| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Обобщенное отображение Плюккера–Клейна В. А. Краснов Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9073 
Реферативные базы данных:
     ВведениеКлассическое отображение Плюккера–Клейна сопоставляет квадратичному комплексу прямых $\mathfrak{C}\subset\mathbb{P}^5$ куммерову квартику $K(\mathfrak{C})\subset\mathbb{P}^3$ (см. подробности в [1]–[3] и в § 4 настоящей статьи, см. также [4]–[6], где рассматриваются пересечения двух квадрик; классические источники [7]–[9]). Заметим, что квадратичный комплекс по определению равен пересечению двух четырехмерных квадрик $\mathfrak{Q}\cap Q\subset\mathbb{P}^{5}$, где квадрика $\mathfrak{Q}$ – грассманиан прямых в $\mathbb{P}^3$, вложенный в $\mathbb{P}^5$ плюккеровым отображением, а $Q\subset\mathbb{P}^{5}$ – другая квадрика. В своей диссертации (см. [4]) М. Рид неособому пересечению двух квадрик (биквадрике) $B=Q_1\cap Q_2\subset\mathbb{P}^{2g+1}$, $g\geqslant 2$, сопоставляет куммерово многообразие $K(B)$ размерности $g$ в максимальном ортогональном грассманиане квадрики $Q_1$ (см. [4; § 4.1]). М. Рид ограничился построением обобщенного отображения Плюккера–Клейна. Дальнейшего развития конструкция М. Рида не получила и в других работах, посвященных пересечению двух квадрик. Настоящая работа, в частности, посвящена изучению обобщенного отображения Плюккера–Клейна, введенного М. Ридом. Прежде чем сформулировать полученные результаты, приведем необходимые определения и обозначения. Далее $V$ – комплексное векторное пространство размерности $n=2m= 2g+ 2\geqslant 6$, а $\mathfrak{q}(\mathbf{v})$ – фиксированная невырожденная квадратичная форма на $V$. Через будем обозначать произвольную, ортонормированную относительно $\mathfrak{q}(\mathbf{v})$, систему координат на $V$, а через $\mathfrak{Q}\subset\mathbb{P}(V)$ обозначим квадрику, заданную уравнением $\mathfrak{q}(\mathbf{v})\,{=}\,0$. Схемное пересечение квадрик $\mathfrak{Q}\cap Q\subset\mathbb{P}(V)$, где $Q\subset\mathbb{P}(V)$ – произвольная квадрика, отличная от $\mathfrak{Q}$, будем называть $\mathfrak{Q}$-биквадрикой. Каждая $\mathfrak{Q}$-биквадрика $B$ является отмеченной биквадрикой, так как в пучке квадрик, проходящих через $B$, отмечена квадрика $\mathfrak{Q}$. Далее будем называть $\mathfrak{Q}$-биквадрику просто биквадрикой, если из контекста ясно, что речь идет о $\mathfrak{Q}$-биквадриках. Множество таких биквадрик обозначим через $\operatorname{BQ}=\operatorname{BQ}(\mathfrak{Q})$, а через $\operatorname{BQ}^\circ=\operatorname{BQ}^\circ(\mathfrak{Q})$ обозначим подмножество в $\operatorname{BQ}$, состоящее из неособых биквадрик.Каждая биквадрика $B\in\operatorname{BQ}$ определяет прямую $L=L(B)$ в проективном пространстве квадрик $\mathbb{P}(\mathrm{S}^2V^\vee)$ (пучок квадрик), состоящую из квадрик, проходящих через $B$. Поэтому множество биквадрик $\operatorname{BQ}$ равно множеству прямых в $\mathbb{P}(\mathrm{S}^2V^\vee)$, проходящих через фиксированную квадрику $\mathfrak{Q}$. Следовательно, множество $\operatorname{BQ}$ является проективным пространством размерности $N$, где а множество $\operatorname{BQ}^\circ$ – дополнение дискриминантной гиперповерхности в $\operatorname{BQ}$. Следовательно, $\operatorname{BQ}^\circ$ – аффинное алгебраическое многообразие размерности $N$. Если $B\in\operatorname{BQ}^\circ$, то в пучке $L(B)$ находятся в точности $n$ особых квадрик $Q_1,\dots,Q_n$, причем каждая из них имеет единственную особую точку. Если $p\in L(B)$, то через $Q_p$ обозначим соответствующую квадрику; точки на прямой $L(B)$, соответствующие особым квадрикам $Q_1,\dots,Q_n$, обозначим через $p_1,\dots,p_n$.Обозначим через $\Phi=\Phi(\mathfrak{Q})$ многообразие Фано, точками которого являются проективные $g$-плоскости, содержащиеся в $\mathfrak{Q}$. Многообразие $\Phi$ – неособое и состоит из двух компонент связности $\operatorname{G}_\pm=\operatorname{G}_\pm(\mathfrak{Q})$. Эти компоненты являются неособыми многообразиями размерности $g(g+1)/2$; они изоморфны. Две $g$-плоскости $\Pi,\Pi'\in\Phi$ принадлежат одной компоненте тогда и только тогда, когда выполняется соотношение Заметим, что при $n=6$ многообразия $\operatorname{G}_\pm$ – это трехмерные проективные пространства (см. [1; гл. 6], а также замечание в конце п. 4.2 в настоящей статье), а при $n=8$ многообразия $\operatorname{G}_\pm$ – шестимерные квадрики (см. [10; § 20.3]). Так как на квадрике $\mathfrak{Q}$ не существует плоскостей размерности больше $g$, то многообразия $\operatorname{G}_\pm$ называются максимальными ортогональными грассманианами квадрики $\mathfrak{Q}$.Если $B\in\operatorname{BQ}^\circ$, то определены куммеровы многообразия $K_\pm=K_\pm(B)\subset\operatorname{G}_\pm$ размерности $g$. Каждое из них состоит из $g$-плоскостей $\Pi\in\operatorname{G}_\pm$ таких, что пересечение $\Pi$ с биквадрикой $B$ равно объединению двух $(g-1)$-плоскостей (может быть совпадающих). Заметим, что мы рассматриваем пересечение $\Pi\,{\cap}\, B$ как множество, в частности, выполняется равенство $\Pi\cap B=\Pi\cap Q$, если $B=\mathfrak{Q}\,{\cap}\, Q$. Поэтому в общем случае пересечение $\Pi\cap B$ является неособой квадрикой. Следовательно, куммеровы многообразия $K_\pm(B)\subset \operatorname{G}_\pm$ состоят из таких $g$-плоскостей $\Pi\in \operatorname{G}_\pm$, что квадрика $\Pi\cap B=\Pi\cap Q$ вырождается до конуса ранга $\leqslant 2$. Многообразия $K_\pm(B)$ в общем случае были введены в [4]; будем их называть куммеровыми многообразиями, ассоциированными с биквадрикой $B$. Утверждение о том, что $K_\pm(B)$ действительно являются куммеровыми многообразиями не было полностью доказано в [4], но в работе [11] объяснено как закончить доказательство этого утверждения с помощью результата в [12] (см. подробности в п. 1.2). На самом деле многообразия $K_+(B)$, $K_-(B)$ изоморфны куммерову многообразию якобиана двулистного накрытия $W$ прямой $L(B)$ с ветвлением в точках $p_1,\dots,p_n\in L(B)$. Далее куммерово многообразие якобиана кривой $C$ будем называть куммерианом этой кривой и обозначать через $K(C)$. Таким образом, многообразия $K_+(B)$, $K_-(B)$ изоморфны куммериану $K(W)$. С другой стороны, якобиан $J(W)$ изоморфен промежуточному якобиану $J(B)$ биквадрики $B$, поэтому многообразия $K_+(B)$, $K_-(B)$ изоморфны куммерову многообразию, полученному из промежуточного якобиана $J(B)$. Если $B=\mathfrak{Q}\cap Q$ – биквадрика, и $\operatorname{sk}=(v_1,\dots,v_n)$ – некоторая система координат, то биквадрика $B$ задается системой уравнений
$$
\begin{equation*}
v_1^2+\dots+v_n^2=0,\qquad \sum_{i,j=1}^na_{ij}v_iv_j=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где первое уравнение определяет квадрику $\mathfrak{Q}$, а второе – квадрику $Q$. Далее при задании биквадрики будем выписывать только второе уравнение. Если $B\in\operatorname{BQ}^\circ$, то существует система координат $\operatorname{sk}=(v_1,\dots,v_n)$ такая, что биквадрика $B$ задается уравнением где коэффициенты $a_1,\dots,a_n$ – различные комплексные числа. Система координат $(v_1,\dots,v_n)$ определяется биквадрикой $B\in\operatorname{BQ}^\circ$ однозначно с точностью до перестановки координат и умножения некоторых из них на $-1$. Если одна такая система координат зафиксирована, то коэффициенты $a_1,\dots,a_n$ определяются биквадрикой однозначно с точностью до аффинного преобразования
$$
\begin{equation*}
a\mapsto\alpha a+\beta,\qquad\alpha,\beta\in\mathbb{C},\quad \alpha\neq0,
\end{equation*}
\notag
$$
прямой $\mathbb{C}$. Биквадрики $B,B'\in\operatorname{BQ}^\circ$ называются косингулярными, если ассоциированные с ними куммеровы многообразия совпадают, т. е. выполняются равенства множеств На самом деле для косингулярности биквадрик $B,B'\in\operatorname{BQ}^\circ$ достаточно выполнения одного из этих равенств (см. предложение 1.13). В данной работе будет доказана следующая теорема. Теорема 0.1. Пусть биквадрика $B\in\operatorname{BQ}^\circ$ задана уравнением (0.1); тогда множество биквадрик, отличных от $B$, но косингулярных $B$, состоит из биквадрик, заданных уравнениями Заметим, что из этой теоремы вытекает следующее утверждение. Следствие 0.2. Пусть биквадрики $B,B'\in\operatorname{BQ}^\circ$ заданы уравнениями где $(v_1,\dots,v_n)\in(V^\vee)^n$ – некоторая ортонормированная система координат. Тогда справедливо утверждение: биквадрики $B$, $B'$ косингулярны, если и только если существует дробно-линейное преобразование которое переводит последовательность чисел $a_1,\dots,a_n$ в последовательность чисел $a'_1,\dots,a'_n$ (сохраняя нумерацию). Далее для фиксированной системы координат $\operatorname{sk}=(v_1,\dots,v_n)$ будем обозначать через $\operatorname{BQ}(\operatorname{sk})$ множество биквадрик, заданных уравнениями вида (0.1), где $a_1,\dots,a_n$ – произвольные числа, неравные одновременно друг другу. Множество $\operatorname{BQ}(\operatorname{sk})$ является проективным пространством размерности $n-2$. Через $\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$ обозначим подмножество, состоящее из неособых биквадрик в $\operatorname{BQ}(\operatorname{sk})$. Отметим, что из следствия 0.2 можно вывести теорему 0.1, но для этого требуется дополнительное исследование. При $n=6$, т. е. для квадратичных комплексов, теорема 0.1 доказана в [7], но предложенное там доказательство использует специфику такой биквадрики, поэтому не годится для общего случая. Доказательства теоремы Клейна в [8], [9] мало отличаются от доказательства Клейна. Других доказательств теоремы 0.1 при $n=6$ в известной мне литературе я не нашел. Тем более отсутствуют доказательства при $n>6$. В частности, в [1]–[3] косингулярные квадратичные комплексы вообще не рассматриваются, а из работ [4]–[6] только работу [4] можно считать, имеющей косвенное отношение к понятию косингулярности биквадрик. Отметим, что в этих работах одним из результатов является глобальная теорема Торелли для биквадрик, которая утверждает, что если изоморфны поляризованные промежуточные якобианы $J(B)$, $J(B')$ биквадрик $B,B'\in\operatorname{BQ}^\circ$, то $B,B'$ изоморфны как неотмеченные биквадрики. Заметим, что теорема 0.1 не является следствием глобальной теоремы Торелли и других результатов из работ, посвященных биквадрикам (см. п. 2.5). Легко доказать, что если биквадрика $B'$ задана уравнением вида (0.2), то биквадрика $B'$ косингулярна биквадрике $B$, заданной уравнением (0.1) (см. подробности в п. 2.1), но значительно труднее доказать обратное утверждение. Далее сформулированную теорему 0.1 будем называть теоремой о косингулярных биквадриках, а также более кратко КСБ-теоремой. Если применить следствие 0.2 и утверждение про кривые Веронезе из работы [13], то получим красивую геометрическую интерпретацию результата КСБ-теоремы. Чтобы привести соответствующее утверждение, обозначим через $\operatorname{CS}(B)$ множество биквадрик в $\operatorname{BQ}^\circ$, косингулярных $B$. Саму биквадрику $B$ считаем косингулярной себе, поэтому $B\in\operatorname{CS}(B)$. Как абстрактное многообразие множество $\operatorname{CS}(B)$ является проективной прямой с $n$ проколами, но важно ее расположение в многообразии $\operatorname{BQ}$. Через $\overline{\operatorname{CS}}(B)$ обозначаем замыкание множества $\operatorname{CS}(B)$ в $\operatorname{BQ}$. Приведем геометрическое описание множеств $\overline{\operatorname{CS}}(B)$, $\operatorname{CS}(B)$. Для этого потребуется геометрическое описание многообразия $\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$. Напомним, что через $\mathcal{M}_{0,n}$ обозначается многообразие модулей пронумерованных наборов из $n$ различных точек на проективной прямой. Класс проективной эквивалентности набора точек $p_1,\dots,p_n\in\mathbb{P}^1$ обозначим через $[p_1,\dots,p_n]$. Аналогично, обозначим через $\mathcal{M}_{n}$ многообразие модулей пронумерованных наборов из $n$ различных точек на аффинной прямой. Класс аффинной эквивалентности набора точек $a_1,\dots,a_n\in\mathbb{C}$ обозначим через $|a_1,\dots,a_n|$. Сопоставим биквадрике $B\in\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$, заданной уравнением (0.1), точку $\mathcal{J}(B)=|a_1,\dots,a_n|$; тогда получим изоморфизм многообразий
$$
\begin{equation*}
\mathcal{J}\colon \operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk}) \xrightarrow{\approx}\mathcal{M}_{n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если биквадрика $B$ принадлежит $\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$, то из КСБ-теоремы следует, что множество $\operatorname{CS}(B)$ содержится в $\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$, а множество $\overline{\operatorname{CS}}(B)$ содержится в проективном пространстве $\operatorname{BQ}(\operatorname{sk})$. Через $B_1,\dots,B_n\in\operatorname{BQ}(\operatorname{sk})$ обозначим особые биквадрики, которые соответственно задаются уравнениями $v_1^2=0$, $\dots$, $v_n^2=0$. Нетрудно убедиться с помощью КСБ-теоремы, что множество ${\overline{\operatorname{CS}}(B)\setminus\operatorname{CS}(B)}$ состоит из биквадрик $B_1,\dots,B_n$. Заметим, что точки $B, B_1,\dots, B_n\in\operatorname{BQ}(\operatorname{sk})$ находятся в общем положении. Поэтому существует и единственная нормальная рациональная кривая степени $n-2$, проходящая через точки $B,B_1,\dots,B_n$. Такая кривая в [13] называется кривой Веронезе. Из КСБ-теоремы с помощью непосредственной проверки (можно заменить проверку утверждениями в [13]) вытекает следующее утверждение. Следствие 0.3. Если $B\in\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$, то множество $\overline{\operatorname{CS}}(B)\subset\operatorname{BQ}(\operatorname{sk})$ равно кривой Веронезе, проходящей через точки $B,B_1,\dots,B_n$. Далее кривую Веронезе в $\operatorname{BQ}(\operatorname{sk})$, проходящую через $B,B_1,\dots,B_n$, обозначим через $C(B)$, а кривую $C(B)\setminus\{B_1,\dots,B_n\}$ – через $C^\circ(B)$ и назовем неполной кривой Веронезе. Поэтому выполняется равенство Через $\operatorname{KV}_\pm=\operatorname{KV}_\pm(\operatorname{BQ}^\circ)$ будем обозначать множества, элементами которых являются куммеровы многообразия в $\operatorname{G}_\pm$, полученные из биквадрик $B\in\operatorname{BQ}^\circ$; тогда получаем отображения Плюккера–Клейна
$$
\begin{equation*}
\operatorname{PK}_\pm\colon \operatorname{BQ}^\circ\to\operatorname{KV}_\pm,
\end{equation*}
\notag
$$
которые биквадрике $B$ сопоставляют куммеровы многообразия $K_\pm(B)\subset \operatorname{G}_\pm$. Далее $\operatorname{G}$ – одно из многообразий $\operatorname{G}_\pm$, $\operatorname{KV}$ – соответствующее одно из множеств $\operatorname{KV}_\pm$, а
$$
\begin{equation*}
\operatorname{PK}\colon \operatorname{BQ}^\circ\to\operatorname{KV}
\end{equation*}
\notag
$$
– соответствующее отображение Плюккера–Клейна. Заметим, что слои этого отображения являются неполными кривыми Веронезе. Через $\operatorname{KV}(\operatorname{sk})\subset\operatorname{KV}$ обозначим образ многообразия $\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$ при отображении
$$
\begin{equation*}
\operatorname{PK}\colon \operatorname{BQ}^\circ\to\operatorname{KV}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из следствия 0.2 вытекает, что изоморфизм
$$
\begin{equation*}
\mathcal{J}\colon \operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})\xrightarrow{\approx}\mathcal{M}_{n}
\end{equation*}
\notag
$$
индуцирует биекцию
$$
\begin{equation*}
[\mathcal{J}]\colon \operatorname{KV}(\operatorname{sk})\xrightarrow{\approx}\mathcal{M}_{0,n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта биекция задает на множестве $\operatorname{KV}(\operatorname{sk})$ структуру аффинного алгебраического многообразия, а также получаем следующее утверждение. Следствие 0.4. Рассмотрим отображение $\pi\colon \mathcal{M}_{n}\to\mathcal{M}_{0,n}$, которое точке $|a_1,\dots,a_n|\in\mathcal{M}_{n}$ сопоставляет точку $[a_1,\dots,a_n]\in\mathcal{M}_{0,n}$, тогда диаграмма коммутативна. Так как отображение $\pi\colon \mathcal{M}_{n}\to\mathcal{M}_{0,n}$ является регулярной субмерсией, то отображение $\operatorname{PK}\colon \operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})\to\operatorname{KV}(\operatorname{sk})$ – регулярная субмерсия, слоями которой являются неполные кривые Веронезе. Заметим, что многообразие $\mathcal{M}_{n}$ канонически изоморфно многообразию $\mathcal{M}_{0,n+1}$. Соответствующий изоморфизм сопоставляет точке $|a_1,\dots,a_n|\in\mathcal{M}_{n}$ точку $[a_1,\dots,a_n,\infty]\in\mathcal{M}_{0,n+1}$. Если применить этот изоморфизм, то получим, что проекция $\pi\colon \mathcal{M}_{n}\to\mathcal{M}_{0,n}$ совпадет с отображением забывания последней точки $\mathcal{M}_{0,n+1}\to\mathcal{M}_{0,n}$, рассмотренного в [13]. Отметим наконец, что следствие 0.4 будет применяться для получения геометрической модели полного отображения Плюккера–Клейна, а также для доказательства следующего утверждения. Следствие 0.5. На множестве $\operatorname{KV}$ существует структура неособого аффинного алгебраического многообразия такая, что отображение Плюккера–Клейна является регулярной субмерсией. Заметим, что во второй половине прошлого века пересечения двух квадрик, т. е. биквадрики, применялись для построения геометрических моделей многообразий модулей векторных расслоений на гиперэллиптической кривой (см. [14], [15], [11]). В частности, для этих целей в работе [15] рассмотрено многообразие, составленное из косингулярных квадратичных комплексов, которое было названо многообразием Клейна (см. [15; теорема 4]). Приведем определение такого многообразия в общем случае. Если $B\in\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$, то через $\operatorname{Kl}=\operatorname{Kl}(B)$ обозначим подмногообразие произведения $C(B)\times\mathfrak{Q}$, определенное соотношением инцидентности
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Kl}(B)=\{(B',\mathbf{v})\in C(B)\times\mathfrak{Q}\mid \mathbf{v}\in B'\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Многообразие $\operatorname{Kl}(B)$ будем называть многообразием Клейна, ассоциированным с биквадрикой $B$. Определена проекция на первый сомножитель, слоями которой над точками из $C^\circ(B)$ являются косингулярные $B$ биквадрики, а остальные слои – это двойные квадрики $B_1,\dots,B_n$. Чтобы сформулировать нужный нам результат из работы [15], введем дополнительные обозначения. Точки на кривой $C(B)$, соответствующие особым биквадрикам $B_1,\dots,B_n$, будем обозначать через $c_1,\dots,c_n$. Через $\Sigma=\Sigma(B)$ обозначим двулистное накрытие кривой $C=C(B)$ с ветвлением в точках $c_1,\dots,c_n$, а через $\sigma\colon \Sigma\to\Sigma$ обозначим соответствующую гиперэллиптическую инволюцию. Прообразы точек $c_1,\dots,c_n$ при проекции $\pi\colon \Sigma\to C$ обозначим через $p_1,\dots,p_n\in\Sigma$. Через $\mathcal{U}(1)=\mathcal{U}_\Sigma(1)$ будем обозначать многообразие модулей стабильных ранга $2$ векторных расслоений степени $1$ на кривой $\Sigma$. В многообразии $\mathcal{U}_\Sigma(1)$ рассмотрим подмногообразие $\mathcal{U}(*)=\mathcal{U}_\Sigma(*)$, состоящее из классов изоморфизма расслоений $E$ таких, что для $E$ существует точка $p\in\Sigma$ и изоморфизм $\det E\xrightarrow{\approx}\mathcal{O}(p)$. Тогда определена проекция которая классу расслоения $E$ сопоставляет точку $p\in\Sigma$, если $\det E\cong\mathcal{O}(p)$. Инволюция $\sigma\colon \Sigma\to\Sigma$ действует на расслоении $\mathcal{U}(*)\to\Sigma$, поэтому после факторизации получаем расслоение В статье [15] доказано утверждение: при $n=6$ существует изоморфизм расслоений
$$
\begin{equation*}
\mathcal{U}(*)/\sigma\to C,\qquad \operatorname{Kl}\to C.
