| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Арифметика некоторых Л. В. Кузьмин Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт", Москва, Россия
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9070 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеПусть $\ell$ – простое регулярное число, $k$ – поле деления круга на $\ell$ частей и $K$ – циклическое расширение поля $k$ степени $\ell$ такое, что $K/\mathbb Q$ – расширение Галуа и в расширении $K_\infty/k_\infty$, где $K_\infty$ и $k_\infty$ – круговые $\mathbb Z_\ell$-расширения полей $K$ и $k$ соответственно, разветвлены ровно три точки, не лежащие над $\ell$. Основной объект нашего интереса – это модуль Тэйта (модуль Ивасавы) $T_\ell(K_\infty)$ поля $K_\infty$, который мы определяем как группу Галуа максимального абелева неразветвленного $\ell$-расширения поля $K_\infty$, в котором вполне распадаются все точки над $\ell$, и модуль Галуа $\overline T_\ell(K_\infty)$, который определяется как группа Галуа максимального абелева неразветвленного $\ell$-расширения поля $K_\infty$. Исследование этих модулей было проведено в [1], где в числе прочих результатов было показано, что оба эти модуля цикличны как $H$-модули, где $H=G(K_\infty/k_\infty)$, см. [1; теорема 4.1], и что группа Галуа $\Gamma=G(K_\infty/K)$ действует на $T_\ell(K_\infty)$ при помощи умножения на $\sqrt{\varkappa}$, где $\varkappa\colon \Gamma\to\mathbb Z_\ell^\times$ – круговой характер. Доказательство этого последнего факта носит различный характер в случае бесконечного и конечного модулей $T_\ell(K_\infty)$. В первом случае оно основано на использовании аналога скалярного произведения Вейля, см. [1; теорема 5.1], а в случае конечного модуля $T_\ell(K_\infty)$ мы используем существование конечного модуля Галуа $E'(K_\infty)$ такого, что $\Gamma$ действует на $E'(K_\infty)$ как умножение на $\sqrt{\varkappa}$, см. [1; теорема 6.1], и для которого модуль $T_\ell(K_\infty)$ изоморфен некоторому подфактору в $E'(K_\infty)$, см. [1; предложения 6.4 и 6.5]. В то время как имеются примеры полей с конечным модулем Тэйта (см. § 5 настоящей работы), на сегодня не известно ни одного примера поля $K$ (с тремя точками ветвления), для которого модуль $T_\ell(K_\infty)$ бесконечен. Таким образом, арифметика таких полей и их круговых $\mathbb Z_\ell$-расширений является интересным объектом для дальнейшего исследования. Такому исследованию и посвящена настоящая работа. Отметим, что ряд важнейших результатов доказан нами только для случая $\ell=3$. Обобщение их на случай $\ell>3$ позволило бы строить поля относительно небольшой степени с небольшим дискриминантом, но большой (и контролируемой) $\ell$-группой классов, что представляет интерес для создания новых систем защиты информации. В § 2 мы даем ряд определений и объясняем наши обозначения. В § 3 мы более детально изучаем группу $E'(K_\infty)$. В этом параграфе мы предполагаем, что $K$ – любое поле алгебраических чисел такое, что $K$ – абелево над $\ell$, т. е. локальные поля $K_v$ для всех $v|\ell$ абелевы, что $k\subset K$ и модуль $T_\ell(K_\infty)$ конечен (это предполагает регулярность $\ell$). При этих предположениях доказывается (теорема 3.1), что в $E'(K_\infty)$ имеется убывающая цепочка модулей Галуа $E_i'(K_\infty)$, $i=1,2,3$, такая, что все факторы в этой цепочке интерпретируются в терминах групп $T_\ell(K_\infty)$, $\overline T_\ell(K_\infty)$ и их групп характеров (точная формулировка приводится в § 3). В качестве важных для дальнейшего следствий мы получаем, что в случае расширения $K_\infty/k_\infty$ с тремя точками ветвления группа $\Gamma$ действует на $\overline T_\ell(K_\infty)$ как умножение на $\sqrt{\varkappa}$, а также, что группа $R_\ell(K_\infty)$ – ядро естественного эпиморфизма $\overline T_\ell(K_\infty)\to T_\ell(K_\infty)$ и $\ell$-группа классов $\operatorname{Cl}(K)_\ell$ поля $K$ имеют периоды не выше $\ell$. В § 4 мы применяем эти результаты к исследованию группы $\operatorname{Cl}(K)_\ell$, и модулей $T_\ell(K_\infty)$ и $\overline T_\ell(K_\infty)$. Здесь наиболее важные результаты удается получить только для случая $\ell=3$. Кроме того, мы предполагаем, что поле $K$ имеет вид $K=k(\sqrt[\ell]{a})$, где $a$ – натуральное число, имеющее ровно три различных простых делителя $p_1$, $p_2$, $p_3$, $p_i\neq \ell$, причем каждый из дивизоров $(p_1)$, $(p_2)$, $(p_3)$ остается простым в поле $k_\infty$. Напомним, что в [1; предложения 2.1–2.4] были охарактеризованы все циклические расширения $K/k$ степени $\ell$ (для любого $\ell$) такие, что $K$ – расширение Галуа поля $\mathbb Q$, и в $K_\infty/k_\infty$ разветвлены ровно три точки, не лежащие над $\ell$. Поля, рассматриваемые в данной работе были описаны в предложении 2.1, и мы говорим о них, как о полях типа 2.1, или о полях, относящихся к случаю 2.1. Мы собираемся рассмотреть расширения других видов в последующих работах. Мы рассматриваем отображение $\varphi_n$, которое уже появлялось в (3.1), и доказываем, что для полей типа 2.1 это отображение эпиморфно для любого $n$ (предложение 4.2). Этот результат доказан для любого регулярного $\ell$, но наиболее важные следствия вытекают из него в случае $\ell=3$. В этом случае оказывается, что расширение вида $K(\sqrt[\ell]{u})/K$, где $u$ – некоторая единица в $K$ не может быть неразветвленным расширением, в котором вполне распадаются все точки над $\ell$. Далее, мы говорим, что имеет место случай A1, если точки, лежащие над $\ell$, порождают ненулевую подгруппу в $\ell$-группе классов $\operatorname{Cl}(K)_\ell$. Оказывается, что в этом случае, если $\ell=3$, то всегда $|T_\ell(K_\infty)|=3$ и $|\overline T_\ell(K_\infty)|=3^3$ (теорема 4.1 и предложение 4.3). Если при тех же предположениях точки, лежащие над $\ell$, порождают единичную подгруппу в группе $\operatorname{Cl}(K)_\ell$ (случай A2), то $|T_\ell(K_\infty)|\geqslant 3^3$ и, в случае конечного модуля $T_\ell(K_\infty)$, выполняются равенства $|T_\ell(K_\infty)|=3^r$ для некоторого натурального нечетного $r$ и $|R_\ell(K_\infty)|=9$ (предложение 4.3). Наконец, пусть $\ell=3$ и $K_n$ – такое промежуточное подполе в расширении $K_\infty/K$ (степень $K_n$ над $K$ равна $\ell^n$), что точки, лежащие над $\ell$, порождают единичную подгруппу в $\ell$-группе классов $\operatorname{Cl}(K_n)_\ell$. Тогда мы доказываем, что над $K_n$ нет неразветвленных расширений вида $K_n(\sqrt[\ell]{u})/K$, где $u$ – некоторая единица в $K_n$ (предложение 4.4). Смысл этого утверждения состоит в следующем. Как было показано в [1], для расширения $K/k$ с тремя точками ветвления либо модуль $T_\ell(K_\infty)$ конечен, и при этом группа $E'(K_\infty)$ отлична от нуля, либо $T_\ell(K_\infty)$ бесконечен, и при этом $E'(K_\infty)=0$. Наше предложение показывает, что в обоих случаях первые $n$ этажей $\Gamma$-расширения $K_\infty/K$ устроены совершенно одинаково. Это, видимо, затруднит поиск полей с бесконечным модулем $T_\ell (K_\infty)$. Наконец, в теореме 4.2 мы отвечаем на следующий вопрос. Пусть $\ell=3$, $K$ – поле типа 2.1 и $\mathfrak{P}_1$, $\mathfrak{P}_2$, $\mathfrak{P}_3$ – простые дивизоры, разветвленные в расширении $K/k$. Спрашивается, какие из дивизоров $\mathfrak P_i$ будут главными в поле $K$? Наша теорема утверждает, что в точности один из них является главным в группе $\operatorname{Cl}(K)_\ell$. В § 5 мы рассматриваем некоторые примеры. Все они относятся к случаю $\ell\,{=}\,3$. Первые два – это примеры полей типа A1, которые уже были указаны в [2]. Здесь мы выясняем для этих полей, какой из дивизоров $\mathfrak P_i$ является главным (в согласии с теоремой 4.2). Третий пример – это новый пример поля типа A1, а четвертый – это пример поля типа A2. Именно, для поля $K=k(\sqrt[3]{638})$ группа $\operatorname{Cl}(K)_3$ изоморфна $(\mathbb Z/3\mathbb Z)^2$ и классы точек, лежащих над $\ell$, все лежат в единичном элементе этой группы. В этих последних двух примерах мы также выясняем, какой из дивизоров $\mathfrak P_i$ является главным в $\operatorname{Cl}(K)_\ell$. § 2. Определения и обозначенияМы используем следующие обозначения, которые, в основном, совпадают с обозначениями работы [1]. $\ell$ – фиксировнное регулярное простое нечетное число. Для абелевой группы $A$ через $A[\ell]$ обозначается про-$\ell$-пополнение $A$. Для поля алгебраических чисел $K$ через $K_v$ обозначается пополнение $K$ относительно точки $v$. $U(K)$, $U(K_v)$ – группы единиц полей $K$ и $K_v$, $U^{(1)}(K_v)$ – группа главных единиц в $K_v$, $U_S(K)$ – группа $S$-единиц, где $S$ – множество всех точек, лежащих над $\ell$, $s=|S|$. $\mu(K)$, $\mu(K_v)$ – подгруппы всех корней из единицы в соответствующем поле, $\mu_\ell(K)$, $\mu_\ell(K_v)$ – $\ell$-компоненты соответствующих групп. $\zeta_n$ – первообразный