| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Слоения на замкнутых трехмерных римановых многообразиях с малым модулем средней кривизны слоев Д. В. Болотов Физико-технический институт низких температур им. Б. И. Веркина НАН Украины, г. Харьков
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9124 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеПусть $(M, g)$ – замкнутое ориентированное трехмерное риманово многообразие и $\mathcal{F}$ – трансверсально ориентированное гладкое слоение на нем коразмерности один. Гладкость слоения всегда предполагается класса $C^{\infty}$. Трансверсальная ориентируемость обеспечивает существование единичного векторного поля $Z$, ортогонального слоению $\mathcal{F}$. Обозначим через $T \mathcal{F}$ подрасслоение касательного расслоения $TM$, касательное к $\mathcal{F} $, а через $\Gamma TM$ и $\Gamma T \mathcal{F}$ – пространства гладких сечений (векторных полей) соответствующих векторных расслоений. Через $\Omega^k(M)$ обозначим пространство дифференциальных $k$-форм на $M$. Касательная $\chi \in \Omega^{2}(M)$ и ортогональная $\nu\in \Omega^{1}(M)$ формы объема слоения $\mathcal{F}$ определяются следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \chi(X,Y):= (i(Z)\mu)(X,Y)=\mu(Z,X,Y)=\mu (X, Y, Z)\quad \forall\, X, Y \in \Gamma TM, \\ \nu (X):=g(X, Z) \quad \forall\, X \in \Gamma TM, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mu \in \Omega^3(M)$ – форма объема на $M$, а $i(Z)\colon \Omega^k(M)\to \Omega^{k-1}(M)$ – это внутреннее произведение на векторное поле $Z\in \Gamma TM$, которое $k$-форме $\omega$ ставит в соответствие $(k-1)$-форму $i(Z)\omega$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
(i(Z)\omega)(X_1,\dots,X_{k-1}):= \omega(Z,X_1,\dots,X_{k-1})\quad \forall\, X_i \in \Gamma TM, \quad i=1,\dots, k-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 1. В двойственном локальном базисе $\{\theta^1, \theta^2, \theta^3\}$ к локальному полю ортонормальных реперов $\{e_1, e_2, e_3\}$ такому, что $e_3 \equiv Z$ и $\mu=\theta^1 \wedge \theta^2 \wedge \theta^3$, имеем $\nu=\theta^3$ и $\chi=\theta^1 \wedge \theta^2$. Очевидно, что $\mu=\chi \wedge \nu$. Напомним, что второй квадратичной формой слоения $ \mathcal{F} $ называется следующая форма:
$$
\begin{equation*}
B(X)=g (\nabla_XX, Z)=g(W(X), X) \quad \forall\, X \in \Gamma T \mathcal{F},
\end{equation*}
\notag
$$
где $ \nabla $ – связность Леви-Чивита на $(M, g)$, а $W (X)=-\nabla_XZ$ суть оператор Вейнгартена слоения $\mathcal{F}$. Слоение $ \mathcal{F} $ будем называть минимальным, если $H:=(1/2)\operatorname{trace}W \equiv 0$. Ясно, что $H(x)$ – это средняя кривизна слоя $L_x\in \mathcal{F}$, проходящего через $x\in M$, поэтому функцию $H$ будем называть средней кривизной слоения $\mathcal{F}$. Тугое слоение $\mathcal{F}$ на ориентированном трехмерном многообразии $M$ – это трансверсально ориентированное слоение коразмерности один, обладающее тем свойством, что для каждого слоя существует пересекающая его трансверсальная окружность. Подмножество многообразия $M$ с заданным слоением $\mathcal{F}$ на нем называется насыщенным множеством, если оно состоит из слоев $\mathcal{F}$. Насыщенное множество $\mathcal{G}$ трехмерного компактного ориентируемого многообразия $M$ с заданным трансверсально ориентируемым слоением $\mathcal{F}$ коразмерности один называется обобщенной рибовской компонентой (или обобщенной компонентой Риба), если $\mathcal{G}$ является связным трехмерным многообразием с краем и любое трансверсальное к $\mathcal{F}$ векторное поле на границе $\partial \mathcal{G}$ направлено или везде внутрь, или везде наружу рибовской компоненты $\mathcal{G}$. Ясно, что $\partial\mathcal{G}$ состоит из конечного набора компактных слоев слоения $\mathcal{F}$. В частности, рибовская компонента $\mathcal{R}$ является обобщенной рибовской компонентой. Напомним (см. [1]), что рибовская компонента $ \mathcal{R} $ гомеоморфна полноторию $D^2\times S^1$, у которого, за исключением граничного слоя, гомеоморфного двумерному тору $T^2$, остальные слои гомеоморфны $\mathbb{R}^2$ и являются образами графиков функций $f_c\colon \operatorname{int} {D^2} \to \mathbb{R}$, $c \in \mathbb{R}$, при накрытии $p\colon D^2\times \mathbb{R} \to D^2\times S^1$ (рис. 1), где Д. Салливан доказал следующую теорему. Теорема 1 (см. [2]). Пусть $M$ – замкнутое ориентированное трехмерное риманово многообразие и $\mathcal{F}$ – гладкое трансверсально ориентируемое слоение коразмерности один на $M$. Тогда следующие утверждения эквивалентны: 1) $\mathcal{F}$ – тугое; 2) $\mathcal{F}$ не содержит обобщенных компонент Риба; 3) $\mathcal{F}$ – минимальное слоение для некоторой римановой метрики на $M$. В настоящей работе поднимаются следующие вопросы. Можем ли мы гарантировать, что если модуль средней кривизны слоев слоения коразмерности один, заданного на замкнутом трехмерном римановом многообразии, достаточно мал, то слоение является тугим? Можно ли эту “малость” оценить сверху через