| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) О компактах, допускающих строго плюрисубгармонические функции Н. В. Щербина Department of Mathematics, University of Wuppertal, Wuppertal, Germany
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9059 
Реферативные базы данных:
   Посвящается памяти моего учителя Анатолия Георгиевича Витушкина (1931–2004) § 1. ВведениеПлюрисубгармонические функции играют центральную роль в комплексном анализе. Многие важные и классические результаты формулируются в терминах этих функций, в частности, с помощью существования строго плюрисубгармонических функций на данном многообразии. Например, Грауэрт [1] охарактеризовал многообразия Штейна существованием гладких строго плюрисубгармонических функций исчерпания. Этот результат был обобщен на случай комплексных пространств Нарасимханом в [2] и [3]. Сибони [4; теорема 3, с. 362] доказал, что существования ограниченной гладкой строго плюрисубгармонической функции достаточно для гиперболичности по Кобаяси комплексного многообразия. Аналогичный критерий существования метрики Бергмана на многообразиях Штейна был установлен Ченом и Чжаном в [5; теорема 1, с. 2998, и наблюдение 2, с. 3002]. Недавно Полецкий [6] использовал многообразия, обладающие ограниченными гладкими строго плюрисубгармоническими функциями, для дальнейшего развития теории плюрикомплексных функций Грина. В этой статье исследуется вопрос о существовании гладких строго плюрисубгармонических функций на данном компакте. Гладкость и строгую плюрисубгармоничность таких функций можно определить следующим образом. Определение 1.1. Пусть $\mathcal{K}$ – компактное подмножество комплексного многообразия $\mathcal{M}$. Мы говорим, что функция $\phi$, определенная на $\mathcal{K}$ , является гладкой и строго плюрисубгармонической, если существуют окрестность $\mathfrak{A}$ множества $\mathcal{K}$ в $\mathcal{M}$ и такая гладкая строго плюрисубгармоническая функция $\varphi$ на $\mathfrak{A}$, что $\varphi|_{\mathcal{K}}=\phi$. Следующий результат дает полную геометрическую характеризацию компактов, обладающих такими функциями. Основная теорема. Пусть $\mathcal{K}$ – компактное подмножество комплексного многообразия. Множество $\mathcal{K}$ допускает гладкую строго плюрисубгармоническую функцию тогда и только тогда, когда $\mathcal{K}$ не имеет $1$-псевдовогнутых подмножеств. $1$-псевдовогнутость понимается здесь в смысле Ротштейна [7]. Под комплексным многообразием мы всегда будем понимать многообразие чистой комплексной размерности, имеющее хаусдорфову топологию со счетной базой. Статья организована следующим образом. В § 2 мы напоминаем основные определения и наиболее важные свойства псевдовогнутых множеств, а также построение специальной плюрисубгармонической функции, приведенное в [8; теорема 3.1, ч. 1]. В § 3 мы даем конструктивный способ определения максимального $1$-псевдовогнутого подмножества данного компакта. В § 4 мы доказываем основную теорему и одно из ее следствий. Наконец, в § 5 мы приводим некоторые приложения наших результатов и обсуждаем их связь с другими вопросами. Замечание 1.1. Н. Сибони сообщил нам, что часть “тогда” основной теоремы может быть получена из [9]. А именно, если нет строго плюрисубгармонической функции на компакте, то соображения двойственности в доказательстве [9; предложение 2.1] можно расширить, чтобы получить нетривиальный $dd^{\,c}$-замкнутый положительный поток биразмерности $(1,1)$ с носителем в этом компакте. (Эти соображения двойственности восходят к [10] и были использованы в аналогичном контексте в [11; теорема (38)].) Как указано в [9; замечание 4.6(3)], носитель такого потока – $1$-псевдовогнутое множество согласно [12; следствие 2.6]. Мы благодарим Н. Сибони за это ценное наблюдение, но полагаем, что наше прямое геометрическое доказательство представляет самостоятельный интерес. § 2. Предварительные сведенияНапомним сначала понятие $1$-псевдовыпуклости в смысле Ротштейна. Пусть $\Delta^n:=\{z \in \mathbb{C}^n \colon \|z\|_\infty<1 \}$, где $\|z\|_\infty=\max_{1 \leqslant j \leqslant n} |z_j|$. Фигура Хартогса $H$ типа $(1, n-1)$ – это множество вида
$$
\begin{equation*}
H=\{(z_1, \dots, z_n) \in \Delta^1 \times \Delta^{n-1} \colon |z_1|<r_1 \text{ или } \|(z_2, \dots, z_n)\|_\infty>r_2\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $0<r_1,r_2<1$, и мы будем обозначать $\widehat{H}:=\Delta^n$. Определение 2.1. Пусть $\mathcal{M}$ – комплексное многообразие размерности $n$. Открытое множество $\Omega \subset \mathcal{M}$ называется $1$-псевдовыпуклым в $\mathcal{M}$, если оно удовлетворяет теореме непрерывности относительно $(n-1)$-полидисков в $\mathcal{M}$, т.е. если $\Phi(\widehat{H}) \subset \Omega$ для любой фигуры Хартогса типа $(1, n-1)$ и любого такого инъективного голоморфного отображения $\Phi \colon \widehat{H} \to \mathcal{M}$, что $\Phi(H) \subset \Omega$. Это определение было введено Ротштейном [7] в более общей ситуации $q$-псевдовыпуклых множеств для каждого $q=1,2,\dots,n-1$. Мы ограничиваем наше определение частным случаем $q=1$, поскольку в данной статье нам понадобится только понятие $1$-псевдовыпуклости. Другой способ определять $1$-псевдовыпуклость можно описать следующим образом. Для произвольного $r\in(0,1)$ мы рассматриваем сферическую шапку
$$
\begin{equation*}
\mathbb{S}^n_r:=\{z=(z_1, \dots, z_n) \in \mathbb{C}^n \colon \|z \|^2=1, \, x_1:= \operatorname{Re} z_1 \geqslant r\}
\end{equation*}
\notag
$$
и заполненную сферическую шапку
$$
\begin{equation*}
\widehat{\mathbb{S}}^n_r:=\{z=(z_1, \dots, z_n) \in \mathbb{C}^n \colon \|z \|^2 \leqslant 1, \, x_1:=\operatorname{Re} z_1 \geqslant r\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 2.2. Пусть $\mathcal{M}$ – комплексное многообразие размерности $n$. Открытое множество $\Omega \subset \mathcal{M}$ называется $1$-псевдовыпуклым в $\mathcal{M}$, если справедливо включение $\Phi(\widehat{\mathbb{S}}^n_r) \subset \Omega$ для любого $r \in (0,1)$, любой окрестности $U:=U(\widehat{\mathbb{S}}^n_r) \subset \mathbb{C}^n$ заполненной сферической шапки $\widehat{\mathbb{S}}^n_r$ и любого такого инъективного голоморфного отображения $\Phi \colon U \to \mathcal{M}$, что $\Phi(\mathbb{S}^n_r) \subset \Omega$. Следующее утверждение показывает, что приведенные выше определения приводят к одному и тому же понятию. Предложение 2.1. Пусть $\mathcal{M}$ – комплексное многообразие и $\Omega \subset \mathcal{M}$ – открытое множество. Тогда следующие утверждения равносильны: (1) $\Omega$ является $1$-псевдовыпуклым в смысле определения 2.1; (2) $\Omega$ является $1$-псевдовыпуклым в смысле определения 2.2. Доказательство. Чтобы доказать импликацию $(1)\Rightarrow(2)$, мы рассуждаем от противного и предполагаем, что существует область $\Omega$, которая является $1$-псевдовыпуклой в смысле определения 2.1, но не $ 1 $-псевдовыпуклой в смысле определения 2.2. Тогда, ввиду определения 2.2 и после замены $r$ на $r-\varepsilon$ с достаточно малым $\varepsilon>0$ если нужно, мы можем предположить, что $\Phi(\mathbb{S}^n_r) \subset \Omega$, но $\Phi(\operatorname{Int}(\widehat{\mathbb{S}}^n_r))\cap (\mathcal{M}\setminus \Omega) \neq \varnothing$, где $\operatorname{Int}(\widehat{\mathbb{S}}^n_r)$ обозначает внутренность множества $\widehat{\mathbb{S}}^n_r$. Рассмотрим теперь для каждого $C \geqslant 0$ немного более общую сферическую шапку
