Известия Российской академии наук. Серия математическая
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Загрузить рукопись

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Изв. РАН. Сер. матем.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Известия Российской академии наук. Серия математическая, 2021, том 85, выпуск 3, страницы 191–202
DOI: https://doi.org/10.4213/im9046
(Mi im9046)
 

О классификации трехмерных сферических многообразий Сасаки

Д. Сайксa, Г. Шмальцa, В. В. Ежовbc

a University of New England, School of Science and Technology, Australia
b Flinders University, College of Science and Engineering, Australia
c Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
Список литературы:
Аннотация: В статье рассматриваются сферические гиперповерхности в $\mathbb{C}^2$ с фиксированным касательным векторным полем Рееба как трехмерные многообразия Сасаки. Устанавливается связь между тремя разными наборами параметров, а именно, тех, которые возникают из представления поля Рееба как автоморфизма сферы Гейзенберга, параметров используемых Стэнтон для описания “жестких сфер”, а также параметров, являющихся коэффициентами нормальных форм уравнений гиперповерхностей. Кроме того, геометрически описывается пространство модулей жестких сфер и устанавливается геометрическое различие между поверхностями Стэнтон и найденными в [1]. Наконец, определяются группы сасакиевых автоморфизмов жестких сфер, среди которых выявляются однородные многообразия.
Библиография: 4 наименования.
Ключевые слова: геометрия многообразий Сасаки, поле Рееба, поверхности Стэнтон.
Поступило в редакцию: 31.03.2020
Исправленный вариант: 19.08.2020
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 3, Pages 518–528
DOI: https://doi.org/10.1070/IM9046
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 514.7+517.5
MSC: 32V05

§ 1. Введение

Сферическое трехмерное $\mathrm{CR}$-многообразие локально представляется как сфера Гейзенберга:

$$ \begin{equation*} S\colon v=|z|^2, \end{equation*} \notag $$
где $(z,w=u+\operatorname{i} v)$ – координаты в $\mathbb C^2$. Такое сферическое $\mathrm{CR}$-многообразие превращается в многообразие Сасаки посредством выбора инфинитезимального автоморфизма $Z$, трансверсального комплексной касательной в каждой точке, принимая $Z$ в качестве векторного поля Рееба. Подобные инфинитезимальные автоморфизмы образуют восьмипараметрическое семейство (см. (9)) и всякий альтернативный выбор поля $Z$ может, в принципе, порождать эквивалентные сасакиевы структуры на многообразии. Проблема классификации получаемых таким образом (локальных) сасакиевых структур тесно связана с классификацией жестких сфер, предпринятой сначала Н. Стэнтон в [2] и завершенной вторым и третьим авторами в [1]. Напомним, что жесткая сфера – это сферическое $\mathrm{CR}$-многообразие вида
$$ \begin{equation*} v=\psi(z), \end{equation*} \notag $$
где $\psi(0)=d\psi(0)=0$. Здесь $\psi(z)$ может быть, как и выше, просто $|z|^2$, но может быть и более сложной функцией, например, $\arcsin |z|^2$, или неявной функцией, определяемой формулой (5).

Отсутствие $u$ в уравнении гиперповерхности эквивалентно тому, что векторное поле $Z_0={\partial}/{\partial u}=\operatorname{Re} {\partial}/{\partial w}$ является инфинитезимальным автоморфизмом и потому наделяет многообразие сасакиевой структурой так, что полем Рееба становится векторное поле ${\partial}/{\partial u}$. Сасакиево многообразие $S$ с различными возможностями выбора поля $Z$ таким образом может рассматриваться как различные сферические $\mathrm{CR}$-многообразия $M$ с фиксированным полем Рееба, равным $Z_0$, поскольку всякий инфинитезимальный автоморфизм $Z$ может переходить в $Z_0$ при локально биголоморфной замене координат. Таким образом, задача классификации локальных сасакиевых структур на многообразии $S$ сводится к классификации жестких сфер, записываемых в жесткой нормальной форме Стэнтон. И хотя последняя задача была решена, не было получено точного соответствия между различными наборами параметров, используемых при решении этой задачи. Вопрос о соответствии параметров был задан в работе Исаева и Меркера [3]. Точнее, известны три набора параметров

$$ \begin{equation} \tau, \rho \in \mathbb R, \qquad a \in\mathbb C, \end{equation} \tag{1} $$
$$ \begin{equation} \theta, r \in \mathbb R, \qquad b \in \mathbb C, \end{equation} \tag{2} $$
$$ \begin{equation} \theta, r, \phi \in \mathbb R, \qquad a \in \mathbb C. \end{equation} \tag{3} $$
Параметры $(\tau,a,\rho)$ из множества (1) соответствуют выбору инфинитезимального автоморфизма
$$ \begin{equation*} Z= (\operatorname{i} \tau z+ aw +2\operatorname{i} \overline{a} z^2+ \rho zw)\, \frac{\partial}{\partial z}+ (1+2\operatorname{i} \overline{a}zw + \rho w^2)\, \frac{\partial}{\partial w}, \end{equation*} \notag $$
что, в свою очередь, приводит к неэквивалентным сасакиевым структурам на $S$ по модулю действия группы $\mathbb C^*$.