глобальные метрические инварианты данного риманова многообразия? В статье доказывается следующая теорема. Теорема 2. Пусть $V_0>0$, $i_0>0$, $\gamma_0\geqslant 0$ – фиксированные константы, а $M$ – замкнутое ориентированное трехмерное риманово многообразие со следующими свойствами: 1) объем $\operatorname{Vol}(M)\leqslant V_0$; 2) секционная кривизна $\gamma$ риманова многообразия $M$ удовлетворяет неравенству $\gamma \leqslant \gamma_0$; 3) $\min \{\operatorname{inj}(M),\pi/(2\sqrt{\gamma_0})\} \geqslant i_0 $, где $\operatorname{inj}(M)$ – радиус инъективности риманова многообразия $M$. Положим где $x_0$ – корень уравнения Тогда любое гладкое трансверсально ориентируемое слоение $\mathcal{F}$ коразмерности один на $M$, модуль средней кривизны слоев которого удовлетворяет неравенству $|H|<H_0$, должно быть тугим, в частности, минимальным для некоторой римановой метрики на $M$.§ 2. Предварительные сведения и результаты2.1. Геометрические неравенства и слоенияВ этом параграфе мы приведем некоторые результаты, дающие нам необходимые геометрические оценки, которые мы будем использовать в доказательстве основного результата. Для полноты изложения мы приводим доказательства некоторых из них. Лемма 1 (Риб). Пусть $(M,g)$ – замкнутое ориентированное трехмерное риманово многообразие с заданным гладким трансверсально ориентируемым слоением $\mathcal{F}$ коразмерности один. Тогда Доказательство. Пусть $\{e_1, e_2, e_3 \}$ и $\{\theta^1, \theta^2, \theta^3\}$ такие, как в замечании 1. Напомним, что $1$-формы связности Леви-Чивита определяются следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\omega_i^j (X):= g(\nabla_{X}e_i,e_j), \qquad i,j =1,2,3.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\omega_i^j =-\omega_j^i $, так как $g(\nabla_{X}e_i,e_j)+ g(e_i,\nabla_{X}e_j)=Xg(e_i,e_j)=0$. Используя структурные уравнения
$$
\begin{equation*}
d\theta^i=\theta^j\wedge \omega_j^i, \qquad i,j =1,2,3,
\end{equation*}
\notag
$$
мы получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, d\chi &=d(\theta^1\wedge \theta^2)= (\theta^j\wedge \omega_j^1 \wedge \theta^2- \theta^1\wedge \theta^j\wedge \omega_j^2)= (\theta^3\wedge \omega_3^1 \wedge \theta^2-\theta^1\wedge \theta^3\wedge \omega_3^2) \notag \\ &=\bigl(\theta^3\wedge g(W(e_1),e_1)\theta^1 \wedge \theta^2-\theta^1\wedge \theta^3\wedge g(W(e_2),e_2)\theta^2\bigr) \notag \\ &=\bigl(g(W(e_1),e_1)+g(W(e_2),e_2)\bigr)\mu=2H\mu. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Лемма доказана. Лемма 2. Пусть $(M,g)$ – трехмерное замкнутое ориентируемое многообразие с заданным гладким трансверсально ориентируемым слоением $\mathcal{F}$ коразмерности один. Пусть $A$ – обобщенная рибовская компонента слоения $\mathcal{F}$. Тогда Доказательство.
$$
\begin{equation*}
2\int_{A} H\mu=\int_A d\chi=\int_{\partial A}\chi=\pm \operatorname{Area}(\partial A),
\end{equation*}
\notag
$$
где первое равенство – это следствие леммы 1, а второе – следствие теоремы Стокса. Лемма доказана. Замечание 2. 1) Граница $\partial A$ не предполагается связной. 2) Знак в (2.2) зависит от того, внутрь или наружу $A$ направлено векторное поле $Z$ на границе $\partial A$. Следствие 1 (см. [2]). Тугое слоение не содержит обобщенных рибовских компонент. Доказательство. Если слоение $ \mathcal{F} $ тугое, то по теореме 1 для некоторой римановой метрики слоение $\mathcal{F}$ минимально. Поэтому, если $\mathcal{F}$ содержит обобщенную компоненту Риба $A$, то по лемме 2 имеем Получаем противоречие. Следствие доказано. Предложение 1. Пусть $(M,g)$ – замкнутое ориентированное трехмерное риманово многообразие с заданным трансверсально ориентированным гладким слоением $\mathcal{F}$ коразмерности один. Предположим, что $\mathcal{F}$ содержит обобщенную рибовскую компоненту $A$, а модуль средней кривизны слоения $\mathcal{F}$ имеет ограничение сверху $|H|<H_0$. Тогда $\operatorname{Area}(\partial A)<H_0 \operatorname{Vol}(M)$. Доказательство. Положим $B=\overline{M\setminus A}$. Ясно, что $B$ является обобщенной рибовской компонентой и $\partial A=\partial B$. Тогда имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 2 \operatorname{Area} (\partial A) &= \biggl| \int_{\partial A} \chi\biggr| + \biggl|\int_{\partial B} \chi\biggr| = \biggl|\int_{A} d\chi \biggr|+ \biggl|\int_{B} d\chi \biggr| \\ &=2\biggl|\int_AH\mu\biggr|+2\biggl|\int_BH\mu\biggr|<2H_0\biggl|\int_A\mu\biggr| +2H_0\biggl|\int_B\mu\biggr| \\ &=2H_0(\operatorname{Vol}(A)+\operatorname{Vol}(B))=2H_0 \operatorname{Vol}(M). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь второе равенство – это следствие теоремы Стокса, а третье – следствие леммы 1. Предложение доказано. Лемма 3 (см. [1; гл. 6, § 25]). Пусть $M$ – замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие с заданным на нем гладким трансверсально ориентируемым слоением $\mathcal{F}$ коразмерности один. Предположим, что $A$ – это обобщенная компонента Риба слоения $\mathcal{F}$. Тогда $\partial A$ – это семейство торов. Доказательство. Поскольку $M$ ориентируемо, а слоение трансверсально ориентируемо, то слои являются ориентируемыми многообразиями. Поскольку слоение $\mathcal{F}$ содержит обобщенную рибовскую компоненту, оно не содержит сферы $S^2$ в качестве слоя. В противном случае по теореме устойчивости Риба (см., например, [1; § 21]) $\mathcal{F}$ было бы $S^2$-расслоением над окружностью и не содержало бы обобщенных рибовских компонент. Согласно определению обобщенной рибовской компоненты мы можем выбрать гладкое векторное поле $\xi$, трансверсальное $\mathcal{F}$ (например, ортогональное к $\mathcal{F}$, если $M$ риманово) и направленное внутрь $A$ на границе. Пусть $\phi_t$ – однопараметрическая группа диффеоморфизмов, порожденная $\xi$. Заметим, что $\phi_t (A)\subset A$ для любого $t \geqslant 0$. Поскольку $\xi$ невырождено, существует такое маленькое $t_0>0$, что диффеоморфизм $\phi_{t_0}$ не имеет неподвижных точек. По теореме Лефшеца о неподвижной точке алгебраическое число неподвижных точек $\phi_{t_0}$ равно числу Лефшеца где $k$ – это произвольное поле. Семейство $\phi_{t \cdot t_0}$, $t\in [0,1]$, является гомотопией $\phi_{t_0}$ к тождественному отображению, значит, все следы в формуле Лефшеца совпадают с числами Бетти, а число Лефшеца совпадает с эйлеровой характеристикой $\chi(A)$. А так как неподвижных точек у $\phi_{t_0}$ нет, то эйлерова характеристика $\chi(A)=0$. Заменяя $\xi$ на $-\xi$ и повторяя рассуждения выше, получаем $\chi(B)=0$, где $B=\overline {M \setminus A}$. Поскольку $M=A \cup B$ является замкнутым $3$-многообразием, то $\chi(A \cup B)=0$, и по формуле $\chi(A \cup B)=\chi(A)+\chi(B)-\chi(A \cap B)$ получаем, что $\chi(\partial A=A \cap B)=0$. Поскольку $\mathcal{F}$ не содержит слоев, гомеоморфных $S^2$, имеем где $\{T_i\}$, $i=1, \dots, n$, – это компактные слои, составляющие $\partial A$. Мы заключаем, что $\chi(T_i)=0$ для любого $i=1, \dots, n$. Следовательно, все $T_i$, $i= 1, \dots, n$, гомеоморфны двумерному тору. Лемма доказана. Приведенная ниже теорема Лоунера дает оценку сверху на длину кратчайшей замкнутой геодезической в римановом двумерном торе. Теорема 3 (Лоунер; см. [4]). Пусть $(T^2, g)$ – двумерный тор с заданной на нем произвольной римановой метрикой. Обозначим через $l$ длину кратчайшей замкнутой нестягиваемой геодезической на $T^2$. Тогда 2.2. Опорная сфера и кривизнаОценка снизу на нормальные кривизны сферы в римановом пространстве, ограниченной сверху секционной кривизны, дается в следующей теореме. Теорема 4 (см. [5; п. 22.3.2]). Пусть $p\in M$, $\beta\colon [0,r]\to M$ – нормальная геодезическая, являющаяся одним из радиусов шара $B(p,r)$, и точка $\beta(r)$ не сопряжена с $p$ вдоль $\beta$. Пусть радиус $r$ таков, что и в пространстве постоянной кривизны $\gamma_0$ в пределах радиуса длины $r$ нет сопряженных точек. Тогда если в каждой точке $\beta (t)$ секционные кривизны $\gamma$ многообразия $M$ не превосходят $\gamma_0$, то нормальные кривизны $k^S_H$ сферы $S(p,r)$ в точке $\beta(r)$ относительно нормали $-\beta'$ не меньше, чем аналогичная кривизна $k_H^0$ сферы радиуса $r$ в пространстве постоянной кривизны $\gamma_0$. Замечание 3. Как следствие этой теоремы мы немедленно получаем, что если $M$ удовлетворяет условиям теоремы 2, то все нормальные кривизны сферы $S(r)\subset M$ положительны при условии, что $r<i_0$ и нормаль к сфере $S(r)$ направлена внутрь шара $B(r)$, который она ограничивает1. Такую нормаль будем называть внутренней. Определение 1. Гиперповерхность $S\subset M$ риманова многообразия $M$ назовем опорной к подмножеству $A\subset M^n$ в точке $p\in \partial A\cap S$ относительно нормали $n_p \perp T_pS$, если $S$ разбивает некоторую шаровую окрестность $B_p$ точки $p$ на две компоненты (в каждую из которых мы включаем $S\cap B_p$), причем $A\cap B_p$ содержится в той из этих компонент, куда направлена нормаль $n_p$. Определение 2. Будем называть сферу $S(r)\subset M$, $r< i_0$, опорной к множеству $A\subset M$ в точке $q\in A\cap S(r)$, если она является опорной к $A$ в точке $q$ относительно внутренней нормали. Лемма 4. Предположим, что поверхность $F\subset M$ касается сферы $S(r_0)$, $r_0< i_0$, в точке $q$ и при этом сфера $S(r_0)$ является опорной к $F$ в точке $q$. Тогда $k^S_H(v) \leqslant k_H^F(v)$ для любого $v\in T_qS(r_0)$. Доказательство. Введем полярные координаты $(r,\phi,\psi)$ в шаре $B(r_0)$ так, чтобы координата $\phi$ соответствовала угловой координате полярной системе координат $(\rho, \phi)$ на сфере $S(r_0)$ с центром в точке $q\in S(r_0)$. Любому касательному вектору $v\in T_q(S(r_0))$ соответствует поверхность $\Psi\colon \phi =c_1=\mathrm{const}$, на которой поверхностями $S(r_0)$ и $F$ высекаются кривые $\gamma_1\colon r=r_0$ и $\gamma_2\colon r=g(\psi)$, проходящие через $q$ и имеющие в точке $q$ касательный вектор $v$. Кривизна каждой из кривых $\gamma_1$, $\gamma_2$ на поверхности $\Psi$ в точке $q$ совпадает с нормальными кривизнами $k^S_H(v)$ и $k_H^F(v)$ в точке $q$, так как направление вдоль $r$-координаты коллинеарно как направлению нормали к кривым $\gamma_1$, $\gamma_2$ в точке $q\in \Psi$, так и направлению общей нормали к поверхностям $S(r_0)$ и $F$ в точке $q$, которую мы выбираем внутренней к сфере $S(r_0)$. Теперь достаточно вычислить кривизны кривых в точке $q$ на поверхности $\Psi$. Так как $r$-координатные линии являются геодезическими в объемлющем пространстве, они будут геодезическими и на $\Psi$, а значит, метрика на $\Psi $ имеет вид Если на кривых ввести натуральный параметр $t$ так, что $q=\gamma_1(0)=\gamma_2(0)$ и $\dot{\gamma_1}|_{t=0}=\dot{\gamma_2}|_{t=0}$, то, учитывая направление нормали, получаем выражение для кривизны первой кривой в точке $q$:
