| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 8 научных статьях (всего в 8 статьях) Точная область однолистности на классе голоморфных отображений круга в себя с внутренней и граничной неподвижными точками А. П. Солодовab a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9053 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеВ данной работе рассматривается задача нахождения областей однолистности на классах голоморфных в некоторой области функций. Поиск области однолистности голоморфной функции является важнейшей задачей геометрической теории функций. Именно эту область голоморфная функция конформно отображает на некоторую область в образе. Кроме того, однолистность голоморфной в области функции влечет дополнительные свойства и характеристики функции и осуществляемого ей отображения. Наиболее известны теоремы покрытия, искажения, вращения, неравенство Бибербаха для коэффициентов (см. [1]–[4]). Обсудим для начала вопрос об однолистности в окрестности внутренней точки области. Разумеется, необходимым условием однолистности функции в некоторой окрестности точки, т. е. локальной однолистности, является отличие от нуля ее производной в этой точке. Конечно, о размере этой окрестности при столь общем предположении ничего сказать нельзя. Для конкретизации размеров данной окрестности (величины радиуса однолистности) необходима дополнительная информация о функции. С оценкой снизу радиуса однолистности связано очень много работ. Общеизвестны оценки снизу радиуса круга, в котором голоморфная функция не только однолистна, но и отображает его на выпуклую, звездообразную либо спиралевидную области (см. [5]–[7]). В общем случае хорошо известны достаточное условие однолистности З. Нехари, связанное c оценкой производной Шварца, а также условие Й. Беккера. З. Нехари (см. [8]) показал, что локально однолистная в единичном круге с центром в нуле функция $f$ является однолистной, если производная Шварца
$$
\begin{equation*}
\{f,z\}=\biggl(\frac{f''(z)}{f'(z)}\biggr)'-\frac12\biggl(\frac{f''(z)}{f'(z)}\biggr)^2
\end{equation*}
\notag
$$
допускает в этом круге следующую оценку: Й. Беккер доказал (см. [9]), что однолистность в единичном круге локально однолистной функции имеет место в случае справедливости в единичном круге неравенства
$$
\begin{equation*}
(1-|z|^2)\biggl|\frac{zf''(z)}{f'(z)}\biggr|\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Что касается оценок сверху, одно из наиболее известных необходимых условий однолистности также принадлежит З. Нехари. Он показал (cм. [8]), что однолистность в единичном круге локально однолистной функции влечет следующую оценку в единичном круге производной Шварца: Однако, как для данного условия, так и в случае других оценок сверху радиуса однолистности так или иначе возникает труднопреодолимый зазор между необходимостью и достаточностью. Связано это с тем, что однолистность может нарушаться не только из-за препятствия, поставленного нулевым значением производной, но и по другой причине: образ границы круга однолистности может иметь точку самосоприкосновения (см., например, [10]). В этой же работе Г. В. Кузьминой получены условия однолистности голоморфной функции в круге, учитывающие подобный эффект.Поиску разнообразных условий однолистности посвящено большое количество работ (см., например, [11]–[16]). Отметим работу [17], где приведен обзор основных результатов по условиям однолистности и обширную библиографию, а также монографии [18], [19], содержащие классические условия однолистности. Совершенно иная ситуация возникает при оценке радиуса однолистности не для индивидуальной голоморфной функции, а на классе функций. В этом случае зазор между необходимыми и достаточными условиями оказывается существенно меньшим, а для некоторых классов нижняя и верхняя оценки вообще смыкаются. Э. Ландау рассмотрел класс ограниченных фиксированной постоянной отображений единичного круга со стандартной нормировкой и вычислил точное значение радиуса однолистности на этом классе. Теорема A (Э. Ландау, см. [20]). Пусть $f$ голоморфно отображает единичный круг с центром в нуле в круг с центром в нуле, радиус которого равен $N$, где $N$ – некоторое число, большее единицы. Кроме того, $f(0)=0$ и $f'(0)=1$. Тогда $f$ однолистна в круге с центром в нуле, радиус $R(N)$ которого равен $N(N-\sqrt{N^2-1})$. При этом функция удовлетворяет условиям $f(0)=0$ и $f'(0)=1$, ограничена числом $N$ в единичном круге и имеет нулевую производную в точке $z=R(N)$.Рассмотрим теперь случай граничной бесконечно удаленной точки, производную в которой будем понимать в смысле углового предела. Что касается локальной однолистности в граничной точке, то, как показал Ж. Валирон, здесь она также имеет место в случае отличной от нуля угловой производной. Теорема B (Ж. Валирон, см. [21]). Пусть $g$ голоморфно отображает правую полуплоскость в себя, причем угловая производная $g$ в бесконечности отлична от нуля. Тогда для любого $\varphi\in(0, \pi/2)$ найдется достаточно большое $R>0$ такое, что $g$ однолистна в секторе Теорему B можно переформулировать в терминах класса функций, отображающих единичный круг в себя. Теорема B'. Пусть $f$ голоморфно отображает единичный круг с центром в нуле в себя, причем в точке $a$ единичной окружности угловая производная $f$ конечна. Тогда для любого $\varphi\in(0, \pi/2)$ найдется достаточно малое $r>0$ такое, что $f$ однолистна в секторе Таким образом, мы видим, что в плане локальной однолистности угловая производная не сильно слабее обычной. В то время как голоморфная функция с отличной от нуля производной однолистна в некотором круге, функция, имеющая ненулевую угловую производную, однолистна в некотором секторе раствора сколь угодно близкого к $\pi$. Разумеется, радиус сектора зависит не только от величины угла, но и от самой функции. Более того, Х. Поммеренке [22] установил, что если угловая производная равна единице, то однолистность будет иметь место не только в секторе, но даже в некоторой области, граница которой касается единичной окружности. Аналогия с внутренней точкой наблюдается также в задачах описания областей однолистности для индивидуальных функций. Приведем один из недавних результатов в данном направлении, принадлежащий Й. Беккеру и Х. Поммеренке. Они получили достаточное условие однолистности в области для функции, имеющей конечную угловую производную в граничной точке, в определенном смысле аналогичное результатам З. Нехари и Й. Беккера для случая внутренней точки. Теорема C (Й. Беккер, Х. Поммеренке, см. [23]). Пусть $f$ – голоморфное отображение единичного круга с центром в нуле в себя, причем $f(1)=1$ (в смысле углового предела). Если угловая производная функции $f$ в точке $z=1$ конечна, то $f$ однолистна в области В частности, в качестве сектора (1.1), в котором функция $f$ однолистна, можно выбрать сектор, содержащийся в области (1.2). В то же время ситуация с выделением областей однолистности на классе функций с условием на производную в граничной точке кардинально отличается от случая внутренней точки. Даже для достаточно малого угла раствора сектора (1.1) выбрать единое значение радиуса сектора однолистности на классе, состоящем из функций, имеющих ограничение на угловую производную в граничной точке, вообще говоря, нельзя. В [24] установлены следующие результаты. Теорема D. При любом $\beta$, $0<\beta<1$, на классе функций, отображающих правую полуплоскость в себя и удовлетворяющих условиям $f(\infty)=\infty$ и $f'(\infty)>\beta$ (в смысле углового предела), нет непустых областей однолистности. Теорема D'. При любом $\alpha>1$ на классе функций, отображающих единичный круг с центром в нуле в себя и удовлетворяющих условиям $f(1)=1$ и $f'(1)<\alpha$ (в смысле углового предела), нет непустых областей однолистности. Сравнивая это утверждение с результатом теоремы A, можно сделать вывод, что условие на угловую производную значительно слабее условия на производную во внутренней точке, а классы, содержащие лишь условие на угловую производную в граничной неподвижной точке, слишком обширны с точки зрения выделения областей однолистности. Тем самым, возникает естественная необходимость к ограничению на значение производной в граничной неподвижной точке добавить еще некоторое условие. В качестве такого условия В. В. Горяйнов [25] предложил потребовать наличие дополнительной неподвижной