корень из единицы степени $\ell^{n+1}$, $k=\mathbb Q(\zeta_0), k_n=\mathbb Q(\zeta_n)$, $K_n=K(\zeta_n)$. $K_\infty=\bigcup_{n\geqslant 0}K_n$ – круговое $\mathbb Z_\ell$-расширение поля $K$. $\Gamma\cong \mathbb Z_\ell$ – группа Галуа расширения $K_\infty/K$, $\gamma_0$ – фиксированная топологическая образующая группы $\Gamma$, $\gamma_n=\gamma_0^{\ell^n}$, $\Gamma_n$ – единственная подгруппа группы $\Gamma$ индекса $\ell^n$. $\Lambda=\mathbb Z_\ell[[\Gamma]]=\varprojlim \mathbb Z_\ell[\Gamma/\Gamma_n]\cong \mathbb Z_\ell[[X]]$ – алгебра Ивасавы группы $\Gamma$. Для периодического $\Lambda$-модуля $A$ через $\lambda(A)$ и $\mu(A)$ мы обозначаем инварианты Ивасавы модуля $A$. В большей части работы мы рассматриваем поле $K$ вида $K=k(\sqrt[\ell]{a})$, где $a\in \mathbb Z$, $a=p_1^{r_1}p_2^{r_2}p_3^{r_3}$ и $p_1,p_2,p_3$ – различные простые числа, отличные от $\ell$, $p_i$ являются первообразными корнями по модулю $\ell^2$, $r_1r_2r_3\not\equiv0\ (\operatorname{mod} \ell)$ и $a^{\ell-1}\equiv 1\ (\operatorname{mod}\ell^2)$. $G=G(K/\mathbb Q)$, $\Delta=G(k/\mathbb Q)$ и $H=G(K/k)$, $\sigma$ – некоторая фиксированная образующая группы $H$. $\mathbb F_\ell(i)$ – $G$-модуль, на который $H$ действует тривиально, а $\Delta$ действует как умножение на $\omega^i$, где $\omega\colon \Delta\to\mathbb Z_\ell^\times$ – характер Тейхмюллера. $\mu_\ell(K_\infty)$ – группа всех корней из единицы $\ell$-примарной степени в поле $K_\infty$. Для дискретного периодического модуля Галуа $A$ через $\operatorname{Char} A$ мы обозначаем модуль характеров $\operatorname{Hom}(A,\mu_\ell(K_\infty))$. Мы полагаем $\widehat\mu_\ell(K_\infty)=\varprojlim\mu_\ell(K_n)$. Здесь и далее все проективные пределы берутся относительно норменных отображений. Пусть $M$ – максимальное абелево $\ell$-расширение поля $K_\infty$, неразветвленное вне $\ell$, $\overline N$ – максимальное абелево неразветвленное $\ell$-расширение поля $K_\infty$ и $N$ – максимальное подполе поля $\overline N$ такое, что в $N/K_\infty$ вполне распадаются все точки из $S$. Группы Галуа $G(M/K_\infty)$, $G(\overline N/K_\infty)$ и $G(N/K_\infty)$ мы обозначаем через $X(K_\infty)$, $\overline T_\ell(K_\infty)$ и $T_\ell(K_\infty)$ соответственно. Все они являются $\Lambda$-модулями, причем последние два – периодические $\Lambda$-модули. Через $R_\ell(K_\infty)$ мы обозначаем подмодуль в $\overline T_\ell(K_\infty)$, который порождается подгруппами разложения всех точек из $S$, т. е. $R_\ell(K_\infty)$ – это ядро естественного эпиморфизма $\overline T_\ell(K_\infty)\to T_\ell(K_\infty)$. Мы полагаем $\overline U(K)=U(K)/\mu(K)$. Аналогичный смысл имеют обозначения $\overline U_S(K)$, $\overline K_v^\times$, $\overline U^{(1)}(K_v)$ и т. п. Мы полагаем
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \overline U(K_\infty)&=\varprojlim\overline U(K_n)[\ell],&\qquad \overline U_S(K_\infty)&=\varprojlim \overline U_S(K_n)[\ell], \\ \widetilde{\mathcal A}(K_\infty)&=\varprojlim\biggl(\prod_{v|\ell}U^{(1)}(K_{v,n})\biggr),&\qquad H(K_\infty)&=\varprojlim\biggl(\prod_{v|\ell}\overline K^\times_{v,n}[\ell]\biggr). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы полагаем $\mathcal{A}(K_\infty)=\widetilde{\mathcal{A}}(K_\infty)/\prod_{v|\ell}\widehat\mu_\ell(K_{v,\infty})$. При $\ell\neq2$ и $\mathcal A(K_\infty)$ и $H(K_\infty)$ являются свободными $\Lambda$-модулями. Через $\mathcal A^+(K_\infty)$ и $H^+(K_\infty)$ мы обозначаем минимальные $\Lambda$-подмодули в $\mathcal A(K_\infty)$ и $H(K_\infty)$ соответственно, которые содержат $\overline U(K_\infty)$ и такие, что модули $\mathcal A(K_\infty)/\mathcal A^+(K_\infty)$ и $H(K_\infty)/H^+(K_\infty)$ являются $\Lambda$-модулями без кручения. Через $W(K_\infty)$ и $\mathcal W(K_\infty)$ мы обзначаем подмодули в $X(K_\infty)$, порожденные подгруппами разложения точек из $S$ и подгруппами инерции точек из $S$ соответственно. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
X(K_\infty)/W(K_\infty)\cong T_\ell(K_\infty)\quad\text{и}\quad X(K_\infty)/\mathcal W(K_\infty)\cong \overline T_\ell(K_\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
Мы полагаем
$$
\begin{equation*}
\mathbf D(K_\infty)=\biggl(\prod_{v|\ell}\widehat \mu_\ell(K_{v,\infty})\biggr)/\widehat \mu_\ell(K_\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
Теория полей классов позволяет отождествить $\mathbf D(K_\infty)$ с некоторым подмодулем в $X(K_\infty)$. При этом мы обозначаем $X(K_\infty)/\mathbf D(K_\infty)$, $W(K_\infty)/\mathbf D(K_\infty)$ и $\mathcal W(K_\infty)/\mathbf D(K_\infty)$ через $\overline X(K_\infty)$, $\overline W(K_\infty)$ и $\overline{\mathcal W}(K_\infty)$ соответственно. Из теории полей классов следует, что $\overline W(K_\infty)\cong H(K_\infty)/\overline U_S(K_\infty)$ и $\overline{\mathcal W}(K_\infty)\cong \mathcal A(K_\infty)/\overline U(K_\infty)$. Через $\operatorname{Cl}(K)_\ell$ мы обозначаем $\ell$-группу классов поля $K$, а через $\operatorname{Cl}_S(K)_\ell$ – факторгруппу группы $\operatorname{Cl}(K)_\ell$ по подгруппе, порожденной точками из $S$. Для локального поля $K_v$ через $V(K_v)$ мы обозначаем мультипликативный модуль Галуа, порожденный группой $\overline U^{(1)}(K_v)$ и элементом $\!\sqrt[\ell^m]{u_v}$, где $u_v$ – примарный элемент в $K_v$, т. е. $\ell^m$ – максимальная степень $\ell$ такая, что $K_v$ содержит $\zeta_{m-1}$, и $K_v(\!\sqrt[\ell^m]{u_v})/K_v$ – неразветвленное расширение степени $\ell^m$. Мы полагаем
$$
\begin{equation*}
V(K_n)=\prod_{v|\ell}V(K_{v,n})\quad\text{и}\quad V(K_\infty)=\varprojlim V(K_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, имеется естественное вложение $\mathcal A(K_\infty)\hookrightarrow V(K_\infty)$, причем модуль $Y(K_\infty):=V(K_\infty)/\mathcal A(K_\infty)$ изоморфен $\mathbb Z^s$ как $\mathbb Z_\ell^s$-модуль, и группа $\Gamma$ действует на него как умножение на круговой характер $\varkappa$. Для нетерова $\Lambda$-модуля без кручения $A$ через $\mathfrak F(A)$ мы обозначаем свободный $\Lambda$-модуль, в который $A$ вкладывается в качестве подмодуля конечного индекса, а через $\mathscr F(A)$ – конечный модуль $\mathfrak F(A)/A$. Через $A_n$ обозначается группа $A/(\gamma_n-1)A$. § 3. Строение группы $E'(K_\infty)$В этом параграфе мы предполагаем, что $K_\infty/K$ – круговое $\mathbb Z_\ell$-расширение некоторого поля алгебраических чисел $K$ такое, что $\overline T_\ell(K_\infty)$ – конечный модуль. В частности, это означает, что $\ell$ – регулярное простое число. Если $v$ – точка поля $K$, лежащая над $\ell$, то согласно локальной теории полей классов имеется естественное отображение $\chi_v\colon K_v^\times\to \Gamma_v$, где $K_v$ – пополнение поля $K$ относительно $v$ и $\Gamma_v$ – группа Галуа кругового $\mathbb Z_\ell$-расширения локального поля $K_v$. Заменяя в случае необходимости $K$ некоторым большим полем $K_n$, мы можем считать, что любая точка $v|\ell$ поля $K$ имеет единственное продолжение в поле $K_\infty$. Группу $\Gamma_v$ можно отождествить с подгруппой разложения точки $v$ в группе Галуа $\Gamma=G(K_\infty/K)$. Таким образом, имеется естественное отображение $\prod_{v|\ell}\Gamma_v\to\Gamma$, ядро которого мы будем обозначать через $P(K)$. Если любая точка $v|\ell$ поля $K_n$ имеет единственное продолжение в поле $K_\infty$, то для любого $n_1>n$ вложение $K_n\hookrightarrow K_{n_1}$ индуцирует изоморфизм $P(K_n)\cong P(K_{n_1})$. Из глобальной теории полей классов известно, что при диагональном отображении $U(K_n)[\ell]\to \prod_{v|\ell}\Gamma_v$ группа $U(K_n)[\ell]$ отображается в $P(K_n)$. Предложение 3.1. Естественное отображение которое индуцировано диагональным вложением $U(K_n)\hookrightarrow \prod_{v|\ell}K_{n,v}^\times$, является эпиморфизмом для всех достаточно больших $n$. Доказательство. Образ $U(K_n)$ содержится в $P(K_n)$, поэтому нам достаточно проверить, что этот образ порождает $P(K_n)$ для всех достаточно больших $n$. Для этого мы воспользуемся тем, что в $\Lambda$-модуле $X(K_\infty)$ содержится подмодуль $\mathbf D(K_\infty)$, который рассматривался уже и в [3; § 7] и в [1; см. (5.3) в § 5], где он обозначался просто через $D$. Этот модуль содержится в точной последовательности $\Lambda$-модулей
$$
\begin{equation}
0\to\widehat\mu_\ell(K_\infty)\to\prod_{v|\ell}\widehat\mu_\ell(K_{v,\infty})\to\mathbf D(K_\infty)\to 0.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Основное свойство модуля $\mathbf D(K_\infty)$ состоит в том, что это – максимальный $\Lambda$-подмодуль в $X(K_\infty)$, на который $\Gamma$ действует умножением на круговой характер $\varkappa$, см. [3; теорема 7.1]. Кроме того, в случае, когда модуль $\overline T_\ell(K_\infty)$ конечен, $\mathbf D(K_\infty)$ совпадает с подмодулем $\Lambda$-кручения в $X(K_\infty)$.
