| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О многограннике Ньютона якобиевой пары Л. Г. Макар-Лимановab a Wayne State University, Department of Mathematics, Detroit, MI, USA b Faculty of Mathematics and Computer Science, Weizmann Institute of Science, Rehovot, Israel
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9067 
Реферативные базы данных:
    Памяти Анатолия Георгиевича Витушкина, одного из героев гипотезы якобиана § 1. ВведениеПредположим, что многочлены $f,g \in \mathbb{C}[x,y]$ (где $\mathbb{C}$ – поле комплексных чисел) удовлетворяют условию
$$
\begin{equation*}
\operatorname{J}(f, g)=\frac{\partial f}{\partial x}\, \frac{\partial g}{\partial y}-\frac{\partial f}{\partial y}\, \frac{\partial g}{\partial x} =1
\end{equation*}
\notag
$$
и являются контрпримером к JC (гипотезе якобиана, утверждающей, что $\mathbb{C}[f,g]=\mathbb{C}[x,y]$, см. [1]). Уже много лет известно, что тогда существует автоморфизм $\xi$ алгебры $\mathbb{C}[x,y]$ такой, что многоугольник Ньютона $\mathcal{N}(\xi(f))$ многочлена $\xi(f)$ содержит вершину $v=(m,n)$, где $n>m>0$, и принадлежит трапеции с вершиной $v$, ребрами параллельными оси $y$ и биссектрисе первого квадранта с вершиной $v$, и двумя ребрами, принадлежащими осям координат (см. [2]–[15]). Совсем недавно Пьерет Кассу-Ногу улучшила этот результат, показав, что $\mathcal{N}(f)$ не имеет ребра, параллельного биссектрисе (см. [16] и [17]). Поэтому ниже мы предполагаем, что $\mathcal{N}(f)$ содержится в такой трапеции с ведущей вершиной $(m,n)$. Мы также можем предположить, что $\mathcal{N}(f)$ и $\mathcal{N}(g)$ содержат начало координат в качестве вершины и подобны (простое следствие соотношения $\operatorname{J}(f,g)=1$), что коэффициенты при ведущих вершинах $f$ и $g$ равны $1$ (это может быть достигнуто заменой $x$, $y$ и $f$, $g$ на многочлены, пропорциональные им), что $\deg_y(g)> \deg_y(f)$ и что $\deg_y(f)$ не делит $\deg_y(g)$ (иначе мы можем заменить пару $f,g$ на “меньшую” пару $f,g-cf^k$). Это ограничения на $\mathcal{N}(f)$, известные в настоящее время, и неясно, что еще можно сделать, работая только с $\mathcal{N}(f)$. Чтобы продолжить это направление исследований, мы рассмотрим неприводимую алгебраическую зависимость $x$, $f$, $g$ и исследуем многогранник Ньютона этой зависимости. § 2. Алгебраическая зависимость $x$, $f$ и $g$Мы можем рассматривать $f$, $g$ как многочлены от одной переменной $y$ над $\mathbb{C}(x)$. Хорошо известно, что два многочлена от одной переменной над полем $K$ алгебраически зависимы над $K$ (см. [18]). Следовательно, $f$ и $g$ алгебраически зависимы над $\mathbb{C}(x)$. Выберем зависимость $P(F, G)=P(x, F, G)\in\mathbb{C}(x)[F, G]$ (т. е. $P(x, f, g)=0$) такую, что $\deg_G(P)$ минимально возможная и, следовательно, многочлен $P$ неприводим как элемент $\mathbb{C}(x)[F, G]$ с коэффициентами в $\mathbb{C} [x]$ (поскольку мы можем умножить зависимость на наименьший общий знаменатель коэффициентов), и предположим, что эти полиномиальные коэффициенты не имеют общего делителя. § 3. Связь между $G$ и $y$Пусть $G$ – это алгебраическая функция от $x$ и $F$, заданная соотношением $P(x, F, G)=0$, а $y$ – это алгебраическая функция от $x$ и $F$, заданная соотношением $F-f(x, y)=0$. Лемма 1. $y \in \mathbb{C}(x, f, g)$ и $y \in \mathbb{C}(f(c, y), g(c, y))$ для любого $c \in \mathbb{C}$. Доказательство. По теореме Люрота $\mathbb{C}(f(c, y), g(c, y))=\mathbb{C}(r(y))$, где $r$ – рациональная функция (см. [18]). Мы можем заменить $r$ его линейно дробным преобразованием и предположить, что $r=p_1(y)/p_2(y)$, где $p_1,p_2 \in \mathbb{C} [y]$ и $\deg(p_1)>\deg(p_2)$. Без ограничения общности можно