| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Неравенства для среднего времени выхода случайного блуждания из интервала В. И. Лотовab a Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск b Новосибирский государственный университет
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9068 
Реферативные базы данных:
    § 1. Введение. Постановка задачиПусть $\{X_{n}\}$ – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, определенных на одном вероятностном пространстве, Для произвольных $a>0$, $b>0$ введем случайную величину $N$, равную моменту первого выхода блуждания ${S_{1}}, S_2, \dots$ из интервала $(-a,b)$:
$$
\begin{equation*}
N=N(a,b)=\inf\{n\geqslant1\colon S_{n}\notin(-a,b)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Полагаем $N=\infty$, если $S_n\in (-a,b)$ при всех $n$. Цель работы состоит в получении двусторонних неравенств для $\mathbf{E}N$. К исследованию характеристик случайных блужданий, связанных с моментом первого выхода из интервала, приводят многие приложения: известные задачи о разорении игрока, стохастические модели актуарной математики, теории хранения запасов, алгоритмы скорейшего обнаружения разладки, проверка статистических гипотез. В качестве весьма важного примера упомянем последовательный критерий отношения вероятностей (ПКОВ) А. Вальда [1]. Напомним кратко его содержание. Пусть последовательно наблюдаются независимые одинаково распределенные случайные величины $Y_1,Y_2,\dots$ с неизвестной функцией распределения $F$. Проверяются простые гипотезы $H_1\colon \{F=F_1\}$ против $H_2\colon \{F=F_2\}$. Предположим, что распределения $F_j$ обладают положительными плотностями $f_j$ относительно некоторой сигма-конечной меры $\mu$, $j=1,2$. Если положить то нетрудно видеть, что при таком задании последовательности $\{X_n\}$ имеет место $\mathbf{E}_1 X_n<0$, $\mathbf{E}_2 X_n>0$ (предполагается существование этих интегралов). К примеру, первое из этих соотношений следует из очевидного неравенства
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}_1 X_n=\int \log\frac{f_2}{f_1}f_1\, d\mu=\int \log\biggl(1+\frac{f_2}{f_1}-1\biggr)f_1\, d\mu<\int \biggl(\frac{f_2}{f_1}-1\biggr) f_1\, d\mu=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично выводится и второе соотношение. Везде индексы $1$ и $2$ соответствуют справедливости гипотез $H_1$ и $H_2$ соответственно. Таким образом, траектория случайного блуждания $\{S_n\}$ с вероятностью единица уходит на минус бесконечность, если верна гипотеза $H_1$, и на плюс бесконечность, если верна $H_2$. Это следует из усиленного закона больших чисел (см. также [2; гл. 12, следствие 2.6.]). По этой причине ПКОВ предписывает следующее решающее правило: при подходящих значениях чисел $a$ и $b$ гипотеза $H_1$ отвергается, если $S_N\geqslant b$; в противном случае, т. е. когда $S_N\leqslant -a$, гипотеза $H_1$ принимается. Это означает, кроме всего прочего, что количество наблюдений, необходимых для принятия решения, заранее не фиксируется, оно является случайной величиной. Наблюдения продолжаются до тех пор, пока траектория не вышла за пределы полосы. Введем вероятности принятия ошибочных решений для ПКОВ: $\varepsilon_1(a,b)=\mathbf{P}_1(S_N\geqslant b)$ (вероятность ошибки первого рода) и $\varepsilon_2(a,b)=\mathbf{P}_2(S_N\leqslant -a)$ (вероятность ошибки второго рода). ПКОВ, как известно, обладает следующим свойством оптимальности (см. [3]). Среди всех критериев для проверки простых гипотез (последовательных или нет), у которых вероятности принятия ошибочных решений не превосходят соответственно чисел $\varepsilon_1(a,b)$ и $\varepsilon_2(a,b)$, минимальное среднее число наблюдений, необходимых для принятия решения, обеспечивает именно