| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
О классификации трехмерных сферических многообразий Сасаки Д. Сайксa, Г. Шмальцa, В. В. Ежовbc a University of New England, School of Science and Technology, Australia b Flinders University, College of Science and Engineering, Australia c Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9046 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеСферическое трехмерное $\mathrm{CR}$-многообразие локально представляется как сфера Гейзенберга: где $(z,w=u+\operatorname{i} v)$ – координаты в $\mathbb C^2$. Такое сферическое $\mathrm{CR}$-многообразие превращается в многообразие Сасаки посредством выбора инфинитезимального автоморфизма $Z$, трансверсального комплексной касательной в каждой точке, принимая $Z$ в качестве векторного поля Рееба. Подобные инфинитезимальные автоморфизмы образуют восьмипараметрическое семейство (см. (9)) и всякий альтернативный выбор поля $Z$ может, в принципе, порождать эквивалентные сасакиевы структуры на многообразии. Проблема классификации получаемых таким образом (локальных) сасакиевых структур тесно связана с классификацией жестких сфер, предпринятой сначала Н. Стэнтон в [2] и завершенной вторым и третьим авторами в [1]. Напомним, что жесткая сфера – это сферическое $\mathrm{CR}$-многообразие вида где $\psi(0)=d\psi(0)=0$. Здесь $\psi(z)$ может быть, как и выше, просто $|z|^2$, но может быть и более сложной функцией, например, $\arcsin |z|^2$, или неявной функцией, определяемой формулой (5).Отсутствие $u$ в уравнении гиперповерхности эквивалентно тому, что векторное поле $Z_0={\partial}/{\partial u}=\operatorname{Re} {\partial}/{\partial w}$ является инфинитезимальным автоморфизмом и потому наделяет многообразие сасакиевой структурой так, что полем Рееба становится векторное поле ${\partial}/{\partial u}$. Сасакиево многообразие $S$ с различными возможностями выбора поля $Z$ таким образом может рассматриваться как различные сферические $\mathrm{CR}$-многообразия $M$ с фиксированным полем Рееба, равным $Z_0$, поскольку всякий инфинитезимальный автоморфизм $Z$ может переходить в $Z_0$ при локально биголоморфной замене координат. Таким образом, задача классификации локальных сасакиевых структур на многообразии $S$ сводится к классификации жестких сфер, записываемых в жесткой нормальной форме Стэнтон. И хотя последняя задача была решена, не было получено точного соответствия между различными наборами параметров, используемых при решении этой задачи. Вопрос о соответствии параметров был задан в работе Исаева и Меркера [3]. Точнее, известны три набора параметров
$$
\begin{equation}
\theta, r, \phi \in \mathbb R, \qquad a \in \mathbb C.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Параметры $(\tau,a,\rho)$ из множества (1) соответствуют выбору инфинитезимального автоморфизма
$$
\begin{equation*}
Z= (\operatorname{i} \tau z+ aw +2\operatorname{i} \overline{a} z^2+ \rho zw)\, \frac{\partial}{\partial z}+ (1+2\operatorname{i} \overline{a}zw + \rho w^2)\, \frac{\partial}{\partial w},
\end{equation*}
\notag
$$
что, в свою очередь, приводит к неэквивалентным сасакиевым структурам на $S$ по модулю действия группы $\mathbb C^*$. В работе [1] доказано существование взаимно однозначного соответствия между элементами множества (1) и степенными рядами, представляющими жесткие сферы в нормальной форме. Параметры множества (2) использовались Стэнтон и соответствуют неполному списку нормальных форм жестких сфер. Параметры из множества (3) использовались в [1] для получения полного списка уравнений жестких сфер. Вспомогательный параметр $\phi$ из множества (3) удовлетворяет алгебраическому уравнению Ниже мы приводим в конечном виде общее неявное уравнение жесткой сферы в нормальной форме1 из [1]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(1-4\phi |z|^2) \frac{\sin 2rv}{2r} - \operatorname{e}^{-2\theta v}|z|^2 \nonumber \\ &\qquad-\bigl(\phi - \overline{a}z -a \overline{z}+4\phi(\phi-\theta)|z|^2\bigr) \frac{\operatorname{e}^{-2\theta v}-\cos 2rv + \theta\sin 2rv/r}{r^2+\theta^2} =0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5}
