| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Конечно порожденные подгруппы ветвящихся групп и подпрямые произведения минимально бесконечных групп Р. И. Григорчукa, П.-А. Лееманнb, Т. В. Нагнибедаcd a Mathematical Department, Texas A&M University, USA b Institut de Mathématiques, Université de Neuchâtel, Neuchâtel, Switzerland c Section de mathématiques, Université de Genève, Genève, Switzerland d Санкт-Петербургский государственный университет
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9101 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеГруппа называется ветвящейся, если она точно действует на сферически однородном корневом дереве автоморфизмами и имеет решетку поднормальных подгрупп, подобную структуре этого дерева [1]–[3]. Группа $G$ называется самоподобной, если она обладает точным действием автоморфизмами на $d$-регулярном корневом дереве, $d\geqslant 2$, причем каждая секция любого элемента $g\in G$ также является элементом группы при каноническом отождествлении поддерева и исходного дерева. Минимально бесконечные ветвящиеся группы образуют один из трех классов минимально бесконечных групп (бесконечных групп, все собственные факторгруппы которых конечны) [3]. Самоподобные группы естественно возникают в голоморфной динамике [4]. Оба класса важны и во многих других областях математики. Будучи весьма различными, эти два класса групп имеют большое пересечение, и многие самоподобные группы являются также ветвящимися. В классе конечно порожденных ветвящихся самоподобных групп есть группы как периодические, так и без кручения; как промежуточного, так и экспоненциального роста; как неэлементарные аменабельные, так и не аменабельные. Очень интересно строение подгрупп ветвящихся самоподобных групп. Точные определения, подробности и ссылки можно найти в работах [5], [4]. К важнейшим примерам ветвящихся самоподобных групп относится $3$-порожденная $2$-группа $\mathfrak{G}$ промежуточного роста [6] (известная как группа Григорчука), задаваемая своим действием автоморфизмами на бесконечном бинарном корневом дереве $T$. Конструкцию и основные факты об этой группе можно найти в [7], а подробную информацию и список открытых вопросов о ней – в [8]. Много известно и о подгруппах группы $\mathfrak{G}$, в частности, о стабилизаторах вершин дерева $T$ и точек на его границе; о жестких стабилизаторах; о централизаторах; о некоторых подгруппах малого индекса [9], [10], о максимальных подгруппах [11], а также о слабо максимальных подгруппах (подгруппах бесконечного индекса, максимальных с учетом этого свойства) [12]. В [13] первый и третий авторы анонсировали структурный результат о конечно порожденных подгруппах группы $\mathfrak{G}$, использующий новое понятие блочных подгрупп, см. определение 2.5 и пример 2.6, иллюстрируемый рис. 1. Целью этой работы является доказательство ослабленной версии этого результата в более широком контексте, применимой в частности к $3$-группе Гупта–Сидки $G_3$, см. теорему 2.9. Мы также выведем из нее ряд важных следствий, включая то, что все изучаемые группы являются группами с отделимыми подгруппами; см. теорему 2.11. Нужный нам результат о ветвящихся группах будет получен из более общего и представляющего независимый интерес результата о подпрямых произведениях минимально бесконечных групп; см. теорему 2.15. Структура статьи такова. В следующем параграфе содержатся определения и основные результаты. Он делится на два пункта: о ветвящихся группах и об общих подпрямых произведениях. Параграф 3 содержит доказательства общих утверждений о подпрямых произведениях, в том числе теоремы 2.15. Наконец, § 4 посвящен доказательству результатов о ветвящихся группах, в том числе теоремы 2.9. § 2. Определения и результаты2.1. Ветвящиеся группыНаше исследование ставит своей основной целью понять строение подгрупп, замкнутых в проконечной топологии в первой группе Григорчука $\mathfrak{G}$ и в $3$-группе Гупта–Сидки $G_3$, а также в некоторых других ветвящихся группах (отметим, что ветвящиеся группы остаточно конечны). Один из классов таких подгрупп состоит из конечно порожденных подгрупп. Как показано в [14] и [15], любая бесконечная конечно порожденная подгруппа в $\mathfrak{G}$ (или $G_3$) соизмерима1 с самой группой $\mathfrak{G}$ (или $G_3$). Это необычное свойство опирается на фундаментальный результат Первовой [11] о том, что любая максимальная подгруппа в $\mathfrak{G}$ (или в $p$-группе Гупта–Сидки $G_p$) имеет конечный индекс, тем самым равный $2$ (или $p$). Так как для сильно самовоспроизводящихся (см. определение 2.1) минимально бесконечных групп, обладающих конгруэнц-свойством, свойство конечности индекса всех максимальных подгрупп сохраняется при переходе к соизмеримой группе [14; лемма 4], то слабо максимальные подгруппы в $\mathfrak{G}$ (а также в $G_p$) замкнуты в проконечной топологии. Примерами слабо максимальных подгрупп любой ветвящейся группы $G$ являются стабилизаторы точек границы дерева [16], но это далеко не все, см. [17]. Описание всех слабо максимальных подгрупп в $\mathfrak{G}$ и $G_p$ можно найти в [12]. Пусть $T$ – $d$-регулярное корневое дерево. Это связный граф без циклов, имеющий выделенную вершину (корень) степени $d$ и такой, что степени всех остальных вершин равны $d+1$. Имеется естественная биекция между множеством вершин дерева $T$ и свободным моноидом $\{0,\dots,d-1\}^*$, т. е. множеством конечных слов над алфавитом $\{0,\dots,d-1\}$. При таком отождествлении корень соответствует пустому слову $\varnothing$. Множество вершин $T$ частично упорядочено следующим образом: $v\leqslant w$, если $v$ является началом (префиксом) $w$ или, эквивалентно, если на единственном пути без возвращений, ведущем из корня в $w$, вершина $v$ встречается раньше $w$. Под $n$-м уровнем $\mathcal L_{n}$ дерева $T$ понимается множество всех вершин на расстоянии $n$ от корня или, эквивалентно, множество всех слов длины $n$. Для любой вершины $v$ из $T$ обозначим через $T_v$ поддерево в $T$ с корнем $v$, состоящее из всех вершин $w\geqslant v$. Пусть $\operatorname{Aut}(T)$ – это группа всех автоморфизмов дерева $T$, т. е. изоморфизмов графа $T$ на себя, сохраняющих корень. Можно эквивалентно рассматривать $\operatorname{Aut}(T)$ как множество всех биекций свободного моноида $\{0,\dots,d-1\}^*$ на себя, сохраняющих длины и префиксы2. Пусть $G$ – подгруппа в $\operatorname{Aut}(T)$. Через $\operatorname{Stab}_G(v)$ обозначим стабилизатор вершины $v$, а через $\operatorname{Stab}_G(\mathcal L_n)$ – стабилизатор $n$-го уровня, т. е. поточечный стабилизатор
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Stab}_G(\mathcal L_n):=\bigcap_{v\in\mathcal L_n}\operatorname{Stab}_G(v).
