| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 9 научных статьях (всего в 9 статьях) Функциональные и аналитические свойства одного класса отображений квазиконформного анализа С. К. Водопьянов, А. О. Томилов Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9082 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеНапомним, что функция $u\colon D\to\mathbb R$, определенная на открытом множестве $D\subset \mathbb R^n$, принадлежит классу Соболева $L^1_{p}(D)$, если $u \in L_{1,\mathrm{loc}}(D)$, ее обобщенные производные суммируемы в степени $p$: $\partial u/dx_j\in L_{p}(D) $ для любого $j=1,\dots,n$, а ее полунорма
$$
\begin{equation*}
\|u\mid L^1_{p}(D)\|=\biggl(\int_{D}|\nabla u(y)|^p\,dy\biggr)^{1/p},\qquad 1\leqslant p\leqslant \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
конечна [1]. Отображение $\varphi=(\varphi_1,\dots, \varphi_n) $ принадлежит классу Соболева $W^1_{p,\mathrm{loc}}(D)$, если и $\varphi_j(x) \in L_{p,\mathrm{loc}}(D)$, и обобщенные производные $\partial\varphi_j/dx_i\in L_{p,\mathrm{loc}}(D) $ для любых $j,i=1,\dots,n$. В 1961 г. В. Г. Мазья при изучении теорем вложения функциональных классов [2] доказал следующее утверждение. Предложение 1. $C^1$-диффеоморфизм $\varphi \colon D \to D'$ евклидовых областей $D,D'\subset\mathbb R^n$, $n\geqslant2$, порождает ограниченный оператор по правилу $(\varphi^*u)(x)=u(\varphi(x))$, $u\in L^1_p(D')$, тогда и только тогда, когда существует постоянная $0<K_p<\infty$ такая, что выполняется поточечное неравенство Здесь $D\varphi (x)=(\partial\varphi_j(x)/\partial x_i)$ – матрица Якоби отображения $\varphi$ в точке $x\,{\in}\, D$, $|D\varphi (x)|$ – ее евклидова операторная норма, а $\det D\varphi (x)$ – ее определитель (якобиан). Заметим, что в развиваемой в то же самое время теории квазиконформных отображений было получено аналитическое и функциональное описание квазиконформных отображений [3]–[7]: гомеоморфизм $\varphi \colon D \to D'$, $D,D'\subset\mathbb R^n$, квазиконформен, если выполняется одно из трех эквивалентных условий 1) $\varphi \in W^1_{n,\mathrm{loc}}(D)$ и $|D\varphi(x)|\leqslant K_n |{\det D\varphi (x)}|^{1/n}$ п. вс. в $D$, см. [3], [4]; 2) для любого конденсатора1 $E=(F_1,F_0)$ в $D'$ с прообразом $\varphi^{-1}(E)=(\varphi^{-1}(F_1),\varphi^{-1}(F_0))$ в $D$ выполняется [5], [6] неравенство
$$
\begin{equation}
\operatorname{cap}^{1/n}\bigl(\varphi^{-1}(E); L^1_n(D)\bigr) \leqslant K_n \operatorname{cap}^{1/n}\bigl(E; L^1_n(D')\bigr);
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
3) $\varphi \colon D \to D'$ порождает [3], [7] ограниченный изоморфизм по правилу $D\ni x\to(\varphi^*u)(x)=u(\varphi(x))$, $u\in L^1_n(D')$.Сравнивая вышеприведенные результаты, возникает естественный вопрос: при каких условиях гомеоморфизм $\varphi \colon D \to D'$ порождает ограниченный оператор (1.1) по правилу $(\varphi^*u)(x)=u(\varphi(x))$, $u\in L^1_p(D')$, для заданного $p\in[1,\infty)$ (см. частичные результаты в этом направлении в работах [8], [9]). Выражению “$\varphi$ порождает ограниченный оператор” придадим следующее содержание. Будем говорить, что гомеоморфизм $\varphi \colon D \to D'$ – порождает ограниченный оператор композиции $\varphi^* \colon L^1_p(D') \to L^1_q(D)$, $1\leqslant q \leqslant p \leqslant \infty$, если 1) оператор2
$$
\begin{equation}
\varphi^* \colon L^1_p(D')\cap \operatorname{Lip}_l(D') \to L^1_q(D), \qquad 1\leqslant q \leqslant p \leqslant \infty,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
действующий по правилу $(\varphi^*u)(x)=u(\varphi(x))$, ограничен: с некоторой постоянной $K_{q,p}<\infty$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\|\varphi^*u\mid L^1_q(D)\|\leqslant K_{q,p}\|u\mid L^1_p(D')\|\text{ для любой функции }u\in L^1_p(D')\cap \operatorname{Lip}_l (D');
\end{equation*}
\notag
$$
2) установлена связь между распространением по непрерывности оператора (1.4) до оператора $\varphi^* \colon L^1_p(D') \to L^1_q(D)$ и оператором подстановки3. Необходимость разбивать задачу об операторе композиции на две возникает в связи с тем, что элемент класса Соболева – это класс функций, отличающихся друг от друга на множестве меры нуль. Поэтому на первом этапе композиция $\varphi^*u=u\circ \varphi\colon D\to\mathbb R$ для функции $u\in \operatorname{Lip}_l(D')$ корректно определена во всех точках $x\in D$. Если же $u\in L^1_p(D')$ – произвольный класс функций, отличающихся друг от друга на множестве меры нуль, то композиции $u\circ \varphi$ могут отличаться на множестве положительной меры в зависимости от выбора представителя класса, поскольку гомеоморфизм $\varphi$ может не обладать $\mathcal N^{-1}$-свойством Лузина, т. е. прообраз множества нулевой меры может иметь положительную меру (см. примеры в [10]). Первое описание гомеоморфизмов $\varphi \colon D \to D'$, индуцирующих ограниченный оператор композиции (1.1), получено в работе [11; теорема 8.7]. Мы приводим этот результат в эквивалентной формулировке в п. 1) и п. 2) следующего утверждения. Предложение 2 (см. [11]–[14]). Следующие условия эквивалентны: 1) гомеоморфизм $\varphi \colon D \to D'$ порождает ограниченный оператор
$$
\begin{equation}
\varphi^* \colon L^1_p(D') \cap \operatorname{Lip}_l(D')\to L^1_p(D), \qquad 1 \leqslant p < \infty,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
по правилу $(\varphi^*u)(x)=u(\varphi(x))$, $u\in L^1_p(D')$; 2) $\varphi\in W^1_{p, \mathrm{loc}}$, и для каждого $p\in[1,\infty)$ существует постоянная $0<K_p<\infty$ такая, что выполняется поточечное неравенство
$$
\begin{equation}
|D\varphi(x)|\leqslant K_p |{\det D\varphi (x)}|^{1/p} \quad \textit{для п. вс. }x\in D;
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
3) для любого конденсатора $E=(F_1,F_0)$ в $D'$ с прообразом $\varphi^{-1}(E)=(\varphi^{-1}(F_1),\varphi^{-1}(F_0))$ в $D$, выполняется неравенство
$$
\begin{equation}
\operatorname{cap}^{1/p}\bigl(\varphi^{-1}(E); L^1_p(D)\bigr) \leqslant K_p \operatorname{cap}^{1/p}\bigl(E; L^1_p(D')\bigr), \qquad 1<p<\infty.
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
Кроме того, распространение по непрерывности оператора (1.5) на пространство $L^1_p(D')$ совпадает с оператором композиции в следующем смысле:
$$
\begin{equation}
L^1_p(D')\ni u\mapsto \varphi^*u=\begin{cases} u\circ\varphi, &\textit{где $u$ - непрерывный представи-} \\ &\textit{тель $u\in L^1_p(D')$ при $p\in(n, \infty)$,} \\ u\circ\varphi, &\textit{где $u$ - произвольный представи-} \\ &\textit{тель $u\in L^1_p(D')$ при $p\in[1, n]$.} \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
При $p=n$ условие (1.7) совпадает с условием (1.3): отображения этого класса суть квазиконформные. В работе [15] отображения этого класса при $p\ne n$ названы $p$-морфизмами. Замечание 1. Эквивалентность п. 1) и п. 2) предложения 2 установлена в работах [11; теорема 8.7], [12] с одним отличием: условие (1.6) при $p\in [1,n)$ записано в [11] в эквивалентной форме: В формуле (1.9)
$$
\begin{equation}
D'\ni y\mapsto J_{\varphi^{-1}}(y)=\lim_{r\to 0}\frac{|\varphi^{-1}(B(y,r))|}{|B(y,r)|}
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
– производная функции множества $\mathcal B(D')\ni A\mapsto|\varphi^{-1}(A)|$, определенной на $\sigma$-алгебре $\mathcal B(D')$ борелевских множеств области $D'$ (здесь и далее символ $|\,{\cdot}\,|$ обозначает меру Лебега измеримого множества). Так как эта функция множества счетноаддитивна, то по теореме Лебега (см., например, [16]–[19] или формулируемое ниже предложение 3) ее производная существует и конечна для п. вс. $y\in D'$. В предложении 4 и лемме 1, доказываемых в § 2 работы, показано, что в условиях предложения 2 для всех $p\in[1,n)$ справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
|{\det D\varphi (x)}|=\bigl(J_{\varphi^{-1}}(\varphi(x))\bigr)^{-1}\quad\text{п. вс. в }D.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, поточечные соотношения (1.6) и (1.9) эквивалентны. Там же продемонстировано, что они совпадают также и с приводимым ниже условием (1.11). Замечание 2. Pезультат работ [11]–[14] (см. предложение 2) был представлен в [20; теорема 1.4] с одним отличием: поточечные соотношения (1.6) написаны в эквивалентном виде (см. лемму 1): для каждого $p\in[1,\infty)$ существует постоянная $0<K_p<\infty$ такая, что выполняется поточечное неравенство Здесь функция – производная функции множества $\mathcal B(D)\ni T\mapsto|\varphi(T)|$, определенной на $\sigma$-алгебре $\mathcal B(D)$ борелевских множеств $T\subset D$.Формально неравенства (1.2) и (1.6) совпадают. Однако существенное отличие предложений 1 и 2 проявляется с учетом свойств исходного отображения $\varphi$. В предложении 1 $\varphi$ – диффеоморфизм и поэтому его якобиан отличен от нуля во всех точках области определения. В предложении 2 для гомеоморфизма $\varphi$ класса Соболева мера множества нулей его якобиана может быть положительной (см. примеры в [10], [21]). Из (1.6) вытекает, что
$$
\begin{equation}
D\varphi(x)=0\quad\text{п. вс. на множестве }Z=\{x\in D\colon \det D\varphi (x)=0\}.
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
Отображения $\varphi \colon D\to D'$ класса $\operatorname{ACL}(D)$, удовлетворяющие условию (1.13), называются отображениями с конечным искажением. Напомним, что $u\in\operatorname{ACL}(D)$, если ограничение $u|_Q$ функции $u\colon D\to\mathbb R$ на любой замкнутый куб $Q\subset D$, ребра которого параллельны координатным осям, абсолютно непрерывно на п. вс. отрезках, перпендикулярных граням этого куба. Известно (см., например, [22]), что всякую функцию класса $f\in W^1_{1,\mathrm{loc}}(D)$ можно переопределить на множестве меры нуль так, что переопределенная функция $\widetilde f$ будет принадлежать $\operatorname{ACL}(D)$, а все ее частные производные будут совпадать с обобщенными п. вс. в $D$. Для отображения $\varphi \colon D\to D'$ класса $\operatorname{ACL}(D)$ с конечным искажением определим операторную функцию искажения
$$
\begin{equation*}
D\ni x\mapsto K_p(x,\varphi)=\begin{cases} \dfrac{|D\varphi|(x)}{|{\det D\varphi (x)}|^{1/p}},&\text{если }\det D\varphi (x)\ne0, \\ 0 &\text{иначе}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Первые два утверждения предложения 2 можно переформулировать следующим образом: гомеоморфизм $\varphi \colon D \to D'$ порождает ограниченный оператор $\varphi^* \colon L^1_p(D') \cap \operatorname{Lip}_l(D')\to L^1_p(D)$, $1 \leqslant p < \infty$, по правилу $(\varphi^*u)(x)=u(\varphi(x))$, $u\in L^1_p(D')$, тогда и только тогда, когда 1) $\varphi\in W^1_{p, \mathrm{loc}}(D)$; 2) $\varphi$ имеет конечное искажение; 3) $ K_p(\,{\cdot}\,,\varphi)\in L_\infty(D)$. Определение 1. Конденсатором в области $D\subset \mathbb{R}^n$ называется называется пара $E=(F_1,F_0)$ связных компактов (континуумов) в $D$: $F_1,F_0\subset D$. Если континуум $F\subset U$, где $U\Subset D$ – открытое связное компактно вложенное множество, то конденсатор $E=(F,\partial U)$ будем обозначать символом $E=(F,U)$. Непрерывная функция $u\colon D\to\mathbb R$ класса $\operatorname{ACL}(D)$ называется допустимой для конденсатора $E=(F_1,F_0)$, если $u\equiv 1$ на $F_1$ и $u \equiv 0$ на $F_0$. Совокупность допустимых для конденсатора $E=(F_1,F_0)$ функций будем обозначать символом $\mathcal A(E)$. Емкость конденсатора $E=(F_1,F_0)$ в пространстве $L^1_p(D)$ определим как величину
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cap}(E; L^1_p(D))=\inf_{u\in \mathcal A(E;L^1_p(D))}\|u\mid L^1_p(D)\|^p,
\end{equation*}
\notag
$$
где инфимум берется по семейству $\mathcal A(E) $ всех допустимых для конденсатора $E=(F_1,F_0)$ функций класса $L^1_p(D)$. Таким образом, Функцию $v\in L^1_p(D)$ будем называть экстремальной функцией для конденсатора $E=(F_1,F_0)\subset D$, если
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cap}(E; L^1_p(D))=\int_{D} |\nabla v |^p\,dy.
\end{equation*}
\notag
$$
Экстремальная функция всегда существует и единственна при $1<p<\infty$, причем ее продолжение единицей на $F_1$ и нулем на $F_0$ принадлежит классу $L^1_p(D)$ (см., например, [23]). Обобщение результатов работ [11; теорема 8.7] и [12]–[14] (см. предложение 2) на случай $1\leqslant q<p<\infty$ получено в серии статей [24]–[27]. В п. 5.3 показано, как результаты работ [24]–[27] можно получить из утверждений настоящей статьи. Отметим, что некоторые результаты этой серии применяются в задачах нелинейной теории упругости [28]. В настоящей статье мы обобщаем утверждения предложения 2 и серии работ [24]–[27] (см. предложение 9) на случай, когда в области $D'$ задано весовое пространство Соболева. Другими словами, в теореме 1 (см. § 3) мы находим аналитическое описание гомеоморфизмов $\varphi\colon D\to D'$, индуцирующих ограниченный оператор композиции
$$
\begin{equation*}
\varphi^*\colon {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_l(D')\to L^1_q(D),\qquad 1\leqslant q \leqslant p<\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
а при $1< q \leqslant p<\infty$ устанавливаем их геометрическую характеристику через емкость подходящих конденсаторов. Принципиально новым сравнительно с предыдущими работами является вызванное спецификой весового пространства Соболева получение поточечной оценки для функции искажения из соотношений на емкости конденсаторов. В § 4 мы вводим в рассмотрение двухиндексную шкалу $\mathcal Q_{q,p}(D',\omega)$, $1<q\leqslant p<\infty$, гомеоморфизмов $f\colon D'\to D$ пространственных областей в $\mathbb R^n$, геометрическое определение которых обусловленно контролем поведения $q$-емкости конденсаторов в образе через $\omega$-весовую $p$-емкость конденсаторов в прообразе, и получаем их аналитическую характеристику. Мы показываем, что в качестве примера таких гомеоморфизмов, можно рассматривать обратные отображения к гомеоморфизмам $\varphi\colon D\to D'$ класса Соболева $W^1_{q,\mathrm{loc}}(D)$, индуцирующим по правилу замены переменной либо ограниченный оператор
$$
\begin{equation*}
\varphi^*\colon {L}^1_p(D',\omega) \cap \operatorname{Lip}_l(D')\to L^1_q(D),\qquad 1< q \leqslant p<\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
из весового пространства Соболева в невесовое, см. теорему 2, либо ограниченный оператор переноса
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varphi^*\colon \mathcal L_{p/(n-1),\omega}(D', \Lambda^{n-1})\cap \mathcal C(D',\Lambda^{n-1})\to\mathcal L_{q/(n-1)}(D, \Lambda^{n-1}), \\ n-1< q\leqslant p<n+\frac{1}{n-2}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
из весового пространства $\mathcal L_{p/(n-1),\omega}(D', \Lambda^{n-1})\,{\cap}\, \mathcal C(D',\Lambda^{n-1})$ дифференциальных форм степени $n-1$ с непрерывными коэффициентами на области $D'$ в пространство $\mathcal L_{q/(n-1)}(D, \Lambda^{n-1})$, см. теорему 8. Мы применяем результаты § 3 для аналитического описания гомеоморфизмов класса $\mathcal Q_{q,p}(D',\omega)$ и получаем также их функциональные свойства, см. теоремы 3–5. В теореме 8 мы устанавливаем связь между операторами переноса внешних дифференциальных форм и отображениями класса $\mathcal Q_{q,p}(D',\omega)$. В § 5 мы показываем, что класс гомеоморфизмов $\mathcal Q_{q,p}(D',\omega)$ при частных значениях параметров: $n-1<q\leqslant p\leqslant n$ и весовой функции $\omega$, совпадает с некоторыми классами отображений, изучаемыми ранее. Например, $\mathcal Q_{n,n}(D',\omega)$ совпадает с семейством так называемых $Q$-гомеоморфизмов (при $\omega=Q$), активно исследуемых в работах ряда авторов в последние десятилетия (см. монографию [29] и библиографию к ней). Применение функционального подхода к некоторым задачам теории $Q$-гомеоморфизмов приводит не только к аналитическому описанию $Q$-гомеоморфизмов, но и к новым возможностям в изучении отображений этого класса. Кроме того, читатель может найти новые или более простые доказательства некоторых фактов квазиконформного анализа, известных в случае $\omega\equiv1$. Основные результаты статьи в случае $q=p$ установлены в [30]. Обобщения утверждений пп. 3.2–3.5, 4.1, 4.2, 5.1, 5.3 и 5.5 на случай $q<p$ написаны А. О. Томиловым. § 2. О формуле замены переменнойПусть $D$ – открытое множество в $\mathbb R^n$. Обозначим символом ${\mathcal O}(D)$ некоторую систему открытых множеств в $D$, обладающую следующими свойствами: 1) если $B$ – открытый шар такой, что $\overline{B}$ содержится в $D$, то $B\in{\mathcal O}(D)$; 2) если $U_1,\dots,U_k\in{\mathcal O}(D)$ – дизъюнктная система открытых множеств, то $\bigcup_{i=1}^kU_i\in{\mathcal O}(D)$, где $k\in \mathbb N$ – произвольное число. Пример 1. Cреди систем ${\mathcal O}(D)$ открытых множеств в $D$ есть 1) минимальная, состоящая лишь из совокупности $\{B\}$ всех открытых шаров $B\subset D$, $\overline{B}\subset D$ и объединений произвольных конечных дизъюнктных наборов открытых шаров совокупности $\{B\}$ и 2) максимальная, содержащая все открытые множества $W\subset D$. Определение 2. Отображение $\Phi\colon {\mathcal O}(D)\to[0,\infty]$ называется квазиаддитивной функцией множества, если 1) для всякой точки $x\in D$ существует $\delta$, $0<\delta<\operatorname{dist}(x, \partial D)$, такое, что $0<\Phi(B(x,\delta))<\infty$ (если $D=\mathbb R^n$, то неравенство $0\leqslant\Phi(D(x,{\delta}))<\infty$ должно выполняться для всех $\delta\in(0, \delta(x))$, где $\delta(x)>0$ – некоторое число, которое может зависеть от точки $x$); 2) для всякого конечного дизъюнктного набора $U_i\in{\mathcal O}(D)$, $i=1,\dots,l$, открытых множеств таких, что
$$
\begin{equation}
\bigcup_{i=1}^lU_i\subset U,\quad \text{где }U\in{\mathcal O}(D), \text{ верно неравенство } \sum_{i=1}^{l}\Phi(U_i)\leqslant \Phi(U).
