| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) О распределениях однородных и выпуклых функций от гауссовских случайных величин В. И. Богачевab, Е. Д. Косовab, С. Н. Поповаcb a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва c Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), Московская облаcть, г. Долгопрудный
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9075 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеЭта работа была мотивирована вопросом, поставленным А. Н. Тихомировым о распределениях максимумов квадратичных форм. Его вопрос привел к более общей задаче о распределениях однородных функций. Если заданы вероятностная мера $\mu$ на линейном пространстве $X$ и измеримая функция $f$ на $X$, являющаяся положительно однородной порядка $\alpha>0$, т. е. $f(tx)=t^\alpha f(x)$ для всех $x\in X$ и $t>0$, то что можно сказать о распределении $f$ относительно $\mu$? В частности, существует ли ограниченная плотность распределения или плотность с какими-либо свойствами дифференцируемости? Типичные примеры однородных функций – нормы, квадратичные формы и максимумы из нескольких квадратичных форм. Известно, что в общем случае даже для гауссовской меры $\mu$ и нормы $f$ индуцированная мера $\mu\circ f^{-1}$ на прямой может не иметь плотности или ее плотность может быть неограниченной около нуля. Например, распределение плотности может быть неограниченным даже для нормы, эквивалентной стандартной норме $l^2$ (см. [29], [30], [31], [16]). С другой стороны, имеются достаточные условия на норму, при которых распределение плотности ограничено (см. [31] и [16]). Неотрицательная измеримая квадратичная форма на пространстве с гауссовской мерой $\mu$ обладает ограниченной плотностью распределения при условии, что ее ранг на пространстве Камерона–Мартина меры $\mu$ равен по крайней мере двум (см. [12] или [6], [7]). Это по существу то же самое, что случай распределения $\chi^2$ с $k$ степенями свободы: для $k=1$ плотность распределения ведет себя как $t^{-1/2}$ около нуля, но для $k>1$ она ограничена. Наш первый результат применим к довольно общим сферически инвариантным мерам на $\mathbb{R}^d$, здесь гауссовские меры появляются как конкретные примеры. Стандартная гауссовская мера $\gamma_d$ на $\mathbb{R}^d$ имеет плотность где $|x|$ обозначает стандартную норму на $\mathbb{R}^d$. Для измеримой функции $f$ на пространстве с мерой $\mu$ индуцированная мера $\mu\circ f^{-1}$ на прямой определяется посредством для всех борелевских множеств $B$. Интеграл от ограниченной борелевской функции $\varphi$ на прямой относительно меры $\mu\circ f^{-1}$ вычисляется по формуле
$$
\begin{equation*}
\int \varphi(t)\, \mu\circ f^{-1}(dt)=\int \varphi(f(x))\, \mu(dx).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\mu\circ f^{-1}$ имеет плотность относительно меры Лебега, то эта плотность называется плотностью распределения $f$ относительно $\mu$. Она может быть вычислена как производная функции распределения $F(t)=\mu(x\colon f(x)<t)$. Наш первый основной результат (приведенный в § 2) утверждает, что плотность распределения положительно однородной функции $f$ порядка $\alpha\leqslant d$ на $\mathbb{R}^d$ со стандартной гауссовской мерой оценивается через $C(\alpha)m^{-1}d^{(1-\alpha)/2}$, где $m>0$ есть инфимум $f$ на единичной сфере. В частности, плотность распределения максимума из нескольких неотрицательных квадратичных форм, среди которых есть форма с минимальным собственным значением по крайней мере $m$, оценивается через $Cd^{-1/2}m^{-1}$ с некоторой универсальной постоянной $C$ независимо от $d$ и количества форм. В § 3 получены условия ограниченности вариации плотности распределения и принадлежности к классам Соболева. Один из наших основных результатов в этом направлении утверждает, что вариация плотности распределения $\varrho_f$ функции $f$, положительно однородной порядка $\alpha<d$ на $\mathbb{R}^d$ со стандартной гауссовской мерой, оценивается через $C(\alpha,d)m^{-1}$, где $m$ есть инфимум $|f|$ на единичной сфере. Более того, плотность $\varrho_f$ обладает $k$ интегрируемыми соболевскими производными для всякого $k<d/\alpha$. В частности, этот результат охватывает случай максимума из нескольких квадратичных форм, хотя бы одна из которых невырождена: в этом случае утверждение верно для каждого $k<d/2$. Доказательства в этом параграфе основаны на исчислении Маллявэна. Распределения строго выпуклых функций изучаются в § 4, где даны широкие достаточные условия ограниченности плотностей и их вариаций. В частности, если функция $f$ на $\mathbb{R}^d$ со стандартной гауссовской мерой строго выпукла с постоянной $m$, то ее плотность распределения и вариация плотности оцениваются через $8m^{-1}$. Максимумы неоднородных многочленов второго порядка рассмотрены в § 5. Наконец, некоторые бесконечномерные примеры представлены в § 6. Следует отметить, что распределения максимумов случайных величин возникают во многих приложениях в статистике и теории вероятностей, имеется обширная литература по этому предмету (см., например, статью Р. Дж. Адлера [1] и данные там ссылки). Случай однородных функций и их максимумов, в том числе максимумов квадратичных форм, изучен значительно меньше, хотя он представляет интерес для многих задач, см., например, работы В. Черножукова, Д. Четверикова, К. Като [14], [15], Ю. Коике [22], С. Курики, А. Такемуры [23], Ф. Виенса, А. Б. Визкарры [28], Н. В. Смородиной [33]. Полученные ниже оценки могут быть полезны при исследовании различных задач, связанных с асимптотическими свойствами квадратичных форм, изучаемыми в работах В. Бенткуса, Ф. Гётце [4], Ф. Гётце, А. Тихомирова [18]–[20], Ф. Гётце, А. Ю. Зайцева [21]. § 2. Ограниченные плотностиВ этом параграфе приведены некоторые весьма элементарные оценки плотности распределения однородной функции. В качестве неочевидного следствия получена полезная оценка плотности распределения максимума семейства квадратичных форм. В следующем параграфе эти оценки будут дополнены некоторыми более тонкими результатами, доказательства которых требуют какой-то техники. Начнем с совсем простого наблюдения. Теорема 2.1. Пусть $f$ – борелевская функция на $\mathbb{R}^d$, положительно однородная порядка $\alpha>0$, причем $f(u)\geqslant m>0$ на единичной сфере. Предположим, что $\mu$ – борелевская вероятностная мера на $\mathbb{R}^d$, которая может быть представлена как произведение вероятностной меры $\sigma$ на единичной сфере и вероятностной меры $\nu$ на $(0,+\infty)$. Если функция $t^\alpha$ на $((0,+\infty),\nu)$ имеет ограниченную плотность распределения $\varrho_{\nu,\alpha}$, то $\mu\circ f^{-1}$ имеет ограниченную плотность распределения $\varrho_f$ и Доказательство. Поскольку функция $t^\alpha$ на $((0,+\infty),\nu)$ обладает плотностью, а функция $f$ положительно однородна порядка $\alpha$ имеется также плотность распределения $\varrho_f$ для $f$. Пусть $t\in \mathbb{R}$ и $h>0$. Мы имеем По нашему предположению Аналогичная оценка верна для $h<0$. Теорема доказана. Типичный пример меры, имеющей описанную в этой теореме структуру, это мера с плотностью вида $\varrho_1(\theta)\varrho_2(r)$, где $\theta$ принадлежит единичной сфере и $r>0$. В частности, абсолютно непрерывные сферически инвариантные меры имеют такой вид. Из доказательства ясно, что $\sup_t \varrho_{\nu,\alpha}(t)$ совпадает с супремумом плотности распределения $|x|^\alpha$ относительно $\mu$. Следствие 2.2. Предположения теоремы относительно $\mu$ выполнены, если $\mu$ есть стандартная гауссовская мера на $\mathbb{R}^d$ и $\alpha\leqslant d$. В этом случае где $C(\alpha)$ зависит только от $\alpha$. Доказательство. Используя сферические координаты, представим $\mu$ как где $\sigma_1$ – стандартная поверхностная мера на единичной сфере. После нормировки получим вероятностные меры, в частности, $\sigma=\sigma_1/\sigma_{d-1}$, где $\sigma_{d-1}=2\pi^{d/2}/\Gamma(d/2)$ есть площадь единичной сферы. Функция распределения $|x|^\alpha$ относительно $\mu$ задана на $(0,+\infty)$ равенством
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F(t)&=\int_{|x|<t^{1/\alpha}} (2\pi)^{-d/2}\exp\biggl(-\frac{|x|^2}2\biggr)\, dx \\ &=2\pi^{d/2}\Gamma\biggl(\frac{d}2\biggr)^{-1} \int_0^{t^{1/\alpha}} (2\pi)^{-d/2} r^{d-1} e^{-r^2/2}\, dr. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, для $t>0$ имеем Для $\alpha< d$ максимум этой функции есть Легко видеть, что максимум достигается в точке $(d-\alpha)^{\alpha/2}$. Следствие доказано. В качестве простого примера возьмем где $f_j$ – борелевские функции на $\mathbb{R}^d$, положительно однородные порядка $\alpha>0$. Если $f_q(x)\geqslant m |x|^\alpha$ при некотором $q\leqslant p$, то $\varrho_f\leqslant C(\alpha)m^{-1}d^{(1-\alpha)/2}$.Однако плотность $\varrho_f$ может быть ограниченной, даже если все формы вырождены. Так будет, например, если максимум из нескольких вырожденных форм положителен вне нуля. Однако в этом случае уже нет универсальной оценки плотности. Некоторые результаты в этом направлении приведены в следующем параграфе, здесь отметим такой факт. Следствие 2.3. Пусть $\mu$ – стандартная гауссовская мера на $\mathbb{R}^d$, $d>1$, и где $Q_j$ – неотрицательно определенные квадратичные формы на $\mathbb{R}^d$, причем максимум из их минимальных собственных значений равен $m>0$. Тогда плотность распределения $\varrho_f$ функции $f$ допускает оценку где $C(d)$ зависит только от $d$ и равняется максимуму плотности распределения $\chi_d^2$. В частности, $\varrho_f\leqslant Cd^{-1/2}m^{-1}$ с некоторой абсолютной постоянной $C$. Доказательство. По предположению для каждого $x$ имеем $f(x)\geqslant m|x|^2$, поскольку есть $j$ с $Q_j(x)\geqslant m|x|^2$. Следствие доказано. Заметим, что если $m$ фиксировано, то правая часть стремится к нулю при возрастании $d$. Основная особенность этой оценки состоит в ее независимости от числа форм. Заметим, что если имеются случайные величины $\xi_1,\dots,\xi_p$ с плотностями распределения, ограниченными числом $M$, то очевидным образом
$$
\begin{equation*}
