| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Плоские алгебраические кривые в “причудливых” шарах Н. Г. Кружилин, С. Ю. Оревков Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9081 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеПусть $B$ – подмножество $\mathbb{C}^2$, диффеоморфное замкнутому четырехмерному шару, и $A$ – комплексная аналитическая кривая в окрестности $B$, трансверсальная к $\partial B$ (поскольку мы рассматриваем только топологические свойства, можно считать, что $A$ – это часть алгебраической кривой). Пусть $ L=A \cap \partial B $ – зацепление в трехмерной сфере $\partial B$ с граничной ориентацией, индуцированной с $A\cap B$. Какие зацепления можно получить таким образом? (В настоящей статье предполагается, что все зацепления ориентированы.) Если не вводить дополнительных ограничений, то, как показал Ли Рудольф1 в [2], ответ – “любое зацепление”. Более того, любая вложенная ориентированная поверхность без замкнутых компонент реализуется как $ A \cap B $. Если область $B$ строго псевдовыпукла (например, это обычный шар), то, как показано в [3], зацепление представимо в таком виде тогда и только тогда, когда оно квазиположительно (утверждение “тогда” ранее было доказано в [4]), т. е. это замыкание квазиположительной косы (коса из $n$ нитей называется квазиположительной, если она является произведением кос, сопряженных стандартным образующим $\sigma_1,\dots,\sigma_{n-1}$ группы кос $B_n$). Это довольно сильное ограничение на класс возможных зацеплений (см. [1], [5]). В [1] зацепление названо $\mathbb{C}$-границей, если оно реализуемо как $A \,{\cap}\, \partial B$, где $B$ – гладко вложенный замкнутый четырехмерный шар (без предположения псевдовыпуклости) и $A$ – алгебраическая кривая в $\mathbb{C}^2$ (а не часть алгебраической кривой, как в [2]). Представляется также естественным выделить случай, когда $L$ реализуется в виде $A \cap\partial B$, где, кроме того, дополнение $A\setminus B$ связно. Мы назовем такие зацепления сильными $\mathbb{C}$-границами. В [1] было сделано наблюдение, что результат Кронхеймера и Мровки [6] дает некоторые ограничения на эти классы зацеплений; в частности, существуют узлы и зацепления, не являющиеся $\mathbb{C}$-границами. Отметим, что некоторые результаты, сформулированные в [1] для произвольных $\mathbb{C}$-границ, на самом деле верны только для сильных $\mathbb{C}$-границ; подробнее см. § 3. Мишель Буало (частное сообщение) поставил вопрос о том, существуют ли неквазиположительные $\mathbb{C}$-границы. В настоящей статье мы даем на него утвердительный ответ. Более того, мы показываем, что все следующие включения являются строгими:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{Q} &:=\{\text{квазиположительные зацепления}\} \subset \mathcal{SB} :=\{\text{сильные $\mathbb{C}$-границы} \} \\ &\subset\mathcal{B}:=\{\mathbb{C}\text{-границы}\} \subset \{\text{все зацепления}\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для доказательства того, что некоторые $\mathbb{C}$-границы не квазиположительны, мы используем следующие результаты. Теорема 1.1 (см. [5; следствие 1.5]). Если и само зацепление, и его зеркальный образ квазиположительны, то зацепление тривиально (см. замечание 1.3). Теорема 1.2 (см. [7; теоремы 1.1 и 1.2]). Если несвязная сумма или связная сумма зацеплений $L_1$ и $L_2$ квазиположительна, то $L_1$ и $L_2$ квазиположительны. Еще одно необходимое условие квазиположительности зацеплений следует из неравенства Франкса–Вильямса–Мортона (см. теорему 6.1 ниже). Замечание 1.3. Через $-L$ мы будем обозначать зацепление $L$ с обращенной ориентацией. Пусть $\mathcal C$ – один из классов $\mathcal{Q}$, $\mathcal{SB}$, $\mathcal{B}$. Тогда $L\in\mathcal C$, если и только если $-L\in\mathcal C$. Действительно, пусть, как и выше, $L=\partial(A\cap B)$. Обозначим через $\overline A$, $\overline B$ и $\overline L$ образы $A$, $B$ и $L$ при комплексном сопряжении $\mathbf c\colon (z, w)\mapsto(\overline z,\overline w)$. Тогда $\overline A$ – алгебраическая кривая, и мы наделим $\overline L$ граничной ориентацией, индуцированной комплексной ориентацией на $\overline A\cap\overline B$. Поскольку $\mathbf c|_A$ антиголоморфно, мы заключаем, что $(\partial\overline B,\overline L)$ имеет тип ориентированного зацепления $(\partial B,-L)$. Отметим также, что эквивалентность $L \in \mathcal{Q}\Leftrightarrow -L\in\mathcal{Q}$ можно получить алгебраически: если $L$ представлено