считать, что $p_1,p_2$ – взаимно простые многочлены. Значит $f(c, y)={F_1(r)}/{F_2(r)}$ для некоторых многочленов $F_1$, $F_2$, где $d_1=\deg(F_1)> d_2=\deg(F_2)$ и Следовательно, $p_2=1$ и $r$ – многочлен. Поскольку $1=\operatorname{J}(f, g)|_{x=c} \in r'(y)\mathbb{C} [y]$, многочлен $r'(y) \in \mathbb{C}$. Таким образом, $y \in \mathbb{C}(f(c, y), g(c, y))$ и $y \in \mathbb{C}(x, f, g)$. Так как $x$, $f$ и $g$ алгебраически зависимы, мы можем представить $y$ как многочлен от $g$ (с коэффициентами из $\mathbb{C}(x, f)$). Лемма доказана. Замечание. Легко доказать, что $y \in \mathbb{C}(x, f, g)$, используя только условие якобиана. Действительно, $\partial f/\partial y=P_g/P_x$, $\partial g/\partial y=-P_f/P_x$, поскольку $P(x, f, g)=0$, следовательно, $\partial/\partial y$ действует на $\mathbb{C}(x, f, g)$, но это не означает, что $y \in \mathbb{C}(f(c, y), g(c, y))$ для всех $c \in \mathbb {C}$. Между корнями $y_i$ элемента $f(x, y)-F$ и $G_i$ элемента $P(x, F, G)$ существует взаимно однозначное соответствие в любом расширении $\mathbb{C}(x, F)$, которое содержит эти корни. Действительно, $G_i=g(x, y_i)$ и $y_i=R(G_i)$, где $y=R(G)\in \mathbb{C}(x, F)[G]$. § 4. Многогранник Ньютона многочленаПусть $p \in \mathbb{C} [x_1, \dots, x_n]$ – многочлен от $n$ переменных. Представим каждый моном $p$ точкой решетки в $n$-мерном пространстве с координатным вектором равным вектору степени этого монома. Выпуклая оболочка $\mathcal{N}(p)$ этих точек называется многогранником Ньютона многочлена $p$. В двумерном и трехмерном случаях мы будем называть $\mathcal{N}(p)$ многоугольником Ньютона и многогранником Ньютона соответственно. § 5. Весовые степенные функцииОпределим функцию $\deg_w(p)$ на $\mathbb{C} [x_1, \dots, x_n]$ следующим образом. Сначала возьмем веса $w(x_i)=\alpha_i$, где $\alpha_i \in \mathbb{R}$ (действительные числа) и положим $w(x_1^{j_1} \cdots x_n^{j_n})=\sum_i \alpha_ij_i$. Для $p \in \mathbb{C} [x_1, \dots, x_n]$ назовем носителем $\operatorname{supp}(p)$ набор всех одночленов, входящих в $p$ с ненулевыми коэффициентами. Положим $\deg_w(p)=\max(w(\mu)|\mu \in \operatorname{supp}(p))$. Многочлен $p$ может быть записан как $p=\sum p_i$, где $p_i$ – формы, однородные относительно $\deg_w$. Старшая форма $p_w$ многочлена $p$ относительно $\deg_w$ – это форма максимального веса этого представления. Для ненулевой весовой степенной функции мономы, входящие в носитель старшей формы $p$, соответствуют точкам грани $\Phi$ многогранника $\mathcal{N}(p)$, и если коразмерность $\Phi$ равна $i$, существует конус размерности $i$ весовых степенных функций, соответствующих $\Phi$. Старшие формы, соответствующие этим весам, совпадают, и мы будем использовать $p(\Phi)$ для их обозначения. Соответствие между гранями и весовыми степенными функциями взаимно однозначно для граней коразмерности $1$, если мы потребуем, чтобы числа $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ были взаимно простыми целыми числами. Мы иногда будем ссылаться на эти функции как функции, соответствующие этой грани. § 6. Корни $F=f(x, y)$Ньютон ввел многоугольник, который мы называем многоугольником Ньютона, чтобы найти решение $y$ уравнения $p(x, y)=0$ в терминах $x$ (см. [19]). Вот процесс получения такого решения. Рассмотрим ребро $e$ многоугольника $\mathcal{N}(p)$, не параллельное оси $x$, и вес, соответствующий $e$. Старшая форма $p(e)$ позволяет определить первое слагаемое решения следующим образом. Рассмотрим уравнение $p(e)=0$. Поскольку $p(e)$ – однородная форма и $\alpha=w(x)\neq 0$, решениями этого уравнения являются $y=c_i x^{\beta/\alpha}$, где $\beta=w(y)$ и $c_i \in \mathbb{C}$. Выберем любое решение $c_i x^{\beta/\alpha}$ и заменим $p(x, y)$ на $p_1(x, y)=p(x, c_ix^{\beta/\alpha}+y)$. Хотя $p_1$ не обязательно является многочленом от $x$, можно определить многоугольник Ньютона $p_1$ так же, как это было сделано для многочленов; единственное различие состоит в том, что $\operatorname{supp}(p_1)$ может содержать одночлены $x^\mu y^\nu$, где $\mu \in \mathbb{Q}$, а не $\mathbb{Z}$. В дальнейшем мы будем использовать такие многоугольники и многогранники Ньютона. Многоугольник $\mathcal{N}(p_1)$ содержит степенную вершину $v$ ребрa $e$, т. е. вершину с $y$ координатой, равной степени $\deg_y(p_w)$ многочлена $p_w$ по $y$, и ребро $e'$, которое является модификацией $e$ ($e'$ может выродиться в вершину $v$). Возьмем порядковую вершину $v_1$ ребрa $e'$, т. е. вершину с $y$ координатой, равной порядку $\operatorname{ord}_y(p_w)$ многочлена $p_w$ по $y$ ($v_1=v$ если $e'= v$). Используя ребро $e_1$, для которого $v_1$ является степенной вершиной, мы можем определить следующее слагаемое, и так далее. После, вообще говоря, счетного числа шагов мы получим вершину $v_\mu$ и ребро $e_\mu$, для которого $v_\mu$ не является степенной вершиной, т. е. либо ребро $e_\mu$ горизонтально, либо степенная вершина $e_\mu$ имеет б\’ольшую координату по $y$, чем координата по $y$ вершины $v_\mu$. Это возможно только, если $\mathcal{N}(p_\mu)$ не имеет вершин на оси $x$. Следовательно, $p_\mu(x, 0)=0$ и решение получено. Когда характеристика равна нулю, процесс построения решения не так сложен, как может показаться из этого описания. Знаменатели дробных степеней $x$ (если знаменатели и числители этих рациональных чисел взаимно просты) не превосходят $\deg_y(p)$. Действительно, для любого начального веса существует не более $\deg_y(p)$ решений, а слагаемое $cx^{M/N}$ можно заменить на $c \varepsilon^Mx^{M/N}$, где $\varepsilon^{N}=1$, что дает не менее $N$ разных решений. Если $\deg_y(p)=n$ и требуется получить все $n$ решений, мы должны начать с правильно выбранного ребра. Рассмотрим $p_w$, где $w(x)=0$, $w(y)=1$. Эта старшая форма соответствует горизонтальному ребру с “левой” и “правой” вершинами $v_l$ и $v_r$ или вершине $v$ в случае $v_l=v_r$. Если мы выберем $e$ со степенной вершиной $v_r$, то получим $n$ решений по убывающим степеням $x$, а если мы выберем $e$ со степенной вершиной $v_l$, то получим $n$ решений по возрастающим степеням $x$. Когда $v_l=v_r=v$, выбор “правого” ребра, содержащего $v$, даст $n$ решений по убывающим степеням $x$, а выбор “левого” ребра, содержащего $v$, даст $n$ решений по возрастающим степеням $x$. Мы можем применить подход Ньютона к поиску решений для $F-f(x, y)=0$ в соответствующем расширении $\mathbb{C}(x, F)$. Для этого надо подобрать веса $w(x)$, $w(F)$, $w(y)$ так, чтобы соответствующая грань (возможно, ребро) многогранника $\mathcal{N}(F-f(x, y))$ содержала ведущую вершину $(m, n)$ многоугольника $\mathcal{N}(f(x, y))$ и действовать, как было описано выше. Конечно, в этом случае процесс намного труднее “увидеть”, но его можно сделать двумерным, если веса $\alpha=w(x)$, $\rho=w(F)$ соизмеримы. Например, если $w(x)=0$, можно заменить $\mathbb{C}$ алгебраическим замыканием $K$ поля $\mathbb{C}(x)$ и проделать вычисления над $K$. Если $w(x)\neq 0$ в качестве $K$ можно взять алгебраическое замыкание поля $\mathbb{C}(z)$, где $z=x^{-\rho/\alpha} F$, положить $x=t^{d_1}$, $F=zt^{-d_2}$, где $d_1,d_2 \in \mathbb{Z}$ такие, что $-d_1/d_2=\alpha/\rho$, и рассматривать $F-f(x, y)=zt^{-d_2}-f(t^{d_1}, y)$ как многочлен от $y$, $t$, $t^{- 1}$ над $K$. § 7. Многогранник Ньютона $\mathcal{N}(P)$В этом параграфе мы найдем некоторые ограничения на $\mathcal{N}(P)$. Обратите внимание