(k+2)/2}_+}{|x|^{2k/3}}\biggr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
В работе [12] в указанных зонах находились асимптотические разложения базисов общих решений разностного уравнения (1.3), затем частное решение, задаваемое начальными условиями в (1.3), раскладывалось по базису общего решения в одной из зон и в перекрытиях зон (которые непусты) перераскладывалось по другому базису, обеспечивая глобальное асимптотическое представление многочленов Эрмита (1.3). Этот подход получения асимптотик решений рекуррентных соотношений в различных зонах развивался в работах [14]–[19]. Кратко его можно назвать: разложения согласованных базисов. В работе [13] предложен другой подход, использующий операторные методы и обобщение метода ВКБ [20]–[22] (метод ВКБ также называют лучевым разложением или методом Лиувилля–Грина). Он основан на сведении конечноразностного уравнения для многочленов (1.3) к псевдодифференциальному ([23], [24]), к которому затем применяется теория канонического оператора Маслова [26], [27]. Соответствующие лагранжевы многообразия позволяют с помощью функции Эйри записать асимптотику многочленов Эрмита единым образом:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, H_n(y) \sim \operatorname{sign}(y^n)e^{y^2/2} \sqrt{2\pi}\, \biggl(\frac{2n}{e}\biggr)^{n/2} \biggl|1-\frac{y^2-1}{2n}\biggr|^{-1/4}|F_n(y)|^{1/4}\operatorname{Ai}(F_n(y)), \\ F_n(y) =\begin{cases} -\biggl(\dfrac{3}{2}\biggl(\dfrac{|y|}{2}\sqrt{2n+1-y^2}+ \dfrac{2n+1}{2}\arcsin\dfrac{|y|}{\sqrt{2n+1}}-\dfrac{\pi}{4}(1+{2}n)\biggr)\biggr)^{2/3} \\ \qquad \text{при }y^2 \leqslant 2n+1, \\ \biggl(\dfrac{3}{2}\biggl(\dfrac{|y|}{2}\sqrt{y^2-2n-1}-\dfrac{2n+1}{2}\ln\biggl( \dfrac{|y|+\sqrt{y^2-2n-1}}{\sqrt{2n+1}}\biggr)\biggr)\biggr)^{2/3} \\ \qquad \text{при } y^2 > 2n+1. \end{cases} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
Отметим, что в [13] с помощью асимптотики функции Эйри в различных зонах показано, что из глобальной асимптотики (1.8) вытекают классические формулы Планшереля–Ротаха из [2], [28]. Также можно убедиться, что, используя асимптотику (12.10.35) из проекта DLMF [29] для функции параболического цилиндра, можно получить асимптотику (1.8) для классических полиномов Эрмита. Таким образом, предложенный в [13] подход для построения асимптотики классических полиномов Эрмита приводит к формуле, которая согласуется с известными ранее результатами, при этом является глобальной и описывает асимптотику во всех зонах. Отметим, что в работе [7] был предложен метод, позволяющий свести задачу о построении асимптотик ортогональных полиномов к дифференциальным уравнениям и использующий ВКБ анализ. Подход, предложенный в [13], основан на сведении разностных уравнений к псевдодифференциальным [23]. Его развитие для построения асимптотик широкого класса классических ортогональных полиномов, определяемых рекуррентными соотношениями второго порядка, приведено в работе [30]. Мы будем называть этот подход: псевдодифференциальные уравнения и канонический оператор. В настоящей работе мы демонстрируем возможности обоих подходов для нахождения асимптотик СОМ-ов Эрмита $H_{(n, n)}(x)$, и в обоих случаях отправной точкой нашего анализа будут рекуррентные соотношения (полученные в [31]):
$$
\begin{equation}
\begin{cases} H_{(n+1,m)}(x)=(-a+x)H_{(n,m)}(x)-\dfrac{n+m}{2}H_{(n,m-1)}(x) \\ \qquad{-}\,anH_{(n-1,m-1)}(x), \\ H_{(n+1,m+1)}(x)=(a+x)H_{(n+1,m)}(x)-\dfrac{n+m+1}{2}H_{(n,m)}(x) \\ \qquad{+}\,anH_{(n,m-1)}(x), \\ H_{0,0}:=1,\quad H_{1,0}:=x-a,\quad H_{1,1}:=x^2-a^2-\dfrac12. \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
Отметим, что асимптотический анализ решений рекуррентных соотношений, связывающих более чем три члена, принципиально отличается от анализа трехчленных рекурренций и (насколько нам известно) ранее не производился. 1.2. Спектральная кривая и формулировка результатов IВ этом пункте мы сформулируем результаты об асимптотике решений разностной однородной системы (1.9), полученные в рамках первого подхода, т. е. находя асимптотические разложения матриц базисных векторов в различных, перекрывающихся зонах. В частности, сформулируем теорему о ПР-асимптотике для СОМ-ов Эрмита $H_{(n,n)}(x)$. Введем большой параметр $N\gg 1$. Зададим согласованный рост параметров для $H_{(n,n)}(x)$
$$
\begin{equation}
\frac{n}{{N}} \in K \Subset \mathbb{R}, \qquad \frac{x}{\sqrt{N}} \in \widetilde{K} \Subset \mathbb{C}, \qquad \frac{a}{\sqrt{N}} \in \widetilde{\widetilde{K}} \Subset \mathbb{R},
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
т. е. рост номера многочлена $n$ и пространственной переменной $x$ согласован так же, как и для классических многочленов Эрмита в (1.2), а параметр $a$, задающий координаты центров весовых гауссианов в (1.1), растет с той же скоростью, что и координата $x$. Положим в (1.9) $(n=m)$ и перейдем к матричной форме линейной однородной разностной задачи:
$$
\begin{equation}
\overrightarrow{H_{n+1}}=\mathcal{A}_{n}\overrightarrow{H_{n}},
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
где матрица перехода $\mathcal{A}_{n}(x,a)$ и вектор решения $\overrightarrow{H_{n}}$ имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{A}_{n}(x,a) &:= \begin{pmatrix} -a^2+x^2-n-\dfrac12 &-xn &-a^2 n \\ x &-n &0\\ 1 &0 &0 \end{pmatrix}, \\ \overrightarrow{H_{n}} &:= \begin{pmatrix} H_{(n,n)}\\ H_{(n,n-1)}-aH_{(n-1,n-1)} \\ H_{(n-1,n-1)} \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Нам потребуются собственные значения $\{\Lambda_{j}\}_{j=1}^{3}$ матрицы перехода $\mathcal{A}_{n}$. В характеристическом уравнении $\mathcal{A}_{n}$ оставим старший член при $N \to \infty$
$$
\begin{equation}
\Lambda\colon\quad {\mathcal{R}(\Lambda):=}\Lambda^3+(a^2+2 n-x^{2})\Lambda^2+(2a^2 n+n^2)\Lambda+a^2n^2=0.
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
Многочлен $\mathcal{R}(\Lambda)$ определяет кривую, которую часто называют спектральной кривой. Уравнение (1.12) можно переписать в виде
$$
\begin{equation*}
(\Lambda+n)^2(\Lambda+a^2)-x^2\Lambda^2=0 \quad \Longleftrightarrow \quad (\Lambda+ a^2)=\frac{x^2\Lambda^2}{(\Lambda+ n)^2}=:s^2x^2,
\end{equation*}
\notag
$$
что дает параметризацию зависимости от $n$ алгебраической кривой (1.12):
$$
\begin{equation}
\Lambda=s^{2} x^{2} - a^{2},\qquad n=\frac{1}{s}(1-s)(s^{2} x^{2} - a^{2}).
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
Рассмотрим зависимость $\Lambda$ от $x$. С помощью соотношений Виета фиксируем три ветви $\{\Lambda_{j}(x)\}_{j=1}^{3}$ при $x\to\infty$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Lambda_{1}(x)=x^{2}-(a^2+2 n) + o(1), \qquad \Lambda_{2}(x)= \frac{an}{x} + o\biggl(\frac1x\biggr), \\ \Lambda_{3}(x)= - \frac{an}{x} + o\biggl(\frac1x\biggr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
Проанализируем точки самопересечения и ветвления кривой $\Lambda(x)$. Вычислим дискриминант:
$$
\begin{equation}
\mathcal{D}(x)=4a^2n^2x^6+n^2(n^2-20a^2n-8a^4)x^4+4 n^2(a^2-n)^3x^2.
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
Мы видим, что при $x=0$ (для любых значений параметров $n$, $a$) пересекаются (без ветвления) ветви $\Lambda_{2}$ и $\Lambda_{3}$. Точки ветвления $x\in \{\pm x_{\pm}\}$ расположены в остальных нулях $D(x)$:
$$
\begin{equation}
x^{2}=\frac{1}{8a^2}\bigl(20a^2n+8a^4-n^{2}\pm\sqrt{n(8a^2+n)^3}\bigr).
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
При $a>\sqrt{n}$ имеем четыре действительных квадратичных точки ветвления: $-x_{+}<-x_{-}<+x_{-}<+x_{+}$. При $a=\sqrt{n}$ точки $-x_{-}$ и $+x_{-}$ сливаются, образуя в точке $x=0$ точку ветвления третьего порядка. При $a<\sqrt{n}$ имеем две действительных точки ветвления: $-x_{+}<+x_{+}$ и две мнимых: $-x_{-}$, $+x_{-}$. Наконец, продолжим ветви (1.14) глобально. При $a>\sqrt{n}$ имеем
$$
\begin{equation}
\Lambda_{1}(x)\in H(\mathbb{C}\setminus \{ \triangle_{+}\cup\triangle_{-} \}), \qquad \Lambda_{2}(x)\in H(\mathbb{C}\setminus \triangle_{+}), \qquad \Lambda_{3}(x) \in H(\mathbb{C}\setminus \triangle_{-}),
\end{equation}
\tag{1.17}
$$
где $\triangle_{-}:=[-x_{+}, -x_{-}]$ и $\triangle_{+}:=[x_{-}, x_{+}]$. При $a<\sqrt{n}$ имеем
$$
\begin{equation}
\Lambda_{1}(x)\in H(\mathbb{C\setminus {\triangle} }),\qquad \Lambda_{2}(x)\in H(\mathbb{C\setminus \{ \triangle\cup\delta \}}),\qquad \Lambda_{3}(x)\in H(\mathbb{C\setminus \delta }),
\end{equation}
\tag{1.18}
$$
где $\triangle:=[-x_{+}, x_{+}]$ и $\delta:=[-x_{-}, x_{-}]$. Можно показать, что всюду в области голоморфности
$$
\begin{equation*}
|\Lambda_{1}(x)| > \max \{|\Lambda_{2}(x)|,|\Lambda_{3}(x)|\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь мы можем сформулировать результаты первого подхода. Обозначим
$$
\begin{equation}
\mathfrak{H}_{n}(x,a)=\Lambda_1^{n+1/2} e^{x^2(1-s)^2}\sqrt{\frac{s}{x^2 s^{2}(2s-1)-a^2}},
\end{equation}
\tag{1.19}
$$
где $s$ – параметр спектральной кривой (1.13), равный $s=\Lambda_{1}/(\Lambda_{1}+n)$. Теорема 1.1. Для совместно ортогональных многочленов Эрмита (1.9) при фиксированном $\varepsilon > 0$ справедливы следующие асимптотики ($n\gg1$): a) для зон роста многочленов (отсутствия нулей):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Omega_{1} &:=\{x\colon \operatorname{dist}(x,\triangle)>n^{\varepsilon}\} \cap \{x\colon \operatorname{dist}(x,0)>n^{\varepsilon+1/3}\}, \qquad n \in [\varepsilon a^{2}, (1-\varepsilon )a^{2}], \notag \\ \Omega_{2} &:=\{x\colon \operatorname{dist}(x,\triangle_{-} \cup \triangle_{+} )>n^{\varepsilon}\},\qquad n > (1+\varepsilon )a^{2}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.20}
$$
где отрезки $\triangle, \triangle_{\pm}\subset \mathbb{R}$ соединяют точки ветвления $\{x_{\pm}\}\subset \mathbb{R}$ спектральной кривой (1.12) (см. (1.16)), имеем b) для зоны осцилляций многочленов (накопления нулей), $x\in \mathbb{R}$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal{D}_{1} &:=\bigl\{x\colon \operatorname{dist}(x,\{x_{\pm}\} )>n^{\varepsilon}\bigr\} \cap \{x\colon \operatorname{dist}(x,0)>n^{\varepsilon+1/3}\}, \qquad n \in [\varepsilon a^{2}, (1-\varepsilon )a^{2}], \notag \\ \mathcal{D}_{2} &:=\bigl\{x\colon \operatorname{dist}(x,\{-x_{\pm}, x_{\mp}\})>n^{\varepsilon}\bigr\}, \qquad n > (1+\varepsilon )a^{2}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.22}
$$
имеем Замечание 1.1. Численные проверки асимптотик (1.21), (1.23), (1.19) (см. п. 2.5) показывают их хорошее приближение к точным значениям $H_{(n,n)}$ в более широких областях, чем (1.20), (1.22). Однако обоснование этого наблюдения, равно как и получение асимптотических Эйри-разложений, аналогичных (1.7), в сжимающихся окрестностях точек ветвлений $\{\pm x_{\pm}\}$, мы выносим за рамки теоремы 1.1. Отметим, что глобальные Эйри-асимптотики, формулируемые в следующем п. 1.3, закрывают этот пробел теоремы 1.1. Теорема 1.1 является следствием более общего результата о разложении матрицы $\mathcal{B}_{n}$ – базиса решений задачи (1.11). Разложение будет по степеням $(1/N)$ введенного выше большого параметра $N\gg 1$. Его удобнее получать в терминах параметров согласованного роста (1.10):
$$
\begin{equation}
\widetilde{n}:=\frac{n}{{N}},\qquad z:=\frac{x}{\sqrt{N}},\qquad \widetilde{a}:=\frac{a}{\sqrt{N}},\qquad \lambda:=\frac{\Lambda}{{N}},
\end{equation}
\tag{1.24}
$$
лежащих (в рассматриваемой задаче) на компактах. Отметим, что введенные параметры связаны тем же самым уравнением спектральной кривой (1.12) при соответствующей замене параметров $\{n, x, a, \Lambda\}$ на $\{\widetilde{n}, z, \widetilde{a}, \lambda\}$, и, следовательно, параметризуются как в (1.13) тем же параметром $s$. Выбрав специальный базис и его декомпозицию $\mathcal{B}_{n}=:V_n \Pi_n$, где $\Pi_n=:$ $\operatorname{diag}\{\pi_n^{(j)}\}_{j=1}^3$ – некоторая диагональная матрица, мы предъявим процедуру нахождения коэффициентов формальных степенных разложений компонент $V_n $ и $\Pi_n$ и определим область, содержащую параметр $z$, на компактах которой формальные степенные ряды превращаются в асимптотические. Справедлива следующая теорема. Теорема 1.2. 1) Существуют формальные степенные ряды: 1a) Элементы матриц $\widehat{v}_i$ – алгебраические функции от параметров $(\widetilde n,z,\widetilde a)$. Для главного члена имеем
$$
\begin{equation*}
\widehat{v}_0=\begin{pmatrix} 2\widetilde{a}\lambda_1 & 2\widetilde{a}\lambda_2 & 2\widetilde{a}\lambda_3\\ 2sz & d+z(1-s) & -d+z(1-s)\\ 2\widetilde{a}^{\,3} & 2\widetilde{a}^{\,3} & 2\widetilde{a}^{\,3} \end{pmatrix},\qquad d:=\sqrt{z^2(1-s)^2+\frac{4\widetilde a^{\,2}}{s}},
\end{equation*}
\notag
$$
где выражения для $\{\lambda_{j}(\widetilde{n}, z, \widetilde{a})\}_{j=1}^{3}$ через параметр $s$ спектральной кривой (1.13), (2.15) см. ниже, в (2.38), (2.39), а выражение для $\widehat{v}_1$ – в (2.44). 1b) Элементы $\{\varphi^{(j)}_{i}\}_{i \geqslant -1}$ диагональных матриц $\Pi_n$ являются абелевыми интегралами на римановой поверхности спектральной кривой $\lambda(\widetilde{n}, z, \widetilde{a})$, см. (1.12) и ниже в (2.15). Для главного члена имеем
$$
\begin{equation*}
\varphi^{(j)}_{-1}=\operatorname{diag}\biggl(N\int_{\widetilde n_0}^{\widetilde{n}}\ln(\lambda_j(\widetilde{\widetilde{n}}))\, d \widetilde{\widetilde{n}}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde n_0$ – некоторая константа, выбор которой влияет лишь на мультипликативный постоянный вектор для $\mathcal{B}_n$. У первого элемента $\pi_n^{(1)}(\widetilde n(s),z,\widetilde a)$ первообразные для главного и следующего за ним членов выражаются через параметр $s$ спектральной кривой:
$$
\begin{equation}
\varphi^{(1)}_{-1}=z^2(1-s)^2+\widetilde n\ln(s^2 z^2-\widetilde{a}^{\,2}), \qquad \varphi^{(1)}_{0}=\frac12\ln\frac{(z^2s^2-\widetilde{a}^{\,2})(z^2s^2(2s-1)-\widetilde{a}^{\,2})} {(z^2-\widetilde{a}^{\,2})^{2}s}.
\end{equation}
\tag{1.28}
$$
2) При $\{\widetilde{a}<1-\varepsilon\}\cup\{\widetilde{a}>1+\varepsilon\}$ (здесь $\varepsilon$ – малый параметр, позволяющий отступить от критического значения $\widetilde{a}=1$, при котором собственные значения сливаются) вблизи точек $ z_{+}\in \{\pm x_{+}/\sqrt{N}\}$ – точек ветвления (по $z$) спектральной кривой $\lambda(\widetilde{n}, z, \widetilde{a})$ (1.16), (1.24), а также при $\widetilde{a}<1-\varepsilon $ вблизи точек $ z_{-}\in \{\pm x_{-}/\sqrt{N}\}$ справедливы следующие оценки членов рядов (1.25), (1.26):
$$
\begin{equation}
\|V_i\|=\underset{=}{O}\bigl((z-z_{\pm})^{c-2i}\bigr),\qquad \|\varphi^{(j)}_i\|=\underset{=}{O}\bigl((z-z_{\pm})^{\widetilde{c}-2i}\bigr), \quad j=1,2,3,
\end{equation}
\tag{1.29}
$$
для некоторых констант $c$, $\widetilde{c}$. При этом вне сужающихся окрестностей точек $z_{\pm}$: формальные ряды (1.25), (1.26) являются асимптотическими разложениями. 1.3. Спектральная кривая и формулировка результатов IIВ этом пункте мы сформулируем результаты об асимптотике решений разностной однородной системы (1.9), полученные в рамках второго подхода, т. е. при переходе от разностного уравнения к псевдодифференциальному и применении теории канонического оператора Маслова. Основной результат – это формулы, аналогичные формулам (1.8). Отметим, что полные формулы включают в себя функции, описываемые хотя и явными, но довольно громоздкими выражениями. Поэтому мы не приводим в этом пункте конкретные формулы для некоторых из используемых функций, выражения для них будут даны в § 3. Также отметим, что для формулировки этих результатов нам удобнее пользоваться отличной от (1.13) параметризацией ветвей спектральной кривой. Чтобы применить теорию канонического оператора, мы сводим систему (1.11) разностных уравнений для полиномов $H_{(n,n)}(x,a)$, $H_{(n,n-1)}(x,a)$ к псевдодифференциальному уравнению для функции $\psi(y;x,a)$, которая получается следующим образом. Введем формальный малый параметр $h\sim 1/n$. Для каждых фиксированных $x$ и $a$ значение функции $\psi$ при $y=nh$ определяется равенством здесь $x$ и $a$ – параметры, а $y$ – переменная. Аналогично определим функцию $\theta(y;x,a)$ такую, чтоТогда верно следующее утверждение. Лемма 1.1. При фиксированных параметрах $x$ и $a$ функция $\psi(y):=\psi(y;x,a)$ удовлетворяет следующему псевдодифференциальному уравнению: где $ z:=x\sqrt{h}$, $\widetilde{a}:=a\sqrt{h}$, $\widehat{p}=-ih(\partial/\partial y)$ и операторы действуют последовательно (“справа-налево”). При этом Удобно к правой части (1.33) применить оператор $(e^{i\widehat{p}}+y)$ и решать уравнение
$$
\begin{equation}
(e^{i\widehat{p}}+y)\mathbf{\widehat{H}}(y,\widehat{p};h)\psi=0,
\end{equation}
\tag{1.35}
$$
которое принимает вид
$$
\begin{equation}
\widehat{{\mathcal{H}}}\psi=(e^{i\widehat{p}}+y) \biggl[e^{i\widehat{p}}+\widetilde{a}^{\,2}ye^{-i\widehat{p}}+ yz^2(e^{i\widehat{p}}+y)^{-1}-\biggl(z^2-\widetilde{a}^{\,2}-y-\frac{h}{2}\biggr)\biggr] \psi(y;z,\widetilde{a})=0.
\end{equation}
\tag{1.36}
$$
Замечание 1.2. Легко видеть, что если $\psi$ – решение последнего уравнения, то функции $e^{2i\pi ky/h}\psi$, $k\in \mathbb{Z}$, также будут его решениями. Однако при сужении на сетку $y=nh$ множитель $e^{2i\pi k n}=1$, и никаких новых решений этот множитель не дает. Данный факт нужно принимать во внимание при построении решений этого и вытекающих из него уравнений. С учетом имеющихся формул квазиклассического приближения оператор $\widehat{{\mathcal{H}}}$ удобно представить в виде функции от операторов $\widehat p, y$, причем упорядочить их таким образом, что оператор дифференцирования $\widehat p$ действует первым, а умножения на переменную $y$ – вторым
$$
\begin{equation}
\widehat{{\mathcal{H}}}=\mathcal{H}(\stackrel{2}{\vphantom{\widehat y}y},\stackrel{1}{\widehat p},z,\widetilde{a},h).