точки и получил в этом направлении ряд результатов. При этом дополнительная неподвижная точка может располагаться как внутри области, так и на ее границе. Случай дополнительной граничной неподвижной точки рассматривался также в работах [26]–[28]. В настоящей работе мы исследуем классы функций, имеющих ограничение на значение производной в граничной неподвижной точке, а также дополнительное условие наличия и локализации внутренней неподвижной точки. В. В. Горяйнов обнаружил на данных классах существование областей однолистности (см. [25; теорема 1]). Разработанный в [25] метод был применен в [24] для нахождения более широких областей однолистности. В этой же работе получены оценки сверху. Потенциал метода Горяйнова в [24] был использован максимально, что позволило в целом получить хорошие оценки. Дальнейшее продвижение в решении этой задачи требовало разработки нового подхода к исследованиям. В данной работе экстремальная задача поиска области однолистности на классе функций с внутренней и граничной неподвижными точками и ограничением на значение угловой производной в граничной точке решена полностью. Получена точная область однолистности на данном классе. Это приводит к усилению классического результата Ландау (теоремы A) для соответствующего класса функций. Результаты настоящей работы были анонсированы в [29]. § 2. Предварительные сведения и обозначенияОбозначим через $\mathscr B$ совокупность голоморфных функций, отображающих единичный круг $\mathbb D\,{=}\,\{z\,{\in}\, \mathbb C\colon |z|\,{<}\,1\}$ в себя. Изучение свойств отображения $f\in \mathscr B$ тесно связано с анализом его неподвижных точек. Отметим, что если $f\in \mathscr B$ и $f(z)\not\equiv z$, то в силу леммы Шварца–Пика (см. [1; гл. VIII, § 1], [30; гл. 1, § 1.2]) функция $f$ может иметь внутри круга ${\mathbb D}$ не более одной неподвижной точки. В общем случае функция $f\in \mathscr B$ может не иметь в единичном круге ${\mathbb D}$ неподвижных точек. Однако классический результат, известный как теорема Данжуа–Вольфа (см. [21; гл. VI, § 43]), утверждает, что если $f \in \mathscr B$ отлична от дробно-линейного преобразования единичного круга на себя, то существует единственная точка $d$, $|d|\leqslant 1$, такая, что последовательность натуральных итераций $f^{n}=f\circ f^{n-1}$, $n=2,3,\dots$, функции $f=f^1$ сходится к $d$ локально равномерно в ${\mathbb D}$. При этом, если $d$ является граничной точкой, т. е. лежит на единичной окружности $\mathbb{T} = \{ z\in\mathbb{C}\colon |z| = 1\}$, то в этой точке существуют угловые пределы
$$
\begin{equation*}
\angle\lim_{z\to d}f(z)=f(d),\qquad \angle \lim_{z\to d}f'(z)=\angle\lim_{z\to d}\frac{f(z)-d}{z-d}=f'(d),
\end{equation*}
\notag
$$
причем $f(d)=d$ и $0<f'(d)\leqslant 1$. Точка $d$ называется точкой Данжуа–Вольфа функции $f$. Если $d\in \mathbb D$, то в силу леммы Шварца–Пика выполняется неравенство $|f'(d)|\leqslant 1$. Таким образом, точка Данжуа–Вольфа функции $f$ является притягивающей ($|f'(d)|< 1$) или нейтральной ($|f'(d)|= 1$) неподвижной точкой. Если функция $f\in \mathscr B$ с точкой Данжуа–Вольфа $d$, $|d|\leqslant 1$, имеет дополнительную неподвижную точку $a$, то она должна располагаться на единичной окружности $\mathbb T$ и ее неподвижность понимается в смысле углового предела Далее без ограничения общности будем полагать $a=1$.Согласно теореме Жюлиа–Каратеодори (см. [30; гл. 1, § 1.4, теорема 1.5]) всегда существует (конечный или бесконечный) угловой предел
$$
\begin{equation}
\angle \lim_{z\to 1}\frac{f(z)-1}{z-1}=\sup_{z\in\mathbb D}\frac{|1-f(z)|^2}{1-|f(z)|^2}\cdot\frac{1-|z|^2}{|1-z|^2}.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Более того, если этот предел конечен, то он является положительным числом и $f'(z)$ имеет тот же угловой предел при $z\to 1$. В этом случае предел (2.1) называется угловой производной функции $f$ в точке $z=1$ и обозначается $f'(1)$. В частности, из (2.1) немедленно вытекает неравенство
$$
\begin{equation}
\frac{|1-f(z)|^2}{1-|f(z)|^2}\cdot\frac{1-|z|^2}{|1-z|^2}\leqslant f'(1) \quad \forall\, z\in\mathbb D.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Неравенство (2.2) имеет простую геометрическую интерпретацию, схожую, в определенном смысле, с геометрической интерпретацией неравенства Шварца. Под орициклом в точке $1$ с параметром $k>0$ понимается круг
$$
\begin{equation}
\mathbb O_k=\biggl\{z\in\mathbb D\colon \frac{|1-z|^2}{1-|z|^2}< k\biggr\}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
радиуса $k/(k+1)$ с центром в точке $z_0=1/(k+1)$, который касается единичного круга $\mathbb D$ в точке $z=1$. Неравенство (2.2) равносильно следующему утверждению: если $f\in \mathscr B$ имеет неподвижную точку $z=1$ с конечной угловой производной $f'(1)=\alpha$, то для всех $k>0$ справедливо включение $f(\mathbb O_k)\subset \mathbb O_{\alpha k}$. Пусть $\mathscr H$ – класс голоморфных функций $g$, отображающих правую полуплоскость $\mathbb H=\{\zeta\in \mathbb C\colon \operatorname{Re} \zeta>0\}$ в себя. К. Каратеодори [31] и независимо от него Э. Ландау и Ж. Валирон (см. [21; гл. IV, § 26], [32]) установили, что для каждой функции $g$ из этого класса существует неотрицательный (конечный) угловой предел
$$
\begin{equation}
\angle \lim_{\zeta\to \infty}\frac{g(\zeta)}{\zeta}.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
При этом $g'(\zeta)$ имеет тот же угловой предел при $\zeta \to \infty$. Предел (2.4) называется угловой производной функции $g$ на бесконечности. Классы $\mathscr B$ и $\mathscr H$ мы будем исследовать параллельно, пользуясь взаимно однозначным соответствием, задаваемым дробно-линейным отображением Тогда если $g\in \mathscr H$, то функция $f(z)=L\,{\circ}\, g\,{\circ}\, L^{-1}(z)$ принадлежит классу $\mathscr B$, при этом угловые производные функций $f$ и $g$ связаны следующим соотношением:Обозначим через $\mathscr B[d]$, $d\in \mathbb D$, совокупность функций $f$ из $\mathscr B$, для которых $d$ является внутренней неподвижной точкой, а через $\mathscr B\{1\}$ – совокупность функций $f$ из $\mathscr B$, оставляющих неподвижной граничную точку $z=1$:
$$
\begin{equation*}
\mathscr B[d]=\{f\in \mathscr B\colon f(d)=d \},\qquad \mathscr B\{1\}=\Bigl\{f\in \mathscr B\colon \angle\lim_{z\to 1}f(z)=1\Bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично из класса $\mathscr H$ выделим подкласс $\mathscr H[m]$, $m\in \mathbb H$, функций c внутренней неподвижной точкой $m$ и подкласс $\mathscr H\{\infty\}$ функций с бесконечно удаленной неподвижной точкой:
$$
\begin{equation*}
\mathscr H[m] =\{g\in \mathscr H\colon g(m)=m\},\qquad \mathscr H\{ \infty\} =\Bigl\{g\in \mathscr H\colon \angle \lim_{\zeta \to \infty}g(\zeta)=\infty\Bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для произвольного $N>1$ выделим в $\mathscr B[d]$ подкласс $\mathscr B_{N}[d]$, состоящий из функций, у которых модуль производной в точке $z=d$ отделен от нуля числом $1/N$:
$$
\begin{equation*}
\mathscr B_{N}[d]=\biggl\{ f\in \mathscr B[d]\colon |f'(d)|\geqslant \frac 1N\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, для произвольных $\alpha>1$ и $\beta<1$ выделим в классах $\mathscr B\{1\}$ и $\mathscr H\{\infty\}$ подклассы $\mathscr B_{\alpha}\{1\}$ и $\mathscr H_{\beta}\{\infty\}$ соответственно, состоящие из функций, имеющих ограничение на значение угловой производной в неподвижной точке:
$$
\begin{equation*}
\mathscr B_{\alpha}\{1\}=\{f\in \mathscr B\{1\}\colon f'(1)\leqslant \alpha\},\qquad \mathscr H_{\beta}\{\infty\}=\{g\in \mathscr H\{\infty\}\colon g'(\infty)\geqslant \beta\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Как следует из теорем D и D', классы $\mathscr B_{\alpha}\{1\}$ и $\mathscr H_{\beta}\{\infty\}$ нуждаются в дальнейшем сужении, состоящем, например, в фиксации местоположения точки Данжуа–Вольфа. Нас будет интересовать ситуация с наличием внутренней точки Данжуа–Вольфа. Обозначим через $\mathscr B_{\alpha}[d, 1]$ подкласс $\mathscr B_\alpha\{1\}$, состоящий из функций, сохраняющих неподвижной точку $d\in\mathbb D$, а через $\mathscr H_\beta[m, \infty]$ – подкласс $\mathscr H_{\beta}\{ \infty\}$ функций с неподвижной точкой $m\in\mathbb H$:
$$
\begin{equation*}
\mathscr B_{\alpha}[d, 1]=\mathscr B_{\alpha}\{1\}\cap \mathscr B[d],\qquad \mathscr H_{\beta}[m, \infty]=\mathscr H_{\beta}\{\infty\}\cap \mathscr H[m].
