| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) О спектральной последовательности для действия группы Торелли рода А. А. Гайфуллин Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9116 
Реферативные базы данных:
     Памяти Сергея Ивановича Адяна, яркого и глубокого математика, которому я очень благодарен за то, что он ввел меня в волшебный мир групп Торелли § 1. ВведениеПусть $S_g$ – замкнутая ориентированная поверхность рода $g$ и $\operatorname{Mod}(S_g)$ – ее группа классов отображений. По определению, группа Торелли $\mathcal{I}_g=\mathcal{I}(S_g)$ – это подгруппа группы $\operatorname{Mod}(S_g)$, состоящая из всех классов отображений, которые действуют тривиально на группе $H_1(S_g;\mathbb{Z})$. Другими словами, $\mathcal{I}_g$ есть ядро естественного сюръективного гомоморфизма
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Mod}(S_g)\to \operatorname{Sp}(2g,\mathbb{Z}).
\end{equation*}
\notag
$$
Хорошо известно, что $\operatorname{Mod}(S_1)= \operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})$, поэтому группа $\mathcal{I}_1$ тривиальна. Д. Маккалоф и Э. Миллер [1] доказали, что группа $\mathcal{I}_2$ не является конечно порожденной, а потом Дж. Месс [2] доказал, что на самом деле она является бесконечно порожденной свободной группой. С другой стороны, Д. Джонсон [3] показал, что группа $\mathcal{I}_g$ конечно порождена при $g\geqslant 3$. Одной из наиболее интересных открытых проблем, касающихся групп Торелли, является вопрос, верно ли, что группы $\mathcal{I}_g$ конечно определены при $g\geqslant 3$. Эта задача включена в список Р. Кёрби задач по маломерной топологии, см. [4; проблема 2.9(A)], где ее авторство приписывается Дж. Мессу. Ожидается, что, скорее всего, группы $\mathcal{I}_g$ конечно определены при $g\geqslant 4$, а группа $\mathcal{I}_3$ не конечно определена. Вопрос о конечной определенности группы $\mathcal{I}_g$ тесно связан с вопросом, является ли вторая группа гомологий $H_2(\mathcal{I}_g;\mathbb{Z})$ конечно порожденной. Действительно, если бы удалось доказать, что группа $H_2(\mathcal{I}_g;\mathbb{Z})$ не является конечно порожденной, из этого немедленно следовало бы, что группа $\mathcal{I}_g$ не является конечно определенной. В настоящей работе будет предложен подход к доказательству того, что группа $H_2(\mathcal{I}_3;\mathbb{Z})$ не является конечно порожденной и, значит, группа $\mathcal{I}_3$ не является конечно определенной, и получен некоторый частичный результат в этом направлении. М. Бествина, К.-У. Букс и Д. Маргалит [5] построили стягиваемый $(2g-3)$-мерный клеточный комплекс $\mathcal{B}_g$, на котором группа Торелли $\mathcal{I}_g$ действует клеточно и без вращений, и назвали его комплексом циклов. Действие группы $\mathcal{I}_g$ на $\mathcal{B}_g$ дает спектральную последовательность
$$
\begin{equation}
E^1_{p,q}\cong \bigoplus_{\sigma\in\mathfrak{X}_p}H_q \bigl(\operatorname{Stab}_{\,\mathcal{I}_g}(\sigma);\mathbb{Z}\bigr)\quad\Longrightarrow \quad H_{p+q}(\mathcal{I}_g;\mathbb{Z}),
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $\mathfrak{X}_p$ – некоторое множество представителей $\mathcal{I}_g$-орбит $p$-мерных клеток комплекса $\mathcal{B}_g$, см. подробнее в п. 3.2. Напомним, что $E^r_{p,q}$ – спектральная последовательность первой четверти с дифференциалами $d^r$, имеющими бистепени $(-r,r-1)$, и ее предельный член $E^{\infty}_{p,q}$ является градуированной группой, ассоциированной с некоторой фильтрацией в $H_{p+q}(\mathcal{I}_g)$. В частности, $E^{\infty}_{0,2}$, $E^{\infty}_{1,1}$ и $E^{\infty}_{2,0}$ – члены ассоциированной градуированной группы для $H_2(\mathcal{I}_g;\mathbb{Z})$. Поэтому группа $H_2(\mathcal{I}_g;\mathbb{Z})$ не конечно порождена, если хотя бы одна из трех групп $E^{\infty}_{0,2}$, $E^{\infty}_{1,1}$ и $E^{\infty}_{2,0}$ не конечно порождена. В настоящей статье мы получим некоторые результаты, дающие основания предполагать, что при $g=3$ группа $E^{\infty}_{0,2}$ и, значит, группа $H_2(\mathcal{I}_3;\mathbb{Z})$ не конечно порождены и, следовательно, группа $\mathcal{I}_3$ не конечно определена. Пусть $g\geqslant 3$. Несложно показать, что для каждой вершины $v$ комплекса $\mathcal{B}_g$ группа $H_2(\operatorname{Stab}_{\,\mathcal{I}_g}(v);\mathbb{Z})$ нетривиальна. Действительно, эта группа содержит абелев цикл $\mathcal{A}(T_{\gamma},T_{\delta})$, где $T_{\gamma}$ и $T_{\delta}$ – скручивания Дена вдоль двух непересекающихся разделяющих простых замкнутых кривых, и нетривиальность этого абелева цикла может быть выведена из результата Т. Брендл и Б. Фарба [6]; аккуратное доказательство в случае $g=3$ будет дано в предложении 4.1, a) настоящей статьи. Так как в комплексе $\mathcal{B}_g$ есть бесконечно много $\mathcal{I}_g$-орбит вершин, мы видим, что группа $E^1_{0,2}$ не конечно порождена. Группа $E^{\infty}_{0,2}=E^4_{0,2}$, которая вкладывается в $H_2(\mathcal{I}_g;\mathbb{Z})$, получается из группы $E^1_{0,2}$ путем последовательной факторизации по образам дифференциалов $d^1$, $d^2$ и $d^3$. Поэтому нас интересует вопрос, остается ли группа $E^1_{0,2}$ не конечно порожденной после этих трех факторизаций. Цель настоящей статьи состоит в том, чтобы доказать, что в случае $g=3$ эта группа остается не конечно порожденной после факторизации по образам первых двух дифференциалов $d^1$ и $d^2$. Теорема 1.1. Пусть $E^r_{p,q}$ – спектральная последовательность (1.1) для действия группы $\mathcal{I}_3$ на комплексе $\mathcal{B}_3$. Тогда группа $E^3_{0,2}$ не конечно порождена. Чтобы доказать эту теорему, мы построим бесконечно много линейно независимых гомоморфизмов $\vartheta_A\colon E^1_{0,2}\to\mathbb{Z}/2$, обращающихся в нуль на образах дифференциалов $d^1$ и $d^2$. Конечно, самый интересный вопрос состоит в том, верно ли, что гомоморфизмы $\vartheta_A$ или хотя бы некоторое бесконечное число их линейных комбинаций обращаются в нуль на образе дифференциала $d^3$. Если бы это было так, мы получили бы, что группа $H_2(\mathcal{I}_3;\mathbb{Z})$ не конечно порождена и группа $\mathcal{I}_3$ не конечно определена. Главная сложность на этом пути состоит в отсутствии хорошего описания группы $E^3_{3,0}$, из которой дифференциал $d^3$ бьет в группу $E^3_{0,2}$. На самом деле, не очень сложно описать группу $E^2_{3,0}=H_3(\mathcal{B}_3/\mathcal{I}_3;\mathbb{Z})$. Интересующая нас группа $E^3_{3,0}$ является ядром дифференциала $d^2$, отображающего группу $E^2_{3,0}$ в группу $E^2_{1,1}$, структура которой также совершенно неясна. Поэтому мы пока весьма далеки от вычисления группы $E^3_{3,0}$. На самом деле, автору даже неизвестно, как предъявить хотя бы один ненулевой элемент этой группы. Так как мы все время имеем дело с гомоморфизмами $\vartheta_A\colon E^r_{0,2}\to\mathbb{Z}/2$, может показаться, что мы могли бы с самого начала работать над $\mathbb{Z}/2$ и изучать спектральную последовательность с коэффициентами в $\mathbb{Z}/2$, а не в $\mathbb{Z}$. Однако это не так. В действительности наше доказательство будет существенным образом опираться на свойства делимости на $4$ некоторых гомоморфизмов, см., например, предложения 10.1 и 10.2. Поэтому автору неизвестно, останется ли теорема 1.1 верной для спектральной последовательности с коэффициентами в $\mathbb{Z}/2$. По крайней мере, наше доказательство не переносится без изменений на этот случай. Теперь дадим краткий обзор некоторых известных результатов о гомологиях групп Торелли. Из упомянутого выше результата Дж. Месса [2] следует, что $H_1(\mathcal{I}_2;\mathbb{Z})$ – свободная абелева группа бесконечного ранга. Развивая подход Месса, Д. Джонсон и Дж. Миллсон доказали, что группа $H_3(\mathcal{I}_3;\mathbb{Z})$ содержит свободную абелеву подгруппу бесконечного ранга, см. [2]. Позже Р. Хэйн [7] показал, что группа $H_4(\mathcal{I}_3;\mathbb{Z})$ тоже содержит свободную абелеву подгруппу бесконечного ранга. Первый результат для общего рода был получен Т. Акитой [8]: он показал, что полная группа гомологий $H_*(\mathcal{I}_g;\mathbb{Q})$ является бесконечномерным пространством при $g\geqslant 7$. Большая часть дальнейших результатов в этой области использует спектральную последовательность (1.1) для действия группы $\mathcal{I}_g$ на комплексе циклов $\mathcal{B}_g$. В исходной работе [5], в которой был впервые построен комплекс $\mathcal{B}_g$, М. Бествина, К.-У. Букс и Д. Маргалит использовали его для того, чтобы доказать, что когомологическая размерность группы $\mathcal{I}_g$ равна $3g-5$ и старшая группа гомологий $H_{3g-5}(\mathcal{I}_g;\mathbb{Z})$ содержит свободную абелеву подгруппу бесконечного ранга. Недавно автор [9], использовав ту же спектральную последовательность, показал, что каждая из групп гомологий $H_k(\mathcal{I}_g;\mathbb{Z})$, где $2g-3\leqslant k<3g-5$, тоже содержит свободную абелеву подгруппу бесконечного ранга. Этот метод также оказался полезным при изучении гомологий другой важной подгруппы группы $\operatorname{Mod}(S_g)$ – ядра Джонсона $\mathcal{K}_g$, которое есть подгруппа, порожденная всеми скручиваниями Дена вдоль разделяющих поверхность простых замкнутых кривых (см. [10]). А именно, было доказано, что когомологическая размерность группы $\mathcal{K}_g$ равна $2g-3$ (М. Бествина, К.-У. Букс, Д. Маргалит [5]) и старшая группа гомологий $H_{2g-3}(\mathcal{K}_g;\mathbb{Z})$ содержит свободную абелеву подгруппу бесконечного ранга (автор [11]). Тем не менее, до сих пор ничего не известно о свойствах бесконечности для гомологий группы Торелли $\mathcal{I}_g$ ниже размерности $2g-3$ (кроме размерности $1$), в частности, в размерности $2$. С другой стороны, первая группа гомологий $H_1(\mathcal{I}_g;\mathbb{Z})$ конечно порождена при $g\geqslant 3$ и была вычислена явно Д. Джонсоном [12]. Отметим также, что Р. Хэйн [13] доказал, что мальцевская алгебра Ли группы Торелли $\mathcal{I}_g$ конечно определена при $g\geqslant 3$. Упомянем также несколько недавних результатов о свойствах групп гомологий $H_2(\mathcal{I}_g;\mathbb{Z})$, связанных с теорией представлений. М. Кассабов и Э. Путман доказали, что при $g\geqslant 3$ группа $H_2(\mathcal{I}_g;\mathbb{Z})$ является конечно порожденным $\operatorname{Sp}(2g,\mathbb{Z})$-модулем и, более того, группа Торелли $\mathcal{I}_g$ допускает конечное $\operatorname{Mod}(S_g)$-эквивариантное задание порождающими и соотношениями, см. [14; теоремы A и C]. Дж. Миллер, П. Пацт и Дж. Уилсон [15] доказали центральную стабильность для последовательности групп $H_2(\mathcal{I}_g;\mathbb{Z})$. А. Куперс и О. Рэндал-Уильямс [16] вычислили структуру $\operatorname{Sp}(2g,\mathbb{Z})$-модуля $H^2(\mathcal{I}_{g,1};\mathbb{Q})^{\mathrm{alg}}$ в стабильном случае $g\gg 0$. Здесь $\mathcal{I}_{g,1}$ – группа Торелли ориентированной поверхности рода $g$ с одной компонентной границы и $H^2(\mathcal{I}_{g,1};\mathbb{Q})^{\mathrm{alg}}$ – алгебраическая часть группы когомологий $H^2(\mathcal{I}_{g,1};\mathbb{Q})$, т. е. сумма всех ее конечномерных $\operatorname{Sp}(2g,\mathbb{Z})$-подмодулей, которые продолжаются до представлений алгебраической группы $\operatorname{Sp}(2g)$. Благодарности. Эта работа была начата мной в 2008–2010 гг. во время моих поездок в г. Билефельд в составе научной группы под руководством Сергея Ивановича Адяна. Я очень благодарен ему за то, что он ввел меня в эту замечательную область математики, а также за его постоянный интерес к моей работе и плодотворные обсуждения. Я благодарен Й. Меннике за его гостеприимство во время этих визитов, И. А. Спиридонову, А. Л. Таламбуце и Д. С. Улюмджиеву за полезные обсуждения и комментарии, а также анонимному рецензенту за замечания, которые существенно улучшили текст статьи. § 2. Схема доказательства теоремы 1.1В этом параграфе мы приводим схему доказательства теоремы 1.1, которое занимает всю оставшуюся часть статьи. Все необходимые определения, конструкции и т. п. будут даны далее в течение статьи. Мы рассматриваем только поверхность рода $3$; нам будет удобно положить $S=S_3$, $\mathcal{I}=\mathcal{I}_3$ и $\mathcal{B}=\mathcal{B}_3$. Комплекс циклов $\mathcal{B}$ зависит от выбора примитивного класса гомологий $x\in H$, где $H=H_1(S;\mathbb{Z})$. Аккуратная конструкция комплекса $\mathcal{B}$ будет приведена в п. 3.1. В настоящий момент мы лишь напомним, что клетки комплекса $\mathcal{B}$ нумеруются некоторыми ориентированными мультикривыми на $S$; мы обозначим через $\mathcal{M}_p$ множество ориентированных мультикривых, нумерующих $p$-мерные клетки комплекса $\mathcal{B}$. (Мультикривой называется объединение конечного числа попарно не пересекающихся и попарно не изотопных гомотопически нетривиальных простых замкнутых кривых.) Каждой ориентированной мультикривой $M$ можно сопоставить мультимножество $[M]$ гомологических классов ее компонент. Пусть $\mathcal{H}_p$ – множество всех мультимножеств $[M]$, где $M$ пробегает множество $\mathcal{M}_p$. Тогда каждая $\mathcal{I}$-орбита клеток комплекса $\mathcal{B}$ соответствует некоторому мультимножеству, принадлежащему множеству $\mathcal{H}_p$. Это соответствие не взаимно однозначно. А именно, мультимножеству, принадлежащему $\mathcal{H}_p$, может отвечать одна, две или бесконечно много $\mathcal{I}$-орбит, см. подробнее предложение 5.2 и замечание 5.3. Тем не менее, разложение в прямую сумму (1.1) для $E^1_{p,q}$ может быть переписано в виде
$$
\begin{equation}
E^1_{p,q} = \bigoplus_{C\in\mathcal{H}_p}E^1_{p,q}(C),
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $E^1_{p,q}(C)$ – прямая сумма групп $H_q(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z})$, где $M$ пробегает некоторое множество представителей всех орбит ориентированных мультикривых $M$ с $[M]\,{=}\,C$. (Здесь и далее мы используем обозначение $\mathcal{I}_M=\operatorname{Stab}_{\,\mathcal{I}}(M)$.) Рассмотрим подмножество $A=\{a_1,a_2,a_3\}$ группы гомологий $H$, удовлетворяющее следующим условиям:
Всякое такое подмножество $A$ принадлежит множеству $\mathcal{H}_0$; обозначим через $\mathcal{H}_0'$ подмножество множества $\mathcal{H}_0$, состоящее из всех трехэлементных множеств $A$, удовлетворяющих указанным трем условиям. (Такие трехэлементные множества не исчерпывают все множество $\mathcal{H}_0$: оно также содержит одноэлементное множество $\{x\}$ и бесконечное число двухэлементных множеств, которые не так важны для нашей конструкции.) Для каждого $A\in\mathcal{H}_0'$ все трехкомпонентные ориентированные мультикривые $M$ такие, что $[M]=A$, лежат в одной $\mathcal{I}$-орбите. Поэтому $E^1_{0,q}(A)\cong H_q(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z})$ для любой из таких мультикривых $M$. Напомним, что имеются гомоморфизмы Бирман–Крэггса $\rho_{\omega}\colon \mathcal{I}\to\mathbb{Z}/2$, нумеруемые $\operatorname{Sp}$-квадратичными формами $\omega\colon H_1(S;\mathbb{Z}/2)\to\mathbb{Z}/2$ с нулевым инвариантом Арфа; подробности и ссылки будут приведены в п. 3.4. Для каждого множества $A=\{a_1,a_2,a_3\}\in \mathcal{H}_0'$ имеется ровно четыре $\operatorname{Sp}$-квадратичных формы $\omega$ таких, что $\operatorname{Arf}(\omega)=0$ и $\omega(a_1)=\omega(a_2)=\omega(a_3)=1$; пусть $\rho_0$, $\rho_1$, $\rho_2$, $\rho_3$ – четыре соответствующих гомоморфизма Бирман–Крэггса. Будем рассматривать эти гомоморфизмы как элементы группы когомологий $H^1(\mathcal{I};\mathbb{Z}/2)$. Центральную роль в нашем доказательстве будет играть класс когомологий
$$
\begin{equation*}
\theta_A=\sum_{0\leqslant i<j\leqslant 3}\rho_i\rho_j\in H^2(\mathcal{I};\mathbb{Z}/2),
\end{equation*}
\notag
$$
где произведения берутся по отношению к когомологическому $\smile$-умножению. Используя этот класс когомологий, построим гомоморфизм
$$
\begin{equation*}
\vartheta_A\colon E^1_{0,2}=\bigoplus_{C\in\mathcal{H}_0}E^1_{0,2}(C)\xrightarrow{\text{проекция}} E^1_{0,2}(A)=H_2(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z})\xrightarrow{i_*} H_2(\mathcal{I};\mathbb{Z})\xrightarrow{\langle\theta_A,\cdot\rangle} \mathbb{Z}/2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $M$ – ориентированная мультикривая такая, что $[M]=A$, и $i_*$ – гомоморфизм, индуцированный включением $\mathcal{I}_M\subset\mathcal{I}$. В § 4 мы покажем, что $\langle\theta_A,\mathcal{A}(T_{\gamma},T_{\delta})\rangle=1$, если $\gamma$ и $\delta$ – две негомотопные разделяющие простые замкнутые кривые, не пересекающиеся друг с другом и с мультикривой $M$, см. предложение 4.1, a). Отсюда сразу следует, что гомоморфизмы $\vartheta_A\colon E^1_{0,2}\to\mathbb{Z}/2$, где $A\in\mathcal{H}_0'$, нетривиальны и, значит, линейно независимы. Ядром нашего доказательства является то, что построенные гомоморфизмы $\vartheta_A$ обращаются в нуль на образах дифференциалов $d^1$ и $d^2$ и поэтому индуцируют линейно независимые гомоморфизмы $\vartheta_A\colon E^3_{0,2}\to\mathbb{Z}/2$, где $A\in\mathcal{H}_0'$. Так как множество $\mathcal{H}_0'$ бесконечно, отсюда сразу следует теорема 1.1. То, что гомоморфизмы $\vartheta_A$ обращаются в нуль на образе дифференциала $d^1\colon E^1_{1,2}\to E^1_{0,2}$, доказывается следующим образом. Группа $E^1_{1,2}$ является прямой суммой групп $H_2(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z})$, где $M$ пробегает некоторое множество представителей $\mathcal{I}$-орбит в множестве $\mathcal{M}_1$. Поэтому равенство $\vartheta_A(d^1y)=0$ достаточно доказать для $y$, лежащего в одном из слагаемых $H_2(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z})$. Пусть $P_{N_1}$ и $P_{N_2}$ – концы одномерной клетки $P_M$. Тогда $N_1$ и $N_2$ – ориентированные мультикривые, содержащиеся в $M$ и принадлежащие множеству $\mathcal{M}_0$. Если $[N_1]\ne A$ и $[N_2]\ne A$, то компонента класса $d^1y$ в прямом слагаемом $E^1_{0,2}(A)$ нулевая и, значит, $\vartheta_A(d^1y)=0$. Если $[N_1]=[N_2]=A$, то опять же $\vartheta_A(d^1y)=0$, так как концы отрезка $P_M$ дают одинаковые вклады в $\vartheta_A(d^1y)$. В § 7 мы подробно изучим стабилизаторы $\mathcal{I}_M$ для всех мультикривых $M\in\mathcal{M}_1$ таких, что выполняется ровно одно из двух условий $[N_1]=A$ и $[N_2]=A$; в частности, мы докажем, что ограничение класса когомологий $\theta_A$ на $\mathcal{I}_M$ тривиально для каждой такой $M$, см. предложение 4.1, b). Следовательно, и в этом случае $\vartheta_A(d^1y)=0$. Доказательство того, что гомоморфизмы $\vartheta_A$ обращаются в нуль на образе дифференциала $d^2\colon E^2_{2,1}\to E^2_{0,2}$, гораздо сложнее. Основная сложность заключается в отсутствии хорошего описания ядра дифференциала $d^1\colon E^1_{2,1}\to E^1_{1,1}$ и, значит, группы $E^2_{2,1}$. Причина состоит в том, что дифференциал $d^1$ “смешивает” разные слагаемые в разложении в прямую сумму (2.1) группы $E^1_{2,1}$. Эта сложность преодолевается следующим образом. Прежде всего, рассматриваемая спектральная последовательность $E^*_{*,*}$ – это спектральная последовательность, ассоциированная с фильтрацией по столбцам бикомплекса
$$
\begin{equation*}
B_{p,q}=C_p(\mathcal{B};\mathbb{Z})\otimes_{\mathcal{I}}\mathcal{R}_q,
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_*(\mathcal{B};\mathbb{Z})$ – клеточный цепной комплекс для $\mathcal{B}$ и $\mathcal{R}_*$ – бар-резольвента модуля $\mathbb{Z}$ над групповым кольцом $\mathbb{Z}\mathcal{I}$, см. подробнее в п. 3.2. Пусть $\partial'$ и $\partial''$ – дифференциалы этого бикомплекса, индуцированные дифференциалами цепных комплексов $C_*(\mathcal{B};\mathbb{Z})$ и $\mathcal{R}_*$ соответственно. Член $E^1_{*,*}$ изоморфен гомологиям бикомплекса $B_{*,*}$ по отношению к дифференциалу $\partial''$. Имеет место следующий аналог разложения в прямую сумму (2.1): где $B_{p,q}(C)$ – подгруппа, порожденная всеми элементами $P_M\otimes \xi$ такими, что $[M]=C$. Чтобы исследовать дифференциал $d^2$, нам придется работать непосредственно с бикомплексом $B_{*,*}$. А именно, элемент $Y\in B_{2,1}$ представляет некоторый класс $y\in E^2_{2,1}$ в том и только в том случае, когда $\partial''Y=0$ и найдется элемент $X\in B_{1,2}$ такой, что $\partial'Y+\partial''X=0$. Кроме того, если эти условия выполнены, то элемент $\partial'X$ представляет класс $d^2y$ в группе $E^2_{0,2}$. Однако работа на уровне бикомплекса $B_{*,*}$ не решает наших проблем: мы по-прежнему не знаем, как охарактеризовать те элементы $Y\in B_{2,1}$, для которых найдется элемент $X\in B_{1,2}$ такой, что $\partial'Y+\partial''X=0$. Мы обходимся без такой характеризации при помощи следующей весьма громоздкой конструкции. Сейчас мы лишь перечислим объекты, которые будут построены в течение настоящей статьи, и сформулируем их свойства, которые будут важны для нас. Мы построим следующие объекты.
Эти группы и гомоморфизмы будут обладать следующими свойствами.
Как только группы и гомоморфизмы, обладающие этими свойствами, будут построены, тривиальность гомоморфизмов $\vartheta_A$ на образе дифференциала $d^2$ будет следовать автоматически. Действительно, любой элемент группы $E^2_{2,1}$ может быть представлен циклом $y\in E^1_{2,1}$ таким, что $d^1y=0$. Согласно свойствам (P2) и (P3) найдутся элементы $Y\in B_{2,1}$ и $X\in B_{1,2}$, удовлетворяющие всем условиям, перечисленным в свойстве (P3). Из того, что $d^1y=0$, следует, что $\partial'Y\in\partial''(B_{1,2})$ и, значит, $\partial'Y\,{+}\,\partial''X\,{\in}\,\Delta\,{\cap}\,\partial''(B_{1,2})$. Теперь по свойству (P1) найдется элемент $X_1\in B_{1,2}$ такой, что $\partial''X_1=\partial'Y+\partial''X$, $\partial' X_1\in \Gamma$ и
$$
\begin{equation*}
\Theta_A(\partial' X_1)=\sum_{C\in\mathcal{H}_1,\, C\supset A}\Phi_{C,A}(\partial'Y+\partial''X)=\kappa_A(d^1y)=0
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $A\in \mathcal{H}_0'$. Тогда элемент $\partial'(X-X_1)$ представляет класс $d^2y$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\vartheta_A(d^2y)=\Theta_A\bigl(\partial'(X-X_1)\bigr)=0
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $A\in \mathcal{H}_0'$. Замечание 2.1. Ориентированные мультикривые, принадлежащие множеству $\mathcal{M}_1$, бывают нескольких разных типов, см. § 5. Соответственно, мультимножества $C\in\mathcal{H}_1$ тоже бывают нескольких разных типов. На самом деле, гомоморфизмы $\Phi_{C,A}$ будут введены только для некоторых (а не для всех) типов мультимножеств $C\in\mathcal{H}_1$, содержащих множество $A$. Аналогично, гомоморфизмы $\sigma_D$ и $\nu_D$ будут введены только для некоторых (а не для всех) типов мультимножеств $D\in\mathcal{H}_2$. (Во всех остальных случаях можно по определению считать, что эти гомоморфизмы тривиальны.) Кроме того, гомоморфизмы $\Phi_{C,A}$ будут иметь различную природу для двух разных типов мультимножеств $C$. В связи с этим нам будет удобно использовать разные обозначения для них, а именно, $\Psi_C$ для первого типа мультимножеств $C$ и $\Phi_{C,A}$ – для второго. (В первом случае мы будем опускать индекс $A$ в связи с тем, что гомоморфизм на самом деле не будет зависеть от множества $A$.) Более точные формы равенств (2.2) и (2.3) – это равенства (9.3) и (10.1) в предложениях 9.4 и 10.2 соответственно. Отметим также, что гомоморфизм $\kappa_A$ будет собран из нескольких разных гомоморфизмов, так что $\kappa_A(y)$ – это просто короткое обозначение для правой части формулы (10.1). На самом деле, в дальнейшем мы нигде не будем пользоваться обозначением $\kappa_A$. Наиболее сложной и нетривиальной частью статьи является доказательство свойства (P2). Дело в том, что, по-видимому, не существует никакого локального препятствия к существованию класса $y\in E^1_{2,1}$, удовлетворяющего условию $d^1y=0$, но при этом не удовлетворяющего некоторым из условий $\sigma_D(y)=0$ и $\nu_D(y)\equiv 0\pmod 4$. Это означает, что если мы пополним группу $E^1_{2,1}$, разрешив бесконечные, но локально конечные по отношению к топологии в $\mathcal{B}/\mathcal{I}$, суммы элементов из $E^1_{2,1}(D)$, то в полученной группе такой класс $y$, по-видимому, будет существовать. Поэтому доказательство несуществования такого класса в исходной группе $E^1_{2,1}$ обязательно должно использовать какие-либо соображения конечности. Чтобы показать, что всякий элемент $y\in E^1_{2,1}$ такой, что $d^1y=0$, удовлетворяет уравнениям $\sigma_D(y)=0$ для всех $D$, мы построим некоторую функцию $w$ на $\mathcal{H}_2$ и докажем следующее утверждение. Предположим, что $y\in E^1_{2,1}$, $d^1y=0$ и $\sigma_{D_0}(y)\ne 0$ для некоторого мультимножества $D_0\in\mathcal{H}_2$. Тогда найдется мультимножество $D\in\mathcal{H}_2$ такое, что $\sigma_{D}(y)\ne 0$ и $w(D)> w(D_0)$. Из этого утверждения следует, что если бы условие $\sigma_D(y)=0$ было нарушено хотя бы для одного мультимножества $D$, оно было бы нарушено для бесконечного числа разных мультимножеств $D$, что невозможно. Функция $w$, которую мы будем использовать, такова. Для каждого множества $A=\{a_1,a_2,a_3\}\in\mathcal{H}_0'$ положим $n(A)=n_1+n_2+n_3$, где $n_i$ – коэффициенты в разложении $x=n_1a_1+n_2a_2+n_3a_3$. Теперь возьмем в качестве $w(D)$ наибольшее из значений $n(A)$ по всем подмножествам $A\subseteq D$, принадлежащим $\mathcal{H}_0'$. Отметим, что идея использования функции $n$ для изучения топологии комплекса циклов не нова: эту же функцию использовали А. Хатчер и Д. Маргалит при изучении относительной топологии комплекса гомологичных кривых в комплексе циклов, см. [17; разд. 3]. Чтобы показать, что всякий элемент $y\in E^1_{2,1}$ такой, что $d^1y=0$, удовлетворяет сравнениям $\nu_D(y)\equiv 0\pmod 4$ для всех $D$, мы будем действовать аналогичным образом. Однако весовая функция Хатчера–Маргалита $n$ больше не годится. Вместо нее нам придется использовать функцию $F$ совершенно другой природы. А именно, мы рассмотрим линейную функцию $f\colon H\to\mathbb{R}$ такую, что $f(x)=0$ и образ $f$ – подгруппа ранга $5$ в $\mathbb{R}$, и, грубо говоря, положим $F(A)=\max|f(a_i)-f(a_j)|$, см. подробности в п. 11.2. Эта статья организована следующим образом. Параграф 3 содержит необходимые предварительные конструкции и результаты, которые затем используются в течение всей статьи. А именно, мы напоминаем необходимые определения и утверждения о комплексе циклов (п. 3.1), о спектральной последовательности, ассоциированной с клеточным действием группы (п. 3.2), о стабилизаторах мультикривых под действием группы Торелли (п. 3.3), о гомоморфизмах Бирман–Крэггса (п. 3.4) и о фундаментальной когомологической точной последовательности, ассоциированной с короткой точной последовательностью групп (п. 3.5). Все результаты в этом параграфе известны или легко следуют из известных результатов. В § 4 мы строим бесконечное семейство гомоморфизмов $\vartheta_A\colon E^1_{0,2}\to \mathbb{Z}/2$, доказываем их линейную независимость (предложение 4.4) и формулируем теорему 4.3 – наш основной результат о том, что эти гомоморфизмы обращаются в нуль на образах дифференциалов $d^1$ и $d^2$. Оставшаяся часть статьи содержит доказательство этой теоремы. В § 5 мы описываем разные типы ориентированных мультикривых в множестве $\mathcal{M}$ и получаем несколько результатов о разбиении множества $\mathcal{M}$ на $\mathcal{I}$-орбиты. В § 6 мы строим несколько полезных гомоморфизмов стабилизаторов $\mathcal{I}_{\gamma}$ и $\mathcal{I}_{\gamma\cup\gamma'}$ в группу $\mathbb{Z}$, где $\gamma$ – простая замкнутая кривая и $\{\gamma,\gamma'\}$ – ограничивающая пара кривых. Эти гомоморфизмы в дальнейшем используются на протяжении всей статьи. В § 7 мы подробно изучаем стабилизаторы четырех- и пятикомпонентных мультикривых $M$. Это преследует две цели. Во-первых, в этом параграфе мы завершаем доказательство предложения 4.1, которое является основной составной частью доказательства того, что гомоморфизм $\vartheta_A$ обращается в нуль на образе дифференциала $d^1$. Во-вторых, результаты о стабилизаторах, полученные в § 7, затем используются в § 8 и § 9 при построении гомоморфизмов, входящих в формулы (2.2) и (2.3). Более точно, в § 8 мы строим необходимые гомоморфизмы групп $E^1_{1,1}$ и $E^1_{2,1}$ в абелевы группы, а в § 9 строим подгруппы $\Gamma\subseteq B_{0,2}$ и $\Delta\subseteq B_{1,1}$, гомоморфизмы $\Theta_A$ группы $\Gamma$ в $\mathbb{Z}/2$ и гомоморфизмы $\Phi_{C,A}$ и $\Psi_C$ группы $\Delta$ в $\mathbb{Z}/2$. Кроме того, в этом параграфе мы доказываем предложение 9.4, которое является более точной версией свойства (P1). В § 10 мы формулируем предложения 10.1 и 10.2, которые являются более точными версиями свойств (P2) и (P3) соответственно. Мы доказываем эти свойства в § 11 и § 12 соответственно, что завершает доказательство тривиальности гомоморфизма $\vartheta_A$ на образе дифференциала $d^2$. § 3. Предварительные сведенияМы будем пользоваться стандартными теоретико-групповыми обозначениями Для элемента $g$ группы $G$ мы будем обозначать через $[g]$ его класс гомологий в группе $H_1(G;\mathbb{Z})$. Пусть $g$ и $h$ – коммутирующие элементы некоторой группы $G$. Рассмотрим гомоморфизм $\varphi\colon\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to G$, переводящий порождающие сомножителей $\mathbb{Z}$ в $g$ и $h$ соответственно. По определению абелев цикл $\mathcal{A}(g,h)\in H_2(G;\mathbb{Z})$ – это образ стандартного порождающего группы $H_2(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z};\mathbb{Z})$ при индуцированном гомоморфизме $\varphi_*$. Все рассматриваемые простые замкнутые кривые на поверхностях предполагаются гомотопически нетривиальными, если не оговорено противное. Мы обозначаем через $T_{\gamma}$ левое скручивание Дена вдоль простой замкнутой кривой $\gamma$. Ограничивающая пара – это пара $\{\gamma,\gamma'\}$ простых замкнутых кривых таких, что кривые $\gamma$ и $\gamma'$ не пересекаются, не изотопны друг другу, каждая из них не разделяет поверхность, но их объединение разделяет поверхность на две компоненты. Мы будем пользоваться обозначением $T_{\gamma,\gamma'}=T_{\gamma}T_{\gamma'}^{-1}$; этот класс отображений будет называться скручиванием вдоль ограничивающей пары $\{\gamma,\gamma'\}$. Мы будем обозначать через $\operatorname{Mod}(S)$ группу классов отображений ориентированной поверхности $S$, которая может быть замкнутой или с проколами или с компонентами края. В последнем случае всегда имеется в виду, что все классы отображений оставляют на месте каждую точку края. Если $S$ – поверхность с проколами, то подгруппу группы $\operatorname{Mod}(S)$, состоящую из всех классов отображений, которые не переставляют проколы, мы будем называть крашеной группой классов отображений и обозначать через $\operatorname{PMod}(S)$. Необходимые базовые сведения о простых замкнутых кривых и группах классов отображений можно найти в книге [18]. Предположим, что группа Торелли $\mathcal{I}_g$ действует на некотором множестве $\mathcal{Y}$. Тогда для упрощения обозначений мы будем обозначать через $\mathcal{I}_Y$ стабилизатор $\operatorname{Stab}_{\,\mathcal{I}_g}(Y)$ элемента $Y\,{\in}\,\mathcal{Y}$. Аналогичные обозначения $\widehat{\mathcal{I}}_Y$, $\mathcal{C}_Y$ будут использоваться для других групп $\widehat{\mathcal{I}}_g$, $\mathcal{C}_g$, которые будут введены позже. Мы всегда полагаем $H=H_1(S_g;\mathbb{Z})$ и $H_{\mathbb{Z}/2}=H\otimes(\mathbb{Z}/2)=H_1(S_g;\mathbb{Z}/2)$. Будем обозначать через $[\gamma]$ целочисленный класс гомологий ориентированной простой замкнутой кривой $\gamma$. Обозначим через $x\cdot y$ форму пересечений на $H$. Базис $a_1,\dots,a_g,b_1,\dots,b_g$ группы $H$ называется симплектическим, если $a_i\,{\cdot}\, a_j\,{=}\,0$, $b_i\cdot b_j=0$ и $a_i\cdot b_j=\delta_{ij}$, где $\delta_{ij}$ – символ Кронекера. Симплектический базис группы $H_{\mathbb{Z}/2}$ определяется аналогично. Мы будем обозначать классы гомологий с коэффициентами в $\mathbb{Z}/2$ полужирными буквами $\mathbf{x},\mathbf{y},\dots$, чтобы отличать их от целочисленных классов гомологий. Для подгруппы $U$ группы $H$, мы будем обозначать через $U^{\bot}$ ее ортогональное дополнение по отношению к форме пересечений. Под ортогональным разложением группы $H$ мы всегда будем понимать ее разложение в прямую сумму подгрупп, любые две из которых ортогональны друг другу по отношению к форме пересечений. Подгруппа $L$ группы $H$ называется изотропной, если ограничение формы пересечений на $L$ тривиально. Лагранжевой подгруппой называется максимальная по включению изотропная подгруппа. Легко видеть, что изотропная подгруппа $L$ является лагранжевой тогда и только тогда, когда она имеет ранг $g$ и выделяется прямым слагаемым в $H$. Кроме того, $L$ лагранжева тогда и только тогда, когда $L^{\bot}=L$. Мы будем обозначать через $\langle c_1,\dots,c_k\rangle$ подгруппу группы $H$, натянутую на элементы $c_1,\dots,c_k$. 3.1. Комплекс цикловВ работе [5] М. Бествина, К.-У. Букс и Д. Маргалит построили стягиваемый регулярный клеточный комплекс $\mathcal{B}_g$, на котором группа Торелли $\mathcal{I}_g$ действует клеточно и без вращений, и назвали его комплексом циклов. “Без вращений” означает, что если элемент $h\in\mathcal{I}_g$ оставляет на месте некоторую клетку комплекса $\mathcal{B}_g$ как множество, то он оставляет на месте каждую точку этой клетки. В этом пункте мы напомним конструкцию комплекса $\mathcal{B}_g$; более подробное ее изложение можно найти в [17] и [9]. Рассмотрим замкнутую ориентированную поверхность $S_g$, где $g\geqslant 2$. Класс гомологий $x\in H=H_1(S_g;\mathbb{Z})$ называется примитивным, если он не делится ни на какое целое число, большее $1$. Выберем примитивный класс гомологий $x\in H$ и зафиксируем этот выбор в течение всей конструкции. (М. Бествина, К.-У. Букс и Д. Маргалит требовали лишь, чтобы класс $x$ был ненулевым. Однако нам удобно, чтобы он был примитивным.) Обозначим через $\mathbf{C}$ множество классов изотопии всевозможных ориентированных неразделяющих простых замкнутых кривых на $S_g$. Рассмотрим бесконечномерное векторное пространство $\mathbb{R}^{\mathbf{C}}$, состоящее из конечных формальных линейных комбинаций элементов множества $\mathbf{C}$. Отметим, что если $\overline\gamma$ – это кривая $\gamma$ с обращенной ориентацией, то $\gamma$ и $\overline\gamma$ – два разных базисных элемента пространства $\mathbb{R}^{\mathbf{C}}$ и не предполагается, что элемент $\overline\gamma$ равен $-\gamma$. Здесь и далее, говоря “кривая” мы, как правило, имеем в виду “класс изотопии кривых”. В частности, мы будем называть элементы множества $\mathbf{C}$ кривыми; при этом, говоря “кривые не пересекаются”, мы будем иметь в виду, что соответствующие классы изотопии содержат не пересекающиеся друг с другом представители. Определим комплекс циклов $\mathcal{B}_g=\mathcal{B}_g(x)$ как подмножество пространства $\mathbb{R}^{\mathbf{C}}$, состоящее из всех конечных линейных комбинаций $\boldsymbol{\gamma}=\sum_{i=1}^k n_i\gamma_i$ (которые называются циклами), удовлетворяющих следующим условиям:
Отметим, что двусторонние соотношения, т. е. соотношения вида$\sum_{i\in I}[\gamma_i]=\sum_{j\in J}[\gamma_j]$, разрешены. Из последнего условия в определении комплекса $\mathcal{B}_g$, в частности, следует, что никакие две кривые $\gamma_i$ и $\gamma_j$ не могут иметь противоположные классы гомологий. Цикл $\boldsymbol{\gamma}\in\mathcal{B}_g$ называется базисным циклом для $x$, если классы гомологий кривых $\gamma_1,\dots,\gamma_k$ линейно независимы. Так как класс $x$ целочисленный, коэффициенты $n_i$ произвольного базисного цикла для $x$ – положительные целые числа. Объединение конечного числа попарно не пересекающихся и попарно не изотопных простых замкнутых кривых на $S_g$ называется мультикривой. Говорят, что мультикривая ориентирована, если для каждой из ее компонент выбрана ориентация. В данной статье мы всегда предполагаем, что рассматриваемые мультикривые не содержат разделяющих компонент. Как и в случае кривых, мы рассматриваем мультикривые с точностью до изотопии и не делаем различия между мультикривой и ее классом изотопии. Условимся, что для ориентированных мультикривых обозначение $N\subset M$ означает, что мультикривая $N$ является объединением некоторых компонент мультикривой $M$ с теми же ориентациями, которые они имеют в $M$. Для каждого цикла $\boldsymbol{\gamma}\in\mathcal{B}_g$ объединение ориентированных кривых $\gamma_i$, которые входят в $\boldsymbol{\gamma}$ с ненулевыми коэффициентами, является ориентированной мультикривой. Назовем эту мультикривую носителем цикла $\boldsymbol{\gamma}$. Обозначим через $\mathcal{M}$ множество всех ориентированных мультикривых на $S_g$, удовлетворяющих следующим двум условиям.