косой $\sigma_{i_1}^{\pm1} \sigma_{i_2}^{\pm1} \cdots \sigma_{i_n}^{\pm1}$, то $-L$ представлено косой $\sigma_{i_n}^{\pm1} \cdots \sigma_{i_2}^{\pm1} \sigma_{i_1}^{\pm1}$. Определение сильной $\mathbb{C}$-границы можно эквивалентно переформулировать, заменив условие связности дополнения $A\setminus B$ на условие, что $A\setminus B$ не имеет ограниченных компонент. Если область $B$ строго псевдовыпукла, ограниченные компоненты, вообще говоря, могут появиться, см. пример Вермера [8; с. 34] (хотя ни одна компонента множества $A\setminus B$ не может быть диском согласно результату Немировского [9]). Тем не менее, когда шар $B$ строго псевдовыпуклый, зацепление $A\cap B$ является сильной $\mathbb{C}$-границей, поскольку оно квазиположительно согласно [3] и поэтому может быть реализовано в стандартной сфере [4], а отсутствие ограниченных компонент в таком случае следует из принципа максимума. Таким образом, $\mathcal{Q}\subset\mathcal{SB}$. Отметим также, что из примера Вермера легко получить пример неквазиположительной $\mathbb{C}$-границы; см. замечание 4.1. План статьиВ § 2 приведены простейшие примеры неквазиположительных $\mathbb{C}$-границ. Их можно получить, выбрав “причудливый шар”, который представляет собой небольшое утолщение трехмерного шара, вложенного в стандартную трехмерную сферу. В § 3 мы приводим некоторые инструменты для доказательства того, что некоторые зацепления не являются (сильными) $\mathbb{C}$-границами. Все они основаны на теореме Кронхеймера–Мровки. В § 4, § 5 мы обсуждаем некоторые зацепления, высекаемые комплексной прямой на гладко вложенной трехмерной сфере. Если $L$ – такое зацепление, то и $L$, и его зеркальный образ $L^*$ являются $\mathbb{C}$-границами, поэтому одно из них будет неквазиположительной $\mathbb{C}$-границей по теореме 1.1. В § 5 мы показываем, что эти зацепления являются итерированными торическими зацеплениями и описываем их диаграммы сращивания (splice diagrams) Эйзенбуда–Неймана. В § 6 мы даем полную классификацию $\mathbb{C}$-границ и сильных $\mathbb{C}$-границ с не более чем пятью пересечениями (переходами), что показывает, в частности, что все включения $ \mathcal{Q} \subset \mathcal{SB} \subset \mathcal{B} \subset \{\text{все зацепления}\}$ строгие. Эта классификация легко следует из общих фактов, установленных в предыдущих параграфах, за исключением реализации зацепления $5_1^2$ в виде $\mathbb{C}$-границы, что немного сложнее. § 2. Простейшие примеры неквазиположительных $\mathbb{C}$-границДля зацепления $L$ обозначим через $L^*$ его зеркальный образ, а через $-L$ обозначим $L$ с противоположной ориентацией. Теорема 2.1. Пусть $B$ и $B_0$ – замкнутые четырехмерные шары, гладко вложенные в $\mathbb{C}^2$, такие, что шар $B_0$ лежит во внутренности шара $B$. Пусть $A$ – алгебраическая кривая в $\mathbb{C}^2$, трансверсальная $\partial B$ и $\partial B_0$. Пусть $L$ и $L_0$ – зацепления, высекаемые кривой $A$ на $\partial B$ и $\partial B_0$ соответственно. Тогда несвязная сумма $L\sqcup(-L_0^*)$ и связная сумма $L\mathbin{\#} (-L_0^*)$ (см. замечание 2.2) являются $\mathbb{C}$-границами. Если, кроме того, шар $B_0$ строго псевдовыпуклый и зацепление $L_0$ нетривиально, то $L\sqcup (-L_0^*)$ и $L \mathbin{\#} (-L_0^*)$ являются неквазиположительными $\mathbb{C}$-границами. Замечание 2.2. Связная сумма двух ориентированных зацеплений $L=L_1 \mathbin{\#} L_2$ обычно зависит от выбора тех компонент, которые соединяются в одну компоненту зацепления $L$. В теореме 2.1 выбираемые компоненты зацеплений $A\cap\partial B$ и $A\cap\partial B_0$ должны примыкать к одной и той же компоненте связности множества $A\cap(B\setminus B_0)$. Доказательство теоремы 2.1. Покажем, что обсуждаемые зацепления являются $\mathbb{C}$-границами. Действительно, пусть $I$ – вложенный отрезок в $B \setminus B_0$, который соединяет $A\,{\cap}\,\partial B$ с $A\,{\cap}\,\partial B_0$. Пусть $U$ – малая трубчатая окрестность $I$. Тогда $B\setminus(B_0\,{\cup}\, U)$ – четырехмерный шар, и зацепление, высекаемое на нем кривой $A$, есть $L\sqcup(-L_0^*)$ (если $I$ расположен вне $A$) или $L\mathbin{\#} (-L_0^*)$ (если $I\subset A$).
