| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Присоединенные А. Хёрингab a Université Côte d'Azur, CNRS, LJAD, France b Institut Universitaire de France
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9084 
Реферативные базы данных:
   § 1. ВведениеВ недавнем препринте Филипа и Тозатти была предложена следующая трансцендентная версия теоремы о свободе от базисных точек. Гипотеза 1.1 (см. [1; гипотеза 1.2]). Пусть $X$ – компактное кэлерово многообразие, а $\alpha$ – такой численно эффективный $(1,1)$-класс на $X$, что класс $\alpha-K_X$ является численно эффективным и большим. Тогда класс $\alpha$ полуобилен, т. е. существуют морфизм $\psi\colon X\to Z$ со связными слоями на нормальное компактное кэлерово пространство и кэлеров класс $\alpha_Z$ на $Z$ такие, что $\alpha=\psi^* \alpha_Z$. Если $\alpha$ является классом некоторого $\mathbb{Q}$-дивизора (и, следовательно, многообразие $X$ проективно), то это утверждение эквивалентно теореме о свободе от базисных точек (см. [2; теорема 3.9.1] для $\mathbb{R}$-дивизоров). Филип и Тозатти доказали свою гипотезу для поверхностей [1; теорема 1.3]. Цель настоящей работы заключается в том, чтобы прояснить ситуацию в размерности $3$. Теорема 1.2. Гипотеза 1.1 верна, если $\dim X=3$ и класс $\alpha-K_X$ кэлеров. Хотя предположение здесь чуть сильнее, чем в гипотезе, его должно хватить для потенциальных приложений к потоку Кэлера–Риччи. Так как теорема 1.2 была уже доказана Тозатти и Жангом [3; теорема 1.4] в случае, когда класс $\alpha$ численно эффективен, но не является большим, нам нужно рассмотреть только случай, когда морфизм $\psi$ бимероморфен. Точнее, мы докажем следующее. Теорема 1.3. Пусть $X$ – нормальное $\mathbb{Q}$-факториальное компактное трехмерное кэлерово многообразие с терминальными особенностями. Пусть $\omega$ – такой кэлеров класс на $X$, что класс $\alpha:= K_X+\omega$ численно эффективен и является большим. Тогда существуют бимероморфный морфизм $\psi\colon X\to Z$ на нормальное компактное кэлерово пространство с изолированными рациональными особенностями и кэлеров класс $\alpha_Z$ на $Z$ такие, что $\alpha=\psi^* \alpha_Z$. Если кривые, стягиваемые морфизмом $\psi$, порождают экстремальный луч в обобщенном конусе Мори многообразия $X$, то это утверждение представляет собой теорему о стягивании для кэлеровых трехмерных многообразий (см. замечание 3.5). В ситуации теоремы 1.3 мы стягиваем, более общо, экстремальную грань конуса Мори. Очевидной идеей было бы сведение к случаю экстремальных лучей с помощью программы минимальных моделей $X \dashrightarrow Y$, где стягиваются только $\alpha_\bullet$-тривиальные $K_\bullet$-отрицательные экстремальные лучи. Однако $Y$ в общем случае не будет искомым пространством. Действительно, если на одном из шагов программы минимальных моделей делается флип, то $Y$ может содержать $\alpha_Y$-тривиальные кривые, являющиеся $K_Y$-положительными. Так как эти кривые не стягиваются программой минимальных моделей, то нужны дальнейшие рассуждения. В данный момент мы не знаем, как доказать гипотезу 1.1 для всего лишь численно эффективных и больших классов $\alpha-K_X$. Основная трудность заключается в большей сложности геометрии исключительного множества для крепантных бирациональных стягиваний, так что стратегия, применявшаяся для $K_X$-отрицательных экстремальных лучей в [4], [5], уже не приводит к цели. Однако легко разобрать следующий частный случай. Предложение 1.4. Пусть $X$ – нормальное $\mathbb{Q}$-факториальное трехмерное компактное кэлерово многообразие с терминальными особенностями, причем $K_X \equiv 0$. Пусть $\alpha$ – численно эффективный и большой $(1,1)$-класс на $X$. Тогда можно указать бимероморфный морфизм $\psi\colon X\to Z$ на нормальное компактное кэлерово пространство с рациональными особенностями и кэлеров класс $\alpha_Z$ на $Z$ такие, что $\alpha=\psi^* \alpha_Z$. Доказательство основано на том, что теорема о разложении [5], [6] по существу сводит вопрос к случаю поверхностей, уже доказанному Филипом и Тозатти. Подобным же