| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Критерии П. В. Парамоновab a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет b Санкт-Петербургский государственный университет
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9036 
Реферативные базы данных:
    § 1. Введение. Основной результатИстории вопроса мы будем касаться по мере изложения. Подробно она представлена в обзоре [1], а также в недавней статье [2], продолжением которой является настоящая работа. При фиксированном $N \in \{3, 4, \dots\}$ пусть
$$
\begin{equation*}
L(\mathbf{x})=\sum_{i, j=1}^N c_{i j} x_{i} x_{j},\qquad\mathbf{x}=(x_1, \dots, x_N) \in \mathbb{R}^N,
\end{equation*}
\notag
$$
– произвольный однородный полином второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами $c_{i j}=c_{ji}$, удовлетворяющий условию эллиптичности: $L(\mathbf{x})\neq 0$ при всех $\mathbf{x} \neq 0$. С полиномом $L(\mathbf{x})$ ассоциируется эллиптический дифференциальный оператор
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}=\sum_{i, j=1}^N c_{i j}\frac{\partial^2}{\partial x_{i}\, \partial x_{j}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Основной пример: лапласиан $\Delta$ в $\mathbb{R}^N$. Для открытого множества $U \neq \varnothing$ в $\mathbb{R}^N$ положим $\mathcal{A}_\mathcal{L}(U)=\{f \in C^2(U)\mid \mathcal{L} f=0\text{ в }U\}$. Функции этого класса назовем $\mathcal{L}$-аналитическими в $U$. Хорошо известно, что $\mathcal{A}_\mathcal{L}(U)\subset C^{\infty}(U)$ (см., например, [3; теорема 4.4.1]). Обозначим через $\operatorname{BC}^1(U)$ ($U \neq \varnothing$ открыто в $\mathbb{R}^N$) пространство комплекснозначных функций $f$ класса $C^1(U)$ c конечной нормой где $\|g\|_E=\sup_{\mathbf{x}\in E}|g(\mathbf{x})|$ – равномерная норма ограниченной (вектор-) функции $g$ на множестве $E \neq \varnothing$ (при $U=\mathbb{R}^N=E$ соответственно пишем $\operatorname{BC}^1$, $\|f\|_{1}$, $\|g\|$). Через $\omega(g,{\cdot}\,)$ будет обозначаться модуль непрерывности ограниченной (вектор-) функции $g$ на $\mathbb{R}^N$.Пусть $X \neq \varnothing$ – компакт в $\mathbb{R}^N$, $f\in \operatorname{BC}^1$. Основной вопрос, рассматриваемый в настоящей работе, состоит в следующем. При каких условиях, налагаемых на $\mathcal{L}$, $X$ и $f$, существует последовательность $\{f_m\}^{+\infty}_{m=1}\subset \operatorname{BC}^1$ такая, что каждая из функций $f_m$ является $\mathcal{L}$-аналитической в (своей) окрестности компакта $X$ и $\|f-f_m\|_1 \to 0$ при $m\to+\infty$? Класс всех функций $f\in \operatorname{BC}^1$ с указанным условием приближаемости обозначим через $\mathcal{ A}^1_\mathcal{L}(X)$. Нетрудно показать, что всегда выполняется включение $\mathcal{A}^1_\mathcal{L}(X) \subset C^1_\mathcal{L}(X) := \operatorname{BC}^1 \cap \mathcal{A}_\mathcal{L}(X^{\circ})$ (где $E^{\circ}$ – внутренность множества $E$; при $X^{\circ}=\varnothing$ полагаем $C^1_\mathcal{L}(X) := \operatorname{BC}^1$), поэтому естественно возникает так называемая задача об аппроксимации для классов функций: Для каких $X$ выполняется равенство $\mathcal{A}^1_\mathcal{L}(X)= C^1_\mathcal{L}(X)$? Отметим, что аналогичные аппроксимационные задачи в пространствах $\operatorname{BC}^s$ решены при всех $s>0$, $s \neq 1$ (см. работы А. Г. О’Фаррелла [4], Дж. Вердеры [5] и автора [6], а также обзорную статью [1]). Открытый шар в $\mathbb{R}^N$ с центром $\mathbf{a}$ и радиусом $r>0$ будем обозначать через $B(\mathbf{a},r)$; при этом для $B=B(\mathbf{a},r)$ и $\lambda>0$ через $\lambda B$ обозначается шар $B(\mathbf{a},\lambda r)$. Положительные параметры (постоянные), которые могут зависеть только от $N$ и $\mathcal{L}$ будем обозначать через $A_0,A_1,\dots$; значения постоянной $A>0$ могут дополнительно зависеть от параметров $k$ и $\|\nabla \varphi_1\|$ из теорем 1.1 и 3.1 (кроме того, $A$ может быть различной в разных соотношениях). Для $L(\mathbf{x})=\sum_{i, j=1}^N c_{i j} x_{i} x_{j}$, $f\in C(\mathbb{R}^N)$ и шара $B=B(\mathbf{a}, r)$ определим так называемую $\,L$-осцилляцию функции $f$ на $B$ (см. [6]):
$$
\begin{equation*}
\mathcal{O}^L_{B} (f)=\frac{1}{\sigma(\partial B)}\int_{\partial B} f(\mathbf{x}) \frac{L(\mathbf{x}-\mathbf{a})}{r^2}\, d\sigma_\mathbf{x}-\frac{\sum_{j=1}^N c_{j j}}{N|B|} \int_B f(\mathbf{x})\, d\mathbf{x},
\end{equation*}
\notag
$$
где $|B|$ – мера Лебега шара $B$ в $\mathbb{R}^N$, а $\sigma$ – поверхностная мера Лебега на $\partial B$. Так, при $L(\mathbf{x})=\sum_{j=1}^N x_{j}^2$ (т. е. $\mathcal{L}=\Delta$) имеем
$$
\begin{equation*}
\mathcal{O}^L_{B} (f)=\frac{1}{\sigma(\partial B)}\int_{\partial B} f(\mathbf{x})\, d\sigma_\mathbf{x}-\frac{1}{|B|} \int_B f(\mathbf{x})\, d\mathbf{x}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\Phi_\mathcal{L}(\mathbf{x})$ – стандартное фундаментальное решение для уравнения $\mathcal{L}u=0$, вещественно аналитическое в $\mathbb{R}^N \setminus\mathbf{0}$ и однородное порядка $2-N$ (см. [3; теорема 7.1.20] и следующее за этой теоремой замечание). Нам потребуется следующая $\mathcal{L}C^1$-емкость, связанная с оператором $\mathcal{L}$ и пространством $\operatorname{BC}^1$. Для любого ограниченного множества $E \subset \mathbb{R}^N$ положим
$$
\begin{equation}
\alpha_{1 \mathcal{L}}(E) =\sup_{T} \{| \langle T, 1\rangle|\colon \operatorname{Spt}(T) \subset E,\, \Phi_\mathcal{L} * T \in \operatorname{BC}^1,\, \|\nabla \Phi_\mathcal{L} * T\|\leqslant 1\},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $\langle T, \varphi \rangle$ означает действие распределения $T$ на функцию $\varphi \in C^{\infty}$ и ${\operatorname{Spt}} (T)$ – носитель распределения (функции, меры) $T$; конечно, $\alpha_{1\mathcal{L}}(\varnothing)=0$. Сформулируем основной результат настоящей работы. Пусть $X \neq \varnothing$ – компакт в $\mathbb{R}^N$, $f\in \operatorname{BC}^1$. Без ограничения общности, мы будем считать, что ${\operatorname{Spt}} (f)$ – компакт, т. е. $f \in C^1_0(\mathbb{R}^N)$. Теорема 1.1. Следующие условия эквивалентны: (a) $f \in \mathcal{A}^1_\mathcal{L}(X)$; (b) найдутся $k \geqslant 1$ и функция $\omega (\,{\cdot}\,)\colon [0, +\infty) \to [0, +\infty)$ такие, что $\omega (r)\to 0$ при $r\to 0+$ и для каждого шара $B(\mathbf{a}, r)$ справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
\bigl|\mathcal{O}^L_{B(\mathbf{a}, r)} (f) \bigr| \leqslant \omega (r)r^{2-N} \alpha_{1\mathcal{L}} (B(\mathbf{a}, kr)\setminus X);
\end{equation*}
\notag
$$
(c) свойство (b) верно при $k=1$ и $\omega (r)=A\omega (\nabla f,r)$ (здесь $A=A(N, \mathcal{ L})$). При $N=2$ этот результат получен в [2]. Важным следствием теоремы 1.1 является следующий новый критерий $C^1$-$\mathcal{L}$-приближаемости для классов функций, который доказывается аналогично полученному в [7; теорема 6.1] критерию для гармонических функций. Следствие 1.1. Для всех рассматриваемых операторов $\mathcal{L}$ в $\mathbb{R}^N$ и компактов $X \subset \mathbb{R}^N$ следующие условия эквивалентны: (a) $\mathcal{A}^1_\mathcal{L}(X)=C^1_\mathcal{L}(X)$; (b) $\alpha_{1\mathcal{L}}(D\setminus X^{\circ})=\alpha_{1\mathcal{L}}(D\setminus X)$ для всякого ограниченного открытого множества $D$ в $\mathbb{R}^N$; (c) найдутся $A>0$ и $k\geqslant 1$ такие, что для всякого шара $B(\mathbf{a},\delta)$ имеем В § 2 приводятся необходимые предварительные сведения и кратко обсуждаются свойства емкостей $\alpha_{1 \mathcal{L}}(E)$. В § 3 доказывается теорема 1.1 (и даже более общая теорема 3.1). В § 4 устанавливается ряд метрических свойств емкостей $\alpha_{1 \mathcal{L}}$ и тесно связанных с ними соответствующих $\operatorname{Lip}^1$- и $\operatorname{Lip}^1_+$-емкостей, а также обсуждаются открытые вопросы, связанные с этими емкостями. § 2. Предварительные результатыСледующая лемма доказана в [6]. Лемма 2.1. При $\mathbf{a} \in \mathbb{R}^N$ и $r\in (0, +\infty)$ пусть $\psi_r^\mathbf{a}(\mathbf{x})=(r^2-|\mathbf{x}-\mathbf{a}|^2)/(2N|B|)$ в $B=B(\mathbf{a}, r)$ и $\psi_r^\mathbf{a}(\mathbf{x})=0$ вне $B(\mathbf{a}, r)$. Тогда для всех $\varphi \in C^{\infty} (\mathbb{R}^N)$ справедливо равенство т. е. действие $\langle \mathcal{L} \psi_r^\mathbf{a}, \varphi \rangle$ распределения $\mathcal{L} \psi_r^\mathbf{a}$ на функцию $\varphi$ совпадает с $\mathcal{O}^L_{B} (\varphi)$, и оно может быть продолжено по непрерывности на все функции $\varphi \in C(\mathbb{R}^N)$. При $\varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R}^N)$ определим локализационный оператор $\mathcal{V}_\varphi$ типа Витушкина [8], [5], соответствующий оператору $\mathcal{L}$:
$$
\begin{equation}
f \mapsto \mathcal{V}_\varphi(f) =\Phi_\mathcal{L}* (\varphi \mathcal{L} f) ,\qquad f\in L_{\mathrm{Loc}}^1(\mathbb{R}^N).