Если шар $B_0$ строго псевдовыпуклый, то $L_0$ – квазиположительное зацепление. Если оно при этом нетривиально, то из теоремы 1.1 (см. также замечание 1.3) следует, что $-L_0^*$ не квазиположительно, и требуемое утверждение вытекает из теоремы 1.2. Теорема доказана. Следствие 2.3. Пусть $L$ – нетривиальное квазиположительное зацепление. Тогда $L\sqcup(-L^*)$ и $L\mathbin{\#}(-L^*)$ являются неквазиположительными $\mathbb{C}$-границами. Если к тому же $L$ – узел, то $L\mathbin{\#}(-L^*)$ – неквазиположительная сильная $\mathbb{C}$-граница. Данная конструкция допускает следующее обобщение. Теорема 2.4. Пусть $L$ – зацепление в $S^3$, являющееся $\mathbb{C}$-границей и трансверсальное экваториальной двумерной сфере $S^2\subset S^3$. Пусть $ H $ – одна из половинок $S^3\setminus S^2$, и пусть $\xi\colon S^3\to S^3$ – симметрия относительно $S^2$. Тогда зацепление $(L\cap H)\cup\xi(-L\cap H)$ является неквазиположительной $\mathbb{C}$-границей, если оно нетривиально. Доказательство. Пусть $(A, B)$ – реализация $L$ в виде $\mathbb{C}$-границы. Пусть $f\colon S^3\to\partial B$ – диффеоморфизм, отображающий $L$ на $A\cap\partial B$. Пусть $B'$ – малое утолщение $f(H)$. Тогда $(A,B')$ реализует в виде $\mathbb{C}$-границы рассматриваемое зацепление. Будучи амфихиральным, оно либо тривиально, либо неквазиположительно по теореме 1.1. Теорема доказана. Эта теорема позволяет легко строить неквазиположительные $\mathbb{C}$-границы. На рис. 1 мы приводим пример такого зацепления. Начиная с любой квазиположительной косы, можно построить множество других примеров. § 3. Ограничения на (сильные) $\mathbb{C}$-границыВсе известные ограничения на (сильные) $\mathbb{C}$-границы являются более или менее непосредственными следствиями теоремы Кронхеймера–Мровки [6] (известной также как гипотеза Тома или неравенство присоединения) и ее версии для погруженных поверхностей в $\mathbb{CP}^2$ с отрицательными самопересечениями (см. [11], [12; § 2]), которая была фактически доказана в [6], хоть и не была там явно сформулирована. Теорема 3.1 (гипотеза Тома для погружений). Пусть $\Sigma$ – связная ориентированная замкнутая поверхность рода $g$ и $j\colon \Sigma\to \mathbb{CP}^2$ – погружение, все самопересечения которого являются отрицательными простыми двойными точками. Пусть $j_*([\Sigma])=d [\mathbb{CP}^1]\in H_2(\mathbb{CP}^2)$, где $d>0$. Тогда $g$ ограничено снизу родом гладкой алгебраической кривой степени $d$, т. е. $g\geqslant (d-1)(d-2)/2$. Для зацепления $L$ в $S^3=\partial B^4$ определим его срезанную эйлерову характеристику как $\chi_s (L)=\max_\Sigma\chi(\Sigma)$, где максимум берется по всем вложенным гладким ориентированным поверхностям $\Sigma$, не имеющим замкнутых компонент, и таким, что $\partial\Sigma=L$. Аналогичным образом мы определяем срезанную отрицательно погруженную эйлерову характеристику зацепления $L$ как $\chi_s^- (L)=\max_{(\Sigma, j)} \chi(\Sigma)$, где максимум берется по всем погружениям $j\colon (\Sigma, \partial\Sigma)\to(B^4, S^3)$ ориентированных поверхностей $\Sigma$ без замкнутых компонент таких, что $j(\Sigma)$ имеет только отрицательные двойные точки и $j(\partial\Sigma)=L$. Из теоремы 3.1 сразу вытекает следующее утверждение. Предложение 3.2 (ср. [1; теорема 1.3]). Пусть $A$ – гладкая алгебраическая кривая в $\mathbb{C}^2$, трансверсальная границе четырехмерного шара $B$, гладко вложенного в $\mathbb{C}^2$ и такого, что дополнение $A\setminus B$ связно, и пусть $L=A\cap\partial B$. Тогда $\chi_s^-(L)=\chi_s(L)=\chi(A\cap B)$. Условие связности в предложении 3.2 можно заменить на условие, что $A\setminus B$ не имеет ограниченных компонент. Действительно, в этом случае $A\setminus B$ становится связным после возмущения объединения $A$ c прямой в общем положении, лежащей вдали от $B$. Доказательство. Заменим $A\setminus B$ на отрицательно погруженную поверхность $j(\Sigma)$, на которой достигается максимум $\chi(\Sigma)$, и применим теорему 3.1. Предложение доказано. Замечание 3.3. В [1; теорема 1.3] пропущено условие связности. Без него предложение 3.2 неверно. Действительно, пусть $A=\{w=0 \}$ и $B$ – единичный шар, “просверленный” вдоль отрезка $[(0,0),(0,1)]$. Тогда $\chi(A\cap B)=0$, тогда как $\chi_s(L)=2$. Доказательство не проходит, потому что, когда мы заменяем $A \cap B$ на $\Sigma$, эйлерова характеристика всей поверхности возрастает за счет отщепления сферы, а при этом эйлерова характеристика неограниченной компоненты не меняется. Отметим, что предложение [1; предложение 1.4] неверно даже для сильных $\mathbb{C}$-границ, если оба зацепления многокомпонентны. Исправленная версия приведена ниже в предложении 3.6. Замечание 3.4. Похожая неточность есть и в работе [12]: не проверяется связность вспомогательной поверхности (аналога $(A \setminus B) \cup \Sigma$ из доказательства теоремы 3.1). В результате заключение теоремы [12; теорема 1] неверно, например, в случае, когда обе кривые – вещественные коники с непустыми, но не пересекающимися множествами вещественных точек. Однако эта неточность легко исправляется и не влияет на наиболее интересный случай, когда кривые имеют общие вещественные точки. Определение 3.5. Компоненту $\mathbb{C}$-границы $L$ назовем внешней, если она смежна с неограниченной компонентой $A\setminus B$, где $A$ и $B$ те же, что и в определении $\mathbb{C}$-границ. В частности, все компоненты сильной $\mathbb{C}$-границы внешние. Предложение 3.6 (ср. [1; предложение 1.4]). Пусть $K_1$ и $K_2$ – внешние компоненты $\mathbb{C}$-границ $L_1$ и $L_2$ соответственно. Тогда $L_1\sqcup L_2$ и $L_1\mathbin{\#} L_2=L_1\mathbin{\#}_{(K_1,K_2)}L_2$ являются $\mathbb{C}$-границами. Если, к тому же, $L_1$ и $L_2$ – сильные $\mathbb{C}$-границы, то таковыми же являются и $L_1\sqcup L_2$ и $L_1\mathbin{\#} L_2$, и тогда $\chi_s(L_1\mathbin{\#} L_2)+1=\chi_s(L_1\sqcup L_2)=\chi_s(L_1)+\chi_s(L_2)$. Доказательство. Для $j=1,2$ пусть $(A_j, B_j)$ – реализация $L_j$ в качестве (сильной) $\mathbb{C}$-границы. Сдвигая $A_1$ и $B_1$ достаточно далеко, мы можем добиться того, что $A_1\,{\cap}\, B_2\,{=}\,A_2\,{\cap}\, B_1\,{=}\,B_1\,{\cap}\, B_2\,{=}\,\varnothing$. Возмущая $A_1\cup A_2\cup L$ для подходящей прямой $L$, мы можем добиться того, что $L_j=A\cap\partial B_j$, $j=1,2$, где $A$ – гладкая проективная алгебраическая кривая. Положим $B=B_1\cup B_2\cup T$, где $T$ – малая трубчатая окрестность вложенной дуги, соединяющей точку из $K_1$ с точкой из $K_2$. Тогда $(A,B)$ реализует $L_1\sqcup L_2$ (соответственно $L_1\mathbin{\#}L_2$), если данная дуга не лежит (соответственно лежит) на $A$. Требуемое соотношение для $\chi_s(\,{\cdot}\,)$ легко следует из предложения 3.2. Предложение доказано. Предложение 3.7. Если $L$ сильная $\mathbb{C}$-граница и $-L^*$ (не обязательно сильная) $\mathbb{C}$-граница, то $\chi_s(L)=\chi_s^-(L)\geqslant 1$. Доказательство. Пусть $\widehat L\,{=}\,L\mathbin{\#}_{(K,-K^*)}(-L^*)$, где $-K^*$ – внешняя компонента $-L^*$, а $K$ – соответствующая ей компонента $L$. Пусть $A\,{\cap}\, B$ и $A^*\,{\cap}\, B^*$ – реализации $L$ и $-L^*$ в виде (сильных) $\mathbb{C}$-границ. Конструкция из доказательства предложения 3.6 дает кривую $\widehat A$ и гладкий шар $\widehat B$ такие, что $\widehat A\cap\widehat B$ реализует $\widehat L$ и при этом все компоненты $\widehat L$, полученные из $L$ (включая $K\mathbin{\#}(-K^*)$), лежат на границе единственной неограниченной компоненты множества $\widehat A\setminus\widehat B$. Хорошо известно (и легко видеть), что $\widehat L$ ограничивает поверхность $\Sigma=\Sigma_1\cup\dots\cup\Sigma_r$ в $\widehat B$, где $\Sigma_1$ является диском с границей $K\mathbin{\#}(-K^*)$, а $\Sigma_i$ при $i\geqslant2$ является кольцом с границей $K_i\sqcup(-K_i^*)$, где $K,K_2,\dots,K_r$ – компоненты зацепления $L$. Следовательно, $\chi(\Sigma)=1$. Положим $A'=(\widehat A\setminus\widehat B)\cup\Sigma$. По построению, $A'$ связна. Следовательно, $\chi(A')\leqslant\chi(\widehat A)$ по теореме 3.1. Тоже по построению, $\chi(\widehat A\cap\widehat B)=\chi(A\cap B)+\chi(A^*\cap B^*)-1\leqslant 2\chi_s(L)-1$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
0\leqslant\chi(\widehat A)-\chi(A')=\chi(\widehat A\cap\widehat B)-\chi(\Sigma) \leqslant (2\chi_s(L)-1)-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, $\chi_s(L)=\chi_s^-(L)$ по предложению 3.2. Предложение доказано. Лемма 3.8. Пусть $L$ есть $\mathbb{C}$-граница, не являющаяся сильной $\mathbb{C}$-границей. Тогда существует собственное подзацепление зацепления $L$, имеющее нулевой индекс зацепления со своим дополнением в $L$. Доказательство. Пусть $L=A\cap B$, как в определении $\mathbb{C}$-границы. Без ограничения общности можно предполагать, что кривая $A$ гладкая. Тогда $A\setminus B$ имеет ограниченную компоненту $A_0$, потому что в противном случае для некоторой прямой $C$ возмущение объединения $A\cup C$ реализовывало бы $L$ в виде сильной $\mathbb{C}$-границы. Положим $A_1=(A\setminus B)\setminus A_0$ и обозначим через $B'$ дополнение $B$ в одноточечной компактификации $\mathbb{C}^2$. Тогда $B'$ – шар, и $A_0$ не пересекается с замыканием $A_1$ в $B'$. Следовательно, индекс зацепления $\partial A_0$ и $\partial A_1$ равен нулю. Лемма доказана.