\end{equation*}
\notag
$$
Можно доказать аналогичное утверждение для расслоения $\mathcal{U}(*)\to\Sigma$, если заменить многообразие Клейна $\operatorname{Kl}$ на другое многообразие, к определению которого мы приступаем. Рассмотрим диаграмму расслоенного произведения Так как особые слои расслоения $\operatorname{Kl}\to C$ – это двойные квадрики $B_1,\dots,B_n$, то $\operatorname{Kl}\times_C\Sigma$ не будет нормальным многообразием. Нормализацию этого многообразия обозначим через $\mathfrak{Kl}=\mathfrak{Kl}(B)$; тогда определена проекция $\operatorname{pr}\colon \mathfrak{Kl}\to\Sigma$. Будет доказано, что эта проекция задает локально тривиальное расслоение со слоем $B$ (см. подробности в п. 3.6). Многообразие $\mathfrak{Kl}$ – неособое, в отличии от многообразия $\operatorname{Kl}$, поэтому назовем его неособым многообразием Клейна.Из определения многообразий $\operatorname{Kl}$, $\mathfrak{Kl}$ видно, что многообразие $\mathfrak{Kl}$ является двулистным накрытием многообразия $\operatorname{Kl}$; соответствующую инволюцию накрытия обозначаем через $\sigma$. Тогда на расслоении $\mathfrak{Kl}\to\Sigma$ эквивариантно действует инволюция $\sigma$, причем после факторизации по ней получаем расслоение $\operatorname{Kl}\to C$. Оказывается, что справедливо следующее утверждение: при $n=6$ существует изоморфизм расслоений
$$
\begin{equation*}
\mathcal{U}(*)\to\Sigma,\qquad\mathfrak{Kl}\to\Sigma,
\end{equation*}
\notag
$$
эквивариантный относительно действия инволюции $\sigma$. Конечно, из этого утверждения вытекает вышеприведенное утверждение. Но оба утверждения неверны при $n>6$; это видно из сравнения размерностей многообразий. Тем не менее понятно, как обобщить эти утверждения для произвольных $n$. Приведем соответствующие соображения. Обозначим через $\mathcal{F}=\mathcal{F}(B)$ многообразие Фано, состоящее из $(g-2)$-плоскостей на $B$, а через $\mathcal{SU}_p$, где $p\in\Sigma$ – фиксированная точка, обозначим многообразие модулей стабильных ранга 2 векторных расслоений на кривой $\Sigma$ с детерминантом, изоморфным линейному расслоению $\mathcal{O}(p)$. Многообразия $\mathcal{SU}_p$ при разных $p$ изоморфны. В [11] доказано, что существует изоморфизм многообразий $\mathcal{SU}_p=\mathcal{F}$; некоторые подробности об этом изоморфизме приведены в п. 3.4. Проекция $\operatorname{pr}\colon \mathcal{U}(*)\to\Sigma$ – $\sigma$-эквивариантна и является локально тривиальным расслоением. Так как многообразия $\mathcal{SU}_p$ изоморфны $\mathcal{F}$, то эта проекция также является локально тривиальным расслоением со слоем $\mathcal{F}$. Построим аналогичное расслоение со слоем $\mathcal{F}$ из расслоения $\operatorname{pr}\colon \mathfrak{Kl}\to\Sigma$. Каждый слой расслоения $\mathfrak{Kl}_p$ изоморфен $B$. Все автоморфизмы многообразия $B$ проективные, поэтому определено многообразие Фано $\mathfrak{F}_p=\mathcal{F}(\mathfrak{Kl}_p)$, состоящее из $(g-2)$-плоскостей на $\mathfrak{Kl}_p\cong B$. Так как расслоение $\operatorname{pr}\colon \mathfrak{Kl}\to\Sigma$ локально тривиальное, то многообразия $\mathfrak{F}_p$, $p\in\Sigma$, образуют локально тривиальное расслоение $\operatorname{pr}\colon \mathfrak{F}\to\Sigma$ со слоем $\mathcal{F}$. Таким образом, имеем два локально тривиальных расслоения со слоем $\mathcal{F}$; на этих расслоениях естественным образом действует инволюция $\sigma$. В настоящей работе будет доказана следующая теорема.Теорема 0.6. Существует изоморфизм расслоений эквивариантный относительно действия инволюции $\sigma$. В работе [15] впервые было замечено, что косингулярные квадратичные комплексы образуют кривую Веронезе степени $4$, т. е. скрученную квартику. Часть результатов из статьи [15] были обобщены в работе [11], но теорема о многообразии Клейна не обобщалась. Вышеприведенная теорема 0.6 ликвидирует этот пробел. Теперь скажем несколько слов о структуре и содержании статьи. Кроме Введения настоящая работа содержит четыре параграфа. В § 1 приведены предварительные сведения, необходимые для доказательства КСБ-теоремы. Здесь приводятся некоторые результаты из [4]–[6], посвященные пересечениям двух квадрик; эти результаты дополняются фактами, доказательство которых я не нашел в известной мне литературе. Параграф 2 посвящен доказательству КСБ-теоремы и следствий. Сначала доказывается, что если биквадрика $B'$ задана уравнением вида (0.2), то биквадрика $B'$ косингулярна биквадрике $B$, заданной уравнением (0.1). Затем доказывается утверждение из следствия 0.2. Для этого применяется специальная теорема Торелли для гиперэллиптических кривых с пронумерованными точками ветвления. Наконец, с помощью дополнительных фактов, приведенных в § 1, из полученных результатов выводится утверждение КСБ-теоремы. Параграф 3 содержит доказательство теоремы 0.6. Здесь применяются известные теоремы о многообразиях модулей векторных расслоений на гиперэллиптической кривой. Параграф 4 – это дополнение, которое посвящено классическому отображению Плюккера–Клейна. При написании данного дополнения я хотел показать, что теорему Клейна о косингулярных квадратичных комплексах можно вывести из теоремы Рона и свойств функций Джуберта. Заметим, что приведенное здесь описание классического отображения Плюккера–Клейна с помощью функций Джуберта, по-видимому, является новым. Следовательно, приведенное доказательство классической теоремы Клейна также, по-видимому, является новым. § 1. Предварительные сведения для доказательства КСБ-теоремыВ этом параграфе приводятся конструкции и теоремы, которые потребуются при доказательстве КСБ-теоремы. В основном приведенные утверждения являются известными, поэтому доказательства таких утверждений не приводятся. Для дополнительных утверждений, для которых не удалось найти ссылки, приводятся наброски доказательств. 1.1. Семейство ортогональных грассманиановЕсли $Q\subset\mathbb{P}(V)$ – особая квадрика с единственной особой точкой, то многообразие Фано $\Phi(Q)$, состоящее из $g$-плоскостей в $Q$, связное. Пусть $B\in\operatorname{BQ}^\circ$ и $L=L(B)$ – соответствующий пучок квадрик. Обозначим обычный грассманиан, состоящий из всех $g$-плоскостей в $\mathbb{P}(V)$, через $\operatorname{Gr}$. В произведении $L\times\operatorname{Gr}$ рассмотрим подмногообразие иницидентности $\Phi(L)$, состоящее из пар $(p,\Pi)$, где $\Pi$ – $g$-плоскость на квадрике $Q_p$ пучка $L$. Обозначим через $\operatorname{pr}\colon \Phi(L)\to L$ проекцию на первый сомножитель. Если $p\in L$ – одна из точек $p_1,\dots,p_n$, соответствующих особым квадрикам, то слой $\operatorname{pr}^{-1}(p)$ состоит из одной компоненты связности; в противном случае, он состоит из двух компонент. Проведем факторизацию Штейна точек в компонентах слоев $\operatorname{pr}^{-1}(p)$; тогда получим каноническое двулистное накрытие прямой $L$ с ветвлением в точках $p_1,\dots,p_n\in L$. Обозначим его через $\pi\colon W\to L$. Так как оно зависит от биквадрики $B$, то его полное обозначение – $\pi\colon W(B)\to L(B)$. Покажем, что это двулистное накрытие изоморфно двулистному накрытию $\pi\colon \Sigma(B)\to C(B)$. Действительно, если биквадрика $B\in\operatorname{BQ}^\circ$ задана уравнением то пучок $L(B)$ состоит из квадрик $Q(t)$, заданных уравнением а семейство биквадрик $B(t)\in C(B)$ задается уравнением Поэтому сопоставление $Q(t)\mapsto B(t)$ индуцирует изоморфизм который переводит особые квадрики $Q(a_1),\dots,Q(a_n)$ в особые биквадрики $B(a_1),\dots,B(a_n)$, а отмеченную квадрику $\mathfrak{Q}$ – в биквадрику $B$. Таким образом, получили, что двулистное накрытие $W\to L$ изоморфно двулистному накрытию $\Sigma\to C$.Заметим, что факторизация Штейна индуцирует проекцию $\operatorname{pr}\colon \Phi(L)\to W$, сопоставляющую точке $(p,\Pi)$ ее факторкласс. Так как слоями этой проекции являются ортогональные грассманианы, то обозначим полученное расслоение на ортогональные грассманианы через $\operatorname{pr}\colon \operatorname{G}(W)\to W$. В [4] доказано, что многообразие $\operatorname{G}(W)$ – неособое, а проекция $\operatorname{pr}\colon \operatorname{G}(W)\to W$ – регулярная субмерсия. Приведем дополнительные свойства проекции $\operatorname{pr}\colon \operatorname{G}(W)\to W$. Если $w\in W$, то через $\operatorname{G}_w$ обозначим слой $\operatorname{pr}^{-1}(w)$ проекции $\operatorname{pr}\colon \operatorname{G}(W)\to W$. Обозначим через $w_1,\dots,w_n\in W$ точки, которые проектируются соответственно в точки $p_1,\dots,p_n\in L$ при проекции $\pi\colon W\to L$. Так как все неособые квадрики проективно изоморфны друг другу, то слои $\operatorname{G}_w$ при $w\in W\setminus\{w_1,\dots,w_n\}$ изоморфны друг другу и являются ортогональными грассманианами. Но оказывается, что слои $\operatorname{G}_{w_1},\dots,\operatorname{G}_{w_n}$ также изоморфны слоям $\operatorname{G}_w$ при $w\in W\setminus\{w_1,\dots,w_n\}$. Так как даже формулировки этого факта я не нашел в известной мне литературе, то приведем набросок его доказательства, используя результаты из [6]. Рассмотрим семейство квадрик $Q_t\subset\mathbb{P}^{n-1}$, $t\in\mathbb{C}$, заданное уравнением Квадрика $Q_0$ – особая с единственной особой точкой $p_0=(1:0:\dots:0)$, а квадрика $Q_1$ – неособая. Кроме того, рассмотрим квадрику $Q\subset\mathbb{P}^{n-2}$, заданную уравнением Заметим, что квадрика $Q$ равна пересечению $Q_t\cap\{z_1=0\}$. Через $\Phi_0$ обозначим многообразие Фано, состоящее из $g$-плоскостей на $Q_0$, через $\Phi_\pm$ обозначим максимальные грассманианы квадрики $Q_1$, а через $\Phi$ – многообразие Фано, состоящее из $(g-1)$-плоскостей на $Q.$ Покажем, что справедлива следующая лемма. Доказательство. Построим канонические регулярные биекции
$$
\begin{equation*}
\Phi\xrightarrow{\approx}\Phi_0,\qquad\Phi\xrightarrow{\approx}\Phi_\pm.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $P\in\Phi$, то существуют и единственные $g$-плоскости $\Pi_0\in\Phi_0$, $\Pi_\pm\in\Phi_\pm$, содержащие $P$ (см. [6; лемма 1.3]). Заметим, что в качестве $\Pi_0\in\Phi_0$ нужно взять $g$-плоскость, проходящую через точку $p_0$ и содержащую $(g-1)$-плоскость $P$. Подробности о существовании и единственности $g$-плоскостей $\Pi_\pm\in\Phi_\pm$ приведены в [6]. Таким образом, получаем отображения Существуют обратные регулярные отображения, которые $g$-плоскости сопоставляют пересечение $\Pi$ с гиперплоскостью $\{z_1=0\}$. Лемма доказана. Для произвольной точки $t\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ получаем изоморфизмы
$$
\begin{equation*}
f_\pm(t)\colon \Phi_\pm(t)\xrightarrow{\approx}\Phi_0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Phi_\pm(t)$ – максимальные грассманианы квадрики $Q_t$. При обходе вокруг нуля эти изоморфизмы переставляются. Рассмотрим двулистное накрытие $t$-плоскости $z$-плоскостью; тогда поднятые на $z$-плоскость изоморфизмы определят тривиализацию семейства ортогональных грассманианов. Нетрудно дополнить эти рассуждения, чтобы доказать следующее утверждение. Предложение 1.2. Если рассматривать проекцию $\operatorname{pr}\colon \operatorname{G}(W)\to W$ в категории комплексных аналитических многообразий, то она определяет локально тривиальное расслоение на ортогональные грассманианы. Если $\operatorname{sk}=(v_1,\dots,v_n)$, то через $\operatorname{A}=\operatorname{A}(\operatorname{sk})$ обозначим подгруппу группы $\operatorname{Aut}\mathbb{P}(V)$, состоящую из преобразований, которые умножают некоторые координаты из системы $\operatorname{sk}=(v_1,\dots,v_n)$ на $-1$, а остальные не меняют. Через $\operatorname{A}_+=\operatorname{A}_+(\operatorname{sk})$ обозначим подгруппу группы $\operatorname{A}(\operatorname{sk})$, состоящую из преобразований, которые умножают на $-1$ четное количество координат. Если биквадрика $B$ принадлежит $\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$, то определен гомоморфизм $\operatorname{A}(\operatorname{sk})\to\operatorname{Aut} B$, который является мономорфизмом. Образ этого мономорфизма обозначим через $\operatorname{A}=\operatorname{A}(B)$. Аналогично определяется группа $\operatorname{A}_+=\operatorname{A}_+(B)$. Группа $A_+(\operatorname{sk})$ действует на каждом грассманиане $\operatorname{G}_w$, но преобразования из дополнения $\operatorname{A}(\operatorname{sk})\setminus\operatorname{A}_+(\operatorname{sk})$ переводят грассманиан $\operatorname{G}_w$ в грассманиан $\operatorname{G}_{\sigma(w)}$, где $\sigma\colon W\to W$ – гиперэллиптическая инволюция (см. предложение 1.13). Следовательно, группа $\operatorname{A}(\operatorname{sk})$ действует на расслоении $\operatorname{pr}\colon \operatorname{G}(W)\to W$, причем соответствующее действие $\operatorname{A}(\operatorname{sk})$ на кривой $W$ индуцирует гомоморфизм групп $\operatorname{A}(\operatorname{sk})\to\operatorname{Aut} W$, ядро которого равно $\operatorname{A}_+(\operatorname{sk})$, а элементы из разности $\operatorname{A}(\operatorname{sk})\setminus\operatorname{A}_+(\operatorname{sk})$ при этом гомоморфизме отображаются в инволюцию $\sigma\colon W\to W$. Замечание. Кривая $W$ является римановой поверхностью двузначной функции Обозначим через $\widehat{W}$ риманову поверхность многозначной векторной функции тогда получим, что определена проекция $\widehat{W}\to W$, причем она является неразветвленным накрытием с группой монодромии $\operatorname{A}_+$. Обозначим через $\operatorname{G}(\widehat{W})$ расслоенное произведение $\operatorname{G}(W)\times_W\widehat{W}$; тогда нетрудно убедиться, что проекция $\operatorname{pr}\colon \operatorname{G}(\widehat{W})\to\widehat{W}$ задает тривиальное расслоение $\operatorname{pr}\colon \operatorname{G}\times\widehat{W}\to\widehat{W}$, где $\operatorname{G}$ – ортогональный грассманиан квадрики $\mathfrak{Q}$. Первоначальное расслоение $\operatorname{pr}\colon \operatorname{G}(W)\to W$ получается из тривиального $\operatorname{pr}\colon \operatorname{G}\times\widehat{W}\to\widehat{W}$ с помощью факторизации где на произведении $\operatorname{G}\times\widehat{W}$ рассматривается диагональное действие группы $\operatorname{A}_+$. 