В. В. Горбацевич, “Основы теории Ли для $\mathcal E$-структур и некоторые ее применения”, Изв. РАН. Сер. матем., 86:2 (2022), 34–61; Izv. Math., 86:2 (2022), 252

Известно, что Софус Ли создал свою теорию, изучая симметрии дифференциальных уравнений. При этом он рассматривал группы симметрий и ввел понятие инфинитезимальных симметрий (что породило понятие алгебры Ли). Затем он стал рассматривать группы и алгебры (названные потом его именем) как самостоятельные объекты и установил связи между ними. Так возникла теория Ли, которая потом активно развивалась.

Некоторое время назад стали рассматривать понятие приближенных уравнений (в том числе и дифференциальных – ОДУ и УРЧП) и их симметрий. Существуют несколько подходов к понятию приближенных уравнений. Мы используем тот из них, основы которого были заложены в статье [1] (см. также [2]). Рассматривались однопараметрические группы симметрий приближенных уравнений, но особое внимание было уделено инфинитезимальным симметриям, которые естественным образом образовывали алгебру Ли. Затем частично изучались получающиеся при этом алгебры Ли. Но соответствующие группы Ли (кроме одномерных) и многомерная теория Ли при этом не рассматривались. В статье автора [3] возникающие при этом алгебры Ли, рассматриваемые как самостоятельные алгебраические объекты, были подробно изучены. Оказалось, что их естественно рассматривать как алгебры Ли, определенные над алгеброй $\mathbf{D}$ дуальных чисел. Но и там понятие соответствующей группы Ли не затрагивалось.

С другой стороны, группы преобразований были использованы Феликсом Клейном для построения общего понятия геометрии. Группы Ли оказались при этом идеальным инструментом, но там “приближенные” понятия не использовались. Однако в начале XX в. датским математиком Иоганном Тролле Ельмслевом был развит новый подход к геометрии. В этом подходе, названном им “натуральной геометрией” (см. [4]), были использованы, в частности, дуальные числа. Несмотря на это полного развития дуальная геометрия в стиле Ельмслева не получила. Математики довольно быстро перешли к изучению более общих понятий: в частности, геометрий над кольцами, соответствующей дифференциальной геометрии, а также конечных геометрий, оставив исходные идеи Ельмслева, касающиеся “натурального” варианта евклидовой геометрии, без развития. Эти идеи сейчас почти забыты. Даже сведений об авторе найти в русскоязычной литературе практически невозможно (в том числе и в Википедии). В данной статье геометрия в стиле Ельмслева будет вкратце описана аналитически, а также в рамках общего понятия геометрии Клейна.

Так как алгебра дуальных чисел $\mathbf{D}$ существенно используется в данной статье, напомним связанные с ней понятия. Элементы $z$ этой двумерной вещественной алгебры записываются в виде $z=x+\epsilon y$, где $\epsilon^2=0$, а $x, y \in \mathbf{R}$. Здесь $\epsilon$ называется инфинитезимальной единицей, $x$ – вещественной частью (приемлем и термин “конечная часть”) дуального числа $x+\epsilon y$, а $y$ – его инфинитезимальной (или виртуальной) частью (иногда удобнее называть виртуальной частью число $\epsilon y$). При изображении дуальных чисел на плоскости ось $y=0$ называется вещественной осью координат, а ось $x=0$ – инфинитезимальной осью. Вводится понятие приближенного равенства двух дуальных чисел: $z \approx z'$, если равны их вещественные части $x$, $x'$. Числа, приближенно равные нулю, – это чисто инфинитезимальные числа (их вещественная часть равна нулю).

Кроме дуальных чисел в теории Ли можно использовать и другие конечномерные коммутативные и ассоциативные алгебры. Например, вместо алгебры дуальных чисел рассматривать алгебру плюральных чисел, которую можно описать как факторалгебру алгебры полиномов ${\mathbf{R}}[\epsilon]$ от переменной $\epsilon$ по идеалу, порожденному элементом $\epsilon^n$. При $n=2$ мы получаем алгебру дуальных чисел. Можно также рассматривать тензорные произведения нескольких экземпляров алгебры $\mathbf{D}$. Например, $\mathbf{D} \otimes \mathbf{D}$ определяется как множество пар $(z_1,z_2)$ с покоординатным умножением. Естественный базис такой четырехмерной алгебры имеет вид $1$, $\epsilon_1$, $\epsilon_2$, $\epsilon_1 \epsilon_2$, где $\epsilon_1^2=\epsilon_2^2=0$, $\epsilon_1\epsilon_2=\epsilon_2\epsilon_1$.

Для дуальных чисел можно ввести некоторое отношение порядка. А именно, дуальное число $z=x+\epsilon y$ называется положительным тогда и только тогда, когда $x >0$. Это отношение сохраняется при сложении и для положительных сомножителей умножении. В целом дуальные числа разбиваются на три группы – положительные, отрицательные и чисто инфинитезимальные (т. е. имеющие вид $\epsilon y$ и потому приближенно равные нулю). Отметим, что из положительного дуального числа всегда можно извлечь квадратный (и любой другой) корень. А именно, как легко проверить, если $z^2=a +\epsilon b$ и $a >0$, то $z=\pm (\sqrt a +\epsilon b/(2\sqrt a))$.

Также для дуальных чисел можно рассматривать аналог нормы. А именно, рассмотрим для дуального числа $z=x+\epsilon y$ ему сопряженное $\overline z=x-\epsilon y$ и положим $|z|^2=z \overline z$. Имеем $|z|=|x|$ – это можно рассматривать как “полунорму” (причем мультипликативную), которая неотрицательна, но не является положительно определенной. В терминах этой полунормы удобно записывать, по аналогии с комплексными числами, частное двух дуальных чисел в виде $z_1/z_2=z_1 \overline z_2/|z_2|^2$ (деление двух дуальных чисел возможно, если делитель не является чисто инфинитезимальным числом).

В данной статье строится аналог теории Ли для групп и алгебр Ли, в том числе естественно связанных с симметриями приближенных уравнений и с натуральной геометрией. Эти группы и алгебры Ли можно рассматривать как имеющие некоторую $\mathbf{D}$-структуру, следовательно, используя терминологию из [5], эта структура может оказаться вырожденной (в той или иной степени). Поэтому в данной статье мы будем говорить об $\mathcal E$-структурах на группах и алгебрах Ли, а также на произвольных гладких многообразиях. Через $\mathcal E$ будем обозначать такой линейный оператор (на некотором конечномерном векторном пространстве), для которого $\mathcal E^2=0$ (что, в частности, соответствует умножению на $\epsilon$ в приближенной теории уравнений). Понятие $\mathcal E$-структуры тесно связано со структурами над алгеброй дуальных чисел $\mathbf{D}$, но среди рассматриваемых объектов допускаются и вырожденные (вплоть до случая $\mathcal E=0$, соответствующего обычной гладкой категории).

Пусть $V$ – некоторое конечномерное векторное пространство над полем $K$ характеристики $0$. Как известно, линейный оператор $\mathcal E$ на $V$, для которого $\mathcal E^2 =0$, в подходящем базисе приводится к каноническому виду (своей жордановой форме), при этом матрица этого оператора будет иметь вид $\oplus_1^k J_2(0) \oplus 0_l$ – это прямая сумма $k$ жордановых клеток $J_2(0)$ второго порядка, соответствующих собственному значению 0, и нулевой матрицы $0_l$ порядка $l$. Если $l=0$, то размерность $\dim V=2k$ четна и оператор $\mathcal E$ будем называть невырожденным. При $k=0$ мы имеем нулевой оператор $\mathcal E=0$. Очевидно, что на векторном пространстве размерности $n$ имеется с точностью до сопряженности $[n/2]+1$ различных $\mathcal E$-структур. В дальнейшем число $k$ жордановых клеток (равное, в частности, рангу оператора $\mathcal E$) фиксироваться не будет. Это означает, что, рассматривая два объекта с $\mathcal E$-структурой (например, многообразие и действующую на нем группу Ли, как это будет рассматриваться ниже), мы допускаем, что $\mathcal E$-структуры на этих объектах имеют различные ранги. Например, один из рангов может даже равняться нулю.

В § 2 введено понятие гладкого $\mathcal E$-многообразия. В § 3 рассмотрены некоторые свойства $\mathcal E$-алгебр Ли. В § 4 рассмотрены аналоги первой, второй и третьей теорем Ли для рассматриваемого нами $\mathcal E$-случая. В § 5 и § 6 даются два приложения полученных результатов. А именно, в § 5 указывается, как можно определить и изучать строения групп Ли, которые являются группами симметрий приближенных дифференциальных уравнений. В качестве иллюстрации приведен один пример группы Ли приближенных симметрий приближенного дифференциального уравнения (на основе изучения этих симметрий, сделанного в [1], см. также [2]). При этом вычисляется именно вся группа Ли, образованная симметриями, а не только ее алгебра Ли, обычно задаваемая там своим базисом, и соответствующие базису этой алгебры Ли однопараметрические подгруппы, как это обычно делается в работах, посвященных симметриям дифференциальных уравнений. В § 6 рассмотрены вопросы, связанные с геометриями, основанными на понятии дуальных чисел. Мы не приводим систему аксиом для натуральной геометрии. Такого рода аксиомы были даны для натуральной плоскости Ельмслева и дальше не получили развития (автору неизвестны работы, в которых идеи Ельмслева развивались бы для пространств размерности $3$ и выше). Мы ограничимся только схемой построения аналитической линейной дуальной геометрии в терминах координат. В качестве еще одного приложения полученных в статье результатов будет вкратце описан основанный на понятии $\mathcal E$-структур “натуральный” подход к геометрии, следующий идеям И. Ельмслева и Ф. Клейна.

§ 2. $\mathcal E$-структуры на многообразиях

Мы будем в основном рассматривать стандартное конечномерное вещественное векторное пространство ${\mathbf{R}}^n$ ($\dim V =n$) и фиксированный линейный оператор $\mathcal E$ на нем, матрица которого в стандартном базисе пространства ${\mathbf{R}}^n$ имеет канонический вид $\oplus_1^k J_2(0) \oplus 0_l$ (при некоторых $k,l \geqslant 0$). Для свободного $\mathbf{D}$-модуля, т. е. векторного пространства, изоморфного $\mathbf{D}^m$ (при $n=2m$), будем иметь $l=0$. Иногда будем отождествлять оператор $\mathcal E$ и его матрицу в стандартном базисе.

Мы собираемся определить понятие гладкого многообразия, снабженного $\mathcal E$-структурой. Для этого нам потребуется понятие $\mathcal E$-гладких функций.

Пусть заданы два конечномерных вещественных векторных пространства, снабженных некоторыми $\mathcal E$-структурами: $(V_1, \mathcal{E}_1 )$, $(V_2, \mathcal{E}_2)$. Рассмотрим некоторые открытые области $U_i \subset V_i$, $i=1,2$. Гладкое (в обычном смысле) отображение $f\colon U_1 \to U_2$ называется $\mathcal E$-гладким, если его дифференциал перестановочен с операторами $\mathcal {E}_i$, задающими $\mathcal E$-структуры. Другими словами, должно выполняться условие $\mathcal{E}_2 \circ df=df \circ \mathcal{E}_1$. Рассмотрим некоторые примеры.