Таким образом, в нашем случае $X(K_\infty)/\mathbf D(K_\infty)$ не имеет $\mathbb Z_\ell$-кручения, но тогда для любого $m$ найдется индекс $n=n(m)$, такой что над $K_n$ существует расширение Галуа $L_n/K_n$, не разветвленное вне $\ell$, с группой Галуа $A\cong(\mathbb Z/\ell^m\mathbb Z)^{s-1}$ такое, что при естественной проекции $X(K_\infty)\to A$ группа $\mathbf D/\ell^m\mathbf D$ отображается на $A$ изоморфно. Пусть $x_1,\dots,x_{s-1}\in K_n$ – некоторый набор элементов такой, что Заметим, что символ Гильберта осуществляет двойственность между при $n>m$. Рассмотрим один из элементов $x_i$. Если $(x_i)$ – главный дивизор $x_i$, то $(x_i)=\mathfrak A_i^{\ell^m}$ для некоторого дивизора $\mathfrak A_i$, но ввиду конечности модуля $\overline T_\ell(K_\infty)$ дивизор $\mathfrak A_i$ становится главным в некотором большем поле $K_{n_i}$, т. е. в $K_{n_i}$ выполняется равенство $x_i= u_iy_i^{\ell^m}$ для некоторой единицы $u_i\in U(K_{n_i})$. Полагая $n=\max_i\{n_i\}$, мы получаем, что единицы $u_1,\dots,u_{s-1}$ порождают группу $P(K_n)$. Предложение доказано.Предложение 3.2. Пусть модуль $\overline T_\ell(K_\infty)$ конечен. Тогда справедливы равенства $\mathcal A^+(K_\infty)=\overline U(K_\infty)$ и $H^+(K_\infty)=\overline U_S(K_\infty)$. Доказательство. Модуль $X(K_\infty)$ не содержит ненулевых конечных подмодулей. В силу теоремы 7.1 работы [3] это же верно и для $\overline X(K_\infty):=X(K_\infty)/\mathbf D$, а, следовательно, и для аналогично определенных модулей $\overline W(K_\infty)$ и $\overline{\mathcal W}(K_\infty)$, которые являются подмодулями в $\overline X(K_\infty)$. Из [3; предложения 5.2 и 5.3] следует, что в случае конечного модуля $\overline T_\ell(K_\infty)$ модули $\overline W(K_\infty)$ и $\overline{\mathcal W}(K_\infty)$ являются $\Lambda$-модулями без кручения. Из описания этих модулей в терминах теории полей классов следует существование естественных точных последовательностей где $\overline W(K_\infty)$ и $\overline{\mathcal W}(K_\infty)$ – $\Lambda$-модули без кручения. Вспоминая определение модулей $H^+(K_\infty)$ и $\mathcal A^+(K_\infty)$, мы получаем $\overline U_S(K_\infty)=H^+(K_\infty)$ и $\overline U(K_\infty)=\mathcal A^+(K_\infty)$. Предложение доказано. Если $K$ абелево над $\ell$, то определен $\Lambda$-модуль $V(K_\infty)$ (см. § 2), который подробно изучался в [2]. В терминах этого модуля в [1; § 5] был определен модуль Галуа $E'(K_\infty):=\mathscr F(V(K_\infty)/V^+(K_\infty))$. Для нас существенно то, что для расширений с тремя точками ветвления модуль $E'(K_\infty)$ цикличен как $H$-модуль, см. [1; предложение 6.3], и группа $\Gamma$ действует на $E'(K_\infty)$ как умножение на $\sqrt{\varkappa}$, где $\varkappa$ – круговой характер (см. [1; теорема 6.1]). Кроме того, на $E'(K_\infty)$ определено внутреннее кососимметричное произведение
$$
\begin{equation}
E'(K_\infty) \times E'(K_\infty)\to \mu_\ell(K_\infty)
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
(см. [1; (6.5)]). Теорема 3.1. Модуль $E'(K_\infty)$ содержит цепочку подмодулей Галуа таких, что $E'_3(K_\infty)\cong R_\ell(K_\infty)$, $E'_2(K_\infty)\cong \overline T_\ell(K_\infty)$, $E'_2(K_\infty)/E'_3(K_\infty)\cong T_\ell(K_\infty)$, $E'_1(K_\infty)/E'_2(K_\infty)\cong \operatorname{Char} T_\ell(K_\infty)$ и $E'(K_\infty)/E'_1(K_\infty)\cong\operatorname{Char} R_\ell(K_\infty)$. Доказательство. Пусть $A$ и $B$ – $\Lambda$-модули без кручения такие, что $B\subseteq A$ и индекс $(A:B)$ конечен. Тогда $\mathfrak F( A)=\mathfrak F(B)$ и существует естественный эпиморфизм
$$
\begin{equation}
\varphi\colon\mathscr F(B)\to \mathscr F(A),\qquad \ker \varphi=A/B,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
ядро которого совпадает с $A/B$. В рассматриваемом случае мы имеем цепочку $\Lambda$-модулей без кручения
$$
\begin{equation}
\overline{\mathcal W}(K_\infty)\subseteq \overline W(K_\infty)\subseteq\overline X(K_\infty).
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Из (3.5) следует существование цепочки конечных $\Lambda$-модулей
$$
\begin{equation*}
\mathscr F(\overline{\mathcal W}(K_\infty))\supseteq \mathscr F(\overline W(K_\infty))\supseteq \mathscr F(\overline X(K_\infty)).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (3.4) существуют естественные эпиморфизмы
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varphi_1\colon\mathscr F(\overline{\mathcal W}(K_\infty))\to\mathscr F(\overline W(K_\infty)), \quad \varphi_2\colon\mathscr F(\overline W(K_\infty))\to\mathscr F(\overline X(K_\infty))\quad \text{и} \\ \varphi_3=\varphi_2\circ \varphi_1\colon\mathscr F(\overline{\mathcal W}(K_\infty))\to\mathscr F(\overline X(K_\infty)). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы полагаем $E'_1(K_\infty)=\mathscr F(\overline{\mathcal W}(K_\infty))$, $E'_3(K_\infty)=\ker\varphi_1$ и $E'_2(K_\infty)=\ker\varphi_3$. Тогда $E'_1(K_\infty)\supseteq E'_2(K_\infty)\supseteq E'_3(K_\infty)$, причем $E'_3(K_\infty)\cong \overline W(K_\infty)/\overline{\mathcal W}(K_\infty)\cong R_\ell(K_\infty)$ и $E'_2(K_\infty)\cong\overline X(K_\infty)/\overline{\mathcal W}(K_\infty)\cong\overline T_\ell(K_\infty)$. Согласно [1; предложение 5.3] $\mathscr F(\overline X(K_\infty))=\operatorname{Char} T_\ell(K_\infty)$, поэтому нам осталось отождествить $E'_1(K_\infty)$ с подгруппой в $E'(K_\infty)$ и показать, что группа $E'(K_\infty)/E'_1(K_\infty)$ изоморфна $\operatorname{Char} R_\ell(K_\infty)$.
Заметим, что согласно глобальной теории полей классов $\overline{\mathcal W}(K_\infty)\cong \mathcal A(K_\infty)/\mathcal A^+(K_\infty)$. Таким образом, мы должны выяснить, как связаны группы $\mathscr F(\mathcal A(K_\infty)/\mathcal A^+(K_\infty))$ и $\mathscr F(V(K_\infty)/V^+(K_\infty))$. Вложение $\mathcal A(K_\infty)\hookrightarrow V(K_\infty)$ индуцирует точную последовательность $\Lambda$-модулей без кручения
$$
\begin{equation}
0\to \mathcal A(K_\infty)/\mathcal A^+(K_\infty)\to V(K_\infty)/V^+(K_\infty)\to Y(K_\infty)\to 0,
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
где $Y(K_\infty)$ – модуль Галуа, определенный в § 2. Тогда $Y(K_\infty)\cong \mathbb Z_\ell^s$ как $\mathbb Z_\ell$-модуль, и $\Gamma$ действует на $Y(K_\infty)$ умножением на круговой характер $\varkappa$.
Лемма 3.1. Пусть модуль $\overline T_\ell(K_\infty)$ конечен. Тогда справедливы равенства $\mathcal A^+(K_\infty)=V^+(K_\infty)=\overline U(K_\infty)$. Доказательство. Согласно теореме 3.1 из [2] или формуле (7.5) из [4] выполняется равенство $\lambda(V^+(K_\infty)/\mathcal A^+(K_\infty))=r''(K_\infty)$, где смысл инварианта $r''(K_\infty)$ объяснялся в [1; § 1], но в нашем случае $r''(K_\infty)=0$, поскольку модуль $\overline T_\ell(K_\infty)$ конечен. Выполнение условия $\lambda(V^+(K_\infty)/\mathcal A^+(K_\infty))=0$ означает, что $\mathcal A^+(K_\infty)$ имеет конечный индекс в $V^+(K_\infty)$, но оба эти модуля свободны, поэтому $\mathcal A^+(K_\infty)=V^+(K_\infty)$. Равенство $\mathcal A^+(K_\infty)=\overline U(K_\infty)$ было доказано в предложении 3.2. Лемма доказана.
Продолжим доказательство теоремы. Вследствие леммы 3.1 вложение $\mathcal A(K_\infty)\hookrightarrow V(K_\infty)$ индуцирует вложения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal A(K_\infty)/\mathcal A^+(K_\infty)\hookrightarrow V(K_\infty)/V^+(K_\infty), \\ \mathfrak F(\mathcal A(K_\infty)/\mathcal A^+(K_\infty))\hookrightarrow \mathfrak F(V(K_\infty)/V^+(K_\infty)). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\mathbb A:=\mathfrak F(\mathcal A(K_\infty)/\mathcal A^+(K_\infty))\cdot (V(K_\infty)/V^+(K_\infty))=(\mathfrak F(\mathcal A(K_\infty))\cdot V(K_\infty))/V^+(K_\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из формулы (3.6) следует, что $\mathbb A/\mathfrak F(\mathcal A(K_\infty)/\mathcal A^+(K_\infty))\cong Y$. Модуль
$$
\begin{equation*}
B:=\mathfrak F(V(K_\infty)/V^+(K_\infty))/\mathfrak F(\mathcal A(K_\infty)/\mathcal A^+(K_\infty))
\end{equation*}
\notag
$$
не содержит нетривиальных конечных подмодулей, и содержит $Y(K_\infty)$ в качестве подмодуля конечного индекса. Следовательно, $B\cong \mathbb Z_\ell^s$ как $\mathbb Z_\ell$-модуль, и $\Gamma$ действует на $B$ как умножение на $\varkappa$. Положим $C:=B/Y(K_\infty)$. Тогда модуль $E'(K_\infty)$ содержится в точной последовательности
$$
\begin{equation}
0\to \mathscr F(\mathcal A(K_\infty)/\mathcal A^+(K_\infty))\to E'(K_\infty)\to C\to 0,
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
и нам остается только проверить, что $C\cong \operatorname{Char} R_\ell(K_\infty)$.
Пусть $n$ настолько велико, что группа $\Gamma_n$ действует тривиально на Тогда точная последовательность $\Lambda$-модулей
$$
\begin{equation*}
0\to V(K_\infty)/V^+(K_\infty)\to \mathfrak F(V(K_\infty)/V^+(K_\infty))\to \mathscr F(V(K_\infty)/V^+(K_\infty))\to 0
\end{equation*}
\notag
$$
индуцирует точную последовательность абелевых групп
$$
\begin{equation}
0\to\mathscr F(V(K_\infty)/V^+(K_\infty))\xrightarrow{i(n)}(V(K_\infty)/V^+(K_\infty))_n\to \mathfrak F(V(K_\infty)/V^+(K_\infty))_n.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Абелева группа $\mathfrak F(V(K_\infty)/V^+(K_\infty))_n$ не имеет кручения, поэтому $i(n)$ изоморфно отображает группу $\mathscr F(V(K_\infty)/V^+(K_\infty))$ на подгруппу кручения в $(V(K_\infty)/V^+(K_\infty))_n$.