ПКОВ. Разумеется, для того, чтобы пользоваться ПКОВ, нужно уметь по данным числам $a$ и $b$ вычислять вероятности принятия ошибочных решений, а также $\mathbf{E}_j N$, т. е. среднее число наблюдений, необходимых для принятия решения. Назовем это прямой задачей. Не менее важна и обратная задача: по заданным заранее малым значениям вероятностей ошибок $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ определить значения участвующих в построении ПКОВ чисел $a$ и $b$, обеспечивающих данные вероятности ошибок. Обе эти задачи весьма сложны и их решение в точном виде доступно только в некоторых частных ситуациях. Поэтому акцент в исследованиях переместился на построение аппроксимационных формул. Самые первые аппроксимации были предложены А. Вальдом [1]. Они просты и не зависят от рассматриваемых гипотез, однако при их получении происходит пренебрежение эффектом перескока случайным блужданием границ интервала, что влечет заметную потерю точности. Впоследствии аппроксимация для вероятностей ошибок критерия и $\mathbf{E}N$, учитывающая перескоки через границы полосы, была найдена в [4] для близких распределений $F_1$ и $F_2$, вкладывающихся в некоторое экспоненциальное семейство. Наиболее точные приближения для $\mathbf{E}N$ получены в [5] в условиях крамеровского типа для скачков случайных блужданий; результаты получены в виде асимптотических разложений при стремлении $a\to\infty$, $b\to\infty$. В этих же условиях в [6] получены асимптотические решения упомянутых прямой и обратной задач для вероятностей ошибок ПКОВ. В настоящей работе исследуются ситуации, когда $\mathbf{E}X_1<0$ и $\mathbf{E}X_1=0$. Интерес к последнему случаю, кроме всего прочего, также связан с использованием ПКОВ. А. Вальд в [1] ввел в рассмотрение понятие оперативной характеристики ПКОВ, в нашем случае это $\mathbf{P}(S_N\leqslant-a)$. Им предложено исследовать поведение этой характеристики и среднего числа наблюдений $\mathbf{E}N$ в предположении, что верна некоторая третья простая гипотеза, не исключающая случая $\mathbf{E}X_1=0$. Ясно, что любые асимптотические результаты неизбежно содержат остаточные члены. Обычно указывается порядок убывания этих остаточных членов, однако оценка их реальной величины требует дополнительных рассмотрений. В связи с этим естественным дополнением к имеющимся асимптотическим результатам является нахождение двусторонних неравенств для $\mathbf{E}N$. Отметим, что крайне желательно получить двусторонние оценки для $\mathbf{E}N$ в терминах характеристик распределений скачков блуждания, не прибегая к использованию числовых характеристик лестничных величин в связи с известными трудностями их нахождения. Кроме того, следует принимать во внимание эффект перескока через границы, поскольку это влияет на точность результатов. В теоремах 2 и 3 настоящей работы получены оценки сверху и снизу для $\mathbf{E}N$ при рассмотрении блужданий с нулевым сносом, а затем, в теоремах 5 и 7, — оценки сверху и снизу для $\mathbf{E}N$ при условии $\mathbf{E}X_1<0$. Теоремы 1, 4 и 6 установлены в других работах, их формулировки приведены в тексте для удобства чтения. § 2. Неравенства для $\mathbf{E}N$ при нулевом сносеИтак, пусть $X, X_1, X_2,\dots$ — произвольная последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин (не обязательно представимых в виде логарифма отношения правдоподобия). Для нахождения оценок сверху для $\mathbf{E}N$ в случае, когда $\mu_1:=\mathbf{E}X=0$, будем дополнительно предполагать существование второго момента $\mu_2:= \mathbf{E}X^2<\infty$ и использовать тождество Вальда (см. [7; гл. 4, лемма 3], а также [2; гл. 15, теорема 2.5]) Пусть $\tau$ — величина перескока траектории случайного блуждания через границу полосы, т. е.