\end{equation*}
\notag
$$
Именно эти классы и представляют то сужение классов $\mathscr B_{\alpha}\{1\}$ и $\mathscr H_{\beta}\{\infty\}$, для которого можно ставить вопрос о выделении областей однолистности. На протяжении статьи нам также понадобятся следующие области, расположенные внутри единичного круга $\mathbb D$. Для каждого $k>0$ обозначим через $\mathscr S_k$ часть круга $\mathbb D$, лежащую правее неевклидова сегмента, т. е. дуги окружности, ортогональной единичной, с центром в точке $z_0=(k^2+1)/(k^2-1)$ и радиусом $2k/(k^2-1)$ при $k\neq 1$ либо мнимого диаметра при $k=1$:
$$
\begin{equation}
\mathscr S_k=\biggl\{z\in \mathbb D\colon \biggl|\frac{1+z}{1-z}\biggr|<k\biggr\}.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Через $\mathscr D_k$ обозначим область, ограниченную жордановой кривой, проходящей через точку $z=1$, лежащей внутри круга $\overline{\mathbb D}$, и гладкой всюду за исключением точки $z=1$, в которой кривая имеет излом, угол которого равен $2 \operatorname{arctg} k$:
$$
\begin{equation}
\mathscr D_k=\biggl\{z\in \mathbb D\colon \frac{\bigl|1-2z+|z|^2\bigr|}{1-|z|^2}<k\biggr\}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
§ 3. Постановка задачи и основной результатНачнем с переформулировки теоремы Ландау (теоремы A) в терминах отображений единичного круга. Запишем положительную часть этой теоремы в другой нормировке, а вместо одной функции, устанавливающей точность радиуса однолистности, возьмем целое семейство функций. Теорема A'. Пусть $N>1$, $f\in \mathscr B[0]$, причем $f'(0)=1/N$. Тогда $f$ однолистна в круге $\mathscr L(N)=\{z\in \mathbb D\colon |z|<R(N)\}$, где $R(N)=N-\sqrt{N^2-1}$. При этом для каждого $\varkappa\in\mathbb T$ функция принадлежит классу $\mathscr B[0]$, причем $f'_\varkappa(0)=1/N$, и имеет нулевую производную в точке $z_{\varkappa}=\varkappa R(N)$. Вторая часть теоремы показывает, что в каждой точке границы круга $\mathscr L(N)$ находится препятствие на пути дальнейшего расширения области однолистности – нуль производной некоторой функции рассматриваемого класса. Тем самым, не только круг большего радиуса, но и никакую другую область, содержащую круг $\mathscr L(N)$, в качестве области однолистности класса функций из $\mathscr B[0]$ с условием $f'(0)=1/N$ взять нельзя. Данный класс, очевидно, может быть расширен до класса $\mathscr B_N[0]$, имеющего ту же область однолистности. Следствие 1. Пусть $N>1$, $f\in \mathscr B_N[0]$. Тогда $f$ однолистна в круге $\mathscr L(N)=\{z\in \mathbb D\colon |z|<R(N)\}$, где $R(N)=N-\sqrt{N^2-1}$. При этом для каждого $\varkappa\in\mathbb T$ функция принадлежит $\mathscr B_N[0]$ и имеет нулевую производную в точке $z_{\varkappa}=\varkappa R(N)$. В то же время нет никаких сомнений, что любая функция класса $\mathscr B_N[0]$ имеет область однолистности значительно шире, чем $\mathscr L(N)$. Таким образом, интересным представляется вопрос о выделении точных областей однолистности на более узких классах, чем $\mathscr B_N[0]$. В данной работе мы получим усиление теоремы Ландау для наиболее важного подкласса класса $\mathscr B_N[0]$, содержащего, в частности, производящие функции дискретной случайной величины (см. [33]). Как уже отмечалось в § 1 (теоремы D и D'), наличие лишь только условия на производную в граничной неподвижной точке не достаточно для выделения областей однолистности. Рассматривая сужение класса $\mathscr B_\alpha\{1\}$, $\alpha>1$, – класс $\mathscr B_\alpha[0,1]$, $\alpha>1$, В. В. Горяйнов заметил, что при $\alpha\in(1,2)$ имеет место вложение класса $\mathscr B_{\alpha}[0, 1]$ в класс $\mathscr B_{\alpha/(2-\alpha)}[0]$. Отсюда и из теоремы A он вывел следующий результат. Теорема E. Пусть $f\in \mathscr B_{\alpha}[0, 1]$, $\alpha\in (1,2)$. Тогда $f$ однолистна в круге Таким образом, при каждом $\alpha\in(1,2)$ среди кругов с центром в нуле, в которых однолистны все функции класса $\mathscr B_{\alpha}[0, 1]$, круг $\mathscr{O}(\alpha)$ имеет максимальный радиус. Более того, в такой постановке рассматривать значения угловой производной бо́льшие двух невозможно: функция $f(z)=z^2$ принадлежит классу $\mathscr B_{2}[0, 1]$, но не является однолистной ни в какой окрестности нуля. Наконец, пересечением кругов $\mathscr{O}(\alpha)$ по всем $\alpha\in (1, 2)$ является одноточечное множество $\{z=0\}$. В то же время ясно, что класс $ \mathscr B_{\alpha}[0, 1]$ существенно у́же, чем $\mathscr B_{\alpha/(2-\alpha)}[0]$. Точка $z_\alpha$ вида (3.3) при каждом $\alpha$ препятствует распространению области однолистности лишь в направлении одного луча. Более того, из теоремы C следует, что функция (3.2) однолистна в области $\{z\in \mathbb D\colon \operatorname{Re} z>z_\alpha\}$. В связи с этим возникает вопрос, нельзя ли указать на классе $ \mathscr B_{\alpha}[0, 1]$ область однолистности, более широкую, чем круг $\mathscr{O}(\alpha)$? Какова точная область однолистности для класса $\mathscr B_{\alpha}[0, 1]$? В [25] найдены области однолистности, которые при всех $\alpha\in (1, 2)$ содержат не только внутреннюю неподвижную точку $z=0$, но и примыкают к граничной неподвижной точке $z=1$. При этом пересечением областей однолистности по всем $\alpha\in (1, 2)$ является уже полуинтервал действительной оси $[0,1)$. Теорема F (В. В. Горяйнов, см. [25]). Пусть $f\in \mathscr B_{\alpha}[0, 1]$, $\alpha\in(1,2)$. Тогда $f$ однолистна в области В [24] области однолистности (3.4) расширены. Пересечение найденных областей по всем $\alpha\in (1, 2)$ оказывается уже областью, содержащей полуинтервал $[0,1)$. Наконец, если $\alpha\geqslant 2$, то никакой оценки снизу на модуль производной во внутренней неподвижной точке быть не может, что не позволяет воспользоваться теоремой Ландау для доказательства существования непустых областей однолистности. Области из теоремы F при $\alpha=2$ также вырождаются. Возникает вопрос, можно ли что-нибудь сказать об области однолистности классов $\mathscr B_{\alpha}[0, 1]$ при $\alpha\geqslant 2$? Влияет ли простой факт фиксации локализации внутренней неподвижной точки без оценки значения в ней модуля производной на существование области однолистности на классе? В [24] показано, что влияет, и найдены области однолистности на классах $\mathscr B_{\alpha}[0, 1]$ при $\alpha\in[2,4)$. Правда в этом случае область однолистности не будет содержать саму неподвижную точку. Теорема G (О. С. Кудрявцева, А. П. Солодов, см. [24]). Пусть функция $f\in \mathscr B_{\alpha}[0, 1]$, $1<\alpha< 4$. Тогда $f$ однолистна в области В данной работе будет получен окончательный результат в духе теоремы Ландау. При каждом $\alpha\in(1,4]$ мы найдем точную область однолистности на классе $\mathscr B_{\alpha}[0, 1]$. Теорема 1. Пусть $\alpha\in (1,4]$. Если $f\in \mathscr B_{\alpha}[0, 1]$, тогда $f$ однолистна в области Какова бы ни была область $\mathscr{U}$, $\mathscr D(\alpha)\varsubsetneq\mathscr{U}\subset\mathbb D$, найдется функция $f\in \mathscr B_{\alpha}[0, 1]$, не однолистная в области $\mathscr{U}$. Конечно, наиболее интересен случай, когда $\alpha\in(1,2)$ и класс $\mathscr B_{\alpha}[0, 1]$ вложен в класс Ландау $\mathscr B_{\alpha/(2-\alpha)}[0]$. В этом случае теорема 1 позволяет усилить результат теоремы Ландау и указать значительно более широкие и при этом точные области однолистности для соответствующего подкласса. На рис. 1 можно увидеть структуру и взаимное расположение областей (3.1), (3.4)–(3.6). С помощью отображения (2.5) результат теоремы 1 можно перенести на класс $\mathscr H_\beta[1,\infty]$, точная область однолистности которого ограничена гиперболой. Теорема 1'. Пусть $\beta\in[1/4,1)$. Если $g\in\mathscr H_\beta[1,\infty]$, то $g$ однолистна в области Какова бы ни была область $\mathscr{P}$, $\mathscr C(\beta)\varsubsetneq\mathscr{P}\subset\mathbb H$, найдется функция $g\in \mathscr H_{\beta}[1,\infty]$, не однолистная в области $\mathscr{P}$. § 4. Инволюция круга и ее свойстваВ данном параграфе рассматривается отображение $\lambda$, определяемое следующей формулой:
$$
\begin{equation}
\lambda(z)=-z\frac{1-\overline{z}}{1-z}, \qquad z\in\mathbb D.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Отображение $\lambda$, очевидно, не является конформным. В то же время, оно обладает рядом замечательных свойств, которые будут нами использованы при доказательстве основного результата. Поскольку отображение $\lambda$ сохраняет модуль, то оно отображает единичный круг $\mathbb D$ в себя. На самом деле, $\lambda(z)$ взаимно однозначно отображает круг $\mathbb D$ на себя, что вытекает из следующего утверждения. Доказательство. Проверим непосредственными вычислениями справедливость утверждения. Для каждого $z\in\mathbb D$ имеем
$$
\begin{equation*}
\lambda^2(z)=-\lambda(z)\frac{1-\overline{\lambda(z)}}{1-\lambda(z)}=z \frac{1-\overline{z}}{1-z}\cdot\frac{1+\overline{z}\frac{1-z}{1-\overline{z}}}{1+z \frac{1-\overline{z}}{1-z}}=z\frac{1-\overline{z}}{1-z}\cdot \frac{(1-|z|^2)(1-z)}{(1-|z|^2)(1-\overline{z})}=z.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Таким образом, отображение $\lambda$ является инволюцией и, значит, обладает следующим свойством. Лемма 3. Отображение $\lambda$ взаимно однозначно отображает $\mathbb D$ на себя, причем если $w=\lambda(z)$, то $z=\lambda^{-1}(w)=\lambda(w)$. Биективность и непрерывность отображения $\lambda$ вместе с леммой 3 позволяют заключить, что $\lambda$ осуществляет гомеоморфное (конечно, не конформное) отображение областей, содержащихся в круге $\mathbb D$. Наиболее интересны для нас отображения областей, определенных формулами (2.3), (2.6) и (2.7). В частности, $\lambda$ отображает орицикл на внешность орицикла. Точнее, имеет место следующий факт. Доказательство. Проверим сначала соответствие границ. Докажем сперва включение $\lambda(\partial \mathbb O_k)\subset\partial \mathbb O_{1/k}$. Пусть $z\in\partial \mathbb O_k$. Принимая во внимание лемму 1 и равенство верное в силу (2.3), получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{|1-\lambda(z)|^2}{1-|\lambda(z)|^2}=\frac{|1+z(1-\overline{z})/(1-z)|^2}{1-|z|^2}= \frac{(1-|z|^2)^2}{|1-z|^2(1-|z|^2)}=\frac{1-|z|^2}{|1-z|^2}=\frac 1k.
