| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Факторизация Неванлинны в весовых классах аналитических функций переменной гладкости Н. А. Широковab a Санкт-Петербургский государственный университет b Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9041 
Реферативные базы данных:
    Посвящается памяти выдающегося математика А. Г. Витушкина Данная работа посвящается еще одному классу аналитических в единичном круге $\mathbb D$ функций, в котором удается полностью описать внешне-внутреннюю факторизацию Неванлинны этих функций. Рассматриваемый класс состоит из непрерывных в замкнутом круге $\overline{\mathbb{D}}$ функций, поэтому наличие в факторизации внутреннего множителя или близость к нулю модуля функции на подмножестве единичной окружности $\mathbb T$ ведет к определенным требованиям на функцию в целом. Первые результаты в учете таких требований принадлежат У. Рудину, который рассматривал класс $C_A$ функций, аналитических в $\mathbb{D}$ и непрерывных в $\overline{\mathbb{D}}$ [1], и Л. Карлесону [2], который получил явную формулу для интеграла Дирихле аналитической в $\mathbb D$ функции, связывающую внешний и внутренний множители на окружности $\mathbb T$. Наличие массивных множеств на единичной окружности, на которых модуль функции из класса $C_A$ мал, также оказывает влияние на гладкость функции в целом. Впервые это было отмечено В. П. Хавиным и Ф. А. Шамояном [3], а также Л. Карлесоном и С. Якобсом (работа не опубликована) и известно как теорема о классе Липшица $\alpha/2$. А именно, пусть $\Lambda^\alpha$, $0\,{<}\,\alpha\,{<}\,1$, – класс функций $f$ из $C_A$, для которых выполнено условие $|f(z_2)-f(z_1)|\leqslant c_f|z_2-z_1|^\alpha$, $z_1,z_2 \in \overline{\mathbb{D}}$, $\Lambda_R^\alpha$ – класс функций $f$, заданных на $\mathbb T$, для которых приведенное условие справедливо при $z_1,z_2 \in \mathbb T$. Тогда теорема Хавина–Шамоняна–Карлесона–Якобса утверждает, что если $F$ – внешняя в смысле Неванлинны функция в $\mathbb{D}$, $F\in C_A$ и $|F|\in \Lambda_R^\alpha$, то $F\in \Lambda^{\alpha/2}$ и эта оценка точна. В работе [3] рассматривалось $\alpha\in (0,1)$, далее Дж. Бреннан [4] распространил данный результат на $\alpha\in (0,2)$. Полное описание внешне-внутренней факторизации Неванлинны в некоторых классах аналитических в $\mathbb{D}$ и непрерывных в $\overline{\mathbb{D}}$ функций имеется в монографии [5]. В работах [6], [7] изучена факторизация Неванлинны в классах Бесова аналитических в $\mathbb{D}$ функций. Гёльдеровские классы переменной гладкости рассматривались в статьях [8], [9]. Настоящая статья посвящена пространствам аналитических в $\mathbb{D}$ функций, полунорма в которых задается переменным показателем степени и весом. § 1. Определения основных объектов и формулировка результатовЧерез $p(z)$ обозначим положительную функцию, заданную на $\mathbb T$ и удовлетворяющую условию
$$
\begin{equation}
|p(z_2)-p(z_1)|\leqslant \frac{c_0}{\log(e/|z_2-z_1|)}, \qquad z_1,z_2\in \mathbb T,
\end{equation}
\tag{1}
$$
и пусть, кроме того, $p_-=\min_{z\in \mathbb{T}}p(z)$, $p_+=\max_{z\in \mathbb{T}}p(z)$, $1<p_0<p_-$. Положим, что для фиксированного $\alpha\in (0,1)$ справедливо соотношение $1>\alpha>p_0/p_-$. Через $\omega(z)$ обозначаем заданный на $\mathbb T$ неотрицательный вес, удовлетворяющий условию Макенхаупта $A_{p_0}$, см. [10; гл. 5]. Основной класс функций, который будет рассматриваться далее, обозначается через $H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$, $r\,{\in}\, \mathbb{N}\,{\cup}\, \{0\}$, и определяется следующим образом: $f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$, если $f$ аналитична в $\mathbb{D}$ и выполняется условие
$$
\begin{equation}
\sup_{0<\rho<1}\sup_{0<|\theta|\leqslant \pi}\int_{\mathbb{T}}\biggl( \frac{|f^{(r)}(\rho ze^{i\theta})-f^{(r)}(\rho z)|}{|\theta|^{\alpha}}\biggr)^{p(z)}\omega(z)\, |dz|<\infty,
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $f^{(0)}\equiv f$. Для функции $g$, заданной на $\mathbb T$, полагаем при $z=e^{i\theta_0}$, что
$$
\begin{equation*}
g'(z)\stackrel{\mathrm{def}}{=}-ie^{-i\theta_0}\frac{dg(e^{i\theta})}{d\theta}\bigg|_{\theta=\theta_0}, \qquad g^{(n+1)}(z)\stackrel{\mathrm{def}}{=} \bigl(g^{(n)}(z)\bigr)'.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $W^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$ обозначаем пространство комплекснозначных функций $g$, заданных на $\mathbb T$ таких, что $g^{(r)}\in C(\mathbb T)$ и справедливо соотношение
$$
\begin{equation}
\sup_{0<|\theta|<\pi}\int_{\mathbb{T}} \biggl(\frac{|g^{(r)}(ze^{i\theta})-g^{(r)}(z)|}{|\theta|^{\alpha}}\biggr)^{p(z)} \omega(z)\, |dz|<\infty.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Для $z\in \mathbb T$, $0<h\leqslant\pi/2$, через $\gamma(z,h)$ обозначаем дуги $\gamma(z,h)=\{\zeta\in\mathbb T$: $|{\arg(\zeta/z)}|\leqslant h\}$, и для $g\in W^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$, $\varepsilon>0$, $z_0\in\mathbb T$ полагаем
$$
\begin{equation}
F(g,z_0,h,\varepsilon)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup_{\zeta_1,\zeta_2\in \gamma(z,h)}\frac{|g^{(r)}(\zeta_2)\,{-}\,g^{(r)}(\zeta_1)|}{h^\alpha} +\sup_{h\leqslant|t|\leqslant\pi}\frac{h^\varepsilon}{|t|^{\alpha+\varepsilon}}\bigl|g^{(r)}(z_0e^{i t})-g^{(r)}(z_0)\bigr|.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Если $I(z)$ – внутренняя функция в $\mathbb{D}$, то $I=BS$, где $B$ – произведение Бляшке,
$$
\begin{equation*}
B(z)=\lambda z^m\prod_{n\geqslant 1}\frac{\overline{a}_n}{|a_n|}\, \frac{a_n-z}{1-\overline{a}_n z},\qquad m\geqslant 0,\quad |\lambda|=1,
\end{equation*}
\notag
$$
а $S$ – сингулярный множитель, представимый в виде
$$
\begin{equation*}
S(z)=\exp\biggl(-\int_{\mathbb{T}}\frac{\zeta+z}{\zeta-z}\, d\mu(\zeta)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mu$ – сингулярная мера на $\mathbb{T}$. Введем обозначения $Z_B=\{B^{-1}(0)\}$, $\operatorname{spec} I\stackrel{\mathrm{def}}{=}\overline Z_B\cup \operatorname{supp} \mu$. Определим характеристики, связанные с внутренней функцией $I$:
$$
\begin{equation*}
\nu_r(z)= \begin{cases} 0, &z\notin \operatorname{spec} I, \\ r+1, &z\in \operatorname{spec} I\cap \mathbb{T}, \\ \text{кратность нуля} &z\in B^{-1}(0), \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
при $z\in\mathbb{T} \cap \operatorname{spec} I$ обозначим
$$
\begin{equation*}
d_r(z)=\sup\Biggl\{\tau\colon\sum_{\substack{\zeta\in \operatorname{spec} I\\ |\zeta-z|<\tau}}\nu_r(\zeta)\leqslant r\Biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и пусть, далее, $b_r(\zeta,z)\equiv 1$ для $\zeta\in \mathbb{D}$, если $\operatorname{spec} I\cap \{\zeta\colon|\zeta-z|<d_r(z)\}=\varnothing$, в ином случае
$$
\begin{equation*}
b_r(\zeta,z)=\prod_{\substack{|a_\nu-z|<d_r(z)\\a_\nu\in B^{-1}(0)}}\frac{\zeta-a_\nu}{1-\zeta\overline{a}_\nu}, \qquad I_r(\zeta,z)=\frac{I(\zeta)}{b_r(\zeta,z)},\qquad \zeta\in \overline{\mathbb{D}}\setminus\operatorname{spec} I.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя введенные обозначения, полагаем
$$
\begin{equation}
\delta_r(z)=\min\biggl(d_r(z), \frac1{|I'_r(\zeta,z)|_{\zeta=z}}\biggr)
\end{equation}
\tag{5}
$$
при $z\in\mathbb{T}\setminus \operatorname{spec} I$, производная в (5) берется по $\zeta$. Далее, для $f'\in C_A$ при $z_1,z_2\in\overline{\mathbb{D}}$ определим разделенную разность $f[z_1,z_2]$ по формуле, см. [11],
$$
\begin{equation}
f[z_1,z_2]= \begin{cases} \dfrac{f(z_1)-f(z_2)}{z_1-z_2}, &z_1\neq z_2, \\ f'(z_1), &z_1=z_2. \end{cases}
\end{equation}
\tag{5'}
$$
По индукции полагаем для $f^{(m+1)}\in C_A$:
$$
\begin{equation}
f[z_1,\dots,z_m,z_{m+1}]= \begin{cases} \text{если}\ z_m\neq z_{m+1}, \text{ то полагаем} \\ \qquad\dfrac{f[z_1,\dots,z_{m-1},z_m]-f[z_1,\dots,z_{m-1},z_{m+1}]}{z_m-z_{m+1}}, \\ \text{если}\ z_m = z_{m+1}, \text{ то полагаем} \\ \qquad f'_{z_m}[z_1,\dots, z_{m-1},z_m]. \end{cases}
\end{equation}
\tag{5''}
$$
С разделенными разностями мы свяжем характеристики $\Delta^\alpha f(\zeta,h)$, $\Delta^{r+\alpha}f(\zeta,h)$ и $\Delta^{r+\alpha}_\varepsilon f(\zeta,h)$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\Delta^\alpha f(\zeta,h) =\max_{\substack{|z^{(j)}_0-\zeta|\leqslant h\\j=1,2}}\frac{1}{h^\alpha}\bigl|f(z^{(1)}_0)-f(z^{(2)}_0)\bigr|, \qquad z^{(j)}_0\in\overline{\mathbb{D}},
\end{equation}
\tag{6'}
$$
$$
\begin{equation}
\Delta^{r+\alpha} f(\zeta,h) =\max_{\substack{|z^{(j)}_k-\zeta|\leqslant h\\0\leqslant k\leqslant r,\,j=1,2}}\frac{1}{h^\alpha}\bigl|f[z^{(1)}_0,\dots,z^{(1)}_r]-f[z^{(2)}_0,\dots,z^{(2)}_r]\bigr|,
\end{equation}
\tag{6''}
$$
$$
\begin{equation}
\Delta^{r+\alpha}_\varepsilon f(\zeta,h) =\max_{t\geqslant h}\frac{h^\varepsilon}{t^{\alpha+\varepsilon}}\Delta^{r+\alpha}f(\zeta,t).