$$
\begin{equation*}
\mathbb{S}^n_{r, C}:=\{z=(z_1, \dots, z_n) \in \mathbb{C}^n \colon |z_1+C|^2+|z_2|^2+\dots+|z_n|^2=C^2 +2rC+1, \, x_1 \geqslant r\}
\end{equation*}
\notag
$$
и соответствующую заполненную сферическую шапку
$$
\begin{equation*}
\widehat{\mathbb{S}}^n_{r, C}:=\{z=(z_1, \dots, z_n) \in \mathbb{C}^n \colon |z_1+C|^2+|z_2|^2+\dots+|z_n|^2 \leqslant C^2 +2rC+1, \,\, x_1 \geqslant r\}
\end{equation*}
\notag
$$
и заметим, что сферические шапки $\mathbb{S}^n_{r, C}$ непрерывно зависят от параметра $C$, все они содержат “границу”
$$
\begin{equation*}
\partial\mathbb{S}^n_r:=\{z=(z_1, \dots, z_n) \in \mathbb{C}^n \colon \|z \|^2=1, \, x_1=r\}
\end{equation*}
\notag
$$
сферической шапки $\mathbb{S}^n_r$ и, кроме того, $\bigcap_{C>0} \operatorname{Int}(\widehat{\mathbb{S}}^n_{r, C})=\varnothing$. Следовательно, существует
$$
\begin{equation*}
C_0:=\min\{C \colon \Phi(\mathbb{S}^n_{r, C}) \cap (\mathcal{M}\setminus \Omega) \neq \varnothing \}>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $z_0 \in \mathbb{S}^n_{r, C_0}$ – такая точка, что $\Phi(z_0) \in \mathcal{M} \setminus \Omega$, то мы можем рассмотреть аффинное преобразование $\mathbb L$ пространства $\mathbb{C}^n$, которое отображает сферу $\mathbb{S}^n := \{z=(z_1, \dots, z_n) \in \mathbb{C}^n \colon \|z \|^2=1\}$ в сферу
$$
\begin{equation*}
\mathbb{S}^n_{C_0}:=\{z=(z_1, \dots, z_n) \in \mathbb{C}^n \colon |z_1+C_0|^2+|z_2|^2 + \dots+|z_n|^2=C^2_0 +2r{C_0}+1\},
\end{equation*}
\notag
$$
начало координат $O$ в точку $(-C_0,0,\dots,0)$, а точку $(1,0,\dots,0)$ в точку $z_0$. Теперь, если при $r'<1$ достаточно близком к $1$ мы рассмотрим сферическую шапку $\mathbb{S}^n_{r'}$, окрестность ${\mathbb L}^{-1}(U(\widehat{\mathbb{S}}^n_r))$ заполненной сферической шапки $\widehat{\mathbb{S}}^n_{r'}$ и инъективное голоморфное отображение $\Phi \circ \mathbb L \colon {\mathbb L}^{- 1}(U(\widehat{\mathbb{S}}^n_r)) \to \mathcal{M}$, то по построению получим, что $(\Phi \circ \mathbb L)(1, 0, \dots, 0) \in {\mathcal{M}} \setminus \Omega$ и для достаточно малого $\delta>0$ мы также получим, что $(\Phi\circ \mathbb L)(U_{2\delta}(\mathbb{S}^n_{r'}) \setminus \overline{\mathbb{B}}^n_1(0)) \subset \Omega$, где ${U_{2\delta}(\mathbb{S}}^n_{r'})$ – $2\delta$-окрестность множества $\mathbb{S}^n_{r'}$ в $\mathbb{C}^n$ и $\mathbb{B}^n_1(0)$ – шар в $\mathbb{C}^n$ радиуса $1$ с центром в начале координат. Следовательно, если для $\delta'>\delta$ достаточно близкого к $\delta$, $r_1\in(0,\delta')$ достаточно близкого к $0$ и $r_2\in(0,\delta)$ достаточно близкого к $\delta$ мы рассмотрим фигуру Хартогса
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_{\delta',\delta,r_1,r_2}&=\{(z_1, \dots, z_n) \in \Delta^1_{\delta'}(1+ \delta) \times \Delta^{n-1}_{\delta}(0) \colon |z_1-(1+\delta)|<r_1 \\ &\qquad\qquad\qquad\text{или } \|(z_2, \dots, z_n)\|_\infty>r_2\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и положим
$$
\begin{equation*}
\widehat H_{\delta',\delta,r_1,r_2}:=\Delta^1_{\delta'}(1+\delta) \times \Delta^{n-1}_{\delta}(0),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Delta_s(a):=\{z \in \mathbb{C} \colon |z-a|<s\}$, то мы получим $H_{\delta',\delta,r_1,r_2} \subset \mathbb{C}^n \setminus \overline{\mathbb{B}}^n_1(0)$, но $(1, 0, \dots, 0) \in {\widehat H}_{\delta',\delta,r_1,r_2} \cap \overline{\mathbb{B}}^n_1(0)$. Если мы теперь определим аффинную замену координат ${\mathbb L}'$ в $\mathbb{C}^n$ формулой
$$
\begin{equation*}
z_1 \to \delta' z_1+(1+\delta) =: z'_1, \quad z_j \to \delta z_j =: z'_j\quad\text{для}\quad j=2, 3, \dots, n,
\end{equation*}
\notag
$$
то отображение $\Phi \circ {\mathbb L} \circ {\mathbb L}' \colon \widehat H \to \mathcal M$ даст желаемое противоречие к предположению, что область $\Omega$ $1$-псевдовыпукла в смысле определения 2.1.
В доказательстве импликации $(2)\Rightarrow(1)$ мы будем следовать рассуждениям, использованным в доказательстве теоремы 3.2 в [8], и предположим, чтобы получить противоречие, что существует область $\Omega$, которая является $1$-псевдовыпуклой в смысле определения 2.2, но не $1$-псевдовыпуклой в смысле определения 2.1. Тогда для некоторых $0<r_1,r_2<1$ существует фигура Хартогса
$$
\begin{equation*}
H=\{(z_1, \dots,z_n) \in \Delta \times \Delta^{n-1} \colon |z_1|<r_1 \text{ или } \|(z_2, \dots, z_n)\|_\infty>r_2\}
\end{equation*}
\notag
$$
типа $(1,n-1)$ и такое инъективное голоморфное отображение $\Phi \colon \widehat{H} \to \mathcal{M}$, что $\Phi(H) \subset \Omega$, но $\Phi(\widehat{H}) \cap (\mathcal{M} \setminus \Omega) \neq \varnothing$. Пусть $\varepsilon>0$ мало и $\varphi\colon\mathbb{C}^\ast_{z_1}\times\mathbb{C}^{n-1}_{(z_2,\dots,z_n)}\to\mathbb{R}$ – гладкая строго плюрисубгармоническая функция, определенная равенством $\varphi(z):= -\log|z_1|+\varepsilon\|z\|^2$, и пусть $G_C$ для каждого $C\,{\in}\,\mathbb{R}$ обозначает область $G_C\,{:=}\,\{\zeta\,{\in}\, \Phi(\widehat{H}) \colon (\varphi\,{\circ}\, \Phi^{-1})(\zeta)\,{<}\,C\}$. Поскольку для достаточно больших $C$ множество $\widehat{H}\cap\{z\in\mathbb{C}^n\colon \varphi<C\}$ содержит $\widehat{H}\setminus H$, и поскольку $\Phi(\widehat{H}) \cap(\mathcal{M}\setminus\Omega)\subset\Phi(\widehat{H}\setminus H)$, мы знаем, что $\Phi(\widehat{H}) \cap (\mathcal{M} \setminus \Omega) \subset G_C$ для достаточно больших $C$. Пусть $C_0:=\inf \{C \in \mathbb{R} \colon \Phi(\widehat{H}) \cap (\mathcal{M} \setminus \Omega) \subset G_C\}$. Тогда множество $\mathcal{M}\setminus\Omega$ “касается” строго псевдовыпуклой части $M:= bG_{C_0}\cap\Phi(\widehat{H})$ границы $bG_{C_0}$ множества $G_{C_0}$ “изнутри”. Более точно это означает, что $\Phi(\widehat{H})\cap(\mathcal{M}\setminus\Omega)\subset{\overline G}_{C_0}$, существует точка $\zeta_0\in\Phi(\widehat{H})\cap(\mathcal{M}\setminus\Omega)\cap bG_{C_0}$, и