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду (2.3) отсюда следует, что $\lambda(z)\in \partial \mathbb O_{1/k}$. Обратное включение $\lambda(\partial \mathbb O_k)\supset\partial \mathbb O_{1/k}$ выполнено в силу леммы 3. Первая часть леммы доказана.
Проверим теперь равенство областей. Снова начнем с доказательства включения $\lambda(\mathbb O_k)\subset\mathbb D\setminus \overline{\mathbb O}_{1/k}$. Пусть $z\in \mathbb O_k$. Тогда в силу (2.3) выполняется неравенство С учетом предыдущих выкладок имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{|1-\lambda(z)|^2}{1-|\lambda(z)|^2}=\frac{1-|z|^2}{|1-z|^2}>\frac 1k.
\end{equation*}
\notag
$$
Опять же вследствие (2.3) получаем $\lambda(z)\notin \overline{\mathbb O}_{1/k}$. Обратное включение $\lambda(\mathbb O_k)\supset\mathbb D\setminus \overline{\mathbb O}_{1/k}$ доказывается аналогично. Лемма полностью доказана. Покажем теперь, что под действием отображения $\lambda$ области (2.6) и (2.7) переходят друг в друга. Доказательство. В силу леммы 3 достаточно проверить, что $\lambda(\mathscr D_k)\subset \mathscr S_k$ и $\lambda(\mathscr S_k)\subset \mathscr D_k$. Для доказательства первого включения рассмотрим произвольную точку $z\in \mathscr D_k$, для которой ввиду (2.7) выполняется неравенство Поскольку имеет место оценка
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{1+\lambda(z)}{1-\lambda(z)}\biggr| =\frac{|1-z(1-\overline{z})/(1-z)|}{|1+z(1-\overline{z})/(1-z)|} =\frac{|1-2z+|z|^2|}{1-|z|^2}<k,
\end{equation*}
\notag
$$
в силу (2.6) получаем $\lambda(z)\in \mathscr S_k$. Для доказательства второго включения рассмотрим произвольную точку $z\in \mathscr S_k$. Ввиду (2.6) справедливо неравенство Учитывая лемму 1, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\bigl|1-2\lambda(z)+|\lambda(z)|^2\bigr|}{1-|\lambda(z)|^2} &=\frac{\bigl|1+2z(1-\overline{z})/(1-z)+|z|^2\bigr|}{1-|z|^2} \\ &=\frac{(1- |z|^2)|1+z|}{(1-|z|^2)|1-z|}=\biggl|\frac{1+z}{1-z}\biggr|<k. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $\lambda(z)\in \mathscr D_k$ в силу (2.7). Лемма доказана. § 5. Доказательство вспомогательных утвержденийВ данном параграфе мы докажем вспомогательные утверждения, на которых будет базироваться основное неравенство, необходимое для доказательства теоремы 1. Лемма 6. Пусть заданы действительное число $\alpha$, $\alpha>1$, положительные числа $p$ и $r$, удовлетворяющие условиям $ p<1/\sqrt{\alpha-1}$ и $r<1/\sqrt{\alpha-1}$. Тогда выполняется неравенство Доказательство. Вследствие условий $p<1/\sqrt{\alpha-1}$ и $r<1/\sqrt{\alpha-1}$ имеют место оценки используя которые заключаем справедливость неравенства Лемма доказана. Лемма 7. Пусть заданы действительное число $\alpha$, $1<\alpha\leqslant 4$, действительные числа $p$ и $r$, удовлетворяющие условиям $1/\sqrt{3}\leqslant p<1/\sqrt{\alpha-1}$ и $0<r<1/\sqrt{\alpha-1}$, а также угол $\varphi\in(-\pi,\pi)$. Тогда выполняется неравенство Доказательство. Поскольку $p \geqslant 1/\sqrt{3}$, имеет место оценка
$$
\begin{equation}
p\sqrt{3+p^2+2\cos\varphi}=\sqrt{3p^2+p^4+2p^2\cos\varphi}\geqslant\sqrt{1+p^4+2p^2\cos\varphi}.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Умножая неравенство (5.1), доказанное в лемме 6, на положительную величину $\sqrt{3+p^2+2\cos\varphi}-\sqrt{1+p^2}$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sqrt{3+p^2+2\cos\varphi}\bigl(\sqrt{(1+p^2)(1+r^2)}-\alpha pr\bigr) \nonumber \\ &\qquad>\sqrt{ 1+p^2}\bigl(\sqrt{(1+p^2)(1+r^2)}-\alpha pr\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Далее, из (5.2) выводим оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sqrt{(1+p^2)(1+r^2)(3+p^2+2\cos\varphi)}-\alpha r\sqrt{1+p^4+2p^2\cos\varphi} \nonumber \\ &\qquad \geqslant \sqrt{3+p^2+2\cos\varphi}\bigl(\sqrt{(1+p^2)(1+r^2)}-\alpha pr\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Требуемое неравенство следует из оценок (5.3) и (5.4). Лемма доказана. Непосредственно из лемм 6 и 7 выводим следующее утверждение. Лемма 8. Пусть заданы действительное число $\alpha$, $1<\alpha\leqslant 4$, действительные числа $p$ и $r$, удовлетворяющие условиям $1/\sqrt{3}\leqslant p<1/\sqrt{\alpha-1}$ и $0<r<1/\sqrt{\alpha-1}$, а также угол $\varphi\in(-\pi,\pi)$. Тогда выполняется неравенство Лемма 9. Пусть заданы действительное число $\alpha$, $1<\alpha\leqslant 4$, положительные числа $p$ и $r$, удовлетворяющие условиям $p\leqslant1/\sqrt{3}$ и $r<1/\sqrt{\alpha-1}$. Тогда функция убывает на отрезке $[0, \pi]$. Доказательство. Покажем сначала, что для всех $\alpha$ и $r$, удовлетворяющих условиям $1<\alpha\leqslant 4$ и $0<r<1/\sqrt{\alpha-1}$, выполняется неравенство Ясно, что неравенство (5.5) имеет место при $\alpha\in(1, 2]$, а при $\alpha\in(2,4]$ оно вытекает из следующей оценки:
Далее, поскольку $p\in(0,1/\sqrt{3}]$, верны неравенства Умножив их на неравенство (5.5), получаем Складывая теперь неравенства (5.6) и (5.7), умноженные на $2p^2(1+\cos\varphi)$ и $1+p^2$ соответственно, после преобразований получаем оценку
$$
\begin{equation}
\alpha^2 r^2p^4(3+p^2+2\cos\varphi)<(1+p^2)(1+r^2)(1+p^4+2p^2\cos\varphi),
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
справедливую при всех $\alpha\in(1,4]$, $p\in(0,1/\sqrt{3}]$ и $r\in(0,1/\sqrt{\alpha-1}]$. С другой стороны, производная функции $\Phi$, равная
$$
\begin{equation*}
\Phi'(\varphi)=\frac{\sin\varphi\bigl(\alpha rp^2\sqrt{3+p^2+2\cos\varphi} -\sqrt{(1+p^2)(1+r^2)(1+p^4+2p^2\cos\varphi)}\bigr)} {\sqrt{(3+p^2+2\cos\varphi)(1+p^4+2p^2\cos\varphi)}},
\end{equation*}
\notag
$$
вследствие (5.8) отрицательна на интервале $(0,\pi)$. Лемма доказана. Из леммы 9 вытекает следующее утверждение. Лемма 10. Пусть заданы действительное число $\alpha$, $1<\alpha\leqslant 4$, положительные числа $p$ и $r$, удовлетворяющие условиям $p\leqslant1/\sqrt{3}$ и $r<1/\sqrt{\alpha-1}$, а также угол $\varphi\in(-\pi,\pi)$. Тогда выполняется неравенство Наконец, легко показать, что для любых действительных чисел $t$ и $s$ имеют место неравенства
$$
\begin{equation}
\sqrt{\frac{4}{3}-\frac{2t}{\sqrt{3}}+t^2} \geqslant \frac 2{\sqrt{3}}-\frac t2,
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
$$
\begin{equation}
\sqrt{\frac 43-\frac{t+s}{\sqrt{3}}+\frac{t^2+s^2}2} \geqslant \frac 2{\sqrt{3}}-\frac{t+s}4,
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{4}{\sqrt{3}}+t\biggr)\sqrt{\frac{4}{3}+\frac{2t}{\sqrt{3}}+t^2} \leqslant \frac{8}{3}+\frac{4t}{\sqrt{3}}+\frac{5t^2}{4}.
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
§ 6. Доказательство основного неравенстваЦель данного параграфа – получить следующее неравенство, которое будет использовано при доказательстве теоремы 1. Лемма 11. Пусть заданы действительное число $\alpha$, $1<\alpha\leqslant 4$, положительные числа $p$ и $r$, удовлетворяющие условиям $p<1/\sqrt{\alpha-1}$ и $r<1/\sqrt{\alpha-1}$, а также угол $\varphi\in(-\pi,\pi)$. Тогда выполняется неравенство Доказательство этого утверждения мы разобьем на три случая в зависимости от значений $p$ и $r$. Первый случай – $p$ и $r$ расположены правее точки $1/\sqrt{3}$, второй случай – левее, и третий случай – по разные стороны от точки $1/\sqrt{3}$. Этим случаям будут посвящены леммы 12–14. Лемма 12. Пусть заданы действительное число $\alpha$, $1<\alpha\leqslant 4$, действительные числа $p$ и $r$, удовлетворяющие условиям $1/\sqrt{3}\leqslant p<1/\sqrt{\alpha-1}$ и $1/\sqrt{3}\leqslant r<1/\sqrt{\alpha-1}$, а также угол $\varphi\in(-\pi,\pi)$. Тогда выполняется неравенство Это утверждение выводится непосредственно из леммы 8. Лемма 13. Пусть заданы действительное число $\alpha$, $1<\alpha\leqslant 4$, положительные числа $p$ и $r$, удовлетворяющие условиям $p\leqslant1/\sqrt{3}$ и $r\leqslant 1/\sqrt{3}$, а также угол $\varphi\in(-\pi,\pi)$. Тогда выполняется неравенство Доказательство. Для произвольных чисел $t$ и $s$, удовлетворяющих условиям $0\leqslant t<1/\sqrt{3}$, $0\leqslant s<1/\sqrt{3}$, справедливы оценки
$$
\begin{equation}
2-\frac 7{2\sqrt{3}}t> 0,\qquad 2-\frac 7{2\sqrt{3}}s> 0.
