| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Сходимость к стационарным неравновесным состояниям для уравнений Клейна–Гордона Т. В. Дудникова Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9044 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеРассматриваются уравнения Клейна–Гордона в $\mathbb{R}^d$ следующего вида:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \ddot u(x,t) = {\displaystyle\sum_{j=1}^{d}}(\partial_j - iA_j(x))^2 u(x,t) - m^2\, u(x,t),\ x \in\mathbb{R}^d,\, t\in\mathbb{R}, \\ u|_{t=0} = u_0(x),\, \dot u|_{t=0} = v_0(x). \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Здесь $d\geqslant 1$, если все $A_j(x)\equiv0$, и $d\geqslant 2$ в противном случае, $\partial_j\equiv \partial/{\partial x_j}$, $m>0$ и $(A_1(x),\dots,A_d(x))$ – векторный потенциал магнитного поля. Предполагается, что $A_j(x)$ – гладкие, вещественные функции, равные нулю вне некоторой ограниченной области. Решение $u(x,t)$ является комплекснозначной функцией. Обозначим
$$
\begin{equation*}
Y(t)=(Y^0(t),Y^1(t))\equiv (u(\,{\cdot}\,,t),\dot u(\,{\cdot}\,,t)),\qquad Y_0=(Y^0_0,Y^1_0)\equiv (u_0(\,{\cdot}\,),v_0(\,{\cdot}\,)).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда задача Коши (1.1) принимает следующий вид:
$$
\begin{equation}
\dot Y(t)=\mathcal{A}(Y(t)),\quad t\in\mathbb{R},\qquad Y(0)=Y_0, \quad \mathcal{A}:= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ A & 0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $A=\sum_{j=1}^{d}(\partial_j - iA_j(x))^2-m^2$. Предполагается, что начальные данные $Y_0$ являются случайным элементом комплексного функционального пространства $\mathcal{H} \equiv H_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R}^d)\oplus H_{\mathrm{loc}}^0(\mathbb{R}^d)$, см. определение 2.1 ниже. Распределение функции $Y_0(x)$ – это борелевская вероятностная мера $\mu_0$ с нулевым средним значением. Отождествим $\mathbb{C}\equiv \mathbb{R}^2$ и обозначим через $\otimes$ тензорное произведение вещественных векторов. Через $Q_0(x,y)=(Q^{ij}_0(x,y))_{i,j=0,1}$ обозначим корреляционную матрицу меры $\mu_0$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q^{ij}_0(x,y) &:= \mathbb{E}\bigl(Y_0^{i}(x)\otimes Y^{j}_0(y) \bigr) \\ &\, \equiv\int_{\mathcal{H}}\bigl(Y_0^{i}(x)\otimes Y^{j}_0(y) \bigr)\,\mu_0(dY_0),\qquad x,y\in\mathbb{R}^d,\quad i,j= 0,1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предполагается, что начальная средняя плотность энергии равномерно ограничена:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathbb{E} [|u_0(x)|^2+|\nabla u_0(x)|^2 + |v_0(x)|^2] =\operatorname{tr}\bigl( Q_0^{00}(x,x)+[\nabla_x\cdot\nabla _y Q_0^{00}(x,y)]|_{y=x} \nonumber \\ &\qquad+Q_0^{11}(x,x)\bigr)\leqslant e_0<\infty\quad\text{для п.\,в.\ }x\in\mathbb{R}^d. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Кроме того, ковариация $Q_0(x,y)$ убывает как $|x-y|^{-N}$ при $|x-y|\to\infty$ с некоторым $N>d$ (см. условие S2 и оценку (2.1) ниже). Далее, для некоторого фиксированного числа $k\in\{1,\dots,d\}$ предполагаем, что начальная ковариация имеет вид
$$
\begin{equation}
Q_0(x,y)=q_0(\overline x,\overline y,\widetilde x-\widetilde y), \qquad \text{где}\quad x=(\overline x,\widetilde x),\quad y=(\overline y,\widetilde y)\in\mathbb{R}^d,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
$\overline x=(x_1,\dots,x_k)$, $\widetilde x=(x_{k+1},\dots,x_d)$. Более того,
$$
\begin{equation}
Q_0(x,y)=q_{\mathbf{n}}(x-y),\quad\text{если}\quad x,y\in D_{\mathbf n}.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Здесь $\mathbf{n}$ обозначает вектор $\mathbf{n}=(n_1,\dots, n_k)$ с $n_j\in\{1,2\}$,
$$
\begin{equation}
D_{\mathbf n}:=\{x\in\mathbb{R}^d:(-1)^{n_j}x_j>a\text{ для всех }j=1,\dots,k\} \text{ с некоторым } a>0,
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
через $q_{\mathbf{n}}(x-y)$ обозначаются корреляционные матрицы некоторых трансляционно-инвариантных мер $\mu_{\mathbf{n}}$ с нулевым средним значением в $\mathcal{H}$ (см. условие S3 ниже). Условие (1.5) означает, грубо говоря, что если $(-1)^{n_j}x_j>a$ для всех $j=1,\dots,k$, то начальная функция $Y_0(x)$ равна различным трансляционно-инвариантным процессам $Y_{\mathbf{n}}(x)$ с распределениями $\mu_{\mathbf{n}}$. Обозначим через $\mu_t$, $t\in\mathbb{R}$, вероятностную меру, которая является распределением решения $Y(t)$ задачи (1.2). Первая цель работы – доказать сходимость корреляционных функций мер $\mu_t$ к пределу,
$$
\begin{equation}
Q_t(x,y)\equiv\int_{\mathcal{H}} \bigl(Y_0(x)\otimes Y_0(y)\bigr)\, \mu_t(dY_0) \to Q_\infty(x,y),\qquad t\to\infty,\quad x,y\in\mathbb{R}^d.
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
Точные формулы для предельной корреляционной матрицы $Q_\infty$ даны в п. 2.3. Вторая цель – доказать слабую сходимость мер $\mu_t$ к некоторой предельной мере $\mu_{\infty}$ на подходящем функциональном пространстве,
$$
\begin{equation}
\mu_t \rightharpoondown \mu_\infty,\qquad t\to \infty,
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
где $\mu_{\infty}$ – гауссова мера на $\mathcal{H}$. Результаты (1.7) и (1.8) применяются в частном случае, когда все $A_j(x)\equiv0$ и $\mu_{\mathbf{n}}$ – гиббсовские меры $g_{\mathbf{n}}$ с различными температурами $T_{\mathbf{n}}>0$. Формально, гиббсовские меры $g_{\mathbf{n}}$ определяются следующим образом:
$$
\begin{equation}
g_{\mathbf{n}}(dY_0)= \frac{1}{Z_{\mathbf{n}}}\, e^{-\beta_{\mathbf n} H(Y_0)} \prod_{x}dY_0(x),
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
где
$$
\begin{equation*}
H(Y_0):=\frac12\int\bigl(|v_0(x)|^2+|\nabla u_0(x)|^2+m^2|u_0(x)|^2\bigr)\, dx,\qquad \beta_{\mathbf{n}}= T^{-1}_{\mathbf{n}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определение гиббсовских мер $g_{\mathbf{n}}$ уточняется в § 3. Однако меры $g_{\mathbf n}$ имеют сингулярные корреляционные функции (см. формулы (3.1) ниже) и не удовлетворяют условию (1.3). Поэтому мы рассматриваем гауссовские поля $Y_{\mathbf n}$, соответствующие мерам $g_{\mathbf n}$, и вводим “сглаженные” меры $g^\theta_{\mathbf n}$ как распределения сверток $Y_{\mathbf n}*\theta$ с $\theta\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$. Теперь меры $g^\theta_{\mathbf n}$ удовлетворяют всем нашим условиям. Обозначим через $g^\theta_t$ распределение свертки $Y(t)*\theta$. Тогда сходимость $g^\theta_t\rightharpoondown g^\theta_\infty$ при $t\to\infty$ может быть доказана аналогично (1.8). Отсюда следует слабая сходимость $g_t\rightharpoondown g_\infty$ в силу произвольности $\theta$. Кроме того, мы вычисляем предельную плотность потока энергии $\mathbf{J}_\infty$ и показываем, что $\mathbf{J}_\infty\equiv (J^{1}_\infty,\dots,J^{d}_\infty)$ – постоянный вектор с координатами вида
$$
\begin{equation}
J^{l}_\infty=\begin{cases} -c_l\,\dfrac1{2^k}{\displaystyle\sum\bigl(T_{\mathbf{n}}\big|_{n_l=2} -T_{\mathbf{n}}\big|_{n_l=1}\bigr)} &\text{при }\ l=1,\dots,k, \\ 0 &\text{при }\ l=k+1,\dots,d. \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
Здесь $c_l=+\infty$, а суммирование берется по всем $n_j$ с $j\ne l$. Бесконечность вектора $\mathbf{J}_\infty$ связана с “ультрафиолетовой расходимостью”. Это выражение имеет конечное значение в случае сглаженных мер $g^\theta_\infty$, так как в этом случае все числа $c_l$ конечны и положительны, см. формулу (4.13) ниже. В неравновесной статистической механике часто поток тепла вычисляется в моделях, которые представляют собой открытую систему, взаимодействующую по крайней мере с двумя резервуарами, имеющими различные температуры. Эти модели отличаются описанием системы, резервуаров и типом взаимодействия между ними (см., например, [1]–[3]). По аналогии с этими моделями задача (1.2) в случае $k=1$ может быть представлена как “система + два резервуара”, где “резервуары” описываются решениями $Y(x,t)$ с координатами, лежащими в двух областях $D_1=\{x\in\mathbb{R}^d\colon x_1\leqslant -a\}$ и $D_2=\{x_1\geqslant a\}$, $a>0$, а “система” – решениями с координатами из остальной части пространства. Предполагается, что в начальный момент времени резервуары находятся в тепловом равновесии с различными температурами $T_1$ и $T_2$. В случае $k=1$ формула (1.10) принимает вид
$$
\begin{equation}
\mathbf{J}_\infty=-\frac12\bigl(c_1(T_2-T_1),0,\dots,0\bigr),
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
