|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)
Обобщенное отображение Плюккера–Клейна
В. А. Краснов Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Аннотация:
Пересечение двух квадрик будем называть биквадрикой. Если в пучке квадрик, проходящих через данную биквадрику, отмечена одна неособая квадрика, то данную биквадрику будем называть отмеченной биквадрикой. В классических работах Плюккера и Клейна трехмерной отмеченной биквадрике (квадратичному комплексу прямых с отмеченной квадрикой Плюккера–Клейна) каноническим образом сопоставляется куммерова поверхность. В диссертации М. Рида это сопоставление обобщено на нечетномерные отмеченные биквадрики произвольной размерности $\geqslant 3$. В этом случае биквадрике размерности $2g-1$ сопоставляется куммерово многообразие размерности $g$. М. Рид ограничился только построением обобщенного отображения Плюккера–Клейна. Так как и в дальнейшем это отображение не изучалось, то возникает задача о создании соответствующей теории. Настоящая работа посвящена частичному решению этой задачи.
Библиография: 30 наименований.
Ключевые слова:
отображение Плюккера–Клейна, квадрика, пучок квадрик, биквадрика, отмеченная биквадрика, косингулярные биквадрики, многообразие Клейна.
Поступило в редакцию: 22.06.2020
Введение Классическое отображение Плюккера–Клейна сопоставляет квадратичному комплексу прямых $\mathfrak{C}\subset\mathbb{P}^5$ куммерову квартику $K(\mathfrak{C})\subset\mathbb{P}^3$ (см. подробности в [1]–[3] и в § 4 настоящей статьи, см. также [4]–[6], где рассматриваются пересечения двух квадрик; классические источники [7]–[9]). Заметим, что квадратичный комплекс по определению равен пересечению двух четырехмерных квадрик $\mathfrak{Q}\cap Q\subset\mathbb{P}^{5}$, где квадрика $\mathfrak{Q}$ – грассманиан прямых в $\mathbb{P}^3$, вложенный в $\mathbb{P}^5$ плюккеровым отображением, а $Q\subset\mathbb{P}^{5}$ – другая квадрика. В своей диссертации (см. [4]) М. Рид неособому пересечению двух квадрик (биквадрике) $B=Q_1\cap Q_2\subset\mathbb{P}^{2g+1}$, $g\geqslant 2$, сопоставляет куммерово многообразие $K(B)$ размерности $g$ в максимальном ортогональном грассманиане квадрики $Q_1$ (см. [4; § 4.1]). М. Рид ограничился построением обобщенного отображения Плюккера–Клейна. Дальнейшего развития конструкция М. Рида не получила и в других работах, посвященных пересечению двух квадрик. Настоящая работа, в частности, посвящена изучению обобщенного отображения Плюккера–Клейна, введенного М. Ридом. Прежде чем сформулировать полученные результаты, приведем необходимые определения и обозначения. Далее $V$ – комплексное векторное пространство размерности $n=2m= 2g+ 2\geqslant 6$, а $\mathfrak{q}(\mathbf{v})$ – фиксированная невырожденная квадратичная форма на $V$. Через
$$
\begin{equation*}
\operatorname{sk}=(v_1,\dots,v_n)\in(V^\vee)^n
\end{equation*}
\notag
$$
будем обозначать произвольную, ортонормированную относительно $\mathfrak{q}(\mathbf{v})$, систему координат на $V$, а через $\mathfrak{Q}\subset\mathbb{P}(V)$ обозначим квадрику, заданную уравнением $\mathfrak{q}(\mathbf{v})\,{=}\,0$. Схемное пересечение квадрик $\mathfrak{Q}\cap Q\subset\mathbb{P}(V)$, где $Q\subset\mathbb{P}(V)$ – произвольная квадрика, отличная от $\mathfrak{Q}$, будем называть $\mathfrak{Q}$-биквадрикой. Каждая $\mathfrak{Q}$-биквадрика $B$ является отмеченной биквадрикой, так как в пучке квадрик, проходящих через $B$, отмечена квадрика $\mathfrak{Q}$. Далее будем называть $\mathfrak{Q}$-биквадрику просто биквадрикой, если из контекста ясно, что речь идет о $\mathfrak{Q}$-биквадриках. Множество таких биквадрик обозначим через $\operatorname{BQ}=\operatorname{BQ}(\mathfrak{Q})$, а через $\operatorname{BQ}^\circ=\operatorname{BQ}^\circ(\mathfrak{Q})$ обозначим подмножество в $\operatorname{BQ}$, состоящее из неособых биквадрик. Каждая биквадрика $B\in\operatorname{BQ}$ определяет прямую $L=L(B)$ в проективном пространстве квадрик $\mathbb{P}(\mathrm{S}^2V^\vee)$ (пучок квадрик), состоящую из квадрик, проходящих через $B$. Поэтому множество биквадрик $\operatorname{BQ}$ равно множеству прямых в $\mathbb{P}(\mathrm{S}^2V^\vee)$, проходящих через фиксированную квадрику $\mathfrak{Q}$. Следовательно, множество $\operatorname{BQ}$ является проективным пространством размерности $N$, где
$$
\begin{equation*}
N=\frac{n(n+1)}{2}-2,
\end{equation*}
\notag
$$
а множество $\operatorname{BQ}^\circ$ – дополнение дискриминантной гиперповерхности в $\operatorname{BQ}$. Следовательно, $\operatorname{BQ}^\circ$ – аффинное алгебраическое многообразие размерности $N$. Если $B\in\operatorname{BQ}^\circ$, то в пучке $L(B)$ находятся в точности $n$ особых квадрик $Q_1,\dots,Q_n$, причем каждая из них имеет единственную особую точку. Если $p\in L(B)$, то через $Q_p$ обозначим соответствующую квадрику; точки на прямой $L(B)$, соответствующие особым квадрикам $Q_1,\dots,Q_n$, обозначим через $p_1,\dots,p_n$. Обозначим через $\Phi=\Phi(\mathfrak{Q})$ многообразие Фано, точками которого являются проективные $g$-плоскости, содержащиеся в $\mathfrak{Q}$. Многообразие $\Phi$ – неособое и состоит из двух компонент связности $\operatorname{G}_\pm=\operatorname{G}_\pm(\mathfrak{Q})$. Эти компоненты являются неособыми многообразиями размерности $g(g+1)/2$; они изоморфны. Две $g$-плоскости $\Pi,\Pi'\in\Phi$ принадлежат одной компоненте тогда и только тогда, когда выполняется соотношение
$$
\begin{equation*}
\dim\Pi\cap\Pi'\equiv g\mod2.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что при $n=6$ многообразия $\operatorname{G}_\pm$ – это трехмерные проективные пространства (см. [1; гл. 6], а также замечание в конце п. 4.2 в настоящей статье), а при $n=8$ многообразия $\operatorname{G}_\pm$ – шестимерные квадрики (см. [10; § 20.3]). Так как на квадрике $\mathfrak{Q}$ не существует плоскостей размерности больше $g$, то многообразия $\operatorname{G}_\pm$ называются максимальными ортогональными грассманианами квадрики $\mathfrak{Q}$. Если $B\in\operatorname{BQ}^\circ$, то определены куммеровы многообразия $K_\pm=K_\pm(B)\subset\operatorname{G}_\pm$ размерности $g$. Каждое из них состоит из $g$-плоскостей $\Pi\in\operatorname{G}_\pm$ таких, что пересечение $\Pi$ с биквадрикой $B$ равно объединению двух $(g-1)$-плоскостей (может быть совпадающих). Заметим, что мы рассматриваем пересечение $\Pi\,{\cap}\, B$ как множество, в частности, выполняется равенство $\Pi\cap B=\Pi\cap Q$, если $B=\mathfrak{Q}\,{\cap}\, Q$. Поэтому в общем случае пересечение $\Pi\cap B$ является неособой квадрикой. Следовательно, куммеровы многообразия $K_\pm(B)\subset \operatorname{G}_\pm$ состоят из таких $g$-плоскостей $\Pi\in \operatorname{G}_\pm$, что квадрика $\Pi\cap B=\Pi\cap Q$ вырождается до конуса ранга $\leqslant 2$. Многообразия $K_\pm(B)$ в общем случае были введены в [4]; будем их называть куммеровыми многообразиями, ассоциированными с биквадрикой $B$. Утверждение о том, что $K_\pm(B)$ действительно являются куммеровыми многообразиями не было полностью доказано в [4], но в работе [11] объяснено как закончить доказательство этого утверждения с помощью результата в [12] (см. подробности в п. 1.2). На самом деле многообразия $K_+(B)$, $K_-(B)$ изоморфны куммерову многообразию якобиана двулистного накрытия $W$ прямой $L(B)$ с ветвлением в точках $p_1,\dots,p_n\in L(B)$. Далее куммерово многообразие якобиана кривой $C$ будем называть куммерианом этой кривой и обозначать через $K(C)$. Таким образом, многообразия $K_+(B)$, $K_-(B)$ изоморфны куммериану $K(W)$. С другой стороны, якобиан $J(W)$ изоморфен промежуточному якобиану $J(B)$ биквадрики $B$, поэтому многообразия $K_+(B)$, $K_-(B)$ изоморфны куммерову многообразию, полученному из промежуточного якобиана $J(B)$. Если $B=\mathfrak{Q}\cap Q$ – биквадрика, и $\operatorname{sk}=(v_1,\dots,v_n)$ – некоторая система координат, то биквадрика $B$ задается системой уравнений
$$
\begin{equation*}
v_1^2+\dots+v_n^2=0,\qquad \sum_{i,j=1}^na_{ij}v_iv_j=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где первое уравнение определяет квадрику $\mathfrak{Q}$, а второе – квадрику $Q$. Далее при задании биквадрики будем выписывать только второе уравнение. Если $B\in\operatorname{BQ}^\circ$, то существует система координат $\operatorname{sk}=(v_1,\dots,v_n)$ такая, что биквадрика $B$ задается уравнением
$$
\begin{equation}
a_1v_1^2+\dots+a_nv_n^2=0,
\end{equation}
\tag{0.1}
$$
где коэффициенты $a_1,\dots,a_n$ – различные комплексные числа. Система координат $(v_1,\dots,v_n)$ определяется биквадрикой $B\in\operatorname{BQ}^\circ$ однозначно с точностью до перестановки координат и умножения некоторых из них на $-1$. Если одна такая система координат зафиксирована, то коэффициенты $a_1,\dots,a_n$ определяются биквадрикой однозначно с точностью до аффинного преобразования
$$
\begin{equation*}
a\mapsto\alpha a+\beta,\qquad\alpha,\beta\in\mathbb{C},\quad \alpha\neq0,
\end{equation*}
\notag
$$
прямой $\mathbb{C}$. Биквадрики $B,B'\in\operatorname{BQ}^\circ$ называются косингулярными, если ассоциированные с ними куммеровы многообразия совпадают, т. е. выполняются равенства множеств
$$
\begin{equation*}
K_+(B)=K_+(B'),\qquad K_-(B)=K_-(B').
\end{equation*}
\notag
$$
На самом деле для косингулярности биквадрик $B,B'\in\operatorname{BQ}^\circ$ достаточно выполнения одного из этих равенств (см. предложение 1.13). В данной работе будет доказана следующая теорема. Теорема 0.1. Пусть биквадрика $B\in\operatorname{BQ}^\circ$ задана уравнением (0.1); тогда множество биквадрик, отличных от $B$, но косингулярных $B$, состоит из биквадрик, заданных уравнениями
$$
\begin{equation}
\frac{1}{t-a_1}\, v_1^2+\dots+\frac{1}{t-a_n}\, v_n^2=0,
\end{equation}
\tag{0.2}
$$
где $t\in\mathbb{C}\setminus\{a_1,\dots,a_n\}$ и $(v_1,\dots,v_n)$ – система координат в уравнении (0.1). Заметим, что из этой теоремы вытекает следующее утверждение. Следствие 0.2. Пусть биквадрики $B,B'\in\operatorname{BQ}^\circ$ заданы уравнениями
$$
\begin{equation*}
a_1v_1^2+\dots+a_nv_n^2=0,\qquad a'_1v_1^2+\dots+a'_nv_n^2=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $(v_1,\dots,v_n)\in(V^\vee)^n$ – некоторая ортонормированная система координат. Тогда справедливо утверждение: биквадрики $B$, $B'$ косингулярны, если и только если существует дробно-линейное преобразование
$$
\begin{equation*}
a\mapsto\frac{\alpha a+\beta}{\gamma a+\delta},
\end{equation*}
\notag
$$
которое переводит последовательность чисел $a_1,\dots,a_n$ в последовательность чисел $a'_1,\dots,a'_n$ (сохраняя нумерацию). Далее для фиксированной системы координат $\operatorname{sk}=(v_1,\dots,v_n)$ будем обозначать через $\operatorname{BQ}(\operatorname{sk})$ множество биквадрик, заданных уравнениями вида (0.1), где $a_1,\dots,a_n$ – произвольные числа, неравные одновременно друг другу. Множество $\operatorname{BQ}(\operatorname{sk})$ является проективным пространством размерности $n-2$. Через $\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$ обозначим подмножество, состоящее из неособых биквадрик в $\operatorname{BQ}(\operatorname{sk})$. Отметим, что из следствия 0.2 можно вывести теорему 0.1, но для этого требуется дополнительное исследование. При $n=6$, т. е. для квадратичных комплексов, теорема 0.1 доказана в [7], но предложенное там доказательство использует специфику такой биквадрики, поэтому не годится для общего случая. Доказательства теоремы Клейна в [8], [9] мало отличаются от доказательства Клейна. Других доказательств теоремы 0.1 при $n=6$ в известной мне литературе я не нашел. Тем более отсутствуют доказательства при $n>6$. В частности, в [1]–[3] косингулярные квадратичные комплексы вообще не рассматриваются, а из работ [4]–[6] только работу [4] можно считать, имеющей косвенное отношение к понятию косингулярности биквадрик. Отметим, что в этих работах одним из результатов является глобальная теорема Торелли для биквадрик, которая утверждает, что если изоморфны поляризованные промежуточные якобианы $J(B)$, $J(B')$ биквадрик $B,B'\in\operatorname{BQ}^\circ$, то $B,B'$ изоморфны как неотмеченные биквадрики. Заметим, что теорема 0.1 не является следствием глобальной теоремы Торелли и других результатов из работ, посвященных биквадрикам (см. п. 2.5). Легко доказать, что если биквадрика $B'$ задана уравнением вида (0.2), то биквадрика $B'$ косингулярна биквадрике $B$, заданной уравнением (0.1) (см. подробности в п. 2.1), но значительно труднее доказать обратное утверждение. Далее сформулированную теорему 0.1 будем называть теоремой о косингулярных биквадриках, а также более кратко КСБ-теоремой. Если применить следствие 0.2 и утверждение про кривые Веронезе из работы [13], то получим красивую геометрическую интерпретацию результата КСБ-теоремы. Чтобы привести соответствующее утверждение, обозначим через $\operatorname{CS}(B)$ множество биквадрик в $\operatorname{BQ}^\circ$, косингулярных $B$. Саму биквадрику $B$ считаем косингулярной себе, поэтому $B\in\operatorname{CS}(B)$. Как абстрактное многообразие множество $\operatorname{CS}(B)$ является проективной прямой с $n$ проколами, но важно ее расположение в многообразии $\operatorname{BQ}$. Через $\overline{\operatorname{CS}}(B)$ обозначаем замыкание множества $\operatorname{CS}(B)$ в $\operatorname{BQ}$. Приведем геометрическое описание множеств $\overline{\operatorname{CS}}(B)$, $\operatorname{CS}(B)$. Для этого потребуется геометрическое описание многообразия $\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$. Напомним, что через $\mathcal{M}_{0,n}$ обозначается многообразие модулей пронумерованных наборов из $n$ различных точек на проективной прямой. Класс проективной эквивалентности набора точек $p_1,\dots,p_n\in\mathbb{P}^1$ обозначим через $[p_1,\dots,p_n]$. Аналогично, обозначим через $\mathcal{M}_{n}$ многообразие модулей пронумерованных наборов из $n$ различных точек на аффинной прямой. Класс аффинной эквивалентности набора точек $a_1,\dots,a_n\in\mathbb{C}$ обозначим через $|a_1,\dots,a_n|$. Сопоставим биквадрике $B\in\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$, заданной уравнением (0.1), точку $\mathcal{J}(B)=|a_1,\dots,a_n|$; тогда получим изоморфизм многообразий
$$
\begin{equation*}
\mathcal{J}\colon \operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk}) \xrightarrow{\approx}\mathcal{M}_{n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если биквадрика $B$ принадлежит $\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$, то из КСБ-теоремы следует, что множество $\operatorname{CS}(B)$ содержится в $\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$, а множество $\overline{\operatorname{CS}}(B)$ содержится в проективном пространстве $\operatorname{BQ}(\operatorname{sk})$. Через $B_1,\dots,B_n\in\operatorname{BQ}(\operatorname{sk})$ обозначим особые биквадрики, которые соответственно задаются уравнениями $v_1^2=0$, $\dots$, $v_n^2=0$. Нетрудно убедиться с помощью КСБ-теоремы, что множество ${\overline{\operatorname{CS}}(B)\setminus\operatorname{CS}(B)}$ состоит из биквадрик $B_1,\dots,B_n$. Заметим, что точки $B, B_1,\dots, B_n\in\operatorname{BQ}(\operatorname{sk})$ находятся в общем положении. Поэтому существует и единственная нормальная рациональная кривая степени $n-2$, проходящая через точки $B,B_1,\dots,B_n$. Такая кривая в [13] называется кривой Веронезе. Из КСБ-теоремы с помощью непосредственной проверки (можно заменить проверку утверждениями в [13]) вытекает следующее утверждение. Следствие 0.3. Если $B\in\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$, то множество $\overline{\operatorname{CS}}(B)\subset\operatorname{BQ}(\operatorname{sk})$ равно кривой Веронезе, проходящей через точки $B,B_1,\dots,B_n$. Далее кривую Веронезе в $\operatorname{BQ}(\operatorname{sk})$, проходящую через $B,B_1,\dots,B_n$, обозначим через $C(B)$, а кривую $C(B)\setminus\{B_1,\dots,B_n\}$ – через $C^\circ(B)$ и назовем неполной кривой Веронезе. Поэтому выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{CS}(B)=C^\circ(B).