на то, что $\deg_y(g^{\deg_y(f)}-f^{\deg_y(g)})<\deg_y(f)\deg_y(g)$ из-за формы $\mathcal{N}(f)$ и $\mathcal{N}(g)$. Известно, что старшая форма $P(x, F, G)$ относительно веса $w(x)=0$, $w(F)=\deg_y(f)$, $w(G)=\deg_y(g)$ равна $p_0(x)(G^{a_0}-F^{b_0})^{\nu}$, где $a_0/b_0=\deg_y(f)/\deg_y(g)$, $(a_0, b_0)=1$ и $b_0\nu=\deg_F(P)$, $a_0 \nu=\deg_G(P)$ (см. [20]–[22]). Из леммы 1 следует, что $\deg_G(P)=[\mathbb{C}(x, f, g): \mathbb{C}(x, f)]= [\mathbb {C}(x , y): \mathbb{C}(x, f)] = \deg_y(f)$ и что $\deg_G(P_{\lambda})=\deg_y(f(\lambda, y))$, где $P_{\lambda}$ – неприводимая зависимость между $f(\lambda, y)$ и $g(\lambda, y)$, для любого $\lambda \in \mathbb{C}$ (напомним, что $y \in \mathbb{C}(x, f, g)$ и $y \in \mathbb{C}(f(\lambda, y), g(\lambda, y))$). Кроме того, $\deg_G(P)=\deg_G(P_{\lambda})$ для всех $\lambda \in \mathbb{C}^*$, поскольку $\deg_y(f(\lambda, y))=\deg_y(f)$ для всех $\lambda \in \mathbb{C}^*$. Следовательно, многочлен $P_{\lambda}(F, G)$ пропорционален многочлену $P(\lambda, F, G)$ для всех $\lambda \in \mathbb{C}^*$ и равенство $p_0(\lambda)=0$ возможно только при $ \lambda=0$. Следовательно, $p_0(x)=c_0x^d$ и $(c_0x^d)^{- 1} P$ является многочленом, приведенным относительно $G$ (с коэффициентами в $\mathbb{C} [x, x^{-1}]$). Ниже $P$ – этот приведенный многочлен. Обозначим через $\mathcal {E}$ ребро многогранника $\mathcal{N}(P)$, которое соответствует старшей форме $(G^{a_0}-F^{b_0})^{\nu}$ многочлена $P$. Это ребро принадлежит двум граням $\Phi_a$ и $\Phi_b$ этого многогранника. Условимся, что плоскость $FOG$ (где $O$ – начало системы координат $FGx$) горизонтальна, ось $x$ вертикальна и грань $\Phi_a$ находится выше грани $\Phi_b$. Если $P(x, F, G)$ – многочлен Лорана от $x$, то грань $\Phi_b$ – ниже плоскости $FOG$. Так как старшая форма $P$ относительно веса $w(x)=0$, $w(F)=\deg_y(f)$, $w(G)=\deg_y(g)$ – это $(G^{a_0}-F^{b_0})^{\nu}$, ось $x$ не может быть параллельна $\Phi_a$ или $\Phi_b$. С помощью многогранника $\mathcal{N}(P)$, можно найти представление $G$ в виде дробно-степенного ряда по $x$, $F$, используя подход, описанный в § 6. 7.1. Грань $\Phi_b$Предположим, что грань $\Phi_b$ (нижняя грань, содержащая $\mathcal{E}$) находится ниже плоскости $FOG$. Поскольку ось $x$ не параллельна грани $\Phi_b$, мы можем выбрать соответствующий ей вес, взяв $w(x)=1$, $w(F)=\rho <0$, $w(G)=\sigma <0$. Конечно, $\rho,\sigma\in \mathbb{Q}$. Разложения $G$, а также соответствующие разложения $y$ относительно этого веса – по компонентам с возрастающим весом. Рассмотрим старшую форму $P(\Phi_b)$ и ее разложение на неприводимые множители. Если все эти множители зависят только от двух переменных, то $P(\Phi_b)=\phi_1(x, F)\phi_2(x, G)\phi_3(F, G)$ и $\Phi_b$ – это либо интервал, либо параллелограмм, либо шестиугольник с параллельными противоположными сторонами. Поскольку $\Phi_b$ не является ни тем, ни другим, ни третьим ($\Phi_b$ не совпадает с $\mathcal {E}$ и не может содержать ребра, параллельного $ \mathcal{E}$ и имеющего такую же длину), один из неприводимых множителей $P(\Phi_b)$ зависит от $x$, $F$ и $G$. Обозначим его через $Q(x, F, G)$ и через $\overline {G}$ – корень $Q(x, F, G)=0$, а через $\widetilde{G}$ – корень $P(x, F, G)=0$, для которого $\overline{G}$ является старшей формой. Eсли $\widetilde{y}=R(x, F)[\widetilde{G}]$, то $f(x, \widetilde{y})=F$ и $g(x, \widetilde{y})=\widetilde{G}$. (Читателю следует представлять себе выражения $\overline{G}$, $\widetilde{G}$ и $\widetilde{y}$ как дробно-степенные ряды от $x$ над алгебраическим замыканием поля $\mathbb{C}(z)$, $z=x^{-\rho}F$.) Элемент $\widetilde{y}=\sum_{j=0}^\infty y_j$, где $y_j$ – однородные