| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 4 статьях) Об улучшенных оценках и условиях сходимости для цепей Маркова А. Ю. Веретенниковab, М. А. Веретенниковаc a Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва c The Zeeman Institute, University of Warwick, United Kingdom
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9076 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеКак хорошо известно, для дискретной неприводимой апериодической однородной цепи Маркова $(X_n,\, n\geqslant 0)$ с конечным фазовым пространством $S$ существует единственное стационарное распределение $\mu$, к которому маргинальные распределения цепи $\mu_n={\mathcal L}(X_n)$ сходятся экспоненциально быстро и равномерно относительно начального распределения $\mu_0$:
$$
\begin{equation}
\|\mu_n - \mu\|_{\mathrm{TV}} \leqslant 2 (1-\kappa)^n,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\kappa = \min_{i,i'}\sum_{j\in {\mathcal S}} p_{ij}\wedge p_{i'j},
\end{equation*}
\notag
$$
и где $p_{ij}$ – переходные вероятности, см., например, [1; § 17, теорема] или [2; § 4] (строго говоря, в обеих классических работах утверждается лишь факт сходимости, однако указанная экспоненциальная оценка следует непосредственно из доказательства). Такая же оценка имеет место и для общих цепей Маркова (МЦ) (см. [3] среди многих других источников); здесь $\|\,{\cdot}\,\|_{\mathrm{TV}}$ – расстояние по вариации между мерами. Об истории оценки Маркова–Добрушина (далее МД) для однородных цепей см. [4]–[9] и др. Иной хорошо известный метод получения экспоненциальных оценок связан с собственными значениями матрицы переходных вероятностей [10; гл. XIII, формула (96)], [8; теорема 1.2]. Правда, он является менее общим и подходит, в основном, для случаев конечных фазовых пространств, в особенности при $|{\mathcal S}| = 2,3$ (этот последний случай можно найти в ряде учебников), и в случае обратимых МЦ, см. [11]. Когда этот метод применим, он дает наиболее точные результаты. Однако он, вообще говоря, не работоспособен для неоднородных МЦ, в отличие от классического метода Маркова–Добрушина и его нового обобщения, изложенного в настоящей работе. Отметим, что для неоднородных МЦ имеет место следующая аналогичная (1) оценка:
$$
\begin{equation}
\|\mu_n - \mu'_n\|_{\mathrm{TV}} \leqslant 2 \prod_{t=0}^{n-1}(1-\kappa_t),
\end{equation}
\tag{2}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\kappa_t = \min_{i,i'}\sum_{j\in {\mathcal S}} p_{ij}(t)\wedge p_{i'j}(t),
\end{equation*}
\notag
$$
и где $p_{ij}(t)$ – переходные вероятности в момент времени $t$, а $\mu_n$ и $\mu'_n$ – распределения той же самой МЦ с двумя различными начальными распределениями $\mu_0$ и $\mu'_0$ соответственно; конечно, определяет ли оценка (2) сходимость к нулю, зависит от расходимости ряда $\sum_{t=1}^{\infty}\kappa_t$. Неравенство (2) вытекает из выкладки, аналогичной однородному случаю, как в [1]; см. [2; теорема 4.III, неравенство (29)]. Предварительные варианты новой оценки, основанной на версиях марковского каплинга, были предложены в работах [12] и [3] (о каплинге см. [13]–[16] и др.). В настоящей работе удалось отказаться от требования существования единой доминирующей меры для всех переходных ядер, при этом рассмотрено общее фазовое пространство (в [12] это было конечномерное евклидово пространство). В результате удалось ослабить достаточное условие и расширить класс процессов, для которых новая оценка имеет место. Наконец, в последнем разделе работы приведен ряд примеров (работы [12] и [3] примеров не содержат, а в [17] представлено лишь четыре самых простых), которые демонстрируют, что в большинстве случаев классическая оценка Маркова–Добрушина (1) может быть, в самом деле, эффективно улучшена. Для процесса $(X_n, \, n\geqslant 0)$ положим
$$
\begin{equation*}
{\mathcal F}^X_n = \sigma(X_k\colon k\leqslant n), \qquad {\mathcal F}^X_{(n)} = \sigma(X_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним следующие соглашения теории процессов Маркова (см. [18]): выражения $\mathbb E_x$ и $\mathbb P_x$ означают математическое ожидание и соответственно вероятностную меру, отвечающие неслучайному начальному значению процесса $X_0=x$. Начальное значение может быть также и случайным с некоторым распределением $\mu$, в каковом случае используются обозначения $\mathbb E_\mu$ и $\mathbb P_\mu$. Работа состоит из четырех параграфов. Параграф 1 – настоящее введение. Параграф 2 содержит версию марковского каплинга для однородного случая, потраекторный подход и основную теорему 8 для этого случая; большинство доказательств лемм этого параграфа не приводится, поскольку они являются специальными случаями своих неоднородных аналогов из следующего параграфа. В § 3 изложены результаты для неоднородного случая. В § 4 приведен ряд примеров, где новая оценка (для однородного случая) лучше, и где она дает асимптотически такие же результаты, как классическая МД оценка. Обе эти оценки сравниваются с оценкой, получаемой спектральным методом. § 2. Марковский каплинг, однородный случайВначале рассмотрим однородный марковский процесс (МП) в дискретном времени $(X_n, \, n\geqslant 0)$ на общем (непустом) фазовом пространстве $S$ с топологией и борелевской сигма-алгеброй $\sigma(S)$; как обычно для марковских процессов, всякое одноточечное множество $\{x\}$ принадлежит сигма-алгебре $\sigma(S)$. Если фазовое пространство $S$ конечно, то $|S|$ обозначает число его элементов, а $\mathcal P$ – матрицу переходных вероятностей $(p_{ij})_{1\leqslant i,j \leqslant |S|}$ процесса. Последнее обозначение может быть также использовано в случае счетного $S$. Все доказательства лемм этого параграфа, кроме леммы 6, отложены до следующего параграфа, где будут доказаны аналоги этих лемм для неоднородного случая, охватывающие и однородную ситуацию. В хорошо известном неравенстве (6) предложения 5, сформулированного ниже ради удобства читателя (без доказательства), которое обобщает оценку (1), предполагается, что постоянная Маркова–Добрушина положительна:
$$
\begin{equation}
\kappa := \inf_{x,x'} \int \biggl(\frac{\mathbb{P}_{x'}(1,dy)}{\mathbb{P}_x(1,dy)}\wedge 1 \biggr)\, \mathbb{P}_x(1,dy) > 0.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Аналогичные коэффициент и условие можно сформулировать для любого числа шагов $m\geqslant 1$:
$$
\begin{equation}
\kappa^{(m)} := \inf_{x,x'} \int \biggl(\frac{\mathbb{P}_{x'}(m,dy)}{\mathbb{P}_x(m,dy)}\wedge 1 \biggr)\, \mathbb{P}_x(m,dy) >0.
\end{equation}
\tag{4}
$$
В основном результате данного параграфа – в теореме 8 – это условие будет ослаблено. Отметим, что здесь выражение ${\mathbb{P}_{x'}(1,dy)}/{\mathbb{P}_x(1,dy)}$ понимается в смысле плотности абсолютно непрерывной компоненты меры в числителе относительно меры в знаменателе. Ради краткости будем использовать сокращенное обозначение $\mathbb{P}_x(dz)$ вместо $\mathbb{P}_x(1,dz)$. Заметим, что для любого борелевского множества $A$ функция $\mathbb{P}_x(A)$ является борелевской относительно переменной $x$, это стандартное требование в теории марковских процессов, см. [18]. Аналогичная измеримость относительно пары $x,x'$ для меры $\Lambda_{x,x'}$, определенной ниже, также имеет место в силу линейности. Для любых двух состояний $x$, $x'$ обозначаем
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{x,x'}(dz) := \frac{\mathbb{P}_x(dz) + \mathbb{P}_{x'}(dz)}2.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, для любого $m\geqslant 1$ положим
$$
\begin{equation*}
\Lambda^{(m)}_{x,x'}(dz) := \frac{\mathbb{P}_x(m,dz) + \mathbb{P}_{x'}(m,dz)}2.
\end{equation*}
\notag
$$
(Делить на $2$ тут необязательно, однако таким образом мажорирующие меры оказываются вероятностными, что удобно.) Отметим, что $\Lambda^{(m)}_{x,x'}(dz) = \Lambda^{(m)}_{x',x}(dz)$. Лемма 1. Условие (3) можно представить в виде Аналогично для $\kappa^{(m)}$ при всяком $m$, Замечание 2. Отметим, что правая часть в (5), на самом деле, не зависит от какой-либо специальной доминирующей меры $\Lambda_{x,x'}$ (даже если она не симметрична относительно $x,x'$), т. е. для любой другой меры, относительно которой $\mathbb{P}_{x'}(dy)$ и $\mathbb{P}_{x}(dy)$ являются обе абсолютно непрерывными, формула (5) будет определять ту же самую величину. В самом деле, это непосредственно следует из того факта, что при $d\Lambda_{x,x'} \ll d\widetilde\Lambda_{x,x'}$ и $d\Lambda_{x,x'} = \varphi_{x,x'} d\widetilde\Lambda_{x,x'}$ имеем Следующий объект является основным в дальнейшем изложении в этом параграфе: обозначим
$$
\begin{equation*}
\kappa(x,x') : = \int \biggl(\frac{\mathbb{P}_{x'}(dy)}{\mathbb{P}_x(dy)}\wedge 1 \biggr)\, \mathbb{P}_x(dy).
\end{equation*}
\notag
$$
Также положим
$$
\begin{equation*}
\kappa^{(m)}(x,x') : = \int \biggl(\frac{\mathbb{P}_{x'}(m,dy)}{\mathbb{P}_x(m,dy)}\wedge 1 \biggr)\, \mathbb{P}_x(m,dy).
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, при всех $x,x'\in S$ имеем
$$
\begin{equation*}
\kappa(x,x') \geqslant \kappa, \qquad \kappa^{(m)}(x,x') \geqslant \kappa^{(m)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 4. Если МЦ $(X_n)$ удовлетворяет условиям (3) или (4) при $m\geqslant 1$ – в дальнейшем называем эти условия МД и МДm соответственно, – то назовем такую МЦ процессом Маркова–Добрушина, или МД-процессом. Данное условие в простейшей ситуации было введено самим А. А. Марковым [6; § 5]; в дальнейшем, его аналог для неоднородных МЦ был предложен и развит Р. Л. Добрушиным [19]. По этой причине, как ранее было предложено Е. Сенетой, это условие называем условием Маркова–Добрушина. Отметим, что во всех случаях $\kappa \leqslant 1$ и $\kappa^{(m)} \leqslant 1$. Случай $\kappa = 1$ соответствует последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин (н.о.р.с.в.) $(X_n)$. В противоположной экстремальной ситуации, когда переходные ядра сингулярны при различных $x$ и $x'$, имеем $\kappa = 0$. Условия МД (3) и (4) весьма полезны, поскольку оба они обеспечивают эффективную количественную оценку верхней границы скорости сходимости марковской цепи к ее (единственной) инвариантной мере по метрике полной вариации. Следующий классический результат приведен для сравнения: неравенство (6) можно найти в большинстве учебников по цепям Маркова; оценка (7) является его простым обобщением, также хорошо известным, и (8) – чуть измененная версия (7). Предложение 5. Пусть выполнено условие (5). Тогда процесс $(X_n)$ эргодический, т. е. существует предельная вероятностная мера $\mu$, которая инвариантна и такова, что имеет место равномерная оценка для всякого $n$: Конечно, если условие (3) не выполнено, оценка (6) все равно верна, но информации никакой не содержит, поскольку разность двух вероятностей в любом случае не превосходит единицы. Аналогично, для того чтобы неравенства (7) и (8) стали осмысленными, требуется, чтобы $\kappa^{(m)} > 0$, хотя сами неравенства справедливы и без этого условия. Существуют естественные случаи, в которых оценка скорости (7) может быть значительно лучше, чем (6): к примеру, возможно, что $\kappa=0$, в то время, как $\kappa^{(2)}>0$. Следующая важная фольклорная лемма дает ответ на следующий вопрос: пусть имеются два распределения, которые не являются сингулярными друг относительно друга, и “общая площадь” под обеими плотностями равна положительной константе $q$. Можно ли реализовать эти два распределения на одном вероятностном пространстве так, чтобы соответствующие случайные величины совпали бы в точности с вероятностью $q$? (Подчеркнем, что авторы данной статьи не являются авторами леммы и им неизвестно, где она была впервые опубликована.) 2.1. Лемма о склейкеЛемма 6 (о двух случайных величинах). Пусть $X^{1}$ и $X^2$ – две случайные величины, определенные на своих вероятностных пространствах $(\Omega^1, {\mathcal F}^1, \mathbb P^1)$ и $(\Omega^2, {\mathcal F}^2, \mathbb P^2)$ с плотностями $p^1$ и $p^2$ соответственно относительно некоторой доминирующей меры $\Lambda$. Тогда, если то существует третье вероятностное пространство $(\Omega, {\mathcal F}, \mathbb P)$ и на нем две случайные величины $\widetilde X^1$, $\widetilde X^2$ такие, что См., например, [3]; как уже сказано, эта лемма будет далее использована. Напомним кратко ее доказательство, поскольку оно пригодится при доказательстве следующей леммы. Доказательство леммы 6. 1. Построение. Понадобятся четыре новых независимых случайных величины (с.в.): бернуллиевская $\zeta$ с $\mathbb P(\zeta=0) = q$, $\eta^{1,2}$ и $\xi$ с плотностями относительно меры $\Lambda$ соответственно
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, p^{\eta^1}(x) &:= \frac{p^1 - p^1\wedge p^2}{\int (p^1 - p^1\wedge p^2)(y)\, \Lambda(dy)}(x), \\ p^{\eta^2}(x) &:= \frac{p^2 - p^1\wedge p^2}{\int (p^2 - p^1\wedge p^2)(y)\, \Lambda(dy)}(x), \\ p^{\xi}(x) &:= \frac{ p^1\wedge p^2}{\int (p^1\wedge p^2)(y)\,\Lambda(dy)}(x), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9}
$$
где в последнем выражении предполагается, что знаменатель строго положителен; в первых двух также считается, что знаменатели строго положительны; альтернативная ситуация будет рассмотрена в конце доказательства. Можно считать, что все эти случайные величины (с.в.) определены каждая на своем вероятностном пространстве, и рассмотреть прямое произведение этих вероятностных пространств, обозначаемое как $(\Omega, {\mathcal F}, \mathbb P)$. В результате $\eta^1$, $\eta^2$, $\xi$, $\zeta$ оказываются определены на одном вероятностном пространстве, и являются независимыми. Теперь на этом произведении пространств определим с.в.
$$
\begin{equation}
\widetilde X^1:= \eta^1 1(\zeta \ne0) + \xi 1(\zeta=0) , \qquad \widetilde X^2:= \eta^2 1(\zeta \ne0) +\xi 1(\zeta=0).
