| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Базис частично коммутативной метабелевой группы Е. И. Тимошенкоab a Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск b Новосибирский государственный технический университет
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9034 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеИсследования групп, заданных порождающими элементами и определяющими соотношениями, составляют самостоятельную обширную область, традиционно называемую комбинаторной теорией групп. Теория характеризуется специфическим кругом задач, многие из которых имеют свои аналоги в алгебраической топологии. Упомянутый метод задания группы через порождающие элементы и определяющие соотношения также происходит из топологии. Значительная часть исследований обозначается как геометрическая теория групп. Исследования в комбинаторной теории групп интенсивно ведутся со второй половины 20-го столетия. В комбинаторной теории групп можно выделить группы, задания которых так или иначе обуславливаются некоторыми графами, построенными на порождающих элементах как на вершинах. Одним из наиболее известных и исследуемых классов таких групп является класс групп Артина, включающий в себя группы кос, правоугольные группы Артина, группы Коксетера и некоторые другие классы групп. Правоугольные группы Артина называются еще свободными частично коммутативными или графовыми группами. Это интересный и активно изучаемый класс групп. Пусть $\Delta = \langle X; E\rangle$ – граф, где $X = \{x_1,\dots,x_r\}$ – множество вершин, а $E \subseteq X \times X$ – множество ребер. Всюду в дальнейшем рассматриваются только конечные неориентированные графы без петель. Свободная частично коммутативная группа $F_\Delta$ имеет следующее представление:
$$
\begin{equation*}
F_\Delta = \langle X; x_ix_j = x_jx_i,\text{ если }(x_i,x_j) \in E \rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Класс свободных частично коммутативных групп включает в себя разные группы от свободных до свободных абелевых. Они имеют приложения не только в различных областях математики, но также в компьютерных науках и робототехнике. Эти группы изучались в работах Баудиша, Дромса, Серватиуса, Ремесленникова, Данкина, Казачкова, Касалс–Руис и других авторов (см., например, обзор [1]). В последние годы активно исследуются частично коммутативные группы в многообразиях. Для любого многообразия $\mathfrak M$ и графа $\Delta$ частично коммутативная группа $F(\mathfrak M, \Delta)$ имеет представление
$$
\begin{equation*}
F(\mathfrak M, \Delta) = \langle X \mid x_i x_j = x_j x_i, \text{ если }(x_i,\,x_j) \in E;\,\mathfrak M\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично определяются другие частично коммутативные структуры, такие как алгебры, кольца и т.п. Частично коммутативные группы в многообразиях разрешимых и нильпотентных групп изучались Ремесленниковым, Трейером, Мищенко, Гуптой, автором и другими. Они исследовали структуру частично коммутативных метабелевых и нильпотентных групп, их группы автоморфизмов, универсальные и элементарные теории. Часть результатов в этой области, полученных автором, вошла в монографию [2]. Данная работа посвящена нахождению базиса частично коммутативной метабелевой группы. Она опирается на работу автора [3], где полностью решены задачи построения базиса и нахождения канонической записи элементов для частично коммутативной нильпотентной метабелевой группы. Для элементов $g_1$, $g_2$ произвольной группы $G$ через $[g_1,g_2]$ обозначим их коммутатор $g_1^{-1}g_2^{-1}g_1g_2$. При $n \geqslant 3$ положим
$$
\begin{equation*}
[g_1,g_2,\dots, g_n]= [[g_1,g_2,\dots,g_{n-1}], g_n].