М. Бествина, К.-У. Букс и Д. Маргалит показали, что ориентированная мультикривая $M$ принадлежит множеству $\mathcal{M}$ тогда и только тогда, когда она является носителем некоторого цикла $\boldsymbol{\gamma}\in\mathcal{B}_g$. Более того, для каждой ориентированной мультикривой $M\in\mathcal{M}$ множество $P_M$, состоящее из всех циклов $\boldsymbol{\gamma}\in\mathcal{B}_g$, носители которых содержатся в $M$, является конечномерным выпуклым многогранником в $\mathbb{R}^{\mathbf{C}}$, причем вершины этого многогранника – это в точности все базисные циклы для $x$, носители которых содержатся в $M$. Кроме того, имеет место следующая формула для размерности многогранника $P_M$ (см. [5; лемма 2.1]):
$$
\begin{equation}
\dim P_M=|M|-\operatorname{rank} M=|S\setminus M|-1,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $|M|$ – число компонент мультикривой $M$, $|S\setminus M|$ – число компонент поверхности $S\setminus M$ и $\operatorname{rank} M$ – ранг подгруппы группы $H$, порожденной классами гомологий компонент мультикривой $M$. Размерность $\dim P_M$ наибольшая, когда $M$ – разрезание поверхности $S_g$ на штаны. В этом случае $|M|=3g-3$ и $\operatorname{rank} M=g$. Поэтому $\dim\mathcal{B}_g=2g-3$, см. [5; предложение 2.2]. В частности, $\dim\mathcal{B}_3=3$. Выпуклые многогранники $P_M$, где $M$ пробегает множество $\mathcal{M}$, образуют регулярное клеточное разбиение пространства $\mathcal{B}_g$. М. Бествина, К.-У. Букс и Д. Маргалит доказали, что клеточный комплекс $\mathcal{B}_g$ стягиваем, см. [5; теорема E]. Из результата Н. В. Иванова [19; следствие 1.8] следует, что группа $\mathcal{I}_g$ действует на клеточном комплексе $\mathcal{B}_g$ без вращений. Обозначим через $C_*(\mathcal{B}_g;\mathbb{Z})$ клеточный цепной комплекс комплекса циклов $\mathcal{B}_g$. Легко видеть, что клетка $P_N$ является гранью клетки $P_M$ (где $M,N\in\mathcal{M}$) тогда и только тогда, когда $N\subset M$. Поэтому дифференциал цепного комплекса $C_*(\mathcal{B}_g;\mathbb{Z})$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\partial P_M=\sum_{N\subset M,\,N\in\mathcal{M},\,\dim P_N=\dim P_M-1}\pm P_N,
\end{equation*}
\notag
$$
где знаки зависят от выбора ориентаций клеток. Наряду с группой Торелли $\mathcal{I}_g$, нам придется работать с расширенной группой Торелли $\widehat{\mathcal{I}}_g$. По определению, $\widehat{\mathcal{I}}_g$ есть подгруппа группы $\operatorname{Mod}(S_g)$, состоящая из всех классов отображений $h$, которые действуют на группе $H$ либо тривиально, либо посредством умножения на $-1$. Очевидно, что $\mathcal{I}_g$ – подгруппа индекса $2$ группы $\widehat{\mathcal{I}}_g$ и группа $\widehat{\mathcal{I}}_g$ порождается своей подгруппой $\mathcal{I}_g$ и гиперэллиптической инволюцией (см. рис. 2 в п. 3.4). Если мы попытаемся наивным образом продолжить действие группы $\mathcal{I}_g$ на комплексе циклов $\mathcal{B}_g$ до действия группы $\widehat{\mathcal{I}}_g$, у нас ничего не получится, так как всякий класс отображений $h\in\widehat{\mathcal{I}}_g\setminus\mathcal{I}_g$ переводит цикл $\boldsymbol{\gamma}$ для $x$ в цикл для $-x$, который не лежит в комплексе $\mathcal{B}_g$. Тем не менее, мы можем определить действие группы $\widehat{\mathcal{I}}_g$ на комплексе $\mathcal{B}_g$, искусственно обращая ориентацию каждой кривой, входящей в цикл, всякий раз, когда мы действуем на него классом отображений $h\in\widehat{\mathcal{I}}_g\setminus\mathcal{I}_g$. Другими словами, если класс отображений $h\in\widehat{\mathcal{I}}_g\setminus\mathcal{I}_g$ переводит ориентированные кривые $\gamma_1,\dots,\gamma_k$ в ориентированные кривые $\delta_1,\dots,\delta_k$ соответственно, то мы полагаем
$$
\begin{equation*}
h(n_1\gamma_1+\dots+n_k\gamma_k)=n_1\overline{\delta}_1+\dots+n_k\overline{\delta}_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Точно так же, если $h\in\widehat{\mathcal{I}}_g\setminus\mathcal{I}_g$ и $M$ – ориентированная мультикривая из множества $\mathcal{M}$, то мы будем обозначать через $h(M)$ мультикривую, получаемую путем наивного применения класса отображений $h$ к $M$ и последующего обращения ориентации каждой компоненты. Тогда ориентированная мультикривая $h(M)$ снова принадлежит множеству $\mathcal{M}$. Для ориентированной мультикривой $M\in\mathcal{M}$ обозначим через $[M]$ мультимножество целочисленных классов гомологий компонент мультикривой $M$. В общем случае $[M]$ – именно мультимножество, а не множество, так как мультикривая $M$ может иметь гомологичные компоненты. Для перечисления элементов мультимножества мы используем квадратные скобки, например, $[c_1,\dots,c_k]$. Однако мы предпочитаем более обычное обозначение $\{c_1,\dots,c_k\}$ в тех случаях, когда мультимножество в действительности является множеством. Обозначим через $\mathcal{H}$ множество, состоящее из всех мультимножеств $[M]$, где мультикривая $M$ пробегает множество $\mathcal{M}$. Для каждого $p$ обозначим через $\mathcal{M}_p$ подмножество множества $\mathcal{M}$, состоящее из всех мультикривых $M$ таких, что $\dim P_M=p$, и обозначим через $\mathcal{H}_p$ множество, состоящее из всех мультимножеств $[M]$, где $M$ пробегает множество $\mathcal{M}_p$. Из формулы (3.1) следует, что все мультимножества, принадлежащие $\mathcal{H}_0$, являются множествами. Предложение 3.1. Множество $A=\{a_1,\dots,a_m\}$, состоящее из $m$ элементов, принадлежит множеству $\mathcal{H}_0$ тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям: Доказательство. Хорошо известно, что условие 1) является необходимым и достаточным условием для существования ориентированной мультикривой $N$ такой, что $[N]=A$ и поверхность $S\setminus N$ связна. Эта мультикривая принадлежит множеству $\mathcal{M}_0$ тогда и только тогда, когда выполнено условие 2). Предложение доказано. Предложение 3.2. Пусть $g=3$. Пусть $A=\{a_1,a_2,a_3\}$ – трехэлементное множество, принадлежащее множеству $\mathcal{H}_0$, и $C$ – мультимножество, содержащее множество $A$. Тогда мультимножество $C$ принадлежит множеству $\mathcal{H}$ в том и только в том случае, когда оно содержится в одном из $102$ мультимножеств в следующем списке: Доказательство. Прежде всего, при помощи прямого перебора можно проверить, что каждое из перечисленных $102$ мультимножеств $E$ можно реализовать как мультимножество классов гомологий ориентированной мультикривой $K$ на поверхности $S_3$. Предположим, что $C$ – мультимножество, содержащееся в $E$ и содержащее $A$. Тогда всякая мультикривая $M\subset K$ такая, что $[M]=C$, принадлежит множеству $\mathcal{M}$. Действительно, условие 2) в определении множества $\mathcal{M}$ выполнено ввиду отсутствия односторонних соотношений, а условие 1) выполнено, так как каждый элемент $c$ каждого из перечисленных мультимножеств обладает следующим свойством: класс $x$ является линейной комбинацией с неотрицательными коэффициентами класса $c$ и некоторых двух классов $a_i$ и $a_j$, причем коэффициент при $c$ строго положителен. Таким образом, $C\in\mathcal{H}$.
Наоборот, предположим, что $C$ – произвольное мультимножество, принадлежащее множеству $\mathcal{H}$ и содержащее множество $A$. Пусть $M$ – мультикривая из множества $\mathcal{M}$ такая, что $[M]=C$, и $N\subset M$ – содержащаяся в ней мультикривая такая, что $[N]=A$. Тогда $S_3\setminus N$ – сфера с шестью проколами. Мультикривая $M$ получается из мультикривой $N$ последовательным добавлением новых ориентированных простых замкнутых кривых, каждая из которых делит одну из имеющихся компонент поверхности на две части. Несложный перебор случаев показывает, что для всякой мультикривой, которая может быть получена таким способом, мультимножество классов гомологий ее компонент содержится в одном из $102$ перечисленных мультимножеств, при условии, что нам не разрешается создавать односторонние соотношения. В качестве примера рассмотрим более аккуратно случай мультикривой $M$, содержащей две компоненты $\alpha_1$ и $\alpha_1'$, имеющие класс гомологий $a_1$. Пусть $\alpha_2$ и $\alpha_3$ – компоненты мультикривой $M$ в классах гомологий $a_2$ и $a_3$ соответственно. Тогда $N=\alpha_1\cup\alpha_2\cup\alpha_3$ – содержащаяся в $M$ мультикривая такая, что $[N]=A$ и $S_3\setminus N$ – сфера с $6$ проколами. Кривая $\alpha_1'$ делит эту сферу с $6$ проколами на две части $S'$ и $S''$, гомеоморфные сфере с $4$ проколами, такие что $S'$ примыкает к кривой $\alpha_2$ с обеих сторон и к каждой из кривых $\alpha_1$ и $\alpha_1'$ с одной из сторон и $S''$ примыкает к кривой $\alpha_3$ с обеих сторон и к каждой из кривых $\alpha_1$ и $\alpha_1'$ с другой стороны. Предположим, что мультикривая $M$ содержит еще одну компоненту $\gamma$, разбивающую поверхность $S'$ на две сферы с $3$ проколами. Так как кривая $\gamma$ не разделяет поверхность $S_3$, ее класс гомологий $[\gamma]$ равен одному из четырех классов $\pm a_1\pm a_2$. Однако случай $-a_1-a_2$ невозможен ввиду отсутствия односторонних соотношений. Поэтому $[\gamma]$ – один из трех классов $a_1+a_2$, $a_1-a_2$ и $a_2-a_1$. Аналогично, если мультикривая $M$ содержит компоненту $\delta$, лежащую в $S''$, то $[\delta]$ – один из трех классов $a_1+a_3$, $a_1-a_3$ и $a_3-a_1$. Таким образом, мультимножество $[M]$ содержится хотя бы в одном из $9$ шестиэлементных мультимножеств, получаемых из мультимножества $[a_1,a_1,a_2,a_3]$ добавлением одного из трех классов $a_1+a_2$, $a_1-a_2$ и $a_2-a_1$ и одного из трех классов $a_1+a_3$, $a_1-a_3$ и $a_3-a_1$. Все эти $9$ мультимножеств содержатся в нашем списке. Более того, это в точности все мультимножества в списке, которые содержат мультимножество $[a_1,a_1,a_2,a_3]$. Остальные случаи разбираются аналогично. Предложение доказано. 3.2. Спектральная последовательностьПусть группа $G$ действует клеточно и без вращений на клеточном комплексе $X$. Обозначим через $G_P$ стабилизатор клетки $P$. В этом пункте мы напомним конструкцию и основные свойства спектральной последовательности
$$
\begin{equation}
E^1_{p,q}\cong \bigoplus_{P\in\mathfrak{X}_p}H_q(G_P;\mathbb{Z})\quad\Longrightarrow \quad H_{p+q}(G;\mathbb{Z}).
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Здесь $\mathfrak{X}_p$ – некоторое множество $p$-мерных клеток комплекса $X$, содержащее ровно по одному представителю из каждой $G$-орбиты. Спектральная последовательность (3.2) – это в точности спектральная последовательность (7.7) в [20; разд. VII.7]. На самом деле, с действием группы на клеточном комплексе ассоциированы две спектральные последовательности. Интересующая нас спектральная последовательность $E^r_{p,q}$ в книге [20] называется второй спектральной последовательностью. По определению, тензорное произведение $M\otimes_GN$ двух левых $G$-модулей $M$ и $N$ – это факторгруппа абелевой группы $M\otimes_{\mathbb{Z}}N$ по всем соотношениям вида $(ga)\otimes (gb)=a\otimes b$, где $g\in G$. Искомая спектральная последовательность (3.2) – это спектральная последовательность $E^r_{p,q}$, ассоциированная с фильтрацией по столбцам бикомплекса где $C_*(X;\mathbb{Z})$ – клеточный цепной комплекс для $X$ и $\mathcal{R}_*$ – проективная резольвента модуля $\mathbb{Z}$ над кольцом $\mathbb{Z} G$. Обозначим через $\partial'$ и $\partial''$ дифференциалы бикомплекса $B_{*,*}$, индуцированные дифференциалами цепных комплексов $C_*(X;\mathbb{Z})$ и $\mathcal{R}_*$ соответственно. Бистепени дифференциалов $\partial'$ и $\partial''$ равны $(-1,0)$ и $(0,-1)$ соответственно. Мы используем следующее соглашение о знаках:
$$
\begin{equation*}
\partial'(P\otimes\xi)=(\partial P)\otimes\xi,\qquad \partial''(P\otimes\xi)=(-1)^{\dim P}P\otimes\partial\xi.
\end{equation*}
\notag
$$
Конструкцию спектральной последовательности бикомплекса можно найти в [20; разд. VII.3] или [21; разд. 7.1]. Это спектральная последовательность первой четверти с дифференциалами $d^r$ бистепеней $(-r,r-1)$, такая что $E^0_{p,q}=B_{p,q}$, $d^0=\partial''$ и дифференциал $d^1$ индуцирован дифференциалом $\partial'$. Нам будет удобно брать в качестве $\mathcal{R}_*$ стандартную бар-резольвенту. Отметим, что, начиная с члена $E^1$, рассматриваемая спектральная последовательность не зависит от выбора проективной резольвенты. Нам понадобятся следующие факты о спектральной последовательности $E^r_{p,q}$. Утверждение 3.3. Имеется канонический изоморфизм Пусть $P$ – ориентированная $p$-мерная клетка комплекса $X$ и $h\in G_P$. Выберем множество представителей $\mathfrak{X}_p$ так, чтобы клетка $P$ входила в него, и обозначим через $[h]_P\in E^1_{p,1}$ элемент $[h]$ в слагаемом $H_1(G_P;\mathbb{Z})$ разложения (3.4). Отметим, что, если мы обратим ориентацию клетки $P$, элемент $[h]_P$ сменит знак. Согласно утверждению 3.3 элемент $[h]_P$ не зависит от выбора представителей других $G$-орбит $p$-мерных клеток и $[ghg^{-1}]_{g\cdot P}=[h]_P$ для всех $g\in G$. Добавление к утверждению 3.3. Предположим, что в качестве резольвенты $\mathcal{R}_*$ выбрана бар-резольвента. Тогда для любой $p$-мерной клетки $P$ и любого элемента $h\in G_P$ класс $[h]_P\in E^1_{p,1}$ представляется циклом $P\otimes [h]\in B_{p,1}=C_p(X;\mathbb{Z})\otimes_G \mathcal{R}_1$. Утверждение 3.4. Пусть элементы таковы, что $\partial''Y_{p,q}=0$ и Тогда элемент $Y_{p,q}$ лежит в ядрах дифференциалов $d^0,\dots,d^{r-1}$ и, значит, представляет некоторый класс $y\in E^r_{p,q}$. Кроме того, $d^ry$ – класс в группе $E^r_{p-r,q+r-1}$, представленный элементом $\partial'Y_{p-r+1,q+r-1}$. По определению, группы эквивариантных гомологий $H_*^G(X;\mathbb{Z})$ суть группы гомологий тотального комплекса бикомплекса (3.3), т. е. цепного комплекса, состоящего из абелевых групп $\operatorname{Tot}_s(B_{*,*})=\bigoplus_{p+q=s}B_{p,q}$, снабженного дифференциалом $\partial_{\operatorname{Tot}}=\partial'+\partial''$. Утверждение 3.5. Группа $\bigoplus_{p+q=s}E^{\infty}_{p,q}$ есть градуированная группа, ассоциированная с некоторой фильтрацией т. е. $E^{\infty}_{p,q}=\mathcal{F}_{p,q}/\mathcal{F}_{p-1,q+1}$. Доказательства утверждений 3.3 и 3.5 можно найти в [20; разд. VII.7] и изоморфизм (3.4) есть в точности изоморфизм (7.7) в [20]. Описание дифференциалов из утверждения 3.4 содержится в [21; разд. 7.1]. Для нас наиболее важен случай стягиваемого комплекса $X$. В этом случае группы $H_s^G(X;\mathbb{Z})$ естественно изоморфны группам $H_s(G;\mathbb{Z})$. Замечание 3.6. В работе [5] спектральная последовательность (3.2) называется спектральной последовательностью Картана–Лере для действия группы $G$ на комплексе $X$. Однако эта терминология может приводить к путанице, так как название “спектральная последовательность Картана–Лере” обычно используется для другой спектральной последовательности, а именно, для спектральной последовательности, ассоциированной с фильтрацией по строкам бикомплекса (3.3), в случае свободного действия. 3.3. Стабилизаторы мультикривыхВ этом пункте мы докажем следующее утверждение о порождающих для стабилизаторов в группе Торелли мультикривых на поверхности $S_3$ рода $3$. Хотя это утверждение легко следует из известных результатов, автору не удалось найти его доказательства в литературе. Предложение 3.7. Пусть $M$ – мультикривая на поверхности $S_3$ без разделяющих компонент. Тогда стабилизатор $\mathcal{I}_M$ порождается скручиваниями вдоль разделяющих простых замкнутых кривых, не пересекающих мультикривой $M$, и скручиваниями вдоль ограничивающих пар простых замкнутых кривых, не пересекающих мультикривой $M$. Замечание 3.8. Когда мы говорим, что ограничивающая пара $\{\gamma_1,\gamma_2\}$ не пересекается с мультикривой $M$, мы подразумеваем, что одной или обеим кривым $\gamma_1$ и $\gamma_2$ разрешено быть компонентами мультикривой $M$, так как каждая компонента мультикривой $M$ изотопна кривой, не пересекающей $M$. В основе доказательства предложения 3.7 лежит теория групп Торелли поверхностей с несколькими граничными компонентами, принадлежащая Э. Путману, см. [22]. Напомним некоторые определения и результаты из его статьи. Пусть $\Sigma$ – связная компактная ориентированная поверхность с $m$ компонентами границы $C_1,\dots,C_m$ и $\mathcal{P}$ – разбиение множества граничных компонент поверхности $\Sigma$. Пару $(\Sigma,\mathcal{P})$ будем называть поверхностью с разбиением границы. Колпаком над $(\Sigma,\mathcal{P})$ называется вложение $i\colon \Sigma\hookrightarrow S_g$ такое, что для каждой компоненты связности $R$ поверхности $S_g\setminus\operatorname{int}(\Sigma)$ множество граничных компонент поверхности $R$ есть в точности элемент разбиения $\mathcal{P}$. Э. Путман доказал, что подгруппа $\mathcal{I}(\Sigma,\mathcal{P})=i_*^{-1}(\mathcal{I}(S_g))$ не зависит от выбора колпака $i$ поверхности $(\Sigma,\mathcal{P})$. Он назвал эту группу группой Торелли поверхности с разбиением границы $(\Sigma,\mathcal{P})$. Кривая на поверхности $\Sigma$ называется $\mathcal{P}$-разделяющей, если она разделяет поверхность $S_g$ для некоторого (и тогда для любого) колпака над $(\Sigma,\mathcal{P})$. Аналогично, пара непересекающихся кривых на $\Sigma$ называется $\mathcal{P}$-ограничивающей парой, если она является ограничивающей парой на поверхности $S_g$ для некоторого (и тогда для любого) колпака над $(\Sigma,\mathcal{P})$. (В этих определениях мы разрешаем разделяющей кривой на $S_g$ быть гомотопически тривиальной и разрешаем кривым в ограничивающей паре на $S_g$ быть изотопными друг другу.) Просто пересекающаяся пара кривых на $\Sigma$ – это пара $\{\gamma_1,\gamma_2\}$ простых замкнутых кривых, для которых геометрический индекс пересечения равен двум и алгебраический индекс пересечения равен нулю. Легко видеть, что скручивания $T_{\gamma}$ вдоль $\mathcal{P}$-разделяющих кривых $\gamma$, скручивания $T_{\gamma,\gamma'}$ вдоль $\mathcal{P}$-ограничивающих пар $\{\gamma,\gamma'\}$ и коммутаторы $[T_{\gamma_1},T_{\gamma_2}]$ скручиваний вдоль просто пересекающихся пар кривых $\{\gamma_1,\gamma_2\}$ лежат в группе Торелли $\mathcal{I}(\Sigma,\mathcal{P})$. Теорема 3.9 (Э. Путман [22; теоремы 1.3 и 1.5]). Если $(\Sigma,\mathcal{P})$ – поверхность положительного рода с разбиением границы, то группа $\mathcal{I}(\Sigma,\mathcal{P})$ порождается скручиваниями вдоль $\mathcal{P}$-разделяющих кривых и скручиваниями вдоль $\mathcal{P}$-ограничивающих пар. Если $(\Sigma,\mathcal{P})$ – поверхность нулевого рода с разбиением границы, то группа $\mathcal{I}(\Sigma,\mathcal{P})$ порождается скручиваниями вдоль $\mathcal{P}$-разделяющих кривых, скручиваниями вдоль $\mathcal{P}$-ограничивающих пар и коммутаторами скручиваний вдоль просто пересекающихся пар кривых. Теперь пусть $M$ – мультикривая (без разделяющих компонент) на замкнутой поверхности $S_g$. Тогда имеет место следующая коммутативная диаграмма с точными строками: Здесь $\operatorname{Stab}_{\operatorname{Mod}(S_g)}\bigl(\overrightarrow{M}\bigr)$ – подгруппа группы $\operatorname{Stab}_{\operatorname{Mod}(S_g)}(M)$, состоящая из всех классов отображений, которые стабилизируют каждую компоненту мультикривой $M$ с сохранением ее ориентации, $G(M)$ – группа, порожденная скручиваниями Дена вдоль компонент мультикривой $M$, и $BP(M)$ – группа, порожденная скручиваниями вдоль всевозможных ограничивающих пар, содержащихся в $M$. Нижняя строка диаграммы (3.5) – это один из вариантов точной последовательности Бирман–Любоцкого–Маккарти (см. [23; лемма 2.1]), а верхняя строка – ее ограничение на группу Торелли (см. [5; разд. 6.2]).Пусть $\Sigma$ – компактная поверхность с краем, получаемая из поверхности $S_g\setminus M$ при замене проколов на компоненты границы. Более точно, $\Sigma = S_g\setminus\mathcal{N}$, где $\mathcal{N}$ – малая открытая регулярная окрестность мультикривой $M$. Вложение $i\colon \Sigma\hookrightarrow S_g$ индуцирует гомоморфизм
$$
\begin{equation}
i_*\colon \operatorname{Mod}(\Sigma)\to \operatorname{Stab}_{\operatorname{Mod}(S_g)}\bigl(\overrightarrow{M}\bigr).
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Этот гомоморфизм сюръективен, так как каждый класс отображений в группе $\operatorname{Stab}_{\operatorname{Mod}(S_g)}\bigl(\overrightarrow{M}\bigr)$ может быть представлен гомеоморфизмом, оставляющим на месте каждую точку окрестности $\mathcal{N}$. Пусть $\Sigma_1,\dots,\Sigma_m$ – компонентны связности поверхности $\Sigma$. Колпаки $i_j$: $\Sigma_j\hookrightarrow S_g$ задают разбиение границы $\mathcal{P}_j$ для каждой поверхности $\Sigma_j$. Рассмотрим соответствующие группы Торелли $\mathcal{I}(\Sigma_j,\mathcal{P}_j)$. Пусть $\mathcal{I}(\Sigma,\mathcal{P})\subset \operatorname{Mod}(\Sigma)$ – прямое произведение подгрупп $\mathcal{I}(\Sigma_j,\mathcal{P}_j)\subset \operatorname{Mod}(\Sigma_j)$. Из определения групп Торелли сразу следует, что группа $i_*(\mathcal{I}(\Sigma,\mathcal{P}))$ содержится в $\mathcal{I}_M$. Однако может оказаться, что она не совпадает со всей группой $\mathcal{I}_M$. Лемма 3.10. Пусть $g=3$. Тогда группа $\mathcal{I}_M$ порождается своей подгруппой $i_*(\mathcal{I}(\Sigma,\mathcal{P}))$, а также скручиваниями вдоль разделяющих простых замкнутых кривых, не пересекающихся с $M$, и скручиваниями вдоль ограничивающих пар кривых, не пересекающихся с $M$. Доказательство. Предположим, что все компоненты связности поверхности $S_3\setminus M$ гомеоморфны сфере с тремя проколами. Тогда группа $\operatorname{PMod}(S_3\setminus M)$ тривиальна. Значит, $\mathcal{I}_M=BP(M)$ и утверждение леммы выполнено.