образом разложение Бовилля–Богомолова [7] сводит гипотезу 1.1 для многообразий с тривиальным каноническим классом к случаю гиперкэлеровых многообразий. Этот случай рассматривался в [8; с. 6]. Я благодарю Валентино Тозатти, побудившего меня к написанию этой статьи. § 2. Определения и терминологияМы пользуемся стандартной терминологией программы минимальных моделей, изложенной в [9] или [10]. Небольшие изменения для кэлерова случая указаны в [4; разд. 2, 3]. Понятия аналитической геометрии см. в [11], [12]. Пусть $X$ – нормальное компактное комплексное пространство с не более чем рациональными особенностями. Допустим, что $X$ принадлежит классу Фуджики, т. е. $X$ бимероморфно компактному кэлерову многообразию. Под $(1,1)$-классами на $X$ понимаются элементы $H^{1,1}_{\mathrm{BC}}(X)$, группы Ботта–Чженя локально $\partial \bar \partial$-точных $(1,1)$-потоков (подробнее см. [4; разд. 2]). Даже для проективных $X$ включение
$$
\begin{equation*}
{NS}(X) \otimes \mathbb{R} \subset H^{1,1}_{\mathrm{BC}}(X)
\end{equation*}
\notag
$$
в общем случае не является равенством. Но если $H^2(X, \mathcal{O}_X)=0$, то, применяя теорему Кодаиры о вложении к десингуляризации, мы видим, что $X$ проективно и все $(1,1)$-классы являются классами $\mathbb{R}$-дивизоров. Пусть $\alpha \in H^{1,1}_{\mathrm{BC}}(X)$ – некоторый $(1,1)$-класс. Неприводимая кривая $C \subset X$ называется $\alpha$-тривиальной, если $\alpha \cdot C=0$. Класс $\alpha$ называется большим, если он содержит кэлеров поток, и модифицированным кэлеровым, если существуют модификация $\mu\colon X'\to X$ и кэлерова форма $\omega$ на $X'$ такие, что $[\mu_* \omega]=\alpha$. Все модифицированные кэлеровы классы являются большими и, более того, таковым является сужение $\alpha|_S$ класса $\alpha$ на любую гиперповерхность $S \subset X$. Действительно, так как гиперповерхность $S$ не лежит в образе $\mu$-исключительного множества, то сужение потока $\mu_* \omega$ на $S$ корректно определено и является кэлеровым потоком. Следуя [13; определение 3], можно определить численную эффективность $(1,1)$-классов. Численно эффективный $(1,1)$-класс всегда алгебраически численно эффективен, т. е. для любого подмногообразия $Z \subset X$ имеем Для численно эффективного и большого класса $\alpha$ на $X$ определено нулевое множество
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Null}(\alpha)=\bigcup_{Z \cdot \alpha^{\dim Z}=0} Z,
\end{equation*}
\notag
$$
где объединение берется по всем подмногообразиям положительной размерности. Хотя нулевое множество априори является счетным объединением подмногообразий, из теоремы Коллинза и Тозатти [14] (примененной к поднятию класса $\alpha$ на десингуляризацию) вытекает, что оно имеет лишь конечное число неприводимых компонент. Более того, справедлива следующая лемма. Лемма 2.1. Пусть $X$ – нормальное компактное комплексное пространство с изолированными рациональными особенностями. Пусть $\alpha \in H^{1,1}_{\mathrm{BC}}(X)$ – такой численно эффективный и большой класс, что $Z \cdot \alpha^{\dim Z}>0$ для всех подмногообразий положительной размерности. Тогда класс $\alpha$ кэлеров, т. е. найдется кэлерова форма $\omega$ на $X$, для которой $[\omega]=\alpha$. Доказательство. Пусть $\mu\colon X'\to X$ – разрешение особенностей. Тогда нулевое множество численно эффективного и большого класса $\mu^* \alpha$ совпадает с $\mu$-исключительным множеством. Согласно теореме 1.1 работы [14], отсюда вытекает, что множество некэлеровости класса $\mu^* \alpha$ совпадает с $\mu$-исключительным множеством. Вместе с регуляризацией Демайи [15] и теоремой 3.17, (ii) работы [16] это означает существование кэлерова потока $T$ в классе $\mu^* \alpha$, сингулярного в точности вдоль исключительного множества. Тогда прямой образ $\mu_* T$ является кэлеровым потоком в классе $\alpha$, сингулярным не более чем в конечном числе особых точек пространства $X$. С помощью регуляризованного максимума получаем гладкую форму $\omega$ (подробности см. в доказательстве теоремы 1.3 работы [1]). Лемма доказана.