где $c_1=+\infty$. Для сглаженных мер $g^\theta_\infty$ соответствующая предельная средняя плотность потока энергии конечна и $c_1>0$, что соответствует второму закону теплопроводности (см., например, [1]), т. е. тепло течет (в среднем) от “горячего резервуара” к “холодному”. Для любых $k$ наша модель может быть рассмотрена как “система $+2^k$ резервуаров”, где “резервуары” описываются решениями с координатами $x\in D_{\mathbf n}$, а области $D_{\mathbf n}$ введены в (1.6). При $t=0$ резервуары имеют гиббсовские распределения с температурами $T_{\mathbf{n}}$, $\mathbf{n}\in\mathcal{N}^k$. В силу формулы (1.10) температуры $T_{\mathbf{n}}$ могут быть выбраны так, чтобы предельная плотность потока энергии $\mathbf{J}_\infty$ была не равна нулю. Таким образом, в работе доказано, что для изучаемой модели существуют стационарные неравновесные состояния (а именно, предельные меры $\mu_\infty$), в которых существует ненулевой поток энергии. В настоящее время существует большое количество работ, посвященных изучению сходимости к неравновесным состояниям и теплопроводности для различных моделей, см., например, обзорные работы [1], [4], [5] для подробного списка литературы. Например, для бесконечных одномерных цепочек гармонических осцилляторов результаты, аналогичные (1.7), (1.8) и (1.11), были получены Болдригини, Пеллегринотти и Триоло [6] и Шпоном и Лебовицем [2]. Для конечной цепочки нелинейных осцилляторов, взаимодействующих с двумя тепловыми резервуарами, описываемыми волновыми уравнениями, существование неравновесных состояний и сходимость к ним были изучены Экманном, Пилле и Рей-Белле [3]. В настоящей работе мы находим стационарные неравновесные состояния для бесконечных непрерывных систем, описываемых уравнениями Клейна–Гордона. Данная работа обобщает наши предыдущие результаты [7], где утверждения (1.7), (1.8) и (1.10) были доказаны в случае $k=1$. Для любых $k$ эти результаты были получены в [8] для гармонических кристаллов, которые являются дискретной моделью непрерывных уравнений Клейна–Гордона с постоянными коэффициентами. Главное отличие и техническая трудность по сравнению с работой [8] связаны с некомпактностью пространства Фурье $\mathbb{R}^d$ для непрерывного уравнения Клейна–Гордона, так как для гармонического кристалла пространство Фурье – это тор. Действительно, для того, чтобы доказать сходимость (1.8), мы должны проверить слабую компактность семейства мер $\{\mu_t,\, t\in\mathbb{R}\}$. В свою очередь, доказательство этого факта основано на критерии Прохорова и на равномерных оценках для ковариации $Q_t$ мер $\mu_t$. Чтобы получить эти оценки, мы используем представление решений задачи (1.1) с $A_j(x)\equiv0$ в пространстве Фурье и переписываем $Q_t(x,y)$ в виде (4.9). Поэтому мы должны получить равномерные оценки для некоторых сингулярных осциллирующих интегралов, см. формулы (4.9), (4.10) и (4.5), а также § 6. Эта сингулярность связана с тем фактом, что начальная мера не является, вообще говоря, трансляционно-инвариантной. В случае непрерывного уравнения Клейна–Гордона фазовая функция $\omega(\xi)=\sqrt{\xi^2+m^2}$ является вырожденной на бесконечности. Чтобы преодолеть это, мы предполагаем, что начальная ковариация $Q_0$ имеет специальный вид (2.2). Далее, чтобы доказать (1.8), мы должны проверить, что характеристические функционалы мер $\mu_t$ сходятся к пределу. Поэтому на начальную меру $\mu_0$ накладывается условие перемешивания типа Ибрагимова (см. условие S4 ниже). Это условие позволяет свести доказательство (1.8) к проверке условия Линдеберга центральной предельной теоремы, как это показано в [9; с. 20–25] и в [7; § 8]. В заключение, сходимость (1.8) обобщается на случай уравнений с переменными коэффициентами. Это обобщение вытекает из результатов для постоянных коэффициентов, используя метод работ [9; c. 25–29] и [7; § 9]. Этот метод опирается на оценки Вайнберга [10; теоремы 3–5] и на теорию рассеяния для решений с бесконечной энергией, которая была построена в [11], [9]. § 2. Главные результаты2.1. Условия на уравненияПредполагается, что функции $A_j(x)$ в (1.1) удовлетворяют условиям E1–E3. Предполагается, что начальные данные $Y_0=(u_0,v_0)$ принадлежат фазовому пространству $\mathcal{H}$. Определение 2.1. $ \mathcal{H} \equiv H_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R}^d)\oplus H_{\mathrm{loc}}^0(\mathbb{R}^d)$ – пространство Фреше пар $Y\equiv(u,v)$ комплексных функций $u(x)$, $v(x)$ с локальными энергетическими полунормами Лемма 2.1. (i) Для любого $Y_0 \in \mathcal{H}$ существует, и притом единственное, (обобщенное) решение $Y(t)\in C(\mathbb{R}, \mathcal{H})$ задачи Коши (1.2). (ii) Для любых $t\in \mathbb{R}$ оператор $U(t)\colon Y_0\mapsto Y(t)$ непрерывен в $\mathcal{H}$. Лемма 2.1 вытекает из [12; теоремы V.3.1, V.3.2] в силу конечности скорости распространения для уравнения (1.1). Выберем функцию $\theta(x)\in D\equiv C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$ с $\theta(0)\ne 0$. Обозначим через $H^s_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)$, $s\in \mathbb{R}$, локальные пространства Соболева, т. е. пространства Фреше распределений $u\in D'(\mathbb{R}^d)$ с конечными полунормами $\|u\|_{s,R}:= \|\Lambda^s(\theta(x/R)u)\|_{L^2(\mathbb{R}^d)}$, где $\Lambda^s (v):=F^{-1}_{\xi\to x}(\langle \xi\rangle^s\widehat v(\xi))$, $\langle \xi\rangle:=\sqrt{|\xi|^2+1}$, $\widehat v:=F v$ – преобразование Фурье обобщенной функции медленного роста $v$. Если $\psi\in D$, то $(F\psi) (\xi)=\int\exp({i \xi\cdot x}) \psi(x) \,dx$. Определение 2.2. $ \mathcal{H}^{s}\equiv H_{\mathrm{loc}}^{1+s}(\mathbb{R}^d)\oplus H_{\mathrm{loc}}^{s}(\mathbb{R}^d)$, $s\in\mathbb{R}$. Используя стандартные методы псевдодифференциальных операторов и теорему Соболева (см., например, [13]), можно доказать, что $\mathcal{H}^0=\mathcal{H}\subset \mathcal{H}^{-\varepsilon }$ для каждого $\varepsilon>0$, и это вложение является компактным. 2.2. Условия на начальную меруПредполагается, что $Y_0$ в (1.2) – измеримая случайная функция, и через $\mu_0$ обозначается борелевская вероятностная мера в $\mathcal{H}$, которая является распределением функции $Y_0$. Математическое ожидание относительно меры $\mu_0$ обозначается через $\mathbb{E}$. Определение 2.3. Мера $\mu$ называется трансляционно-инвариантной, если $\mu(T_h B)= \mu(B)$ для любых $B\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$ и $h\in\mathbb{R}^d$, где $T_h Y(x)= Y(x-h)$, $x\in\mathbb{R}^d$, $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ обозначает борелевскую $\sigma$-алгебру в $\mathcal{H}$. Определение 2.4. (i) $\mu_t$ – борелевская вероятностная мера в $\mathcal{H}$, которая является распределением решения $Y(t)$: $\mu_t(B)=\mu_0(U(-t)B)$ $\forall\, B\in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, $t\in \mathbb{R}$. (ii) Пусть $\mathbb{C}\equiv \mathbb{R}^2$, $\otimes$ обозначает тензорное произведение вещественных векторов, и $M^2=\mathbb{R}^2\otimes\mathbb{R}^2$. Корреляционные матрицы меры $\mu_t$ являются $M^2$-значными обобщенными функциями, определенными следующим образом: где $Y^i(x,t)$ – компоненты случайного решения $Y(t)=(Y^0(\,{\cdot}\,,t),Y^1(\,{\cdot}\,,t))$, а сходимость интеграла понимается в смысле распределений, т. е. Здесь и ниже $\langle\,{\cdot}\,,{\cdot}\,\rangle$ обозначает скалярное произведение в действительном гильбертовом пространстве $L^2(\mathbb{R}^d)\otimes \mathbb{R}^N$ или в различных его расширениях.На начальную меру $\mu_0$ накладываются условия S1–S3. Условие S2. Начальные корреляционные функции $Q^{ij}_0(x,y)= \mathbb{E}(Y_0^i(x)\otimes Y_0^j(y))$, $x,y\in\mathbb{R}^d$, удовлетворяют оценке (1.3). Кроме того, при $|\alpha|\leqslant 1-i$, $|\beta|\leqslant 1-j$ и $i,j=0,1$ справедливы следующие оценки: где $h(r)$ – некоторая ограниченная функция, и $r^{d-1} h(r)\in L^1(0,+\infty)$. Условие S3. Выберем некоторое число $k\in\{1,\dots,d\}$. Пусть Замечание 2.1. Из условия S3 вытекает, что $Q_0(x,y)=q_0(\overline x,\overline y, \widetilde x-\widetilde y)$, где $\overline x=(x_1,\dots,x_k)$, $\widetilde x=(x_{k+1},\dots,x_d)$, и для $ z=(\overline z,\widetilde z)\in\mathbb{R}^d$ справедливы соотношения Заметим, что начальная мера $\mu_0$ не является трансляционно-инвариантной, если $q_{\mathbf{n}}\ne q_{\mathbf{n}'}$ для некоторых $\mathbf{n}\ne \mathbf{n}'$. Примеры мер $\mu_0$, удовлетворяющих условиям S1–S3, даны ниже в п. 2.5. 2.3. Сходимость корреляционных функцийОбозначим через $\mathcal{Q}_t$ квадратичную форму с интегральным ядром $(Q^{ij}_t(x,y))_{i,j=0,1}$
$$
\begin{equation}
\mathcal{Q}_t (\Psi, {\Psi})= \int|\langle Y,\Psi\rangle|^2\, \mu_t(dY)= \sum_{i,j=0,1} \langle Q_t^{ij}(x,y),\Psi^i(x)\otimes\Psi^j(y)\rangle,\qquad t\in\mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Здесь $\Psi=(\Psi^0,\Psi^1)\in\mathcal{S}:=S\oplus S$, $S\equiv S(\mathbb{R}^d)$ обозначает пространство Шварца быстро убывающих функций, и
$$
\begin{equation*}
\langle Y,\Psi \rangle =\langle Y^0,\Psi^0\rangle +\langle Y^1,\Psi^1\rangle\quad \text{для}\quad Y=(Y^0,Y^1)\in \mathcal{H}\quad \text{и}\quad \Psi=(\Psi^0,\Psi^1)\in \mathcal{S}.