Если оба линейных оператора $\mathcal{E}_1$, $\mathcal{E}_2$ – нулевые, то $\mathcal E$-гладкие отображения – это просто некоторые обыкновенные гладкие отображения. Если $V_1$, $V_2$ являются свободными $\mathbf{D}$-модулями, то понятие $\mathcal E$-гладкого отображения подробно рассматривалось в дифференциальном исчислении над алгеброй дуальных чисел $\mathbf{D}$ (см., например, [6] и приведенные там ссылки). В частности, пусть $V_1=V_2= \mathbf{D}$, где на $\mathbf{D}$ рассматривается стандартная $\mathcal E $ структура, задаваемая умножением на инфинитезимальную единицу $\epsilon$. Рассмотрим функцию $f(x+\epsilon y)=\phi(x,y) +\epsilon \psi (x,y)$, где $\phi$, $\psi$ – две гладкие функции. Эта функция $f$ будет $\mathbf{D}$-гладкой (в терминологии из [5]) или $\mathcal E$-гладкой в терминологии данной статьи тогда и только тогда, когда $\phi (x,y)=\alpha (x)$ – некоторая гладкая функция, не зависящая от $y$, а $\psi (x,y)=y \cdot \alpha(x)+\beta (x)$, где $\beta (x)$ – еще одна гладкая функция от $x$. Другими словами, $f(x+\epsilon y) =\phi(x)+\epsilon (y \cdot \phi(x)+\psi(x))$. В частности, такая функция $f(x+\epsilon y)$ линейно зависит от $y$. Аналогично мы получаем определение $\mathcal E$-гладкости функции нескольких переменных. Для $\mathcal E$-гладких функций определены частные производные по дуальным переменным.

Для нас наиболее интересен случай $\mathcal E$-диффеоморфизмов, когда $U_1$, $U_2$ – области в стандартном $n$-мерном векторном пространстве ${\mathbf{R}}^n$, снабженном стандартной $\mathcal E$-структурой (некоторого фиксированного ранга), описываемой жордановой матрицей $\oplus_1^k J_2(0) \oplus 0_l$.

Переходим к определению $\mathcal E$-многообразия. При этом оператор $\mathcal E$ будет нами фиксирован, и пусть его матрица в стандартном базисе на ${\mathbf{R}}^n$ имеет канонический вид, описанный выше. Как обычно, для определения многообразия нужно указать тип функций, которые могут быть функциями перехода. Гладкое многообразие $M$ будем называть $\mathcal E$-гладким, если существует такое его покрытие картами, функции перехода для которых будут $\mathcal E$-гладкими. Другими словами, дифференциал каждой из таких функций перехода должен быть перестановочен с оператором $\mathcal E$. Это условие на функции перехода дает нам естественное действие оператора $\mathcal E$ на касательных пространствах, причем в базисах, порожденных локальными координатами. Матрица этого оператора постоянна и равна канонической матрице $\oplus_1^k J_2(0) \oplus 0_l$. Тем самым на произвольном $\mathcal E$-многообразии (всегда нами подразумевается, что речь идет о гладких многообразиях) задано поле линейного оператора, матрица которого постоянна. Такое поле называют аффинорным, причем плоским (или, о чем далее будет идти речь, интегрируемым). Это поле можно рассматривать как $\mathcal E$-структуру, заданную на касательном расслоении $T(M)$ многообразия $M$. Отметим, что если $\mathcal E=0$, то мы имеем обычные гладкие многообразия.

Опишем локальные координаты $\mathcal E$-многообразия более подробно. Жордановой матрице $\oplus_1^k J_2(0) \oplus 0_l$ соответствует разбиение локальных координат на два типа. Нулевой матрице $0_l$ соответствуют координаты, которые естественно рассматривать как вещественные – мы их будем обозначать $w_1, \dots , w_l$ и иногда называть чисто вещественными; это – специальным образом обозначенные координаты в пространстве, изоморфном ${\mathbf{R}}^l$. Матрице же $\oplus_1^k J_2(0)$ соответствуют дуальные координаты $z_i=x_i+\epsilon y_i$, $1 \leqslant i \leqslant k$. В таких локальных координатах оператор $\mathcal E$ имеет постоянные координаты.

Карты $\mathcal E$-многообразия диффеоморфно отображают открытые подмножества $U_i \subset M$, в которых заданы локальные координаты, на открытые подмножества в $\mathbf{D}^k \times \mathbf{R}^l$. Более того, можно считать, что эти $U_i$ имеют вид прямых произведений $V_i \times W_i$, где $V_i \subset \mathbf{D}^k$, $W_i \subset \mathbf{R}^l$ – открытые подмножества. Тем самым мы получаем расщепление локальных координат на два вида – дуальные и чисто вещественные. При этом координаты $x_i$, $y_i$ – это обычные вещественные локальные координаты, являющиеся вещественными и инфинитезимальными компонентами дуальных координат $v_i$. Eсли $l=0$, т. е. $\mathcal E$-структура многообразия невырождена, то мы приходим к понятию многообразия над алгеброй дуальных чисел $\mathbf{D}$ (рассмотренному, в частности, в [3]). Указанное разделение координат на дуальные и вещественные полезно тем, что в соответствующих этим координатам базисах матрица оператора $\mathcal E$ постоянна и имеет канонический вид. Отметим, что разбиение локальных координат на дуальные и вещественные не является однозначным – и те и другие координаты можно выбирать различными способами (что соответствует выборам канонических базисов для оператора $\mathcal E$).

Аналогично обычной гладкой теории можно ввести и понятие гладкого $\mathcal E$-подмногообразия. Такое подмногообразие определяется локально в окрестности каждой точки многообразия и в подходящей карте: $\mathcal E$-подмногообразие локально задается системой линейных уравнений (некоторого фиксированного для данного подмногообразия ранга), причем эта система должна быть инвариантна относительно оператора $\mathcal E$. Рассмотрим самые простые примеры – одномерные подмногообразия в $\mathbf{D}$. Здесь локальные координаты $x$, $y$ удобно записывать в виде одного дуального числа $z=x+\epsilon y$. Прямая, заданная уравнением $y=0$ (т. е. вещественная ось координат), не является $\mathbf{D}$-подмногообразием, так как не сохраняется при умножении на $\epsilon$. А вот другая прямая – инфинитезимальная ось координат, задаваемая уравнением $x=0$, является $\mathcal E$-подмногообразием, так как $\epsilon ^2=0$. В частности, мы видим, что некоторые $\mathcal E$-подмногообразия могут иметь нечетную размерность (на них $\mathcal E$-структура обязательно вырождена). Это обстоятельство на самом деле для нас очень важно, так как при рассмотрении только невырожденных $\mathcal E$-алгебр Ли, многообразий над алгеброй $\mathbf{D}$ имеется одна серьезная проблема – подмножества, например, подалгебры Ли, инвариантные относительно умножения на дуальные числа, необязательно четномерны (и, тем более, не всегда имеют невырожденную $\mathbf{D}$-структуру). Другими словами, свойство иметь невырожденную дуальную структуру не является наследственным. Возможно, что именно это не позволило до сих пор при изучении приближенных симметрий приближенных дифференциальных уравнений использовать методы групп Ли, ограничиваясь только одномерными группами симметрий.

На произвольном $\mathcal E$-многообразии $M$ можно ввести два полезных для нас слоения. В каждом касательном пространстве рассмотрим оператор $\mathcal E$ и два подпространства этого пространства – $\operatorname{Ker} \mathcal E$ и $\operatorname{Im} \mathcal E$ (ядро и образ оператора $\mathcal E$). Совокупности этих подпространств задают два гладких распределения на $M$. Эти два распределения интегрируемы. Дело в том, что оператор $\mathcal E$ действует не только на касательных пространствах, но и на открытых множествах, соответствующих картам, задающих структуру $\mathcal E$-многообразия. Поэтому $\operatorname{Ker} \mathcal E$ и $\operatorname{Im} \mathcal E$ в этих координатах являются линейными подпространствами и, в частности, подмногообразиями. Тем самым через каждую точку нашего многообразия $M$ проходят два подмногообразия. В результате получаем на $M$ два слоения (касательные пространства которых – это два указанных выше распределения), которые мы обозначим $\operatorname{Ker}_M (\mathcal E)$ и $\operatorname{Im}_M(\mathcal E)$ и будем называть их соответственно характеристическими $\operatorname{Ker}$- и $\operatorname{Im}$-слоениями на $M$. В силу того, что $\mathcal E^2=0$, имеет место вложение $\operatorname{Im} \mathcal E _M \subseteq \operatorname{Ker} \mathcal E _M$. Эти два слоения совпадают тогда и только тогда, когда $\mathcal E$-структура на $M$ невырождена. Листы этих слоений, вообще говоря, не будут замкнутыми многообразиями. Покажем это на простом примере.

Рассмотрим алгебру $\mathbf{D}$ с естественной $\mathcal E$-структурой (задаваемой умножением на $\epsilon$) как невырожденное $\mathcal E$-многообразие. Здесь $\operatorname{Ker} \mathcal E= \operatorname{Im} \mathcal E$ – слоения, состоящие из прямых, параллельных инфинитезимальной оси. Листы обоих (совпадающих между собой) слоений, конечно, замкнуты. Но рассмотрим теперь дискретную подгруппу $\Gamma \subset \mathbf{D}$, изоморфную $\mathbf{Z}^2$ и такую, что она не имеет элементов, обе координаты которых – целые числа (такая своего рода иррациональная подгруппа). Положим $M=\mathbf{D}/\Gamma$ – это многообразие диффеоморфно тору $T^2$ и несет индуцированную с $\mathbf{D}$ невырожденную $\mathcal E$-структуру. Здесь листы обоих характеристических слоений тоже одномерны и совпадают между собой, но вот замкнутыми подмногообразиями они уже не будут. Полезно отметить, что многообразие $M$ в приведенном примере является компактной абелевой $\mathcal E$-группой Ли (о группах Ли подробно будет идти речь ниже), а листы характеристических слоений, проходящие через единичный элемент группы, являются нормальными подгруппами. Но все это не мешает этим листам в этой группе Ли быть незамкнутыми.

Отметим, что если $f\colon M \to N$ – некоторое $\mathcal E$-гладкое отображение $\mathcal E$-гладких многообразий, то оно индуцирует отображения распределений $\operatorname{Ker} \mathcal E$ и $\operatorname{Im} \mathcal E$, а также соответствующих им слоений. Это вытекает из перестановочности $df$ с операторами $\mathcal E$ на $M$ и $N$.

Естественно возникает вопрос о том, когда $\mathcal E$-структура на касательном расслоении некоторого многообразия $M$ интегрируема, т. е. когда она порождается некоторой $\mathcal E$-структурой на $M$? Для невырожденных структур ответ известен – для этого необходимо и достаточно, чтобы тензор Нийенхейса равнялся нулю. Этот факт уже обсуждался в [3], там же были даны ссылки на доказательство этого факта. Отметим, что впервые этот факт был доказан в [7] и, позже и независимо, в [8]. В вырожденном случае утверждение звучит точно так же, а доказательство совершенно аналогично. Но для полноты изложения здесь будет приведено доказательство для произвольных $\mathcal E$-структур, аналогичное (с некоторыми модификациями) тому, как это было сделано в [7].