\end{equation*}
\notag
$$
Через $\operatorname{KV}_\pm=\operatorname{KV}_\pm(\operatorname{BQ}^\circ)$ будем обозначать множества, элементами которых являются куммеровы многообразия в $\operatorname{G}_\pm$, полученные из биквадрик $B\in\operatorname{BQ}^\circ$; тогда получаем отображения Плюккера–Клейна
$$
\begin{equation*}
\operatorname{PK}_\pm\colon \operatorname{BQ}^\circ\to\operatorname{KV}_\pm,
\end{equation*}
\notag
$$
которые биквадрике $B$ сопоставляют куммеровы многообразия $K_\pm(B)\subset \operatorname{G}_\pm$. Далее $\operatorname{G}$ – одно из многообразий $\operatorname{G}_\pm$, $\operatorname{KV}$ – соответствующее одно из множеств $\operatorname{KV}_\pm$, а
$$
\begin{equation*}
\operatorname{PK}\colon \operatorname{BQ}^\circ\to\operatorname{KV}
\end{equation*}
\notag
$$
– соответствующее отображение Плюккера–Клейна. Заметим, что слои этого отображения являются неполными кривыми Веронезе. Через $\operatorname{KV}(\operatorname{sk})\subset\operatorname{KV}$ обозначим образ многообразия $\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$ при отображении
$$
\begin{equation*}
\operatorname{PK}\colon \operatorname{BQ}^\circ\to\operatorname{KV}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из следствия 0.2 вытекает, что изоморфизм
$$
\begin{equation*}
\mathcal{J}\colon \operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})\xrightarrow{\approx}\mathcal{M}_{n}
\end{equation*}
\notag
$$
индуцирует биекцию
$$
\begin{equation*}
[\mathcal{J}]\colon \operatorname{KV}(\operatorname{sk})\xrightarrow{\approx}\mathcal{M}_{0,n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта биекция задает на множестве $\operatorname{KV}(\operatorname{sk})$ структуру аффинного алгебраического многообразия, а также получаем следующее утверждение. Следствие 0.4. Рассмотрим отображение $\pi\colon \mathcal{M}_{n}\to\mathcal{M}_{0,n}$, которое точке $|a_1,\dots,a_n|\in\mathcal{M}_{n}$ сопоставляет точку $[a_1,\dots,a_n]\in\mathcal{M}_{0,n}$, тогда диаграмма коммутативна. Так как отображение $\pi\colon \mathcal{M}_{n}\to\mathcal{M}_{0,n}$ является регулярной субмерсией, то отображение $\operatorname{PK}\colon \operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})\to\operatorname{KV}(\operatorname{sk})$ – регулярная субмерсия, слоями которой являются неполные кривые Веронезе. Заметим, что многообразие $\mathcal{M}_{n}$ канонически изоморфно многообразию $\mathcal{M}_{0,n+1}$. Соответствующий изоморфизм сопоставляет точке $|a_1,\dots,a_n|\in\mathcal{M}_{n}$ точку $[a_1,\dots,a_n,\infty]\in\mathcal{M}_{0,n+1}$. Если применить этот изоморфизм, то получим, что проекция $\pi\colon \mathcal{M}_{n}\to\mathcal{M}_{0,n}$ совпадет с отображением забывания последней точки $\mathcal{M}_{0,n+1}\to\mathcal{M}_{0,n}$, рассмотренного в [13]. Отметим наконец, что следствие 0.4 будет применяться для получения геометрической модели полного отображения Плюккера–Клейна, а также для доказательства следующего утверждения. Следствие 0.5. На множестве $\operatorname{KV}$ существует структура неособого аффинного алгебраического многообразия такая, что отображение Плюккера–Клейна
$$
\begin{equation*}
\operatorname{PK}\colon \operatorname{BQ}^\circ\to\operatorname{KV}
\end{equation*}
\notag
$$
является регулярной субмерсией. Заметим, что во второй половине прошлого века пересечения двух квадрик, т. е. биквадрики, применялись для построения геометрических моделей многообразий модулей векторных расслоений на гиперэллиптической кривой (см. [14], [15], [11]). В частности, для этих целей в работе [15] рассмотрено многообразие, составленное из косингулярных квадратичных комплексов, которое было названо многообразием Клейна (см. [15; теорема 4]). Приведем определение такого многообразия в общем случае. Если $B\in\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$, то через $\operatorname{Kl}=\operatorname{Kl}(B)$ обозначим подмногообразие произведения $C(B)\times\mathfrak{Q}$, определенное соотношением инцидентности
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Kl}(B)=\{(B',\mathbf{v})\in C(B)\times\mathfrak{Q}\mid \mathbf{v}\in B'\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Многообразие $\operatorname{Kl}(B)$ будем называть многообразием Клейна, ассоциированным с биквадрикой $B$. Определена проекция
$$
\begin{equation*}
\operatorname{pr}\colon \operatorname{Kl}(B)\to C(B)
\end{equation*}
\notag
$$
на первый сомножитель, слоями которой над точками из $C^\circ(B)$ являются косингулярные $B$ биквадрики, а остальные слои – это двойные квадрики $B_1,\dots,B_n$. Чтобы сформулировать нужный нам результат из работы [15], введем дополнительные обозначения. Точки на кривой $C(B)$, соответствующие особым биквадрикам $B_1,\dots,B_n$, будем обозначать через $c_1,\dots,c_n$. Через $\Sigma=\Sigma(B)$ обозначим двулистное накрытие кривой $C=C(B)$ с ветвлением в точках $c_1,\dots,c_n$, а через $\sigma\colon \Sigma\to\Sigma$ обозначим соответствующую гиперэллиптическую инволюцию. Прообразы точек $c_1,\dots,c_n$ при проекции $\pi\colon \Sigma\to C$ обозначим через $p_1,\dots,p_n\in\Sigma$. Через $\mathcal{U}(1)=\mathcal{U}_\Sigma(1)$ будем обозначать многообразие модулей стабильных ранга $2$ векторных расслоений степени $1$ на кривой $\Sigma$. В многообразии $\mathcal{U}_\Sigma(1)$ рассмотрим подмногообразие $\mathcal{U}(*)=\mathcal{U}_\Sigma(*)$, состоящее из классов изоморфизма расслоений $E$ таких, что для $E$ существует точка $p\in\Sigma$ и изоморфизм $\det E\xrightarrow{\approx}\mathcal{O}(p)$. Тогда определена проекция
$$
\begin{equation*}
\operatorname{pr}\colon \mathcal{U}(*)\to\Sigma,
\end{equation*}
\notag
$$
которая классу расслоения $E$ сопоставляет точку $p\in\Sigma$, если $\det E\cong\mathcal{O}(p)$. Инволюция $\sigma\colon \Sigma\to\Sigma$ действует на расслоении $\mathcal{U}(*)\to\Sigma$, поэтому после факторизации получаем расслоение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{pr}\colon \mathcal{U}(*)/\sigma\to C.
\end{equation*}
\notag
$$
В статье [15] доказано утверждение: при $n=6$ существует изоморфизм расслоений
$$
\begin{equation*}
\mathcal{U}(*)/\sigma\to C,\qquad \operatorname{Kl}\to C.
\end{equation*}
\notag
$$
Можно доказать аналогичное утверждение для расслоения $\mathcal{U}(*)\to\Sigma$, если заменить многообразие Клейна $\operatorname{Kl}$ на другое многообразие, к определению которого мы приступаем. Рассмотрим диаграмму расслоенного произведения Так как особые слои расслоения $\operatorname{Kl}\to C$ – это двойные квадрики $B_1,\dots,B_n$, то $\operatorname{Kl}\times_C\Sigma$ не будет нормальным многообразием. Нормализацию этого многообразия обозначим через $\mathfrak{Kl}=\mathfrak{Kl}(B)$; тогда определена проекция $\operatorname{pr}\colon \mathfrak{Kl}\to\Sigma$. Будет доказано, что эта проекция задает локально тривиальное расслоение со слоем $B$ (см. подробности в п. 3.6). Многообразие $\mathfrak{Kl}$ – неособое, в отличии от многообразия $\operatorname{Kl}$, поэтому назовем его неособым многообразием Клейна. Из определения многообразий $\operatorname{Kl}$, $\mathfrak{Kl}$ видно, что многообразие $\mathfrak{Kl}$ является двулистным накрытием многообразия $\operatorname{Kl}$; соответствующую инволюцию накрытия обозначаем через $\sigma$. Тогда на расслоении $\mathfrak{Kl}\to\Sigma$ эквивариантно действует инволюция $\sigma$, причем после факторизации по ней получаем расслоение $\operatorname{Kl}\to C$. Оказывается, что справедливо следующее утверждение: при $n=6$ существует изоморфизм расслоений
$$
\begin{equation*}
\mathcal{U}(*)\to\Sigma,\qquad\mathfrak{Kl}\to\Sigma,
\end{equation*}
\notag
$$
эквивариантный относительно действия инволюции $\sigma$. Конечно, из этого утверждения вытекает вышеприведенное утверждение. Но оба утверждения неверны при $n>6$; это видно из сравнения размерностей многообразий. Тем не менее понятно, как обобщить эти утверждения для произвольных $n$. Приведем соответствующие соображения. Обозначим через $\mathcal{F}=\mathcal{F}(B)$ многообразие Фано, состоящее из $(g-2)$-плоскостей на $B$, а через $\mathcal{SU}_p$, где $p\in\Sigma$ – фиксированная точка, обозначим многообразие модулей стабильных ранга 2 векторных расслоений на кривой $\Sigma$ с детерминантом, изоморфным линейному расслоению $\mathcal{O}(p)$. Многообразия $\mathcal{SU}_p$ при разных $p$ изоморфны. В [11] доказано, что существует изоморфизм многообразий $\mathcal{SU}_p=\mathcal{F}$; некоторые подробности об этом изоморфизме приведены в п. 3.4. Проекция $\operatorname{pr}\colon \mathcal{U}(*)\to\Sigma$ – $\sigma$-эквивариантна и является локально тривиальным расслоением. Так как многообразия $\mathcal{SU}_p$ изоморфны $\mathcal{F}$, то эта проекция также является локально тривиальным расслоением со слоем $\mathcal{F}$. Построим аналогичное расслоение со слоем $\mathcal{F}$ из расслоения $\operatorname{pr}\colon \mathfrak{Kl}\to\Sigma$. Каждый слой расслоения $\mathfrak{Kl}_p$ изоморфен $B$. Все автоморфизмы многообразия $B$ проективные, поэтому определено многообразие Фано $\mathfrak{F}_p=\mathcal{F}(\mathfrak{Kl}_p)$, состоящее из $(g-2)$-плоскостей на $\mathfrak{Kl}_p\cong B$. Так как расслоение $\operatorname{pr}\colon \mathfrak{Kl}\to\Sigma$ локально тривиальное, то многообразия $\mathfrak{F}_p$, $p\in\Sigma$, образуют локально тривиальное расслоение $\operatorname{pr}\colon \mathfrak{F}\to\Sigma$ со слоем $\mathcal{F}$. Таким образом, имеем два локально тривиальных расслоения
$$
\begin{equation*}
\mathcal{U}(*)\to\Sigma,\qquad\mathfrak{F}\to\Sigma
\end{equation*}
\notag
$$
со слоем $\mathcal{F}$; на этих расслоениях естественным образом действует инволюция $\sigma$. В настоящей работе будет доказана следующая теорема. Теорема 0.6. Существует изоморфизм расслоений
$$
\begin{equation*}
\mathcal{U}(*)\to\Sigma,\qquad\mathfrak{F}\to\Sigma,
\end{equation*}
\notag
$$
эквивариантный относительно действия инволюции $\sigma$. В работе [15] впервые было замечено, что косингулярные квадратичные комплексы образуют кривую Веронезе степени $4$, т. е. скрученную квартику. Часть результатов из статьи [15] были обобщены в работе [11], но теорема о многообразии Клейна не обобщалась. Вышеприведенная теорема 0.6 ликвидирует этот пробел. Теперь скажем несколько слов о структуре и содержании статьи. Кроме Введения настоящая работа содержит четыре параграфа. В § 1 приведены предварительные сведения, необходимые для доказательства КСБ-теоремы. Здесь приводятся некоторые результаты из [4]–[6], посвященные пересечениям двух квадрик; эти результаты дополняются фактами, доказательство которых я не нашел в известной мне литературе. Параграф 2 посвящен доказательству КСБ-теоремы и следствий. Сначала доказывается, что если биквадрика $B'$ задана уравнением вида (0.2), то биквадрика $B'$ косингулярна биквадрике $B$, заданной уравнением (0.1). Затем доказывается утверждение из следствия 0.2. Для этого применяется специальная теорема Торелли для гиперэллиптических кривых с пронумерованными точками ветвления. Наконец, с помощью дополнительных фактов, приведенных в § 1, из полученных результатов выводится утверждение КСБ-теоремы. Параграф 3 содержит доказательство теоремы 0.6. Здесь применяются известные теоремы о многообразиях модулей векторных расслоений на гиперэллиптической кривой. Параграф 4 – это дополнение, которое посвящено классическому отображению Плюккера–Клейна. При написании данного дополнения я хотел показать, что теорему Клейна о косингулярных квадратичных комплексах можно вывести из теоремы Рона и свойств функций Джуберта. Заметим, что приведенное здесь описание классического отображения Плюккера–Клейна с помощью функций Джуберта, по-видимому, является новым. Следовательно, приведенное доказательство классической теоремы Клейна также, по-видимому, является новым.
§ 1. Предварительные сведения для доказательства КСБ-теоремы В этом параграфе приводятся конструкции и теоремы, которые потребуются при доказательстве КСБ-теоремы. В основном приведенные утверждения являются известными, поэтому доказательства таких утверждений не приводятся. Для дополнительных утверждений, для которых не удалось найти ссылки, приводятся наброски доказательств. 1.1. Семейство ортогональных грассманианов Если $Q\subset\mathbb{P}(V)$ – особая квадрика с единственной особой точкой, то многообразие Фано $\Phi(Q)$, состоящее из $g$-плоскостей в $Q$, связное. Пусть $B\in\operatorname{BQ}^\circ$ и $L=L(B)$ – соответствующий пучок квадрик. Обозначим обычный грассманиан, состоящий из всех $g$-плоскостей в $\mathbb{P}(V)$, через $\operatorname{Gr}$. В произведении $L\times\operatorname{Gr}$ рассмотрим подмногообразие иницидентности $\Phi(L)$, состоящее из пар $(p,\Pi)$, где $\Pi$ – $g$-плоскость на квадрике $Q_p$ пучка $L$. Обозначим через $\operatorname{pr}\colon \Phi(L)\to L$ проекцию на первый сомножитель. Если $p\in L$ – одна из точек $p_1,\dots,p_n$, соответствующих особым квадрикам, то слой $\operatorname{pr}^{-1}(p)$ состоит из одной компоненты связности; в противном случае, он состоит из двух компонент. Проведем факторизацию Штейна точек в компонентах слоев $\operatorname{pr}^{-1}(p)$; тогда получим каноническое двулистное накрытие прямой $L$ с ветвлением в точках $p_1,\dots,p_n\in L$. Обозначим его через $\pi\colon W\to L$. Так как оно зависит от биквадрики $B$, то его полное обозначение – $\pi\colon W(B)\to L(B)$. Покажем, что это двулистное накрытие изоморфно двулистному накрытию $\pi\colon \Sigma(B)\to C(B)$. Действительно, если биквадрика $B\in\operatorname{BQ}^\circ$ задана уравнением
$$
\begin{equation*}
a_1v_1^2+\dots+a_nv_n^2=0,
\end{equation*}
\notag
$$
то пучок $L(B)$ состоит из квадрик $Q(t)$, заданных уравнением
$$
\begin{equation*}
t(v_1^2+\dots+v_n^2)-(a_1v_1^2+\dots+a_nv_n^2)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
а семейство биквадрик $B(t)\in C(B)$ задается уравнением
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{t-a_1}v_1^2+\dots+\frac{1}{t-a_n}v_n^2=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому сопоставление $Q(t)\mapsto B(t)$ индуцирует изоморфизм
$$
\begin{equation*}
L(B)\xrightarrow{\approx}C(B),
\end{equation*}
\notag
$$
который переводит особые квадрики $Q(a_1),\dots,Q(a_n)$ в особые биквадрики $B(a_1),\dots,B(a_n)$, а отмеченную квадрику $\mathfrak{Q}$ – в биквадрику $B$. Таким образом, получили, что двулистное накрытие $W\to L$ изоморфно двулистному накрытию $\Sigma\to C$. Заметим, что факторизация Штейна индуцирует проекцию $\operatorname{pr}\colon \Phi(L)\to W$, сопоставляющую точке $(p,\Pi)$ ее факторкласс. Так как слоями этой проекции являются ортогональные грассманианы, то обозначим полученное расслоение на ортогональные грассманианы через $\operatorname{pr}\colon \operatorname{G}(W)\to W$. В [4] доказано, что многообразие $\operatorname{G}(W)$ – неособое, а проекция $\operatorname{pr}\colon \operatorname{G}(W)\to W$ – регулярная субмерсия. Приведем дополнительные свойства проекции $\operatorname{pr}\colon \operatorname{G}(W)\to W$. Если $w\in W$, то через $\operatorname{G}_w$ обозначим слой $\operatorname{pr}^{-1}(w)$ проекции $\operatorname{pr}\colon \operatorname{G}(W)\to W$. Обозначим через $w_1,\dots,w_n\in W$ точки, которые проектируются соответственно в точки $p_1,\dots,p_n\in L$ при проекции $\pi\colon W\to L$. Так как все неособые квадрики проективно изоморфны друг другу, то слои $\operatorname{G}_w$ при $w\in W\setminus\{w_1,\dots,w_n\}$ изоморфны друг другу и являются ортогональными грассманианами. Но оказывается, что слои $\operatorname{G}_{w_1},\dots,\operatorname{G}_{w_n}$ также изоморфны слоям $\operatorname{G}_w$ при $w\in W\setminus\{w_1,\dots,w_n\}$. Так как даже формулировки этого факта я не нашел в известной мне литературе, то приведем набросок его доказательства, используя результаты из [6]. Рассмотрим семейство квадрик $Q_t\subset\mathbb{P}^{n-1}$, $t\in\mathbb{C}$, заданное уравнением
$$
\begin{equation*}
tz_1^2+z_2^2+\dots+z_n^2=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Квадрика $Q_0$ – особая с единственной особой точкой $p_0=(1:0:\dots:0)$, а квадрика $Q_1$ – неособая. Кроме того, рассмотрим квадрику $Q\subset\mathbb{P}^{n-2}$, заданную уравнением
$$
\begin{equation*}
z_2^2+\dots+z_n^2=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что квадрика $Q$ равна пересечению $Q_t\cap\{z_1=0\}$. Через $\Phi_0$ обозначим многообразие Фано, состоящее из $g$-плоскостей на $Q_0$, через $\Phi_\pm$ обозначим максимальные грассманианы квадрики $Q_1$, а через $\Phi$ – многообразие Фано, состоящее из $(g-1)$-плоскостей на $Q.$ Покажем, что справедлива следующая лемма. Лемма 1.1. Существуют канонические изоморфизмы многообразий
$$
\begin{equation*}
\Phi=\Phi_0,\qquad\Phi=\Phi_\pm.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Построим канонические регулярные биекции
$$
\begin{equation*}
\Phi\xrightarrow{\approx}\Phi_0,\qquad\Phi\xrightarrow{\approx}\Phi_\pm.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $P\in\Phi$, то существуют и единственные $g$-плоскости $\Pi_0\in\Phi_0$, $\Pi_\pm\in\Phi_\pm$, содержащие $P$ (см. [6; лемма 1.3]). Заметим, что в качестве $\Pi_0\in\Phi_0$ нужно взять $g$-плоскость, проходящую через точку $p_0$ и содержащую $(g-1)$-плоскость $P$. Подробности о существовании и единственности $g$-плоскостей $\Pi_\pm\in\Phi_\pm$ приведены в [6]. Таким образом, получаем отображения
$$
\begin{equation*}
\Phi\longrightarrow\Phi_0,\qquad\Phi\longrightarrow\Phi_\pm.