область $G_{C_0}$ строго псевдовыпукла вблизи точки $\zeta_0$. Из строгой псевдовыпуклости области $G_{C_0}$ вблизи $\zeta_0$ следует, что существует ограниченная строго выпуклая область $G_0\subset\mathbb{C}^n$, точка $z_0\in bG_0$, окрестность $U_0$ точки $z_0$ и инъективное голоморфное отображение $\Psi\colon U_0\to\mathcal M$ такие, что $\Psi(U_0\cap G_0)=\Psi(U_0) \cap G_{C_0}$ и $\Psi(z_0)=\zeta_0$. В силу строгой выпуклости области $G_0\subset\mathbb{C}^n$ мы можем найти шар $\mathbb{B}^n_R(\widetilde C)$ с центром в точке $\widetilde C\in\mathbb{C}^n$ и радиусом $R>0$, который содержит область $G_0$ и для которого ${b\mathbb{B}}^n_R(\widetilde C) \cap \overline{G}_0=z_0$. Если сделать аффинную замену координат $\mathbb L$ в $\mathbb{C}^n$, которая переводит шар $\mathbb{B}^n_1(0)$ в шар $\mathbb{B}^n_R(\widetilde C)$, начало координат $O$ – в точку $\widetilde C$ и точку $(1,0,\dots,0)$ – в точку $z_0$, а затем рассмотреть сдвиг $\mathbb{E}_{\delta}:=\mathbb{E}+\delta(1,0,\dots,0)$, где $\mathbb E$ – тождественное отображение $\mathbb{C}^n$ и $\delta>0$ достаточно мало, мы увидим из нашей конструкции, что инъективное голоморфное отображение $\Psi\circ\mathbb L\circ\mathbb{E}_{\delta}$, примененное к окрестности заполненной сферической шапки $\widehat{\mathbb{S}}^n_r$ с $0<r<1$ достаточно близким к $1$, даст нам противоречие к предположению об $1$-псевдовыпуклости области $\Omega$ в смысле определения 2.2. Предложение 2.1 доказано. Напомним теперь определение $1$-псевдовогнутости для замкнутых множеств. Определение 2.3. Пусть $\mathcal{M}$ – комплексное многообразие и $A \subset \mathcal{M}$ – замкнутое множество. Тогда $A$ называется $1$-псевдовогнутым в $\mathcal{M}$, если $\mathcal{M} \setminus A$ является $1$-псевдовыпуклым в $\mathcal{M}$. Отметим, что известны другие эквивалентные описания $1$-псевдовыпуклых множеств. Например, из теорем 4.2 и 5.1 статьи Слодковского [13] следует, в частности, что непустое относительно замкнутое подмножество $A$ открытого множества $V\subset\mathbb{C}^n$ $1$-псевдовдовогнуто в $V$ тогда и только тогда, когда плюрисубгармонические функции имеют локальное свойство максимума на $A$. В дальнейшем нам понадобится аналогичное утверждение в более общем контексте комплексного многообразия. Предложение 2.2. Пусть $\mathcal{M}$ – комплексное многообразие и $A \subset \mathcal{M}$ – замкнутое множество. Тогда следующие утверждения равносильны. (1) Для любого $\zeta \in A$ существует такая окрестность $V \subset \mathcal{M}$ точки $\zeta$, что $A \cap V$ является $1$-псевдовогнутым в $V$. (2) $A$ является $1$-псевдовогнутым в $\mathcal{M}$. (3) Для любого $\zeta \in A$ существует такая окрестность $V \subset \mathcal{M}$ точки $\zeta$, что $\max_{A \cap B} \varphi \leqslant \max_{A \cap bB} \varphi$ для любого компактного множества $B \subset V$ и любой плюрисубгармонической функции $\varphi$, определенной в окрестности $B$. Здесь $\max_{A \cap bK} \varphi$ понимается как $-\infty$ при $A \cap bK=\varnothing$. Подробное доказательство этого утверждения (которое следует идеям Слодковского [13]) можно найти в более общем случае $q$-псевдовогнутых множеств в [14; предложение 3.3]. Следующий результат был доказан в [8; теорема 3.1, п. 1]. Поскольку он играет важную роль в нашей статье, для удобства читателя мы представим его здесь подробно в несколько иной форме, адаптированной к текущему изложению. Теорема 2.1. Существуют область $W$ в $\mathbb{C}^n$ с координатами $(z_1, z_2, \dots, z_n)$, $z_j = x_j+iy_j$, и гладкая плюрисубгармоническая функция $\varphi \colon W \to [0,+ \infty)$, удовлетворяющие условиям: (1) $\Pi_{-}:=\{z \in \mathbb{C}^n \colon x_1 \leqslant 0\} \subset W$; (2) $\varphi=0$ на $\Pi_{-}$; (3) $\varphi>0$ на $W \setminus \Pi_{-}$; (4) $\varphi$ строго плюрисубгармонична на $W \setminus \Pi_{-}$. Доказательство. Для любого $j \in \mathbb{N}$, обозначим через $\psi_j \colon \mathbb{B}^n_j(0) \to \mathbb{R}$ гладкую строго плюрисубгармоническую функцию, определенную формулой
$$
\begin{equation*}
\psi_j(z_1, \dots, z_n):=x_1-\frac{1}{2^{j-2}}+\frac{1}{j^22^{j-1}}(y_1^2 + |z_2|^2+\dots+|z_n|^2).
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем такую гладкую функцию $\chi_j \colon \mathbb{R} \to [0,\infty)$, что $\chi_j \equiv 0$ на $(-\infty, -1/2^j]$, причем $\chi_j$ строго возрастает и строго выпукла на $(-1/2^j, \infty)$. Положим $\widetilde{\varphi}_j:=\chi_j \circ \psi_j$. Тогда $\widetilde{\varphi}_j$ – такая гладкая плюрисубгармоническая функция на $\mathbb{B}^n_j(0)$, что $\widetilde{\varphi}_j \equiv 0$ на $\{\psi_j \leqslant -1/2^j\} \supset \mathbb{B}^n_j(0) \cap \{x_1 \leqslant 1/2^j\}$, причем $\widetilde{\varphi}_j$ строго плюрисубгармонична и положительна на $\{\psi_j > -1/2^j\} \supset \mathbb{B}^n_j(0) \cap \{x_1>3/2^j\}$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\varphi_j(z):=\begin{cases} \widetilde{\varphi}_j(z), &z \in \mathbb{B}^n_j(0) \cap \biggl\{x_1 \geqslant \dfrac1{2^j}\biggr\}, \\ 0, &z \in \biggl\{x_1<\dfrac1{2^j}\biggr\}, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
– такая гладкая плюрисубгармоническая функция на $W_j:=\mathbb{B}^n_j(0) \cup \{x_1<1/2^j\}$, что $\varphi_j$ строго плюрисубгармонична и положительна на $\mathbb{B}^n_j(0) \cap \{x_1>3/2^j\}$. Заметим, что $W := \bigcap_{j=1}^\infty W_j$ – связная открытая окрестность множества $\{x_1 \leqslant 0\}$. Теперь легко видеть, что для последовательности $\{\varepsilon_j\}_{j=1}^\infty$ положительных чисел, достаточно быстро сходящихся к нулю, функция $\varphi := \sum_{j=1}^\infty \varepsilon_j\varphi_j$ будет гладкой и плюрисубгармонической на $W$, причем $\varphi \equiv 0$ на $\{x_1 \leqslant 0\}$ и $\varphi$ строго плюрисубгармонична и положительна на $W \cap \{x_1>0\}$, что завершает доказательство теоремы 2.1. Как следствие теоремы 2.1 мы получаем следующее утверждение, которое является одним из основных технических инструментов в нашем дальнейшем построении. Следствие 2.1. Для любого $r \in (0,1)$ существует такая гладкая неотрицательная плюрисубгармоническая функция $\varphi_r$, определенная на области $\Omega_r:=\mathbb{C}^n \setminus \mathbb{S}^n_r$, что (1) $\varphi_r$ равна $0$ на множестве $\Omega_r \setminus\widehat{\mathbb{S}}^n_r$; (2) $\varphi_r$ положительна и строго плюрисубгармонична во внутренности $\operatorname{Int}(\widehat{\mathbb{S}}^n_r)$ множества $\widehat{\mathbb{S}}^n_r$. Доказательство. Если для любого $r \in (0,1)$ мы определим функцию $\varphi_r$ по формуле
$$
\begin{equation*}