\end{equation}
\tag{1.37}
$$
Лемма 1.2. Символ оператора $\widehat{{\mathcal{H}}}$ с указанным упорядочением имеет вид Замечание 1.3. Заметим, что при ограничении функции $e^{ip}+y$ на лагранжевы многообразия, соответствующие рассматриваемой задаче, она не обращается в нуль. Таким образом, оператор определен на функции $\psi_{as}$, которая дает асимптотику полинома. Символ (1.38) определяет спектральную кривую (1.12), а асимптотика полиномов $H_{(n,n)}(x,a)$ определяется корнями $\Lambda_1$, $\Lambda_2$ и $\Lambda_3$ характеристического полинома $\mathcal{R}(\Lambda)$. Поскольку в настоящем пункте мы приводим единообразную асимптотику для полиномов $H_{(n,n)}(x,a)$, работающую $\forall\, x \in \mathbb{R}$, то нам удобнее определять решение через функцию $\Lambda_3$, которая является вещественной $\forall \, x \in \mathbb{R}_{+}$ (в силу симметричности функции $H_{n,n}(x,a)$, нам достаточно определить асимптотическое решение на полуоси $x \in \mathbb{R}_{+}$ и отразить его правильным образом). Кратко поясним полезные дополнительные к уже описанным выше свойствам полинома $\mathcal{R}(\Lambda;n,x,a)$ (более полное описание его свойств и соответствующие доказательства мы приведем в подпункте 3.8.2). При этом здесь и в дальнейшем для упрощения обозначений зависимость $\mathcal{R}$, корней и так далее от параметров (переменных $x,a$) будем опускать и вспомним об этой зависимости в нужный момент. Лемма 1.3. При $n>0$ корень $\Lambda_3$ характеристического полинома является гладкой отрицательной монотонно убывающей функцией аргумента $n$, причем $\Lambda_3|_{n=0}=0$, $\Lambda_3|_{n \to \infty}=-a^2 $, и не пересекается с другими корнями. По теореме Виета Как было замечено ранее, при $a^2>n$ спектральная кривая имеет четыре точки ветвления $\pm x_{\pm}$ на действительной оси, а при $a^2 <n$ – две точки $\pm x_{+}$, которые находятся из уравнения $D(x)=0$, где $D(x)$ определено выражением (1.15). Однако, если рассмотреть уравнение $D(x)=0$ как уравнение на $n$, то при $n>0$ оно имеет единственный вещественный корень $n=n^*$. При этом $A^2(n^*;x,a)-4B(n^*;x,a)=0$. Таким образом, старший член асимптотики (вообще говоря, формальной [27]) на всей оси $x \in \mathbb{R}$ можно записать в терминах корня $\Lambda_3$ и функций, определяемых через него. Теорема 1.3. При $n \to \infty$ Замечание 1.4. Построенная асимптотика определяется каноническим оператором Маслова и связана с квазиклассическим приближением. Поэтому, разумеется, в формуле (1.41) присутствуют традиционные объекты квазиклассического анализа, в частности, функции действия $S_2^{\pm}$, и так далее. Напомним, что канонический оператор позволяет строить решения не только в области осцилляций, но и в окрестности фокальных точек, где не работает классическое ВКБ-приближение. Конструкция канонического оператора связана с геометрическим объектом – лагранжевым многообразием в фазовом пространстве (в рассматриваемой ситуации – с кривой на фазовой плоскости), которое может быть описано в терминах траекторий соответствующей гамильтоновой системы для импульсных и координатных компонент. Подробнее с теорией канонического оператора можно ознакомиться, например, в [27], см. также подпункт 3.4.4 настоящей статьи. Замечание 1.5. Интересным также является вопрос о вкладе геометрической фазы (фазы Берри) в полученную асимптотику. Однако, поскольку фазы, а также символ исходного матричнозначного оператора, комплексные, то ответ на этот вопрос требует тщательного анализа, который мы оставляем за рамками настоящей работы. Замечание 1.6. Отметим еще, что полученная асимптотика выражается в виде единой формулы через функцию Эйри и ее производную. Асимптотика, определяемая каноническим оператором, в общем виде имеет разную структуру в разных (пересекающихся) областях (как и в (1.21), (1.23)). Ответ в зоне осцилляций выражается в виде суммы осциллирующих экспонент, а в переходной и свободной от осцилляций зон – в интегральном виде, который иногда в (малых) переходных областях реализуется с помощью специальных функций. Недавно интегральные представления для канонического оператора для многих одномерных задач и многомерных задач с простыми каустиками с помощью довольного простого подхода удалось конструктивно и равномерно записать в широких окрестностях точек поворота и каустик (а иногда и глобально) в виде функции Эйри и ее производной сложного аргумента. (Для одномерных задач, как для дифференциальных, так и псевдодифференциальных – в частности, конечноразностных, – такое представление подробно обсуждается в статье [32].) Написание формул такого вида стало особенно актуально с появлением программ Mathematica и Maple – теперь работа с асимптотиками, основанными на элементарных и специальных функциях, мало чем отличается. Последнее обстоятельство приводит к целесообразности получения единообразного асимптотического представления, при котором и в зоне осцилляций, и в зоне, где осцилляции отсутствуют, также используются выражения через функции Эйри. С точки зрения численной реализации полученных формул удобнее воспользоваться параметризацией, аналогичной параметризации параметром $s$, предложенной в п. 1.2, но использующей ветвь $\Lambda_3$. Введем параметр $\mu$, такой что
$$
\begin{equation}
\Lambda_3+a^2=a^2\mu^2, \qquad n=a^2(1-\mu^2)\biggl(1+\frac{|x|}{\mu |a|}\biggr).
\end{equation}
\tag{1.42}
$$
В параметрической форме функции $A$ и $B$ записываются следующим образом:
$$
\begin{equation}
A(\mu;q)= a^2\frac{(\mu+|q|)}{\mu}(\mu^2-2+|q|\mu),\quad B(\mu;q)=a^4\frac{(\mu+|q|)^2}{\mu^2}(1-\mu^2), \qquad q:=\frac{x}{a}.
\end{equation}
\tag{1.43}
$$
Через $\mu^*$ обозначим такое значение параметра $\mu$, которое соответствует $n=n^*$. Таким образом, Теорема 1.4. При $n \to \infty$ Замечание 1.7. Заметим, что можно воспользоваться равенством и представить асимптотику в параметрическом виде $(x(\mu),\psi(\mu))$. 1.4. Сравнение результатов пунктов 1.2 и 1.3Для начала отметим, что параметр $\mu$ связан с параметром $s$ соотношением
$$
\begin{equation}
\biggl(-\sqrt{x^2(1-s)^2+\frac{4a^2}{s}}xs+2a^2+x^2s(1-s)\biggr)\frac{(1-s)}{2s}=a^2(\mu^2-1).
\end{equation}
\tag{1.47}
$$
Сравним результаты в зоне роста многочленов (отсутствия нулей). В этом случае, с учетом асимптотики функции Эйри и ее производной при стремлении аргумента к бесконечности, выражение (1.45) преобразуется к виду
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl(\operatorname{sign}(x^2-a^2)\bigr)^ne^{(x-a)^2/2} \biggl(\frac{\mu(|a|\mu+|x|)^2}{4a(2a\mu^3+|x|(1+\mu^2))}\biggr)^{1/4} \biggl(\frac{4B}{4B-A^2}\biggr)^{1/4} \\ &\ \times \exp\biggl[\int_{1}^{\mu}\log(\sqrt{B})y'(\mu)\, d\mu\biggr] \exp\biggl[\int_{\mu^*}^{\mu}\log \biggl(\frac{\Lambda_1}{\sqrt{B}}\biggr)y'(\mu)\, d\mu\biggr] \exp\biggl[\mp\int_{\mu^*}^{\mu}\mathcal{V}_2(\mu)\, d\mu\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.48}
$$
Можно убедиться, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, e^{(x-a)^2/2}\exp\biggl[\int_{1}^{\mu}\log(\sqrt{B})y'(\mu)\, d\mu\biggr] \exp\biggl[\int_{\mu^*}^{\mu}\log \biggl(\frac{\Lambda_1}{\sqrt{B}}\biggr)y'(\mu)\, d\mu\biggr] \sim \Lambda_1^{n}e^{x^2(1-s)^2}, \\ \biggl(\frac{xB}{2a}\biggr)^{1/4}\exp\biggl[\mp \int_{\mu^*}^{\mu}\mathcal{V}_2(\mu) \, d\mu\biggr] \sim (\Lambda_1)^{1/2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, действие $S_2^{\pm}$ дает вклад в член $\Lambda_1^{n}$ в асимптотике (1.21), (1.19).  Рис. 1.Сплошной линией изображен график функции $e^{-x^2/2}H_{(20,20)}(x,4)$, точечным пунктиром – асимптотики из теоремы 1.1, штрихованным пунктиром – асимптотика из теоремы 1.4. Точкой отмечено $x=x_{+}$ Численная реализация СОМ-ов $H_{(n,n)}$, заданных системой (1.9), а также асимптотик (1.21), (1.23) из п. 1.2 и асимптотики (1.45) из п. 1.3 проиллюстрирована на рис. 1. Сплошной линией изображен график функции $e^{-x^2/2-S_1}H_{(n,n)}$, где $S_1=1/2\int_{0}^{n}\log B(y;x,a)\, dy$ (полином домножен на экспоненту, чтобы были заметны области осцилляции и затухания), пунктиром изображена асимптотика из теоремы 1.1, штрихованным пунктиром – асимптотика из теоремы 1.4. § 2. Асимптотические разложения базисов линейного однородного разностного уравненияВ этой части мы получим и докажем справедливость асимптотик, сформулированных в п. 1.2, а также приведем результаты сравнения асимптотических формул со значениями СОМ-ов Эрмита, вычисленными с помощью рекуррентных соотношений (1.9). 2.1. Общее описание подходаДля построения базисных решений задачи (1.11) мы используем подход, основные положения которого изложены в [12], и состоят они в следующем. Сначала находится диагонализующее преобразование $V_{n}$:
$$
\begin{equation}
V^{-1}_{n+1}\mathcal{A}_{n}V_{n}\equiv \operatorname{diag}[V^{-1}_{n+1}\mathcal{A}_{n}V_{n}]=:D_n,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где тождество $\equiv$ может пониматься в смысле совпадения формальных степенных рядов, а $\operatorname{diag}[M]$ обозначает диагональ матрицы $M$. Тогда столбцы матрицы образуют базис решений (1.11). Действительно,
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}_n B_n=V_{n+1}V_{n+1}^{-1}\mathcal{A}_{n}V_{n}\Pi_n=B_{n+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому для достижения цели надо найти асимптотическое разложение для $V_n$, а затем для $\Pi_n$. Для нахождения $V_n$ можно организовать итерационный процесс. Например, можно поступить так. Пусть $V_n^{(l)}$ будет приближение для $V_n$ из (2.1):
$$
\begin{equation*}
\widetilde{D}^{(l)}:=(V_{n+1}^{(l)})^{-1}\mathcal{A}_{n}V^{(l)}_{n} =D^{(l)}(I+S^{(l)}), \qquad D^{(l)}:=\operatorname{diag}[\widetilde D^{(l)}],
\end{equation*}
\notag
$$
соответственно Положим Чтобы выбрать подходящее $X$, найдем $S^{(l+1)}$ в первом приближении (предполагая, что $S^{(l)}$ и $X$ малы). Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S^{(l+1)}&=(D^{(l)})^{-1}(V_{n+1}^{(l+1)})^{-1}\mathcal{A}_{n}V^{(l+1)}_{n}-I \\ &=(D^{(l)})^{-1}(I+X(n+1))^{-1}(V_{n+1}^{(l)})^{-1} \mathcal{A}_{n}V^{(l)}_{n}(I+X(n))-I \\ &=S^{(l)}+X(n)-(D^{(l)})^{-1}X(n+1)D^{(l)}+O(X^2+S^{(l)}X). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отбросим последнее слагаемое и положим $X(n)\,{\approx}\, X(n+1)$. Так как $\operatorname{diag}[S^{(l)}]\,{=}\,0$, то уравнение разрешимо, и для его решения имеем
$$
\begin{equation}
X_{ii}(n)=0,\qquad X_{ij}(n)=\frac{d_iS_{ij}^{(l)}}{d_i-d_j}=\frac{\widetilde{D}_{ij}^{(l)}}{d_i-d_j}, \qquad i\ne j,\quad d_i:=D^{(l)}(i,i).
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Отметим, что в итерационном процессе (2.4), (2.5) матрица $D^{(l)}$ меняется на каждом шаге “$l$” итерационного процесса, что не позволяет сделать адекватных оценок на области сходимости итерируемых степенных рядов. В работе [12] для устранения этого недостатка конструкция (2.4), (2.5) была слегка изменена. Основной идеей в [12] было введение дополнительного параметра $\tau$ с последующей диагонализацией матрицы $V^{-1}_{n+\tau}\,\mathcal{A}_{n}V_{n}$ для любого $\tau$. При этом матрица $V_{n}$ записывается в виде формального степенного ряда по $\tau$:
$$
\begin{equation}
V_{n}=v_0(n,x)+\tau v_1(n,x)+\tau^2 v_2(n,x)+\cdots,
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
удовлетворяющего
$$
\begin{equation*}
V^{-1}_{n+\tau}\,\mathcal{A}_{n}V_{n}\equiv \operatorname{diag}[V^{-1}_{n+\tau}\,\mathcal{A}_{n}V_{n}],
\end{equation*}
\notag
$$
при этом коэффициенты формального степенного ряда $V_{n+\tau}$ получаются переразложением
$$
\begin{equation}
v_j(n+\tau,x):=\sum_{k=0}^{\infty}\tau^k\frac{d^k}{k!\, dn^k}v_j(n,x),
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
а сама матрица $V_{n}$ устанавливается следующим итерационным процессом2:
$$
\begin{equation}
V_{n}^{(l+1)}:=V_{n}^{(l)}(I+X(n)),\qquad [X(n)]_{i,j}:=\begin{cases} \dfrac{[\widetilde{D}^{(l)}(\tau)]_{i,j}}{\lambda_i-\lambda_j},&i\ne j, \\ 0, &i=j, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
где матрица $\widetilde{D}^{(l)}(\tau):=(V^{(l)}_{n+\tau})^{-1}\mathcal{A}_{n}V_{n}^{(l)}$, набор чисел $\{\lambda_j\}$ – собственные значения матрицы $\mathcal{A}_{n}$, а начальное приближение задается матрицей из собственных векторов $\{\vec{b}_j\}$ матрицы $\mathcal{A}_{n}$: В результате этого итерационного процесса имеем Поэтому в качестве приближений диагонализирующих преобразований $V_{n}$ берутся в подстановке $\tau=1$ частные суммы установившихся членов ряда (2.6):
$$
\begin{equation}
V_{n}\approx \widetilde V^{(l)}(n,x):=\sum_{k=0}^l v_k(n,x), \qquad V_{n+1}\approx \widetilde V^{(l)}(n+1,x):=\sum_{k=0}^l v_k(n+1,x).
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
2.2. Разложение диагонализующего преобразованияЭтот пункт посвящен получению формального степенного ряда (1.25) в теореме 1.2. Сначала мы более подробно остановимся на масштабировании задачи (1.11). 2.2.1. Спектральная кривая и ее параметризацияВ п. 1.2 мы уже ввели согласованный с большим параметром $N\to \infty$ рост параметров (1.24) задачи (1.11):
$$
\begin{equation}
n=:\widetilde n N,\qquad x=: z N^{1/2},\qquad a=:\widetilde a N^{1/2},
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
а также вкратце отметили связь $\{ \Lambda, s\}\leftrightarrow \{ \lambda, s\}$ спектральных данных и их параметризации (1.13) при соответствующей замене параметров $\{n, x, a, \Lambda\}$ на $\{\widetilde{n}, z, \widetilde{a}, \lambda\}$. Осветим формальную сторону. Перейдем к новым параметрам $(\widetilde n,z,\widetilde a)$ в матрице $\mathcal{A}_{n}$ задачи (1.11) и вынесем скалярный множитель:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{\mathcal{A}}^{(N)}(\widetilde n, z,\widetilde a) &:= N \mathcal{A}_{\widetilde nN}(zN,\widetilde n N^{1/2}) \\ &=N \begin{pmatrix} z^2-\widetilde{a}^{\,2}-\widetilde n-\dfrac1{2N} &-z\widetilde nN^{1/2} &-\widetilde{a}^{\,2} \widetilde nN \\ zN^{-1/2} &-\widetilde n &0 \\ \dfrac{1}{N} &0 &0 \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $\widetilde d^{\,(N)}(\widetilde a):=\operatorname{diag}(1/N,1/\widetilde aN^{1/2},\widetilde{a}^{\,2})$. Преобразование3
$$
\begin{equation*}
\overrightarrow{H_n}^{(N)}:=\widetilde d^{\,(N)}\overrightarrow{H_n}
\end{equation*}
\notag
$$
приводит задачу (1.11) к виду
$$
\begin{equation}
\overrightarrow{H_{n+1}}^{(N)}=N\mathcal{A}_{\widetilde n}^{(N)}\overrightarrow{H_{n}}^{(N)},
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
где
$$
\begin{equation}
\mathcal{A}^{(N)}_{\widetilde n}:=\frac{1}{N} \, \widetilde d^{\,(N)}\widetilde{\mathcal{A}}^{(N)}(\widetilde d^{\,(N)})^{-1} = \begin{pmatrix} z^2-\widetilde{a}^{\,2}-\widetilde n+\dfrac1{2N} &-z\widetilde n\widetilde a &- \widetilde n \\ \dfrac{z}{\widetilde a} &-\widetilde n &0 \\ \widetilde{a}^{\,2} &0 &0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Таким образом, наша задача трансформировалась к нахождению асимптотического разложения по степеням $(1/N)$ решений задачи (2.13)–(2.14). Характеристическое уравнение главного члена $\mathcal{A}^{(N)}_{n}$ при $N\to\infty$ имеет вид
$$
\begin{equation}
(\lambda+\widetilde n)^2(\lambda+\widetilde{a}^{\,2})-z^2\lambda^2=0\quad \Longleftrightarrow \quad (\lambda+\widetilde{a}^{\,2})=\frac{z^2\lambda^2}{(\lambda+\widetilde n)^2}=:s^2z^2.
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Откуда сразу следует (полезная при дифференцировании по $\widetilde n$, см. (2.7)) параметризация алгебраической кривой (2.15):
$$
\begin{equation}
\lambda=-(\widetilde a-sz)(\widetilde a +sz),\qquad\widetilde n=\frac{s-1}{s}(\widetilde{a}^{\,2}-s^2z^2).
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Замечание 2.1. Отметим, что, несмотря на схожесть задач, функция из (2.15) при фиксированном $\widetilde{n}=1$ не совпадает с функцией, определяющей спектральную кривую в [3] (формула (1.17) работы [3]), хотя обе они являются мероморфными функциями на одной и той же римановой поверхности. Действительно, функция (2.15) имеет два нуля и два полюса, в отличие от функции из [3], содержащей один ноль и один полюс. При этом точки ветвления в обоих случаях совпадают. Наконец, перепишем выражение (2.14) для матрицы перехода $\mathcal{A}^{(N)}_{\widetilde n}$ в задаче (2.13) с помощью параметризационной переменой $s$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathcal{A}^{(N)}_{\widetilde n(s)} \\ &{:=}\begin{pmatrix} z^2\,{-}\,\widetilde{a}^{\,2}{-}\,\dfrac{s\,{-}\,1}{s}(\widetilde{a}^{\,2}{-}\,s^2z^2)\,{-}\,\dfrac1{2N} &-z\widetilde a\dfrac{s\,{-}\,1}{s}(\widetilde{a}^{\,2}{-}\,s^2z^2) &-\dfrac{s\,{-}\,1}{s}(\widetilde{a}^{\,2}{-}\,s^2z^2) \\ \dfrac{z}{\widetilde a} &-\dfrac{s\,{-}\,1}{s}(\widetilde{a}^{\,2}{-}\,s^2z^2) &0 \\ \widetilde{a}^{\,2} &0 &0 \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
2.2.2. Переразложение диагонализующего преобразования по $\tau$В этом подпункте мы реализуем общую процедуру (2.6)–(2.10) п. 2.1 нахождения разложения диагонализующего преобразования (2.1), (1.25) для задачи (2.13) с матрицей перехода (2.14), (2.17). Конкретно для “диагонализатора” $\widehat{V}_{\widetilde n}$:
$$
\begin{equation*}
\widehat{V}^{-1}_{\widetilde n+1/N}\mathcal{A}^{(N)}_{\widetilde n}\widehat{V}_{\widetilde n}\equiv\operatorname{diag}\bigl[\widehat{V}^{-1}_{\widetilde n+1/N}\mathcal{A}^{(N)}_{\widetilde n}\widehat{V}_{\widetilde n}\bigr],
\end{equation*}
\notag
$$
мы будем искать формальное разложение
$$
\begin{equation}
\widehat{V}_{\widetilde n}(N, z,\widetilde a)=\widehat{v}_{0}(\widetilde n, z,\widetilde a)+\frac{1}{N}\widehat{v}_{1}(\widetilde n, z,\widetilde a) +\frac{1}{N^2}\widehat{v}_{2}(\widetilde n, z,\widetilde a)+\cdots,
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
используя в качестве входных данных матрицы $\mathcal{A}^{(N)}_{\widetilde n(s)}$ и условие аналитичности по $\widetilde n$ для нормировки столбцов $\widehat{V}_{\widetilde n}$. Для этого мы вводим параметр $\tau$ и строим4 ряд (2.6)
$$
\begin{equation}
\mathcal{V}_{\widetilde n}(\tau,N, z,\widetilde a)= {v}_{0}(\widetilde n,N, z,\widetilde a)+\tau v_{1}(\widetilde n,N, z,\widetilde a) +\tau^2 v_{2}(\widetilde n,N, z,\widetilde a)+\cdots
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
такой, что
$$
\begin{equation}
\mathcal{V}^{-1}_{\widetilde n+\tau/N}\mathcal{A}^{(N)}_{\widetilde n}\mathcal{V}_{\widetilde n}\equiv\operatorname{diag}\bigl[ \mathcal{V}^{-1}_{\widetilde n+\tau/N}\mathcal{A}^{(N)}_{\widetilde n}\mathcal{V}_{\widetilde n}\bigr]
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
(с сохранением аналитичности нормировки по нижнему индексу), где согласно (2.7) имеем
$$
\begin{equation}
v_{l}\biggl(\widetilde n+\frac{\tau}{N},\dots\biggr)=\sum_{k=0}^\infty \biggl(\frac{\tau}{N}\biggr)^k \frac{d^k}{k!\,d\widetilde n^k}v_{l}(\widetilde n,\dots).