$$
Приведенная ниже теорема 1 проясняет точное соответствие между наборами параметров и классами эквивалентности жестких сфер. Теорема 1. Для каждой пары $(\tau,\rho)\in\mathbb R^2$, такой что $\tau^4+\rho^2\leqslant 1$, существует единственный класс эквивалентности жестких сфер, представимый уравнением (5) с параметрами и любым вещественным решением $\phi$ уравнения Вместе со сферой Гейзенберга это семейство включает в себя представителей всех классов эквивалентности жестких сфер. Поскольку уравнение (4) может иметь три вещественных решения, выбор $\phi$ может быть неоднозначным. В предложении 2 мы даем ответ на вопрос Исаева–Меркера, показывая, что не существует непрерывной ветви $\phi$, состоящей из вещественных решений, и что, по совпадению, неоднозначность возникает ровно в ситуациях, пропущенных Стэнтон, т. е. в случаях, когда параметры (2) отсутствуют. Мы также находим параметрическое представление вещественной дискриминантной кривой для кубики (7). Наконец, мы вычисляем алгебру симметрии для представителя каждого класса сферических сасакиевых многообразий, а именно, доказываем следующее утверждение. Теорема 2. Для трехмерного сасакиевого многообразия $M$, являющегося сферическим $\mathrm{CR}$-многообразием, пусть (без ограничения общности) его поле Рееба имеет вид Тогда алгебра Ли инфинитезимальных сасакиевых автоморфизмов является 1) четырехмерной в случае $\tau=0, a=0, \rho=0$; это сфера Гейзенберга $v=|z|^2$ с аффинными автоморфизмами
$$
\begin{equation*}
(z,u)\mapsto \bigl(\operatorname{e}^{\operatorname{i}\phi}(z+p), u+q-2\operatorname{Im} z\overline{p}\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $p\in\mathbb C$, $q\in\mathbb R$, $\phi\in[0,2\pi)$; 2) четырехмерной в случае $a=0$, $\rho=\tau^2$ и $\tau>0$, соответствующей жесткой сфере $v=\log(1+|z|^2)$, глобально реализуемой в виде обычной круглой сферы $|z|^2+|w|^2=1$ в $\mathbb C^2$ с естественной сасакиевой структурой; при этом сасакиевы автоморфизмы порождаются унитарными преобразованиями $\mathbb C^2$; 3) четырехмерной в случае $a=0$, $\rho=\tau^2$ и $\tau<0$, соответствующей жесткой сфере $v=-\log(1-|z|^2)$, глобально реализуемой в виде гиперболида $|z|^2-|w|^2=1$ в $\mathbb C^2$ с естественной сасакиевой структурой; сасакиевы автоморфизмы в этом случае порождаются псевдоунитарными преобразованиями $\mathbb C^2$; 4) двумерной во всех остальных случаях. § 2. Жесткая нормальная форма и эквивалентность гиперповерхностейДля удобства читателя ниже мы напоминаем определения жесткой нормальной формы и эквивалентности. Вещественная гиперповерхность $M \subset \mathbb C^2$ называется жесткой, если она инвариантна относительно параллельного переноса вдоль вещественной прямой, трансверсальной к комплексной касательной плоскости (см. [4]). Геометрически это означает, что $M$ представляет собой цилиндр над двумерной поверхностью в трехмерном пространстве, трансверсальном оси смещения. Выберем координаты $z$, $w=u+\operatorname{i} v$ в $\mathbb C^2$, где линия смещения – это ось $u$, а поверхность $M$ локально представима графиком, заданным уравнением при $\psi(0)=d\psi(0)=0$. В дальнейшем мы предполагаем, что гиперповерхность $M$ вещественно аналитична и Леви-невырождена, т. е.
