| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Производная функции Минковского Д. Р. Гайфулинa, И. Д. Канb a Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва b Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9039 
Реферативные базы данных:
    § 1. Введение1.1. Функция Минковского $?(\mathbf{x})$Функцию $?(\mathbf{x})$ (строго возрастающую, взаимно однозначно отображающую отрезок $[0,1]$ на себя, при этом почти везде имеющую равную нулю производную) впервые рассмотрел Г. Минковский [1] в 1911 г. Позже Р. Салем [2] дал равносильное определение функции $?(\mathbf{x})$, которую стали называть функцией Минковского. А именно, если1
$$
\begin{equation}
\mathbf{x} = [x_1,x_2,\dots,x_t,\dots]= \cfrac{1}{\displaystyle{x_1+\cfrac{1}{\displaystyle{x_2 + \dots+\cfrac{1}{\displaystyle{x_t + \displaystyle{\cdots}}}}}}}
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
– конечное или бесконечное разложение числа $\mathbf{x}\in [0,1]$ в обыкновенную цепную дробь с натуральными неполными частными $x_1,x_2,\dots,x_t,\dots$, то
$$
\begin{equation}
?(\mathbf{x})=\frac{1}{2^{x_1-1}} - \frac{1}{2^{x_1+x_2-1}}+ \dots+ \frac{(-1)^{n+1}}{2^{x_1+x_2+\dots+x_n-1}}+ \cdots\,.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Функция Минковского обладает рядом любопытнейших свойств, которые можно найти, например, в работах [2]–[5]. В частности, производная $?'(\mathbf{x})$ (если для данного $\mathbf{x}$ она существует) может принимать только два значения – $0$ или $+\infty$. Дальнейшее повествование – о выборе между этими двумя значениями. 1.2. История вопросаДля иррационального числа $\mathbf{x}$ из (1.1) рассмотрим сумму $S_\mathbf{x}(t)$ элементов цепной дроби с индексами от $1$ до $t$: В [5] была доказана некоторая теорема о связи значения производной $?'(\mathbf{x})$ функции Минковского с предельным поведением частного $S_\mathbf{x}(t)/t$. В частности, было показано, что равенство $?'(\mathbf{x})=+\infty$ связано с выполнением для всех достаточно больших $t$ неравенства $S_\mathbf{x}(t)/t<\kappa_1$, где
$$
\begin{equation}
\kappa_1=\frac{2\log(1+\sqrt{5})}{\log 2}-2=1.3884\dots\,.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
В дальнейшем, в нескольких работах [6]–[9] был доказан ряд теорем, обобщающих и уточняющих результаты из [5] о производной функции Минковского. В частности, в [7] был поставлен вопрос о том, можно ли как-либо сравнить предельное поведение величин $S_\mathbf{x}(t) $ и $\kappa_1t$, когда, наоборот, вместо равенства $?'(\mathbf{x})=+\infty $ выполнено равенство $?'(\mathbf{x})=0$. Для формулировки соответствующей теоремы из [7], уточненной в [8], определим действительную величину
$$
\begin{equation}
\kappa_4=\frac{\sqrt{2\log(1+\sqrt{5})-3\log 2}}{\log 2}=0.7486\dots\,.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Теорема A (см. [7], [8]). (i) Пусть для иррационального $\mathbf{x}$ из $(0,1)$ производная $?'(\mathbf{x})$ существует и выполнено равенство $?'(\mathbf{x})=0$. Пусть функция $\psi=\psi(t)$ принимает только положительные действительные значения и монотонно, но достаточно медленно стремится к $+\infty$, так что выполнено асимптотическое равенство Тогда для всех достаточно больших (в зависимости от $\mathbf{x}$ и $\psi$) чисел $t$ выполнена оценка (ii) Существует иррациональное $\mathbf{x}\in (0,1)$ такое, что $?'(\mathbf{x})=0$ и для всех достаточно больших $t$ выполнено неравенство Аналогичный вопрос был поставлен в [8] для случая ограниченных неполных частных. Именно, при каждом $n\geqslant 5$ через $\mathbf{E}_n$ обозначим множество иррациональных чисел $\mathbf{x}$ из интервала $(0,1)$ таких, что все их неполные частные $x_j$ ограничены сверху числом $n$: Для этого случая константа, аналогичная $\kappa_1$, получила обозначение $\kappa^{(n)}_1$ и имеет следующее значение:
$$
\begin{equation}
\kappa^{(n)}_1=\frac{(n+1)\log\Phi-\log \mu_n}{(n-1) \log \sqrt{2}-\log \mu_n + 2 \log \Phi},\qquad n \geqslant 5,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где $\Phi={(1+\sqrt{5})}/{2}$ и $\mu_n=(n+2+\sqrt{n^2+4n})/2$. Замечание 1.1. Несложные вычисления, связанные с формулами (1.3), (1.4) и (1.5), показывают, что для любого $n \geqslant 5$ найдется действительное число $\Theta=\Theta_n$ такое, что $|\Theta|\leqslant 1$ и Теорема, аналогичная теореме A, имеет следующую формулировку. Теорема B (см. [8], [9]). (i) Пусть для $\mathbf{x} \in \mathbf{E}_n$, где $n\geqslant 5$, производная $?'(\mathbf{x})$ существует и выполнено равенство $?'(\mathbf{x})=0$. Тогда для всех достаточно больших $t$ в зависимости от значения $n$ выполнена хотя бы одна из двух оценок: если $n\geqslant 42$, или – во всех остальных случаях. (ii) Для заданного $n\geqslant 5$ существует число $\mathbf{x}\in \mathbf{E}_n$ такое, что $?'(\mathbf{x})=0$ и для всех достаточно больших $t$ выполнено неравенство Аналогично, если выполнено равенство $?'(\mathbf{x})=+\infty $, то, как будет сказано в следующей теореме, можно сравнить предельное поведение величин $S_\mathbf{x}(t) $ и $\kappa_2t$, где константы $\kappa_2$ и $\lambda_n$ (при $n\in \mathbb{N}$) имеют следующие значения:
$$
\begin{equation}
\kappa_2 = \frac{4\log\lambda_5-5\log\lambda_4}{\log \lambda_5-\log\lambda_4-\log\sqrt{2}} = 4.401\dots,
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
Теорема C (см. [7]). (i) Пусть производная $?'(\mathbf{x})$ для иррационального $\mathbf{x}$ из $(0,1)$ существует и выполнено равенство $?'(\mathbf{x})=+\infty$. Тогда для любого достаточно большого $t$ выполнено неравенство (ii) Существует иррациональное $\mathbf{x}\in (0,1)$ такое, что $?'(\mathbf{x})=+\infty$ и для всех достаточно больших $t$ выполнено неравенство Замечание 1.2. Порядки оценок по параметру $t$ в неравенствах (1.7) и (1.8) совпадают (и равны $O(\sqrt{t})$). Однако зависимость этих оценок от $n$ различается даже по их монотонности: в (1.7) перед $\sqrt{t}$ – абсолютная константа, в (1.8) – возрастающая по $n$ функция. Поэтому сближение коэффициентов при $\sqrt{t}$ в этих оценках представляет собой интересную открытую проблему. Аналогично, несовпадение констант перед $\sqrt{t}$ в оценках (1.11) и (1.12) (т. е. чисел $10^{-8}$ и $200 $) – другая нерешенная проблема. В настоящей работе неравенства (1.7), (1.8), (1.11) и (1.12) будут усилены. В частности, коэффициент при $\sqrt{t}$ в (1.8) также будет заменен не зависящей от $n$ константой. 1.3. Основные результаты настоящей работыВведем следующие константы: $\mu'_n=(n+2-\sqrt{n^2+4n})/2$ – число, сопряженное к $\mu_n$,
$$
\begin{equation}
c^{(n)}= \biggl(\frac{\Phi^2}{\mu_n}\biggr)^{1/(n-1)}\sqrt{2},\qquad \gamma_n=\frac{2\Phi+\mu'_n-2\Phi\mu'_n+n\Phi^2}{\sqrt{5n^2+20n}}.
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
Отметим, что число $c^{(n)}>1.09$ при $n\geqslant 5$ и стремится к $\sqrt{2}$ с ростом $n$, а величина $\gamma_n>1.06$ при $n\geqslant 5$ и с ростом $n$ стремится к $ {\Phi^2}/{\sqrt{5}}$. Кроме того, нам потребуются следующие величины: $\lambda= {\sqrt{2}\lambda_4}/{\lambda_5}\approx 1.1537043$,
$$
\begin{equation}
\gamma=\frac{2+\sqrt{5}}{\sqrt{20}}\cdot \frac{5+\sqrt{29}}{2\sqrt{29}}(1+[\,\overline{4}\,][\,\overline{5}\,])^2\approx 0.9982728,
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
где черта сверху означает бесконечное повторение периода цепной дроби. Отметим, что $\log \gamma< 0$. Главная цель настоящего исследования состоит в доказательстве следующих двух теорем. Теорема 1.1. (i) Пусть при $n\geqslant 5$ для числа $\mathbf{x} \in \mathbf{E}_n$ производная $?'(\mathbf{x})$ существует и выполнено равенство $?'(\mathbf{x})=0$. Тогда для любого достаточно малого положительного числа $\varepsilon$ при всех достаточно больших (в зависимости от чисел $\mathbf{x}$ и $\varepsilon$) значений $t$ имеет место неравенство В частности, при тех же условиях при всех достаточно больших $n$ для всех достаточно больших $t$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation}
\max_{u\leqslant t}\bigl(S_\mathbf{x}(u)-\kappa^{(n)}_1u\bigr)>0.4852\sqrt{t}.
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
(ii) Для заданного $n\geqslant 5$ в зависимости от значения $n$ существует число $\mathbf{x}\in \mathbf{E}_n$ такое, что $?'(\mathbf{x})=0$ и для всех достаточно больших $t$ выполнено хотя бы одно из двух неравенств: если $n$ достаточно велико, и во всех остальных случаях.Теорема 1.2. (i) Пусть производная $?'(\mathbf{x})$ для иррационального числа $\mathbf{x}$ из (1.1) существует и выполнено равенство $?'(\mathbf{x})=+\infty$. Пусть $\varepsilon<10^{-20}$ – произвольно малое положительное число. Тогда для любого достаточно большого $t$ выполнена оценка (ii) Существует иррациональное $\mathbf{x}\in (0,1)$ такое, что $?'(\mathbf{x})=+\infty$ и для всех достаточно больших $t$ выполнено неравенство Авторы благодарны профессору Н. Г. Мощевитину за постановку темы исследования и обсуждение результатов. § 2. Основные обозначения и стартовые леммыПусть $A_t=(a_1, a_2,\dots, a_t)$ – произвольная конечная последовательность из $t$ натуральных чисел, где $t\geqslant 0$ – целое. Через $[A_t]$ обозначим конечную цепную дробь этой последовательности $A_t$:
$$
\begin{equation}
[A_t]=[a_1,a_2,\dots,a_t ]= \cfrac{1}{\displaystyle{a_1+\cfrac{1}{\displaystyle{a_2 + \dots+\cfrac{1}{\displaystyle{a_t}}}}}}.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Если $t>0$, то через $\overleftarrow{A}_t$, $(A_t)^{-}$ и $(A_t)_{-}$ обозначают конечные последовательности $(a_{t},a_{t-1},\dots,a_1)$, $(a_1,a_2,\dots,a_{t-1})$ и $(a_{2},a_{3},\dots,a_{t})$ соответственно (если $t=0$, то $A_t$ и $\overleftarrow{A_t}$ – пусты). Для числа, равного цепной дроби (2.1), числа
$$
\begin{equation*}
q_0=1,\quad q_1=a_1,\quad q_2=\langle A_2\rangle=a_2a_1+1,\quad \dots,\quad q_t=\langle A_t\rangle=a_{t}q_{t-1}+q_{t-2},
\end{equation*}
\notag
$$
называются знаменателями подходящих дробей, см. [10]; или континуантами конечных последовательностей $\varnothing$, $A_1, A_2,\dots,A_t$, см. [11]. В том числе, для пустой последовательности $\varnothing=A_0$ по определению полагают $\langle \varnothing\rangle =1$, $[\varnothing]=\langle\varnothing^- \rangle=\langle\varnothing_- \rangle=0$. В частности, равенства $[A_t]={\langle (A_t)_- \rangle}/{\langle A_{t} \rangle}$, $[\overleftarrow{A_t}] ={\langle (A_t)^- \rangle}/{\langle A_t\rangle}$ остаются верными и при $t=0$. Примером использования этих обозначений является следующая известная (см. [11]) формула:
$$
\begin{equation}
\langle A\rangle \langle B\rangle\leqslant \langle A,B\rangle = \langle A\rangle \langle B\rangle + \langle A^-\rangle \langle B_-\rangle= \langle A\rangle \langle B\rangle \bigl( 1 +[\overleftarrow{A}][B]\bigr)\leqslant 2 \langle A\rangle \langle B\rangle
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
для конечных последовательностей $A$ и $B$. Отметим, что двойное применение формулы (2.2) приводит к соотношению
$$
\begin{equation}
a\langle A\rangle\langle B \rangle\leqslant \langle A,a,B \rangle= \langle A\rangle\langle B \rangle\bigl(a+[\overleftarrow{A}]+[B]\bigr)\leqslant \langle A\rangle\langle B \rangle (a+2).
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
В частности, применяя (2.3), можно получить оценку
$$
\begin{equation}
\frac{a}{a+1}\leqslant\frac{\langle A,a,B \rangle}{\langle A,a+1,B \rangle}\leqslant\frac{a+2}{a+3}.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Всюду далее будем считать, что с рассматриваемым иррациональным числом $\mathbf{x}\in (0,1)$ с помощью формулы (1.1) связана бесконечная последовательность натуральных чисел $(x_1, x_2, \dots, x_t, \dots)$. При каждом $t\in \mathbb{N}$ ее конечные подпоследовательности $(x_1, x_2, \dots, x_t)$ обозначены через $X_t$. Аналогично, через $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ и так далее обозначаются иррациональные числа из интервала $(0,1)$, разложения которых в бесконечные цепные дроби имеют вид $\mathbf{a}=[a_1, a_2, \dots] $, $\mathbf{b}=[b_1, b_2, \dots] $, и так далее. Большими буквами, снабженными натуральными нижними индексами, всюду далее обозначены конечные последовательности, составленные из элементов начальных участков этих разложений, например, $A_s=(a_1,a_2, \dots,a_s)$, $B_t=(b_1,b_2, \dots,b_t)$, где нижние индексы в $A_s$ и $B_t$ обозначают количества элементов в этих последовательностях. Напротив, если конечные последовательности $A_s$, $B_t$, $\dots$ даны изначально, то подразумевается, что через $\mathbf{a}=[a_1, a_2, \dots] $, $\mathbf{b}=[b_1, b_2, \dots] $, $\dots$, обозначены иррациональные числа из интервала $(0,1)$, для которых начала их разложений в цепные дроби совпадают соответственно с последовательностями $A_s$, $B_t$, $\dots$ . Символы $S_{\mathbf{a}}(\nu),S_{\mathbf{b}}(\nu),\dots$ при натуральных значениях $\nu\,{\leqslant}\,t$ будут обозначать сумму первых $\nu$ элементов соответствующих последовательностей $A_t$, $B_t$, $\dots$ . Далее, через $\varphi_{n,\mathbf{a}}(\nu),\varphi_{n,\mathbf{b}}(\nu),\dots$ при $n\geqslant 5$ будем обозначать следующие разности: $\varphi_{n,\mathbf{a}}(\nu)=S_{\mathbf{a}}(\nu)-\kappa^{(n)}_1\nu$, $\varphi_{n,\mathbf{b}}(\nu)=S_{\mathbf{b}}(\nu)-\kappa^{(n)}_1\nu$, $\dots$ и так далее. Наконец, через $\varphi_{\mathbf{a},2}(\nu),\varphi_{\mathbf{b},2}(\nu),\dots$ будем обозначать величины $\varphi_{\mathbf{a},2}(\nu)=\kappa_2\nu-S_{\mathbf{a}}(\nu)$, $\varphi_{\mathbf{b},2}(\nu)=\kappa_2\nu-S_{\mathbf{b}}(\nu)$, $\dots$ . Следующая лемма, очевидно, следует из последних обозначений и из неравенства $4<\kappa_2<5$. Лемма 2.1. Для произвольной конечной последовательности $A_t$ для любого $\nu\in \{2,3,\dots,t\}$ неравенство $\varphi_{\mathbf{a},2}(\nu)>\varphi_{\mathbf{a},2}(\nu-1)$ выполнено тогда и только тогда, когда $a_{\nu}\leqslant 4$. Или, что эквивалентно, $\varphi_{\mathbf{a},2}(\nu)<\varphi_{\mathbf{a},2}(\nu-1)$ тогда и только тогда, когда $a_{\nu}\geqslant 5$. Настоящая работа является продолжением цикла статей [7]–[9] и имеет те же идейные корни. В частности, исходными пунктами для исследования значений производной функции Минковского являются следующие леммы, первые аналоги которых были доказаны в [6]. Лемма 2.2 (см. [8]). Если для заданного иррационального числа $\mathbf{x}\in (0,1)$ выполнено предельное соотношение то производная $?'(\mathbf{x})$ существует и равна бесконечности. Обратно: пусть производная $?'(\mathbf{x})$ для иррационального числа $\mathbf{x}\in (0,1)$ существует и равна бесконечности. Тогда выполнено свойство Лемма 2.3 (см. [8]). Для любого $n\geqslant 5$, для любого $\mathbf{x}\in \mathbf{E}_n$ производная $?'(\mathbf{x})$ существует тогда и только тогда, когда выполнено одно из соотношений § 3. Двусторонние оценки периодических континуантовДалее нам понадобятся оценки континуантов
$$
\begin{equation*}
\langle\underbrace{1,1,\dots,1}_{l\text{ цифр}}\rangle,\quad \langle\underbrace{n,n,\dots,n}_{k \text{ чисел}}\rangle,\quad \langle \underbrace{1,n,1,n,\dots,1,n}_{l\text{ пар}}\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Для их получения напомним формулу Бине
$$
\begin{equation}
\langle \underbrace{1,1,\dots,1}_{l\text{ цифр}}\rangle= \frac{1}{\sqrt{5}}\Phi^{l+1}+\frac{1}{\sqrt{5}}\,\frac{(-1)^{l+1}}{\Phi^{l+1}}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
и ее обобщения
$$
\begin{equation}
\langle \underbrace{1,n,1,n,\dots,1,n}_{l \text{ пар}}\rangle= \frac{\sqrt{n^2+4n}+n}{2\sqrt{n^2+4n}}(\mu_n)^l+ \frac{\sqrt{n^2+4n}-n}{2\sqrt{n^2+4n}}(\mu'_n)^l,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
$$
\begin{equation}
\langle\underbrace{n,n,\dots,n}_{l \text{ чисел}}\rangle= \frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2\sqrt{n^2+4}}\biggl(\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}\biggr)^l+ \frac{\sqrt{n^2+4}-n}{2\sqrt{n^2+4}}\biggl(\frac{n-\sqrt{n^2+4}}{2}\biggr)^l,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
справедливые для любых натуральных $l$ и $n$. Вторые слагаемые в формулах (3.1)–(3.3) экспоненциально стремятся к нулю. Поэтому, пренебрегая этими остаточными слагаемыми, равенства (3.1)–(3.3) можно записать в виде двусторонних неравенств, используя только главные члены:
$$
\begin{equation}
\Phi^{l-1}\leqslant\frac{\Phi}{\sqrt{5}}\Phi^{l}(1-2^{-l})\leqslant \langle \underbrace{1,1,\dots,1}_{l\text{ цифр}}\rangle\leqslant \frac{\Phi}{\sqrt{5}}\Phi^{l} (1+2^{-l})\leqslant \Phi^{l},
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\sqrt{n^2+4n}+n}{2\sqrt{n^2+4n}}\mu_n^l(1-2^{-l})\leqslant \langle \underbrace{1,n,1,n,\dots,1,n}_{l\text{ пар}}\rangle\leqslant \frac{\sqrt{n^2+4n}+n}{2\sqrt{n^2+4n}}\mu_n^l(1+2^{-l}),
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\lambda_n}{\sqrt{n^2+4}}(\lambda_n-n^{-l})^l\leqslant \langle\underbrace{n,n,\dots,n}_{l \text{ чисел}}\rangle\leqslant\frac{\lambda_n}{\sqrt{n^2+4}}(\lambda_n+n^{-l})^l.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Из (3.6) можно вывести упрощенный вариант этой последней оценки:
$$
\begin{equation}
(\lambda_n)^{l-1}<\langle \underbrace{n,n,\dots,n}_{l\text{ чисел}}\rangle< (\lambda_n)^{l}.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
§ 4. Неравенства с континуантами: распыленияРассмотрим континуант $\beta=\langle {X},y,Z\rangle$, где $X$ и $Z$ – конечные числовые последовательности, $y$ – натуральное число. Положим Подчеркнем, что величина (4.1) зависит не от значения числа $y$, но от его расположения в континуанте $\beta$. Предполагается, что $n\geqslant 5$. Определение 4.1. Пусть целое число $m$ удовлетворяет неравенству пусть, кроме того, $A^{(0)},A^{(1)},\dots,A^{(m)}$ – некоторые конечные числовые последовательности, составленные из чисел множества $\{1,2,\dots,n\}$ (возможно, с повторениями) и состоящие из не менее, чем $9$ элементов; пусть, далее, для чисел $z_1,z_2,\dots,z_m$ выполнено равенство пусть для конечной последовательности Лемма 4.1. Пусть последовательность $B_t$ получена из последовательности $A_t$ с помощью одного распыления. Тогда для любого натурального $\nu\leqslant t$ выполнены оценки Доказательство. Верхняя оценка в (4.7) при любом $\nu$ сразу следует из неравенства $z_1<n$.
