| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях) Короткое доказательство явных формул для минимизаторов некоторых нелокальных анизотропных функционалов энергии Х. Матеуab, М.-Дж. Мораc, Л. Рондиd, Л. Скардиаe, Х. Вердераab a Departament de Matemàtiques, Universitat Autònoma de Barcelona, Barcelona, Catalonia, Spain b Barcelona Graduate School of Mathematics, Barcelona, Catalonia, Spain c Dipartimento di Matematica, Università di Pavia, Italy d Dipartimento di Matematica, Università di Milano, Italy e Department of Mathematics, Heriot-Watt University, Edinburgh, United Kingdom
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9048 
Реферативные базы данных:
   § 1. ВведениеРассмотрим функционал энергии, заданный на вероятностных мерах $\mu$ на плоскости по формуле
$$
\begin{equation}
I_\alpha(\mu)=\iint W_\alpha(z-w) \,d\mu(z) \,d\mu(w)+\int |z|^2 \,d\mu(z),
\end{equation}
\tag{1}
$$
где ядро взаимодействия имеет вид
$$
\begin{equation}
W_\alpha(z)=-\log|z|+\alpha \frac{x^2}{|z|^2}, \qquad z=x+i y \in \mathbb{C}, \quad z\neq0, \quad \alpha \in \mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Интересующий нас результат был доказан в [1] и гласит следующее. Теорема. Если $-1< \alpha<1$, то единственным минимизатором функционала энергии $I_\alpha$ является нормированная характеристическая функция области, ограниченной эллипсом с центром в начале координат, имеющим горизонтальную полуось $\sqrt{1-\alpha}$ и вертикальную полуось $\sqrt{1+\alpha}$. При $\alpha=0$ этот результат был доказан еще в диссертации Фростмана [2]. Легко показать, что при $\alpha \to 1^-$ указанный в теореме минимизатор стремится в $\star$-слабой топологии пространства конечных мер Радона к полукруговому распределению на вертикальной оси, а именно, к вероятностной мере
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\pi} \sqrt{2-y^2}\,\chi_{[-\sqrt{2}\,i,\sqrt{2}\,i]}(y)\,dy.
\end{equation*}
\notag
$$
Можно показать, что полукруговое распределение на вертикальной оси является единственным минимизатором функционала (1) при $\alpha=1$. Это было установлено в [3], чем была доказана давно стоявшая гипотеза о поведении взаимодействующих дислокаций в металлах, предсказывавшая образование стенок. Меняя местами переменные, получаем аналогичный результат при $\alpha=-1$, в котором фигурирует полукруговое распределение на горизонтальной оси. А тогда из сравнения функционалов энергии заключаем, что и при $|\alpha| >1$ единственным минимизатором функционала (1) является одно из этих двух полукруговых распределений, что и завершает картину. Функционалы энергии вида (1) с различными ядрами взаимодействия часто возникают в моделях, где частицы отталкиваются, когда они слишком близки, и притягиваются, когда они далеки от центра масс. Проделанная в этой области работа в основном касалась радиальных ядер взаимодействия и только недавно на сцену вышла анизотропия. Дальнейшую информацию об этом и ссылки на предыдущие результаты можно найти во введениях к работам [1], [3]–[5]. Основной целью настоящей статьи является изложение короткого компактного доказательства приведенной выше теоремы. По ходу дела мы излагаем и некоторые хорошо известные предварительные результаты, имея в виду читателей, не знакомых с предметом. Исходное доказательство из [1] опирается на явное вычисление значений (в каждой точке плоскости) потенциала $P$ нормированной характеристической функции компакта $E$, ограниченного эллипсом общего положения (потенциал конечной меры Радона $\mu$ определяется равенством (5) ниже). Из полного знания этих потенциалов выводится существование и единственность эллипса, потенциал которого удовлетворяет так называемым условиям Эйлера–Лагранжа (первое условие на $E$, второе – вне $E$), необходимым для минимальности. Затем устанавливается, что этот эллипс дает минимизатор функционала $I_\alpha$, причем единственный в силу строгой выпуклости функционала. Этот вычислительный подход очень мощен, но мало что дает для понимания глубинной сути проблемы. В нашем доказательстве требуется явно вычислить потенциалы $P$ только внутри эллипсов, что сделать гораздо проще. Из явной формулы для значений потенциала внутри эллипса вытекают значения длин полуосей, при которых потенциал постоянен на $E$. Иными словами, находится решение первого условия Эйлера–Лагранжа. Остается показать, что $P$ всюду не меньше, чем его постоянное значение на $E$ (в чем и состоит второе условие Эйлера–Лагранжа). Это делается в два шага. Сначала из классической формулы Сохоцкого–Племеля для скачка интеграла типа Коши выводится, что лапласиан функции $P$ на внешности множества $E$ имеет положительные граничные значения. Затем мы применяем принцип минимума к построенной надлежащим образом функции, пользуясь бигармоничностью $P$ вне $E$. Однако наше короткое