\end{equation*}
\notag
$$
Многообразие $\mathfrak N_c$ нильпотентных групп ступени нильпотентности не выше $c$, $c \geqslant 1$, состоит из групп, удовлетворяющих тождеству Многообразие метабелевых групп $\mathfrak A^2$ задается тождеством Многообразие $\mathfrak M_c$ является пересечением многообразий $\mathfrak A^2 \bigcap \mathfrak N_c$.Для упрощения записи используем обозначение $M_\Delta$ для группы $F(\mathfrak A^2, \Delta)$ и $G_{\Delta,c}$ для группы $F(\mathfrak M_c, \Delta)$. Построение базисов с возможностью канонической записи элементов является важным шагом для изучения свойств групп и алгебр. Для свободных частично коммутативных групп каноническая запись элементов указана, например, в [4]. Она основана на представлении элементов группы в виде произведения коммутирующих между собой блоков. Базис частично коммутативной двуступенно нильпотентной $\mathbb Q$-группы указан в [5]. Базис частично коммутативной метабелевой группы до сих пор не был известен. В [3] приведен мальцевский базис для частично коммутативной метабелевой нильпотентной группы. Это позволило определить нормальную форму записи для элементов группы и на ее основе исследовать в [6] свойства и универсальную теорию группы. Пусть $G$ – метабелева (неабелева) группа. Ее коммутант $G'$ – нетривиальная абелева группа, на которой $G$ действует сопряжениями: $c \mapsto g^{-1}cg$, $g \in G$, $c \in G'$. Так как элементы из $G'$ действуют тождественно, то $G'$ является правым модулем над целочисленным групповым кольцом $\mathbb Z[\overline{G}]$ группы $\overline{G} = G/G'$. Результат действия элемента $\overline{g} = gG'$ на элемент $c \in G'$ будем обозначать $c^{\overline{g}}$. Отметим, что
$$
\begin{equation*}
c^{-\overline{g}} = (c^{-1})^{\overline{g}}= (c^{\overline{g}})^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для элементов $\alpha = \pm\overline{g}_1 \pm \dots \pm \overline{g}_m \in \mathbb Z[\overline{G}]$ и $c \in G'$ полагаем
$$
\begin{equation*}
c^\alpha = c^{\pm \overline{g}_1} \cdots c^{\pm\overline{g}_m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Образ множества $Y \subseteq M_\Delta$ в группе $M_\Delta/M_\Delta'$ при естественном гомоморфизме $M_\Delta \to M_\Delta/M'_\Delta$ обозначим $\overline{Y}$. При изучении свойств частично коммутативных метабелевых групп и их универсальных теорий оказалась полезной следующая теорема. Теорема 1 (см. [7]). Пусть $c$ – неединичный элемент из коммутанта $M'_\Delta$. Тогда множество вершин $X$ графа $\Delta$ можно разбить на две непересекающиеся части $X_1$ и $X_2$ так, что: 1) множество $X_1$ не пусто; 2) если $X_2$ не пусто, то найдется элемент $\gamma\,{\in}\,\mathbb {Z}[\overline{X}_1^{\pm1}]$ такой, что $[c^\gamma, X_1]\,{\neq}\,1$ и $[c^\gamma,X_2]=1$; 3) если в каждой компоненте связности $\Gamma_i$, $i=1,\dots,m$, графа $\Gamma$, порожденного множеством вершин $X_1$, зафиксировать произвольную вершину $y_i$, то элемент $c^\gamma$ записывается в виде
$$
\begin{equation*}
c^\gamma =\prod_{1 \leqslant i < j \leqslant m}[y_i,y_j]^{\alpha_{ij}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha_{ij} \in \mathbb {Z}[\overline{X}_1^{\pm1}]$, причем элементы $\alpha_{ij}$ не зависят от фиксированных вершин $y_p$ при $p < i$; 4) указанная запись элемента $c^\gamma$ единственна при каждом фиксированном множестве вершин $Y=\{y_1,\dots,y_m\}$. В [8] явно найден базис частично коммутативной метабелевой алгебры Ли, а в [9] с использованием базиса Грёбнера–Ширшова также явно определен базис частично коммутативной алгебры Ли и частично коммутативной нильпотентной алгебры. Во всех случаях алгебры рассматривались над областью целостности. Ранее в [10] был указан базис частично коммутативной алгебры Ли. В настоящей работе явно указан базис коммутанта частично коммутативной метабелевой группы (теорема 4). Базис зависит не только от определяющего графа группы, но и от того порядка, который мы определим на множестве вершин графа. Базис позволяет найти однозначную запись элементов группы (следствие 1). § 2. Предварительные сведенияПусть $G$ – метабелева (неабелева) группа, $c \in G'$, $g \in G$. Тогда
$$
\begin{equation}
[c, g] = c^{\overline{g} -1}, \qquad [c, g^{-1}] = [c, g]^{-1} [c, g, g^{-1}]^{-1}.