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Нам потребуется одно новое свойство этого оператора, связанное с его возможным продолжением на более широкий класс “индексов” $\varphi$ при $f \in C^1_0(\mathbb{R}^N)$. Лемма 2.2. Фиксируем произвольную функцию $\varphi\in C^1(\overline{B(\mathbf{a},r)})$, $\varphi=0$ вне $B(\mathbf{a},r)$ ($\varphi \in \operatorname{Lip}^1 (\mathbb{R}^N)$). Тогда для любой функции $f \in C^1_0(\mathbb{R}^N)$ выполняются следующие свойства: (a) функция $\mathcal{V}_\varphi(f) \in C^1({\mathbb{R}}^N)$ корректно определена и
$$
\begin{equation*}
\|\nabla (\mathcal{V}_\varphi(f))\|\leqslant A_0\omega (\nabla f, r)\|\nabla\varphi\|r;
\end{equation*}
\notag
$$
(b) $\operatorname{Spt}(\mathcal{L} \mathcal{V}_{\varphi} (f)) \subset \operatorname{Spt} (\mathcal{L} f) \cap \operatorname{Spt} (\varphi)$; (c) если $f \in C^2(\mathbb{R}^N)$, то $\mathcal{L} (\mathcal{V}_{\varphi}(f))=\varphi \mathcal{L} f$. Полное доказательство этой леммы приведено в [2; лемма 2.2] для двумерного случая. Оно дословно переносится и на произвольные размерности (см. также [9; лемма 3.4]). Из вещественной аналитичности в $\mathbb{R}^N \setminus\mathbf{0}$ и однородности порядка $2-N$ фундаментального решения $\Phi_\mathcal{L}$ вытекают следующие оценки:
$$
\begin{equation*}
|\partial^\beta\Phi_\mathcal{L}(\mathbf{x})| \leqslant |A_1|^{|\beta|} \beta! \, |\mathbf{x}|^{2-N-|\beta|},
\end{equation*}
\notag
$$
где для $N$-индекса ${\beta}=(\beta_1, \ldots, \beta_N)$, $\beta_j\in \mathbb{Z}_{+} :=\{0,1,2,\dots\}$, как всегда $|\beta|=\beta_1+ \cdots +\beta_N$, $\beta!=\beta_1!\cdots \beta_N!$, $\mathbf{x}^\beta=x_1^{\beta_1}\cdots x_N^{\beta_N}$ и
$$
\begin{equation*}
\partial^\beta g(\mathbf{x})=\frac{\partial^{|\beta|} g(\mathbf{x})}{\partial x_1^{\beta_1} \cdots \partial x_N^{\beta_N}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нам понадобится следующий упрощенный вариант теоремы о разложении $\Phi_\mathcal{L}$-потенциалов в ряды типа Лорана (см., например, [10]). Лемма 2.3. Положим $A_2= 2A_1+1$. Пусть $T$ – распределение с компактным носителем в шаре $B(\mathbf{a},r)$ и пусть $g=\Phi_\mathcal{L}*T \in C^1(\mathbb{R}^N)$. Тогда на множестве $\{\mathbf{x}\in \mathbb{R}^N\mid |\mathbf{x}-\mathbf{a}|>A_2r \}$ справедливо разложение Доказательство этой леммы вытекает из указанных выше свойств функций $\Phi_\mathcal{L}$ и оценок (2.3) в приведенной ниже лемме (при $E=B(\mathbf{a},r)$). Отметим, что в лемме 2.3 коэффициент $c_{0}(g)=c_{(0, \dots, 0)}(g,\mathbf{a})$ не зависит от $\mathbf{a}$, и при $c_{0}(g)=0$ коэффициенты $c_{\beta}(g,\mathbf{a})$ не зависят от $\mathbf{a}$ при $|\beta|=1$. Для класса функций $\mathcal{I}$ и числа $\tau\geqslant 0$ обозначим через $\tau \mathcal{I}$ класс $\{\tau g\colon g\in \mathcal{I}\}$. Перепишем определение емкости $\alpha_{1 \mathcal{L}}(E)$ ограниченного множества $E$:
$$
\begin{equation*}
\alpha_{1 \mathcal{L}}(E) =\sup \{| \langle \mathcal{L}g, 1\rangle|\colon g \subset \mathcal{I}_{1 \mathcal{L}}(E)\},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathcal{I}_{1 \mathcal{L}}(E)=\{ \Phi_\mathcal{L} * T\mid \operatorname{Spt} (T) \subset E,\, \Phi_\mathcal{L} * T \in \operatorname{BC}^1,\,\|\nabla \Phi_\mathcal{L} * T\|\leqslant 1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $\alpha_{1 \mathcal{L}}$ является монотонной функцией множеств, инвариантной относительно сдвигов и однородной порядка $N-1$ относительно гомотетий с положительными коэффициентами. В частности, $\alpha_{1\mathcal{L}}(B(\mathbf{a}, r))=A(N, \mathcal{L}) r^{N-1}$. Другие метрические свойства этой емкости, а также связанной с ней $\operatorname{Lip}^1$-емкости, мы обсудим в конце статьи: в доказательствах наших основных результатов они не потребуются. Доказательство следующей леммы стандартно (см., например, доказательства леммы 3.3 и следствия 3.4 из [7]). Лемма 2.4. Пусть $E\subset B(\mathbf{a},r)$ и $g\in \mathcal{I}_{1 \mathcal{L}}(E)$. Тогда В обозначениях леммы 2.3 далее полагаем
$$
\begin{equation}
\mathbf{c}^1 (g, \mathbf{a})=\bigl(c_{(1,0,\dots,0)}(g, \mathbf{a}), \dots, c_{(0,\dots,0,1)}(g, \mathbf{a})\bigr)=\bigl(c^1_1(g,\mathbf{a}), \dots, c^1_N(g,\mathbf{a})\bigr).
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
§ 3. Доказательство теоремы 1.1Фиксируем произвольную четную неотрицательную функцию $\varphi_1$ из $C(\mathbb{R}^N)\cap C^1(\overline{B(\mathbf{0},1)})$ с условиями $\operatorname{Spt}\varphi_1 \subset \overline{B(\mathbf{0},1)}$ и $\int\varphi_1(\mathbf{x})\, d\mathbf{x} =1$. Пусть $\varphi_r^\mathbf{a}(\mathbf{x})=r^{-N} \varphi_1((\mathbf{x}-\mathbf{a})/r)\,$ и $\varphi_r =\varphi_r^\mathbf{0}$. Тогда $\|\nabla \varphi_r^\mathbf{a}\|=r^{-N-1}\|\nabla \varphi_1\|$. Теорема 1.1 является частным случаем следующего результата. Теорема 3.1. Для произвольного компакта $X$ в $\mathbb{R}^N$ и $f\in C^1_0(\mathbb{R}^N)$ следующие условия эквивалентны: (a) $f \in \mathcal{A}^1_\mathcal{L}(X)$; (b) найдутся $k \geqslant 1$ и функция $\omega (r)\to 0$ при $r\to 0+$ такие, что для всякого шара $B=B(\mathbf{a}, r)$ имеем
$$
\begin{equation}
\biggl|\sum_{i, j=1}^N c_{i j}\int_{B(\mathbf{a}, r)} \frac{\partial}{\partial x_i} f (\mathbf{x})\, \frac{\partial}{\partial x_j} \varphi_r^\mathbf{a} (\mathbf{x})\, d \mathbf{x} \biggr| \leqslant \omega (r) r^{-N}\alpha_{1\mathcal{L}} (B(\mathbf{a}, kr)\setminus X);
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
(c) свойство (b) верно при $k=1$ и $\omega (r)=A\omega (\nabla f, r)$, $A=A(\mathcal{L}, N,\|\nabla \varphi_1\|)$. При $\varphi_1=N(N+2) \psi_1^\mathbf{0}$ (см. лемму 2.1) эта теорема совпадает с теоремой 1.1. Доказательство (a) $\Rightarrow$ (c) в теореме 3.1.
Пусть $f \in \mathcal{A}^1_\mathcal{L}(X)$ и найдется последовательность $\{f_m\}^{+\infty}_{m=1}\subset \operatorname{BC}^1$ такая, что каждая функция $f_m$ является $\mathcal{L}$-аналитической в некоторой (своей) окрестности $U_m$ компакта $X$ и $\|f-f_m\|_1 \to 0$ при $m\to+\infty$. Из соображений регуляризации мы можем дополнительно потребовать, чтобы каждая $f_m \in C^{\infty}_0 (\mathbb{R}^N)$. Фиксируем произвольные $B=B(\mathbf{a}, r)$ и $\varepsilon \in (0, r/2)$. Найдется $m_{\varepsilon}\in \mathbb{N}$ такое, что для всех $m \geqslant m_{\varepsilon}$ имеем $\|f-f_m\|_1<\varepsilon$, откуда $\omega ((\nabla f- \nabla f_m), r)< 2\varepsilon$. Поэтому достаточно установить оценку
$$
\begin{equation*}
\biggl|\sum_{i, j=1}^N c_{i j}\int_{B(\mathbf{a}, r)} \frac{\partial}{\partial x_i} f_m (\mathbf{x})\, \frac{\partial}{\partial x_j} \varphi_r^\mathbf{a} (\mathbf{x})\, d \mathbf{x} \biggr| \leqslant A\omega_m (r) r^{-N} \,\alpha_{1\mathcal{L}} (B(\mathbf{a}, r)\setminus X)
\end{equation*}
\notag
$$
при $A=A(\mathcal{L}, N,\|\nabla \varphi_1\|)$ и $\omega_m (r)=\omega (\nabla f_m, r)$, и затем устремить $\varepsilon$ к $0$.
Пусть $h_m=\mathcal{V}_{\varphi}f_m$, где $\varphi(\mathbf{x})= \varphi^\mathbf{a}_{r-\varepsilon}(\mathbf{x})$. По лемме 2.2 $h_m \in \operatorname{BC}^1$, $\|\nabla h_m\| \leqslant A_0 \omega (\nabla f_m, r) r\|\nabla \varphi\|$ и $h_m$ является $\mathcal{L}$-аналитической вне некоторого компакта $E \subset B\setminus X$. Из (1.1) и леммы 2.2 интегрированием по частям получаем:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\sum_{i, j=1}^N c_{i j}\int_{B(\mathbf{a}, r)} \frac{\partial}{\partial x_i} f_m (\mathbf{x})\, \frac{\partial}{\partial x_j} \varphi(\mathbf{x})\, d \mathbf{x} \biggr|=|\langle \varphi, \mathcal{L} f_m \rangle| =|\langle \mathcal{L} h_m, 1 \rangle| \\ &\qquad\leqslant A_0 \omega (\nabla f_m, r) r\|\nabla \varphi\| \alpha_{1\mathcal{L}} (B(\mathbf{a}, r)\setminus X), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что завершает доказательство (a) $\Rightarrow$ (c), поскольку $\|\nabla \varphi\| \leqslant (2r)^{-N-1} \|\nabla \varphi_1\|$.
Поскольку (c) $\Rightarrow$ (b) очевидно, мы переходим к доказательству основной части теоремы 3.1. Доказательство (b) $\Rightarrow$ (a) в теореме 3.1. Выберем $R\,{>}\,0$ с условиями $X\,{\subset}\,B(\mathbf{0},R)$ и $f(\mathbf{x})\,{=}\,0$ при $|\mathbf{x}|>R$. В условии (3.1) мы будем всегда предполагать, что $\omega(\delta)\geqslant \omega(\nabla f,\delta)$. Фиксируем $\delta>0$ (в конце доказательства $\delta$ устремляется к $0$) и некоторое стандартное $\delta$-разбиение единицы $\{(\varphi_\mathbf{j},B_\mathbf{j})\colon \mathbf{j}=(j_1,\dots,j_N) \in \mathbb{Z}^N \}$ в $\mathbb{R}^N$. Точнее: $B_\mathbf{j}=B(\mathbf{a}_\mathbf{j},\delta)$, где $\mathbf{a}_\mathbf{j}=(j_1\delta/N, \dots, j_N\delta/N) \in \mathbb{R}^N$, $\varphi_\mathbf{j}\in C_0^\infty(B_\mathbf{j})$, $0\leqslant \varphi_\mathbf{j}(\mathbf{x})\leqslant 1$, $\|\nabla\varphi_\mathbf{j}\|\leqslant A_6/\delta$, $\sum_{\mathbf{j}\in \mathbb{Z}^N} \varphi_\mathbf{j}\equiv 1$. Рассмотрим новое разбиение единицы $\{(\psi_\mathbf{j}, B'_\mathbf{j})\}$, где $\psi_\mathbf{j}=\varphi_\delta * \varphi_\delta * \varphi_\mathbf{j}$, $B'_\mathbf{j}=B(\mathbf{a}_\mathbf{j},3\delta)$ (напомним, что $\varphi_\delta=\varphi_\delta^\mathbf{0}$). Ясно, что $\psi_\mathbf{j} \in C_0^\infty(B'_\mathbf{j})$ и $\|\nabla\psi_\mathbf{j}\|\leqslant A/\delta$. Определим так называемые локализованные функции $f_\mathbf{j}= \Phi_\mathcal{L}*(\psi_\mathbf{j} \mathcal{L}f)$. Лемма 3.1. Функции $f_\mathbf{j}$ удовлетворяют следующим свойствам: (1) $f_\mathbf{j}\in A\omega(\nabla f,\delta)\mathcal{I}_{1 \mathcal{L}}(B'_\mathbf{j}\setminus X^0)$; (2) $f=\sum_\mathbf{j} f_\mathbf{j}$ и эта сумма конечна ($f_\mathbf{j}=0$ при $B'_\mathbf{j}\cap B(\mathbf{0},R) =\varnothing$); (3) при $|\mathbf{x}-\mathbf{a}_\mathbf{j}|>3A_2 \delta$ справедливо разложение
$$
\begin{equation*}
f_\mathbf{j}(\mathbf{x})= \sum_{|\beta|\geqslant 0}c_{\beta \mathbf{j}}\partial^\beta\Phi_\mathcal{L}(\mathbf{x}-\mathbf{a}_\mathbf{j}),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, c_{\beta \mathbf{j}}&=(-1)^{|\beta|}(\beta !)^{-1}\langle \psi_\mathbf{j}(\mathbf{y})\mathcal{L}f(\mathbf{y}), (\mathbf{y}-\mathbf{a}_\mathbf{j})^\beta\rangle \nonumber \\ &=(-1)^{|\beta|}(\beta !)^{-1} \int f(\mathbf{y}) \mathcal{L}\bigl(\psi_\mathbf{j}(\mathbf{y})(\mathbf{y}-\mathbf{a}_\mathbf{j})^\beta\bigr) \, d\mathbf{y}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Пусть $G_\mathbf{j}=B(\mathbf{a}_\mathbf{j}, (k+2)\delta)\setminus X$. Тогда, полагая для краткости $c_{0\mathbf{j}}=c_0(f_\mathbf{j})$ и $\mathbf{c}^1_\mathbf{j}=\mathbf{c}^1(f_\mathbf{j}, \mathbf{a}_\mathbf{j})=(c^1_{1\mathbf{j}}, \dots, c^1_{N\mathbf{j}})$ (см. (2.7)), имеем оценки Доказательство. Из (b) получаем, что $f \in C^1_{\mathcal{L}}(X)$. Отсюда лемма 2.2 дает (1) и (2). Ниже мы следуем доказательству леммы 2.5 из [11].