компактное доказательство не обобщается на размерности выше двух, в отличие от исходного вычислительного подхода, с помощью которого в [4] был доказан естественный многомерный вариант результата из [1]. Похоже, что и функционалы энергии на плоскости с другими естественными ядрами взаимодействия не могут быть изучены методами настоящей работы. Отметим в заключение, что вопрос о более глубоком понимании того, почему именно эллипсы возникают при минимизации функционалов (1) с ядрами взаимодействия, структура которых похожа на (2), оказался трудным и ясного ответа пока нет. Открытие истинных причин этого явления требует дальнейшей работы. Статья организована так. Параграфы 2, 3 и 4 – вводные и предназначены для читателей, не знакомых с предметом. Здесь обсуждаются некоторые свойства изучаемых далее потенциалов, условия Эйлера–Лагранжа для минимизаторов энергии и вопрос о существовании и единственности такого минимизатора. В § 5 и § 6 дано доказательство сформулированной выше теоремы. В § 5 найден эллипс, потенциал нормированной характеристической функции внутренности которого удовлетворяет первому условию Эйлера–Лагранжа. В § 6 показано, что этот потенциал удовлетворяет и второму условию Эйлера–Лагранжа. Параграф 7 представляет собой приложение, посвященное формуле Сохоцкого–Племеля. § 2. ПотенциалПусть дано распределение масс $\mu$. Потенциал распределения $\mu$, ассоциированный с функционалом энергии (1), возникает при вычислении производной от $I_\alpha$ в точке $\mu$ по направлению меры $\delta$ в пространстве всех конечных мер Радона (не обязательно положительных, не обязательно полной массы $1$) с конечной энергией Поскольку ядро взаимодействия $W_\alpha$ из формулы (2) четно, имеем
$$
\begin{equation}
\frac{d}{dt} I_\alpha(\mu+t\delta)\big|_{t=0}=2 \int \biggl( \int W_\alpha(z-w) \,d\mu(w)+ \frac{|z|^2}{2}\biggr) \, d\delta(z),
\end{equation}
\tag{4}
$$
откуда и возникает выражение, называемое потенциалом распределения $\mu$:
$$
\begin{equation}
P(\mu)(z)=( W_\alpha \star \mu)(z)+ \frac{1}{2}|z|^2, \qquad z \in \mathbb{\mathbb{C}}.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Покажем, что если $\mu$ – вероятностная мера, минимизирующая $I_\alpha$, то
$$
\begin{equation}
P(\mu)(z)=C_0\quad\mu\text{-п.в. на }\operatorname{spt}\mu,
\end{equation}
\tag{6}
$$
где через $\operatorname{spt}\mu$ обозначается носитель $\mu$, а $C_0$ – некоторая константа. Для этого положим $C_0= \int P(\mu) \, d\mu$ и определим множества
$$
\begin{equation*}
F_1= \{z\in \operatorname{spt}\mu\colon P(\mu)(z) \leqslant C_0 \} \quad \text{и} \quad F_2= \{z\in \operatorname{spt}\mu\colon P(\mu)(z)>C_0 \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Допустим, что $\mu(F_2)>0$. Если при этом $\mu(F_1)=0$, то $C_0=\int P(\mu) \,d\mu>C_0$. Поэтому $\mu(F_1)>0$. Мера
$$
\begin{equation*}
\delta=\frac{1}{\mu(F_1)} \chi_{F_1} \mu-\frac{1}{\mu(F_2)} \chi_{F_2} \mu
\end{equation*}
\notag
$$
имеет полный интеграл $0$ и конечную энергию (3). Далее, $\mu+t \delta$ является положительной мерой полной массы $1$, если Заметим, что производная в формуле (4) равна нулю, так как $I_\alpha(\mu+t\delta)$ имеет минимум при $t=0$. Но правая часть формулы (4) имеет вид
$$
\begin{equation*}
2\biggl(\frac{1}{\mu(F_1)} \int_{F_1} P(\mu) \,d\mu -\frac{1}{\mu(F_2)} \int_{F_2} P(\mu) \,d\mu \biggr)<0.
\end{equation*}
\notag
$$
Получено противоречие. Поэтому $\mu(F_2)=0$ и, следовательно, $P(\mu)(z) \leqslant C_0$ $\mu$-п.в. на $\operatorname{spt}\mu$. Поскольку $\int P(\mu)\,d\mu= C_0$, мы получаем требуемую формулу (6). Приведенное рассуждение справедливо и для ядер, гораздо более общих, чем $W_\alpha$. Более того, для ядра $W_\alpha$ из формулы (2) имеем
$$
\begin{equation*}
P(\mu)(z) \leqslant C_0, \qquad z \in \operatorname{spt}\mu.
\end{equation*}
\notag
$$
Это легко доказать следующим образом. Так как распределение $\mu$ имеет конечную $I_\alpha$-энергию, то его логарифмическая энергия тоже конечна. Поэтому $\mu$ не содержит атомов и $(x^2/|z|^2) \ast \mu$ является непрерывной функцией на плоскости. Следовательно, потенциал $P(\mu)$ полунепрерывен снизу. Так как множество $\{z\in \mathbb{C}\colon P(\mu)(z)>C_0\}$ открыто и имеет нулевую $\mu$-меру, то оно не пересекается с носителем распределения $\mu$. В заключение заметим, что из определения (5) вытекает равенство
$$
\begin{equation*}
\int P(\mu)\, d\mu=I_\alpha(\mu)-\frac{1}{2} \int |z|^2\,d\mu(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Если хочется, чтобы, как в электростатике, выполнялось равенство $I_\alpha(\mu)= \int P(\mu)\, d\mu$, то надо прибавить константу $\frac{1}{2} \int |z|^2\,d\mu(z)$ к правой части равенства (5). Получившийся при этом потенциал также будет постоянен $\mu$-п.в. на носителе $\mu$ для любого минимизатора $\mu$ функционала $I_\alpha$.