\end{equation*}
\notag
$$
Введем предельную корреляционную матрицу $Q_\infty(x,y)=(Q^{ij}_\infty(x,y))_{i,j=0}^1$ в случае уравнения Клейна–Гордона с постоянными коэффициентами (т. е. когда все $A_j(x)\equiv 0$). Обозначим
$$
\begin{equation}
Q_\infty(x,y)=q_\infty(x-y),\qquad x,y\in\mathbb{R}^d.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Здесь $q_\infty(x)$ имеет вид (в преобразовании Фурье)
$$
\begin{equation}
\widehat q_{\infty}(\xi)= \mathbf{M}^+_{k}(\xi)+i\,\mathbf{M}^-_{k}(\xi), \qquad \xi\in\mathbb{R}^d,
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbf{M}^+_{k}(\xi) &= \frac{1}{2^{k}}\sum_{\mathbf{n}\in\mathcal{N}^k} L_1^+(\widehat q_{\mathbf{n}}(\xi))[1+S^{\mathrm{even}}_{k,\mathbf{n}}(\xi)], \\ \mathbf{M}^-_{k}(\xi) &= \frac{1}{2^{k}}\sum_{\mathbf{n}\in\mathcal{N}^k} L_2^-(\widehat q_{\mathbf{n}}(\xi))\,S^{\mathrm{odd}}_{k,\mathbf{n}}(\xi), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
$\widehat q_{\mathbf{n}}(\xi)=F_{x\to\xi}[q_{\mathbf{n}}(x)]$, матрицы $q_{\mathbf n}$ введены в условии S3,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S^{\mathrm{even}}_{k,\mathbf{n}}(\xi)&= \sum_{\operatorname{even} m\in\{1,\dots, k\}} \sum_{(p_1,\dots,p_m)\in \mathcal{P}_m(k)} \operatorname{sign} \left(\xi_{p_1}\right)\cdots \operatorname{sign} (\xi_{p_m})(-1)^{n_{p_1}+\dots+n_{p_m}}, \\ S^{\mathrm{odd}}_{k,\mathbf{n}}(\xi)&= \sum_{\operatorname{odd}m\in\{1,\dots, k\}} \sum_{(p_1,\dots,p_m)\in \mathcal{P}_m(k)} \operatorname{sign} (\xi_{p_1})\cdots \operatorname{sign} (\xi_{p_m}) (-1)^{n_{p_1}+\dots+n_{p_m}}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
$\mathcal{P}_m(k)$ обозначает совокупность всех $m$-сочетаний из множества $\{1,\dots,k\}$ (например, $\mathcal{P}_2(3)=\{(1,2), (2,3), (1,3)\}$),
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, L_1^\pm(\widehat q_{\mathbf{n}}) &= \frac12\bigl(\widehat q_{\mathbf{n}}(\xi)\pm C(\xi) \widehat q_{\mathbf{n}}(\xi) C^\top(\xi)\bigr), \\ L_2^\pm(\widehat q_{\mathbf{n}}) &= \frac{1}{2} \bigl(C(\xi)\widehat q_{\mathbf{n}}(\xi) \pm \widehat q_{\mathbf{n}}(\xi) C^\top(\xi)\bigr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
$$
\begin{equation}
C(\xi)=\begin{pmatrix} 0&\dfrac1{\omega(\xi)} \\ -\omega(\xi)&0 \end{pmatrix},\qquad \omega(\xi):=(|\xi|^2+m^2)^{1/2},
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
$(\,)^\top$ обозначает транспонирование матрицы. В частности, если $k=1$, то формулы (2.9) принимают вид
$$
\begin{equation}
\mathbf{M}^+_{1}(\xi)=\frac12 L_1^+(\widehat q_2(\xi)+\widehat q_1(\xi)),\qquad \mathbf{M}^-_{1}(\xi)=\frac12 L_2^-(\widehat q_2(\xi)-\widehat q_1(\xi)) \operatorname{sign}(\xi_1)
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
с матрицами $q_1$ и $q_2$, введенными в (2.5). В случае $k=1$ формулы (2.8)–(2.13) были получены в [7]. Заметим, что $\widehat q_\infty\in L^1(\mathbb{R}^d)$ в силу следствия 4.1. Замечание 2.2. Если начальная ковариация является трансляционно-инвариантной, т. е. $Q_0(x,y)=q_0(x-y)$, то матрица $\widehat q_\infty$ имеет вид $ \widehat q_{\infty}(\xi)= L^+_{1}(\widehat q_0(\xi))$. Первым результатом работы является следующая теорема. Теорема 2.1. Пусть выполнены условия E1–E3 и S1–S3. Тогда для любых $\Psi\in \mathcal{S}$ имеет место следующая сходимость: 2.4. Слабая сходимость мерДля доказательства слабой сходимости мер $\mu_t$ накладывается более сильное чем S2, условие S4. Чтобы сформулировать его, введем сначала пространство $\mathcal{D}=D\oplus D$, $D\equiv C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$, и обозначим через $\sigma(\mathcal{A})$ $\sigma$-алгебру в $\mathcal{H}$, порожденную линейными функционалами $Y\mapsto \langle Y,\Psi\rangle$, где $\Psi\in\mathcal{D}$ с $\operatorname{supp}\Psi\subset\mathcal{A}\subset\mathbb{R}^d$. Теперь определим коэффициент перемешивания Ибрагимова меры $\mu_0$ на $\mathcal{H}$ следующим образом (см. [14; определение 17.2.2]):
$$
\begin{equation*}
\varphi(r)\equiv \sup\frac{|\mu_0(A\cap B)-\mu_0(A)\mu_0(B)|}{\mu_0(B)},\qquad r\geqslant0,
\end{equation*}
\notag
$$
где верхняя грань берется по всем множествам $A\in\sigma(\mathcal{A})$, $B\in\sigma(\mathcal{B})$ с $\mu_0(B)\,{>}\,0$ и всем парам открытых выпуклых подмножеств $\mathcal{A},\mathcal{B}\subset\mathbb{R}^d$ с расстоянием $\operatorname{dist}(\mathcal{A},\mathcal{B})\geqslant r$. Определение 2.5. Мера $\mu_0$ удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания Ибрагимова, если $\varphi(r)\to 0$ при $ r\to\infty$. Условие S4. $\mu_0$ удовлетворяет оценке (1.3) и условию равномерно сильного перемешивания Ибрагимова, причем Замечание 2.3. Если выполнены условия S1 и S4, то справедлива оценка (2.1) с $h(r)=Ce_0\varphi^{1/2}(r)$, где число $e_0$ введено в (1.3), а $\varphi(r)$ – коэффициент перемешивания. Это вытекает из [14; лемма 17.2.3]. Теорема 2.2. Пусть выполнены условия E1–E3, S1, S3, S4. Тогда меры $\mu_t$ слабо сходятся в пространствах Фреше $\mathcal{H}^{-\varepsilon }$ с любым $\varepsilon>0$, По определению это означает сходимость Замечание 2.4. Пусть $\mu_0$ – гауссова мера, удовлетворяющая условиям S1–S3. Тогда справедлива сходимость (2.15). Это вытекает из доказательства теоремы 2.2. Таким образом, условие перемешивания не требуется в случае гауссовых начальных мер. 2.5. Примеры начальных мерПостроим гауссовы начальные меры $\mu_0$, удовлетворяющие условиям S1–S4. В случае $k=1$ (см. условие S3), пример меры $\mu_0$ был дан в [7]. Для любых $k\geqslant1$ мера $\mu_0$ может быть построена следующим образом. Сначала введем корреляционные функции $q_{\mathbf{n}}^{ij}(x-y)$, $\mathbf{n}\,{\in}\,\mathcal{N}^k$, $i,j=0,1$, которые равны нулю при $i\ne j$, а при $i=j$
$$
\begin{equation}
q^{ii}_{\mathbf n}\in C^2(\mathbb{R}^d)\otimes M^2,\qquad \widehat q_{\mathbf{n}}^{\,ii}(\xi):=F_{x\to\xi}[q_{\mathbf{n}}^{ii}(x)]\in L^1(\mathbb{R}^d),\qquad \widehat q_{\mathbf{n}}^{\,ii}(\xi) \geqslant 0.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Тогда в силу теоремы Минлоса [15] существуют борелевские гауссовы меры $\mu_{\mathbf{n}}$ в пространстве $\mathcal{H}$ с корреляционными функциями $q^{ij}_{\mathbf{n}}(x-y)$, поскольку
$$
\begin{equation*}