\end{equation}
\tag{10}
$$
2. Проверка. Из (10), очевидно, следует
$$
\begin{equation*}
\mathbb P(\widetilde X^1=\widetilde X^2) \geqslant \mathbb P(\zeta=0) = q.
\end{equation*}
\notag
$$
В то же время, при $q<1$ распределения $\eta^1$ и $\eta^2$ сингулярны, поэтому, на самом деле, имеет место равенство При $q=1$ имеем Далее, поскольку $\zeta$, $\xi$ и $\eta^{1}$ независимы на $(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$, то для любой ограниченной измеримой функции $g$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbb E g(\widetilde X^1) &= \mathbb E g(\widetilde X^1)1(\zeta=0) + \mathbb E g(\widetilde X^1)1(\zeta \ne0) \\ &= \mathbb E g(\xi)1(\zeta=0) + \mathbb E g(\eta^1)1(\zeta \ne0) = \mathbb E g(\xi)\, \mathbb E 1(\zeta=0) + \mathbb E g(\eta^1)\, \mathbb E 1(\zeta \ne0) \\ &= q \int g(y) p^{\xi }(y)\,\Lambda(dy) +(1- q) \int g(y) p^{\eta^1}(y)\,\Lambda(dy) \\ &= q \int g(x) \frac{p^1\wedge p^2}{\int (p^1\wedge p^2)\, \Lambda(dy)}(x) \, \Lambda(dx) \\ &\qquad + (1- q) \int g(x) \frac{p^1 - p^1\wedge p^2}{\int (p^1 - p^1\wedge p^2)(y)\, \Lambda(dy)}(x)\, \Lambda(dx) \\ &= \int g(x) p^1\wedge p^2 (x)\, \Lambda(dx) + \int g(x) (p^1 - p^1\wedge p^2) (x)\, \Lambda(dx) \\ &= \int g(y) p^1(y)\,dy = \mathbb E g(X^1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для $\widetilde X^2$ аргументы аналогичны, поэтому также $\mathbb E g(\widetilde X^2) = \mathbb E g(X^2)$. 3. В рассуждениях выше предполагалось, что все знаменатели (в определении плотностей) строго положительны. Если один из них равен нулю, то утверждение леммы становится тривиальным. Тем не менее, ради дальнейшего изложения имеет смысл переопределить все четыре с.в. и для этих ситуаций. В случае $q=1$, очевидно, $p^1 = p^2$. Положим определение $\zeta$ не меняется, но эта с.в. становится постоянной, $\zeta = 0$ почти наверное. Как результат, распределения $X^1$ и $X^2$ совпадают, так что формула (10) выше по-прежнему может быть использована. В случае $q=0$ единственное изменение требуется для $p^\xi$, поскольку знаменатель в определении этой плотности обращается в нуль. На самом деле, здесь $p^\xi$ можно определить произвольным образом, и это не поменяет результат, поскольку имеем два сингулярных друг относительно друга распределения. Для определенности, можно предложить $p^\xi = p^1$ (хотя при использовании данной леммы в следующем разделе эта плотность в таком случае будет переопределена, что опять же не скажется на заключении). Формула (10) снова может быть использована; однако, склейка невозможна, что согласуется с тем фактом, что $q=0$. Лемма 6 доказана. 2.2. Марковская склейка (однородный случай)В этом параграфе объясняется как применить метод склейки (каплинга) для МЦ на общем фазовом пространстве $(S, {\mathcal S})$. Различные изложения метода можно найти в [20], [14], [21], [15], [16] и др. Изложение здесь следует работе [12], которая, в свою очередь, основывалась на [16]. Отметим, что в [12] фазовым пространством являлось $\mathbb R^1$; в то же время, в $\mathbb R^d$ все выкладки остаются справедливыми, и они допускают дальнейшее обобщение на более общие фазовые пространства. Распространим лемму 6 на последовательность с.в. и представим конструкцию склейки для МЦ, основанную на [16]. Рассмотрим две версии $(X^1_n), (X^2_n)$ одной и той же МЦ с двумя начальными распределениями $\mu_0^1$ и $\mu_0^2$ соответственно (это не исключает возможность неслучайных начальных значений). Обозначим
$$
\begin{equation*}
\kappa(0) := \int \biggl(\frac{\mu_0^1(dy)}{\mu_0^2(dy)}\wedge 1 \biggr)\, \mu_0^2(dy).
\end{equation*}
\notag
$$
Понятно, что $0\leqslant \kappa(0)\leqslant1$ аналогично $\kappa(u,v)$ при всех $u$, $v$. Предположим, что распределения $X^1_0$ и $X^2_0$ различны, так что $\kappa(0)<1$. Иначе, очевидно, имеем $X^1_n\stackrel{d}{=}X^2_n$ (равенство по распределению) для всех $n$, и склейку можно произвести тривиальным образом, положив, например, $\widetilde X^1_n= \widetilde X^2_n:=X^1_n$. Введем новый векторнозначный марковский процесс $(\eta^1_n,\eta^2_n,\xi_n,\zeta_n)$. Случайные величины $(\eta^1_0,\eta^2_0,\xi_0,\zeta_0)$ выбираются непосредственно на основе леммы 6 как $(\eta^1,\eta^2,\xi,\zeta)$ согласно распределениям, заданным в (9). В частности, если $\kappa_0=0$, то можно положить
$$
\begin{equation*}
\eta^1_0:=X^1_0,\qquad \eta^2_0:=X^2_0,\qquad \xi_0:=X^1_0,\qquad \zeta_0:=1.
\end{equation*}
\notag
$$
(Значение $\xi_0$ в этом случае не играет роли.) Если $\kappa_0=1$, то положим
$$
\begin{equation*}
\eta^1_0:=X^1_0,\qquad \eta^2_0:=X^1_0,\qquad \xi_0:=X^1_0,\qquad \zeta_0:=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь по индукции, предполагая, что с.в. $(\eta^1_n,\eta^2_n,\xi_n,\zeta_n)$ определены для некоторого $n$, покажем, как построить их для $n+1$. С этой целью определим переходную вероятностную плотность $\varphi$ относительно меры
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{x^1, x^2,x^3}(dz) := \frac{\mathbb{P}_{x^1}(dz) + \mathbb{P}_{x^2}(dz)+ \mathbb{P}_{x^3}(dz)}3
\end{equation*}
\notag
$$
(более точно, относительно $\Lambda_{x^1, x^2,x^3} \times \Lambda_{x^1, x^2,x^3} \times \Lambda_{x^1, x^2,x^3}\times (\delta_0 + \delta_1)/2$) для (векторнозначного) процесса следующим образом:
$$
\begin{equation}
\varphi(x,y):=\varphi_1(x,y^1)\varphi_2(x,y^2)\varphi_3(x,y^3) \varphi_4(x,y^4),
\end{equation}
\tag{11}
$$
где $x=(x^1,x^2,x^3,x^4)$, $y=(y^1,y^2,y^3,y^4)$, и если $0<\kappa(x^1,x^2)<1$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \varphi_1(x,u) &:=\frac{p(x^1,u)-p(x^1,u)\wedge p(x^2,u)}{1-\kappa(x^1,x^2)}, \\ \varphi_2(x,u) &:=\frac{p(x^2,u)-p(x^1,u)\wedge p(x^2,u)}{1-\kappa(x^1,x^2)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
$$
$$
\begin{equation}
\varphi_3(x,u) :=1(x^4=1)\,\frac{p(x^1,u)\wedge p(x^2,u)}{\kappa(x^1,x^2)}+1(x^4=0)p(x^3,u),
\end{equation}
\tag{13}
$$
$$
\begin{equation}
\varphi_4(x,u) :=1(x^4=1)\bigl(\delta_1(u)(1-\kappa(x^1,x^2))+ \delta_0(u)\kappa(x^1,x^2)\bigr) +1(x^4=0)\delta_0(u),
\end{equation}
\tag{14}
$$
где $\delta_i(u)$ – символ Кронекера $\delta_i(u) = 1(u=i)$ или, другими словами, дельта-мера, сосредоточенная в точке $i$. Случай $x^4=0$ обозначает склейку, уже реализованную на предыдущем шаге, а $u=0$ означает успешную склейку на данном шаге. Отметим, что $\varphi_1$ и $\varphi_2$ никак не зависят от переменной $x^3$; подчеркнем это посредством записи $\varphi_i((x^1,x^2,*,x^4),u)$, $i=1,2$, где $*$ означает любое возможное значение $x^3$. Также, даже если использована запись $\varphi_3((x^1,x^2,x^3,1),u)$, то все равно эта величина не зависит от $x^3$. В вырожденных случаях, если $\kappa(x^1,x^2)=0$ (склейка на данном шаге невозможна), то вместо (13) положим, к примеру,
$$
\begin{equation}
\varphi_3(x,u):=1(x^4=1)p(x^3,u) + 1(x^4=0)p(x^3,u) = p(x^3,u),
\end{equation}
\tag{15}
$$
а если $\kappa(x^1,x^2)=1$, то вместо (12) можно положить Формулу (14), определяющую $\varphi_4(x,u)$, можно принять во всех случаях. Теперь определим процесс $(\widetilde X^1_n, \widetilde X^2_n)$, $n\geqslant 0$, по формулам
$$
\begin{equation}
\widetilde X^1_n:=\eta^1_n 1(\zeta_n=1)+\xi_n 1(\zeta_n=0), \qquad \widetilde X^2_n:=\eta^2_n 1(\zeta_n=1)+\xi_n 1(\zeta_n=0).
\end{equation}
\tag{17}
$$
Глядя на построение, можно подумать, что переходные плотности компонент $\widetilde X^1_{n+1}$ и $\widetilde X^2_{n+1}$ соответственно, при условии $\widetilde X^1_{n}$ и $\widetilde X^2_{n}$, могут оказаться зависящими от обоих предыдущих значений $\widetilde X^1_{n}$ и $\widetilde X^2_{n}$. Это не так: функционально первая зависит лишь от $\widetilde X^1_{n}$, а вторая – от $\widetilde X^2_{n}$. На самом деле, согласно предложенной конструкции, имеем, в частности, следующие условные плотности $(\widetilde X^1_{n+1}, \widetilde X^2_{n+1})$ при условии $(\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n})$ и $(\widetilde X^1_{n} \ne \widetilde X^2_{n})$ (в этом случае по определению $(\widetilde X^1_{n},\widetilde X^2_{n}) = (\eta^1_{n}, \eta^2_{n})$; знак $*$ означает любое возможное значение):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\mathbb P(\widetilde X^1_{n+1} \in dx^1 \,|\,\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n},\, \widetilde X^1_{n} \ne \widetilde X^2_{n})}{\Lambda_{\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n}}(dx^1)} = \frac{\mathbb P(\widetilde X^1_{n+1} \in dx^1 \,|\,\widetilde X^1_{n}=\eta^1_{n},\, \widetilde X^2_{n}=\eta^2_{n},\, \eta^1_{n} \ne \eta^2_{n})} {\Lambda_{\eta^1_{n}, \eta^2_{n}}(dx^1)} \\ &\ \ = \bigl(1-\kappa(\eta^1_n,\eta^2_n)\bigr) \varphi_1\bigl((\eta^1_{n},\eta^2_{n},*,1),x^1\bigr) + \kappa(\eta^1_n,\eta_n^2) \varphi_3\bigl((\eta^1_n,\eta^2_n,*,1),x^1\bigr) \\ &\ \ =p(\eta^1_n,x^1)-p(\eta^1_n, x^1)\wedge p(\eta^2_n,x^1) + p(\eta^1_n, x^1)\wedge p(\eta^2_n,x^1)\,{=}\,p(\eta^1_n,x^1) \,{=}\, p(\widetilde X^1_n,x^1) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
в силу (12), и аналогично, при условии $(\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n})$ и $(\widetilde X^1_{n} \ne \widetilde X^2_{n})$,
$$
\begin{equation*}
\frac{\mathbb P(\widetilde X^2_{n+1} \in dx^2 \,|\,\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n},\,\widetilde X^1_{n} \ne \widetilde X^2_{n})}{\Lambda_{\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n}}(dx^2)} = p(\eta^2_n,x^2) = p(\widetilde X^2_n,x^2).