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Если для всякого конечного набора $\{U_i\in{\mathcal O}(D)\}$ попарно непересекающихся открытых множеств, вместо неравенства в (2.1) имеет место равенство при условии $\bigcup_{i=1}^lU_i = U$, то такая функция множества называется конечно аддитивной, а если (2.1) справедливо для всякого счетного набора $\{U_i\in{\mathcal O}(D)\}$ попарно непересекающихся открытых множеств, – то счетноаддитивной. Функция $\Phi$ монотонна, если $\Phi(U_1)\leqslant \Phi(U_2)$ при условии $U_1\subset U_2 \subset D$, $U_1,U_2\in{\mathcal O}(D)$. Квазиаддитивная функция множества $\Phi\colon {\mathcal O}(D)\to[0,\infty]$ называется ограниченной квазиаддитивной функцией множества, если $D\in {\mathcal O}(D)$ и $\Phi(D)<\infty$. Очевидно, что всякая квазиаддитивная функция множества монотонна. Предложение 3 (см. [18], [31]). Пусть $\Phi$ – квазиаддитивная функция множества определена на некоторой системе ${\mathcal O}(D')$ открытых подмножествах области $D'$. Тогда 1) для п. вс. точек $y\in D'$ существует конечная производная4:
$$
\begin{equation*}
\lim_{\delta\to 0,\, y\in B_\delta}\frac{\Phi(B_\delta)}{|B_\delta|}=\Phi'(y);
\end{equation*}
\notag
$$
2) для любого открытого множества $U\in {\mathcal O}(D')$ справедливо неравенство Пример 2 (объемная производная). Пусть $D$ – открытое множество в $\mathbb R^n$, а $f\colon D\to\mathbb R^n$ – инъективное непрерывное отображение. Для любого открытого множества $U\subset D$ образ $f(U)$ является борелевским множеством и поэтому определена функция множества $\mathcal V_n$: Функция $\mathcal V_n$ определена на открытых множествах $U\subset D$ и является очевидно монотонной и счетноаддитивной. В силу предложения 3 существует производная $\mathcal V_n'(x)$, совпадающая с производной $J_f(x)$ для п. вс. $x\in D$ (cм. (1.12)). Пример 3 (теорема Лебега о дифференцировании интеграла). Пусть $D$ – открытое множество в $\mathbb R^n$, а $g\in L_{1,\mathrm{loc}}(D)$ – неотрицательная функция. Для открытого множества $U\subset D$ положим Функция $\Phi$ определена на открытых множествах $U\subset D$ и является монотонной и счетноаддитивной. Ее производная $\Phi'(x)$ существует для п. вс. $x\in D$ и совпадает п. вс. с функцией $g(x)$. Пример 4. Еще один пример приведен ниже в теореме 1. Далее мы покажем, что в условиях предложения 2 поточечные соотношения (1.6) и (1.9) эквивалентны при $p\in[1,n)$ (см. замечание 1). Предложение 4. Если гомеоморфизм $\varphi\colon D\to D'$ класса $W^1_{1, \mathrm{loc}}(D)$ удовлетворяет условию (1.6) предложения 2 при $p\in[1,n]$, то справедливо равенство Доказательство. Мы выведем предложение 4 из формулируемой ниже леммы. Пусть гомеоморфизм $\varphi\colon D\to D'$ класса $W^1_{1, \mathrm{loc}}$ удовлетворяет условию (1.9) при $p\in[1,n)$. В работе [11] доказано, что при $p\in[1,n)$ отображение $\varphi^{-1}\colon D' \to D$ обладает $\mathcal N$-свойством Лузина5 (при $p=n$ отображение $\varphi\colon D \to D'$ и обратное к нему $\varphi^{-1}\colon D' \to D$ квазиконформны; известно, что всякое квазиконформное отображение обладает $\mathcal N$-свойством Лузина, см. детали в [4], другие доказательства этих классических свойств можно найти в [27], [32]–[36]). Следовательно, множество $Z=\{x\in D\colon J_{\varphi}(x)=0\}$ нулей объемной производной имеет меру нуль, и (2.2) следует из (2.4). Лемма 1. Для гомеоморфизма $\varphi\colon D\to D'$ класса $W^1_{1, \mathrm{loc}}$ справедливы следующие соотношения: где $Z=\{x\in D\colon J_{\varphi}(x)=0\}$. Доказательство. Известно (см., например, [19]), что для функции множества $\mathcal B(D) \ni A\mapsto |\varphi(A)|$ существует борелевское множество $\Sigma\subset D$ нулевой меры, вне которого эта функция множества абсолютно непрерывна. Это свойство эквивалентно тому, что отображение $\varphi \colon D\setminus \Sigma \to D'\setminus \varphi(\Sigma)$ обладает $\mathcal N$-свойством Лузина6. Следовательно, для любого борелевского множества $A\in D\setminus \Sigma$, образ $\varphi(A)$ – борелевское множество и справедливо равенство Будем считать множество $Z=\{x\in D\colon J_{\varphi}(x)=0\}$ борелевским, имеющим с $\Sigma$ пустое пересечение. Из (2.5) выводим, что множество $\Sigma'=\varphi(Z)$ имеет меру нуль и является сингулярным множеством для функции множества $D'\supset T\mapsto |\varphi^{-1}(T)|$, $T\in\mathcal{B}(D')$, т. е. отображение $\varphi^{-1}\colon D'\setminus \Sigma'\to D\setminus Z$ обладает $\mathcal N$-свойством Лузина. Действительно, если для некоторого борелевского множества $T\subset D'\setminus \Sigma'$ прообраз $A=\varphi^{-1}(T)\subset D\setminus Z$ имеет положительную меру, то в силу (2.5) мера $|\varphi(A)|=|T|$ положительная, что противоречит выбору $T$.
Аналогично сказанному, в силу равенства для любого борелевского множества $T\subset D'\setminus \Sigma'$, заключаем, что $Z'=\varphi(\Sigma)$ совпадает с множеством нулей функции $J_{\varphi^{-1}}(y)$, т. е. $Z'=\{y\,{\in}\, D'\colon J_{\varphi^{-1}}(y)\,{=}\,0\}$.Следовательно, для любого борелевского множества $A\subset D\setminus (Z\cup\Sigma)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\int_A J_{\varphi}(x)\,dx= \int_{\varphi(A)}\chi_{\varphi(A)}(y)\,dy= \int_{\varphi(A)}\chi_{\varphi(A)}(y)\frac{J_{\varphi^{-1}}(y)}{J_{\varphi^{-1}}(y)}\,dy= \int_A\frac{dx}{J_{\varphi^{-1}}(\varphi(x))},
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $J_{\varphi^{-1}}(y)\ne0$ п. вс. на множестве $\varphi(A)\subset D'\setminus (Z'\cup\Sigma')$. Поэтому7 для отображения $\varphi \colon D\setminus (Z\cup\Sigma) \to D'\setminus (Z'\cup\Sigma')$ справедливо соотношение для п. вс. $x\in D\setminus Z$ (следовало бы написать $x\in D\setminus (Z\cup\Sigma)$, но $|\Sigma|=0$ и поэтому можно написать “для п. вс. $x\in D\setminus Z$”). Из (2.6) становится очевидным, что левая часть соотношений (2.4) доказана.
Для завершения доказательства соотношений (2.3) и (2.4) достаточно проверить, что
$$
\begin{equation}
J_{\varphi}(x)=|{\det D\varphi(x)}|\quad\text{п. вс. в }D.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Равенство (2.7) является следствием соотношений
$$
\begin{equation*}
|\varphi(T)|=\int_TJ_{\varphi}(x)\,dx\quad\text{и}\quad |\varphi(T)|=\int_T|{\det D\varphi(x)}|\,dx
\end{equation*}
\notag
$$
для любого борелевского множества $T\subset D\setminus \Sigma$. Первое из них – это (2.5), а второе – это формула площади, приводимая ниже. Следовательно, лемма 1 доказана. Мы сформулируем формулу площади для отображений с нетривиальной функцией кратности. Введем предварительно несколько понятий. Пусть $f\colon A \to \mathbb {R}^{n}$ и $E \subseteq A $. Функция $\mathcal N (y, f, E)\colon \mathbb {R}^{n} \to \mathbb {N} \cup \{0,\infty \}$, определяемая как
$$
\begin{equation*}
\mathbb {R}^{n}\ni y\mapsto \mathcal N (y, f, E) = \# (f^{-1}(y) \cap E),
\end{equation*}
\notag
$$
называется индикатрисой Банаха отображения $f$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\mathcal N (y, f, E)=\begin{cases} 0, &\text{если прообраз }f^{-1}(y) \cap E\text{ пуст}, \\ \infty, &\text{если прообраз }f^{-1}(y) \cap E\text{ бесконечен}, \\ \# (f^{-1}(y) \cap E) &\text{иначе}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь символ $\#(f^{-1}(y) \cap E)$ обозначает число точек в прообразе $f^{-1}(y) \cap E$ точки $y$. Пусть $\varphi\colon E \to \mathbb {R}^{m}$ – измеримое отображение, определенное на измеримом подмножестве $E \subset \mathbb {R}^{n}$. Мы говорим, что линейный оператор $L\colon \mathbb {R}^{n}\to \mathbb {R}^{m}$ ($L(x)\,{=}\,a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n$, $x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\in \mathbb {R}^{n}$, $a_i\in \mathbb {R}^{m}$, $i=1,2,\dots,n$) является аппроксимативным полным дифференциалом отображения $\varphi $ в точке $x_{0}\in E$, если плотность множества
$$
\begin{equation*}
A_{\varepsilon} = \biggl\{x\in E \colon \frac{|\varphi(x)-\varphi(x_ {0})-L(x-x_ {0})|}{|x-x_{0}|} <\varepsilon \biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
в точке $x_0$ равна $1$ для каждого $\varepsilon>0$. В этом случае $x_ {0}$ является точкой плотности $1$ для множества $E$, и поэтому линейное отображение $L$ определяется однозначно. Если $n=m$, то $\det L$ называется аппроксимативным якобианом отображения $\varphi$ в точке $x_{0}$. Его модуль обозначается символом $J_\varphi(x_0)=|{\det L}|$. В случае аппроксимативной дифференцируемости возникает естественный вопрос об интерпретации коэффициентов $a_i$ линейного отображения $L$. Вектор $a_i\in \mathbb {R}^{m}$ называется аппроксимативной частной производной отображения $\varphi\colon E \to \mathbb{R}^{m}$ в точке $x_{0}$ в направлении оси $e_i$, если для каждого $\varepsilon>0$ множество
$$
\begin{equation*}
A_{i,\varepsilon} = \biggl\{t\in \mathbb R\colon \{x=x_0+te_i\in E\} \text{ и } \frac{|\varphi(x)-\varphi(x_ {0})-a_i|}{|t|} <\varepsilon \biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
вещественной прямой имеет $0$ в качестве точки линейной плотности $1$. В этом случае точка $x_{0}$ является точкой линейной плотности $1$ для пересечения $ E\cap \{x=x_0+te_i\colon t\in \mathbb R\}$, и поэтому вектор $a_i $ определяется однозначно. Аппроксимативная частная производная отображения $\varphi $ в точке $x_{0} $ обозначается символом $\partial \varphi(x_0)/\partial x_i$, $i=1,\dots,n$. Измеримое отображение $\varphi\colon E \to \mathbb {R}^{m}$, определенное на измеримом подмножестве $E \subset \mathbb {R}^{n}$, аппроксимативно дифференцируемо в п. вс. точках $x\in E$ тогда и только тогда, когда $\varphi$ имеет аппроксимативные частные производные $\partial \varphi(x)/\partial x_i$, $i=1,\dots,n$, п. вс. в $E$ (см. [19; теорема 3.1.4]). Предложение 5. Пусть $\varphi\colon D\to \mathbb R^n$ – отображение класса Соболева $W^1_{1,\mathrm{loc}}(D)$ (или класса $\operatorname{ACL}(D)$). Тогда 1) существует борелевское множество $\Sigma\subset D$ нулевой меры такое, что $\varphi\colon D\setminus\Sigma\to\mathbb R^n$ обладает $\mathcal N$-свойством Лузина; 2) функции
$$
\begin{equation*}
D\setminus\Sigma\ni x\mapsto (u\circ \varphi)(x) |{\det D\varphi (x)}|\quad\textit{и} \quad \mathbb R^n \ni y\mapsto u(y)\mathcal N(y,\varphi, D\setminus \Sigma)
\end{equation*}
\notag
$$
измеримы, если функция $u\colon \mathbb R^n \to\mathbb R$ измерима; 3) если $A\subset D\setminus \Sigma$ – измеримое множество, верна формула площади:
$$
\begin{equation*}
\int_{A} |{\det D\varphi (x)}|\, dx=\int_{\mathbb{R}^{n}} \mathcal N (y, \varphi, A) \, dy;
\end{equation*}
\notag
$$
4) если функция $u \geqslant0$ неотрицательна, то подынтегральные функции в (2.8) измеримые и верна следующая формула замены переменной в интеграле Лебега:
$$
\begin{equation}
\int_{D\setminus \Sigma} u(\varphi(x))|{\det D\varphi (x)}|\,dx= \int_{\mathbb{R}^{n}}\sum_{x \in \varphi^{-1}(y)\setminus \Sigma} u(x)\, dy;
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
5) если одна из функций интегрируема, то и другая интегрируема, и верна формула Доказательство. Отображение $\varphi\in W^1_{1,\mathrm{loc}}(D)$ можно переопределить на множестве меры нуль так, чтобы измененная функция $\widetilde\varphi$ была абсолютно непрерывна на всех замкнутых промежутках в $D$, являющихся частью п. вс. линий, параллельных координатным осям (коротко $\widetilde\varphi\in\operatorname{ACL}(D)$).
Отсюда выводим, что переопределенное отображение $\widetilde\varphi$ имеет частные производные $(\partial \widetilde\varphi/\partial x_{j})_{j=1,\dots,n}$ п. вс. в $D$, совпадающие с аппроксимативными производными $(\partial \varphi/\partial x_{j})_{j=1,\dots,n}$ исходного отображения п. вс. в $D$. Следовательно (см., например, [16; гл. IX, § 11, теорема 11.1], [19; теорема 3.1.4] или [37; 6.1.3, замечание (ii)]), всякое отображение $\varphi\in W^1_{1,\mathrm{loc}}(D)$ (или $\varphi\in \operatorname{ACL}(D)$) аппроксимативно дифференцируемо п. вc. в $D$. Другими словами, отображение $\varphi$ этого класса аппроксимативно дифференцируемо во всех точках $D\setminus \Sigma$ вне некоторого множества $\Sigma$ нулевой меры. Более того, аппроксимативный якобиан $J_\varphi(x)$ совпадает с якобианом $J(x,\widetilde\varphi)=|{\det D\widetilde\varphi}|$ переопределенного отображения п. вс. в $D$. В точках аппроксимативной дифференцируемости имеем (см. [19; § 2.9])
$$
\begin{equation*}
\operatorname{ap} \limsup_{x\to a} \frac{|\varphi(x)-\varphi(a)|}{|x-a|}<\infty\quad\text{для всех }a \in D\setminus \Sigma.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для отображения $\varphi\colon D\setminus\Sigma\to\mathbb R^n$ выполняются условия теоремы 3.2.3 из [19] и поэтому верны все утверждения предложения 5. Предложение доказано. Замечание 3. Так как $|\Sigma|=0$ в формулах (2.8) и (2.9), то в левых частях этих формул интегрирование по $D\setminus \Sigma$ можно заменить интегрированием по $D$, так что вместе с (2.9) верна также и формула Замечание 4. Заметим, что всякое отображение $\varphi\in W^1_{q,\mathrm{loc}}(D)$ при $q>n$ (гомеоморфизм $\varphi\in W^1_{n,\mathrm{loc}}(D)$) обладает $\mathcal N$-свойством Лузина (см., например, [33]–[36]). § 3. Описание оператора композиции из весового пространства Соболева в невесовоеЛокально суммируемая функция $\omega\colon D'\to\mathbb R$ называется весовой, если $0<\omega(y)<\infty$ для п. вс. $y\in D'$. Напомним, что функция $u\colon D'\to\mathbb R$ принадлежит весовому классу Соболева $L^1_{p}(D';\omega)$, $p\in[1,\infty)$, если $u$ локально суммируема в $D'$, а обобщенные производные8 $\partial u/\partial y_j$ принадлежат $L_{p}(D';\omega)$ для любого $j=1,\dots,n$. Полунорма функции $u\in L^1_{p}(D')$ равна
$$
\begin{equation}
\|u\mid L^1_{p}(D';\omega)\|=\biggl(\int_{D'}|\nabla u|^p(y)\omega(y)\,dy\biggr)^{1/p}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Далее мы рассматриваем в области $D'$ преимущественно конденсаторы вида $E=(F,U)$, где $U\Subset D'$ – открытое множество, а $F\subset U$ – континуум, такие, что $\mathbb R^n\setminus F$ – открытое связное множество, дополнение $\overline{\mathbb R^n}\setminus (U\setminus F)$ к которому имеет две компоненты связности (здесь $\overline{\mathbb R^n}=\mathbb R^n\cup\{\infty\}$ – одноточечная компактификация $\mathbb R^n$). Такие конденсаторы будем называть кольцевыми (см. близкие определения в [4], [6], [29]). Весовую емкость конденсатора $E=(F,U)$ в пространстве $L^1_p(D';\omega)$ определим как
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cap}\bigl(E; L^1_p(D';\omega)\bigr)=\inf_{u\in \mathcal A(E;\operatorname{Lip}_l(D'))}\|u\mid L^1_{p}(D';\omega)\|^p,
\end{equation*}
\notag
$$
где инфимум берется по всем допустимым для конденсатора $E=(F,U)$ функциям класса9
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Lip}_l(D')\colon\quad \mathcal A(E;\operatorname{Lip}_l(D'))= \mathcal A(E)\cap \operatorname{Lip}_l(D').
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 3. Пусть $1\,{\leqslant}\,q\,{\leqslant}\, p\,{<}\,\infty$, а $\omega \colon D' \to (0,\infty)$ – весовая функция класса $L_{1,\mathrm{loc}}(D')$. Следуя работе [39; определение 3], определим класс $\mathcal{OD}(D,D'; q,p; 1,\omega)$, гомеоморфизмов $\varphi \colon D \to D'$ открытых областей $D, D'\subset \mathbb{R}^n$, $n\geqslant 2$, таких, что 1) $\varphi\in W^1_{q, \operatorname{loc}}(D)$; 2) отображение $\varphi$ имеет конечное искажение: $D\varphi(x)=0$ п. в. на множестве $Z=\{x\in D \mid J(x, \varphi)=0\}$; 3) операторная функция искажения принадлежит $L_{\sigma}(D)$, где $1/\sigma=1/q-1/p$, если $1\leqslant q<p<\infty$, и $\sigma=\infty$, если $q=p$. Символ $K^{1,1}_{q,p}(x,\varphi)$ применяется в тех случаях, когда $\omega\equiv 1$.Определение 4. Пусть гомеоморфизм $\varphi\colon D\to D'$ областей $D,D'\subset \mathbb R^n$ индуцирует ограниченный оператор композиции где $\omega\colon D'\to (0,\infty)$ – весовая локально суммируемая функция. Фиксируем произвольное открытое множество $W\subset D'$. Ограничим действие оператора $\varphi^*$ на подпространство10
$$
\begin{equation}
\mathcal R(W)={L}^1_p(W;\omega) \cap \mathring{\mathrm{Lip}}_l(W)\subset{L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_l(D').