§ 3. Условия Эйлера–ЛагранжаПотенциал $P$ любого минимизатора $\mu$ обладает двумя свойствами, называемыми условиями Эйлера–Лагранжа. Ниже мы формулируем эти условия EL1 и EL2, обозначая через $\operatorname{Cap}$ логарифмическую емкость. Свойство EL1. Существует константа $C_0$ такая, что $P(\mu)(z)=C_0$ $\operatorname{Cap}$-п.в. на $\operatorname{spt}\mu$. Прежде чем дать доказательство этого свойства, заметим, что если $\nu$ – вероятностная мера с конечной энергией и $\delta=\nu-\mu$, то $\mu +t\delta$ является вероятностной мерой с конечной энергией при $0\leqslant t \leqslant 1$. Поскольку функция $t \to I_\alpha(\mu+t \delta)$ имеет минимум при $t=0$, мы заключаем из (4), что Доказательство свойства EL1. Если емкость множества $\{z \in \operatorname{spt}\mu$: $P(\mu)<C_0\}$ положительна, то существует вероятностная мера $\nu$ с носителем на этом множестве, имеющая конечную логарифмическую энергию и, тем самым, конечную $I_\alpha$-энергию. Тогда правая часть (7) равна $C_0$, а левая строго меньше $C_0$. Противоречие. Свойство EL2. $P(\mu)(z) \geqslant C_0$ при $z \notin \operatorname{spt} \mu$, где $C_0$ – константа из EL1. Доказательство свойства EL2 несложно. Для $z\notin \operatorname{spt}\mu$ положим где $dA$ – плоская мера Лебега. Согласно (7) имеем
$$
\begin{equation*}
C_0=\int P(\mu)\,d\mu \leqslant \frac{1}{|B(z,r)|} \int_{B(z,r)} P(\mu)(w) \,dA(w) \xrightarrow{r \to 0} P(\mu)(z)
\end{equation*}
\notag
$$
в силу непрерывности $P(\mu)$ на дополнении к носителю распределения $\mu$. Поэтому выполнено EL2. Замечание 1 (достаточность условий Эйлера–Лагранжа). В случае функционала $I_\alpha$, заданного равенством (1), условия Эйлера–Лагранжа не только необходимы, но и достаточны для того, чтобы мера $\mu$ была минимизатором. Иными словами, эти условия характеризуют минимизаторы функционала $I_\alpha$. Это вытекает из строгой выпуклости указанного функционала, доказываемой в следующем параграфе. § 4. Существование и единственность минимизатораСуществование минимизатора для $I_\alpha$ получается стандартным образом из полунепрерывности снизу и коэрцитивности ядра взаимодействия. При этом носитель минимизатора компактен, так как квадратичное ограничение доминирует на бесконечности над потенциалом взаимодействия. Единственность вытекает из того, что преобразование Фурье ядра взаимодействия $W_\alpha$ из (2) неотрицательно на пробных функциях с нулевым интегралом. Все это можно найти в [3]. Обсудим здесь некоторые шаги вычисления преобразования Фурье от $W_\alpha$ и то, как из его положительности вытекает единственность минимизатора. Мы пользуемся следующим определением преобразования Фурье:
$$
\begin{equation*}
\widehat{\phi}(\xi)=\int \phi(z) e^{-i \xi \cdot z}\, d A(z), \qquad \xi \in \mathbb{C},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\phi$ – функция из класса Шварца $\mathcal{S}$. Преобразование Фурье логарифмического слагаемого имеет вид
$$
\begin{equation*}
-\log|z| \xrightarrow{\text{Fourier}} \frac{2\pi}{|\xi|^2}+ c_0 \delta_0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_0$ – некоторая константа, а $1/|\xi|^2$ – распределение умеренного роста, действующее на пробной функции $\varphi \in \mathcal{S}$ по правилу
$$
\begin{equation}
\int_{|\xi|<1} \frac{\varphi(\xi)-\varphi(0)}{|\xi|^2} \, d A(\xi)+\int_{|\xi|>1} \frac{\varphi(\xi)}{|\xi|^2} \, d A(\xi).
\end{equation}
\tag{8}
$$
Для вычисления преобразования Фурье анизотропного слагаемого из $W_\alpha$ запишем
$$
\begin{equation*}
\frac{x^2}{|z|^2}=\frac{1}{2} \biggl(\frac{x^2-y^2}{|z|^2}+1\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу гармоничности однородного полинома $x^2-y^2$ применима хорошо известная формула (см. [6; 3, § 3, с. 73])
$$
\begin{equation*}
\frac{x^2-y^2}{|z|^2} \xrightarrow{\text{Fourier}} -4\pi \, \operatorname{v.p.} \frac{\xi_1^2-\xi_2^2}{|\xi|^4},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\operatorname{v.p.}$ означает главное значение. Следовательно, для надлежащей константы $c_\alpha$, зависящей только от $\alpha$, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, W_\alpha &\xrightarrow{\text{Fourier}} \frac{2\pi}{|\xi|^2}- \frac{\alpha}{2} \biggl(4\pi \, \operatorname{v.p.} \frac{\xi_1^2-\xi_2^2}{|\xi|^4}\biggr)+c_\alpha \delta_0 \nonumber \\ &\qquad\qquad= 2\pi \frac{(1-\alpha) \xi_1^2+(1+\alpha) \xi_2^2}{|\xi|^4}+ c_\alpha \delta_0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9}
$$
причем стоящее в последней строке однородное степени $-2$ распределение умеренного роста действует на $\mathcal{S}$ аналогично формуле (8). Из (9) и тождества Планшереля вытекает, что
$$
\begin{equation*}