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^2\psi}{\partial z\,\partial \overline{z}}\neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Н. Стэнтон [2] доказала, что локальные голоморфные координаты $\mathbb C^2$ можно выбрать таким образом, что определяющая $M$ функция имеет жесткую нормальную форму
$$
\begin{equation}
v=|z|^2 + \sum_{k,\ell\geqslant 2}\gamma_{k\ell}z^k\overline{z}^\ell,
\end{equation}
\tag{8}
$$
где $\gamma_{k\ell}$ удовлетворяют соотношению $\gamma_{\ell k}=\overline{\gamma_{k\ell}}$. Стэнтон также заметила, что сфера Гейзенберга $v=|z|^2$ может иметь различные нормальные формы из-за разнообразия ее автоморфизмов. Представления сферы Гейзенберга в жесткой нормальной форме называются жесткими сферами. Мы также будем интерпретировать жесткие сферы как сферы Гейзенберга с сасакиевой структурой. В дополнение к $\mathrm{CR}$-структуре это включает в себя выбор инфинитезимального автоморфизма $Z$, т. е. векторного поля Рееба, поток которого сохраняет $\mathrm{CR}$-структуру. Множество таких автоморфизмов является восьмипараметрическим и представляет собой инфинитезимальные симметрии вида
$$
\begin{equation}
Z=(p+cz+aw+2\operatorname{i}\overline{a}z^2+rzw)\, \frac{\partial}{\partial z}+ \bigl(q+2\operatorname{i}\overline{p}z +2(\operatorname{Re} c) w+2\operatorname{i}\overline{a}zw+rw^2 \bigr)\, \frac{\partial}{\partial w},
\end{equation}
\tag{9}
$$
где $p,a,c\in\mathbb C$, $q,r\in\mathbb R$ и $q\neq 0$. Однако различные автоморфизмы могут индуцировать эквивалентные сасакиевы структуры в следующем смысле. Два сасакиевых многообразия $(M,Z)$ и $(M',Z')$ эквивалентны, если существует $\mathrm{CR}$-диффеоморфизм $\Phi\colon M\to M'$, такой что $\Phi_*Z=Z'$. Два сасакиевых многообразия $(M,Z)$ и $(M',Z')$ называются гомотетичными, если существует $\mathrm{CR}$-диффеоморфизм $\Phi\colon M\to M'$ такой, что $\Phi_*Z=\kappa Z'$ для некоторой ненулевой константы $\kappa$. Классификация жестких сфер эквивалентна классификации гомотетичных сасакиевых структур на сфере Гейзенберга. Напомним, что нормальная форма Стэнтон вещественно аналитической гиперповерхности при $\psi(0,0)=0$, $d\psi(0,0)=0$ может быть получена заменой координат
$$
\begin{equation*}
z'=\frac{\partial \psi}{\partial \overline{z}}(z,0),\qquad w'=w +\psi(z,0).