P\Bigl(t<\max_i \xi_i\leqslant t+h\Bigr)\leqslant \sum_i P(t<\xi_i\leqslant t+h)\leqslant Mph, \qquad h>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Без дополнительных предположений множитель $p$ из этой грубой оценки неизбежен. Например, если $\xi_i$ независимы и равномерно распределены в $[0,1]$, то максимум плотности распределения их максимума равен $p$. Однако неясно, что можно сказать про плотность распределения максимума $p$ квадратичных форм, для каждой из которых плотность не больше $M$ (но нет информации о собственных числах). В этой связи интересно было бы ответить на такой вопрос. Рассмотрим форму $Q=\sum_{i=1}^n \alpha_i x_i^2$ с $\alpha_i>0$. Пусть $F$ – ее функция распределения и $t_m$ – точка максимума плотности. Сколь близко $F(t_m)$ может быть к $1$? Например, для $\alpha_i\equiv 1$ (стандартное распределение $\chi^2$ с $n$ степенями свободы) $F(t_m)$ асимптотически близко к $1/2$. Это можно получить из асимптотических формул работы [27] для неполной гамма-функции, через которую явно выражается $F$, а также из центральной предельной теоремы. При больших $n$ функция распределения и плотность нормированной суммы $(Q-n)/\sqrt{n}$ близки к стандартным гауссовским функции распределения и плотности, для которых значение функции распределения в точке максимума плотности равно $1/2$. Неясно, сохранится ли этот эффект для нерегулярной последовательности весов $\alpha_i$, не обеспечивающих выполнение центральной предельной теоремы. Отметим еще, что так как берется максимум из минимальных собственных чисел, то на указанную оценку не влияет добавление форм с маленькими минимальными собственными значениями (хотя на само распределение это может повлиять). Конечно, условие $m>0$ не является необходимым для ограниченности плотности, например, можно взять $x_1^2$ и $x_2^2$ на $\mathbb{R}^2$. Если еще взять третью форму $\varepsilon (x_1^2+x_2^2)$ с малым $\varepsilon>0$, то $m=\varepsilon$, но максимум не зависит от $\varepsilon$. В следствии 5.4 рассмотрен случай, когда все формы могут быть вырождены, но имеют невырожденные сужения на общее двумерное подпространство. Конечно, аналогичные результаты справедливы с другими постоянными для всех невырожденных центрированных гауссовских мер в силу замены переменных. Более того, они распространяются на смеси таких мер. Если $\gamma^t$ – семейство центрированных гауссовских мер с ковариационными матрицами $S_t$ на $\mathbb{R}^d$, измеримо зависящих от параметра $t$ из вероятностного пространства $(T,\nu)$, т. е. $S_t$ измеримо зависит от $t$, то их смесь определяется формулой Мера $\nu$ называется смешивающей. Если $T=(0,+\infty)$ и $S_t=tS$ для некоторой неотрицательно определенной матрицы $S$, то полученная смесь называется эллиптическим распределением.Пример 2.4. Пусть $\mu$ – смесь центрированных гауссовских мер $\mu_t$ с ковариационными матрицами $S_t$ и смешивающей мерой $\nu$. Предположим, что $S_t\geqslant k(t)S$ для некоторой положительно определенной матрицы $S$, где $k>0$ – такая измеримая функция, что $k^{-\alpha/2}\in L^1(\nu)$. Пусть $f$ – борелевская функция на $\mathbb{R}^d$, положительно однородная порядка $\alpha>0$, причем $f(u)\geqslant m>0$ на единичной сфере. Тогда $\mu\circ f^{-1}$ имеет ограниченную плотность распределения. Ее верхняя граница оценивается постоянной, зависящей от $\alpha$, $m$, $S$ и $\|k^{-\alpha/2}\|_{L^1(\nu)}$. В частности, это верно, если $\mu$ – невырожденное эллиптическое распределение. Случай возможно вырожденных форм будет рассмотрен в следствии 4.5, теореме 4.9 и следствии 5.4. Мы увидим там, что плотность распределения имеет ограниченную вариацию, если формы равномерно эллиптичны на трехмерном подпространстве. Более того, если они равномерно эллиптичны на двумерном подпространстве, то плотность распределения все еще ограничена независимо от количества форм, но установленные в работе оценки ее вариации зависят от количества форм в отличие от предыдущего следствия и следствия 4.5. § 3. Соболевская регулярностьОбратимся теперь к соболевской регулярности $\varrho_f$ в гауссовском случае. Мы применим методы исчисления Маллявэна, которое оказалось мощным средством при изучении индуцированных мер, см. [6], [7], [3], [16], [26], [25]. Недавние обзоры о распределениях многочленов можно найти в [9] и [11]. Напомним, что для знакопеременной меры $\sigma=\sigma^{+}-\sigma^{-}$ на измеримом пространстве $\Omega$, разложенной в разность ее положительной и отрицательной частей, вариация определена равенством $\|\sigma\|=\sigma^{+}(\Omega)+\sigma^{-}(\Omega)$. Через $W^{1,k}(\mathbb{R})$ обозначим класс Соболева таких функций $u\in L^1(\mathbb{R})$ на прямой, что производная $u$ порядка $k-1$ абсолютно непрерывна и $u^{(k)}\in L^1(\mathbb{R})$. Естественная норма на $W^{1,k}(\mathbb{R})$ задается формулой Ясно, что $\sup_t |u^{(k-1)}(t)|\leqslant \|u^{(k)}\|_{L^1}$.Класс $\mathrm{BV}(\mathbb{R})$ состоит из таких функций $u\in L^1(\mathbb{R})$ на прямой, что обобщенная производная $u$ есть ограниченная мера $Du$, это означает, что для всех гладких функций $\varphi$ с компактным носителем. Естественная норма на $\mathrm{BV}(\mathbb{R})$ задается формулой где $\|Du\|$ есть вариация меры $Du$. Заметим, что $u$ имеет версию, которая непрерывна слева и является функцией ограниченной вариации, более того, для указанной версии $\widetilde{u}$ ее вариация $\operatorname{Var} \widetilde{u}$ равна $\|Du\|$. Ясно, что $\sup_t |\widetilde{u}(t)|\leqslant \|Du\|$.Пространство $W^{1,1}(\mathbb{R})$ является замкнутым подпространством в $\mathrm{BV}(\mathbb{R})$. Класс $V^k(\mathbb{R})$ с $k>1$ состоит из таких функций $u\in L^1(\mathbb{R})$, что $u',\dots,u^{(k-1)}$ лежат в $L^1(\mathbb{R})$ и $u^{(k-1)}\in \mathrm{BV}(\mathbb{R})$. Его естественная норма равна
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{L^1}+\dots+\|u^{(k-1)}\|_{L^1}+\|Du^{(k-1)}\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Например, для индикаторной функции отрезка $[0,1]$ мера $DI_{[0,1]}$ есть разность дираковских мер в $0$ и $1$, поэтому $\|DI_{[0,1]}\|=2$. Класс Соболева $W^{1,1}(\mathbb{R}^d)$ на $\mathbb{R}^d$ определяется аналогично: он состоит из функций $u\in L^1(\mathbb{R}^d)$ с обобщенными частными производными $\partial_{x_i}u\in L^1(\mathbb{R}^d)$. Известно (см., например, [7; теорема 2.1.10]), что всякая функция $u$ из $W^{1,1}(\mathbb{R}^d)$ имеет такую версию, что для почти каждого фиксированного набора переменных $(x_1,\dots,x_{k-1},x_{k+1},\dots ,x_d)$ функция $x_k\mapsto u(x_1,\dots,x_k,\dots ,x_d)$ абсолютно непрерывна на отрезках. Аналогично (или просто переходом к сферическим координатам) доказывается, что имеется такая версия $u$, что для почти каждого $x$ функция $t\mapsto u(tx)$ абсолютно непрерывна на отрезках (что равносильно тому, что функция $t\mapsto u(t\theta)$ локально абсолютно непрерывна для почти каждого $\theta$ из единичной сферы). Класс $\mathrm{BV}(\mathbb{R}^d)$ состоит из всех функций $f\in L^1(\mathbb{R}^d)$, у которых обобщенные производные первого порядка по переменным $x_i$ являются ограниченными мерами. Норма на $\mathrm{BV}(\mathbb{R}^d)$ равна сумме $\|f\|_{L^1}+\sum_{i=1}^\infty \|D_if\|$, где $D_if$ – обобщенная частная производная $f$ по $x_i$. В некоторых результатах будут использованы более общие классы Соболева $W^{p,k}(\mathbb{R}^d)$ функций $f$, входящих в $L^p(\mathbb{R}^d)$ вместе с их обобщенными производными $\partial_{x_{i_1}}\cdots\partial_{x_{i_m}}f$ до порядка $k$. Соболевская норма на $W^{p,k}(\mathbb{R}^d)$ есть сумма $L^p$-норм $f$ и ее производных до порядка $k$. Класс $V^k(\mathbb{R}^d)$ состоит из таких функций $f\in W^{1,k-1}(\mathbb{R}^d)$, что частные производные $f$ порядка $k-1$ принадлежат $\mathrm{BV}(\mathbb{R}^d)$. Норма на $V^k(\mathbb{R}^d)$ равна сумме $\|f\|_{W^{1,k-1}(\mathbb{R}^d)}$ и вариаций производных порядка $k$. Интегрируемая функция $u$ принадлежит $V^k(\mathbb{R})$ в точности тогда, когда существует такое $C$, что
$$
\begin{equation*}
\int \varphi^{(k)}(t)u(t)\, dt\leqslant C \sup_t |\varphi(t)|
\end{equation*}
\notag
$$
для всех функций $\varphi$ из класса $C_0^\infty(\mathbb{R})$ бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем. В этом случае $\|Du^{(k-1)}\|\leqslant C$. Если функция $u$ неотрицательна, то ее информация Фишера определяется равенством где предполагается, что $u$ абсолютно непрерывна и интеграл выше конечен (по определению $|u'(t)|^2/u(t)=0$ на множестве нулей $u$). Информация Фишера существует, если и только если есть такое число $C$, что
$$
\begin{equation*}
\int \varphi'(t)u(t)\, dt\leqslant C \biggl(\int \varphi(t)^2 u(t)\, dt\biggr)^{1/2} \quad \forall\, \varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R}).
\end{equation*}
\notag
$$
Квадрат минимального возможного $C$ есть информация Фишера функции $u$. Если $\mu=\varrho\, dx$ – неотрицательная мера на $\mathbb{R}^d$ с локально соболевской плотностью, то ее информация Фишера определяется посредством
$$
\begin{equation*}
\mathcal{I}(\mu)=\int \frac{|\nabla\varrho(x)|^2}{\varrho(x)}\, dx=\int |\nabla\ln\varrho|^2\, d\mu,
\end{equation*}
\notag
$$
при условии, что интеграл конечен. Полагаем $\nabla\varrho(x)/\varrho(x)=0$ при $\varrho(x)\,{=}\,0$. Заметим, что $\nabla\varrho(x)=0$ для почти всех точек $x$, в которых $\varrho(x)=0$. Информация Фишера конечна, если и только если $\sqrt{\varrho}\in W^{2,1}(\mathbb{R}^d)$. Основная идея метода Маллявэна, связанная с такими оценками, характеризующими принадлежность к $V^k$ или наличие информации Фишера, состоит в следующем. Предположим, что $\mu=\varrho\, dx$ – мера на $\mathbb{R}^d$ с достаточно регулярной плотностью, $f$ – борелевская функция на $\mathbb{R}^d$, для которой существует борелевское векторное поле $v$ такое, что для гладких функций $\varphi$ с компактным носителем на прямой можно осуществить следующее интегрирование по частям:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int \varphi'(f(x))\varrho(x)\, dx &=\int \varphi'(f(x))\,\partial_v f(x)\, \frac{\varrho(x)}{\partial_v f(x)}\, dx =\int \partial_v (\varphi(f(x))\, \frac{\varrho(x)}{\partial_v f(x)}\, dx \\ &=-\int \varphi(f(x))\, \partial_v\biggl(\frac{\varrho(x)}{\partial_v f(x)}\biggr)\, dx -\int \varphi(f(x))\, \frac{\varrho(x)}{\partial_v f(x)}\operatorname{div} v(x)\, dx , \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где для функции $g$ через $\partial_v g(x)$ обозначается производная $g$ вдоль векторного поля $v$, т. е.