\int\|Y\|^2_R\,\mu_{\mathbf n}(dY)= |B_R|\operatorname{tr}\bigl(q^{00}_{\mathbf n}(0)-\Delta q^{00}_{\mathbf n}(0)+q_{\mathbf n}^{11}(0)\bigr)<\infty\quad \forall\, R>0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $B_R$ обозначает шар $|x|<R$ в $\mathbb{R}^d$, а $|B_R|$ – его объем. Далее введем борелевскую вероятностную меру $\mu_0$ как распределение случайной функции $Y_0(x)$ вида
$$
\begin{equation*}
Y_0(x)= \sum_{\mathbf{n}\in\mathcal{N}^k}\zeta_{\mathbf{n}}(\overline x)Y_{\mathbf{n}}(x), \qquad x=(\overline x,\widetilde x)\in \mathbb{R}^d,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\overline x=(x_1,\dots, x_k)$, $\widetilde x=(x_{k+1},\dots,x_d)$, $\zeta_{\mathbf{n}}(\overline x)$ введены в (2.3), $Y_{\mathbf{n}}$ – гауссовы независимые функции в $\mathcal{H}$ с нулевым средним значением и распределениями $\mu_{\mathbf{n}}$. Тогда корреляционная матрица меры $\mu_0$ имеет вид (2.2). Следовательно, мера $\mu_0$ удовлетворяет условиям S1 и S3. Если при $|\gamma|\leqslant 2-2i$, $i=0,1$,
$$
\begin{equation}
|D^\gamma q_{\mathbf{n}}^{ii}(x)|\leqslant h(|x|),\quad \text{где}\quad r^{d-1}h(r)\in L^1(0,+\infty),
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
то $\mu_0$ удовлетворяет условию S2 в силу (2.2). В свою очередь, примеры функций $q_{\mathbf{n}}^{ii}$, удовлетворяющих условиям (2.16) и (2.17), могут быть построены следующим образом. Пусть $\widehat q_{\mathbf n}^{\,ii}(\xi)=f(\xi_1)f(\xi_2)\cdots f(\xi_d)$ с
$$
\begin{equation*}
f(\xi)=\biggl(\frac{1-\cos(r_0 \xi/\sqrt d)}{\xi^2}\biggr)^N, \quad \text{где} \quad N\geqslant2,\quad \xi\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $q_{\mathbf{n}}^{ii}(x)=0$ при $|x|\geqslant r_0$, и выполнены условия (2.16) и (2.17). Кроме того, условие S4 также выполнено, причем $\varphi(r)=0$ при $r\geqslant r_0$. Другим примером функции $q_{\mathbf n}^{ii}(x)$ является $q_{\mathbf n}^{ii}(x)=\exp\{-\beta_{\mathbf n} |x|^2\}$ с $\beta_{\mathbf n}>0$. Тогда $\widehat q_{\mathbf{n}}^{\,ii}(\xi)=(\pi/\beta_{\mathbf n})^{d/2}\exp\{-|\xi|^2/(4\beta_{\mathbf n})\}$, и выполнены условия (2.16) и (2.17).
§ 3. Поток энергии3.1. Гиббсовские мерыВведем гиббсовские меры $g_\beta$, $\beta=1/T$, как гауссовы меры с корреляционными функциями $Q^{ij}_\beta(x,y)=q_\beta^{ij}(x-y)$ вида
$$
\begin{equation}
q_\beta^{00}(x-y)= T\mathcal{E}(x-y),\qquad q_\beta^{11}(x-y)= T\delta(x-y),\qquad q_\beta^{01}(x-y)= q_\beta^{10}(x-y)= 0,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $\mathcal{E}(x)$ – фундаментальное решение оператора $-\Delta+m^2$, т. е. $(-\Delta+m^2)\mathcal{E}(x)=\delta(x)$, $x\in\mathbb{R}^d$. Однако корреляционные функции $Q^{ii}_\beta(x,y)$ не удовлетворяют условию S2 из-за сингулярности при $x=y$. Поэтому введем подходящие функциональные пространства для мер $g_\beta$. Определение 3.1. (i) $H_{s,\alpha}(\mathbb{R}^d)$ – гильбертово пространство распределений $u\in S'(\mathbb{R}^d)$ с конечной нормой (ii) $ G_{s,\alpha}$ – гильбертово пространство $H_{s+1,\alpha}(\mathbb{R}^d)\oplus H_{s,\alpha}(\mathbb{R}^d)$ с конечной нормой Зафиксируем $s,\alpha\,{<}\,{-}d/2$. Сначала введем гауссовы борелевские меры $g_{\beta}^0(du)$ и $g_{\beta}^1(dv)$ в пространствах $ H_{s+1,\alpha}(\mathbb{R}^d)$ и $H_{s,\alpha}(\mathbb{R}^d)$ соответственно с характеристическими функционалами
$$
\begin{equation*}
\left.\begin{aligned} \, \widehat g_{\beta}^0(\psi) &\equiv \int \exp\{i\langle u,\psi\rangle\}\, g_{\beta}^0(du)= \exp\biggl\{-\frac{1}{2\beta}\langle(-\Delta+m^2)^{-1}\psi,\psi\rangle\biggr\}, \\ \widehat g_{\beta}^1(\psi) &\equiv \int \exp\{i\langle v,\psi\rangle\}\, g_{\beta}^1(dv)= \exp\biggl\{-\frac{1}{2\beta}\langle\psi,\psi\rangle\biggr\}, \end{aligned}\ \right| \ \psi\in D.
\end{equation*}
\notag
$$
Существование мер $g^0_{\beta}$ и $g^1_{\beta}$ вытекает из теоремы Минлоса, так как (см. [9; с. 31])
$$
\begin{equation*}
\int \|u\|^2_{s+1,\alpha} \,g_{\beta}^0(du)<\infty, \quad \int\|v\|^2_{s,\alpha} \,g_{\beta}^1(dv)<\infty,\qquad s,\alpha<-\frac{d}2.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь определим гиббсовские меры $g_\beta(dY)$ как борелевские вероятностные меры вида $g^0_\beta(du)\times g^1_\beta(dv)$ на пространстве $G_{s,\alpha}$. Пусть $g_0$ – борелевская вероятностная мера в $G_{s,\alpha}$, которая построена так же, как мера $\mu_0$ в п. 2.5, но с гиббсовскими мерами $\mu_{\mathbf n}\equiv g_{\beta_{\mathbf n}}$ ($\beta_{\mathbf n}=1/T_{\mathbf n}$, $T_{\mathbf n}>0$, $\mathbf{n}\in\mathcal{N}^k$), которые имеют корреляционные матрицы $q_{\mathbf n}(x)\equiv q_{\beta_{\mathbf n}}(x)$, определенные в (3.1). Тогда $g_0$ удовлетворяет условиям S1 и S3, но не удовлетворяет S2. Поэтому теоремы 2.1 и 2.2 не могут быть прямо применимы к $g_0$. Однако, если $Y_0$ – случайная функция с распределением $g_0$, то $Y_0\in G_{s,\alpha}$ п.в. С другой стороны, вложение $G_{s,\alpha}\subset \mathcal{H}^s$ непрерывно в силу стандартных рассуждений из псевдодифференциальных уравнений [13]. Кроме того, оператор $U(t)\colon Y_0\mapsto Y(t)$ допускает непрерывное расширение $\mathcal{H}^{s}\mapsto\mathcal{H}^{s}$. Обозначим через $g_t$ распределение решения $U(t)Y_0$. Тогда справедливо следующее утверждение. Лемма 3.1. Пусть $s<-d/2$. Тогда существует борелевская вероятностная мера $g_\infty$, такая, что $g_t \rightharpoondown g_\infty$ при $t\to \infty$ в пространстве $\mathcal{H}^{s}$. Кроме того, $g_\infty$ – гауссова трансляционно-инвариантная мера на пространстве $G_{s,\alpha}$ ($s,\alpha<-d/2$) с нулевым средним значением и корреляционной матрицей $q_\infty$ вида (в преобразовании Фурье) Формулы (3.2) вытекают из (2.8)–(2.11) и (3.1). Лемма 3.1 может быть доказана, используя рассуждения из [16; теорема 3.1] и технику доказательства теоремы 4.1 из § 4. 3.2. Неравновесные состоянияПредположим, что все $A_j(x)\equiv 0$. Тогда задача (1.1) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \ddot u(x,t) = \Delta u(x,t) - m^2u(x,t),\ x\in\mathbb{R}^d,\ t\in \mathbb{R}, \\ u|_{t=0} = u_0(x),\ \dot u|_{t=0} = v_0(x). \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Пусть $u(x,t)$ – случайное решение задачи (3.3) с начальной мерой $\mu_0$, удовлетворяющей условиям S1–S3. Средняя плотность потока энергии равна
$$
\begin{equation*}
\mathbf{J}(x,t)=-\mathbb{E} \operatorname{Re}\bigl(\,\overline{\dot u(x,t)}\nabla u(x,t)\bigr)=-\operatorname{tr}[\nabla_yQ^{10}_t(x,y)|_{y=x}].
