| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Конструкция Кальдерона для пары глобальных пространств Морри Е. И. Бережной Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9049 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеХорошо известна роль конструкции Кальдерона [1], позволяющей по паре идеальных пространств $(X_0, X_1)$ и числу $\theta \in (0,1)$ построить новое идеальное пространство $X_0^{\theta} \cdot X_1^{1-\theta}$, в теории интерполяции идеальных пространств функций и других вопросах гармонического анализа. Конструкция $X_0^{\theta} \cdot X_1^{1-\theta}$ идейно близка к способу построения пространств Лебега $L^q$ по паре пространств $(L^1, L^{\infty})$, и любое пространство Лебега $L^q$ можно получить с помощью конструкции Кальдерона по паре $(L^1, L^{\infty})$, полагая $\theta =1/q$. С другой стороны, в последнее время важную роль в анализе стали играть пространства $M_{\lambda, L^p}$, введенные Морри [2], и их обобщения [3], [4], которые возникают при исследовании уравнений в частных производных и иных вопросах анализа. Параметрами обобщенных пространств Морри фактически являются два идеальных пространства: пространство функций $X$ и координатное пространство $l$. Поэтому возникает естественный вопрос о вычислении конструкции Кальдерона $(M^{\tau}_{l_0,X_0})^{\theta} \cdot (M^{\tau}_{l_1,X_1})^{1-\theta}$. Отметим, что для идеальных пространств, а именно этому классу принадлежат пространства Морри, конструкция $(M^{\tau}_{l_0,X_0})^{\theta} \cdot (M^{\tau}_{l_1,X_1})^{1-\theta}$ совпадает с пространствами комплексного метода интерполяции при минимальных условиях на геометрию пространств ${l_0,X_0}$ и ${l_1,X_1}$. В настоящей работе найдены пары пространств Морри, для которых можно выписать пространства $(M^{\tau}_{l_0,X_0})^{\theta} \cdot (M^{\tau}_{l_1,X_1})^{1-\theta}$ в явном виде (см. теоремы 3.1, 3.2 и их следствия). Оказалось, что равенство
$$
\begin{equation}
(M^{\tau}_{l_0,X_0})^{\theta} \cdot (M^{\tau}_{l_1,X_1})^{1-\theta} = M^{\tau}_{l_0^{\theta} \cdot l_1^{1-\theta},\, X_0^{\theta} \cdot X_1^{1-\theta}}
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
выполняется при очень жестких условиях на пары пространств $l_0$, $X_0$ и $l_1$, $X_1$. Так даже в случае, когда пара $(X_0, X_1)$ есть пара пространств Лебега $(L^{q_0}, L^{q_1})$, а пара пространств последовательностей $(l_0, l_1)$ есть пара пространств Лебега последовательностей $(l_{\omega_0}^{\infty}, l_{\omega_1}^{\infty})$, равенство (1.1) выполняется при очень жестких предположениях на весовые функции, точнее, для каждой весовой функции $\omega_0$ существует с точностью до эквивалентности только одна (!) функция $\omega_1$ такая, что выполняется равенство (1.1), при других $\omega_1$ пространства в равенстве (1.1) не совпадают (см. теоремы 3.3 и 3.4). Такой факт в частном случае степенных весов был продемонстрирован в [5], [6], где на основе фрактального множества построен соответствующий пример. Здесь мы демонстрируем наличие такого феномена в гораздо более общем случае, причем доказательство соответствующего результата основано совсем на иных идеях, чем в [5], [6]. Ранее на косвенные доказательства отсутствия равенства (1.1) в случае, когда пара $(X_0, X_1)$ есть пара пространств Лебега $(L^{q_0}, L^{q_1})$, а пара пространств последовательностей имеет вид $l_0 = l_1 = l^{\infty}_{\omega_{\lambda}}$, где $\omega_{\lambda}(i) = 2^{i \lambda}$, $\lambda > 0$, $i \in \mathbb Z$, обращалось внимание в [7], [8].
§ 2. Предварительные сведения и технические леммыПусть $\Omega$ – измеримое подмножество в $ \mathbb R^n$, $\mu$ – мера Лебега в $\mathbb R^n$, $S(\mu, \Omega) = S(\mu)$ – пространство измеримых функций $x\colon \Omega \to \mathbb R$, $\chi(D)$ – характеристическая функция множества $D$. Наряду с пространствами Лебега $L^p\equiv L^p(\Omega)$, $p \in [1,\infty]$, в гармоническом анализе часто используются идеальные пространства. Напомним (см., например, [9], [10]), что банахово пространство $X$ измеримых на $\Omega$ функций называется идеальным, если из $x\in X$, измеримости $y$ и выполнения почти при всех $ t \in \Omega$ неравенства $|y(t)|\leqslant |x(t)|$ следует, что $y \in X$ и $\| y \,|\, X \| \leqslant \|x\,|\,X \|$ (символом $\|x\,|\,X\|$ обозначается норма элемента $x$ в пространстве $X$). Одним из важнейших свойств идеальных пространств является свойство Фату. Говорят (см., например, [9], [10]), что идеальное пространство $X$ обладает свойством Фату, если из $0 \leqslant x_n \uparrow x$; $x_n \in X$ и $\sup_n \|x_n\,|\,X\| < \infty$ следует, что $x \in X$ и $\|x\,|\,X\| = \sup_n \|x_n\,|\,X\|$. Основное свойство пространств, обладающих свойством Фату, состоит в том, что выполняется равенство $X''=X$ и нормы в этих пространствах совпадают, т. е.
$$
\begin{equation*}
\sup\biggl\{ \int_{\Omega} f(t) x(t)\, dt \colon \|f \,|\, X'\| \leqslant 1\biggr\} = \|x \,|\, X\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $v\in S(\mu)$, $v > 0$ п. в. ($v$ – вес). Символом $X_v$ обозначим новое идеальное пространство, норма в котором задается равенством $\|x\,|\,X_v\| = \|x\cdot v\,|\,X\|$. Легко проверить равенство $(X_v)' =(X')_{1/v}$. Если $X=L^p$, то наше определение весового пространства слегка отличается от стандартного, для $X=L^p$ вес обычно вводят в меру. Хорошо известно, что пространства Лебега $L^{q}_{\omega}$, $q \in [1, \infty]$, обладают свойством Фату. Другими примерами идеальных пространств со свойством Фату являются пространства Орлича, Лоренца, Марцинкевича. Подробности можно найти в [10], [11]. Наряду с пространствами функций нам потребуются идеальные пространства последовательностей. Пусть $e^i = \{ \dots, 0, 1,0,\dots\}$ ($i \in \mathbb Z$, единица стоит на $i$-м месте) – стандартный базис в пространстве двусторонних последовательностей. Символом $l$ будем обозначать идеальное пространство последовательностей: $ x= \sum_{-\infty}^{\infty} x_i e^i$, с нормой $\|x\,|\,l\|$. Определения пространств последовательностей Лебега $l^{q}_{\omega}$, $q \in [1, \infty]$, Орлича, Лоренца, Марцинкевича и др. аналогичны определению соответствующих пространств функций. С подробностями теории пространств последовательностей можно ознакомиться в [12]. Напомним определение конструкции Кальдерона [1]. Определение 2.1. Пусть заданы пара идеальных пространств $(X_0, X_1)$ на $\Omega$, $\theta \in (0,1)$ и функция $\varphi_{\theta}(t, s) =t^{\theta}\cdot s^{1-\theta}$, $0 \leqslant t,s <\infty$. Пространство $\varphi_{\theta}(X_0, X_1)$ состоит из таких измеримых функций $x$, для каждой из которых найдется пара функций $x_0 \in X_0$, $x_1 \in X_1$ таких, что почти всюду на $\Omega$ выполняется неравенство $ |x(t)| \leqslant \varphi_{\theta} (x_0(t), x_1(t))$. На пространстве $\varphi_{\theta}(X_0, X_1)$ с помощью равенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|x \,|\,\varphi_{\theta}(X_0, X_1)\| &= \inf\{ \lambda>0\colon |x(t)| \leqslant \lambda\varphi_{\theta} (x_0(t), x_1(t))\text{ п. в. на }\Omega, \nonumber \\ &\qquad\qquad x_i \in X_i,\, \|x_i \,|\, X_i\| \leqslant 1,\, i=0,1\} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