$$
\begin{equation*}
\partial_v g(x)=\lim_{t\to 0} \frac{g(x+tv(x))-g(x)}{t},
\end{equation*}
\notag
$$
что равно $\langle \nabla g(x),v(x)\rangle$ для дифференцируемой функции $g$. Тогда если функция
$$
\begin{equation*}
G:=\partial_v\biggl(\frac{\varrho}{\partial_v f}\biggr)+ \frac{\varrho \operatorname{div} v}{\partial_v f}= \frac{\partial_v\varrho}{\partial_v f} -\frac{\varrho\,\partial_v^2f}{|\partial_v f|^2}+\frac{\varrho \operatorname{div} v}{\partial_v f} =\biggl(\frac{\partial_v\varrho}{\varrho}\,\frac{1}{\partial_v f} -\frac{\partial_v^2f}{|\partial_v f|^2}+\frac{\operatorname{div} v}{\partial_v f} \biggr)\varrho
\end{equation*}
\notag
$$
интегрируема, то $\mu\circ f^{-1}$ имеет плотность $\varrho_f$ ограниченной вариации. Если $\varrho\,{\geqslant}\, 0$ и функция $G^2/\varrho$ интегрируема, то $\varrho_f$ имеет конечную информацию Фишера
$$
\begin{equation*}
\int \frac{|\varrho_f'(t)|^2}{\varrho_f}\, dt\leqslant \int \frac{G^2}{\varrho}\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
В самом деле, интеграл от $\varphi'\varrho_f$ относительно меры Лебега оценивается через произведение квадратных корней из интегралов от $\varphi^2\varrho_f$ и $G^2/\varrho$. Значит, такая же оценка выполнена для интеграла от $\varphi\varrho_f'/\varrho_f$ относительно меры $\mu\circ f^{-1}=\varrho_f\, dt$, что дает объявленную оценку для нормы $\varrho_f'/\varrho_f$ в $L^2(\mu\circ f^{-1})$. Типичными примерами полей $v$, используемых в этой схеме, являются $v(x)=\nabla f(x)$ и $v(x)=x$. Например, если $f$ – гладкая и положительно однородная порядка $\alpha$ и $v(x)=x$, то $\partial_v f(x)=\alpha f(x)$, $\partial_v^2 f(x)=\alpha^2 f(x)$, так что если $f(x)\geqslant m>0$ на единичной сфере, то для существования конечной информации Фишера для $\varrho_f$ достаточно иметь интегрируемость $|\nabla \varrho|^2\varrho^{-1} |x|^{2-2\alpha}$ и $|x|^{-2\alpha}\varrho$. Однако положительно однородные функции не обязаны быть гладкими, скажем, для произвольной функции $f_0$ на единичной сфере функция $f(r\theta)=r^\alpha f_0(\theta)$ положительно однородна порядка $\alpha$. Такие функции не всегда удовлетворяют стандартным предположениям, используемым в исчислении Маллявэна, тем не менее нужное тождество все же может быть обосновано, что сделано ниже. Пусть $f$ – борелевская функция на $\mathbb{R}^d$, положительно однородная порядка $\alpha$. Пусть $p_{\alpha,d}$ – плотность распределения $|x|^{\alpha}$ на $(\mathbb{R}^d, \gamma_d)$. Мы имеем
$$
\begin{equation*}
p_{\alpha,d}(t) = C(d, \alpha) t^{d/\alpha - 1} e^{-t^{2/\alpha}/2} I_{[0,+\infty)}(t),
\end{equation*}
\notag
$$
где $C(d, \alpha)$ – число, зависящее от $d$ и $\alpha$. Легко видеть, что
$$
\begin{equation*}
p_{\alpha,d} \in W^{1,k}(\mathbb R) \quad \text{при}\quad k< \frac{d}{\alpha}\quad\text{и} \quad p_{\alpha,d} \in V^k(\mathbb R) \quad \text{при}\quad k=\frac{d}{\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 3.1. Если $f \neq 0$ почти всюду, то мера $\gamma_d \circ f^{-1}$ имеет такую плотность $\varrho_f$, что где $C_1(d, \alpha) = \max_{t} (t p_{\alpha,d}(t))$. Если Доказательство. Сначала докажем утверждение о соболевской регулярности. Пусть $\alpha < d/k$ и $\varphi \in C_0^{\infty}(\mathbb R)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathbb R} \varphi^{(k)}(t)\, \gamma_d \circ f^{-1}(t) &= \int_{\mathbb R^n} \varphi^{(k)}(f(x))\, \gamma_d(dx) \\ &= (2\pi)^{-d/2}\int_{S^{d - 1}} \int_{0}^{\infty} \varphi^{(k)}(r^{\alpha} f(\theta)) r^{d - 1} e^{-r^2/2}\, dr \, d\theta. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это в точности выражение, которое мы бы получили для гладкой функции $f$ при использовании векторного поля $v(x)=x$ в методе Маллявэна, как объяснено выше. Рассмотрим отдельно внутренний интеграл по $r$. Для всякого числа $c$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(2\pi)^{-d/2} \int_{0}^{\infty} \varphi^{(k)}(c r^{\alpha}) r^{d - 1} e^{-r^2/2}\, dr = \frac{1}{|S^{d - 1}|} \int_{\mathbb R^d} \varphi^{(k)}(c|x|^{\alpha}) \, \gamma_d(dx) \\ &\qquad= \frac{1}{|S^{d -1}|} \int_{\mathbb R} \varphi^{(k)}(t) \frac{p_{\alpha,d}(t/c)}{|c|}\, dt = (-1)^k \frac{1}{|S^{d - 1}|} \int_{\mathbb R} \varphi(t) \frac{p_{\alpha,d}^{(k)}(t/c)}{c^k |c|}\, dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathbb R} \varphi^{(k)}(t) \, \gamma_d \circ f^{-1}(t) & = (-1)^{k} \frac{1}{|S^{d - 1}|} \int_{S^{d - 1}} \int_{\mathbb R} \varphi(t) \frac{p_{\alpha}^{(k)}(t/f(\theta))}{(f(\theta))^{k + 1} \operatorname{sgn} f(\theta)}\, dt \, d\theta \\ &= (-1)^{k} \int_{\mathbb R} \varphi(t) \psi_k(t) \, dt, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\psi_k(t) = \frac{1}{|S^{d - 1}|} \int_{S^{d - 1}} \frac{p_{\alpha,d}^{(k)}(t/f(\theta))}{(f(\theta))^{k + 1} \operatorname{sgn} f(\theta)}\, d\theta.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\psi_k\|_{L^1(\mathbb R)} \leqslant \frac{1}{|S^{d - 1}|} \int_{\mathbb R} \int_{S^{d - 1}} \frac{|p_{\alpha,d}^{(k)}(t/f(\theta))|}{|f(\theta)|^{k + 1}} \, d\theta \, dt \\ &\ = \frac{1}{|S^{d - 1}|} \int_{S^{d - 1}}\frac{1}{|f(\theta)|^{k + 1}} \int_{\mathbb R} |p_{\alpha,d}^{(k)}(t/f(\theta))| \, dt \leqslant \frac{1}{|S^{d - 1}|} \int_{S^{d - 1}} \frac{d\theta}{|f(\theta)|^k}\|p_{\alpha,d}\|_{W^{1, k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Случай $\alpha = d/k$ рассматривается аналогично: функция $p^{(k)}_{\alpha,d} \in L^1(\mathbb R)$ заменяется соответствующей ограниченной мерой.
Теперь докажем первое утверждение. Аналогично предыдущему рассуждению получаем, что мера $\gamma_d \circ f^{-1}$ имеет плотность
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varrho_f(t) &= \frac{1}{|S^{d - 1}|} \int_{S^{d - 1}} \frac{p_{\alpha,d}(t/f(\theta))}{|f(\theta)|}\, d\theta \\ &=\frac{1}{|t|} \, \frac{1}{|S^{d - 1}|} \int_{S^{d - 1}} p_{\alpha,d}\biggl(\frac{t}{f(\theta)}\biggr) \biggl|\frac{t}{f(\theta)}\biggr| \, d\theta \leqslant \frac{C_1(d,\alpha)}{|t|}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы доказать последнее утверждение, заметим, что квадрат нормы $\varrho_f'/\varrho_f$ в пространстве $L^2(\varrho_f\, dt)$ оценивается через интеграл от $\alpha^{-2}f(x)^{-2}\bigl||x|^2+d-\alpha\bigr|^2$ относительно $\gamma_d$. Этот интеграл конечен, если $\alpha<d/2$ и $f$ имеет положительный инфимум на единичной сфере. Теорема доказана. Ясно, что эта теорема дает оценки для $\|\varrho_f\|_{W^{1,k}}$ и $\|\varrho_f\|_{V^k}$. Теорема 3.2. Пусть $f$ – борелевская функция на $\mathbb{R}^d$, положительно однородная порядка $\alpha$. Пусть $\mu$ – неотрицательная мера на $\mathbb{R}^d$ с плотностью $\varrho\in W^{1,1}(\mathbb{R}^d)$. Предположим, что Доказательство. Пусть $\varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R})$ и
$$
\begin{equation*}
\Phi(t):= \int \varphi(t^\alpha f(x)) f(x)^{-1}\, \mu(dx), \qquad t>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\Phi'(t)=\alpha t^{\alpha-1}\int \varphi'(t^\alpha f(x))\, \mu(dx).
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны,
$$
\begin{equation*}
\Phi(t)= \int \varphi(f(tx)) f(x)^{-1}\varrho(x)\, dx = \int \varphi(f(y))f(y)^{-1}t^{\alpha-d}\varrho(t^{-1}y)\, dy,
\end{equation*}
\notag
$$
значит,
$$
\begin{equation*}
\Phi'(t)= -\int \varphi(f(y))f(y)^{-1} [(d-\alpha)t^{\alpha-d-1}\varrho(t^{-1}y) +t^{\alpha-d-2}\langle\nabla\varrho(t^{-1}y),y\rangle]\, dy.
\end{equation*}
\notag
$$
Для обоснования этого дифференцирования достаточно показать, что
$$
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}\int \varphi(f(y))f(y)^{-1} \varrho(ty)\, dy =\int \varphi(f(y))f(y)^{-1} \langle \nabla \varrho(ty),y\rangle \, dy .
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем такую версию $\varrho$, что для почти каждого $y$ функция $t\mapsto \varrho(ty)$ абсолютно непрерывна на отрезках. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int \varphi(f(y))f(y)^{-1} [\varrho((t+h)y)-\varrho(ty)]\, dy \\ &\qquad=\int \varphi(f(y))f(y)^{-1}\int_0^h \langle \nabla\varrho((t+s)y),y\rangle\, ds\, dy \\ &\qquad=\int_0^h \int \varphi((t+s)^\alpha f(x))(t+s)^{-\alpha-1-d} f(x)^{-1} \langle \nabla\varrho(x),x\rangle\, dx\, ds. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Деля на $h$ и полагая $h\to 0$, получаем справа предел который совпадает с объявленным выражением после очевидной замены переменной $tx=y$.
Следовательно, сравнивая полученные выражения для $\Phi'(t)$ при $t=1$, находим, что а также что завершает доказательство. Последнее утверждение доказывается аналогично. Теорема доказана.Следствие 3.3. Пусть $f$ – такая же, как и в предыдущей теореме, и $\mu\,{=}\,\gamma_d$. Предположим, что $\alpha<d$ и $m=\inf\{|f(\theta)|\colon |\theta|=1\}>0$. Тогда где Если $\alpha<d/2$, то информация Фишера плотности $\varrho_f$ конечна и $\mathcal{I}(\varrho_f)\leqslant C(d,\alpha)m^{-2}$. В частности, если $\alpha=2$, то имеем $\mathcal{I}(\varrho_f)\leqslant (d+1)m^{-2}$. Пример 3.4. Пусть $f(x)=\max_i |x_i|$. Предположим, что $\varrho\in W^{1,1}(\mathbb{R}^d)$ – такая вероятностная плотность, что функция $\varrho^p$ интегрируема на единичном шаре для некоторого $p>d/(d-1)$, что выполнено, если $|\nabla\varrho|$ на единичном шаре входит в $L^{1+\varepsilon}$ при некотором $\varepsilon>0$. Тогда $\varrho_f$ лежит в $\mathrm{BV}$. Если $|x|^{-4}\varrho$ и $|x|^{-2}|\nabla\varrho|^2/\varrho$ интегрируемы, то $\varrho_f$ имеет конечную информацию Фишера. В частности, это верно, если $\varrho$ есть стандартная гауссовская плотность и $d>4$. В самом деле, функция $|x|/f(x)$ ограничена. Кроме того, функция $\varrho(x)/|x|$ интегрируема на единичном шаре $U$ в силу неравенства Гёльдера, поскольку функция $|x|^{-q}$ интегрируема на $U$ для всякого $q<d-1$. Предположение, что $\varrho\in W^{1,1}(\mathbb{R}^d)$, влечет включение $\varrho^{d/(d-1)}\in L^1(\mathbb{R}^d)$ в силу неравенства Гальярдо–Ниренберга, но этого недостаточно для интегрируемости $\varrho(x)/|x|$. Случай информации Фишера аналогичен. Теорема 3.5. Пусть $\mu = \varrho\, dx$ – такая неотрицательная мера на $\mathbb R^d$, что $\varrho\in W^{1,1}(\mathbb{R}^d)$ и $\langle \nabla \varrho/\varrho, x\rangle \in L^1(\mu)$. Пусть $f \colon \mathbb{R}^d \to \mathbb R$ – борелевская функция, положительно однородная порядка $\alpha > 0$. Положим $U_f = \{x\colon |f(x)| < 1\}$. Тогда верны следующие утверждения. (i) Если $f \neq 0$ почти всюду, то $\mu\circ f^{-1}$ имеет плотность $\varrho_{f}$, для которой
$$
\begin{equation*}
\varrho_{f}(t)\leqslant \frac{d + \|\langle \nabla \varrho/\varrho, x \rangle\|_{L^1(\mu)}}{\alpha |t|}.
