| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Симметрии двумерной цепной дроби О. Н. Германab, И. А. Тлюстангеловab a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9072 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеКлассическая теорема Лагранжа утверждает, что цепная дробь действительного числа $\alpha$ периодична тогда и только тогда, когда $\alpha$ является квадратичной иррациональностью. При этом период, прочитанный в обратном порядке, становится периодом цепной дроби сопряженного числа. Это следует из теоремы Галуа, которую он доказал в своей самой первой работе [1]. А именно, он показал, что если и $\alpha'$ – сопряженная к $\alpha$ квадратичная иррациональность, то В частности, если для такого $\alpha$ слово $(a_0,\dots,a_t)$ симметрично, то $\operatorname{N}_{\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q}}(\alpha)=\alpha\alpha'=-1$. Возникает естественный вопрос, каков критерий того, что период цепной дроби квадратичной иррациональности симметричен. При этом понятно, что само понятие симметричности периода требует уточнения, ибо, скажем, у последовательности с периодом $(1,2)$ слово $(2,1)$ также является периодом, но ни одно из этих слов не симметрично. Для этих целей очень уместным оказывается понятие циклического палиндрома. Напомним, что конечная последовательность $(a_1,a_2,\dots,a_{t-1},a_t)$ называется циклическим палиндромом, если существует такой циклический сдвиг индексов $\sigma$, что $a_k=a_{\sigma(t+1-k)}$ для любого $k\in\{1,\dots,t\}$. Соответственно, более строго сформулировать вопрос о симметричности периода можно так: каков критерий того, что период цепной дроби квадратичной иррациональности является циклическим палиндромом?Ответ на этот вопрос следует из результатов Лежандра [2] и Крайтчика [3], несколько переработанных Перроном в книге [4]. Чтобы его сформулировать, напомним, что в теории цепных дробей два числа $\alpha$ и $\omega$ называют эквивалентными (и пишут $\alpha\sim\omega$), если существуют такие $a,b,c,d\in\mathbb{Z}$, что $\alpha=(a\omega + b)/(c\omega + d)$, $ad - bc = \pm 1$. Эквивалентность равносильна тому, что “хвосты” цепных дробей чисел $\alpha$ и $\omega$ совпадают. Будем обозначать через $\operatorname{N}(\alpha)$ и $\operatorname{Tr}(\alpha)$ соответственно норму $\operatorname{N}_{\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q}}(\alpha)$ и след $\operatorname{Tr}_{\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q}}(\alpha)$ алгебраического числа $\alpha$. Предложение 1. Период цепной дроби квадратичной иррациональности $\alpha$ является циклическим палиндромом тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий: a) $\alpha\sim\omega\colon \operatorname{Tr}(\omega)=0$ (эквивалентно тому, что $\omega^2\in\mathbb{Q}$); b) $\alpha\sim\omega\colon \operatorname{Tr}(\omega)=1$ (эквивалентно тому, что $(\omega-1/2)^2\in\mathbb{Q}$); c) $\alpha\sim\omega\colon \operatorname{N}(\omega)=1$; d) $\alpha\sim\omega\colon \operatorname{N}(\omega)=-1$. Более того, условие b) эквивалентно условию c). Подробное доказательство предложения 1, использующее методы геометрии чисел, можно найти в статье [5]. Данная же работа посвящена двумерному обобщению предложения 1. Текст имеет следующую структуру: в § 2 мы напоминаем геометрическую интерпретацию цепных дробей и описываем соответствующее многомерное обобщение; § 3 посвящен формулировке основного результата; в § 4 мы изучаем симметрии, существование которых следует из теоремы Дирихле об алгебраических единицах; в § 5 мы изучаем палиндромические симметрии двумерных цепных дробей; в § 6 мы доказываем основной результат данной работы; наконец, в § 7 мы анализируем различие между двумерным результатом и одномерным. § 2. Геометрия цепных дробей2.1. Полигоны Клейна и геометрические цепные дробиЦепные дроби имеют довольно изящную геометрическую интерпретацию. Подробно эта интерпретация описана, например, в работах [5], [6] (см. также книгу [7]). Там же можно найти доказательства фактов, приводимых в данном пункте. Рассмотрим на плоскости $\mathbb{R}^2$ прямые $l_1$ и $l_2$, проходящие через начало координат $\mathbf 0$, порожденные двумя различными векторами $(1, \alpha)$ и $(1, \beta)$ соответственно. Эти прямые делят плоскость на четыре угла $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$. Для каждого $i=1,2,3,4$ выпуклая оболочка
$$
\begin{equation*}
\mathcal{K}(C_i)=\operatorname{conv}(C_i\cap\mathbb{Z}^2\setminus\{\mathbf 0\})
\end{equation*}
\notag
$$
ненулевых точек решетки $\mathbb{Z}^2$, лежащих в $C_i$, называется полигоном Клейна. Граница $\partial(\mathcal{K}(C_i))$ называется парусом Клейна. Каждый парус – неограниченная в обе стороны ломаная с целыми вершинами. Геометрической цепной дробью $\operatorname{CF}(l_1,l_2)$ называется объединение всех четырех парусов, соответствующих данной паре прямых. Последовательности целочисленных длин ребер полигонов Клейна и целочисленных углов между соседними ребрами тесно связаны с неполными частными классической цепной дроби. Например, если $\alpha$ и $\beta$ иррациональны и выполняются условия $\alpha>1$ и $-1<\beta<0$, эти величины в точности равны соответствующим неполным частным чисел $\alpha$ и $-1/\beta$ (рис. 1). Алгебраические числа степени $2$, они же квадратичные иррациональности, порождают полигоны Клейна, обладающие периодической структурой. Следующее утверждение представляет собой обобщение теоремы о существовании нетривиального решения уравнения Пелля и позволяет проинтерпретировать теорему Лагранжа геометрически (подробнее об этом см. в [5]). Предложение 2. Пусть $\alpha$, $\beta$ – различные иррациональные числа. Тогда следующие два утверждения эквивалентны: a) $\alpha$ и $\beta$ – сопряженные алгебраические числа степени $2$; b) $(1,\alpha)$ и $(1,\beta)$ – собственные векторы некоторого неединичного оператора из $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$. Ясно, что если $A$ – оператор из предложения 2, то и он, и все его степени сохраняют геометрическую цепную дробь $\operatorname{CF}(l_1,l_2)$ (т. е. отображают объединение всех четырех парусов на себя). При этом $A(l_1)=l_1$, $A(l_2)=l_2$. Соответственно, геометрический смысл палиндромичности периода цепной дроби квадратичной иррациональности описывается следующим утверждением. Предложение 3. Пусть $\alpha$ и $\beta$ – сопряженные алгебраические числа степени $2$. Пусть, как и прежде, $l_1$ и $l_2$ порождены векторами $(1, \alpha)$ и $(1, \beta)$. Тогда следующие два утверждения эквивалентны: a) период цепной дроби числа $\alpha$ является циклическим палиндромом; b) существует оператор $G\in\operatorname{GL}_2(\mathbb{Z})$, который сохраняет геометрическую цепную дробь $\operatorname{CF}(l_1,l_2)$, но для которого подпространства $l_1$, $l_2$ не являются собственными. В частности, для такого оператора $G$ справедливо $G(l_1)=l_2$, $G(l_2)=l_1$. 