| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Голоморфно однородные CR-многообразия и их модельные поверхности М. А. Степанова Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9056 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеКаждому порождающему CR-многообразию $M$ можно сопоставить его модельную поверхность $Q$ (см. § 2). Модельные поверхности являются центральным объектом удобной и разработанной технологии – метода модельной поверхности [1]. В качестве иллюстрации применения метода можно привести вопрос об оценке размерности алгебры Ли $\widetilde{\mathfrak{g}}$ голоморфных инфинитезимальных автоморфизмов многообразия $M$ в фиксированной точке (или более грубый вопрос о конечномерности $\widetilde{\mathfrak{g}}$). Поскольку размерность алгебры $\widetilde{\mathfrak{g}}$ не превосходит размерности алгебры $\mathfrak{g}$ ее модельной поверхности $Q$, см. [2], то достаточно оценить размерность алгебры $\mathfrak{g}$. Так, размерность $\widetilde{\mathfrak{g}}$ для невырожденной (т. е. Леви-невырожденной) гиперповерхности в $\mathbb{C}^{2}$ не превосходит восьми, поскольку такова размерность алгебры $\mathfrak{g}$ для ее модельной поверхности – сферы $\{v=|z|^{2}\}$, см. [3]. Изначально метод модельной поверхности развивался при некоторых допущениях общего положения – условиях полной невырожденности (см. [1], [2]). В работе [4] этот метод был распространен с класса вполне невырожденных многообразий на более широкий класс всех многообразий конечного типа по Блуму–Грэму (определение типа см. в [5]), а также были введены невырожденные многообразия, для которых условие полной невырожденности было заменено на другое, значительно более слабое, условие. В связи с этим возникли новые вопросы, сформулированные в работе [4]. Нас будут интересовать те из них (№ 3 и № 8), которые связаны с голоморфно однородными многообразиями. Первый из вопросов таков: рассмотрим росток голоморфно однородного многообразия. Верно ли, что его модельная поверхность также голоморфно однородна? Мы показываем, что ответ утвердителен вне зависимости от того, является ли тип конечным или бесконечным (см. теоремы 1 и 2 ниже). Другой естественный вопрос о голоморфно однородных многообразиях касается их типа: какие типы по Блуму–Грэму для таких многообразий могут быть реализованы? В типе фигурируют два вида данных: веса и кратности. В [4] было доказано, что веса не могут быть произвольными. Мы доказываем (см. теорему 3), что кратности в типе также не могут быть произвольными, и приводим оценки, которые являются в некотором смысле точными. Автор выражает благодарность В. К. Белошапке за ценные обсуждения. § 2. Модельная поверхность однородного многообразияПусть $z\in \mathbb{C}^n$, $w_1\in \mathbb{C}^{k_1}$, $\dots$, $w_l\in \mathbb{C}^{k_l}$ – векторные координаты в пространстве $\mathbb{C}^{n+k_1+\dots+k_l}$ с весами $[z]= 1$, $[w_j]=m_j$, где $m_j$ – натуральное число не меньше двух. Введенные веса индуцируют естественную градуировку на мономах, степенных рядах и векторных полях. Многочлены, являющиеся суммой мономов одного веса, а также вектор-формы, составленные из таких многочленов, мы будем называть квазиоднородными. Определение 1. Росток многообразия называется голоморфно однородным (или однородным), если алгебра Ли его инфинитезимальных голоморфных автоморфизмов имеет в центре ростка полный ранг, т. е. равный размерности многообразия. Пусть $M$ – росток гладкого $(C^{\infty})$ вещественного порождающего однородного многообразия конечного типа. Как показано в [4], из однородности следует, что веса $m_j$ в его типе по Блуму–Грэму $((m_1,k_1),\dots,(m_l,k_l))$ должны быть подряд идущими натуральными числами, начинающимися с двух, т. е. $m_j=j+1$. Кратности $k_j$ суть целые числа, большие нуля. Тогда росток однородного многообразия $M$ можно задать системой уравнений вида [5]:
$$
\begin{equation}
v_j=\Phi_j(z,\overline{z},u_1,\dots,u_{j-1})+o(j+1), \qquad j=1,\dots,l,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $u_j=\operatorname{Re}w_j$, $v_j=\operatorname{Im}w_j$, $\Phi_j$ – квазиоднородная вектор-форма веса $j+1$, $o(j)$ – слагаемые веса больше $j$. При этом $\Phi_j$ записаны в стандартной форме (см. [5; теорема 6.2]). Мы используем термин “форма” в двух различных смыслах, поскольку в обоих случаях его употребление общепринято, однако из контекста всегда будет ясно, какое из значений имеется в виду. Отметим, что в соответствии с [5] тип ростка определен однозначно и является голоморфным инвариантом. Если однородное многообразие $M$ задано системой (1), то его модельная поверхность $Q$ задается системой уравнений [4]:
$$
\begin{equation}
v_j=\Phi_j(z,\overline{z},u_1,\dots,u_{j-1}), \qquad j=1,\dots,l.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Пусть $\varepsilon$ – вещественное число. Пусть $a\,{=}\,(a^1,\dots,a^n)\,{\in}\, \mathbb{C}^n$, $b_j=(b_j^1,\dots,b_j^{k_j}) \in \mathbb{C}^{k_j}$ – набор параметров, для которого выполнены равенства $a^{\mu}=\alpha^{\mu}\varepsilon$, $b_j^{\mu}=\beta_j^{\mu}\varepsilon^{j+1}$ при всех допустимых значениях $\mu$. Введем следующие обозначения. 1) Пусть $\Psi(z,\overline{z},u_1,\dots,u_{j-1},a,\overline{a},b_1,\dots,b_l)$ – ненулевой полином. Запись
$$
\begin{equation*}
\Psi(z,\overline{z},u_1,\dots,u_{j-1},a,\overline{a},b_1,\dots,b_l)=\Omega(s)
\end{equation*}
\notag
$$
будет означать, что $\Psi(z,\overline{z},u_1,\dots,u_{j-1},a,\overline{a},b_1,\dots,b_l)\,{=}\,c \varepsilon^{s}$, где $c\,{=}\,\Psi(z,\overline{z},u_1,\dots, u_{j-1},\alpha,\overline{\alpha},\beta_1,\dots,\beta_l)$ не равно тождественному нулю и не зависит от $\varepsilon$. 2) Пусть $\Psi(z,\overline{z},u_1,\dots,u_{j-1},a,\overline{a},b_1,\dots,b_l)$ – аналитическая функция. Запись
$$
\begin{equation*}
\Psi(z,\overline{z},u_1,\dots,u_{j-1},a,\overline{a},b_1,\dots,b_l)=\omega(s)
\end{equation*}
\notag
$$
будет означать, что каждый член ее ряда равен $c\varepsilon^{\sigma}=\Omega(\sigma)$, где $c=c(z,\overline{z},u_1,\dots, u_{j-1},\alpha,\overline{\alpha},\beta_1,\dots,\beta_l)$ не зависит от $\varepsilon$, $\sigma \geqslant s$, причем для разных мономов значения $c$ и $\sigma$ могут различаться. Связь между обоими обозначениями можно символически записать следующим образом: $\omega(s)= \sum_{\sigma} \Omega(\sigma)$, где сумма берется по некоторому непустому подмножеству натуральных чисел, каждое из которых не меньше $s$. Теорема 1. Пусть $M$ – однородное многообразие конечного типа. Тогда его модельная поверхность $Q$ также однородна. Доказательство. Пусть $\varepsilon$ – вещественное число. Рассмотрим сдвиг $z \to z+a$, $u_j \to u_j+b_j$ в точку $\xi \in M$, такой что для координат векторов $a= (a^1,\dots,a^n)$, $b_j=(b_j^1,\dots,b_j^{k_j})$ выполнены равенства $a^{\mu}=\alpha^{\mu}\varepsilon$, $b_j^{\mu}=\beta_j^{\mu}\varepsilon^{j+1}$ при всех допустимых значениях $\mu$.
Уравнения для $M$ примут вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v_j &=\sum_{\nu=0}^{j+1} \Psi_{j,\nu}(z,\overline{z},u_1,\dots,u_{j-1},a,\overline{a},b_1,\dots,b_l) \nonumber \\ &\qquad +\Phi_j(z,\overline{z},u_1,\dots,u_{j-1})+o(j+1), \qquad j=1,\dots,l, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $\Psi_{j,\nu}$ имеют вес $\nu$ при указанном выше выборе весов переменных.