В общем случае тензор Нийенхейса (частный случай скобки Нийенхейса, которая строится для двух $(1,1)$-тензоров), соответствующий гладкому полю $(1,1)$-тензоров $A$ (т. е. линейных операторов), имеет вид

Для оператора $\mathcal E$ на касательном расслоении в силу того, что $\mathcal E^2=0$, тензор Нийенхейса имеет вид

Доказательство. В одну сторону утверждение теоремы 1 практически очевидно (и справедливо даже без дополнительного предположения в случае вырожденной структуры). А именно, рассмотрим локальные расщепленные координаты $x_i,y_i,w_j$, описанные выше. Касательные векторы вдоль координатных осей (т. е. векторы $\partial /\partial x_i$, $\partial /\partial y_i$, $\partial /\partial w_i$) в каждой точке карты образуют базис касательного пространства. При этом $\mathcal E (\partial /\partial x_i)=\partial /\partial y_i$, а $\mathcal E (\partial /\partial y_i) =\mathcal E (\partial /\partial w_j) =0$. А так как в формуле для тензора Нийенхейса в каждое слагаемое в правой части оператор $\mathcal E$ входит дважды, то все эти три слагаемых в указанном базисе будут равны нулю. Другими словами, для $\mathcal E$-структуры на многообразии соответствующий ей тензор Нийенхейса – нулевой.

Рассмотрим теперь обратное утверждение. Пусть тензор Нийенхейса $N_\mathcal{E}$ равен нулю, т. е. имеет место соотношение

$$ \begin{equation*} [\mathcal E \widetilde X, \mathcal E\widetilde X]=\mathcal E[\mathcal E\widetilde X,\widetilde Y]+\mathcal E[\widetilde X, \mathcal E \widetilde Y]. \end{equation*} \notag $$

Рассмотрим распределение $\operatorname{Im}\mathcal E$ на $M$. В силу приведенного соотношения получаем, что $[\operatorname{Im} \mathcal E, \operatorname{Im} \mathcal E] \subset \operatorname{Im} \mathcal E$, т. е. распределение $\operatorname{Im} \mathcal E$ инволютивно. Но тогда в силу теоремы Фробениуса об интегрируемости распределений получаем, что распределение $\operatorname{Im} \mathcal E$ интегрируемо, т. е. оно является касательным для некоторого слоения на $M$.

Далее, распределение $\operatorname{Ker} \mathcal E$ тоже интегрируемо, ибо для невырожденной структуры $\mathcal E$ оно совпадает с распределением $\operatorname{Im} \mathcal E$, а для вырожденной – оно интегрируемо в силу дополнительного условия данной теоремы. Его листы – подмногообразия листов построенного выше по $\operatorname{Ker} \mathcal E$ слоения.

Рассмотрим некоторую окрестность фиксированной точки $m_0 \in M$ и пересечения листов полученных слоений с ней. Можно выбрать локальные координаты $x_1,\dots, x_k$, $y_1,\dots, y_k$, $w_1,\dots, w_l$ в этой окрестности (тот факт, что число координат $x$ такое же, что и число координат $y$, вытекает из $\mathcal E^2=0$) так, что листы наших двух слоений задаются уравнениями $x_1=\dots= x_k=0$ и $x_1=\dots=x_k=y_1=\dots =y_k=0$ соответственно . Теперь наша цель – преобразовать эти локальные координаты так, чтобы в них естественным образом можно было построить $\mathcal E$-структуру многообразия $M$ в рассматриваемой окрестности.

Координаты $w_1,\dots, w_l$ и $x_1,\dots, x_k$ мы оставим неизменными, а координаты $y_1,\dots, y_k$ придется, вообще говоря, менять.

Ясно, что векторы $\partial/\partial x_i$ образуют базис в подпространстве, дополнительном к $\operatorname{Ker} \mathcal E$. В этом подпространстве, натянутом на $\partial/\partial x_i$, существует такой базис $\{ X_i \}$, что $\mathcal E (X_i)=\partial/\partial y_i$. Векторы $X_i$ запишем в виде $X_i= \Sigma_j a_{ij} \,\partial/\partial x_j$ (разложение по базису $\partial/\partial x_i$), где вещественные числа $a_{ij}$ образуют, очевидно, квадратную невырожденную матрицу.

Теперь мы в полной мере используем тот факт, что тензор Нийенхейса для $\mathcal E$ равен нулю (до сих пор это условие было использовано лишь в небольшой степени). Имеем $[\mathcal E(X_i), \mathcal E(X_j)]=[\partial/\partial y_i, \partial/\partial y_j]=0$, а потому условие $N_\mathcal{E}=0$ дает нам равенства

$$ \begin{equation*} \mathcal E [\mathcal E(X_i),X_j] +\mathcal E [X_j, \mathcal E(X_j)] =0. \end{equation*} \notag $$

Имеем для первого слагаемого этой суммы

$$ \begin{equation*} \mathcal E[\mathcal E (X_i), X_j]=\mathcal E \biggl[\frac{\partial}{\partial y_i},\, \sum_j a_{jk}\, \frac{\partial}{\partial X_k}\biggr]= \mathcal E \biggl(\frac{\partial a_{jk}}{\partial y_j}\biggr) \, \frac{\partial}{\partial x_k} \end{equation*} \notag $$

и аналогичное выражение (с перестановкой индексов $i$, $j$ и со знаком минус) для второго слагаемого.

В результате получаем равенство

$$ \begin{equation*} 0= \biggl(\frac{\partial a_{jk}}{\partial y_i}-\frac{\partial a_{ik}}{\partial y_j}\biggr) \mathcal E \biggl(\frac{\partial}{\partial x_k}\biggr). \end{equation*} \notag $$

Так как векторы $\mathcal E (X_i)$ будут, очевидно, линейно независимы, то и векторы $\mathcal E(\partial /\partial x_i)$ линейно независимы. А потому из указанного равенства следует, что $ \partial a_{ik} /\partial y_j= \partial a_{jk}/ \partial y_i$. Из этих соотношений следует, что существуют (локально) такие функции $f_k(x_i,y_i)$, что $a_{ik}=\partial f_k/\partial y_i$. От локальных координат $y_i$ перейдем теперь к новым координатам $f_i(x,y)$.

Прямое вычисление показывает, что относительно новых локальных координат (при неизменных координатах $x_i,w_j$) матрица оператора $\mathcal E$ будет постоянной, т. е. мы получили $\mathcal E$-структуру в рассматриваемой окрестности точки $m_0$. В результате доказано, что $\mathcal E$-структура на алгебре Ли векторных полей многообразия $M$ интегрируема, если тензор Нийенхейса равен нулю (и если распределение $\operatorname{Ker} \mathcal E$ интегрируемо в случае вырожденной $\mathcal E$-структуры). Это завершает доказательство теоремы 1.

Отметим, что в теореме 1 дополнительное условие интегрируемости распределения $\operatorname{Ker} \mathcal E$ отбросить нельзя. Приведем пример, в котором это условие является существенным для существования структуры гладкого $\mathcal E$-многообразия и которое не вытекает из условия, наложенного в теореме 1 на тензор Нийенхейса.

Возьмем $M={\mathbf{R}}^3$ с координатами $x$, $y$, $z$. Рассмотрим на $\mathbf{R}^3$ двумерное распределение, которое задается двумя линейно независимыми в каждой точке нашего многообразия касательными векторными полями $X=\partial/\partial x+y\,\partial/\partial z$, $Y=\partial/\partial y$. Так как $[X,Y] =-\partial /\partial z$, то это двумерное распределение неинтегрируемо. Дополним $X$, $Y$ до базиса векторным полем $Z=\partial/\partial z$. А теперь рассмотрим на касательном расслоении к $\mathbf{R}^3$ вырожденную $\mathcal E$-структуру, которая задается в базисе $X$, $Y$, $Z$ таким образом:

Здесь $\operatorname{Ker} \mathcal E$ – распределение, натянутое на $Y$, $Z$, а распределение $\operatorname{Im} \mathcal E$ натянуто на $Y$. Распределение $\operatorname{Ker} \mathcal E$, как мы видим, не является интегрируемым. Распределение же $\operatorname{Im} \mathcal E$ одномерно и потому интегрируемо. Построенная нами $\mathcal E$-структура не будет интегрируемой (т. е. не порождается гладкой $\mathcal E$-структурой на многообразии ${\mathbf{R}}^3$), хотя тензор Нийенхейса для нее, как нетрудно проверить, равен нулю. При этом одномерное распределение $\operatorname{Im} \mathcal E$ интегрируемо, так как оно одномерно.

Отметим также, что на двумерном многообразии (в частности, на плоскости ${\mathbf{R}}^2$) любая $\mathcal E$-структура интегрируема. Это следует из того, что соответствующее распределение для $\operatorname{Ker}$ или $\operatorname{Im}$, если оно нетривиально (т. е. имеет размерность, отличную от 0 или 2) будет одномерно и потому интегрируемо.

§ 3. $\mathcal E$-структуры на алгебрах Ли

В этом параграфе мы сопоставим каждому $\mathcal E$-многообразию алгебру Ли векторных полей, которая имеет структуру $\mathcal E$-алгебры Ли. Такого рода алгебры Ли (в конечномерном случае) были подробно изучены в статье [5]. Здесь будут приведены некоторые результаты из этой статьи, которые будут полезны для изучаемой нами ситуации.

Прежде всего отметим, что пространство $T(M)$ касательного расслоения над $\mathcal E$-многообразием имеет естественную структуру $\mathcal E$-многообразия, ибо действие оператора $\mathcal E$ на $M$ продолжается, как уже отмечалось выше, на касательные пространства, а потому и на $T(M)$.

Пусть $M$ – это некоторое гладкое $\mathcal E$-многообразие (например, некоторое $\mathcal E$-подмногообразие в ${\mathbf{R}}^n$). Среди всех гладких векторных полей (гладких сечений касательного расслоения) на $M$ выделим те, которые являются $\mathcal E$-гладкими сечениями этого расслоения. По-другому говоря, нужные нам векторные поля – это сопоставления каждой точке многообразия касательного вектора, которые $\mathcal E$-гладко зависят от точки приложения. Множество всех таких векторных полей на $M$ обозначим $\Phi_\mathcal{E}(M)$. Ясно, что $\Phi_\mathcal{E}(M)$ – векторное подпространство в алгебре Ли $\Phi(M)$ всех гладких векторных полей на $M$. Векторные поля из $\Phi_\mathcal{E}(M)$ можно представить в виде линейных комбинаций векторных полей $\partial /\partial z_i$ и $\partial /\partial w_i$.

В наших координатах в пределах одной карты оператор $\mathcal E$ постоянен, т. е. его матричные элементы постоянны. А потому коммутатор векторных полей (вычисляемый с помощью производных) линеен относительно действия оператора $\mathcal E$. Тем самым доказано следующее утверждение.