\end{equation}
\tag{6}
$$
Для $z\neq 0$, $z\in\mathbb{D}$, $f\in C_A$ пусть $M_f(z)=\max_{\zeta\in\gamma(z/|z|,1-|z|)}|f(\zeta)|$ (определение дуги $\gamma(z,h)$ см. после формулы (3)) и при $f\not\equiv 0$ определим
$$
\begin{equation}
I_f (z)=\int_\mathbb{T}\biggl|\log\biggl|\frac{f(\zeta)}{M_f(z)}\biggr|\biggr| \, \frac{1-|z|^2}{|\zeta-z|^2}\, |d\zeta|.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Далее, для $z\in\mathbb{T}$ через $\mathbb{T}(z,h)$ обозначаем круговой сектор $\mathbb{T}(z,h)=\{0\}\cap\{\zeta \in \mathbb{D}\setminus{0}\colon \zeta/|\zeta|\in \gamma(z,h)\}$, и для $f^{(r)}\in C_A$, $z_0\in\mathbb{T}$ пусть
$$
\begin{equation}
F^*(f,z_0,h,\varepsilon)=F(f,z_0,h,\varepsilon) +\max_{z_1,z_2\in\mathbb{T}(z_0,h)}\frac{|f^{(r)}(z_2)-f^{(r)}(z_1)|}{h^\alpha}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Для заданной на $\mathbb{T}$ функции $g$ такой, что $\int_\mathbb{T}|{\log|g(\zeta)|}|\,|d\zeta|<\infty$, полагаем
$$
\begin{equation}
{}_e{g(z)}=\exp\biggl(\frac{1}{2 \pi}\int_\mathbb{T}\log|g(\zeta)|\cdot \frac{\zeta+z}{\zeta-z}\, |d\zeta|\biggr),\qquad z\in\mathbb{D}.
\end{equation}
\tag{9}
$$
§ 2. Формулировка основных теоремОписание факторизации Неванлинны в классе $X$ начинается, как правило, с задачи о делении на внутренний множитель функции с сохранением частного в классе $X$ (это свойство В. П. Хавиным [12] названо $(F)$-свойством класса $X$), а также задачи об умножении на тот же внутренний множитель с сохранением произведения в классе $X$. Справедливо следующее утверждение. Теорема 1. Пусть $f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$, $I$ – внутренняя функция, $f/I\in H^1$. Тогда $f/I\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$. При умножении на внутренний множитель при гладкостях, в определенном смысле больших единицы, для сохранения произведения в том же классе требуется либо ограничение снизу на кратность внутреннего нуля [5], либо некоторое сгущение нулей в каких-то областях, как отметил К. М. Дьяконов [13], [14]. Следующее утверждение использует ограничение на кратность нулей. Теорема 2. Пусть $f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$, $I$ – внутренняя функция, $f/I\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$, и кратность любого нуля функции $I$ в $\mathbb{D}$ не меньше $r+1$. Тогда $f I\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$. Дальнейшее изучение свойств факторизации Неванлинны требует учета влияния внутреннего множителя на внешний множитель. В нижеследующем утверждении характеристика $\sigma_r(z)$ определена в (5), а характеристика $\Delta^{r+\alpha}_\varepsilon f(\zeta,h)$ – в соотношении (6). Теорема 3. a) Пусть $f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$, $I$ – внутренняя функция, $f/I\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$, $0\,{<}\,\varepsilon\,{<}\,1-\alpha$. Тогда существуют постоянные $\sigma_\nu=\sigma_\nu(f,\varepsilon)$, $0\leqslant \nu\leqslant r$, такие, что при $z\in\mathbb{T}\setminus\operatorname{spec} I$ справедливы оценки b) Пусть $f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$, $I$ – внутренняя функция, характеристика $\delta_0(z)$ построена в (5) при $r=0$ по функции $I$. Предположим, что существуют постоянные $\widetilde\sigma_\nu$, $0\leqslant\sigma\leqslant r$, такие, что при $z\in\mathbb{T}\setminus\operatorname{spec} I$ имеются оценки
$$
\begin{equation*}
|f^{(\nu)} (z)|\leqslant\widetilde\sigma_\nu \delta^{r+\alpha-\nu}_0 (z) \Delta^{r+\alpha}_\varepsilon f(z,\delta_0(z)),\qquad 0\leqslant\nu\leqslant r.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $f I\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$. Внешние функции в факторизации Неванлинны описываются с помощью характеристик $F(g,z_0,h,\varepsilon)$, $F^*(g,z_0,h,\varepsilon)$ и $I_f(z)$, определенных в (5), (8) и (7). Теорема 4. Пусть $f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$, $f\not\equiv 0, 0<\varepsilon<1$. Существует постоянная $c_f$, не зависящая от $z\in\mathbb{D}$, такая, что для тех $z\in\mathbb{D}$, $z\neq 0$, для которых справедливо неравенство справедливо соотношение $I_f(z)\leqslant c_f$. Достаточное условие принадлежности внешней функции классу $W^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$ также включает условие на функционал $I_g(z)$. Далее ${}_e{g}$ построена по $g$ в (9). Теорема 5. Пусть $g$ – комплекснозначная функция, заданная на $\mathbb{T}$, $g\in W^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$, $\log|g|\in L(\mathbb{T})$ и $0<\varepsilon<1-\alpha$. Предположим, что существует постоянная $C_g$, не зависящая от $z\in\mathbb{D}$, такая, что при $z\neq 0$, для которого справедливо $I_g(z)\leqslant C_g$. Тогда ${}_e{g}\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$. Условие ограниченности функционала $I_g(z)$ является основным для того, чтобы функция какого-либо класса гладкости на окружности $\mathbb{T}$ при построении по формуле (9) давала внешнюю функцию той же гладкости. Это утверждение было проверено для ряда классов [5], [6], [15], его отсутствие приводит к падению гладкости [3]–[6]. Для нового класса $H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$ ситуация аналогична. Для $s\notin\mathbb{Z}$ через $\{s\}$ обозначим дробную часть числа $s$. Теорема 6. Пусть $1>\alpha>p_0/p_-$, $\{(r+\alpha)/2\}>p_0/p_-$, $p_0\geqslant1$, $\omega$ – неотрицательный вес на $\mathbb{T}$, удовлетворяющий $A_{p_0}$ условию Макенхаупта [10; гл. 5], $p_-=\min_{z\in\mathbb{T}} p(z)$. Пусть $g\in W^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$ и $\log|g|\in L(\mathbb{T})$. Тогда ${}_e{g}\in H^{p(\,\cdot\,)}_\frac{r+\alpha}{2}(\omega)$. § 3. Эквивалентные полунормы и псевдоаналитическое продолжение функций из класса $H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$Прежде всего отметим следующий факт, который доказывается аналогично доказательству утверждения 1 из [8]. Лемма 1. Пусть $f^{(r)}\in C_A$, $r\geqslant 0$. Тогда $f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$ тогда и только тогда, когда Определим еще один класс функций. Через $\widetilde H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$ обозначим пространство функций $f$ таких, что $f^{(r)}\in C_A$ и справедливо соотношение
$$
\begin{equation}
\sup_{0<|\theta|\leqslant \pi} \int_{\mathbb{T}}\biggl|\frac{\sum^{r+1}_{k=0} (-1)^kC^k_{r+1}f(ze^{ik\theta})}{|\theta|^{\alpha+r}} \biggr|^{p(z)}\omega(z)\,|dz|\leqslant \infty,
\end{equation}
\tag{11}
$$
где $C^k_{r+1}$ – биномиальные коэффициенты. Лемма 2. Справедливо включение $H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)\subset\widetilde H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$. Доказательство. При $r=0$ выражения (10) и (11) совпадают, поэтому считаем, что $r > 0$. Далее, замена функций $f$ в выражениях (10) или (11) на функцию $f_1(z)=f(z)+\sum_{k=0}^r A_kz^k$ с любыми постоянными $A_k$ не меняет подынтегральных выражений в (10) и (11), поэтому, не ограничивая общности, можем считать, что $f(1)=f'(1)=\dots=f^{(r)}(1)=0$.