\end{equation*}
\notag
$$
(ii) Если функция $\langle \nabla \varrho(x)/\varrho(x), x \rangle$ ограничена на множестве $t_0 U_f$ при некотором $t_0 > 0$, то при $|t| \leqslant t_0$ имеем и плотность $\varrho_f$ ограничена, если $\mu(t^{1/\alpha}U_f) = O(t)$ при $t \to 0$. В частности, если $m_f = \inf_{|x| = 1} |f(x)| > 0$, то $\mu(t^{1/\alpha} U_f) \leqslant \varrho(0) (t/m_f)^{d/\alpha}(1 + o(1))$ при $t \to 0$, поэтому при $\alpha \leqslant d$ плотность $\varrho_f$ ограничена. Доказательство. Пусть $t > 0$ (случай $t < 0$ рассматривается аналогично). Мы имеем
$$
\begin{equation*}
\{x\colon 0 < f(x) < t\} = t^{1/\alpha} U, \quad \text{где}\quad U = \{x\colon 0 < f(x) < 1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\mu(x\colon t < f(x) < t + h)}{h} &= \frac{\mu((t+h)^{1/\alpha}U) - \mu(t^{1/\alpha}U)}{h} \\ &= \frac{1}{h} \int_{U} \biggl[\varrho((t+h)^{1/\alpha}x) (t + h)^{d/\alpha} - \varrho(t^{1/\alpha}x) t^{d/\alpha}\biggr]\, dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\varrho\in W^{1,1}(\mathbb{R}^d)$, как и выше, мы можем использовать такую версию $\varrho$, что функция $t\mapsto \varrho(tx)$ локально абсолютно непрерывна для почти всех $x$. Полагая $s=(t+h)^{1/\alpha}-t^{1/\alpha}$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{h} \int_{U} [\varrho((t+h)^{1/\alpha}x)-\varrho(t^{1/\alpha}x)]\, dx =\frac{1}{h} \int_{U} \int_0^1 \langle \nabla\varrho(t^{1/\alpha}x+ sux),sx \rangle \, du\, dx \\ &\qquad= \int_0^1 \frac{s}{h} (t^{1/\alpha}+su)^{-1-d} \int_{(t^{1/\alpha}+su)U} \langle \nabla\varrho(y),y \rangle \, dy\, du. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу интегрируемости $\langle \nabla\varrho(y),y \rangle$ на всем пространстве заключаем, что при $h\to 0$ это выражение стремится к
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\alpha}t^{-1-d/\alpha} \int_{t^{1/\alpha}U} \langle \nabla\varrho(y),y \rangle \, dy.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{h\to 0}\frac{\mu(x\colon t < f(x) < t + h)}{h} &= \frac{1}{\alpha}t^{-1} \int_{t^{1/\alpha}U} \langle \nabla\varrho(y),y \rangle \, dy +\frac{d}{\alpha}\, t^{d/\alpha-1}\int_U \varrho(t^{1/\alpha}x)\, dx \\ &=\frac{1}{\alpha t} \int_{t^{1/\alpha}U} [d \varrho(y)+ \langle \nabla\varrho(y), y \rangle ] \, dy . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Правая часть оценивается через откуда вытекает первое утверждение. Второе утверждение ясно из доказательства. Теорема доказана. Стоит отметить, что правая часть оценки в (i) зависит от $f$ только через $\alpha$, что означает, что если мера $\mu$ фиксирована, то $|t|\varrho_f(t)$ оценивается через одну и ту же постоянную для всех ненулевых функций $f$, положительно однородных порядка $\alpha$. Разумеется, это не дает равномерной оценки на плотность. Напомним, что равномерная ограниченность вариаций равномерно ограниченной последовательности функций позволяет выбрать из этой последовательности поточечно сходящуюся подпоследовательность (см. [10; теорема 1.4.6]), а равномерная ограниченность вторых производных в $L^1$ влечет равномерную липшицевость и существование локально равномерно сходящейся подпоследовательности. Например, в ситуации теоремы 3.1 для последовательности положительно однородных порядка $\alpha$ борелевских функций $f_j$ с равномерно ограниченными интегралами от $1/|f_j|$ по единичной сфере при $\alpha\leqslant d$ получаем равномерно ограниченную поточечно сходящуюся подпоследовательность плотностей мер $\gamma_d\circ f_j^{-1}$. Если же равномерно ограничены интегралы по сфере от $1/|f_j|^2$ и $\alpha\leqslant d/2$, то имеется и локально равномерно сходящаяся подпоследовательность плотностей распределения. Если при этом еще равномерно ограничены и интегралы от $|f_j|$ по мере $\gamma_d$, то такие подпоследовательности распределений можно выбрать слабо сходящимися, так что плотности будут локально равномерно сходиться к некоторой вероятностной плотности (без указанного дополнительного условия плотности могут и к нулю сходиться). Наконец, если в ситуации теоремы 3.1 функции $|f_j|$ равномерно отделены от нуля, то их плотности имеют равномерно липшицевы производные до порядка $d/\alpha -1$. С помощью теорем вложения можно получать и другие выводы из оценок этого параграфа. § 4. Распределения выпуклых функцийОбзор общих свойств распределений выпуклых функций на бесконечномерных пространствах с гауссовскими мерами можно найти в [16]. Здесь мы рассмотрим так называемые сильно выпуклые функции, образующие более узкий класс, но наше более сильное условие позволяет получить равномерные оценки плотностей, более того, данный метод столь же применим ко многим другим мерам. В этом параграфе мы будем иметь дело с мерами на конечномерных пространствах, но бесконечномерные обобщения вытекают из этого простыми рассуждениями, что будет показано в последнем параграфе. Функция $f$ на $\mathbb{R}^d$ называется сильно выпуклой с постоянной $m>0$, если функция $f(x)-m|x|^2/2$ выпукла. Такая функция $f$ выпукла, значит, непрерывна и даже локально липшицева. Заметим, что равносильное условие таково: $f$ измерима по Борелю и
$$
\begin{equation*}
f(x+h)+f(x-h)-2f(x)\geqslant m|h|^2 \quad \forall x,h\in \mathbb{R}^d.
\end{equation*}
\notag
$$
В самом деле, известно (см. [17; с. 12] или [32; с. 219]), что если функция на прямой измерима по Борелю (или, более общим образом, ограничена на множестве положительной меры) и выпукла по средним точкам, т. е. $f((x+y)/2)\leqslant (f(x)\,{+}\,f(y))/2$, то она выпукла, значит, непрерывна. Из оценки выше следует, что $f$ выпукла по средним точкам, поэтому для борелевских функций эта оценка влечет обычную выпуклость и тогда непрерывность. Ниже мы рассматриваем только борелевские функции, удовлетворяющие этой оценке. Измеримость по Борелю не следует автоматически, ибо можно взять $f(x)=x^2+g(x)$, где $g$ – такая неизмеримая функция, что $g(x+h)=g(x)\,{+}\,g(h)$, $g(h)=-g(-h)$ при всех $x$, $h$ (такие функции определяются с помощью алгебраического базиса $\mathbb{R}$ над $\mathbb{Q}$). В некоторых случаях такие оценки более удобны, чем описание в терминах выпуклости, так как в ряде результатов мы требуем такие оценки только для $h$ из подпространства. Вторая производная сильно выпуклой функции на $\mathbb{R}$ в смысле обобщенных функций является локально ограниченной неотрицательной мерой, более того, эта мера оценивает меру Лебега $\lambda$ с коэффициентом $m$. Обратно, если $f$ локально интегрируема и $f''\geqslant m\cdot\lambda$ в смысле обобщенных функций, то $f$ сильно выпукла с постоянной $m$. Теорема 4.1. Пусть $\mu$ – неотрицательная мера на $\mathbb R^d$, где $d\geqslant 3$, имеющая локально соболевскую плотность $\varrho$, и $f$ – сильно выпуклая функция на $\mathbb{R}^d$ с постоянной $m>0$. Предположим, что величины конечны. Тогда Доказательство. Предположим сначала, что $f$ гладкая. Тогда $D^2 f(x) \geqslant m I$. Пусть $x_0$ – точка минимума $f$ (такая точка единственна). Можно считать, что $x_0 = 0$, сдвинув начало координат. Тогда $\langle\nabla f(x), x\rangle \geqslant m |x|^2$. Производная $f$ вдоль векторного поля $v(x) = x$ равна
$$
\begin{equation*}
G(x) = \partial_v f(x) = \langle \nabla f(x), x\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит,
$$
\begin{equation*}
\partial_v G(x) = \langle D^2 f(x)x, x\rangle + \langle \nabla f(x), x\rangle \geqslant 2m|x|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Для всякой функции $\varphi \in C_0^{\infty}(\mathbb R)$ выполнено следующее тождество:
$$
\begin{equation}
\int \varphi'(f(x))\, \mu(dx) = \int \partial_v (\varphi \circ f) \frac{1}{G}\varrho\, dx = -\int \varphi \circ f \delta_{v} \biggl(\frac{\varrho}{G}\biggr)\, dx,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \delta_{v} \biggl(\frac{\varrho}{G}\biggr)(x) &:= - \frac{\partial_v G(x)}{G(x)^2} \varrho(x) + \frac{d}{G(x)} \varrho(x) + \frac{1}{G(x)} \langle \nabla\varrho(x), x\rangle \\ &\,= -\frac{\langle D^2 f(x)x,x\rangle}{G(x)^2} \varrho(x) + \frac{d-1}{G(x)} \varrho(x) + \frac{1}{G(x)}\langle \nabla\varrho(x), x\rangle. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В самом деле, функции $G(x)^{-1}\varrho(x)$ и $G(x)^{-1}\langle \nabla\varrho(x), x\rangle$ интегрируемы по предположению, так как $G(x)\geqslant m|x|^2$. Функция $G(x)^{-2}\langle D^2 f(x)x,x\rangle \varrho(x)$ интегрируема на ограниченном носителе $\varphi(f(x))$. Поэтому обе части (4.1) конечны. Однако необходимо обосновать это формальное интегрирование по частям. Для этого при $\varepsilon>0$ интегрированием по частям получаем
$$
\begin{equation*}
\int \partial_v (\varphi \circ f) \frac{\varrho}{G+\varepsilon}\, dx =-\int \varphi(f(x)) \biggl[-\frac{\partial_v G(x)\varrho(x)}{(G(x)+\varepsilon)^2} + \frac{d \varrho(x)}{G(x)+\varepsilon} + \frac{\langle \nabla\varrho(x), x\rangle}{G(x)+\varepsilon} \biggr]\, dx,
\end{equation*}
\notag
$$
где использовано равенство $\operatorname{div} v=d$. Полагая $\varepsilon\to 0$, получаем (4.1). Проверим, что функция $G(x)^{-2}\langle D^2 f(x)x,x\rangle\varrho(x)$ интегрируема на всем пространстве. Здесь важно, что эта функция неотрицательна. Возьмем такие функции $\varphi_n\in C_0^\infty(\mathbb{R})$, что $\varphi_n(t)=1$, если $t\in [-n,n]$, $\varphi_n(t)=0$, если $|t|\geqslant n+1$, $0\leqslant \varphi_n\leqslant 1$, $|\varphi_n'(t)|\leqslant 2$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int \varphi_n(f(x))\frac{\langle D^2 f(x)x,x\rangle}{G(x)^2}\varrho(x)\, dx \\ &\ =\int \varphi_n'(f(x))\, \mu(dx) +(d-1)\int \frac{\varphi_n(f(x))}{G(x)} \varrho(x)\, dx +\int \frac{\varphi_n(f(x))}{G(x)}\langle \nabla\varrho(x), x\rangle\, dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При $n\to\infty$ правая часть стремится к интегралу от
$$
\begin{equation*}
G(x)^{-1}\bigl((d-1)\varrho(x)+ \langle \nabla\varrho(x), x\rangle\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, функция $G(x)^{-2}\langle D^2 f(x)x,x\rangle\varrho(x)$ тоже интегрируема, а интеграл от $\delta_{v} (\varrho/G)$ равен нулю. Так как эта функция и $(d-1)\varrho(x)/G(x)$ неотрицательны, то равны интегралы от
$$
\begin{equation*}
G(x)^{-2}\langle D^2 f(x)x,x\rangle\varrho(x)+(G(x)^{-1}\langle \nabla\varrho(x), x\rangle)^{-}
\end{equation*}
\notag
$$
и $(d-1)\varrho(x)/G(x)+(G(x)^{-1}\langle \nabla\varrho(x), x\rangle)^{+}$. Следовательно, Поскольку $G(x)\geqslant m|x|^2$, получаем оценку в случае гладкой функции $f$. Если $f$ не является гладкой, то с помощью сверток можно построить гладкие функции $f_j$ с $D^2f_j\geqslant m I$, поточечно сходящиеся к $f$, что дает наше утверждение для $f$. Заметим, что точка $y$ в формулировке появляется из-за сдвига начала координат (когда мы предполагаем, что минимум $f$ достигается в нуле). Теорема доказана. Конечно, вопрос в том, когда $M(\mu)$ и $R(\mu)$ конечны. Некоторые практически полезные условия даны в следующем утверждении, но сначала упомянем одно непосредственное достаточное условие: предположим, что $\varrho\in W^{1,1}(\mathbb{R}^d)$ и есть такое $p>d/(d-1)$, что интегралы от $|\nabla \varrho|^p$ по шарам радиуса $1$ равномерно ограничены. Тогда по неравенству Гёльдера с использованием того, что функция $|x|^q$ интегрируема по единичному шару при всех $q<d$, получаем оценку на $R(\mu)$. Далее, если $p<d$, то по теореме вложения Соболева интегралы от $\varrho^{pd/(d-p)}$ по шарам радиуса $1$ равномерно ограничены. Так как $pd/(d-p)>d/(d-2)$, то это позволяет получить равномерную оценку на интегралы от $\varrho(x)|x-y|^{-2}$ по шару радиуса $1$ с центром в $y$. Если $p\geqslant d$, то функция $\varrho$ даже лучше интегрируема. Следствие 4.2. Пусть $\mu$ – неотрицательная мера на $\mathbb R^d$, где $d\geqslant 3$, с плотностью $\varrho$ и $f$ – сильно выпуклая функция на $\mathbb{R}^d$ с постоянной $m>0$. (i) Предположим, что $\varrho$ локально соболевская и имеет конечную информации Фишера. Тогда
$$
\begin{equation*}
\|\varrho_f\|_\infty\leqslant \|D\varrho_f\|\leqslant 2m^{-1}\bigl[(d-1)M+ \sqrt{\mathcal{I}(\mu) M}\bigr],
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
M:=\sup_{y\in \mathbb{R}^d}\int |x-y|^{-2}\, \mu(dx).
