| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Безусловные базисы в радиальных гильбертовых пространствах К. П. Исаевab, Р. С. Юлмухаметовab a Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН, г. Уфа b Башкирский государственный университет, г. Уфа
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9071 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеПусть $H$ – гильбертово пространство целых функций, удовлетворяющее следующим условиям. 1. Пространство $H$ функциональное в том смысле, что точечные функционалы $\delta_z \colon f\to f(z)$ являются непрерывными при каждом $z\in \mathbb{C}$. 2. Пространство $H$ устойчиво относительно деления, т. е. если $F\,{\in}\,H$, $F(z_0)\,{=}\,0$, то $F(z)(z-z_0)^{-1}\in H$. Из этого условия следует, в частности, что точечные функционалы отличны от нуля. Из условия 1 следует, что каждый функционал $\delta_z$ порождается элементом $k_z(\lambda)\in H$ в смысле $\delta_z(f)=(f(\lambda),k_z(\lambda))$. Функция $k(\lambda, z)=k_z(\lambda)$ называется воспроизводящим ядром пространства $H$. Через $K(z)$ обозначим $k(z,z)$. Функцией Бергмана пространства $H$ называют $\|\delta_z\|_H=(K(z))^{1/2}$ (cм. [1]). Базис $\{e_k, \, k=1,2,\dots\}$ в гильбертовом пространстве называется безусловным базисом (см. [2]), если найдутся числа $c,C>0$ такие, что для любого элемента $x=\sum_{k=1}^{\infty}x_ke_k\in H$ выполняется соотношение
$$
\begin{equation*}
c\sum_{j=1}^\infty |c_k|^2\|e_k\|^2\leqslant \biggl\|\sum_{j=1}^\infty c_ke_k \biggr\|^2\leqslant C\sum_{j=1}^\infty |c_k|^2\|e_k\|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Актуальной задачей комплексного анализа является изучение безусловных базисов из воспроизводящих ядер в гильбертовых пространствах целых функций. В настоящей статье мы намерены изложить метод конструирования безусловных базисов в некоторых гильбертовых пространствах целых функций. Эта задача восходит к двум тесно связанным между собой классическим задачам: представление функций посредством рядов экспонент и интерполяция целыми функциями. Представление посредством рядов экспонент активно развивалось А. Ф. Леонтьевым и его учениками, основные результаты и аналитические методы изложены в монографии [3]. Ю. Ф. Коробейником и его учениками развивались функционально аналитические методы, им создана теория абсолютно представляющих систем в локально выпуклых пространствах голоморфных функций, основные результаты этой теории изложены в работе [4]. В теории абсолютно представляющих систем естественным образом важное значение имеет степень тонкости топологии пространства. В работах [5], [6] доказаны теоремы о существовании представляющих систем экспонент в проективных и индуктивных пределах весовых пространств, в которых оператор дифференцирования действует непрерывно. Дальнейшее продвижение в этой задаче в смысле тонкости топологии предполагает уже изучение нормированных пространств, т. е. конструирование (безусловных) базисов. Как оказалось, базисы из экспонент – явление редкое. Насколько известно авторам – это базисы в классическом пространстве $L_2$ и в пространствах Соболева $L_2^s$ (см. [7]), базисы в пространствах Смирнова (см. [8]) и Бергмана (см. [9]) на выпуклых многоугольниках. Соответственно, имеется ряд работ об отсутствии базисов из экспонент. Так на пространствах Смирнова и Бергмана на областях с гладкой границей базисов из экспонент не может быть (см. [10], [11]). Базисов из экспонент не бывает также и в весовых пространствах, когда весовая функция растет быстрее степенной функции (см. [12]) или сравнима со степенной (см. [13]). В работах [14]–[16] в терминах интерполяции целыми функциями показано отсутствие безусловных базисов из воспроизводящих ядер в классическом пространстве Баргмана и в пространствах Фока
$$
\begin{equation*}
{\mathcal F}_{\varphi }=\biggl\{ f\in H(\mathbb C):\ ||f||^2:=\int_{\mathbb C}|f(\lambda)|^2e^{-2\varphi (\lambda)}\, dm(\lambda)<\infty \biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
с радиальными весами $\varphi$, растущими быстрее $|\lambda|^2$. В работе [17] доказано отсутствие безусловных базисов из воспроизводящих ядер уже в пространствах с весами, удовлетворяющими условию $(\ln_+r)^2=o(\varphi (r))$, $r\to \infty$, и с некоторой регулярностью роста. В этой же работе получен неожиданный результат о существовании безусловных базисов из воспроизводящих ядер в пространствах Фока $\mathcal F_{\varphi_\alpha}$ с весами $\varphi_\alpha (\lambda)=(\ln_+|\lambda|)^\alpha$ при $\alpha \in (1,2]$. В дальнейшем в статье [18] доказано существование безусловных базисов из воспроизводящих ядер в пространствах Фока с радиальными весами существенно более общего вида. Далее будем пользоваться следующими обозначениями. Запись $A(x)\asymp B(x)$, $x\in X$, для положительных функций $A$, $B$ означает, что для некоторых констант $C,c>0$ для всех $x\in X$ выполняются оценки $cB(x)\leqslant A(x)\leqslant CB(x)$, запись $A(x)\prec B(x)$, $x\in X$, ($A(x)\succ B(x)$, $x\in X$), означает существование константы $C>0$ такой, что $A(x)\leqslant CB(x)$ ($B(x)\leqslant CA(x)$). Функциональное гильбертово пространство $H$ будем называть радиальным, если для любого $F\in H$ и $\varphi \in \mathbb R$ функция $F(ze^{i\varphi })$ лежит в $H$, причем Очевидно, что в радиальном гильбертовом пространстве $K(ze^{i\varphi })\equiv K(z)$, $z\,{\in}\,\mathbb C$, $\varphi \in \mathbb R$.В настоящей работе мы рассматриваем абстрактные радиальные функциональные гильбертовы пространства, устойчивые относительно деления, и доказываем два основных утверждения. 1. Если $H$ – радиальное функциональное гильбертово пространство, устойчивое относительно деления и допускающее безусловный базис из воспроизводящих ядер, то
$$
\begin{equation*}
\|z^n\| \asymp e^{u(n)},\qquad n\in \mathbb N\cup \{0\},
\end{equation*}
\notag
$$
где последовательность $u(n)$ выпуклая, т. е.