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Таким образом, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, v_{\widetilde n+\tau/N}&=v_0(\widetilde n)+\tau\biggl( v_1(\widetilde n)+\frac{1}{N}\frac{d}{d\widetilde n}v_0(\widetilde n)\biggr)+\tau^2 \biggl( v_2+\frac{1}{N}\frac{d}{d\widetilde n}v_1+\frac{1}{N^2}\frac{d^2}{d\widetilde n^2}v_0\biggr)+\cdots \\ &=v_0(\widetilde n)\biggl\{I+\biggl[\tau\biggl( v_0^{-1}v_1+\frac{1}{N}v_0^{-1}\frac{d}{d\widetilde n}v_0\biggr)+ \tau^2(v_0^{-1}v_2+\cdots)+\cdots\biggr]\biggr\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v^{-1}_{\widetilde n+\tau/N}&=\biggl\{ I+\biggl[\tau\biggl( v_0^{-1}v_1+\frac{1}{N}v_0^{-1}\frac{d}{d\widetilde n}v_0\biggr) +\tau^2(v_0^{-1}v_2+\cdots)+\cdots\biggr]\biggr\}^{-1} v^{-1}_0(\widetilde n,\dots) \\ &=\biggl\{I-\biggl[\tau\biggl(v_0^{-1}v_1+\frac{1}{N}v_0^{-1}\frac{d}{d\widetilde n}v_0\biggr)+\tau^2(v_0^{-1}v_2+\cdots)+\cdots\biggr] \\ &\qquad+[{\cdots}]^2-[{\cdots}]^3+\cdots\biggr\}v^{-1}_0(\widetilde n). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
В принципе, нахождение в (2.19) $v_j$, $j=1,2,\dots$ (зная предыдущие $v_i$, $i<j$), можно осуществить непосредственно из (2.20). В разложении по $\tau$ левой части (2.20), полученном из (2.22), (2.19) (2.17), достаточно оставить члены до $O(\tau^j)$ включительно, тогда $v_j$ определится из условия, что полученная матрица – диагональна. При этом разложения $v_j$ по $(1/N)$ будет начинаться с $(1/N)^j$. Отметим, что если $v_0,\dots,v_{j-1}$ рассматривать как известные бесконечные ряды по $(1/N)$, то для $v_j$ эта процедура дает все члены разложения по $(1/N)$. На примере нахождения $v_1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl(I-\tau\biggl(v_0^{-1}v_1+\frac{1}{N}v_0^{-1}\frac{d}{d\widetilde n}v_0\biggr)+O(\tau^2)\biggr)v_0^{-1}\mathcal{A}^{(N)}_{\widetilde n} \bigl(v_0+\tau v_1+O(\tau^2)\bigr) \\ &\, =v_0^{-1}\mathcal{A}^{(N)}_{\widetilde n}v_0+\tau\biggl( -v_0^{-1}v_1v_0^{-1}\mathcal{A}^{(N)}_{\widetilde n}v_0 -\frac{1}{N}v_0^{-1}\biggl(\frac{d}{d\widetilde n}v_0\biggr)v_0^{-1}\mathcal{A}^{(N)}_{\widetilde n}v_0 + v_0^{-1}\mathcal{A}^{(N)}_{\widetilde n}v_1\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Коэффициент при $\tau$ может быть преобразован к виду
$$
\begin{equation*}
-\frac{1}{N}v_0^{-1}\biggl(\frac{d}{d\widetilde n}v_0\biggr)v_0^{-1}\mathcal{A}^{(N)}_{\widetilde n}v_0 +\bigl[v_0^{-1}v_1,v_0^{-1}\mathcal{A}^{(N)}_{\widetilde n}v_0\bigr],
\end{equation*}
\notag
$$
где первое слагаемое известно, а второе слагаемое – коммутатор двух матриц, вторая из которых диагональна. Следовательно, диагональ коммутатора состоит из нулей. Таким образом, приравнивая внедиагональные элементы первого и второго слагаемых, мы получили процедуру нахождения внедиагональных элементов для $v_1$. Диагональные элементы $v_0^{-1}v_1$ не влияют на выполнение (2.20), они выбираются из условия нормировки (см. ниже). 2.2.3. Итерационный процесс нахождения диагонализатораОписанный в предыдущем подпункте процесс громоздок (оперирует с бесконечными рядами), поэтому нам удобнее воспользоваться итерационной процедурой уточнения5 $v_j$, $j\in\mathbb{N}$, подобной общей процедуре, описанной в п. 1.3 (см. (2.8)). Шаг процедуры стартует с приближенных значений $v_k^{(j)}$, $k=0,1,\dots,j-1$, заданных частными суммами
$$
\begin{equation}
\mathcal{V}^{(j)}_{\widetilde n}(\tau,N, z,\widetilde a)= v_{0}^{(j)}+\tau v_{1}^{(j)}+\dots+\tau^{j-1} v_{j-1}^{(j)},
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
и повторяет (2.8):
$$
\begin{equation}
\mathcal{V}^{(j+1)}_{\widetilde n}=\mathcal{V}_{\widetilde n}^{(j)}(I+X^{(j)}(\widetilde n)),
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
где
$$
\begin{equation}
\bigl(X^{(j)}(\widetilde n)\bigr)_{i,l} :=\frac{\bigl[\bigl(\mathcal{V}^{(j)}_{\widetilde n+\tau/N}\bigr)^{-1} \mathcal{A}^{(N)}_{\widetilde n}\mathcal{V}^{(j)}_{\widetilde n} \bigr]_{i,l}}{\lambda_i-\lambda_l}, \qquad i\ne l,
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
а вот условие нормировки в нашем случае фиксируется в виде Таким образом, шаг итерации от (2.23) приводит нас к
$$
\begin{equation}
\mathcal{V}^{(j+1)}_{\widetilde n}(\tau,N, z,\widetilde a)= v_{0}^{(j+1)}+\dots+\tau^{j-1} v_{j-1}^{(j+1)}+\tau^{j} v_{j}^{(j+1)}.
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
При этом, как уже отмечалось ранее, в итерационном процессе достаточно обеспечить точность
$$
\begin{equation}
\mathcal{V}^{(j+1)}_{\widetilde n}=\mathcal{V}^{(j)}_{\widetilde n}+o(\tau^j).
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
Оказывается, как это было замечено в [19], что для достижения достаточной точности (2.28) в итерационном процессе (2.24), (2.25), можно вместо $X^{(j)}(\widetilde n)$ в (2.25) вычислять гораздо более простую величину. Действительно, введем обозначения для числителя в (2.25), а также определим диагональную матрицу $L^{(j)}$ и матрицу $M^{(j)}$:
$$
\begin{equation}
S^{(j)}:=\bigl(\mathcal{V}^{(j)}_{\widetilde n+\tau/N}\bigr)^{-1} \mathcal{A}^{(N)}_{\widetilde n}\mathcal{V}^{(j)}_{\widetilde n}=: L^{(j)}+o(\tau^j) =:L^{(j)}+\tau^j M^{(j)}+o(\tau^j).
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
Тогда имеем
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}^{(N)}_{\widetilde n}\mathcal{V}^{(j)}_{\widetilde n}- \mathcal{V}^{(j)}_{\widetilde n+\tau/N}L^{(j)}= \tau^j\mathcal{V}^{(j)}_{\widetilde n+\tau/N}M^{(j)}+o(\tau^j)= \tau^jv_0 M^{(j)}+o(\tau^j),
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. для вычисления $M^{(j)}$ нам не нужно на каждом шаге $j$ обращать матрицы $\mathcal{V}^{(j)}_{\widetilde n+\tau}$, и справедливо
$$
\begin{equation}
M^{(j)}=v_0^{-1}\operatorname{coeff}\bigl( \mathcal{A}^{(N)}_{\widetilde n}\mathcal{V}^{(j)}_{\widetilde n}- \mathcal{V}^{(j)}_{\widetilde n+\tau/N}L^{(j)},\tau^j \bigr).
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
Теперь подправим итерационный шаг (2.24), чтобы получить в (2.27) точность порядка $o(\tau^j)$ и установить коэффициент меньшего порядка. Имеем6
$$
\begin{equation*}
\mathcal{V}^{(j+1)}_{\widetilde n}=\mathcal{V}^{(j)}_{\widetilde n}(I+X^{(j)}(\widetilde n)) =\mathcal{V}^{(j)}_{\widetilde n}(I+O(\tau^j)),
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому
$$
\begin{equation*}
\mathcal{V}^{(j+1)}_{\widetilde n}=\mathcal{V}^{(j)}_{\widetilde n} (I+\tau^j \widehat{X}^{(j)}(\widetilde n))+o(\tau^j),
\end{equation*}
\notag
$$
где с учетом нормировки (2.26) получаем
$$
\begin{equation}
\widehat{X}^{(j)}_{il}:=\frac{M^{(j)}_{il}}{\lambda_i-\lambda_l}, \qquad \widehat{X}^{(j)}_{ii}:=-\sum_{l\ne i}\widehat{X}^{(j)}_{il}.
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
Таким образом, вместо итерационной процедуры (2.24)–(2.26), мы приходим к более “экономной” процедуре
$$
\begin{equation}
\mathcal{V}^{(j+1)}_{\widetilde n}=\mathcal{V}^{(j)}_{\widetilde n}+\tau^jv_0\widehat{X}^{(j)},
\end{equation}
\tag{2.32}
$$
где $\widehat{X}^{(j)}$ определено в (2.31), (2.30). Продолжая упрощения в (2.32), отметим, что (2.23) превращает (2.30) в
$$
\begin{equation}
M^{(j)}=-v_0^{-1}\operatorname{coeff}\bigl(\mathcal{V}^{(j)}_{\widetilde n+\tau/N}L^{(j)},\tau^j \bigr),
\end{equation}
\tag{2.33}
$$
где $L^{(j)}$ – диагональная матрица, вычисляемая рекуррентно
$$
\begin{equation}
L^{(j)}:=L^{(j-1)}+\operatorname{diag} M^{(j-1)}, \qquad L^{(0)}:=\operatorname{diag}(\lambda_1(s),\lambda_2(s),\lambda_3(s)),
\end{equation}
\tag{2.34}
$$
а $\mathcal{V}^{(j)}_{\widetilde n+\tau/N}$ вычисляется с точностью до членов порядка $\tau^j$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal{V}^{(j)}_{\widetilde n+\tau/N}(\tau,N, z,\widetilde a) &= v_0\biggl(\widetilde n+\frac{\tau}{N},N, z,\widetilde a\biggr) \\ &\qquad+\tau v_1\biggl(\widetilde n+\frac{\tau}{N},\dots\biggr)+\dots+\tau^{j-1} v_{j-1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.35}
$$
т. е. все коэффициенты7 $v_l$, $l=0,1,\dots,j-1$, берутся в виде частных сумм ряда (2.21):
$$
\begin{equation}
v_{l}(\widetilde n+\tau/N,\dots)=\sum_{k=0}^{-j-l} \biggl(\frac{\tau}{N}\biggr)^k \frac{d^k}{k!\,d\widetilde n^k}v_l(\widetilde n,\dots),
\end{equation}
\tag{2.36}
$$
с последующим переразложением получаемого в (2.35) выражения в сумму по степеням $\tau$. Наконец, чтобы получить приближенное значение “диагонализатора” (2.18), мы берем (с последующим разложением по степеням $1/N$) частные суммы
$$
\begin{equation}
\widehat{V}^{(j+1)}_{\widetilde n}(N, z,\widetilde a):=\sum_{l=0}^j v^{(j+1)}_{l}(\widetilde n,N, z,\widetilde a),\qquad \widehat{V}^{(j+1)}_{\widetilde n+1/N}:=\sum_{l=0}^j v^{(j+1)}_{l}\biggl(\widetilde n+\frac1N,\dots\biggr),
\end{equation}
\tag{2.37}
$$
где $v_{l}(\widetilde n+1/N,\dots)$ для $l=0,1,\dots,j-1$ берутся из установившихся в (2.35) коэффициентов $v^{(j)}_{l}(\widetilde n+\tau/N,\dots)\big|_{\tau=1}$, а коэффициент $v^{(j+1)}_{l}(\widetilde n+1/N,\dots)$ вычисляется с помощью (2.36), при $j\to j+1$, $l\to j$, по вычисленному на $j+1$ шаге коэффициенту $v^{(j+1)}_{j}(\widetilde n,\dots)$, т. е.
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, v^{(j+1)}_{j}\biggl(\widetilde n+\frac1N,\dots\biggr) &=v^{(j+1)}_{j}\biggl(\widetilde n+\frac\tau N,\dots\biggr)\bigg|_{\tau=1} \\ &=\sum_{k=0}^{(j+1)-j}\biggl( \frac{\tau}{N}\biggr)^k \frac{d^k}{k!\,d\widetilde n^k}v_j^{(j+1)}(\widetilde n,\dots) \bigg|_{\tau=1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
2.2.4. Начальное приближение и последующие членыДля окончания описания процедуры получения приближений (2.37) для разложения диагонализатора (2.18) нам осталось: зафиксировать начальное приближение $v_0(\widetilde n,N, z,\widetilde a)$ в итерационном процессе (2.23), (2.27) и прояснить детали дифференцирования по $\widetilde n$. Оба эти момента реализуются с использованием параметризации (2.15), (2.16). Начальное приближение $v_0$ выбирается в виде матрицы из собственных векторов, соответствующих собственным значениям предельной матрицы $\mathcal{A}^{(\infty)}_{n}$ (см. (2.17))
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}^{(\infty)}_{\widetilde n(s)}= \begin{pmatrix} z^2-\widetilde{a}^{\,2}{-}\,\dfrac{s-1}{s}(\widetilde{a}^{\,2}{-}\,s^2z^2) &-z\widetilde a\dfrac{s\,{-}\,1}{s}(\widetilde{a}^{\,2}{-}\,s^2z^2) &-\dfrac{s\,{-}\,1}{s}(\widetilde{a}^{\,2}{-}\,s^2z^2) \\ \dfrac{z}{\widetilde a}&-\dfrac{s\,{-}\,1}{s}(\widetilde{a}^{\,2}{-}\,s^2z^2)&0 \\ \widetilde{a}^{\,2} &0 &0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью параметра $s$ из (2.16) собственные значения $\mathcal{A}^{(\infty)}_{n}$ выражаются так:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \lambda_1(s):=s^2z^2-\widetilde{a}^{\,2}, \\ \lambda_2(s):=(dzs+2\widetilde{a}^{\,2}+z^2 s-s^2z^2)\dfrac{(1-s)}{2s}, \\ \lambda_3(s):=(-dzs+2\widetilde{a}^{\,2}+z^2 s-s^2z^2)\dfrac{(1-s)}{2s}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.38}
$$
где
$$
\begin{equation}
d:=\sqrt{z^2(1-s)^2+\frac{4\widetilde{a}^{\,2}}{s}}.
\end{equation}
\tag{2.39}
$$
Соответствующие этим собственным значениям собственные векторы формируют матрицу:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\widehat{v}_0(\widetilde n,z,a)=v_0(\widetilde n(s),N,z,\widetilde a) \\ &\qquad:= \begin{pmatrix} 2\widetilde a(s^2z^2 - \widetilde{a}^{\,2})& 2\widetilde a\lambda_2(s) &2\widetilde a\lambda_3(s) \\ 2sz &d+(1-s)z &-d+(1-s)z \\ 2a^3 &2a^3 &2a^3 \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.40}
$$
Здесь нормировка собственных векторов выбрана в последней строке матрицы (2.40) так, чтобы в последовательных приближениях $v_l$, $l=1,2,$ в последней строке стояли нули. Теперь приведем формулы дифференцирования параметров8, зависящих от $\widetilde n$:
$$
\begin{equation}
\frac{d}{d\widetilde n}\, d =\frac{s(-3s^2z^2+d^2+4z^2s-z^2)}{2d(s^2z^2-2s^3z^2+\widetilde{a}^{\,2})},
\end{equation}
\tag{2.41}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{d}{d\widetilde n}\, s =\frac{s^2}{s^2z^2-2s^3z^2+\widetilde{a}^{\,2}}.
\end{equation}
\tag{2.42}
$$
В заключение подпункта приведем значение следующего члена разложения (2.18) диагонализующего преобразования:
$$
\begin{equation}
\widehat{V}_{\widetilde n}(N, z,\widetilde a)=\widehat{v}_{0}(\widetilde n(s), z,\widetilde a)+\frac1{N}\widehat{v}_{1}(\widetilde n(s), z,\widetilde a)+\cdots,
\end{equation}
\tag{2.43}
$$
полученного в результате итерационного процесса (2.23), (2.27):
$$
\begin{equation}
\widehat{v}_{1}(\widetilde n(s), z,\widetilde a)= \begin{pmatrix} -\dfrac{s \widetilde a (\widetilde {a}^{\,2}-s^2z^2)(\widetilde{a}^{\,2}-s^2z^2+4s^3z^2) }{(-2s^3z^2+s^2z^2+\widetilde{a}^{\,2})^2} &b_1(d) &b_1(-d) \\ \dfrac{z s^{2} (3s-1) (\widetilde{a}^{\,2}-s^2z^2) }{(-2s^3z^2+s^2z^2+\widetilde{a}^{\,2})^2} &b_2(d) &b_2(-d) \\ 0 &0 &0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{2.44}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, b_1(d) &:=\frac{(1-s)(4s^6z^4-7s^5z^4+3s^4z^4-2\widetilde{a}^{\,2}s^3z^2+6\widetilde{a}^{\,2}s^2z^2 +9s\widetilde{a}^{\,4}+3\widetilde{a}^{\,4})\widetilde a s z d} {2(4\widetilde{a}^{\,2}+s^3z^2-2s^2z^2+z^2s)(-2s^3z^2+s^2z^2+\widetilde{a}^{\,2})} \\ &\qquad -\frac{\widetilde{a}(-1+s)}{2(4\widetilde{a}^{\,2}+s^3z^2-2s^2z^2+z^2 s)(-2s^3z^2+s^2z^2+\widetilde{a}^{\,2})}\,(-4s^8z^6+1s^7z^6 \\ &\qquad\qquad+8s^6z^4\widetilde{a}^{\,2}-10s^6z^6-14\widetilde{a}^{\,2}s^5z^4+3s^5z^6 +6s^3z^4\widetilde{a}^{\,2}+7s^3z^2\widetilde{a}^{\,4} \\ &\qquad\qquad +14s^2z^2\widetilde{a}^{\,4}+3sz^2\widetilde{a}^{\,4}+8\widetilde a^{\,6}), \\ b_2(d) &:=\frac{(1-s)(3\widetilde a^{\,4}+3\widetilde{a}^{\,2}s^3z^2+3\widetilde a^{\,2}s^2z^2-3s^5z^4+2s^4z^4) s d} {2(4\widetilde{\widetilde{a}}^{\,2}+s^3z^2-2s^2z^2+z^2 s)(-2s^3z^2+s^2z^2+\widetilde{\widetilde{a}}^{\,2})} \\ &\qquad\qquad -\frac{sz(-1+s)} {2(4 \widetilde{a}^{\,2}+s^3z^2-2s^2z^2+z^2 s)(-2s^3z^2+s^2z^2+ \widetilde{a}^{\,2})}\,(15s\widetilde a^{\,4}+\widetilde a^{\,4} \\ &\qquad\qquad\qquad-3s^4\widetilde{a}^{\,2}z^2-2\widetilde{a}^{\,2}s^3z^2+5\widetilde{a}^{\,2}s^2z^2+3s^6z^4-5s^5z^4+2s^4z^4). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
2.3. Разложение базисаЭтот пункт посвящен получению формального степенного ряда (1.26) в теореме 1.2. Следуя общему подходу (см. (2.2)), в качестве базисных векторов используем матрицы $B_n$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag B_n &:=V_n N^{n-1}\prod_{m=m_0}^{n-1} D_m=:V_n N^{n-1}\Pi_n, \\ D_m &:=\frac{1}{N}\operatorname{diag} [V_{m+1}^{-1}\mathcal{A}_m V_m]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.45}
$$
В нашей ситуации, с учетом масштабирования (см. п. 2.1), имеем
$$
\begin{equation*}
V_n\,{\equiv}\, \operatorname{diag}\biggl({N},{\widetilde aN^{1/2}},\frac{1}{\widetilde a^{\,2}}\biggr)\widehat{V}_{\widetilde n(n)}(N,z,\widetilde a), \quad D_n\,{\equiv}\, \widehat V_{\widetilde n(n+1)}^{-1}\mathcal{A}_{\widetilde n(n)}^{(N)}\widehat V_{\widetilde n(n)} \,{=:}\, \widehat D_{\widetilde n}(N,z,\widetilde a).
\end{equation*}
\notag
$$
Коэффициенты разложения “диагонализаторов” $\widehat V_n$ из (2.18) получаем переразложением по $(1/N)$ частных сумм в (2.37):
$$
\begin{equation*}
\widehat V_{\widetilde n}(N,z,\widetilde a)\equiv \sum_{i=0}^\infty \widehat{v}_i(\widetilde n,z,\widetilde a)\biggl(\frac{1}{N}\biggr)^{i}.
\end{equation*}
\notag
$$
Остановимся на получении коэффициентов разложения по $(1/N)$ для диагональных матриц $\Pi_n$. Здесь надо начать с ряда для диагональных матриц $D_n$, для которого при фиксированном9 $k$ приближение дает отрезок ряда по $(1/N)$ из (2.34):
$$
\begin{equation}
\widehat D_{\widetilde n}\approx L^{(k)}(\tau,\widetilde n,N,z,\widetilde a)\big|_{\tau=1}=: \operatorname{diag}\biggl\{\lambda_j(\widetilde n(s),z, \widetilde{a}) +\sum_{i=1}^\infty\frac{l_i(j,\widetilde n(s))}{N^i}\biggr\}_{j=1}^3.
\end{equation}
\tag{2.46}
$$
Эти приближения диагональных матриц $D_n$ были получены нами в процессе вычисления матрицы $V_n$ (см. (2.23), (2.31)–(2.37)). Приведем полученное разложение для первого диагонального элемента
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &d^{(1)}=(\widetilde a^{\,2}-s^{2}z^{2})-\biggl(\frac{1}{N}\biggr)\, \frac{s(\widetilde a^{\,2}-s^{2}z^{2})}{2(-2s^3z^2+s^2z^2+\widetilde{a}^{\,2})^{2}}(\widetilde{a}^{\,2}-z^2s^2+4z^2s^3) \notag \\ &\qquad-\biggl(\frac{1}{N^{2}}\biggr)\frac{s(\widetilde a^{\,2}-s^{2}z^{2})}{2(-2s^3z^2+s^2z^2+\widetilde{a}^{\,2})^{2}} (3s\widetilde{a}^{\,6}-\widetilde{a}^{\,6}+81s^4\widetilde{a}^{\,4}z^2-69s^3\widetilde{a}^{\,4}z^2 \\ &\qquad+10\widetilde{a}^{\,4}z^2s^2-170z^4s^6\widetilde{a}^{\,2} +96s^7z^4\widetilde{a}^{\,2}-9z^4s^4\widetilde{a}^{\,2}+65z^4s^5\widetilde{a}^{\,2} \\ &\qquad+s^7z^6-7s^8z^6)+O\biggl(\frac1{N^3}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.47}
$$
Отметим, что главный член есть параметризация $\lambda_1(s)$. Перейдем к разложению для $\Pi_n=: \operatorname{diag}\{\pi_n^{(j)}\}_{j=1}^3$:
$$
\begin{equation*}
\Pi_n\equiv \prod_{n'=n_0}^{n-1}\widehat D_{n'/N},\qquad \pi_n^{(j)}:=\prod_{n'=n_0}^{n-1}d^{(j)}\biggl(\frac{ n'}{N}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \ln\pi_n^{(j)}&=\ln d^{(j)}(\widetilde n_0)+\ln d^{(j)}\biggl(\widetilde n_0+\frac1N\biggr) +\dots+\ln d^{(j)}\biggl(\widetilde n-\frac1N\biggr) \\ &=N\int_{\widetilde n_0}^{\widetilde n} \ln d^{(j)}(\widetilde n')\,d\widetilde n'+O(1), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому разложение для $\pi_n^{(j)}$ можно искать в виде
$$
\begin{equation}
\pi_n^{(j)}\equiv \exp{\Phi^{(j)}(\widetilde n,\widetilde n_0)},\qquad \Phi^{(j)}(\widetilde n,\widetilde n_0)=\sum_{i=-1}^\infty \frac{\varphi_i^{(j)}(\widetilde n)}{N^i}.
\end{equation}
\tag{2.48}
$$
Убедимся, что коэффициенты разложения (2.48) являются первообразными, точнее сказать, абелевыми интегралами на римановой поверхности алгебраической функции $\lambda(\widetilde n, z, \widetilde{a})$ (см. (2.15)). Действительно, из определения $\Pi_n$ имеем
$$
\begin{equation}
\ln\pi_{n+1}^{(j)}-\ln \pi_n^{(j)} =\Phi^{(j)}\biggl(\widetilde n+\frac1N\biggr)-\Phi^{(j)}(\widetilde n) =\ln d^{(j)}(n).