§ 3. Бимероморфная геометрияСледующая лемма вытекает из описания подвижного конуса в [17; теорема 1.3], а ее доказательство содержится в доказательстве предложения 7.11 работы [4]. Лемма 3.1. Пусть $F$ – проективная поверхность и $H^2(F, \mathcal{O}_F)=0$. Пусть $\alpha_F$ – такой численно эффективный $(1,1)$-класс, что Тогда $F$ покрывается $\alpha_F$-тривиальными кривыми. Нам понадобится чуть усиленный вариант предложения 7.11 работы [4]. Лемма 3.2. Пусть $Y$ – нормальное $\mathbb{Q}$-факториальное компактное трехмерное кэлерово многообразие с терминальными особенностями. Пусть $\omega_Y$ – такой модифицированный кэлеров класс на $Y$, что класс $\alpha_Y:= K_Y+\omega_Y$ является численно эффективным и большим. Пусть $S \subset Y$ – целочисленная поверхность, для которой $\alpha_Y^2 \cdot S=0$. Тогда $S$ мойшезонова и покрывается $\alpha_Y$-тривиальными кривыми. Доказательство. Обозначая через $\pi\colon S'\to S$ композицию нормализации и минимального разрешения особенностей поверхности $S$, имеем для некоторого эффективного $\mathbb{Q}$-дивизора $E$ на $S'$ (см. [4; раздел 4.1]). Так как $S$ – кэлерово пространство, то поверхность $S'$ кэлерова.
Первый случай. Прообраз $\pi^* \alpha_Y|_S$ численно тривиален. Тогда $-\pi^* K_Y|_S=\pi^* \omega_Y|_S$. Поскольку класс $\omega_Y$ модифицированный кэлеров, сужение $\omega_Y|_S$ является большим $(1,1)$-классом. Поэтому $- \pi^* K_Y|_S$ – большое линейное расслоение на $S'$ и поверхность $S'$ мойшезонова. В частности, $S'$ (и тем самым $S$) покрывается кривыми, и все они $\alpha_Y|_S$-тривиальны. Второй случай. Прообраз $\pi^* \alpha_Y|_S$ не является численно тривиальным. Тогда численно эффективный и большой класс $\alpha_Y$ задает форму пересечения на $N^1(Y)$, которая по теореме Ходжа об индексе имеет сигнатуру $(1,d)$. Поскольку $\alpha_Y^2 \cdot S=0$, отсюда вытекает, что либо $\alpha_Y \cdot S=0$, либо $\alpha_Y \cdot S^2<0$. Первый случай исключается, поскольку класс $\pi^* \alpha_Y|_S$ не является численно тривиальным. Пользуясь формулой присоединения и тем, что $K_Y=\alpha_Y-\omega_Y$, получаем
$$
\begin{equation*}
K_S \cdot \alpha_Y|_S=(K_Y+S) \cdot S \cdot \alpha_Y=\alpha_Y^2 \cdot S-\alpha_Y \cdot \omega_Y \cdot S+\alpha_Y \cdot S^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Первое слагаемое равно нулю, а остальные отрицательны. Поэтому $K_S{\kern1pt}{\cdot}{\kern1pt}\alpha_Y|_S{\kern1pt}{<}{\kern1pt}0$. В силу (1) это влечет, что
$$
\begin{equation*}
K_{S'} \cdot \pi^* \alpha_Y|_S \leqslant K_S \cdot \alpha_Y|_S<0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку класс $\pi^* \alpha_Y|_S$ численно эффективен, это означает, что класс $K_{S'}$ не псевдоэффективен. В частности, $H^2(S', \mathcal{O}_{S'})=H^0(S', K_{S'})=0$. Тогда поверхность $S'$ проективна по теореме Кодаиры о вложении и требуемое заключение вытекает из леммы 3.1. Лемма доказана. Предложение 3.3. Пусть $Y$ – нормальное компактное трехмерное кэлерово многообразие с изолированными рациональными особенностями, а $\alpha_Y$ – численно эффективный и большой $(1,1)$-класс на $Y$. Предположим, что все неприводимые компоненты множества $\operatorname{Null}(\alpha_Y)$ одномерны. Тогда существует бимероморфный морфизм $\mu_Y\colon Y\to Z$ на нормальное компактное комплексное пространство $Z$, стягивающий каждую связную компоненту множества $\operatorname{Null}(\alpha_Y)$ в точку и задающий изоморфизм