\end{equation}
\tag{1}
$$
В любой группе выполняется тождество Холла–Витта (см., например, [11; с. 119]). Очевидным следствием этого тождества в произвольной метабелевой группе является тождество Якоби Пусть $g$, $h$, $f$ – элементы из группы $G$. Тогда
$$
\begin{equation}
[g,h]^{\overline{f}} = [g, h] [f,h]^{\overline{g}-1}[g,f]^{\overline{h}-1}.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Если $[g,f]=1$, то из (3) получим
$$
\begin{equation}
[g, h]^{\overline{f}} = [g, h] [f, h]^{\overline{g}-1},\qquad [g,h]^{(\overline{f})^{-1}} = [g, h][f, h]^{\overline{g}-1}[f,h]^{(\overline{f}-1)(1-\overline{g})}.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Сформулируем некоторые нужные нам свойства группы $M_\Delta$. Предложение 1 (см. [12]). 1) Группы $M_\Delta$ и $M_\Delta/M_\Delta'$ не содержат элементов конечного порядка. 2) Пусть $\Gamma$ – подграф графа $\Delta$, порожденный подмножеством $Y$ множества вершин $X$ графа $\Delta$. Тогда группа $M_\Gamma$ является ретрактом группы $M_\Delta$. При ретракции элементы $y \in Y$ отображаются тождественно, а остальные порождающие из $X$ отображаются в единицу группы $M_\Gamma$. Определим для любых несмежных вершин $x_i, x_j$ определяющего графа $\Delta$ идеал $\mathcal A_{i,j}$ кольца $R = \mathbb Z[M_\Gamma/M_\Gamma']$. Если вершины лежат в разных компонентах связности графа $\Delta$, то положим $\mathcal A_{i,j} = 0$. В противном случае рассмотрим все пути между вершинами $x_i$, $x_j$. Каждому пути $\{x_i, x_{i_1},\dots,x_{i_m}, x_j\}$ поставим в соответствие элемент $(1 - x_{i_1}M_\Delta')\cdots (1 - x_{i_m}M_\Delta')$ кольца $R$. Породим этими элементами идеал $\mathcal A_{i,j}$. Следующая теорема дает описание аннуляторов для коммутаторов $[x_i, x_j]$. Теорема 2 (см. [12]). Если вершины $x_i$, $x_j$ не смежны в графе $\Delta$, то аннулятор элемента $[x_i, x_j]$ совпадает с идеалом $\mathcal A_{i,j}$. Напомним определение мальцевского базиса конечно порожденной нильпотентной группы без кручения $G$ (см., например, [13]). Как известно, в такой группе существует центральный ряд с бесконечными циклическими факторами. Выберем элементы $a_1,\dots, a_s$ из $G$ с условиями $G_i = \langle a_i,G_{i+1}\rangle$. Упорядоченная система элементов $(a_1,\dots, a_s)$ называется мальцевским базисом группы $G$. Каждый элемент $g \in G$ однозначно записывается в виде
$$
\begin{equation}
g = a_1^{t_1}\cdots a_s^{t_s},\qquad t_i \in \mathbb {Z}.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Мальцевский базис $\mathcal B(G_{\Delta,c})$ для группы $G_{\Delta,c}$ построен в работе [3] автора. Мы будем использовать следующие обозначения из этой работы. Пусть $ v(x_{i_1}, \dots, x_{i_m})$ – запись некоторого элемента $v \in G_{\Delta,c}$ через множество $X$, причем вершины $x_{i_1}, \dots, x_{i_m}$ действительно встречаются в этой записи. Тогда обозначим $\sigma(v) = \{ x_{i_1}, \dots, x_{i_m}\}$. Подчеркнем, что определение множества $\sigma(v)$ зависит не только от