\end{equation*}
\notag
$$
В силу теоремы 2.1 получаем $\mathbf{J}(x,t) \to \mathbf{J}_\infty =\operatorname{tr}[\nabla q_{\infty}^{10}(0)]$ при $t\to\infty$. Применяя формулы (2.8)–(2.12), заключаем, что координаты вектора $\mathbf{J}_\infty=(J^1_\infty,\dots,J^d_\infty)$ равны
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J^l_\infty &= -i(2\pi)^{-d} \int_{\mathbb{R}^d} \xi_l \operatorname{tr}\bigl[\bigl(\mathbf{M}^+_{k}(\xi)+i\,\mathbf{M}^-_{k}(\xi)\bigr)^{10}\bigr] \,d\xi \\ &= -(2\pi)^{-d}\frac{1}{2^k} \sum_{\mathbf{n}\in\mathcal{N}^k} \biggl\{ \frac12\int_{\mathbb{R}^d} \xi_l\,\operatorname{tr}[\omega(\xi)\widehat q^{\,00}_{\mathbf{n}}(\xi)+\omega^{-1}(\xi)\widehat q^{\,11}_{\mathbf{n}}(\xi)] S^{\mathrm{odd}}_{k,\mathbf{n}}(\xi) \,d\xi \\ &\qquad+\int_{\mathbb{R}^d} \xi_l\operatorname{Im}\bigl(\operatorname{tr} \widehat q^{\,01}_{\mathbf{n}}(\xi)\bigr)(1+S^{\mathrm{even}}_{k,\mathbf{n}}(\xi))\,d\xi \biggr\}, \qquad l=1,\dots,d. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Упростим эту формулу в случае гиббсовских мер $\mu_{\mathbf n}$. Пусть $\mu_0=g_0$ – гиббсовская мера, построенная выше, с $\mu_{\mathbf n}=g_{\beta_{\mathbf n}}$. Тогда, применяя формулы (3.1) к $\widehat q_{\mathbf n}(\xi)\equiv \widehat q_{\beta_{\mathbf n}}(\xi)$ ($\beta_{\mathbf n}=1/T_{\mathbf n}$), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J^l_\infty &= -\frac{1}{(2\pi)^{d}}\,\frac{1}{2^{k}} \sum_{\mathbf{n}\in\mathcal{N}^k} \int_{\mathbb{R}^d} T_{\mathbf{n}}S^{\mathrm{odd}}_{k,\mathbf{n}}(\xi) \frac{\xi_l}{\omega(\xi)}\,d\xi \\ &=- \frac{1}{2^{k}}\sum_{\mathbf{n}\in\mathcal{N}^k} T_{\mathbf{n}}\biggl( \sum_{\operatorname{odd}m\in\{1,\dots, k\}} \sum_{(p_1,\dots,p_m)\in \mathcal{P}_m(k)}c^l_{p_1\dots p_m} (-1)^{n_{p_1}+\dots+n_{p_m}}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где числа $c^l_{p_1\dots p_m}$ равны (формально)
$$
\begin{equation}
c^l_{p_1\dots p_m}:=\frac{1}{(2\pi)^{d}}\int_{\mathbb{R}^d} \operatorname{sign}(\xi_{p_1})\cdots \operatorname{sign}(\xi_{p_m}) \frac{\xi_l}{\omega(\xi)}\,d\xi.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Все числа $ c^l_{p_1\dots p_m}$ в (3.4) равны нулю за исключением случая, когда $m=1$ и $l=p_1\in\{1,\dots,k\}$. Положим
$$
\begin{equation*}
c_l\equiv c^l_l=\frac{1}{(2\pi)^{d}} \int_{\mathbb{R}^d} \frac{|\xi_l|}{\sqrt{|\xi|^2+m^2}}\,d\xi,\qquad l=1,\dots, k.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $J^l_\infty=0$ при $l=k+1,\dots,d$ и
$$
\begin{equation*}
J^l_\infty=-c_l\,\frac{1}{2^{k}}\sum_{\mathbf{n}\in\mathcal{N}^k} (-1)^{n_{l}} T_{\mathbf{n}}\quad\text{при}\quad l=1,\dots, k,
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_l=+\infty$, и мы получаем “ультрафиолетовую расходящуюся” предельную плотность потока энергии $\mathbf{J}_\infty$ вида (1.10). Для того, чтобы построить предельные меры с конечной плотностью потока энергии, возьмем функцию $\theta\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$, которая является осесимметричной относительно всех координатных осей, и рассмотрим гауссовы процессы $Y_{\mathbf n}$, соответствующие мерам $g_{\beta_{\mathbf n}}$. Введем “сглаженные” меры $g^\theta_t$, $t\in\mathbb{R}$, как распределения свертки $Y(t)*\theta$. Заметим, что корреляционная матрица меры $g^\theta_0$ не удовлетворяет условию (2.2). Однако доказательство теорем 2.1 и 2.2 можно модифицировать таким образом, что все их утверждения останутся справедливыми для мер $g^\theta_t$. Поэтому имеет место слабая сходимость $g^\theta_t\rightharpoondown g^\theta_\infty$ при $t\to\infty$ в силу замечания 2.4. Кроме того, для свертки $Y(t)*\theta$ соответствующая предельная плотность потока энергии $\mathbf{J}_\infty$ конечна и имеет вид (1.10), где
$$
\begin{equation}
c_l= \frac{1}{(2\pi)^d}\int_{\mathbb{R}^d} |\widehat\theta(\xi)|^2 \frac{|\xi_l|}{\sqrt{|\xi|^2+m^2}}\, d\xi<\infty, \quad \text{и}\quad c_l>0, \quad \text{если}\quad \theta(x)\not\equiv 0.
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Заметим, что можно подобрать такие значения температур $T_{\mathbf{n}}$, что $\mathbf{J}_\infty\ne 0$.
§ 4. Доказательство теорем 2.1 и 2.2: постоянные коэффициентыВ этом параграфе докажем теоремы 2.1 и 2.2 в случае постоянных коэффициентов, т. е. для задачи (3.3). Случай переменных коэффициентов обсуждается в следующем параграфе. Сначала докажем равномерную оценку для ковариации $Q_t(x,y)$ и сходимость (2.14). Теорема 4.1. Пусть $A_{j}(x)\equiv0$ и выполнены условия S1–S3. Тогда справедливы следующие утверждения. (i) Функция $Q_{t}(x,y)$ непрерывна, и
$$
\begin{equation}
\sup_{t\geqslant0}\mathbb{E} \|U(t)Y_0(\,{\cdot}\,)\|^2_R<\infty,\qquad R>0.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
(ii) Корреляционные функции $Q_t(x,y)$ сходятся к пределу в смысле распределений, т. е. имеет место (2.14). Доказательство этой теоремы см. ниже в п. 4.2. Чтобы доказать ее, предварительно изучим свойства начальной ковариации. 4.1. Свойства начальной ковариацииИз условия S2 вытекает, что $q^{ij}_{\mathbf{n}}(x)$ являются непрерывными ограниченными функциями. Следовательно, $Q_0^{ij}(x,y)$ – также непрерывные ограниченные функции. Лемма 4.1. (i) Пусть выполнены условия S1 и S2. Тогда справедливы следующие оценки: где $i,j=0,1$, и константа $C$ не зависит от $x,y\in\mathbb{R}^d$. (ii) Пусть выполнены условия S1–S3. Тогда $\widehat q^{\,ij}_{\mathbf{n}}\in L^1(\mathbb{R}^d)\otimes M^2$, $i,j=0,1$. Доказательство. Утверждение (i) вытекает из оценки (2.1), так как
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}^d} |D_{x,y}^{\alpha,\beta}Q^{ij}_0(x,y)|^p\,dy\leqslant C \int_{\mathbb{R}^d} h^p(|x-y|)\,dy\leqslant C_1 \int_0^\infty r^{d-1}h(r)\,dr <\infty,
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
$p\geqslant1$. Также, из оценки (2.1) вытекает, что для $\gamma\in\mathbb{Z}^d$: $|\gamma|\leqslant 2-i-j$, $i,j=0,1$,
$$
\begin{equation*}
|D^{\gamma}q^{ij}_{\mathbf{n}}(x)| \leqslant Ch(|x|),\quad \text{где}\quad r^{d-1}h(r)\in L^1(0,+\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
D^{\gamma}q^{ij}_{\mathbf{n}}(x)\in L^p(\mathbb{R}^d)\otimes M^2,\qquad p\geqslant1.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
С одной стороны, в силу теоремы Бохнера (см., например, [17]) распределение $\widehat q_{\mathbf{n}}\equiv(\widehat q^{\,ij}_{\mathbf{n}}(\xi))\, d\xi$ является положительно определенной матричнозначной мерой на $\mathbb{R}^d$, и из условия S2 вытекает, что полная мера $\widehat q_{\mathbf{n}}(\mathbb{R}^d)$ конечна. С другой стороны, из (4.3) с $p=2$ вытекает, что $\widehat q^{\,ij}_{\mathbf{n}}\in L^2(\mathbb{R}^d)\otimes M^2$. Отсюда следует утверждение (ii) леммы. Следствие 4.1. (i) Из леммы 4.1, (i) и теста Шура (см., например, [18; теорема 0.3.1]) вытекает, что квадратичная форма $\mathcal{Q}_0(\Psi,\Psi)$ непрерывна на $L^2(\mathbb{R}^d)\otimes \mathbb{C}^2$. (ii) Аналогично лемме 4.1, (ii) можно проверить, что из оценки (4.3) и теоремы Бохнера вытекает, что $\omega^{2-i-j}(\xi)\widehat q^{\,ij}_{\mathbf{n}}(\xi)\in L^1(\mathbb{R}^d)\otimes M^2$, $i,j=0,1$. Следовательно, для матрицы $C(\xi)$, введенной в (2.12), получаем