\varphi_r(z):= \begin{cases} \varphi(z_1-r, z_2, \dots, z_n), &\text{если }z=(z_1, z_2, \dots, z_n) \in \operatorname{Int}(\widehat{\mathbb{S}}^n_r), \\ 0, &\text{если } z \in \Omega_r \setminus \operatorname{Int}(\widehat{\mathbb{S}}^n_r), \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varphi$ – функция, построенная в теореме 2.1, то сразу видно, что функция $\varphi_r$ обладает всеми требуемыми свойствами. § 3. Построение и свойства множества $\mathfrak{n}(\mathcal{K})$Пусть $\mathcal{K}' \supset \mathcal{K}''$ – компактные множества в комплексном многообразии ${\mathcal M}$ размерности $n$. Мы скажем, что множество $\mathcal{K}''$ получается из множества $\mathcal{K}'$ сферическим отсечением, если существуют такие $r \in (0,1)$, окрестность $U:=U(\widehat{\mathbb{S}}^n_r) \subset \mathbb{C}^n$ заполненной сферической шапки $\widehat{\mathbb{S}}^n_r$ и инъективное голоморфное отображение $\Phi \colon U \to \mathcal{M}$, что $\Phi(\mathbb{S}^n_r) \subset \mathcal M \setminus \mathcal{K}'$ и $\mathcal{K}' \setminus \Phi(\operatorname{Int}(\widehat{\mathbb{S}}^n_r)) =\mathcal{K}''$. Далее, для пары компактных множеств $\mathcal{K}' \supset \mathcal{K}''$ в $\mathcal M$ мы говорим, что множество $\mathcal{K}''$ получается из множества $\mathcal{K}'$ конечной последовательностью сферических отсечений, если существует такая конечная убывающая последовательность $\mathcal{K}_{\ 1} \supset \mathcal{K}_{\ 2} \supset \dots \supset \mathcal{K}_{\ m}$ компактных множеств в ${\mathcal M}$, что $\mathcal{K}_{\ 1}=\mathcal{K}'$, $\mathcal{K}_{\ m}=\mathcal{K}''$, и для любого $j=2, 3, \dots, m$ множество $\mathcal{K}_{\ j}$ получается из множества $\mathcal{K}_{\ j-1}$ сферическим отсечением. Теперь для данного компактного множества $\mathcal{K}$ в ${\mathcal M}$ мы можем рассмотреть семейство $\mathcal{F}_\mathcal{K}$ компактных подмножеств множества $\mathcal{K}$ , определенное следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{F}_\mathcal{K} &:=\{\mathcal{K}_{\ \alpha} \colon \mathcal{K}_{\ \alpha} \text{ получается из } \mathcal{K} \text{ конечной последовательностью} \\ &\qquad\qquad\text{сферических отсечений}\}_{\alpha \in {\mathcal A}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где ${\mathcal A}$ – множество параметров этого семейства. Следующее утверждение легко вывести из определения семейства $\mathcal{F}_\mathcal{K}$. Лемма 3.1. Пусть $\mathcal{K}_{\ {\alpha}_1}, \mathcal{K}_{\ {\alpha}_2}, \dots, \mathcal{K}_{\ {\alpha}_m}$ – конечное семейство компактных множеств из $\mathcal{F}_\mathcal{K}$. Тогда $\bigcap^m_{j=1}\mathcal{K}_{\ {\alpha}_j} \in \mathcal{F}_\mathcal{K}$. Доказательство. Так как общий случай сводится по индукции к случаю двух множеств ${\mathcal K}_{\ {\alpha}_1}$ и $\mathcal{K}_{\ {\alpha}_2}$, мы рассмотрим здесь только этот случай.
Заметим сначала, что из предположения $\mathcal{K}_{\ {\alpha}_1}\,{\in}\, \mathcal{F}_\mathcal{K}$ следует существование такой конечной убывающей последовательности $\mathcal{K}'_{\ 1} \supset \mathcal{K}'_{\ 2} \supset \dots \supset \mathcal{K}'_{\ m_1}$ компактных множеств в ${\mathcal M}$, что $\mathcal{K}'_{\ 1}=\mathcal{K}$ , $\mathcal{K}'_{\ m_1}=\mathcal{K}_{\ {\alpha}_1}$ и для каждого $j=2, 3, \dots, m_1$ множество $\mathcal{K}'_{\ j}$ получается из множества $\mathcal{K}'_{\ j-1}$ сферическим отсечением. Аналогично, из предположения, что $\mathcal{K}_{\ {\alpha}_2} \in \mathcal{F}_\mathcal{K}$, следует, что существует конечная убывающая последовательность $\mathcal{K}''_{\ 1} \supset \mathcal{K}''_{\ 2} \supset \dots \supset \mathcal{K}''_{\ m_2}$ таких компактных множеств в ${\mathcal M}$, что $\mathcal{K}''_{\ 1} = \mathcal{K}$ , $\mathcal{K}''_{\ m_2}=\mathcal{K}_{\ {\alpha}_2}$ и для каждого $j=2, 3, \dots, m_2$ множество $\mathcal{K}''_{\ j}$ получается из множества $\mathcal{K}''_{\ j-1}$ сферическим отсечением. Если мы теперь рассмотрим сферические отсечения, соответствующие первой последовательности с начальным множеством $\mathcal{K}$ , и затем сферические отсечения, соответствующие второй последовательности, но примененные к начальному множеству $\mathcal{K}_{\ {\alpha}_1}$, мы получим конечную убывающую последовательность $\mathcal{K}=\mathcal{K}'_{\ 1} \supset \mathcal{K}''_{\ 2} \supset \dots \supset \mathcal{K}'_{\ m_1}=\mathcal{K}_{\ {\alpha}_1}=\mathcal{K}_{\ {\alpha}_1} \cap \mathcal{K}=\mathcal{K}_{\ {\alpha}_1} \cap \mathcal{K}''_{\ 1} \supset \mathcal{K}_{\ {\alpha}_1} \cap \mathcal{K}''_{\ 2}\supset \dots \supset \mathcal{K}_{\ {\alpha}_1} \cap \mathcal{K}''_{\ m_2}=\mathcal{K}_{\ {\alpha}_1} \cap \mathcal{K}_{\ {\alpha}_2}$ компактных множеств в ${\mathcal M}$ с тем свойством, что каждое множество в этой последовательности получается из предыдущего множества сферическим отсечением. Так как начальным множеством этой последовательности является $\mathcal{K}$ , а конечным множеством – $\mathcal{K}_{\ {\alpha}_1}\,{\cap}\, \mathcal{K}_{\ {\alpha}_2}$, мы заключаем, что $\mathcal{K}_{\ {\alpha}_1}\,{\cap}\, \mathcal{K}_{\ {\alpha}_2} \in \mathcal{F}_\mathcal{K}$. Это завершает доказательство леммы 3.1. Теперь мы можем определить множество $\mathfrak{n}(\mathcal{K})$, которое играет особую роль в настоящей статье и которое будет называться в дальнейшем псевдовогнутым остовом $\mathcal{K}$:
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{n}(\mathcal{K}):=\bigcap_{\mathcal{K}_{\; \alpha} \in \mathcal{F}_\mathcal{K}}\mathcal{K}_{\ \alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Наиболее важные для нас свойства этого множества приведены в следующем утверждении. Теорема 3.1. Множество $\mathfrak{n}(\mathcal{K})$ является $1$-псевдовогнутым. Кроме того, $\mathfrak{n}(\mathcal{K})$ – максимальное $1$-псевдовогнутое подмножество множества $\mathcal K$. Доказательство. Чтобы получить противоречие, предположим, что множество $\mathfrak{n}(\mathcal{K})$ не $1$-псевдовогнуто. Тогда, ввиду определения 2.2 и предложения 2.2, для некоторого $r \in (0,1)$ существуют окрестность $U \subset \mathbb{C}^n$ заполненной сферической шапки $\widehat{\mathbb{S}}^n_r$ и такое инъективное голоморфное отображение $\Phi \colon U \to \mathcal{M}$, что $\Phi(\mathbb{S}^n_r) \subset \mathcal{M} \setminus \mathfrak{n}(\mathcal{K})$ и $\Phi(\widehat{\mathbb{S}}^n_r) \cap \mathfrak{n}(\mathcal{K}) \neq \varnothing$. Заметим, что после замены $r$ на $r-\varepsilon$ с достаточно малым $\varepsilon > 0$ если нужно, но сохраняя те же $U$ и $\Phi$, мы можем добиться выполнения условий