1.2. Семейство инволюций максимального многообразия Фано биквадрикиНапомним, что если на компактном комплексном многообразии $X$ действует свободно и транзитивно комплексный тор $A$, то многообразие $X$ называется $A$-торсором. Заметим, что если на $A$-торсоре $X$ взять в качестве нуля фиксированную точку $x_0$, то получим канонический изоморфизм $A=X$, заданный правилом где $t_a$ – сдвиг (трансляция), заданный действием группы $A$ на $X$.Если $B\in\operatorname{BQ}^\circ$, то на $B$ нет $g$-плоскостей, но существуют $(g-1)$-плоскости. Через $F=F(B)$ обозначим многообразие Фано, состоящее из $(g-1)$-плоскостей на $B$. Это многообразие является неособым проективным многообразием размерности $g$; будем называть его максимальным многообразием Фано биквадрики $B$. Известно, что это многообразие изоморфно якобиану $J=J(W)$ кривой $W=W(B)$ (см. [4]). Построенный в [4] изоморфизм $F=J$ не является однозначно определенным, но можно убедиться, что он определен с точностью до трансляции. Поэтому этот изоморфизм определяет структуру $J$-торсора на $F$. Далее точки на многообразии $F$ обозначаем через $x,y,o,\dots$ . Возьмем в качестве нулевого элемента какую-нибудь фиксированную точку $o\in F$; тогда получим групповой закон на $F$, который будем обозначать через а также получим инволюцию обращения (инволюцию умножения на $-1$), которую обозначим через С другой стороны, при каждом $w\in W$ определена инволюция $i_w\colon F\to F$, которая устроена следующими образом. Если $x\in F$, то существует и единственная $g$-плоскость $s\in\operatorname{G}_w$, содержащая $x$ (см. [4]). Тогда пересечение $s\cap B$ состоит из $x\in F$ и дополнительной $(g-1)$-плоскости $x'\in F$ (может совпадающей с $x$). По определению полагаем $i_w(x)=x'$.Дополним геометрическое определение инволюции $i_w\colon F\to F$ алгебраическим содержанием. Для этого обозначим через $F^{(w)}$ множество неподвижных точек инволюции $i_w\colon F\to F$, т. е. $F^{(w)}=F^{i_w}$. Это множество непустое; зафиксируем точку $o\in F^{(w)}$ и возьмем ее в качестве нулевого элемента торсора $F$. Тогда оказывается, что выполняется равенство $i_w=(-1_o)$ (см. [4]). Для $x\,{\in}\,F$ обозначим через $\varphi_x\colon W\to F$ отображение, сопоставляющее точке $w\in W$ точку $i_w(x)\in F$; образ $W$ при этом отображении обозначим через $W_x$. Заметим, что непосредственно из построения отображения $\varphi_x\colon W\to W_x$ вытекает только бирациональность и взаимная однозначность $\varphi_x\colon W\to W_x$ (см. [4]). Но на самом деле отображение $\varphi_x\colon W\to W_x$ является изоморфизмом. В работе [4] нет прямого доказательства этого факта, причем при построении изоморфизма $F=J$ применяется только бирациональность отображения $\varphi_x\colon W\to W_x$. Но после построения с помощью $\varphi_x$ изоморфизма $F=J$ становится очевидным, что $\varphi_x\colon W\to W_x$ является изоморфизмом. Далее зафиксируем точку $*\in W$ и точку $o\in F^{(*)}$; тогда сумму $x+_oy$ будем обозначать просто через $x+y$, а противоположный элемент $(-1_o)x$ обозначим через $-x$. Нетрудно убедиться, что для произвольной точки $w\in W$ выполняется равенство из которого вытекает формула Следовательно, преобразование $i_{w'}\cdot i_w\colon F\to F$ является трансляцией.Если взять в качестве фиксированной точки $*\in W$ точку ветвления кривой $W$, а также взять в качестве нулевого элемента точку $o$ из множества $F^{(*)}$, то окажется, что кривая $W_o$ инвариантна относительно инволюции $(-1)$: $F\,{\to}\,F$, причем ограничение этой инволюции на $W_o$ совпадает с гиперэллиптической инволюцией $\sigma\colon W_o\to W_o$ (см. [6]). Для такой точки $*\in W$ рассмотрим отображение Абеля–Якоби $aj_*\colon W\to J$, сопоставляющее точке $w\in W$ класс дивизора $(w-*)$. Это отображение является вложением; будем отождествлять кривую $W$ с ее образом при отображении Абеля–Якоби. Тогда оказывается, что изоморфизм $\varphi_o\colon W\xrightarrow{\approx}W_o$ однозначно продолжается до группового изоморфизма абелевых многообразий $\varphi\colon (J,+)\xrightarrow{\approx} (F,+)$ (см. [6]). Через $K_w$ обозначим геометрический фактор $F/i_w$. Из равенства $i_w=(-1_o)$, где $o\in F^{(w)}$, следует, что многообразие $K_w$ является куммеровым многообразием. Рассмотрим отображение $\pi_w\colon F\to\operatorname{G}_w$, которое $(g-1)$-плоскости $P\in F$ сопоставляет единственную $g$-плоскость $\Pi\in\operatorname{G}_w$, содержащую $P$. Отображение $\pi_w\colon F\to\operatorname{G}_w$ факторизуется до отображения $p_w\colon K_w\to\operatorname{G}_w$. В [4] было доказано, что отображение $p_w\colon K_w\to\operatorname{G}_w$ задает бирациональную биекцию на образ, а также была высказана гипотеза, что это отображение $p_w\colon K_w\to\operatorname{G}_w$ является вложением, т. е. оно индуцирует изоморфизм с образом. В работе [11] было указано, что из результатов в [12] следует нормальность многообразия $\pi_w(F)\subset\operatorname{G}_w$. Поэтому гипотеза М. Рида имеет положительный ответ. Далее отождествляем многообразие $K_w$ с его образом в $\operatorname{G}_w$. Семейство куммеровых многообразий $K_w\subset\operatorname{G}_w$ образует подмногообразие $\operatorname{K}(W)\subset\operatorname{G}(W)$. Соответствующая проекция $\operatorname{pr}\colon \operatorname{K}(W)\to W$ индуцирует локально тривиальное расслоение. 1.3. Группа трансляций куммерова многообразияПусть теперь биквадрика $B$ принадлежит множеству $\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$, где $\operatorname{sk}=(v_1,\dots,v_n)$; тогда биквадрика $B$ задается системой уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} v_1^2+\dots+v_n^2=0, \\ a_1v_1^2+\dots+a_nv_n^2=0, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
а пучок квадрик $L(B)$ задается уравнением где $t\in\overline{\mathbb{C}}$, причем считаем, что при $t=\infty$ это уравнение определяет квадрику $\mathfrak{Q}$. Через $(-1_k)\colon \mathbb{P}(V)\to\mathbb{P}(V)$, $k=1,\dots,n$, обозначим инволюцию, которая умножает координату $v_k$ на $-1$, а остальные координаты не меняет. Эта инволюция индуцирует инволюцию биквадрики $B$, для которой сохраняем обозначение. Заметим теперь, что инволюция $(-1_k)\colon B\to B$ индуцирует инволюцию пространства Фано $F$; также сохраняем для нее обозначение. Инволюцию обозначаем через $i_k\colon F\to F$; покажем, что справедлива следующая лемма. Доказательство. Достаточно проверить утверждение леммы для одного значения $k$; будем проверять его при $k=1$. Квадрика $Q_{a_1}=Q$ задается уравнением Эта квадрика является конусом с вершиной $p_0=(1:0:\dots:0)$ и основанием $Q'$, заданным системой уравнений Поэтому многообразие $\Phi_{w_1}=\Phi$ состоит из $g$-плоскостей, проходящих через вершину $p_0$ и $(g-1)$-плоскости на основании $Q'$. Если такая $g$-плоскость $\Pi$ пересекает биквадрику $B$ по одной $(g-1)$-плоскости $P$, то $P$ находится на гиперплоскости $v_1=0$. Следовательно, выполняются равенства Если $g$-плоскость $\Pi\in\Phi$ пересекает биквадрику $B$ по двум $(g-1)$-плоскостям $P$, $P'$, то выполняются равенства Здесь второе равенство следует из определения, а первое равенство вытекает из инвариантности биквадрики $B$ и $g$-плоскости $\Pi$ относительно преобразования, умножающего $v_1$ на $-1$. Лемма доказана. Обозначим через $\eta_k\in J$ класс дивизора $(w_k-w_1)$, $k=2,\dots,n$. Элементы $\eta_2,\dots,\eta_n$ порождают подгруппу ${}_{2\!}J$, состоящую из элементов второго порядка в $J$, и существует только одно соотношение Рассмотрим билинейную форму Вейля $(\eta,\eta')$ на $\mathbb{F}_2$-пространстве ${}_{2\!}J$; тогда выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
(\eta_i,\eta_j)= \begin{cases} 0, &i=j, \\ 1, &i\neq j. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому элементы
$$
\begin{equation*}
\gamma_k=\eta_{k+1}+\eta_{k+2},\quad \gamma_{k+g}=\eta_{k+2}+\dots+\eta_{n-1},\qquad k=1,\dots,g,
\end{equation*}
\notag
$$
образуют симплектический базис симплектического $\mathbb{F}_2$-пространства ${}_{2\!}J$. Следовательно, получаем уровня $2$ структуру на $J$. Заметим, что эта структура на $J$ индуцирована нумерацией точек ветвления проекции $\pi\colon W\to L$. Данную структуру будем называть уровня $2$ структурой Мамфорда якобиана гиперэллиптической кривой, так как она введена и изучена Мамфордом (см. [16]). Обозначим через $t_k\colon F\to F$ преобразование трансляции $t_{\eta_k}$, $k=2,\dots,n$; группу, порожденную этими трансляциями, обозначим через $\operatorname{T}=\operatorname{T}(F)$. Сопоставление продолжается до изоморфизма групп ${}_{2\!}J=\operatorname{T}$. Этот изоморфизм индуцирует билинейную форму $(t,t')$ на $\mathbb{F}_2$-пространстве $\operatorname{T}$, для которой выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
(t_i,t_j)= \begin{cases} 0, &i=j, \\ 1, &i\neq j. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Каждая инволюция $i_w\colon F\to F$ коммутирует с трансляциями $t_k$, поэтому получаем, что группа $\operatorname{T}$ действует на куммеровом многообразии $K_w$. Обозначим через $\tau_k\colon K_w\to K_w$ преобразование, которое получается из элемента $t_k\in\operatorname{T}$, $k=2,\dots,n$. Через $\operatorname{T}(K_w)$ обозначим подгруппу группы $\operatorname{Aut} K_w$, порожденную преобразованиями $\tau_k$, $k=2,\dots,n$. Эту подгруппу будем называть группой трансляций куммерового многообразия $K_w$. Так как имеем канонический изоморфизм $\operatorname{T}(F)=\operatorname{T}(K_w)$, то группа трансляций $\operatorname{T}(K_w)$ является $\mathbb{F}_2$-симплектическим пространством с фиксированным симплектическим базисом. Эту структуру будем называть уровня $2$ структурой Мамфорда на $K_w$. Отметим, что данная структура полностью определяется построенными образующими $\tau_2,\dots,\tau_n$ группы $\operatorname{T}(K_w)$. Через $\alpha_k\in\operatorname{A}(B)$, $k=2,\dots,n$, обозначим преобразование, которое умножает на $-1$ координаты $v_1,v_k$. Преобразования $\alpha_k\in\operatorname{A}(B)$, $k=2,\dots,n$, порождают группу $\operatorname{A}_+(B)$, и существует только одно соотношение Определен естественный гомоморфизм групп преобразований $\operatorname{A}(B)\to\operatorname{Aut} F$; покажем, что справедливо следующее предложение.Предложение 1.4. При гомоморфизме групп $\operatorname{A}(B)\to\operatorname{Aut} F$ подгруппа $\operatorname{A}_+(B)$ изоморфно отображается на группу трансляций $\operatorname{T}(F)$, причем преобразование переходит в преобразование $t_k\in\operatorname{T}(F)$. Доказательство. Положим $w=w_1$, $w'=w_k$; тогда из формулы (1.1) получаем равенства
$$
\begin{equation*}
i_{w_k}\cdot i_{w_1}=t_{i_{w_k}(o)-i_{w_1}(o)}=t_{\eta_k}=t_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось применить лемму 1.3. Предложение доказано. Напомним, что группа $\operatorname{A}_+$ действует на каждом грассманиане $\operatorname{G}_w$. Из определения отображения $\pi_w\colon F\to\operatorname{G}_w$ вытекает, что оно эквивариантно относительно действия группы $\operatorname{A}_+$. Поэтому группа $\operatorname{A}_+$ действует на образе $\pi_w(F)=K_w$. Из предложения 1.4 получаем следствие. Следствие 1.5. При гомоморфизме групп $\operatorname{A}_+\to\operatorname{Aut} K_w$ группа $\operatorname{A}_+$ изоморфно отображается на группу трансляций $\operatorname{T}(K_w)$, причем преобразование переходит в преобразование $\tau_k\in\operatorname{T}(K_w)$. 1.4. Линейная система дивизоров $|2\Theta_w|$ на $F_w$Сначала приведем известные факты о группе Пикара ортогонального грассманиана (см. подробности, например, в [17]). Каждый ортогональный грассманиан $\operatorname{G}_w$ изначально содержится в обычном грассманиане $\operatorname{Gr}_{m}(V)$, $m=g+1$. Рассмотрим плюккерово вложение грассманиана $\operatorname{Gr}_{m}(V)$ в проективное пространство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Gr}_{m}(V)\hookrightarrow\mathbb{P}(\Lambda^{m}V)=\mathbb{P}^{\binom{n}{m}-1};
\end{equation*}
\notag
$$
тогда получим плюккеровы вложения ортогональных грассманианов
$$
\begin{equation*}
\operatorname{G}_w\hookrightarrow\mathbb{P}(\Lambda^{m}V).