Докажем неравенство (4.6). Пусть для некоторых индексов $l$ и $p$, таких что $l<p$, выполнены равенства $a_{l}=z_1$, $a_{p}=z_m$. Пусть, для начала, $\nu<l$. Тогда оценка (4.6) выполнена как равенство, поскольку в ней левая и правая части совпадают. Остается доказать неравенство (4.6) при $\nu\geqslant l$. Для этого представим распыление как $m$-шаговый процесс, в котором на первом шаге производится замена $(z_1\mapsto 1)$, на втором – $(z_2\mapsto z_2+1)$, и так далее, и, наконец, на $m$-м шаге – $(z_m\mapsto z_m+1)$, в соответствии с формулой (4.5). Оценим, на сколько могут измениться величины $\beta_{z_1}, \beta_{z_2},\dots,\beta_{z_m}$ при выполнении этого процесса. Для этого учтем следующие три обстоятельства. Во-первых, действительное число определяется по подходящей к нему цепной дроби со знаменателем $Q$ с точностью до $\pm Q^{-2}$. Во-вторых, нижняя оценка для знаменателя $Q$ цепной дроби длины $l$ получается по первому из неравенств в (3.4). В-третьих, между элементами $z_j$ и $z_{j+1}$ в последовательности $A_t$ имеется не менее $9$ элементов. Поэтому общее изменение за весь алгоритм величины $\beta_{z_k}\,(k=1,2,\dots,m)$, равной сумме двух цепных дробей, составит не больше, чем Оценим изменения континуантов из (4.5) при выполнении шагов описанного алгоритма. Для этого применим неравенство (2.4) и заметим следующее. Во-первых, увеличение на $1$ одного неполного частного, равного $z_k=m$, увеличивает континуант не более, чем в
$$
\begin{equation*}
\frac{\langle A,m +1,{B}\rangle}{\langle {A},m,{B}\rangle}= \frac{m+1+[\overleftarrow{A}]+[B]}{m+[\overleftarrow{A}]+[B]}\leqslant \exp\biggl(\frac{1}{m +[\overleftarrow{A}]+[B]}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
раз; продолжая последнюю цепочку с учетом соотношения (4.8), получаем
$$
\begin{equation}
\frac{\langle A,m +1,{B}\rangle}{\langle {A},m,{B}\rangle}\leqslant \exp\biggl(\frac{1}{m +\beta_{z_k}-0.001}\biggr).
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Во-вторых, уменьшение на $(z_1-1)$ одного неполного частного, равного $z_1=m$, уменьшает континуант не менее, чем в
$$
\begin{equation}
\frac{\langle A,z_1,B\rangle}{\langle A,1,B\rangle}= \frac{m+[\overleftarrow{A}]+[B]}{1+[\overleftarrow{A}]+[B]}\geqslant \frac{m+\beta_{z_1}+0.001}{1+\beta_{z_1}+0.001}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
раз. Здесь мы воспользовались тем, что при фиксированном $m $ функция $f(y)=(m+y)/(1+y)$ является убывающей, и положили $y=[\overleftarrow{A}]+[B]$.
Следовательно, деля результат оценки (4.10) на произведение оценок (4.9) при $k=2,3,\dots,m$, получаем неравенство
$$
\begin{equation}
\frac{\langle A_\nu\rangle}{\langle B_\nu\rangle}\geqslant \frac{m+\beta_{z_1}+0.001}{1+\beta_{z_1}+0.001} \biggl(\exp\biggl(\sum^m_{k=2} \frac{1}{m+\beta_{z_k}-0.001}\biggr)\biggr)^{-1}.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Каждое из слагаемых в сумме из (4.11) является функцией, убывающей по параметру $\beta_{z_k}$. Учтем также при каждом $k=2,3,\dots,m$ выполнение неравенства $\beta_{z_k}\geqslant \beta_{z_1}-0.1$, следующего из (4.4). Поэтому, продолжая цепочку оценок, начатую в (4.11), получаем
$$
\begin{equation}
\frac{\langle A_\nu\rangle}{\langle B_\nu\rangle}\geqslant \frac{m+ \beta_{z_1}+0.001}{1 +\beta_{z_1}+0.001}\exp\biggl(\frac{m-1}{m +\beta_{z_1}-0.101}\biggr).
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Правая часть неравенства (4.12) является при фиксированном $m $ убывающей по $\beta_{z_1}$ функцией, что проверяется путем вычисления ее производной. Следовательно, свое наименьшее значение она принимает при максимальном значении $\beta_{z_1}=2$:
$$
\begin{equation}
\frac{\langle A_\nu\rangle}{\langle B_\nu\rangle}\geqslant \frac{m+2+0.001}{3+0.001} \exp\biggl(\frac{1-m}{m+2-0.101}\biggr)= \frac{m+ 2.001}{3.001}\exp\biggl(\frac{1-m}{m +1.899}\biggr).
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Результат неравенства (4.13) является возрастающей по $m$ функцией, что снова проверяется взятием производной по $m$ (для этого временно можно считать величину $m\geqslant 2$ непрерывной). Следовательно, свое минимальное значение эта функция принимает при минимальном $m=2$. Поэтому из (4.13) получаем
$$
\begin{equation}
\frac{\langle A_\nu\rangle}{\langle B_\nu\rangle}\geqslant \frac{2+2.001}{3.001}\exp\biggl(\frac{1-2}{2 +1.899}\biggr)= \frac{4.001}{3.001} \exp\biggl(\frac{-1}{3.899}\biggr)>1.03>1.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Ввиду (4.14), неравенство (4.6) доказано. Лемма доказана. В следующей лемме последовательность $B_t=(b_1, b_2, \dots,b_t)$ получается из $X_t$ при помощи некоторого детерминированного алгоритма. Лемма 4.2. Для любого числа $\mathbf{x}\in \mathbf{E}_n$ (где $n\geqslant 5$) для каждого целого $t>0$ найдется такая состоящая лишь из “$1$” и “$n$” конечная последовательность $B_t$, для которой при любых натуральных $ \nu \leqslant t$ выполнены неравенства Доказательство. Последовательность $X_t$ подвергнем ряду преобразований (главным образом, распылений), в результате которых появится последовательность $B_t$ с нужными свойствами. Для доказательства формулы (4.16) будут выведены оценки, аналогичные (4.6) и (4.7), справедливые уже для алгоритма из многих распылений (а не из одного, как в лемме 4.1).
Для последовательности $X_t$ рассмотрим подпоследовательность $X'=(x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_k})$ всех тех ее элементов, числовые значения которых принадлежат интервалу $[2,\,n-1]$. Последовательность $X'$ представим в виде объединения десяти подпоследовательностей $X^{(\mu)}=\bigl(x^{(\mu)}_{j_1}, x^{(\mu)}_{j_2}, \dots, x^{(\mu)}_{j_{p}}\bigr)$, где $\mu=0,1,2,\dots,9$, каждая из которых составлена в точности из тех элементов последовательности $X' $, индексы которых сравнимы с числом $\mu$ по модулю $10$. Выберем одно из этих $\mu$. Обозначая $\beta=\langle X_t\rangle$, для каждого элемента $x$ последовательности $X^{(\mu)}$ фиксируем значение величины $\beta_x$, определенной формулой (4.1). Положим $\beta_x=\beta^{(0)}_x$. Необходимость последнего обозначения связана с тем, что далее к последовательности $X^{(\mu)}$ будет применен алгоритм, по мере выполнения которого значения величин $\beta_x$ будут несколько меняться, отходя от исходных значений $\beta^{(0)}_x$. Напомним, что величины $\beta_{\mathrm{max}}$ и $\beta_{\mathrm{min}}$ определены в (4.3). Для каждого значения $\gamma= 1,2,\dots,39,40$ сформируем интервал $[(\gamma-1)/20, \gamma/20)$, которому присвоим номер $\gamma$. Тогда все эти интервалы вместе образуют разбиение интервала $[0,2)$. Поэтому каждая из величин $\beta^{(0)}_x$ попадает в один из них. Последовательность $X^{(\mu)}$ представим в виде объединения сорока подпоследовательностей $X^{(\mu,\gamma)} =\bigl(x^{(\mu,\gamma)}_{q_1}, x^{(\mu,\gamma)}_{q_2},\dots, x^{(\mu,\gamma)}_{q_{p'}}\bigr)$, где $\gamma=1,2,\dots,40$, таких, что для произвольного элемента $x$ каждой из них соответствующая ему величина $\beta_x$ попадает в интервал с номером $\gamma$ (при этом все индексы $q_1,q_2,\dots, q_{p'}$ по-прежнему сравнимы с числом $\mu$ по модулю $10$). Выберем одно из этих $\gamma$. Заметим, что для любых двух элементов $a$ и $b$ последовательности $X^{(\mu,\gamma)}$ по построению выполнено неравенство $|\beta_a-\beta_b|\leqslant 0.05$. Последовательность $X^{(\mu,\gamma)}$ представим в виде объединения менее, чем $n$ подпоследовательностей $X^{(\mu,\gamma,m)} = \bigl(x^{(\mu,\gamma,m)}_{s_1}, x^{(\mu,\gamma,m)}_{s_2},\dots, x^{(\mu,\gamma,m)}_{s_{p''}}\bigr)$, где $m=2,3,\dots,n-1$, состоящих из равных элементов, числовые значения которых равны $m$ (при этом все индексы $s_1,s_2,\dots, s_{p''}$ по-прежнему сравнимы с числом $\mu$ по модулю $10$, а для любых двух элементов $a$ и $b$ последовательности $X^{(\mu,\gamma,m)}$ по-прежнему выполнено неравенство $|\beta_a-\beta_b|\leqslant 0.05$). Выберем одно из этих $m$ (для начала – наименьшее из имеющихся, скажем, $m=2$) и договоримся считать, что элементы последовательности $X^{(\mu,\gamma,m)}$ расположены в порядке возрастания индексов: Фиксируем также какие-либо индексы $\mu$ и $\gamma$ и начнем серию повторений следующей процедуры. Пусть текущее значение последовательности $X^{(\mu,\gamma,m)}$ все еще содержит не менее $n$ элементов. Тогда выберем какие-либо $n$ из них, скажем,
$$
\begin{equation}
z_1=x^{(\mu,\gamma,m)}_{s_1}, \quad z_2=x^{(\mu,\gamma,m)}_{s_2},\quad \dots,\quad z_{n} =x^{(\mu,\gamma,m)}_{s_n}.
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Пусть эти индексы $s_1,s_2,\dots,s_n$ являются минимальными среди всех возможных. Тогда, взяв первые $m$ из элементов (4.17), применим к последовательности $X_t$ распыление. (Получаемую последовательность снова обозначим через $X_t$ и выполним следующий шаг алгоритма, и так далее.) Согласно лемме 4.1 этот шаг алгоритма не увеличивает континуанты $\langle X_\nu\rangle$. Аналогично рассуждению из доказательства леммы 4.1, после любого количества произведенных шагов алгоритма выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\beta_{\mathrm{max}}-\beta_{\mathrm{min}}\leqslant |\beta_a-\beta^{(0)}_a|+ |\beta^{(0)}_a-\beta^{(0)}_b|+|\beta^{(0)}_b-\beta_b|< 0.001+0.05+0.001<0.1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\beta_a=\beta_{\mathrm{max}}$, $\beta_b=\beta_{\mathrm{min}}$ для некоторых $a$ и $b$, так что применение распыления корректно.
Неравенство (4.15) для итога рассмотренного многошагового алгоритма также следует из леммы 4.1, согласно которой неравенство (4.6) выполнено для каждого шага в отдельности. Докажем оценку (4.7). Для этого напомним, что в результате одного применения распыления к последовательности $X_t$ из чисел $z_1,z_2,\dots,z_m$, равных $m$, получаются соответственно величины
$$
\begin{equation}
1,\quad z_2+1,\quad z_3+1,\quad \dots,\quad z_{m-1}+1,\quad z_m+1,
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
ни одна из которых не равна $m$. Так что элементы (4.18) не принадлежат множеству $X^{(\mu,\gamma,m)}$ и, следовательно, не участвуют в последующих шагах этой стадии алгоритма.
Таким образом, в обозначениях (4.17) индекс $s_1$ для каждого шага алгоритма, начиная со второго, – не меньше, чем $s_{m+1}$ для предыдущего шага. Поэтому, независимо от значения $\nu$, отрезок $[1,\nu]$ может не более чем для одного шага алгоритма содержать набор индексов частично, а для всех остальных шагов – либо полностью, либо – не содержать совсем. Но в двух последних из этих трех случаев рассматриваемые шаги алгоритма никак не влияют на выполнение оценки (4.7), поскольку не изменяют сумму $S_\mathbf{x}(\nu)$. В первом же из них оценка (4.7) выполнена согласно лемме 4.1.Далее рассматриваются оставшиеся элементы множества $X^{(\mu,\gamma,m)}$, среди них выбираются первые $m$ штук, снова производится распыление полученой на предыдущем шаге последовательности, и так далее. Чтобы избавиться от последних, не более чем $n$ штук, элементов из множества $\{2,3,\dots,n-1\}$ (если они в $X^{(\mu,\gamma,m)}$ есть), следует каждый из них просто заменить на $1$. Все частичные суммы от такой замены уменьшатся менее, чем на $n^2$, а континуанты также уменьшатся. В (4.16) имеется соответствующая поправка. Далее осуществляется переход к следующему значению $m$, и так далее, до максимального $m=n-1$, так что общее количество нужных значений числа $m$ – меньше $n$. Кроме того, учтем, что алгоритм и все связанные с ним вычисления следует применить при каждых $\mu=0,1,2,\dots,9$; $\gamma=1,2,\dots,40$. Поэтому все изменения частичных сумм следует увеличить еще в $400n$ раз. Построенную конечную последовательность обозначим через $B_t$. Лемма доказана. § 5. Предварительная нижняя оценка для $\varphi_{\mathbf{x},2}(t)$Заметим, что выполнено неравенство $(\lambda_4)^{5}/(\lambda_5)^4>1$. Лемма 5.1. Если для натуральных $m$ и $k$, таких что $k=m+1$, выполнено неравенство то имеет место оценка где целые неотрицательные числа $r_m$ и $r_k$ удовлетворяют равенствам В частности, если выполнено неравенство то имеет место оценка Доказательство. В [12; теорема 5] было доказано, что
$$
\begin{equation}
\langle A_t\rangle\leqslant \begin{cases} \langle\underbrace{m,m,\dots,m}_{r_m\text{ чисел}}\rangle, &\text{если } S_{\mathbf{a}}(t)\equiv0\ (\operatorname{mod}t), \\ \langle k,\underbrace{m,m,\dots,m}_{r_m\text{ чисел}}, \underbrace{k, k,\dots, k}_{r_k-1\text{ число}}\rangle &\text{в противном случае}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Пусть, для определенности, $S_{\mathbf{a}}(t)\not\equiv0\ (\operatorname{mod}t)$. Тогда рассмотрим континуант из нижней строчки в (5.5). Применим следующее действие: поменяем местами первое “$k$” и все следующие за ним “$m$”. С помощью неравенства (2.2) можно показать, что это действие (называемое далее “отражением”) может изменить континуант не более, чем вдвое. Поэтому, еще раз применяя (2.2), получаем
$$
\begin{equation}
\langle A_t \rangle\leqslant 2\langle\underbrace{m,m,\dots,m}_{r_m},\underbrace{k,k,\dots,k}_{r_k} \rangle\leqslant 4\langle\underbrace{m,m,\dots,m}_{r_m}\rangle\langle \underbrace{k,k,\dots,k}_{r_k}\rangle.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Применяя (3.7), продолжим цепочку неравенств (5.6), получая (5.1):
$$
\begin{equation}
\langle A_t \rangle\leqslant 4\langle\overbrace{\mathstrut m,m,\dots,m}^{r_m\text{ чисел}}\rangle\langle \overbrace{\mathstrut k,k,\dots,k}^{r_k\text{ чисел}}\rangle\leqslant 4(\lambda_m)^{r_m}(\lambda_k)^{r_k}.
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Если же $S_{\mathbf{a}}(t)\equiv0\ (\operatorname{mod}t)$, то, аналогично, из верхней строчки в (5.5) снова получаем (5.1):
В частности, при выполнении условия (5.3) имеем: $m=4$, $k=5$. Поэтому равенства (5.2) преобразуются к виду $t=r_4+r_5$, $S_{\mathbf{a}}(t)=4r_4 +5r_5$. Рассматривая эти равенства как систему линейных уравнений относительно переменных $r_4$ и $r_5$ и решая ее, получаем
$$
\begin{equation}
r_4=5t-S_{\mathbf{a}}(t),\qquad r_5=S_{\mathbf{a}}(t)-4t.
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Подставляя (5.8) в доказанное неравенство (5.1), получаем (5.4):
$$
\begin{equation}
\langle A_t \rangle\leqslant 4(\lambda_4)^{5t-S_{\mathbf{a}}(t)}(\lambda_5)^{S_{\mathbf{a}}(t)-4t} =4\biggl(\frac{(\lambda_4)^{5}}{(\lambda_5)^{4}}\biggr)^{(\kappa_2t -S_{\mathbf{a}}(t))/\kappa_2} \sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{a}}(t)}.
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Равенство в (5.9) следует из обозначения (1.9). Лемма доказана. Для дальнейших рассмотрений неравенство (1.19) из теоремы 1.2 запишем в виде
$$
\begin{equation}
\max_{u\leqslant t}(\kappa_2 u - S_{\mathbf{x}}(u))= \max_{u\leqslant t} \varphi_{\mathbf{x},2}(u)\geqslant M_2\sqrt{t},
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
где $M_2\,{>}\,0$ – пока неопределенная константа. Ввиду теоремы C, можно считать, что выполнено неравенство $10^{-8}\leqslant M_2\leqslant 200$. Далее, как правило, неравенство (5.10) будет предполагаться невыполненным. При некоторых достаточно малых $M_2$ это предположение будет приведено к противоречию. Округленный (в меньшую сторону) супремум таких $M_2$ и попадет в формулировку теоремы 1.2. Лемма 5.2. Пусть для иррационального $\mathbf{x}$ из $(0,1)$ производная $?'(\mathbf{x})$ существует и равна бесконечности. Пусть неравенство (5.10) не выполнено для некоторой бесконечной последовательности $\mathcal{T}^{(2)}$, состоящей из натуральных чисел $t$. Тогда для всех достаточно больших ее элементов $t\in \mathcal{T}^{(2)}$ выполнено неравенство $\varphi_{\mathbf{x},2}(t)\geqslant 0$. Доказательство. Рассмотрим подпоследовательность в $\mathcal{T}^{(2)}$, состоящую из тех чисел $t$, для которых выполнено неравенство $S_{\mathbf{x}}(t)\geqslant 5t$. Из последнего неравенства следует оценка $k>m\geqslant 5$, поэтому
$$
\begin{equation}
\frac{\lambda_k}{\sqrt{2}^{\,k}}< \frac{\lambda_m}{\sqrt{2}^{\,m}}\leqslant \frac{\lambda_5}{\sqrt{2}^{\,5}}=0.918\ldots<0.92.
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Положим $A_t=X_t$ и применим формулу (5.7). При $t$, стремящемся к бесконечности, стремится к бесконечности и максимум из величин $r_m$ и $r_k$. Пусть неравенство $S_{\mathbf{a}}(t)\geqslant 5t$ выполнено для сколь угодно больших $t$. Тогда, разделив (5.1) на $\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{a}}(t)}$, из (5.11) получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{\langle A_t\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{a}}(t)}}\leqslant 4\biggl(\frac{\lambda_m}{\sqrt{2}^{\,m}}\biggr)^{r_m} \biggl(\frac{\lambda_k}{\sqrt{2}^{\,k}}\biggr)^{r_k}< 4\biggl(\frac{\lambda_5}{\sqrt{2}^{\,5}}\biggr)^{\max\{r_m,r_k\}} <4(0.92)^{\max\{r_m,r_k\}} \to 0
\end{equation*}
\notag
$$
при $t$, стремящемся к бесконечности. Имеем противоречие с условием $?'(\mathbf{x})=+\infty$. Таким образом, если производная $?'(\mathbf{x})$ существует и равна бесконечности, то при всех достаточно больших $t$ должно выполняться неравенство $S_{\mathbf{x}}(t)< 5t$.
Ввиду невыполнения неравенства (5.10), выполнена также оценка $S_{\mathbf{x}}(t)>4t$. Поэтому мы имеем право применять формулу (5.4). Поскольку из леммы 2.2 следует, что ${\langle X_t\rangle}/{\sqrt{2}^{\,S_\mathbf{x}(t)}}\to+\infty$ при $t\to\infty$, то имеем цепочку неравенств
$$
\begin{equation}
4\leqslant\frac{\langle X_t\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_\mathbf{x}(t)}}\leqslant 4\biggl(\frac{(\lambda_4)^{5}}{(\lambda_5)^{4}}\biggr)^{\varphi_{\mathbf{x},2}(t)/\kappa_2}.
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
Если при этом для бесконечно многих натуральных $t$ выполнено неравенство $\varphi_{\mathbf{x},2}(t)<0$, то для этих $t$ нижняя оценка в (5.12) больше верхней, что невозможно. Этим противоречием доказано, что для всех достаточно больших $t$ выполнена оценка $\varphi_{\mathbf{x},2}(t)\geqslant 0$. Лемма доказана. § 6. Единичная вариацияПусть $A$, $B$, $C$ – некоторые конечные (возможно, пустые) последовательности натуральных чисел. Рассмотрим натуральное число $\tau \geqslant 4$. Для $a \in \mathbb{N}$, $a\leqslant \tau -1$ положим $b = \tau - a$. Таким образом, $a+b=\tau$. Определим функцию
$$
\begin{equation}
F(a)=F_{A,B,C;\tau}(a)=\langle A,a,B,b,C\rangle= \langle A,a,B,\tau - a,C\rangle = \langle \overleftarrow{C},\tau - a,\overleftarrow{B},a,\overleftarrow{A}\rangle.