2.2. Многомерные цепные дробиКонструкция, описанная в предыдущем пункте, имеет естественное многомерное обобщение. Пусть $l_1,\dots,l_n$ – одномерные подпространства пространства $\mathbb{R}^n$, линейная оболочка которых совпадает со всем $\mathbb{R}^n$. Тогда гиперпространства, натянутые на всевозможные $(n-1)$-наборы из этих подпространств, разбивают $\mathbb{R}^n$ на $2^n$ симплициальных конусов. Будем обозначать множество этих конусов через Симплициальный конус с вершиной в начале координат $\mathbf{0}$ будем называть иррациональным, если линейная оболочка любой его гиперграни не содержит целых точек, кроме начала координат $\mathbf{0}$.Определение 1. Пусть $C$ – иррациональный конус, $C \in \mathcal{C}(l_1, \dots, l_n)$. Выпуклая оболочка $\mathcal{K}(C) = \operatorname{conv}(C\cap\mathbb{Z}^{n}\setminus\{\mathbf{0}\} )$ и его граница $\partial(\mathcal{K}(C))$ называются соответственно полиэдром Клейна и парусом Клейна, соответствующими конусу $C$. Объединение же парусов называется $(n-1)$-мерной геометрической цепной дробью. В иррациональном случае каждый полиэдр Клейна $\mathcal{K}(C)$ является обобщенным многогранником, т. е. его пересечение с любым компактным многогранником – также компактный многогранник (доказательство см. в [8]). В этом случае каждый парус $\partial(\mathcal{K}(C))$ является полиэдральной поверхностью, гомеоморфной $\mathbb{R}^{n-1}$ и состоящей из $(n-1)$-мерных многогранников, некоторые из которых, вообще говоря, могут быть неограниченными (отсутствие неограниченных граней равносильно иррациональности двойственного к $C$ конуса – подробнее см. в [9]). Грани полиэдра Клейна, будучи многомерными аналогами ребер полигонов Клейна, играют роль неполных частных. Эта аналогия проявилась в результатах, полученных в работах [9]–[11] (см. также замечательную книгу [7]). Про обыкновенные цепные дроби алгебраических чисел степени $n\geqslant3$ известно немного, не известно даже, могут ли неполные частные такого числа быть чем-то ограничены. Геометрические же цепные дроби, строящиеся по алгебраическим числам, обладают периодической структурой – так же, как полигоны Клейна, строящиеся по квадратичным иррациональностям. Дело в том, что алгебраические числа степени $n$ тесно связаны с операторами из $\operatorname{GL}_{n}(\mathbb{Z})$. Например, справедливо следующее утверждение, обобщающее предложение 2. Напомним, что оператор из $\operatorname{GL}_{n}(\mathbb{Z})$ с вещественными собственными значениями, характеристический многочлен которого неприводим над $\mathbb{Q}$, называется гиперболическим. Предложение 4. Числа $1,\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1}$ образуют базис некоторого вполне вещественного расширения $K$ поля $\mathbb{Q}$ тогда и только тогда, когда вектор $(1,\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1})$ является собственным для некоторого гиперболического оператора $A\in\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$. При этом векторы $(1,\sigma_i(\alpha_1),\dots,\sigma_i(\alpha_{n-1}))$, $i=1,\dots,n$, где $\sigma_1(=\operatorname{id})$, $\sigma_2$, $\dots$, $\sigma_n$ – все вложения $K$ в $\mathbb{R}$, образуют собственный базис оператора $A$. Предложение 4, равно как и предложение 2, достаточно известно. Оно также следует из доказываемых нами в § 4 лемм 1 и 3. Определение 2. Пусть $l_1,\dots,l_n$ – собственные подпространства некоторого гиперболического оператора $A\in\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$. Тогда $(n-1)$-мерная геометрическая цепная дробь $\operatorname{CF}(l_1,\dots,l_n)$ называется алгебраической. Мы будем также говорить, что эта дробь ассоциирована с оператором $A$ и писать $\operatorname{CF}(A)=\operatorname{CF}(l_1,\dots,l_n)$. Множество всех $(n-1)$-мерных алгебраических цепных дробей будем обозначать $\mathfrak{A}_{n-1}$. Ясно, что если $\operatorname{CF}(l_1,\dots,l_n)=\operatorname{CF}(A)\in\mathfrak{A}_{n-1}$, то оператор $A$, а также любая его степень, сохраняет цепную дробь $\operatorname{CF}(l_1,\dots,l_n)$ (т. е. отображает объединение всех $2^n$ парусов на себя). Из теоремы Дирихле об алгебраических единицах следует, что существует подгруппа группы $\operatorname{GL}_{n}(\mathbb{Z})$, изоморфная $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\times\mathbb{Z}^{n-1}$, каждый элемент которой коммутирует с $A$ и сохраняет $\operatorname{CF}(l_1,\dots,l_n)$. Доказательство этого факта для полноты изложения мы приводим в § 4. Целью же данной работы является поиск критерия существования дополнительных симметрий дроби $\operatorname{CF}(l_1,\dots,l_n)$ в случае $n=3$. § 3. Симметрии многомерных алгебраических цепных дробей и формулировка основного результатаПусть $A\in\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$ – гиперболический оператор и $\operatorname{CF}(A)=\operatorname{CF}(l_1, \dots, l_n)$ – ассоциированная с ним $(n-1)$-мерная алгебраическая цепная дробь. Будем называть группой симметрий этой цепной дроби множество
$$
\begin{equation*}