компоненты $\widetilde{y}$. Поскольку $f(x, \widetilde{y})=F$, существует $k$, для которого $y_j=c_jx^{\mu_j}$, $c_j \in \mathbb{C}$, $\mu_j \in \mathbb{Q}$, если $j \leqslant k$ и $y_{k+1} \notin\overline{\mathbb{C}(x)}$. Мы можем найти $\widetilde{y}$ с помощью многогранника Ньютона многочлена $F-f(x, y)$. Слагаемые $y_j$ для $j \leqslant k$ получаются процессом разрешения, применяемым к $\mathcal{N}(f)$, а слагаемое $y_{k+1}$ определяется гранью $\Psi$ этого многогранника, содержащей $(0,0,1)$, т. е. вершину, соответствующую $F$ (иначе $y_{k+1} \in \overline{\mathbb{C}(x)}$). Грань $\Psi$ соответствует весу $w(x)=1$, $w(F)=\rho$, $w(y)=\alpha=w(y_{k+1})$ и $\Psi$ содержит ребро $e \in xOy$ многоугольника $\mathcal{N}\bigl(f(x, \sum_{j=0}^k y_j+y)\bigr)$. Положим
$$
\begin{equation*}
f_k(x,y)=f\biggl(x,\, \sum_{j=0}^k y_j+y\biggr), \qquad g_k(x,y)=g\biggl(x,\, \sum_{j=0}^k y_j+y\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
(тогда $\mathcal{N}(f_k)$ содержит ребро $e$ и $w(f_k)=\rho$) и обозначим через $f_k(e)$, $g_k(e)$ старшие формы $f_k$ и $g_k$ для веса $w$. Из определения $y_{k+1}$ следует, что $f_k(e)(x, y_{k+1})=F$; кроме того, $g_k(e)(x, y_{k+1})\neq 0$ (так как $y_{k+1} \notin \overline {\mathbb {C}(x)}$). Так как $g_k\bigl(x, \sum_{j=k+1}^\infty y_j\bigr)=\widetilde{G}$, мы должны иметь $g_k(e)(x, y_{k+1})=\overline {G}$. Если $\operatorname{J}(f_k(e), g_k(e))=0$, то $g_k(e)(x, y_{k+1})=cF^{\lambda}$, $c \in \mathbb{C}^*$ (элемент $f_k(e)$ – однородная форма ненулевого веса, поэтому любая однородная форма, алгебраически зависимая с $f_k(e)$ пропорциональна рациональной степени $f_k(e)$). Но $ \overline{G}$ зависит от $x$, поэтому $\operatorname{J}(f_k(e), g_k(e))\neq 0$. Поскольку $\operatorname{J}(f_k, g_k)=1$ из этого следует, что $\operatorname{J}(f_k(e), g_k(e))=1$. Ведущая вершина $(m, n)$ должна быть ниже прямой, содержащей $e$ поскольку разложение для $\widetilde{y}$ дается компонентами с возрастающим весом, $w(x)>0$, $w(f_k)<0$. Следующее рассмотрение показывает, что это невозможно. Вес $w(g_k)=w(G)=\sigma <0$ и $\rho+\sigma=w(x)+w(y)$, поскольку $\operatorname{J}(f_k(e), g_k(e))=1$. Следовательно, $\rho=w(x)+w(y)-\sigma=1+\alpha-\sigma$ и точки $(\rho, 0)$ и $(1-\sigma, 1)$ имеют одинаковый вес $\rho$ (так как $w(x)=1$, $w(y)=\alpha$, $w(F)=\rho$, $w(G)=\sigma$). Таким образом, они обе принадлежат прямой, содержащей ребро $e$. Так как $\rho <0$, $\sigma <0$, эта прямая пересекает биссектрису первого квадранта в точке с координатами меньше $1$, и вершина $(m, n)$ находится выше этой прямой. Следовательно, $\Phi_b$ не может быть ниже $FOG$ и $P(x, F, G)\in \mathbb{C} [x, F, G]$. С другой стороны, $P(0, f(x, 0), g(x, 0))=0$ и многоугольник Ньютона этой зависимости не является ребром.1 Следовательно, $\Phi_b$ не является ребром и принадлежит $FOG$. 7.2. Грань $\Phi_a$Вес, соответствующий грани $\Phi_a$, другой грани, содержащей $\mathcal {E}$, – это $w(x)=1$, $w(F)=\rho>0$, $w(G)=\sigma>0$. Разложение $G$ относительно этого веса – по компонентам с убывающим весом. Дословно повторяя рассуждения из предыдущего пункта, мы получим ребро $e$ соответствующего многоугольника $\mathcal{N}(f_l)$, которое принадлежит прямой, содержащей точки $(\rho, 0)$, $(1-\sigma, 1)$ и идущей ниже ведущей вершины $(m, n)$. Следовательно, $\rho+n [1-\sigma-\rho] \geqslant m$, т. е. $n-m \geqslant n(\rho+\sigma)- \rho$. Вес $\sigma=(b_0/a_0)\rho$ поскольку $\Phi_a$ содержит ${\mathcal {E}}$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
n-m \geqslant \biggl[n\biggl(1+\frac{b_0}{a_0}\biggr)-1\biggr] \rho,\qquad \rho \leqslant \frac{(n-m)a_0}{n(a_0+b_0)-a_0}, \qquad \sigma \leqslant \frac{(n-m)b_0}{n(a_0+ b_0)-a_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым,