Отметим, что $\mathcal E$-алгебрам Ли посвящены статьи [3], [5]. Некоторые утверждения из них справедливы не только для конечномерных алгебр Ли (которым были посвящены эти статьи), но и для произвольных $\mathbf{D}$-алгебр Ли (которые мы здесь стали называть $\mathcal E$-алгебрами Ли). Сформулируем без доказательства некоторые аналоги для $\Phi_\mathcal{E}(M)$ утверждений из [5].

Интересен вопрос о том, что представляют собой факторалгебры алгебры Ли $\Phi_\mathcal{E}(M)$ по ее абелевым идеалам $\operatorname{Im} \mathcal E $ и $\operatorname{Ker} \mathcal E $. Мы рассмотрим только факторалгебру по большему из этих двух идеалов: по $\operatorname{Ker} \mathcal E $. Ясно, что индуцированная $\mathcal E$-структура на $\Phi_\mathcal{E}(M)/\operatorname{Ker} \mathcal E$ тривиальна, т. е. соответствующий оператор $\mathcal E$ – нулевой. Поэтому полученная факторизацией алгебра Ли – обозначим ее $\Phi^\ast$ – это самая обыкновенная вещественная алгебра Ли. Можно было бы предположить, что ее можно рассматривать как алгебру Ли всех гладких векторных полей на некотором многообразии, тесно связанном с $M$ (например, полученного некоторой его факторизацией). Однако в полной мере такого рода утверждение неверно. В качестве естественной факторизации исходного многообразия $M$ можно было бы рассматривать его факторизацию по $\operatorname{Ker} \mathcal E$-слоению, т. е. построить его как состоящее из всех листов этого слоения с естественной фактортопологией. Однако на таком пути возникает нетривиальная проблема – листы этого слоения необязательно замкнуты, и потому соответствующее факторпространство $M^\ast$ наделить хаусдорфовой топологией и получить некоторое гладкое многообразие не удается. А ведь именно это факторпространство было бы самым естественным кандидатом на такое пространство, где алгебра Ли векторных полей была бы изоморфна $\Phi^\ast$. (Здесь можно углубиться в абстрактные конструкции и рассматривать подходящие обобщения понятия гладкого многообразия (нечто подобное делается в алгебраической геометрии), но мы этим заниматься не станем.)

В заключение этого параграфа приведем одну конструкцию дуальных алгебр Ли, которая будет использована ниже при построениях примеров дуальных групп Ли, дуальных однородных пространств и натуральных геометрий. Речь пойдет о тензорных произведениях вещественных алгебр Ли на алгебру дуальных чисел $\mathbf{D}$ (возможно вместо $\mathbf{D}$ использовать и более общие конечномерные коммутативные и ассоциативные алгебры, например, алгебру плюральных чисел или алгебры вида $\mathbf{D} \otimes \mathbf{D} \otimes \dots \otimes \mathbf{D}$). Конструкция тензорного произведения алгебр Ли на конечномерные алгебры была уже рассмотрена (по другому поводу) автором в статье [9].

Пусть $g$ – некоторая конечномерная вещественная алгебра Ли (можно рассматривать и бесконечномерные алгебры Ли, но нам это здесь не понадобится). Рассмотрим тензорное произведение $g \otimes \mathbf{D}$. Это – векторное пространство вдвое большей размерности, чем размерность $g$, и на нем естественно вводится структура алгебры Ли. А именно, $g \otimes \mathbf{D}$ порождено парами $(X,z)$, где $X \in g$, $z \in D$. Если $e_1,\dots, e_n$ – некоторый базис в $g$, то соответствующий ему базис в $g \otimes \mathbf{D}$ имеет вид $e_1,\dots, e_n, \epsilon e_1, \dots,\epsilon e_n$. Структура алгебры Ли на векторном пространстве $g \otimes \mathbf{D}$ вводится следующим образом: $[(X,z), (Y,w)]=([X, Y ], zw)$. Из коммутативности и ассоциативности алгебры $\mathbf{D}$ легко выводится, что так определенная операция коммутирования превращает $g \otimes \mathbf{D}$ в (конечномерную) алгебру Ли. Более точно, коммутативность алгебры $\mathbf{D}$ нужна для того, чтобы операция коммутирования на $g \otimes \mathbf{D}$ была антикоммутативной. Справедливость тождества Якоби для $g \otimes \mathbf{D}$ использует ассоциативность алгебры $\mathbf{D}$.

Ясно, что для произвольной вещественной алгебры Ли $g$ алгебра Ли $g \otimes \mathbf{D}$ является $\mathbf{D}$-алгеброй Ли, т. е. имеет естественную $\mathcal E$-структуру, причем невырожденную. Тем самым мы получаем метод построения множества примеров алгебр Ли с невырожденной $\mathcal E$-структурой. Например, из алгебры Ли $\operatorname{gl}_n(\mathbf{R})$ мы получаем алгебру Ли $\operatorname{gl}_n(\mathbf{D})$. Из двумерной разрешимой алгебры Ли $r_2$ (задаваемой в подходящем базисе соотношением $[X,Y]=Y$) мы получаем четырехмерную вещественную разрешимую алгебру Ли, имеющую невырожденную $\mathcal E$-структуру.

Если алгебра Ли $g$ разрешима (или нильпотентна), то и алгебра Ли $g \otimes \mathbf{D}$ тоже будет разрешима (нильпотентна), причем того же класса разрешимости (нильпотентности). А вот полупростой алгебра Ли $g \otimes \mathbf{D}$ не будет, как легко понять, никогда.

Отметим важное для нас (при построении натуральных геометрий в § 5) свойство тензорного произведения. Если $h$ – некоторая подалгебра Ли в алгебре Ли $g$, то естественное вложение $h$ в $g$ порождает вложение $h \otimes \mathbf{D}$ в $g \otimes \mathbf{D}$. Чтобы убедиться в этом, достаточно выбрать такой базис в $g$, часть векторов которого образует базис в $h$, и применить данное выше описание тензорного произведения.

§ 4. $\mathcal E$-теория Ли

Классическая теория Ли образована тремя теоремами. Первая и вторая теоремы, вместе взятые, утверждают, говоря современным языком, что группе Ли соответствует алгебра Ли (той же размерности, что и исходная группа Ли). А третья теорема утверждает обратное – что каждой алгебре Ли соответствует группа Ли (у самого С. Ли речь шла при этом о локальных группах Ли). Ясно, что для $\mathcal E$-теории Ли первая и вторая теоремы Ли уже были фактически доказаны выше. Остается рассмотреть только $\mathcal E$-вариант третьей теоремы Ли.

Выше было дано определение $\mathcal E$-многообразий. По стандартной схеме (уже использованной автором в [3], [5]) вводится понятие $\mathcal E$-группы Ли, а также понятие действия $\mathcal E$-группы Ли на $\mathcal E$-многообразии. Например, $\mathcal E$-группы Ли $G$ – это такие группы Ли, которые имеют $\mathcal E$-структуру на группе Ли $G$ как на многообразии и на отображениях, входящих в стандартное определение группы Ли (имеются в виду отображение группового умножения и отображение обратного элемента, которые должны быть $\mathcal E$-гладкими). Выше уже отмечалось, что на многообразии и на действующей на нем группе Ли мы допускаем наличие $\mathcal E$-структур разного ранга. Например, на группе Ли $G$ можно рассматривать $\mathcal E $-структуру ранга $0$. В этом случае оператор $\mathcal E$ равен нулю и $\mathcal E$-группа Ли оказывается обычной группой Ли, и действие этой группы Ли $G$ на многообразии $M$ с нетривиальной $\mathcal E$-структурой – это действие обычной группы Ли на многообразии, сохраняющее на нем $\mathcal E$-структуру.

Касательное пространство $\mathcal E$-группы Ли в ее единичном элементе естественным образом имеет структуру $\mathcal E$-алгебры Ли. Далее, естественным стандартным образом определяется понятие $\mathcal E$-действия $\mathcal E$-группы Ли на многообразии с $\mathcal E$-структурой. Это действие задается $\mathcal E$-гладким отображением $G \times M \to M$ при условии выполнения обычных соотношений, задающих действие группы на множестве. В частности, мы имеем стандартное определение однопараметрической подгруппы в категории $\mathcal E$-объектов (причем параметр подгруппы принимает значения из $D$, хотя иногда можно ограничиться и одними только вещественными значениями параметра). Действие же произвольной группы Ли на $\mathcal E$-многообразии можно определить как гладкий гомоморфизм этой группы Ли в группу $\mathcal E$-диффеоморфизмов $\mathcal E$-многообразия $M$.

Нас сейчас будут интересовать пока только группы Ли, а точнее – аналог теории Ли (о связях групп Ли и алгебр Ли) в $\mathcal E$-категории.

Из сказанного в предыдущем параграфе следует, что $\mathcal E$-группе Ли $G$ соответствует некоторая $\mathcal E$-алгебра Ли – это алгебра Ли левоинвариантных векторных $\mathcal E$-полей на $G$. Это дает нам фактически первую и вторую теоремы Ли. Теперь нужно обосновать и третью теорему Ли о том, что любой конечномерной алгебре Ли (речь, конечно, идет об объектах в $\mathcal E$-категории) соответствует некоторая связная $\mathcal E$-группа Ли. При этом далее покажем, что если такая группа Ли односвязна, то она определяется исходной алгеброй Ли однозначно с точностью до $\mathcal E$-изоморфизма.

Итак, пусть $L$ – некоторая конечномерная вещественная $\mathcal E$-алгебра Ли. Как и всякой конечномерной вещественной алгебре Ли ей соответствует (по классической третьей теореме Ли) некоторая связная $\mathcal E$-группа Ли $G$. Отметим, что долгое время доказательства третьей теоремы Ли были довольно громоздкими, но затем было дано и прямое, достаточно короткое доказательство (см. [10], а также более позднюю статью [11], в которой, по словам ее автора, было дано “такое же” доказательство, что и в указанной там статье [10]).

Доказательство. Существование группы Ли $G$ с заданной конечномерной вещественной алгеброй Ли $L$ – это в точности классическая третья теорема Ли. Нам остается только убедиться, что на группе Ли $G$ имеется естественная $\mathcal E$-структура.

Для начала нужно доказать, что заданная на алгебре Ли $L$ $\mathcal E$-структура порождает интегрируемую $\mathcal E$-структуру на $G$.

Итак, пусть на алгебре Ли $L$ задан оператор $\mathcal E$, для которого $\mathcal E^2=0$. Рассмотрим $G$-инвариантную $\mathcal E$-структуру, получающуюся разнесением по группе Ли $G$ оператора $\mathcal E$, изначально заданного только на алгебре Ли $L$ – касательном пространстве в единичном элементе группы Ли $G$. Мы хотим доказать, что эта структура интегрируема, т. е. в подходящих локальных координатах на $G$ матрицы оператора $\mathcal E$ постоянны.