\end{equation*}
\notag
$$
Для информации Фишера плотности $\varrho_f$ имеем
$$
\begin{equation*}
\mathcal{I}(\varrho_f)\leqslant \biggl\|-\frac{\langle D^2f(x)x,x\rangle}{|\langle \nabla f(x), x\rangle|^2} +\frac{d-1}{\langle \nabla f(x), x\rangle} +\frac{\langle \nabla\varrho/\varrho, x\rangle}{\langle \nabla f(x), x\rangle} \biggr\|_{L^2(\mu)}^2,
\end{equation*}
\notag
$$
если $f$ дважды дифференцируема и величина в правой части конечна, что имеет место, если функции $\partial_{x_i}\partial_{x_j}f(x)|x|^{-2}$ и $|x|^{-1}|\nabla\varrho(x)/\varrho(x)|$ входят в $L^2(\mu)$, скажем, если $|\nabla\varrho/\varrho|\in L^p(\mu)$ с некоторым $p>d/(d-1)$, где $d>4$, $f\in C^2(\mathbb{R}^d)$ и $\partial_{x_i}\partial_{x_j}f\in L^2(\mu)$. (ii) Пусть $\varrho\in W^{1,d}(\mathbb{R}^d)$. Тогда $\mu\circ f^{-1}$ имеет плотность $\varrho_f$ ограниченной вариации и где $C_d$ – постоянная, зависящая только от $d$. Более того, это также верно, если $\varrho\in V^{d}(\mathbb{R}^d)$, и в этом случае соответствующая оценка имеет вид Доказательство. Если $\varrho$ имеет конечную информацию Фишера (случай (i)), то $R(\mu)\leqslant M^{1/2}\mathcal{I}(\mu)^{1/2}$. Если функция $\delta_{v} (\varrho/G)\varrho^{-1}$ из доказательства предыдущей теоремы входит в $L^2(\mu)$, то величина $\mathcal{I}(\varrho_f)$ ограничена квадратом нормы этой функции в $L^2(\mu)$.
Рассмотрим случай (ii). Плотность $\varrho$ ограничена $L^1(\mathbb{R}^d)$-нормой функции $\partial_{x_1}\cdots \partial_{x_d}\varrho$, значит, интеграл в выражении для $M(\mu)$ по единичному шару $U$ с центром в точке $y$ ограничен величиной $C(d)\|\partial_{x_1}\cdots\partial_{x_d}\varrho\|_{L^1}$. Интеграл по дополнению $U$ ограничен величиной $\|\varrho\|_{L^1}$. Далее, интеграл в выражении для $R(\mu)$ по $U$ оценивается так. Функция $|x-y|^{-d/2}$ интегрируема по $U$. Функция $|\nabla \varrho|^{d/(d-2)}$ также интегрируема по $U$ и ее интеграл ограничен величиной $C'(d)\|\varrho\|_{W^{1,d}(\mathbb{R}^d)}^{d/(d-2)}$ с некоторой постоянной $C'(d)$ в силу теоремы вложения Соболева (см. [7; § 2.2]). Согласно неравенству Гёльдера интеграл от $|\nabla \varrho(x)||x-y|^{-1}$ оценивается через $C''(d)\|\varrho\|_{W^{1,d}(\mathbb{R}^d)}$ с некоторой постоянной $C''(d)$. Наконец, интеграл по дополнению $U$ ограничен величиной $\|\nabla \varrho\|_{L^1}$. Значит, $R(\mu)$ оценивается через $(C''(d)+1)\|\varrho\|_{W^{1,d}(\mathbb{R}^d)}$. Если $\varrho\in V^d(\mathbb{R}^d)$, то на последнем шаге мы найдем гладкие плотности $\varrho_j$, сходящиеся к $\varrho$ в $L^1(\mathbb{R}^d)$ и обладающие равномерно ограниченными нормами в $V^d(\mathbb{R}^d)$. Справедливо то же самое заключение, поскольку для $\varrho_j$ нормы в $W^{1,d}(\mathbb{R}^d)$ и $V^d(\mathbb{R}^d)$ совпадают. Следствие доказано. Следствие 4.3. Пусть $\gamma_d$ – стандартная гауссовская мера на $\mathbb{R}^d$ с $d\geqslant3$ и $f$ – сильно выпуклая функция на $\mathbb{R}^d$ с постоянной $m>0$. Тогда Если $d>4$, $f\in C^2(\mathbb{R}^d)$ и $\partial_{x_i}\partial_{x_j}f\in L^2(\gamma_d)$, то $\mathcal{I}(\varrho_f)<\infty$. Доказательство. Мы имеем Значит, по предыдущей теореме. Следствие доказано. Важной чертой этих результатов является то, что полученные оценки на плотность распределения и ее вариацию зависят от $f$ только через постоянную $m$; если $\langle D^2f(x)x,x\rangle\leqslant C|\langle \nabla f(x), x\rangle|^2$, что выполнено для всех типичных выпуклых функций, то также и оценка для информации Фишера будет зависеть только от $m$ и $C$. Лемма 4.4. Пусть $f_1, \dots, f_p$ – набор сильно выпуклых функций с постоянными $m_1, \dots, m_p$ соответственно. Тогда функция $f:=\max\{f_1, \dots, f_p\}$ также сильно выпукла с постоянной $m:=\min\{m_1, \dots, m_p\}$. Доказательство. Для фиксированной точки $x\in \mathbb{R}^n$ имеем где $j_0$ – такой индекс, что $f(x) = f_{j_0}(x)$. Лемма доказана. Следствие 4.5. Пусть $f=\max\{f_1,\dots, f_p\}$, где $f_j(x):=\langle K_jx, x\rangle$ на $\mathbb{R}^d$ с симметричными операторами $K_j$ (не обязательно неотрицательными). Предположим, что имеется такое подпространство $L$ с $\dim L=3$, что Наделим $\mathbb{R}^d$ стандартной гауссовской мерой $\gamma_d$. Тогда $\|\varrho_f\|_\infty\leqslant \|D\varrho_f\|\leqslant 4$. Доказательство. Для каждой пары векторов $x\in L$, $y\in L^\bot$, каждого вектора $h\in L$ и всякого $j\in\{1,\dots,p\}$ в силу равенства параллелограмма имеем Из этой оценки и предыдущей леммы следует, что для всякого $y\in L^\bot$ функция $x\mapsto f(x+y)$ является сильно выпуклой с постоянной $2$. Тогда для всякой функции $\varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R})$ с $\|\varphi\|_\infty\leqslant 1$ получаем где $\gamma_L$ и $\gamma_{L^\bot}$ – стандартные гауссовские меры на подпространстве $L$ и его ортогональном дополнении. Это доказывает наше утверждение. Заметим, что оценка на плотность в этом следствии отличается от оценки из следствия 2.3. Замечание 4.6. Результат предыдущего следствия остается справедливым, если вместо равенства $f_j(x)=\langle K_jx, x\rangle$ предположить, что Следствие 4.7. Пусть $f$ – такая функция на $\mathbb{R}^d$, что где $K$ – неотрицательный симметричный оператор. Пусть $\lambda_1\,{\geqslant}\,\lambda_2\,{\geqslant}\,\lambda_3\,{\geqslant}\,\cdots$ – собственные значения $K$ с $\lambda_3>0$. Наделим $\mathbb{R}^d$ стандартной гауссовской мерой $\gamma_d$. Тогда $\|\varrho_f\|_\infty\leqslant \|D\varrho_f\|\leqslant 8\lambda_3^{-1}$. Теорема 4.8. Пусть $\mu=\varrho\, dx$ – неотрицательная мера с ограниченной плотностью $\varrho$ на $\mathbb{R}^2$ и $f$ – сильно выпуклая борелевская функция на $\mathbb{R}^2$ с постоянной $m>0$. Тогда Доказательство. Предположим, что $f\in C^\infty(\mathbb{R}^2)$. Тогда сильная выпуклость равносильна оценке $D^2f\geqslant mI$. Пусть $x_0$ – единственная точка минимума $f$. Без потери общности можно считать, что $f(x_0) = 0$. Имеем $\partial f(x_0 + r \theta)/\partial r \geqslant mr$ для всех $\theta \in S^{1}$. Положим
$$
\begin{equation*}
r(\theta, t) = \min\{r \geqslant 0\colon f(x_0 + r\theta) \geqslant t\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда Значит, $r^2(\theta, t + h) - r^2(\theta, t) \leqslant 2h/m$. Итак, что влечет объявленную оценку. Общий случай получается приближениями гладкими свертками. Теорема доказана. Теорема 4.9. Пусть $\mu$ – неотрицательная мера на $\mathbb R^d$, равная произведению меры $\sigma$ на единичной сфере и меры $\nu$ на $(0, +\infty)$, причем мера $\nu \circ (r^2)^{-1}$ имеет ограниченную плотность $\varrho_{\nu, 2}$. Пусть $f$ – такая сильно выпуклая функция на $\mathbb{R}^d$ с постоянной $m>0$, что $f(0)=\min_x f(x)$. Тогда плотность меры $\mu \circ f^{-1}$ ограничена величиной $2m^{-1} \|\varrho_{\nu, 2}\|_\infty$. Доказательство. Рассуждая, как и выше, получаем а также что влечет объявленную оценку. Теорема доказана. Следствие 4.10. Пусть $\gamma_d$ – стандартная гауссовская мера на $\mathbb{R}^d$ и $f$ – борелевская функция на $\mathbb{R}^d$, для которой имеется такое подпространство $L$ с $\dim L=2$, что с некоторой постоянной $m>0$. Тогда $\|\varrho_f\|_\infty\leqslant m^{-1}$. Доказательство. Для всякой функции $\varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R})$ с $\|\varphi\|_\infty\leqslant1$ имеем что влечет объявленную оценку. Следствие доказано.