§ 4. Неквазиположительная $\mathbb{C}$-граница, получающаяся из примера ВермераПусть $S^3=\{|z|^2+|w|^2=1\}\subset\mathbb{C}^2$ и $0<\varepsilon\ll1$. Обозначим через $G_f$ график функции
$$
\begin{equation*}
f(z)=\begin{cases} \dfrac{2\varepsilon}{\overline z}, & |z|\geqslant\varepsilon, \\ \dfrac{2z}{\varepsilon}, & |z|\leqslant\varepsilon. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Наделим его ориентацией, индуцированной проекцией на ось $z$. Легко проверить, что $L_f:=G_f\cap S^3$ является зацеплением, изображенным на рис. 2, где горизонтальной окружностью представлена компонента $L_f$, близкая к оси $z$. Очевидно, что это зацепление нетривиально, следовательно, либо $L_f$, либо его зеркальный образ $L_{\overline f}$ неквазиположителен по теореме 1.1. Отображение $T_f\colon (z,w)\mapsto(z,w-f(z))$ преобразует $G_f$ в прямую $\{w=0\}$. Аналогично, $T_{\overline f}(G_{\overline f})=\{w=0\}$. Таким образом, либо пара $\bigl(T_f(B^4),\,\{w=0\}\bigr)$, либо ее образ при отображении $(z,w)\mapsto(z,\overline w)$ является примером “причудливого шара” в $\mathbb{C}^2$ и алгебраической кривой, высекающей на его границе неквазиположительное зацепление, т. е. либо $L_f$, либо $L_{\overline f}$ является неквазиположительной $\mathbb{C}$-границей. Пока что это неконструктивное доказательство существования, так как мы еще не знаем, которое из зацеплений не квазиположительно (мы установим это чуть позже). Однако, если заменить $f(z)$ на $f(z+1/2)+\overline{f(z-1/2)}$, то получившееся зацепление будет амфихиральным, потому что оно инвариантно относительно инволюции $(z,w)\mapsto(-z,-\overline w)$. Следовательно, оно неквазиположительно (тоже по теореме 1.1), и оно является $\mathbb{C}$-границей по той же причине, что и выше. Покажем, что зацепление $L_{\overline f}$ квазиположительно (и значит, по теореме 1.1, $L_f$ таковым не является). В самом деле, $L_{\overline f}$ изотопно замыканию косы из $3$ нитей $(\sigma_1\sigma_2\sigma_1^{-1})(\sigma_1^{-1}\sigma_2\sigma_1)$. Нам неизвестно, является ли $L_f$ сильной $\mathbb{C}$-границей. Квазиположительность $L_{\overline f}$ можно также увидеть геометрически следующим образом. Компоненты $L_f$ можно параметризовать с учетом ориентаций посредством отображения
$$
\begin{equation*}
t\mapsto (e^{it},2\varepsilon e^{it}),\qquad t\mapsto (2\varepsilon e^{-it},e^{-it}),\qquad t\mapsto \biggl(\frac12\varepsilon e^{it},e^{it}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
(здесь мы приблизили коэффициенты с точностью до $O(\varepsilon^2)$). Поэтому
$$
\begin{equation*}
L_f=S^3\cap \bigl(\{w=2\varepsilon z\}\cup\{z=2\varepsilon w\}^{\mathrm{op}}\cup\{2z=\varepsilon w\}\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\{\cdots\}^{\mathrm{op}}$ означает обращение ориентации на комплексной прямой. Любые две тройки различных комплексных прямых, проходящих через начало координат, друг другу изотопны. Следовательно,
$$
\begin{equation}
L_f \sim S^3\cap \bigl(\{w=0\}\cup\{w=\varepsilon z\}\cup\{z=\varepsilon w\}^{\mathrm{op}}\bigr).
\end{equation}
\tag{1}
$$
Поэтому $L_{\overline f}$ изотопно образу правой части (1) при отображении $(z,w)\mapsto(z,\overline w)$. Этот образ допускает параметризацию $t\mapsto(e^{it},0)$, $t\mapsto(e^{it}$, $\varepsilon e^{-it})$, $t\mapsto(\varepsilon e^{-it},\,e^{it})$, но это (опять с точностью до $O(\varepsilon^2)$) параметризация зацепления $S^3\cap\{w(zw-\varepsilon)=0\}$. Таким образом, зацепление $L_{\overline f}\sim S^3\cap\{w(zw-\varepsilon)=0\}$ квазиположительно. Замечание 4.1. Третий способ убедиться в том, что зацепление $L_{\overline f}$ квазиположительно, – это заметить, что его можно получить из примера Вермера (см. [8; с. 34]), в котором явно задана функция $F(z)=(1+i)\overline z-iz\overline z^2-z^2\overline z^3$, обладающая следующими свойствами: $F'_{\overline z}\ne0$ в единичном круге $\Delta$, и $F|_{\partial\Delta}=0$. Поэтому график функции $F$ вполне вещественен и, следовательно, у него есть малая окрестность, являющаяся строго псевдовыпуклым шаром $B$. Можно проверить, что зацепление, высекаемое осью $z$ на $\partial B$, изотопно $L_{\overline f}$, из чего следует, что $L_{\overline f}$ квазиположительно в силу [3]. § 5. Дальнейшие примеры $\mathbb{C}$-границ, высекаемых комплексной прямой, и их свойстваЯсно, что в § 4 можно было взять произвольную функцию $f\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C}$, график которой $G_f$ трансверсален сфере $S^3$ и высекает на ней нетривиальное зацепление $L_f$. В этом случае теорема Хайдена (теорема 1.1) гарантирует, что либо $L_f$, либо его зеркальный образ $L_{\overline f}$ неквазиположителен. Это, однако, очень маленькое семейство зацеплений, и мы его опишем в этом параграфе. Все они являются итерированными торическими зацеплениями, поэтому подходящий язык для их описания – EN-диаграммы (называемые также диаграммами сращивания или сплайс-диаграммами). Это некие графы, введенные Эйзенбудом и Нейманом в [13]. Точнее, если считать эквивалентными диаграммы, получающиеся друг из друга при помощи некоторых простых операций (см. [13; теорема 8.1]), то каждое итерированное торическое зацепление соответствует единственному классу эквивалентности диаграмм. Вычисление структуры итерированного торического зацепления $L_f$ из исходных данных очень похоже на аналогичное вычисление в [14] (в обоих случаях исходные данные – это набор непересекающихся окружностей на плоскости, снабженных некоторой дополнительной информацией). Итак, рассмотрим $f$, $G_f$ и $L_f$, как выше, и пусть $\operatorname{pr}_1\colon \mathbb{C}^2\to\mathbb{C}$ – проекция $(z,w)\mapsto z$. Без ограничения общности можно считать, что $L_f$ не пересекается с осью $z$. Тогда $\operatorname{pr}_1(L_f)$ есть несвязное объединение гладко вложенных окружностей $C_1\cup\dots\cup C_n$. Обозначим через $D_1,\dots,D_n$ ограниченные компоненты связности множества $\mathbb{C}\setminus\operatorname{pr}_1(L_f)$, занумерованные так, что $C_j$ – внешняя компонента границы области $D_j$. Назовем область $D_j$ положительной или отрицательной в соответствии со знаком числа $|f(z)|^2+|z|^2-1$ для $z\in D_j$ (тогда $\operatorname{pr}_1(G_f\cap B^4)$ есть объединение всех отрицательных $D_j$). Наделим каждую окружность $C_j$ граничной ориентацией, индуцированной с примыкающей к ней компоненты $\mathbb{C}\setminus\operatorname{pr}_1(L_f)$ (это будет также ориентацией, задаваемой проекцией зацепления $L_f$). Обозначим через $a_j$ приращение функции $(\operatorname{Arg} f)/(2\pi)$ вдоль $C_j$. Тогда зацепление $L_f$ однозначно определяется по следующим комбинаторным данным: частичный порядок $\prec$ на $\{C_1,\dots,C_n\}$, определяемый условием, что $C_i\prec C_j$, если $C_i$ лежит внутри $C_j$, и числами $a_j$, приписанными немаксимальным (относительно данного порядка) $C_j$. Такие данные реализуемы тогда и только тогда, когда $\sum_{k\in I(j)} a_k=0$ для каждой положительной области $D_j$; здесь $I(j)=\{k\mid C_k\subset\partial D_j\}$. Определение 5.1. Пусть $K$ – компонента ориентируемого зацепления $L$. Пусть $p$, $q$ и $d$ – целые числа такие, что $\text{НОД}(p,q)=1$ и $d\geqslant 1$. Скажем, что $L\cup L'$ (соответственно $(L\setminus K)\cup L'$) есть $(pd,qd)$-обмотка зацепления $L$ вдоль $K$ с оставленной основой (соответственно с удаленной основой), если для некоторой трубчатой окрестности $T$ узла $K$, не пересекающейся с $L\setminus K$, мы имеем: Итерированное торическое зацепление – это зацепление, полученное из тривиального узла последовательным применением обмоток обоих типов. Замечание 5.2. Обращение ориентации некоторых компонент не нарушает свойства быть итерированным торическим зацеплением. Действительно, обращение ориентации компоненты $K$ эквивалентно $(-1,0)$-обмотке вдоль $K$ с удалением основы. Лемма 5.4. Пусть $L=K_1\cup\dots\cup K_n$ – зацепление в $S^3=\partial B^4$ такое, что $\operatorname{pr}_1|_L$ инъективно. Тогда $L$ – итерированное торическое зацепление. Доказательство. Можно предполагать, что $L$ не пересекается с осью $z$. Пусть $K_1,\dots,K_n$ – компоненты $L$, и пусть $C_j=\operatorname{pr}_1(K_j)$. Мы будем называть $C_j$ овалами. Согласно замечанию 5.2, на компонентах можно выбирать произвольные ориентации. Выберем на $K_j$ ориентацию, соответствующую ориентации $C_j$ против часовой стрелки. Обозначим через $a_j$ индекс зацепления $K_j$ с осью $z$ (приращение функции $\operatorname{Arg} F_j/(2\pi)$, если рассматривать $K_j$ как график функции $F_j\colon C_j\to\mathbb{C}$). Зацепление $L$ однозначно определено проекцией $\operatorname{pr}_1(L)$ и числами $a_1,\dots,a_n$ (если $C_j$ – внешний овал, то $L$ не зависит от $a_j$ с точностью до изотопии).
Мы докажем утверждение леммы для более широкого класса зацеплений, а именно, мы будем допускать, что некоторые компоненты $L$ – это слои проекции $\operatorname{pr}_1$, ориентированные так, чтобы их индекс зацепления с осью $z$ был положительным (заметим, что с точностью до изотопии зацепление не изменится, если заменить такую компоненту на маленький овал с $a_j=1$). Без ограничения общности можно считать, что $\operatorname{pr}_1(L)$ имеет единственный внешний овал. В противном случае $L$ есть несвязная сумма зацеплений, каждое из которых соответствует некоторому внешнему овалу и всем овалам внутри него. Если $\operatorname{pr}_1(L)$ состоит из единственного овала и точки внутри него, то $L$ – зацепление Хопфа, и оно является $(1,1)$-обмоткой тривиального узла. Поэтому нам достаточно проверить, что нижеперечисленные операции (i)–(iii) являются обмотками (см. верхний ряд на рис. 3). Пусть $K$ – компонента $L$ вида $\operatorname{pr}_1^{-1}(p)$ для некоторой точки $p$, и пусть $D$ – такой диск, что $D\cap\operatorname{pr}_1(L)=\{p\}$. Определим следующие операции: (i) добавление компоненты, проецирующейся на $\partial D$ и имеющей произвольный наперед заданный индекс пересечения $a$ с осью $z$; (ii) операция (i) с последующим удалением $K$; (iii) замена $K$ на $\operatorname{pr}_1^{-1}(P)$, где $P=\{p_1,\dots,p_k\}\subset D$. Тогда (i) (соответственно (ii)) – это $(a,1)$-обмотка вдоль $K$ с сохранением (соответственно с удалением) основы, а (iii) – это $(k,0)$-обмотка вдоль $K$ с удалением основы. Лемма доказана. В нижнем ряду на рис. 3 изображены последовательные преобразования EN-диаграмм при итерировании обмоток в доказательстве леммы 5.4. На рис. 4 даны две EN-диаграммы зацепления $L_f$ для расположения овалов и индексов зацепления, приведенных в левой части рисунка. Серым цветом закрашены области, составляющие $\operatorname{pr}_1(G_f\cap B^4)$ (напомним, что сумма индексов зацепления вдоль границы каждой ограниченной белой, т. е. положительной, области должна равняться нулю). Левая EN-диаграмма соответствует доказательству леммы 5.4, а правая получена из нее применением допустимых эквивалентных преобразований, описанных в [13; теорема 8.1 (3) и (6)]. В общем случае такие преобразования применимы к каждому фрагменту EN-диаграммы, отвечающему кольцевой компоненте множества $\operatorname{pr}_1(G_f\setminus B^4)$ (т. е. белой кольцевой области при раскраске, как на рис. 4). Замечание 5.5. Нам неизвестно, являются ли сильными $\mathbb{C}$-границами какие-либо из неквазиположительных зацеплений, рассмотренных в этом параграфе. § 6. Зацепления с не более чем пятью пересечениямиВ этом параграфе для каждого зацепления, допускающего проекцию с не более, чем пятью пересечениями (переходами), мы устанавливаем, принадлежит ли оно классам $\mathcal{Q}$, $\mathcal{SB}$ или $\mathcal{B}$. В табл. 1 мы приводим ответы для всех таких зацеплений, не являющихся несвязной суммой с тривиальным узлом (не имеющих вид $L\sqcup O$, где $O$ – тривиальный узел), однако из этого легко вывести и ответы для зацеплений вида $L\sqcup O\sqcup\dots\sqcup O$ с $\leqslant5$ пересечениями. Импликация $L\in\mathcal C\Rightarrow L\sqcup O\in\mathcal C$ (где $\mathcal C$ – это $\mathcal{Q}$, $\mathcal{SB}$ или $\mathcal{B}$) очевидна. Обратная импликация верна для класса $\mathcal{Q}$ (см. [7]), но мы не знаем, имеет ли она место в общем случае для классов $\mathcal{SB}$ и $\mathcal{B}$. Однако характер наших доказательств таков, что каждый раз, когда мы доказываем, что $L\notin\mathcal C$ (где $\mathcal C$ – один из классов $\mathcal{SB}$ или $\mathcal{B}$), те же рассуждения всегда легко адаптировать для доказательства того, что $L\sqcup O\sqcup\dots\sqcup O\notin\mathcal C$. Таблица 1.