\mathrm{Sym}_{\mathbb{Z}}(\operatorname{CF}(A))= \{G\in\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z}) \mid G(\operatorname{CF}(A))=\operatorname{CF}(A)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из соображений непрерывности ясно, что условие $G(\operatorname{CF}(A))=\operatorname{CF}(A)$ равносильно тому, что $G(l_1 \cup \dots \cup l_n\bigr)=l_1\cup\dots\cup l_n$. Следовательно, для каждого $G\in\mathrm{Sym}_{\mathbb{Z}}(\operatorname{CF}(A))$ однозначно определена перестановка $\sigma_G$ такая, что И обратно, если для $G\in\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$ существует такая перестановка $\sigma_{G}$, что выполняются соотношения (3.1), то $G\in\mathrm{Sym}_{\mathbb{Z}}(\operatorname{CF}(A))$. Определение 3. Оператор $G\in\mathrm{Sym}_{\mathbb{Z}}(\operatorname{CF}(A))$ такой, что $\sigma_G=\operatorname{id}$, будем называть симметрией Дирихле дроби $\operatorname{CF}(A)\in\mathfrak{A}_{n-1}$. Группу всех симметрий Дирихле будем называть группой Дирихле оператора $A$ и обозначать $\operatorname{Dir}(A)$. Определение 4. Оператор $G\in\mathrm{Sym}_{\mathbb{Z}}(\operatorname{CF}(A))$, не являющийся симметрией Дирихле, будем называть палиндромической симметрией дроби $\operatorname{CF}(A)$. Если множество палиндромических симметрией цепной дроби непусто, то такую цепную дробь будем называть палиндромичной. Предложение 3 из п. 2.1 позволяет переформулировать предложение 1 как критерий палиндромичности (одномерной) геометрической цепной дроби. Для формулировки основного результата данной работы – аналогичного критерия для двумерной геометрической цепной дроби, остается дать следующее определение, естественным образом обобщающее понятие эквивалентности (обыкновенных) цепных дробей. Определение 5. Пусть $\mathbf v_1$, $\mathbf v_2$ – векторы в $\mathbb{R}^n$ и пусть их первые координаты равны $1$. Будем говорить, что $\mathbf v_1$ и $\mathbf v_2$ эквивалентны и писать $\mathbf v_1\sim\mathbf v_2$, если существует такой оператор $X\in\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$ и такое $\mu\in\mathbb{R}$, что $X\mathbf v_1=\mu\mathbf v_2$. Замечание 1. В случае $n=2$ отношение $(1,\alpha)\sim(1,\beta)$ равносильно отношению $\alpha\sim\beta$ из § 1. Следующая теорема является основным результатом данной работы. Теорема 1. Пусть $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)\in\mathfrak{A}_2$ и пусть подпространство $l_1$ порождено вектором $(1, \alpha, \beta)$. Тогда $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3)$ палиндромична в том и только в том случае, если существует такое алгебраическое число $\omega$ степени $3$ со своими сопряженными $\omega'$ и $\omega''$, что выполнено хотя бы одно из следующих условий: a) $(1, \alpha, \beta)\sim(1, \omega, \omega')\colon\operatorname{Tr}(\omega)=\omega + \omega' + \omega'' =0$; b) $(1, \alpha, \beta)\sim(1, \omega, \omega')\colon \operatorname{Tr}(\omega)=\omega + \omega' + \omega'' =1$. Более того, существование $\omega$, удовлетворяющего условию b), равносильно существованию $\omega$, удовлетворяющего любому из следующих двух условий: c) $(1, \alpha, \beta)\sim(1, \omega, 1/\omega')\colon \operatorname{N}(\omega)=\omega \omega' \omega''=1$; d) $(1, \alpha, \beta)\sim(1, \omega, -1/\omega')\colon \operatorname{N}(\omega)=\omega \omega' \omega''=-1$. Стоит отметить следующее наблюдение, непосредственно вытекающее из теоремы 1. Следствие 1. Если дробь $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3)\in\mathfrak{A}_2$ палиндромична и подпространство $l_1$ порождено вектором $(1, \alpha, \beta)$, то (кубическое) расширение $\mathbb{Q}(\alpha)$ поля $\mathbb{Q}$ является нормальным. Замечание 2. Отметим также, что теорема 1 представляет собой результат о симметрии алгебраических конусов. По этой причине аналогичное утверждение справедливо не только для полиэдров Клейна, но и для других геометрических конструкций, обобщающих обыкновенные цепные дроби. Например, для трехмерной цепной дроби Минковского–Вороного. При заданных прямых $l_1$, $l_2$, $l_3$ такая дробь определяется как граница объединения всех $\mathbf 0$-симметричных параллелепипедов с ребрами параллельными этим прямым, не содержащих в своей внутренности ненулевых целых точек. Подробнее о таких дробях и о соответствующих комплексах Минковского–Вороного см. работы [12], [13]. § 4. Симметрии ДирихлеНесложно показать (см., например, [6]), что группа $\operatorname{Dir}(A)$ гиперболического оператора $A\in\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$ совпадает с множеством операторов из $\operatorname{GL}_{n}(\mathbb{Z})$, представимых как многочлены с рациональными коэффициентами от $A$. Более явное, на наш взгляд, описание этой группы дает теорема Дирихле об алгебраических единицах. Напомним, что модуль $M$, содержащийся в конечном расширении $K$ поля $\mathbb{Q}$, называется полным, если его ранг максимален, т. е. равен $[K:\mathbb{Q}]$. Если $M$ – полный модуль в поле $K$, то группа
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{U}_M=\{\varepsilon\in K \mid \varepsilon M=M\}
\end{equation*}
\notag
$$
называется группой единиц модуля $M$. Структура группы $\mathfrak{U}_M$ описывается теоремой Дирихле об алгебраических единицах. Нам понадобится следующий ее частный случай для вполне вещественных расширений поля $\mathbb{Q}$ (подробнее см., например, в [14]). Теорема Дирихле. Пусть $K$ – вполне вещественное расширение поля $\mathbb{Q}$ степени $n$ и пусть $M$ – произвольный полный модуль в $K$. Тогда существует такой набор единиц $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1}\in\mathfrak{U}_M$, что любая единица $\varepsilon\in\mathfrak{U}_M$ однозначно представляется в виде где $z_1,\dots,z_{n-1}\in\mathbb{Z}$ и $\zeta\in\{-1,1\}$. В частности, $\mathfrak{U}_M\cong(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\times\mathbb{Z}^{n-1}$. Замечание 3. Обычно теорема Дирихле формулируется для групп единиц порядков поля $K$ (порядком называется полный модуль поля $K$, являющийся кольцом и содержащий число $1$). Но если $M$ – произвольный полный модуль в $K$, его группа единиц $\mathfrak{U}_M$ в точности совпадает с мультипликативной группой $\mathfrak{O}_M^\times$ кольца множителей $\mathfrak{O}_M$ модуля $M$, состоящего из таких чисел $\varepsilon\in K$, что $\varepsilon M\subset M$. Ясно, что $\mathfrak{O}_M$ является порядком, и, обратно, любой порядок поля $K$ является кольцом множителей для самого себя. Поэтому приведенная формулировка теоремы Дирихле эквивалентна стандартной. Лемма 1. Пусть $(1,\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1})$ – собственный вектор гиперболического оператора $A\in\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$, соответствующий собственному значению $\lambda$. Тогда числа $1,\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1}$ образуют базис поля $\mathbb{Q}(\lambda)$ над $\mathbb{Q}$. Доказательство. Положим $K=\mathbb{Q}(\lambda)$. Из гиперболичности оператора $A$ следует, что $K$ – вполне вещественное расширение поля $\mathbb{Q}$ степени $n$. При этом числа $\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1}$ содержатся в $K$, ибо являются решением системы линейных уравнений с коэффициентами из этого поля. Предположим, что набор $1,\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1}$ не является базисом поля $K$. Тогда они линейно зависимы над $\mathbb{Q}$. Не ограничивая общности, можно считать, что $\alpha_{n-1}$ – линейная комбинация чисел $1,\alpha_1,\dots,\alpha_{n-2}$ с рациональными коэффициентами. Тогда существует такая матрица $C\in\operatorname{Mat}_{n\times n}(\mathbb{Q})$ с нулевым последним столбцом, что $\det(C-\lambda I_n)=0$. Последнее противоречит неприводимости характеристического многочлена оператора $A$. Следовательно, набор $1,\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1}$ является базисом поля $K$. Лемма доказана. Лемма 2. Пусть $B$ – произвольный оператор из $\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$ и пусть вектор $(1,\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1})$ является собственным вектором $B$, соответствующим собственному значению $\lambda$. Пусть числа $1,\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1}$ линейно независимы над $\mathbb{Q}$. Тогда $\lambda$ является единицей модуля $M=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\alpha_1+\dots +\mathbb{Z}\alpha_{n-1}$. Доказательство. Поскольку числа $1,\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1}$ линейно независимы над полем $\mathbb{Q}$, они образуют базис модуля $M$. Поскольку $B(M^n)=M^n$ и $(1,\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1})\in M^n$, справедливо $(\lambda,\lambda\alpha_1,\dots,\lambda\alpha_{n-1})\in M^n$. В силу обратимости оператора $B$ числа $\lambda,\lambda\alpha_1,\dots,\lambda\alpha_{n-1}$ также образуют базис $M$. Стало быть, $\lambda\in\mathfrak{U}_M$. Лемма доказана. Лемма 3. Пусть числа $1,\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1}$ образуют базис некоторого расширения $K$ поля $\mathbb{Q}$ и пусть $\varepsilon$ – единица модуля $M=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\alpha_1+\dots +\mathbb{Z}\alpha_{n-1}$. Тогда существует единственный оператор $B\in\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$, такой что $\varepsilon$ является собственным значением $B$, а вектор $(1,\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1})$ является собственным вектором оператора $B$, соответствующим $\varepsilon$. При этом $\det B=\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(\varepsilon)$, а векторы $(1,\sigma_i(\alpha_1),\dots,\sigma_i(\alpha_{n-1}))$, $i=1,\dots,n$, где $\sigma_1(=\operatorname{id})$, $\sigma_2$, $\dots$, $\sigma_n$ – все вложения $K$ в $\mathbb{C}$, образуют собственный базис оператора $B$. Доказательство. Модуль $M$ является полным, а числа $1,\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1}$ образуют его базис. Поскольку $\varepsilon\in\mathfrak{U}_M$, числа $\varepsilon,\varepsilon\alpha_1,\dots,\varepsilon\alpha_{n-1}$ также образуют базис $M$. Следовательно, существует ровно одна матрица $B\in\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$ такая, что Применяя к обеим частям этого равенства $\sigma_i$, получаем При этом векторы $(1,\sigma_i(\alpha_1),\dots,\sigma_i(\alpha_{n-1}))$, $i=1,\dots,n$, линейно независимы, поскольку дискриминант $D_{K/\mathbb{Q}}(1,\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1})$ отличен от нуля. Стало быть, они образуют собственный базис оператора $B$ и $\det B=\prod_{i=1}^{n}\sigma_i(\varepsilon)=\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(\varepsilon)$. Лемма доказана. Следствие 2. Собственный базис произвольного гиперболического оператора из $\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$ однозначно (с точностью до коэффициентов пропорциональности) определяется любым из его собственных векторов. Из лемм 1 и 3 непосредственно выводится предложение 4, поскольку, как известно, в любом вещественном расширении поля $\mathbb{Q}$ существует примитивный элемент, являющийся единицей (верно даже большее: в качестве такой единицы можно выбрать некоторое число Пизо, см. теорему 5.2.2 в книге [15]). Основной же целью данного параграфа является доказательство следующего утверждения о структуре группы $\operatorname{Dir}(A)$. Отметим, что это утверждение уточняет в чисто вещественном случае следствие 17.10 из книги [7] (см. там же предложение 17.11 и предшествующее ему обсуждение). Предложение 5. Для любого гиперболического оператора $A\in\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$ справедливо Доказательство. Пусть $\operatorname{CF}(A)=\operatorname{CF}(l_1,\dots,l_n)$ и пусть подпространство $l_1$ порождается вектором $\mathbf l_1=(1,\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1})$. Положим
$$
\begin{equation*}
K=\mathbb{Q}(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1}),\qquad M=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\alpha_1+\dots +\mathbb{Z}\alpha_{n-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 1 числа $1,\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1}$ образуют базис поля $K$. Следовательно, $M$ – полный модуль в $K$.
