| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 9 научных статьях (всего в 9 статьях) О проблеме классификации многочленов В. П. Платоновab, Г. В. Федоровca a Федеральный научный центр Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук, г. Москва b Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва c Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9098 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение и формулировка результатовПусть $K$ – поле характеристики, отличной от $2$. Пусть $f \in K[x]$ – свободный от квадратов многочлен четной степени. Проблема периодичности непрерывных дробей элементов гиперэллиптических полей $\mathcal{L}=K(x)(\sqrt{f})$ имеет большую (200 лет) и глубокую историю, истоки которой – в классических работах Абеля и Чебышёва. В классическом случае давно известна связь между свойством периодичности непрерывной дроби элемента $\sqrt{f}$ в поле формальных степенных рядов $K((1/x))$, наличием в гиперэллиптическом поле $\mathcal{L}$ фундаментальной единицы и наличием рациональной точки конечного порядка в якобиевом многообразии гиперэллиптической кривой $\mathcal{C}: y^2=f(x)$ (см. [2]–[6]). Пусть теперь $f \in K[x]$ – свободный от квадратов многочлен произвольной степени, $L= K(x)(\sqrt{f})$. В 2010 г. в статье [7] В. П. Платонов предложил новый подход к проблеме кручения в якобиевом многообразии $J$ (якобиане) гиперэллиптической кривой $C$: $y^2=f(x)$, основанный на глубокой связи между рациональными точками конечного порядка в якобиане $J$ и фундаментальными $S$-единицами гиперэллиптического поля $L$. Дальнейшее развитие этот подход получил в статьях [1], [6] и [8]. Проблема поиска и построения фундаментальных $S$-единиц гиперэллиптических полей, как и проблема кручения в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых, является трудной, и никакие на данный момент известные соображения не позволяют ее решить в полном объеме. В статьях [1], [9]–[12] был развит теоретико-числовой подход к проблеме поиска и построения фундаментальных $S$-единиц гиперэллиптических полей, основанный на теории функциональных непрерывных дробей в поле формальных степенных рядов $K((x))$. В частности, там показано, что элементы вида $\sqrt{f}/x^s$, $s \in \mathbb{Z}$, и их непрерывные дроби в $K((x))$ играют ключевую роль. Функциональные непрерывные дроби над бесконечным полем констант имеют существенные отличия от классических числовых непрерывных дробей. Одним из таких отличий является свойство квазипериодичности непрерывной дроби – периодичности с точностью до константы. Так, в функциональном случае существуют гиперэллиптические поля $L$, в которых есть квадратичные иррациональности трех типов: имеющие неквазипериодическое разложение в непрерывную дробь, или имеющие квазипериодическое, но не периодическое разложение в непрерывную дробь, или имеющие периодическое разложение в непрерывную дробь. Однако для элементов вида $\sqrt{f}/x^s$, $s \in \mathbb{Z}$, которые мы будем называть ключевыми элементами, справедливо утверждение: если непрерывная дробь $\sqrt{f}/x^s$ квазипериодическая, то она периодическая (см. [8], [13]). В статьях [1], [14] была сформулирована концептуальная проблема описания периодических ключевых элементов поля $L$: для данного поля $K$ и данных $s \in \mathbb{Z}$, $d \in \mathbb{N}$ описать все свободные от квадратов многочлены $f \in K[x]$ степени $d$ с периодическим разложением $\sqrt{f}/x^s$ в непрерывную дробь в поле $K((x))$. В общем случае для числовых полей $K$ эта проблема далека от полного решения. Над конечным полем констант $K$ ответ тривиально следует из следующего результата (см., например, [9]): любой элемент квадратичного функционального поля над конечным полем констант имеет периодическое разложение в непрерывную дробь. Для непрерывной дроби элемента $\alpha$ из поля $L=K(x)(\sqrt{f})$ свойства квазипериодичности и периодичности, а также длина квазипериода и длина периода инвариантны относительно замены элемента $\alpha=\alpha(x)$ на $a^2\alpha(bx)$ для некоторых $a,b \in K^{\ast}$. Такие замены мы будем называть допустимыми. С помощью допустимых замен элементы поля $L$ разбиваются на классы эквивалентности, поэтому ответ достаточно искать с точностью до указанного отношения эквивалентности. На основе объединения теоретико-числовых, алгебраических и геометрических методов в статье [1] была полностью решена проблема периодичности ключевых элементов для квадратичных расширений поля $\mathbb{Q}(x)$, определяемых кубическими многочленами $f \in \mathbb{Q}[x]$, а для $s=0$ с использованием параметризации эллиптических кривых и точек конечного порядка на них из [15] был получен особенно удивительный результат: за исключением тривиальных случаев вида $f=cx^3+1$, $c \in \mathbb{Q}\setminus\{0\}$, с точностью до эквивалентности существуют только три кубических многочлена над полем рациональных чисел, квадратный корень из которых разлагается в периодическую непрерывную дробь в поле формальных степенных рядов $\mathbb{Q}((x))$. Позже последнее утверждение получено в статье [16] без использования параметризации эллиптических кривых. В настоящей статье приведено решение проблемы периодичности ключевых элементов для квадратичных расширений поля $\mathbb{Q}(x)$, определяемых многочленами $f \in \mathbb{Q}[x]$ степени $4$, что завершает решение этой проблемы для эллиптических полей над полем рациональных чисел. В статье [17] для каждой степени $d \geqslant 3$ многочлена $f$ кроме известного примера $f= c x^d+1$, где постоянная $c \in \mathbb{Z}\setminus\{0\}$ свободна от $d$-х степеней, отличных от $1$, найдены три свободных от квадратов многочлена $f \in \mathbb{Q}[x]$, $\operatorname{deg} f=d$, с периодическим разложением $\sqrt{f}$ в непрерывную дробь в $\mathbb{Q}((x))$. Эти три найденных примера лежат в разных классах эквивалентности относительно допустимых замен, и более того, соответствующие им поля $\mathbb{Q}(x)(\sqrt{f})$ не изоморфны друг другу. Для эллиптического случая $d=3$, как было указано выше, эти три найденных многочлена с точностью до указанного отношения эквивалентности описывают все нетривиальные случаи, когда непрерывная дробь $\sqrt{f}$, построенная в $\mathbb{Q}((x))$, периодическая. Известен критерий, связывающий условие квазипериодичности непрерывной дроби квадратичной иррациональности $\alpha \in L$ с наличием в поле $L$ нетривиальных $S$-единиц специального вида, где $S=\{v_x^-, v_x^+\}$, а также с существованием решения определенного вида уравнения типа Пелля и кручением у класса дивизора $v_x^--v_x^+$ в группе классов дивизоров степени нуль $\Delta^{\circ}(L)$ поля $L$ (см. [1; теорема 1]). Последнее условие эквивалентно наличию точки конечного порядка в якобиане гиперэллиптической кривой рода $g$, соответствующей гиперэллиптическому полю $L$. Из этого критерия следует, что непрерывная дробь элемента $\sqrt{f}/x^{g+1}$ периодическая тогда и только тогда, когда в поле $L$ есть фундаментальная $S$-единица $u$, причем степень фундаментальной $S$-единицы $u$ восстанавливается из вида квазипериода $[a_1, \dots, a_n]$ непрерывной дроби $\sqrt{f}/x^{g+1}$: $\operatorname{deg} u=-\sum_{j=1}^{n} v_x(a_j)$. Длина периода непрерывной дроби $\sqrt{f}/x^{g+1}$ может быть равна длине квазипериода или удвоенной длине квазипериода. Так как $a_n=2a_0$, то $v_x(a_n)=g+1$, и длина периода непрерывной дроби $\sqrt{f}/x^{g+1}$ в любом случае не превосходит $2 \operatorname{deg} u-2g$. В статье [1] был обнаружен неожиданный эффект: для многочленов $f$ четной степени длина периода непрерывной дроби элемента вида $\sqrt{f}/x^s$, $s \in \mathbb{Z}$, $s \ne g+1$, может значительно превосходить степень соответствующей фундаментальной $S$-единицы. Так, в статье [1] в примерах 1–3 найдены эллиптические поля, определенные многочленами четвертой степени над полем рациональных чисел, обладающие фундаментальными $S$-единицами соответственно степеней $2$, $4$, $6$, а длины периодов непрерывных дробей элементов вида $\sqrt{f}/x$ соответственно равны $10$, $20$, $22$. В [1; пример 4] найдено гиперэллиптическое поле $\mathbb{Q}(x)(\sqrt{f})$, $\operatorname{deg} f=6$, в котором существует фундаментальная $S$-единица степени $4$, и непрерывная дробь элемента $\sqrt{f}$, построенная в поле $\mathbb{Q}((x))$, периодическая с длиной периода $18$. В классическом эллиптическом случае над полем рациональных чисел для непрерывной дроби элемента $\sqrt{f}$, $\operatorname{deg} f=4$, в поле $\mathbb{Q}((1/x))$ длина периода, в том случае, когда она конечна, не превосходит $22$ (см., например, [18]). Данная оценка на длины периодов непрерывных дробей в поле $\mathbb{Q}((x))$ остается справедливой и для описанных ключевых элементов в проблеме периодичности в эллиптических полях, заданных кубическими многочленами над полем рациональных чисел (см. доказательство теоремы 4 из [1]). Однако в статье [19] найден многочлен $f=1-2 x-2 x^2-3 x^3-3 x^4 / 4$, квадратный корень из которого имеет аномально большую длину периода непрерывной дроби в поле $\mathbb{Q}((x))$ равную $38$, а поле $L=\mathbb{Q}(x)(\sqrt{f})$ обладает фундаментальной $S$-единицей степени $4$. В статье [19] исследован эффект, за счет которого для элементов гиперэллиптического поля, заданного многочленом четной степени, длина периода может значительно превосходить как степень соответствующей фундаментальной $S$-единицы, так и порядок соответствующего класса дивизоров в группе классов дивизоров степени нуль $\Delta^{\circ}(L)$ поля $L$. Окончательные результаты, дающие точные оценки сверху на возможные конечные длины периодов ключевых элементов гиперэллиптических полей над полем рациональных чисел, доказаны в теореме 5 статьи [13], а над произвольными числовыми полями – в статье [20]. В частности, согласно этим результатам в эллиптическом поле $L=\mathbb{Q}(x)(\sqrt{f})$, $\operatorname{deg} f=4$, обладающем фундаментальной $S$-единицей степени $m$, конечная длина периода непрерывной дроби ключевого элемента вида $\sqrt{f}/x^s$, $s \in \mathbb{Z}$, не превосходит $12m$. Однако перечисленные выше результаты не дают явного описания свободных от квадратов многочленов $f$, для которых непрерывная дробь элемента $\sqrt{f}/x^s$ при фиксированном $s \in \mathbb{Z}$ периодична. Основная сложность для эллиптических полей, заданных кубическими многочленами над полем рациональных чисел, заключалась в описании многочленов $f \in \mathbb{Q}[x]$, $\operatorname{deg} f=3$, для которых разложение $\sqrt{f}$ или $\sqrt{f}/x^3$ в непрерывную дробь периодично. Важную роль при этом сыграла теорема 2 [1], в которой по данному элементу $\alpha \in L$ с квазипериодическим разложением в непрерывную дробь найден промежуток значений $s$ таких, что элемент $\alpha \cdot x^s$ имеет квазипериодическое разложение в непрерывную дробь. Для случая многочлена $f$ нечетной степени в той же теореме доказано, что этот промежуток точный, а случай четной степени многочлена $f$ оказался более сложным: в некоторых особых случаях могут существовать значения $s$, не принадлежащие найденному промежутку, такие, что непрерывная дробь элемента $\alpha \cdot x^s$ квазипериодическая. В статье [19] полностью решен этот вопрос для элементов вида $\alpha=\sqrt{f}/x^{g+1}$ над полем рациональных чисел, а именно, для свободного от квадратов многочлена $f \in \mathbb{Q}[x]$, $\operatorname{deg} f=2g+2$, с периодическим разложением $\sqrt{f}/x^{g+1}$ в непрерывную дробь найден точный промежуток значений $s$ таких, что элемент $\sqrt{f}/x^{s}$ также имеет периодическое разложение в непрерывную дробь в поле $\mathbb{Q}((x))$. В теореме 4 найдены необходимые и достаточные условия периодичности непрерывных дробей ключевых элементов. На этот результат в значительной мере опирается доказательство основной теоремы настоящей статьи (см. § 4). Теорема 1. С точностью до отношения эквивалентности, определенного допустимыми заменами многочлена $f(x)$ на $a^2 f(bx)$ для $a,b \in \mathbb{Q}^{\ast}$, множество свободных от квадратов многочленов $f \in \mathbb{Q}[x]$, $\operatorname{deg} f=4$, для которых разложение $\sqrt{f}$ в непрерывную дробь в поле $\mathbb{Q}((x))$ периодично, описывается семью многочленами Теорема 1 была анонсирована в статье [21]. Доказательство теоремы 1 существенным образом опирается на большие символьные компьютерные вычисления. В § 4 сначала приведена схема доказательства, а потом подробно изложены шаги доказательства с предъявлением всех ключевых результатов вычислений. Периодичность непрерывной дроби элемента $\sqrt{f}/x^s$ влечет периодичность непрерывной дроби элемента $\sqrt{f}/x^{\operatorname{deg} f-s}$ (см. [8; следствие 2]), поэтому для решения проблемы описания периодических ключевых элементов достаточно рассматривать только элементы вида $\sqrt{f}/x^s$, $s \leqslant g+1$. Для $\operatorname{deg} f=2g+2$ в проблеме описания периодических ключевых элементов в $\mathbb{Q}((x))$ путем преобразований $X=1/x$, $F=X^4 f(1/X)$ получаем, что случай $s=g+1$ эквивалентен описанию свободных от квадратов многочленов $F \in \mathbb{Q}[X]$, $\operatorname{deg} F=2g+2$, для которых разложение в поле $\mathbb{Q}((1/X))$ элемента $\sqrt{F}$ в непрерывную дробь периодично. Параметрическое описание многочленов $F \in \mathbb{Q}[X]$ четвертой степени с периодическим разложением $\sqrt{F}$ в непрерывную дробь в поле $\mathbb{Q}((1/X))$ приведено, например, в [18]. В случае $s=1$ найденные в теореме 4 условия связывают два параметра, задающих коэффициенты многочлена $F$, в одно полиномиальное уравнение над полем $\mathbb{Q}$. Поэтому множество многочленов $F \in \mathbb{Q}[X]$ четвертой степени с периодическим разложением $X\sqrt{F}$ в непрерывную дробь в поле $\mathbb{Q}((1/X))$ описывается рациональными точками на специальных кривых для каждого порядка $m$, $2 \leqslant m \leqslant 12$, $m \ne 11$, класса дивизора $(\infty^{-}-\infty^{+})$ в группе классов дивизоров степени нуль $\Delta^{\circ}(\mathcal{L})$ поля $\mathcal{L}=\mathbb{Q}(X)(\sqrt{F})$. В случае $s=0$ два параметра, задающих коэффициенты многочлена $F$, становятся связаны системой двух полиномиальных соотношений, которую удается решить с применением компьютерной алгебры (подробности см. в п. 4.1). Таким образом, получается множество многочленов $F \in \mathbb{Q}[X]$ четвертой степени с периодическим разложением $X^2 \sqrt{F}$ в непрерывную дробь в поле $\mathbb{Q}((1/X))$, откуда следует результат теоремы 1 с помощью преобразования $f=x^4 F(1/x)$. Для каждого многочлена $f$ (или семейства многочленов), найденных в теореме 1, вычисления показывают, что непрерывная дробь элемента $x \sqrt{f}$ не является периодической, поскольку в случае периодичности длина квазипериода не должна превосходить степень фундаментальной $S$-единицы, умноженную на $6$ (см. [13]). Теорема 2. В случае $s<0$ или $s>4$ не существует многочленов $f \in \mathbb{Q}[x]$, $\operatorname{deg} f=4$, для которых разложение $\sqrt{f}/x^s$ в непрерывную дробь в поле $\mathbb{Q}((x))$ периодично. Проблема описания гиперэллиптических кривых рода $g \geqslant 2$ над $\mathbb{Q}$, якобиан которых содержит нетривиальную подгруппу кручения, не решена. Более того, над полем рациональных чисел проблема ограниченности порядков подгрупп кручения в якобианах гиперэллиптических кривых считается трудной даже для кривых рода два. Как мы видели, для эллиптических кривых, заданных многочленом $f \in \mathbb{Q}[x]$ степени $3$ и $4$, значения $s=0$ и $s=\operatorname{deg} f$ в проблеме описания периодических ключевых элементов являются “пограничными” в том смысле, что не существует многочленов $f \in \mathbb{Q}[x]$, $3 \leqslant \operatorname{deg} f \leqslant 4$, для которых разложение $\sqrt{f}/x^s$ в непрерывную дробь периодично при $s<0$ или $s>\operatorname{deg} f$, а при $0 \leqslant s \leqslant \operatorname{deg} f$ такие многочлены есть. В связи с этим, поиск многочленов $f \in \mathbb{Q}[x]$, $\operatorname{deg} f \geqslant 3$, для которых разложение $\sqrt{f}$ в непрерывную дробь в поле $\mathbb{Q}((x))$ периодично, имеет особый интерес. Мы высказываем две гипотезы. 