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Последнее из равенств в (6.1) подчеркивает произвольность расположения чисел $a$ и $b$ в исходной последовательности: каждое из них может оказаться как левее, так и правее другого. Определение 6.1. Пусть $\mathbf{i}=\pm 1$ – целое действительное число, по модулю равное $1$; $a$ и $b$ – произвольные натуральные числа, такие что $a+\mathbf{i}\geqslant 1$, $b-\mathbf{i}\geqslant 1$. Тогда процедура замены континуантов Другими словами, единичной вариацией будет переход от $F(a)$, определенного равенством (6.1), к любой из двух величин $ F(a-1)$ или $F(a+1)$, если соответственно $a-1\geqslant 1$ или $b-1\geqslant 1$. В изучении свойств единичной вариации может помочь следующая лемма. Лемма 6.1 (см. [7]). Пусть максимальный элемент последовательности $(A,B,C)$ не превосходит натурального числа $n$. Пусть, кроме того, выполнено неравенство $1<a\leqslant b< n$. Пусть, наконец, выполнено хотя бы одно из свойств $a<b$ или $[B]=[\overleftarrow{B}]$. Тогда Напомним, что с рассматриваемым иррациональным числом $\mathbf{x}$ с помощью формулы (1.1) связана бесконечная последовательность натуральных чисел $(x_1, x_2, \dots, x_t, \dots)$, в то время как $X_t$ – подпоследовательность $t$ начальных элементов из нее. Пусть $x_i$ и $x_j$ – два произвольных элемента из $X_t$. Назовем пару $(x_i, x_j)$ плохой, если $x_i\geqslant 4$, $i<j$ и $x_i>x_j+1$. Назовем плохую пару $(x_i, x_j)$ близкой, если для любого $k$, лежащего между $i$ и $j$, ни одна из пар $(x_i, x_k)$ или $(x_k, x_j)$ не является плохой. Лемма 6.2. Пусть $(x_i, x_j)$ – произвольная близкая плохая пара. Тогда для всех $k$, лежащих между $i$ и $j$, выполнено равенство $x_k=x_i-1$. Доказательство. Если $j-i=1$, то утверждение леммы тривиально. Действительно, между индексами $i$ и $j$ нет ни одного элемента. Пусть $j-i>1$, тогда рассмотрим произвольное $k$ между $i$ и $j$. С одной стороны, $x_k\leqslant x_i-1$, так как в противном случае пара $(x_k, x_j)$ была бы плохой. С другой стороны, $x_k\geqslant x_i-1$, так как в противном случае пара $(x_i,x_k)$ была бы плохой. Следовательно, $x_k=x_i-1$. Лемма доказана. Выберем произвольную близкую плохую пару $(x_i, x_j)$ в последовательности $X_t$. Рассмотрим единичную вариацию
$$
\begin{equation}
\langle x_1,\dots,x_i,\dots,x_j,\dots,x_{t}\rangle\to\langle x_1,\dots,x_i-1,\dots,x_j+1,\dots,x_{t}\rangle.
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
Лемма 6.3. Пусть $(x_i, x_j)$ – произвольная близкая плохая пара в континуанте $\langle X_t \rangle$. Тогда единичная вариация (6.3) увеличивает континуант. Доказательство. Пусть между $x_i$ и $ x_j$ находится конечная последовательность $\mathbf{B}$. Тогда, согласно лемме 6.2, выполнено равенство $[\mathbf{B}]=[\overleftarrow{\mathbf{B}}]$. Обозначим $a= x_j+1$ и $b=x_i-1$. Тогда согласно (6.2) $F(a)>F(a-1)$. Другими словами, ввиду леммы 6.1, единичная вариация (6.3) увеличивает континуант. Лемма доказана. Лемма 6.4. Для любого континуанта $\langle X_t \rangle$ существует континуант $\langle B_{t} \rangle\,{=} \langle b_1,b_2,\dots,b_{t}\rangle$ со следующими свойствами. 1) $\langle B_{t} \rangle$ не содержит плохих пар. 2) Для любого натурального $\nu\leqslant t$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\frac{\langle B_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{b}}(\nu)}}\geqslant \frac{\langle X_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{x}}(\nu)}}.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности,
$$
\begin{equation}
\sum^{t}_{\nu=1}\frac{\langle B_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{b}}(\nu)}}> \sum^{t}_{\nu=1}\frac{\langle X_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{x}}(\nu)}}.
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
3) $\max_{\nu\leqslant t}\varphi_{\mathbf{b},2}(\nu)=\max_{\nu\leqslant t}\varphi_{\mathbf{x},2}(\nu)$. Доказательство. Выберем произвольную близкую плохую пару $(x_i, x_j)$ в континуанте $\langle X_t \rangle$. Рассмотрим единичную вариацию (6.3). Обозначим получившийся континуант как $\langle X'_{t}\rangle=\langle x'_1,x'_2,\dots,x'_{t}\rangle$. Докажем, что при $B_{t}=X'_{t}$ свойство 2) при данной замене выполняется. Действительно, при $\nu<i$ дробь
$$
\begin{equation}
\frac{\langle X_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{x}}(\nu)}}
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
не изменяется. При $\nu\geqslant j$ согласно лемме 6.3 $\langle X'_{\nu}\rangle>\langle X_{\nu}\rangle$, но $S_{\mathbf{x}'}(\nu)=S_{\mathbf{x}}(\nu)$, поэтому дробь (6.5) увеличится. Пусть теперь $i\,{\leqslant}\,\nu\,{<}\,j$. В этом случае из оценки (2.4) имеем $ {\langle X'_{\nu}\rangle}/{\langle X_{\nu}\rangle}>{(a_i-1)}/{a_i}\geqslant {3}/{4}$. С другой стороны, $S_{\mathbf{x}}(\nu)$ уменьшится на $1$; таким образом, дробь (6.5) возрастет как минимум в $ {3\sqrt{2}}/{4}>1.06$ раз. Следовательно, только некоторые из дробей (6.5) не изменяются, в то время как остальные из них – увеличиваются. Следовательно, каждый шаг алгоритма увеличивает сумму дробей (6.5) по всем $\nu$. Свойство 2) доказано.
Покажем теперь, что в результате единичной вариации (6.3) свойство 3) также выполняется. Выделим в ситуации два возможных случая – когда $x_i\geqslant 6$ или $x_i\leqslant 5$. Пусть, для начала, $x_i\geqslant 6$. Тогда согласно лемме 6.2 для всех индексов $\nu$ из интервала $i<\nu<j$ выполнено неравенство $x_{\nu}\geqslant5$. Но по лемме 2.1 максимум величины $\varphi_{\mathbf{x},2}(\nu)$ достигается в точке $\nu$, для которой $x_{\nu}\leqslant 4$; следовательно, этот максимум не достигается при $i<\nu<j$. С другой стороны, при $\nu<i$ или $\nu\geqslant j$ величина $S_{\mathbf{x}}(\nu)$ не изменяется. Отсюда получаем, что в результате единичной вариации (6.3) величина $\max_{\nu\leqslant t'} \varphi_{\mathbf{x},2}(\nu)$ не изменится. Пусть теперь $x_i\leqslant 5$. Как и в первом случае, по лемме 6.2 для всех $i<k<j$ выполнено неравенство $x_k\leqslant4$. Следовательно, по лемме 2.1 максимум функции $\varphi_{\mathbf{x},2}(\nu)$ при $i\leqslant \nu\leqslant j$ достигается в точке $\nu=j$, но величина $S_{\mathbf{x}}(j)$ не меняется при единичной вариации (6.3). Для завершения доказательства леммы осталось показать, что предложенный нами алгоритм в некоторый момент остановится, ведь каждая замена (6.3) может как уничтожить близкие плохие пары, так и породить новые. Для этого обозначим через $M$ наибольшее неполное частное континуанта $\langle X_t \rangle$ в текущий момент времени при работе алгоритма. Из определения плохой пары следует, что при единичной вариации (6.3) значение $M$ не увеличивается. Однако сумма дробей из (6.4) с каждым шагом алгоритма возрастает. Поэтому, выполняя каждый раз замену (6.3) для произвольной близкой плохой пары, мы в некоторый момент придем к континуанту, в котором не будет плохих пар; другими словами, будет выполнено также свойство 1). Обозначим получившийся континуант через $\langle B_t\rangle$. Лемма доказана. Лемма 6.4 позволила бы нам сделать все неполные частные в континуанте равными $4$ и $5$, но возможны два случая, когда необходимую единичную вариацию вида (6.3) провести не удается. Во-первых, может оказаться, что для итогового континуанта $\langle B_t\rangle$ правее $b_i>5$ все неполные частные больше либо равны $5$. Во-вторых, может получиться, что левее $b_j<4$ все элементы меньше либо равны $4$. Разбору этих случаев будут посвящены две следующие леммы. Лемма 6.5. Пусть для иррационального $\mathbf{x}$ из $(0,1)$ производная $?'(\mathbf{x})$ существует и равна бесконечности. Пусть неравенство (5.10) не выполнено для некоторой бесконечной последовательности $\mathcal{T}^{(2)}$, состоящей из натуральных чисел $t$. Тогда для всех достаточно больших ее элементов $t\in \mathcal{T}^{(2)}$ при $t'=[t-t^{2/3}]$ выполнены следующие свойства. 1) Для любого $k$, такого что $1\leqslant k\leqslant t'$, среднее арифметическое элементов подотрезка $(b_{k}, b_{k+1},\dots,b_{t'})$ не превосходит $5$. 2) $\max_{\nu\leqslant t'}\varphi_{\mathbf{b},2}(\nu)\leqslant \max_{\nu\leqslant t}\varphi_{\mathbf{b},2}(\nu)= \max_{\nu\leqslant t}\varphi_{\mathbf{x},2}(\nu)$. Доказательство. Докажем, что существует натуральное число $t'$ из интервала $t-t^{2/3}<t'\leqslant t$ со свойствами 1) и 2).
Если все элементы континуанта $\langle B_t\rangle$ не превосходят $5$, то свойства 1) и 2) выполняются автоматически при $t'=t$. Теперь предположим противное: пусть неполные частные, большие, чем $5$, существуют, и пусть $b_s$ – самое левое из них. Положим $t'=s-1$. Очевидно, что для определенного таким способом числа $t'$ свойство 1) выполнено. Докажем выполнение свойства 2). Неравенство в этом свойстве выполнено по причине сокращения области изменения $\nu$, а равенство – по предыдущей лемме. Поэтому свойство 2) также выполнено. Заметим, что все элементы подпоследовательности $(b_{t'+1},b_{t'+2}, \dots,b_{t})$ больше либо равны $5$. Действительно, пусть при $k\geqslant 2$ выполнено неравенство $b_{t'+k}\leqslant 4$, тогда пара $(b_s, b_{t'+k})$ – левая плохая. Но $\langle B_t\rangle$ не содержит левых плохих пар – получаем противоречие. Осталось проверить, что $t-t'<t^{2/3}$. Предположим противное. В этом случае напомним, что согласно леммам 5.2 и 6.4 $\varphi_{{\mathbf{b}},2}(t)=\varphi_{{\mathbf{x}},2}(t)>0$. Поэтому
$$
\begin{equation}
0<\varphi_{{\mathbf{b}},2}(t)= \bigl(\kappa_2t'-S_{\mathbf{b}}(t')\bigr)+\biggl(\kappa_2(t-t')-\sum_{n=t'+1}^t b_n\biggr)\geqslant \bigl(\kappa_2t'-S_{\mathbf{b}}(t')\bigr)-(\kappa_2-5)t^{2/3}.
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
Следовательно, из третьего пункта леммы 6.4 и из неравенства (6.6) получаем
$$
\begin{equation*}
\max_{\nu\leqslant t}\varphi_{{\mathbf{x}},2}(\nu)= \max_{\nu\leqslant t}\varphi_{{\mathbf{b}},2}(\nu)\geqslant\kappa_2t'-S_{\mathbf{b}}(t')>(5-\kappa_2)t^{2/3}>M_2\sqrt{t}
\end{equation*}
\notag
$$
при достаточно больших $t$, что противоречит невыполнению условия (5.10). Этим противоречием неравенство $t-t'<t^{2/3}$ доказано. Лемма доказана. Заметим, что в силу выбора $t'$ в континуанте $\langle B_{t'}\rangle$ не будет неполных частных, больших $5$. Этот же континуант $\langle B_{t'}\rangle$ участвует в формулировке и доказательстве следующей леммы. Лемма 6.6. В условиях леммы 6.5 при $t'=[t-t^{2/3}]$ существует континуант $\langle C_{t'} \rangle=\langle c_1,c_2,\dots,c_{t'}\rangle$, обладающий следующими свойствами. 1) Все неполные частные $\langle C_{t'} \rangle$ равны $4$ или $5$; в том числе, $c_1=5$ и $c_{t'}=4$. 2) Для любого $\nu\leqslant t'$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\frac{\langle C_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{c}}(\nu)}}\geqslant \frac{1}{2} \min\biggl(\frac{\langle B_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{b}}(\nu)}},\, \frac{1}{5}(1.05)^\nu\biggr)\geqslant \frac{1}{10} \min\biggl(\frac{\langle A_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{a}}(\nu)}},\, (1.05)^\nu\biggr).
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
3) Выполнена цепочка формул Доказательство. Пусть $\langle B_{t'} \rangle=\langle b_1,b_2,\dots,b_{t'}\rangle$ – континуант, полученный в предыдущей лемме. Аналогично ее доказательству, покажем, что при достаточно большом $t$ для $\nu>t^{2/3}$ среднее арифметическое элементов подпоследовательности $(b_1,b_2,\dots,b_{\nu})$ больше $4$.
Действительно, пусть $b_s$ – самое правое неполное частное такое, что среднее арифметическое элементов подпоследовательности $(b_1,b_2,\dots,b_{s})$ меньше либо равно $4$. Если таких $s$ нет, то среди $b_1,b_2,\dots,b_{s}$ нет и элементов, меньших $4$. Действительно, пусть $b_p<4$, тогда, поскольку среднее арифметическое подпоследовательности $(b_1,b_2,\dots,b_p)$ больше $4$, то в ней есть и элемент $b_k$, больше либо равный $5$. Следовательно, в $\langle B_{t'} \rangle$ найдется левая плохая пара $(b_k,b_p)$, что противоречит определению континуанта $\langle B_{t'} \rangle$. Это же рассуждение показывает, что все неполные частные правее $b_s$ больше либо равны $4$. Далее, заметим, что для определенного таким образом $s<t^{2/3}$ среднее арифметическое элементов подпоследовательности $(b_1,b_2,\dots,b_{s})$ в точности равно $4$ (это следует из того, что в континуанте $\langle B_{t'} \rangle$ нет цифр, больших, чем $5$). Поэтому, если в ней есть элементы, меньшие $4$, то найдутся и элементы, большие $4$. Обозначим через $b_j$ самый левый элемент такой, что $b_j=5$, а через $b_i$ – самый правый элемент такой, что $b_i\leqslant 3$. Заметим, что $i<j$, иначе элементы $b_i$ и $b_j$ образовывали бы левую плохую пару. В силу нашего выбора, $b_k=4$ для любого $k$ из интервала $i<k<j$. Рассмотрим замену
$$
\begin{equation}
\langle b_1,\dots,b_i,\dots,b_j,\dots,b_{t'}\rangle\to\langle b_1,\dots,b_i+1,\dots,b_j-1,\dots,b_{t'}\rangle.
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
Обозначим получившийся континуант как $\langle B'_{t'}\rangle=\langle b'_1,b'_2,\dots,b'_{t'}\rangle$. Повторяя единичные вариации вида (6.9), мы можем превратить подпоследовательность $(b_1,b_2,\dots,b_{s})$ в состоящую изо всех “четверок”. Таким образом, мы получили континуант, все элементы которого равны $4$ или $5$. Назовем его $\langle C_{t'}\rangle$. Для $\langle C_{t'}\rangle$ выполнена первая часть свойства 1). Далее проверим выполнение свойств 2) и 3), а в конце доказательства леммы вернемся ко второй части свойства 1).
Свойство 3), очевидно, выполняется, поскольку для каждого шага алгоритма вида (6.9) для всех $\nu$ из интервала $1\leqslant \nu \leqslant t'$ выполняется неравенство $S_{\mathbf{b}'}(\nu)\geqslant S_\mathbf{b}(\nu)$. Окончание формулы (6.8) следует из предыдущей леммы. Так что свойство 3) доказано (даже без дополнительного слагаемого “$+1$”). Проверим свойство 2). Если $\nu\geqslant s$, то поскольку в результате отражений (6.9) по лемме 6.3 континуант $\langle B_{\nu} \rangle$ увеличивается, а сумма $S_{\mathbf{b}}(\nu)$ не меняется, то $ {\langle C_{\nu}\rangle}/{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{c}}(\nu)}}\geqslant {\langle B_{\nu}\rangle}/{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{b}}(\nu)}}$, и свойство 2) доказано (даже без коэффициента “$ {1}/{2}$”). Если же $\nu<s$, величину ${\langle C_{\nu}\rangle}/{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{c}}(\nu)}}$ можно, пользуясь (3.7), оценить снизу следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\frac{\langle C_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{c}}(\nu)}}= \frac{\langle\overbrace{4,4,\dots,4}^{\nu \text{ чисел}}\rangle}{\sqrt{2}^{\,4\nu}} \geqslant \frac{1}{5}\biggl(\frac{\lambda_4}{4}\biggr)^{\nu}>\frac{1}{5}(1.05)^{\nu}.
\end{equation*}
\notag
$$
Окончание формулы (6.7) следует из предыдущей леммы.
Теперь вернемся к доказательству второй части свойства 1. Для этого заменим элемент $c_1$ числом $5$, а элемент $c_{t'}$ – числом $4$ (если они имели другие значения). В результате этих замен каждая из величин $S_{\mathbf{b}}(\nu)$ при $\nu=1,2,\dots,t'$ может измениться не больше, чем на $1$, а каждая из величин $\langle C_{\nu}\rangle$ – не более, чем вдвое. С этими обстоятельствами и связано наличие поправок “$ {1}/{2}$” и “$+1$” в формулировках свойств 2) и 3) соответственно. Лемма доказана. § 7. Неравенства с континуантами: отраженияВ этом параграфе рассмотрим три конечных последовательности: $A$, $B$ и $C$, средняя из которых (т. е. $B$) – не пуста, равно как и хотя бы одна из двух крайних, – $A$ или $C$. Определение 7.1 (см. [13]). Определим процедуру замены континуантов как отражение последовательности $(A,B,C)$. Пусть $A=(a_1,a_2,\dots,a_w)$, $C=(c_1,c_2,\dots,c_r)$. Если $A$ или $C$ пусты, то соответственно положим $a_w=+\infty$ или $c_1=+\infty$. Рассмотрим величину
$$
\begin{equation*}
\alpha = \alpha(A,B,C)=(a_w-c_1)\bigl([B]-[\overleftarrow{B}]\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 7.1 (см. [8]). Пусть $\alpha = \alpha(A,B,C) \neq 0$, тогда выполнена оценка Отметим, что лемма 7.1 является обобщением аналогичной леммы Моцкина–Штрауса [14]. 7.1. Уменьшающие отраженияВ следующей лемме из последовательности $B_t=(b_1,b_2,\dots,b_t)$, полученной в лемме 4.2, при помощи некоторого детерминированного алгоритма будет получена последовательность $C_t=(c_1,c_2,\dots,c_t)$. Лемма 7.2. Пусть $\langle B_t\rangle$ – любой континуант, каждое неполное частное которого равно “$1$” или “$n$” (где $n\geqslant 5$). Тогда найдется континуант $\langle C_t\rangle$, обладающий следующими свойствами. 1) $\langle C_t\rangle$ не содержит участка $(1,1,\dots,n,n$), т. е. пары $(n,n)$, левее которой есть пара $(1,1)$. 2) $S_{\mathbf{b}}(t)=S_{\mathbf{c}}(t)$, $\langle C_t\rangle\leqslant\langle B_t\rangle$. 3) Для любого $\nu\leqslant t$ выполнено неравенство ${\langle C_{\nu}\rangle}/{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{c}}(\nu)}}\leqslant {\langle B_{\nu}\rangle}/{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{b}}(\nu)}}$. 4) $\max_{\nu\leqslant t}(\varphi_{n,\mathbf{c}}(\nu))=\max_{\nu\leqslant t}(\varphi_{n,\mathbf{b}}(\nu))$. Доказательство. Будем действовать на $\langle B_t\rangle$ отражениями, которые определим ниже. Полученный под действием отражений континуант и назовем $\langle C_t \rangle$.