В работе [1] доказано существование взаимно однозначного соответствия между элементами множества (1) и степенными рядами, представляющими жесткие сферы в нормальной форме. Параметры множества (2) использовались Стэнтон и соответствуют неполному списку нормальных форм жестких сфер. Параметры из множества (3) использовались в [1] для получения полного списка уравнений жестких сфер. Вспомогательный параметр $\phi$ из множества (3) удовлетворяет алгебраическому уравнению

$$ \begin{equation} |a|^2= \phi \bigl((\theta -2 \phi )^2+r^2\bigr). \end{equation} \tag{4} $$
Ниже мы приводим в конечном виде общее неявное уравнение жесткой сферы в нормальной форме1 из [1]:
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &(1-4\phi |z|^2) \frac{\sin 2rv}{2r} - \operatorname{e}^{-2\theta v}|z|^2 \nonumber \\ &\qquad-\bigl(\phi - \overline{a}z -a \overline{z}+4\phi(\phi-\theta)|z|^2\bigr) \frac{\operatorname{e}^{-2\theta v}-\cos 2rv + \theta\sin 2rv/r}{r^2+\theta^2} =0. \end{aligned} \end{equation} \tag{5} $$
Приведенная ниже теорема 1 проясняет точное соответствие между наборами параметров и классами эквивалентности жестких сфер.

Теорема 1. Для каждой пары $(\tau,\rho)\in\mathbb R^2$, такой что $\tau^4+\rho^2\leqslant 1$, существует единственный класс эквивалентности жестких сфер, представимый уравнением (5) с параметрами

$$ \begin{equation} \theta= \tau + 3\phi,\qquad r^2= -\rho + (2\tau+3\phi)\phi,\qquad a=(1-\tau^4 - \rho^2)^{3/8} \end{equation} \tag{6} $$
и любым вещественным решением $\phi$ уравнения
$$ \begin{equation} |a|^2= 4\phi^3+ 4\tau\phi^2+ (\tau^2-\rho)\phi. \end{equation} \tag{7} $$
Вместе со сферой Гейзенберга это семейство включает в себя представителей всех классов эквивалентности жестких сфер.

Поскольку уравнение (4) может иметь три вещественных решения, выбор $\phi$ может быть неоднозначным. В предложении 2 мы даем ответ на вопрос Исаева–Меркера, показывая, что не существует непрерывной ветви $\phi$, состоящей из вещественных решений, и что, по совпадению, неоднозначность возникает ровно в ситуациях, пропущенных Стэнтон, т. е. в случаях, когда параметры (2) отсутствуют. Мы также находим параметрическое представление вещественной дискриминантной кривой для кубики (7).

Наконец, мы вычисляем алгебру симметрии для представителя каждого класса сферических сасакиевых многообразий, а именно, доказываем следующее утверждение.

Теорема 2. Для трехмерного сасакиевого многообразия $M$, являющегося сферическим $\mathrm{CR}$-многообразием, пусть (без ограничения общности) его поле Рееба имеет вид

$$ \begin{equation*} Z=(\operatorname{i} \tau z+ aw +2\operatorname{i} \overline{a} z^2 + \rho zw)\, \frac{\partial}{\partial z} + (1+2\operatorname{i} \overline{a} zw + \rho w^2)\, \frac{\partial}{\partial w}. \end{equation*} \notag $$
Тогда алгебра Ли инфинитезимальных сасакиевых автоморфизмов является

1) четырехмерной в случае $\tau=0, a=0, \rho=0$; это сфера Гейзенберга $v=|z|^2$ с аффинными автоморфизмами

$$ \begin{equation*} (z,u)\mapsto \bigl(\operatorname{e}^{\operatorname{i}\phi}(z+p), u+q-2\operatorname{Im} z\overline{p}\bigr), \end{equation*} \notag $$
где $p\in\mathbb C$, $q\in\mathbb R$, $\phi\in[0,2\pi)$;

2) четырехмерной в случае $a=0$, $\rho=\tau^2$ и $\tau>0$, соответствующей жесткой сфере $v=\log(1+|z|^2)$, глобально реализуемой в виде обычной круглой сферы $|z|^2+|w|^2=1$ в $\mathbb C^2$ с естественной сасакиевой структурой; при этом сасакиевы автоморфизмы порождаются унитарными преобразованиями $\mathbb C^2$;

3) четырехмерной в случае $a=0$, $\rho=\tau^2$ и $\tau<0$, соответствующей жесткой сфере $v=-\log(1-|z|^2)$, глобально реализуемой в виде гиперболида $|z|^2-|w|^2=1$ в $\mathbb C^2$ с естественной сасакиевой структурой; сасакиевы автоморфизмы в этом случае порождаются псевдоунитарными преобразованиями $\mathbb C^2$;

4) двумерной во всех остальных случаях.