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
(Здесь $\mathring{\mathrm{Lip}}_l(W)\subset \operatorname{Lip}_l(D')$ – подпространство пространства локально липшицевых на $D'$ функций, равных тождественно нулю вне $W$.) Очевидно, норма ограничения $\varphi_W\colon {L}^1_p(W;\omega) \cap \mathring{\mathrm{Lip}}_l(W)\to L^1_q(D)$ может зависеть от $W$: При $1\leqslant q<p<\infty$ определим функцию множества, сопоставляя открытому множеству $W\subset D'$ число Теперь можно перейти к формулировке основной теоремы настоящей работы. Можно сказать, что формулируемое ниже утверждение – это “весовое” обобщение предложений 2 и 9. Теорема 1. Пусть заданы гомеоморфизм $\varphi\colon D\to D'$ областей $D,D'\subset \mathbb R^n$ и весовая локально суммируемая функция $\omega\colon D'\to (0,\infty)$. Следующие условия эквивалентны: 1) оператор композиции $\varphi^*\colon {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_l(D')\to L^1_q(D)$, $1< q \leqslant p<\infty$, ограничен; 2) для любого конденсатора $E=(F_1,F_0)$ в $D'$ с прообразом $\varphi^{-1}(E)=(\varphi^{-1}(F_1),\varphi^{-1}(F_0))$ в $D$, выполняется неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\operatorname{cap}^{1/q}\bigl(\varphi^{-1}(E); L^1_q(D)\bigr) \nonumber \\ &\qquad \leqslant \begin{cases} K_p \operatorname{cap}^{1/p}(E; L^1_p\bigl(D';\omega)\bigr), &1<q=p<\infty, \\ \Phi(D'\setminus \bigl(F_1\cup F_0)\bigr)^{1/\sigma} \operatorname{cap}^{1/p}\bigl(E; L^1_p(D';\omega)\bigr), &1<q<p<\infty, \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
где $K_p $ – постоянная, а $\Phi(W)=\|\varphi^*_W\|^\sigma$ (см. (3.5)) – ограниченная квазиаддитивная функция множества, определенная на системе $\mathcal O(D')$ всех открытых подмножеств области $D'$; 3) для любого кольцевого конденсатора $E=(F,U)$ в $D'$ с прообразом $\varphi^{-1}(E)=(\varphi^{-1}(F),\varphi^{-1}(U))$ в $D$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\operatorname{cap}^{1/q}\bigl(\varphi^{-1}(E); L^1_q(D)\bigr) \nonumber \\ &\qquad \leqslant \begin{cases} K_p \operatorname{cap}^{1/p}(E; L^1_p\bigl(D';\omega)\bigr), &1<q=p<\infty, \\ \Psi(U\setminus F)^{1/\sigma} \operatorname{cap}^{1/p}\bigl(E; L^1_p(D';\omega)\bigr), &1<q<p<\infty, \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
где $K_p $ – постоянная, а $\Psi$ – некоторая ограниченная квазиаддитивная функция множества, определенная на некоторой системе11 $\mathcal O(D')$ открытых подмножеств области $D'$; 4) гомеоморфизм $\varphi \colon D \to D'$ принадлежит семейству
$$
\begin{equation*}
\mathcal{OD}(D,D'; q,p; 1,\omega), \qquad 1< q \leqslant p<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, $\varphi\in W^1_{q, \operatorname{loc}}(D)$ имеет конечное искажение и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\begin{cases} 2^{-n/p}\biggl(\dfrac{3n}2\biggr)^{-1} \|K^{1,\omega}_{p,p}(\,{\cdot}\,)\mid L_\sigma(\varphi^{-1}(W))\| \\ 2^{-n/q}\biggl(\dfrac{3n}2\biggr)^{-1} \|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,)\mid L_\sigma(\varphi^{-1}(W))\| \end{cases} \leqslant\|\varphi_W^*\| \nonumber \\ &\qquad \leqslant \|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,)\mid L_\sigma(\varphi^{-1}(W))\| \leqslant \begin{cases} 3n2^{(n-p)/p}K_p &\textit{при }q=p, \\ 3n 2^{(n-q)/q}\Psi(W)^{1/\sigma} &\textit{при }q<p, \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
для любого открытого множества $W\in \mathcal O(D')$. (Величина $\|\varphi_W^*\|$ определена выше формулой (3.4).) Доказательство. Мы докажем импликации в следующем порядке: $1)\,{\Rightarrow}\,2)$, $2) \Rightarrow 3)$, $3) \Rightarrow 4)$, $4) \Rightarrow 1)$. Для последовательного изложения аргументов мы разобьем каждую часть доказательства на несколько независимых фрагментов.
$1) \Rightarrow 2)$. Пусть дан ограниченный оператор композиции $\varphi^*\colon {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_l(D')\to L^1_q(D)$: $\|\varphi^*u\mid L^1_q(D)\|\leqslant \|\varphi^*\| \cdot \|u\mid L^1_p(D';\omega)\|$ для любой функции $u\in {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_l(D')$, $1\leqslant q \leqslant p<\infty$. Итогом этого этапа будут величина $K_p$ и ограниченная квазиаддитивная функция $\Phi$ (см. (3.26) и (3.27)), для которых выполняются неравенства (3.6) и (3.7). 3.1. Норма оператора композиции и ограниченная квазиаддитивная функцияСвойства функции (3.5) установлены в следующем утверждении. Лемма 2. Функция множества, определенная на открытых компактно вложенных множествах $W\Subset D'$ формулой (3.5), монотонна и счетноаддитивна. Приводимое ниже простое доказательство этого свойства основано на оригинальном методе работы [25; лемма 1]. Доказательство леммы 2. Свойство монотонности очевидно вытекает из определения функции $\Phi$: $\Phi(W)\leqslant \Phi(U)$, если $W\subset U\subset D'$.
Фиксируем произвольные открытые множества $U,U_1,U_2,\dots,U_k\subset D'$ так, чтобы $U_1,U_2,\dots,U_k$ были дизъюнктны и $\bigcup_{i=1}^kU_i=U$. Докажем, что
$$
\begin{equation}
\Phi(U_1)+\Phi(U_2)+\dots+\Phi(U_k)\leqslant \Phi(U).
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Достаточно доказать (3.9) для двух множеств $U_1$, $U_2$ и открытого множества $U= U_1\cup U_2$. Действительно, если неравенство $\Phi(U_1)+\Phi(U_2)\leqslant \Phi(U_1\cup U_2)$ установлено, то
$$
\begin{equation*}
\Phi(U_1)+\Phi(U_2)+\Phi(U_3)\leqslant \Phi(U_1\cup U_2)+\Phi(U_3)\leqslant \Phi(U_1\cup U_2\cup U_3).
\end{equation*}
\notag
$$
Продолжая этот процесс по индукции, распространяем это неравенство на конечную совокупность открытых множеств $U_1,U_2,\dots,U_k$.
Более того, неравенство (3.9) очевидно распространяется и на произвольный счетный набор открытых множеств $U,U_1,U_2,\dots,U_k,\ldots\subset D'$ такой, что
$$
\begin{equation}
U_1,U_2,\dots,U_k,\dots\quad\text{дизъюнктны и}\quad \bigcup_{i=1}^\infty U_i=U\colon \sum_{i=1}^\infty\Phi(U_i)\leqslant \Phi(U).
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Переходим к доказательству неравенства $\Phi(U_1)+\Phi(U_2)\leqslant \Phi(U_1\cup U_2)$. Если одно из значений $\Phi(U_1)$ или $\Phi(U_2)$ равно нулю, то это неравенство есть следствие монотонности. Пусть теперь произведение $\Phi(U_1)\cdot \Phi(U_2)$ отлично от нуля. Фиксируем произвольное положительное число $\varepsilon>0$ таким образом, чтобы разности $\Phi(U_1)-\varepsilon$ и $\Phi(U_2)-\varepsilon$ были положительными. Далее выберем функции $u_i\in \mathcal R(U_i)$ так, чтобы с учетом (3.4) и (3.5) выполнялись следующие соотношения:
$$
\begin{equation}
\|\varphi^*u_i\mid L^1_q(\varphi^{-1}(U_i))\|\geqslant (\Phi(U_i)-\varepsilon)^{1/\sigma} \|u_i\mid L^1_p(U_i;\omega)\|,\qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
$$
\begin{equation}
\Phi(U_i)-\varepsilon=\|u_i\mid L^1_p(U_i;\omega)\|^p,\qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Возводим в степень $q$ неравенство в (3.11) и суммируем по $i=1,2$. С учетом (3.12) непосредственно выводим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\varphi^{-1}(U_1\cup U_2)}|\nabla (\varphi^*(u_1+u_2))(x)|^q\,dx \nonumber \\ &\qquad\geqslant (\Phi(U_1)-\varepsilon)^{q/\sigma} \|u_1\mid L^1_p(U_1;\omega)\|^q + (\Phi(U_2)-\varepsilon)^{q/\sigma} \|u_2\mid L^1_p(U_2;\omega)\|^q \nonumber \\ &\qquad=(\Phi(U_1)+\Phi(U_2)-2\varepsilon)^{q/\sigma} \biggl(\int_{U_1\cup U_2}|\nabla (u_1+u_2)(y)|^p\omega(y)\,dy\biggr)^{q/p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Из (3.13) получаем $\Phi(U_1)+\Phi(U_2)-2\varepsilon\leqslant \Phi(U_1\cup U_2)$, а так как $\varepsilon>0$ произвольно мало, выводим требуемое соотношение: Таким образом, неравенство (3.9), а вместе с ним и неравенство (3.10) доказаны.Чтобы доказать счетную аддитивность функции множества $\Phi$ (см. (3.5)), рассмотрим произвольный счетный набор открытых множеств такой, что $U_1,U_2,\dots,U_k,\dots$ дизъюнктны, и положим $\bigcup_{i=1}^\infty U_i= U$. Выберем произвольную функцию $u\in \mathcal R(U)$ и рассмотрим ее ограничения $u_i=u|_{U_i}$. В силу дизъюнктности совокупности $\{U_i\}$ имеем $u_i\in \mathcal R(U_i) $. Подставляя $u_i$ в неравенство
$$
\begin{equation*}
\|\varphi^*u\mid L^1_q(\varphi^{-1}(U_i))\|\leqslant \|\varphi^*_{U_i}\|\cdot \|u\mid L^1_p(U_i;\omega)\|,\qquad u\in \mathcal R(U_i),
\end{equation*}
\notag
$$
с учетом (3.5) получаем следующий набор соотношений:
$$
\begin{equation}
\int_{\varphi^{-1}(U_i)}|\nabla (\varphi\circ u_i)(x)|^q\,dx \leqslant (\Phi(U_i))^{q/\sigma} \biggl(\int_{U_i}|\nabla u_i(y)|^p\omega(y)\,dy\biggr)^{q/p},\qquad i\in\mathbb N.
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Полагая в лемме 3, формулируемой ниже, $v_i=\varphi\circ u_i$, $\Theta=\Psi$ и $u=\sum_{i=1}^\infty u_i$, из (3.19)–(3.22) получаем
$$
\begin{equation}
\int_{\varphi^{-1}(U)}|\nabla (\varphi\circ u)(x)|^q\,dx\leqslant \biggl(\sum_{i=1}^\infty\Phi(U_i)\biggr)^{q/\sigma} \biggl(\int_{U}|\nabla u|^p\omega(y)\,dy\biggr)^{q/p}
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
для любой функции $u\in \mathcal R(U)$. Отсюда выводим Вместе с неравенством (3.10) cчетная аддитивность функции множества $\Phi$ доказана. Лемма доказана. Свойство квазиаддитивности применяется ниже при “сложении” неравенств вида (3.14). Для удобства ссылок сформулируем это правило в следующем утверждении. Лемма 3. Пусть $\Theta$ – квазиаддитивная функция множества – определена на системе $\mathcal O(D')$ открытых подмножествах области $D'$. Пусть $U_1,U_2,\dots, U_k,\ldots\in \mathcal O(D')$ – произвольный счетный набор открытых дизъюнктных множеств, а $u_i\in {L}^1_p(U_i;\omega) \cap \operatorname{Lip}_l(U_i)$ и $v_i\in L^1_q(\varphi^{-1}(U_i))$, $i\in \mathbb N$, – произвольные функции12, для которых выполняется неравенство Тогда, обозначая $U=\bigcup_{i=1}^\infty U_i$, имеем соотношение Доказательство. Возводим неравенство (3.16) в степень $q$:
В случае $q<p$ суммируем неравенства в (3.18) по $i\in\mathbb N$ и применяем неравенство Гёльдера с показателями $\sigma/q$, $p/q$: с учетом $v=\sum_{i=1}^\infty v_i$ получаем
$$
\begin{equation}
\int_{\varphi^{-1}(U)}|\nabla v (x)|^q\,dx=\sum_{i=1}^\infty\int_{\varphi^{-1}(U_i)}|\nabla v_i(x)|^q\,dx
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\leqslant \sum_{i=1}^\infty (\Theta(U_i))^{q/\sigma} \biggl(\int_{U_i}|\nabla u_i(y)|^p(y)\omega(y)\,dy\biggr)^{q/p}
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\leqslant \biggl(\sum_{i=1}^\infty\Theta(U_i)\biggr)^{q/\sigma} \biggl(\sum_{i=1}^\infty\int_{U_i}|\nabla u_i(y)|^p\omega(y)\,dy\biggr)^{q/p}
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\leqslant \biggl(\sum_{i=1}^\infty\Theta(U_i)\biggr)^{q/\sigma} \biggl(\int_{U}|\nabla u|^p\omega(y)\,dy\biggr)^{q/p}.
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
Отсюда по свойству $\sum_{i=1}^\infty\Theta(U_i)\leqslant \Theta(U)$ квазиаддитивности выводим (3.17). При $q=p$ доказательство лишь упрощается. Лемма доказана. 3.2. Емкостные неравенстваДля завершения доказательства первой импликации: $1) \Rightarrow 2)$, проверим неравенство (3.6). Пусть $u\in \mathcal A(E;\operatorname{Lip}_l(D'))$ – функция, допустимая для конденсатора $E\,{=}\,(F_1,F_0)$ в $D'$. Тогда $u\,{\circ}\,\varphi$ будет допустимой функцией в $D$ для конденсатора $\varphi^{-1}(E)=(\varphi^{-1}(F_1),\varphi^{-1}(F_0)$. Отсюда имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\operatorname{cap}^{1/q}\bigl(\varphi^{-1}(E); L^1_q(D)\bigr) \leqslant \biggl(\int_{\varphi^{-1}(D')} |\nabla(u\circ\varphi)(x)|^q\,dx\biggr)^{1/q} \nonumber \\ &\quad\leqslant \Phi(D'\setminus (F_1\cup F_0))^{1/\sigma} \biggl(\int_{D'} |\nabla u(y)|^p\omega(y)\,dy\biggr)^{1/p}, \qquad 1<q\leqslant p< \infty \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
(при $q< p$ функция $\Phi(D'\setminus (F_1\cup F_0))$ определена в (3.5), а при $q=p$ вместо множителя $\Phi(D'\setminus (F_1\cup F_0))^{1/\sigma}$ следует рассматривать $\|\varphi^*\|$). Так как допустимая функция $u$ выбрана произвольно, в правой части этих неравенств возможен переход к нижней грани, и тем самым неравенство (3.6) доказано. Заметим, что формально в неравенстве (3.23) вместо $\Phi(D'\setminus (F_1\cup F_0))^{1/\sigma}$ следует написать $\Phi(D')^{1/\sigma}$, так как $\mathcal A(E;\operatorname{Lip}_l(D')) \subset {L}^1_p(D';\omega) \cap \mathring{\mathrm{Lip}}_l(D')$. Однако любая функция $u\in \mathcal A(E;\operatorname{Lip}_l(D'))$ обладает следующим свойством: ее градиент $\nabla u(y)$ равен нулю п. вс. на $F_1\cup F_0$. По этой причине оптимальная постоянная в неравенстве (3.23) равна
$$
\begin{equation}
\sup_{u\in \mathcal A(E;L^1_p(D';\omega))}\frac{\bigl(\int_{\varphi^{-1}(D'\setminus (F_1\cup F_0))} |\nabla(u\circ\varphi)(x)|^q\,dx\bigr)^{1/q}}{\bigl(\int_{D'\setminus (F_1\cup F_0)} |\nabla u(y)|^p\omega(y)\,dy\bigr)^{1/p}}.
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
Любой функции $u\in \mathcal A(E;L^1_p(D';\omega))$ можно сопоставить функцию $\widetilde u\in {L}^1_p(D'\setminus (F_1\cup F_0);\omega) \cap \mathring{\mathrm{Lip}}_l(D'\setminus (F_1\cup F_0))$ таким образом, чтобы $|\nabla u(y)|=|\nabla \widetilde u(y)|$ для п. вс. $y\in D'$. Желаемым свойством обладает функция
$$
\begin{equation}
\widetilde u(y)=\min\biggl(u,\frac12 \biggr)-\max\biggl(u,\frac12\biggr)+\frac12.
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
Следовательно, верхняя грань отношения в (3.24), взятая по всем функциям $\widetilde u\in {L}^1_p(D'\setminus (F_1\cup F_0);\omega) \cap \mathring{\mathrm{Lip}}_l(D'\setminus (F_1\cup F_0))$, с одной стороны, не меньше величины (3.24), а с другой – равна $\|\varphi^*_{D'\setminus (F_1\cup F_0)}\|=\Phi(D'\setminus (F_1\cup F_0))^{1/\sigma}$. Именно эта величина и поставлена в неравенство (3.23). Таким образом, неравенство (3.6) выполняется c постоянной и с ограниченной квазиаддитивной функцией
$$
\begin{equation}
\Phi(W)=\|\varphi_{W}^*\|^\sigma \quad \text{при }1<q<p<\infty
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
вместо $\Psi(W)$. Переход $2) \Rightarrow 3)$ очевиден, так как в утверждении 3) рассматривается более узкий класс конденсаторов по сравнению с таковым в утверждении 2). Результатом этого перехода является неравенство (3.7) с ограниченной квазиаддитивной функцией $\Phi$ вместо $\Psi$. $3) \Rightarrow 4)$. Пусть выполнены все условия п. 3) теоремы 1. Все основные свойства, необходимые для этого шага, мы докажем в отдельно формулируемых ниже леммах, представляющих независимый интерес. Итогом этого этапа будет проверка всех условий определения 3. 3.3. От емкостного неравенства к соболевским отображениямВ контексте настоящей работы непостоянная функция $u\colon D'\,{\to}\,\mathbb R$ класса $\mathring{\mathrm{Lip}}_l(U)$ называется монотонной, если любой уровень $u^{-1}(t)$, $t\in(\min_Uu(x), \max_Uu(x))$, представляет собой континуум в $D'$, разбивающий дополнение $D'\setminus u^{-1}(t)$ на две компоненты связности: $u^{-1}((-\infty, t))$ и $u^{-1}((t,+\infty))$. Лемма 4. Пусть заданы гомеоморфизм $\varphi\colon D\to D'$ областей $D,D'\subset \mathbb R^n$ и весовая локально суммируемая функция $\omega\colon D'\to (0,\infty)$. Если для гомеоморфизма $\varphi\colon D\to D'$ выполнены емкостные соотношения (3.7) с некоторой постоянной $K_p$ при $1< q=p<\infty$ или ограниченной квазиаддитивной функцией $\Psi$ при $1< q<p<\infty$, то $\varphi^*(u)=u\circ\varphi\in L^1_{q,\mathrm{loc}}(D)$ для любой монотонной функции $u\colon D'\to \mathbb R$ класса $\mathring{\mathrm{Lip}}_l(U)$, где $U\Subset D'$ – открытая область. Более того, верна оценка Доказательство. Фиксируем открытую область $U\Subset D'$ и монотонную функцию $u\colon D'\to \mathbb R$ класса $\mathring{\mathrm{Lip}}_l(U)$. Пусть она неотрицательная для определенности.
Рассмотрим разбиение $0=t_0<t_1<\dots<t_k=M=\max_{U}u$, где $t_i=iM/k$, $i=0,1,\dots,k$. Далее в области $U$ рассмотрим следующий набор конденсаторов $E_i=(F_i, U_i)$, $i=1,\dots,k$: 1) $U_i=\{y\in D'\colon u(y)> t_{i-1}\}$, 2) $F_i=\{y\in D'\colon u(y)\geqslant t_i\}$ с внутренностью $A_i=U_i\setminus F_i=\{y\in D'\colon u(y)\in(t_{i-1}, t_i)\}$. Непосредственно проверяется, что внутренности $A_i$ дизъюнктные и
$$
\begin{equation*}
\bigcup_{i=1}^kA_i=U\setminus \bigcup_{i=1}^k u^{-1}(t_i).