\end{equation}
\tag{2.49}
$$
С другой стороны, по формуле Тейлора из (2.48) также имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\Phi^{(j)}\biggl(\widetilde n+\frac1N\biggr)-\Phi^{(j)}(\widetilde n) \equiv \frac1N\sum_{i=-1}^\infty \frac{d}{d\widetilde n}\,\varphi_i^{(j)}\biggl(\frac1N\biggr)^{i}+ \frac1{2N^2}\sum_{i=-1}^\infty\frac{d^2}{d\widetilde n^2}\,\varphi_i^{(j)}\biggl(\frac1N\biggr)^{i}+\cdots \notag \\ &\qquad\equiv \frac{d}{d\widetilde n}\,\varphi_{-1}^{(j)}(\widetilde n)+\frac1N\biggl( \frac{d}{d\widetilde n}\,\varphi_{0}^{(j)}+\frac{d^2}{2d\widetilde n^2}\,\varphi_{-1}^{(j)}\biggr)+\cdots \notag \\ &\qquad\qquad+\frac1{N^i}\biggl( \frac{d}{d\widetilde n}\, \varphi_{i-1}^{(j)}+\dots +\frac{d^{i+1}}{(i+1)!\,d\widetilde n^{i+1}}\, \varphi_{-1}^{(j)}\biggr)+\cdots. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.50}
$$
Сравнивая правые части (2.49), (2.46) и (2.50), получаем, что производные коэффициентов ряда (2.48) последовательно выражаются через коэффициенты разложения (2.49). Для главного члена разложения из (2.46) получим10
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \pi_n^{(j)}&=\exp\biggl\{ N\int^{\widetilde n}_{n_0}\ln\lambda_j(\widetilde{\widetilde n},z,\widetilde{a})\, d\widetilde{\widetilde n}\biggr\}+O(1) \notag \\ &=\exp\biggl\{ N\int^{s}_{s_0}\ln\lambda_j(\widetilde{\widetilde n}(s),z,\widetilde{a}) (\widetilde s^{\,2}z^2-2\widetilde s^{\,3}z^2+\widetilde{a}^{\,2})\,\frac{d\widetilde s}{\widetilde s^{\,2}} \biggr\}+O(1), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.51}
$$
где для замены переменной использовали (2.42), а интеграл в правой части может быть взят в явном виде. Имеем (см. (2.38))
$$
\begin{equation*}
\pi_n^{(1)}(\widetilde n(s),\dots)=\exp\{N[z^2(1-s)^2+\widetilde n\ln(s^2 z^2-\widetilde{a}^{\,2})]\}+O(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Приведем также выражение для следующего члена асимптотики $\pi_n^{(1)}$. Из (2.47) и (2.50) имеем для (2.48)
$$
\begin{equation*}
\frac{d}{d\widetilde n}\, \varphi_0^{(1)}(\widetilde n(s))= \frac{s(\widetilde{a}^{\,4}+3z^4s^4+4s^3\widetilde{a}^{\,2}z^2-8s^5z^4)}{2(\widetilde{a}^{\,2}-s^2z^2)(-2s^3z^2+s^2z^2+\widetilde{a}^{\,2})^{2}},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation}
\int_{\widetilde n_0}^{\widetilde n} \frac{d}{d\widetilde n}\,\varphi_0^{(1)}(\widetilde{\widetilde n})\,d\widetilde{\widetilde n}=\int_{s_0}^{s}\frac{\widetilde{a}^{\,4}+3z^4\widetilde{s}^{\,4} +4\widetilde{s}^{\,3}\widetilde{a}^{\,2}z^2-8\widetilde{s}^{\,5}z^4} {2\widetilde s (\widetilde s^{\,2}z^2-2\widetilde s^{\,3}z^2+\widetilde{a}^{\,2})(\widetilde{a}^{\,2}-\widetilde s^{\,2}z^{2})}\,d\widetilde s,
\end{equation}
\tag{2.52}
$$
причем последний интеграл тоже берется в явном виде
$$
\begin{equation*}
\frac12\,\frac{d}{d\widetilde{s}}\,\ln\biggl(\frac{\widetilde{s}} {(\widetilde{s}^{\,2}z^2-2\widetilde{s}^{\,3}z^2+\widetilde{a}^{\,2})(\widetilde{a}^{\,2}- \widetilde{s}^{\,2}z^{2})}\biggr) =\frac{\widetilde{a}^{\,4}+3z^4\widetilde{s}^{\,4}+4\widetilde{s}^{\,3}\widetilde{a}^{\,2}z^2 -8\widetilde{s}^{\,5}z^4}{2\widetilde s (\widetilde s^{\,2}z^2-2\widetilde s^{\,3}z^2+\widetilde{a}^{\,2})(\widetilde{a}^{\,2}-\widetilde s^{\,2}z^{2})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, получение разложений пункта 1) теоремы 1.2 завершено. Для получения конкретных значений $\Pi_n(\widetilde n(s),z,\widetilde a)$ нам осталось зафиксировать нижний предел у абелевых интегралов $\{\varphi_i^{(j)}(\widetilde n(s))\}_{i=-1}^{+\infty}$, $j=1, 2, 3$, в (2.48) и, в частности, у (2.51) и (2.52). Выбор $\widetilde n_0=\widetilde n(s_0)$ может быть произвольным, что отразится лишь на мультипликативных постоянных векторах $\vec{C}$ для базисных столбцов в $B_n$. Мы фиксируем11
$$
\begin{equation}
s_0=1\quad \Longrightarrow \quad\widetilde n_0=0 \quad \Longrightarrow \quad n=0.
\end{equation}
\tag{2.53}
$$
Теперь, с учетом (2.53), для диагональной матрицы $\Pi_n(\widetilde n(s),\dots)$ в разложении первого элемента получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\pi_n^{(1)}(\widetilde n(s),z,\widetilde a) \equiv \exp\biggl\{N[z^2(1-s)^2+\widetilde n\ln(s^2 z^2-\widetilde{a}^{\,2})] \notag \\ &\qquad\qquad-\frac12\ln\frac{(z^2s^2-\widetilde{a}^{\,2})(z^2s^2(2s-1)-\widetilde{a}^{\,2})} {(z^2-\widetilde{a}^{\,2})^{2}s}+ \sum_{i=1}^\infty \frac{\varphi_i^{(1)}(\widetilde n(s))}{N^i}\biggr\} \notag \\ &\qquad=\lambda_1^{n-1/2}e^{nz^2(1-s)^2} (z^2-\widetilde{a}^{\,2}) s^{1/2}(s^2 z^2(2s-1)-\widetilde{a}^{\,2})^{-1/2} \biggl(1+O\biggl(\frac1N\biggr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.54}
$$
2.4. Вывод асимптотической формулы теоремы 1.1Интересующий нас многочлен $H_{\vec{n}}$, с точностью до множителя $(1/N)$, является первой координатой вектора $\overrightarrow{H_n}^{(N)}$, см. (2.13), для которого имеем, см. (2.43),
$$
\begin{equation}
\overrightarrow{H_n}^{(N)}\equiv \widehat V_{\widetilde n(n)}(N,z,\widetilde a)N^{n-1}\Pi_n(\widetilde n,z,\widetilde a) \vec{C}(N,z,\widetilde a),
\end{equation}
\tag{2.55}
$$
где нормировочный вектор $\vec{C}$ не зависит от $n$ (и соответственно от $\widetilde n$) и является формальным рядом по степеням $(1/N)$, как и остальные сомножители в правой части (2.55). Определяется этот вектор с помощью перемножения степенных рядов в правой части
$$
\begin{equation}
\overrightarrow{C}:=N^{1-n}\Pi_n^{-1}\widehat V_{\widetilde n(n)}^{-1}\overrightarrow{H_n}^{(N)}
\end{equation}
\tag{2.56}
$$
для какого-нибудь $n$. Справедливо следующее утверждение. Предложение 2.1. Первая координата вектора $\overrightarrow{C}$ имеет разложение Доказательство этого предложения мы приведем ниже в этом пункте. В итоге, подставляя в (2.55),
$$
\begin{equation*}
\frac1N H_{(n,n)}(x)= \widehat{v}_0(\widetilde n,z,\widetilde a)[1,1]\, \pi_n^{(1)}(\widetilde n,z,\widetilde a) C^{(1)}(z,\widetilde a) \bigl(1+O(q^n)\bigr), \qquad q<1,
\end{equation*}
\notag
$$
главные члены разложений сомножителей правой части (2.18), (2.40), (2.54), (2.57), получим12
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac1N H_{(n,n)}(x) &= N^{(n-1)}2\widetilde a(s^2z^2-\widetilde{a}^{\,2}) \lambda_1^{n-1/2}e^{nz^2(1-s)^2} \frac{s^{1/2}(z^2-\widetilde{a}^{\,2})}{(s^2 z^2(2s-1)-\widetilde{a}^{\,2})^{1/2}} \notag \\ &\qquad\times \frac1{2\widetilde a (z^2-\widetilde{a}^{\,2})}\biggl(1+O\biggl(\frac1N\biggr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.58}
$$
Перейдем в правой части (2.58) от масштабированных в (2.12) параметров $(\widetilde n,z,\widetilde a)$ к первоначальным параметрам $(n,x,a)$, а также перенормируем функцию $\lambda$:
$$
\begin{equation*}
\widetilde n=\frac{n}{N},\qquad z=\frac{x}{N^{1/2}},\qquad \widetilde a=\frac{a}{N^{1/2}},\qquad \lambda=:\frac{\Lambda}{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом уравнение спектральной кривой (2.15) и ее параметризация (2.16) останутся неизменны:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} (\lambda+\widetilde n)^2(\lambda+\widetilde{a}^{\,2})-z^2\lambda^2=0, \\ \lambda=s^2z^2-\widetilde{a}^{\,2}, \\ \widetilde n=\dfrac{1-s}{s}(s^2z^2-\widetilde{a}^{\,2}), \end{cases} \quad\Longleftrightarrow \quad \begin{cases} (\Lambda+ n)^2(\Lambda+ a^2)-x^2\Lambda^2=0, \\ \Lambda=s^2x^2- a^2, \\ n=\dfrac{1-s}{s}(s^2x^2-a^2). \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.59}
$$
Теперь асимптотическая формула (2.58) примет вид
$$
\begin{equation}
H_{(n,n)}(x)=\Lambda_1^{n+1/2} e^{x^2(1-s)^2}\sqrt{\frac{s}{(s^2 x^2(2s-1)- a^2)}} \biggl(1+O\biggl(\frac1N\biggr)\biggr).
\end{equation}
\tag{2.60}
$$
Тем самым, асимптотическая формула (1.21) теоремы 1.1 получена. Асимптотику (1.23) выводим из (1.21) аналитическим продолжением. Доказательство предложения 2.1. Получим разложение нормировочного вектора $\overrightarrow{C}$. Для этого вычислим $\overrightarrow{C}$, положив13 в (2.56) $n=1$ ($\Longleftrightarrow\widetilde n=1/N$):
$$
\begin{equation}
\overrightarrow{C}=\Pi_1^{-1}\,\widehat V_{1/N}^{-1}\,\overrightarrow{H_1}^{(N)}.
\end{equation}
\tag{2.61}
$$
Будем разлагать по степеням $(1/N)$ сомножители в (2.61) справа налево. Имеем из (1.9)
$$
\begin{equation*}
H_{(0,0)}:=1,\qquad H_{(1,0)}:=x-a,\qquad H_{(1,1)}:=x^2-a^2-\frac12.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, замена параметров $(x,a)$ на $(z,\widetilde a)$, см. (2.12), (2.13), дает
$$
\begin{equation}
\overrightarrow{H_1}^{(N)}= \biggl[z^2-\widetilde{a}^{\,2} -\frac12\biggl(\frac1N\biggr),\,\frac{z}{\widetilde a},\,\widetilde{a}^{\,2} \biggr]^{\top}.
\end{equation}
\tag{2.62}
$$
Перейдем к разложению $\widehat V_{1/N}^{-1}$. Для чего в полученное ранее разложение $\widehat V_{\widetilde n}$, см. (2.18), (2.40), (2.44), мы должны подставить параметр $s:=s_1$: $n(s_1) (\Longleftrightarrow\widetilde n(s_1)=1/N$). Для ветви (2.53) спектральной кривой (2.16) вычисляем разложение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, s_1=s\biggl(\frac1N\biggr) = 1+\frac{1}{(\widetilde a-z)(\widetilde a+z)}\frac1{N} +\frac{\widetilde{a}^{\,2}+z^2}{(\widetilde a-z)^3(\widetilde a+z)^3}\frac1{N^2} +O\biggl(\frac{1}{N^4}\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.63}
$$
которое, в свою очередь, дает разложение радикала (2.39),
$$
\begin{equation*}
d=2\widetilde a-\frac{\widetilde a}{(\widetilde a-z)(\widetilde a+z)}\frac1{N} -\frac{\widetilde a^{\,4}+6\widetilde{a}^{\,2}z^2+z^4}{4\widetilde a(\widetilde a-z)^3(\widetilde a+z)^3}\frac1{N^2}+O\biggl(\frac{1}{N^3}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
необходимого для получения разложения $\widehat V_{1/N}$. Обращая полученную матрицу и умножая ее на вектор $H_1^{(N)}$ из (2.62), получим вектор
$$
\begin{equation}
\widehat V_{1/N}^{-1}\overrightarrow{H_1}^{(N)}= \biggl[\frac{1}{2\widetilde a} + O\biggl(\frac1{N^{5}}\biggr),\,O\biggl(\frac1{N^{5}}\biggr),\,O\biggl(\frac1{N^{5}}\biggr) \biggr]^{\top}.
\end{equation}
\tag{2.64}
$$
Теперь разложение для $\Pi_1^{-1}$ в (2.61) получается в результате подстановки в верхние пределы абелевых интегралов в (2.48), (2.51), (2.52) значения $s:=s_1$ из (2.63). Таким образом, получим
$$
\begin{equation}
\pi_1^{(1)}= (z^2-\widetilde{a}^{\,2})- \frac{(\widetilde{a}^{\,2}+3z^2)}{2(\widetilde{a}^{\,2}-z^2)} \frac1{N}+ \frac{(\widetilde a^{\,4}+12\widetilde{a}^{\,2}z^2+3z^4)}{2(\widetilde{a}^{\,2}-z^2)^3}\frac1{N^2} +O\biggl(\frac{1}{N^3}\biggr).
\end{equation}
\tag{2.65}
$$
Наконец, обращая правую часть (2.65) и умножая результат на первый элемент вектора (2.64), получаем (2.57). Предложение 2.1 доказано. 2.5. Численная проверка асимптотических формул теоремы 1.1Приведем результаты сравнения асимптотических формул (1.19), (1.21) и (1.23) со значениями СОМ-ов Эрмита, вычисленными с помощью рекуррентных соотношений (1.9). Далее приведены три пары таблиц. В них при зафиксированном параметре $a=15$ для координат $x:=0, 1,\dots, 40$ (первый столбец) приведены значения СОМ-ов Эрмита ${H}_{(n,n)}(x,a)$ (второй столбец) и их асимптотик (третий столбец): в зонах свободных от нулей $\mathfrak{H}_{n}(x,a)$ (см. (1.21), (1.19)) или в зоне осцилляций $\mathfrak{H}_{n}(x,a)+\overline{\mathfrak{H}_{n}}(x,a)$ (см. (1.23),(1.19)). В табл. 1, 3, 5 сравнение проводится при $n=50$, в табл. 2, 4, 6 при $n=100$. Таблица 1.
Таблица 2.
Таблица 3.
Таблица 4.
Таблица 5.
Таблица 6.
Прокомментируем представленные численные результаты. Многочлены ${H}_{(n,n)}(x)$ четные: $\operatorname{deg}{H}_{(n,n)}=2n$, поэтому значения сравниваемых величин в таблицах приведены для неотрицательных $x$. При параметрах $a=15$, $n\,{=}\,50$, $100$ выполнено неравенство $a>\sqrt{n}$ и спектральная кривая (1.12) имеет четыре действительных точки ветвления: $-x_{+}<-x_{-}<x_{-}<x_{+}$ (см. (1.16)), где
$$
\begin{equation*}
x_{-}\approx \begin{cases} 6.002, &n=50, \\ 3.056, &n=100, \end{cases}\qquad x_{+}\approx \begin{cases} 25.71,&n=50, \\ 30.49,&n=100. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому зона осцилляций (зона расположения нулей) СОМ-ов Эрмита ${H}_{(n,n)}(x)$ содержится внутри двух непересекающихся отрезков $[-x_{+}, -x_{-}] \sqcup [x_{-}, x_{+}]$ (сравниваемые величины при $x$, попавших в эту зону, см. в табл. 3 и 4). При этом окрестность нуля внутри отрезка $[ -x_{-}, x_{-}]$ свободна от нулей и принадлежит зоне степенного роста (см. табл. 1 и 2). Этой же зоне также принадлежит и окрестность точки $\infty\colon |x|>x_{+}$ (см. табл. 5 и 6). Как видим, сравнение численных значений демонстрирует адекватность асимптотических формул теоремы 1.1. Имеет место некоторое падение точности в непосредственной близости точек ветвления спектральной кривой, что вполне объяснимо необходимостью специального локального анализа в переходных зонах. 2.6. Доказательство теоремы 1.2Обоснование процедуры получения асимптотических разложений, изложенной в п. 2.1–2.3, и оценка точности проведены в работе [12]. Конкретно, в теореме 1 из [12] при выполнении условия на $V_{n}$ (см. (2.1)):
$$
\begin{equation}
\sum_{n=n_0}^\infty\| D_n^{-1}V_{n+1}^{-1}\mathcal{A}_nV_n-I\|<\infty,\qquad \| V_n\|,\ \| V_n^{-1}\| =O(n^\alpha),\quad\alpha>0,
\end{equation}
\tag{2.66}
$$
конструктивным образом устанавливаются существование решения задачи (1.11), (2.13) и его свойства. В свою очередь, для зоны разделения собственных значений матрицы $\mathcal{A}$:
$$
\begin{equation}
\Omega:=\bigl\{(n,x) \in \mathbb C^2\bigm| |n| > C,\, |\mathcal D(n,x)| > 1\bigr\},
\end{equation}
\tag{2.67}
$$
где $\mathcal{D}$ – дискриминант (1.15) спектральной кривой (1.12), а $C$ – некоторая константа, в теореме 2 из [12] получены оценки, гарантирующие сходимость итерационного процесса в подпункте 2.2.3. Чтобы сформулировать эти оценки, введем некоторые функции от точки $(n_0,x)\in \Omega$, в терминах которых могут быть выражены показатель скорости сходимости для конечного числа итераций, конечные пределы изменения $\tau$ в (2.6), ограничения на константу $C$ в (2.67). Пусть $R$ – расстояние от точки $(n_0,x)\in \Omega$ до границы $\partial\Omega$ по переменной $n$:
$$
\begin{equation}
R:= R(n_0,x):= \min_{n:(n,x_{0})\in \partial\Omega}|n-n_0|,\qquad R_0<\frac{R}2.
\end{equation}
\tag{2.68}
$$
Пусть $\widetilde M$, $\widetilde \Delta$ таковы, что для начальных данных итерационного процесса (2.8) выполняются оценки
$$
\begin{equation}
\widetilde \Delta := \widetilde \Delta(n_0,x, R_0)\colon\quad \min_{i\neq j}|\lambda_i - \lambda_j| >\widetilde \Delta \quad \text{в круге } |n-n_0|<R_0,
\end{equation}
\tag{2.69}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde M :=\widetilde M(n_0,x,R_0)\colon\quad \|(V_{\widetilde n}^{(0)})^{ -1} A_nV_n^{(0)}\| < \widetilde M,\ \ n,\widetilde n\in \{n \in \mathbb C\colon |n-n_0|\leqslant2R_0\}.
\end{equation}
\tag{2.70}
$$
Далее, для натурального $m \in \mathbb N$ определим параметр $\widetilde{d}>1$ и круги $\{K_l\}_{l=1}^m$:
$$
\begin{equation*}
(m + 1)\widetilde{d} < R_0,\qquad R_l=R_0-l\widetilde{d},\qquad K_l:=\{n \in \mathbb C\colon |n - n_0|\leqslant R_l\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь величина $m$ — число оцениваемых шагов итерационного процесса, $\widetilde{d}$ и $r$ определяют области, в которых делаются оценки: $\widetilde{d}$ определяет насколько уменьшаются круги по переменной $n$ на каждом шаге оценки, $r$ оценивает $\tau$. Конкретно, применительно к нашему итерационному процессу (2.8), теорема 2 из [12] утверждает следующее. Пусть точка $(n_0,x) \in \Omega$. Тогда существуют $r(\widetilde \Delta,\widetilde M)\colon r\,{\in}\,(0,\widetilde{d})$ и $q(\widetilde \Delta,\widetilde M,r)$: $q\in(0,1)$ такие, что для матриц $X_n^{(l)}$ (см. (2.4)) и $S^{(l)}$ (см. (2.3)) справедливо
$$
\begin{equation}
\|X_n^{(l)}\|,\ \|S^{(l)} - S^{(l-1)}\| = \mathcal{O}(q^l)\quad\text{при}\quad n\in K_l,\qquad \tau\in\{|\tau|\leqslant r\},
\end{equation}
\tag{2.71}
$$
где константы в $\mathcal{O}(q^l)$ зависят от $\widetilde \Delta$, $\widetilde M$, $r$, $\widetilde{d}$, а показатель геометрической прогрессии $q$ имеет порядок14
$$
\begin{equation}
q \sim \frac{\widetilde M^2r}{\widetilde\Delta^2R}.
\end{equation}
\tag{2.72}
$$
Отметим, что из (2.71) вытекает то, что ряды для $V_n^{(l)}$ и $S^{(l)}$ устанавливаются, причем внедиагональные члены $S^{(l)}$ устанавливаются к $0$. Осталось оценить рост коэффициентов степенных рядов и ошибку (невязку в $V_{n+1}^{-1}A_nV_n$) от замены степенного ряда для $V_n^{(l)}$ на частичную сумму. Для этого определим в области $\Omega$ величины $R$, $\widetilde M$, $\widetilde \Delta$ (см. (2.68)–(2.70)) как функции точки, выбрав $R_0 = R/3$. Пусть $\Omega_1$ — подобласть $\Omega$, уходящая на бесконечность, которая для некоторого $\varepsilon > 0$ определена как
$$
\begin{equation}
\Omega_1:= \biggl\{(n,x)\colon \frac{\widetilde M}{R\widetilde \Delta} =o(|x|^{-\varepsilon})\biggr\}.