Замечание 3.4. Не утверждается, что $\alpha_Y$ является прообразом какого-то $(1,1)$-класса из $Z$. Это на самом деле неверно даже для численно эффективных и больших дивизоров на проективных поверхностях. Доказательство предложения 3.3. Доказательство теоремы 7.12 работы [4] проходит без изменений. Оно начинается с проверки того, что численно эффективный несущий класс является большим и его множество некэлерововсти одномерно (что у нас сформулировано как условие предложения), а в оставшейся части доказательства используется только это свойство. Предложение доказано. Замечание 3.5. Нам потребуется техническое замечание о применении программы минимальных моделей в изучаемой ситуации. Пусть $X$ – нормальное $\mathbb{Q}$-факториальное компактное трехмерное кэлерово многообразие с терминальными особенностями. Предположим, что либо класс $K_X$ псевдоэффективен (это эквивалентно тому, что $X$ не унилинейчато), либо максимальное рационально связное слоение многобразия $X$ является почти голоморфным отображением $X \dashrightarrow B$ на компактную кэлерову поверхность. Пусть $\alpha$ – численно эффективный и большой класс на $X$, причем существует такая кривая $C \subset X$, что Тогда существует стягивание $\mu\colon X\to X'$ некоторого $K_X$-отрицательного экстремального луча $\Gamma$ такого, что $\alpha \cdot \Gamma=0$. Если $K_X$ псевдоэффективен, то это утверждение совершенно стандартно: по теореме о конусе [4; теорема1.2] имеется разложение где $K_X \cdot \eta \geqslant 0$, коэффициенты $\lambda_i$ неотрицательны, а $\Gamma_i$ – рациональные кривые, порождающие экстремальные лучи в конусе $\overline{\mathrm{NA}}(X)$. Так как $K_X \cdot C<0$, то существует по крайней мере один положительный коэффициент $\lambda_{i_0}>0$. Из численной эффективности $\alpha$ и равенства $\alpha \cdot C=0$ вытекает, что $\alpha \cdot \Gamma_{i_0} =0$. Тогда по теореме о стягивании [4; теорема 1.3] можно стянуть экстремальный луч $\mathbb{R}^+ \Gamma_{i_0}$.Если же база максимального рационально связного слоения двумерна, то теоремы о конусе и стягивании известны лишь в ослабленом виде [18]. Пусть $F$ – общий слой максимального рационально связного слоения. Тогда $\alpha \cdot F>0$ поскольку класс $\alpha$ численно эффективный и большой. Пусть $\omega_X$ – кэлеров класс на $X$. Тогда для всех $\varepsilon>0$ класс
$$
\begin{equation*}
\omega_\varepsilon := 2 \frac{\alpha+\varepsilon (\alpha \cdot F) \omega_X}{(\alpha+ \varepsilon (\alpha \cdot F) \omega_X) \cdot F}
\end{equation*}
\notag
$$
является нормированным кэлеровым классом в смысле определения 1.2 работы [18]. Далее, поскольку $\alpha \cdot C=0$, мы знаем, что следующий индекс пересечения отрицателен при $0< \varepsilon \ll 1$: Поэтому требуемое заключение выводится, как и выше, из теорем 3.13 и 3.15 работы [18]. Доказательство теоремы 1.3. Если $H^2(X, \mathcal{O}_X)=0$, то численно эффективный и большой класс $\alpha$ является классом $\mathbb{R}$-дивизоров и требуемое заключение вытекает из теоремы о свободе от базисных точек для $\mathbb{R}$-дивизоров. Поэтому будем считать, что $H^2(X, \mathcal{O}_X) \neq 0$. Тогда либо $X$ не унилинейчато, либо максимальное рационально связное слоение является почти голоморфным отображением $X \dashrightarrow B$ на компактную кэлерову поверхность (см. [18; разд. 1]). Заметим, что эти свойства инвариантны относительно программы минимальных моделей.
