| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Тау-функции решений солитонных уравнений А. В. Домринabc a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет b Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра Российской академии наук, г. Уфа c Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9058 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеИзвестно, что все локальные голоморфные решения солитонных уравнений параболического типа являются глобально мероморфными функциями от пространственной переменной (см. [1; теорема 2(B)]). Например, любое решение $u(x,t)$ уравнения Кортевега–де Фриза
$$
\begin{equation}
u_t=au_{xxx}+buu_x,\qquad a,b\in\mathbb{C}\setminus\{0\},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
голоморфное в бидиске $\{(x,t)\in\mathbb{C}^2\,|\,|x-x_0|<r, \,|t-t_0|<s\}$, допускает аналитическое продолжение до мероморфной функции в полосе $\{(x,t)\in\mathbb{C}^2\,|\,|t-t_0|<s\}$, содержащей этот бидиск. Один из результатов настоящей работы (теорема 3(A)) состоит в том, что существует голоморфная в этой полосе функция $\tau(x,t)$, для которой выполнено равенство
$$
\begin{equation}
u(x,t)=\frac{12a}{b}(\ln\tau(x,t))_{xx}=\frac{12a}{b}\,\frac{\tau_{xx}\tau-\tau_x^2}{\tau^2}.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Иными словами, любое голоморфное решение уравнения Кортевега–де Фриза является при каждом фиксированном $t$ не просто какой-то глобально мероморфной функцией от $x$, но даже (с точностью до постоянного множителя $12a/b$) второй логарифмической производной некоторой целой функции. Новизна этого результата – в общности его предпосылок: он утверждает голоморфность $\tau(x,t)$ по $x\in\mathbb{C}$ для всех локальных голоморфных решений уравнения (1.1). Чтобы пояснить это, назовем определенную равенством (1.2) (однозначно с точностью до умножения на $e^{A(t)x+B(t)}$ для любых голоморфных функций $A$, $B$ в круге $\{|t-t_0|<s\}$) голоморфную на бидиске $\{(x,t)\in\mathbb{C}^2\,|\,|x-x_0|<r, \,|t-t_0|<s\}$ функцию $\tau(x,t)$ тау-функцией1 исходного решения $u(x,t)$ и скажем несколько слов об истории этого понятия. Оно неявно присутствовало уже в методе Хироты (1971, см., например, [3]) построения многосолитонных решений уравнения (1.1) с помощью подстановки (1.2), приводящей (1.1) к билинейному виду2
$$
\begin{equation}
\tau_{xt}\tau-\tau_x\tau_t=a(\tau\tau_{xxxx}-4\tau_x\tau_{xxx}+3\tau_{xx}^2)+C(t)\tau^2,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где $C(t)$ – любая голоморфная функция в круге $\{|t-t_0|<s\}$. Явная формулировка понятия тау-функции и ее гораздо более фундаментальная интерпретация были даны “киотской школой” в начале 80-х (см. [4] и доклад Сато [5]). В подходе Сато функция $\tau(x,t)$ появляется как “кусочек” $\tau_W(x,t,0,0,\dots)$ некоторого формального степенного ряда $\tau_W(t_1,t_3,t_5,t_7,\dots)$ от бесконечного числа временн\’ ых переменных, задающих все потоки иерархии КдФ (здесь $t_1=x$ и $t_3=t$). Этот ряд определен элементом $W$ бесконечномерного грассманиана таким образом, что уравнение (1.3) с $C(t)\equiv0$ есть одно из (бесконечного набора) соотношений Плюккера на проективные координаты точки $W$ в соответствующем бесконечномерном проективном пространстве. Решение $u(x,t)=u_W(x,t)$ при этом подходе также является (для общих $W$) лишь формальным степенным рядом от $x-x_0$ и $t-t_0$. Сегал и Вильсон [6] определили меньший грассманиан такой, что для всех его элементов $W$ формальный ряд $u_W(x,t)$ сходится в некоторой окрестности точки $(x_0,t_0)$. Более того, в этом случае функция $\tau_W(x,t)$ голоморфна на всем пространстве $\mathbb{C}^2_{xt}$. Полученный таким образом класс решений уравнения (1.1) совпадает с “классом $\mathcal{C}^{(n)}$”, введенным в конце § 5 работы [6], для случая $n=2$. Он содержит все конечнозонные решения уравнения (1.1) и их вырожденные (предельные) случаи: многосолитонные решения и рациональные решения, равные нулю при $x=\infty$ (см. примеры в § 7 ниже). Но в него не входит, например, решение $u(x,t)=x(1-bt)^{-1}$, так как его тау-функция $\tau(x,t)=\exp\{bx^3/(72a-72abt)\}$ не является целой по $t$. Более того, из теоремы Коши–Ковалевской вытекает, что для любой функции $\varphi_0(t)$, голоморфной в круге $\{|t-t_0|\leqslant s\}$, найдется $r>0$ такое, что уравнение (1.1) имеет голоморфное решение $u(x,t)$ в бидиске $\{(x,t)\in\mathbb{C}^2\,|\,|x-x_0|<r, \,|t-t_0|<s\}$ с условием3 $u(x_0,t)=\varphi_0(t)$ при $|t-t_0|<s$. Выбирая в качестве $\varphi_0(t)$ любую функцию, голоморфную в окрестности точки $t_0$, но не являющуюся глобально мероморфной на $\mathbb{C}^1_t$, получаем большой запас примеров голоморфных решений $u(x,t)$, не принадлежащих классу Сегала–Вильсона. Грассманианы, используемые в настоящей работе, являются промежуточными между грассманианом Сато (наибольшим) и грассманианом Сегала–Вильсона (наименьшим) в следующем смысле. Речь всюду идет о множестве некоторых подпространств $W\subset H_+\oplus H_-$, где векторные пространства $H_+$ и $H_-$ состоят из формальных степенных рядов вида $\sum_{n=0}^{\infty}\varepsilon_nz^n$ и $\sum_{n=1}^{\infty}\varphi_nz^{-n}$ с матричными коэффициентами от новой переменной $z$ (называемой спектральным параметром), причем произведение любых элементов из $H_+$ и $H_-$ должно быть корректно определенным формальным рядом Лорана от $z$ (т. е. ряды $\sum_{k=\max(0,1-l)}^{\infty}\varepsilon_k\varphi_{k+l}$ и $\sum_{k=\max(0,1-l)}^{\infty}\varphi_{k+l}\varepsilon_k$ должны сходиться при всех $l\in\mathbb Z$). Для грассманиана Сато $H_+$ состоит из полиномов (т. е. $\varepsilon_n=0$ при $n\geqslant n_0$), а $H_-$ – из всех формальных степенных рядов от $z^{-1}$, тогда как у Сегала и Вильсона $H_+$ и $H_-$ изоморфны $l_2$, т. е. $\sum_{n=0}^{\infty}|\varepsilon_n|^2<\infty$ и $\sum_{n=1}^{\infty}|\varphi_n|^2<\infty$. Мы выбираем в качестве $H_+$ и $H_-$ весовые пространства $l_{\infty}$ и $l_1$ с весами, зависящими от номера $m\in\mathbb N$ изучаемого солитонного уравнения параболического типа в его иерархии (например, $m=3$ для уравнения (1.1)), следующим образом:
$$
\begin{equation}
\sup_{n\geqslant0}|\varepsilon_n|B^nn!^{1/m}<\infty\qquad\text{и}\qquad \sum_{n=1}^{\infty} |\varphi_n|A^nn!^{-1/m}<\infty,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где $A>B>0$. Этот выбор мотивирован тем, что получающийся класс решений $u_W(x,t)$ в точности равен классу всех локальных голоморфных решений изучаемого уравнения (см. [1; теорема 2(A)]). Самый большой из наших грассманианов, отвечающий $m=1$, порождает множество всех голоморфных ростков в точке $x_0$ (решений уравнения $u_t=0$). С ростом $m$ этот грассманиан уменьшается, а порожденное им множество решений (точнее, их начальных условий $u_W(x,t_0)$) строго убывает, причем пересечение получившейся убывающей системы множеств по всем $m\in\mathbb N$ (или их “предел” при $m\to\infty$) содержит класс Сегала–Вильсона, но не совпадает с ним4. Опишем построение решений и их тау-функций в классе Сегала–Вильсона, которое переносится с небольшими изменениями и в наш контекст (это построение восходит к работе Вильсона [2] и обсуждается с рядом вариаций в недавних работах [9], [10]). Достаточно рассмотреть подпространства вида $W=H_+f^{-1}$, где $f\in I+H_-\subset H_+\oplus H_-$ ($I$ – единичная матрица). Для произвольного элемента $E\in H_+$ ставится задача Римана о факторизации матричнозначной функции $\gamma:=Ef^{-1}$, т. е. о нахождении элементов $\beta\in I+H_-$ и $\alpha\in H_+$ таких, что $\gamma=\beta^{-1}\alpha$ (равенство формальных рядов Лорана от $z$). Для решения этой задачи подставим элемент $\beta=I+\varphi$, где $\varphi\in H_-$, в условие5 $\{\beta\gamma\}_-=0$ и получим равенство $T_{\gamma}\varphi=-\gamma_-$, где через $T_{\gamma}(\varphi):=\{\varphi\gamma\}_-$ обозначен оператор Тёплица, действующий из $H_-$ в $H_-$. Если элемент $\gamma$ обратим (что выполнено в наших приложениях), то оператор Тёплица $T_{\gamma}$ обратим по модулю компактных операторов, причем обратным к нему в этом смысле является $T_{\gamma^{-1}}$. Более того, оператор $T_{\gamma^{-1}}T_{\gamma}$, отличающийся от тождественного на компактный, имеет определитель6. Таким образом, уравнение $T_{\gamma^{-1}}T_{\gamma}\varphi=-T_{\gamma^{-1}}\gamma_-$ имеет единственное решение $\varphi=-(T_{\gamma^{-1}}T_{\gamma})^{-1}T_{\gamma^{-1}}\gamma_-$ в предположении, что этот определитель
$$
\begin{equation}
\operatorname{Det}(T_{\gamma^{-1}}T_{\gamma})=:\Lambda_f(E)
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
отличен от нуля7. Уравнение (1.1) (вместе с рядом других) возникает при выборе в качестве $E$ семейства элементов $E=E(x,t,z):=\exp\{a(x-x_0)z+a(t-t_0)z^m\}\in H_+$, где $x,t\in\mathbb{C}$, $a:=\left[\begin{smallmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & -1/2 \end{smallmatrix}\right]$ и $m\in\mathbb N$. Будучи определителем голоморфного по параметрам $x$, $t$ семейства операторов, функция голоморфна на всем $\mathbb{C}^2_{xt}$ в случае грассманиана Сегала–Вильсона и на полосе $\{(x,t)\in\mathbb{C}^2\,|\,|a||t-t_0|<B\}$ в случае грассманиана (1.4). Дифференцирование равенства $E(x,t,z)f^{-1}(z)=\beta^{-1}(x,t,z)\alpha(x,t,z)$ по $x$ с учетом свойства $E_x=azE$ приводит8 к равенству $\alpha_x=U\alpha$, где $U(x,t,z)=az+q_f(x,t)$ для внедиагональной9 матричнозначной функции
$$
\begin{equation}
q_f(x,t):= \operatorname{res}[\beta(x,t,z),c],\quad\text{где}\quad \operatorname{res}\biggl(\sum_{k\in\mathbb{Z}}c_{k}z^{k}\biggr):=c_{-1}.