\end{equation}
\tag{2.73}
$$
Теорема 3 из [12] утверждает следующее. Коэффициенты степенного ряда (2.6), генерируемого процедурой (2.8), обладают следующими асимптотическими свойствами:
$$
\begin{equation}
\|v_{j}(n,x)\| < \mathcal{O}(|x|^{-j\varepsilon}\|V_n^{(0)}\|)= \mathcal{O}(|x|^{-j\varepsilon}\,\widetilde M)
\end{equation}
\tag{2.74}
$$
равномерно в области $\Omega_1$. Для $m$-й частичной суммы (2.11) полученной подстановкой $\tau = 1$ из ряда (2.6), равномерно в области $\Omega_1$ выполняется
$$
\begin{equation*}
\|(V_{n+1}^{[m]})^{-1} A_nV_n^{[m]} - S^{(m)}\| < \mathcal{O}\biggl(\frac{\widetilde M}{|x|^{m\varepsilon}\sqrt{|x|^{2\varepsilon}-1}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Это вместе с оценкой $\{S^{(m)}\}$ дает возможность использовать теорему 1. Таким образом, теорема 3 из [12] описывает условие на область $\Omega_1$, в которой частичная сумма формального ряда, определяемого итерационным процессом (2.8), при $\tau=1$ дает степенную величину отклонения $(V_{n+1}^{[m]})^{-1} A_nV_n^{[m]}$ от диагональной матрицы при $n \to \infty$, $(n,x) \in \Omega_1$. Теперь обратимся непосредственно к рядам (1.25), (1.26) теоремы 1.2. Нахождение допустимых областей и порядок роста матричных элементов опирается на анализ переходной матрицы $\mathcal{A}^{(N)}_{\widetilde n}$ (см. (2.13), (2.14)) и динамики собственных значений при изменении $n$. Совпадение собственных значений (корней спектральной кривой (1.12)) определяется дискриминантом (1.15) (на самом деле нам нужны собственные значения и дискриминант главной части матрицы (2.14), которые получаются из (1.12) и (1.15) заменой $n$, $a$, $x$ на $\widetilde n$, $\widetilde a$, $z$ соответственно). Параметр $n$ меняется на положительной полуоси, и если при этом $n$ оказывается близко к корням (1.15) по $n$, то разложением пользоваться нельзя. Такое происходит, если $n$ мало (так как $n=0$ – всегда корень) и если $x$ таково, что хотя бы один корень (1.15) по $n$ попадает близко к участку изменения $n\in[0,N]$, т. е. $\widetilde n\in[0,1]$. Это происходит, если $z$ близко к множеству всех принимаемых значений $\pm x_{\pm}(n)$, $n\in[0,N]$. Соответствующее множество есть $\triangle_+\cap\triangle_-$ или $\triangle\cap\delta$ в случаях $\widetilde a>1$, $\widetilde a<1$ соответственно. Нам нужно найти допустимое расстояние до него. 1) Случай $z^2$ в окрестности $\mathbb R_+$. Пусть $s^*$ в окрестности $[0,\infty)$, для которого $\lambda_2(s^*)=\lambda_3(s^*)$, что влечет $d=0$ и, следовательно, $\widetilde n=\widetilde n(-s^*)$. Таким образом, имеем $4\widetilde{a}^{\,2}=z^2s^*(s^*+1)^2$. В окрестности точки $-s^*$ получаем $(d\widetilde n/ds)\asymp1$, т. е.
$$
\begin{equation*}
R=N|n-n(-s^*)|\asymp N|s+s^*|,\qquad |\lambda_2-\lambda_3|=|z(s-1)d|\asymp\sqrt{|s+s^*|},
\end{equation*}
\notag
$$
если $z$ отграничено от $0$. Для близких к $0$ точек $z$ параметры $s$ и $s^*$ находятся в окрестности $\infty$, и $|z|\asymp|s|^{-3/2}$. Соответственно
$$
\begin{equation*}
|\lambda_2-\lambda_3|\asymp\sqrt{\frac{|s+s^*|}{|s|}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Убедимся, что порядок $\widetilde M$ равен $\mathcal{O}(1)$ (для доказательства этого прямая оценка норм не годится). Пусть $n_1$, $n_2$ — произвольные значения из окрестности $n$ радиуса $2R/3$; $s_1$, $s_2$ – соответствующие значения параметра $s$ вблизи $s^*$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|v_0^{-1}(\widetilde n(s_1))\mathcal{A}^{(N)}_{\widetilde n(s_2)}v_0(\widetilde n(s_2))\| \\ &\qquad =\|v_0^{-1}(\widetilde n(s_1))\mathcal{A}^{(\infty)}_{\widetilde n(s_2)}v_0(\widetilde n(s_2))\|+\mathcal{O}\biggl(\frac{\|v_0^{-1}(\widetilde n(s_1))\|\,\|v_0(\widetilde n(s_2))\|}N\biggr) \\ &\qquad= \|v_0^{-1}(\widetilde n(s_1))v_0(\widetilde n(s_2))L^{(0)}(s_2)\|+\mathcal{O}\biggl( \frac1{N\sqrt{|s_1+s^*|}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь мы воспользовались тем, что $L^{(0)}$ есть диагональная матрица из собственных значений матрицы $\mathcal{A}^{(\infty)}$, а $v_0$ – матрица из собственных векторов. Продолжаем оценку:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|v_0^{-1}(\widetilde n(s_1))\mathcal{A}^{(N)}_{\widetilde n(s_2)}v_0(\widetilde n(s_2))\| \\ &\qquad\leqslant\|E+ v_0^{-1}(\widetilde n(s_1))[v_0(\widetilde n(s_2))-v_0(\widetilde n(s_1))]\|\, \|L^{(0)}(s_2)\|+o(1) \\ &\qquad\leqslant\biggl(1+\|v_0^{-1}(\widetilde n(s_1))\|\, |s_2-s_1|\sup\biggl\|\frac{d}{d\widetilde n}\, v_0\biggr\|\biggr)\cdot \mathcal{O}(1)+o(1) \\ &\qquad=\mathcal{O}\biggl(1+ \frac{|s_2-s_1|}{\sqrt{|s_1{+}s^*|}\, \sqrt{|s_2{+}s^*|}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, подставляя полученные оценки в (2.72) и полагая $r:=1$, получаем
$$
\begin{equation*}
q\sim\frac{\widetilde M^2}{\widetilde \Delta^2R}=O\biggl(\frac{|s|}{N|s+s^*|^2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Это означает, что для пригодности асимптотического ряда нужно условие
$$
\begin{equation*}
|{\operatorname{Im}(s^*)}|\gtrsim N^{\varepsilon-1/2}\sqrt{|{\operatorname{Re}(s^*)}|},
\end{equation*}
\notag
$$
что для $z$ означает отступ от $\triangle$ на $N^{\varepsilon-1/2}$ на удалении от начала координат. Тем самым, вне сформулированных в теореме 1.2 окрестностей (1.30) действительных точек ветвления спектральной кривой рассматриваемые формальные ряды являются асимптотическими. Это обстоятельство также влечет применимость асимптотик теоремы 1.1 (1.21), (1.19),(1.20) вне отрезков $\triangle$, $\triangle_{+}$, $\triangle_{-}$. Вблизи начала координат нужно наложить условие
$$
\begin{equation*}
|{\operatorname{Im}(z)\operatorname{Re}(z)}|\bigl(\operatorname{Im}^2(z) +\operatorname{Re}^2(z)\bigr)^{7/2}\gtrsim N^{\varepsilon-1/2},
\end{equation*}
\notag
$$
из которого следует применимость асимптотик теоремы 1.1 вне окрестности начала координат. 2) Случай $z^2$ в окрестности $\mathbb R_-$. Опять ищем $s^*$ такой, что при $\widetilde n=\widetilde n(s^*)$ имеем $d=0$, т. е. $\lambda_2=\lambda_3$. Тогда $4\widetilde{a}^{\,2}=(-z^2)s^*(s^*-1)^2$, причем для $|{\operatorname{Im}(z)}|\geqslant3\sqrt6\,\widetilde a$ используем $s^*$ из окрестности $[0,1/3]$, а для $|{\operatorname{Im}(z)}|\leqslant3\sqrt6\,\widetilde a$ используем $s^*$ из окрестности $[1,\infty]$. Заметим, что для $|{\operatorname{Im}(z)}|\geqslant3\sqrt3\,\widetilde a$ существует три подходящих $s^*$ вблизи положительной полуоси. При сделанном выборе производная отображения ограничена снизу по модулю, что дает контроль за ростом при переходе от $s$ к $z$. В окрестности $s^*$ имеем $(d\widetilde n/ds) \asymp 1$ (в первом случае $s^*$ на самом деле в окрестности $[0,(2-\sqrt3)/3]$), поэтому $R=N|n-n(s^*)|\asymp N|s-s^*|$. Аналогично, $|\lambda_2-\lambda_3|=|z(s-1)d|\asymp\sqrt{|s-s^*|/|s|}$ (во втором случае $s^*$ в окрестности $[(2+\sqrt3)/3,\infty)$, поэтому $(s-1)$ отграничено от $0$). Получаем те же условия на расстояние. 3) Отступ $n$ от $0$. Используем для малых $\widetilde n$ ветвь $s$ в окрестности $-\widetilde a/z$, считая $\operatorname{Re}(z)\geqslant0$ (иначе меняем $z$ на $-z$). В этом случае $d^2$ близко к $(z-\widetilde a)^2$. Если $z$ не близко к $\widetilde a$, фиксируем выбор ветви $d\approx z-\widetilde a$, тогда $\lambda_1$ близко к $\lambda_3$, иначе значения всех $\lambda_j$ близки между собой. В первом случае
$$
\begin{equation*}
\lambda_1-\lambda_3=\frac{4\widetilde az}{\widetilde a-z}\, (\widetilde a+sz)+O((\widetilde a+sz)^2)
\end{equation*}
\notag
$$
и, таким образом, если $z$ не близко к $0$, то $|\lambda_1-\lambda_3|\asymp\widetilde n=n/N$. Элементы $v_0^{-1}$ особенностей не имеют, так что $\widetilde M=O(1)$. Значит, вне окрестностей $z=-\widetilde a,\,0,\,\widetilde a$ оценка признака применимости есть
$$
\begin{equation*}
\frac{\widetilde M^2}{\widetilde \Delta^2R}=O\biggl(\frac{N^2}{n^3}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Для малых $z$ используем для малых $\widetilde n$ ветвь $s$ в окрестности $1$. Получим $\widetilde n\sim\widetilde{a}^{\,2}(s-1)$, $\lambda_2-\lambda_3=z(s-1)d\sim2\widetilde az(s-1)$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\frac{\widetilde M^2}{\widetilde \Delta^2R} =O\biggl(\frac1{N|z|^2(s-1)^3}\biggr)=O\biggl(\frac{N^2}{|z|^2n^3}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Оценки (1.29) на $\|V_k\|$ и $|\varphi_k|$, а также выполнимость (2.66) получаются из $O(\widetilde M r^{-k})$ (см. (2.74)). Теорема 1.2, а также следующая из нее теорема 1.1 доказаны. § 3. Псевдодифференциальные уравнения и канонический оператор МасловаВ этом параграфе мы получим и докажем справедливость асимптотик, сформулированных в п. 1.3, а также приведем результаты сравнения асимптотических формул со значениями СОМ-ов Эрмита, вычисленными с помощью рекуррентных соотношений (1.9). 3.1. Общее описание подходаДля построения асимптотики полиномов $H_{(n,n)}$ при $n \to \infty$ мы используем подход, основанный на теории канонического оператора Маслова [26], [27] и его обобщениях [32], [33], позволяющий получать асимптотики решений псевдодифференциальных уравнений $\widehat{\mathcal{H}}(y,-ih(\partial/\partial y);h)\psi=0$ при $h \to 0$. Асимптотика решения определяется символом $\mathcal{H}(y,p;h)$ рассматриваемого оператора, а также соответствующим лагранжевым многообразием (которое в одномерном случае является линией уровня $\mathcal{H}=0$ на фазовой плоскости $(y,p)$). В п. 1.3 мы ввели малый параметр $h$ и свели систему (1.11) к псевдодифференциальному уравнению (1.36) с символом (1.38). Полученный символ определяет характеристический полином $\mathcal{R}(\lambda)$ (см. (1.12)), имеющий три корня, один из которых вещественный для любого $y>0$ (п. 3.3). Далее, путем выделения этого корня, псевдодифференциальное уравнение (1.36) можно разбить на два (подпункт 3.4.1):
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathcal{H}^0}\Psi_0=0, \qquad \widehat{\mathcal{H}^1}\Psi=0,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
при этом асимптотическое решение $\psi$ представляется в виде
$$
\begin{equation*}
\psi=C_0(z,\widetilde a)\Psi_0(y,z,\widetilde{a}) +C_1(z,\widetilde{a})\Psi(y,z,\widetilde{a}).
\end{equation*}
\notag
$$
Решение первого из двух полученных уравнений находится методом ВКБ (который также называют методом Лиувилля–Грина) [20], т. е. решение ищется в виде $\psi_0(y)=e^{i \mathbf{S}_0/h}A_0(y)$ (подпункт 3.4.2). Символ же второго из этих уравнений комплекснозначен, что не позволяет напрямую применить теорию канонического оператора. Однако, если искать решение в виде
$$
\begin{equation*}
\Psi = A_1(y)e^{S_1/h}\psi_2, \qquad e^{\partial S_1/\partial y} = \sqrt{B(y)},
\end{equation*}
\notag
$$
то можно избавиться от комплексности (а именно, мнимая составляющая символа даст уравнение на $A_1$ (подпункт 3.4.3)) и использовать результат работы [32], чтобы получить равномерную асимптотику в виде функции Эйри и ее производной для $\psi_2$ (подпункт 3.4.4). Далее остается только определить функции $C_0(z,\widetilde{a})$, $C_1(z,\widetilde{a})$. Для этого мы сравниваем асимптотику полученной функции $\psi$ при $z \to \infty$ (что равносильно $x\to \infty$ в исходных переменных) с соответствующей асимптотикой полиномов $H_{(n,n)}(x)$ (п. 3.5). А именно, нетрудно убедиться, опираясь на метод математической индукции, что
$$
\begin{equation}
H_{(n,n)}(x,a) =(x^2-a^2)^n+O(x^{2n-2}) =x^{2n}\,{-}\,n\biggl(a^2\,{+}\,n\,{-}\, \frac{1}{2}\biggr)x^{2n-2}\,{+}\,O(x^{2n-4}),
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
$$
\begin{equation}
=(x+a)x^{2n-2}-(n-1)\biggl(a^2+n - \frac{1}{2}\biggr)x^{2n-3}+O(x^{2n-4}).
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
В квазиклассической форме эти краевые условия записываются в виде
$$
\begin{equation}
\psi(y;z,\widetilde{a}) \approx h^{y/h}\biggl(\frac{\widetilde{a}}{\sqrt{h}}\biggr)^{2y/h} \biggl(q^{2y/h}-\frac{y}{h}\biggl(1+\frac{y}{\widetilde{a}^{\,2}} -\frac{h}{2\widetilde{a}^{\,2}}\biggr) q^{2y/h-2}\biggr),\qquad q\,{=}\,\frac{x}{a}\,{=}\,\frac{z}{\widetilde{a}},
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
$$
\begin{equation}
\theta(y;z,\widetilde{a}) \approx h^{y/h}q\biggl(\frac{\widetilde{a}}{\sqrt{h}}\biggr)^{2y/h+2} \biggl((q+1)q^{2y/h}-\frac{y}{h}\biggl(1+\frac{y}{\widetilde{a}^{\,2}}-\frac{h}{2\widetilde{a}^{\,2}} \biggr)q^{2y/h-1}\biggr).
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Это представление позволит в дальнейшем получить требуемые коэффициенты $C_0$, $C_1$. Перейдем к реализации описанного подхода. 3.2. ВКБ-решения, характеристическое уравнение, “разложение по модам” и гамильтонианыСледуя методу ВКБ, решение уравнения (1.36) можно искать в виде
$$
\begin{equation}
\psi=\sum_k e^{i\mathbf{S}_k(y,z,\widetilde{a})/h}\mathbf{A}_{k}(y,z,\widetilde{a}),
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
где комплексные, вообще говоря, фазы $\mathbf{S}_k$ представляются в виде $\mathbf{S}_k\,{=}\,\Phi_k\,{+}\,i\phi_k$, переменные $z$, $\widetilde{a}$ рассматриваются как параметры. Стандартные рассуждения приводят к уравнению Гамильтона–Якоби
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}_0\biggl(y,\frac{\partial \mathbf{S}_k}{\partial y}\biggr)=0,\qquad \mathcal{H}_0(y,p)=e^{-ip}\mathcal{R}(e^{ip}),
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
где $\mathcal{H}_0(y,p) $ – главная часть символа (1.38) оператора $\mathbf{\widehat{\mathcal{H}}}$,
$$
\begin{equation}
\mathcal{R}(\lambda;y,z,\widetilde{a})= \lambda^3+\lambda^2(\widetilde{a}^{\,2}-z^2+2y)+\lambda(2\widetilde{a}^{\,2}y+y^2)+ \widetilde{a}^{\,2}y^2\equiv(\lambda+y)^2(\lambda+\widetilde{a}^{\,2})-\lambda^2z^2.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Амплитуды $\mathbf{A}_k$ определяются из уравнений переноса. Таким образом, если $\lambda_0$, $\lambda_{\pm}$ – корни уравнения то фазы формально записываются в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{S}_{0,\pm} &=-i\int\log\lambda_{0,\pm}(y,z,\widetilde{a})\, dy \\ &=-i\log\lambda_{0,\pm}(y,z,\widetilde{a}) y+ i\int \frac{y}{\lambda_{0,\pm}(y,z,\widetilde{a}) }\, \frac{\partial\lambda_{0,\pm}(y,z,\widetilde{a})}{\partial y}\, dy. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 3.1. Заметим, что $\mathcal R(\lambda;y,z,\widetilde{a})\,{=}\,0$ равносильно уравнению (1.12) при $\Lambda=\lambda/h$.  Рис. 2.Сплошной линией изображено решение уравнения (3.9) для $|z|>|\widetilde{a}|$ (a) и $|z|<|\widetilde{a}|$ (b), пунктирные прямые – $\lambda=-y$ и $\lambda= -\widetilde{a}^{\,2}$. Как видно, у уравнения отделяется вещественный отрицательный корень $\lambda_0 \geqslant \max(-y,-\widetilde{a}^{\,2})$. Но в зависимости от соотношения между $z$ и $\widetilde{a}$ два оставшихся корня либо положительны, либо отрицательны Уравнение (3.9), с одной стороны, определяет на комплексной плоскости $(y,\lambda)$ семейство зависящих от $(z,\widetilde{a})$ эллиптических (алгебраических) кривых (рис. 2). С другой стороны, если зафиксировать $y$ и $\widetilde{a}$, то мы получим эллиптическую кривую на плоскости $(z,\lambda)$ (рис. 3).  Рис. 3.Сплошной линией изображено решение уравнения (3.9) для $y>\widetilde{a}^{\,2}$(a) и $0 \leqslant y<\widetilde{a}^{\,2}$ (b), пунктирные прямые – для $\lambda=-y$ и $\lambda= -\widetilde{a}^{\,2}$ Разложение (3.6) дает лишь некоторые наводящие соображения. Оно содержит три слагаемых, определяемых корнями $\lambda_{j}$, и справедливо вне окрестности точек, в которых корни $\lambda_j$ становятся кратными и из вещественных становятся комплексными. С точки зрения квазиклассических асимптотик в рассматриваемой задаче эти точки являются фокальными или точками поворота. Часто разложение (3.6) называют “разложением по модам”. В некотором смысле и локально формула (3.6) дает фундаментальное решение исследуемого уравнения. 3.3. “Вещественная” квазиклассика для асимптотик с комплексными фазамиЛокальное ВКБ-представление (3.6) имеет такие дефекты: 1) оно не работает в окрестности точек поворота, в которых происходит “перескок” c моды на моду и перестройка такого представления; 2) фазы в (3.6), вообще говоря, комплекснозначные функции, и стандартный подход для работы с такого сорта асимптотиками требует очень деликатного анализа с выходом на комплексную плоскость по переменным $y$ (и/или $z$), привлечения линий Стокса и так далее (см., например, [34], [35]), хотя, в принципе, окончательный результат достаточно получить для вещественных $n$ (и часто $z$). Решение рассматриваемой задачи – вещественнозначно (по крайней мере при $y=nh$), поэтому в области, где два корня комплексные, его асимптотику, с учетом свойств корней характеристического уравнения, с помощью ВКБ-асимптотики (3.6) разумно представить в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \psi &= A_0 (y,z,\widetilde{a})e^{i\pi y/h} e^{S_0(y,z,\widetilde{a})/h} \\ &\qquad+A_1(y,z,\widetilde{a}) e^{S_1(y,z,\widetilde{a})/h} \biggl(A_2(y,z,\widetilde{a}) \sin\biggl(\frac{{S}_2(y,z,\widetilde{a})}{h}+g(y,z,\widetilde{a})\biggr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Здесь новые фазы $S_j$ связаны со старыми формулами: $S_0=i\mathbf{S}_0-i\pi y$, $S_1=-\operatorname{Im}\mathbf{S}_+$, $S_2=\operatorname{Re}\mathbf{S}_+$, а $A_0$, $A_1$ и $A_2$ – амплитуды, являющиеся решениями соответствующих уравнений переноса. Принцип деления амплитуды $A_1A_2$ на две будет объяснен в дальнейшем (см. подпункт 3.4.3). Разумеется, такое представление не работает в окрестности точки поворота (фокальной точки). Важный факт заключается в том, что, вообще говоря, уравнения для функций $S_1$ и $S_2$ являются следствием комплексного уравнения Гамильтона–Якоби и, как правило, определяются из совместной системы уравнений для этих функций. Наше наблюдение состоит в том, что специальные свойства характеристического полинома и его корней приводят к тому факту, что эти уравнения “расцепляются”, причем функции $S_0$, $S_1$ и соответствующие им амплитуды определены глобально при всех положительных $y$. Соответствующие $S_0$, $S_1$ и $S_2$ гамильтонианы уже вещественны, и, если не интересоваться поведением исследуемых полиномов при комплексных значениях $y$, то выход по переменной $y$ на комплексную плоскость уже не требуется. Тем самым при построении соответствующих асимптотик можно использовать методы квазиклассического приближения, в частности, канонический оператор Маслова, в которых фазы предполагаются вещественными. Поэтому развиваемый здесь подход можно называть “вещественная” квазиклассика для асимптотик с комплексными фазами. Ранее в п. 1.3 мы уже сформулировали некоторые свойства характеристического полинома (лемма 1.3). Обсудим их более подробно. При этом здесь и далее вещественный корень нам удобнее обозначать $\lambda_0$ (т. е. $\lambda_0:=h\Lambda_3$), а два оставшихся корня – $\lambda_{\pm}$. Лемма 3.1. При $y>0$ один из корней характеристического полинома является гладкой отрицательной монотонно убывающей функцией аргумента $y$, причем $\lambda_0(0)=0$, $\lambda (\infty)=-\widetilde{a}^{\,2} $, и не пересекается с другими корнями, которые мы обозначим $\lambda_\pm$. При этом по теореме Виета Доказательство этого утверждения, а также свойства корней $\lambda_{\pm}$, приводятся в подпункте 3.8.2. Таким образом, замена приводит задачу определения двух комплексно-сопряженных корней к виду
$$
\begin{equation}
\sqrt{B(y)}\,(\widetilde\lambda^2+1) -A(y)\widetilde\lambda=0\quad \Longleftrightarrow\quad \sqrt{B(y)}\,(\widetilde\lambda+\widetilde\lambda^{-1}) -A(y)=0.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Если теперь вспомнить, что $\lambda=e^{ip}$, то выделение множителя $\lambda-\lambda_0$ и замена (3.12), дающая (3.13), с точки зрения уравнения Гамильтона–Якоби приводит к следующему выводу. Следствие 3.1. Решения уравнения Гамильтона–Якоби (3.7) можно представить в виде $\mathbf{S}_0=-iS_0+\pi y$, $\mathbf{S}_{\pm}=-iS_1\pm S_2$, где вещественные функции $S_j$ удовлетворяют уравнениям Функции $S_0(y,z,\widetilde{a})$ и $S_1(y,z,\widetilde{a})$ однозначно определены с точностью до констант $S^0_0(z,\widetilde{a})$ и $S^0_1(z,\widetilde{a})$ и гладко зависят от $y$ при $y>0$, решения $S_2$ последнего уравнения определены при $A^2<4 B$. Равенство $A^2=4 B$ определяет точки поворота. Таким образом, асимптотика исходной задачи связана с тремя вещественными классическими гамильтонианами, два из которых порождают в асимптотике не осциллирующие ВКБ-экспоненты (с “чисто мнимыми” фазами), а гамильтониан – осциллирующий сомножитель.Мы обозначаем импульсы разными буквами: $\xi$ в случае “мнимых” фаз и $p$ в случае “вещественных” фаз, чтобы различить соответствующие компоненты решения. “Квантование” символов $H_j$, т. е. замена импульсных переменных на оператор дифференцирования, проводится по-разному:
$$
\begin{equation}
\xi\to \widehat\xi= h\frac{\partial}{\partial y}\quad \text{и}\quad p\to \widehat p=-i h\frac{\partial}{\partial y}.