Покажем, что $\operatorname{Dir}(A)\cong\mathfrak{U}_M$. Для любого оператора $B\in\operatorname{Dir}(A)$ вектор $\mathbf l_1$ является собственным, стало быть, по лемме 2 собственное значение $\lambda(B,\mathbf l_1)$ оператора $B$, которому соответствует $\mathbf l_1$, принадлежит $\mathfrak{U}_M$. Следовательно, отображение
$$
\begin{equation*}
\varphi \colon \operatorname{Dir}(A)\to\mathfrak{U}_M,\qquad \varphi \colon B\mapsto\lambda(B,\mathbf l_1)
\end{equation*}
\notag
$$
корректно определено. По лемме 3 оно взаимно однозначно. При этом $\varphi$, очевидно, является гомоморфизмом. Стало быть, действительно, $\operatorname{Dir}(A)\cong\mathfrak{U}_M$.
Остается применить теорему Дирихле. Предложение доказано. § 5. Палиндромические симметрииОтныне будем считать, что $n=3$, т. е. будем рассматривать двумерные цепные дроби. Напомним, что множество всех двумерных алгебраических цепных дробей мы обозначаем через $\mathfrak{A}_2$. Напомним также, что для каждого $G\in\mathrm{Sym}_{\mathbb{Z}}(\operatorname{CF}(A))$ соотношением (3.1) определена перестановка $\sigma_G$. Лемма 4. Пусть $G$ – палиндромическая симметрия дроби $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)\,{\in}\,\mathfrak{A}_2$, ассоциированной с (гиперболическим) оператором $A$. Тогда 1) $\operatorname{ord}({\sigma_{G}}) = 3$; 2) $G^3 = \pm I_3$ (где $I_3$ – единичный оператор); 3) существуют одномерное и двумерное рациональные подпространства $l$ и $\pi$ такие, что $Gl=l$, $G\pi = \pi$ и $l + \pi = \mathbb{R}^3$. Доказательство. Случай $\operatorname{ord}(\sigma_{G}) = 1$ невозможен в силу того, что оператор $G$ не является симметрией Дирихле $\operatorname{CF}(A)$.
Предположим $\operatorname{ord}(\sigma_{G}) = 2$. Пусть $\mathbf l_1$, $\mathbf l_2$, $\mathbf l_3$ – произвольные векторы, порождающие подпространства $l_1$, $l_2$, $l_3$ соответственно. Изменив при необходимости нумерацию подпространств $l_1$, $l_2$, $l_3$, можно считать, что существуют такие вещественные числа $\mu_1$, $\mu_2$, $\mu_3$, что матрица оператора $G$ в базисе $\mathbf{l}_1, \mathbf{l}_2, \mathbf{l}_3$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \mu_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \mu_2 \\ 0 & \mu_3 & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда характеристический многочлен оператора $G$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\chi_{G}(x) = (x - \mu_1)(x^2 - \mu_2\mu_3) = x^3 - \mu_1 x^2 - \mu_2\mu_3 x \pm 1 \in \mathbb{Z}[x].
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\mu_1$ – целое число, и при этом $\mu_1$ – корень уравнения $\chi_{G}(x) = 0$, т. е. $\mu_1 = \pm 1$. Стало быть, $l_1$ – собственное подпространство оператора $G$, соответствующее собственному значению $\mu_1 = \pm 1$, т. е. $l_1$ рационально, что противоречит гиперболичности оператора $A$. Таким образом, $\operatorname{ord}(\sigma_{G}) = 3$.
Изменив при необходимости нумерацию подпространств $l_1$, $l_2$, $l_3$, можно считать, что существуют такие вещественные числа $\mu_1$, $\mu_2$, $\mu_3$, что матрица оператора $G$ в базисе $\mathbf{l}_1, \mathbf{l}_2, \mathbf{l}_3$ имеет вид Тогда характеристический многочлен имеет вид По теореме Гамильтона–Кэли $G^3 = (\det G)I_3 = \pm I_3$, что доказывает второе утверждение. Далее, поскольку одно из собственных значений равно $\det G$ (и равно $\pm 1$), а два оставшихся – сопряженные комплексные числа, у оператора $G$ есть одномерное собственное подпространство $l$ и двумерное инвариантное подпространство $\pi$. При этом, поскольку подпространство $l$ соответствует собственному значению $\pm 1$, оно рационально. Кроме того, для любой точки $\mathbf{z} \in \mathbb{Z}^3 \setminus l$ три точки $\mathbf{z}$, $G^2(\mathbf{z})$ и $G^4(\mathbf{z})$ задают плоскость, параллельную $\pi$, следовательно, $\pi$ также рационально. Лемма доказана.Следствие 3. Пусть $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)\in\mathfrak{A}_2$ и пусть $G$ – палиндромическая симметрия $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)$. Положим Тогда $G_+$ и $G_-$ – также палиндромические симметрии $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)$ и существует конус $C \in \mathcal{C}(l_1, l_2, l_3)$ такой, что $G_+(C)=C$ и $G_-(C)=-C$. Доказательство. Палиндромичность $G_+$ и $G_-$ очевидна. Пусть $l$ – прямая из леммы 4. Поскольку $l$ не содержится в $l_i+l_j$ для любых $i$ и $j$, найдется такой конус $C\in\mathcal{C}(l_1,l_2,l_3)$, что $l$ имеет непустое пересечение с его внутренностью. Поскольку $G(C)\in\mathcal{C}(l_1,l_2,l_3)$, справедливо либо $G(C)=C$, либо $G(C)=-C$, в зависимости от того, $\det G=1$ или $-1$. Соответственно $G_+(C)=C$ и $G_-(C)=-C$. Следствие доказано. Лемма 5. Пусть $G$ – палиндромическая симметрия дроби $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)\,{\in}\,\mathfrak{A}_2$. Положим $F=G_+$ (см. следствие 3). Тогда существуют $\mathbf{z}_1,\mathbf{z}_2, \mathbf{z}_3 \in \mathbb{Z}^3$ такие, что и выполняется хотя бы одно из следующих двух утверждений: a) векторы $\mathbf z_1$, $\mathbf z_2$, $\mathbf w$, где $\mathbf{w}=(1/3)(\mathbf{z}_1+\mathbf{z}_2+\mathbf{z}_3)$, образуют базис решетки $\mathbb{Z}^3$; b) векторы $\mathbf z_1$, $\mathbf z_2$, $\mathbf z_3$ образуют базис решетки $\mathbb{Z}^3$. Доказательство. Пусть $l$ и $\pi$ – одномерное и двумерное подпространства из леммы 4. Рассмотрим ближайшую к $\pi$ рациональную плоскость $\pi_1$, параллельную $\pi$ и не совпадающую с $\pi$ (любую из двух). Тогда $F(\pi_1) = \pi_1$.