Для этого проверим доказанное в теореме 1 условие Фробениуса для интегрируемости – равенство нулю тензора Нийенхейса (плюc условие интегрируемости распределения $\operatorname{Ker} \mathcal E$ для случая вырожденной $\mathcal E$-структуры). У нас по условию $\mathcal E [X,Y]=[\mathcal E X,Y]=[X,\mathcal E Y]$ и $\mathcal E^2=0$, а потому в тензоре Нийенхейса $N_\mathcal{E}(u,v) =[\mathcal E \widetilde u, \mathcal E\widetilde v\,]-\mathcal E[\mathcal E\widetilde u,\widetilde v\,]-\mathcal E[\widetilde u, \mathcal E \widetilde v\,]$ каждое из трех слагаемых равно нулю. Далее, распределение $\operatorname{Ker} \mathcal E$ здесь обязательно интегрируемо, так как $\operatorname{Ker} \mathcal E$ – подалгебра Ли (причем даже абелева), и для нее условие теоремы Фробениуса выполнено очевидным образом. Потому в силу теоремы 1 (и для невырожденного и для вырожденного случаев) $\mathcal E$-структура на $L$ интегрируема, т. е. индуцируется некоторой $\mathcal E$-структурой на группе Ли $G$, рассматриваемой пока как многообразие.

Теперь остается только доказать, что полученная на группе Ли $G$, рассматриваемой пока просто как многообразие, $\mathcal E$-структура является структурой $\mathcal E$-группы Ли. Для этого нужно, как и для случая невырожденных $\mathcal E$-структур (см. [5]), показать, что построенная нами (лево)инвариантная $\mathcal E$-структура является и правоинвариантной, что, в свою очередь, эквивалентно инвариантности $\mathcal E$-структуры на алгебре Ли $L$ относительно присоединенного представления алгебры Ли $L$. Инвариантность же $\mathcal E$-структуры на алгебре Ли $L$ относительно присоединенного представления задается условием $\mathcal E [X,Y]= [\mathcal EX,Y]$, которое выполнено, так как алгебра Ли $L$ по условию является $\mathcal E$-алгеброй Ли. Это завершает доказательство теоремы 3.

Ясно теперь, что и любой $\mathcal E$-подалгебре Ли в конечномерной $\mathcal E$-алгебре Ли $L =L(G)$, где $G$ – некоторая $\mathcal E$-группа Ли (т. е. такой подалгебре Ли в алгебре Ли $L$, которая инвариантна относительно действия оператора $\mathcal E$) соответствует связная $\mathcal E$-подгруппа Ли в группе Ли $G$. Тем самым устанавливается взаимно однозначное соответствие между $\mathcal E$-подалгебрами Ли в алгебре Ли некоторой $\mathcal E$-группы Ли $G$ и связными $\mathcal E$-подгруппами Ли в $G$. Далее, имеет место соответствие между гомоморфизмами $\mathcal E$-алгебр Ли и гомоморфизмами (локальными в общем случае и глобальными для односвязных групп Ли) соответствующих $\mathcal E$-групп Ли. Этот факт следует из интерпретации гомоморфизмов как графиков в прямых произведениях и суммах групп Ли и алгебр Ли соответственно. Этим заложены основы теории Ли для $\mathcal E$-категории.

Приведем теперь некоторые примеры групп Ли, имеющих невырожденную $\mathcal E$-структуру. При этом будет использоваться описанная в предыдущем параграфе конструкция алгебр Ли с невырожденной $\mathcal E$-структурой, основанная на понятии тензорного произведения алгебр.

Пусть $G$ – некоторая вещественная односвязная группа Ли. Для ее алгебры Ли $g$ рассмотрим тензорное произведение $g \otimes \mathbf{D}$. Через $G \otimes \mathbf{D}$ обозначим односвязную группу Ли, алгеброй Ли которой является $g \otimes \mathbf{D}$. В силу сказанного выше в этом параграфе на группе Ли $G \otimes \mathbf{D}$ имеется естественная невырожденная $\mathcal E$-структура. Тем самым мы получаем возможность строить множество примеров групп Ли, имеющих невырожденные $\mathcal E$-структуры.

Отметим, что если $H$ – связная подгруппа Ли в односвязной группе Ли $G$ (необязательно замкнутая), то в группе Ли $G \otimes \mathbf{D}$ ей соответствует связная подгруппа Ли, локально изоморфная $\widetilde H \otimes \mathbf{D}$, где $\widetilde H$ – односвязная группа Ли, универсальная накрывающая для $H$. Это вытекает из указанного выше факта существования естественного вложения подалгебры $h \otimes \mathbf{D}$ в $g \otimes \mathbf{D}$.

§ 5. Алгебры и группы Ли симметрий приближенных дифференциальных уравнений

Мы переходим к рассмотрению некоторых приложений построенной в предыдущих параграфах $\mathcal E$-теории Ли. В данном параграфе будем рассматривать вычисление групп симметрий приближенных дифференциальных уравнений. Полученные группы Ли оказываются имеющими $\mathcal E$-структуру (обычно нетривиальную), и потому к изучению таких дифференциальных уравнений уместно применить методы, развитые выше в данной статье. При этом отметим, что вообще при изучении симметрий дифференциальных уравнений имеет место довольно парадоксальная ситуация. Исходным пунктом исследований С. Ли было именно изучение групп симметрий дифференциальных уравнений. Он рассматривал только локальные преобразования и ему удалось свести задачу о вычислении групп симметрий к вычислению инфинитезимальных объектов, которые в дальнейшем стали называть алгебрами Ли. Большую часть своих исследований С. Ли посвятил именно изучению этих инфинитезимальных объектов. Что касается групп (в дальнейшем получивших наименование групп Ли), то он ограничивался рассмотрением только однопараметрических групп, соответствующих отдельным элементам алгебр Ли (которые в совокупности образовывали базис этой алгебры Ли). И эта тенденция сохранялась до самого недавнего времени. Исследования в этой области именовались “групповым анализом дифференциальных уравнений” (см., например, книги [12], [13]). Несмотря на упоминание групп в названиях этих (и практических всех) сочинений на данную тему, на самом деле рассматривались (в частности, явно вычислялись для отдельных дифференциальных уравнений) только соответствующие алгебры Ли векторных полей. Что же касается групп Ли, то дело ограничивалось вычислением однопараметрических групп преобразований дифференциальных уравнений, которые соответствовали базисным векторным полям этих алгебр Ли. Вычисления же в целом групп Ли (даже локальных групп Ли) симметрий изучаемых дифференциальных уравнений не проводилось. Иногда по виду алгебры Ли симметрий все же можно усмотреть, какова будет соответствующая группа симметрий (например, если видно, что алгебра Ли является алгеброй Ли конформной группы, то эта группа и будет группой симметрий – с точностью до подгруппы конечного индекса и конечнолистного накрытия). Возможно, это было связано с тем, что переход к группам Ли (особенно глобально заданным) требовал дополнительных усилий от авторов, которые они не видели необходимости делать. Та же тенденция продолжилась и тогда, когда начали изучать приближенные симметрии приближенных дифференциальных уравнений. Начиная с основополагающей в этом направлении статьи [1], проводилось только вычисление алгебр Ли приближенных симметрий (точнее, базисов этих алгебр Ли, состоящих из векторных полей). Что касается описания глобальных групп преобразований приближенных уравнений, то косвенно отмечалось наличие в соответствующих алгебрах Ли некоторой дополнительной структуры, которая только в статье [6] была описана в полной мере и связана с понятиям $\mathcal E$-алгебр Ли (используя терминологию данной статьи). Что же касается соответствующих групп преобразований, то видимо, только в данной статье дано достаточно полное описание соответствующей $\mathcal E$-структуры (некоторые рассмотрения такого рода уже появлялись в статье [5]). Ниже эта тема будет рассмотрена более подробно. Также будет приведен пример вычисления глобальной группы Ли приближенных симметрий дифференциального уравнения. Для этого, наряду с понятиями $\mathcal E$-многообразия и $\mathcal E$-групп Ли, естественно рассматривать и $\mathcal E$-действия таких групп Ли на таких многообразиях. Определение действия было дано выше (см. также [5]).

Рассмотрим теперь применение теоремы 3, доказанной в предыдущем параграфе, к изучению симметрий дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр. Общий подход здесь таков: система дифференциальных уравнений задается как подмногообразие в некотором многообразии (являющемся продолжением некоторого исходного многообразия $M$). Для приближенных дифференциальных уравнений и их систем теорема 3 приводит к утверждению о существовании естественной $\mathcal E$-структуры на группе Ли приближенных симметрий, если та конечномерна. А именно, имеет место следующее утверждение.

Отметим, что использование $\mathcal E$-структур – не единственный подход к приближенному решению приближенных уравнений. Например, здесь можно было бы использовать и методы нестандартного анализа (основанные на построении нестандартного расширения поля $\mathbf{R}$). Но эти два подхода существенно различны: в нестандартном анализе используют “бесконечно малые” всех возможных порядков, а при $\epsilon$-методе – только первого порядка (хотя можно было бы расширить здесь порядок бесконечно малых, но все равно только до некоторого конечного порядка).

Рассмотрим теперь один пример явного вычисления алгебры Ли и группы Ли приближенных симметрий приближенного дифференциального уравнения. Для этого возьмем самое первое из рассмотренных в основополагающей статье [1] уравнений (см. также [2], где приведены подробности вычислений результата из [1]). В указанной статье вычисляются, как обычно, не группы приближенных симметрий, а только соответствующие алгебры Ли, которые задаются своими базисами, образованными векторными полями. Что касается алгебраической структуры этих алгебр Ли (не говоря уже о соответствующих группах Ли), то она в указанной статье, как и обычно во всех статьях подобного рода, не выявлена. Мы же подробно опишем алгебраическое строение соответствующей алгебры Ли приближенных симметрий, $\mathcal E$-структуру на ней и соответствующую $\mathcal E$-группу Ли.

Рассмотрим, следуя [1], уравнение вида $u_{tt} +\epsilon u_t=(\phi (u)u_x)_x$ для функции $u=u(x,t)$, возникающее в различных прикладных задачах. При этом ограничимся случаем, когда $\phi(u)=u^{-4/3}$ (см. [1; с. 448]).

Итак, симметрии приближенного уравнения $u_{tt}+\epsilon u_t= (u^{-4/3} u_x)_x$ – это достаточно непростой случай, ибо алгебра Ли приближенных симметрий здесь имеет размерность $10$. Но на этом примере будет показано, как можно рассуждать и вычислять при рассмотрении приближенных симметрий многих других дифференциальных уравнений.