1. Для каждого $d \geqslant 3$ существует только конечное число свободных от квадратов многочленов $f \in \mathbb{Q}[x]$, $\operatorname{deg} f \leqslant d$, с периодическим разложением $\sqrt{f}$ в непрерывную дробь в поле $\mathbb{Q}((x))$ с точностью до эквивалентности, заданной заменой многочлена $f$ на многочлен $a^2f(bx^n)$ для некоторых $n \in \mathbb{N}$ и $a, b \in \mathbb{Q}^{\ast}$. 2. Для $d \geqslant 3$ и $s<0$ или $s>d$ не существует свободных от квадратов многочленов $f \in \mathbb{Q}[x]$, $\operatorname{deg} f=d$, для которых разложение $\sqrt{f}/x^s$ в непрерывную дробь периодично. Для $d=3$ эти гипотезы доказаны в статье [1], а для $d=4$ эти гипотезы доказаны в настоящей статье. Данные гипотезы могут рассматриваться при $d \geqslant 3$ над произвольными числовыми полями $K$, но к настоящему моменту они полностью доказаны только в случае $d=3$ над квадратичными расширениями поля $\mathbb{Q}$ в статье [22] и над кубическими расширениями поля $\mathbb{Q}$ в статье [23]. Отметим, что ранее в статье [24] были доказаны приведенные гипотезы для эллиптических полей, заданных кубическими многочленами над полями $K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ и $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-15})$. Для этих полей описание многочленов $f$ с периодическим разложением $\sqrt{f}/x$ в непрерывную дробь в поле $K((x))$ отлично от соответствующего описания над полем рациональных чисел, но для них нет новых примеров многочленов $f$ с периодическим разложением $\sqrt{f}$ в непрерывную дробь в поле $K((x))$. Однако для поля констант $K=\mathbb{Q}(\sqrt{21})$ в статье [24] найден новый пример многочлена $f \in K[x]$, $\operatorname{deg} f=3$, с периодическим разложением $\sqrt{f}$ в непрерывную дробь в поле $K((x))$. Для произвольного поля $K$ характеристики нуль в статьях [25], [16] с точностью до естественного отношения эквивалентности, заданного допустимыми заменами, за исключением случаев вида $f=cx^3+1$, $c \in K\setminus\{0\}$, доказана конечность числа кубических многочленов $f$ с периодическим разложением $\sqrt{f}$ в непрерывную дробь в поле $K((x))$, для которых соответствующая эллиптическая кривая содержит $K$-точку четного порядка, не превосходящего $18$, или $K$-точку нечетного порядка, не превосходящего $11$. § 2. Непрерывные дроби в гиперэллиптических поляхПусть $K$ – произвольное поле характеристики, отличной от $2$, а $x$ и $X$ – трансцендентные элементы. В этом параграфе мы рассмотрим связь непрерывных дробей, построенных в полях формальных степенных рядов $K((x))$ и $K((1/X))$. Далее в тексте статьи мы применяем обозначения элементов $x$, $X$ и многочленов $f(x)$, $F(X)$, чтобы эффективно использовать эту связь. В поле рациональных функций $K(x)$ определим конечное нормирование $v_x$ для $\alpha \in K(x)$ следующим образом: $v_x(\alpha)=m \in \mathbb{Z}$, где $\alpha=x^m \cdot p/q$, $p, q \in K[x]$, $x \nmid p$, $x \nmid q$. Бесконечное нормирование $v_{\infty}$ элемента $\beta \in K(X)$ определим как $v_{\infty}(\beta)=\operatorname{deg} \omega-\operatorname{deg} \tau$, где $\beta= \tau/\omega$, $\tau, \omega \in K[X]$. Нормирования $v_x$ и $v_{\infty}$ естественным образом продолжаются соответственно на поля формальных степенных рядов $K((x))$ и $K((1/X))$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K((x)) &=\biggl\{\sum_{j=s}^{\infty} c_j x^{j} \biggm| c_j \in K, \, s \in \mathbb{Z}, \, c_s \in K^{\ast} \biggr\}, \\ K((1/X)) &=\biggl\{\sum_{j=s}^{\infty} c_j \biggl(\frac{1}{X}\biggr)^{j} \biggm| c_j \in K, \, s \in \mathbb{Z}, \, c_s \in K^{\ast} \biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для элементов
$$
\begin{equation*}
\alpha=\sum_{j=s}^{\infty} c_j x^{j} \in K((x)), \qquad \beta=\sum_{j=s}^{\infty} c_j \biggl(\frac{1}{X}\biggr)^{j} \in K((1/X))
\end{equation*}
\notag
$$
имеем $v_x(\alpha)=v_{\infty}(\beta)=s$. Определим
$$
\begin{equation*}
[\alpha]_{x}=\begin{cases} {\displaystyle\sum_{j=s}^{0} c_j x^{j}}, &s \leqslant 0, \\ 0, &s>0, \end{cases} \qquad [\beta]_{\infty}=\begin{cases} {\displaystyle\sum_{j=s}^{0} c_j \biggl(\frac{1}{X}\biggr)^{j}}, &s \leqslant 0, \\ 0, &s>0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Непрерывные дроби в полях $K((x))$ и $K((1/X))$ строятся стандартным рекуррентным образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha_0=\alpha, \quad a_j=[\alpha_j]_{x}, \quad \alpha_{j+1}=\frac{1}{\alpha_j-a_j}, \qquad j \in \mathbb{N}_0, \\ \beta_0=\beta, \quad b_j=[\beta_j]_{\infty}, \quad \beta_{j+1}=\frac{1}{\beta_j-b_j}, \qquad j \in \mathbb{N}_0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
причем рекуррентный процесс по $j \in \mathbb{N}_0$ продолжается пока $\alpha_j \ne a_j$ и $\beta_j \ne b_j$ соответственно. Для самих конечных или бесконечных непрерывных дробей будем использовать стандартные обозначения
$$
\begin{equation*}
[a_0; a_1, a_2, \dots]=a_0+\frac{1}{a_1+\displaystyle\frac{\mathstrut 1}{a_2+\cdots}}, \qquad [b_0; b_1, b_2, \dots]=b_0+\frac{1}{b_1+\displaystyle\frac{\mathstrut 1}{b_2+\cdots}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подробнее о функциональных непрерывных дробях, построенных по конечному (линейному) или бесконечному нормированию, и связи между ними можно посмотреть в статьях [1], [6], [9], [13]. Отметим, что теория функциональных непрерывных дробей, построенных по конечному нормированию второй степени, развита статьях [26] и [27]. Непрерывные дроби, построенные в поле $K((1/X))$, называют классическими, поскольку история их рассмотрения восходит к классическим работам Абеля и Чебышёва. Отображение $\phi\colon x \to 1/X$ продолжается естественным образом $\phi\colon K((x)) \to K((1/X))$, причем $\phi(\alpha)=\beta$, $\phi([\alpha]_{x})=[\beta]_{\infty}$. Поэтому $\phi(\alpha_j)=\beta_j$, $\phi(a_j)=b_j$ и для формальных непрерывных дробей справедливо соотношение В данной статье мы будем иметь дело с функциональными непрерывными дробями, определенными над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$ и построенными в полях формальных степенных рядов $\mathbb{Q}((x))$ и $\mathbb{Q}((1/X))$ соответственно по конечному нормированию $v_x$ и по бесконечному нормированию $v_{\infty}$. Пусть $f \in \mathbb{Q}[x]$ – свободный от квадратов многочлен со свободным членом $f(0)= \gamma^2$, являющимся полным квадратом в $\mathbb{Q}^{\ast}$, тогда $\pm\sqrt{f} \in \mathbb{Q}((x))$ и поле $L=\mathbb{Q}(x)(\sqrt{f})$ вкладывается двумя неэквивалентными способами в поле формальных степенных рядов $\mathbb{Q}((x))$. Мы фиксируем одно из вложений, например, соответствующее $v_x(\sqrt{f(x)}-\gamma)>0$, где под выражением $\sqrt{f(x)}-\gamma$ мы подразумеваем соответствующий образ в $\mathbb{Q}((x))$. Тогда нормирование поля $L$, индуцированное из нормирования $v_x$ поля $\mathbb{Q}((x))$ и зафиксированного вложения, обозначим $v_x^-$. Аналогичным образом для свободного от квадратов многочлена $F \in \mathbb{Q}[X]$ четной степени со старшим коэффициентом, являющимся полным квадратом в $\mathbb{Q}^{\ast}$, поле $\mathcal{L}=\mathbb{Q}(X)(\sqrt{F})$ можно двумя способами вложить в поле формальных степенных рядов $\mathbb{Q}((1/X))$. Если положить $g=[(\operatorname{deg} f-1)/2]$ и $F(X)=X^{2g+2} f(1/X) \in \mathbb{Q}[X]$, то мы фиксируем то вложение, для которого $v_{\infty}(\phi(\sqrt{f(x)}-\gamma))>0$. Индуцированное нормирование поля $\mathcal{L}$ из нормирования $v_{\infty}$ поля $\mathbb{Q}((1/X))$ и зафиксированного вложения обозначим $v_{\infty}^{-}$. Тогда $\phi(\sqrt{f}/x^{g+1})=\sqrt{F}$, и непрерывные дроби элементов полей $L$ и $\mathcal{L}$, построенные соответственно в полях $\mathbb{Q}((x))$ и $\mathbb{Q}((1/X))$, переводятся друг в друга с помощью отображений $\phi$ и $\phi^{-1}$. Так, например, для непрерывной дроби элемента $\sqrt{f}/x^{g+1}=[a_0; a_1, a_2, \dots]$, построенной в поле $\mathbb{Q}((x))$, справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
\phi([a_0; a_1, a_2, \dots])=[\phi(a_0); \phi(a_1), \phi(a_2), \dots]=\sqrt{F},
\end{equation*}
\notag
$$
где $[\phi(a_0); \phi(a_1), \phi(a_2), \dots]$ – непрерывная дробь элемента $\sqrt{F}$, построенная в поле $\mathbb{Q}((1/X))$.
§ 3. О периодичности ключевых элементовПусть $K$ – поле характеристики, отличной от $2$. Пусть $F \in K[X]$ такой свободный от квадратов многочлен, что бесконечное нормирование поля $K(X)$ имеет два неэквивалентных продолжения $v_{\infty}^{-}$ и $v_{\infty}^{+}$ на гиперэллиптическое поле $\mathcal{L}= K(X)(\sqrt{F})$. В этом случае поле $\mathcal{L}$ вкладывается в поле формальных степенных рядов $K((1/X))$, и, следовательно, элементы поля $\mathcal{L}$ можно разложить в функциональную непрерывную дробь в поле $K((1/X))$. Подробнее о функциональных непрерывных дробях, построенных по бесконечному нормированию можно посмотреть в статьях [4]–[6]. Обозначим через $\mathcal{O}_F$ кольцо
$$
\begin{equation*}
\mathcal{O}_F=K[X][\sqrt{F}] =\{\Omega_1+\Omega_2 \sqrt{F} \mid \Omega_1, \Omega_2 \in K[X]\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Элемент $u \in \mathcal{O}_F$ называется единицей, если $u$ обратим в $\mathcal{O}_F$. Если $u \in K^{\ast}$, то $u$ называется тривиальной единицей кольца $\mathcal{O}_F$. Если кольцо $\mathcal{O}_F$ обладает нетривиальными единицами, то группа всех единиц кольца $\mathcal{O}_F$ описывается как $\mathcal{O}_F^{\ast}=K^{\ast} \times \langle u_0 \rangle$, где $\langle u_0 \rangle$ – бесконечная циклическая группа, порожденная единицей $u_0$. В этом случае $u_0$ называется фундаментальной единицей кольца $\mathcal{O}_F$ или гиперэллиптического поля $\mathcal{L}$. Для нетривиальной единицы $u=\Omega_1+\Omega_2 \sqrt{F}$ степень определяется как $\operatorname{deg} u=\operatorname{deg} \Omega_1$. Для элемента специального вида $\beta=(B+\sqrt{F})/A \in \mathcal{L}$, где $A, B \in K[X]$, $A \mid F-B^2$, в статье [4] дана оценка сверху на длину квазипериода $N$ непрерывной дроби, построенной в поле $K((1/X))$, согласно которой $N \leqslant m-p+1$, где $m$ – порядок класса дивизора $(\infty^{-}- \infty^{+})$ в группе классов дивизоров степени нуль $\Delta^{\circ}(\mathcal{L})$ поля $\mathcal{L}$, $p$ – порядок полюса элемента $\beta$ в $\infty^{+}$. Далее мы покажем, что в поле $\mathcal{L}$ могут существовать элементы, имеющие периодическую непрерывную дробь, построенную в поле $K((1/X))$, с длиной квазипериода существенно больше, чем порядок класса дивизора $(\infty^{-}-\infty^{+})$ в группе классов дивизоров степени нуль $\Delta^{\circ}(\mathcal{L})$ поля $\mathcal{L}$. Частные примеры непрерывных дробей, построенных по конечному нормированию в поле $\mathbb{Q}((x))$, для которых длина квазипериода существенно больше степени соответствующего дивизора кручения, были приведены в статьях [1], [19]. 3.1. Слабый критерий периодичности ключевых элементовПусть $\beta$ является корнем неприводимого многочлена
$$
\begin{equation}
\Lambda_2 Z^2+2 \Lambda_1 Z+\Lambda_0 \in K[X][Z], \quad\text{где}\quad \Lambda_0, \Lambda_1, \Lambda_2 \in K[X], \quad (\Lambda_0,\Lambda_1,\Lambda_2) \in K^{\ast}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Пусть $D(\beta)=\Lambda_1^2-\Lambda_2\Lambda_0=\Theta^2 F$, где $F \in K[X]$ – свободная от квадратов часть $D(\beta)$. Если $D(\beta) \ne 0$, то величину $D(\beta)$ будем называть дискриминантом квадратичной иррациональности $\beta$. Согласно теореме 2 из [5] элемент $\beta$ имеет квазипериодическую непрерывную дробь в поле $K((1/X))$ тогда и только тогда, когда для дискриминанта $D(\beta)$ справедливо соотношение для некоторых ненулевых многочленов $\Omega_1, \Omega_2 \in K[X]$. Заметим, что из (3.2) следует равенство
$$
\begin{equation*}
\bigl(\Omega_1^2+\Omega_2^2 D(\beta)\bigr)^2-(2\Omega_1 \Omega_2)^2 \cdot D(\beta) \in K^{\ast},
\end{equation*}
\notag
$$
причем, если $v_X(\Omega_1 \Omega_2) = \max\{v_X(\Omega_1),v_X(\Omega_2)\}>0$, то $v_X(\Omega_1^2+D(\beta) \Omega_2^2)=0$. Следовательно, без ограничения общности в соотношении (3.2) можно требовать дополнительное условие $v_X(\Omega_1)=0$. Результаты следующей теоремы аналогичны объединению результатов теоремы 2 статьи [1] и теоремы 1 статьи [19], в которых рассматриваются непрерывные дроби, построенные по конечному нормированию. Теорема 3. Пусть для элемента $\beta \in \mathcal{L}=K(X)(\sqrt{F})$ с дискриминантом $D(\beta)=\Theta^2 F$ непрерывная дробь, построенная в поле $K((1/X))$, квазипериодическая, причем справедливо соотношение (3.2) для некоторых многочленов $\Omega_1, \Omega_2 \in K[X]$ таких, что $v_X(\Omega_1)=0$, $\Omega_2 \ne 0$. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) если $s \in \mathbb{Z}$ удовлетворяет неравенствам
$$
\begin{equation}
- v_X(\Lambda_0)-v_X(\Omega_2) \leqslant s \leqslant v_X(\Omega_2)+v_X(\Lambda_2),
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
то непрерывная дробь элемента $\beta \cdot X^{s}$ квазипериодическая; 2) если $v_X(F)>0$ и $s$ не удовлетворяет неравенствам (3.3), то непрерывная дробь элемента $\beta \cdot X^{s}$ не квазипериодическая; 3) если $v_X(F)=0$ и фундаментальная единица $\Psi_1+\Psi_2 \sqrt{F}$, где $\Psi_1, \Psi_2 \in K[X]$, в поле $\mathcal{L}$ такая, что $v_X(\Psi_1)>0$ или $v_X(\Psi_2)>0$, то для $s$, не удовлетворяющим неравенствам (3.3), непрерывная дробь элемента $\beta \cdot X^{s}$ не квазипериодическая. Доказательство. Предположим, что $s \in \mathbb{Z}$ удовлетворяет неравенствам (3.3). Положим
$$
\begin{equation}
q=\min\bigl(v_X(\Lambda_2)-s, \ v_X(\Lambda_1), \ v_X(\Lambda_0)+s\bigr),
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
тогда элемент $\beta \cdot X^{s}$ является корнем квадратного уравнения
$$
\begin{equation}
\Lambda_2 X^{-s-q} Z^2+2 \Lambda_1 X^{-q} Z+\Lambda_0 X^{s-q}=0,
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
с дискриминантом $D(\beta \cdot X^{s})=D/X^{2q}$, причем $\Lambda_2 X^{-s-q}, \Lambda_1 X^{-q}, \Lambda_0 X^{s-q} \in K[X]$ и $(\Lambda_2 X^{-s-q},\Lambda_1 X^{-q},\Lambda_0 X^{s-q}) \in K^{\ast}$. Из (3.3) и (3.4) имеем т. е. $-q \leqslant v_X(\Omega_2)$. Отсюда получаем, что $D(\beta \cdot X^{s}) \mid \Omega_2^2 \cdot D(\beta)$, и, следовательно, непрерывная дробь элемента $\beta \cdot X^{s}$ квазипериодическая.
Пусть $\Psi_1+\Psi_2 \sqrt{F}$ – фундаментальная единица кольца целых $\mathcal{O}_F$ поля $\mathcal{L}$. Для произвольной нетривиальной единицы $\omega_1+\omega_2 \sqrt{F}$ кольца $\mathcal{O}_F$ для некоторых $c \in K^{\ast}$ и $n \in \mathbb{Z}$ справедливо равенство $\omega_1+\omega_2 \sqrt{F}=c(\Psi_1+\Psi_2 \sqrt{F})^n$. Домножая при необходимости $\omega_2$ на $-1$ и изменяя константу $c$, без ограничения общности можно считать, что $n \in \mathbb{N}$ и выполнены равенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\omega_1+\omega_2 \sqrt{F}=c(\Psi_1+\Psi_2 \sqrt{F})^n \notag \\ &\quad=\sum_{0 \leqslant j \leqslant n/2} \binom{n}{2j} c \Psi_1^{n-2j} \Psi_2^{2j} F^j + \biggl(\sum_{0 \leqslant j<n/2} \binom{n}{2j+1} c \Psi_1^{n-2j-1} \Psi_2^{2j+1} F^j\biggr) \sqrt{F} \notag \\ &\quad= \biggl(c \Psi_1^{n}+\binom{n}{2} c \Psi_1^{n-2} \Psi_2^{2} F+\cdots \biggr) + \biggl(nc \Psi_1^{n-1} \Psi_2+\binom{n}{3} c \Psi_1^{n-3} \Psi_2^3 F+\cdots \biggr) \sqrt{F}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Кроме того, можно считать, что постоянная $c$ и $n{\kern1pt}{\in}{\kern1pt}\mathbb{N}$ подобраны так, что $\omega_1{\kern1pt}{=}{\kern1pt}\Omega_1$, $\omega_2=\Theta \cdot \Omega_2$. Если выполнено условие $v_X(F)>0$ или $v_X(\Psi_2)>0$, то в силу $\Psi_1^2-\Psi_2^2 F \in \mathbb{K}^{\ast}$ имеем $v_X(\Psi_1)=0$, следовательно, из (3.7) получаем $v_X(\omega_1)\,{=}\,0$, $v_X(\omega_2)=v_X(\Psi_2)$. Если $v_X(F)=0$ и $v_X(\Psi_1)>0$, то $v_X(\Psi_2)=0$, и при четном $n$ имеем $v_X(\omega_1)=0$, $v_X(\omega_2)=v_X(\Psi_1)$, а при нечетном $n$ имеем $v_X(\omega_1)=v_X(\Psi_1)$, $v_X(\omega_2)=0$. В последнем случае при нечетном $n$ можно рассмотреть $\omega_1^{(2n)}\,{+}\,\omega_2^{(2n)} \sqrt{F}\,{=}\,(\omega_1\,{+}\,\omega_2 \sqrt{F})^2$, тогда $v_X(\omega_1^{(2n)})=0$, $v_X(\omega_2^{(2n)})\,{=}\,v_X(\Psi_1)$.