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $u_i=(u-t_{i-1})/(t_i-t_{i-1})\big|_{\overline{A}_i}$ липшицева, равна нулю на границе $U_i$ (равна единице на $F_i$), и является допустимой для емкости конденсатора $E_i=(F_i, U_i)$. Пусть $1<q<p<\infty$. Каждому $u_i$, определенному на $U_i$, ставим в соответствие экстремальную для $q$-емкости конденсатора $\varphi^{-1}(E_i)=(\varphi^{-1}(F_i);\varphi^{-1}(U_i))$ функцию $v_i$. Далее, вместо $v_i$ мы рассматриваем ее продолжение $\widetilde v_i$ нулем (единицей) на $D\setminus \varphi^{-1}(U_i)$ ($\varphi^{-1}(F_i)$). Известно, что $\widetilde v_i\in L^1_q(D)$ и $\nabla \widetilde v_i(x)=0$ для п. вс. $x\in D\setminus \varphi^{-1}(A_i)$ (см., например, [23]). Так как $u_i=(u-t_{i-1})/(t_i-t_{i-1})$ на $A_i$, из емкостного неравенства (3.7) выводим
$$
\begin{equation}
\biggl(\int_{\varphi^{-1}(A_i)}|\nabla (t_i-t_{i-1})\widetilde v_i (x)|^q\,dx\biggl)^{1/q} \leqslant \Psi(A_i)^{1/\sigma}\biggl( \int_{A_i}|\nabla u (y)|^p\omega(y)\,dy\biggl)^{1/p},
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
$i=1,\dots,k$. В условиях леммы 3 возьмем $A_i$ вместо $U_i$, $u|_{A_i}$ вместо $u_i$, $(t_i\,{-}\,t_{i-1})\widetilde v_i$ вместо $v_i$,
$$
\begin{equation*}
D\ni x\to w_k(x)=\begin{cases} {\displaystyle\sum_{i=1}^k (t_i-t_{i-1})\widetilde v_i(x)}, &\text{если }x\in U, \\ 0 &\text{иначе} \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
вместо $v$, $\Psi$ вместо $\Theta$. Тогда на основании (3.29) и вывода (3.17) приходим к соотношению
$$
\begin{equation}
\biggl(\int_{\varphi^{-1}(U)}|\nabla w_k(x)|^q\,dx\biggr)^{1/q} \leqslant\Psi(U)^{1/\sigma}\biggl( \int_{U}|\nabla u (y)|^p\omega(y)\,dy\biggr)^{1/p}.
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
На самом деле, вместо $U$ следует написать $\bigcup_{i=1}^kA_i$. Однако с учетом свойств $\bigcup_{i=1}^kA_i\subset U$ (это только может увеличить правую часть (3.17)) и $\nabla w_k(x)=0$ п. вс. на дополнении $D\setminus \varphi^{-1}\bigl(\bigcup_{i=1}^kA_i\bigr)$ справедливо также и неравенство (3.30).
Заметим, что сходимость $\lim_{k\to \infty}w_k(x)= u\circ\varphi(x)$ равномерная на $D$. С другой стороны, некоторая подпоследовательность
$$
\begin{equation*}
w_{k_l}(\,{\cdot}\,)= \sum_{i=1}^{k_l}((t_i-t_{i-1})\widetilde v_i)(\,{\cdot}\,)\in L^1_q(D)
\end{equation*}
\notag
$$
имеет слабый предел в $L^1_q(D)$, совпадающий с равномерным. Отсюда в силу полунепрерывности нормы при слабой сходимости получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \biggl(\int_{\varphi^{-1}(U)} |\nabla(u\circ\varphi)(x)|^q\,dx\biggr)^{1/q} &\leqslant \varliminf_{l\to\infty}\biggl(\int_{\varphi^{-1}(U)}|\nabla w_{k_l}(x)|^q\,dx\biggr)^{1/q} \nonumber \\ &\leqslant \Psi(U)^{1/\sigma}\biggl(\int_{U}|\nabla u(y) |^p\omega(y)\,dy\biggr)^{1/p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.31}
$$
При $1<q<p<\infty$ лемма доказана. Чтобы получить ее доказательство для $1<q=p<\infty$ достаточно формально заменить выражения вида $\Psi(\,{\cdot}\,)^{1/\sigma}$ в формулах (3.29)–(3.31) постоянной $K_p$. Лемма доказана. Лемма 5. Пусть заданы гомеоморфизм $\varphi\colon D\to D'$ областей $D,D'\subset \mathbb R^n$ и весовая локально суммируемая функция $\omega\colon D'\to (0,\infty)$. Если для гомеоморфизма $\varphi\colon D\to D'$ выполнены емкостные соотношения (3.7) с некоторой постоянной $K_p$ при $1< q=p<\infty$ или ограниченной квазиаддитивной функцией $\Psi$ при $1< q<p<\infty$, то $\varphi\in L^1_{q,\mathrm{loc}}(D)$. Доказательство. Фиксируем монотонную липшицеву функцию $\overline\eta\colon[0,\infty)\,{\to} \mathbb R$ так, чтобы Функция $\overline\eta$ определяет срезку $\eta(y)=\overline\eta(\|y\|)$, где $\|\,{\cdot}\,\|$ – евклидова норма $y$, принадлежащую классу $\mathring{\mathrm{Lip}}_l(B(0,2))$ и такую, что $\eta\equiv1$ на $B(0,1)$, $\eta\equiv0$ вне $B(0,2)$, $0\leqslant \eta(y)\leqslant1$ при $y\in B(0,2)$, и $|\nabla\eta(y)|=1$ п. вс. в $B(0,2)\setminus B(0,1)$.
Для точки $z\in D'$ и радиуса $r>0$ таких, что $B(z,2r)\Subset D'$, введем в рассмотрение пробную функцию
$$
\begin{equation}
D'\ni y\to u(y)=\begin{cases} (y-z)_j\eta\biggl(\dfrac{y-z}{r}\biggr), &\text{если }y\in B(z,2r), \\ 0 &\text{иначе}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.32}
$$
где $j$ может быть любым числом от $1$ до $n$ (здесь $(y-z)_j$ – $j$-я компонента вектора $y-z$).
Положительная (отрицательная) часть $u^+=\max(u,0 )$ ($u^-=\max(-u,0 )$) этой функции строго положительна на полушаре
$$
\begin{equation*}
B_j^+(z,2r)\,{=}\,\{y\,{\in}\, B(z,2r)\colon (y-z)_j>0\}\quad (B_j^-(z,2r)\,{=}\,\{y\,{\in}\, B(z,2r)\colon (y-z)_j<0\}),
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяет условиям леммы 4 и поэтому для каждой из них справедливы соотношения (3.28). Подставляя в (3.28) (или в (3.31)) функцию $u^+$ ($u^-$) вместо $u$ и область $B_j^+(z,2r)$ ($B_j^-(z,2r)$) вместо $U$, выводим два соотношения: одно для функции и полушара со знаком “$+$”:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl(\int_{\varphi^{-1}(B_j^+(z,2r))} |\nabla(u^+\circ\varphi)(x)|^q\,dx\biggr)^{1/q} \nonumber \\ &\qquad\leqslant \Psi(B_j^+(z,2r))^{1/\sigma}\biggl( \int_{B_j^+(z,2r)}|\nabla u^+(y) |^p\omega(y)\,dy\biggr)^{1/p}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.33}
$$
и такое же, как (3.33), только для функции и полушара со знаком “$-$”. Применяя лемму 3 к этим двум соотношениям, приходим к неравенству
$$
\begin{equation}
\biggl(\int_{\varphi^{-1}(B(z,2r))} |\nabla(u\circ\varphi)(x)|^q\,dx\biggr)^{1/q} {\leqslant}\, \Psi(B(z,2r))^{1/\sigma}\biggl( \int_{B(z,2r)}|\nabla u(y) |^p\omega(y)\,dy\biggr)^{1/p}.
\end{equation}
\tag{3.34}
$$
Проверим существование обобщенных производных координатной функции $\varphi_j$. На шаре $B(z,r)$ функция $u(y)=(y-z)_j$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
u\circ\varphi(x)=\varphi_j(x)-(\varphi^{-1}(z))_j\quad\text{для }x\in\varphi^{-1}(B(z,r)).
\end{equation*}
\notag
$$
Из (3.34) имеем и оценку нормы:
$$
\begin{equation}
\biggl(\int_{\varphi^{-1}(B(z,r))} |\nabla \varphi_j(x)|^q\,dx\biggr)^{1/q} \leqslant \frac32\Psi(B(z,2r))^{1/\sigma}\biggl( \int_{B(z,2r)}\omega(y)\,dy\biggr)^{1/p},
\end{equation}
\tag{3.35}
$$
так как для градиента функции $u(y)=(y-z)_j\eta((y-z)/r)$ верно неравенство
$$
\begin{equation*}
|\nabla u(y)|=\biggl|\eta\biggl(\frac{y-z}{r}\biggr)e_j+\frac{1}{r}(y-z)_j \nabla\eta\biggl(\frac{y-z}{r}\biggr)\biggr| \leqslant \frac32
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $y\in B(z,2r)$, где $e_j$ – $j$-й вектор стандартного базиса в $\mathbb R^n$.
По теореме Витали существует счетный набор шаров $\{B(z_i, r_i)\Subset D'\}$, образующих покрытие области $D'$, и таких, что $B(z_i, 2r_i)\Subset D'$, $i\in \mathbb N$. Следовательно, применяя (3.35) и к каждому шару этого покрытия, и для всех $j=1,2,\dots,n$, выводим При $1<q=p<\infty$ все величины этого параграфа вида $\Psi(\,{\cdot}\,)^{1/\sigma}$ следует заменить на $K_p$. Лемма доказана. 3.4. Абсолютная непрерывность и конечность искаженияНаша следующая цель – показать, что гомеоморфизм $\varphi\in L^1_{q,\mathrm{loc}}(D)$ имеет конечное искажение. Лемма 6. Пусть заданы гомеоморфизм $\varphi\colon D\to D'$ областей $D,D'\subset \mathbb R^n$, и весовая локально суммируемая функция $\omega\colon D'\to (0,\infty)$. Если для гомеоморфизма $\varphi\colon D\to D'$ выполнены соотношения (3.7), то 1) функция множества
$$
\begin{equation}
\Lambda( T)=\int_{\varphi^{-1}(T)} |D\varphi(x)|^q\,dx,
\end{equation}
\tag{3.36}
$$
определенная на $\sigma$-алгебре борелевских множеств $\mathcal B(W)$ открытого множества $W\Subset D'$, удовлетворяет оценке
$$
\begin{equation}
\int_{\varphi^{-1}(T)} |D \varphi(x)|^q\,dx \leqslant \begin{cases} n^{p} \biggl(\dfrac32\biggr)^pMK_p^p \omega(T), &1\leqslant q= p<\infty, \\ n^{q} \biggl(\dfrac32\biggr)^qM^{q/p}\beta_n^{q/\sigma}\Psi(D)^{q/\sigma} \omega(T)^{q/p}, &1\leqslant q< p<\infty, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.37}
$$
где величины13 $M$, $\beta_n$ зависят только от размерности $n$, а
$$
\begin{equation*}
\omega(T)=\int_T\omega(y)\,dy\quad \textit{- весовая мера множества $T\subset W$;}
\end{equation*}
\notag
$$
2) функция множества $ \Lambda( T)$, $T\in\mathcal B(D')$, абсолютно непрерывна; 3) производная функция множества $ \Lambda( T)$ для п. вс. точек $y\in D'$ равна
$$
\begin{equation}
\Lambda'(y)= \lim_{\delta\to 0,\, y\in B_\delta}\frac{\Lambda(B_\delta)}{|B_\delta|}= \begin{cases} \dfrac{|D\varphi(\varphi^{-1}(y))|^q}{|{\det D\varphi(\varphi^{-1}(y))}|}, &\textit{если }y\in D'\setminus(Z'\cup \Sigma'), \\ 0 &\textit{иначе}; \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.38}
$$
4) отображение $\varphi\colon D\to D'$ имеет конечное искажение. Доказательство. Здесь мы следуем методу работы [11; теорема 8.7], в которой конечность искажения получена из абсолютной непрерывности функции $\Lambda$ (см. ниже) при $q=p$, $\omega\equiv1$. Суть его состоит в том, что выводимое из (3.35) неравенство для любого шара $B(z,r)\subset D'$ позволяет немедленно сделать вывод об абсолютной непрерывности функции множества $\Lambda$ и, как следствие, о конечности искажения отображения $\varphi$: $D\varphi(x)\,{=}\,0$ п. вс. на множестве $Z\,{=}\,\{x\,{\in}\, D\,|\, {\det D\varphi(x)}\,{=}\,0\}$ (ибо в противном случае $ \Lambda( \Sigma')=\int_{Z} |D\varphi(x)|^p\,dx$ не равно нулю при условии $|Z|>0$).
Для доказательства общего неравенства (3.37) фиксируем произвольное открытое множество $U$ такое, что $T\subset U\subset W$, и покрытие $U$ шарами $B_i=B(z_i, r_i)$, описанное в предложении 6 (см. ниже). С каждым шаром $B(z_i, 2r_i)$ ассоциируем пробную функцию, определенную соотношением (3.32): $u_i(y)=(y-z_i)_j\eta((y-z_i)/r_i)$. С учетом того, что для градиента функции верна оценка для всех $y\in B(z_i,2r_i)$, из выражения (3.39) с применением неравенства Гёльдера выводим:
$$
\begin{equation}
\frac1{n^{q}}\int_{\varphi^{-1}(U)} |D \varphi(x)|^q\,dx \leqslant \sum^{\infty}_{i=1}\biggl(\frac1{n}\sum_{j=1}^n\int_{\varphi^{-1}(B(z_i,r_i))}|\nabla \varphi_j(x)|^q \,dx\biggr) \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad\leqslant \biggl(\frac32\biggr)^q \sum^{\infty}_{i=1}\Psi(B(z_i,2r_i))^{q/\sigma}\biggl(\int_{B(z_i,2r_i)} \omega(y)\,dy \biggr)^{q/p} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad\leqslant \biggl(\frac32\biggr)^q\biggl(\sum^{\infty}_{i=1}\Psi(B(z_i,2r_i))\biggr)^{q/\sigma} \biggl(\int_{U}\sum^{\infty}_{i=1}\chi_{B(z_i, 2r_i)}(y) \omega (y)\,dy\biggr)^{q/p}
\end{equation}
\tag{3.40}
$$
$$
\begin{equation}
\quad\leqslant \biggl(\frac32\biggr)^qM^{q/p}\beta_n^{q/\sigma}\Psi(U)^{q/\sigma}\biggl(\int_{U} \omega (y)\,dy \biggr)^{q/p} \leqslant \biggl(\frac32\biggr)^qM^{q/p} \beta_n^{q/\sigma}\Psi(U)^{q/\sigma} \omega(U)^{q/p},
\end{equation}
\tag{3.41}
$$
где $\chi_{B(z_i, 2r_i)}(y)$ – характеристическая функция, $M$ – кратность покрытия $\{B(z_i, 2r_i)\}$, а $\beta_n$ – постоянная в теореме Безиковича (см. ниже предложение 7), зависящая только от размерности.Из (3.41) выводим (3.37).
Из (3.41) выводим также для любого борелевского множества $T\in\mathcal B(D')$ нулевой меры.Следовательно, функция множества $T\mapsto \Lambda( T)$, $T\in\mathcal B(D')$, абсолютно непрерывна. Из (3.42) выводим, что отображение $\varphi\in L^1_{q,\mathrm{loc}}(D)$, для которого выполнены оценки (3.35), обладает следующим свойством:
$$
\begin{equation}
D\varphi(x)=0\quad \text{п. вс. на множестве }Z=\{x\in D \mid \det D\varphi(x)=0\}
\end{equation}
\tag{3.43}
$$
нулей якобина. Действительно, пусть $\Sigma\subset D$ – сингулярное борелевское множество нулевой меры такое, что $Z \cap \Sigma = \varnothing$ ($Z$ тоже можно считать борелевским) и $\varphi\colon D\setminus \Sigma\to D'$ обладает $\mathcal N$-свойством Лузина. Множество $\varphi(Z)\subset D'$ имеет нулевую меру. Полагая в (3.42) $T=\varphi(Z)$, получаем Отсюда имеем либо $|Z|=0$, либо (3.43). Следовательно, отображение $\varphi$ имеет конечное искажение.
Равенство (3.38) может быть получено в результате дифференцирования левой и правой частей соотношений:
$$
\begin{equation*}
\Lambda(B(y,r))=\int_{\varphi^{-1}(B(y,r))} |D\varphi|^q(x)\,dx = \int_{B(y,r)\setminus\Sigma'} |D\varphi|^q(\varphi^{-1}(y))\cdot J_{\varphi^{-1}}(y)\,dy
\end{equation*}
\notag
$$
в точках $y\in D'\setminus\Sigma'$. Здесь значение $J_{\varphi^{-1}}(y)$, определенное в (1.10), в силу (2.4) равно $|{\det D\varphi(\varphi^{-1}(y))}|^{-1}$ для п. вс. $y\in D'\setminus \varphi(Z\cup \Sigma)$ (напомним, что $\varphi(Z\cup \Sigma)=\Sigma'\cup Z'$) и равно нулю, если $y\in \varphi(\Sigma)=Z'$. Лемма доказана. Покажем справедливость примененного при переходе от (3.40) к (3.41) неравенства
$$
\begin{equation*}
\sum^{\infty}_{i=1}\Psi(B(z_i,2r_i)\leqslant \beta_n\Psi(U).