можно ввести норму, в которой пространство $\varphi_{\theta}(X_0, X_1)$ становится идеальным. Конструкция Кальдерона $\varphi_{\theta}(X_0, X_1)$, которую часто обозначают через $X_0^{\theta} \cdot X_1^{1-\theta}$, нашла многочисленные применения в теории идеальных пространств [11], теории интерполяции линейных операторов [13], геометрической теории банаховых пространств [14], [15] и т. п. Для вычисления нормы на пространстве $\varphi_{\theta}(X_0, X_1)$ хорошо известно равенство:
$$
\begin{equation}
\|x \,|\, \varphi_{\theta}(X_0, X_1)\| =\inf\{ \|x_0 \,|\,X_0 \|^{\theta} \cdot \|x_1 \,|\,X_1 \|^{1-\theta} \colon |x(t)| \leqslant x_0^{\theta}(t) \cdot x_1^{1-\theta}(t) \text{ п. в. на }\Omega\}.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Замечание 2.1. Если $ |x(t)|\leqslant x_0^{\theta}(t) \cdot x_1^{1-\theta}$ п. в. на $\Omega$, то, полагая Если положить $X_1 = L^{\infty}$, то пространство $\varphi_{\theta}(X_0, L^{\infty})$ обычно обозначается $X_0^{\theta}$. Если $y \in X_0^{\theta}$, то справедливо важное равенство $\|y \,|\, X_0^{\theta}\| = \||y|^{1/\theta}\,|\, X_0\|^{\theta}$. Приведем примеры вычисления конструкции Кальдерона для пространств Лебега с весом. Пример 2.1. Пусть $1\leqslant q_0, q_1 \leqslant \infty$, $X_0 = L^{q_0}_{\omega_0}$, $X_1 = L^{q_1}_{\omega_1}$, $\theta \in (0,1)$. Положим Тогда справедливы равенства и нормы в соответствующих пространствах совпадают. Верны и дискретные аналоги: (с равенством норм).Нам потребуется следующая несложная лемма, которая напоминает формулу реитерации. Лемма 2.1. Пусть фиксирована пара идеальных пространств $(X_0, X_1)$, каждое из которых обладает свойством Фату, и заданы $\eta,\theta_0, \theta_1 \in (0,1)$. Положим Тогда справедливо равенство и нормы в этих пространствах совпадают. Доказательство. Если $x(t) \leqslant x_0^{\theta_2}(t) \cdot x_1^{1-\theta_2}(t)$ $(t \in \Omega)$, $x_0 \in X_0$, $x_1 \in X_1$, то из (2.6) получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, x(t) &\leqslant x_0^{\eta \cdot \theta_0 + (1-\eta) \cdot \theta_1}(t) \cdot x_1^{1-(\eta \cdot \theta_0 + (1-\eta) \cdot \theta_1)}(t) \\ &= x_0^{\eta \cdot \theta_0 + (1-\eta) \cdot \theta_1}(t) \cdot x_1^{\eta + (1-\eta)-(\eta \cdot \theta_0 + (1-\eta) \cdot \theta_1)}(t) \\ &=\bigl(x_0^{\theta_0}(t) x_1^{1-\theta_0}(t)\bigr)^\eta \cdot \bigl(x_0^{\theta_1}(t) x_1^{1-\theta_1}(t)\bigr)^{1-\eta}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует вложение с константой вложения, равной единице.
Пусть $x_0, y_0\,{\in}\, X_0$, $x_1, y_1\,{\in}\, X_1$ и $\alpha_0, \alpha_1\,{\in}\, (0,1)$. Положим $z_0(t) = x_0 ^{\alpha_0}(t) y_0^{1-{\alpha_0}}(t)$, $z_1(t) = x_1 ^{\alpha_1}(t) y_1^{1-{\alpha_1}}(t)$. Покажем, что
$$
\begin{equation}
\|z_0 \,|\,X_0\| \leqslant \|x_0 \,|\,X_0\|^{\alpha_0} \|y_0 \,|\,X_0\|^{1-{\alpha_0}}, \qquad \|z_1 \,|\, X_0\| \leqslant \|x_1 \,|\, X_1\|^{\alpha_1} \|y_1 \,|\, X_1\|^{1-{\alpha_1}}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Для каждого $f \in X'_0$ с $\|f \,|\, X'_0\| \leqslant 1$ из неравенства Гёльдера и свойства Фату получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_\Omega z_0(t) f(t)\, dt = \int_\Omega x_0 ^{\alpha_0}(t) y_0^{1-{\alpha_0}}(t)f(t)\, dt \\ &\qquad\leqslant \biggl(\int_\Omega |x_0 (t) f(t)|\, dt\biggr)^{\alpha_0} \biggl(\int_\Omega |y_0 (t) f(t)| \, dt\biggr)^{1-\alpha_0} \\ &\qquad \leqslant \|x_0 \,|\,X_0''\|^{\alpha_0} \|y_0 \,|\, X_0''\|^{1-{\alpha_0}}= \|x_0 \,|\, X_0\|^{\alpha_0} \|y_0 \,|\, X_0\|^{1-\alpha_0}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Второе неравенство в (2.7) проверяется аналогично.
Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |x(t)| \leqslant \bigl(x_0^{\theta_0}(t) \cdot x_1^{1-\theta_0}(t)\bigr)^\eta \bigl(y_0^{\theta_1}(t) \cdot y_1^{1-\theta_1}(t)\bigr)^{1-\eta} \text{ п. в. на }\Omega, \\ x_0, y_0 \in X_0, \quad x_1, y_1 \in X_1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, z_0(t) &= x_0 ^{\theta_0\eta/\theta_2}(t)\cdot y_0^{\theta_1(1-\eta)/\theta_2}(t), \\ z_1(t) &= x_1 ^{(1-\theta_0)\eta/(1-\theta_2)}(t)\cdot y_1^{(1-\theta_1)(1-\eta)/(1-\theta_2)}(t),\qquad t \in \Omega, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
и
$$
\begin{equation*}
\alpha_0 =\frac{\theta_0\eta}{\theta_2},\qquad \alpha_1 =\frac{(1-\theta_0)\eta}{1-\theta_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\alpha_0, \alpha_1 \in (0, 1)\quad\text{и}\quad 1-\alpha_0 =\frac{\theta_1(1-\eta)}{\theta_2},\quad 1-\alpha_1 =\frac{(1-\theta_1)(1-\eta)}{1-\theta_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому из (2.7) получим
$$
\begin{equation}
\|z_0 \,|\,X_0\| \leqslant \|x_0 \,|\,X_0\|^{\alpha_0} \|y_0 \,|\,X_0\|^{1-\alpha_0}, \qquad \|z_1 \,|\, X_0\| \leqslant \|x_1 \,|\, X_1\|^{\alpha_1} \|y_1 \,|\, X_1\|^{1-\alpha_1}.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Из (2.9) и неравенства $|x(t)| \leqslant z_0^{\theta_{2}}(t) \cdot z_1^{1-\theta_{2}}(t)$, $t \in \Omega$, следует вложение с константой вложения единица. Лемма доказана. Замечание 2.2. Наличие свойства Фату использовано лишь при доказательстве вложения (2.10) с константой вложения единица. Если не предполагать наличие свойства Фату, то вместо определения элементов $z_0, z_1$ равенствами (2.8) можно положить Замечание 2.3. В условиях леммы 2.1 можно допустить и вырожденные случаи, т. е. какие-то из чисел $\eta$, $\theta_0$, $\theta_1$ равны $0$ или $1$. Нужно лишь под $X^0$ понимать $L^{\infty}$. В этом случае утверждение леммы остается в полном объеме с тем же самым доказательством. Учитывая замечание 2.3, находим, что лемма 2.1 имеет важное следствие. Следствие 2.1. Пусть фиксировано обладающее свойством Фату идеальное пространство $X_0$, и заданы $\eta,\theta_0, \theta_1 \in (0,1)$, для которых выполнено (2.6). Тогда справедливо равенство и нормы в этих пространствах совпадают. Отметим, что замечания 2.2 и 2.3 имеют полный аналог и для следствия 2.1. Следующая лемма является следствием гораздо более общего факта из [14] и говорит о том, что конструкция Кальдерона наследует свойство Фату. Лемма 2.2. Пусть фиксирована пара идеальных пространств $(X_0, X_1)$, каждое из которых обладает свойством Фату, и задано $\theta \in (0,1)$. Тогда пространство $ X_0^{\theta_0} \cdot X_1^{1-\theta_0}$ также обладает свойством Фату. Напомним определения методов комплексной интерполяции Кальдерона [1]. Пусть задана интерполяционная пара $(A_0, A_1)$,