Пусть $\nu=j_1$ – точка максимума функции $\varphi_{n,\mathbf{b}}(\nu)$. Эта точка определена однозначно, так как число $\kappa_1^{(n)}$ иррационально. Поскольку $\varphi_{n,\mathbf{b}}(u)>\varphi_{n,\mathbf{b}}(u-1)$ при $b_{u}=n$ и $\varphi_{n,\mathbf{b}}(u)<\varphi_{n,\mathbf{b}}(u-1)$ при $b_{u}=1$, то получаем, что выполнены равенства $b_{j_1}=n$ и $b_{j_1+1}=1$. Кроме того, $b_{j_1+2}=1$, так как в противном случае $\varphi_{n,\mathbf{b}}(j_1+2)-\varphi_{n,\mathbf{b}}(j_1)\geqslant n+1-2\kappa_1^{(n)}>0$, что противоречит определению числа $j_1$. Назовем пару $(n,n)$ стоящих рядом элементов континуанта $\langle B_t\rangle$ хорошей, если левее нее есть пара $(1,1)$; в противном случае назовем ее плохой. Выберем самую левую хорошую пару $(n,n)$. Если левее нее имеется несколько пар $(1,1)$, то выберем самую правую среди них. Рассмотрим отражение, определенное с помощью именно этих пар $(1,1)$ и $(n,n)$:
$$
\begin{equation}
B_t=(\overbrace{\mathstrut \dots,1}^{A},\overbrace{\mathstrut 1,\dots,n}^{B}, \overbrace{\mathstrut n,\dots}^{C})\to (\overbrace{\mathstrut\dots,1}^{A}, \overbrace{\mathstrut n,\dots,1}^{\overleftarrow{B}},\overbrace{\mathstrut n,\dots}^{C}) =B'_t,
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
где $B'_t$ – последовательность, получившаяся в результате одного отражения. В силу нашего выбора, подпоследовательность $B$ – периодическая вида $(1,n,1, n,\dots,1,n)$. Действительно, в $B$ не может встречаться $(n,n)$, поскольку такая пара была бы хорошей, а мы выбрали самую левую хорошую пару. Аналогично, в $B$ не может встречаться $(1,1)$, поскольку мы выбрали самую правую такую пару, лежащую левее $(n,n)$. Следовательно, в $B$ не может попасть элемент с номером $j_1$, а значит, в результате отражения (7.1) максимум функции $\varphi_{n,\mathbf{b}}(\nu)$ не изменится. Этим рассуждением при $C_t=B'_t$ доказано свойство 4).
Кроме того, в силу леммы 7.1 отражение (7.1) уменьшит континуант, и свойство 2) из формулировки леммы при $C_t=B'_t$ будет выполнено. Осталось проверить выполнение свойства 3). Посмотрим, как отражения влияют на величины $\langle B_{\nu}\rangle$ и $S_{\mathbf{b}}(\nu)$ при различных $\nu$. Пусть в отражении (7.1) подпоследовательность $B$ равна $(b_s,b_{s+1},$ $\dots,b_p)$. Таким образом, $b_{s-1}=b_s=1$, $b_p=b_{p+1}=n$. Очевидно, что если $\nu<s$, то обе величины не изменятся, а если $\nu>p$, то $\langle B_{\nu}\rangle$ уменьшится, а $S_{\mathbf{b}}(\nu)$ не изменится. В обоих перечисленных случаях свойство 3) при $C_t=B'_t$ будет выполнено. Пусть теперь $s\leqslant\nu\leqslant p$. Прежде всего, рассмотрим случай, когда $\nu=s$. В этом случае $S_{\mathbf{b}}(\nu)$ увеличится на $n-1$. Оценим сверху отношение $ {\langle B'_{\nu}\rangle}/{\langle B_{\nu}\rangle}$, деля числитель и знаменатель дроби на $\langle b_1,\dots,b_{s-1}\rangle$:
$$
\begin{equation}
\frac{\langle B'_{\nu}\rangle}{\langle B_{\nu}\rangle}= \frac{\langle b_1,\dots,b_{s-1},n\rangle}{\langle b_1,\dots,b_{s-1},1\rangle}=\frac{n+[b_{s-1},\dots,b_1]}{1+[b_{s-1},\dots,b_1]} <\frac{n+[1,n]}{1+[1,n]}<\frac{2n+1}{3}.
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
При выводе (7.2) мы воспользовались тем, что $[b_{s-1},\dots,b_1]=[1,\dots,b_1]> {1}/{2}$, а также тем, что функция $f(y)={(n+y)}/{(1+y)}$ – убывающая на отрезке $0\leqslant y\leqslant 1$. Таким образом, в результате отражения (7.1) числитель дроби ${\langle B_{\nu}\rangle}/{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{b}}(\nu)}}$ увеличится не более, чем в $(2n+1)/{3}$ раз, а знаменатель увеличится в $\sqrt{2}^{\,n-1}$ раз. Поскольку $n\geqslant 5$, то вся дробь в результате отражения уменьшится.
Пусть теперь $\nu>s$ и $b_\nu=1$. В этом случае $S_{\mathbf{b}}(\nu)$ не изменится, а $\langle B_{\nu}\rangle$ уменьшится. Действительно: применяя (2.2) и производя сокращения дроби на общие для числителя и знаменателя множители, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\langle B'_{\nu}\rangle}{\langle B_{\nu}\rangle} &= \frac{\langle b_1,\dots,b_{s-1},n,1,\dots,n,1\rangle}{\langle b_1,\dots,b_{s-1},1,n,\dots,1,n\rangle} =\frac{1+[b_{s-1},\dots,b_1][n,1,\dots,n,1]}{1+[b_{s-1},\dots,b_1][1,n,\dots,1,n]} \nonumber \\ &<\frac{1+\frac{1}{2}[n,1,\dots,n,1]}{1+\frac{1}{2}[1,n,\dots,1,n]} <\frac{1+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{2}[1,n]}=\frac{1+\frac{1}{2n}}{1+\frac{n}{2n+2}} =\frac{(2n+1)(n+1)}{(3n+2)n}<1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
Рассмотрим последний случай, когда $\nu>s$ и $b_\nu=n$. В этом случае $S_{\mathbf{b}}(\nu)$ увеличится на $n-1$, а для $ {\langle B'_{\nu}\rangle}/{\langle B_{\nu}\rangle}$, применяя (2.2) и производя сокращение, получаем следующее равенство:
$$
\begin{equation}
\frac{\langle B'_{\nu}\rangle}{\langle B_{\nu}\rangle}=\frac{\langle b_1,\dots,b_{s-1},n,1,\dots,n,1,n\rangle}{\langle b_1,\dots,b_{s-1},1,n,\dots,1,n,1\rangle} =\frac{\langle n,1,\dots,n\rangle}{\langle 1, n,\dots,1\rangle}\cdot \frac{1+[b_{s-1},\dots,b_1][n,1,\dots,n]}{1+[b_{s-1},\dots,b_1][1,n,\dots,1]}.
\end{equation}
\tag{7.4}
$$
В результирующем выражении в равенстве (7.4) перемножаются две дроби, первая из которых равна $n$. Это утверждение следует из равенства
$$
\begin{equation*}
\langle n,1,n,\dots,1,n\rangle=n\langle 1, n,1,\dots,n,1\rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
доказываемого индукцией по нечетной длине континуанта. Дробь, близкая ко второй из перемножаемых в (7.4) дробей, была оценена в (7.3). Поскольку аналогичная оценка применима и здесь, то равенство (7.4) приводит к оценке
$$
\begin{equation*}
\frac{\langle B'_{\nu}\rangle}{\langle B_{\nu}\rangle}\leqslant n\cdot \frac{(2n+1)(n+1)}{(3n+2)n}=\frac{(2n+1)(n+1)}{3n+2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\frac{\langle B'_{\nu}\rangle/\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{b}'}(\nu)}}{\langle B_{\nu}\rangle/\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{b}}(\nu)}}< \frac{(2n+1)(n+1)}{(3n+2)\sqrt{2}^{\,n-1}}<1
\end{equation*}
\notag
$$
при $n\geqslant 5$.
Мы проверили выполнение свойств 2), 3) и 4) для одного шага алгоритма, поэтому те же свойства будут выполняться и для всего алгоритма в целом. Поскольку каждый шаг уменьшает количество хороших пар $(n,n)$, то, рано или поздно, после какого-то шага алгоритма их не останется совсем. Обозначая полученную в этот момент последовательность через $C_t$, приходим к выводу, что для нее выполнено также и свойство 1). Лемма доказана. Таким образом, с помощью доказанной леммы мы можем избавиться от всех хороших пар $(n,n)$. Следующая лемма позволит нам избавляться и от плохих пар $(n,n)$ тоже. Нам потребуются новые обозначения. Пусть $C'_t=(c'_1,c'_2,\dots,c'_t)$ – произвольная последовательность, состоящая из “$1$” и “$n$”. Тогда при $\nu\leqslant t$ положим
$$
\begin{equation*}
S_{\mathbf{c}'}(\nu)=c'_1+c'_2+ \dots+c'_\nu,\qquad \varphi_{\mathbf{c}'}(\nu)=S_{\mathbf{c}'}(\nu)-\kappa_1^{(n)}\nu.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $r_1(i)$ количество “единиц” в последовательности $(c_1,\dots,c_i)$, а через $r_n(i)$ – количество “$n$” в ней же. Лемма 7.3. Пусть $\langle C_t\rangle$ – любой континуант, каждое неполное частное которого равно “$1$” и “$n$” (где $n\geqslant 5$), не содержащий хороших пар $(n,n)$ и такой, что $r_1(t)>r_n(t)$. Тогда найдется континуант $\langle C'_t\rangle$, обладающий следующими свойствами. 1) $\langle C'_t\rangle$ не содержит пар $(n,n)$. 2) $S_{\mathbf{c}}(t)=S_{\mathbf{c}'}(t)$, $\langle C'_t\rangle \leqslant {2}\langle C_t\rangle$. 3) Для любого $\nu\leqslant t$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\frac{\langle C'_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{c}'}(\nu)}}\leqslant 2\max\biggl\{\frac{\langle C_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{c}}(\nu)}},\, 4n^2(0.8)^\nu\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
4) $\max_{u\leqslant t}(\varphi_{n,\mathbf{c}'}(u))\leqslant \max_{u\leqslant t}(\varphi_{n,\mathbf{c}}(u))$. Доказательство. Пусть в последовательности $C_t$ среди стоящих рядом элементов имеются пары $(n,n)$ – иначе все уже доказано. Тогда последовательность $C_t$ не может начинаться с пары $(1,1)$: иначе все имеющиеся в $C_t$ пары $(n,n)$ – хорошие, что невозможно по условию леммы. Если же последовательность $C_t$ начинается с одной “единицы”, то переставим ее в конец последовательности $C_t$, в результате чего континуант $\langle C_t\rangle$ изменится не более, чем в два раза. Это возможное удвоение континуанта учтено в пунктах 2) и 3) с помощью имеющихся там коэффициентов “$2$”. Таким образом, без ограничения общности можем считать, что $c_1=n$. Следовательно, $r_1(1)<r_n(1)$.
Обозначим через $\mathbf{s}$ наибольший среди индексов $i\leqslant t$, для которых $r_1(i)\leqslant r_n(i)$. Поскольку целые числа $r_1(i)$ и $r_n(i)$ при переходе к каждому следующему значению $i$ изменяются не более, чем на $1$ (и при этом – не одновременно), то $r_1(\mathbf{s})=r_n(\mathbf{s})$. Поэтому последовательность $(c_{\mathbf{s}+1},c_{\mathbf{s}+2},\dots,c_t)$ (если она непуста) не может начинаться с $n$. Кроме того, элемент $c_{\mathbf{s}+2}$ (если $\mathbf{s}\leqslant t-2$) не может равняться $n$. Таким образом, $(c_{\mathbf{s}+1},c_{\mathbf{s}+2})=(1,1)$. Следовательно, последовательность $(c_{\mathbf{s}+1},c_{\mathbf{s}+2},\dots,c_t)$ не может содержать двух “$n$” подряд: иначе пара $(n,n)$ была бы хорошей, что запрещено условием леммы. Рассмотрим отрезок $(c_1,c_2,\dots,c_\mathbf{s})$. В силу того, что $r_1(\mathbf{s})=r_n(\mathbf{s})$, количество пар $(1,1)$ в нем равно количеству пар $(n,n)$. Кроме того, поскольку по условию в континуанте $\langle C_t\rangle$ нет хороших пар $(n,n)$, то любая пара $(n,n)$ лежит левее любой пары $(1,1)$. Рассмотрим ближайшие пары $(n,n)$ и $(1,1)$. В силу сказанного выше, элементы между ними образуют периодическую последовательность $(1,n,1,n,\dots,1,n)$. Рассмотрим отражение, определенное с помощью именно этих пар $(1,1)$ и $(n,n)$:
$$
\begin{equation}
C_t=(\overbrace{\mathstrut\dots,n}^{A},\overbrace{\mathstrut n,\dots,1}^{B},\overbrace{\mathstrut 1,\dots}^{C})\to (\overbrace{\mathstrut\dots,n}^{A},\overbrace{\mathstrut 1,\dots,n}^{\overleftarrow{B}},\overbrace{\mathstrut 1,\dots}^{C}).
\end{equation}
\tag{7.5}
$$
После применения этого отражения становится на одну пару $(n,n)$ меньше, чем было раньше. Затем переобозначим полученную последовательность снова через $C_t$ и рассмотрим аналогичное отражение для новых ближайших пар $(n,n)$ и $(1,1)$ и так далее, пока отрезок $(c_1,c_2,\dots,c_\mathbf{s})$ не будет преобразован к виду $(n,1,n,1,\dots,n,1)$. Континуант, получившийся в результате последовательного применения описанной серии отражений, обозначим через $\langle C'_t\rangle$: для него свойство 1) из настоящей леммы выполнено.
В силу леммы 7.1 преобразование (7.5) уменьшает континуант $\langle C_t\rangle$, и свойство 2) из настоящей леммы также выполнено. Докажем, что для всех $1\leqslant\nu\leqslant t$ выполнена оценка Действительно, пусть в отражении (7.5) подпоследовательность $B$ равна Рассмотрим отражение (7.5) как замену последовательности $B$ на ее отражение $\overleftarrow{B}=(1,n,1,n,\dots,1,n)$. Заметим, что при таком преобразовании величина $S_{\mathbf{c}}(\nu)$ не возрастает: именно, эта величина не изменяется при нечетности разности $\nu-s$ или уменьшается на $n-1$ – при четности. Следовательно, неравенство (7.6) выполнено, а значит, выполнено и свойство 4) из настоящей леммы.Осталось проверить свойство 3). Достаточно рассмотреть только случай $\nu<\mathbf{s}$: в противном случае отражения не изменяют величину $S_{\mathbf{c}}(\nu)$ и уменьшают континуант $\langle C_{\nu}\rangle$, что приводит к оценке величины $ {\langle C'_{\nu}\rangle}/{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{c}'}(\nu)}}$ первым элементом максимума. Поэтому без ограничения общности будем считать, что $\nu<\mathbf{s}$. В этом случае с помощью обозначения $[\alpha]$ для целой части действительного числа $\alpha$ дробь $ {\langle C'_{\nu}\rangle}/{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{c}'}(\nu)}}$ можно оценить сверху следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\frac{\langle C'_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{c}'}(\nu)}}\,{\leqslant}\, \frac{\langle \overbrace{n,1,n,1,\dots,n,1}^{[(\nu+1)/2] \text{ пар}}\rangle}{\sqrt{2}^{\,(n+1)[{\nu}/{2}]}}\,{\leqslant}\, 4n^2\biggl(\frac{\mu_n}{\sqrt{2}^{\,n+1}}\biggr)^{[{\nu}/{2}]}\leqslant 4n^2 \frac{(\mu_n)^{{\nu}/{2}}}{\sqrt{2}^{\,(n+1)\nu/2}}\,{<}\, 4n^2(0.8)^{\nu}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь мы воспользовались неравенством (3.5) и тем, что ${\mu_n}/{\sqrt{2}^{\,n+1}}<0.64=(0.8)^2$ при $n\geqslant 5$. Лемма доказана. В следующей лемме из $C'$ будет получена конечная последовательность $D_t=(d_1,d_2,\dots,d_t)$. Лемма 7.4. Пусть $C'_t$ – произвольная конечная последовательность, все элементы которой равны $1$ или $n$ (где $n\geqslant 5$) и которая не содержит двух подряд идущих элементов, равных $n$. Тогда найдется последовательность $D_t$, обладающая следующими свойствами. 1) $D_t$ имеет вид
$$
\begin{equation}
(\underbrace{1,1,\dots,1,}_{m_1}\underbrace{n,1,n,1,\dots,n,1}_{n_1},\dots, \underbrace{1,1,\dots,1,}_{m_{\sigma}}\underbrace{n,1,n,1,\dots,n,1}_{n_{\sigma}}),
\end{equation}
\tag{7.7}
$$
причем в каждом из двух наборов чисел $(m_1,m_2,\dots,m_{\sigma})$ и $(n_1,n_2,\dots,n_{\sigma})$ найдется не более одного числа, меньшего, чем $n^5$. 2) Для любого $\nu\leqslant t$ выполнено неравенство $\langle D_{\nu}\rangle\leqslant\langle C'_{\nu}\rangle$. 3) $S_{\mathbf{d}}(t)=S_{\mathbf{c}'}(t)$. 4) Для любого $\nu\leqslant t$ выполнено неравенство $0\leqslant S_{\mathbf{c}'}(\nu)-S_{\mathbf{d}}(\nu)\leqslant 2(n-1)n^5$. Доказательство. Будем действовать на последовательность $C'_t$ преобразованиями отражения. Добьемся вначале, чтобы все $m_i$ были не меньше, чем $n^5$. Назовем элемент $c'_i$, равный единице, свободным, если $c'_{i-1}=1$, и связанным, если $c'_{i-1}=n$. Разобьем последовательность $C'_t$ на участки $E^{(i)}$ следующим индуктивным образом, двигаясь справа налево, начиная с конца последовательности. Пусть $p$ – неизвестное заранее число участков, на которые будет разбита последовательность. Концом участка $E^{(p)}$ служит последний элемент $c'_t$. Началом участка $E^{(p)}$ служит элемент $c'_{e_p}$, обладающий следующими свойствами:
a) $c'_{e_p}=1$ – свободный элемент, а $c'_{e_p-1}$ – связанный; b) $e_p$ – максимальный индекс среди тех, которые обладают всеми свойствами предыдущего пункта, и таких, для которых количество свободных элементов на участке $(c_{e_p},\dots,c_{t})$ больше, чем $n^5$. Далее, концом участка $E^{(p-1)}$ служит $c'_{e_p-1}$. Начало участка $E^{(p-1)}$ и всех последующих определяется аналогично $E^{(p)}$. Последний участок может получиться укороченным: количество свободных неполных частных в нем может оказаться меньше, чем $n^5$. Рассмотрим теперь произвольный участок $E^{(i)}$ при $i>1$. Он имеет вид
$$
\begin{equation}
(\underbrace{1,\dots,1}_{v_1},\underbrace{n,1,\dots,n,1}_{w_1},\dots, \underbrace{1,\dots,1}_{v_i},\underbrace{n,1,\dots,n,1}_{w_i}),
\end{equation}
\tag{7.8}
$$
причем $v_1+v_2+\dots+v_t>n^5$, но $v_2+\dots+v_t<n^5$. Произведем следующее отражение, заменив
$$
\begin{equation}
C'_t=(\overbrace{\underbrace{1,\dots,1}_{v_1},\underbrace{n,1,\dots,n,1}_{w_1},\dots, \underbrace{1,\dots,1}_{v_{i-1}}}^{A},\overbrace{\underbrace{n,1,\dots,n,1}_{w_{i-1}}, \underbrace{1,\dots,1}_{v_i-1}}^{B},\overbrace{1,\underbrace{n,1,\dots,n,1}_{w_i}}^{C})
\end{equation}
\tag{7.9}
$$
на
$$
\begin{equation}
(\overbrace{\underbrace{1,\dots,1}_{v_1},\underbrace{n,1,\dots,n,1}_{w_1},\dots, \underbrace{1,\dots,1}_{v_{i-1}}}^{A},\overbrace{\underbrace{1,\dots,1}_{v_i} \underbrace{n,1,\dots,n,1}_{w_{i-1}}}^{\overleftarrow{B}}, \overbrace{\underbrace{n,1,\dots,n,1}_{w_i}}^{C})=(A,\overleftarrow{B},{C}).
\end{equation}
\tag{7.10}
$$
Из леммы 7.1 следует, что рассмотренное отражение уменьшает континуант $\langle C'_t\rangle$. В результате отражения (7.9), (7.10) мы получим участок
$$
\begin{equation*}
(\underbrace{1,\dots,1}_{v_1},\underbrace{n,1,\dots,n,1}_{w_1},\dots, \underbrace{1,\dots,1}_{v_{i-1}+v_{i}},\underbrace{n,1,\dots,n,1}_{w_{i-1}+w_{i}}).
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя аналогичные преобразования, получим в итоге участок
$$
\begin{equation}
(\!\!\!\underbrace{1,1,\dots,1}_{v_1+v_2+\dots+v_n},\underbrace{n,1,n,1,\dots,n,1}_{w_1+w_2+\dots+w_n}).
