| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Минимальные добавления к максимальным торам в их нормализаторах для групп А. А. Гальтab, А. М. Старолетовab a Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск b Новосибирский государственный университет
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9083 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеПусть $\overline{G}$ – простая связная линейная алгебраическая группа над алгебраическим замыканием $\overline{\mathbb{F}}_p$ простого поля положительной характеристики $p$. Пусть $\sigma$ – эндоморфизм Стейнберга и $\overline{T}$ – максимальный $\sigma$-инвариантный тор группы $\overline{G}$. Известно, что все максимальные торы сопряжены в $\overline{G}$ и факторгруппа $N_{\overline{G}}(\overline{T})/\overline{T}$ изоморфна группе Вейля $W$ группы $\overline{G}$. Возникает естественная задача: описать группы $\overline{G}$, в которых $N_{\overline{G}}(\overline{T})$ расщепляется над $\overline{T}$. Данная задача была сформулирована в работе Ж. Титса [1]. Ответ был независимо получен в работе [2] и, как следствие, в серии работ [3]–[6]. Отметим также, что данная проблема для групп Ли была решена в работе [7]. Аналогичный вопрос может быть сформулирован для конечных групп лиева типа. А именно, пусть $G$ – конечная группа лиева типа, т. е. $O^{p'}(\overline{G}_{\sigma})\leqslant G\leqslant\overline{G}_{\sigma}$. Пусть $T=\overline{T}\cap G$ – максимальный тор группы $G$ и $N(G,T)=N_{\overline{G}}(\overline{T})\cap G$ – алгебраический нормализатор в $G$ тора $T$. Тогда требуется описать группы $G$ и их максимальные торы $T$ такие, что $N(G,T)$ расщепляется над $T$. Данная проблема полностью решена для групп лиевых типов $A_n$, $B_n$, $C_n$, $D_n$, $E_6$, $E_7$ и $E_8$ в работах [4]–[6], [8], [9]. Отметим, что для некоторых лиевых типов ситуация, когда максимальный тор не имеет дополнения, возникает довольно часто. Чтобы уточнить строение алгебраического нормализатора в нерасщепляемом случае, представляется естественным нахождение добавлений минимального порядка, которые всегда существуют. Дж. Адамс и X. Хе в работе [2] рассмотрели смежный вопрос. А именно, каков порядок поднятия элемента $w\in W$ в группе $N_{\overline{G}}(\overline{T})$? Ими было замечено, что если $d$ – порядок элемента $w$, то минимальный порядок поднятия для $w$ равен либо $d$, либо $2d$. Очевидно, что если $N_{\overline{G}}(\overline{T})$ расщепляется над $\overline{T}$, то минимальный порядок равен $d$. Для групп лиева типа $F_4$ нормализатор не расщепляется, и в работе [2] найдены минимальные порядки поднятий для элементов, принадлежащих так называемым регулярным или эллиптическим классам сопряженности группы $W$. В частности, Дж. Адамс и X. Хе заметили, что существует эллиптический элемент порядка $4$ такой, что любое его поднятие имеет порядок $8$. В данной работе мы рассматриваем конечные группы $G$ лиева типа $F_4$ над конечным полем порядка $q$. Группа Вейля типа $F_4$ обозначается через $W$, фундаментальная система корней соответствующей корневой системы – через $\Delta=\{r_1,r_2,r_3,r_4\}$. Элемент $w_i=w_{r_i}$ группы $W$ соответствует отражению в гиперплоскости, ортогональной $i$-му положительному корню $r_i$. Мы полагаем, что $r_8=r_1+r_2+r_3$, $r_{16}=r_2+2r_3+2r_4$ и $r_{21}=r_1+2r_2+3r_3+2r_4$. Напомним, что существует биекция между классами сопряженности максимальных торов в группе $G$ и классами сопряженности группы $W$. В работе найдены минимальные добавления к максимальным торам в их алгебраических нормализаторах в группе $G$. Теорема 1.1. Пусть $G=F_4(q)$, $W$ – группа Вейля группы $G$ и $w_0$ – центральная инволюция в $W$. Предположим, что максимальный тор $T$ группы $G$ соответствует элементу $w$ из $W$ и $M$ – добавление к $T$ в $N(G,T)$ минимального порядка. Тогда $|M\cap T|\leqslant 8$ и справедливы следующие утверждения: (1) $|M\cap T|=1$ тогда и только тогда, когда $q$ четно или порядок элемента $w$ не делит $4$; другими словами, $T$ имеет дополнение в $N(G,T)$ только в этих случаях; (2) $|M\cap T|=2$ тогда и только тогда, когда $q$ нечетно и хотя бы один из элементов $w$ или $ww_0$ сопряжен в $W$ с одним из следующих элементов: $w_3$, $w_{16}w_3$, $w_3w_2$, $w_2w_1w_{16}$ или $w_{16}w_3w_2$; (3) $|M\cap T|=4$ тогда и только тогда, когда $q$ нечетно и $w$ сопряжен в $W$ с одним из следующих элементов: $1$, $w_0$, $w_6w_3$, $w_8w_{16}w_3w_2$, $w_2$ при $q\equiv1\pmod4$ или $w_0w_2$ при $q\equiv3\pmod4$; (4) $|M\,{\cap}\, T|=8$ тогда и только тогда, когда либо $q\equiv3\pmod4$ и $w$ сопряжен с $w_2$, либо $q\equiv1\pmod4$ и $w$ сопряжен с $w_2w_0$. В работе найдены минимальные порядки поднятий элементов группы Вейля в соответствующих алгебраических нормализаторах. Теорема 1.2. Пусть $G=F_4(q)$ и $W$ – группа Вейля группы $G$. Пусть $T$ – максимальный тор группы $G$, соответствующий элементу $w$ из $W$. Тогда $w$ имеет поднятие в $N(G,T)$ порядка $|w|$, за исключением следующих случаев: (1) $q$ нечетно и $w$ сопряжен с $w_{16}w_3w_2$ или $w_{21}w_8w_3w_2$; (2) $q\equiv3\pmod4$ и $w$ сопряжен с $w_3w_2$ или $w_2w_1w_{16}$. Результаты теорем 1.1 и 1.2 проиллюстрированы в табл. 1 и 2 соответственно. Отметим, что обе теоремы верны для групп $F_4(2)$ и $2^\cdot F_4(2)$ (в обозначениях [10]). В случае $q>2$ существует только одна конечная группа лиева типа $F_4$ над полем порядка $q$. Отметим также, что если элемент группы $N(G,T)$ является поднятием для $w$, то очевидно он также является поднятием и в группе $N_{\overline{G}}(\overline{T})$. Данная работа организована следующим образом. В § 2 мы напоминаем обозначения и базовые факты, используемые в данной работе. В § 3 доказываются вспомогательные результаты и объясняется, как используется MAGMA в доказательствах. Параграф 4 посвящен доказательству теорем 1.1 и 1.2. Наконец, в § 5 приводится дополнительная информация о максимальных торах и поднятиях в таблицах, иллюстрирующих основные результаты. § 2. Обозначения и предварительные результатыЕсли группа $G$ – произведение нормальной подгруппы $N$ и подгруппы $K$, то $K$ называется добавлением к $N$ в $G$. Если при этом $N\cap K=1$, то $K$ называется дополнением к $N$ в $G$. Через $q$ обозначается некоторая степень простого числа $p$. Мы пишем $\overline{\mathbb{F}}_p$ для алгебраического замыкания простого поля $\mathbb{F}_p$ порядка $p$. Симметрическая группа степени $n$ обозначается через $S_n$, циклическая группа порядка $n$ – через $\mathbb{Z}_n$ и диэдральная группа порядка $2n$ – через $D_{2n}$. Следуя [11], мы пишем $x^y=yxy^{-1}$ и $[x,y]=y^xy^{-1}$. Через $\overline{G}$ обозначаем простую односвязную линейную алгебраическую группу над $\overline{\mathbb{F}}_p$ с корневой системой $\Phi$ лиева типа $F_4$. Полагаем, что $\Delta=\{r_1,r_2,r_3,r_4\}$ – фундаментальная система корней в $\Phi$. Мы используем обозначения из [11], в частности, определения элементов $x_r(t)$, $n_r(\lambda)$ ($r\in\Phi$, $t\in\overline{\mathbb{F}}_p$, $\lambda\in \overline{\mathbb{F}}_p^*$). В отличие от [11], MAGMA использует определение $h_r(\lambda) = n_r(-1)n_r(\lambda)$, которого мы будем придерживаться в данной работе. Согласно [11], группа $\overline{G}$ порождается элементами $x_r(t)$: $\overline{G}=\langle x_r(t)\mid r\in\Phi,\,t\in \overline{\mathbb{F}}_p\rangle$. Группа $\overline{T}=\langle h_r(\lambda)\mid r\in\Delta,\, \lambda\in \overline{\mathbb{F}}_p^*\rangle$ является максимальным тором в $\overline{G}$ и $\overline{N}=\langle \overline{T},n_r\mid r\in\Delta\rangle$, где $n_r=n_r(1)$, является нормализатором тора $\overline{T}$ в $\overline{G}$ [11; § 7.1, 7.2]. Через $W$ обозначается группа Вейля $\overline{N}/\overline{T}$ и через $\pi$ – естественный гомоморфизм из $\overline{N}$ на $W$. В дальнейшем через $\sigma$ будет обозначаться классический автоморфизм Фробениуса группы $\overline{G}$, заданный на ее порождающих следующим образом:
$$
\begin{equation*}
x_r(t)\mapsto x_r(t^q),\qquad r\in\Phi,\quad t\in\overline{\mathbb{F}}_p^*.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, мы будем использовать равенства $n_r^\sigma=n_r$ и $(h_r(\lambda))^\sigma=h_r(\lambda^q)$. Определим действие $\sigma$ на $W$ естественным образом. Элементы $w_1, w_2\in W$ называются $\sigma$-сопряженными, если $w_1=(w^{-1})^{\sigma}w_2w$ для некоторого элемента $w$ из $W$. Для группы $G=\overline{G}_\sigma$ и элемента $g\in\overline{G}$ справедливы следующие утверждения. Предложение 2.1 (см. [12; предложения 3.3.1, 3.3.3]). Тор $\overline{T}^g$ является $\sigma$-инвариантным тогда и только тогда, когда $g^{\sigma}g^{-1}\in\overline{N}$. Отображение $\overline{T}^g\mapsto\pi(g^{\sigma}g^{-1})$ задает биекцию между $G$-классами $\sigma$-инвариантных максимальных торов группы $\overline{G}$ и классами $\sigma$-сопряженности группы $W$. Предложение 2.2 (см. [13; лемма 1.2]). Пусть $n=g^{\sigma}g^{-1}\in\overline{N}$. Тогда $(\overline{T}^g)_\sigma=(\overline{T}_{\sigma n})^g$, где $n$ действует на $\overline{T}$ сопряжением. Предложение 2.3 (см. [12; предложение 3.3.6]). Предположим, что выполнены условия $g^{\sigma}g^{-1}\in\overline{N}$ и $\pi(g^{\sigma}g^{-1})=w$. Тогда Согласно предложению 2.2, получаем, что $({\overline{T}}^g)_{\sigma}=(\overline{T}_{\sigma n})^g$ и $(N_{\overline{G}}({\overline{T}}^g))_{\sigma}=(\overline{N}^g)_{\sigma}=(\overline{N}_{\sigma n})^g$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