Тем самым, если $v_X(F)>0$ или $v_X(\Psi_1)>0$ или $v_X(\Psi_2)>0$, то
$$
\begin{equation*}
v_X(\omega_1^{(2n)})=0,\qquad v_X(\omega_2^{(2n)})=\max\{v_X(\Psi_1), v_X(\Psi_2)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, при таких условиях непрерывная дробь элемента $\beta \cdot X^{s}$ квазипериодическая тогда и только тогда, когда $D(\beta \cdot X^{s}) \mid \Omega_2^2 \cdot D(\beta)$, что равносильно неравенству $v_X(\Omega_2)+q \geqslant 0$. Таким образом, для $s$, не удовлетворяющих неравенствам (3.3), из (3.4) имеем $v_X(\Omega_2)+q<0$, и непрерывная дробь элемента $\beta \cdot X^{s}$ не квазипериодическая. Теорема доказана. 3.2. Рациональные корни двух последовательностей многочленов с биномиальными коэффициентамиПусть $v_X(F)=0$, и в поле $\mathcal{L}=K(X)(\sqrt{F})$ есть фундаментальная единица $\Psi_1+\Psi_2 \sqrt{F}$, где $\Psi_1, \Psi_2 \in K[X]$. Пусть элемент $\beta$ имеет квазипериодическое разложение в непрерывную дробь в поле $K((1/X))$. В теореме 3 остается не рассмотренным вопрос о квазипериодичности непрерывных дробей элементов вида $\beta \cdot X^{s}$ в случае, когда $v_X(\Psi_1)=v_X(\Psi_2)=0$ и $s \in \mathbb{Z}$ не удовлетворяет неравенствам (3.3). Оказывается, этот случай наиболее интересен с точки зрения строения квазипериодов непрерывных дробей элементов вида $\beta \cdot X^{s}$, а также разрешимости норменных уравнений (функциональных уравнений типа Пелля) с дискриминантом $D(\beta \cdot X^{s})$. Из существования фундаментальной единицы в поле $\mathcal{L}$ следует периодичность непрерывной дроби элемента $\sqrt{F}$, построенной в поле $K((1/X))$. Дальнейшая наша цель заключается в поиске необходимых и достаточных условий периодичности непрерывных дробей ключевых элементов $X^s \sqrt{F}$, $s \in \mathbb{Z}$, над полем $K=\mathbb{Q}$ рациональных чисел. Для этого нам необходимо изучить рациональные корни двух последовательностей многочленов с биномиальными коэффициентами. Для $n \in \mathbb{N}$ определим многочлены $T_n(z), Q_n(z) \in \mathbb{Z}[z]$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
T_n(z)=\sum_{0 \leqslant j \leqslant n/2} \binom{n}{2j} z^j, \qquad Q_n(z)=\sum_{0 \leqslant j<n/2} \binom{n}{2j+1} z^j.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Тогда $\operatorname{deg} T_n(z)=[n/2]$, $\operatorname{deg} Q_n(z)=[(n-1)/2]$. Сделаем замену $z=X^2$, тогда справедливо тождество Выпишем первые несколько многочленов $T_n(z), Q_n(z) \in \mathbb{Q}[z]$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, T_1(z)=1, \qquad Q_1(z)=1, \qquad T_2(z)=z+1, \qquad Q_2(z)=2, \\ T_3(z)=3z+1, \qquad Q_3(z)=z+3, \qquad T_4(z)=z^2+6z+1, \qquad Q_4(z)=4(z+1), \\ T_5(z)=5z^2+10z+1, \qquad Q_5(z)=z^2+10z+5, \qquad \dots\,. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В следующих леммах описаны необходимые нам свойства многочленов $T_n(z), Q_n(z) \in \mathbb{Q}[z]$. Доказательство. Если предположить, что $z_0 \in \mathbb{C}$ является общим корнем многочленов $T_n(z)$ и $Q_n(z)$, то $X_0=\sqrt{z_0}$ является общим корнем многочленов $T_n(X^2)$ и $Q_n(X^2)$. Из (3.9) заключаем, что $X_0=-1$, но что противоречит предположению. Лемма доказана. Лемма 2. Если число $n$ простое, то многочлены $T_n(z), Q_n(z) \in \mathbb{Q}[z]$ неприводимы над $\mathbb{Q}$. Доказательство. Пусть $n=p$ – простое, тогда $p \mid \binom{p}{j}$ для $1 \leqslant j \leqslant p\,{-}\,1$. Следовательно, по признаку Эйзенштейна многочлены $T_p(z), Q_p(z) \in \mathbb{Q}[z]$ неприводимы над $\mathbb{Q}$. Лемма 3. Для $n, m \in \mathbb{N}$ и $z_0 \in \mathbb{C}$ справедливы тождества Доказательство. Пусть $n, m \in \mathbb{N}$ и $z \in \mathbb{C}$ такое, что $T_n(z) \ne 0$, тогда при $z=X^2$ из (3.9) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (1+X)^{mn}&=\bigl(T_n(z)+X Q_n(z)\bigr)^m = T_n(z)^m (1+u)^m \nonumber \\ &= \bigl(T_n(z)\bigr)^m \bigl(T_m(u^2)+u Q_m(u^2)\bigr) \nonumber \\ &= \bigl(T_n(z)\bigr)^m \cdot T_m(u^2)+X Q_n(z) \bigl(T_n(z)\bigr)^{m-1} Q_m(u^2), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
где $u=X Q_n(z)/T_n(z)$. Отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, T_{n m}(z)n &=\bigl(T_n(z)\bigr)^m \cdot T_m\bigl(z Q_n^2(z)/T_n^2(z)\bigr), \\ Q_{n m}(z) &=Q_n(z) \cdot \bigl(T_n(z)\bigr)^{m-1} \cdot Q_m\bigl(z Q_n^2(z)/T_n^2(z)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как многочлены $T_{n m}(z)$ и $Q_{n m}(z)$ есть непрерывные функции и знаменатели в выражениях (3.10) и (3.11) под знаком предела сокращаются с множителями $\bigl(T_n(z)\bigr)^m$ и $\bigr(T_n(z)\bigr)^{m-1}$ соответственно, то утверждения леммы справедливы для всех $z_0 \in \mathbb{C}$. Лемма доказана. В частности, по лемме 3 из условия, что многочлен $T_{n m}(z)$ имеет рациональный корень, следует, что хотя бы один из многочленов $T_n(z)$ или $T_m(z)$ имеет рациональный корень, а из условия, что многочлен $Q_{n m}(z)$ имеет рациональный корень, следует, что хотя бы один из многочленов $T_n(z)$, $Q_n(z)$ или $Q_m(z)$ имеет рациональный корень. Лемма 4. Если $z_0\,{\in}\,\mathbb{Q}$ является корнем уравнения $T_n(z)\,{=}\,0$, то $T_{nm}(z_0)\,{=}\,0$ и $Q_{nm}(z_0) \ne 0$, если $m \in \mathbb{N}$ нечетно, и $T_{nm}(z_0) \ne 0$ и $Q_{nm}(z_0)=0$, если $m \in \mathbb{N}$ четно. Если $z_0 \in \mathbb{Q}$ является корнем уравнения $Q_n(z)=0$, то $Q_{nm}(z_0)=0$ и $T_{nm}(z_0) \ne 0$ для любого $m \in \mathbb{N}$. Доказательство. Положим $z=X^2$, тогда, продифференцировав по $X$ тождество (3.9), имеем откуда и следует утверждение леммы. Предложение 1. Все рациональные корни многочленов $T_n(z), Q_n(z)$, $n\,{\in}\,\mathbb{N}$, описаны в табл. 1 и имеют кратность один. Таблица 1.Рациональные корни многочленов $T_n(z)$, $Q_n(z)$
Доказательство. Найдем описание рациональных корней многочленов $T_n(z)$, $Q_n(z)$ из лемм 1–4.
Сперва докажем, что при $n \in \mathbb{N}$, $n \not\equiv 0 \ (\operatorname{mod}2)$, $n \not\equiv 0 \ (\operatorname{mod}3)$, многочлены $T_n(z)$, $Q_n(z)$ рациональных корней не имеют. Будем рассуждать по индукции по количеству простых делителей числа $n$ с учетом их кратностей. База индукции для простых $n>3$ справедлива по лемме 2. Рассмотрим $n=p \cdot m$, где $p$ – простое, $p>3$, $m \in \mathbb{N}$, $m \not\equiv 0 \ (\operatorname{mod}2)$, $m \not\equiv 0 \ (\operatorname{mod}3)$. Так как $T_p(z)$ и $Q_p(z)$ неприводимы и $\operatorname{deg} T_p \geqslant 2$, $\operatorname{deg} Q_p \geqslant 2$, то по лемме 3 получаем, что множество рациональных корней многочлена $T_{pm}(z)\,{\cdot}\, Q_{pm}(z)$ совпадает с множеством рациональных корней многочлена $T_m(z) \,{\cdot}\, Q_m(z)$, которое пусто по индукционному предположению. Имеем $T_2(-1)=0$, $T_3(-1/3)=0$, $Q_3(-3)=0$. По лемме 4 набор корней многочленов $T_n(z)$ и $Q_n(z)$ содержит корни, указанные в табл. 1 при соответствующих значениях $n$. Покажем, что при $n \equiv 0 \ (\operatorname{mod}2)$ или $n \equiv 0 \ (\operatorname{mod}3)$ других рациональных корней у многочленов $T_n(z)$ и $Q_n(z)$ нет. Предположим, что $z_0$ – рациональный корень многочлена $T_n(z)$ или $Q_n(z)$ с наименьшим номером $n$, причем пара $(n, z_0)$ не совпадает ни с одной парой из табл. 1. Такую пару $(n, z_0)$ назовем минимальной, не совпадающей ни с одной парой из табл. 1. Пусть $T_n(z_0)=0$, $n=2 m$ или $n=3 m$, где $m \in \mathbb{N}$. Если $n=2 m$, то по формуле (3.10) имеем $T_m(4z_0/(z_0+1)^2)=0$, и, поскольку по предположению $z_0$ – рациональный корень многочлена $T_n$ с наименьшим номером $n$, причем пара $(n, z_0)$ не совпадает ни с одной парой из табл. 1, то пара $(m, 4z_0/(z_0+1)^2)$ совпадает с одной из пар из табл. 1. Если $m \equiv 2 \ (\operatorname{mod}4)$ и $4z_0/(z_0+1)^2=-1$, то $z_0$ не может быть рациональным числом. Если $m \equiv 3 \ (\operatorname{mod}6)$ и $4z_0/(z_0+1)^2=-1/3$, то $z_0$ также не может быть рациональным числом. Если $n=3 m$, то по формуле (3.10) имеем $T_m(z_0(z_0+3)^2/(3z_0+1)^2)=0$, и, поскольку по предположению $z_0$ – рациональный корень многочлена $T_n$ с наименьшим номером $n$, причем пара $(n, z_0)$ не совпадает ни с одной парой из табл. 1, то пара $(m, z_0(z_0+3)^2/(3z_0+1)^2)$ совпадает с одной из пар из табл. 1 для многочлена $T_n$. Если $m \equiv 2 \ (\operatorname{mod}4)$ и $z_0(z_0+3)^2/(3z_0+1)^2=-1$, то $z_0=-1$. Так как $n=3 m$ и $m \equiv 2 \ (\operatorname{mod}4)$, то $n \equiv 2 \ (\operatorname{mod}4)$, но это противоречит условию, что пара $(n, z_0)$ не совпадает ни с одной парой из табл. 1. Если $m \equiv 3 \ (\operatorname{mod}6)$ и $z_0(z_0+3)^2/(3z_0+1)^2=-1/3$, то $z_0$ не может быть рациональным числом. Пусть $Q_n(z_0)=0$, $n=2 m$ или $n=3 m$, где $m \in \mathbb{N}$. Если $n=2 m$, то по формуле (3.11) имеем $Q_m(4z_0/(z_0+1)^2)=0$, и, поскольку по предположению $z_0$ – рациональный корень многочлена $Q_n$ с наименьшим номером $n$, причем пара $(n, z_0)$ не совпадает ни с одной парой из табл. 1, то пара $(m, 4z_0/(z_0+1)^2)$ совпадает с одной из пар из табл. 1. Если $m \equiv 0 \ (\operatorname{mod}3)$ и $4z_0/(z_0+1)^2=-3$, то $z_0=-1/3$ или $z_0=-3$. Так как $n=2 m$ и $m \equiv 0 \ (\operatorname{mod}3)$, то $n \equiv 0 \ (\operatorname{mod}6)$, но это противоречит условию, что пара $(n, z_0)$ не совпадает ни с одной парой из табл. 1. Если $m \equiv 0 \ (\operatorname{mod}4)$ и $4z_0/(z_0+1)^2=-1$, то $z_0$ не может быть рациональным числом. Если $m \equiv 0 \ (\operatorname{mod}6)$ и $4z_0/(z_0+1)^2=-1/3$, то $z_0$ также не может быть рациональным числом. Если $n=3 m$, то по формуле (3.11) имеем $Q_m(z_0(z_0+3)^2/(3z_0+1)^2)=0$, и, поскольку по предположению $z_0$ – рациональный корень многочлена $Q_n$ с наименьшим номером $n$, причем пара $(n, z_0)$ не совпадает ни с одной парой из табл. 1, то пара $(m, z_0(z_0+3)^2/(3z_0+1)^2)$ совпадает с одной из пар из табл. 1. Если $m \equiv 0 \ (\operatorname{mod}3)$ и $z_0(z_0+3)^2/(3z_0+1)^2=-3$, то $z_0$ не может быть рациональным числом. Если $m \equiv 0 \ (\operatorname{mod}4)$ и $z_0(z_0+3)^2/(3z_0+1)^2=-1$, то $z_0=-1$. Так как $n=3 m$ и $m \equiv 0 \ (\operatorname{mod}4)$, то $n \equiv 0 \ (\operatorname{mod}4)$, но это противоречит условию, что пара $(n, z_0)$ не совпадает ни с одной парой из табл. 1. Если $m \equiv 0 \ (\operatorname{mod}6)$ и $z_0(z_0+3)^2/(3z_0+1)^2=-1/3$, то $z_0$ не может быть рациональным числом. Теперь покажем, что все рациональные корни, описанные в табл. 1, имеют кратность один. Если бы какой-то из описанных рациональных корней $T_n$ или $Q_n$ имел бы кратность больше одного, то по лемме 5 этот же корень имел бы соответственно многочлен $Q_{n-1}$ или $T_{n-1}$, что невозможно, так как все рациональные корни описаны в табл. 1. Предложение доказано. Пусть в поле $\mathcal{L}=K(X)(\sqrt{F})$ существует фундаментальная единица $\Psi_1+\Psi_2 \sqrt{F}$, где $\Psi_1, \Psi_2 \in K[X]$. Для $n \in \mathbb{N}$ положим $\Omega_1^{(n)}, \Omega_2^{(n)} \in K[X]$ такие многочлены, что
$$
\begin{equation}
\Omega_1^{(n)}+\Omega_2^{(n)} \sqrt{F}=(\Psi_1+\Psi_2 \sqrt{F})^n.
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Определим $Z=\Psi_2^2 F / \Psi_1^2$, тогда
$$
\begin{equation}
\Omega_1^{(n)}+\Omega_2^{(n)} \sqrt{F}=\Psi_1^n\bigl(T_n(Z)+Q_n(Z)\sqrt{Z}\bigr),
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
где многочлены $T_n(z), Q_n(z) \in \mathbb{Z}[z]$ определены в (3.8). Предложение 2. Пусть $\beta \in \mathcal{L}$ – квадратичная иррациональность с дискриминантом $D(\beta)=F \Theta^2 \in K[X]$. Для того, чтобы разложение элемента $\beta$ в непрерывную дробь в поле $K((1/X))$ было квазипериодично необходимо и достаточно, чтобы нашелся номер $n \in \mathbb{N}$ такой, что кратность каждого корня $a$ многочлена $\Theta(X)$ была не больше кратности корня $a$ многочлена $\Psi_1(X)$ либо была не больше кратности корня $Z_a=\Psi_2^2(a) F(a) / \Psi_1^2(a)$ многочлена $Q_n(Z)$. Доказательство. Согласно [5; теорема 2] элемент $\beta$ имеет квазипериодическую непрерывную дробь в поле $K((1/X))$ тогда и только тогда, когда для дискриминанта $D(\beta)=F \Theta^2$ справедливо соотношение (3.2) для некоторых ненулевых многочленов $\Omega_1, \Omega_2 \in K[X]$. Так как в поле $\mathcal{L}$ есть фундаментальная единица $\Psi_1+\Psi_2 \sqrt{F}$, то без ограничения общности можно считать, что разрешимость соотношения (3.2) в многочленах $\Omega_1$, $\Omega_2$ равносильна для некоторого $n \in \mathbb{N}$ равенствам $\Omega_1=\Omega_1^{(n)}$, $\Omega_2 \Theta=\Omega_2^{(n)}$, где многочлены $\Omega_1^{(n)}$, $\Omega_2^{(n)}$ определены в (3.14). Таким образом, необходимым и достаточным условием квазипериодичности непрерывной дроби элемента $\beta$ является $\Theta \mid \Omega_2^{(n)}$ для некоторого $n \in \mathbb{N}$. Если $a$ является корнем многочлена $\Theta$, то для того, чтобы $\Theta \mid \Omega_2^{(n)}$ необходимо, чтобы $\Omega_2^{(n)}(a)=0$. Из тождества (3.15) равенство $\Omega_2^{(n)}(a)=0$ равносильно условию $\lim_{X \to a} \Psi_1^n(X) \cdot Q_n(Z)=0$, где $Z=Z(X)=\Psi_2^2(X) F(X) / \Psi_1^2(X)$. Обозначим $Q_n(Z, R)$ – однородный многочлен, соответствующий многочлену $Q_n(Z)$. Если $\Psi_1^n(a)=0$, то $Q_n(\Psi_2^2(a) F(a),\Psi_1^2(a)) \ne 0$, поскольку $\Psi_2^2(a) F(a) \ne 0$, ибо $\Psi_1^2(X)-\Psi_2^2(X) F(X) \in K^{\ast}$. Следовательно, кратность $k$ корня $a$ многочлена $\Theta(X)$ должна быть не больше кратности корня $a$ многочлена $\Psi_1(X)$ либо должна быть не больше кратности корня $Z_a$ многочлена $Q_n(Z)$. Предложение доказано. 3.3. Сильный критерий периодичности ключевых элементовВ следующей теореме для поля $K=\mathbb{Q}$ рациональных чисел доказаны необходимые и достаточные условия периодичности непрерывных дробей ключевых элементов $X^s \sqrt{F}$, $s \in \mathbb{Z}$, построенных в поле $\mathbb{Q}((1/X))$. Для непрерывных дробей, построенных по конечному нормированию, аналогичные результаты, как в следующей теореме, получены в теореме 2 статьи [19]. Теорема 4. Пусть $F \in \mathbb{Q}[X]$ – свободный от квадратов многочлен, и в поле $\mathcal{L}=\mathbb{Q}(X)(\sqrt{F})$ есть фундаментальная единица $u=\Psi_1+\Psi_2 \sqrt{F}$, где $\Psi_1, \Psi_2 \in \mathbb{Q}[X]$. Пусть для $n \in \mathbb{N}$ многочлены $\Omega_1^{(n)}, \Omega_2^{(n)} \in \mathbb{Q}[X]$ определены соотношениями (3.14). 1) Если хотя бы одно из значений $v_X(F)$, $v_X(\Psi_1)$, $v_X(\Psi_2)$ отлично от нуля, то непрерывная дробь элемента $X^{s} \sqrt{F}$ периодическая тогда и только тогда, когда 2) Если $v_X(F)=v_X(\Psi_1)=v_X(\Psi_2)=0$, то непрерывная дробь элемента $X^{s} \sqrt{F}$ периодическая тогда и только тогда, когда Доказательство. Пункт 1) следует из теоремы 3.