\end{equation*}
\notag
$$
Через $\mathcal{O}_w(1)$ обозначим ограничение расслоения $\mathcal{O}(1)$ на $\operatorname{G}_w$, где $\mathcal{O}(1)$ – скручивающее расслоение Серра на $\mathbb{P}(\Lambda^{m}V)$. Справедливо следующее предложение. Предложение 1.6. Группа Пикара $\operatorname{Pic}\operatorname{G}_w$ изоморфна $\mathbb{Z}$. Выполняется равенство $\mathcal{O}_w(1)=\mathcal{L}_w\otimes\mathcal{L}_w$, где $\mathcal{L}_w$ – положительная образующая группы $\operatorname{Pic}\operatorname{G}_w$. Линейное расслоение $\mathcal{L}_w$ очень обильное и задает вложение грассманиана $\operatorname{G}_w$ в проективное пространство размерности $2^{2g}-1$. Заметим, что многообразие $F$ содержится в обычном грассманиане $\operatorname{Gr}_{g}(V)$. Рассмотрим плюккерово вложение грассманиана $\operatorname{Gr}_{g}(V)$ в проективное пространство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Gr}_{g}(V)\hookrightarrow\mathbb{P}(\Lambda^{g}V);
\end{equation*}
\notag
$$
тогда получим плюккерово вложение многообразия Фано Через $\mathcal{O}_F(1)$ обозначим ограничение расслоения $\mathcal{O}(1)$ на $F$, где $\mathcal{O}(1)$ – скручивающее расслоение Серра на $\mathbb{P}(\Lambda^{g}V)$. Зафиксируем точку $o\in F^{(w)}$, где $w\in W$, и будем считать ее нулевым элементом; полученное абелево многообразие обозначим через $F_w$. Справедливо следующее (см., например, [5]) предложение. Предложение 1.7. Если $\Theta_w$ – один из симметрических тэта-дивизоров на абелевом многообразии $F_w$, то выполняется равенство $\mathcal{O}(4\Theta_w)=\mathcal{O}_F(1)$. Приведем известный факт про проективное вложение куммериана кривой рода $g\geqslant 2$. Пусть $C$ – такая кривая, $J=J(C)$ – якобиан, $K=K(C)=J(C)/(-1)$ – куммериан кривой $C$; тогда имеет место следующая (см., например, [18]) теорема. Теорема 1.8. Если $\Theta$ – симметричный тэта-дивизор на $J$, то линейная система $|2\Theta|$ определяет регулярное отображение Отображение $f$ факторизуется до вложения куммериана $f/(-1)\colon K\hookrightarrow|2\Theta|^\vee$. Справедливо также следующее предложение. Предложение 1.9. Эффективный дивизор $D\in\operatorname{Div} J$ принадлежит линейной системе $|2\Theta|$ тогда и только тогда, когда выполняются условия: 1) $D$ – симметричный дивизор; 2) классы гомологий $[D], [2\Theta]\in H_{2g-2}(J,\mathbb{Z})$ совпадают; 3) линейное расслоение $\mathcal{O}(D)$ принадлежит подгруппе где $\pi\colon J\to K$ – проекция.Необходимость выполнения условий 1)–3) для принадлежности дивизора $D$ линейной системе $|2\Theta|$ вытекает из теоремы 1.8, но я не нашел в известной мне литературе доказательства их достаточности. Приведем это доказательство. Покажем сначала, что справедливо утверждение: гомоморфизмы
$$
\begin{equation*}
c_1\colon \operatorname{Pic} K\to H^2(K,\mathbb{Z}), \qquad \pi^*\colon \operatorname{Pic} K\to\operatorname{Pic} J,\qquad \pi^*\circ c_1\colon \operatorname{Pic} K\to H^2(J,\mathbb{Z})
\end{equation*}
\notag
$$
являются мономорфизмами, где $c_1$ – характеристический гомоморфизм. Прежде всего установим, что выполняются равенства Для этого обозначим через $\sigma\colon \widehat{K}\to K$ минимальное разрешение особенностей $K$; тогда исключительными дивизорами на многообразии $\widehat{K}$ являются проективные пространства. Многообразие $\widehat{K}$ – односвязное (см. [19]), поэтому и многообразие $K$ – односвязное. Равенство $\pi_1(K)=1$ доказано.Из односвязности $\widehat{K}$ получаем равенство $H^1(\widehat{K},\mathbb{C})=0$. Поэтому выполняется равенство $H^1(\widehat{K},\mathcal{O})=0$. Рассмотрим теперь спектральную последовательность Лере
$$
\begin{equation*}
E^{p,q}_2=H^p(K,R^q\sigma_*(\mathcal{O}))\quad\Longrightarrow\quad H^{p+q}(\widehat{K},\mathcal{O}).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда получим равенство $H^1(K,\mathcal{O})=0$. Равенства (1.2) доказаны. Заметим теперь, что из равенства $H^1(K,\mathcal{O})=0$ и точной экспоненциальной последовательности
$$
\begin{equation*}
\cdots\to H^1(K,\mathcal{O})\to H^1(K,\mathcal{O}^*) \stackrel{\delta}{\longrightarrow}H^2(K,\mathbb{Z})\to\cdots
\end{equation*}
\notag
$$
получаем, что характеристический гомоморфизм $c_1$ является мономорфизмом. Перейдем к доказательству мономорфности гомоморфизмов
$$
\begin{equation*}
\pi^*\colon \operatorname{Pic} K\to\operatorname{Pic} J,\qquad \pi^*\circ c_1\colon \operatorname{Pic} K\to H^2(J,\mathbb{Z}).
\end{equation*}
\notag
$$
Из мономорфности гомоморфизма следует, что достаточно доказать мономорфность гомоморфизма Из односвязности $K$ получаем, что группа $H^2(K,\mathbb{Z})$ – свободная. Поэтому достаточно показать, что гомоморфизм является мономорфизмом. Для доказательства этого утверждения рассмотрим эквивариантные когомологии $H^2_G(J,\mathbb{C})$, где $G$ – группа второго порядка, порожденная инволюцией обращения $(-1)\colon J\to J$.Из двух спектральных последовательностей (см., например, [20; гл. V]), сходящихся к $H^*_G(J,\mathbb{C})$, получаем равенства
$$
\begin{equation*}
H^2_G(J,\mathbb{C})=H^2(K,\mathbb{C}),\qquad H^2_G(J,\mathbb{C})=H^2(J,\mathbb{C})^G=H^2(J,\mathbb{C}).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому гомоморфизм является изоморфизмом. Итак, мономорфность приведенных в утверждении гомоморфизмов доказана, перейдем к доказательству достаточности условий 1)–3) в предложении 1.9. Если эффективный дивизор $D\in\operatorname{Div} J$ удовлетворяет условиям 1)–3), то из мономорфности гомоморфизма
$$
\begin{equation*}
\pi^*\circ c_1\colon \operatorname{Pic} K\to H^2(J,\mathbb{Z})
\end{equation*}
\notag
$$
получаем, что линейные расслоения $\mathcal{O}(D)$, $\mathcal{O}(2\Theta)$ изоморфны, а поэтому линейные системы $|D|$, $|2\Theta|$ совпадают. Достаточность условий 1)–3) в предложении 1.9 доказана. Покажем теперь, что справедливо следующее предложение. Предложение 1.10. Линейные расслоения $\mathcal{O}(2\Theta_w)$, $\pi_w^*(\mathcal{L}_w)$ на $F$ – изоморфны. Доказательство. Из предложений 1.6, 1.7, 1.9 вытекает, что достаточно доказать следующие утверждение: характеристические классы совпадают. Так как класс когомологий $c_1(\pi_w^*(\mathcal{O}_w(1)))\in H^2(F,\mathbb{Z})$ не зависит от $w$, то достаточно доказать это утверждение при одном значении $w$. Будем доказывать его при $w=w_1$; далее $K_w$ обозначаем через $K$ и рассматриваем вложенным в $\operatorname{G}=\operatorname{G}_w$. Элементы многообразия $F$ рассматриваем как $g$-плоскости $L$ в $V$; тогда определено тавтологическое векторное расслоение $p\colon \mathcal{T}_F\to F$, где
$$
\begin{equation*}
\mathcal{T}_F=\{(\mathbf{v},L)\mid\mathbf{v}\in L\in F\},
\end{equation*}
\notag
$$
а проекция $p$ отображает пару $(\mathbf{v},L)$ в $L\in F$. Аналогично определено тавтологическое векторное расслоение $p\colon \mathcal{T}_K\to K$, где
$$
\begin{equation*}
\mathcal{T}_K=\{(\mathbf{v},\Lambda)\mid\in\Lambda\in K\},
\end{equation*}
\notag
$$
а $\Lambda\subset V$ – $(g+1)$-плоскость в $V$, определяющая точку в $K$. Покажем, что справедливо утверждение: выполняется равенство где $\pi\colon F\to K$ – проекция. Далее применяем обозначения из доказательства леммы 1.3; тогда ортогональный грассманиан $\operatorname{G}$ является максимальным многообразием Фано $\Phi$ квадрики $Q$, заданной уравнением Обозначим через $p\colon \mathcal{T}\to\Phi$ соответствующее тавтологическое векторное расслоение. Расслоение $\mathcal{T}_K$ равно ограничению расслоения $\mathcal{T}$ на $K$. Квадрика $Q$ является конусом с вершиной $p_0=(1:0:\dots:0)$ и неособым основанием $Q'$, заданным системой уравнений Обозначим через $\Phi'$ максимальное многообразие Фано квадрики $Q'$, а через $p\colon \mathcal{T}'\to\Phi'$ – соответствующее тавтологическое векторное расслоение. Имеются канонические изоморфизмы
$$
\begin{equation*}
\Phi=\Phi',\qquad\mathcal{T}=\mathcal{T}'\oplus\mathbb{C}e,
\end{equation*}
\notag
$$
где $e=(1,0,\dots,0)$ (см. доказательство леммы 1.3). Расслоение $\mathcal{T}_K$ является ограничением расслоения $\mathcal{T}'\oplus\mathbb{C}e$ на $K$. Обозначим ограничение $\mathcal{T}'$ на $K$ через $\mathcal{T}'_K$; тогда получим канонический изоморфизм Расслоение $\mathcal{T}_F$ является подрасслоением расслоения $\pi^*(\mathcal{T}'_K\oplus\mathbb{C}e)$, причем оно не пересекается с тривиальным подрасслоением $\pi^*(\mathbb{C}e)$, так как биквадрика $B$ не содержит точку $p_0$. Следовательно, расслоение $\mathcal{T}_F$ изоморфно расслоению $\pi^*(\mathcal{T}'_K)$ и выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
c_1(\mathcal{T}_F)=c_1(\pi^*(\mathcal{T}'_K))=c_1(\pi^*(\mathcal{T}_K)).
\end{equation*}
\notag
$$
Для доказательства равенства осталось заметить, что выполняются равенства Предложение доказано.Заметим наконец, что для двух вложений куммерова многообразия
$$
\begin{equation*}
K_w\hookrightarrow|2\Theta_w|^\vee,\qquad K_w\hookrightarrow\mathbb{P}(H^0(G_w,\mathcal{L}_w)^\vee)
\end{equation*}
\notag
$$
из предложения 1.10 вытекает следствие. Следствие 1.11. Существует однозначно определенный изоморфизм проективных пространств $|2\Theta_w|^\vee=\mathbb{P}(H^0(G_w,\mathcal{L}_w)^\vee)$ такой, что коммутативна диаграмма 1.5. Группы автоморфизмовПриведем несколько фактов о группах автоморфизмов квадрики, биквадрики и ортогонального грассманиана. Но прежде докажем следующее общее предложение. Предложение 1.12. Пусть $|D|$ – полная линейная система без базисных точек на полном неособом алгебраическом многообразии $X$, $\varphi\colon X\to|D|^\vee$ – отображение, заданное линейной системой $|D|$, $Y=\varphi(X)$, $f\in\operatorname{Aut} Y$; тогда справедливо утверждение: если существует продолжение автоморфизма $f$ до автоморфизма $|D|^\vee$, то это продолжение единственное. Доказательство. Покажем сначала, что справедливо утверждение: пусть многообразие $Y\subset\mathbb{P}^n$ не содержится в объединении конечного количества гиперплоскостей, $f\in\operatorname{Aut} Y$; тогда справедливо утверждение: если существует продолжение автоморфизма $f$ до автоморфизма $\mathbb{P}^n$, то это продолжение единственное. Достаточно установить справедливость этого утверждения в случае, когда $f=\mathrm{id}$. Многообразие $Y\subset\mathbb{P}^n$ не содержится в объединении конечного количества гиперплоскостей, поэтому существует набор из $n+2$ точек в общем положении, принадлежащих $Y$. Осталось заметить, что только тождественное преобразование $\mathbb{P}^n$ оставляет точки из этого набора на месте. Перейдем к непосредственному доказательству предложения 1.12. Так как прообраз каждой гиперплоскости $H\subset|D|^\vee$ при отображении есть элемент линейной системы $|D|$, то многообразие $Y$ не содержится в одной гиперплоскости. Осталось заметить, что объединение конечного количества элементов линейной системы $|D|$ не покрывают $X$. Предложение доказано.Рассмотрим группу автоморфизмов квадрики. Так как группа Пикара квадрики $\mathfrak{Q}\subset\mathbb{P}(V)$ изоморфна $\mathbb{Z}$, а положительная образующая $\operatorname{Pic}\mathfrak{Q}$ осуществляет вложение $\mathfrak{Q}$ в $\mathbb{P}(V)$, то нетрудно доказать следующее предложение. Предложение 1.13. Для группы автоморфизмов $\operatorname{Aut}\mathfrak{Q}$ справедливы утверждения: 1) выполняется равенство $\operatorname{Aut}\mathfrak{Q}=\operatorname{PO}(\mathfrak{q},V)$; 2) группа $\operatorname{Aut}\mathfrak{Q}$ состоит из двух компонент связности, причем компонента, содержащая единичное преобразование, равна $\operatorname{PSO}(\mathfrak{q},V)$; 3) автоморфизм $f\in\operatorname{Aut}\mathfrak{Q}$ переставляет ортогональные грассманианы $\operatorname{G}_\pm$ квадрики $\mathfrak{Q}$ тогда и только тогда, когда $f\in\operatorname{PO}(\mathfrak{q},V)\setminus\operatorname{PSO}(\mathfrak{q},V)$. Рассмотрим теперь группу автоморфизмов биквадрики $B\in\operatorname{BQ}^\circ$. Она содержит группу $\operatorname{A}(B)$, а также определен гомоморфизм $\operatorname{Aut} B\to\operatorname{Aut} L(B)$. Образ этого автоморфизма равен подгруппе преобразований прямой $L(B)$, для которых инвариантно множество $\{p_1,\dots,p_n\}$, параметризующее множество особых квадрик в пучке $L(B)$. Так как $n\geqslant 6$, то каждое такое преобразование однозначно определяется перестановкой точек $p_1,\dots,p_n$, которая при этом осуществляется. Обозначим эту подгруппу через $\operatorname{Aut}_0L(B)$; тогда нетрудно убедиться, что справедливо следующее предложение. Группа $\operatorname{PSO}(\mathfrak{q},V)$ действует на ортогональных грассманианах $\operatorname{G}_\pm$, поэтому определены гомоморфизмы групп
$$
\begin{equation*}
\operatorname{PSO}(\mathfrak{q},V)\to\operatorname{Aut}\operatorname{G}_\pm.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что справедливо следующее предложение. Предложение 1.15. Гомоморфизмы $\operatorname{PSO}(\mathfrak{q},V)\to\operatorname{Aut}\operatorname{G}_\pm$ являются мономорфизмами. Доказательство. Через $\operatorname{G}$ обозначим один из грассманианов $\operatorname{G}_\pm$, а через $\operatorname{G}(\mathbf{v})$, где $\mathbf{v}\in\mathfrak{Q}$, обозначим множество $g$-плоскостей $\Pi\in \operatorname{G}$, содержащих $\mathbf{v}$. Тогда оказывается, что для каждой точки $\mathbf{v}\in\mathfrak{Q}$ выполняется равенство Приведем набросок доказательства этого факта. Рассмотрим пересечение квадрики $\mathfrak{Q}$ с касательным пространством к ней в точке $\mathbf{v}$. Это пересечение является обыкновенным конусом $Q$ с вершиной $\mathbf{v}$ и основанием $Q'$ размерности $2g-2$. Плоскость $\Pi\in\operatorname{G}(\mathbf{v})$ содержится в $Q$ и содержит $(g-1)$-плоскость $\Pi'$ из одного максимального ортогонального грассманиана $\operatorname{G}'$ квадрики $Q'$. Наоборот, если взять произвольную $(g-1)$-плоскость $\Pi'$ из $\operatorname{G}'$, а затем образовать линейную оболочку плоскости $\Pi'$ и точки $\mathbf{v}$, то получим $g$-плоскость $\Pi\in\operatorname{G}(\mathbf{v})$. Напомним, что по нашему предположению $g\geqslant 2$. При $g=2$ возьмем две прямые $\Pi'_1,\Pi'_2\in\operatorname{G}'$; они не пересекаются, поэтому соответствующие плоскости $\Pi_1,\Pi_2\in\operatorname{G}(\mathbf{v})$ пересекаются только по точке $\mathbf{v}$. Если $g>2$, то индукция по размерности квадрики позволяет доказать равенство Поэтому равенство (1.3) выполняется при $g\geqslant 2$.Предположим теперь, что преобразование $f\in\operatorname{PSO}(\mathfrak{q},V)$ действует тривиально на $\operatorname{G}$; тогда из равенства (1.3) вытекает, что $f$ действует тривиально и на $\mathfrak{Q}$. Предложение доказано. Замечание. При $g=1$ утверждение предложения 1.15 неверно. Заметим, что в этом случае через точку $\mathbf{v}$ проходит только одна прямая из данного семейства прямых на квадрике. Поэтому равенство (1.3) не выполняется. В [21] доказано, что при $g\neq3$ гомоморфизмы § 2. Доказательство КСБ-теоремы и ее следствий2.1. Достаточное условие косингулярностиНа комплексном векторном пространстве $V$ размерности $n=2m\geqslant 4$ и координатными функциями $v_1,\dots,v_n$ рассмотрим три квадратичные формы:
$$
\begin{equation*}
q_1(\mathbf{v})=v_1^2+\dots+v_n^2,\qquad q_2(\mathbf{v})=a_1v_1^2+\dots+a_nv_n^2,\qquad q_3(\mathbf{v})=\frac{1}{a_1}v_1^2+\dots+\frac{1}{a_n}v_n^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbf{v}=(v_1,\dots,v_n)$, $a_1,\dots,a_n$ – попарно различные комплексные числа, отличные от нуля. Покажем, что имеет место следующая лемма. Лемма 2.1. Пусть $L\subset V$ – векторное подпространство размерности $m$, изотропное относительно формы $q_1(\mathbf{v})$; тогда выполняется равенство Доказательство. Обозначим через $A$ автоморфизм пространства $V$, заданный равенством и сначала покажем, что выполняются равенства Будем проверять только первое из этих равенств, так как второе равенство вытекает из первого. Обозначим через $b_i(\mathbf{v},\mathbf{w})$ симметрическую билинейную форму, соответствующую квадратичной форме $q_i(\mathbf{v})$, $i=1,2,3$, а через $L^\perp$ обозначим ортогональное дополнение к $L$ относительно билинейной формы $b_1(\mathbf{v},\mathbf{w})$. Из определения подпространства $L\subset V$ вытекает равенство $L^\perp=L$. Нужно проверить, что справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
\{\mathbf{v}\in L\colon b_2(\mathbf{v},\mathbf{w})=0\text{ при каждом }\mathbf{w}\in L\}=L\cap A(L).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $b_2(\mathbf{v},\mathbf{w})=b_1(A(\mathbf{v}),\mathbf{w})$, то выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\{\mathbf{v}\in L\colon b_2(\mathbf{v},\mathbf{w})=0\text{ при каждом }\mathbf{w}\in L\} \\ &\qquad=\{\mathbf{v}\in L\colon b_1(A(\mathbf{v}),\mathbf{w})=0 \text{ при каждом } \mathbf{w}\in L\} \\ &\qquad=\{\mathbf{v}\in L\colon A(\mathbf{v})\in L^\perp\}=\{\mathbf{v}\in L\colon A(\mathbf{v})\in L\}=L\cap A(L). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Равенства (2.1) доказаны, осталось заметить, что Лемма доказана. Следствие 2.2. Если биквадрика $B\in\operatorname{BQ}^\circ$ задана уравнением то биквадрика $B(t)$, заданная уравнением косингулярна биквадрике $B$. Доказательство. Биквадрика $B$ задается также уравнением где $t\in\mathbb{C}\setminus\{a_1,\dots,a_n\}$. К трем квадратичным формам
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, q_1(\mathbf{v})=v_1^2+\dots+v_n^2,\qquad q_2(\mathbf{v})=(t-a_1)v_1^2+\dots+(t-a_n)v_n^2, \\ q_3(\mathbf{v})=\frac{v_1^2}{t-a_1}+\dots+\frac{v_n^2}{t-a_n} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
применим лемму 2.1. Тогда получим, что выполняются равенства Следствие доказано. Если $B\in\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$, то определена кривая Веронезе $C(B)\subset\operatorname{BQ}(\operatorname{sk})=\mathbb{P}^{n-2}$ (см. Введение), а также множество $\operatorname{CS}(B)\subset\operatorname{BQ}^\circ$, состоящее из косингулярных $B$ биквадрик. Следствие 2.2 означает, что выполняется включение
$$
\begin{equation*}
C^\circ(B)\subset\operatorname{CS}(B)\cap\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk}),
\end{equation*}
\notag
$$
а КСБ-теорема означает, что выполняется равенство $C^\circ(B)=\operatorname{CS}(B)$. Сначала будет доказано равенство
$$
\begin{equation}
C^\circ(B)=\operatorname{CS}(B)\cap\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk}).