C_{W,\sigma}(w)\simeq (N_{\overline{G}}({\overline{T}}^g))_{\sigma}/({\overline{T}}^g)_{\sigma}=(\overline{N}_{\sigma n})^g/(\overline{T}_{\sigma n})^g\simeq\overline{N}_{\sigma n}/\overline{T}_{\sigma n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 2.4. Пусть $n$ и $w$ такие же, как в предложениях 2.2 и 2.3 соответственно. Предположим, что $n_1=g_1^{\sigma}g_1^{-1}\in\overline{N}$ и $\pi(n_1)=w$. Поскольку $n$ и $n_1$ действуют на $\overline{T}$ одинаковым образом, имеем $({\overline{T}}^{g_1})_{\sigma}=(\overline{T}_{\sigma n_1})^{g_1}=(\overline{T}_{\sigma n})^{g_1}$ и $(N_{\overline{G}}({\overline{T}}^{g_1}))_{\sigma} =(\overline{N}^{g_1})_{\sigma}=(\overline{N}_{\sigma n_1})^{g_1}$. Следовательно, Поэтому $(\overline{T}^g)_\sigma$ имеет дополнение в алгебраическом нормализаторе тогда и только тогда, когда существует дополнение к группе $\overline{T}_{\sigma n}$ в $\overline{N}_{\sigma n_1}$ при некотором $n_1\in\overline{N}$ с $\pi(n_1)=w$. Аналогично, если $w$ имеет поднятие в $\overline{N}_{\sigma n_1}$ порядка $|w|$, то $w$ имеет поднятие порядка $|w|$ и в $N(G,T)$. Для краткости мы пишем $h_r$ вместо $h_r(-1)$, а также $h_i$ и $n_i$ вместо $h_{r_i}$ и $n_{r_i}$ соответственно. Любой элемент $H$ группы $\overline{T}$ может быть однозначно записан в виде $H=h_{r_1}(\lambda_1)h_{r_2}(\lambda_2)h_{r_3}(\lambda_3)h_{r_4}(\lambda_4)$, и для краткости пишем $H=(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4)$. Будем обозначать $\mathcal{T}=\langle n_r\mid r\in\Delta\rangle$ и $\mathcal{H}=\overline{T}\cap\mathcal{T}$. Согласно [1] имеем $\mathcal{H}=\langle h_r\mid r\in\Delta\rangle$ и $\mathcal{T}/\mathcal{H}\simeq W$. Следовательно, в случае нечетного $q$ группа $\mathcal{H}$ – элементарная абелева группа порядка $2^4$. Замечание 2.5. Заметим, что в случае $p=2$ мы имеем $h_r=1$ для всех $r\in \Delta$, в частности, $\mathcal{H}=1$ и $\mathcal{T}\simeq W$. Более того, сужение $\widetilde{\pi}$ гомоморфизма $\pi$ на $\mathcal{T}$ – это изоморфизм между $\mathcal{T}$ и $W$. Пусть $T$ – максимальный тор группы $G= \overline{G}_{\sigma}$, соответствующий $w\in W$. Тогда $n=\widetilde{\pi}^{-1}(w)$ – поднятие к $w$ в $\overline{N}_{\sigma n}$ такого же порядка, и $\widetilde{\pi}^{-1}(C_W(w))$ – дополнение к $\overline{T}_{\sigma n}$ в $\overline{N}_{\sigma n}$. Поэтому теоремы 1.1, 1.2 верны в этом случае по замечанию 2.4. Аналогично [11; теорема 7.2.2], имеем
$$
\begin{equation*}
n_s n_r n_s^{-1}=n_{w_s(r)}(\eta_{s,r}),\qquad \eta_{s,r}=\pm1,\qquad n_s h_r(\lambda)n_s^{-1}=h_{w_s(r)}(\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Мы выбираем значения констант $\eta_{r,s}$ следующим образом. Пусть $r\in\Phi$ и $r=\sum_{i=1}^4\alpha_i r_i$. Сумма коэффициентов $\sum_{i=1}^4\alpha_i$ называется весом корня $r$. Зафиксируем следующий полный порядок на множестве положительных корней: положим $r\prec s$, если либо $h(r)<h(s)$, либо $h(r)=h(s)$ и первая ненулевая координата вектора $s-r$ является положительной. Напомним, что пара положительных корней $(r,s)$ называется специальной, если $r+s\in\Phi$ и $r\prec s$. Пара $(r,s)$ называется экстраспециальной, если она специальная и для любой специальной пары $(r_1, s_1)$ такой, что $r+s=r_1+s_1$, выполнено $r\preccurlyeq r_1$. Пусть $N_{r,s}$ – это структурные константы соответствующей алгебры Ли [11; разд. 4.1]. Тогда знаки $N_{r,s}$ на множестве экстраспециальных пар можно выбрать произвольным образом, после чего все остальные структурные константы определены единственным образом в силу [11; предложение 4.2.2]. В нашем случае мы выбираем $\operatorname{sgn}(N_{r,s})=+$ для всех экстраспециальных пар $(r,s)$. Числа $\eta_{r,s}$ однозначно определены по структурным константам согласно [11; предложение 6.4.3]. § 3. Предварительные сведения: вычисленияДля вычисления произведений элементов в группе $\overline{N}$ мы используем MAGMA [14]. Все вычисления могут быть выполнены также и в онлайн MAGMA-калькуляторе1. На момент написания статьи в нем используется Magma V2.25-5. Все подготовительные команды выложены в отдельном файле в сети Интернет2. Непосредственная проверка показывает, что введенный выше порядок дает такое же множество экстраспециальных пар, как и в MAGMA. Поэтому наши вычисления для $\overline{N}$ соответствуют порядку и структурным константам, определенным в § 2. Для вычислений в группе $W$ мы используем GAP [15]. Отметим, что любое используемое вычисление в данной работе с помощью MAGMA и GAP может быть проверено непосредственно. Следующие два результата будут широко использоваться при доказательстве основных результатов. Лемма 3.1 (см. [8; лемма 1]). Пусть $g\in\overline{G}$ и $n=g^\sigma g^{-1}\in\overline{N}$. Предположим, что $u\in\mathcal{T}$ и $H\in \overline{T}$. Тогда (1) $Hu\in\overline{N}_{\sigma n}$ тогда и только тогда, когда $H=H^{\sigma n}[n,u]$; (2) если $H\in \mathcal{H}$, то $Hu\in\overline{N}_{\sigma n}$ тогда и только тогда, когда $[n,Hu]=1$. Лемма 3.2. Пусть $T$, $N$ – подгруппы в некоторой группе $G$ такие, что $T$ абелева и $N\leqslant N_G(T)$. Пусть $a=H_1u_1$, $b=H_2u_2$, где $H_1, H_2\in T$ и $u_1,u_2\in N$. Тогда В частности, если $[u_1,u_2]=1$, то $ab=ba \Longleftrightarrow H_1^{-1}H_1^{u_2}=H_2^{-1}H_2^{u_1}$. Следующее утверждение является основным инструментом при вычислении степеней и коммутаторов элементов в $\overline{N}$. Лемма 3.3. Пусть $\Phi$ – система корней типа $F_4$ и $r_1$, $r_2$, $r_3$, $r_4$ – ее фундаментальные корни. Пусть $r\in\Phi$, $w_r$ – отражение и $A=(a_{ij})$ – матрица элемента $w_r$ в базисе $r_1$, $r_2$, $r_3$, $r_4$. Предположим, что $H=(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4)$ – элемент группы $\overline{T}$, и определим Тогда выполнены следующие утверждения: (1) $H^{n_r}=(\lambda_1',\lambda_2',\lambda_3',\lambda_4')$, где $\lambda_i'=\lambda_1^{b_{i1}}\cdot\lambda_2^{b_{i2}}\cdot\lambda_3^{b_{i3}}\cdot \lambda_4^{b_{i4}}$; (2) если $a,b\in\mathcal{T}$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H^a&=(\lambda_1^{c_{11}}\lambda_2^{c_{12}}\lambda_3^{c_{13}}\lambda_4^{c_{14}}, \lambda_1^{c_{21}}\lambda_2^{c_{22}}\lambda_3^{c_{23}}\lambda_4^{c_{24}}, \lambda_1^{c_{31}}\lambda_2^{c_{32}}\lambda_3^{c_{33}}\lambda_4^{c_{34}}, \lambda_1^{c_{41}}\lambda_2^{c_{42}}\lambda_3^{c_{43}}\lambda_4^{c_{44}}), \\ H^b &=(\lambda_1^{d_{11}}\lambda_2^{d_{12}}\lambda_3^{d_{13}}\lambda_4^{d_{14}}, \lambda_1^{d_{21}}\lambda_2^{d_{22}}\lambda_3^{d_{23}}\lambda_4^{d_{24}}, \lambda_1^{d_{31}}\lambda_2^{d_{32}}\lambda_3^{d_{33}}\lambda_4^{d_{34}}, \lambda_1^{d_{41}}\lambda_2^{d_{42}}\lambda_3^{d_{43}}\lambda_4^{d_{44}}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
H^{ab}=(\lambda_1^{e_{11}}\lambda_2^{e_{12}}\lambda_3^{e_{13}}\lambda_4^{e_{14}}, \lambda_1^{e_{21}}\lambda_2^{e_{22}}\lambda_3^{e_{23}}\lambda_4^{e_{24}}, \lambda_1^{e_{31}}\lambda_2^{e_{32}}\lambda_3^{e_{33}}\lambda_4^{e_{34}}, \lambda_1^{e_{41}}\lambda_2^{e_{42}}\lambda_3^{e_{43}}\lambda_4^{e_{44}}),
\end{equation*}
\notag
$$
где матрица $(e_{ij})$ является произведением матриц $(c_{ij})$ и $(d_{ij})$; (3) $(Hn)^m=(\lambda_1',\lambda_2',\lambda_3',\lambda_4')n^m$, где $m$ – целое положительное число, $\lambda_i'=\lambda_1^{c_{i1}}\cdot\lambda_2^{c_{i2}} \cdot\lambda_3^{c_{i3}}\cdot\lambda_4^{c_{i4}}$ и $c_{ij}$ – элементы матрицы $\sum_{t=0}^{m-1}B^t$. Доказательство. (1) Поскольку $h_s(\lambda)^{n_r}=h_{w_r(s)}(\lambda)$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H^{n_r} &=h_{r_1}(\lambda_1)^{n_r}h_{r_2}(\lambda_2)^{n_r}h_{r_3}(\lambda_3)^{n_r}h_{r_4}(\lambda_4)^{n_r} \\ &=h_{w_r(r_1)}(\lambda_1)^{n_r}h_{w_r(r_2)}(\lambda_2)^{n_r}h_{w_r(r_3)}(\lambda_3)^{n_r} h_{w_r(r_4)}(\lambda_4)^{n_r}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По определению $w_r(r_i)=a_{1i}r_1+a_{2i}r_2+a_{3i}r_3+a_{4i}r_4$. Если $s=w_r(r_1)$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \chi_{s,\lambda_1}(a)&=\lambda_1^{2(s,a)/(s,s)} \\ &=\lambda_1^{a_{11}2(r_1,a)/(s,s)}\lambda_1^{a_{21}2(r_2,a)/(s,s)} \lambda_1^{a_{31}2(r_3,a)/(s,s)}\lambda_1^{a_{41}2(r_4,a)/(s,s)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $(s,s)=(r_1,r_1)=(r_2,r_2)=2(r_3,r_3)=2(r_4,r_4)$, имеем
$$
\begin{equation*}
\chi_{s,\lambda_1}(a)=\chi_{r_1,\lambda_1^{a_{11}}}(a) \chi_{r_2,\lambda_1^{a_{21}}}(a)\chi_{r_3,\lambda_1^{a_{31}/2}}(a)\chi_{r_4, \lambda_1^{a_{41}/2}}(a)
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, $h_{w_r(r_1)}(\lambda_1)^{n_r}=(\lambda_1^{a_{11}},\lambda_1^{a_{21}},\lambda_1^{a_{31}/2}, \lambda_1^{a_{41}/2})$. Аналогично, получаем, что $h_{w_r(r_2)}(\lambda_2)^{n_r} =(\lambda_2^{a_{12}},\lambda_2^{a_{22}},\lambda_2^{a_{32}/2},\lambda_2^{a_{42}/2})$. В силу равенств
$$
\begin{equation*}
(w_r(r_3),w_r(r_3))=\frac{(r_1,r_1)}2=\frac{(r_2,r_2)}2=(r_3,r_3)=(r_4,r_4)
\end{equation*}
\notag
$$
имеем
$$
\begin{equation*}
\chi_{w_r(r_3),\lambda_3}(a)=\chi_{r_1,\lambda_3^{2a_{13}}}(a)\chi_{r_2,\lambda_3^{2a_{23}}}(a) \chi_{r_3,\lambda_3^{a_{33}}}(a)\chi_{r_4,\lambda_3^{a_{43}}}(a).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $h_{w_r(r_3)}(\lambda_3)^{n_r} =(\lambda_3^{2a_{13}},\lambda_3^{2a_{23}},\lambda_3^{a_{33}},\lambda_3^{a_{43}})$ и, аналогично, $h_{w_r(r_4)}(\lambda_4)^{n_r} =(\lambda_4^{2a_{14}},\lambda_4^{2a_{24}},\lambda_4^{a_{34}},\lambda_4^{a_{44}})$. Наконец, находим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H^{n_r} &=(\lambda_1^{a_{11}},\lambda_1^{a_{21}},\lambda_1^{a_{31}/2},\lambda_1^{a_{41}/2}) (\lambda_2^{a_{12}},\lambda_2^{a_{22}},\lambda_2^{a_{32}/2},\lambda_2^{a_{42}/2}) \\ &\qquad\times (\lambda_3^{2a_{13}},\lambda_3^{2a_{23}},\lambda_3^{a_{33}},\lambda_3^{a_{43}}) (\lambda_4^{2a_{14}},\lambda_4^{2a_{24}},\lambda_4^{a_{34}},\lambda_4^{a_{44}}) \\ &= (\lambda_1^{b_{11}}\lambda_2^{b_{12}}\lambda_3^{b_{13}}\lambda_4^{b_{14}}, \lambda_1^{b_{21}}\lambda_2^{b_{22}}\lambda_3^{b_{23}}\lambda_4^{b_{24}}, \lambda_1^{b_{31}}\lambda_2^{b_{32}}\lambda_3^{b_{33}}\lambda_4^{b_{34}}, \lambda_1^{b_{41}}\lambda_2^{b_{42}}\lambda_3^{b_{43}}\lambda_4^{b_{44}}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось показать. (2) Поскольку $H^{ab}=(H^{b})^a$, получаем, что
$$
\begin{equation*}
H^{ab}=(\lambda_1^{d_{11}}\lambda_2^{d_{12}}\lambda_3^{d_{13}}\lambda_4^{d_{14}}, \lambda_1^{d_{21}}\lambda_2^{d_{22}}\lambda_3^{d_{23}}\lambda_4^{d_{24}}, \lambda_1^{d_{31}}\lambda_2^{d_{32}}\lambda_3^{d_{33}}\lambda_4^{d_{34}}, \lambda_1^{d_{41}}\lambda_2^{d_{42}}\lambda_3^{d_{43}}\lambda_4^{d_{44}})^a.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно пункту (1), если $\lambda_1'$ – первая координата $H^{ab}$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda_1'&=(\lambda_1^{d_{11}}\lambda_2^{d_{12}}\lambda_3^{d_{13}}\lambda_4^{d_{14}})^{c_{11}} \cdot(\lambda_1^{d_{21}}\lambda_2^{d_{22}}\lambda_3^{d_{23}}\lambda_4^{d_{24}})^{c_{12}} \\ &\qquad\times(\lambda_1^{d_{31}}\lambda_2^{d_{32}}\lambda_3^{d_{33}}\lambda_4^{d_{34}})^{c_{13}} \cdot(\lambda_1^{d_{41}}\lambda_2^{d_{42}}\lambda_3^{d_{43}}\lambda_4^{d_{44}})^{c_{14}} \\ &=\lambda_1^{d_{11}c_{11}+d_{21}c_{12}+d_{31}c_{13}+d_{41}c_{14}} \lambda_2^{d_{21}c_{12}+d_{22}c_{22}+d_{32}c_{13}+d_{42}c_{14}} \\ &\qquad\times \lambda_3^{d_{13}c_{11}+d_{23}c_{12}+d_{33}c_{13}+d_{43}c_{14}} \lambda_4^{d_{14}c_{11}+d_{24}c_{12}+d_{34}c_{13}+d_{44}c_{14}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, если $(e_{ij})$ – матрица, являющаяся произведением матриц $(c_{ij})$ и $(d_{ij})$, то $\lambda_1'=\lambda_1^{e_{11}}\lambda_2^{e_{12}},\lambda_3^{e_{13}}\lambda_4^{e_{14}}$. Выражения для других координат элемента $H^{ab}$ получаются аналогичным образом. (3) Заметим, что $(Hn)^m=H^{n^0}H^{n^1}H^{n^2}\cdots H^{n^{m-1}}n^m$. Из пункта (2) следует, что