Формула (3.2) вытекает из леммы 2.3, леммы 2.2, определения $f_\mathbf{j}$ и интегрирования по частям. Докажем (3.3). Пусть $\varphi_\mathbf{j}^* =\varphi_\delta *\varphi_\mathbf{j}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\varphi_\mathbf{j}^* \in C_0^\infty(B(\mathbf{a}_\mathbf{j},2\delta)),\quad 0\leqslant \varphi_\mathbf{j}^* \leqslant 1,\qquad \psi_\mathbf{j} =\varphi_\delta * \varphi_\mathbf{j}^*.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (3.2) при $|\beta|=0$, теоремы Фубини и неравенства (3.1) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |c_{0 \mathbf{j}}|&=\biggl|\int f(\mathbf{x}) \mathcal{L}(\varphi_\delta * \varphi_\mathbf{j}^*(\mathbf{x}))\, d\mathbf{x}\biggr| = \biggl|\sum_{i, j=1}^N c_{i j} \int \frac{\partial}{\partial x_i}f(\mathbf{x}) \, \frac{\partial}{\partial x_j}(\varphi_\delta * \varphi_\mathbf{j}^*(\mathbf{x})) \, d\mathbf{x}\biggr| \\ &=\biggl|\int_{B(\mathbf{a}_\mathbf{j},2\delta)}\biggl(\sum_{i, j=1}^N c_{i j}\int \frac{\partial}{\partial x_i}f(\mathbf{x})\, \frac{\partial}{\partial x_j}\varphi_\delta(\mathbf{x}-\mathbf{y})\, d\mathbf{x}\biggr) \varphi_\mathbf{j}^*(\mathbf{y})\, d\mathbf{y}\biggr| \\ &\leqslant A \biggl|\int_{B(\mathbf{a}_\mathbf{j},2\delta)} \varphi_\mathbf{j}^*(\mathbf{y}) \omega(\delta) \delta^{-N}\alpha_{1\mathcal{L}}\bigl(B(\mathbf{y}, k\delta)\setminus X \bigr)\,d\mathbf{y} \biggr| \leqslant A\omega(\delta) \alpha_{1\mathcal{L}}(G_\mathbf{j}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для получения оценок (3.4) заметим, что из формулы (3.2) при $|\beta|=1$ вытекает, что
$$
\begin{equation*}
c^1_{n\mathbf{j}}=-\int f(\mathbf{y}) \mathcal{L}\bigl(\psi_\mathbf{j}(\mathbf{y})(y_n-a_{n\mathbf{j}})\bigr)\, d\mathbf{y},\qquad a_{n\mathbf{j}}=\frac{j_n\delta}{N},\quad n\in \{1, \dots, N\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее устанавливаем, что функции $\psi_\mathbf{j}(\mathbf{y}) (y_n-a_{n\mathbf{j}})$ имеют форму $\varphi_\delta *\chi_{n\mathbf{j}}$, где $\chi_{n\mathbf{j}}\in C_0^\infty(B(\mathbf{a}_\mathbf{j}, 2\delta))$ и $\|\chi_{n\mathbf{j}}\|\leqslant A\delta$. Это делается аналогично [11; с. 1331] или [12; лемма 3.4] с использованием преобразования Фурье. Далее поступаем, как в доказательстве оценок (3.3). Лемма 3.1 доказана. Теперь приведем схему аппроксимации функции $f=\sum f_\mathbf{j}$, развивая соответствующие подходы из [7], [11] и [2]. Положим $\mathbf{J}=\{\mathbf{j}\in \mathbb{Z}^N\colon B'_\mathbf{j}\cap\partial X\neq \varnothing\}$. При $\mathbf{j}\notin \mathbf{J}$ по лемме 3.1, (1) $f_\mathbf{j}\in \mathcal{A}^1_\mathcal{L}(X)$, так что эти $f_\mathbf{j}$ не надо приближать. Пусть теперь $\mathbf{j}\in \mathbf{J}$. По определению $\alpha_1(G_\mathbf{j})$ (напомним, что $G_\mathbf{j}=B(\mathbf{a}_\mathbf{j}, (k+2)\delta)\setminus X$) и ввиду (3.3) найдутся функции $f_\mathbf{j}^*\in A\omega(\delta)\mathcal{I}_{1 \mathcal{L}}(G_\mathbf{j})\subset \mathcal{A}^1_\mathcal{ L}(X)$ такие, что $c_0(f_\mathbf{j}^*)=c_0(f_\mathbf{j})$. Пусть $g_\mathbf{j}=f_\mathbf{j}-f_\mathbf{j}^*$ ($f_\mathbf{j}^*= f_\mathbf{j}$, $g_\mathbf{j}\equiv 0$ при $\mathbf{j}\notin \mathbf{J}$). Тогда
$$
\begin{equation}
\|\nabla g_\mathbf{j}\| \leqslant A\omega(\delta), \qquad c_0(g_\mathbf{j})=0.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Из (2.3) (при $|\beta|=1$) для $E=G_\mathbf{j}$ и $g=f_\mathbf{j}^*$, и из (3.4) мы получаем (напомним, что $\mathbf{c}^1(g_\mathbf{j}, \mathbf{a})=\mathbf{c}^1(g_\mathbf{j})$ не зависит от $\mathbf{a}$):
$$
\begin{equation*}
|\mathbf{c}^1(g_\mathbf{j})| \leqslant A\omega(\delta)\delta\alpha_{1\mathcal{L}}(G_\mathbf{j}), \qquad \mathbf{j}\in \mathbf{J}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $p=A_2(k+2)$. Пользуясь (2.5) и (2.6) для $g=g_\mathbf{j}$ и $E=B(\mathbf{a}_\mathbf{j}, (k+2)\delta)=B^*_\mathbf{j}$, мы получаем при $|\mathbf{x}-\mathbf{a}_\mathbf{j}|>p\delta$:
$$
\begin{equation}
|\nabla g_\mathbf{j}(\mathbf{x})|\leqslant \frac{A\omega(\delta)\delta\alpha_{1\mathcal{L}}(G_\mathbf{j})} {|\mathbf{x}-\mathbf{a}_\mathbf{j}|^N} + \frac{A\omega(\delta)\delta^{N+1}}{|\mathbf{x}-\mathbf{a}_\mathbf{j}|^{N+1}}.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Введем следующие сокращенные обозначения. Напомним, что $\delta >0$ фиксировано и достаточно мало. При $\mathbf{j} \in \mathbf{J}$ положим $\alpha_\mathbf{j}=\alpha_{1\mathcal{L}}(G_\mathbf{j})$, так что все эти $\alpha_\mathbf{j}>0$. Для $\mathbf{I} \subset \mathbf{J}$ и $\mathbf{x}\in \mathbb{R}^N$ положим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, B^*_\mathbf{I}=\bigcup_{\mathbf{j}\in \mathbf{I}}B^*_\mathbf{j},\qquad G_\mathbf{I}=\bigcup_{\mathbf{j}\in \mathbf{I}}G_\mathbf{j},\qquad \alpha_\mathbf{I}=\sum_{\mathbf{j}\in \mathbf{I}} \alpha_\mathbf{j},\qquad g_\mathbf{I}=\sum_{\mathbf{j}\in \mathbf{I}} g_\mathbf{j}, \nonumber \\ \mathbf{I}'(\mathbf{x})=\{\mathbf{j} \in \mathbf{I}\colon |\mathbf{x}-\mathbf{a}_\mathbf{j}|>p\delta \}, \nonumber \\ S'_\mathbf{I}(\mathbf{x})=\sum_{\mathbf{j}\in \mathbf{I}'(\mathbf{x})} \biggl(\frac{\delta \alpha_\mathbf{j}}{|\mathbf{x}-\mathbf{a}_\mathbf{j}|^N} +\frac{\delta^{N+1}}{|\mathbf{x}-\mathbf{a}_\mathbf{j}|^{N+1}}\biggr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Введем еще $S_\mathbf{I}(\mathbf{x})=S'_\mathbf{I}(\mathbf{x})$ при $\mathbf{I}=\mathbf{I}'(\mathbf{x})$ и $S_\mathbf{I}(\mathbf{x})=S'_\mathbf{I}(\mathbf{x})+1$ при $\mathbf{I}\neq \mathbf{I}'(\mathbf{x})$. Для $\mathbf{I}\subset \mathbf{J}$, $\mathbf{i}=(i_1,\dots, i_N) \in \mathbf{I}$ и $n \in \{1,\dots, N\}$ определим $P_n(\mathbf{I},\mathbf{i})=\{\mathbf{j}\in \mathbf{I}\colon j_m\,{=}\,i_m, m \in \{1,\dots, N\},\, m \neq n\}$.
Определение 3.1. Пусть $n \in \{1,\dots, N\}$, $\mathbf{I} \subset \mathbf{J}$ и $\mathbf{i} \in \mathbf{I}$. Подмножество $\mathbf{L}_n=\mathbf{L}_n(\mathbf{i})$ из $\mathbf{I}$ назовем полной $n$-цепью в $\mathbf{I}$ с вершиной $\mathbf{i}$, если выполняются следующие условия: 1) $\mathbf{L}_n$ является $n$-направленным и связным в $\mathbf{I}$; последнее означает, что $\mathbf{L}_n \subset P_n(\mathbf{I},\mathbf{i})$, $j_n\geqslant i_n$ при всех $\mathbf{j} \in \mathbf{L}_n$, и для каждых $\mathbf{j} \in \mathbf{L}_n$ и $\mathbf{j}'\in P_n(\mathbf{I},\mathbf{i})$ с условиями $i_n \leqslant j'_n \leqslant j_n$ имеем $\mathbf{j}' \in \mathbf{L}_n$; 2) мы можем представить $\mathbf{L}_n$ в виде $\mathbf{L}_n=\mathbf{L}_n^1\cup \mathbf{L}_n^2 \cup \mathbf{L}_n^3$ со следующими свойствами: для всех $\mathbf{j}^{\theta}\in \mathbf{L}_n^{\theta}$, $\theta \in \{1,2,3\}$, имеем
$$
\begin{equation*}
j_n^1<j_n^2<j_n^3\quad \text{и} \quad |\mathbf{a}_{\mathbf{j}^1}-\mathbf{a}_{\mathbf{j}^3}|\geqslant q\delta ,
\end{equation*}
\notag
$$
где $q\geqslant 3p$, зависящее только от $\mathcal{L}$, $N$ и $k$, будет выбрано позже; 3) при $\theta=1$ и $\theta=3$ имеем $\alpha_{\mathbf{L}_n^{\theta}} \geqslant {\delta}^{N-1}$ и $\mathbf{L}_n$ минимально возможное с указанными свойствами (в частности, $\alpha_{\mathbf{L}_n} \leqslant A {\delta}^{N-1}$). Определение 3.2. Пусть $\mathbf{i} \in \mathbf{I} \subset \mathbf{J}$. Множество $\Gamma \subset \mathbf{I}$ назовем полной группой в $\mathbf{I}$ с вершиной $\mathbf{i}$, если найдутся полные $n$-цепи $\mathbf{L}_n$, $n \in \{1, \dots, N\}$, в $\mathbf{I}$ с вершиной $\mathbf{i}$ такие, что $\Gamma=\bigcup_{n=1}^N \mathbf{L}_n$. Разобьем множество индексов $\mathbf{J}$ на конечное число попарно непересекающихся множеств $\Gamma^s$, $s \in \{1, \dots, S\}$, по индукции следующим образом (отметим, что при $s \geqslant 2$ множества $\Gamma^s$ не обязательно являются группами в $\mathbf{J}$, хотя мы и будем продолжать называть их группами). Введем естественный порядок в $\mathbf{J}$: для $\mathbf{j} \neq \mathbf{j}'$ в $\mathbf{J}$ по определению положим $\mathbf{j}<\mathbf{j}'$, если найдется $n \in \{1, \dots, N\}$ такое, что $j_i=j'_i$ при всех $i<n$, но $j_n<j'_n$. Выберем минимальное $\mathbf{i}^1$ в $\mathbf{J}=\mathbf{J}^1$. Если существует полная группа $\Gamma=\bigcup_{n=1}^N \mathbf{L}_n$ в $\mathbf{J}$ с вершиной $\mathbf{i}^1$, то полагаем $\Gamma^1=\Gamma$. Если такой $\Gamma$ нет, то полагаем $\Gamma^1=P_n(\mathbf{J}, \mathbf{i}^1)$, где $n \in \{1,\dots, N\}$ – минимальный номер, для которого $\mathbf{L}_n$ не существует; в этом случае называем $\Gamma^1$ неполной $n$-группой. Если $\Gamma^1, \dots, \Gamma^s$ построены, берем $\mathbf{J}^{s+1}=\mathbf{J}\setminus (\Gamma^1\cup \dots \cup \Gamma^s)$ и делаем предыдущее построение для $\mathbf{J}^{s+1}$ вместо $\mathbf{J}^s$, определяя $\Gamma^{s+1}$ (полную на шаге $s+1$ или неполную в $\mathbf{J}^{s+1}$). Пусть $S$ – максимальный номер с условием $\mathbf{J}^S \neq \varnothing$. Фиксируем разбиение $\{\Gamma^s\}=\{\Gamma^s\}_{s=1}^S$ множества $\mathbf{J}$. Для каждой группы $\Gamma=\Gamma^s$ (полной или нет) из (3.5), (3.6) имеем:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \alpha_\Gamma\leqslant A\delta^{N-1}, \qquad c_0(g_\Gamma)=0,\qquad |\mathbf{c}^1(g_\Gamma)|\leqslant A\omega(\delta)\delta^N, \nonumber \\ |\nabla g_\Gamma(\mathbf{x})|\leqslant A\omega(\delta)S_{\Gamma}(\mathbf{x}),\qquad \|\nabla g_{\Gamma}\| \leqslant A\omega(\delta),\qquad \|S_{\Gamma}\| \leqslant A. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Доказательство последних оценок весьма просто; см., например, [7; леммы 5.6 и 5.7]. Лемма 3.2. Для каждой полной группы $\Gamma=\Gamma^s$ найдется функция $h_\Gamma\in A\omega(\delta)\mathcal{I}_{1 \mathcal{L}}(G_\Gamma)\subset \mathcal{A}^1_\mathcal{L}(X)$ такая, что и для всех $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^N$ имеем Доказательство. Здесь мы модифицируем идею доказательства леммы 2.7 из [11]. Пусть $\Gamma=\Gamma^s$ – полная группа с вершиной $\mathbf{i}$ и полными $n$-цепями $\mathbf{L}_n$, $n \in \{1,\dots,N\}$, и пусть $\mathbf{L}_n=\mathbf{L}_n^1\cup \mathbf{L}_n^2 \cup \mathbf{L}_n^3$ (как в определении 3.1 при $\mathbf{I}=\mathbf{J}^s$). Сначала построим функции $h_{\mathbf{L}_n}(\mathbf{x}) \in A\mathcal{I}_{1 \mathcal{L}}(G_{\mathbf{L}_n})$ такие, что
$$
\begin{equation*}
c_0(h_{\mathbf{L}_n})=0, \qquad \mathbf{c}^1(h_{\mathbf{L}_n})=\delta^N(\mathbf{e}_n+ \mathbf{u}_n),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbf{e}_n$ – единичный вектор в направлении оси $Ox_n$,
$$
\begin{equation}
|\nabla h_{\mathbf{L}_n}(\mathbf{x})|\leqslant AS_{\mathbf{L}_n}(\mathbf{x}),
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
$\mathbf{u}_n$ – какой-то вектор в $\mathbb{C}^N$ c условием $|\mathbf{u}_n|<\varepsilon_N$. При этом достаточно малое $\varepsilon_N$ выбирается с тем расчетом, чтобы для нахождения надлежащей линейной комбинации (с комплексными коэффициентами) функций $\{h_{\mathbf{L}_n}\}_{n=1}^N$, задающей нужную функцию $h_\Gamma$ (см. свойства (3.8)) получалась хорошо обусловленная система линейных уравнений.