Далее, имеется точная последовательность $\Lambda$-модулей без кручения
$$
\begin{equation*}
0\to V^+(K_\infty)\to V(K_\infty)\to V(K_\infty)/V^+(K_\infty)\to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
которая индуцирует точную последовательность абелевых групп
$$
\begin{equation*}
0\to V^+(K_\infty)_n\to V(K_\infty)_n\to (V(K_\infty)/V^+(K_\infty))_n\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $ U_1(K_n)$ подгруппу универсальных норм из $K_\infty$ в группе $\overline U(K_n)[\ell]$, т. е. образ естественной проекции $\pi\colon \overline U(K_\infty)\to \overline U(K_n)[\ell]$. Если $u\in U_1(K_n)$, то под расширением $K_n(\!\sqrt[\ell^m]{u})/K_n$ мы будем понимать куммерово расширение $K_n(\!\sqrt[\ell^m]{u_1})/K_n$, где $u_1\in U(K_n)$, и в группе $U(K_n)[\ell]$ выполняется равенство $u_1=uu_2^{\ell^m}$ для некоторого элемента $u_2\in U(K_n)[\ell]$.
Лемма 3.2. Если $n$ достаточно велико, то любое циклическое неразветвленное $\ell$-расширение поля $K_n$ имеет вид $L=K_n(\!\sqrt[\ell^m]{u})$, где $u\in U_1(K_n)$ и $m$ – натуральное число, зависящее только от поля $K$. Доказательство. Поскольку модуль $\overline T_\ell(K_\infty)$ конечен, любое циклическое неразветвленное $\ell$-расширение $L$ имеет над $K_n$ степень не выше $\ell^m$, где $\ell^m$ – период группы $\overline T_\ell(K_\infty)$. Следовательно, $L=K_n(\!\sqrt[\ell^m]{a})$ для некоторого $a\in K_n$. Если $(a)=\mathfrak A$, то $\mathfrak A=\mathfrak B^{\ell^m}$ для некоторого дивизора $\mathfrak B$. Увеличивая $n$ в случае необходимости, мы можем считать, что $\mathfrak B$ – главный дивизор, т. е. $\mathfrak B=(b)$. Тогда элемент $ab^{-\ell^m}$ является единицей, т. е. можно считать, что любое циклическое неразветвленное $\ell$-расширение $L$ поля $K_n$ имеет вид $L=K_n(\!\sqrt[\ell^m]{u})$ для некоторой единицы $u\in U(K_n)$. Пусть $\varphi_n$ – отображение (3.1). Если расширение $L/K_n$ не разветвлено, то $\varphi_n(u)\in P(K_n)^{\ell^m}$. Тогда в силу предложения 3.1 мы можем заменить $u$ на единицу $u'=u\prod_{i=1}^{s-1} u_i^{a_i}\in \overline U(K_n)[\ell]$, где $u_1,\dots,u_{s-1}$ – единицы, построенные в предложение 3.1, и $a_i\in \ell^m\mathbb Z_\ell$ – некоторые показатели, так, чтобы выполнялись условия $L=K_n(\!\sqrt[\ell^m]{u'})$ и $\varphi_n(u')=0$.
Подгруппа $U_2(K_n)$ группы $\overline U(K_n)[\ell]$, совпадающая с ядром отображения $\varphi_n$ – это подгруппа локальных универсальных норм в группе $\overline U(K_n)[\ell]$. Согласно предложению 7.5 из [3] существует естественный изоморфизм $U_2(K_n)/U_1(K_n)\cong T_\ell (K_\infty)^{\Gamma_n}$ (заметим, что в [3] группы $U_2(K_n)$ и $U_1(K_n)$ обозначались через $\operatorname{Ker} \lambda$ и $\operatorname{Im} \varkappa$ соответственно). Таким образом, если $\ell^q$ – период группы $T_\ell(K_\infty)^{\Gamma_n}$, то, увеличивая в случае необходимости $m$ и заменяя $u'\in U_2(K_n)$ на $u''=u'^{\ell^q}\in U_1(K_n)$, мы получаем, что $L=K_n(\sqrt[\ell^{m+q}]{u''})$. Лемма доказана. Мы теперь выясним, как устроено отображение $i(n)$ в (3.8). Для $x\in\mathscr F(V(K_\infty)/V^+(K_\infty))$ пусть $\overline x$ – некоторый подъем $x$ в $\mathfrak F(V(K_\infty)/ V^+(K_\infty))$. Тогда $i(n)(x)$ – это образ элемента $(\gamma_n-1)(\overline x)$ в $(V(K_\infty)/V^+(K_\infty))_n$. Существует точная последовательность $\Lambda$-модулей
$$
\begin{equation*}
0\to \mathcal A^+(K_\infty)\to \mathcal A(K_\infty)\to \mathcal A(K_\infty)/\mathcal A^+(K_\infty)\to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
которая индуцирует для любого $n$ точную последовательность абелевых групп
$$
\begin{equation*}
0\to \mathcal A^+(K_\infty)_n\to \mathcal A(K_\infty)_n\to\mathcal (A(K_\infty)/\mathcal A^+(K_\infty))_n\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Так же, как и в (3.8), мы получаем точную последовательность абелевых групп
$$
\begin{equation}
0\to\mathscr F(\mathcal A(K_\infty)/\mathcal A^+(K_\infty))\xrightarrow{j(n)}(\mathcal A(K_\infty)/\mathcal A^+(K_\infty))_n\to \mathfrak F(\mathcal A(K_\infty)/\mathcal A^+(K_\infty))_n.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Мы видим, что образы отображений $i(n)$ и $j(n)$ совпадают с подгруппами кручения в $V(K_\infty)_n/V^+(K_\infty)_n$ и $\mathcal A(K_\infty)_n/\mathcal A^+(K_\infty)_n$ соответственно. Помимо этого, мы имеем точную последовательность $\Lambda$-модулей
$$
\begin{equation*}
0\to \mathcal A(K_\infty)/\mathcal A^+(K_\infty)\to V(K_\infty)/V^+(K_\infty)\to Y(K_\infty)\to 0
\end{equation*}
\notag
$$
и соответствующую ей точную последовательность гомологий. Все эти данные можно включить в следующую коммутативную диаграмму с точными строками и столбцами: связывающую (3.8) и (3.9), в которой вертикальные стрелки индуцированы равенством $\mathcal A^+(K_\infty)=V^+(K_\infty)$ и вложениями $\mathcal A(K_\infty)\hookrightarrow V(K_\infty)$ и $\mathcal A(K_\infty)/\mathcal A^+(K_\infty)\hookrightarrow V(K_\infty)/V^+(K_\infty)$, а вложения $j(n)$ и $\kappa(n)$ определяются аналогично $i(n)$.
Итак, образ $j(n)$ – это те элементы из $\mathcal A(K_\infty)_n$, которые после умножения на некоторую степень $\ell$ попадают в $\mathcal A^+(K_\infty)_n$. Существуют естественные проекции $\pi_n\colon \mathcal A(K_\infty)_n\to \prod_{v|\ell} \widehat U(K_{n,v})$, где $\widehat U(K_{n,v})$ – подгруппа универсальных норм в группе $U^{(1)}(K_{n,v})$ из расширения $K_{\infty,v}/K_{n,v}$, и $\pi'\colon \mathcal A^+(K_\infty)_n\to U_1(K_n)$. Если $y\in \mathcal A(K_\infty)_n$ такой элемент, что $\ell^m y\in \mathcal A^+(K_\infty)_n$, то, полагая $x=\pi'_n(\ell^m y)$, мы получаем элемент $x\in U_1(K_n)$ такой, что $\!\sqrt[\ell^m]{x}=\pi_n(y)$. Таким образом, расширение $L_n=K_n(\!\sqrt[\ell^m]{x})$ поля $K_n$ является циклическим неразветвленным $\ell$-расширением, в котором вполне распадаются все точки над $\ell$. Пусть $m$ и $n$ настолько велики, что поле $\mathbf L_n$ – максимальное абелево неразветвленное $\ell$-расширение поля $K_n$, в котором вполне распадаются все точки над $\ell$, имеет над $K_n$ группу Галуа $T_\ell(K_\infty)$, и расширение $\mathbf L_n/K_n$ порождается над $K_n$ корнями степени $\ell^m$ из некоторых элементов группы $U_1(K_n)$. Тогда сопоставление $y\Rightarrow \!\sqrt[\ell^m]{x}\ \operatorname{mod} U_2(K_n)$ задает гомоморфизм
$$
\begin{equation}
\psi_n\colon \operatorname{Tors}(\mathcal A(K_\infty)_n/\mathcal A^+(K_\infty)_n)\to \operatorname{Char}T_\ell(K_n).
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Наоборот, если $x\in U_1(K_n)$ – такой элемент, что поле $L_n=K_n(\!\sqrt[\ell^m]{x})$ является циклическим неразветвленным $\ell$-расширением поля $K_n$, в котором вполне распадаются все точки над $\ell$, то поднимая $\!\sqrt[\ell^m]{x}$ произвольным образом до элемента $\overline y\in \mathcal A(K_\infty)_n$ и полагая $\overline x=\overline y^{\ell^m}$, мы получаем, что расширение $L_n/K_n$ может быть получено указанным выше способом. Это означает, что отображение $\psi_n$ в (3.10) эпиморфно.