\end{equation}
\tag{7.11}
$$
Полученную последовательность переобозначим снова через $C'_t$. Оценим, насколько может измениться величина $S_{\mathbf{c}'}(\nu)$. Поскольку все отражения производятся только внутри участка, то если $\nu$ лежит вне данного участка, $S_{\mathbf{c}'}(\nu)$ останется прежним. С другой стороны, участок (7.11) можно получить из (7.8) путем парных транспозиций (замен) между элементами, равными $1$ и $n$. Ясно, что количество тех “единиц”, для которых требуется транспозиция с $n$, изначально равно $v_2+\dots+v_i$ и за каждую такую замену уменьшается как минимум на $1$. Следовательно, спустя не более $v_2+\dots+v_i$ замен, мы получим (7.11). В результате каждой замены $S_{\mathbf{c}'}(\nu)$ уменьшится не более, чем на $n-1$. Поскольку $v_2+\dots+v_t<n^5$, всего $S_{\mathbf{c}'}(\nu)$ уменьшится не более, чем на $(n-1)n^5$. Ввиду того, что участки не пересекаются, это же утверждение верно для замен во всех участках сразу. Таким образом, в получившемся континуанте все, кроме, возможно, одного $m_i$, больше $n^5$. Заметим, что величины $n_i$ при этом не уменьшились. Осталось добиться, чтобы все $n_i$ (кроме, возможно, одного) тоже были больше $n^5$. Это делается полностью аналогично. Итого, величина $S_{\mathbf{c}'}(\nu)$ уменьшится не более, чем на $2(n-1)n^5$. Полученную в результате алгоритма последовательность обозначим через $D_t=(d_1,d_2,\dots,d_t)$. По доказанному, она обладает всеми требуемыми свойствами. Лемма доказана. Последовательно применяя леммы 4.2, 7.2–7.4, можно вывести следующее утверждение. Лемма 7.5. Пусть для числа ${\mathbf{x}}=[x_1,\dots,x_t,\dots]\in \mathbf{E}_n$ (где $n\geqslant 5$) континуант $\langle X_t\rangle=\langle x_1,\dots,x_t\rangle$ образован его первыми $t$ неполными частными. Тогда существует континуант $\langle D_t \rangle$, обладающий следующими свойствами. Доказательство. Подвергнем континуант $\langle X_t\rangle$ цепочке преобразований $\langle X_t \rangle\to\langle B_t \rangle\to\langle C_t \rangle\to\langle C'_t \rangle\to\langle D_t \rangle$, описанной соответственно в леммах 4.2, 7.2–7.4. В результате преобразования $\langle X_t \rangle\to\langle B_t \rangle$ континуант примет вид пункта 1) из формулировки леммы. Из (4.15) и (4.16) получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{\langle B_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{b}}(\nu)}}\leqslant \sqrt{2}^{\,n^7}\frac{\langle X_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{x}}(\nu)}}\quad \text{и}\quad\max_{u\leqslant t}(\varphi_{n,\mathbf{b}}(u))\leqslant\max_{u\leqslant t}(\varphi_{n,\mathbf{x}}(u)).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, применяя лемму 7.2, получаем, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\langle C_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{c}}(\nu)}}\leqslant \sqrt{2}^{\,n^7}\frac{\langle X_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{x}}(\nu)}}\quad\text{и} \quad\max_{u\leqslant t}(\varphi_{n,\mathbf{c}}(u))\leqslant\max_{u\leqslant t}(\varphi_{n,\mathbf{x}}(u)).
\end{equation*}
\notag
$$
Затем, применяя лемму 7.3, выводим
$$
\begin{equation*}
\frac{\langle C'_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{c}'}(\nu)}}\,{\leqslant}\, \sqrt{2}^{\,n^7+2}\!\max\biggl\{\frac{\langle X_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{x}}(\nu)}},\, 4n^2(0.8)^\nu\biggr\}\ \ \ \, \text{и}\ \ \ \, \max_{u\leqslant t}(\varphi_{n,\mathbf{c}'}(u))\,{\leqslant}\max_{u\leqslant t}(\varphi_{n,\mathbf{x}}(u)).
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, применяя лемму 7.4, добиваемся выполнения свойства 2). Кроме того, будут выполнены неравенства $\max_{u\leqslant t}(\varphi_{n,\mathbf{d}}(u))\leqslant\max_{u\leqslant t}(\varphi_{n,\mathbf{x}}(u))$ и
$$
\begin{equation}
\frac{\langle D_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{d}}(\nu)}}\leqslant \sqrt{2}^{\,n^7+2+2n^6-2n^5}\max\biggl\{\frac{\langle X_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{x}}(\nu)}},\, 4n^2(0.8)^\nu\biggr\}.
\end{equation}
\tag{7.12}
$$
Остается учесть, что
$$
\begin{equation}
\sqrt{2}^{\,n^7+2+2n^6-2n^5}\leqslant\sqrt{2}^{\,2n^7}=2^{n^7},
\end{equation}
\tag{7.13}
$$
и подставить оценку (7.13) в показатель степени из (7.12). Лемма доказана. 7.2. Увеличивающие отраженияКонтинуант $\langle C_{t'}\rangle$, полученный в лемме 6.6, участвует в формулировке следующей леммы. Лемма 7.6. Пусть для иррационального $\mathbf{x}$ из $(0,1)$ производная $?'(\mathbf{x})$ существует и равна бесконечности. Пусть неравенство (5.10) не выполнено для некоторой бесконечной последовательности $\mathcal{T}^{(2)}$, состоящей из натуральных чисел $t$. Тогда для всех достаточно больших ее элементов $t\in \mathcal{T}^{(2)}$ при $t'=[t-t^{2/3}]$ существует континуант $\langle D_{t'} \rangle=\langle d_1,d_2,\dots,d_{t'}\rangle$, обладающий следующими свойствами. 1) $D_{t'}$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
(\underbrace{5,5,\dots,5,}_{m_1} \underbrace{4,4,\dots,4}_{n_1},\dots, \underbrace{5,5,\dots,5,}_{m_i}\underbrace{4,4,\dots,4}_{n_i},\dots, \underbrace{5,5,\dots,5,}_{m_{\sigma}}\underbrace{4,4,\dots,4}_{n_{\sigma}}),
\end{equation*}
\notag
$$
причем в каждом из двух наборов чисел $(m_1,m_2,\dots,m_{\sigma})$ и $(n_1,n_2,\dots,n_{\sigma})$ найдется не более одного числа, не превосходящего $1000$. 2) Для любого $\nu\leqslant t'$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\frac{\langle D_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{d}}(\nu)}}\geqslant \frac{1}{2^{10^6}}\frac{\langle C_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{c}}(\nu)}} \geqslant \frac{0.1}{2^{10^6}} \min\biggl(\frac{\langle X_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{x}}(\nu)}},\, (1.05)^\nu\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
3) $\max_{\nu\leqslant t'}\varphi_{\mathbf{d},2}(\nu)\leqslant\max_{\nu\leqslant t'}\varphi_{{\mathbf{c}},2}(\nu)\leqslant\max_{\nu\leqslant t}\varphi_{\mathbf{x},2}(\nu)+1$. Доказательство. Будем действовать на континуант $\langle C_{t'}\rangle$ преобразованиями отражения. Напомним, что $c_1=5$ и $c_{t'}=4$. Добьемся вначале, чтобы в континуанте не было одиночных неполных частных, равных $5$, т. е. чтобы он не содержал участка $(4,5,4)$. Для самой правой одиночной пятерки найдем ближайшее слева неполное частное, равное $5$. Произведем отражение
Будем выбирать самую правую из оставшихся одиночных пятерок и применять к ней отражение (7.14), пока в континуанте их не останется. Назовем получившийся континуант $\langle C^{(1)}_{t'}\rangle\,{=}\,\langle c^1_1,c^1_2,\dots,c^1_{t'}\rangle$. Обозначим $S_{{\mathbf{c}}^1}(\nu)\,{=}\,c^1_1+c^1_2+\dots+c^1_{\nu}$. Из леммы 7.1 следует, что для всех $\nu$ выполнено $\langle C^{(1)}_{\nu}\rangle\geqslant\langle C_{\nu}\rangle$. Легко видеть, что отражения не “накладываются” друг на друга, т. е. каждое неполное частное участвует не более чем в одном отражении. Следовательно, для любого $\nu$ из интервала $1\leqslant\nu\leqslant t'$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
0\leqslant S_{\mathbf{c}^1}(\nu)-S_{\mathbf{c}}(\nu)\leqslant 1.
\end{equation}
\tag{7.15}
$$
Аналогично мы можем избавиться ото всех участков вида где $m\leqslant 1000$. Действительно, пусть континуант
$$
\begin{equation*}
\langle C^{(m-1)}_{t'}\rangle=\langle c^{m-1}_1,c^{m-1}_2,\dots,c^{m-1}_{t'}\rangle
\end{equation*}
\notag
$$
не содержит участков вида $(4,\underbrace{5,5,\dots,5}_{k \text{ цифр}},4)$, где $k<m$. Рассмотрим самый правый участок вида (7.16). Найдем ближайшее к нему слева неполное частное, равное $5$. Аналогично (7.14), рассмотрим отражение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\langle \overbrace{c_1,\dots,5}^{A},\overbrace{4,\dots,4,\underbrace{5,5,\dots,5}_{m \text{ цифр}}}^{B},\overbrace{4,\dots,c_{t'}}^{C}\rangle \\ &\qquad\to \langle \overbrace{c_1,\dots,5}^{A},\overbrace{\underbrace{5,5,\dots,5}_{m \text{ цифр}},4,\dots,4,4}^{\overleftarrow{B}},\overbrace{4,\dots,c_{t'}}^{C}\rangle. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последовательно применяя его, мы можем избавиться ото всех участков вида (7.16). При этом, в силу того, что отражения не “накладываются” друг на друга, для любого $\nu$ из интервала $1\leqslant\nu\leqslant t'$ выполнены неравенства
$$
\begin{equation}
0\leqslant S_{\mathbf{c}^m}(\nu)-S_{\mathbf{c}^{m-1}}(\nu)\leqslant m, \qquad \langle C^{(m)}_{\nu}\rangle\geqslant\langle C^{(m-1)}_{\nu}\rangle.
\end{equation}
\tag{7.17}
$$
Итого, суммируя разности из (7.17) по всем $m$ от $1 $ до $1000$, получаем
$$
\begin{equation}
0\leqslant S_{\mathbf{c}^{1000}}(\nu)-S_{\mathbf{c}}\leqslant 500500<10^6, \qquad \langle C^{(1000)}_{\nu}\rangle\geqslant\langle C_{\nu}\rangle,
\end{equation}
\tag{7.18}
$$
т. е.
$$
\begin{equation}
\frac{\langle C^{(1000)}_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{c}^{1000}}(\nu)}}\geqslant \frac{1}{\sqrt{2}^{10^6}}\biggl(\frac{\langle C_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{c}}(\nu)}}\biggr).
\end{equation}
\tag{7.19}
$$
Аналогично мы можем избавиться и от участков вида $(5,\underbrace{4,4,\dots,4}_{m \text{ цифр}},5)$, где $m\,{<}\,1000$, действуя заменами вида
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\langle \overbrace{c^{999+m}_1,\dots,5}^{A},\overbrace{\underbrace{4,4,\dots,4}_{m \text{ цифр}},5,5,\dots,5}^{B},\overbrace{4,\dots,c^{999+m}_{t'}}^{C}\rangle \\ &\qquad\to\langle \overbrace{c^{999+m}_1,\dots,5}^{A}, \overbrace{5,\dots,5,\underbrace{4,4,\dots,4}_{m \text{ цифр}}}^{\overleftarrow{B}}, \overbrace{4,\dots,c^{999+m}_{t'}}^{C}\rangle. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь континуант $\langle C^{(999+m)}\rangle$ не содержит участков вида $(5,\underbrace{4,4,\dots,4}_{k \text{ цифр}},5)$, где $1\leqslant k<m$. Получившийся в итоге континуант $\langle C^{(2000)}_{t'}\rangle$ мы назовем $\langle D_{t'}\rangle$. Аналогично (7.18), получаем
$$
\begin{equation}
0\leqslant S_{\mathbf{c}^{2000}}(\nu)-S_{\mathbf{c}^{1000}}(\nu)\leqslant 500500<10^6,\qquad \langle C^{(2000)}_{\nu}\rangle\geqslant\langle C^{(1000)}_{\nu}\rangle.
\end{equation}
\tag{7.20}
$$
Поэтому, пользуясь (6.7) и (7.19), окончательно выводим свойство 2).
Свойство 3) следует из неубывания частичных сумм ($S_{\mathbf{c}}(\nu)$ и т. п.) в ходе всей работы алгоритма, что зафиксировано в нижних оценках неравенств (7.15), (7.18) и (7.20). Лемма доказана. § 8. Асимптотика роста минимальных и максимальных континуантов8.1. Асимптотика роста минимальных континуантовНапомним, что в (1.13) были определены константы $c^{(n)}$ и $\gamma_n$. Смысл константы $\gamma_n$ проясняет следующая лемма. Лемма 8.1. Для числа $\gamma_n$ имеет место следующее равенство: где черта сверху обозначает бесконечное повторение периода цепной дроби. Доказательство. План состоит в следующем: вычислить значения трех бесконечных цепных дробей $\bigl[\,\overline{1}\,\bigr]$, $\bigl[\,\overline{1,n}\,\bigr]$ и $\bigl[\,\overline{n,1}\,\bigr]$, подставить их в (8.1) и упростить полученное выражение, показав его равенство с правой частью (1.13).
Исполняя первый пункт плана, получаем
$$
\begin{equation*}
\bigl[\,\overline{1}\,\bigr]=\Phi-1,\qquad \bigl[\,\overline{1,n}\,\bigr]=1-\mu'_n,\qquad \bigl[\,\overline{n,1}\,\bigr]=\frac{1-\mu'_n}{n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, полагая $\alpha=1-\mu'_n$, рассмотрим произведение двух скобок в (8.1):
$$
\begin{equation}
\bigl(1+\bigl[\,\overline{1}\,\bigr]\cdot\bigl[\,\overline{1,n}\,\bigr]\bigr) \bigl(1+\bigl[\,\overline{1}\,\bigr]\cdot \bigl[\,\overline{n,1}\,\bigr]\bigr) =\frac{(1+\alpha\Phi-\alpha)(n+\alpha\Phi-\alpha)}{n}.
\end{equation}
\tag{8.2}
$$
Раскрывая в (8.2) последнее произведение скобок и продолжая цепочку равенств, получаем
$$
\begin{equation}
\bigl(1+\bigl[\,\overline{1}\,\bigr]\cdot \bigl[\,\overline{1,n}\,\bigr]\bigr)\bigl(1+\bigl[\,\overline{1}\,\bigr]\cdot \bigl[\,\overline{n,1}\,\bigr]\bigr) =\frac{n+\alpha\Phi-\alpha+n\alpha\Phi+\alpha^2\Phi^2-2\alpha^2\Phi-\alpha n+\alpha^2}{n}.
\end{equation}
\tag{8.3}
$$
Подставляя в (8.3) равенство $\Phi^2=\Phi+1$, получаем
$$
\begin{equation}
\bigl(1+\bigl[\,\overline{1}\,\bigr]\cdot\bigl[\,\overline{1,n}\,\bigr]\bigr) \bigl(1+\bigl[\,\overline{1}\,\bigr]\cdot \bigl[\,\overline{n,1}\,\bigr]\bigr) =\frac{n+\alpha(\Phi-1+n \Phi-n)+\alpha^2(2-\Phi)}{n}.
\end{equation}
\tag{8.4}
$$
Используя равенства $(\sqrt{n^2+4n}+n)/{2}=\alpha+n$ и (8.4), получаем, что для числа $\gamma_n$, определенного равенством (8.1), справедлива формула
$$
\begin{equation}
\gamma_n=\bigl(n+\alpha(\Phi-1+n \Phi-n)+\alpha^2(2-\Phi)\bigr)(\alpha+n) \frac{\Phi}{\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{n\sqrt{n^2+4n}}.
\end{equation}
\tag{8.5}
$$
Раскрывая в (8.5) произведение скобок, получаем
$$
\begin{equation}
\gamma_n=\bigl(\alpha^3(2-\Phi)+\alpha^2(\Phi-1+n)+\alpha(n\Phi+n^2\varphi-n^2)+n^2\bigr) \frac{\Phi}{n\sqrt{5n^2+20n}}.
\end{equation}
\tag{8.6}
$$
Подставляя в (8.6) равенство $\alpha^2=n(1-\alpha)$ и сокращая на $n$, получаем
$$
\begin{equation}
\gamma_n=\bigl((\alpha-\alpha^2)(2-\Phi)+(1-\alpha)(\Phi-1+n)+\alpha(\Phi+n\Phi-n)+n\bigr) \frac{\Phi}{\sqrt{5n^2+20n}}.
\end{equation}
\tag{8.7}
$$
Раскрывая в (8.7) несколько пар маленьких скобок, находящихся внутри пары больших скобок, приводя подобные слагаемые и подставляя повторно равенство $\alpha^2=n(1-\alpha)$, после упрощения получаем
$$
\begin{equation}
\gamma_n=\bigl((3-\Phi)\alpha+(n+1)\Phi-1\bigr)\frac{\Phi}{\sqrt{5n^2+20n}}.
\end{equation}
\tag{8.8}
$$
Раскрывая в (8.8) все оставшиеся скобки, применяя равенства $\alpha=1-\mu'_n$ и $\Phi^2=\Phi+1$, получаем (1.13). Лемма доказана. Обозначим через $ \sigma_{n,\mathbf{d}}(t)$ (при $n\geqslant 5$) количество максимальных (непродолжаемых) блоков $(1,n,1,n,\dots,$ $1,n)$ в континуанте $\langle D_t\rangle$ из представления (7.7). Заметим, что теорему 1.1 достаточно доказать при $\varepsilon=10^{-20}$: доказательство легко обобщается на случай произвольного $\varepsilon>0$. Доказательство. Обозначим через $r_1$ и $r_n$ количества неполных частных континуанта $\langle D_t\rangle$, равных $1$ или $n$ соответственно. Рассматривая равенства $r_1+r_n=t$ и $r_1+nr_n=S_{\mathbf{d}}(t)$ как систему линейных уравнений относительно $r_1$ и $r_n$ и решая эту систему, получаем
$$
\begin{equation}
r_1=\frac{tn-S_{\mathbf{d}}(t)}{n-1},\qquad r_n=\frac{S_{\mathbf{d}}(t)-t}{n-1}.
\end{equation}
\tag{8.10}
$$
Заметим, что суммарная длина блоков, состоящих из повторяющихся пар $(1,n)$, есть $2r_n$, а суммарная длина блоков, состоящих из $1$, равна $t-2r_n$. Итого, из (3.4) и (3.5) с помощью леммы 8.1, полагая $\varepsilon=10^{-20}$, получаем двустороннюю оценку континуанта $\langle D_t\rangle$:
$$
\begin{equation*}
\Phi^{t-2r_n}(\mu_n)^{r_n}(\gamma_n-\varepsilon)^{\sigma_{n,\mathbf{d}}(t)}< \langle D_{t}\rangle< \Phi^{t-2r_n}(\mu_n)^{r_n}(\gamma_n+\varepsilon)^{\sigma_{n,\mathbf{d}}(t)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда
$$
\begin{equation}
\frac{\Phi^{t}(\mu_n/\Phi^2)^{r_n}(\gamma_n-\varepsilon)^{\sigma_{n,\mathbf{d}}(t)}} {\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{d}}(t)}}< \frac{\langle D_{t}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{d}}(t)}} < \frac{\Phi^{t}(\mu_n/\Phi^2)^{r_n} (\gamma_n+\varepsilon)^{\sigma_{n,\mathbf{d}}(t)}}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{d}}(t)}}.
\end{equation}
\tag{8.11}
$$
Несложно убедиться, что ввиду (8.10) выполнена цепочка равенств
$$
\begin{equation}
\Phi^{t}\biggl(\frac{\mu_n}{\Phi^2}\biggr)^{r_n} =\Phi^{t}\biggl(\frac{\mu_n}{\Phi^2}\biggr)^{(S_{\mathbf{d}}(t)-t)/(n-1)}= \biggl(\frac{\mu_n}{\Phi^2}\biggr)^{S_{\mathbf{d}}(t)/(n-1)}\biggl(\frac{\Phi^{n+1}}{\mu_n} \biggr)^{t/(n-1)}.
\end{equation}
\tag{8.12}
$$
Теперь, подставляя в (8.12) равенство $S_\mathbf{d}(t)=\kappa^{(n)}_1t+\varphi_{n,\mathbf{d}}(t)$ и используя определение константы $\kappa^{(n)}_1$, данное в (1.5), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\Phi^{t}(\mu_n/\Phi^2)^{r_n}}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{d}}(t)}} = \frac{(\mu_n/\Phi^2)^{S_{\mathbf{d}}(t)/(n-1)}(\Phi^{n+1}/\mu_n)^{t/(n-1)}} {\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{d}}(t)}} \\ &\ =\exp\biggl(\frac{S_{\mathbf{d}}(t)}{n-1}(\log\mu_n-2\log\Phi) + \frac{t}{n-1}\bigl((n+1)\log\Phi-\log\mu_n\bigr)-S_{\mathbf{d}}(t)\log\sqrt{2}\biggr) \\ &\ =\exp\biggl(\frac{\kappa^{(n)}_1t+\varphi_{n,\mathbf{d}}(t)}{n-1} \bigl(\log\mu_n-2\log\Phi-(n-1)\log\sqrt{2}\bigr) \\ &\ \qquad+ \frac{t}{n-1}\bigl((n+1)\log\Phi - \log\mu_n\bigr)\biggr) \\ &\ =\exp\biggl(\frac{t}{n-1}(\underbrace{\kappa^{(n)}_1(\log\mu_n - 2\log\Phi-(n-1)\log\sqrt{2})+(n+1)\log\Phi-\log\mu_n}_{=0}) \\ &\ \qquad+\frac{\varphi_{n,\mathbf{d}}(t)}{n-1}\bigl(\log\mu_n-2\log\Phi-(n-1) \log\sqrt{2}\bigr)\biggr) \\ & \ =\biggl(\frac{\mu_n}{\Phi^2\sqrt{2}^{\, n-1}}\biggr)^{\varphi_{n,\mathbf{d}}(t)/(n-1)} =\frac{1}{(c^{(n)})^{\varphi_{n,\mathbf{d}}(t)}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сравнивая начало и конец этой цепочки равенств, получаем
$$
\begin{equation}
\frac{\Phi^{t}(\mu_n/\Phi^2)^{r_n}}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{d}}(t)}}= \frac{1}{(c^{(n)})^{\varphi_{n,\mathbf{d}}(t)}}.