Условие (10) влечет, что выполняется соотношение
$$
\begin{equation}
\sup_{0<|\theta|\leqslant \pi} \int_{\mathbb{T}}\biggl(\frac{|f^{(r)}(ze^{i\theta})-f^{(r)}(z)|} {|\theta|^{\alpha}}\biggr)^{p_-}\omega(z)\,|dz|< \infty
\end{equation}
\tag{12}
$$
откуда с помощью рассуждений, аналогичных рассуждениям в [16] (ниже подобное рассуждение будет проведено для переменного показателя $p^{(\,\cdot\,)}$), получим оценку
$$
\begin{equation}
\sup_{0<r<1}\ \int_{\mathbb{T}}|(1-r_0)^{1-\alpha} f^{(r+1)}(r_0 z)|^{p_-} \omega(z)\,|dz|<\infty.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Пусть $\varphi(z)\,{=}\,f^{(r)}(z)$. Выберем $p_0\,{<}\,p_1\,{<}\,p_-$ и положим $t\,{=}\,(p_1\,{-}\,1)/(p_0\,{-}\,1)\,{>}\,1$, $t'=t/(t-1)$, фиксируем $0<r_0<1$ и пусть $1-r_1=(1-r_0)/2$, $\gamma=p_-/p_1>1$. Субгармоничность в $\mathbb{D}$ функции $|\varphi'(z)|^\gamma$ влечет неравенство
$$
\begin{equation}
|\varphi'(z)|^\gamma\leqslant\frac 1{2\pi r_1}\int_{|\zeta|=r_1}|\varphi'(\zeta)|^\gamma \frac{r^2_1-r^2_0}{|\zeta-z|^2}\,|d\zeta|,\qquad |z|=r_0,
\end{equation}
\tag{14}
$$
и формула (14) вместе с неравенством Гёльдера дают оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |\varphi'(z)|^\gamma &\leqslant\frac 1{2\pi r_1}\biggl(\int_{|\zeta|=r_1}|\varphi'(\zeta)|^{p_1\gamma} \omega\biggl(\frac{\zeta}{r_1}\biggr)\,|d\zeta|\biggr)^{1/p_1} \nonumber \\ &\qquad\times\biggl(\int_{|\zeta|=r_1}\biggl(\frac{r^2_1-r^2_0}{|\zeta-z|^2} \biggr)^{p'_1}\cdot\biggl(\omega\biggl(\frac{\zeta}{r_1}\biggr) \biggr)^{-p'_1/p_1}\,|d\zeta|\biggr)^{1/p'_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Затем,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl(\int_{|\zeta|=r_1}\biggl(\frac{r^2_1-r^2_0}{|\zeta-z|^2} \biggr)^{p'_1}\cdot\biggl(\omega\biggl(\frac{\zeta}{r_1}\biggr)\biggr)^{-p'_1/p_1} \,|d\zeta|\biggr)^{1/p'_1} \nonumber \\ &\qquad\leqslant\biggl(\int_{|\zeta|=r_1}\biggl(\frac{r^2_1-r^2_0}{|\zeta-z|^2} \biggr)^{p'_1 t'}\,|d\zeta|\biggr)^{1/(p'_1 t')}\cdot \biggl(\int_{|\zeta|=r_1}\omega\biggl(\frac{\zeta}{r_1}\biggr)^{-(p'_1/p_1)t}\,|d\zeta| \biggr)^{1/(t p'_1)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{16}
$$
Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, p'_1=\frac{p_1}{p_1-1},\qquad t'=\frac{p_1-1}{p_0-1}\cdot\frac{p_0-1}{p_1-p_0}=\frac{p_1-1}{p_1-p_0}, \\ -\frac{p'_1}{p_1}=-\frac 1{p_1-1},\qquad-\frac{p'_1}{p_1}\cdot t=-\frac 1{p_1-1}\cdot \frac{p_1-1}{p_0-1}=-\frac 1{p_0-1}, \\ p'_1\cdot t'=\frac{p_1}{p_1-1}\cdot \frac{p_1-1}{p_1-p_0}=\frac{p_1}{p_1-p_0},\quad t p'_1=\frac{p_1-1}{p_0-1}\cdot\frac{p_1}{p_1-1}=\frac{p_1}{p_0-1}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{17}
$$
Из (15)–(17) следует оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |\varphi'(z)|^\gamma &\leqslant\frac 1{2\pi r_1} \biggl(\int_{|\zeta|=r_1}|\varphi'(\zeta)|^{p_-} \omega\biggl(\frac{\zeta}{r_1}\biggr)\,|d\zeta|\biggr)^{1/p_1} \nonumber \\ &\qquad \times\biggl(\int_{|\zeta|=r_1}\biggl(\frac{r^2_1-r^2_0}{|\zeta-z|^2} \biggr)^{p_1/(p_1-p_0)}\, |d\zeta|\biggr)^{(p_1-p_0)/p_1} \nonumber \\ &\qquad\times\biggl(\int_{|\zeta|=r_1}\biggl(\omega\biggl(\frac{\zeta}{r_1}\biggr) \biggr)^{-1/(p_0-1)}\, |d\zeta|\biggr)^{(p_0-1)/p_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{18}
$$
Далее, элементарные оценки ядра Пуассона дают неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl(\int_{|\zeta|=r_1}\biggl(\frac{r^2_1-r^2_0}{|\zeta-z|^2} \biggr)^{(p_1-p_0)/p_1}\, |d\zeta|\biggr)^{(p_1-p_0)/p_1} \nonumber \\ &\qquad\leqslant c\bigl((1-r_0)^{-p_1/(p_1-p_0)+1}\bigr)^{(p_1-p_0)/p_1} =c(1-r)^{-p_0/p_1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{19}
$$
условие $\omega\in A_{p_0}$ влечет
$$
\begin{equation*}
\biggl(\int_{|\zeta|=r_1}\biggl(\omega\biggl(\frac{\zeta}{r_1}\biggr)\biggr)^{-1/(p_0-1)}\, |d\zeta|\biggr)^{(p_0-1)/p_1}\leqslant c,
\end{equation*}
\notag
$$
и из (18) и (19) получаем оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |\varphi'(z)|^\gamma &\leqslant c(1-r_0)^{-p_0/p_1}\biggl(\int_{|\zeta|=r_0}|\varphi'(\zeta)|^{p_-} \omega\biggl(\frac{\zeta}{r_1}\biggr)\,|d\zeta|\biggr)^{1/p_1}, \\ |\varphi'(z)| &\leqslant c(1-r_0)^{-p_0/p_1\cdot 1/\gamma}\biggl(\int_{|\zeta|=r_0}|\varphi'(\zeta)|^{p_-} \omega\biggl(\frac{\zeta}{r_1}\biggr)\,|d\zeta|\biggr)^{1/(p_1\gamma)} \\ &=c(1-r_0)^{-p_0/p_-}\biggl(\int_{|\zeta|=r_0}|\varphi'(\zeta)|^{p_-} \omega\biggl(\frac{\zeta}{r_1}\biggr)\,|d\zeta|\biggr)^{1/p_-}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
Применяя соотношение (13), из (20) находим, что
$$
\begin{equation}
|\varphi'(\zeta)|\leqslant c(1-r_0)^{-p_0/p_-}\cdot(1-r_0)^{\alpha-1} =c(1-r_0)^{\alpha-p_0/p_--1}.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Пусть $\sigma=\alpha-p_0/p_->0$. Из (21) следует, что $\varphi\in \Lambda^\sigma$, т. е. $f\in \Lambda^{r+\sigma}$. Это влечет, с учетом выбранных равенств $f^{(k)}(1)=0$, соотношения $|f^{(r)}(z)|\leqslant c$, $|f^{(k)}(r)|\leqslant c|z-1|^{r-k}$, $0\leqslant k\leqslant r-1$.
Продолжим доказательство леммы 2. Пусть $F(\theta)=f(e^{i\theta})$, тогда с определенными коэффициентами $a_{\nu\mu}$ имеем
$$
\begin{equation}
F^\nu(\theta)=a_{\nu 1}e^{i\theta} f'(e^{i\theta})+\dots+a_{\nu\nu}e^{i\nu\theta} f^{(\nu)}(e^{i\theta}).
\end{equation}
\tag{22}
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
P(\lambda,\theta)=F(\lambda)+\sum^{r-1}_{k=1}\frac{F^{(k)}(\lambda)}{k!}(\theta-\lambda)^k,
\end{equation*}
\notag
$$
тогда откуда получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum^{r+1}_{k=0}(-1)^k C^k_{r+1} F(\lambda+k\theta) \nonumber \\ &\ =\sum^{r}_{k=0}(-1)^k C^k_{r}\frac 1{(r-1)!}\int^{k\theta}_0(k\theta-t)^{r-1} \bigl(F^{(r)}(\lambda+t)-F^{(r)}(\lambda+\theta+t)\bigr)\,dt \nonumber \\ &\ =\sum^{r}_{k=1}(-1)^k C^k_{r}\frac1{(r-1)!}\int^{k\theta}_0(k\theta-t)^{r-1} \bigl(F^{(r)}(\lambda+t)-F^{(r)}(\lambda+\theta+t)\bigr)\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
$$
Принимая во внимание (22) и (23), получаем соотношение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum^{r+1}_{k=0}(-1)^k C^k_{r+1}f(e^{i(\lambda+k\theta)})=\sum^{r}_{k=0}(-1)^k C^k_{r} \frac1{(r-1)!}\int^{k\theta}_0(k\theta-t)^{r-1} \nonumber \\ &\qquad\qquad\times \bigl(\bigl(a_{r 1}e^{i(\lambda+t)} f'(e^{i(\lambda+t)})+\dots+a_{rr}e^{i r(\lambda+t)} f^{(r)}(e^{i(\lambda+t)})\bigr) \nonumber \\ &\qquad\qquad\qquad-\bigl(a_{r 1}e^{i(\lambda+\theta+t)} f'(e^{i(\lambda+\theta+t)})+\dots+a_{rr}e^{i r(\lambda+\theta+t)} f^{(r)}(e^{i(\lambda+\theta+t)})\bigr)\bigr)\,dt \nonumber \\ &\qquad=\sum^{r}_{k=1}(-1)^k C^k_{r}\frac1{(r-1)!}\int^{k\theta}_0(k\theta-t)^{r-1} \sum^{r}_{\nu=1}a_{r\nu}e^{i\nu(\lambda+t)}\bigl(f^{(\nu)}(e^{i(\lambda+t)}) \nonumber \\ &\qquad\qquad-f^{(\nu)}(e^{i(\lambda+\theta+t)})\bigr)\,dt+\sum^{r}_{k=1}(-1)^k C^k_{r}\frac1{(r-1)!}\int^{k\theta}_0(k\theta-t)^{r-1} \nonumber \\ &\qquad\qquad\qquad\times\sum^{r}_{\nu=1} a_{r\nu}(e^{i\nu(\lambda+t)}-e^{i\nu(\lambda+\theta+t)})\cdot f^{(\nu)}(e^{i(\lambda+\theta+t)})\,dt . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
g_\theta\biggl(e^{i\lambda}\biggr)=\sup_{0<|l|\leqslant \pi}\frac{1}{|l|} \int^l_0\bigl|f^{(r)}(e^{i(\lambda+t)})-f^{(r)}(e^{i(\lambda+\theta+t)})\bigr|\,|dt|,
\end{equation*}
\notag
$$
тогда при $1\leqslant k\leqslant r$ имеется оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int^{k\theta}_0(k\theta-t)^{r-1}a_{rr}e^{ir(\lambda+t)}\bigl(f^{(r)}(e^{i(\lambda+t)}) -f^{(r)}(e^{i(\lambda+\theta+t)})\bigr)\,dt\biggr| \nonumber \\ &\qquad\leqslant (2k|\theta|)^r g_{\theta}(e^{i\lambda}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{25}
$$
Из результатов [15; теорема 4.80] и [16; лемма 3.1] следует оценка
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{T}}\biggl(\frac{g_{\theta}(z)}{|\theta|^{\alpha}}\biggr)^{p(z)} \omega(z)\, |dz|\leqslant C_2,
\end{equation}
\tag{26}
$$
и постоянная $C_2$ не зависит от $\theta$, а из (26) и (25) получаем соотношение
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \int_{\mathbb{T}}\Biggl| \frac{\int^{k\theta}_0(k\theta-t)^{r-1}a_{rr}e^{i(\lambda+t)}\bigl(f^{(r)}(e^{i(\lambda+t)}) -f^{(r)}(e^{i(\lambda+\theta+t)})\bigr)\,dt}{|\theta|^{r+\alpha}}\Biggr|^{p(e^{i\lambda})} \omega(e^{i\lambda})\, dt\leqslant C_3, \\ 0<|\theta|\leqslant \pi. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{27}
$$
Принимая во внимание ранее полученную оценку $f^{(r)}(z)\leqslant C$, $z\in\mathbb{D}$, находим, что
$$
\begin{equation}
\biggl|\int^{k\theta}_0(k\theta-t)^{r-1}a_{rr}(e^{i r(\lambda+t)}-e^{i r(\lambda+\theta+t)}) f^{(r)}(e^{i(\lambda+\theta+t)})\,dt\biggr| \leqslant C_4|\theta|^{r+\alpha}.