$$
\begin{equation*}
u(n+1)+u(n-1)-2u(n)\geqslant 0,\qquad n\in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
(Cм. теорему 1.) 2. Если $H$ – радиальное функциональное гильбертово пространство, устойчивое относительно деления, в котором полиномы полны и
$$
\begin{equation*}
\|z^n\|\asymp e^{u(n)},\qquad n\in \mathbb N\cup \{0\},
\end{equation*}
\notag
$$
где последовательность $u(n)$ удовлетворяет условию
$$
\begin{equation*}
u(n+1)+u(n-1)-2u(n)\geqslant \sigma,\qquad n\in \mathbb N,
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторого $\sigma >0$, то в пространстве $H$ существует безусловный базис из воспроизводящих ядер. (Cм. теорему 6.) Второе утверждение доказывается по схеме работы [17]. Результаты работ [17], [18] относительно существования безусловных базисов в пространствах Фока следуют из второго утверждения. § 2. Геометрия радиальных гильбертовых пространств, допускающих безусловный базис из воспроизводящих ядерТеорема 1. Если в радиальном функциональном гильбертовом пространстве $H$, устойчивом относительно деления и содержащем все мономы $z^n$, $n=0,1,2,\dots$, существует безусловный базис из воспроизводящих ядер, то существует гладкая выпуклая функция $u(x)$ на $\mathbb R$ такая, что При этом Доказательство. Пусть система $\{ k(\lambda,z_n)\}_{n=1}^{\infty}$ является безусловным базисом в функциональном гильбертовом пространстве $H$ и $L_n$ – биортогональный базис. Поскольку мы предполагаем устойчивость относительно деления, то
$$
\begin{equation*}
L_n(\lambda)=\frac {L(\lambda)}{L'(\lambda_n)(\lambda -\lambda_n)}, \qquad n\in \mathbb N,\quad \lambda \in \mathbb C,
\end{equation*}
\notag
$$
где $L$ – порождающая целая функция. Как известно,
$$
\begin{equation*}
\|L_k \|^2\asymp \frac1{K(z_k)},\qquad k\in \mathbb N,
\end{equation*}
\notag
$$
и разложение функции $F\in H$ по этому базису имеет вид По определению безусловного базиса
$$
\begin{equation*}
\|F\|^2\asymp \sum_{k=1}^{\infty} \frac {|F(z_k)|^2}{K(z_k)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит,
$$
\begin{equation*}
\|z^n\|^2 \asymp\sum_{k=1}^{\infty} |z_k|^{2n} \frac 1{K(|z_k |)}= \int_0^\infty \frac {r^{2n}}{K(r)}\, d\mu (r), \qquad n\in \mathbb N\cup \{0\},
\end{equation*}
\notag
$$
где – считающая функция последовательности $r_k=|z_k|$, $k\in \mathbb N$, нумерованной по возрастанию с учетом кратности. Гладкая выпуклая функция
$$
\begin{equation*}
u(x):=\ln \int_{-\infty }^\infty e^{2xy}\, \frac{d\mu (e^y)}{K(e^y)}, \qquad x\in \mathbb R,
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяет условиям теоремы 1. Если предположить, что производная $u'(x)$ ограничена числом $a$, то при больших $n$ имеем $u(n)\leqslant 2an $, т. е. $\|z^n\|\prec e^{2an}$. Тогда для любого ряда Тейлора, сходящегося в круге $B(0;b)$ с $b>e^{3a}$, по неравенству Коши для коэффициентов и неравенству треугольника для норм
$$
\begin{equation*}
\biggl\| \sum_{n=k}^\infty c_nz^n\biggr\|\leqslant \sum_{n=k}^\infty |c_n|\|z^n\|\prec \sum_{n=k}^\infty e^{-na}\to 0, \qquad k\to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, ряд сходится в норме пространства $H$, и в силу полноты пространство $H$ содержит все функции, аналитические в круге $B(0;b)$. Теорема 1 доказана. Теорема 2. Если в радиальном функциональном гильбертовом пространстве $H$, устойчивом относительно деления, полиномы полны и для некоторой выпуклой на $\mathbb R$ функции $u(x)$ то пространство $H$ как банахово пространство изоморфно пространству где запись $\widetilde u_+'(\ln r)$ означает производную справа функции $\widetilde u(x)$ в точке $x= \ln r$. Доказательство. В работе [19] введена характеристика выпуклых функций
$$
\begin{equation*}
\rho_{\widetilde u}(x)=\sup \biggl\{ t>0\colon \int_{x-t}^{x+t}|\widetilde u'_+(\tau )-\widetilde u'_+(t)|\, d\tau \leqslant 1\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
и доказано (см. [19; лемма 2]), что
$$
\begin{equation*}
e^{-2}e^{2u(t)}\leqslant \int_{-\infty }^{\infty}e^{2xt-2\widetilde u(x)}\rho_{\widetilde u}(x)\, d\widetilde u'_+(x)\leqslant \frac \pi 2\, e^2e^{2u(t)}, \qquad t\in \mathbb R.
\end{equation*}
\notag
$$
По [20; теорема 2]
$$
\begin{equation}
U(x)\asymp\frac 1{\rho_{\widetilde u}(x)}\, e^{2\widetilde u(x)},\qquad x \in \mathbb R,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
таким образом,
$$
\begin{equation}
\int_{-\infty }^{\infty}\frac {e^{2xt}}{U(x)}\, d\widetilde u'_+(x)\asymp\int_{-\infty }^{\infty}e^{2xt-2\widetilde u(x)}\rho_{\widetilde u}(x)\, d\widetilde u'_+(x)\asymp e^{2u(t)}, \qquad t\in \mathbb R.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Для $F\in H$ положим
$$
\begin{equation*}
\|F\|^2_0:=\frac 1{2\pi } \int_0^\infty \int_0^{2\pi }\frac {|F(re^{i\varphi })|^2\, d\varphi\, d\widetilde u'_+(\ln r)}{U(\ln r)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда в силу (2.2)
$$
\begin{equation}
\|z^n\|^2_0=\int_0^\infty \frac{|r|^{2n}\, d\widetilde u'_+(\ln r)}{U(\ln r)}=\int_{-\infty }^{\infty}\frac {e^{2nx}\, d\widetilde u'_+(x)}{U(x)}\asymp e^{2u(n)}\,{\asymp}\,\|z^n\|^2,\qquad n\,{\in}\,\mathbb N\cup \{0\}.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
В радиальном гильбертовом пространстве система мономов $\{ z^n, \, n=0,1,\dots\}$ ортогональна. В самом деле, для любых $n,m\in \mathbb N\cup \{0\}$, $\varphi \in \mathbb R$
$$
\begin{equation*}
\|z^n+z^m\|^2=\|(ze^{i\varphi })^n+(ze^{i\varphi })^m\|^2=\|z^n\|^2+2\operatorname{Re} e^{i(n-m)\varphi }(z^n,z^m)+\|z^m\|^2,
\end{equation*}
\notag
$$
т. е.