$$
\begin{equation*}
H^{n^i}=\bigl(\lambda_1^{b^i_{11}}\lambda_2^{b^i_{12}}\lambda_3^{b^i_{13}}\lambda_4^{b^i_{14}}, \lambda_1^{b^i_{21}}\lambda_2^{b^i_{22}}\lambda_3^{b^i_{23}}\lambda_4^{b^i_{24}}, \lambda_1^{b^i_{31}}\lambda_2^{b^i_{32}}\lambda_3^{b^i_{33}}\lambda_4^{b^i_{34}}, \lambda_1^{b^i_{41}}\lambda_2^{b^i_{42}}\lambda_3^{b^i_{43}}\lambda_4^{b^i_{44}}\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $b^i_{jk}$ – элементы матрицы $B^i$. Перемножая выражения для $H^{n^i}$ для всех $i\in\{0,1,\dots,m-1\}$, получаем требуемое равенство для $(Hn)^m$. Лемма доказана. Поскольку мы часто используем лемму 3.3 при доказательстве основных результатов, проиллюстрируем ее применение на следующем примере. Пример 3.4. Рассмотрим элементы $w=w_3w_2$ и $n=n_3n_2$. Несложно понять, что матрицы $A$ и $B$ для $w$ имеют следующий вид: В качестве приложения леммы 3.3 мы докажем вспомогательный результат, который часто используется нами при доказательстве отсутствия дополнений. Он основывается на том факте, что элемент $w=w_{21}w_8w_3w_2$ не имеет поднятий в $\overline{N}$ порядка $|w|$. Лемма 3.5. Пусть $w=w_{21}w_8w_3w_2$ и $n=n_{21}n_8n_3n_2$. Рассмотрим произвольный элемент $H\in\overline{T}$. Тогда выполнены следующие утверждения: (1) $(Hn)^4=n^4=h_3$; (2) если $u\in\overline{N}$, то $(Hn^u)^4=h_3^u$. Доказательство. В силу леммы 3.3, (1) получаем, что
$$
\begin{equation*}
H^n=(\lambda_1^{-1},\lambda_1^{-1}\lambda_2^{-1}\lambda_3^2\lambda_4^{-2}, \lambda_2^{-1}\lambda_3\lambda_4^{-1}, \lambda_4^{-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из леммы 3.3, (3) следует, что $(Hn)^4=n^4$. Используя MAGMA, находим, что $n^4=h_3$. Если $u\in\overline{N}$, то $(Hn^u)^4=((H^{u^{-1}}n)^u)^4=((H^{u^{-1}}n)^4)^u=h_3^u$. § 4. Доказательство теорем 1.1 и 1.2В этом параграфе мы докажем теоремы 1.1 и 1.2. Поскольку случай $p=2$ был рассмотрен в замечании 2.5, то далее мы считаем, что $q$ нечетно. Мы предполагаем, что $G$ – конечная группа лиева типа $F_4$ над полем из $q$ элементов. Диаграмма Дынкина типа $F_4$ имеет следующий вид: Известно [16; гл. VI, § 4.9], что в этом случае группа Вейля $W$ разрешима, имеет порядок $1152=2^73^2$ и содержит центральную инволюцию $w_0$. Всего в группе $W$ имеется 25 классов сопряженности [17]. Среди их представителей имеется семь элементов $w$ таких, что $w$ и $ww_0$ сопряжены в $W$. Остальные 18 классов могут быть разбиты на пары $w^W$ и $(ww_0)^W$ для подходящих элементов $w$. Мы выбираем представителей сопряженных классов согласно [18]. В частности, имеем $w_0=w_{21}w_8w_6w_3$. Будем также использовать другое представление $w_0=w_1w_3w_{14}w_{2}$. Согласно предложению 2.1 в группе $G$ имеется 25 классов сопряженности максимальных торов. Нумеруем их в порядке, указанном в табл. 1. При доказательстве теоремы 1.1 мы рассматриваем каждый класс сопряженности максимальных торов по отдельности. В качестве элемента группы $W$, соответствующего классу сопряженности некоторого максимального тора, мы используем $w$ согласно табл. 1. Для каждого $w$ выбираем элемент $n$ такой, что $\pi(n)=w$ и находим минимальный порядок добавления к группе $\overline{T}_{\sigma n}$ в $\overline{N}_{\sigma n}$. Если дополнения к $\overline{T}_{\sigma n}$ не существует, то мы находим минимальный порядок поднятия элемента $w$ в $\overline{N}_{\sigma n}$ и выписываем само поднятие минимального порядка. Все вычисления, используемые для доказательств, выложены в отдельном файле в сети Интернет (см. сноску 2). Далее, через $H=(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4)$ обозначаем произвольный элемент тора $\overline{T}$. Торы $1$ и $17$. В этом случае $w=1$ или $w=w_0$ соответственно. Предположим, что $n=1$ и $M$ – добавление к $T=\overline{T}_{\sigma n}$ в $\overline{N}_{\sigma n}$. Поскольку $w_{21}w_8w_3w_2\in C_W(w)$, лемма 3.5 влечет, что $h_3\in M\cap T$. Обозначим через $x$ прообраз элемента $w_4$ в $M$. Тогда находим, что $h_3^{x}=h_3^{n_4}=h_3h_4$. Поскольку $M\cap T$ – нормальная подгруппа в $M$, имеем $\langle h_3, h_4\rangle\leqslant M\cap T$. Теперь покажем, что существует добавление $M$ такое, что $M\cap T=\langle h_3, h_4\rangle$. Известно [11; теорема 2.4.1], что
$$
\begin{equation*}
C_W(w)\simeq W(F_4)\simeq\langle a,b,c,d\mid a^2, b^2, c^2, d^2, (ab)^3, [a,c], [a,d], (bc)^4, [b,d], (cd)^3\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, отражения $w_1$, $w_2$, $w_3$ и $w_4$ порождают группу $C_W(w)$ и удовлетворяют этому множеству определяющих соотношений. Пусть
$$
\begin{equation*}
a=h_2n_1,\qquad b=h_1n_2,\qquad c=h_4n_3,\qquad d=h_3n_4.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы утверждаем, что группа $M=\langle a, b, c, d \rangle $ является добавлением порядка $4\cdot|C_W(w)|$ к $\overline{T}_{\sigma n}$. Действительно, используя MAGMA, видим, что $a^2=b^2=c^2=d^2=(ab)^3=[a,d]=[b,d]=(cd)^3=1$ и $[a,c]=(bc)^4=h_3$. Более того, группа $M$ нормализует группу $L=\langle h_3, h_4 \rangle$. Поэтому $L$ – нормальная подгруппа в $M$ и факторгруппа $M/L$ – гомоморфный образ группы $C_W(w)$. Следовательно, с одной стороны, имеем $|M|\leqslant 4\cdot|C_W(w)|$. С другой стороны, мы знаем, что $M/(M\cap T)\simeq C_W(w)$, и поэтому $|M|= |M\cap T|\cdot|C_W(w)|\geqslant 4\cdot|C_W(w)|$. Значит, $|M|=4\cdot|C_W(w)|$ и $M\cap T=\langle h_3, h_4 \rangle$, как и утверждалось ранее. Заметим, что единичный элемент группы $\overline{N}_{\sigma n}$ – требуемое поднятие для $w=1$ и $n_0$ – поднятие порядка 2 для $w_0$. Торы $2$ и $9$. В этом случае $w=w_2$ или $w=w_2w_0$ соответственно. Используя GAP, видим, что
$$
\begin{equation*}
C_W(w)=\langle w_2 \rangle\times\langle w_0 \rangle \times \langle w_4, w_8, w_{13} \rangle\simeq\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times S_4.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $w=w_2$, то положим $n=n_2$ и $\varepsilon=1$, и если $w=w_0w_2$, то положим $n=n_0n_2$ и $\varepsilon=-1$. Обозначим $T=\overline{T}_{\sigma{n}}$. По лемме 3.3 находим, что
$$
\begin{equation*}
H^{n}=(\lambda_1^\varepsilon, \lambda_1^\varepsilon\lambda_2^{-\varepsilon}\lambda_3^{2\varepsilon}, \lambda_3^\varepsilon, \lambda_4^\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что $M$ – добавление к $T$ такое, что число $|T\cap M|$ минимально. Вычисления в GAP показывают, что $(w_{21}w_8w_3w_2)^{w_7}\in C_W(w)$. Тогда лемма 3.5 влечет, что элемент $h_4=h_3^{n_7}$ принадлежит группе $M\cap T$. Обозначим произвольный прообраз элемента $w_{8}$ в $M$ через $a$. Поскольку $M\cap T$ нормальна в $M$, находим, что $h_4^{a}=h_4^{n_{8}}=h_3h_4\in T\cap M$. Следовательно, имеем $L=\langle h_3, h_4 \rangle\leqslant T\cap M$. Предположим, что $\varepsilon{q}\equiv 1\pmod4$ и существует добавление $M$ к группе $T$ такое, что $M\cap T=L$. Используя MAGMA, видим, что $[n,n_4]=[n,n_8]=[n,n_{13}]= 1$, и поэтому элементы $n_4$, $n_8$, $n_{13}$ принадлежат группе $\overline{N}_{\sigma n}$ по лемме 3.1. Тогда найдутся элементы $H_0=(\mu_i)$, $H_1=(\alpha_i)$, $H_2=(\beta_i)$ и $H_3=(\gamma_i)$ в $T$ такие, что элементы $H_0n_0$, $H_1n_2$, $H_2n_4$ и $H_3n_{13}$ принадлежат $M$. Поскольку $M/L\simeq C_W(w)$ и $w_2^2=1$, имеем $a^2\in L$. По лемме 3.3 находим, что
$$
\begin{equation*}
(Hn_2)^2=(\lambda_1^2,-\lambda_1\lambda_3^2,\lambda_3^2, \lambda_4^2).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\alpha_1^2=1$ и $\alpha_1\alpha_3^2=-1$. Поскольку $H_1\in T$, заключаем, что $\alpha_1^{\varepsilon{q}-1}=\alpha_3^{\varepsilon{q}-1}=\alpha_4^{\varepsilon{q}-1}=1$ и $\alpha_1^{\varepsilon{q}}\alpha_2^{-\varepsilon{q}}\alpha_3^{2\varepsilon{q}}=\alpha_2$. Значит, $\alpha_2^{\varepsilon{q}+1}=\alpha_1\alpha_3^2=-1$. Аналогично, для элементов $H_0$, $H_2$ и $H_3$ находим, что $\mu_2^{\varepsilon{q}+1}\,{=}\,\mu_1\mu_3^2$ и $\mu_3^{\varepsilon q-1}=\mu_4^{\varepsilon q-1}=\beta_4^{\varepsilon q-1}=\gamma_4^{\varepsilon q-1}=1$. Поскольку $w_0$ лежит в центре $Z(C_W(w))$ и $[n_0,n_2]=[n_0,n_4]=[n_0,n_{13}]=1$, лемма 3.2 влечет, что $H_0^{-1}H_0^{n_2}=H_1^{-2}k_1$, $H_0^{-1}H_0^{n_4}=H_2^{-2}k_2$ и $H_0^{-1}H_0^{n_{13}}=H_3^{-2}k_3$, где $k_1,k_2,k_3\in L$. По лемме 3.3 имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, H^{-1}H^{n_2} =(1,\lambda_1\lambda_2^{-2}\lambda_3^2,1,1),\qquad H^{-1}H^{n_4} =(1,1,1,\lambda_3\lambda_4^{-2}), \\ H^{-1}H^{n_{13}} =(1,\lambda_1^2\lambda_3^{-2},\lambda_1^2\lambda_3^{-2},\lambda_1\lambda_3^{-1}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, получаем, что $\mu_1\mu_2^{-2}\mu_3^2=\alpha_2^{-2}$, $\mu_3\mu_4^{-2}=\pm\beta_4^{-2}$ и $\mu_1\mu_3^{-1}=\pm\gamma_4^{-2}$. Тогда $(\alpha_2^{-2})^{(\varepsilon{q}+1)/2}\,{=}\,\alpha_2^{-(\varepsilon{q}+1)}{=}\,{-}1$, и поэтому $\mu_1^{(\varepsilon{q}+1)/2}\mu_2^{-(\varepsilon{q}+1)}\mu_3^{\varepsilon{q}+1}{=}\,{-}1$. Поскольку $\mu_2^{\varepsilon{q}+1}=\mu_1\mu_3^2$, имеем, что $\mu_1^{(\varepsilon{q}-1)/2}=-\mu_3^{-(\varepsilon{q}-1)}=-1$. По предположению, число $(\varepsilon{q}-1)/2$ четно. Тогда $(\mu_3\mu_4^{-2})^{(\varepsilon{q}-1)/2}=(\pm\beta_4^{-2})^{(\varepsilon{q}-1)/2}=\beta_4^{-(\varepsilon{q}-1)}=1$, поэтому $\mu_3^{(\varepsilon{q}-1)/2}=\mu_4^{\varepsilon{q}-1}=1$. Наконец, видим $(\mu_1\mu_3^{-1})^{(\varepsilon{q}-1)/2}=(\pm\gamma_4^{-2})^{(\varepsilon{q}-1)/2}=\gamma_4^{\varepsilon{q}-1}=1$; противоречие с равенствами $\mu_1^{(\varepsilon{q}-1)/2}=-1=-\mu_3^{(\varepsilon{q}-1)/2}$. Предположим теперь, что $\varepsilon{q}\equiv-1\pmod4$. Покажем, что существует добавление $M$ такое, что $T\cap M=\langle h_3, h_4\rangle$. Рассмотрим элемент $\zeta$ в $\overline{\mathbb{F}}_p$ такой, что $\zeta^{\varepsilon{q}+1}=-1$. Положим
$$
\begin{equation*}
H_0=(-1,\zeta^{(\varepsilon{q}+3)/2},1,1),\qquad H_1=(-1,\zeta,1,1).