элемента $v$, но и от его записи через заданные порождающие элементы группы. Через $\Delta_v$ обозначен подграф $\Delta$, порожденный множеством вершин $\sigma(v)$. Компоненту связности графа $\Delta_v$, содержащую вершину $x \in \sigma(v)$, обозначаем $\Delta_{v,x}$. На множестве вершин $X$ определим порядок $x_1 < x_2 <\dots < x_r$. Наибольшую в этом порядке вершину в компоненте связности $\Delta_{v,x}$ обозначим $\max(\Delta_{v,x})$. Пусть $\mathcal B'(G_{\Delta,c})$ – множество коммутаторов веса $m$, $2 \leqslant m \leqslant c$, группы $G_{\Delta,c}$ вида удовлетворяющих следующим условиям:1) $1 \leqslant j_2 \leqslant j_3 \leqslant \dots \leqslant j_m \leqslant r$, $j_2 < j_1\leqslant r$; 2) вершины $x_{j_1}$ и $x_{j_2}$ лежат в разных компонентах связности графа $\Delta_v$, построенного по записи (6); 3) $x_{j_1} = \max (\Delta_{v, x_{j_1}})$. Теорема 3 (см. [3]). Множество элементов $\mathcal B(G_{\Delta,c}) = X \sqcup \mathcal B'(G_{\Delta,c})$ составляет мальцевский базис группы $G_{\Delta,c}$. Приведем эквивалентную формулировку этого результата, используемую в дальнейшем. Предложение 2. Для $m =2,\dots,c$ обозначим через $A_m$ подгруппу группы $G_{\Delta,c}$, порожденную коммутаторами веса $m$ из $\mathcal B'(G_{\Delta,c})$. Тогда коммутант $G'_{\Delta,c}$ разлагается в прямое произведение § 3. Доказательство основного результата Теорема 4. Пусть $X = \{x_1,\dots,x_r\}$ – множество вершин определяющего графа частично коммутативной метабелевой группы $M_\Delta$, на котором определен порядок $x_1 < x_2 < \dots < x_r$. Положим $a_i = x_iM'_\Delta$. Тогда множество $\mathcal B'(M_\Delta)$ элементов $v$ вида образует базис коммутанта $M'_\Delta$. При доказательстве теоремы 4 будем использовать некоторые вспомогательные результаты. Лемма 1 (см. [14]). Пусть $G$ – метабелева группа, порожденная некоторым конечным множеством элементов $\{g_1,\dots,g_r\}$. Обозначим через $a_i$ образ элемента $g_i$ в абелевой группе $A = G/G'$. Тогда элементы вида $[g_i, g_j]^a$, $1 \leqslant j < i \leqslant r$, $a \in A_j = \langle a_j, \dots, a_r\rangle $, порождают коммутант (как $\mathbb Z$-модуль). Лемма 2. Пусть граф $\Delta_q$ получается из определяющего графа $\Delta$ удалением вершины $x_q$ и инцидентных ей ребер. Порядок, определенный на множестве вершин $X$ графа $\Delta$, индуцирует порядок на множестве вершин графа $\Delta_q$. Тогда ретракция $\varphi_q$ группы $M_\Delta$ на группу $M_{\Delta_q}$, определенная на множестве $X$ правилом $\varphi_q(x) = x$, если $x \in X \setminus \{x_q\}$ и $\varphi_q(x_q) = 1$, отображает множество $ \mathcal B'(M_\Delta)$ на множество $ \mathcal B'(M_{\Delta_q})$. Доказательство. Пусть $\varphi_q(v) = v'$. Каждая компонента связности подграфа $\Delta_{v'}$ графа $\Delta_q$ лежит в компоненте связности подграфа $\Delta_{v}$ графа $\Delta$. Поэтому элемент $v'$ удовлетворяет всем условиям, которым обязаны обладать элементы из множества $\mathcal B'(M_{\Delta_q})$. Отсюда