Таким образом, мы можем считать, что хотя бы одна компонента связности поверхности $S_3\setminus M$ не гомеоморфна сфере с тремя проколами. Тогда хотя бы одна компонента связности поверхности $\Sigma$, скажем $\Sigma_1$, не является поверхностью рода нуль с тремя компонентами границы. Рассмотрим два случая. Случай 1: мультикривая $M$ не содержит ограничивающей пары. Докажем следующее утверждение. Напомним, что $\Sigma_1$ – компактная связная подповерхность поверхности $S_3$ и $\Sigma_1$ не поверхность рода нуль с тремя компонентами границы. Из того, что $M$ не содержит ни разделяющих компонент, ни ограничивающих пар кривых, следует, что каждая компонента связности поверхности $S_3\setminus \Sigma_1$ либо гомеоморфна открытому цилиндру (т. е. сфере с двумя проколами), либо является ориентированной поверхностью с не менее чем тремя проколами. Если $m=1$, т. е. $\Sigma_1$ – единственная компонента связности поверхности $\Sigma$, то утверждение $(*)$ очевидно. Если $m\geqslant 2$, то хотя бы одна компонента связности поверхности $S_3\setminus \Sigma_1$ не является цилиндром. При помощи перебора случаев легко установить, что имеется только три возможности:
Теперь выведем лемму из утверждения $(*)$. Группа $\operatorname{Mod}(\Sigma)$ порождена скручиваниями Дена вдоль простых замкнутых кривых, содержащихся в $\Sigma$. Значит, любой элемент $h\in\operatorname{Stab}_{\operatorname{Mod}(S_g)}(\overrightarrow{M})$ может быть записан в виде произведения левых и правых скручиваний Дена вдоль простых замкнутых кривых, содержащихся в $\Sigma$. Далее, если $\gamma$ – неразделяющая простая замкнутая кривая, содержащаяся в $\Sigma_2\cup\cdots\cup\Sigma_m$, то по утверждению $(*)$ найдется простая замкнутая кривая $\delta$ в $\Sigma_1$ такая, что кривые $\gamma$ и $\delta$ гомологичны в $S_3$. Тогда $T_{\gamma} = T_{\gamma,\delta}T_{\delta}$. Таким образом, класс отображений $h$ может быть записан в виде произведения скручиваний следующих трех типов:
Более того, мы можем поменять местами любую пару скручиваний разных типов, заменив одно из них на подходящее сопряженное. Такими перестановками мы можем добиться того, что $h=h'h''$, где $h'$ – произведение скручиваний типа 1), а $h''$ – произведение скручиваний типов 2) и 3). Теперь предположим, что $h\in \mathcal{I}_M$. Чтобы доказать утверждение леммы, достаточно показать, что $h' \in i_*(\mathcal{I}(\Sigma,\mathcal{P}))$. Очевидно, что $h''\in\mathcal{I}_M$, следовательно, $h'\in\mathcal{I}_M$. С другой стороны, класс отображений $h'$ является произведением скручиваний Дена вдоль простых замкнутых кривых, содержащихся в $\Sigma_1$, и, значит, может быть представлен гомеоморфизмом, оставляющим на месте каждую точку множества $S_3\setminus\Sigma_1$. Таким образом, $h'=i_*(q)$ для некоторого $q\in\operatorname{Mod}(\Sigma_1)$. Тогда из определения Путмана сразу следует, что $q\in \mathcal{I}(\Sigma_1,\mathcal{P}_1)$ и, значит, $h'\in i_*(\mathcal{I}(\Sigma,\mathcal{P}))$. Случай 2: мультикривая $M$ содержит ограничивающую пару кривых $\{\gamma,\gamma'\}$. В этом случае мы на самом деле докажем, что $\mathcal{I}_M= i_*(\mathcal{I}(\Sigma,\mathcal{P}))$. Пусть $h\in\mathcal{I}_M$. Так как гомоморфизм (3.6) сюръективен, то $h=i_*(q_1\cdots q_m)$ для некоторых $q_j\in \operatorname{Mod}(\Sigma_j)$. Мы хотим доказать, что $h\in i_*(\mathcal{I}(\Sigma,\mathcal{P}))$. Мультикривая $\gamma\cup\gamma'$ делит поверхность $S_3$ на две части $R_1$ и $R_2$, каждая из которых гомеоморфна тору с двумя проколами. Мы можем считать, что $\Sigma_1\subseteq R_1$. Тогда $\Sigma_1$ – либо поверхность рода $1$ с $2$ компонентами границы, либо поверхность рода $0$ с $4$ компонентами границы. В обоих случаях ни одна из остальных компонент $\Sigma_j$ не содержится в $R_1$. Имеются два подслучая. Подслучай 2a: $m=2$. Тогда $\Sigma_2$ – тоже либо поверхность рода $1$ с $2$ компонентами границы, либо поверхность рода $0$ с $4$ компонентами границы. Выберем симплектический базис $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3$ группы $H$ такой, что $[\gamma]=[\gamma'] = a_3$ и $a_j,b_j,a_3$ – базис подгруппы $H_1(R_j;\mathbb{Z})\subset H$ при $j=1,2$. Положим $h_1=i_*(q_1)$ и $h_2=i_*(q_2)$. Класс отображений $h_1$ может быть представлен гомеоморфизмом, оставляющим на месте каждую точку поверхности $R_2$. Поэтому $h_1$ оставляет на месте классы гомологий $a_2$, $b_2$ и $a_3$ и переводит класс $b_3$ в класс гомологий вида $b_3+k_1a_3+r_1a_1+s_1b_1$. Аналогично, $h_2$ оставляет на месте классы гомологий $a_1$, $b_1$ и $a_3$ и переводит класс $b_3$ в класс гомологий вида $b_3+k_2a_3+r_2a_2+s_2b_2$. Так как класс отображений $h=h_1h_2$ принадлежит группе Торелли $\mathcal{I}_3$, мы получаем, что $k_2=-k_1$ и $r_1=s_1=r_2=s_2=0$. Тогда классы отображений $h_1T_{\gamma}^{k_1}$ и $T_{\gamma}^{-k_1}h_2$ тоже принадлежат группе $\mathcal{I}_3$. Пусть $\gamma_1$ и $\gamma_2$ – простые замкнутые кривые, гомотопные кривой $\gamma$ такие, что $\gamma_1\subset\Sigma_1$ и $\gamma_2\subset \Sigma_2$. Тогда классы отображений $q_1'=q_1T_{\gamma_1}^{k_1}$ и $q_2'=T_{\gamma_2}^{-k_1}q_2$ принадлежат группам $\mathcal{I}(\Sigma_1,\mathcal{P}_1)$ и $\mathcal{I}(\Sigma_2,\mathcal{P}_2)$ соответственно. Таким образом, класс отображений $h=i_*(q_1'q_2')$ принадлежит группе $i_*(\mathcal{I}(\Sigma,\mathcal{P}))$. Подслучай 2b: $m=3$. Тогда каждая из поверхностей $\Sigma_2$ и $\Sigma_3$ является поверхностью рода $0$ с $3$ компонентами границы. Мы можем считать, что $\Sigma_2$ примыкает к $\gamma$ и $\Sigma_3$ примыкает к $\gamma'$. Пусть $\delta_1$ и $\delta_2$ – компоненты мультикривой $M$, отделяющие $\Sigma_2$ от $\Sigma_3$. Группа классов отображений компактной поверхности рода нуль с тремя компонентами границы является свободной абелевой группой ранга $3$, порожденной скручиваниями вдоль простых замкнутых кривых, гомотопных компонентам границы. Значит, $i_*(q_2q_3)=T_{\gamma}^nT_{\gamma'}^{n'}T_{\delta_1}^{l_1}T_{\delta_2}^{l_2}$ для некоторых целых чисел $n$, $n'$, $l_1$ и $l_2$. Выберем симплектический базис $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3$ как в предыдущем подслучае, потребовав дополнительно выполнения равенств $[\delta_1]=a_2$ и $[\delta_2]=a_2+a_3$. Опять класс отображений $h_1=i_*(q_1)$ оставляет на месте классы гомологий $a_2$, $b_2$ и $a_3$ и переводит $b_3$ в класс вида $b_3+ka_3+ra_1+sb_1$. Класс отображений $h_1^{-1}h=T_{\gamma}^nT_{\gamma'}^{n'}T_{\delta_1}^{l_1}T_{\delta_2}^{l_2}$ оставляет на месте классы гомологий $a_1$, $b_1$, $a_2$ и $a_3$ и переводит классы гомологий $b_2$ и $b_3$ в $b_2-(l_1+l_2)a_2-l_2a_3$ и $b_3-l_2a_2-(n+n'+l_2)a_3$ соответственно. Так как $h\in\mathcal{I}_3$, то $r=s=l_1=l_2=0$ и $k=n+n'$. Значит, $h=h_1T_{\gamma}^{n}T_{\gamma'}^{n'}$. Если $\gamma_1$ и $\gamma_1'$ – простые замкнутые кривые в $\Sigma_1$, гомотопные кривым $\gamma$ и $\gamma'$ соответственно, то $h=i_*\bigl(q_1T_{\gamma_1}^{n}T_{\gamma'_1}^{n'}\bigr)$. Следовательно, $q_1T_{\gamma_1}^{n}T_{\gamma'_1}^{n'}\in \mathcal{I}(\Sigma_1,\mathcal{P}_1)$ и, значит, $h\in i_*(\mathcal{I}(\Sigma,\mathcal{P}))$. Лемма доказана. Из теоремы 3.9 и леммы 3.10 сразу следует, что стабилизатор $\mathcal{I}_M$ порождается скручиваниями вдоль разделяющих простых замкнутых кривых, скручиваниями вдоль ограничивающих пар и коммутаторами скручиваний вдоль просто пересекающихся пар кривых (где в каждом из трех случаев все кривые не пересекаются с $M$). Чтобы завершить доказательство предложения 3.7, нам нужно избавиться от коммутаторов скручиваний вдоль просто пересекающихся пар кривых. Таким образом, нам достаточно доказать следующую лемму. Лемма 3.11. Пусть $M$ – мультикривая без разделяющих компонент на поверхности $S_3$ и $\{\gamma_1,\gamma_2\}$ – просто пересекающаяся пара неразделяющих кривых, не пересекающихся с $M$. Тогда коммутатор $[T_{\gamma_1},T_{\gamma_2}]$ может быть записан в виде произведения скручиваний вдоль разделяющих простых замкнутых кривых, не пересекающихся с мультикривой $M$, и скручиваний вдоль ограничивающих пар простых замкнутых кривых, не пересекающихся с мультикривой $M$. Доказательство. Заметим, что если найдется простая замкнутая кривая $\varepsilon$, не пересекающаяся с $M\cup\gamma_1\cup\gamma_2$ и гомологичная одной из кривых $\gamma_1$ и $\gamma_2$, то утверждение леммы будет автоматически выполнено, так как коммутатор $[T_{\gamma_1},T_{\gamma_2}]$ запишется в виде произведения двух скручиваний вдоль ограничивающих пар кривых, не пересекающихся с $M$. Скажем, если $\varepsilon$ гомологична $\gamma_1$, то $[T_{\gamma_1},T_{\gamma_2}] =T_{\gamma_1,\varepsilon}^{-1}T_{T_{\gamma_2}^{-1}(\gamma_1),\varepsilon}$. Поэтому мы можем предполагать, что таких кривых $\varepsilon$ нет.
Пусть $R$ – замкнутая регулярная окрестность объединения $\gamma_1\cup\gamma_2$. Тогда $R$ – поверхность рода нуль с четырьмя компонентами границы. Обозначим эти компоненты границы через $\alpha_0,\dots, \alpha_3$ так, чтобы $\gamma_1$ отделяла $\alpha_0\cup\alpha_1$ от $\alpha_2\cup\alpha_3$, а $\gamma_2$ отделяла $\alpha_0\cup\alpha_2$ от $\alpha_1\cup\alpha_3$. Если бы одна из кривых $\alpha_i$ была разделяющей в $S_3$, то одна из остальных трех кривых $\alpha_j$ была бы гомологична кривой $\gamma_1$, что невозможно в силу сделанного предположения. Поэтому ни одна из кривых $\alpha_i$ не разделяющая. На поверхности $R$ можно выбрать кривую $\gamma_3$ так, чтобы кривые $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\gamma_1$, $\gamma_2$ и $\gamma_3$ располагались так, как на рис. 1. Хорошо известно, что если $7$ кривых расположены таким образом, то в группе классов отображений имеет место следующее фонарное соотношение (см. [18; предложение 5.1]):
$$
\begin{equation}
T_{\gamma_1}T_{\gamma_2}T_{\gamma_3}=T_{\alpha_0}T_{\alpha_1}T_{\alpha_2}T_{\alpha_3}.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Значит,
$$
\begin{equation*}
[T_{\gamma_1},T_{\gamma_2}]=\bigl[T_{\gamma_2}^{-1}, T_{\gamma_1}T_{\gamma_2}\bigr]=\bigl[T_{\gamma_2}^{-1}, T_{\gamma_3}^{-1}\bigr]= T_{T_{\gamma_2}(\gamma_3)}T_{\gamma_3}^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если кривая $\gamma_3$ разделяющая, то кривая $T_{\gamma_2}(\gamma_3)$ тоже разделяющая и утверждение леммы выполнено. Осталось рассмотреть случай, когда кривая $\gamma_3$ неразделяющая. Так как кривые $\gamma_1$ и $\gamma_2$ тоже неразделяющие, то кривые $\alpha_0,\dots, \alpha_3$ представляют попарно различные классы гомологий и $[\alpha_0]+\dots+[\alpha_3]=0$ для некоторого выбора ориентаций этих кривых. Отсюда легко следует, что поверхность $S_3\setminus R$ гомеоморфна сфере с $4$ проколами. Кривые $\alpha_0,\dots, \alpha_3$ могут быть или не быть компонентами мультикривой $M$. Кроме них мультикривая $M$ может содержать еще не более одной компоненты $\delta$; если такая компонента есть, она делит $S_3\setminus R$ на две части, гомеоморфные сфере с тремя проколами. Если бы мультикривая $M$ не содержала такой компоненты $\delta$, то в $S_3\setminus R$ нашлась бы простая замкнутая кривая $\varepsilon$, не пересекающаяся с $M$ и гомологичная кривой $\gamma_1$, что невозможно. Аналогично, если бы кривая $\delta$ делила поверхность $S_3\setminus R$ так, что прокол, отвечающий кривой $\alpha_0$, был в одной части с одним из двух проколов, отвечающих кривым $\alpha_1$ и $\alpha_2$, то кривая $\delta$ сама была бы гомологична либо $\gamma_1$, либо $\gamma_2$, что опять невозможно. Поэтому $\delta$ делит поверхность $S_3\setminus R$ так, что проколы, отвечающие кривым $\alpha_0$ и $\alpha_3$, находятся в одной части, а проколы, отвечающие кривым $\alpha_1$ и $\alpha_2$, – в другой. Следовательно, $\{ \gamma_3, \delta \}$ и $\{ T_{\gamma_2} (\gamma_3), \delta \}$ – ограничивающие пары кривых. Тогда
$$
\begin{equation*}
[T_{\gamma_1}, T_{\gamma_2}] = T_{T_{\gamma_2}(\gamma_3)} T_{\gamma_3}^{-1} = T_{T_{\gamma_2}(\gamma_3),\delta} T_{\gamma_3,\delta}^{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
что завершает доказательство леммы. 3.4. Гомоморфизмы Бирман–КрэггсаОтображение $\omega\colon H_{\mathbb{Z}/2}\to\mathbb{Z}/2$ называется $\operatorname{Sp}$-квадратичной формой, если
$$
\begin{equation}
\omega(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\omega(\mathbf{x})+\omega(\mathbf{y})+\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
для всех $\mathbf{x},\mathbf{y}\in H_{\mathbb{Z}/2}$. Инвариантом Арфа формы $\omega$ называется вычет $\operatorname{Arf}(\omega)\in\mathbb{Z}/2$, определяемый по формуле
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Arf}(\omega)=\sum_{i=1}^g\omega(\mathbf{a}_i)\omega(\mathbf{b}_i),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_g,\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_g$ – симплектический базис группы $H_{\mathbb{Z}/2}$. Хорошо известно, что значение $\operatorname{Arf}(\omega)$ не зависит от выбора симплектического базиса. Каждой $\operatorname{Sp}$-квадратичной форме $\omega$ с нулевым инвариантом Арфа соответствует гомоморфизм Бирман–Крэггса $\rho_{\omega}\colon\mathcal{I}_g\to\mathbb{Z}/2$. Изначально гомоморфизмы группы $\mathcal{I}_g$ в $\mathbb{Z}/2$ были построены Дж. Бирман и Р. Крэггсом в [24] на основе инварианта Рохлина трехмерных гомологических сфер. Д. Джонсон [25] доказал, что эти гомоморфизмы нумеруются $\operatorname{Sp}$-квадратичными формами с нулевым инвариантом Арфа и выписал явные формулы для их значений на порождающих группы $\mathcal{I}_g$. Эти формулы таковы. Во-первых, пусть $\gamma$ – разделяющая простая замкнутая кривая на поверхности $S_g$. Пусть $S'$ и $S''$ – компоненты связности множества $S_g\setminus \gamma$. Рассмотрим разложение $H_{\mathbb{Z}/2}=H_1(S';\mathbb{Z}/2)\oplus H_1(S'';\mathbb{Z}/2)$. Тогда
$$
\begin{equation}
\rho_{\omega}(T_{\gamma})=\sum_{i=1}^{g'}\omega(\mathbf{a}_i)\omega(\mathbf{b}_i),
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
где $g'$ – род поверхности $S'$ и $\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_{g'},\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_{g'}$ – симплектический базис группы $H_1(S';\mathbb{Z}/2)$. Так как $\operatorname{Arf}(\omega)=0$, значение в правой части формулы (3.9) не зависит от того, какая из двух компонент множества $S_g\setminus \gamma$ взята в качестве $S'$. Во-вторых, пусть $\{\gamma,\delta\}$ – ограничивающая пара кривых на $S_g$. Пусть $\mathbf{c}$ – класс гомологий по модулю $2$ кривых $\gamma$ и $\delta$, и пусть $S'$ и $S''$ – компоненты связности множества $S_g\setminus(\gamma\cup\delta)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_1(S';\mathbb{Z}/2)\cap H_1(S'';\mathbb{Z}/2)&=\langle\mathbf{c}\rangle, \\ H_1(S';\mathbb{Z}/2)+H_1(S'';\mathbb{Z}/2)&=\langle\mathbf{c}\rangle^{\bot}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $S'$ – поверхность некоторого рода $g'>0$ с двумя проколами. Рассмотрим подповерхность $\Sigma\subset S'$, являющуюся поверхностью рода $g'$ с одним проколом; тогда
$$
\begin{equation*}
H_1(S';\mathbb{Z}/2)=H_1(\Sigma;\mathbb{Z}/2)\oplus\langle \mathbf{c}\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_{g'},\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_{g'}$ – симплектический базис группы $H_1(\Sigma;\mathbb{Z}/2)$. Тогда
$$
\begin{equation}
\rho_{\omega}(T_{\gamma,\delta}) =\bigl(\omega(\mathbf{c})+1\bigr)\sum_{i=1}^{g'}\omega(\mathbf{a}_i)\omega(\mathbf{b}_i).
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Опять же несложно проверить, что значение в правой части не зависит от произвола во всех сделанных выборах. Д. Джонсон [25] также показал, что гомоморфизмы Бирман–Крэггса $\rho_{\omega}$ можно объединить в один гомоморфизм следующим образом. Пусть $\Omega$ – аффинное пространство над $\mathbb{Z}/2$, состоящее из всех $\operatorname{Sp}$-квадратичных форм, и $\Omega_0$ – подпространство коразмерности $1$ в $\Omega$, состоящее из всех $\operatorname{Sp}$-квадратичных форм с нулевым инвариантом Арфа. Каждый класс гомологий $\mathbf{x}\in H_{\mathbb{Z}/2}$ определяет аффинно линейную функцию $\overline{\mathbf{x}}\colon \Omega\to\mathbb{Z}/2$ по формуле $\overline{\mathbf{x}}(\omega)=\omega(\mathbf{x})$. Формула (3.8) записывается в виде
$$
\begin{equation*}
\overline{\mathbf{x}+\mathbf{y}} =\overline{\mathbf{x}}+\overline{\mathbf{y}}+\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\mathbb{B}$ – алгебра булевых многочленов на пространстве $\Omega$, т. е. фактор алгебры многочленов на $\Omega$ с коэффициентами в $\mathbb{Z}/2$ по всем соотношениям $q^2=q$. Заметим, что для всякого базиса $\mathbf{c}_1,\dots,\mathbf{c}_{2g}$ группы $H$, алгебра $\mathbb{B}$ есть свободная булева алгебра от переменных $\overline{\mathbf{c}}_1,\dots,\overline{\mathbf{c}}_{2g}$. Далее, пусть $\mathbb{B}_k\subset\mathbb{B}$ – подпространство, состоящее из всех булевых многочленов степеней, не превосходящих $k$. Инвариант Арфа является квадратным булевым многочленом; для каждого симплектического базиса $\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_{g},\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_{g}$ он задается по формуле $\operatorname{Arf} = \sum_{i=1}^g\overline{\mathbf{a}}_i\overline{\mathbf{b}}_i.$ Поэтому $\mathbb{B}'=\mathbb{B}/(\operatorname{Arf})$ есть алгебра булевых многочленов на $\Omega_0$. По аналогии с $\mathbb{B}_k$ обозначим через $\mathbb{B}_k'$ подмножество алгебры $\mathbb{B}'$, состоящее из всех смежных классов по идеалу $(\operatorname{Arf})$, содержащих представители степеней $\leqslant k$. Гомоморфизмы $\rho_{\omega}$ можно объединить в один $\operatorname{Sp}(2g,\mathbb{Z})$-эквивариантный гомоморфизм $\sigma\colon \mathcal{I}_g\to\mathbb{B}_3'$, называемый гомоморфизмом Бирман–Крэггса–Джонсона, так что $\sigma(h)(\omega)=\rho_{\omega}(h)$ для всех $h\in\mathcal{I}_g$ и всех $\omega\in\Omega_0$. Формулы (3.9) и (3.10) принимают вид
$$
\begin{equation}
\sigma(T_{\gamma}) =\sum_{i=1}^{g'}\overline{\mathbf{a}}_i\overline{\mathbf{b}}_i, \text{если $\gamma$ разделяющая,}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
$$
\begin{equation}
\sigma(T_{\gamma,\delta}) = (\overline{\mathbf{c}}+1)\sum_{i=1}^{g'}\overline{\mathbf{a}}_i\overline{\mathbf{b}}_i, \text{если $\{\gamma,\delta\}$ - ограничивающая пара.}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Отсюда легко следует, что гомоморфизм $\sigma\colon\mathcal{I}_g\to\mathbb{B}_3'$ сюръективен. Также легко вычислить, что
$$
\begin{equation*}
\dim\mathbb{B}_3'=\binom{2g}{3}+\binom{2g}{2}=\frac{g(4g^2-1)}{3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\mathcal{C}_g$ – ядро гомоморфизма $\sigma$; тогда $\mathcal{C}_g\triangleleft\mathcal{I}_g$ – нормальная подгруппа индекса $2^{g(4g^2-1)/3}$. В частности, $\mathcal{C}_3\triangleleft\mathcal{I}_3$ – нормальная подгруппа индекса $2^{35}$.  Рис. 2.Кривые $\alpha_1,\dots,\alpha_g,\beta_1,\dots,\beta_g$ и гиперэллиптическая инволюция $\iota$ В работе [26] автором было показано, что гомоморфизм Бирман–Крэггса–Джонсона $\sigma\colon\mathcal{I}_g\to \mathbb{B}_3'$ может быть продолжен до $\operatorname{Mod}(S_g)$-эквивариантного гомоморфизма $\widehat{\sigma}\colon\widehat{\mathcal{I}}_g\to \mathbb{B}_4'$. Это продолжение обладает следующим свойством. Если мы расположим поверхность $S_g$, как показано на рис. 2, и рассмотрим соответствующую гиперэллиптическую инволюцию $\iota$, т. е. вращение поверхности $S_g$ на угол $\pi$ вдоль горизонтальной оси, то
$$
\begin{equation}
\widehat{\sigma}(\iota)=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant g}\overline{\mathbf{a}}_i\overline{\mathbf{b}}_i(\overline{\mathbf{a}}_j+1)\overline{\mathbf{b}}_j,
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
где $\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_g,\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_g$ – классы гомологий кривых $\alpha_1,\dots,\alpha_g,\beta_1,\dots,\beta_g$ на рис. 2 соответственно. Мы будем называть $\widehat{\sigma}$ расширенным гомоморфизмом Бирман–Крэггса–Джонсона. Каждой $\operatorname{Sp}$-квадратичной форме $\omega$ на $H_{\mathbb{Z}/2}$ с нулевым инвариантом Арфа соответствует расширенный гомоморфизм Бирман–Крэггса $\widehat{\rho}_{\omega}\colon\widehat{\mathcal{I}}_g\to\mathbb{Z}/2$, определяемый по формуле $\widehat{\rho}_{\omega}(h)=\widehat{\sigma}(h)(\omega)$. Предложение 3.12. Пусть $g\geqslant 3$. Тогда ядро гомоморфизма $\widehat{\sigma}$ совпадает с группой $\ker\sigma=\mathcal{C}_g$. Доказательство. Так как $\mathcal{I}_g$ – подгруппа индекса $2$ группы $\widehat{\mathcal{I}}_g$, нам просто нужно показать, что булев многочлен в правой части равенства (3.13) не лежит в $\mathbb{B}_3'$. Это равносильно тому, что в алгебре $\mathbb{B}$ нет соотношений вида
Так как переменные $\overline{\mathbf{a}}_1,\dots,\overline{\mathbf{a}}_g, \overline{\mathbf{b}}_1,\dots,\overline{\mathbf{b}}_g$ независимы, нам достаточно доказать отсутствие соотношений вида (3.14) в случае $g=3$. Действительно, если бы такое соотношение существовало при некотором $g>3$, то, подставив нули вместо всех переменных $\overline{\mathbf{a}}_i$ и $\overline{\mathbf{b}}_i$ с номерами $i>3$, мы получили бы соотношение вида (3.14) для $g=3$. Если бы соотношение вида (3.14) существовало при $g=3$, то, домножив обе части этого соотношения на $\sum_{i=1}^3\overline{\mathbf{a}}_i\overline{\mathbf{b}}_i+1$, мы получили бы, что
$$
\begin{equation*}
\overline{\mathbf{a}}_1\overline{\mathbf{b}}_1\overline{\mathbf{a}}_2 \overline{\mathbf{b}}_2\overline{\mathbf{a}}_3\overline{\mathbf{b}}_3+\sum_{1\leqslant i<j\leqslant 3}\overline{\mathbf{a}}_i\overline{\mathbf{b}}_i\overline{\mathbf{a}}_j\overline{\mathbf{b}}_j =\biggl(\sum_{i=1}^3\overline{\mathbf{a}}_i\overline{\mathbf{b}}_i+1\biggr)r,
\end{equation*}
\notag
$$
что невозможно, так как произведение $6$ независимых переменных не может быть записано в виде булева многочлена степени меньше $6$. Предложение доказано. Отметим, что в случае $g=3$ (единственном случае, интересующем нас в настоящей статье) формула (3.13) принимает вид
$$
\begin{equation}
\widehat{\sigma}(\iota) =\overline{\mathbf{a}}_1\overline{\mathbf{b}}_1(\overline{\mathbf{a}}_2+1) \overline{\mathbf{b}}_2.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Кроме того, в этом случае алгебра $\mathbb{B}'$ аддитивно порождается своим подпространством $\mathbb{B}_3'$ и мономом $\overline{\mathbf{a}}_1\overline{\mathbf{b}}_1\overline{\mathbf{a}}_2\overline{\mathbf{b}}_2$. Поэтому $\mathbb{B}'=\mathbb{B}'_4$ и гомоморфизм $\widehat{\sigma}\colon\widehat{\mathcal{I}}_3\to\mathbb{B}'$ сюръективен. 3.5. Фундаментальная точная последовательностьРассмотрим короткую точную последовательность групп Ей соответствует следующая $5$-членная точная последовательность групп когомологий (см. [21; следствие 7.2.3]):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 0&\to H^1(Q;\mathbb{Z}/2)\xrightarrow{j^*} H^1(G;\mathbb{Z}/2)\xrightarrow{i^*}H^1(N;\mathbb{Z}/2)^Q \nonumber \\ &\xrightarrow{d_2} H^2(Q;\mathbb{Z}/2)\xrightarrow{j^*} H^2(G;\mathbb{Z}/2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Здесь $H^1(N;\mathbb{Z}/2)^Q$ обозначает $Q$-инвариантную часть группы $H^1(N;\mathbb{Z}/2)$. Гомоморфизм $d_2$ называется трансгрессией. Он обозначается через $d_2$, так как в действительности он является дифференциалом спектральной последовательности Линдона–Хохшильда–Серра. Мы будем пользоваться точной последовательностью (3.17) в следующем частном случае. Пусть $Q=H_1(G;\mathbb{Z}/2)$ и, таким образом, $N$ – ядро естественного сюръективного гомоморфизма $G\to H_1(G;\mathbb{Z}/2)$. (Тем не менее, в этом пункте нам будет удобно использовать мультипликативную запись для группы $Q$.) Хорошо известно, что группа $N$ порождается коммутаторами элементов группы $G$ и квадратами элементов группы $G$. Очевидно, что в этом случае гомоморфизм является изоморфизмом, поэтому точная последовательность принимает вид
$$
\begin{equation}
0\to H^1(N;\mathbb{Z}/2)^Q\xrightarrow{d_2} H^2(Q;\mathbb{Z}/2)\xrightarrow{j^*} H^2(G;\mathbb{Z}/2).
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Предположим, что $\kappa_1,\dots,\kappa_m$ и $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ – гомоморфизмы группы $G$ в $\mathbb{Z}/2$, удовлетворяющие соотношению в группе $H^2(G;\mathbb{Z}/2)$, где умножение есть $\smile$-произведение в когомологиях. Пусть $k_1,\dots,k_m$ и $l_1,\dots,l_m$ – соответствующие гомоморфизмы группы $Q$ в $\mathbb{Z}/2$ такие, что $\kappa_s=k_s\circ j$ и $\lambda_s=l_s\circ j$ при $s=1,\dots,m$. Рассмотрим класс когомологий Тогда $j^*\varphi=0$. Так как последовательность (3.18) точна, существует единственный $Q$-инвариантный гомоморфизм $\psi\colon N\to\mathbb{Z}/2$ такой, что $d_2\psi=\varphi$.Предложение 3.13. Для любых элементов $g_1,g_2\in G$ имеет место равенство Для любого элемента $g\in G$ имеет место равенство Доказательство. Во-первых, напомним, что трансгрессия $d_2$ допускает следующее описание, см. [21; теорема 7.3.1]. Пусть $N'$ – коммутант группы $N$. Точная последовательность (3.16) задает действие группы $Q$ на $N/N'$. Напомним, что элементы второй группы когомологий $H^2(Q;N/N')$ находятся во взаимно однозначном соответствии с расширениями группы $Q$ при помощи $N/N'$, дающих такое же действие группы $Q$ на $N/N'$. Пусть $\varepsilon\in H^2(Q;N/N')$ – класс когомологий, отвечающий расширению где гомоморфизмы $\widetilde\imath$ и $\widetilde\jmath$ индуцированы гомоморфизмами $i$ и $j$ соответственно. Тогда $d_2\psi$ есть образ класса $\varepsilon$ под действием гомоморфизма индуцированного гомоморфизмом $\psi \in\operatorname{Hom}(N,\mathbb{Z}/2)=\operatorname{Hom}(N/N',\mathbb{Z}/2)$.
Во-вторых, напомним, что если $\widetilde{f}\colon Q\to G/N'$ – теоретико-множественное сечение отображения $\widetilde\jmath$, то функция $e\colon Q\times Q\to N/N'$, задаваемая по формуле
$$
\begin{equation*}
\widetilde\imath\bigl(e(q_1,q_2)\bigr)=\widetilde{f}(q_1)\widetilde{f}(q_2)\widetilde{f}(q_1q_2)^{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
является коциклом, представляющим класс когомологий $\varepsilon$ в бар-резольвенте, см. [21; разд. 2.3] и [20; разд. IV.3]. Значит, если $f\colon Q\to G$ – теоретико-множественное сечение отображения $j$, то функция $w\colon Q\times Q\to\mathbb{Z}/2$, задаваемая по формуле
$$
\begin{equation*}
w(q_1,q_2)=\psi\bigl(f(q_1)f(q_2)f(q_1q_2)^{-1}\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
является коциклом, представляющим класс когомологий $d_2\psi=\varphi$. С другой стороны, согласно определению $\smile$-произведения (см. [20; разд. V.3]), класс когомологий $\varphi$ также представляется коциклом
Коциклы $w$ и $v$ гомологичны, поэтому они принимают одинаковые значения на каждом цикле, т. е. на каждом элементе ядра дифференциала $\partial$ комплекса $(\mathbb{Z}/2)\otimes_{Q}R_*$, где $R_*$ – бар-резольвента для $Q$. Так как $Q$ – абелева группа, состоящая из элементов порядка $2$, то все цепи $[q_1|q_2]+[q_2|q_1]$ и $[q|q]+[1|1]$ лежат в ядре дифференциала $\partial$. Полагая $g_1=f(q_1)$, $g_2=f(q_2)$ и $g=f(q)$ и приравнивая друг к другу значения коциклов $w$ и $v$ на циклах $[q_1|q_2]+[q_2|q_1]$ и $[q|q]+[1|1]$, мы получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\psi([g_1,g_2]) =\psi(g_1^{-1}g_2^{-1}g_1g_2)=\psi\bigl(g_1g_2f(q_1q_2)^{-1}\bigr) +\psi\bigl(g_2g_1f(q_1q_2)^{-1}\bigr) \\ &\ \ =w(q_1,q_2)+w(q_2,q_1)=v(q_1,q_2)+v(q_2,q_1)=\sum_{s=1}^m \bigl(\kappa_s(g_1) \lambda_s(g_2)+\kappa_s(g_2) \lambda_s(g_1)\bigr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \psi(g^2) &=\psi\bigl(g^2s(1)^{-1}\bigr)+\psi\bigl(s(1)^{-1}\bigr)=w(q,q)+w(1,1) \\ &=v(q,q)+v(1,1)=\sum_{s=1}^m\kappa_s(g)\lambda_s(g). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мы получили требуемые равенства (3.19) и (3.20) для конкретных выбранных выше элементов $g_1$, $g_2$ и $g$.