Пусть запись $[\Phi]_{\nu}$ обозначает сумму всех слагаемых веса $\nu$, входящих в выражение $\Phi$. Для каждого $\nu < j+1$ слагаемое $\Psi_{j,\nu}$ представляется в виде суммы слагаемых $\Psi^1_{j,\nu}$ и $\Psi^{2}_{j,\nu}$, определяемых следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\Psi^1_{j,\nu}= [\Phi_j(z+a,\overline{z+a},u_1+b_1,\dots,u_{j-1}+b_{j-1})]_{\nu},\qquad \Psi^{2}_{j,\nu}=\Psi_{j,\nu}-\Psi^1_{j,\nu}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом $\Psi^1_{j,\nu}=\Omega(j+1-\nu)$, $\Psi^{2}_{j,\nu}=\omega(j+1-\nu+1)$. Поскольку $M$ однородно, то тип в точке $\xi$ равен типу в точке нуль. Так как выражения $\Phi_j(z,\overline{z},u_1,\dots,u_{j-1})$ записаны в стандартной форме, то из условия сохранения типа получаем, что после приведения $M$ к стандартной форме по Блуму–Грэму определяющие уравнения будут иметь вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v_j &=\widetilde{\Psi}_j(z,\overline{z},u_1,\dots,u_{j-1},a,\overline{a},b_1,\dots,b_l) \nonumber \\ &\qquad+\Phi_j(z,\overline{z},u_1,\dots,u_{j-1})+o(j+1), \qquad j=1,\dots,l, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $\widetilde{\Psi}_j$ имеет вес $j+1$, причем $\widetilde{\Psi}_j=\omega(1)$.
Приведение к стандартной форме осуществляется последовательно для всех весовых компонент. Поскольку для каждой весовой компоненты порядок малости по $\varepsilon$ минимален для $\Psi^1_{j,\nu}$, с точностью до малых более высокого порядка стандартная форма для модельной поверхности совпадает со стандартной формой для самого многообразия. Поэтому из (4) получаем, что уравнения для модельной поверхности будут иметь вид
$$
\begin{equation*}
v_j=\Phi_j(z,\overline{z},u_1,\dots,u_{j-1}), \qquad j=1,\dots,l,
\end{equation*}
\notag
$$
что означает однородность модельной поверхности.
Теорема 1 доказана. Пусть $M$ – росток многообразия бесконечного типа $((m_1,k_1),\dots,(m_l,k_l), (\infty,k_{l+1}))$. Согласно [5] его можно задать системой уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, v_j=\Phi_j(z,\overline{z},u_1,\dots,u_{j-1})+o(m_j), \qquad j=1,\dots,l, \\ v_{l+1}=r(z,\overline{z},u_1,\dots,u_{l+1}), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Phi_j$ – квазиоднородная вектор-форма веса $m_j$, $r$ – гладкая вектор-функция, удовлетворяющая некоторым дополнительным условиям (см. [5]), которые несущественны для наших рассмотрений. Тогда модельной поверхностью $Q$ ростка многообразия $M$ бесконечного типа назовем поверхность, заданную системой уравнений
$$
\begin{equation*}
v_j=\Phi_j(z,\overline{z},u_1,\dots,u_{j-1})+o(m_j), \quad j=1,\dots,l, \qquad v_{l+1}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что модельная поверхность $Q$ оказывается произведением невырожденной модельной поверхности на плоскую. Теорема 2. Пусть $M$ – однородное многообразие бесконечного типа. Тогда его модельная поверхность $Q$ (имеющая бесконечный тип) также однородна. Доказательство. Бесконечность типа означает, что в стандартной форме определяющих уравнений поверхности $Q$ присутствуют тождественные нули. Рассмотрим усеченную систему уравнений, которая состоит только из тех уравнений, которые не содержат тождественных нулей в своей нормальной форме, и обозначим определяемые ими многообразия через $\widehat{M}$ и $\widehat{Q}$. Отображение $Q$ в себя индуцирует отображение $\widehat{Q}$ в себя, см. [4]. По теореме 1 модельная поверхность $\widehat{Q}$ локально однородна. Поскольку системы уравнений для $Q$ и $\widehat{Q}$ отличаются на уравнения, содержащие тождественные нули в своей нормальной форме, то $Q$ также локально однородна.