Докажем пункт 2), когда $v_X(F)=v_X(\Psi_1)=v_X(\Psi_2)=0$. Положим $Z=Z(X)=\Psi_2^2 F / \Psi_1^2$, тогда для $n \in \mathbb{N}$ имеем (3.15). Согласно предложению 2 для периодичности элемента $X^{s} \sqrt{F}$, $s \ne 0$, необходимо, чтобы $Q_n(Z)|_{X=0}=0$, поскольку $v_X(\Psi_1)=0$, т. е. $\Psi_1(0) \ne 0$. Из предложения 1, дающего полное описание всех рациональных корней многочленов $T_n$ и $Q_n$, следует, что если $Z(0) \notin \{-3, -1, -1/3\}$, то $Q_n(Z)|_{X=0} \ne 0$ для любого $n \in \mathbb{N}$, и из тождества (3.15) имеем $v_X(\Omega_2^{(n)})=0$ для любого $n \in \mathbb{N}$. С другой стороны, если $Z(0) \in \{-3, -1, -1/3\}$, то возможен один из трех случаев:
Объединяя эти три случая, получаем, что для $s \in \mathbb{Z}$, удовлетворяющих неравенствам (3.16), имеем $X^{|s|} \mid \Omega_2^{(12)}$, откуда следует периодичность непрерывной дроби элемента $X^{s} \sqrt{F}$ с дискриминантом $D(X^{|s|} \sqrt{F})=X^{2|s|} F$. Далее остается показать, что для $s\,{\in}\,\mathbb{Z}$, не удовлетворяющих неравенствам (3.16), непрерывная дробь элемента $X^{s} \sqrt{F}$ не является периодической, и даже квазипериодической. Для этого достаточно показать, что справедливы утверждения:
Для каждого многочлена $\Omega_i^{(n)}(X)$, $1 \leqslant i \leqslant 2$, $n \in \mathbb{N}$, обозначим $\Omega_{i, j}^{(n)}(X)$ соответствующий коэффициент при $X^j$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Psi_1(X) \equiv \Psi_{1,0}+\Psi_{1,1} X \ (\operatorname{mod}X^2), \qquad \Psi_2(X) \equiv \Psi_{2,0}+\Psi_{2,1} X \ (\operatorname{pmod}X^2), \\ F(X) \equiv F_{0}+F_{1} X \ (\operatorname{mod}X^2), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
причем $\Psi_{1,0} \ne 0$, $\Psi_{2,0} \ne 0$ и $F_{0} \ne 0$.
Предположим, что $Z(0)\,{=}\,{-}1$, тогда $v_X(\Omega_1^{(2)})\,{>}\,0$ и $v_X(\Omega_2^{(4)})\,{>}\,0$, причем $v_X(\Omega_2^{(j)})=0$ при $1 \leqslant j \leqslant 3$. По определению величины $Z$, условие $Z(0)=-1$ равносильно условию $\Psi_{1,0}^2+\Psi_{2,0}^2 F_{0}\,{=}\,0$. В силу предложения 1 справедливы соотношения $v_X(\Omega_1^{(n)})=0$ при $n \not\equiv 2 \ (\operatorname{mod}4)$, и $v_X(\Omega_2^{(n)})=0$ при $n \not\equiv 0 \ (\operatorname{mod}4)$. Покажем, что для $k\in\mathbb{N}$ выполнены равенства $v_X(\Omega_1^{(4k+2)})=v_X(\Omega_1^{(2)})=v_X(\Omega_2^{(4k)})=v_X(\Omega_2^{(4)})$. Для начала рассмотрим $\Omega_1^{(2)}(X) \equiv \Omega_{1,0}^{(2)}+\Omega_{1,1}^{(2)}X \ (\operatorname{mod}X^2)$, где
$$
\begin{equation*}
\Omega_{1,0}^{(2)}=\Psi_{1,0}^2+\Psi_{2,0}^2 F_{0}=0, \qquad \Omega_{1,1}^{(2)}=2\Psi_{1,0}\Psi_{1,1}+2\Psi_{2,0}\Psi_{2,1} F_{0}+\Psi_{2,0}^2 F_{1}.
\end{equation*}
\notag
$$
По формуле (3.10) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Omega_1^{(4k+2)}&=\Psi_1^{4k+2} T_{4k+2}\biggl(\frac{\Psi_2^2 F}{\Psi_1^2}\biggr) \\ &= (\Psi_1^2+\Psi_2^2 F) \cdot T_{2k+1}\biggl(\frac{4\Psi_1^2\Psi_2^2F}{(\Psi_1^2+\Psi_2^2 F)^2}\biggr)(\Psi_1^2+\Psi_2^2 F)^{2k} \\ &\equiv \Omega_{1,1}^{(2)} \cdot \binom{2k+1}{2k} \cdot (4\Psi_{1,0}^2\Psi_{2,0}^2F_{0})^k \cdot X \ (\operatorname{mod}X^2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $\Omega_{1,1}^{(4k+2)}=0$ тогда и только тогда, когда $\Omega_{1,1}^{(2)}= 0$. Далее, рассуждая аналогично, при условии, что $\Omega_{1,0}^{(2)}=\Omega_{1,1}^{(2)}=\dots=\Omega_{1,n-1}^{(2)}=0$, по индукции имеем
$$
\begin{equation*}
\Omega_1^{(4k+2)} \equiv \Omega_{1,n}^{(2)} \cdot \binom{2k+1}{2k} \cdot (4\Psi_{1,0}^2\Psi_{2,0}^2F_{0})^k \cdot X^n \ (\operatorname{mod}X^{n+1}),
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. $\Omega_{1,n}^{(4k+2)}=0$ тогда и только тогда, когда $\Omega_{1,n}^{(2)}\,{=}\,0$, что означает $v_X(\Omega_1^{(4k+2)})=v_X(\Omega_1^{(2)})$.
Аналогично, по формуле (3.11) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Omega_2^{(4k)} &=\Psi_1^{4k-1} \Psi_2 Q_{4k}\biggl(\frac{\Psi_2^2F}{\Psi_1^2}\biggr) \\ &= 2 \Psi_1\Psi_2 \cdot (\Psi_1^2+\Psi_2^2 F) \cdot Q_{2k}\biggl(\frac{4\Psi_1^2\Psi_2^2F}{(\Psi_1^2+\Psi_2^2 F)^2}\biggr) (\Psi_1^2+\Psi_2^2 F)^{2(k-1)} \\ &\equiv 2 \Psi_{1,0}\Psi_{2,0} \cdot \Omega_{1,1}^{(2)} \cdot \binom{2k}{2k-1} \cdot (4\Psi_{1,0}^2\Psi_{2,0}^2F_{0})^{k-1} \cdot X \ (\operatorname{mod}X^2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\Omega_{2,1}^{(4k)}=0$ тогда и только тогда, когда $\Omega_{1,1}^{(2)}=0$. Далее, при условии, что $\Omega_{1,0}^{(2)}=\Omega_{1,1}^{(2)}=\dots=\Omega_{1,n-1}^{(2)}= 0$, по индукции имеем
$$
\begin{equation*}
\Omega_2^{(4k)} \equiv 2 \Psi_{1,0}\Psi_{2,0} \cdot \Omega_{1,n}^{(2)} \cdot \binom{2k}{2k-1} \cdot (4\Psi_{1,0}^2\Psi_{2,0}^2F_{0})^{k-1} \cdot X^n \ (\operatorname{mod}X^{n+1}),
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. $\Omega_{2,n}^{(4k)}=0$ тогда и только тогда, когда $\Omega_{1,n}^{(2)}=0$, что означает $v_X(\Omega_2^{(4k)})=v_X(\Omega_1^{(2)})$.
Предположим теперь, что $Z(0)=-1/3$, тогда $v_X(\Omega_1^{(3)})>0$ и $v_X(\Omega_2^{(6)})>0$, причем $v_X(\Omega_2^{(j)})=0$ при $1 \leqslant j \leqslant 5$. По определению величины $Z$, условие $Z(0)=-1/3$ равносильно условию $\Psi_{1,0}^2+3\Psi_{2,0}^2 F_{0}=0$. В силу предложения 1 справедливы соотношения $v_X(\Omega_1^{(n)})=0$ при $n \not\equiv 3 \ (\operatorname{mod}6)$, и $v_X(\Omega_2^{(n)})=0$ при $n \not\equiv 0 \ (\operatorname{mod}6)$. Покажем, что для $k \in \mathbb{N}$ выполнены равенства $v_X(\Omega_1^{(6k+3)})=v_X(\Omega_1^{(3)}) = v_X(\Omega_2^{(6k)})=v_X(\Omega_2^{(6)})$. Для начала рассмотрим $\Omega_1^{(3)}(X) \equiv \Omega_{1,0}^{(3)}+\Omega_{1,1}^{(3)}X \ (\operatorname{mod}X^2)$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Omega_{1,0}^{(3)} &=\Psi_{1,0}(\Psi_{1,0}^2+3\Psi_{2,0}^2 F_{0})=0, \\ \Omega_{1,1}^{(3)} &=3 (2 F_{0} \Psi_{1,0} \Psi_{2,0} \Psi_{2,1} + F_{0} \Psi_{1,1} \Psi_{2,0}^2+F_{1} \Psi_{1,0} \Psi_{2,0}^2+\Psi_{1,0}^2 \Psi_{1,1}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По формуле (3.10) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Omega_1^{(6k+3)} &=\Psi_1^{6k+3} T_{6k+3}\biggl(\frac{\Psi_2^2F}{\Psi_1^2}\biggr) \\ &= \Psi_1^{2k+1} (\Psi_1^2+3\Psi_2^2 F) \cdot T_{2k+1}\biggl(\frac{\Psi_2^2F}{\Psi_1^2} \biggl(\frac{3\Psi_1^2+\Psi_2^2F}{\Psi_1^2+ 3\Psi_2^2 F}\biggr)^2\biggr) (\Psi_1^2+3\Psi_2^2 F)^{2k} \\ &\equiv \Psi_{1,0} \cdot \Omega_{1,1}^{(3)} \cdot \binom{2k+1}{2k} \cdot (\Psi_{2,0}^2 F_{0})^k \cdot (\Omega_{2,0}^{(3)})^{2k} \cdot X \ (\operatorname{mod}X^2), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Omega_{2,0}^{(3)}=3\Psi_{1,0}^2+\Psi_{2,0}^2F_{0} \ne 0$. Таким образом, $\Omega_{1,1}^{(6k+3)}=0$ тогда и только тогда, когда $\Omega_{1,1}^{(3)}= 0$. Далее, рассуждая аналогично, при условии, что $\Omega_{1,0}^{(3)}=\Omega_{1,1}^{(3)}=\dots=\Omega_{1,n-1}^{(3)}=0$, по индукции имеем
$$
\begin{equation*}
\Omega_1^{(6k+3)} \equiv \Psi_{1,0} \cdot \Omega_{1,n}^{(3)} \cdot \binom{2k+1}{2k} \cdot (\Psi_{2,0}^2 F_{0})^k \cdot (\Omega_{2,0}^{(3)})^{2k} \cdot X^n \ (\operatorname{mod}X^{n+1}),
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. $\Omega_{1,n}^{(6k+3)}\,{=}\,0$ тогда и только тогда, когда $\Omega_{1,n}^{(3)}\,{=}\,0$, что означает $v_X(\Omega_1^{(6k+3)})=v_X(\Omega_1^{(3)})$.
Аналогично, по формуле (3.11) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Omega_2^{(6k)} &=\Psi_1^{6k-1} \Psi_2 Q_{6k}\biggl(\frac{\Psi_2^2F}{\Psi_1^2}\biggr) \\ &= \Psi_1^{2k-1} \Psi_2 (3\Psi_1^2+\Psi_2^2 F)(\Psi_1^2+3\Psi_2^2 F) Q_{2k} \\ &\qquad\times\biggl(\frac{\Psi_2^2F}{\Psi_1^2} \biggl(\frac{3\Psi_1^2+\Psi_2^2 F}{\Psi_1^2+3\Psi_2^2 F}\biggr)^2\biggr)(\Psi_1^2+3\Psi_2^2 F)^{2(k-1)} \\ &\equiv \Psi_{1,0}\Psi_{2,0} \cdot \Omega_{1,1}^{(3)} \cdot \binom{2k}{2k-1} \cdot (\Psi_{2,0}^2 F_{0})^{k-1} \cdot (\Omega_{2,0}^{(3)})^{2k-1} \cdot X \ (\operatorname{mod}X^2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, если $\Omega_{1,1}^{(3)} \ne 0$, то $\Omega_{2,1}^{(6k)} \ne 0$. Следовательно, $\Omega_{2,1}^{(6k)}=0$ тогда и только тогда, когда $\Omega_{1,1}^{(3)}=0$. Далее, рассуждая аналогично, при условии, что $\Omega_{1,0}^{(3)}=\Omega_{1,1}^{(3)}=\dots=\Omega_{1,n-1}^{(3)}=0$, по индукции имеем
$$
\begin{equation*}
\Omega_2^{(6k)} \equiv \Psi_{1,0}\Psi_{2,0} \cdot \Omega_{1,n}^{(3)} \cdot \binom{2k}{2k-1} \cdot (\Psi_{2,0}^2 F_{0})^{k-1} \cdot (\Omega_{2,0}^{(3)})^{2k-1} \cdot X^n \ (\operatorname{mod}X^{n+1}),
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. $\Omega_{1,n}^{(6k)}=0$ тогда и только тогда, когда $\Omega_{1,n}^{(3)}=0$, что означает $v_X(\Omega_1^{(6k)})=v_X(\Omega_1^{(3)})$.
Далее, по индукции получаем $\Omega_{1,n}^{(6k)}=0$ тогда и только тогда, когда $\Omega_{1,n}^{(3)}=0$, что означает $v_X(\Omega_2^{(6k)})=v_X(\Omega_1^{(3)})$. Наконец, предположим, что $Z(0){\kern1pt}{=}{\kern1pt}{-}3$, тогда $v_X(\Omega_2^{(3)}){\kern1pt}{>}{\kern1pt}0$, причем $v_X(\Omega_2^{(j)}){\kern1pt}{=}{\kern1pt}0$ при $1\,{\leqslant}\,j\,{\leqslant}\,2$. По определению величины $Z$, условие $Z(0)\,{=}\,{-}3$ равносильно условию $3\Psi_{1,0}^2+\Psi_{2,0}^2 F_{0}=0$. В силу предложения 1 справедливо соотношение $v_X(\Omega_2^{(n)})=0$ при $n \not\equiv 0 \ (\operatorname{mod}3)$. Нам необходимо доказать, что $v_X(\Omega_2^{(3k)})=v_X(\Omega_2^{(3)})$. Для этого мы покажем, что для $k \in \mathbb{N}$ выполнены равенства $v_X(\Omega_2^{(6k)})=v_X(\Omega_2^{(6k+3)})=v_X(\Omega_2^{(3)})$. Для начала рассмотрим $\Omega_2^{(3)}(X) \equiv \Omega_{2,0}^{(3)}+\Omega_{2,1}^{(3)}X \ (\operatorname{mod}X^2)$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Omega_{2,0}^{(3)} &=\Psi_{2,0}(3 \Psi_{1,0}^2+\Psi_{2,0}^2 F_{0})=0, \\ \Omega_{2,1}^{(3)} &=3 F_{0} \Psi_{2,0}^2 \Psi_{2,1}+F_{1} \Psi_{2,0}^3+3 \Psi_{1,0}^2 \Psi_{2,1}+6 \Psi_{1,0} \Psi_{1,1} \Psi_{2,0}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По формуле (3.11) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Omega_2^{(6k)} &=\Psi_1^{6k-1} \Psi_2 Q_{6k} \biggl(\frac{\Psi_2^2F}{\Psi_1^2}\biggr) \\ &= \Psi_1^{2k-1} \Psi_2 (3\Psi_1^2+\Psi_2^2 F) Q_{2k}\biggl(\frac{\Psi_2^2F}{\Psi_1^2} \biggl(\frac{3\Psi_1^2+\Psi_2^2 F}{\Psi_1^2+3\Psi_2^2 F}\biggr)^2\biggr) (\Psi_1^2+3\Psi_2^2 F)^{2k-1} \\ &\equiv \Psi_{1,0}^{2k-1} \Psi_{1,0} \cdot \Omega_{2,1}^{(3)} \cdot 2k \cdot (\Omega_{1,0}^{(3)})^{2k-1} \cdot X \ (\operatorname{mod}X^2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\Omega_{2,1}^{(6k)}=0$ тогда и только тогда, когда $\Omega_{2,1}^{(3)}=0$. Далее, рассуждая аналогично, при условии, что $\Omega_{2,0}^{(3)}=\Omega_{2,1}^{(3)}=\dots=\Omega_{2,n-1}^{(3)}=0$, по индукции имеем
$$
\begin{equation*}
\Omega_2^{(6k)} \equiv \Psi_{1,0}^{2k-1} \Psi_{1,0} \cdot \Omega_{2,n}^{(3)} \cdot 2k \cdot (\Omega_{1,0}^{(3)})^{2k-1} \cdot X^n \ (\operatorname{mod}X^{n+1}),
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. $\Omega_{2,n}^{(6k)}=0$ тогда и только тогда, когда $\Omega_{2,n}^{(3)}=0$, что означает $v_X(\Omega_2^{(6k)})=v_X(\Omega_2^{(3)})$.