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
Дифференцирование того же равенства по $t$ с учетом свойства $E_t=az^mE$ приводит к равенству $\alpha_t=V\alpha$ для некоторого полинома $V(x,t,z)=az^m+\sum_{k=0}^{m-1}r_f^{(k)}(x,t)z^k$ степени $m$ по $z$, коэффициенты которого выражаются как полиномы от функции $q_f(x,t)$ и ее производных по $x$. Условие совместности $U_t-V_x+[U,V]=0$ системы $\alpha_x=U\alpha$, $\alpha_t=V\alpha$ оказывается не зависящим от $z$ соотношением на матричнозначную функцию $q_f(x,t)$ в полосе $\{(x,t)\in\mathbb{C}^2\,|\,|a||t-t_0|<B\}$ (а в случае Сегала–Вильсона даже на всем $\mathbb{C}^2_{xt}$) за исключением нулей определенной в (1.5), (1.6) функции $\Lambda_f(x,t)$, и оно выполнено в силу наличия у этой системы обратимого решения $\alpha$. При $m=3$ указанное соотношение принимает вид системы
$$
\begin{equation}
\begin{cases} u_t=u_{xxx}-6uvu_x, \\ v_t=v_{xxx}-6uvv_x \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
на компоненты $u=u_f$ и $v=v_f$ матрицы $q_f(x,t)=\left[\begin{smallmatrix} 0 & u_f(x,t) \\ v_f(x,t) & 0 \end{smallmatrix}\right]$. При этом выполнено равенство (см. теорему 1(C) ниже) Если элемент $f\in H_-$ выбран так, что $v_f\equiv1$, то второе уравнение системы (1.8) принимает вид $0=0$, а первое превращается в уравнение Кортевега–де Фриза (1.1) с $a=1$ и $b=-6$, причем равенство (1.9) принимает вид (1.2) с теми же значениями $a$, $b$ и с $\Lambda_f=\tau_f^2$. Таким образом, получено представление в виде (1.2) всех решений $u(x,t)$ уравнения (1.1), получаемых с помощью описанной конструкции. Но, согласно [1], при выборе грассманиана (1.4) (и номера потока $m=3$) эта конструкция дает все голоморфные решения системы (1.8) в окрестности точки $(x_0,t_0)\in\mathbb{C}^2$. Тем самым будет получено представление всех локальных голоморфных решений уравнения (1.1) в глобальном по $x$ виде (1.2) (см. детали в § 6). Структура работы такова. В §§ 2 и 3 приведены нужные нам сведения об определителях бесконечных матриц и об операторах Тёплица. В §§ 4 и 5 устанавливается основной результат о глобальной голоморфности функции $\Lambda_f$ (определенной формулами, аналогичными (1.5), (1.6)) по пространственной переменной $x$ для всех локальных голоморфных решений солитонных уравнений параболического типа, а также выводится общий аналог формулы (1.9). В § 6 разобраны частные случаи полученных результатов, а в § 7 обсуждается вопрос о порядке роста тау-функции при $|x|\to\infty$. § 2. Следы и определители бесконечных блочных матрицФиксируем натуральное число $n\in\mathbb N$ и обозначим через $\mathcal{M}_n$ векторное пространство всех бесконечных матриц $A=(a_{pq})_{p,q=0}^{\infty}$, элементы которых, в свою очередь, являются $(n\times n)$-матрицами $a_{pq}\in\operatorname{gl}(n,\mathbb{C})$, причем Здесь $|\,{\cdot}\,|$ означает произвольную фиксированную норму на $\operatorname{gl}(n,\mathbb{C})$. Определение $\mathcal{M}_n$ не зависит от ее выбора, так как все нормы на конечномерном пространстве $\operatorname{gl}(n,\mathbb{C})$ эквивалентны. Для определенности мы будем считать, что $|x|$ равняется сумме модулей элементов матрицы $x$. Тогда все нормированные пространства $\mathcal{M}_n$, $n\in\mathbb N$, становятся изометрически вложенными подпространствами в $\mathcal{M}_1$ путем замены каждого блока $a_{pq}$ на соответствующую ему матрицу. Это позволяет автоматически распространить на все $\mathcal{M}_n$ свойства функций $\operatorname{Tr}(\,{\cdot}\,)$ и $\operatorname{Det}(I+{\cdot}\,)$, определенных в классическом случае на $\mathcal{M}_1$.Векторное пространство $\mathcal{M}_1$, снабженное нормой (2.1), является нормированной алгеброй, которая названа в [14; п. 6.5.4.2] (см. также [15; § III.1]) алгеброй Пуанкаре, так как именно на ней была впервые развита теория определителей бесконечных матриц (определителей Хилла) в работах Пуанкаре (1886) и фон Коха (1892). Подход этих работ описан в параграфах 2.8, 19.4 классического учебника [16], современное изложение содержания которых можно найти в [15; §§ III.1, III.2]. Позднее фон Кох (1901) распространил эту теорию на более общий класс матриц с $\sum_{p=0}^{\infty}\sup_{q\geqslant0}|a_{pq}|<\infty$, который, как показал Гротендик (1956), уже совпадает с классом всех ядерных операторов на $l_1$. См. об этом [14; пп. 5.7.3.4, 6.5.2.8], [15; §§ III.5, V.2] и ссылки там. Определим комплекснозначные функционалы $\operatorname{Tr}(\,{\cdot}\,)$ и $\operatorname{Det}(I+{\cdot}\,)$ на нормированной алгебре $\mathcal{M}_n$ как пределы10
$$
\begin{equation}
\operatorname{Tr} (A) :=\lim_{N\to\infty} \operatorname{tr} A^{(N)} = \sum_{p=0}^{\infty} \operatorname{tr} a_{pp},
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{Det}(I+A) :=\lim_{N\to\infty} \det(I+A^{(N)}),
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $A^{(N)}:=(a_{pq})_{p,q=0}^N$ означает срезку бесконечной матрицы $A$. Существование предела и абсолютная сходимость ряда в (2.2) вытекают из неравенства $|\operatorname{tr} a_{pp}|\leqslant|a_{pp}|$ и условия (2.1), а существование предела (2.3) – из неравенств11
$$
\begin{equation}
|d_{N+M}-d_N|\leqslant P_{N+M}-P_N,\quad \text{где}\quad P_k:=\prod_{p=0}^k\biggl(1+\sum_{q=0}^k|a_{pq}|\biggr),
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
для определителей $d_k:=\det(I+A^{(k)})$ срезок матрицы $I+A$. Заметим, что возрастающая последовательность $\{P_k\}$ имеет конечный предел в силу вытекающей из (2.1) сходимости бесконечного произведения $\prod_{p=0}^{\infty}\bigl(1+\sum_{q=0}^{\infty}|a_{pq}|\bigr)$. С помощью предельного перехода $N\to\infty$ устанавливаются стандартные свойства следов и определителей (см. [14; пп. 6.5.1.1, 6.5.2.3], [15; гл. II]), из которых нам потребуются следующие:
$$
\begin{equation}
\operatorname{Tr}(AX)=\operatorname{Tr}(XA), \qquad A\in\mathcal{M}_n, \quad X\in\mathcal{B}_n(l_1)
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{Det}(B_1B_2)=\operatorname{Det}(B_1)\operatorname{Det}(B_2), \qquad B_1,B_2\in I+\mathcal{M}_n.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Здесь через $\mathcal{B}_n(l_1)$ обозначено множество всех матриц $X=(x_{pq})_{p,q=0}^{\infty}$ с элементами $x_{pq}\in\operatorname{gl}(n,\mathbb{C})$ таких, что12 $\sup_{p\geqslant0}\sum_{q=0}^{\infty}|x_{pq}|<\infty$. Примером такой матрицы $X$ является $B^{-1}(s)$ в следующей формуле (2.7). Лемма 1. Пусть $D\subset\mathbb{C}^1_s$ – область и $A\colon D\to\mathcal{M}_n$ – голоморфное отображение. Положим $B(s)=I+A(s)$. Тогда функция $\Phi(s):=\operatorname{Det} B(s)$ голоморфна в $D$, а в тех точках $s\in D$, где матрица $B(s)$ обратима, выполнены равенства Доказательство. Сходимость последовательности голоморфных функций $\det(I+A^{(N)}(s))$ к $\Phi(s)$ при $N\to\infty$ равномерна на компактах в $D$ в силу неравенств (2.4) и ограниченности $\|A(s)\|$ на компактах в $D$. Поэтому голоморфность функции $\Phi(s)$ на области $D$ вытекает из теоремы Вейерштрасса.