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re} e^{i(n-m)\varphi }(z^n,z^m)\equiv \mathrm{Const},
\end{equation*}
\notag
$$
что возможно только при ортогональности системы. Пространство $H$ с нормой $\|F\|_0$ – также радиальное гильбертово пространство, в котором система мономов $z^n$, $n=0,1,\dots$, ортогональна и полна. Значит, в обоих пространствах эта система образует ортогональный базис и разложение по этому базису совпадает с рядом Тейлора. Утверждение теоремы 2 теперь следует из равенства Парсеваля и соотношения (2.3). Теорема 2 доказана. Применительно к вопросу о безусловных базисах из воспроизводящих ядер пространство с нормой $\|F\|_0$ более удобное, потому что, во-первых, функция $u(x)$ определяется только в целых неотрицательных аргументах, а во-вторых, ее можно заменить на любую другую выпуклую функцию $u_0$ с условием $|u(n)-u_0(n)|\prec 1 $, $n=0,1,2,\dots$ . Не уменьшая общности, далее будем считать, что последовательность $\ln \|z^n\| $, $n=0,1,\dots$, возрастающая выпуклая и $\ln \|z^0\|=0$. Соответственно, будем считать, что $u(t)$, $u(0)=0$, – кусочно линейная неубывающая функция с изломами в целых неотрицательных точках такая, что
$$
\begin{equation*}
\|z^n\|\asymp e^{u(n)},\qquad n\in \mathbb N\cup \{0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
u(t)=u(n)+(u(n+1)-u(n))(t-n),\qquad t\in [n,n+1], \quad n\in \mathbb N \cup \{0\},
\end{equation*}
\notag
$$
при этом
$$
\begin{equation*}
u_+'(n)=u_-'(n+1)=u(n+1)-u(n),\qquad n\in \mathbb N\cup \{0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde u(x) &=\sup_{t\geqslant 0}(xt-u(t))=\sup_{n\in \mathbb N \cup \{0\}}\, \sup_{\tau \in [0,1]}\bigl(x(n+\tau )-(u(n)+(u(n+1)-u(n))\tau)\bigr) \\ &=\sup_{n\in \mathbb N \cup \{0\}}\bigl(xn-u(n)+\sup_{\tau \in [0,1]}(x-(u(n+1)-u(n))\tau)\bigr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и внутренний супремум достигается на концах интервала $(0,1)$, то
$$
\begin{equation}
\widetilde u(x)= \sup_{n\in \mathbb N \cup \{0\}}(xn-u(n)), \qquad x\in \mathbb R.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Таким образом, сопряженная по Юнгу функция $\widetilde u(x)$ как верхняя огибающая последовательности линейных функций также будет кусочно линейной с изломами в точках $x_n=u(n)-u(n-1)=u_+'(n-1)$, $n\in \mathbb N$, или более подробно Производная функция $\widetilde u'_+(x)$ будет функцией скачков с единичными скачками в этих точках $x_n$, $n\in \mathbb N$, в частности,
$$
\begin{equation*}
\widetilde u(x_n)=x_nn-u(n),\quad \widetilde u_+'(x_n)=n, \qquad n\in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
Соответственно, $\widetilde u'_+(\ln r)$ – функция скачков с единичными скачками в точках $R_n=e^{x_n}$ и норма $\|F\|_0$ превращается в сумму ряда
$$
\begin{equation}
\|F\|^2_0 =\sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{U(\ln R_n)}\biggl(\frac 1{2\pi }\int_0^{2\pi }|F(R_ne^{i\varphi})|^2\, d\varphi \biggr).
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Теорема 3. Пусть в радиальном функциональном гильбертовом пространстве $H$, устойчивом относительно деления, полиномы полны и $u(x)$ – кусочно линейная выпуклая функции с изломами в целых неотрицательных точках такая, что Функция $U(x)$ определена, как в теореме 2. Если то пространство $H$ как банахово пространство изоморфно пространству Доказательство. В силу формулы (2.6) нам достаточно оценить функцию $U(x_n)$, а по соотношению (2.1) – достаточно оценить величину $\rho_{\widetilde u}(x_n)$. Поскольку функция $\widetilde u_+'(x)$ имеет единичные скачки в точках $x_n$, то по определению $\rho_{\widetilde u}(x_n)\leqslant 1/2$, а если $\sigma \geqslant 1$, то $\rho_{\widetilde u}(x_n)= 1/2$. С другой стороны, если $\sigma < 1$, то по условию (2.7) выполняется неравенство $\rho_{\widetilde u}(x_n)\geqslant 1/\sigma $. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\rho_{\widetilde u}(x_n)\asymp1, \qquad n\in \mathbb N,
\end{equation*}
\notag
$$
и по соотношению (2.1)
$$
\begin{equation*}
\|F\|^2_0\asymp\frac 1{2\pi }\sum_{n=1}^\infty e^{-2\widetilde u(\ln R_n)}\int_0^{2\pi }|F(r_ne^{i\varphi })|^2\, d\varphi.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 3 доказана. Теорема 4. Пусть $K(\lambda)$ – функция Бергмана пространства $H$, для которого выполнены условия теоремы 3. Тогда Доказательство. В условиях теоремы $\{{z^n}/{\|z^n\|},\, n=0,1,\dots\}$ образует ортонормированный базис. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
k(\lambda,z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac {\lambda^k\overline z^k}{\|z^k\|^2},\quad K(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac {|z^k|^2}{\|z^k\|^2},\qquad z\in \mathbb C.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем требуемое соотношение на критических окружностях $|\lambda |=R_n$. Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
K(R_n)R_n^{-2n}\|z^n\|^2 \asymp\sum_{k=0}^\infty R_n^{2(k-n)}e^{-2u(k)+2u(n)},\qquad n\in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\ln R_n=x_n=u'_+(n-1)$, то
$$
\begin{equation*}
R_n^{2(k-n)}e^{-2u(k)+2u(n)}=e^{2(u(n)-u(k)-u_+'(n-1)(n-k))}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $k\geqslant n$. Для кусочно линейной функции
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, u_+'(n)=u(n+1)-u(n), \\ u(k)-u(n)=\sum_{j=0}^{k-n-1}(u(n+j+1)-u(n+j))=\sum_{j=0}^{k-n-1}u_+'(n+j). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
По условию (2.7)
$$
\begin{equation*}
u_+'(n+p)\geqslant u_+'(n-1)+(p+1)\sigma,\qquad n=1,2,\dots,\quad p=0,1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит,
$$
\begin{equation*}
u(k)-u(n)\geqslant (k-n)u_+'(n-1)+\frac 12 (k-n)(k-n+1)\sigma,
\end{equation*}