Алгебра Ли точных симметрий (говоря здесь об алгебрах Ли, мы всегда будем иметь в виду, что речь идет об инфинитезимальных симметриях) этого уравнения имеет размерность $4$ и задается базисом из следующих векторных полей (мы сохраняем их нумерацию, использованную в [1], хотя при описании строения этой алгебры Ли такая нумерация не очень удобна):

Мы будем рассматривать алгебру Ли размерности $10$, которую обозначим через $L_{10}$, и базис которой образован векторными полями

Рассмотрим теперь строение этой четырехмерной алгебры Ли. Ясно, что элемент $X_1$ централен, а коммутант $[L_4,L_4]$ натянут на векторы $X_2$, $X_4$, $X_5$. Как легко понять, здесь трехмерная алгебра Ли $[L_4,L_4]$ изоморфна простой алгебре Ли $\operatorname{sl}_2(\mathbf{R})$ (наши рассмотрения ведутся над полем $\mathbf{R}$). Натянутая на $X_4$ одномерная подалгебра Ли – картановская в алгебре Ли $[L_4,L_4]$, а одномерные подалгебры Ли, натянутые на $X_2$ и $X_5$ – корневые. Из центральности элемента $X_1$ (на самом деле центральность здесь нам особо и не нужна, достаточно одномерности этой подалгебры Ли) и простоты подалгебры Ли $[L_4,L_4]$ вытекает, что алгебра Ли $L_4$ изоморфна прямой сумме ${\mathbf{R}} \oplus \operatorname{sl}_2(\mathbf{R})$ или, что эквивалентно, редуктивной алгебре Ли $\operatorname{gl}_2(\mathbf{R})$. Этим исчерпывается описание алгебры Ли $L_4$, если рассматривать ее с точностью до изоморфизма. Но на самом деле нам она в большей мере важна как подалгебра Ли в алгебре Ли $L_{10}$. В этой роли она будет рассмотрена ниже.

Переходим к рассмотрению всей алгебры Ли $L_{10}$. Ее можно представить в виде прямой суммы двух подпространств – подалгебры Ли $L_4$ и векторного подпространства, натянутого на базисные векторы $X_3$, $X_6$, $X_7$, $X_8$, $X_9$, $X_{10}$. На самом деле это подпространство, как легко убедиться (учитывая, что $\epsilon ^2=0$), является подалгеброй Ли, которую мы обозначим через $L_6$. Тем самым мы имеем разложение алгебры Ли $L_{10}$ в точную сумму двух подалгебр Ли $L_4$ и $L_6$ (точность означает, что пересечение этих двух подалгебр Ли тривиально). Однако подалгебра Ли $L_6$ не является идеалом в $L_{10}$ (как и $L_4)$. Чтобы убедиться в этом, вычислим коммутатор $[X_1,X_3]$ (взяв по одному элементу из $L_4$ и $L_6$). Это вычисление не совсем тривиально, поэтому мы приведем его полностью.

Наша стратегия описания алгебры Ли $L_{10}$ будет такова: мы получим ее разложение в полупрямую сумму ее полупростой части (фактора Леви) и радикала (максимального разрешимого идеала). Другими словами, мы укажем разложение Леви для алгебры Ли $L_{10}$. Для этого к базисным векторам, на которые натянута подалгебра Ли $L_6$, мы добавим еще вектор $X_1$ и рассмотрим в $L_{10}$ семимерное подпространство, натянутое на векторы $X_1$, $X_3$, $X_6$, $X_7$, $X_8$, $X_9$, $X_{10}$. Как нетрудно вывести из коммутационных соотношений алгебры Ли $L_{10}$ (в частности, используя полученное выше выражение для $[X_1,X_3]$), это подпространство, которое мы обозначим через $R$, является идеалом в $L_{10}$, причем разрешимым. А так как факторалгебра по нему проста (она изоморфна $\operatorname{sl}_2(\mathbf{R})$), то $R$ – это радикал алгебры Ли $L_{10}$. Поэтому имеем разложение Леви $L_{10}=\operatorname{sl}_2({\mathbf{R}}) +R$. Теперь нам нужно описать строение радикала $R$ и действие полупростой части, изоморфной $\operatorname{sl}_2(\mathbf{R})$, на этом радикале (это действие задается гомоморфизмом $\operatorname{sl}_2({\mathbf{R}}) \to \operatorname{Der} (R)$ в алгебру дифференцирований алгебры Ли $R$, который, в частности, является семимерным линейным представлением простой алгебры Ли $\operatorname{sl}_2(\mathbf{R})$).

Опишем строение радикала $R$ – разрешимой семимерной алгебры Ли. Рассмотрим в ней шестимерное подпространство, натянутое на базисные векторы $X_1$, $X_6$, $X_7$, $X_8$, $X_9$, $X_{10}$ (т. е. мы просто отбросим вектор $X_3$). Теперь мы используем следующие коммутационные соотношения, имеющие место в $L_{10}$: $[X_1, X_i]=0$ при $i=6,7,9,10$ и $[X_1, X_8]= X_6$. Получаем тогда шестимерное подпространство – идеал в $R$, причем, как легко проверить, нильпотентный. А так как сама разрешимая алгебра Ли $R$ не является нильпотентной, то этот идеал является нильрадикалом в $R$ (т. е. максимальным нильпотентным идеалом). Поэтому этот идеал обозначим через $N$. Он также является нильрадикалом и в $L_{10}$. Опишем алгебраическое строение идеала $N$. Для этого представим $N$ в виде суммы одномерной подалгебры Ли $\langle X_1 \rangle$, натянутой на $X_1$, и пятимерного подпространства, натянутого на векторы $X_6$, $X_7$, $X_8$, $X_9$, $X_{10}$. Понятно, что это пятимерное подпространство является абелевым (это сразу следует из $\epsilon^2=0$) идеалом в $N$. Поэтому получаем разложение в полупрямую сумму $N=\langle X_3 \rangle +_\psi {\mathbf{R}}^5$. Гомоморфизм $\psi \colon \langle X_1 \rangle \to \operatorname{gl}_5(\mathbf{R})$ (в пространство вещественных матриц порядка $5$) однозначно задается действием элемента $X_3$ на ${\mathbf{R}}^5$, т. е. некоторой матрицей порядка $5$. Из коммутационных соотношений, приведенных выше (коммутирования с вектором $X_1$) получаем, что эта матрица есть прямая сумма жордановой клетки порядка $2$ с нулевым собственным значением (жорданов базис для этой клетки – это векторы $X_6=\epsilon X_1, X_8=\epsilon X_3$) и нулевой матрицы порядка $3$. Отсюда сразу выводим, что нильпотентная шестимерная алгебра Ли $N$ изоморфна прямой сумме $n_3({\mathbf{R}}) \oplus {\mathbf{R}}^3$. Здесь $n_3(\mathbf{R})$ – это трехмерная нильпотентная алгебра Ли (она – единственная неабелева нильпотентная трехмерная алгебра Ли). В частности, коммутант алгебры Ли $N$ одномерен, а центр имеет размерность $4$ (оба указанных идеала характеристичны в $N$ и в $R$). Подалгебра Ли $n_3(\mathbf{R})$ (первое прямое слагаемое) имеет своим базисом векторы $X_1$, $X_6$, $X_8$, а трехмерный абелев идеал ${\mathbf{R}}^3$ (второе прямое слагаемое) натянут на векторы $X_7$, $X_9$, $X_{10}$. Из сказанного выше получаем разложение радикала $R$ в полупрямую сумму вида $R=\langle X_3 \rangle+(n_3({\mathbf{R}}) \oplus {\mathbf{R}}^3)$.

Чтобы завершить описание радикала $R$, нам нужно описать действие элемента $ X_3 $ на $n_3({\mathbf{R}}) \oplus {\mathbf{R}}^3$. Это мы получим из коммутационных соотношений, в которых участвуют вектор $X_3$ и векторы $X_1$, $X_6$, $X_7$, $X_8$, $X_9$, $X_{10}$. Прямое вычисление дает такие соотношения:

Последний шаг в описании десятимерной алгебры Ли приближенных симметрий – это нахождение действия фактора Леви $\operatorname{sl}_2(\mathbf{R})$ на радикале $R$. Формально это действие представляет собой некоторое семимерное представление $\operatorname{sl}_2({\mathbf{R}}) \to \operatorname{gl}_7(\mathbf{R})$, причем такое, что его образ содержится в алгебре Ли дифференцирований алгебры Ли $R$. Но на самом деле оказывается достаточным описание представления алгебры Ли $\operatorname{sl}_2(\mathbf{R})$ на четырехмерном пространстве. Дело в том, что в алгебре Ли $R$ имеется нильрадикал коразмерности $1$ (который является характеристическим идеалом), а в нем – центр коразмерности $1$ и коммутант размерности $1$. Но так как алгебра Ли $\operatorname{sl}_2(\mathbf{R})$ не имеет нетривиальных одномерных представлений, а ее действие всегда вполне приводимо, то ее представление на $R$ распадается в прямую сумму трех тривиальных одномерных представлений (на $[N,N]$ и факторах $R/N$, $N/Z(N)$ и представления на четырехмерном подфакторе $Z(N)/[N,N]$). Нетрудно проверить, исходя из коммутирования вектора $X_4$ с векторами из $R$, что указанное четырехмерное представление алгебры Ли $\operatorname{sl}_2(\mathbf{R})$ есть прямая сумма присоединенного (трехмерного) представления $ad$ алгебры Ли $\operatorname{sl}_2(\mathbf{R})$ и одномерного тривиального представления. В результате действие фактора Леви $\operatorname{sl}_2(\mathbf{R})$ на радикале есть прямая сумма присоединенного представления и тривиального четырехмерного. Исходя из коммутационных соотношений, можно конкретизировать описание этого представления алгебры Ли как гомоморфизма $\operatorname{sl}_2(\mathbf{R})$ в алгебру Ли дифференцирований радикала $R$. Но такое уточнение довольно громоздко и потому здесь не приводится.

В результате мы получили полное алгебраическое описание алгебры Ли $L_{10}$ приближенных симметрий приближенного уравнения $u_{tt} +\epsilon u_t=(u^{-4/3} u_x)_x$. Это потребовало довольно значительных вычислений, однако автор сознательно выбрал далеко не самый простой пример, ибо при этом удается показать некоторые типичные методы теории алгебр Ли, которые могут оказаться полезными и при вычислениях для других уравнений. Наш следующий шаг – явное указание $\mathcal E$-структуры на алгебре Ли $L_{10}$.

Опишем в явном виде $\mathcal E$-структуру на алгебре Ли $L_{10}$. Из самой записи базиса алгебры Ли $L_{10}$ в виде $X_1$, $X_2$, $X_3$, $X_4$, $X_5$, $\epsilon X_1$, $\epsilon X_2$, $\epsilon X_3$, $\epsilon X_4$, $\epsilon X_5$ видно, что в этом базисе оператор $\mathcal E$ записывается в виде блочной матрицы (состоящей из четырех блоков порядка $5$ каждый) $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ E & 0 \end{bmatrix}$. Если мы приведенный выше базис разобьем на пары $X_i$, $\epsilon X_i$, $i=1,2,3,4,5$, то матрица оператора $\mathcal E$ в этом базисе представится в виде прямой суммы $J_2(0) \oplus J_2(0) \oplus J_2(0) \oplus J_2(0) \oplus J_2(0)$ пяти экземпляров жордановой клетки порядка $2$, соответствующей нулевому собственному значению. В частности, очевидно, что в нашем случае $\mathcal E $-структура невырождена и $\operatorname{Ker} \mathcal E$, $\operatorname{Im} \mathcal E$ – пятимерные подпространства. Отметим, что $\operatorname{Ker} \mathcal E $ содержит весь фактор Леви $\operatorname{sl}_2(\mathbf{R})$ и еще два базисных вектора, лежащих в радикале $R$. Остальные базисные векторы лежат в радикале.