\end{equation*}
\notag
$$
Существуют обратные регулярные отображения, которые $g$-плоскости
$$
\begin{equation*}
\Pi\in\Phi_0\quad (\Pi\in\Phi_\pm)
\end{equation*}
\notag
$$
сопоставляют пересечение $\Pi$ с гиперплоскостью $\{z_1=0\}$. Лемма доказана. Для произвольной точки $t\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ получаем изоморфизмы
$$
\begin{equation*}
f_\pm(t)\colon \Phi_\pm(t)\xrightarrow{\approx}\Phi_0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Phi_\pm(t)$ – максимальные грассманианы квадрики $Q_t$. При обходе вокруг нуля эти изоморфизмы переставляются. Рассмотрим двулистное накрытие
$$
\begin{equation*}
t=z^2\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C}
\end{equation*}
\notag
$$
$t$-плоскости $z$-плоскостью; тогда поднятые на $z$-плоскость изоморфизмы определят тривиализацию семейства ортогональных грассманианов. Нетрудно дополнить эти рассуждения, чтобы доказать следующее утверждение. Предложение 1.2. Если рассматривать проекцию $\operatorname{pr}\colon \operatorname{G}(W)\to W$ в категории комплексных аналитических многообразий, то она определяет локально тривиальное расслоение на ортогональные грассманианы. Если $\operatorname{sk}=(v_1,\dots,v_n)$, то через $\operatorname{A}=\operatorname{A}(\operatorname{sk})$ обозначим подгруппу группы $\operatorname{Aut}\mathbb{P}(V)$, состоящую из преобразований, которые умножают некоторые координаты из системы $\operatorname{sk}=(v_1,\dots,v_n)$ на $-1$, а остальные не меняют. Через $\operatorname{A}_+=\operatorname{A}_+(\operatorname{sk})$ обозначим подгруппу группы $\operatorname{A}(\operatorname{sk})$, состоящую из преобразований, которые умножают на $-1$ четное количество координат. Если биквадрика $B$ принадлежит $\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$, то определен гомоморфизм $\operatorname{A}(\operatorname{sk})\to\operatorname{Aut} B$, который является мономорфизмом. Образ этого мономорфизма обозначим через $\operatorname{A}=\operatorname{A}(B)$. Аналогично определяется группа $\operatorname{A}_+=\operatorname{A}_+(B)$. Группа $A_+(\operatorname{sk})$ действует на каждом грассманиане $\operatorname{G}_w$, но преобразования из дополнения $\operatorname{A}(\operatorname{sk})\setminus\operatorname{A}_+(\operatorname{sk})$ переводят грассманиан $\operatorname{G}_w$ в грассманиан $\operatorname{G}_{\sigma(w)}$, где $\sigma\colon W\to W$ – гиперэллиптическая инволюция (см. предложение 1.13). Следовательно, группа $\operatorname{A}(\operatorname{sk})$ действует на расслоении $\operatorname{pr}\colon \operatorname{G}(W)\to W$, причем соответствующее действие $\operatorname{A}(\operatorname{sk})$ на кривой $W$ индуцирует гомоморфизм групп $\operatorname{A}(\operatorname{sk})\to\operatorname{Aut} W$, ядро которого равно $\operatorname{A}_+(\operatorname{sk})$, а элементы из разности $\operatorname{A}(\operatorname{sk})\setminus\operatorname{A}_+(\operatorname{sk})$ при этом гомоморфизме отображаются в инволюцию $\sigma\colon W\to W$. Замечание. Кривая $W$ является римановой поверхностью двузначной функции
$$
\begin{equation*}
\sqrt{(t-a_1)\cdots(t-a_n)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\widehat{W}$ риманову поверхность многозначной векторной функции
$$
\begin{equation*}
(\sqrt{t-a_1},\dots,\sqrt{t-a_n});
\end{equation*}
\notag
$$
тогда получим, что определена проекция $\widehat{W}\to W$, причем она является неразветвленным накрытием с группой монодромии $\operatorname{A}_+$. Обозначим через $\operatorname{G}(\widehat{W})$ расслоенное произведение $\operatorname{G}(W)\times_W\widehat{W}$; тогда нетрудно убедиться, что проекция $\operatorname{pr}\colon \operatorname{G}(\widehat{W})\to\widehat{W}$ задает тривиальное расслоение $\operatorname{pr}\colon \operatorname{G}\times\widehat{W}\to\widehat{W}$, где $\operatorname{G}$ – ортогональный грассманиан квадрики $\mathfrak{Q}$. Первоначальное расслоение $\operatorname{pr}\colon \operatorname{G}(W)\to W$ получается из тривиального $\operatorname{pr}\colon \operatorname{G}\times\widehat{W}\to\widehat{W}$ с помощью факторизации
$$
\begin{equation*}
\operatorname{pr}\colon \operatorname{G}\times\widehat{W}/\operatorname{A}_+ \to\widehat{W}/\operatorname{A}_+,
\end{equation*}
\notag
$$
где на произведении $\operatorname{G}\times\widehat{W}$ рассматривается диагональное действие группы $\operatorname{A}_+$. 1.2. Семейство инволюций максимального многообразия Фано биквадрики Напомним, что если на компактном комплексном многообразии $X$ действует свободно и транзитивно комплексный тор $A$, то многообразие $X$ называется $A$-торсором. Заметим, что если на $A$-торсоре $X$ взять в качестве нуля фиксированную точку $x_0$, то получим канонический изоморфизм $A=X$, заданный правилом
$$
\begin{equation*}
A\ni a\mapsto t_a(x_0)\in X,
\end{equation*}
\notag
$$
где $t_a$ – сдвиг (трансляция), заданный действием группы $A$ на $X$. Если $B\in\operatorname{BQ}^\circ$, то на $B$ нет $g$-плоскостей, но существуют $(g-1)$-плоскости. Через $F=F(B)$ обозначим многообразие Фано, состоящее из $(g-1)$-плоскостей на $B$. Это многообразие является неособым проективным многообразием размерности $g$; будем называть его максимальным многообразием Фано биквадрики $B$. Известно, что это многообразие изоморфно якобиану $J=J(W)$ кривой $W=W(B)$ (см. [4]). Построенный в [4] изоморфизм $F=J$ не является однозначно определенным, но можно убедиться, что он определен с точностью до трансляции. Поэтому этот изоморфизм определяет структуру $J$-торсора на $F$. Далее точки на многообразии $F$ обозначаем через $x,y,o,\dots$ . Возьмем в качестве нулевого элемента какую-нибудь фиксированную точку $o\in F$; тогда получим групповой закон на $F$, который будем обозначать через
$$
\begin{equation*}
(x,y)\mapsto x+_oy,
\end{equation*}
\notag
$$
а также получим инволюцию обращения (инволюцию умножения на $-1$), которую обозначим через
$$
\begin{equation*}
(-1_o)\colon F\to F.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, при каждом $w\in W$ определена инволюция $i_w\colon F\to F$, которая устроена следующими образом. Если $x\in F$, то существует и единственная $g$-плоскость $s\in\operatorname{G}_w$, содержащая $x$ (см. [4]). Тогда пересечение $s\cap B$ состоит из $x\in F$ и дополнительной $(g-1)$-плоскости $x'\in F$ (может совпадающей с $x$). По определению полагаем $i_w(x)=x'$. Дополним геометрическое определение инволюции $i_w\colon F\to F$ алгебраическим содержанием. Для этого обозначим через $F^{(w)}$ множество неподвижных точек инволюции $i_w\colon F\to F$, т. е. $F^{(w)}=F^{i_w}$. Это множество непустое; зафиксируем точку $o\in F^{(w)}$ и возьмем ее в качестве нулевого элемента торсора $F$. Тогда оказывается, что выполняется равенство $i_w=(-1_o)$ (см. [4]). Для $x\,{\in}\,F$ обозначим через $\varphi_x\colon W\to F$ отображение, сопоставляющее точке $w\in W$ точку $i_w(x)\in F$; образ $W$ при этом отображении обозначим через $W_x$. Заметим, что непосредственно из построения отображения $\varphi_x\colon W\to W_x$ вытекает только бирациональность и взаимная однозначность $\varphi_x\colon W\to W_x$ (см. [4]). Но на самом деле отображение $\varphi_x\colon W\to W_x$ является изоморфизмом. В работе [4] нет прямого доказательства этого факта, причем при построении изоморфизма $F=J$ применяется только бирациональность отображения $\varphi_x\colon W\to W_x$. Но после построения с помощью $\varphi_x$ изоморфизма $F=J$ становится очевидным, что $\varphi_x\colon W\to W_x$ является изоморфизмом. Далее зафиксируем точку $*\in W$ и точку $o\in F^{(*)}$; тогда сумму $x+_oy$ будем обозначать просто через $x+y$, а противоположный элемент $(-1_o)x$ обозначим через $-x$. Нетрудно убедиться, что для произвольной точки $w\in W$ выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
i_w(x)=-x+i_w(o),
\end{equation*}
\notag
$$
из которого вытекает формула
$$
\begin{equation}
i_{w'}(i_w(x))=x+(i_{w'}(o)-i_w(o)).
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Следовательно, преобразование $i_{w'}\cdot i_w\colon F\to F$ является трансляцией. Если взять в качестве фиксированной точки $*\in W$ точку ветвления кривой $W$, а также взять в качестве нулевого элемента точку $o$ из множества $F^{(*)}$, то окажется, что кривая $W_o$ инвариантна относительно инволюции $(-1)$: $F\,{\to}\,F$, причем ограничение этой инволюции на $W_o$ совпадает с гиперэллиптической инволюцией $\sigma\colon W_o\to W_o$ (см. [6]). Для такой точки $*\in W$ рассмотрим отображение Абеля–Якоби $aj_*\colon W\to J$, сопоставляющее точке $w\in W$ класс дивизора $(w-*)$. Это отображение является вложением; будем отождествлять кривую $W$ с ее образом при отображении Абеля–Якоби. Тогда оказывается, что изоморфизм $\varphi_o\colon W\xrightarrow{\approx}W_o$ однозначно продолжается до группового изоморфизма абелевых многообразий $\varphi\colon (J,+)\xrightarrow{\approx} (F,+)$ (см. [6]). Через $K_w$ обозначим геометрический фактор $F/i_w$. Из равенства $i_w=(-1_o)$, где $o\in F^{(w)}$, следует, что многообразие $K_w$ является куммеровым многообразием. Рассмотрим отображение $\pi_w\colon F\to\operatorname{G}_w$, которое $(g-1)$-плоскости $P\in F$ сопоставляет единственную $g$-плоскость $\Pi\in\operatorname{G}_w$, содержащую $P$. Отображение $\pi_w\colon F\to\operatorname{G}_w$ факторизуется до отображения $p_w\colon K_w\to\operatorname{G}_w$. В [4] было доказано, что отображение $p_w\colon K_w\to\operatorname{G}_w$ задает бирациональную биекцию на образ, а также была высказана гипотеза, что это отображение $p_w\colon K_w\to\operatorname{G}_w$ является вложением, т. е. оно индуцирует изоморфизм с образом. В работе [11] было указано, что из результатов в [12] следует нормальность многообразия $\pi_w(F)\subset\operatorname{G}_w$. Поэтому гипотеза М. Рида имеет положительный ответ. Далее отождествляем многообразие $K_w$ с его образом в $\operatorname{G}_w$. Семейство куммеровых многообразий $K_w\subset\operatorname{G}_w$ образует подмногообразие $\operatorname{K}(W)\subset\operatorname{G}(W)$. Соответствующая проекция $\operatorname{pr}\colon \operatorname{K}(W)\to W$ индуцирует локально тривиальное расслоение. 1.3. Группа трансляций куммерова многообразия Пусть теперь биквадрика $B$ принадлежит множеству $\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$, где $\operatorname{sk}=(v_1,\dots,v_n)$; тогда биквадрика $B$ задается системой уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} v_1^2+\dots+v_n^2=0, \\ a_1v_1^2+\dots+a_nv_n^2=0, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
а пучок квадрик $L(B)$ задается уравнением
$$
\begin{equation*}
(t-a_1)v_1^2+\dots+(t-a_n)v_n^2=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $t\in\overline{\mathbb{C}}$, причем считаем, что при $t=\infty$ это уравнение определяет квадрику $\mathfrak{Q}$. Через $(-1_k)\colon \mathbb{P}(V)\to\mathbb{P}(V)$, $k=1,\dots,n$, обозначим инволюцию, которая умножает координату $v_k$ на $-1$, а остальные координаты не меняет. Эта инволюция индуцирует инволюцию биквадрики $B$, для которой сохраняем обозначение. Заметим теперь, что инволюция $(-1_k)\colon B\to B$ индуцирует инволюцию пространства Фано $F$; также сохраняем для нее обозначение. Инволюцию
$$
\begin{equation*}
i_{w_k}\colon F\to F,\qquad k=1,\dots,n,
\end{equation*}
\notag
$$
обозначаем через $i_k\colon F\to F$; покажем, что справедлива следующая лемма. Лемма 1.3. Инволюция $i_k\colon F\to F$ совпадает с инволюцией
$$
\begin{equation*}
(-1_k)\colon F\to F,\qquad k=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Достаточно проверить утверждение леммы для одного значения $k$; будем проверять его при $k=1$. Квадрика $Q_{a_1}=Q$ задается уравнением
$$
\begin{equation*}
(a_1-a_2)v_2^2+\dots+(a_1-a_n)v_n^2=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта квадрика является конусом с вершиной $p_0=(1:0:\dots:0)$ и основанием $Q'$, заданным системой уравнений
$$
\begin{equation*}
(a_1-a_2)v_2^2+\dots+(a_1-a_n)v_n^2=0,\qquad v_1=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому многообразие $\Phi_{w_1}=\Phi$ состоит из $g$-плоскостей, проходящих через вершину $p_0$ и $(g-1)$-плоскости на основании $Q'$. Если такая $g$-плоскость $\Pi$ пересекает биквадрику $B$ по одной $(g-1)$-плоскости $P$, то $P$ находится на гиперплоскости $v_1=0$. Следовательно, выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
(-1_1)(P)=P=i_1(P).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $g$-плоскость $\Pi\in\Phi$ пересекает биквадрику $B$ по двум $(g-1)$-плоскостям $P$, $P'$, то выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
(-1_1)(P)=P'=i_1(P).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь второе равенство следует из определения, а первое равенство вытекает из инвариантности биквадрики $B$ и $g$-плоскости $\Pi$ относительно преобразования, умножающего $v_1$ на $-1$. Лемма доказана. Обозначим через $\eta_k\in J$ класс дивизора $(w_k-w_1)$, $k=2,\dots,n$. Элементы $\eta_2,\dots,\eta_n$ порождают подгруппу ${}_{2\!}J$, состоящую из элементов второго порядка в $J$, и существует только одно соотношение
$$
\begin{equation*}
\eta_2+\dots+\eta_n=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим билинейную форму Вейля $(\eta,\eta')$ на $\mathbb{F}_2$-пространстве ${}_{2\!}J$; тогда выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
(\eta_i,\eta_j)= \begin{cases} 0, &i=j, \\ 1, &i\neq j. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому элементы
$$
\begin{equation*}
\gamma_k=\eta_{k+1}+\eta_{k+2},\quad \gamma_{k+g}=\eta_{k+2}+\dots+\eta_{n-1},\qquad k=1,\dots,g,
\end{equation*}
\notag
$$
образуют симплектический базис симплектического $\mathbb{F}_2$-пространства ${}_{2\!}J$. Следовательно, получаем уровня $2$ структуру на $J$. Заметим, что эта структура на $J$ индуцирована нумерацией точек ветвления проекции $\pi\colon W\to L$. Данную структуру будем называть уровня $2$ структурой Мамфорда якобиана гиперэллиптической кривой, так как она введена и изучена Мамфордом (см. [16]). Обозначим через $t_k\colon F\to F$ преобразование трансляции $t_{\eta_k}$, $k=2,\dots,n$; группу, порожденную этими трансляциями, обозначим через $\operatorname{T}=\operatorname{T}(F)$. Сопоставление
$$
\begin{equation*}
\eta_k\mapsto t_k,\qquad k=2,\dots,n,
\end{equation*}
\notag
$$
продолжается до изоморфизма групп ${}_{2\!}J=\operatorname{T}$. Этот изоморфизм индуцирует билинейную форму $(t,t')$ на $\mathbb{F}_2$-пространстве $\operatorname{T}$, для которой выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
(t_i,t_j)= \begin{cases} 0, &i=j, \\ 1, &i\neq j. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Каждая инволюция $i_w\colon F\to F$ коммутирует с трансляциями $t_k$, поэтому получаем, что группа $\operatorname{T}$ действует на куммеровом многообразии $K_w$. Обозначим через $\tau_k\colon K_w\to K_w$ преобразование, которое получается из элемента $t_k\in\operatorname{T}$, $k=2,\dots,n$. Через $\operatorname{T}(K_w)$ обозначим подгруппу группы $\operatorname{Aut} K_w$, порожденную преобразованиями $\tau_k$, $k=2,\dots,n$. Эту подгруппу будем называть группой трансляций куммерового многообразия $K_w$. Так как имеем канонический изоморфизм $\operatorname{T}(F)=\operatorname{T}(K_w)$, то группа трансляций $\operatorname{T}(K_w)$ является $\mathbb{F}_2$-симплектическим пространством с фиксированным симплектическим базисом. Эту структуру будем называть уровня $2$ структурой Мамфорда на $K_w$. Отметим, что данная структура полностью определяется построенными образующими $\tau_2,\dots,\tau_n$ группы $\operatorname{T}(K_w)$. Через $\alpha_k\in\operatorname{A}(B)$, $k=2,\dots,n$, обозначим преобразование, которое умножает на $-1$ координаты $v_1,v_k$. Преобразования $\alpha_k\in\operatorname{A}(B)$, $k=2,\dots,n$, порождают группу $\operatorname{A}_+(B)$, и существует только одно соотношение
$$
\begin{equation*}
\alpha_2+\dots+\alpha_n=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Определен естественный гомоморфизм групп преобразований $\operatorname{A}(B)\to\operatorname{Aut} F$; покажем, что справедливо следующее предложение. Предложение 1.4. При гомоморфизме групп $\operatorname{A}(B)\to\operatorname{Aut} F$ подгруппа $\operatorname{A}_+(B)$ изоморфно отображается на группу трансляций $\operatorname{T}(F)$, причем преобразование
$$
\begin{equation*}
\alpha_k\in\operatorname{A}_+(B),\qquad k=2,\dots,n,
\end{equation*}
\notag
$$
переходит в преобразование $t_k\in\operatorname{T}(F)$. Доказательство. Положим $w=w_1$, $w'=w_k$; тогда из формулы (1.1) получаем равенства
$$
\begin{equation*}
i_{w_k}\cdot i_{w_1}=t_{i_{w_k}(o)-i_{w_1}(o)}=t_{\eta_k}=t_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось применить лемму 1.3. Предложение доказано. Напомним, что группа $\operatorname{A}_+$ действует на каждом грассманиане $\operatorname{G}_w$. Из определения отображения $\pi_w\colon F\to\operatorname{G}_w$ вытекает, что оно эквивариантно относительно действия группы $\operatorname{A}_+$. Поэтому группа $\operatorname{A}_+$ действует на образе $\pi_w(F)=K_w$. Из предложения 1.4 получаем следствие. Следствие 1.5. При гомоморфизме групп $\operatorname{A}_+\to\operatorname{Aut} K_w$ группа $\operatorname{A}_+$ изоморфно отображается на группу трансляций $\operatorname{T}(K_w)$, причем преобразование
$$
\begin{equation*}
\alpha_k\in\operatorname{A}_+,\qquad k=2,\dots,n,
\end{equation*}
\notag
$$
переходит в преобразование $\tau_k\in\operatorname{T}(K_w)$. 1.4. Линейная система дивизоров $|2\Theta_w|$ на $F_w$ Сначала приведем известные факты о группе Пикара ортогонального грассманиана (см. подробности, например, в [17]). Каждый ортогональный грассманиан $\operatorname{G}_w$ изначально содержится в обычном грассманиане $\operatorname{Gr}_{m}(V)$, $m=g+1$. Рассмотрим плюккерово вложение грассманиана $\operatorname{Gr}_{m}(V)$ в проективное пространство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Gr}_{m}(V)\hookrightarrow\mathbb{P}(\Lambda^{m}V)=\mathbb{P}^{\binom{n}{m}-1};
\end{equation*}
\notag
$$
тогда получим плюккеровы вложения ортогональных грассманианов
$$
\begin{equation*}
\operatorname{G}_w\hookrightarrow\mathbb{P}(\Lambda^{m}V).
\end{equation*}
\notag
$$
Через $\mathcal{O}_w(1)$ обозначим ограничение расслоения $\mathcal{O}(1)$ на $\operatorname{G}_w$, где $\mathcal{O}(1)$ – скручивающее расслоение Серра на $\mathbb{P}(\Lambda^{m}V)$. Справедливо следующее предложение. Предложение 1.6. Группа Пикара $\operatorname{Pic}\operatorname{G}_w$ изоморфна $\mathbb{Z}$. Выполняется равенство $\mathcal{O}_w(1)=\mathcal{L}_w\otimes\mathcal{L}_w$, где $\mathcal{L}_w$ – положительная образующая группы $\operatorname{Pic}\operatorname{G}_w$. Линейное расслоение $\mathcal{L}_w$ очень обильное и задает вложение грассманиана $\operatorname{G}_w$ в проективное пространство размерности $2^{2g}-1$. Заметим, что многообразие $F$ содержится в обычном грассманиане $\operatorname{Gr}_{g}(V)$. Рассмотрим плюккерово вложение грассманиана $\operatorname{Gr}_{g}(V)$ в проективное пространство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Gr}_{g}(V)\hookrightarrow\mathbb{P}(\Lambda^{g}V);
\end{equation*}
\notag
$$
тогда получим плюккерово вложение многообразия Фано
$$
\begin{equation*}
F\hookrightarrow\mathbb{P}(\Lambda^{g}V).
\end{equation*}
\notag
$$
Через $\mathcal{O}_F(1)$ обозначим ограничение расслоения $\mathcal{O}(1)$ на $F$, где $\mathcal{O}(1)$ – скручивающее расслоение Серра на $\mathbb{P}(\Lambda^{g}V)$. Зафиксируем точку $o\in F^{(w)}$, где $w\in W$, и будем считать ее нулевым элементом; полученное абелево многообразие обозначим через $F_w$. Справедливо следующее (см., например, [5]) предложение. Предложение 1.7. Если $\Theta_w$ – один из симметрических тэта-дивизоров на абелевом многообразии $F_w$, то выполняется равенство $\mathcal{O}(4\Theta_w)=\mathcal{O}_F(1)$. Приведем известный факт про проективное вложение куммериана кривой рода $g\geqslant 2$. Пусть $C$ – такая кривая, $J=J(C)$ – якобиан, $K=K(C)=J(C)/(-1)$ – куммериан кривой $C$; тогда имеет место следующая (см., например, [18]) теорема. Теорема 1.8. Если $\Theta$ – симметричный тэта-дивизор на $J$, то линейная система $|2\Theta|$ определяет регулярное отображение
$$
\begin{equation*}
f\colon J\to|2\Theta|^\vee=\mathbb{P}^{2^{g}-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отображение $f$ факторизуется до вложения куммериана $f/(-1)\colon K\hookrightarrow|2\Theta|^\vee$. Справедливо также следующее предложение. Предложение 1.9. Эффективный дивизор $D\in\operatorname{Div} J$ принадлежит линейной системе $|2\Theta|$ тогда и только тогда, когда выполняются условия: 1) $D$ – симметричный дивизор; 2) классы гомологий $[D], [2\Theta]\in H_{2g-2}(J,\mathbb{Z})$ совпадают; 3) линейное расслоение $\mathcal{O}(D)$ принадлежит подгруппе
$$
\begin{equation*}
\pi^*(\operatorname{Pic} K)\subset\operatorname{Pic} J,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\pi\colon J\to K$ – проекция. Необходимость выполнения условий 1)–3) для принадлежности дивизора $D$ линейной системе $|2\Theta|$ вытекает из теоремы 1.8, но я не нашел в известной мне литературе доказательства их достаточности. Приведем это доказательство. Покажем сначала, что справедливо утверждение: гомоморфизмы
$$
\begin{equation*}
c_1\colon \operatorname{Pic} K\to H^2(K,\mathbb{Z}), \qquad \pi^*\colon \operatorname{Pic} K\to\operatorname{Pic} J,\qquad \pi^*\circ c_1\colon \operatorname{Pic} K\to H^2(J,\mathbb{Z})
\end{equation*}
\notag
$$
являются мономорфизмами, где $c_1$ – характеристический гомоморфизм. Прежде всего установим, что выполняются равенства
$$
\begin{equation}
\pi_1(K)=1,\qquad H^1(K,\mathcal{O})=0.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Для этого обозначим через $\sigma\colon \widehat{K}\to K$ минимальное разрешение особенностей $K$; тогда исключительными дивизорами на многообразии $\widehat{K}$ являются проективные пространства. Многообразие $\widehat{K}$ – односвязное (см. [19]), поэтому и многообразие $K$ – односвязное. Равенство $\pi_1(K)=1$ доказано. Из односвязности $\widehat{K}$ получаем равенство $H^1(\widehat{K},\mathbb{C})=0$. Поэтому выполняется равенство $H^1(\widehat{K},\mathcal{O})=0$. Рассмотрим теперь спектральную последовательность Лере
$$
\begin{equation*}
E^{p,q}_2=H^p(K,R^q\sigma_*(\mathcal{O}))\quad\Longrightarrow\quad H^{p+q}(\widehat{K},\mathcal{O}).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда получим равенство $H^1(K,\mathcal{O})=0$. Равенства (1.2) доказаны. Заметим теперь, что из равенства $H^1(K,\mathcal{O})=0$ и точной экспоненциальной последовательности
$$
\begin{equation*}
\cdots\to H^1(K,\mathcal{O})\to H^1(K,\mathcal{O}^*) \stackrel{\delta}{\longrightarrow}H^2(K,\mathbb{Z})\to\cdots
\end{equation*}
\notag
$$
получаем, что характеристический гомоморфизм $c_1$ является мономорфизмом. Перейдем к доказательству мономорфности гомоморфизмов
$$
\begin{equation*}
\pi^*\colon \operatorname{Pic} K\to\operatorname{Pic} J,\qquad \pi^*\circ c_1\colon \operatorname{Pic} K\to H^2(J,\mathbb{Z}).