\end{equation*}
\notag
$$
Более общо, поточечный стабилизатор любого множества $X$ вершин дерева $T$ обозначается через $\operatorname{Stab}_G(X)$ и является группой. Другие важные подгруппы $G$ – это жесткий стабилизатор вершины $v$,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Rist}_G(v):=\bigcap_{w\notin T_v}\operatorname{Stab}_G(w),
\end{equation*}
\notag
$$
состоящий из элементов, действующих тривиально вне $T_v$, и жесткий стабилизатор $n$-го уровня
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Rist}_G(n):=\prod_{v\in\mathcal L_n}\operatorname{Rist}_G(v)=\langle\operatorname{Rist}_G(v)\,|\,v\in\mathcal L_n\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждой вершины $v$ дерева $T$ имеется естественный гомоморфизм
$$
\begin{equation*}
\varphi_v\colon\operatorname{Stab}_{\operatorname{Aut}(T)}(v)\to\operatorname{Aut}(T_v),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varphi_v(g)=g_{|_{T_v}}$ это просто сужение $g$, т. е. действие $g$ на $T_v$. Элемент $\varphi_v(g)$ называется секцией элемента $g$ в вершине $v$. Для любой подгруппы $G$ в $\operatorname{Aut}(T)$ мы иногда будем называть множество $\varphi_v(\operatorname{Stab}_G(v))$ секцией подгруппы $G$ в вершине $v$ и обозначать его через $\varphi_v(G)$. Ясно, что сужение $\varphi_v$ на $\operatorname{Rist}_G(v)$ является изоморфизмом на свой образ. Определение 2.1. Подгруппа $G$ группы $\operatorname{Aut}(T)$ называется самоподобной, если ее секция $\varphi_v(G)$ в каждой вершине $v$ является подгруппой в $G$ при естественном отождествлении $T_v$ с $T$. Она называется самовоспроизводящейся (или фрактальной), если для каждой вершины $v$ ее секция $\varphi_v(G)$ совпадает с $G$ при естественном отождествлении $T_v$ с $T$. Следуя [18], скажем, что $G$ является сильно самовоспроизводящейся, если $\varphi_v(\operatorname{Stab}_G(\mathcal L_n))=G$ для каждой вершины $v$ уровня $n$. Определение 2.2. Подгруппа $G$ группы $\operatorname{Aut}(T)$ называется слабо ветвящейся, если она действует транзитивно на $\mathcal L_n$ для всех $n$ и все жесткие стабилизаторы $\operatorname{Rist}_G(v)$ бесконечны (или, эквивалентно, все они нетривиальны). Группа $G$ называется ветвящейся, если она действует транзитивно на $\mathcal L_n$ для всех $n$ и все жесткие стабилизаторы $\operatorname{Rist}_G(n)$ имеют конечный индекс в $G$. Наконец, группа $G$ называется регулярно ветвящейся над подгруппой $K$, если она действует транзитивно на $\mathcal L_n$ для всех $n$ и является самовоспроизводящейся, а $K$ имеет конечный индекс и для каждой вершины $v$ первого уровня является подгруппой конечного индекса в $\varphi_v(\operatorname{Stab}_K(\mathcal L_1))$. Регулярно ветвящиеся группы являются ветвящимися, а ветвящиеся – слабо ветвящимися. Ветвящаяся группа $G$ обладает конгруэнц-свойством, если для каждой подгруппы $H$ конечного индекса найдется такое $n$, что $H$ содержит стабилизатор $n$-го уровня $\operatorname{Stab}_G(\mathcal L_n)$. Это равносильно тому, что проконечная топология на $G$ совпадает с сужением на $G$ естественной топологии группы $\operatorname{Aut}(T)$. Первая группа Григорчука $\mathfrak{G}$, действующая на $2$-регулярном корневом дереве, – это, вероятно, самая известная и наиболее изученная ветвящаяся группа. Она также известна как первый пример группы промежуточного роста [19]. Помимо прочего, группа $\mathfrak{G}$ является самовоспроизводящейся, регулярно ветвящейся (над некоей подгруппой индекса $16$, обозначаемой через $K$) и минимально бесконечной, а также обладает конгруэнц-свойством. Формальное определение, ссылки и дальнейшие подробности см. в [7], [8]. К хорошо известным примерам ветвящихся групп относятся и $p$-группы Гупта–Сидки $G_p$ при любом простом $p\geqslant 3$, действующие на $p$-регулярном корневом дереве [20]. Они также являются самовоспроизводящимися, регулярно ветвящимися и минимально бесконечными [21], обладают конгруэнц-свойством [22]. С другой стороны, группы Гупта–Сидки имеют ассоциированные алгебры Ли бесконечной ширины и, в отличие от $\mathfrak{G}$, неизвестно, имеют ли они промежуточный рост. Формальное определение, ссылки и дальнейшие подробности см. в [20], [21], [15]. Введем теперь несколько менее стандартную терминологию, которой мы будем придерживаться в данной работе. Скажем, что две вершины $u$ и $v$ дерева $T$ ортогональны, если поддеревья $T_u$ и $T_v$ не пересекаются, т. е. если одновременно $v\nleq w$ и $w\nleq v$. Множество вершин $U$ называется ортогональным, если оно состоит из попарно ортогональных вершин. Оно называется трансверсалью, если каждый бесконечный геодезический луч, исходящий из корня, пересекает $U$ в точности по одной точке. Ясно, что трансверсаль – конечное множество. Два множества вершин $U$ и $V$ называются ортогональными, если каждая вершина из первого множества ортогональна каждой вершине из второго. Определение 2.3. Пусть $U = (u_1,\dots,u_k)$ – упорядоченное ортогональное множество. Допустим, что $G\leqslant\operatorname{Aut}(T)$, дана абстрактная группа $L$ и существует семейство $(L_j)_{j=1}^k$ подгрупп конечного индекса в $\varphi_{u_j}(\operatorname{Rist}_G(u_j))$, причем все они изоморфны группе $L$. Обозначим через $\Psi=(\psi_1,\dots,\psi_k)$ набор из $k$ изоморфизмов $\psi_j\colon L\to L_{j}$. Тогда четверка $(U,L,(L_j)_{j=1}^k,\Psi)$ задает диагональную подгруппу в $G$, абстрактно изоморфную $L$. Множество $U$ называется носителем подгруппы $D$. Заметим, что в вырожденном случае, когда множество $U=\{u\}$ состоит только из одной вершины, диагональные подгруппы в $G$ с носителем $\{u\}$ – это в точности подгруппы конечного индекса в группе $\operatorname{Rist}_G(u)$. Пример 2.4. Первая группа Григорчука $\mathfrak{G}=\langle a,b,c,d\rangle$ регулярно ветвится над своей нормальной подгруппой $K=\langle abab\rangle^\mathfrak{G}=\langle abab,badabada,abadabad\rangle$ индекса $16$. Диагональная подгруппа $D$, изображенная на рис. 2, задается группой $L:= K$ (рассматриваемой как абстрактная группа), множеством $U=\{000,01,10\}$, тремя экземплярами $K$, лежащими в $\operatorname{Aut}(T_{000})$, $\operatorname{Aut}(T_{01})$ и $\operatorname{Aut}(T_{10})$ соответственно, и изоморфизмами $\psi_i$, $i=1,2,3$, заданными сопряжениями посредством $a$, $b$ и $c$. Таким образом, $\psi_1\colon K\to K\leqslant \operatorname{Aut}(T_{000})$ выражается формулой $\psi_1(g)=g^a$, откуда и обозначение $K^a$ на рис. 2; аналогично для $\psi_2$ и $\psi_3$. Заметим, что эта подгруппа $D$ “чисто” диагональна в том смысле, что каждый множитель $K$ даже совпадает с группой $\varphi_{u_j}(\operatorname{Rist}_G(u_j))$, а не только является ее подгруппой конечного индекса. Определение 2.5. Пусть $G\leqslant \operatorname{Aut}(T)$. Блочной подгруппой группы $G$ называется конечное произведение $A=\prod_{i=1}^nD_i$ диагональных подгрупп $D_i$, носители которых попарно ортогональны. Заметим, что в силу попарной ортогональности носителей подгрупп $D_i$ выполнены равенства $D_i\cap D_j=\{1\}$, если $i\neq j$ и $\prod_{i=1}^nD_i=\langle D_1,\dots,D_n\rangle\leqslant G$. Пример 2.6. Пример блочной подгруппы группы $\mathfrak{G}$ показан на рис. 1. Напомним, что $\mathfrak{G}=\langle a,b,c,d\rangle$ регулярно ветвится над нормальной подгруппой $K=\langle abab\rangle^\mathfrak{G}$, причем $K<B=\langle b\rangle^\mathfrak{G}<\mathfrak{G}$, где $[B:K]=2$ и $[\mathfrak{G}:B]=8$. При этом секция $\varphi_v(\operatorname{Rist}_G(v))$ совпадает с группой $B$, если $v\in\mathcal L_1$, и с группой $K$ в противном случае. Поясним этот пример подробнее. Во-первых, здесь $U_1=\{1\}$ и $D_1=\operatorname{Rist}_G(1)=\{1\}\times B$. С другой стороны, $U_2=\{000,001\}$, $L_{1}=K\leqslant\operatorname{Aut}(T_{000})$ и $L_{2}=K\leqslant\operatorname{Aut}(T_{001})$ с изоморфизмами $\psi_1=\operatorname{id}\colon K\to L_1$ и $\psi_2=\cdot^a\colon K\to L_2$ (сопряжение элементом $a$). Отсюда вытекает, что