Формулу (2.7) с заменой $B$ на $B^{(N)}$ можно установить так. Фиксируем точку $s_0\in D$ и допустим сначала, что все собственные значения матрицы $B^{(N)}(s_0)$ различны. Тогда существует голоморфно зависящий от точки $s$ в окрестности $s_0$ базис пространства $\mathbb{C}^N$, в котором матрица $B^{(N)}(s)$ диагональна (см., например, [17; гл. II, § 4, п. 6]). В этом случае формула (2.7) сводится к скалярной ситуации и легко проверяется. В общем $N$-мерном случае можно равномерно в окрестности $s_0$ аппроксимировать функцию $B^{(N)}(s)$ функциями уже рассмотренного вида и получить формулу (2.7) предельным переходом с помощью теоремы Вейерштрасса (производная предела равна пределу производных). После этого аналогичный предельный переход $N\to\infty$ дает формулу (2.7) для $B$. Лемма доказана. § 3. Операторы ТёплицаОпределим банаховы пространства формальных рядов Лорана от спектрального параметра $z$, служащие ареной для дальнейших конструкций. Для $\alpha\geqslant0$, $m\geqslant1$ и $A,B>0$ обозначим через $G_{\alpha}(A)$ множество всех формальных степенных рядов от $z^{-1}$ вида $\varphi(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\varphi_kz^{-(k+1)}$, где $\varphi_k\in\operatorname{gl}(n,\mathbb{C})$ и
$$
\begin{equation}
\|\varphi\|_{\alpha,A}:=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{|\varphi_k|A^k}{k!^{\alpha}}<\infty.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Ясно, что $G_{\alpha}(A)$ является банаховым пространством с нормой $\|\,{\cdot}\,\|_{\alpha,A}$, изометрически изоморфным $l_1$. Изоморфизм задается линейным отображением
$$
\begin{equation}
i_{\alpha,A}\colon G_{\alpha}(A)\ni \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\varphi_k}{z^{k+1}}\mapsto (\psi_0,\psi_1,\psi_2,\dots)\in l_1,\quad\text{где}\quad \psi_k=\frac{A^k}{k!^{\alpha}}\varphi_k.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Таким образом, $\bigcup_{A>0}G_{\alpha}(A)$ состоит в точности из тех формальных степенных рядов от $z^{-1}$, которые сами могут расходиться (иметь нулевой радиус сходимости), но становятся сходящимися (имеющими положительный радиус сходимости) после деления их $k$-го коэффициента на $k!^{\alpha}$. Обозначим через $E_m(B)$ множество всех формальных степенных рядов вида $\varepsilon(z)=\sum_{l=0}^{\infty}\varepsilon_lz^l$ таких, что $\varepsilon_l\in\operatorname{gl}(n,\mathbb{C})$ и $\|\varepsilon\|_{m,B}:=\sup_{l\geqslant0}|\varepsilon_l|(l!)^{1/m}B^{-l}\,{<}\,\infty$. Ясно, что это – банахово пространство с нормой $\|\,{\cdot}\,\|_{m,B}$, изометрически изоморфное $l_{\infty}$. Из хорошо известных формул для вычисления порядка и типа целой функции через коэффициенты ее ряда Тейлора (см., например, [18; гл. I, § 1, п. 6]) вытекает, что $\bigcup_{B>0}E_m(B)$ состоит в точности из всех $\operatorname{gl}(n,\mathbb{C})$-значных целых функций порядка не выше $m$ и конечного типа при порядке $m$. Через $\{\,{\cdot}\,\}_+$ и $\{\,{\cdot}\,\}_-$ будем обозначать положительную и отрицательную части формального ряда Лорана:
$$
\begin{equation*}
\biggl\{\sum_{k\in\mathbb Z}a_kz^k\biggr\}_+:=\sum_{k\geqslant0}a_kz^k,\qquad \biggl\{\sum_{k\in\mathbb Z}a_kz^k\biggr\}_-:=\sum_{k\leqslant -1}a_kz^k.
\end{equation*}
\notag
$$
Следующая лемма (см. [1; лемма 1]) дает условия (в общем случае неулучшаемые), при которых произведение элементов из $G_{\alpha}(A)$ и $E_m(B)$ является корректно определенным рядом Лорана (т. е. все ряды, задающие коэффициенты этого произведения, сходятся), а именно, $\alpha m\leqslant1$ и $A>B$. Лемма 2. Пусть $A>B>0$, $m\geqslant1$ и $0\leqslant\alpha\leqslant1/m$. Тогда произведение элементов из $G_{\alpha}(A)$ и $E_m(B)$, взятое в любом порядке, есть корректно определенный ряд Лорана, принадлежащий $G_{\alpha}(A-B)\oplus E_m(B)$. Отображения $(\varphi,\varepsilon)\mapsto\{\varphi\varepsilon\}_{\pm}$ и $(\varphi,\varepsilon)\mapsto\{\varepsilon\varphi\}_{\pm}$ являются непрерывными билинейными формами на $G_{\alpha}(A)\times E_m(B)$ со значениями в $G_{\alpha}(A-B)$ и $E_m(B)$. Согласно этой лемме (а также лемме 2 из [1] о замкнутости пространства $G_{\alpha}(A)$ относительно умножения формальных степенных рядов), оператор Тёплица $T_k(\varphi):=\{\varphi k\}_-$, отвечающий элементу $k\in G_{\alpha}(A_0)\oplus E_m(B_0)$, определен как непрерывный линейный оператор $G_{\alpha}(A)\to G_{\alpha}(A-B_0)$ при $B_0<A\leqslant A_0$, и это все, что можно про него сказать в общем случае. Нас далее в основном интересует случай, когда $\alpha m<1$ (о ситуации при $\alpha m=1$ см. замечание 2 в конце параграфа). Так как $E_m(B_0)\subset E_{m'}(B)$ при всех $m'>m$ и $B>0$, то в этом случае $T_k$ является непрерывным линейным оператором
$$
\begin{equation*}
T_k\colon G_{\alpha}(A)\ni\varphi\mapsto \{\varphi k\}_-\in G_{\alpha}(A-B)\quad\text{при}\quad 0<B<A\leqslant A_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Дальнейшее уменьшение пространства-образа невозможно13, но мы можем рассматривать $T_k$ как линейный оператор, действующий из векторного пространства $G_{\alpha}(A-0):=\cap_{B>0}G_{\alpha}(A-B)$ в себя для всех $A<A_0$:
$$
\begin{equation*}
T_k\colon G_{\alpha}(A-0)\ni\varphi\mapsto \{\varphi k\}_-\in G_{\alpha}(A-0)\quad\text{при}\quad 0<A<A_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Именно так понимаются композиции и обращение операторов Тёплица в следующей лемме, показывающей, что некоторые комбинации этих операторов все же являются непрерывными линейными операторами на банаховых пространствах $G_{\alpha}(A)$. Лемма 3. (A) Пусть $k,l\in G_{\alpha}(A_0-0)\oplus E_m(B_0)$, где $A_0,B_0>0$, $m\geqslant1$, $0<\alpha<1/m$. Тогда для любых чисел $A_1$, $A_2$ из интервала $(0,A_0/2)$ отображение $T_{kl}-T_lT_k$ является непрерывным линейным оператором из $G_{\alpha}(A_1)$ в $G_{\alpha}(A_2)$, матрица которого14 принадлежит $\mathcal{M}_n$. (B) То же заключение справедливо и для отображений $T_{\mu}(T_{kl}-T_lT_k)$ и $(T_{kl}-T_lT_k)T_{\mu}$ при любом $\mu\in G_{\alpha}(A_0-0)\oplus E_m(B_0)$. (C) В случае, когда $A_1=A_2$, выполнены равенства