\end{equation*}
\notag
$$
Назовем две жесткие гиперповерхности $M$ и $M'$ эквивалентными, если они $\mathrm{CR}$-эквивалентны посредством отображения $\Phi$, переводящего жесткую симметрию ${\partial}/{\partial u}$ в жесткую симметрию $\kappa\,{\partial}/{\partial u'}$, т. е. $(M,{\partial}/{\partial u})$ и $(M', {\partial}/{\partial u'})$ – гомотетичные сасакиевы многообразия. Следующее предложение демонстрирует эффективность нормальных форм как механизма для распознавания эквивалентных жестких гиперповерхностей. Предложение 1. Вещественно аналитические жесткие Леви-невырожденные гиперповерхности $M$ и $M'$ в жесткой нормальной форме эквивалентны, т. е. $(M,{\partial}/{\partial u})$ и $(M',{\partial}/{\partial u'})$ являются гомотетичными сасакиевыми многообразиями тогда и только тогда, когда они связаны отображением Коэффициенты их нормальных форм связаны соотношениями Доказательство. Замена координат, переводящая производную ${\partial}/{\partial u'}$ обратно в $({1}/{\kappa})\,{\partial}/{\partial u}$ должна иметь вид где $\kappa$ – ненулевая вещественная константа, а $f$, $g$ – функции от $z$. Отсутствие гармонических членов степенного ряда (голоморфных и антиголоморфных относительно $z$ и $z'$) в определяющих уравнениях $M$ и $M'$ влечет за собой $g\equiv 0$. Из отсутствия членов рядов типа $(k,1)$ для $k>1$ (и им сопряженных) в определяющих уравнениях следует, что $f(z)=cz$ для некоторой ненулевой комплексной константы $c$. Теперь легко видеть, что $1/\kappa=|c|^2$. Предложение доказано.
§ 3. Пространство модулейВ работе [1] Ежов и Шмальц показали, что для произвольных вещественных чисел $\gamma_{22}$, $\gamma_{33}$ и для произвольного комплексного числа $\gamma_{23}$ существует единственная жесткая сфера в нормальной форме (8) с этими коэффициентами, соответствующая параметрам
$$
\begin{equation}
\tau=-\frac{\gamma_{22}}{2},\qquad a= -\frac{\gamma_{23}}{2},\qquad \rho= -\frac32 \gamma_{33} + \frac94 \gamma_{22}^2.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Два сферических сасакиевых многообразия с параметрами $(\tau,a,\rho)$ и $(\tau',a',\rho')$ эквивалентны, если $\tau'=\tau$, $\rho'=\rho$ и $a'=\operatorname{e}^{\operatorname{i} \phi}a$ для некоторого $\phi\in[0,2\pi)$. Таким образом, пространство модулей локально сферического сасакиева многообразия размерности $3$ представляет собой $\mathbb R^3_+=\{(\tau,a,\rho)\in\mathbb R^3 \mid a\geqslant0\}$. Жесткие сферы с параметрами $(\tau,a,\rho)$ и $(\tau',a',\rho')$ эквивалентны тогда и только тогда, когда существует $c\in \mathbb C^*$ такое, что
$$
\begin{equation}
\tau'=|c|^2\tau, \qquad a'=c\overline{c}^2a, \qquad \rho'=|c|^4\rho.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Используя значение аргумента $c$, мы можем сделать $a$ неотрицательным вещественным числом. Оставшееся действие модуля числа $c$ имеет неподвижную точку $(\tau=0,\, a=0,\, \rho=0)$, соответствующую сфере Гейзенберга. Остальные орбиты могут быть представлены точками на замкнутой поверхности
$$
\begin{equation}
\mathfrak M\colon \tau^4+a^{8/3}+\rho^2=1, \qquad a\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{12}
$$
которую мы называем пространством модулей жестких сфер. Заметим, что набор показателей степеней в уравнении (12) делает выражение в левой части однородным порядка $8$ относительно действия (11) с положительным $c$. Поверхность $\mathfrak M$ топологически эквивалентна замкнутому кругу и ее удобно представлять ее проекцией на плоскость $\tau$, $\rho$, которая, в свою очередь, является замкнутым множеством
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathfrak M}\colon \tau^4+\rho^2\leqslant1.