\notag
$$
тем самым,
$$
\begin{equation*}
u(n)-u(k)-u_+'(n-1)(n-k)\leqslant -\frac 12(k-n)(k-n+1)\sigma,\qquad k\geqslant n.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=n}^\infty R_n^{2(k-n)}e^{-2u(k)+2u(n)}\leqslant \sum_{j=0}^\infty e^{-j(j+1)\sigma }:=C(\sigma ),\qquad n\in \mathbb N,
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation}
\sum_{k=n}^\infty \frac {R_n^{2k}}{\|z^k\|^2}\leqslant C(\sigma )\frac {|R_n|^{2n}}{\|z^n\|^2}, \qquad n\in \mathbb N.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Пусть $k<n$, тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &u(n)-u(k)-u_+'(n-1)(n-k) \\ &\qquad =\sum_{j=1}^{n-k}(u(n-j+1)-u(n-j)-u_+'(n-1))=\sum_{j=1}^{n-k}(u_+'(n-j)-u_+'(n-1)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку то
$$
\begin{equation*}
u(n)-u(k)-u_+'(n-1)(n-k)\leqslant -\frac 12(n-k)(n-k-1)\sigma,\qquad k< n.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^{n-1} R_n^{2(k-n)}e^{-2u(k)+2u(n)}\leqslant \sum_{j=1}^\infty e^{-j(j-1)\sigma }<C(\sigma ),\qquad n\in \mathbb N,
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^{n-1} \frac {|R_n|^{2k}}{\|z^k\|^2}\leqslant C(\sigma )\frac {|R_n|^{2n}}{\|z^n\|^2}, \qquad n\in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (2.8) следует соотношение
$$
\begin{equation*}
K(R_n)\asymp\frac {R_n^{2n}}{\|z^n\|^2},\qquad n\in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу соотношения (2.5)
$$
\begin{equation*}
e^{2\widetilde u(\ln R_n)}\asymp\frac {R_n^{2n}}{\|z^n\|^2},\qquad n\in \mathbb N,
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым,
$$
\begin{equation*}
K(R_n)\asymp e^{2\widetilde u(\ln R_n)},\qquad n\in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $\ln K(e^x)$ выпуклая, и по доказанному
$$
\begin{equation*}
\ln K(e^{x_n})\leqslant \mathrm{Const}+2\widetilde u(x_n),\qquad n\in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку функция $\widetilde u(t)$ линейна между точками $x_n$, то это соотношение верно для всех $x$:
$$
\begin{equation}
K(\lambda)\prec e^{2\widetilde u(\ln |\lambda |)},\qquad \lambda \in \mathbb C.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
С другой стороны, по определению функции Бергмана и по формуле (2.4)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K(\lambda)&=\sup_{F\in H}\frac {|F(\lambda) |^2}{\| F\|^2}\geqslant \sup_{n\in \mathbb N \cup \{0\}}\frac {|\lambda^n|^2}{\|\lambda^n\|^2} \\ &=\exp \Bigl(2\sup_{n\in \mathbb N \cup \{0\}}( n\ln |\lambda |-u(n))\Bigr) =e^{2\widetilde u(\ln |\lambda |)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (2.9) следует утверждение теоремы 4. Теорема 4 доказана. § 3. Конструкция порождающей функции и безусловных базисовФункция $\widetilde u(\ln |\lambda |)$ субгармонична на всей плоскости. Ассоциированная по Риссу мера $\mu $ этой функции просто считается в полярных координатах
$$
\begin{equation*}
d\mu (re^{i\varphi })=\frac 1{2\pi r^2}\widetilde u_+''(\ln r)\, dm(re^{i\varphi })=\frac1{2\pi}\, d\widetilde u_+'(\ln r)\, d\varphi,
\end{equation*}
\notag
$$
где $dm(z)$ – мера Лебега. Через $\mu (t)$ обозначим $\mu $-меру круга $B(0,t)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\mu (t)=\widetilde u_+'(\ln t)=\sum_{R_n< t}1, \qquad t>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 5. Пусть $\varphi_n\in [0,2\pi ]$, $R_n=e^{u(n)-u(n-1)}$, $w_n=R_ne^{i\varphi_n}$, $n\in \mathbb N$, и Утверждение теоремы – частный случай [21; теорема 2]. Условие (3.1) равносильно условию (2.7). Возьмем $q\in (e^{\sigma/2},e^{\sigma})$. Для целой функции $E(\lambda)$, построенной по теореме 5, положим
$$
\begin{equation*}
L(\lambda)=E( q\lambda),\qquad \lambda \in \mathbb C.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $w_n=R_ne^{i\varphi_n}$ – нули функции $E$, то $\lambda_n=R_nq^{-1}e^{i\varphi_n}$ – нули функции $L$. Эта функция удовлетворяет условиям
$$
\begin{equation}
|L(\lambda)|\asymp\frac {d(\lambda)}{|\lambda |+1} e^{\widetilde u(\ln (q|\lambda |))},\qquad \lambda \in \mathbb C,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где $d(\lambda)$ – расстояние от $\lambda $ до множества $\{ \lambda_n\}$, $n\in \mathbb N$,
$$
\begin{equation}
|L'(\lambda_n)|\asymp\frac {1}{|\lambda_n|+1} e^{\widetilde u(\ln (q|\lambda_n|))},\qquad n \in \mathbb N.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Теорема 6. Пусть $H$ – функциональное радиальное гильбертово пространство, устойчивое относительно деления, в котором полиномы полны. Если и последовательность $u(n)$ удовлетворяет условию то в пространстве $H$ существуют безусловные базисы из воспроизводящих ядер. Доказательство. Покажем, что система $\{ k(\lambda, \lambda_n),\, n\in \mathbb N\}$ полна и минимальна в пространстве $H$. Если предположить, что эта система не полна, то найдется функция $F\in H$, равная нулю во всех точках $\lambda_n$, т. е. $F(\lambda)=L(\lambda)g(\lambda)$. Лемма 1. Положим $\ln q=\alpha $. Имеют место соотношения Доказательство. Заметим, что $\widetilde u_+'(x)=n$ для $\ln R_n\leqslant x< \ln R_{n+1}$. При $r\in [R_n,R_{n+1}/q]$ поэтому
$$
\begin{equation*}
\widetilde u(\ln r+\alpha )-\widetilde u(\ln r)=\int_{\ln r}^{\ln r+\alpha}\widetilde u_+'(x)\, dx= n\alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1 доказана. По соотношению (3.2) и по лемме 1
$$
\begin{equation*}
\frac {d(\lambda)}{|\lambda |+1}e^{\widetilde u(\ln |\lambda |)}\prec |L(\lambda)|\prec \frac {d(\lambda)}{|\lambda |+1}e^{\widetilde u(\ln |\lambda |)+n\alpha},\qquad |\lambda |\in [R_n,R_{n+1}],
\end{equation*}
\notag
$$
а по теореме 4
$$
\begin{equation*}
|L(\lambda)g(\lambda)|\leqslant \|Lg\| \sqrt{K(\lambda)}\prec e^{\widetilde u(\ln |\lambda |)}, \qquad \lambda \in \mathbb C.