Теорема 2 доказана. Замечание 1. Голоморфная однородность $Q$ дает необходимое условие однородности, но не дает достаточного. Приведем конкретный пример многообразия, не являющегося голоморфно однородным, но имеющего голоморфно однородную модельную поверхность. Пример 1. a) Рассмотрим следующую гиперповерхность в $\mathbb{C}^{2}$: $M$ записана в нормальной форме Черна–Мозера, причем точка нуль является омбилической. Предположим, что $M$ голоморфно однородна. Тогда некоторая окрестность нуля состоит из омбилических точек, а значит, росток гиперповерхности $M$ эквивалентен ростку сферы [6]. Но тогда нормальная форма должна иметь вид $\{v=|z|^{2}\}$. Полученное противоречие показывает, что $M$ не является голоморфно однородной. С другой стороны, ее модельная поверхность $\{v=|z|^{2}\}$ является голоморфно однородной. b) Или, еще более общо, можно рассмотреть возмущение гиперквадрики в $\mathbb{C}^{n+1}$ слагемыми веса не меньше семи в нормальной форме: где $\epsilon_j=\pm 1$, а $\mu$, $\nu$ – мультииндексы. По той же причине, что и в п. a), в отличие от гиперквадрики, гиперповерхность $M$ не является однородной.Замечание 2. Из приведенных примеров также видно, что достаточно общее возмущение модельной гиперквадрики, в отличие от самой гиперквадрики, не является голоморфно однородным. Это можно увидеть и непосредственно: условие полной невырожденности (как для гиперповерхностей, так и для многообразий более высокой коразмерности) есть условие общего положения, причем многообразие общего положения не имеет автоморфизмов, а значит, не может быть голоморфно однородным. Поэтому, рассматривая достаточно общее возмущение определяющих уравнений голоморфно однородного модельного многообразия слагаемыми более высокого веса, получаем уравнения многообразия, не являющегося голоморфно однородным. § 3. Ограничения на кратности в типе однородного многообразияПусть $\mathcal{N}(l)$ – пространство квазиоднородных форм веса $l+1$, записанных в стандартной форме. Пусть $\varkappa_l=\operatorname{dim}\mathcal{N}(l)$ – размерность пространства $\mathcal{N}(l)$. Отметим, что кратности $k_j$ в типе по Блуму–Грэму ростка многообразия $M$ конечного типа, заданного уравнениями (1), должны удовлетворять неравенствам $k_j \leqslant \varkappa_j$, поскольку возникновение линейных зависимостей между компонентами вектор-формы $\Phi_j$ означает бесконечность типа. Будем говорить, что поверхность, заданная уравнениями вида (2), вполне невырожденна, если кратности $k_1,\dots,k_{l-1}$ в ее типе $((m_1,k_1),\dots,(m_l,k_l))$ принимают максимально возможные значения, т. е. $k_1=\varkappa_1,\dots,k_{l-1}=\varkappa_{l-1}$. Кратность $k_l$ при этом может принимать любое допустимое значение, т. е. $1 \leqslant k_l \leqslant \varkappa_l$. Если же поверхность невырожденна (см. [4]), то кратности $k_1,\dots,k_l$ удовлетворяют лишь неравенствам $k_1 \leqslant \varkappa_1,\dots,k_l \leqslant \varkappa_l$. Пусть однородная модельная поверхность $Q$ задана системой (2). Пусть $\Phi_{j,\nu}$ – компоненты вектор-формы $\Phi_j$. Пусть $B(j)$ – множество, состоящее из всех многочленов $\Phi_{j,\nu}$ при фиксированном $j$. Дополним множество $B(j)$ до базиса $\mathcal{B}(j)$ пространства $\mathcal{N}(j)$. Теорема 3. Пусть $M$ – росток однородного многообразия конечного типа, заданный системой (1). Тогда Доказательство. Поскольку тип ростка многообразия определяется по модельной поверхности, можно рассматривать не $M$, а его модельную поверхность $Q$. Пусть $N(j)=\langle B(j) \rangle$ – пространство, порожденное множеством $B(j)$. Отметим, что $\operatorname{dim}N(j)=k_j$.