Мы построим функцию $h_{\mathbf{L}_1}$, остальные $\{h_{\mathbf{L}_n}\}$ строятся аналогично. Для каждого $\mathbf{j} \in \mathbf{L}_1$ выберем $h_\mathbf{j}\in 2 \mathcal{I}_{1 \mathcal{L}}(G_\mathbf{j})$ с условием $c_0(h_\mathbf{j})=\alpha_\mathbf{j}= \alpha_{1\mathcal{L}}(G_\mathbf{j})$. Пусть $T_\mathbf{j}=\mathcal{L}h_\mathbf{j}$, так что $\alpha_\mathbf{j}=\langle T_\mathbf{j},1\rangle$. Фиксируем $\mathbf{j}^1 \in \mathbf{L}^1_1$, $\mathbf{j}^3 \in \mathbf{L}^3_1$ и при $\theta =1$ и $\theta =3$ определим
$$
\begin{equation*}
\mathbf{a}^{\theta}=\mathbf{a}_{\mathbf{j}^\theta},\quad G^\theta=G_{\mathbf{j}^\theta},\quad {\alpha}^{\theta}={\alpha}_{\mathbf{j}^\theta},\quad h^\theta=h_{\mathbf{j}^\theta}, \quad T^\theta =\mathcal{L} h^\theta.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $M=|\mathbf{a}^1-\mathbf{a}^3|/\delta$. Пусть $\lambda^1 \in (0,1)$ и $\lambda^3 \in (0,1)$ таковы, что $\lambda^1\alpha^1=\lambda^3 \alpha^3:=\alpha$. Определим
$$
\begin{equation}
h^{13}(\mathbf{x})=h^{13}(\mathbf{j}^1,\mathbf{j}^3,\lambda^1,\lambda^3, \mathbf{x})= \frac{\lambda^1h^1(\mathbf{x})-\lambda^3 h^3(\mathbf{x})}{M}.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Тогда $c_0(h^{13})=0$ и по лемме 2.3
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M \mathbf{c}^1(h^{13})&=- \langle \lambda^1 T^1(\mathbf{y})- \lambda^3 T^3(\mathbf{y}),\, \mathbf{y} \rangle \\ &= -\lambda^1\langle T^1(\mathbf{y}),(\mathbf{y}-\mathbf{a}^1) \rangle-\lambda^1\langle T^1,\mathbf{a}^1 \rangle + \lambda^3\langle T^3 (\mathbf{y}),(\mathbf{y}-\mathbf{a}^3) \rangle + \lambda^3\langle T^3,\mathbf{a}^3 \rangle \\ &=\alpha (\mathbf{a}^3 -\mathbf{a}^1)+\mathbf{R}^{13}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $|\mathbf{R}^{13}| \leqslant A\delta \alpha$, что следует из (2.3) при $|\beta|=1$.
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\mathbf{c}^1(h^{13})=\delta\alpha (\mathbf{e}_1+\mathbf{u}_1^{13}),\qquad |\mathbf{u}_1^{13}|=O\biggl(\frac1{M}\biggr).
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Ясно, что $|\nabla h^{13}(\mathbf{x})| \leqslant M^{-1}(\lambda_1|\nabla h^1(\mathbf{x})|+ \lambda_3|\nabla h^3(\mathbf{x})|)$. Более того, при всех $\mathbf{x}$ с условиями $|\mathbf{x}-\mathbf{a}^1|>p\delta$ и $|\mathbf{x}-\mathbf{a}^3|>p\delta$ ввиду (2.5) имеем
$$
\begin{equation*}
|\nabla h^{13}(\mathbf{x})| \leqslant \alpha M^{-1}|\nabla \Phi_\mathcal{L}(\mathbf{x}-\mathbf{a}^1)-\nabla \Phi_\mathcal{L}(\mathbf{x}-\mathbf{a}^3)| + A\alpha \delta (|\mathbf{x}-\mathbf{a}^1|^{-N}+|\mathbf{x}-\mathbf{a}^3|^{-N}).
\end{equation*}
\notag
$$
Откуда, пользуясь простой оценкой (при $|\mathbf{x}-\mathbf{a}^1|>p\delta$ и $|\mathbf{x}-\mathbf{a}^3|>p\delta$)
$$
\begin{equation*}
|\nabla \Phi_\mathcal{L}(\mathbf{x}-\mathbf{a}^1)-\nabla \Phi_\mathcal{L}(\mathbf{x}-\mathbf{a}^3)| \leqslant A_5|\mathbf{a}^1 -\mathbf{a}^3|(|\mathbf{x}-\mathbf{a}^1|^{-N}+|\mathbf{x}-\mathbf{a}^3|^{-N}),
\end{equation*}
\notag
$$
получаем
$$
\begin{equation}
|\nabla h^{13}(\mathbf{x})| \leqslant A\delta\alpha(|\mathbf{x}-\mathbf{a}^1|^{-N}+ |\mathbf{x}-\mathbf{a}^3|^{-N}).
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Еще заметим, что для случая, когда $|\mathbf{x}-\mathbf{a}^{\theta}|\leqslant p\delta$ ($\theta =1$ или $\theta =3$), ввиду (2.4) (и поскольку $|\mathbf{a}^3-\mathbf{a}^1|=M\delta \geqslant q\delta \geqslant 3p\delta$) имеем
$$
\begin{equation}
|\nabla h^{13}(\mathbf{x})| \leqslant \frac{\lambda^{\theta}}{p} +A\frac{\alpha\delta}{|\mathbf{x}-\mathbf{a}^{4-\theta}|^N}.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Теперь мы специальным образом просуммируем построенные функции $h^{13}=h^{13}(\mathbf{j}^1,\mathbf{j}^3,\lambda^1,\lambda^3)$. Нетрудно проверить, что для каждого $\mathbf{j}\in \mathbf{L}_1^1\cup \mathbf{L}_1^3$ найдутся $\lambda(\mathbf{j}, \kappa)$ $(\kappa \in \{1,\dots, \kappa_\mathbf{j}\}$, $\kappa_\mathbf{j} \in \mathbb{N})$ со следующими свойствами: (a) $\lambda(\mathbf{j}, \kappa)> 0$, $\sum_{\kappa=1}^{\kappa_\mathbf{j}}\lambda(\mathbf{j},\kappa) \leqslant 1$ для каждого $\mathbf{j}$; (b) между множествами индексов
$$
\begin{equation*}
\Psi^\theta=\{(\mathbf{j},\kappa)\colon \mathbf{j}\in \mathbf{L}_1^\theta,\, 1\leqslant \kappa\leqslant \kappa_\mathbf{j}\},\qquad \theta=1\text{ и }3,
\end{equation*}
\notag
$$
имеется взаимно однозначное соответствие
$$
\begin{equation*}
\Psi^1\ni (\mathbf{j}^1,\kappa^1)\quad\longleftrightarrow\quad (\mathbf{j}^3,\kappa^3)\in \Psi^3,
\end{equation*}
\notag
$$
для которого $\lambda(\mathbf{j}^1,\kappa^1)\alpha_{\mathbf{j}^1} =\lambda(\mathbf{j}^3,\kappa^3)\alpha_{\mathbf{j}^3}$;
(c) при $\theta=1$ и $\theta=3$ имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{(\mathbf{j},\kappa)\in\Psi^\theta}\lambda(\mathbf{j},\kappa)\alpha_\mathbf{j} =\delta^{N-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
h_{\mathbf{L}_1}(\mathbf{x})=\sum_{(\mathbf{j}^1,\kappa^1)\in\Psi^1} \frac{\delta}{|\mathbf{a}_{\mathbf{j}^3}-\mathbf{a}_{\mathbf{j}^1}|} \bigl(\lambda(\mathbf{j}^3,\kappa^3)h_{\mathbf{j}^3} -\lambda(\mathbf{j}^1,\kappa^1)h_{\mathbf{j}^1}\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $(\mathbf{j}^3,\kappa^3)$ соответствует $(\mathbf{j}^1,\kappa^1)$ в указанном выше смысле. Каждое слагаемое в последней сумме имеет форму (3.10) при $\lambda^\theta=\lambda(\mathbf{j}^\theta, \kappa^\theta)$. Ясно, что $c_0(h_{\mathbf{L}_1})=0$ и из (3.11) имеем
$$
\begin{equation}
\mathbf{c}^1(h_{\mathbf{L}_1})=\delta^N(\mathbf{e}_1+\mathbf{u}_1),\qquad |\mathbf{u}_1|=O\biggl(\frac1{M}\biggr).
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Оценка (3.9) (при $n=1$) следует из (3.12), (3.13) и условия (a) чуть выше.
Остается выбрать параметр $q>3p$ в определении 3.1 так, чтобы при $M\geqslant q$ в (3.14) выполнялась оценка $O(1/M)<\varepsilon_N$. Лемма 3.2 доказана. Осталось показать, что функция $\nabla f=\nabla \sum_{\mathbf{j}\in \mathbf{J}} f_\mathbf{j}$ равномерно приближается в $\mathbb{R}^N$ с точностью $A\omega(\delta)$ функцией $\nabla F$, где
$$
\begin{equation*}
F= \mathop{{\sum_{s}}'}\sum_{\mathbf{j}\in\Gamma^s} f^*_\mathbf{j}+\mathop{{\sum_{s}}''} \biggl(\sum_{\mathbf{j}\in \Gamma^s} f^*_j +h_{\Gamma^s}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
а $\sum'_{s}$ и $\sum''_{s}$ – суммирования по всем неполным и полным группам соответственно. Для доказательства последнего утверждения достаточно проверить, что для любого $\mathbf{x}\in \mathbb{R}^N$ справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
|\nabla(F(\mathbf{x})-f(\mathbf{x}))| \leqslant \mathop{{\sum_{s}}'}|\nabla g_{\Gamma^{s}}(\mathbf{x})|+ \mathop{{\sum_{s}}''}|\nabla (g_{\Gamma^{s}} (\mathbf{x})-h_{\Gamma^{s}}(\mathbf{x}))| \leqslant A\omega(\delta).
\end{equation*}
\notag
$$
После этого будет достаточно параметр $\delta$ устремить к $0$.
Теперь наша ситуация аналогична [7; с. 1359–1362]; некоторые простые детали, опущенные в дальнейшем окончании доказательства, можно найти в указанной работе. Тем не менее, мы приводим подробный план доказательства для полноты изложения и согласования обозначений. С этого места мы фиксируем $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^N$; без ограничения общности мы предполагаем, что $|\mathbf{x}|<\delta$. Все дальнейшие построения зависят от этого $\mathbf{x}$. Оценим $\mathop{{\sum_{s}}'}|\nabla g_{\Gamma^{s}}(\mathbf{x})|$. Фиксируем $n \in \{1,\dots,N\}$ и напомним, что в каждом $P_n(\mathbf{J},\mathbf{i})$ может быть не более одной неполной группы $\Gamma=\Gamma^s$ (т. е. $n$-неполной цепи $\mathbf{L}_n=\Gamma$). При $\mathbf{i}=(i_1,\dots,i_N)$ положим $\mathbf{i}'_n=(i_1,\dots,i_{n-1},i_{n+1},\dots,i_N)$. При каждом $m \in \{0,1, \dots\}$ обозначим через $\mathbf{S}_m$ совокупность всех индексов $s \in \{1,\dots,S\}$, для которых $|(\mathbf{i}^s)'_n| \in [m, m+1)$. Отсюда, ввиду (3.8) и условия (3) из определения 3.1, при $m>2p$ имеем для каждого $s \in \mathbf{S}_m$ оценку $S_{\mathbf{L}_n^{(s)}}(\mathbf{x}) \leqslant Am^{-N}$, а при $m\leqslant 2p$ оценку $S_{\mathbf{L}_n^{(s)}}(\mathbf{x}) \leqslant A$. Поскольку число элементов в $\mathbf{S}_m$ не превосходит $A(m+1)^{N-2}$, мы можем мажорировать рассматриваемую сумму $\mathop{{\sum_{s}}'}|\nabla g_{\Gamma^{s}}(\mathbf{x})|$ рядом $A\omega(\delta)\sum_{m=1}^{+\infty}m^{-2}$, что и требуется. Оценка $\mathop{{\sum_{s}}''}|\nabla (g_{\Gamma^s} (\mathbf{x})-h_{\Gamma^s}(\mathbf{x}))|$ требует больше усилий. Для каждой полной группы $\Gamma^s$ положим $\chi^s= g_{\Gamma^s}-h_{\Gamma^s}$. Ввиду (3.8) и леммы 3.2 имеем:
$$
\begin{equation}
|\nabla \chi^s(\mathbf{x})|\leqslant A\omega(\delta)S_{\Gamma^s}(\mathbf{x}),\qquad c_0(\chi^s)=0,\qquad \mathbf{c}^1(\chi^s)=0.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Остается показать, что
$$
\begin{equation*}
\mathop{{\sum_{s}}''}|\nabla \chi^s(\mathbf{x})|\leqslant A\omega(\delta).