\end{equation*}
\notag
$$
Также, при условии $(\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n})$ и $(\widetilde X^1_{n} =\widetilde X^2_{n})$ можно проверить, что для всякого $z$ (последний символ подставляется вместо $x^1$, либо $x^2$) согласно (13) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\mathbb P(\widetilde X^1_{n+1} \in dz \,|\,\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n},\, \widetilde X^1_{n}=\widetilde X^2_{n})}{\Lambda_{\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n}}(dz)} &= \frac{\mathbb P(\widetilde X^2_{n+1} \in dz \,|\, \widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n},\,\widetilde X^1_{n} =\widetilde X^2_{n})}{\Lambda_{\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n}}(dz)} \\ &= p(\widetilde X^1,z) = p(\widetilde X^2,z). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В самом деле,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\mathbb P(\widetilde X^1_{n+1} \in dx^1 \,|\, \widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n},\, \widetilde X^1_{n} =\widetilde X^2_{n})}{\Lambda_{\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n}}(dx^1)} = \frac{\mathbb P(\widetilde X^1_{n+1} \in dx^1 \,|\, \widetilde X^1_{n}= \widetilde X^2_{n} = \xi_{n})}{\Lambda_{\eta^1_{n}, \eta^2_{n}}(dx^1)} \\ &\qquad= \varphi_3\bigl((*,*,\xi_n,0),x^1\bigr) =p(\xi_n,x^1) = p(\widetilde X^1_n,x^1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\mathbb P(\widetilde X^1_{n+1} \in dx^1 \,|\, \widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n})}{\Lambda_{\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n}}(dx^1)} = \frac{\mathbb P(\widetilde X^1_{n+1} \in dx^1 \, |\, \widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n})}{\Lambda_{\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n}}(dx^1)}\bigl(1(\widetilde X^1_{n} =\widetilde X^2_{n}) + 1(\widetilde X^1_{n} \ne \widetilde X^2_{n})\bigr) \\ &\qquad= 1(\widetilde X^1_{n} =\widetilde X^2_{n})\, \frac{\mathbb P(\widetilde X^1_{n+1} \in dx^1 \,|\, \widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n},\, \widetilde X^1_{n} =\widetilde X^2_{n})}{\Lambda_{\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n}}(dx^1)} \\ &\qquad\qquad+ 1(\widetilde X^1_{n} \ne \widetilde X^2_{n})\, \frac{\mathbb P(\widetilde X^1_{n+1} \in dx^1 \,|\, \widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n}, \, \widetilde X^1_{n} \neq \widetilde X^2_{n})}{\Lambda_{\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n}}(dx^1)} \\ &\qquad= p(\widetilde X^1_n,x^1) \bigl(1(\widetilde X^1_{n} =\widetilde X^2_{n}) + 1(\widetilde X^1_{n} \ne \widetilde X^2_{n})\bigr) = p(\widetilde X^1_n,x^1), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
во всех случаях. В силу вышеизложенного каждая компонента пары $\widetilde X^1_{n}$ и $\widetilde X^2_{n}$ является марковским процессом с тем же генератором, что и $X^1_{n}$, и $X^2_{n}$. (Отметим, что краткая выкладка выше, разумеется, не является доказательством марковского свойства, которое следует из самой конструкции; полученная формула просто показывает как понимать переходное ядро предложенного алгоритма склейки.) Более того, имеет место следующая лемма. Лемма 7. Пусть случайные величины $\widetilde X^1_n$ и $\widetilde X^2_n$ определены при $n\in\mathbb{Z}_+$ формулами (17). Тогда Нестрого говоря, процессы $\eta^1_n$ и $\eta^2_n$ представляют $X^1_n$ и $X^2_n$ соответственно при условии неуспешной склейки до момента $n$. Независимый от них процесс $\xi_n$ представляет одновременно оба $X^1_n$ и $X^2_n$ после склейки. Процесс $\zeta_n$ представляет момент склейки: событие $\zeta_n=0$ эквивалентно событию склейки не позже, чем в момент $n$, в то время как $\zeta_n=1$ есть дополнительное к этому событие. Отметим также, что возможно, что с положительной вероятностью в некоторый момент остановки $X^1_n \ne X^2_n$ и при этом $\kappa(X^1_n,X^2_n) = 1$; в таком случае склейка происходит на следующем шаге с вероятностью $1$, и тогда роль представлять одновременно $X^1_n$ и $X^2_n$ берет на себя процесс $\xi_n$, как сказано выше, а пара $(\eta^1_n,\eta^2_n)$ далее эволюционирует согласно (16), тогда как произведение $\prod_{i=0}^{n} (1-\kappa(\eta^1_i,\eta^2_i))$ обнуляется. При этом пара $(\eta^1_n,\eta^2_n)$ остается однородным марковским процессом; альтернативной возможностью построения мог бы являться переход $(\eta^1_n,\eta^2_n)$ из точки, где $\kappa=1$, в бесконечно удаленную точку $\partial_\infty$ без возможности возврата. Неоднородная версия этой леммы, автоматически включающая и однородный случай, будет доказана в § 3. 2.3. Операторы $V$ и $\widehat V$ и их спектральные радиусыТеперь, используя коэффициент $\kappa(x)$, определим еще один ключевой объект – оператор $V$, действующий на (ограниченные, измеримые по Борелю) функции $h$ на пространстве $S^2 := S\times S$ следующим образом: для $x=(x^1, x^2)\in S^2$,
$$
\begin{equation}
Vh(x) := (1-\kappa(x^1,x^2)) \mathbb E_{x^1,x^2}h(\widetilde X_1) \equiv \exp(\psi(x))\mathbb E_{x^1,x^2}h(\widetilde X_1),
\end{equation}
\tag{21}
$$
где в последнем выражении $\psi(x):= \ln (1-\kappa(x^1,x^2))$ (полагаем $\ln 0 = -\infty$); напомним, что $\widetilde X_n = (\widetilde X_n^1, \widetilde X^2_n)$. Отметим, что на диагонали $x=(x^1,x^2)\colon x^1=x^2$ имеем
$$
\begin{equation*}
Vh(x) = (1-\kappa(x^1,x^1))\mathbb E_{x^1,x^2}h(\widetilde X_1) = 0,
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $\kappa(x^1,x^1) = 1$ для любого $x^1$. Это согласуется с идеей склейки: там, где значения процессов $\widetilde X^1$ и $\widetilde X^2$ совпадают, имеет место склейка (или она уже случилась ранее). Стало быть, имеет смысл либо рассмотреть функции $h$ на $S^2$, обращающиеся в нуль на диагонали $\operatorname{diag}(S^2)= (x = (x^1,x^1)\in S^2)$, либо, что равносильно, сузить оператор на функции, определенные на
$$
\begin{equation*}
\widehat S^{\,2} := S^2 \setminus \operatorname{diag}(S^2),
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. положить для $x=(x^1,x^2)\in \widehat S^{\,2}$ и для функций $\widehat h\colon \widehat S^{\,2} \to \mathbb R$
$$
\begin{equation}
\widehat V\widehat h(x):= (1-\kappa(x^1,x^2))\mathbb E_{x^1,x^2}\widehat h(\widetilde X_1)1(x^1\ne x^2).
\end{equation}
\tag{22}
$$
Оценку (20) можно переписать в терминах оператора $V$ или, эквивалентным образом, в терминах $\widehat V$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbb{P}_{x^1,\mu}(\widetilde X^1_n &\neq \widetilde X^2_n)\leqslant \int \mathbb{E}_{x^1,x^2} V^n \mathbf{1}(x^1,x^2)1(x^1\ne x^2)\, \mu(dx^2) \\ &=\int \mathbb{E}_{x^1, x^2} \widehat V^n \mathbf{1}(x^1,x^2)1(x^1\ne x^2)\, \mu(dx^2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
$$
Отметим, что по определению (21), для неотрицательного оператора $V$ (который преобразует всякую неотрицательную функцию в неотрицательную) его норма $\|V\| = \|V\|_{B,B}:=\sup_{|h|_B\leqslant 1} |Vh|_B $ равна $\sup_{x \in S^2} V\mathbf{1}(x)$, где $|h|_B := \max_{x\in S^2} |h(x)|$ (супремум – норма), и $\mathbf{1}=(1(x)=1, \, x\in S^2)$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\|V\| = \sup_{x\in S^2} V\mathbf{1}(x) = \sup_{x\in S^2} (1-\kappa(x)) = 1-\kappa.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно хорошо известному неравенству (см., например, [22; § 8]), То же самое справедливо для оператора $\widehat V$ (здесь функция $\mathbf{1}(x)\equiv 1$ определена на $\widehat S^{\,2}$):
$$
\begin{equation*}
r(\widehat V) \leqslant \|\widehat V\| = \sup_{x\in \widehat S^{\,2}} \widehat V\mathbf{1}(x) = \sup_{x\in \widehat S^{\,2}} (1-\kappa(x)) = 1-\kappa.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, если бы оператор $V$ (или $\widehat V$) оказался компактным и неприводимым (см., например, [22]), то обобщение теоремы Перрона–Фробениуса (см., например, [22; § 9, теорема 9.2]) повлекло бы равенство (см., например, [23; формула (7.4.10)])
$$
\begin{equation*}
\lim_{n \to\infty} \frac1n \ln V^n \mathbf{1}(x) = \ln r(V) = \ln r(\widehat V) = \lim_{n \to\infty} \frac1n \ln \widehat V^n \widehat{\mathbf{1}}(x)
\end{equation*}
\notag
$$
(где первая функция $\mathbf 1$, тождественно равная единице, определена на $S^2$, а вторая, $\widehat{\mathbf{1}}$ – на $\widehat S^{\,2}$). Аналогично вышесказанному, можно определить для функций $h\colon S^2 \to \mathbb R$ оператор за $m$ шагов:
$$
\begin{equation*}
V^{(m)} h(x) := \bigl(1-\kappa^{(m)}(x^1,x^2)\bigr) \mathbb E_{x^1,x^2}h(\widetilde X_m) \equiv \exp(\psi_m(x))\mathbb E_{x^1,x^2}h(\widetilde X_m),
\end{equation*}
\notag
$$
и аналогично для $h\colon \widehat S^{\,2} \to \mathbb R$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat V^{(m)} h(x) &:= \bigl(1-\kappa^{(m)}(x^1,x^2)\bigr) \mathbb E_{x^1,x^2}h(\widetilde X_m)1(\widetilde X_m^1 \neq \widetilde X_m^2) \\ &\equiv \exp(\psi_m(x))\mathbb E_{x^1,x^2}h(\widetilde X_m)1(\widetilde X_m^1 \neq \widetilde X_m^2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что оператор $V^n$, $n\geqslant 1$, обнуляет на диагонали $S^2$ любую функцию: при $x=(x^1,x^1)$ имеем
$$
\begin{equation*}
V h(x) = \bigl(1-\kappa(x^1,x^1)\bigr)\mathbb E_x h(\widetilde X_1) = 0,
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $1\,{-}\,\kappa(x^1,x^1)\,{=}\,0$. Кроме того, оператор $V$ положителен, т. е. $Vh(x)\,{\geqslant}\,0$ для любой функции $h\geqslant 0$. Следовательно ($\mathbf{1}(x)$ – функция, тождественно равная единице на $S^2$; $\widehat{\mathbf{1}}(x)$ – функция, тождественно равная единице на $\widehat S^{\,2}$),
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|V^n\| &= \sup_{x\in S^2} V^n \mathbf{1}(x) = \sup_{x\in S^2}\bigl(1-\kappa^{(n)}(x)\bigr) = \sup_{\widehat x\in \widehat S^{\,2}}\bigl(1-\widehat \kappa^{(n)}(\widehat x)\bigr) \\ &= \sup_{\widehat x\in \widehat S^{\,2}} \widehat V^n\widehat{\mathbf{1}}(\widehat x) = \|\widehat V^n\|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда равенство $r(V) = r(\widehat V)$. Далее будет удобнее использовать оператор $V$, поэтому продолжим рассуждения с ним. В то же время, с вычислительной точки зрения – т. е. при отыскании спектрального радиуса – оператор $\widehat V$ предпочтителен ввиду некоторого уменьшения размерности. Напомним, что $\widehat V$ является сужением $V$ на $\widehat S^{\,2}$, и что
$$
\begin{equation*}
\widehat V^n \mathbf{1}(x) = V^n \mathbf{1}(x), \qquad x\in \widehat S^{\,2},
\end{equation*}
\notag
$$
и также
$$
\begin{equation*}
\ln r(V) = \ln r(\widehat V) \leqslant \|\widehat V\| = \|V\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что даже без предположения о компактности $V$ имеют место неравенства
$$
\begin{equation*}
0\leqslant \lim_{n \to\infty} \frac1n \ln V^n \mathbf{1}(x) \leqslant \lim_{n \to\infty} \frac1n \ln \|V^n\| = \ln r(V) \leqslant \|V\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть, из формулы Гельфанда получаем
$$
\begin{equation}
\limsup_n (V^n \mathbf{1} (x))^{1/n} \leqslant \lim_n \|V^n\|^{1/n} = r(V).