\end{equation*}
\notag
$$
§ 4. Пространство параметровН. Стэнтон [2] получила следующий класс уравнений жестких сфер:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{2r}\sin 2rv \biggl(1-\frac{2|b|^2\theta}{|c|^2} \biggr)=\frac{|z|^2 \operatorname{e}^{-2\theta v}}{1+4|b|^2|z|^2+ 2\operatorname{i}(b\overline{z}-\overline{b} z)} + \frac{|b|^2}{|c|^2}(\operatorname{e}^{-2\theta v}-\cos 2rv) \nonumber \\ &\qquad + \frac{\overline{b} z}{\overline{c}(1-2\operatorname{i}\overline{b}z)}(\operatorname{e}^{-2\theta v}-\operatorname{e}^{2\operatorname{i} rv})+ \frac{b\overline{z}}{c(1+2\operatorname{i} b\overline{z})}(\operatorname{e}^{-2\theta v}-\operatorname{e}^{-2\operatorname{i} rv}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13}
$$
также зависящий от двух вещественных и одного комплексного параметров $\theta$, $r$, $b$. Два вещественных параметра $\theta$, $r$ могут быть объединены в один комплексный параметр $c=r+\operatorname{i} \theta$. Параметры Стэнтон соотносятся с нашими параметрами уравнениями
$$
\begin{equation}
\tau=\theta -3|b|^2,\qquad a= -b (r-\operatorname{i}\theta + 2\operatorname{i} |b|^2),\qquad \rho= -3 |b|^4 - r^2 + 2 |b|^2 \theta.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Это соответствие вызвало вопрос, могут ли все параметры $(\tau,a,\rho)$ быть реализованы в жестких сферах Стэнтон и могут ли различные наборы параметров $(\theta,r,b)$ соответствовать эквивалентным жестким сферам. Оказалось, что система алгебраических уравнений (14) может быть неразрешима относительно $(\theta,r,b)$ для некоторых наборов троек $(\tau,a,\rho)$. В работе [1] Ежов и Шмальц ввели вспомогательный параметр $\phi$, равный $|b|^2$ для жестких сфер Стэнтон, но допускающий отрицательные значения. Кроме того, величина $r^2$ может принимать отрицательные значения, что возможно лишь при чисто мнимых $r$. Это приводит к уравнению (5), которое включает в себя все жесткие сферы с параметрами $(\theta,a,r,\phi)$, где $\phi$ – вещественное решение кубического уравнения (4). Отметим, что поскольку коэффициенты этого уравнения вещественны, оно всегда имеет хотя бы один вещественный корень. Теперь у нас есть возможность завершить доказательство теоремы 1. Всякий класс эквивалентности жестких сфер с параметром $a\neq0$ имеет единственное представление тройкой параметров $(\tau',1,\rho')$, эквивалентной тройке
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{\tau'}{(1\,{+}\,{\tau'}^4\,{+}\,{\rho'}^2)^{1/4}},\, \frac{1}{(1\,{+}\,{\tau'}^4\,{+}\, {\rho'}^2)^{3/8}},\, \frac{\rho'}{(1\,{+}\,{\tau'}^4\,{+}\,{\rho'}^2)^{1/2}}\biggr){=}\,\bigl(\tau,\,(1\,{-}\,\tau^4\,{-}\, \rho^2)^{3/8},\,\rho\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
при $\tau^4+\rho^2<1$. Каждый класс эквивалентности жестких сфер с параметром $a=0$, но ${\tau'}^4+{\rho'}^2\neq 0$ допускает единственное представление
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{\tau'}{({\tau'}^4+{\rho'}^2)^4},\, 0,\, \frac{\rho'}{({\tau'}^4+{\rho'}^2)^2}\biggr)=\bigl(\tau,\,(1-\tau^4- \rho^2)^{3/8},\, \rho),
\end{equation*}
\notag
$$
с $\tau^4+\rho^2=1$. Класс эквивалентности с параметрами $(0,0,0)$ представляется сферой Гейзенберга. Параметры $\theta,r,\phi$ определяются по формулам из теоремы 1. Теорема 1 доказана.