$$
\begin{equation*}
D_2=\{(g,aga,1,1,1,1,1,1)\in \operatorname{Rist}_{G}(000)\times \operatorname{Rist}_{G}(001)\,|\,g\in K\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, блочная подгруппа, изображенная на рис. 1, это произведение $D_1$ и $D_2$ (причем пересечение этих двух подгрупп тривиально). Из определения вытекает, что если группа $G$ конечно порождена, а $A$ – блочная подгруппа в $G$, то конечно порожденными будут как сама $A$, так и все подгруппы $H$, для которых $A\leqslant H\leqslant G$ и $[H:A]<\infty$. Мы покажем, что при некоторых условиях верно и обратное. Для этого потребуются еще два определения. Определение 2.7. Пусть $G\leqslant \operatorname{Aut}(T)$ – самоподобная группа. Семейство $\mathcal{X}$ подгрупп группы $G$ называется индуктивным, если I) как $\{1\}$, так и $G$ принадлежат $\mathcal{X}$; II) если $H\leqslant L$ – две подгруппы в $G$ с конечным индексом $[L:H]$, то $L$ принадлежит $\mathcal X$ тогда и только тогда, когда $H$ принадлежит $\mathcal X$; III) если $H$ – конечно порожденная подгруппа в $\operatorname{Stab}_G(1)$ и все секции первого уровня группы $H$ принадлежат $\mathcal{X}$, то $H\in \mathcal{X}$. Определение 2.8. Самоподобная группа $G$ обладает свойством индукции по подгруппам, если для любого индуктивного класса $\mathcal X$ ее подгрупп все конечно порожденные подгруппы группы $G$ принадлежат $\mathcal X$. Теперь можно сформулировать наш основной результат. Теорема 2.9. Пусть $G$ – конечно порожденная самоподобная ветвящаяся группа. Тогда следующие утверждения эквивалентны: 1) группа $G$ обладает свойством индукции по подгруппам; 2) подгруппа $H$ группы $G$ конечно порождена тогда и только тогда, когда она содержит блочную подгруппу $A$ с $[H:A]<\infty$; 3) подгруппа $H$ группы $G$ конечно порождена тогда и только тогда, когда найдется такое $n$, что для каждой вершины $v\in \mathcal L_n$ секция $\varphi_v(\operatorname{Stab}_H(\mathcal L_n))$ либо тривиальна, либо имеет конечный индекс в $\varphi_v(\operatorname{Stab}_G(v))$. Доказательство теоремы 2.9 будет дано в конце § 4. Известно, что как первая группа Григорчука [14; теорема 3], так и $\mathrm{GGS}$-группы с кручением [23] обладают свойством индукции по подгруппам, а также являются самоподобными ветвящимися группами. Поэтому из теоремы 2.9 вытекает следующее утверждение. Следствие 2.10. Пусть $\mathcal G$ – либо первая группа Григорчука, либо $\mathrm{GGS}$-группа с кручением. Тогда подгруппа $H$ группы $\mathcal G$ конечно порождена в том и только том случае, когда она содержит блочную подгруппу $A$ с $[H:A]<\infty$. Нечасто встречаются группы, все конечно порожденные подгруппы которых замкнуты в проконечной топологии. Такие группы называются группами с отделимыми подгруппами (или $\mathrm{LERF}$-группами, от слов locally extensively residually finite). Их примерами являются конечные группы, конечно порожденные абелевы группы, конечно порожденные свободные группы [24], группы поверхностей [25], произведение двух свободных групп с объединенной циклической подгруппой [26] и, более общо, предельные группы [27]. В [28] доказано, что подмножество свободной группы, являющееся произведением конечного числа конечно порожденных подгрупп, замкнуто в проконечной топологии. Это замечательное свойство известно (в конечно порожденном случае) только для свободных групп. Мы выдвигаем гипотезу о том, что каждое подмножество группы $\mathfrak{G}$ (или $G_3$), являющееся произведением конечного числа конечно порожденных подгрупп, замкнуто в проконечной топологии. Наш результат можно рассматривать как свидетельство в пользу этой гипотезы. Действительно, если $G\leqslant \operatorname{Aut}(T)$ – ветвящаяся группа с конгруэнц-свойством, то любая блочная подгруппа группы $G$ замкнута в проконечной топологии [12]. Вместе с теоремой 2.9 это влечет следующее утверждение. Теорема 2.11. Пусть $G$ – конечно порожденная самоподобная группа с конгруэнц-свойством. Если группа $G$ обладает свойством индукции по подгруппам, то она является группой с отделимыми подгруппами. В качестве следствия получаем новое доказательство того факта, что $\mathfrak{G}$ [14] и $G_3$ [15] – группы с отделимыми подгруппами. Первая группа Григорчука [14] и $3$-группа Гупта–Сидки [15] были единственными известными примерами групп со свойством индукции по подгруппам, пока в совсем недавней работе [23] второго автора и Франкёра результаты [15] не были распространены на все $p$-группы Гупта–Сидки с простым $p\geqslant 3$ и, более общо, на $\mathrm{GGS}$-группы с кручением, действующие на $p$-регулярном корневом дереве. 2.2. Подпрямые произведенияПодгруппа $H\leqslant\prod_{i\in I}G_i$, проектирующаяся сюръективно на каждый сомножитель, называется подпрямым произведением и обозначается через $H\leqslant_{\mathrm{s}} \prod_{i\in I}G_i$. Подпрямые произведения применялись, например, для задания некоторых совершенных групп [29]. С другой стороны, изучение подпрямых произведений является первым шагом на пути к пониманию подгрупп в прямых произведениях и потому интересно само по себе. Важную роль в этом контексте играют диагональные подгруппы. Нам потребуется ввести понятие диагональной подгруппы в общем случае абстрактного прямого произведения так, чтобы оно было совместимо с понятием диагональной подгруппы из определения 2.3. Определение 2.12. Пусть $I$ – некоторое множество, а $(G_i)_{i\in I}$ – набор групп, изоморфных одной и той же группе $G$. Подгруппу $H$ группы $\prod_{i\in I}G_i$ назовем диагональной, если существуют такие изоморфизмы $\psi_i\colon G\to G_i$, что Из этого определения непосредственно вытекает, что диагональные подгруппы в $\prod_{i\in I}G_i$ являются подпрямыми произведениями. В § 3 будет показано, что для минимально бесконечных групп $G$ практически все примеры подпрямых произведений в $G\times G$ исчерпываются диагональными подгруппами и самой группой $G\times G$. Лемма 2.13. Пусть $G_1$ и $G_2$ – минимально бесконечные группы и $H\leqslant_{\mathrm{s}} G_1\times G_2$. Тогда либо найдутся такие подгруппы $C_i\leqslant G_i$ конечного индекса, что $H$ содержит $C_1\times C_2$, либо $G_1$ и $G_2$ изоморфны и $H=\operatorname{diag}(G_1\times\psi(G_1))$ для некоторого изоморфизма $\psi\colon G_1\to G_2$. В случае произведения более чем двух минимально бесконечных групп, полные произведения и диагональные подгруппы играют роль строительных блоков для подпрямых произведений. Дадим еще одно последнее определение, прежде чем сформулировать наш результат. Определение 2.14. Пусть $(G_i)_{i\in I}$ – семейство групп, параметризованное множеством $I$. Подгруппа $H$ группы $\prod_{i\in I}G_i$ называется виртуально диагональной по блокам, если найдутся множество $\Delta$, семейство абстрактных групп $(G_\alpha)_{\alpha\in \Delta}$, подгруппы конечного индекса $L_{\alpha}\leqslant G_{\alpha}$, $\alpha\in \Delta$, и семейство подгрупп $(D_\alpha)_{\alpha\in \Delta}$ группы $\prod_{i\in I_\alpha} G_i$ такие, что множество $I$ допускает разбиение $I=\bigsqcup_{\alpha\in\Delta} I_\alpha$ со следующими свойствами: 1) для любого $i$ из $I_\alpha$, группа $G_i$ изоморфна $G_\alpha$; 2) подгруппа $D_\alpha$ является диагональной подгруппой в $L_\alpha^{|I_\alpha|}$; 3) $H$ содержит $\prod_{\alpha\in\Delta} D_\alpha$ в качестве подгруппы конечного индекса. Заметим, что (как вытекает из определения) если $I_\alpha$ содержит только один элемент, то $D_\alpha$ является подгруппой конечного индекса в $G_\alpha$. Теперь можно сформулировать наш основной результат о подпрямых произведениях. Теорема 2.15. Пусть даны минимально бесконечные группы $G_i$, $1\leqslant i\leqslant n$, не более двух из которых виртуально абелевы. Тогда все подпрямые произведения в $\prod_{i=1}^nG_i$ виртуально диагональны по блокам. Ограничение на число виртуально абелевых сомножителей необходимо, как показывает пример 3.7. С другой стороны, оно не слишком ограничительно в том смысле, что почти все минимально бесконечные группы и, в частности, все минимально бесконечные группы с кручением, не являются виртуально абелевыми. Действительно, как показано Маккарти [30], в любой минимально бесконечной группе $G$ имеется максимальная абелева нормальная подгруппа (либо тривиальная, либо конечного индекса), равная подгруппе Фиттинга3 $\Psi(G)$ и изоморфная $\mathbf Z^n$ для некоторого целого $n$. Такая группа $G$ не является виртуально абелевой в том и только том случае, когда $\Psi(G)=\{1\}$, а это соответствует случаю $n=0$. Кроме того, при каждом $n>0$ имеется лишь конечное число неизоморфных минимально бесконечных групп с $\Psi(G)=\mathbf Z^n$ [30; предложение 9]. Наконец, (слабо) ветвящиеся группы никогда не являются виртуально абелевыми [32; предложение 10.4]. Если все группы $G_i$ в теореме 2.15 попарно неизоморфны, то все множества $I_\alpha$ одноточечны и существуют подгруппы $L_i\leqslant G_i$ конечного индекса такие, что $H$ содержит $\prod_{i=1}^nL_i$. Отсюда непосредственно вытекает следующий результат о жесткости подпрямых произведений неизоморфных групп. Следствие 2.16. Пусть даны попарно неизоморфные минимально бесконечные группы $G_i$, $1\leqslant i\leqslant n$, не более двух из которых виртуально абелевы. Тогда всякое подпрямое произведение в $\prod_{i=1}^nG_i$ является подгруппой конечного индекса. § 3. Блочная структура в произведениях минимально бесконечных группВажным средством изучения подпрямых произведений является понятие расслоенного произведения. Напомним, что если $\psi_1\colon G_1\twoheadrightarrow D$ и $\psi_2\colon G_2\twoheadrightarrow D$ – эпиморфизмы групп, то их расслоенное произведение4 – это подгруппа $C:= \{(g_1,g_2)\in G_1\times G_2\,|\,\psi_1(g_1)=\psi_2(g_2)\}$ группы $G_1\times G_2$. Каждое расслоенное произведение естественно изоморфно некоторому подпрямому произведению. Верно и обратное. Точнее, применение леммы Гурса [33] к подпрямым произведениям дает следующее утверждение. Лемма 3.1. Если $H\leqslant_{\mathrm{s}} G_1\times G_2$ – подпрямое произведение, то найдутся эпиморфизмы $\psi_1\colon G_1\twoheadrightarrow D$ и $\psi_2\colon G_2\twoheadrightarrow D$ на некоторую факторгруппу $D$ группы $H$ такие, что $H$ является расслоенным произведением $\psi_1$ и $\psi_2$. С помощью этого результата можно доказать лемму 2.13. Доказательство леммы 2.13. По лемме 3.1, $H$ является расслоенным произведением $\psi_1\colon G_1\twoheadrightarrow D$ и $\psi_2\colon G_2\twoheadrightarrow D$, где $D$ – факторгруппа группы $G$. Из определения расслоенного произведения вытекает, что $H$ содержит подгруппу $\ker(\psi_1)\times\ker(\psi_2)$. Если группа $D$ конечна, то $\ker(\psi_1)$ и $\ker(\psi_2)$ – подгруппы конечного индекса в $G_1$ и $G_2$ соответственно, так что заключение леммы выполнено. Если же $D$ бесконечна, то из минимальной бесконечности $G_1$ и $G_2$ вытекает, что подгруппы $\ker(\psi_1)$ и $\ker(\psi_2)$ тривиальны, так что $D$ изоморфна как $G_1$, так и $G_2$. При этом $\psi_1$ и $\psi_2$ – изоморфизмы и Лемма доказана. Замечание 3.2. Заключение леммы 2.13 оптимально в том смысле, что существует подпрямое произведение $C\leqslant_{\mathrm{s}} G\times G$, не являющееся ни диагональной подгруппой, ни всей группой $G\times G$. Действительно, пусть $G$ – любая группа с двумя различными подгруппами индекса $2$, одна из которых характеристическая5. Тогда существует подпрямое произведение $C\leqslant_{\mathrm{s}} G\times G$, не являющееся ни диагональной подгруппой, ни $G\times G$. Точнее, для любой характеристической подгруппы $H$ индекса два и любой подгруппы $J\neq H$ индекса два, расслоенное произведение $C$ эпиморфизмов $G\to G/H$ и $G\to G/J$ не будет ни диагональной подгруппой, ни всей группой $G\times G$. Действительно, имеем Следовательно, $C$ содержит подгруппу $H\times J$ индекса $4$ группы $G\times G$. С другой стороны, по определению, группа $C$ не равна $G\times G$ (например, она не содержит $(f,1)$ для $f$ не из $H$). Так как обе проекции группы $C\leqslant_{\mathrm{s}} G\times G$ сюръективны, то $C$ строго содержит $H\times J$ и является подгруппой индекса $2$ в $G\times G$. Покажем, что $C$ не содержит никакой диагональной подгруппы $\operatorname{diag}(G\times\psi(G))$. Действительно, иначе с одной стороны, $C$ содержит $\operatorname{diag}(H\times \psi(H))$, а с другой стороны, $C$ содержит $H\times \{1\}$ и, тем самым, содержит также $\{1\}\times \psi(H)=\{1\}\times H$, поскольку подгруппа $H$ характеристическая. Но $C$ содержит также $\{1\}\times J$. В частности, $C$ содержит как $H\times \{1\}$, так и $\{1\}\times G$ и является подгруппой индекса $2$ в $G\times G$. Отсюда вытекает, что $C=H\times G$. Но эта подгруппа не является подпрямым произведением в $G\times G$, и мы пришли к требуемому противоречию.Чтобы доказать теорему 2.15 для подпрямых произведений в $\prod_{i\in I}G_i$, мы введем в лемме 3.5 некоторое отношение эквивалентности на индексах $i\in I$. Для этого нам потребуется ряд обозначений. Напомним, что через $\pi_{i}\colon\prod_{i\in I} G_i\to G_i$ обозначается каноническая проекция. Определение 3.3. Пусть $H\leqslant_{\mathrm{s}} \prod_{i\in I} G_i$ – подпрямое произведение. Для любого подмножества $J\subseteq I$ определим подгруппу $H_J$ по формуле В частности, $H_i:= H_{\{i\}}\cong G_i$. Индексы $i$ и $j$ называются зависимыми, если $i=j$ или если $i\neq j$, но $H_i$ и $H_j$ изоморфны и $H_{\{i,j\}}=\operatorname{diag}(H_i\times\psi(H_i))$ для некоторого изоморфизма $\psi\colon H_i\to H_j$. Они называются независимыми, если $i\neq j$ и $H_{\{i,j\}}$ содержит $L_i\times L_j$, где $L_i$, $L_j$ – подгруппы конечного индекса в $H_i$, $H_j$. Неформально говоря, $H_J$ – это проекция $H$ на $\prod_{i\in J} H_i$, но рассматриваемая как подгруппа в $\prod_{i\in I} H_i$. Заметим, что вообще говоря, независимость не есть отрицание зависимости (см. пример 3.7). Но из леммы 2.13 вытекает, что это так в случае минимально бесконечных сомножителей. Следствие 3.4. Если $H\leqslant_{\mathrm{s}} \prod_{i\in I} G_i$ – подпрямое произведение, в котором все группы $G_i$ минимально бесконечны, то любые индексы $i$ и $j$ либо зависимы, либо независимы. Покажем теперь, что зависимость индексов является отношением эквивалентности и что в случае произведения минимально бесконечных не виртуально абелевых групп элементы любого конечного множества $J\subseteq I$ попарно независимых индексов являются “одновременно независимыми”. Лемма 3.5. Пусть $H\leqslant_{\mathrm{s}} \prod_{i\in I} G_i$ – подпрямое произведение. Тогда зависимость индексов является отношением эквивалентности. При этом если все элементы множества $J\subseteq I$ попарно независимы, то подгруппа $H_{J}$ диагональна. Доказательство. Рассмотрим множество $J\subseteq I$ и пусть существует индекс $j_0\in J$, зависимый с каждым $j\in J$. Тогда при любом $j\in J$ найдется изоморфизм $\psi_j\colon G_{j_0}\to G_j$ такой, что $\pi_{j}(g)=\psi(\pi_{j_0}(g))$ для всех $j$ из $H$. Отсюда непосредственно вытекает, что Тем самым доказано второе утверждение леммы.