Теперь заметим, что для любого элемента $g\in G$, мы могли бы выбрать сечение $f$ так, чтобы выполнялось равенство $f(j(g))=g$. Поэтому формула (3.20) верна для всех $g\in G$. Аналогично, для любых элементов $g_1,g_2\in G$ таких, что $j(g_1)\ne j(g_2)$, мы могли бы выбрать сечение $f$ так, чтобы выполнялись равенства $f(j(g_1))=g_1$ и $f(j(g_2))=g_2$. Поэтому формула (3.19) верна для всех $g_1,g_2\in G$ таких, что $j(g_1)\ne j(g_2)$. Если $j(g_1)=j(g_2)\ne 1$, то формула (3.19) для пары $\{g_1,g_2\}$ сразу следует из формулы (3.19) для пары $\{g_1,g_1g_2\}$. Наконец, если $j(g_1)=j(g_2)= 1$, т. е. $g_1,g_2\in N$, то обе части равенства (3.19), очевидно, равны нулю. Предложение доказано. § 4. Классы когомологий $\theta_{\mathbf{A}}$ и гомоморфизмы $\vartheta_A$Начиная с этого момента, мы все время рассматриваем поверхность $S=S_3$ рода $3$ и ее группу Торелли $\mathcal{I}=\mathcal{I}_3$ и нам будет удобно опускать индекс $3$ в обозначениях (аналогично, для $\mathcal{C}=\mathcal{C}_3$, $\widehat{\mathcal{I}}=\widehat{\mathcal{I}}_3$, $\mathcal{B}=\mathcal{B}_3$). Пусть $x\in H$ – выбранный примитивный класс гомологий, который был использован при построении комплекса циклов. Мы зафиксируем его выбор в течение всей статьи. Пусть $\mathbf{A}=\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\}$ – трехэлементное подмножество группы $H_{\mathbb{Z}/2}$, удовлетворяющее следующему условию: Легко видеть, что существует ровно четыре $\operatorname{Sp}$-квадратичных формы $\omega$ таких, что $\operatorname{Arf}(\omega)=0$ и
$$
\begin{equation*}
\omega(\mathbf{a}_1)=\omega(\mathbf{a}_2)=\omega(\mathbf{a}_3)=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Если мы дополним множество $\mathbf{A}$ до симплектического базиса $\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3,\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3$ группы $H_{\mathbb{Z}/2}$, то эти четыре $\operatorname{Sp}$-квадратичные формы $\omega_0,\dots,\omega_3$ будут задаваться формулами
$$
\begin{equation}
\omega_i(\mathbf{b}_j)=\begin{cases} 0, &\text{если $i=0$ или $i=j$}, \\ 1, &\text{если $i\ne 0$ и $i\ne j$}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Нумерация квадратичных форм $\omega_i$ зависит от нумерации элементов множества $\mathbf{A}$ и от выбора классов $\mathbf{b}_1$, $\mathbf{b}_2$, $\mathbf{b}_3$, однако множество, состоящее из таких четырех форм, зависит только от множества $\mathbf{A}$. Рассмотрим гомоморфизмы Бирман–Крэггса $\rho_i=\rho_{\omega_i}$ для $i=0,1,2,3$ как элементы группы когомологий $H^1(\mathcal{I};\mathbb{Z}/2)$ и определим класс когомологий $\theta_{\mathbf{A}}\in H^2(\mathcal{I};\mathbb{Z}/2)$ формулой
$$
\begin{equation*}
\theta_{\mathbf{A}}=\sum_{0\leqslant i<j\leqslant 3}\rho_i\rho_j,
\end{equation*}
\notag
$$
где умножение – это $\smile$-произведение. В дальнейшем нам встретится много формул, содержащих классы когомологий $\rho_i$. Договоримся, что индексы всегда пробегают значения от $0$ до $3$, и, как правило, не будем указывать это явно. Из того, что кольцо $H^*(\mathcal{I};\mathbb{Z}/2)$ коммутативно, следует, что класс когомологий $\theta_{\mathbf{A}}$ не зависит от нумерации квадратичных форм $\omega_i$. Поэтому класс $\theta_{\mathbf{A}}$ не зависит от нумерации элементов множества $\mathbf{A}$ и от выбора классов гомологий $\mathbf{b}_1$, $\mathbf{b}_2$ и $\mathbf{b}_3$. Кроме того, так как $\omega_i(\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2+\mathbf{a}_3)=1$ при $i=0,1,2,3$, то
$$
\begin{equation}
\theta_{\{\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2+\mathbf{a}_3,\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2\}}= \theta_{\{\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2+\mathbf{a}_3,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\}}= \theta_{\{\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2+\mathbf{a}_3,\mathbf{a}_3,\mathbf{a}_1\}}= \theta_{\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\}}.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Предложение 4.1. a) Пусть $N$ – трехкомпонентная ориентированная мультикривая, классы гомологий по модулю $2$ компонент которой равны $\mathbf{a}_1$, $\mathbf{a}_2$ и $\mathbf{a}_3$. Пусть $\delta_1$ и $\delta_2$ – две неизотопные разделяющие простые замкнутые кривые, не пересекающиеся друг с другом и с мультикривой $N$, см. рис. 3. Тогда $\langle \theta_{\mathbf{A}},\mathcal{A}(T_{\delta_1},T_{\delta_2})\rangle=1$. b) Пусть $M$ – четырехкомпонентная мультикривая, не содержащая разделяющих компонент и ограничивающих пар кривых, такая что классы гомологий по модулю $2$ некоторых трех из ее компонент равны $\mathbf{a}_1$, $\mathbf{a}_2$ и $\mathbf{a}_3$. Тогда ограничение класса когомологий $\theta_{\mathbf{A}}$ на стабилизатор $\mathcal{I}_M$ тривиально. Доказательство части a) предложения 4.1. Кривые $\delta_1$ и $\delta_2$ делят поверхность $S$ на три части. Обозначим эти части через $\Sigma_1$, $\Sigma_2$ и $\Sigma_3$ так, что $\Sigma_1$ и $\Sigma_2$ – торы с одним проколом, ограниченные кривыми $\delta_1$ и $\delta_2$ соответственно, а $\Sigma_3$ – тор с двумя проколами между $\delta_1$ и $\delta_2$. Положим $V_i=H_1(\Sigma_i;\mathbb{Z}/2)$ при $i=1,2,3$; тогда $H_{\mathbb{Z}/2}=V_1\oplus V_2\oplus V_3$. Мультикривая $N$ имеет по одной компоненте в каждой из подповерхностей $\Sigma_i$. Перенумеровав классы гомологий $\mathbf{a}_i$, мы можем добиться того, что компонента мультикривой $N$, лежащая в $\Sigma_i$, имеет класс гомологий по модулю $2$, равный $\mathbf{a}_i$ при $i=1,2,3$. Тогда $\mathbf{a}_i\in V_i$. Для каждого $i$ дополним класс $\mathbf{a}_i$ до симплектического базиса $\mathbf{a}_i,\mathbf{b}_i$ группы $V_i$. Теперь пронумеруем квадратичные формы $\omega_i$ так, чтобы выполнялись равенства (4.1). Согласно (3.9) имеем Стандартная порождающая группы $H_2(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z};\mathbb{Z})$ представляется в бар-резольвенте циклом $[e_1|e_2]-[e_2|e_1]$, где $e_1$ и $e_2$ – стандартные порождающие группы $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$. Поэтому абелев цикл $\mathcal{A}(T_{\delta_1},T_{\delta_2})$ представляется в бар-резольвенте циклом $[T_{\delta_1}|T_{\delta_2}]-[T_{\delta_2}|T_{\delta_1}]$. Следовательно, что и требовалось доказать. Замечание 4.2. Идея различать абелевы циклы в группах Торелли при помощи $\smile$-произведений гомоморфизмов Бирман–Крэггса принадлежит Т. Брендл и Б. Фарбу [6]. В некотором смысле мы используем их идею в противоположном направлении: мы используем абелевы циклы для доказательства нетривиальности квадратных многочленов $\theta_{\mathbf{A}}$ от гомоморфизмов Бирман–Крэггса. Мы отложим доказательство части b) до § 7. Теперь рассмотрим спектральную последовательность (3.2) для действия группы Торелли $\mathcal{I}$ на комплексе циклов $\mathcal{B}$ с коэффициентами в $\mathbb{Z}$:
$$
\begin{equation}
E^1_{p,q}=\bigoplus_{M\in\mathfrak{M}_p}H_q(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z}) \quad \Longrightarrow \quad H_{p+q}(\mathcal{I};\mathbb{Z}),
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где $\mathfrak{M}_p$ – некоторое множество представителей всевозможных $\mathcal{I}$-орбит мультикривых в $\mathcal{M}_p$. Если $M\in\mathcal{M}_p$ и $z\in H_q(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z})$, то мы обозначим через $z_M$ элемент группы $E^1_{p,q}$, равный классу гомологий $z$ в прямом слагаемом $H_q(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z})$. (Отметим, что элемент $z_M$ меняет знак при обращении ориентации клетки $P_M$.) Напомним, что согласно утверждению 3.3 слагаемые в разложении (4.3) не зависят от выбора множества представителей $\mathfrak{M}_p$ и $(g_*z)_{g(M)}=z_M$, если ориентации клеток $P_M$ и $P_{g(M)}$ выбраны так, что они переводятся друг в друга под действием элемента $g$. Здесь $g_*\colon H_q(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z})\to H_q(\mathcal{I}_{g(M)};\mathbb{Z})$ – гомоморфизм, индуцированный сопряжением при помощи $g$. По предложению 3.1 каждое множество $A\in\mathcal{H}_0$ состоит из $1$, $2$ или $3$ линейно независимых элементов, образующих базис прямого слагаемого группы $H$. Обозначим через $\mathcal{H}_0'$ подмножество множества $\mathcal{H}_0$, состоящее из всех $3$-элементных множеств. Тогда $\mathcal{H}_0'$ есть в точности множество всех подмножеств $A=\{a_1,a_2,a_3\}$ группы $H$, удовлетворяющих следующим условиям:
Рассмотрим множество $A\in\mathcal{H}'_0$. Пусть $\mathbf{A}=\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\}\subset H_{\mathbb{Z}/2}$ – его приведение по модулю $2$. Тогда множество $\mathbf{A}$ удовлетворяет условию $(*)$ и, значит, класс гомологий $\theta_{\mathbf{A}}\in H^2(\mathcal{I};\mathbb{Z}/2)$ корректно определен. Определим гомоморфизм $\vartheta_A\colon E^1_{0,2}\to\mathbb{Z}/2$ следующим образом. Для всякой мультикривой $N\in\mathcal{M}_0$ и всякого класса гомологий $z\in H_2(\mathcal{I}_N;\mathbb{Z})$ положим
$$
\begin{equation*}
\vartheta_A(z_N)=\begin{cases} \langle \theta_{\mathbf{A}}, i_{N*}z\rangle,&\text{если }[N]=A, \\ 0,&\text{если }[N]\ne A, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $i_N\colon \mathcal{I}_N\to\mathcal{I}$ – тождественное вложение. Из утверждения 3.3 следует, что гомоморфизм $\vartheta_A$ не зависит от выбора множества представителей $\mathfrak{M}_0$ и, следовательно, корректно определен. Отметим, что имеется бесконечно много гомоморфизмов $\vartheta_A$, несмотря на то, что имеется лишь конечное число классов когомологий $\theta_{\mathbf{A}}$. Основной результат настоящей работы таков. Теорема 4.3. Гомоморфизмы $\vartheta_A$, где $A\in\mathcal{H}_0'$, обращаются в нуль на образах дифференциалов $d^1$ и $d^2$ и, таким образом, дают корректно определенные гомоморфизмы $\vartheta_A\colon E^3_{0,2}\to\mathbb{Z}/2$. Более того, получающиеся в результате гомоморфизмы линейно независимы над $\mathbb{Z}/2$, поэтому группа $E^3_{0,2}$ не является конечно порожденной. Сложной частью этой теоремы является обращение гомоморфизмов $\vartheta_A$ в нуль на образах дифференциалов. Доказательство линейной независимости достаточно простое, мы начнем с него. Предложение 4.4. Гомоморфизмы $\vartheta_A\colon E^1_{0,2}\to\mathbb{Z}/2$, где $A\in\mathcal{H}_0'$, линейно независимы над $\mathbb{Z}/2$. Доказательство. Каждый гомоморфизм $\vartheta_A$ может принимать ненулевые значения только на одном слагаемом разложения (4.3) группы $E^1_{0,2}$, причем эти слагаемые попарно различны для разных множеств $A$. Поэтому, чтобы доказать требуемую линейную независимость, нам достаточно показать, что каждый гомоморфизм $\vartheta_A$ нетривиален.
Рассмотрим ориентированную мультикривую $N\in \mathcal{M}_0$ такую, что $[N]=A$, и выберем две неизотопные разделяющие простые замкнутые кривые $\delta_1$ и $\delta_2$, не пересекающиеся друг с другом и с $N$. Из части a) предложения 4.1 следует, что $\vartheta_A(\mathcal{A}(T_{\delta_1},T_{\delta_2})_N)=1$, поэтому гомоморфизм $\vartheta_A$ нетривиален. Предложение доказано. Предложение 4.5. Для каждого $A\in\mathcal{H}_0'$ ограничение гомоморфизма $\vartheta_A$ на образ дифференциала $d^1\colon E^1_{1,2}\to E^1_{0,2}$ тривиально. Доказательство. Нам нужно доказать, что $\vartheta_A(d^1z_M)=0$ для любых $M\in\mathcal{M}_1$ и $z\in H_2(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z})$. Пусть $P_{N_1}$ и $P_{N_2}$ – концы отрезка $P_M$; тогда $N_1$ и $N_2$ – это в точности две ориентированные мультикривые, содержащиеся в мультикривой $M$ и принадлежащие множеству $\mathcal{M}_0$. Ориентируем клетку $P_M$ от $P_{N_1}$ к $P_{N_2}$ так, что $\partial P_M=P_{N_2}-P_{N_1}$. Так как дифференциал $d^1$ индуцирован дифференциалом $\partial$ цепного комплекса $C_*(\mathcal{B};\mathbb{Z})$, мы имеем $d^1z_M=(i_{2*}z)_{N_2}-(i_{1*}z)_{N_1}$, где $i_k\colon\mathcal{I}_M\to\mathcal{I}_{N_k}$ при $k=1,2$ – тождественные вложения. Если мультимножество $[M]$ не содержит множества $A$, то ни $[N_1]$, ни $[N_2]$ не совпадает с $A$, поэтому $\vartheta_A((i_{k*}z)_{N_k})=0$ при $k=1,2$ и, значит, $\vartheta_A(d^1z_M)=0$. Предположим, что $[M]\supset A$. Если $M$ не содержит пары гомологичных компонент, то $\vartheta_A(d^1z_M)=0$, так как $\langle \theta_{\mathbf{A}},i_{M*}z\rangle=\langle i_M^*\theta_{\mathbf{A}},z\rangle=0$ согласно части b) предложения 4.1. Наконец, если $M$ содержит пару гомологичных компонент, то мультикривые $N_1$ и $N_2$ получаются из $M$ при удалении одной из двух компонент в этой паре. Следовательно, $[N_1]=[N_2]=A$. Значит, $\vartheta_A((i_{k*}z)_{N_k})=\langle \theta_{\mathbf{A}},i_{M*}z\rangle$ при $k=1,2$. Таким образом, $\vartheta_A(d^1z_M)=0$. Предложение доказано. Согласно предложению 4.5 каждый гомоморфизм $\vartheta_A$ индуцирует корректно определенный гомоморфизм $E^2_{0,2}\to\mathbb{Z}/2$, который нам будет удобно снова обозначать через $\vartheta_A$. Вся оставшаяся часть данной статьи посвящена доказательству следующего предложения. Предложение 4.6. Для каждого $A\in\mathcal{H}_0'$ ограничение гомоморфизма $\vartheta_A$ на образ дифференциала $d^2\colon E^2_{2,1}\to E^2_{0,2}$ тривиально. Теорема 4.3 сразу следует из предложений 4.4–4.6. § 5. Клетки комплекса $\mathcal{B}$ и их ориентацииЗаметим, что мультикривая на замкнутой поверхности рода $3$ не может содержать больше одной ограничивающей пары кривых. Из формулы (3.1) легко следует, что любая мультикривая $M$ из множества $\mathcal{M}_p$ состоит из не более чем $p+3$ компонент и разбивает поверхность $S$ ровно на $p+1$ часть. Обозначим через $\mathcal{M}_p'$ подмножество множества $\mathcal{M}_p$, состоящее из всех ориентированных мультикривых $M$, удовлетворяющих следующим двум условиям: и обозначим через $\mathcal{H}_p'$ множество всех множеств $[M]$ для $M\in\mathcal{M}_p'$. Заметим, что для $p=0$ это определение эквивалентно определению, данному в § 4, так как мультикривая, принадлежащая множеству $\mathcal{M}_0$, не может содержать ограничивающую пару кривых.Если мы забудем об ориентации и будем рассматривать мультикривые с точностью до действия всей группы классов отображений $\operatorname{Mod}(S)$, то имеется только один тип мультикривых в множестве $\mathcal{M}_0'$ и только один тип мультикривых в множестве $\mathcal{M}_2'$, см. рис. 4, (a) и 4, (d) соответственно. Однако имеется два разных типа мультикривых в множестве $\mathcal{M}_1'$. Для мультикривой $M$ первого типа множество $S\setminus M$ является объединением двух сфер с $4$ проколами, см. рис. 4, (b), а для мультикривой $M$ второго типа множество $S\setminus M$ является объединением сферы с $3$ проколами и сферы с $5$ проколами, см. рис. 4, (c). Мы обозначим через $\mathcal{M}_1^{(1)}$ и $\mathcal{M}_1^{(2)}$ подмножества множества $\mathcal{M}_1'$, состоящие из всех мультикривых первого типа и второго типа соответственно. Аналогично, обозначим через $\mathcal{H}_1^{(1)}$ и $\mathcal{H}_1^{(2)}$ соответствующие подмножества множества $\mathcal{H}_1'$. Назовем специальной компонентой мультикривой $M\in\mathcal{M}_1^{(2)}$ ту из ее компонент, которая не примыкает к связной компоненте множества $S\setminus M$, гомеоморфной сфере с тремя проколами; на рис. 4, (c) специальной является компонента $\gamma$. Три остальные компоненты мультикривой $M$ будут называться неспециальными. Назовем главной компонентой мультикривой $M\in\mathcal{M}_2'$ ту из ее компонент, которая примыкает к обеим связным компонентам множества $S\setminus M$, гомеоморфным сфере с тремя проколами; на рис. 4, (d) главной является компонента $\delta$. Четыре остальные компоненты мультикривой $M$ будут называться неглавными. Мы будем использовать такую же терминологию для элементов множеств, принадлежащих множествам $\mathcal{H}_1^{(2)}$ и $\mathcal{H}_2'$. Нам понадобится следующее простое утверждение. Предложение 5.1. Любая ориентированная мультикривая из множества $\mathcal{M}_2\setminus \mathcal{M}_2'$ содержит ограничивающую пару кривых. Доказательство. Легко проверить, что замкнутую поверхность рода $3$ нельзя разбить на $3$ части мультикривой, которая не содержит ни разделяющих компонент, ни ограничивающих пар кривых и при этом имеет меньше $5$ компонент. Предложение доказано. Отметим, что аналогичные утверждения для мультикривых в множествах $\mathcal{M}_0\setminus\mathcal{M}_0'$ и $\mathcal{M}_1\setminus\mathcal{M}_1'$ неверны. Предложение 5.2. a) Пусть $C\in\mathcal{H}_0'$ или $C\in\mathcal{H}_1^{(1)}$. Тогда все ориентированные мультикривые $M$ с $[M]=C$ лежат в одной $\mathcal{I}$-орбите. b) Пусть $C\in\mathcal{H}_1^{(2)}$ или $C\in\mathcal{H}_2'$. Тогда все ориентированные мультикривые $M$ с $[M]=C$ лежат в одной $\widehat{\mathcal{I}}$-орбите. Эта $\widehat{\mathcal{I}}$-орбита состоит ровно из двух $\mathcal{I}$-орбит. Доказательство. Сначала предположим, что $C\in\mathcal{H}_1^{(2)}\cup\mathcal{H}_2'$. Пусть $c$ – элемент множества $C$, не являющийся специальным в случае $C\in\mathcal{H}_1^{(2)}$ и не являющийся главным в случае $C\in\mathcal{H}_2'$. Пусть $M$ – ориентированная мультикривая с $[M]=C$ и $\gamma$ – ее компонента, представляющая класс гомологий $c$. Рассмотрим компоненты множества $S\setminus M$, лежащие по обе стороны кривой $\gamma$. Ровно одна из них гомеоморфна сфере с тремя проколами, а вторая гомеоморфна сфере либо с четырьмя, либо с пятью проколами. Мы будем говорить, что мультикривая $M$ правая или левая по отношению к классу гомологий $c$ в зависимости от того, по какую сторону от $\gamma$ лежит компонента, гомеоморфная сфере с тремя проколами. Очевидно, что элемент группы Торелли не может переводить правую мультикривую с $[M]=C$ в левую и наоборот. С другой стороны, всякий элемент $h\in\widehat{\mathcal{I}}\setminus\mathcal{I}$ превращает правые мультикривые в левые, а левые в правые, так как, действуя классом отображений $h$, мы искусственно обращаем ориентации компонент.
Таким образом, для доказательства предложения, нам нужно показать, что две мультикривые $M_1$ и $M_2$ такие, что $[M_1]=[M_2]=C\in\mathcal{H}_p'$, где $p=0,1,2$, лежат в одной $\mathcal{I}$-орбите, при условии что в случаях $C\in\mathcal{H}_1^{(2)}$ и $C\in\mathcal{H}_2'$ нам дополнительно известно, что они либо обе правые, либо обе левые по отношению к некоторому классу гомологий $c$. Пусть $L\subset H$ – лагранжева подгруппа, порожденная элементами множества $C$ и $\mathcal{L}\subset\operatorname{Mod}(S)$ – соответствующая лагранжева группа классов отображений, состоящая из всех классов отображений, действующих тривиально на $L$. Легко показать, что если $M_1$ и $M_2$ – две ориентированные мультикривые, удовлетворяющие описанным выше условиям, то $M_1$ можно перевести в $M_2$ при помощи некоторого класса отображений $f\in\mathcal{L}$. Действительно, можно просто отобразить каждую компоненту мультикривой $M_1$ на соответствующую компоненту мультикривой $M_2$ с сохранением ориентации и затем продолжить это отображение на каждую связную компоненту множества $S\setminus M_1$. Теперь заметим, что образ $\mathbb{L}$ группы $\mathcal{L}$ при естественном сюръективном гомоморфизме $\operatorname{Mod}(S_3)\to\operatorname{Sp}(6,\mathbb{Z})$ является свободной абелевой группой ранга $6$. Если мы запишем преобразования из группы $\operatorname{Sp}(6,\mathbb{Z})$ в симплектическом базисе $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3$ таком, что $a_1,a_2,a_3$ – базис подгруппы $L$, то $\mathbb{L}$ будет состоять из всех матриц вида $\left(\begin{smallmatrix}I&P\\0&I\end{smallmatrix}\right)$, где $I$ – единичная матрица размера $3\times 3$ и $P$ – симметрическая матрица размера $3\times 3$. Сделаем два простых наблюдения. Во-первых, предположим, что $a_1,a_2,a_3$ – базис группы $L$ и $\gamma_1,\dots,\gamma_6$ – простые замкнутые кривые, представляющие классы гомологий $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_1\,{+}\,a_2$, $a_1\,{+}\,a_3$ и $a_1\,{+}\,a_2\,{+}\,a_3$ соответственно. Тогда образы скручиваний $T_{\gamma_1},\dots,T_{\gamma_6}$ образуют базис группы $\mathbb{L}$. Это проверяется при помощи непосредственного выписывания соответствующих матриц $P$. Во-вторых, заметим, что найдутся $6$ кривых $\gamma_1,\dots,\gamma_6$, не пересекающихся с $M_1$ (где компоненты $M_1$ тоже разрешены) такие, что их классы гомологий суть в точности перечисленные $6$ классов для некоторого базиса $a_1,a_2,a_3$ группы $L$. Это можно проверить при помощи непосредственного перебора случаев для каждого из четырех типов мультикривых из множеств $\mathcal{M}_p'$, где $p=0,1,2$. Таким образом, мы получаем, что всякий класс отображений $hT_{\gamma_1}^{k_1}\cdots T_{\gamma_6}^{k_6}$, где $k_1,\dots,k_6\in\mathbb{Z}$, переводит $M_1$ в $M_2$ и ровно один из этих классов отображений лежит в группе $\mathcal{I}$. Это завершает доказательство предложения. Для каждого множества $C\in \mathcal{H}_1^{(2)}\cup\mathcal{H}_2'$ обозначим две $\mathcal{I}$-орбиты, состоящие из ориентированных мультикривых $M$ таких, что $[M]=C$, через $\mathcal{O}_C^+$ и $\mathcal{O}_C^-$. Выбор того, какая из двух орбит обозначается через $\mathcal{O}^+_C$, неканонический. Мы будем предполагать, что некоторый такой выбор сделан. Теперь предположим, что $C\in\mathcal{H}_1^{(2)}$, $D\in\mathcal{H}_2'$ и $C\subset D$. Положим $\varepsilon_{D,C}=1$, если всякая мультикривая из орбиты $\mathcal{O}_{D}^+$ содержит мультикривую из орбиты $\mathcal{O}_C^+$ (и тогда всякая мультикривая из орбиты $\mathcal{O}_{D}^-$ содержит мультикривую из орбиты $\mathcal{O}_C^-$), и положим $\varepsilon_{D,C}=-1$, если всякая мультикривая из орбиты $\mathcal{O}_{D}^+$ содержит мультикривую из орбиты $\mathcal{O}_C^-$ (и тогда всякая мультикривая из орбиты $\mathcal{O}_{D}^-$ содержит мультикривую из орбиты $\mathcal{O}_C^+$). Замечание 5.3. Несложно показать, что если мультикривая $M_0$ содержит ограничивающую пару компонент, то имеется бесконечно много $\mathcal{I}$-орбит ориентированных мультикривых $M$ таких, что $[M]=[M_0]$. Мы не будем доказывать это утверждение, так как оно нам не понадобится. Чтобы работать с цепным комплексом $C_*(\mathcal{B};\mathbb{Z})$, нам нужно выбрать ориентации клеток положительной размерности комплекса $\mathcal{B}$. Нам неизвестен способ сделать это канонически, но он нам и не нужен. Тем не менее, нам понадобится ввести соглашение об ориентациях клеток, которое гарантирует нам, что ориентации любых двух клеток $P_M$ с одинаковым множеством $[M]$ правильным образом согласованы друг с другом. Это соглашение будет разным в зависимости от того, содержит ли мультикривая $M$ ограничивающую пару компонент или нет. Рассмотрим эти два случая отдельно. 1) Пусть $C\in\mathcal{M}_p$, где $p>0$, и никакой элемент не входит в мультимножество $C$ с кратностью $2$. Тогда для любых двух ориентированных мультикривых $M_1$ и $M_2$ с $[M_1]=[M_2]=C$ имеется единственная биекция между компонентами мультикривой $M_1$ и компонентами мультикривой $M_2$, которая переводит каждую компоненту в компоненту в том же классе гомологий. Эта биекция индуцирует изоморфизм $P_{M_1}\to P_{M_2}$. Наше соглашение заключается в том, что при этом изоморфизме выбранная ориентация клетки $P_{M_1}$ должна переходить в выбранную ориентацию клетки $P_{M_2}$. 2) Пусть $C\in\mathcal{M}_p$, где $p>0$, и некоторый элемент $c$ входит в мультимножество $C$ с кратностью $2$. Нам хотелось бы оставить в стороне специальный случай $C=[x,x]$. В настоящей работе мы нигде не будем рассматривать ориентированные мультикривые $M$ с $[M]=[x,x]$, поэтому нам нет необходимости заботиться о выборе их ориентаций. Предположим, что $C\ne [x,x]$. Пусть $E$ – множество, состоящее из всех элементов мультимножества $C$, отличных от $c$. Тогда $E$ непусто. Для каждой мультикривой $M$ с $[M]=C$ содержащаяся в ней ограничивающая пара кривых $\gamma\cup\gamma'$ разделяет поверхность $S$ на две связные компоненты и, таким образом, индуцирует разбиение множества $E$ на два подмножества. Легко видеть, что это разбиение не зависит от выбора мультикривой $M$. Действительно, два класса гомологий $e_1,e_2\in E$ лежат в одном элементе разбиения тогда и только тогда, когда один из трех классов $e_1+e_2$, $e_1-e_2$ и $e_2-e_1$ равен $c$. Таким образом, рассматриваемое разбиение внутренним образом определяется по мультимножеству $C$. (В этом рассуждении важно, что род поверхности $S$ равен $3$.) Выберем, какая из частей разбиения первая, а какая – вторая, и обозначим их через $E_1$ и $E_2$ соответственно. Тогда для ориентированной мультикривой $M$ с $[M]=C$, мы можем сказать, какая из двух ее гомологичных компонент является первой, а какая – второй, потребовав, чтобы компоненты с классами гомологий из $E_1$ лежали справа от первой компоненты и слева от второй. Теперь для любых двух мультикривых $M_1$ и $M_2$ с $[M_1]=[M_2]=C$ имеется единственная биекция между множествами их компонент, которая переводит каждую компоненту мультикривой $M_1$ в компоненту мультикривой $M_2$ в том же гомологическом классе и, кроме того, переводит первую и вторую компоненты ограничивающей пары в $M_1$ в первую и вторую компоненты ограничивающей пары в $M_2$ соответственно. Если мы поменяем местами множества $E_1$ и $E_2$, то первая и вторая компоненты поменяются местами одновременно для всех ориентированных мультикривых $M$ с $[M]=C$, поэтому построенная биекция не изменится. Эта биекция индуцирует изоморфизм $P_{M_1}\to P_{M_2}$. Наше соглашение заключается в том, что при этом изоморфизме выбранная ориентация клетки $P_{M_1}$ должна переходить в выбранную ориентацию клетки $P_{M_2}$. В обоих случаях принятое соглашение означает, что как только мы выбираем ориентацию некоторой клетки $P_M$ (при $[M]\ne [x,x]$), мы одновременно ориентируем соответствующим образом все остальные клетки $P_{M'}$ такие, что $[M']=[M]$. В течение всей оставшейся части статьи мы предполагаем, что ориентации клеток комплекса $\mathcal{B}$ выбраны произвольным образом с учетом этого соглашения. Иногда нам будет удобно обращать ориентации некоторых клеток $P_M$. При этом мы всегда подразумеваем, что одновременно обращаются ориентации всех клеток $P_{M'}$ таких, что $[M']=[M]$. Также, начиная с этого момента, мы предполагаем, что пара гомологичных компонент каждой мультикривой $M$ (содержащей такую пару) упорядочена так, что эти упорядочения для разных мультикривых $M$ с одинаковым мультимножеством $[M]\ne[x,x]$ согласованы друг с другом, как описано выше. Если клетка $P_M$ является гранью коразмерности $1$ клетки $P_K$, то мы будем обозначать через $[P_K\colon P_M]$ коэффициент инцидентности клеток $P_K$ и $P_M$. Так как $\mathcal{B}$ – регулярный клеточный комплекс, то $[P_K\colon P_M]=\pm 1$. Пусть $C\in\mathcal{H}_p$ и $D\in\mathcal{H}_{p+1}$ – множества без кратных элементов такие, что $C\subset D$. Тогда согласно нашему соглашению об ориентациях коэффициент инцидентности $[P_K\colon P_M]$ одинаков для всех пар ориентированных мультикривых $M\subset K$ таких, что $[M]=C$ и $[K]=D$. Мы обозначим этот коэффициент инцидентности через $[D\colon C]$. Наконец, предположим, что $K\in\mathcal{M}_2$ – пятикомпонентная ориентированная мультикривая, содержащая ограничивающую пару кривых, и $M^{\pm}$ – две мультикривые, получающиеся из $K$ при удалении одной из двух компонент ограничивающей пары. Положим $D=[K]$ и $C=[M^{\pm}]$. Мультикривые $M^{\pm}$ принадлежат множеству $\mathcal{M}_1^{(2)}$ и лежат в разных $\mathcal{I}$-орбитах, поэтому мы можем выбрать обозначения для $M^{\pm}$ так, что $M^+\in\mathcal{O}_C^+$ и $M^-\in\mathcal{O}_C^-$. Клетка $P_K$ изоморфна цилиндру $P_{M^+}\times [0,1]$ с основаниями $P_{M^+}$ и $P_{M^-}$. Значит, $[P_K\colon P_{M^+}]=-[P_K\colon P_{M^-}]$. Мы обозначим коэффициент инцидентности $[P_K\colon P_{M^+}]$ через $[D\colon C]$. Коэффициент $[D\colon C]$ зависит лишь от выбранных ориентаций клеток и от того, какую орбиту мы обозначаем через $\mathcal{O}_C^+$, а какую – через $\mathcal{O}_C^-$ (напомним, что все эти данные мы предполагаем выбранными и зафиксированными), но не зависит от выбора мультикривой $K$ такой, что $[K]=D$. § 6. Гомоморфизмы $\nu_{\gamma}$, $\nu_{\gamma,\mathcal{W}}$ и $\mu_{\gamma,\gamma'}$Рассмотрим замкнутую ориентированную поверхность $S_2$ рода $2$ и соответствующую группу Торелли $\mathcal{I}_2$. Напомним хорошо известный факт, что существует единственный гомоморфизм $d_0\colon\mathcal{I}_2\to \mathbb{Z}$ такой, что $d_0(T_{\delta})=1$ для всех разделяющих простых замкнутых кривых $\delta$ на поверхности $S_2$. В общем случае Ш. Морита [27] построил гомоморфизм $d_0\colon \mathcal{K}_g\to\mathbb{Z}$ такой, что $d_0(T_{\delta})=g'(g-g')$ для любой простой замкнутой кривой $\delta$, разделяющей поверхность $S_g$ на две части родов $g'$ и $g-g'$, и доказал, что $d_0$ – единственный с точностью до пропорциональности $\operatorname{Mod}_g$-инвариантный гомоморфизм $\mathcal{K}_g\to\mathbb{Z}$. Здесь $\mathcal{K}_g\subset \mathcal{I}_g$ – подгруппа, порожденная скручиваниями Дена вдоль разделяющих кривых. (Группа $\mathcal{K}_g$ также называется ядром Джонсона, так как она совпадает с ядром гомоморфизма Джонсона $\tau\colon\mathcal{I}_g\to\Lambda^3H/H$, см. [10].) Если $g=2$, то $\mathcal{I}_2=\mathcal{K}_2$ и, таким образом, конструкция Мориты дает искомый гомоморфизм $d_0\colon\mathcal{I}_2\to \mathbb{Z}$. Теперь пусть $\gamma$ – неразделяющая простая замкнутая кривая на замкнутой ориентированной поверхности $S=S_3$ рода $3$. Тогда $S\setminus\gamma$ – поверхность рода $2$ с двумя проколами. Компактифицировав поверхность $S\setminus\gamma$ путем добавления к ней двух точек, мы получим замкнутую поверхность $S_2$ рода $2$. Обозначим через $\lambda_{\gamma}$ композицию естественных гомоморфизмов
$$
\begin{equation*}
\mathcal{I}_{\gamma}\hookrightarrow\operatorname{PMod}(S\setminus\gamma)\to\operatorname{Mod}(S_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что образ гомоморфизма $\lambda_{\gamma}$ содержится в группе Торелли $\mathcal{I}_2=\mathcal{I}(S_2)$. Определим гомоморфизм $\nu_{\gamma}\colon\mathcal{I}_{\gamma}\to\mathbb{Z}$ как композицию
$$
\begin{equation*}
\mathcal{I}_{\gamma}\xrightarrow{\lambda_{\gamma}}\mathcal{I}_2\xrightarrow{d_0}\mathbb{Z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следующее предложение сразу следует из определения гомоморфизма $\nu_{\gamma}$. Предложение 6.1. a) Пусть $\delta$ – разделяющая замкнутая кривая, не пересекающаяся с кривой $\gamma$. Тогда $\nu_{\gamma}(T_{\delta})=1$, если $\gamma$ лежит в компоненте связности множества $S\setminus\delta$, имеющей род $2$, и $\nu_{\gamma}(T_{\delta})=0$, если $\gamma$ лежит в компоненте связности множества $S\setminus\delta$, имеющей род $1$. b) Если $\{\gamma,\gamma'\}$ – ограничивающая пара кривых, то $\nu_{\gamma}(T_{\gamma,\gamma'})=-1$. c) Если $\{\delta,\delta'\}$ – ограничивающая пара кривых такая, что $\delta$ и $\delta'$ не пересекаются с $\gamma$ и ни $\delta$, ни $\delta'$ не гомотопны $\gamma$, то $\nu_{\gamma}(T_{\delta,\delta'})=0$. Предложение 6.2. Пусть $\{\gamma,\gamma'\}$ – ограничивающая пара кривых. Тогда для всех классов отображений $h\in\mathcal{I}_{\gamma\cup\gamma'}$ имеет место сравнение Доказательство. Согласно предложению 3.7 требуемое сравнение достаточно проверить для элемента $h=T_{\gamma,\gamma'}$ и элементов вида $h=T_{\delta}$, где $\delta$ – разделяющая простая замкнутая кривая, не пересекающаяся с $\gamma$ и $\gamma'$. В обоих случаях сравнение следует из предложения 6.1. Предложение доказано. Предложение 6.2 позволяет сопоставить ограничивающей паре кривых $\{\gamma,\gamma'\}$ гомоморфизм $\mu_{\gamma,\gamma'}\colon \mathcal{I}_{\gamma\cup\gamma'}\to\mathbb{Z}$, определяемый по формуле
$$
\begin{equation}
\mu_{\gamma,\gamma'}(h)=\frac{\nu_{\gamma}(h)+\nu_{\gamma'}(h)}2\,.