Список простых (т. е. неразложимых в связную или несвязную сумму) зацеплений взят из [15], [10] (но мы сокращаем $2_1^2$ до $2_1$). Через ${4_1^2}_-$ мы обозначаем зацепление $4_1^2$ (ориентированное, как в [10]) с обращенной ориентацией одной из компонент. Заметим, что любой выбор ориентаций компонент у $5_1^2$ дает один и тот же ориентированный изотопический тип. Во втором столбце мы приводим косы. Они служат как для идентификации зацепления, так и для подтверждения его квазиположительности, когда она имеет место. Разложение кос в произведение образующих также позволяет получить указанную нижнюю оценку для $\chi_s^-(L)$, используя тот факт, что если коса $\beta'$ получена из $\beta$ заменой $\sigma_i^{-1}$ на $\sigma_i$, то $\chi_s^-(\beta)\geqslant\chi_s^-(\beta')$. (В наших доказательствах используются только нижние оценки для $\chi_s^-$ и верхние оценки для $\chi_s$, поэтому читатель может считать, что в табл. 1 приведены лишь эти оценки эйлеровых характеристик.) Например, $\chi_s^-({4_1^2}_-)=\chi_s^-(\sigma_1\sigma_2^{-1}\sigma_1^{-1}\sigma_1^{-1}\sigma_2^{-1}) \geqslant\chi_s^-(\sigma_1\sigma_2^{-1}\sigma_1^{-1}\sigma_1\sigma_2)=\chi^-(\sigma_1)=2$ (здесь “$\sigma_1$” в “$\chi_s^-(\sigma_1)$” рассматривается как коса с тремя нитями). Мы также используем неравенство Мурасуги в оценках для $4_1^2$, ${4_1^2}_-$ и $5_1^2$. Ссылки на комментарии в конце параграфа даны в табл. 1 в виде “(a)”, “(b)”, и т.д. Почти все доказательства основаны на общих результатах из § 2, § 3. Ниже мы приводим некоторые частные результаты, используемые в таблице. Следующая теорема непосредственно вытекает из неравенства Франкса–Вильямса–Мортона [16], [17] в сочетании с предложением 3.2 (в [15] в большинстве случаев неквазиположительность узлов выводится из этого результата). Теорема 6.1 (см. [1; теорема 3.2]). Если $L$ – квазиположительное зацепление, то $\operatorname{ord}_v P_L\geqslant1-\chi_s(L)$, где $P_L(v,z)$ – многочлен HOMFLY, нормализованный условиями $P_{O}=1$, $P_{L_+}=vzP_{L_0}+v^2P_{L_-}$. Доказательство. Пусть $L=L_1\sqcup L_2$, где $L_1$ реализует $3_1^*$ и $L_2$ реализует $2_1$. Предположим, что $L$ есть $\mathbb{C}$-граница $\partial(A\cap B)$, где $A$ – гладкая алгебраическая кривая в $\mathbb{CP}^2$, а $B$ – четырехмерный шар, гладко вложенный в пространство $\mathbb{C}^2$, рассматриваемое в качестве аффинной карты в $\mathbb{CP}^2$. Без ограничения общности можно считать, что $A\setminus B$ имеет только одну неограниченную (в $\mathbb{C}^2$) компоненту. Пусть $\Sigma$ – несвязное объединение поверхностей $\Sigma_1\cup\Sigma_2$, и пусть $j\colon (\Sigma,\partial\Sigma)\to(B,\partial B)$ такое погружение с отрицательными самопересечениями, что $j(\partial\Sigma_i)=L_i$, $i=1,2$. Можно считать, что $\Sigma_1$ – это диск, а $\Sigma_2$ – кольцо. Обозначим через $A'$ результат склейки $A\setminus B$ и $\Sigma$ по границе, и продолжим $j$ на $A'$ так, что $j(A')=(A\setminus B)\cup j(\Sigma)$.