$$
\begin{equation}
\operatorname{Tr} (T_{kl}-T_{l}T_{k})=\operatorname{tr}\operatorname{res} (k'_+l)=-\operatorname{tr}\operatorname{res} (kl'_-),
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где вычет формального ряда Лорана определяется как $\operatorname{res}\bigl(\sum_{j\in\mathbb Z} a_jz^j\bigr) :=a_{-1}$, а штрих означает производную по $z$. (D) Если $k\in I+G_{\alpha}(A_0)$ или $l\in E_m(B_0)$, то $T_{kl}=T_lT_k$. (E) Если элементы $k,l\in I+G_{\alpha}(A_0)$ или $k,l\in E_m(B_0)$ удовлетворяют равенству $k(z)l(z)=l(z)k(z)\equiv I$ как формальные ряды Лорана, то оператор $T_k$ обратим и обратным к нему является $T_l$. Доказательство. (A) Запишем $k(z)=\sum_{j\in\mathbb Z}k_jz^j$ и возьмем произвольный элемент $\varphi(z)=\sum_{p=0}^{\infty}\varphi_pz^{-(p+1)}\in G_{\alpha}(A)$ при $0<A<A_0$. Тогда двойной ряд $\varphi(z)k(z)=\sum_{j,p}\varphi_pk_jz^{j-p-1}$ сходится абсолютно и, следовательно, его можно суммировать в любом порядке. Обозначая $j-p$ через $-q$ и оставляя только слагаемые с $q\geqslant0$, имеем
$$
\begin{equation*}
T_k\varphi (z)=\{\varphi(z)k(z)\}_- =\sum_{q=0}^{\infty}(T_k\varphi)_qz^{-(q+1)},\quad\text{где}\quad (T_k\varphi)_q=\sum_{p=0}^{\infty}\varphi_pk_{p-q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя эту формулу для элементов $k,l,kl\in G_{\alpha}(A_0-0)\oplus E_m(B_0)$, получаем, что $(T_{kl}-T_lT_k)\varphi=\sum_{p,q=0}^{\infty}z^{-(q+1)}\varphi_pX_{pq}$, где
$$
\begin{equation*}
X_{pq}=(kl)_{p-q}-\sum_{s=0}^{\infty}k_{p-s}l_{s-q} =\sum_{s=-\infty}^{-1}k_{s-r}l_{s-q}= \sum_{r=1}^{\infty} k_{p+r}l_{-r-q},\qquad p,q\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом отождествлений (3.2), оператору $T_{kl}-T_lT_k\colon G_{\alpha}(A_1)\to G_{\alpha}(A_2)$ формально соответствует матрица $(K_{pq})_{p,q=0}^{\infty}$ с элементами
$$
\begin{equation}
K_{pq}=\frac{A_2^p}{p!^{\alpha}}\frac{q!^{\alpha}}{A_1^q}X_{pq}= \sum_{r=1}^{\infty}\frac{A_2^p}{p!^{\alpha}}\frac{q!^{\alpha}}{A_1^q}k_{p+r}l_{-(q+r)}, \qquad p,q\geqslant0.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Покажем, что эта матрица принадлежит $\mathcal{M}_n$ для любых чисел $A_1$, $A_2$ в интервале $(0,A_0/2)$. (Отсюда автоматически последует и непрерывность $T_{kl}-T_lT_k$ как оператора из $G_{\alpha}(A_1)$ в $G_{\alpha}(A_2)$.) Действительно, по условию имеем $k_+\in E_m(B_0)$ и $l_-\in G_{\alpha}(A_0-0)$. Значит, для любого $\varepsilon>0$ существуют константы $C_1$, $C_2$ такие, что для всех целых чисел $p,q\geqslant0$ и $r\geqslant1$ выполнены неравенства
$$
\begin{equation*}
|k_{p+r}|\leqslant C_1(p+r)^{-1/m}B_0^{p+r}, \qquad |l_{-(q+r)}|\leqslant C_2(q+r)!^{\alpha}(A_0-\varepsilon)^{-(q+r)}.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом оценки
$$
\begin{equation*}
\frac{p!^{\alpha}(q+r)!^{\alpha}}{q!^{\alpha}(p+r)!^{1/m}}= \biggl(\frac{C_{p+q+r}^q}{C_{p+q+r}^p}\biggr)^{\alpha}\frac{1}{(p+r)!^{1/m-\alpha}}\leqslant \frac{2^{(p+q+r)\alpha}}{(p+r)!^{1/m-\alpha}},
\end{equation*}
\notag
$$
вытекающей из очевидных неравенств $1\leqslant C_{p+q+r}^{p}$ и $C_{p+q+r}^{q}\leqslant 2^{p+q+r}$, можно теперь записать
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{C_1C_2}\sum_{p,q=0}^{\infty}|K_{pq}|&\leqslant \sum_{p,q,r}\frac{p!^{\alpha}}{A_1^p}\frac{A_2^q}{q!^{\alpha}}\frac{B^{p+r}_0}{(p+r)!^{1/m}} \frac{(q+r)!^{\alpha}}{(A_0-\varepsilon)^{q+r}} \\ &\leqslant \sum_{p,q,r}\frac{A_2^qB_0^{p+r}}{A_1^p(A_0-\varepsilon)^{q+r}} \frac{2^{(p+q+r)\alpha}}{(p+r)!^{1/m-\alpha}} \\ &=\sum_{p,q,r}\biggl(\frac{2^{\alpha}A_2}{A_0-\varepsilon}\biggr)^q \biggl(\frac{2^{\alpha}B_0}{A_1}\biggr)^{p+r} \biggl(\frac{A_1}{A_0-\varepsilon}\biggr)^r \frac{1}{(p+r)!^{1/m-\alpha}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как по условию $0<A_1,A_2<A_0/2$, то можно выбрать $\varepsilon>0$ таким образом, чтобы числа $2^{\alpha}A_2(A_0-\varepsilon)^{-1}=:M$ и $A_1(A_0-\varepsilon)^{-1}$ (основания первой и третьей степеней в последней строке) были строго меньше $1$. Обозначая число $2^{\alpha}B_0A_1^{-1}$ через $R$, видим, что сумма последнего ряда не превосходит Поскольку этот ряд сходится при всех $R>0$, получаем требуемое утверждение о том, что $\sum_{p,q=0}^{\infty}|K_{pq}|<\infty$.
(B) Как уже отмечалось в связи с формулой (2.5), произведения $KX$ и $XK$ любой матрицы $K$ из $\mathcal{M}_n$ и любой матрицы $X=(x_{pq})$, задающей непрерывный линейный оператор $l_1\to l_1$ (т. е. $\sup_{p\geqslant0}\sum_{q=0}^{\infty}|x_{pq}|<\infty$), также принадлежат $\mathcal{M}_n$. Применяя это замечание к композициям операторов
$$
\begin{equation*}
G_{\alpha}(A_1)\xrightarrow{X}G_{\alpha}(A')\xrightarrow{K}G_{\alpha}(A_2), \qquad G_{\alpha}(A_1)\xrightarrow{K}G_{\alpha}(A'')\xrightarrow{X}G_{\alpha}(A_2),
\end{equation*}
\notag
$$
где $K=T_{kl}-T_lT_k$ и $X=T_{\mu}$, а числа $A',A''\in(0,A_0/2)$ таковы, что $A_1>A'$ и $A''>A_2$, получаем требуемое утверждение.
(C) В обозначениях (3.4) при $A_1=A_2$ имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Tr} (T_{kl}-T_lT_k)=\sum_{p=0}^{\infty}\operatorname{tr} K_{pp}=\sum_{p=0}^{\infty}\sum_{r=1}^{\infty} \operatorname{tr} k_{p+r}l_{-(p+r)}= \sum_{\nu=0}^{\infty}\nu\operatorname{tr} k_{\nu}l_{-\nu}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вычисляя коэффициенты при $z^{-1}$ в произведениях $k'_+(z)l(z)$ и $k(z)l'_-(z)$, видим, что последнее выражение совпадает с $\operatorname{tr}\operatorname{res}(k'_+l)=-\operatorname{tr}\operatorname{res}(kl'_-)$.