\end{equation*}
\notag
$$
Из мономорфности гомоморфизма
$$
\begin{equation*}
c_1\colon \operatorname{Pic} K\to H^2(K,\mathbb{Z})
\end{equation*}
\notag
$$
следует, что достаточно доказать мономорфность гомоморфизма
$$
\begin{equation*}
\pi^*\colon H^2(K,\mathbb{Z})\to H^2(J,\mathbb{Z}).
\end{equation*}
\notag
$$
Из односвязности $K$ получаем, что группа $H^2(K,\mathbb{Z})$ – свободная. Поэтому достаточно показать, что гомоморфизм
$$
\begin{equation*}
\pi^*\colon H^2(K,\mathbb{C})\to H^2(J,\mathbb{C})
\end{equation*}
\notag
$$
является мономорфизмом. Для доказательства этого утверждения рассмотрим эквивариантные когомологии $H^2_G(J,\mathbb{C})$, где $G$ – группа второго порядка, порожденная инволюцией обращения $(-1)\colon J\to J$. Из двух спектральных последовательностей (см., например, [20; гл. V]), сходящихся к $H^*_G(J,\mathbb{C})$, получаем равенства
$$
\begin{equation*}
H^2_G(J,\mathbb{C})=H^2(K,\mathbb{C}),\qquad H^2_G(J,\mathbb{C})=H^2(J,\mathbb{C})^G=H^2(J,\mathbb{C}).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому гомоморфизм
$$
\begin{equation*}
\pi^*\colon H^2(K,\mathbb{C})\to H^2(J,\mathbb{C})
\end{equation*}
\notag
$$
является изоморфизмом. Итак, мономорфность приведенных в утверждении гомоморфизмов доказана, перейдем к доказательству достаточности условий 1)–3) в предложении 1.9. Если эффективный дивизор $D\in\operatorname{Div} J$ удовлетворяет условиям 1)–3), то из мономорфности гомоморфизма
$$
\begin{equation*}
\pi^*\circ c_1\colon \operatorname{Pic} K\to H^2(J,\mathbb{Z})
\end{equation*}
\notag
$$
получаем, что линейные расслоения $\mathcal{O}(D)$, $\mathcal{O}(2\Theta)$ изоморфны, а поэтому линейные системы $|D|$, $|2\Theta|$ совпадают. Достаточность условий 1)–3) в предложении 1.9 доказана. Покажем теперь, что справедливо следующее предложение. Предложение 1.10. Линейные расслоения $\mathcal{O}(2\Theta_w)$, $\pi_w^*(\mathcal{L}_w)$ на $F$ – изоморфны. Доказательство. Из предложений 1.6, 1.7, 1.9 вытекает, что достаточно доказать следующие утверждение: характеристические классы
$$
\begin{equation*}
c_1(\mathcal{O}_F(1)),c_1(\pi_w^*(\mathcal{O}_w(1)))\in H^2(F,\mathbb{Z})
\end{equation*}
\notag
$$
совпадают. Так как класс когомологий $c_1(\pi_w^*(\mathcal{O}_w(1)))\in H^2(F,\mathbb{Z})$ не зависит от $w$, то достаточно доказать это утверждение при одном значении $w$. Будем доказывать его при $w=w_1$; далее $K_w$ обозначаем через $K$ и рассматриваем вложенным в $\operatorname{G}=\operatorname{G}_w$. Элементы многообразия $F$ рассматриваем как $g$-плоскости $L$ в $V$; тогда определено тавтологическое векторное расслоение $p\colon \mathcal{T}_F\to F$, где
$$
\begin{equation*}
\mathcal{T}_F=\{(\mathbf{v},L)\mid\mathbf{v}\in L\in F\},
\end{equation*}
\notag
$$
а проекция $p$ отображает пару $(\mathbf{v},L)$ в $L\in F$. Аналогично определено тавтологическое векторное расслоение $p\colon \mathcal{T}_K\to K$, где
$$
\begin{equation*}
\mathcal{T}_K=\{(\mathbf{v},\Lambda)\mid\in\Lambda\in K\},
\end{equation*}
\notag
$$
а $\Lambda\subset V$ – $(g+1)$-плоскость в $V$, определяющая точку в $K$. Покажем, что справедливо утверждение: выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
c_1(\mathcal{T}_F)=c_1(\pi^*(\mathcal{T}_K)),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\pi\colon F\to K$ – проекция. Далее применяем обозначения из доказательства леммы 1.3; тогда ортогональный грассманиан $\operatorname{G}$ является максимальным многообразием Фано $\Phi$ квадрики $Q$, заданной уравнением
$$
\begin{equation*}
(a_1-a_2)v_2^2+\dots+(a_1-a_n)v_n^2=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $p\colon \mathcal{T}\to\Phi$ соответствующее тавтологическое векторное расслоение. Расслоение $\mathcal{T}_K$ равно ограничению расслоения $\mathcal{T}$ на $K$. Квадрика $Q$ является конусом с вершиной $p_0=(1:0:\dots:0)$ и неособым основанием $Q'$, заданным системой уравнений
$$
\begin{equation*}
(a_1-a_2)v_2^2+\dots+(a_1-a_n)v_n^2=0,\qquad v_1=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\Phi'$ максимальное многообразие Фано квадрики $Q'$, а через $p\colon \mathcal{T}'\to\Phi'$ – соответствующее тавтологическое векторное расслоение. Имеются канонические изоморфизмы
$$
\begin{equation*}
\Phi=\Phi',\qquad\mathcal{T}=\mathcal{T}'\oplus\mathbb{C}e,
\end{equation*}
\notag
$$
где $e=(1,0,\dots,0)$ (см. доказательство леммы 1.3). Расслоение $\mathcal{T}_K$ является ограничением расслоения $\mathcal{T}'\oplus\mathbb{C}e$ на $K$. Обозначим ограничение $\mathcal{T}'$ на $K$ через $\mathcal{T}'_K$; тогда получим канонический изоморфизм
$$
\begin{equation*}
\mathcal{T}_K=\mathcal{T}'_K\oplus\mathbb{C}e.
\end{equation*}
\notag
$$
Расслоение $\mathcal{T}_F$ является подрасслоением расслоения $\pi^*(\mathcal{T}'_K\oplus\mathbb{C}e)$, причем оно не пересекается с тривиальным подрасслоением $\pi^*(\mathbb{C}e)$, так как биквадрика $B$ не содержит точку $p_0$. Следовательно, расслоение $\mathcal{T}_F$ изоморфно расслоению $\pi^*(\mathcal{T}'_K)$ и выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
c_1(\mathcal{T}_F)=c_1(\pi^*(\mathcal{T}'_K))=c_1(\pi^*(\mathcal{T}_K)).
\end{equation*}
\notag
$$
Для доказательства равенства
$$
\begin{equation*}
c_1(\mathcal{O}_F(1))=c_1(\pi_w^*(\mathcal{O}_w(1)))
\end{equation*}
\notag
$$
осталось заметить, что выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
c_1(\mathcal{O}_F(1))=-c_1(\mathcal{T}_F),\qquad c_1(\mathcal{O}_w(1))=-c_1(\mathcal{T}_K).
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение доказано. Заметим наконец, что для двух вложений куммерова многообразия
$$
\begin{equation*}
K_w\hookrightarrow|2\Theta_w|^\vee,\qquad K_w\hookrightarrow\mathbb{P}(H^0(G_w,\mathcal{L}_w)^\vee)
\end{equation*}
\notag
$$
из предложения 1.10 вытекает следствие. Следствие 1.11. Существует однозначно определенный изоморфизм проективных пространств $|2\Theta_w|^\vee=\mathbb{P}(H^0(G_w,\mathcal{L}_w)^\vee)$ такой, что коммутативна диаграмма 1.5. Группы автоморфизмов Приведем несколько фактов о группах автоморфизмов квадрики, биквадрики и ортогонального грассманиана. Но прежде докажем следующее общее предложение. Предложение 1.12. Пусть $|D|$ – полная линейная система без базисных точек на полном неособом алгебраическом многообразии $X$, $\varphi\colon X\to|D|^\vee$ – отображение, заданное линейной системой $|D|$, $Y=\varphi(X)$, $f\in\operatorname{Aut} Y$; тогда справедливо утверждение: если существует продолжение автоморфизма $f$ до автоморфизма $|D|^\vee$, то это продолжение единственное. Доказательство. Покажем сначала, что справедливо утверждение: пусть многообразие $Y\subset\mathbb{P}^n$ не содержится в объединении конечного количества гиперплоскостей, $f\in\operatorname{Aut} Y$; тогда справедливо утверждение: если существует продолжение автоморфизма $f$ до автоморфизма $\mathbb{P}^n$, то это продолжение единственное. Достаточно установить справедливость этого утверждения в случае, когда $f=\mathrm{id}$. Многообразие $Y\subset\mathbb{P}^n$ не содержится в объединении конечного количества гиперплоскостей, поэтому существует набор из $n+2$ точек в общем положении, принадлежащих $Y$. Осталось заметить, что только тождественное преобразование $\mathbb{P}^n$ оставляет точки из этого набора на месте. Перейдем к непосредственному доказательству предложения 1.12. Так как прообраз каждой гиперплоскости $H\subset|D|^\vee$ при отображении
$$
\begin{equation*}
\varphi\colon X\to|D|^\vee
\end{equation*}
\notag
$$
есть элемент линейной системы $|D|$, то многообразие $Y$ не содержится в одной гиперплоскости. Осталось заметить, что объединение конечного количества элементов линейной системы $|D|$ не покрывают $X$. Предложение доказано. Рассмотрим группу автоморфизмов квадрики. Так как группа Пикара квадрики $\mathfrak{Q}\subset\mathbb{P}(V)$ изоморфна $\mathbb{Z}$, а положительная образующая $\operatorname{Pic}\mathfrak{Q}$ осуществляет вложение $\mathfrak{Q}$ в $\mathbb{P}(V)$, то нетрудно доказать следующее предложение. Предложение 1.13. Для группы автоморфизмов $\operatorname{Aut}\mathfrak{Q}$ справедливы утверждения: 1) выполняется равенство $\operatorname{Aut}\mathfrak{Q}=\operatorname{PO}(\mathfrak{q},V)$; 2) группа $\operatorname{Aut}\mathfrak{Q}$ состоит из двух компонент связности, причем компонента, содержащая единичное преобразование, равна $\operatorname{PSO}(\mathfrak{q},V)$; 3) автоморфизм $f\in\operatorname{Aut}\mathfrak{Q}$ переставляет ортогональные грассманианы $\operatorname{G}_\pm$ квадрики $\mathfrak{Q}$ тогда и только тогда, когда $f\in\operatorname{PO}(\mathfrak{q},V)\setminus\operatorname{PSO}(\mathfrak{q},V)$. Рассмотрим теперь группу автоморфизмов биквадрики $B\in\operatorname{BQ}^\circ$. Она содержит группу $\operatorname{A}(B)$, а также определен гомоморфизм $\operatorname{Aut} B\to\operatorname{Aut} L(B)$. Образ этого автоморфизма равен подгруппе преобразований прямой $L(B)$, для которых инвариантно множество $\{p_1,\dots,p_n\}$, параметризующее множество особых квадрик в пучке $L(B)$. Так как $n\geqslant 6$, то каждое такое преобразование однозначно определяется перестановкой точек $p_1,\dots,p_n$, которая при этом осуществляется. Обозначим эту подгруппу через $\operatorname{Aut}_0L(B)$; тогда нетрудно убедиться, что справедливо следующее предложение. Предложение 1.14. Имеет место точная последовательность
$$
\begin{equation*}
1\to\operatorname{A}(B)\to\operatorname{Aut} B\to\operatorname{Aut}_0L(B)\to1.
\end{equation*}
\notag
$$
Группа $\operatorname{PSO}(\mathfrak{q},V)$ действует на ортогональных грассманианах $\operatorname{G}_\pm$, поэтому определены гомоморфизмы групп
$$
\begin{equation*}
\operatorname{PSO}(\mathfrak{q},V)\to\operatorname{Aut}\operatorname{G}_\pm.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что справедливо следующее предложение. Предложение 1.15. Гомоморфизмы $\operatorname{PSO}(\mathfrak{q},V)\to\operatorname{Aut}\operatorname{G}_\pm$ являются мономорфизмами. Доказательство. Через $\operatorname{G}$ обозначим один из грассманианов $\operatorname{G}_\pm$, а через $\operatorname{G}(\mathbf{v})$, где $\mathbf{v}\in\mathfrak{Q}$, обозначим множество $g$-плоскостей $\Pi\in \operatorname{G}$, содержащих $\mathbf{v}$. Тогда оказывается, что для каждой точки $\mathbf{v}\in\mathfrak{Q}$ выполняется равенство
$$
\begin{equation}
\bigcap_{\Pi\in\operatorname{G}(\mathbf{v})}\Pi=\{\mathbf{v}\}.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Приведем набросок доказательства этого факта. Рассмотрим пересечение квадрики $\mathfrak{Q}$ с касательным пространством к ней в точке $\mathbf{v}$. Это пересечение является обыкновенным конусом $Q$ с вершиной $\mathbf{v}$ и основанием $Q'$ размерности $2g-2$. Плоскость $\Pi\in\operatorname{G}(\mathbf{v})$ содержится в $Q$ и содержит $(g-1)$-плоскость $\Pi'$ из одного максимального ортогонального грассманиана $\operatorname{G}'$ квадрики $Q'$. Наоборот, если взять произвольную $(g-1)$-плоскость $\Pi'$ из $\operatorname{G}'$, а затем образовать линейную оболочку плоскости $\Pi'$ и точки $\mathbf{v}$, то получим $g$-плоскость $\Pi\in\operatorname{G}(\mathbf{v})$. Напомним, что по нашему предположению $g\geqslant 2$. При $g=2$ возьмем две прямые $\Pi'_1,\Pi'_2\in\operatorname{G}'$; они не пересекаются, поэтому соответствующие плоскости $\Pi_1,\Pi_2\in\operatorname{G}(\mathbf{v})$ пересекаются только по точке $\mathbf{v}$. Если $g>2$, то индукция по размерности квадрики позволяет доказать равенство
$$
\begin{equation*}
\bigcap_{\Pi'\in\operatorname{G}'}\Pi'=\varnothing.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому равенство (1.3) выполняется при $g\geqslant 2$. Предположим теперь, что преобразование $f\in\operatorname{PSO}(\mathfrak{q},V)$ действует тривиально на $\operatorname{G}$; тогда из равенства (1.3) вытекает, что $f$ действует тривиально и на $\mathfrak{Q}$. Предложение доказано. Замечание. При $g=1$ утверждение предложения 1.15 неверно. Заметим, что в этом случае через точку $\mathbf{v}$ проходит только одна прямая из данного семейства прямых на квадрике. Поэтому равенство (1.3) не выполняется. В [21] доказано, что при $g\neq3$ гомоморфизмы
$$
\begin{equation*}
\operatorname{PSO}(\mathfrak{q},V)\to\operatorname{Aut}\operatorname{G}_\pm
\end{equation*}
\notag
$$
являются эпиморфизмами. При $g=3$ грассманианы $\operatorname{G}_\pm$ изоморфны четырехмерной квадрике (см. [10]), поэтому группы автоморфизмов $\operatorname{Aut}\operatorname{G}_\pm$ состоят из двух компонент связности. Следовательно, при $g=1,3$ гомоморфизмы
$$
\begin{equation*}
\operatorname{PSO}(\mathfrak{q},V)\to\operatorname{Aut}\operatorname{G}_\pm
\end{equation*}
\notag
$$
не являются изоморфизмами, а при остальных $g\geqslant 0$ они – изоморфизмы.
§ 2. Доказательство КСБ-теоремы и ее следствий2.1. Достаточное условие косингулярности На комплексном векторном пространстве $V$ размерности $n=2m\geqslant 4$ и координатными функциями $v_1,\dots,v_n$ рассмотрим три квадратичные формы:
$$
\begin{equation*}
q_1(\mathbf{v})=v_1^2+\dots+v_n^2,\qquad q_2(\mathbf{v})=a_1v_1^2+\dots+a_nv_n^2,\qquad q_3(\mathbf{v})=\frac{1}{a_1}v_1^2+\dots+\frac{1}{a_n}v_n^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbf{v}=(v_1,\dots,v_n)$, $a_1,\dots,a_n$ – попарно различные комплексные числа, отличные от нуля. Покажем, что имеет место следующая лемма. Лемма 2.1. Пусть $L\subset V$ – векторное подпространство размерности $m$, изотропное относительно формы $q_1(\mathbf{v})$; тогда выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
\dim \ker(q_2\,|\, L)=\dim \ker(q_3\,|\, L).
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Обозначим через $A$ автоморфизм пространства $V$, заданный равенством
$$
\begin{equation*}
A(v_1,\dots,v_n)=(a_1v_1,\dots,a_nv_n),
\end{equation*}
\notag
$$
и сначала покажем, что выполняются равенства
$$
\begin{equation}
\ker(q_2\,|\, L)=L\cap A(L),\qquad \ker(q_3\,|\, L)=L\cap A^{-1}(L).
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Будем проверять только первое из этих равенств, так как второе равенство вытекает из первого. Обозначим через $b_i(\mathbf{v},\mathbf{w})$ симметрическую билинейную форму, соответствующую квадратичной форме $q_i(\mathbf{v})$, $i=1,2,3$, а через $L^\perp$ обозначим ортогональное дополнение к $L$ относительно билинейной формы $b_1(\mathbf{v},\mathbf{w})$. Из определения подпространства $L\subset V$ вытекает равенство $L^\perp=L$. Нужно проверить, что справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
\{\mathbf{v}\in L\colon b_2(\mathbf{v},\mathbf{w})=0\text{ при каждом }\mathbf{w}\in L\}=L\cap A(L).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $b_2(\mathbf{v},\mathbf{w})=b_1(A(\mathbf{v}),\mathbf{w})$, то выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\{\mathbf{v}\in L\colon b_2(\mathbf{v},\mathbf{w})=0\text{ при каждом }\mathbf{w}\in L\} \\ &\qquad=\{\mathbf{v}\in L\colon b_1(A(\mathbf{v}),\mathbf{w})=0 \text{ при каждом } \mathbf{w}\in L\} \\ &\qquad=\{\mathbf{v}\in L\colon A(\mathbf{v})\in L^\perp\}=\{\mathbf{v}\in L\colon A(\mathbf{v})\in L\}=L\cap A(L). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Равенства (2.1) доказаны, осталось заметить, что
$$
\begin{equation*}
L\cap A^{-1}(L)=A^{-1}(L\cap A(L)).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Следствие 2.2. Если биквадрика $B\in\operatorname{BQ}^\circ$ задана уравнением
$$
\begin{equation*}
a_1v_1^2+\dots+a_nv_n^2=0,
\end{equation*}
\notag
$$
то биквадрика $B(t)$, заданная уравнением
$$
\begin{equation*}
\frac{v_1^2}{t-a_1}+\dots+\frac{v_n^2}{t-a_n}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
косингулярна биквадрике $B$. Доказательство. Биквадрика $B$ задается также уравнением
$$
\begin{equation*}
(t-a_1)v_1^2+\dots+(t-a_n)v_n^2=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $t\in\mathbb{C}\setminus\{a_1,\dots,a_n\}$. К трем квадратичным формам
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, q_1(\mathbf{v})=v_1^2+\dots+v_n^2,\qquad q_2(\mathbf{v})=(t-a_1)v_1^2+\dots+(t-a_n)v_n^2, \\ q_3(\mathbf{v})=\frac{v_1^2}{t-a_1}+\dots+\frac{v_n^2}{t-a_n} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
применим лемму 2.1. Тогда получим, что выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
K_\pm(B(t))=K_\pm(B).