§ 5. Дискриминантное множество уравнения (7)В этом параграфе мы изучаем дискриминантное множество кубического уравнения (7), определяющего параметр $\phi$. Это множество определяется уравнением
$$
\begin{equation*}
27 a^4-18 a^2 \rho \tau +2 a^2 \tau ^3-\rho ^3+2 \rho ^2 \tau ^2-\rho \tau ^4=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Его проекция на $\widetilde{\mathfrak M}$ иллюстрируется на левой части рис. 1. Такая кривая начинается в точке $(-1,0)$ и образует острие, как показано в увеличении на правом графике рис. 1. Она соприкасается с границей $\widetilde{\mathfrak M}$ в точке $(1/\sqrt[4]{2},1/\sqrt{2})$ и заканчивается в точке $(1,0)$. Далее мы покажем, что дискриминантная кривая в $\widetilde{\mathfrak M}$ отделяет множество точек, соответствующих жестким сферам Стэнтон от остальных точек, а также получим параметрическое уравнение этой кривой. Жесткие сферы Стэнтон возникают при $r^2\geqslant 0$ и $\phi\geqslant 0$ (по крайней мере для одного решения $\phi$). Отметим, что условие $|a|^2>0$ влечет за собой, что одно решение $\phi$ должно быть положительным, в то время как два оставшихся корня могут оба оказаться отрицательными, комплексно сопряженными или положительными. Граничные условия имеют вид $\phi=0$ либо $r=0$. Рассмотрим первый случай $\phi=0$. Тогда $a=0$ и $r^2=-\rho \geqslant 0$, что дает нижнюю часть границы $\widetilde{\mathfrak M}$. Предположим, что $\phi>0$ и $r^2=0$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\rho=(2\tau+3\phi)\phi,\qquad |a|^2=(4\phi^2+4\tau\phi+\tau^2-\rho)\phi
\end{equation*}
\notag
$$
и потому $|a|^2=(\phi^2+2\tau\phi+\tau^2)\phi=(\phi+\tau)^2\phi$. Тогда $|a|=\pm(\phi+\tau)\sqrt{\phi}$, что приводит к параметрическому уравнению кривой вида
$$
\begin{equation}
\tau=\pm\frac{|a|}{\sqrt{\phi}}-\phi, \qquad \rho=\pm2|a|\sqrt{\phi}+\phi^2,
\end{equation}
\tag{15}
$$
где $\phi\in (0,\infty)$. Для того чтобы показать, что эта кривая совпадает с множеством вещественных решений дискриминантного уравнения, мы ограничимся случаем $a\neq 0$ и перейдем к другому представлению классов эквивалентности жестких сфер, посредством растяжения переходя к параметрам $(\tau,2,\rho)$. Для $a=2$ дискриминантное уравнение становится
$$
\begin{equation}
\rho ^3-2 \rho ^2 \tau ^2+\rho \tau ^4+72 \rho \tau -8 \tau ^3-432=0.
\end{equation}
\tag{16}
$$
При таком выборе острие имеет координаты $(-3,-3)$. Подстановка (15) с $a=2$ в (16) подтверждает, что дискриминант зануляется на границе множества жестких сфер Стэнтон. Поскольку дискриминантное множество содержит три вещественные точки для каждого $\tau<-3$, две для $\tau=-3$ и одну для $\tau>-3$, обе кривые совпадают, что видно на рис. 2. Теорема 3. 1) Жесткие сферы Стэнтон – это жесткие сферы, представимые точками $(\tau,\rho)\in\widetilde{\mathfrak M}$, лежащими между дискриминантной кривой и нижней частью границы $\widetilde{\mathfrak M}$ (см. рис. 1). 2) Это единственные жесткие сферы, соответствующие уникальным наборам параметров $(\theta,a,r,\phi)$. 3) Две жесткие сферы Стэнтон эквивалентны в том и только в том случае, когда параметры $(\theta,b,r)$ и $(\theta', b',r')$ связаны соотношениями для некоторой ненулевой комплексной постоянной $c$. Доказательство. Первые два утверждения были нами доказаны выше. Утверждение 3 следует из соотношений (14), единственности параметров $(\tau,a,\rho)$ по модулю комплексных растяжений и единственности вещественного решения кубического уравнения для $\phi$. Теорема доказана. Предложение 2. Острие дискриминантной кривой является точкой ветвления решения кубического уравнения (7) и при этом у вещественного решения непрерывной ветви не существует. Доказательство. В параметрическом уравнении (15) для $a=2$ острие соответствует значению $\phi=1$. Для $\phi<1$ предел комплексных решений на дискриминантной кривой является вещественным числом, большим, чем вещественное решение уравнения, а для $\phi>1$ он меньше. Если бы существовала непрерывная ветвь, решения, генерируемые комплексными решениями находились бы выше либо ниже вещественного решения вне дискриминантной кривой. А поскольку мы можем соединить две части дискриминантной кривой путем, который ее больше не пересекает, то мы делаем вывод о невозможности выбора непрерывной ветви. Предложение доказано.