\end{equation}
\tag{8.13}
$$
Подставляя (8.13) в (8.11), получаем (8.9). Лемма доказана. 8.2. Асимптотика роста максимальных континуантовПусть $\langle D_{t'}\rangle$ – континуант, определенный в лемме 7.6. Введем величину $\sigma_{\mathbf{d},2}(\nu)$ – количество (максимальных) блоков $(4,4,\dots,4)$ до неполного частного $d_{\nu}$. Лемма 8.3. Для сколь угодно малого положительного $\varepsilon\leqslant10^{-20}$ для всех достаточно больших (в зависимости от $\varepsilon$) натуральных $t$ для всех целых $\nu$ из отрезка $t^{1/3}\leqslant \nu\leqslant t'$ выполнено неравенство Доказательство. Достаточно доказать лемму при $\varepsilon=10^{-20}$: общее доказательство получается аналогичным путем. Обозначим через $r_4$ и $r_5$ количества неполных частных континуанта $\langle D_{\nu}\rangle$, равных $4$ или $5$ соответственно. Аналогично (5.8), получаем
$$
\begin{equation}
r_4=5\nu-S_{\mathbf{d}}(\nu),\qquad r_5=S_{\mathbf{d}}(\nu)-4\nu.
\end{equation}
\tag{8.15}
$$
Распишем теперь $\langle d_1,d_2,\dots,d_{t'}\rangle$ по “правилу азбуки Морзе” [11], разрезая континуант каждый раз на стыке “четверок” и “пятерок” (второе равенство из формулы (2.2)). Воспользуемся также неравенством (3.6) для $n=4$ и $5$. Тогда получим
$$
\begin{equation}
(\lambda_4)^{r_4}(\lambda_5)^{r_5}(\gamma-\varepsilon)^{\sigma_{\mathbf{d},2}(\nu)}< \langle D_{\nu}\rangle<(\lambda_4)^{r_4}(\lambda_5)^{r_5} (\gamma+\varepsilon)^{\sigma_{\mathbf{d},2}(\nu)}.
\end{equation}
\tag{8.16}
$$
Подставляя в (8.16) значения $r_4$ и $r_5$ из (8.15), получаем
$$
\begin{equation}
\lambda_4^{5\nu-S_\mathbf{d}(\nu)}\lambda_5^{S_\mathbf{d}(\nu)-4\nu} (\gamma-\varepsilon)^{\sigma_{\mathbf{d},2}(\nu)}< \langle D_{\nu}\rangle< \lambda_4^{5\nu-S_\mathbf{d}(\nu)} \lambda_5^{S_\mathbf{d}(\nu)-4{\nu}}(\gamma+\varepsilon)^{\sigma_{\mathbf{d},2}(\nu)}.
\end{equation}
\tag{8.17}
$$
Теперь, подставляя в (8.17) равенство $S_\mathbf{d}(\nu)=\kappa_2\nu-\varphi_{\mathbf{d},2}(\nu)$ и используя определение константы $\kappa_2$ в (1.9), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\lambda_4^{5\nu-S_\mathbf{d}(\nu)}\lambda_5^{S_\mathbf{d}(\nu)-4\nu}} {\sqrt{2}^{\,S_\mathbf{d}(\nu)}}\,{=} \exp\bigl((5\nu\,{-}\,S_\mathbf{d}(\nu))\log\lambda_4\,{+}\,(S_\mathbf{d}(\nu)\,{-}\,4\nu) \log\lambda_5\,{-}\,S_\mathbf{d}(\nu)\log\sqrt{2}\bigr) \\ &\qquad=\exp\bigl((5\log\lambda_4-4\log\lambda_5)\nu-(\log\lambda_4- \log\lambda_5+\log\sqrt{2})(\kappa_2\nu-\varphi_{\mathbf{d},2}(\nu))\bigr) \\ &\qquad=\exp\bigl((\log\lambda_4-\log\lambda_5+ \log\sqrt{2})\varphi_{\mathbf{d},2}(\nu)\bigr)= \biggl(\frac{\lambda_4\sqrt{2}}{\lambda_5}\biggr)^{\varphi_{\mathbf{d},2}(\nu)}= \lambda^{\varphi_{\mathbf{d},2}(\nu)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сравнивая начало и конец последней цепочки равенств, получаем
$$
\begin{equation}
\frac{\lambda_4^{5\nu-S_\mathbf{d}(\nu)}\lambda_5^{S_\mathbf{d}(\nu)-4\nu}} {\sqrt{2}^{\,S_\mathbf{d}(\nu)}}=\lambda^{\varphi_{\mathbf{d},2}(\nu)}.
\end{equation}
\tag{8.18}
$$
Пользуясь формулами (8.17) и (8.18), получаем утверждение леммы. § 9. Предварительные оценки для $\varphi_{n,\mathbf{d}}(\nu)$Для дальнейших рассмотрений неравенство (1.15) из теоремы 1.1 запишем в виде
$$
\begin{equation}
\max_{u\leqslant t}\bigl(S_{\mathbf{x}}(u)-\kappa^{(n)}_1u\bigr)= \max_{u\leqslant t} \varphi_{n,\mathbf{d}}(u) \geqslant M^{(n)}\sqrt{t},
\end{equation}
\tag{9.1}
$$
где $M^{(n)}>0$ – пока неопределенная константа (зависящая только от $n$). Ввиду теоремы B, можно считать, что для числа $M^{(n)}$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\frac{2}{7n^{2.5}}\leqslant M^{(n)}\leqslant (2n)^{2/3}+21n^{1/3},
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. величина $M^{(n)}$ ограничена. Далее, как правило, неравенство (9.1) будет предполагаться невыполненным. При некоторых достаточно малых $M^{(n)}$ это предположение будет приведено к противоречию. Округленный (в меньшую сторону) супремум таких $M^{(n)}$ и попадет в формулировку теоремы 1.1. Напомним, что для числа $\mathbf{x}\in \mathbf{E}_n$ для каждого натурального $t$ в лемме 7.5 была получена конечная последовательность $D_t$. Лемма 9.1. Пусть $\mathbf{x}=[x_1,x_2,\dots,x_t,\dots]\in \mathbf{E}_n$ (где $n\geqslant 5$). Пусть для каждого элемента некоторой бесконечной последовательности $\mathcal {T}^{(n)}$, состоящей из натуральных чисел $t$, не выполнено неравенство (9.1). Тогда для любого достаточно малого $\varepsilon>0$, для любого достаточно большого (в зависимости от чисел $\mathbf{x}$ и $\varepsilon$) числа $t$ из $\mathcal {T}^{(n)}$ для конечной последовательности $D_t$ при каждом $\nu=1, 2,\dots, t$ справедливо неравенство Доказательство. Фиксируем произвольное число $t$ из $\mathcal {T}$. Ввиду невыполнения неравенства (9.1), при $\nu=1, 2,\dots, t$ получаем
$$
\begin{equation}
S_{\mathbf{x}}(\nu)-\kappa^{(n)}_1\nu< M^{(n)}\sqrt{t}<\varepsilon t
\end{equation}
\tag{9.3}
$$
для всех достаточно больших $t$ (насколько больших – не зависит от величины $M^{(n)}$ ввиду ее ограниченности). По лемме 7.5, из (9.3) следует, что при каждом $\nu=1, 2,\dots, t$ выполнено неравенство (9.2): Лемма доказана. Лемма 9.2. Пусть для $\mathbf{x}\in \mathbf{E}_n$ (где $n\geqslant 5$) выполнено равенство $?'(\mathbf{x})=0$. Тогда для любого достаточно малого $\varepsilon>0$, для всех достаточно больших (в зависимости от числа $\mathbf{x}$ и $\varepsilon$) чисел $t$, для всех $\nu$ из интервала $t^{2/3}\leqslant \nu\leqslant t$ выполнены неравенства Доказательство. Применяя лемму 2.3, получаем, что найдется действительное число $T>0$ такое, что для любого $\nu>T$ выполнена оценка
$$
\begin{equation}
\max\biggl\{\frac{\langle A_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{a}}(\nu)}},\, 4n^2(0.8)^\nu \biggr\}\leqslant \frac{1}{2^{n^7}}.
\end{equation}
\tag{9.6}
$$
По лемме 7.5 из (9.6) следует, что для любого $\nu>T$ для континуанта $\langle D_\nu\rangle$ выполнена оценка
$$
\begin{equation}
\frac{\langle D_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{d}}(\nu)}}\leqslant 1.
\end{equation}
\tag{9.7}
$$
Пусть $t^{2/3}>T+1$, тогда из (8.14) при $t=\nu$ и из (9.7) следует, что
$$
\begin{equation}
\frac{(\gamma_n- \varepsilon)^{\sigma_{n,{\mathbf{d}}}(\nu)}}{( c^{(n)})^{\varphi_{n,{\mathbf{d}}}(\nu)}}\leqslant 1.
\end{equation}
\tag{9.8}
$$
Логарифмируя неравенство (9.8), получаем неравенство (9.5).
Решая неравенство (9.5) относительно величины $\varphi_{n,{\mathbf{d}}}(\nu)$, получаем оценку (9.4). Лемма доказана. Теорема 9.1. Пусть для числа $\mathbf{x}\in \mathbf{E}_n$ (где $n\geqslant 5$) такого, что $?'(\mathbf{x})=0$, для каждого элемента некоторой бесконечной последовательности $\mathcal {T}^{(n)}$, состоящей из натуральных чисел $t$, не выполнено неравенство (9.1). Тогда для любого достаточно малого $\varepsilon>0$, для всех достаточно больших (в зависимости от чисел $\mathbf{x}$ и $\varepsilon$) значений $t$ из $\mathcal {T}^{(n)}$, для любых $\nu$, $\nu_1$ и $\nu_2$ из интервала $[t^{2/3},t]$ имеют место неравенства Доказательство. Возьмем число $t$ настолько большим, чтобы для числа $T$ из доказательства леммы 9.2 выполнялась оценка $t^{2/3}>T+1$. Тогда, согласно леммам 9.1 и 11.1, для $\nu$ из интервала $[t^{2/3},t]$ одновременно выполнены неравенства (9.2) и (9.4). Поэтому должны выполняться неравенства
$$
\begin{equation}
|\varphi_{n,{\mathbf{d}}}(\nu_1)|\leqslant\frac{\varepsilon t}{2},\qquad |\varphi_{n,{\mathbf{d}}}(\nu_2)|\leqslant \frac{\varepsilon t}{2}.
\end{equation}
\tag{9.12}
$$
Применяя в (9.12) неравенство треугольника, получаем оценку (9.9).
Для любого $t>T$ из последовательности $\mathcal {T}^{(n)}$, согласно определению этой последовательности, при всех $\nu$ из интервала $1\leqslant\nu\leqslant t$ выполнена оценка По лемме 7.5 при всех $\nu$ из интервала $t^{2/3}\leqslant\nu\leqslant t$ из неравенства (9.13) следует верхняя оценка в неравенстве (9.10), в то время как нижняя из них следует из (9.4).Наконец, оценка (9.11) следует из неравенства (9.5) и верхней оценки в неравенстве (9.10) непосредственно. Теорема доказана. § 10. Доказательство первого утверждения теоремы 1.1Для любого $t$ из $\mathcal {T}^{(n)}$ в последовательности $D_t$ рассмотрим ее подпоследовательность $D^1_t$, образованную элементами $d_\nu$ с индексами $\nu$, пробегающими целые числа из отрезка $[t^{2/3},t]$. Представим $D^1_t$ в виде непересекающегося объединения подпоследовательностей $D^{-}_t$ и $D^{+}_t$, образованных элементами $d_\nu$ с индексами $\nu$, пробегающими соответственно целые числа из интервалов $[t^{2/3},2t/3]$ и $(2t/3,t]$. Обозначим через $\sigma^n(D^{+}_t)$ и $\sigma^n(D^{-}_t)$ (при $n\geqslant 5$) соответственно количества (максимальных) блоков вида $(1,n,1,n,$ $\dots,1,n)$ в последовательностях $D^{+}_t$ и $D^{-}_t$. Тогда
$$
\begin{equation}
\sigma_{n,{\mathbf{d}}}(t)-t^{2/3}\leqslant \sigma^{(n)}(D^{+}_t)+\sigma^{(n)}(D^{-}_t)\leqslant \sigma_{n,{\mathbf{d}}}(t)+1.
\end{equation}
\tag{10.1}
$$
Верхняя оценка в неравенстве (10.1) отлична от $\sigma_{n,{\mathbf{d}}}(t)$ из-за того, что при делении отрезка $[t^{2/3},t]$ на две части $[t^{2/3},2t/3]$ и $[2t/3,t]$ точка деления этого отрезка (число $2t/3$) может прийтись на один из блоков вида $(1,n,1,n,\dots,1,n,)$, деля его на два блока того же вида. Положим
$$
\begin{equation*}
\varphi^{(n)}(D^{(-)}_t)= \varphi_{n,{\mathbf{d}}}\biggl(\biggl[\frac{2t}3\biggr]\biggr)- \varphi_{n,{\mathbf{d}}}([t^{2/3}]),\qquad \varphi^{(n)}(D^{(+)}_t)= \varphi_{n,{\mathbf{d}}}(t)-\varphi_{n,{\mathbf{d}}}\biggl(\biggl[\frac{2t}3\biggr]\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично,
$$
\begin{equation*}
S(D^{(-)}_t)=S_{\mathbf{d}}\biggl(\biggl[\frac{2t}3\biggr]\biggr)- S_{\mathbf{d}}([t^{2/3}]),\qquad S(D^{(+)}_t)=S_{\mathbf{d}}(t)- S_{\mathbf{d}}\biggl(\biggl[\frac{2t}3\biggr]\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно теореме 9.1 выполнены неравенства $\varphi^{(n)}(D^{(-)}_t)>-\varepsilon t$ и
$$
\begin{equation}
S(D^{+}_{t})-\kappa^{(n)}_1\biggl(t-\biggl[\frac{2t}3\biggr]\biggr)= \varphi^{(n)}(D^{+}_{t})>-\varepsilon t.
\end{equation}
\tag{10.2}
$$
Предположим, что
$$
\begin{equation}
\frac{\sigma^{(n)}(D^{+}_{t})+\Theta_1}{\sigma_{n,{\mathbf{d}}}(t)}=\mu,\qquad \frac{\sigma^{(n)}(D^{-}_{t})+\Theta_2(t^{2/3}+1)}{\sigma_{n,{\mathbf{d}}}(t)}=1-\mu,
\end{equation}
\tag{10.3}
$$
где $|\Theta_1|,|\Theta_2|\leqslant 1$, а $\mu\in [0,1]$ – произвольный действительный параметр. Обозначим через $r_n(D^{+}_{t})$ количество элементов в $D^{+}_{t}$, равных $n$. Аналогично второй формуле в (8.10) и ввиду неравенства (10.2), получаем оценку
$$
\begin{equation}
r_n(D^{+}_{t})=\frac{S(D^{+}_{t})-(t-[2t/3])}{n-1}\geqslant \frac{(\kappa^{(n)}_1-1-\varepsilon)t}{3(n-1)}.
\end{equation}
\tag{10.4}
$$
В силу принципа Дирихле и ввиду формул (10.3) и (10.4), в последовательности $D^{+}_t$ для любого $\varepsilon>0$ найдется участок вида $(\underbrace{1,n,1,n,\dots,1,n}_{s\text{ чисел}})$ длины $s$, для которой выполнена оценка
$$
\begin{equation}
s\geqslant \frac{2r_n(D^{+}_{t})}{\sigma^{(n)}(D^{+}_{t})}\geqslant \frac{2(\kappa^{(n)}_1-1-\varepsilon)t}{3(n-1)\mu\sigma_{n,{\mathbf{d}}}(t)}.
\end{equation}
\tag{10.5}
$$
Пусть данный участок имеет вид $(d_{t_0+1},d_{t_0+2},\dots,d_{t_0+s})$. Поскольку $t_0\geqslant [2t/3]$, то из (9.5) при $\nu=t_0$ и из (10.3) получаем, что
$$
\begin{equation}
\varphi_{n,{\mathbf{d}}}(t_0)\geqslant \frac{\sigma_{n,{\mathbf{d}}}(t_0)\log(\gamma_n-\varepsilon)}{\log c^{(n)}}\geqslant \frac{(1-\mu)\sigma_{n,{\mathbf{d}}}(t)\log(\gamma_n-\varepsilon)}{\log c^{(n)}}.
\end{equation}
\tag{10.6}
$$
Из (10.5) и (10.6) получаем следующую оценку:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, M^{(n)}\sqrt{t} &\geqslant \varphi_{n,{\mathbf{d}}}(t_0+s)= \varphi_{n,{\mathbf{d}}}(t_0) + s\biggl(\frac{n+1}{2}-\kappa^{(n)}_1\biggr) \nonumber \\ &\geqslant\frac{(1-\mu)\sigma_{n,{\mathbf{d}}}(t)\log(\gamma_n-\varepsilon)}{\log c^{(n)}} +\frac{(\kappa^{(n)}_1-1-\varepsilon)t (n+1-2 \kappa^{(n)}_1)}{3(n-1)\mu\sigma_{n,{\mathbf{d}}}(t)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.7}
$$
Применяя в (10.7) неравенство $a+b\geqslant \sqrt{4ab}$, справедливое для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$, получаем
$$
\begin{equation}
M^{(n)}\geqslant\sqrt{\frac{4-4\mu}{3\mu}}\,\sqrt{\frac{(\kappa^{(n)}_1-1)(n+1-2\kappa^{(n)}_1) \log(\gamma_n-\varepsilon)}{(n-1)\log c^{(n)}}}.
\end{equation}
\tag{10.8}
$$
Для проведения второго варианта оценки $M^{(n)}$, рассуждая аналогично о подпоследовательности $D^{-}_t$, найдем в ней, согласно принципу Дирихле, участок вида $(\underbrace{1,n,1,n,\dots,1,n}_{s'\ \text{чисел}})$ длины $s'$, такой что для заданного $\varepsilon>0$ выполнено
$$
\begin{equation}
s'\geqslant\frac{2r_n(D^{-}_t)-t^{2/3}}{\sigma(D^{-}_t)}= \frac{2(S_{\mathbf{d}}(2t/3)- 2t/3)-t^{2/3}}{(n-1)(1-\mu)\sigma_{n,{\mathbf{d}}}(t)}\geqslant \frac{(\kappa^{(n)}_1-1-\varepsilon)4 t}{3(n-1)(1-\mu)\sigma_{n,{\mathbf{d}}}(t)}.
\end{equation}
\tag{10.9}
$$
Пусть данный участок имеет вид $(d_{t'_0+1},d_{t'_0+2},\dots,d_{t'_0+s'})$. Поскольку $t'_0\geqslant t^{2/3}$, то из теоремы 9.1 получаем $\varphi_{n,{\mathbf{d}}}(t'_0)\geqslant 0$. Отсюда и из (10.9) получаем следующую оценку:
$$
\begin{equation}
M^{(n)}\sqrt{t}\geqslant \varphi_{n,{\mathbf{d}}}(t'_0) + s'\biggl(\frac{n+1}{2}-\kappa^{(n)}_1\biggr)\,{\geqslant}\, \frac{(\kappa^{(n)}_1-1-\varepsilon) (n+1-2\kappa^{(n)}_1)2 t}{3(n-1)(1-\mu)\sigma_{n,{\mathbf{d}}}(t)}.
\end{equation}
\tag{10.10}
$$
$$
\begin{equation}
M^{(n)}\geqslant \frac{2(\kappa^{(n)}_1-1-\varepsilon)(n+1-2\kappa^{(n)}_1) \log(\gamma_n-\varepsilon)}{3(n-1)(1-\mu)\log c^{(n)}M^{(n)}}.
\end{equation}
\tag{10.11}
$$
Решая неравенство (10.11) относительно $M^{(n)}$, получаем
$$
\begin{equation}
M^{(n)}\geqslant\sqrt{\frac{2}{3 (1-\mu)}}\, \sqrt{\frac{(\kappa^{(n)}_1-1)(n+1-2\kappa^{(n)}_1) \log(\gamma_n-\varepsilon)}{(n-1)\log c^{(n)}}}.
\end{equation}
\tag{10.12}
$$
Вторые квадратные корни в оценках (10.8) и (10.12) совпадают. Остается лишь заметить, что на интервалах $[0,1/2]$ и $[1/2,1]$ минимумы первых квадратных корней в (10.8) и (10.12) также совпадают, достигаются при $\mu=1/2$ и равны ${2}/{\sqrt{3}}$. Подстановка этого значения в (10.8) и (10.12) приводит к оценке
$$
\begin{equation}
M^{(n)}\geqslant\frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{\frac{(\kappa^{(n)}_1-1)(n+1-2\kappa^{(n)}_1) \log(\gamma_n-\varepsilon)}{(n-1)\log c^{(n)}}}.
\end{equation}
\tag{10.13}
$$
Таким образом, неравенство
$$
\begin{equation}
\max_{u\leqslant t}(\varphi_{n,{\mathbf{x}}}(u))<M^{(n)}\sqrt{t}
\end{equation}
\tag{10.14}
$$
не может быть выполнено, если число $M^{(n)}$ не удовлетворяет оценке (10.13). При каждом фиксированном достаточно большом $t$ из последовательности $\mathcal {T}^{(n)}$ возьмем инфинум тех $M^{(n)}$, для которых выполнена оценка (10.14). Для этого инфинума неравенство (10.13) сохраняется, а неравенство (10.14) превращается в равенство. Отсюда следует оценка (1.16). Первое утверждение теоремы 1.1 доказано.
§ 11. Верхние оценки величины $\sigma_{\mathbf{d},2}(\nu)$Пусть $M_2\,{>}\,0$ – пока неизвестная величина, участвующая в неравенстве (5.10); $t'= [t-t^{2/3}]$ – параметр из леммы 7.6; $D_{t}$ – конечная последовательность из той же леммы. Напомним, что величина $\log{(\gamma+\varepsilon)}$ при всех достаточно малых $\varepsilon>0$ отрицательна. Лемма 11.1. Пусть выполнено равенство $?'(\mathbf{x})=+\infty$. Тогда для любого достаточно малого $\varepsilon>0$, для всех достаточно больших (в зависимости от чисел $\mathbf{x}$ и $\varepsilon$) натуральных $t$ для любого целого $\nu$ из отрезка $t^{2/3}\leqslant \nu\leqslant t'$ выполнены неравенства $\varphi_{\mathbf{d},2}(\nu)\geqslant 0$ и Доказательство. Применяя лемму 2.2, получаем, что найдется действительное число $T>0$ такое, что для любого $\nu >T$ выполнена оценка
$$
\begin{equation}
\min\biggl(\frac{\langle X_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{x}}(\nu)}},\, (1.05)^\nu\biggr) \geqslant 10\cdot 2^{10^6}.