Пусть $\zeta$ – точка множества $\Phi(\operatorname{Int}(\widehat{\mathbb{S}}^n_r)) \cap \mathfrak{n}(\mathcal{K})$. Так как $\Phi(\mathbb{S}^n_r) \subset \mathcal{M} \setminus \mathfrak{n}(\mathcal{K})$, то, ввиду компактности множеств $\Phi(\mathbb{S}^n_r)$ и $\mathfrak{n}(\mathcal{K})$, существует такая окрестность $V$ множества $\mathfrak{n}(\mathcal{K})$, что $\Phi(\mathbb{S}^n_r) \cap V=\varnothing$. Теперь из определения множества $\mathfrak{n}(\mathcal{K})$ следует, что существует такой конечный набор компактных множеств $\mathcal{K}_{\ {\alpha}_1}, \mathcal{K}_{\ {\alpha}_2}, \dots, \mathcal{K}_{\ {\alpha}_m}$ в семействе $\mathcal{F}_\mathcal{K}$, что $\bigcap^m_{j=1}\mathcal{K}_{\ {\alpha}_j} \subset V$. Согласно лемме 3.1 мы знаем что множество
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal{K}}:=\bigcap^m_{j=1}{\mathcal K}_{\ {\alpha}_j}
\end{equation*}
\notag
$$
также принадлежит семейству $\mathcal{F}_\mathcal{K}$. Так как $\widetilde{\mathcal{K}} \subset V$ и $\Phi(\mathbb{S}^n_r) \cap V = \varnothing$, то $\Phi(\mathbb{S}^n_r) \cap \widetilde{\mathcal{K}} = \varnothing$, и поэтому мы можем сделать еще одно сферическое отсечение, чтобы получить множество $\widetilde{\mathcal{K}} \setminus \Phi(\operatorname{Int}(\widehat{\mathbb{S}}^n_r)) =: \overset{\thickapprox}{\mathcal{K}}$ из множества $\widetilde{\mathcal{K}}$. Заметим теперь, что, по построению, множество $\overset{\thickapprox}{\mathcal{K}}$ также принадлежит семейству $\mathcal{F}_\mathcal{K}$ и, кроме того, что $\zeta \notin \overset{\thickapprox}{\mathcal{K}}$. Тогда, по определению множества $\mathfrak{n}(\mathcal{K})$, мы знаем, что $\zeta \notin \mathfrak{n}(\mathcal{K})$, что противоречит нашему выбору точки $\zeta$. Чтобы доказать максимальность $\mathfrak{n}(\mathcal{K})$, заметим сначала, что если $\mathcal{K}_{\ 2}\,{\subset}\, \mathcal{K}_{\ 1}$ – такие компактные множества в ${\mathcal M}$, что $\mathcal{K}_{\ 2}$ получается из $\mathcal{K}_{\ 1}$ сферическим отсечением, и если $\mathcal{K}' \subset \mathcal{K}_{\ 1}$ – компактное множество, являющееся $1$-псевдовогнутым, то из определения $1$-псевдовогнутых множеств вытекает, что $\mathcal{K}' \subset \mathcal{K}_{\ 2}$. Применяя это рассуждение к конечной последовательности сферических отсечений множества $\mathcal{K}$ , мы видим, что для произвольного $1$-псевдовогнутого компактного подмножества $\mathcal{K}'$ в $\mathcal K$ включение $\mathcal{K}' \subset \mathcal{K}_{\ \alpha}$ выполняется для любого ${\mathcal K}_{\ \alpha} \in \mathcal{F}_\mathcal{K}$. Таким образом, по определению $\mathfrak{n}(\mathcal{K})$ мы имеем $\mathcal{K}' \subset \bigcap_{{\mathcal K}_{\; \alpha} \in \mathcal{F}_\mathcal{K}}\mathcal{K}_{\ \alpha} = \mathfrak{n}(\mathcal{K})$. Это завершает доказательство теоремы 3.1. § 4. Доказательство основной теоремыТеперь мы можем завершить доказательство основной теоремы. Для этого мы рассмотрим два возможных случая. Случай 1. $\mathfrak{n}(\mathcal{K}) \neq \varnothing$. В этом случае мы докажем, что множество $\mathcal K$ не допускает гладкой строго плюрисубгармонической функции. Действительно, мы рассуждаем от противного и предполагаем, в соответствии с определением 1.1, что существуют окрестность $\mathfrak{A}$ множества $\mathcal{K}$ в $\mathcal{M}$ и гладкая строго плюрисубгармоническая функция $\varphi$ на $\mathfrak{A}$. Так как множество $\mathfrak{n}(\mathcal{K})$ компактно, то найдется такая точка $\zeta_0 \in \mathfrak{n}(\mathcal{K})$, что $\varphi(\zeta_0)=\max_{\zeta \in \mathfrak{n}(\mathcal{K})}\varphi(\zeta)$. Тогда, ввиду строгой плюрисубгармоничности $\varphi$, в локальных координатах вблизи $\zeta_0$, функция $\varphi(\zeta_0) - \varepsilon \|\zeta-\zeta_0\|^2$ все еще плюрисубгармонична для всех достаточно малых $\varepsilon$. Более точно, существуют такая окрестность $V \subset \mathcal{M}$ точки $\zeta_0$, инъективное голоморфное отображение $\Phi \colon V \to \mathbb{C}^n$, переводящее точку $\zeta_0$ в начало координат, и число $\varepsilon_0 >0$, что функция $\varphi(\zeta)-\varepsilon \|\Phi(\zeta)\|^2$ плюрисубгармонична на $V$ для всех $0 \leqslant \varepsilon<\varepsilon_0$. Так как множество $\mathfrak{n}(\mathcal{K})$ $1$-псевдовогнуто по теореме 3.1, то, если мы выберем $V$ достаточно малым, будет выполняться свойство (3) предложения 2.2 с $\mathfrak{n}(\mathcal{K})$ вместо $A$. Применяя это свойство к функции $\varphi(\zeta)-\varepsilon \|\Phi(\zeta)\|^2$ для некоторого $0 < \varepsilon<\varepsilon_0$ и для $B$, являющегося замыканием достаточно малой окрестности точки $\zeta_0$, мы получим, согласно выбору $\zeta_0$, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varphi(\zeta_0) &= \varphi(\zeta_0)-\varepsilon \|\Phi(\zeta_0)\|^2 = \max_{\zeta \in {\mathfrak{n}(\mathcal{K})} \cap B} \varphi(\zeta) - \varepsilon \|\Phi(\zeta_0)\|^2 \\ &=\max_{\zeta \in {\mathfrak{n}(\mathcal{K})} \cap B} (\varphi(\zeta)-\varepsilon \|\Phi(\zeta)\|^2) \leqslant \max_{\zeta \in {\mathfrak{n}(\mathcal{K})} \cap bB} (\varphi(\zeta)-\varepsilon \|\Phi(\zeta)\|^2) \\ &<\max_{\zeta \in {\mathfrak{n}(\mathcal{K})} \cap bB} \varphi(\zeta) \leqslant \max_{\zeta \in {\mathfrak{n}(\mathcal{K})} \cap B} \varphi(\zeta)=\varphi(\zeta_0). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это дает желаемое противоречие в случае 1. Случай 2. $\mathfrak{n}(\mathcal{K})=\varnothing$. Мы докажем, что в этом случае множество $\mathcal K$ допускает гладкую строго плюрисубгармоническую функцию, т.е. существуют окрестность $\mathfrak{A}$ множества $\mathcal K$ в $\mathcal M$ и гладкая строго плюрисубгармоническая функция $\varphi$, определенная на $\mathfrak{A}$. Действительно, так как $\bigcap_{\mathcal{K}_{\; \alpha} \in \mathcal{F}_\mathcal{K}}\mathcal{K}_{\ \alpha} = \mathfrak{n}(\mathcal{K})=\varnothing$ и так как все множества $\mathcal{K}_{\ \alpha} \in \mathcal{F}_\mathcal{K}$ компактны, то найдется конечное число таких компактов $\mathcal{K}_{\ {\alpha}_1}, \mathcal{K}_{\ {\alpha}_2}, \dots, \mathcal{K}_{\ {\alpha}_m}$ в $\mathcal{F}_\mathcal{K}$, что $\bigcap^m_{j=1}\mathcal{K}_{\ {\alpha}_j}=\varnothing$. Следовательно, ввиду леммы 3.1, существует такая конечная последовательность сферических отсечений $\mathcal{K}_{\ 1}\supset \mathcal{K}_{\ 2} \supset \dots \supset \mathcal{K}_{\ m}$, что $\mathcal{K}_{\ 1} = \mathcal K$ и $\mathcal{K}_{\ m}=\varnothing$. Мы используем эту последовательность, чтобы индуктивно построить, для каждого $j=m -1, m-2, \dots, 1$, окрестность $\mathfrak{A}_j$ компактного множества $\mathcal{K}_{\ j}$ и гладкую строго плюрисубгармоническую функцию $\varphi_j$, определенную на множестве $\mathfrak{A}_j$. Если мы сможем провести такое построение, то, ввиду равенства $\mathcal K=\mathcal{K}_{\ 