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие доказано. Если $B\in\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$, то определена кривая Веронезе $C(B)\subset\operatorname{BQ}(\operatorname{sk})=\mathbb{P}^{n-2}$ (см. Введение), а также множество $\operatorname{CS}(B)\subset\operatorname{BQ}^\circ$, состоящее из косингулярных $B$ биквадрик. Следствие 2.2 означает, что выполняется включение
$$
\begin{equation*}
C^\circ(B)\subset\operatorname{CS}(B)\cap\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk}),
\end{equation*}
\notag
$$
а КСБ-теорема означает, что выполняется равенство $C^\circ(B)=\operatorname{CS}(B)$. Сначала будет доказано равенство
$$
\begin{equation}
C^\circ(B)=\operatorname{CS}(B)\cap\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk}).
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
2.2. Доказательство равенства (2.2) Заметим, что это равенство равносильно утверждению в следствии 0.2. Утверждение в следствии 0.2 будет доказываться с помощью специальной теоремы Торелли. Далее приводится формулировка этой теоремы. Пусть $W$ – гиперэллиптическая кривая рода $g\geqslant 2$. Через $\theta=\theta(W)\in H^2(J(W),\mathbb{Z})$ обозначим класс когомологий, который получается из симметричного тэта-дивизора $\Theta=\Theta(W)$ на якобиане $J=J(W)$. Класс когомологий $\theta(W)$ называется (главной) поляризацией кривой $W$. Если точки ветвления кривой $W$ пронумерованы, то определена уровня $2$ структура Мамфорда на $J(W)$ (см. п. 1.3); будем ее обозначать через $\operatorname{st}=\operatorname{st}(W)$. Оказывается, что тройка $(J,\theta,\operatorname{st})$ определяет класс изоморфизма кривой $W$ с пронумерованными точками ветвления, т. е. имеет место (см., например, [18]) следующая теорема. Теорема 2.3. Если тройки $(J,\theta,\operatorname{st})$, $(J',\theta',\operatorname{st}')$ изоморфны, где $J$, $J'$ – якобианы гиперэллиптических кривых $W$, $W'$ рода $g$ с пронумерованными точками ветвления, $\theta$, $\theta'$ – тэта-поляризации на $J$, $J'$, $\operatorname{st}$, $\operatorname{st}'$ – уровня $2$ структуры на $J$, $J'$, индуцированные нумерацией точек ветвления кривых $W$, $W'$, то кривые $W$, $W'$ изоморфны как кривые с пронумерованными точками ветвления. Пусть биквадрики $B,B'\in\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$ заданы соответственно уравнениями
$$
\begin{equation*}
a_1v_1^2+\dots+a_nv_n^2=0,\qquad a'_1v_1^2+\dots+a'_nv_n^2=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Нужно только доказать утверждение: если биквадрики $B,B'$ косингулярны, то существует дробно-линейное преобразование
$$
\begin{equation*}
a\mapsto\frac{\alpha a+\beta}{\gamma a+\delta},
\end{equation*}
\notag
$$
которое переводит последовательность чисел $a_1,\dots,a_n$ в последовательность чисел $a'_1,\dots,a'_n$ (сохраняя нумерацию). Заметим теперь, что существование такого преобразования равносильно существованию изоморфизма гиперэллиптических кривых $W=W(B)$, $W'=W(B')$, сохраняющего нумерацию точек ветвления. Напомним, что кривая $W(B)$ ($W(B')$) равна двулистному накрытию прямой $\overline{\mathbb{C}}$ с ветвлением в точках $a_1,\dots,a_n$ ($a'_1,\dots,a'_n$). Перейдем к доказательству существования изоморфизма гиперэллиптических кривых $W=W(B)$, $W'=W(B')$, сохраняющего нумерацию точек ветвления. Так как биквадрики $B$, $B'$ косингулярны, то выполняются равенства $K_\pm=K'_\pm$, где $K_\pm=K_\pm(B)$, $K'_\pm=K_\pm(B')$. Куммеровы многообразия $K_\pm$, $K'_\pm$ находятся в ортогональных грассманианах $\operatorname{G}_\pm$ квадрики $Q_\infty$, заданной уравнением
$$
\begin{equation*}
v_1^2+\dots+v_n^2=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\pm\infty$ прообразы точки $\infty$ при проекциях $W\to\overline{\mathbb{C}}$, $W'\to\overline{\mathbb{C}}$; тогда получим равенства $\operatorname{G}_\pm=\operatorname{G}_{\pm\infty}$. Если $F$, $F'$ – максимальные многообразия Фано биквадрик $B$, $B'$, то имеем проекции
$$
\begin{equation*}
\pi_\pm\colon F\to K_\pm,\qquad \pi'_\pm\colon F'\to K'_\pm.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее из пар $K_\pm$, $K'_\pm$, $\pi_\pm$, $\pi'_\pm$, $G_\pm$ оставляем по одному соответствующему представителю и обозначим их соответственно через $K$, $K'$, $\pi$, $\pi'$, $\operatorname{G}$. Так как имеем двулистные накрытия $\pi\colon F\to K$, $\pi\colon F'\to K'$ с ветвлением в особых точках и выполняется равенство $K=K'$, то прообразы $\pi^{-1}(s)$, $\pi'^{-1}(s)$ зафиксированной особой точки $s\in K=K'$ состоят из единственных точек $o\in F$, $o'\in F'$. Будем считать эти точки нулевыми элементами на торсорах $F$, $F'$; тогда получим канонические изоморфизмы $F=J$, $F'=J'$, где $J$, $J'$ – якобианы кривых $W$, $W'$. Отображения $\pi\colon F\to K$, $\pi\colon F'\to K'$ и равенства $K=K'$ можно дополнить изоморфизмом $f\colon F\xrightarrow{\approx}F'$, чтобы получить коммутативную диаграмму Изоморфизм $f$ переводит точку $o$ в точку $o'$, поэтому он индуцирует изоморфизм групповых многообразий $f\colon J\xrightarrow{\approx}J'$. Покажем теперь, что изоморфизм $f\colon J\xrightarrow{\approx}J'$ переводит $\theta$ в $\theta'$ и $\operatorname{st}$ в $\operatorname{st}'$. Обозначим через $\mathcal{L}$ обильное линейное расслоение на грассманиане $\operatorname{G}$, рассмотренное в предложении 1.6; тогда из предложения 1.10 получаем равенства
$$
\begin{equation*}
c_1(\pi^*(\mathcal{L}))=2\theta,\qquad c_1(\pi'^*(\mathcal{L}))=2\theta'.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому из коммутативной диаграммы (2.3) вытекает, что изоморфизм $f$ переводит $\theta$ в $\theta'$. Заметим теперь, что из коммутативной диаграммы (2.3) также вытекает, что изоморфизм $f$ будет переводить $\operatorname{st}$ в $\operatorname{st}'$, если доказать совпадение образующих $\tau_2,\dots,\tau_n$ группы трансляций $\operatorname{T}(K)$ с образующими $\tau'_2,\dots,\tau'_n$ группы трансляций $\operatorname{T}(K')$. Осталось отметить, что это совпадение вытекает из следствия 1.5. Таким образом, равенство (2.2) доказано, переходим к доказательству равенства $C^\circ(B)=\operatorname{CS}(B)$. 2.3. Окончание доказательства КСБ-теоремы Системы координат $\operatorname{sk}$, $\operatorname{sk}'$ назовем эквивалентными, если одна из другой получается перестановкой координат и умножением некоторых из них на $-1$. Заметим, что если системы координат $\operatorname{sk}$, $\operatorname{sk}'$ эквивалентны, то множества $\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$, $\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk}')$ совпадают, а если системы координат $\operatorname{sk}$, $\operatorname{sk}'$ не эквивалентны, то множества $\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$, $\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk}')$ не пересекаются. Поэтому достаточно доказать утверждение: если системы координат $\operatorname{sk}$, $\operatorname{sk}'$ не эквивалентны, то множества $\operatorname{KV}(\operatorname{sk})$, $\operatorname{KV}(\operatorname{sk}')$ не пересекаются. Приведем доказательство этого утверждения. Пусть системы координат $\operatorname{sk}$, $\operatorname{sk}'$ не эквивалентны, но существуют биквадрики
$$
\begin{equation*}
B\in\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk}),\qquad B'\in\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk}')
\end{equation*}
\notag
$$
такие, что выполняются равенства $K_\pm(B)=K_{\pm}(B')$. Обозначим одно из куммеровых многообразий $K_\pm(B)$ через $K$, а соответствующее куммерово многообразие биквадрики $B'$ обозначим через $K'$. Так как системы координат $\operatorname{sk}$, $\operatorname{sk}'$ не эквивалентны, то подгруппы
$$
\begin{equation*}
\operatorname{A}_+(\operatorname{sk}),\operatorname{A}_+(\operatorname{sk}') \subset\operatorname{PSO}(\mathfrak{q},V)
\end{equation*}
\notag
$$
различные. Обозначим образы этих групп при гомоморфизме
$$
\begin{equation*}
\operatorname{PSO}(\mathfrak{q},V)\to\operatorname{Aut}\operatorname{G}
\end{equation*}
\notag
$$
через $\overline{\operatorname{A}}_+(\operatorname{sk})$, $\overline{\operatorname{A}}_+(\operatorname{sk}')$; тогда из предложения 1.15 получаем, что и подгруппы
$$
\begin{equation*}
\overline{\operatorname{A}}_+(\operatorname{sk}),\overline{\operatorname{A}}_+(\operatorname{sk}') \subset\operatorname{Aut}\operatorname{G}
\end{equation*}
\notag
$$
различные. Применим равенство $K=K'$ и следствие 1.5; тогда получим, что куммерово многообразие $K\subset\operatorname{G}$ инвариантно относительно действия групп $\overline{\operatorname{A}}_+(\operatorname{sk})$, $\overline{\operatorname{A}}_+(\operatorname{sk}')$, причем при гомоморфизмах
$$
\begin{equation*}
\overline{\operatorname{A}}_+(\operatorname{sk})\to\operatorname{Aut} K, \qquad\overline{\operatorname{A}}_+(\operatorname{sk}')\to\operatorname{Aut} K
\end{equation*}
\notag
$$
группы $\overline{\operatorname{A}}_+(\operatorname{sk})$, $\overline{\operatorname{A}}_+(\operatorname{sk}')$ изоморфно отображаются на группу трансляций $\operatorname{T}(K)$. Следовательно, существует преобразование $\tau\in\operatorname{T}(K)$, которое имеет два разных продолжения $h,h'$ до автоморфизма грассманиана $\operatorname{G}$. Остается показать, что это утверждение приводит к противоречию. Чтобы установить этот факт, рассмотрим сначала вложение $\operatorname{G}\subset\mathbb{P}^{2^g-1}$, заданное положительной образующей $\mathcal{L}$ группы $\operatorname{Pic} \operatorname{G}$ (см. предложение 1.6). Так как $\operatorname{Pic}\operatorname{G}=\mathbb{Z}\cdot\mathcal{L}$, то каждый элемент из групп $\overline{\operatorname{A}}_+(\operatorname{sk})$, $\overline{\operatorname{A}}_+(\operatorname{sk}')$ продолжается до автоморфизма проективного пространства $\mathbb{P}^{2^g-1}$. Из предложения 1.12 следует, что такое продолжение единственное. Поэтому однозначно определены продолжения
$$
\begin{equation*}
\widetilde{h},\widetilde{h}'\in\operatorname{Aut}\mathbb{P}^{2^g-1}
\end{equation*}
\notag
$$
автоморфизмов $h,h'\in\operatorname{Aut} \operatorname{G}$. Так как куммерово многообразие $K$ содержится в $\operatorname{G}\subset\mathbb{P}^{2^g-1}$, то получаем, что $K$ содержится в $\mathbb{P}^{2^g-1}$ и автоморфизм $\tau\in\operatorname{T}(K)$ имеет два продолжения $\widetilde{h}$, $\widetilde{h}'$ до автоморфизмов проективного пространства $\mathbb{P}^{2^g-1}$. Из следствия 1.11 вытекает, что полученное вложение $K\subset\mathbb{P}^{2^g-1}$ задается линейной системой $|2\Theta|$. Поэтому из предложения 1.12 получаем, что автоморфизм $\tau\in\operatorname{T}(K)$ может иметь только одно продолжение до автоморфизма проективного пространства $\mathbb{P}^{2^g-1}$. Получили противоречие. Следовательно, КСБ-теорема доказана полностью. 2.4. Доказательство следствий Фактически остается доказать только утверждение в следствии 0.5 (см. Введение). Следствие 0.5 доказывается с помощью геометрической модели отображения Плюккера–Клейна. Перейдем к построению такой модели. Многообразие, элементами которого являются системы координат $\operatorname{sk}=(v_1,\dots,v_n)$, обозначим через $\operatorname{SK}$. Через $\mathfrak{S}_n$ обозначим группу перестановок чисел $1,\dots,n$. Далее будем рассматривать левое действие группы $\mathfrak{S}_n$ на многообразиях $\mathcal{M}_{0,n}$, $\mathcal{M}_{n}$, $\operatorname{SK}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sigma\cdot[p_1,\dots,p_n]=[p_{\sigma(1)},\dots,p_{\sigma(n)}],\qquad \sigma\cdot|a_1,\dots,a_n|=|a_{\sigma(1)},\dots,a_{\sigma(n)}|, \\ \sigma\cdot(v_1,\dots,v_n)=(v_{\sigma(1)},\dots,v_{\sigma(n)}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отображение $\pi\colon \mathcal{M}_{n}\to\mathcal{M}_{0,n}$ эквивариантно относительно этого действия. Рассмотрим аналогичное левое действие группы $\mathfrak{S}_n$ на группе $(\mu_2)^n$
$$
\begin{equation*}
\sigma\cdot(\eta_1,\dots,\eta_n)=(\eta_{\sigma(1)},\dots,\eta_{\sigma(n)})
\end{equation*}
\notag
$$
и построим с его помощью полупрямое произведение $\mathfrak{S}_n\leftthreetimes(\mu_2)^n$, согласно конструкции в книге Холла [22]. А именно, группа $\mathfrak{S}_n\leftthreetimes(\mu_2)^n$ состоит из пар $(\sigma,\boldsymbol{\eta})$, где
$$
\begin{equation*}
\sigma\in\mathfrak{S}_n,\qquad\boldsymbol{\eta}=(\eta_1,\dots,\eta_n)\in(\mu_2)^n,
\end{equation*}
\notag
$$
а умножение задается правилом
$$
\begin{equation*}
(\sigma,\boldsymbol{\eta})\cdot(\sigma',\boldsymbol{\eta}') =(\sigma\cdot\sigma',\sigma'(\boldsymbol{\eta})\cdot\boldsymbol{\eta}').
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим группу $\mathfrak{S}_n\leftthreetimes(\mu_2)^n$ через $\widehat{\mathfrak{S}}_n$ и рассмотрим левое действие этой группы на многообразии $\operatorname{SK}$, заданное правилом
$$
\begin{equation*}
(\sigma,\boldsymbol{\eta})\cdot(v_1,\dots,v_n)=(\eta_1v_{\sigma(1)},\dots,\eta_nv_{\sigma(n)}).
\end{equation*}
\notag
$$
Будем рассматривать действие группы $\widehat{\mathfrak{S}}_n$ на многообразиях $\mathcal{M}_{0,n}$, $\mathcal{M}_{n}$ с помощью только перестановок, т. е.
$$
\begin{equation*}
(\sigma,\boldsymbol{\eta})\cdot[p_1,\dots,p_n]=\sigma\cdot[p_1,\dots,p_n],\qquad (\sigma,\boldsymbol{\eta})\cdot|a_1,\dots,a_n|=\sigma\cdot|a_1,\dots,a_n|.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, группа $\widehat{\mathfrak{S}}_n$ действует слева на произведении $\mathcal{M}_{n}\times\operatorname{SK}$ с помощью диагонального действия. Рассмотрим отображение
$$
\begin{equation*}
\mathcal{M}_{n}\times\operatorname{SK}\to\operatorname{BQ}^\circ,
\end{equation*}
\notag
$$
которое паре $(|a_1,\dots,a_n|,(v_1,\dots,v_n))$ сопоставляет биквадрику, заданную уравнением
$$
\begin{equation*}
a_1v_1^2+\dots+a_nv_n^2=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что при этом отображении пары
$$
\begin{equation*}
\bigl(|a_1,\dots,a_n|,(v_1,\dots,v_n)\bigr),\qquad \bigl(|a'_1,\dots,a'_n|,(v'_1,\dots,v'_n)\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
отображаются в одну точку тогда и только тогда, когда пара
$$
\begin{equation*}
\bigl(|a'_1,\dots,a'_n|,(v'_1,\dots,v'_n)\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
принадлежит орбите
$$
\begin{equation*}
\widehat{\mathfrak{S}}_n\cdot\bigl(|a_1,\dots,a_n|,(v_1,\dots,v_n)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому регулярное отображение
$$
\begin{equation*}
\mathcal{M}_{n}\times\operatorname{SK}\to\operatorname{BQ}^\circ
\end{equation*}
\notag
$$
является неразветвленным накрытием. Обозначим через $\mathfrak{BQ}$ геометрический фактор $\mathcal{M}_{n}\times\operatorname{SK}/\widehat{\mathfrak{S}}_n$; тогда получим изоморфизм многообразий
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{I}\colon \mathfrak{BQ}\xrightarrow{\approx}\operatorname{BQ}^\circ.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим теперь через $\mathfrak{KV}$ геометрический фактор $\mathcal{M}_{0,n}\times\operatorname{SK}/\widehat{\mathfrak{S}}_n$ и отображение геометрических факторов
$$
\begin{equation*}
(\pi\times \mathrm{id})/\widehat{\mathfrak{S}}_n\colon \mathcal{M}_{n}\times\operatorname{SK}/\widehat{\mathfrak{S}}_n \to\mathcal{M}_{0,n}\times\operatorname{SK}/\widehat{\mathfrak{S}}_n
\end{equation*}
\notag
$$
обозначим через
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{pr}\colon \mathfrak{BQ}\to\mathfrak{KV}.
\end{equation*}
\notag
$$
Справедливо следующее утверждение (см. п. 2.3): если системы координат $\operatorname{sk},\operatorname{sk}'\in\operatorname{SK}$ не принадлежат одной орбите группы $\widehat{\mathfrak{S}}_n$, то многообразия $\operatorname{KV}(\operatorname{sk})$, $\operatorname{KV}(\operatorname{sk}')$ не пересекаются. Поэтому из коммутативной диаграммы в следствии 0.4 вытекает существование и единственность биекции $\mathfrak{KV}=\operatorname{KV}$, для которой коммутативна диаграмма Отображение $\mathfrak{pr}$ является субмерсией, поэтому и отображение $\operatorname{PK}$ будет субмерсией, если на $\operatorname{KV}$ рассматривать структуру аффинного алгебраического многообразия, индуцированную биекцией $\operatorname{KV}=\mathfrak{KV}$ из диаграммы (2.4). Следствие 0.5 доказано. 2.5. Замечание о глобальной теореме Торелли Покажем, что КСБ-теорема 0.1 не является следствием глобальной теоремы Торелли для биквадрик. Заметим сначала, что из теоремы 0.1 нетрудно вывести утверждение: если биквадрики $B,B'\in\operatorname{BQ}^\circ$ – косингулярны, то они изоморфны как неотмеченные биквадрики (см. п. 3.3). Но обратное утверждение неверно даже при дополнительном предположении, когда биквадрики $B$, $B'$ принадлежат $\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$. Для доказательства этого утверждения отметим, что справедлив следующий аналог следствия 0.2: биквадрики $B,B'\in\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$, заданные системам уравнений
$$
\begin{equation*}
a_1v_1^2+\dots+a_nv_n^2=0,\qquad a'_1v_1^2+\dots+a'_nv_n^2=0,
\end{equation*}
\notag
$$
изоморфны как неотмеченные биквадрики, если и только если существует дробно-линейное преобразование, которое переводит множество чисел $\{a_1,\dots,a_n\}$ во множество чисел $\{a'_1,\dots,a'_n\}$ (нумерация не обязана сохраняться). Заметим теперь, что если коэффициенты $a'_1,\dots,a'_n$ в следствии 0.2 получены из коэффициентов $a_1,\dots,a_n$ изменением нумерации, то $B$, $B'$ изоморфны как неотмеченные биквадрики, но в общем случае не найдется дробно-линейного преобразования, переводящего последовательность чисел $a_1,\dots,a_n$ в последовательность чисел $a'_1,\dots,a'_n$ (сохраняя нумерацию). Поэтому биквадрики $B$, $B'$ в общем случае не будут косингулярными. Из глобальной теоремы Торелли получаем, что если $B,B'\in\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$ и промежуточные якобианы $J(B)$, $J(B')$ изоморфны как поляризованные абелевы многообразия, то $B$, $B'$ изоморфны только как неотмеченные биквадрики. Поэтому из глобальной теоремы Торелли не выводится равенство (2.2).