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
В то же время имеет место следующее равенство:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &t\biggl(2-\frac 7{2\sqrt{3}}t\biggr)+s\biggl(2-\frac 7{2\sqrt{3}}s\biggr)+\frac 7{\sqrt{3}}ts+\frac 34(t+s)(t^2+s^2) \nonumber \\ &\ =\biggl(\frac 2{\sqrt{3}}-\frac{t+s}4\biggr)\bigl( 2\sqrt{3}(t+s)-3(t^2+s^2)\bigr) +\frac{2}{\sqrt{3}}\biggl( \frac{2}{\sqrt{3}}-t\biggr)\biggl(\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac s2\biggr) \nonumber \\ &\ \qquad+\frac{2}{\sqrt{3}}\biggl(\frac{2}{\sqrt{3}}-s \biggr)\biggl(\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac t2\biggr) -\frac{4}{\sqrt{3}}\biggl(\frac{2}{\sqrt{3}}-t-s\biggr)\biggl(\frac{2}{\sqrt{3}}+t+s\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
В силу неравенств (5.9) и (5.10) верна оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sqrt{\frac 43-\frac{t+s}{\sqrt{3}}+\frac{t^2+s^2}2}\bigl( 2\sqrt{3}(t+s)-3(t^2+s^2)\bigr) \nonumber \\ &\ \qquad +\biggl(\frac{4}{3}-\frac{2t}{\sqrt{3}}+t^2\biggr) \sqrt{\frac{4}{3}-\frac{2s}{\sqrt{3}}+s^2} +\biggl(\frac{4}{3}-\frac{2s}{\sqrt{3}}+s^2\biggr)\sqrt{\frac{4}{3}-\frac{2t}{\sqrt{3}}+t^2} \nonumber \\ &\ \qquad-\frac 4{\sqrt{3}}\biggl(\frac{2}{\sqrt{3}}-t-s \biggr) \biggl(\frac{2}{\sqrt{3}}+{t+s}-ts\sqrt{3}\biggr) \nonumber \\ &\ \geqslant \biggl(\frac 2{\sqrt{3}}-\frac{t+s}4\biggr)\bigl( 2\sqrt{3}(t+s)-3(t^2+s^2)\bigr) +\frac{2}{\sqrt{3}}\biggl( \frac{2}{\sqrt{3}}-t\biggr)\biggl(\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac s2\biggr) \nonumber \\ &\ \qquad+ \frac{2}{\sqrt{3}}\biggl( \frac{2}{\sqrt{3}}-s \biggr) \biggl(\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac t2\biggr) -\frac{4}{\sqrt{3}}\biggl(\frac{2}{\sqrt{3}}-t-s\biggr) \biggl(\frac{2}{\sqrt{3}}+t+s\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
Сделаем замену переменных $p=1/\sqrt{3}-t$, $r=1/\sqrt{3}-s$. Тогда $p$ и $r$ удовлетворяют условиям $0<p\leqslant 1/\sqrt{3}$, $0<r\leqslant 1/\sqrt{3}$ и справедливо равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sqrt{\frac 43-\frac{t+s}{\sqrt{3}}+\frac{t^2+s^2}2}\bigl( 2\sqrt{3}(t+s)-3(t^2+s^2)\bigr) \nonumber \\ &\ \qquad+\biggl(\frac{4}{3}-\frac{2t}{\sqrt{3}}+t^2\biggr) \sqrt{\frac{4}{3}-\frac{2s}{\sqrt{3}}+s^2}+\biggl(\frac{4}{3}-\frac{2s}{\sqrt{3}}+s^2\biggr) \sqrt{\frac{4}{3}-\frac{2t}{\sqrt{3}}+t^2} \nonumber \\ &\ \qquad-\frac 4{\sqrt{3}}\biggl(\frac{2}{\sqrt{3}}-t-s \biggr) \biggl(\frac{2}{\sqrt{3}}+{t+s}-ts\sqrt{3}\biggr) \nonumber \\ &\ =\sqrt{1+\frac{p^2+r^2}2}(2-3(p^2+r^2))+(1+p^2)\sqrt{1+r^2} \nonumber \\ &\ \qquad+(1+r^2)\sqrt{1+p^2}-4(p+r)(1-pr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
Наконец, согласно лемме 10 для любых $\alpha\in(1,4]$, $p\in(0,1/\sqrt{3}]$, $r\in(0,1/\sqrt{3}]$ и $\varphi\in(-\pi,\pi)$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sqrt{1+\frac{p^2+r^2}2}\bigl(2-(\alpha-1)(p^2+r^2)\bigr)+ \sqrt{(1+p^2)(1+r^2)(3+p^2+2\cos\varphi)} \nonumber \\ &\ \qquad-\alpha r\sqrt{1+p^4+2p^2\cos\varphi}+\sqrt{(1+p^2)(1+r^2)(3+r^2+2\cos\varphi)} \nonumber \\ &\ \qquad-\alpha p\sqrt{1+r^4+2r^2\cos\varphi} \nonumber \\ &\ >\sqrt{1+\frac{p^2+r^2}2}\bigl(2-3(p^2+r^2)\bigr)+(1+p^2)\sqrt{1+r^2} \nonumber \\ &\ \qquad+(1+r^2)\sqrt{1+p^2}-4(p+r)(1-pr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
Теперь искомая оценка вытекает из (6.1)–(6.5). Лемма доказана. Лемма 14. Пусть заданы действительное число $\alpha$, $1<\alpha\leqslant 4$, действительные числа $p$ и $r$, удовлетворяющие условиям $1/\sqrt{3}\leqslant p<1/\sqrt{\alpha-1}$ и $0<r\leqslant 1/\sqrt{3}$, а также угол $\varphi\in(-\pi,\pi)$. Тогда выполняется неравенство Доказательство. Для всех $s$, удовлетворяющих условию $0\leqslant s<1/\sqrt{3}$, справедлива оценка Кроме того, верно равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(2\sqrt{3}s-3s^2)\biggl(\frac 2{\sqrt{3}}-\frac{s}4\biggr) +\biggl(\frac{4}{3}+\frac{2t}{\sqrt{3}}+t^2\biggr) \biggl(\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac{s}{2}\biggr) \nonumber \\ &\qquad\qquad-\biggl(\frac{8}{3}+\frac{4t}{\sqrt{3}}+\frac{5t^2}{4}\biggr) \biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}-s\biggr)+\biggl(\frac{4}{3}-\frac{2s}{\sqrt{3}}+s^2\biggr) \biggl(\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{t}{2}\biggr) \nonumber \\ &\qquad\qquad-\biggl(\frac{4}{\sqrt{3}}+t\biggr)\biggl(\frac{2}{3}+\frac{2s}{\sqrt{3}}-s^2\biggr) \nonumber \\ &\qquad= 2s-\frac{\sqrt{3}}2s^2+\frac{\sqrt{3}}4t^2 +\frac 34s(t+s)^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
C учетом неравенств (5.9) и (5.11) выводим оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(2\sqrt{3}s-3s^2)\sqrt{\frac 43-\frac{s}{\sqrt{3}}+\frac{s^2}2} +\biggl(\frac{4}{3}+\frac{2t}{\sqrt{3}}+t^2\biggr)\sqrt{\frac{4}{3}-\frac{2s}{\sqrt{3}}+s^2} \nonumber \\ &\ \qquad -\biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}-s\biggr)\biggl(\frac{4}{\sqrt{3}}+t\biggr) \sqrt{\frac{4}{3}+\frac{2t}{\sqrt{3}}+t^2} +\biggl(\frac{4}{3}-\frac{2s}{\sqrt{3}}+s^2\biggr) \sqrt{\frac{4}{3}+\frac{2t}{\sqrt{3}}+t^2} \nonumber \\ &\ \qquad -\biggl(\frac{4}{\sqrt{3}}+t\biggr) \biggl(\frac{2}{3}+\frac{2s}{\sqrt{3}}-s^2\biggr) \nonumber \\ &\ \geqslant (2\sqrt{3}s-3s^2)\biggl(\frac 2{\sqrt{3}}-\frac{s}4\biggr)+ \biggl(\frac{4}{3}+\frac{2t}{\sqrt{3}}+t^2\biggr) \biggl(\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac{s}{2}\biggr) \nonumber \\ &\ \qquad -\biggl(\frac{8}{3}+\frac{4t}{\sqrt{3}}+\frac{5t^2}{4}\biggr) \biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}-s\biggr)+\biggl(\frac{4}{3}-\frac{2s}{\sqrt{3}}+s^2\biggr) \biggl(\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{t}{2}\biggr) \nonumber \\ &\ \qquad-\biggl(\frac{4}{\sqrt{3}}+t\biggr)\biggl(\frac{2}{3}+\frac{2s}{\sqrt{3}}-s^2\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