\end{equation*}
\notag
$$
Вне попарно непересекающихся колец $C_n(\delta )=\{\lambda\colon |\,|\lambda|-R_n/q|\leqslant \delta (R_n/q+1)\} $ выполняется соотношение $d(\lambda)\asymp(|\lambda |+1)$, значит, $|L (\lambda)|\asymp e^{\widetilde u(\ln (q|\lambda |))}$ и $|g(\lambda)|\prec e^{\widetilde u(\ln |\lambda |)-\widetilde u(q\ln |\lambda |)}=o(1)$, $|\lambda |\to \infty$. Тем самым, $g(\lambda)\equiv 0$ и система $\{ k(\lambda, \lambda_n)\}_{n\in \mathbb N}$ полна. Минимальность системы следует из того, что функции
$$
\begin{equation*}
L_n(\lambda)=\frac {L(\lambda)}{L'(\lambda_n)(\lambda -\lambda_ n)},
\end{equation*}
\notag
$$
как будет показано в лемме 2, лежат в $H$. Доказательство. По соотношению (3.3)
$$
\begin{equation*}
|L'(\lambda_m)|=q|E'(q\lambda_m)|\asymp\frac 1{R_m}\,e^{\widetilde u(\ln R_m)},\qquad m\in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $|\lambda |=R_n\geqslant R_{m}$, то $|\lambda -\lambda_m|\asymp|\lambda |=R_n$ и по лемме 1
$$
\begin{equation*}
|L_m(\lambda)|^2\asymp \frac{R^2_m}{R^2_n}\, e^{2(\widetilde u(\ln (qR_n))-\widetilde u(\ln R_m))}=\frac{e^{2\alpha n}R_m^2}{R^2_n}\, e^{2(\widetilde u(\ln R_n)-\widetilde u(\ln R_m))},\qquad m\in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac 1{2\pi}\sum_{n\geqslant m} e^{-2\widetilde u(\ln R_n)}\int_0^{2\pi}|L_m(R_ne^{i\varphi })|^2\, d\varphi \\ &\qquad\asymp e^{-2\widetilde u(\ln (q^{-1}R_m))}\sum_{n\geqslant m}\biggl(\frac {R_m}{R_n}\biggr)^2e^{2(n-m)\alpha},\qquad m\in \mathbb N. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По условию (3.1) с учетом условия $\alpha =\ln q<\sigma $ и теоремы 4 имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac 1{2\pi }\sum_{n\geqslant m} e^{-2\widetilde u(\ln r_n)}\int_0^{2\pi }|L_m(r_ne^{i\varphi })|^2\, d\varphi \\ &\qquad \asymp e^{-2\widetilde u(\ln |\lambda_m|)}\sum_{j=0}^\infty e^{-j(\sigma -\alpha )}\asymp \frac 1{K(\lambda_m)},\qquad m\in \mathbb N. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Если $|\lambda|=R_n< R_{m}$, то по лемме 1
$$
\begin{equation*}
\frac{|L(\lambda)|^2}{|\lambda -\lambda_ m|^2}\asymp\frac 1{R^2_m}\, e^{2\widetilde u(\ln (qR_n))}=\frac {e^{2\alpha n}}{R^2_m}\, e^{2\widetilde u(\ln R_n)},\qquad m\in \mathbb N,
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac 1{2\pi }\sum_{n< m} e^{-2\widetilde u(\ln R_n)}\int_0^{2\pi }|L_m(R_ne^{i\varphi })|^2\, d\varphi \\ &\qquad \prec e^{-2\widetilde u(\ln (q^{-1}R_m))}\sum_{n< m}e^{(n-m)\alpha},\qquad m\in \mathbb N, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
значит, по теореме 4
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac 1{2\pi}\sum_{n< m} e^{-2\widetilde u(\ln R_n)}\int_0^{2\pi }|L_m(R_ne^{i\varphi })|^2\, d\varphi \\ &\qquad\prec e^{-2\widetilde u(\ln |\lambda_m|)}\sum_{j=1}^{m-1}e^{-j\alpha}\asymp\frac 1{K(\lambda_m)},\qquad m\in \mathbb N. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (3.4) получим утверждение леммы 2. Лемма 2 доказана. Доказательство. По теореме 4 и соотношениям (3.2), (3.3)
$$
\begin{equation*}
\frac{\sqrt{K(\lambda_m)K(\lambda_k)}}{|L'(\lambda_m)||L'(\lambda_k)|}\,{\prec}\, R_mR_k e^{\widetilde u (\ln (q^{-1}R_m))+\widetilde u (\ln (q^{-1}R_k))-(\widetilde u (\ln R_m)+\widetilde u ( \ln R_k))},\quad\ \ \ \, m,k\,{\in}\,\mathbb N,
\end{equation*}
\notag
$$
и по лемме 1 Будем считать, что $m>k$. Пусть
$$
\begin{equation*}
I_{m,k}(n)=\frac 1{2\pi }\int_0^{2\pi }\frac {|L(R_ne^{i\varphi })|^2e^{-2\widetilde u(\ln R_n)}}{(R_ne^{i\varphi }-\lambda_m)(R_ne^{-i\varphi }-\overline \lambda_k)}\, d\varphi.