$$
\begin{equation*}
\pi =\{z=s+it\colon s \in [0,1],\, t\in (-\infty, \infty)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\digamma_1 (A_0, A_1)$ – множество функций $f \colon \pi \to A_0+A_1$, каждая из которых непрерывна и ограничена в $\pi$, аналитична внутри $\pi$ и $f(it+j) \in A_j$, $j=0,1$. Положим
$$
\begin{equation*}
\|f |\digamma_1 (A_0, A_1)\| = \max\Bigl\{\sup_t \|f(it)\,|\, A_0\|,\, \sup_t \|f(it+1)\,| \, A_1\|\Bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пространство $[A_0, A_1]_{\theta}$ состоит из тех $a \in A_0 + A_1$, для которых конечна норма
$$
\begin{equation*}
\|a \,|\,[A_0, A_1]_{\theta}\| = \inf \{ \|f \,|\,\digamma_1 (A_0, A_1)\|\colon a = f(\theta) \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\digamma_2 (A_0, A_1)$ – множество функций $f \colon \pi \to A_0+A_1$, каждая из которых аналитична внутри $\pi$, $f(z)/(1+|z|) \colon \pi \to A_0+A_1$ непрерывна и ограничена и $f(it+j) - f(j)\colon \mathbb R \to A_j$ удовлетворяет условию Липшица, $j=0,1$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|f \,|\, \digamma_2 (A_0, A_1)\| &= \max\biggl\{\sup_{t, h \in \mathbb R,\, h\neq 0} \frac{\|f(it) - f(it+ih) \,|\, A_0\|}{|h|}, \\ &\qquad\qquad \sup_{t, h \in \mathbb R,\, h\neq 0 } \frac{\|f(1+it) - f(1+it+ih) \,|\, A_1\|}{|h|}\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пространство $[A_0, A_1]^{\theta}$ состоит из тех $a \in A_0 + A_1$, для которых конечна норма
$$
\begin{equation*}
\|a \,|\, [A_0, A_1]^{\theta}\| = \inf \{ \|f \,|\,\digamma_2 (A_0, A_1)\|\colon a = f'(\theta)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $(Y_0, Y_1)$ – пара идеальных пространств, то справедливо равенство [1], [16]:
$$
\begin{equation}
(Y_0^{\theta_0} \cdot Y_1^{1-\theta_0})^{\circ} = [Y_0, Y_1]_{\theta}.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Здесь через $(Y_0^{\theta_0} \cdot Y_1^{1-\theta_0})^{\circ}$ обозначено замыкание $Y_0 \cap Y_1$ в $Y_0^{\theta_0} \cdot Y_1^{1-\theta_0}$. Если дополнительно известно, что каждое из пространств $Y_0$, $ Y_1$ обладает свойством Фату, то справедливо равенство [1], [17]:
$$
\begin{equation}
Y_0^{\theta_0} \cdot Y_1^{1-\theta_0} = [Y_0, Y_1]^{\theta}.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Классическое пространство Морри [2] $M_{\lambda, L^q}$, $\lambda\in \mathbb R$, состоит из тех $x \in L^{1,\mathrm{loc}}(\mathbb R^n)$, для которых конечна норма
$$
\begin{equation*}
\|x\,|\,M_{\lambda, L_q}\| = \sup_{t \in \mathbb R^n} \sup_{r >0} r^{-\lambda} \|x (t\,{+}\,{\cdot}\,) \chi(B(0,r))\,|\,L^q \|.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $B(0,r)$ – шар с центром в нуле радиуса $r$. Отметим, что, если $\lambda=0$, то $ M_{\lambda, L_q}=L_q$, если $\lambda=n/q$, то $M_{\lambda, L_q}=L_\infty$, если $\lambda <0$ или $\lambda>n/q$, то $ M_{\lambda, L_q}$ состоит только из функции, тождественно равной нулю. Если теперь в определении классического пространства Морри заменить пространство Лебега $L_q$ на идеальное пространство $X$, внешнюю $\sup$-норму на норму в идеальном пространстве $L$, то придем к естественному определению пространства Морри, построенного по набору шаров с непрерывно меняющимся радиусом. Пространства Морри, построенные по набору множеств $\{B(0,r_i)\}$ с дискретно меняющимся радиусом, определяются следующим образом. Через $\Upsilon$ обозначим множество неотрицательных числовых последовательностей $\tau=\{r_i\}$, каждая из которых удовлетворяет условиям
$$
\begin{equation*}
\forall\, i\colon \quad r_i < r_{i+1}, \qquad \bigcup_{i}(r_i, r_{i+1}]= \mathbb R_+.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $r_{i+1}=\infty$, то условимся считать, что $(r_i, \infty]= (r_i,\infty)$. По каждой последовательности $\tau =\{r_i\}$ построим набор $\{B(0,r_i)\}$. Определение 2.2 (см. [18]). Пусть задано идеальное пространство $X$ на $\mathbb R^n$, идеальное пространство $l$ двусторонних последовательностей со стандартным базисом $\{e^i\}$ и последовательность $\tau \in \Upsilon$. Пространством Морри $M^{\tau}_{l,X}$ будем называть множество таких функций $x \in L^{1,\mathrm{loc}}(\mathbb R^n)$, для каждой из которых конечна норма Рассматривать дискретные пространства удобнее по крайней мере по следующим причинам. Во-первых, все классические пространства Морри можно реализовать как дискретные пространства Морри (см. пример ниже), во-вторых, не нужно думать об измеримости функции $\|x(t\,{+}\,{\cdot}\,) \chi (B(0,r))\,|\,X\|$. Отметим, что непрерывные и дискретные пространства Морри являются идеальными. Пример 2.2 (см. [18]). Пусть $X$ – идеальное пространство и $\lambda>0$. Пространство $M_{\lambda, X}$ состоит из тех $x \in L^{1,\mathrm{loc}}(\mathbb R^n)$, для которых конечна норма Положим $r_i = 2^i$, $\omega_{\lambda}(i) = 2^{-i \lambda}$, $i \in \mathbb Z$. По пространствам $X$, $l^{\infty}_{\omega_{\lambda}}$ и последовательности $\tau =\{r_i\}$ построим дискретное пространство Морри $M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_{\lambda}}, X}$. Тогда для любого $x \in M_{\lambda, X}$ справедливы неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &2^{-\lambda} \sup_{t} \sup_{i} 2^{-i\lambda} \|x (t\,{+}\,{\cdot}\,) \chi(B(0,2^{i}))\,|\, X \| \leqslant \|x \,|\, M_{\lambda; X}\| \\ &\qquad \leqslant 2^{\lambda} \sup_{t} \sup_{i} 2^{-i\lambda} \|x (t\,{+}\,{\cdot}\,) \chi(B(0,2^{i}))\,|\, X\|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, с помощью равенства на пространстве $M_{\lambda, X}$ можно ввести эквивалентную норму и, следовательно, с точностью до эквивалентных норм справедливо равенство $M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_{\lambda}}, X} = M_{\lambda, X}$.Следующая лемма показывает, что пространство Морри также наследует свойство Фату. Лемма 2.3. Пусть по пространствам $X$, $l$ и последовательности $\tau \in \Upsilon$ построено пространство $ M_{l,X}^\tau$. Если идеальные пространства $X$ и $l$ обладают свойством Фату, то и пространство $ M_{l,X}^\tau $ обладает свойством Фату. Доказательство. Пусть $x_n \in M_{l,X}^\tau $, $\|x_n \,|\, M_{l,X}^\tau\|\leqslant 1 $ и $x_n\uparrow x$. Тогда для любого $i \in \mathbb Z$ выполняется соотношение $x_n(t\,{+}\,{\cdot}\,) \chi (B(0,r_i))\uparrow x(t\,{+}\,{\cdot}\,) \chi (B(0,r_i))$. Из того, что $X$ обладает свойством Фату, следует, что $\|x_n(t\,{+}\,{\cdot}\,) \chi (B(0,r_i))|X\| \uparrow \|x(t\,{+}\,{\cdot}\,) \chi (B(0,r_i))\,|\,X\|$. Поэтому для числовой последовательности выполняется условие Так как $l$ обладает свойством Фату, то откуда и следует утверждение леммы.