С другой стороны, взяв $J=\{i,j,k\}$, где пары $(i,j)$ и $(j,k)$ зависимы, мы получаем из сказанного выше (при $j_0=j$), что $i$ и $k$ зависимы. Этим установлена транзитивность отношения зависимости. Его рефлексивность и симметричность очевидны. Лемма доказана. Лемма 3.6. Пусть $H\leqslant_{\mathrm{s}} \prod_{i\in I} G_i$, где все группы $G_i$ минимально бесконечны и не более двух из них виртуально абелевы. Пусть $J\subseteq I$ – конечное множество попарно независимых индексов. Тогда существуют подгруппы $D_j\leqslant G_j$, $j\in J$, имеющие конечный индекс и такие, что $H_{J}$ содержит $\prod_{j\in J}D_j$. Доказательство. Проведем индукцию по мощности $J$. При $|J|=1$ доказывать нечего. Если $|J|=2$, то это утверждение леммы 2.13. Пусть теперь $J\subseteq I$ имеет мощность $d$, причем $d\geqslant 3$. Переобозначая индексы, мы можем считать, что $J=\{1,\dots, d\}$. Можно также предполагать, что группа $G_1$ не является виртуально абелевой, так как $n\geqslant 3$, а виртуально абелевыми могут быть максимум две группы $G_i$. Покажем, что утверждение леммы выполнено, если найдутся индекс $i$ и подгруппа $D_i$ конечного индекса в $H_i$ такие, что $H_J$ содержит $\{1\}\times\dots \times D_{i}\times\dots \times \{1\}$. Действительно, пусть $\widetilde H_{J\setminus\{i\}}$ – это подгруппа в $H_{J\setminus\{i\}}$, состоящая из проекций всех элементов $g$ из $H$, для которых $\pi_{i}(g)$ принадлежит $D_i$. Более формально, Так как $D_i$ имеет конечный индекс в $H_i$, то подгруппа $\widetilde H_{J\setminus\{i\}}$ имеет конечный индекс в $H_{J\setminus\{i\}}$ и, по предположению индукции, содержит некоторую подгруппу $\widetilde D_j$ конечного индекса в $H_j$ при каждом $j\in J\setminus\{i\}$. С другой стороны, $H_J$ содержит $D_i\times \widetilde H_{J\setminus\{i\}}$, чем и установлено сделанное утверждение.
Подгруппа $H_J$ сюръективно проектируется на множество $H_{\{1,3\dots, d\}}$, которое по предположению индукции содержит $D_1\times D_3\times \dots \times D_{d}$ для некоторых подгрупп конечного индекса в $H_i$, $i\neq 2$. В частности, для каждого элемента $g\neq 1$ из $D_1$ найдется элемент $x$ из $H_2=G_2$, для которого набор $(g,x,1,\dots,1)$ принадлежит $H_J$. Проводя это рассуждение для $H_{\{1,2,4,\dots, d\}}$, получаем подгруппу $A$ конечного индекса в $G_1$ такую, что при любых $g$ и $h$ из $A$ группа $H_J$ содержит как $(g,x,1,\dots,1)$, так и $(h,1,y,1,\dots,1)$ для некоторых $x$ и $y$. Взяв коммутатор и затем сопрягая элементами из $H_J$, получаем, что для всех $g$ и $h$ из $A$ подгруппа $\langle[g,h]\rangle^{G_1}\times\{1\}\times\dots\times\{1\}$ содержится в $H_J$. Если $[g,h]$ не тривиален, то $\langle[g,h]\rangle^{G_1}$ является нетривиальной нормальной (а значит, и конечного индекса) подгруппой в $G_1$, и требуемое доказано. Но так как группа $G_1$ не является виртуально абелевой, то всегда можно найти такие элементы $g$ и $h$ из $A$, которые не коммутируют. Лемма доказана. Следующий пример проясняет условия, наложенные в лемме 3.6 и теореме 2.15. Пример 3.7. Пусть $G$ – абелева группа (например, $G=\mathbf Z$) и $H_n:=\bigl\{(g_1,\dots,g_n)\in G^n\bigm|\sum_i g_i=0\bigr\}$. Тогда $H_n$ – подпрямое произведение в $G^n$, у которого все индексы попарно независимы, но не одновременно независимы (если $n\geqslant3$). Более того, при $n\geqslant 3$ подгруппа $H_n$ не является виртуально диагональной по блокам. В частности, для $H_n$ не выполнено ни заключение леммы 3.6, ни заключение теоремы 2.15. С другой стороны, $H_n$ можно рассматривать как подпрямое произведение групп $G_1=G$ и $G_2=G^{n-1}$. При таком отождествлении и при $n\geqslant 3$, индексы $1$ и $2$ не являются ни зависимыми, ни независимыми. Теперь все готово для доказательства теоремы 2.15. Доказательство теоремы 2.15. Пусть $G_i$, $1\leqslant i\leqslant n$, – минимально бесконечные группы, не более двух из которых виртуально абелевы. Пусть $H\leqslant_{\mathrm{s}}\prod_{i=1}^n G_i$. По лемме 3.5 найдется целое число $d$ и разбиение $\{1,\dots,n\}=I_1\sqcup\dots\sqcup I_d$, где все $I_\alpha$ – это классы эквивалентности зависимых индексов. В частности, $H$ – подпрямое произведение в $\prod_{\alpha=1}^dH_{I_\alpha}$, а $H_{I_\alpha}\leqslant_{\mathrm{s}}\prod_{i\in I_\alpha}G_i$ – диагональная подгруппа. Пусть $i_\alpha:=\min\{i\in I_\alpha\}$ и $G_\alpha:= G_{i_\alpha}$. Тогда все группы $G_i$, $i\in I_\alpha$, а также группа $H_{I_\alpha}$, изоморфны $G_\alpha$.
С другой стороны, рассматривая $H$ как подпрямое произведение в $\prod_{\alpha=1}^dH_{I_\alpha}$, мы видим, что индексы $(I_\alpha)_{\alpha=1}^d$ попарно независимы. По лемме 3.6, при $1\leqslant \alpha\leqslant d$, группа $H$ содержит некоторую подгруппу $D_\alpha$ конечного индекса группы $H_{I_\alpha}$. Так как $H_{I_\alpha}$ – диагональная подгруппа в $\prod_{i\in I_\alpha}G_i\cong G_{\alpha}^{|I_\alpha|}$, то $D_\alpha$ – диагональная подгруппа в $L_\alpha^{|I_\alpha|}$ для некоторой подгруппы $L_\alpha$ конечного индекса в $G_{\alpha}$. Ясно, что $\prod_{\alpha=1}^dD_\alpha$ имеет конечный индекс в $H$ и, следовательно, $H$ является виртуально диагональной по блокам подгруппой в $\prod_{i=1}^n G_i$. Теорема доказана. Лемма 3.8. Пусть $H$ – виртуально диагональная по блокам подгруппа произведения конечного числа групп $\prod_{i=1}^n G_i$. Тогда любая подгруппа $K$ конечного индекса в $H$ тоже виртуально диагональна по блокам. Доказательство. Пусть $B = \prod_{\alpha\in \Delta} D_\alpha$ – диагональная по блокам подгруппа конечного индекса в $H$, в соответствии с обозначениями определения 2.14. Тогда подгруппа $B' = \prod_{\alpha\in \Delta} K\cap D_\alpha$ является диагональной по блокам подгруппой в $\prod_{i=1}^n G_i$, конечного индекса в $K$. Действительно, подгруппы вида $K\cap D_\alpha$ имеют конечный индекс в $D_\alpha$ для любого $\alpha\in\Delta$, так как $K$ имеет конечный индекс в $H$. В частности, $K\cap D_\alpha$ является диагональной подгруппой в $L_\alpha^{\prime|I_\alpha|}$ для некоторой подгруппы конечного индекса $L_\alpha'$ в $L_\alpha$. Соответственно имеем, что $L_\alpha'$ конечного индекса в $G_\alpha$, и $B'$ диагональна по блокам. Наконец, индекс $B'$ в $B$ не превышает $\prod_{\alpha\in \Delta}[D_\alpha\colon K\cap D_\alpha]$ и, следовательно, конечен. Таким образом, $B'$ имеет конечный индекс в $H$, а следовательно и в $K$. Лемма доказана.