\end{equation*}
\notag
$$
Из условия $q\in (e^{\sigma/2},e^\sigma)$ вытекает, что
$$
\begin{equation}
|\lambda_n-R_me^{i\varphi }|\asymp R_j,\qquad j=\max (n,m), \quad n,m\in \mathbb N.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Рассмотрим три возможных ситуации. 1. Пусть $n\geqslant m$. По теореме 4 и соотношению (3.5)
$$
\begin{equation*}
|I_{m,k}(n)|\prec \frac 1{R_n^{2}}\, e^{2(\widetilde u(\ln (qR_n))-\widetilde u(\ln R_n))}=\frac 1{R_n^{2}}\, e^{2n\alpha},\qquad m,k\in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая условие (3.1),
$$
\begin{equation*}
|I_{m,k}(n)|\prec \frac1{R_m^{2}}\, e^{-2(n-m)(\sigma -\alpha )+2m\alpha},\qquad m,k\in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит,
$$
\begin{equation*}
\biggl| \sum_{n\geqslant m}I_{m,k}(n)\biggr|\prec \frac1{R_m^{2}}\, e^{2m\alpha},\qquad m,k\in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
Снова учитывая (3.1), получаем
$$
\begin{equation}
\biggl| R_mR_ke^{-(m+k)\alpha} \sum_{n\geqslant m}I_{m,k}(n)\biggr|\prec e^{-(m-k)(\sigma -\alpha )},\qquad m,k\in \mathbb N.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
2. Пусть $k\leqslant n<m$. По теореме 4 и соотношению (3.5)
$$
\begin{equation*}
|I_{m,k}(n)|\prec \frac1{R_nR_m}\, e^{2(\widetilde u(\ln (qR_n))-\widetilde u(\ln R_n))}=\frac 1{R_nR_m}\, e^{2n\alpha},\qquad m,k\in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценивая $R_n$ по (3.1), получаем
$$
\begin{equation*}
|I_{m,k}(n)|\prec \frac1{R_kR_m}\, e^{k\sigma +n(2\alpha -\sigma )},\qquad m,k\in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы предполагаем, что $\alpha >\sigma/2$, поэтому
$$
\begin{equation*}
\biggl| \sum_{n=k}^{m-1}I_{m,k}(n)\biggr|\prec \frac1{R_mR_k}\, e^{k\sigma +m(2\alpha -\sigma)},\qquad m,k\in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит,
$$
\begin{equation}
\biggl| R_mR_ke^{-(m+k)\alpha} \sum_{n=k}^{m-1}I_{m,k}(n)\biggr|\prec e^{-(m-k)(\sigma -\alpha )},\qquad m,k\in \mathbb N.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
3. Пусть $n< k$. По теореме 4 и соотношению (3.5)
$$
\begin{equation*}
|I_{m,k}(n)|\prec \frac 1{R_kR_m}\, e^{2(\widetilde u(\ln (qR_n))-\widetilde u(\ln R_n))}=\frac 1{R_kR_m}\, e^{2n\alpha},\qquad m,k\in \mathbb N,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому
$$
\begin{equation*}
\biggl| \sum_{n<k}I_{m,k}(n)\biggr|\prec \frac 1{R_mR_k}\, e^{2k\alpha},\qquad m,k\in \mathbb N,
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, поскольку $\sigma -\alpha <\alpha $, то
$$
\begin{equation*}
\biggl| R_mR_ke^{-(m+k)\alpha} \sum_{n<k}I_{m,k}(n)\biggr|\prec e^{-(m-k)\alpha}< e^{-(m-k)(\sigma -\alpha )},\qquad m,k\in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого неравенства и из (3.6), (3.7) следует утверждение леммы 3. Продолжим доказательство теоремы 6. Докажем, что система $\{L_k(\lambda),\, k\,{\in}\,\mathbb N\}$ является безусловным базисом в пространстве $H$. Кольца $C_n(\delta )$ попарно не пересекаются и вне объединения этих колец по теореме 4 и соотношению (3.2) для любой функции $F\in H$ выполняется оценка
$$
\begin{equation*}
|F(\lambda)|^2\prec K(\lambda)\prec e^{2\widetilde u(\ln |\lambda |)}\prec |L(\lambda)|^2,\qquad \lambda \notin \bigcup_{n=1}^{\infty} C_n(\delta ),
\end{equation*}
\notag
$$
значит, ряд Лагранжа функции $F$ по функции $L$ сходится к самой функции:
$$
\begin{equation*}
F(\lambda)=L(\lambda)\sum_{k=1}^{\infty}\frac {F(\lambda_k)}{L'(\lambda_k)(\lambda -\lambda_k)},\qquad \lambda \in \mathbb C.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем, что для некоторых констант $C,c>0$ и для любой функции $F\in H$ выполняются неравенства
$$
\begin{equation*}
c\sum_{m=1}^\infty |F(\lambda_m)|^2\|L_m\|_1^2\leqslant \biggl\|\sum_{m=1}^\infty F(\lambda_m)L_m(\lambda)\biggr\|^2\leqslant C \sum_{m=1}^\infty |F(\lambda_m)|^2\|L_m\|_1^2.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу леммы 2 достаточно доказать, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{m=1}^\infty \frac {|F(\lambda_m)|^2}{K(\lambda_m)}\asymp\|F\|_1^2,\qquad F\in H.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $\widetilde u(x)$ кусочно линейна с изломами в точках $\ln R_n$ и в интервалах $[\ln R_n,\ln R_{n+1}]$ имеет вид $\widetilde u(x)=nx+b_n$. Положим $g_m(\lambda)=\lambda^me^{b_m}$, $S_m=\{ \lambda \colon R_m< |\lambda |<R_{m+1}\} $. По формуле Коши
$$
\begin{equation*}
F(\lambda_m)^2e^{-2g(\lambda_m)}=\frac 1{2\pi i} \int_{\partial S_m}\frac {F(\lambda)^2e^{-2g(\lambda)}}{\lambda -\lambda_m}\, d\lambda.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому с учетом соотношения (3.1)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |F(\lambda_m)|^2e^{-2\widetilde u(\ln |\lambda_m|)} &\prec \frac 1{2\pi } \int_0^{2\pi } |F(R_{m}e^{i\varphi }) |^2e^{-2\widetilde u(\ln R_m)}\, d\varphi \\ &\qquad+\frac 1{2\pi } \int_0^{2\pi }|F(R_{m-1}e^{i\varphi }) |^2e^{-2\widetilde u(\ln R_{m-1})}d\varphi, \qquad m\in \mathbb N. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, в силу теоремы 4
$$
\begin{equation*}
\sum_{m=1}^\infty \frac {|F(\lambda_m)|^2}{K(\lambda_m)}\prec \|F\|_1^2,\qquad F\in H.