следует справедливость леммы. Лемма 3. Пусть – элемент из множества $ \mathcal B'(M_\Delta)$, где $l_1,\dots, l_m$ – неотрицательные числа. Положим $c = l_1 + \dots +l_m + 2$. Тогда образ элемента $v$ в группе $G_{\Delta,c}$ при каноническом гомоморфизме $M_\Delta \to G_{\Delta,c}$ представим в виде где каждая вершина $x_{j_q}$, $1 \leqslant q \leqslant m$, встречается в записи коммутатора $[x_i, x_j, x_{j_1},\dots,x_{j_1}, \dots,x_{j_m}, \dots,x_{j_m}]$ точно $l_q$ раз, а элемент $v'$ записывается в виде произведения коммутаторов веса не выше $c-1$. Доказательство. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v &= [x_i, x_j]^{((a_{j_1}-1)+1)^{l_1}\cdots ((a_{j_m}-1)+1)^{l_m}} = [x_i, x_j]^{(a_{j_1}-1)^{l_1}\cdots (a_{j_m}-1)^{l_m}}\cdots [x_i, x_j] \nonumber \\ &=[x_i, x_j, x_{j_1}, \dots, x_{j_1}, \dots,x_{j_m}, \dots,x_{j_m}]\cdots [x_i, x_j], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9}
$$
где многоточие означает произведение коммутаторов веса $s$, $3 \leqslant s \leqslant c-1$. Лемма доказана. Доказательство теоремы 4. Установим вначале, что элементы из множества $\mathcal B'(M_\Delta)$ независимы над $\mathbb Z$. Предположим обратное. Пусть $v_1,\dots, v_q$ – различные элементы из $ \mathcal B'(M_\Delta)$ и между ними существует нетривиальная зависимость
$$
\begin{equation}
\prod_{s=1}^q v_s^{l_s} = 1, \qquad l_s \in \mathbb Z.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Сведем (10) к случаю, когда $\sigma(v_1) = \dots = \sigma(v_q) = X$. Для этого среди множеств $\sigma(v_1), \dots, \sigma(v_q)$ выберем минимальное по включению. Пусть, например, это множество $\sigma(v_1)$. Рассмотрим определенный в лемме 2 гомоморфизм $\varphi_1 $ группы $M_\Delta$ на группу $M_{\Delta_{1}}$, при котором каждый элемент, соответствующий вершине подграфа $\Delta_1$ графа $\Delta$, отображается на себя, а остальные элементы из множества порождающих группы $M_\Delta$ отображаются в $1$:
$$
\begin{equation*}
\varphi_1(x) = \begin{cases} x, &\text{если }x \in \sigma(v_1), \\ 1, &\text{если }x \notin \sigma(v_1). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что по лемме 2
$$
\begin{equation*}
\varphi_1(\mathcal B'(M_\Delta)) = \mathcal B'( M_{\Delta_1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Применим $\varphi_1$ к (10) и получим нетривиальную зависимость между неединичными элементами из множества в группе $M_{\Delta_1}$. Обозначим эту зависимость как в (10), только теперь $\sigma(v_1) = X$. Выберем из множеств $\sigma(v_2), \dots, \sigma(v_q)$ минимальное по включению и продолжим процесс. Мы придем к нетривиальной зависимости (10), в которой $\sigma(v_1) = \dots = \sigma(v_q) = X$. Из определения множества $ \mathcal B'(M_\Delta)$ (точнее из первого условия) следует, что вторая вершина $x_j$ в коммутаторе $[x_i, x_j]$ всегда равна $x_1$. Отсюда получаем, что все элементы $v \in \{v_1,\dots, v_q\}$ имеют вид
$$
\begin{equation*}
v = [x_{i(v)}, x_1]^{a_{(v)}},\qquad a_{(v)} \in \pm A.