Сделаем замену переменных $p=1/\sqrt{3}+t$, $r=1/\sqrt{3}-s$. Тогда $p$ и $r$ удовлетворяют условиям $p\geqslant 1/\sqrt{3}$, $0<r\leqslant 1/\sqrt{3}$ и справедливо равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(2\sqrt{3}s-3s^2)\sqrt{\frac 43-\frac{s}{\sqrt{3}}+\frac{s^2}2} +\biggl(\frac{4}{3}+\frac{2t}{\sqrt{3}}+t^2\biggr)\sqrt{\frac{4}{3}-\frac{2s}{\sqrt{3}}+s^2} \nonumber \\ &\ \qquad+ \biggl(\frac{4}{3}-\frac{2s}{\sqrt{3}}+s^2\biggr)\sqrt{\frac{4}{3}+\frac{2t}{\sqrt{3}}+t^2} -\biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}-s\biggr)\biggl(\frac{4}{\sqrt{3}}+t\biggr) \sqrt{\frac{4}{3}+\frac{2t}{\sqrt{3}}+t^2} \nonumber \\ &\ \qquad -\biggl(\frac{4}{\sqrt{3}}+t\biggr) \biggl(\frac{2}{3}+\frac{2s}{\sqrt{3}}-s^2\biggr) \nonumber \\ &\ =(1-3r^2)\sqrt{\frac 76+\frac{r^2}2}+(1+p^2)\sqrt{1+r^2} +(1+r^2)\sqrt{1+p^2} \nonumber \\ &\ \qquad-r(p+\sqrt{3})\sqrt{1+p^2}-(p+\sqrt{3})(1-r^2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
Поскольку для $p<1/\sqrt{\alpha-1}$ и $\alpha\leqslant 4$ выполняется неравенство $\alpha p<p+\sqrt{3}$, имеем оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl(1-(\alpha-1)r^2\bigr)\sqrt{1+\frac{p^2+r^2}2} +(1+p^2)\sqrt{1+r^2} \nonumber \\ &\ \qquad+(1+r^2)\sqrt{1+p^2}-\alpha pr\sqrt{1+p^2}-\alpha p(1-r^2) \nonumber \\ &\ > (1-3r^2)\sqrt{\frac 76+\frac{r^2}2}+(1+p^2)\sqrt{1+r^2} +(1+r^2)\sqrt{1+p^2} \nonumber \\ &\ \qquad-r(p+\sqrt{3})\sqrt{1+p^2}-(p+\sqrt{3})(1-r^2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
В силу лемм 10 и 7 получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl(2-(\alpha-1)(p^2+r^2)\bigr)\sqrt{1+\frac{p^2+r^2}2} +\sqrt{(1+p^2)(1+r^2)(3+p^2+2\cos\varphi)} \nonumber \\ &\ \qquad+ \sqrt{(1+p^2)(1+r^2)(3+r^2+2\cos\varphi)} -\alpha r\sqrt{1+p^4+2p^2\cos\varphi} \nonumber \\ &\ \qquad-\alpha p\sqrt{1+r^4+2r^2\cos\varphi} \nonumber \\ &\ \geqslant \bigl(1-(\alpha-1)r^2\bigr)\sqrt{1+\frac{p^2+r^2}2} +(1+p^2)\sqrt{1+r^2}+(1+r^2)\sqrt{1+p^2} \nonumber \\ &\ \qquad -\alpha pr\sqrt{1+p^2}-\alpha p(1-r^2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.11}
$$
Теперь искомая оценка следует из (6.6)–(6.11). Лемма доказана. Соединяя результаты лемм 12–14, приходим к утверждению леммы 11. § 7. Доказательство основного результатаДанный параграф посвящен доказательству основной теоремы работы – нахождению точной области однолистности класса $\mathscr B_{\alpha}[0,1]$. Доказательство основной теоремы будет опираться на следующее утверждение. Лемма 15. Пусть заданы действительное число $\alpha$, $1<\alpha\leqslant 4$, положительные числа $p$, $r$ и $q$, удовлетворяющие условиям $ p<1/\sqrt{\alpha-1}$ и $r< 1/\sqrt{\alpha-1}$, а также углы $\psi$, $\theta$ и $\varphi$, принадлежащие интервалу $(-\pi,\pi)$. Тогда выполняется неравенство Доказательство. Для доказательства леммы рассмотрим разность левой и правой частей неравенства (7.1) как многочлен относительно переменной $q$ и проверим его положительность при всех $q>0$. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl( p(1+r^2)(1+q^2)\cos\frac{\psi}{2}+r(1+q^2)(1+p^2)\cos\frac{\theta}{2}+ q(1+p^2)(1+r^2)\cos\frac{\varphi}{2} \nonumber \\ &\ \quad +4 pr q \cos{\frac{\psi}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}}\cos{\frac{\varphi}{2}} \biggr) \biggl(pr \cos{\frac{\psi}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}}+rq \cos{\frac{\theta}{2}}\cos{\frac{\varphi}{2}}+qp \cos{\frac{\varphi}{2}}\cos{\frac{\psi}{2}}\biggr) \nonumber \\ &\ \quad- \alpha\biggl(1+p^2r^2+r^2q^2+q^2p^2+2pr \cos{\frac{\psi+\theta}{2}}+2rq \cos{\frac{\theta+\varphi}{2}}+2qp \cos{\frac{\varphi+\psi}{2}} \nonumber \\ &\ \quad +2q^2 pr\cos{\frac{\psi-\theta}{2}} +2p^2rq\cos{\frac{\theta-\varphi}{2}} +2r^2qp\cos{\frac{\varphi-\psi}{2}} \biggr)p r q\cos{\frac{\psi}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}}\cos{\frac{\varphi}{2}} \nonumber \\ &\ = K_3q^3\cos{\frac{\varphi}{2}}+K_2q^2+K_1q\cos{\frac{\varphi}{2}}+K_0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
где коэффициенты $K_3$, $K_2$, $K_1$ и $K_0$ определены следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K_3&=p^2\cos^2{\frac{\psi}{2}}+r^2\cos^2{\frac{\theta}{2}} +p^2r^2\biggl(\cos^2{\frac{\psi}{2}}+\cos^2{\frac{\theta}{2}}\biggr) \\ &\quad +pr\cos{\frac{\psi}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}} \biggl(2-(\alpha-1)(p^2+r^2)-2\alpha p r \cos{\frac{\psi-\theta}{2}}\biggr), \\ K_2&=p(1+p^2)(1+r^2)\cos{\frac{\psi}{2}}\cos^2{\frac{\varphi}{2}}+ \cos\frac{\psi}{2}\cos^2\frac{\theta}{2}\biggl(pr^2(1+p^2)+4pr^2 \cos^2\frac{\varphi}{2} \biggr) \\ &\quad +r(1+p^2)(1+r^2)\cos{\frac{\theta}{2}}\cos^2{\frac{\varphi}{2}}+ \cos\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\psi}{2}\biggl(rp^2(1+r^2)+4rp^2 \cos^2\frac{\varphi}{2} \biggr) \\ &\quad-2\alpha pr\cos{\frac{\psi}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}}\cos{\frac{\varphi}{2}} \biggl( pr^2\cos\frac{\psi-\varphi}{2}+rp^2\cos\frac{\theta-\varphi}{2} \\ &\quad\qquad+p\cos\frac{\psi+\varphi}{2}+r\cos\frac{\theta+\varphi}{2}\biggr), \\ K_1&=p^2\cos^2{\frac{\psi}{2}}+r^2\cos^2{\frac{\theta}{2}} +p^2r^2\biggl(\cos^2{\frac{\psi}{2}}+\cos^2{\frac{\theta}{2}}\biggr) +pr\cos{\frac{\psi}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}}\biggl( 3-\alpha \\ &\quad\qquad +2(p^2+r^2)-(\alpha-1)p^2r^2 +4pr\cos{\frac{\psi}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}}-2\alpha pr \cos{\frac{\psi+\theta}{2}} \biggr), \\ K_0&=p r \cos{\frac{\psi}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}}\biggl( p(1+r^2)\cos{\frac{\psi}{2}}+r(1+p^2)\cos{\frac{\theta}{2}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим снизу каждый из коэффициентов многочлена (7.2). Воспользуемся неравенствами
$$
\begin{equation}
p^2\cos^2{\frac{\psi}{2}}+r^2\cos^2{\frac{\theta}{2}} \geqslant 2pr\cos{\frac{\psi}{2}} \cos{\frac{\theta}{2}},
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
$$
\begin{equation}
\cos^2{\frac{\psi}{2}}+\cos^2{\frac{\theta}{2}} \geqslant 2\cos{\frac{\psi}{2}} \cos{\frac{\theta}{2}},
\end{equation}
\tag{7.4}
$$
для оценки коэффициента $K_3$:
$$
\begin{equation}
K_3\geqslant pr\cos{\frac{\psi}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}}\bigl(4\,{-}\,(\alpha-1)(p\,{+}\,r)^2\bigr) \geqslant 2pr\cos{\frac{\psi}{2}} \cos{\frac{\theta}{2}}\bigl(2-(\alpha-1)(p^2+r^2)\bigr).