§ 3. Основные результатыНаша цель – выяснить условия, когда конструкция Кальдерона по паре пространств Морри снова дает пространство Морри. Покажем сначала, что справедлива важная теорема вложения. Теорема 3.1. Пусть по пространствам $X_0$, $l_0$ и $X_1$, $l_1$ и последовательности $\tau \in \Upsilon$ построены пространства $ M_{l_0,X_0}^\tau$ и $ M_{l_1,X_1}^\tau$, пусть фиксировано $\theta \in (0,1)$. Тогда выполняется вложение c константой вложения единица. Доказательство. Пусть
$$
\begin{equation*}
x \in (M_{l_0,X_0}^\tau)^\theta \cdot (M_{l_1,X_1}^\tau) ^{1-\theta},\qquad \| x \,|\, (M_{l_0,X_0}^\tau)^\theta \cdot (M_{l_1,X_1}^\tau) ^{1-\theta}\|< 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Это означает, что найдутся $x_0 \in M_{l_0,X_0}^\tau$, $x_1 \in M_{l_1,X_1}^\tau$ такие, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, |x(t)| \leqslant x_0^\theta(t)\cdot x_1^{1-\theta}(t), \qquad t \in \Omega, \\ \sup_{s \in \mathbb R^n} \biggl\|\sum_{-\infty}^{\infty} e^{i} \|x_0(s\,{+}\,{\cdot}\,)\chi (B(0, r_i)\,|\, X_0\| \biggm| l_0\biggr\|\leqslant 1, \\ \sup_{s \in \mathbb R^n} \biggl\|\sum_{-\infty}^{\infty} e^{i} \|x_1(s\,{+}\,{\cdot}\,)\chi (B(0, r_i)\,|\, X_1\| \biggm| l_1\biggr\|\leqslant 1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Тогда для каждого $s \in \mathbb R^n$ и любого $i$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|x(s+ t)| \chi (B(0, r_i)) \\ &\qquad\leqslant \bigl(x_0(s+ t)\chi (B(0, r_i))\bigr)^\theta\cdot \bigl(x_1(s+ t)\chi (B(0, r_i))\bigr)^{1-\theta}(t),\qquad t \in \Omega, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и поэтому в силу (2.2) справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|x(s\,{+}\,{\cdot}\,) \chi (B(0, r_i))\,|\, X_0^{\theta}\cdot X_1^{1-\theta}\| \\ &\qquad \leqslant \|x_0(s\,{+}\,{\cdot}\,) \chi (B(0, r_i))\,|\, X_0\|^{\theta}\cdot \|x_1(s\,{+}\,{\cdot}\,) \chi (B(0, r_i))\,|\,X_1\|^{1-\theta}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего неравенства и (3.2) получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl\|\sum_{-\infty}^{\infty} e^{i} \|x(s\,{+}\,{\cdot}\,) \chi (B(0, r_i))\,|\, X_0^{\theta}\cdot X_1^{1-\theta}\| \biggm| l_0^{\theta}\cdot l_1^{1-\theta}\biggr\| \\ &\qquad \leqslant \biggl\|\sum_{-\infty}^{\infty} e^{i} \|x_0(s\,{+}\,{\cdot}\,) \chi (B(0, r_i))\,|\, X_0\| \biggm| l_0\biggr\| ^{\theta} \\ &\qquad\qquad\times \biggl\|\sum_{-\infty}^{\infty} e^{i} \|x_1(s\,{+}\,{\cdot}\,) \chi (B(0, r_i))\,|\, X_1\| \biggm|l_1\biggr\|^{1-\theta} \leqslant 1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку правая часть неравенства не зависит от $s$, то слева можно перейти к верхней грани по $s$:
$$
\begin{equation*}
\bigl\|x \bigm| M_{l_0^{\theta}\cdot l_1^{1-\theta}, X_0^{\theta}\cdot X_1^{1-\theta}}^\tau \bigr\|= \sup_{s \in \mathbb R^n} \biggl\|\sum_{-\infty}^{\infty} e^{i} \|x(s\,{+}\,{\cdot}\,) \chi (B(0, r_i))\,|\, X_0^{\theta}\cdot X_1^{1-\theta}\| \biggm| l_0^{\theta}\cdot l_1^{1-\theta}\biggr\| \leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует утверждение теоремы. Дальнейшие наши построения будут связаны с выяснением условий, когда в (3.1) будет выполняться равенство. Лемма 3.1. Пусть по пространствам $X$, $l$ и последовательности $\tau \in \Upsilon$ построено пространство $ M_{l,X}^\tau$, пусть $\theta \in (0,1)$. Тогда справедливо равенство и нормы в этих пространствах совпадают. Доказательство. Пусть $x \in (M_{l,X}^\tau)^{\theta}$. Это означает, что найдется $x_0 \in M_{l,X}^\tau$ с $\|x_0 \,|\, M_{l,X}^\tau\|=1 $ такой, что справедливо равенство $ |x(t)| = \lambda x_0^{\theta}(t)\cdot 1^{1-\theta}$, $t \in \Omega$ и $\lambda = \|x \,|\, (M_{l,X}^\tau)^{\theta}\|$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl\|\,\biggl|\frac{x}{\lambda}\biggr|^{1/\theta} \biggm| (M_{l,X}^\tau)^{\theta}\biggr\| =1\quad \Longleftrightarrow \quad \sup_t \Biggl\|\sum_{-\infty}^{\infty} \|x^{1/\theta}(t\,{+}\,{\cdot}\,) \chi(B(0,r_i))\,|\, X\| e^i \biggm| l\biggr\|^{\theta} = \lambda \\ &\qquad\Longleftrightarrow\quad \sup_t \biggl\|\sum_{-\infty}^{\infty} \bigl(\bigl(\|x (t\,{+}\,{\cdot}\,) \chi(B(0,r_i))\,|\, X\|\bigr)^{\theta}\bigr)^{1/\theta} e^i \biggm| l \biggr\|^{\theta} = \lambda \\ &\qquad\Longleftrightarrow\quad \|x \,|\, M_{l^{\theta}, X^{\theta}}^\tau\| =\lambda. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем обратное неравенство. Пусть $x \in M_{l^{\theta}, X^{\theta}}^\tau$, $x\geqslant 0$ и $\|x \,|\, M_{l^{\theta}, X^{\theta}}^\tau\| =1$. Это означает, что
$$
\begin{equation*}
\sup_t \biggl\|\sum_{-\infty}^{\infty} \bigl(\bigl(\|x^{1/\theta} (t\,{+}\,{\cdot}\,) \chi(B(0,r_i))\,|\, X\|\bigr)^{\theta}\bigr)^{1/\theta} e^i\biggm| l\biggr\|^{\theta} = 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $x_0(t) = x^{1/\theta}(t)$. Тогда выполняется очевидное равенство $ x(t) = \lambda \cdot x_0^{\theta}(t)\cdot (1)^{1-\theta}$, $t \in \Omega$. Проверим, что $\|x_0 \,|\, M_{l, X}^\tau\| =1$. Действительно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|x_0 \,|\, M_{l, X}^\tau\| &= \sup_t \biggl\|\sum_{-\infty}^{\infty} \|x_0(t\,{+}\,{\cdot}\,) \chi(B(0,r_i))\,|\, X\| e^i\biggm| l\biggr\| \\ &=\sup_t \biggl\|\sum_{-\infty}^{\infty} \|x^{1/\theta}(t\,{+}\,{\cdot}\,) \chi(B(0,r_i))\,|\, X\| e^i\biggm|l\biggr\| \\ &=\sup_t \biggl\|\sum_{-\infty}^{\infty} \bigl(\bigl(\|x^{1/\theta} (t\,{+}\,{\cdot}\,) \chi(B(0,r_i))\,|\,X\|\bigr)^{\theta}\bigr)^{1/\theta} e^i\biggm|l\biggr\| = 1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Применяя равенства (2.4), (2.5), получим следующее утверждение. Следствие 3.1. Пусть $1\leqslant q_0 < \infty$, $\theta \in (0,1)$. Пусть фиксирована неубывающая положительная последовательность $\{\omega_{0}(\,{\cdot}\,)\}$. Положим $\{\omega_{1}(\,{\cdot}\,)\}= \{\omega_{0}^{\theta}(\,{\cdot}\,)\}$, $q_1 = q_0/\theta$. Тогда справедливо равенство и нормы в этих пространствах совпадают. Следующая теорема является одной из основных. В ней даны достаточные условия на пару пространств Морри для того, чтобы конструкция Кальдерона снова была пространством Морри. Теорема 3.2. Пусть $\theta_0, \theta_1, \eta \in (0,1)$ и выполнены соотношения (2.6). Пусть по пространствам $X$, $l$, обладающим свойством Фату, и последовательности $\tau \in \Upsilon$ построено пространство $ M_{l,X}^\tau$. Тогда выполняется равенство и нормы в этих пространствах совпадают. Доказательство. Согласно лемме 3.1 справедливы равенства
$$
\begin{equation}
(M_{l, X}^\tau)^{\theta_0} = M_{l^{\theta_0}, X^{\theta_0}}^\tau,\qquad (M_{l, X}^\tau)^{\theta_1} = M_{l^{\theta_1}, X^{\theta_1}}^\tau .