Аналогично, по формуле (3.11) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Omega_2^{(6k+3)} &=\Psi_1^{6k+2} \Psi_2 Q_{6k+3}\biggl(\frac{\Psi_2^2F}{\Psi_1^2}\biggr) \\ &= \Psi_1^{2k} \Psi_2 (3\Psi_1^2+\Psi_2^2 F)Q_{2k+1}\biggl(\frac{\Psi_2^2F}{\Psi_1^2} \biggl(\frac{3\Psi_1^2+\Psi_2^2 F}{\Psi_1^2+3\Psi_2^2 F}\biggr)^2\biggr) (\Psi_1^2+3\Psi_2^2 F)^{2k} \\ &\equiv \Psi_{1,0}^{2k} \Psi_{2,0} \cdot \Omega_{2,1}^{(3)} \cdot (2k+1) \cdot (\Omega_{1,0}^{(3)})^{2k} \cdot X \ (\operatorname{mod}X^2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $\Omega_{2,1}^{(6k+3)}=0$ тогда и только тогда, когда $\Omega_{2,1}^{(3)}= 0$. Далее, рассуждая аналогично, при условии, что $\Omega_{2,0}^{(3)}=\Omega_{2,1}^{(3)}=\dots=\Omega_{2,n-1}^{(3)}=0$, по индукции имеем
$$
\begin{equation*}
\Omega_2^{(6k+3)} \equiv \Psi_{1,0}^{2k} \Psi_{2,0} \cdot \Omega_{2,n}^{(3)} \cdot (2k+1) \cdot (\Omega_{1,0}^{(3)})^{2k} \cdot X^n \ (\operatorname{mod}X^{n+1}),
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. $\Omega_{2,n}^{(6k+3)}\,{=}\,0$ тогда и только тогда, когда $\Omega_{2,n}^{(3)}\,{=}\,0$, что означает $v_X(\Omega_2^{(6k+3)})=v_X(\Omega_2^{(3)})$.
Теорема 4 доказана. § 4. Доказательство теорем 1 и 2Пусть $F \in \mathbb{Q}[X]$ – свободный от квадратов многочлен степени $4$, такой, что поле $\mathcal{L}=\mathbb{Q}(X)(\sqrt{F})$ обладает фундаментальной единицей степени $m$. Тогда в группе классов дивизоров степени нуль $\Delta^{\circ}(\mathcal{L})$ поля $\mathcal{L}$ класс дивизора $\infty^{-}-\infty^{+}$ имеет порядок $m$. Согласно теореме Мазура [28] порядок $m$ может принимать только следующие значения: $2 \leqslant m \leqslant 10$ и $m=12$. Для каждого $4 \leqslant m \leqslant 12$, $m \ne 11$, в [18], [29] явно выписано полное параметрическое семейство многочленов $F=F(X, c) \in \mathbb{Q}[X]$ четвертой степени с параметром $c \in \mathbb{Q}$ таких, что в $F(X, c)$ коэффициент при $X^3$ равен нулю, свободный член равен $1$, класс дивизора $\infty^{-}-\infty^{+}$ имеет порядок $m$ в группе классов дивизоров степени нуль $\Delta^{\circ}(\mathcal{L})$ поля $\mathcal{L}=\mathbb{Q}(X)(\sqrt{F(X,c)})$. Для $m=2$ или $m=3$ в [18], [29] также явно выписано параметрическое семейство таких многочленов $F=F(X, b, c) \in \mathbb{Q}[X]$, но уже зависящее от двух параметров $b, c \in \mathbb{Q}$. Схема рассуждений остается аналогичной, поэтому представим ее только для $4 \leqslant m \leqslant 12$, $m \ne 11$, когда имеется единственный параметр $c \in \mathbb{Q}$. 4.1. Схема доказательстваОписанные выше параметрические семейства многочленов $F(X, c)$ для $4 \leqslant m \leqslant 12$, $m \ne 11$, (или $F(X, b, c)$ соответственно для $2 \leqslant m \leqslant 3$) содержат все многочлены $F$ четвертой степени над полем рациональных чисел такие, что в многочлене $F$ коэффициент при $X^3$ равен нулю, свободный член равен $1$ и выполнено одно из равносильных условий:
Если пара многочленов $\Omega_1$, $\Omega_2$ является решением норменного уравнения (4.1) с минимальной степенью $\operatorname{deg} \Omega_1$, причем $\Omega_2 \ne 0$, то $\operatorname{deg} \Omega_1=m$ и $\Omega_1+\Omega_2 \sqrt{F}$ является фундаментальной единицей поля $\mathcal{L}$. Периодичность непрерывной дроби элемента $X^s \sqrt{F}$ равносильна разрешимости норменного уравнения вида (4.1) с дополнительными условиями на значения $v_X(\Omega_1)$ и $v_X(\Omega_2)$, но теперь $\Omega_1+\Omega_2 \sqrt{F}$ может не являться фундаментальной единицей, а быть некоторой степенью $k$ фундаментальной единицы, причем в теореме 4 доказано, что достаточно рассматривать только $k \leqslant 3$. Обозначим $p_j/q_j$, $j \in \mathbb{N}_0$, подходящие дроби к $\sqrt{F(X, c)}$, причем $p_j=p_j(X, c)$, $q_j=q_j(X, c) \in \mathbb{Q}[X]$. Тогда фундаментальная единица поля $\mathcal{L}=\mathbb{Q}(X)(\sqrt{F})$ имеет вид $p_n+ q_n \sqrt{F}$ для некоторого минимального $n \in \mathbb{N}$ такого, что $p_n^2-q_n^2 F \in \mathbb{Q}^{\ast}$ (см. [6]). Обозначим $\Omega_1^{(j)}+\Omega_2^{(j)} \sqrt{F}=(p_n+ q_n \sqrt{F})^{j}$, где $\Omega_1^{(j)}, \Omega_2^{(j)} \in \mathbb{Q}[X]$, $j \in \mathbb{N}$. Положим $r_j=v_X(\Omega_2^{(j)})$, тогда согласно теореме 4 возможны только следующие шесть случаев:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{7} r_1&>0, & & &\qquad\qquad r_2&>0 \quad\text{и}\quad r_1=0,& & \\ r_3&>0 \quad\text{и}\quad r_j=0, &\quad j&<3, &\qquad\qquad r_4&>0 \quad\text{и}\quad r_j=0, &\quad j&<4, \\ r_6&>0 \quad\text{и}\quad r_j=0, &\quad j&<6, &\qquad\qquad r_j&=0, &\quad j &\in \mathbb{N}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Причем, если для некоторого $j \in \mathbb{N}$ выполнено $r_j>0$, то непрерывная дробь элемента $\sqrt{F}/X^{r_j}$, построенная в поле $\mathbb{Q}((1/X))$ периодическая. Замена $X$ на $X+t$ соответствует изоморфизму кривых $C\colon Y^2=F(X)$ и $C_t\colon Y^2=F(X+t)$. Тем самым, с точностью до отношения эквивалентности, определяемого допустимыми заменами $F(X)$ на $A^2 F(BX)$ для некоторых $A, B \in \mathbb{Q}^{\ast}$, имеем полное описание всех многочленов $F=F(c, t) \in \mathbb{Q}[X]$, $\operatorname{deg} F=4$, для которых разложение $\sqrt{F}$ в непрерывную дробь периодично. Наша задача сводится к поиску всех значений параметров $c, t \in \mathbb{Q}$ (или параметров $b, c, t \in \mathbb{Q}$ соответственно для случаев $m=2$ и $m=3$) для каждого из случаев $v_X(\Omega_2^{(j)})>0$, $j \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$. Необходимым и достаточным условием периодичности непрерывной дроби $\sqrt{F(X+t, c)}/X$ в $\mathbb{Q}((1/X))$ является $\Omega_2^{(j)}(t)=0$ хотя бы для одного из $j \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$. Для того, чтобы непрерывная дробь $\sqrt{F(X+t, c)}/X^2$ была периодической необходимо и достаточно, чтобы $r_j=v_X(\Omega_2^{(j)}) \geqslant 2$ для некоторого $j \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$, т. е. $\Omega_2^{(j)}(t)=0$ и $\frac{d}{dt}\Omega_2^{(j)}(t)=0$, что возможно только тогда, когда дискриминант $d=d^{(j)}(c)$ (или дискриминант $d=d^{(j)}(b, c)$ соответственно для случаев $m=2$ и $m=3$) многочлена $\Omega_2^{(j)}(t)\,{\in}\,\mathbb{Q}[t]$ равен нулю. Таким образом, задача сводится к поиску корней дискриминанта $d^{(j)}(c)$ и соответствующих кратных корней многочлена $\Omega_2^{(j)}(t)\,{\in}\,\mathbb{Q}[t]$ для каждого из $j\,{\in}\,\{1, 2, 3, 4, 6\}$, причем параметры $c, t \in \mathbb{Q}$ должны быть такие, что дискриминант многочлена $F(X+t, c) \in \mathbb{Q}[X]$ был отличен от нуля. В задаче описания многочленов $F \in \mathbb{Q}[X]$ с периодическим разложением $\sqrt{F}$ в непрерывную дробь в $Q((1/X))$ для упрощения вычислений мы будем искать такие значения параметров $c$ и $t$ (или параметров $b, c, t \in \mathbb{Q}$ соответственно для случаев $m=2$ и $m=3$), чтобы был выполнен хотя бы один из следующих случаев:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, v_X(q_n(X)) \geqslant 2, \qquad v_X(p_n(X)) \geqslant 2, \qquad v_X(p_n(X)^2+F(X) q_n(X)^2) \geqslant 2, \\ v_X(p_n(X)^2+F(X) q_n(X)^2) \geqslant 2, \qquad v_X(p_n(X)^2+3 F(X) q_n(X)^2) \geqslant 2, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
которые соответствуют $v_X(\Omega_2^{(j)}) \geqslant 2$ для $j \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$. Обозначим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \theta_1=q_n(t), \qquad \theta_2=p_n(t), \qquad \theta_3=3 p_n(t)^2+F(t) q_n(t)^2, \\ \theta_4=p_n(t)^2+F(t) q_n(t)^2,\qquad \theta_6=p_n(t)^2+3 F(t) q_n(t)^2. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Найдем подходящие значения параметра $c \in \mathbb{Q}$ (или параметров $b, c \in \mathbb{Q}$ соответственно для случаев $m=2$ и $m=3$), чтобы дискриминант многочлена $\theta_j(t) \in \mathbb{Q}[t]$ по очереди для $j \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$ был равен нулю. Далее, найдем кратные корни $t \in \mathbb{Q}$ соответствующих многочленов $\theta_j(t)$, и восстановим многочлен $f(x)=x^4 F(1/x+t, c) \in \mathbb{Q}[x]$. Для доказательства теоремы 2 достаточно для каждого из найденных в теореме 1 многочлена (или семейства многочленов) $f(x)$ проверить, что соответствующие величины $r_j=v_X(\Omega_2^{(j)}) \leqslant 2$ для $j \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$. Изложенная схема доказательства существенным образом опирается на большие символьные компьютерные вычисления. Компьютерные вычисления, и в частности, доказательство неприводимости указанных далее многочленов, проводились на языке программирования Python с использованием библиотеки Sympy. Без подобных вычислений получить заявленные результаты не представляется возможным. Далее перейдем к непосредственному рассмотрению всех возможных степеней $m$ фундаментальных единиц эллиптических полей $\mathcal{L}$ и соответствующих параметрических семейств многочленов $F(X+t, b, c)$ для $2 \leqslant m \leqslant 3$, и параметрических семействам многочленов $F(X+t, c)$ для $4 \leqslant m \leqslant 10$, $m=12$. 4.2. Поле $\mathcal{L}$ обладает фундаментальной единицей степени $2$В случае $m=2$ параметрическое семейство многочленов $F=F(X, b, c) \in \mathbb{Q}[X]$ четвертой степени без кубических членов и со старшим коэффициентом $1$ имеет вид где $b, c \in \mathbb{Q}$ – параметры. Разложение $\sqrt{F}$ в непрерывную дробь в $\mathbb{Q}((1/X))$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\sqrt{F}=\Biggl[X^2+c; \, \overline{\frac{2(X^{2}+c)}{b}, \, 2(X^{2}+c)} \Biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Длина квазипериода равна $1$, коэффициент квазипериода равен $b$, длина периода равна $2$. Заметим, что следовательно, $p_0+ q_0 \sqrt{F}$ является фундаментальной единицей степени $2$. Определим по очереди, при каких значениях параметров $b, c\in \mathbb{Q}$ дискриминант $d_j(b, c)$ каждого из многочленов $\theta_j(t)=\theta_j(t, b, c)$, $j \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$, определенных в (4.2), равен нулю. Рассмотрим случай $j=1$. Так как $q_0=1$, то $d_1(b, c)$ не обращается в нуль. Рассмотрим случай $j=2$. Имеем $d_2(b, c) =-4 c$, следовательно, $c=0$. Находим кратный корень $t=0$ уравнения $p_0(t)=0$. Подставляя найденные значения параметров в $f(x, b, c, t)=x^4 F(t+1/x, b, c)$, находим параметрическое семейство многочленов Непрерывная дробь $\sqrt{f}$ в поле $\mathbb{Q}((x))$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\sqrt{f}=\Biggl[1; \, \frac{b x^{4}+4}{2 b x^{4}}, \, \overline{- \frac{4(b x^{4}+2)}{b x^{4}}, \, \frac{b x^{4}+2}{b x^{4}}} \Biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Длина квазипериода равна $1$, коэффициент квазипериода равен $-1/4$, длина периода равна $2$. Отметим, что при целых свободных от четвертых степеней значениях параметра $b$ семейство многочленов (4.3) действительно задает бесконечное семейство попарно неизоморфных эллиптических полей. Рассмотрим случай $j=3$. Имеем $d_3(b, c)=16384 b^{2}(b+4 c^{2})$, следовательно, $b=0$ или $b=-4 c^2$. Если $b=0$, то $F=(X^2+c)^2$, что нам не подходит. При $b =-4 c^2$ находим кратный корень $t=0$ многочлена $\theta_3(t)$. При таких значениях параметров $b$ и $t$ находим параметрическое семейство многочленов Непрерывная дробь $\sqrt{f}$ в поле $\mathbb{Q}((x))$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sqrt{f} &=\Biggl[1; \, \frac{2 c x^{2}+1}{c x^{2}}, \, \overline{- \frac{2 c x^{2}-1}{2 c x^{2}}, \, \frac{5 c x^{2}+2}{2 c x^{2}},} \\ &\qquad\overline{- \frac{2(5 c x^{2}+2)}{c x^{2}}, \, \frac{2 c x^{2}-1}{8 c x^{2}}, \, -\frac{2(5 c x^{2}+2)}{c x^{2}}, \, \frac{5 c x^{2}+2}{2 c x^{2}}} \Biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Длина квазипериода равна $3$, коэффициент квазипериода равен $-1/4$, длина периода равна $6$. Рассмотрим случай $j=4$. Имеем $d_4(b, c)=2048 b^{2}(b+2 c^{2})$, следовательно, $b=-2 c^2$, так как случай $b=0$ мы уже рассматривали. При $b =-2 c^2$ находим кратный корень $t=0$ многочлена $\theta_4(t)$. При таких значениях параметров $b$ и $t$ находим параметрическое семейство многочленов Непрерывная дробь $\sqrt{f}$ в поле $\mathbb{Q}((x))$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sqrt{f} &=\Biggl[1; \, \frac{c x^{2}+1}{c x^{2}}, \, \overline{- \frac{2(c^{2} x^{4}-c x^{2}-1)}{c^{2} x^{4}}, \, \frac{3 c x^{2}+2}{2 c x^{2}},} \\ &\qquad \overline{- \frac{2(3 c x^{2}+2)}{c x^{2}}, \, \frac{c^{2} x^{4}-c x^{2}-1}{2 c^{2} x^{4}}, \, - \frac{2(3 c x^{2}+2)}{c x^{2}}, \, \frac{3 c x^{2}+2}{2 c x^{2}}} \Biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Длина квазипериода равна $3$, коэффициент квазипериода равен $-1/4$, длина периода равна $6$. Рассмотрим случай $j=6$. Имеем $d_6(b, c)=147456 b^{2}(3 b+4 c^{2})$, следовательно, $b =-4 c^2/3$, так как случай $b=0$ мы уже рассматривали. В случае $b =-4 c^2/3$ получаем кратный корень $t=0$ многочлена $\theta_6(t)$. При таких значениях параметров $b$ и $t$ находим параметрическое семейство многочленов
$$
\begin{equation}
f=f(x, c)=x^4+2 c x^2-\frac{c^2}3 \in \mathbb{Q}[h].