§ 5. Максимумы из многочленов второго порядкаЗдесь мы рассмотрим распределения общих многочленов второго порядка, а в качестве следствия получим дополнительную оценку для максимума из квадратичных форм. Однако оценки в этом параграфе зависят от количества $p$ многочленов. Мы увидим, что эта зависимость неизбежна без дополнительных предположений. Лемма 5.1. Пусть $\varrho$ – функция ограниченной вариации на $\mathbb{R}$ и $f$ – сильно выпуклая функция с некоторой постоянной $m>0$. Предположим, что $f$ имеет минимум в нуле и функция $r\mapsto r/f'(r)$ входит в $\mathrm{BV}(\mathbb{R})$. Тогда для всякой функции $\varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R})$ с $\|\varphi\|_\infty\leqslant1$, имеем Доказательство. В самом деле,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^\infty\varphi'(f(r))r\varrho(r)\, dr &= \int_0^\infty (\varphi(f))' \frac{r}{f'(r)}\varrho(r)\, dr \leqslant \biggl\|D\biggl[\frac{r}{f'(r)} I_{[0,+\infty)} \varrho(r)\biggr]\biggr\| \\ &\leqslant \sup_{r\geqslant0}\biggl|\frac{r}{f'(r)}\biggr|\|D\varrho\| + \biggl\|D\biggl(\frac{r}{f'(r)}I_{[0,+\infty)}\biggr)\biggr\| \|\varrho\|_\infty . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Остается заметить, что $f'(r)\geqslant mr$ для почти всех $r\geqslant 0$, поскольку функция $f(r)-mr^2/2$ выпукла и имеет минимум в нуле. Лемма доказана. Лемма 5.2. Пусть $\varrho$ – функция ограниченной вариации на $\mathbb{R}$ и где $f_j(r)=a_jr^2+b_jr+c_j$. Предположим, что $f(r)\geqslant f(0)$ и $2a_j\geqslant m>0$ для всех $j\in\{1,\dots, p\}$. Тогда для всякой функции $\varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R})$ с $\|\varphi\|_\infty\leqslant1$ имеем Доказательство. Нам нужно оценить вариацию функции $(r/f'(r))I_{[0,+\infty)}$, где в качестве $f'(r)$ взята правая производная. Мы имеем на каждом интервале $(r_k, r_{k + 1})$ функция $r/f'(r)$ монотонна и имеет скачки в точках $r_k$. Значит, для вариации на полупрямой получаем Поскольку $f'(r)\geqslant mr$, имеем $\operatorname{Var} (r/f'(r))\leqslant 2m^{-1}(N + 2)$. Оценим число интервалов. Каждая пара разных парабол пересекается самое большее в двух точках. Значит, есть самое большее $p(p-1)$ абсцисс точек пересечения $\tau_1\leqslant\cdots\leqslant\tau_M$, $M\leqslant p(p-1)$. Для каждого интервала $[\tau_m, \tau_{m+1}]$ имеется единственный индекс $j$, для которого $f_j(r)=f(r)$ при $r\in [\tau_m, \tau_{m+1}]$. Итак, приходим к оценке $N+2\leqslant M+1\leqslant p^2$. Лемма доказана. Стоит отметить, что если функция $r\varrho(r)$ интегрируема на $(0,+\infty)$, то эти две леммы дают оценки на вариацию плотности образа меры с плотностью $r\varrho(r)$ на $(0,+\infty)$ при отображении $f$. Теорема 5.3. Пусть $\mu = \varrho \,dx$ – неотрицательная мера на $\mathbb{R}^2$ с ограниченной плотностью $\varrho\in W^{1,1}(\mathbb{R}^2)$. Пусть $f:=\max\{f_1,\dots,f_p\}$, где является многочленом второго порядка с положительным оператором $K_j$, причем $K_j\geqslant (m/2)I$. Тогда Доказательство. Пусть $x_0$ – единственная точка минимума $f$. Без потери общности можно считать, что $x_0=0$. Пусть $\varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R})$ и $\|\varphi\|_\infty\leqslant1$. Тогда Заметим, что $f_j(r\theta) =\langle K_j\theta, \theta\rangle r^2 +\langle x_j, \theta\rangle r + c_j$ и $r=0$ – точка минимума функции $r\mapsto f(r\theta)$. По предыдущей лемме что дает объявленную оценку. Теорема доказана. Следствие 5.4. Пусть $f=\max\{f_1,\dots, f_p\}$, где $f_j(x):=\langle K_jx, x\rangle$ на $\mathbb{R}^d$ с неотрицательными симметричными операторами $K_j$. Предположим, что имеется такое подпространство $L$ с $\dim L=2$, что $\langle K_jx, x\rangle\geqslant (1/2)|x|^2$ для всех $x\in L$ и $j\in\{1,\dots,p\}$. Наделим $\mathbb{R}^d$ стандартной гауссовской мерой $\gamma_d$. Тогда $\|D\varrho_f\|\leqslant 2p^2+1$. Доказательство. Для всякой функции $\varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R})$ с $\|\varphi\|_\infty\leqslant 1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\int \varphi'(f)\, d\gamma_d= \int_{L^\bot}\int_L \varphi'(f(x+y))\, \gamma_L(dx)\, \gamma_{L^\bot}(dy).
\end{equation*}
\notag
$$
По предыдущей теореме
$$
\begin{equation*}
\int_L \varphi'(f(x+y))\, \gamma_L(dx)\leqslant 2p^2+\sup_{y\in\mathbb{R}^2} (2\pi)^{-1}\int |x|\cdot|x-y|^{-1}e^{-|x|^2/2}\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что Поскольку $te^{-t^2/4}\leqslant \sqrt{2/e}\leqslant1$ при $t>0$, внутренний интеграл выше оценивается через что завершает доказательство. Теперь рассмотрим пример, в котором оценка неизбежно привлекает возрастающее количество $p$ многочленов. Пусть $\mu = \varrho\, dx$, где плотность $\varrho$ непрерывна в нуле. Положим $f(x) = \max(f_0(x), f_1(x), \dots, f_p(x))$, где $f_0(x) = \langle x, x \rangle$ и
$$
\begin{equation*}
f_j(x) = \langle x, x \rangle + \varepsilon M^{j} \langle x_0, x \rangle - \varepsilon^2 M (M - 1)(1 + M^2 + \dots + M^{2(j - 1)})
\end{equation*}
\notag
$$
являются многочленами второго порядка на $\mathbb{R}^2$, $\varepsilon > 0$, $M > 0$, $x_0 \in \mathbb{R}^2$, $|x_0| = 1$. Для всякой функции $\varphi \in C_0^{\infty}(\mathbb R)$ с $\|\varphi\|_{\infty} \leqslant 1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\int \varphi'(f) d\mu = \int_{S^1} \int_{0}^{\infty} \varphi'(f(r \theta)) r \varrho(r \theta)\, dr d\theta.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим $f(r \theta)$ как функцию от $r$ при фиксированном $\theta \in S^1$. Мы имеем
$$
\begin{equation*}
f_j(r \theta) = r^2 + \varepsilon M^j \langle x_0, \theta \rangle r - \varepsilon^2 M (M - 1)(1 + M^2 + \dots + M^{2(j-1)}).
\end{equation*}
\notag
$$
При $\langle x_0, \theta \rangle \leqslant 0$ имеем $f(r \theta) = r^2$. Пусть $\langle x_0, \theta \rangle > 0$. Тогда $f(r \theta) = f_0(r \theta)$, если $r \in (0, r_1(\theta))$, $f(r \theta) = f_j(r \theta)$, если $r \in (r_j(\theta), r_{j + 1}(\theta))$, $j = 1, \dots, p$, где
$$
\begin{equation*}
r_1(\theta) = \frac{\varepsilon (M - 1)}{\langle x_0, \theta \rangle},\qquad r_j(\theta)= \frac{\varepsilon M^{j}}{\langle x_0, \theta \rangle}, \quad j = 2, \dots, p, \qquad r_{p + 1}(\theta) = +\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $r/\partial_r f(r \theta)$ возрастает на интервалах $(r_j(\theta), r_{j + 1}(\theta))$ и имеет отрицательные скачки в точках $r_j(\theta)$. Вариация функции $r/ \partial_r f(r \theta)$ на $(0, \varepsilon M^{p} / \langle x_0, \theta \rangle)$ равна $\Sigma_1 + \Sigma_2$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Sigma_1 &= \sum_{j = 1}^{p - 1} \biggl(\frac{r_{j + 1}(\theta)}{2r_{j + 1}(\theta) + \varepsilon M^j \langle x_0, \theta \rangle} - \frac{r_j(\theta)}{2r_j(\theta) + \varepsilon M^j \langle x_0, \theta \rangle}\biggr) \\ &= (p-2)\biggl(\frac{M}{2M + \langle x_0, \theta \rangle^2} - \frac{1}{2 + \langle x_0, \theta \rangle^2}\biggr) \\ &\qquad + \frac{M}{2M + \langle x_0, \theta \rangle^2} - \frac{M - 1}{2(M - 1) + M \langle x_0, \theta \rangle^2}, \\ \Sigma_2 &= \sum_{j = 2}^{p - 1} \biggl(\frac{r_{j}(\theta)}{2r_{j}(\theta) + \varepsilon M^{j-1} \langle x_0, \theta \rangle} - \frac{r_j(\theta)}{2r_j(\theta) + \varepsilon M^{j} \langle x_0, \theta \rangle}\biggr) \\ &\qquad +\frac{1}{2} - \frac{r_1(\theta)}{2r_1(\theta) + \varepsilon M \langle x_0, \theta \rangle} \\ &= (p-2)\biggl(\frac{M}{2M + \langle x_0, \theta \rangle^2} - \frac{1}{2 + \langle x_0, \theta \rangle^2}\biggr) + \frac{1}{2} - \frac{M - 1}{2(M - 1) + M \langle x_0, \theta \rangle^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем $|\Sigma_1 - \Sigma_2| \leqslant 1/2$ и
$$
\begin{equation*}
\Sigma_1 = (p - 2) \frac{(M-1)\langle x_0, \theta \rangle^2}{(2M + \langle x_0, \theta \rangle ^2) (2 + \langle x_0, \theta \rangle ^2)} \geqslant (p - 2) \frac{\langle x_0, \theta \rangle^2}9,
\end{equation*}
\notag
$$
если $M \geqslant 4$ (в качестве $M$ мы возьмем достаточно большое число, уточненное позже). Теперь мы зададим функцию $\varphi \in C_0^{\infty}(\mathbb R)$ с $\|\varphi\|_{\infty} \leqslant 1$, для которой величина
$$
\begin{equation*}
-\int_{S^1} \int_{0}^{\infty} \varphi'(f(r \theta)) r \varrho(r \theta)\, dr\, d\theta
\end{equation*}
\notag
$$
достаточно велика. Прежде чем оценивать этот интеграл снизу для подходящей функции $\varphi$, выпишем такую оценку для произвольной функции $\varphi \in C_0^{\infty}(\mathbb R)$ с $\|\varphi\|_{\infty} \leqslant 1$:
$$
\begin{equation*}
-\int_{0}^{\infty} \varphi'(f(r \theta)) r \varrho(r \theta)\, dr \geqslant \int_{0}^{\infty} \varphi(f(r \theta)) \varrho(r\theta) \, D\biggl(\frac{r}{\partial_r f(r \theta)}\biggr) - \frac{1}{2} \int |\langle \nabla \varrho(r \theta), \theta \rangle|\, dr,
\end{equation*}
\notag
$$
где $D$ означает производную в смысле обобщенных функций, так что интеграл берется по ограниченной мере. Найдутся такие $\delta = \delta(p) > 0$ и постоянная $C$, не зависящая от $p$, что
$$
\begin{equation*}
-\int_{\{\theta \in S^1\colon \langle x_0, \theta \rangle \leqslant \delta\}} \int_{0}^{\infty} \varphi'(f(r \theta)) r \varrho(r \theta)\, dr\, d\theta \geqslant -C,
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку указанный интеграл непрерывен по $\delta$ при фиксированном $p$, причем $f(r \theta) = r^2$ при $\langle x_0, \theta \rangle \leqslant 0$, так что при $\delta=0$ получаем величину, не зависящую от $p$. Заметим, что $f(r_j(\theta) \theta) = r_j(\theta)^2 + A_j$, где число
$$
\begin{equation*}
A_j= \varepsilon^2M^{2j} - \varepsilon^2M(M-1)(1+M^2+\dots+M^{2(j-1)})
\end{equation*}
\notag
$$
не зависит от $\theta$. Положим
$$
\begin{equation*}