Пусть теперь $\overline y\in \mathscr F(V(K_\infty)/V^+(K_\infty))$ и $y=i(n)(\overline y)$. Тогда $y$ является периодическим элементом в группе $(V(K_\infty)/V^+(K_\infty))_n$, т. е. $y^{\ell^m}{\in}\, V^+(K_\infty)_n$ для некоторого $m$ и, полагая $z:=\pi'_n(y^{\ell^m})$, мы получаем элемент $z\in U_1(K_n)$ такой, что $\mu(z)\in Y_n$. Это означает, что расширение $L_n':=K_n(\!\sqrt[\ell^m]{z})/K_n$ является циклическим неразветвленным расширением, в котором, однако, точки, лежащие над $\ell$, не обязаны вполне распадаться. Они вполне распадаются тогда и только тогда, когда $\mu(z)=0$. Легко видеть, что таким способом можно получить максимальное абелево неразветвленное $\ell$-расширение $\mathcal L_n$ поля $K_n$ с группой Галуа $\overline T_\ell(K_\infty)$. С другой стороны, если $c\in C$, то $c$ приходит из некоторого Тогда, полагая $y=i(n)(\overline y)$ и строя с помощью $y$ расширение $L'_n/K_n$, как описано выше, мы получаем элемент $z$ такой, что $\mu(z)=\kappa(n)(c)$. Это означает, что вложение $\kappa(n)$ определяет изоморфизм между группой $C$ и куммеровой группой расширения $\mathcal L_n/\mathbf L_n$ над $K_n$, которая изоморфна $\operatorname{Char}R_\ell(K_\infty)$. Это завершает доказательство теоремы.Пусть $K/\mathbb Q$ – расширение с тремя точками ветвления, т. е. расширение, описанное в одном из предложений 2.1–2.4 работы [1]. Тогда согласно теореме 6.1 из [1] $\gamma_0$ действует на $E'(K_\infty)$ как умножение на $\sqrt{\varkappa(\gamma_0)}$. Таким образом, из доказанной теоремы вытекает следующее утверждение. Следствие 3.1. Пусть $K$ – расширение с тремя точками ветвления. Тогда $\gamma_0$ действует на $\overline T_\ell(K_\infty)$ как умножение на $\sqrt{\varkappa(\gamma_0)}$. Группа $\operatorname{Cl}(K)_\ell$ имеет период не выше $\ell$. Доказательство. Действительно, существует эпиморфизм абелевых групп $\overline T_\ell(K_\infty)/(\gamma_0-1)\overline T_\ell(K_\infty)\to \operatorname{Cl}(K)_\ell$, где $(\gamma_0-1)$ – это умножение на $\sqrt{\varkappa(\gamma_0)}-1\,{\not\equiv}\,0 (\operatorname{mod}\ell^2)$. Следствие доказано. Следствие 3.2. В условиях следствия 3.1 группа $R_\ell(K_\infty)$ имеет период не выше $\ell$. Доказательство. Действительно, как было объяснено в доказательстве предложения 4.3 из [1], существует эпиморфизм модулей Галуа $F_S\to R_\ell(K_\infty)$, где $F_S$ – модуль Галуа, порожденный множеством точек $S$. В частности, $\gamma_0$ действует на $F_S$ тривиально. Следовательно, $\gamma_0$ действует тривиально и на $R_\ell(K_\infty)$. Но, с другой стороны, $\gamma_0$ умножает $R_\ell(K_\infty)$ на $\sqrt{\varkappa(\gamma_0)}$. Это возможно только в том случае, когда $R_\ell(K_\infty)$ имеет период не выше $\ell$. Следствие доказано.
§ 4. Случай конечного модуля ТэйтаПусть $\mathbb C$ – подгруппа группы $\operatorname{Cl}(K)_\ell$, порожденная классами дивизоров $\mathfrak P_1$, $\mathfrak P_2$, $\mathfrak P_3$, разветвленных в расширении $K_\infty/k_\infty$. Согласно предложению 6.8 работы [2] в случае $\ell=3$ группа $\mathbb C$ всегда отлична от нуля. Через $\mathbb C_1$ мы будем обозначать подгруппу группы $\operatorname{Cl}(K)_\ell$, порожденную классами простых делителей $\ell$. Предложение 4.1. Пусть $K$ – поле типа 2.1, т. е. $K=k(\sqrt[\ell]{a})$, где $a$ является произведением трех различных простых чисел. Всегда $|\mathbb C|\leqslant\ell$ и $|\mathbb C_1|\leqslant \ell$. Если $\ell=3$, то $\mathbb C=\operatorname{Cl}(K)_\ell^H$ и имеет место следующая альтернатива. В случае $\ell>3$ помимо случаев A1 и A2 возможен еще случай Доказательство. Поскольку $\mathbb C$ порождается классами дивизоров $\mathfrak P_i$, мы имеем $\mathbb C\subseteq\operatorname{Cl}(K)_\ell^G\subseteq \operatorname{Cl}(K)_\ell^H$. Согласно теореме 4.1 из [1] $\overline T_\ell(K_\infty)$ является циклическим $H$-модулем. Тогда и $\operatorname{Cl}(K)_\ell$ будет циклическим $H$-модулем. Согласно теореме 3.1 из [1] это означает, что $\operatorname{Cl}(K)_\ell$ изоморфен как $G$-модуль некоторому модулю вида $P(i,j)$. В частности это означает, что $\operatorname{Cl}(K)^H_\ell\cong \mathbb Z/\ell\mathbb Z$ как $\mathbb Z_\ell$-модуль. Напомним, что согласно предложению 4.2 из [1] модуль $\overline T_\ell(K_\infty)/(\sigma-1)\overline T_\ell(K_\infty)$ изоморфен $\mathbb F_\ell(1)$ как $G$-модуль. Следовательно, это же верно и для $T_\ell(K_\infty)$, и для $\operatorname{Cl}(K)_\ell$. Таким образом, если $\mathbb C\neq 0$, то $|{\operatorname{Cl}(K)_\ell}|\geqslant \ell^{\ell-1}$ в силу леммы 3.2 из [1], но согласно следствию 3.1 группа $\operatorname{Cl}(K)_\ell$ имеет период не выше $\ell$. Следовательно, в этом случае $|{\operatorname{Cl}(K)_\ell}|=\ell^{\ell-1}$. В частности, последнее равенство всегда выполняется в случае $\ell=3$. В этом случае любое поле $K$ относится либо к случаю A1, либо к случаю A2. Так как $\mathbb C_1$ строго меньше $\operatorname{Cl}(K)_\ell$, мы видим, что $|\mathbb C_1|\leqslant \ell$ в случае $\ell=3$.
Пусть $\ell>3$. Если $|{\operatorname{Cl}(K)_\ell}|<\ell^{\ell-1}$, то нижний центральный ряд $H$-модуля $\operatorname{Cl}(K)_\ell$ не может содержать фактор вида $\mathbb F_\ell(0)$, т. е. $\mathbb C=0$ и $\mathbb C_1=0$, и мы находимся в случае A3. Предложение доказано. Предложение 4.2. Пусть $K$ – поле типа 2.1. Тогда естественное отображение (3.1) является эпиморфизмом для любого $n$. Доказательство. Очевидно, утверждение предложения достаточно доказать для случая $n=0$. Пусть $F$ – максимальное абелево $\ell$-расширение поля $K$, неразветвленное вне $\ell$. Тогда согласно теории полей классов группа Галуа $G(F/K)$ содержится в точной последовательности где $V_1$ – подгруппа группы $G(F/K)$, порожденная подгруппами инерции всех точек, лежащих над $\ell$. В свою очередь, группа $V_1$ содержится в точной последовательности Пусть $F_1=F^{V_1}$, так что $F_1$ – максимальное абелево неразветвленное $\ell$-расширение поля $K$, и пусть $F_2$ – максимальное абелево $\ell$-расширение поля $K$, которое не разветвлено вне $\ell$, а в точках, лежащих над $\ell$, устроено как круговое расширение. Тогда согласно теории полей классов группа Галуа расширения $F_2/(K_\infty\cdot F_1)$, которую мы будем обозначать через $V_3$, естественно изоморфна группе $P(K)/\varphi_0(U(K)[\ell])$.
Таким образом, мы должны проверить, что $F_1\cdot K_\infty=F_2$. Отождествляя группу Галуа $G(F_1 K_\infty/K_\infty)$ с группой $G(F_1/K)=\operatorname{Cl}(K)_\ell$, мы получаем башню полей $K_\infty\subseteq F_1 K_\infty\subseteq F_2$ и соответственно точную последовательность абелевых групп Галуа
$$
\begin{equation}
0\to V_3\to G(F_2K_\infty/K_\infty)\to \operatorname{Cl}(K)_\ell\to 0.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Заметим, что все группы в (4.2) являются $G$-модулями. Отметим также, что $\Gamma$ действует на все группы в (4.2) тривиально.
Если поле $F_2$ устроено как круговое в точках, лежащих над $\ell$, то расширение $F_2/K_\infty$ не разветвлено и, следовательно, существует естественный эпиморфизм модулей Галуа
$$
\begin{equation}
\alpha\colon\overline T_\ell(K_\infty)\to G(F_2/K_\infty).
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Напомним, что $\overline T_\ell(K_\infty)$ является циклическим $H$-модулем в силу теоремы 4.1 из [1], поэтому и $G(F_2K_\infty/K_\infty)$ – циклический $H$-модуль и, следовательно, имеет не более $\ell-1$ образующих как $\mathbb Z_\ell$-модуль.
В силу следствия 3.1 группа $\Gamma$ действует на $\overline T_\ell(K_\infty)$ как умножение на $\sqrt{\varkappa}$, поэтому (4.3) индуцирует эпиморфизм $\overline T_\ell(K_\infty)/\ell\, \overline T_\ell(K_\infty)\to G(F_2/K_\infty)$. Если $\ell=3$, то $\operatorname{Cl}(K)_\ell\cong (\mathbb Z/\ell\mathbb Z)^2$. Таким образом, $|{\operatorname{Cl}(K)_\ell}|=|\overline T_\ell(K_\infty)/\ell\,\overline T_\ell(K_\infty)|$. Следовательно, $V_3=0$ в этом случае. Это же рассуждение проходит и в случае, когда $\ell>3$ и $|{\operatorname{Cl}(K)_\ell}|=\ell^{\ell-1}$. Осталось рассмотреть случай A3 – случай, когда $\ell>3$, но $|{\operatorname{Cl}(K)_\ell}|<\ell^{\ell-1}$. Этот случай требует других аргументов. В силу предложения 4.2 из [1]
$$
\begin{equation}
\operatorname{Cl}(K)_\ell/(\sigma-1)\operatorname{Cl}(K)_\ell\cong \mathbb F_\ell(1)
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
как $G$-модуль. Нижний центральный ряд $H$-модуля $\operatorname{Cl}(K)_\ell$ имеет длину меньше $\ell-1$ и, следовательно, в силу леммы 3.2 из [1] его последний ненулевой член, который совпадает с $\operatorname{Cl}(K)_\ell^H$ не может быть изоморфен $\mathbb F_\ell(0)$ как $G$-модуль. Из той же леммы следует, что $P(K)/(\sigma-1)P(K)\cong \mathbb F_\ell(1)$ как $G$-модуль. Поэтому, если $V_3\neq 0$, то $V_3/(\sigma-1)V_3\cong \mathbb F_\ell(1)$. Таким образом, нижний центральный ряд $H$-модуля $G(F_2/K_\infty)$ содержит рядом члены $\operatorname{Cl}(K)_\ell^H\cong \mathbb F_\ell(i)$ с $i\not \equiv 0\ (\operatorname{mod}\ell-1)$ и $V_3/(\sigma-1)V_3\cong \mathbb F_\ell(1)$, что противоречит лемме 3.2 из [1]. Этим наше предложение доказано полностью. Следствие 4.1. Пусть $\ell=3$, $u\in \overline U(K)$ и $u$ является $\ell$-й степенью в локальном поле $K_v$ для всех $v|\ell$. Тогда $u$ является $\ell$-й степенью в $\overline U(K)$. Доказательство. Действительно, в этом случае $\overline U(K)[\ell]\,{\cong}\, \mathbb Z_\ell^2$ и $P(K)\,{\cong}\,\mathbb Z_\ell^2$, поэтому отображение $\varphi_0$ из предложения 4.2 является изоморфизмом. Следствие 4.2. Пусть $\ell=3$ и $L:=K(\sqrt[\ell]{b})$, $b\in \mathbb Z$, – циклическое неразветвленное расширение поля $K$. Пусть $b=p_1^{s_1}p_2^{s_2}p_3^{s_3}$. Тогда дивизор $(\sqrt[\ell]{b})=\mathfrak P_1^{s_1}\mathfrak P_2^{s_2}\mathfrak P_3^{s_3}$ не является главным в поле $K$. Доказательство. Действительно, в расширении $K(\sqrt[\ell]{b})/K$ вполне распадаются все точки над $\ell$. Если бы дивизор $(\sqrt[\ell]{b})$ был главным, это означало бы, что $K(\sqrt[\ell]{b})=K(\sqrt[\ell]{u})$ для некоторой единицы $u$ поля $K$, но следствие 4.1 показывает, что это невозможно. Теорема 4.1. Пусть $\ell=3$, $K$ относится к случаю 2.1 и модуль $T_\ell(K_\infty)$ конечен. Тогда $R_\ell(K)\cong (\mathbb Z/\ell\mathbb Z)^{\ell-1}$. Доказательство. Рассмотрим пополненную группу $S$-единиц $\overline U_S(K)[\ell]$. Очевидно, что элемент $u\in \overline U_S(K)[\ell]$ является всюду локальной универсальной нормой тогда и только тогда, когда $\varphi_0 (u)=0$, где $\varphi_0$ – отображение (3.1). Таким образом, для группы $\overline U_S(K)[\ell]$ существует естественное разложение в прямую сумму $\overline U_S(K)[\ell]=\mathfrak U_1(K)\oplus\mathfrak U_2(K)$, где $\mathfrak U_1(K)=\overline U(K)[\ell]$ и $\mathfrak U_2(K)$ – подгруппа всюду локальных универсальных норм в группе $\overline U(K)[\ell]$, причем любой элемент $x\in \mathfrak U_2(K)$ однозначно характеризуется своим дивизором $(x)$, который является некоторым произведением простых делителей $\ell$ (с $\ell$-адическими показателями).