(2\pi)^2 \iint W_\alpha (z-w) \phi(z) \phi(w) \,dA(z)\,dA(w)=\int \widehat{W}_\alpha(\xi) |\widehat{\phi}(\xi)|^2 \, dA(\xi) \geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\phi$ – любая функция из $\mathcal{S}$ с нулевым интегралом. Обобщим приведенную выше формулу. Замечание 2. В случае $\alpha=0$, отвечающем логарифмическому потенциалу, формула (10) хорошо известна; неотрицательность ее правой части установлена, например, в [7; лемма 1.8, с. 29] и [8; теорема 1.16, с. 80]. Действительно, там показано, что Прежде чем доказывать лемму, выведем из (10) единственность минимизатора функционала $I_\alpha$. Мы уже отметили в начале параграфа, что любой минимизатор имеет компактный носитель. Поэтому достаточно минимизировать изучаемый функционал по вероятностным мерам с компактным носителем. Поскольку правая часть равенства (10) неотрицательна, из леммы вытекает, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 2\iint W_\alpha (z-w) \,d\mu_1(z) \,d\mu_2(w) &\leqslant \iint W_\alpha (z-w) \,d\mu_1(z) \,d\mu_1(w) \nonumber \\ &\qquad+ \iint W_\alpha (z-w) \,d\mu_2(z) \,d\mu_2(w), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{11}
$$
причем неравенство строгое за исключением случая $\mu_1=\mu_2$. Отсюда вытекает строгая выпуклость функционала $I_\alpha$. Действительно, в силу линейности ограничивающего слагаемого достаточно рассмотреть энергию взаимодействия
$$
\begin{equation*}
J_\alpha(\mu)= \iint W_\alpha(z-w)\, d\mu(z)\,d\mu(w).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $0\leqslant t\leqslant1$ и $\mu_1$, $\mu_2$ – вероятностные меры с $J_\alpha(\mu_j)<\infty$, $j=1,2$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_\alpha((1-t)\mu_1+ t \mu_2)&= (1-t)^2 J_\alpha(\mu_1)+t^2 J_\alpha(\mu_2) \\ &\qquad+2t(1-t) \iint W_\alpha(z-w) \,d\mu_1(z)\,d\mu_2(w) \\ &\!\stackrel{(11)}{\leqslant} (1-t)^2 J_\alpha(\mu_1) +t^2 J_\alpha(\mu_2)+t(1-t) (J_\alpha(\mu_1) +J_\alpha(\mu_2)) \\ &=(1-t) J_\alpha(\mu_1) +t J_\alpha(\mu_2), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
причем неравенство строгое за исключением случая $\mu_1=\mu_2$. Ясно, что из строгой выпуклости вытекает единственность минимизатора. Доказательство леммы 1. Мы близко следуем рассуждениям из [4].
Пусть $\varphi$ – неотрицательная радиальная $C^{\infty}$-функция на единичном круге $B_1(0) \subset \mathbb{R}^2$, причем $\int_{\mathbb{R}^2} \varphi (z)\,dz =1$. Положим $\nu=\mu_1-\mu_2. $ При $\varepsilon>0$ определим
$$
\begin{equation*}
\varphi_\varepsilon(z)= \frac{1}{\varepsilon^2} \varphi\biggl(\frac{z}{\varepsilon}\biggr) \quad \text{и} \quad \nu_\varepsilon= \nu \star \varphi_\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что
$$
\begin{equation}
(2\pi)^2 \int_{\mathbb{R}^2} (W_\alpha\star \nu_\varepsilon)(z) \nu_\varepsilon(z) \,dA(z)= \int_{\mathbb{R}^2} \widehat{W}_\alpha(\xi) |\widehat{\nu}_\varepsilon(\xi)|^2 \, dA(\xi).
\end{equation}
\tag{12}
$$
Для этого положим $f:=W_\alpha \star \nu_\varepsilon$ и $g:=\nu_\varepsilon$. Заметим, что $g \in C^{\infty}_c(\mathbb{R}^2)$ и $f \in C^{\infty}(\mathbb{R}^2)$. Так как $\widehat{\nu}_\varepsilon\in{\mathcal S}$, $\widehat{\nu}_\varepsilon(0)=0$ и $\widehat{W}_\alpha$ ведет себя как $1/|\xi|^2$ на бесконечности в силу (9), то $\widehat{f}=\widehat{W}_\alpha\widehat{\nu}_\varepsilon\in L^1(\mathbb{R}^2)$. Пусть функция $\psi \in C^{\infty}_c(\mathbb{R}^2)$ такова, что $\psi=1$ на $B_1(0)$, число $R>0$ таково, что носитель $g$ содержится в $B_R(0)$, а число $\tau>0$ таково, что $\tau R<1$. Тогда, по формуле Парсеваля,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(2\pi)^2 \int_{\mathbb{R}^2} f(z)g(z)\,dA(z) =(2\pi)^2 \int_{\mathbb{R}^2} \psi(\tau z)f(z)g(z) \,dA(z) \nonumber \\ &\qquad=\int_{\mathbb{R}^2} \widehat{(\psi(\tau\,{\cdot}\,)f)}(\xi) \overline{\widehat{g}(\xi)}\, d A(\xi)=\int_{\mathbb{R}^2} (\widehat{\psi}_\tau \star \widehat{f}\,)(\xi)\overline{\widehat{g}(\xi)}\, d A(\xi), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13}
$$
где $\widehat{\psi}_\tau(z):= (2\pi \tau)^{-2} \widehat{\psi}(z/\tau)$. Имеем $\widehat\psi\in\mathcal S\subset L^1(\mathbb{R}^2)$ и $(2 \pi)^{-2} \int_{\mathbb{R}^2}\widehat\psi(\xi)\,d\xi=\psi(0)=1$. Поэтому $(\widehat{\psi}_\tau)_\tau$ является дельтаобразным семейством. Так как $\widehat f\in L^1(\mathbb{R}^2)$, то заключаем, что $\widehat{\psi}_\tau \star \widehat{f}$ сходится к $\widehat f$ в $L^1(\mathbb{R}^2)$ при $\tau\to0$.
Поскольку $\widehat{g}\in L^{\infty}(\mathbb{R}^2)$, мы выводим отсюда, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{\tau\to0} \int_{\mathbb{R}^2} (\widehat{\psi}_\tau \star \widehat{f}\,)(\xi)\, \overline{\widehat{g}(\xi)}\, d A(\xi)=\int_{\mathbb{R}^2} \widehat{f}(\xi)\, \overline{\widehat{g}(\xi)}\, d A(\xi),
\end{equation*}
\notag
$$
а это вместе с (13) дает требуемое равенство (12).