§ 4. Блочная структура в ветвящихся группахНачнем параграф с вывода одного следствия из леммы 2.13. Хотя этот результат не используется при доказательстве основных результатов, мы приведем его как еще одно приложение техники подпрямых произведений. Лемма 4.1. Пусть $A$ – такая подгруппа первой группы Григорчука $\mathfrak{G}$, что обе секции первого уровня группы $\operatorname{Stab}_A(1)$ равны $\mathfrak{G}$. Тогда $A$ содержит $C\times C$ для некоторой подгруппы $C$ конечного индекса в группе $\mathfrak{G}$ и, следовательно, сама $A$ является подгруппой конечного индекса. Доказательство. Поскольку $\operatorname{Stab}_A(1)$ имеет конечный индекс в $A$, можно считать $A$ подгруппой в $H=\operatorname{Stab}_\mathfrak{G}(1)$ и, тем самым, в $\mathfrak{G}\times\mathfrak{G}$. По лемме 2.13, если обе секции $A$ равны $\mathfrak{G}$, то либо $A$ содержит $C\times C$ для некоторой подгруппы $C$ конечного индекса, либо $A$ имеет вид $\operatorname{diag}(\mathfrak{G}\times\psi(\mathfrak{G}))$ для некоторого автоморфизма группы $\mathfrak{G}$. Покажем, что второй случай невозможен или, точнее, что $\operatorname{diag}(\mathfrak{G}\times\psi(\mathfrak{G}))$ никогда не является подгруппой в $\mathfrak{G}$. Действительно, в противном случае $c\cdot (a,\psi(a))=(1,d\psi(a))$ принадлежит $\mathfrak{G}$. Но тогда $d\psi(a)$ лежит в $\varphi_1(\operatorname{Rist}_\mathfrak{G}(1))=B$ и, следовательно, $\psi(a)$ принадлежит $dB\subseteq H$. В частности, тогда $a$ принадлежит $\psi^{-1}(H)=H$, поскольку $H$ – характеристическая подгруппа в $\mathfrak{G}$. Пришли к требуемому противоречию. Лемма доказана. Следующая простая лемма будет многократно использоваться без особого упоминания. Лемма 4.2. Пусть $G$ – любая подгруппа в $\operatorname{Aut}(T)$, а $H$ – подгруппа в $G$. Тогда следующие утверждения эквивалентны: 1) существует такое $n$, что при каждом $v\in\mathcal L_n$ секция $\varphi_v(\operatorname{Stab}_H(\mathcal L_n))$ либо тривиальна, либо имеет конечный индекс в $\varphi_v(\operatorname{Stab}_G(v))$; 2) существует трансверсаль $X$ в $T$ такая, что при каждом $v\in X$ секция $\varphi_v(\operatorname{Stab}_H(X))$ либо тривиальна, либо имеет конечный индекс в $\varphi_v(G)$. Доказательство. Ясно, что из 1) вытекает 2). Обратно, пусть $H$ – подгруппа, обладающая свойством 2) для некоторой трансверсали $X$ и пусть $n$ – максимальный уровень вершины в $X$. Тогда $\operatorname{Stab}_H(\mathcal L_n)$ – подгруппа конечного уровня в $\operatorname{Stab}_H(X)$. Пусть теперь $w$ – вершина уровня $n$, а $v$ – ее единственный предок в $X$. Тогда $\varphi_w(\operatorname{Stab}_H(\mathcal L_n))$ имеет конечный индекс в $\varphi_w(\operatorname{Stab}_H(X))=\varphi_w\bigl(\varphi_v(\operatorname{Stab}_H(X))\bigr)$. Отсюда вытекает, что $\varphi_w(\operatorname{Stab}_H(\mathcal L_n))$ – либо подгруппа конечного индекса в тривиальной группе (и, следовательно, сама тривиальна), либо подгруппа конечного индекса в некоторой подгруппе конечного индекса группы $\varphi_w(\operatorname{Stab}_G(w))$. Лемма доказана. Свойство индукции по подгруппам можно эквивалентно переформулировать в более удобном для наших целей виде. Предложение 4.3. Пусть $G\leqslant \operatorname{Aut}(T)$ – самоподобная группа. Тогда следующие утверждения эквивалентны: 1) $G$ обладает свойством индукции по подгруппам; 2) для любой конечно порожденной подгруппы $H\leqslant G$ найдется трансверсаль $X$ в $T$ такая, что при каждом $v\in X$ секция $\varphi_v(\operatorname{Stab}_H(X))$ либо тривиальна, либо имеет конечный индекс в $\varphi_v(G)$. Доказательство. Сначала покажем, что из свойства индукции по подгруппам вытекает второе утверждение. Обозначим через $\mathcal{X}$ класс всех подгрупп $H$ группы $G$, допускающих трансверсаль $X$, для которой группа $\varphi_v(\operatorname{Stab}_H(X))$ либо тривиальна, либо имеет конечный индекс в $\varphi_v(G)$ при каждом $v$ из $X$. Надо показать, что этот класс индуктивен.