Имеют место равенства $\chi_s(L)=-1$ и $\chi_s^-(L)=1$ (см. табл. 1), значит $\chi_s^-(L)>\chi_s(L)$, и следовательно, $\chi(A')> \chi(A)$. Поэтому множество $A'$ не может быть связным по теореме 3.1. Напомним, что $A\setminus B$ имеет только одну неограниченную компоненту, следовательно, у поверхности $A'$ есть компонента $A'_0$ такая, что $j(A'_0)$ ограничено в $\mathbb{C}^2$. Поскольку $j(A'\setminus A'_0)$ пересекается с $B$, для некоторого $k\in\{1,2\}$ имеет место $j(A'_0)\cap B=j(\Sigma_k)$ и, следовательно, $j(A'_0)\cap\partial B=L_k$. Поскольку $[j(A'\setminus A'_0)]=[j(A)]$ в $H_2(\mathbb{CP}^2)$, из теоремы 3.1 следует, что $\chi(A)\geqslant\chi(A'\setminus A'_0)$, а значит и, таким образом, $\chi(A'_0) \geqslant\chi(\Sigma)-\chi_s(L)=2$. Покажем, что это невозможно. В самом деле, положим $\Sigma_0=A'_0\setminus\Sigma_k$. Тогда $j(\Sigma_0)$ можно рассматривать как гладкую поверхность с границей $-L_k$, вложенную в одноточечную компактификацию $\mathbb{C}^2$, откуда следует, что $\chi(\Sigma_0)\leqslant\chi_s(L_k)\leqslant 0$ (так как $\chi_s(3_1)=-1$ и $\chi_s(2_1)=0$), а мы предположили, что $\chi(\Sigma_1)=1$ и $\chi(\Sigma_2)=0$. Теорема доказана.Предложение 6.3. Зацепление $5_1^2$ (см. рис. 5) является сильной $\mathbb{C}$-границей. Доказательство. Положим $A=\{(z,w)\mid w^2=z^2+z^3\}$. Пусть $1\ll r\,{\ll}\, R$, и пусть $\Delta_r,\Delta_R\subset\mathbb{C}$ – диски соответствующих радиусов. Положим $U_t=([t,r]\times\Delta_R)\cup\partial(\Delta_r\times\Delta_R)$. Пусть $z_1=r\exp(\pi i/3)$, $z_2=\overline z_1$, и обозначим через $w_j$, $j=1,2$, такое решение уравнения $w^2=z_j^2+z_j^3$, у которого $\operatorname{Im} w_j>0$; тогда $w_1\approx w_2\approx r^{3/2}i$. Положим $p_j=(z_j,w_j)$ и $p'_j=(z_j,Ri)$. Пусть $\gamma$ – вложенная дуга в $\Delta_r$, соединяющая $z_1$ с $z_2$ и обходящая отрезок $[0,r]$, и пусть $\Gamma=[p_1,p'_1]\cup(\gamma\times\{Ri\})\cup[p'_2,p_2]$. Для множества $X\subset\mathbb{C}^2$ и числа $\varepsilon>0$ обозначим $\varepsilon$-окрестность $X$ в $\mathbb{C}^2$ через $X^\varepsilon$. Наконец, для $0\ll\delta\ll\varepsilon$, обозначим через $B_t$ малое сглаживание множества $(U_t\setminus\Gamma^\varepsilon)^\delta$.
Тогда $A\cap\partial B_0$ является сильной $\mathbb{C}$-границей, изотопной $5_1^2$, во вложенной трехмерной сфере $\partial B_0$. Действительно, мы имеем $U_r=\partial (\Delta_r\times\Delta_R)$, и при этом $A\cap U_r$ является трилистником, лежащим в “вертикальном” полнотории $T=(\partial\Delta_r)\times\Delta_R$; см. рис. 6, где кусочно гладкая трехмерная сфера $U_r$ представлена ее центральной проекцией на единичную сферу с последующей стереографической проекцией на трехмерное пространство. Следовательно, зацепление $A\cap B_r$ такое, как изображено в левой части рис. 7 (ср. с теоремой 2.4 и ее доказательством). Рассмотрим семейство зацеплений $(B_t,A\cap B_t)$, где $t$ непрерывно меняется от $r$ до $0$. При этой деформации зацепление меняется только в небольшой области на “внутренней” стороне сферы, а именно, при изменении параметра $t$ меняется только та часть зацепления, которая лежит в секторе $-\eta<\operatorname{Arg} z<\eta$ ($0<\eta\ll1$) полнотория $(\partial\Delta_{r-\delta})\times\Delta_R$. Когда параметр $t$ проходит значение $t=\delta$, сфера $\partial B_t$ проходит через двойную точку кривой $A$ (в начале координат), и при этом зацепление перестраивается так, как изображено в средней части рис. 7. Получившееся в результате зацепление – это в точности $5_1^2$ (см. правую часть рис. 7). Предложение доказано. Комментарии к табл. 1(a) Потому что $\chi_s(L)\ne\chi_s^-(L)$ (см. предложение 3.2). (b) По лемме 3.8 в сочетании с тем фактом, что $L\notin\mathcal{SB}$. (c) По теореме 1.2. (d) По теореме 2.1, примененной к нодальной или каспидальной кубике $y^2=ax^2+x^3$ ($a=0$ или $1$), где $B_0$ – малый шар с центром в начале координат и $B$ – малый (для $2_1\mathbin{\#}2_1^*$ и $2_1\sqcup 2_1^*$) или большой (в других случаях) шар, содержащий $B_0$. Несложно проверить, что получающееся зацепление является сильной $\mathbb{C}$-границей в соответствующих случаях. (e) Можно воспользоваться тем, что $\chi_s(L)=\chi_s(L^*)$, и применить предложение 3.6 для вычисления $\chi_s(L^*)$. (f) По предложению 3.7. (g) Вложенная поверхность в четырехмерном шаре, границей которой является $L$, не может содержать диска в качестве компоненты, следовательно, $\chi_s(L)\leqslant0$. (В случае $3_1^*\mathbin{\#}2_1$ можно также вычислить $\chi_s(L)=\chi_s(L^*)$ при помощи предложения 3.2.) (h) См. предложение 6.2. (i) По теореме 6.1. (j) См. предложение 6.3.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KruOre21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|