Шаг 1. Проведение программы минимальных моделей. Начнем с проведения $\alpha_\bullet$-тривиальной $K_\bullet$-программы минимальных моделей. Положим
$$
\begin{equation*}
X_0:= X, \qquad \omega_0 := \omega, \qquad \alpha_0 :=\alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим по индукции последовательность бимероморфных отображений. Пусть при данном $i \in \mathbb{N}$ имеется кривая $C \subset X$ такая, что $K_{X_{i-1}} \cdot C<0$ и $\alpha \cdot C=0$. По замечанию 3.5 существует стягивание $\varphi_i\colon X_{i-1}\to X_i$ некоторого $K_{X_{i-1}}$-отрицательного экстремального луча $\Gamma_{i-1}$ такого, что $\alpha_{i-1} \cdot \Gamma_{i-1}=0$. Это стягивание не слоевого типа, так как иначе $X_{i-1}$ покрывается $\alpha_{i-1}$-тривиальными кривыми вопреки условию, что класс $\alpha_{i-1}$ численно эффективный и большой. Поэтому оно бимероморфно. Обозначим через $\mu_i\colon X_{i-1}\dashrightarrow X_i$ соответствующее дивизориальное стягивание или, для малого луча, его флип. Поскольку стягивание $\alpha_{i-1}$-тривиально, прямой образ $(\mu_i)_* \alpha_{i-1} =: \alpha_i$ является численно эффективным и большим $(1,1)$-классом на $X_i$. Положим также $(\mu_i)_* \omega_{i-1} =: \omega_i$, так что $K_{X_i}+\omega_i=\alpha_i$. Класс $\omega_i$ не обязательно кэлеров. Но поскольку взятие $(\mu_i)^{-1}$ не стягивает дивизоров, он является модифицированным кэлеровым.
По теореме Мори об обрыве цепочки флипов для терминальных трехмерных многообразий [19], программа минимальных моделей закончится после конечного числа шагов. Композиция полученных $\mu_i$ является бимероморфным морфизмом где $Y$ – нормальное $\mathbb{Q}$-факториальное компактное трехмерное кэлерово многообразие с терминальными особенностями, а класс $\mu_* \alpha =: \alpha_Y$ является численно эффективным и большим, причем $\alpha_Y=K_Y+\omega_Y$ для некоторого модифицированного кэлерова класса $\omega_Y$. Так как $Y$ получается с помощью $\alpha_\bullet$-тривиальной $K_\bullet$-программы минимальных моделей, то $\alpha_Y \cdot C>0$ для любой кривой $C$ такой, что $K_Y \cdot C<0$.Покажем, что множество $\operatorname{Null}(\alpha_Y)$ не содержит никакой неприводимой поверхности $S$. Действительно, иначе мы знаем по лемме 3.2, что $S$ покрывается $\alpha_Y$-тривиальными отрицательными кривыми $(C_t)_{t \in T}$. Так как класс $\omega_Y$ модифицированный кэлеров, то сужение $\omega_Y|_S$ является большим $(1,1)$-классом. Поэтому для общей кривой $C_t$ имеем $\omega_Y \cdot C_t>0$. Отсюда получаем, что $K_Y \cdot C_t<0$ вопреки сказанному в предыдущем абзаце. Шаг 2. Построение $Z$. Как только что доказано, нулевое множество класса $\alpha_Y$ имеет чистую размерность единица. Тогда по предложению 3.3 существует бимероморфное отображение $\mu_Y\colon Y\to Z$, стягивающее связные компоненты множества $\operatorname{Null}(\alpha_Y)$ в точки. Покажем, что композиция $\psi := \mu_Y \circ \mu\colon X\dashrightarrow Z$ голоморфна. Действительно, обозначим график $\mu$ через $\Gamma_\mu \subset X \times Y$, а его проекцию на $X$ через $p\colon \Gamma_\mu\to X$. Пусть $\Gamma_\psi \subset X \times Z$ – это график $\psi$. Тогда $\psi$ является морфизмом в том и только том случае, когда проекция $\Gamma_\psi \to X$ является изоморфизмом. Поскольку $\psi$ – композиция мероморфного отображения $\mu$ и голоморфного отображения $\mu_Y$, это условие эквивалентно тому, что все $p$-слои содержатся в $\operatorname{Null}(\alpha_Y)$1. Но для