Построим точки $\mathbf z_1,\mathbf z_2,\mathbf z_3\in\pi_1$ при помощи следующей итерационной процедуры. Возьмем произвольную целочисленную точку $\mathbf{v}_1 \in \pi_1 \setminus l$, и положим
$$
\begin{equation*}
\Delta_1 = \operatorname{conv}\bigl(\mathbf{v}_1, F(\mathbf{v}_1), F^2(\mathbf{v}_1)\bigr), \qquad \mathbf{w} = \frac{1}{3}\bigl(\mathbf{v}_1 + F(\mathbf{v}_1) + F^2(\mathbf{v}_1)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $F(\Delta_1) = \Delta_1$ и $F\mathbf{w} = \mathbf{w} \in l$.
Предположим, мы построили треугольник $\Delta_j$. Если в $\Delta_j$ есть целочисленная точка, отличная от вершин и $\mathbf{w}$, обозначим ее через $\mathbf{v}_{j+1}$ и определим следующий треугольник как $\Delta_{j+1} = \operatorname{conv}(\mathbf{v}_{j+1}, F(\mathbf{v}_{j+1}), F^2(\mathbf{v}_{j+1}))$. Тогда $\Delta_{j+1}$ является собственным подмножеством $\Delta_j$ и при этом
$$
\begin{equation*}
\mathbf{w} = \frac{1}{3}\bigl(\mathbf{v}_{j+1} + F(\mathbf{v}_{j+1}) + F^2(\mathbf{v}_{j+1})\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Последовательность $(\Delta_j)$ конечна. Пусть $\Delta_k$ – последний ее элемент. Положим $\mathbf{z}_1 = \mathbf{v}_k$, $\mathbf{z}_2 = F(\mathbf{v}_k)$, $\mathbf{z}_3 = F^2(\mathbf{v}_k)$. Напомним, что $\pi_1$ – ближайшая к $\pi$ рациональная плоскость, параллельная $\pi$. Стало быть, если $\mathbf{w} \notin \mathbb{Z}^3$, то $\mathbf{z}_1$, $\mathbf{z}_2$, $\mathbf{z}_3$ – базис $\mathbb{Z}^3$. Если же $\mathbf{w} \in \mathbb{Z}^3$, то $\mathbf{z}_1$, $\mathbf{z}_2$, $\mathbf{w}$ – базис $\mathbb{Z}^3$. Лемма доказана. Если задана дробь $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)=\operatorname{CF}(A)\in\mathfrak{A}_2$, будем считать, что подпространство $l_1$ порождается вектором $\mathbf l_1=(1,\alpha,\beta)$. Тогда по лемме 1 числа $1$, $\alpha$, $\beta$ образуют базис поля $K=\mathbb{Q}(\alpha,\beta)$ над $\mathbb{Q}$, а по лемме 3 каждое $l_i$ порождается вектором $\mathbf l_i=(1,\sigma_i(\alpha),\sigma_i(\beta))$, где $\sigma_1(=\operatorname{id})$, $\sigma_2$, $\sigma_3$ – все вложения $K$ в $\mathbb{R}$, т. е. если через $(\mathbf l_1,\mathbf l_2,\mathbf l_3)$ обозначить матрицу со столбцами $\mathbf l_1$, $\mathbf l_2$, $\mathbf l_3$, получим
$$
\begin{equation*}
(\mathbf l_1,\mathbf l_2,\mathbf l_3)= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \alpha & \sigma_2(\alpha) & \sigma_3(\alpha) \\ \beta & \sigma_2(\beta) & \sigma_3(\beta) \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим следующие классы двумерных алгебраических цепных дробей:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{CF}_1 &= \{ \operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)\in\mathfrak{A}_2 \mid \beta = \sigma_2(\alpha),\, \operatorname{Tr}(\alpha)=0\}, \\ \mathbf{CF}_2 &= \{ \operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)\in\mathfrak{A}_2 \mid \beta = \sigma_2(\alpha),\, \operatorname{Tr}(\alpha)=1\}, \\ \mathbf{CF}_3 &= \{ \operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)\in\mathfrak{A}_2 \mid \beta = \sigma_2(\alpha)^{-1},\, \operatorname{N}(\alpha)=1\}, \\ \mathbf{CF}_4 &= \{ \operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)\in\mathfrak{A}_2 \mid \beta = -\sigma_2(\alpha)^{-1},\, \operatorname{N}(\alpha)=-1 \}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим также для каждого $i=1,2,3,4$ через $\overline{\mathbf{CF}}_i$ образ $\mathbf{CF}_i$ при действии группы $\operatorname{GL}_3(\mathbb{Z})$:
$$
\begin{equation*}
\overline{\mathbf{CF}}_i= \bigl\{ \operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)\in\mathfrak{A}_2 \bigm| \exists \, X\in\operatorname{GL}_3(\mathbb{Z})\colon X\bigl(\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)\bigr)\in\mathbf{CF}_i \bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 6. Для дроби $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)\in\mathfrak{A}_2$ выполняется условие a), b), c) или d) теоремы 1 тогда и только тогда, когда $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)$ принадлежит классу $\overline{\mathbf{CF}}_1$, $\overline{\mathbf{CF}}_2$, $\overline{\mathbf{CF}}_3$ или $\overline{\mathbf{CF}}_4$ соответственно. Доказательство. Для любого $X\in\operatorname{GL}_3(\mathbb{Z})$ гиперболичность оператора $A\in\operatorname{GL}_3(\mathbb{Z})$ равносильна гиперболичности оператора $XAX^{-1}$. При этом собственные подпространства гиперболического оператора однозначно восстанавливаются по любому его собственному вектору (см. следствие 2). Остается воспользоваться определением эквивалентности (см. определение 5). Лемма доказана. Покажем, что все дроби из классов $\mathbf{CF}_1$, $\mathbf{CF}_2$, $\mathbf{CF}_3$, $\mathbf{CF}_4$ палиндромичны. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} F_1 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}, &\qquad F_2 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}, \\ F_3 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, &\qquad F_4 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 7. Пусть $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)\in\mathfrak{A}_2$ и $i\in\{1,2,3,4\}$. Тогда $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)$ принадлежит классу $\mathbf{CF}_{i}$ в том и только в том случае, если $F_{i}$ – ее палиндромическая симметрия. Доказательство. Из леммы 4 следует, что оператор $F\in\operatorname{GL}_3(\mathbb{Z})$ является палиндромической симметрией дроби $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)$ тогда и только тогда, когда с точностью до перестановки индексов существуют такие действительные числа $\mu_1$, $\mu_2$, $\mu_3$, что $F(\mathbf l_1,\mathbf l_2,\mathbf l_3)=(\mu_2\mathbf l_2,\mu_3\mathbf l_3,\mu_1\mathbf l_1)$.