$$
\begin{equation*}
\deg_x(P)\leqslant n \sigma \leqslant(n-m)\frac{nb_0}{n(a_0+b_0)-a_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если эти неравенства не строгие, то ребро $e$ содержит $(m, n)$, т. е. $e$ – это (правое) ведущее ребро. Поскольку $\rho <1$, $\sigma <1$, это означало бы, что $f(x, 0)$ и $g(x, 0)$ – константы, и тогда равенство $ \operatorname{J}(f, g)=1$ невозможно. Следовательно, $(m, n)$ не принадлежит $e$ и неравенства строгие. Мы знаем из леммы 1, что $\mathbb{C}(x, f, g)=\mathbb{C}(x, y)$. Следовательно, степень $[\mathbb{C}(x, y): \mathbb{C}(f, g)]$ расширения поля равна $\deg_x(P)$ и
$$
\begin{equation*}
[\mathbb{C}(x, y): \mathbb{C}(f, g)] <(n-m)\frac{nb_0}{n(a_0+b_0)-a_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта оценка несколько лучше, чем оценка $m+n$, полученная И. Чжангом (см. [23]). Известно, что $[\mathbb{C}(x, y): \mathbb{C}(f, g)]$ не меньше $6$, если $\operatorname{J}(f,g)=1$ (см. [24]–[29]). Следовательно, разность $n-m>6$. 7.3. Ребра $\mathcal{N}(P)$Ребро $\mathcal{N}(P)$ может быть параллельно одной из координатных плоскостей $GOx$ или $FOG$, и тогда старшая форма $G$, которая ему соответствует – это $cx^r$ или $cF^r$, где $c \in \mathbb{C}^*$, $r \in \mathbb{Q}$. Ведущая форма $G$ не может соответствовать ребру параллельному плоскости $FOx$. Если $E$ является наклонным ребром, т. е. ребром, не параллельным ни одной координатной плоскости, то хотя бы одна из соответствующих ему ведущих форм имеет вид $\overline {G}=c x^{r_1} F^{r_2}$, где $c \in \mathbb{C}^*$, $r_i \in \mathbb{Q}^*$. В этом случае у нас больше свободы в выборе веса, соответствующего $E$, и можно выбрать вес так, чтобы ребро $e \in \mathcal{N}(f_k)$ (см. п. 7.1) оказалось вершиной и тогда $f_k(e)$, $g_k(e)$ являются одночленами. Поскольку $\operatorname{J}(f_k(e),g_k(e))=1$ и $\deg_y(f_k(e))$, $\deg_y(g_k(e))$ – неотрицательные целые числа, $\deg_y(g_k(e))=0$ или $\deg_y(f_k(e))=0$. Если $\deg_y(g_k(e))=0$, то и ребро $E$ параллельно $GOx$; если $\deg_y(f_k(e))=0$, то $f_k(e)=cx^s$, в то время как $f_k(e)(x, y_{k+1})=F$.Следовательно, $\mathcal{N}(P)$ не имеет наклонных ребер. 7.4. Невертикальные и негоризонтальные граниРассмотрим снова грань $\Phi_a$. Эта грань принадлежит наклонной плоскости, содержащей $\mathcal{E}$, пересечение которой с первым октантом представляет собой треугольник $\triangle$. Поскольку все ребра $\Phi_a$ параллельны координатным плоскостям и $\Phi_a$ содержит ребро $\mathcal{E}$, грань $\Phi_a$ либо $\triangle$, либо трапеция, вырезанная из $\triangle$ ребром ${\mathcal{E}}_1$, параллельным $\mathcal{E}$. Если $\Phi_a$ – трапеция, то те же соображения, примененные к $\mathcal{E}_1$, показывают, что следующая грань также является треугольником или трапецией, и так далее, пока мы не дойдем до грани, параллельной $FOG$. 7.5. Горизонтальные граниМногогранник $\mathcal{N}(P)$ имеет невырожденную горизонтальную грань $\Phi_b \subset FOG$ (“пол”). Он также имеет “потолок”, который может вырождаться в вершину. Заменим $f$, $g$ на $f-c_1$, $g-c_2$, где $c_i \in\mathbb{C}$ и $(c_1, c_2)$ – “общая пара”. Тогда соответствующий многогранник Ньютона имеет треугольный пол (с вершиной в начале координат) и треугольный потолок (с вершиной на оси $x$). 