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждой полной группы $\Gamma^s=\bigcup_{n=1}^N \mathbf{L}_n^{(s)}$ с вершиной $\mathbf{i}^s$ положим $\mathbf{a}^s=\mathbf{a}_{\mathbf{i}^s}$, $M^s_n=\operatorname{diam} \bigl(B^*_{\mathbf{L}_n^{(s)}}\bigr)/\delta$, $M^s=\max\{M^s_n\mid n\in \{1, \dots, N\}\}$. Пусть $\theta=1/(N+2)$. Разделим совокупность всех полных групп на два класса. Класс (1). Здесь берутся все полные группы $\Gamma^s$ с условием $M^s \leqslant |\mathbf{i}^s|^{\theta}$. Ясно, что последнее возможно только если
$$
\begin{equation*}
|\mathbf{x}-\mathbf{a}^s| \geqslant (|\mathbf{i}^s|-1)\delta \geqslant ((M^s)^{N+2}-1)\delta> 2pM^s\delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\chi^s\in A\omega(\delta)\mathcal{I}_{1 \mathcal{L}}(B(\mathbf{a}^s, M^s\delta))$ и выполняется (3.15), мы имеем, ввиду (2.6):
$$
\begin{equation*}
|\nabla \chi^s (\mathbf{x})| \leqslant A\omega(\delta)\frac{(M^s \delta)^{N+1}}{(|\mathbf{i}^s| \delta)^{N+1}} \leqslant A\omega(\delta) (|\mathbf{i}^s|^{-N-\theta}).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку в каждом шаровом слое $B(\mathbf{0}, (m+1)\delta)\setminus \overline{B(\mathbf{0}, m\delta)}$ ($m>p$) лежит не более $Am^{N-1}$ вершин групп, нетрудно видеть, что
$$
\begin{equation*}
{\sum_{s}}^{(1)}|\nabla \chi^s(\mathbf{x})|\leqslant A\omega(\delta)\sum_{m>p} m^{-1-\theta} \leqslant A^2\omega(\delta),
\end{equation*}
\notag
$$
где последняя сумма берется по всем полным группам класса (1), так что ее надлежащая оценка получена.
Класс (2). Здесь помещаются все полные группы $\Gamma^s$, для которых $M^s> |\mathbf{i}^s|^{\theta}$. В частности, при некотором $n \in \{1,\dots,N\}$ имеем $M^s_n> |\mathbf{i}^s|^{\theta}$. Для каждой из таких групп $\Gamma^s=\bigcup_{n=1}^N \mathbf{L}_n^{(s)}$ (с вершиной $\mathbf{i}^s$) обозначим через $\mathbf{N}'s$ совокупность индексов $n \in \{1,\dots,N\}$, для которых $M^s_n \leqslant |\mathbf{i}^s|^{\theta}$, а через $\mathbf{N}''s$ – совокупность остальных индексов из $\{1,\dots,N\}$. Таким образом, всегда имеем $\mathbf{N}''s \neq \varnothing$. Сначала рассмотрим случай, когда $\mathbf{N}'s \neq \varnothing$. При $n \in \mathbf{N}'s$ имеем $|\mathbf{a}^s|>2p\delta$, $M^s_n \leqslant |\mathbf{i}^s|^{\theta}$, откуда $|\mathbf{x}-\mathbf{a}_\mathbf{j}| \geqslant 2^{-1}|\mathbf{x}-\mathbf{a}^s|$ при всех $\mathbf{j}\in \mathbf{L}_{n}^{(s)}$. Поэтому из (3.7) и (3.8) получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{n \in \mathbf{N}'s}S_{\mathbf{L}^{(s)}_{n}}(\mathbf{x}) \leqslant \frac{A\omega (\delta)\delta^N}{|\mathbf{x}-\mathbf{a}^s|^N},
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
|\nabla \chi^s (\mathbf{x})| \leqslant A\omega(\delta)\biggl(\frac{\delta^N}{|\mathbf{x}-\mathbf{a}^s|^N} +\sum_{n \in \mathbf{N}''s}S_{\mathbf{L}^{(s)}_{n}}(\mathbf{x})\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
В случае, когда $\mathbf{N}'s=\varnothing$, последняя оценка справедлива без первого слагаемого в правой части.
Отметим, что число всех групп $\Gamma^s$ с условием $|\mathbf{x}-\mathbf{a}^s|\leqslant 2p\delta$ не превосходит $A$, поэтому $\sum |\nabla \chi^s (\mathbf{x})|$ по всем таким $s$ не превосходит $A\omega (\delta)$. Таким образом, остается установить следующую лемму. Лемма 3.3. Фиксируем $n \in \{1,\dots,N\}$, и пусть $\Sigma_n \subset \{1,\dots,S\}$ – совокупность всех индексов $s$, для которых $\Gamma^s$ является полной группой класса (2), причем $|\mathbf{x}-\mathbf{a}^s|>2p\delta$ и $M^s_n>|\mathbf{i}^s|^{\theta}$. Тогда Эта лемма совпадает (при несколько иных обозначениях) с леммой 5.9 из [7], где и приведено ее полное доказательство. Мы обсудим только его основную идею. Фиксируем $m \in \{0,1, \dots\}$ и $\mathbf{i} \in \mathbf{J}$ с условием $|\mathbf{i}'_n| \in [m, m+1)$ (если оно есть). Обозначим через ${\Sigma}_n^m (\mathbf{i})$ совокупность всех индексов $s \in \Sigma_n$, для которых $(\mathbf{i}^s)'_n=\mathbf{i}'_n$. Тогда при $m>2p$, ввиду (3.7), условия (3) из определения 3.1 и неравенства $M^s_n>|\mathbf{i}^s|^{\theta} \geqslant m^{\theta}$, имеем оценку
$$
\begin{equation*}
\sum_{s \in {\Sigma}_n^m (\mathbf{i})} \biggl(\frac{\delta^N}{|\mathbf{x}-\mathbf{a}^{s}|^N}+S_{\mathbf{L}^{(s)}_n} (\mathbf{x}) \biggr) \leqslant A\sum_{l=0}^{+\infty}(m^2+(m^{\theta} l)^2)^{-N/2} \leqslant Am^{-(N-1+\theta)},
\end{equation*}
\notag
$$
а при $m\leqslant 2p$ предпоследняя сумма оценивается просто константой $A$. Поскольку число различных ${\Sigma}_n^m (\mathbf{i})$ не превосходит $A(m+1)^{N-2}$, указанная в последней лемме сумма мажорируется сходящимся рядом $A\sum_{m=1}^{+\infty}m^{-1-\theta}$. Остается просуммировать по $n$. Теорема 3.1 доказана. § 4. Некоторые метрические свойства емкостей $\alpha_{1\mathcal{L}}$ и $\gamma_{1 \mathcal{L}}$С $\mathcal{L}C^1$-емкостями $\alpha_{1\mathcal{L}}$ тесно связаны $\mathcal{L} \operatorname{Lip}^1$-емкости
$$
\begin{equation*}
\gamma_{1 \mathcal{L}}(E) =\sup \{| \langle \mathcal{L}g, 1\rangle| \colon g \subset \mathcal{J}_{1 \mathcal{L}}(E)\}
\end{equation*}
\notag
$$
ограниченных множеств $E$ в $\mathbb{R}^N$, где
$$
\begin{equation*}
\mathcal{J}_{1 \mathcal{L}}(E)=\{ \Phi_\mathcal{L} * T\mid \operatorname{Spt} (T) \subset E,\, \Phi_\mathcal{L} * T \in \operatorname{Lip}^1(\mathbb{R}^N),\,\|\nabla \Phi_\mathcal{L} * T\|_{L_{\infty}(\mathbb{R}^N)}\leqslant 1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Емкости $\gamma_{1 \mathcal{L}}(E)$ устроены несколько проще емкостей $\alpha_{1\mathcal{L}}$. Отметим, что условие $f \in \operatorname{Lip}^1 (\mathbb{R}^N)$ эквивалентно непрерывности и ограниченности $f$ и наличию ограниченных обобщенных частных производных у функции $f$ в $\mathbb{R}^N$. При этом норма функции $f$ в пространстве $\operatorname{Lip}^1 (\mathbb{R}^N)$ сравнима с $\max\{\|f\|,\|\nabla f\|\}$ (далее $\|\,{\cdot}\,\|$ и $\|\,{\cdot}\,\|_{L_{\infty}(\mathbb{R}^N)}$ отождествляются). Ясно, что емкости $\alpha_{1\mathcal{L}}$ и $\gamma_{1 \mathcal{L}}$ являются монотонными функциями множеств и что $\alpha_{1\mathcal{L}}(E) \leqslant \gamma_{1 \mathcal{L}}(E)$ для всякого ограниченного множества $E \subset \mathbb{R}^N$. Кроме того, для любого ограниченного открытого множества $E \subset \mathbb{R}^N$ имеем $\gamma_{1 \mathcal{L}}(E)=\alpha_{1 \mathcal{L}}(E)$ (что легко доказывается методом регуляризации), поэтому в формулировках теорем 1.1 и 3.1 (но не следствия 1.1) можно вместо $\alpha_{1 \mathcal{L}}$-емкости использовать $\gamma_{1 \mathcal{L}}$-емкость. Наконец, пусть $K$ – компакт и при $\delta >0$ через $U_{\delta}(K)$ обозначается его открытая $\delta$-окрестность. Тогда
$$
\begin{equation}
\gamma_{1 \mathcal{L}}(K)=\lim_{\delta \to 0} \gamma_{1 \mathcal{L}} (U_{\delta}(K)),
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
что легко следует из равностепенной непрерывности семейств $\mathcal{J}_{1 \mathcal{L}}(U_{\delta}(K))$ и $\mathcal{L}$-аналитичности в (произвольной) области $U$ равномерного предела последовательности функций из $\mathcal{A}_\mathcal{L}(U)$. Стандартно доказывается (см. [1; теорема 1.12]), что компактные множества $K$ нулевой $\alpha_{1 \mathcal{L}}$-емкости (соответственно $\gamma_{1 \mathcal{L}}$-емкости) суть в точности устранимые множества для $\mathcal{L}$-аналитических функций в классе $C^1$ (соответственно $\operatorname{Lip}^1$). Это означает, что если $U$ – некоторая окрестность компакта $K$ и $f \in C^1(U)\cap \mathcal{A}_\mathcal{L}(U \setminus K)$ (соответственно $f \in {\operatorname{Lip}}^1(U)\cap \mathcal{A}_\mathcal{L}(U \setminus K)$), то $f\in \mathcal{ A}_\mathcal{L}(U)$. Далее в этом параграфе мы покажем, что все основные метрические свойства емкостей $\gamma_{1 \Delta}$ и $\alpha_{1 \Delta}$, установленные в [7; лемма 2.2] и [13; теорема 3.1], остаются справедливыми для рассматриваемых здесь емкостей $\gamma_{1 \mathcal{L}}$ и $\alpha_{1\mathcal{L}}$. Напомним определение $p$-мерного ($p \in (0, N]$) обхвата по Хаусдорфу ограниченного множества $E$ в $\mathbb{R}^N$: где нижняя грань берется по всем покрытиям $\{B_j\}$ множества $E$ шарами (каждое $\{B_j\}$ есть не более чем счетное покрытие множества $E$ шарами $B_j$ в $\mathbb{R}^N$ с радиусами $r_j$).Через $\Lambda(\,{\cdot}\,)$ обозначается мера Лебега в $\mathbb{R}^N$. Фиксируем какой-либо из рассматриваемых операторов $\mathcal{L}$. Предложение 4.1. Пусть $E \neq \varnothing$ – ограниченное множество в $\mathbb{R}^N$. Найдется постоянная $A_0=A_0(N, \mathcal{L}) \in (1, +\infty)$, для которой выполняются следующие свойства емкости $\gamma_{1 \mathcal{L}}$ (они же справедливы и для емкости $\alpha_{1\mathcal{L}}$): 1) $\gamma_{1 \mathcal{L}}(E)=\sup_{K \subset E} \{\gamma_{1 \mathcal{L}}(K)\}$, где указанный $\sup$ берется по всем компактам $K$ в $E$; 2) $\gamma_{1 \mathcal{L}}(E) \leqslant A_0\,\mathcal{M}^{N-1}(E)$; для каждого $N \geqslant 3$ найдется компакт $E$ в $\mathbb{R}^N$ с условиями $\mathcal{M}^{N-1}(E)>0$, но $\gamma_{1 \mathcal{L}}(E)=0$; 3) если $P(\,{\cdot}\,)$ – гомотетия в $\mathbb{R}^N$ с коэффициентом $k>0$, то $\gamma_{1 \mathcal{L}}(P(E))=k^{N-1}\gamma_{1 \mathcal{L}}(E)$; в частности, $\gamma_{1 \mathcal{L}}(B(\mathbf{a}, r))=r^{N-1}\gamma_{1 \mathcal{L}}(B(\mathbf{0},1))> 0$; 4) для любого ограниченного $F_{\sigma}$-множества $E$ (и даже для так называемых аналитических множеств) в $\mathbb{R}^N$ и $p \in (N-1, N]$ имеем При $p=N$ последнее неравенство справедливо для любого ограниченного измеримого по мере Лебега множества $E$ в $\mathbb{R}^N$: Доказательство. Свойство 1) непосредственно следует из определения емкости $\gamma_{1 \mathcal{L}}$ (соответственно, $\alpha_{1\mathcal{L}}$) c учетом компактности носителей ${\operatorname{Spt}} (T)$, участвующих в этом определении распределений $T$.