\end{equation}
\tag{28}
$$
Слагаемые с $a_{r\nu}$ оцениваются аналогично (27) и (28). Соотношения (23) и (24) и неравенства (27) и (28) показывают, что для функции $f$ выполнено условие (11), т. е. $f\in\widetilde H^{p(\,\cdot\,)}_{r+1}(\omega)$. Лемма доказана. Лемма 3. Пусть функция $f\in\widetilde H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$. Тогда для $n\in\mathbb{N}$ найдется полином $V_n(z)$, $\deg V_n \leqslant n$, такой, что где $C_5$ не зависит от $n$. Доказательство леммы 3 аналогично доказательству леммы 1 из [9], поэтому приведем лишь построение полинома $V_n$. Положим
$$
\begin{equation*}
P_{n,r}(\theta)=c_{n,r}\biggl(\frac{\sin (n+1/2)\theta}{\sin(\theta/2)}\biggr)^{2r+2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_{n,r}$ выбрано из условия Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \pi_{n,r,k}(e^{i\lambda})&=\int^{\pi}_{-\pi}P_{n,r} (\theta)f(e^{i(\lambda+k\theta)})\,d\theta, \\ V_n(e^{i\lambda})&=\sum^{r+1}_{k=1}(-1)^{k-1}C^k_{r+1}\pi_{n,r,k}(e^{i\lambda}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее рассуждения проводятся аналогично рассуждениям (2.11)–(2.14) из [8], что доказывает лемму 3. Лемма 4. Пусть $\pi_{n}(z)$ – полином, $\deg\pi_{n}\leqslant n$. Для $z\in\mathbb{C}\setminus \overline{\mathbb{D}}$ положим Доказательство следует рассуждениям в доказательстве леммы 3 из [8] и использует результаты об ограниченности операторов Кальдерона–Зигмунда в весовых пространствах Лебега с переменным показателем.
Пусть $v_n(z)=(1/M)(\pi_n(z)/z^{n+1})$, тогда при $|z|>1$ имеем
$$
\begin{equation*}
v_n(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathbb{T}} \frac{v_n(\zeta)}{\zeta-z}\, d\zeta.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
v^*_n(z)=\max_{|\zeta-z|\leqslant (|z|-1)/4}|v_n(\zeta)|, \qquad |z|>1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда результаты [17] с учетом теоремы 4.80 из [15] и леммы 3.1 в [16] влекут соотношение
$$
\begin{equation}
\int_{c\mathbb{T}}\bigl(v^*_n(z)\bigr)^{p(z/c)} \omega\biggl(\frac{z}{c}\biggr)\,|dz|\leqslant c\cdot c_7 \int_{\mathbb{T}}|v_n(z)|^{p(z)}\omega(z)\,|dz|.
\end{equation}
\tag{31}
$$
Поскольку при $|z|=c>1$ имеем $|v_n(z)|=(1/c^{n+1})(\pi_n(z)/M)$, то выполнено
$$
\begin{equation*}
\frac 1{\widetilde c^{n+1}}\,\frac{\pi^*_n(z)}{M}\leqslant v^*_n(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому лемма 4 следует из (31). Лемма 5. Пусть функция $f\in\widetilde H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$. Тогда существует функция $f_0$ со следующими свойствами: Доказательство. Будем строить функцию $f_0$ аналогично построениям Е. М. Дынькина [18]. Пусть полиномы $V_n$ построены в лемме 3, тогда
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{T}} \bigl(2^{n(\alpha+r)}|f(z)-V_{2^n}(z)|\bigr)^{p(z)}\omega(z)\,|dz|\leqslant c_5.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Учитывая, что $V_{2^{n+1}}-V_{2^n}=(V_{2^{n+1}}-f)-(V_{2^n}-f)$, из (34) находим, что
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{T}}\bigl(2^{(n+1)(r+\alpha)}|V_{2^{n+1}}(z)-V_{2^n}(z)|\bigr)^{p(z)} \omega(z)\,|dz|\leqslant c_8.
\end{equation}
\tag{35}
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
f_1(z)=\begin{cases} V_{2^n}(z), &2^{-n-1}<|z|-1\leqslant 2^{-n}, \\ 0, &|z|>\dfrac{3}{2}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $\overline{B}_t(z)=\{\zeta\colon|\zeta-z|\leqslant t\}$, $|\overline{B}_t(z)|=m_2\overline{B}_t(z)$ – площадь круга, и пусть $\pi_{2^{n+1}}=V_{2^{n+1}}-V_{2^n}$ и
$$
\begin{equation}
f_0(z)=\frac{1}{|\overline{B}_{(|z|-1)/4}(z)|} \int_{\overline{B}_{(|z|-1)/4}(z)} f_1(\zeta)\,dm_2(\zeta).
\end{equation}
\tag{36}
$$
При $1<c\leqslant 2$, $\widetilde c=1+(c-1)/4$ лемма 4 влечет оценку
$$
\begin{equation*}
\int_{c\mathbb{T}}\biggl(\frac{2^{(n+1)(r+\alpha)}\pi^*_{2^{n+1}}(z)} {\widetilde c^{2^{n+1}}}\biggr)^{p(z/c)}\omega(z)\,|dz|\leqslant c_9
\end{equation*}
\notag
$$
и, в частности, при $1<c\leqslant 1+2^{-n-1}$ получаем неравенство
$$
\begin{equation}
\int_{c\mathbb{T}}\biggl|\frac{(V_{2^{n+1}}(z)-V_{2^n}(z))2^{(n+1)(r+\alpha)}}{e^{5/4}} \biggr|^{p(z/c)}\omega\biggl(\frac{z}{c}\biggr)\, |dz|\leqslant c_{10}.
\end{equation}
\tag{37}
$$
Определение (36) дает соотношение $f_0\in C^1 (\mathbb{C}\setminus\overline{\mathbb{D}})$, и из неравенств (37), аналогично получению оценки (21), следует, что $f_0(z)\to f(z_0)$ при $z\to z_0$, $z\in \mathbb{C}\setminus\overline{\mathbb{D}}$. Далее, пусть $2^{-n-1}<|z|-1\leqslant 2^{-n}$, $n\geqslant 1$, тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |f'_{0\overline z}(z)|&=\bigl|\bigl(f_0(z)-V_{2^n}(z)\bigr)'_{\overline z}\bigr| \notag \\ &\leqslant \biggl|\operatorname{grad}\biggl(\frac{1}{|B_{(|z|-1)/4}(z)|} \int_{B_{(|z|-1)/4}(z)} \bigl(f_1(\zeta)-V_{2^n}(\zeta)\bigr)\, dm_2(\zeta)\biggr)\biggr| \notag \\ &\leqslant c\frac{1}{|z|-1}\max_{\zeta\in \overline{B}_{(|z|-1)/4}(z)} \bigl(|V_{2^{n+1}}(\zeta)-V_{2^n}(\zeta)|+|V_{2^n}(\zeta)-V_{2^{n-1}}(\zeta)|\bigr) \notag \\ &=c\frac{1}{|z|-1}\bigl(\bigl(V_{2^{n+1}}-V_{2^n}(\zeta)\bigr)^*+ \bigl(V_{2^n}-V_{2^{n-1}}(\zeta)\bigr)^*\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{38}
$$
При рассматриваемых $z$ утверждение (33) леммы 5 следует из соотношений (38), (37) и леммы 4. В силу произвольности $n$ лемма 5 доказана. Лемма 6. Пусть функция $f\in C_A$ и для нее существует псевдоаналитическое продолжение со свойствами (32), (32') и (33). Тогда $f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$. Доказательство. Свойства (32), (32') и (33) влекут возможность применения к функции $f_0$ формулы Грина (см. [16]):
$$
\begin{equation}
f(z)=-\frac{1}{\pi}\int_{2\mathbb{D}\setminus \overline{\mathbb{D}}} \frac{f'_{0\overline{\zeta}}(\zeta)}{\zeta-z}\,dm_2(\zeta), \qquad z\in \mathbb{D},
\end{equation}
\tag{39}
$$
тогда при $z\in \mathbb{D}$ имеем равенство
$$
\begin{equation}
f^{(r)}(z)=-\frac{r!}{\pi}\int_{2\mathbb{D}\setminus \overline{\mathbb{D}}}\frac{f'_{0\overline{\zeta}}(\zeta)}{(\zeta-z)^{r+1}}\,dm_2(\zeta).
\end{equation}
\tag{39'}
$$
Пусть $v(\zeta)=f'_{0\overline{\zeta}}(\zeta)$. Тогда для функции $v$ предположение (33) дает оценку
$$
\begin{equation}
\int_{\rho\mathbb{T}}\biggl(\frac{|v(z)|}{(\rho-1)^{r+\alpha-1}} \biggr)^{p(z/\rho)}\omega\biggl(\frac{z}{\rho}\biggr)\,|dz|\leqslant C_8, \qquad 1<\rho\leqslant 2.
\end{equation}
\tag{40}
$$
Выберем $p_1$, $1<p_1<p_-$. Теорема 4.80 из [17] и лемма 3.1 из [16] позволяют применять теорему об ограниченности максимального оператора Харди–Литтлвуда в весовом пространстве с показателем $p(z)/p_1$ и весом из пространства Макенхаупта $A_{p_0}$, если $p_-/p_1>p_0$. Полагаем, что $p_1$ выбрано таким образом. Следуем далее доказательству леммы 5 из [8] с учетом наличия веса $\omega(z)$. Пусть
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, V(\lambda,x)&=\bigl|v\bigl((1+x)e^{i\lambda}\bigr)\bigr|x^{1-r-\alpha},\qquad 0<x\leqslant 1, \notag \\ V^*(\theta_0,x)&=\sup_{0<k\leqslant \pi} \biggl(\frac{1}{2k}\int^k_{-k}V^{p_1}(\theta_0+\lambda,\,x)\,d\lambda\biggr)^{1/p_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{41}
$$
Обозначая через $M\varphi(\lambda)$ максимальную функцию Харди–Литтлвуда по аргументу $\lambda$, из (41) имеем $V^{*p_1}(\theta_0,x)=M(V^{p_1}(\theta_0,x))$, поэтому выбор $p_1$ и предшествующее замечание приводят к оценкам
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbb{T}}\bigl(V^*(\lambda,x)\bigr)^{p(e^{i\lambda})}\omega(e^{i\lambda})\, d\lambda=\int_{\mathbb{T}}\bigl(V^*(\lambda,x))^{p_0}\bigr)^{p(e^{i\lambda})/p_1} \omega(e^{i\lambda})\, d\lambda \nonumber \\ &\leqslant c\int_{\mathbb{T}}\bigl(V^{p_1}(\lambda,x)\bigr)^{p(e^{i\lambda})/p_1}\omega(e^{i\lambda}) \,d\lambda \nonumber \\ &=c\int_{(1+x)\mathbb{T}}\biggl(\frac{|v(z)|}{x^{r+\alpha-1}}\biggr)^{p(z/(1+x))} \omega\biggl(\frac{z}{1+x}\biggr)\frac{1}{1+x}\,|dz|\leqslant C. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{42}
$$
Для $\theta>0$, $z_0=e^{i\lambda}$ пусть
$$
\begin{equation}
H_{\theta}(z,z_0)=\frac{1}{\theta^{\alpha}} \int_{B_{2\theta}(z_0)}\frac{|v(\zeta)|}{|\zeta-z|^{r+1}}\,dm_2(\zeta),\qquad z\in \overline{B}_{\theta}(z_0)\cap \overline{\mathbb{D}}.