\end{equation}
\tag{11.2}
$$
По лемме 7.6 из (11.2) следует, что для любого $\nu$ из интервала $T<\nu\leqslant t'$ для континуанта $\langle D_\nu\rangle$ выполнена оценка
$$
\begin{equation}
\frac{\langle D_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{d}}(\nu)}}\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{11.3}
$$
Возьмем число $t$ настолько большим, чтобы для числа $T$ выполнялась оценка $t^{2/3}>T+1$, тогда неравенство (11.3) выполнено для $\nu$ из отрезка $t^{2/3}\leqslant \nu\leqslant t'$. Из (8.14) и из (11.3) следует, что
$$
\begin{equation}
(\gamma+\varepsilon)^{\sigma_{\mathbf{d},2}(\nu)}\lambda^{\varphi_{\mathbf{d},2}(\nu)}\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{11.4}
$$
Логарифмируя неравенство (11.4), получаем оценку (11.1).
Из (11.1), в частности, следует, что $\varphi_{\mathbf{d},2}(\nu)\geqslant 0$ для всех достаточно больших значений $\nu$. Лемма доказана. Теорема 11.1. Пусть для иррационального числа $\mathbf{x}\in (0,1)$ такого, что $?'(\mathbf{x})=+\infty$, для каждого элемента некоторой бесконечной последовательности $\mathcal {T}_2$, состоящей из натуральных чисел $t$, не выполнено неравенство (5.10). Тогда для любого достаточно малого $\varepsilon>0$, для всех достаточно больших (в зависимости от чисел $\mathbf{x}$ и $\varepsilon$) значений $t$ из $\mathcal {T}_2$, для любых $\nu$, $\nu_1$ и $\nu_2$ из интервала $[t^{2/3}, t-t^{2/3}]$ имеют место неравенства Доказательство. Для любого $t>T$ из последовательности $\mathcal {T}^{(2)}$, согласно определению этой последовательности, при всех $\nu$ из интервала $1\,{\leqslant}\,\nu\,{\leqslant}\, t$ выполнена оценка Отсюда и согласно леммам 7.6 и 11.1, для последовательностей $D_\nu$, для всех достаточно больших $t$ при всех $\nu$ из интервала $[t^{2/3},t-t^{2/3}]$ выполнено
$$
\begin{equation*}
0<\varphi_{\mathbf{d},2}(\nu)\leqslant\max_{\nu\leqslant t'}\varphi_{\mathbf{d},2}(\nu)\leqslant \max_{\nu\leqslant t}\varphi_{\mathbf{x},2}(\nu)+1 \leqslant (M_2+\varepsilon)\sqrt{t}
\end{equation*}
\notag
$$
(насколько именно “достаточно больших” от числа $M_2$ не зависит, ввиду ограниченности последнего). В частности, доказана оценка (11.6).
Кроме того, для любых $\nu_1$ и $\nu_2$ из данного интервала согласно (11.6) должны выполняться неравенства
$$
\begin{equation}
|\varphi_\mathbf{d}(\nu_1)|\leqslant \frac{\varepsilon t}{2},\qquad |\varphi_\mathbf{d}(\nu_2)| \leqslant \frac{\varepsilon t}{2}.
\end{equation}
\tag{11.8}
$$
Применяя в (11.8) неравенство треугольника, получаем оценку (11.5).
Наконец, оценка (11.7) следует из неравенства (11.1) и верхней оценки в неравенстве (11.6) непосредственно. Теорема доказана. § 12. Доказательство первого утверждения теоремы 1.2Для любого $t$ из $\mathcal {T}^{(2)}$ в последовательности $D_{t'}$ рассмотрим ее подпоследовательность $D^1_{t'}$, образованную элементами $d_\nu$ с индексами $\nu$ из отрезка $[t^{2/3},t']$. Представим $D^1_{t'}$ в виде непересекающегося объединения подпоследовательностей $D^{-}_{t'}$ и $D^{+}_{t'}$, образованных элементами $d_\nu$ с индексами $\nu$, пробегающими соответственно целые числа из интервалов $[t^{2/3},2t/3]$ и $(2t/3,t']$. Обозначим через $\sigma(D^{+}_{t'})$ и $\sigma(D^{-}_{t'})$ соответственно количества (максимальных) блоков вида $(4,4,\dots, 4)$ в последовательностях $D^{+}_{t'}$ и $D^{-}_{t'}$. Тогда
$$
\begin{equation}
\sigma_{\mathbf{d},2}({t'})-t^{2/3}\leqslant \sigma(D^{+}_{t'})+\sigma(D^{-}_{t'})\leqslant \sigma_{\mathbf{d},2}({t'})+1.
\end{equation}
\tag{12.1}
$$
Правая часть неравенства (12.1) отлична от $\sigma_{\mathbf{d},2}(t')$ из-за того, что при делении отрезка $[t^{2/3},t']$ на две части $[t^{2/3},2t/3]$ и $[2t/3,t']$ точка деления этого отрезка (число $2t/3$) может прийтись на один из блоков вида $(4,4,\dots, 4)$, деля его на два блока того же вида. Положим
$$
\begin{equation*}
\varphi(D^{(-)}_{t'})=\varphi_{\mathbf{d},2}\biggl(\biggl[\frac{2t}3\biggr]\biggr)- \varphi_{\mathbf{d},2}([t^{2/3}]),\qquad \varphi(D^{(+)}_{t'})=\varphi_{\mathbf{d},2}(t')- \varphi_{\mathbf{d},2}\biggl(\biggl[\frac{2t}3\biggr]\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично,
$$
\begin{equation*}
S(D^{(-)}_{t'})=S_{\mathbf{d}}\biggl(\biggl[\frac{2t}3\biggr]\biggr)- S_{\mathbf{d}}([t^{2/3}]),\qquad S(D^{(+)}_{t'})=S_{\mathbf{d}}(t')- S_{\mathbf{d}}\biggl(\biggl[\frac{2t}3\biggr]\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно теореме 11.1 выполнены неравенства $\varphi(D^{(-)}_{t'})>-\varepsilon t$ и
$$
\begin{equation}
\kappa_2\biggl(t'-\biggl[\frac{2t}3\biggr]\biggr)-S(D^{+}_{t'})=\varphi(D^{+}_{t'})>-\varepsilon t.
\end{equation}
\tag{12.2}
$$
Предположим, что
$$
\begin{equation}
\frac{\sigma(D^{+}_{t'})+\Theta_1}{\sigma_{\mathbf{d},2}({t'})}=\mu,\qquad \frac{\sigma(D^{-}_{t'})+\Theta_2(t^{2/3}+1)}{\sigma_{\mathbf{d},2}({t'})}=1-\mu,
\end{equation}
\tag{12.3}
$$
где $|\Theta_1|,|\Theta_2|\leqslant 1$, а $\mu\in [0,1]$ – произвольный действительный параметр. Обозначим через $r_4(D^{+}_{t'})$ количество элементов в $D^{+}_{t'}$, равных $4$. Аналогично второй формуле в (5.8) и согласно (12.2), для всех достаточно больших $t$ выполнена оценка
$$
\begin{equation}
r_4(D^{+}_{t'})=5\biggl(t'-\biggl[\frac{2t}3\biggr]\biggr)-S(D^{+}_{t'})\geqslant \frac{(5-\kappa_2-\varepsilon)t}{3},
\end{equation}
\tag{12.4}
$$
поскольку отношение ${t'}/{t}$ стремится к $1$ с ростом $t$. В силу принципа Дирихле и ввиду формул (12.3) и (12.4), в последовательности $D^{+}_{t'}$ для любого $\varepsilon>0$ найдется участок вида $(\underbrace{4,4,\dots,4}_{s\text{ чисел}})$ длины больше либо равной
$$
\begin{equation}
s\geqslant \frac{r_4}{\sigma(D^{+}_{t'})}\geqslant \frac{(5-\kappa_2-\varepsilon)t}{3\mu \sigma_{\mathbf{d},2}({t'})}.
\end{equation}
\tag{12.5}
$$
Пусть данный участок имеет вид $(d_{t_0+1},d_{t_0+2},\dots,$ $d_{t_0+s})$. Поскольку $t_0\geqslant [2t/3]$, то из (11.1) при $\nu=t_0$ и из (12.3) получаем, что
$$
\begin{equation}
\varphi_{\mathbf{d},2}(t_0)\geqslant \frac{-\sigma_{\mathbf{d},2}(t_0)\log(\gamma+\varepsilon)}{\log\lambda}\geqslant \frac{-\sigma(D^{-}_{{t'}})\log(\gamma+\varepsilon)}{\log\lambda}\geqslant \frac{(\mu-1)\sigma_{\mathbf{d},2}({t'})\log(\gamma+\varepsilon)}{\log\lambda}.
\end{equation}
\tag{12.6}
$$
Из (12.5) и (12.6) получаем следующую оценку:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, M_2\sqrt{t} &\geqslant \varphi_{\mathbf{d},2}(t_0+s)= \varphi_{\mathbf{d},2}(t_0)+s(\kappa_2-4) \nonumber \\ &\geqslant -\frac{(1-\mu)\sigma_{\mathbf{d},2}({t'})\log(\gamma+\varepsilon)}{\log\lambda} + \frac{(5-\kappa_2-\varepsilon)t(\kappa_2-4)}{3\mu\sigma_{\mathbf{d},2}({t'})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12.7}
$$
Применяя в (12.7) неравенство $a+b\geqslant \sqrt{4ab}$, справедливое для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$, получаем
$$
\begin{equation}
M_2\geqslant\sqrt{\frac{4-4\mu}{3\mu}}\,\sqrt{-\frac{(5-\kappa_2)(\kappa_2-4)\log(\gamma+\varepsilon)} {\log\lambda}}.
\end{equation}
\tag{12.8}
$$
Для проведения второго варианта оценки $M_2$, рассуждая аналогично о подпоследовательности $D^{-}_t$, найдем в ней, согласно принципу Дирихле, участок вида $(\underbrace{4,4,\dots,4}_{s'\text{ чисел}})$ длины $s'$, такой что для заданного $\varepsilon>0$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
s'\geqslant\frac{r_4}{\sigma(D^{-}_{t'})}\geqslant\frac{5(2t/3-t^{2/3})-S_{\mathbf{d}}(2t/3)} {(1-\mu)\sigma_{\mathbf{d},2}(t')}\geqslant \frac{(5-\kappa_2-\varepsilon)2t}{3(1-\mu) \sigma_{\mathbf{d},2}(t')}.
\end{equation}
\tag{12.9}
$$
Пусть данный участок имеет вид $(d_{t'_0+1},d_{t'_0+2},\dots,d_{t'_0+s'})$. Поскольку $t'_0\geqslant t^{2/3}$, то из неравенства (11.6), рассмотренного при $\nu=t'_0$, получаем $\varphi_{\mathbf{d},2}(t'_0)\geqslant 0$. Отсюда и из (12.9) получаем следующую оценку:
$$
\begin{equation}
M_2\sqrt{t}\geqslant\varphi_{\mathbf{d},2}(t'_0)+s'(\kappa_2-4)\geqslant \frac{(5-\kappa_2-\varepsilon)(\kappa_2-4)2 t}{3(1-\mu)\sigma_{\mathbf{d},2}(t')}.
\end{equation}
\tag{12.10}
$$
Поэтому из (11.7) и (12.10) получаем
$$
\begin{equation}
M_2\sqrt{t}\geqslant\frac{(5-\kappa_2-\varepsilon)(\kappa_2-4)2 t}{3(1-\mu) \sigma_{\mathbf{d},2}({t'})}\geqslant-\frac{2(5-\kappa_2-\varepsilon)(\kappa_2-4) \log(\gamma+\varepsilon)\sqrt{t}}{3(1-\mu)M_2\log\lambda}.
\end{equation}
\tag{12.11}
$$
Решая неравенство (12.11) относительно $M_2$, получаем
$$
\begin{equation}
M_2\geqslant\sqrt{\frac{2}{3(1-\mu)}}\sqrt{-\frac{(5-\kappa_2)(\kappa_2-4)\log(\gamma+\varepsilon)} {\log\lambda}}.
\end{equation}
\tag{12.12}
$$
Вторые квадратные корни в оценках (12.8) и (12.12) совпадают. Остается лишь заметить, что на интервалах $[0,1/2]$ и $[1/2,1]$ минимумы первых квадратных корней в (12.8) и (12.12) также совпадают, достигаются при $\mu=1/2$ и равны ${2}/{\sqrt{3}}$. Подстановка этого значения в (12.8) и (12.12) приводит к оценке
$$
\begin{equation}
M_2\geqslant \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{-\frac{(5-\kappa_2)(\kappa_2-4)\log(\gamma+\varepsilon)} {\log\lambda}}.
\end{equation}
\tag{12.13}
$$
Таким образом, неравенство
$$
\begin{equation}
\max_{u\leqslant t}(\varphi_{\mathbf{a},2}(u))<M_2\sqrt{t}
\end{equation}
\tag{12.14}
$$
не может быть выполнено, если $M_2$ не удовлетворяет оценке (12.13). При каждом фиксированном достаточно большом $t$ из последовательности $\mathcal {T}^{(2)}$ возьмем инфинум тех $M_2$, для которых выполнена оценка (12.14). Для этого инфинума неравенство (12.13) сохраняется, а неравенство (12.14) превращается в равенство. Отсюда следует оценка (1.19). Первое утверждение теоремы 1.2 доказано.
§ 13. Конструкции числа $\mathbf{x}$13.1. Доказательство второго утверждения теоремы 1.1Построим число $\mathbf{x}=[x_1,\dots,x_t,\dots]$, удовлетворяющее утверждению теоремы. Введем параметры $t_0=16n^{12}$ и $t_i=4^it_0$, где $i=1,2,3,\dots$ . Разобьем бесконечную последовательность $(x_1,\dots,x_t,\dots)$ на счетное число участков – участок под номером $i$ будет задавать подпоследовательность $(x_{t_i/4+1},\dots,x_{t_i})$. Начальный участок $(x_1,\dots,a_{t_0/4})$ можно задать каким угодно, например, состоящим изо всех “единиц”. Ввиду того, что $t_0$ есть абсолютная константа, это ни на что не повлияет. Таким образом, $i$-й участок состоит из $({3}/{4})t_i$ неполных частных. Нам будут удобны следующие понятия. Во-первых, для каждой пары целых неотрицательных чисел $p$ и $j$ таких, что $t_p/4+j$ не превосходит $t_p$, назовем локальным $n$-отклонением (при $n\geqslant 5$) в данной точке $j$ величину
$$
\begin{equation}
\varphi^{\mathrm{loc}}_{n,p}(j)=\sum_{m=1}^j a_{t_p/4+m}-\kappa^{(n)}_1 j.
\end{equation}
\tag{13.1}
$$
Во-вторых, для каждого $i\geqslant 0$ назовем величину
$$
\begin{equation*}
\varphi^{\mathrm{full}}_{n,i}=\varphi^{\mathrm{loc}}_{n,i}\biggl(\frac{3}{4}t_i\biggr)= \sum_{m=t_i/4+1}^{t_i} a_{m}-\frac{3}{4}t_i\kappa^{(n)}_1
\end{equation*}
\notag
$$
полным $n$-отклонением $i$-го участка. В-третьих, наконец, величину
$$
\begin{equation*}
\varphi^{\mathrm{tot}}_{n,p}(j)= \sum_{m=t_0/4+1}^{t_p+j} a_{m}-\kappa^{(n)}_1 \biggl(t_p+j-\frac{t_0}4\biggr)= \biggl(\sum_{i=0}^{p-1}\varphi^{\mathrm{full}}_{n,i}\biggr)+ \varphi^{\mathrm{loc}}_{n,p}(j)
\end{equation*}
\notag
$$
назовем накопленным $n$-отклонением в данной точке $j$. Нетрудно видеть, что для доказательства неравенств (1.17) и (1.18) достаточно построить число $\mathbf{x}\,{\in}\,\mathbf{E}_n$, для которого $?'(\mathbf{x})=0$ и для любых индексов $p$ и $j$ таких, что $p\geqslant 0$ и $1\leqslant j\leqslant {3}\sqrt{t_p}/{4}$, выполнены соответственно неравенства
$$
\begin{equation}
\varphi^{\mathrm{tot}}_{n,p}(j)<2.39\sqrt{t_p}\quad \text{или}\quad \varphi^{\mathrm{tot}}_{n,p}(j)<3.5\sqrt{t_p}.
\end{equation}
\tag{13.2}
$$
Действительно: в этом случае доказываемые неравенства (1.17) и (1.18), в которых коэффициенты перед $\sqrt{t}$ вдвое больше, чем в (13.2), получаются при подстановке в (13.2) оценки $t_p\leqslant 4t$, справедливой для каждого $t$ из интервала $t_{p-1}<t\leqslant t_{p}$, ввиду равенства $t_{p}=4t_{p-1}$. Приступим к построению $i$-го участка. Он будет состоять из ${3}\sqrt{t_i}/{4} =(3/4)\sqrt{4^{i+2}n^{12}}=3\cdot2^{i}n^{6}$ блоков длины $\sqrt{t_i}$ каждый. Любой из этих блоков будет иметь следующую структуру:
$$
\begin{equation}
(\underbrace{1,n,1,n,\dots,1,n}_{k \text{ пар}},\underbrace{1,1,\dots,1}_{\sqrt{t_i}{-}2k\text{ чисел}}\!\!).
\end{equation}
\tag{13.3}
$$
При этом число $k$ будет зависеть как от номера участка $i$, так и от номера блока, который обозначим через $h$. Таким образом, $h\leqslant{3}\sqrt{t_i}/{4}$. В следующей лемме рассматривается ситуация, когда для $j$ из (13.1) справедливо равенство $j=h\sqrt{t_i}$. Лемма 13.1. Для любого $i\geqslant 0$ существует вариант построения $i$-го участка, удовлетворяющий следующему условию: при всех натуральных $h$, не превосходящих $ {3}\sqrt{t_i}/{4}$, выполнена оценка В частности, Доказательство. Докажем лемму индукцией по $h$. Для $h=1$ надо оценить локальное $n$-отклонение по одному блоку вида (13.3). Варьируя $k$ от $0$ до ${\sqrt{t_i}}/{2}$, будем получать блоки с $n$-отклонениями в пределах от $-(\kappa^{(n)}_1-1)\sqrt{t_i}$ до $((n+1)/2-\kappa^{(n)}_1)\sqrt{t_i}$. Поскольку при изменении $k$ на единицу $n$-отклонение изменяется на $n-1$, мы сможем найти такое $k$, чтобы локальное $n$-отклонение $\varphi^{\mathrm{loc}}_i(\sqrt{t_i})$ равнялось $ {4}/{3}$ c ошибкой не более $n-1$ (конечно, для одного блока ошибка превышает получаемое значение отклонения).
Далее действуем аналогично. Если $|\varphi^{\mathrm{loc}}_{n,i}((h-1)\sqrt{t_i})- {4}/{3}(h-1)|<n$, по тем же соображениям строим $h$-й блок так, чтобы выполнялось неравенство (13.4). Теперь, с ростом $h$, величина $({4}/{3})h$ уже превышает ошибку. В частности, при $h= ({3}/{4})\sqrt{t_i}$ доказанное неравенство (13.4) превращается в (13.5). Лемма доказана. Лемма 13.2. Построенный в лемме 13.4 участок обладает следующим свойством: при любом $i\geqslant 0$ для всех $j$ из отрезка $0<j\leqslant({3}/{4})t_i$ выполнено неравенство В частности, для всех достаточно больших $n$ выполнена оценка Доказательство. Нижняя оценка в (13.6) сразу следует из структуры блока (13.3). Действительно, функция $\varphi^{\mathrm{loc}}_{n,i}(j)$ на отрезке $[0,(3/4)t_i]$ имеет минимум в той точке $j$, для которой $a_{t_i/4+j}=1, a_{t_i/4+j+1}=n$. С другой стороны, поскольку $1+n>2\kappa^{(n)}_1$, то минимум может достигаться только в первом неполном частном некоторого блока, т. е. для этого $j$ выполняется равенство $j=h\sqrt{t_i}+1$ для некоторого целого неотрицательного $h$. Поскольку $|\varphi^{\mathrm{loc}}_{n,i}(j-1)-\varphi^{\mathrm{loc}}_{n,i}(j)|<1$, то, пользуясь тем, что по (13.4) выполнено неравенство $\varphi^{\mathrm{loc}}_{n,i}(j-1)>-n$, получаем нижнюю оценку в (13.6).
Теперь докажем верхнюю оценку в (13.6). Представим $j$ в виде $j=h\sqrt{t_i}+r$, где $0\leqslant r<\sqrt{t_i}$. Тогда
$$
\begin{equation}
\varphi^{\mathrm{loc}}_{n,i}(j)=\varphi^{\mathrm{loc}}_{n,i}(h\sqrt{t_i})+ \biggl(\sum_{m=1}^r a_{t_i/4+h\sqrt{t_i}+m}\biggr)-\kappa^{(n)}_1r.
\end{equation}
\tag{13.8}
$$
При этом первое слагаемое в правой части (13.8) можно оценить, пользуясь (13.4):
$$
\begin{equation}
\varphi^{\mathrm{loc}}_{n,i}(h\sqrt{t_i})<\frac{4}{3}h+n\leqslant\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{4}\sqrt{t_i}+n =\sqrt{t_i}+n.