c = 1 + (36 \|\varrho\|_{\infty})^{-1}\min_{|x| \leqslant 2\varepsilon M^p} \varrho(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем теперь функцию $\varphi$, которая равна $-1$ на интервалах $((\varepsilon M^j)^2\,{+}\, A_j, (c \varepsilon M^j)^2 + A_j)$, $j = 2, \dots, p$ (эти интервалы не перекрываются, ибо $M > c$), и равна $1$ на некоторых подынтервалах $U_j$ в $V_j=((c\varepsilon M^j)^2 + A_j,\, (\varepsilon M^{j+1})^2 + A_{j+1})$, $j = 2, \dots, p - 1$, причем на оставшихся промежутках $\varphi$ доопределена аффинно. Так как теперь в правой части нет производной от $\varphi$, то последующие оценки можно производить со ступенчатой функцией $\varphi$, равной $1$ на всех интервалах $V_j$. Это даст нужную липшицеву функцию $\varphi$ для $U_j$, достаточно близких к $V_j$, а затем можно сгладить полученную функцию. Итак, далее имеем дело с $\varphi$, принимающей значения $-1$ и $1$. Поскольку функция $f(r\theta)$ возрастает по $r$ для всякого фиксированного $\theta$, однозначно определены значения $a_j(\theta)$ и $b_j(\theta)$, для которых $f(a_j(\theta)\theta) = (\varepsilon M^j)^2+ A_j$ и $f(b_j(\theta)\theta) = (c\varepsilon M^j)^2 + A_j$. Тогда функция $\varphi(f(r\theta))$ равна $-1$ на $(a_j(\theta), b_j(\theta))$ и равна $1$ на $(b_j(\theta), a_{j + 1}(\theta))$. Возьмем $M > \max(1/\delta, p)$. Для всякой точки $\theta \in S^1$ с $\langle x_0, \theta \rangle > \delta$ можно оценить интеграл от $\varphi'(f(r \theta)) r \varrho(r \theta)$ по $r$ следующим образом. Рассмотрим два случая. Предположим сначала, что $\delta < \langle x_0, \theta \rangle \leqslant 1/c$. Заметим, что функция $\psi_{\theta}(r) = \varphi(f(r \theta))$ равна $1$ в точках $r_j(\theta)$, а на интервалах $(r_j(\theta), r_{j + 1}(\theta))$ она ведет себя следующим образом: равна $1$ на $(r_j(\theta), a_{j + 1}(\theta))$, равна $-1$ на $(a_{j + 1}(\theta), b_{j + 1}(\theta))$ и равна $1$ на $(b_{j + 1}(\theta), r_{j + 1}(\theta))$. Учитывая, что $a_{j + 1}(\theta) \geqslant \varepsilon M^{j + 1}$, поскольку $\varepsilon M^{j+1}\in(r_j(\theta), r_{j+1}(\theta))$ и $f(a_{j+1}(\theta))\geqslant f(\varepsilon M^{j+1})$, находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{0}^{\infty} \varphi(f(r \theta)) \varrho(r \theta)\, D\biggl(\frac{r}{\partial_r f(r \theta)}\biggr) = \int_{\cup_j (r_j(\theta),a_{j+1}(\theta))} \varrho(r\theta)\, D\biggl(\frac{r}{\partial_r f(r\theta)}\biggr) \\ &\qquad\qquad + \int_{\mathbb{R}\setminus\cup_j (r_j(\theta),a_{j+1}(\theta))}\varphi(f(r\theta)) \varrho(r\theta)\, D\biggl(\frac{r}{\partial_r f(r\theta)}\biggr) \\ &\qquad\geqslant \min_{|x| \leqslant 2 \varepsilon M^p} \varrho(x) \Sigma - \max_{|x| \leqslant 2 \varepsilon M^p} \varrho(x) \biggl(\operatorname{Var} \biggl(\frac{r}{\partial_r f(r\theta)}\biggr) - \Sigma \biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Sigma &= \sum_{j = 2}^{p - 1} \biggl(\frac{a_{j + 1}(\theta)}{2a_{j + 1}(\theta) + \varepsilon M^j \langle x_0, \theta \rangle} - \frac{r_j(\theta)}{2r_j(\theta) + \varepsilon M^j \langle x_0, \theta \rangle}\biggr) \\ &\geqslant (p - 2) \biggl(\frac{M}{2M + \langle x_0, \theta \rangle} - \frac{1}{2 + \langle x_0, \theta \rangle^2}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\Sigma \geqslant \frac{1}{2}\operatorname{Var} \biggl(\frac{r}{\partial_r f(r\theta)}\biggr) - \frac{1}{4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{\infty} \varphi(f(r \theta)) \varrho(r \theta)\, D\biggl(\frac{r}{\partial_r f(r \theta)}\biggr) \geqslant - C_3 p \Bigl(\max_{|x| \leqslant 2 \varepsilon M^p} \varrho(x) - \min_{|x| \leqslant 2 \varepsilon M^p}\varrho(x)\Bigr) - C_4,
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_3$, $C_4$ – постоянные, не зависящие от $p$. Пусть $\langle x_0, \theta \rangle > 1/c$. Заметим, что функция $\psi_{\theta}(r) = \varphi(f(r \theta))$ равна $-1$ в точках $r_j(\theta)$, а на интервалах $(r_j(\theta), r_{j + 1}(\theta))$ она ведет себя следующим образом: равна $-1$ на $(r_j(\theta), b_j(\theta))$, равна $1$ на $(b_j(\theta), a_{j + 1}(\theta))$ и равна $-1$ на $(a_{j + 1}(\theta), r_{j + 1}(\theta))$. Поскольку $a_{j + 1}(\theta) \geqslant \varepsilon M^{j + 1}$ и $b_j(\theta) \leqslant c\varepsilon M^j$ (снова из-за оценок $c\varepsilon M^j\in(r_j(\theta),r_{j+1}(\theta))$ и $f(b_j(\theta))\leqslant f(c\varepsilon M^j)$), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{0}^{\infty} \varphi(f(r \theta)) \varrho(r \theta)\, D\biggl(\frac{r}{\partial_r f(r \theta)}\biggr) \\ &\qquad= \int_{\bigcup(b_j(\theta), a_{j+1}(\theta))}\varrho(r\theta)\, D\biggl(\frac{r}{\partial_r f(r\theta)}\biggr)+\int_{\bigcup\{r_j(\theta)\}} (-\varrho(r\theta))\, D\biggl(\frac{r}{\partial_r f(r\theta)}\biggr) \\ &\qquad\qquad+ \int_{\mathbb{R}\setminus\bigcup(\{r_j(\theta)\}\cup(b_j(\theta),a_{j+1}(\theta)))} \varphi(f(r\theta))\varrho(r\theta)\, D\biggl(\frac{r}{\partial_r f(r\theta)}\biggr) \\ &\qquad \geqslant \min_{|x| \leqslant 2 \varepsilon M^p} \varrho(x) (\Sigma_2 + \widetilde \Sigma) - \|\varrho\|_{\infty} (\Sigma_1 - \widetilde \Sigma), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde \Sigma &= \sum_{j = 2}^{p - 1} \biggl(\frac{a_{j + 1}(\theta)}{2a_{j + 1}(\theta) + \varepsilon M^j \langle x_0, \theta \rangle} - \frac{b_j(\theta)}{2 b_j(\theta) + \varepsilon M^j \langle x_0, \theta \rangle}\biggr) \\ &\geqslant (p - 2) \biggl(\frac{M}{2M + \langle x_0, \theta \rangle} - \frac{1}{2 + \langle x_0, \theta \rangle/c}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Приходим к оценке $\Sigma_1 - \widetilde \Sigma \leqslant p/M + p (1 - 1/c)$. Из определения $c$ вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\varrho\|_{\infty} (\Sigma_1 - \widetilde \Sigma) &\leqslant \|\varrho\|_{\infty}\frac{p}{M} + \frac{\min_{|x| \leqslant 2 \varepsilon M^p} \varrho(x)}{36c}p \\ &\leqslant \frac{1}{3}\frac{p}{p-2}\min_{|x| \leqslant 2 \varepsilon M^p} \varrho(x)\frac{(p-2)c^{-2}}{9}+ \|\varrho\|_{\infty}\frac{p}{M} \\ &\leqslant \frac{1}{2} \min_{|x| \leqslant 2 \varepsilon M^p} \varrho(x) \Sigma_2 + C_5 \frac{p}{M} + C_6 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при достаточно больших $p$, где $C_5$, $C_6$ – постоянные, не зависящие от $p$. Значит,
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{\infty} \varphi(f(r \theta)) \varrho(r \theta)\, D\biggl(\frac{r}{\partial_r f(r \theta)}\biggr) \geqslant C_8 p \min_{|x| \leqslant 2 \varepsilon M^p} \varrho(x) - C_6 \frac{p}{M} - C_7,
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_7$, $C_8$ – постоянные, не зависящие от $p$. В силу непрерывности $\varrho$ в нуле, взяв $\varepsilon > 0$ достаточно малым и $M$ достаточно большим, получаем где $C_9$, $C_{10}$ – постоянные, не зависящие от $p$.§ 6. Бесконечномерный случайНаконец, рассмотрим некоторые бесконечномерные примеры, которые с помощью условных мер легко выводятся из полученных выше конечномерных оценок из-за отсутствия зависимости от размерности. Напомним (см. подробные обзоры в [6], [8], [24]), что центрированная радоновская гауссовская мера $\gamma$ на локально выпуклом пространстве $X$ есть такая радоновская (т. е. внутренне компактно регулярная) борелевская вероятностная мера, что всякий непрерывный линейный функционал $f$ на $X$ является центрированной гауссовской случайной величиной относительно $\gamma$. Известно, что такая мера может быть получена как распределение вектора $\sum_{n=1}^\infty \xi_n (\omega)e_n$, где $\{\xi_n\}$ – последовательность независимых стандартных гауссовских случайных величин, $\{e_n\}$ – последовательность векторов в $X$, причем ряд сходится почти наверное. Другими словами, мера $\gamma$ может быть получена как образ счетной степени стандартной гауссовской меры на прямой при измеримом линейном отображении. Более того, все центрированные радоновские гауссовские меры с бесконечномерными носителями изоморфны посредством измеримых линейных изоморфизмов, что во многих задачах (включая задачи, рассматриваемые здесь) сводит общий случай к случаю счетной степени стандартной одномерной гауссовской меры, когда эта степень определена на пространстве $\mathbb{R}^\infty$ всех вещественных последовательностей; эту меру часто называют стандартной бесконечномерной гауссовской мерой. Пространство Камерона–Мартина $H$ центрированной радоновской гауссовской меры $\gamma$ есть подпространство всех векторов с конечной нормой
$$
\begin{equation*}
|h|_H=\sup \{ f(h)\colon f\in X^*, \, \|f\|_{L^2(\gamma)}\leqslant 1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Известно, что $H$ с этой нормой – сепарабельное гильбертово пространство, где соответствующее скалярное произведение задано посредством Для стандартной бесконечномерной гауссовской меры на $\mathbb{R}^\infty$ пространство Камерона–Мартина есть обычное пространство $l^2$. По теореме Цирельсона (см. [6]) для всякого ортонормированного базиса $\{e_n\}$ в пространстве Камерона–Мартина $H$ центрированной радоновской гауссовской меры $\gamma$ на $X$ ряд $Sx=\sum_{n=1}^\infty x_n e_n$ сходится в $X$ для почти всех последовательностей $(x_n)$ из $\mathbb{R}^\infty$ относительно стандартной гауссовской меры на $\mathbb{R}^\infty$ и распределение этого ряда равно $\gamma$. Значит, для всякой борелевской функции $f$ на $X$ мера $\gamma\circ f^{-1}$ совпадает с распределением $f(Sx)$. Будем называть $\gamma$-измеримой квадратичной формой квадратичную форму в обычном алгебраическом смысле, измеримую относительно $\gamma$. Известно, что такая форма совпадает почти всюду с пределом последовательности конечномерных квадратичных форм вида $\sum_{i=1}^n c_{n,i}f_{n,i}(x)^2$ с $f_{n,i}\in X^*$. Обратно, если такие конечномерные формы сходятся почти всюду, то их предел на множестве сходимости может быть продолжен до квадратичной формы на всем пространстве в алгебраическом смысле (см. [2] или [13; теорема 5.12.65]). Однако распределение измеримой квадратичной формы может быть вырожденным ненулевым. Например, предел форм $\sum_{n=1}^N x_n^2/N$ на $\mathbb{R}^\infty$ со стандартной гауссовской мерой равен $1$ почти всюду. Это означает, что существует измеримая неотрицательная квадратичная форма в алгебраическом смысле, которая равна $1$ почти всюду. В [31] показано, что если банахово пространство $X$ имеет норму $q$, для которой модуль равномерной выпуклости ограничен снизу степенной функцией, то для всякой невырожденной центрированной гауссовской меры $\mu$ на $X$ распределение $q$ относительно $\mu$ имеет ограниченную плотность. С другой стороны, для произвольной последовательности $\{a_n\}$ положительных чисел, где $a_n\to 0$, найдутся невырожденная центрированная гауссовская мера $\mu$ на $l^2$ и равномерно выпуклая норма $q$ на $l^2$, эквивалентная обычной норме, такие, что модуль выпуклости $q$ удовлетворяет оценке $\alpha(\varepsilon)\geqslant \varepsilon^n$ при $\varepsilon\geqslant a_n$, а плотность распределения $q$ относительно $\mu$ неограничена. Следующая теорема в качестве специального случая включает максимум из нескольких измеримых квадратичных форм. Теорема 6.1. Пусть $\gamma$ – центрированная радоновская гауссовская мера на локально выпуклом пространстве $X$ и $Q$ – такая $\gamma$-измеримая функция, что имеется трехмерное подпространство $L$ пространства Камерона–Мартина $H$ меры $\gamma$, для которого с некоторой постоянной $m>0$ имеем Тогда $\gamma\circ Q^{-1}$ имеет плотность $\varrho_Q$ ограниченной вариации с В частности, это верно для $Q=\max(Q_1,\dots,Q_p)$, где $Q_1,\dots,Q_p$ – такие $\gamma$-измеримые квадратичные формы на $X$, что имеется трехмерное подпространство $L$ пространства Камерона–Мартина $H$ меры $\gamma$ с $Q_j(h)\geqslant m|h|_H^2/2$ при всех $h\in L$. Доказательство. Возьмем такой ортонормированный базис $\{e_i\}$ в пространстве Камерона–Мартина $H$, что $e_1$, $e_2$, $e_3$ есть базис в $L$. Тогда мы имеем дело с распределением функции