\end{equation}
\tag{42'}
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &H_{\theta}(z,z_0)\leqslant \frac{2}{\theta^{\alpha}}\int^{\lambda+\theta}_{\lambda-\theta}\int^{2\theta}_{0} \frac{|v((1+x)e^{it})|}{|(1+x)e^{it}-z|^{r+1}}\,dt\,dx \notag \\ &\leqslant\frac{2}{\theta^{\alpha}}\int^{2\theta}_0\biggl(\int^{\theta}_{-\theta} \bigl(\bigl|v\bigl((1\,{+}\,x)e^{i(\lambda+t)}\bigr)\bigr|x^{1-\alpha-r}\bigr)^{p_1} {\cdot}\,\biggl(\int^{\theta}_{-\theta} \biggl(\frac{x^{\alpha+r-1}}{(|x|\,{+}\,|t|)^{r+1}}\biggr)^{p'_1}\,dt\biggr)^{1/p'_1}\biggl)\, dx \notag \\ &\leqslant \frac{c}{\theta^{\alpha}}\int^{2\theta}_0 x^{\alpha-1-1/p_1} \biggl(\int^{\theta}_{-\theta}\bigl(\bigr|v\bigl((1+x)e^{i(\lambda+t)}\bigr)\bigr| x^{1-\alpha-r}\bigr)^{p_1}\,dt\biggr)^{1/p_1}\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{43}
$$
Условия, уже предположенные для $p_0$, $p_-$ и $p_1$, эквивалентны соотношениям
$$
\begin{equation}
\frac{p_-}{p_0}>\frac 1{\alpha},\qquad \frac{p_-}{p_0}>p_1,\qquad p_0, p_1>1.
\end{equation}
\tag{44}
$$
Пользуясь условиями (44), наложим на $p_1$ условие $p_1>1/\alpha \leftrightarrow \alpha>1/p_1$ и пусть $\sigma_0=\alpha-1/p_1>0$. Тогда, повторяя в новой ситуации рассуждения из [8], с применением определения (41), оценок (42) и (43) и выбора $p_1$ после (44), получим неравенство
$$
\begin{equation}
\int^{2\pi}_0\biggl(\int^{2\theta}_0V^*(\lambda,x)\biggl(\frac{x}{\theta}\biggr)^{\sigma_0}\, \frac{dx}{x}\biggr)^{p(e^{i\lambda})}\omega(e^{i\lambda})\, d\lambda\leqslant c,
\end{equation}
\tag{45}
$$
где $c$ не зависит от $x\in(0,1]$. Неравенство (45) важно для дальнейшего, поскольку оценка (43) влечет соотношение
$$
\begin{equation}
H_{\theta}(z,e^{i\lambda})\leqslant c\int^{2\theta}_0 V^*(\lambda,x)\biggl(\frac{x}{\theta}\biggr)^{\alpha-1/p_1}\, \frac{dx}{x},
\end{equation}
\tag{46}
$$
в котором $z\in\overline{B}_\theta \bigl(e^{i\lambda}\bigr)$. Пусть $z_0(\theta)=e^{i(\lambda+\theta)}$, тогда равенство (39') приводит к следующему:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &f^{(r)}(z_0(\theta))-f^{(r)}(z_0)=\frac{r!}{\pi} \int_{B_{2\theta}(z_0)} \frac{f'_{0\overline\zeta}(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{r+1}}\,dm_2(\zeta) \nonumber \\ &\qquad\qquad-\frac{r!}{\pi}\int_{B_{2\theta}(z_0)} \frac{f'_{0\overline\zeta}(\zeta)}{(\zeta-z_0(\theta))^{r+1}}\,dm_2(\zeta) +\frac{r!}{\pi}\sum_{\substack{n\geqslant 1\\2^n\theta\!\leqslant\! 4}}(z_0-z_0(\theta)) \nonumber \\ &\qquad\qquad\qquad\times \int_{B_{2^{n+1}\theta}(z_0)\setminus B_{2^n\theta}(z_0)} f'_{0\overline\zeta}(\zeta)\biggl(\frac{(\zeta-z_0(\theta))^r+\dots +(\zeta-z_0)^r}{(\zeta\!-\!z_0)^{r+1}(\zeta-z_0(\theta))^{r+1}}\biggr)\,dm_2(\zeta) \nonumber \\ &\qquad\stackrel{\mathrm{def}}{=}T_1(\lambda,\theta)-T_2(\lambda,\theta)+T_3(\lambda,\theta). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{47}
$$
Из определения (42') и неравенства (46) имеем
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\theta^{\alpha}}|T_1(\lambda,\theta)| \leqslant c H_{\theta}(z_0,z_0) \leqslant c \int^{2\theta}_0 V^*(\lambda,x)\biggl(\frac{x}{\theta}\biggr)^{\alpha-1/p_1}\, \frac{dx}{x},
\end{equation}
\tag{48}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\theta^{\alpha}}|T_2(\lambda,\theta)| \leqslant c H_{\theta}(z_0,z_0) \leqslant c \int^{2\theta}_0 V^*(\lambda,x)\biggl(\frac{x}{\theta}\biggr)^{\alpha-1/p_1}\, \frac{dx}{x},
\end{equation}
\tag{49}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\theta^{\alpha}}|T_3(\lambda,\theta)| \leqslant c\theta^{1-\alpha}\sum_{\substack{2^n\theta\leqslant 4\\n\geqslant 1}}\frac{1}{2^n\theta}\cdot \bigl(2^{n+1}\theta\bigr)^{\alpha}\cdot \biggl(\frac{1}{2^{n+1}\theta}\biggr)^{\alpha} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\ \times\int_{B_{2^{n+1}\theta}(z_0)\setminus B_{2^n\theta}(z_0)} \frac{|v(\zeta)|}{|\zeta-z_0|^{r+1}}\, dm_2(\zeta) \leqslant c\sum_{\substack{n\geqslant 1\\2^n\theta\leqslant 4}}\frac{1}{2^{n(1-\alpha)}}H_{2^{n+1}\theta}{(z_0,z_0)}.
\end{equation}
\tag{50}
$$
Из (50) и (45) следуют оценки
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int^{2\pi}_0\biggl|\frac{T_3(\lambda,\theta)}{\theta^{\alpha}}\biggr|^{p(e^{i\lambda})} \omega(e^{i\lambda})\,d\lambda \leqslant c\int^{2\pi}_0\sum_{\substack{n\geqslant 1\\2^n\theta\leqslant 4}} \frac{1}{2^{n(1-\alpha)}}H^{p(e^{i\lambda})}_{2^{n+1}\theta}(e^{i\lambda},e^{i\lambda}) \notag \\ &\ \qquad\times \biggl(\sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{2^{n(1-\alpha)p'(e^{i\lambda})}} \biggr)^{p(e^{i\lambda})/p'(e^{i\lambda})}\omega(e^{i\lambda})\,d\lambda \notag \\ &\ \leqslant c\int^{2\pi}_0\sum_{\substack{n\geqslant 1\\2^n\theta\leqslant 4}}\frac{1} {2^{n(1-\alpha)}}H^{p(e^{i\lambda})}_{2^{n+1}\theta}(e^{i\lambda},e^{i\lambda}) \omega(e^{i\lambda})\,d\lambda \notag \\ &\ \leqslant c\sum_{\substack{n\geqslant 1\\2^n\theta\leqslant 4}}\frac{1}{2^{n(1-\alpha)})} \int^{2\pi}_0 H^{p(e^{i\lambda})}_{2^{n+1}\theta} (e^{i\lambda},e^{i\lambda})\omega(e^{i\lambda})\,d\lambda \notag \\ &\ \leqslant c\sum_{\substack{n\geqslant 1\\2^n\theta\leqslant 4}}\frac{1}{2^{n(1-\alpha)})} \int^{2\pi}_0 \biggl(\int^{2\cdot 2^{n+1}\theta}_0 V^*(\lambda,x)\biggl(\frac{x}{2^{n+1}\,\theta}\biggr)^{\alpha-1/p_1}\, \frac{d x}{x} \biggr)^{p(e^{i \lambda})}\omega(e^{i\lambda})\,d\lambda \notag \\ &\ \leqslant c. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{51}
$$
В итоге, соотношения (47)–(51) дают при $0<\theta\leqslant\pi$ следующее неравенство:
$$
\begin{equation*}
\int^{2\pi}_0\biggl|\frac{f^{(r)}(e^{i(\lambda+\theta)})-f^{(r)}(e^{i\lambda})}{\theta^{\alpha}} \biggr|^{p(e^{i\lambda})}\omega(e^{i\lambda})\, d\lambda \leqslant c.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассуждения при $-\pi\leqslant \theta<0$ аналогичны. Лемма 6 доказана. Следствие. Справедливо равенство $\widetilde H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)= H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$. Доказательство. Лемма 2 влечет $H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)\subset\widetilde H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$. Далее, если $f\in \widetilde H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$, то по лемме 5 для нее существует псевдоаналитическое продолжение $f_0$ со свойствами (32), (32') и (33). Тогда лемма 6 влечет, что $f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$, т. е. $\widetilde H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)\subset H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$. Следствие доказано.
§ 4. Основная для доказательства теорем 1–5 эквивалентная полунорма в $H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$Для проверки утверждений теорем 1–5 будем использовать еще одну эквивалентную полунорму в пространстве $H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$. Лемма 7. Пусть $f\in C_A$. Тогда условие $f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$ эквивалентно соотношению Доказательство. Пусть $f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$, а $f_0$ – продолжение функции $f$ в $\mathbb{C}$, удовлетворяющее условиям (32), (32') и (33). Тогда из (39) находим, что
$$
\begin{equation}
f^{(r+1)}(z)=-\frac{(r+1)!}{\pi}\int_{2\mathbb{D}\setminus \overline{\mathbb{D}}}\frac{f'_{0\overline{\zeta}}(\zeta)}{(\zeta-z)^{r+2}}\,dm_2(\zeta),\qquad z\in \mathbb{D}.