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем произвольное $N\in \mathbb N$ и введем обозначения: через $A_N$ обозначим матрицу $(a_{k,m})_{k,m=1}^N$ с элементами
$$
\begin{equation*}
a_{k,m}=\sqrt{K(\lambda_m)}\,\sqrt{K(\lambda_k)}\,(L_m,L_k),\qquad k,m =1,\dots, N,
\end{equation*}
\notag
$$
через $F_N$ обозначим сумму
$$
\begin{equation*}
F_N(\lambda)=\sum_{k=1}^NF(\lambda_k)\frac {L(\lambda)}{L'(\lambda_k)(\lambda -\lambda_k)}, \qquad \lambda \in \mathbb C,
\end{equation*}
\notag
$$
и через $f_N $ – вектор в $\mathbb R^N$ с координатами
$$
\begin{equation*}
\frac {F(\lambda_k)}{\sqrt{K(\lambda_ k)}},\qquad k=1,\dots,N.
\end{equation*}
\notag
$$
В этих обозначениях
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|F_N\|_1^2&=(F_N,F_N)=\sum_{m,k=1}^N\frac {F(\lambda_m)}{\sqrt{K(\lambda_m)}}\, \frac {\overline {F(\lambda_k)}}{\sqrt{K(\lambda_k)}}\bigl(\sqrt{K(\lambda_m)}L_m,\sqrt {K(\lambda_k)}L_k\bigr) \\ &=(A_Nf_N,\overline f_N)_{\mathbb R^N}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому
$$
\begin{equation*}
\|F_N\|_1^2\leqslant \|A_N\| \cdot \|f_N\|^2,\qquad N\in \mathbb N,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\| A_N\| $ – операторная норма матрицы $A_N$ как линейного оператора в $\mathbb R^N$ с евклидовой нормой. По теореме Адамара (см. [22; гл. XIV, § 1]) собственные числа лежат в кругах
$$
\begin{equation*}
\biggl\{ z\colon |z-a_{kk}|\leqslant \sum_{m=1,\, m\neq k}^N|a_{km}|\biggr\},\qquad k=1,\dots,N,
\end{equation*}
\notag
$$
значит,
$$
\begin{equation*}
\|A_N\| = \max_k|\lambda_k|\leqslant \max_k\sum_{m=1}^N|a_{km}|,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\lambda_k$ – собственные числа матрицы. По лемме 3
$$
\begin{equation*}
\| A_N \| \prec \max_k \sum_{m=1}^N e^{-|m-k|(\sigma -\alpha )}\leqslant \frac {1-e^{(N+1)(\alpha -\sigma )}}{1-e^{\alpha -\sigma }}.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит,
$$
\begin{equation*}
\|F_N\|_1^2\prec \frac {1-e^{(N+1)(\alpha -\sigma )}}{1-e^{\alpha -\sigma }}\sum_{k=1}^N \frac {|f(\lambda_k)|^2}{K(\lambda_k)}, \qquad N\in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
Остается перейти к пределу при $N\to \infty $. Теорема 6 доказана. Замечание 1. По доказательству теоремы видно, что для существования безусловных базисов достаточно асимптотического выполнения условия (2.7), а именно, Замечание 2. Заметим, что вместе с построенным базисом $K(\lambda, \lambda_n)$ безусловными базисами будут также системы $K(\lambda, \lambda_ne^{i\psi_n})$ с любыми $\psi_n\in \mathbb R$. В частности, существуют безусловные базисы с узлами в $\mathbb R_+$. § 4. Пространства типа ФокаРассмотрим достаточное условие существования безусловных базисов применительно к пространствам типа Фока
$$
\begin{equation*}
\mathcal F_h :=\biggl\{ \| F \|^2 =\frac 1{2\pi }\int_{\mathbb C} |F(\lambda)|^2 e^{-2h (\lambda)}\, dm(\lambda)<\infty \biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $h (\lambda)=h(|\lambda |)$ – субгармоническая функция. Пусть $\psi (x)=h(e^x)$, $x\in \mathbb R$, тогда $\psi $ – выпуклая функция и достаточное условие выглядит как усиленное неравенство Коши–Буняковского: для некоторого $\sigma >0$
$$
\begin{equation*}
\int_{-\infty }^{\infty}e^{2nx-2\psi (x)}\, dx\leqslant e^{-\sigma } \int_{-\infty }^{\infty}e^{2(n+1)x-2\psi (x)}\, dx\int_{-\infty }^{\infty}e^{2(n-1)x-2\psi (x)}\, dx, \qquad n\in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
В работе [17] рассмотрены пространства типа Фока с весом $h(\lambda)=(\ln_+|\lambda |)^\alpha $ и доказано существование базисов при $1<\alpha \leqslant 2$. В этой же работе показано, что при $\alpha \in (1,2)$ выполняется соотношение
$$
\begin{equation*}
\ln \|\lambda^n\|^2 =c(n+1)^{\alpha/(\alpha-1)}+O(\ln n),\qquad n\to \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
из которого легко следует, что достаточное условие (2.7) асимптотически выполняется для любого $\sigma >0$. Для $\alpha =2$ непосредственно вычисляется
$$
\begin{equation*}
\|\lambda^n\|^2 \asymp e^{(n+1)^2/2},\qquad n\in \mathbb N,
\end{equation*}
\notag
$$
и для последовательности $u(n)=(n+1)^2/2$ условие (2.7) выполняется при всех $\sigma \in (0,1)$. Теорема 7. Пусть $\psi \in C^2$ и функция $\widetilde \psi $ удовлетворяет условиям: для некоторого $A>1$ и Тогда в пространстве типа Фока c весом $\psi (\ln |\lambda |)$ существует безусловный базис из воспроизводящих ядер. Доказательство. Пусть $\rho =\sqrt{A/\widetilde \psi''(x)}$. По условию леммы
$$
\begin{equation*}