§ 2. Жесткая нормальная форма и эквивалентность гиперповерхностей

Для удобства читателя ниже мы напоминаем определения жесткой нормальной формы и эквивалентности.

Вещественная гиперповерхность $M \subset \mathbb C^2$ называется жесткой, если она инвариантна относительно параллельного переноса вдоль вещественной прямой, трансверсальной к комплексной касательной плоскости (см. [4]). Геометрически это означает, что $M$ представляет собой цилиндр над двумерной поверхностью в трехмерном пространстве, трансверсальном оси смещения. Выберем координаты $z$, $w=u+\operatorname{i} v$ в $\mathbb C^2$, где линия смещения – это ось $u$, а поверхность $M$ локально представима графиком, заданным уравнением

$$ \begin{equation*} v=\psi(z) \end{equation*} \notag $$
при $\psi(0)=d\psi(0)=0$. В дальнейшем мы предполагаем, что гиперповерхность $M$ вещественно аналитична и Леви-невырождена, т. е.
$$ \begin{equation*} \frac{\partial^2\psi}{\partial z\,\partial \overline{z}}\neq 0. \end{equation*} \notag $$

Н. Стэнтон [2] доказала, что локальные голоморфные координаты $\mathbb C^2$ можно выбрать таким образом, что определяющая $M$ функция имеет жесткую нормальную форму

$$ \begin{equation} v=|z|^2 + \sum_{k,\ell\geqslant 2}\gamma_{k\ell}z^k\overline{z}^\ell, \end{equation} \tag{8} $$
где $\gamma_{k\ell}$ удовлетворяют соотношению $\gamma_{\ell k}=\overline{\gamma_{k\ell}}$.

Стэнтон также заметила, что сфера Гейзенберга $v=|z|^2$ может иметь различные нормальные формы из-за разнообразия ее автоморфизмов. Представления сферы Гейзенберга в жесткой нормальной форме называются жесткими сферами.

Мы также будем интерпретировать жесткие сферы как сферы Гейзенберга с сасакиевой структурой. В дополнение к $\mathrm{CR}$-структуре это включает в себя выбор инфинитезимального автоморфизма $Z$, т. е. векторного поля Рееба, поток которого сохраняет $\mathrm{CR}$-структуру. Множество таких автоморфизмов является восьмипараметрическим и представляет собой инфинитезимальные симметрии вида

$$ \begin{equation} Z=(p+cz+aw+2\operatorname{i}\overline{a}z^2+rzw)\, \frac{\partial}{\partial z}+ \bigl(q+2\operatorname{i}\overline{p}z +2(\operatorname{Re} c) w+2\operatorname{i}\overline{a}zw+rw^2 \bigr)\, \frac{\partial}{\partial w}, \end{equation} \tag{9} $$
где $p,a,c\in\mathbb C$, $q,r\in\mathbb R$ и $q\neq 0$. Однако различные автоморфизмы могут индуцировать эквивалентные сасакиевы структуры в следующем смысле.

Два сасакиевых многообразия $(M,Z)$ и $(M',Z')$ эквивалентны, если существует $\mathrm{CR}$-диффеоморфизм $\Phi\colon M\to M'$, такой что $\Phi_*Z=Z'$. Два сасакиевых многообразия $(M,Z)$ и $(M',Z')$ называются гомотетичными, если существует $\mathrm{CR}$-диффеоморфизм $\Phi\colon M\to M'$ такой, что $\Phi_*Z=\kappa Z'$ для некоторой ненулевой константы $\kappa$.

Классификация жестких сфер эквивалентна классификации гомотетичных сасакиевых структур на сфере Гейзенберга.

Напомним, что нормальная форма Стэнтон вещественно аналитической гиперповерхности

$$ \begin{equation*} v=\psi(z,\overline{z}) \end{equation*} \notag $$
при $\psi(0,0)=0$, $d\psi(0,0)=0$ может быть получена заменой координат
$$ \begin{equation*} z'=\frac{\partial \psi}{\partial \overline{z}}(z,0),\qquad w'=w +\psi(z,0). \end{equation*} \notag $$

Назовем две жесткие гиперповерхности $M$ и $M'$ эквивалентными, если они $\mathrm{CR}$-эквивалентны посредством отображения $\Phi$, переводящего жесткую симметрию ${\partial}/{\partial u}$ в жесткую симметрию $\kappa\,{\partial}/{\partial u'}$, т. е. $(M,{\partial}/{\partial u})$ и $(M', {\partial}/{\partial u'})$ – гомотетичные сасакиевы многообразия.

Следующее предложение демонстрирует эффективность нормальных форм как механизма для распознавания эквивалентных жестких гиперповерхностей.