\end{equation}
\tag{53}
$$
Обозначая опять $v(\zeta)=f'_{0\overline{\zeta}}(\zeta)$, учтем, что для функции $v$ справедливо соотношение (33). Пусть $z_0=e^{i\lambda}$, $z=\rho z_0$, $l=1-\rho$. Тогда (53) влечет
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &|f^{(r+1)}(z)| \leqslant c \int_{B_{2l}(z_0)}\frac{|v(\zeta)|}{|\zeta-z|^{r+2}} \,dm_2(\zeta) \notag \\ &\qquad+c \sum_{\substack{n\geqslant 1\\2^n l\leqslant 4}} \int_{B_{2^{n+1}l} (z_0)\setminus B_{2^nl}(z_0)} \frac{|v(\zeta)|}{|\zeta-z|^{r+2}}\,dm_2(\zeta) \stackrel{\mathrm{def}}{=}I_0(z_0,l)+\sum_{\substack{n\geqslant 1\\2^n l\leqslant 4}}I_n(z_0,l). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{54}
$$
Из (42') заключаем, что
$$
\begin{equation}
I_0(z_0,l) \leqslant \frac{c}{l}\int_{B_{2l}(z_0)}\frac{|v(\zeta)|}{|\zeta-z|^{r+1}} \,dm_2(\zeta)\leqslant c l^{\alpha-1}H_l(z_0,z_0),
\end{equation}
\tag{55}
$$
$$
\begin{equation}
I_n(z_0,l) \leqslant c\cdot\frac{1}{2^n l}\cdot \int_{B_{2^{n+1}l}(z_0)\setminus B_{2^nl}(z_0)}\frac{|v(\zeta)|}{|\zeta-z|^{r+1}}\, dm_2(\zeta) \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\leqslant c l^{\alpha-1}\cdot\frac{1}{2^{n(1-\alpha)}}H_{2^{n+1}l}(z_0,z_0).
\end{equation}
\tag{56}
$$
Применяя соотношение (54), неравенства (55) и (56), а также неравенства (48)–(51), в которых $\theta$ заменено на $l$, получим, что функция $f$ удовлетворяет условию (52). Таким образом, в одну сторону утверждение леммы 7 доказано.
Предположим теперь, что $f\in C_A$ и выполнено соотношение (52). Положим
$$
\begin{equation}
F(\theta+ih)=f(e^{i(\theta+ih)}), \qquad h\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{57}
$$
$$
\begin{equation}
MF(\theta+ih)=\sup_{k>0}\ \frac{1}{2k} \int^{\theta+k}_{\theta-k}|F(\lambda+ih)|\,d\lambda.
\end{equation}
\tag{58}
$$
Учтем, что $h^{1-\alpha} M F(\theta+ih)=M\bigl(h^{1-\alpha} F(\theta+ih)\bigr)$. Применяя формулу (23), получим оценку
$$
\begin{equation}
\biggl|\sum^{r+1}_{\nu=0}(-1)^{\nu}C^{\nu}_{r+1}F(\theta+\nu \tau+ih)\biggr|\leqslant c|\tau|^{r+1}MF^{(r+1)}(\theta+ih),
\end{equation}
\tag{59}
$$
которая влечет неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &|\tau|^{-\alpha-r}\biggl|\sum^{r+1}_{\nu=0}(-1)^{\nu}C^{\nu}_{r+1}F(\theta+\nu \tau+ih)\biggr|\leqslant c|\tau|^{1-\alpha} MF^{(r+1)}(\theta+ih) \notag \\ &\qquad=c_r\biggl(\frac{|\tau|}{h}\biggr)^{1-\alpha}M\bigl(h^{1-\alpha}F^{(r+1)}(\theta+ih)\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{60}
$$
Теперь из (57) и (60) находим, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &|\tau|^{-\alpha-r}\biggl|\sum^{r+1}_{\nu=0}(-1)^{\nu}C^{\nu}_{r+1} f\bigl(e^{-h}\cdot e^{i(\theta+\nu\tau)}\bigr)\biggr| \notag \\ &\qquad\leqslant c\biggl(\frac{|\tau|}{h}\biggr)^{1-\alpha}M\bigl(h^{1-\alpha}f^{(r+1)}(e^{-h}\cdot e^{i\theta})\bigr)+c\cdot\biggl(\frac{|\tau|}{h}\biggr)^{1-\alpha}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{61}
$$
Применяя к оценке (61) условие (52) и конструкцию полиномов $V_n$ из леммы 3, для любого $n\geqslant1/2h$ найдем полином $\pi_n(z,h)$, $\deg \pi_n\leqslant n$, такой, что имеем оценку
$$
\begin{equation}
\int^{2\pi}_0 \biggl(\frac{n^{\alpha+r}|f(e^{-h}\cdot e^{i\theta})-\pi_n (e^{i\theta},h)|}{c_{10}}\biggr)^{p(e^{i\theta})}\omega(e^{i\theta})\, d\theta\leqslant 1,
\end{equation}
\tag{62}
$$
где $c_{10}$ не зависит от $h$ и $n$. Пусть $\rho_n=e^{-2^{-n}}$, $\Pi_n(\rho_nz)=\pi_{2^n}(z,2^{-n})$. К функции
$$
\begin{equation*}
\Psi_n (z)=\frac{n^{\alpha+r}(f(e^{-h}\cdot e^{i\theta})-\pi_n(e^{i\theta},h))}{c_{10}},
\end{equation*}
\notag
$$
аналитической в круге $\mathbb{D}$, в силу условий на $p(z)$ и $p_0$ применима теорема об ограниченности операторов Кальдерона–Зигмунда (в нашем случае – интеграл Коши) в пространстве $L^{p(\,\cdot\,)}(\omega)$ из [17], поэтому с постоянной $c$, не зависящей от $n$ и $s$, $0<s\leqslant 1$, применение (62) влечет оценку
$$
\begin{equation}
\int^{2\pi}_0\bigl(2^{n(\alpha+r)}|f(s\rho_ne^{i\theta})-\Pi_n(s\rho_ne^{i\theta})| \bigr)^{p(e^{i\theta})}\omega(e^{i\theta})\, d\theta \leqslant c.
\end{equation}
\tag{62'}
$$
В частности, при $s=\rho_{n+1}$ имеем
$$
\begin{equation}
\int^{2\pi}_0\bigl(2^{(n+1)(\alpha+r)}|f(\rho^2_{n+1}e^{i\theta}) -\Pi_{n+1}(\rho^2_{n+1}e^{i\theta})|\bigr)^{p(e^{i\theta})}\omega(e^{i\theta})\,d\theta\leqslant c.
\end{equation}
\tag{63}
$$
Поскольку $\rho^2_{n+1}=\rho_n$ и
$$
\begin{equation*}
\bigl(f(\rho_nz)-\Pi_n(\rho_nz)\bigr)+\bigl(\Pi_{n+1}(\rho^2_{n+1}z)-f(\rho^2_{n+1}z)\bigr) =\Pi_{n+1}(\rho_nz)-\Pi_n(\rho_nz),
\end{equation*}
\notag
$$
то (62) и (63) влекут соотношение
$$
\begin{equation}
\int^{2\pi}_{0}\bigl(2^{n(\alpha+r)}|\Pi_{n+1}(\rho_ne^{i\theta}) -\Pi_n(\rho_ne^{i\theta)}|\bigr)^{p(e^{i\theta})}\omega(e^{i\theta})\,d\theta\leqslant c.
\end{equation}
\tag{64}
$$
Применяя лемму 4, из (64) с другой постоянной $c'$ находим, что
$$
\begin{equation}
\int^{2\pi}_{0}\bigl(2^{n(\alpha+r)}|\Pi_{n+1}(\rho^{-1}_ne^{i\theta}) -\Pi_n(\rho^{-1}_ne^{i\theta})|\bigr)^{p(e^{i\theta})}\omega(e^{i\theta})\,d\theta\leqslant c'.
\end{equation}
\tag{65}
$$
Положим $Q_n(z)=\Pi_{n+1}(z)-\Pi_n(z)$, тогда (65) влечет при $0<t\leqslant \rho^{-1}_n$
$$
\begin{equation}
\int^{2\pi}_0\bigl(2^{n(\alpha+r)}|Q_n(te^{i\theta})|\bigr)^{p_-}\omega(e^{i\theta})\,d\theta\leqslant c''.
\end{equation}
\tag{66}
$$
Фиксируя $n$, при $0\leqslant m\leqslant n$ перепишем наравенство (66) в виде
$$
\begin{equation}
\int^{2\pi}_{0}|Q_m(\rho^{-2}_m e^{i\theta})|^{p_-}\omega(e^{i\theta})\,d\theta \leqslant c''\cdot 2^{-m(\alpha+r){p_-}}.
\end{equation}
\tag{66'}
$$
Пусть $U_m$ – гармоническая в $\rho^{-2}_m \overline{\mathbb{D}}$ функция, задаваемая соотношением $U_m(\zeta)=|Q_m(\zeta)|$, $\zeta\in\rho^{-2}_m \mathbb{T}$. Тогда при $z\in\rho^{-1}_m \mathbb{D}$ имеем
$$
\begin{equation}
|Q'_m(z)|=\biggl|\frac 1 {2\pi}:\int_{\rho^{-2}_m \mathbb{T}}\frac{Q_m(\zeta)}{(\zeta-z)^2}\,d\zeta\biggr|\leqslant\frac 1 {2\pi}\int_{\rho^{-2}_m \mathbb{T}}\frac{|Q_m(\zeta)|}{|\zeta-z|^2}\,|d\zeta| \leqslant c(\rho^{-2}_m-|z|)^{-1}U_m(z).
\end{equation}
\tag{67}
$$
Поскольку функция $U^\gamma_m(z)$ при $\gamma>1$ субгармоничная в $\rho^{-2}_m \mathbb{D}$, то при $z\in\rho^{-1}_m \overline{\mathbb{D}}$ к функции $U_m$ можно применить рассуждения (18)–(20), и тогда (66') и (67) влекут оценку
$$
\begin{equation}
|Q'_m(z)|\leqslant c (2^{-m})^{\alpha-p_0/p_-+r-1}\leqslant c (2^{-m})^{\alpha-p_0/p_--1}.
\end{equation}
\tag{68}
$$
Опять полагая $\sigma=\alpha-p_0/p_-$, $\sigma>0$, из (68) находим в $\rho^{-1}_m \mathbb{T}$ неравенство
$$
\begin{equation}
\big|\Pi'_{n+1}(z)\big|=\biggl|\sum^n_{m=0}Q'_m(z)\biggr|\leqslant c \sum^n_{m=0}2^{m(1-\sigma)}=c2^{n(1-\sigma)}.