\end{equation*}
\notag
$$
Можно считать, что $a_{(v)} \in A$ для всех $v$. Выберем натуральное число $l$ так, что в разложении каждого из элементов $a_{(v)}(a_1\cdots a_r)^l$ по базису $\{a_1,\dots, a_r\}$ все показатели неотрицательные. Сопрягая обе части равенства (10) элементом $(x_1x_2\cdots x_r)^l$, придем к случаю, когда все показатели в разложении элементов $a_{(v)}$ по базису $\{a_1,\dots, a_r\}$ неотрицательные. По лемме 3 каждый элемент $v \in \{v_1,\dots, v_q\}$ можно представить в виде (9). Из сумм показателей в разложении элементов $a_{(v)}$ по базису выберем наибольшую. Пусть эта сумма равна $d$ и положим $c = d+2$. Из зависимости (10) элементов $v_1, \dots,v_q$ получаем зависимость их образов в группе $G_{\Delta,c}$. Каждый элемент $v_s$ можно разложить в произведение (8) коммутаторов, как это сделано в лемме 3. При этом, как легко видеть, все коммутаторы в разложении (8) принадлежат множеству $\mathcal B'(G_{\Delta,c})$. Итак, $v_s = v_{s,2} \cdots v_{s,c}$, где $v_{s,p}$ – произведение коммутаторов веса $p$ из множества $\mathcal B'(G_{\Delta,c})$, т. е. $v_{s,p}$ – элемент из подгруппы $A_p$, которая определена в предложении 2. Поэтому из зависимости элементов $v_1, \dots, v_q$ в $M_\Delta$ следует зависимость элементов $v_{1,p},\dots, v_{q,p}$ в $G_{\Delta,p}$ для любого $p = 2,\dots,c$. Но неединичные элементы из множества $v_{1c},\dots, v_{q,c}$ независимы, так как они, как легко видеть, различны и лежат в множестве $\mathcal B'(G_{\Delta,c})$. Следовательно, элементы $v_1, \dots, v_q$ независимы в группе $M_\Delta$.
Докажем вторую часть теоремы, а именно установим, что элементы из множества $ \mathcal B'(M_\Delta)$ порождают коммутант группы $M_\Delta$. По лемме 1 достаточно проверить, что каждый неединичный элемент вида $v = [x_i, x_j]^a, 1 \leqslant j < i \leqslant r$, $a \in A_j = \langle a_j, \dots, a_r\rangle $ можно выразить через элементы из $ \mathcal B'(M_\Delta)$. Элемент вообще говоря, не лежит в множестве $ \mathcal B'(M_\Delta)$. Это может произойти в двух случаях:1) вершины $x_i$, $x_j$ лежат в одной компоненте связности графа $\Delta_v$; 2) вершина $x_i$ не является наибольшей в своей компоненте связности графа $\Delta_v$. Рассмотрим отдельно оба случая. Случай 1. Предположим, что в запись элемента $a$ через базис $\{a_1,\dots, a_r\}$ свободной абелевой группы $A = M_\Delta/M'_\Delta$ элементы $a_{j_1},\dots, a_{j_m}$ входят с ненулевыми показателями $t_1,\dots,t_m$ и $L = \{x_i, x_{j_1},\dots, x_{j_m}, x_j\}$ некоторый путь между вершинами $x_i$, $x_j$ в графе $\Delta_v$. Для элемента $a = a_1^{t_1}\cdots a_r^{t_r}$ обозначим Дальнейшее доказательство в первом случае проведем индукцией по $|a|$.