$$
\begin{equation*}
\tau= \begin{cases} S_N+a, &\text{если }S_N\leqslant -a, \\ S_N-b, &\text{если }S_N\geqslant b. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbf{E}S_N^2&=\mathbf{E}\bigl((-a+\tau)^2;\,S_N\leqslant -a\bigr) +\mathbf{E}\bigl((b+\tau)^2;\,S_N\geqslant b\bigr) \nonumber \\ &=a^2\mathbf{P}(S_N\leqslant -a)+b^2\mathbf{P}(S_N\geqslant b)-2a\mathbf{E}(\tau;\,S_N\leqslant -a) \nonumber \\ &\qquad+2b\mathbf{E}(\tau;\,S_N\geqslant b) + \mathbf{E}(\tau^2;\,S_N\leqslant -a)+\mathbf{E}(\tau^2;\,S_N\geqslant b). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2}
$$
Здесь и далее принято обозначение вида $\mathbf{E}(Z; A)=\mathbf{E}ZI_A$, где $I_A$ означает индикатор события $A$. Существование момента $\mathbf{E}\tau^2$ обеспечивается условием $\mathbf{E}X^2<\infty$ (см. [8; теорема 3.1]). Будем оценивать каждое слагаемое в правой части (2). Обозначим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha(a,b)=\mathbf{P}(S_N\leqslant -a),\qquad \beta(a,b)=1-\alpha(a,b)=\mathbf{P}(S_N\geqslant b), \\ \begin{alignedat}{2} \eta_+&=\min\{n\geqslant 1\colon S_n\geqslant b\},&\qquad \chi_+&=S_{\eta_+}-b, \\ \eta_-&=\min\{n\geqslant 1\colon S_n\leqslant -a\},&\qquad \chi_-&=S_{\eta_-}+a, \end{alignedat} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
тогда
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}(\tau^k;\,S_N\geqslant b)=\mathbf{E}(\chi_+^k;\,S_N\geqslant b)=\mathbf{E}\chi_+^k I_{\{S_N\geqslant b\}},\qquad k\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
и по неравенству Коши–Буняковского
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}(\tau^k;\,S_N\geqslant b)\leqslant\sqrt{\mathbf{E}(I_{\{S_N\geqslant b\}})^{2k}\mathbf{E} \chi_+^{2k}}= \sqrt{\beta(a,b)\mathbf{E}\chi_+^{2k}},
\end{equation*}
\notag
$$
и аналогично
$$
\begin{equation}
\mathbf{E}(|\tau|^k;\,S_N\leqslant -a)\leqslant \sqrt{\alpha(a,b)\mathbf{E} |\chi_-|^{2k}}.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Заметим попутно, что вместо неравенства Коши–Буняковского здесь можно также воспользоваться неравенством Гёльдера. Это позволит ослабить последующие моментные ограничения на случайные величины $\chi_{\pm}$. Таким образом, нам потребуются оценки для моментов случайных величин $\chi_+$, $|\chi_-|$ и для вероятностей $\alpha(a,b)$ и $\beta(a,b)$. Для оценки сверху моментов случайных величин $\chi_+$, $|\chi_-|$ воспользуемся следующим результатом А. А. Могульского [9; теорема 2]. Пусть $\mathbf{E}X\geqslant0$, тогда равномерно по $a$ и $b$ при любом $k\geqslant 1$ имеет место
$$
\begin{equation}
\mathbf{E}\chi_+^k\leqslant C_k:=C\,\frac{k+2}{k+1}\cdot\frac{\mathbf{E} |X|^{k+2}}{\mathbf{E}X^2}, \qquad \mathbf{E}|\chi_-|^k\leqslant C_k,