Согласно [3; предложение 7.5] существует естественный изоморфизм
$$
\begin{equation}
T_\ell(K)^\Gamma\cong \operatorname{Ker}\lambda /\operatorname{Im}\varkappa,
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где через $\operatorname{Ker}\lambda$ в [3] обозначалась группа всюду локальных норм в пополненной группе $S$-единиц поля $K$. Таким образом, в наших обозначениях $\operatorname{Ker}\lambda=\mathfrak U_2(K)$, а $\operatorname{Im}\varkappa$ – это подгруппа глобальных универсальных норм в $\mathfrak U_2(K)$. Для произвольного натурального $n$ через $\mathfrak U_2(K_n)$ мы будем обозначать подгруппу всюду локальных универсальных норм в группе $\overline U_S(K_n)[\ell]$. Так как вложение $K\hookrightarrow K_n$ индуцирует изоморфизм $P(K)\cong P(K_n)$, мы получаем, что для любого $n$ имеется разложение в прямую сумму $\overline U_S(K_n)[\ell]=\mathfrak U_1(K)\oplus \mathfrak U_2(K_n)$.
Пусть $\mathfrak l_1^{(0)}$, $\mathfrak l_2^{(0)}$ и $\mathfrak l_3^{(0)}$ – простые делители $\ell$ в поле $K$ и $\mathfrak l_1^{(n)}$, $\mathfrak l_2^{(n)}$, $\mathfrak l_3^{(n)}$ – простые делители $\ell$ в поле $K_n$, так что $\mathfrak l_i^{(n)}$ лежит над $\mathfrak l_i^{(0)}$ для $i=1,2,3$. Очевидно, что отображение нормы $N_{K_n/K}$ переводит $\mathfrak l_i^{(n)}$ в $\mathfrak l_i^{(0)}$, поэтому для $x\in \mathfrak U_2(K_n)$ $N_{K_n/K}(x)$ зависит только от дивизора $(x)$. Для $n\geqslant 0$ через $\mathcal D_\ell(K_n)$ мы будем обозначать свободный $\mathbb Z_\ell$-модуль, порожденный дивизорами $\mathfrak l_i^{(n)}$ для $i=1,2,3$. Через $\mathcal D^0_\ell(K_n)$ мы будем обозначать подмодуль модуля $\mathcal D_\ell(K_n)$, порожденный главными дивизорами $(x)$ для всех $x\in U_S(K_n)[\ell]$, или, что то же самое, для всех $x\in \mathfrak U_2(K_n)$. Тогда $\mathcal D_\ell(K)/\mathcal D^0_\ell(K_n)$ – это подгруппа, порожденная точками, лежащими над $\ell$ в группе классов $\operatorname{Cl}(K_n)_\ell$. Следовательно, для всех достаточно больших $n$
$$
\begin{equation}
\mathcal D_\ell(K_n)/\mathcal D_\ell^0(K_n)\cong R_\ell(K_\infty),
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
причем для любых $m>n\geqslant 0$ отображение нормы $N_{K_m/K_n}$ индуцирует изоморфизм
$$
\begin{equation}
N_{K_m/K_n}\colon \mathcal D_\ell(K_m)\to \mathcal D_\ell(K_n),
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
при котором $\mathcal D_\ell^0(K_m)$ отображается в $\mathcal D_\ell^0(K_n)$. Таким образом, если отождествить $\mathfrak U_2(K)$ с группой $\mathcal D_\ell^0(K)$, то $\operatorname{Im}\varkappa$ в (4.5) совпадает с образом $\mathscr U$ в $\mathfrak U_2(K)$ группы $\mathcal D_\ell^0(K_m)$ при отображении (4.7) для любого достаточно большого $m$ и $n=0$. Это означает, что $\mathcal D_\ell^0(K)/\mathscr U\cong R_\ell(K_\infty)$.
В случае A1 $T_\ell(K_\infty)\cong \mathbb Z/\ell\mathbb Z$, поэтому согласно (4.5) $\mathcal D_\ell^0(K)/\mathscr U\cong \mathbb Z/\ell\mathbb Z$. Кроме того, $(\mathcal D_\ell(K):\mathcal D_\ell^0(K))=\ell$, поскольку $|{\operatorname{Cl}_S(K)_\ell}|=\ell$ и $|{\operatorname{Cl}(K)_\ell}|=\ell^2$. Поэтому группа $\mathcal D_\ell(K)/\mathscr U$ имеет порядок $\ell^2$. Так как она является циклическим $G$-модулем, мы получаем, что $\mathcal D_\ell(K)/\mathscr U\cong (\mathbb Z/\ell\mathbb Z)^2$. Тогда из (4.6) следует, что существует эпиморфизм $\psi\colon R_\ell(K_\infty)\to(\mathbb Z/\ell\mathbb Z)^2$. С другой стороны, мы показали, что $R_\ell(K_\infty)$ имеет не более двух образующих (в случае $\ell=3$) и период не выше $\ell$. Следовательно, $\psi$ является изоморфизмом, что завершает доказательство теоремы в случае A1. В случае A2 снова справедлива формула (4.6). В этом случае $T_\ell(K_\infty)^\Gamma\cong (\mathbb Z/\ell\mathbb Z)^2$ и $\mathcal D^0_\ell(K)=\mathcal D_\ell(K)$. Следовательно, $\mathcal D_\ell(K)/\mathscr U\cong (\mathbb Z/\ell\mathbb Z)^2$. Тогда, используя изоморфизмы (4.5) и (4.6), мы получаем эпиморфизм $R_\ell(K_\infty)\to (\mathbb Z/\ell\mathbb Z)^2$. Но, как и в случае A1, порядок группы $R_\ell(K_\infty)$ не может быть выше $\ell^2$. Это завершает доказательство теоремы. В качестве немедленного следствия мы получаем утверждение. Предложение 4.3. Пусть $\ell=3$, $K$ относится к случаю 2.1 и модуль $T_\ell(K_\infty)$ конечен. Тогда $|T_\ell(K_\infty)|=\ell^r$, где $r$ – натуральное нечетное число. Доказательство. Нижний центральный ряд для $H$-модуля $T_\ell(K_\infty)$ согласно (4.4) начинается с члена $\mathbb F_\ell(1)$. Нижний центральный ряд для $H$-модуля $R_\ell(K_\infty)$ начинается с $\mathbb F_\ell(0)$. Поскольку оба эти ряда объединяются в нижнем центральном ряду для $\overline T_\ell(K_\infty)$, мы получаем, используя лемму 3.2 из [1], что должно выполняться условие $T_\ell(K_\infty)^H\cong \mathbb F_\ell(1)$, что возможно только при нечетном $r$. Предложение доказано. Обозначим через $\mathfrak D$ свободный $\mathbb Z/3\mathbb Z$-модуль, порожденный простыми дивизорами $\mathfrak{P}_1$, $\mathfrak{P}_2$, $\mathfrak{P}_3$, где $\mathfrak P_i$ – простой делитель $p_i$ в поле $K$ и $i=1,2,3$. Группа $\mathfrak D$ имеет порядок $27$, и существует естественный гомоморфизм $\mathfrak D\to \operatorname{Cl}(K)_\ell$, образ которого $\mathbb C$ имеет порядок $3$. Таким образом, возникает задача описать подгруппу $\mathfrak D^0\subseteq \mathfrak D$, состоящую из классов тех дивизоров, которые являются главными в $K$. Очевидно, что $(\sqrt[\ell]{a})\in \mathfrak D^0$, где $K=k(\sqrt[\ell]{a})$. В группе $\mathfrak D$ можно естественным образом определить еще одну подгруппу $\widetilde{\mathfrak D}$ индекса $\ell$. Именно, пусть $\overline{\mathfrak A}\in \mathfrak D$ и $\mathfrak A$ – некоторый дивизор поля $K$, представляющий $\overline{\mathfrak A}$. Тогда $\mathfrak A^\ell$ – главный дивизор, и $\mathfrak A^\ell=(x)$, где $x\in \mathbb Z$ и $x$ является произведением некоторых степеней простых чисел $p_i,\,\,i=1,2,3$. Мы говорим, что $\overline{\mathfrak A}\in \widetilde{\mathfrak D}$ тогда и только тогда, когда $x^{\ell-1}\equiv 1\ (\operatorname{mod}\ell^2)$. Таким образом, $\widetilde{\mathfrak D}$ порождается двумя элементами $(\sqrt[\ell]{a})$ и $(\sqrt[\ell]{b})$, где $K=k(\sqrt[\ell]{a})$ и $L=K(\sqrt[\ell]{b})$ – неразветвленное расширение $K$. Согласно следствию 4.2 $\mathfrak D^0\neq \widetilde{\mathfrak D}$. Заметим, что ни один из элементов $\overline{\mathfrak{P}}_1$, $\overline{\mathfrak{P}}_2$, $\overline{\mathfrak{P}}_3$ не содержится в группе $\widetilde{\mathfrak D}$. Теорема 4.2. Пусть $\ell=3 $ и $K$ относится к случаю 2.1. Тогда один и только один из элементов $\overline{\mathfrak{P}}_1$, $\overline{\mathfrak{P}}_2$, $\overline{\mathfrak{P}}_3$ принадлежит группе $\mathfrak D^0$. Доказательство. Пусть это не так, и ни один из элементов $\overline{\mathfrak{P}}_1$, $\overline{\mathfrak{P}}_2$, $\overline{\mathfrak{P}}_3$ не принадлежит $\mathfrak D^0$. Так как $p_i$ – первообразные корни по модулю $\ell^2$, выполняются сравнения $(p_i^{\ell-1}-1)/\ell\equiv 1,2\ (\operatorname{mod}\ell)$. Для $i=1,2,3$ мы положим $\widehat p_i=p_i$, если $(p_i^{\ell-1}-1)/\ell\equiv 1\ (\operatorname{mod}\ell)$ и $\widehat p_i=p_i^2$, если $(p_i^{\ell-1}-1)/\ell \equiv 2\ (\operatorname{mod}\ell)$.