Предложение 1. Вещественно аналитические жесткие Леви-невырожденные гиперповерхности $M$ и $M'$ в жесткой нормальной форме эквивалентны, т. е. $(M,{\partial}/{\partial u})$ и $(M',{\partial}/{\partial u'})$ являются гомотетичными сасакиевыми многообразиями тогда и только тогда, когда они связаны отображением

$$ \begin{equation*} z=cz',\qquad w= |c|^2w'. \end{equation*} \notag $$
Коэффициенты их нормальных форм связаны соотношениями
$$ \begin{equation*} \gamma'_{k\ell}=c^{k-1}\overline{c}^{\ell-1}\gamma_{k\ell}. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Замена координат, переводящая производную ${\partial}/{\partial u'}$ обратно в $({1}/{\kappa})\,{\partial}/{\partial u}$ должна иметь вид
$$ \begin{equation*} z=f(z'),\qquad w= \frac{1}{\kappa} w' +g(z'), \end{equation*} \notag $$
где $\kappa$ – ненулевая вещественная константа, а $f$, $g$ – функции от $z$. Отсутствие гармонических членов степенного ряда (голоморфных и антиголоморфных относительно $z$ и $z'$) в определяющих уравнениях $M$ и $M'$ влечет за собой $g\equiv 0$. Из отсутствия членов рядов типа $(k,1)$ для $k>1$ (и им сопряженных) в определяющих уравнениях следует, что $f(z)=cz$ для некоторой ненулевой комплексной константы $c$. Теперь легко видеть, что $1/\kappa=|c|^2$. Предложение доказано.

§ 3. Пространство модулей

В работе [1] Ежов и Шмальц показали, что для произвольных вещественных чисел $\gamma_{22}$, $\gamma_{33}$ и для произвольного комплексного числа $\gamma_{23}$ существует единственная жесткая сфера в нормальной форме (8) с этими коэффициентами, соответствующая параметрам

$$ \begin{equation} \tau=-\frac{\gamma_{22}}{2},\qquad a= -\frac{\gamma_{23}}{2},\qquad \rho= -\frac32 \gamma_{33} + \frac94 \gamma_{22}^2. \end{equation} \tag{10} $$

Два сферических сасакиевых многообразия с параметрами $(\tau,a,\rho)$ и $(\tau',a',\rho')$ эквивалентны, если $\tau'=\tau$, $\rho'=\rho$ и $a'=\operatorname{e}^{\operatorname{i} \phi}a$ для некоторого $\phi\in[0,2\pi)$. Таким образом, пространство модулей локально сферического сасакиева многообразия размерности $3$ представляет собой $\mathbb R^3_+=\{(\tau,a,\rho)\in\mathbb R^3 \mid a\geqslant0\}$.

Жесткие сферы с параметрами $(\tau,a,\rho)$ и $(\tau',a',\rho')$ эквивалентны тогда и только тогда, когда существует $c\in \mathbb C^*$ такое, что

$$ \begin{equation} \tau'=|c|^2\tau, \qquad a'=c\overline{c}^2a, \qquad \rho'=|c|^4\rho. \end{equation} \tag{11} $$

Используя значение аргумента $c$, мы можем сделать $a$ неотрицательным вещественным числом. Оставшееся действие модуля числа $c$ имеет неподвижную точку $(\tau=0,\, a=0,\, \rho=0)$, соответствующую сфере Гейзенберга. Остальные орбиты могут быть представлены точками на замкнутой поверхности

$$ \begin{equation} \mathfrak M\colon \tau^4+a^{8/3}+\rho^2=1, \qquad a\geqslant 0, \end{equation} \tag{12} $$
которую мы называем пространством модулей жестких сфер. Заметим, что набор показателей степеней в уравнении (12) делает выражение в левой части однородным порядка $8$ относительно действия (11) с положительным $c$.

Поверхность $\mathfrak M$ топологически эквивалентна замкнутому кругу и ее удобно представлять ее проекцией на плоскость $\tau$, $\rho$, которая, в свою очередь, является замкнутым множеством

$$ \begin{equation*} \widetilde{\mathfrak M}\colon \tau^4+\rho^2\leqslant1. \end{equation*} \notag $$

§ 4. Пространство параметров

Н. Стэнтон [2] получила следующий класс уравнений жестких сфер:

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\frac{1}{2r}\sin 2rv \biggl(1-\frac{2|b|^2\theta}{|c|^2} \biggr)=\frac{|z|^2 \operatorname{e}^{-2\theta v}}{1+4|b|^2|z|^2+ 2\operatorname{i}(b\overline{z}-\overline{b} z)} + \frac{|b|^2}{|c|^2}(\operatorname{e}^{-2\theta v}-\cos 2rv) \nonumber \\ &\qquad + \frac{\overline{b} z}{\overline{c}(1-2\operatorname{i}\overline{b}z)}(\operatorname{e}^{-2\theta v}-\operatorname{e}^{2\operatorname{i} rv})+ \frac{b\overline{z}}{c(1+2\operatorname{i} b\overline{z})}(\operatorname{e}^{-2\theta v}-\operatorname{e}^{-2\operatorname{i} rv}), \end{aligned} \end{equation} \tag{13} $$
также зависящий от двух вещественных и одного комплексного параметров $\theta$, $r$, $b$. Два вещественных параметра $\theta$, $r$ могут быть объединены в один комплексный параметр $c=r+\operatorname{i} \theta$. Параметры Стэнтон соотносятся с нашими параметрами уравнениями
$$ \begin{equation} \tau=\theta -3|b|^2,\qquad a= -b (r-\operatorname{i}\theta + 2\operatorname{i} |b|^2),\qquad \rho= -3 |b|^4 - r^2 + 2 |b|^2 \theta. \end{equation} \tag{14} $$
Это соответствие вызвало вопрос, могут ли все параметры $(\tau,a,\rho)$ быть реализованы в жестких сферах Стэнтон и могут ли различные наборы параметров $(\theta,r,b)$ соответствовать эквивалентным жестким сферам. Оказалось, что система алгебраических уравнений (14) может быть неразрешима относительно $(\theta,r,b)$ для некоторых наборов троек $(\tau,a,\rho)$.

В работе [1] Ежов и Шмальц ввели вспомогательный параметр $\phi$, равный $|b|^2$ для жестких сфер Стэнтон, но допускающий отрицательные значения. Кроме того, величина $r^2$ может принимать отрицательные значения, что возможно лишь при чисто мнимых $r$. Это приводит к уравнению (5), которое включает в себя все жесткие сферы с параметрами $(\theta,a,r,\phi)$, где $\phi$ – вещественное решение кубического уравнения (4). Отметим, что поскольку коэффициенты этого уравнения вещественны, оно всегда имеет хотя бы один вещественный корень.

Теперь у нас есть возможность завершить доказательство теоремы 1. Всякий класс эквивалентности жестких сфер с параметром $a\neq0$ имеет единственное представление тройкой параметров $(\tau',1,\rho')$, эквивалентной тройке

$$ \begin{equation*} \biggl(\frac{\tau'}{(1\,{+}\,{\tau'}^4\,{+}\,{\rho'}^2)^{1/4}},\, \frac{1}{(1\,{+}\,{\tau'}^4\,{+}\, {\rho'}^2)^{3/8}},\, \frac{\rho'}{(1\,{+}\,{\tau'}^4\,{+}\,{\rho'}^2)^{1/2}}\biggr){=}\,\bigl(\tau,\,(1\,{-}\,\tau^4\,{-}\, \rho^2)^{3/8},\,\rho\bigr) \end{equation*} \notag $$
при $\tau^4+\rho^2<1$. Каждый класс эквивалентности жестких сфер с параметром $a=0$, но ${\tau'}^4+{\rho'}^2\neq 0$ допускает единственное представление
$$ \begin{equation*} \biggl(\frac{\tau'}{({\tau'}^4+{\rho'}^2)^4},\, 0,\, \frac{\rho'}{({\tau'}^4+{\rho'}^2)^2}\biggr)=\bigl(\tau,\,(1-\tau^4- \rho^2)^{3/8},\, \rho), \end{equation*} \notag $$
с $\tau^4+\rho^2=1$. Класс эквивалентности с параметрами $(0,0,0)$ представляется сферой Гейзенберга. Параметры $\theta,r,\phi$ определяются по формулам из теоремы 1. Теорема 1 доказана.

§ 5. Дискриминантное множество уравнения (7)

В этом параграфе мы изучаем дискриминантное множество кубического уравнения (7), определяющего параметр $\phi$. Это множество определяется уравнением

$$ \begin{equation*} 27 a^4-18 a^2 \rho \tau +2 a^2 \tau ^3-\rho ^3+2 \rho ^2 \tau ^2-\rho \tau ^4=0. \end{equation*} \notag $$
Его проекция на $\widetilde{\mathfrak M}$ иллюстрируется на левой части рис. 1. Такая кривая начинается в точке $(-1,0)$ и образует острие, как показано в увеличении на правом графике рис. 1. Она соприкасается с границей $\widetilde{\mathfrak M}$ в точке $(1/\sqrt[4]{2},1/\sqrt{2})$ и заканчивается в точке $(1,0)$.

Далее мы покажем, что дискриминантная кривая в $\widetilde{\mathfrak M}$ отделяет множество точек, соответствующих жестким сферам Стэнтон от остальных точек, а также получим параметрическое уравнение этой кривой. Жесткие сферы Стэнтон возникают при $r^2\geqslant 0$ и $\phi\geqslant 0$ (по крайней мере для одного решения $\phi$). Отметим, что условие $|a|^2>0$ влечет за собой, что одно решение $\phi$ должно быть положительным, в то время как два оставшихся корня могут оба оказаться отрицательными, комплексно сопряженными или положительными.