трехмерной программы минимальных моделей $p$-слои являются собственными прообразами флиппируемых кривых. Так как мы проводили $\alpha_\bullet$-тривиальную программу минимальных моделей, то класс $\alpha_\bullet$ тривиален как на стягиваемых, так и на флиппируемых кривых. Поэтому все $p$-слои $\alpha_Y$-тривиальны. Итак, мы построили бимероморфный морфизм $\psi\colon X\to Z$, для которого сужение $\alpha$ на каждый слой численно тривиально, а исключительное множество совпадает с $\operatorname{Null}(\alpha)$. Так как $\alpha=K_X+\omega$ для некоторого кэлерова класса $\omega$, то этот морфизм проективен с относительно обильным линейным расслоением $-K_X$. В частности, по относительной версии теоремы Кодаиры об обращении в нуль [20] имеем $R^j \psi_* \mathcal{O}_X=0$ для всех $j \geqslant 0$. Поскольку $X$ имеет терминальные (и, следовательно, рациональные) особенности, отсюда вытекает, что $Z$ имеет рациональные особенности. Тогда по лемме 3.3 работы [4] существует $(1,1)$-класс $\alpha_Z$ на $Z$ такой, что $\alpha=\psi^* \alpha_Z$. По лемме 2.1, класс $\alpha_Z$ кэлеров. Теорема доказана. Замечание 3.6. Вообще говоря, пространство $Z$ не является $\mathbb{Q}$-факториальным, так как $\mu_Y$ – малое стягивание. Поэтому особенности $Z$ не обязательно терминальны. § 4. Случай Калаби–Яу Доказательство предложения 1.4. По теореме о разложении [6; теорема 1.2], [5; теорема 9.2] найдется конечнолистное накрытие $\mu\colon \widetilde X\to X$, этальное над неособой частью $X$ и такое, что $\widetilde X$ – либо тор, либо трехмерное многообразие Калаби–Яу (в частности, $H^2(\widetilde X, \mathcal{O}_{\widetilde X})=0$), либо произведение эллиптической кривой $E$ на $\mathrm{K3}$-поверхность $S$.
Если $\widetilde X$ – тор, то $\mu^* \alpha$ – кэлеров класс. Поэтому $\alpha$ – кэлеров класс и требуемое утверждение доказано. Если же $\widetilde X$ – многообразие Калаби–Яу, то $(1,1)$-класс $\alpha$ является классом $\mathbb{R}$-дивизоров и требуемое утверждение вытекает из теоремы о свободе от базисных точек. Осталось рассмотреть случай, когда $\widetilde X \simeq E \times S$. Положим $\widetilde \alpha := \mu^* \alpha$. Для $\mathrm{K3}$-поверхностей имеем $H^0(S, \Omega_S)=0$, откуда немедленно вытекает, что
$$
\begin{equation*}
H^{1,1}_{\mathrm{BC}}(X)=p_E^* H^{1,1}_{\mathrm{BC}}(E) \times p_S^* H^{1,1}_{\mathrm{BC}}(S),
\end{equation*}
\notag
$$
где $p_E\colon \widetilde X\to E$ и $p_S\colon \widetilde X\to S$ – это проекции на сомножители. Поэтому можно записать где $F$ означает $p_E$-слой, $\lambda \in \mathbb{R}$, а $\alpha_S$ – некоторый $(1,1)$-класс на $S$. Сужение численно эффективного и большого класса $\widetilde \alpha$ на общий $p_E$-слой является численно эффективным и большим. В частности, класс $\alpha_S$ таков. Сужение численно эффективного и большого класса $\widetilde \alpha$ на общий $p_S$-слой также является численно эффективным и большим, откуда $\lambda>0$.
Пусть $Z$ – неприводимая компонента нулевого множества класса $\widetilde \alpha$. Если $Z$ – кривая, то
$$
\begin{equation*}
0=\widetilde \alpha \cdot Z=\lambda F \cdot Z+\alpha_S \cdot (p_S)_* Z.
\end{equation*}
\notag
$$
Из сказанного выше получаем, что $F \cdot Z=0$, так что $Z$ содержится в слое $p_E^{-1}(t_0)$. Но тогда $Z$ тривиально деформируется в семействе $Z_t=(t \times Z)_{t \in E}$, причем $\alpha \cdot Z_t=0$ для всех кривых этого семейства. Поэтому $Z$ не является неприводимой компонентой нулевого множества.