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
Замечание 3.2. Гамильтонианы $H_j$ порождают гамильтоновы системы и фазовые потоки. Их траектории, лежащие на нулевых уровнях, определяют соответствующие им (квазиклассические) асимптотики. С точки зрения теории гамильтоновых систем появление вещественных гамильтонианов $H_j$ можно объяснить таким образом. Полный гамильтониан, задающий фазы $\mathbf{S}_j$, имеет вид $\mathcal{R}(e^{i\mathbf{p}},y)$. Сначала из этого полного гамильтониана $\mathcal{R}(e^{i\mathbf{p}},y)$ отделяется множитель $\mathcal{R}_1=e^{i\mathbf{p}}-\lambda_0(y)$, который после разделения импульса на вещественную и мнимую части $\mathbf{p}=p-i \xi$ становится равным $e^{\xi}\cos p-\lambda_0(y)+ie^{\xi}\sin p$, причем нужны такие $(p,\xi,y)$, что $\mathcal{R}_1=0$. Равенство нулю мнимой части приводит к тривиальным с точки зрения гамильтоновых систем равенствам $p=2\pi k$ и $p=(2k+1)\pi$, причем с точки зрения решений исходной дискретной задачи можно ограничиться значением $k=0$. Поскольку $\lambda_0<0$, то значения $p=0$ приводят к пустому множеству решений. Множество $p=\pi$ дает равенство $H_1=e^{\xi}+\lambda_0(y)=0$. Разделение импульсов $\mathbf{p}=p-i\xi$ во втором множителе $\mathcal{R}_2(e^{i\mathbf{p}},y)$ дает Сокращение на $e^{ip}$ и приравнивание к нулю мнимой части полученной функции дает равенство $g=\mathrm{const}=1$, эквивалентное равенству $H_1=0$ (т. е. отделению гамильтониана, описывающего эволюцию мнимой части импульса). Подстановка $g=1$ в вещественную часть дает гамильтониан $H_2$, описывающий эволюцию вещественной части импульса. Переменная $y$ при этом остается вещественной. С геометрической точки зрения уравнения $H_j=0$ задают на фазовых плоскостях одномерные инвариантные лагранжевы многообразия, причем в первых двух случаях они вполне тривиальны, в том смысле, что проектируются взаимнооднозначно на ось $y$, и в сущности в асимптотических конструкциях они не особенно нужны (рис. 4). В третьем случае уравнение $H_2=0$ задает счетное количество таких многообразий, которые, однако, в асимптотических решениях дают отличия лишь в виде множителей $e^{2i\pi k y/h}$, и при сужении на сетку $y=nh$ такие функции совпадают. Поэтому в зависимости от соотношения между $z$ и $\widetilde{a}$ (или $x$ и $a$) можно (и нужно) ограничиться следующими многообразиями: при $|z/\widetilde{a}|=|x/a|>1$ соответствующими выбору импульса $p \in (-\pi,\pi)$, а при $|z/\widetilde{a}|=|x/a|<1$ – выбору импульса $p\in (\pi/2,3\pi/2)$ (рис. 5). Обозначим эти многообразия соответственно $\Lambda_+$ и $\Lambda_-$. Главное отличие этого случая от предыдущих состоит в неоднозначном проектировании многообразий $\Lambda_\pm$ на ось $y$, причем равенство $H_2=0$ имеет вещественные решения при $y$ на полуоси $y>y^*_\pm$, где $y^*_{\pm}$ – нуль функции $A(y)/(2\sqrt{B(y)})-(\pm 1)$ (знак “$+$” соответствует $\Lambda_+$ и знак “$-$” соответствует $\Lambda_-$). Анализ (не вполне тривиальный) этого факта с точки зрения квазиклассических асимптотических решений псевдодифференциального уравнения (1.36) приводит к следующему предположению о структуре интересующих нас его решений: их можно представить в виде
$$
\begin{equation}
\psi= C_0(z,\widetilde{a}) \Psi_0 + C_1 (z,\widetilde{a})\Psi(y,z,\widetilde{a}),
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
$$
\begin{equation}
\Psi_0 =e^{i\pi y/h}\psi_0(y,z,\widetilde{a}),\qquad \Psi= \psi_1(y,z,\widetilde{a}) \psi_2 (y,z,\widetilde{a}) ,
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
где $C_j(z,\widetilde{a})$ – “константы интегрирования”, а функции $\psi_j$ в конечном итоге определяются как асимптотические решения системы (псевдодифференциальных) уравнений
$$
\begin{equation}
\bigl(e^{\widehat \xi}+ \lambda_0(y)+h V_0(y)+ O(h^2)\bigr) \psi_0=0,\qquad \bigl(e^{\widehat \xi}- \sqrt{B(y)}+h V_1(y) + O(h^2)\bigr) \psi_1=0,
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl(\cos \widehat p-\frac{A(y)}{2\sqrt{ B(y)}}+h V_2(y)+ O(h^2)\biggr)\psi_2=0.
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Функции $V_j$ явно выражаются через $\lambda_0$ и $A, B$ (которые выражаются через $\lambda_0)$. Они имеют громоздкий вид, при этом сразу удобнее построить функции $\psi_j$, мы займемся такими построениями ниже. 3.4. Вывод уравнений и асимптотических формул для функций $\psi_j$, основанный на корне $\lambda_0(y)$При выводе этих уравнений мы используем операторный подход, квазиклассическое приближение и различные свойства канонического оператора Маслова. “Отщепление” уравнения (моды) для функции $\Psi_0=e^{i\pi y/h}\psi_0$, соответствующей корню $\lambda_0$, находится в рамках стандартных для операторного подхода рассуждений. Вывод уравнений для $\psi_1$ и $\psi_2$ состоит из нескольких шагов: сначала с помощью стандартных рассуждений отделяется уравнение для $\psi_1$, а затем, с помощью подхода, похожего на метод разделения переменных, это уравнение факторизуется. Отличие от метода разделения переменных состоит в том, что “разделяемые” функции $\psi_1$ и $\psi_2$ зависят от одной и той же переменной $y$. При этом вывод уравнений опирается на тот факт, что оператор, задающий уравнение для $\psi_2$, будет симметричным. Наконец отметим, что важное свойство этих уравнений состоит в гладкости и вещественности функций $\lambda_0$, $A$, $B$, $V_j$, а также, что основной содержательный факт здесь – явные представления для вещественнозначных функций $V_j$, выраженных, как уже отмечалось, через $\lambda_0$, $A$, $B$. 3.4.1. Расщепление псевдодифференциального уравнения на дваСначала отделим уравнение для функции $\Psi_0=e^{i\pi y/h}\psi_0$ и уравнение для функции $\Psi$. Для этого применим к уравнению (1.36)–(1.38) операторы $\widehat{L_1}=(e^{i\widehat{p}}-\lambda_0)^{-1}$ и $\widehat{L_2}=(e^{i\widehat{p}}-A(y)+B(y)e^{-i\widehat{p}})^{-1}$, что и позволит нам разбить уравнение (1.36) на два. Лемма 3.2. Асимптотическое решение уравнения (1.36) можно представить в виде Доказательство мы приведем в подпункте 3.8.3. 3.4.2. Вывод уравнения и формулы для $\psi_0$Выведем теперь уравнения и формулы для $\psi_0$. По существу они получаются из формулы коммутации псевдодифференциального оператора с быстроменяющейся экспонентой и ее обобщения – формулы коммутации псевдодифференциального оператора с каноническим оператором Маслова. В рассматриваемой задаче, однако, имеются некоторые нюансы, и для полноты изложения мы обсудим этот вывод несколько подробнее. Как будет видно из дальнейшего, функция $\Psi_0$ не играет особой роли в асимптотике полиномов, тем не менее мы рассмотрим сначала уравнение (3.27). Подставим функцию $\Psi_0=e^{i\pi y/h}\psi_0$ в это уравнение и “пронесем” экспоненту $e^{i\pi y/h}$ через оператор, задающий это уравнение. Согласно общим формулам [23] это приведет к замене оператора $e^{i\widehat p}$ на $e^{i\pi}e^{i\widehat p}=- e^{i\widehat p}$. Теперь представим функцию $\psi_0$ в форме ВКБ $\psi_0 =e^{S_0(y)/h}A_0(y)$ и воспользуемся формулой коммутации псевдодифференциального оператора и быстроменяющейся экспоненты. В рассматриваемой задаче псевдодифференциальные операторы – это операторы сдвига, для которых справедливы очевидные равенства
$$
\begin{equation}
e^{\pm i\widehat p}\mathbf{f}(y)=\mathbf{f}(y\pm h)=\mathbf{f}(y)\pm h\,\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial y}(y)+\frac{h^2}{2}\,\frac{\partial^2 \mathbf{f}}{\partial y^2}(y)+O(h^2),
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
$$
\begin{equation}
e^{\pm i\widehat p}(\mathbf{f}_1(y)\mathbf{f}_2(y))=\mathbf{f}_1(y\pm h)\mathbf{f}_2(y\pm h).
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
Поэтому асимптотическое разложение формулы коммутации оператора сдвига $e^{i\widehat p}=e^{h\,\partial/\partial y}$ c экспонентой фактически сводится к разложению в ряд Тейлора:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &e^{i\widehat p}\bigl(e^{S_0(y)/h}A_0(y)\bigr)=e^{S_0(y+h)/h}A_0(y+h) \\ &\qquad=e^{S_0(y)/h}e^{\partial S_0(y)/\partial y} \biggl(\biggl(1+\frac{h}{2}\, \frac{\partial^2 S_0(y)}{\partial y^2}\biggr)A_0(y) +h\, \frac{\partial A_0(y)}{\partial y}+O(h^2)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Формула коммутации оператора $\mathcal{L}_0(\stackrel{2}y,e^{i\stackrel{1}{\widehat p}})$ и функции $e^{i\pi y/h}e^{S_0(y)/h}A_0(y)$ дает в главном члене
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}_0(\stackrel{2}y,e^{i\stackrel{1}{\widehat p}})\bigl(e^{i\pi y/h} e^{S_0(y)/h}A_0(y)\bigr) =e^{i\pi y/h} e^{S_0(y)/h} \bigl(\mathcal{L}_0(y,-e^{\partial S_0(y)/\partial y})A_0(y)+O(h)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\widehat{\mathcal{H}^0}e^{i\pi y/h}e^{S_0(y)/h}A_0(y)= -e^{i \pi y/h} e^{S_0/h} \biggl[e^{\partial S_0/\partial y}+\lambda_0 \\ &\qquad +h \biggl(e^{\partial S_0/\partial y}\biggl(\frac{\partial A_0}{\partial y}+\frac{1}{2}\, \frac{\partial^2 S_0}{\partial y^2}A_0\biggr) -\mathcal{L}_0(y,-e^{\partial S_0/\partial y})\biggr)+O(h^2)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, следуя методу ВКБ, приравниваем к нулю коэффициенты при $h^0=1$, что, естественно, дает уравнение Гамильтона–Якоби (3.14) для функции $S_0$. Его решение, очевидно, определено глобально при всех $y>0$, и, значит, ВКБ-асимптотика также определена при всех $y>0$. Приравнивание нулю коэффициента при $h$ дает уравнение для амплитуды $A_0$, при этом мы можем заменить в добавке $\mathcal{L}_0(y,-e^{\partial S_0(y)/\partial y})$ экспоненту $e^{\partial S_0(y)/\partial y}$ на $-\lambda_0$. Таким образом, получаем уравнение переноса для функции $A_0$:
$$
\begin{equation}
e^{\partial S_0(y)/\partial y}\biggl(\frac{\partial A_0(y)}{\partial y}+\frac{1}{2}\,\frac{\partial^2 S_0(y)}{\partial y^2}A_0(y)\biggr)-V_0(y)A_0(y)=0,\qquad V_0= \mathcal{L}_0(y,\lambda_0(y)).
\end{equation}
\tag{3.31}
$$
Замечание 3.3. Выражение $\lambda_0+y$ обращается в нуль только при $y=0$, т. е. $\mathcal{L}_0(y,\lambda_0(y))$ определено $\forall \, y >0$. Действительно, в силу (3.9) $\mathcal{R}(-y;y,z,\widetilde a)=-y^2z^2$. При этом, если $z=0$, то характеристический полином принимает вид $(\lambda+y)^2(\lambda+\widetilde{a}^{\,2})$, т. е. $\lambda_0=-\widetilde{a}^{\,2}$. К таким же уравнениям Гамильтона–Якоби и переноса приводит отыскание ВКБ-решения $\psi_0$ первого из уравнений (3.22). Интегрирование уравнения Гамильтона–Якоби (3.14) и уравнения переноса (3.31) дает асимптотику функции $\psi_0$. Лемма 3.3. Функция (асимптотика) $\psi_0$ имеет вид 3.4.3. Факторизация уравнения для функции $\Psi=\psi_1\psi_2$: вывод формулы для $\psi_1$ и уравнения для $\psi_2$Теперь найдем функцию $\psi_1$ и уравнение для $\psi_2$. Символ $\mathcal{H}^1=e^{ip}-A(y)+B(y)e^{-ip}+h\mathcal{L}_1(y,e^{ip})+O(h^2)$ – комплексный, и, как уже отмечалось, мы хотим провести такую факторизацию функции $\Psi$, чтобы $\psi_1$ удовлетворяла уравнению типа (3.22), а функция $\psi_2$ – уравнению (3.23). Главные символы в уравнениях для $\psi_1$ и $\psi_2$ известны, и, как и в предыдущем случае, вопрос состоит в вычислении поправок к ним. Выбор этих поправок не единственен, грубо говоря, он сказывается на амплитудах функций $\psi_1$ и $\psi_2$, которые можно синхронно изменять так, чтобы произведение $\psi_1\psi_2$ не изменялось (см. (3.10)). Мы выберем поправки таким образом, чтобы поправка $V_2$ была чисто вещественной. Форма уравнений для $\psi_1$ и $\psi_2$ диктует их решение в определенном виде. Именно, функция $\psi_1$, аналогично $\psi_0$, представляется в виде
$$
\begin{equation}
\psi_1=A_1(y)e^{S_1/h},\ \ e^{\partial S_1/\partial y}=\sqrt{B(y)}\quad \Longleftrightarrow\quad S_1=\frac{1}{2}\int_{y_1}^y \log(B(\xi))\, d\xi,
\end{equation}
\tag{3.33}
$$
где амплитуда $ A_1(y)$ – пока неизвестная функция, $y_1$ – константа. Подчеркнем, что, как и в предыдущем случае, $S_1$ и ее производная – глобально заданные функции при $y>0$. Выполнение этого же условия мы потребуем от амплитуды $A_1$. Как мы уже говорили, этот факт не справедлив для ВКБ-асимптотики функции $\psi_2$, кривые (лагранжевы многообразия) $\Lambda_\pm=\{p,y\colon\cos p-A/(2\sqrt{B})\,{=}\,0\}$ на фазовой (полу)плоскости $(p,y)$, $y>0$, не проектируются на ось $y>0$ взаимно однозначно, поэтому решение уравнения (3.23) представляется в виде канонического оператора Маслова действующего на пока неизвестную функцию $A_2$. Подставим функцию $\psi_1\psi_2$ в уравнение $\widehat{\mathcal{H}^1}\Psi=0$. Учитывая равенства (3.29), (3.30), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl(e^{i\widehat p}-A+B e^{-i\widehat p}\bigr)(\psi_1\psi_2)= e^{S_1(y)/h}\biggl[A_1\bigl(e^{\partial S_1/\partial y}e^{i\widehat p}-A+B e^{-\partial S_1/\partial y}e^{-i\widehat p}\bigr) \\ &\qquad +h\biggl(e^{\partial S_1/\partial y}\biggl(\frac{\partial A_1}{\partial y}+\frac{1}{2}\, \frac{\partial^2 S_1}{\partial y^2}\, A_1\biggr)e^{i\widehat p} \\ &\qquad+e^{-\partial S_1/\partial y}B\biggl(-\frac{\partial A_1}{\partial y}+ \frac{1}{2}\, \frac{\partial^2 S_1}{\partial y^2}\, A_1\biggr)e^{-i\widehat p}+O(h^2)\biggr]\psi_2 \\ &=e^{S_1(y)/h}\!\biggl[A_1(2\sqrt{B}\cos\widehat p\,{-}A)+ h\biggl(A_1\, \frac{\partial\sqrt{B}}{\partial y}\, \cos\widehat p\,{+}\,2i\, \frac{\partial A_1}{\partial y}\, \sqrt{B}\sin\widehat p\biggl)\,{+}\,O(h^2)\biggr] \psi_2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.35}
$$
поскольку $e^{\partial S_1/\partial y}\,{=}\,\sqrt{B}$. Теперь применим к функции $\Psi$ оператор $\mathcal{L}_1(\stackrel{2}y,e^{\stackrel{1}{i\widehat p}})$. Формула коммутации экспоненты и псевдодифференциального оператора c учетом того факта, что нам нужен только главный член в соответствующем асимптотическом разложении, дает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{L}_1(\stackrel{2}y,e^{i\stackrel{1}{\widehat p}})(e^{S_1(y)/h}A_1\psi_2) &=e^{S_1(y)/h} \bigl(A_1 \mathcal{L}_1(\stackrel{2}y,e^{\partial {\stackrel{2}S_1}/\partial y}e^{i\stackrel{1}{\widehat p}}) +O(h)\bigr)\psi_2 \\ &= e^{S_1(y)/h} \bigl(A_1 \mathcal{L}_1(\stackrel{2}y, \stackrel{2}{\sqrt{B(y)}}e^{i\stackrel{1}{\widehat p}})+O(h)\bigr)\psi_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При переходе в последнем равенстве мы воспользовались таким же соображением, что и при выводе уравнения для $\psi_0$, и заменили $e^{\partial {S_1}/\partial y}$ на $\sqrt{B(y)}$. Теперь разобьем символ $\mathcal{L}_1$ на вещественную и мнимую части, что в рассматриваемой ситуации, нетрудно понять, эквивалентно выделению четной (вещественной) и нечетной (мнимой) частей. Далее, нетрудно сообразить, что четная часть зависит от $\cos p$, а мнимая часть может быть представлена в виде произведения $\sin p$ на (четную) функцию, зависящую опять же только от $\cos p$:
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}_1(y, {\sqrt{B(y)}}\,e^{i{ p}}) = \mathcal{L}_1^{\mathrm{Re}}(y,\cos p)+ i\sin p\,\mathcal{L}_1^{\mathrm{Im}}(y,\cos p).
\end{equation}
\tag{3.36}
$$
Здесь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathcal{L}_1^{\mathrm{Re}}(y,\cos p)= \frac{(4 \widetilde{a}^{\,2} A + 3 A^2 + 2 A y - 8 \widetilde{a}^{\,2} \lambda_0 - 6 A \lambda_0 - 4 y \lambda_0 + 12 B (1 - \cos^2 p))}{8(B - A\lambda_0 + \lambda_0^2)} \\ &\quad +\frac{(z^2 (A^3 + 2 A^2 y - 2 A^2 \lambda_0 - 4 A y \lambda_0 + 4(A + 2 y - 2 \lambda_0) (B - B \cos^2 p)))}{8(B - A y + y^2) (B - A \lambda_0 + \lambda_0^2)} \\ &\quad +\frac{ 1}{(B - A\lambda_0 + \lambda_0^2)^2}\biggl(-\frac{1}{8}(2 \widetilde{a}^{\,2} + A)(A + 2 y)(A - 2 \lambda_0)^2- 2(B - B \cos^2 p)^2 \\ &\quad -(\widetilde{a}^{\,2} A + A^2 - 2 \widetilde{a}^{\,2} y + A y - 4 \widetilde{a}^{\,2} \lambda_0 - 2 A \lambda_0 - 4 y \lambda_0 - 2 \lambda_0^2) (B - B \cos^2 p^2) \biggr), \\ &\mathcal{L}_1^{\mathrm{Im}}(y,\cos p)=-\frac{(2 \widetilde{a}^{\,2} +y +3 \lambda_0)}{2 (B - A\lambda_0 + \lambda_0^2)} - \frac{z^2 ( A^2 + 4 y \Lambda_0 + 4 B - 4 B \cos^2 p) }{4 (B - A y + y^2) (B - A\lambda_0 + \lambda_0^2)} \\ &\quad +\frac{1}{4 (B - A\Lambda_0 + \lambda_0^2)^2} \bigl((A - 2 \lambda_0) (2 y \lambda_0 + A (y + 2 \lambda_0) + \widetilde{a}^{\,2} (A + 4 y + 2 \lambda_0)) \\ &\quad + 4 (\widetilde{a}^{\,2} + y + 2 \lambda_0) (B - B \cos^2 p)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 3.4. Функции $\mathcal{L}_1^{\mathrm{Re},\mathrm{Im}}$ определены для любого $y>0$, поскольку в этом случае $B-Ay-y^2 \neq 0$. Действительно, если $B-Ay-y^2 = 0$, то $y$ – один из корней $\lambda_{\pm}$, откуда $\mathcal{R}(y,y)=y^2(4(y+a^2)-z^2)=0$. Однако, если $4(y+a^2)-z^2 =0$, то $\lambda_0=y$. Теперь воспользуемся формулами коммутации канонического оператора с псевдодифференциальными операторами
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}_1^{\mathrm{Re},\mathrm{Im}}(\stackrel{2}y, \cos\stackrel{1}{\widehat p}) K_{\Lambda_\pm} A_2=K_{\Lambda_\pm} \bigl(A_2\mathcal{L}_1^{\mathrm{Re},\mathrm{Im}}\big|_{\Lambda_\pm}\bigr)+O(h).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку на многообразиях $\Lambda_\pm$ справедливо равенство $\cos p=A/(2\sqrt{B})$, то сужение символов $\mathcal{L}_1^{\mathrm{Re},\mathrm{Im}}$ на $\Lambda_\pm$ означает, что замена $\cos p=A/(2\sqrt{B})$ в символах $\mathcal{L}_1^{\mathrm{Re},\mathrm{Im}}$ не изменяет главный член асимптотики, и мы можем, аналогично предыдущему, глобально заменить в (3.36) $\cos p$ на $A/(2\sqrt{B})$, что дает
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}_1\bigl(y, {\sqrt{B(y)}}e^{i p}\bigr) =\mathcal{L}_1^{\mathrm{Re}}\biggl(y,\frac{A}{2\sqrt{B}}\biggr)+i\sin p\,\mathcal{L}_1^{\mathrm{Im}}\biggl(y, \frac{A}{2\sqrt{B}}\biggr),
\end{equation}
\tag{3.37}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}_1^{\mathrm{Re}}\biggl(y,\frac{A}{2\sqrt{B}}\biggr) =\frac{6B+yA+2\widetilde{a}^{\,2}A-\lambda_0(3A+2y+4\widetilde{a}^{\,2})} {4(\lambda_0^2-A\lambda_0+B)}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad +\frac{z^2AB+2z^2yB-\lambda_0z^2(2B+yA)}{2(\lambda_0^2-A\lambda_0+B)(y^2+Ay+B)}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad-\frac{1}{(\lambda_0^2-A\lambda_0+B)^2}\bigl(\lambda_0^2(A(A+\widetilde{a}^{\,2}+y)-2B+2\widetilde{a}^{\,2}y)
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad -2\lambda_0(B(A+2(\widetilde{a}^{\,2}+y))+\widetilde{a}^{\,2}yA)+2B^2 +AB(\widetilde{a}^{\,2}+y)+\widetilde{a}^{\,2}yA^2-2\widetilde{a}^{\,2}yB\bigr),
\end{equation}
\tag{3.38}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}_1^{\mathrm{Im}}\biggl(y,\frac{A}{2\sqrt{B}}\biggr) =- \sqrt{B}\biggl(\frac{(3\lambda_0+y+2\widetilde{a}^{\,2})}{2(\lambda_0^2-A\lambda_0+B)}+ \frac{z^2(\lambda_0y+B)}{(\lambda_0^2-A\lambda_0+B)(y^2+Ay+B)}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad +\frac{2\bigl((A+\widetilde{a}^{\,2}+y)\lambda_0^2+2(y\widetilde a^{\,2}-B)\lambda_0-(\widetilde{a}^{\,2}+y)B-y\widetilde{a}^{\,2}A\bigr)} {(\lambda_0^2-A\lambda_0+B)^2}\biggr).