$$
\begin{equation}
C(\xi)\widehat q_{\mathbf{n}}(\xi) C^\top(\xi),\ C(\xi)\widehat q_{\mathbf{n}}(\xi),\ \widehat q_{\mathbf{n}}(\xi) C^\top(\xi)\in L^1(\mathbb{R}^d)\otimes M^4.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
С учетом формул (2.8)–(2.12) получаем, что $\widehat q_\infty^{\,ij}\in L^1(\mathbb{R}^d)\otimes M^2$ для любых $i,j=0,1$. (iii) Квадратичная форма $\mathcal{Q}_\infty(\Psi,\Psi)$ непрерывна в $L^2(\mathbb{R}^d)\otimes \mathbb{C}^2$. Лемма 4.2 (см. [7; лемма 5.1]). Функции $\zeta_n\in C^\infty(\mathbb{R})$, $n=1,2$, определенные в (2.4), допускают следующие представления (в преобразовании Фурье): где $\alpha_n\in C_0^\infty(\mathbb{R})$, $\widehat\alpha_n(0)=1$, $\operatorname{PV}(1/\xi)$ обозначает распределение в смысле главного значения по Коши. Так как $Q_0(x,x')$ – непрерывная ограниченная функция, то она принадлежит пространству Шварца обобщенных функций так же, как и ее преобразование Фурье. Применим преобразование Фурье к функции $Q_0(x,x')$:
$$
\begin{equation*}
\widehat Q_0(\xi,\xi'):=F_{\substack{x\to \xi\\ x'\to -\xi'}}[Q_{0}(x,x')],\qquad \xi,\xi'\in\mathbb{R}^d.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя равенство $\widehat {fg}=(2\pi)^{-2d}\widehat f*\widehat g$ для распределений в $\mathbb{R}^{2d}$ и представление (2.2), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widehat Q_0(\xi,\xi')&:= F_{\substack{x\to \xi\\ x'\to -\xi'}}\biggl[\sum_{\mathbf{n}\in\mathcal{N}^k} \zeta_{\mathbf{n}}(\overline x)\zeta_{\mathbf{n}}(\overline x')q_{\mathbf{n}}(x-x')\biggr] \nonumber \\ \,&= (2\pi)^{-2d}\sum_{\mathbf{n}\in\mathcal{N}^k}\bigl( F_{x\to \xi}[\zeta_{\mathbf{n}}(\overline x)] F_{x'\to -\xi'}[\zeta_{\mathbf{n}}(\overline x')]\bigr)*(2\pi)^{d}\widehat q_{\mathbf{n}}(\xi)\delta(\xi-\xi') \nonumber \\ &=(2\pi)^{d-2k} \delta({\widetilde \xi}-{\widetilde \xi'}) \sum_{\mathbf{n}\in\mathcal{N}^k} \int_{\mathbb{R}^k} \Bigl[\widehat\zeta_{\mathbf{n}}(\overline\xi-\overline\eta) \overline{\widehat\zeta_{\mathbf{n}}(\overline\xi'-\overline\eta)} \widehat q_{\mathbf{n}}(\overline\eta,\widetilde\xi)\Bigr]\,d\overline\eta. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Здесь $\xi=(\overline \xi,\widetilde \xi)\in\mathbb{R}^d$, $\overline \xi=(\xi_1,\dots,\xi_{k})$, $\widehat\zeta_{\mathbf n}(\overline\xi)=\widehat\zeta_{n_1}(\xi_1)\cdots\widehat\zeta_{n_k}(\xi_k)$, $*$ обозначает свертку по $\xi$ и $\xi'$. Свертка существует в смысле распределений умеренного роста, так как распределение $\widehat\zeta_{n_j}(\xi_j)$ является гладкой функцией при $\xi_j\ne 0$, которая быстро убывает при $|\xi_j|\to\infty$, а $\widehat q_{\mathbf{n}}^{ij}$ – ограниченные непрерывные функции. 4.2. Доказательство теоремы 4.1В преобразовании Фурье система (3.3) имеет вид $\dot {\widehat Y}(\xi,t)=\widehat{\mathcal{A}}_0 (\xi)\widehat Y(\xi,t)$, поэтому
$$
\begin{equation}
\widehat Y(\xi,t)=\widehat{\mathcal{G}}_t(\xi)\widehat Y_0(\xi), \quad \text{где}\quad \widehat{\mathcal{G}}_t(\xi)=\exp\bigl(\widehat{\mathcal{A}}_0(\xi)t\bigr).
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Здесь введены следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widehat{\mathcal{A}}_0(\xi)= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\omega^2 & 0 \end{pmatrix},\qquad \widehat{\mathcal{G}}_t( \xi)= \begin{pmatrix} \cos\omega t & \dfrac{\sin \omega t}{\omega} \\ -\omega\sin\omega t & \cos\omega t \end{pmatrix}, \\ \omega\equiv\omega(\xi)=\sqrt{ |\xi|^2+m^2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Запишем $\widehat{\mathcal{G}}_t(\xi)$ в виде
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathcal{G}}_t(\xi)=\cos\omega(\xi) t\,I+\sin\omega(\xi) t\, C(\xi),
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
где $I$ – единичная матрица. Тогда ковариация $Q_t(x,y)$ допускает представление в виде свертки
$$
\begin{equation*}
Q_{t}(x,y)=\int_{\mathbb{R}^{2d}} \mathcal{G}_t(x-x') Q_0(x',y')\mathcal{G}_t^\top(y-y')\,dx'\,dy',
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal{G}_t(x)=F^{-1}_{\xi\to x}[\widehat{\mathcal{G}}_t(\xi)]$. Существование свертки выводится с помощью преобразования Фурье. Действительно, применим преобразование Фурье к матрице $Q_t(x,y)$:
$$
\begin{equation*}
\widehat Q_t(\xi,\xi'):= F_{\substack{x\to \xi\\ y\to -\xi'}}[Q_t(x,y)]= \widehat{\mathcal{G}}_t(\xi)\widehat Q_0(\xi,\xi')\widehat{\mathcal{G}}_t^\top(-\xi'), \qquad \xi,\xi'\in\mathbb{R}^d.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя равенство $\widehat{\mathcal{G}}^\top_t(-\xi')=\widehat{\mathcal{G}}^\top_t(\xi')$ и разложение (4.6), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Q_{t}(x,y)&= (2\pi)^{-2d}\int_{\mathbb{R}^{2d}} e^{-i\xi\cdot x+i\xi'\cdot y} \widehat{\mathcal{G}}_t(\xi)\widehat Q_0(\xi,\xi') \widehat{\mathcal{G}}_t^\top(\xi')\,d\xi\, d\xi' \nonumber \\ &= (2\pi)^{-d}\sum_{\mathbf{n}\in\mathcal{N}^k} \int_{\mathbb{R}^{d}} e^{- i\xi\cdot(x-y)} I_{\mathbf{n},t}(\overline x,\xi) \widehat q_{\mathbf{n}}(\xi)(I_{\mathbf{n},t}(\overline y,\xi))^* d\xi. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Здесь $I_{\mathbf{n},t}(\overline x,\xi)=\bigl(I^{ij}_{\mathbf{n},t}(\overline x,\xi)\bigr)_{i,j=0,1}$ обозначает внутренний матричнозначный интеграл
$$
\begin{equation}
I_{\mathbf{n},t}(\overline x,\xi):= \frac{1}{(2\pi)^k} \int_{\mathbb{R}^k} e^{-i \overline\eta\cdot\overline x}\widehat{\mathcal{G}}_t(\overline \xi+\overline\eta,\widetilde\xi) \widehat\zeta_{\mathbf{n}}(\overline\eta)\,d\overline\eta, \qquad \overline x\in\mathbb{R}^k,\quad \xi\in\mathbb{R}^d,
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
$I^*_{\mathbf{n},t}$ обозначает его эрмитово сопряжение. Аналогично, для $\Psi\in\mathcal{S}$ получаем
$$
\begin{equation}
\langle Q_{t}(x,y),\Psi(x)\otimes\Psi(y)\rangle =(2\pi)^{-d}\sum_{\mathbf{n}\in\mathcal{N}^k} \int_{\mathbb{R}^{d}} I^\Psi_{\mathbf{n},t}(\xi) \widehat q_{\mathbf{n}}(\xi)(I^\Psi_{\mathbf{n},t}(\xi))^*\,d\xi,
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
где через $I^\Psi_{\mathbf{n},t}(\xi)$ обозначается внутренний векторнозначный интеграл вида
$$
\begin{equation}
I^\Psi_{\mathbf{n},t}(\xi):= \frac{1}{(2\pi)^k} \int_{\mathbb{R}^k} \overline{\widehat\Psi(\overline \xi+\overline\eta,\widetilde\xi)}\, \widehat{\mathcal{G}}_t(\overline \xi+\overline\eta,\widetilde\xi)\, \widehat\zeta_{\mathbf{n}}(\overline\eta)\,d\overline\eta.