\end{equation}
\tag{69}
$$
При $z_1,z_2\in \rho^{-1}_n\mathbb{T}$ формула (69) дает соотношение $|\Pi_{n+1}(z_2)-\Pi_{n+1}(z_1)|\leqslant c|z_2-z_1|^\sigma$, а тогда по теореме Уолша, см. [15], получаем $\Pi_{n+1}\in \Lambda^\sigma(\rho^{-1}_n \overline{\mathbb{D}})$ с оценкой полунормы, не зависящей от $n$.
Теперь построим функцию $f_1$ равенством
$$
\begin{equation*}
f_1(z)=\begin{cases} f(z), &z\in \overline{\mathbb{D}}, \\ \Pi_{n+1}(z), &z\in \rho^{-1}_n\overline{\mathbb{D}}\setminus \rho^{-1}_{n+1}\overline{\mathbb{D}}, \\ 0, &z\in \mathbb{C}\setminus \rho^{-1}_0\overline{\mathbb{D}}, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
а функцию $f_0$, следуя Е. М. Дынькину [16], построим, как в (36):
$$
\begin{equation}
f_0(z)=\frac{1}{|B_{\frac{1}{4}(|z|-1)}(z)|} \int_{B_{\frac{1}{4}(|z|-1)}(z)} f_1(\zeta)\,dm_2(\zeta), \qquad z\in \mathbb{C}\setminus \overline{\mathbb{D}}.
\end{equation}
\tag{69'}
$$
Предположение (52) дает соотношение
$$
\begin{equation*}
\int^{2\pi}_0|(1-\rho)^{1-\alpha}f'(\rho e^{i\lambda})|^{p(e^{i\lambda})} \omega(e^{i\lambda})\,d\lambda\leqslant c,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда, используя (18)–(20), находим, что $f\in \Lambda^\sigma(\overline{\mathbb{D}})$. Из соотношений (62') при $s=1$ и $s=\rho_{n+1}$, аналогично рассуждениям (18)–(20), при $z\in \rho^2_{n+1}\mathbb{T}$, получаем оценку
Пусть $z_0\in T$, $z\in \rho^{-1}_n\overline{\mathbb{D}}\setminus\rho^{-1}_{n+1}\overline{\mathbb{D}}$, $z_1=\rho^2_{n+1}z_0$. Тогда, учитывая соотношения $f\in \Lambda^\sigma(\overline{\mathbb{D}})$, $\Pi_{n+1}\in \Lambda^\sigma(\overline{\mathbb{D}})$ и (70), находим оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &|f(z_0)-\Pi_{n+1}(z)|\leqslant |f(z_0)-f(z_1)|+|\Pi_{n+1}(z)-\Pi_{n+1}(z_1)| \notag \\ &\qquad+|\Pi_{n+1}(z_1)-f(z_1)|\leqslant c (2^{-n\sigma}+|z-z_1|^\sigma+2^{-n\sigma}) \leqslant c|z-z_1|^\sigma. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{71}
$$
Из неравенства (71) и определения (69') функции $f_0$ следует, что $f_0\in C(\mathbb{C})$, $f_0\in C^1(\mathbb{C}\setminus\overline{\mathbb{D}})$ и при $z\in \overline{\mathbb{D}}$ применима формула (39). Из оценок (65) следует неравенство
$$
\begin{equation}
\int_{\rho\mathbb{T}}\biggl(\frac{|f'_{0\overline{\zeta}}(\zeta)|}{(\rho-1)^{\alpha+r-1}} \biggr)^{p(\zeta/\rho)}\omega\biggl(\frac{\zeta}{\rho}\biggr)\, |d\zeta|\leqslant C,\qquad 1<\rho\leqslant 2.
\end{equation}
\tag{72}
$$
Применяя лемму 6 и оценку (72), получаем $f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$. Лемма 7 доказана. § 5. Вариант максимальной теоремыСправедливо следующее утверждение. Лемма 8. Пусть $f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$, характеристики $\Delta^\alpha f(\zeta,h)$ и $\Delta^{r+\alpha}f(\zeta,h)$ определены в $(6')$ и $(6'')$. Тогда при $0<h\leqslant 2$ имеет место оценка Доказательство. Используя (39) и определения разделенных разностей в (5') и (5''), при $z_1\ne z_2$ получаем
$$
\begin{equation*}
f[z_1, z_2]=-\frac{1}{\pi}\int_{2\mathbb{D}\setminus \mathbb{D}} \frac{f'_{0\overline{\zeta}}(\zeta)}{(\zeta-z_1)(\zeta-z_2)}\, dm_2(\zeta)
\end{equation*}
\notag
$$
и далее по индукции
$$
\begin{equation}
f[z_1,\dots, z_m]=-\frac{1}{\pi}\int_{2\mathbb{D}\setminus \overline{\mathbb{D}}} \frac{f'_{0\overline{\zeta}}(\zeta)}{(\zeta-z_1)\cdots (\zeta-z_m)}\, dm_2(\zeta).
\end{equation}
\tag{74}
$$
Применяя формулу (74), получаем равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{h^\alpha}\bigl(f[z^{(1)}_0,\dots ,z^{(1)}_r]-f[z^{(2)}_0,\dots,r^{(2)}_r]\bigr) =\sum^r_{k=0}\frac{z^{(1)}_{r-k}-z^{(2)}_{r-k}}{\pi h^{\alpha}} \notag \\ &\qquad\times\int_{2\mathbb{D}\setminus \overline{\mathbb{D}}} \frac{f'_{0\overline{\zeta}}(t)}{(t-z^{(1)}_0)\cdots(t-z^{(1)}_{r-k}) (t-z^{(2)}_{r-k})\cdots(t-z^{(2)}_r)}\, dm_2(t). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{75}
$$
Учтем, что $|t|>1$, $z^{(k)}_j\in \overline{\mathbb{D}}\cap\overline{B}_h (\zeta)$ справедливо неравенство а при $t\in (\mathbb{C}\setminus \overline{\mathbb{D}}) \cap \overline{B}_{2h}(\zeta)$, $z^{(k)}_j\in \overline{B}_h(\zeta)\cap \overline{\mathbb{D}}$ имеем
Учитывая равенство (75) и оценки (76), (77), мы оказываемся в условиях проведения оценок (37)–(51) леммы 6, которые и доказывают лемму 8. Следствие. Пусть функция $f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$, характеристика $\Delta^{r+\alpha}_\varepsilon f(\zeta,h)$ определена в (6), $\varepsilon >0$. Тогда справедлива оценка Доказательство. Рассуждая аналогично (5.53), (5.54) и (6.4) в [8], при $2^{n-1}h\leqslant x\leqslant 2^nh$ получаем соотношение
$$
\begin{equation*}
\Delta^{r+\alpha} f(\zeta,x)\leqslant 2^\alpha\Delta^{r+\alpha} f(\zeta,2^nh),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда аналогично рассуждениям (6.5)–(6.7) в [8] находим, что
$$
\begin{equation}
\Delta^{r+\alpha}_\varepsilon f(\zeta,\delta)\leqslant \sum^{\infty}_{n=0}2^{-n\varepsilon}\Delta^{r+\alpha} f(\zeta,2^n\delta).
\end{equation}
\tag{79}
$$
Тогда (73) и (79) влекут
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbb{T}}\bigl(\Delta^{r+\alpha}_\varepsilon f(\zeta,\delta)\bigr)^{p(\zeta)}\omega(\zeta)\, |d\zeta| \\ &\qquad\leqslant c \int_{\mathbb{T}}\biggl(\sum_{n\geqslant 0}\frac1{2^{n\varepsilon}}\biggr)^{p(\zeta)/p'(\zeta)} \biggl(\sum_{n\geqslant 0}\frac1{2^{n\varepsilon}}\bigl(\Delta^{r+\alpha} f(\zeta,2^n\delta)\bigr)^{p(\zeta)}\biggr)\omega(\zeta)\, |d\zeta| \\ &\qquad\leqslant c\sum_{n\geqslant 0}\frac 1{2^{n\varepsilon}}\int_{\mathbb{T}}\bigl(\Delta^{r+\alpha} f(\zeta,2^n\delta)\bigr)^{p(\zeta)}\omega(\zeta)\, |d\zeta|\leqslant c. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие доказано. § 6. Доказательство теорем 1, 2 и 3Пусть функция $f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$, $f_0$ – ее продолжение на всю плоскость ${\mathbb{C}}$, построенное в лемме 5, $I$ – внутренняя функция, $f/I\in H^1$. В процессе доказательства леммы 2 было установлено, что $f\in \Lambda^{r+\sigma}\subset\Lambda^\sigma$, где $\sigma=\alpha-p_0/p_->0$, поэтому по теореме Ф. А. Шамояна [19] имеет место соотношение $f/I\in \Lambda^\sigma$, тогда оценки функции $f$ вблизи $\operatorname{spec} I$, см. [5], показывают, что $f_0/I$ является продолжением функции $f/I$ на всю комплексную плоскость ${\mathbb{C}}$ со свойствами (32), (32') и (33). Учитывая, что при $|\zeta|>1$ справедливо соотношение $f'_{0\overline{\zeta}}(\zeta)/I(\zeta)=\bigl(f_0(\zeta)/I(\zeta)\bigr)'_{\overline{\zeta}}$, применим к функции $f_0/I$ формулу Грина:
$$
\begin{equation}
\frac{f(z)}{I(z)}=-\frac{1}{\pi}\int_{|\zeta|>1} \biggl(\frac{f_0(\zeta)}{I(\zeta)}\biggr)'_{\overline{\zeta}}\, \frac{dm_2(\zeta)}{\zeta-z} =-\frac{1}{\pi}\int_{|\zeta|>1}\frac{f'_{0\overline{\zeta}}(\zeta)}{I(\zeta)}\, \frac{dm_2(\zeta)}{\zeta-z},\ z\in \mathbb{D}.