§ 6. Автоморфизмы сферических сасакиевых многообразийВ этом параграфе мы докажем теорему 2. Сфера Гейзенберга с векторным полем Рееба, являющимся вещественной частью $Z= {\partial}/{\partial w}$, является однородным сасакиевым многообразием. Инфинитезимальные $\mathrm{CR}$-автоморфизмы
$$
\begin{equation*}
(p+ \operatorname{i} x z)\, \frac{\partial}{\partial z} + (q+2\operatorname{i} \overline{p} z)\, \frac{\partial}{\partial w}
\end{equation*}
\notag
$$
при $p\in\mathbb C$ и $q,x\in\mathbb R$ коммутируют с $Z$ и порождают четырехмерную транзитивную аффинную группу сасакиевых автоморфизмов
$$
\begin{equation*}
(z,u)\mapsto \bigl(\operatorname{e}^{\operatorname{i} x}(z+p), u+q-2\operatorname{Im} z\overline{p}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Альтернативный выбор поля Рееба сводится к
$$
\begin{equation*}
Z=(\operatorname{i}\tau z +aw +2\operatorname{i} \overline{a}z^2 +\rho zw)\, \frac{\partial}{\partial z} +(1+2\operatorname{i} \overline{a}zw +\rho w^2)\, \frac{\partial}{\partial w}.
\end{equation*}
\notag
$$
Инфинитезимальные $\mathrm{CR}$-автоморфизмы сферы Гейзенберга
$$
\begin{equation*}
\xi=(p+ xz +\alpha w +2\operatorname{i} \overline{\alpha}z^2 +r zw)\, \frac{\partial}{\partial z} +(q+2\operatorname{i} \overline{p}z +2\operatorname{Re} x w+2\operatorname{i} \overline{\alpha}zw +r w^2)\, \frac{\partial}{\partial w},
\end{equation*}
\notag
$$
где $p,x,\alpha\in \mathbb C$ и $q,r\in\mathbb R$, становятся инфинитезимальными сасакиевыми автоморфизмами при $[\xi,Z]=0$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re} x=0,\qquad \alpha= a q+\operatorname{i} p \tau,\qquad r= -\operatorname{i} a \overline{p}+\operatorname{i} \overline{a} p+q \rho,\qquad a \overline{p}+ \overline{a} p=0.