Граничные условия имеют вид $\phi=0$ либо $r=0$. Рассмотрим первый случай $\phi=0$. Тогда $a=0$ и $r^2=-\rho \geqslant 0$, что дает нижнюю часть границы $\widetilde{\mathfrak M}$. Предположим, что $\phi>0$ и $r^2=0$. Тогда

$$ \begin{equation*} \rho=(2\tau+3\phi)\phi,\qquad |a|^2=(4\phi^2+4\tau\phi+\tau^2-\rho)\phi \end{equation*} \notag $$
и потому $|a|^2=(\phi^2+2\tau\phi+\tau^2)\phi=(\phi+\tau)^2\phi$. Тогда $|a|=\pm(\phi+\tau)\sqrt{\phi}$, что приводит к параметрическому уравнению кривой вида
$$ \begin{equation} \tau=\pm\frac{|a|}{\sqrt{\phi}}-\phi, \qquad \rho=\pm2|a|\sqrt{\phi}+\phi^2, \end{equation} \tag{15} $$
где $\phi\in (0,\infty)$.

Для того чтобы показать, что эта кривая совпадает с множеством вещественных решений дискриминантного уравнения, мы ограничимся случаем $a\neq 0$ и перейдем к другому представлению классов эквивалентности жестких сфер, посредством растяжения переходя к параметрам $(\tau,2,\rho)$. Для $a=2$ дискриминантное уравнение становится

$$ \begin{equation} \rho ^3-2 \rho ^2 \tau ^2+\rho \tau ^4+72 \rho \tau -8 \tau ^3-432=0. \end{equation} \tag{16} $$
При таком выборе острие имеет координаты $(-3,-3)$.

Подстановка (15) с $a=2$ в (16) подтверждает, что дискриминант зануляется на границе множества жестких сфер Стэнтон. Поскольку дискриминантное множество содержит три вещественные точки для каждого $\tau<-3$, две для $\tau=-3$ и одну для $\tau>-3$, обе кривые совпадают, что видно на рис. 2.

Теорема 3. 1) Жесткие сферы Стэнтон – это жесткие сферы, представимые точками $(\tau,\rho)\in\widetilde{\mathfrak M}$, лежащими между дискриминантной кривой и нижней частью границы $\widetilde{\mathfrak M}$ (см. рис. 1).

2) Это единственные жесткие сферы, соответствующие уникальным наборам параметров $(\theta,a,r,\phi)$.

3) Две жесткие сферы Стэнтон эквивалентны в том и только в том случае, когда параметры $(\theta,b,r)$ и $(\theta', b',r')$ связаны соотношениями

$$ \begin{equation*} \theta'=|c|^2\theta,\qquad b'=\overline{c} b,\qquad r'=|c|^2r \end{equation*} \notag $$
для некоторой ненулевой комплексной постоянной $c$.

Доказательство. Первые два утверждения были нами доказаны выше. Утверждение 3 следует из соотношений (14), единственности параметров $(\tau,a,\rho)$ по модулю комплексных растяжений и единственности вещественного решения кубического уравнения для $\phi$. Теорема доказана.

Предложение 2. Острие дискриминантной кривой является точкой ветвления решения кубического уравнения (7) и при этом у вещественного решения непрерывной ветви не существует.

Доказательство. В параметрическом уравнении (15) для $a=2$ острие соответствует значению $\phi=1$. Для $\phi<1$ предел комплексных решений на дискриминантной кривой является вещественным числом, большим, чем вещественное решение уравнения, а для $\phi>1$ он меньше. Если бы существовала непрерывная ветвь, решения, генерируемые комплексными решениями находились бы выше либо ниже вещественного решения вне дискриминантной кривой. А поскольку мы можем соединить две части дискриминантной кривой путем, который ее больше не пересекает, то мы делаем вывод о невозможности выбора непрерывной ветви. Предложение доказано.

§ 6. Автоморфизмы сферических сасакиевых многообразий

В этом параграфе мы докажем теорему 2.

Сфера Гейзенберга с векторным полем Рееба, являющимся вещественной частью $Z= {\partial}/{\partial w}$, является однородным сасакиевым многообразием. Инфинитезимальные $\mathrm{CR}$-автоморфизмы

$$ \begin{equation*} (p+ \operatorname{i} x z)\, \frac{\partial}{\partial z} + (q+2\operatorname{i} \overline{p} z)\, \frac{\partial}{\partial w} \end{equation*} \notag $$
при $p\in\mathbb C$ и $q,x\in\mathbb R$ коммутируют с $Z$ и порождают четырехмерную транзитивную аффинную группу сасакиевых автоморфизмов
$$ \begin{equation*} (z,u)\mapsto \bigl(\operatorname{e}^{\operatorname{i} x}(z+p), u+q-2\operatorname{Im} z\overline{p}\bigr). \end{equation*} \notag $$

Альтернативный выбор поля Рееба сводится к

$$ \begin{equation*} Z=(\operatorname{i}\tau z +aw +2\operatorname{i} \overline{a}z^2 +\rho zw)\, \frac{\partial}{\partial z} +(1+2\operatorname{i} \overline{a}zw +\rho w^2)\, \frac{\partial}{\partial w}. \end{equation*} \notag $$