Устремим $\varepsilon \to 0$ в (12). Заметим, что при каждом $\xi\in\mathbb{R}^2$
$$
\begin{equation*}
\widehat{\varphi}_\varepsilon(\xi)=\widehat{\varphi}(\varepsilon \xi) \to \widehat{\varphi}(0) =1
\end{equation*}
\notag
$$
при $\varepsilon\to0$, причем $\|\widehat{\varphi}_\varepsilon\|_{L^\infty}\leqslant \|\varphi \|_{L^1} =1$ для всех $\varepsilon >0$. Следовательно, по теореме Лебега об ограниченной сходимости имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^2} \widehat{W}_\alpha(\xi) |\widehat{\nu}_\varepsilon(\xi)|^2 \, dA(\xi)\,{=} \int_{\mathbb{R}^2} \widehat{W}_\alpha(\xi) |\widehat{\nu}(\xi)|^2 |\widehat{\varphi}_\varepsilon(\xi) |^2 \, d A(\xi)\,{\to} \int_{\mathbb{R}^2} \widehat{W}_\alpha(\xi) |\widehat{\nu}(\xi)|^2 \, d A(\xi)
\end{equation*}
\notag
$$
при $\varepsilon\to0$, даже если правая часть этого равенства бесконечна.
Чтобы найти предел левой части равенства (12), выберем $R>1$ так, что носитель $\nu$ содержится в круге радиуса $R/4$ с центром в начале координат. Тогда
$$
\begin{equation*}
|W_\alpha(z)| \leqslant \log\frac{R}{|z|}+|\alpha|+\log R, \qquad |z|<R.
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая $\beta= |\alpha|+\log R$, получаем при $\varepsilon<R/2$, что
$$
\begin{equation}
(|W_\alpha| \star \varphi_\varepsilon)(z) \leqslant \biggl(\log\frac{R}{|z|} \star \varphi_\varepsilon\biggr)(z)+\beta \leqslant \log\frac{R}{|z|} +\beta, \qquad |z|<\frac{R}{2},
\end{equation}
\tag{14}
$$
поскольку функция $-\log|z|$ супергармонична, а $\varphi$ радиальна (надо записать свертку в полярных координатах и применить супергармоничность на каждой окружности).
Заметим, что
$$
\begin{equation}
(W_\alpha\star \varphi_\varepsilon)(z) \xrightarrow{\varepsilon \to 0} W_\alpha(z), \qquad z \in \mathbb{R}^2,
\end{equation}
\tag{15}
$$
в силу непрерывности $W_\alpha$ как функции со значениями в $[0,+\infty]$.
Покажем, что $\nu$ имеет конечную $I_\alpha$-энергию (3). Это утверждение можно переписать в виде условия
$$
\begin{equation}
\iint \log\frac{1}{|z-w|} \, d|\nu|(z) \, d|\nu|(w)<\infty.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Напомним, что $\nu=\mu_1-\mu_2$ , где $\mu_1$ и $\mu_2$ – вероятностные меры с конечной энергией и компактным носителем. Тогда $|\nu| \leqslant \mu_1+\mu_2$ и (16) вытекает из неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 2\iint \log\frac{1}{|z-w|}\,d\mu_1(z) \,d\mu_2(w) &\leqslant \iint \log\frac{1}{|z-w|} \,d\mu_1(z) \,d\mu_1(w) \nonumber \\ &\qquad+ \iint \log\frac{1}{|z-w|} \,d\mu_2(z) \,d\mu_2(w). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{17}
$$
Ясно, что последнее эквивалентно неравенству
$$
\begin{equation}
\iint \log\frac{1}{|z-w|} \,d(\mu_1-\mu_2)(z) \, d(\mu_1-\mu_2)(w) \geqslant 0,
\end{equation}
\tag{18}
$$
которое доказано в [7; лемма 1.8, с. 29] и [8; теорема 1.16, с. 80]. Более прямое доказательство неравенства (16) будет дано в замечании 3.
Объединяя (14)–(16) и пользуясь теоремой Лебега об ограниченной сходимости, получаем, что
$$
\begin{equation}
\iint_{\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2}(W_\alpha\star \varphi_\varepsilon)(z-w) \, d\nu(z)\,d\nu(w) \to \iint_{\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2} W_\alpha(z-w) \, d\nu(z)\, d\nu(w)
\end{equation}
\tag{19}
$$
при $\varepsilon \to 0$, даже если правая часть бесконечна.
Вернемся к левой части равенства (12) и заметим, что
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^2} (W_\alpha\star \nu_\varepsilon)(z)\nu_\varepsilon(z) \, dA(z)= \iint_{\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2}(W_\alpha\star \varphi_\varepsilon\star \varphi_\varepsilon)(z-w) \, d\nu(z)\,d\nu(w).