\end{equation}
\tag{3.39}
$$
Таким образом, получаем равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &e^{S_1(y)/h}\biggl[A_1(2\sqrt{B}\cos\widehat p-A)+ h \biggl( A_1\, \frac{\partial\sqrt{B}}{\partial y}\, \cos\widehat p +2i\, \frac{\partial A_1}{\partial y}\, \sqrt{B}\sin\widehat p \\ &\qquad+A_1\mathcal{L}_1^{\mathrm{Re}}\biggl(y,\frac{A}{2\sqrt{B}}\biggr)+i A_1\mathcal{L}_1^{\mathrm{Im}}\biggl(y, \frac{A}{2\sqrt{B}}\biggr)\sin \widehat p\biggr)+O(h^2)\biggr] \psi_2 =0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.40}
$$
Разделяя теперь вещественную и мнимую части и заменяя $\cos \widehat p$ в слагаемом c $h$, получим для $\psi_2$ уравнение (3.23) с
$$
\begin{equation}
V_2(y;z,\widetilde a)= \frac{A }{8 B\sqrt{B}}\, \frac{\partial B}{\partial y}(y;z,\widetilde a)+ \frac{1}{2\sqrt{B(y;z,\widetilde a)}} \, \mathcal{L}_1^{\mathrm{Re}}\biggl(y,\frac{A}{2\sqrt{B}}(y;z,\widetilde a)\biggr)
\end{equation}
\tag{3.41}
$$
и уравнение для $A_1$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial A_1}{\partial y}+\biggl(\frac{1}{2\sqrt{B}}\, \mathcal{L}_1^{\mathrm{Im}}\biggl(y, \frac{A}{2\sqrt{B}}\biggr)\biggr)A_1=0.
\end{equation}
\tag{3.42}
$$
Интегрирование уравнения (3.42) приводит к следующему утверждению. Лемма 3.4. Функция (асимптотика) $\psi_1$ имеет вид (3.33) c $y_1$ – та же константа, что и в (3.33). 3.4.4. Представление функции $\psi_2$ в виде функции ЭйриАсимптотические решения уравнения (3.23), (3.41) строятся с помощью квазиклассического приближения (метода ВКБ). Эти асимптотические решения, как мы уже отмечали, связаны (с учетом последующего сужения решений на сетку $y=nh$) c лагранжевыми многообразиями $\Lambda_\pm $ на фазовой полуплоскости $\{(p,y)\colon y>0\}$. При этом в задаче присутствуют (невырожденные) фокальные точки (точки поворота) $y=y^*_\pm$, которые задаются уравнениями для $\Lambda_+$: $A/(2\sqrt{B})(y)=1$ (тогда $p=0$) и для $\Lambda_-$: $A/(2\sqrt{B})(y)=-1$ (тогда $p=\pi$). Вместе значения $y=y^*_\pm$ определяются уравнением причем решение этого уравнения единственно, а появление индексов $\pm$ введено для удобства и связано с различной структурой $\Lambda_\pm$ в зависимости от значения переменной $q=z/\widetilde a=x/a$. Переход от решений, связанных с $\Lambda_-$, к решениям, связанным с $\Lambda_+$, происходит при пересечении параметром $q$ значений $\pm 1$. Сейчас мы ограничимся значениями $|q|<1$ и $|q|>1$, окрестность значений $|q|=1$ требует отдельных исследований. Асимптотика решения $\psi_2$ определяется с помощью канонического оператора Маслова на $\Lambda_\pm$, действующего на функцию $A_2$. Одно из наших основных утверждений состоит в том, что в рассматриваемом случае канонический оператор глобально, т. е. при всех $y$, реализуется в виде комбинации функции Эйри и ее производной сложного аргумента. При построении канонического оператора следует задать (инвариантную) меру и некоторую выделенную точку на $\Lambda_\pm$, фиксирующую фазовый множитель в определении канонического оператора. Рассмотрим гамильтонову систему, отвечающую гамильтониану $H_2=\cos p-A/(2\sqrt{B})$. Траектории этой системы обозначим $P_\pm(\tau)$, $Y_\pm(\tau)$ ($\tau$ – время), они и задают многообразия $\Lambda_\pm$. При этом время $\tau$ естественно выбрать в качестве координаты на $\Lambda_\pm$. Мы фиксируем $\tau$ условием $P_+(0)=0$, $Y_+(0)=y^*_+$ для $\Lambda_+$ и $P_-(0)=\pi$, $Y_+(0)=y^*_-$ для $\Lambda_-$. Инвариантная мера задается как $d \tau$, тогда якобиан проектирования $\Lambda_\pm$ на $(0,\infty)$ равен $J_\pm=d Y/d\tau=-\sin P$. Якобиан $J_+>0$ при $\tau<0$ (тогда $p\in(0,-\pi)$) и $J_+<0$ при $\tau>0$ (тогда $p\in(0,\pi)$), якобиан $J_-<0$ при $\tau<0$ (тогда $p\in(\pi/2,\pi)$) и $J_->0$ при $\tau<0$ (тогда $p\in(\pi,3\pi/2)$). Мы выберем центральные точки на $\Lambda_\pm$, задав их координатой $\tau=\mp0$, т. е. $\tau=\mp\delta$, где $\delta$ – сколь угодно малое положительное число. Также мы зафиксируем в центральной точке аргументы якобиана $J_\pm$ равенством $\operatorname{Arg} J_\pm|_{\tau=\mp\delta}=0$. После такой фиксации в формулах для остальных объектов, входящих в конструкцию канонического оператора, можно положить $\delta=0$ (об этом достаточно подробно написано в [32]). При этом $Y_\pm(0)=y^*_\pm$, и тем самым мы связываем значение переменной $\tau=0$ с фокальной точкой (точкой поворота). Такая фиксация позволяет определить канонический оператор и асимптотические решения $\psi_2$ уравнения (3.23), (3.41):
$$
\begin{equation}
\psi_2=C_2[K_{\Lambda_\pm}A_2](y),\qquad A_2=\exp\biggl(-i\int _0^\tau V_2(Y_\pm(\tau))\, d\tau \biggr),
\end{equation}
\tag{3.45}
$$
где $C_2$ – произвольная константа. Реализация последней формулы при $y>y^*_\pm$ (вдали справа от точки поворота) приводит к формуле
$$
\begin{equation}
\begin{split} &e^{i\pi/4} [K_{\Lambda_\pm}A_2](y) =\frac{(\pm 1)^{y/h} }{\sqrt {J(y)}}\sin \biggl(\frac{S^\pm_2(y)}{h}+g^\pm(y)+\frac{\pi}{4}\biggr) \\ &\ =\frac{(\pm 1)^{y/h}}{\sqrt {J(y)}}\biggl(\cos \bigl(g^\pm(y)\bigr)\sin \biggl(\frac{S^\pm_2(y)}{h}+\frac{\pi}{4}\biggr)+\sin \bigl(g^\pm(y)\bigr)\cos \biggl(\frac{S^\pm_2(y)}{h}+\frac{\pi}{4}\biggr) \biggr), \end{split}
\end{equation}
\tag{3.46}
$$
$$
\begin{equation}
S_2^\pm(y;z,\widetilde a)=\int_{y^*_\pm}^y \arccos \biggl(\pm\frac{A(\xi;z,\widetilde a)}{2\sqrt{B(\xi;z,\widetilde a)}}\biggr)\, d\xi,
\end{equation}
\tag{3.47}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J(y;z,\widetilde a) &=\sqrt{\biggl|1-\frac{A^2(y;z,\widetilde a)}{4B(y;z,\widetilde a)}\biggr|}, \\ g_\pm(y;z,\widetilde a) &= \pm\int_{y^*_\pm}^y \frac{V_2(\xi;z,\widetilde a)}{\sqrt{|1-A^2(\xi;z,\widetilde a)/4B(\xi;z,\widetilde a)}|}\, d \xi. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.48}
$$
В окрестности точки поворота $y^*_\pm$ и при $y<y^*_+$ эти формулы не работают (якобиан $J$ в точке поворота равен $0$), и канонический оператор выражается через функцию Эйри и ее производную. Заметим при этом, что все объекты $S^\pm_2$, $g^+$, $J$ определены при $y\leqslant y^*_+$. В недавних работах [32], [33] показано, что эти формулы можно модифицировать таким образом, что в рассматриваемой ситуации они будут единообразно определять канонический оператор и, тем самым, функцию $\psi_2$. Лемма 3.5. Функция (асимптотика) $\psi_2$ вне окрестности значения $|q|=1$ имеет вид Замечание 3.5. Конечно, функцию в правой части можно умножить на любую “константу”, зависящую от $z$, $\widetilde a$, как от параметров, однако мы можем включить ее в константу $C_1(z,\widetilde a)$ в формуле (3.24). Замечание 3.6. Мы покажем ниже, что функции гладко, даже аналитически, продолжаются на интервал $(0,y^*_\pm)$ и, таким образом, формула (3.49) глобально, т. е. при $y>0$, определяет асимптотическое решение $\psi_2$. Доказательство леммы 3.5, как уже отмечалось, приведено в [32], [33]. При этом сам вывод формулы (3.49) исключительно простой и основывается на следующих соображениях. 1) Асимптотическое решение $\psi_2$ при $y>y^*\pm(-\varepsilon)$, где $\varepsilon>0$ – малая, не зависящая от $h$, константа, известно в виде канонического оператора, и вопрос состоит в его упрощении, которое при $y>y^*\pm(+\varepsilon)$ приводит к формулам (3.46). При этом все функции, участвующие в этих формулах, определены, по крайней мере, вплоть до точки поворота $y^*_\pm$ (хотя сама асимптотика уже не работает). 2) В окрестности точки поворота лагранжевы многообразия имеют форму “горизонтальной параболы”, и поэтому разумно задать анзац асимптотического решения в виде линейной комбинации функции Эйри и ее производной сложного аргумента $Z(y,h)$ с коэффициентами, зависящими от $y$ и $h$:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{B}_1(y,h)\operatorname{Ai}(-Z(y,h)) +\mathcal{B}_2(y,h)\operatorname{Ai}'(-Z(y,h)).
\end{equation*}
\notag
$$
Сравнение ВКБ-асимптотики этого анзаца при $Z(y,h)\gg 1$ с (3.46), с учетом того, что при $\eta \to +\infty$
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Ai}(-\eta) \sim \frac{1}{\eta^{1/4}\sqrt{\pi}}\sin\biggl(\frac{2}{3}\eta^{3/2}+\frac{\pi}{4}\biggr), \qquad \operatorname{Ai}'(-\eta) \sim -\frac{\eta^{1/4}}{\sqrt{\pi}}\cos\biggl(\frac{2}{3}\eta^{3/2}+\frac{\pi}{4}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
немедленно приводит к формуле (3.49). 3.4.5. Продолжение асимптотического решения $\psi_2$ на интервал $0<y<y^*_\pm$ и форма “общего решения”Продолжим функции в формуле (3.49), (3.50) следующим образом:
$$
\begin{equation}
\widetilde{S}^\pm_{2}(y;z,\widetilde a) = \int_{y_\pm^*}^{y}\log\biggl(\pm\frac{A(\xi)}{2\sqrt{B(\xi)}} +\frac{1}{2\sqrt{B(\xi)}} \sqrt{A^2(\xi)-4B(\xi)}\biggr)\, d\xi,
\end{equation}
\tag{3.51}
$$
$$
\begin{equation}
v_1(y;z,\widetilde a) =\frac{ \operatorname{ch} g^\pm}{\sqrt{J}}\biggl(\frac{3 \widetilde S_2^\pm}{2}\biggr)^{1/6},\qquad v_2(y;z,\widetilde a)=\frac{ \operatorname{sh} g^\pm }{\sqrt{J}}\biggl(\frac{3 \widetilde S_2^\pm}{2}\biggr)^{-1/6}.
\end{equation}
\tag{3.52}
$$
Лемма 3.6. При $0<y\leqslant y^*_\pm$ функция $\psi_2$ представляется в виде (3.49) с продолженными таким образом функциями $S^\pm_{2}$, $v_j(y)$. При $0<y\leqslant y^*_\pm-\delta$, где $\delta$ – не зависящее от $h$ малое положительное число, справедливы формулы Объединяя результаты этого пункта, приходим к следующему утверждению. Лемма 3.7. Функция, заданная формулами (3.24), (3.21), в которых $\psi_0$ определена формулой (3.32), $\psi_1$ – формулами (3.33), (3.43), $\psi_2$ – формулами (3.49), (3.48), является главным членом асимптотического решения уравнения (1.33), (1.35). В некотором смысле функция (3.24), (3.21) описывает “общее” решение уравнения (1.33) не “слишком сильно растущее” при $y< y^*_\pm$ и больших $z$ (наряду с функцией $\psi_2$ у уравнения (3.23) имеются решения в виде растущих на бесконечности функций Эйри $\mathrm{Bi}$, такие решения мы отбрасываем). Функция (3.24) зависит от двух “констант интегрирования” $C_0$, $C_1$ (и пределов интегрирования $y_0$, $y_1$ в формулах для $\psi_0$, $\psi_1$), зависящих от переменных (параметров) $z$, $\widetilde a$. Эти константы мы найдем в подпункте 3.5.4, сравнивая при больших $z$ построенную функцию (3.24) с асимптотиками (3.2), (3.4). При этом оказывается, что слагаемое $\Psi_0$ мало по сравнению с $\Psi$, и им можно пренебречь. Заметим, что хотя функцию $\lambda_0$ можно найти явно по формуле Кардано, тем не менее представление функции $\Psi$ с помощью $\lambda_0$ не эффективно, более эффективное представление связано с заданием как функции $\lambda_0$, так и других функций, в подходящей параметрической форме. Поэтому, прежде чем заняться определением констант $C_0$, $C_1$, мы опишем эту параметризацию. 3.5. Параметризации корней характеристического уравнения и асимптотики решенияПоскольку функции, входящие в решения $\Psi$ и $\Psi_0$, выражаются через параметры задачи и корень $\lambda_0$, то решение можно записать параметрически, используя $\lambda_0$ в качестве параметра. Однако это не очень удобно c точки зрения вычислений. В данном пункте мы приводим другую параметризацию, которая позволяет вычислить некоторые интегралы явно, а также получить константы $C_0$ и $C_1$. 3.5.1. Параметризация корней характеристического уравненияКорень $\lambda_0$ представляет собой обратную функцию к функции
$$
\begin{equation}
y=-\lambda_0\biggl(1+\frac{|z|}{\sqrt{\widetilde{a}^{\,2}+\lambda_0}}\biggr)
\end{equation}
\tag{3.54}
$$
(доказательство соответствующего утверждения приведено в подпункте 3.8.2). Отсюда, чтобы избавиться от квадратного корня в выражении, в качестве параметра удобно использовать переменную $\mu$ такую, что $\widetilde{a}^{\,2}+\lambda_0=\widetilde{a}^{\,2}\mu^2$. Тогда $\lambda_0$ и переменная $y$ определяются через $\mu$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\lambda_0=\widetilde{a}^{\,2}(\mu^2-1),\qquad y=\widetilde{a}^{\,2}(1-\mu^2)\biggl(1+\frac{|q|}{\mu}\biggr),\qquad q=\frac{z}{\widetilde a}\equiv\frac{x}{a}.
\end{equation}
\tag{3.55}
$$
При этом заметим, что корень $-\widetilde{a}^{\,2}< \lambda_0 < 0$, поэтому $\mu \in (0,1)$. Лемма 3.8. Коэффициенты $A$, $B$, а следовательно, корни $\lambda_\pm$ и другие интересующие нас функции в параметрической форме записываются так: 3.5.2. Параметризация фокальных точек (точек поворота)Уравнение (3.44) через параметр $\mu$ представляется в виде Корень $\mu=-|q| \notin (0,1)$ (причем он дает $y=0$ и интереса не представляет). Таким образом, уравнение для фокальных точек в параметрической форме имеет вид
$$
\begin{equation}
\mu(|q|+\mu)^2-4|q|=0,\qquad y=\widetilde{a}^{\,2}(1-\mu^2)\biggl(1+\frac{|q|}{\mu}\biggr).
\end{equation}
\tag{3.60}
$$
При этом фокальной точке $y^*_\pm$ (в силу леммы 3.11 она единственна) соответствует
$$
\begin{equation}
\mu^*= \frac{|q|^{1/3}\bigl(|q|^{2/3}-(54 + q^2 + 6\sqrt{3}\sqrt{27 + q^2})^{1/3}\bigr)^2}{3(54 + q^2 + 6\sqrt{3}\sqrt{27 + q^2})^{ 1/3}}.
\end{equation}
\tag{3.61}
$$
Если зафиксировать $y$ и рассматривать уравнение на фокальные точки как уравнение на $z$ (или $q$), то в зависимости от соотношения между $y$ и $\widetilde a$ имеется две или четыре фокальные точки (рис. 6). Тогда $\mu^*$ и соответствующие $q^*$ определяются равенствами
$$
\begin{equation}
\mu^*_{\mathrm{ex}}=\frac{\sqrt{(8 - 4\widetilde y - \widetilde y^2 + \sqrt{8 \widetilde y^{\,3}+ \widetilde y^{\,4}})}}{2 \sqrt{2}},\qquad \mu^*_{\mathrm{in}}=\frac{\sqrt{(8 - 4\widetilde y - \widetilde y^{\,2} - \sqrt{8 \widetilde y^{\,3}+ \widetilde y^{\,4}})}}{2 \sqrt{2}},
\end{equation}
\tag{3.62}
$$
$$
\begin{equation}
q=\pm\mu\biggl(\frac{\widetilde{y}}{(1-\mu^2)}-1\biggr), \qquad \widetilde{y}=\frac{y}{\widetilde{a}^{\,2}}.
\end{equation}
\tag{3.63}
$$
“Внешние значения” $\mu^*_{\mathrm{ex}}$, $\pm q^*_{\mathrm{ex}}=\pm q(\mu^*_{\mathrm{ex}})$, определены при всех $y$ (т. е. $n$), а “внутренние” $\mu^*_{\mathrm{in}}$, $\pm q^*_{\mathrm{in}}=\pm q(\mu^*_{\mathrm{in}})$, – только при $y < \widetilde{a}^{\,2}$ (при $n< a^2$). Замечание 3.7. Решения уравнения (3.60) можно запараметризовать следующим образом: 3.5.3. Решение $\Psi$ в параметрической формеПриведем теперь построенные выше функции $\psi_j$ в параметрической форме. Напомним, что при определении функций $S_0$ и $S_1$ мы ввели пределы интегрирования $y_0$ и $y_1$ соответственно, которые обещали определить в дальнейшем. Если использовать параметризацию через $\mu$, то эти интегралы считаются явно, а в качестве нижнего предела интегрирования в обоих случаях удобнее выбрать $\mu_0=\mu_1=1$, что соответствует $y_0=y_1=0$. Таким образом, получаем следующие выражения. 1) Для функции $\psi_0$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \psi_0(\mu)=\frac{e^{S_0(\mu)/h}}{\sqrt{\widetilde{a}^{\,2}(1-\mu^2)}} \exp\biggl(-\int_{\mu_0}^{\mu}\mathcal{V}_0(\mu)\, d\mu\biggr), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.64}
$$
где
$$
\begin{equation}
S_0(\mu) \equiv S_0(x(\mu))= \int_{\mu_0}^{\mu(y)} \biggl(-\frac{\widetilde{a}^{\,2}(2\mu^3+\mu^2|q|+|q|)}{\mu^2}\biggr) \log \bigl(\widetilde{a}^{\,2}(1-\mu^2)\bigr)\, d\mu
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=\log(\widetilde{a}^{\,2}(1-\mu^2))y(\mu)+\widetilde{a}^{\,2}(\mu^2+2\mu|q|-1-2|q|),
\end{equation}
\tag{3.65}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal{V}_0(\mu) \equiv\frac{V_0(y(\mu))}{\lambda_0(y(\mu))}y'(\mu)= \frac{ 4 \mu^3 - |q| + 4 \mu^2 |q| + \mu^4 |q|}{4 \mu^4 - 4 \mu^6 + 2 \mu |q| - 2 \mu^5 |q|}.
\end{equation}
\tag{3.66}
$$
2) Для функции $\psi_1$:
$$
\begin{equation}
S_1(\mu;q) \equiv S_1(y(\mu))\equiv \frac{1}{2}\int_{\mu_1}^{\mu}\log(B(y(\mu)))y'(\mu) \, d\mu
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=\frac{\widetilde{a}^{\,2}}{2} \biggl( \frac{(1-\mu^2)(\mu+|q|)}{\mu}\log(B) +\mu^2-\frac{2|q|}{\mu}-1+2|q|\biggr),
\end{equation}
\tag{3.68}
$$
$$
\begin{equation}
A_1(\mu;q) \equiv \exp\biggl[\int_{\mu_1}^{\mu}\frac{1}{2\sqrt{B(\mu)}}\, \mathcal{L}^{\mathrm{Im}}_{1}\biggl(y(\mu),\frac{A(\mu)}{2\sqrt{B(\mu)}}\biggr) y'(\mu)\, d\mu\biggr]
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=\exp\biggl[\int_{\mu_1}^{\mu}\frac{|q|(1 - \mu^2)(3\mu + |q|)}{4 \mu (\mu + |q|) (2 \mu^3 + |q|(1 + \mu^2))}\, d\mu\biggr]
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=\biggl(\frac{2\mu(\mu+|q|)^2}{(2\mu^3+|q|(1+\mu^2))(|q|+1)}\biggr)^{1/4}.