\end{equation*}
\notag
$$
Сформулируем применяемое ниже свойство евклидовых шаров (см. [40], [41], где доказаны свойства 1) и 2) предложения 6 и работу [42], где доказано свойство 3) предложения 6). Предложение 6. Для любого открытого множества $U \subset \mathbb{R}^{n}$ конечной меры существует не более чем счетное семейство шаров $\mathcal F=\{B_i=B(z_i, r_i)\}$ такое, что 1) $U=\bigcup_{i=1}^\infty B(x_i, r_i)=\bigcup_{i=1}^\infty 2B_i$, где $2 B_i=B(z_i, 2 r_i)$; 2) семейства $\mathcal{F}=\{B_i\}$ и $2\mathcal{F}=\{2B_i\}$ образуют конечнократное покрытие множества $U$ кратности $M$, не превосходящей $48^n$; 3) семейство $\{2B_i\}$ может быть разбито на конечное число $\beta_n$ (зависящее только от размерности $n$) подсемейств таких, что внутри каждого из них шары не пересекаются. Предложение 7 (см. [26; лемма 3]). Пусть квазиаддитивная функция $\Psi$ определена на открытых подмножествах отрытого множества $D \subset \mathbb{R}^{n}$. Тогда для любого открытого множества $U \Subset D$ существует последовательность шаров $\{B_i\}$ таких, что 1) семейства $\{B_i\}$ и $\{2 B_i\}$ образуют конечнократное покрытие множества $U$; 2) $\sum_{i=1}^{\infty} \Psi(2 B_i) \leqslant \beta_n \Psi(U)$, где постоянная $\beta_n$ зависит только размерности $n$. Доказательство. В соответствии с предложением 6 существуют последовательности шаров $\{B_i\}$, $\{2 B_i\}$ такие, что обе они образуют конечнократное покрытие множества $U$, и, кроме того, последовательность $\{2 B_i\}$ можно разбить на $\beta_n$ подсемейств $\{2 B_{1 i}\}_{i=1}^{\infty}$, $\dots$, $\{2 B_{\beta_n i}\}_{i=1}^{\infty}$ так, что внутри каждого подсемейства шары дизъюнкты: $2 B_{k i} \cap 2 B_{k j}=\varnothing$, если $i \neq j$, $k=1, \dots, \beta_n$. Следовательно, 3.5. Суммируемость функции искаженияВ этом пункте мы покажем, что операторная функция искажения $K^{1,\omega}_{q,p}(x)\in L_\sigma$. Действительно, применяя равенство (3.36) в левой части неравенства (3.35), приходим к следующему соотношению (см. (3.37) для сравнения):
$$
\begin{equation*}
\frac{\Lambda(B(z,r))}{|B(z,r)|}\leqslant 2^n\biggl(\frac{3n}2\biggr)^q\biggl(\frac{\Psi(B(z,2r))}{|B(z,2r|)}\biggr)^{q/\sigma} \biggl(\frac{1}{|B(z,2r)|}\int_{B(z,2r)} \omega (y)\,dy\biggr)^{q/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (3.38), предложения 3 и теоремы Лебега о дифференцировании интеграла при переходе к пределу при $r\to 0$ c учетом $\varphi(x)=z$ получаем
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{|D\varphi(x)|}{|{\det D\varphi(x)}|^{1/q}\omega^{1/p}(\varphi(x))}\biggr)^\sigma|{\det D\varphi(x)}| \leqslant 2^{n\sigma/q}\biggl(\frac{3n}2\biggr)^\sigma\Psi'(\varphi(x))|{\det D\varphi(x)}|
\end{equation*}
\notag
$$
для п. вс. точек $x\in D\setminus(Z\cup \Sigma)$. Интегрируя левую и правую части по множеству $\varphi^{-1}(W)\setminus Z$, где $W\in\mathcal O(D')$, и заменяя переменную в правой части, с учетом предложения 3 выводим правую часть соотношений (3.8):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl(\int_{\varphi^{-1}(W)\setminus Z}\biggl(\frac{|D\varphi(x)|}{|{\det D\varphi (x)}|^{1/p}\omega^{1/p}(\varphi(x))}\biggr)^\sigma\,dx\biggr)^{1/\sigma} \\ &\qquad \leqslant \begin{cases} \dfrac{3n}2 2^{n/p}K_p &\text{при }q=p, \\ \dfrac{3n}2 2^{n/q}\Psi(W)^{1/\sigma} &\text{при }q<p. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, операторная функция искажения $K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,)\in L_\sigma(D)$, и c учетом (3.26) и (3.27) выполняются14 правая и левая части соотношений (3.8). $4) \Rightarrow 1)$. Пусть задан гомеоморфизм $\varphi \colon D \to D'$ класса $\mathcal{OD}(D,D'; q,p; 1,\omega)$, $1\leqslant q \leqslant p<\infty$. Докажем, что оператор композиции
$$
\begin{equation}
\varphi^*\colon {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_l(D')\to L^1_q(D), \qquad 1\leqslant q \leqslant p<\infty,
\end{equation}
\tag{3.44}
$$
ограничен. Возьмем функцию $u\in {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_l(D')$. Композиция $u\circ\varphi$ очевидно принадлежит $\operatorname{ACL}(D)$. Докажем интегрируемость производных композиции. Производная композиции может быть найдена по формуле
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial (u\circ \varphi)}{\partial x_i}(x)= \sum_{j=1}^n\frac{\partial u}{\partial x_j}(\varphi(x)) \frac{\partial \varphi_j}{\partial x_i}(x),
\end{equation*}
\notag
$$
если $\varphi(x)$ – точка дифференцируемости функции $u$, и иначе (так как в этом случае $x\in Z$ и $D\varphi(x)=0$ п. вс.). Имеем интегральные соотношения (см. комментарий после формул)
$$
\begin{equation}
\leqslant \int_{D\setminus (Z\cup \Sigma)}|\nabla u|^q(\varphi(x))\cdot|D\varphi|^q(x) \,dx =\int_{D'\setminus (Z'\cup \Sigma')}|\nabla u|^q(y)\cdot \Lambda'(y) \,dy
\end{equation}
\tag{3.45}
$$
$$
\begin{equation}
=\int_{D'\setminus (Z'\cup \Sigma')}|\nabla u|^q(y)\omega(y)^{q/p}\cdot \frac{|D\varphi|^q(\varphi^{-1}(y))}{|{\det D\varphi(\varphi^{-1}(y))}|\omega(y)^{q/p}} \,dy
\end{equation}
\tag{3.46}
$$
$$
\begin{equation}
\leqslant \biggl(\int_{D'}|\nabla u|^p(y)\omega(y)\,dy\biggr)^{q/p}\cdot \biggl(\int_{D'\setminus (Z'\cup\Sigma'))} \frac{|D\varphi|^\sigma(\varphi^{-1}(y))}{|{\det D\varphi(\varphi^{-1}(y))}|^{\sigma/q}\omega(y)^{\sigma/p}} \,dy\biggr)^{q/\sigma}
\end{equation}
\tag{3.47}
$$
$$
\begin{equation}
=\biggl(\int_{D\setminus Z} \frac{|D\varphi|^\sigma(x)}{|{\det D\varphi(x)}|^{\sigma/q}\omega(\varphi(x))^{\sigma/p}} |{\det D\varphi(x)}|\,dx\biggr)^{q/\sigma}{\cdot}\, \biggl(\int_{D'}|\nabla u|^p(y)\omega(y)\,dy\biggr)^{q/p} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\ =\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\sigma(D)\|^q \biggl(\int_{D'}|\nabla u(y)|^p\omega(y)\,dy\biggr)^{q/p} .
\end{equation}
\tag{3.48}
$$
Здесь равенство в строке (3.45) обеспечено формулой замены переменой [17; § 32, теорема 1], в переходе от (3.45) к (3.46) применено равенство (3.38), неравенство между (3.46) и (3.47) – результат применения неравенства Гёльдера с показателями $p/q$ и $q/\sigma$, далее ко второму сомножителю в (3.47) применили формулу замены переменной (2.9) (см. предложение 5), и в последнем переходе применили выражение (3.2) для внешней операторной функции искажения (см. определение 3). Отсюда выводим ограниченность оператора (3.44) и оценку сверху для нормы оператора $\varphi^*$ в соотношениях (3.8). Теорема 1 доказана. Замечание 5. Добавим к формулированному в теореме 1 следующие свойства, имеющие прямое отношение к вышедоказанному. 1) Среди семейства $\mathcal{SF}$ ограниченных квазиаддитивных функций множества $\Psi$, определенных на системе открытых множеств $\mathcal O(D')$ области $D'$ и удовлетворяющих соотношению (3.7), есть наименьшая: достаточно положить
$$
\begin{equation}
\mathcal O(D')\ni W\mapsto \underline\Psi(W)=\inf_{\Psi\in\mathcal{SF}}\Psi(W).
\end{equation}
\tag{3.49}
$$
Покажем, что $\underline\Psi$ – ограниченная квазиаддитивная функция множества, определенная на системе $\mathcal O(D')$. Ограниченность очевидна из определения. Для доказательства квазиаддитивности рассмотрим конечный дизьюнктный набор множеств $W_1,W_2, \dots, W_k\in \mathcal O(D')$ и множество $W\in \mathcal O(D')$ такое, что $\bigcup_{i=1}^kW_i\subset W$. Далее выводим
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{k}\underline\Psi(W_i)=\sum_{i=1}^{k} \inf_{\Psi\in\mathcal{SF}}\Psi(W_i)\leqslant \inf_{\Psi\in\mathcal{SF}}\sum_{i=1}^{k} \Psi(W_i) \leqslant \inf_{\Psi\in\mathcal{SF}} \Psi(W)=\underline\Psi(W).
\end{equation*}
\notag
$$
Для $\underline\Psi$ легко можно проверить и другие свойства квазиаддитивной функции множества, сформулированные в определении 2. 2) Для функции множества $\underline\Psi$ выполняются соотношения (3.7) при $1<q<p<\infty$ и неравенство
$$
\begin{equation}
\underline\Psi(W)\leqslant \Phi(W)=\|\varphi_{W}^*\|^\sigma,
\end{equation}
\tag{3.50}
$$
где функция множества $\Phi$ определена в (3.27). Неравенство (3.50) очевидно, поскольку выше было отмечено, что функция множества $\Phi$ удовлетворяет соотношению (3.7), и, следовательно, $\Phi\in\mathcal{SF}$. 3) Для функции множества $\underline\Psi$ выполняются следующие соотношения:
$$
\begin{equation}
\|\varphi_{W}^*\| \leqslant \|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,)\mid L_\sigma(\varphi^{-1}(W))\| \leqslant 3n\, 2^{(n-q)/q}\underline\Psi(W)^{1/\sigma} \leqslant 3n\,2^{(n-q)/q}\|\varphi_{W}^*\|
\end{equation}
\tag{3.51}
$$
при $1<q<p<\infty$. Последнее неравенство в (3.51) – это следствие неравенства (3.50), а первые два можно получить из (3.8), если (3.8) применить к квазиаддитивной функции $\underline\Psi$ вместо $\Psi$. Замечание 6. В связи с теоремой 1 возникает естественный вопрос: какой минимальный набор конденсаторов в неравенстве (3.7) обеспечит справедливость теоремы 1. Известно, см., например, [4], что в теории квазиконформных отображений (это соответствует случаю $q=p=n$, $\omega\equiv1$ теоремы 1) таковым набором может быть набор сферических конденсаторов в области $D'$, т. е. конденсаторов, оболочки которых суть концентрические сферы. В работе [32; теорема 18] установлено, что для справедливости теоремы 1 достаточно проверить условие (3.7) только для таких конденсаторов в области $D'$, оболочки которых суть концентрические кубы со сторонами, параллельными координатным осям, и доказана оценка, аналогичная правому неравенству соотношений (3.8). § 4. $\mathcal Q_{q,p}$-гомеоморфизмы, их функциональные свойства и аналитическое описание4.1. Определение класса $\mathcal Q_{q,p}$-гомеоморфизмов, примерыВведем в рассмотрение следующий специальный класс отображений. Определение 5. Скажем, что гомеоморфизм $f \colon D'\to D$, $D, D'\subset \mathbb R^n$, $n\,{\geqslant}\,2$, принадлежит классу $\mathcal Q_{q,p}(D',\omega)$, где $1< q\leqslant p<\infty$, а $\omega\in L_{1,\mathrm{loc}}(D')$ – весовая функция, если существуют 1) постоянная $K_p$ при $q=p$ или 2) ограниченная квазиаддитивная функция $\Psi_{q,p}$ при $q<p$, заданная на открытых множествах в $D'$, такие, что для всякого конденсатора $E=(F, U)$, расположенного в $D'$, и образа $f(E)=(f(F), f(U))$, расположенного в $D$, выполняются неравенства:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \operatorname{cap}^{1/p}\bigl(f(E); L^1_p(D)\bigr) \leqslant K_p\operatorname{cap}^{1/p}\bigl(E; L^1_p(D';\omega)\bigr), &\text{если }q=p, \\ \operatorname{cap}^{1/q}\bigl(f(E); L^1_q(D)\bigr) \leqslant \Psi_{q,p}(U\setminus F)^{1/\sigma} \operatorname{cap}^{1/p}\bigl(E; L^1_p(D';\omega)\bigr), &\text{если }q<p. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Результаты предыдущих пунктов позволяют получить полное аналитическое описание класса $\mathcal Q_{q,p}(D)$, их эквивалентное описание и многие другие свойства. Соответствующие утверждения мы сформулируем и докажем ниже. Приведем несколько примеров отображений класса $\mathcal Q_{q,p}(D',\omega)$. Пример 5. Отображения, обратные к гомеоморфизмам $\varphi\colon D\to D'$, индуцирующим ограниченные операторы $\varphi^*\colon {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_l(D')\to L^1_q(D)$, $1< q \leqslant p<\infty$, суть отображения класса $\mathcal Q_{q,p}(D',\omega)$. Пример 6. Классу $\mathcal Q_{q,p}(D',\omega)$ принадлежат гомеоморфизмы $f\colon D'\to D$, открытых областей $D, D'\subset \mathbb{R}^n$, $n\geqslant 2$, обратные к которым $\varphi=f^{-1}\colon D\to D'$ обладают следующими свойствами: 1) $\varphi\in W^1_{q, \operatorname{loc}}(D)$, $n-1< q<\infty$, 2) $\varphi$ имеет конечное искажение: $D\varphi(x)=0$ п. в. на множестве $Z=\{x\in D \mid J(x, \varphi)=0\}$, 3) внешняя операторная функция искажения (см. (3.2)) принадлежит $L_{\sigma}(D)$, где $1/\sigma=1/q-1/p$, если $n-1< q<p<\infty$, и $\sigma=\infty$, если $n-1<q=p<\infty$.В работах [32], [43] дополнительно к примерам 5 и 6 приведены новые примеры классов отображений, входящих в семейство $\mathcal Q_{q,p}(D',\omega;D)$. Пример 7 (см. [32; пример 24]). Пусть $\varphi\colon D\to D'$ – гомеоморфизм класса Соболева $W^1_{p,\mathrm{loc}}(D)$, $1<p<\infty$ при $n\geqslant3$ и $1\leqslant p<\infty$ при $n=2$, имеющий конечное искажение. Обратный гомеоморфизм $f=\varphi^{-1}\colon D'\to D$ принадлежит классу $\mathcal Q_{p,p}(D',\omega;D)$ с постоянной $K_p=1$ и с весовой функцией Пример 8 (см. [32; пример 30]). Пусть $n-1< s<\infty$, а $f \colon D' \to D$ – гомеоморфизм открытых областей $D', D\subset \mathbb{R}^n$, $n\geqslant 2$, такой, что 1) $f\in W^1_{n-1, \operatorname{loc}}(D')$; 2) отображение $f$ имеет конечное искажение: $Df(y)=0$ п. вc. на множестве $Z=\{y\in D' \mid \det Df(y)=0\}$; 3) внешняя операторная функция искажения
$$
\begin{equation}
D'\ni y \mapsto K^{1,1}_{n-1,s}(y,f) = \begin{cases} \dfrac{|Df(y)|}{|{\det Df (y)}|^{1/s}}, &\text{если }\det Df (y)\neq 0, \\ 0, &\text{если }\det Df (y) = 0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
принадлежит $L_{\sigma}(D)$, где $\sigma=(n-1)p$, $p=s/(s-(n-1))$. Тогда обратный гомеоморфизм $\varphi=f^{-1}\colon D\to D'$ имеет свойства 4) $\varphi\in W^1_{p, \operatorname{loc}}(D)$, $p=s/(s-(n-1))$; 5) $\varphi$ имеет конечное искажение; a прямой гомеоморфизм $f\colon D'\to D$ 6) принадлежит классу $\mathcal Q_{p,p}(D',\omega;D)$ с постоянной $K_p=1$ и с весовой функцией $\omega\in L_{1,\mathrm{loc}}(D')$, определяемой по формуле15: где $Z'=\{y\in D'\colon Df(y)=0\}$.Пример 9 (см. [32; пример 32]). Пусть $n-1< s<\infty$, а $f \colon D' \to D$ – гомеоморфизм открытых областей $D', D\subset \mathbb{R}^n$, $n\geqslant 2$, такой, что 1) $f\in W^1_{n-1, \operatorname{loc}}(D')$; 2) отображение $f$ имеет конечное коискажение: $\operatorname{adj} Df(y)=0$ п. вc. на множестве $Z=\{y\in D' \mid \det Df(y)=0\}$; 3) внутренняя операторная функция искажения
$$
\begin{equation}
D'\ni y \mapsto \mathcal K^{1,1}_{n-1,s}(y,f) = \begin{cases} \dfrac{|{\operatorname{adj} Df(y)}|}{|{\det Df (y)}|^{(n-1)/s}}, &\text{если }\det Df (y)\neq 0, \\ 0, &\text{если }\det Df (y) = 0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
принадлежит $L_{p}(D')$, где $p=s/(s-(n-1))$, $n-1<s<\infty$. Тогда обратный гомеоморфизм $\varphi=f^{-1}\colon D\to D'$ имеет свойства 4) $\varphi\in W^1_{p, \operatorname{loc}}(D)$, $p=s/(s-(n-1))$; 5) $\varphi$ имеет конечное искажение; a прямой гомеоморфизм $f\colon D'\to D$ 6) принадлежит классу $\mathcal Q_{p,p}(D',\omega;D)$ с постоянной $K_p=1$ и с весовой функцией (4.4); 7) имеет конечное искажение при $n-1< s<n+1/(n-2)$. Пример 10 (см. [44; определение 11, теорема 34]). Гомеоморфизм $f\colon D'\,{\to}\,D$ называется гомеоморфизмом с внутренним ограниченным $\theta$-весовым $(s,r)$-искажением (принадлежит классу $\mathcal{ID}(D;s,r;\theta,1)$), $n-1\leqslant s\leqslant r<\infty$, если: 1) $f$ принадлежит классу $W^1_{n-1,\operatorname{loc}}(D')$; 2) отображение $f$ имеет конечное коискажение; 3) функция локального $\theta$-весового $(s,r)$-искажения
$$
\begin{equation}
D' \ni x\mapsto \mathcal K_{s,r}^{\theta,1}(x,f)=\begin{cases} \dfrac{\theta^{(n-1)/s}(x)|{\operatorname{adj}} D f(x)|}{|J(x,f)|^{(n-1)/r}}, &\text{если } J(x,f)\ne0, \\ 0 &\text{иначе}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
принадлежит классу $L_{\varrho}(\Omega)$, где $\varrho$ находится из условия $1/\varrho = (n-1)/s-(n-1)/r$ ($\varrho= \infty$ при $s=r$). Введем следующее обозначение $\mathcal K^{\theta,1}_{s,r}(f;D')=\|\mathcal K_{s,r}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_{\varrho}(D')\|$. Тогда при условии $n-1< s\leqslant r<\infty$ и условии локальной суммируемости функции $\omega(x)=\theta^{-(n-1)/(s-(n-1))}(x)$ гомеоморфизм $f\colon D'\to D$ принадлежит семейству где $q=r/(r-(n-1))$ и $p=s/(s-(n-1))$, $1<q\leqslant p<\infty$. При этом множители в правой части определения (4.1) равны $K_p=\|\mathcal K_{r,r}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_{\infty}(\Omega)\|$ при $q=p$, иПример 11 (см. [39; определение 3, теорема 19]). Гомеоморфизм $f\colon D'\to D$ принадлежит классу $\mathcal{OD}(D';s,r;\theta,1)$, $n-1< s\leqslant r<\infty$, (называется отображением с внешним ограниченным $\theta$-весовым $(s,r)$-искажением), если 1) $f$ принадлежит классу Соболева $W^1_{n-1,\operatorname{loc}}(D')$; 2) отображение $f$ имеет конечное искажение: $Df(x)=0$ п. вс. на множестве $Z=\{x\in D'\colon \det Df(x)=0\}$ нулей якобиана; 3) функция локального $\theta$-весового $(s,r)$-искажения
$$
\begin{equation*}
D' \ni x\mapsto K_{s,r}^{\theta,1}(x,f)= \begin{cases} \dfrac{\theta^{1/s}(x)|D f(x)|}{|J(x,f)|^{1/r}}, &\text{если }J(x,f)\ne0, \\ 0 &\text{иначе}, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
принадлежит классу $L_{\varkappa}(D')$, где $\varkappa$ находится из условия $1/\varkappa = 1/s-1/r$ ($\varkappa\,{=}\,\infty$ при $s=r$). Введем следующее обозначение $ K^{\theta,1}_{s,r}(f;D')= \| K_{s,r}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_{\varkappa}(D')\|$. Тогда при условии $n-1< s\leqslant r<\infty$ и условии локальной суммируемости функции $\omega(x)=\theta^{-(n-1)/(s-(n-1))}(x)$ гомеоморфизм $f\colon D'\to D$ принадлежит семейству где $q=r/(r-(n-1))$ и $p=s/(s-(n-1))$, $1<q\leqslant p<\infty$. При этом множители в правой части определения (4.1) равны $K_p=\|\mathcal K_{r,r}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_{\infty}(D')\|^{n-1}$ при $q\,{=}\,p$, иВ работе [39; теорема 8] доказано, что имеет место включение
$$
\begin{equation*}
\mathcal{OD}(\Omega;s,r;\theta,1)\subset \mathcal{ID}(\Omega;s,r;\theta,1)
\end{equation*}
\notag
$$
при условии $n-1< s\leqslant r<\infty$. Более того, для любого гомомеоморфизма $f\colon D'\to D$, принадлежащего классу $\mathcal{OD}(D';s,r;\theta,1)$, $n-1< s\leqslant r<\infty$, имеем соотношение
$$
\begin{equation*}
\|\mathcal K_{s,r}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_{\varrho}(D')\|\leqslant \|K_{s,r}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_\varkappa(D')\|^{n-1},
\end{equation*}
\notag
$$
где число $\rho$ ($\varkappa$) определено в примере 10 (см. также пример 11). Еще два примера гомеоморфизмов класса $\mathcal Q_{q,p}(D',\omega)$ будут приведены в п. 4.3. Теорема 2. Гомеоморфизм $f\colon D' \to D$ тогда и только тогда принадлежит классу $\mathcal Q_{q,p}(D',\omega)$, $1<q\leqslant p<\infty$, когда обратный гомеоморфизм $\varphi=f^{-1}\colon D\to D'$ обладает одним из следующих свойств: 1) оператор композиции $\varphi^*: {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_l(D')\to L^1_q(D)$, $1< q \leqslant p<\infty$, ограничен; 2) гомеоморфизм $\varphi \colon D \to D'$ принадлежит семейству
$$
\begin{equation*}
\mathcal{OD}(D,D'; q,p; 1,\omega), \qquad 1< q \leqslant p<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, a) для нормы $\varphi^*$ оператора композиции справедлива оценки:
$$
\begin{equation}
2^{-n/q}\biggl(\frac{3n}2\biggr)^{-1} \|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\sigma(D)\| \leqslant\|\varphi^*\|\leqslant\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\sigma(D)\|;
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
b) $\varphi\in W^1_{q,\mathrm{loc}}(D)$ и для нормы $\varphi$ справедлива оценка:
$$
\begin{equation}
\biggl(\int_{\varphi^{-1}(T)} |D \varphi(x)|^q\,dx\biggl)^{1/q} \leqslant \begin{cases} \dfrac{3n}2M^{1/p}K_p \omega(T)^{1/p} &\textit{при }q=p, \\ \dfrac{3n}2M^{1/p}\beta_n^{1/\sigma}\Psi(D)^{1/\sigma} \omega(T)^{1/p} &\textit{при }q<p, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
для любого борелевского множества $T\in\mathcal B(D)$, $D\Subset D$, где величины $M$, $\beta_n$ зависят только от размерности $n$, а
$$
\begin{equation*}
\omega(T)=\int_T\omega(y)\,dy\quad \textit{- весовая мера множества }T;
\end{equation*}
\notag
$$
здесь постоянная $K_p$ и ограниченная квазиаддитивная функция $\Psi$ – из определения 5. Доказательство. Нетрудно заметить, что условие $f\in \mathcal Q_{q,p}(D',\omega)$, $1<q\leqslant p<\infty$, для гомеоморфизма $f\colon D' \to D$ эквивалентно выполнению условия (3.7) в теореме 1 для обратного гомеоморфизма $\varphi=f^{-1}\colon D \to D'$. Отсюда выводим, что для отображения $\varphi\colon D \to D'$ выполнены и утверждения 1) и 2) теоремы 2, и утверждения леммы 6.