1}$, функция $\varphi:=\varphi_1$, определенная на $\mathfrak{A}:=\mathfrak{A}_1$, окажется требуемой функцией. Чтобы сделать первый шаг нашего построения, рассмотрим множество $\mathcal{K}_{\ m-1}$ и заметим что, так как $\mathcal{K}_{\ m}=\varnothing$ и так как множество $\mathcal{K}_{\ m}$ получается из множества $\mathcal{K}_{\ m-1}$ сферическим отсечением, то существуют такие $r_{m-1} \in (0,1)$, окрестность $U_{m-1}:=U(\widehat{\mathbb{S}}^n_{r_{m-1}}) \subset \mathbb{C}^n$ заполненной сферической шапки $\widehat{\mathbb{S}}^n_{r_{m-1}}$ и инъективное голоморфное отображение $\Phi_{m-1} \colon U_{m-1} \to \mathcal{M}$, что $\Phi_{m-1}(\mathbb{S}^n_{r_{m-1}}) \subset \mathcal M \setminus \mathcal{K}_{\ m-1}$ и $\mathcal{K}_{\ m-1} \subset \Phi_{m-1}(\operatorname{Int} (\widehat{\mathbb{S}}^n_{r_{m-1}}))$. Если мы обозначим через ${\widetilde \varphi}_{m-1}$ ограничение на множество $U_{m-1}$ функции $\varphi_{r_{m-1}}$, построенной в следствии 2.1 для $r=r_{m-1}$, то функция $\varphi_{m-1}:={\widetilde \varphi}_{m-1} \circ \Phi^{- 1}_{m-1}$ будет гладкой и строго плюрисубгармонической на окрестности $\mathfrak{A}_{m-1}:=\Phi_{m-1}(\operatorname{Int} (\widehat{\mathbb{S}}^n_{r_{m-1}}))$ множества $\mathcal{K}_{\ m-1}$. Перейдем теперь к индуктивному шагу нашего построения. Предположим, что мы уже построили окрестность $\mathfrak{A}_j$ компактного множества $\mathcal{K}_{\ j}$ и гладкую строго плюрисубгармоническую функцию $\varphi_j$, определенную на множестве $\mathfrak{A}_j$. Уменьшая множество $\mathfrak{A}_j$ при необходимости, мы можем считать, что $\mathfrak{A}_j$ имеет гладкую границу и функция $\varphi_j$ является гладкой на ${\overline{\mathfrak{A}}}_j$; следовательно, существует гладкое продолжение функции $\varphi_j$, которое мы обозначим через $\varphi'_j$, на все $\mathcal M$. Далее, так как множество $\mathcal{K}_{\ j}$ получается из множества $\mathcal{K}_{\ j-1}$ сферическим отсечением, то существуют такие $r_{j-1} \in (0,1)$, окрестность $U_{j-1}:=U(\widehat{\mathbb{S}}^n_{r_{j-1}}) \subset \mathbb{C}^n$ заполненной сферической шапки $\widehat{\mathbb{S}}^n_{r_{j-1}}$ и инъективное голоморфное отображение $\Phi_{j-1} \colon U_{j-1} \to \mathcal{M}$, что $\Phi_{j-1}(\mathbb{S}^n_{r_{j-1}}) \subset \mathcal M \setminus \mathcal{K}_{\ j-1}$ и $\mathcal{K}_{\ j-1} \setminus \Phi_{j-1}(\operatorname{Int}(\widehat{\mathbb{S}}^n_{r_{j-1}})) = \mathcal{K}_{\ j}$. Если мы обозначим символом ${\widetilde \varphi}_{j-1}$ ограничение на множество $U_{j-1}$ функции $\varphi_{r_{j-1}}$, даваемой следствием 2.1 с $r=r_{j-1}$, то функция ${\widetilde \varphi}''_{j-1}:={\widetilde \varphi}_{j-1} \circ \Phi^{- 1}_{j-1}$ будет гладкой и строго плюрисубгармонической на окрестности $\Phi_{j-1}(\operatorname{Int}(\widehat{\mathbb{S}}^n_{r_{j-1}}))$ множества $\mathcal{K}_{\ j-1}\setminus \mathfrak{A}_j$. Кроме того, если мы обозначим через $\varphi''_{j-1}$ продолжение функции ${\widetilde \varphi}''_{j-1}$ нулем на оставшуюся часть области ${\mathcal W}_{j-1}:=\mathcal M \setminus \Phi_{j-1}(\mathbb{S}^n_{r_{j-1}})$, то, по построению функции $\varphi_{r_{j-1}}$ (см. следствие 2.1), функция $\varphi''_{j-1}$ – гладкая и плюрисубгармоническая на ${\mathcal W}_{j-1}$, равная нулю на ${\mathcal W}_{j-1} \setminus \Phi_{j-1}(\operatorname{Int}({\widehat {\mathbb S}}^n_{r_{j-1}}))$ и положительная и строго плюрисубгармоническая на $\Phi_{j-1}(\operatorname{Int}(\widehat{\mathbb{S}}^n_{r_{j-1}}))$. Далее, так как $\mathcal{K}_{\ j-1}$ – подмножество открытого множества $\mathfrak{A}_j \cup \Phi_{j-1}(\operatorname{Int}(\widehat{\mathbb{S}}^n_{r_{j-1}}))$, мы можем выбрать в качестве множества $\mathfrak{A}_{j-1}$ такую открытую окрестность компакта $\mathcal{K}_{\ j-1}$, что $\mathfrak{A}_{j-1} \Subset \mathfrak{A}_j \cup \Phi_{j-1}(\operatorname{Int}(\widehat{\mathbb{S}}^n_{r_{j-1}}))$. Теперь, наконец, мы можем определить функцию $\varphi_{j-1}:=\varphi'_j + C \varphi''_{j-1}$, где число $C>0$ выбрано настолько большим, что $\varphi_{j-1}$ строго плюрисубгармонична не только на множестве $\mathfrak{A}_{j-1} \cap \mathfrak{A}_j$, на котором $\varphi'_j$ строго плюрисубгармонична и $C \varphi''_{j-1}$ плюрисубгармонична, но также на множестве $\mathfrak{A}_{j-1} \setminus \mathfrak{A}_j \Subset \Phi_{j-1}(\operatorname{Int}(\widehat{\mathbb{S}}^n_{r_{j-1}}))$, на котором $\varphi''_{j-1}$ строго плюрисубгармонична, и следовательно, для достаточно большого $C$, то же верно для $\varphi'_j+C \varphi''_{j-1} = \varphi_{j-1}$. Это доказывает наше утверждение по индукции, а значит, также и существование гладкой строго плюрисубгармонической функции на $\mathcal K$ в случае 2. Доказательство основной теоремы завершено. Заметим, что, используя то же рассуждение, что и в случае 2 выше (т.е. используя конечную последовательность сферических отсечений $\mathcal{K}_{\ 1} \supset {\mathcal K}_{\ 2} \supset \dots \supset \mathcal{K}_{\ m}$ и применяя затем следствие 2.1) в ситуации, когда $\mathfrak{n}(\mathcal{K}) \neq \varnothing$, и выбирая в качестве исходной точки нашей индуктивной конструкции функцию, тождественно равную нулю в окрестности $\mathfrak{n}(\mathcal{K})$, мы получим следующий результат. Теорема 4.1. Пусть $\mathcal{K}$ – компактное подмножество комплексного многообразия $\mathcal M$ и $\mathcal{V}$ – окрестность множества $\mathfrak{n}(\mathcal{K})$ в $\mathcal M$. Тогда существуют окрестность $\mathfrak{A}$ множества $\mathcal K$ в $\mathcal M$ и гладкая неотрицательная плюрисубгармоническая функция $\varphi$, определенная на $\mathfrak{A}$, удовлетворяющие следующим условиям: (1) $\varphi$ положительна и строго плюрисубгармонична на $\mathfrak{A} \setminus \overline{\mathcal{V}}$; (2) $\varphi|_{\mathfrak{n}(\mathcal{K})} \equiv 0$. § 5. Приложения и нерешенные вопросыОбсудим теперь некоторые приложения наших результатов и их связи с другими темами, которые естественным образом делят этот параграф по содержанию на три пункта. 5.1. Гиперболичность по КобаясиДля первого приложения нам понадобится следующее утверждение, которое устанавливает связь между гиперболичностью по Кобаяси и наличием ограниченной строго плюрисубгармонической функции. Оно является небольшой переформулировкой теоремы 3 на с. 362 в [4]. Теорема 5.1. Пусть $M$ – комплексное многообразие, которое допускает ограниченную непрерывную строго плюрисубгармоническую функцию. Тогда $M$ гиперболично по Кобаяси. В качестве непосредственного следствия этого утверждения и нашей основной теоремы мы получаем следующий результат. Теорема 5.2. Пусть $\mathcal{K}$ – компактное подмножество комплексного многообразия $\mathcal{M}$. Если $\mathcal{K}$ не имеет $1$-псевдовогнутых подмножеств, то существует окрестность $\mathfrak{A}$ множества $\mathcal{K}$ в $\mathcal{M}$, являющаяся гиперболической по Кобаяси. 