$$
\begin{equation*}
-\nabla^1_{\dot{\gamma_1}}\dot{\gamma_1}|_{t=0} =-\ddot{\gamma}^1_1|_{t=0}-\Gamma^1_{ij}\dot{\gamma^i_1}\dot{\gamma^j_1}|_{t=0},
\end{equation*}
\notag
$$
в то время как кривизна второй есть Так как кривая $\gamma_1$ лежит на сфере $S(r_0)$, то ее первая координата $\gamma^1_1$ равна константе, значит, $\dot{\gamma}^1_1=\ddot{\gamma}^1_1 \equiv 0$. Кроме того, $\dot{\gamma_1}|_{t=0}=\dot{\gamma_2}|_{t=0}$, поэтому мы имеем Последнее неравенство следует из того, что сфера $S(r_0)$ является опорной к $F$ в точке $q$, а значит, в некоторой окрестности нуля кривая $\gamma_2$ лежит ниже горизонтальной прямой $\gamma_1\colon r=r_0$ и имеет локальный максимум при $t=0$. Это доказывает лемму. 2.3. Теорема Новикова и исчезающий циклСледующая известная теорема Новикова дает топологические препятствия к существованию тугих слоений. Теорема 5 (см. [6]). Пусть $M$ – замкнутое трехмерное многообразие с заданным на нем гладким слоением $\mathcal{F}$ коразмерности один. Предположим, что выполнено любое из следующих условий: 1) $\pi_1(M)$ является конечной; 2) существует слой $ L \in \mathcal{F}$ такой, что гомоморфизм $i_*\colon \pi_1({ L})\to \pi_1(M)$, индуцированный вложением $i\colon L\to M$, имеет нетривиальное ядро. Тогда слоение содержит рибовскую компоненту. Для дальнейшего нам потребуется конструкция, лежащая в основе доказательства теоремы Новикова, которая состоит в следующем. Пусть простая замкнутая регулярная кривая2 $\alpha\subset L$ лежит в слое ${ L}\in \mathcal{F}$ и представляет ядро гомоморфизма $\pi_1({ L})\to \pi_1(M)$. Тогда найдется погружение двумерного диска $g\colon D \to M$ такое, что $g (\partial D)=\alpha$. Данное погружение можно привести малым шевелением в общее положение. Это означает, что на диске $D$ индуцируется слоение $\mathcal{F}'$, касательное к границе $\partial D$, с конечным числом морсовских особенностей, соответствующих точкам, где образ $g(D)$ касается слоения. Это либо эллиптическая особая точка (центр), в окрестности которой слоение выглядит как семейство концентрических окружностей, либо гиперболическая (седловая) особая точка, в окрестности которой слоение выглядит как семейство линий $x^2-y^2=t$, $t\in (-\varepsilon, +\varepsilon)$, включая особую точку $(0,0)$. Более того, малым шевелением можно добиться того, чтобы на одном слое было не более одной гиперболической точки. Полученное слоение вне особых точек на $D$ можно ориентировать. Это следует из односвязности диска $D$ и вида особых точек. Поэтому на $D$ можно задать векторное поле $X$, касательное к $\mathcal{F}'$. Нулям поля $X$ будут соответствовать особые точки $\mathcal{F}'$. Напомним, что сепаратриса, исходящая из особой точки и входящая в нее же, вместе с особой точкой называется петлей сепаратрисы. Сформулируем результаты С. П. Новикова в виде следующей теоремы (см. также [1; § 25], [7; леммы 9.2.2, 9.2.4]). Теорема 6 (см. [6]). 1) Внутри $D$ всегда найдется либо замкнутая интегральная кривая поля $X$, либо петля сепаратрисы, ограничивающая диск $D'\subset D$, внутри которого все интегральные кривые замкнуты или являются петлями сепаратрис. При этом $g(\partial D')$ не является нуль-гомотопной кривой на своем слое, а $g$-образ любой замкнутой интегральной кривой или петли сепаратрисы внутри $D'$ является нуль-гомотопной на своем слое. 2) Существует однопараметрическое непрерывное семейство замкнутых кривых $f_t\colon S^1 \to D'$, $t\in [0,1]$, обладающих следующими свойствами:
Кривая $c:= g\circ f_0\colon S^1 \to T$ называется исчезающим циклом. Лемма 5. Исчезающий цикл $c$ представляет нетривиальный элемент ядра гомоморфизма $\pi_1(T)\to \pi_1(\mathcal{R})$. Доказательство. Так как по определению $0\ne [g( \partial D')]\in \pi_1(T) $, а $g$-образы замыканий всех остальных траекторий поля $X$ внутри $D'$ являются замкнутыми кривыми, каждая из которых стягивается по слою, в котором она лежит, то мы имеем гомотопию $g\circ f_t, \ t\in [0,1]$, такую, что исчезающий цикл $c=g\circ f_0$ представляет нетривиальный элемент фундаментальной группы $\pi_1(T)$ и для любого $ 0<t \leqslant 1$ петля $g\circ f_t\colon S^1\to L_t \subset \mathcal{R}$ является нуль-гомотопной в слое $L_t \in \mathcal{F}$, а значит, $c$ представляет нулевой элемент фундаментальной группы $\pi_1(\mathcal{R})$. Лемма доказана.