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Очевидно, что $\mu_{\gamma',\gamma}=\mu_{\gamma,\gamma'}$. Следующее предложение сразу следует из предложения 6.1. Предложение 6.3. Пусть $\{\gamma,\gamma'\}$ – ограничивающая пара кривых. Тогда $\mu_{\gamma,\gamma'}(T_{\gamma,\gamma'})=0$. Кроме того, $\mu_{\gamma,\gamma'}(T_{\delta})=1$ для любой разделяющей простой замкнутой кривой $\delta$, не пересекающейся с кривыми $\gamma$ и $\gamma'$. Будем рассматривать ортогональные разложения $H_1(S_2;\mathbb{Z})=U\oplus V$ в прямую сумму двух подгрупп ранга $2$, причем будем рассматривать всякое такое разложение как неупорядоченную пару подгрупп, т. е. считать разложения $U\oplus V$ и $V\oplus U$ одинаковыми. По теореме Дж. Месса [2]:
Отметим, что скручивание $T_{\delta}$ вдоль любой разделяющей кривой на $S_2$ сопряжено в группе $\mathcal{I}_2$ одному из скручиваний $T_{\delta_i}$, а именно тому, для которого кривая $\delta_i$ задает то же разложение группы $H_1(S_2;\mathbb{Z})$, что и кривая $\delta$. Поэтому для каждого ортогонального разложения $\mathcal{W}$ группы $H_1(S_2;\mathbb{Z})$ существует единственный гомоморфизм $d_{\mathcal{W}}\colon \mathcal{I}_2\to \mathbb{Z}$ такой, что $d_{\mathcal{W}}(T_{\delta})=1$, если $\delta$ – разделяющая кривая, дающая разложение $\mathcal{W}$ в гомологиях, и $d_{\mathcal{W}}(T_{\delta})=0$, если $\delta$ дает любое другое разложение. Очевидно, что гомоморфизм Мориты $d_0$ является суммой всех гомоморфизмов $d_{\mathcal{W}}$ в том смысле, что для каждого $h\in\mathcal{I}_2$ имеет место равенство (Сумма в правой части равенства конечна для каждого $h$.)Используя гомоморфизмы $d_{\mathcal{W}}$ вместо $d_0$, мы можем уточнить конструкцию гомоморфизмов $\nu_{\gamma}$ следующим образом. Пусть $\gamma$ – неразделяющая простая замкнутая кривая на поверхности $S=S_3$ и $\mathcal{W}$ – ортогональное разложение свободной абелевой группы ранга четыре $H_{\gamma}=\langle [\gamma]\rangle^{\bot}/\langle [\gamma]\rangle$ в прямую сумму двух подгрупп ранга два. Как и выше, рассмотрим поверхность $S_2$ рода $2$, получаемую при компактификации поверхности $S\setminus\gamma$. Тогда группа $H_1(S_2;\mathbb{Z})$ канонически изоморфна группе $H_{\gamma}$, поэтому $\mathcal{W}$ можно рассматривать как ее ортогональное разложение. Определим гомоморфизм $\nu_{\gamma,\mathcal{W}}\colon\mathcal{I}_{\gamma}\to\mathbb{Z}$ как композицию
$$
\begin{equation*}
\mathcal{I}_{\gamma}\xrightarrow{\lambda_{\gamma}} \mathcal{I}_2\xrightarrow{d_{\mathcal{W}}}\mathbb{Z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следующее предложение является аналогом предложения 6.1 в рассматриваемой ситуации. Предложение 6.4. a) Пусть $\delta$ – разделяющая замкнутая кривая, не пересекающаяся с кривой $\gamma$. Тогда $\nu_{\gamma,\mathcal{W}}(T_{\delta})=1$, если кривая $\delta$ дает разложение $\mathcal{W}$ группы $H_{\gamma}$ и $\nu_{\gamma,\mathcal{W}}(T_{\delta})=0$ во всех остальных случаях. b) Пусть $\{\gamma,\gamma'\}$ – ограничивающая пара кривых. Тогда $\nu_{\gamma,\mathcal{W}}(T_{\gamma,\gamma'})=-1$, если эта пара дает разложение $\mathcal{W}$ группы $H_{\gamma}$ и $\nu_{\gamma,\mathcal{W}}(T_{\gamma,\gamma'})=0$ во всех остальных случаях. c) Пусть $\{\delta,\delta'\}$ – ограничивающая пара кривых такая, что $\delta$ и $\delta'$ не пересекаются с $\gamma$ и ни $\delta$, ни $\delta'$ не гомотопны $\gamma$. Тогда $\nu_{\gamma,\mathcal{W}}(T_{\delta,\delta'})=0$. § 7. Стабилизаторы четырех- и пятикомпонентных мультикривых без разделяющих компонент и ограничивающих пар компонентВ этом параграфе мы изучим стабилизаторы $\mathcal{I}_M$ четырехкомпонентных мультикривых, принадлежащих множествам $\mathcal{M}_1^{(1)}$ и $\mathcal{M}_1^{(2)}$ и пятикомпонентных мультикривых, принадлежащих множеству $\mathcal{M}_2'$. Ориентации компонент мультикривых не будут играть никакой роли, поэтому мы временно забудем о них. Нам будет удобно сначала изучить четырехкомпонентные мультикривые первого типа, после них пятикомпонентные мультикривые и только затем четырехкомпонентные мультикривые второго типа. В п. 7.1 и п. 7.3 будет доказана часть b) предложения 4.1 для мультикривых первого и второго типов соответственно, см. предложения 7.8 и 7.21. 7.1. Четырехкомпонентные мультикривые первого типаПусть $M=\alpha_0\cup\alpha_1\cup\alpha_2\cup\alpha_3$ – четырехкомпонентная мультикривая первого типа на поверхности $S$. Тогда $M$ делит $S$ на две связные компоненты $\Sigma_1$ и $\Sigma_2$, каждая из которых гомеоморфна сфере с четырьмя проколами, см. рис. 5. Обозначим через $\mathbf{a}_1$, $\mathbf{a}_2$ и $\mathbf{a}_3$ классы гомологий по модулю $2$ кривых $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\alpha_3$ соответственно, и положим $\mathbf{A}=\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\}$; тогда класс гомологий по модулю $2$ кривой $\alpha_0$ равен $\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2+\mathbf{a}_3$. Согласно (4.2) класс когомологий $\theta_{\mathbf{A}}$ не зависит от нумерации компонент мультикривой $M$. Обозначим через $\theta_M$ ограничение класса $\theta_{\mathbf{A}}$ на стабилизатор $\mathcal{I}_M$. В этом пункте мы вначале докажем, что $\theta_M=0$, а потом построим вторичный гомоморфизм $\psi_M\colon \mathcal{C}_M\to\mathbb{Z}/2$, возникающий благодаря тривиальности класса $\theta_M$. (Напомним, что мы обозначаем через $\mathcal{C}$ ядро гомоморфизма Бирман–Крэггса–Джонсона $\sigma$, см. п. 3.4.) Для $s=1,2$ выберем простые замкнутые кривые $\gamma_s$ и $\delta_s$ в $\Sigma_s$ так, что классы гомологий по модулю $2$ кривых $\gamma_s$ и $\delta_s$ равны $\mathbf{a}_2+\mathbf{a}_3$ и $\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_3$ соответственно и геометрический индекс пересечения кривых $\gamma_s$ и $\delta_s$ равен $2$, см. рис. 5, (a). (Компоненты мультикривой $M$ на рис. 5 пронумерованы в таком странном порядке для того, чтобы кривые $\gamma_s$ и $\delta_s$ были расположены удобным образом.) Пусть $\mathbf{b}_1$, $\mathbf{b}_2$ и $\mathbf{b}_3$ – классы гомологий по модулю $2$ кривых $\beta_1$, $\beta_2$ и $\beta_3$ на рис. 5, (b) соответственно. Тогда $\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3,\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3$ – симплектический базис группы $H_{\mathbb{Z}/2}$. Пронумеруем квадратичные формы $\omega_i$, отвечающие множеству $\mathbf{A}$, так, чтобы выполнялись равенства (4.1), и рассмотрим соответствующие гомоморфизмы Бирман–Крэггса $\rho_i=\rho_{\omega_i}$ и расширенные гомоморфизмы Бирман–Крэггса $\widehat{\rho}_i=\widehat{\rho}_{\omega_i}$. Каждая из поверхностей $\Sigma_s$ гомеоморфна сфере с четырьмя проколами. Поэтому $\operatorname{PMod}(\Sigma_s)$ – свободная группа $\mathbf{F}_2$ с двумя порождающими $u_s=T_{\gamma_s}$ и $v_s=T_{\delta_s}$. Значит, $\operatorname{PMod}(S\setminus M)=\mathbf{F}_2\times\mathbf{F}_2$, где порождающими первого множителя являются скручивания $u_1$ и $v_1$, а порождающими второго – скручивания $u_2$ и $v_2$. Так как мультикривая $M$ не содержит ограничивающих пар кривых, естественный гомоморфизм $\eta \colon \mathcal{I}_M\to\mathbf{F}_2\times\mathbf{F}_2$ в точной последовательности Бирман–Любоцкого–Маккарти (3.5) инъективeн. Предложение 7.1. Следующие три подгруппы группы $\mathbf{F}_2\times\mathbf{F}_2$ совпадают друг с другом: Доказательство. Непосредственно проверяется, что ядро $\ker f$ совпадает с нормальным замыканием элементов $z_1$ и $z_2$.
Пусть $K$ – подгруппа группы $\mathbf{F}_2\times\mathbf{F}_2$, порожденная элементами $z_1$, $z_2$ и $z_3$. Очевидно, что $K\subseteq \ker f$. Докажем обратное включение. Положим $z_4=[u_2,v_2]$. Тогда $z_4\in K$, так как Рассмотрим произвольный элемент $w\in \ker f$ и запишем его в виде слова $W$ из букв $u_1^{\pm 1}$, $v_1^{\pm 1}$, $u_2^{\pm 1}$ и $v_2^{\pm 1}$. Пусть $k$ – алгебраическое число вхождений порождающей $u_1$ в слово $W$, т. е. число вхождений буквы $u_1$ минус число вхождений буквы $u_1^{-1}$. Аналогично, пусть $l$ – алгебраическое число вхождений порождающей $v_1$ в слово $W$. Так как $f(w)=0$, то алгебраические числа вхождений порождающих $u_2$ и $v_2$ в слово $W$ равны $-k$ и $-l$ соответственно. Очевидно, что числа $k$ и $l$ не зависят от выбора слова $W$, представляющего данный элемент $w$. Легко видеть, что элемент $w$ можно записать в виде где $w_1$ лежит в коммутанте первого сомножителя $\mathbf{F}_2$ и $w_2$ лежит в коммутанте второго сомножителя $\mathbf{F}_2$. Хорошо известно, что эти коммутанты порождаются всевозможными коммутаторами $[u_1^m,v_1]$, где $m\in\mathbb{Z}$, и $[u_2^m,v_2]$, где $m\in\mathbb{Z}$, соответственно. Поэтому, чтобы показать, что $\ker f\subseteq K$, достаточно доказать, что все коммутаторы $[u_1^m,v_1]$ и $[u_2^m,v_2]$ лежат в $K$. Имеем
$$
\begin{equation*}
[u_1^m,v_1]=u_1^{-1}[u_1^{m-1},v_1]u_1[u_1,v_1]=z_1^{-1}[u_1^{m-1},v_1]z_1z_3.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $[u_1^m,v_1]=z_1^{-m}(z_1z_3)^m$ и, аналогично, $[u_2^m,v_2]=z_2^{-m}(z_2z_4)^m$. Таким образом, $\ker f=K$.
Наконец, докажем, что $\eta(\mathcal{I}_M)=K$. Элементы $z_1=T_{\gamma_1,\gamma_2}$ и $z_2=T_{\delta_1,\delta_2}$ являются скручиваниями вдоль ограничивающих пар кривых, не пересекающихся с мультикривой $M$, а элемент $z_3=[T_{\gamma_1},T_{\delta_1}]$ – коммутатор скручиваний вдоль просто пересекающейся пары кривых. Поэтому $z_1,z_2,z_3\in\eta(\mathcal{I}_M)$ и, значит, $K\subseteq\eta(\mathcal{I}_M)$. Докажем обратное включение. Пусть $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3$ – целочисленные классы гомологий кривых $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2,\beta_3$ соответственно с ориентациями, выбранными так, что $[\gamma_1]=[\gamma_2]=a_2+a_3$, $[\delta_1]=[\delta_2]=a_1+a_3$ и $a_i\cdot b_i=1$ при $i=1,2,3$. Короткая точная последовательность Бирман–Любоцкого–Маккарти (3.5) записывается в виде
$$
\begin{equation*}
1\to G(M)\to \operatorname{Stab}_{\operatorname{Mod}(S)}\bigl(\overrightarrow{M}\bigr) \xrightarrow{\eta}\mathbf{F}_2\times\mathbf{F}_2\to 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Действие элемента $h\in\operatorname{Stab}_{\operatorname{Mod}(S)}\bigl(\overrightarrow{M}\bigr)$ на группе гомологий $H$ записывается в базисе $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3$ матрицей вида где $I$ – единичная $3\times 3$ матрица и $P=P(h)=(p_{ij})_{1\leqslant i,j\leqslant 3}$ – симметрическая $3\times 3$ матрица. Таким образом, мы получаем корректно определенные гомоморфизмы
$$
\begin{equation*}
p_{ij}\colon \operatorname{Stab}_{\operatorname{Mod}(S)} \bigl(\overrightarrow{M}\bigr)\to\mathbb{Z}, \qquad 1\leqslant i\leqslant j\leqslant 3.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко проверить, что матрицы $P$ для скручиваний $T_{\alpha_0}$, $T_{\alpha_1}$, $T_{\alpha_2}$, $T_{\alpha_3}$ имеют вид соответственно. Следовательно, гомоморфизмы $p_{23}-p_{12}$ и $p_{13}-p_{12}$ обращаются в нуль на группе $G(M)$ и, значит, задают корректно определенные гомоморфизмы $\mathbf{F}_2\times\mathbf{F}_2\to\mathbb{Z}$. Далее, легко видеть, что Значит, $f_1\circ\eta=p_{23}-p_{12}$ и $f_2\circ\eta=p_{13}-p_{12}$, где $f_1$ и $f_2$ – координаты гомоморфизма $f$. Так как все гомоморфизмы $p_{ij}$ обращаются в нуль на группе $\mathcal{I}_M$, то $f_1$ и $f_2$ обращаются в нуль на $\eta(\mathcal{I}_M)$. Таким образом, $\eta(\mathcal{I}_M)\subseteq K$. Предложение доказано. В дальнейшем нам будет удобно отождествлять группу $\mathcal{I}_M$ с ее образом в группе $\mathbf{F}_2\times\mathbf{F}_2$ при гомоморфизме $\eta$. Прежде чем изучать ограничения гомоморфизмов Бирман–Крэггса на стабилизатор $\mathcal{I}_M$, упомянем одно простое следствие предложений 7.1 и 6.1. Предложение 7.2. Ограничения гомоморфизмов $\nu_{\alpha_i}$ на группу $\mathcal{I}_M$ тривиальны при $i=0,1,2,3$. Доказательство. Согласно предложению 6.1 каждый гомоморфизм $\nu_{\alpha_i}$ обращается в нуль на каждом из скручиваний вдоль ограничивающих пар кривых $z_1=T_{\gamma_1,\gamma_2}$, $z_2=T_{\delta_1,\delta_2}$ и $z_1z_3=T_{\gamma_1',\gamma_2}$, где $\gamma_1'=T_{\delta_1}^{-1}(\gamma_1)$. По предложению 7.1 эти три скручивания порождают группу $\mathcal{I}_M$. Предложение доказано. Предложение. Имеем Доказательство. Применяя формулу (3.12) для скручиваний вдоль ограничивающих пар кривых $T_{\gamma_1,\gamma_2}$, $T_{\delta_1,\delta_2}$ и $T_{\gamma_1',\gamma_2}$, где $\gamma_1'=T_{\delta_1}^{-1}(\gamma_1)$, мы получаем:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sigma(z_1)&=\sigma(T_{\gamma_1,\gamma_2})=(\overline{\mathbf{a}}_2+\overline{\mathbf{a}}_3+1 )\overline{\mathbf{a}}_1\overline{\mathbf{b}}_1, \\ \sigma(z_2)&=\sigma(T_{\delta_1,\delta_2})=(\overline{\mathbf{a}}_1+\overline{\mathbf{a}}_3+1 )\overline{\mathbf{a}}_2\overline{\mathbf{b}}_2, \\ \sigma(z_1z_3)&=\sigma(T_{\gamma_1',\gamma_2})=(\overline{\mathbf{a}}_2+\overline{\mathbf{a}}_3+1 )\overline{\mathbf{a}}_1(\overline{\mathbf{b}}_1+\overline{\mathbf{a}}_3). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\sigma(z_3)=\overline{\mathbf{a}}_1\overline{\mathbf{a}}_2\overline{\mathbf{a}}_3.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этих равенств и формул (4.1), сразу следуют искомые формулы (7.2)–(7.4). Предложение доказано. При $i=0,1,2,3$ обозначим через $\rho_{i,M}$ ограничение гомоморфизма $\rho_i$ на стабилизатор $\mathcal{I}_M$. Следствие 7.4. Гомоморфизмы $\rho_{i,M}\colon\mathcal{I}_M\to\mathbb{Z}/2$ удовлетворяют соотношению $\rho_{0,M}+\rho_{1,M}+\rho_{2,M}+\rho_{3,M}=0$ и не удовлетворяют никаким другим линейным соотношениям над $\mathbb{Z}/2$. Подгруппа $\mathcal{C}_M\subset\mathcal{I}_M$ имеет индекс $8$ и совпадает с пересечением ядер гомоморфизмов $\rho_{0,M}$, $\rho_{1,M}$, $\rho_{2,M}$ и $\rho_{3,M}$. Кроме того, подгруппа $\mathcal{C}_M$ совпадает с ядром естественного гомоморфизма $\mathcal{I}_M\to H_1(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z}/2)$. Доказательство. По предложению 7.1 группа $\mathcal{I}_M$ порождена элементами $z_1$, $z_2$ и $z_3$. Поэтому из равенств (7.2)–(7.4) следует, что гомоморфизмы $\rho_{0,M}$, $\rho_{1,M}$ и $\rho_{2,M}$ линейно независимы и $\rho_{0,M}+\rho_{1,M}+\rho_{2,M}+\rho_{3,M}=0$. Значит, пересечение ядер гомоморфизмов $\rho_{0,M}$, $\rho_{1,M}$, $\rho_{2,M}$ и $\rho_{3,M}$ имеет индекс $8$. С другой стороны, имеют место включения
$$
\begin{equation}
\bigcap_{i=0}^3\ker\rho_{i,M}\supseteq\mathcal{C}_M\supseteq\ker[ \mathcal{I}_M\to H_1(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z}/2)].
\end{equation}
\tag{7.5}
$$
Однако $\dim_{\mathbb{Z}/2} H_1(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z}/2)\leqslant 3$, так как группа $\mathcal{I}_M$ порождена тремя элементами. Значит, индекс ядра естественного гомоморфизма $\mathcal{I}_M\to H_1(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z}/2)$ не превосходит $8$. Следовательно, он равен $8$ и оба включения (7.5) являются равенствами. Следствие доказано. По предложению 7.1 имеется короткая точная последовательность
$$
\begin{equation*}
1\to \mathcal{I}_M\xrightarrow{\eta}\mathbf{F}_2\times\mathbf{F}_2 \xrightarrow{f}\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\xi_i\colon \mathcal{I}_M\to\mathbb{Z}$ при $i=1,2$ – композиции гомоморфизмов
$$
\begin{equation*}
\mathcal{I}_M\xrightarrow{\eta}\mathbf{F}_2\times\mathbf{F}_2\xrightarrow{\operatorname{pr}_1}\mathbf{F}_2\xrightarrow{\zeta_i}\mathbb{Z},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\operatorname{pr}_1$ – проекция на первый сомножитель, $\zeta_1$ переводит порождающие $u_1$ и $v_1$ в $1$ и $0$ соответственно, и $\zeta_2$ переводит порождающие $u_1$ и $v_1$ в $0$ и $1$ соответственно. Очевидно, что
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{5} \xi_1(z_1)&=1, &\qquad \xi_1(z_2)&=0, &\qquad \xi_1(z_3)&=0, \\ \xi_2(z_1)&=0, &\qquad \xi_2(z_2)&=1, &\qquad \xi_2(z_3)&=0. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{7.6}
$$
Прежде чем продолжить изучение гомоморфизмов $\rho_{i,M}$, сделаем следующее простое наблюдение, которое понадобится нам в п. 11.2. Предложение 7.5. Пусть $\{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}$ – ограничивающая пара кривых, не пересекающаяся с мультикривой $M$ и такая, что $\varepsilon_1\subset\Sigma_1$ и $\varepsilon_2\subset\Sigma_2$. Тогда Доказательство. Первые два утверждения следуют из формул (7.6), так как всякое скручивание $T_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}$ такое, что $\varepsilon_1\cup\varepsilon_2$ отделяет $\alpha_0\cup\alpha_1$ от $\alpha_2\cup\alpha_3$ (соответственно $\alpha_0\cup\alpha_2$ от $\alpha_1\cup\alpha_3$) сопряжено в группе $\mathbf{F}_2\times\mathbf{F}_2$ скручиванию $z_1$ (соответственно скручиванию $z_2$). Аналогично, третье утверждение достаточно доказать для какого-нибудь одного конкретного скручивания $T_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}$ такого, что $\varepsilon_1\cup\varepsilon_2$ отделяет $\alpha_0\cup\alpha_3$ от $\alpha_1\cup\alpha_2$, так как все такие скручивания сопряжены друг другу. Возьмем в качестве $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ кривые, изображенные на рис. 6.
Заметим, что семерки кривых $\{\gamma_s,\delta_s,\varepsilon_s,\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ при $s=1,2$ образуют фонарные конфигурации, как на рис. 1 (с противоположными ориентациями). Соответствующие фонарные соотношения имеют вид
$$
\begin{equation*}
T_{\gamma_1}T_{\delta_1}T_{\varepsilon_1}=T_{\alpha_0}T_{\alpha_1}T_{\alpha_2}T_{\alpha_3} =T_{\delta_2}T_{\gamma_2}T_{\varepsilon_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $T_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}=z_2^{-1}z_1^{-1}$, откуда следуют требуемые равенства. Предложение доказано. Сопоставляя формулы (7.6) и (7.2)–(7.4), мы получаем следующее предложение. Следствие 7.7. $\rho_{0,M}^2=\rho_{1,M}^2=\rho_{2,M}^2=\rho_{3,M}^2$ в группе $H^2(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z}/2)$. Доказательство. Напомним, что для всякого одномерного класса когомологий $z$ с коэффициентами в $\mathbb{Z}/2$ произвольного пространства или группы имеет место равенство $z^2=\beta z$, где $\beta$ – гомоморфизм Бокштейна, соответствующий короткой точной последовательности групп коэффициентов Значит, $z^2=0$, если класс $z$ поднимается до класса когомологий с коэффициентами в $\mathbb{Z}/4$ и, тем более, если он поднимается до целочисленного класса когомологий. Поэтому из предложения 7.6 следует, что $(\rho_{0,M}+\rho_{i,M})^2=0$ при $i=1,2$. Таким образом, $\rho_{0,M}^2=\rho_{1,M}^2=\rho_{2,M}^2$. По следствию 7.4 мы окончательно получаем, что $\rho_{3,M}^2=\rho_{0,M}^2$. Следствие доказано. Теперь мы готовы доказать часть b) предложения 4.1 для мультикривых первого типа. Доказательство. Используя следствия 7.4 и 7.7 и предложение 7.6, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \theta_M &=\sum_{i<j}\rho_{i,M}\rho_{j,M}=\rho_{0,M}\rho_{1,M} + \rho_{0,M}\rho_{2,M} + \rho_{1,M}\rho_{2,M} + \rho_{3,M}^2 \\ &=\rho_{0,M}\rho_{1,M} + \rho_{0,M}\rho_{2,M} + \rho_{1,M}\rho_{2,M} + \rho_{0,M}^2 \\ &=(\rho_{0,M}+\rho_{1,M}) (\rho_{0,M}+\rho_{2,M})= \xi_1\xi_2\mod 2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Однако так как $H^2(\mathbf{F}_2;\mathbb{Z})=0$. Следовательно, $\theta_M=0$. Предложение доказано. Предложение 7.9. Существует единственный гомоморфизм $\psi_M\colon \mathcal{C}_M\to\mathbb{Z}/2$ такой, что для любых элементов $h_1,h_2\in\mathcal{I}_M$ имеет место равенство и для любого элемента $h\in\mathcal{I}_M$ имеет место равенство Кроме того, гомоморфизм $\psi_M$ инвариантен относительно действия группы $\operatorname{Stab}_{\operatorname{Mod}(S)}(M)$ сопряжениями на подгруппе $\mathcal{C}_M$. Доказательство. Согласно следствию 7.4 подгруппа $\mathcal{C}_M$ совпадает с ядром естественного гомоморфизма $\mathcal{I}_M\to H_1(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z}/2)$. Значит, группа $\mathcal{C}_M$ порождается коммутаторами $[h_1,h_2]$, где $h_1,h_2\in\mathcal{I}_M$, и квадратами $h^2$ элементов $h\in\mathcal{I}_M$. Следовательно, если гомоморфизм $\psi_M$, удовлетворяющий (7.7) и (7.8), существует, то он единствен. Более того, $\operatorname{Stab}_{\operatorname{Mod}(S)}(M)$-инвариантность этого гомоморфизма сразу следует из его единственности. Согласно предложению 3.13 существование гомоморфизма $\psi_M$, удовлетворяющего (7.7) и (7.8), следует из обращения в нуль класса когомологий $\theta_M$. Предложение доказано. Пусть $\iota$ – вращение поверхности, изображенной на рис. 5, на угол $\pi$ вокруг горизонтальной оси. Тогда $\iota\in\widehat{\mathcal{I}}_M\setminus\mathcal{I}_M$ и $\iota^2=1$. Значит, группа $\mathcal{I}_M$ является подгруппой индекса два группы $\widehat{\mathcal{I}}_M$. Из предложения 3.12 следует, что $[h_1,h_2]\in\mathcal{C}_M$ для всех $h_1,h_2\in\widehat{\mathcal{I}}_M$ и $h^2\in\mathcal{C}_M$ для всех $h\in\widehat{\mathcal{I}}_M$. В дальнейшем нам понадобится следующее усиление предложения 7.9. Предложение 7.10. Для любых элементов $h_1,h_2\in\widehat{\mathcal{I}}_M$ имеет место равенство и для любого элемента $h\in\widehat{\mathcal{I}}_M$ имеет место равенство Доказательство. Элементы $z_1$, $z_2$ и $z_3$ из предложения 7.1 и элемент $z_4$ из доказательства этого предложения удовлетворяют соотношениям
$$
\begin{equation*}
\iota z_1\iota=z_1^{-1},\qquad \iota z_2\iota=z_2^{-1},\qquad \iota z_3\iota=z_4.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (3.15), мы получаем, что и, значит, Так как группа $\mathcal{I}_M$ порождена элементами $z_1$, $z_2$ и $z_3$, то группа $\widehat{\mathcal{I}}_M$ порождена элементами $z_1$, $z_2$, $z_3$ и $\iota$.
Предположим, что $h_1=h'h''$, где $h',h''\in\widehat{\mathcal{I}}_M$. Тогда Ввиду $\widehat{\mathcal{I}}_M$-инвариантности гомоморфизма $\psi_M$, равенство (7.9) для коммутатора $[h_1,h_2]$ будет следовать из таких же равенств для коммутаторов $[h',h_2]$ и $[h'',h_2]$. Кроме того, $[h_1,h_2]^{-1}\,{=}\,[h_1^{-1},h_2]^{h_1}$ и поэтому равенство (7.9) для коммутатора $[h_1,h_2]$ эквивалентно такому же равенству для коммутатора $[h_1^{-1},h_2]$. Таким образом, искомое равенство (7.9) достаточно проверить, подставив в качестве $h_1$ некоторый набор порождающих группы $\widehat{\mathcal{I}}_M$, например, для $h_1\in\{z_1,z_2,z_3,\iota\}$. Повторив аналогичное рассуждение для $h_2$, можно далее свести доказательство равенства (7.9) к случаю, когда оба элемента $h_1$ и $h_2$ лежат в множестве $\{z_1,z_2,z_3,\iota\}$. Если $h_1=h_2$, то равенство (7.9) очевидно. Если оба элемента $h_1$ и $h_2$ лежат в $\{z_1,z_2,z_3\}$, то равенство (7.9) выполняется по предложению 7.9. Кроме того, равенство (7.9) для коммутатора $[h_1,h_2]$ эквивалентно такому же равенству для коммутатора $[h_2,h_1]$. Поэтому нам достаточно доказать равенство (7.9) в случае, когда $h_1=\iota$ и $h_2=z_s$ для некоторого $s=1,2,3$. Сопоставляя формулы (7.2)–(7.4) и (7.11), легко видеть, что для каждого из коммутаторов $[\iota,z_s]$, где $s=1,2,3$, правая часть соответствующего равенства (7.9) равна $1$. Поэтому нам нужно доказать, что $\psi_M([\iota,z_s])=1$.Если $s=1$ или $s=2$, то $[\iota,z_s]=z_s^2$. Сопоставляя формулы (7.8), (7.2) и (7.3), мы получаем, что
$$
\begin{equation*}
\psi_M([\iota,z_s])=\sum_{i<j}\rho_i(z_s)\rho_j(z_s)=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $s=3$, то, используя равенство (7.1), мы получаем, что
$$
\begin{equation*}
[\iota,z_3]=z_4^{-1}z_3=z_2z_1z_3z_2^{-1}z_1^{-1}z_3 =[z_1^{-1}z_2^{-1},z_3^{-1}]z_3^2[z_2^{-1},z_1^{-1}]^{z_3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Сопоставляя (7.7), (7.8) и (7.2)–(7.4), вычисляем
$$
\begin{equation*}
\psi_M([\iota,z_3])=\psi_M([z_1^{-1}z_2^{-1},z_3^{-1}]) +\psi_M(z_3^2)+\psi_M([z_2^{-1},z_1^{-1}])=1,
\end{equation*}
\notag
$$
что завершает доказательство равенства (7.9).
Теперь докажем равенство (7.10). Если $h\in\mathcal{I}_M$, то это в точности равенство (7.8). Пусть $h\in\widehat{\mathcal{I}}_M\setminus\mathcal{I}_M$. Тогда $h\iota\in\mathcal{I}_M$ и Используя (7.8) и (7.9), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \psi_M(h^2) &=\psi_M\bigl((h\iota)^2\bigr)+\psi_M([\iota,h]) =\sum_{i<j}\rho_i(h\iota)\rho_j(h\iota)+\sum_{i\ne j}\widehat{\rho}_i(\iota)\widehat{\rho}_j(h) \\ &=\sum_{i<j}\widehat{\rho}_i(h)\widehat{\rho}_j(h) +\sum_{i<j}\widehat{\rho}_i(\iota)\widehat{\rho}_j(\iota) =\sum_{i<j}\widehat{\rho}_i(h)\widehat{\rho}_j(h), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что есть в точности искомое равенство (7.10). Предложение доказано. 7.2. Пятикомпонентные мультикривыеВ этом пункте мы исследуем стабилизаторы $\mathcal{I}_K$ пятикомпонентных мультикривых $K$, принадлежащих множеству $\mathcal{M}_2'$. Чтобы пользоваться обозначениями, введенными в предыдущем пункте, нам будет удобно реализовать $K$ как мультикривую $\alpha_0\cup\alpha_1\cup\alpha_2\cup\alpha_3\cup\gamma_2$ на рис. 5, (a). Как и в предыдущем пункте, мы будем обозначать через $M$ четырехкомпонентную мультикривую $\alpha_0\cup\alpha_1\cup\alpha_2\cup\alpha_3$. Мультикривая $M$ может как принадлежать, так и не принадлежать множеству $\mathcal{M}_1$. Независимо от этого для нее выполнены все результаты п. 7.1, так как при их выводе мы на самом деле нигде не пользовались тем, что $M\in\mathcal{M}_1$. Предложение 7.11. Стабилизатор $\mathcal{I}_K$ является свободной группой с бесконечным числом порождающих Доказательство. Из того, что одна из компонент связности поверхности $S\setminus K$ является сферой с четырьмя проколами, а две другие – сферами с тремя проколами, следует, что $\operatorname{PMod}(S\setminus K)\cong\mathbf{F}_2$ есть свободная группа с двумя порождающими $T_{\gamma_1}$ и $T_{\delta_1}$. Аналогично предложению 7.1 доказывается, что образ инъективного гомоморфизма $\eta\colon \mathcal{I}_K\to \mathbf{F}_2$ из соответствующей точной последовательности Бирман–Любоцкого–Маккарти совпадает с ядром гомоморфизма $\mathbf{F}_2\to\mathbb{Z}$, переводящего порождающие $T_{\gamma_1}$ и $T_{\delta_1}$ в $0$ и $1$ соответственно. Из этого легко следует утверждение предложения. Предложение 7.12. Группа $\mathcal{C}_K$ совпадает с нормальным замыканием трех элементов $w_0^2$, $w_2w_0^{-1}$ и $[w_0,w_1]$ в группе $\operatorname{PMod}(S\setminus K)$. Доказательство. Используя формулу (3.12), вычисляем
$$
\begin{equation}
\sigma(w_k)=(\overline{\mathbf{a}}_2+\overline{\mathbf{a}}_3+1) \overline{\mathbf{a}}_1\overline{\mathbf{b}}_1 +k\,\overline{\mathbf{a}}_1\overline{\mathbf{a}}_2\overline{\mathbf{a}}_3.
\end{equation}
\tag{7.12}
$$
Так как элементы $(\overline{\mathbf{a}}_2+\overline{\mathbf{a}}_3+1)\overline{\mathbf{a}}_1\overline{\mathbf{b}}_1$ и $\overline{\mathbf{a}}_1\overline{\mathbf{a}}_2\overline{\mathbf{a}}_3$ линейно независимы в группе $\mathbb{B}_3'$, то $\mathcal{C}_K$ – нормальная подгруппа индекса $4$ в $\mathcal{I}_K$. Кроме того, $\{1, w_0, w_1, w_0w_1\}$ – система представителей смежных классов группы $\mathcal{I}_K$ по подгруппе $\mathcal{C}_K$. При помощи переписывающего процесса Райдемайстера (см. [28; теорема 2.7]), получаем, что группа $\mathcal{C}_K$ порождается следующими элементами: где $k$ пробегает множество $\mathbb{Z}$. Каждый из этих элементов легко выражается через элементы $w_0^2$, $w_1^2$, $[w_0,w_1]$, $w_{m}w_{m-2}^{-1}$, где $m\in\mathbb{Z}$, и сопряженные к ним в группе $\mathcal{I}_K$. Отсюда сразу следует утверждение предложения, так как в группе $\operatorname{PMod}(S\setminus K)$ элемент $w_1^2$ сопряжен элементу $w_0^2$ и каждый элемент $w_{m}w_{m-2}^{-1}$ сопряжен элементу $w_2w_0^{-1}$. Предложение доказано. Теперь мы готовы доказать следующее утверждение, связывающее гомоморфизм $\psi_M$ с гомоморфизмами $\nu_{\gamma}$, введенными в § 6. Доказательство. Так как оба гомоморфизма $\psi_M$ и $\nu_{\gamma_2}$ являются $\operatorname{PMod}(S\setminus K)$-инвариантными, достаточно проверить равенство (7.13) для трех элементов $w_0^2$, $w_2w_0^{-1}$ и $[w_0,w_1]$.