7.6. Форма $\mathcal{N}(P)$Из информации, полученной о $\mathcal {N}(P)$, можно сделать вывод, что все его вершины находятся в координатных плоскостях $FOx$ и $GOx$, что он имеет две горизонтальные грани, являющиеся прямоугольными треугольниками с прямыми углами в начале координат и на оси $x$, грань $\Phi_G$, принадлежащую $FOx$, и грань $\Phi_F$, принадлежащую $GOx$, которые являются многоугольниками с одинаковым числом вершин, а все остальные грани – трапеции, полученные соединением соответствующих вершин $\Phi_F$ и $\Phi_G$ ребрами, параллельными $\mathcal{E}$. Для построения нового доказательства того, что в случае двух характеристических пар контрпример невозможен (см. [3]), оценим $\rho$ снизу. § 8. Оценка $\rho$ снизуЧтобы получить оценку $\rho$ для грани $\Phi_a$ снизу, мы должны знать больше о $P(x, F,G)$. Рассмотрим $f,g \in \mathbb{C}(x)[y]$. Прежде всего необходимо разложить $g$ в соответствующей алгебре в дробно-степенной ряд по $f$ относительно веса, заданного $w(y)=1$, $w(x)=0$. 8.1. Разложение $g$Рассмотрим кольцо $L=\mathbb{C}[x^{- 1}, x]$ многочленов Лорана от $x$. В качестве $A$ возьмем алгебру асимптотических степенных рядов по $y$ с коэффициентами в $L$, т. е. элементами $A$ являются $\sum^{i=k}_{- \infty} y_i y^i$, где $y_i \in L$, $y_k \ne 0$. Для $a=\sum^{i=k}_{- \infty} y_i y^i$ определим $|a|=y_k y^k$. Лемма 2 (о радикале). Если $r \in \mathbb{Q}$ – рациональное число, $|a|= cx^ly^k$, $c \in \mathbb{C}$, и $|a|^r \in A$, то $a^r \in A$. Доказательство. По теореме Ньютона о биноме поскольку Так как все $y_i/y_k \in L$, элемент $a^r \in A$. Лемма доказана. Мы можем считать, что $f(x, y)$, $g(x, y)$ принадлежат $A$. Тогда $|f|=x^my^n$ и $|g|=c_0|f|^{\lambda_0}$, где $\lambda_0=b_0/a_0$ (см. § 1 и § 7). По лемме 2 $f^{\lambda_0} \in A$ и, следовательно, $g_1=g-c_0 f^{\lambda_0} \in A$ (здесь $c_0=1$). Поскольку $ \operatorname{J}(f, g_1)=1$, то либо $\operatorname{J}(|f|,|g_1|)=0$, либо $\operatorname{J}(|f|,|g_1|)=1$. Если $\operatorname{J}(|f|,|g_1|)=0$, то $|g_1|=c_1|f|^{\lambda_1}$, $c_1 \in \mathbb{C}$, $\lambda_1 \in \mathbb{Q}$, и $g_2=g-c_0f^{\lambda_0}-c_1f^{\lambda_1}$ принадлежит $A$ по тем же причинам, что $g_1$. Продолжим, пока не получим $g_\kappa=g- \sum_{i=0}^{\kappa-1} c_if^{\lambda_i} \in A$, для которого $\operatorname{J}(|f|,|g_\kappa|)=1$, т. е. $\operatorname{J}(x^my^n,|g_\kappa|)=1$. Тогда
$$
\begin{equation*}
|g_\kappa|=\biggl(c_\kappa(x^my^n)^{(1-n)/n}-\frac{1}{n-m} x^{1-m} y^{1-n}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_\kappa \in \mathbb{C}$. Если $c_\kappa \neq 0$, то $(x^my^n)^{(1-n)/n} \in A$ и $m/n\in \mathbb{Z}$, что невозможно, поскольку $0<m<n$. Следовательно, $|g_{\kappa}|=(m-n)^{-1}x^{1-m} y^{1-n}$ и
$$
\begin{equation}
g=\sum_{i=0}^{\kappa-1} c_if^{\lambda_i}+g_\kappa, \qquad c_i \in \mathbb{C},
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\deg_y(|f^{\lambda_i}|)>1-n$, $\deg_y(|g_\kappa|)=1-n$, и $|g_\kappa|=(m-n)^{-1}x^{1-m}y^{1-n}=(m-n)^{-1}x^{(n-m)/n}|f|^{\lambda_\kappa}$, где $\lambda_\kappa=(1-n)/n$. Чтобы получить “полное” разложение через $x$ и $f$, мы должны расширить $A$ до большей алгебры $B$ с элементами $\sum^{i=k}_{- \infty} y_i y^i$, где $y_i \in L_n=\mathbb{C} [x^{-m/n}, x^{m/n}]$, в которой $f^{1/n}$ определено. Действительно, $|x^{- m/n} f^{1/n}|=y$, и мы можем получить разложение $g$ с $c_i \in L_n$.Ясно, что $\lambda_i=n_i/n$, $n_i \in \mathbb{Z}$. Поскольку $\deg_g(P)=n$ и $\lambda_\kappa=(1-n)/n$, все $n$ корней $G_j$ уравнения $P(x, F, G)=0$ в $B$ можно получить из $G=\sum_{i=0}^{\infty} c_i F^{n_i/n}$ заменой $F^{1/n} \to \varepsilon^j F^{1/n}$, $j=0, 1, \dots, n-1$, где $\varepsilon$ – примитивный корень степени $n$ из единицы. 