§ 3. Доказательство теоремы о многообразии Клейна3.1. Изоморфизм Раманана Напомним, что через $\Sigma\to C$ было обозначено двулистное накрытие кривой Веронезе $C=C(B)$, где биквадрика $B\in\operatorname{BQ}^\circ(\operatorname{sk})$ задана уравнением
$$
\begin{equation*}
a_1v_1^2+\dots+a_nv_n^2=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $p_1,\dots,p_n\in\Sigma$ точки ветвления накрытия $\Sigma\to C$, соответствующие особым биквадрикам $B_1,\dots,B_n\in C(B)$. Далее через $J^1$ обозначим многообразие $\operatorname{Pic}^1\Sigma$. Заметим, что многообразие $J^1$ является $J$-торсором, где $J=J(\Sigma)$ – якобиан кривой $\Sigma$. Возьмем в качестве нулевого элемента $J^1$ линейное расслоение $\mathcal{O}(p_1)$; тогда получим изоморфизм $J^1=J$. Группа ${}_{2\!}J$ действует на многообразии $J^1$ сдвигами; полученную подгруппу группы $\operatorname{Aut} J^1$ обозначим через $\operatorname{T}=\operatorname{T}(J^1)$. На многообразии $J$ определена инволюция обращения $(-1)\colon J\to J$. С помощью изоморфизма $J^1=J$ инволюция $(-1)$ переносится на $J^1$; сохраним за ней обозначение. Добавим к группе $\operatorname{T}(J^1)$ автоморфизм $(-1)$; тогда подгруппу группы $\operatorname{Aut} J^1$, порожденную элементами из $\operatorname{T}(J^1)$ и автоморфизмом $(-1)$, обозначим через $\widehat{\operatorname{T}}=\widehat{\operatorname{T}}(J^1)$. Рассмотрим коммутативную диаграмму где отображение $(2)\colon J\to J$ – гомоморфизм умножения на $2$, а изоморфизм $J/_{2\!}J=J$ сопоставляет смежному классу $\xi\bmod _{2\!}J$ элемент $2\xi\in J$. Если применить изоморфизм $J^1=J$ к вышеприведенной диаграмме, то получим следующую коммутативную диаграмму: Приведем один результат о многообразии модулей $\mathcal{U}_\Sigma(1)=\mathcal{U}(1)$ и проекции
$$
\begin{equation*}
\det\colon \mathcal{U}(1)\to J^1
\end{equation*}
\notag
$$
из работы Раманана [23]. Для этого обозначим через $\mathcal{SU}$ многообразие $\mathcal{SU}_{p_1}$ и рассмотрим проекцию на второй сомножитель
$$
\begin{equation*}
\operatorname{pr}\colon \mathcal{SU}\times J^1\to J^1.
\end{equation*}
\notag
$$
Группа $_{2\!}J$ действует на $\mathcal{SU}$ тензорным умножением векторных расслоений на линейные. На произведении $\mathcal{SU}\times J^1$ будем рассматривать диагональное действие группы $_{2\!}J$; тогда проекция $\operatorname{pr}$ станет эквивариантным отображением относительно действия этой группы. Следовательно, определено отображение геометрических факторов
$$
\begin{equation*}
\operatorname{pr}\colon \mathcal{SU}\times J^1/_{2\!}J\to J^1/_{2\!}J.
\end{equation*}
\notag
$$
Если теперь применить изоморфизм $J^1/_{2\!}J=J^1$ из коммутативной диаграммы (3.1), то получим отображение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{pr}\colon \mathcal{SU}\times J^1/_{2\!}J\to J^1.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\mathcal{SU}=\mathcal{SU}_{p_1}$, а точка $p_1$ неподвижна при действии инволюции $\sigma$ на $\Sigma$, то определено действие $\sigma$ на многообразии $\mathcal{SU}$. Определим действие $\sigma$ на $J^1$, потребовав, чтобы соответствующий автоморфизм равнялся инволюции $(-1)\colon J^1\to J^1$. Поэтому определено диагональное действие инволюции $\sigma$ на произведении $\mathcal{SU}\times J^1$, а также на геометрическом факторе $\mathcal{SU}\times J^1/_{2\!}J$. Тогда получаем, что проекция
$$
\begin{equation*}
\operatorname{pr}\colon \mathcal{SU}\times J^1/_{2\!}J\to J^1
\end{equation*}
\notag
$$
является $\sigma$-эквивариантным отображением. Оказывается (см. [23]), что существует изоморфизм многообразий
$$
\begin{equation*}
\mathcal{U}(1)=\mathcal{SU}\times J^1/_{2\!}J
\end{equation*}
\notag
$$
такой, что коммутативна следующая диаграмма: причем эта диаграмма эквивариантна относительно действия инволюции $\sigma$. Рассмотрим вложение $\Sigma\hookrightarrow J^1$, которое точке $p\in\Sigma$ сопоставляет линейное расслоение $\mathcal{O}(p)$. Тогда прообраз $\Sigma$ при отображения $\det\colon \mathcal{U}(1)\to J^1$ равен $\mathcal{U}(*)$, а отображение
$$
\begin{equation*}
\det\colon \mathcal{U}(*)\to\Sigma
\end{equation*}
\notag
$$
совпадает с отображением
$$
\begin{equation*}
\operatorname{pr}\colon \mathcal{U}(*)\to\Sigma,
\end{equation*}
\notag
$$
определенным во Введении. Поэтому из диаграммы (3.2) получаем коммутативную диаграмму причем эта диаграмма эквивариантна относительно действия инволюции $\sigma$. Обозначим через $\widehat{\Sigma}\subset J^1$ прообраз кривой $\Sigma$ при отображении $(2)\colon J^1\to J^1$. Отметим, что индуцированное отображение $(2)\colon \widehat{\Sigma}\to\Sigma$ является неразветвленным накрытием с группой монодромии $_{2\!}J=H_1(\Sigma,\mathbb{F}_2)$. Кривая $\widehat{\Sigma}$ инвариантна относительно действия инволюции $(-1)$ на $J^1$; ограничение этой инволюции на $\widehat{\Sigma}$ обозначим через $\widehat{\sigma}$. Определим действие инволюции $\sigma\colon \Sigma\to\Sigma$ на $\widehat{\Sigma}$ потребовав, чтобы соответствующий автоморфизм равнялся $\widehat{\sigma}$. Далее, если не возникает противоречия, будем обозначать инволюцию $\widehat{\sigma}\colon \widehat{\Sigma}\to\widehat{\Sigma}$ через $\sigma$. На самом деле инволюция $\widehat{\sigma}\colon \widehat{\Sigma}\to\widehat{\Sigma}$ является только одним из подъемов инволюции $\sigma\colon \Sigma\to\Sigma$. Заметим, что кривая $\widehat{\Sigma}\subset J^1$ инвариантна относительно действия всей группы $\widehat{\operatorname{T}}=\widehat{\operatorname{T}}(J^1)$. Поэтому получаем действие группы $\widehat{\operatorname{T}}$ на $\widehat{\Sigma}$; полученную от этого действия подгруппу группы $\operatorname{Aut}\widehat{\Sigma}$ будем обозначать через $\widehat{\operatorname{T}}=\widehat{\operatorname{T}}(\widehat{\Sigma})$. Группа $\widehat{\operatorname{T}}(\widehat{\Sigma})$ порождается группой ${}_{2\!}J$ и инволюцией $\widehat{\sigma}$. Заметим теперь, что из диаграммы (3.3) получается коммутативная диаграмма которая эквивариантна относительно действия инволюции $\sigma$. 3.2. Накрытие $\widehat{\Sigma}\to\Sigma$ Приведем другое определение данного накрытия. Для этого будем отождествлять кривую Веронезе $C(B)$ со сферой Римана $\overline{\mathbb{C}}$ с помощью построенной в п. 1.1 параметризации. Тогда двулистное накрытие $\pi\colon \Sigma(B)\to C(B)$ становится двулистным накрытием $\pi\colon \Sigma\to\overline{\mathbb{C}}$ с ветвлением в точках $a_1,\dots,a_n\in\mathbb{C}$. Заметим, что кривая $\Sigma$ является римановой поверхностью двузначной функции
$$
\begin{equation*}
\sqrt{(t-a_1)\cdots(t-a_n)}
\end{equation*}
\notag
$$
и задается уравнением
$$
\begin{equation*}
z^2=(t-a_1)\cdots(t-a_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Инволюция $\sigma\colon \Sigma\to\Sigma$ переводит точку $(t,z)$ в точку $(t,-z)$. Рассмотрим многозначную векторную функцию
$$
\begin{equation*}
\mathbf{r}(t)=(\sqrt{t-a_1},\dots,\sqrt{t-a_n})
\end{equation*}
\notag
$$
и обозначим через $S$ риманову поверхность этой многозначной функции. Тогда получаем однозначную функцию $p\colon S\to\overline{\mathbb{C}}$, которая является обратной к функции $\mathbf{r}(t)$. Заметим, что функция $\mathbf{r}(t)$ поднимается до многозначной $\sigma$-инвариантной функции $\widehat{\mathbf{r}}(t,z)$ на $\Sigma$, причем риманова поверхность этой функции совпадает с $S$. Обратная однозначная функция на $S$ к функции $\widehat{\mathbf{r}}(t,z)$ на $\Sigma$ задает отображение $\pi\colon S\to\Sigma$, которое является неразветвленным накрытием. Гиперэллиптическая инволюция $\sigma\colon \Sigma\to\Sigma$ поднимается на $S$ так, что отображение $\pi\colon S\to\Sigma$ эквивариантно относительно действия инволюции $\sigma$. Покажем, что справедлива следующая лемма. Лемма 3.1. Существует изоморфизм $\widehat{\Sigma}=S$ такой, что коммутативна диаграмма которая эквивариантна относительно действия инволюции $\sigma$. Доказательство. Накрытие $(2)\colon J^1\to J^1$ устроено следующим образом. Рассмотрим гомоморфизм групп
$$
\begin{equation*}
\pi_1(J^1,*)\to H_1(J^1,\mathbb{F}_2)={}_{2\!}J,
\end{equation*}
\notag
$$
где $*\in J^1$ – точка, полученная из линейного расслоения $\mathcal{O}(p_1)$, а гомоморфизм сопоставляет петле соответствующий класс гомологий. Обозначим через $\widehat{\pi}_1(J^1,*)$ ядро этого гомоморфизма; тогда получим, что накрытие $(2)\colon J^1\to J^1$ совпадает с накрытием, определенным подгруппой $\widehat{\pi}_1(J^1,*)\subset\pi_1(J^1,*)$. Следовательно, накрытие $(2)\colon \widehat{\Sigma}\to\Sigma$ устроено аналогичным образом, только нужно рассмотреть сначала гомоморфизм групп
$$
\begin{equation*}
\pi_1(\Sigma,p_1)\to H_1(\Sigma,\mathbb{F}_2)=_{2\!}J,
\end{equation*}
\notag
$$
а затем применить подгруппу $\widehat{\pi}_1(\Sigma,p_1)\subset\pi_1(\Sigma,p_1)$, равную ядру этого гомоморфизма, чтобы получить накрытие $(2)\colon \widehat{\Sigma}\to\Sigma$. Остается убедиться, что подгруппа $\pi_1(S)\subset\pi_1(\Sigma)$ совпадает с подгруппой $\widehat{\pi}_1(\Sigma,p_1)$. Лемма доказана. 3.3. Обобщенные многообразия Клейна Перейдем к описанию свойств многообразия Клейна $\operatorname{Kl}=\operatorname{Kl}(B)$, которое было определено во Введении. Многообразие $\operatorname{Kl}$ особое; его особые точки содержатся в слоях $B(a_k)$, $k=1,\dots,n$. Непосредственно проверяется, что многообразие $\operatorname{Kl}$ – нормальное, а особые точки в слое $B(a_k)$ содержатся в гиперплоскости $\{v_k=0\}\subset\mathbb{P}(V)$ и составляют неособую биквадрику $\mathcal{B}_k$ размерности $2g-2$, заданную системой уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} v_1^2+\dots+v_{k-1}^2+v_{k+1}^2+\dots+v_n^2=0, \\ \dfrac{1}{a_1-a_k}v_1^2+\dots+\dfrac{1}{a_{k-1}-a_k}v_{k-1}^2+ \dfrac{1}{a_{k+1}-a_k}v_{k+1}^2+\dots+\dfrac{1}{a_n-a_k}v_n^2=0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Приведем другое определение многообразия Клейна. Для этого рассмотрим отображение $\varphi(t)\colon B\to B(t)$ ($t\in\mathbb{C}$ – фиксированная точка), заданное равенством
$$
\begin{equation*}
\varphi(t)(v_1:\dots:v_n)=(\sqrt{t-a_1}\cdot v_1:\dots:\sqrt{t-a_n}\cdot v_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как радикалы $\sqrt{t-a_1}$, $\dots$, $\sqrt{t-a_n}$ определены с точностью до умножения на $\pm1$, то $\varphi(t)$ определено с точностью до преобразования из подгруппы $\operatorname{A}(B)\subset\operatorname{Aut} B$, состоящей из преобразований
$$
\begin{equation*}
(v_1:\dots:v_n)\mapsto(\pm v_1:\dots:\pm v_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $t\in\mathbb{C}\setminus\{a_1,\dots,a_n\}$, то отображение $\varphi(t)$ является изоморфизмом. Отображение
$$
\begin{equation*}
\varphi(a_k)\colon B\to B(a_k)
\end{equation*}
\notag
$$
является двулистным накрытием с ветвлением в биквадрике $\mathfrak{B}_k=B\cap\{v_k=0\}$, причем биквадрика ветвления $\mathfrak{B}_k$ отображается изоморфно на биквадрику $\mathcal{B}_k$. Заметим, что инволюция двулистного накрытия $B\to B(a_k)$ задается умножением координаты $v_k$ на $-1$. В окрестности точки $\infty\in\overline{}\mathbb{C}$ зафиксируем ветви двузначных функций $\sqrt{t-a_1}$, $\dots$, $\sqrt{t-a_n}$; тогда определено предельное отображение
$$
\begin{equation*}
\varphi(\infty)=\lim_{t\to\infty}\varphi(t)\colon B\to B(\infty)=B;
\end{equation*}
\notag
$$
оно является преобразованием из группы $\operatorname{A}(B)$. Рассмотрим отображение $p\colon \widehat{\Sigma}\to\overline{\mathbb{C}}$, равное композиции отображений $\widehat{\Sigma}\to\Sigma\to\overline{\mathbb{C}}$. Двузначная функция на $\overline{\mathbb{C}}$
$$
\begin{equation*}
\sqrt{(t-a_1)\cdots(t-a_n)}
\end{equation*}
\notag
$$
поднимается до однозначной функции на $\Sigma$, которая поднимается до однозначной функции $r(s)$ на $\widehat{\Sigma}$. Заметим, что функция $r(s)$ определена с точностью до умножения на $-1$. Двузначные функции на $\overline{\mathbb{C}}$
$$
\begin{equation*}
\sqrt{t-a_1},\quad \dots,\quad \sqrt{t-a_n}
\end{equation*}
\notag
$$
поднимаются до однозначных функций $r_1(s),\dots,r_n(s)$ на $\widehat{\Sigma}$. Подъем каждой функции
$$
\begin{equation*}
\sqrt{t-a_1},\quad \dots,\quad\sqrt{t-a_n}
\end{equation*}
\notag
$$
неоднозначный, можно только потребовать выполнения условия
$$
\begin{equation*}
r_1(s)\cdots r_n(s)=r(s).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее будем считать, что это условие выполняется. Пусть $s\in\widehat{\Sigma}\setminus p^{-1}(\infty)$, $t(s)=p(s)$; тогда определим отображение
$$
\begin{equation*}
\phi(s)\colon B\times s\to B(t(s))
\end{equation*}
\notag
$$
с помощью равенства
$$
\begin{equation*}
\phi(s)(v_1:\dots:v_n;s)=(r_1(s)v_1:\dots:r_n(s)v_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $s\in\pi^{-1}(\infty)$, то определено предельное отображение
$$
\begin{equation*}
\phi(s)\colon B\times s\to B(\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, получаем отображение
$$
\begin{equation*}
\phi\colon B\times\widehat{\Sigma}\to\operatorname{Kl},
\end{equation*}
\notag
$$
для которого коммутативна диаграмма Группа $\operatorname{A}=\operatorname{A}(B)$ действует на биквадрике $B$; определим действие этой группы на кривой $\widehat{\Sigma}$. Так как уже построен изоморфизм $\operatorname{A}_+= {}_{2\!}J$ (см. п. 1.3), то действие группы $\operatorname{A}_+$ на кривой $\widehat{\Sigma}$ определено. Сопоставим элементу $(-1_1)\in\operatorname{A}$ инволюцию $\sigma\colon \widehat{\Sigma}\to\widehat{\Sigma}$; тогда получим, что определено действие всей группы $\operatorname{A}$ на $\widehat{\Sigma}$. Заметим, что подгруппа группы $\operatorname{Aut}\widehat{\Sigma}$, полученная от действия $\operatorname{A}$ на $\widehat{\Sigma}$ совпадает с группой $\widehat{\operatorname{T}}(\widehat{\Sigma})$. Далее, если не возникает противоречия, будем отождествлять группу $\widehat{\operatorname{T}}(\widehat{\Sigma})$ с группой $\operatorname{A}=\operatorname{A}(B)$. Диаграмма (3.5) эквивариантна относительно действия группы $\operatorname{A}=\operatorname{A}(B)$, где на произведении рассматривается диагональное действие, а на правой стороне диаграммы – действие тривиальное. Тогда после факторизации по этому действию получаем следующую коммутативную диаграмму: где $\overline{\phi}$ – голоморфная биекция. Так как многообразия $B\times\widehat{\Sigma}/\operatorname{A}$, $\operatorname{Kl}$ – нормальные, то отображение $\overline{\phi}$ является изоморфизмом. Таким образом, справедлива следующая лемма. Лемма 3.2. Расслоение $\operatorname{pr}\colon \operatorname{Kl}(B)\to C(B)$ канонически изоморфно расслоению, которое получается из тривиального расслоения
$$
\begin{equation*}
B\times\widehat{\Sigma}\to\widehat{\Sigma}
\end{equation*}
\notag
$$
после факторизации по действию группы $\operatorname{A}(B)$. Кроме коммутативной диаграммы (3.6) рассмотрим следующую коммутативную диаграмму: индуцированную вложением $\operatorname{A}_+\subset\operatorname{A}$. Из этих двух диаграмм получаем коммутативную диаграмму Из определения многообразий $\operatorname{Kl}$, $\mathfrak{Kl}$ видно (см. Введение), что многообразие $\mathfrak{Kl}$ является двулистным накрытием многообразия $\operatorname{Kl}$; соответствующая инволюция была обозначена через $\sigma$. Теперь можно уточнить устройство этого накрытия. А именно, образ множества ветвления состоит из биквадрик $\mathcal{B}_1,\dots,\mathcal{B}_n$. Но также устроено отображение $B\times\widehat{\Sigma}/\operatorname{A}_+\to\operatorname{Kl}$ в диаграмме (3.7). Поэтому существует изоморфизм
$$
\begin{equation*}
\widehat{\phi}\colon B\times\widehat{\Sigma}/\operatorname{A}_+ \xrightarrow{\approx}\mathfrak{Kl}
\end{equation*}
\notag
$$
такой, что коммутативна диаграмма где изоморфизм $\Sigma\xrightarrow{\approx}\Sigma$ может отличаться от тождественного отображения на инволюцию $\sigma$. Подкрутим изоморфизмы в диаграмме (3.8) на инволюцию $\sigma$, если изоморфизм $\Sigma\xrightarrow{\approx}\Sigma$ отличается от тождественного; тогда получим $\sigma$-эквивариантную коммутативную диаграмму Поэтому справедливо следующее предложение. Предложение 3.3. Расслоение $\operatorname{pr}\colon \mathfrak{Kl}(B)\to\Sigma(B)$ канонически изоморфно расслоению, которое получается из тривиального расслоения
$$
\begin{equation*}
B\times\widehat{\Sigma}\to\widehat{\Sigma}
\end{equation*}
\notag
$$
после факторизации по действию группы $\operatorname{A}_+(B)={}_{2\!}J$. 3.4. Изоморфизм Десале–Раманана Нам потребуются дополнительные сведения об изоморфизме $\mathcal{SU}_p=\mathcal{F}$, про который говорилось во Введении. Само построение этого изоморфизма довольно громоздкое, поэтому оно не приводится в данной статье. Приведем одно свойство изоморфизма $\mathcal{SU}_p=\mathcal{F}$, которое будем использовать. Далее полагаем, что $\mathcal{SU}$ равно многообразию $\mathcal{SU}_{p_1}$. Отметим, что точка $p_1$ неподвижна при действии гиперэллиптической инволюции $\sigma\colon \Sigma\to\Sigma$, поэтому определено действие $\sigma$ на многообразии $\mathcal{SU}$. Действие группы $\operatorname{A}=\operatorname{A}(B)$ на биквадрике $B$ индуцирует действие $\operatorname{A}$ на многообразии Фано $\mathcal{F}=\mathcal{F}(B)$. Определим действие этой группы на многообразии $\mathcal{SU}$. Образующие $\alpha_2,\dots,\alpha_n$ подгруппы $\operatorname{A}_+\subset\operatorname{A}$ действуют на $\mathcal{SU}$ с помощью следующего правила: если $E\in\mathcal{SU}=\mathcal{SU}_{p_1}$, то
$$
\begin{equation*}
\alpha_k\cdot E=E\otimes\mathcal{O}(p_k-p_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\beta$ преобразование $V$, которое умножает на $-1$ координату $v_1$, а остальные координаты не изменяет. Заметим, что элементы $\alpha_2,\dots,\alpha_n,\beta\in\operatorname{A}$ порождают всю группу $\operatorname{A}$. По определению положим
$$
\begin{equation*}
\beta\cdot E=\sigma^*(E).