По предложению 6.1 имеем $\nu_{\gamma_2}(w_k)=1$ для всех $k\in\mathbb{Z}$. Значит,
$$
\begin{equation*}
\nu_{\gamma_2}(w_0^2)=2,\qquad \nu_{\gamma_2}(w_{2}w_0^{-1})=\nu_{\gamma_2}([w_0,w_1])=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Сопоставляя формулы (7.7), (7.8) и (7.12), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \psi_M(w_0^2)&=1, \\ \psi_M([w_0,w_1])&=0.\nonumber \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.14}
$$
Чтобы вычислить значение $\psi_M(w_{2}w_0^{-1})$, сделаем такую выкладку:
$$
\begin{equation*}
w_{2}w_0^{-1}=T_{\delta_1}^{2}T_{\gamma_1,\gamma_2}T_{\delta_1}^{-2}T_{\gamma_1,\gamma_2}^{-1} =T_{\delta_1}^{2}T_{\gamma_1}T_{\delta_1}^{-2}T_{\gamma_1}^{-1} =T_{\delta_1,\delta_2}^{2}T_{\gamma_1}T_{\delta_1,\delta_2}^{-2}T_{\gamma_1}^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично равенству (7.14), имеем
$$
\begin{equation*}
\psi_M(T_{\delta_1,\delta_2}^2)=\psi_M(T_{\gamma_1}T_{\delta_1,\delta_2}^2T_{\gamma_1}^{-1})=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $\psi_M(w_2w_0^{-1})=0$. Следовательно, требуемое равенство (7.13) верно для элементов $w_0^2$, $w_2w_0^{-1}$ и $[w_0,w_1]$, а значит, и для всех элементов группы $\mathcal{C}_K$. Предложение доказано. Предложение 7.14. Найдутся ортогональные разложения $\mathcal{W}_k$ группы $\langle [\gamma_2]\rangle^{\bot}/\langle [\gamma_2]\rangle$, где $k\in\mathbb{Z}$, такие что Более того, $\mathcal{W}_k$ суть в точности все ортогональные разложения $U\oplus V$ группы $\langle [\gamma_2]\rangle^{\bot}/\langle [\gamma_2]\rangle$ такие, что $[\alpha_i]\in U\cup V$ при $i=0,1,2,3$. Замечание 7.15. Здесь мы для упрощения обозначений обозначаем образ класса $[\alpha_i]$ после факторизации по $\langle[\gamma_2]\rangle$ снова через $[\alpha_i]$. Классы гомологий $[\gamma_2]$, $[\alpha_0]$, $\dots$, $[\alpha_3]$ определены с точностью до знаков. После факторизации по $\langle [\gamma_2]\rangle$ выполнены равенства $[\alpha_0]=\pm [\alpha_1]$ и $[\alpha_2]=\pm[\alpha_3]$. Поэтому условие $[\alpha_i]\in U\cup V$ при $i=0,1,2,3$ на самом деле означает, что $[\alpha_0]$ принадлежит одному из сомножителей, а $[\alpha_2]$ – второму. Доказательство предложения 7.14. Выберем симплектический базис $e_1,e_2,e_3,f_1,f_2,f_3$ группы $H$ так, что
$$
\begin{equation*}
e_1=\pm[\gamma_2],\qquad e_2=\pm[\alpha_0],\qquad e_3=\pm[\alpha_2],\qquad e_2+e_3=\pm [\delta_1]
\end{equation*}
\notag
$$
и найдутся кривые, представляющие классы гомологий $f_2$ и $f_3$ и не пересекающиеся с $\gamma_1\cup\gamma_2$. Обозначим образы классов $e_2,e_3,f_2,f_3$ после факторизации по $\langle e_1\rangle$ снова теми же буквами. Обозначим через $\mathcal{W}_k$ разложение
$$
\begin{equation*}
\langle e_1\rangle^{\bot}/\langle e_1\rangle=\langle e_2,f_2-ke_3\rangle\oplus\langle e_3,f_3-ke_2\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что $\mathcal{W}_k$ суть в точности все ортогональные разложения группы $\langle e_1\rangle^{\bot}/\langle e_1\rangle$ такие, что элементы $e_2$ и $e_3$ лежат в слагаемых. Более того, каждое разложение $\mathcal{W}_k$ совпадает с разложением, задающимся ограничивающей парой кривых $\{T_{\delta_1}^k(\gamma_1),\gamma_2\}$, откуда следует формула (7.15). Предложение доказано. Следствие 7.16. Вложение групп $\mathcal{I}_K\subset \mathcal{I}_{\gamma_2}$ индуцирует инъективный гомоморфизм $H_1(\mathcal{I}_K;\mathbb{Z})\to H_1(\mathcal{I}_{\gamma_2};\mathbb{Z})$. Доказательство. Так как $\mathcal{I}_K$ – свободная группа с порождающими $w_k$, где $k\in\mathbb{Z}$, то $H_1(\mathcal{I}_K;\mathbb{Z})$ – свободная абелева группа с порождающими $[w_k]$. Требуемое утверждение сразу следует из предложения 7.14, так как гомоморфизмы $\nu_{\gamma_2,\mathcal{W}_k}$ определены на группе $\mathcal{I}_{\gamma_2}$. Следствие доказано. 7.3. Четырехкомпонентные мультикривые второго типаПусть $M$ – четырехкомпонентная мультикривая второго типа, см. рис. 4, (c). Пусть $\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\in H_{\mathbb{Z}/2}$ – такие элементы, что классы гомологий по модулю $2$ компонент мультикривой $M$ равны $\mathbf{a}_1$, $\mathbf{a}_2$, $\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2$ и $\mathbf{a}_3$. Положим $\mathbf{A}=\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\}$, дополним множество $\mathbf{A}$ до симплектического базиса $\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3,\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3$ группы $H_{\mathbb{Z}/2}$, пронумеруем квадратичные формы $\omega_i$, отвечающие множеству $\mathbf{A}$, так чтобы были выполнены равенства (4.1), и рассмотрим соответствующие гомоморфизмы Бирман–Крэггса $\rho_i=\rho_{\omega_i}$. Обозначим компоненты мультикривой $M$ через $\alpha_0,\dots,\alpha_3$ так, чтобы классы гомологий кривых $\alpha_i$ были равны $\mathbf{a}_i$ при $i=1,2,3$, и класс гомологий кривой $\alpha_0$ был равен $\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2$. Предложение 7.17. Группа $\mathcal{I}_M$ порождается скручиваниями $T_{\alpha',\alpha}$ такими, что $\alpha$ – одна из трех кривых $\alpha_0$, $\alpha_1$ и $\alpha_2$, а $\alpha'$ – кривая, гомологичная кривой $\alpha$ и не пересекающаяся с мультикривой $M$. Доказательство. Из предложения 3.7 следует, что группа $\mathcal{I}_M$ порождена скручиваниями $T_{\alpha',\alpha}$, описанными в формулировке предложения, и скручиваниями $T_{\delta}$ вдоль разделяющих кривых, не пересекающихся с $M$. Для каждого из последних скручиваний $T_{\delta}$ кривые $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\delta$ ограничивают подповерхность поверхности $S$, гомеоморфную сфере с четырьмя компонентами границы. На этой подповерхности можно найти простые замкнутые кривые $\alpha_0'$, $\alpha_1'$ и $\alpha_2'$, которые вместе с кривыми $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\delta$ образуют фонарную конфигурацию, см. рис. 7. Тогда $T_{\alpha_0'}T_{\alpha_1'}T_{\alpha_2'}=T_{\alpha_0}T_{\alpha_1}T_{\alpha_2}T_{\delta}$. Так как кривая $\delta$ разделяющая, каждая кривая $\alpha_i'$ гомологична соответствующей кривой $\alpha_i$. Таким образом, $T_{\delta}=T_{\alpha_0',\alpha_0}T_{\alpha_1',\alpha_1}T_{\alpha_2',\alpha_2}$, что завершает доказательство предложения.
Заметим, что, в отличие от случая мультикривых первого типа, в рассматриваемом сейчас случае класс когомологий $\theta_{\mathbf{A}}$ зависит от того, какие два из трех классов гомологий неспециальных компонент мультикривой $M$ взяты в качестве $\mathbf{a}_1$ и $\mathbf{a}_2$. Обозначим через $\rho_{0,M},\dots,\rho_{3,M}$ ограничения гомоморфизмов $\rho_0,\dots,\rho_3$ соответственно на стабилизатор $\mathcal{I}_M$ и через $\theta_{\mathbf{A},M}$ – ограничение класса когомологий $\theta_{\mathbf{A}}$ на $\mathcal{I}_M$. Доказательство. Скручивание Дена $T_{\alpha_0}$ действует на группе $H_{\mathbb{Z}/2}$, оставляя на месте базисные элементы $\mathbf{a}_1$, $\mathbf{a}_2$, $\mathbf{a}_3$ и $\mathbf{b}_3$ и переводя элементы $\mathbf{b}_1$ и $\mathbf{b}_2$ в $\mathbf{b}_1+\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2$ и $\mathbf{b}_2+\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2$ соответственно. Отсюда легко следует, что сопряжение при помощи $T_{\alpha_0}$ переставляет квадратичные формы $\omega_i$ по правилу $\omega_0\leftrightarrow \omega_3$ и $\omega_1\leftrightarrow \omega_2$ и, значит, переставляет гомоморфизмы Бирман–Крэггса $\rho_i$ по правилу $\rho_0\leftrightarrow \rho_3$ и $\rho_1\leftrightarrow \rho_2$. С другой стороны, скручивание $T_{\alpha_0}$ коммутирует со всеми элементами группы $\mathcal{I}_M$ и, значит, действует тривиально на группе когомологий $H^1(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z}/2)$. Следовательно, $\rho_{0,M}=\rho_{3,M}$ и $\rho_{1,M}=\rho_{2,M}$. Предложение доказано. Теперь докажем следующий аналог предложения 7.6. Доказательство. Согласно предложению 7.17 требуемое равенство достаточно доказать для элементов $h=T_{\alpha',\alpha_i}$, где $i\in\{0,1,2\}$ и $\alpha'$ – кривая, гомологичная кривой $\alpha_i$ и не пересекающаяся с $M$.
Сначала предположим, что $i$ равно $1$ или $2$. Так как $\omega_0(\mathbf{a}_i)=\omega_1(\mathbf{a}_i)=1$, из формулы (3.9) следует, что $\rho_0(T_{\alpha',\alpha_i})=\rho_1(T_{\alpha',\alpha_i})=0$. С другой стороны, $\nu_{\alpha_0}(T_{\alpha',\alpha_i})=0$ по предложению 6.1. Таким образом, доказываемое равенство выполнено. Теперь предположим, что $i=0$. Рассмотрим разделяющую простую замкнутую кривую $\delta$, отделяющую объединение $\alpha_0\cup\alpha'$ от кривой $\alpha_3$. Группа гомологий с коэффициентами в $\mathbb{Z}/2$ подповерхности рода $1$, ограниченной кривой $\delta$, имеет базис $\mathbf{a}_3$, $\mathbf{b}_3+m_1\mathbf{a}_1+m_2\mathbf{a}_2$ для некоторых $m_1,m_2\in\mathbb{Z}/2$. Используя формулу (3.9), мы легко вычисляем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \rho_0(T_{\alpha',\alpha_0}) &=\bigl(\omega_0(\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2)+1\bigr)\omega_0(\mathbf{a}_3)\omega_0(\mathbf{b}_3 +m_1\mathbf{a}_1+m_2\mathbf{a}_2)=m_1+m_2, \\ \rho_1(T_{\alpha',\alpha_0}) &=\bigl(\omega_1(\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2)+1\bigr)\omega_1(\mathbf{a}_3)\omega_1(\mathbf{b}_3 +m_1\mathbf{a}_1+m_2\mathbf{a}_2)=m_1+m_2+1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, по предложению 6.1 имеем $\nu_{\alpha_0}(T_{\alpha',\alpha_0})=1$. Таким образом, доказываемое равенство (7.16) опять выполнено. Предложение доказано. Теперь мы готовы доказать часть b) предложения 4.1 для мультикривых второго типа. Доказательство. Согласно предложению 7.18 имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\theta_{\mathbf{A},M}=\sum_{i<j}\rho_{i,M}\rho_{j,M}=\rho_{0,M}^2+\rho_{1,M}^2 =\beta(\rho_{0,M}+\rho_{1,M}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\beta$ – гомоморфизм Бокштейна. С другой стороны, по предложению 7.20 класс когомологий $\rho_{0,M}+\rho_{1,M}$ целочисленный, т. е. лежит в образе естественного гомоморфизма $H^1(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z})\to H^1(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z}/2)$. Значит, $\beta(\rho_{0,M}+\rho_{1,M})=0$. Предложение доказано. Теперь мы хотим изучить пятикомпонентные мультикривые $K\in\mathcal{M}_2'$, содержащие мультикривую $M$. Для каждой такой мультикривой $K$ ее главной компонентой является одна из трех кривых $\alpha_0$, $\alpha_1$ и $\alpha_2$. Мы будем говорить, что мультикривая $K$ ассоциирована с $\alpha_i$, если $\alpha_i$ – главная компонента мультикривой $K$. Согласно следствию 7.16 гомоморфизм $H_1(\mathcal{I}_K;\mathbb{Z})\to H_1(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z})$, индуцированный включением $\mathcal{I}_K\subset \mathcal{I}_M$, инъективен. Мы отождествим группу $H_1(\mathcal{I}_K;\mathbb{Z})$ с подгруппой группы $H_1(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z})$ при помощи этого гомоморфизма. Нам хотелось бы изучить подгруппы $H_1(\mathcal{I}_K;\mathbb{Z})\subset H_1(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z})$ для различных мультикривых $K$, содержащих мультикривую $M$. В следующем предложении мы везде подразумеваем, что $K$, $K'$, $K_j$ – пятикомпонентные мультикривые из множества $\mathcal{M}_2'$, содержащие мультикривую $M$. Предложение 7.22. a) Если $K$ и $K'$ ассоциированы с одной и той же компонентой $\alpha_i$, то подгруппы $H_1(\mathcal{I}_K;\mathbb{Z})$ и $H_1(\mathcal{I}_{K'};\mathbb{Z})$ группы $H_1(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z})$ совпадают друг с другом. b) Если $K_0$, $K_1$ и $K_2$ ассоциированы с компонентами $\alpha_0$, $\alpha_1$ и $\alpha_2$ соответственно, то Доказательство. Сначала докажем утверждение b). Пусть $a_1,a_2,a_3, b_1, b_2,b_3$ – симплектический базис группы $H$ такой, что $a_i=[\alpha_i]$ при $i=1,2,3$.
Во-первых, докажем, что три подгруппы $H_1(\mathcal{I}_{K_i};\mathbb{Z})$ порождают всю группу $H_1(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z})$. Из предложения 7.17 следует, что группа $H_1(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z})$ порождена классами $[T_{\alpha',\alpha_i}]$, где $i=0$, $1$ или $2$ и кривая $\alpha'$ гомологична $\alpha_i$ и не пересекается с $M$. Поэтому нам достаточно показать, что каждое скручивание $T_{\alpha',\alpha_i}$ сопряжено в группе $\mathcal{I}_M$ некоторому элементу подгруппы $\mathcal{I}_{K_i}$. Без ограничения общности можно считать, что $i=1$. Пусть $\gamma$ – компонента мультикривой $K_1$, не входящая в мультикривую $M$. Тогда $[\gamma]$ – один из классов гомологий $a_1+a_3$, $a_1-a_3$ и $a_3-a_1$. Легко видеть, что найдется простая замкнутая кривая $\gamma'$ такая, что $[\gamma']=[\gamma]$ и $\gamma'$ не пересекается с $M\cup\alpha'$. Из предложения 5.2 следует, что мультикривые $K=M\cup\gamma$ и $M\cup\gamma'$ лежат в одной $\mathcal{I}$-орбите. Значит, найдется элемент $h\in\mathcal{I}_M$ такой, что $h(\gamma')=\gamma$. Положим $\alpha''=h(\alpha')$. Тогда скручивание $T_{\alpha'',\alpha_1}$ принадлежит группе $\mathcal{I}_{K_1}$ и сопряжено скручиванию $T_{\alpha',\alpha_1}$ в группе $\mathcal{I}_M$. Во-вторых, докажем, что сумма подгрупп $H_1(\mathcal{I}_{K_i};\mathbb{Z})$, где $i=0,1,2$, прямая, т. е. каждая из этих групп не пересекается с суммой двух других. Рассмотрим всевозможные гомоморфизмы $\nu_{\alpha_i,\mathcal{W}}$, где $i=0,1,2$. Из предложения 7.14 следует, что на каждом элементе $h\in H_1(\mathcal{I}_{K_i};\mathbb{Z})$ хотя бы один из гомоморфизмов $\nu_{\alpha_i,\mathcal{W}}$ принимает ненулевое значение. С другой стороны, все гомоморфизмы $\nu_{\alpha_j,\mathcal{W}}$ для $j\ne i$ обращаются в нуль на $H_1(\mathcal{I}_{K_i};\mathbb{Z})$. Действительно, группа $\mathcal{I}_{K_i}$ порождена скручиваниями вдоль ограничивающих пар кривых, представляющих класс гомологий $[\alpha_i]$, и любой гомоморфизм $\nu_{\alpha_j,\mathcal{W}}$ обращается в нуль на всех таких скручиваниях. Таким образом, сумма (7.17) прямая. Кроме того, слагаемое $H_1(\mathcal{I}_{K_i};\mathbb{Z})$ есть в точности подгруппа группы $H_1(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z})$, являющаяся пересечением ядер всех гомоморфизмов $\nu_{\alpha_j,\mathcal{W}}$ с $j\ne i$. Так как это описание не зависит от выбора мультикривой $K_i$, мы получаем, что слагаемое $H_1(\mathcal{I}_{K_i};\mathbb{Z})$ не изменится, если мы заменим $K_i$ на другую пятикомпонентную мультикривую, ассоциированную с той же компонентой $\alpha_i$. Поэтому утверждение a) тоже доказано. Предложение доказано. Для $i=0,1,2$ обозначим через $\operatorname{pr}_{\alpha_i}$ проектор на $i$-е слагаемое в разложении (7.17). Согласно утверждению a) предложения 7.22, эти проекторы не зависят от выбора мультикривых $K_0$, $K_1$ и $K_2$. Пусть $\sigma_{M,\alpha_i}\colon \mathcal{I}_M\to\mathbb{B}_3'$ – композиция
$$
\begin{equation*}
\mathcal{I}_M\to H_1(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z})\xrightarrow{\operatorname{pr}_{\alpha_i}} H_1(\mathcal{I}_{K_i};\mathbb{Z})\xrightarrow{\sigma_*}\mathbb{B}_3',
\end{equation*}
\notag
$$
где последнее отображение индуцировано ограничением гомоморфизма Бирман–Крэггса–Джонсона $\sigma$ на группу $\mathcal{I}_{K_i}$. Тогда для любого элемента $h\in\mathcal{I}_M$ имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\sigma(h)=\sigma_{M,\alpha_0}(h)+\sigma_{M,\alpha_1}(h)+\sigma_{M,\alpha_2}(h).
\end{equation*}
\notag
$$
Гомоморфизмы $\sigma_{M,\alpha_i}$ понадобятся нам в следующем параграфе при построении гомоморфизмов $\sigma_{C,c}\colon E^1_{1,1}\to\mathbb{B}_3'$. § 8. Несколько полезных гомоморфизмов групп $E^1_{1,1}$ и $E^1_{2,1}$В этом параграфе мы, используя гомоморфизм Бирман–Крэггса–Джонсона $\sigma$, гомоморфизмы $\sigma_{M,\alpha_i}$, построенные в предыдущем параграфе, и гомоморфизмы $\nu_{\gamma}$ и $\mu_{\gamma,\gamma'}$, построенные в § 6, построим несколько полезных гомоморфизмов групп $E^1_{1,1}$ и $E^1_{2,1}$ в группы $\mathbb{B}_3'$ и $\mathbb{Z}$. 8.1. Гомоморфизмы $\sigma_C$ и $\sigma_{C,c}$Пусть $C$ – множество, принадлежащее $\mathcal{H}_p'$, где $p=1$ или $p=2$. Определим гомоморфизм $\sigma_C\colon E^1_{p,1}\to\mathbb{B}_3'$ по формуле
$$
\begin{equation*}
\sigma_C([h]_M)=\begin{cases} \sigma(h), &\text{если }[M]=C, \\ 0, &\text{если }[M]\ne C. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что гомоморфизм $\sigma_C$ корректно определен. Доказательство. Равенство (8.1) достаточно доказать для порождающих группы $E^1_{2,1}$, т. е. для элементов $y=[h]_K$, где $K\in\mathcal{M}_2$ и $h\in\mathcal{I}_K$. Имеем
Если $[K]\not\supset C$, то обе части формулы (8.1), очевидно, равны нулю. Предположим, что $K\notin\mathcal{M}_2'$ и $[K]\supset C$. Тогда правая часть формулы (8.1) равна нулю. С другой стороны, по предложению 5.1 мультикривая $K$ содержит ограничивающую пару кривых. Значит, $K$ содержит ровно две мультикривые $M$ такие, что $[M]=C$. Таким образом, левая часть формулы (8.1) тоже равна нулю. Теперь предположим, что $K\in\mathcal{M}_2'$ и $[K]\supset C$. Тогда правая часть формулы (8.1) равна $\sigma(h)$. С другой стороны, мультикривая $K$ содержит ровно одну мультикривую $M$ такую, что $[M]=C$. Поэтому левая часть формулы (8.1) тоже равна $\sigma(h)$. Предложение доказано. В случае $C\in\mathcal{M}_1^{(2)}$, используя гомоморфизмы $\sigma_{M,\gamma}$, построенные в конце п. 7.3, можно уточнить конструкцию гомоморфизмов $\sigma_C$ следующим образом. Пусть $c$ – неспециальный элемент множества $C$. Определим гомоморфизм $\sigma_{C,c}\colon E^1_{1,1}\to\mathbb{B}_3'$ по формуле
$$
\begin{equation*}
\sigma_{C,c}([h]_M)=\begin{cases} \sigma_{M,\gamma}(h),&\text{если }[M]=C, \\ 0,&\text{если }[M]\ne C, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где в первом случае $\gamma$ – компонента мультикривой $M$ такая, что $[\gamma]=c$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\sigma_C=\sigma_{C,c_1}+\sigma_{C,c_2}+\sigma_{C,c_3},
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_1$, $c_2$ и $c_3$ – три неспециальных элемента множества $C$. Предложение 8.2. Пусть $C\in\mathcal{H}_1^{(2)}$, $c$ – неспециальный элемент множества $C$ и $y\in E^1_{2,1}$. Тогда где суммирование ведется по всем множествам $D\in\mathcal{H}_2'$ таким, что $D\supset C$ и главный элемент множества $D$ равен $c$. Доказательство. Как в доказательстве предложения 8.1, предположим, что $y=[h]_K$, и используем формулу (8.2). Единственный нетривиальный случай, о котором нужно позаботиться, – случай, когда $K$ содержит ограничивающую пару кривых $\{\alpha^+,\alpha^-\}$ и при этом содержит две мультикривые $M^{\pm}$ такие, что $[M^{\pm}]=C$. В этом случае правая часть формулы (8.3) равна нулю. Мы можем считать, что $\alpha^+\subset M^+$ и $\alpha^-\subset M^-$. Пусть $\gamma^+$ и $\gamma^-$ – компоненты мультикривых $M^+$ и $M^-$ соответственно, представляющие класс гомологий $c$.
Тогда либо $\gamma^{\pm}=\alpha^{\pm}$, либо $\gamma^+=\gamma^-$. Нам достаточно рассмотреть случаи $h=T_{\alpha^+,\alpha^-}$ и $h=T_{\delta}$, где $\delta$ – разделяющая кривая, не пересекающаяся с $K$, так как по предложению 3.7 такие элементы $h$ порождают группу $\mathcal{I}_K$. Реализуем мультикривую $K$ и кривую $\delta$ (в случае $h=T_{\delta}$), как показано на рис. 8, и рассмотрим поворот $\iota$ на угол $\pi$ вокруг горизонтальной оси. Так как гомоморфизмы $\sigma_{M^+,\gamma^+}$ и $\sigma_{M^-,\gamma^-}$ были определены при помощи некоторой канонической конструкции, они обязаны переводиться друг в друга инволюцией $\iota$. Значит, $\sigma_{M^+,\gamma^+}(h)=\sigma_{M^-,\gamma^-}(h)$ в обоих случаях $h=T_{\alpha^+,\alpha^-}$ и $h=T_{\delta}$. Таким образом, $\sigma_{C,c}(d^1[h]_K)=0$. Предложение доказано. 8.2. Гомоморфизмы $\nu_{C,c}$ и $\nu_{C,c}^+$Предположим, что
Положим $p=1$ в первом случае и $p=2$ – во втором. Напомним, что множество ориентированных мультикривых $M$ таких, что $[M]=C$, распадается на две $\mathcal{I}$-орбиты $\mathcal{O}_C^{\pm}$ и в § 5 мы договорились зафиксировать (произвольным образом), какая из орбит обозначена через $\mathcal{O}_C^+$, а какая – через $\mathcal{O}_C^-$. Определим гоморфизмы $\nu_{C,c}$ и $\nu_{C,c}^+$ группы $E^1_{p,1}$ в $\mathbb{Z}$ по формулам
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \nu_{C,c}([h]_M)&=\begin{cases} \nu_{\gamma}(h),&\text{если }M\in \mathcal{O}_C^+, \\ -\nu_{\gamma}(h),&\text{если }M\in \mathcal{O}_C^-, \\ 0,&\text{если }M\notin \mathcal{O}_C^+\cup\mathcal{O}_C^-, \end{cases} \\ \nu_{C,c}^+([h]_M)&=\begin{cases} \nu_{\gamma}(h),&\text{если }M\in \mathcal{O}_C^+, \\ 0,&\text{если }M\notin \mathcal{O}_C^+, \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma$ – компонента мультикривой $M$, представляющая класс гомологий $c$. Эти два гомоморфизма зависят от выбора ориентаций клеток $P_M$, а также от того, какая из двух $\mathcal{I}$-орбит выбрана в качестве $\mathcal{O}_C^+$. Заметим, что по нашему соглашению об ориентациях мы можем обратить ориентации только для всех клеток $P_M$, таких что $M\in\mathcal{O}_C^+\cup\mathcal{O}_C^-$, одновременно. Если мы сделаем это, каждый из гомоморфизмов $\nu_{C,c}$ и $\nu_{C,c}^+$ изменит знак. Также гомоморфизм $\nu_{C,c}$ изменит знак, если мы поменяем местами орбиты $\mathcal{O}_C^+$ и $\mathcal{O}_C^-$. (Гомоморфизм $\nu_{C,c}^+$ хуже ведет себя при этой операции, а именно, превращается в гомоморфизм $\nu_{C,c}^+-\nu_{C,c}$.) В случае $C\in\mathcal{H}_2'$ мы обычно будем опускать индекс $c$ в обозначениях и писать просто $\nu_C$ и $\nu_C^+$, так как множество $C$ содержит единственный главный элемент. Если $C\in\mathcal{H}_1^{(2)}$ и множество $A\in\mathcal{H}_0'$ содержится в $C$, то нам будет удобно ввести обозначения $\nu_{C,A}=\nu_{C,c}$ и $\nu_{C,A}^+=\nu_{C,c}^+$, где $c$ – единственный элемент множества $C\setminus A$. (Заметим, что $c$ всегда неспециальный.) 8.3. Гомоморфизмы $\mu_C$Теперь пусть $C$ – мультимножество, принадлежащее $\mathcal{H}_p$, где $p=1$ или $p=2$, такое что некоторый (единственный) элемент $c$ входит в $C$ с кратностью $2$. Определим гомоморфизм $\mu_C\colon E^1_{p,1}\to\mathbb{Z}$ по формуле
$$
\begin{equation*}
\mu_C([h]_M)=\begin{cases} \mu_{\gamma,\gamma'}(h),&\text{если }[M]=C, \\ 0,&\text{если }[M]\ne C, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\{\gamma,\gamma'\}$ – ограничивающая пара кривых, содержащаяся в $M$. Если мы обратим ориентации клеток $P_M$ одновременно для всех мультикривых $M$ таких, что $[M]=C$, то гомоморфизм $\mu_C$ изменит знак. В следующем предложении мы используем обозначения $[D\colon C]$ и $\varepsilon_{D,C}$, введенные в § 5. Предложение 8.3. Пусть $C\in\mathcal{H}^{(2)}_1$, $c$ – неспециальный элемент множества $C$ и $y\in E^1_{2,1}$. Тогда где первая сумма берется по всем множествам $D\in\mathcal{H}_2'$ таким, что $D\,{\supset}\, C$ и $c$ – главный элемент множества $D$, а вторая сумма берется по всем мультимножествам $D\in\mathcal{H}_2\setminus\mathcal{H}_2'$ таким, что $D\supset C$. Доказательство. Так же, как в доказательстве предложения 8.1, предположим, что $y=[h]_K$ и воспользуемся формулой (8.2). Положим $D_0=[K]$. Если $D_0\not\supset C$, то обе части равенства (8.4) обращаются в нуль. Поэтому будем считать, что $D_0\supset C$.
Сначала предположим, что $D_0\in\mathcal{H}_2'$. Пусть $M\subset K$ – мультикривая такая, что $[M]=C$, и $\gamma$ – компонента мультикривой $M$, представляющая класс гомологий $c$. Если $c$ – главный элемент множества $D_0$, то каждое из значений $\nu_{C,c}([h]_M)$ и $\nu_{D_0}([h]_K)$ равно $\pm \nu_{\gamma}(h)$, где знаки зависят от того, какой из двух орбит $\mathcal{O}_D^{\pm}$ принадлежит мультикривая $K$ и какой из двух орбит $\mathcal{O}_C^{\pm}$ принадлежит мультикривая $M$ соответственно. Вместе с коэффициентом инцидентности $[P_K\colon P_M]$ эти два знака дают в точности знак $\varepsilon_{D_0,C}[D_0\colon C]$. Все остальные слагаемые в правой части, очевидно, равны нулю, поэтому равенство (8.4) выполнено. Если же $c$ – неглавный элемент множества $D_0$, то правая часть равенства (8.4) равна нулю. Но левая часть тоже равна нулю по предложению 7.2, поэтому равенство опять выполнено. Теперь предположим, что $D_0\notin\mathcal{H}_2'$. Тогда по предложению 5.1 мультикривая $K$ содержит ограничивающую пару $\{\alpha^+,\alpha^-\}$. Пусть $M^+$ и $M^-$ – мультикривые, получающиеся из мультикривой $K$ при удалении компонент $\alpha^-$ и $\alpha^+$ соответственно. Переставляя кривые в паре $\{\alpha^+,\alpha^-\}$, можно добиться того, что $M^+\in\mathcal{O}_C^+$ и $M^-\in\mathcal{O}_C^-$. Все слагаемые в правой части равенства (8.4), кроме одного, отвечающего мультимножеству $D_0$, равны нулю. Поэтому искомое равенство (8.4) записывается в виде
$$
\begin{equation}
\nu_{\gamma^+}(h)+\nu_{\gamma^-}(h)=2\mu_{\alpha^+,\alpha^-}(h),
\end{equation}
\tag{8.5}
$$
где $\gamma^+$ и $\gamma^-$ – компоненты мультикривых $M^+$ и $M^-$ соответственно, представляющие класс гомологий $c$.
Если $[\alpha^+]=[\alpha^-]=c$, то $\gamma^+=\alpha^+$ и $\gamma^-=\alpha^-$, поэтому искомое равенство (8.5) – это просто формула (6.1). Предположим, что $[\alpha^+]=[\alpha^-]\ne c$. Тогда кривые $\gamma^+$ и $\gamma^-$ совпадают, так что мы обозначим эту кривую просто через $\gamma$. Нам нужно доказать, что $\nu_{\gamma}(h)=\mu_{\alpha^+,\alpha^-}(h)$. Достаточно рассмотреть два случая: $h=T_{\alpha^+,\alpha^-}$ и $h=T_{\delta}$ для разделяющей кривой $\delta$, не пересекающейся с $K$, так как по предложению 3.7 такие элементы порождают группу $\mathcal{I}_K$. В обоих случаях требуемое равенство легко следует из предложений 6.1 и 6.3. Предложение доказано. § 9. Подгруппа $\Delta$При доказательстве предложения 4.6 мы хотим использовать утверждение 3.4, поэтому нам придется работать непосредственно с бикомплексом $B_{*,*}=C_*(\mathcal{B};\mathbb{Z})\otimes_{\mathcal{I}}\mathcal{R}_*$, где $\mathcal{R}_*$ – бар-резольвента модуля $\mathbb{Z}$ над кольцом $\mathbb{Z}\mathcal{I}$. Поэтому нам хотелось бы иметь гомоморфизмы $E^0_{0,2}=B_{0,2}\to\mathbb{Z}/2$, обращающиеся в нуль на образе дифференциала $d^0=\partial''$ и индуцирующие гомоморфизмы $\vartheta_A$ в члене $E^1$. Пусть $\rho_0$, $\rho_1$, $\rho_2$ и $\rho_3$ – четыре гомоморфизма Бирман–Крэггса, отвечающие множеству $A\in\mathcal{H}_0'$, как в § 4. Определим гомоморфизм
$$
\begin{equation*}
\Theta_{A}^{\rho_0,\rho_1,\rho_2,\rho_3}\colon B_{0,2}\to\mathbb{Z}/2
\end{equation*}
\notag
$$
по формуле
$$
\begin{equation*}
\Theta_{A}^{\rho_0,\rho_1,\rho_2,\rho_3}(P_M\otimes [h_1|h_2])=\begin{cases} {\displaystyle\sum_{i<j}\rho_i(h_1)\rho_j(h_2)},&\text{если }[M]=A, \\ 0,&\text{если }[M]\ne A. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 9.1. Гомоморфизм $\Theta_{A}^{\rho_0,\rho_1,\rho_2,\rho_3}$ обращается в нуль на образе дифференциала $\partial''$ и индуцирует гомоморфизм $\vartheta_A$ в члене $E^1$. Доказательство. Дифференциал $\partial''\colon B_{0,3}\to B_{0,2}$ индуцирован дифференциалом бар-резольвенты, поэтому предложение следует из стандартного факта, что коцепь $c_{ij}\in\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}\mathcal{I}}(\mathcal{R}_2,\mathbb{Z}/2)$, задаваемая формулой $c_{ij}([h_1|h_2])=\rho_i(h_1)\rho_j(h_2)$, является коциклом, представляющим $\smile$-произведение $\rho_i\rho_j\in H^2(\mathcal{I};\mathbb{Z}/2)$, см. [20; разд. V.3]. Предложение доказано. В отличие от гомоморфизма $\vartheta_A$, гомоморфизм $\Theta_{A}^{\rho_0,\rho_1,\rho_2,\rho_3}$ зависит от выбранной нумерации четырех гомоморфизмов Бирман–Крэггса $\rho_0,\dots,\rho_3$. Обозначим через $\Gamma$ подгруппу группы $B_{0,2}$, состоящую из всех элементов $X$, таких что для всех множеств $A\in\mathcal{H}_0'$ и всех перестановок $\rho_0'$, $\rho_1'$, $\rho_2'$, $\rho_3'$ соответствующих четырех гомоморфизмов Бирман–Крэггса $\rho_0$, $\rho_1$, $\rho_2$, $\rho_3$ имеют место равенства
$$
\begin{equation*}
\Theta_{A}^{\rho_0',\rho_1',\rho_2',\rho_3'}(X)=\Theta_{A}^{\rho_0,\rho_1,\rho_2,\rho_3}(X).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\Theta_A$ ограничение любого из гомоморфизмов $\Theta_{A}^{\rho_0,\rho_1,\rho_2,\rho_3}$ на подгруппу $\Gamma$. Центральную роль в нашем доказательстве предложения 4.6 будет играть специальная подгруппа
$$
\begin{equation*}
\Delta\subset B_{1,1}= C_1(\mathcal{B};\mathbb{Z})\otimes_{\mathcal{I}}\mathcal{R}_1.
\end{equation*}
\notag
$$
По определению $\Delta$ – подгруппа, порожденная элементами следующих трех типов:
Мы будем называть такие элементы порождающими первого, второго и третьего типов соответственно. Для каждого множества $C\in\mathcal{H}_1^{(1)}$ зададим гомоморфизм $\Psi_C\colon\Delta\to\mathbb{Z}/2$ следующим образом:
Из единственности гомоморфизма $\psi_M$, удовлетворяющего условиям предложения 7.9, следует, что $\psi_{g(M)}(ghg^{-1})=\psi_M(h)$ для любого $g\in\mathcal{I}$. Значит, гомоморфизм $\Psi_C$ корректно определен. Как в § 4, пусть $A\in\mathcal{H}_0'$, $\mathbf{A}$ – приведение множества $A$ по модулю $2$, $\rho_0,\dots,\rho_3$ (соответственно $\widehat{\rho}_0,\dots,\widehat{\rho}_3$) – соответствующие четыре гомоморфизма Бирман–Крэггса (соответственно расширенных гомоморфизма Бирман–Крэггса). Предложение 9.2. Пусть $C\in\mathcal{H}_1^{(2)}$ и $C\supset A$. Тогда существует единственный гомоморфизм $\Phi_{C,A}\colon\Delta\to\mathbb{Z}/2$ такой, что Доказательство. Во-первых, покажем, что значение гомоморфизма $\Phi_{C,A}$ на порождающем элементе второго типа не зависит от выбора элемента $g$. Это очевидно так при $[M_1]\ne C$, поэтому мы можем считать, что $[M_1]=C$. Если мы заменим элемент $g$ на другой элемент $g'\in\widehat{\mathcal{I}}$ такой, что $g'(M_1)=M_2$, то правая часть формулы (9.1) изменится на слагаемое которое равно нулю по следствию 7.19, так как оба элемента $g^{-1}g'$ и $h_1$ лежат в группе $\mathcal{I}_{M_1}$.
Во-вторых, если мы поменяем местами пары $(M_1,h_1)$ и $(M_2,h_2)$, то мы должны заменить $g$ на $g^{-1}$ и $h_1$ на $h_2$. Так как $\sigma(h_1)=\sigma(h_2)$, правая часть формулы (9.1) не изменится. Таким образом, значение гомоморфизма $\Phi_{C,A}$ на каждом порождающем элементе группы $\Delta$ определено корректно. Теперь легко видеть, что все соотношения между описанным множеством порождающих второго типа группы $\Delta$ следуют из соотношений вида
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(P_{M_1}\otimes [h_1]-P_{M_2}\otimes [h_2])+(P_{M_1'}\otimes [h_1']-P_{M_2'}\otimes [h_2']) \\ &\qquad=(P_{M_1}\otimes [h_1]-P_{M_2'}\otimes [h_2'])+(P_{M_1'}\otimes [h_1']-P_{M_2}\otimes [h_2]), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $M_1,M_1',M_2,M_2'\in\mathcal{M}_1^{(2)}$, $[M_1]=[M_1']=[M_2]=[M_2']$, $\mathcal{I} M_1=\mathcal{I} M_1'\ne \mathcal{I} M_2=\mathcal{I} M_2'$, $h_i\in\mathcal{I}_{M_i}$, $h_i'\in\mathcal{I}_{M_i'}$ и $\sigma(h_1)=\sigma(h_1')=\sigma(h_2)=\sigma(h_2')$. Следовательно, чтобы доказать, что гомоморфизм $\Phi_{C,A}$ корректно определен, нам достаточно показать, что сумма правых частей формулы (9.1) для четырех порождающих элементов $P_{M_1}\otimes [h_1]-P_{M_2}\otimes [h_2]$, $P_{M_1'}\otimes [h_1']-P_{M_2'}\otimes [h_2']$, $P_{M_1}\otimes [h_1]-P_{M_2'}\otimes [h_2']$ и $P_{M_1'}\otimes [h_1']-P_{M_2}\otimes [h_2]$ равна нулю. (Знаки не важны, так как все значения лежат в $\mathbb{Z}/2$.) Пусть $g\in\widehat{\mathcal{I}}$ и $f_1,f_2\in\mathcal{I}$ – элементы такие, что $g(M_1)=M_2$ и $f_i(M_i)=M_i'$ при $i=1,2$. Тогда интересующая нас сумма равна Таким образом, гомоморфизм $\Phi_{C,A}$ корректно определен. Предложение доказано. Лемма 9.3. Пусть $M\in\mathcal{M}_1^{(1)}\cup\mathcal{M}_1^{(2)}$ и $h\in[\mathcal{I}_M,\mathcal{I}_M]$. Тогда найдется элемент $X\in B_{1,2}$ такой, что $\partial'' X=P_M\otimes[h]$, $\partial' X\in \Gamma$ и для всех множеств $A\in \mathcal{H}_0'$ имеют место равенства Доказательство. Пусть $\partial P_M=P_{N_1}-P_{N_2}$. Тогда $N_1$ и $N_2$ – это в точности две ориентированные мультикривые, содержащиеся в ориентированной мультикривой $M$ и принадлежащие множеству $\mathcal{M}_0$.