\end{equation*}
\notag
$$
Мы утверждаем, что $M=\langle H_1n_2, H_0n_0, n_4,n_8, n_{13} \rangle$ – требуемое добавление. Используя MAGMA, видим, что $[n,n_2]=[n,n_0]=[n,n_4]=[n,n_8]=[n,n_{13}]=1$ и, следовательно, $n_2$, $n_0$, $n_4$, $n_8$ и $n_{13}$ – элементы группы $\overline{N}_{\sigma n}$. Проверим, что $H_0$ и $H_1$ принадлежат группе $T$. Из равенства выше для $H^n$ получаем $H_0^n\,{=}\,(-1,-\zeta^{-\varepsilon(\varepsilon{q}+3)/2},1,1)$ и $H_1^n\,{=}\,(-1,-\zeta^{-\varepsilon},1,1)$. Поскольку $\varepsilon{q}+3\equiv2\pmod4$, заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (-\zeta^{-\varepsilon(\varepsilon{q}+3)/2})^q &=-\zeta^{(1-\varepsilon{q}-1)(\varepsilon{q}+3)/2} =-\zeta^{(\varepsilon{q}+3)/2}\zeta^{-(1+\varepsilon{q})(\varepsilon{q}+3)/2} \\ &=-\zeta^{(\varepsilon{q}+3)/2}(-1)^{(\varepsilon{q}+3)/2}=\zeta^{(\varepsilon{q}+3)/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
H_0^{\sigma n}=H_0,\qquad H_1^{\sigma n}=(-1,-\zeta^{-\varepsilon{q}},1,1)=\bigl(-1,(-\zeta^{-1-\varepsilon{q}})\zeta,1,1\bigr)=H_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя MAGMA, видим, что $h_3^{n_2}=h_3^{n_0}=h_3^{n_8}=h_3$, $h_3^{n_4}=h_3^{n_{13}}=h_4^{n_8}=h_3h_4$ и $h_4^{n_2}=h_4^{n_0}=h_4^{n_4}=h_4^{n_{13}}=h_4$. Отсюда следует, что $L$ – нормальная подгруппа в $M$. Вычисления в MAGMA показывают, что $n_4^2=n_{13}^2=(n_4n_{13})^2=h_4$, $n_8^2=h_3$ и $(n_4n_8)^3=(n_8n_{13})^3=1$. Это влечет, что $L$ является подгруппой в группе $\langle n_4,n_8, n_{13}\rangle$ и $\langle n_4,n_8, n_{13}\rangle/L\simeq S_4$. Теперь проверим, что $\langle H_1n_2, H_0n_0 \rangle\simeq\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$. Мы знаем, что $(Hn_0)^2=1$ для любого элемента $H\in\overline{T}$. Поскольку $H^{n_2}=(\lambda_1,\lambda_1\lambda_2^{-1}\lambda_3^{2}, \lambda_3,\lambda_4)$, находим, что $(H_1n_2)^2=H_1H_1^{n_2}h_2=1$. Из леммы 3.2 вытекает, что $[H_1n_2,H_0n_0]=1$ тогда и только тогда, когда $H_1^{-1}H_1^{n_0}=H_0^{-1}H_0^{n_2}$. Заметим, что $H_1^{-1}H_1^{n_0}=(1,\zeta^{-2},1,1)$. Используя равенство выше для $H^{n_2}$, находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_0^{-1}H_0^{n_2} &=(-1,\zeta^{-(\varepsilon{q}+3)/2},1,1) (-1,-\zeta^{-(\varepsilon{q}+3)/2},1,1) \\ &=(1,-\zeta^{-(\varepsilon{q}+3)},1,1)=(1,\zeta^{-2},1,1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $[H_1n_2,H_0n_0]=1$, и поэтому $\langle H_1n_2, H_0n_0 \rangle\simeq\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$. Осталось доказать, что коммутаторы элементов $H_1n_2$ и $H_0n_0$ с элементами $n_4$, $n_8$, $n_{13}$ лежат в группе $L$. Во-первых, видим, что $n_2$ и $n_0$ коммутируют с $n_4$, $n_8$, $n_{13}$. По лемме 3.2 достаточно проверить, что $H_1^{-1}H_1^{n_4}$, $H_0^{-1}H_0^{n_4}$, $H_1^{-1}H_1^{n_8}$, $H_0^{-1}H_0^{n_8}$, $H_1^{-1}H_1^{n_{13}}$ и $H_0^{-1}H_0^{n_{13}}$ – элементы группы $L$. По лемме 3.3
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, H^{-1}H^{n_4}=(1, 1, 1, \lambda_3\lambda_4^{-2}),\qquad H^{-1}H^{n_8}=(\lambda_1^{-2}\lambda_4^2, \lambda_1^{-2}\lambda_4^2, \lambda_1^{-1}\lambda_4, 1), \\ H^{-1}H^{n_{13}}=(1, \lambda_1^2\lambda_3^{-2}, \lambda_1^2\lambda_3^{-2}, \lambda_1\lambda_3^{-1}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя эти равенства к $H_0$ и $H_1$, очевидно, получаем элементы группы $L$. Следовательно, с одной стороны, заключаем, что $M/L$ – гомоморфный образ группы $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times S_4\simeq C_W(w)$. С другой стороны, мы знаем, что $M/(T\cap M)\simeq C_W(w)$ и поэтому $L=M\cap T$. Значит, в этом случае $M$ – добавление к группе $T$ минимального порядка. Теперь докажем, что для любого числа $q$ группа $M=\langle n_0,n_2,n_4,n_8,n_{13}\rangle$ – добавление к $T$ в $\overline{N}_{\sigma n}$ такое, что $T\cap M=\langle h_2,h_3,h_4\rangle$. Мы уже показали выше, что $M$ – подгруппа в $\overline{N}_{\sigma n}$ и $\langle n_4,n_8, n_{13}\rangle/\langle h_3,h_4\rangle\simeq S_4$. Более того, элементы $n_2$ и $n_0$ лежат в центре группы $M$. Значит, группа $\langle h_2\rangle$ нормальна в $M$. Обозначим $L=\langle h_2, h_3, h_4 \rangle$. Тогда $L$ – нормальная подгруппа в $M$ и верно, что $M/L\simeq \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times S_4\simeq C_W(w)$. Следовательно, заключаем, что $M$ – добавление к $T$ в $N$. Мы показали выше, что любое добавление к группе $T$ содержит подгруппу $\langle h_3, h_4 \rangle$, и если $\varepsilon{q}\equiv1\pmod4$, то любое добавление имеет порядок не меньше, чем $8\cdot|C_W(w)|$. Значит, если $\varepsilon{q}\equiv1\pmod4$, то $M$ – добавление к $T$ минимального порядка. Мы знаем, что $w_2$ и $w_2w_0$ – элементы порядка 2. Легко видеть, что элементы $h_1n_2$ и $h_1n_2n_0$ – требуемые поднятия к ним порядка 2. Торы $3$ и $10$. В этом случае $w=w_3$ или $w=w_0w_3$. Вычисления в GAP показывают, что группа $C_W(w)$ изоморфна $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times S_4$ и имеет следующее копредставление:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C_W(w) &\simeq\langle a,b,c,d,e\mid a^2, b^2, c^2, d^2, e^2, [a,b], [a,c], [a,d], [a,e], [b,c], [b,d], [b,e], \\ &\qquad (cd)^3, (de)^3, (ce)^2 \rangle. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, элементы $w_3$, $w_{14}w_{21}w_1$, $w_1$, $w_{16}$ и $w_{14}$ порождают $C_W(w)$ и удовлетворяют этому множеству соотношений. Пусть $n=n_3$. Предположим, что $M$ – добавление к группе $T=\overline{T}_{\sigma n}$ в $\overline{N}_{\sigma n}$. Используя GAP, видим, что $(w_{21}w_8w_3w_2)^{w_5}\in C_W(w)$. Из леммы 3.5 вытекает, что $h_3=h_3^{n_5}\in M\cap T$. Поэтому заключаем, что $|M|\geqslant 2\cdot|C_W(w)|$. Теперь покажем, что существует добавление $M$ такое, что $M\cap T=\langle h_3 \rangle$. Пусть
$$
\begin{equation*}
a=n_3,\qquad b=h_4n_{14}n_{21}n_1,\qquad c=h_2h_4n_1,\qquad d=h_1n_{16},\qquad e=h_2h_4n_{14}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы утверждаем, что группа $M=\langle a, b, c, d, e \rangle$ – требуемое добавление. Используя MAGMA, видим, что $L=\langle h_3 \rangle$ – нормальная подгруппа в $M$. Более того, вычисления показывают, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, [a,b]=[a,c]=[a,d]=[a,e]=[b,c]=[b,d]=[b,e]=c^2=d^2=e^2=(de)^3=1, \\ a^2=b^2=(cd)^3=(ce)^2=h_3. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 3.1 элементы $a$, $b$, $c$, $d$ и $e$ принадлежат группе $\overline{N}_{\sigma n}$. Тогда факторгруппа $M/L$ является гомоморфным образом группы $C_W(w)$, и поэтому $|M|\leqslant 2\cdot |C_W(w)|$. Однако мы знаем, что $|M|\geqslant 2\cdot|C_W(w)|$. Значит, $|M|=2\cdot|C_W(w)|$ и $M\cap T=L$, как и утверждалось выше. Заметим, что элементы $w_3$ и $w_0w_3$ имеют порядок 2. Тогда элементы $h_2n_3$ и $h_2n_0n_3$ – поднятия к ним порядка 2. Тор $4$. В этом случае $w=w_6w_3$ и элемент $w$ сопряжен с $ww_0$ в $W$. Вычисления в GAP показывают, что
$$
\begin{equation*}
C_W(w)=\langle w_2, w_3\rangle\times\langle w_{21},w_{24} \rangle\simeq D_8\times D_8.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $n=n_6n_3$ и $M$ – добавление к $T=\overline{T}_{\sigma n}$ в $\overline{N}_{\sigma n}$. Вычисления в GAP показывают, что $w_{21}w_8w_3w_2\in C_W(w)$. Лемма 3.5 влечет, что $h_3\in L=M\cap T$ и, следовательно, $|L|\geqslant2$. Используя MAGMA, видим, что $[n,n_2]=[n,h_1n_3]=[n,n_{24}]=1$, поэтому элементы $n_2$, $h_1n_3$ и $n_{24}$ принадлежат $\overline{N}_{\sigma n}$. Теперь докажем, что $|L|>2$. Предположим противное, что $L=\langle h_3 \rangle$. Рассмотрим $a=H_1n_2$ и $b=H_2n_{24}$ – прообразы элементов $w_2$ и $w_{24}$ в $M$, где $H_1=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$ и $H_2=(\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4)$ соответственно. Поскольку $w_2^2=1$, имеем $a^2\in L$. Применяя лемму 3.3 к элементу $a^2$, находим, что $(\alpha_1^2,-\alpha_1\alpha_3^2,\alpha_3^2,\alpha_4^2)\in L$. Значит, $\alpha_1^2=\alpha_4^2=1$ и $\alpha_3^2=-\alpha_1$. По лемме 3.3 получаем, что $H_2^{-1}H_2^{n_2}\,{=}\,H_1^{-1}H_1^{n_{24}}t$, где $t\in L$. Тогда имеем $(1,\beta_1\beta_2^{-2}\beta_3^2,1,1)=(\alpha_1^{-2},\alpha_1^{-3},\alpha_1^{-2}, \alpha_1^{-1})t$. Следовательно, $\alpha_1=1$ и $-\alpha_3^2=\beta_1\beta_2^{-2}\beta_3^2=1$. Поскольку $w_{24}^2=1$, имеем $b^2\in L$. Из равенства $n_{24}^2=h_2h_4$ и леммы 3.3 следует, что $b^2=(1, -\beta_1^{-3}\beta_2^2, \beta_1^{-2}\beta_3^2, -\beta_1^{-1}\beta_4^2)$, и поэтому $\beta_1^3=-\beta_2^2$, $\beta_1=-\beta_4^2$. Мы знаем, что $\beta_1\beta_2^{-2}\beta_3^2=1$, следовательно, $\beta_3^2=\beta_1^{-1}\beta_2^2=-\beta_1^2$. Поскольку $H_1$ и $H_2$ принадлежат тору $T$, имеем $H_1^{\sigma n}=H_1$ и $H_2^{\sigma n}=H_2$. По лемме 3.3
$$
\begin{equation*}
H^n=(\lambda_1, \lambda_1^2\lambda_2^{-1}\lambda_4^2, \lambda_1\lambda_3^{-1}\lambda_4^2,\lambda_4).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда находим, что $H_1=H_1^{\sigma n}=(\alpha_1^q, \alpha_1^{2q}\alpha_2^{-q}\alpha_4^{2q}, \alpha_1^q\alpha_3^{-q}\alpha_4^{2q},\alpha_4^q)$. Тогда $\alpha_1^{q-1}=\alpha_4^{q-1}=1$ и $\alpha_3=\alpha_1\alpha_3^{-q}\alpha_4^{2}$. Значит, с одной стороны, $\alpha_3^{q+1}=\alpha_1\alpha_4^2=1$. С другой стороны, $\alpha_3^{q+1}=(\alpha_3^2)^{(q+1)/2}=(-1)^{(q+1)/2}$, откуда получаем, что число $q+1$ делится на 4. Поскольку $H_2=H_2^{\sigma n}=(\beta_1^q, \beta_1^{2q}\beta_2^{-q}\beta_4^{2q}, \beta_1^q\beta_3^{-q}\beta_4^{2q},\beta_4^q)$, заключаем, что $\beta_1^{q-1}=\beta_4^{q-1}=1$ и $\beta_3=\beta_1^q\beta_3^{-q}\beta_4^{2q}$. Тогда $\beta_3^{q+1}=\beta_1\beta_4^2=-\beta_1^2=\beta_3^2$. Следовательно, $\beta_3^{q-1}=1$. Поскольку $\beta_1^2=-\beta_3^2$, имеем $\beta_1^{q-1}=(-1)^{(q-1)/2}\beta_3^{q-1}=(-1)^{(q-1)/2}=-1$; противоречие. Значит, $|L|>2$, и поэтому $|L|\geqslant4$. Напомним, что $w$ и $w_0$ сопряжены в $W$. Обозначим $n=n_6n_3$, если $q+1$ делится на 4 и $n=n_0n_6n_3$, если $q-1$ делится на 4. Пусть $T=\overline{T}_{\sigma n}$. Предположим, что $\alpha$ – элемент поля $\overline{\mathbb{F}}_p$ такой, что $\alpha^2=-1$ и рассмотрим элемент $H_1=(1,1,\alpha,1)$. Мы утверждаем, что $M=\langle H_1n_2, h_1n_3, n_{21}, n_{24} \rangle$ – добавление к $T$ в $\overline{N}_{\sigma n}$ порядка $4\cdot|C_W(w)|$. Во-первых, заметим, что $n_{24}^2=h_2h_4$ и $(h_1n_3)^2=h_3$. Следовательно, $L=\langle h_3, h_2h_4 \rangle\leqslant M\cap T$. Используя MAGMA, видим, что $h_3^{n_2}=h_3^{n_3}=h_3^{n_{24}}=h_3^{n_{21}}=h_3$, $(h_2h_4)^{n_2}=(h_2h_4)^{n_3}=(h_2h_4)^{n_{24}}=h_2h_4$ и $(h_2h_4)^{n_{21}}=h_2h_3h_4$. Следовательно, $L$ – нормальная подгруппа в $M$. Теперь докажем, что $H_1\in T$. По лемме 3.3
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H^{n_6n_3}&=(\lambda_1, \lambda_1^2\lambda_2^{-1}\lambda_4^2, \lambda_1\lambda_3^{-1}\lambda_4^2,\lambda_4), \\ H^{n_0n_6n_3}&=(\lambda_1^{-1}, \lambda_1^{-2}\lambda_2\lambda_4^{-2}, \lambda_1^{-1}\lambda_3\lambda_4^{-2},\lambda_4^{-1}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $q\equiv-1\pmod4$, то $H_1^n=(1,1,\alpha^{-1},1)$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
H_1^{\sigma n}=(1,1,\alpha^{-q},1)=(1,1,\alpha\cdot\alpha^{-1-q},1) =(1,1,\alpha\cdot(-1)^{(q+1)/2},1)=H_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, если $q\equiv1\pmod 4$, то $H_1^n=(1,1,\alpha,1)$ и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
H_1^{\sigma n}=(1,1,\alpha^q,1)=(1,1,\alpha\cdot\alpha^{-1+q},1) =\bigl(1,1,\alpha\cdot(-1)^{(q-1)/2},1\bigr)=H_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя MAGMA, видим, что $[n,n_2]=[n,h_1n_3]=[n,n_{21}]=[n,n_{24}]=1$, поэтому $M$ – подгруппа в $\overline{N}_{\sigma n}$ по лемме 3.1. Теперь проверим, что $M/L\simeq C_W(w)$. Используя MAGMA, видим, что
$$
\begin{equation*}
(h_1n_3)^2=n_{21}^2=[h_1n_3,n_{21}]=(n_{21}n_{24})^4=h_3,\qquad n_{24}^2=[h_1n_3,n_{24}]=h_2h_4.