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
2.2. Доказательство равенства (2.2)Заметим, что это равенство равносильно утверждению в следствии 0.2. Утверждение в следствии 0.2 будет доказываться с помощью специальной теоремы Торелли. Далее приводится формулировка этой теоремы. Пусть $W$ – гиперэллиптическая кривая рода $g\geqslant 2$. Через $\theta=\theta(W)\in H^2(J(W),\mathbb{Z})$ обозначим класс когомологий, который получается из симметричного тэта-дивизора $\Theta=\Theta(W)$ на якобиане $J=J(W)$. Класс когомологий $\theta(W)$ называется (главной) поляризацией кривой $W$. Если точки ветвления кривой $W$ пронумерованы, то определена уровня $2$ структура Мамфорда на $J(W)$ (см. п. 1.3); будем ее обозначать через $\operatorname{st}=\operatorname{st}(W)$. Оказывается, что тройка $(J,\theta,\operatorname{st})$ определяет класс изоморфизма кривой $W$ с пронумерованными точками ветвления, т. е. имеет место (см., например, [18]) следующая теорема. Теорема 2.3. Если тройки $(J,\theta,\operatorname{st})$, $(J',\theta',\operatorname{st}')$ изоморфны, где $J$, $J'$ – якобианы гиперэллиптических кривых $W$, $W'$ рода $g$ с пронумерованными точками ветвления, $\theta$, $\theta'$ – тэта-поляризации на $J$, $J'$, $\operatorname{st}$, $\operatorname{st}'$ – уровня $2$ структуры на $J$, $J'$, индуцированные нумерацией точек ветвления кривых $W$, $W'$, то кривые $W$, $W'$ изоморфны как кривые с пронумерованными точками ветвления. Пусть биквадрики $B,B'\in\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$ заданы соответственно уравнениями
$$
\begin{equation*}
a_1v_1^2+\dots+a_nv_n^2=0,\qquad a'_1v_1^2+\dots+a'_nv_n^2=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Нужно только доказать утверждение: если биквадрики $B,B'$ косингулярны, то существует дробно-линейное преобразование которое переводит последовательность чисел $a_1,\dots,a_n$ в последовательность чисел $a'_1,\dots,a'_n$ (сохраняя нумерацию). Заметим теперь, что существование такого преобразования равносильно существованию изоморфизма гиперэллиптических кривых $W=W(B)$, $W'=W(B')$, сохраняющего нумерацию точек ветвления. Напомним, что кривая $W(B)$ ($W(B')$) равна двулистному накрытию прямой $\overline{\mathbb{C}}$ с ветвлением в точках $a_1,\dots,a_n$ ($a'_1,\dots,a'_n$). Перейдем к доказательству существования изоморфизма гиперэллиптических кривых $W=W(B)$, $W'=W(B')$, сохраняющего нумерацию точек ветвления. Так как биквадрики $B$, $B'$ косингулярны, то выполняются равенства $K_\pm=K'_\pm$, где $K_\pm=K_\pm(B)$, $K'_\pm=K_\pm(B')$. Куммеровы многообразия $K_\pm$, $K'_\pm$ находятся в ортогональных грассманианах $\operatorname{G}_\pm$ квадрики $Q_\infty$, заданной уравнением Обозначим через $\pm\infty$ прообразы точки $\infty$ при проекциях $W\to\overline{\mathbb{C}}$, $W'\to\overline{\mathbb{C}}$; тогда получим равенства $\operatorname{G}_\pm=\operatorname{G}_{\pm\infty}$. Если $F$, $F'$ – максимальные многообразия Фано биквадрик $B$, $B'$, то имеем проекции
$$
\begin{equation*}
\pi_\pm\colon F\to K_\pm,\qquad \pi'_\pm\colon F'\to K'_\pm.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее из пар $K_\pm$, $K'_\pm$, $\pi_\pm$, $\pi'_\pm$, $G_\pm$ оставляем по одному соответствующему представителю и обозначим их соответственно через $K$, $K'$, $\pi$, $\pi'$, $\operatorname{G}$. Так как имеем двулистные накрытия $\pi\colon F\to K$, $\pi\colon F'\to K'$ с ветвлением в особых точках и выполняется равенство $K=K'$, то прообразы $\pi^{-1}(s)$, $\pi'^{-1}(s)$ зафиксированной особой точки $s\in K=K'$ состоят из единственных точек $o\in F$, $o'\in F'$. Будем считать эти точки нулевыми элементами на торсорах $F$, $F'$; тогда получим канонические изоморфизмы $F=J$, $F'=J'$, где $J$, $J'$ – якобианы кривых $W$, $W'$. Отображения $\pi\colon F\to K$, $\pi\colon F'\to K'$ и равенства $K=K'$ можно дополнить изоморфизмом $f\colon F\xrightarrow{\approx}F'$, чтобы получить коммутативную диаграмму Изоморфизм $f$ переводит точку $o$ в точку $o'$, поэтому он индуцирует изоморфизм групповых многообразий $f\colon J\xrightarrow{\approx}J'$. Покажем теперь, что изоморфизм $f\colon J\xrightarrow{\approx}J'$ переводит $\theta$ в $\theta'$ и $\operatorname{st}$ в $\operatorname{st}'$.Обозначим через $\mathcal{L}$ обильное линейное расслоение на грассманиане $\operatorname{G}$, рассмотренное в предложении 1.6; тогда из предложения 1.10 получаем равенства
$$
\begin{equation*}
c_1(\pi^*(\mathcal{L}))=2\theta,\qquad c_1(\pi'^*(\mathcal{L}))=2\theta'.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому из коммутативной диаграммы (2.3) вытекает, что изоморфизм $f$ переводит $\theta$ в $\theta'$. Заметим теперь, что из коммутативной диаграммы (2.3) также вытекает, что изоморфизм $f$ будет переводить $\operatorname{st}$ в $\operatorname{st}'$, если доказать совпадение образующих $\tau_2,\dots,\tau_n$ группы трансляций $\operatorname{T}(K)$ с образующими $\tau'_2,\dots,\tau'_n$ группы трансляций $\operatorname{T}(K')$. Осталось отметить, что это совпадение вытекает из следствия 1.5. Таким образом, равенство (2.2) доказано, переходим к доказательству равенства $C^\circ(B)=\operatorname{CS}(B)$. 2.3. Окончание доказательства КСБ-теоремыСистемы координат $\operatorname{sk}$, $\operatorname{sk}'$ назовем эквивалентными, если одна из другой получается перестановкой координат и умножением некоторых из них на $-1$. Заметим, что если системы координат $\operatorname{sk}$, $\operatorname{sk}'$ эквивалентны, то множества $\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$, $\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk}')$ совпадают, а если системы координат $\operatorname{sk}$, $\operatorname{sk}'$ не эквивалентны, то множества $\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$, $\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk}')$ не пересекаются. Поэтому достаточно доказать утверждение: если системы координат $\operatorname{sk}$, $\operatorname{sk}'$ не эквивалентны, то множества $\operatorname{KV}(\operatorname{sk})$, $\operatorname{KV}(\operatorname{sk}')$ не пересекаются. Приведем доказательство этого утверждения. Пусть системы координат $\operatorname{sk}$, $\operatorname{sk}'$ не эквивалентны, но существуют биквадрики
$$
\begin{equation*}
B\in\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk}),\qquad B'\in\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk}')
\end{equation*}
\notag
$$
такие, что выполняются равенства $K_\pm(B)=K_{\pm}(B')$. Обозначим одно из куммеровых многообразий $K_\pm(B)$ через $K$, а соответствующее куммерово многообразие биквадрики $B'$ обозначим через $K'$. Так как системы координат $\operatorname{sk}$, $\operatorname{sk}'$ не эквивалентны, то подгруппы
$$
\begin{equation*}
\operatorname{A}_+(\operatorname{sk}),\operatorname{A}_+(\operatorname{sk}') \subset\operatorname{PSO}(\mathfrak{q},V)
\end{equation*}
\notag
$$
различные. Обозначим образы этих групп при гомоморфизме
$$
\begin{equation*}
\operatorname{PSO}(\mathfrak{q},V)\to\operatorname{Aut}\operatorname{G}
\end{equation*}
\notag
$$
через $\overline{\operatorname{A}}_+(\operatorname{sk})$, $\overline{\operatorname{A}}_+(\operatorname{sk}')$; тогда из предложения 1.15 получаем, что и подгруппы
$$
\begin{equation*}
\overline{\operatorname{A}}_+(\operatorname{sk}),\overline{\operatorname{A}}_+(\operatorname{sk}') \subset\operatorname{Aut}\operatorname{G}
\end{equation*}
\notag
$$
различные. Применим равенство $K=K'$ и следствие 1.5; тогда получим, что куммерово многообразие $K\subset\operatorname{G}$ инвариантно относительно действия групп $\overline{\operatorname{A}}_+(\operatorname{sk})$, $\overline{\operatorname{A}}_+(\operatorname{sk}')$, причем при гомоморфизмах
$$
\begin{equation*}
\overline{\operatorname{A}}_+(\operatorname{sk})\to\operatorname{Aut} K, \qquad\overline{\operatorname{A}}_+(\operatorname{sk}')\to\operatorname{Aut} K
\end{equation*}
\notag
$$
группы $\overline{\operatorname{A}}_+(\operatorname{sk})$, $\overline{\operatorname{A}}_+(\operatorname{sk}')$ изоморфно отображаются на группу трансляций $\operatorname{T}(K)$. Следовательно, существует преобразование $\tau\in\operatorname{T}(K)$, которое имеет два разных продолжения $h,h'$ до автоморфизма грассманиана $\operatorname{G}$. Остается показать, что это утверждение приводит к противоречию. Чтобы установить этот факт, рассмотрим сначала вложение $\operatorname{G}\subset\mathbb{P}^{2^g-1}$, заданное положительной образующей $\mathcal{L}$ группы $\operatorname{Pic} \operatorname{G}$ (см. предложение 1.6). Так как $\operatorname{Pic}\operatorname{G}=\mathbb{Z}\cdot\mathcal{L}$, то каждый элемент из групп $\overline{\operatorname{A}}_+(\operatorname{sk})$, $\overline{\operatorname{A}}_+(\operatorname{sk}')$ продолжается до автоморфизма проективного пространства $\mathbb{P}^{2^g-1}$. Из предложения 1.12 следует, что такое продолжение единственное. Поэтому однозначно определены продолжения
$$
\begin{equation*}
\widetilde{h},\widetilde{h}'\in\operatorname{Aut}\mathbb{P}^{2^g-1}
\end{equation*}
\notag
$$
автоморфизмов $h,h'\in\operatorname{Aut} \operatorname{G}$. Так как куммерово многообразие $K$ содержится в $\operatorname{G}\subset\mathbb{P}^{2^g-1}$, то получаем, что $K$ содержится в $\mathbb{P}^{2^g-1}$ и автоморфизм $\tau\in\operatorname{T}(K)$ имеет два продолжения $\widetilde{h}$, $\widetilde{h}'$ до автоморфизмов проективного пространства $\mathbb{P}^{2^g-1}$. Из следствия 1.11 вытекает, что полученное вложение $K\subset\mathbb{P}^{2^g-1}$ задается линейной системой $|2\Theta|$. Поэтому из предложения 1.12 получаем, что автоморфизм $\tau\in\operatorname{T}(K)$ может иметь только одно продолжение до автоморфизма проективного пространства $\mathbb{P}^{2^g-1}$. Получили противоречие. Следовательно, КСБ-теорема доказана полностью. 2.4. Доказательство следствийФактически остается доказать только утверждение в следствии 0.5 (см. Введение). Следствие 0.5 доказывается с помощью геометрической модели отображения Плюккера–Клейна. Перейдем к построению такой модели. Многообразие, элементами которого являются системы координат $\operatorname{sk}=(v_1,\dots,v_n)$, обозначим через $\operatorname{SK}$. Через $\mathfrak{S}_n$ обозначим группу перестановок чисел $1,\dots,n$. Далее будем рассматривать левое действие группы $\mathfrak{S}_n$ на многообразиях $\mathcal{M}_{0,n}$, $\mathcal{M}_{n}$, $\operatorname{SK}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sigma\cdot[p_1,\dots,p_n]=[p_{\sigma(1)},\dots,p_{\sigma(n)}],\qquad \sigma\cdot|a_1,\dots,a_n|=|a_{\sigma(1)},\dots,a_{\sigma(n)}|, \\ \sigma\cdot(v_1,\dots,v_n)=(v_{\sigma(1)},\dots,v_{\sigma(n)}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отображение $\pi\colon \mathcal{M}_{n}\to\mathcal{M}_{0,n}$ эквивариантно относительно этого действия. Рассмотрим аналогичное левое действие группы $\mathfrak{S}_n$ на группе $(\mu_2)^n$
$$
\begin{equation*}
\sigma\cdot(\eta_1,\dots,\eta_n)=(\eta_{\sigma(1)},\dots,\eta_{\sigma(n)})
\end{equation*}
\notag
$$
и построим с его помощью полупрямое произведение $\mathfrak{S}_n\leftthreetimes(\mu_2)^n$, согласно конструкции в книге Холла [22]. А именно, группа $\mathfrak{S}_n\leftthreetimes(\mu_2)^n$ состоит из пар $(\sigma,\boldsymbol{\eta})$, где
$$
\begin{equation*}
\sigma\in\mathfrak{S}_n,\qquad\boldsymbol{\eta}=(\eta_1,\dots,\eta_n)\in(\mu_2)^n,
\end{equation*}
\notag
$$
а умножение задается правилом
$$
\begin{equation*}
(\sigma,\boldsymbol{\eta})\cdot(\sigma',\boldsymbol{\eta}') =(\sigma\cdot\sigma',\sigma'(\boldsymbol{\eta})\cdot\boldsymbol{\eta}').
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим группу $\mathfrak{S}_n\leftthreetimes(\mu_2)^n$ через $\widehat{\mathfrak{S}}_n$ и рассмотрим левое действие этой группы на многообразии $\operatorname{SK}$, заданное правилом
$$
\begin{equation*}
(\sigma,\boldsymbol{\eta})\cdot(v_1,\dots,v_n)=(\eta_1v_{\sigma(1)},\dots,\eta_nv_{\sigma(n)}).