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Поэтому
$$
\begin{equation}
(M_{l^{\theta_0}, X^{\theta_0}}^\tau)^\eta \cdot (M_{l^{\theta_1}, X^{\theta_1}}^\tau)^{(1-\eta)} = \bigl((M_{l, X}^\tau)^{\theta_1}\bigr)^\eta \cdot \bigl((M_{l, X}^\tau)^{\theta_0}\bigr)^{1-\eta}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Применяя лемму 2.3 и следствие 2.1, получим
$$
\begin{equation}
\bigl((M_{l, X}^\tau)^{\theta_1}\bigr)^\eta \cdot \bigl((M_{l, X}^\tau)^{\theta_0}\bigr)^{1-\eta} = (M_{l, X}^\tau)^{\theta_2}.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Снова применяя лемму 3.1, будем иметь
$$
\begin{equation*}
(M_{l, X}^\tau)^{\theta_2} = M_{l^{\theta_2}, X^{\theta_2}}^\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего равенства и (3.3)–(3.5) следует утверждение теоремы. Следствие 3.2. Пусть $\theta_0,\theta_1,\eta\in(0,1)$ и выполнены соотношения (2.6). Пусть по пространствам $X$, $l$, обладающим свойством Фату, и последовательности $\tau \in \Upsilon$ построено пространство $ M_{l,X}^\tau$. Тогда выполняются равенства
$$
\begin{equation}
[M_{l^{\theta_0}, X^{\theta_0}}^\tau, M_{l^{\theta_1}, X^{\theta_1}}^\tau]^{\eta} = M_{l^{\theta_2}, X^{\theta_2}}^\tau,\qquad [M_{l^{\theta_0}, X^{\theta_0}}^\tau, M_{l^{\theta_1}, X^{\theta_1}}^\tau]_{\eta} = (M_{l^{\theta_2}, X^{\theta_2}}^\tau)^{\circ}.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Здесь через $(M_{l^{\theta_2}, X^{\theta_2}}^\tau)^{\circ}$ обозначено замыкание пересечения $M_{l^{\theta_0}, X^{\theta_0}}^\tau \cap M_{l^{\theta_1}, X^{\theta_1}}^\tau$ в пространстве $M_{l^{\theta_2}, X^{\theta_2}}^\tau$. Доказательство. Если идеальные пространства $Y_0$, $Y_1$ обладают свойством Фату, то справедливо равенство (2.12). Из этого факта, лемм 2.2, 2.3 и теоремы 3.2 получим первое равенство в (3.6). Второе равенство в (3.6) следует из первого и (2.11). Следствие доказано. Следствие 3.3. Пусть $\theta_0, \theta_1, \eta \in (0,1)$ и выполнены соотношения (2.6). Пусть фиксированы $ q\in [1, \infty)$, пространства Лебега $L^q$, $l^{\infty}_{\omega}$ и последовательность $\tau \in \Upsilon$. Положим По пространствам Лебега и набору $\tau \in \Upsilon$ построим пространства Морри $M_{l^{\infty}_{\omega_0}, L^{q_0}}^\tau$, $M_{l^{\infty}_{\omega_1}, L^{q_1}}^\tau$, $M_{l^{\infty}_{\omega_2}, L^{q_2}}^\tau$. Тогда выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
[ M_{l^{\infty}_{\omega_0}, L^{q_0}}^\tau, M_{l^{\infty}_{\omega_1}, L^{q_1}}^\tau]^{\eta} = M_{l^{\infty}_{\omega_2}, L^{q_2}}^\tau, \qquad [ M_{l^{\infty}_{\omega_0}, L^{q_0}}^\tau, M_{l^{\infty}_{\omega_1}, L^{q_1}}^\tau]_{\eta} = (M_{l^{\infty}_{\omega_2}, L^{q_2}}^\tau)^{\circ}.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Используя равенства (2.4), (2.5) и следствие 3.2, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (M_{l^{\infty}_{\omega}, L^{q}}^\tau)^{\theta_0} = M_{l^{\infty}_{\omega_0}, L^{q_0}}^\tau , \qquad (M_{l^{\infty}_{\omega}, L^{q}}^\tau)^{\theta_1} = M_{l^{\infty}_{\omega_1}, L^{q_1}}^\tau, \\ \{(M_{l^{\infty}_{\omega}, L^{q}}^\tau)^{\theta_0}\}^{\eta} \cdot \{(M_{l^{\infty}_{\omega}, L^{q}}^\tau)^{\theta_1}\}^{1-\eta}= M_{l^{\infty}_{\omega_2}, L^{q_2}}^\tau. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Откуда и получим утверждение следствия 3.3. Из следствий 3.2 и 3.3 стандартным образом [1], [16], [17] можно написать интерполяционные теоремы для глобальных пространств Морри. Мы на этом останавливаться не будем. Пример 3.1. Пусть заданы числа $1\leqslant q_0 < q_1 \leqslant \infty$, $\lambda_0, \lambda_1> 0$, по которым построена пара классических пространств Морри $(M_{\lambda_0, L^{q_0}}, M_{\lambda_1, L^{q_1}})$. Как указано в примере 2.2 в наших обозначениях это пара $(M_{l^{\infty}_{\omega_{\lambda_0}}, L^{q_0}}^\tau, M_{l^{\infty}_{\omega_{\lambda_1}}, L^{q_1}}^\tau)$. Положим $\theta_0 =1/q_0$, $\theta_1 =1/q_1$; $\alpha_0 = \lambda_0(1/\theta_0)$, $\alpha_1 = \lambda_1(1/\theta_1)$. Если $\alpha_0 = \alpha_1$ или в эквивалентном виде $\lambda_0/\lambda_1 = \theta_0/\theta_1 = q_1/q_0$, то следствие 3.3 дает в точности теоремы о вычислении первого и второго интерполяционных функторов Кальдерона для пространств Морри $M_{\lambda, L^{q}}$, полученные в [5], [6], [19], [20] другим методом. Следующий параграф будет посвящен доказательству точности теоремы 3.2, причем тестовым примером у нас будут пространства ${M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega}, L^{q}}}$. Нам потребуются некоторые дополнительные построения. Обозначим через $c_n$ объем единичного шара в пространстве $\mathbb R^n$, т. е. для всех $p \in [1, \infty)$ справедливо равенство $\|\chi(B(0,r)|L^{p}\| = (c_n r^n)^{1/p}$. Определение 3.1. Будем говорить, что вес $\{\omega(\,{\cdot}\,)\}$ принадлежит классу $B(q)$, $\{\omega(\,{\cdot}\,)\} \in B(q)$, если Условие (3.7) совершенно естественно, так как если $\omega(i_0+1) \geqslant \omega(i_0)$, то неравенство
$$
\begin{equation*}
\omega(i_0+1) \|f \chi(B(0, r_{i_0+1}))\,|\, L^{q}\| \geqslant \omega(i_0) \|f \chi(B(0, r_{i_0}))\,|\, L^{q}\|
\end{equation*}
\notag
$$
верно для любой функции $f$ и поэтому шар $B(0, r_{i_0})$ можно удалить из определения пространства Морри ${M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega}, L^{q}}}$ без изменения этого пространства. Поскольку $\|\chi(B(0, r_i))\,|\, L^{q}\| = (c_n r_i^n)^{1/q}$, то условие (3.8) эквивалентно выполнению неравенств
$$
\begin{equation}
r_{i-1}^{n/q}\omega(i-1) \leqslant r_{i}^{n/q}\omega(i), \qquad i \in \mathbb Z.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Из последнего соотношения видно, что условие $\{\omega(\,{\cdot}\,)\} \in B(q)$, по существу, означает, что характеристическая функция шара принадлежит $M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega}, L^{q}}$. Отметим, что из (3.9) следует, что для любых $m, l \in \mathbb Z$, $m< l$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{\omega(m)}{\omega(l)}\biggr)^{q} \leqslant \biggl(\frac{r_{l}}{r_{m}}\biggr)^{n}.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Пусть заданы $\theta \in (0,1)$, $\{\omega_0(\,{\cdot}\,)\} \in B(q_0)$, $\{\omega_1(\,{\cdot}\,)\} \in B(q_1)$ и $q_\theta$, $\{\omega_\theta(\,{\cdot}\,)\}$ определены соотношениями (2.3). Непосредственно из определения 3.1 следует, что $\{\omega_0^{\theta}(\,{\cdot}\,)\cdot \omega_1^{1-\theta}(\,{\cdot}\,)\} \in B(q_\theta)$. Иначе это можно записать в виде $B(q_0)^{\theta} \cdot B(q_1)^{1-\theta} \subseteqq B(q_\theta)$. Если $\{\omega(\,{\cdot}\,)\} \in B(q_\theta)$, то, полагая $\{\omega_0(\,{\cdot}\,)\} = \{\omega^{q/q_0}(\,{\cdot}\,)\}$, $\{\omega_1(\,{\cdot}\,)\} = \{\omega^{q/q_1}(\,{\cdot}\,)\}$, получим, что $\{\omega_0^{\theta}(\,{\cdot}\,)\cdot \omega_1^{1-\theta}(\,{\cdot}\,)\} = \{\omega(\,{\cdot}\,)\}$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \omega_0(i) (c_n r_i^n)^{1/q_0} &= \bigl(\omega (i) (c_n r_i^n)^{1/{q_1}}\bigr)^{q/q_0}, \\ \omega_1(i) (c_n r_i^n)^{1/q_1} &= \bigl(\omega (i) (c_n r_i^n)^{1/q}\bigr)^{q/q_1}, \qquad i \in \mathbb Z. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому справедливо равенство
$$
\begin{equation}
B(q_0)^{\theta}\cdot B(q_1)^{1-\theta} = B(q_\theta).