\end{equation}
\tag{13.9}
$$
Оценим величину
$$
\begin{equation}
\biggl(\sum_{m=1}^r a_{t_i/4+h\sqrt{t_i}+m}\biggr)-\kappa^{(n)}_1r.
\end{equation}
\tag{13.10}
$$
Напомним, что структура блока $\bigl(a_{t_i/4+h\sqrt{t_i}+1},\dots,a_{t_i/4+(h+1)\sqrt{t_i}}\bigr)$ (т. е. $h$-го блока в $i$-м участке) описана формулой (13.3). Из этой структуры ясно, что величина (13.10) максимальна, когда $r=2r_n$, где $r_n$ равно количеству неполных частных в блоке, равных $n$. Обозначим через $r_1$ количество неполных частных блока, равных $1$. Тогда величины $r_1+r_n$ и $r_1+nr_n$ представляют собой соответственно длину и сумму элементов блока. Другими словами, $r_1+r_n=\sqrt{t_i}$ и, ввиду неравенства треугольника,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &|r_1+nr_n-\kappa_1^{(n)}\sqrt{t}|\leqslant \biggl|\sum_{m=1}^{(h+1)\sqrt{t_i}} a_{t_i/4+m} - \kappa^{(n)}_1 (h+1)\sqrt{t_i}-\frac{4}{3}(h+1)\biggr| \nonumber \\ &\qquad+\biggl|\sum_{m=1}^{h\sqrt{t_i}} a_{t_i/4+m}-\kappa^{(n)}_1 h\sqrt{t_i}-\frac{4}{3}h \biggr|+\frac{4}{3}<n+n+\frac{4}{3}<3n, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13.11}
$$
согласно неравенству (13.4). Из (13.11) получаем, что $r_1+nr_n=\kappa_1^{(n)}\sqrt{t}+O(n)$, откуда Поэтому
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl(\sum_{m=1}^{2r_n} a_{t_i/4+k\sqrt{t_i}+m}\biggr)-2\kappa^{(n)}_1r_n =2r_n\frac{n+1}{2}-2\kappa^{(n)}_1r_n=r_n(n+1-2\kappa^{(n)}_1) \nonumber \\ &\qquad=\sqrt{t_i}\,\frac{\kappa_1^{(n)}-1}{n-1}(n+1-2\kappa^{(n)}_1) +O(n)\leqslant\sqrt{t_i}\,(\kappa_1^{(n)}-1)<1.5\sqrt{t_i}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13.13}
$$
При подстановке оценок (13.9) и (13.13) в неравенство (13.8) находим верхнюю оценку в (13.6). Оценка (13.7) получается аналогично, но величину $\sqrt{t_i}(\kappa_1^{(n)}-1)$ в (13.13) мы оцениваем сверху при достаточно большом $n$ как $0.39\sqrt{t_i}$, поскольку $\kappa_1^{(n)}$ стремится к своему предельному значению $\kappa_1$ согласно (1.6). Лемма доказана. С помощью лемм 13.1 и 13.2 в следующей лемме выводится оценка для накопленного $n$-отклонения. Лемма 13.3. Для любых $\varepsilon>0$ и $1\leqslant j\leqslant ({3}/{4})t_p$, для всех достаточно больших $p$ выполнено неравенство В частности, для всех достаточно больших $n$ выполнена оценка Доказательство. Воспользуемся тождеством
$$
\begin{equation}
\varphi^{\mathrm{tot}}_{n,p}(j)=\biggl(\sum_{i=0}^{p-1}\varphi^{\mathrm{full}}_{n,i}\biggr)+ \varphi^{\mathrm{loc}}_{n,p}(j).
\end{equation}
\tag{13.16}
$$
Подставим в (13.16) оценки (13.5) и (13.6):
$$
\begin{equation*}
\varphi^{\mathrm{tot}}_{n,p}(j)<\biggl( \sum_{i=0}^{p-1}(\sqrt{t_i}+n)\biggr)+ (2.5\sqrt{t_p}+n)=\biggl(\sum_{i=0}^{p-1}\frac{\sqrt{t_p}}{2^i}\biggr)+pn+2.5\sqrt{t_p}+n.
\end{equation*}
\notag
$$
Продолжая эту цепочку, получаем оценку
$$
\begin{equation}
\varphi^{\mathrm{tot}}_{n,p}(j)<3.5\sqrt{t_p}+(p+1)n.
\end{equation}
\tag{13.17}
$$
Теперь верхняя оценка в неравенстве (13.14) получается из (13.17) путем сравнения скоростей роста геометрической прогрессии $\sqrt{t_p}=\sqrt{4^{p+2}n^{12}} =4\cdot2^{p}n^{6}$ и арифметической прогрессии $(p+1)n$. Нижняя оценка доказывается сходным образом.
Аналогично, при больших $n$ достаточно в предыдущем рассуждении заменить неравенство (13.6) на (13.7), тогда приходим к оценке (13.15). Лемма доказана. Для завершения доказательства теоремы осталось проверить первое из соотношений в (2.7). Для этого воспользуемся леммой 8.2. Оценим сверху величину $\sigma_{n,\mathbf{x}}(t)$. Пусть $t_{p-1}<t\leqslant t_p$. Из соображений монотонности получаем $\sigma_{n,\mathbf{x}}(t)\leqslant\sigma_{n,\mathbf{x}}(t_p)$, а поскольку $\sigma_{n,\mathbf{x}}(t_p)$ равно общему количеству построенных блоков до элемента ${t_p}$ и поскольку в каждом $i$-м участке количество блоков равно ${3}\sqrt{t_i}/{4}$, то, следовательно, получаем оценку
$$
\begin{equation}
\sigma_{n,\mathbf{x}}(t)\leqslant\sigma_{n,\mathbf{x}}(t_p)\leqslant \frac{3}{4}\sum_{i=0}^p \sqrt{t_i}=\frac{3}{4}\sum_{i=0}^p \frac{\sqrt{t_p}}{2^i}<\frac{3}{2}\sqrt{t_p}.
\end{equation}
\tag{13.18}
$$
Подставляя оценки (13.15) и (13.18) в (8.14) и заменяя $\varphi_{n,\mathbf{x}}(t)$ на $\varphi^{\mathrm{tot}}_{n,p-1}(t_{p-1})$, при $X_t=D_t$ для $t_{p-1}<t\leqslant t_p$ получаем
$$
\begin{equation}
\frac{\langle X_t\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{x}}(t)}}\leqslant \frac{(\gamma_n+\varepsilon)^{\sigma_{n,\mathbf{x}}(t)}}{(c^{(n)})^{\varphi_{n,\mathbf{x}}(t)}} \leqslant\frac{(\gamma_n+\varepsilon)^{(3/2)\sqrt{t_p}}}{(c^{(n)})^{\sqrt{t_{p-1}}}} \leqslant 2\biggl(\frac{(\gamma_n+\varepsilon)^{3/2}}{c^{(n)}}\biggr)^{\sqrt{t_p}}.
\end{equation}
\tag{13.19}
$$
Конечно, для применения первого из неравенств в (13.19) необходимо убедиться в том, что последовательность $X_t$ составлена из “отрезков” вида $(1,1,\dots,1)$ и $(1,n,1,n,\dots,1,n)$, имеющих достаточно большую длину. Это условие проверяется сравнением формул (13.3) и (13.12), из которых следует, что для каждого $i\leqslant p$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, k=r_n=\frac{\kappa_1^{(n)}-1}{n-1}\sqrt{t_i}+O(1), \\ \sqrt{t_i}-2k=\biggl(1-2\frac{\kappa_1^{(n)}-1}{n-1}\biggr)\sqrt{t_i}+O(1)= \frac{n-2\kappa_1^{(n)}+2}{n-1}\sqrt{t_i}+O(1). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому из условий, наложенных на числа $t_i$, следует, что $k\geqslant n^5$, $\sqrt{t_i}-2k\geqslant n^5$, что и требуется в условиях леммы 8.2. Нетрудно видеть, что при всех $n\geqslant 5$ выполнено неравенство $(\gamma_n+\varepsilon)^{{3}/{2}}<c^{(n)} $, поэтому выражение в итоговой части (13.19) стремится к нулю. Следовательно, $?'(\mathbf{x})=0$. Второе утверждение теоремы 1.1 доказано. 13.2. Доказательство второго утверждения теоремы 1.2Будем искать $\mathbf{x}$ в виде $\mathbf{x}=[x_1,\dots,x_t,\dots]$, где коэффициенты $x_1,\dots,x_t,\dots$ будут подобраны специальным образом. Для этого разобьем последовательность $(x_1,x_2,\dots,x_t,\dots)$ на счетное число участков – участок под номером $i$ будет иметь вид $(x_{t_i/4+1},\dots,x_{t_i})$, где $t_0=10^{10}$ и $t_i=4^it_0$ при натуральном $i$. Начальный участок $(x_1,\dots,x_{t_0/4})$ будет состоять изо всех четверок. Ввиду того, что $t_0$ – абсолютная константа, это не повлияет на величину производной. Таким образом, $i$-й участок состоит из $({3}/{4})t_i$ неполных частных. Нам будут удобны следующие понятия: для каждого $i$ назовем локальным отклонением величину
$$
\begin{equation*}
\varphi^{\mathrm{loc}}_i(j)=\kappa_2j-\sum_{m=1}^j a_{t_i/4+m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Разумеется, $t_i/4+j$ должно не превосходить $t_i$. Далее, назовем величину
$$
\begin{equation*}
\varphi^{\mathrm{full}}_i=\varphi^{\mathrm{loc}}_i\biggl(\frac{3}{4}t_i\biggr)=\kappa_2 \frac{3}{4}t_i-\sum_{m=1}^{3/4t_i} a_{t_i/4+m}
\end{equation*}
\notag
$$
полным отклонением $i$-го участка. Наконец, величину
$$
\begin{equation*}
\varphi^{\mathrm{tot}}_i(j)=\kappa_2 \biggl(t_i+j-\frac{t_0}4\biggr) -\sum_{m=t_0/4+1}^{t_i+j} a_{m}=\varphi^{\mathrm{loc}}_i(j)+ \sum_{m=0}^{i-1} \varphi^{\mathrm{full}}_m
\end{equation*}
\notag
$$
назовем накопленным отклонением в данной точке $j$. Приступим к построению $i$-го участка. Он будет состоять из $7.5\sqrt{t_i}$ (нетрудно видеть, что это целое число) блоков длины $0.1\sqrt{t_i}$ каждый. Каждый блок будет иметь следующую структуру:
$$
\begin{equation}
(\,\underbrace{5,5,\dots,5}_{k \text{ чисел}},\underbrace{4,4,\dots,4}_{0.1\sqrt{t_i}{-}k\text{ чисел}}\!\!\!\!)
\end{equation}
\tag{13.20}
$$
При этом число $k$ будет зависеть как от номера участка $i$, так и от номера блока $m$. Пусть $c$ – положительная константа, значение которой мы определим в конце доказательства теоремы. Лемма 13.4. Для любого $i\geqslant 1$ существует вариант построения $i$-го участка, удовлетворяющий следующему условию: при всех натуральных $m$, не превосходящих $7.5\sqrt{t_i}$, выполнено неравенство В частности, Доказательство. Воспользуемся индукцией по $m$. Для $m=1$ надо оценить локальное отклонение по одному блоку вида (13.20). Варьируя $k$ от $0$ до $0.1\sqrt{t_i}$, будем получать блоки с отклонением от $0.1(\kappa_2-5)\sqrt{t_i}$ (минимум) до $0.1(\kappa_2-4)\sqrt{t_i}$ (максимум). Поскольку при изменении $k$ на $1$ отклонение изменяется на $1$, мы сможем найти такое $k$, чтобы локальное отклонение $\varphi^{\mathrm{loc}}_i(\sqrt{t_i})$ приближенно равнялось числу $c$, причем абсолютная погрешность не превосходит $1$. Далее действуем аналогично. Если
$$
\begin{equation*}
\bigl|\varphi^{\mathrm{loc}}_i(0.1(m-1)\sqrt{t_i})-c(m-1)\bigr|<1,
\end{equation*}
\notag
$$
по тем же соображениям строим $m$-й блок так, чтобы выполнялось неравенство (13.21). Лемма доказана. Лемма 13.5. Построенный в лемме 13.4 участок обладает следующим свойством: для произвольного $0<\alpha\leqslant0.75$, такого что $j=\alpha t_i\in\mathbb{N}$, выполнено неравенство Доказательство. Пусть $j=\alpha t_i$ кратно $0.1\sqrt{t_i}$, иначе говоря, конечная последовательность состоит в точности из $m=10\alpha\sqrt{t_i}$ блоков. Поскольку по лемме 13.4 имеем
$$
\begin{equation}
cm-1<\varphi^{\mathrm{loc}}_i(0.1m\sqrt{t_i})<cm+1,
\end{equation}
\tag{13.24}
$$
то, подставляя в (13.24) значение $m=10\alpha\sqrt{t_i}$, получаем
$$
\begin{equation}
10c\alpha\sqrt{t_i}-1<\varphi^{\mathrm{loc}}_i(\alpha t_i)<10c\alpha\sqrt{t_i}+1.
\end{equation}
\tag{13.25}
$$
Заметим также, что, подставляя $m$ и $m+1$ в (13.24), можно получить
$$
\begin{equation*}
\varphi^{\mathrm{loc}}_i(0.1m\sqrt{t_i})-\varphi^{\mathrm{loc}}_i \bigl(0.1(m-1)\sqrt{t_i}\bigr)=O(1),
\end{equation*}
\notag
$$
что эквивалентно
$$
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{0.1\sqrt{t}} x_{t_i/4+0.1m\sqrt{t_i}+n}=0.1\kappa_2\sqrt{t}+O(1).
\end{equation}
\tag{13.26}
$$
Пусть теперь $j$ представимо в виде $j=0.1m\sqrt{t_i}+r$, где $0<r<0.1\sqrt{t_i}$. Тогда
$$
\begin{equation}
\varphi^{\mathrm{loc}}_i(j)=\varphi^{\mathrm{loc}}_i(0.1m\sqrt{t_i})+\kappa_2r- \sum_{n=1}^r x_{t_i/4+0.1m\sqrt{t_i}+n}.
\end{equation}
\tag{13.27}
$$
При этом согласно (13.25) первое слагаемое в правой части (13.27) оценивается как $10c\alpha\sqrt{t_i}$ с абсолютной погрешностью не более $1$. Оценим величину
$$
\begin{equation}
\kappa_2r-\sum_{n=1}^r x_{t_i/4+0.1m\sqrt{t_i}+n}.
\end{equation}
\tag{13.28}
$$
Из структуры блока $(x_{t_i/4+0.1m\sqrt{t_i}+1},\dots,x_{t_i/4+(m+1)0.1\sqrt{t_i}})$ легко видеть, что величина (13.28) минимальна, когда $r=r_5$, где $r_5$ равно количеству неполных частных в блоке, равных $5$. Заметим также, что величина (13.28) максимальна при $r=0.1\sqrt{t_i}$, т. е. на конце блока. Обозначим через $r_4$ количество неполных частных блока, равных $4$. Из (13.26) получаем, что $r_4+r_5=0.1\sqrt{t_i}$ и $4r_4+5r_5=0.1\kappa_2\sqrt{t_i}+O(1)$. Отсюда $r_5=0.1(\kappa_2-4)\sqrt{t}+O(1)$. Поэтому
$$
\begin{equation}
\kappa_2r_5-\biggl(\sum_{n=1}^{r_5} x_{t_i/4+0.1m\sqrt{t_i}+n}\biggr)=(\kappa_2-5)r_5=-0.1(5-\kappa_2)(\kappa_2-4)\sqrt{t_i}+O(1).
\end{equation}
\tag{13.29}
$$
Объединяя (13.25), (13.27) и (13.29), завершаем доказательство леммы. Используя леммы 13.4 и 13.5, несложно получить оценку для накопленного отклонения. Лемма 13.6. Для любого $i\geqslant 0$, для произвольного $\alpha$ из интервала $0<\alpha\leqslant0.75$, и такого что $j=\alpha t_i\in\mathbb{N}$, для любого $\varepsilon>0$ и для всех достаточно больших $t$ выполнено неравенство Доказательство. Воспользуемся тождеством
$$
\begin{equation}
\varphi^{\mathrm{tot}}_i(j)= \varphi^{\mathrm{loc}}_i(j)+ \sum_{m=0}^{i-1}\varphi^{\mathrm{full}}_i.
\end{equation}
\tag{13.31}
$$
Согласно (13.22) справедливы соотношения
$$
\begin{equation}
\sum_{m=0}^{i-1}\varphi^{\mathrm{full}}_i= \sum_{m=0}^{i-1} \bigl(7.5c\sqrt{t_m}+O(1)\bigr)= 7.5c\sum_{m=1}^{i}\biggl(\frac{\sqrt{t_i}}{2^m}\biggr)+O(\log t_i)= (7.5c+\varepsilon)\sqrt{t_i}.
\end{equation}
\tag{13.32}
$$
Подставляя в (13.31) равенство (13.32) и оценку (13.23), получаем утверждение леммы. Теперь нам надо найти такую оценку снизу на $c$, чтобы выполнялось равенство (2.5). (Поскольку по построению $\mathbf{x}\in \mathbf{E}_5$, то для выполнения (2.5) достаточно формулы (2.6).) Для этого оценим сверху величину $\sigma_{\mathbf{x},2}(t)$. Пусть $t=t_i/4+\alpha t_i$, где $0<\alpha\leqslant0.75$. Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\sigma_{\mathbf{x},2}(t)< \sigma_{\mathbf{x},2}\biggl(\frac{t_i}4\biggr) + \frac{\alpha t_i}{0.1\sqrt{t_i}}+1= \sigma_{\mathbf{x},2}\biggl(\frac{t_i}4\biggr)+ 10\alpha\sqrt{t_i}+1.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом величина $\sigma_{\mathbf{x},2}(t_i/4)$ оценивается сверху следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\sigma_{\mathbf{x},2}\biggl(\frac{t_i}4\biggr)= 7.5\sum_{m=0}^{i-1} \sqrt{t_m}= 7.5\sum_{m=1}^i \frac{\sqrt{t_i}}{2^m}<7.5\sqrt{t_i}.
\end{equation*}
\notag
$$
Итого,
$$
\begin{equation}
\sigma_{\mathbf{x},2}(t)<(7.5+10\alpha)\sqrt{t_i}+1.
\end{equation}
\tag{13.33}
$$
Подставляя оценки (13.30) и (13.33) в (8.14) и заменяя $\varphi_{\mathbf{x},2}(t)$ на $\varphi^{\mathrm{tot}}_i(\alpha t_i)$, при $X_t=D_t$ получаем для $t=t_i/4+\alpha t_i$ оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\langle X_{t}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{\mathbf{x}}(t)}}&> (\gamma-\varepsilon)^{\sigma_{\mathbf{x},2}(t)}\lambda^{\varphi_{\mathbf{x},2}(t)} \\ &> (\gamma-\varepsilon)^{(7.5+10\alpha+\varepsilon)\sqrt{t_i}}\lambda^{(7.5c+10c\alpha - ((\kappa_2-4)(5-\kappa_2))/10-\varepsilon)\sqrt{t_i}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, достаточно показать, что при всех $0\leqslant\alpha\leqslant0.75$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
(\gamma-\varepsilon)^{7.5+10\alpha}\lambda^{7.5c+10c\alpha-0.1(\kappa_2-4)(5-\kappa_2)}>1.
\end{equation}
\tag{13.34}
$$
Преобразуя (13.34), получаем
$$
\begin{equation}
\bigl((\gamma-\varepsilon)^{7.5}\lambda^{-0.1(\kappa_2-4)(5-\kappa_2)}\lambda^{7.5c}\bigr) \bigl((\gamma-\varepsilon)\lambda^{c}\bigr)^{10\alpha}>1.
\end{equation}
\tag{13.35}
$$
Логарифмируя по отдельности каждый из двух множителей в (13.35), получаем, что достаточно проверить следующие два неравенства:
$$
\begin{equation}
7.5c\log\lambda>0.1(\kappa_2-4)(5-\kappa_2)\log\lambda- 7.5\log(\gamma-\varepsilon),
\end{equation}
\tag{13.36}
$$
$$
\begin{equation}
c>-\frac{\log(\gamma-\varepsilon)}{\log\lambda}=0.01209\dots\,.
\end{equation}
\tag{13.37}
$$
Решая (13.36), находим, что при всех достаточно малых $\varepsilon$ должно быть
$$
\begin{equation}
c>\frac{0.1(\kappa_2-4)(5-\kappa_2)}{75}-\frac{\log(\gamma-\varepsilon)}{\log\lambda}= 0.015292\dots\,.
\end{equation}
\tag{13.38}
$$
Неравенство (13.37) также автоматически выполняется при выполнении оценки (13.38). Таким образом, при $c=0.015293$ равенство (2.5) выполняется. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\varphi^{\mathrm{tot}}_i(\alpha t_i)<(7.5c+10c\alpha)\sqrt{t_i}= \biggl(\frac{7.5c}{\sqrt{\alpha}}+10c\sqrt{\alpha}\biggr)\sqrt{\alpha t_i}.
\end{equation}
\tag{13.39}
$$
Сумма в круглых скобках в итоговой части в (13.39) максимальна при $\alpha=0.75$; в этом случае получаем неравенство (1.20):
$$
\begin{equation*}
\varphi^{\mathrm{tot}}_i(\alpha t_i)<10\sqrt{3}\,c\sqrt{\alpha t_i}<0.26489\sqrt{\alpha t_i}.
\end{equation*}
\notag
$$
Второе утверждение теоремы 1.2 доказано.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GayKan21} |
|
||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|