Докажем свойство 2). Из предыдущего свойства следует, что можно считать $E$ компактом. Нам потребуется конструкция разбиения единицы (см. лемму 4.1 ниже), которая была предложена в работе Р. Харви и Дж. Полкинга [14; лемма 3.1]. Через $Q=Q(\mathbf{a},\delta)$ будем обозначать замкнутый куб в $\mathbb{R}^N$ c ребрами, параллельными осям координат, с центром $\mathbf{a}$ и длиной ребра $s(Q)=\delta$; при этом для $\lambda>0$ полагаем $\lambda Q=Q(\mathbf{a},\lambda \delta)$. Двоичными кубами в $\mathbb{R}^N$ будем называть замкнутые кубы вида где $(p,\beta_1,\dots,\beta_N)\in \mathbb{Z}^{N+1}$. Рассматривая в дальнейшем покрытия множеств в $\mathbb{R}^N$ семействами двоичных кубов, всегда будем считать, что эти кубы являются раздельными (т. е. попарно не имеют общих внутренних точек).Лемма 4.1. Пусть $\{Q_j\}_{j=1}^J$ – произвольное конечное семейство раздельных двоичных кубов. Тогда существует семейство неотрицательных функций $\{\varphi_j\}_{j=1}^J$ со следующими свойствами: (a) при каждом $j$ имеем $\varphi_j\in C^{\infty}_0 ((3/2)Q_j)$ и $\|\nabla \varphi_j\| \leqslant A(s(Q_j))^{-1}$; (b) $\{\varphi_j\}_{j=1}^J$ – разбиение единицы на $\bigcup_{j=1}^J Q_j$, т. е. $\sum_{j=1}^J \varphi_j =1$ на $\bigcup_{j=1}^J Q_j$. Здесь и ниже константа $A=A(N, \mathcal{L}) \in (1, +\infty)$ может принимать различные значения. Продолжим доказательство 2). Фиксируем любое $\varepsilon>0$ и выберем $g \in \mathcal{J}_{1 \mathcal{L}}(E)$ ($g=\Phi_\mathcal{L} * T$, $\operatorname{Spt} (\mathcal{L}g)=\operatorname{Spt} (T) \subset E$, $\|\nabla g\| \leqslant 1$) с условием $| \langle \mathcal{L}g, 1\rangle| \geqslant \gamma_{1 \mathcal{L}}(E)/2$. Из определения $\mathcal{M}^{N-1}(E)$ и компактности $E$ непосредственно следует, что найдется конечное семейство раздельных двоичных кубов $\{Q_j\}_{j=1}^J$ с условиями $E \subset \bigl(\bigcup_{j=1}^J Q_j\bigr)^{\circ}$ и $\sum_{j=1}^J r_j^{N-1} \leqslant A\mathcal{M}^{N-1}(E)+\varepsilon$, где $r_j=s(Q_j)$. Пусть $\{\varphi_j\}_{j=1}^J$ – разбиение единицы для $\{Q_j\}_{j=1}^J$ из леммы 4.1. Тогда
$$
\begin{equation*}
\langle \mathcal{L}g, 1\rangle=\biggl\langle \mathcal{L}g, \sum_{j=1}^J \varphi_j\biggr\rangle = -\sum_{j=1}^J \sum_{i, l=1}^N c_{i l}\biggl\langle \frac{\partial}{\partial x_{i}} g, \frac{\partial}{\partial x_{l}}\varphi_j\biggr\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Из простой оценки $|\langle \partial g/\partial x_{i}, \partial \varphi_j/\partial x_{l} \rangle| \leqslant Ar_j^{N-1}$ получаем, что
$$
\begin{equation*}
\gamma_{1 \mathcal{L}}(E) \leqslant 2|\langle \mathcal{L}g, 1\rangle| \leqslant A^2 \sum_{j=1}^J r_j^{N-1} \leqslant A^3(\mathcal{M}^{N-1}(E)+\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Остается $\varepsilon$ устремить к нулю. Второе утверждение в свойстве 2) будет установлено ниже, как следствие предложения 4.2. Свойство 3) легко вытекает из однородности порядка $-N+1$ ядра $\nabla \Phi_{\mathcal{L}}$. Свойство 4) установлено в [15; следствие 3.1] для емкостей Рисса $C_{N-1}(E)$. Поскольку $|\nabla \Phi_\mathcal{L}(\mathbf{x})| \leqslant A |\mathbf{x}|^{1-N}$, легко видеть, что $\gamma_{1 \mathcal{L}}(E)\geqslant A^{-1}C_{N-1}(E)$, откуда следует свойство 4). Отметим, что для случая $\mathcal{L}=\Delta$ в [16] получена в известном смысле неулучшаемая оценка
$$
\begin{equation*}
\gamma_{1 \mathcal{L}}(E) \geqslant A_0^{-1} (p+1-N)^{1/2} (\mathcal{M}^p(E))^{(N-1)/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы приведем простое доказательство свойства 4) для случая $p=N$ и компактов $E$ (этого достаточно ввиду регулярности меры Лебега). Пусть $\Lambda (E)>0$. Определим регулярное распределение $T$ с носителем на $E$ по формуле $\langle T, \varphi\rangle=\int_{E}\varphi(\mathbf{x})\, d\Lambda (\mathbf{x})$, $\varphi \in C^{\infty}(\mathbb{R}^N)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
g(\mathbf{x})=\Phi_\mathcal{L} * T(\mathbf{x})=\int_E \Phi_\mathcal{L}(\mathbf{x}- \mathbf{y})\, d\Lambda (\mathbf{y}).
\end{equation*}
\notag
$$
Из оценки $|\nabla \Phi_\mathcal{L} (\mathbf{x})| \leqslant A |\mathbf{x}|^{-N+1}$ получаем
$$
\begin{equation*}
|\nabla g(\mathbf{x})| \leqslant A \int_E |\mathbf{x}-\mathbf{y}|^{-N+1}d\Lambda (\mathbf{y}).
\end{equation*}
\notag
$$
Фиксируем произвольную точку $\mathbf{x}$. Пусть $B=B(\mathbf{x}, R)$ – такой шар, что $\Lambda (B)=\Lambda (E)$, т. е. $A_N R^N=\Lambda (E)$ ($A_N>0$ зависит только от $N$). Тогда
$$
\begin{equation*}
|\nabla g(\mathbf{x})| \leqslant A \int_B |\mathbf{x}-\mathbf{y}|^{-N+1}d\Lambda (\mathbf{y}) \leqslant A^2 R,
\end{equation*}
\notag
$$
где последний интеграл оценивается в сферических координатах. Кроме того, нетрудно установить, что $g \in \operatorname{BC}^1(\mathbb{R}^N)$. По определению емкостей $\gamma_{1 \mathcal{L}}(E)$ и $\alpha_{1\mathcal{L}}(E)$ имеем
$$
\begin{equation*}
|\langle \mathcal{L}g, 1\rangle|=|\langle T, 1\rangle|=\Lambda (E) \leqslant A^2 R \alpha_{1\mathcal{L}}(E) \leqslant A^2 R \gamma_{1 \mathcal{L}}(E),
\end{equation*}
\notag
$$
что доказывает 4). Предложение 4.1 доказано. Фиксируем $N\in \{3, 4, \dots\}$. Для $\mathbf{x}=(x_1,\dots, x_N) \in \mathbb{R}^N$ через $\mathbf{x}'$ обозначается вектор $(x_1,\dots, x_{N-1}) \in \mathbb{R}^{N-1}$. При $\mathbf{a} \in \mathbb{R}^N$ и $r>0$ через $B'(\mathbf{a}',r)$ обозначается шар в $\mathbb{R}^{N-1}_{\mathbf{x}'}$ с центром $\mathbf{a}' $ и радиусом $r$. Фиксируем какой-либо из рассматриваемых эллиптических операторов
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}=\sum_{i, j=1}^N c_{i j}\, \frac{\partial^2}{\partial x_{i} \, \partial x_{j}}
\end{equation*}
\notag
$$
в $\mathbb{R}^N$, тогда
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}'=\sum_{i, j=1}^{N-1} c_{i j}\, \frac{\partial^2}{\partial x_{i}\, \partial x_{j}}
\end{equation*}
\notag
$$
– эллиптический оператор в $\mathbb{R}^{N-1}$. Через $\gamma_{1 \mathcal{L}'}(\,{\cdot}\,)$ (соответственно $\alpha_{1 \mathcal{ L}'}(\,{\cdot}\,)$) будет обозначаться $\operatorname{Lip}^1$- (соответственно $C^1$-) емкость в $\mathbb{R}^{N-1}$, связанная с оператором $\mathcal{L}'$. Емкости $\gamma_{1 \mathcal{L}}(\,{\cdot}\,)$ и $\alpha_{1\mathcal{L}}(\,{\cdot}\,)$ в $\mathbb{R}^N$, как и ранее, связаны с оператором $\mathcal{L}$. Напомним, что при $N\geqslant 3$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{I}_{1\mathcal{L}}(E) &=\{ \Phi_\mathcal{L} * T\mid \operatorname{Spt} (\mathrm{T}) \subset E,\, \Phi_\mathcal{L} * \mathrm{T} \in \operatorname{BC}^1,\, \|\nabla \Phi_\mathcal{L} * \mathrm{T}\|\leqslant 1\}, \\ \mathcal{J}_{1\mathcal{L}}(E) &=\{ \Phi_\mathcal{L} * T\mid \operatorname{Spt} (\mathrm{T}) \subset E,\, \Phi_\mathcal{L} * \mathrm{T} \in \operatorname{Lip}^1,\,\|\nabla \Phi_\mathcal{L} * \mathrm{T}\|\leqslant 1\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, при $N\geqslant 4$ обозначение $\mathcal{I}_{1\mathcal{L}'}(E')$ и $\mathcal{J}_{1\mathcal{L}'}(E')$ (где $E'$ ограничено в $\mathbb{R}^{N-1}$) вполне понятно. Однако при $N=3$ обозначение $\mathcal{I}_{1\mathcal{L}'}(E')$ и $\mathcal{J}_{1\mathcal{L}'}(E')$ требуется уточнить [2]:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{I}_{1\mathcal{L}'}(E') &=\{ \Phi_{\mathcal{L}'} * T\mid \operatorname{Spt} (\mathrm{T}) \subset E',\, \Phi_{\mathcal{L}'} * \mathrm{T} \in C^1 (\mathbb{R}^2),\,\|\nabla \Phi_{\mathcal{ L}'} * \mathrm{T}\|\leqslant 1\}, \\ \mathcal{J}_{1\mathcal{L}'}(E') &=\{ \Phi_{\mathcal{L}'} * T\mid \operatorname{Spt} (\mathrm{T}) \subset E',\, \Phi_{\mathcal{L}'} * \mathrm{T} \in \operatorname{Lip}^1_{\mathrm{loc}} (\mathbb{R}^2),\,\|\nabla \Phi_{\mathcal{L}'} * \mathrm{T}\|\leqslant 1\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(нет требования конечности $\|\Phi_{\mathcal{L}'} * T\|$, т. е. ограниченности $\Phi_{\mathcal{ L}'} * T$ в $\mathbb{R}^2$). При этом, как и ранее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \alpha_{1 \mathcal{L}'}(E') &=\sup \{| \langle \mathcal{L}'g, 1\rangle| \colon g \subset \mathcal{ I}_{1\mathcal{L}'}(E')\}, \\ \gamma_{1 \mathcal{L}'}(E') &=\sup \{| \langle \mathcal{L}'g, 1\rangle| \colon g \subset \mathcal{ J}_{1\mathcal{L}'}(E')\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь мы установим обобщение теоремы 3.1 из [13]. При этом приведенное ниже доказательство даже проще, чем в [13]. Предложение 4.2. Фиксируем $r>0$, $R\geqslant r$, и пусть $E'\subset B'(\mathbf{0}',r)$, $E=E'\times (-R, R)\subset\mathbb{R}^N$. Тогда где $A_0=A_0(N,\mathcal{L}) \in (1, +\infty)$. Доказательство. Мы докажем только неравенства (4.2), из которых неравенства (4.3) сразу следуют ввиду свойства 1) предложения 4.1, (4.1) и совпадения $\gamma_{1 \mathcal{L}}(E)$ и $\alpha_{1 \mathcal{L}}(E)$ для открытых ограниченных множеств $E$.
Установим левое неравенство. Найдем функцию $f\in \mathcal{I}_{1\mathcal{L}'}(E')$ с условием $\langle \mathcal{L}'f,1 \rangle=\alpha_{1 \mathcal{L}'}(E')/2$ и определим $F\in C^1(\mathbb{R}^N)$ как $F(\mathbf{x}',x_N)=f(\mathbf{x}')$. Тогда $\|\nabla F\|\leqslant 1$. Выберем функцию $\varphi_1 \in C^{\infty}_0(B'(\mathbf{0}', 2R))$ с условиями $0\leqslant\varphi_1\leqslant 1$, $\varphi_1=1$ в $B'(\mathbf{0}',R)$ и $\|\nabla \varphi_1\|\leqslant A_1/R$. Здесь и далее положительные параметры $A_1,A_2,\dots$, зависящие только от $N$, $\mathcal{L}$, могут принимать различные значения в разных соотношениях. Выберем еще функцию $\varphi_2 \in C^{\infty}_0((-R, R))$ с условиями $0\leqslant\varphi_2\leqslant 1$, $\varphi_2=1$ на $(-R/2, R/2)$ и $\|\varphi_2'\|\leqslant A_1/R$. Определим $\varphi (\mathbf{x})=\varphi(\mathbf{x}',x_N)=\varphi_1(\mathbf{x}')\varphi_2(x_N)$ при $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^N$. Тогда $\|\nabla \varphi\|\leqslant A_2/R$. Применим локализационный оператор Витушкина (см. (2.1)), полагая $F_{\varphi}=\mathcal{V}_{\varphi}(F)$. Тогда по лемме 2.2 имеем
$$
\begin{equation*}
\|\nabla F_\varphi\| \leqslant A_3 \|\nabla \varphi\| R=A_4,
\end{equation*}
\notag
$$
причем в обобщенном смысле справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L} F_{\varphi}(\mathbf{x}',x_N)=\varphi_1(\mathbf{x}')\varphi_2(x_N) \mathcal{L} F(\mathbf{x})=\varphi_1(\mathbf{x}')\varphi_2(x_N) \mathcal{L}' f(\mathbf{x}').