8.2. Моном $P(x, F, G)$, содержащий степень $x$Многогранник $\mathcal{N}(P)$ содержит ребро $\mathcal{E}$ с вершинами $(n_0, 0, 0)$ и $(0, n, 0)$, где $n_0=\lambda_0 n$ (в системе координат $FGx$). Следовательно, если $\mathcal{N}(P)$ содержит вершину $(i, j, k)$, то $\lambda_0 n \rho \geqslant i \rho+j \sigma+k=(i+\lambda_0 j)\rho+k$ и $\rho \geqslant k/(\lambda_0(n-j)-i)$. Если $k> 0$, мы получим оценку $\rho$ снизу. Неприводимое соотношение для многочленов $f,g \in \mathbb{C}(x)[y]$ может быть получено с помощью следующего алгоритма. Положим $\widetilde{g}_0=g$. Предположим, что после $s$ шагов мы получили $\widetilde {g}_0, \dots, \widetilde{g}_s \in \mathbb{C}(x,y)$. Обозначим $\deg_y(\widetilde {g}_i)$ через $m_i$ и наибольший общий делитель чисел $n, m_0, \dots, m_i$ через $d_i$. Положим $d_{-1}=n$ и $a_i=d_{i-1}/d_i$ для $0 \leqslant i \leqslant s$. (Очевидно, что $a_sm_s$ делится на $d_{s-1}$ и $a_s$ – наименьшее целое число с этим свойством.) Назовем $s$-стандартным одночлен $\mathbf{m}=f^i \widetilde{g}_0^{j_0} \cdots \widetilde{g}_s^{j_s}$, если $0 \leqslant j_k <a_k$, $k=0, \dots, s$. Найдем $(s-1)$-стандартный одночлен $\mathbf{m}_{s, 0}$ с $\deg_y(\mathbf{m}_{s, 0})=a_s m_s$ и $k_0 \in K=\mathbb{C}(x)$, для которого $m_{s, 1} = \deg_y(\widetilde{g}_s^{a_s}-k_0 \mathbf{m}_{s, 0})<a_sm_s$. Если $m_{s, 1}$ делится на $d_s$, найдем $s$-стандартный одночлен $\mathbf{m}_{s, 1}$ с $\deg_y(\mathbf{m}_{s, 1})=m_{s, 1}$ и $k_1 \in K$, для которого $m_{s, 2}=\deg(\widetilde{g}_s^{a_s}-k_0 \mathbf{m}_{s, 0}-k_1 \mathbf{m}_{s, 1})<m_{s, 1}$ и так далее. Если после конечного числа вычитаний мы получим $m_{s, i}$, не делящееся на $d_s$, обозначим полученный элемент $\widetilde{g}_{s+1}$ и выполним следующий шаг. После конечного числа шагов мы получим неприводимое соотношение. Этот алгоритм был предложен в [22], где доказано, что он работает. В случае нулевой характеристики там же показано, что все $\widetilde{g}_i$ являются многочленами от $f$ и $g$ (т. е. в стандартных одночленах нет отрицательных степеней $f$). Разложение (1) может быть переписано следующим образом:
$$
\begin{equation}
g=\sum_{i=0}^{\kappa-1} c_if^{n_i/n}+g_\kappa, \qquad c_i \in \mathbb{C},
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $|g_{\kappa}|=(m-n)^{-1}(xy/|f|)$. Применяя алгоритм к этому разложению, мы получим через несколько шагов “последний” элемент $\widetilde{g}_\kappa$ с
$$
\begin{equation*}
|\widetilde{g}_\kappa|=c\biggl|\frac{xy}{f}\widetilde{g}_0^{a_0-1}\widetilde{g}_1^{a_1-1}\cdots \widetilde{g}_{\kappa-1}^{a_{\kappa-1}-1}\biggr|.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае двух характеристических пар $\kappa=1$ и $|\widetilde{g}_1|=c|(xy/f)\widetilde{g}_0^{a_0-1}|$. Если обозначить $|f|=(x^ay^b)^{a_0}$, $|g|=(x^ay^b)^{b_0}$, то $P=\widetilde{g}_1^b-cx^{b-a} f^i\widetilde{g}_0^j-\cdots$, где $|x^{b-a} f^i\widetilde{g}_0^j|=|(xy/f)\widetilde{g}_0^{a_0-1}|^b$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\rho \geqslant \frac{b-a}{\lambda_0(n-j)-i}=\frac{b-a}{\lambda_0(ba_0-j)-i}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $|x^{b-a} f^i\widetilde{g}_0^j|=|(xy/f)\widetilde{g}_0^{a_0-1}|^b= |x^{b-a}(x^ay^b)^{1-a_0b+b_0(a_0-1)b}|$, мы получим $a_0i+b_0j=1-a_0b+b_0(a_0-1)b$ и $i+\lambda_0 j=(bb_0a_0-ba_0-bb_0+1)/a_0$ (припомним, что $\lambda_0= b_0/a_0$). Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \rho &\geqslant \frac{b-a}{\lambda_0(ba_0-j)-i}=\frac{(b-a)a_0}{\lambda_0 b a_0^2-(bb_0a_0-ba_0- bb_0+1)} \\ &= \frac{(b-a)a_0}{b a_0 b_0-(bb_0a_0-ba_0-bb_0+1)}= \frac{(b-a)a_0}{ba_0+bb_0-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны,
$$
\begin{equation*}
\rho<\frac{(n-m)a_0}{n(a_0+b_0)-a_0}=\frac{(b-a)a_0^2}{ba_0(a_0+b_0)- a_0}= \frac{(b-a)a_0}{b(a_0+b_0)-1}
\end{equation*}
\notag
$$
и мы получили противоречие.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Mak21} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|