Так как $h\in [\mathcal{I}_M,\mathcal{I}_M]$, то
$$
\begin{equation*}
h=[f_{1},f_{2}][f_{3},f_{4}]\cdots [f_{2p-1},f_{2p}],
\end{equation*}
\notag
$$
где $f_{k}\in \mathcal{I}_{M}$. Докажем лемму по индукции по $p$.
База индукции. Пусть $p=1$, т. е. $h=f_1^{-1}f_2^{-1}f_1f_2$. Положим
$$
\begin{equation*}
X=-P_M\otimes([f_1|f_1^{-1}f_2^{-1}f_1f_2] +[f_2|f_2^{-1}f_1f_2]-[f_1|f_2]).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\partial''X=P_M\otimes[h]$. Пусть $A\in \mathcal{H}_0'$ и $\rho_0,\dots,\rho_3$ – произвольная перестановка четырех гомоморфизмов Бирман–Крэггса, соответствующих множеству $A$. Если $A\not\subset [M]$, то ни одно из множеств $[N_1]$ и $[N_2]$ не совпадает с $A$, значит, $\Theta_{A}^{\rho_0,\rho_1,\rho_2,\rho_3}(\partial'X)=0$. Если $A\subset [M]$, то ровно одно из двух множеств $[N_1]$ и $[N_2]$ совпадает с $A$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\Theta_{A}^{\rho_0,\rho_1,\rho_2,\rho_3}(\partial'X)= \sum_{i\ne j}\rho_i(f_1)\rho_j(f_2).
\end{equation*}
\notag
$$
По предложению 7.9 и следствию 7.19 последняя сумма равна $\psi_M(h)$, если $M\in\mathcal{M}_1^{(1)}$, и равна нулю, если $M\in\mathcal{M}_1^{(2)}$. Таким образом, $\partial'X\in\Gamma$ и равенства (9.2) выполнены для всех $A$.
Индукционный переход. Предположим, что утверждение леммы верно для всех произведений коммутаторов длины меньше $p$ и докажем его для произведения длины $p$, где $p\geqslant 2$. Имеем $h=h_1h_2$, где
$$
\begin{equation*}
h_1=[f_1,f_2],\qquad h_2=[f_3,f_4]\cdots [f_{2p-1},f_{2p}].
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно предположению индукции для $h_1$ и $h_2$ при $s=1,2$ найдутся элементы $X_s\in B_{1,2}$ такие, что $\partial'' X_s=P_M\otimes[h_s]$, $\partial' X_s\in \Gamma$ и равенства (9.2) выполнены для $X_s$ и $h_s$. Положим Тогда $\partial''X=P_M\otimes[h]$. Так как $h_1$ и $h_2$ лежат в коммутанте группы $\mathcal{I}$, все гомоморфизмы Бирман–Крэггса обращаются в нуль на каждом из них, поэтому условие $\partial'X\in\Gamma$ и равенства (9.2) следуют из тех же условий и равенств для $X_1$ и $X_2$. Лемма доказана. Предложение 9.4. Предположим, что элемент $U\in\Delta$ лежит в образе дифференциала $\partial''\colon B_{1,2}\to B_{1,1}$. Тогда найдется элемент $X\in B_{1,2}$ такой, что $\partial'' X=U$, $\partial' X\in \Gamma$ и для всех $A\in \mathcal{H}_0'$ имеют место равенства Доказательство. Столбец $B_{1,*}$, рассматриваемый как цепной комплекс относительно дифференциала $\partial''$, расщепляется в прямую сумму цепных комплексов $B_{1,*}(C)$, индексируемых мультимножествами $C\in\mathcal{H}_1$, где $B_{1,*}(C)$ порожден всевозможными элементами $P_M\otimes Z$ такими, что $[M]=C$. Элемент $U\in B_{1,1}$ принадлежит пересечению $\Delta\cap\partial''(B_{1,2})$ тогда и только тогда, когда все его компоненты по отношению к этому расщеплению принадлежат $\Delta\cap\partial''(B_{1,2})$. Поэтому утверждение предложения достаточно доказать в случае, когда $U$ является линейной комбинацией элементов вида $P_{M}\otimes[h]$, где все $[M]$ совпадают с одним и тем же мультимножеством $C_0\in\mathcal{H}_1$.
Рассмотрим три случая. Случай 1: $C_0\in\mathcal{H}_1^{(1)}$. Так как $U\in\Delta$, то
$$
\begin{equation}
U=\sum_{i=1}^m\varepsilon_i (P_{M_{i}}\otimes[h_i]),
\end{equation}
\tag{9.4}
$$
где $[M_{i}]=C_0$, $h_{i}\in\mathcal{C}_{M_{i}}$ и $\varepsilon_i=\pm 1$. Тогда $\Psi_C(U)=0$ при $C\ne C_0$ и Кроме того, $\Phi_{C,A}(U)=0$ для всех $C\in\mathcal{H}_1^{(2)}$. Следовательно, искомые равенства (9.3) принимают вид
$$
\begin{equation}
\Theta_A(\partial'X)=\begin{cases} {\displaystyle\sum_{i=1}^m\psi_{M_i}(h_i)},&\text{если }A\subset C_0, \\ 0,&\text{если }A\not\subset C_0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{9.5}
$$
Докажем существование элемента $X$, удовлетворяющего $\partial''X=U$, $\partial'X\in\Gamma$ и равенствам (9.5), при помощи индукции по $m$. База индукции. Предположим, что $m=1$, т. е. $U=\pm P_M\otimes[h]$, где $[M]=C_0$ и $h\in\mathcal{C}_M$. Так как $U$ лежит в образе дифференциала $\partial''$, элемент $h$ представляет нулевой класс гомологий в группе $H_1(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z})$ и, значит, лежит в коммутанте $[\mathcal{I}_M,\mathcal{I}_M]$. Поэтому база индукции обеспечивается леммой 9.3. Индукционный переход. Предположим, что нам известно существование элементов $X$ с требуемыми свойствами для элементов $U$ вида (9.4) с меньшим чем $m$ числом слагаемых, и докажем существование такого $X$ для элемента $U$ ровно c $m$ слагаемыми, где $m\geqslant 2$. Можно считать, что $\varepsilon_1=1$. Согласно предложению 5.2, $M_2=f(M_1)$ для некоторого $f\in\mathcal{I}$. Положим
$$
\begin{equation*}
U_1=P_{M_{1}}\otimes[h_{1}f^{-1}h_{2}^{\varepsilon_2}f] +\sum_{i=3}^m\varepsilon_i(P_{M_{i}}\otimes[h_{i}]).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Z&=P_{M_{1}}\otimes([f^{-1}|h_{2}^{\varepsilon_2}]-[f^{-1}h_{2}^{\varepsilon_2}f|f^{-1}]+ [h_{1}|f^{-1}h_{2}^{\varepsilon_2}f]) \\ &\qquad+\begin{cases} 0,&\text{если }\varepsilon_2=1, \\ P_{M_2}\otimes([1|1]-[h_{2}|h_{2}^{-1}]),&\text{если }\varepsilon_2=-1. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, элемент $U_1$ лежит в образе дифференциала $\partial''$. Вдобавок $U_1\in\Delta$, так как $h_{1}f^{-1}h_{2}^{\varepsilon_2}f\in\mathcal{C}_{M_1}$. Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\psi_{M_1}(h_{1}f^{-1}h_{2}^{\varepsilon_2}f)=\psi_{M_1}(h_1)+\psi_{M_2}(h_2).
\end{equation*}
\notag
$$
По предположению индукции найдется элемент $X_1\in B_{1,2}$ такой, что $\partial'' X_1= U_1$, $\partial' X_1\in \Gamma$, $\Theta_A(\partial' X_1)=\sum_{i=1}^m\psi_{M_i}(h_i)$ при $A\subset C_0$ и $\Theta_A(\partial' X_1)=0$ при $A\not\subset C_0$. Кроме того, так как $h_1$ и $h_2$ лежат в ядрах всех гомоморфизмов Бирман–Крэггса, то $\partial' Z\in\Gamma$ и $\Theta_A(\partial'Z)=0$ для всех $A\in \mathcal{H}_0'$. Таким образом, элемент удовлетворяет условиям $\partial''X=U$, $\partial'X\in\Gamma$ и равенствам (9.5) для всех $A$.Случай 2: $C_0\in\mathcal{H}_1^{(2)}$. Так как $U\in\Delta$, то
$$
\begin{equation}
U=\sum_{i=1}^m\varepsilon_i(P_{M_{i}^+}\otimes[h_{i,+}]-P_{M_{i}^-}\otimes[h_{i,-}]),
\end{equation}
\tag{9.6}
$$
где $M_i^{\pm}\in\mathcal{O}_{C_0}^{\pm}$, $h_{i,\pm}\in\mathcal{I}_{M_{i}^{\pm}}$, $\sigma(h_{i,+})=\sigma(h_{i,-})$ и $\varepsilon_i=\pm 1$. Тогда $\Psi_C(U)=0$ для всех $C\in\mathcal{H}_1^{(1)}$ и $\Phi_{C,A}(U)=0$ при $C\ne C_0$. Поэтому требуемые равенства (9.3) записываются в виде
$$
\begin{equation}
\Theta_A(\partial'X)=\begin{cases} \Phi_{C_0,A}(U),&\text{если $A\subset C_0$}, \\ 0,&\text{если $A\not\subset C_0$}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{9.7}
$$
Как и в предыдущем случае, докажем существование элемента $X$, удовлетворяющего $\partial''X=U$, $\partial'X\in\Gamma$ и равенствам (9.7), при помощи индукции по $m$. База индукции. Пусть $m=1$. Тогда Из того, что элемент $U$ лежит в образе дифференциала $\partial''$, а $M^+$ и $M^-$ лежат в разных $\mathcal{I}$-орбитах, следует, что каждый из элементов $P_{M^{\pm}}\otimes[h_{\pm}]$ лежит в образе $\partial''$. Следовательно, элементы $h_{\pm}$ представляют нулевые классы гомологий в группах $H_1(\mathcal{I}_{M^{\pm}};\mathbb{Z})$ и, значит, лежат в коммутантах групп $\mathcal{I}_{M^{\pm}}$ соответственно. Поэтому элементы $h_+$ и $h_-$ лежат в ядрах всех гомоморфизмов Бирман–Крэггса. Следовательно, $\Phi_{C_0,A}(U)=0$. Теперь существование элемента $X$ с требуемыми свойствами сразу следует из леммы 9.3, примененной к элементам $P_{M^{\pm}}\otimes [h_{\pm}]$.Индукционный переход. Предположим, что нам известно существование элементов $X$ с требуемыми свойствами для элементов $U$ вида (9.6) с меньшим чем $m$ числом слагаемых, и докажем существование такого $X$ для элемента $U$ ровно c $m$ слагаемыми, где $m\geqslant 2$. Можно считать, что $\varepsilon_1=1$. Пусть $f_+,f_-\in \mathcal{I}$ и $g\in \widehat{\mathcal{I}}$ – такие элементы, что $f_{\pm}(M_{1}^{\pm})=M_{2}^{\pm}$ и $g(M_{1}^+)=M_{1}^-$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U_1&=P_{M_1^+}\otimes[h_{1,+}f_+^{-1}h_{2,+}^{\varepsilon_2}f_+] -P_{M_{1}^-}\otimes[h_{1,-}f_-^{-1}h_{2,-}^{\varepsilon_2}f_-] \\ &\qquad+\sum_{i=3}^m\varepsilon_i(P_{M_{i}^+}\otimes[h_{i,+}]-P_{M_{i}^-}\otimes[h_{i,-}]). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Z_{\pm} &=P_{M_{1}^{\pm}}\otimes([f_{\pm}^{-1}|h_{2,\pm}^{\varepsilon_2}] -[f_{\pm}^{-1}h_{2,\pm}^{\varepsilon_2}f_{\pm}|f_{\pm}^{-1}]+ [h_{1,\pm}|f_\pm^{-1}h_{2,{\pm}}^{\varepsilon_2}f_{\pm}]) \\ &\qquad+\begin{cases} 0,&\text{если }\varepsilon_2=1, \\ P_{M_{2}^{\pm}}\otimes([1|1]-[h_{2,{\pm}}|h_{2,{\pm}}^{-1}]), &\text{если }\varepsilon_2=-1. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, элемент $U_1$ лежит в образе дифференциала $\partial''$. Кроме того, $U_1\in\Delta$, так как $h_{1,{\pm}}f_{\pm}^{-1}h_{2,\pm}^{\varepsilon_2}f_{\pm}\in\mathcal{I}_{M_{1}^{\pm}}$ и $\sigma(h_{1,+}f_+^{-1}h_{2,+}^{\varepsilon_2}f_+) =\sigma(h_{1,-}f_-^{-1}h_{2,-}^{\varepsilon_2}f_-)$.
По предположению индукции найдется элемент $X_1\in B_{1,2}$ такой, что $\partial'' X_1= U_1$, $\partial' X_1\in \Gamma$, $\Theta_A(\partial' X_1)=\Phi_{C_0,A}(U_1)$ при $A\subset C_0$ и $\Theta_A(\partial' X_1)=0$ при $A\not\subset C_0$. Пусть $A\in \mathcal{H}_0'$ и $\rho_0,\rho_1,\rho_2,\rho_3$ – произвольная перестановка четырех соответствующих гомоморфизмов Бирман–Крэггса. Если $A\not\subset C_0$, то, очевидно,
$$
\begin{equation*}
\Theta_A^{\rho_0,\rho_1,\rho_2,\rho_3}\bigl(\partial'(Z_+-Z_-)\bigr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $A\subset C_0$, то, используя равенства $\rho_i(h_{k,+})=\rho_i(h_{k,-})$ для $i=0,1,2,3$ и $k=1,2$, мы легко получаем, что
$$
\begin{equation*}
\Theta_A^{\rho_0,\rho_1,\rho_2,\rho_3}\bigl(\partial'(Z_+-Z_-)\bigr)=\sum_{i\ne j}\bigl(\rho_i(f_+)+\rho_i(f_-)\bigr)\rho_j(h_{2,+})=\Phi_{C_0,A}(U_1-U).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, элемент удовлетворяет условиям $\partial''X=U$, $\partial'X\in\Gamma$ и равенствам (9.7) для всех $A$.
Случай 3: $C_0\in\mathcal{H}_1\setminus(\mathcal{H}_1^{(1)}\cup\mathcal{H}_1^{(2)})$. Тогда $\Psi_C(U)=0$ для всех $C\in\mathcal{H}_1^{(1)}$ и $\Phi_{C,A}(U)=0$ для всех $C\in\mathcal{H}_1^{(2)}$. Из того, что $U$ лежит в образе дифференциала $\partial''$, легко следует, что $U=\partial''X$ для некоторого где $M_i\in\mathcal{M}_1\setminus(\mathcal{M}_1^{(1)}\cup\mathcal{M}_1^{(2)})$. Предположим, что $A\in\mathcal{H}_0'$. Тогда каждая из мультикривых $M_i$ либо не содержит ни одной ориентированной мультикривой $N$, такой что $[N]=A$, либо содержит ровно две таких мультикривых. В обоих случаях мы получаем, что для всех перестановок гомоморфизмов Бирман–Крэггса, отвечающих множеству $A$. Таким образом, $\partial'X\in\Gamma$ и $\Theta_A(\partial'X)=0$ для всех $A\in\mathcal{H}_0'$. Предложение доказано.§ 10. Схема доказательства предложения 4.6Основная трудность в доказательстве предложения 4.6 состоит в отсутствии хорошего описания ядра дифференциала $d^1\colon E^1_{2,1}\to E^1_{1,1}$ и, следовательно, группы $E^2_{2,1}$. Причина заключается в том, что дифференциал $d^1$ смешивает разные слагаемые в разложении в прямую сумму (2.1) для группы $E^1_{2,1}$. Мы преодолеем эту трудность следующим образом. Сначала мы заменим условие $d^1y=0$ на более слабую систему линейных уравнений, каждое из которых может быть проверено, глядя только на компоненту класса $y$ только в одном слагаемом разложения (2.1), см. предложение 10.1 ниже. Затем мы сформулируем и докажем правильный аналог предложения 4.6 для любого класса $y\in E^1_{2,1}$, удовлетворяющего этим более слабым условиям, см. предложение 10.2 ниже. В формулировках и доказательствах предложений 10.1 и 10.2 мы постоянно используем гомоморфизмы, построенные в § 8 и § 9. Предложение 10.1. Пусть $y\in E^1_{2,1}$ и $d^1y=0$. Тогда a) $\sigma_D(y)=0$ для всех $D\in\mathcal{H}_2'$; b) $\nu_D(y)$ делится на $4$ для всех $D\in\mathcal{H}_2'$. Предложение 10.2. Предположим, что элемент $y\in E^1_{2,1}$ таков, что $\sigma_D(y)=0$ и $\nu_D(y)$ делится на $4$ для всех $D\in \mathcal{H}_2'$. Тогда найдутся элементы $Y\in B_{2,1}$ и $X\in B_{1,2}$, удовлетворяющие следующим условиям: Предложения 10.1 и 10.2 будут доказаны в § 11 и § 12 соответственно. Сейчас мы выведем предложение 4.6 из этих двух предложений. Доказательство предложения 4.6. Любой элемент группы $E^2_{2,1}$ представляется циклом $y\in E^1_{2,1}$ таким, что $d^1y=0$. Согласно предложению 10.1, цикл $y$ удовлетворяет условиям предложения 10.2. Пусть $Y\in B_{2,1}$ и $X\in B_{1,2}$ – элементы, даваемые предложением 10.2.
Так как $d^1y=0$, то элемент $\partial'Y$ лежит в образе дифференциала $\partial''$. Поэтому элемент $\partial'Y+\partial''X$ лежит в пересечении группы $\Delta$ и образа дифференциала $\partial''$. По предложению 9.4 найдется элемент $X_1\in B_{1,2}$ такой, что $\partial''X_1=\partial'Y+\partial''X$, $\partial' X_1\in \Gamma$ и для всех $A\in \mathcal{H}_0'$ имеют место равенства
$$
\begin{equation*}
\Theta_A(\partial' X_1) =\sum_{C\in\mathcal{H}_1^{(1)},\, C\supset A}\Psi_C(\partial'Y+\partial''X) + \sum_{C\in\mathcal{H}_1^{(2)},\, C\supset A}\Phi_{C,A}(\partial'Y+\partial''X)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
(Последнее равенство следует из того, что $d^1y=0$ и поэтому правая часть равенства (10.1) обращается в нуль.)
Так как $\partial''(X-X_1)=-\partial' Y$, то по утверждению 3.4 элемент $\partial'(X-X_1)$ представляет класс $d^2y$ в группе $E^2_{0,2}$. Мы знаем, что $\Theta_A(\partial'X)=0$ для всех $A\in \mathcal{H}_0'$, и выше было показано, что $\Theta_A(\partial'X_1)=0$ для всех $A\in \mathcal{H}_0'$. Так как по предложению 9.1 гомоморфизм $\Theta_A$ индуцирует гомоморфизм $\vartheta_A$ в члене $E^1$ и, значит, в члене $E^2$, то мы окончательно получаем, что $\vartheta_A(d^2y)=0$. Предложение доказано. § 11. Доказательство предложения 10.111.1. Часть a)Положим $s_D=\sigma_D(y)$ при $D\in\mathcal{H}'_2$. Очевидно, что $s_D=0$ для всех кроме конечного числа множеств $D$. Лемма 11.1. Элементы $s_D\in\mathbb{B}_3'$, где $D\in\mathcal{H}_2'$, удовлетворяют следующей системе линейных уравнений:
Доказательство. Уравнения (11.1) следуют из предложения 8.1. Уравнения (11.2) следуют из предложения 8.2, так как легко видеть, что $C\cup\{c+d\}$, $C\cup\{c-d\}$ и $C\cup\{d-c\}$ – это в точности все множества $D\in\mathcal{H}_2'$ такие, что $D\supset C$ и $c$ – главный элемент множества $D$. Лемма доказана. Скажем, что решение $\{s_D\}$ системы линейных уравнений (11.1), (11.2) финитно, если $s_D=0$ для всех, кроме конечного числа, множеств $D$. Доказательство. Для каждого множества $A=\{a_1,a_2,a_3\}\in\mathcal{H}_0'$ положим $n(A)=n_1+n_2+n_3$, где $n_i$ – коэффициенты разложения $x=n_1a_1+n_2a_2+n_3a_3$.
Предположим, что $\{s_D\}$ – финитное решение системы уравнений (11.1), (11.2). Пусть $\Xi$ – подмножество множества $\mathcal{H}_0'$, состоящее из всех множеств $A$, которые содержатся хотя бы в одном множестве $D$ таком, что $s_D\ne 0$. Тогда множество $\Xi$ конечно. Докажем, что множество $\Xi$ пусто. Предположим противное и выберем множество $A_0=\{a_1,a_2,a_3\}\in \Xi$ с наибольшим значением $n(A_0)$ (если таких несколько, выберем любое). Рассмотрим $9$ множеств $\{a_i-a_j,a_j,a_k\}$ и $\{a_i-a_j-a_k,a_j,a_k\}$, где $i,j,k$ – перестановки чисел $1,2,3$. По предложению 3.1 все эти множества принадлежат $\mathcal{H}_0'$, и легко вычислить, что $n(A)>n(A_0)$ для каждого из них. Значит, $s_D= 0$ для всякого множества $D\in\mathcal{H}_2'$, которое содержит хотя бы одно из этих $9$ множеств $A$. Используя предложение 3.2, легко показать, что имеется ровно $9$ множеств $D\in\mathcal{H}_2'$, которые содержат $A_0$, но не содержат ни одного из перечисленных выше $9$ множеств $A$, а именно,
Уравнение (11.2) для $C= A_0\cup\{a_i+a_k\}$ и $c=a_k$ дает $s_{D_k}=0$. Уравнение (11.1) для $C=A_0\cup\{a_i+a_j-a_k\}$ дает $s_{D_k^-}=0$. Наконец, уравнение (11.2) для $C= A_0\cup\{a_i+a_j\}$ и $c=a_i+a_j$ дает $s_{D_k^+}+s_{D_k^-}= 0$, откуда $s_{D_k^+}=0$. Таким образом, $s_D=0$ для всех множеств $D\in\mathcal{H}_2'$, содержащих множество $A_0$, что противоречит предположению, что $A_0\in \Xi$. Следовательно, множество $\Xi$ пусто. Значит, $s_D=0$ для всех множеств $D\in\mathcal{H}_2'$, которые содержат хотя бы одно подмножество $A$, принадлежащее $\mathcal{H}_0'$. Несложно проверить, что любое множество $D\in\mathcal{H}_2'$, не содержащее ни одного подмножества, принадлежащего $\mathcal{H}_0'$, имеет вид $D=\{x,c_1,x-c_1,c_2,x-c_2\}$, где $\{x,c_1,c_2\}$ – базис некоторой лагранжевой подгруппы $L$ группы $H$. Рассмотрим уравнение (11.1) для $C=\{c_1,x-c_1,c_2,x-c_2\}$. Легко видеть, что любое множество $D'\in\mathcal{H}_2'$, содержащее $C$ и отличное от $D$, содержит подмножество, принадлежащее $\mathcal{H}_0'$. Значит, $s_{D'}=0$ для всех таких $D'$. Следовательно, $s_D=0$. Таким образом, $s_D=0$ для всех $D\in\mathcal{H}_0'$. Лемма доказана. Часть a) предложения 10.1 следует из лемм 11.1 и 11.2. 11.2. Часть b)Вначале докажем, что все числа $\nu_D(y)$ четны. Приведение по модулю $2$ каждого множества $D\in\mathcal{H}_2'$ имеет вид $\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3,\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2 + \mathbf{a}_3\}$ для некоторых $\mathbf{a}_1$, $\mathbf{a}_2$ и $\mathbf{a}_3$. При этом приведением по модулю $2$ главного элемента $d\in D$ является класс $\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2$. Продолжим элементы $\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3$ до симплектического базиса $\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3,\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3$ группы $H_{\mathbb{Z}/2}$. Пронумеруем четыре квадратичные функции $\omega_i$, отвечающие множеству $\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\}$, так, чтобы были выполнены равенства (4.1), и рассмотрим соответствующие им гомоморфизмы Бирман–Крэггса $\rho_i=\rho_{\omega_i}$. Пусть $K\in\mathcal{M}_2$ – ориентированная мультикривая с $[K]=D$ и $\delta$ – ее главная компонента. По предложению 7.20 имеем
$$
\begin{equation*}
\sigma(h)(\omega_0)+\sigma(h)(\omega_1)=\rho_0(h)+\rho_1(h)=\nu_{\delta}(h)\mod 2
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $h\in \mathcal{I}_K$. Отсюда легко следует, что
$$
\begin{equation}
\sigma_D(y)(\omega_0)+\sigma_D(y)(\omega_1)=\nu_{D}(y)\mod 2.
\end{equation}
\tag{11.3}
$$
Согласно уже доказанной части a) предложения 10.1 левая часть равенства (11.3) обращается в нуль и, значит, число $\nu_D(y)$ четно. Теперь для каждого $D\in\mathcal{H}_2'$ положим Очевидно, что все, кроме конечного числа, элементы $\lambda_D$ равны нулю. Лемма 11.3. Элементы $\lambda_D\in\mathbb{Z}/2$, где $D\in\mathcal{H}_2'$, удовлетворяют следующей системе линейных уравнений: Доказательство. Вначале докажем равенства (11.4). Положим $D_i=C\cup\{c_j+c_k\}$ для каждой перестановки $i,j,k$ чисел $1,2,3$. Рассмотрим ориентированную мультикривую $M=\alpha_0\cup\alpha_1\cup\alpha_2\cup\alpha_3$ такую, что $[\alpha_i]=c_i$ при $i=0,1,2,3$. Реализуем мультикривую $M$, как показано на рис. 5 и 6 в § 7, и будем пользоваться обозначениями для кривых, введенными на этих рисунках. Рассмотрим шесть пятикомпонентных ориентированных мультикривых
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{5} K_1^+&=M\cup\gamma_1,&\qquad K_2^+&=M\cup\delta_1,&\qquad K_3^+&=M\cup\varepsilon_1, \\ K_1^-&=M\cup\gamma_2,&\qquad K_2^-&=M\cup\delta_2,&\qquad K_3^-&=M\cup\varepsilon_2, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
где компоненты $\gamma_i$, $\delta_i$ и $\varepsilon_i$ ориентированы так, чтобы их классы гомологий были равны $c_2+c_3$, $c_3+c_1$ и $c_1+c_2$ соответственно. Отметим, что $K_1^{\pm},K_2^{\pm},K_3^{\pm}$ – это представители всех шести $\mathcal{I}$-орбит мультикривых $K\in\mathcal{M}_2$, таких что $[K]\supset C$. Поэтому класс $y$ можно записать в виде
$$
\begin{equation*}
y =\sum_{i=1}^3([h_i^+]_{K_i^+}+[h_i^-]_{K_i^-})+\cdots,
\end{equation*}
\notag
$$
где многоточием обозначены элементы $[h]_K$ такие, что $[K]\not\supset C$. Так как коэффициенты инцидентности $[P_{K^+_i}\colon P_M]$ и $[P_{K^-_i}\colon P_M]$ равны друг другу, имеем
$$
\begin{equation*}
0=d^1y=\sum_{i=1}^3\pm([h_i^+]_{M}+[h_i^-]_{M})+\cdots,
\end{equation*}
\notag
$$
где многоточием обозначены элементы $[h]_{M'}$ такие, что $[M']\ne C$. Значит, для некоторого выбора знаков $\pm$ в группе $H_1(\mathcal{I}_M;\mathbb{Z})$ имеет место соотношение Применяя гомоморфизмы $\xi_1$ и $\xi_2$, введенные в п. 7.1, получаем
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^3\pm\bigl(\xi_s(h_i^+)+\xi_s(h_i^-)\bigr)=0,\qquad s=1,2.
\end{equation}
\tag{11.7}
$$
Из предложения 7.11 следует, что каждый стабилизатор $\mathcal{I}_{K_i^{\pm}}$ порождается скручиваниями вдоль ограничивающих пар кривых, не пересекающихся с $M$ и отделяющих $\alpha_0\cup\alpha_i$ от $\alpha_j\cup\alpha_k$, где $i,j,k$ – перестановка чисел $1,2,3$. Значит, по предложению 7.5 имеют место равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{5} \xi_1(h_1^+)&=-\nu_{\gamma_1}(h_1^+),&\qquad \xi_1(h_2^+)&=0,&\qquad \xi_1(h_3^+)&=\nu_{\varepsilon_1}(h_3^+), \\ \xi_1(h_1^-)&=\nu_{\gamma_2}(h_1^-),&\qquad \xi_1(h_2^-)&=0,&\qquad \xi_1(h_3^-)&=-\nu_{\varepsilon_2}(h_3^-). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{i=1}^3\pm\bigl(\xi_1(h_i^+)+\xi_1(h_i^-)\bigr) &= \pm\bigl(\nu_{\gamma_1}(h_1^+)-\nu_{\gamma_2}(h_1^-)\bigr) \pm\bigl(\nu_{\varepsilon_1}(h_3^+)-\nu_{\varepsilon_2}(h_3^-)\bigr) \\ &=\pm\nu_{D_1}(y)\pm\nu_{D_3}(y), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где знаки $\pm$ в разных частях равенства не обязаны совпадать друг с другом. Так как оба значения $\nu_{D_1}(y)$ и $\nu_{D_3}(y)$ четны, равенство (11.7) для $s=1$ записывается в виде $\lambda_{D_1}=\lambda_{D_3}$. Аналогично, равенство (11.7) для $s=2$ записывается в виде $\lambda_{D_2}=\lambda_{D_3}$. Таким образом, мы получаем равенства (11.4).
Доказательство равенств (11.5) полностью аналогично; единственное отличие заключается в том, что имеется по два возможных выбора ориентации для каждой из кривых $\gamma_1$, $\gamma_2$, $\delta_1$ и $\delta_2$. Теперь докажем равенства (11.6). Для каждого $i=0,1,2$ множества $C\cup\{c_i+c_3\}$, $C\cup\{c_i-c_3\}$ и $C\cup\{c_3-c_i\}$ – это в точности все три множества $D\in\mathcal{H}_2'$ такие, что $D\supset C$ и главный элемент множества $D$ равен $c_i$. Поэтому из формулы (8.4) в предложении 8.3 следует, что
$$
\begin{equation*}
\pm\nu_{C\cup\{c_i+c_3\}}(y)\pm\nu_{C\cup\{c_i-c_3\}}(y)\pm\nu_{C\cup\{c_3-c_i\}}(y) =2\sum_{D\in\mathcal{H}_2\setminus\mathcal{H}_2',\,D\supset C} \pm\mu_D(y)
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторого выбора знаков $\pm$. Так как вычет правой части по модулю $4$ не зависит от выбора знаков $\pm$ и, значит, одинаков при разных $i$, мы получаем требуемое равенство (11.6). Лемма доказана. Доказательство. Рассмотрим линейную функцию $f\colon H\to\mathbb{R}$ такую, что $f(x)=0$ и образ $f$ является подгруппой ранга $5$ в $\mathbb{R}$. Из последнего условия следует, что $f(c)\ne 0$, если класс $c$ не пропорционален $x$.
Каждому множеству $A\in\mathcal{H}_0$ (не обязательно принадлежащему $\mathcal{H}_0'$) поставим в соответствие пару неотрицательных вещественных чисел
$$
\begin{equation*}
F_1(A)=\max_{a,a'\in A}|f(a)-f(a')|,\qquad F_2(A)=\sum_{a\in A}|f(a)|
\end{equation*}
\notag
$$
и положим $F(A)=(F_1(A),F_2(A))$. Заметим, что если мы заменим функцию $f$ на $-f$, то отображение $F$ не изменится. Поэтому мы будем обращать знак функции $f$, когда это будет нам удобно.