(D) Из (3.4) вытекает, что в условиях этого пункта $K_{pq}=0$ для всех $p,q\geqslant0$, т. е. оператор $T_{kl}-T_lT_k$ имеет нулевую матрицу. (E) Это вытекает из п. (D) и того, что $T_I$ – тождественный оператор. Лемма доказана. В частности, лемма 3, (A) показывает, что для любого обратимого элемента $k\in G_{\alpha}(A_0)\oplus E_m(B_0)$ непрерывный линейный оператор $T_{k^{-1}}T_k$ на банаховом пространстве $G_{\alpha}(A)$, $0<A<A_0/2$, имеет матрицу из $I+\mathcal{M}_n$ и, согласно § 2, определено число $\operatorname{Det}(T_{k^{-1}}T_k)$. Следующая лемма описывает, как меняется это число при голоморфной вариации элемента $k$. Лемма 4. Пусть задано голоморфное отображение $s\mapsto\gamma(s)$ из области $D\subset\mathbb{C}^1_s$ в банахово пространство $G_{\alpha}(A_0)\oplus E_m(B_0)$, где $0\leqslant\alpha<1/m$ и $A_0,B_0>0$, причем для некоторого $A\in(0,A_0/2)$ образ этого отображения лежит в “большой клетке ” соответствующего грассманиана, т. е. при каждом $s\in D$ существуют обратимые элементы $a(s),d(s)\in E_m(B_0)$ и $b(s),c(s)\in I+G_{\alpha}(A)$ такие, что Тогда функция $s\mapsto \operatorname{Det} (T_{\gamma^{-1}(s)}T_{\gamma(s)})$ голоморфна на $D$ и ее логарифмическая производная выражается формулой
$$
\begin{equation}
\frac{d}{ds}\ln \operatorname{Det} (T_{\gamma^{-1}(s)}T_{\gamma(s)})=\operatorname{tr}\operatorname{res}\{(c_zd-a_zb)\gamma_s\},
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
где нижние индексы $z$ и $s$ означают производные по $z$ и $s$. Доказательство. Введем для удобства временные обозначения $\varphi:=\gamma^{-1}$, $P:=T_{\varphi}$, $Q:=T_{\gamma}$. По лемме 3, (A) матрица оператора $PQ-I$, действующего на банаховом пространстве $G_{\alpha}(A)$, принадлежит $\mathcal{M}_n$ и, в силу формул (3.4) и теоремы Вейерштрасса, голоморфно зависит от $s$. Тогда из леммы 1 получаем, что интересующая нас функция $\operatorname{Det} PQ$ голоморфна на $D$ и ее логарифмическая производная равна следу каждого из двух выражений
где штрих означает производную15 по $s$. Рассмотрим поэтому оператор
$$
\begin{equation*}
R:=P^{-1}P'+Q'Q^{-1}=T_{\varphi}^{-1}T_{\varphi'}+T_{\gamma'}T_{\gamma}^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь равенствами (3.5) и указанными пунктами леммы 3, можно записать второе слагаемое этой суммы в виде
$$
\begin{equation}
T_{\gamma'}T_{\gamma}^{-1}\stackrel{\mathrm{(D)}}{=}T_{\gamma'}(T_{a^{-1}}T_{b^{-1}})^{-1} \stackrel{\mathrm{(E)}}{=}T_{\gamma'}T_{b}T_{a}\stackrel{\mathrm{(D)}}{=}T_{b\gamma'}T_{a} \stackrel{\mathrm{(A)}}{=}T_{ab\gamma'}-M_2,
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
где оператор $M_2$ имеет матрицу из $\mathcal{M}_n$ и $\operatorname{Tr} M_2=\operatorname{tr}\operatorname{res}(a_zb\gamma')$ по лемме 3, (C). Так как $\varphi'=-\varphi\gamma'\varphi$, то для первого слагаемого аналогично имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, -T_{\varphi}^{-1}T_{\varphi'} &\stackrel{\mathrm{(D)}}{=}(T_{d}T_{c})^{-1}T_{\varphi\gamma'\varphi} \stackrel{\mathrm{(E)}}{=}T_c^{-1}T_{d^{-1}}T_{cd\gamma' cd}\stackrel{\mathrm{(D)}}{=}T_c^{-1}T_{cd\gamma' c} \stackrel{\mathrm{(D)}}{=}T_{c}^{-1}T_{d\gamma' c}T_c \nonumber \\ &\stackrel{\mathrm{(A)}}{=}T_c^{-1}(T_cT_{d\gamma'}-M_1)T_c=T_{d\gamma'}T_c-T_c^{-1}M_1T_c \stackrel{\mathrm{(D)}}{=}T_{cd\gamma'}-T_c^{-1}M_1T_c, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
где оператор $M_1$ имеет матрицу из $\mathcal{M}_n$ и16 $\operatorname{Tr} M_1=\operatorname{tr}\operatorname{res}(c_zd\gamma')$ по лемме 3, (C). Вычитая (3.8) из (3.7), получаем равенство $R=T_c^{-1}M_1T_c-M_2$. В силу леммы 3, (B) и формулы (2.5) этот оператор $R$ имеет матрицу из $\mathcal{M}_n$ и его след равен
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Tr} R=\operatorname{Tr} M_1-\operatorname{Tr} M_2=\operatorname{tr}\operatorname{res}\{(c_zd-a_zb)\gamma'\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Возвращаясь к операторам $(PQ)^{-1}(PQ)'=Q^{-1}RQ$ и $(PQ)'(PQ)^{-1}=PRP^{-1}$ и рассуждая, как в доказательстве леммы 3(B), получаем, что эти операторы, действующие на банаховом пространстве $G_{\alpha}(A)$, также имеют матрицу из $\mathcal{M}_n$, и их след равен следу оператора $R$, чем и установлена формула (3.6). Лемма доказана. Отметим, что нахождение разложений (3.5), элементы $a$, $b$, $c$, $d$ которых возникают в формуле (3.6), есть не что иное как решение задачи Римана о факторизации матричнозначных функций, поставленной перед определением (1.5) тау-функции во введении. В контексте той конкретной задачи Римана, которая нужна нам для приложений к солитонным уравнениям, обратимые элементы $c$, $d$ заранее заданы, причем $c$ определяется только подпространством $W$ (или функцией $f(z)$) и не меняется в процессе всей конструкции, В этом случае можно переписать результат леммы 4 в следующем более удобном виде, содержащем произведение двух логарифмических производных. Доказательство. Из содержащегося в (3.5) равенства $ab=cd$ вытекает, что $c_zd-a_zb=ab_z-cd_z$. Таким образом, (3.6) принимает вид
$$
\begin{equation*}
\frac{d}{ds}\ln \operatorname{Det} (T_{\gamma^{-1}(s)}T_{\gamma(s)}) =\operatorname{tr}\operatorname{res}\{(ab_z-cd_z)\gamma_s\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь независимостью $c$ от $s$ и легко проверяемым тождеством
$$
\begin{equation}
\operatorname{tr}\operatorname{res} k(z)l(z)=\operatorname{tr}\operatorname{res} l(z)k(z) \quad\text{для всех}\quad k,l\in G_{\alpha}(A_0)\oplus E_m(B_0),
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
имеем $\operatorname{tr}\operatorname{res} cd_z\gamma_s=\operatorname{tr}\operatorname{res} cd_z(d^{-1})_sc^{-1}=\operatorname{tr}\operatorname{res} d_z(d^{-1})_s$. Эта величина равна $0$, так как $d_z(d^{-1})_s$ содержит только неотрицательные степени $z$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\operatorname{tr}\operatorname{res}\{(ab_z-cd_z)\gamma_s\}= \operatorname{tr}\operatorname{res}\{ab_z\gamma_s\} \operatorname{tr}\operatorname{res}\{b^{-1}b_z\gamma_s\gamma^{-1}\},
\end{equation*}
\notag
$$
где последнее равенство получается подстановкой $a=\gamma^{-1}b^{-1}$ и еще одним применением свойства (3.10). Лемма доказана. Замечание 1. Формула (3.6) для класса Сегала–Вильсона (и для операторов Тёплица на $H_+$, а не на $H_-$, как у нас) восходит к работе Уидома [19], а формула (3.9) – к работе Мальгранжа [20] (при другом определении тау-функции в левой части). Эквивалентность определений тау-функции, возникающих с этих точек зрения, была установлена в [9; теорема 3.5]. Эквивалентность определений тау-функции с точек зрения Мальгранжа [20] и Вильсона [2] была установлена в [10; теорема 4.3], без использования операторов Тёплица. Отметим, что во всех этих работах класс изучаемых решений не выходит за пределы класса Сегала–Вильсона. Замечание 2. Утверждение леммы 3, (A) верно и при $\alpha=1/m$, если дополнительно потребовать, чтобы число $R:=2^{\alpha}B_0A^{-1}_1$ было строго меньше $1$. Доказательство точно такое же, но в самом его конце сходимость ряда $\sum_{s=1}^{\infty}sR^s$ вытекает теперь именно из условия $R<1$. § 4. Прямое и обратное преобразования рассеянияФиксируем точку $x_0\in\mathbb{C}$ и диагональную матрицу $a\in\operatorname{gl}(n,\mathbb{C})$ с простым спектром (т. е. все ее собственные значения различны). Обозначим через $\mathcal{O}(x_0)$ множество ростков в точке $x_0$ всех голоморфных $\operatorname{gl}(n,\mathbb{C})$-значных отображений $q(x)$, а через $\mathcal{O}(x_0)^{\mathrm{od}}$ – множество всех внедиагональных ростков $q\in\mathcal{O}(x_0)$ (т. е. $q_{jj}(x)\equiv0$ при $j=1,\dots,n$). Для каждого $\alpha\geqslant0$ рассмотрим векторное пространство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Gev}_{\alpha}:=\bigcup_{A>0}G_{\alpha}(A)
\end{equation*}
\notag
$$
всех формальных степенных рядов $\varphi(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\varphi_kz^{-k-1}$, для которых $\varphi_k\in\operatorname{gl}(n,\mathbb{C})$ и ряд $\sum_{k=0}^{\infty}|\varphi_k|(k!)^{-\alpha}A^k$ сходится при каком-либо $A>0$. Эти пространства строго возрастают с ростом $\alpha$, а наименьшее из них, т. е. $\operatorname{Gev}_0$, есть не что иное как множество $\mathcal{O}(\infty)_0$ всех голоморфных $\operatorname{gl}(n,\mathbb{C})$-значных ростков $\varphi(z)$ в точке $z=\infty$ со значением $\varphi(\infty)=0$:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{O}(\infty)_0=\operatorname{Gev}_0\subset \operatorname{Gev}_{\alpha_1}\subset\operatorname{Gev}_{\alpha_2} \subset\operatorname{Gev}_1\quad\text{при}\quad 0\leqslant\alpha_1\leqslant\alpha_2\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Множество $I+\operatorname{Gev}_{\alpha}$ является группой относительно обычного произведения степенных рядов (см. [1; лемма 2]) и содержит подгруппу $I+\operatorname{Gev}_{\alpha}^{\operatorname{d}}$, состоящую из всех диагональных рядов. В [1] введены17 прямое преобразование рассеяния $L\colon \mathcal{O}(x_0)^{\mathrm{od}}\to I+\operatorname{Gev}_1$ и обратное преобразование рассеяния $B\colon I+\operatorname{Gev}_1\to\mathcal{O}(x_0)^{\mathrm{od}}$, устанавливающие биективное соответствие между $\mathcal{O}(x_0)^{\mathrm{od}}$ и множеством правых смежных классов группы $I+\operatorname{Gev}_1$ по подгруппе $I+\operatorname{Gev}_1^{\operatorname{d}}$:
$$
\begin{equation}
BLq=q\quad \text{для всех}\quad q\in\mathcal{O}(x_0)^{\mathrm{od}},
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
$$
\begin{equation}
LBf=ff_d^{-1}\quad \text{для всех}\quad f\in I+\operatorname{Gev}_1,
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
$$
\begin{equation}
Bf_1=Bf_2\quad \Longleftrightarrow\quad f_2f_1^{-1}\in I+\operatorname{Gev}_1^{\operatorname{d}},
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где $f_d$ означает диагональную часть матрицы $f$. Определение обратного преобразования рассеяния (см. [1; § 7, формулы (18) и (20)])
$$
\begin{equation}
Bf(x):= \operatorname{res}[\beta(x,z), a] =\alpha_x\alpha^{-1}-az
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
можно дать в терминах любой из двух компонент18 решения задачи Римана
$$
\begin{equation}
\gamma(x,z)=\beta^{-1}(x,z)\alpha(x,z)\text{ для семейства } \gamma(x,z):=e^{a(x-x_0)z}f^{-1}(z).