Так как приведенные рассуждения обратимы, теорема 2 доказана. Следствие 1. Если соотношение (4.1) выполняется для конденсаторов семейства, указанного в определении 5, то оно выполняется и для произвольных в области $D'$ конденсаторов $E=(F_1,F_0)$ – с постоянной $3n\,2^{(n-p)/p}K_p$ вместо $K_p$ в случае $q=p$ и – с коэффициентом $3n\, 2^{(n-q)/q}\Psi(D'\setminus (F_1\cup F_0))^{1/\sigma}$ вместо $\Psi(U\setminus F)^{1/\sigma}$ при $q<p$. Доказательство. Действительно, если выполняется соотношение (4.1), то по теореме 2 оператор композиции $\varphi^*\colon {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_l(D')\to L^1_q(D)$, $1< q \leqslant p<\infty$, ограничен, причем в силу (4.7) для его нормы справедлива оценка (3.8):
$$
\begin{equation*}
\|\varphi^*\| \leqslant \|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,)\mid L_\sigma(D)\| \leqslant \begin{cases} 3n\, 2^{(n-p)/p}K_p &\text{при }q=p, \\ 3n\, 2^{(n-q)/q}\Psi(D')^{1/\sigma} &\text{при }q<p. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, по теореме 1 для любого конденсатора $E=(F_1,F_0)$ в $D'$ имеем оценку искажения его емкости что и доказывает следствие. 4.2. Функциональные свойства гомеоморфизмов класса $\mathcal{Q}_{q,p}$Определим два новых семейства гомеоморфизмов. Определение 6. Пусть заданы области $D,D'\subset\mathbb R^n$, $n\geqslant 2$, и измеримые весовые функции16 $\omega, \theta\colon D'\to (0,\infty)$. Следуя работе [39; определение 3], определим два класса весовых гомеоморфизмов. I. Класс $\mathcal{ID}(D,D'; q,p; 1,\omega)$, $n-1< q\leqslant p<\infty$, гомеоморфизмов $\varphi\colon D\to D'$ со свойствами; a) $\varphi\in W^1_{n-1, \operatorname{loc}}(D)$; b) отображение $\varphi$ имеет конечное коискажение17: $\operatorname{adj} Df(x)=0$ п. в. на множестве $Z=\{x\in D \mid \det D\varphi(x)=0\}$; c) внутренняя операторная функция искажения, определяемая в точке $ x\,{\in}\,D$ по правилу:
$$
\begin{equation}
\mathcal K_{q,p}^{1,\omega}(x,\varphi) = \begin{cases} \dfrac{|{\operatorname{adj} D\varphi(x)}|}{|{\det D\varphi(x)}|^{(n-1)/p}\omega^{(n-1)/p}(\varphi(x))} &\text{при }x\in D\setminus Z, \\ 0 &\text{иначе}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
принадлежит $L_{\rho}(D)$, где $1/\rho=(n-1)/q-(n-1)/p$, если $n-1<q<p<\infty$, и $\rho=\infty$, если $q=p$. II. Класс $\mathcal{OD}(D',D; q',p'; \theta,1)$, $1\leqslant q'\leqslant p'<\infty$, гомеоморфизмов $f \colon D' \to D$ со следующими свойствами: a) $f\in W^1_{1, \operatorname{loc}}(D')$; b) отображение $f$ имеет конечное искажение: $Df(y)=0$ п. в. на множестве $Z'=\{y\in D' \mid \det Df(y)=0\}$; c) внешняя операторная функция искажения, определяемая в точке $ y\in D'$ по правилу:
$$
\begin{equation}
K^{\theta,1}_{q',p'}(y,f) = \begin{cases} \dfrac{\theta(y)^{1/q'} |Df(y)|}{|{\det Df (y)}|^{1/p'}}, &\text{если }|{\det Df (y)}|\neq 0, \\ 0, &\text{если }|{\det Df (y)}| = 0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
принадлежит $L_{\rho}(D')$, где $1/\rho=1/q'-1/p'$, если $q'<p'$, и $\rho=\infty$, если $q'=p'$. Символ $K^{1,1}_{q',p'}(y,f)$ применяется в тех случаях, когда $\theta\equiv 1$. Теорема 3. Гомеоморфизм $f\colon D' \to D$ класса $\mathcal{Q}_{q,p}(D',\omega)$, $n-1<q\leqslant p\,{<}\,\infty$, обладает следующим свойством: $f\in \mathcal{OD}(D',D; q',p'; \theta, 1)$, где $\theta(y)=\omega^{-(n-1)/(p-(n-1))}(y)$ – измеримая функция, $q'=p/(p-(n-1))$, $p'=q/(q-(n-1))$. Более того, справедливы соотношения где $1/\sigma=1/q-1/p$, $\sigma=(n-1)\rho$. Доказательство. Пусть дан гомеоморфизм $f\colon D' \to D$ класса $\mathcal{Q}_{q,p}(D',\omega)$, $n-1\,{<}\,q\,{\leqslant}\, p\,{<}\,\infty$. Тогда по теореме 2 обратный гомеоморфизм $\varphi\,{=}\,f^{-1} \colon D\,{\to}\, D'$ принадлежит семейству
$$
\begin{equation*}
\mathcal{OD}(D,D'; q,p; 1,\omega), \qquad n-1<q\leqslant p<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
По определению 3 гомеоморфизм $\varphi\in W^1_{q, \operatorname{loc}}(D)$ и $\varphi$ имеет конечное искажение. В силу [27; теоремы 2, 3] (другое доказательство этого свойства см. в работах [32], [43]) гомеоморфизм $f\colon D' \to D$ имеет следующие свойства:
1) $f\in W^1_{1, \operatorname{loc}}(D')$; 2) $f$ имеет конечное искажение: $Df(y)=0$ п. в. на множестве $Z'=\{y\in D' \mid \det Df(y)=0\}$. Следовательно, корректно определена функция искажения $K^{\theta,1}_{q',p'}(y,f)$, $y\,{\in}\, D'$ (см. (4.10)), где $\theta(y)=\omega^{-(n-1)/(p-(n-1))}(y)$ – измеримая функция, $q'=p/(p-(n-1))$, $p'=q/(q-(n-1))$. Докажем равенство (4.11). C учетом равенства $\sigma=\rho(n-1)$, применяя предложение 5, имеем соотношения:
$$
\begin{equation}
\|K_{q',p'}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_\rho(D')\|^\rho =\int_{D'\setminus{Z'\cup\Sigma'}} \biggl(\frac{\theta(y)^{1/q'}|Df(y)|}{|{\det Df(y)}|^{1/p'}} \biggr)^\rho\,dy
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
$$
\begin{equation}
\ =\int_{D\setminus{(Z\cup\Sigma)}} \biggl(\frac{\omega^{-(n-1)/p}(\varphi(x))| Df(\varphi(x))|}{|{\det Df(\varphi(x))}|^{1/p'}} \biggr)^\varrho|{\det D\varphi(x)}|\,dx \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\ =\int_{D\setminus{(Z\cup\Sigma)}} \biggl(\frac{|{\operatorname{adj} D\varphi(x)}|}{|{\det D\varphi(x)}|^{(n-1)/p}\omega^{(n-1)/p}(\varphi(x))} \biggr)^{\rho}\,dx
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
$$
\begin{equation}
\ \leqslant\int_{D\setminus(Z\cup\Sigma)}\biggl(\frac{|D\varphi(x)|}{|{\det D\varphi(x)}|^{1/p}\omega^{1/p}(\varphi(x))} \biggr)^{\rho(n-1)}\,dx =\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\sigma(D)\|^{\sigma}. \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
Соотношения (4.11) доказаны: строки (4.12) и (4.13) содержат равенство в (4.11) между двумя характеристиками искажения. Отсюда выводим утверждение теоремы 3. В следующей теореме мы покажем, что основное заключение теоремы 3 можно получить из других предпосылок. Теорема 4. Пусть гомеоморфизм $\varphi \colon D\to D'$ обладает следующим свойством: $\varphi\in\mathcal{ID}(D,D'; q,p; 1,\omega)$, где $\omega\colon D'\to (0,\infty)$ – локально суммируемая функция, $n-1<q\leqslant p<\infty$. Тогда $f=\varphi^{-1}\in \mathcal{OD}(D',D; q',p'; \theta, 1)$, где $\theta(x)=\omega^{-(n-1)/(p-(n-1))}(x)$ – измеримая функция, $q'=p/(p-(n-1))$, $p'=q/(q-(n-1))$. Более того, справедливо равенство где $1/\rho=1/q'-1/p'$, если $q'<p'$, и $\rho=\infty$, если $q'=p'$. Доказательство. Пусть гомеоморфизм $\varphi \colon D\to D'$ принадлежит классу $\mathcal{ID}(D,D'; q,p; 1,\omega)$, где $\omega\colon D'\to (0,\infty)$ – локально суммируемая функция, $n-1<q\leqslant p<\infty$. По определению 6, п. I, $\varphi\in W^1_{n-1, \operatorname{loc}}(D)$ и отображение $\varphi$ имеет конечное коискажение: $\operatorname{adj} Df(x)=0$ п. в. на множестве $Z=\{x\in D \mid \det D\varphi(x)=0\}$. Следовательно, корректно определена внутренняя операторная функция искажения $\mathcal K_{q,p}^{1,\omega}(x,\varphi)$, $x\in D$ (см. (4.9)).
В силу [27; теоремы 2, 3] гомеоморфизм $f\colon D'\to D$ принадлежит $W^1_{1, \operatorname{loc}}(D')$ и имеет конечное искажение: $Df(y)=0$ п. в. на множестве $Z'=\{y\in D' \mid \det Df(y)=0\}$. Доказательство равенства (4.14) содержится в строках (4.12) и (4.13). Поскольку $K^{\theta,1}_{q',p'}(\,{\cdot}\,,f)\in L_{\rho}(D')$, то гомеоморфизм $f\colon D'\to D$ принадлежит классу $\mathcal{OD}(D',D; q',p'; \theta, 1)$, где $\theta(x)=\omega^{-(n-1)/(p-(n-1))}(x)$ – измеримая функция, $q'=p/(p-(n-1))$, $p'=q/(q-(n-1))$, $n-1<q\leqslant p<\infty$. Теорема доказана. В следующей теореме мы приводим функциональные свойства отображения $f\colon D' \to D$ класса $\mathcal{Q}_{q,p}$. Теорема 5. Пусть гомеоморфизм $f\colon D' \to D$ принадлежит классу $f\in \mathcal{OD}(D',D; q',p'; \theta, 1)$, где $\theta(y)=\omega^{-(n-1)/(p-(n-1))}(y)$ – измеримая функция, $q'=p/(p-(n-1))$, $p'=q/(q-(n-1))$, $n-1<q\leqslant p<\infty$. Тогда гомеоморфизм $f$ индуцирует по правилу замены переменной ограниченный оператор
$$
\begin{equation*}
f^*\colon L^1_{p'}(D)\cap \operatorname{Lip}_l(D) \to L^1_{q'}(D';\theta).
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, справедливы соотношения Напомним, что весовое пространство Соболева $L^1_{q'}(D';\theta)$ состоит из локально суммируемых функций $u\colon D'\to \mathbb R$, имеющих обобщенные производные в смысле Соболева и конечную полунорму
$$
\begin{equation*}
\|u\mid L^1_{q'}(D';\theta)\|= \biggl(\int_{D'}|\nabla u|^{q'}(y)\theta(y) \,dy\biggr)^{1/q'}.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство теоремы 5. Докажем, что для любой функции $u\in L^1_{p'}(D)\cap \operatorname{Lip}_l(D)$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\|f^*u\mid L_{q'}^1(D';\theta)\|\leqslant \|K_{q',p'}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_\rho(D')\|\cdot \|u\mid L_{p'}^1(D)\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $u\circ f$ принадлежит классу $\operatorname{ACL}(D')$, производные находятся по правилу:
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial (u\circ f)}{\partial x_i}(x)=\sum_{j=1}^n\frac{\partial u}{\partial x_j}(f(x))\, \frac{\partial f_j}{\partial x_i}(x),
\end{equation*}
\notag
$$
если $f(x)$ – точка дифференцируемости отображения функции $u$, а $x$ – точка существования частных производных отображения $\varphi$, и если $x\in Z$ – точка существования частных производных отображения $\varphi$. Следовательно, $u\circ f\in W^1_{1,\mathrm{loc}}(D')$, поскольку $u\in \operatorname{Lip}_l(D)$. В силу сказанного, имеем неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|{f}^*u\mid L_{q'}^1(D';\theta)\| \leqslant \biggl(\int_{D'\setminus Z'}(|\nabla u(f(y))||Df(y)|)^{q'}\theta(y)\,dy\biggr)^{1/q'} \\ &\qquad\leqslant \biggl(\int_{D'\setminus Z'}|\nabla u(f(y))|^{q'}|{\det Df(y)}|^{q'/p'}\cdot\theta(y)\frac{|Df(y)|^{q'}}{|{\det Df(y)}|^{q'/p'}} \,dy\biggr)^{1/q'}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя при $q'<p'$ неравенство Гёльдера с показателями $p'/q'$, $\rho/q'$, а затем замену переменной (2.9) в первом множителе, выводим оценку
$$
\begin{equation*}
\|{f}^*u\mid L_{q'}^1(D';\theta)\| \leqslant \biggl(\int_{D'}(K_{q',p'}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f))^{\rho} \,dy\biggr)^{1/\rho} \biggl(\int_{D}|\nabla u(x)|^{p'} \,dx\biggr)^{1/p'}
\end{equation*}
\notag
$$
(при $q=p$ левый сомножитель равен $\| K_{q',p'}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_\infty(D')\|$). Таким образом, доказана оценка сверху для нормы $\|f^*\|$ в строке (4.15).
Оценка снизу для нормы $\|f^*\|$ в строке (4.15) доказана в [45; теорема 1] и (см. также [46; теорема 1]) и является частью формулируемого ниже утверждения. Предложение 8. Пусть весовая функция $\theta\colon D'\to(0,\infty)$ измерима. Рассмотрим гомеоморфизм $f \colon D'\to D$, обладающий следующими свойствами: 1) гомеоморфизм $f$ индуцирует по правилу замены переменной ограниченный оператор $f^*\colon L^1_{p'}(D)\cap \operatorname{Lip}_l(D)\to L^1_{q'}(D';\theta)$, где $n-1< q'\leqslant p'<\infty$. Тогда 2) $f\in W^1_{1,\operatorname{loc}}(D')$; 3) $f$ имеет конечное искажение:
$$
\begin{equation*}
Df(y)=0\quad\textit{п. вс. на}\quad Z'=\{y\in D'\colon \det Df(y)=0\};
\end{equation*}
\notag
$$
4) $K_{q',p'}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\in L_\rho(D')$, где $1/\varrho = 1/q' -1/p'$, ($\rho =\infty$, если $q'=p'$) и для нормы оператора $f^*$ выполняются соотношения (4.15). 4.3. Внешние формы и отображения класса $\mathcal{Q}_{q,p}$Напомним, что дифференциальной формой $\zeta$ степени $n-1$ на области $D'\subset \mathbb R^n$ называется выражение
$$
\begin{equation*}
D'\ni y\mapsto \zeta(y)=\sum_{k=1}^na_k(y)\,dy_1\wedge dy_2\wedge\dots\wedge\widehat{dy}_k \wedge\dots\wedge dy_n
\end{equation*}
\notag
$$
(здесь коэффициенты формы $\zeta$ измеримы). Форма $\zeta$ принадлежит пространству $\mathcal L_{p/(n-1),\omega}(D',\Lambda^{n-1})$, где $\omega$ – весовая функция в области $D'$, если конечна норма
$$
\begin{equation*}
\|\zeta\mid \mathcal L_{p/(n-1),\omega}(D',\Lambda^{n-1}) \|= \Biggl(\int_{D'}\Biggl(\sqrt{\sum_{k=1}^na^2_k(y)}\,\Biggr)^{p/(n-1)} \omega(y)\,dy\Biggr)^{(n-1)/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее символом $ \mathcal C(D',\Lambda^{n-1})$ мы обозначаем подпространство $(n-1)$-форм с непрерывными коэффициентами на $D'$. Пусть отображение $\varphi \colon D\to D'$, $D,D'\subset \mathbb R^n$, принадлежит классу Соболева $W^1_{n-1,\operatorname{loc}}(D)$. Переносом формы $\zeta\in \mathcal C(D', \Lambda^{n-1})$ с области $D'$ на область $D$ называется форма
$$
\begin{equation*}
D'\ni x\mapsto\varphi^*\zeta(x) =\sum_{k=1}^na_k(\varphi(x))\,d\varphi_1(x)\wedge d\varphi_2(x)\wedge\dots\wedge\widehat{d\varphi}_k(x) \wedge\dots\wedge d\varphi_n(x),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varphi_1,\varphi_2,\dots,\varphi_n$ – координатные функции отображения $\varphi\colon D\to D'$ класса $W^1_{1,\operatorname{loc}}(D)$, а
$$
\begin{equation*}
d\varphi_k(x)=\frac{\partial\varphi_k}{\partial x_1}(x)\,dx_1+\frac{\partial\varphi_k}{\partial x_2}(x)\,dx_2+\dots+\frac{\partial\varphi_k}{\partial x_n}(x)\,dx_n
\end{equation*}
\notag
$$
– обобщенный первый дифференциал функции $\varphi_k$. Запишем форму $\varphi^*\zeta(x)$ в виде
$$
\begin{equation*}
\varphi^*\zeta(x)=\sum_{k=1}^nb_k(x)\,dx_1\wedge dx_2\wedge\dots\wedge\widehat{dx}_k \wedge\dots\wedge dx_n,
\end{equation*}
\notag
$$
и будем говорить, что форма $\varphi^*\zeta$ принадлежит пространству $\mathcal L_{q/(n-1)}(D, \Lambda^{n-1})$, если конечна норма
$$
\begin{equation*}
\|\varphi^*\zeta\mid \mathcal L_{q/(n-1)}(D, \Lambda^{n-1})\|= \Biggl(\int_D\Biggl(\sqrt{\sum_{k=1}^nb^2_k(x)}\,\Biggr)^{q/(n-1)}\,dx\Biggr)^{(n-1)/q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Дополнительно к примерам 5 и 6 приведем дополнительно два новых семейства гомеоморфизмов, принадлежащих классу $\mathcal Q_{q,p}(D',\omega)$. Пример 12. Если гомеоморфизм $\varphi\colon D\to D'$ областей $D, D'\subset \mathbb{R}^n$, $n\geqslant 2$, обладает свойствами: 1) $ \varphi\in W^1_{n-1,\operatorname{loc}}(D)$ и $ f=\varphi^{-1}\in W^1_{n-1,\operatorname{loc}}(D')$; 2) $\varphi$ индуцирует ограниченный оператор переноса
$$
\begin{equation}
\varphi^*\colon \mathcal L_{p/(n-1),\omega}(D',\Lambda^{n-1})\cap \mathcal C(D',\Lambda^{n-1})\to\mathcal L_{q/(n-1)}(D, \Lambda^{n-1}),
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
при $n-1< q\leqslant p<\infty$, внешних форм из весового пространства
$$
\begin{equation*}
\mathcal L_{p/(n-1),\omega}(D',\Lambda^{n-1})\cap \mathcal C(D',\Lambda^{n-1})
\end{equation*}
\notag
$$
форм степени $n-1$ на области $D'$ в пространство $\mathcal L_{q/(n-1)}(D, \Lambda^{n-1})$ форм степени $n-1$ на области $D$. При условиях: $n-1< q\leqslant p<n+1/(n-2)$ и $\overline\omega=\omega^{(n-1)^2/((n-1)^2-p(n-2))}$ обратный гомеоморфизм $f=\varphi^{-1}\colon D'\to D$ принадлежит классу $\mathcal Q_{s,r}(D',\overline\omega)$, где Пример 13. Если гомеоморфизм $\varphi\colon D\to D'$ областей $D, D'\subset \mathbb{R}^n$, $n\geqslant 2$, обладает свойствами: 1) $\varphi\in W^1_{{n-1}, \operatorname{loc}}(D)$ и $ f=\varphi^{-1}\in W^1_{n-1,\operatorname{loc}}(D')$; 2) $\varphi$ имеет конечное коискажение: $\operatorname{adj} D\varphi(x)=0$ п. в. на множестве $Z=\{x\in D \mid J(x, \varphi)=0\}$; 3) внутренняя операторная функция искажения (см. (4.9))
$$
\begin{equation*}
\mathcal K_{q,p}^{1,\omega}(x,\varphi) = \begin{cases} \dfrac{|{\operatorname{adj} D\varphi(x)}|}{|{\det D\varphi(x)}|^{(n-1)/p}\omega^{(n-1)/p}(\varphi(x))} &\text{при }x\in D\setminus Z, \\ 0 &\text{иначе}, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
принадлежит $L_{\rho}(D)$, где $1/\rho=(n-1)/q-(n-1)/p$, если $n-1< q<p<\infty$, и $\sigma=\infty$, если $n-1<q=p<\infty$. При условиях: $n-1< q\leqslant p<n+1/(n-2)$ и $\overline\omega=\omega^{(n-1)^2/((n-1)^2-p(n-2))}$ обратный гомеоморфизм $f=\varphi^{-1}\colon D'\to D$ принадлежит классу $\mathcal Q_{s,r}(D',\overline\omega)$, где В следующей серии утверждений в теореме 8 мы покажем, что отображения примеров 12 и 13 принадлежат классу $\mathcal Q_{s,r}(D',\overline\omega)$. С помощью методов работы [47] мы докажем следующий результат. Теорема 6. Пусть гомеоморфизм $\varphi \colon D\to D'$ принадлежит классу Соболева $W^1_{n-1,\operatorname{loc}}(D)$. Оператор переноса $n-1< q\leqslant p<\infty$, из весового пространства форм степени $n-1$ на области $D'$ в пространство $\mathcal L_{q/(n-1)}(D, \Lambda^{n-1})$ форм степени $n-1$ на области $D$ ограничен тогда и только тогда, когда 1) $\varphi$ имеет конечное коискажение: $\operatorname{adj} D\varphi(x)=0$ п. вс. на множестве $Z$ нулей якобиана $J(x, \varphi)$, и 2) $ \mathcal K_{q,p}^{1,\omega}(\,{\cdot}\,,\varphi)\in L_\varrho(D)$, где $1/\varrho = (n-1)/q - (n-1)/p$ $(\varrho=\infty$, если $p=q)$. Для нормы оператора переноса $\varphi^*$ справедливы соотношения: Доказательство. Достаточность в теореме 6 устанавливается с помощью формулы замены переменной (2.8) (см. предложение 5).