\end{equation}
\tag{80}
$$
Поскольку при $|\zeta|>1$ имеем ${1}/{|I(\zeta)|}<1$, то леммы 5 и 6 и равенство (80) влекут соотношение $f/I\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$. Теорема 1 доказана. Далее вначале приведем доказательство теоремы 3. Доказательство части a) в ней для случая $\omega(z)\equiv 1$ проведено в рассуждениях (5.6)–(5.55) в [8] и без всяких изменений переносится на рассматриваемый случай $\omega\in A_{p_0}$. Доказательство части b) теоремы 3 следует из рассуждений (6.11)–(6.29) в [8], которые мы формулируем в виде леммы. Лемма 9. В предположениях $b)$ теоремы $3$ справедливы оценки где $z\ne 0$, $z_0=z/|z|$, $0\leqslant\nu\leqslant r$. Применяя формулу Лейбница
$$
\begin{equation*}
(f I)^{(r+1)}=\sum_{\nu=0}^{r+1} C^\nu_{r+1} f^{(\nu)} I^{(r+1-\nu)},
\end{equation*}
\notag
$$
учитывая соотношение $|f^{(r+1)}(z)I(z)|\leqslant |f^{(r+1)}(z)|$ и используя оценки (81) и следствие из леммы 8, находим, что при рассматриваемых условиях выполнено соотношение
$$
\begin{equation*}
\int_{\rho\mathbb{T}}\bigl|(1-\rho)^{1-\alpha}(f I)^{(r+1)}(z)\bigr|^{p(z/\rho)} \omega\biggl(\frac{z}{\rho}\biggr)\,|d z|\leqslant C,
\end{equation*}
\notag
$$
которое согласно лемме 7 дает $fI\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$. Теорема 3 доказана. Для доказательства теоремы 2 следует заметить, что при имеющихся в ее условии предположений, имеем $\delta_r(z)=\delta_0(z)$, поэтому часть a) теоремы 3 влечет соответствующие неравенства с $\delta_r(z)=\delta_0(z)$, а тогда часть b) теоремы 3 влечет теорему 2. § 7. Доказательство теорем 4 и 5Теорема 4 была сформулирована с требованием $f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$ описания внешних функций именно этого класса. Ранее уже было установлено, что $\Lambda^{r+\sigma}\subset H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$, $\sigma=\alpha-p_0/p_->0$. В [7] был получен более общий результат, формулировка которого содержала предположения, не использовавшиеся в доказательстве. Теорема 4' (теорема 2 в [7]). Пусть $z\in\mathbb{D}$, $z\ne 0$, $z_0=z/|z|$, $0<\varepsilon<1-\alpha$, $f^{(r)}\in C_A$, характеристика $F^*(f,z_0,h,\varepsilon)$ определена в [8], интеграл $I_f(z)$ определен в [7]. Тогда для тех $z\in\mathbb{D}$, $z\ne 0$, для которых справедливо $M_f(z)\geqslant(1-|z|)^{r+\alpha}F^*(f,z_0,1-|z|,\varepsilon)$, справедлива оценка $I_f(z)\leqslant c$ с постоянной $c$, не зависящей от $z$. Поскольку условия теоремы 4 дают $f^{(r)}\in C_A$, то теорема 4 следует из теоремы 4'. Для доказательства теоремы 5 воспользуемся результатом из [7]. Лемма 10. Пусть $g^{(r)}\in C(\mathbb{T})$, $\int_\mathbb{T}\log|g|\,|d\zeta|>-\infty$, внешняя функция ${}_e{g}$ построена в (9). Предположим, что существует $c$, не зависящее от $z\in\mathbb{D}$, $z\ne 0$, такое, что при всех $z$ таких, что $M_g(z)\geqslant(1-|z|)^{r+\alpha}F(f, z_0, 1-|z|, \varepsilon)$, где $F$ определена в (4), $0<\varepsilon<1-\alpha$, $z_0=z/|z|$, справедлива оценка $I_g(z)\leqslant c$. Тогда для $z\in\mathbb{D}$ имеется оценка Для завершения доказательства теоремы 5 заметим, что следствие из леммы 8 и оценка $F(g, z_0, h,\varepsilon)\leqslant C\,\Delta^{r+\alpha}_\varepsilon g(z_0, h)$ вместе с неравенством (82) дают
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\rho\mathbb{T}}\bigl((1-\rho)^{1-\alpha}\bigl|{}_e{g}^{(r+1)}(z)\bigr|\bigr)^{p(z/\rho)} \omega\biggl(\frac{z}{\rho}\biggr)\,|d z| \notag \\ &\qquad\leqslant c\int_\mathbb{T}\bigl(\Delta^{r+\alpha}_\varepsilon g(z_0, 1-\rho)\bigr)^{p(z_0)}\omega(z_0)\,|d z|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{83}
$$
При определении характеристики $\Delta^{r+\alpha}_\varepsilon g(z_0, h)$ в (83) в конструкциях (5'), (5''), (6), (6'), (6'') рассматриваются только точки $z_j\in\mathbb{T}$. Положим
$$
\begin{equation}
g_+(z) =\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathbb{T}}\frac{g(\zeta)}{\zeta-z}\, d\zeta, \qquad z\in\mathbb{D},
\end{equation}
\tag{84}
$$
$$
\begin{equation}
g_-(z) =\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathbb{T}}\frac{g(\zeta)}{\zeta-z}\, d\zeta, \qquad z\in\mathbb{C}\setminus\overline{\mathbb{D}}.
\end{equation}
\tag{85}
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
g_\pm (z e^{i\theta})=\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathbb{T}}\frac{g(\zeta)}{\zeta-e^{i\theta}z}\, d\zeta=\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathbb{T}}\frac{g(e^{i\theta}\zeta_1)}{\zeta_1-z}\, d\zeta_1,
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation}
\sum_{\nu=0}^{r+1} (-1)^\nu\ C^\nu_{r+1}\ g_\pm (e^{i\nu\theta} z)= \frac{1}{2\pi i}\int_{\mathbb{T}}\frac{\sum_{\nu=0}^{r+1} (-1)^\nu\ C^\nu_{r+1} g(e^{i\nu\theta}\zeta_1)}{\zeta_1-z}\, d\zeta_1.
\end{equation}
\tag{86}
$$
Применяя к равенству (86) теорему из [19], получаем, что при $z\in\mathbb{D}$ и при $z\in\mathbb{C}\setminus\overline{\mathbb{D}}$ соответственно имеем при фиксированном $\theta$:
$$
\begin{equation}
\int_{\rho\mathbb{T}}\biggl|\frac{\sum_{\nu=0}^{r+1} (-1)^\nu C^\nu_{r+1} g_+(e^{i\nu\theta}z)}{|\theta|^\alpha}\biggr|^{p(z/\rho)} \omega\biggl(\frac{z}{\rho}\biggr)\, |dz| \leqslant c^*,\qquad 0<\rho<1,
\end{equation}
\tag{87}
$$
$$
\begin{equation}
\int_{R\mathbb{T}}\biggl|\frac{\sum_{\nu=0}^{r+1} (-1)^\nu C^\nu_{r+1} g_-(e^{i\nu\theta}z)}{|\theta|^\alpha}\biggr|^{p(z/R)} \omega\biggl(\frac{z}{R}\biggr)\, |dz| \leqslant c^*,\qquad 1<R,
\end{equation}
\tag{88}
$$
где в (87) и (88) мы полагали
$$
\begin{equation}
c^*=c\int_{\mathbb{T}}\biggl|\frac{\sum_{\nu=0}^{r+1} (-1)^\nu C^\nu_{r+1} g(e^{i\nu\theta}z)}{|\theta|^\alpha}\biggr|^{p(z)} \omega(z)\, |dz|.
\end{equation}
\tag{89}
$$
Леммы 2 и 3 могут быть проведены и для класса $W^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$, и тогда для $c^*$ из (89) имеем $c^*<\infty$, а тогда (87) и (88) и леммы 2 и 3 дают соотношения $g_+(z)\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$, $g_-(1/z)\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$, что по следствию из леммы 8 влечет оценки
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{T}}\bigl(\Delta^{r+\alpha}_\varepsilon g_+(z)\bigr)^{p(z)}\omega(z)\, |dz| \leqslant c,
\end{equation}
\tag{90}
$$
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{T}}\bigl(\Delta^{r+\alpha}_\varepsilon g_-(z)\bigr)^{p(z)}\omega(z)\, |dz| \leqslant c.
\end{equation}
\tag{91}
$$
Поскольку по формуле Сохоцкого–Племеля при $z\in\mathbb{T}$ имеем $g(z)=g_+(z)-g_-(z)$, и аналогичные соотношения действуют для разделенных разностей $g$, $g_+$ и $g_-$, то справедливо неравенство $\Delta^{r+\alpha}_\varepsilon g(z)\leqslant \Delta^{r+\alpha}_\varepsilon g_+(z)+\Delta^{r+\alpha}_\varepsilon g_-(z)$. Тогда (83), (90) и (91) влекут
$$
\begin{equation}
\int_{\rho\mathbb{T}}\bigl|(1-\rho)^{1-\alpha}{}_e{g}^{(r+1)}(z)\bigr|^{p(z/\rho)}\, \omega\biggl(\frac{z}{\rho}\biggr)\,|dz|\leqslant c, \qquad 0<\rho<1,
\end{equation}
\tag{92}
$$
и лемма 7 дает ${}_e{g}\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$. Теорема 5 доказана. Для доказательства теоремы 6 используем результат, полученный в [7], доказательство которого опиралось на меньшие предположения, чем в [7] было указано. В данной работе из $g_\pm(z)\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)$ следует, что $g_\pm\in\Lambda^{r+\sigma}$, что дает возможность применять нижеследующую лемму к $g=g_+-g_-\in\Lambda^{r+\sigma}(\mathbb{T})$. Лемма 11 (лемма 10 в [7] в предположениях, соответствующих ее доказательству). Пусть $g^{(r)}\in C(T)$ и $\int_\mathbb{T} \log |g(z)|\, |dz|>-\infty$. Положим $I=\{z=e^{i\theta}$: $\theta_0-H/2\leqslant \theta\leqslant \theta_0+H/2\}$, $z_0=e^{i\theta_0}$, $M=\max_{\zeta\in I}|g(\zeta)|$, $0<\varepsilon<1-\alpha$. Существуют $A_0$ и $\widehat c$, не зависящие от $I$, такие, что если выполнено условие то справедлива оценка Для завершения доказательства теоремы 6 применим теорему 5 и лемму 11. Поскольку имеется включение $W^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)\subset W^{p(\,\cdot\,)}_{\frac{r+\alpha}{2}}(\omega)$, достаточно проверить условие $I_g(z)\leqslant c$ для тех $z$, для которых $M_g(z)\geqslant F(g,z_0,1-|z|,\varepsilon)\cdot(1-|z|)^{r+\alpha}$, где $z\ne 0$, $z_0=z/|z|$; характеристика $M_g(z)$ определена между соотношениями (6) и (7). Действуя аналогично рассуждениям (3.8)–(3.12) в [7], приходим к выводу, что достаточно получить оценку интеграла $I_g(z)$ для тех $z$, для которых с какой-либо постоянной $A_0$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
M_g(z)\geqslant A_0\ F(g,z_0,1-|z|,\varepsilon)\cdot (1-|z|)^{r+\alpha}.
\end{equation}
\tag{95}
$$
Выбирая $A_0$ из леммы 11, завершаем доказательство теоремы 6, проверяя рассуждения (5.19)–(5.24) из [7]. Теорема 6 доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Shi21} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|