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Теорема 1. (A) Пусть $f\in I+\operatorname{Gev}_{\alpha}$, $0\leqslant\alpha<1$. Тогда определитель (B) Пусть росток $q\in\mathcal{O}(x_0)^{\mathrm{od}}$ таков, что $Lq\in I+\operatorname{Gev}_{\alpha}$ при некотором $\alpha<1$. Тогда $q(x)$ допускает аналитическое продолжение до $\operatorname{gl}(n,\mathbb{C})$-значной функции $Q(x)$, мероморфной на всей плоскости $\mathbb{C}^1_x$, причем функция $\Lambda_{Lq}(x)$ является целой и для всех $x\in\mathbb{C}$ выполнено равенство
$$
\begin{equation}
\partial_x^2\ln \Lambda_{Lq}(x)=-\operatorname{tr}\{Q(x)\cdot\mathcal{A}Q(x)\cdot a\}.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
(C) В частности, при $n=2$, записывая $a=\left[\begin{smallmatrix} a_{11} & 0 \\ 0 & a_{22} \end{smallmatrix}\right]$ и $q(x)=\left[\begin{smallmatrix} 0 & u(x) \\ v(x) & 0 \end{smallmatrix}\right]$, имеем обобщение равенства (1.9): (D) Если в условиях п. (C) дополнительно известно, что $v(x)\equiv1$, то существует целая функция $\tau_q(x)$ такая, что $\Lambda_{Lq}(x)=\tau_q^2(x)$. Для нее в окрестности точки $x_0$ выполнено равенство $u(x)=-2\partial_x^2\ln\tau_q(x)$. Доказательство. (A) По условию имеем $f\in G_{\alpha'}(A_0)$ для всех $\alpha'\in(\alpha,1)$ и всех $A_0>0$. Для любого круга $|x-x_0|<R$ найдется $B_0=B_0(R)>0$ такое, что $x\mapsto e^{az(x-x_0)}$ является голоморфным отображением этого круга в банахово пространство $E_1(B_0)$ (см., например, [1; лемма 5, при $m=1$]). Тогда $\gamma(x,{\cdot}\,)$ является голоморфным отображением этого круга в $G_{\alpha'}(A_0-B_0)\oplus E_1(B_0)$ (см. лемму 2). Следовательно, по лемме 4, функция $\Lambda_f(x)$ голоморфна на этом круге, а значит, в силу произвольности $R$, и на всей плоскости $\mathbb{C}_x^1$.
Формула (4.7) вытекает из формулы (3.9) леммы 5 ввиду следующих рассуждений. По теореме 3, (A) работы [1], $\alpha(x,{\cdot}\,)$ и $\beta(x,{\cdot}\,)$ являются голоморфными отображениями из окрестности точки $x_0$ в надлежащие банаховы пространства (в частности, все коэффициенты этих формальных рядов Лорана по $z$ принадлежат $\mathcal{O}(x_0)$). Дифференцируя равенство $\beta\gamma=\alpha$ по $x$ и пользуясь тем, что $\gamma_x=az\gamma$, получаем равенство $\beta_x\gamma+\beta az\gamma=\alpha_x$, которое после подстановки $\gamma=\beta^{-1}\alpha$ и умножения справа на $\alpha^{-1}$ принимает вид
$$
\begin{equation}
\beta_x\beta^{-1}+\beta az\beta^{-1}=\alpha_x\alpha^{-1}.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Обозначим через $c_0(x),c_1(x),\ldots\in\mathcal{O}(x_0)$ коэффициенты ряда $\beta(x,z)=I+\sum_{k=0}^{\infty}c_k(x)z^{-k-1}$. Тогда ряд в левой части равенства (4.10) содержит только отрицательные степени $z$, за исключением членов $az+q(x)$, где
$$
\begin{equation}
q(x)=c_0(x)a-ac_0(x)=[c_0(x),a]=Bf(x)\qquad\text{согласно }(4.4),
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
а ряд в правой части содержит только неотрицательные степени $z$. Приравнивая суммы неотрицательных степеней $z$ справа и слева, получаем равенство19 а приравнивая суммы по отрицательным степеням $z$ и умножая справа на $\beta$, получаем равенство $\beta_x+\beta az=(az+q(x))\beta$, сравнение коэффициентов при $z^{-1}$ в котором дает
Формула (3.9) принимает в рассматриваемом случае вид
$$
\begin{equation*}
\partial_x\ln\Lambda_f(x)=\operatorname{tr}\operatorname{res} \{\beta^{-1}\beta_z\gamma_x\gamma^{-1}\} =-\operatorname{tr} c_0(x)a,
\end{equation*}
\notag
$$
так как $\gamma_x\gamma^{-1}\,{=}\,az$ и можно записать $\beta=I+\cdots$ и $\beta_z=-c_0(x)z^{-2}(I+\cdots)$, где точки означают ряды, содержащие только отрицательные степени $z$. Дифференцирование этой формулы по $x$ дает, что
$$
\begin{equation*}
\partial^2_x\ln\Lambda_f(x)=-\operatorname{tr} c'_0(x)a=-\operatorname{tr} q(x)c_0(x)a= -\operatorname{tr} q(x)c_0^{od}(x)a,
\end{equation*}
\notag
$$
где последнее равенство вытекает из того, что матрица $qc_0^{d}a$ внедиагональна и, следовательно, имеет нулевой след, а предпоследнее – из (4.13) и того, что $\operatorname{tr} ((c_1a-ac_1)a)=0$. Поскольку (4.10) эквивалентно тому, что $c_0^{od}=\mathcal{A}q$, получаем требуемое равенство (4.7).