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Непрерывная дробь $\sqrt{f}$ в поле $\mathbb{Q}((x))$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sqrt{f} &=\Biggl[1; \, \frac{2 c x^{2}+3}{3 c x^{2}}, \, \overline{- \frac{3(4 c x^{2}+3)}{2 c x^{2}}, \, \frac{2(2 c^{2} x^{4}-3 c x^{2}-3)}{9 c^{2} x^{4}},} \\ &\qquad \overline{- \frac{3(4 c x^{2}+3)}{2 c x^{2}}, \, \frac{7 c x^{2}+6}{6 c x^{2}}, \, -\frac{2(7 c x^{2}+6)}{3 c x^{2}}, \, \frac{3(4 c x^{2}+3)}{8 c x^{2}},} \\ &\qquad \overline{- \frac{8(2 c^{2} x^{4}-3 c x^{2}-3)}{9 c^{2} x^{4}}, \, \frac{3(4 c x^{2}+3)}{8 c x^{2}}, \, - \frac{2(7 c x^{2}+6)}{3 c x^{2}}, \, \frac{7 c x^{2}+6}{6 c x^{2}}}\Biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Длина квазипериода равна $5$, коэффициент квазипериода равен $-1/4$, длина периода равна $10$. При целых свободных от квадратов значениях параметра $c$ семейства многочленов (4.4)–(4.6) действительно задают бесконечные семейства попарно неизоморфных эллиптических полей. 4.3. Поле $\mathcal{L}$ обладает фундаментальной единицей степени $3$В случае $m=3$ параметрическое семейство многочленов $F=F(X, b, c) \in \mathbb{Q}[X]$ четвертой степени без кубических членов и со старшим коэффициентом $1$ имеет вид где $b, c \in \mathbb{Q}$ – параметры. Разложение $\sqrt{F}$ в непрерывную дробь в $\mathbb{Q}((1/X))$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\sqrt{F}=\Biggl[(X-c)(X+c); \, \overline{\frac{2}{b}(X+c), \, 2(X-c)(X+c)}\Biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Длина квазипериода совпадает с длиной периода и равна $2$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
p_1=\frac{b-2 c^3-2 c^2 X+2 c X^2+2 X^3}{b}, \qquad q_1=\frac{2 c+2 X}{b}, \qquad p_1^2-F q_1^2=1,
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, $p_1+ q_1 \sqrt{F}$ является фундаментальной единицей степени $3$. Определим по очереди, при каких значениях параметров $b, c\in \mathbb{Q}$ дискриминант $d_j(b, c)$ каждого из многочленов $\theta_j(t)=\theta_j(t, b, c)$, $j \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$, определенных в (4.2), равен нулю. Рассмотрим случай $j=1$. Кратных корней у многочлена $q_1=(2 c+2 X)/b$ быть не может, поэтому $d_1(b, c) \ne 0$. Рассмотрим случай $j=2$. Имеем $d_2(b, c) =-4 b (27 b-64 c^3)$, следовательно, $b=0$ или $b=64 c^3 / 27$. Если $b=0$, то $F=(X-c)^2 (X+c)^2$, что нам не подходит. В случае $b=64 c^3/27$ получаем кратный корень $t=c / 3$ уравнения $p_1(t)=0$. Подставляя найденные значения параметров, получаем Мы ищем многочлены $F$ с точностью до замены $F(X)$ на $A^2 F(B X)$ для некоторых $A, B \in \mathbb{Q}^{\ast}$, поэтому из (4.7) получаем единственный с точностью до эквивалентности многочлен Непрерывная дробь $\sqrt{f}$ в поле $\mathbb{Q}((x))$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sqrt{f} &=\Biggl[1; \, \frac{4 x+1}{2 x}, \, \overline{-\frac{1}{128 x^{4}}(128 x^{4}-32 x^{3}+8 x^{2}-2 x-1), \, \frac{5 x+1}{2 x}, \, - \frac{2}{x}(5 x+1),} \\ &\qquad \overline{\frac{1}{512 x^{4}}(128 x^{4}-32 x^{3}+8 x^{2}-2 x-1), \, - \frac{2}{x}(5 x+1), \, \frac{5 x+1}{2 x}} \Biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Длина квазипериода равна $3$, коэффициент квазипериода равен $-1/4$, длина периода равна $6$. Рассмотрим случай $j=3$. Имеем $d_3(b, c)=2^{26} \cdot 3 b^8 (3^3 b-2^7 c^3) (3^4 b-2^7 c^3)$, следовательно, $b=2^7 c^3 / 3^3$ или $b=2^7 c^3 / 3^4$. При $b=2^7 c^3 / 3^3$ находим кратный корень $t=c / 3$ многочлена $\theta_3(t)$. Подставляя найденные значения параметров, получаем Заменяя $3 X$ на $c / x$ и умножая выражение на $x^4$, получаем многочлен Непрерывная дробь $\sqrt{f}$ в поле $\mathbb{Q}((x))$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sqrt{f} &=\Biggl[1; \, \frac{4 x+1}{2 x}, \, \overline{\frac{4 x-1}{8 x}, \, - \frac{2 x+1}{4 x}, \, - \frac{8 x+1}{2 x}, \, \frac{4 x-1}{4 x}, \, - \frac{8 x+1}{2 x},} \\ &\qquad \overline{- \frac{2 x+1}{4 x}, \, \frac{4 x-1}{8 x}, \, \frac{5 x+1}{2 x}, \, -\frac{2}{x}(5 x+1), \, - \frac{4 x-1}{32 x}, \, \frac{1}{x}(2 x+1), \, \frac{8 x+1}{8 x},} \\ &\qquad \overline{- \frac{1}{x}(4 x-1), \, \frac{8 x+1}{8 x}, \, \frac{1}{x}(2x+1), \, -\frac{4x-1}{32 x}, \, - \frac{2}{x}(5x+1), \, \frac{5 x+1}{2 x}} \Biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Длина квазипериода равна $9$, коэффициент квазипериода равен $-1/4$, длина периода равна $18$. Длина квазипериода этой непрерывной дроби в три раза больше порядка $m=3$ класса дивизора $\infty^{-}-\infty^{+}$ в группе классов дивизоров $\Delta^{\circ}(L)$. То есть в этом примере достигается верхняя оценка [13] длины квазипериода в случае, когда $r_1=r_2=0$ и $r_3=v_X(\Omega_2^{(3)}) \geqslant 2$. При $b=2^7 c^3 / 3^4$ находим кратный корень $t=c / 3$ многочлена $\theta_3(t)$. Подставляя найденные значения параметров, получаем Заменяя $3 X$ на $c / x$ и умножая выражение на $x^4$, получаем многочлен Непрерывная дробь $\sqrt{f}$ в поле $\mathbb{Q}((x))$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sqrt{f}&=\Biggl[1; \, \frac{4 x+1}{2 x}, \, \overline{- \frac{3}{8 x}(4 x-1), \, \frac{6 x+1}{4 x}, \, - \frac{1}{16 x^{3}}(64 x^{3}+12 x+3), \, \frac{6 x+1}{4 x},} \\ &\qquad \overline{- \frac{3}{8 x}(4 x-1), \, \frac{5 x+1}{2 x}, \, - \frac{2}{x} (5x+1), \, \frac{3}{32 x}(4 x-1), \, - \frac{1}{x} (6 x+1),} \\ &\qquad \overline{\frac{1}{64 x^{3}}(64 x^{3}+12 x+3), \, - \frac{1}{x}(6 x+1), \, \frac{3}{32 x}(4 x-1), \, -\frac{2}{x}(5 x+1), \, \frac{5 x+1}{2 x}} \Biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Длина квазипериода равна $7$, коэффициент квазипериода равен $-1/4$, длина периода равна $14$. Рассмотрим случаи $j=4$ и $j=6$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, d_4(b, c) &=2^{21} b^8 (3^6 b^2-2^8 \cdot 3^3 b c^3+2^{13} c^6), \\ d_6(b, c) &=2^{26} 3^3 b^8 (3^6 b^2-2^9 \cdot 3^3 b c^3+2^{14} c^6). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Как мы видели выше, $b=0$ не подходит, а других рациональных решений уравнений $d_4(b, c)=0$ и $d_6(b, c)=0$ нет. 4.4. Поле $\mathcal{L}$ обладает фундаментальной единицей степени $4$В случае $m=4$ параметрическое семейство многочленов $F=F(X, c) \in \mathbb{Q}[X]$ четвертой степени без кубических членов и со старшим коэффициентом $1$ имеет вид где $c \in \mathbb{Q}$ – параметр. Разложение $\sqrt{F}$ в непрерывную дробь в $\mathbb{Q}((1/X))$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sqrt{F}=\bigl[a_0; \overline{a_1, b^{-1} a_1, 2b a_0, b^{-1} a_1, a_1, 2a_0}\,\bigr], \\ a_0=X^{2}+4 c-1, \qquad a_1=\frac{X-1}{16 c}, \qquad b=2^{-6} c^{-1}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Длина квазипериода равна $3$, коэффициент квазипериода равен $1/b$, длина периода равна $6$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, p_2 &=\frac{1}{4 c} \bigl(X^{4}-2 X^{3}+8 c X^{2}+(8 c+2) X+16 c^{2}-16 c- 1\bigr), \\ q_2 &=\frac{1}{4 c} (X^{2}-2 X+4 c+1), \qquad p_2^2-F q_2^2 =-64c, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, $p_2+ q_2 \sqrt{F}$ является фундаментальной единицей степени $4$. Найдем значения параметра $c \in \mathbb{Q}$, при которых дискриминанты $d_j(c)$ многочленов $\theta_j(t)=\theta_j(t, c)$, определенных в (4.2), обращаются в нуль по очереди для каждого $j \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$. Рассмотрим случай $j=1$. Имеем $d_1(c) =-2^{4} c$, откуда находим $c=0$ и кратный корень $t=1$ многочлена $\theta_1(t)$. При таких значениях параметров получаем $F=X^{2} (X+2)^{2}$, что нам не подходит. Рассмотрим случай $j=2$. Имеем
$$
\begin{equation*}
d_2(c)=2^{14} c^{3} (2^{8} c^{2}-2^{5} \cdot 3^{2} c-3^{3}),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда находим $c=0$ и кратный корень $t=1$ многочлена $\theta_2(t)$, что также нам не подходит, так как соответствующий многочлен $F$ не свободен от квадратов. Рассмотрим случай $j=3$. Имеем
$$
\begin{equation*}
d_3(c)=2^{64} \cdot 3^{2} c^{18} (2^{16} c^{4}-2^{14} \cdot 5 c^{3}+2^{9} \cdot 3^{3} \cdot 5 c^{2}+2^{6} \cdot 3^{5} c+3^{6}),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда находим $c=0$ и два кратных корня $t=-1$ и $t=1$ многочлена $\theta_3(t)$. Случай $t=1$ уже был рассмотрен, а для $t=-1$ получаем $F=X^{2}(X-2)^{2}$, что нам также не подходит. Рассмотрим случай $j=4$. Имеем
$$
\begin{equation*}
d_4(c)=2^{70} c^{18} (2^{16} c^{4}-2^{14} c^{3}+2^{9} \cdot 3^{3} \cdot 5 c^{2}+2^{6} \cdot 3^{5} c+3^{6}),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда находим $c=0$ и два кратных корня $t=-1$ и $t=1$ многочлена $\theta_4(t)$, для которых, как мы уже рассматривали, соответствующие многочлены $F$ не свободны от квадратов. Рассмотрим случай $j=6$. Имеем
$$
\begin{equation*}
d_6(c)=2^{64} \cdot 3^{4} (2^{4} c+3) c^{18} (2^{12} c^{3}+2^{8} \cdot 3^{2} c^{2}+ 2^{4} \cdot 3^{5} c+3^{5}),
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, $c=0$ или $c =-3 / 16$. При $c=0$ находим два кратных корня $t=-1$ и $t=1$ многочлена $\theta_6(t)$, для которых, как мы уже рассматривали, соответствующие многочлены $F$ не свободны от квадратов. При $c =-3 / 16$ получаем кратный корень $t =-1 / 2$. Подставляя найденные значения параметров, получаем Непрерывная дробь $\sqrt{f}$ в поле $\mathbb{Q}((x))$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sqrt{f} &=\Biggl[1; \, \frac{3 x-2}{2 x}, \, \overline{\frac{2}{3 x} (3x+2), \, - \frac{1}{12 x^{2}} (4 x^{2}-3 x+1), \, - \frac{24}{x} (2x-1), \, \frac{x-2}{24 x},} \\ &\qquad \overline{- \frac{8}{3 x} (3x-2), \, \frac{x+1}{8 x}, \, - \frac{1}{x} (11x-4), \, \frac{9 x-4}{3 x},} \\ &\qquad \overline{- \frac{1}{12 x^{4}} (9 x^{4}+6 x^{3}+3 x^{2}+2 x-2), \, \frac{9 x-4}{3 x}, \, - \frac{1}{x} (11x-4), \, \frac{x+1}{8 x},} \\ &\qquad \overline{-\frac{8}{3 x} (3x-2), \, \frac{x-2}{24 x}, \, - \frac{24}{x} (2x\,{-}\,1), \, - \frac{4 x^{2}\,{-}\,3 x\,{+}\,1}{12 x^{2}}, \, \frac{2}{3 x} (3x\,{+}\,2), \, \frac{1}{x} (2x\,{-}\,1),} \\ &\qquad \overline{- \frac{4}{x} (2x-1), \, - \frac{3 x+2}{6 x}, \, \frac{4 x^{2}-3 x+1}{3 x^{2}}, \, \frac{6}{x} (2x-1), \, - \frac{x-2}{6 x}, \, \frac{2}{3 x} (3x-2),} \\ &\qquad \overline{-\frac{x+1}{2 x}, \, \frac{11 x-4}{4 x}, \, - \frac{4}{3 x} (9x-4), \, \frac{1}{48 x^{4}}(9 x^{4}+6 x^{3}+3 x^{2}+2 x-2),} \\ &\qquad \overline{- \frac{4}{3 x} (9x-4), \, \frac{11 x-4}{4 x}, \, - \frac{x+1}{2 x}, \, \frac{2}{3 x} (3x-2), \, - \frac{x-2}{6 x}, \, \frac{6}{x} (2x-1),} \\ &\qquad \overline{\frac{1}{3 x^{2}} (4 x^{2}-3 x+1), \, - \frac{3 x+2}{6 x}, \, - \frac{4}{x} (2x-1), \, \frac{1}{x} (2x-1)} \Biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Длина квазипериода равна $19$, коэффициент квазипериода равен $-1/4$, длина периода равна $38$. Этот интересный пример с аномально большой длиной периода впервые был найден в статье [19]. 4.5. Поле $\mathcal{L}$ обладает фундаментальной единицей степени $5$В случае $m=5$ параметрическое семейство многочленов $F=F(X, c) \in \mathbb{Q}[X]$ четвертой степени без кубических членов и со старшим коэффициентом $1$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
F=X^{4}-2 X^{2} (c^{2}-6 c+1)+32 X c+(c+1)(c^{3}- 13 c^{2}+ 19 c+1),
\end{equation*}
\notag
$$
где $c \in \mathbb{Q}$ – параметр. Разложение $\sqrt{F}$ в непрерывную дробь в $\mathbb{Q}((1/X))$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sqrt{F}=[a_0; \overline{a_1, a_2, a_1, 2a_0}], \\ a_0 =-c^{2}+6 c+X^{2}-1, \qquad a_1=\frac{1}{16 c}(c+X-1), \qquad a_2=4(-c+X-1). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Длина квазипериода совпадает с длиной периода и равна $4$. Заметим, что $p_3^2-F q_3^2=1$, следовательно, $p_3+ q_3 \sqrt{F}$ является фундаментальной единицей степени $5$. Найдем значения параметра $c \in \mathbb{Q}$, при которых дискриминанты $d_j(c)$ многочленов $\theta_j(t)=\theta_j(t, c)$, определенных в (4.2), обращаются в нуль по очереди для каждого $j \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$. Рассмотрим случай $j=1$. Имеем $d_1(c)=2^{8} (c-2^{3}) c^{3}$, откуда находим $c=0$ или $c=8$. При $c=0$ находим кратный корень $t=1$ многочлена $\theta_1(t)$ и $F=x^{2}(x+2)^{2}$, что нам не подходит. При $c=8$ находим кратный корень $t=1$ многочлена $\theta_1(t)$. Подставляя найденные значения параметров, получаем Непрерывная дробь $\sqrt{f}$ в поле $\mathbb{Q}((x))$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sqrt{f} &=\Biggl[1; \, \frac{8 x+1}{2 x}, \, \overline{- \frac{1}{1024 x^{3}}(8x-1)(64 x^{2}+1), \, \frac{9 x+1}{2 x},} \\ &\qquad \overline{- \frac{2}{x}(9x+1), \, \frac{1}{4096 x^{3}}(8x-1)(64 x^{2}+1), \, -\frac{2}{x}(9x+1), \, \frac{9x+1}{2x}} \Biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Длина квазипериода равна $3$, коэффициент квазипериода равен $-1/4$, длина периода равна $6$. Рассмотрим случаи $j \in \{2, 3, 4, 6\}$. Имеем $d_2(c)=2^{24} c^{6} P_2^{(5)}$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, P_2^{(5)}=2 \cdot 3^{3} c^{5}-2 \cdot 3^{4} \cdot 5 c^{4}+2 \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 29 c^{3}+3^{2} \cdot 5 c^{2}+2^{5} \cdot 5 \cdot 7 c+2^{7},\\ d_3(c)=2^{100} \cdot 3^{3} c^{32} P_3^{(5)}, \qquad P_3^{(5)}=(2 P_2^{(5)}+5^{5} c^{2})(2 P_2^{(5)}-5^{5} c^{2}), \\ d_4(c)=2^{108} c^{32} P_4^{(5)}, \qquad P_4^{(5)}=P_3^{(5)}-5^{10} c^{4}, \\ d_6(c)=2^{100} \cdot 3^{5} c^{32} P_6^{(5)}, \qquad P_6^{(5)}=P_3^{(5)}-2 \cdot 5^{10} c^{4}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
У дискриминантов $d_2(c)$, $d_3(c)$, $d_4(c)$, $d_6(c)$ рациональных корней кроме $c=0$ нет. При $c=0$ возможны только кратные корни $t=-1$ и $t=1$, для которых соответствующие многочлены $F$ не свободны от квадратов. 4.6. Поле $\mathcal{L}$ обладает фундаментальной единицей степени $6$В случае $m=6$ параметрическое семейство многочленов $F=F(X, c) \in \mathbb{Q}[X]$ четвертой степени без кубических членов и со старшим коэффициентом $1$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
F=X^{4}+2 X^{2}(3 c^{2}+6 c-1)+32 X c(c+1)+9 c^{4}+4 c^{3}+30 c^{2}+20 c+1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $c \in \mathbb{Q}$ – параметр. Разложение $\sqrt{F}$ в непрерывную дробь в $\mathbb{Q}((1/X))$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sqrt{F}=\bigl[a_0; \overline{a_1, a_2, b a_2, b^{-1} a_1, 2b a_0, b^{-1} a_1, b a_2, a_2, a_1, 2a_0}\,\bigr], \\ a_0=X^{2}+3 c^{2}+6 c-1, \qquad a_1=\frac{X+c-1}{16 c(c+1)}, \\ a_2= 4(X-c-1), \qquad b=2^{-6} c^{-1}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Длина квазипериода равна $5$, коэффициент квазипериода равен $1/b$, длина периода равна $10$. Заметим, что $p_4^2-F q_4^2=-64c$, следовательно, $p_4+ q_4 \sqrt{F}$ является фундаментальной единицей степени $6$. Найдем значения параметра $c \in \mathbb{Q}$, при которых дискриминанты $d_j(c)$ многочленов $\theta_j(t)=\theta_j(t, c)$, определенных в (4.2), обращаются в нуль по очереди для каждого $j \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$. Рассмотрим случай $j=1$. Имеем $d_1(c)=2^{16} (3^{2} c+5^{2}) (c+1)^{3} c^{6}$, откуда находим $c=0$ или $c=-1$ или $c =-25 / 9$. В случаях $c=0$ и $c=-1$ не удается найти соответствующий свободный от квадратов многочлен $F$. При $c =-25 / 9$ находим кратный корень $t =-2 / 3$ многочлена $\theta_1(t)$. Подставляя найденные значения параметров, получаем
$$
\begin{equation*}
f=\frac{1}{243}(320 x^{2}+144 x+27)(400 x^{2}-72 x+9).