Пусть $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3) \in \mathbf{CF}_1$. Тогда
$$
\begin{equation*}
F_1(\mathbf{l}_1, \mathbf{l}_2, \mathbf{l}_3)= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \sigma_2(\alpha) & \sigma_3(\alpha) & \alpha\\ -\alpha - \sigma_2(\alpha) & -\sigma_2(\alpha) - \sigma_3(\alpha) & -\sigma_3(\alpha)- \alpha\\ \end{pmatrix} =(\mathbf{l}_2, \mathbf{l}_3, \mathbf{l}_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $F_1$ – палиндромическая симметрия $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)$. Обратно, предположим, $F_1$ – палиндромическая симметрия $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)$. Тогда существует $\mu_2$, такое что с точностью до перестановки индексов
$$
\begin{equation*}
F_1\mathbf{l}_1= \begin{pmatrix} 1 \\ \beta \\ - \alpha - \beta \end{pmatrix} =\mu_2 \begin{pmatrix} 1 \\ \sigma_2(\alpha) \\ \sigma_2(\beta) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда $\mu_2 = 1$, $\beta =\sigma_2(\alpha)$ и $\operatorname{Tr}(\alpha) = 0$. Стало быть, $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3) \in \mathbf{CF}_1$.
Пусть $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3) \in \mathbf{CF}_2$. Тогда
$$
\begin{equation*}
F_2(\mathbf{l}_1, \mathbf{l}_2, \mathbf{l}_3) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \sigma_2(\alpha) & \sigma_3(\alpha) & \alpha\\ 1 - \alpha - \sigma_2(\alpha) & 1 - \sigma_2(\alpha) - \sigma_3(\alpha) & 1 - \sigma_3(\alpha) - \alpha\\ \end{pmatrix} =(\mathbf{l}_2, \mathbf{l}_3, \mathbf{l}_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $F_2$ – палиндромическая симметрия $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3)$. Обратно, предположим, $F_2$ – палиндромическая симметрия $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3)$. Тогда существует $\mu_2$, такое что с точностью до перестановки индексов
$$
\begin{equation*}
F_2\mathbf{l}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ \beta \\ 1- \alpha - \beta \end{pmatrix} =\mu_2 \begin{pmatrix} 1 \\ \sigma_2(\alpha) \\ \sigma_2(\beta) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда $\mu_2 = 1$, $\beta =\sigma_2(\alpha)$ и $\operatorname{Tr}(\alpha) = 1$. Стало быть, $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3) \in \mathbf{CF}_2$.
Пусть $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3) \in \mathbf{CF}_3$. Тогда
$$
\begin{equation*}
F_3(\mathbf{l}_1, \mathbf{l}_2, \mathbf{l}_3) = \begin{pmatrix} \sigma_2(\alpha)^{-1} & \sigma_3(\alpha)^{-1} & \alpha^{-1} \\ 1 & 1 & 1\\ \alpha & \sigma_2(\alpha) & \sigma_3(\alpha)\\ \end{pmatrix} =\bigl(\sigma_2(\alpha)^{-1}\mathbf{l}_2,\,\sigma_3(\alpha)^{-1}\mathbf{l}_3,\, \alpha^{-1}\mathbf{l}_1\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $F_3$ – палиндромическая симметрия $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3)$. Обратно, предположим, $F_3$ – палиндромическая симметрия $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3)$. Тогда существует $\mu_2$ такое, что с точностью до перестановки индексов
$$
\begin{equation*}
F_3\mathbf{l}_1 = \begin{pmatrix} \beta \\ 1 \\ \alpha \end{pmatrix} =\mu_2 \begin{pmatrix} 1 \\ \sigma_2(\alpha) \\ \sigma_2(\beta) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда $\mu_2 = \beta$, $\beta = \sigma_2(\alpha)^{-1}$ и $\operatorname{N}(\alpha) = 1$. Стало быть, $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3) \in \mathbf{CF}_3$.
Пусть $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3) \in \mathbf{CF}_4$. Тогда
$$
\begin{equation*}
F_4(\mathbf{l}_1, \mathbf{l}_2, \mathbf{l}_3)=-\begin{pmatrix} \sigma_2(\alpha)^{-1} & \sigma_3(\alpha)^{-1} & \alpha^{-1} \\ 1 & 1 & 1\\ \alpha & \sigma_2(\alpha) & \sigma_3(\alpha)\\ \end{pmatrix} =-\bigl(\sigma_2(\alpha)^{-1}\mathbf{l}_2,\,\sigma_3(\alpha)^{-1}\mathbf{l}_3,\, \alpha^{-1}\mathbf{l}_1\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $F_4$ – палиндромическая симметрия $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3)$. Обратно, предположим, $F_4$ – палиндромическая симметрия $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3)$. Тогда существует $\mu_2$, такое что с точностью до перестановки индексов откуда $\mu_2 = \beta$, $\beta = -\sigma_2(\alpha)^{-1}$ и $\operatorname{N}(\alpha) = -1$. Стало быть, $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3) \in \mathbf{CF}_4$. Лемма доказана. § 6. Доказательство критерия палиндромичностиВ этом параграфе мы доказываем теорему 1. При помощи леммы 6 ее можно переформулировать следующим образом: дробь $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)\in\mathfrak{A}_2$ палиндромична тогда и только тогда, когда она принадлежит одному из классов $\overline{\mathbf{CF}}_i$, $i=1,2,3,4$, причем $\overline{\mathbf{CF}}_2=\overline{\mathbf{CF}}_3=\overline{\mathbf{CF}}_4$. Если $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)$ принадлежит какому-то $\overline{\mathbf{CF}}_i$, то по лемме 7 она палиндромична, ибо действие оператора из $\operatorname{GL}_3(\mathbb{Z})$ сохраняет палиндромичность. Обратно, пусть дробь $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)\in\mathfrak{A}_2$ палиндромична и пусть $G$ – ее палиндромическая симметрия. Положим $F=G_+$ и рассмотрим точки $\mathbf z_1$, $\mathbf z_2$, $\mathbf z_3$, $\mathbf w$ из леммы 5. Обозначим также через $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3$ стандартный базис $\mathbb{R}^3$. Для точек $\mathbf z_1$, $\mathbf z_2$, $\mathbf z_3$ выполняется либо утверждение a), либо утверждение b) леммы 5. Пусть выполняется утверждение a) леммы 5. Рассмотрим такой оператор $X_1 \in \operatorname{GL}_3(\mathbb{Z})$, что
$$
\begin{equation*}