\end{equation}
\tag{24}
$$
Формулы (23) и (24) совместно приводят к следующему результату. Доказательство. В силу (23) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\limsup_{n\to\infty} \frac1n \ln \| P_{x^1,\mu}(n,{\cdot}\,) - \mu(\,{\cdot}\,)\|_{\mathrm{TV}} \leqslant \limsup_{n\to\infty} \frac1n \ln \bigl(2\mathbb{P}_{x^1,\mu}(\widetilde X^1_n\neq \widetilde X^2_n)\bigr) \\ &\qquad= \limsup_{n\to\infty} \frac1n \ln \biggl(2 \int \mathbb{P}_{x^1,x^2}(\widetilde X^1_n\neq \widetilde X^2_n)\, \mu(dx^2)\biggr) \\ &\qquad\leqslant \limsup_n \frac1n \ln \int 2V^n \mathbf{1}(x^1, x^2) 1(x^2\ne x^1)\, \mu(dx^2) \leqslant \ln r(V). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана. Следствие 9. Если выполнено то скорость сходимости следующей нормы к нулю экспоненциальна: для всякого $\varepsilon>0$ и достаточно большого $n$ ($n\geqslant N(x^1)$) Здесь в правой части можно было бы ожидать множитель $2$, однако его можно опустить ввиду $+\varepsilon$. Немного другими словами, если $r(V)<\|V\| = 1-\kappa$ и $0 < \varepsilon < 1-\kappa - r(V)$, то оценка (27) строго лучше, чем (6) для достаточно больших $n$. Во всех случаях использование $r(\widehat V)$ эквивалентно. Замечание 10. Подчеркнем, что, с одной стороны, оценка (25) теоремы 8 асимптотическая, для больших значений $n$, в отличие от оценок в классической эргодической теореме и от оценки Дьякониса–Струка для обратимых МЦ (см. ниже (59)). С другой стороны, неравенство Замечание 11. Условие (26) представляет собой возможный (частичный) ответ на вопрос о том, существуют ли какие-либо промежуточные ситуации между случаями Маркова–Добрушина и Деблина–Дуба (см. [5]): в последнем имеет место оценка Помимо примеров в последнем параграфе, отметим, что если условие МД $\kappa>0$ не выполнено, т. е. если $\kappa=0$, то это означает, что по крайней мере для одной пары состояний $x$ и $x'$ ядра $Q_x(dy)$ и $Q_{x'}(dy)$ сингулярны, но отсюда необязательно следует $r(V)=1$, поскольку процесс все же вполне может быть неприводимым. Поэтому неравенство $r(V)<1$, в самом деле, является более слабым, нежели МД, и при этом таким, которое обеспечивает эффективную оценку скорости сходимости. Теорема 12. Во всех случаях § 3. Неоднородный случайВ данном параграфе обсуждаются некоторые неоднородные случаи, к которым можно применить подход, развитый в предыдущем параграфе. В общем случае это не представляется возможным. Однако, что возможно – это предположить, что у неоднородных переходных ядер $\mathbb{P}_{t,x}(t+1,x')$ имеется нетривиальное однородное суб-ядро, к которому однородный подход из предыдущего параграфа применим; это будет реализовано в условиях предположений (47)–(49) ниже. Другой случай – периодическая структура ядер, см. (44) ниже; конечно, последний случай можно также трактовать как однородную сложную МЦ с памятью длины $T$. Отметим, что, к сожалению, понятие общего спектрального радиуса в настоящей ситуации оказывается бесполезным (см. [24]). 3.1. Вспомогательные утвержденияИтак, рассмотрим неоднородный марковский процесс (МП) в дискретном времени $(X_n, \, n\geqslant 0)$ на общем фазовом пространстве $S$ с топологией и борелевской сигма-алгеброй. В хорошо известном неравенстве (31) предложения 17, сформулированного ниже ради удобства читателя (без доказательства: см. [2; § 4]), которое обобщает оценку (1), используется коэффициент Маркова–Добрушина, зависящий от времени
$$
\begin{equation}
\kappa_t := \inf_{x,x'} \int \biggl(\frac{\mathbb{P}_{t,x'}(t+1,dy)}{\mathbb{P}_{t,x}(t+1,dy)}\wedge 1 \biggr)\, \mathbb{P}_{t,x}(t+1,dy).
\end{equation}
\tag{29}
$$
Аналогичные коэффициент и условие могут быть рассмотрены и для любого числа $m\geqslant 1$ шагов:
$$
\begin{equation*}
\kappa_t^{(m)} := \inf_{x,x'} \int \biggl(\frac{\mathbb{P}_{t,x'}(t+m,dy)}{\mathbb{P}_{t,x}(t+m,dy)}\wedge 1 \biggr)\, \mathbb{P}_{t,x}(t+m,dy).
\end{equation*}
\notag
$$
Также обозначим
$$
\begin{equation*}
\kappa_t (x,x') = \int \biggl(\frac{\mathbb{P}_{t,x'}(t+1,dy)}{\mathbb{P}_{t,x}(t+1,dy)}\wedge 1 \biggr)\, \mathbb{P}_{t,x}(t+1,dy)
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\kappa_t^{(m)}(x,x') := \int \biggl(\frac{\mathbb{P}_{t,x'}(t+m,dy)}{\mathbb{P}_{t,x}(t+m,dy)}\wedge 1 \biggr)\, \mathbb{P}_{t,x}(t+m,dy).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что здесь ${\mathbb{P}_{t,x'}(t+1,dy)}/{\mathbb{P}_{t,x}(t+1,dy)}$ понимается в смысле плотности абсолютно непрерывной компоненты числителя относительно меры в знаменателе, как и для однородного случая. Также, вероятность $\mathbb{P}_{t,x}(t+1,A)$ для любого борелевского множества $A$ является, в свою очередь, измеримой по Борелю относительно $x$, что является стандартным требованием в теории марковских процессов [18]. Аналогичная измеримость относительно пары $x$, $x'$ также имеет место для всяких мер $\Lambda_{t,x^1,x^2}$ и $\Lambda_{t,x^1,x^2, x^3}$, определенных ниже, в силу линейности. Для любых двух и трех состояний $x^1$, $x^2$, $x^3$ и для любого $t\geqslant 0$ положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Lambda_{t,x^1,x^2}(dz) &:= \frac{\mathbb{P}_{t,x^1}(t+1,dz) + \mathbb{P}_{t,x^2}(t+1,dz)}2, \\ \Lambda_{t,x^1,x^2,x^3}(dz) &:= \frac{\mathbb{P}_{t,x^1}(t+1,dz) + \mathbb{P}_{t,x^2}(t+1,dz) + \mathbb{P}_{t,x^3}(t+1,dz)}3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, для любого $m\geqslant 1$ положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Lambda^{(m)}_{t,x^1,x^2}(dz) &:= \frac{\mathbb{P}_{t,x^1}(t+m,dz) + \mathbb{P}_{t,x^2}(t+m,dz)}2, \\ \Lambda^{(m)}_{t,x^1,x^2,x^3}(dz) &:= \frac{\mathbb{P}_{t,x^1}(t+m,dz) + \mathbb{P}_{t,x^2}(t+m,dz) + \mathbb{P}_{t,x^3}(t+m,dz)}3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что $\Lambda_{t,x^1,x^2}(dz) = \Lambda_{t,x^2,x^1}(dz)$ и аналогично $\Lambda_{t,x^1,x^2,x^3}$, как и $\Lambda^{(m)}_{t,x^1,x^2,x^3}$ не зависят от перестановки переменных $(x^1,x^2,x^3)$. Лемма 14. Имеет место следующее представление для условия (29): В частности, для любых $x,x'\in S$ $\kappa_t(x,x') = \kappa_t(x',x)$, поскольку $\Lambda_{t,x,x'}(dz) = \Lambda_{t,x',x}(dz)$. Доказательство. Пусть
$$
\begin{equation*}
f_{x,x'}(y) = \frac{\mathbb{P}_{t,x}(t+1,dy)}{\Lambda_{t,x,x'} (dy)}(y).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \kappa_t &= \inf_{x,x'} \int \biggl(\frac{\mathbb{P}_{t,x'}(t+1,dy)}{\mathbb{P}_{t,x}(t+1,dy)}\wedge \frac{\mathbb{P}_{t,x}(t+1,dy)}{\mathbb{P}_{t,x}(t+1,dy)} \biggr)\, \mathbb{P}_x(dy) \\ &= \inf_{x,x'} \int \biggl(\frac{\mathbb{P}_{x'}(dy)}{f_{x,x'}(y)\, \Lambda_{x,x'}(dy)}\wedge \frac{\mathbb{P}_{x}(dy)}{f_{x,x'}(y)\, \Lambda_{x,x'}(dy)} \biggr)f_{x,x'}(y)\, \Lambda_{x,x'} (dy) \\ &= \inf_{x,x'} \int \biggl(\frac{\mathbb{P}_{x'}(dy)}{\Lambda_{x,x'}(dy)}\wedge \frac{\mathbb{P}_{x}(dy)}{\Lambda_{x,x'}(dy)} \biggr)\, \Lambda_{x,x'} (dy), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось. Лемма 14 доказана. То же самое справедливо и для $\kappa^{(m)}_t$ при всяком $m$, где
$$
\begin{equation*}
\kappa^{(m)}_t = \inf_{x,x'} \int \biggl(\frac{\mathbb{P}_{t,x'}(t+m,dy)}{\Lambda^{(m)}_{t,x,x'}(dy)}\wedge \frac{\mathbb{P}_{t,x}(t+m,dy)}{\Lambda^{(m)}_{t,x,x'}(dy)} \biggr)\, \Lambda^{(m)}_{t,x,x'} (dy).
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 15. На самом деле, правая часть в (30) не зависит от какой-либо специальной доминирующей меры $\Lambda_{t,x,x'}$ (даже если она не симметрична относительно $x$, $x'$). В самом деле, это следует непосредственно из того факта, что если $d\Lambda_{t,x,x'} \ll d\widetilde\Lambda_{t,x,x'}$ и $d\Lambda_{t,x,x'} = \varphi_{t,x,x'} \, d\widetilde\Lambda_{t,x,x'}$, то получаем Предъявляем основное понятие следующего изложения: положим
$$
\begin{equation*}
\kappa_t(x,x') : = \int \biggl(\frac{\mathbb{P}_{t,x'}(t+1,dy)}{\mathbb{P}_{t,x}(t+1,dy)}\wedge 1 \biggr)\, \mathbb{P}_{t,x}(t+1,dy).
\end{equation*}
\notag
$$
Также, положим
$$
\begin{equation*}
\kappa_t^{(m)}(x,x') : = \int \biggl(\frac{\mathbb{P}_{t,x'}(t+m,dy)}{\mathbb{P}_{t,x}(t+m,dy)}\wedge 1 \biggr)\, \mathbb{P}_{t,x}(t+m,dy).
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, при всех $x,x'\in S$, Доказательство. Имеем,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \kappa^{(m)}_t(x',x) &= \int \biggl(\frac{\mathbb{P}_{t,x'}(t+m,dy)}{\mathbb{P}_{t,x}(t+m,dy)}\wedge 1 \biggr)\, \mathbb{P}_{t,x}(t+m,dy) \\ &= \int \biggl(\frac{\mathbb{P}_{t,x'}(t+m,dy)}{\mathbb{P}_{t,x}(t+m,dy)}\wedge 1 \biggr)\, \frac{\mathbb{P}_{t,x}(t+m,dy)}{\Lambda^{(m)}_{t,x,x'}(dy)} \, \Lambda^{(m)}_{t,x,x'}(dy) \\ &= \int \biggl(\frac{\mathbb{P}_{t,x'}(t+m,dy)}{\Lambda^{(m)}_{t,x,x'}(dy)} \wedge \frac{\mathbb{P}_{t,x}(t+m,dy)}{\Lambda^{(m)}_{t,x,x'}(dy)} \biggr) \, \Lambda^{(m)}_{t,x,x'}(dy). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее выражение симметрично относительно $x$ и $x'$, что и доказывает лемму 16. Следующее предложение вытекает из рассуждений, аналогичных однородному случаю. Предложение 17. Пусть величины $\kappa_t$ заданы равенством (30). Тогда при любом $n$ справедлива равномерная оценка 3.2. Марковская склейка (неоднородная)Лемма 6 может быть обобщена на последовательность случайных величин: далее представлена конструкция марковской склейки на основе подхода [16]. Рассмотрим две версии $(X^1_n), (X^2_n)$ одного и того же МП с различными начальными распределениями $\mu_0^1$ и $\mu_0^2$ соответственно (это не исключает неслучайные начальные значения). Обозначим
$$
\begin{equation*}
\kappa(0) := \int \biggl(\frac{\mu_0^1(dy)}{\mu_0^2(dy)}\wedge 1 \biggr)\, \mu_0^2(dy).