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Следующая лемма позволит вычислить норму характеристической функции шара в конструкции Кальдерона по пространствам Морри. Лемма 3.2. Пусть $1\leqslant q_0, q_1 \leqslant \infty$, $\theta \in (0,1)$, $\{\omega_0(\,{\cdot}\,)\} \in B(q_0)$, $\{\omega_1(\,{\cdot}\,)\} \in B(q_1)$. Пусть $q_\theta$ и $\{\omega_\theta(\,{\cdot}\,)\}$ определены соотношениями (2.3). Тогда для каждого $i \in \mathbb Z$ справедливо точное равенство Доказательство. Используя формулу (2.2), равенство (2.4) и включение $\{\omega_\theta(\,{\cdot}\,)\} \in B(q_\theta)$, которое следует из $\{\omega_0(\,{\cdot}\,)\} \in B(q_0)$, $\{\omega_1(\,{\cdot}\,)\} \in B(q_1)$, и формулы (3.11), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\chi(B(0,r_i))\,|\,(M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_0}, L^{q_0}})^\theta \cdot (M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_1}, L^{q_1}})^{(1-\theta)}\| \\ &= \inf\{ \|x_0\,|\, M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_0}, L^{q_0}}\|^\theta \\ &\qquad\ \, \times \|x_1\,|\, M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_1}, L^{q_1}}\|^{1-\theta}\colon \chi(B(0,r_i))\leqslant x_0^{\theta}(t) \cdot x_1^{1-\theta}(t),\, t \in B(0,r_i)\} \\ &\geqslant \inf\bigl\{\bigl(\|x_0 \chi(B(0,r_i))\,|\,L^{q_0}\|\omega_0(i)\bigr)^\theta \\ &\qquad\ \, \times \bigl(\|x_1\chi(B(0,r_i))\,|\,L^{q_1}\|{\omega_1}(i)\bigr)^{1-\theta}\colon \chi(B(0,r_i)) \leqslant x_0^{\theta}(t) \cdot x_1^{1-\theta}(t),\, t \in B(0,r_i)\bigr\} \\ &= \omega_0(i)^\theta \cdot \omega_1(i)^{1-\theta} \inf\bigl\{ \|x_0 \chi(B(0,r_i))\,|\,L^{q_0}\|^\theta \\ &\qquad\ \, \times \|x_1\chi(B(0,r_i))\,|\, L^{q_1}\|^{1-\theta}\colon \chi(B(0,r_i)) \leqslant x_0^{\theta}(t) \cdot x_1^{1-\theta}(t)\text{ п. в. } t \in B(0,r_i)\bigr\} \\ &= \omega_0(i)^\theta \cdot \omega_1(i)^{1-\theta} \|\chi(B(0,r_i))\,|\, L^{q_{\theta}}\| = \| \chi(B(0,r_i))\,|\, M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_\theta}, L^{q_\theta}}\|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обратное неравенство можно доказать следующим образом. Положим
$$
\begin{equation*}
x_0(t) = \frac{\chi(B(0,r_i))}{\omega_0(i)(c_n r_i^n)^{1/q_0}},\qquad x_1(t) = \frac{\chi(B(0,r_i))}{\omega_1(i)(c_n r_i^n)^{1/q_0}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из (2.3) следует, что выполняется тождество
$$
\begin{equation*}
\frac{\chi(B(0,r_i))}{\omega_\theta(i)(c_n r_i^n)^{1/q_{\theta}}} \equiv x_0^{\theta}(t) \cdot x_1^{1-\theta}(t), \qquad t \in B(0,r_i),
\end{equation*}
\notag
$$
а из включений $\{\omega_0(\,{\cdot}\,)\}\in B(q_0)$, $\{\omega_1(\,{\cdot}\,)\}\in B(q_1)$ следуют равенства
$$
\begin{equation*}
\|x_0 \,|\,M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_0}, L^{q_0}}\|=1, \qquad \|x_1 \,|\,M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_1}, L^{q_1}}\|=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, используя $\{\omega_\theta(\,{\cdot}\,)\} \in B(q_\theta)$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\chi(B(0,r_i))\,|\,(M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_0}, L^{q_0}})^\theta \cdot (M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_1}, L^{q_1}})^{(1-\theta)}\| \\ &\qquad \leqslant \omega_\theta(i)(c_n r_i^n)^{1/q_{\theta}} = \| \chi(B(0,r_i))\,|\, M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_\theta}, L^{q_\theta}}\|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Лемма 3.3. Пусть $x \in X_0^\theta \cdot X_1^{(1-\theta)}$ и $\|x \,|\, X_0^\theta \cdot X_1^{1-\theta}\| =1$. Если $|x(t)| \leqslant x_0^\theta(t) \cdot x_1^{(1-\theta)}(t)$, $t \in \Omega$, и $ \|x_0\,|\,X_0 \| \leqslant c_0$, то $ \|x_1\,|\,X_1 \| \geqslant {c_0}^{-\theta/(1-\theta)}$. Доказательство. Пусть $ \|x_1\,|\,X_1 \| = c_1$. Тогда Поскольку $ \| c_0^{-1} x_0\,|\,X_0 \| \leqslant 1$, то $\|{c_0}^{\theta/(1-\theta) } x_1 \,|\,X_1 \| \geqslant 1$. Откуда получим, что $c_1 \geqslant{c_0}^{-\theta/(1-\theta) }$. Лемма доказана. Нам потребуются некоторые понятия, связанные с почти равномерным заполнением большого шара шарами меньшего радиуса. Для двух чисел $r$, $R$ с $0 < r \leqslant R $ обозначим через $m(r,R)$ максимальное число шаров радиуса $r$ с непересекающимися внутренностями, содержащихся в $B(0, R)$. Сравнивая объемы шаров, нетрудно получить оценку
$$
\begin{equation*}
1 \leqslant m(r,R) \leqslant \biggl(\frac{R}{r}\biggr)^n.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, найдется константа $c_0(n)$, зависящая только от размерности пространства $\mathbb R^{n}$, такая, что при всех $0 < r \leqslant R $ справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
m(r,R) \geqslant c_0(n) \biggl(\frac{R}{r}\biggr)^n.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Справедливость последнего неравенства нетрудно проверить, заменяя шары на кубы со сторонами, параллельными осям координат и равными диаметрам шаров. Определение 3.2. Пусть задана тройка чисел $(r, R; k)$ с $0 < r \leqslant R $, $k \in \mathbb N$, $k \leqslant m(r,R)$ и $\overline{r} \in [(k^{-1})^{1/n}R, R]$. Зафиксируем набор шаров $\{B(t_j, {r})\}_1^{k}$: $B(t_j, {r}) \subseteq B(0, R)$, $j=1,2,\dots,k$, с непересекающимися внутренностями и положим Будем говорить, что центры шаров $\{B(t_j, r)\}_1^{k}$ почти равномерно распределены в $B(0, R)$, если для всех $\overline{r}$ из указанного диапазона c некоторой константой $c_1(n)$, зависящей лишь от размерности $\mathbb R^n$, выполняются неравенства Отметим, что для каждой тройки $(r, R; k)$ с $0 < r \leqslant R $ и $k \in \mathbb N$, $k \leqslant m(r,R)$ наборы шаров с почти равномерно распределенными центрами существуют. Это можно пояснить так. Если в определении 3.2 вместо шаров рассматривать только кубы со сторонами, параллельными осям координат и равными $2^l$, $l\in \mathbb Z$, то существование наборов диадических кубов с почти равномерно распределенными центрами очевидно. Отсюда следует и существование наборов шаров с почти равномерно распределенными центрами. Без ограничения общности можно считать константу $c_1(n)$ натуральным числом. Лемма 3.4. Пусть $1\leqslant q < \infty$, $\{\omega(\,{\cdot}\,)\} \in B(q)$. Пусть заданы два целых числа $m < l$ и $k \in \mathbb N\colon k \leqslant m(r_m, r_l) $. Пусть точки $\{t_j\}_1^{k}$ – центры шаров радиуса $r_m$ – почти равномерно распределены внутри шара $B(0, r_l)$. Пусть заданы $y_j \in M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega}, L^{q}}$ такие, что для каждого $j =1,2,\dots, k$ выполняются соотношения где константы $a_0, a_1$ и $b_0, b_1$ не зависят от $j$. Определим новую функцию $ y(\,{\cdot}\,) =\sum_{j=1}^{k} y_j (\,{\cdot}\,)$. Тогда справедливы неравенства Доказательство. Пусть $i$ таково, что $m \leqslant i \leqslant l$ и $r_i \geqslant (k^{-1})^{1/n}r_l$. Обозначим через $k_i$ число шаров из набора $\{B(t_j-t_0, r_m)\}_1^{k}$, имеющих непустое пересечение с $ B(0, r_i)$. Поскольку центры почти равномерно распределены, то справедливо неравенство $k_i \leqslant c_1(n) k (r_i/r_l)^{n}$. Так как носители функций $y_j(\,{\cdot}\,)$ при разных $j$ не пересекаются, а норма в пространстве $L^{q}$ инвариантна относительно сдвига, то
$$
\begin{equation*}
\| y (t_0 \,{+}\,{\cdot}\,) \chi(B(0, r_i))\,|\, L^{q}\| = \biggl(\sum_{j=1}^{k}\| y_j (t_0 \,{+}\,{\cdot}\,) \chi(B(0, r_i))\,|\, L^{q}\|^{q}\biggr)^{1/q} \leqslant b_1 (k_{i})^{1/q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\{\omega(\,{\cdot}\,)\} \in B(q)$, то получим неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sup_{t_0} \omega(i)\|y (t_0 \,{+}\,{\cdot}\,) \chi(B(0, r_i))| L^{q}\|\leqslant b_1 \omega(i) (k_{i})^{1/q} \nonumber \\ &\qquad\leqslant b_1 \omega(i) \biggl\{c_1(n) k \biggl(\frac{r_i}{r_l}\biggr)^n\biggr\}^{1/q} \leqslant b_1 \omega(l) (c_1(n) k)^{1/q}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Если $i$ таково, что $ i\,{\leqslant}\, l$ и $r_i\,{<}\,(k^{-1})^{1/n}r_l$, то, согласно (3.13), шар $B(0, r_i)$ пересекает не более $c_1(n)$ шаров из набора $\{B(t_j-t_0, r_m)\}_1^{k}$ (именно поэтому $c_1(n)$ в (3.13) – натуральное число). Поэтому
Если $i > l $, то $\omega(i) \leqslant \omega(l)$ и оценка (3.16) сохраняется. С другой стороны, Теорема 3.3. Пусть $1\leqslant q_0, q_1 \leqslant \infty$, $\theta \in (0,1)$, $\{\omega_0(\,{\cdot}\,)\} \in B(q_0)$, $\{\omega_1(\,{\cdot}\,)\} \in B(q_1)$. Пусть $q_\theta$ и $\{\omega_\theta(\,{\cdot}\,)\}$ определены соотношениями (2.3). Если для каждого $ x \in M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_\theta}, L^{q_\theta}}$ выполняются неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &c_2^{-1} \|x \,|\,(M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_0}, L^{q_0}})^\theta \cdot (M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_1}, L^{q_1}})^{(1-\theta)}\| \leqslant \|x \,|\, M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_\theta}, L^{q_\theta}}\| \nonumber \\ &\qquad\leqslant c_2 \|x \,|\,(M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_0}, L^{q_0}})^\theta \cdot (M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_1}, L^{q_1}})^{(1-\theta)}\| \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
с константой $c_2$, не зависящей от $x$, то выполняется соотношение с константой $c_3$, не зависящей от $p \in \mathbb Z$. Отметим, что из теоремы 3.1 следует, что правое неравенство в (3.19) выполняется для $c_2 =1$. Доказательство теоремы 3.3. Зафиксируем два целых числа $m < l$. Положим
$$
\begin{equation*}
z_m = \frac{1}{\omega_\theta(m) (c_n r_m^n)^{1/q_\theta}} \chi (B(0, r_m)).
\end{equation*}
\notag
$$
Из предположений теоремы и (3.9) следует, что $\{\omega_\theta(\,{\cdot}\,)\} \in B(q_\theta) $. Поэтому
Определим число $k$ из соотношения
$$
\begin{equation}
\frac12 \leqslant k^{1/{q_\theta}} \frac{\omega_\theta(l)}{\omega_\theta(m)} \leqslant 2
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
и положим $k_0 = \min \{ k, m(r_m, r_l)\}$. Сразу же отметим, что при $ k > m(r_m, r_l)$ из (3.10) и (3.12) следуют неравенства
$$
\begin{equation}
m(r_m, r_l) < k \leqslant 2^{q_\theta} \biggl(\frac{\omega_\theta(m)}{\omega_\theta(l)}\biggr)^{q_\theta} \leqslant 2^{q_\theta} \biggl(\frac{r_l}{r_m}\biggr)^{n} \leqslant \frac{1}{c_0(n)} 2^{q_\theta}m(r_m, r_l).
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Далее, распределим точки $\{t_j\}_1^{k_0}$ – центры шаров радиуса $r_m$ – почти равномерно внутри шара $B(0, r_l)$. Положим $x(\,{\cdot}\,) =\sum_{j=1}^{k_0} z_m (\,{\cdot}\,{-}\,t_{j})$ и применим лемму 3.4, полагая $y_j =z_m(\,{\cdot}\,{-}\,t_j)$, $q= {q_\theta}$, $\{\omega (\,{\cdot}\,)\}= \{\omega_\theta(\,{\cdot}\,)\}$, $k= k_0$, $a_0 = a_1 =1$, $b_0=b_1=1/(\omega_\theta(m))$, что возможно в силу (3.21). Тогда неравенства (3.15) будут иметь вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \max\biggl\{1,\, \omega_\theta(l) k_0^{1/{q_\theta}} \frac{1}{\omega_\theta(m)}\biggr\} &\leqslant \|x \,|\, M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_\theta}, L^{q_\theta}}\| \\ &\leqslant \max\biggl\{c_1(n),\, c_1(n)^{1/q_\theta} \omega_\theta(l) k_0^{1/q_\theta} \frac{1}{\omega_\theta(m)}\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая (3.22), получим
$$
\begin{equation*}
1 \leqslant \|x \,|\,M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_\theta}, L^{q_\theta}}\| \leqslant \max\{c_1(n),\, 2 c_1(n)^{1/q_\theta} \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\|x (\,{\cdot}\,) \,|\, (M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_0}, L^{q_0}})^{\theta} (M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_1}, L^{q_1}})^{1-\theta}\| = A$, $\|x (\,{\cdot}\,) \,|\, M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_\theta}, L^{q_\theta}}\| = B$. Тогда из (3.19) следует, что $c_2^{-1} A \leqslant B \leqslant c_2 A$. Выберем “почти оптимальное” представление
$$
\begin{equation*}
x(t) = (x_0(t))^{\theta} \cdot (x_1(t))^{1-\theta},\qquad t \in \Omega,
\end{equation*}
\notag
$$
где $x_0(\,{\cdot}\,) \in M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_0}, L^{q_0}}$, $x_1(\,{\cdot}\,) \in M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_1}, L^{q_1}}$ и
$$
\begin{equation}
\frac{A}{2} \leqslant \|x_0(\,{\cdot}\,)\,|\, M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_0}, L^{q_0}}\| \leqslant 2A, \qquad \frac{A}{2} \leqslant \|x_1(\,{\cdot}\,)\,|\, M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_1}, L^{q_1}}\| \leqslant 2 A.