\end{equation*}
\notag
$$
Будем рассматривать действие группы $\widehat{\mathfrak{S}}_n$ на многообразиях $\mathcal{M}_{0,n}$, $\mathcal{M}_{n}$ с помощью только перестановок, т. е.
$$
\begin{equation*}
(\sigma,\boldsymbol{\eta})\cdot[p_1,\dots,p_n]=\sigma\cdot[p_1,\dots,p_n],\qquad (\sigma,\boldsymbol{\eta})\cdot|a_1,\dots,a_n|=\sigma\cdot|a_1,\dots,a_n|.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, группа $\widehat{\mathfrak{S}}_n$ действует слева на произведении $\mathcal{M}_{n}\times\operatorname{SK}$ с помощью диагонального действия. Рассмотрим отображение
$$
\begin{equation*}
\mathcal{M}_{n}\times\operatorname{SK}\to\operatorname{BQ}^\circ,
\end{equation*}
\notag
$$
которое паре $(|a_1,\dots,a_n|,(v_1,\dots,v_n))$ сопоставляет биквадрику, заданную уравнением Заметим, что при этом отображении пары
$$
\begin{equation*}
\bigl(|a_1,\dots,a_n|,(v_1,\dots,v_n)\bigr),\qquad \bigl(|a'_1,\dots,a'_n|,(v'_1,\dots,v'_n)\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
отображаются в одну точку тогда и только тогда, когда пара принадлежит орбите
$$
\begin{equation*}
\widehat{\mathfrak{S}}_n\cdot\bigl(|a_1,\dots,a_n|,(v_1,\dots,v_n)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому регулярное отображение
$$
\begin{equation*}
\mathcal{M}_{n}\times\operatorname{SK}\to\operatorname{BQ}^\circ
\end{equation*}
\notag
$$
является неразветвленным накрытием. Обозначим через $\mathfrak{BQ}$ геометрический фактор $\mathcal{M}_{n}\times\operatorname{SK}/\widehat{\mathfrak{S}}_n$; тогда получим изоморфизм многообразий
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{I}\colon \mathfrak{BQ}\xrightarrow{\approx}\operatorname{BQ}^\circ.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим теперь через $\mathfrak{KV}$ геометрический фактор $\mathcal{M}_{0,n}\times\operatorname{SK}/\widehat{\mathfrak{S}}_n$ и отображение геометрических факторов
$$
\begin{equation*}
(\pi\times \mathrm{id})/\widehat{\mathfrak{S}}_n\colon \mathcal{M}_{n}\times\operatorname{SK}/\widehat{\mathfrak{S}}_n \to\mathcal{M}_{0,n}\times\operatorname{SK}/\widehat{\mathfrak{S}}_n
\end{equation*}
\notag
$$
обозначим через Справедливо следующее утверждение (см. п. 2.3): если системы координат $\operatorname{sk},\operatorname{sk}'\in\operatorname{SK}$ не принадлежат одной орбите группы $\widehat{\mathfrak{S}}_n$, то многообразия $\operatorname{KV}(\operatorname{sk})$, $\operatorname{KV}(\operatorname{sk}')$ не пересекаются. Поэтому из коммутативной диаграммы в следствии 0.4 вытекает существование и единственность биекции $\mathfrak{KV}=\operatorname{KV}$, для которой коммутативна диаграмма Отображение $\mathfrak{pr}$ является субмерсией, поэтому и отображение $\operatorname{PK}$ будет субмерсией, если на $\operatorname{KV}$ рассматривать структуру аффинного алгебраического многообразия, индуцированную биекцией $\operatorname{KV}=\mathfrak{KV}$ из диаграммы (2.4). Следствие 0.5 доказано. 2.5. Замечание о глобальной теореме ТореллиПокажем, что КСБ-теорема 0.1 не является следствием глобальной теоремы Торелли для биквадрик. Заметим сначала, что из теоремы 0.1 нетрудно вывести утверждение: если биквадрики $B,B'\in\operatorname{BQ}^\circ$ – косингулярны, то они изоморфны как неотмеченные биквадрики (см. п. 3.3). Но обратное утверждение неверно даже при дополнительном предположении, когда биквадрики $B$, $B'$ принадлежат $\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$. Для доказательства этого утверждения отметим, что справедлив следующий аналог следствия 0.2: биквадрики $B,B'\in\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$, заданные системам уравнений
$$
\begin{equation*}
a_1v_1^2+\dots+a_nv_n^2=0,\qquad a'_1v_1^2+\dots+a'_nv_n^2=0,
\end{equation*}
\notag
$$
изоморфны как неотмеченные биквадрики, если и только если существует дробно-линейное преобразование, которое переводит множество чисел $\{a_1,\dots,a_n\}$ во множество чисел $\{a'_1,\dots,a'_n\}$ (нумерация не обязана сохраняться). Заметим теперь, что если коэффициенты $a'_1,\dots,a'_n$ в следствии 0.2 получены из коэффициентов $a_1,\dots,a_n$ изменением нумерации, то $B$, $B'$ изоморфны как неотмеченные биквадрики, но в общем случае не найдется дробно-линейного преобразования, переводящего последовательность чисел $a_1,\dots,a_n$ в последовательность чисел $a'_1,\dots,a'_n$ (сохраняя нумерацию). Поэтому биквадрики $B$, $B'$ в общем случае не будут косингулярными. Из глобальной теоремы Торелли получаем, что если $B,B'\in\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$ и промежуточные якобианы $J(B)$, $J(B')$ изоморфны как поляризованные абелевы многообразия, то $B$, $B'$ изоморфны только как неотмеченные биквадрики. Поэтому из глобальной теоремы Торелли не выводится равенство (2.2). § 3. Доказательство теоремы о многообразии Клейна3.1. Изоморфизм РамананаНапомним, что через $\Sigma\to C$ было обозначено двулистное накрытие кривой Веронезе $C=C(B)$, где биквадрика $B\in\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$ задана уравнением Обозначим через $p_1,\dots,p_n\in\Sigma$ точки ветвления накрытия $\Sigma\to C$, соответствующие особым биквадрикам $B_1,\dots,B_n\in C(B)$. Далее через $J^1$ обозначим многообразие $\operatorname{Pic}^1\Sigma$. Заметим, что многообразие $J^1$ является $J$-торсором, где $J=J(\Sigma)$ – якобиан кривой $\Sigma$. Возьмем в качестве нулевого элемента $J^1$ линейное расслоение $\mathcal{O}(p_1)$; тогда получим изоморфизм $J^1=J$. Группа ${}_{2\!}J$ действует на многообразии $J^1$ сдвигами; полученную подгруппу группы $\operatorname{Aut} J^1$ обозначим через $\operatorname{T}=\operatorname{T}(J^1)$. На многообразии $J$ определена инволюция обращения $(-1)\colon J\to J$. С помощью изоморфизма $J^1=J$ инволюция $(-1)$ переносится на $J^1$; сохраним за ней обозначение. Добавим к группе $\operatorname{T}(J^1)$ автоморфизм $(-1)$; тогда подгруппу группы $\operatorname{Aut} J^1$, порожденную элементами из $\operatorname{T}(J^1)$ и автоморфизмом $(-1)$, обозначим через $\widehat{\operatorname{T}}=\widehat{\operatorname{T}}(J^1)$.Рассмотрим коммутативную диаграмму где отображение $(2)\colon J\to J$ – гомоморфизм умножения на $2$, а изоморфизм $J/_{2\!}J=J$ сопоставляет смежному классу $\xi\bmod _{2\!}J$ элемент $2\xi\in J$. Если применить изоморфизм $J^1=J$ к вышеприведенной диаграмме, то получим следующую коммутативную диаграмму:Приведем один результат о многообразии модулей $\mathcal{U}_\Sigma(1)=\mathcal{U}(1)$ и проекции из работы Раманана [23]. Для этого обозначим через $\mathcal{SU}$ многообразие $\mathcal{SU}_{p_1}$ и рассмотрим проекцию на второй сомножитель
$$
\begin{equation*}
\operatorname{pr}\colon \mathcal{SU}\times J^1\to J^1.
\end{equation*}
\notag
$$
Группа $_{2\!}J$ действует на $\mathcal{SU}$ тензорным умножением векторных расслоений на линейные. На произведении $\mathcal{SU}\times J^1$ будем рассматривать диагональное действие группы $_{2\!}J$; тогда проекция $\operatorname{pr}$ станет эквивариантным отображением относительно действия этой группы. Следовательно, определено отображение геометрических факторов
$$
\begin{equation*}
\operatorname{pr}\colon \mathcal{SU}\times J^1/_{2\!}J\to J^1/_{2\!}J.
\end{equation*}
\notag
$$
Если теперь применить изоморфизм $J^1/_{2\!}J=J^1$ из коммутативной диаграммы (3.1), то получим отображение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{pr}\colon \mathcal{SU}\times J^1/_{2\!}J\to J^1.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\mathcal{SU}=\mathcal{SU}_{p_1}$, а точка $p_1$ неподвижна при действии инволюции $\sigma$ на $\Sigma$, то определено действие $\sigma$ на многообразии $\mathcal{SU}$. Определим действие $\sigma$ на $J^1$, потребовав, чтобы соответствующий автоморфизм равнялся инволюции $(-1)\colon J^1\to J^1$. Поэтому определено диагональное действие инволюции $\sigma$ на произведении $\mathcal{SU}\times J^1$, а также на геометрическом факторе $\mathcal{SU}\times J^1/_{2\!}J$. Тогда получаем, что проекция
$$
\begin{equation*}
\operatorname{pr}\colon \mathcal{SU}\times J^1/_{2\!}J\to J^1
\end{equation*}
\notag
$$
является $\sigma$-эквивариантным отображением. Оказывается (см. [23]), что существует изоморфизм многообразий такой, что коммутативна следующая диаграмма: причем эта диаграмма эквивариантна относительно действия инволюции $\sigma$.Рассмотрим вложение $\Sigma\hookrightarrow J^1$, которое точке $p\in\Sigma$ сопоставляет линейное расслоение $\mathcal{O}(p)$. Тогда прообраз $\Sigma$ при отображения $\det\colon \mathcal{U}(1)\to J^1$ равен $\mathcal{U}(*)$, а отображение совпадает с отображением определенным во Введении. Поэтому из диаграммы (3.2) получаем коммутативную диаграмму причем эта диаграмма эквивариантна относительно действия инволюции $\sigma$.Обозначим через $\widehat{\Sigma}\subset J^1$ прообраз кривой $\Sigma$ при отображении $(2)\colon J^1\to J^1$. Отметим, что индуцированное отображение $(2)\colon \widehat{\Sigma}\to\Sigma$ является неразветвленным накрытием с группой монодромии $_{2\!}J=H_1(\Sigma,\mathbb{F}_2)$. Кривая $\widehat{\Sigma}$ инвариантна относительно действия инволюции $(-1)$ на $J^1$; ограничение этой инволюции на $\widehat{\Sigma}$ обозначим через $\widehat{\sigma}$. Определим действие инволюции $\sigma\colon \Sigma\to\Sigma$ на $\widehat{\Sigma}$ потребовав, чтобы соответствующий автоморфизм равнялся $\widehat{\sigma}$. Далее, если не возникает противоречия, будем обозначать инволюцию $\widehat{\sigma}\colon \widehat{\Sigma}\to\widehat{\Sigma}$ через $\sigma$. На самом деле инволюция $\widehat{\sigma}\colon \widehat{\Sigma}\to\widehat{\Sigma}$ является только одним из подъемов инволюции $\sigma\colon \Sigma\to\Sigma$. Заметим, что кривая $\widehat{\Sigma}\subset J^1$ инвариантна относительно действия всей группы $\widehat{\operatorname{T}}=\widehat{\operatorname{T}}(J^1)$. Поэтому получаем действие группы $\widehat{\operatorname{T}}$ на $\widehat{\Sigma}$; полученную от этого действия подгруппу группы $\operatorname{Aut}\widehat{\Sigma}$ будем обозначать через $\widehat{\operatorname{T}}=\widehat{\operatorname{T}}(\widehat{\Sigma})$. Группа $\widehat{\operatorname{T}}(\widehat{\Sigma})$ порождается группой ${}_{2\!}J$ и инволюцией $\widehat{\sigma}$. Заметим теперь, что из диаграммы (3.3) получается коммутативная диаграмма которая эквивариантна относительно действия инволюции $\sigma$. 3.2. Накрытие $\widehat{\Sigma}\to\Sigma$Приведем другое определение данного накрытия. Для этого будем отождествлять кривую Веронезе $C(B)$ со сферой Римана $\overline{\mathbb{C}}$ с помощью построенной в п. 1.1 параметризации. Тогда двулистное накрытие $\pi\colon \Sigma(B)\to C(B)$ становится двулистным накрытием $\pi\colon \Sigma\to\overline{\mathbb{C}}$ с ветвлением в точках $a_1,\dots,a_n\in\mathbb{C}$. Заметим, что кривая $\Sigma$ является римановой поверхностью двузначной функции и задается уравнением Инволюция $\sigma\colon \Sigma\to\Sigma$ переводит точку $(t,z)$ в точку $(t,-z)$. Рассмотрим многозначную векторную функцию и обозначим через $S$ риманову поверхность этой многозначной функции. Тогда получаем однозначную функцию $p\colon S\to\overline{\mathbb{C}}$, которая является обратной к функции $\mathbf{r}(t)$. Заметим, что функция $\mathbf{r}(t)$ поднимается до многозначной $\sigma$-инвариантной функции $\widehat{\mathbf{r}}(t,z)$ на $\Sigma$, причем риманова поверхность этой функции совпадает с $S$. Обратная однозначная функция на $S$ к функции $\widehat{\mathbf{r}}(t,z)$ на $\Sigma$ задает отображение $\pi\colon S\to\Sigma$, которое является неразветвленным накрытием. Гиперэллиптическая инволюция $\sigma\colon \Sigma\to\Sigma$ поднимается на $S$ так, что отображение $\pi\colon S\to\Sigma$ эквивариантно относительно действия инволюции $\sigma$. Покажем, что справедлива следующая лемма. Лемма 3.1. Существует изоморфизм $\widehat{\Sigma}=S$ такой, что коммутативна диаграмма которая эквивариантна относительно действия инволюции $\sigma$. Доказательство. Накрытие $(2)\colon J^1\to J^1$ устроено следующим образом. Рассмотрим гомоморфизм групп где $*\in J^1$ – точка, полученная из линейного расслоения $\mathcal{O}(p_1)$, а гомоморфизм сопоставляет петле соответствующий класс гомологий. Обозначим через $\widehat{\pi}_1(J^1,*)$ ядро этого гомоморфизма; тогда получим, что накрытие $(2)\colon J^1\to J^1$ совпадает с накрытием, определенным подгруппой $\widehat{\pi}_1(J^1,*)\subset\pi_1(J^1,*)$. Следовательно, накрытие $(2)\colon \widehat{\Sigma}\to\Sigma$ устроено аналогичным образом, только нужно рассмотреть сначала гомоморфизм групп а затем применить подгруппу $\widehat{\pi}_1(\Sigma,p_1)\subset\pi_1(\Sigma,p_1)$, равную ядру этого гомоморфизма, чтобы получить накрытие $(2)\colon \widehat{\Sigma}\to\Sigma$. Остается убедиться, что подгруппа $\pi_1(S)\subset\pi_1(\Sigma)$ совпадает с подгруппой $\widehat{\pi}_1(\Sigma,p_1)$. Лемма доказана. 3.3. Обобщенные многообразия КлейнаПерейдем к описанию свойств многообразия Клейна $\operatorname{Kl}=\operatorname{Kl}(B)$, которое было определено во Введении. Многообразие $\operatorname{Kl}$ особое; его особые точки содержатся в слоях $B(a_k)$, $k=1,\dots,n$. Непосредственно проверяется, что многообразие $\operatorname{Kl}$ – нормальное, а особые точки в слое $B(a_k)$ содержатся в гиперплоскости $\{v_k=0\}\subset\mathbb{P}(V)$ и составляют неособую биквадрику $\mathcal{B}_k$ размерности $2g-2$, заданную системой уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} v_1^2+\dots+v_{k-1}^2+v_{k+1}^2+\dots+v_n^2=0, \\ \dfrac{1}{a_1-a_k}v_1^2+\dots+\dfrac{1}{a_{k-1}-a_k}v_{k-1}^2+ \dfrac{1}{a_{k+1}-a_k}v_{k+1}^2+\dots+\dfrac{1}{a_n-a_k}v_n^2=0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Приведем другое определение многообразия Клейна. Для этого рассмотрим отображение $\varphi(t)\colon B\to B(t)$ ($t\in\mathbb{C}$ – фиксированная точка), заданное равенством