Построим множество $C(j+1) \subset \mathcal{B}(j+1)$, сопоставив всем элементам множества $\mathcal{B}(j) \setminus B(j)$ различные элементы множества $\mathcal{B}(j+1)$ следующим образом. Каждому элементу $\chi_j(z,\overline{z},u) \in \mathcal{B}(j) \setminus B(j)$ соответствует элемент $\chi_{j+1}(z,\overline{z},u) \in C(j+1)$, такой что выражение $\chi_{j+1}(z+a,\overline{z+a},u+b)$ содержит слагаемое $\chi_j$ с ненулевым коэффициентом. Теперь заметим, что ни один из элементов множества $C(j+1)$ не может содержаться в множестве $B(j+1)$, поскольку в противном случае при сдвиге $z \to a$, $u \to b$ тип по Блуму–Грэму изменится, что противоречит голоморфной однородности. Следовательно, $\operatorname{dim}N(j+1) \leqslant \operatorname{dim}\mathcal{N}(j+1)- \operatorname{dim}\langle C(j+1) \rangle =\varkappa_{j+1}-(\varkappa_j-k_j)$. Отсюда получаем: $k_{j+1}-k_j=\operatorname{dim}N(j+1)-k_j \leqslant \varkappa_{j+1}-(\varkappa_j- k_j)- k_j=\varkappa_{j+1}-\varkappa_j$. Теорема 3 доказана. Теперь покажем, что оценки сверху, полученные в теореме 3, являются точными, предъявив поверхности, на которых они достигаются. Рассмотрим вполне невырожденную поверхность $\mathcal{Q}_l$, такую что ее тип по Блуму–Грэму равен $((2,\varkappa_1),(3,\varkappa_2),\dots,(l+1,\varkappa_l))$, т. е. все кратности в ее типе принимают максимально возможные значения (см. [2]). Поверхность $\mathcal{Q}_l$ однородна и задается системой уравнений вида
$$
\begin{equation*}
v_j=\varXi_j(z,\overline{z},u_1,\dots,u_{j-1}), \qquad j=1,\dots,l,
\end{equation*}
\notag
$$
в которой компоненты вектор-форм $\varXi_j$ образуют базис $\mathcal{B}(l)$ пространства $\mathcal{N}(l)$. Отметим, что с помощью указанного условия на тип поверхность $\mathcal{Q}_l$ определяется однозначно с точностью до невырожденного линейного преобразования. Замечание 3. Более того, разность $k_l-k_{l-1}$ может принимать весь диапазон возможных значений, т. е. значения от $(1-\varkappa_{l-1})$ до $(\varkappa_l- \varkappa_{l-1})$. Действительно, значение $(\nu-\varkappa_{l-1}), \, 1 \leqslant \nu \leqslant \varkappa_l$, достигается на вполне невырожденной поверхности, имеющей тип $((2,\varkappa_1),(3,\varkappa_2),\dots,(l,\varkappa_{l-1}),(l+1,\nu))$. Отсюда видно, что оценка снизу для разности $k_l-k_{l-1}$, в отличие от оценки сверху, тривиальна. Отметим, что оценки, полученные в теореме 3, асимптотически лишь ненамного улучшают тривиальную оценку $k_j \leqslant \varkappa_j$. Для того чтобы придать точный смысл данному высказыванию, выясним, каково асимптотическое поведение кратностей $\varkappa_j$ при больших $n$. Доказательство. Имеет место равенство где $\mathcal{N R}(j)$ – пространство однородных форм веса $j$, записанных в стандартной форме по Блуму–Грэму и не зависящих от переменной $u$.
Пусть $\mathcal{F R}(j)$ – пространство всех однородных форм веса $j$, не зависящих от переменной $u$. Пользуясь комбинаторными формулами, получаем, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dim}\mathcal{F R}(j)= C_{2n+j-1}^{j}, \qquad \operatorname{dim}\bigl(\mathcal{F R}(j)-\mathcal{N R}(j)\bigr)=2 C_{n+j-1}^{j},
\end{equation*}
\notag
$$
т. е.
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dim}\mathcal{N R}(j)=\operatorname{dim}\mathcal{F R}(j)-\operatorname{dim}\bigl(\mathcal{F R}(j)-\mathcal{N R}(j)\bigr)=\frac{2^{j}-2}{j!} \, n^{j}+ O(n^{j-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, $(\operatorname{dim}\mathcal{N}(j)-\operatorname{dim} \mathcal{N R}(j))=O(n^{j-1})$, поскольку веса компонент переменной $u$ не меньше двух.
Утверждение доказано. Итак, выражения для $\varkappa_j$ представляют собой многочлены от $n$ степени $j$. Поэтому при больших $n$ разница между неравенством $k_{j+1} \leqslant \varkappa_{j+1}- (\varkappa_j-k_j)$ и неравенством $k_{j+1} \leqslant \varkappa_{j+1}$ невелика. Также отметим, что точные значения величин $\varkappa_j$ для $j=1,\dots,6$ вычислены в [2]. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ste21} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|