X_1(\mathbf{z}_1, \mathbf{z}_2, \mathbf{w}) = (\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_3, \mathbf{e}_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $X_1(\mathbf{z}_3) = X_1(3\mathbf{w} - \mathbf{z}_1 - \mathbf{z}_2) = \mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3$ и $X_1FX_1^{-1} = F_1$, так как по лемме 5
$$
\begin{equation*}
X_1FX_1^{-1}(\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_3, \mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3) = (\mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_3, \mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3, \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть, $X_1(\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)) \in \mathbf{CF}_1$, т. е. $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)\in\overline{\mathbf{CF}}_1$. Пусть выполняется утверждение b) леммы 5. Рассмотрим такие операторы $X_2,X_3,X_4\in\operatorname{GL}_3(\mathbb{Z})$, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, X_2(\mathbf{z}_1, \mathbf{z}_2, \mathbf{z}_3) = (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_3, \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2), \\ X_3(\mathbf{z}_1, \mathbf{z}_2, \mathbf{z}_3) = (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3), \qquad X_4(\mathbf{z}_1, \mathbf{z}_2, \mathbf{z}_3) = (\mathbf{e}_1, -\mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $X_iFX_i^{-1}=F_i$, $i=2,3,4$, так как по лемме 5
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, X_2FX_2^{-1}(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_3, \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2) = (\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_3, \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_1), \\ X_3FX_3^{-1}(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3) = (\mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3, \mathbf{e}_1),\qquad X_4FX_4^{-1}(\mathbf{e}_1, -\mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3) = (-\mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3, \mathbf{e}_1). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть, $X_i(\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)) \in \mathbf{CF}_i$, $i=2,3,4$, т. е. $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)\in\overline{\mathbf{CF}}_i$, $i=2,3,4$. В частности, отсюда следует, что $\overline{\mathbf{CF}}_2=\overline{\mathbf{CF}}_3=\overline{\mathbf{CF}}_4$. Теорема 1 доказана. § 7. Сохранение конуса палиндромической симметрией в случае $n = 2$ и $n = 3$Как нетрудно видеть, в предложении 1 лишь два пункта эквивалентны, в то время как в теореме 1 эквивалентны три пункта. Таким образом, фактически при $n=2$ имеется три типа палиндромических симметрий, а при $n=3$ – всего лишь два. Суть этого отличия в том, что п. d) предложения 1 реализует некоторую особенность одномерных цепных дробей, которой нет у двумерных. Пусть $\operatorname{CF}(l_1,l_2)\in\mathfrak{A}_1$ и пусть подпространства $l_1$ и $l_2$ порождаются векторами $\mathbf l_1=(1,\alpha)$ и $\mathbf l_2=(1,\beta)$ соответственно. Пусть $G$ – палиндромическая симметрия $\operatorname{CF}(l_1,l_2)$. Тогда $G(l_1)=l_2$, $G(l_2)=l_1$ (см. предложение 3). Стало быть, существуют такие вещественные числа $\mu_1$, $\mu_2$, что матрица оператора $G$ в базисе $\mathbf l_1,\mathbf l_2$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} 0 & \mu_1 \\ \mu_2 & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\mu_1\mu_2=-\det G$, справедливо $G^2=-(\det G)I_2=\pm I_2$ (ср. с леммой 4). Если $\det G=-1$, т. е. если $\mu_1$ и $\mu_2$ одного знака, $G$ сохраняет два (противоположных) конуса из $\mathcal{C}(l_1,l_2)$, отображая парус в каждом из них на себя, “переворачивая” его. При этом $-G$ сохраняет другие два противоположных конуса. Если же $\det G=1$, то $G$ переставляет конусы по кругу, не сохраняя ни один из них. Например, $G$ может просто осуществлять поворот плоскости на $90^\circ$ (рис. 2). Наличие именно такого рода симметрий описывается п. d) предложения 1. При этом симметрий другого типа, т. е. с определителем $-1$, у дроби $\operatorname{CF}(l_1,l_2)$ может и не быть. Из результатов работы [5] следует, что все палиндромические симметрии дроби $\operatorname{CF}(l_1,l_2)\in\mathfrak{A}_1$ имеют определитель $1$ (т. е. никакая из них не сохраняет никакой конус из $\mathcal{C}(l_1,l_2)$) тогда и только тогда, когда у периода цепной дроби числа $\alpha$ нельзя выбрать неполное частное, относительно которого период был бы симметричным (например, если период равен $(1,2,2,1)$). В случае же $n=3$ для всякой палиндромичной двумерной цепной дроби $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)$ найдется конус из $\mathcal{C}(l_1,l_2,l_3)$, инвариантный относительно действия некоторой палиндромической симметрии. Более того, если $G$ – произвольная палиндромическая симметрия дроби $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)\in\mathfrak{A}_2$, то ввиду следствия 3 (см. § 5) существует конус $C \in \mathcal{C}(l_1, l_2, l_3)$, такой что $G_+(C)=C$ (рис. 3).  Рис. 3.Палиндромическая симметрия $G_+$ и инвариантные конусы ($n=3$). Точки $\mathbf z_1$, $\mathbf z_2$, $\mathbf z_3$, $\mathbf w$ – из леммы 5 При этом $G_-(C)=-C$, а оставшиеся шесть конусов из $\mathcal{C}(l_1,l_2,l_3)$ переставляются оператором $G_-$ по циклу длины $6$. В частности, отсюда следует, что паруса в этих шести конусах имеют одинаковую комбинаторно-целочисленную структуру. Если в то же время у дроби $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)$ найдется палиндромическая симметрия, сохраняющая какой-нибудь конус из $\mathcal{C}(l_1,l_2,l_3)$, отличный от $\pm C$, то паруса во всех восьми конусах будут иметь одинаковую комбинаторно-целочисленную структуру. Например, такое наблюдается в случае трехмерного оператора Фибоначчи, подробно разобранном в работе [6]. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GerTly21} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|