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что ${\operatorname{Spt}} (\mathcal{L} F_{\varphi})\subset E$, причем $F_\varphi \in A_4 \mathcal{I}_{1\mathcal{L}}(E)$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_4 \alpha_{1\mathcal{L}}(E) &\geqslant \langle \mathcal{L} F_{\varphi},\, 1\rangle=\langle \varphi_1(\mathbf{x}')\varphi_2(x_N)\mathcal{L}' f(\mathbf{x}'),1\rangle \\ &= \langle \mathcal{L}' f(\mathbf{x}'),1\rangle \int_{-R}^R\varphi_2(x_N)\,dx_N \geqslant 2^{-1} R\alpha_{1 \mathcal{L}'}(E'), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
(2 A_4)^{-1} R \alpha_{1 \mathcal{L}'}(E') \leqslant \alpha_{1\mathcal{L}}(E),
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось.
Теперь получим правую оценку в (4.2) для открытых $E'$. Общий случай можно доказать по аналогии с [13; теорема 3.1]. Далее, из соображений однородности мы можем положить $R=1$, $r<1$. Снова пользуясь соображениями регуляризации (и свойством 1) предложения 4.1), найдем функцию $F=\Phi_\mathcal{L}*T \in \mathcal{I}_{1 \mathcal{L}} (E)$ с условиями $F \in C^{\infty}(\mathbb{R}^N)$ и $\langle \mathcal{L} F,1\rangle=\langle T,1\rangle=\alpha_{1\mathcal{L}}(E)/2$. При этом распределение $T$ – регулярно, т. е. имеет вид
$$
\begin{equation*}
\langle T,\psi \rangle= \int h(\mathbf{x}) \psi (\mathbf{x})\,d \mathbf{x},\qquad \psi \in C^{\infty}(\mathbb{R}^N),
\end{equation*}
\notag
$$
где $h \in C^{\infty}_0(E)$ – (вообще говоря) комплекснозначная функция.
Основную часть доказательства проведем для размерности $N=3$, случаи $N \geqslant 4$ кратко обсудим в конце. Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation}
f(\mathbf{x})=\int_{-\infty}^{+\infty} \bigl(F(\mathbf{x}', x_3+t)-F((\mathbf{x}', x_3+t)- (3, 0, 0))\bigr)\,dt.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Положим $G(\mathbf{x})=F(\mathbf{x})-F(\mathbf{x}-(3,0,0))$. Поскольку $c_0(G)=0$, ввиду (2.2), равномерная сходимость последнего интеграла (на компактах в $\mathbb{R}^N$) сразу следует из оценок
$$
\begin{equation*}
\|G\|< +\infty,\qquad |G(\mathbf{x})|=O(|\mathbf{x}|^{-2}),\quad |\mathbf{x}| \to +\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
в частности, $f$ ограничена в $\mathbb{R}^2$. На самом деле функция $f$ не зависит от $x_3$ и является $\mathcal{L}'$-аналитической вне $E'\cup E'_3$, где $E'_3=\{\mathbf{x}'+(3,0)\,|\; \mathbf{x}' \in E'\}$, что следует из равномерной сходимости (на компактах) частичных сумм в интеграле (4.4).
Далее, из оценок $\|\nabla G\|\leqslant 2$ и (2.4) леммы 2.4 получаем, что
$$
\begin{equation*}
|\nabla f(\mathbf{x}')|=\biggl|\int_{-\infty}^{+\infty} \nabla_{\mathbf{x}'} G(\mathbf{x}',t)\,dt \biggr| \leqslant A_1 \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{t^2+1}\,dt \leqslant A_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{L}' f(\mathbf{x}') &=\int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal{L} G(\mathbf{x}', x_3+t)\,dt =\int_{-\infty}^{+\infty} \bigl( h(\mathbf{x}', x_3+t)-h(\mathbf{x}'-(3,0), x_3+t)\bigr)\,dt \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \bigl( h(\mathbf{x}', t)- h(\mathbf{x}'-(3,0), t) \bigr)\,dt := h'(\mathbf{x}')-h'(\mathbf{x}'-(3,0)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь возьмем функцию $\varphi_1 \in C^{\infty}_0(B'(\mathbf{0}', 2))$ с условиями $0\leqslant\varphi_1\leqslant 1$, $\varphi_1=1$ в $B'(\mathbf{0}', 1)$ и $\|\nabla \varphi_1\|\leqslant A_1$ и рассмотрим локализацию
$$
\begin{equation*}
f_1=\mathcal{V}_{\varphi_1} f=\Phi_{\mathcal{L}'}*(\varphi_1 \mathcal{L}' f)=\Phi_{\mathcal{ L}'}*(\varphi_1 h')=\Phi_{\mathcal{L}'}*(h').
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно [2; лемма 2.2] мы получаем $\|\nabla f_1\| \leqslant A_3$, т. е. $f_1 \in A_3 \mathcal{ I}_{1 \mathcal{L}'} (E')$. Наконец,
$$
\begin{equation*}
A_3 \alpha_{1 \mathcal{L}'}(E') \geqslant |\langle \mathcal{L}' f_1,1 \rangle|=\langle h',1 \rangle=\int_{\mathbb{R}^3} h(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=\frac{\alpha_{1\mathcal{L}}(E)}2,
\end{equation*}
\notag
$$
что завершает доказательство предложения 4.2 при $N=3$. В случаях $N \geqslant 4$ доказательство даже проще: в формуле (4.4) мы можем взять
$$
\begin{equation*}
f(\mathbf{x})=\int_{-\infty}^{+\infty} F(\mathbf{x}', x_N+t)\,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
и затем положить $f_1=f$. Предложение 4.2 доказано. Вторая часть свойства 2) предложения 4.1 является следствием работы [2] (где доказана сравнимость емкостей $\gamma_{1 \mathcal{L}'}(E')$ с аналитической емкостью $\gamma(E')$ при $N=3$) и известного примера А. Г. Витушкина [17] (таких компактов $E'$ в $\mathbb{C}$, для которых $\gamma(E')=0< \mathcal{M}^1(E')$). Надо только учесть, что для всякого ограниченного множества $E' \subset \mathbb{R}^{N-1}$ величины $\mathcal{M}^{N-1}(E'\times (-1,1))$ и $\mathcal{M}^{N-2}(E')$ обращаются (или нет) в нуль одновременно. Напомним также, что в [2] установлено, что при $N=2$ все емкости $\alpha_{1\mathcal{L}}$ (соответственно $\gamma_{1\mathcal{L}}$) сравнимы с емкостью $\alpha_{1\Delta}$ (соответственно $\gamma_{1{\Delta}}$) и с $C$-аналитической емкостью $\alpha$ (соответственно $\gamma$) в $\mathbb{C}$ (см. [18] и [19]); в частности, все эти емкости являются счетно полуаддитивными. При $N \geqslant 3$ остается открытым следующий важный вопрос. Задача 4.1. Для каких операторов $\mathcal{L}$ емкость $\alpha_{1\mathcal{L}}$ (соответственно $\gamma_{1\mathcal{L}}$) сравнима с емкостью $\alpha_{1\Delta}$ (соответственно $\gamma_{1{\Delta}}$)? Хотя метрической характеризации емкостей $\gamma_{1 \Delta}$ и $\alpha_{1 \Delta}$ при $N \geqslant 3$ пока нет, важно отметить, что в [20] и [21] доказана счетная полуаддитивность этих емкостей для всех размерностей $N\geqslant 3$. В завершение мы установим один важный предварительный результат, аналоги которого естественно возникали перед доказательствами теорем о полуаддитивности емкостей $\gamma$ и $\gamma_{1{\Delta}}$. Для произвольного ограниченного множества $E \subset \mathbb{R}^N$, $N\geqslant 3$, определим еще такие емкости:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \gamma^+_{1 \mathcal{L}}(E) &=\sup_{\mu} \{\|\mu\| \colon \operatorname{Spt}(\mu) \subset E,\, \Phi_\mathcal{L} * \mu \in \operatorname{Lip}^1,\, \|\nabla \Phi_\mathcal{L} * \mu\|\leqslant 1\}, \\ \alpha^+_{1 \mathcal{L}}(E) &=\sup_{\mu} \{\|\mu\| \colon \operatorname{Spt}(\mu) \subset E,\, \Phi_\mathcal{L} * \mu \in \operatorname{BC}^1,\, \|\nabla \Phi_\mathcal{L} * \mu\|\leqslant 1\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sup$ берется по всем неотрицательным борелевским мерам $\mu$ с указанными свойствами, $\|\mu\|=\int d\mu$ – полная масса (вариация) меры $\mu$. Очевидно, что $\gamma^+_{1 \mathcal{L}}(E) \leqslant \gamma_{1 \mathcal{L}}(E)$ и $\alpha^+_{1 \mathcal{L}}(E) \leqslant \alpha_{1 \mathcal{L}}(E)$ для всех указанных $\mathcal{L}$ и $E$. Отметим также, что дословно доказываются аналоги предложений 4.1 и 4.2 для $\gamma^+_{1 \mathcal{L}}(E)$ и $\alpha^+_{1 \mathcal{L}}(E)$ вместо $\gamma_{1 \mathcal{L}}(E)$ и $\alpha_{1 \mathcal{L}}(E)$ соответственно. Предложение 4.3. Найдется $A=A(N, \mathcal{L}) \in (0, +\infty)$ такая, что для любых ограниченных борелевских множеств $E_1, E_2, \dots$ в $\mathbb{R}^N$ c ограниченным $E_*=\bigcup_{m=1}^{+\infty}E_m$ справедлива оценка Доказательство. Для $\mathcal{L}= \Delta$ это утверждение получено в [9; теорема 6.2]. Для произвольного $\mathcal{L}$ доказательство проходит по той же схеме, однако оно требует ряда модификаций, связанных с отсутствием (в общем случае) некоторых специальных свойств гармонических функций, таких как формула для потока градиента, теорема о среднем и принцип максимума. Ниже мы подробно обсудим эти модификации. По аналогии с леммой 3.3 из [9], доказательство предложения 4.3 опирается на следующую лемму.
Лемма 4.2. Пусть $\mu$ – неотрицательная борелевская мера с компактным носителем такая, что функция $f=\Phi_\mathcal{L}*\mu$ имеет ограниченные обобщенные частные производные первого порядка (что эквивалентно условию $f \in \operatorname{Lip}^1(\mathbb{R}^N)$). Тогда найдется $A=A(N, \mathcal{L}) \in (0, +\infty)$ такая, что для любого ограниченного борелевского множества $E \subset \mathbb{R}^N$. Приведем сразу доказательство предложения 4.3, считая последнюю лемму доказанной. По определению емкости $\gamma^+_{1 \mathcal{L}} (E_*)$ найдется неотрицательная борелевская мера $\mu$ с компактным носителем на $E_*$ и условиями
$$
\begin{equation*}
\gamma^+_{1 \mathcal{L}} \leqslant 2\mu(E_*),\qquad \|\nabla f\|\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $f=\Phi_\mathcal{L}*\mu$. По лемме 4.2, примененной к каждому из $E_m$, справедливы неравенства $\mu(E_m)\leqslant A\gamma^+_{1 \mathcal{L}}(E_m)\,$, откуда из счетной полуаддитивности меры $\mu$ получаем
$$
\begin{equation*}
\gamma^+_{1 \mathcal{L}}(E_*) \leqslant 2\mu(E_*) \leqslant 2\,\sum_{m=1}^{+\infty}\,\mu(E_m) \leqslant 2A\sum_{m=1}^{+\infty}\gamma^+_{1 \mathcal{L}}(E_m),
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось. Предложение 4.3 доказано. Остается обсудить доказательство леммы 4.2 (модификацию леммы 3.3 из [9]). Доказательство здесь основано на применении так называемой $T(1)$-теоремы (см., например, [22] и [23]), которая справедлива и для нашего общего случая (см. [9; § 2], где используются только базовые свойства (2.1), (2.2) и нечетность стандартных ядер Кальдерона–Зигмунда; в нашем случае – это нечетные ядра $\partial \Phi_\mathcal{L}(\mathbf{x})/\partial x_n$, $n \in \{1, \dots, N\}$; их нечетность следует из четности фундаментальных решений $\Phi_\mathcal{L}(\mathbf{x})$, являющихся преобразованиями Фурье четных локально интегрируемых по мере Лебега в $\mathbb{R}^N$ функций $1/L(\mathbf{x})$). Нам потребуются следующие две технические леммы (аналоги леммы 3.1 и оценки (3.1) из [9]). Лемма 4.3. Пусть $\mu$ – неотрицательная борелевская мера с компактным носителем такая, что функция $f=\Phi_\mathcal{L}*\mu$ имеет ограниченные обобщенные частные производные первого порядка. Тогда найдется $A=A(N, \mathcal{ L}) \in (0, +\infty)$ такая, что для любого шара $B$ с радиусом $r$ справедлива оценка Доказательство этой леммы несложно. Выберем функцию $\varphi \in C^1_0(2B)$ с условиями $0\leqslant\varphi\leqslant 1$, $\varphi=1$ в $B$, $\|\nabla \varphi\|\leqslant A_1/r$ и рассмотрим локализацию
$$
\begin{equation*}
f_{\varphi}=\mathcal{V}_{\varphi} f=\Phi_{\mathcal{L}}*(\varphi \mathcal{L} f).