$$
\begin{equation*}
\varphi(t)(v_1:\dots:v_n)=(\sqrt{t-a_1}\cdot v_1:\dots:\sqrt{t-a_n}\cdot v_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как радикалы $\sqrt{t-a_1}$, $\dots$, $\sqrt{t-a_n}$ определены с точностью до умножения на $\pm1$, то $\varphi(t)$ определено с точностью до преобразования из подгруппы $\operatorname{A}(B)\subset\operatorname{Aut} B$, состоящей из преобразований Если $t\in\mathbb{C}\setminus\{a_1,\dots,a_n\}$, то отображение $\varphi(t)$ является изоморфизмом. Отображение является двулистным накрытием с ветвлением в биквадрике $\mathfrak{B}_k=B\cap\{v_k=0\}$, причем биквадрика ветвления $\mathfrak{B}_k$ отображается изоморфно на биквадрику $\mathcal{B}_k$. Заметим, что инволюция двулистного накрытия $B\to B(a_k)$ задается умножением координаты $v_k$ на $-1$. В окрестности точки $\infty\in\overline{}\mathbb{C}$ зафиксируем ветви двузначных функций $\sqrt{t-a_1}$, $\dots$, $\sqrt{t-a_n}$; тогда определено предельное отображение
$$
\begin{equation*}
\varphi(\infty)=\lim_{t\to\infty}\varphi(t)\colon B\to B(\infty)=B;
\end{equation*}
\notag
$$
оно является преобразованием из группы $\operatorname{A}(B)$. Рассмотрим отображение $p\colon \widehat{\Sigma}\to\overline{\mathbb{C}}$, равное композиции отображений $\widehat{\Sigma}\to\Sigma\to\overline{\mathbb{C}}$. Двузначная функция на $\overline{\mathbb{C}}$ поднимается до однозначной функции на $\Sigma$, которая поднимается до однозначной функции $r(s)$ на $\widehat{\Sigma}$. Заметим, что функция $r(s)$ определена с точностью до умножения на $-1$.Двузначные функции на $\overline{\mathbb{C}}$ поднимаются до однозначных функций $r_1(s),\dots,r_n(s)$ на $\widehat{\Sigma}$. Подъем каждой функции неоднозначный, можно только потребовать выполнения условия Далее будем считать, что это условие выполняется.Пусть $s\in\widehat{\Sigma}\setminus p^{-1}(\infty)$, $t(s)=p(s)$; тогда определим отображение с помощью равенства
$$
\begin{equation*}
\phi(s)(v_1:\dots:v_n;s)=(r_1(s)v_1:\dots:r_n(s)v_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $s\in\pi^{-1}(\infty)$, то определено предельное отображение Следовательно, получаем отображение
$$
\begin{equation*}
\phi\colon B\times\widehat{\Sigma}\to\operatorname{Kl},
\end{equation*}
\notag
$$
для которого коммутативна диаграмма Группа $\operatorname{A}=\operatorname{A}(B)$ действует на биквадрике $B$; определим действие этой группы на кривой $\widehat{\Sigma}$. Так как уже построен изоморфизм $\operatorname{A}_+= {}_{2\!}J$ (см. п. 1.3), то действие группы $\operatorname{A}_+$ на кривой $\widehat{\Sigma}$ определено. Сопоставим элементу $(-1_1)\in\operatorname{A}$ инволюцию $\sigma\colon \widehat{\Sigma}\to\widehat{\Sigma}$; тогда получим, что определено действие всей группы $\operatorname{A}$ на $\widehat{\Sigma}$. Заметим, что подгруппа группы $\operatorname{Aut}\widehat{\Sigma}$, полученная от действия $\operatorname{A}$ на $\widehat{\Sigma}$ совпадает с группой $\widehat{\operatorname{T}}(\widehat{\Sigma})$. Далее, если не возникает противоречия, будем отождествлять группу $\widehat{\operatorname{T}}(\widehat{\Sigma})$ с группой $\operatorname{A}=\operatorname{A}(B)$. Диаграмма (3.5) эквивариантна относительно действия группы $\operatorname{A}=\operatorname{A}(B)$, где на произведении рассматривается диагональное действие, а на правой стороне диаграммы – действие тривиальное. Тогда после факторизации по этому действию получаем следующую коммутативную диаграмму: где $\overline{\phi}$ – голоморфная биекция. Так как многообразия $B\times\widehat{\Sigma}/\operatorname{A}$, $\operatorname{Kl}$ – нормальные, то отображение $\overline{\phi}$ является изоморфизмом. Таким образом, справедлива следующая лемма.Лемма 3.2. Расслоение $\operatorname{pr}\colon \operatorname{Kl}(B)\to C(B)$ канонически изоморфно расслоению, которое получается из тривиального расслоения после факторизации по действию группы $\operatorname{A}(B)$. Кроме коммутативной диаграммы (3.6) рассмотрим следующую коммутативную диаграмму: индуцированную вложением $\operatorname{A}_+\subset\operatorname{A}$. Из этих двух диаграмм получаем коммутативную диаграммуИз определения многообразий $\operatorname{Kl}$, $\mathfrak{Kl}$ видно (см. Введение), что многообразие $\mathfrak{Kl}$ является двулистным накрытием многообразия $\operatorname{Kl}$; соответствующая инволюция была обозначена через $\sigma$. Теперь можно уточнить устройство этого накрытия. А именно, образ множества ветвления состоит из биквадрик $\mathcal{B}_1,\dots,\mathcal{B}_n$. Но также устроено отображение $B\times\widehat{\Sigma}/\operatorname{A}_+\to\operatorname{Kl}$ в диаграмме (3.7). Поэтому существует изоморфизм
$$
\begin{equation*}
\widehat{\phi}\colon B\times\widehat{\Sigma}/\operatorname{A}_+ \xrightarrow{\approx}\mathfrak{Kl}
\end{equation*}
\notag
$$
такой, что коммутативна диаграмма где изоморфизм $\Sigma\xrightarrow{\approx}\Sigma$ может отличаться от тождественного отображения на инволюцию $\sigma$. Подкрутим изоморфизмы в диаграмме (3.8) на инволюцию $\sigma$, если изоморфизм $\Sigma\xrightarrow{\approx}\Sigma$ отличается от тождественного; тогда получим $\sigma$-эквивариантную коммутативную диаграмму Поэтому справедливо следующее предложение. Предложение 3.3. Расслоение $\operatorname{pr}\colon \mathfrak{Kl}(B)\to\Sigma(B)$ канонически изоморфно расслоению, которое получается из тривиального расслоения после факторизации по действию группы $\operatorname{A}_+(B)={}_{2\!}J$. 3.4. Изоморфизм Десале–РамананаНам потребуются дополнительные сведения об изоморфизме $\mathcal{SU}_p=\mathcal{F}$, про который говорилось во Введении. Само построение этого изоморфизма довольно громоздкое, поэтому оно не приводится в данной статье. Приведем одно свойство изоморфизма $\mathcal{SU}_p=\mathcal{F}$, которое будем использовать. Далее полагаем, что $\mathcal{SU}$ равно многообразию $\mathcal{SU}_{p_1}$. Отметим, что точка $p_1$ неподвижна при действии гиперэллиптической инволюции $\sigma\colon \Sigma\to\Sigma$, поэтому определено действие $\sigma$ на многообразии $\mathcal{SU}$. Действие группы $\operatorname{A}=\operatorname{A}(B)$ на биквадрике $B$ индуцирует действие $\operatorname{A}$ на многообразии Фано $\mathcal{F}=\mathcal{F}(B)$. Определим действие этой группы на многообразии $\mathcal{SU}$. Образующие $\alpha_2,\dots,\alpha_n$ подгруппы $\operatorname{A}_+\subset\operatorname{A}$ действуют на $\mathcal{SU}$ с помощью следующего правила: если $E\in\mathcal{SU}=\mathcal{SU}_{p_1}$, то Обозначим через $\beta$ преобразование $V$, которое умножает на $-1$ координату $v_1$, а остальные координаты не изменяет. Заметим, что элементы $\alpha_2,\dots,\alpha_n,\beta\in\operatorname{A}$ порождают всю группу $\operatorname{A}$. По определению положим Оказывается, что построенный в [11] изоморфизм $\mathcal{SU}=\mathcal{F}$ эквивариантен относительно действия группы $\operatorname{A}$ (см. [11; следствие 1]).Общее замечание. В работе [14] приводится геометрическая конструкция универсального семейства стабильных ранга $2$ векторных расслоений на кривой рода $2$ с фиксированным детерминантом нечетной степени. В этой конструкции непосредственно используется многообразие Фано $\mathcal{F}$. По моему мнению, эту конструкцию можно применять для получения аналогичного семейства векторных расслоений на гиперэллиптической кривой $W$ произвольного рода $g\geqslant 2$. Приведем ее в общем случае. Можно считать, что кривая $W$ равна $W(B)$, где $B\in\operatorname{BQ}^\circ$ – неособая биквадрика. Сначала строится $\mathbb{P}^1$-расслоение $\mathcal{S}\to\mathcal{F}\times W$, где $\mathcal{F}$ – многообразие Фано $(g-2)$-плоскостей на $B$. Это делается следующим образом. Для точки $(x,w)\in\mathcal{F}\times W$ рассмотрим множество $S_{x,w}$ из $g$-плоскостей $\Pi\in\operatorname{G}_w$, проходящих через $x$. Нетрудно убедиться, что множество $S_{x,w}$ является коникой (см., например, рассуждение на с. 221 в [6]). Следовательно, получаем $\mathbb{P}^1$-расслоение. Так как группа Брауэра $\mathrm{Br}(\mathcal{F}\times W)$ – тривиальна, то $\mathbb{P}^1$-расслоение поднимается до векторного расслоения $\mathcal{E}\to\mathcal{F}\times W$. При $g=2$ в [14] доказаны следующие утверждения. 1. Для каждой точки $x\in\mathcal{F}$ расслоение $E_x\to x\times W$, равное ограничению $\mathcal{E}$ на $x\times W$, удовлетворяет условиям: $\deg E_x$ – нечетная, а $\det E_x$ не зависит от $x$. 2. Для каждой точки $x\in\mathcal{F}$ расслоение $E_x\to x\times W$ – стабильное. 3. Если $\det E_x=\xi$, $\mathcal{U}_\xi$ – многообразие модулей стабильных ранга $2$ векторных расслоений на $W$ c детерминатном $\xi$, то каноническое отображение $\mathcal{F}\to\mathcal{U}_\xi$ является изоморфизмом. Вполне возможно, что эти утверждения справедливы и при $g>2$. Я не встречал доказательства этой гипотезы в известной мне литературе. В случае ее справедливости, получается более геометрическое и менее громоздкое построение изоморфизма $\mathcal{SU}=\mathcal{F}$. 3.5. Окончание доказательства теоремы 0.6Группа $\operatorname{A}=\operatorname{A}(B)$ действует на многообразии Фано $\mathcal{F}=\mathcal{F}(B)$. Далее преобразование $\mathcal{F}\to\mathcal{F}$ индуцированное преобразованием $\beta\colon B\to B$ обозначим через $\sigma\colon \mathcal{F}\to\mathcal{F}$. Тогда из тривиального расслоения $\operatorname{pr}\colon \mathcal{F}\times\widehat{\Sigma}\to\widehat{\Sigma}$ получаем $\sigma$-эквивариантное расслоение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{pr}\colon \mathcal{F}\times\widehat{\Sigma}/A_+ \to\widehat{\Sigma}/A_+=\Sigma.
\end{equation*}
\notag
$$
Применим $\sigma$-эквивариантный изоморфизм $\mathcal{SU}=\mathcal{F}$; тогда получим $\sigma$-эквивариантную коммутативную диаграмму Так как имеем $\sigma$-эквивариантную коммутативную диаграмму (3.4), т. е. диаграмму то из диаграмм (3.10), (3.11) получаем $\sigma$-эквивариантную коммутативную диаграмму Осталось заметить, что из $\sigma$-эквивариантной коммутативной диаграммы (3.9) получается $\sigma$-эквивариантная коммутативная диаграмма Теорема 0.6 доказана. 3.6. Общее замечаниеВ п. 3.3 было показано, что все неособые многообразия $B(t)$ изоморфны $B$. Заметим, что это утверждение верно, если многообразия $B(t)$ рассматриваются только как неотмеченные биквадрики, т. е. не предполагается, что соответствующий изоморфизм пучков квадрик переводит отмеченную квадрику $\mathfrak{Q}$ в себя. Возникает следующий вопрос: существуют ли в семействе $B(t)$ биквадрики $B(t')$, $B(t'')$, изоморфные друг другу как отмеченные биквадрики? В работе [24] утверждается, что ответ на этот вопрос – отрицательный (см. [24; предложение 8.7]). Это утверждение неверно. Приведем конкретный пример трехмерной биквадрики $B$ и двух косингулярных ей биквадрик $B'$, $B''$, изоморфных друг другу как отмеченные биквадрики. Пусть биквадрика $B$ задана системой уравнений
$$
\begin{equation*}
v_1^2+\dots+v_6^2=0,\qquad v_1^2-v_2^2+3v_3^2-3v_4^2+5v_5^2-5v_6^2=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где первое уравнение определяет отмеченную квадрику $\mathfrak{Q}$. Тогда рассмотрим преобразование из группы $\operatorname{PSO}(V)$
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}:(v_1:v_2:v_3:v_4:v_5:v_6)\mapsto (v_2:-v_1:v_4:-v_3:v_6:-v_5).
\end{equation*}
\notag
$$
Это преобразование преобразует вышеприведенную систему уравнений в систему
$$
\begin{equation*}
v_1^2+\dots+v_6^2=0,\qquad -v_1^2+v_2^2-3v_3^2+3v_4^2-5v_5^2+5v_6^2=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому преобразование $\mathfrak{g}$ оставляет квадрику $\mathfrak{Q}$ на месте, а также биквадрику $B$. Если $B(t)$ – семейство биквадрик, косингулярных $B$, то оно задается системой уравнений
$$
\begin{equation*}
v_1^2+\dots+v_6^2\,{=}\,0,\qquad \frac{1}{t-1}\,v_1^2- \frac{1}{t+1}\,v_2^2+\frac{1}{t-3}\,v_3^2-\frac{1}{t+3}\,v_4^2+ \frac{1}{t-5}\,v_5^2-\frac{1}{t+5}\,v_6^2\,{=}\,0.
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственно проверяется равенство $\mathfrak{g}(B(t))=B(-t)$. Поэтому отмеченные биквадрики $B(t)$, $B(-t)$ изоморфны. Предлагаю читателю убедиться в справедливости следующего утверждения. Предложение 3.4. Пусть неособая биквадрика $B$ задана уравнением и существует нетривиальное преобразование прямой $\overline{\mathbb{C}}$, относительно которого множество $\{a_1,\dots,a_n\}$ инвариантно. Тогда среди неособых косингулярных $B$ биквадрик $B(t)$ найдутся биквадрики $B(t')$, $B(t'')$, которые изоморфны как отмеченные биквадрики. § 4. Дополнение. Классическое отображение Плюккера–Клейна4.1. Координаты КлейнаДалее $L$ – четырехмерное комплексное векторное пространство, а $V$ – шестимерное векторное пространство, равное $\Lambda^2L$. На пространстве $V$ определена билинейная симметрическая форма $\langle\mathbf{v},\mathbf{v}'\rangle$ со значениями в $\Lambda^4L$, заданная равенством
$$
\begin{equation*}
\langle\mathbf{v},\mathbf{v}'\rangle= \mathbf{v}\wedge\mathbf{v}'.
\end{equation*}
\notag
$$
Соответствующую квадратичную форму будем обозначать через $\mathfrak{q}(\mathbf{v})$; она называется квадратичной формой Клейна. Чтобы эта форма принимала значения в $\mathbb{C}$, зафиксируем ненулевую форму $\omega\in\Lambda^4L^\vee$ и положим
$$
\begin{equation*}
\langle\mathbf{v},\mathbf{v}'\rangle=\omega( \mathbf{v}\wedge\mathbf{v}').