\end{equation*}
\notag
$$
Достаточно доказать, что $(H_1n_2)^2$, $[H_1n_2,n_{21}]$, $[H_1n_2,n_{24}]$ и $(H_1n_2h_1n_3)^4$ – элементы группы $L$. Поскольку $n_2^2=h_2$, имеем $(Hn_2)^2=(\lambda_1^2, -\lambda_1\lambda_3^2, \lambda_3^2, \lambda_4^2)$, следовательно, $(H_1n_2)^2=h_3\in L$. Поскольку $[n_2,n_{21}]=[n_2,n_{24}]=1$, лемма 3.2 влечет, что коммутаторы $[H_1n_2,n_{21}]$ и $[H_1n_2,n_{24}]$ принадлежат $L$, если $H_1=H_1^{n_{21}}=H_1^{n_{24}}$. По лемме 3.3
$$
\begin{equation*}
H^{n_{21}}=(\lambda_1\lambda_4^{-2}, \lambda_2\lambda_4^{-4}, \lambda_3\lambda_4^{-3}, \lambda_4^{-1}),\qquad H^{n_{24}}=(\lambda_1^{-1}, \lambda_1^{-3}\lambda_2, \lambda_1^{-2}\lambda_3, \lambda_1^{-1}\lambda_4).
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя эти равенства к $H_1$, видим, что $H_1=H_1^{n_{21}}=H_1^{n_{24}}$, что и требовалось. Наконец, поскольку $(n_2h_1n_3)^4=h_3$, лемма 3.3 влечет, что $(Hn_2h_1n_3)^4=(Hh_1h_2n_2n_3)^4 =(\lambda_1^4,\lambda_1^4\lambda_4^4,-\lambda_1^2\lambda_4^4,\lambda_4^4)$ и, следовательно, $(H_1n_2h_1n_3)^4=h_3\in L$. Значит, факторгруппа $M/L$ – гомоморфный образ группы $C_W(w)$, в частности, $|M|$ делит $4\cdot|C_W(w)|$. С другой стороны, $M/(M\cap T)\simeq C_W(w)$ и $L\leqslant M\cap T$. Следовательно, $|M|=4\cdot|C_W(w)|$, $L=M\cap T$ и $M$ – добавление к тору $T$ порядка $4\cdot|C_W(w)|$. Мы знаем, что порядки элементов $w_6w_3$ и $w_6w_3w_0$ равны 2. Используя MAGMA, видим, что $h_1n_6n_3$ и $h_1n_6n_3n_0$ – элементы порядка 2, поэтому они являются требуемыми поднятиями. Тор $5$. В этом случае $w=w_{16}w_3$ и элемент $w$ сопряжен с $ww_0$ в $W$. Используя GAP, видим, что
$$
\begin{equation*}
C_W(w)=\langle w_3, w_6, w_{16}, w_{24}\rangle\simeq\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим элемент $n=n_{16}n_3$ и группу $T=\overline{T}_{\sigma n}$. Используя MAGMA, видим, что $[n,n_3]=[n,h_2n_6]=[n,n_{16}]=1$, следовательно, элементы $n_3$, $h_2n_6$ и $n_{16}$ принадлежат $\overline{N}_{\sigma n}$ по лемме 3.1. Предположим, что существует дополнение $K$ к группе $T$. Обозначим через $H_1$, $H_2$ и $H_3$ элементы группы $T$ такие, что $a=H_1n_3$, $b=H_2h_2n_6$ и $c=H_3n_{16}$ принадлежат группе $K$. Пусть $H_1=(\alpha_i)$, $H_2=(\beta_i)$, $H_3=(\gamma_i)$, где $1\leqslant i\leqslant 4$. По лемме 3.3
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, H^{n_3} =(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_2\lambda_3^{-1}\lambda_4,\lambda_4),\qquad H^{n_6}=(\lambda_1,\lambda_1^2\lambda_2^{-1}\lambda_4^2,\lambda_1\lambda_2^{-1}\lambda_3\lambda_4, \lambda_4), \\ H^{n_{16}}=(\lambda_1,\lambda_1\lambda_2\lambda_4^{-2},\lambda_1\lambda_3\lambda_4^{-2}, \lambda_1\lambda_4^{-1}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $n_3^2=h_3$, заключаем, что $a^2=H_1H_1^{n_3}h_3=(\alpha_1^2,\alpha_2^2,-\alpha_2\alpha_4,\alpha_4^2)$. Поэтому имеем $\alpha_1^2=\alpha_2^2=\alpha_4^2=1$ и $\alpha_2\alpha_4=-1$. Поскольку $n_{16}^2=h_2h_3h_4$, находим, что $c^2=(\gamma_1^2,-\gamma_1\gamma_2^2\gamma_4^{-2},-\gamma_1\gamma_3^2\gamma_4^{-2},-\gamma_1)$. Отсюда следует, что $\gamma_1=-1$ и $\gamma_2^2=\gamma_4^2=\gamma_3^2$. Используя MAGMA, видим, что $[n_3,n_{16}]=1$. Лемма 3.2 влечет, что $H_1^{-1}H_1^{n_{16}}=H_3^{-1}H_3^{n_3}$. Из равенств выше для $H^{n_3}$ и $H^{n_{16}}$ заключаем, что $(1,\alpha_1\alpha_4^{-2},\alpha_1\alpha_4^{-2}, \alpha_1\alpha_4^{-2})=(1,1,\gamma_2\gamma_3^{-2}\gamma_4,1)$. Отсюда находим, что $\alpha_1\alpha_4^{-2}=1$, и поэтому $\alpha_1=1$. Тогда $\gamma_3^2=\gamma_2\gamma_4$. Мы видели выше, что $\gamma_3^2=\gamma_2^2$, откуда $\gamma_2=\gamma_4$. Используя MAGMA, видим, что $[h_2n_6,n_{16}]=1$. Лемма 3.2 влечет, что $H_2^{-1}H_2^{n_{16}}=H_3^{-1}H_3^{n_6}$. Из равенств выше для $H^{n_6}$ и $H^{n_{16}}$ заключаем, что $(1,\beta_1\beta_4^{-2},\beta_1\beta_4^{-2},\beta_1\beta_4^{-2}) =(1,\gamma_1^2\gamma_2^{-2}\gamma_4^2,\gamma_1\gamma_2^{-1}\gamma_4,1)$. Поскольку $\gamma_2=\gamma_4$ и $\gamma_1\,{=}\,{-}1$, имеем $(1,\beta_1\beta_4^{-2},\beta_1\beta_4^{-2},\beta_1\beta_4^{-2})=(1,1,-1,1)$; противоречие. Рассмотрим элемент $n=h_1n_{16}n_3$ и группу $T=\overline{T}_{\sigma n}$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
a=n_3,\qquad b=n_6,\qquad c=h_1n_{16},\qquad d=h_1h_2n_{24}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы утверждаем, что группа $M=\langle a, b, c, d\rangle$ – добавление к $T$ в $\overline{N}_{\sigma n}$ порядка $2\cdot|C_W(w)|$. Используя MAGMA, видим, что $[n,a]=[n,b]=[n,c]=[n,d]=1$, и поэтому элементы $a$, $b$, $c$ и $d$ принадлежат $\overline{N}_{\sigma n}$. Более того, $a^2=h_3$, откуда $L=\langle h_3\rangle\leqslant M\cap T$. Далее, вычисления показывают, что
$$
\begin{equation*}
h_3^{a}=h_3^{b}=h_3^{c}=h_3^{d}=h_3,\qquad a^2=b^2=[a,b]=[a,d]=[b,c]=[c,d]=h_3
\end{equation*}
\notag
$$
и $c^2=d^2=[a,c]=[b,d]=1$. Значит, $L$ – нормальная подгруппа в $M$ и факторгруппа $M/L$ – гомоморфный образ группы $C_W(w)$. С другой стороны, мы знаем, что $M/(M\cap T)\simeq C_W(w)$. Следовательно, $|M|=2\cdot |C_W(w)|$ и $M\cap T=L$, как и утверждалось ранее. Наконец, видим, что $(h_1h_2n_{16}n_3)^2=1$ и, следовательно, $h_1h_2n_{16}n_3$ – требуемое поднятие порядка 2 для $w$. Торы $6$ и $21$. В этом случае $w=w_2w_1$ или $w=w_0w_2w_1$ соответственно. Вычисления в GAP показывают, что
$$
\begin{equation*}
C_W(w)=\langle w_0w_2w_1\rangle\times\langle w_4,w_{19}\rangle\simeq \mathbb{Z}_6\times S_3.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим элемент $n=n_2n_1$ и обозначим $a=n_0n_2n_1$, $b=h_3h_4n_4$ и $c=h_4n_{19}$. Используя MAGMA, видим, что $[n,a]=[n,b]=[n,c]=1$ и, следовательно, элементы $a$, $b$ и $c$ принадлежат $\overline{N}_{\sigma n}$ по лемме 3.1. Мы утверждаем, что группа $K=\langle a,b,c\rangle$ – дополнение к $\overline{T}_{\sigma n}$. Вычисления в MAGMA показывают, что $a^{6}=1=[a,b]=[a,c]=1$ и $b^2=c^2=(bc)^3=1$. Значит, $K$ – гомоморфный образ группы $\mathbb{Z}_6\times S_3$. С другой стороны, $C_W(w)\simeq\overline{N}_{\sigma n}/\overline{T}_{\sigma n}\simeq K/(K\cap\overline{T}_{\sigma n})$. Следовательно, $K\simeq C_W(w)$, и поэтому $K$ – дополнение к $\overline{T}_{\sigma n}$ в $\overline{N}_{\sigma n}$ так же, как и к $\overline{T}_{\sigma n_0n}$ в $\overline{N}_{\sigma n_0n}$. Торы $7$ и $20$. В этом случае $w=w_3w_4$ или $w=w_0w_3w_4$ соответственно. Вычисления в GAP показывают, что
$$
\begin{equation*}
C_W(w)=\langle w_0w_3w_4\rangle\times \langle w_1,w_{24}\rangle\simeq \mathbb{Z}_6\times S_3.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим элемент $n=n_3n_4$. Обозначим элементы $a=n_0n_3n_4$, $b=h_2h_4n_1$ и $c=h_1n_{24}$. Используя MAGMA, видим, что $[n,a]=[n,b]=[n,c]=1$, и поэтому $a$, $b$ и $c$ принадлежат $\overline{N}_{\sigma n}$ по лемме 3.1. Мы утверждаем, что группа $K=\langle a,b,c\rangle$ – дополнение к $\overline{T}_{\sigma n}$. Вычисления в MAGMA показывают, что $a^{6}=[a,b]=[a,c]=1$ и $b^2=c^2=(bc)^3=1$. Поэтому $K$ – гомоморфный образ группы $\mathbb{Z}_6\times S_3$. С другой стороны, $K/(K\cap\overline{T}_{\sigma n})\simeq C_W(w)$. Следовательно, $K\simeq C_W(w)$, и поэтому $K$ – дополнение к $\overline{T}_{\sigma n}$ в $\overline{N}_{\sigma n}$ так же, как и к $\overline{T}_{\sigma n_0n}$ в $\overline{N}_{\sigma n_0n}$. Торы $8$ и $19$. В этом случае $w=w_3w_2$ или $w=w_0w_3w_2$ соответственно. Более того,
$$
\begin{equation*}
C_W(w)=\langle w_3w_2 \rangle\times\langle w_8, w_{24}\rangle\simeq \mathbb{Z}_4\times D_8.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $n=n_3n_2$ и $\varepsilon=1$, если $w=w_3w_2$, и $n=n_0n_3n_2$ и $\varepsilon=-1$, если $w=w_0w_3w_2$. Пусть $M$ – добавление к группе $T=\overline{T}_{\sigma n}$ в $\overline{N}_{\sigma n}$. Поскольку $x=w_{21}w_8w_3w_2\in C_W(w)$, лемма 3.5 влечет, что $h_3\in M$, и поэтому $h_3\in M\cap T$. Покажем, что существует добавление $M$ такое, что $M\cap T=\langle h_3 \rangle$. Пусть $a=n_3n_2$ и $b=h_2n_8$. Используя MAGMA, видим, что $[n,a]=[n,b]=[n, n_{24}]=1$ и, следовательно, элементы $a$, $b$ и $n_{24}$ принадлежат $\overline{N}_{\sigma{n}}$. Более того, верно, что $h_3=h_3^{a}=h_3^{b}=h_3^{n_{24}}$, откуда $\langle h_3\rangle$ – нормальная подгруппа в $\overline{N}_{\sigma{n}}$. Теперь видим, что $a^4=b^2=h_3$ и $[a,b]=1$. Значит, достаточно найти элемент $c=H_3n_{24}$, где $H_3\in{T}$ такой, что $[a,c]$, $c^2$ и $(cb)^4$ – элементы группы $L=\langle h_3 \rangle$. Действительно, пусть $M=\langle a,b,c\rangle$. Тогда факторгруппа $M/L$ – гомоморфный образ группы $\mathbb{Z}_4\times D_8$. С другой стороны, мы знаем, что $M/(M\cap T)=C_W(w)$ и $L\leqslant M\cap T$, значит, $M\cap T=L$ и $M/L\simeq C_W(w)$. По лемме 3.3