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $0\leqslant \kappa(0)\leqslant1$ , и аналогично для $\kappa(u,v)$ при любых $u$, $v$. Предполагаем, что распределения $X^1_0$ и $X^2_0$ различны, так что $\kappa(0)<1$. В противном случае, понятным образом имеем $X^1_n\stackrel{d}{=}X^2_n$ (равенство по распределению) для всех $n$, и склейку можно осуществить тривиальным образом, просто положив $\widetilde X^1_n= \widetilde X^2_n:=X^1_n$. Случайные величины $(\eta^1_0,\eta^2_0,\xi_0,\zeta_0)$ выбираются непосредственно по лемме 6 как $(\eta^1,\eta^2,\xi,\zeta)$, согласно распределениям из (9), в точности, как в однородном случае. Далее, по индукции, предполагая, что случайные величины $(\eta^1_n,\eta^2_n,\xi_n,\zeta_n)$ уже определены при некотором $n$, покажем, как построить их для $n+1$. С этой целью положим переходные плотности $\varphi_n$ относительно меры $\Lambda_{n,x^1, x^2, x^3}$ (более точно, относительно $\Lambda_{n,x^1, x^2, x^3} \times \Lambda_{n,x^1, x^2, x^3} \times \Lambda_{n,x^1, x^2, x^3}\times (\delta_0 + \delta_1)/2$) для этого векторозначного процесса следующим образом:
$$
\begin{equation}
\varphi_t(x,y):=\varphi_{1,t}(x,y^1)\varphi_{2,t}(x,y^2)\varphi_{3,t}(x,y^3) \varphi_{4,t}(x,y^4),
\end{equation}
\tag{32}
$$
где $x=(x^1,x^2,x^3,x^4)$, $y=(y^1,y^2,y^3,y^4)$, и если $0<\kappa_t(x^1,x^2)<1$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \varphi_{t,1}(x,u) &:=\frac{p_t(x^1,u)-p_t(x^1,u)\wedge p_t(x^2,u)}{1-\kappa_t(x^1,x^2)}, \\ \varphi_{t,2}(x,u) &:=\frac{p_t(x^2,u)-p_t(x^1,u)\wedge p_t(x^2,u)}{1-\kappa_t(x^1,x^2)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{33}
$$
$$
\begin{equation}
\varphi_{t,3}(x,u) :=1(x^4=1)\frac{p_t(x^1,u)\wedge p_t(x^2,u)}{\kappa_t(x^1,x^2)}+1(x^4=0)p_t(x^3,u),
\end{equation}
\tag{34}
$$
$$
\begin{equation}
\varphi_{t,4}(x,u) :=1(x^4=1)\bigl(\delta_1(u)(1-\kappa_t(x^1,x^2))+ \delta_0(u)\kappa_t(x^1,x^2)\bigr) +1(x^4=0)\delta_0(u).
\end{equation}
\tag{35}
$$
Равенство $x^4=0$ означает, что на предыдущем шаге склейка уже реализована, а $u=0$ означает реализацию склейки в процессе данного шага. Как и в однородном случае, $\varphi_{t,1}$ и $\varphi_{t,2}$ не зависят от переменной $x^3$; это обозначается таким образом: $\varphi_{t,i}((x^1,x^2,*,x^4),u)$, $i=1,2$, где $*$ ставится вместо любого возможного значения переменной $x^3$. Также, даже если будет написано $\varphi_{t,3}((x^1,x^2,x^3,1),u)$, то это значение все равно не зависит от $x^3$. В вырожденных случаях при $\kappa_t(x^1,x^2)=0$ (склейка на данном шаге невозможна) вместо (34) положим, к примеру,
$$
\begin{equation*}
\varphi_{t,3}(x,u):=1(x^4=1)p_t(x^3,u) + 1(x^4=0)p_t(x^3,u) = p_t(x^3,u),
\end{equation*}
\notag
$$
а при $\kappa_t(x^1,x^2)=1$ вместо (33) можно положить Отметим, что в случае $\kappa(x^1,x^2)=1$, в частности, не следует считать, что следующие значения $\eta^1_{n+1}$ и $\eta^2_{n+1}$ непременно различны, и в случае существования непустого множества таких пар $(x^1 \neq x^2)$ становится неудобно рассматривать процесс $(\eta^1_n,\eta^2_n)$ на суженном фазовом пространстве $\widehat S^{\,2}$; однако, после момента склейки это уже не имеет значения для нашей оценки. Формула (35), которая определяет $\varphi_4(x,u)$, может быть использована во всех случаях. Теперь по аналогии с однородным случаем определим процесс $(\widetilde X^1_n,\widetilde X^2_n)$, $n\geqslant 0$ (обозначения не меняем, это не должно привести к недоразумению), по формулам
$$
\begin{equation}
\widetilde X^1_n:=\eta^1_n 1(\zeta_n=1)+\xi_n 1(\zeta_n=0), \qquad \widetilde X^2_n:=\eta^2_n 1(\zeta_n=1)+\xi_n 1(\zeta_n=0).
\end{equation}
\tag{36}
$$
Аналогично однородному случаю, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\mathbb P(\widetilde X^1_{n+1} \in dx^1 \,|\,\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n}, \, \widetilde X^1_{n} \ne \widetilde X^2_{n})}{\Lambda_{n,\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n}}(dx^1)} &= \frac{\mathbb P(\widetilde X^1_{n+1} \in dx^1 \,|\, \widetilde X^1_{n}=\eta^1_{n}, \, \widetilde X^2_{n}=\eta^2_{n},\, \eta^1_{n} \ne \eta^2_{n})}{\Lambda_{n,\eta^1_{n}, \eta^2_{n}}(dx^1)} \\ &= p_n(\widetilde X^1_n,x^1), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
в силу (33), и аналогично, при условии $(\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n})$ и $(\widetilde X^1_{n} \ne \widetilde X^2_{n})$
$$
\begin{equation*}
\frac{\mathbb P(\widetilde X^2_{n+1} \in dx^2 \,|\, \widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n},\, \widetilde X^1_{n} \ne \widetilde X^2_{n})}{\Lambda_{n,\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n}}(dx^2)} = p_n(\eta^2_n,x^2) = p_n(\widetilde X^2_n,x^2).
\end{equation*}
\notag
$$
Также, при условии $(\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n})$ и $(\widetilde X^1_{n} =\widetilde X^2_{n})$ можно проверить, что для любого $z$ (эта величина заменяет как $x^1$, так и $x^2$) согласно (34) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\mathbb P(\widetilde X^1_{n+1} \in dz \,|\,\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n},\, \widetilde X^1_{n} =\widetilde X^2_{n})}{\Lambda_{n,\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n}}(dz)} &= \frac{\mathbb P(\widetilde X^2_{n+1} \in dz \,|\, \widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n}, \, \widetilde X^1_{n} =\widetilde X^2_{n})}{\Lambda_{n,\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n}}(dz)} \\ &= p_n(\widetilde X^1,z) = p_n(\widetilde X^2,z). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть, получаем во всех случаях
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\mathbb P(\widetilde X^1_{n+1} \in dx^1 \,|\, \widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n})}{\Lambda_{n,\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n}}(dx^1)} &= \frac{\mathbb P(\widetilde X^1_{n+1} \in dx^1 \,|\, \widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n})}{\Lambda_{n,\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n}}(dx^1)}\bigl(1(\widetilde X^1_{n} =\widetilde X^2_{n}) + 1(\widetilde X^1_{n} \ne \widetilde X^2_{n})\bigr) \\ &= p_n(\widetilde X^1_n,x^1) \bigl(1(\widetilde X^1_{n} =\widetilde X^2_{n}) + 1(\widetilde X^1_{n} \ne \widetilde X^2_{n})\bigr) = p_n(\widetilde X^1_n,x^1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу всего сказанного выше каждая из компонент $\widetilde X^1_{n}$ и $\widetilde X^2_{n}$ является марковским процессом с тем же генератором, что $X^1_{n}$ и $X^2_{n}$. (Отметим, что небольшая выкладка выше, конечно, не является доказательством марковского свойства, которое вытекает прямо из построения; скорее эти формулы показывают, как понимать переходные ядра предлагаемого алгоритма склейки.) Более того, имеет место следующий полный аналог однородной леммы 7. Лемма 18. Пусть случайные величины $\widetilde X^1_n$ и $\widetilde X^2_n$ заданы при $n\in\mathbb{Z}_+$ формулами (36). Тогда Доказательство. Прежде всего, покажем (38) и (39). Как следует из (32) и (35),
$$
\begin{equation*}
\mathbb P(\zeta_{n+1}=0\,|\,\zeta_n=0)=1, \qquad \mathbb P(\zeta_{n+1}=0\,|\, \zeta_n=1,\, \eta^1_n=x^1,\, \eta^2_n=x^2)=\kappa(x^1,x^2).
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно, при $\zeta_n=0$ имеем откуда следует что и требовалось. Как следствие получаем (38). Далее, при условии $\zeta_n=1$ имеем для любых $(x^1,x^2,x^3)$,
$$
\begin{equation*}
\varphi_4((x^1,x^2,x^3,1),u):=\bigl(\delta_1(u)(1-\kappa(x^1,x^2))+ \delta_0(u)\kappa(x^1,x^2)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
\mathbb P(\zeta_{n+1}=0\,|\,\zeta_n=1,\,\eta^1_n=x^1,\,\eta^2_n=x^2)=\kappa(x^1,x^2),
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось. Значит, если два процесса $\widetilde X^1$ и $\widetilde X^2$ оказались склеены в момент времени $n$, то они останутся склеены и при $n+1$, а если они не были склеены, то склейка произойдет с (условной) вероятностью $\kappa(\eta^1_n,\eta^2_n)$; в этом случае данная случайная величина равна $\kappa(X^1_n,X^2_n)$. Следовательно, аналогично доказательству леммы 2 в [12] находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}(\widetilde X^1_n\neq \widetilde X^2_n) \leqslant \mathbb{P} (\zeta_n = 1) \equiv \mathbb{P} \biggl(\prod_{i=0}^{n}\zeta_i = 1\biggr) = \mathbb{E} \prod_{i=0}^{n}1(\zeta_i = 1) \\ &\quad= \mathbb{E} \prod_{i=0}^{n-1}1(\zeta_i = 1) \mathbb{E} \bigl(1(\zeta_n = 1)\bigm| {\mathcal F}_{n-1}\bigr) = \mathbb{E} \prod_{i=0}^{n-1}1(\zeta_i = 1) \bigl(1- \kappa_{n-1}(\eta^1_{n-1}, \eta^2_{n-1})\bigr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{40}
$$