\end{equation}
\tag{3.69}
$$
3) Для функции $\psi_2$:
$$
\begin{equation}
\begin{split} \psi_2(\mu;q)&= \sqrt{\pi}\,\biggl( \frac{{v_1^{\pm}}(\mu)}{\sqrt[6]{h}}\operatorname{Ai}\biggl(\operatorname{sign}(y^*_{\pm}-y) \biggl(\frac{3{S_2}^\pm(\mu)}{2h}\biggr)^{2/3}\biggr) \\ &\qquad + \sqrt[6]{h}\,{v^{\pm}}_2(\mu) \operatorname{Ai}'\biggl(\operatorname{sign}(y^*_{\pm}-y)\biggl(\frac{3 {S_2}^\pm(\mu)}{2h}\biggr)^{2/3}\biggr)\biggr), \end{split}
\end{equation}
\tag{3.70}
$$
$$
\begin{equation}
S^{\pm}_2(\mu;q) =\begin{cases} {\displaystyle\int_{\mu^*}^{\mu}\arccos\biggl|\frac{A}{2\sqrt{B}}(\mu;q)\biggr| \biggl(-\frac{\widetilde{a}^{\,2}(2\mu^3+\mu^2|q|+|q|)}{\mu^2}\biggr)\, d\mu}, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad y \geqslant y^*, \\ {\displaystyle\int_{\mu^*}^{\mu}\log\biggl(\biggl|\frac{A}{2\sqrt{B}}\biggr| \,{+}\,\frac{1}{2\sqrt{B}}\sqrt{|A|^2\,{-}\,4B}\biggr)\biggl(-\frac{\widetilde{a}^{\,2}(2\mu^3\,{+}\,\mu^2|q|\,{+}\,|q|)}{\mu^2}\biggr)\, d\mu}, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad y<y^*, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.71}
$$
$$
\begin{equation}
v^{\pm}_1(\mu;q) =\frac{1}{\sqrt{{J}(\mu;q)}}\biggl(\frac{3{S}_2^{\pm}(\mu;q)}{2}\biggr)^{1/6} \begin{cases} {\displaystyle\cos \biggl(\int_{\mu^*}^{\mu(x)}\pm \mathcal{V}_2 (\mu)\, d\mu\biggr)}, &y \geqslant y^*, \\ {\displaystyle \operatorname{ch} \biggl( \int_{\mu^*}^{\mu(y)}\pm \mathcal{V}_2 (\mu)\, d\mu\biggr)}, &y<y^*, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.72}
$$
$$
\begin{equation}
v^{\pm}_2(\mu;q) =\frac{1}{\sqrt{{J}(\mu;q)}}\biggl(\frac{3{S}_2^{\pm}(\mu;q)}{2}\biggr)^{-1/6} \begin{cases} {\displaystyle-\sin \biggl(\int_{\mu^*}^{\mu(y)}\pm \mathcal{V}_2 (\mu)\, d\mu\biggr)}, &y \geqslant y^*, \\ {\displaystyle \operatorname{sh} \biggl( \int_{\mu^*}^{\mu(y)}\pm \mathcal{V}_2 (\mu)\, d\mu \biggr)}, &y<y^*, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.73}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{V}_2(\mu;q) &\equiv \frac{V_2(y(\mu))}{\sqrt{|1-A^2(y(\mu))/(4B(y(\mu)))|}}y'(\mu) \\ &=\frac{\widetilde a^{\,6} (\mu + |q|)^3 (4 \mu^6 + 9 \mu |q| - 12 \mu^3 |q| + 3 \mu^5 |q| - |q|^2 - 4 \mu^2 |q|^2 + \mu^4 |q|^2)}{8 \mu^3(2 \mu^3 + |q| + \mu^2 |q|)\sqrt{B^3(\mu)}\, J(\mu;q)}, \\ J(\mu;q) &=\sqrt{\biggl|\frac{\mu(\mu(|q|+\mu)^2-4|q|)}{4(1-\mu^2)}\biggr|}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
3.5.4. Вычисление констант интегрированияЧтобы вычислить константы интегрирования $C_0$ и $C_1$, “склеим” полученную асимптотику с исходными полиномами на бесконечности (при $x \to \infty$). Из (3.2) видно, что коэффициент при старшей степени $x^{2n}$ полинома $H_{(n,n)}$ равен единице. Таким образом, нам необходимо найти коэффициент при старшей степени нашей асимптотики и приравнять его единице, откуда мы получим константы интегрирования. Однако констант интегрирования две, а такой подход дает нам одно уравнение. Но в действительности, коэффициент $C_0=0$ и функция $\Psi_0$ не дает вклада в асимптотику. Поскольку мы используем квазиклассическое приближение, то чтобы реализовать нашу схему, необходимо найти асимптотику (3.24) при $q \to \infty$ и приравнять ее (3.4). При этом воспользуемся тем, что при $q \to \infty$ функции $\mu(y,q)$ и $\mu^*(q)$ имеют следующие асимптотики (предполагаем, что $y$ фиксировано, а $|q|\gg y$):
$$
\begin{equation}
\mu(y,q) \sim 1-\frac{y}{2\widetilde{a}^{\,2}q}+\frac{\widetilde{a}^{\,2}y+y^2}{8\widetilde a^{\,4}|q|^2}-\frac{\widetilde{a}^{\,2}y+y^2}{2\widetilde a^{\,4}|q|^3},
\end{equation}
\tag{3.74}
$$
Нас интересует коэффициент при старшей степени $q$ в разложении полиномов, т. е. $h^{y/h}(\widetilde a/\sqrt{h})^{2y/h}q^{2y/h}$. Исходя из выражения (3.65), имеем, что при $q \to \infty$
$$
\begin{equation*}
e^{S_0(\mu)/h}\sim e^{(y/h)\log(y/q)} e^{-y-y/q} =h^{y/h}(q)^{-y/h}e^{(y/h)(\log(y/h)-1-1/q)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, функция $\Psi_0$ не дает вклада в старшую степень полинома. Теперь рассмотрим асимптотику функции $\Psi$ при $q\to \infty$. Поскольку для фиксированного $y$ и при стремящемся к бесконечности $q$ выполнено $y \ll y^*$, то $\Psi$ представляется выражением (3.53), которое в параметризации $\mu$ переписывается в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl|\frac{(\mu+|q|)^2(1-\mu^2)(1+|q|)^{-1}}{2(2\mu^3+|q|(1+\mu^2))(\mu(\mu+|q|)^2-4|q|)} \biggr|^{1/4} \\ &\qquad\times\exp\biggl[\frac{1}{h}\int_{\mu^*}^{\mu}\log(\pm\lambda_{\pm}(\mu))y'(\mu)\, d\mu - g^{\pm}(\mu)\biggr] \\ &\qquad\times\exp\biggl[\frac{\widetilde a^{\,2}}{2h}\biggl(\frac{(1-(\mu^*)^2)((\mu^*)+|q|)}{\mu^*}\log(B(\mu^*))+(\mu^*)^2 -\frac{2|q|}{\mu^*}-1+2|q|\biggr)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.76}
$$
Асимптотика этого выражения при $q \to \infty$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\Psi \sim h^{y/h}\biggl(\frac{\widetilde a|q|}{\sqrt{h}}\biggr)^{2y/h}\exp\biggl[-\frac{\widetilde{a}^{\,2}}{2h}(|q|-1)^2+\frac{1}{4}\log \frac{1}{2(1+|q|)}\biggr],
\end{equation}
\tag{3.77}
$$
откуда получаем, что
$$
\begin{equation}
C_1(\widetilde a,q)=\exp\biggl[\frac{\widetilde{a}^{\,2}}{2h}(|q|-1)^2-\frac{1}{4}\log \frac{1}{2(1+|q|)}\biggr].
\end{equation}
\tag{3.78}
$$
3.6. Окончательный результатПолагая $n=xh$ и возвращаясь к функциям $H_{(n,n)}$, приходим к теореме 1.3. Как было отмечено раньше, зачастую удобнее использовать асимптотику в параметризации $\mu$, которая определяется теоремой 1.4. Замечание 3.8. При $a=0$ корень $\Lambda_3=0$, тогда функции $A$ и $B$ следующие: и формула для асимптотики принимает более явный вид: Замечание 3.9. Также, используя полученные фазы и воспользовавшись равенством $p_{x}=\partial S_2/\partial x$, можно построить лагранжевы кривые, соответствующие данной задаче, на фазовой плоскости $(x,p_x)$ (рис. 7). Как видно на рис. 6, при $n<a^2$ мы попадаем в случай “двойной ямы” (и лагранжево многообразие на $(x,p_x)$ имеет две компоненты связности), а в случае $n>a^2$ – в “одинарную яму” (и лагранжево многообразие на $(x,p_x)$ имеет одну компоненту связности). 3.7. Численная проверка асимптотических формул теоремы 1.3Приведем результаты сравнения асимптотических формул (1.41) со значениями СОМ-ов Эрмита, вычисленными с помощью рекуррентных соотношений (1.9). На рис. 8 приведены результаты для $a=5$, $n=10$ (четыре фокальные точки), а на рис. 9 – для $a=5$, $n=30$ (две фокальные точки). Сплошной линией изображен график функции $e^{-x^2/2-S_1}H_{(n,n)}(x,a)$, пунктирной – соответствующая асимптотика (см. также рис. 1). Замечание 3.10. Полученная асимптотика дает плохое совпадение в окрестности точки $x = 0$. Возможно, это связано с тем, что при стремлении переменной к нулю меняется структура корней характеристического полинома (1.12). Однако этот вопрос требует дальнейшего изучения и не рассматривается в настоящей работе. 3.8. Доказательства3.8.1. Доказательства лемм из п. 1.3Докажем лемму 1.1. Доказательство. Второе уравнение в (1.11) с помощью оператора сдвига $e^{i\widehat{p}}$, $\widehat{p}=-ih\,\partial/\partial y$, можно записать в виде
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{h}\, \frac{\sqrt{h}}{z}\, e^{i\widehat{p}}\theta(y)=\frac{\widetilde{a}}{\sqrt{h}}\, \frac{y}{h}\, h e^{-i\widehat{p}} \psi(y)-\frac{y}{h}\, \frac{\sqrt{h}}{z}\, \theta(y)+\frac{z+\widetilde{a}}{\sqrt{h}}\, \psi(y).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда
$$
\begin{equation*}
\theta(y)=\bigl(\widetilde{a}ze^{-i\widehat{p}}+z^2(e^{i\widehat{p}}+y)^{-1}\bigr)\psi(y).
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя полученное выражение для $\theta$ в первое уравнение из (1.11), которое переписывается в виде
$$
\begin{equation*}
e^{i\widehat{p}}\psi(y)=\widetilde{a}(z-\widetilde{a})y e^{-i\widehat{p}}\psi(y)-y\theta(y)+\biggl(z^2-\widetilde{a}^{\,2}-y-\frac{h}{2}\biggr)\psi(y),
\end{equation*}
\notag
$$
получаем (1.33). Для дальнейшего нам понадобятся следующие утверждения (см. [23], [36], [37]). Лемма 3.9. Пусть $a(y,p;h)$ – символ оператора $\widehat{a}(\stackrel{2}y,\stackrel{1}{\widehat{p}};h)$, $b(y,p;h)$ – символ оператора $\widehat{b}(\stackrel{2}y,\stackrel{1}{\widehat{p}};h)$. Тогда символ композиции операторов $\widehat{a}\widehat{b}$ имеет вид Лемма 3.10. Пусть $\widehat{g}$ – обратный оператор к $\widehat{a}$, т. е. тогда символ $g(y,p;h)$ имеет вид где $a(y,p;h)=a_0(y,p)+ha_1(y,p)+O(h^2)$. Теперь перейдем к доказательству леммы 1.2. Доказательство. Заметим, что для любой функции $\zeta(y)$ выполнено
$$
\begin{equation}
(e^{i\widehat{p}}+y)y\zeta(y)=(y+h)\zeta(y+h)+y^2\zeta(y) =y(e^{i\widehat{p}}+y)\zeta(y)+he^{i\widehat{p}}\zeta(y).
\end{equation}
\tag{3.79}
$$
Учитывая это равенство, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(e^{i\widehat{p}}+y)\mathbf{\widehat{H}}(\stackrel{2}y,\stackrel{1}{\widehat{p}};h) \\ &\qquad=(e^{i\widehat{p}}+y)\biggl(e^{i\widehat{p}}+\widetilde{a}^{\,2}ye^{-i\widehat{p}} -\biggl(z^2-\widetilde{a}^{\,2}-y-\frac{h}{2}\biggr)\biggr) +yz^2+hz^2e^{i\widehat{p}}(e^{i\widehat{p}}+y)^{-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, учитывая лемму 3.9, приходим к (1.38). 3.8.2. Доказательства утверждений из п. 3.3Чтобы доказать лемму 3.1, изучим структуру корней характеристического полинома (3.9). Согласно формуле Кардано она зависит от дискриминанта этого уравнения $Q=\mathbf{p}^3/27 + \mathbf{q}^2/4$, $\mathbf{p}=c - b^2/3$, $\mathbf{q}=2 b^3/27 - b c/3 + d$, $b=\widetilde{a}^{\,2} - z^2 + 2 y$, $c = 2 \widetilde{a}^{\,2} y + y^2$, $d = \widetilde{a}^{\,2} y^2$. Если $Q>0$, то один корень вещественный и два комплексных, если $Q<0$, то все три корня вещественны и различны. Если $Q=0$, то все корни вещественные, при этом два из них совпадают. Дискриминант в нашем случае есть функция параметров $z$, $\widetilde{a}$: $Q=Q(z,\widetilde{a})$. Таким образом,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Q &:=\frac{1}{108} y^2 z^2 \widetilde{a}^{\,6} \biggl(-4 \frac{z^4}{\widetilde{a}^{\,4}} + \biggl(8 + 20 \frac{y}{\widetilde{a}^{\,2}} - \frac{y^2}{\widetilde{a}^{\,4}}\biggr) \frac{z^2}{\widetilde{a}^{\,2}} + 4 \biggl(-1 + \frac{y}{\widetilde{a}^{\,2}}\biggr)^3 \biggr) \\ &\, =\frac{1}{108} y^2 z^2 \widetilde a^{\,6} \bigl(-4 {q}^4 + (8 + 20 \widetilde{y} - \widetilde{y}^{\,2})q^2 + 4 (-1 + \widetilde{y})^3 \bigr) \\ &:=\widetilde{Q}(\widetilde{y},q), \qquad q=\frac z{\widetilde a},\quad \widetilde{y}=\frac{y}{\widetilde{a}^{\,2}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.80}
$$
Лемма 3.11. Уравнение $Q=0$ при $y\neq0$, $z \neq 0$ и $\widetilde a \neq 0$ равносильно и имеет всего одно вещественное решение $\widetilde{y}^{\,*}=\widetilde{y}^{\,*}(q)\geqslant 0$. С другой стороны, если посмотреть на уравнение $Q=0$ как на уравнение на $q$, то оно биквадратное, и при $\widetilde{y}<1$ имеет четыре корня, а при $\widetilde{y}>1$ – два. Доказательство. Несложно убедиться, что дискриминант уравнения (3.81) $\Delta = q^4(27+q^2)^3/1728>0$. Следовательно, рассматриваемое уравнение имеет единственный вещественный корень. Этот корень неотрицательный, так как при $\widetilde{y} <0$ ($\Longleftrightarrow y<0$) поскольку $(12+q^2)>0$, $(20q^2+12)>0$, $(1-q^2)^2>0$ $\forall \, q $. Лемма доказана. Таким образом, при $y>y^{*}(z,\widetilde a):=\widetilde{a}^{\,2}\widetilde{y}^{\,*}(z/\widetilde a)$ дискриминант $Q>0$, и уравнение (3.9) имеет один вещественный корень $\lambda_0(y,z,\widetilde{a})$ и два комплексно сопряженных корня $\lambda_{\pm}(y,z,\widetilde a)$. Лемма 3.12. При $y>0$ уравнение (3.9) имеет вещественный корень $\lambda_0(y,z,\widetilde a)$, который представляет собой обратную функцию к функции заданной на интервале $(-\widetilde{a}^{\,2},0)$. При $y\geqslant0$ вещественный корень $\lambda_0(y,z,\widetilde a)$ обладает следующими свойствами: 1) $\lambda_0(y,z,\widetilde a)<0$, если $y>0$, и $\lambda_0(0,z,\widetilde a)=0$; 2) $\lambda_0(y,z,\widetilde a) \geqslant \max(-a^2,-y)$; 3) $\lambda_0(y,z,\widetilde a)$ монотонно убывает при увеличении $y$, и при $y>0$ корень $\lambda_0(y,z,\widetilde a)$ невырожден; 4) $\lambda_0(y,z,\widetilde a)$ гладко зависит от $y$, $z$, $\widetilde a$. Доказательство. 1) Сначала докажем, что $\lambda_0(y) <0$ для любого $y > y^*$. Заметим, что при фиксированных $y$, $z$ и $\widetilde a$ значение характеристического многочлена стремится к $-\infty$ при $\lambda \to -\infty$. К тому же, при $\lambda =0$ характеристический многочлен принимает положительное значение $\widetilde{a}^{\,2}y^2$. Таким образом, поскольку при $y>y^*$ многочлен имеет единственный вещественный корень, то он отрицателен. Теперь заметим, что $\lambda_0(y) =0 \Longleftrightarrow y=0$, поскольку если $\widetilde a \neq 0$, то $\widetilde{a}^{\,2}y^2=0 \Longleftrightarrow y=0$ (случай $\widetilde a=0$ является вырожденным и рассмотрен отдельно). Таким образом, в силу непрерывности корня $\lambda_0(y)$ по $y$ и его отрицательности при $y>y^*$, он отрицателен для любого $y>0$. 2) В действительности, все вещественные корни характеристического многочлена при фиксированных $y$, $\widetilde a$ и $z \neq 0$ больше $-\widetilde{a}^{\,2}$. Поскольку $\mathcal{R}(\lambda)=(\lambda+y)^2(\lambda+\widetilde{a}^{\,2})-\lambda^2z^2<0$ при $\lambda < -\widetilde{a}^{\,2}$, то все вещественные корни больше $-\widetilde{a}^{\,2}$ при $z \neq 0$. Тот факт, что $\lambda_0 \geqslant -y$, следует непосредственно из представления (3.82). При $z=0$ считаем, что $\lambda_0=-y$. 3) В (3.82) при $\lambda \geqslant -\widetilde{a}^{\,2}$.Лемма 3.13. Корни $\lambda_{\pm}(x)$ удовлетворяют уравнению К тому же, 1) при $z^2-\widetilde{a}^{\,2}<0$ вещественные корни $\lambda_{\pm}$ отрицательны, причем $-\widetilde{a}^{\,2} \leqslant \lambda_{\pm}<\lambda_0$; 2) при $z^2-\widetilde{a}^{\,2}>0$ вещественные корни $\lambda_{\pm}$ положительны. Доказательство. Для начала заметим, что из выражения (1.40) и $\lambda_0<0$ следует $B(y)>0$, т. е. вещественные корни $\lambda_{\pm}$ одного знака. 1) В области $\widetilde{a}^{\,2}-z^2>0$ функция $A(y)<0$ $\forall \, y>0$, поскольку $\lambda_0(y)>z^2-\widetilde{a}^{\,2}-2y$. Если $\lambda<z^2-\widetilde{a}^{\,2}-2y$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lambda^3+\lambda^2(\widetilde{a}^{\,2}-z^2+2y)+\lambda(2\widetilde{a}^{\,2}y+y^2)+\widetilde{a}^{\,2}y^2 \\ &\qquad <(z^2-\widetilde{a}^{\,2}-2y)(2\widetilde{a}^{\,2}y+y^2)+\widetilde{a}^{\,2}y^2 \\ &\qquad=y^2(z^2-\widetilde a^{\,2}-2y)+(z^2-\widetilde{a}^{\,2})2\widetilde{a}^{\,2}y-3\widetilde{a}^{\,2}y^2<0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, корни $\lambda_{\pm}$ отрицательны. Докажем, что $\lambda_{+} < \lambda_0$. В силу (3.83) $\lambda_{+}$ является корнем уравнения
$$
\begin{equation*}
y=-\lambda_{+}\biggl(1-\frac{|z|}{\sqrt{\widetilde{a}^{\,2}+\lambda_{+}}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда в силу леммы 3.12
$$
\begin{equation*}
\lambda_{0}\biggl(1+\frac{|z|}{\sqrt{\widetilde{a}^{\,2}+\lambda_{0}}}\biggr)=\lambda_{+}\biggl(1-\frac{|z|}{\sqrt{\widetilde{a}^{\,2}+\lambda_{+}}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что $\lambda_{0} < \lambda_+ <0$, т. е. $\lambda_0/\lambda_{+} >1$, тогда $|z|/\sqrt{\widetilde{a}^{\,2}+\lambda_{0}} < -|z|/\sqrt{\widetilde{a}^{\,2}+\lambda_{+}}$. Таким образом, получили противоречие. 2) В области $\widetilde{a}^{\,2}-z^2<0$ в фокальной точке $A(y^*)>0$. Нетрудно убедиться, что при $q^2>1$ ($\Longleftrightarrow z^2-\widetilde{a}^{\,2}>0$) значение $\widetilde{Q}((q^2-1)/2,q)>0$, при этом $\lim_{\widetilde{y} \to -\infty}\widetilde{Q}(\widetilde{y},q)=-\infty$. Таким образом, корень $\widetilde{y}^{\,*}(q)<(q^2-1)/2$. Отсюда $z^2-\widetilde{a}^{\,2}-2y^{*}>0$. Учитывая, что $\lambda_0(y)<0$ и выражение (1.39), приходим к тому, что $A(y^*)>0$. Как упоминалось раньше, $\lambda_{\pm}$ имеют один и тот же знак. При этом $\lambda_{\pm}(y^*)>0$, поскольку $A(y^*)>0$. Предположим, что при некотором $y<y^*$ оба эти корня отрицательны, значит, существует некоторое $y_0<y^*$, в котором они оба меняют знак, т. е. $\lambda_{\pm}(y_0)=0$. Таким образом, в этой точке характеристический полином принимает вид $\lambda^3+\lambda^2\lambda_0(y_0)$, откуда $\widetilde{a}^{\,2}y_0^2=2\widetilde{a}^{\,2}y_0+y_0^2=0$. Но такое возможно только при $y_0=0$. Замечание 3.11. В силу приведенного выше доказательства имеем $B(y)\,{>}\,0$, $A(y)<0$ при $z^2-\widetilde{a}^{\,2}<0$ $\forall \, y >0$ и $A(y^*)>0$ при $z^2-\widetilde{a}^{\,2}>0$. 3.8.3. Доказательства утверждений из пункта 3.4Докажем лемму 3.2 о расщеплении уравнения (1.36) на два. Доказательство. По лемме 3.10 символ $(e^{i\widehat{p}}-\lambda_0)^{-1}$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{e^{ip}-\lambda_0(y)}-\frac{he^{ip}}{(e^{ip}-\lambda_0(y))^3}\, \frac{\partial \lambda_0}{\partial y},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial \lambda_0(y)}{\partial y}=-\frac{2\lambda_0^2+2\lambda_0(\widetilde{a}^{\,2}+y)+2\widetilde{a}^{\,2}y}{3\lambda_0^2+2\lambda_0(\widetilde{a}^{\,2}-z^2+2y)+2\widetilde{a}^{\,2}y+y^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда по лемме 3.9, если применить $(e^{i\widehat{p}}-\lambda_0)^{-1}$ к $\widehat{\mathcal{H}}$, символ полученного оператора будет иметь вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &e^{ip}-A(y)+B(y)e^{-ip}+h\biggl[\frac{3e^{ip}+y+2\widetilde{a}^{\,2}}{2(e^{ip}-\lambda_0)}+\frac{z^2e^{ip}}{(e^{ip}+y)(e^{ip}-\lambda_0)} \\ &\qquad-\frac{2(e^{ip}+y)(e^{ip}+a^2)}{(e^{ip}-\lambda_0)^2} -\frac{e^{ip}-A(y)+B(y)e^{-ip}}{(e^{ip}-\lambda_0)^2}\frac{\partial \lambda_0}{\partial y}\biggr]+O(h^2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В поправке слагаемое, которое зануляется на линии нулевого уровня $\mathcal{H}_1^0:=e^{ip}-A(y)+B(y)e^{-ip}=0$ гамильтониана, можно опустить, откуда приходим к уравнению (3.25) с субглавным символом (3.26). По лемме 3.10 символ оператора $\widehat{L}_2=(e^{i\widehat{p}}-A+Be^{-i\widehat{p}})^{-1}$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{e^{ip}-A+Be^{-ip}}+h\frac{e^{-ip}(B'-A'e^{ip})(e^{ip}-Be^{-ip})}{(e^{ip}-A+Be^{-ip})^3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, применяя оператор $\widehat{L}_2$ к $\widehat{\mathcal{H}}(y,\widehat{p};h)$ и вновь в поправке опуская слагаемые, зануляющиеся на линии нулевого уровня гамильтониана, по лемме 3.9 получим уравнение (3.27) с субглавным символом (3.28).
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AptDobTul22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|