\end{equation}
\tag{7.5}
$$
С помощью неравенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(1+p^2)(1+r^2)\cos^2{\frac{\varphi}{2}}+r^2\cos^2\frac{\theta}{2}\biggl(1+p^2+4 \cos^2\frac{\varphi}{2}\biggr) \\ &\qquad\geqslant 2r\cos{\frac{\theta}{2}}\cos{\frac{\varphi}{2}} \sqrt{(1+p^2)(1+r^2)\biggl(1+p^2+4\cos^2{\frac{\varphi}{2}}\biggr)}, \\ &(1+p^2)(1+r^2)\cos^2{\frac{\varphi}{2}}+p^2\cos^2\frac{\psi}{2}\biggl(1+r^2+4 \cos^2\frac{\varphi}{2}\biggr) \\ &\qquad\geqslant 2p\cos{\frac{\psi}{2}}\cos{\frac{\varphi}{2}} \sqrt{(1+p^2)(1+r^2)\biggl(1+r^2+4\cos^2{\frac{\varphi}{2}}\biggr)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а также
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, p^2\cos\frac{\theta-\varphi}{2}+\cos\frac{\theta+\varphi}{2}&= (p^2+1)\cos\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\theta}{2}+(p^2-1)\sin\frac{\varphi}{2}\sin\frac{\theta}{2} \\ &\leqslant \sqrt{1+p^4+2p^2\cos\varphi}, \\ r^2\cos\frac{\psi-\varphi}{2}+\cos\frac{\psi+\varphi}{2}&= (r^2+1)\cos\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\psi}{2}+(r^2-1)\sin\frac{\varphi}{2}\sin\frac{\psi}{2} \\ &\leqslant \sqrt{1+r^4+2r^2\cos\varphi}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
оценим коэффициент $K_2$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, K_2 &\geqslant 2pr\cos{\frac{\psi}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}}\cos{\frac{\varphi}{2}}\bigl( \sqrt{(1+p^2)(1+r^2)(3+p^2+2\cos\varphi)} \nonumber \\ &\qquad + \sqrt{(1+p^2)(1+r^2)(3+r^2+2\cos\varphi)} -\alpha p\sqrt{1+r^4+2r^2\cos\varphi} \nonumber \\ &\qquad-\alpha r\sqrt{1+p^4+2p^2\cos\varphi}\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.6}
$$
Для оценки коэффициента $K_1$ снова применим (7.3) и (7.4):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, K_1 &\geqslant pr\cos{\frac{\psi}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}} \bigl(4+2(p^2+r^2)-(\alpha-1)(pr+1)^2\bigr) \nonumber \\ &\geqslant pr\cos{\frac{\psi}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}} \biggl(4+2(p^2+r^2)-\frac{\alpha-1}4(p^2+r^2+2)^2\biggr) \nonumber \\ &=\frac 14 pr\cos{\frac{\psi}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}} (2+p^2+r^2)\bigl(10-2\alpha-(\alpha-1)(p^2+r^2)\bigr) \nonumber \\ &\geqslant \frac 14 pr\cos{\frac{\psi}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}} (2+p^2+r^2)\bigl(2-(\alpha-1)(p^2+r^2)\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.7}
$$
Коэффициент $K_0$, очевидно, положительный. Таким образом, с учетом неравенств (7.5)–(7.7) получаем следующую оценку:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &K_3q^3\cos{\frac{\varphi}{2}}+K_2q^2+K_1q\cos{\frac{\varphi}{2}}+K_0 \nonumber \\ &\ > 2prq^3\cos{\frac{\psi}{2}} \cos{\frac{\theta}{2}}\cos{\frac{\varphi}{2}}\bigl(2-(\alpha-1)(p^2+r^2)\bigr) \nonumber \\ &\ \quad+2prq^2\cos{\frac{\psi}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}}\cos{\frac{\varphi}{2}} \bigl(\sqrt{(1+p^2)(1+r^2)(3+p^2+2\cos\varphi)} \nonumber \\ &\ \quad\quad +\sqrt{(1+p^2)(1+r^2)(3+r^2+2\cos\varphi)} -\alpha p\sqrt{1+r^4+2r^2\cos\varphi} \nonumber \\ &\ \quad\quad-\alpha r\sqrt{1+p^4+2p^2\cos\varphi}\bigr) \nonumber \\ &\ \quad+\frac 14 prq\cos{\frac{\psi}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}}\cos{\frac{\varphi}{2}} (2+p^2+r^2)\bigl(2-(\alpha-1)(p^2+r^2)\bigr) \nonumber \\ &\ \geqslant 2prq^2\cos{\frac{\psi}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}}\cos{\frac{\varphi}{2}} \biggl( \sqrt{1+\frac{p^2+r^2}2}\bigl(2-(\alpha-1)(p^2+r^2)\bigr) \nonumber \\ &\ \quad\quad +\sqrt{(1+p^2)(1+r^2)(3+p^2+2\cos\varphi)}+ \sqrt{(1+p^2)(1+r^2)(3+r^2+2\cos\varphi)} \nonumber \\ &\ \quad\quad -\alpha r\sqrt{1+p^4+2p^2\cos\varphi}-\alpha p\sqrt{1+r^4+2r^2\cos\varphi} \biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.8}
$$
Учитывая (7.2) и (7.8), выводим требуемую оценку из леммы 11. Лемма доказана. Теперь мы можем приступить к доказательству основного результата, но прежде сформулируем его еще раз. Теорема 1. Пусть $\alpha\in (1,4]$. Если $f\in \mathscr B_{\alpha}[0, 1]$, то $f$ однолистна в области $\mathscr D_{1/\sqrt{\alpha-1}}$. Какова бы ни была область $\mathscr{U}$, $\mathscr D_{1/\sqrt{\alpha-1}}\varsubsetneq\mathscr{U}\subset\mathbb D$, найдется функция $f\in \mathscr B_{\alpha}[0, 1]$, не однолистная в области $\mathscr{U}$. Доказательство. Фиксируем $\alpha\in (1,4]$. Предположим, что некоторая функция $f$ из класса $\mathscr B_{\alpha}[0, 1]$ не однолистна в области $\mathscr D_{1/\sqrt{\alpha-1}}$, т. е. найдутся точки $a, b\in \mathscr D_{1/\sqrt{\alpha-1}}$ со свойством $f(a)=f(b)$. Обозначим через $c$ их общее значение. Поскольку $f$ отображает круг в себя, $c\in \mathbb D$. Тогда функция
$$
\begin{equation*}
g(z)=\frac{1-\overline{c}}{1-c}\cdot \frac{f(z)-c}{1-\overline{c}f(z)},
\end{equation*}
\notag
$$
также отображает круг $\mathbb D$ в себя, причем $g(a)=g(b)=0$ и $g(1)=1$ в смысле углового предела, т. е. $g\in\mathscr B\{1\}$. Более того, $g(0)=\lambda (c)$ (см. (4.1)) и угловая производная в точке $z=1$ имеет вид В силу леммы Шварца–Пика функция $g$ допускает следующее представление:
$$
\begin{equation}
g(z)=\frac{1-\overline{a}}{1-a}\cdot\frac{z-a}{1-\overline{a}z} \cdot\frac{1-\overline{b}}{1-b}\cdot \frac{z-b}{1-\overline{b}z}\cdot h(z),
\end{equation}
\tag{7.10}
$$
где $h\in \mathscr B$. Кроме того, как видно из (7.10), $g(0)=\lambda(a)\lambda(b)h(0)$ и $g(1)=h(1)$ в смысле углового предела. Следовательно, $h\in\mathscr B\{1\}$, причем Наконец, из (7.9) и (7.10) находим значение производной функции $h$ в точке $z=1$:
$$
\begin{equation}
h'(1)=\alpha \frac{1-|c|^2}{|1-c|^2}-\frac{1-|a|^2}{|1-a|^2}-\frac{1-|b|^2}{|1-b|^2}.
\end{equation}
\tag{7.12}
$$
Вспоминая, что $h\in\mathscr B\{1\}$, согласно теореме Жюлиа–Каратеодори (см. (2.2)) имеем оценку C учетом (7.11)–(7.13) приходим к следующей оценке:
$$
\begin{equation}
0<\frac{|1-\lambda(c)/(\lambda(a)\lambda(b))|^2} {1-|\lambda(c)/(\lambda(a)\lambda(b))|^2}\leqslant \alpha\, \frac{1-|c|^2}{|1-c|^2} -\frac{1-|a|^2}{|1-a|^2}-\frac{1-|b|^2}{|1-b|^2}.
\end{equation}
\tag{7.14}
$$
В силу леммы 4 перепишем неравенство (7.14) в эквивалентной форме:
Введем следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
A=\lambda(a),\qquad B=\lambda(b),\qquad C=\frac{\lambda(c)}{\lambda(a)\lambda(b)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду леммы 5 точки $A$ и $B$ должны располагаться внутри области $\mathscr S_{1/\sqrt{\alpha-1}}$, а из равенства (7.11) следует, что точка $C$ должна принадлежать кругу $\mathbb{D}$.
Таким образом, в силу неравенства (7.15) для некоторых $A,B\in \mathscr S_{1/\sqrt{\alpha-1}}$ и $C\in\mathbb{D}$ должна выполняться оценка
$$
\begin{equation}
\frac{|1-A|^2}{1-|A|^2}+\frac{|1-B|^2}{1-|B|^2}+\frac{|1-C|^2}{1-|C|^2}\leqslant \alpha \frac{|1-ABC|^2}{1-|ABC|^2}.