и далее, пользуясь условной независимостью случайных величин $\zeta_{n-1}$, $\eta^1_{n-1}$, $\eta^2_{n-1}$ при условии ${\mathcal F}_{n-2}$ в силу конструкции (32), продолжаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{P}(\widetilde X^1_n\neq \widetilde X^2_n) \leqslant \mathbb{E} \prod_{i=0}^{n-2}1(\zeta_i = 1) 1(\zeta_{n-1} = 1)\bigl(1- \kappa_{n-1}(\eta^1_{n-1}, \eta^2_{n-1})\bigr) \\ &\qquad = \mathbb{E} \prod_{i=0}^{n-2}1(\zeta_i = 1) \mathbb{E} \bigl(1(\zeta_{n-1} = 1)\bigl(1- \kappa_{n-1}(\eta^1_{n-1}, \eta^2_{n-1})\bigr) \bigm| {\mathcal F}_{n-2}\bigr) \\ &\qquad = \mathbb{E} \prod_{i=0}^{n-2}1(\zeta_i = 1) \mathbb{E} \bigl(1(\zeta_{n-1} = 1)\bigm| {\mathcal F}_{n-2}\bigr) \mathbb{E}\bigl(\bigl(1- \kappa_{n-1}(\eta^1_{n-1}, \eta^2_{n-1})\bigr) \bigm| {\mathcal F}_{n-2}\bigr) \\ &\qquad= \mathbb{E} \prod_{i=0}^{n-2}1(\zeta_i = 1) \bigl(1- \kappa_{n-1}(\eta^1_{n-2}, \eta^2_{n-2})\bigr) \mathbb{E}\bigl(\bigl(1- \kappa_{n-1}(\eta^1_{n-1}, \eta^2_{n-1})\bigr) \bigm| {\mathcal F}_{n-2}\bigr) \\ &\qquad= \mathbb{E} \prod_{i=0}^{n-2}1(\zeta_i = 1) \bigl(1- \kappa_{n-1}(\eta^1_{n-2}, \eta^2_{n-2})\bigr) \bigl(1- \kappa_{n-1}(\eta^1_{n-1}, \eta^2_{n-1})\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и так далее по индукции, что ведет в итоге к искомой оценке (39). Далее, для пары $(\widetilde X^1, \widetilde X^2)$ имеем следующую переходную плотность относительно $\Lambda_{n,\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n}}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\mathbb P(\widetilde X^1_{n+1} \in dx^1,\, \widetilde X^2_{n+1} \in dx^2 \,|\, \widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n})}{\Lambda_{n,\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n}}(dx^1)} \\ &\qquad= 1(\widetilde X^1_{n} \ne \widetilde X^2_{n}) \frac{\mathbb P(\widetilde X^1_{n+1} \in dx^1,\, \widetilde X^2_{n+1} \in dx^2 \,|\, \widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n})}{\Lambda_{n,\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n}}(dx^1)} \\ &\qquad\qquad+ 1(\widetilde X^1_{n} =\widetilde X^2_{n}) \frac{\mathbb P(\widetilde X^1_{n+1} \in dx^1,\, \widetilde X^2_{n+1} \in dx^2 \,|\, \widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n})}{\Lambda_{n,\widetilde X^1_{n}, \widetilde X^2_{n}}(dx^1)} \\ &\qquad= 1(\widetilde X^1_{n} \ne \widetilde X^2_{n}) p_n(\widetilde X^1_{n}, x^1) p_n(\widetilde X^2_{n},x^2)+1(\widetilde X^1_{n} =\widetilde X^2_{n}) p_n(\widetilde X^1_{n}, x^1)\delta(x_1-x_2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вплоть до первого момента, когда $\zeta = 0$, обе траектории $\widetilde X^1$ и $\widetilde X^2$ эволюционируют независимо и согласно переходному ядру процесса $(X_n)$, причем пара $(\widetilde X^1, \widetilde X^2)$ является строго марковским процессом до данного момента остановки. После этого момента остановки обе компоненты равны и каждая из них остается строго марковским процессом с тем же переходным ядром. Это доказывает (18) и (38), а также, что пара $(\widetilde X^1_n, \widetilde X^2_n,\, n\geqslant 0)$ марковская и строго марковская. Лемма 18 доказана. Замечание 19. Отметим, что в примерах бывает удобнее пользоваться “предварительной” оценкой 3.3. Операторы $V$ и $\widehat V$ в неоднородном случаеВ неоднородном случае, по всей видимости, не удается улучшить или упростить оценку (39) подобно тому, как (25) упрощает оценку (20) в однородной ситуации, без дополнительных предположений о структуре переходных ядер. Далее будут рассмотрены два специальных случая. Определим операторы $V_t$ на (ограниченных и измеримых по Борелю) функциях $h$ на пространстве $S^2 := S\times S$ следующим образом: для $x=(x^1, x^2)\in S^2$ положим
$$
\begin{equation}
V_th(x) := (1-\kappa_t(x^1,x^2)) \mathbb E_{t,x^1,x^2}h(\widetilde X_{t+1}) \equiv \exp(\psi_t(x))\mathbb E_{t,x^1,x^2}h(\widetilde X_{t+1}),
\end{equation}
\tag{41}
$$
где в последнем выражении $\psi_t(x)\,{:=}\ln (1\,{-}\,\kappa_t(x^1,x^2))$ ( предполагаем $\ln 0\,{=}\,{-}\infty$); напомним, что $\widetilde X_n = (\widetilde X_n^1, \widetilde X^2_n)$. Отметим, что на диагонали $x=(x^1,x^2) \colon x^1=x^2$ справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
V_th(x) = \bigl(1-\kappa_t(x^1,x^1)\bigr)\mathbb E_{t,x^1,x^2}h(\widetilde X_{t+1}) = 0,
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $\kappa_t(x^1,x^1) = 1$ при всяком $x^1$. Поэтому, аналогично однородному случаю, имеет смысл рассмотреть либо функции $h$ на $S^2$, обращающиеся в нуль на диагонали $\operatorname{diag}(S^2)= (x = (x^1,x^1)\in S^2)$, либо, что эквивалентно, сузить сам оператор на функции, определенные на пространстве
$$
\begin{equation*}
\widehat S^{\,2} := S^2 \setminus \operatorname{diag}(S^2),
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. для $x=(x^1,x^2)\in \widehat S^{\,2}$ и для функций $\widehat h\colon \widehat S^{\,2} \to \mathbb R$ положить
$$
\begin{equation*}
\widehat V_t\widehat h(x):= \bigl(1-\kappa_t(x^1,x^2)\bigr)\mathbb E_{t,x^1,x^2}\widehat h(\widetilde X_{t+1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Оценка (39) может быть переписана через операторы $V_t$ или, что эквивалентно, через $\widehat V_t$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{\mu^1,\mu^2}(\widetilde X^1_n\neq \widetilde X^2_n)\leqslant \int \mathbb{E}_{x^1,x^2} \prod_{i=0}^{n-1} \widehat V_i\mathbf{1}(x^1,x^2)\, \mu^{1}(dx^1)\, \mu^{2}(dx^2).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 20. Во всех случаях Доказательство. Имеем,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\limsup_{n\to\infty} \frac1n \ln \| \mathbb{P}_{\mu^1}(n,{\cdot}\,) - \mathbb{P}_{\mu^2}(n,{\cdot}\,)\|_{\mathrm{TV}} \leqslant \limsup_{n\to\infty} \frac1n \ln \bigl(2\mathbb{P}_{\mu^1,\mu^2}(\widetilde X^1_n\neq \widetilde X^2_n)\bigr) \\ &\qquad = \limsup_{n\to\infty} \frac1n \ln \biggl(2 \int \mathbb{P}_{x^1,x^2}(\widetilde X^1_n\neq \widetilde X^2_n)\, \mu^{1}(dx^1)\, \mu^{2}(dx^2)\biggr) \\ &\qquad\leqslant \int \mathbb{E}_{x^1,x^2}\prod_{i=0}^{n-1} \widehat V_i\mathbf{1}(x^1,x^2)\, \mu^{1}(dx^1)\, \mu^{2}(dx^2), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось. Теорема доказана. Следствие 21. Во всех случаях Этот предел равномерен относительно начальных распределений $\mu^1, \mu^2$. Как уже было отмечено ранее, в общем случае, видимо, нет возможности применить подход, основанный на спектральном радиусе, поэтому оценки (42) и (43) представляются наилучшим вариантом. Тем не менее, есть два специальных случая, когда все же можно кое-что добавить к этому. Первый – случай периодических переходных ядер $\mathbb{P}_{t,x}(t+1,dy)$. Пусть найдется такое $T\geqslant 1$, что
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}_{t+T,x}(t+T+1,dy) = \mathbb{P}_{t,x}(t+1,dy) \quad \forall \, t\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{44}
$$
Очевидно, это влечет
$$
\begin{equation*}
\kappa_t(x^1,x^2) = \kappa_{t+T}(x^1,x^2) \quad \forall \, t\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим операторы
$$
\begin{equation*}
V^{(T)}h(x) = \mathbb E_{0,x^1,x^2}\biggl(\prod_{i=0}^{T-1} \bigl(1-\kappa_i(\widetilde X_{i})\bigr)\biggr) h(\widetilde X_{T}), \qquad x\in S^2,
\end{equation*}
\notag
$$
действующие на функциях на $S^2$, и
$$
\begin{equation*}
\widehat V^{(T)}h(x) = \mathbb E_{0,x^1,x^2}\biggl(\prod_{i=0}^{T-1} \bigl(1-\kappa_i(\widetilde X_{i})\bigr)\biggr) h(\widetilde X_{T}), \qquad x\in \widehat S^{\,2},
\end{equation*}
\notag
$$
определенные на функциях на $\widehat S^{\,2}$. Теорема 22. При условии (44), Напомним, что $\widehat{\mathbf{1}}$ – функция, тождественно равная единице на $\widehat S^{\,2}$. Доказательство теоремы 22 следует непосредственно из оценок (42), (43) и формулы Гельфанда для спектрального радиуса. Второй специальный случай – ситуация малых неоднородных возмущений однородного ядра $\overline{\mathbb{P}}_{x^1}(1,dy)$. Предположим, что все меры $\overline{\mathbb{P}}_{x^1}(1,dy)$ являются абсолютно непрерывными относительно тех же мажорирующих мер, что и $\mathbb{P}_{t,x^1}(1,dy)$ (при всех $t$), и что плотности относительно последних в определенном смысле не сильно отличаются от плотностей мер $\overline{\mathbb{P}}_{x^1}(1,dy)$. Один вариант такой ситуации рассмотрен ниже при условиях (47)–(49). Аналог однородной оценки (25) в неоднородной ситуации потребует некоторой модификации вспомогательного процесса $(\eta^1_n, \eta^2_n, \zeta_n, \xi_n)$, а также нового эргодического коэффициента и нового однородного оператора – аналога оператора $V$ из § 2. Положим
$$
\begin{equation*}
\overline{\varphi}(x,y):=\overline{\varphi}_{1}(x,y^1)\overline{\varphi}_{2}(x,y^2) \overline{\varphi}_{3}(x,y^3) \overline{\varphi}_{4}(x,y^4),
\end{equation*}
\notag
$$
где $x=(x^1,x^2,x^3,x^4)$, $y=(y^1,y^2,y^3,y^4)$, и если $0<\overline \kappa(x^1,x^2)<1$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \overline{\varphi}_{1}(x,u) &:=\frac{\overline p(x^1,u)- \overline p(x^1, u)\wedge \overline p(x^2,u)}{1- \overline \kappa(x^1,x^2)}, \\ \overline{\varphi}_{2}(x,u) &:=\frac{\overline p(x^2,u) - \overline p(x^1,u)\wedge \overline p(x^2,u)}{1- \overline \kappa(x^1,x^2)}, \\ \overline{\varphi}_{3}(x,u) &:=1(x^4=1)\frac{\overline p(x^1,u)\wedge \overline p(x^2,u)}{\overline \kappa(x^1,x^2)}+1(x^4=0)\overline p(x^3,u), \\ \overline{\varphi}_{4}(x,u) &:=1(x^4=1)\bigl(\delta_1(u)(1-\overline \kappa(x^1,x^2)) + \delta_0(u) \overline \kappa(x^1,x^2)\bigr) +1(x^4=0)\delta_0(u), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а в случае $\kappa(x^1,x^2)=1$ или $\kappa(x^1,x^2)=0$ переходные плотности определим аналогично однородному случаю, см. (15) и (16). По этим переходным плотностям построим (однородный) марковский процесс $(\overline \eta^1_n, \overline \eta^2_n, \overline \xi_n, \overline \zeta_n)$ аналогично процессу $(\eta^1_n, \eta^2_n, \xi_n, \zeta_n)$ из п. 2.2 и положим
$$
\begin{equation}
\overline X^1_n:=\overline \eta^1_n 1(\overline \zeta_n=1) + \overline \xi_n 1(\overline \zeta_n=0), \qquad \overline X^2_n:=\overline \eta^2_n 1(\overline \zeta_n=1)+\overline \xi_n 1(\overline \zeta_n=0).
\end{equation}
\tag{46}
$$
(Отметим, что процесс $(\overline X^1_n, \overline X^2_n)$ является аналогом процессов $(\widetilde X^1_n, \widetilde X^2_n)$, как в однородном, так и в неоднородном случае; однако, обозначение $(\widetilde X^1_n, \widetilde X^2_n)$ в данной ситуации уже занято, поэтому приходится использовать новое.) Предположим, что существуют такие величины $\varepsilon, \delta>0$, что при всех $t$, $x$ неоднородные ядра $\mathbb{P}_{t,x}$ абсолютно непрерывны друг относительно друга и относительно $\overline{\mathbb{P}}_{x}$: $\mathbb{P}_{t,x}(t+1,dy) \sim \overline{\mathbb{P}}_{x}(1,dy)$, и, более того, при всех $n$
$$
\begin{equation}
(1+\varepsilon)^{-1} \leqslant \frac{\kappa_{n}(x^1,x^2)}{\overline\kappa(x^1,x^2)}, \qquad \frac{1-\kappa_{n}(x^1,x^2)}{1-\overline\kappa(x^1,x^2)} \leqslant 1+\varepsilon,
\end{equation}
\tag{47}
$$
а также равномерно относительно $t\geqslant 0$
$$
\begin{equation}
\varphi_{t,1}(x,u) \leqslant (1+\varepsilon) \overline{\varphi}_{1}(x,u),
\end{equation}
\tag{48}
$$
$$
\begin{equation}
\varphi_{t,3}(x,u) \leqslant (1+\varepsilon)\overline{\varphi}_{3}(x,u).