Рассмотрим форму
$$
\begin{equation*}
\zeta\in\mathcal L_{p/(n-1),\omega}(D',\Lambda^{n-1})\cap \mathcal C(D',\Lambda^{n-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
|\varphi^*\zeta(x)|\leqslant|{\operatorname{adj} D\varphi(x)}| \cdot|\zeta(\varphi(x))|.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда с помощью формулы (2.8) при $p<\infty$ выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\varphi^*\zeta\mid \mathcal L_{q/(n-1)}(D,\Lambda^{n-1})\| \\ &\leqslant \biggl(\int_{D\setminus Z}\!\!|\zeta(\varphi(x))|^{q/(n-1)}\omega(\varphi(x))^{q/p}\,{\cdot}\, |J(x,\varphi)|^{q/p} \frac{|{\operatorname{adj} D\varphi(x)|^{q/(n-1)}}}{|J(x,\varphi)|^{q/p}\omega(\varphi(x))^{q/p}}\,dx\biggr)^{(n-1)/q} \\ &= \biggl(\int_{D\setminus Z}|\zeta(\varphi(x))|^{p/(n-1)}\omega(\varphi(x))\cdot |J(x,\varphi)|\,dx\biggr)^{(n-1)/p} \\ &\qquad\times\biggl(\int_{D\setminus Z}\frac{|{\operatorname{adj} D\varphi(x)}|^{(q/(n-1))\cdot (p/(p-q))}}{|J(x,\varphi)|^{(q/p)\cdot (p/(p-q))}\omega(\varphi(x))^{q/(p-q)}} \,dy\biggr)^{((n-1)/q)\cdot((p-q)/p)} \\ &\leqslant \| \mathcal K_{q,p}^{1,\omega}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\varrho(D)\| \cdot \|\zeta \mid \mathcal L_{p/(n-1),\omega}(D',\Lambda^{n-1})\|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где при $q<p$ использовано неравенство Гёльдера. Отсюда
$$
\begin{equation*}
\|\varphi^*\|\leqslant \| \mathcal K_{q,p}^{1,\omega}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\varrho(D)\|,\quad \text{где} \quad \varrho=\frac{pq}{(n-1)(p-q)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Необходимость в теореме 6 при $q< p$ доказывается с помощью следующего утверждения. В его формулировке мы используем подпространство $\mathcal C_c(D',\Lambda^{n-1})\subset \mathcal C(D',\Lambda^{n-1})$ $(n-1)$-форм с непрерывными коэффициентами и с компактными носителями в $D'$. Лемма 7. Пусть для аппроксимативно дифференцируемого отображения $\varphi\colon D\to D'$ оператор переноса Доказательство леммы 7 аналогично рассуждениям работ [47; лемма 7] (которое может быть упрощено аналогично доказательству леммы 2 настоящей работы) и здесь не приводится. Перейдем к доказательству необходимости в теореме 6. Обозначим символом $\Sigma$ ($Z$) борелевское множество нулевой меры (борелевское множество $\{x\in D\mid \det D\varphi(x)=0\}$), $Z\cap\Sigma=\varnothing$, вне которого отображение $\varphi$ обладает $\mathcal N$-свойством Лузина. С помощью формулы (2.8) выводим $|\varphi(Z)|=0$. Предположим, что множество
$$
\begin{equation*}
A_m=\{x\in Z \cap B(0,m)\colon \operatorname{adj} D\varphi(x)\ne 0\}
\end{equation*}
\notag
$$
имеет положительную меру. Фиксируем произвольное замкнутое подмножество $A'_m\subset A_m$. В окрестности произвольной точки $z\in\varphi(A_m)$ рассмотрим $(n-1)$-формы вида
$$
\begin{equation*}
\zeta_{k,l}=g_l(y)\,dy_1\wedge dy_2\wedge\dots\wedge\widehat{dy}_k \wedge\dots\wedge dy_n, \qquad k=1,2,\dots,n,
\end{equation*}
\notag
$$
где $g_l$, $l\in\mathbb N$, – последовательность непрерывных функций на $D'$ такая, что
$$
\begin{equation*}
g_l(y)= \begin{cases} 1, &\text{если }y\in \varphi(A'_m)\cap B(z,r), \\ 0, &\text{если }y\notin B(z,2r)\Subset D', \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
$0\leqslant g_l\leqslant1$ и $g_l\to0$ п. вс. на $D'$ при $l\to\infty$. В случае $q<p$, с учетом ограниченности оператора (4.17), на формах $\zeta_{k,l}$ получаем оценку
$$
\begin{equation}
\|\varphi^*\zeta_{k,l}\mid\mathcal L_{q/(n-1)}(D,\Lambda^{n-1})\|\leqslant \Phi(B(z,2r))^{1/\varrho}\cdot\|\zeta_{k,l}\mid\mathcal L_{p/(n-1),\omega}(B(z,2r), \Lambda^{n-1})\|.
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Отсюда выводим, что $\varphi^*\zeta_{k,l}$ стремится к нулю п. вс. на $\varphi^{-1}(B(z,r))\cap A'_m$ при $l\to\infty$ (в случае необходимости всегда можно перейти к некоторой подпоследовательности, для которой это свойство будет выполняться). Следовательно, с учетом произвола в выборе $k=1,2,\dots,n$, получаем, что $\operatorname{adj} D\varphi(x)=0 $ п. вс. на множестве $\varphi^{-1}(B(z,r))\cap A'_m$. Так как выбор замкнутого подмножества $A'_m\subset A_m$ произволен, заключаем, что $\operatorname{adj} D\varphi(x)=0 $ п. вс. на множестве $\varphi^{-1}(B(z,r))\cap A_m$ (здесь следует применить $\mathcal N$-свойство Лузина отображения $\varphi$ на множестве $Z$). Так как выбор точки $z\in \varphi(A_m)$ произволен, заключаем, что $\operatorname{adj} D\varphi(x)=0 $ п. вс. на множестве $Z \cap B(0,m)$. Произвол в выборе $m\in\mathbb N$ позволяет распространить это свойство на $Z$. В случае $q=p$ величину $\Phi(B(z,2r))^{1/\varrho}$ в неравенстве (4.18) следует заменить на $\| \mathcal K_{p,p}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\infty(B(z,2r))\|$. Далее, рассмотрим точку $x\in D\setminus(Z\cup \Sigma)$. В окрестности точки $z=\varphi(x)$ рассмотрим $(n-1)$-формы вида $\zeta_k=u(y)\,dy_1\wedge dy_2\wedge\dots\wedge\widehat{dy}_k \wedge\dots\wedge dy_n$, где непрерывная функция $u\colon D'\to \mathbb R$ определяется по правилу:
$$
\begin{equation*}
u(y)= \begin{cases} 1, &\text{если }y\in B(z,r)\cap D', \\ 0, &\text{если }y\notin B(z,2r)\Subset D', \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
причем $0\leqslant u \leqslant1$ для достаточно малых $r>0$. Подставляя в неравенство (4.17) формы $\zeta_k$ при различных $k$ и применяя (2.8), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|{\operatorname{adj} D\varphi\mid \mathcal L_{q/(n-1)}(\varphi^{-1}(B(z,r)))}\|^{q/(n-1)} \\ &\qquad= \int_{f^{-1}(B(z,r))\setminus Z}\frac{|{\operatorname{adj} D\varphi(x)}|^{q/(n-1)}} {|{\det D\varphi(x)}|}\cdot |{\det D\varphi(x)}|\,dx \\ &\qquad= \int_{B(z,r)}\frac{|{\operatorname{adj} D\varphi(\varphi^{-1}(y))}|^{q/(n-1)}} {|{\det D\varphi(\varphi^{-1}(y))}|\omega(y)^{q/p}}\cdot\omega(y)^{q/p}\,dy \\ &\qquad\leqslant \Phi(B(z,2r))^{q/((n-1)\varrho)}\cdot \omega(B(z,2r))^{q/p}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из теоремы Лебега о дифференцировании интеграла и свойств производной аддитивной функции множества (см. предложение 3), определенной на открытых множествах, вытекает
$$
\begin{equation*}
\biggl( \frac{(|{\operatorname{adj} D\varphi(\varphi^{-1}(z))}|} {|{\det D\varphi(\varphi^{-1}(z))}|^{(n-1)/q}\omega(z)^{(n-1)/p}}\biggr)^\varrho \leqslant 2^{n(n-1)\varrho/q}\Phi'(z)
\end{equation*}
\notag
$$
для п. вс. $z\in D'\setminus(Z'\cup \Sigma')$, где $Z'=\varphi(\Sigma)$, $\Sigma'=\varphi(Z)$. Отсюда с учетом для любого открытого множества $U'\subset D'$ (см. предложение 3) вытекает оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\| \mathcal K_{q,p}^{1,\omega}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\varrho(D)\| \nonumber \\ &= \biggl(\int_{D'\setminus(Z'\cup \Sigma')} \biggl(\frac{|{\operatorname{adj} D\varphi(\varphi^{-1}(z))}|}{|{\det D\varphi(\varphi^{-1}(z))}|^{(n-1)/q}\omega(z)^{(n-1)/p}}\biggr)^\varrho\,dz\biggr)^{1/\varrho} \leqslant 2^{n(n-1)/q}\|\varphi^*\|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Заменяя переменную $z$ во внутреннем интеграле выражения (4.19) на $z=\varphi(x)$, где $\varphi\colon D\setminus(Z\cup \Sigma)\to D'\setminus(Z'\cup \Sigma')$, приходим к оценке снизу для нормы $\|\varphi^*\|$, когда $q<p$. При $q=p<\infty$ оценки лишь упрощаются. Действительно, в этом случае имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|{\operatorname{adj} D\varphi\mid \mathcal L_{p/(n-1)}(f^{-1}(B(z,r)))}\|^{p/(n-1)} \\ &\qquad= \int_{f^{-1}(B(z,r))\setminus Z}\frac{|{\operatorname{adj} D\varphi(x)}|^{p/(n-1)}} {|{\det D\varphi(x)}|}\cdot |{\det D\varphi(x)}|\,dx \\ &\qquad=\int_{B(z,r)}\biggl(\frac{|{\operatorname{adj} D\varphi(\varphi^{-1}(y))}|} {|{\det D\varphi(\varphi^{-1}(y))}|^{(n-1)/p}\omega(y)^{(n-1)/p}}\biggr)^{p/(n-1)}\omega(y)\,dy \\ &\qquad\leqslant \|\varphi^*\|^{p/(n-1)}\omega(B(z,2r)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из теоремы Лебега о дифференцировании интеграла вытекает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\| \mathcal K_{p,p}^{1,\omega}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\infty(D)\| =\operatorname{ess\,sup}_{x\in D\setminus (Z\cup\Sigma)} \frac{|{\operatorname{adj} D\varphi(x)}|}{|{\det D\varphi(x)}|^{(n-1)/p}\omega(\varphi(x))^{(n-1)/p}} \nonumber \\ &\ =\operatorname{ess\,sup}_{y\in D'\setminus (\Sigma'\cup Z')} \frac{|{\operatorname{adj} D\varphi(\varphi^{-1}(y))}|}{|{\det D\varphi(\varphi^{-1}(y))}|^{(n-1)/p}\omega(y)^{(n-1)/p}} \leqslant 2^{n(n-1)/p}\|\varphi^*\|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
Из неравенств (4.19) и (4.20) получаем утверждение теоремы 6. § 5. Применения5.1. Операторы композиции пространств Соболева и обратные к нимНа результатах предыдущих параграфов работы основывается доказательство следующего утверждения. Невесовой вариант этого утверждения доказан в работе [27; следствие 4], где, в частности, был устранен пробел первоначального доказательства работы [24; теорема 4] (см. замечание 8). Теорема 7. Пусть $\omega\colon D'\to (0,\infty)$ – локально суммируемая функция. Если гомеоморфизм $\varphi\colon D\to D'$ индуцирует ограниченный оператор композиции $n-1< q \leqslant p<\infty$, то обратный гомеоморфизм $f=\varphi^{-1}\colon D'\to D$ индуцирует по правилу замены переменной ограниченный оператор где $\theta(y)=\omega^{-(n-1)/(p-(n-1))}(y)$ – измеримая функция, $q'=p/(p-(n-1))$, $p'=q/(q-(n-1))$. Более того, справедливо соотношение между нормами: Доказательство. Из условия сформулированного утверждения по теореме 1 выводим, что гомеоморфизм $\varphi \colon D \to D'$ принадлежит семейству
$$
\begin{equation*}
\mathcal{OD}(D,D'; q,p; 1,\omega), \qquad 1< q \leqslant p<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и соотношения (4.11) имеем
$$
\begin{equation*}
\|\mathcal K_{q,p}^{1,\omega}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\rho(D)\| \leqslant \|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\sigma(D)\|^{n-1},
\end{equation*}
\notag
$$
где $1/\sigma=1/q-1/p$, $\rho=\sigma/(n-1)$. Следовательно, по определению 6 выводим $\varphi\in\mathcal{ID}(D,D'; q,p; 1,\omega)$, где $\omega\colon D'\to (0,\infty)$ – локально суммируемая функция, $n-1<q\leqslant p<\infty$. По теореме 4 гомеоморфизм $f=\varphi^{-1}\in \mathcal{OD}(D',D; q',p'; \theta, 1)$, где $\theta(x)=\omega^{-(n-1)/(p-(n-1))}(x)$ – измеримая функция, $q'=p/(p-(n-1))$, $p'=q/(q-(n-1))$. Из теоремы 5 заключаем, что гомеоморфизм $f$ индуцирует по правилу замены переменной ограниченный оператор
$$
\begin{equation*}
f^*\colon L^1_{p'}(D)\cap \operatorname{Lip}_l(D) \to L^1_{q'}(D';\theta).
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, применяя последовательно соотношения (4.15), (4.14), (4.11) и (3.8), получаем (5.1):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|f^*\| &\leqslant \|K_{q',p'}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_\rho(D')\|= \|\mathcal K_{q,p}^{1,\omega}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\rho(D)\| \\ &\leqslant \|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\sigma(D)\|^{n-1} \leqslant (3n\cdot2^{(n-q)/q})^{n-1} \|\varphi^*\|^{n-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана. 5.2. Операторы переноса внешних дифференциальных форм и обратные к нимВ этом пункте мы оправдаем примеры 12 и 13 отображений классов $\mathcal Q_{s,r}(D',\overline\omega)$. В силу примера 6 достаточно доказать, что $\varphi\in\mathcal{OD}(D,D'; s,r;\overline\omega, 1)$ Теорема 8. Пусть $D$, $D'$ – области в $\mathbb R^n$, а $\omega\colon D'\to \mathbb R$ – локально суммируемая весовая функция. Пусть еще гомеоморфизм $\varphi\colon D\to D'$ обладает одним из двух свойств: I. 1) $ \varphi\in W^1_{n-1,\operatorname{loc}}(D)$ и $ f=\varphi^{-1}\in W^1_{n-1,\operatorname{loc}}(D')$; 2) $\varphi$ индуцирует ограниченный оператор переноса
$$
\begin{equation*}
\varphi^*\colon \mathcal L_{p/(n-1),\omega}(D',\Lambda^{n-1})\cap \mathcal C(D',\Lambda^{n-1})\to\mathcal L_{q/(n-1)}(D, \Lambda^{n-1}),
\end{equation*}
\notag
$$
$n-1< q\leqslant p<n+1/(n-2)$, внешних форм весового пространства
$$
\begin{equation*}
\mathcal L_{p/(n-1),\omega}(D',\Lambda^{n-1})\cap \mathcal C(D',\Lambda^{n-1})
\end{equation*}
\notag
$$
форм степени $n-1$ на области $D'$ в пространство $\mathcal L_{q/(n-1)}(D, \Lambda^{n-1})$ форм степени $n-1$ на области $D$; или II. 1) $\varphi\in W^1_{n-1, \operatorname{loc}}(D)$ и $ f=\varphi^{-1}\in W^1_{n-1,\operatorname{loc}}(D')$; 2) $\varphi$ имеет конечное коискажение: $\operatorname{adj} D\varphi(x)=0$ п. в. на множестве $Z=\{x\in D \mid J(x, \varphi)=0\}$; 3) внутренняя операторная функция искажения (см. (4.9))
$$
\begin{equation*}
\mathcal K_{q,p}^{1,\omega}(x,\varphi) = \begin{cases} \dfrac{|{\operatorname{adj} D\varphi(x)}|}{|{\det D\varphi(x)}|^{(n-1)/p}\omega^{(n-1)/p}(\varphi(x))} &\textit{при }x\in D\setminus Z, \\ 0 &\textit{иначе}, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
принадлежит $L_{\rho}(D)$, где $1/\rho=(n-1)/q-(n-1)/p$, если $n-1< q<p<n+1/(n-2)$, и $\sigma=\infty$, если $n-1<q=p<n+1/(n-2)$. Тогда гомеоморфизм $\varphi\colon D\to D'$ принадлежит $\mathcal{OD}(D,D'; s,r;\overline\omega, 1)$, где $\overline\omega=\omega^{(n-1)^2/((n-1)^2-p(n-2))}$, а
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} s&=\frac{p'}{p'-(n-1)}=\frac{q}{(n-1)^2-q(n-2)}, &\qquad p'&=\frac{q}{q-(n-1)}, \\ r&=\frac{q'}{q'-(n-1)}=\frac{p}{(n-1)^2-p(n-2)}, &\qquad q'&=\frac{p}{p-(n-1)}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, где $1/\varkappa=1/s-1/r=\rho/(n-1)$. Доказательство. В силу теоремы 6 группы условий I и II теоремы эквивалентны. Применяя [27; теоремы 2, 3], выводим, что обратный гомеоморфизм $f=\varphi^{-1}$ имеет конечное искажение. Из условий II по теореме 4 имеем, что $f=\varphi^{-1}\in \mathcal{OD}(D',D; q',p'; \theta, 1)$, где $\theta(x)=\omega^{-(n-1)/(p-(n-1))}(x)$ – измеримая функция,
$$
\begin{equation*}
q'=\frac{p}{p-(n-1)},\qquad p'=\frac{q}{q-(n-1)},\quad n-1<q' \leqslant p'<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, справедливо равенство (4.14): где $1/\rho=1/q'-1/p'$, если $q'<p'$, и $\rho=\infty$, если $q'=p'$.