Ясно, что $\{1\}$ и $G$ принадлежат $\mathcal{X}$ (в обоих случаях в качестве $X$ можно взять корень дерева $T$). Пусть $H$ и $L$ – такие подгруппы в $G$, что $H$ является подгруппой конечного индекса в $L$. Надо показать, что $H$ принадлежит или не принадлежит $\mathcal X$ одновременно с $L$. При любом $X$ подгруппа $\operatorname{Stab}_H(X)$ имеет конечный индекс в $\operatorname{Stab}_L(X)$ и, следовательно, $\varphi_v(\operatorname{Stab}_H(X))$ имеет конечный индекс в $\varphi_v(\operatorname{Stab}_L(X))$. В частности, если $L$ принадлежит $\mathcal X$, то это верно и для $H$, с той же трансверсалью $X$. С другой стороны, если $H$ принадлежит $\mathcal X$ с трансверсалью $X$, то для всех $v\in X$ подгруппа $\varphi_v(\operatorname{Stab}_L(X))$ либо конечна, либо имеет конечный индекс в $\varphi_v(G)$. Пусть $v$ – такая вершина из $X$, что группа $\varphi_v(\operatorname{Stab}_L(X))$ конечна. Тогда найдется трансверсаль $X_v$ в дереве $T_v$ такая, что группа $\operatorname{Stab}_{\varphi_v(\operatorname{Stab}_L(X))}(X_v)$ тривиальна. Обозначим через $X'$ трансверсаль, полученную из $X$ удалением всех $v\in X$, для которых группа $\varphi_v(\operatorname{Stab}_L(X))$ конечна, и заменой их на соответствующие $X_v$. Тогда для всех $w\in X'$ группа $\varphi_w(\operatorname{Stab}_L(X'))$ либо тривиальна, либо имеет конечный индекс в $\varphi_w(\operatorname{Stab}_G(w))$. Наконец, пусть $\{1,\dots, d\}$ – вершины первого уровня в $T$, а $H$ – конечно порожденная подгруппа в $\operatorname{Stab}_G(\mathcal L_1)$, все секции $H_1,\dots,H_d$ которой принадлежат $\mathcal X$. Каждая из групп $H_i$ снабжена своей трансверсалью $X_i$ дерева $T_i$. Объединение $X$ всех этих $X_i$ является трансверсалью для $T$. Положим $H':=\operatorname{Stab}_H(X)$. Это подгруппа конечного индекса в $H$ и ее секции первого уровня $H_i':= \varphi_i(H')$ имеют конечный индекс в $H_i$. Поэтому при каждом $v$ из $X_i$, секция $\varphi_v(H_i')=\varphi_v(H')$ либо тривиальна, либо имеет конечный индекс в $\varphi_v(G)$. Отсюда вытекает, что $H'$ принадлежит классу $\mathcal X$, а тогда ему принадлежит и $H$, поскольку класс $\mathcal X$ замкнут относительно конечных расширений. Допустим теперь, что $G$ обладает свойством 2) и пусть $\mathcal X$ – индуктивный класс подгрупп. В частности, $\mathcal X$ содержит $\{1\}$ и все подгруппы конечного индекса группы $G$. Пусть $H$ – конечно порожденная подгруппа в $G$, а $X$ – соответствующая ей трансверсаль. Нам надо показать, что $H$ принадлежит $\mathcal X$. Положим $H':=\operatorname{Stab}_H(X)$. Так как $H'$ – подгруппа конечного индекса в $H$, то она конечно порождена, и если она принадлежит $\mathcal X$, то и $H$ тоже. Если $X$ состоит только из корня дерева $T$, то подгруппа $H$ либо конечна, либо имеет конечный индекс в $G$, и в обоих случаях она принадлежит $\mathcal X$. В противном случае обозначим через $v$ вершину не из $X$, все дети которой $w_1,\dots,w_d$ принадлежат $X$. Так как $H'$ стабилизирует $X$, то все подгруппы $\varphi_{w_i}(\varphi_v(H'))=\varphi_{w_i}(H')$ принадлежат $\mathcal X$, а $\varphi_v(H')$ является конечно порожденной подгруппой в $G$, стабилизирующей первый уровень дерева $T_v$. В частности, $\varphi_v(H')$ принадлежит $\mathcal X$. Положим $X_1:= v\cup X\setminus\{w_1,\dots,w_d\}$. Согласно сказанному выше, группа $H'$ поточечно стабилизирует $X_1$, а все ее секции вдоль $X_1$ принадлежат $\mathcal X$. По индукции, найдется такое $m$, что $X_m$ состоит только из корня, а группа $H'$ принадлежит $\mathcal X$. Предложение доказано. Замечание 4.4. Альтернативное описание свойства индукции по подгруппам, данное в предложении 4.3, представляется естественным даже в несамоподобном контексте. Начиная с этого места, будем говорить, что группа $G$ обладает свойством индукции по подгруппам, если она удовлетворяет этому альтернативному описанию. На самом деле, можно слегка модифицировать исходное определение индуктивного класса подгрупп $\mathcal X$ (заменяя его на индуктивное семейство $(\mathcal X_v)_{v\in T}$ классов подгрупп) так, чтобы учесть в определении 2.8 не обязательно самоподобные группы. При этом предложение 4.3 и его доказательство переносятся на этот более общий контекст. Оставляем детали заинтересованному читателю. Выведем теперь некоторые следствия из этого более общего свойства индукции по подгруппам. Первое следствие касается ранга группы $G$. Следствие 4.5. Пусть $G\leqslant \operatorname{Aut}(T)$ – ветвящаяся группа со свойством индукции по подгруппам. Тогда $G$ либо конечно порождена, либо локально конечна. Доказательство. Можно считать, что $G$ не является конечно порожденной, иначе доказывать нечего.
Если $H$ – конечно порожденная подгруппа группы $G$, то при некотором $n$ для любой вершины $v$ уровня $n$ выполнено, что секция $\varphi_v(\operatorname{Stab}_H(\mathcal L_n))$ либо тривиальна, либо имеет конечный индекс в $\varphi_v(G)$. Тогда $\operatorname{Rist}_G(\mathcal L_n)\cap H$ имеет конечный индекс в $H$ и, для всех $v\in \mathcal L_n$, подгруппа $\varphi_v(\operatorname{Rist}_G(\mathcal L_n)\cap H)$ либо тривиальна, либо имеет конечный индекс в $\varphi_v(G)$. Поскольку группа $\operatorname{Rist}_G(\mathcal L_n)\cap H$ имеет конечный индекс в $H$, она конечно порождена. С другой стороны, для всех $v\,{\in}\,\mathcal L_n$ число образующих группы $\operatorname{Rist}_G(\mathcal L_n)\cap H$ не меньше числа образующих группы $\varphi_v(\operatorname{Rist}_G(\mathcal L_n)\cap H)$. Так как группа $G$ ветвящаяся, но не конечно порожденная, то жесткий стабилизатор $\operatorname{Rist}_G(\mathcal L_n)$ не конечно порожден, как и $\operatorname{Rist}_G(w)$ при любом $w$. Поэтому для всех $w\in T$ выполнено, что подгруппы $\varphi_w(\operatorname{Rist}_G(w))$ и $\varphi_w(G)$ не конечно порождены. Из всего этого вытекает, что подгруппа $\varphi_w(\operatorname{Rist}_G(\mathcal L_n)\cap H)$ тривиальна для всех $w\in \mathcal L_n$. Тогда и сама подгруппа $\operatorname{Rist}_G(\mathcal L_n)\cap H$ тривиальна, а $H$ конечна. Следствие доказано. Есть также результат о конечных подгруппах группы $G$. Следствие 4.6. Пусть бесконечная группа $G\leqslant \operatorname{Aut}(T)$ обладает свойством индукции по подгруппам, а $H$ – конечно порожденная подгруппа в $G$. Тогда $H$ конечна в том и только том случае, когда никакая секция $\varphi_v(H)$ не имеет конечного индекса в $\varphi_v(G)$. Доказательство. В одну сторону это тривиально. Обратно, пусть $H$ – конечно порожденная подгруппа в $G$. Тогда существует трансверсаль $X$ такая, что для всех $v\in X$ секция $\varphi_v(\operatorname{Stab}_H(X))$ либо тривиальна, либо имеет конечный индекс в $\varphi_v(G)$. Если никакая секция подгруппы $H$ не имеет конечного индекса, то все секции подгруппы $\operatorname{Stab}_H(X)$ вдоль $X$ тривиальны. Значит, сама группа $\operatorname{Stab}_H(X)$ тривиальна, а $H$ конечна. Следствие доказано. Это позволяет нам обобщить теорему 3 из [15]. Скажем, что ветвящаяся группа $G\leqslant\operatorname{Aut}(T)$ имеет тривиальное ядро ветвления, [34], если любая подгруппа конечного индекса в $G$ содержит жесткий стабилизатор некоторого уровня или, эквивалентно, если топология, заданная группой $\operatorname{Rist}_G(\mathcal L_n)$, совпадает с проконечной топологией. Это свойство вытекает из более широко известного конгруэнц-свойства, гласящего, что каждая подгруппа конечного индекса группы $G$ содержит стабилизатор некоторого уровня. Подробнее об этих свойствах см. [34]. Следствие 4.7. Пусть группа $G\leqslant \operatorname{Aut}(T)$ регулярно ветвится над своей подгруппой $K$, обладает свойством индукции по подгруппам и имеет тривиальное ядро ветвления. Пусть также найдется вершина $v$ дерева $T$, для которой $\varphi_v(\operatorname{Stab}_K(v))=G$. Тогда конечно порожденная подгруппа $H$ группы $G$ конечна в том и только том случае, когда никакая секция $H$ не равна $G$. Доказательство. По следствию 4.6, если подгруппа $H$ бесконечна, то она имеет секцию $\varphi_v(\operatorname{Stab}_H(v))$ конечного индекса в $G$. Так как каждая секция группы $\varphi_v(\operatorname{Stab}_H(v))$ является секцией $H$, то достаточно показать, что каждая подгруппа $N$ конечного индекса в $G$ имеет секцию, равную $G$.