Заключительный шаг нашего исследования приближенных симметрий дифференциального уравнения – это указание группы Ли таких симметрий. Именно этот шаг при изучении приближенных симметрий не делается – обычно ограничиваются предъявлением алгебры Ли приближенных симметрий (инфинитезимальных), да и то не в виде описания алгебры Ли в целом, а через выписывание базисных векторных полей и, иногда, соответствующих этим векторным полям однопараметрических групп симметрий (которые, конечно, порождают и всю группу Ли симметрий, но при этом строение этой группы остается неясным).

В нашем случае группа приближенных симметрий локально изоморфна полупрямому произведению трехмерной простой группы Ли $\operatorname{SL}_2(\mathbf{R})$ и семимерного разрешимого радикала, нильрадикал которого имеет коразмерность $1$ и есть прямое произведение $N_3({\mathbf{R}}) \times {\mathbf{R}}^3$ (здесь $N_3(\mathbf{R})$ – это группа Ли, состоящая из унипотентных вещественных матриц порядка $3$, ее алгеброй Ли является $n_3(\mathbf{R})$).

Мы получили полное описание группы и алгебры Ли симметрий уравнения $u_{tt} +\epsilon u_t= k(u^{-4/3} u_x)_x$. Предположительно это может быть эффективно использовано при исследовании физических процессов, описываемых этим уравнением. Но это находится вне рамок данной статьи.

§ 6. Натуральная геометрия Ельмслева в рамках программы Клейна

Здесь мы рассмотрим еще одно применение понятия $\mathcal E$-структур на многообразиях и на группах Ли. Речь пойдет о развитии понятия “натуральной геометрии” И. Ельмслева.

Рассмотрим аффинное пространство $\mathbf{D}^n$ (иногда его можно считать и векторным пространством), которое можно рассматривать и как конечномерный свободный $\mathbf{D}$-модуль. Отметим, что в любом свободном $\mathbf{D}$-модуле по определению существует некоторый базис, однако, в отличие от конечномерных свободных модулей над полями, над $\mathbf{D}$ не всякая система линейно независимых векторов может быть дополнена до базиса. Пространство $\mathbf{D}^n$ является векторным пространством с невырожденной $\mathcal E$-структурой (о которых см. выше, а также [5]). Его мы будем рассматривать и как аффинное (или векторное) пространство над алгеброй $\mathbf{D}$, и над полем $\mathbf{R}$, т. е. как $2n$-мерное вещественное координатное аффинное (или векторное) пространство. Пусть $z \in \mathbf{D}^n $ – некоторая точка. Ее будем записывать в виде набора координат $(z_1,\dots, z_n)$, где $z_i=x_i+\epsilon y_i \in \mathbf{D}$. Точку с координатами $(x_1,\dots, x_n) \in \mathbf{R}^n \subset \mathbf{D}^n$ будем называть геометрической точкой или геометрической компонентой точки $z$. А точку с координатами $\epsilon y_1,\dots, \epsilon y_n$ будем называть виртуальной компонентой точки $z$. Саму же точку $z$ будем называть приближенной или, иногда, натуральной точкой. Для геометрической точки $z^0$ ее инфинитезимальной окрестностью назовем множество точек вида $z^0+\epsilon y$ для произвольных вещественных векторов $y$.

В пространстве $\mathbf{D}^n$ естественным образом вводятся понятия прямых, плоскостей и аффинных линейных подпространств произвольной размерности (конечно, не большей, чем $n$). Прямой $l$ в $\mathbf{D}^n$ называется множество натуральных точек, задаваемых параметрическими уравнениями

Аналогично, через три различные точки может проходить в трехмерном пространстве $\mathbf{D}^3$ бесконечно много (приближенно равных между собой) двумерных плоскостей и так далее.

Произвольные аффинные подпространства в $\mathbf{D}^n$ можно задавать параметрически, а можно системами линейных уравнений. Например, гиперплоскости удобнее задавать одним уравнением, а задавать прямые системами линейных уравнений неудобно (лучше использовать здесь, как это сделано выше, параметрические уравнения).

Можно, конечно, рассматривать в $\mathbf{D}^n$ и (гипер)поверхности второго порядка. Например, в $\mathbf{D}^3$ рассмотрим уравнение $u^2+v^2+w^2=1$, которое можно рассматривать как уравнение дуальной сферы. Если $u=a+\epsilon b$, $v=c+\epsilon d$, $w=e+\epsilon f$, то указанное уравнение можно переписать в виде $a^2+b^2+c^2+2\epsilon (ab+cd+ef) =1$ или в виде системы двух вещественных уравнений $a^2+b^2+c^2=1$, $ab+cd+ef=0$. Эта система задает в ${\mathbf{R}}^6$ пересечение цилиндра над двумерной сферой, задаваемой уравнением $a^2+b^2+c^2=1$, и конуса, задаваемого квадратичным уравнением $ab+cd+ef=0$ индекса $0$.

Более того, легко построить и $\mathbf{D}$-аналог всей вещественной аналитической геометрии. Но мы здесь в подробности вдаваться не будем.

Рассмотрим теперь, ориентируясь на подход Клейна к геометриям, вопрос об аффинных преобразованиях пространства $\mathbf{D}^n$. Любое такое преобразование является композицией параллельного переноса и преобразования, сохраняющего некоторую точку (например, начало координат). Параллельные переносы описываются, как и в случае обычной евклидовой геометрии, очевидным образом. А вот преобразования, сохраняющие точку, требуют специального рассмотрения на основе понятия линейного преобразования соответствующего векторного пространства.

Произвольное линейное преобразование дуального векторного пространства $\mathbf{D}^n$ задается, как легко понять, матрицей порядка $n$, элементы которой – дуальные числа. Обратимым это преобразование будет тогда и только тогда, когда соответствующая ему матрица невырождена (обратима), т. е. вещественная часть определителя не равна нулю (приближенное равенство определителя нулю здесь не допускается). Множество матриц порядка $n$ с дуальными элементами, определители которых обратимы, обозначим через $\operatorname{GL}_n(\mathbf{D})$. Эта группа может рассматриваться как вещественная группа Ли – замкнутая подгруппа Ли в $\operatorname{GL}_{2n}(\mathbf{R})$. Опишем эту подгруппу явно.

Отождествим $\mathbf{D}^n$ с ${\mathbf{R}}^{2n}$ и рассмотрим в ${\mathbf{R}}^{2n}$ базис, образованный векторами $u_i= (0,0, \dots, 0,1,0, \dots, 0)$ и $v_i= (0,0, \dots, 0,\epsilon,0, \dots, 0)$. Группу $\operatorname{GL}_n(\mathbf{D})$ отождествим с подгруппой в $\operatorname{GL}_{2n}(\mathbf{R})$, состоящей из линейных преобразований, перестановочных с умножением на $\epsilon$. Нетрудно понять, что эта подгруппа состоит из матриц, которые естественным образом записываются в блочном виде $\begin{pmatrix} A&0 \\ B&A \end{pmatrix}$, где $A \in \operatorname{GL}_n(\mathbf{R})$, а $B \in M_n (\mathbf{R})$ (здесь $M_n(\mathbf{R})$ – множество квадратных вещественных матриц порядка $n$, которое можно отождествить с алгеброй Ли $\operatorname{gl}_n(\mathbf{R})$ группы Ли $\operatorname{GL}_n(\mathbf{R})$). Этот факт можно доказать чуть иначе: матрицы из $\operatorname{GL}_n(\mathbf{D})$ образуют централизатор оператора $\mathcal E$, соответствующий умножению на $\epsilon$ (подробнее об этом см. ниже). А этот централизатор как раз и состоит из (блочных) матриц указанного вида. Как элемент группы $\operatorname{GL}_n(\mathbf{D})$ соответствующая матрица имеет вид $A +\epsilon B$. При этом группу Ли $\operatorname{GL}_n(\mathbf{D})$, рассматриваемую как вещественную группу Ли, можно представить в виде полупрямого произведения ${\operatorname{GL}_n({\mathbf{R}}) \times_{\mathrm{Ad}} \operatorname{gl}_n(\mathbf{R})}$, соответствующего присоединенному действию (представлению) $\mathrm{Ad} $ редуктивной группы Ли $\operatorname{GL}_n(\mathbf{R})$ на абелевом идеале, отождествленным с алгеброй Ли $\operatorname{gl}_n(\mathbf{R})$ этой группы Ли. Группу Ли $\operatorname{GL}_n({\mathbf{R}}) \times_{\mathrm{Ad}} \operatorname{gl}_n(\mathbf{R})$ удобно рассматривать как касательную к $\operatorname{GL}_n(\mathbf{R})$ группу Ли (о таких группах Ли подробнее см. [5]). Отметим, что в отличие от случая вещественных линейных преобразований, группа $\operatorname{GL}_n(\mathbf{D})$ не транзитивна на множестве ненулевых векторов. Например, векторы вида $\epsilon y$ здесь не могут перейти в векторы с ненулевой вещественной частью.

В соответствии со сказанным выше группа всех аффинных преобразований пространства $\mathbf{D}^n$ может быть представлена в виде полупрямого произведения группы $\operatorname{GL}_n(\mathbf{D})$ и группы всех параллельных переносов, изоморфной $\mathbf{D}^n$. На этой группе Ли имеется, очевидно, естественная $\mathcal E$-структура. Рассматривая эту группу Ли как вещественную, получаем группу Ли вида $\operatorname{GL}_n({\mathbf{R}}) \cdot \operatorname{gl}_n ({\mathbf{R}}) \cdot {\mathbf{R}}^{2n}$.

В $\operatorname{GL}_{2n}(\mathbf{R})$ вложена подгруппа геометрических линейных преобразований, изоморфная $\operatorname{GL}_n(\mathbf{R})$. Она естественным образом действует на множестве вещественных векторов, т. е. векторов из $\mathbf{D}^n$ с вещественными координатами. Назовем эту подгруппу группой геометрических линейных преобразований – она преобразует друг в друга геометрические точки из $\mathbf{D}^n$. При этом она преобразует и произвольные приближенные векторы, действуя по отдельности на вещественные и виртуальные части векторов.