$$
\begin{equation*}
H^n=(\lambda_1^\varepsilon, \lambda_1^\varepsilon\lambda_2^{-\varepsilon}\lambda_3^{2\varepsilon}, \lambda_1^\varepsilon\lambda_2^{-\varepsilon}\lambda_3^\varepsilon\lambda_4^\varepsilon, \lambda_4^\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что $\varepsilon{q}\equiv1\pmod 4$. Пусть $H_3=(-1,-1,\alpha,1)$, где элемент $\alpha\in\overline{\mathbb{F}}_p$ такой, что $\alpha^2=-1$. Тогда находим, что $H_3^n=(-1,-1,\alpha^\varepsilon,1)$. Поскольку $\alpha^{\varepsilon{q}}=(\alpha^2)^{(\varepsilon{q}-1)/2}\alpha =(-1)^{(\varepsilon{q}-1)/2}\alpha=\alpha$, имеем $H_3^{\sigma n}=(-1,-1,\alpha^{\varepsilon{q}},1)=H_3$. Следовательно, $H_3\in T$ и $c=H_3n_{24}\in\overline{N}_{\sigma{n}}$. Из равенства выше находим, что $H_3^{n_3n_2}=H_3$. Из леммы 3.2 следует, что $[a,c]=1$. Поскольку $n_{24}^2=h_2h_4$, лемма 3.3 влечет, что
$$
\begin{equation*}
(Hn_{24})^2=(1,-\lambda_1^{-3}\lambda_2^2, \lambda_1^{-2}\lambda_3^2,-\lambda_1^{-1}\lambda_4^2).
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя это равенство к $H_3$, получаем $c^2=(1,1,-1,1)=h_3\in L$. Используя MAGMA, видим, что $(n_{24}h_2n_8)^4=h_3$. Теперь лемма 3.3 влечет, что
$$
\begin{equation*}
(Hn_{24}h_2n_8)^4=(1, \lambda_1^{-4}\lambda_2^4\lambda_4^{-4}, -\lambda_1^{-2}\lambda_3^4\lambda_4^{-4},1).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $(cb)^4=(1,1,-1,1)=h_3\in L$. Значит, в этом случае элементы $a$, $b$ и $c$ порождают добавление порядка $2\cdot|C_W(w)|$. Предположим, что $\varepsilon{q}\equiv-1\pmod 4$. Пусть $\zeta$ – элемент поля $\overline{\mathbb{F}}_p$ такой, что $\zeta^{(q^2-1)/2}=-1$ и положим
$$
\begin{equation*}
H_3=(\zeta^{\varepsilon{q}+1},\zeta^{3(\varepsilon{q}+1)^2/4}, \zeta^{(q^2-1)/4}\zeta^{\varepsilon{q}+1},\zeta^{(\varepsilon{q}+1)^2/4}).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_3^{n} &=\bigl(\zeta^{{q}+\varepsilon},\zeta^{{q}+\varepsilon} \zeta^{-3\varepsilon(\varepsilon{q}+1)^2/4}(-1)\zeta^{2{q}+2\varepsilon}, \zeta^{{q}+\varepsilon}\zeta^{-3\varepsilon(\varepsilon{q}+1)^2/4} \zeta^{\varepsilon(q^2-1)/4}\zeta^{{q}+\varepsilon} \\ &\qquad\qquad \zeta^{\varepsilon(\varepsilon{q}+1)^2/4}, \zeta^{\varepsilon(\varepsilon{q}+1)^2/4}\bigr) \\ &=(\zeta^{{q}+\varepsilon},-\zeta^{(-3\varepsilon{q}^2+6q+9\varepsilon)/4}, \zeta^{(-\varepsilon{q}^2+4q+5\varepsilon)/4}, \zeta^{(\varepsilon{q}^2+2q+\varepsilon)/4}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь вычислим координаты элемента $H_3^{\sigma n}$. Находим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\zeta^{q+\varepsilon})^q &=\zeta^{q^2+\varepsilon{q}}=\zeta^{1+\varepsilon{q}}, \\ (-\zeta^{(-3\varepsilon{q}^2+6q+9\varepsilon)/4})^q &=\zeta^{(-3\varepsilon{q}^3+6q^2+9\varepsilon{q})/4}=-\zeta^{(3{q}^2+6\varepsilon{q}+3)/4} \zeta^{3(q^2-1)(1-\varepsilon{q})/4} \\ &= -\zeta^{3(\varepsilon{q}+1)^2/4}(-1)^{3(1-\varepsilon{q})/2}=\zeta^{3(\varepsilon{q}+1)^2/4}, \\ (\zeta^{(-\varepsilon{q}^2+4q+5\varepsilon)/4})^q &= \zeta^{(-\varepsilon{q}^3+4q^2+5\varepsilon{q})/4}= \zeta^{(q^2-1)/4}\zeta^{\varepsilon{q}+1}\zeta^{(q^2-1)(3-\varepsilon{q})/4} \\ &=\zeta^{(q^2-1)/4}\zeta^{\varepsilon{q}+1}(-1)^{(3-\varepsilon{q})/2}= \zeta^{(q^2-1)/4}\zeta^{\varepsilon{q}+1}, \\ (\zeta^{(\varepsilon{q}^2+2q+\varepsilon)/4})^q &=\zeta^{(\varepsilon{q}^3+2q^2+\varepsilon{q})/4} =\zeta^{(\varepsilon{q}+1)^2/4}\zeta^{(q^2-1)(\varepsilon{q}+1)/4} \\ &=\zeta^{(\varepsilon{q}+1)^2/4}(-1)^{(\varepsilon{q}+1)/2}=\zeta^{(\varepsilon{q}+1)^2/4}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $H_3^{\sigma n}=H_3$, и поэтому $H_3\in T$. Поскольку $[a,n_{24}]=1$, лемма 3.2 влечет, что $[a,c]\in L$, если $H_3^{-1}H_3^{n_3n_2}\in L$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
H^{-1}H^{n_3n_2}=(1,\lambda_1\lambda_2^{-2}\lambda_3^2,\lambda_1\lambda_2^{-1}\lambda_4,1).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_3^{-1}H_3^{n_3n_2} &=(1,\zeta^{\varepsilon{q}+1}\zeta^{-3(\varepsilon{q}+1)^2/2} \zeta^{(q^2-1)/2}\zeta^{2\varepsilon{q}+2},\zeta^{\varepsilon{q}+1} \zeta^{-3(\varepsilon{q}+1)^2/4}\zeta^{(\varepsilon{q}+1)^2/4},1) \\ &=(1,-\zeta^{(-3q^2+3)/2},\zeta^{(-q^2+1)/2},1)=h_3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя равенство, приведенное выше для $(Hn_{24})^2$, к $H_3$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, c^2 &=(1,-\zeta^{-3\varepsilon{q}-3}\zeta^{3(\varepsilon{q}+1)^2/2}, \zeta^{-2\varepsilon{q}-2}\zeta^{(q^2-1)/2} \zeta^{2\varepsilon{q}+2},-\zeta^{-\varepsilon{q}-1} \zeta^{(\varepsilon{q}+1)^2/2}) \\ &=(1,-\zeta^{(3q^2-3)/2},-1,-\zeta^{(q^2-1)/2})=h_3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, поскольку
$$
\begin{equation*}
(Hn_{24}h_2n_8)^4=(1, \lambda_1^{-4}\lambda_2^4\lambda_4^{-4}, -\lambda_1^{-2}\lambda_3^4\lambda_4^{-4},1),
\end{equation*}
\notag
$$
имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (cb)^4 &=(1,\zeta^{-4\varepsilon{q}-4}\zeta^{3(\varepsilon{q}+1)^2} \zeta^{-(\varepsilon{q}+1)^2},-\zeta^{-2\varepsilon{q}-2}\zeta^{q^2-1} \zeta^{4\varepsilon{q}+4}\zeta^{-(\varepsilon{q}+1)^2},1) \\ &=(1,\zeta^{2q^2-2},-\zeta^0,1)=h_3\in L. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, элементы $a$, $b$ и $c$ порождают добавление порядка $2\cdot|C_W(w)|$. Легко видеть, что элемент $w_0w_3w_2$ сопряжен с $w_{21}w_8w_3w_2$ в $W$. Из леммы 3.5 следует, что минимальный порядок поднятия элемента $w_0w_3w_2$ равен 8. Теперь докажем, что существует поднятие элемента $w_3w_2$ порядка 4 тогда и только тогда, когда $q\equiv1\pmod4$. Пусть $n=n_3n_2$. Используя MAGMA, видим, что $n^4=h_3$. По лемме 3.3
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H^n &=(\lambda_1, \lambda_1\lambda_2^{-1}\lambda_3^2, \lambda_1\lambda_2^{-1}\lambda_3\lambda_4, \lambda_4), \\ (Hn)^4 &=(\lambda_1^4, \lambda_1^4\lambda_4^4, -\lambda_1^2\lambda_4^4, \lambda_4^4). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $q\equiv-1\pmod 4$. Предположим, что $(H_1n)^4=1$, где $H_1\in T$ и $H_1=(\mu_1,\mu_2,\mu_3,\mu_4)$. Тогда $\mu_4^4=1$ и $\mu_1^2\mu_4^4=-1$. Поэтому $\mu_1^2=-1$. Поскольку $H_1\in T$, имеем $H_1^{\sigma n}=H_1$. Тогда $\mu_1^q=\mu_1$ и, следовательно, $\mu_1^{q-1}=1$. Поскольку число $(q-1)/2$ нечетно, находим, что $\mu_1^{q-1}=(\mu_1^2)^{(q-1)/2}=(-1)^{(q-1)/2}=-1$; противоречие. Значит, в этом случае минимальный порядок поднятия равен 8. Пусть $q\equiv1\pmod 4$ и $\zeta$ – элемент поля $\overline{\mathbb{F}}_p$ такой, что $\zeta^{2(q^2+1)}=-1$. Рассмотрим элемент $H_1=(\zeta^{q^2+1},\zeta^{q+1},\zeta,1)$. Мы утверждаем, что $H_1n$ – поднятие элемента $w_3w_2$ порядка 4. Во-первых, проверим, что $H_1\in T$. Из равенства выше видим, что $H_1^n=(\zeta^{q^2+1}, \zeta^{q^2-q+2}, \zeta^{q^2-q+1}, 1)$. Тогда $H_1^{\sigma n}=(\zeta^{q^3+q}, \zeta^{q^3-q^2+2q}, \zeta^{q^3-q^2+q}, 1)$. Поскольку 4 делит $q-1$, имеем $\zeta^{(q^2+1)(q-1)}=1$, откуда $\zeta^{q^3+q}\,{=}\,\zeta^{q^2+1}$. Следовательно, $H_1^{\sigma n}\,{=}\,(\zeta^{q^2+1}, \zeta^{q^2-q^2+q+1}, \zeta^{q^2-q^2+1}, 1)\,{=}\,H_1$ и $H_1\in T$. Поскольку $(\zeta^{q^2+1})^2=-1$, равенство для $(Hn)^4$ влечет, что $(H_1n)^4=1$, как и утверждалось ранее. Тор $11$. В этом случае $w=w_2w_1w_{16}$ и элементы $w$, $ww_0$ сопряжены в $W$. Более того, видим, что
$$
\begin{equation*}