Так как $ f=\varphi^{-1}\in W^1_{n-1,\operatorname{loc}}(D')$ и имеет конечное искажение, то в силу [27; теоремы 2, 3] выводим, что исходный гомеоморфизм $\varphi$ имеет конечное искажение. Далее, мы используем лемму 9 работы [45], в соответствии с которой обратный к $f$ гомеоморфизм $\varphi=f^{-1}\colon D\to D'$ индуцирует по правилу замены переменных ограниченный оператор
$$
\begin{equation}
\varphi^*\colon L^1_{r}(D',\overline\omega)\cap \operatorname{Lip}_l(D') \to L^1_{s}(D),
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
где
$$
\begin{equation*}
s=\frac{p'}{p'-(n-1)},\qquad r=\frac{q'}{q'-(n-1)},\quad 1<s \leqslant r<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того,
$$
\begin{equation}
\|\varphi^*\|\leqslant \|K_{s,r}^{1,\overline\omega}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_{\varkappa}(D)\|\leqslant \|K_{q',p'}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_\rho(D')\|^{n-1}.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Для доказательства (5.3) требуется проверить, что $K_{s,r}^{1,\overline\omega}(\,{\cdot}\,,f^{-1})\in L_{\varkappa}(D)$, где $1/\varkappa = 1/s-1/r=(n-1)/\rho$. Применяя формулу замены переменной (2.8), а также учитывая соотношения
$$
\begin{equation*}
Df^{-1}(x)= \frac{\operatorname{adj} Df(f^{-1}(x))}{|{\det Df(f^{-1}(x))}|},\qquad |{\operatorname{adj} Df}|(x)\leqslant |Df|^{n-1}(x)
\end{equation*}
\notag
$$
и $\varkappa(n-1)=\rho$, выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|K_{s,r}^{1,\overline\omega}(\,{\cdot}\,,f^{-1})\mid L_{\varkappa}(D)\|^{\varkappa} = \int_{D\setminus(\Sigma\cup Z)}\biggl(\frac{|Df^{-1}(x)|}{|{\det Df^{-1}(x)}|^{1/r}\overline\omega^{1/r}(f^{-1}(x))}\biggr)^{\varkappa} \,dx \\ &\qquad\leqslant \int_{D' \setminus (Z'\cup\Sigma')}\biggl(\frac{|Df(y)|^{n-1}}{|{\det Df(y)}|^{1-1/r}\overline\omega^{1/r}(y)}\biggr)^{\varkappa}|{\det Df(y)}|\,dy \\ &\qquad =\int_{D'\setminus(Z'\cup\Sigma')}\biggl(\frac{|Df(y)|\overline\omega^{-1/(r(n-1))}(y)}{|{\det Df(y)}|^{(r-1)/(r(n-1))}}\biggr)^{\varkappa(n-1)}|{\det Df(y)}|\,dx \\ &\qquad =\int_{D'\setminus(Z'\cup\Sigma')}\biggl(\frac{\theta^{1/q}(y)|Df(y)|}{|{\det Df(y)}|^{1/p'}}\biggr)^{\rho}\,dx= \|K_{q',p'}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_\rho(D')\|^{n-1}<\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для окончания доказательства остается лишь получить оценку для нормы оператора $\varphi^*$. Из (5.4) и (5.2) выводим18
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\varphi^*\| &\leqslant \|K_{s,r}^{1,\overline\omega}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_{\varkappa}(D)\| \leqslant \|K_{q',p'}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_\rho(D')\|^{n-1} \\ &= \|\mathcal K_{q,p}^{1,\omega}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\rho(D) \|^{n-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем утверждение теоремы. 5.3. Невесовой случай: $\omega\equiv1$В работах [24]–[27] сформулировано и доказано формулируемое ниже обобщение результатов работ [11; теорема 8.7] и [12]–[14] (см. предложение 2). Очевидно эквивалентность условий 1)–3) предложения 9 может быть получена из теоремы 1 при условии $\omega\equiv1$. Предложение 9. Следующие условия эквивалентны: 1) оператор композиции $\varphi^*\colon {L}^1_p(D') \cap \operatorname{Lip}_l(D')\to L^1_q(D)$, $1\leqslant q \leqslant p<\infty$, ограничен; 2) имеют место свойства:
При $1< q \leqslant p<\infty$ каждое из утверждений 1) и 2) эквивалентно 3) для любого конденсатора $E=(F_1, F_0)$ в $D'$ и его прообраза $\varphi^{-1}(E)=(\varphi^{-1}(F_1),\varphi^{-1}(F_0))$ в области $D$ выполняется неравенство (1.7) при $1<q=p<\infty$, и неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cap}^{1/q}(\varphi^{-1}(E)); L^1_q(D)) \leqslant \Psi(U\setminus (F_1\cup F_0))^{1/\sigma} \operatorname{cap}^{1/p}(E; L^1_p(D'))
\end{equation*}
\notag
$$
при $1<q<p<\infty$, где $\Psi$ – некоторая ограниченная квазиаддитивная функция множества, определенная на открытых подмножествах области $D'$. Кроме того, распространение по непрерывности оператора (1.5) на пространство $L^1_p(D')$ совпадает с оператором композиции в следующем смысле: $L^1_p(D')\ni u\mapsto \varphi^*u=u\circ\varphi$, где $u$ – непрерывный представитель $u\in L^1_p(D')$ при $p\in(n, \infty)$, и $\varphi^*u=u\circ\varphi$, где $u$ – произвольный представитель $u\in L^1_p(D')$ при $p\in[1, n]$. Замечание 8. В статье [24] результаты работ [11]–[14] обобщены на случай $1\leqslant q<p<\infty$. Новый момент в этой задаче возникает в связи с тем, что норма ограничения оператора композиции $\varphi^*\colon L^1_p(D') \to L^1_q(D)$, $1\leqslant q< p<\infty$, на подпространство19 $L^1_p(B(y,r))\cap\mathring{\mathrm{Lip}}_l(B(y,r))$ может быть сколь угодно малой при $r$, близких к нулю. Специфика этого случая была разрешена посредством подходящей интерпретации нормы оператора композиции как квазиаддитивной функции множества, возможности применения которой к задачам геометрической теории функций были продемонстрированы ранее в работе [48]. Некоторые неточности работы [24] устранены в работах [25]–[27] и в настоящей статье. 5.4. Модули семейств кривых и гомеоморфизмы класса $ \mathcal Q_{q,p}(D',\omega)$Пусть $D'$ – область в $ \mathbb{R}^{n}$, $n \geqslant 2$, и пусть $\omega\colon D' \to (0, \infty) $ – весовая функция класса $L_{1,\mathrm{loc}}$. Пусть еще $\Gamma $ – произвольное семейство (непрерывных) кривых или путей $\gamma\colon [a,b]\to D'$. Напомним, что для данного семейства кривых $\Gamma$ в $D'$ и действительного числа $p\geqslant 1$ (весовой) $p$-модуль семейства $\Gamma$ определяется как величина
$$
\begin{equation*}
\biggl( \operatorname{mod}_{p}(\Gamma)=\inf_\rho \int_{D'} \rho^{p}\omega(x)\, dx\biggr)\quad \operatorname{mod}_{p}(\Gamma)=\inf_\rho \int_{D'} \rho^{p}\, dx,
\end{equation*}
\notag
$$
где инфимум берется по всем неотрицательным борелевским функциям $\rho\colon D' \to [0, \infty]$, удовлетворяющим условию для всех (локально) cпрямляемых кривых $ \gamma \in \Gamma$. Напомним, что интеграл в (5.5) для спрямляемой кривой $\gamma\colon [a,b]\to D'$ определяется как величина
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{l(\gamma)} \rho(\widetilde{\gamma}(t))\, dt,
\end{equation*}
\notag
$$
где $l(\gamma)$ – длина кривой $\gamma\colon [a,b]\to D'$, а $\widetilde{\gamma}\colon [0,l(\gamma)]\to D'$ – ее натуральная параметризация, т. е. единственное непрерывное отображение, удовлетворяющее условию $\gamma=\widetilde{\gamma}\circ S_{\gamma}$, где $S_{\gamma}\colon [a,b]\to[0,l(\gamma)]$ – функция длины, определяемая в точке $t\in [a,b]$ условием $S_{\gamma}(t)=l(\gamma|_{[a,t]})]$. Если $\gamma$ – только локально спрямляемая кривая, то полагаем
$$
\begin{equation*}
\int_{\gamma} \rho\,ds = \sup \int_{\gamma'} \rho\,ds,
\end{equation*}
\notag
$$
где супремум берется по всем спрямляемым подкривым $ \gamma'\colon [a', b'] \to D' $ кривой $\gamma$, $[a', b']\subset(a,b)$, $ \gamma'= \gamma_{[a', b']}$. Функции $\rho$, удовлетворяющие условию (5.5), называются допустимыми функциями или метриками для семейства $\Gamma$. В работе [49] доказано следующее утверждение о модульном описании отображений классов $\mathcal Q_{q,p}(D',\omega)$. Теорема 9 (см. [49; теорема 3]). Пусть заданы гомеоморфизм $f\colon D'\to D$ областей $D',D\subset \mathbb R^n$, $n\geqslant2$, и весовая локально суммируемая функция $\omega\colon D'\to (0,\infty)$. 1) Предположим, что гомеоморфизм $f\colon D'\to D$ принадлежит семейству $\mathcal Q_{q,p}(D',\omega)$, $n-1< q \leqslant p<\infty$. Тогда для любого семейства $\Gamma$ путей в $D'$ выполняются неравенства
$$
\begin{equation}
(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q}\leqslant \begin{cases} K_{p,p}(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, &n-1<q=p<\infty, \\ K_{q,p}(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, &n-1<q<p<\infty, \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
с величиной $K_{q,p}=\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\sigma(D')\|$. Кроме того, выполняются также и неравенства
$$
\begin{equation}
(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q}\leqslant \begin{cases} K_{p,p}(E)(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, &n-1<q=p<\infty, \\ K_{q,p}(E)(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, &n-1<q<p<\infty, \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
для семейства $\Gamma$ всех кривых20 в конденсаторе $E=(F,U)$, где $K_{q,p}(E)=\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\sigma(f(U\setminus F))\|$, $K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,,\varphi)$ – функция искажения (3.2), а $1/\sigma=1/q-1/p$, если $n-1< q<p<\infty$, и $\sigma=\infty$, если $q=p$. 2) Предположим, что для гомеоморфизма $f\colon D'\to D$ соотношения
$$
\begin{equation}
(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q}\leqslant \begin{cases} K_{p,p}\bigl(Q(x,R)\setminus\overline{Q(x,r)}\bigr) (\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, &n-1<q=p<\infty, \\ \Psi_{q,p}\bigl(Q(x,R)\setminus\overline{Q(x,r)}\bigr)^{1/\sigma} (\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, &n-1<q<p<\infty, \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
с постоянной $K_p$ при $1< q=p<\infty$, и ограниченной квазиаддитивной функцией $\Psi_{q,p}$ при $1< q<p<\infty$, выполняются для всех кубических конденсаторов $(\overline{Q(x,r)},Q(x,R))$, $r\in (0,R)$, в $D'$, оболочки которых суть концентрические кубы, и для семейства $\Gamma$ всех кривых $\gamma\colon [a,b]\to D'$ в конденсаторе $E=((\overline{Q(x,r)},Q(x,R)))$ таких, что $\gamma(a)\in\overline{Q(x,r)}$, $\gamma(b)\in\partial{Q(x,R)}$. Тогда 1) гомеоморфизм $f\colon D'\to D$ принадлежит классу $ \mathcal Q_{q,p}(D',\omega) $, $n-1< q \leqslant p<\infty$, 2) для гомеоморфизма $f\colon D'\to D$ выполняются соотношения (5.6). Наименьшая постоянная $K_{q,p}$ из (5.6) оценивается сверху через величину $\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\sigma(D))\|$ из (3.2) посредством множителей, зависящих лишь от $q$, $p$ и $n$. Кроме того, величины21
$$
\begin{equation}
\sup_\Gamma\frac{(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q}}{(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}} \quad\textit{и}\quad \sup_E\frac{(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q}}{(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}},
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
соответствующие различным выборам семейств кривых в (5.6) и конденсаторам $E=(F,U)$ в (5.7) оцениваются сверху величиной $\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\sigma(D)\|$ из (3.2) посредством множителей, зависящих лишь от $q$, $p$ и $n$. Теорема доказана. Теоремы 9 и 2 позволяют сделать следующий неожиданный вывод. Следствие 2 (см. [46]). Гомеоморфизмы $f\colon D'\to D$ семейства $\mathcal Q_{q,p}(D',\omega)$, $n-1< q \leqslant p<\infty$, имеют эквивалентные описания на емкостном (4.1) и модульном (5.6) языках. Следовательно, при определении класса гомеоморфизмов $\mathcal Q_{q,p}(D',\omega)$ ни модуль, ни емкость не имеют никакого преимущества друг перед другом: независимо от выбора геометрической характеристики мы получаем один и тот же класс отображений. Замечание 9. Легко видеть, что в случае $q=p=n$ ($n-1<q= p<n$) класс гомеоморфизмов $\mathcal Q_{n,n}(D',\omega;D)$ ($\mathcal Q_{p,p}(D',\omega;D)$) содержит класс так называемых $Q$-гомеоморфизмов ($(p, Q)$-гомеоморфизмов)22 [29] (см. также [50]), определяемых посредством контролируемого изменения модуля семейств кривых. Мы покажем, что, на самом деле, класс $\mathcal Q_{n,n}(D',\omega)$ совпадает с семейством $Q$-гомеоморфизмов (см. [29; § 4.1]). Пусть $D'$, $D$ – области в $\mathbb{R}^{n}$, $n \geqslant 2$, и пусть $Q\colon D' \to [1, \infty) $ – функция класса $L_{1,\mathrm{loc}}$. Напомним, что гомеоморфизм $ f\colon D' \to D$ называется (см. [29; § 4.1]) $Q$-гомеоморфизмом, если
$$
\begin{equation}
\operatorname{mod}_n(f \Gamma) \leqslant \int_{D'} Q(x) \cdot \rho^{n}(x)\,dx
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
для каждого семейства $\Gamma $ путей в $D'$ и любой допустимой функции $\rho$ для $\Gamma$. В силу теоремы 9 гомеоморфизмы, удовлетворяющие условию (5.10), совпадают с гомеоморфизмами $f\colon D'\to D$ класса $\mathcal Q_{n,n}(D',\omega)$ при $\omega=Q$. Некоторые свойства гомеоморфизмов класса $\mathcal Q_{q,p}(D',\omega)$ изучались в работах [48] (при $n-1<q<p=n$, значении $\Psi_{q,n}(U)$ вместо $\Psi_{q,n}(U\setminus F)$ и $\omega\equiv1$), [29], [51]–[55] (все при $q=p=n$, $\omega=Q$), [56], [57] (при $1<q=p<n$, $\omega=Q$), и мн. др. Во всех перечисленных работах кроме [48] искажение геометрии конденсаторов формулируется на языке модулей семейства кривых, что в ряде случаев является по содержательным возможностям более ограничительной характеристикой по сравнению с емкостью. 5.5. Применения к теории $Q$-гомеоморфизмовРезультаты настоящей статьи можно применить к любой работе, в которой исследуются свойства $Q$-гомеоморфизмов. Мы ограничимся здесь лишь иллюстрацией того, что аналитическое описание $Q$-гомеоморфизмов в некоторых случаях позволяет получать результаты, глубоко отражающие суть рассматриваемого вопроса. Будем говорить, что семейство $\mathfrak{P} = \{\varphi\colon D\to D'\}$ отображений локально равностепенно непрерывно, если для любого $\varepsilon>0$ и любого компакта $K\subset D$, существует $\delta>0$ такое, что для любого $\varphi\in \mathfrak{P}$ и для всех $x,y\in K$, $|x-y|<\delta$, следует, что $|\varphi(x)-\varphi(y)|<\varepsilon$. Предложение 10. Пусть фиксированы области $D\subset\mathbb{R}^{n}$ и $D'\Subset\mathbb{R}^{n}$, параметры $n\leqslant q\leqslant p<\infty$, весовая функция $\omega\in L_{1}(D')$, а также постоянная $K_p$ при $n\leqslant q=p$ или ограниченная квазиаддитивная функция $\Psi$ при $n\leqslant q<p$, определенная на открытых множествах в $D'$. Семейство гомеоморфизмов $\varphi\colon D\to D'$, обратные $f=\varphi^{-1}\colon D'\to D$ к которым принадлежат классу $\mathcal Q_{q,p}(D',\omega)$ (см. определение 5), относительно компактно в равномерной топологии. Доказательство. По теореме 2 отображение $\varphi\colon D\to D'$, для которого $f=\varphi^{-1}\in \mathcal Q_{q,p}(D',\omega)$, принадлежит классу Соболева $W^1_{q,\mathrm{loc}}(D)$, причем в силу (4.8) при $T=\varphi(B)$, где $B\Subset D$ – произвольный шар, имеем
Таким образом, все отображения данного семейства принадлежат $W^1_{q}(B)$ и имеют равномерно ограниченную в $W^1_{q}(B)$ норму. Существуют постоянные $C_{\delta}$, $\gamma_{\delta}$, $r_{\delta}$, зависящие только от $\delta$, такие, что
$$
\begin{equation}
|\varphi(x)-\varphi(y)|\leqslant \begin{cases} C_{\delta} \|D \varphi \mid L_n(B)\|\cdot\ln^{-1/n}\dfrac{\gamma_{\delta}}{|x-y|} &\text{при }q=n, \\ C_{\delta} \|D \varphi\mid L_q(B)\|\cdot |x-y|^{1-n/q} &\text{при }n<q, \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
как только $ |x-y|<\delta$, $x,y\in B$. Второе неравенство вытекает из известного неравенства Морри [37; разд. 4.5.3] при $q>n$, а первое – хорошо известное в квазиконформном анализе неравенство для монотонных функций класса $W^1_{n}$ (см., например, [58; предложение 4]).
Следовательно, отображения данного семейства ограничены в совокупности, имеют общий модуль непрерывности, и поэтому семейство равномерно ограничено и равностепенно непрерывно на $B$. По теореме Асколи–Арцела данное семейство относительно компактно на шаре $B$. Предложение 10 доказано. Отметим, что результат работы [55] можно получить из предложения 10 при частных значениях параметров: $q=p=n$, и для компактно вложенной области $D\Subset \mathbb R^n$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VodTom21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|