\end{equation*}
\notag
$$
Оказывается, что построенный в [11] изоморфизм $\mathcal{SU}=\mathcal{F}$ эквивариантен относительно действия группы $\operatorname{A}$ (см. [11; следствие 1]). Общее замечание. В работе [14] приводится геометрическая конструкция универсального семейства стабильных ранга $2$ векторных расслоений на кривой рода $2$ с фиксированным детерминантом нечетной степени. В этой конструкции непосредственно используется многообразие Фано $\mathcal{F}$. По моему мнению, эту конструкцию можно применять для получения аналогичного семейства векторных расслоений на гиперэллиптической кривой $W$ произвольного рода $g\geqslant 2$. Приведем ее в общем случае. Можно считать, что кривая $W$ равна $W(B)$, где $B\in\operatorname{BQ}^\circ$ – неособая биквадрика. Сначала строится $\mathbb{P}^1$-расслоение $\mathcal{S}\to\mathcal{F}\times W$, где $\mathcal{F}$ – многообразие Фано $(g-2)$-плоскостей на $B$. Это делается следующим образом. Для точки $(x,w)\in\mathcal{F}\times W$ рассмотрим множество $S_{x,w}$ из $g$-плоскостей $\Pi\in\operatorname{G}_w$, проходящих через $x$. Нетрудно убедиться, что множество $S_{x,w}$ является коникой (см., например, рассуждение на с. 221 в [6]). Следовательно, получаем $\mathbb{P}^1$-расслоение. Так как группа Брауэра $\mathrm{Br}(\mathcal{F}\times W)$ – тривиальна, то $\mathbb{P}^1$-расслоение поднимается до векторного расслоения $\mathcal{E}\to\mathcal{F}\times W$. При $g=2$ в [14] доказаны следующие утверждения. 1. Для каждой точки $x\in\mathcal{F}$ расслоение $E_x\to x\times W$, равное ограничению $\mathcal{E}$ на $x\times W$, удовлетворяет условиям: $\deg E_x$ – нечетная, а $\det E_x$ не зависит от $x$. 2. Для каждой точки $x\in\mathcal{F}$ расслоение $E_x\to x\times W$ – стабильное. 3. Если $\det E_x=\xi$, $\mathcal{U}_\xi$ – многообразие модулей стабильных ранга $2$ векторных расслоений на $W$ c детерминатном $\xi$, то каноническое отображение $\mathcal{F}\to\mathcal{U}_\xi$ является изоморфизмом. Вполне возможно, что эти утверждения справедливы и при $g>2$. Я не встречал доказательства этой гипотезы в известной мне литературе. В случае ее справедливости, получается более геометрическое и менее громоздкое построение изоморфизма $\mathcal{SU}=\mathcal{F}$. 3.5. Окончание доказательства теоремы 0.6 Группа $\operatorname{A}=\operatorname{A}(B)$ действует на многообразии Фано $\mathcal{F}=\mathcal{F}(B)$. Далее преобразование $\mathcal{F}\to\mathcal{F}$ индуцированное преобразованием $\beta\colon B\to B$ обозначим через $\sigma\colon \mathcal{F}\to\mathcal{F}$. Тогда из тривиального расслоения $\operatorname{pr}\colon \mathcal{F}\times\widehat{\Sigma}\to\widehat{\Sigma}$ получаем $\sigma$-эквивариантное расслоение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{pr}\colon \mathcal{F}\times\widehat{\Sigma}/A_+ \to\widehat{\Sigma}/A_+=\Sigma.
\end{equation*}
\notag
$$
Применим $\sigma$-эквивариантный изоморфизм $\mathcal{SU}=\mathcal{F}$; тогда получим $\sigma$-эквивариантную коммутативную диаграмму Так как имеем $\sigma$-эквивариантную коммутативную диаграмму (3.4), т. е. диаграмму то из диаграмм (3.10), (3.11) получаем $\sigma$-эквивариантную коммутативную диаграмму Осталось заметить, что из $\sigma$-эквивариантной коммутативной диаграммы (3.9) получается $\sigma$-эквивариантная коммутативная диаграмма Теорема 0.6 доказана. 3.6. Общее замечание В п. 3.3 было показано, что все неособые многообразия $B(t)$ изоморфны $B$. Заметим, что это утверждение верно, если многообразия $B(t)$ рассматриваются только как неотмеченные биквадрики, т. е. не предполагается, что соответствующий изоморфизм пучков квадрик переводит отмеченную квадрику $\mathfrak{Q}$ в себя. Возникает следующий вопрос: существуют ли в семействе $B(t)$ биквадрики $B(t')$, $B(t'')$, изоморфные друг другу как отмеченные биквадрики? В работе [24] утверждается, что ответ на этот вопрос – отрицательный (см. [24; предложение 8.7]). Это утверждение неверно. Приведем конкретный пример трехмерной биквадрики $B$ и двух косингулярных ей биквадрик $B'$, $B''$, изоморфных друг другу как отмеченные биквадрики. Пусть биквадрика $B$ задана системой уравнений
$$
\begin{equation*}
v_1^2+\dots+v_6^2=0,\qquad v_1^2-v_2^2+3v_3^2-3v_4^2+5v_5^2-5v_6^2=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где первое уравнение определяет отмеченную квадрику $\mathfrak{Q}$. Тогда рассмотрим преобразование из группы $\operatorname{PSO}(V)$
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}:(v_1:v_2:v_3:v_4:v_5:v_6)\mapsto (v_2:-v_1:v_4:-v_3:v_6:-v_5).
\end{equation*}
\notag
$$
Это преобразование преобразует вышеприведенную систему уравнений в систему
$$
\begin{equation*}
v_1^2+\dots+v_6^2=0,\qquad -v_1^2+v_2^2-3v_3^2+3v_4^2-5v_5^2+5v_6^2=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому преобразование $\mathfrak{g}$ оставляет квадрику $\mathfrak{Q}$ на месте, а также биквадрику $B$. Если $B(t)$ – семейство биквадрик, косингулярных $B$, то оно задается системой уравнений
$$
\begin{equation*}
v_1^2+\dots+v_6^2\,{=}\,0,\qquad \frac{1}{t-1}\,v_1^2- \frac{1}{t+1}\,v_2^2+\frac{1}{t-3}\,v_3^2-\frac{1}{t+3}\,v_4^2+ \frac{1}{t-5}\,v_5^2-\frac{1}{t+5}\,v_6^2\,{=}\,0.
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственно проверяется равенство $\mathfrak{g}(B(t))=B(-t)$. Поэтому отмеченные биквадрики $B(t)$, $B(-t)$ изоморфны. Предлагаю читателю убедиться в справедливости следующего утверждения. Предложение 3.4. Пусть неособая биквадрика $B$ задана уравнением
$$
\begin{equation*}
a_1v_1^2+\dots+a_nv_n^2=0,
\end{equation*}
\notag
$$
и существует нетривиальное преобразование
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}\colon a\mapsto\frac{\alpha a+\beta}{\gamma a+\delta}
\end{equation*}
\notag
$$
прямой $\overline{\mathbb{C}}$, относительно которого множество $\{a_1,\dots,a_n\}$ инвариантно. Тогда среди неособых косингулярных $B$ биквадрик $B(t)$ найдутся биквадрики $B(t')$, $B(t'')$, которые изоморфны как отмеченные биквадрики.
§ 4. Дополнение. Классическое отображение Плюккера–Клейна4.1. Координаты Клейна Далее $L$ – четырехмерное комплексное векторное пространство, а $V$ – шестимерное векторное пространство, равное $\Lambda^2L$. На пространстве $V$ определена билинейная симметрическая форма $\langle\mathbf{v},\mathbf{v}'\rangle$ со значениями в $\Lambda^4L$, заданная равенством
$$
\begin{equation*}
\langle\mathbf{v},\mathbf{v}'\rangle= \mathbf{v}\wedge\mathbf{v}'.
\end{equation*}
\notag
$$
Соответствующую квадратичную форму будем обозначать через $\mathfrak{q}(\mathbf{v})$; она называется квадратичной формой Клейна. Чтобы эта форма принимала значения в $\mathbb{C}$, зафиксируем ненулевую форму $\omega\in\Lambda^4L^\vee$ и положим
$$
\begin{equation*}
\langle\mathbf{v},\mathbf{v}'\rangle=\omega( \mathbf{v}\wedge\mathbf{v}').
\end{equation*}
\notag
$$
Будем называть систему координат $(x,y,z,w)\in(L^\vee)^4$ специальной, если она удовлетворяет условию
$$
\begin{equation*}
x\wedge y\wedge z\wedge w=\omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $(x,y,z,w)\in(L^\vee)^4$ – специальная система координат на $L$, то для системы линейных функций на $V$:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} v_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(x\wedge y+z\wedge w),\quad v_2=\dfrac{\sqrt{-1}}{\sqrt{2}}(x\wedge y-z\wedge w), \\ v_3=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(x\wedge z-y\wedge w),\quad v_4=\dfrac{\sqrt{-1}}{\sqrt{2}}(x\wedge z+y\wedge w), \\ v_5=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(x\wedge w+y\wedge z),\quad v_6=\dfrac{\sqrt{-1}}{\sqrt{2}}(x\wedge w-y\wedge z), \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{q}(\mathbf{v})=v_1^2+\dots+v_6^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Система координат (4.1) называется системой координат Клейна, полученной из системы координат $(x,y,z,w)$. Далее будем рассматривать только специальные системы координат на $L$. Из них получается множество систем координат Клейна, которое обозначим через $\operatorname{SK}$. Покажем, что имеет место следующая лемма. Лемма 4.1. Множество $\operatorname{SK}$ равно одной из компонент связности в многообразии ортонормированных систем координат на $V$ относительно квадратичной формы Клейна. Для доказательства рассмотрим гомоморфизм групп
$$
\begin{equation*}
\wedge\colon \operatorname{SL}(L)\to\operatorname{SO}(V),
\end{equation*}
\notag
$$
который преобразованию из группы $\operatorname{SL}(L)$ сопоставляет его внешний квадрат. Тогда получим точную последовательность (см. [10])
$$
\begin{equation*}
1\to\{\pm1\}\to\operatorname{SL}(L)\stackrel{\wedge}{\longrightarrow}\operatorname{SO}(V)\to 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого факта вытекает утверждение леммы. Заметим также, что каждая система координат Клейна получается из двух специальных систем координат $(\pm x,\pm y,\pm z,\pm w)$. 4.2. Теорема Рона Напомним определение квадратичного комплекса прямых. Уравнение $\mathfrak{q}(\mathbf{v})=0$ задает множество разложимых бивекторов $l\wedge l'\in\Lambda^2L$. Заметим, что, если $\mathbf{v}=l\wedge l'$, то плоскость в $L$, натянутая на векторы $l$, $l'$, является точкой в грассманиане $\operatorname{Gr}_2(L)$. Поэтому квадрику $\mathfrak{Q}\subset\mathbb{P}(V)$, заданную уравнением $\mathfrak{q}(v)=0$, можно отождествить с этим грассманианом. Квадрика $\mathfrak{Q}$ в разных работах называется по-разному: грассманиан, квадрика Плюккера, квадрика Клейна; будем ее называть квадрикой Плюккера–Клейна. Если рассматривать грассманиан $\operatorname{Gr}_2(L)$ как многообразие прямых в $\mathbb{P}(L)$, то пересечение квадрики $\mathfrak{Q}$ другой гиперповерхностью в $\mathbb{P}(V)$ называется комплексом прямых. Поэтому пересечение квадрики $\mathfrak{Q}$ другой квадрикой называется квадратичным комплексом прямых или просто квадратичным комплексом. Многообразие квадратичных комплексов обозначим через $\mathfrak{QC}$, а многообразие неособых квадратичных комплексов обозначим через $\mathfrak{QC}^\circ$. Для точки $p\in\mathbb{P}(L)$ обозначим через $\alpha(p)$ множество прямых в $\mathbb{P}(L)$, проходящих через $p$. Множество $\alpha(p)$ является плоскостью на квадрике Плюккера– Клейна $\mathfrak{Q}$. Поэтому пересечение $\alpha(p)$ с произвольным квадратичным комплексом является коникой на плоскости $\alpha(p)$. Если $\mathfrak{C}$ – фиксированный неособый квадратичный комплекс, то множество точек $p\in\mathbb{P}(L)$, для которых пересечение $\alpha(p)\cap\mathfrak{C}$ является особой коникой, образует куммерову квартику $K(\mathfrak{C})\subset\mathbb{P}(L)$ (см., например, [1]). Она называется куммеровой квартикой, ассоциированной с квадратичным комплексом $\mathfrak{C}$. Если квадратичный комплекс $\mathfrak{C}\subset\mathbb{P}(V)$ задан уравнением
$$
\begin{equation}
a_1v_1^2+\dots+a_6v_6^2=0,
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где $v_1,\dots,v_6$ – координаты Клейна на $V$, полученные из координат $x$, $y$, $z$, $w$ на $L$, то коэффициенты уравнения куммеровой квартики $K(\mathfrak{C})\subset\mathbb{P}(L)$ должны выражаться через коэффициенты $a_1,\dots,a_6$. Соответствующие формулы были найдены К. Роном, а именно, справедлива следующая теорема. Теорема 4.2. Если неособый квадратичный комплекс $\mathfrak{C}$ задан уравнением (4.2), где $v_1,\dots,v_6$ – координаты Клейна на $V$, полученные из координат $x$, $y$, $z$, $w$ на $L$, то куммерова квартика $K(\mathfrak{C})\subset\mathbb{P}(L)$ задается уравнением
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &A(x^4+y^4+z^4+w^4)+2B(x^2y^2+z^2w^2) \\ &\qquad+2C(x^2z^2+y^2w^2)+2D(x^2w^2+y^2z^2)+4Exyzw=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A &=(a_1-a_2)(a_3-a_4)(a_5-a_6), \\ B &=-(a_1-a_2)[(a_3-a_5)(a_4-a_6)+(a_3-a_6)(a_4-a_5)], \\ C &=-(a_3-a_4)[(a_1-a_5)(a_2-a_6)+(a_1-a_6)(a_2-a_5)], \\ D &=-(a_5-a_6)[(a_1-a_3)(a_2-a_4)+(a_1-a_4)(a_2-a_3)], \\ E &=2[a_1a_2(a_3+a_4-a_5-a_6)+a_3a_4(a_5+a_6-a_1-a_2) \\ &\qquad+a_5a_6(a_1+a_2-a_3-a_4)]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Пусть точка $p\in\mathbb{P}(L)$ имеет координаты $(x_1\,{:}\,x_2\,{:}\,x_3\,{:}\,x_4)$ в системе координат $(x,y,z,w)$. Одна из этих координат не равна нулю, будем предполагать, что $x_4\neq0$. Каждая прямая $l\subset\mathbb{P}(L)$, проходящая через точку $p$, пересекает плоскость $\{w=0\}$ в одной точке; обозначим ее однородные координаты через $(y_1:y_2:y_3:0)$. Тогда координаты Клейна прямой $l$ равны
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} v_1 &=\frac{1}{\sqrt{2}}(x_1y_2-x_2y_1-x_4y_3), &\qquad v_2 &=\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{2}}(x_1y_2-x_2y_1+x_4y_3), \\ v_3 &=\frac{1}{\sqrt{2}}(x_1y_3-x_3y_1+x_4y_2), &\qquad v_4 &=\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{2}}(x_1y_3-x_3y_1-x_4y_2), \\ v_5 &=\frac{1}{\sqrt{2}}(-x_4y_1+x_2y_3-x_3y_2), &\qquad v_6 &=\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{2}}(-x_4y_1-x_2y_3+x_3y_2). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &2(a_1v_1^2+a_2v_2^2+a_3v_3^2+ a_4v_4^2+a_5v_5^2+a_6v_6^2) \\ &\qquad=(a_1x_2^2-a_2x_2^2+a_3x_3^2-a_4x_3^2+a_5x_4^2-a_6x_4^2)y_1^2 \\ &\qquad\qquad+(a_1x_1^2-a_2x_1^2+a_3x_4^2-a_4x_4^2+a_5x_3^2-a_6x_3^2)y_2^2 \\ &\qquad\qquad+(a_1x_4^2-a_2x_4^2+a_3x_1^2-a_4x_1^2+a_5x_2^2-a_6x_2^2)y_3^2 \\ &\qquad\qquad+2(-a_1x_1x_2+a_2x_1x_2-a_3x_3x_4-a_4x_3x_4+a_5x_3x_4+a_6x_3x_4)y_1y_2 \\ &\qquad\qquad+2(a_1x_2x_4+a_2x_2x_4-a_3x_1x_3+a_4x_1x_3-a_5x_2x_4-a_6x_2x_4)y_1y_3 \\ &\qquad\qquad+2(-a_1x_1x_4-a_2x_1x_4+a_3x_1x_4+a_4x_1x_4-a_5x_2x_3+a_6x_2x_3)y_2y_3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственно проверяется, что полученная квадратичная форма от переменных $y_1$, $y_2$, $y_3$ вырождается тогда и только тогда, когда выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &x_4^2\cdot \{(a_1-a_2)(a_3-a_4)(a_5-a_6)(x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4) \\ &\ -2(a_1-a_2)[(a_3-a_5)(a_4-a_6)+(a_3-a_6)(a_4-a_5)](x_1^2x_2^2+x_3^2x_4^2) \\ &\ -2(a_3-a_4)[(a_1-a_5)(a_2-a_6)+(a_1-a_6)(a_2-a_5)](x_1^2x_3^2+x_2^2x_4^2) \\ &\ -2(a_5-a_6)[(a_1-a_3)(a_2-a_4)+(a_1-a_4)(a_2-a_3)](x_1^2x_4^2+x_2^2x_3^2) \\ & \ +8[a_1a_2(a_3+a_4-a_5-a_6)+a_3a_4(a_5+a_6-a_1-a_2) \\ &\ \qquad+a_5a_6(a_1+a_2-a_3-a_4)]x_1x_2x_3x_4\}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема Рона доказана. Замечание. К. Рон доказал теорему 4.2 в своей диссертации, о чем говорится в работе [25]. Мне не удалось посмотреть диссертацию Рона, поэтому мне не известно доказательство Рона. Отмечу, что формулировка теоремы в [25] содержит опечатку: коэффициент перед $xyzw$ ошибочно уменьшен в два раза. В классических трактатах [8], [9] имеются доказательства теоремы Рона, но они отличаются от вышеприведенного прямого доказательства. Отмечу, что формулы для коэффициентов $A,\dots,E$ в этих трактатах внешне отличаются от формул в теореме 4.2, но проверка показывает, что соответствующие функции совпадают. Замечание. Каждая плоскость $\alpha(p)$ содержится на квадрике $\mathfrak{Q}$. Таким образом, получается одно семейство плоскостей на $\mathfrak{Q}$. Чтобы получить другое семейство, возьмем произвольную плоскость $h\subset\mathbb{P}(L)$ и через $\beta(h)$ обозначим множество прямых на $h$. Это множество является плоскостью на $\mathfrak{Q}$. Поэтому получаем другое семейство плоскостей на квадрике Плюккера–Клейна. Оказывается, что $\alpha$-плоскости и $\beta$-плоскости образуют целые ортогональные грассманианы $\operatorname{G}_\pm$. Следовательно, эти грассманианы изоморфны трехмерному проективному пространству. 4.3. Функции Рона и Джуберта Чтобы записать уравнение (4.3) более кратко, введем следующие дополнительные обозначения:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_1(x,y,z,w)=x^4+y^4+z^4+w^4,\qquad f_2(x,y,z,w)=2(x^2y^2+z^2w^2), \\ f_3(x,y,z,w)=2(x^2z^2+y^2w^2),\qquad f_4(x,y,z,w)=2(x^2w^2+y^2z^2), \\ f_5(x,y,z,w)=4xyzw. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда уравнение (4.3) принимает вид
$$
\begin{equation}
Af_1+Bf_2+Cf_3+Df_4+Ef_5=0.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Функции
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A=A(a_1,\dots,a_6),\qquad B=B(a_1,\dots,a_6),\qquad C=C(a_1,\dots,a_6), \\ D=D(a_1,\dots,a_6),\qquad E=E(a_1,\dots,a_6) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
в формулировке теоремы 4.2 будем называть функциями Рона. Они удовлетворяют уравнению
$$
\begin{equation*}
A(A^2-B^2-C^2-D^2+E^2)+2BCD=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Это уравнение задает реализацию кубики Сегре, как гиперповерхности в $\mathbb{P}^4$; обозначим ее через $\mathcal{S}_3$. Зафиксируем систему координат Клейна $\operatorname{sk}=(v_1,\dots,v_6)$ на $V$; тогда через $\mathfrak{QC}(\operatorname{sk})$ обозначим многообразие квадратичных комплексов, которые задаются уравнениями вида
$$
\begin{equation}
a_1v_1^2+\dots+a_6v_6^2=0.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Через $\mathfrak{QC}^\circ(\operatorname{sk})$ обозначим подмногообразие многообразия $\mathfrak{QC}(\operatorname{sk})$, состоящее из неособых квадратичных комплексов. Функции Рона задают отображение Рона
$$
\begin{equation*}
\mathcal{R}\colon \mathfrak{QC}^\circ(\operatorname{sk})\to\mathcal{S}_3,
\end{equation*}
\notag
$$
которое квадратичному комплексу (4.5) сопоставляет точку
$$
\begin{equation*}
(A(a_1,\dots,a_6),\dots,E(a_1,\dots,a_6))\in\mathcal{S}_3.