C_W(w)=\langle w, w_0, w_{10} \rangle\simeq \mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим элемент $n=n_2n_1n_{16}$ и группу $T=\overline{T}_{\sigma n}$. Предположим, что существует дополнение $K$ к тору $T$. Заметим, что $[n,n_0]=1$ и поэтому $n_0\,{\in}\,\overline{N}_{\sigma n}$. Рассмотрим элементы $H_1n$ и $H_2n_0$ в группе $K$, где $H_1=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$ и $H_2=(\mu_1,\mu_2,\mu_3,\mu_4)$, которые соответствуют элементам $w$ и $w_0$ соответственно. Поскольку $n^4=h_3h_4$, лемма 3.3 влечет, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H^n &=(\lambda_2\lambda_4^{-2}, \lambda_1\lambda_3^2\lambda_4^{-4}, \lambda_1\lambda_3\lambda_4^{-2},\lambda_1\lambda_4^{-1}), \\ (Hn)^4 &=(\lambda_3^4\lambda_4^{-4}, \lambda_3^8\lambda_4^{-8},-\lambda_3^6\lambda_4^{-6}, -\lambda_3^2\lambda_4^{-2}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $w^4=1$, имеем $-\alpha_3^2\alpha_4^{-2}=1$ и, следовательно, $\alpha_3^2=-\alpha_4^2$. Лемма 3.2 влечет, что $H_1^{-1}H_1^{n_0}=H_2^{-1}H_2^n$, и поэтому $(\alpha_1^{-2},\alpha_2^{-2},\alpha_3^{-2},\alpha_4^{-2})=(\mu^{-1}\mu_2\mu_4^{-2}, \mu_1\mu_2^{-1}\mu_3^2\mu_4^{-4}, \mu_1\mu_4^{-2}, \mu_1\mu_4^{-2})$. Следовательно, $\alpha_3^{-2}=\mu_1\mu_4^{-2}=\alpha_4^{-2}$; противоречие с равенством $\alpha_3^2=-\alpha_4^2$. Значит, каждое добавление к $T$ имеет порядок по крайней мере $2\cdot|C_W(w)|$. Рассмотрим группу $M=\langle n, n_0, n_{10} \rangle$. Мы утверждаем, что $M$ – добавление к $T$ такое, что $M\cap T$ – группа порядка 2. Видим, что $[n, n_0]=[n,n_{10}]=1$, поэтому $n_0$ и $n_{10}$ принадлежат группе $\overline{N}_{\sigma n}$. Вычисления в MAGMA показывают, что $(h_3h_4)^n=(h_3h_4)^{n_{10}}=(h_3h_4)^{n_0}=h_3h_4$, $n_0^2=[n_0,n_{10}]=1$ и $n^4=n_{10}^2=h_3h_4$. Следовательно, $L$ – нормальная подгруппа в $M$ и $M/L\simeq C_W(w)$. Значит, $M\cap T=L$ и $|M|=2\cdot|C_W(w)|$, как и утверждалось. Пусть $q\equiv-1\pmod4$. В этом случае докажем, что для $w$ не существует поднятий порядка 4. Предположим, что $(H_1n)^4=1$, где $H_1=(\mu_1,\mu_2,\mu_3,\mu_4)$ принадлежит группе $T$. Используя равенство выше для $(Hn)^4$, находим, что $\mu_3^2=-\mu_4^2$. Поскольку $H_1\in T$, имеем $H_1^{\sigma n}=H_1$. Следовательно, $\mu_1^q\mu_3^q\mu_4^{-2q}=\mu_3$ и $\mu_1^q\mu_4^{-q}=\mu_4$. Отсюда $\mu_4^{q+1}=\mu_1^q=\mu_3^{1-q}\mu_4^{2q}$, и поэтому $\mu_4^{q-1}=\mu_3^{q-1}$. С другой стороны, мы знаем, что $\mu_3^2=-\mu_4^2$ и, следовательно, $\mu_3^{q-1}=(-1)^{(q-1)/2}\mu_4^{q-1}$. Поскольку число $(q-1)/2$ нечетно, мы приходим к противоречию. Пусть $q\equiv1\pmod4$ и элемент $\zeta\in\overline{\mathbb{F}}_p$ такой, что $\zeta^{q^3+q^2+q+1}=-1$. Положим $H_1=(\zeta^{q^3+1},-\zeta^{1-q}, \zeta^{(-q^3-q^2-q+1)/2},\zeta)$. Мы утверждаем, что $H_1n$ – поднятие порядка 4 для $w$. Проверим, что $H_1\in T$. Из равенства выше для $H^n$ находим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_1^n &=(-\zeta^{1-q}\zeta^{-2}, \zeta^{q^3+1}\zeta^{-q^3-q^2-q+1}\zeta^{-4}, \zeta^{q^3+1}\zeta^{(-q^3-q^2-q+1)/2}\zeta^{-2},\zeta^{q^3+1}\zeta^{-1}) \\ &=(-\zeta^{-1-q},\zeta^{-q^2-q-2},\zeta^{(q^3-q^2-q-1)/2},\zeta^{q^3}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
H_1^{\sigma n}=(-\zeta^{-q-q^2},\zeta^{-q^3-q^2-2q}, \zeta^{(q^4-q^3-q^2-q)/2},\zeta^{q^4}).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\zeta^{q^3+q^2+q+1}=-1$, видим, что $-\zeta^{-q-q^2}=\zeta^{q^3+1}$ и $\zeta^{-q^3-q^2-2q}=-\zeta^{1-q}$. Мы знаем, что 4 делит $q-1$, поэтому $\zeta^{(q^4-1)/2}=\zeta^{(q^3+q^2+q+1)(q-1)/2}=1$. Тогда $\zeta^{(q^4-q)/2}=\zeta^{(1-q)/2}$ и, следовательно, $\zeta^{(q^4-q^3-q^2-q)/2}=\zeta^{(-q^3-q^2-q+1)/2}$. Значит, $H_1^{\sigma n}=H_1$ и $H_1$ принадлежит группе $T$. Пусть $\lambda_3=\zeta^{(-q^3-q^2-q+1)/2}$ и $\lambda_4=\zeta$. Тогда $\lambda_3^2\lambda_4^{-2}=\zeta^{-q^3-q^2-q+1-2}=\zeta^{-q^3-q^2-q-1}=-1$. Теперь равенство выше для $(Hn)^4$ влечет, что $(H_1n)^4=1$, что и требовалось показать. Тор $12$. В этом случае $w=w_{16}w_3w_2$ и элементы $w$ и $ww_0$ сопряжены в $W$. Более того, видим, что
$$
\begin{equation*}
C_W(w)=\langle w,w_0,w_{24}\rangle\simeq \mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим элемент $n=n_{16}n_3n_2$. Покажем, что для $w$ не существует поднятий порядка 4. Пусть $a$ – прообраз элемента $w$ в $\overline{N}_{\sigma n}$. Пусть $a=H_1n$, где $H_1=(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4)$ – элемент группы $\overline{T}$. Используя MAGMA, видим, что $n^4=h_3$. Тогда по лемме 3.3 имеем, что $a^4=(\lambda_1^4,\lambda_1^6,-\lambda_1^4,\lambda_1^2)$. Очевидно, что $a^4$ не является единичным элементом в $\overline{N}$. Как следствие, заключаем, что не существует дополнения к $\overline{T}_{\sigma n}$ в $\overline{N}_{\sigma n}$, и минимальный порядок поднятия равен 8. Теперь покажем, что существует добавление порядка $2\cdot|C_W(w)|$. Обозначим $T=\overline{T}_{\sigma n}$. Пусть $\zeta$ – элемент поля $\overline{\mathbb{F}}_p$ такой, что $\zeta^{(q^4-1)/2}=-1$ и обозначим $\eta=\zeta^{-(q^2+1)(q+1)/2}$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_0 &=(\zeta^{-(q^2+1)(q+1)},\zeta^{-2(q^3+q^2+1)},\zeta^{-(q^3+2q^2+1)},\zeta^{-(q^2+1)}), \\ H_1 &=(-1,\zeta^{q-1},\zeta^{-(q-1)^2/2},-\zeta^{(q^2+1)(q-1)/2}), \\ H_2 &=(-\eta^2,(-1)^{(q-1)/2}\eta^3,\eta^{(q+3)/2},\eta). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сначала проверим, что $H_0,H_1,H_2\in T$. По лемме 3.3
$$
\begin{equation*}
H^n=(\lambda_1,\lambda_1^{2}\lambda_2^{-1}\lambda_3^{2}\lambda_4^{-2}, \lambda_1^{2}\lambda_2^{-1}\lambda_3\lambda_4^{-1},\lambda_1\lambda_4^{-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь мы применяем это равенство к $H_0$, $H_1$ и $H_2$. Находим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_0^n &=(\zeta^{-(q^2+1)(q+1)},\zeta^{-2(q^2+1)(q+1)+2(q^3+q^2+1)-2(q^3+2q^2+1)+2(q^2+1)}, \\ &\qquad\qquad\zeta^{-2(q^2+1)(q+1)+2(q^3+q^2+1)-(q^3+2q^2+1)+(q^2+1)}, \zeta^{-(q^2+1)(q+1)+(q^2+1)}) \\ &=(\zeta^{-q^3-q^2-q-1},\zeta^{-2q^3-2q^2-2q},\zeta^{-q^3-q^2-2q},\zeta^{-q^3-q}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\zeta^{q^4}=\zeta$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_0^{\sigma n} &=(\zeta^{-q^4-q^3-q^2-q},\zeta^{-2q^4-2q^3-2q^2},\zeta^{-q^4-q^3-2q^2},\zeta^{-q^4-q^2}) \\ &=(\zeta^{-q^3-q^2-q-1},\zeta^{-2q^3-2q^2-2},\zeta^{-q^3-2q^2-1},\zeta^{-q^2-1})=H_0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, находим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_1^{n} &=(-1,\zeta^{1-q-(q-1)^2-(q^2+1)(q-1)},-\zeta^{1-q-(q-1)^2/2-(q^2+1)(q-1)/2}, \zeta^{-(q^2+1)(q-1)/2}) \\ &=(-1,\zeta^{-q^3+1},-\zeta^{(-q^3-q+2)/2}, \zeta^{-(q^2+1)(q-1)/2}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\zeta^{(q^4-1)/2}=-1$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (-\zeta^{(-q^3-q+2)/2})^q &=-\zeta^{(-q^4-q^2+2q)/2}=- \zeta^{(-q^4+1)/2}\zeta^{(-q^2+2q-1)/2} \\ &=(-1)^2\zeta^{(-q^2+2q-1)/2}= \zeta^{-(q-1)^2/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Более того,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\zeta^{-q^3+1})^q &=\zeta^{-q^4+q}=\zeta^{-1+q}, \\ (\zeta^{-(q^2+1)(q-1)/2})^q &=\zeta^{-(q^4-1)/2+(q^2+1)(q-1)/2}= -\zeta^{(q^2+1)(q-1)/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому находим, что $H_1^{\sigma n}=(-1,\zeta^{-q^3+1},\zeta^{(-q^3-q+2)/2}, \zeta^{-(q^2+1)(q-1)/2})^q=H_1$. Наконец, видим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_2^{n} &=(-\eta^2,\eta^4(-1)^{(q-1)/2}\eta^{-3}\eta^{q+3}\eta^{-2}, \eta^4(-1)^{(q-1)/2}\eta^{-3}\eta^{(q+3)/2}\eta^{-1},-\eta) \\ &=\bigl(-\eta^2,(-1)^{(q-1)/2}\eta^{q+2},(-1)^{(q-1)/2}\eta^{(q+3)/2},-\eta\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\eta^{q-1}=-1$, имеем
$$
\begin{equation*}
(\eta^{(q+3)/2})^q=\eta^{(q+3)(q-1)/2}\eta^{(q+3)/2}=(-1)^{(q+3)/2}\eta^{(q+3)/2}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_2^{\sigma n} &=(-\eta^2,(-1)^{(q-1)/2} \eta^{q+2},(-1)^{(q-1)/2}\eta^{(q+3)/2},-\eta)^q \\ &=(-\eta^2,(-1)^{(q-1)/2}\eta^{3},(-1)^{(q-1)/2}(-1)^{(q+3)/2}\eta^{(q+3)/2},\eta)=H_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, заключаем, что $H_0,H_1,H_2\in T$. Используя MAGMA, видим, что $[n, n_0]=[n, n_{24}]=1$, и поэтому элементы $a=H_1n_{16}n_3n_2$, $b=H_2n_{24}$ и $c=H_0n_0$ принадлежат $\overline{N}_{\sigma n}$. Мы утверждаем, что $M=\langle a,b,c\rangle$ – добавление порядка $2\cdot|C_W(w)|$ к $T$ такое, что $M\cap T=\langle h_3 \rangle$. Поскольку $(Hn)^4=(\lambda_1^4,\lambda_1^6,-\lambda_1^4,\lambda_1^2)$, имеем $a^4=h_3$. По лемме 3.3
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H^{n_{24}} &=(\lambda_1^{-1},\lambda_1^{-3}\lambda_2,\lambda_1^{-2}\lambda_3,\lambda_1^{-1}\lambda_4), \\ (Hn_{24})^2 &=(1,-\lambda_1^{-3}\lambda_2^{2},\lambda_1^{-2}\lambda_3^{2},-\lambda_1^{-1}\lambda_4^2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, получаем, что $b^2=(1,1,\eta^{q-1},1)=h_3$. Теперь проверим, что $[a,c]=1$. По лемме 3.2 это равенство эквивалентно равенству $H_1^{-2}=H_0^{-1}H_0^n$. Применяя равенство для $H^n$, находим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_0^{-1}H_0^{n} &=(\zeta^{(q^2+1)(q+1)},\zeta^{2(q^3+q^2+1)},\zeta^{q^3+2q^2+1}, \zeta^{q^2+1}) \\ &\qquad\times(\zeta^{-q^3-q^2-q-1},\zeta^{-2q^3-2q^2-2q},\zeta^{-q^3-q^2-2q}, \zeta^{-q^3-q}) \\ &=(1,\zeta^{2-2q},\zeta^{q^2-2q+1},\zeta^{-q^3+q^2-q+1}) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и $H_1^{-2}=(1,\zeta^{2-2q},\zeta^{(q-1)^2},\zeta^{-(q^2+1)(q-1)})$. Тогда $H_1^{-2}=H_0^{-1}H_0^n$ и, следовательно, $[a,c]=1$. Теперь проверим, что $[a,b]\in\langle h_3\rangle$. Поскольку $\eta^{q-1}=-1$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_2^{-1}H_2^{n} &=(-\eta^{-2},(-1)^{(q-1)/2}\eta^{-3},\eta^{-(q+3)/2},\eta^{-1}) \\ &\qquad\times (-\eta^2,(-1)^{(q-1)/2}\eta^{q+2}, (-1)^{(q-1)/2}\eta^{(q+3)/2},-\eta) \\ &=(1,-1,(-1)^{(q-1)/2},-1), \\ H_1^{-1}H_1^{n_{24}} &=(-1,\zeta^{1-q},\zeta^{(q-1)^2/2},-\zeta^{-(q^2+1)(q-1)/2}) \\ &\qquad\times (-1,-\zeta^{q-1}, \zeta^{-(q-1)^2/2},\zeta^{(q^2+1)(q-1)/2}) \\ &=(1,-1,1,-1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, по лемме 3.3 получаем, что коммутатор $[a,b]$ равен $1$ или $h_3$. Поэтому имеем $[a,b]\in\langle h_3 \rangle$. Осталось проверить, что $[c,b]\in\langle h_3 \rangle$. Используя равенства для $H^{n_0}$ и $H^{n_{24}}$, получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_0^{n_{24}} &=(\zeta^{(q^2+1)(q+1)},\zeta^{3(q^2+1)(q+1)}\zeta^{-2(q^3+q^2+1)}, \zeta^{2(q^2+1)(q+1)}\zeta^{-(q^3+2q^2+1)}, \\ &\qquad\qquad\zeta^{(q^2+1)(q+1)}\zeta^{-(q^2+1)}) \\ &=(\zeta^{(q^2+1)(q+1)},\zeta^{q^3+q^2+3q+1},\zeta^{q^3+2q+1},\zeta^{q^3+q}) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_0^{-1}H_0^{n_{24}} &=(\zeta^{(q^2+1)(q+1)},\zeta^{2(q^3+q^2+1)},\zeta^{q^3+2q^2+1}, \zeta^{q^2+1}) \\ &\qquad\times(\zeta^{(q^2+1)(q+1)},\zeta^{q^3+q^2+3q+1},\zeta^{q^3+2q+1},\zeta^{q^3+q}) \\ &=(\zeta^{2(q^2+1)(q+1)},\zeta^{3q^3+3q^2+3q+3},\zeta^{2q^3+2q^2+2q+2},\zeta^{q^3+q^2+q+1}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, имеем