\end{equation*}
\notag
$$
При этом $(\varphi_\varepsilon \star \varphi_\varepsilon)(z)=\varepsilon^{-2}(\varphi \star \varphi)(z/\varepsilon)$ и функция $\varphi \star \varphi$ наследует свойства $\varphi$: она радиальна, принадлежит $C^\infty_c(\mathbb{R}^2)$, и $\int_{\mathbb{R}^2} (\varphi \star \varphi)(z)\,dz =1$. Поэтому (19) выполняется и при замене $\varphi_\varepsilon$ на $\varphi_\varepsilon \star \varphi_\varepsilon$. Лемма доказана. Замечание 3 (прямое доказательство (16)). Приведем другое доказательство неравенства (17) (и, тем самым, неравенств (16) и (18)), опирающееся на лемму Фату и супергармоничность $-\log|z|$. Для упрощения обозначений положим $L(z)=\log(1/|z|)$. Взаимную логарифмическую энергию $\mu_1$ и $\mu_2$ можно записать в виде § 5. Эллипс, претендующий на роль минимизатораВ этом параграфе будет показано, что потенциал нормированной характеристической функции области, ограниченной эллипсом с горизонтальной полуосью $\sqrt{1-\alpha}$ и вертикальной полуосью $\sqrt{1+\alpha}$, удовлетворяет первому условию Эйлера–Лагранжа. Нам придется рассматривать общий эллипс с полуосями $a$ и $b$ и ограниченное им множество
$$
\begin{equation*}
E=E(a,b)= \biggl\{(x,y) \colon \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leqslant 1\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $P$ потенциал (5) нормированной характеристической функции множества $E$. Первое условие Эйлера–Лагранжа состоит в том, что функция $P$ постоянна на $E$ или, эквивалентно, что ее градиент равен $0$ на $\mathring{E}$. Записывая $x$ в виде $(z+\overline{z})/2$ и вспоминая, что $\nabla= 2 \partial/\partial\overline{z}$, имеем
$$
\begin{equation}
\nabla P(z)=\biggl(-\frac{1}{\overline{z}}+\frac{\alpha}{2} \biggl(\frac{1}{z} -\frac{z}{\overline{z}^2} \biggr)\biggr) \star \frac{1}{|E|} \chi_E+z, \qquad z \in \mathbb{C}.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Эта формула верна в смысле распределений. Из нее вытекает, что $\nabla P$ – непрерывная функция, так как первое слагаемое справа – это свертка локально интегрируемой функции и ограниченной функции с компактным носителем. Поэтому $P$ – функция класса $C^1$ на всей плоскости. Для проверки EL1 надо в явном виде вычислить на $E$ потенциалы
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\overline{z}} \star \chi_E \quad \text{и} \quad \frac{z}{\overline{z}^2} \star \chi_E.
\end{equation*}
\notag
$$
Имея явные формулы для них, мы потребуем выполнения равенства $\nabla P=0$ на $E$ и найдем из этого равенства значения $a$ и $b$. Сначала вычислим потенциал Коши характеристической функции множества $E$, следуя [9]. Напомним, что $1/\pi z$ – это фундаментальное решение оператора $\overline{\partial}= \partial/\partial\overline{z}$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{1}{\pi z}\star \chi_{E}\biggr)(z)= \overline{z}+f(z), \qquad z \in \mathring{E},
\end{equation*}
\notag
$$
где $f$ голоморфна на $\mathring{E}$. Функцию $f$ надо выбрать так, чтобы предельное значение $\overline{z}+f(z)$ на границе множества $E$ продолжалось голоморфно на $\mathbb{C} \setminus E$. Записывая уравнение эллипса в переменных $z$, $\overline{z}$ и выражая из него $\overline{z}$, имеем
$$
\begin{equation*}
\overline{z}=\lambda z+2abh(z), \qquad z \in \partial E,\quad \lambda=\frac{a-b}{a+b},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
h(z)=\frac{1}{z+\sqrt{z^2+c^2}}, \qquad \text{причем}\quad c^2=b^2-a^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $h$ голоморфна на плоскости без отрезка, соединяющего фокусы эллипса, т. е. на $\mathbb{C}\setminus [-\sqrt{a^2-b^2}, \sqrt{a^2-b^2}]$ при $a\geqslant b$ и на $\mathbb{C}\setminus [-i\sqrt{b^2-a^2}, i \sqrt{ b^2-a^2}]$ при $a \leqslant b$. Выбирая $f(z)=-\lambda z$, имеем
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{1}{\pi z}\star \chi_{E}\biggr)(z) = \begin{cases} \overline{z}-\lambda z, &z \in E, \\ 2abh(z), &z \in E^c. \end{cases}
\end{equation}
\tag{21}
$$
Это вытекает из теоремы Лиувилля и того, что обе части (21) – непрерывные функции на всей плоскости, равные нулю в точке $\infty$ и имеющие характеристическую функцию множества $E$ в качестве своей $\overline{\partial}$-производной. Взятие сопряжения дает
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{1}{\pi \overline{z}}\star \chi_{E}\biggr)(z) = \begin{cases} z-\lambda \overline{z}, &z \in E, \\ 2abh(\overline{z}), &z \in E^c. \end{cases}
\end{equation}
\tag{22}
$$
Вычисление функции
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\pi}\, \frac{z}{\overline{z}^2} \star \chi_E
\end{equation}
\tag{23}
$$
можно свести к (22), заметив, что
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\pi}\, \frac{z}{\overline{z}^2} \star \chi_E=(-\overline{\partial}) \biggl( \frac{1}{\pi}\, \frac{z}{\overline{z}} \star \chi_E \biggr), \qquad \partial \biggl(\frac{1}{\pi}\, \frac{z}{\overline{z}} \star \chi_E\biggr)= \frac{1}{\pi}\, \frac{1}{\overline{z}} \star \chi_E,
\end{equation*}
\notag
$$
где через $\partial=(1/2)(\partial/\partial x- i \partial/\partial y)$ обозначается производная по $z$. Поэтому для вычисления (23) надо найти ограниченную первообразную по $z$ от функции (22) и взять от нее $-\overline{\partial}$. Первообразная по $z$ функции (22) на $\mathring{E} \cup (\mathbb{C}\setminus E)$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2} (z-\lambda \overline{z})^2 \chi_E(z)+ \bigl(2abh(\overline{z}) H(z) +\varphi(\overline{z})\bigr) \chi_{E^c}(z),
\end{equation}
\tag{24}
$$
где $H(z)= z-\lambda \overline{z}-2abh(\overline{z})$, а $\varphi(z)$ голоморфна на $E^c$. Так как на $\partial E$ имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2} (z-\lambda \overline{z})^2=\frac{1}{2} (2abh(\overline{z}))^2 ,
\end{equation*}
\notag
$$
то выберем $\varphi(z)=(1/2)(2abh(z))^2$, чтобы функция (24) была непрерывна и ограничена на $\mathbb{C}$. Тогда эта функция (24) и $(z/\pi\overline{z}) \star \chi_E$ – ограниченные первообразные по $z$ от функции $(z/\pi\overline{z}) \star \chi_E$. Поэтому их разность – ограниченная функция на $\mathbb{C}$, аннулируемая оператором $\partial$, т. е. сопряженная к ограниченной целой функции. По теореме Лиувилля найдется константа $C$ такая, что
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\pi}\, \frac{z}{\overline{z}} \star \chi_E= \frac{1}{2} (z-\lambda \overline{z})^2 \chi_E(z)+ \biggl(2abh(\overline{z}) H(z)+ \frac{1}{2} (2abh(\overline{z}))^2 \biggr) \chi_{E^c}(z)+C.