Теперь, двигаясь в сторону дуальной метрической геометрии, рассмотрим понятия (полу)нормы и изометрии для дуального случая. Можно здесь ввести два разных обобщения евклидовой нормы. Первое – автоматическое обобщение стандартного подхода: для $z \in \mathbf{D}^n $ квадрат нормы $\| z \|^2$ положим равным $\sum z_i^2$. При $z_i=x_i+\epsilon y_i$ получаем $\| z \|^2= \sum_i x_i^2+2 \epsilon\sum_i x_i y_i$. Вообще говоря, эта норма является дуальным числом, и это число больше нуля тогда и только тогда, когда $z$ не равно приближенно $0$. Из дуального положительного числа всегда можно извлечь положительный квадратный корень (см. выше). Поэтому только если $z \approx 0$, то указанная формула для квадрата нормы не дает возможность вычислить саму норму. Однако в этом случае можно просто положить норму равной нулю. Для всех остальных векторов $z$ положительное значение нормы однозначно определено. Эту норму будем называть натуральной нормой. Ясно, что она не будет положительно определена, но ее можно рассматривать как “приближенно положительно определенную”. Второй подход к понятию нормы – взять ее квадрат равным $\sum_i x_i^2$. В этом случае сама норма однозначно определена для любого вектора. Однако и такая норма не будет положительно определенной – она равна нулю, если $z \approx 0$. Но для всех остальных векторов эта норма положительна. Эта норма является обобщением введенной выше (полу)нормы для дуальных чисел. А именно, ее квадрат равен произведению $z \overline z$, где вектор $\overline z$, сопряженный с $z$, определяется естественным образом – покоординатно. Для каждой из этих норм можно ввести понятие изометрий – это будут такие линейные операторы, которые сохраняют рассматриваемую норму, в том числе и при нулевом ее значении. В первой норме изометрии можно назвать натуральными, а во второй – геометрическими.

Группа изометрий геометрической нормы состоит из матриц $Z \in \operatorname{GL}_n(\mathbf{D})$, для которых $Z \cdot Z^T =E$ (где $E$ – единичная матрица) – это $\mathbf{D}$-аналог ортогональной группы $\operatorname{SO}(n)$. Соответствующая алгебра Ли состоит из матриц $W \in \operatorname{gl}_n(\mathbf{D})$, для которых $W+W^T=0$.

Аналогично рассматриваются обобщения понятия скалярного произведения. Например, геометрическое скалярное произведение составлено из суммы попарных произведений вещественных компонент векторов. А приближенное скалярное произведение получается как сумма геометрического скалярного произведения и инфинитезимального слагаемого, равного $\epsilon \Sigma_i (x_i y_i'+x_i' y_i)$. На базе скалярного произведения естественно определяются понятия нормы (которая уже была рассмотрена выше), косинуса угла между векторами и ортогональности векторов, а также понятие ортонормированного базиса. Например, в $\mathbf{D}^n$ имеется естественный ортонормированный базис, составленный из единичных векторов, направленных по координатным осям $e_i= (0,0, \dots, 1, 0,0, \dots, 0)$ (где $1$ стоит на $i$-м месте). Действие линейного оператора однозначно задается матрицей в этом базисе.

Далее, от евклидовой натуральной геометрии можно перейти к неевклидовой. Например, натуральная плоскость Лобачевского – это верхняя полуплоскость в $\mathbf{D}^2$, на которой вторая из двух дуальных координат положительна (при этом мы используем возможность введения отношения порядка для дуальных чисел). Здесь тоже имеются геометрические точки (они образуют верхнюю полуплоскость с обычной метрикой геометрии Лобачевского) и натуральные точки, которые разбиваются на классы приближенно равных геометрическим точкам. Подробности мы здесь обсуждать не будем.

Как известно, Ф. Клейн предложил рассматривать все геометрии (включая и все классические – евклидову, проективную и др.) как пары $(M,G)$, состоящие из многообразия $M$ и группы Ли $G$, транзитивно действующей на $M$. Такой подход к геометриям естественно переносится и в категорию $\mathcal E$-объектов, исходя из понятия $\mathcal E$-однородных пространств. Некоторые сведения об однородных пространствах, снабженных дуальной $\mathcal E$-структурой, можно найти в [5]. К сожалению, некоторые результаты о дуальных однородных пространствах из [5] неточны и нуждаются в исправлении. Речь идет о тех утверждениях статьи [5], в которых используется абелевость стационарной подалгебры Ли и подалгебры Ли $f$ (если предположить ее абелевость, то все утверждения той статьи сохраняются). Краткое описание необходимых исправлений можно найти в [14]. Подробное изложение будет дано в другой статье, специально посвященной однородным пространствам с $\mathcal E$-структурой. Но в данной статье мы не используем указанных неточных утверждений из [5].

При рассмотрении $\mathcal E$-геометрий возникает проблема, которая отсутствует в классических примерах геометрий – евклидовой, неевклидовой, аффинной, римановой и др. Дело в том, что в геометриях, основанных на изучении $\mathcal E$-структур, может оказаться, что естественные подпространства (даже линейные) не всегда наследуют нетривиальную (и вообще какую-нибудь разумную) $\mathcal E$-структуру. Например, геометрические прямые в $\mathbf{D}^n$ не всегда выдерживают умножение на $\epsilon$.

Простейшим примером $\mathcal E$-геометрии является аффинная геометрия, о которой фактически уже шла речь выше. Очевидно, что группа аффинных преобразований аффинного пространства $\mathbf{D}^n$ будет на нем транзитивна. При этом важно отметить, что транзитивность эта достигается во многом за счет подгруппы параллельных переносов. Если в классической аффинной геометрии и группа преобразований, сохраняющих некоторую точку, была почти транзитивна (она транзитивна на дополнении к этой точке), но в $\mathcal E$-ситуации, даже такой “почти транзитивности” уже нет. Поэтому аффинная $\mathcal E$-геометрия имеет свои специфические геометрические особенности.

Описанная выше аффинная геометрия может рассматриваться как натуральная геометрия Ельмслева, изложенная в рамках программы Клейна. Здесь многообразие – это $\mathbf{D}^n$, а транзитивная группа $\operatorname{Aff}(\mathbf{D}^n)$ аффинных преобразований изоморфна $\operatorname{GL}_n(\mathbf{D}^n) \cdot \mathbf{D}^n$.

Отметим, что имеется и еще один подход к геометрии, основанный на понятии бесконечно малых – синтетическая дифференциальная геометрия (см., например, [15]). Там, в частности, вводятся понятия многообразия, группы и алгебры Ли, действия группы Ли на многообразии. Однако она основана не на обычной логике, а на интуиционистской, в которой запрещено использовать доказательства “от противного” (при использовании обычной логики этот подход к дифференциальной геометрии не работает), и потому нами не будет рассматриваться.

Укажем теперь одну довольно общую конструкцию натуральных геометрий. Она основана на уже описанных выше тензорных произведениях на $\mathbf{D}$ алгебр Ли и групп Ли.

Пусть задано односвязное однородное пространство $M=G/H$ односвязной группы Ли $G$. В силу односвязности $M$ стационарная подгруппа Ли $H$ связна. Рассмотрим односвязную группу Ли $G \otimes \mathbf{D}$ и в ней связную подгруппу Ли $H_\mathbf{D}$, соответствующую при тензорном умножении подалгебре Ли $h$ в алгебре Ли $g$ группы Ли $G$. Предположим, что подгруппа Ли $H_\mathbf{D}$ замкнута в $G \otimes \mathbf{D}$ (хотя a priori эта замкнутость нам не гарантирована). Тогда однородное пространство $G \otimes \mathbf{D}/ H_\mathbf{D}$ имеет естественную невырожденную инвариантную $\mathbf{D}$-структуру, и его можно рассматривать как дуальное расширение исходного однородного пространства. При рассмотрении геометрий Клейна это дает дуальное расширение произвольно заданной геометрии на односвязном многообразии.

Эта конструкция позволяет строить многочисленные примеры натуральных геометрий. Рассмотрим частные случаи, когда для подгруппы $H$ наложенное на нее в нашей конструкции ограничение выполнено, т. е. когда подгруппа Ли $H_\mathbf{D}$ будет замкнута в $G \otimes \mathbf{D}$.

Пусть односвязная группа Ли $G$ разрешима. Тогда она диффеоморфна евклидову пространству и любая связная подгруппа Ли в ней тоже односвязна и замкнута в $G$. Этот факт хорошо известен – он вытекает из того, что в односвязной разрешимой группе Ли нет нетривиальных компактных подгрупп. На самом деле то же утверждение верно и в чуть более общем случае – для произвольных стягиваемых групп Ли. Стягиваемая (как топологическое пространство) группа Ли есть полупрямое произведение прямого произведения некоторого числа ($\geqslant 0$) экземпляров группы Ли $\mathcal A$ (универсальной накрывающей для $\operatorname{SL}_2(\mathbf{R})$) и односвязного радикала.

Есть еще одна возможность применения нашей конструкции дуальных расширений однородных пространств и соответствующих геометрий. Если стационарная подалгебра Ли для однородного пространства имеет коразмерность $\leqslant 5$, то, как доказано в [16], связная подгруппа Ли в односвязной группе Ли, соответствующая этой подалгебре Ли, будет замкнута. Поэтому для односвязных однородных пространств $M=G/H$ размерности $\leqslant 2$ дуальное расширение (имея размерность $\leqslant 4$) всегда существует.

В качестве простейшего примера применения этой конструкции рассмотрим дуальное расширение аффинной геометрии на прямой $\mathbf{R}$. Здесь группа аффинных преобразований изоморфна $R_2$ – двумерной односвязной разрешимой группе Ли. Стационарная подгруппа начала координат – это подгруппа гомотетий, она изоморфна $\mathbf{R}$ (мы рассматриваем только аффинные преобразования, сохраняющие ориентацию прямой). Дуальное расширение здесь дает натуральную геометрию на одномерной дуальной прямой $\mathbf{D}$. Группой преобразований при этом является четырехмерная разрешимая группа Ли, алгебраическое строение которой вполне очевидно.

На заданном дуальном многообразии можно, вообще говоря, задать различные натуральные геометрии. Среди них можно выделить два вида специальных геометрий – максимальные и минимальные. При этом максимальность (минимальность) можно понимать в двух различных смыслах. Например, под максимальной геометрией можно понимать такую, которая содержит (в некотором естественном смысле) все другие геометрии на заданном многообразии. Но такое понимание здесь не очень естественно, ибо на многих многообразиях могут транзитивно действовать группы Ли сколь угодно высокой размерности, и потому максимальных геометрий в этом случае обычно не существует. Более естественно под максимальной геометрией понимать такую, которая не содержится ни в какой другой геометрии. Аналогично, под минимальной геометрий естественно понимать такую, которая не содержит (в определенном смысле) других геометрий. Рассмотрим некоторые примеры.

На многообразии $\mathbf{D}^n$ минимальной будет, очевидно, геометрия параллельных переносов. Аналогично, на произвольной (невырожденной) $\mathbf{D}$-группе минимальной транзитивной будет группа левых сдвигов.

Что же касается максимальных геометрий, то их естественно рассматривать только на односвязных компактных (или близких к ним) многообразиях. Некоторые сведения о максимальных транзитивных группах Ли на таких многообразиях можно найти, например, в [17]. Здесь мы и получаем примеры максимальных геометрий. Например, на двумерной сфере транзитивна (из числа односвязных и локально-эффективных) только группа Ли $\operatorname{SU}(2)$.

§ 1. Введение

§ 2. $\mathcal E$-структуры на многообразиях

§ 3. $\mathcal E$-структуры на алгебрах Ли

§ 4. $\mathcal E$-теория Ли

§ 5. Алгебры и группы Ли симметрий приближенных дифференциальных уравнений

§ 6. Натуральная геометрия Ельмслева в рамках программы Клейна

Список литературы