5.2. Ядро компактаСледующие рассмотрения, естественно связанные с содержанием настоящей статьи, используют понятие ядра комплексного многообразия. Это понятие было введено и систематически изучено Харцем, Щербиной и Томассини в [8] и [14]–[16]. Дальнейшие результаты о расслоенной структуре ядра были получены Полецким и Щербиной в [17] и Слодковским в [18]. Напомним сначала определение ядра многообразия, данное в [8] и [14]. Определение 5.1. Пусть $\mathcal{M}$ – комплексное многообразие. Тогда множество называется ядром $\mathcal{M}$. По аналогии мы можем определить понятие ядра в контексте настоящей статьи. Определение 5.2. Пусть $\mathcal{K}$ – компактное подмножество комплексного многообразия $\mathcal{M}$. Тогда множество Из этого определения очевидным образом следует, что множество $\mathfrak{c}(\mathcal{K})$ компактно. Так как согласно теореме 4.1 для любой точки $\zeta \notin \mathfrak{n}(\mathcal{K})$ существует гладкая плюрисубгармоническая функция, определенная в окрестности $\mathcal{K}$ , которая строго плюрисубгармонична в $\zeta$, то выполняется следующее свойство. Теорема 5.3. Пусть $\mathcal{K}$ – компактное подмножество комплексного многообразия $\mathcal M$. Тогда $\mathfrak{c}(\mathcal{K}) \subset \mathfrak{n}(\mathcal{K})$. Мы не знаем, верно ли обратно утверждение. Вопрос 5.1. Пусть $\mathcal{K}$ – компактное подмножество комплексного многообразия $\mathcal M$. Всегда ли верно, что $\mathfrak{n}(\mathcal{K}) \subset \mathfrak{c}(\mathcal{K})$? Одним из важнейших свойств ядра $\mathfrak{c}(\mathcal{M})$, доказанным в [8], является его $1$-псевдовогнутость. Другое важное свойство $\mathfrak{c}(\mathcal{M})$, доказанное в [15] для многообразий размерности $2$, а затем в [17] и в [18] для общего случая, утверждает, что $\mathfrak{c}(\mathcal{M})$ можно разложить в такое дизъюнктное объединение псевдовогнутых множеств, что каждая гладкая ограниченная плюрисубгармоническая функция на $\mathcal{M}$ постоянна на каждом из этих множеств. Мы не знаем, верны ли подобные утверждения для ядра $\mathfrak{c}(\mathcal{K})$. Вопрос 5.2. Пусть $\mathcal{K}$ – компактное подмножество комплексного многообразия $\mathcal M$. Всегда ли ядро $\mathfrak{c}(\mathcal{K})$ $1$-псевдовогнуто? Вопрос 5.3. Пусть $\mathcal{K}$ – компактное подмножество комплексного многообразия $\mathcal M$. Всегда ли верно, что $\mathfrak{c}(\mathcal{K})$ можно разложить в дизъюнктное объединение таких $1$-псевдовогнутых множеств $\{E_\alpha\}_{\alpha \in \mathcal A}$, что $\varphi|_{E_\alpha} \equiv \mathrm{const}$ для каждого $\alpha \in \mathcal A$ и каждой функции $\varphi$, гладкой и плюрисубгармонической в окрестности множества $\mathcal{K}$? 5.3. О структуре псевдовогнутого остова Часть (3) предложения 2.2 выше показывает, что $1$-псевдовогнутые множества в некотором смысле напоминают комплексные аналитические многообразия. По этой причине возникает вопрос, могут ли такие множества и, в частности, в силу теоремы 3.1, псевдовогнутый остов $\mathfrak{n}(\mathcal{K})$ данного компактного множества $\mathcal{K}$ в комплексном многообразии $\mathcal{M}$ иметь некоторого рода аналитическую структуру. Ответ на этот вопрос, как правило, отрицательный, даже если размерность $\mathcal{M}$ равна $2$. Соответствующий пример можно получить, выбрав в качестве $\mathcal{M}$ $2$-мерное комплексное проективное пространство ${\mathbb P}^2 $ с проективными координатами $[z:w:\zeta]$, а в качестве $\mathcal{K}$ – компактификацию точкой $[1:0:0]$ множества типа Вермера Поскольку в общем случае ответ на поставленный выше вопрос отрицателен, можно ограничить вопрос случаем, когда компактное множество $\mathcal{K}$ имеет дополнительную структуру, например, случаем, когда $\mathcal{K}$ – это гладкая вещественная гиперповерхность в $\mathcal{M}$. Нетрудно видеть, что даже в этом случае псевдовогнутый остов $\mathfrak{n}(\mathcal{K})$ множества $\mathcal{K}$ не обязан содержать аналитических подмногообразий. Действительно, если мы выберем в качестве множества $\mathcal{K}$ $C^2$-малое возмущение общего положения поверхности $\{[z_1:z_2:z_3:z_4] \in \mathbb{P}^3 \colon |z_1|^2+|z_2|^2-|z_3|^2-|z_4|^2=0\}$ в ${\mathbb P}^3$, то форма Леви множества $\mathcal{K}$ будет иметь сигнатуру $(1,1)$; следовательно, $\mathcal{K}$ $1$-псевдовдовогнуто. Однако, так как $\mathcal{K}$ – это возмущение общего положения, мы видим, что $\mathcal{K}$ не может содержать голоморфный диск внутри себя, даже локально. Тем не менее, в случае, когда размерность $\mathcal{M}$ равна $2$ и $\mathcal{K}$ – гиперповерхность (даже не обязательно гладкая) в $\mathcal{M}$, множество $\mathfrak{n}(\mathcal{K})$ имеет очень специальную структуру. Теорема 5.4. Пусть $\mathcal{M}$ – комплексное многообразие размерности $2$, и пусть $\mathcal{K}$ – непрерывная гиперповерхность типа графика в $\mathcal{M}$. Тогда локально множество $\mathfrak{n}(\mathcal{K})$ является дизъюнктным объединением голоморфных дисков. Здесь условие, что $\mathcal{K}$ – непрерывная гиперповерхность типа графика в $\mathcal{M}$ означает, что для любой точки $\zeta \in \mathcal{K}$ существуют окрестность $\Omega$ в $\mathcal{M}$ и такие локально голоморфные координаты $(z, w)$ в $\Omega$, что $\mathcal{K} \cap \Omega=\{(z, w) \in B^3_r(0) \times {\mathbb R}_v \colon v=h(z, u)\} =: \Gamma_h$ – график непрерывной функции $h \colon B^3_r(0) \to {\mathbb R}_v$, где $B^3_r(0):=\{(z, u) \in \mathbb{C}_z \times {\mathbb R}_u \colon |z|^2+u^2<r^2\}$ и $w=u+i v$. Доказательство теоремы 5.4. Пусть $\zeta$ – точка $\mathfrak{n}(\mathcal{K})$. Так как по нашему предположению $\mathcal{K}$ – непрерывная гиперповерхность типа графика в $\mathcal{M}$, то мы можем выбрать окрестность $\Omega$ точки $\zeta$, как описано выше. Кроме того, мы можем предположить без ограничения общности, возможно после уменьшения окрестности $\Omega$ если нужно, что в локальных голоморфных координатах $(z, w)$ множество $\Omega$ имеет вид $\Omega=B^3_r(0) \times (- a, a) \subset B^3_r(0) \times {\mathbb R}_v \subset \mathbb{C}^2_{z,w}$ для некоторых $r, a >0$. Так как по теореме 3.1 множество $\mathfrak{n}(\mathcal{K})$ $1$-псевдовогнуто, и так как согласно части (1) предложения 2.2 $1$-псевдовогнутость является локальным свойством, то, учитывая, что утверждение теоремы тоже имеет локальную природу, достаточно ограничить наше рассмотрение множеством $\Omega$.