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
Тогда для любого $j=1,\dots, k_0$ имеют место неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|x_0(\,{\cdot}\,) \chi(B(t_j, r_m))\,|\, M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_0}, L^{q_0}}\| &\leqslant 2A, \\ \|x_1(\,{\cdot}\,) \chi(B(t_j, r_m))\,|\, M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_1}, L^{q_1}}\| &\leqslant 2A, \\ \omega_0(m)\|x_0(\,{\cdot}\,) \chi(B(t_j, r_m))\,|\,L^{q_0} \| &\leqslant 2A, \\ \omega_1(m)\|x_1(\,{\cdot}\,) \chi(B(t_j, r_m))\,|\,L^{q_1} \| &\leqslant 2A. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
Из леммы 3.2, соотношений (3.21) и $\{\omega_\theta(\,{\cdot}\,)\} \in B(q_\theta) $ следует, что для всех $j=1,\dots, k_0$ выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, 1 &= \|z_m(\,{\cdot}\,{-}\,t_j)\,|\, M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_\theta}, L^{q_\theta}}\| = \|z_m(\,{\cdot}\,{-}\,t_j)\,|\, (M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_0}, L^{q_0}})^{\theta} (M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_1}, L^{q_1}})^{1-\theta}\| \\ &= \|\omega_\theta(m) z_m(\,{\cdot}\,{-}\,t_j)\,|\, L^{q_\theta}\|, \end{aligned} \\ \omega_\theta(m) z_m(\,{\cdot}\,{-}\,t_j) = \bigl(\omega_0(m)x_0(t)\bigr)^{\theta} \bigl(\omega_1(m)x_1(t)\bigr)^{1-\theta}\chi(B(t_j, r_m)), \qquad t \in B(t_j, r_m). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из последних соотношений, неравенств (3.25) и леммы 3.3 получим оценки снизу
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (2A)^{-\theta/(1-\theta)} &\leqslant {\omega_0}(m)\|x_0(\,{\cdot}\,) \chi(B(t_j, r_m))\,|\, L^{q_0} \|, \\ (2A)^{-\theta/(1-\theta)} &\leqslant \omega_1(m)\|x_1(\,{\cdot}\,) \chi(B(t_j, r_m))\,|\, L^{q_1} \|, \\ (2A)^{-\theta/(1-\theta)} &\leqslant \|x_0(\,{\cdot}\,) \chi(B(t_j, r_m))\,|\, M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_0}, L^{q_0}}\|, \\ (2A)^{-\theta/(1-\theta)} &\leqslant \|x_1(\,{\cdot}\,) \chi(B(t_j, r_m))\,|\, M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_1}, L^{q_1}}\|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Положим $D= \max\{2A, (2A)^{\theta/(1-\theta)}\}$ и для $x_0(\,{\cdot}\,) \equiv \sum_{j=1}^{k_0} x_0(\,{\cdot}\,)\chi(B(t_j, r_m))$ применим лемму 3.4, полагая
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, y_j =x_0(\,{\cdot}\,)\chi(B(t_j, r_m),\qquad q=q_0,\qquad \{\omega (\,{\cdot}\,)\}= \{\omega_0(\,{\cdot}\,)\},\qquad k= k_0, \\ a_0 = D^{-1},\qquad a_1 = D,\qquad b_0 = D^{-1} \frac{1}{\omega_0(m)},\qquad b_1 =D^{-1} \frac{1}{\omega_0(m)}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
что возможно в силу (3.25) и (3.26). Тогда неравенства (3.15) будут иметь вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &D^{-1}\max\biggl\{1,\, \omega_0(l) k_0^{1/{q_0}} \frac{1}{\omega_0(m)}\biggr\} \leqslant \|x_0 \,|\,M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_0}, L^{q_0}}\| \\ &\qquad \leqslant D \max\biggl\{c_1(n),\, c_1(n)^{1/q_0} \omega_0(l) k_0^{1/{q_0}} \frac{1}{\omega_0(m)}\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По аналогии для
$$
\begin{equation*}
x_1(\,{\cdot}\,) \equiv \sum_{j=1}^{k_0} x_1(\,{\cdot}\,)\chi(B(t_j, r_m))
\end{equation*}
\notag
$$
применим лемму 3.4, полагая
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, y_j =x_1(\,{\cdot}\,)\chi(B(t_j, r_m)),\qquad q=q_1,\qquad \{\omega (\,{\cdot}\,)\}= \{\omega_1(\,{\cdot}\,)\},\qquad k= k_0, \\\ a_0 = D^{-1},\qquad a_1 = D,\qquad b_0 = D^{-1} \frac{1}{\omega_1(m)},\qquad b_1 =D^{-1} \frac{1}{\omega_1(m)}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
что возможно в силу (3.25) и (3.26). Тогда неравенства (3.15) будут иметь вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &D^{-1}\max\biggl\{1,\, \omega_1(l) k_0^{1/{q_1}} \frac{1}{\omega_1(m)}\biggr\} \leqslant \|x_1 \,|\,M^{\tau}_{l^{\infty}_{\omega_1}, L^{q_1}}\| \\ &\qquad \leqslant D \max\biggl\{c_1(n),\, c_1(n)^{1/q_1} \omega_1(l) k_0^{1/{q_1}} \frac{1}{\omega_1(m)}\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому из (3.24) получим
$$
\begin{equation}
\omega_0(l) k_0^{1/{q_0}} \frac{1}{\omega_0(m)} \leqslant 2 DA, \qquad \omega_1(l) k_0^{1/{q_1}} \frac{1}{\omega_1(m)} \leqslant 2 D A.
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
Из соотношений (3.22) и (3.23) следует, что найдется константа $E>0$, зависящая только от размерности $\mathbb R^n$, такая, что выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl\{\omega_0(l) k_0^{1/{q_0}} \frac{1}{\omega_0(m)}\biggr\}^{\theta} \biggl\{\omega_1(l) k_0^{1/{q_1}} \frac{1}{\omega_1(m)}\biggr\}^{1-\theta} =k_0^{1/{q_\theta}} \frac{\omega_\theta(l)}{\omega_\theta(m)} \geqslant E.
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно, если $k_0 < m(r_m, r_l)$, то можно положить $E= 1/2$, если $k_0 = m(r_m, r_l)$, то можно положить $E= (1/4) c_0(n)^{1/{q_\theta}}$. Поэтому из последнего неравенства и (3.27) вытекают неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \omega_0(l) k_0^{1/{q_0}} \frac{1}{\omega_0(m)} &\geqslant E(2 DA)^{-\theta/(1-\theta)}, \\ \omega_1(l) k_0^{1/{q_1}} \frac{1}{\omega_1(m)} &\geqslant E (2 DA)^{-\theta/(1-\theta)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
Из (3.27) и (3.28) получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, E(2 DA)^{-\theta/(1-\theta)} &\leqslant \omega_0(l) k_0^{1/{q_0}} \frac{1}{\omega_0(m)} \leqslant DA, \\ E(2 DA)^{-\theta/(1-\theta)} &\leqslant \omega_1(l) k_0^{1/{q_1}} \frac{1}{\omega_1(m)} \leqslant D A. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Откуда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &E^{-q_1}(2 DA)^{-q_0 - q_1\theta/(1-\theta)} \biggl(\frac{\omega_0(l)}{\omega_0(m)}\biggr)^{q_0} \leqslant \biggl(\frac{\omega_1(l)}{\omega_1(m)}\biggr)^{q_1} \nonumber \\ &\qquad \leqslant E^{q_0}(2 DA)^{q_1 + q_0\theta/(1-\theta)} \biggl(\frac{\omega_0(l)}{\omega_0(m)}\biggr)^{q_0}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
Для отрицательных индексов $p$ положим $m =p$, $l=0$, для положительных индексов $n$ положим $m =0$, $l= p $. Тогда из (3.29) следует (3.20). Теорема 3.4. Пусть $1\,{\leqslant}\,q_0\,{<}\,q\,{<}\, q_1\,{\leqslant}\,\infty$ и $\theta\,{\in}\,(0, 1)$. Пусть $\{\omega_{0}(\,{\cdot}\,)\} \in B(q_0)$, $\{\omega_{1}(\,{\cdot}\,)\} \in B(q_1)$. Пусть $q_\theta$ и $\{\omega_\theta\}$ определены соотношениями (2.3). Равенство Доказательство. Достаточность условия (3.31) и равенство (3.32) следуют из теоремы 3.2. Необходимость можно проверить так. Из предположений теоремы, равенства (3.30) и теоремы 3.3 следует, что для всех $m = 0, \pm1, \pm2,\dots$ выполняются неравенства
$$
\begin{equation*}
c^{-1} \omega_1(m) \leqslant \omega_0(m)^{q_0/q_1} \leqslant c^{-1} \omega_1(m),
\end{equation*}
\notag
$$
с константой $c$, не зависящей от $m$. Положим $\alpha = {q_0/q_1}$. Тогда из следствия 3.2 и леммы 3.1 получим равенство (3.31). Равенство (3.32) следует из (3.31) и теоремы 3.2. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ber21} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|