§ 3. Вспомогательная теоремаПусть $A\subset X$ – замкнутое подмножество топологического пространства $X$ такое, что $X\setminus A$ – ориентируемое многообразие без края. Тогда пара $(X,A)$ называется относительным многообразием (см. [8; гл. 6, § 2]). Имеет место следующее утверждение. Теорема 7. Пусть $(S,\partial S) \subset (\mathcal{R}, T)$ – связное относительное двумерное компактное подмногообразие (относительная поверхность) полнотория $\mathcal{R}$ с $\partial \mathcal{R} =T$, гомеоморфное сфере $S^2$ с конечным числом вырезанных непересекающихся открытых дисков, причем граница $\partial S$ – это набор окружностей ( возможно, имеющих общие точки), стягиваемых внутри $\mathcal{R}$. Выделяя на $S$ триангуляцию и ориентацию (например, индуцированную некоторой ориентацией сферы), получаем сингулярный относительный цикл $[S,\partial S] \in H_2(\mathcal{R},T)$. Следующие утверждения эквивалентны: 1) $0\ne [S,\partial S] \in H_2(\mathcal{R},T)$; 2) $0\ne [\partial S] \in H_1(T)$; 3) $S$ не разделяет $\mathcal{R}$; 4) существует замкнутая гладкая кривая, принадлежащая $\operatorname{int}\mathcal{R}$ и трансверсально пересекающая $S$ в единственной точке; 5) любая связная компонента поднятия $S$ в универсальное накрытие $\widetilde{\mathcal{R}}$ гомеоморфна $S$ и разделяет $\widetilde{\mathcal{R}}$ на две некомпактные компоненты. Доказательство. $1 \Leftrightarrow 2$. Рассмотрим отрезок точной гомологической последовательности пары: Гомоморфизм $d$ индуцирован оператором взятия границы $\partial$ на цепях. Так как $\mathcal{R}\sim S^1$, следовательно, $H_2(\mathcal{R})=0$, а значит, $d$ – мономорфизм. Поэтому если $0\ne [S,\partial S] \in H_2(\mathcal{R},T) \Rightarrow 0\ne [\partial S] \in H_1(T)$. Но $[\partial S]\in \ker q$, следовательно, если $ 0\ne [\partial S] \in H_1(T)$, то $ [\partial S]=d[S,\partial S] $ и $[S,\partial S]\ne 0$ в $H_2(\mathcal{R}, T)$. Гомеоморфность связной компоненты $S_i$ поднятия в универсальное накрытие $\widetilde{\mathcal{R}}$ поверхности $S\,{\subset}\,\mathcal{R}$ в п. 5) следует из того, что по условию $\partial S$ стягивается в точку внутри $\mathcal{R}$, а значит, вложение $i\colon S\,{\to}\,\mathcal{R}$ может быть продолжено до непрерывного отображения сферы $S^2$ и представлено композицией которая равна нулю, так как сфера односвязна. Тривиальность $i_*(\pi_1(S))$ означает, что прообраз $S$ относительно отображения накрытия $p\colon \widetilde{\mathcal{R}} \to \mathcal{R}$ представляет собой дизъюнктное объединение $\bigsqcup_i S_i$ копий $S_i\simeq S$. Остальная часть доказательства, которую мы опускаем, является следствием двойственности Пуанкаре–Лефшица и несложного утверждения о том, что $S$ либо не разделяет многообразие $\mathcal{R}$, либо разделяет его на две связные компоненты. Теорема доказана. Имеет место следующее следствие теоремы 7. Следствие 2. Если относительная поверхность $(S,\partial S) \subset (\mathcal{R}, T)$ удовлетворяет условию теоремы 7 и не выполнено условие одного из пп. 1)–5) теоремы, то связная компонента $S_j$ поднятия $S$ в универсальное накрытие $\widetilde{\mathcal{R}}$ разделяет $\widetilde{\mathcal{R}}$ на две компоненты, одна из которых компактна. Доказательство. Из теоремы 7 следует, что если имеет место отрицание одного из пп. 1)–5), то имеет место отрицание и оставшихся. Если предположить, что $S_i$ не разделяет $\widetilde{\mathcal{R}}$, то несложно найти гладкую замкнутую кривую $\gamma \in \widetilde{\mathcal{R}} \setminus \partial \widetilde{\mathcal{R}}$, трансверсально пересекающую $S_i$ в единственной точке $s\in \widetilde{\mathcal{R}}$. Отождествим $\widetilde{\mathcal{R}} \setminus \partial \widetilde{\mathcal{R}}$ с $\mathbb{R}^3$. Двойственным классом к $\gamma \subset \mathbb{R}^3$ будет класс Tома $\Phi_1$ нормального расслоения кривой $\gamma$, который можно локализовать в произвольной трубчатой окрестности $U_1$ кривой $\gamma$, а значит, он будет иметь компактный носитель и представлять элемент группы $H^2_c(\mathbb{R}^3)$ (см. [9; гл. 1, § 6]). Класс Тома $\Phi_2$ нормального расслоения подмногообразия $S_i\setminus \partial S_i \subset \mathbb{R}^3$ представляет элемент группы $H^1(\mathbb{R}^3)$ и может быть локализован в произвольной трубчатой окрестности $U_2$ многообразия $S_i\setminus \partial S_i $. Тогда $\Phi_3 =\Phi_2\wedge \Phi_1$ будет классом Тома, двойственным к $s\in \mathbb{R}^3$, представленным колоколообразной формой в окрестности $U_1\cap U_2$ точки $s$, а значит, представляющим нетривиальный элемент $H^3_c(\mathbb{R}^3)$ (см. [9; гл. 1, § 6]). Так как $H^2_c(\mathbb{R}^3)=H^1(\mathbb{R}^3)=0$, то это будет противоречить существованию невырожденного спаривания (см. [9; гл. 1, § 5]):
которое ведет к противоречию:
$$
\begin{equation*}