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $C$ – абсолютная константа, $C\leqslant 2$. Для оценивания $\alpha(a,b)$ и $\beta(a,b)$ воспользуемся результатами [10]. Приведем их содержание. Легко видеть, что
$$
\begin{equation*}
\{S_N\geqslant b\}=\bigcup_{k=1}^\infty A_k \quad \text{и} \quad \{S_N\leqslant -a\} =\bigcup_{k=1}^\infty \,B_k,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A_1=\{X_1\geqslant b\},\quad A_2=\{-a<X_1<b,\,X_1+X_2\geqslant b\},\quad \dots, \\ B_1=\{X_1\leqslant -a\},\quad B_2=\{-a<X_1<b,\,X_1+X_2\leqslant -a\},\quad \dots\,. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, при любых $j\geqslant 1$ и $n\geqslant 1$,
$$
\begin{equation}
\mathbf{E}\bigl((S_N - b)^j;\, S_N \geqslant b\bigr)=\sum_{k=1}^{\infty}\mathbf{E} \bigl((S_k-b)^j;\, A_k\bigr)\geqslant m_+^{(j)}(n):=\sum_{k=1}^n\mathbf{E}\bigl((S_k-b)^j;\, A_k\bigr),
\end{equation}
\tag{5}
$$
$$
\begin{equation}
\mathbf{E}\bigl(|S_N +a|^j;\, S_N \leqslant -a\bigr)\,{=}\sum_{k=1}^{\infty}\mathbf{E} \bigl(|S_k+a|^j;\, B_k\bigr)\geqslant m_-^{(j)}(n):=\sum_{k=1}^n\mathbf{E} \bigl(|S_k+a|^j;\, B_k\bigr).
\end{equation}
\tag{6}
$$
В частности,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, m_+^{(j)}(1)&= \int_{[b,\infty)}(y-b)^j\,\mathbf{P}(X_1\in dy), \\ m_+^{(j)}(2) &=m_+^{(j)}(1)+\int_{(-a,b)}\int_{[b,\infty)}(y-b)^j\, \mathbf{P}(z+X_2\in dy)\, \mathbf{P}(X_1\in dz), \\ m_-^{(j)}(1)&=\int_{(-\infty,-a]}|y+a|^j\, \mathbf{P}(X_1\in dy), \\ m_-^{(j)}(2) &=m_-^{(j)}(1)+\int_{(-a,b)}\int_{(-\infty,-a]}|y+a|^j \, \mathbf{P}(z+X_2\in dy)\, \mathbf{P}(X_1\in dz), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и так далее. Заметим, что для выполнения соотношений (5), (6) не требуется никаких дополнительных условий. Теорема 1 (см. [10]). Предположим, что $\mathbf{E}X = 0$ и $\mathbf{E}|X|^3 < \infty$. Тогда при каждом $n\geqslant 1$ Отсюда сразу же выводим для каждого $n\geqslant 1$
$$
\begin{equation}
\frac{b - C_1+m_+^{(1)}(n)}{a+b}\leqslant\alpha(a,b)=1-\beta(a,b)\leqslant \frac{b + C_1-m_-^{(1)}(n)}{a+b}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Обозначим правые части (7) и (8) через $K_2(n)$ и $K_1(n)$ соответственно, т. е.
$$
\begin{equation}
K_1(n):= \frac{b + C_1-m_-^{(1)}(n)}{a+b},\qquad K_2(n):=\frac{a + C_1-m_+^{(1)}(n)}{a + b}.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Теперь мы можем выписать оценку сверху для правой части (2), пользуясь оценками (4), (7) и (8). При этом потребуется предположить, что $\mathbf{E}X^4<\infty$, откуда будет следовать $\mathbf{E}\chi_{\pm}^4<\infty$. В итоге получаем следующее утверждение. Теорема 2. Предположим, что $\mathbf{E}X = 0$ и $\mathbf{E}X^6 < \infty$. Тогда при каждом $n\geqslant 1$ Перейдем теперь к нахождению оценок снизу для $\mathbf{E}N$. Обозначим приведенные выше оценки снизу для $\alpha(a,b)$ и $\beta(a,b)$ через $k_1(n)$ и $k_2(n)$ соответственно, т. е.