(B) Глобальное мероморфное продолжение $Q(x)$ ростка $q(x)$ существут по теореме 1, (B) работы [1]. Формула (4.8) в окрестности точки $x_0$ вытекает из п. (A) и формулы (4.1). По теореме единственности для голоморфных функций, она справедлива и всюду на $\mathbb{C}_x^1$. (C) Формула (4.9) есть в точности (4.8) для данных матриц (от конкретных значений элементов $a_{11}\neq a_{22}$ матрицы $a$ она в итоге не зависит). (D) Так как $\Lambda_{Lq}(x)\not\equiv0$ (например, $\Lambda_{Lq}(0)=1$), то достаточно доказать, что порядки всех возможных нулей функции $\Lambda_{Lq}(x)$ в случае, когда $v(x)\equiv1$, четны. Для этого воспользуемся свойством тривиальной монодромии (т. е. существованием фундаментальной системы $\alpha(x,z)$ глобально мероморфных на $\mathbb{C}^1_x$ решений вспомогательной линейной задачи $\alpha_x=(az+q(x))\alpha$ при всех $z\in\mathbb{C}$: см. (4.12)), из которого вытекает20 (см. [22; теорема 1]), что главная часть лорановского разложения функции $u(x)v(x)=-\partial_x^2\ln\Lambda_{Lq}(x)$ в окрестности любого из ее полюсов (т. е. любого из нулей $\Lambda_{Lq}(x)$) имеет вид $C(x-x_1)^{-2}$, где $C=(N^2-(M-1)^2)/4$ для некоторых натуральных чисел $N$ и $M$ разной четности, причем $M\neq N+1$ является порядком полюса $u(x)$ или $v(x)$ в точке $x_1$. В случае, когда $v(x)\equiv 1$, функция $u(x)=-\partial_x^2\ln\Lambda_{Lq}(x)$ необходимо имеет полюсы только порядка $M\,{=}\,2$, откуда $N\,{=}\,2k\,{+}\,1$ для некоторого $k\,{\in}\,\mathbb{N}$, а коэффициент $C$ совпадает с порядком $x_1$ как нуля функции $\Lambda_{Lq}(x)$. Так как число $C=((2k+1)^2-1)/4=k^2+k$ четно при всех $k\in\mathbb{N}$, то получаем требуемое заключение. Теорема доказана. Замечание 3. Обозначение $\tau_q(x)$ для квадратного корня из $\Lambda_{Lq}(x)$ в ситуации п. (D) выбрано для того, чтобы наша терминология совпадала с общепринятой для случая уравнения Кортевега–де Фриза. В более общем случае (например, уже в ситуации п. (C) при $v(x)=\pm u(x)$, содержащей все решения модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза) функция $\Lambda_{Lq}(x)$ не обязана быть ни квадратом, ни вообще какой-либо степенью другой целой функции (см. примеры в § 6). § 5. Солитонные уравнения параболического типаРассмотренные в § 4 прямое и обратное преобразования рассеяния позволяют строить и изучать все голоморфные решения солитонных уравнений параболического типа. Опишем сначала “комплексифицированные матричные формы записи” таких уравнений (сами уравнения появятся в § 6). Фиксируем точку $x_0\in\mathbb{C}$ и напомним, что отображение $F\colon \mathcal{O}(x_0)^{\mathrm{od}}\to\mathcal{O}(x_0)$ называется дифференциальным полиномом, если для каждого ростка $\varkappa\in\mathcal{O}(x_0)$ функция $F(\varkappa)$ является обычным полиномом (одним и тем же для всех $\varkappa$) от функции $\varkappa$ и ее производных по $x$. Пусть даны диагональные матрицы $a,b,c_1,c_2,\ldots\in\operatorname{gl}(n,\mathbb{C})$, причем $a,b$ имеют простой спектр. Тогда существует единственная последовательность дифференциальных полиномов $F_0,F_1,F_2,\dots$ такая, что $F_0(\varkappa)\equiv b$, $F_j(0)\equiv c_j$ при всех $j\geqslant1$ и формальный степенной ряд $F(\varkappa,z):=\sum_{j=0}^{\infty}F_j(\varkappa)z^{-j}$ удовлетворяет дифференциальному уравнению
$$
\begin{equation}
\partial_xF(\varkappa,z)=[az+\varkappa, F(\varkappa,z)]
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
тождественно по $\varkappa\in\mathcal{O}(x_0)^{\mathrm{od}}$ и по $z$ (см. [21; теорема 1]). Для каждого целого $m\geqslant2$ рассмотрим уравнение $m$-го потока, заданное матрицами $a,b,c_1,c_2,\dots$: на неизвестную внедиагональную $\operatorname{gl}(n,\mathbb{C})$-значную функцию $q(x,t)$ в окрестности точки $(x_0,t_0)\in\mathbb{C}^2$ (можно также рассматривать $q$ как голоморфное отображение из окрестности точки $t_0$ в $\mathcal{O}(x_0)^{\mathrm{od}}$). Это уравнение имеет геометрический смысл условия нулевой кривизны $U_t-V_x+[U,V]=0$ для связности $U(x,t,z)\,dx+V(x,t,z)\,dt$, где $U(x,t,z):=az+q(x,t)$ и $V(x,t,z):=bz^m+\sum_{j=0}^{m-1}F_j(q)(x,t)z^j$ являются полиномами от спектрального параметра $z$ степеней $1$ и $m$ соответственно21 (см. [21; § 1]). Теорема 2. Для любого голоморфного решения $q(x,t)$ уравнения (5.2) в бидиске $B_{rs}:=\{(x,t)\in\mathbb{C}^2\,|\,|x-x_0|<r,\,|t-t_0|<s\}$ функция $\Phi(x,t):=\Lambda_{Lq(\,{\cdot}\,,t)}(x)$ голоморфна в области $\Omega_s:=\{(x,t)\in\mathbb{C}^2\,|\,|t-t_0|<s\}$ и выполнено равенство Доказательство. По теореме 2, (A) работы [1] формальный ряд $Lq(\,{\cdot}\,,t)(z)$ принадлежит $I+\operatorname{Gev}_{1/m}$ при всех $t$, $|t-t_0|<s$. Поскольку $m\geqslant2$, это означает, что выполнены условия теоремы 1, (B), из которой получаем голоморфность $\Phi(x,t)$ по $x\in\mathbb{C}$ и равенство (5.3) (как частный случай равенства (4.8)) при всех таких $t$. Голоморфность функции $\Phi(x,t)$ по совокупности переменных на $\Omega_s$ вытекает по лемме 1 из того, что это определитель семейства матриц, голоморфно зависящих от $(x,t)\in\Omega_s$. Теорема доказана. Замечание 4. Решение $q(x,t)$ задачи Коши $q(x,t_0)=q_0(x)$ для уравнения (5.2) строится по начальному условию $q_0(x)$ (фактически, по его данным рассеяния $f_0(z):=Lq_0(z)\in I+\operatorname{Gev}_{1/m}$) следующим образом (напоминающим (4.4)): § 6. ПримерыВ частном случае $n=2$ для матриц вида
$$
\begin{equation*}
a=b=\frac12\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix},\qquad c_1=c_2=\dots=0,\qquad q(x,t)=\begin{pmatrix} 0 & u(x,t) \\ v(x,t) & 0\end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
матричное уравнение (5.2) при любом $m\geqslant2$ принимает вид системы из двух скалярных уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{cases} u_t=U_{m+1}[u,v], \\ v_t=-V_{m+1}[u,v], \end{cases}
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
где дифференциальные полиномы $U_j[u,v]$, $V_j[u,v]$ ($j=0,1,2,\dots$) по переменной $x$ от функций $u$, $v$ находятся вместе с еще одним вспомогательным дифференциальным полиномом $W_j[u,v]$ по индукции из системы уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{cases} U_j=\partial_xU_{j-1}+2uW_{j-1}, \\ V_j=-\partial_xV_{j-1}+2vW_{j-1}, \\ \partial_xW_j=uV_j-vU_j \end{cases}
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
с начальными условиями $U_0\equiv0$, $V_0\equiv0$, $W_0\equiv 1/2$ и нормировочным условием $W_j[0,0]\equiv0$ при всех $j\in\mathbb{N}$. Эта система получается сравнением коэффициентов при $z^{-j}$ в равенстве (5.1) с учетом обозначений
$$
\begin{equation*}
F_j(\varkappa)=\begin{pmatrix} W_j[u,v] & U_j[u,v] \\ V_j[u,v] & -W_j[u,v]\end{pmatrix}\quad\text{при}\quad \varkappa=\begin{pmatrix} 0 & u \\ v & 0\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь (6.2), находим первые дифференциальные полиномы $U_j$, $V_j$, $W_j$:
Для произвольных диагональных $(2\times 2)$-матриц $a,b,c_1,c_2,\dots$ (при условии, что $\alpha:=a_{11}-a_{22}\neq0$) уравнение (5.2) принимает вид системы
$$
\begin{equation}
\begin{cases} u_t=\sum_{j=0}^m\gamma_j\alpha^{j-m}U_{m+1-j}[u,v], \\ v_t=-\sum_{j=0}^m\gamma_j\alpha^{j-m}V_{m+1-j}[u,v], \end{cases}
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