0=\int_{\mathbb{R}^3} \Phi_2 \wedge \Phi_1=\int_{\mathbb{R}^3} \Phi_3 \ne0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $S_i$ разделяет $\widetilde{\mathcal{R}}$ на две компоненты, одна из которых будет компактной согласно отрицанию п. 5) теоремы 7. Так как универсальное накрытие $\widetilde{\mathcal{R}}$ некомпактно, то вторая компонента не может быть компактной. Следствие доказано. § 4. Доказательство теоремы 2Предположим, что $\mathcal{F}$ не тугое. Согласно теореме 1 слоение $\mathcal{F}$ содержит обобщенную рибовскую компоненту. По лемме 3 граница обобщенной компоненты Риба является семейством торов. Пусть $T^2$ – один из таких торов. По теореме 3 имеем $l^2 \leqslant (2/\sqrt{3})\operatorname{Area}(T^2)$, где $l$ – длина кратчайшей замкнутой геодезической $\alpha$, не гомотопной нулю в $T^2$. Из предложения 1 следует По условию теоремы 2 следовательно, $l^2 <(2i_0)^2$. Поэтому $\alpha$ содержится внутри открытого шара $\operatorname{int}{B}(r)$ с центром в $o \in \alpha$ радиуса $r$, где экспоненциальное отображение $\exp|_{B(r)}\colon T_oM \to M$ взаимно однозначно, а значит, $\alpha$ стягивается внутри $\operatorname{int}{B}(r)$. Затянем диском $g\colon D\to \operatorname{int}B(r)$ геодезическую $\alpha$, как это было сделано в теореме 6, и найдем исчезающий цикл $c \subset D' \subset D$, который принадлежит тору $T$, ограничивающему рибовскую компоненту $\mathcal{R}$.Рассмотрим нормальную систему координат $(\phi_1,\phi_2,r)$ в шаре $\operatorname{int}B(i_o)$ и обозначим через $\operatorname{pr}_r$ проекцию на $r$-координату. По теореме Сарда множество критических значений функции
$$
\begin{equation}
\operatorname{pr}_r|_ {T\,{\cap}\operatorname{int}B(i_o)}\colon T\cap \operatorname{int}B(i_o) \to \mathbb{R}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
имеет нулевую меру Лебега, и мы можем выбрать $r$ в (4.3) так, чтобы пересечение где $S(r):= \partial B(r)$, было либо пустым, либо прообразом регулярного значения (4.4), а значит, дизъюнктным объединением окружностей. Замечание 4. Регулярное значение $r$ из неравенства (4.3) можно выбрать сколь угодно близко к $l/2$, в частности, учитывая неравенство (4.1), его можно выбрать удовлетворяющим неравенству Предложение 2. Найдется сфера $S(r)$, где $r$ удовлетворяет неравенству (4.6), которая является опорной к некоторому слою рибовской компоненты $\mathcal{R}$. Доказательство. Случай 1. Пересечение (4.5) непусто, и все входящие в него окружности гомотопны нулю в $T$. Выберем регулярное значение $r$ функции (4.4), удовлетворяющее неравенствам (4.3) и (4.6). Рассмотрим связную компоненту $A$ множества $\mathcal{R} \cap B(r)$, содержащую исчезающий цикл $c$. Множество $ A\cap S(r) \subset \partial A$ состоит из конечного дизъюнктного объединения поверхностей, каждая из которых гомеоморфна сфере с некоторым количеством дыр. Пусть $S$ – одна из этих поверхностей. Ее граница $\partial S$ является подмножеством семейства окружностей (4.5), каждая из которых по предположению стягивается в $T$. Значит, мы находимся в условиях теоремы 7, из которой следует, что прообразом $S$ относительно отображения накрытия $p\colon \widetilde{\mathcal{R}}\to \mathcal{R}$ будет дизъюнктное объединение $\bigsqcup_iS_i$ копий $S\simeq S_i$. Ясно, что граница $\partial S_i\subset \partial\widetilde{\mathcal{R}}$ состоит из стягиваемых по $\partial\widetilde{\mathcal{R}}$ окружностей, каждая из которых по теореме Жордана ограничивает двумерный диск в $\partial\widetilde{\mathcal{R}}$. Из следствия 2 получаем, что каждая из поверхностей $S_i$ разрезает $\widetilde{\mathcal{R}}$ на два связных куска: где $W^{\mathrm{c}}_i$ – компактная, а $W_i$ – некомпактная связные компоненты.Так как $[c]=1$ в $\pi_1(\mathcal{R})$ (см. лемму 5), то прообразом исчезающего цикла $c$ относительно отображения накрытия $p\colon \widetilde{\mathcal{R}} \to \mathcal{R}$ будет дизъюнктное объединение его копий $\widetilde c_k$, $k\,{\in}\, \mathbb{Z}$. Циклы $\widetilde c_k$ лежат вне $\bigcup_iW^{\mathrm{c}}_i$, так как в противном случае некоторый $\widetilde c_k$ лежал бы внутри диска на $\partial\widetilde{\mathcal{R}}$, ограниченного одной из окружностей, принадлежащих $\partial S_i$, $i\in \mathbb{Z}$, и представлял бы тривиальный элемент $\pi_1(\partial \widetilde{\mathcal{R}})$, а значит, $c$ представлял бы тривиальный элемент $\pi_1(T)$, что противоречит определению $c$. Пусть $p^{-1}A=\bigsqcup_j A_j$, где $A_j$ – это связные компоненты4 прообраза относительно отображения накрытия $p\colon \widetilde{\mathcal{R}} \to \mathcal{R}$, и $\widetilde c_k\subset A_j$ для некоторых $j,k\in \mathbb{Z}$, а $S_i\subset \partial A_j$ для некоторого $i\in \mathbb{Z}$. Тогда $(W^{\mathrm{c}}_i\setminus S_i)\cap A_j=\varnothing$. В противном случае $A_j\subset W_i^{\mathrm{c}}$, так как $A_j$ связно, и тогда имело бы место включение $\widetilde c_k\subset W_i^{\mathrm{c}}$, что невозможно по ранее доказанному. Отсюда следует, что внутренняя нормаль5 к $S_i$ смотрит в сторону некомпактной компоненты $W_i$, где лежит $\widetilde c_k$ (рис. 3). Теперь вспомним, что поднятое слоение Риба на $\widetilde{\mathcal{R}}$ состоит из граничного слоя $\partial {\widetilde{\mathcal{R}}}\simeq S^1\times {\mathbb{R}}$, являющегося накрытием тора $T$, и семейства слоев $\{L_t\}$, гомеоморфных $\mathbb{R}^2$ (см. рис. 1). В $\widetilde{\mathcal{R}}\setminus \partial {\widetilde{\mathcal{R}}}$ слоение $\widetilde {\mathcal{F}}$ гомеоморфно прямому произведению $L \times \mathbb{R}$, где $L \simeq L_t$, причем слои “уходят” на бесконечность при $t\to +\infty$ (или $t\to-\infty)$. Так как $S_i$ компактно, то найдется такой номер $t_0\in \mathbb{R}$, что для всех $t>t_0$ (или $t<t_0$), множество $L_t\cap S_i=\varnothing$ и $L_{t_0}\cap S_i\ne\varnothing$. Так как слои $L_t$, $t\in \mathbb{R}$, являются связными, замкнутыми и некомпактными подмножествами в $\widetilde{\mathcal{R}}$, то $L_{t_0}\subset W_i$. Это значит, что в точке касания $q\in L_{t_0}\cap S_i$ поверхность $S_i$ является опорной6 к слою $L_{t_0}$, а сфера $S(r)$ является опорной к слою $p(L_{t_0})$ в точке $p(q)\in S\subset S(r)$. Случай 2. Пересечение (4.5) непусто и