\int_{x-\rho }^{x+\rho }\bigl|\widetilde \psi'(y)-\widetilde \psi'(x)\bigr|\, dy =\int_{-\rho }^{\rho }\biggl|\int_0^t\widetilde \psi''(\tau +x)\, d\tau \biggr|\, dt\geqslant \frac{\widetilde \psi''(x)}{A}\rho^2=1,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому $\rho_{\widetilde \psi } (x)\leqslant \sqrt{A/\widetilde \psi''(x)}$. Положим $\rho =\sqrt{1/(A\widetilde \psi''(x))}$, тогда
$$
\begin{equation*}
\int_{x-\rho }^{x+\rho }\bigl|\widetilde \psi'(y)-\widetilde \psi'(x)\bigr|\, dy\leqslant A\widetilde \psi''(x)\rho^2=1,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому
$$
\begin{equation*}
\rho_{\widetilde \psi } (x)\geqslant \sqrt{\frac 1 {A\widetilde \psi''(x)}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 4 доказана. Из доказанной леммы следует, что по [20; теорема 2] в условиях теоремы
$$
\begin{equation*}
\int_{-\infty }^{-\infty }e^{2nt-2\psi (t)}\, dt\asymp\frac 1{\rho_{\widetilde \psi }(n)}e^{2\widetilde \psi (n)}\asymp e^{2\widetilde \psi (n)}\sqrt{\widetilde \psi''(n)}, \qquad n\in \mathbb N\cup \{0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В качестве функции $u$ в теореме 5 можем взять функцию
$$
\begin{equation*}
u(x)=\widetilde \psi (x) +\frac14 \ln \widetilde \psi''(x).
\end{equation*}
\notag
$$
В условиях теоремы 7
$$
\begin{equation*}
\bigl|\ln \widetilde \psi (n+1)+\ln \widetilde \psi (n-1)-2\ln \widetilde \psi (n) \bigr| \leqslant 2\ln A, \qquad n\in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
u(n+1)+u(n-1)-2u(n)\geqslant \frac12 \ln A,\qquad n\in \mathbb N,
\end{equation*}
\notag
$$
и условие (2.7) выполняется. Теорема 7 доказана. Следствие 1. Если $\psi \in C^2$ и $\psi''(t)\asymp1$, $t\in \mathbb R$, то в пространстве типа Фока с весом $\psi (\ln |\lambda |)$ существует безусловный базис из воспроизводящих ядер. Доказательство. В этом случае $\psi'$ – монотонная функция и, как известно, значит,
$$
\begin{equation*}
\widetilde \psi''(\psi'(t))\equiv \frac 1{\psi''(t)}\asymp1, \qquad t\in \mathbb R.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, условия теоремы 7 выполняются и
$$
\begin{equation*}
\int_{-\infty }^{-\infty }e^{2nt-2\psi (t)}\, dt\asymp e^{2\widetilde \psi (n)}\sqrt {\widetilde \psi''(n)}\asymp e^{2\widetilde \psi (n)}.
\end{equation*}
\notag
$$
В качестве функции $u$ в теореме 5 можем взять функцию $\widetilde \psi$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\widetilde \psi (n+1)+\widetilde \psi (n-1)-2\widetilde \psi (n)=\int_{-1}^1\biggl|\int_0^t \widetilde \psi''(n+\tau )\, d\tau \biggr|\, dt\geqslant \inf_x \widetilde \psi''(x)>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие 1 доказано. Следствие 2. Если $\psi \in C^3$ и то в пространстве типа Фока с весом $\psi (\ln |\lambda |)$ существует безусловный базис из воспроизводящих ядер. Доказательство. Из формулы (4.1) следует, что в условиях следствия и для некоторого $M>0$
$$
\begin{equation}
\bigl|\bigl(\ln \widetilde \psi''(\psi'(t))\bigr)'\bigr|=\biggl|\frac {\psi'''(t)}{\psi''(t)}\biggr|\leqslant M, \qquad t\in \mathbb R.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Значит,
$$
\begin{equation*}
\biggl|\ln \biggl(\frac {\widetilde \psi''(x)}{\widetilde \psi''(y)}\biggr)\biggr|\leqslant M|x-y|,\qquad x,y \in \mathbb R.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
\widetilde \psi''(x)\geqslant e^{2M},\qquad x\geqslant x_M,
\end{equation*}
\notag
$$
и $A=e^{2M} $. Тогда если $x\geqslant x_M$ и
$$
\begin{equation*}
|x-y|\leqslant \sqrt{\frac A{\widetilde \psi''(x)}}+1,
\end{equation*}
\notag
$$
то $|x-y|\leqslant 2$ и по (4.2)
$$
\begin{equation*}
\biggl|\ln \biggl(\frac {\widetilde \psi''(x)}{\widetilde \psi''(y)}\biggr)\biggr|\leqslant M|x-y|\leqslant 2M=\ln A.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым выполняются условия теоремы 7 (см. замечание 3). Следствие 2 доказано. Отметим, что следствия 1 и 2 близки к [18; теорема 1.2]. В ней доказано существование безусловных базисов при условии, что невозрастающая функция $\psi''(t)$ удовлетворяет условию
$$
\begin{equation*}
|\psi'''(t)|=O\bigl(\psi''(t)^{5/3}\bigr), \qquad t\to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Из монотонности следует существование предела Если $\psi_0>0$, то выполняется условие следствия 1 и не нужны остальные условия теоремы 1.2. Если $\psi_0=0$, то получается ситуация следствия 2 без монотонности и с более слабым условием на убывание $\psi''$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{IsaYul22} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|