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Введем множество пробных функций $\mathcal{S}_0\subset \mathcal{S}$:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{S}_0=\bigcup_{N}\mathcal{S}_N,\qquad \mathcal{S}_N:=\biggl\{\Psi\in\mathcal{S}\colon \widehat\Psi(\xi)=0\text{ для }\xi\in\mathbb{R}^d\colon |\xi|\geqslant N \text{ или } |\overline\xi|\leqslant\frac1{N}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следующее предложение играет важную роль в доказательстве теоремы 4.1. Предложение 4.1. Пусть $\mathbf{n}\in\mathcal{N}^k$ и $R>0$. Тогда справедливы следующие утверждения. (i) Для любых $\xi\in\mathbb{R}^d$ функции $I_{\mathbf{n},t}(\overline x,\xi)$ равномерно ограничены по $t\geqslant1$ и $\overline x\in\mathbb{R}^k\colon |\overline x|\leqslant R$. Более того,
$$
\begin{equation}
\sup_{t\geqslant 1,\, |\overline x|\leqslant R} |I^{ij}_{\mathbf{n},t}(\overline x,\xi)| \leqslant C_1+C_2|C^{ij}(\xi)|, \qquad i,j=0,1,
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
где через $C^{ij}(\xi)$ обозначаются элементы матрицы $C(\xi)$, константы $C_1$ и $C_2$ не зависят от $\xi$. (ii) Пусть $\Psi\in \mathcal{S}_N$ с некоторым $N\in\mathbb{N}$. Тогда для $\xi\in \mathbb{R}^d$,
$$
\begin{equation}
I^\Psi_{\mathbf{n},t}(\xi)= \frac{1}{2^k}\,\overline{\widehat\Psi(\xi)}\widehat{\mathcal{G}}_t(\xi) \bigl(I+S^{\mathrm{even}}_{k,\mathbf{n}}(\xi)I +S^{\mathrm{odd}}_{k,\mathbf{n}}(\xi)iC(\xi)\bigr) +o(1)\quad\textit{при}\quad t\to\infty,
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
где $o(1)$ стремится к нулю равномерно по $\xi\in\mathbb{R}^d$, $S^{\mathrm{even}}_{k,\mathbf{n}}(\xi)$ и $S^{\mathrm{odd}}_{k,\mathbf{n}}(\xi)$ определены в (2.10). Доказательство теоремы 4.1, (i). Из разложения (4.9), оценок (4.4) и предложения 4.1, (i) вытекает, что функция $Q_t(x,y)$ непрерывна и
$$
\begin{equation*}
\sup_{t\geqslant 1}\sup_{x\in B_R} |Q_t(x,x)|<\infty\quad \text{для любых}\quad R>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичным способом можно проверить, что функция $\nabla_x\cdot\nabla_{y} Q_t^{00}(x,y)$ непрерывна и
$$
\begin{equation*}
\sup_{t\geqslant 1}\sup_{x\in B_R}\bigl(\nabla_x\cdot\nabla_{y} Q_t^{00}(x,y)|_{x=y}\bigr) \leqslant C<\infty,\qquad R>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $e_t(x,y):=Q_t^{00}(x,y)+ \nabla_x\cdot\nabla_{y} Q_t^{00}(x,y)+Q_t^{11}(x,y)$. Тогда для любых $R>0$, Следовательно, Чтобы проверить утверждение (ii) теоремы 4.1, сначала докажем следующую лемму. Лемма 4.3. Пусть $\mathcal{Q}_t(\Psi,\Psi)\to\mathcal{Q}_\infty(\Psi,\Psi)$ при $t\to\infty$ для любых $\Psi\in \mathcal{S}_0$. Тогда эта сходимость справедлива для любых $\Psi\in \mathcal{S}$. Доказательство. Из (4.7) вытекает, что $\langle Y(x,t),\Psi(x)\rangle=\langle Y_0(x),\Phi(x,t)\rangle$, где $\Phi(\,{\cdot}\,,t):=F^{-1}[\widehat{\mathcal{G}}^*_t(\xi)\widehat\Psi(\xi)]$. Поэтому $\mathcal{Q}_t(\Psi,\Psi)=\mathcal{Q}_0(\Phi(\,{\cdot}\,,t),\Phi(\,{\cdot}\,,t))$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\sup_{t\in\mathbb{R}}|\mathcal{Q}_t(\Psi,\Psi)|\leqslant C\sup_{t\in\mathbb{R}}\|\Phi(\,{\cdot}\,,t)\|^2_{L^2}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
в силу следствия 4.1, (i). В свою очередь, из равенства Парсеваля и формул (2.12), (4.8) следует, что
$$
\begin{equation}
\|\Phi(\,{\cdot}\,,t)\|^2_{L^2} =(2\pi)^{-d} \int |\widehat{\mathcal{G}}^*_t(\xi)\widehat\Psi(\xi)|^2\,d\xi\leqslant C\|\Psi\|^2_{H^1(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Для любого $\Psi\in\mathcal{S}$ можно выбрать $\Psi_N\in\mathcal{S}_N$ таким образом, что
$$
\begin{equation*}
\widehat\Psi_N(\xi)=\begin{cases} \widehat\Psi(\xi), &\text{если } |\xi|\leqslant \dfrac{N}2\text{ и } |\overline{\xi}|\geqslant\dfrac2{N}, \\ 0, &\text{если }|\xi|\geqslant N\text{ или }|\overline{\xi}|\leqslant\dfrac1{N}, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation}
\|\Psi_N-\Psi\|^2_{H^1(\mathbb{R}^d)}= \int(|\xi|^2+1) |\widehat\Psi_N(\xi)-\widehat\Psi(\xi)|^2\, d\xi\to 0,\qquad N\to\infty.
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Следовательно, лемма 4.3 вытекает из (4.15)–(4.17) и следствия 4.1. Доказательство теоремы 4.1, (ii). Это утверждение вытекает из представления (4.11), леммы 4.3 и предложения 4.1, (ii). Действительно, пусть $\Psi\in\mathcal{S}_N$. Тогда в силу (4.11) и (4.14) получаем
$$
\begin{equation}
\mathcal{Q}_t(\Psi,\Psi)= (2\pi)^{-d}\int_{\mathbb{R}^d} \overline{\widehat\Psi(\xi)}\widehat{\mathcal{G}}_t(\xi) R(\xi) \widehat{\mathcal{G}}_t^{\,\top}(\xi)\widehat\Psi(\xi)\,d\xi+o(1), \qquad t\to\infty,
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
где $R(\xi)$ – матричнозначная функция вида
$$
\begin{equation*}
R(\xi)=\frac{1}{2^{2k}}\sum_{\mathbf{n}\in\mathcal{N}^k} \bigl(I+S^{\mathrm{even}}_{k,\mathbf{n}}(\xi)I +S^{\mathrm{odd}}_{k,\mathbf{n}}(\xi)iC(\xi)\bigr)\widehat q_{\mathbf n}(\xi) \bigl(I+S^{\mathrm{even}}_{k,\mathbf{n}}(\xi)I -S^{\mathrm{odd}}_{k,\mathbf{n}}(\xi)iC^\top(\xi)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя (4.8), формулы
$$
\begin{equation*}
\cos^2(\omega t)=\frac{1+\cos(2\omega t)}2,\qquad \sin^2(\omega t)=\frac{1-\cos(2\omega t)}2,
\end{equation*}
\notag
$$
получаем
$$
\begin{equation*}
\widehat{\mathcal{G}}_t(\xi)R(\xi)\widehat{\mathcal{G}}^{\,\top}_t(\xi) =L_1^+(R(\xi))+ \cos(2\omega(\xi)t) L_1^-(R(\xi))+ \sin(2\omega(\xi)t) L_2^+(R(\xi)),
\end{equation*}
\notag
$$
где $L_1^\pm(\,{\cdot}\,)$ и $L_2^\pm(\,{\cdot}\,)$ определены в (2.11). Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Q}_t(\Psi,\Psi)= (2\pi)^{-d}\int_{\mathbb{R}^d} \overline{\widehat\Psi(\xi)}L_1^+(R(\xi))\widehat\Psi(\xi)\,d\xi+o(1),\qquad t\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
так как остальные осциллирующие интегралы в (4.18) стремятся к нулю при $t\to\infty$, что следует из (4.4) и теоремы Лебега–Римана. Заметим, что
$$
\begin{equation}
R(\xi)=\frac{1}{2^{k}}\sum_{\mathbf{n}\in\mathcal{N}^k} \bigl(\bigl(1+S^{\mathrm{even}}_{k,\mathbf{n}}(\xi)\bigr) L_1^+(\widehat q_{\mathbf n}(\xi)) +iS^{\mathrm{odd}}_{k,\mathbf{n}}(\xi)L_2^-(\widehat q_{\mathbf n}(\xi))\bigr).