содержит окружность, не гомотопную нулю в $T$. Регулярное значение $r$ функции (4.4), как и в предыдущем случае, предполагается удовлетворяющим неравенствам (4.3) и (4.6). Произотопируем негомотопную нулю окружность из пересечения (4.5) по тору $T$ внутрь шара $B(r)$ и обратим внимание, что результатом изотопии будет незаузленная в $B(r)$ окружность, так как в начальный момент изотопии окружность принадлежала сфере $S(r)$. Такую окружность можно затянуть регулярным вложенным диском и повторить все рассуждения выше, приведенные для диска $D$. Поэтому далее мы будем считать $g\colon D\to \operatorname{int}B(r)$ вложением и продолжим доказательство, оставив старые обозначения. Для удобства отождествим $D$ с $g(D)$. Рассмотрим связную область $G\subset D'\cap \mathcal{R}$ с ориентацией, индуцированной из $D$ (см. рис. 2), ограниченную исчезающим циклом $c$, представляющим негомотопную нулю замкнутую кривую в $T$, и некоторым количеством (возможно, пустым) замкнутых интегральных кривых или петель сепаратрис $c_i\subset T$, гомотопных нулю на $T$ (см. теорему 6). Следовательно, мы имеем в $H_1(T)\cong \pi_1(T)\cong \mathbb{Z}^2$. Нетрудно видеть, что $G$ – это относительная поверхность, гомеоморфная сфере с конечным числом вырезанных открытых дисков. Поскольку $c_i$ и $c$ являются нуль-гомотопными в $\mathcal{R}$, то по теореме 7 прообразом $G \subset \mathcal{R}$ относительно отображения накрытия $p\colon \widetilde{\mathcal{R}} \to \mathcal{R}$ будет счетное количество копий $G_k\cong G$, $k\in \mathbb{Z}$, каждая из которых ввиду (4.8) разделяет $\widetilde{\mathcal{R}}$ на две некомпактные части.Так как $S(r)\cap G =\varnothing$, то связные компоненты $\partial (A\cap S(r))\subset T$ либо гомологичны исчезающему циклу $c$, либо гомологичны нулю в $T$. Следовательно, так же как и $c$, они стягиваются внутри $\mathcal{R}$, а значит, любая поверхность $S\subset A\cap S(r)$, будучи гомеоморфной сфере с дырками, удовлетворяет условию теоремы 7. Случай 2a). Найдется поверхность $S\subset A\cap S(r) \subset \partial A$, представляющая $0=[S,\partial S]\in H_2(\mathcal{R}, T)$. В этом (как и в первом) случае из следствия 2 получаем, что всякая поверхность $S_i\in p^{-1}(S)$ разделяет $\widetilde{\mathcal{R}}$ на компактную – $W^{\mathrm{c}}_i$ и некомпактную – $W_i$ связные компоненты (см. (4.7)). Пусть $ G_k\subset A_j$ для некоторых $k,j\in \mathbb{Z}$ и $S_i\subset \partial A_j$ для некоторого $i\in \mathbb{Z}$, где, как и прежде, $A_j\subset p^{-1}A$ – это связная компонента прообраза $A$ относительно отображения накрытия ${ p\colon \widetilde{\mathcal{R}} \to \mathcal{R}}$. Заметим, что $G_k\cap S_i =\varnothing$, так как $S(r)\cap D=\varnothing$. Предположим, что $G_k\subset W^{\mathrm{c}}_i$. Тогда замыкание одной из связных компонент, на которые $G_k$ разделяет $\widetilde{\mathcal{R}}$, не содержит $S_i$ и является подмножеством компакта $W^{\mathrm{c}}_i$, поэтому должно быть компактным множеством, что неверно (см. выше). Отсюда следует, что $G_k\cap \operatorname{int} {W}^{\mathrm{c}}_i=\varnothing$ и внутренняя нормаль к $S_i$ смотрит в сторону некомпактной части $W_i$ (рис. 4). Следовательно, как и в разобранном выше случае 1), мы найдем такой слой $L_{t_0}\subset W_i\subset \widetilde{\mathcal{R}}$, который касается поверхности $S_i$ в некоторой точке $q\in S_i\cap L_{t_0}$, где поверхность $S_i$ будет опорной к $L_{t_0}$. Это значит, что слой $p(L_{t_0})$ касается сферы $S(r)$, и в точке касания $p(q) \in S \subset S(r)$ сфера $S(r)$ будет опорной к $p(L_{t_0})$. Cлучай 2b). Пересечение $ A\cap S(r) $ состоит из конечного множества связных поверхностей, не разделяющих $\mathcal{R}$. Множество $ A\cap S(r)$ в этом случае имеет более чем одну компоненту связности, так как в противном случае из того, что по предположению любая поверхность $S\subset A\cap S(r) \subset \partial A$ не разделяет $\mathcal{R}$, имели бы место равенства $ A =\mathcal{R}$ и $S=\varnothing$. Значит, $A\cap S(r)$ состоит минимум из двух связных компонент. Покажем, что их в точности две. Предположим, что их по меньшей мере три. Обозначим их через $S_1$, $S_2$, $S_3$. Пусть $A_j\in p^{-1}A$, $G_k\subset A_j$, $j,k \in \mathbb{Z}$, обозначают то же, что и выше. Тогда $\partial A_j$ содержит минимум по одной из копий $S_1$, $S_2$, $S_3$, которые для простоты мы обозначим теми же буквами. Отождествим $\widetilde{\mathcal{R}}$ c $D^2\times \mathbb{R}$. Выберем достаточно большую константу $t_0 \in \mathbb{R}$ так, чтобы $D^2\times [-t_0, t_0]$ содержали $S_1$, $S_2$, $S_3$. В этом случае по теореме 7 каждая из поверхностей $S_1$, $S_2$, $S_3$ разделяет $D^2\times \mathbb{R}$ на две некомпактные компоненты, каждая из которых содержит один из дисков $D^2\times \{-t_0\}$ или $D^2\times \{t_0\}$. Чтобы это увидеть, достаточно спроецировать на $\mathbb{R} $ связные компоненты, на которые поверхности $S_i$, $i=1,2,3$, разделяют $\widetilde{\mathcal{R}}$. Обозначим через $W_i$, $i=1,2,3$, замыкания тех из связных компонент $\widetilde{\mathcal{R}}\setminus S_i$, $i=1,2,3$, которые содержат $A_j$. Через $\widehat W_i$, $i=1,2,3$, обозначим замыкания оставшихся связных компонент. Ясно, что $ A_j\subset W_1\cap W_2\subset D^2\times [-t_0,t_0]$. Отсюда следует, что $A_j$ и $W_1\cap W_2$ компактны. Так как $A_j \subset W_3$, то с учетом связности $\widehat W_i$ имеем $\widehat W_i\subset W_3$, $i=1,2$. Отсюда мы заключаем, что $\widehat W_3\subset W_1\cap W_2$ и $\widehat W_3$ является компактным множеством как замкнутое подмножество компакта, а это противоречит теореме 7. Следовательно, $A$ содержит ровно две связные компоненты $A\cap S(r)$. Из доказательства следует, что $A_j\cap p^{-1}(A\cap S(r))$ также состоит из двух связных компонент. Пусть это будут $S_1$ и $S_2$. В этом случае $A_j=W_1\cap W_2 \subset D^2\times [-t_0,t_0]$. Так как $A_j$ содержит поверхность $G_k$, то внутренние нормали к $S_1$ и $S_2$ направлены внутрь компакта $A_j$ (рис. 5). Предположим, что внутренние слои $\{L_t,\, t\in \mathbb{R}\}$ поднятого слоения Риба на $\widetilde{\mathcal{R}}$ уходят на бесконечность, покидая компоненту $\widehat W_1$, т. е. начиная с номера $t_1$ для всех $t>t_1$ (или $t<t_1$) пересечение $L_t\cap \widehat W_1 =\varnothing$ и $L_{t_1} \cap S_1 \ne\varnothing$. Тогда $L_{t_1}\subset W_1$ и в точке касания $q_1\in L_{t_1} \cap S_1 $ поверхность $S_1$ будет опорной к $L_{t_1} $. Ясно, что в этом случае сфера $S(r)$ будет опорной к $p(L_{t_1})$ в точке $p(q_1)$. Если же внутренние слои $\{L_t,\, t\in \mathbb{R}\}$ поднятого слоения Риба уходят на бесконечность в противоположном направлении, то начиная с некоторого номера $t_2$ для всех $t>t_2$ (или $t<t_2$) пересечение $L_t\cap \widehat W_2 =\varnothing$, а $L_{t_2} \cap S_2 \ne\varnothing$. Тогда $L_{t_2}\subset W_2$ и в точке касания $q_2\in L_{t_2} \cap S_2$ поверхность $S_2$ будет опорной к $L_{t_2}$, а сфера $S(r)$ в точке $p(q_2)$ будет опорной к $p(L_{t_2})$. Случай 3. Пересечение (4.5) пусто. В этом случае рибовская компонента $\mathcal{R}$ целиком находится внутри шара $B(r)$. Тогда, уменьшая радиус шара $B(r)$, мы дойдем до момента, когда граничная сфера $S(r)$ коснется тора $T=\partial \mathcal{R}$, к которому она в точке касания станет опорной. Заметим, что при уменьшении $r$ неравенство (4.6) сохраняется. Предложение доказано. Из предложения 2 следует, что существует слой $F\in \mathcal{F}$, к которому сфера $S(r)$, $r<i_0$, является опорной в некоторой точке $q\in F\cap S(r)$. Будем обозначать нормальные кривизны $F$ через $k_H^F$. Среднюю кривизну сферы $S(r)$ обозначим через $H_r$, а среднюю кривизну сферы радиуса $r$ в пространстве постоянной кривизны $\gamma_0$ обозначим через $H_r^0$. Мы всегда будем предполагать, что нормаль в $q$ является внутренней к сфере $S(r)$. Учитывая теорему 4, замечание 3 и лемму 4, для любого вектора $v \in T_q F$ имеют место неравенства Так как все нормальные кривизны $k^0_H$ сферы радиуса $r<i_0$ в сфере постоянной кривизны $\gamma_0$ постоянны и положительны, мы имеем $0<k^0_H\leqslant \min_v k^S_H(v) \leqslant \min_v k_H^F(v)$ и $k^0_H\leqslant \max_v k^S_H(v) \leqslant \max_v k_H^F(v)$. Так как средняя кривизна – это полусумма главных (минимальной и максимальной) кривизн, то в точке $q$ мы имеемРассмотрим случай, когда $\gamma_0 =0$. В этом случае учтем неравенства (4.6) и (4.9) и то, что $H_r^0=1/r$. Получим систему
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dfrac1{r} <H_0, \\ 2\sqrt{3}\, r^2 <V_0H_0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Исключая $r^2$, получим $1/H_0^2< V_0H_0/(2\sqrt{3})$. Отсюда $H_0>\sqrt[3]{2\sqrt{3}/V_0}$. Однако мы не должны забывать о дополнительном ограничении сверху, которое мы наложили на $H_0$, – это $H_0 \leqslant 2\sqrt{3}\,i_0^2/V_0$, которое вместе со вторым неравенством в системе (4.10) гарантирует нам выполнение условия $r<i_0$. Поэтому если $H_0\leqslant \min\Bigl\{2\sqrt{3}\,i_0^2/V_0,\sqrt[3]{2\sqrt{3}/V_0}\Bigr\}$, то мы приходим к противоречию. Теперь рассмотрим случай, когда $\gamma_0 >0$. Учитывая, что $r<i_0\leqslant \pi/(2\sqrt{\gamma_0})$, средняя кривизна сферы $S(r)\subset S^3(R)$ радиуса $r$ в сфере радиуса $R$ постоянной кривизны $\gamma_0=1/R^2$, имеет вид $H_r^0=\sqrt{\gamma_0}\, \operatorname{ctg} (r\sqrt{\gamma_0})$ (рис. 6). С учетом неравенств (4.6) и (4.9) получаем следующую систему:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \sqrt{\gamma_0}\, \operatorname{ctg} (r\sqrt{\gamma_0}) <H_0, \\ 2\sqrt{3}\, r^2 <V_0H_0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Исключая $r^2$, получим
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\gamma_0} \operatorname{arcctg} ^2\frac{H_0}{\sqrt{\gamma_0}}-\frac{V_0}{2\sqrt{3}}H_0< 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что левая часть неравенства как функция от $H_0$ убывает, причем она положительна вблизи нуля и отрицательна на бесконечности. Значит, существует единственный, положительный корень $x_0$ уравнения
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\gamma_0} \operatorname{arcctg} ^2\frac{x}{\sqrt{\gamma_0}}-\frac{V_0}{2\sqrt{3}}\,x=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что в области $0< H_0 \leqslant\min \{2\sqrt{3}\,i_0^2/V_0, x_0\}$ мы получаем противоречие. Таким образом, мы доказали, что слоение на $M$ c $|H|<H_0$ не допускает обобщенных рибовских компонент, а значит, по теореме 1 является тугим. Теорема 2 доказана. Следствие 3. Пусть $(M, g)$ – трехмерное замкнутое ориентируемое риманово многообразие, удовлетворяющее условиям теоремы 2. Если $\pi_1(M)\,{<}\,\infty$, то $(M, g)$ не допускает трансверсально ориентируемого слоения коразмерности один, средняя кривизна $H$ слоев которого удовлетворяет неравенству $|H|< H_0$. Автор выражает благодарность профессору А. А. Борисенко за внимание к работе и полезные обсуждения. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bol22} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|