Определим дивизоры $\widehat{\mathfrak P}_i$ так, чтобы выполнялось соотношение $\widehat{\mathfrak P}_i^\ell=(\widehat p_i)$. Тогда, согласно нашему предположению, ни один из дивизоров $\widehat{\mathfrak P}_i$ не является главным. Поскольку группа $\mathbb C$ содержит только два ненулевых элемента, имеются два различных индекса $i_1$ и $i_2$ такие, что $\mathfrak A:=\widehat{\mathfrak P}_{i_1}\widehat{\mathfrak P}_{i_2}^{-1}$ – главный дивизор. Пусть $\mathfrak A=(x)$, где $x\in K$. Тогда $\overline{\mathfrak{A}}\in\mathfrak D^0$ и в то же время $\overline{\mathfrak{A}}\in \widetilde{\mathfrak D}$ по построению. Как мы видели, группа $\widetilde{\mathfrak D}$ порождается элементами $\alpha:=(\sqrt[\ell]{a})$ и $\beta:=(\sqrt[\ell]{b})$. Следовательно, в $\mathfrak D$ должно выполняться равенство ${\mathfrak A}=\alpha^i\beta^j$. В силу следствия 4.2 дивизор $\beta$ не является главным, поэтому $j\equiv 0\ (\operatorname{mod}3)$, т. е. $\mathfrak A=\alpha^i$, но это невозможно, потому что $\alpha$ содержит все три дивизора $\mathfrak P_i$, а $\mathfrak A$ – только два. Если еще один дивизор, например, $\mathfrak P_j$ принадлежит группе $\mathfrak D^0$, то, поскольку $(\alpha)\in \mathfrak D^0$, мы получаем, что все три дивизора $\mathfrak P_i$, $i=1,2,3$, принадлежат $\mathfrak D^0$, что противоречит [2; предложение 6.8]. Теорема доказана. Следующее утверждение является обобщением следствия 4.1. Предложение 4.4. Пусть $\ell=3$, $K$ – поле типа 2.1 и $n$ – такой индекс, что для поля $K_n$ выполняется равенство $\operatorname{Cl}(K_n)_\ell=\operatorname{Cl}_S(K_n)_\ell$. Тогда в группе единиц $U(K_n)$ из того, что некоторая единица $u\in U(K_n)$ является $\ell$-й степенью в локальных полях $K_{n,v}$ для всех $v|\ell$, следует, что $u\in U(K_n)^\ell$. Пусть $F_n$ – максимальное абелево $\ell$-расширение поля $K_n$, неразветвленное вне $\ell$. Пусть $V_n$ – подгруппа группы $G(F_n/K_n)$, порожденная подгруппами инерции всех точек из $S$. Пусть $\mathbf D(K_\infty)$ имеет тот же смысл, что и в доказательстве предложения 3.1, и $\mathbf D(K_\infty)_n$ – образ естественного отображения $\mathbf D(K_\infty)\to V_n$. Тогда группа $V_n/\mathbf D(K_\infty)_n$ не имеет кручения над $\mathbb Z_\ell$. Доказательство. Пусть $L$ – неразветвленное расширение поля $K$ степени $\ell$ из следствия 4.2. Согласно этому следствию дивизор $\beta=(\sqrt[\ell]{b})$ не является главным в поле $K$. Заметим, что $\operatorname{Cl}_S(K_n)_\ell\cong (\mathbb Z/\ell^{n+1}\mathbb Z)^2$, поскольку согласно теореме 3.1 модуль $\overline T_\ell(K_\infty)$ либо бесконечен, либо конечен, и тогда должен содержать подгруппу $R_\ell(K_\infty)\cong (\mathbb Z/\ell\mathbb Z)^2$.
Пусть теперь $\mathscr L$ – максимальное абелево неразветвленное $\ell$-расширение поля $K_n$ такое, что в $\mathscr L/K_n$ вполне распадаются все точки над $\ell$, и группа Галуа $G(\mathscr L/K_n)$ имеет период $\ell$. Тогда согласно теории Куммера $\mathscr L=K_n(\sqrt[\ell]{a_1}, \dots,\sqrt[\ell]{a_t})$, причем элементы $a_i$ либо являются единицами, либо $(a_i)=\mathfrak A^\ell_i$ для некоторого неглавного дивизора $\mathfrak A_i$. Пусть $\mathscr L_1$ – максимальное подполе поля $\mathscr L$, которое можно получить извлечением корней из некоторых элементов группы $U(K_n)$. Тогда расширение $\mathscr L_1/\mathbb Q$ является расширением Галуа, причем группа $G(\mathscr L_1/K_n)$ является циклическим $H$-модулем, поскольку существует естественный эпиморфизм $T_\ell(K_\infty)\to G(\mathscr L_1/K_n)$ и $T_\ell(K_\infty)$ – циклический $H$-модуль согласно теореме 4.1 из [1]. С другой стороны, над $K_n$ существует неразветвленное $\ell$-расширение $L_n/K_n$, где $L_n=L\cdot K_n$ и $L$ – поле из следствия 3.2. Поле $L_n$ также является расширением Галуа поля $\mathbb Q$. Композит полей $\mathscr L_1$ и $L_n$ над $K_n$ имеет группу Галуа $G(\mathscr L_1/K_n)\oplus G(L_n/K_n)$, но, с другой стороны, $\mathscr L_1L_n/K_n$ – неразветвленное $\ell$-расширение, в котором вполне распадаются все точки из $S$. Поэтому должен существовать эпиморфизм $T_\ell(K_\infty)\to G(\mathscr L_1L_n/K_n)$, что невозможно, так как $H$-модуль $G(\mathscr L_1L_n/K_n)$ не циклический. Это означает, что $\mathscr L_1=K_n$, т. е. любая единица $u\in U(K_n)$, которая является $\ell$-й степенью в полях $K_{n,v}$ для всех $v|\ell$ является также и $\ell$-й степенью в поле $K_n$. Согласно теории полей классов элемент порядка $\ell$ в группе $V_n/\mathbf D(K_\infty)_n$ – это элемент $x\in \prod_{v|\ell}U(K_{v,n})$, $x\not\in \overline U(K_n)[\ell]$, такой, что $x^\ell\in \overline U(K_n)[\ell]$, но, как мы показали, таких элементов не существует. Предложение доказано. § 5. Некоторые примерыПример 5.1. $\ell=3$, $K=k(\sqrt[3]{550})$, $550=2\cdot 5\cdot 11$. Это поле уже рассматривалось в [2], где было показано, что оно относится к типу A1, т. е. простые делители $\mathfrak l_1$, $\mathfrak l_2$, $\mathfrak l_3$ дивизора $(3)$ порождают подгруппу порядка $\ell$ $\mathbb C_1=\mathbb C$ в $\ell$-группе классов $\operatorname{Cl}(K)_\ell$, которая совпадает с $\operatorname{Cl}(K)_\ell^H$. В нашем случае $\mathfrak P_1^3=(2)$, $\mathfrak P_2^3=(5)$ и $\mathfrak P_3^3=(11)$. Мы хотим выяснить, какой из дивизоров $\mathfrak P_i$ является главным в $\operatorname{Cl}(K)_\ell$. Положим $\mathcal K=\mathbb Q(\sqrt[3]{550})$. Как и в [2], рассмотрим два целых числа $\alpha,\beta\in \mathcal K$, где $\alpha=-4+\sqrt[3]{550}$ и $\beta=10-\sqrt[3]{550}$. Тогда $N_{\mathcal K/\mathbb Q}(\alpha)=486=2\cdot 3^5$ и $N_{\mathcal K/\mathbb Q}(\beta)= 450=2\cdot 5^2\cdot 3^2$. Отсюда следует, что $(\alpha)=\mathfrak{P}_1\mathfrak{A}_1$ и $(\beta)=\mathfrak{P}_1\mathfrak{P}_2^2\mathfrak{A}_2$, где $\mathfrak A_1$ и $\mathfrak A_2$ – некоторые произведения простых делителей $\ell$. Заметим, что любой простой делитель $\ell$ в поле $K$ имеет норму 3, и любые два такие делителя лежат в одном классе в $\operatorname{Cl}(K)_\ell$. В частности, это означает, что произведение любых трех из них является главным в $\operatorname{Cl}(K)_\ell$. Таким образом, $\mathfrak A_1\sim \mathfrak A_2$ (эквивалентность в группе $\operatorname{Cl}(K)_\ell$) и, следовательно, $\mathfrak P_2^2\sim 1$, т. е. $\mathfrak P_2$ представляет единичный элемент в группе $\operatorname{Cl}(K)_\ell$, что согласуется с теоремой 4.2. Пример 5.2. Пусть $\ell=3$ и $K=k(\sqrt[3]{460})$. Это поле также было рассмотрено в [2], где было показано, что оно относится к типу A1. Мы имеем $460=2^2\cdot 5\cdot 23$ и $\mathfrak{P}_1^3=(2)$, $\mathfrak{P}_2^3=(5)$, $\mathfrak{P}_3^3=(23)$. Рассмотрим в поле $\mathcal K=\mathbb Q(\sqrt[3]{460})$ целые числа $\alpha=-7+\sqrt[3]{460}$, $\beta=6+\sqrt[3]{460}$ и $\gamma=10-\sqrt[3]{460}$. Мы имеем $N_{\mathcal{K}/\mathbb Q}(\alpha)=117=3^2\cdot 13$, $N_{\mathcal{K}/\mathbb Q}(\beta)=676=2^2\cdot 13^2$ и $N_{\mathcal{K}/\mathbb Q}(\gamma)=540=2^2\cdot 5\cdot 3^3$. Рассуждая, как и в предыдущем примере, мы видим, что $(\gamma)=\mathfrak{P}_1^2\mathfrak{P}_2 \mathfrak{A}$, где $\mathfrak A$ – некоторое произведение простых делителей $\ell$, причем $\mathfrak A\sim 1$ в группе $\operatorname{Cl}(K)_\ell$, т. е. $\mathfrak{P}_1^2\mathfrak{P}_2\sim 1$. С другой стороны, $(\sqrt[3]{460})=\mathfrak{P}_1^2\mathfrak{P}_2\mathfrak{P}_3$. Следовательно, $\mathfrak P_3 \sim 1$, т. е. $\mathfrak P_3$ представляет единичный элемент в группе $\operatorname{Cl}(K)_\ell$. Пример 5.3. Пусть $\ell=3$ и $K=k(\sqrt[3]{1450})$, $1450=2\,{\cdot}\, 5^2\,{\cdot}\, 29$. Положим $\mathfrak{P}_1^3\,{=}\,(2)$, $\mathfrak{P}_2^3=(5)$, $\mathfrak{P}_3^3=(29)$. Положим $\mathcal K=\mathbb Q(\sqrt[3]{1450})$ и рассмотрим в $\mathcal K$ целые числа $\alpha=-10+\sqrt[3]{1450}$ и $\beta=2+\sqrt[3]{1450}$. Тогда $N_{\mathcal K/\mathbb Q}(\alpha)=450=2\cdot3^3\cdot 5^2$ и $N_{\mathcal K/\mathbb Q}(\beta)= 1458=2\cdot3^6$. Таким образом, $(\beta)=\mathfrak{P}_1\mathfrak{A}_1$, где $\mathfrak A_1$ состоит из делителей $(3)$ и $\mathfrak A_1\,{\sim}\, 1$ в $\operatorname{Cl}(K)_\ell$. Следовательно, и $\mathfrak P_1\sim 1$, что согласуется с теоремой 4.2. Так как $(\alpha)=\mathfrak{P}_1\mathfrak{P}_2^2\mathfrak{A}_2$, где $\mathfrak A_2$ – некоторое произведение делителей $(3)$, мы получаем, что $\mathfrak P_2$ принадлежит подгруппе $\mathbb C_1$ в $\operatorname{Cl}(K)_\ell$, порожденной делителями тройки, но поскольку $\mathfrak{P}_1\mathfrak{P}_2^2\mathfrak{P}_3=(\sqrt[3]{1450})\sim 1$, мы получаем, что и $\mathfrak P_3$ принадлежит этой же подгруппе. Это показывает, что $K$ относится к типу A1. Пример 5.4. Следующий пример существенно более сложен. Он показывает, что при $\ell=3$ существуют поля $K$ типа A2. Именно, мы покажем, что таковым является поле $K=k(\sqrt[3]{638})$, $638=2\cdot 11\cdot 29$. В этом примере мы будем рассматривать много различных простых дивизоров и поэтому будем обозначать простые делители дивизоров $(2)$, $(11)$ и $(29)$ через $\mathfrak P_2$, $\mathfrak P_{11}$ и $\mathfrak P_{29}$ соответственно. Рассмотрим в поле $\mathcal K=\mathbb Q(\sqrt[3]{638})$ целые элементы $\alpha=9-\sqrt[3]{638},\beta= -1+\sqrt[3]{638}$ и $\gamma=10+\sqrt[3]{638}$. Мы имеем $N_{\mathcal K/\mathbb Q}(\alpha)=91=7\cdot 13$, $N_{\mathcal K/\mathbb Q}(\beta)=637=7^2\cdot 13$ и $N_{\mathcal K/\mathbb Q}(\gamma)= 1638=2\cdot 3^2\cdot 7\cdot 13$. Легко видеть, что $(13)$ вполне распадается в $K/\mathbb Q$. Действительно, $13\equiv 1\ (\operatorname{mod}3)$, поэтому $(13)$ распадается в $k$. Так как $638\equiv 1\ (\operatorname{mod}13)$, мы получаем, что $(13)$ вполне распадается в $K/\mathbb Q$, и наша ближайшая цель – показать, что любой простой делитель дивизора $(13)$ определяет один и тот же элемент в группе $\operatorname{Cl}(K)_\ell$. Пусть $L=K(\sqrt[3]{44})$ и $F$ – $3$-гильбертово поле классов поля $K$. Тогда $K\subset L\subset F$, при этом $G(F/K)\cong (\mathbb Z/3\mathbb Z)^2$ и $[F:L]=3$, $[L:K]=3$. Оба поля $F$ и $L$ являются расширениями Галуа поля $\mathbb Q$, при этом группа $H$ действует тривиально на $G(L/K)$ и $G(F/L)$, причем $G(L/K)\cong \mathbb F_\ell(1)$, $G(F/L)\cong \mathbb F_\ell(0)$ как $G$-модули. Поскольку $44\equiv-8\ (\operatorname{mod}13)$, т. е. $44$ является кубом в поле $\mathbb Q_{13}$, мы видим, что $(13)$ вполне распадается в расширении $L/K$. Это означает, что для любого простого дивизора $\mathfrak p_{13}$, лежащего над $(13)$, соответствующий ему символ Артина $\psi(\mathfrak p_{13})$ определяет единичный элемент в $G(L/K)$ и, следовательно, принадлежит подгруппе $G(F/L)$. Если $\mathfrak p'_{13}$ – некоторый другой простой делитель дивизора $(13)$ в поле $K$, то $\psi(\mathfrak p_{13})$ и $\psi(\mathfrak p'_{13})$ – это элементы группы $G(F/L)$, сопряженные относительно действия некоторого элемента $g\ni G=G(K/\mathbb Q)$ такого, что $g(\mathfrak p_{13})=\mathfrak p'_{13}$, но группа $G$ действует тождественно на $G(F/L)$, поэтому $\psi(\mathfrak p_{13})=\psi(\mathfrak p'_{13})$, т. е. класс дивизора $\mathfrak p_{13}$ не зависит от выбора простого делителя $(13)$. Теперь мы выясним, что происходит с простыми делителями главного дивизора $(7)$ в поле $\mathcal K$. Поскольку $7\equiv1\ (\operatorname{mod}3)$ и $638\equiv 1\ (\operatorname{mod}7)$, мы получаем, что $(7)$ вполне распадается в поле $K$, а, следовательно, и в поле $\mathcal K$. Мы будем обозначать эти три простых делителя $(7)$ в поле $\mathcal K$ через $\mathfrak p_{7,1}$, $\mathfrak p_{7,2}$ и $\mathfrak p_{7,3}$. Чтобы различать их, мы будем считать, что $\mathfrak p_{7,1}$, $\mathfrak p_{7,2}$ и $\mathfrak p_{7,3}$ – это простые делители $(7)$, входящие в $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно. Поскольку $\alpha+\gamma=19$, $\alpha+\beta=8$ и $\gamma-\beta=11$, мы получаем, что $\mathfrak p_{7,1}\neq\mathfrak p_{7,3}$ и $\beta$ не делится ни на $\mathfrak p_{7,1}$, ни на $\mathfrak p_{7,3}$. Следовательно, в $(\beta)$ входит $\mathfrak p_{7,2}^2$, и $\mathfrak p_{7,2}$ отличен от $\mathfrak p_{7,1}$ и $\mathfrak p_{7,3}$. Так как $(\alpha)=\mathfrak p_{7,1}\mathfrak p_{13}\sim 1$ и $(\beta)=\mathfrak p^2_{7,2}\mathfrak p_{13}\sim 1$, мы получаем, что $\mathfrak p^2_{7,2}\sim \mathfrak p_{7,1}$, т. е. $\mathfrak p_{7,1}\mathfrak p_{7,2}\sim \mathfrak p^3_{7,2}\sim 1$, но $\mathfrak p_{7,1}\mathfrak p_{7,2}\mathfrak p_{7,3}=(7)\sim 1$, откуда следует, что $\mathfrak p_{7,3}\sim 1$. Рассмотрим теперь целое число $\delta=4+\sqrt{638}$ с нормой $N_{\mathcal K/\mathbb Q}(\delta)=702=2\cdot 3^3\cdot 13$. Поскольку $\mathfrak l^3\sim 1$ для любого простого делителя $(3)$, и все такие простые делители лежат в одном классе в $\operatorname{Cl}(K)_\ell$, мы получаем, что Рассмотрим целый главный (в группе $\operatorname{Cl}(K)_\ell$) дивизор $(\gamma)/\mathfrak p_{7,3}=\mathfrak P_2\mathfrak A\mathfrak p_{13}\sim 1$. Тогда из (5.1) следует, что $\mathfrak A\sim 1$ – целый дивизор, состоящий из делителей $\ell$ с нормой $3^2$. Рассматривая его как дивизор в $K$, мы видим, что $\mathfrak A$ состоит из простых делителей $\ell$ и имеет норму $3^4$. Поскольку произведение любых трех простых делителей $\ell$ является главным дивизором (в группе $\operatorname{Cl}(K)_\ell$), и любой простой делитель $\mathfrak l$ дивизора $(3)$ в $K$ имеет норму $3$, мы получаем, что в $K$ есть простой дивизор $\mathfrak l|(3)$ такой, что $\mathfrak l\sim 1$. Так как все простые делители $\ell$ сопряжены в $K$, условие $\mathfrak l\sim 1$ справедливо для любого из них. Таким образом, простые делители $(\ell)$ порождают тривиальную подгруппу в группе $\operatorname{Cl}(K)_\ell$, т. е. $K$ относится к типу A2.Рассмотрим теперь целое число $\varepsilon=11-\sqrt[3]{638}$. Тогда $N_{\mathcal K/\mathbb Q}(\varepsilon)=693=3^2\cdot7\cdot11$. Так как $\varepsilon+\gamma=21$, мы видим, что $(\varepsilon)$ делится на $\mathfrak p_{7,3}$, откуда следует, что $\mathfrak P_{11}\sim 1$, что согласуется с теоремой 4.2. Таким образом, мы доказали, что для поля $K=k(\sqrt[3]{638})$ порядок модуля $T_\ell(K_\infty)$ не ниже $3^2$. Применяя предложение 4.3, мы получаем, что $|T_\ell(K_\infty)|\geqslant 3^3$. В случае конечного модуля $T_\ell(K_\infty)$ из теоремы 3.1 следует, что $|\overline T_\ell(K_\infty)|\geqslant 3^5$. Тогда из теоремы 3.1 вытекает, что $|E'(K_\infty)|\geqslant 3^{10}$. § 6. Заключительные замечанияГруппа $E'(K_\infty)$ определена для любого поля алгебраических чисел $K$, абелева над $\ell$ и содержащего $\zeta_0$. В такой же общности определено и скалярное произведение (3.3). Поэтому есть все основания ожидать, что теорему 3.1 ( после надлежащей модификации формулировки) можно будет распространить и на эту более общую ситуацию. При тех предположениях, при которых мы доказываем теорему 3.1, по-видимому, можно доказать, что
$$
\begin{equation}
E'(K_\infty)/E'_2(K_\infty)\cong \operatorname{Char}\overline T_\ell(K_\infty).
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
В общем случае было бы желательно построить произведение (3.3) более прямым способом. Напомним, что его построение в [1] использовало довольно сложные конструкции работы [4]. В настоящей работе мы используем только следствия 3.1 и 3.2 из этой теоремы. В дальнейшем важную роль играет предложение 4.2. Довольно неожиданным оказался тот факт, что оно справедливо и в случае $\ell>3$. Теорема 3.1 дает интересную информацию о модуле $R_\ell(K_\infty)$ в случае конечного модуля $T_\ell(K_\infty)$, но, по существу, мы можем применять ее только в случае A1. Во всех остальных случаях нам ничего не известно о конечности модуля $T_\ell(K_\infty)$. Хотелось бы лучше понять теорему 4.2. Существует ли какой-либо ее аналог в случае $\ell>3$? Отметим также, что рассмотренные нами примеры показывают, что в случае $\ell=3$ поля вида A1 гораздо легче обнаруживать, чем поля вида A2, но наиболее вероятным представляется то, что и тех и других бесконечно много. Проверка этого предположения – интересный вопрос для дальнейшего исследования. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kuz21} |
|
||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|