Инфинитезимальные $\mathrm{CR}$-автоморфизмы сферы Гейзенберга

$$ \begin{equation*} \xi=(p+ xz +\alpha w +2\operatorname{i} \overline{\alpha}z^2 +r zw)\, \frac{\partial}{\partial z} +(q+2\operatorname{i} \overline{p}z +2\operatorname{Re} x w+2\operatorname{i} \overline{\alpha}zw +r w^2)\, \frac{\partial}{\partial w}, \end{equation*} \notag $$
где $p,x,\alpha\in \mathbb C$ и $q,r\in\mathbb R$, становятся инфинитезимальными сасакиевыми автоморфизмами при $[\xi,Z]=0$. Поэтому
$$ \begin{equation*} \operatorname{Re} x=0,\qquad \alpha= a q+\operatorname{i} p \tau,\qquad r= -\operatorname{i} a \overline{p}+\operatorname{i} \overline{a} p+q \rho,\qquad a \overline{p}+ \overline{a} p=0. \end{equation*} \notag $$

И тогда $a=0$ или $\arg p=\arg a\pm \pi/2$. Рассмотрим первый случай. Тогда либо $\rho -\tau ^2=0$, либо $p=0$. Таким образом, однородность возникает лишь при $a=0$ и $\rho=\tau^2$, что соответствует уравнениям

$$ \begin{equation*} 2 \operatorname{sh} \frac{v}{2}= e^{-{v}/{2}}|z|^2,\qquad 2 \operatorname{sh} \frac{v}{2}= e^{{v}/{2}}|z|^2. \end{equation*} \notag $$

Первый случай эквивалентен

$$ \begin{equation} v=\log(1+|z|^2). \end{equation} \tag{17} $$
Заметим, что левая часть уравнения (17) представляет собой кэлеров потенциал метрики Фубини–Штуди в $\mathbb{CP}^1$ и изометрии этой метрики вместе с полем Рееба $Z$ дают нам группу автоморфизмов сасакиева многообразия (17), а именно,
$$ \begin{equation*} z'= \operatorname{e}^{\operatorname{i}\phi} \frac{z-\zeta}{\overline{\zeta}z+1}, \qquad w'=w+q-2\operatorname{i} \log(1+\overline{\zeta} z) +\operatorname{i} \log (1+|\zeta|^2), \end{equation*} \notag $$
где $q\in\mathbb R$, $\phi\in[0,2\pi)$ и $\zeta\in\mathbb C$. Глобально, это сасакиево многообразие может быть представлено как сфера $|z|^2+|w|^2=1$ в $\mathbb C^2$, наделенная индуцированной метрикой и $\mathrm{CR}$-структурой. Унитарные преобразования в $\mathbb C^2$ порождают сасакиевы автоморфизмы этой сферы.

Второй случай эквивалентен

$$ \begin{equation} v=-\log(1-|z|^2) \end{equation} \tag{18} $$
при $|z|<1$. Здесь левая часть уравнения (18) представляет собой кэлеров потенциал метрики Лобачевского–Пуанкаре на единичном круге, и ее изометрии представляют сасакиевы автоморфизмы:
$$ \begin{equation*} z'= \operatorname{e}^{\operatorname{i}\phi} \frac{z+\zeta}{\overline{\zeta}z+1}, \qquad w'=w+q+2\operatorname{i} \log(1+\overline{\zeta} z) -\operatorname{i} \log (1-|\zeta|^2), \end{equation*} \notag $$
где $q\in\mathbb R$, $\phi\in[0,2\pi)$ и $|\zeta|<1$. Глобальным представлением этого сасакиева многообразия служит гиперболоид $|z|^2-|w|^2=1$ в $\mathbb C^2$, наделенный индуцированной метрикой и $\mathrm{CR}$-структурой. При этом сасакиевыми автоморфизмами являются псевдоунитарные преобразования $\mathbb C^2$.

Положим $a=0$, и $\rho -\tau ^2\neq0$, тогда $p=0$. Поэтому инфинитезимальные автоморфизмы образуют двумерную алгебру Ли, порожденную полем $Z$ и вращением $\operatorname{i}z \, {\partial}/{\partial z}$.

Наконец, положим $a\neq 0$. Мы имеем $p=\operatorname{i} t a$, где $t\in\mathbb R$. Тогда

$$ \begin{equation*} x=\operatorname{i} (t(\rho-\tau^2)+q\tau),\qquad \alpha=a(q-t\tau),\qquad r=-2t |a|^2 +q\rho. \end{equation*} \notag $$
Это приводит к двумерной алгебре Ли, натянутой на $Z$ и на
$$ \begin{equation*} \bigl(\operatorname{i} a+ \operatorname{i}(\rho-\tau^2)z -a \tau w -2\operatorname{i} \overline{a}\tau z^2 -2|a|^2 zw\bigr)\, \frac{\partial}{\partial z} +(2\overline{a}z- 2\operatorname{i} \overline{a} \tau zw -2|a^2| w^2)\, \frac{\partial}{\partial w}. \end{equation*} \notag $$