где $\gamma_0:=b_{11}-b_{22}$ и $\gamma_j:=(c_j)_{11}-(c_j)_{22}$ при всех $j\in\mathbb{N}$. Ясно, что за счет надлежащего выбора матриц $a,b,c_1,c_2,\dots$ можно сделать числа $\alpha,\gamma_0,\gamma_1,\dots$ любыми наперед заданными константами. Для упрощения обозначений будем далее считать точку $(x_0,t_0)=(0,0)$ началом координат в $\mathbb{C}^2$ и определим для всех $r,s>0$ бидиск $B_{rs}:=\{(x,t)\in\mathbb{C}^2\,|\,|x|<r,\,|t|<s\}$ и полосу $\Omega_s:=\{(x,t)\in\mathbb{C}^2\,|\,|t|<s\}$. Теорема 3. (A) При всех $a,b\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, $b_1\in\mathbb{C}$, для любого решения $u\in\mathcal{O}(B_{rs})$ уравнения Кортевега–де Фриза найдется целая по $x$ функция $f\in\mathcal{O}(\Omega_s)$ такая, что $bu=12a(\ln f)_{xx}$ на $B_{rs}$. (B) При всех $a,b\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, $b_1,b_2\in\mathbb{C}$, для любого решения $v\in\mathcal{O}(B_{rs})$ модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза есть целая по $x$ функция $g\in\mathcal{O}(\Omega_s)$ такая, что $bv^2+b_1v=6a(\ln g)_{xx}$ на $B_{rs}$.(C) При всех $\rho>0$ для любых решений $w_{\pm},w_{\rho}\in\mathcal{O}(B_{rs})$ нелинейных уравнений Шредингера22 (где $|w(x,t)|^2$ по определению понимается как $w(x,t)\overline{w(\overline{x}, \overline{t})}$)
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} iw_t+w_{xx}+2|w|^2w&=0 &\quad &(\mathrm{NLS}_+) &\quad &\textit{для }w_+(x,t), \\ iw_t+w_{xx}- 2|w|^2w&=0 &\quad &(\mathrm{NLS}_-) &\quad &\textit{для }w_-(x,t), \\ iw_t+w_{xx}+2(\rho^2-|w|^2)w&=0 &\quad &(\mathrm{NLS}_{\rho}) &\quad &\textit{для }w_{\rho}(x,t), \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
найдутся целые по $x$ функции $h_{\pm},h_{\rho}\in\mathcal{O}(\Omega_s)$ такие, что $|w_{\pm}|^2=\mp(\ln h_{\pm})_{xx}$ и $|w_{\rho}|^2=(\ln h_{\rho})_{xx}$ на $B_{rs}$. Доказательство. (A) Замена независимых переменных $X=kx$, $T=lt$ и зависимой переменной $u(x,t)=U(kx,lt)-b_1/b$ приводит уравнение (KdV) к виду $U_T=U_{XXX}-6UU_X$, если коэффициенты $k,l\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ удовлетворяют условиям $ak^3=l$, $bk=-6l$. Согласно приведенной выше таблице дифференциальных полиномов, последнее уравнение совпадает с первым уравнением системы (6.1) при выборе $m=3$, $u:=U$, $v:=1$, а второе уравнение этой системы при таком выборе становится тождеством $0=0$. Поэтому из теорем 2 и 1, (D) имеем равенство $U(X,T)=-2(\ln\tau(X,T))_{XX}$ для соответствующей целой по $X$ функции $\tau(X,T)$. Возвращаясь к переменным $x$, $t$ и учитывая, что $k^{-2}=-6a/b$, перепишем это равенство в виде требуемого представления
(B) Замена независимых переменных $X=kx$, $T=lt$ и зависимой переменной $v(x,t)=V(kx,lt)-b_1/2b$ приводит уравнение (mKdV) к виду $V_T=V_{XXX}-6V^2V_X+\gamma_2V_X$, если коэффициенты $k,l\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ удовлетворяют условиям $ak^3=l$, $bk=-6l$, а константа $\gamma_2$ определена по формуле
$$
\begin{equation*}
\gamma_2=\frac{k}{l}\biggl(b_2-\frac{b_1^2}{4b}\biggr)=\frac{3}{2}\biggl(\frac{b_1}{b}\biggr)^2 -6\frac{b_2}{b}.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно приведенной выше таблице дифференциальных полиномов, последнее уравнение на $V(X,T)$ совпадает с каждым из двух уравнений системы (6.3) при выборе $m\,{=}\,3$, $u\,{:=}\,V$, $v\,{:=}\,V$, $\alpha\,{=}\,\gamma_0\,{=}\,1$, $\gamma_1=\gamma_3=0$ и при указанном выше значении $\gamma_2$. Поэтому из теорем 2 и 1, (C) имеем равенство $V(X,T)^2=-(\ln\Lambda(X,T))_{XX}$ для соответствующей целой по $X$ функции $\Lambda(X,T)$. Возвращаясь к переменным $x$, $t$ и учитывая, что $k^{-2}=-6a/b$, перепишем это равенство в виде требуемого представления
$$
\begin{equation*}
v^2+\frac{b_1}{b}v=\frac{6a}{b}(\ln g)_{xx},\quad\text{где}\quad g(x,t):=\Lambda(kx,lt)\exp\biggl(-\frac{b^2_1x^2}{48ab}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
(C) Уравнение $(\mathrm{NLS}_{\pm})$ совпадает с каждым из двух уравнений системы (6.3) при выборе $m=2$, $u(x,t):=w(x,t)$, $v(x,t)=\mp \overline{w(\overline{x},\overline{t})}$, $\alpha=\gamma_0=i$ и $\gamma_1=\gamma_2=0$. Поэтому из теорем 2 и 1, (C) имеем равенство $\mp|w|^2=-(\ln h_{\pm})_{xx}$ для соответствующих целых по $x$ функций $h_{\pm}(x,t)$. Аналогично и для уравнения $(\mathrm{NLS}_{\rho})$, которое совпадает с каждым из двух уравнений системы (6.3) при выборе $m=2$, $u(x,t):=w(x,t)$, $v(x,t)= \overline{w(\overline{x},\overline{t})}$, $\alpha=\gamma_0=i$, $\gamma_1=0$ и $\gamma_2=\rho^2$. Теорема доказана. § 7. Гипотеза о порядке роста тау-функцииКлассический результат, восходящий к С. В. Ковалевской (1875), гласит, что задача Коши $u(x,0)=u_0(x)$ для уравнения теплопроводности $u_t=au_{xx}$ имеет локальное голоморфное решение в окрестности начала координат в $\mathbb{C}^2$ тогда и только тогда, когда росток $u_0(x)$ допускает аналитическое продолжение из окрестности 0 на всю плоскость $\mathbb{C}_x^1$ до целой функции порядка не выше $2$ и конечного типа при порядке $2$ (т. е. $u_0\in\mathcal{O}(\mathbb{C})$ и существуют константы $A,B>0$ такие, что $|u_0(x)|\leqslant a\exp{B|x|^2}$ для всех $x\in\mathbb{C}$; историю и ссылки см., например, в [1; § 2]). Эквивалентная формулировка этого результата такова23: всякое локальное голоморфное решение $u(x,t)$ уравнения Бюргерса $u_t=au_{xx}+buu_x$, $a,b\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, при каждом фиксированном значении $t=t_0$ имеет вид $bu(x,t_0)=2a\varphi'(x)/\varphi(x)$ для некоторой целой функции $\varphi\in\mathcal{O}(\mathbb{C})$ порядка не выше $2$ и конечного типа при порядке $2$:
$$
\begin{equation}
u_t=au_{xx}+buu_x \qquad\Longleftrightarrow\qquad u=\frac{2a}{b}(\ln\varphi)_x, \quad \varphi\in\operatorname{Exp}_2.
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
В настоящей работе установлено (см. (1.2) и теорему 3, (A)) нечто подобное для уравнения Кортевега–де Фриза:
$$
\begin{equation}
u_t=au_{xxx}+buu_x \qquad\Longrightarrow\qquad u=\frac{12a}{b}(\ln\tau)_{xx}, \quad \tau\in\mathcal{O}(\mathbb{C}).
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
Гипотеза. Тау-функция $\tau(x,t)$ любого локального голоморфного решения $u(x,t)$ уравнения Кортевега–де Фриза (7.2) является при каждом фиксированном $t$ целой функцией порядка не выше $3$ и конечного типа при порядке $3$. Например, решения24
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u_0(x,t)&=-\frac{12a}{b}\frac{1}{(x+C)^2}, \\ u_1(x,t)&=\frac{12a}{b}\frac{A^2}{\operatorname{ch}^2(Ax+4aA^3t+C)}, \\ u_2(x,t)&=-\frac{12a}{b}\wp(A x+B t+C)+\frac{B}{Ab}, \\ u_3(x,t)&=\frac{x+B}{C-b t} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
имеют тау-функции порядка $0$, $1$, $2$, $3$ соответственно (сами тау-функции являются полиномом, гиперболическим косинусом, тета-функцией Римана и экспонентой от кубического полинома). Если начальное условие $u(x,t_0)$ удовлетворяет первому уравнению Пенлеве $w''(x)=6w(x)^2+x$, то получится решение с тау-функцией порядка 5/2, а если $k$-му члену иерархии этого уравнения – то порядка $(2k+3)/(k+1)$: второе уравнение Пенлеве и его иерархия, похоже, дают аналогичную серию примеров с порядками, возрастающими от $3/2$ до предельного значения $2$. Если гипотеза верна, то из теоремы Адамара о целых функциях конечного порядка без нулей (см., например, [18; гл. I, § 3, п. 8]) легко вытекает, что любое голоморфное решение $u(x,t)$ уравнения Кортевега–де Фриза, не имеющее полюсов по $x$ хотя бы при одном значении $t$, необходимо совпадает с указанным выше решением $u_3(x,t)$. Заметим в заключение, что желание непосредственно продолжить аналогию (7.1), (7.2) на уравнения более высокого порядка по $x$ не принесет плодов, поскольку уравнение $u_t=a\partial_x^ku+buu_x$ при $k\geqslant4$ уже не обладает свойством глобальной мероморфности всех его решений по переменной $x$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Dom21} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|