$$
\begin{equation*}
Q(x_1e_1+x_2+x_3e_3+ Px), \qquad Px=\sum_{i>3} x_ie_i,
\end{equation*}
\notag
$$
относительно стандартной гауссовской меры на $\mathbb{R}^\infty$. Поскольку эта мера равна произведению $\gamma_3$ и другой счетной степени одномерных гауссовских мер, можно применить то же самое рассуждение, как и в следствии 4.5. Теорема доказана. Пример 6.2. На классическом винеровском пространстве $C[0,1]$ с мерой Винера $P$ измеримые квадратичные формы могут записываться как кратные стохастические интегралы с квадратично интегрируемыми функциями $K_j$. Пространство Камерона–Мартина меры $P$ – класс Соболева $H$ абсолютно непрерывных функций $h$, таких, что $h(0)=0$ и $h'\in L^2[0,1]$. На $H$ формы $Q_j$ приобретают вид Рассмотрим теперь более общие меры. Напомним, что радоновская мера $\mu$ (возможно, знакопеременная) на локально выпуклом пространстве $X$ называется дифференцируемой по Скороходу вдоль вектора $h\in H$, если есть такая знакопеременная радоновская мера $d_h\mu$ на $X$ (называемая производной Скорохода), что
$$
\begin{equation*}
\int_X \partial_h f(x)\, \mu(dx)=-\int_X f(x)\,d_h\mu(dx)
\end{equation*}
\notag
$$
для всякой функции $f$ вида $f(x)=f_0(l_1(x),\dots,l_n(x))$, где $f_0$ – гладкая ограниченная функция на $\mathbb{R}^n$ с ограниченными производными, $l_i\in X^*$,
$$
\begin{equation*}
\partial_h f(x)=\lim_{t\to 0} \frac{f(x+th)-f(x)}{t}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если мера $d_h\mu$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$, то $\mu$ называется дифференцируемой по Фомину вдоль $h$ и $d_h\mu$ называется ее производной Фомина. Плотность Радона–Никодима меры $d_h\mu$ относительно $\mu$ обозначается через $\beta_h^\mu$ и называется логарифмической производной меры $\mu$ вдоль $h$. Вторые производные $d_{h_1}d_{h_2}\mu$ определяются последовательно. Известно (см. [7; § 3.4]), что меры на $\mathbb{R}^d$, дифференцируемые по Скороходу вдоль всех векторов, есть в точности меры с плотностями класса $\mathrm{BV}$. Дифференцируемость Фомина вдоль всех векторов равносильна включению плотности $\varrho$ в класс Соболева $W^{1,1}(\mathbb{R}^d)$; в этом случае $d_{e_i}\mu$ задается плотностью $\partial_{x_i}\varrho$, причем логарифмическая производная $\beta_{e_i}^\mu$ равна $\partial_{x_i}\varrho/\varrho$. Если есть производная $d_{e_1}\cdots d_{e_d}\mu$ (в смысле Фомина или Скорохода), то $\mu$ имеет плотность, ограниченную величиной $\|d_{e_1}\cdots d_{e_d}\mu\|$. Гауссовская мера $\gamma$ бесконечно дифференцируема по Фомину вдоль всех векторов $h$ из пространства Камерона–Мартина и $d_h\gamma$ задается плотностью $\widehat{h}$ относительно $\gamma$, где $\widehat{h}$ – $\gamma$-измеримый линейный функционал, порожденный $h$. Этот функционал характеризуется тождеством $f(h)=(f,\widehat{h})_{L^2(\gamma)}$ для всех $f\in X^*$. Например, для стандартной гауссовской меры на $\mathbb{R}^\infty$ имеем $\widehat{h}(x)=\sum_n h_nx_n$, где $h=(h_n)\in l^2$ и ряд сходится в $L^2(\gamma)$ и также почти всюду. Известно, что $(h,k)_H=(\widehat{h},\widehat{k})_{L^2(\gamma)}$. Кроме того, $d_{h_2} d_{h_1}\gamma =(\widehat{h}_1\widehat{h}_2+(h_1,h_2)_H)\gamma$. Теорема 6.3. Пусть $\mu$ – радоновская вероятностная мера на локально выпуклом пространстве $X$, обладающая производными Скорохода $d_{h_1}\mu$ и $d_{h_2}d_{h_1}\mu$ для двух линейно независимых векторов $h_1$ и $h_2$. Линейную оболочку $h_1$ и $h_2$ обозначим через $L$ и наделим ее скалярным произведением, относительно которого $h_1, h_2$ – ортонормированный базис. Пусть $f$ – такая борелевская функция на $X$, что имеется число $m>0$, для которого Тогда $\mu\circ f^{-1}$ имеет плотность $\varrho_f\leqslant 2\pi m^{-1} \|d_{h_2} d_{h_1} \mu\|$. Доказательство. Предположим сначала, что мера $\mu$ дважды дифференцируема по Фомину вдоль всех векторов из $L$. Имеется замкнутое линейное подпространство $Y$ в $X$, для которого $X$ является прямой топологической суммой $L$ и $Y$. Пусть $\nu$ – проекция меры $\mu$ на $Y$. Известно (см. [7; § 3.4]), что на $L$ есть условные меры $\mu^y$, $y\in Y$, обладающие производными Фомина $d_{h_1}\mu^y$ и $d_{h_2}d_{h_1}\mu^y$, такие, что
$$
\begin{equation*}
\mu=\int_Y \mu^y\, \nu(dy), \qquad d_{h_2}d_{h_1}\mu=\int_Y d_{h_2}d_{h_1} \mu^y\, \nu(dy),
\end{equation*}
\notag
$$
где оба равенства понимаются в следующем смысле:
$$
\begin{equation*}
\int \varphi(x,y)\, \mu(dx\, dy)=\int_Y \int_L \varphi(x,y)\, \mu^y(dx)\, \nu(dy)
\end{equation*}
\notag
$$
для всякой ограниченной борелевской функции $\varphi$ на $X=L\oplus Y$ и аналогично для второго равенства. Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\|d_{h_2}d_{h_1}\mu\|=\int_Y \|d_{h_2}d_{h_1} \mu^y\|\, \nu(dy).
\end{equation*}
\notag
$$
В самом деле, мера $\sigma:=d_{h_2}d_{h_1}\mu$ может быть записана как интеграл от ее условных мер $\sigma^y$ относительно проекции $|\sigma|_Y$ меры $|\sigma|$ на $Y$, причем имеем (см. [7; с. 21]) Мера $\sigma$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$, значит, $|\sigma|_Y$ задается некоторой плотностью $\zeta$ относительно $\nu$. В силу существенной единственности условных мер имеем $\zeta(y)\sigma^y=d_{h_2}d_{h_1} \mu^y$ для $\nu$-п.в. $y$, что дает объявленное равенство для полных вариаций.
Тогда по двумерному результату из теоремы 4.8 получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mu(x\colon t < f(x) < t + r) &= \int_Y \mu^y(x \in L\colon t < f(x + y) < t + h) \, \nu(dy) \\ &\leqslant 2\pi \, \frac{|r|}{m} \int_Y \|d_{h_2} d_{h_1} \mu^y\|\, \nu(dy) \leqslant 2\pi \|d_{h_2} d_{h_1} \mu\| \frac{|r|}{m}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что влечет нашу оценку. В случае дифференцируемости Скорохода рассмотрим свертки $\mu_\varepsilon=\mu * \gamma_\varepsilon$, где $\gamma_\varepsilon$ – образ стандартной гауссовской меры на $L$ при отображении $x\mapsto \varepsilon x$. Известно, что $d_{h_2}d_{h_1}\mu_\varepsilon =d_{h_2}d_{h_1}\mu *\gamma_\varepsilon$, поэтому $\|d_{h_2}d_{h_1}\mu_\varepsilon\| \leqslant \|d_{h_2}d_{h_1}\mu\|$. Меры $\mu_\varepsilon$ сходятся к $\mu$ по вариации. Поскольку для них оценка уже установлена, она верна также и для $\mu$. Теорема доказана. Пример 6.4. Пусть $\psi_s$ – конечное или счетное семейство выпуклых функций на прямой, причем $\psi_s''\geqslant m>0$, и пусть на $C[0,1]$ с мерой Винера $\gamma$. Тогда $f=\sup_s f_s$ имеет плотность распределения $\varrho_f\leqslant 24\pi^3 m^{-1}$. Чтобы в этом убедиться, возьмем два взаимно ортогональных единичных вектора $h_1, h_2\in H$ и заметим что $\|d_{h_2}d_{h_1}\gamma\|\leqslant 3$. Кроме того, для всех $h\in H$. Теперь выберем $h_1$ и $h_2$ так, что на их линейной оболочке $\|h\|_{L^2}\geqslant 4^{-1}\pi^{-2}|h|_H^2$. Для этого можно взять Тогда $h_1'$ и $h_2'$ – взаимно ортогональные единичные векторы в $L^2[0,1]$, $h_1(0)=h_2(0)=0$, поэтому $h_1$ и $h_2$ – взаимно ортогональные единичные векторы в $H$. Используя то, что $\|h_1\|_{L^2}^2=3\pi^{-2}$, $\|h_2\|_{L^2}^2=\pi^{-2}$, $(h_1,h_2)_{L^2}=4\pi^{-3}$, легко проверить, что на линейной оболочке $h_1$ и $h_2$ квадрат $L^2$-нормы не меньше квадрата $H$-нормы с множителем $4^{-1}\pi^{-2}$. Более того, ввиду того же самого рассуждения аналогичное заключение верно для произвольной центрированной гауссовской меры $\gamma$ на $C[0,1]$, для которой пространство Камерона–Мартина по меньшей мере двумерно, единственная разница состоит в том, что в оценке $\varrho_f\,{\leqslant}\, 2\pi C^{2} m^{-1}$ число $C$ будет инфимумом постоянных $c$, для которых $H$-норма на двумерном подпространстве пространства Камерона–Мартина $H$ меры $\gamma$ может оцениваться через $L^2$-норму с множителем $c$. Конечно, на всех двумерных подпространствах обе нормы эквивалентны, но с различными постоянными. Аналогично можно рассмотреть более общие функции где $\psi_s(y,u)$ – борелевская функция двух переменных (причем интеграл конечен), $\partial_y^2 \psi_s(y,u)\geqslant m(u)\geqslant 0$ и интеграл от $m$ по $u$ положителен.Теорема 6.5. Пусть $\mu$ – такая радоновская мера на локально выпуклом пространстве $X$, что есть три линейно независимых вектора $h_1$, $h_2$, $h_3$, для которых существуют производные Скорохода до порядка $3$ вдоль всех векторов из линейной оболочки $L$ векторов $h_1$, $h_2$, $h_3$. Подпространство $L$ наделим скалярным произведением, относительно которого эти векторы ортогональны. Пусть $f$ – такая борелевская функция на $X$, что Тогда $\mu\circ f^{-1}$ имеет плотность $\varrho_f$ ограниченной вариации и где $C$ – постоянная, не зависящая от $\|\mu\|$, $\|d_{h_i}\mu\|$, $\|d_{h_k}d_{h_j}d_{h_i}\mu\|$. Доказательство. Опять используем условные меры $\mu^y$ на $L$, соответствующие разложению $X=L\oplus Y$ и проекции меры $|\mu|$ на $Y$. Рассуждая, как и в предыдущей теореме, применим теорему 4.1 и следствие 4.2. Теорема доказана. Случай, когда $\mu$ – центрированная радоновская гауссовская мера и $h_1$, $h_2$, $h_3$ – ортонормированные векторы в ее пространстве Камерона–Мартина, уже был рассмотрен в теореме 6.1 с явными постоянными. О распределениях интегральных функционалов см. [5], [7]. Остается открытым следующий вопрос: пусть $\psi$ – непостоянный многочлен на прямой и $\gamma$ – центрированная гауссовская мера с полным носителем в пространстве $C[0,1]$ или в пространстве $C_0[0,1]$ траекторий с $x(0)=0$. Пусть Верно ли, что $\gamma\circ f^{-1}$ имеет ограниченную плотность? Для многих конкретных мер $\gamma$ (включая меру Винера) ответ положительный (см. [5], [6], [16]).Благодарим И. А. Ибрагимова и А. Н. Тихомирова за полезные обсуждения. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BogKosPop21} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|