Этим показано, что каждая неприводимая компонента $Z$ нулевого множества является поверхностью. Если общий слой отображения $p_S|_Z\colon Z \to S$ конечен, то прообраз $p_S|_Z^* \alpha_S$ является большим. Поэтому класс $\widetilde \alpha|_Z$ численно эффективный и большой. Но это противоречит тому, что он содержится в нулевом множестве. Следовательно, $p_S(Z)$ – неприводимая кривая, а так как поверхность неприводима, то мы видим, что $Z= E \times p_S(Z)$. Поскольку $Z$ лежит в нулевом множестве,
$$
\begin{equation*}
0=\widetilde \alpha^2 \cdot Z=\lambda^2 F^2 \cdot Z+2 \lambda F \cdot p_S^* \alpha_S \cdot Z+(p_S^* \alpha_S)^2 \cdot Z = 2 \lambda \alpha_S \cdot p_S(Z).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\lambda>0$, то мы видим, что $p_S(Z)$ содержится в нулевом множестве класса $\alpha_S$ и, следовательно, является с$(-2)$-кривой (см. доказательство теоремы 1.3 работы [1]). Мы заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Null}(\widetilde \alpha)=E \times \operatorname{Null}(\alpha_S).
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме 1.3 работы [1] существуют бимероморфное отображение $\psi_S\colon S\,{\to}\,S'$ на нормальную компактную поверхность $S'$ и кэлеров класс $\alpha_{S'}$ на $S'$ такие, что $\alpha_S=\psi_S^* \alpha_{S'}$. Положим
$$
\begin{equation*}
\widetilde \psi := \operatorname{id}_E \times \psi_S\colon \widetilde X=E \times S \to E \times S' =: \widetilde X'.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\lambda F+\alpha_{S'}$ – кэлеров класс на $\widetilde X'$ и $\widetilde \psi^* (\lambda F+\alpha_{S'})=\widetilde \alpha$. Покажем, что это отображение опускается на $X$. С точностью до замены накрытия $\mu$ на его замыкание Галуа имеем $X=\widetilde X/G$, где $G$ – группа Галуа накрытия $\mu$. Так как любой автоморфизм $f$ многообразия $E \times S$ записывается в виде $f_E \times f_S$, см. [21; с. 8], то $G$ действует на сомножителях $E$ и $S$. Из $G$-инвариантности класса $\mu^* \alpha$ вытекает, что класс $\alpha_S$ инвариантен относительно действия $G$ на $S$. Поскольку нулевое множество $\operatorname{Null}(\alpha_S)$ $G$-инвариантно, мы видим, что существует индуцированное действие $G$ на $S'$, относительно которого $\psi_S$ является $G$-эквивариантным. Так как $\widetilde \psi=\operatorname{id}_E \times \psi_S$, то существует индуцированное действие $G$ на $\widetilde X'$, относительно которого $\widetilde \psi$ является $G$-эквивариантным. Положим $Z := \widetilde X'/G$ и обозначим через $\psi\colon X=X'/G\to Z=\widetilde X'/G$ бимероморфный морфизм, индуцированный $\widetilde \psi$. Так как морфизм $\psi$ крепантный и $X$ имеет терминальные особенности, то пространство $Z$ имеет канонические (и, следовательно, рациональные) особенности. Обозначим через $\mu'\colon \widetilde X'\to Z=\widetilde X'/G$ соответствующее конечное накрытие. В силу $G$-инвариантности $\mu^* \alpha$ кэлеров класс $\lambda F+\alpha_{S'}$ является $G$-инвариантным и задает некоторый кэлеров класс $\alpha_Z$ на $Z$. По построению имеем $\alpha=\psi^* \alpha_Z$. Предложение доказано. Замечание 4.1. Если $\widetilde X \simeq E \times S$, то $X$ не обязано быть произведением. Действительно, пусть $f_E$ – инволюция без неподвижных точек (например, сдвиг на элемент $2$-кручения), а $f_S$ – инволюция с неподвижными точками. Положим $X := \widetilde X/\langle f_E \times f_S \rangle$ и обозначим через $p\colon X \to S/\langle f_S\rangle$ отображение, индуцированное проекцией $p_S$. Тогда $p$ имеет кратные слои над неподвижными точками и, следовательно, $X$ не является произведением.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Hoe21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|