Рассмотрим теперь области $\Omega _{-}\,{:=}\,\{(z, w)\,{\in}\, \Omega \colon v\,{<}\,h(z, u)\}$ и $\Omega _{+}\,{:=}\,\{(z, w)\,{\in}\,\Omega$: $v>h(z, u)\}$ и заметим, что оболочки голоморфности этих областей однолистны и имеют вид $\Omega _{\ominus}:=\{(z, w) \in \Omega \colon v<h_{-}(z, u)\}$ и $\Omega _{\oplus}:=\{(z, w) \in \Omega \colon v>h_{+}(z, u)\}$ соответственно, где $h_{-} \geqslant h$ полунепрерывна сверху и $h_{+} \leqslant h$ полунепрерывна снизу на $B^3_r(0)$ (доказательство этого довольно элементарного факта можно найти, например, в лемме 1 статьи [20]). Так как множество $\mathfrak{n}(\mathcal{K}) \cap \Omega$ $1$-псевдовогнуто, и так как размерность $\mathcal{M}$ равна $2$, то мы заключаем, что область $\mathcal W:=\Omega \setminus \mathfrak{n}(\mathcal{K})$ псевдовыпукла. Из включения $\mathfrak{n}(\mathcal{K}) \subset \mathcal{K}$ следует, что $\Omega _{-}\,{\subset}\, \mathcal W$ и $\Omega _{+} \subset \mathcal W$ и, следовательно, ввиду псевдовыпуклости $\mathcal W$, что $\Omega _{\ominus} \subset \mathcal W$ и $\Omega _{\oplus}\,{\subset}\,\mathcal W$. Поэтому справедливо также включение
$$
\begin{equation}
\mathfrak{n}(\mathcal{K}) \cap \Omega \subset b\Omega _{\ominus} \cap b\Omega _{\oplus} \cap \Omega =: E.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Теперь результаты статьи [21] (см. также теорему 1 в [22]) показывают, что множество  является дизъюнктным объединением комплексных аналитических дисков $\{E_{\alpha}\}_{\alpha \in \mathcal A}$, которые замкнуты в $\Omega$. Следовательно, чтобы завершить доказательство теоремы, достаточно доказать следующее утверждение.
Утверждение 5.1. Если $E_{\alpha_0} \setminus \mathfrak{n}(\mathcal{K}) \neq \varnothing$ для некоторого $\alpha_0 \in \mathcal A$, то $E_{\alpha_0} \cap \mathfrak{n}(\mathcal{K})=\varnothing$. Ввиду включения (1), из этого утверждения будет следовать, что Доказательство утверждения 5.1. Если $E_{\alpha_0} \setminus \mathfrak{n}(\mathcal{K}) \neq \varnothing$, то мы можем взять такую непрерывную функцию $h^\ast \colon B^3_r(0) \to {\mathbb R}_v$, что $h^\ast \geqslant h$ на $B^3_r(0)$, $h^\ast=h$ на $\pi_{z,u}(\mathfrak{n}(\mathcal{K}) \cap \Omega)$ и $h^\ast>h$ на $\pi_{z,u}(E_{\alpha_0} \setminus \mathfrak{n}(\mathcal{K}))$, где $\pi_{z,u} \colon \mathbb{C}^2_{z,w} \to \mathbb{C}_z \times {\mathbb R}_u$ – каноническая проекция, и затем, как выше, мы рассмотрим области $\Omega^\ast _{-} := \{(z, w) \in \Omega \colon v<h^\ast(z, u)\}$ и $\Omega^\ast _{+}:=\{(z, w) \in \Omega \colon v>h^\ast(z, u)\}$. Их оболочки голоморфности имеют вид $\Omega^\ast_{\ominus} := \{(z, w) \in \Omega \colon v<h^\ast_{-}(z, u)\}$ и $\Omega^\ast_{\oplus}:=\{(z, w) \in \Omega \colon v>h^\ast_{+}(z, u)\}$ соответственно, где $h^\ast_{-} \geqslant h^\ast$ полунепрерывна сверху и $h^\ast_{+} \leqslant h^\ast$ полунепрерывна снизу на $B^3_r(0)$. Так как $h^\ast=h$ на $\pi_{z,u}(\mathfrak{n}(\mathcal{K}) \cap \Omega)$, то $\mathfrak{n}(\mathcal{K}) \cap \Omega \subset \Gamma_{h^\ast}$, и тогда ввиду псевдовогнутости $\mathfrak{n}(\mathcal{K})$ мы можем снова заключить из результатов [21], что
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{n}(\mathcal{K}) \cap \Omega \subset b\Omega^\ast _{\ominus} \cap b\Omega^\ast _{\oplus} \cap \Omega =: E^\ast,
\end{equation*}
\notag
$$
где  – дизъюнктное объединение комплексных аналитических дисков, замкнутых в $\Omega$. Теперь из свойства $h^\ast>h$ на $\pi_{z,u}(E_{\alpha_0} \setminus \mathfrak{n}(\mathcal{K})) \neq \varnothing$ вытекает, что диск $E_{\alpha_0}$ не принадлежит семейству $\{E^\ast_{\alpha}\}_{\alpha \in {\mathcal A}^\ast}$, откуда мы можем заключить, что $E_{\alpha_0} \subset \Omega^\ast_{\ominus} \subset \mathcal W$ и, следовательно, также $E_{\alpha_0} \cap \mathfrak{n}(\mathcal{K})=\varnothing$. Это доказывает утверждение 5.1 и завершает доказательство теоремы 5.4. Замечание 5.1. Заметим, что в случае, когда размерность $\mathcal{M}$ больше $2$, утверждение, аналогичное теореме 5.4, неизвестно, и его трудно получить даже в случае, когда $\mathcal{K}$ – граница гладкой псевдовыпуклой области $\mathcal D \subset \mathcal{M}$. Проблемы здесь связаны, в частности, со скачком ранга формы Леви и отсутствием варианта теоремы Фробениуса для распределений переменной размерности. Трудности этого рода возникают также в следующей, слегка переформулированной здесь, старой проблеме Росси [23; гипотеза 5.12, с. 489], которая, насколько мы знаем, все еще не решена. Гипотеза 5.1. Пусть $\mathcal D$ – псевдовыпуклая область с гладкой границей в комплексном многообразии $\mathcal{M}$ размерности не меньше $3$. Пусть $\mathfrak{B}$ – множество всех слабо псевдовыпуклых точек в $b{\mathcal D}$, а $\operatorname{Int}({\mathfrak{B}})$ – внутренность $\mathfrak{B}$ в $b{\mathcal D}$. Тогда для каждой точки $\zeta \in \operatorname{Int}({\mathfrak{B}})$ существует аналитическое множество $\mathcal V \subset b{\mathcal D}$ размерности по крайней мере $1$, проходящее через точку $\zeta$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Shc21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|