$$
\begin{equation*}
k_1(n):= \frac{b - C_1+m_+^{(1)}(n)}{a+b},\qquad k_2(n):=\frac{a - C_1+m_-^{(1)}(n)}{a+b}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя эти оценки снизу для $\alpha(a,b)$ и $\beta(a,b)$, а также оценки (5), (6) к слагаемым в правой части (2), приходим к следующему утверждению.
§ 3. Неравенства для $\mathbf{E}N$, если $\mathbf{E}X<0$Предположим теперь, что $\mu_1=\mathbf{E}X<0$, и вновь воспользуемся тождеством Вальда:
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}S_N=\mu_1\,\mathbf{E}N=\mathbf{E}(-a+\tau;\,S_N\leqslant -a)+\mathbf{E}(b+\tau;\,S_N\geqslant b),
\end{equation*}
\notag
$$
или, по-другому,
$$
\begin{equation}
|\mu_1|\,\mathbf{E}N=a-(a+b)\, \mathbf{P}(S_N\geqslant b)+\mathbf{E}(|\tau|;\,S_N\leqslant -a)-\mathbf{E}(\tau;\,S_N\geqslant b).
\end{equation}
\tag{10}
$$
Отсюда видно, что для оценивания $\mathbf{E}N$ сверху достаточно получить оценки снизу для $\beta(a,b)\,{=}\,\mathbf{P}(S_N\,{\geqslant}\, b)$, $\mathbf{E}(\tau;\,S_N\,{\geqslant}\, b)$ и оценку сверху для $\mathbf{E}(|\tau|;\,S_N\,{\leqslant}\,{-}a)$. Начнем с $\beta(a,b)$. Для этого воспользуемся следующим результатом из [11]. Пусть В [11] отмечено, что вероятность $\beta(a,b)$ не изменится, если вместо последовательности случайных величин $\{X_n,\, n\geqslant 1\}$ рассмотреть последовательность независимых случайных величин $\{X_n',\, n\geqslant 1\}$, элементы которой одинаково распределены с $X'$. Ясно, что $\varphi(\lambda):=\mathbf{E}e^{\lambda X'}<\infty$ при любом $\lambda>0$, эта функция выпукла вниз и $\mathbf{E}X'\leqslant\mathbf{E}X<0$. Поэтому существует единственное число $\mu>0$ такое, что $\varphi(\mu)=1$. Положим
$$
\begin{equation*}
r^{-1}=\sup_{0<t<a+b}\mathbf{E}\bigl(e^{\mu(X'-t)}\bigm| X'>t\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $r\leqslant 1$, поскольку
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}\bigl(e^{\mu(X'-t)}\bigm| X'>t\bigr)=\frac{\int_{(t,\infty)}e^{\mu x}\, d\mathbf{P}(X'<x)}{e^{\mu t}\, \mathbf{P}(X'>t)}\geqslant \frac{\int_{(t,\infty)}e^{\mu t}\, d\mathbf{P}(X'<x)}{e^{\mu t}\, \mathbf{P}(X'>t)}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 4 (см. [11]). Пусть $\mathbf{E}X<0$, тогда Из (11) немедленно следует
$$
\begin{equation}
\alpha(a,b)=1-\beta(a,b)\leqslant 1-\frac{re^{-\mu b} - e^{-\mu (a+b)}}{1 - re^{-\mu (a+b)}} =\frac{1 - re^{-\mu b}+(1-r) e^{-\mu (a+b)}}{1 - re^{-\mu (a+b)}}=:L_1.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Оценку снизу для $\mathbf{E}(\tau;\,S_N\geqslant b)$ обеспечивает неравенство (5): при любом $n\geqslant 1$
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}(\tau; S_N \geqslant b)\geqslant m_+^{(1)}(n).