\end{equation}
\tag{49}
$$
Если неравенство (48) имеет место для пары $\varphi_{t,1}$, $\overline{\varphi}_{1}$, то оно же автоматически справедливо и для пары $\varphi_{t,2}$, $\overline{\varphi}_{2}$. Отметим, что в случае конечного фазового пространства $S$ все условия (47)–(49), в принципе, могут быть реализованы. В самом деле, для такого $S$ при малых возмущениях все ненулевые, а значит, положительные и отделенные от нуля – величины в этих выражениях, отличаются не более чем в $(1+\varepsilon)$ раз (возможно, в $(1+C\varepsilon)$ с некоторым $C>0$, что ведет всего лишь к переобозначению малого параметра) от невозмущенных как в большую, так и в меньшую стороны; кроме того, для конечного $S$ их конечное число; тогда и все их строго положительные линейные комбинации обладают таким свойством. Предложение 23. Пусть имеет место лишь первое из неравенств (47) с однородным переходным ядром $\overline{\mathbb{P}}$, удовлетворяющим всем предположениям теоремы 8. Тогда оценка Маркова–Добрушина (31) трансформируется следующим образом: Естественно, оценки (50) и (51) имеют смысл при $\overline \kappa >0$. Доказательство. Имеем,
$$
\begin{equation*}
\kappa_t(x^1,x^2) \geqslant (1+\varepsilon)^{-1} \overline\kappa(x^1,x^2) \geqslant (1+\varepsilon)^{-1} \inf_{x^1,x^2}\overline\kappa(x^1,x^2) =(1+\varepsilon)^{-1} \overline\kappa.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
1-\kappa_t(x^1,x^2) \leqslant 1- (1+\varepsilon)^{-1} \overline\kappa(x^1,x^2) \leqslant 1- (1+\varepsilon)^{-1} \overline\kappa, \qquad 1-\kappa_t \leqslant 1- (1+\varepsilon)^{-1} \overline\kappa,
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит (см. (39)),
$$
\begin{equation}
\sup_{x}\sup_{A\subset S} |\mathbb{P}_{0,x}(n,A) - \mathbb{P}_{0,x'}(n,A)| \leqslant \prod_{t=0}^{n-1} (1-\kappa_t)\leqslant (1- (1+\varepsilon)^{-1} \overline\kappa)^n,
\end{equation}
\tag{52}
$$
что показывает справедливость (50). Оценка (51) вытекает непосредственно из второй части условия (47). Предложение 23 следует. Замечание 24. Первое неравенство из (52) можно найти в [2; формула (29)]. По существу, это оценка самого Маркова, хотя он и получил ее лишь в однородном случае для конечных марковских цепей. В настоящей статье неравенство (50) приведено только для сравнения с нижеследующим результатом теоремы 26, а его элементарный вывод из более сильной оценки (39) приведен лишь ради полноты изложения. Оператор $\overline V$ вводится аналогично оператору $V$ в однородном случае по процессу $\overline X=(\overline X^1, \overline X^2)$, $\overline Vh(x^1,x^2):= \mathbb E_{x^1,x^2}h(\overline X_{1}) 1(\overline X_{1}^1\neq \overline X_{1}^2) $, либо, эквивалентным образом по процессу $(\overline \eta^1, \overline \eta^2, \overline \xi, \overline \zeta)$, по формуле
$$
\begin{equation}
\overline Vh(x^1,x^2):= \mathbb E_{x^1,x^2}h(\overline X_{1}) 1(\overline \zeta_1=1).
\end{equation}
\tag{53}
$$
Отметим, что $\overline V$ зависит и от параметра $\varepsilon$, что не отражено в обозначении. Символ $r(\overline V)$ будет использован для спектрального радиуса $\overline V$. Однородный аналог оператора $\widehat V_t$ на фазовом пространстве $\widehat S^{\,2}$ без диагонали будет обозначаться $\check V$: для $x = (x^1,x^2) \in \widehat S^{\,2}$ и $h: \widehat S^{\,2} \mapsto \mathbb R$,
$$
\begin{equation}
\check V h(x) := \bigl(1 - (1+\varepsilon)^{-1}\overline \kappa(x^1,x^2)\bigr) \mathbb E_x h(\overline X^1_1, \overline X^2_1) 1(\overline X^1_1 \neq \overline X^2_1).
\end{equation}
\tag{54}
$$
(Можно ввести такой оператор и формулой
$$
\begin{equation}
\check V h(x) := (1+\varepsilon)\bigl(1 - \overline \kappa(x^1,x^2)\bigr) \mathbb E_x h(\overline X^1_1, \overline X^2_1) 1(\overline X^1_1 \neq \overline X^2_1),
\end{equation}
\tag{55}
$$
тогда заключение теоремы 26 немного изменится.) Отметим некоторые свойства нового процесса $(\overline X^1, \overline X^2)$. Доказательство при $x\neq x'$ вытекает из определений (36), (46) и из предположений (47)–(49), которые влекут, в частности, следующие неравенства для плотностей (здесь $x=(x^1,x^2,x^3,x^4)$):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, p^{\widetilde X^1_n\,|\,\widetilde X^1_{n-1}, \widetilde X^2_{n-1}}(u)|_{\widetilde X^1_{n-1} =\widetilde X^2_{n-1}=x^3} &=\varphi_{n,3}(*,*,x^3,1;u) \leqslant (1+\varepsilon)\overline{\varphi}(*,*,x^3,1;u) \\ &= (1+\varepsilon) p^{\overline X^1_n\,|\,\overline X^1_{n-1}, \overline X^2_{n-1}}(u)|_{\overline X^1_{n-1}= \overline X^2_{n-1}=x^3} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
согласно условию (49) и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &p^{\widetilde X^1_n\,|\,\widetilde X^1_{n-1}, \widetilde X^2_{n-1}}(u)|_{\widetilde X^1_{n-1}=x^1 \neq x^2=\widetilde X^2_{n-1}} \\ &= \mathbb E\bigl(\varphi_{n,1}(x^1,x^2, *,0;u)|_{x^1 \neq x^2} \\ &\ \qquad\times\bigl(1-\kappa_{n}(\eta^1_{n},\eta^2_{n})\bigr)\bigm|X^1_{n-1}, X^2_{n-1}, X^1_{n-1}\neq X^2_{n-1}\bigr)\big|_{X^1_{n-1}=x^1 \neq x^2=X^2_{n-1}} \\ &\ + \mathbb E\bigl(\varphi_{n,3}(x^1,x^2, *,0;u) \kappa_n(\eta^1_{n},\eta^2_{n})\bigm| X^1_{n-1}, X^2_{n-1}, X^1_{n-1}\neq X^2_{n-1}\bigr)\big|_{X^1_{n-1}=x^1,\, X^2_{n-1}=x^2} \\ &\leqslant (1+\varepsilon)^2\mathbb E\bigl(\varphi_{n,1}(x^1,x^2, *,0;u)|_{x^1 \neq x^2} \\ &\ \qquad\times\bigl(1-\overline\kappa(\overline \eta^1_{n}, \overline \eta^2_{n})\bigr)\bigm|\overline X^1_{n-1}, \overline X^2_{n-1}, \overline X^1_{n-1}\neq \overline X^2_{n-1}\bigr)\big|_{\overline X^1_{n-1}=x^1 \neq x^2= \overline X^2_{n-1}} \\ &\ + (1+\varepsilon)^2\mathbb E\bigl(\overline{\varphi}_{3}(x^1,x^2, *,0;u) \\ &\ \qquad \times\overline \kappa(\overline\eta^1_{n},\overline\eta^2_{n})\bigm|\overline X^1_{n-1}, \overline X^2_{n-1}, \overline X^1_{n-1}\neq \overline X^2_{n-1}\bigr)\big|_{\overline X^1_{n-1}=x^1 \neq x^2 =\overline X^2_{n-1}} \\ &=(1+\varepsilon)^2 p^{\overline X^1_n\,|\,\overline X^1_{n-1}, \overline X^2_{n-1}}(u)|_{\overline X^1_{n-1}=x^1 \neq x^2=\overline X^2_{n-1}} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
в силу условий (47), (48), что и доказывает лемму. Для дальнейшего обозначим Теорема 26. В предположениях (47)–(49) имеет место неравенство Верхний предел в левой части является равномерным относительно начальных распределений $\mu^1$, $\mu^2$. Очевидно, сама оценка (56) имеет смысл, если и может оказаться лучше, нежели общее неравенство (50) при
$$
\begin{equation}
(1+\delta) r(\overline V) < 1- (1+\varepsilon)^{-1} \overline\kappa.
\end{equation}
\tag{58}
$$
Последнее вполне может оказаться выполненным в случае малого $\varepsilon$, если $\overline\kappa \approx 0$ (или даже $\overline\kappa = 0$). Аналогично можно сравнить оценку (56) и с неравенством (51). Доказательство. Имеем при $h\geqslant 0$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V_th(x) &= \bigl(1-\kappa_t(x^1,x^2)\bigr)\mathbb E_{t,x^1,x^2}h(\widetilde X_{t+1}) \\ &= \bigl(1-\kappa_t(x^1,x^2)\bigr)\int h(y^1,y^2)\, \mathbb P_t(x^1,x^2,dy^1,dy^1) \\ &\leqslant \bigl(1-\kappa_t(x^1,x^2)\bigr)(1+\varepsilon)^2\int h(y^1,y^2)\, \overline {\mathbb P}(x^1,x^2,dy^1,dy^2) \\ &\leqslant \bigl(1- (1+\varepsilon)^{-1} \overline\kappa(x^1,x^2)\bigr)(1+\varepsilon)^2\int h(y^1,y^2)\, \overline {\mathbb P}(x^1,x^2,dy^1,dy^2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть, в силу теоремы 20, и используя тот факт, что множители $(1\,{-}\,\kappa_i(\widetilde x_{i}))$ неотрицательны, оцениваем:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int \biggl(\biggl(\prod_{i=0}^{n-1} V_i\biggr) \mathbf{1}\biggr)(x^1,x^2)\, \mu^1(dx^1) \, \mu^2(dx^2) \\ &= \int \biggl(\prod_{i=0}^{n-1} \bigl(1-\kappa_i(\widetilde x_{i})\bigr)\biggr)\, \mathbb{P}_i(x_{i}, x'_{i}, d x_{i+1},x'_{i+1})\, \mu^1(dx^1) \, \mu^2(dx^2) \\ &\leqslant (1+\varepsilon)^{2n} \int \biggl(\prod_{i=0}^{n-1} \bigl(1-\kappa_i(x_{i}, x'_i)\bigr)\biggr)\, \overline{\mathbb{P}}(x_{i}, x'_{i}, d x_{i+1}, d x'_{i+1})\, \mu^1(dx^1)\, \mu^2(dx^2) \\ &\leqslant (1+\varepsilon)^{2n} \int \biggl(\prod_{i=0}^{n-1}\bigl(1\,{-}\, (1\,{+}\,\delta)^{-1} \overline\kappa(x_{i}, x'_i)\bigr)\biggr)\, \overline{\mathbb{P}}(x_{i}, x'_{i}, d x_{i+1}, d x'_{i+1}) \, \mu^1(dx^1)\, \mu^2(dx^2) \\ &\leqslant (1+\varepsilon)^{2n} \int \bigl((\overline V)^n \mathbf{1}\bigr)(x^1,x^2)\, \mu^1(dx^1) \, \mu^2(dx^2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь однородная теорема 12 обеспечивает искомую асимптотическую оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\limsup_{n\to\infty} \frac1n \ln \| \mathbb{P}_{\mu^1}(n,{\cdot}\,) - \mathbb{P}_{\mu^2}(n,{\cdot}\,)\|_{\mathrm{TV}} \\ &\leqslant \limsup_{n\to\infty} \frac1n \ln (1+\varepsilon)^{2n} \int \bigl((\overline V)^n\mathbf{1}\bigr)(x^1,x^2)\, \mu^1(dx^1)\, \mu^2(dx^2) \\ &\leqslant \ln (1+\varepsilon)^2 + \ln r(\overline V), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось. Теорема 26 доказана. Замечание 27. Разумеется, классы неоднородных МЦ, описанные в теоремах 22 и 26 (и в предложении 23), пересекаются. В пересечении применимы как оценки (45), так и (50), и (56). § 4. ПримерыВо всех примерах в этом параграфе $|S|<\infty$. Кратко перечислим некоторые вытекающие отсюда особенности. В данной ситуации для всякой однородной неприводимой ацикличной МЦ, обладающей спектральным разложением, – что означает, что и правые, и левые собственные векторы образуют базисы в соответствующих линейных пространствах (в обоих случаях эквивалентных ${\mathbb R}^{|S|}$), см. [25; гл. 4], – скорость сходимости к стационарному распределению эквивалентна $C\gamma^n$ с некоторой постоянной $C$, где $\gamma$ – спектральный зазор переходной матрицы вероятностей (см. [22]), который для стохастических матриц совпадает с максимальным модулем остальной части спектра (без спектрального радиуса) переходной матрицы (см., например, [10], [25]). Также, для конечных неприводимых однородных стохастических матриц имеет место общая формула для разности $p_{ij}^{(n)} - \pi_j$ (где $\pi$ обозначает единственное стационарное распределение), которая влечет такую же скорость $C\gamma^n$ с некоторой константой $C$, вычислимой на основе характеристического полинома матрицы ${\mathcal P}$, см. [10; гл. XIII, формула (96)]. Поэтому, по крайней мере, в случае $|S|<\infty$ получаем неравенство В то же время, для бесконечных $|S|$, либо даже для конечных, но очень больших значений $|S|$ задача отыскания $\gamma$ может оказаться на практике несколько более сложной, нежели вычисление спектрального радиуса $r(V)$, для которого существует ряд рецептов, и еще сложнее задача вычисления $\gamma$ может быть для общих фазовых пространств, где спектр переходного оператора может иметь более сложный характер. Тем не менее, в данном разделе рассматриваются лишь конечные фазовые пространства. См., например, [22] по поводу практического вычисления спектральных радиусов для общих операторов.Более того, для обратимых МЦ имеет место следующая точная оценка [11; предложение 3]:
$$
\begin{equation}
\|P_i(n,{\cdot}\,) - \mu\|_{\mathrm{TV}} \leqslant \biggl(\frac{1-\mu(i)}{2\mu(i)}\biggr)^{1/2} \gamma^n,
\end{equation}
\tag{59}
$$
где $\gamma$ – вновь спектральный зазор матрицы ${\mathcal P} = (p_{ij})$. В простейшем случае $|S|=2$ матрица $V$ – так же, как $\mathcal P$ – имеет размерность $2\times 2$. Поэтому все (оба) собственные значения ее могут быть вычислены явно. Их сравнение показывает, что имеет место следующее утверждение. Предложение 28. Пусть $0<a,b<1$ и Тогда во всех случаях $r=1-\kappa \geqslant |\lambda_{2}|$, где $\lambda_{2}$ – меньшее по модулю собственное число переходной матрицы ${\mathcal P} = (p_{ij})$. Доказательство. Случай 1. $a, b \leqslant 1/2$. Во-первых, второе собственное число равно по модулю $|\lambda_{2}|=|1-(a+b)|$. В этом случае $\kappa=a+b$, тогда $1-\kappa=1-(a+b)$. Сначала найдем переходную матрицу для пары процессов. Будем обозначать через $\mathrm{I}$, $\mathrm{II}$ пары состояний $(1,2)$, $(2,1)$ соответственно, и через $\mathcal{P}_{c}$ обозначим соответствующую переходную матрицу вероятностей. Имеем
$$
\begin{equation*}
p_{\mathrm{I}, \mathrm{I}}=p_{\{(1, 2), (1,2)\}}=\frac{a-\min(a,1-b)}{1-\kappa}*\frac{b-\min(b, 1-a)}{1-\kappa},
\end{equation*}
\notag
$$
и также
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, p_{\mathrm{I}, \mathrm{II}} &=\frac{1-a-\min((1-a), b)}{1-\kappa}*\frac{(1-b)-\min((1-b), a)}{1-\kappa}, \\ p_{\mathrm{II}, \mathrm{I}} &=\frac{1-b-\min((1-b), a)}{1-\kappa}*\frac{(1-a)-\min((1-a), b)}{1-\kappa}, \\ p_{\mathrm{II}, \mathrm{II}} &=\frac{b-\min((1-a), b)}{1-\kappa}*\frac{a-\min((1-b), a)}{1-\kappa}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем $p_{\mathrm{I},\mathrm{I}}=p_{\mathrm{II}, \mathrm{II}}=0$ и $p_{\mathrm{I}, \mathrm{II}}=p_{\mathrm{II}, \mathrm{I}}=1$. Поскольку $a, b \leqslant 1/2$, имеем $a-\min(a, 1-b)=a-a=0$, $1-\min(1-a, b)=1-(a+b)=1-\kappa$, $1-b-\min(1-b, a)=1-(a+b)=1-\kappa$. Здесь спектральный радиус $(1-\kappa)\mathcal{P}_{c}$ также равен по модулю $|1-(a+b)|$ и, значит, он совпадает с модулем второго собственного значения исходной переходной матрицы, что и утверждалось. Случай 2a. $a \leqslant 1/2 \leqslant b$, $a \leqslant 1-b$. В этом случае имеем $p_{\mathrm{I}, \mathrm{I}}=p_{\mathrm{II}, \mathrm{II}}=0$, $p_{\mathrm{I}, \mathrm{II}}=p_{\mathrm{II}, \mathrm{I}}=1$, поскольку тут $\min(a, 1- b)=a$ и $\min(1-a, b)=b$. Случай 2b. $a \leqslant 1/2 \leqslant b$, $a > 1-b$. В этом случае имеем $p_{\mathrm{I}, \mathrm{I}}=p_{\mathrm{II}, \mathrm{II}}=1$, $p_{\mathrm{I}, \mathrm{II}}=p_{\mathrm{II}, \mathrm{I}}=0$, поскольку $\min(a, 1-b)=1-b$ и $\min(b, 1-a)=1-a$. Случай 3. $a, b \geqslant 1/2$. Здесь находим $p_{\mathrm{I}, \mathrm{I}}=p_{\mathrm{II}, \mathrm{II}}=1$, $p_{\mathrm{I}, \mathrm{II}}=p_{\mathrm{II}, \mathrm{I}}=0$, поскольку $\min(a, 1-b)=1-b$ и $\min(b, 1-a)=1-a$. Имеем кратное собственное число матрицы $(1-\kappa)\mathcal{P}$, равное $\lambda=1-\kappa=1-(a+b)$, так что $r=|1-(a+b)|$. Итак во всех случаях искомое утверждение следует. Пример 29 (три подхода эквивалентны). Рассмотрим МЦ с фазовым пространством $S = \{1,2\}$ и исходной матрицей переходных вероятностей Отметим, что данный пример столь прост, что не требует никакого кода: все вычисления проводятся вручную. Тем не менее, они были также проверены и на компьютере. Пример 30 (три подхода эквивалентны). Рассмотрим МЦ с тем же фазовым пространством $S = \{1,2\}$ и переходной матрицей Собственные числа данной матрицы есть $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=0.4$. Имеем $\widehat S^{\,2} = \{(1,2), (2,1)\}$, и нормализованная переходная матрица процесса $(\eta^1_n, \eta^2_n)$ имеет вид Вычисляем как и ожидалось. Этот пример также проверен с помощью кода.Пример 31 (новый подход эквивалентен МД; спектральный метод лучше). Рассмотрим МЦ с фазовым пространством ${\mathcal S} = \{1,2,3\}$ и переходной матрицей Матрица эта двойная стохастическая, поэтому распределение $(1/3, 1/3, 1/3)$ инвариантно; очевидно матрица симметрична; здесь $\kappa = \kappa(1,2)= \kappa(1,3)= \kappa(2,3)= 0.3$, $1-\kappa = 0.7$. Имеем, $V=0.7 * \widehat {\mathcal P}$ при некоторой стохастической матрице $\widehat {\mathcal P}$. Значит, спектральный радиус $r(V)$ равен $0.7$. Поэтому новая оценка асимптотически эквивалентна классической (МД). Вычислим собственные числа $\mathcal P$ (без крышки): $\lambda_1 = 1$, $\lambda_{2,3} = \pm 0.6082763$. Напомним, что теоретически метод, основанный на спектре и собственных векторах не может быть хуже любого иного метода. Пример 32 (новый метод эквивалентен МД; спектральный метод лучше). Матрица является двойной стохастической; поэтому, очевидно, $(1/3, 1/3,1/3)$ инвариантна. Здесь $\kappa = \kappa(1,2)= \kappa(1,3)= \kappa(2,3)= 0.3$. Значит, $1-\kappa=0.7$. Оператор $V$ имеет вид с некоторой стохастической переходной матрицей $\widehat {\mathcal P}$.Как известно, спектральный радиус такой матрицы равен $0.7$. Следовательно, в данном примере новая оценка эквивалентна классической МД. Одно собственное значение $\mathcal P$ равно $1$. Характеристическое уравнение имеет вид откуда Пример 33 (новый подход эквивалентен спектральному и лучше, чем МД). Рассмотрим МЦ с фазовым пространством ${\mathcal S} = \{1,2,3\}$ и переходной матрицей Характеристическое уравнение “удвоенного” процесса имеет вид
$$
\begin{equation*}
\lambda_{c}^{2}(0.02\lambda_{c}^{2} - 0.018\lambda_{c} + 0.0008)(0.02\lambda_{c}^{2} + 0.018\lambda_{c} + 0.0008)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
и его корни суть $\lambda_{c}=-9/20 - \sqrt{65}/20$, $\lambda_{c}=-9/20 + \sqrt{65}/20$, кратный корень $\lambda_{c}=0$, $\lambda_{c}=-\sqrt{65}/20 + 9/20$, $\lambda_{c}=\sqrt{65}/20 + 9/20$, где последний корень имеет наибольшее значение, т. е. $r=\sqrt{65}/20 + 9/20$, и поэтому, действительно, $|\lambda_{2}|=r=9/20 + \sqrt{65}/20 \approx 0.85311289$. В данном примере классический подход МД бесполезен (во всяком случае, за один шаг), поскольку $1-\kappa=1$. Пример 34 (новый подход эквивалентен спектральному и лучше, чем МД). Рассмотрим результаты для симметричной матрицы $4 \times 4$: Корни характеристического уравнения исходной матрицы переходных вероятностей суть $\lambda=-\sqrt{15}/10 + 2/5$, $\lambda=3/5$, $\lambda=\sqrt{15}/10 + 2/5$ и $\lambda=1$. Корни характеристического уравнения для “удвоенного процесса” (которое здесь не приводится) таковы: $\lambda_{c}=0$ кратности $2$, $\lambda_{c}=-\sqrt{15}/10 + 2/5$ кратности $2$, $\lambda_{c}=-\sqrt{1993}/180 + 47/180$ кратности $2$ и $\lambda_{c}=\sqrt{1993}/180 + 47/180$ кратности $2$, $\lambda_{c}=3/5$ кратности $2$, $\lambda_{c}=\sqrt{15}/10 + 2/5$ кратности $2$. Так как спектральный радиус $r$ максимальный среди собственных чисел и их модулей, то $r = \sqrt{15}/10 + 2/5$. Видим, что, в самом деле, $|\lambda_{2}|=r=|\sqrt{15}/10 + 2/5| \approx 0.78729833$; $\kappa = \kappa(2,3) = 0.1$, $1-\kappa = 0.9$. Пример 35 (новый подход аналогичен спектральному и лучше, чем МД). Это пример матрицы $4\times 4$, исследованной с помощью кода, написанного для любых матриц $n\times n$. Рассмотрим МЦ с фазовым пространством ${\mathcal S} = \{1,2,3,4\}$ и переходной матрицей
$$
\begin{equation*}
{\mathcal P} = \begin{pmatrix} 0 & 0.2 & 0.3 & 0.5 \\ 0.4 & 0.3 & 0.3 & 0 \\ 0.8 & 0.1 & 0.1 & 0 \\ 0.5 & 0.3 & 0.2 & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Характеристическое уравнение для исходной матрицы таково:
$$
\begin{equation*}
(0.01*\lambda - 0.01)(1.0*\lambda^{3} + 0.6*\lambda^{2} + 0.03*\lambda + 0.01)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
-r = \lambda_{2}=-\frac{1}{3}\biggl(\frac{27\sqrt{73}}{1000}+\frac{27}{100}\biggr)^{1/3} -\frac{1}{5}-\frac{9}{100(27\sqrt{73}/1000 + 27/100)^{1/3}},
\end{equation*}
\notag
$$
и $\lambda_2$ оказывается корнем обоих характеристических уравнений: как для исходной матрицы $\mathcal P$, так и для $V=(1-\kappa)\widehat{\mathcal{P}}$ с $\kappa = \kappa(1,3) = 0.2$ и $(1-\kappa) = 0.8$. Максимальный корень характеристического уравнения для “удвоенного” процесса
$$
\begin{equation*}
r=\frac{1}{3}\biggl(\frac{27\sqrt{73}}{1000}+\frac{27}{100}\biggr)^{1/3} +\frac{1}{5}+\frac{9}{100(27\sqrt{73}/1000 + 27/100)^{1/3}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, в данном примере $r=|\lambda_{2}| \approx 0.57802908 < 1-\kappa$. Пример 36 (новый метод хуже спектрального и лучше, чем МД). Пусть Здесь $\kappa\,{=}\,\kappa(2,5)\,{=}\,0$, $1\,{-}\,\kappa\,{=}\,1$, и код показывает $r\,{\approx}\, 0.9354657\,{>}\,0.9324490\,{\approx}\, |\lambda_{2}|$. Пример 37 (новый метод хуже спектрального и лучше, чем МД). Пусть В этом примере $r\approx 0.695684>0.493945 \approx |\lambda_{2}|$; $\kappa(5,6)=0.05$ и $1-\kappa = 0.95$. Также проведены вычисления для нескольких “случайно выбранных” матриц большой размерности (вплоть до $100\times 100$). Результаты приведены в следующей таблице:1
По всей видимости, общей ситуацией является та, где новая оценка лучше классической МД, а оценка спектрального метода самая лучшая. Однако, повторим, что как новая оценка, так и классическая применимы для существенно более широкого класса процессов, включая неоднородные. Приведем один пример, касающийся неоднородной МЦ. Пример 38. Рассматривается периодический случай с периодом $2$. Всем нечетным моментам времени соответствует переходная матрица ${\mathcal P}_1$, а всем четным – переходная матрица ${\mathcal P}_2$ Результаты счета таковы. Неравенство (31), ухудшенное ввиду использования минимума $\min_t \kappa_t$, т. е. соответственно максимума $\max_t (1 - \kappa_t)$, обеспечивает оценку с асимптотикой $0.25^n$. Неравенство (31) с чередующимися множителями $(1-\kappa_1)$ и $(1-\kappa_2)$, дает оценку с асимптотикой $0.1317616^n$. Использование спектрального метода для произведения ${\mathcal P}_1*{\mathcal P}_2$ приводит к асимптотике $0.1317616^n$. Применение оценки (45) дает ту же асимптотику $0.1317616^n$. Совпадение трех последних асимптотик неудивительно, так как случай двумерный.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VerVer22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|