$$
\begin{equation*}
H_2^{-1}H_2^{n_0}=H_2^{-2}=(\eta^{-4},\eta^{-6},\eta^{-(q+3)},\eta^{-2})= (\eta^{-4},\eta^{-6},-\eta^{-4},\eta^{-2}).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\eta=\zeta^{-(q^2+1)(q+1)/2}$, заключаем, что $cb=bc$. Используя MAGMA, видим, что $\langle h_3\rangle$ – нормальная подгруппа в $M$. Тогда $M/\langle h_3 \rangle$ – гомоморфный образ группы $C_W(w)$, и поэтому $|M|\leqslant 2\cdot|C_W(w)|$. Значит, $|M|=2\cdot|C_W(w)|$, как и утверждалось выше. Торы $13$ и $15$. В этому случае $w=w_3w_2w_7$ или $w=w_3w_2w_7w_0$ соответственно. Вычисления в GAP показывают, что
$$
\begin{equation*}
C_W(w)\simeq\langle w_3w_2w_7\rangle\times\langle w_0\rangle\simeq\mathbb{Z}_6\times \mathbb{Z}_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим элемент $n=h_1n_3n_2n_7$. Используя MAGMA, видим, что $n^{6}=n_0^2= 1$ и $[n,n_0]=1$. Следовательно, $K=\langle n,n_0\rangle$ – дополнение к $\overline{T}_{\sigma n}$ в $\overline{N}_{\sigma n}$ так же, как и к $\overline{T}_{\sigma n_0n}$ в $\overline{N}_{\sigma n_0n}$. Торы $14$ и $16$. В этом случае $w=w_3w_2w_1$ или $w=w_3w_2w_1w_0$ соответственно. Вычисления в GAP показывают, что
$$
\begin{equation*}
C_W(w)=\langle w_3w_2w_1\rangle\times\langle w_0 \rangle\simeq\mathbb{Z}_6\times \mathbb{Z}_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим элемент $n=n_3n_2n_1$. Используя MAGMA, видим, что $n^6=n_0^2=1$ и $[n,n_0]=1$. Следовательно, $K=\langle n, n_0\rangle$ – дополнение к $\overline{T}_{\sigma n}$ в $\overline{N}_{\sigma n}$ так же, как и к $\overline{T}_{\sigma n_0n}$ в $\overline{N}_{\sigma n_0n}$. Тор $22$. В этом случае $w=w_8w_{16}w_3w_2$ и элемент $w$ сопряжен с $ww_0$ в $W$. Вычисления в GAP показывают, что группа $C_W(w)$ изоморфна группе $\operatorname{SL}_2(3): 4$ и имеет следующее копредставление:
$$
\begin{equation*}
C_W(w)\simeq \langle a,b,c\mid a^4, b^4, c^3, aba^{-1}b^{-1}, a^3b^2cb^{-1}c^{-2}\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, элементы $w_{16}w_8$, $w_2w_3$ и $w_1w_3w_{16}w_{19}$ удовлетворяют этим соотношениям и порождают группу $C_W(w)$. Пусть $n\,{=}\,h_2n_8n_{16}n_3n_2$. Обозначим через $M$ добавление к $T\,{=}\,\overline{T}_{\sigma n}$ минимального порядка. Вычисления в GAP показывают, что элемент $(w_{21}w_8w_3w_2)^{w_{16}}$ лежит в $C_W(w)$. Теперь лемма 3.5 влечет, что $h_3=h_3^{n_{16}}$ принадлежит $L=T\cap M$. Поскольку $[n, n_1n_3n_{16}n_{19}]=1$, заключаем, что $n_1n_3n_{16}n_{19}\in\overline{N}_{\sigma n}$. Группа $L$ – нормальная подгруппа в $\overline{N}_{\sigma n}$, и поэтому $h_3h_4=h_3^{n_1n_3n_{16}n_{19}}\in L$. Следовательно, имеем $|L|\geqslant4$. Теперь мы утверждаем, что элементы $a=n_{16}n_8$, $b=h_2n_2n_3$, $c=n_1n_3n_{16}n_{19}$ принадлежат $\overline{N}_{\sigma n}$ и порождают добавление к $T$ порядка $4\cdot|C_W(w)|$. Используя MAGMA, видим, что $[n,a]=[n,b]=[n,c]=1$ и, следовательно, $a,b,c\in \overline{N}_{\sigma n}$. Далее, находим, что $a^4=h_3$, $b^4=h_3$, $c^3=1$, $[a,b]=h_3$, $a^3b^2cb^{-1}c^{-2}=h_3$, $h_3^{a}=h_3^{b}=h_3$, $h_3^{c}=h_3h_4$, $h_4^{a}=h_3h_4$, $h_4^{b}=h_3h_4$, $h_4^{c}=h_3$. Поэтому $\langle h_3, h_4\rangle$ – нормальная подгруппа в $M=\langle a,b,c\rangle$, и факторгруппа $M/\langle h_3,h_4\rangle$ – гомоморфный образ группы $C_W(w)$. Значит, $|M|\leqslant 4\cdot|C_W(w)|$. С другой стороны, мы знаем, что $|M|\geqslant 4\cdot|C_W(w)|$ и, следовательно, группа $M$ – добавление к $T$ порядка $4\cdot|C_W(w)|$. Наконец, видим, что $(n_8n_{16}n_3n_2)^4=1$, и поэтому элемент $n_8n_{16}n_3n_2$ – требуемое поднятие порядка 4. Тор $23$. В этом случае $w=w_3w_2w_1w_{16}$ и $C_W(w)\simeq\langle w \rangle\simeq \mathbb{Z}_8$. Более того, элементы $w$ и $ww_0$ сопряжены в $W$. Рассмотрим элемент $n=n_3n_2n_1n_{16}$. Используя MAGMA, видим, что $n^8=1$. Отсюда следует, что группа $K=\langle n\rangle$ – дополнение к $\overline{T}_{\sigma n}$ в $\overline{N}_{\sigma n}$. Тор $24$. В этом случае $w=w_8w_1w_2w_4$ и $C_W(w)\simeq\langle w \rangle\simeq \mathbb{Z}_{12}$. Более того, элементы $w$ и $ww_0$ сопряжены в $W$. Рассмотрим $n=n_8n_1n_2n_4$. Используя MAGMA, видим, что $n^{12}=1$, и поэтому группа $K=\langle n\rangle$ – дополнение к $\overline{T}_{\sigma n}$ в $\overline{N}_{\sigma n}$. Торы $25$ и $18$. В этом случае $w=w_6w_1w_9w_4$ или $w=w_0w_6w_1w_9w_4$ соответственно. Кроме того, $C_W(w)\simeq\mathbb{Z}_3\times\operatorname{SL}_2(3)$. Вычисления в GAP показывают, что группа $C_W(w)$ имеет следующее копредставление:
$$
\begin{equation*}
C_W(w)\simeq\langle a,b,c\mid a^3, b^4, c^3, [a,b], [a,c], bcb^{-1}cbc, (c^{-1}b)^3\rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
более того, элементы $w_1w_4w_2w_{19}$, $w_1w_3w_6w_{20}$, $w_1w_2$ порождают $C_W(w)$ и удовлетворяют этому множеству соотношений. Рассмотрим элемент $n=n_6n_1n_9n_4$ и обозначим $a=h_1h_2h_4n_1n_4n_2n_{19}$, $b=h_1h_3h_4n_1n_3n_6n_{20}$ и $c=h_1h_2n_1n_2$. Используя MAGMA, видим, что $[n,a]=[n,b]=[n,c]=1$, и поэтому $a,b,c\in\overline{N}_{\sigma n}$. Более того, эти элементы удовлетворяют соотношениям для группы $C_W(w)$. Следовательно, группа $K=\langle a,b,c\rangle$ – гомоморфный образ группы $C_W(w)$, и поэтому $K\simeq C_W(w)$. Значит, $K$ – дополнение к $\overline{T}_{\sigma n}$ в $\overline{N}_{\sigma n}$.
§ 5. ТаблицыВ этом параграфе мы иллюстрируем результаты обеих теорем в табл. 1 и 2. Пусть $G=F_4(q)$ и число $q$ нечетно. Первая таблица посвящена максимальным торам группы $G$ и теореме 1.1. Существует биекция между сопряженными классами максимальных торов группы $G$ и сопряженными классами группы $W$. Мы выбираем представителей классов группы $W$ в соответствии с [18]. Если $T$ – максимальный тор, соответствующий представителю $w$, то мы пишем $w$ во второй столбец табл. 1. Первый столбец содержит номер тора $T$. Если элементы $w$ и $ww_0$ не сопряжены, то мы также указываем в скобках номер максимального тора, соответствующего классу $(ww_0)^W$. Третий столбец содержит порядок элемента $w$, четвертый – структурное описание группы $C_W(w)$. Пятый столбец содержит циклическое строение тора $T$, которое может быть найдено стандартным способом: приведение матрицы $q\cdot{w}-I$ к диагональному виду, где $I$ – единичная матрица. Здесь через $n^k$ мы обозначаем элементарную абелеву группу $\mathbb{Z}_n^k$. Отметим, что циклическое строение в этом столбце верно и для четных $q$. Наконец, шестой столбец содержит минимально возможный порядок пересечения $M\cap T$, где $M$ – добавление к $T$. Здесь запись 4/8 для второго (девятого) тора означает, что если $q\equiv 1\pmod 4$ ($q\equiv -1\pmod 4$), то минимальный порядок пересечения $M\cap T$ равен 4, иначе он равен 8. Таблица 1.Минимальные добавления к максимальным торам группы $F_4(q)$
В табл. 2 для элементов $w\in W$ мы приводим примеры поднятий порядка $|w|$ в группе $N(G,T)$, если они существуют. Представители $w$ и их порядки такие же, как и в табл. 1. Третий столбец содержит примеры поднятий. В четвертом столбце мы пишем условия, которые являются необходимыми и достаточными для существования поднятий. Напомним, что если для $w$ не существует поднятия порядка $|w|$, то минимальный порядок поднятия равен $2|w|$. Таблица 2.Поднятия элементов группы $W(F_4)$
Авторы выражают благодарность рецензенту за полезные замечания.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GalSta22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|