\end{equation*}
\notag
$$
Вновь воспользуемся неравенством (3), в силу которого
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}(|\tau|;\,S_N\leqslant -a)\leqslant\sqrt{\alpha(a,b)\, \mathbf{E}|\chi_-|^2}\leqslant\sqrt{L_1\, \mathbf{E}|\chi_-|^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для оценки $\mathbf{E}|\chi_-|^2$ применим неравенство Лордена [12], которое в нашем случае утверждает следующее. Если $\mathbf{E}(X^-)^3 < \infty$, где $X^{-} = \max{\{-X, 0\}}$, то
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}|\chi_-|^2 \leqslant d:=\frac{4}{3}\,\frac{\mathbf{E}(X^-)^3}{|\mathbf{E}X|}
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $a<0$. Таким образом,
$$
\begin{equation}
\mathbf{E}(|\tau|;\,S_N\leqslant -a)\leqslant\sqrt{L_1 d}.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Собирая неравенства (11)–(13) в соответствии с (10), получаем следующее утверждение. Замечание 1. Неравенство (11) получено в [11] для случайных блужданий без предположения о существовании экспоненциального момента распределения скачков. В связи с этим и вводились “срезанные” случайные величины $X_n'$, распределения которых уже удовлетворяли правостороннему условию Крамера, и это существенно использовалось в доказательствах. Если же с самого начала случайные величины $X_n$ удовлетворяют условию Замечание 2. Пусть $S=\sup_{n\geqslant 0}S_n$. Вывод оценки (11) в [11] основывается на двусторонних неравенствах Замечание 3. Для частного случая, когда Перейдем теперь к оцениванию $\mathbf{E}N$ снизу, если $\mathbf{E}X<0$. В соответствии с формулой (10) нам потребуются оценки сверху для $\beta(a,b)$ и $\mathbf{E}(\tau;\,S_N\geqslant b)$, а также оценка снизу для $\mathbf{E}(|\tau|;\,S_N\leqslant -a)$. Последняя уже имеется: в силу (6) при любом $n\geqslant 1$ выполняется $\mathbf{E}(|\tau|;\,S_N\leqslant -a)\geqslant m_-^{(1)}(n)$. Перейдем к оцениванию сверху $\mathbf{E}(\tau;\,S_N\geqslant b)$. Предположим, что выполнено условие (14), и воспользуемся упомянутым выше неравенством
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(S\geqslant x)\leqslant e^{-\mu x},\qquad x>0,
\end{equation*}
\notag
$$
где число $\mu>0$ определяется из условия $\psi(\mu) = 1$. Отсюда следует
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{E}(S_N-b;\,S_N\geqslant b)&=\int_{0}^\infty\mathbf{P}(S_N\geqslant b+x;\,S_N\geqslant b)\,dx =\int_{0}^\infty\mathbf{P}(S_N\geqslant b+x)\,dx \\ &\leqslant \int_{0}^\infty\mathbf{P}(S\geqslant b+x)\,dx\leqslant\int_{0}^\infty\,e^{-\mu (b+x)}\,dx=\frac{e^{-\mu b}}{\mu}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что если дополнительно известно, что $\mathbf{P}(X\leqslant c)=1$ для некоторого $c>0$, то будет также верна тривиальная оценка
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}(\tau;\,S_N\geqslant b)\leqslant c \mathbf{P}(S_N\geqslant b)=c\beta(a,b).