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 2.2 (с использованием регуляризации) имеем $\|\nabla f_{\varphi}\| \leqslant A_2 \|\nabla f\|$, т. е. $f_{\varphi} \in A_2 \|\nabla f\| \mathcal{J}_{1 \mathcal{L}} (2B)$. Следовательно, по предложению 4.1, 3)
$$
\begin{equation*}
\mu (B) \leqslant \int \varphi\, d\mu=\langle \mathcal{L} f_{\varphi},1 \rangle \leqslant A_2 \|\nabla f\| \gamma_{1 \mathcal{L}}(2B) \leqslant A \|\nabla f\| r^{N-1},
\end{equation*}
\notag
$$
что завершает доказательство леммы 4.3. Лемма 4.4. Фиксируем $n \in \{1, \dots, N\}$. Положим $T(\mathbf{x})= \partial \Phi (\mathbf{x})/\partial x_n$ и пусть $\mu$ – неотрицательная борелевская мера с компактным носителем такая, что функция $g=T*\mu$ удовлетворяет условию $\|g\| \leqslant 1$. Фиксируем произвольное $\varepsilon>0$ и определим $T^{\varepsilon}(\mathbf{x})=T(\mathbf{x})$ при $|\mathbf{x}| \geqslant \varepsilon$ и $T^{\varepsilon}(\mathbf{x})=0$ при $|\mathbf{x}|< \varepsilon$. Тогда для функции $g^{\varepsilon}=T^{\varepsilon} *\mu$ справедлива оценка $\|g^{\varepsilon}\| \leqslant A$, где $A=A(N, \mathcal{L}) \in (0, +\infty)$. Этот результат известен и в гораздо более общем контексте [24; теорема 7.1]. В нашем случае его доказательство несложно и мы приведем его для удобства читателя. Фиксируем функцию ${\varphi}_1 \in C^{\infty}_0(B(\mathbf{0}, 1))$ c условиями $0 \leqslant \varphi (\mathbf{x})\,{\leqslant}\, A_1$ и $\int \varphi_1 (\mathbf{x})\, d \mathbf{x} =1$. Пусть далее $\varphi(\mathbf{x})=\varphi^{\varepsilon}(\mathbf{x}) =\varepsilon^{-N}\varphi_1(\mathbf{x}/\varepsilon)$, тогда $\varphi \in C^{\infty}_0(B(\mathbf{0}, \varepsilon))$, $\int \varphi (\mathbf{x})\, d \mathbf{x} =1$. Положим $T_{\varphi}=T*\varphi$ и $g_{\varphi}=T_{\varphi}*\mu=g*\varphi$. Тогда, очевидно, Введем еще $T^{\varepsilon}_{\varphi}=T^{\varepsilon}*\varphi$, $g^{\varepsilon}_{\varphi}=T^{\varepsilon}_{\varphi}*\mu=g^{\varepsilon}*\varphi$. Так как $|T(\mathbf{x})| \leqslant A_2/|\mathbf{x}|^{N-1}$, при $|\mathbf{x}|<2\varepsilon$ справедливы оценки
$$
\begin{equation}
|T_{\varphi}(\mathbf{x})| \leqslant \int_{B(\mathbf{0}, 3\varepsilon)} \frac{A_1}{\varepsilon^N}\, \frac{A_2\, d \mathbf{x}}{|\mathbf{x}|^{N-1}} \leqslant \frac{A_3}{\varepsilon^{N-1}}, \qquad |T^{\varepsilon}_{\varphi}(\mathbf{x})| \leqslant \frac{A_3}{\varepsilon^{N-1}}.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Поскольку $T_{\varphi}(\mathbf{y})=T^{\varepsilon}_{\varphi}(\mathbf{y})$ при $|\mathbf{y}| \geqslant \varepsilon$, из (4.6) и леммы 4.3 имеем для всех $\mathbf{x}$
$$
\begin{equation}
|g^{\varepsilon}_{\varphi}(\mathbf{x})-g_{\varphi}(\mathbf{x})| \leqslant \int_{B(\mathbf{x}, \varepsilon)} \frac{2A_3\, d \mu}{\varepsilon^{N-1}} \leqslant A_4.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Остается получить оценку
$$
\begin{equation}
|g^{\varepsilon}_{\varphi}(\mathbf{x})-g^{\varepsilon}(\mathbf{x})|= |(T^{\varepsilon}_{\varphi}-T^{\varepsilon})*\mu (\mathbf{x})| \leqslant A_5.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Без ограничения общности при ее доказательстве будем считать $\mathbf{x}=\mathbf{0}$. Оценим сначала $|T^{\varepsilon}_{\varphi}(\mathbf{y})-T^{\varepsilon}(\mathbf{y})|=: S^{\varepsilon}_{\varphi}(\mathbf{y})$. При $|\mathbf{y}|< 2\varepsilon$ из (4.6) следует, что $S^{\varepsilon}_{\varphi}(\mathbf{y}) \leqslant (A_2+A_3)/\varepsilon^{N-1}$. При $|\mathbf{y}| \geqslant 2\varepsilon$ (поскольку $T^{\varepsilon}(\mathbf{z})=T(\mathbf{z})$ и $T^{\varepsilon}_{\varphi}(\mathbf{z})=T_{\varphi}(\mathbf{z})$ при $|\mathbf{z}| \geqslant 2\varepsilon$) имеем
$$
\begin{equation*}
S^{\varepsilon}_{\varphi}(\mathbf{y}) \leqslant \max_{\mathbf{z} \in B(\mathbf{y}, \varepsilon)} |T(\mathbf{z})-T(\mathbf{y})| \leqslant \varepsilon \|\nabla T\|_{B(\mathbf{y}, \varepsilon)} \leqslant \frac{A_6 \varepsilon}{|\mathbf{y}|^{N}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, получаем
$$
\begin{equation*}
|g^{\varepsilon}_{\varphi}(\mathbf{0})-g^{\varepsilon}(\mathbf{0})| \leqslant \int S^{\varepsilon}_{\varphi}(\mathbf{y})\, d\mu (\mathbf{y}) \leqslant \int_{B(\mathbf{0}, 2\varepsilon)}\frac{A_2+A_3}{\varepsilon^{N-1}}\, d\mu (\mathbf{y})+\int_{|\mathbf{y}|> 2\varepsilon}\frac{A_6 \varepsilon}{|\mathbf{y}|^{N}}\, d\mu (\mathbf{y}).
\end{equation*}
\notag
$$
Первый интеграл в правой части последнего неравенства оценивается нужной константой по лемме 4.3. Оценим второй (последний) интеграл. Пусть $M(r)= \mu (B(\mathbf{0}, r))$. Функция $M(r)$ – неубывающая ограниченная на $[0, +\infty)$ с условием $M(r)\leqslant Ar^{N-1}$, поэтому последний интеграл можно оценить интегрированием по частям:
$$
\begin{equation*}
A_6 \varepsilon\int_{2\varepsilon}^{+\infty} r^{-N}\, dM(r)=A_6 \varepsilon \frac{M(2\varepsilon)}{(2\varepsilon)^N}+A_6 \varepsilon N \int_{2\varepsilon}^{+\infty} \frac{M(r)}{r^{N+1}}\, dr \leqslant A.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 4.4 доказана. Окончание доказательства леммы 4.2 проходит по схеме доказательства леммы 3.3 из [9; с. 46 (с. 523 в переводе)], но в конце есть определенная специфика, для которой требуется согласование обозначений. Поэтому мы подробно обсудим его для независимости и полноты, используя более близкую к нашему изложению и доступную литературу [25]. Указанная схема использовалась и для других емкостей [20; теорема 5.3]. Мы можем считать, что $\|\nabla f\|=1$, $f=\Phi_\mathcal{L}*\mu$. В условиях леммы 4.2 и по лемме 4.4 мы можем воспользоваться $T(1)$-теоремой (см., например, [25; теорема 9.41]), согласно которой оператор $T_{\mu}\colon h \to T*(h\mu)$ ограничен в $L^2(\mu)$ (с нормой, оценивающейся через $N$, $\mathcal{L}$). Тогда из оценок (4.6)–(4.8) и [25; теоремы 2.5 и 2.16]) вытекает, что оператор свертки $\nu \to T*\nu$ (и, значит, его сопряженный $\nu \to -T*\nu$ и “сглаженный” оператор $\nu \to T_{\varphi}*\nu$) ограничен из пространства комплексных зарядов с ограниченной вариацией $\mathcal{M}(\mathbb{R}^N)$ в пространство $L^{1,\infty}(\mu)$, т. е. справедливы оценки
$$
\begin{equation*}
\mu(\{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^N\mid |T^{\varepsilon}*\nu (\mathbf{x})|>\lambda\})\,{\leqslant}\, \frac{A_7 \|\nu\|}{\lambda},\qquad \mu(\{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^N\mid |T_{\varphi}*\nu (\mathbf{x})|>\lambda\}) \,{\leqslant}\, \frac{A_7 \|\nu\|}{\lambda},
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\varepsilon>0$, $\lambda>0$ и $\nu \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^N)$. Теперь мы (при каждом $\varepsilon$) можем применить [13; лемма 4.2] для системы операторов свертки с непрерывными ядрами $T_{n\varphi}=\varphi*T_n$ (где $T_n(\mathbf{x})=\partial \Phi_\mathcal{L}(\mathbf{x})/\partial x_n $), $n \in \{1, \dots, N\}$. Нетрудно видеть, что достаточно установить утверждение леммы 4.2 для компактов $E \subset \operatorname{Spt} \mu$ c условием $0<\mu(E) <+\infty$. Фиксируем такой компакт $E$. Для любого $\varepsilon>0$ по [13; лемма 4.2] найдется $\mu$-измеримая функция $h^{\varepsilon}\colon \operatorname{Spt} \mu\to[0,1]$ такая, что $h^{\varepsilon}=0$ на $\operatorname{Spt} \mu \setminus E$ и
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \int h^\varepsilon\, d\mu \geqslant \frac1{2}\,\mu(E), \nonumber \\ \|T_{n\varphi}*(h^{\varepsilon} \mu)\| \leqslant A_8,\qquad n \in \{1, \dots, N\}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Заметим, что $T_{n\varphi}*(h^{\varepsilon} \mu)=T_n*\mu^{\varepsilon}$, где $d\mu^{\varepsilon}_\mathbf{x}=\varphi*(h^\varepsilon \mu)(\mathbf{x})\, d\mathbf{x}$, причем
$$
\begin{equation}
\int d\mu^{\varepsilon}=\int h^\varepsilon\, d\mu \geqslant \frac1{2}\,\mu(E),
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
а функция $f^{\varepsilon}=\Phi_\mathcal{L}*\mu^{\varepsilon}$ принадлежит классу $C^{\infty}(\mathbb{R}^N)$ и (ввиду (4.9)) удовлетворяет оценке $\|\nabla f^{\varepsilon}\|\leqslant \sqrt{N}\, A_8$. Из равностепенной непрерывности семейства $\{f^{\varepsilon}\}_{\varepsilon \in (0,1)}$ следует, что найдется последовательность $\varepsilon_m \to 0+$ при $m \to +\infty$ такая, что последовательность функций $f_m=f^{\varepsilon_m}$ сходится равномерно к функции $f_0$ класса $\operatorname{Lip}^1(\mathbb{R}^N)$, $\|\nabla f_0\| \leqslant \sqrt{N}\, A_8$, причем (выбирая, если надо, подпоследовательность) последовательность мер $\mu_m=\mu^{\varepsilon_m}=\mathcal{L}f_m$ слабо сходится к некоторой мере $\mu_0$. Ясно, что $\mu_0=\mathcal{L}f_0$, $\operatorname{Spt} \mu_0 \subset E$ и из (4.10) имеем $\mu_0(E) \geqslant \mu(E)/2$. Из определения емкости $\gamma^+_{1 \mathcal{L}} (E)$ сразу следует, что
$$
\begin{equation*}
\mu(E) \leqslant 2 \mu_0(E) \leqslant 2\sqrt{N}\, A_8 \gamma^+_{1 \mathcal{L}} (E).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 4.2 и предложение 4.3 доказаны. Таким образом, для $\gamma_{1\mathcal{L}}$-емкостей (случай $\alpha_{1\mathcal{L}}$-емкостей здесь не обсуждается) задача 4.1 разбивается на следующие более простые задачи ($N \geqslant 3$). Задача 4.2. Для каких $\mathcal{L}$ найдется $A=A(\mathcal{L})\geqslant 1$ с условием $\gamma_{1 \mathcal{L}} (E) \leqslant A \gamma^+_{1 \mathcal{L}} (E)$ для всех ограниченных множеств $E \subset \mathbb{R}^N$? (Для таких $\mathcal{L}$ емкость $\gamma_{1 \mathcal{L}} (\,{\cdot}\,)$ будет счетно полуаддитивна.) Задача 4.3. Для каких $\mathcal{L}$ найдется $A=A(\mathcal{L})\geqslant 1$ с условием $A^{-1}\gamma^+_{1 \mathcal{L}} (E) \leqslant \gamma^+_{1 \Delta} (E) \leqslant A\gamma^+_{1 \mathcal{L}} (E)$ для всех ограниченных множеств $E \subset \mathbb{R}^N$? Насколько это известно, в задаче 4.2 пока изучен только случай $\mathcal{L}=\Delta$, см. [20]. Автор выражает глубокую благодарность рецензенту за его труд по ознакомлению с этой работой и ряд очень важных замечаний и исправлений. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Par21} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|