\end{equation*}
\notag
$$
На кубике Сегре $\mathcal{S}_3$ имеются плоскости, которые называются плоскостями Сегре. Обозначим через $\mathcal{S}_3^\circ$ дополнение плоскостей Сегре. Если точка $(A:\dots:E)$ принадлежит плоскости Сегре на $\mathcal{S}_3$, то соответствующая квартика в семействе (4.4) имеет неизолированные особенности, поэтому не является куммеровой квартикой. Следовательно, образ отображения Рона содержится в $\mathcal{S}_3^\circ$. Имеется другая реализация кубики Сегре, как многообразия в $\mathbb{P}^5$, заданного системой уравнений
$$
\begin{equation*}
u_1+\dots+u_6=u_1^3+\dots+u_6^3=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем обозначать это многообразие через $\mathrm{S}_3$. Изоморфизм $\mathcal{S}_3\cong\mathrm{S}_3$ задается формулами (см. [26])
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} u_1=A-B-C-D, \\ u_2=A-B+C+D, \\ u_3=A+B-C+D, \\ u_4=A+B+C-D, \\ u_5=-2A+E, \\ u_6=-2A-E. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственно проверяется, что соответствующие функции
$$
\begin{equation*}
u_1=u_1(a_1,\dots,a_6),\quad \dots,\quad u_6=u_6(a_1,\dots,a_6)
\end{equation*}
\notag
$$
задаются формулами
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u_1 &=-[(12)(53)(46)+(13)(42)(56)+(14)(52)(36)+(15)(26)(43)+(16)(23)(45)], \\ u_2 &=-[(12)(53)(46)+(13)(54)(26)+(14)(56)(23)+(15)(36)(24)+(16)(25)(34)], \\ u_3 &=-[(12)(36)(45)+(13)(46)(25)+(14)(56)(23)+(15)(26)(43)+(16)(24)(53)], \\ u_4 &=-[(12)(36)(45)+(13)(42)(56)+(14)(35)(26)+(15)(46)(32)+(16)(25)(34)], \\ u_5 &=-[(12)(34)(56)+(13)(54)(26)+(14)(52)(36)+(15)(46)(32)+(16)(24)(53)], \\ u_6 &=-[(12)(34)(56)+(13)(46)(25)+(14)(35)(26)+(15)(24)(36)+(16)(23)(45)], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где через $(ij)$ обозначена функция $a_i-a_j$ на $\mathbb{C}^6$. Заметим, что функции в квадратных скобках – это классические функции Джуберта (см. [27], [3]). Поэтому полученные функции
$$
\begin{equation*}
u_1=u_1(a_1,\dots,a_6),\quad\dots,\quad u_6=u_6(a_1,\dots,a_6)
\end{equation*}
\notag
$$
будем называть функциями Джуберта. Функции Джуберта задают отображение Джуберта
$$
\begin{equation*}
J\colon \mathfrak{QC}^\circ(\operatorname{sk})\to\mathrm{S}_3,
\end{equation*}
\notag
$$
для которого коммутативна диаграмма 4.4. Теорема Клейна Покажем, что доказательство равенства (2.2) при $n=6$, т. е. равенства
$$
\begin{equation}
C^\circ(\mathfrak{C})=\operatorname{CS}(\mathfrak{C})\cap\mathfrak{QC}^\circ(\operatorname{sk}),
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
можно провести с помощью теоремы Рона и функций Джуберта. Сначала приведем формулировку теоремы Рона с помощью функций Джуберта. Для этого введем многочлены (см. [26])
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} g_1 &=\frac{1}{3}f_1-f_2-f_3-f_4, &\qquad g_2 &=\frac{1}{3}f_1-f_2+f_3+f_4, \\ g_3 &=\frac{1}{3}f_1+f_2-f_3+f_4, &\qquad g_4 &=\frac{1}{3}f_1+f_2+f_3-f_4, \\ g_5 &=-\frac{2}{3}f_1+2f_5, &\qquad g_6 &=-\frac{2}{3}f_1-2f_5, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
где $f_1=f_1(x,y,z,w)$, $\dots$, $f_5=f_5(x,y,z,w)$ – многочлены из п. 4.3, причем система координат $(x,y,z,w)$ на $L$ – одна из двух систем координат, из которых получается фиксированная система координат Клейна $(v_1,\dots,v_6)$ на $V$. Нетрудно убедиться, что, если куммерова квартика $K$ задана уравнением (4.4), то она также задается уравнением
$$
\begin{equation}
u_1g_1(x,y,z,w)+\dots+u_6g_6(x,y,z,w)=0,
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
где $u_1=u_1(A,\dots,E)$, $\dots$, $u_6=u_6(A,\dots,E)$. Поэтому из теоремы 4.2 вытекает следующее утверждение. Следствие 4.3. Если квадратичный комплекс $\mathfrak{C}\in\mathfrak{QC}^\circ(\operatorname{sk})$ задан уравнением (4.5), то ассоциированная куммерова квартика $K(\mathfrak{C})\subset\mathbb{P}(L)$ задается уравнением (4.7), где коэффициенты $u_1,\dots,u_6$ равны значениям функций Джуберта в точке $(a_1,\dots,a_6)$. Обозначим через $\operatorname{KQ}(\operatorname{sk})$ множество куммеровых квартик в $\mathbb{P}(L)$, которые получаются из квадратичных комплексов в $\mathfrak{QC}^\circ(\operatorname{sk})$ с помощью отображения Плюккера–Клейна, а через $\mathrm{S}_3^\circ$ обозначим дополнение плоскостей Сегре в $\mathrm{S}_3$. Оказывается, что функции Джуберта задают изоморфизм (см., например, [3; с. 525], а также [27])
$$
\begin{equation*}
\mathcal{J}\colon \mathcal{M}_{0,6}\xrightarrow{\approx}\mathrm{S}_3^\circ.
\end{equation*}
\notag
$$
Из следствия 2.2 получаем, что отображение Плюккера–Клейна
$$
\begin{equation*}
\operatorname{PK}\colon \mathfrak{QC}^\circ(\operatorname{sk}) \to\operatorname{KQ}(\operatorname{sk})
\end{equation*}
\notag
$$
раскладывается в композицию
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{QC}^\circ(\operatorname{sk})\stackrel{\mu}{\longrightarrow}\mathcal{M}_{0,6} \stackrel{\kappa}{\longrightarrow}\operatorname{KQ}(\operatorname{sk}),
\end{equation*}
\notag
$$
где отображение $\mu$ сопоставляет квадратичному комплексу $\mathfrak{C}\in\mathfrak{QC}^\circ(\operatorname{sk})$, заданному уравнением
$$
\begin{equation*}
a_1v_1^2+\dots+a_6v_6^2=0,
\end{equation*}
\notag
$$
точку $[a_1,\dots,a_6]\in\mathcal{M}_{0,6}$. Покажем, что имеет место следующая лемма. Лемма 4.4. Справедливы утверждения: 1) образ отображения Джуберта $J\colon \mathfrak{QC}^\circ(\operatorname{sk})\to \mathrm{S}_3$ равен $\mathrm{S}_3^\circ$; 2) отображение
$$
\begin{equation*}
\kappa\colon \mathcal{M}_{0,6}\to\operatorname{KQ}(\operatorname{sk})
\end{equation*}
\notag
$$
– биекция. Доказательство. Рассмотрим коммутативную диаграмму Так как отображение $\mu$ сюръективно, то первое утверждение леммы доказано. Поэтому получаем изоморфизм
$$
\begin{equation*}
\mathrm{G}\colon \operatorname{KQ}(\operatorname{sk})\xrightarrow{\approx} \mathrm{S}_3^\circ,
\end{equation*}
\notag
$$
который куммеровой квартике $K\in\operatorname{KQ}(\operatorname{sk})$, заданной уравнением (4.7), сопоставляет точку $(u_1:\dots:u_6)$. Остается заметить, что композиция отображений
$$
\begin{equation*}
\mathcal{M}_{0,6}\stackrel{\kappa}{\longrightarrow}\operatorname{KQ}(\operatorname{sk}) \stackrel{G}{\longrightarrow}\mathrm{S}_3^\circ
\end{equation*}
\notag
$$
равна изоморфизму
$$
\begin{equation*}
\mathcal{J}\colon \mathcal{M}_{0,6}\xrightarrow{\approx}\mathrm{S}_3^\circ.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Заметим теперь, что из биективности отображения $\kappa\colon \mathcal{M}_{0,6}\to\operatorname{KQ}(\operatorname{sk})$ вытекает равенство (4.6). Окончание доказательства КСБ-теоремы при $n=6$ аналогично окончанию доказательства в общем случае. Отметим только, что при $n=6$ ситуация более простая, так как ортогональный грассманиан $\operatorname{G}$ является проективным пространством $\mathbb{P}^3=\mathbb{P}(L)$. В данном случае нужно использовать изоморфизм групп
$$
\begin{equation*}
\wedge\colon \operatorname{PSL}(L)\xrightarrow{\approx}\operatorname{PSO}(V).
\end{equation*}
\notag
$$
Если подгруппы $\operatorname{T}(\operatorname{sk}),\operatorname{T}(\operatorname{sk}') \subset\operatorname{PSO}(V)$ разные, то и подгруппы
$$
\begin{equation*}
\wedge^{-1}(\operatorname{T}(\operatorname{sk})),\wedge^{-1}(\operatorname{T}(\operatorname{sk}')) \subset\operatorname{PSL}(L)=\operatorname{Aut}\mathbb{P}(L)
\end{equation*}
\notag
$$
разные. Но группы $\wedge^{-1}(\operatorname{T}(\operatorname{sk}))$, $\wedge^{-1}(\operatorname{T}(\operatorname{sk}'))$ являются группам трансляций куммеровых квартик из множеств $\operatorname{KQ}(\operatorname{sk})$, $\operatorname{KQ}(\operatorname{sk}')$ соответственно. Следовательно, множества $\operatorname{KQ}(\operatorname{sk})$, $\operatorname{KQ}(\operatorname{sk}')$ не пересекаются. 4.5. Общее замечание Приведенное доказательство теоремы Клейна о косингулярных квадратичных комплексах, по-видимому, является новым. Впрочем, его можно было привести сто лет назад, так как свойство функций Джуберта, которое применялось в доказательстве, приведено в работе [27]. Из первого утверждения леммы 4.4 получаем, что образ отображения Рона $\mathcal{R}\colon \mathfrak{QC}^\circ(\operatorname{sk})\to\mathcal{S}_3$ равен $\mathcal{S}_3^\circ$. Другое доказательство этого утверждения имеется в [28]. Отметим также, что его можно вывести из результатов работы [29]. Как следствие получаем малоизвестное предложение. Предложение 4.5. Если точка $(A:B:C:D:E)$ принадлежит $\mathcal{S}_3^\circ$, то уравнение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &A(x^4+y^4+z^4+w^4)+2B(x^2y^2+z^2w^2) \\ &\qquad+2C(x^2z^2+y^2w^2)+2D(x^2w^2+y^2z^2)+4Exyzw=0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
определяет куммерову квартику. Одной из причин написания § 4 является вышеприведенное доказательство предложения 4.5; по-видимому, оно новое. Это предложение дополняет следующее более известное утверждение (см, например, [3; теорема 10.3.14]). Теорема 4.6. Если $K\,{\subset}\,\mathbb{P}(L)$ – куммерова квартика, то существует система координат $(x,y,z,w)$ на $L$ такая, что квартика $K$ задается уравнением (4.8), коэффициенты которого удовлетворяют условию $(A\,{:}\,B\,{:}\,C\,{:}\,D\,{:}\,E)\,{\in}\,\mathcal{S}_3$. Заметим, что если точка $(A:B:C:D:E)$ принадлежит плоскости Сегре на кубике $\mathcal{S}_3$, то уравнение (4.8) определяет квартику с неизолированными особенностями. Поэтому эта квартика не является куммеровой поверхностью. Но в семействе поверхностей (4.8) существуют такие куммеровы квартики, что коэффициенты не удовлетворяют условию $(A:B:C:D:E)\in\mathcal{S}_3$. Например, квартика
$$
\begin{equation}
x^4+y^4+z^4+w^4+4xyzw=0
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
является такой поверхностью. Существует в точности тридцать таких куммеровых квартик, причем все они проективно изоморфны квартике (4.9) (см. подробности, например, в [30]).
|
|
|
Список литературы
|
|
|
1. |
Ф. Гриффитс, Дж. Харрис, Принципы алгебраической геометрии, Мир, М., 1982, 864 с. ; пер. с англ.: P. Griffiths, J. Harris, Principles of algebraic geometry, Pure Appl. Math., Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], New York, 1978, xii+813 с. |
2. |
J. W. S. Cassels, E. V. Flynn, Prolegomena to a middlebrow arithmetic of curves of genus 2, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 230, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1996, xiv+219 pp. |
3. |
I. V. Dolgachev, Classical algebraic geometry. A modern view, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2012, xii+639 pp. |
4. |
M. Reid, The complete intersection of two or more quadrics, Ph.D. thesis, Univ. of Cambridge, Cambridge, 1972, 94 pp. http://homepages.warwick.ac.uk/~masda/3folds/ |
5. |
А. Н. Тюрин, “О пересечении квадрик”, УМН, 30:6(186) (1975), 51–99 ; англ. пер.: A. N. Tyurin, “On intersections of quadrics”, Russian Math. Surveys, 30:6 (1975), 51–105 |
6. |
R. Donagi, “Group law on the intersection of two quadrics”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), 7:2 (1980), 217–239 |
7. |
F. Klein, “Zur Theorie der Liniencomplexe des ersten und zweiten Grades”, Math. Ann., 2:2 (1870), 198–226 |
8. |
C. M. Jessop, A treatise on the line complex, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1903, xv+362 pp. |
9. |
R. W. H. T. Hudson, Kummer's quartic surface, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1905, xi+219 pp. ; Cambridge Math. Lib., Rev. reprint with a foreword by W. Barth, 1990, xxiv+222 pp. |
10. |
W. Fulton, J. Harris, Representation theory. A first course, Grad. Texts in Math., 129, Springer-Verlag, New York, 1991, xvi+551 pp. |
11. |
U. V. Desale, S. Ramanan, “Classification of vector bundles of rank 2 on hyperelliptic curves”, Invent. Math., 38:2 (1976), 161–185 |
12. |
R. E. Kutz, “Cohen–Macaulay rings and ideal theory in rings of invariants of algebraic groups”, Trans. Amer. Math. Soc., 194 (1974), 115–129 |
13. |
M. M. Kapranov, “Veronese curves and Grothendieck–Knudsen moduli space $\overline{M}_{0,n}$”, J. Algebraic Geom., 2:2 (1993), 239–262 |
14. |
P. E. Newstead, “Stable bundles of rank 2 and odd degree over a curve of genus 2”, Topology, 7:3 (1968), 205–215 |
15. |
M. S. Narasimhan, S. Ramanan, “Moduli of vector bundles on a compact Riemann surface”, Ann. of Math. (2), 89:1 (1969), 14–51 |
16. |
Д. Мамфорд, Лекции о тета-функциях, Мир, М., 1988 ; пер. с англ.: D. Mumford, Tata lectures on theta, т. II, Progr. Math., 43, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1984, xiv+272 с. |
17. |
S. Mukai, “Curves and symmetric spaces. I”, Amer. J. Math., 117:6 (1995), 1627–1644 |
18. |
I. Dolgachev, D. Ortland, Point sets in projective spaces and theta functions, Astérisque, 165, Soc. Math. France, Paris, 1988, 210 pp. |
19. |
E. Spanier, “The homology of Kummer manifolds”, Proc. Amer. Math. Soc., 7 (1956), 155–160 |
20. |
A. Grothendieck, “Sur quelques points d'algèbre homologique”, Tohoku Math. J. (2), 9:2 (1957), 119–221 |
21. |
Wei-Liang Chow, “On the geometry of algebraic homogeneous spaces”, Ann. of Math. (2), 50 (1949), 32–67 |
22. |
М. Холл, Теория групп, ИЛ, М., 1962, 468 с. ; пер. с англ.: M. Hall, Jr., The theory of groups, The Macmillan Co., New York, NY, 1959, xiii+434 с. |
23. |
S. Ramanan, “The theory of vector bundles on algebraic curves with some applications”, Moduli spaces and vector bundles, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 359, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2009, 165–209 |
24. |
D. Avritzer, H. Lange, “Moduli spaces of quadratic complexes and their singular surfaces”, Geom. Dedicata, 127 (2007), 177–197 |
25. |
K. Rohn, “Die verschiedenen Gestalten der Kummer'schen Fläche”, Math. Ann., 18 (1881), 99–159 |
26. |
W. Barth, I. Nieto, “Abelian surfaces of type $(1,3)$ and surfaces with $16$ skew lines”, J. Algebraic Geom., 3:2 (1994), 173–222 |
27. |
A. Coble, “Point sets and allied Cremona groups. I”, Trans. Amer. Math. Soc., 16:2 (1915), 155–198 |
28. |
В. А. Краснов, “Вещественные кубики Сегре, квартики Игузы и квартики Куммера”, Изв. РАН. Сер. матем., 84:3 (2020), 71–118 ; англ. пер.: V. A. Krasnov, “Real Segre cubics, Igusa quartics and Kummer quartics”, Izv. Math., 84:3 (2020), 502–544 |
29. |
G. van der Geer, “On the geometry of a Siegel modular threefold”, Math. Ann., 260:3 (1982), 317–350 |
30. |
В. А. Краснов, “Вещественные куммеровы квартики и их гейзенберг-инвариантность”, Изв. РАН. Сер. матем., 84:1 (2020), 105–162 ; англ. пер.: V. A. Krasnov, “Real Kummer quartics and their Heisenberg invariance”, Izv. Math., 84:1 (2020), 95–145 |
Образец цитирования:
В. А. Краснов, “Обобщенное отображение Плюккера–Клейна”, Изв. РАН. Сер. матем., 86:2 (2022), 80–127; Izv. Math., 86:2 (2022), 291–333
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/im9073https://doi.org/10.4213/im9073 https://www.mathnet.ru/rus/im/v86/i2/p80
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 516 | PDF русской версии: | 26 | PDF английской версии: | 29 | HTML русской версии: | 236 | Список литературы: | 49 | Первая страница: | 25 |
|