§ 7. Примеры

Пример. Рассмотрим сначала случай $a=0$. Тогда уравнение на $\phi$ принимает простую форму

$$ \begin{equation*} \phi^3+ \tau\phi^2+ \frac{\tau^2-\rho}{4}\phi=0. \end{equation*} \notag $$
Всегда имея решение $\phi=0$, оно также имеет корни
$$ \begin{equation*} \phi=-\frac{\tau}{2}\pm \frac{\sqrt{\rho}}{2}, \end{equation*} \notag $$
которые вещественны при $\rho\geqslant 0$. Имеются следующие возможности:
$$ \begin{equation} \phi =0, \qquad \operatorname{i} r =\sqrt{\rho}, \qquad \theta =\tau, \end{equation} \tag{19} $$
$$ \begin{equation} \phi =\frac12(-\tau+\sqrt{\rho}), \qquad \operatorname{i} r =\frac12(\tau+\sqrt{\rho}), \qquad \theta =\frac12(-\tau+3\sqrt{\rho}), \end{equation} \tag{20} $$
$$ \begin{equation} \phi =\frac12(-\tau-\sqrt{\rho}), \qquad \operatorname{i} r =\frac12(\tau-\sqrt{\rho}), \qquad \theta =\frac12(-\tau-3\sqrt{\rho}). \end{equation} \tag{21} $$
В каждом случае в результате получается жесткая сфера
$$ \begin{equation*} \frac{ \operatorname{sh} 2\sqrt{\rho}\,v}{ 2\sqrt{\rho}}=\operatorname{e}^{-2\tau v}|z|^2, \end{equation*} \notag $$
где каждый класс эквивалентности представим парой $(\tau, \rho=\sqrt{1-\tau^4})$ для $\tau\in[-1,1]$. Однородные многообразия $v=\pm\log(1\pm|z|^2)$ из предыдущего параграфа принадлежат этому семейству при $\tau=\pm1/2$ и $\rho=1/4$.

Пример 2. Жесткая сфера с $\tau=\rho=0$ и $a=2$ принадлежит множеству жестких сфер Н. Стэнтон. В этом случае $\theta=3\phi$, $r^2=3\phi^2$. Из равенств

$$ \begin{equation*} 2=a=-b(\sqrt{3}-\operatorname{i})\phi,\qquad 4=|a|^2=4\phi^3 \end{equation*} \notag $$
следует $\phi=1$, $\theta=r=3$, $b=-2/(\sqrt{3}-\operatorname{i})$.

Пример 3. Острие образуется при $a=2$, $\tau=\rho=-3$, что дает трехкратное решение $\phi=1$ и потому $r=0$, $\theta=4$, $b=-\operatorname{i}$. Этот пример появляется в списке Н. Стэнтон в [2] как (6.17).

Список литературы

1. V. Ezhov, G. Schmalz, “Explicit description of spherical rigid hypersurfaces in $\mathbb{C}^2$”, Complex Anal. Synerg., 1:1 (2015), 2, 10 pp.  crossref  mathscinet  zmath
2. N. K. Stanton, “A normal form for rigid hypersurfaces in $\mathbf{C}^2$”, Amer. J. Math., 113:5 (1991), 877–910  crossref  mathscinet  zmath
3. A. Isaev, J. Merker, “On the real-analyticity of rigid spherical hypersurfaces in $\mathbb{C}^2$”, Proc. Amer. Math. Soc., 147:12 (2019), 5251–5256  crossref  mathscinet  zmath
4. M. S. Baouendi, P. Ebenfelt, L. P. Rothschild, Real submanifolds in complex space and their mappings, Princeton Math. Ser., 47, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1999, xii+404 pp.  crossref  mathscinet  zmath

Образец цитирования: Д. Сайкс, Г. Шмальц, В. В. Ежов, “О классификации трехмерных сферических многообразий Сасаки”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:3 (2021), 191–202; Izv. Math., 85:3 (2021), 518–528
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{SykSchEzh21}
\by Д.~Сайкс, Г.~Шмальц, В.~В.~Ежов
\paper О классификации трехмерных сферических многообразий Сасаки
\jour Изв. РАН. Сер. матем.
\yr 2021
\vol 85
\issue 3
\pages 191--202
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/im9046}
\crossref{https://doi.org/10.4213/im9046}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1471.32061}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2021IzMat..85..518S}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=46925904}
\transl
\jour Izv. Math.
\yr 2021
\vol 85
\issue 3
\pages 518--528
\crossref{https://doi.org/10.1070/IM9046}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000671433400001}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85110625903}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/im9046
  • https://doi.org/10.4213/im9046
  • https://www.mathnet.ru/rus/im/v85/i3/p191
  • Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Известия Российской академии наук. Серия математическая Izvestiya: Mathematics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:228
    PDF русской версии:30
    PDF английской версии:32
    HTML русской версии:98
    Список литературы:32
    Первая страница:3
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024