\end{equation*}
\notag
$$
Будем называть систему координат $(x,y,z,w)\in(L^\vee)^4$ специальной, если она удовлетворяет условию Если $(x,y,z,w)\in(L^\vee)^4$ – специальная система координат на $L$, то для системы линейных функций на $V$:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} v_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(x\wedge y+z\wedge w),\quad v_2=\dfrac{\sqrt{-1}}{\sqrt{2}}(x\wedge y-z\wedge w), \\ v_3=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(x\wedge z-y\wedge w),\quad v_4=\dfrac{\sqrt{-1}}{\sqrt{2}}(x\wedge z+y\wedge w), \\ v_5=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(x\wedge w+y\wedge z),\quad v_6=\dfrac{\sqrt{-1}}{\sqrt{2}}(x\wedge w-y\wedge z), \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
выполняется равенство Система координат (4.1) называется системой координат Клейна, полученной из системы координат $(x,y,z,w)$. Далее будем рассматривать только специальные системы координат на $L$. Из них получается множество систем координат Клейна, которое обозначим через $\operatorname{SK}$. Покажем, что имеет место следующая лемма. Лемма 4.1. Множество $\operatorname{SK}$ равно одной из компонент связности в многообразии ортонормированных систем координат на $V$ относительно квадратичной формы Клейна. Для доказательства рассмотрим гомоморфизм групп
$$
\begin{equation*}
\wedge\colon \operatorname{SL}(L)\to\operatorname{SO}(V),
\end{equation*}
\notag
$$
который преобразованию из группы $\operatorname{SL}(L)$ сопоставляет его внешний квадрат. Тогда получим точную последовательность (см. [10])
$$
\begin{equation*}
1\to\{\pm1\}\to\operatorname{SL}(L)\stackrel{\wedge}{\longrightarrow}\operatorname{SO}(V)\to 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого факта вытекает утверждение леммы. Заметим также, что каждая система координат Клейна получается из двух специальных систем координат $(\pm x,\pm y,\pm z,\pm w)$. 4.2. Теорема РонаНапомним определение квадратичного комплекса прямых. Уравнение $\mathfrak{q}(\mathbf{v})=0$ задает множество разложимых бивекторов $l\wedge l'\in\Lambda^2L$. Заметим, что, если $\mathbf{v}=l\wedge l'$, то плоскость в $L$, натянутая на векторы $l$, $l'$, является точкой в грассманиане $\operatorname{Gr}_2(L)$. Поэтому квадрику $\mathfrak{Q}\subset\mathbb{P}(V)$, заданную уравнением $\mathfrak{q}(v)=0$, можно отождествить с этим грассманианом. Квадрика $\mathfrak{Q}$ в разных работах называется по-разному: грассманиан, квадрика Плюккера, квадрика Клейна; будем ее называть квадрикой Плюккера–Клейна. Если рассматривать грассманиан $\operatorname{Gr}_2(L)$ как многообразие прямых в $\mathbb{P}(L)$, то пересечение квадрики $\mathfrak{Q}$ другой гиперповерхностью в $\mathbb{P}(V)$ называется комплексом прямых. Поэтому пересечение квадрики $\mathfrak{Q}$ другой квадрикой называется квадратичным комплексом прямых или просто квадратичным комплексом. Многообразие квадратичных комплексов обозначим через $\mathfrak{QC}$, а многообразие неособых квадратичных комплексов обозначим через $\mathfrak{QC}^\circ$. Для точки $p\in\mathbb{P}(L)$ обозначим через $\alpha(p)$ множество прямых в $\mathbb{P}(L)$, проходящих через $p$. Множество $\alpha(p)$ является плоскостью на квадрике Плюккера– Клейна $\mathfrak{Q}$. Поэтому пересечение $\alpha(p)$ с произвольным квадратичным комплексом является коникой на плоскости $\alpha(p)$. Если $\mathfrak{C}$ – фиксированный неособый квадратичный комплекс, то множество точек $p\in\mathbb{P}(L)$, для которых пересечение $\alpha(p)\cap\mathfrak{C}$ является особой коникой, образует куммерову квартику $K(\mathfrak{C})\subset\mathbb{P}(L)$ (см., например, [1]). Она называется куммеровой квартикой, ассоциированной с квадратичным комплексом $\mathfrak{C}$. Если квадратичный комплекс $\mathfrak{C}\subset\mathbb{P}(V)$ задан уравнением где $v_1,\dots,v_6$ – координаты Клейна на $V$, полученные из координат $x$, $y$, $z$, $w$ на $L$, то коэффициенты уравнения куммеровой квартики $K(\mathfrak{C})\subset\mathbb{P}(L)$ должны выражаться через коэффициенты $a_1,\dots,a_6$. Соответствующие формулы были найдены К. Роном, а именно, справедлива следующая теорема. Теорема 4.2. Если неособый квадратичный комплекс $\mathfrak{C}$ задан уравнением (4.2), где $v_1,\dots,v_6$ – координаты Клейна на $V$, полученные из координат $x$, $y$, $z$, $w$ на $L$, то куммерова квартика $K(\mathfrak{C})\subset\mathbb{P}(L)$ задается уравнением Доказательство. Пусть точка $p\in\mathbb{P}(L)$ имеет координаты $(x_1\,{:}\,x_2\,{:}\,x_3\,{:}\,x_4)$ в системе координат $(x,y,z,w)$. Одна из этих координат не равна нулю, будем предполагать, что $x_4\neq0$. Каждая прямая $l\subset\mathbb{P}(L)$, проходящая через точку $p$, пересекает плоскость $\{w=0\}$ в одной точке; обозначим ее однородные координаты через $(y_1:y_2:y_3:0)$. Тогда координаты Клейна прямой $l$ равны
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} v_1 &=\frac{1}{\sqrt{2}}(x_1y_2-x_2y_1-x_4y_3), &\qquad v_2 &=\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{2}}(x_1y_2-x_2y_1+x_4y_3), \\ v_3 &=\frac{1}{\sqrt{2}}(x_1y_3-x_3y_1+x_4y_2), &\qquad v_4 &=\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{2}}(x_1y_3-x_3y_1-x_4y_2), \\ v_5 &=\frac{1}{\sqrt{2}}(-x_4y_1+x_2y_3-x_3y_2), &\qquad v_6 &=\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{2}}(-x_4y_1-x_2y_3+x_3y_2). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &2(a_1v_1^2+a_2v_2^2+a_3v_3^2+ a_4v_4^2+a_5v_5^2+a_6v_6^2) \\ &\qquad=(a_1x_2^2-a_2x_2^2+a_3x_3^2-a_4x_3^2+a_5x_4^2-a_6x_4^2)y_1^2 \\ &\qquad\qquad+(a_1x_1^2-a_2x_1^2+a_3x_4^2-a_4x_4^2+a_5x_3^2-a_6x_3^2)y_2^2 \\ &\qquad\qquad+(a_1x_4^2-a_2x_4^2+a_3x_1^2-a_4x_1^2+a_5x_2^2-a_6x_2^2)y_3^2 \\ &\qquad\qquad+2(-a_1x_1x_2+a_2x_1x_2-a_3x_3x_4-a_4x_3x_4+a_5x_3x_4+a_6x_3x_4)y_1y_2 \\ &\qquad\qquad+2(a_1x_2x_4+a_2x_2x_4-a_3x_1x_3+a_4x_1x_3-a_5x_2x_4-a_6x_2x_4)y_1y_3 \\ &\qquad\qquad+2(-a_1x_1x_4-a_2x_1x_4+a_3x_1x_4+a_4x_1x_4-a_5x_2x_3+a_6x_2x_3)y_2y_3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственно проверяется, что полученная квадратичная форма от переменных $y_1$, $y_2$, $y_3$ вырождается тогда и только тогда, когда выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &x_4^2\cdot \{(a_1-a_2)(a_3-a_4)(a_5-a_6)(x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4) \\ &\ -2(a_1-a_2)[(a_3-a_5)(a_4-a_6)+(a_3-a_6)(a_4-a_5)](x_1^2x_2^2+x_3^2x_4^2) \\ &\ -2(a_3-a_4)[(a_1-a_5)(a_2-a_6)+(a_1-a_6)(a_2-a_5)](x_1^2x_3^2+x_2^2x_4^2) \\ &\ -2(a_5-a_6)[(a_1-a_3)(a_2-a_4)+(a_1-a_4)(a_2-a_3)](x_1^2x_4^2+x_2^2x_3^2) \\ & \ +8[a_1a_2(a_3+a_4-a_5-a_6)+a_3a_4(a_5+a_6-a_1-a_2) \\ &\ \qquad+a_5a_6(a_1+a_2-a_3-a_4)]x_1x_2x_3x_4\}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема Рона доказана. Замечание. К. Рон доказал теорему 4.2 в своей диссертации, о чем говорится в работе [25]. Мне не удалось посмотреть диссертацию Рона, поэтому мне не известно доказательство Рона. Отмечу, что формулировка теоремы в [25] содержит опечатку: коэффициент перед $xyzw$ ошибочно уменьшен в два раза. В классических трактатах [8], [9] имеются доказательства теоремы Рона, но они отличаются от вышеприведенного прямого доказательства. Отмечу, что формулы для коэффициентов $A,\dots,E$ в этих трактатах внешне отличаются от формул в теореме 4.2, но проверка показывает, что соответствующие функции совпадают. Замечание. Каждая плоскость $\alpha(p)$ содержится на квадрике $\mathfrak{Q}$. Таким образом, получается одно семейство плоскостей на $\mathfrak{Q}$. Чтобы получить другое семейство, возьмем произвольную плоскость $h\subset\mathbb{P}(L)$ и через $\beta(h)$ обозначим множество прямых на $h$. Это множество является плоскостью на $\mathfrak{Q}$. Поэтому получаем другое семейство плоскостей на квадрике Плюккера–Клейна. Оказывается, что $\alpha$-плоскости и $\beta$-плоскости образуют целые ортогональные грассманианы $\operatorname{G}_\pm$. Следовательно, эти грассманианы изоморфны трехмерному проективному пространству. 4.3. Функции Рона и ДжубертаЧтобы записать уравнение (4.3) более кратко, введем следующие дополнительные обозначения:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_1(x,y,z,w)=x^4+y^4+z^4+w^4,\qquad f_2(x,y,z,w)=2(x^2y^2+z^2w^2), \\ f_3(x,y,z,w)=2(x^2z^2+y^2w^2),\qquad f_4(x,y,z,w)=2(x^2w^2+y^2z^2), \\ f_5(x,y,z,w)=4xyzw. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда уравнение (4.3) принимает вид Функции
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A=A(a_1,\dots,a_6),\qquad B=B(a_1,\dots,a_6),\qquad C=C(a_1,\dots,a_6), \\ D=D(a_1,\dots,a_6),\qquad E=E(a_1,\dots,a_6) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
в формулировке теоремы 4.2 будем называть функциями Рона. Они удовлетворяют уравнению Это уравнение задает реализацию кубики Сегре, как гиперповерхности в $\mathbb{P}^4$; обозначим ее через $\mathcal{S}_3$. Зафиксируем систему координат Клейна $\operatorname{sk}=(v_1,\dots,v_6)$ на $V$; тогда через $\mathfrak{QC}(\operatorname{sk})$ обозначим многообразие квадратичных комплексов, которые задаются уравнениями вида Через $\mathfrak{QC}^\circ(\operatorname{sk})$ обозначим подмногообразие многообразия $\mathfrak{QC}(\operatorname{sk})$, состоящее из неособых квадратичных комплексов. Функции Рона задают отображение Рона
$$
\begin{equation*}
\mathcal{R}\colon \mathfrak{QC}^\circ(\operatorname{sk})\to\mathcal{S}_3,
\end{equation*}
\notag
$$
которое квадратичному комплексу (4.5) сопоставляет точку
$$
\begin{equation*}
(A(a_1,\dots,a_6),\dots,E(a_1,\dots,a_6))\in\mathcal{S}_3.
\end{equation*}
\notag
$$
На кубике Сегре $\mathcal{S}_3$ имеются плоскости, которые называются плоскостями Сегре. Обозначим через $\mathcal{S}_3^\circ$ дополнение плоскостей Сегре. Если точка $(A:\dots:E)$ принадлежит плоскости Сегре на $\mathcal{S}_3$, то соответствующая квартика в семействе (4.4) имеет неизолированные особенности, поэтому не является куммеровой квартикой. Следовательно, образ отображения Рона содержится в $\mathcal{S}_3^\circ$. Имеется другая реализация кубики Сегре, как многообразия в $\mathbb{P}^5$, заданного системой уравнений Будем обозначать это многообразие через $\mathrm{S}_3$. Изоморфизм $\mathcal{S}_3\cong\mathrm{S}_3$ задается формулами (см. [26])
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} u_1=A-B-C-D, \\ u_2=A-B+C+D, \\ u_3=A+B-C+D, \\ u_4=A+B+C-D, \\ u_5=-2A+E, \\ u_6=-2A-E. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственно проверяется, что соответствующие функции
$$
\begin{equation*}
u_1=u_1(a_1,\dots,a_6),\quad \dots,\quad u_6=u_6(a_1,\dots,a_6)
\end{equation*}
\notag
$$
задаются формулами
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u_1 &=-[(12)(53)(46)+(13)(42)(56)+(14)(52)(36)+(15)(26)(43)+(16)(23)(45)], \\ u_2 &=-[(12)(53)(46)+(13)(54)(26)+(14)(56)(23)+(15)(36)(24)+(16)(25)(34)], \\ u_3 &=-[(12)(36)(45)+(13)(46)(25)+(14)(56)(23)+(15)(26)(43)+(16)(24)(53)], \\ u_4 &=-[(12)(36)(45)+(13)(42)(56)+(14)(35)(26)+(15)(46)(32)+(16)(25)(34)], \\ u_5 &=-[(12)(34)(56)+(13)(54)(26)+(14)(52)(36)+(15)(46)(32)+(16)(24)(53)], \\ u_6 &=-[(12)(34)(56)+(13)(46)(25)+(14)(35)(26)+(15)(24)(36)+(16)(23)(45)], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где через $(ij)$ обозначена функция $a_i-a_j$ на $\mathbb{C}^6$. Заметим, что функции в квадратных скобках – это классические функции Джуберта (см. [27], [3]). Поэтому полученные функции
$$
\begin{equation*}
u_1=u_1(a_1,\dots,a_6),\quad\dots,\quad u_6=u_6(a_1,\dots,a_6)
\end{equation*}
\notag
$$
будем называть функциями Джуберта. Функции Джуберта задают отображение Джуберта
$$
\begin{equation*}
J\colon \mathfrak{QC}^\circ(\operatorname{sk})\to\mathrm{S}_3,
\end{equation*}
\notag
$$
для которого коммутативна диаграмма 4.4. Теорема КлейнаПокажем, что доказательство равенства (2.2) при $n=6$, т. е. равенства
$$
\begin{equation}
C^\circ(\mathfrak{C})=\operatorname{CS}(\mathfrak{C})\cap\mathfrak{QC}^\circ(\operatorname{sk}),
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
можно провести с помощью теоремы Рона и функций Джуберта. Сначала приведем формулировку теоремы Рона с помощью функций Джуберта. Для этого введем многочлены (см. [26])
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} g_1 &=\frac{1}{3}f_1-f_2-f_3-f_4, &\qquad g_2 &=\frac{1}{3}f_1-f_2+f_3+f_4, \\ g_3 &=\frac{1}{3}f_1+f_2-f_3+f_4, &\qquad g_4 &=\frac{1}{3}f_1+f_2+f_3-f_4, \\ g_5 &=-\frac{2}{3}f_1+2f_5, &\qquad g_6 &=-\frac{2}{3}f_1-2f_5, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
где $f_1=f_1(x,y,z,w)$, $\dots$, $f_5=f_5(x,y,z,w)$ – многочлены из п. 4.3, причем система координат $(x,y,z,w)$ на $L$ – одна из двух систем координат, из которых получается фиксированная система координат Клейна $(v_1,\dots,v_6)$ на $V$. Нетрудно убедиться, что, если куммерова квартика $K$ задана уравнением (4.4), то она также задается уравнением где $u_1=u_1(A,\dots,E)$, $\dots$, $u_6=u_6(A,\dots,E)$. Поэтому из теоремы 4.2 вытекает следующее утверждение.Следствие 4.3. Если квадратичный комплекс $\mathfrak{C}\in\mathfrak{QC}^\circ(\operatorname{sk})$ задан уравнением (4.5), то ассоциированная куммерова квартика $K(\mathfrak{C})\subset\mathbb{P}(L)$ задается уравнением (4.7), где коэффициенты $u_1,\dots,u_6$ равны значениям функций Джуберта в точке $(a_1,\dots,a_6)$. Обозначим через $\operatorname{KQ}(\operatorname{sk})$ множество куммеровых квартик в $\mathbb{P}(L)$, которые получаются из квадратичных комплексов в $\mathfrak{QC}^\circ(\operatorname{sk})$ с помощью отображения Плюккера–Клейна, а через $\mathrm{S}_3^\circ$ обозначим дополнение плоскостей Сегре в $\mathrm{S}_3$. Оказывается, что функции Джуберта задают изоморфизм (см., например, [3; с. 525], а также [27])
$$
\begin{equation*}
\mathcal{J}\colon \mathcal{M}_{0,6}\xrightarrow{\approx}\mathrm{S}_3^\circ.
\end{equation*}
\notag
$$
Из следствия 2.2 получаем, что отображение Плюккера–Клейна
$$
\begin{equation*}
\operatorname{PK}\colon \mathfrak{QC}^\circ(\operatorname{sk}) \to\operatorname{KQ}(\operatorname{sk})
\end{equation*}
\notag
$$
раскладывается в композицию
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{QC}^\circ(\operatorname{sk})\stackrel{\mu}{\longrightarrow}\mathcal{M}_{0,6} \stackrel{\kappa}{\longrightarrow}\operatorname{KQ}(\operatorname{sk}),
\end{equation*}
\notag
$$
где отображение $\mu$ сопоставляет квадратичному комплексу $\mathfrak{C}\in\mathfrak{QC}^\circ(\operatorname{sk})$, заданному уравнением точку $[a_1,\dots,a_6]\in\mathcal{M}_{0,6}$. Покажем, что имеет место следующая лемма. Лемма 4.4. Справедливы утверждения: 1) образ отображения Джуберта $J\colon \mathfrak{QC}^\circ(\operatorname{sk})\to \mathrm{S}_3$ равен $\mathrm{S}_3^\circ$; 2) отображение – биекция. Доказательство. Рассмотрим коммутативную диаграмму Так как отображение $\mu$ сюръективно, то первое утверждение леммы доказано. Поэтому получаем изоморфизм
$$
\begin{equation*}
\mathrm{G}\colon \operatorname{KQ}(\operatorname{sk})\xrightarrow{\approx} \mathrm{S}_3^\circ,
\end{equation*}
\notag
$$
который куммеровой квартике $K\in\operatorname{KQ}(\operatorname{sk})$, заданной уравнением (4.7), сопоставляет точку $(u_1:\dots:u_6)$. Остается заметить, что композиция отображений равна изоморфизму Лемма доказана. Заметим теперь, что из биективности отображения $\kappa\colon \mathcal{M}_{0,6}\to\operatorname{KQ}(\operatorname{sk})$ вытекает равенство (4.6). Окончание доказательства КСБ-теоремы при $n=6$ аналогично окончанию доказательства в общем случае. Отметим только, что при $n=6$ ситуация более простая, так как ортогональный грассманиан $\operatorname{G}$ является проективным пространством $\mathbb{P}^3=\mathbb{P}(L)$. В данном случае нужно использовать изоморфизм групп
$$
\begin{equation*}
\wedge\colon \operatorname{PSL}(L)\xrightarrow{\approx}\operatorname{PSO}(V).
\end{equation*}
\notag
$$
Если подгруппы $\operatorname{T}(\operatorname{sk}),\operatorname{T}(\operatorname{sk}') \subset\operatorname{PSO}(V)$ разные, то и подгруппы
$$
\begin{equation*}
\wedge^{-1}(\operatorname{T}(\operatorname{sk})),\wedge^{-1}(\operatorname{T}(\operatorname{sk}')) \subset\operatorname{PSL}(L)=\operatorname{Aut}\mathbb{P}(L)
\end{equation*}
\notag
$$
разные. Но группы $\wedge^{-1}(\operatorname{T}(\operatorname{sk}))$, $\wedge^{-1}(\operatorname{T}(\operatorname{sk}'))$ являются группам трансляций куммеровых квартик из множеств $\operatorname{KQ}(\operatorname{sk})$, $\operatorname{KQ}(\operatorname{sk}')$ соответственно. Следовательно, множества $\operatorname{KQ}(\operatorname{sk})$, $\operatorname{KQ}(\operatorname{sk}')$ не пересекаются. 4.5. Общее замечаниеПриведенное доказательство теоремы Клейна о косингулярных квадратичных комплексах, по-видимому, является новым. Впрочем, его можно было привести сто лет назад, так как свойство функций Джуберта, которое применялось в доказательстве, приведено в работе [27]. Из первого утверждения леммы 4.4 получаем, что образ отображения Рона $\mathcal{R}\colon \mathfrak{QC}^\circ(\operatorname{sk})\to\mathcal{S}_3$ равен $\mathcal{S}_3^\circ$. Другое доказательство этого утверждения имеется в [28]. Отметим также, что его можно вывести из результатов работы [29]. Как следствие получаем малоизвестное предложение. Предложение 4.5. Если точка $(A:B:C:D:E)$ принадлежит $\mathcal{S}_3^\circ$, то уравнение определяет куммерову квартику. Одной из причин написания § 4 является вышеприведенное доказательство предложения 4.5; по-видимому, оно новое. Это предложение дополняет следующее более известное утверждение (см, например, [3; теорема 10.3.14]). Теорема 4.6. Если $K\,{\subset}\,\mathbb{P}(L)$ – куммерова квартика, то существует система координат $(x,y,z,w)$ на $L$ такая, что квартика $K$ задается уравнением (4.8), коэффициенты которого удовлетворяют условию $(A\,{:}\,B\,{:}\,C\,{:}\,D\,{:}\,E)\,{\in}\,\mathcal{S}_3$. Заметим, что если точка $(A:B:C:D:E)$ принадлежит плоскости Сегре на кубике $\mathcal{S}_3$, то уравнение (4.8) определяет квартику с неизолированными особенностями. Поэтому эта квартика не является куммеровой поверхностью. Но в семействе поверхностей (4.8) существуют такие куммеровы квартики, что коэффициенты не удовлетворяют условию $(A:B:C:D:E)\in\mathcal{S}_3$. Например, квартика является такой поверхностью. Существует в точности тридцать таких куммеровых квартик, причем все они проективно изоморфны квартике (4.9) (см. подробности, например, в [30]).
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kra22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|