\end{equation*}
\notag
$$
Наряду с (11) в [11] получена также оценка сверху для $\beta(a,b)$ без предположения о существовании экспоненциального момента у случайной величины $X$. Поскольку для получения оценки для $\mathbf{E}(\tau;\,S_N\geqslant b)$ нам уже потребовалось условие (14), то оценку сверху для $\beta(a,b)$ из [11] мы переформулируем с учетом этого обстоятельства. Теорема 6 (см. [11]). Пусть $\mathbf{E}X\,{<}\,0$, $\mathbf{E}(X^-)^2\,{<}\,\infty$ и выполнено условие (14). Тогда Применяя полученные оценки снизу к слагаемым в правой части (10), приходим к следующему утверждению. Теорема 7. Пусть $\mathbf{E}X<0$, $\mathbf{E}X^2<\infty$ и выполнено условие (14). Тогда для любого $n\geqslant 1$ имеет место неравенство Если, кроме того, $\mathbf{P}(X\leqslant c)=1$ для некоторого $c>0$, то будет выполнено также неравенство
$$
\begin{equation*}
|\mu_1|\, \mathbf{E}N\geqslant a-(a+b+c)L_3+m_-^{(1)}(n).
\end{equation*}
\notag
$$
Соответствующие утверждения для случая $\mathbf{E}X>0$ могут быть получены симметричными рассуждениями. Некоторая оценка сверху для $\mathbf{E}N$ в условиях $\mathbf{E}X<0$ и $\mathbf{E}(X^+)^2 < \infty$ присутствует и в [12], однако в ней не приводятся какие-либо неравенства для вероятностей $\alpha(a,b)$, $\beta(a,b)$, и не учитывается величина перескока случайного блуждания через нижнюю границу интервала. В заключение вернемся к последовательному критерию отношения вероятностей. Пусть случайные величины $X_n$ задаются по формуле (1) и верна гипотеза $H_1$. Тогда $\mathbf{E}_1 X_1<0$, $\mathbf{E}_1 e^{\lambda X_1}<\infty$ при $0\leqslant\lambda\leqslant 1$, и $\mu=1$. Величина $r$ вычисляется в соответствии с формулой (15). Здесь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_t &:=\mathbf{E}_1(e^{\mu(X_1-t)}\mid X_1\,{>}\,t)\,{=}\,\frac{\mathbf{E}_1\bigl(\exp(\log (f_2(Y_1)/f_1(Y_1)));\, \log (f_2(Y_1)/f_1(Y_1))\,{>}\,t\bigr)}{e^t\,\mathbf{P}_1(\log (f_2(Y_1)/f_1(Y_1))>t)} \\ &=\dfrac{\int_{\log(f_2(y)/f_1(y))>t} f_2(y)\,dy}{e^t\,\mathbf{P}_1(\log (f_2(Y_1)/f_1(Y_1))>t)}=\frac{\mathbf{P}_2(\log(f_2(Y_1)/f_1(Y_1))>t)}{e^t\, \mathbf{P}_1(\log(f_2(Y_1)/f_1(Y_1))>t)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть, к примеру, $f_j(y)=(2\pi)^{-1/2}\exp((y-\theta_j)^2/2)$, $\theta=\theta_2-\theta_1>0$. Тогда
$$
\begin{equation*}
X_1=\log\frac{f_2(Y_1)}{f_1(Y_1)}=(\theta_2-\theta_1)Y_1-\frac{\theta_2^2-\theta_1^2}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно вычислить, что
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}_1(X_1>t)=\Phi\biggl(\frac{t}{\theta}+\frac{\theta}2\biggr),\qquad \mathbf{P}_2(X_1>t)= \Phi\biggl(\frac{t}{\theta}-\frac{\theta}2\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Phi(y)=\mathbf{P}(Y>y)$ и случайная величина $Y$ имеет стандартное нормальное распределение. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
r^{-1}=\sup_{t>0}D_t=\sup_{t>0}\frac{\Phi(t/\theta-\theta/2)}{e^t\Phi(t/\theta+\theta/2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Компьютерное моделирование показывает, что функция $D_t$ убывает по $t$ и, следовательно, верхняя грань здесь достигается в нуле, хотя обосновать этот факт аналитически пока не удается. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Lot21} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|