В силу тривиальности ядра ветвления, $N$ содержит жесткий стабилизатор некоторого уровня и, следовательно, содержит $\operatorname{Rist}_G(w)$ для всех вершин $w$, находящихся достаточно глубоко в дереве. С другой стороны, так как $G$ регулярно ветвится над $K$, то секция $\varphi_w(\operatorname{Rist}_G(w))$ содержит $K$. Следствие доказано. В следующих двух леммах показано, что при надлежащих условиях подгруппа $H\leqslant G$ содержит блочную подгруппу $A$ с $[H:A]<\infty$ тогда и только тогда, когда существует такая трансверсаль $X$ в $T$, что при каждом $v\in X$ секция $\varphi_v(\operatorname{Stab}_H(X))$ либо тривиальна, либо имеет конечный индекс в $\varphi_v(G)$. Лемма 4.8. Пусть $G\leqslant \operatorname{Aut}(T)$ – минимально бесконечная ветвящаяся группа. Пусть $H\leqslant G$ – подгруппа, для которой существует такая трансверсаль $X$ в $T$, что при каждом $v\in X$ секция $\varphi_v(\operatorname{Stab}_H(X))$ либо тривиальна, либо имеет конечный индекс в $\varphi_v(G)$. Тогда $H$ содержит блочную подгруппу $A$ с $[H:A]<\infty$. Доказательство. Пусть $H\leqslant G$ – подгруппа, для которой существует такая трансверсаль $X$ в $T$, что при каждом $v\in X$ секция $\varphi_v(\operatorname{Stab}_H(X))$ либо тривиальна, либо имеет конечный индекс в $\varphi_v(G)$.
Группы $\varphi_v(G)$ являются минимально бесконечными и ветвящимися, так как этими свойствами обладает $G$, см. [12; лемма 5.1]. Таким образом они не виртуально абелевы. Более того, имеет конечный индекс в $H$, и для каждого $v\in X$ секция $\varphi_v(L)$ или тривиальна, или имеет конечный индекс в $\varphi_v(G)$.По теореме 2.15 группа $L$ виртуально диагональна по блокам в смысле определения 2.14. Точнее, существует разбиение $U=\bigsqcup_{i=1}^nU_i$ на ортогональные и попарно ортогональные множества вершин дерева $T$, а $L$ содержит $L'=\prod_{i=1}^nD_i$ в качестве подгруппы конечного индекса, где $D_i$ – диагональные подгруппы. Так как $L'$ имеет конечный индекс в $L$, а значит и в $H$, то при $u\in U$ из носителя группы $D_i$ секция $\varphi_u(D_i)$ имеет конечный индекс в $\varphi_u(H)$, а значит и в $\varphi_u(\operatorname{Rist}_G(u))$. Поэтому все $D_i$ являются диагональными подгруппами в смысле определения 2.3, а $L'$ – блочной подгруппой (в смысле определения 2.5) конечного индекса в $H$. Лемма доказана. Для доказательства следующей леммы введем на множестве трансверсалей частичный порядок: для двух трансверсалей $Y$ и $X$ в $T$, будем говорить, что $Y\geqslant X$, если каждый элемент $y$ в $Y$ является потомком одного из $x$ в $X$. Лемма 4.9. Пусть $G\leqslant\operatorname{Aut}(T)$ и пусть $H\leqslant G$ – подгруппа, содержащая блочную подгруппу $A$ с $[H:A]<\infty$. Тогда существует такая трансверсаль $X$ в $T$, что при каждом $v\in X$ секция $\varphi_v(\operatorname{Stab}_H(X))$ либо тривиальна, либо имеет конечный индекс в $\varphi_v(G)$. Доказательство. Пусть – блочная подгруппа, а $U_i$ – носитель диагональной подгруппы $D_i$ при каждом $i$. В частности, множества $U_i$ ортогональны и попарно ортогональны. Пусть $X$ – единственная минимальная трансверсаль в $T$, содержащая все $U_i$. В частности, Тогда группа $\varphi_v(\operatorname{Stab}_A(X))$ либо тривиальна, либо имеет конечный индекс в $\varphi_v(G)$ при каждом $v\in X$. Если $A$ имеет конечный индекс в некоторой подгруппе $H\leqslant G$, то подгруппа $\varphi_v(\operatorname{Stab}_H(X))$ либо конечна, либо имеет конечный индекс в $\varphi_v(G)$ при каждом $v\in X$. Поэтому существует другая трансверсаль $Y\geqslant X$ такая, что группа $\varphi_v(\operatorname{Stab}_H(Y))$ либо тривиальна, либо имеет конечный индекс в $\varphi_v(G)$ при каждом $v\in Y$. Лемма доказана. Для доказательства нашего основного результата потребуется следующее предложение. Предложение 4.10 (см. [23]). Пусть $G\leqslant\operatorname{Aut}(T)$ – конечно порожденная ветвящаяся группа со свойством индукции по подгруппам. Тогда $G$ – минимально бесконечная группа с кручением. Теперь мы можем доказать наш основной результат. Теорема 2.9. Пусть $G$ – конечно порожденная ветвящаяся группа. Тогда следующие утверждения эквивалентны. 1) Подгруппа $H$ группы $G$ конечно порождена тогда и только тогда, когда она содержит блочную подгруппу $A$ с $[H:A]<\infty$. 2) Подгруппа $H$ группы $G$ конечно порождена тогда и только тогда, когда найдется $n$, для которого при каждом $v\in \mathcal L_n$ секция $\varphi_v(\operatorname{Stab}_H(\mathcal L_n))$ либо тривиальна, либо имеет конечный индекс в $\varphi_v(\operatorname{Stab}_G(v))$. 3) Подгруппа $H$ группы $G$ конечно порождена тогда и только тогда, когда существует такая трансверсаль $X$ в $T$, что при каждом $v\in X$ секция $\varphi_v(\operatorname{Stab}_H(X))$ либо тривиальна, либо имеет конечный индекс в $\varphi_v(\operatorname{Stab}_G(v))$. Если при этом $G$ самоподобна, то указанные утверждения эквивалентны следующему. 4) Группа $G$ обладает свойством индукции по подгруппам в смысле определения 2.8. Доказательство. Прежде всего, если $G$ конечно порождена, то любая блочная подгруппа конечно порождена и, следовательно, если подгруппа $H\,{\leqslant}\, G$ содержит блочную подгруппу с $[H:A]<\infty$, то $H$ конечно порождена. Поэтому теорема 2.9 вытекает из того, что следующие свойства эквивалентны.
a) Каждая конечно порожденная подгруппа $H$ группы $G$ содержит блочную подгруппу $A$ с $[H:A]<\infty$. b) Для каждой конечно порожденной подгруппы $H$ группы $G$ найдется $n$, для которого при каждом $v\in \mathcal L_n$ секция $\varphi_v(\operatorname{Stab}_H(\mathcal L_n))$ либо тривиальна, либо имеет конечный индекс в $\varphi_v(\operatorname{Stab}_G(v))$. c) Для каждой конечно порожденной подгруппы $H$ группы $G$ существует такая трансверсаль $X$ в $T$, что при каждом $v\in X$ секция $\varphi_v(\operatorname{Stab}_H(X))$ либо тривиальна, либо имеет конечный индекс в $\varphi_v(\operatorname{Stab}_G(v))$. d) (Если $G$ самоподобна) группа $G$ обладает свойством индукции по подгруппам. Свойства b) и c) эквивалентны по лемме 4.2, а если группа $G$ самоподобна, то они эквивалентны свойству d) по предложению 4.3. Далее, по лемме 4.9, свойство c) вытекает из свойства a). С другой стороны, если группа $G$ обладает свойством b), то она минимально бесконечна по предложению 4.11 и, следовательно, обладает свойством a) по лемме 4.8. Теорема доказана. Наконец, выведем теорему 2.11 из теоремы 2.9. Доказательство теоремы 2.11. Пусть $G$ – конечно порожденная ветвящаяся группа с конгруэнц-свойством. Допустим, что $G$ обладает свойством индукции по подгруппам.
Пусть $H$ – конечно порожденная подгруппа группы $G$. По теореме 2.9 существует блочная подгруппа $A\leqslant H$ с конечным $[H:A]$. В силу [12; лемма 6.7], $A$ замкнута в проконечной топологии, а тогда и $H$ замкнута в ней. Тем самым показано, что $G$ – группа с отделимыми подгруппами, что и требовалось. Авторы признательны Доминику Франкёру за многочисленные полезные замечания по первой версии статьи.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GriLeeNag21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|