Наделим множество $\mathbb{R}_{\geqslant 0}\times\mathbb{R}_{\geqslant 0}$ лексикографическим порядком, т. е. положим $(r_1,r_2)\succ(r_1',r_2')$ тогда и только тогда, когда либо $r_1>r_1'$, либо $r_1=r_1'$ и $r_2>r_2'$. Предположим, что $\{\lambda_D\}$ – ненулевое финитное решение системы уравнений (11.4)–(11.6). Пусть $\Xi$ – подмножество множества $\mathcal{H}_0$, состоящее из всех множеств $A$, содержащихся хотя бы в одном множестве $D\in\mathcal{H}_2'$ таком, что $\lambda_D=1$. (Отметим, что мы не требуем, чтобы $A\in\mathcal{H}_0'$, но мы требуем чтобы $D\in\mathcal{H}_2'$.) Так как $\lambda_D=1$ хотя бы для одного $D$ и всякое множество $D\in\mathcal{H}_2'$ содержит не менее двух (на самом деле, даже не менее трех) различных подмножеств $A\in\mathcal{H}_0$, то $\Xi$ непусто и, более того, содержит хотя бы одно множество $A$, отличное от $\{x\}$. С другой стороны, $\lambda_D=0$ для всех, кроме конечного числа, множеств $D$. Значит, множество $\Xi$ конечно. Выберем множество $A_0\in\Xi$ с наибольшим значением $F(A_0)$ по отношению к упорядочению $\succ$ (если таких несколько, возьмем любое). Очевидно, что $F(\{x\})=(0,0)$ и $F(A)\succ (0,0)$ для всех остальных $A\in\mathcal{H}_0$. Так как множество $\Xi$ содержит хотя бы одно множество, отличное от $\{x\}$, то $A_0\ne\{x\}$. Значит, $A_0$ состоит из двух или трех элементов. Рассмотрим эти два случая. Случай 1: множество $A_0$ состоит из трех элементов, т. е. лежит в $\mathcal{H}_0'$. Пусть $A_0=\{a_1,a_2,a_3\}$. Тогда $x=n_1a_1+n_2a_2+n_3a_3$ для некоторых положительных целых коэффициентов $n_1$, $n_2$ и $n_3$. Так как $f(c)\ne 0$, если класс $c$ не пропорционален $x$, то три значения $f(a_i)$ ненулевые и отношение любых двух из них иррационально. Кроме того, Значит, хотя бы одно из значений $f(a_i)$ положительно и хотя бы одно – отрицательно. Переставляя элементы множества $A_0$ и обращая, если нужно, знак функции $f$, мы можем добиться того, чтобы были выполнены неравенства Положим $r_i=|f(a_i)|$. Тогда $r_1>r_2>0$, $r_3>0$, $F_1(A_0)=r_1+r_3$ и $F_2(A_0)=r_1+r_2+r_3$.Рассмотрим множества $A_1,\dots,A_8$, перечисленные в табл. 1. (Отметим, что множества $A_1$, $A_6$ и $A_8$ зависят от коэффициентов $n_1$, $n_2$ и $n_3$.) Из предложения 3.1 следует, что эти $8$ множеств принадлежат $\mathcal{H}_0$. В табл. 1 приведены значения $F_1(A_j)$ для $j=1,\dots,8$. Для каждого из множеств $A_j$, где $j=1,\dots,8$, кроме множества $A_4$ в случае $r_1\geqslant r_2+r_3$, мы имеем $F_1(A_j)>F_1(A_0)$ и, значит, $F(A_j)\succ F(A_0)$. В единственном оставшемся случае множества $A_4$ при $r_1\geqslant r_2+r_3$ имеем $F_1(A_4)=r_1+r_3=F_1(A_0)$ и $F_2(A_4)=r_1+r_2+2r_3>F_2(A_0)$, поэтому опять же $F(A_4)\succ F(A_0)$. Следовательно, ни одно из множеств $A_1,\dots, A_8$ не принадлежит $\Xi$. Таким образом, $\lambda_D=0$ для каждого $D$, которое содержит хотя бы одно из множеств $A_1,\dots, A_8$. Таблица 1.Множества $A_j$ и значения $F_1(A_j)$
Используя предложение 3.2, несложно проверить, что имеется ровно $14$ множеств $D\in\mathcal{H}_2'$, которые содержат множество $A_0$, но не содержат ни одного из множеств $A_1,\dots, A_8$, а именно:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} D_1&=A_0\cup\{a_1-a_2,\,a_1+a_3\},&\qquad D_2&=A_0\cup\{a_1-a_2,\,a_2+a_3\}, \\ D_3&=A_0\cup\{a_2-a_1,\,a_1+a_3\},&\qquad D_4&=A_0\cup\{a_2-a_1,\,a_2+a_3\}, \\ D_5&=A_0\cup\{a_1+a_3,\,a_2+a_3\},&\qquad D_6&=A_0\cup\{a_1-a_2,\,a_1-a_2+a_3\}, \\ D_7&=A_0\cup\{a_2-a_1,\,a_1-a_2+a_3\},&\qquad D_8&=A_0\cup\{a_1-a_2,\,a_1-a_2-a_3\}, \\ D_9&=A_0\cup\{a_2-a_1,\,a_2-a_1-a_3\},&\qquad D_{10}&=A_0\cup\{a_1+a_3,\,a_1+a_2+a_3\}, \\ D_{11}&=A_0\cup\{a_1+a_3,\,a_1-a_2+a_3\},&\qquad D_{12}&=A_0\cup\{a_1+a_3,\,a_2-a_1-a_3\}, \\ D_{13}&=A_0\cup\{a_2+a_3,\,a_1+a_2+a_3\},&\qquad D_{14}&=A_0\cup\{a_2+a_3,\,a_1-a_2-a_3\}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\lambda_j=\lambda_{D_j}$. Докажем, что $\lambda_{j}=0$ при $j=1,\dots,14$. Уравнение (11.4) для $C=A_0\cup\{a_1+a_2+a_3\}$ дает $\lambda_{10}=\lambda_{13}=0$. Уравнение (11.4) для $C=A_0\cup\{a_1-a_2-a_3\}$ дает $\lambda_{8}=\lambda_{14}=0$. Уравнение (11.4) для $C=A_0\cup\{a_2-a_1-a_3\}$ дает $\lambda_{9}=\lambda_{12}=0$. Уравнение (11.5) для $C=A_0\cup\{a_1-a_2+a_3\}$ дает $\lambda_{6}+\lambda_7=\lambda_{11}=0$. Уравнения (11.6) для $C=A_0\cup\{a_1+a_3\}$, $C=A_0\cup\{a_2+a_3\}$ и $C=A_0\cup\{a_1-a_2\}$ записываются в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \lambda_1+\lambda_3=\lambda_5=\lambda_{10}+\lambda_{11}+\lambda_{12}, \\ \lambda_2+\lambda_4=\lambda_5=\lambda_{13}+\lambda_{14},\qquad \lambda_1=\lambda_2=\lambda_6+\lambda_8 \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
соответственно. Значит, $\lambda_5=0$ и $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=\lambda_6=\lambda_7$. Наконец, рассмотрим два множества
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C' &=\{a_1,a_2-a_1,a_3,a_2+a_3\}, \\ D' &=\{a_1,a_2-a_1,a_3,a_2+a_3,a_2+a_3-a_1\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя предложение 3.2 для множества $\{a_1,a_2-a_1,a_3\}$, которое по предложению 3.1 принадлежит $\mathcal{H}_0'$, мы получаем, что $C'\in\mathcal{H}_1^{(1)}$ и $D'\in\mathcal{H}_2'$. Уравнение (11.4) для $C=C'$ дает $\lambda_4=\lambda_{D'}$. Если $n_2\leqslant n_3$, то $D'\supset A_8$ и, значит, $\lambda_{D'}=0$. Если же $n_2>n_3$, то множество $D'$ содержит подмножество $A'=\{a_1,a_2-a_1,a_2+a_3-a_1\}$, которое по предложению 3.1 принадлежит $\mathcal{H}_0'$. Имеем Следовательно, $F(A')\succ F(A_0)$ и, значит, $A'\notin\Xi$. Поэтому мы снова получаем, что $\lambda_{D'}=0$. Таким образом, $\lambda_4=\lambda_{D'}=0$ и, значит, $\lambda_j =0$ при $j=1,\dots,14$. Следовательно, $\lambda_D=0$ для всех $D\supset A_0$, что дает противоречие, так как $A_0\in\Xi$. Случай 2: множество $A_0$ состоит из двух элементов. Пусть $A_0=\{a_1,a_2\}$. Тогда $x=n_1a_1+n_2a_2$ для некоторых положительных целых чисел $n_1$ и $n_2$. Имеем $f(a_1)\ne 0$ и $n_1f(a_1)+n_2f(a_2)=0$. Значит, $f(a_1)=n_2r$ и $f(a_2)=-n_1r$ для некоторого ненулевого $r$. Без ограничения общности можно считать, что $r=1$. Тогда Пусть $\Upsilon$ – множество, состоящее из всех элементов $c\in H$, удовлетворяющих следующим условиям:
Так как ранг образа функции $f$ равен $5$, то $f(c)\notin\mathbb{Q}$ для всех $c\in\Upsilon$. Так как $\lambda_D=0$ для всех, кроме конечного числа, множеств $D$, то множество $\Upsilon$ конечно. Доказательство. Согласно определению множества $\Upsilon$ существует множество $D\in\mathcal{H}_2'$ такое, что $\lambda_D=1$ и $D$ содержит одно из множеств $C_1$ и $C_2$. Предположим, что $D\supset C_1$. Положим $c'=a_1-c$. По предложению 3.1 множество $A_1=\{a_2,c,c'\}$ принадлежит $\mathcal{H}_0'$. Так как $A_1\subset C_1$ и $\lambda_D=1$ хотя бы для одного множества $D$, содержащего $C_1$, то $A_1\in\Xi$. Значит, $F_1(A_1)\leqslant F_1(A_0)=n_1+n_2$. Так как
то
$$
\begin{equation*}
F_1(A_1)=\max\{|n_1+f(c)|,|n_1+n_2-f(c)|, |n_2-2f(c)|\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если бы значение $f(c)$ было отрицательным или было больше чем $n_2$, то мы получили бы, что $F_1(A_1)>n_1+n_2$. Значит, $0\leqslant f(c)\leqslant n_2$. Однако $f(c)\notin\mathbb{Q}$. Следовательно, $0<f(c)<n_2$ и, значит, $0<f(c')<n_2$. Из предложения 3.1 следует, что множества $A_2=\{a_1-a_2,a_2\}$, $A_3=\{a_1,a_2-a_1\}$, $A_4=\{a_1,c,a_2-c\}$, $A_5=\{a_1,c',a_2-c'\}$ и $A_6=\{a_2,c,c'-a_2\}$ принадлежат $\mathcal{H}_0$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} F_1(A_2)&=2n_1+n_2,&\qquad F_1(A_3)&=n_1+2n_2, \\ F_1(A_4)&=n_1+n_2+f(c),&\qquad F_1(A_5)&=n_1+n_2+f(c'). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Каждое из этих чисел больше, чем $F_1(A_0)$. Значит, множества $A_2$, $A_3$, $A_4$ и $A_5$ не принадлежат $\Xi$. Следовательно, $\lambda_D=0$ для любого $D$, которое содержит хотя бы одно из них. Из предложения 3.2 для множества $A_1$ мы получаем, что, во-первых, $C_1\in\mathcal{H}_1^{(2)}$ и, во-вторых, имеется ровно $5$ множеств $D\in\mathcal{H}_2'$, которые содержат множество $C_1$, но не содержат ни одного из множеств $A_2$, $A_3$, $A_4$ и $A_5$, а именно:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, D_0=\{a_1,a_2,c,c',a_1+a_2\}, \\ \begin{alignedat}{3} D_1&=\{a_1,a_2,c,c',a_2+c\},&\qquad D_2&=\{a_1,a_2,c,c',a_2+c'\}, \\ D_3&=\{a_1,a_2,c,c',c-a_2\},&\qquad D_4&=\{a_1,a_2,c,c',c'-a_2\}. \end{alignedat} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $\lambda_{D_i}=1$ хотя бы для одного из этих пяти множеств и $\lambda_D=0$ для всех множеств $D\in \mathcal{H}_2'$, содержащих $C_1$ и отличных от $D_0,\dots,D_4$. Из предложения 3.2 для $A_6$ следует, что множество $\{a_2,c,c'-a_2,a_1\}$ принадлежит $\mathcal{H}_1^{(1)}$. Уравнение (11.4) для этого множества дает
$$
\begin{equation*}
\lambda_{D_4}=\lambda_{\{a_1,a_2,c,c'-a_2,a_1-a_2\}}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где последнее равенство верно, так как множество $\{a_1,a_2,c,c'-a_2,a_1-a_2\}$ содержит $A_2$. Аналогично, $\lambda_{D_3}=0$. Теперь уравнение (11.6) для $C=C_1$ дает $\lambda_{D_0}=\lambda_{D_1}=\lambda_{D_2}$. Так как $\lambda_{D_i}$ должно быть равно $1$ хотя бы для одного из этих трех множеств, мы получаем, что $\lambda_{D_0}=\lambda_{D_1}=\lambda_{D_2}=1$. Наконец, рассмотрим множество $C'\,{=}\,\{a_1,a_2,c',a_2+c\}$. Легко видеть, что существует четырехкомпонентная ориентированная мультикривая с таким множеством классов гомологий и эта ориентированная мультикривая принадлежит $\mathcal{M}_1^{(1)}$. Значит, $C'\in \mathcal{H}_1^{(1)}$. Уравнение (11.5) для $C=C'$ дает
$$
\begin{equation*}
\lambda_{D_1}+\lambda_{\{a_1,a_2,c',a_2+c,-c\}}=\lambda_{\{a_1,a_2,c',a_2+c,c'-a_2\}} +\lambda_{\{a_1,a_2,c',a_2+c,a_2-c'\}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Однако $\lambda_{\{a_1,a_2,c',a_2+c,a_2-c'\}}$=0, так как множество $\{a_1,a_2,c',a_2+c,a_2-c'\}$ содержит $A_5$. Значит, либо $\lambda_{\{a_1,a_2,c',a_2+c,-c\}}=1$, либо $\lambda_{\{a_1,a_2,c',a_2+c,c'-a_2\}}=1$. В обоих случаях, мы получаем, что $c+a_2\in\Upsilon$. Аналогично, если бы существовало множество $D\in\mathcal{H}_2'$ такое, что $\lambda_D=1$ и $D\supset C_2$, то мы получили бы, что $c+a_1\in\Upsilon$. Лемма доказана. Доказательство. Предположим, что $\Upsilon$ содержит некоторый элемент $c$. Применяя рекурсивно лемму 11.5, мы получим, что для каждого $k=1,2,\dots$, найдется разбиение $k=k_1+k_2$, где $k_1,k_2\geqslant 0$, такое, что $c+k_1a_1+k_2a_2\in\Upsilon$. Это дает бесконечное число попарно различных элементов множества $\Upsilon$, что невозможно. Следствие доказано. Продолжим доказательство леммы 11.4. Так как множество $A_0=\{a_1,a_2\}$ принадлежит $\Xi$, то найдется хотя бы одно множество $D\in\mathcal{H}_2'$ такое, что $D\,{\supset}\, A_0$ и $\lambda_D=1$. Тогда $D$ – множество классов гомологий компонент некоторой мультикривой $M$ такой, как на рис. 4, (d). Значит, множество $D$ порождает лагранжеву подгруппу группы $H$ и любые три линейно независимых элемента множества $D$ составляют базис этой лагранжевой подгруппы. Значит, найдется элемент $c\in D$ такой, что $\{a_1,a_2,c\}$ – базис лагранжевой подгруппы. Так как множество $\Upsilon$ пусто, то $c\notin\Upsilon$. Значит, множество $D$ не содержит ни класс $a_1-c$, ни класс $a_2-c$. Кроме того, множества $\{a_1-a_2,a_2\}$ и $\{a_1,a_2-a_1\}$ не принадлежат $\Xi$, так как значения функции $F_1$ на каждом из них строго больше, чем $F_1(A_0)=n_1+n_2$. Следовательно, множество $D$ не содержит ни класс $a_1-a_2$, ни класс $a_2-a_1$. Далее, из определения множества $\mathcal{H}$ (см. п. 3.1) следует, что класс $x$ может быть записан в виде линейной комбинации элементов множества $D$ с неотрицательными коэффициентами такой, что коэффициент при $c$ строго положителен. Так как $x=n_1a_1+n_2a_2$, то множество $D$ должно содержать элемент $d$, в разложении которого по базису $\{a_1,a_2,c\}$ коэффициент при $c$ строго отрицателен. При этом либо все четыре класса гомологий $a_1$, $a_2$, $c$, $d$, либо некоторые три из них удовлетворяют двустороннему соотношению, т. е. линейному соотношению с коэффициентами $\pm 1$ такому, что по крайней мере один коэффициент равен $1$ и по крайней мере один равен $-1$. Так как мы уже доказали, что $d\ne a_1-c$ и $d\ne a_2-c$, то $d$ должен быть одним из трех классов гомологий $a_1+a_2-c$, $a_1-a_2-c$ и $a_2-a_1-c$. В каждом из этих трех случаев все четыре класса $a_1$, $a_2$, $c$, $d$ удовлетворяют двустороннему соотношению и, значит, ни один из них не является главным элементом множества $D$. Пусть $e$ – пятый элемент множества $D$; тогда $e$ – главный. Значит, $e$ – либо сумма, либо разность каких-нибудь двух из четырех элементов $a_1$, $a_2$, $c$, $d$ и, одновременно, либо сумма, либо разность двух оставшихся элементов. Кроме того, $e$ не может быть ни одним из классов $a_1-a_2$, $a_2-a_1$, $a_1-c$, $a_2-c$, $a_1-d$ и $a_2-d$. (Последние два класса исключаются ввиду того, что $d\notin\Upsilon$.) Прямой перебор случаев показывает, что единственный возможный вариант – это $d=a_1+a_2-c$ и $e=a_1+a_2$. Таким образом, $D=\{a_1,a_2,a_1+a_2,c,a_1+a_2-c\}$. Уравнение (11.5) для множества $C=\{a_1,a_2,c,a_1+a_2-c\}\in\mathcal{H}_1^{(1)}$ дает
$$
\begin{equation*}
1=\lambda_D=\lambda_{\{a_1,a_2,c,a_1+a_2-c,a_1-c\}}+\lambda_{\{a_1,a_2,c,a_1+a_2-c,c-a_1\}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, один из классов гомологий $c$ и $c-a_1$ принадлежит множеству $\Upsilon$, что противоречит следствию 11.6. Это противоречие завершает доказательство леммы 11.4. Часть b) предложения 10.1 следует из лемм 11.3 и 11.4. § 12. Доказательство предложения 10.2Имеет место разложение
$$
\begin{equation}
E^1_{2,1}=\bigoplus_{D\in\mathcal{H}_2}E^1_{2,1}(D),
\end{equation}
\tag{12.1}
$$
где $E^1_{2,1}(D)$ – прямая сумма групп $H_1(\mathcal{I}_K;\mathbb{Z})$ для представителей $K$ всех $\mathcal{I}$-орбит ориентированных мультикривых таких, что $[K]=D$. Очевидно, что класс $y\in E^1_{2,1}$ удовлетворяет условиям предложения 10.2 тогда и только тогда, когда все его компоненты по отношению к разложению (12.1) удовлетворяют тем же условиям. Поэтому предложение 10.2 достаточно доказать при дополнительном предположении, что $y$ лежит в одном из слагаемых $E^1_{2,1}(D)$. Рассмотрим два случая. Случай 1: $y\in E^1_{2,1}(D)$ для некоторого $D\in\mathcal{H}_2'$. Выберем ориентированные мультикривые $K^+$ и $K^-$ в $\mathcal{I}$-орбитах $\mathcal{O}^+_D$ и $\mathcal{O}^-_D$ соответственно, так чтобы $K^+$ и $K^-$ имели четыре общие компоненты и переводились друг в друга гиперэллиптической инволюцией $\iota$, см. рис. 9. (На этом рисунке $\iota$ – вращение на угол $\pi$ вокруг горизонтальной оси и $K^{\pm}=\gamma^{\pm}\cup\alpha_1\cup\alpha_2\cup\alpha_3\cup\alpha_4$.) Напомним, что $\iota\in\widehat{\mathcal{I}}$. Имеем
$$
\begin{equation*}
E^1_{2,1}(D)=H_1(\mathcal{I}_{K^+};\mathbb{Z})\oplus H_1(\mathcal{I}_{K^-};\mathbb{Z}).
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, для некоторых элементов $h_{\pm}\in\mathcal{I}_{K^{\pm}}$. Условия $\sigma_D(y)=0$ и $\nu_D(y)\equiv 0\pmod 4$ принимают вид
$$
\begin{equation*}
\sigma(h_+)=\sigma(h_-)\quad\text{и}\quad\nu_{\gamma^+}(h_+)+\nu_{\gamma^-}(h_-)\equiv 0\pmod 4
\end{equation*}
\notag
$$
соответственно. Положим $M_0=\alpha_1\cup\alpha_2\cup\alpha_3\cup\alpha_4$ и $C_0=[M_0]$. Ориентированная мультикривая $M_0$ может как принадлежать, так и не принадлежать множеству $\mathcal{M}$. Если она принадлежит множеству $\mathcal{M}$, то она принадлежит множеству $\mathcal{M}_1^{(1)}$. В этом случае мы будем предполагать, что ориентация клетки $P_{M_0}$ выбрана так, что $[P_{K^{\pm}}\colon P_{M_0}]=1$. Пусть $M_1^+,\dots,M_m^+$ – все ориентированные мультикривые, содержащиеся в $K^+$ и принадлежащие множеству $\mathcal{M}_1^{(2)}$. Тогда каждая мультикривая $M_i^+$ содержит компоненту $\gamma^+$. Кроме того, $M_i^-=\iota(M_i^+)$, где $i=1,\dots,m$, – все ориентированные мультикривые, содержащиеся в $K^-$ и принадлежащие множеству $\mathcal{M}_1^{(2)}$. Положим $C_i=[M_i^{\pm}]$. Мультикривые $M_i^{\pm}$ лежат в двух разных орбитах $\mathcal{O}_{C_i}^{\pm}$. Однако мы не можем гарантировать, что $M_i^+\in\mathcal{O}_{C_i}^+$ и $M_i^-\in\mathcal{O}_{C_i}^-$; обратная ситуация, $M_i^+\in\mathcal{O}_{C_i}^-$ и $M_i^-\in\mathcal{O}_{C_i}^+$, тоже возможна. Мы можем предполагать, что ориентации клеток $P_{M_i^{\pm}}$ выбраны так, что $[P_{K^+}\colon P_{M_i^+}]=[P_{K^-}\colon P_{M_i^-}]=1$. (При обращении ориентаций клеток $P_{M_i^{\pm}}$ соответствующий гомоморфизм $\nu_{C_i,A}^+$ меняет знак, что несущественно, так как в интересующую нас формулу (10.1) входит лишь его вычет по модулю $2$. А вот если бы мы поменяли местами орбиты $\mathcal{O}_{C_i}^{\pm}$, то гомоморфизм $\nu_{C_i,A}^+$ изменился бы более существенным образом, поэтому этого мы делать не хотим.) Представим класс $y$ циклом
$$
\begin{equation*}
Y=P_{K^+}\otimes[h_+]-P_{K^-}\otimes[h_-]\in B_{2,1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\partial'Y=\sum_{i=1}^m (P_{M_i^+}\otimes[h_+]-P_{M_i^-}\otimes[h_-])+ \begin{cases} P_{M_0}\otimes([h_+]-[h_-]),&\text{если }M_0\in\mathcal{M}, \\ 0,&\text{если }M_0\notin\mathcal{M}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $M_0\notin\mathcal{M}$, то $\partial'Y\in\Delta$, так как $\sigma(h_+)=\sigma(h_-)$. Поэтому мы можем положить $X=0$. Если $M_0\in\mathcal{M}$, то мы положим и получим, что
$$
\begin{equation*}
\partial'Y+\partial''X=\sum_{i=1}^m (P_{M_i^+}\otimes[h_+]-P_{M_i^-}\otimes[h_-]) +P_{M_0}\otimes[h_+h_-^{-1}].
\end{equation*}
\notag
$$
Из того, что $\sigma(h_+h_-^{-1})=0$, следует, что $\partial'Y+\partial''X\in\Delta$, $\partial'X\in\Gamma$ и $\Theta_A(\partial'X)=0$ для всех $A\in\mathcal{H}_0'$. Докажем формулу (10.1). Так как ни одна из мультикривых $M_0,M_1^{\pm}\dots,M_m^{\pm}$ не содержит ограничивающей пары компонент, мы имеем $\mu_{[A,a]}(d^1y)=0$ для всех $a\in A$. Очевидно, что если $A\not\subset D$, то обе части формулы (10.1) обращаются в нуль. Поэтому мы можем считать $A\subset D$. Пусть $N$ – ориентированная мультикривая, содержащаяся в $K^+$, такая что $[N]=A$. Тогда $P_{N}$ – вершина двумерной клетки $P_{K^+}$. Значит, она содержится ровно в двух ребрах клетки $P_{K^+}$. Но ребра клетки $P_{K^+}$ – это в точности одномерные клетки $P_{M_1^+} ,\dots,P_{M_m^+}$ и, кроме того, клетка $P_{M_0}$ в случае $M_0\in\mathcal{M}$. Сначала предположим, что $A\not\subset C_0$. Тогда $\Psi_C(\partial'Y+\partial''X)=0$ для всех $C\in\mathcal{H}_1^{(1)}$ таких, что $C\supset A$. Мы можем считать, что два ребра клетки $P_K^+$, содержащих вершину $P_N$, – это $P_{M_1^+}$ и $P_{M_2^+}$. По формуле (9.1)
$$
\begin{equation*}
\Phi_{C_1,A}(\partial'Y+\partial''X)=\Phi_{C_2,A}(\partial'Y+\partial''X)=\sum_{i\ne j}\widehat{\rho}_i(\iota)\rho_j(h_+),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\rho_0,\dots,\rho_3$ – четыре гомоморфизма Бирман–Крэггса, отвечающих множеству $A$, и $\widehat{\rho}_0,\dots,\widehat{\rho}_3$ – соответствующие расширенные гомоморфизмы Бирман–Крэггса. Кроме того, $\Phi_{C,A}(\partial'Y+\partial''X)=0$ для всех остальных $C\supset A$. Значит,
$$
\begin{equation*}
\sum_{C\in\mathcal{H}_1^{(2)},\, C\supset A}\Phi_{C,A}(\partial'Y+\partial''X)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\delta$ – компонента мультикривой $M_1^+$, не являющаяся компонентой мультикривой $N$. Так как $A\not\subset C_0$, то $\delta\ne \gamma^+$ и, значит, $\delta\subset M_1^-$. По предложению 7.2 имеем $\nu_{\delta}(h_+)=\nu_{\delta}(h_-)=0$. Следовательно, $\nu^+_{C_1, A}(d^1y)=0$ вне зависимости от того, какая из мультикривых $M_1^{\pm}$ принадлежит орбите $\mathcal{O}_{C_1}^+$. Аналогично, $\nu^+_{C_2, A}(d^1y)=0$. Наконец, очевидно, что $\nu_{C,A}^+(d^1y)=0$ для всех $C$, отличных от $C_1$ и $C_2$. Таким образом, мы получаем равенство (10.1). Теперь предположим, что $A\subset C_0$. Тогда $N$ содержится в $M_0$ и ровно в одной из мультикривых $M_1^+,\dots,M_m^+$. Можно считать, что $N\subset M_1^+$; тогда $M_1^+=N\cup \gamma^+$. В этом случае мультикривая $M_0$ обязательно принадлежит множеству $\mathcal{M}$. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{C\in\mathcal{H}_1^{(1)},\, C\supset A}\Psi_C(\partial'Y+\partial''X) &=\Psi_{C_0}(\partial'Y+\partial''X) =\psi_{M_0}(h_+h_-^{-1}) \nonumber \\ &=\psi_{M_0}(h_+\iota h_-^{-1}\iota) +\psi_{M_0}(\iota h_-\iota h_-^{-1}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12.2}
$$
Так как элемент $h_+\iota h_-^{-1}\iota$ лежит в группе $\mathcal{C}_{K^+}$, из предложения 7.13 следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \psi_{M_0}(h_+\iota h_-^{-1}\iota) &=\frac{\nu_{\gamma^+}(h_+\iota h_-^{-1}\iota)}{2} =\frac{\nu_{\gamma^+}(h_+)-\nu_{\gamma^-}(h_-)}{2} \nonumber \\ &\equiv \nu_{\gamma^+}(h_+)\equiv \nu_{\gamma^-}(h_-)\pmod 2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12.3}
$$
где в последних двух сравнениях используется, что $\nu_{\gamma^+}(h_+)+\nu_{\gamma^-}(h_-)$ делится на $4$. С другой стороны, по предложению 7.10
$$
\begin{equation}
\psi_{M_0}(\iota h_-\iota h_-^{-1})=\sum_{i\ne j}\widehat{\rho}_i(\iota)\rho_j(h_-)=\sum_{i\ne j}\widehat{\rho}_i(\iota)\rho_j(h_+),
\end{equation}
\tag{12.4}
$$
где $\rho_0,\dots,\rho_3$ – четыре гомоморфизма Бирман–Крэггса, отвечающих множеству $A$, и $\widehat{\rho}_0,\dots,\widehat{\rho}_3$ – соответствующие расширенные гомоморфизмы Бирман–Крэггса. Далее, по формуле (9.1)
$$
\begin{equation}
\sum_{C\in\mathcal{H}_1^{(2)},\, C\supset A}\Phi_{C,A}(\partial'Y+\partial''X)=\Phi_{C_1,A}(\partial'Y+\partial''X)=\sum_{i\ne j}\widehat{\rho}_i(\iota)\rho_j(h_+).
\end{equation}
\tag{12.5}
$$
Наконец,
$$
\begin{equation}
\sum_{C\in\mathcal{H}_1^{(2)}\colon C\supset A}\nu^+_{C, A}(d^1y)= \nu^+_{C_1,A}(d^1y)=\begin{cases} \nu_{\gamma^+}(h_+),&\text{если }M_1^+\in\mathcal{O}^+_{C_1}, \\ -\nu_{\gamma^-}(h_-),&\text{если }M_1^-\in\mathcal{O}^+_{C_1}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{12.6}
$$
Собирая вместе равенства (12.2)–(12.6), мы опять получаем формулу (10.1). Случай 2: $y\in E^1_{2,1}(D)$ для некоторого $D\in\mathcal{H}_2\setminus\mathcal{H}_2'$. По предложению 5.1 некоторый элемент $c$ входит в мультимножество $D$ с кратностью $2$. Заметим, что в этом случае мы автоматически имеем $\sigma_{D'}(y)=0$ и $\nu_{D'}(y)=0$ для всех $D'\in\mathcal{H}_2'$. Поэтому на класс $y$ не накладывается никаких дополнительных ограничений. Значит, нам достаточно доказать утверждение предложения в случае $y=[h]_K$, где $[K]=D$ и $h\in\mathcal{I}_K$, так как такие элементы порождают группу $E^1_{2,1}(D)$. Мультикривая $K$ может состоять из пяти или четырех компонент. Если $K$ состоит из четырех компонент, то по формуле (3.1) мы имеем $\operatorname{rank} K=2$ и, значит, мультимножество $D$ не содержит ни одного подмножества, принадлежащего $\mathcal{H}_0'$. Отсюда легко следует, что элементы $Y=P_K\otimes [h]$ и $X=0$ удовлетворяют всем требованиям из предложения 10.2, в частности, обе части формулы (10.1) обращаются в нуль. Поэтому мы можем считать, что $K$ состоит из пяти компонент. Пусть $\gamma^+$ и $\gamma^-$ – две компоненты мультикривой $K$, имеющие класс гомологий $c$, и $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\alpha_3$ – остальные три компоненты мультикривой $K$. Из предложения 3.7 следует, что группа $\mathcal{I}_K$ порождена скручиваниями вдоль разделяющих кривых $\delta$, не пересекающихся с мультикривой $K$, и скручиванием $T_{\gamma^+,\gamma^-}$. Поэтому мы можем считать, что $h$ равен либо $T_{\delta}$, либо $T_{\gamma^+,\gamma^-}$. Реализуем мультикривую $K$ и кривую $\delta$ (в случае $h=T_{\delta}$), как на рис. 10. Пусть $M^+$ и $M^-$ – ориентированные мультикривые, получаемые из $K$ при удалении компонент $\gamma^-$ и $\gamma^+$ соответственно. Положим $C_0=[M^+]=[M^-]$. Тогда $M^+, M^-\in\mathcal{M}_1^{(2)}$ и, значит, $C_0\in\mathcal{H}_1^{(2)}$. Мы можем считать, что $M^+\in\mathcal{O}^+_{C_0}$ и $M^-\in\mathcal{O}^-_{C_0}$. (Как мы уже отмечали, переименовывание орбит $\mathcal{O}^+_{C_0}$ и $\mathcal{O}^-_{C_0}$ – не безобидная операция. Однако вместо этого мы можем переименовать компоненты $\gamma^+$ и $\gamma^-$.) Кроме того, мы можем выбрать ориентации клеток так, что $[P_{K}\colon P_{M^+}]=1$. Тогда, в соответствии с нашим соглашением, $[P_K:P_{M^-}]=-1$. Пусть $M_1,\dots, M_m$ – все ориентированные мультикривые, отличные от $M^{\pm}$, содержащиеся в $K$ и принадлежащие множеству $\mathcal{M}_1$. Тогда каждая из мультикривых $M_i$ содержит ограничивающую пару кривых $\{\gamma^+,\gamma^-\}$. Наделим клетку $P_{M_i}$ такой ориентацией, что $[P_K\colon P_{M_i}]=1$. Представим класс $y$ циклом $Y=P_K\otimes[h]\in B_{2,1}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\partial'Y=P_{M^+}\otimes[h]-P_{M^-}\otimes[h]+\sum_{i=1}^m P_{M_i}\otimes [h].
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем $\partial'Y\in\Delta$, поэтому мы можем взять $X=0$. Докажем формулу (10.1). Очевидно, что обе части формулы (10.1) обращаются в нуль, если $A\not\subset C_0$, поэтому мы можем считать, что $A\subset C_0$. Имеем $\Psi_C(\partial'Y)=0$ для всех $C\in\mathcal{H}_1^{(1)}$. Далее, по предложению 9.2 имеем $\Phi_{C,A}(\partial'Y)=0$ при $C\ne C_0$ и
$$
\begin{equation*}
\Phi_{C_0,A}(\partial'Y)=\sum_{i\ne j}\widehat{\rho}_i(\iota)\rho_j(h),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\iota$ – вращение на угол $\pi$ вдоль горизонтальной оси, см. рис. 10. Здесь $\rho_0,\dots,\rho_3$ – четыре гомоморфизма Бирман–Крэггса, отвечающих множеству $A$, и $\widehat{\rho}_0,\dots,\widehat{\rho}_3$ – соответствующие расширенные гомоморфизмы Бирман–Крэггса. Кроме того, мы имеем где $\varepsilon$ – (единственная) компонента мультикривой $M^+$, класс гомологий которой не принадлежит множеству $A$, и $\nu^+_{C,A}(\partial'Y)=0$ при $C\ne C_0$. Из того, что элементы множества $A$ линейно независимы, следует, что $\varepsilon\ne\alpha_1$.Сначала предположим, что $c\in A$; тогда $\varepsilon\ne \gamma^+$. Значит, ровно одно из мультимножеств $[M_s]$ получается из множества $A$ путем удвоения одного из его элементов. По предложению 6.3 мы получаем, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{a\in A}\mu_{[A,a]}(d^1y)=\pm\mu_{\gamma^+,\gamma^-}(h)=\begin{cases} 0,&\text{если }h=T_{\gamma^+,\gamma^-}, \\ \pm1,&\text{если }h=T_{\delta}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, $\omega_i(c)=1$ для каждой из четырех квадратичных форм $\omega_i$, отвечающих множеству $A$. Значит, согласно формуле (3.15) мы получаем, что $\widehat{\rho}_i(\iota)=0$ при $i=0,\dots,3$. Следовательно, $\Phi_{C_0,A}(\partial'Y)=0$. Наконец, так как $\varepsilon\ne \alpha_1$ и $\varepsilon\ne \gamma^+$, то из предложения 6.1 следует, что
$$
\begin{equation*}
\nu_{\varepsilon}(h)=\begin{cases} 0,&\text{если }h=T_{\gamma^+,\gamma^-}, \\ 1,&\text{если }h=T_{\delta}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мы получаем формулу (10.1). Теперь предположим, что $c\notin A$; тогда $\varepsilon=\gamma^+$. Значит, $A=\{a_1,a_2,a_3\}$, где $a_i=[\alpha_i]$ при $i=1,2,3$. Пусть $\mathbf{a}_1$, $\mathbf{a}_2$, $\mathbf{a}_3$, $\mathbf{b}_1$, $\mathbf{b}_2$, $\mathbf{b}_3$ – классы гомологий по модулю $2$ кривых $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\beta_1$, $\beta_2$, $\beta_3$ на рис. 10 соответственно. Пронумеруем четыре квадратичные формы $\omega_0,\dots,\omega_3$ так, чтобы были выполнены равенства (4.1), и соответственно пронумеруем гомоморфизмы Бирман–Крэггса $\rho_0,\dots,\rho_3$ и расширенные гомоморфизмы Бирман–Крэггса $\widehat{\rho}_0,\dots,\widehat{\rho}_3$. Тогда из формул (3.9), (3.10) и (3.15) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \rho_0(h)=\rho_1(h)=0,\qquad \rho_2(h)=\rho_3(h)=1,\qquad h\in\{T_{\gamma^+,\gamma^-},T_{\delta}\}, \\ \widehat{\rho}_0(\iota)=\widehat{\rho}_1(\iota)=\widehat{\rho}_2(\iota)=0,\qquad \widehat{\rho}_3(\iota)=1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, в обоих случаях: $h=T_{\gamma^+,\gamma^-}$ и $h=T_{\delta}$. Далее, $\nu_{\gamma^+}(T_{\gamma^+,\gamma^-})\,{=}\,{-}1$ и $\nu_{\gamma^+}(T_{\delta})\,{=}\,1$. Наконец, $\mu_{[A,a]}(d^1y)=0$ для всех элементов $a\in A$, так как ни одно из мультимножеств $[M_1],\dots,[M_m]$ не совпадает с $[A,a]$. Таким образом, мы опять получаем формулу (10.1).
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gai21} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|