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Так как $L_1^+(L_1^+(\widehat q_{\mathbf n}(\xi)))=L_1^+(\widehat q_{\mathbf n}(\xi))$, $L_1^+(L_2^-(\widehat q_{\mathbf n}(\xi)))=L_2^-(\widehat q_{\mathbf n}(\xi))$, то $L_1^+(R(\xi))=\widehat q_\infty(\xi)$ в силу (4.19) и (2.8), (2.9). Это завершает доказательство сходимости (2.14). 4.3. Доказательство теоремы 2.2Применяя методы [19; дополнение II] и общую идею доказательства слабой сходимости мер из работ [11], [7], [9], [16], заключаем, что теорема 2.2 вытекает из следующих двух утверждений. Утверждение I. Пусть выполнены условия S1–S3. Тогда семейство мер $\{\mu_t, t\in \mathbb{R}\}$ слабо компактно в $\mathcal{H}^{-\varepsilon}$ с любым $\varepsilon>0$. Утверждение II. Пусть выполнены условия S1, S3, S4. Тогда для любых $\Psi\in \mathcal{D}$ характеристические функционалы мер $\mu_t$ сходятся к пределу, Утверждение I вытекает из оценки (4.1) и теоремы Прохорова, см. [19; лемма II.3.1]. Утверждение II может быть доказано, используя методы из [7; § 8]. В доказательстве этого утверждения применяется сходимость (2.14), условие перемешивания для начальной меры $\mu_0$, центральная предельная теорема (см., например, [20; теорема 4.7]) и метод “комнат–коридоров” Бернштейна, развитый для уравнений Клейна–Гордона в [9; с. 17–25]. Заметим, что если начальная мера – гауссова, то сходимость (2.15) вытекает из утверждения I и теоремы 2.1. Поэтому в этом случае не требуется накладывать условие перемешивания на начальную меру. § 5. Слабая сходимость для переменных коэффициентовТеоремы 2.1 и 2.2 могут быть обобщены на уравнения с переменными коэффициентами, которые постоянны вне ограниченной области. Это обобщение вытекает непосредственно из полученных результатов для постоянных коэффициентов, используя метод [9; § 10, 11]. Этот метод основан на теории рассеяния для решений бесконечной энергии, которая построена в [9]. Кратко опишем эти результаты. Обозначим через $U_0(t)$ оператор $U(t)$ в случае постоянных коэффициентов. Введем “сопряженный” оператор $U'(t)$, $t\in\mathbb{R}$, следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\langle Y,U'(t)\Psi \rangle=\langle U(t)Y,\Psi\rangle, \quad \text{где}\quad Y\in \mathcal{H},\quad \Psi\in \mathcal{D}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично введем оператор $U'_0(t)$. Действие групп $U'_0(t)$ и $U'(t)$ совпадает с действиями групп $U_0(t)$ и $U(t)$ соответственно с точностью до порядка компонент. Рассмотрим операторы $U'(t)$ и $U'_0(t)$ в комплексном пространстве $H =L^2(\mathbb{R}^d)\oplus H^1(\mathbb{R}^d)$. В силу сохранения энергии для уравнений Клейна–Гордона, получаем следующую оценку. Введем семейство ограниченных полунорм в $H$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\|\Psi\|_{(R)}^2= \int_{|x|\leqslant R} \bigl(|\Psi^0(x)|^2+|\Psi^1(x)|^2 +|\nabla\Psi^1(x)|^2\bigr)\,dx, \qquad R>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $H_{(R)}$ подпространство функций из $H$ с носителем в шаре $B_R$. Пусть $H_c$ обозначает пространство $\bigcup_{R>0} H_{(R)}$ со следующей сходимостью: последовательность $\Psi_n$ сходится к $\Psi$ в $H_c$ при $n\to\infty$ тогда и только тогда, когда $\exists\, R>0$ такое, что $\Psi_n\in H_{(R)}$ и $\Psi_n$ сходится к $\Psi$ в норме $\|\,{\cdot}\,\|_{(R)}$ при $n\to\infty$. Положим
$$
\begin{equation*}
\left.\varepsilon_d(t)= \begin{cases} (t+1)^{-1/2}, &d\geqslant 3, \\ \ln^{-1}(t+2), &d=2, \end{cases}\ \right|\ t\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 5.2. Пусть $d\geqslant 2$ и выполнены условия E1–E3 и S1–S3. Тогда существуют линейные непрерывные операторы $W,r(t)\colon {H_c}\to H$, такие, что для $\Psi\in{H_c}$ имеет место следующее представление: где для любых $R>0$ и $\Psi\in H_{(R)}$ справедливы следующие оценки: Доказательство этой леммы опирается на результаты Вайнберга [10; теоремы 3–5] и может быть выведено аналогично [9; теорема 10.4] и [7; теорема 9.1].
§ 6. Дополнение: сингулярные осциллирующие интегралыВ этом параграфе мы докажем предложение 4.1. Пусть $k\in\{1,\dots,d\}$, $\overline x=(x_1,\dots,x_k)\in\mathbb{R}^k\colon |\overline x|\leqslant R$ с некоторым $R>0$, $\alpha_{n_j}\in C_0^\infty(\mathbb{R})$, $\widehat\alpha_{n_j}(0)=1$ ($\alpha_{n_j}$ из (4.5)), $B_N$ обозначает шар радиуса $N$ в $\mathbb{R}^d$. Лемма 6.1. (i) Пусть $\xi=(\overline\xi,\widetilde\xi)\in\mathbb{R}^d$, $t\geqslant1$, (ii) Пусть $g\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$, $\operatorname{supp}g\in B_N^0:=\{\xi\in B_N\colon |\overline \xi|\geqslant1/N\}$ и
$$
\begin{equation*}
j_t(\xi):=\operatorname{PV}\int_{\mathbb{R}^k} g(\overline\xi+\overline\eta,\widetilde \xi)e^{\pm i\omega(\overline\xi+\overline\eta,\widetilde \xi)t}\frac{\widehat\alpha_{n_1}(\eta_1)}{\eta_1} \cdots\frac{\widehat\alpha_{n_k}(\eta_k)}{\eta_k}\,d\overline\eta,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\xi=(\overline\xi,\widetilde\xi)\in\mathbb{R}^d$, $t\geqslant1$. Тогда здесь $o(1)$ стремится к нулю при $t\to+\infty$ равномерно по $\xi\in\mathbb{R}^d$. В случае $k=1$ эта лемма доказана в [7; лемма 11.1]. Для любых $k$ доказательство аналогично. Заметим, что $\operatorname{sign}(\partial_j\omega(\xi))=\operatorname{sign}(\xi_j)$. Применяя формулу (4.8) для $\widehat{\mathcal{G}_t}(\xi)$, получаем следующий результат. Следствие 6.1. (i) Пусть $J_t(\overline x,\xi)=(J^{ij}_t(\overline x,\xi))_{i,j=0,1}$, $\xi\in\mathbb{R}^d$, $t\geqslant1$, где (ii) Пусть $\Psi\in\mathcal{S}_N$. Тогда $\operatorname{supp}\widehat\Psi\subset B_N^0$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
J^\Psi_t(\xi)=\operatorname{PV}\int_{\mathbb{R}^k} \overline{\widehat\Psi(\overline\xi+\overline\eta,\widetilde \xi)}\, \widehat{\mathcal{G}}_t(\overline\xi+\overline\eta,\widetilde \xi)\frac{\widehat\alpha_{n_1}(\eta_1)}{\eta_1} \cdots\frac{\widehat\alpha_{n_k}(\eta_k)}{\eta_k}\,d\overline\eta, \qquad \xi\in\mathbb{R}^d,\quad t\geqslant1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда где $o(1)$ стремится к нулю равномерно по $\xi\in\mathbb{R}^d$. Доказательство предложения 4.1, (i). Пусть $k=1$. Тогда, применяя формулу (4.5) и определение (4.10), получаем
$$
\begin{equation*}
I_{n_1,t}(\overline x,\xi)= \frac{1}{2\pi}\bigl(\pi\widehat{\mathcal{G}}_t(\xi) + i(-1)^{n_1} J_t(x_1,\xi)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
J_t(x_1,\xi)=\operatorname{PV}\int_{\mathbb{R}} e^{-i\eta_1 x_1} \widehat{\mathcal{G}}_t(\xi_1+\eta_1,\widetilde \xi) \frac{\widehat\alpha_{n_1}(\eta_1)}{\eta_1} \,d\eta_1,\qquad \xi=(\xi_1,\widetilde\xi)\in\mathbb{R}^d,\quad t\geqslant1.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, оценка (4.13) вытекает из (6.2). Если $k=2$, то $\overline x=(x_1,x_2)$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_{\mathbf{n},t}(\overline x,\xi) &= \frac{1}{(2\pi)^2}\bigl(\pi^2\widehat{\mathcal{G}}_t(\xi)+\pi i(-1)^{n_1} J_t(x_1,\xi)+\pi i(-1)^{n_2} J_t(x_2,\xi) \\ &\qquad +(i)^2(-1)^{n_1+n_2} J_t(\overline x,\xi)\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, J_t(x_2,\xi):=\operatorname{PV}\int_{\mathbb{R}} e^{-i\eta_2 x_2} \widehat{\mathcal{G}}_t(\xi_1,\xi_2+\eta_2,\widetilde \xi) \frac{\widehat\alpha_{n_2}(\eta_2)}{\eta_2} \,d\eta_2, \\ \xi=(\xi_1,\xi_2,\widetilde\xi)\in\mathbb{R}^d,\qquad t\geqslant1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, оценка (4.13) вытекает из (6.2). Для любых $k>2$ доказательство аналогично. Доказательство предложения 4.1, (ii). Пусть $k=1$. Применяя (4.5), (4.12) и (6.3) с $k=1$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I^\Psi_{n_1,t}(\xi)&=\frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}}\overline{\widehat\Psi(\xi_1{\kern1pt}{+}{\kern1pt}\eta_1,\widetilde \xi)} \widehat{\mathcal{G}}_t(\xi_1{\kern1pt}{+}{\kern1pt}\eta_1,\widetilde \xi) \biggl(\pi\delta(\eta_1){\kern1pt}{+}{\kern1pt} i(-1)^{n_1} \operatorname{PV}\biggl(\frac{1}{\eta_1}\biggr) \widehat\alpha_{n_1}(\eta_1)\biggr)\,d\eta_1 \\ &= \frac{1}{2}\overline{\widehat\Psi( \xi)} \widehat{\mathcal{G}}_t(\xi) [I+(-1)^{n_1}\operatorname{sign}(\xi_1)i\,C(\xi)]+o(1),\qquad t\to+\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, для любых $k\geqslant1$ получаем
$$
\begin{equation}
I^\Psi_{\mathbf{n},t}(\xi)= \frac{1}{2^k}\overline{\widehat\Psi(\xi)} \widehat{\mathcal{G}}_t(\xi) \prod_{l=1}^k [I+(-1)^{n_l}\operatorname{sign}(\xi_l)\,iC(\xi)]+o(1),\qquad t\to+\infty,
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
равномерно по $\xi\in\mathbb{R}^d$. Так как $(iC(\xi))^l=I$, если $l$ четно, и $(iC(\xi))^l=iC(\xi)$, если $l$ нечетно, то
$$
\begin{equation}
\prod_{l=1}^k[I+(-1)^{n_l}\operatorname{sign}(\xi_l)\,iC(\xi)] =I+S^{\mathrm{even}}_{k,\mathbf{n}}(\xi)I +S^{\mathrm{odd}}_{k,\mathbf{n}}(\xi)\,iC(\xi).
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
Следовательно, из (6.4) и (6.5) вытекает оценка (4.14). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Dud21} |
|
||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|