\end{equation}
\tag{7.16}
$$
Наконец, отображая единичный круг $\mathbb D$ на правую полуплоскость $\mathbb H$ при помощи функции $L^{-1}$ (см. (2.5)) и обозначая $u=L^{-1}(A)$, $v=L^{-1}(B)$, $w=L^{-1}(C)$, получаем, что точки $u$ и $v$ должны находиться в полукруге с центром в нуле и радиусом, равным $1/\sqrt{\alpha-1}$, и при этом должно выполняться эквивалентное (7.16) неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{|u+1|^2-|u-1|^2}+\frac{1}{|v+1|^2-|v-1|^2}+\frac{1}{|w+1|^2-|w-1|^2} \nonumber \\ &\qquad\leqslant \alpha\, \frac{|1+uv+uw+vw|^2}{|w+1|^2\,|u+1|^2\,|v+1|^2-|w-1|^2\,|u-1|^2\,|v-1|^2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.17}
$$
Поскольку $u$ и $v$ принадлежат полукругу $\{\zeta\in \mathbb H \colon |\zeta|<1/\sqrt{\alpha-1}\}$, а $w$ лежит в $\mathbb H$, найдутся такие положительные числа $p$, $r$, $q$, удовлетворяющие условиям $p<{1}/{\sqrt{\alpha-1}}$ и $r<{1}/{\sqrt{\alpha-1}}$, и такие углы $\psi$, $\theta$, $\varphi$ из интервала $(-\pi, \pi)$, что $u=p e^{i\psi/2}$, $v=r e^{i\theta/2}$ и $w=q e^{i\varphi/2}$. С учетом (7.17) должно также выполняться неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl( p(1+r^2)(1+q^2)\cos\frac{\psi}{2}+r(1+p^2)(1+q^2)\cos\frac{\theta}{2}+ q(1+p^2)(1+r^2)\cos\frac{\varphi}{2} \nonumber \\ &\ \quad+4 pr q \cos{\frac{\psi}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}}\cos{\frac{\varphi}{2}} \biggr) \biggl(pr \cos{\frac{\psi}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}}+rq \cos{\frac{\theta}{2}}\cos{\frac{\varphi}{2}}+pq \cos{\frac{\psi}{2}}\cos{\frac{\varphi}{2}}\biggr) \nonumber \\ &\ \leqslant\alpha \biggl(1+p^2r^2+p^2q^2+q^2r^2+2pr \cos{\frac{\psi+\theta}{2}}+2pq \cos{\frac{\psi+\varphi}{2}}+2rq \cos{\frac{\theta+\varphi}{2}} \nonumber \\ &\ \quad+2p^2rq\cos{\frac{\theta-\varphi}{2}}+2q^2 pr\cos{\frac{\psi-\theta}{2}}+2r^2pq\cos{\frac{\psi-\varphi}{2}} \biggr)p r q\cos{\frac{\psi}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}}\cos{\frac{\varphi}{2}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.18}
$$
Однако в лемме 15 установлено, что для тех же значений переменных $p$, $r$ и $q$, а также углов $\psi$, $\theta$ и $\varphi$ выполняется неравенство, противоположное (7.18). Полученное противоречие доказывает первую часть теоремы. Для доказательства второй части теоремы достаточно для каждой точки границы области $\mathscr D_{1/\sqrt{\alpha-1}}$ предъявить функцию из класса $\mathscr B_{\alpha}[0,1]$, производная которой обращается в нуль в этой точке. Для каждого $\theta\in(-\pi, \pi)$ рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
f_{\theta}(z)=z\frac{1-(\alpha-1)e^{i\theta}+\alpha e^{i\theta}z}{\alpha-(\alpha-1-e^{i\theta})z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко проверить, что $f_{\theta}$ принадлежит при каждом $\theta\in(-\pi, \pi)$ классу $\mathscr B_{\alpha}[0, 1]$ и имеет нулевую производную в точке
$$
\begin{equation}
z_{\alpha}(\theta)= \frac{\sqrt{\alpha-1}-e^{-i\theta/2}}{\sqrt{\alpha-1}+e^{i\theta/2}}.
\end{equation}
\tag{7.19}
$$
Нетрудно убедиться, что формула (7.19) задает кривую, ограничивающую область $\mathscr D_{1/\sqrt{\alpha-1}}$. Теорема доказана. § 8. Оценки размера областей однолистностиВ этом параграфе мы количественно сравним полученный результат с теоремой E. Нас будет интересовать вопрос, сколь сильно отличается найденная для класса $\mathscr B_{\alpha}[0, 1]$ область однолистности от круга однолистности, существование которого вытекает из теоремы Ландау и оценки Горяйнова. В окрестности точки $z_\alpha$ (см. (3.3)) – общей точки границ сравниваемых областей, граница области $\mathscr D(\alpha)$, так же как и граница круга Ландау, ортогональна действительной оси, но отличается от него кривизной. Более того, эта область содержит круг, касающийся границы области в точке $z_\alpha$, радиус которого совпадает с радиусом кривизны границы области в этой точке. Следствие 2. Пусть $f\in \mathscr B_{\alpha}[0, 1]$, $\alpha\in (1,4]$. Тогда $f$ однолистна в круге На рис. 2 продемонстрирована разница между кривизной круга Ландау и границы области $\mathscr{D}(\alpha)$ в точке $z_\alpha$. Заметим, что при $\alpha\to 1+0$ для радиусов $R(\alpha)$ и $R_1(\alpha)$ кругов $\mathscr O(\alpha)$ (см. (3.1)) и $\mathscr O_{1}(\alpha)$ верна асимптотика:
$$
\begin{equation*}
1-R(\alpha)=2\sqrt{\alpha-1}+O(\alpha-1),\qquad 1-R_1(\alpha)=\frac{3}{2} \sqrt{\alpha-1}+O(\alpha-1).
\end{equation*}
\notag
$$
Как видим, даже при $\alpha$, близких к единице, кривизна границы области $\mathscr D(\alpha)$ несколько меньше кривизны круга Ландау. Приведенное асимптотическое равенство для $R_1(\alpha)$ дает неулучшаемое количественное описание окрестности тождественного преобразования в классе $\mathscr B[0,1]$ с точки зрения однолистности. Если же $\alpha$ приближается к другому критическому значению – к двум, разница между сравниваемыми областями становится намного больше. Если круг $\mathscr O(\alpha)$ при $\alpha=2$ вырождается в точку, то область $\mathscr D(2)$ содержит, в частности, круг радиуса $1/4$, граница которого проходит через нуль. Проанализируем также размер области $\mathscr D(\alpha)$ в окрестности неподвижной точки. Как уже упоминалось, произвольная функция из класса $\mathscr B_{\alpha}[0, 1]$ однолистна в секторе, раствор которого сколь угодно близок к $\pi$. Однако радиус этого сектора в этом случае будет зависеть от конкретной функции. Если же мы хотим взять единый радиус сектора для всех функций класса $\mathscr B_{\alpha}[0, 1]$, необходимо ограничить величину угла этого сектора. Теорема 1 показывает, что в качестве такой границы можно взять $2 \operatorname{arcctg} \sqrt{\alpha-1}$, причем данная граница неулучшаема. Наконец, теорема 1 позволяет указать круг максимального радиуса, в котором однолистны все функции класса $\mathscr B_{\alpha}[0, 1]$. Следствие 3. Пусть $f\in \mathscr B_{\alpha}[0, 1]$, $\alpha\in (1,4]$. Тогда $f$ однолистна в круге На рис. 3 продемонстрирован размер круга однолистности максимального радиуса. § 9. Случай произвольной внутренней неподвижной точкиПеренесем результаты § 7 на случай произвольной неподвижной точки $d\in \mathbb D$. Для этого рассмотрим следующее дробно-линейное преобразование:
$$
\begin{equation*}
w=T(z)=\frac{1-\overline{d}}{1-d}\,\frac{z-d}{1-\overline{d}z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оно отображает единичный круг $\mathbb D$ на себя и удовлетворяет условиям $T(d)=0$, $T(1)=1$. Тогда если функция $f\in \mathscr B[0]$, то композиция $\widetilde{f}(z)=T^{-1}\circ f\circ T(z)$ принадлежит классу $\mathscr B[d]$, причем $\widetilde{f}'(d)=f'(0)$. Аналогично, если функция $f\in \mathscr B[0, 1]$, то композиция $\widetilde{f}(z)=T^{-1}\circ f\circ T(z)$ принадлежит классу $\mathscr B[d, 1]$, причем $\widetilde{f}'(1)=f'(1)$. Иначе говоря, функция $T$ взаимно однозначно отображает классы $\mathscr B_N[d]$ и $\mathscr B_\alpha[d, 1]$ на классы $\mathscr B_N[0]$ и $\mathscr B_\alpha[0, 1]$. Применяя отображение $T$ к областям $\mathscr O(\alpha)$ и $\mathscr D(\alpha)$, получаем следующие результаты. Теорема H. Пусть $N>1$. Если $f\in \mathscr B_N[d]$, тогда $f$ однолистна в круге Какова бы ни была область $\mathscr{U}$, $\mathscr L(d,N)\varsubsetneq\mathscr{U}\subset\mathbb D$, найдется функция $f\in \mathscr B_{N}[d]$, не однолистная в области $\mathscr{U}$. Теорема 2. Пусть $\alpha\in (1,4]$. Если $f\in \mathscr B_{\alpha}[d, 1]$, тогда $f$ однолистна в области Какова бы ни была область $\mathscr{U}$, $\mathscr D(d,\alpha)\varsubsetneq\mathscr{U}\subset\mathbb D$, найдется функция $f\in \mathscr B_{\alpha}[d, 1]$, не однолистная в области $\mathscr{U}$. На рис. 4 показана структура и взаимное расположение круга $\mathscr L(d,N)$, $N=\alpha/(2-\alpha)$, и области $\mathscr D(d,\alpha)$. Отметим, что локализация внутренней неподвижной точки влияет на размер области однолистности, но не влияет на раствор угла в граничной неподвижной точке, который зависит исключительно от значения угловой производной. Аналогично с помощью линейного преобразования
$$
\begin{equation*}
S(\zeta)=\zeta \operatorname{Re} m+i\operatorname{Im} m,
\end{equation*}
\notag
$$
отображающего правую полуплоскость $\mathbb H$ на себя и удовлетворяющего условиям $S(1)=m$, $S(\infty)=\infty$, обобщим результаты теоремы 1' на случай произвольной внутренней неподвижной точки $m\in \mathbb H$. Теорема 2'. Пусть $\beta\in[1/4,1)$. Если $g\in\mathscr H_\beta[1,\infty]$, то $g$ однолистна в области Какова бы ни была область $\mathscr{P}$, $\mathscr C(m,\beta)\,{\varsubsetneq}\,\mathscr{P}\,{\subset}\,\mathbb H$, найдется функция $g\,{\in}\,\mathscr H_{\beta}[0, 1]$, не однолистная в области $\mathscr{P}$. БлагодарностиАвтор выражает искреннюю благодарность Е. М. Чирке, А. И. Аптекареву и участникам семинара по комплексному анализу МИАН за возможность плодотворного обсуждения результатов настоящей работы. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sol21} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|