\end{equation*}
\notag
$$
Непрерывная дробь $\sqrt{f}$ в поле $\mathbb{Q}((x))$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sqrt{f} &=\Biggl[1; \,-\frac{40 x+9}{12 x}, \, \overline{\frac{3}{1600 x}(100 x-9), \, \frac{2}{45 x^{2}} (400 x^{2}+180 x+27),} \\ &\qquad \overline{\frac{3}{1600 x} (100x-9), \, - \frac{34 x+9}{12 x}, \, \frac{34 x+9}{3 x}, \, - \frac{3}{6400 x} (100x-9),} \\ &\qquad \overline{- \frac{8}{45 x^{2}} (400 x^{2}+180 x+27), \, - \frac{3}{6400 x} (100x-9), \, \frac{34 x+9}{3 x}, \, - \frac{34 x+9}{12 x}} \Biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Длина квазипериода равна $5$, коэффициент квазипериода равен $-1/4$, длина периода равна $10$. Рассмотрим случаи $j \in \{2, 3, 4, 6\}$. Имеем $d_2(c) =-2^{34} (c+1)^{8} c^{10} P_2^{(6)}(c)$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, P_2^{(6)}(c)&=3^{9} c^{6}+2 \cdot 3^{8} \cdot 5 c^{5}+3^{7} \cdot 31 c^{4}-2^{2} \cdot 3^{5} \cdot 103 c^{3} \\ &\qquad-43 \cdot 3^{4} \cdot 5^{2} c^{2}-2 \cdot 3^{3} \cdot 5^{4} c-5^{5}, \end{aligned} \\ \begin{alignedat}{3} d_3(c)&=2^{144} \cdot 3^{4} (c+1)^{40} c^{50} P_3^{(6)}(c), &\qquad P_3^{(6)}(c)&=(P_2^{(6)})^2+2^{12} \cdot 3^{12} (c+1)^{4} c^{5}, \\ d_4(c)&=2^{154} (c+1)^{40} c^{50} P_4^{(6)}(c), &\qquad P_4^{(6)}(c)&=(P_2^{(6)})^2+2^{13} \cdot 3^{12} (c+1)^{4} c^{5}, \\ d_6(c) &=2^{144} \cdot 3^{6} (c+1)^{40} c^{50} P_6^{(6)}(c), &\qquad P_6^{(6)}(c)&=(P_2^{(6)})^2+2^{12} \cdot 3^{13} (c+1)^{4} c^{5}. \end{alignedat} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Многочлены $P_2^{(6)}(c)$, $P_3^{(6)}(c)$, $P_4^{(6)}(c)$, $P_6^{(6)}(c)$ неприводимые. При $c=0$ находим $t=1$ или $t=-1$, причем $F=X^{2} (X+2)^{2}$ или $F=X^{2} (X-2)^{2}$ соответственно. При $c=-1$ находим $t=1$ или $t=-1$, причем $F=X^{2} (X+4)^{2}$ или $F=X^{2} (X-4)^{2}$ соответственно. Таким образом, у дискриминантов $d_2(c)$, $d_3(c)$, $d_4(c)$, $d_6(c)$ рациональных корней кроме $c=0$ и $c=-1$ нет, при этом все соответствующие многочлены $F$ оказываются не свободными от квадратов. 4.7. Поле $\mathcal{L}$ обладает фундаментальной единицей степени $7$В случае $m=7$ параметрическое семейство многочленов $F=F(X, c) \in \mathbb{Q}[X]$ четвертой степени без кубических членов и со старшим коэффициентом $1$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F &=X^{4}-2 X^{2}(c^{4}-6 c^{3}+3 c^{2}+2 c+1)+32 X c^{2} (c- 1) \\ &\qquad+ (c^{2}-3 c+1) (c^{6}-9 c^{5}+14 c^{4}-13 c^{3}-2 c^{2}+7 c+1), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $c \in \mathbb{Q}$ – параметр. Разложение $\sqrt{F}$ в непрерывную дробь в $\mathbb{Q}((1/X))$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sqrt{F}=[a_0; \overline{a_1, a_2, a_3, a_2, a_1, 2a_0}\,], \\ \begin{alignedat}{3} a_0&=X^{2}-c^{4}+6 c^{3}-3 c^{2}-2 c-1, &\qquad a_1&=\frac{X+c^{2}-c-1}{16 c^{2} (c-1)}, \\ a_2&=4(X-c^{2}+c-1), &\qquad a_3&=\frac{X+c^{2}-3 c+1}{16 c(c-1)}. \end{alignedat} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Длина квазипериода совпадает с длиной периода и равна $6$. Заметим, что $p_5^2-F q_5^2=1$, следовательно, $p_5+ q_5 \sqrt{F}$ является фундаментальной единицей степени $7$. Найдем значения параметра $c \in \mathbb{Q}$, при которых дискриминанты $d_j(c)$ многочленов $\theta_j(t)=\theta_j(t, c)$, определенных в (4.2), обращаются в нуль по очереди для каждого $j \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$. Рассмотрим случай $j=1$. Имеем
$$
\begin{equation*}
d_1(c)=2^{24} (c-5) (c-1)^{10} c^{12} (2 c^{2}+c+1) (2^{2} c^{2}-2 \cdot 13 c-5),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда находим $c=0$ или $c=1$ или $c=5$. В случаях $c=0$ и $c=1$ не удается найти соответствующих свободных от квадратов многочленов $F$. При $c=5$ находим кратный корень $t=1$ многочлена $\theta_1(t)$. Подставляя найденные значения параметров, получаем Непрерывная дробь $\sqrt{f}$ в поле $\mathbb{Q}((x))$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sqrt{f} &=\Biggl[1; \,-\frac{20 x-1}{2 x}, \, \overline{- \frac{100 x+1}{200 x}, \, \frac{68 x-1}{40 x}, \, - \frac{5}{x} (12x-1), \, \frac{68 x-1}{40 x},} \\ &\qquad \overline{- \frac{100 x+1}{200 x}, \, - \frac{19 x-1}{2 x}, \, \frac{2}{x} (19x-1), \, \frac{100 x+1}{800 x}, \, - \frac{68 x-1}{10 x},} \\ &\qquad \overline{\frac{5}{4 x} (12x-1), \, - \frac{68 x-1}{10 x}, \, \frac{100 x+1}{800 x}, \, \frac{2}{x} (19x-1), \, - \frac{19 x-1}{2 x}} \Biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Длина квазипериода равна $7$, коэффициент квазипериода равен $-1/4$, длина периода равна $14$. Рассмотрим случаи $j \in \{2, 3, 4, 6\}$. Имеем $d_2(c)=2^{48} (c-1)^{15} c^{25} P_2^{(7)}(c)$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, P_2^{(7)}(c)&=2^{7} \cdot 3^{3} c^{14}-2^{7} \cdot 3^{4} \cdot 7 c^{13} + 2^{10} \cdot 3^{4} \cdot 7 c^{12}-2^{5} \cdot 3^{3} \cdot 373 \cdot 7 c^{11} \\ &\qquad+ 571 \cdot 2^{7} \cdot 3^{2} \cdot 7 c^{10}-283 \cdot 2^{5} \cdot 3^{4} \cdot 7 c^{9}+11 \cdot 3^{2} \cdot 4483 \cdot 7 c^{8} \\ &\qquad-3^{3} \cdot 647 \cdot 5 \cdot 13 c^{7}+ 631 \cdot 61 \cdot 7 c^{6}-281 \cdot 3 \cdot 5^{2} \cdot 7 c^{5} + 617 \cdot 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7 c^{4} \\ &\qquad- 17 \cdot 2^{2} \cdot 5^{4} \cdot 7 c^{3}-2 \cdot 3 \cdot 5^{4} \cdot 7 c^{2} + 2 \cdot 5^{5} \cdot 7 c+2 \cdot 5^{5}, \end{aligned} \\ d_3(c)=2^{196} \cdot 3^{5} (c-1)^{72} c^{120} P_3^{(7)}(c), \\ P_3^{(7)}(c)=(2 P_2^{(7)}(c)-7^{7} (c-1)^{3} c^{5})(2 P_2^{(7)}(c)+7^{7} (c-1)^{3} c^{5}), \\ d_4(c)=2^{209} (c-1)^{72} c^{120} P_4^{(7)}(c), \qquad P_4^{(7)}(c)=2 (P_2^{(7)}(c))^2-7^{14} (c-1)^{6} c^{10}, \\ d_6(c)=2^{196} \cdot 3^{7} (c-1)^{72} c^{120} P_6^{(7)}(c), \qquad P_6^{(7)}(c)=4 (P_2^{(7)}(c))^2-3 \cdot 7^{14} (c-1)^{6} c^{10}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Многочлены $P_2^{(7)}(c)$, $2 P_2^{(7)}(c)-7^{7} (c-1)^{3} c^{5}$, $2 P_2^{(7)}(c)+7^{7} (c-1)^{3} c^{5}$, $P_4^{(7)}(c)$, $P_6^{(7)}(c)$ неприводимые. При $c=0$ находим $t=1$ или $t=-1$, причем $F=X^{2} (X+2)^{2}$ или $F=X^{2} (X-2)^{2}$. При $c=1$ находим $t=1$ или $t=-1$, причем $F=X^{2} (X+2)^{2}$ или $F=X^{2} (X-2)^{2}$. Таким образом, у дискриминантов $d_2(c)$, $d_3(c)$, $d_4(c)$, $d_6(c)$ рациональных корней кроме $c=0$ и $c=1$ нет, при этом все соответствующие многочлены $F$ оказываются не свободными от квадратов. 4.8. Поле $\mathcal{L}$ обладает фундаментальной единицей степени $8$В случае $m=8$ параметрическое семейство многочленов $F=F(X, c) \in \mathbb{Q}[X]$ четвертой степени без кубических членов и со старшим коэффициентом $1$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F &=X^{4}+2 X^{2} c^{-2}(4 c^{4}+4 c^{3}-16 c^{2}+8 c-1)+32 X(c-1)(2 c-1) \\ &\qquad+ c^{-4}(16 c^{8}-96 c^{7}+336 c^{6}-576 c^{5}+536 c^{4}-296 c^{3}+96 c^{2}-16 c+ 1), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $c \in \mathbb{Q}$ – параметр. Разложение $\sqrt{F}$ в непрерывную дробь в $\mathbb{Q}((1/X))$ имеет вид:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \ \sqrt{F}=\bigl[a_0; \overline{a_1, a_2, a_3, b^{-1} a_3, b a_2, b^{-1} a_1, 2b a_0, b^{-1} a_1, b a_2, b^{-1} a_3, a_3, a_2, a_1, 2a_0}\,\bigr], \\ a_0=c^{-2}(c^{2} X^{2}+2^{2} c^{4}+2^{2} c^{3}-2^{4} c^{2}+2^{3} c-1), \\ a_1=\frac{ c X+2 c^{2}-2^{2} c+1}{2^{4} (c-1) c (2 c-1)},\qquad a_2=2^{2} c^{-1} ( c X-(2 c^{2}-2 c+1) ), \\ a_3=\frac{ c X-(2 c-1) }{2^{4} (c-1) (2 c-1) }, \qquad b=\frac{c^3}{2^{6} (c-1) (2 c-1)^{2}}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Длина квазипериода равна $7$, коэффициент квазипериода равен $1/b$, длина периода равна $14$. Заметим, что $p_6^2-F q_6^2=-64(c-1)(2c-1)^2/c^3$, следовательно, $p_6+ q_6 \sqrt{F}$ является фундаментальной единицей степени $8$. Найдем значения параметра $c \in \mathbb{Q}$, при которых дискриминанты $d_j(c)$ многочленов $\theta_j(t)=\theta_j(t, c)$, определенных в (4.2), обращаются в нуль по очереди для каждого $j \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$. Имеем выражения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, d_1(c) =-2^{36} (2 c-1)^{10} (c-1)^{15} c^{53} P_1^{(8)}(c), \\ P_1^{(8)}(c)=2^{9} c^{6}+2^{11} c^{5}+2^{6} \cdot 43 c^{4}-2^{7} \cdot 37 c^{3}+2^{3} \cdot 11 \cdot 5^{2} c^{2}-2^{4} \cdot 5^{2} c+5^{2}, \\ d_2(c)=2^{62} (2 c-1)^{18} (c-1)^{21} c^{101} P_2^{(8)}(c), \\ \begin{aligned} \, P_2^{(8)}(c) &=2^{24} c^{16}-2^{26} c^{15}+2^{24} \cdot 5 c^{14}-2^{23} \cdot 3 c^{13}- 2^{20} \cdot 13 \cdot 79 c^{12}+2^{20} \cdot 6143 c^{11} \\ &\qquad - 2^{18} \cdot 37 \cdot 7 \cdot 53 \cdot 5 c^{10}+2^{17} \cdot 3^{3} \cdot 659 \cdot 13 c^{9}-18433 \cdot 2^{13} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} c^{8} \\ &\qquad + 2^{14} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7 \cdot 13 \cdot 79 c^{7}-2^{12} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 937 \cdot 17 c^{6} \\ &\qquad +2^{11} \cdot 3^{2} \cdot 5^{4} \cdot 503 c^{5} - 2^{8} \cdot 3^{3} \cdot 5^{4} \cdot 373 c^{4}+2^{8} \cdot 3^{3} \cdot 5^{4} \cdot 71 c^{3} \\ &\qquad -2^{6} \cdot 3^{3} \cdot 5^{5} \cdot 7 c^{2}+2^{5} \cdot 3^{3} \cdot 5^{5} c-3^{3} \cdot 5^{5}, \end{aligned} \\ d_3(c)=2^{256} \cdot 3^{6} (2 c-1)^{84} (c-1)^{98} c^{450} P_3^{(8)}(c), \\ P_3^{(8)}(c)=(P_2^{(8)}(c))^2+2^{48} (2 c-1)^{6} (c-1)^{7} c^{15}, \\ d_4(c)=2^{270} (2 c-1)^{84} (c-1)^{98} c^{450} P_4^{(8)}(c), \\ P_4^{(8)}(c)=(P_2^{(8)}(c))^2+2^{49} (2 c-1)^{6} (c-1)^{7} c^{15}, \\ d_6(c)=2^{256} \cdot 3^{8} (2 c-1)^{84} (c-1)^{98} c^{450} P_6^{(8)}(c), \\ P_6^{(8)}(c)=(P_2^{(8)}(c))^2+2^{48} \cdot 3 (2 c-1)^{6} (c-1)^{7} c^{15}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Многочлены $P_1^{(8)}(c)$, $P_2^{(8)}(c)$, $P_3^{(8)}(c)$, $P_4^{(8)}(c)$, $P_6^{(8)}(c)$ неприводимые. При $c\,{=}\,1/2$ находим $t=1$ или $t=-1$, причем $F=X^{2} (X+2)^{2}/16$ или $F=X^{2} (X\,{-}\,2)^{2}/16$. При $c\,{=}\,1$ находим $t\,{=}\,1$ или $t\,{=}\,{-}1$, причем $F=X^{2} (X+2)^{2}$ или $F=X^{2}(X\,{-}\,2)^{2}$. Таким образом, у дискриминантов $d_j(c)$, $j \in \{1,2,3,4,6\}$, рациональных корней кроме $c=1/2$ и $c=1$ нет, при этом все соответствующие многочлены $F$ оказываются не свободными от квадратов. 4.9. Поле $\mathcal{L}$ обладает фундаментальной единицей степени $9$В случае $m=9$ параметрическое семейство многочленов $F=F(X, c) \in \mathbb{Q}[X]$ четвертой степени без кубических членов и со старшим коэффициентом $1$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F &=X^{4}-2 X^{2}(c^{6}-6 c^{5}+9 c^{4}-10 c^{3}+6 c^{2}+1)+32 X c^{2}(c-1) (c^{2}-c+1) \\ &\ \ + (c^{3}\,{-}\,3 c^{2}\,{+}\,4 c-1)(c^{9}-9 c^{8}+23 c^{7}-22 c^{6}+14 c^{5}-3 c^{4}-5 c^{3}+7 c^{2}-4 c-1), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $c \in \mathbb{Q}$ – параметр. Разложение $\sqrt{F}$ в непрерывную дробь в $\mathbb{Q}((1/X))$ имеет вид:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sqrt{F}=[a_0; \overline{a_1, a_2, a_3, a_4, a_3, a_2, a_1, 2a_0}\,], \\ a_0=X^{2}-(c^{6}-2 \cdot 3 c^{5}+3^{2} c^{4}-2 \cdot 5 c^{3}+2 \cdot 3 c^{2}+1), \\ a_1=\frac{ X+(c^{3}-c^{2}-1) }{2^{4} (c-1) c^{2} (c^{2}-c+1) }, \qquad a_2=2^{2} ( X-(c^{3}-c^{2}+1) ), \\ a_3=\frac{ X+(c^{3}-3 c^{2}+2 c-1) }{2^{4} (c-1) c^{2} }, \qquad a_4=\frac{2^{2} c ( X-(c^{3}-3 c^{2}+2^{2} c-1) ) }{(c^{2}-c+1) }. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Длина периода совпадает с длиной квазипериода и равна $8$. Заметим, что $p_7^2-F q_7^2=1$, следовательно, $p_7+q_7 \sqrt{F}$ является фундаментальной единицей степени $9$. Найдем значения параметра $c \in \mathbb{Q}$, при которых дискриминанты $d_j(c)$ многочленов $\theta_j(t)=\theta_j(t, c)$, определенных в (4.2), обращаются в нуль по очереди для каждого $j \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$. Ввиду слишком объемных выражений для $d_j(c)$, $j \in \{1,2,3,4,6\}$, мы вынуждены представить их в сокращенном виде:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, d_1(c)=2^{48} (c-1)^{21} c^{30} (c^{2}-c+1)^{12} (5 c^{3}-2 \cdot 3 \cdot 5 c^{2}+2 \cdot 3 \cdot 7 c-7^{2}) P_1^{(9)}(c), \\ \begin{aligned} \, P_1^{(9)}(c) &=2^{3} \cdot 5 c^{9}-2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5 c^{8}+2^{5} \cdot 3^{3} c^{7}-2^{3} \cdot 3 \cdot 5^{2} c^{6} \\ &\qquad+2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 7 c^{5}+3^{4} \cdot 5 c^{4}+3 \cdot 127 c^{3}+2^{3} \cdot 3^{2} c^{2}+3^{3} \cdot 7 c+7^{2}, \end{aligned} \\ d_2(c)=2^{80} (c-1)^{28} c^{49} (c^{2}-c+1)^{21} P_1^{(9)}(c), \\ P_2^{(9)}(c)=2^{7} \cdot 5^{5} c^{27}-2^{7} \cdot 3^{3} \cdot 5^{5} c^{26} + \dots +2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 7^{6} c^{2}-2 \cdot 7^{7}, \\ d_3(c)=2^{324} \cdot 3^{7} (c-1)^{128} c^{224} (c^{2}-c+1)^{96} P_3^{(9)}(c), \\ \begin{aligned} \, P_3^{(9)}(c) &=\bigl(2 P_2^{(9)}(c)-3^{18} (c-1)^{4} c^{7} (c^{2}-c+1)^{3}\bigr) \\ &\qquad\times\bigl(2 P_2^{(9)}(c)+3^{18} (c-1)^{4} c^{7} (c^{2}-c+1)^{3}\bigr), \end{aligned} \\ d_4(c)=2^{341} (c-1)^{128} c^{224} (c^{2} c+1)^{96} P_4^{(9)}(c), \\ P_4^{(9)}(c)=2 (P_2^{(9)}(c))^2-3^{36} (c-1)^{8} c^{14} (c^{2}-c+1)^{6}, \\ d_6(c)=2^{324} \cdot 3^{9} (c-1)^{128} c^{224} (c^{2} c+1)^{96} P_6^{(9)}(c), \\ P_6^{(9)}(c)=4 (P_2^{(9)}(c))^2-3^{37} (c-1)^{8} c^{14} (c^{2}-c+1)^{6}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Многочлены $P_1^{(9)}(c)$, $P_2^{(9)}(c)$, $2 P_2^{(9)}(c)-3^{18} (c-1)^{4} c^{7} (c^{2}-c+ 1)^{3}$, $2 P_2^{(9)}(c)+3^{18} (c- 1)^{4} c^{7} (c^{2}-c+1)^{3}$, $P_4^{(9)}(c)$, $P_6^{(9)}(c)$ неприводимые. При $c=0$ находим $t=1$ или $t=-1$, причем $F=X^{2} (X+2)^{2}$ или $F=X^{2} (X-2)^{2}$ соответственно. При $c=1$ находим $t=1$ или $t=-1$, причем $F=X^{2} (X+2)^{2}$ или $F=X^{2} (X\,{-}\,2)^{2}$ соответственно. Таким образом, у дискриминантов $d_j(c)$, $j \in \{1,2,3,4,6\}$, рациональных корней кроме $c=0$ и $c=1$ нет, при этом все соответствующие многочлены $F$ оказываются не свободными от квадратов. 4.10. Поле $\mathcal{L}$ обладает фундаментальной единицей степени $10$В случае $m=10$ параметрическое семейство многочленов $F=F(X, c) \in \mathbb{Q}[X]$ четвертой степени без кубических членов и со старшим коэффициентом $1$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F &=X^{4}-2 X^{2} (c^{2}-3 c+1)^{-2}(4 c^{6}-16 c^{5}+8 c^{4}+8 c^{3}-4 c+ 1) \\ &\qquad+ 32 X c^{3} (c-1) (2c-1) (c^{2}-3 c+1)^{-2} \\ &\qquad+ (c^{2}-3 c+1)^{-4}(16 c^{12}-128 c^{11}+448 c^{10}-896 c^{9}+1024 c^{8} \\ &\qquad\qquad-416 c^{7}-408 c^{6}+608 c^{5}-304 c^{4}+48 c^{3}+16 c^{2}-8 c+1), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $c \in \mathbb{Q}$ – параметр. Разложение $\sqrt{F}$ в непрерывную дробь в $\mathbb{Q}((1/X))$ имеет вид:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \sqrt{F}&=\bigl[a_0; \overline{a_1, a_2, a_3, a_4, b a_4, b^{-1} a_3, b a_2, b^{-1} a_1, 2b a_0,} \\ &\qquad \overline{b^{-1} a_1, b a_2, b^{-1} a_3, b a_4, a_4, a_3, a_2, a_1, 2a_0}\,\bigr], \end{aligned} \\ a_0=\bigl( (c^{2}-3 c+1)^{2} X^{2}-(2^{2} c^{6}-2^{4} c^{5}+2^{3} c^{4}+2^{3} c^{3}-2^{2} c+1) \bigr)(c^{2}-3 c+1)^{-2}, \\ \begin{aligned} \, a_1 &=2^{-4} (c-1){-1} (2 c-1){-1} c^{-3} (c^{2}-3 c+1) \bigl( (c^{2}-3 c+1) X \\ &\qquad-(2 c^{3}-2 c^{2}-2 c+1) \bigr), \end{aligned} \\ a_2=2^{2} \bigl( (c^{2}-3 c+1) X+(2 c^{3}-2^{2} c^{2}+2^{2} c-1) \bigr) (c^{2}-3 c+1)^{-1}, \\ a_3 =-2^{-4} c^{-1} (c-1)^{-1} (2 c-1)^{-1} \bigl( (c^{2}-3 c+1) X-(2 c^{3}-2 \cdot 3 c^{2}+2^{2} c-1) \bigr), \\ a_4 =-2^{2} c^{-1} \bigl( (c^{2}-3 c+1) X+(2 c-1) \bigr), \\ b =-2^{-6} c^{-1} (c-1)^{-1} (c^{2}-3 c+1)^{-1}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Длина квазипериода равна $9$, коэффициент квазипериода равен $1/b$, длина периода равна $18$. Заметим, что $p_8^2-F q_8^2=2^6 c (c-1) (c^2-3 c+1)$, следовательно, $p_8+ q_8 \sqrt{F}$ является фундаментальной единицей степени $10$. Найдем значения параметра $c \in \mathbb{Q}$, при которых дискриминанты $d_j(c)$ многочленов $\theta_j(t)=\theta_j(t, c)$, определенных в (4.2), обращаются в нуль по очереди для каждого $j \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$. Ввиду слишком объемных выражений для $d_j(c)$, $j \in \{1,2,3,4,6\}$, мы вынуждены представить их в сокращенном виде:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, d_1(c) =- 2^{64} (2 c-1)^{21} (c-1)^{28} c^{52} (c^{2}-3 c+1)^{68} P_1^{(10)}(c), \\ P_1^{(10)}(c)=2^{11} \cdot 3^{3} c^{14}-17 \cdot 2^{10} \cdot 3^{3} c^{13}+\dots-2^{2} \cdot 7^{4} c^{2}-2 \cdot 3 \cdot 7^{4} c+7^{4}, \\ d_2(c) =-2^{98} (2 c-1)^{32} (c-1)^{36} c^{84} (c^{2}-3 c+1)^{110} P_2^{(10)}(c), \\ P_2^{(10)}(c)=2^{24} \cdot 3^{6} c^{30}-2^{26} \cdot 3^{6} \cdot 5 c^{29}+\dots+2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 5 \cdot 7^{7} c- 3^{3} \cdot 7^{7}, \\ d_3(c)=2^{400} \cdot 3^{8} (2 c-1)^{144} (c-1)^{162} c^{378} (c^{2}-3 c+1)^{470} P_3^{(10)}(c), \\ P_3^{(10)}(c)=(P_2^{(10)}(c))^2-2^{20} \cdot 5^{20} (2 c-1)^{8} (c-1)^{9} c^{21} (c^{2}- 3 c+1)^{5}, \\ d_4(c)=2^{418} (2 c-1)^{144} (c-1)^{162} c^{378} (c^{2}-3 c+1)^{470} P_4^{(10)}(c), \\ P_4^{(10)}(c)=(P_2^{(10)}(c))^2-2^{21} \cdot 5^{20} (2 c-1)^{8} (c-1)^{9} c^{21} (c^{2}- 3 c+1)^{5}, \\ d_6(c)=2^{400} \cdot 3^{10} (2 c-1)^{144} (c-1)^{162} c^{378} (c^{2}-3 c+1)^{470} P_6^{(10)}(c), \\ P_6^{(10)}(c)=(P_2^{(10)}(c))^2-2^{20} \cdot 3 \cdot 5^{20} (2 c-1)^{8} (c-1)^{9} c^{21} (c^{2}-3 c+1)^{5}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Многочлены $P_1^{(10)}(c)$, $P_2^{(10)}(c)$, $P_3^{(10)}(c)$, $P_4^{(10)}(c)$, $P_6^{(10)}(c)$ неприводимые. При $c=0$ находим $t=1$ или $t=-1$, причем $F=X^{2} (X+2)^{2}$ или $F=X^{2} (X-2)^{2}$ соответственно. При $c=1/2$ находим $t=1$ или $t=-1$, причем $F=X^{2} (X+2)^{2}/2^{8}$ или $F=X^{2} (X-2)^{2}/2^{8}$ соответственно. При $c=1$ находим $t=1$ или $t=-1$, причем $F=X^{2} (X+2)^{2}$ или $F=X^{2} (X-2)^{2}$ соответственно. Таким образом, у дискриминантов $d_j(c)$, $j \in \{1,2,3,4,6\}$, рациональных корней кроме $c=0$, $c=1/2$ и $c=1$ нет, при этом все соответствующие многочлены $F$ оказываются не свободными от квадратов. 4.11. Поле $\mathcal{L}$ обладает фундаментальной единицей степени $12$В случае $m=12$ параметрическое семейство многочленов $F=F(X, c) \in \mathbb{Q}[X]$ четвертой степени без кубических членов и со старшим коэффициентом $1$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F &=X^{4}+2 X^{2} (c-1)^{-6} (12 c^{8}-120 c^{7}+336 c^{6}-468 c^{5}+372 c^{4}-168 c^{3}+36 c^{2}-1) \\ &\qquad+ 32 X c (c-1)^{-4} (2c-1)(2 c^{2}-2 c+1) (3 c^{2}-3 c+1) \\ &\qquad+ (c-1)^{-12} (144 c^{16}-576 c^{15}+2112 c^{14}-9696 c^{13} \\ &\qquad\qquad+34016 c^{12}-82176 c^{11}+141936 c^{10}-181984 c^{9}+177240 c^{8}-132528 c^{7} \\ &\qquad\qquad+76096 c^{6}-33208 c^{5}+10760 c^{4}-2480 c^{3}+376 c^{2}-32 c+1), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $c \in \mathbb{Q}$ – параметр. Разложение $\sqrt{F}$ в непрерывную дробь в $\mathbb{Q}((1/X))$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \sqrt{F} &=\bigl[a_0; \overline{a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, b^{-1} a_5, b a_4, b^{-1} a_3, b a_2, b^{-1} a_1, 2b a_0,} \\ &\qquad \overline{b^{-1} a_1, b a_2, b^{-1} a_3, b a_4, b^{-1} a_5, a_5, a_4, a_3, a_2, a_1, 2a_0}\,\bigr], \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, a_0 &=\frac{1}{(c-1)^{6} } \bigl(X^{2} (c-1)^{6}+12 c^{8}-120 c^{7}+336 c^{6}-468 c^{5} \\ &\qquad+372 c^{4}- 168 c^{3}+36 c^{2}-1 \bigr), \end{aligned} \\ a_1=\frac{(c-1) ( (c-1)^{3} X-(2 \cdot 3 c^{4}-2^{3} c^{3}+2 c^{2}+2 c-1) ) }{2^{4} c (2 c-1) (2 c^{2}-2 c+1) (3 c^{2}-3 c+1)}, \\ a_2=\frac{2^{2} ( (c-1)^{3} X+(2 \cdot 3 c^{4}-2 \cdot 5 c^{3}+2^{3} c^{2}-2^{2} c+1))} {(c-1)^{3} }, \\ a_3=\frac{- ( (c-1)^{3} X-(2 c^{4}+2 c^{3}-2 \cdot 3 c^{2}+2^{2} c-1) ) }{2^{4} c (2 c-1) (3 c^{2}-3 c+1) }, \\ a_4=\frac{- 2^{2} (3 c^{2}-3 c+1) ( (c-1)^{3} X+(2 c^{4}-2^{2} c^{3}+2 \cdot 3 c^{2}-2^{2} c+1) ) }{(c-1)^{4} (2 c^{2}-2 c+1) }, \\ a_5=\frac{(c-1)^{3} ( (c-1)^{3} X-(2 c-1) (2 c^{2}-2 c+1) ) }{2^{4} c (2 c-1) (3 c^{2}- 3 c+1)^{2}}, \\ b=\frac{(c-1)^{11}}{2^{6} c (2 c-1)^{2} (3 c^{2}-3 c+1)^{3} }. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Длина квазипериода равна $11$, коэффициент квазипериода равен $1/b$, длина периода равна $22$. Заметим, что $p_{10}^2-F q_{10}^2 =-2^6 c (2c-1)^{2}(3 c^{2}-3 c+ 1)^{3}/(c-1)^{11}$, следовательно, $p_{10}+ q_{10} \sqrt{F}$ является фундаментальной единицей степени $12$. Для упрощения вычислений в многочленах $\theta_j(t)$, $j \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$, определенных в (4.2), сделаем замену $t=1+s/(c-1)^3$. Найдем значения параметра $c \in \mathbb{Q}$, при которых дискриминанты $d_j(c)$ многочленов $\widehat \theta_j(s)=\theta_j(1+s/(c-1)^3, c)$, обращаются в нуль по очереди для каждого $j \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$. Ввиду слишком объемных выражений для $d_j(c)$, $j \in \{1,2,3,4,6\}$, мы вынуждены представить их в сокращенном виде:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, d_1(c) =-2^{100} (2 c-1)^{36} c^{45} (c-1)^{117} (2 c^{2}-2 c+1)^{27} (3 c^{2}-3 c+1)^{31} P_1^{(12)}(c), \\ P_1^{(12)}(c)=2^{13} \cdot 3^{10} c^{26}-2^{13} \cdot 3^{10} \cdot 31 c^{25}+\dots-11^{6} \cdot 571 \cdot 2 \cdot 3 c+11^{8}, \\ d_2(c)=2^{142} (2 c-1)^{50} c^{55} (c-1)^{175} (2 c^{2}-2 c+1)^{40} (3 c^{2}-3 c+1)^{45} P_2^{(12)}(c), \\ P_2^{(12)}(c)=2^{24} \cdot 3^{18} c^{48}-2^{26} \cdot 3^{20} c^{47}+\dots+11^{10} \cdot 2^{3} \cdot 3^{4} c-11^{11}, \\ d_3(c)=2^{576} \cdot 3^{10} c^{242} (c-1)^{770} (2 c-1)^{220} (2 c^2-2 c+1)^{176} (3 c^2\,{-}\,3 c\,{+}\,1)^{198} P_3^{(12)}(c), \\ P_3^{(12)}(c)=(P_1^{(12)}(c))^2\,{+}\,2^{48} \cdot 3^{24} (2 c\,{-}\,1)^{10} c^{11} (c\,{-}\,1)^{35} (2 c^{2}\,{-}\,2 c\,{+}\,1)^{8} (3 c^{2}\,{-}\,3 c\,{+}\,1)^{9}, \\ d_4(c)=2^{598} c^{242} (c-1)^{770} (2 c-1)^{220} (2 c^2-2 c+1)^{176} (3 c^2-3 c+1)^{198} P_4^{(12)}(c), \\ \begin{aligned} \, P_4^{(12)}(c) &=(P_1^{(12)}(c))^2+2^{49} \cdot 3^{24} (2 c-1)^{10} c^{11} \\ &\qquad\times (c-1)^{35} (2 c^{2}-2 c+1)^{8} (3 c^{2}-3 c+1)^{9}, \end{aligned} \\ d_6(c)=2^{576} \cdot 3^{12} c^{242} (c-1)^{770} (2 c-1)^{220} (2 c^2-2 c+1)^{176} (3 c^2\,{-}\,3 c\,{+}\,1)^{198} P_6^{(12)}(c), \\ \begin{aligned} \, P_6^{(12)}(c)&=(P_1^{(12)}(c))^2+2^{48} \cdot 3^{25} (2 c-1)^{10} c^{11} \\ &\qquad\times (c-1)^{35} (2 c^{2}-2 c+1)^{8} (3 c^{2}-3 c+1)^{9}. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Многочлены $P_1^{(12)}(c)$, $P_2^{(12)}(c)$, $P_3^{(12)}(c)$, $P_4^{(12)}(c)$, $P_6^{(12)}(c)$ неприводимые. При $c=0$ находим $t=1$ или $t=-1$, причем $F=X^{2} (X+2)^{2}$ или $F=X^{2} (X-2)^{2}$ соответственно. При $c=1/2$ находим $t=1$ или $t=-1$, причем $F=X^{2} (X+2)^{2}/2^{12}$ или $F=X^{2} (X-2)^{2}/2^{12}$ соответственно. Значение $c=1$ не лежит в области определения $F(X, c)$. Таким образом, у дискриминантов $d_j(c)$, $j \in \{1,2,3,4,6\}$, рациональных корней кроме $c=0$, $c=1/2$ и $c=1$ нет, при этом все соответствующие многочлены $F$ оказываются не свободными от квадратов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PlaFed21} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|