\end{equation}
\tag{25}
$$
Из разложения в точке $\infty$ легко вывести, что $C=\lambda ab$, но это точное значение нам не потребуется. Взятие $-\overline{\partial}$ от (25) дает, что
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{1}{\pi}\, \frac{z}{\overline{z}^2} \star \chi_E\biggr)(z) =\lambda (z-\lambda \overline{z}) , \qquad z \in E.
\end{equation}
\tag{26}
$$
Можно также вывести явное (хотя и сложное) выражение для этого потенциала вне $E$, но мы как раз и хотим показать, что для наших целей в нем нет необходимости. Подставляя (21), (22) и (26) в формулу (20) для градиента функции $P$, имеем
$$
\begin{equation*}
\nabla P (z)=\biggl( \frac{1}{ab} (-1-\alpha \lambda) +1\biggr) z + \frac{1}{ab} \biggl(\lambda +\frac{\alpha}{2}+ \frac{\alpha}{2} \lambda^2 \biggr) \overline{z}, \qquad z \in E.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $\nabla P$ обращается тождественно в нуль на $E$ тогда и только тогда, когда $a$ и $b$ удовлетворяют системе
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} ab=1+\alpha \lambda, \\ \alpha \lambda^2+2 \lambda+\alpha =0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Решая эту систему, получаем, что $a=\sqrt{1-\alpha}$ и $b=\sqrt{1+\alpha}$. Тем самым найден такой эллипс, что потенциал нормированной характеристической функции ограниченной им области удовлетворяет первому условию Эйлера–Лагранжа. Это и есть эллипс, претендующий на роль минимизатора. В следующем параграфе мы покажем, что соответствующий ему потенциал $P$ удовлетворяет и второму условию Эйлера–Лагранжа.
§ 6. Второе условие Эйлера–ЛагранжаПусть $P$ – потенциал нормированной характеристической функции множества $E$, ограниченного эллипсом, найденным в предыдущем параграфе. Мы знаем, что $P(z)=C_0$ при $z \in E$. Надо доказать, что $P(z)\geqslant C_0$ при $z \notin E$. Это осуществляется в два шага. В качестве первого шага установим следующий результат. Доказательство. Применение $2 \partial$ к обеим частям равенства (20) дает, что
$$
\begin{equation}
\Delta P=-2\pi \frac{\chi_E}{|E|}-\alpha \,\operatorname{v.p.} \biggl(2 \operatorname{Re}\biggl(\frac{1}{z^2}\biggr)\biggr)\star \frac{\chi_E}{|E|}+2.
\end{equation}
\tag{28}
$$
Скачок произвольной функции $f$, заданной на $\mathring E \cup E^c$, в точке $z \in \partial E$ определяется формулой
$$
\begin{equation*}
\operatorname{jump}(f)(z) := \lim_{\mathring E \ni w \to z} f(w) -\lim_{E \not\ni w \to z} f(w).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\Delta P=0$ на $\mathring E$ согласно первому условию Эйлера–Лагранжа, то
$$
\begin{equation*}
\lim_{E \not\ni w \to z} \Delta P(w)=-\operatorname{jump}(\Delta P)(z), \qquad z \in \partial E.
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы вычислить скачок лапласиана $P$, запишем интеграл в смысле главного значения из (28) в более удобном виде: где $d\sigma$ – элемент длины на $\partial E$, $n$ – единичный вектор внешней нормали, а $\tau$ – единичный касательный вектор.