\end{equation*}
\notag
$$
И тогда $a=0$ или $\arg p=\arg a\pm \pi/2$. Рассмотрим первый случай. Тогда либо $\rho -\tau ^2=0$, либо $p=0$. Таким образом, однородность возникает лишь при $a=0$ и $\rho=\tau^2$, что соответствует уравнениям
$$
\begin{equation*}
2 \operatorname{sh} \frac{v}{2}= e^{-{v}/{2}}|z|^2,\qquad 2 \operatorname{sh} \frac{v}{2}= e^{{v}/{2}}|z|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Первый случай эквивалентен Заметим, что левая часть уравнения (17) представляет собой кэлеров потенциал метрики Фубини–Штуди в $\mathbb{CP}^1$ и изометрии этой метрики вместе с полем Рееба $Z$ дают нам группу автоморфизмов сасакиева многообразия (17), а именно,
$$
\begin{equation*}
z'= \operatorname{e}^{\operatorname{i}\phi} \frac{z-\zeta}{\overline{\zeta}z+1}, \qquad w'=w+q-2\operatorname{i} \log(1+\overline{\zeta} z) +\operatorname{i} \log (1+|\zeta|^2),
\end{equation*}
\notag
$$
где $q\in\mathbb R$, $\phi\in[0,2\pi)$ и $\zeta\in\mathbb C$. Глобально, это сасакиево многообразие может быть представлено как сфера $|z|^2+|w|^2=1$ в $\mathbb C^2$, наделенная индуцированной метрикой и $\mathrm{CR}$-структурой. Унитарные преобразования в $\mathbb C^2$ порождают сасакиевы автоморфизмы этой сферы. Второй случай эквивалентен при $|z|<1$. Здесь левая часть уравнения (18) представляет собой кэлеров потенциал метрики Лобачевского–Пуанкаре на единичном круге, и ее изометрии представляют сасакиевы автоморфизмы:
$$
\begin{equation*}
z'= \operatorname{e}^{\operatorname{i}\phi} \frac{z+\zeta}{\overline{\zeta}z+1}, \qquad w'=w+q+2\operatorname{i} \log(1+\overline{\zeta} z) -\operatorname{i} \log (1-|\zeta|^2),
\end{equation*}
\notag
$$
где $q\in\mathbb R$, $\phi\in[0,2\pi)$ и $|\zeta|<1$. Глобальным представлением этого сасакиева многообразия служит гиперболоид $|z|^2-|w|^2=1$ в $\mathbb C^2$, наделенный индуцированной метрикой и $\mathrm{CR}$-структурой. При этом сасакиевыми автоморфизмами являются псевдоунитарные преобразования $\mathbb C^2$. Положим $a=0$, и $\rho -\tau ^2\neq0$, тогда $p=0$. Поэтому инфинитезимальные автоморфизмы образуют двумерную алгебру Ли, порожденную полем $Z$ и вращением $\operatorname{i}z \, {\partial}/{\partial z}$. Наконец, положим $a\neq 0$. Мы имеем $p=\operatorname{i} t a$, где $t\in\mathbb R$. Тогда
$$
\begin{equation*}
x=\operatorname{i} (t(\rho-\tau^2)+q\tau),\qquad \alpha=a(q-t\tau),\qquad r=-2t |a|^2 +q\rho.
\end{equation*}
\notag
$$
Это приводит к двумерной алгебре Ли, натянутой на $Z$ и на
$$
\begin{equation*}
\bigl(\operatorname{i} a+ \operatorname{i}(\rho-\tau^2)z -a \tau w -2\operatorname{i} \overline{a}\tau z^2 -2|a|^2 zw\bigr)\, \frac{\partial}{\partial z} +(2\overline{a}z- 2\operatorname{i} \overline{a} \tau zw -2|a^2| w^2)\, \frac{\partial}{\partial w}.
\end{equation*}
\notag
$$
§ 7. Примеры Пример. Рассмотрим сначала случай $a=0$. Тогда уравнение на $\phi$ принимает простую форму Всегда имея решение $\phi=0$, оно также имеет корни которые вещественны при $\rho\geqslant 0$. Имеются следующие возможности: Пример 2. Жесткая сфера с $\tau=\rho=0$ и $a=2$ принадлежит множеству жестких сфер Н. Стэнтон. В этом случае $\theta=3\phi$, $r^2=3\phi^2$. Из равенств следует $\phi=1$, $\theta=r=3$, $b=-2/(\sqrt{3}-\operatorname{i})$. Пример 3. Острие образуется при $a=2$, $\tau=\rho=-3$, что дает трехкратное решение $\phi=1$ и потому $r=0$, $\theta=4$, $b=-\operatorname{i}$. Этот пример появляется в списке Н. Стэнтон в [2] как (6.17). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{SykSchEzh21} |
|
||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|