Из (28) и приводимой ниже формулы Сохоцкого–Племеля (29) получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{E \not\ni w \to z} \Delta P(w) &=\frac{2\pi}{|E|}+ \frac{\alpha}{|E|} \operatorname{Re} \biggl(\operatorname{jump}\biggl(\frac{1}{iz} \star \overline{\tau^2} \,dz_{\partial E} \biggr)(z)\biggr) \\ &= \frac{2}{ab} \bigl(1- \alpha\operatorname{Re}(\tau(z)^2)\bigr) \geqslant \frac{2}{ab} (1-|\alpha|), \qquad z \in \partial E. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Обратимся ко второму шагу доказательства второго условия Эйлера–Лагранжа. Напомним, что $P(z)=C_0$, $z \in E$. Мы хотели бы вывести неравенство $P(z) \geqslant C_0$, $z \notin E$, с помощью принципа минимума, поскольку слагаемое $|z|^2/2$ делает значения $P$ на $\infty$ бо́льшими, чем $C_0$. Но функция $P$ не гармонична и не супергармонична вне $E$, так что принцип минимума прямо к $P$ неприменим. Однако тождество (28) показывает, что $P$ бигармонична вне E, т. е. ее лапласиан гармоничен, а для таких функций хорошо известны некоторые преобразования, позволяющие применить принцип минимума; см. [10]. Эта статья вдохновила нас на следующее рассуждение. Возьмем $a \notin E$ и обозначим через $a_0 \in \partial E$ проекцию точки $a$ на $E$. Пусть $\vec{n}$ – единичный вектор внешней нормали к $\partial E$ в точке $a_0$. Тогда $a$ лежит на луче, выходящем из точки $a_0$ в направлении $\vec{n}$. Полагая
$$
\begin{equation*}
h(z)= \langle \nabla P(z), \vec{n}\rangle-\frac{1}{2} \Delta P(z) \langle z-a, \vec{n} \rangle, \qquad z \notin E,
\end{equation*}
\notag
$$
имеем
$$
\begin{equation*}
\Delta h(z)= \langle \nabla \Delta P(z), \vec{n} \rangle-\langle \nabla \Delta P(z), \nabla(\langle z-a,\vec{n} \rangle )=0, \qquad z \notin E.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $P$ принадлежит $C^1$ на $\mathbb{C}$, из первого условия Эйлера–Лагранжа получаем, что $\nabla P(z)=0$ на $E$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\lim_{ E \not\ni w \to z} h(w)=-\frac{1}{2} \lim_{ E \not\ni w \to z} \Delta P(w) \langle z-a,\vec{n} \rangle \geqslant 0, \qquad z \in \partial E.
\end{equation*}
\notag
$$
Это вытекает, с одной стороны, из леммы, согласно которой
$$
\begin{equation*}
\lim_{E \not\ni w \to z} \Delta P(w) \geqslant 0, \qquad z \in \partial E,
\end{equation*}
\notag
$$
а с другой стороны – из неравенства $\langle z-a,\vec{n} \rangle \leqslant 0$, $z \in \partial E$, справедливого в силу выпуклости $E$. Поведение $h$ при больших $z$ описывается функцией, полученной заменой в определении $h$ функции $P$ на ее доминирующее слагаемое $|z|^2/2$. Эта функция имеет вид
$$
\begin{equation*}
\langle z,\vec{n} \rangle-\langle z-a,\vec{n} \rangle=\langle a,\vec{n} \rangle >0,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем, что $h(z)>0$ при достаточно больших $z$. Значит, по принципу минимума имеем $h(z) \geqslant 0$, $z \notin E$. Следовательно, $0\leqslant h(a)=\langle \nabla P(a), \vec{n}\rangle$. Заключаем отсюда, что функция $P$ возрастает вдоль луча, выходящего из $a_0$ в направлении $\vec{n}$, и, тем самым, $P(a) \geqslant C_0$.
§ 7. Приложение. Формула Сохоцкого–ПлемеляПусть $\Gamma$ – гладкая жорданова кривая, ограничивающая область $D$, а $f$ – гладкая функция на этой кривой. Интеграл типа Коши от $f$ определяется формулой
$$
\begin{equation*}
C(f)(z)=\frac{1}{2\pi i} \int_{\Gamma} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\, d\zeta, \qquad z \notin \Gamma.
\end{equation*}
\notag
$$
Формула Сохоцкого–Племеля гласит, что
$$
\begin{equation}
\lim_{D \ni z \to a}C(f)(z)-\lim_{\overline{D} \not\ni z \to a}C(f)(z)=f(a), \qquad a \in \Gamma.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Заметим, что пределы в левой части (29) существуют благодаря гладкости $\Gamma$ и $f$. Эта формула справедлива и в гораздо большей общности, когда $\Gamma$ – спрямляемая жорданова кривая, $f$ интегрируема по длине дуги, пределы в левой части понимаются как некасательные, а равенство имеет место почти всюду по длине дуги на $\Gamma$. Докажем формулу (29) в случае, когда $\Gamma$ спрямляема, а $f$ липшицева на $\Gamma$. По хорошо известной теореме о продолжении можно тогда считать, что $f$ определена и липшицева на всей плоскости. Так как число оборотов $\Gamma$ вокруг любой точки из $D$ равно $1$, а вокруг любой точки не из $\overline{D}$ оно равно $0$, то
$$
\begin{equation*}
C(f)(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma}\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z}\,d\zeta+f(z),\qquad z\in D,
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
C(f)(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma}\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z}\,d\zeta,\qquad z\notin \overline{D}.
\end{equation*}
\notag
$$
Устремляя $z$ к $a$ вдоль $D$ и вдоль $\mathbb{C}\setminus \overline{D}$, имеем
$$
\begin{equation}
\lim_{D \ni z \to a} C(f)(z)=\frac{1}{2\pi i} \int_{\Gamma}\frac{f(\zeta)-f(a)}{\zeta-a}\,d\zeta+f(a),\qquad a\in \Gamma,
\end{equation}
\tag{30}
$$
и
$$
\begin{equation}
\lim_{\overline{D} \not \ni z \to a} C(f)(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma}\frac{f(\zeta)-f(a)}{\zeta-a}\,d\zeta, \qquad a \in \Gamma,
\end{equation}
\tag{31}
$$
по теореме об ограниченной сходимости. Вычитая (31) из (30), получаем (29). Заинтересованный читатель может найти в [11] связь с граничным сингулярным интегралом типа Коши, определяемым с помощью главных значений, в столь же классическом контексте, как и здесь. Более общие многомерные результаты содержатся, например, в [12] и [13]. Авторы признательны рецензенту за внимательное чтение статьи и ценные предложения, способствовавшие улучшению изложения. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{MatMorRon21} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|