Если $|a| = 0$, то вершины $x_i$ и $x_j$ смежны в $\Delta$, т. е. $v=1$. Пусть $|a| = 1$. Тогда $a = a_q^{\pm 1}$. Так как $L = \{x_i,x_q, x_j\}$ – путь, то $[x_i, x_q] = [x_q, x_j]=1$ и, следовательно, $[x_i, x_j]^a = [x_i, x_j] \in \mathcal B'(M_\Delta)$. Предположим, что все элементы $v = [x_i, x_j]^a$, где $j < i$, $a \in A_j$, $|a| < l$, принадлежат группе, порожденной множеством $ \mathcal B'(M_\Delta)$. Рассмотрим элемент $v = [x_i,x_j]^a$, для которого $|a| = l$. Выберем числа $\varepsilon_q$, $q= 1,\dots,m$, следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_q = \begin{cases} 1, &\text{если }l_q > 0, \\ -1, &\text{если }l_q < 0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
a' = {(a_{j_1}^{\varepsilon_1} \cdots a_{j_m}^{\varepsilon_m})}^{-1}a.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $|a'| = |a| - m$. Имеем,
$$
\begin{equation*}
v = [x_i,x_j]^{a'((a_{j_1}^{\varepsilon_1} -1) +1)\cdots ((a_{j_m}^{\varepsilon_m} -1)+1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получается следующая запись для элемента $v$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v &= [x_i, x_j]^{a'(a_{j_1}^{\varepsilon_1}-1)\cdots (a_{j_m}^{\varepsilon_m}-1)}[x_i,x_j]^{a'(a_{j_2}^{\varepsilon_1}-1)\cdots (a_{j_m}^{\varepsilon_m}-1)} \nonumber \\ &\qquad\times\cdots\times [x_i,x_j]^{a'(a_{j_1}^{\varepsilon_1}-1)\cdots(a_{j_{m-1}}^{\varepsilon_{m-1}}-1)}\cdots [x_i,x_j]^{a'}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
$$
Из теоремы 2 следует, что элемент $(a_{j_1}^{\varepsilon_1}-1)\cdots (a_{j_m}^{\varepsilon_m}-1)$ аннулирует коммутатор $[x_i, x_j]$. Элемент (12) расписывается как произведение элементов вида $[x_i,x_j]^{\pm b}$, где $b \in A_j$ и $|b| <l$. По индукционному предположению элемент (12) лежит в подгруппе, порожденной множеством $ \mathcal B'(M_\Delta)$. Случай 2. Пусть $v = [x_i, x_j]^a$ и вершина $x_i$ не является наибольшей в своей компоненте связности графа $\Delta_v$. Предположим, что $x_n = \max(\Delta_{v,x_i})$ и $L=\{x_i,x_{i_1},\dots, x_{i_m}, x_n\}$ – путь между вершинами $x_i$ и $x_n$ в $\Delta_v$. По ранее доказанному можно предполагать, что вершины $x_i$, $x_j$ лежат в разных компонентах связности графа $\Delta_v$. Случай 2.1. Элемент $a_{i_1}$ входит в запись элемента $a$ в отрицательной степени. Используем первую из формул (4). Получим
$$
\begin{equation*}
[x_i, x_j]^{a_{i_1}^{-1}} = [x_i, x_j] [x_{i_1}, x_j]^{a_i -1}[x_{i_1}, x_j]^{(a_{i_1}-1)(1- a_j)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, от элемента $[x_i, x_j]^{a_{i_1}^{-1}}$ мы перешли к элементам
$$
\begin{equation*}
[x_i, x_j],\quad [x_i, x_j]^{a_i},\quad [x_{i_1}, x_j],\quad [x_{i_1},x_j]^{a_{i_1}},\quad [x_{i_1},x_j]^{a_j},\quad [x_{i_1},x_j]^{a_{i_1}a_j},
\end{equation*}
\notag
$$
в записи которых не присутствуют отрицательные степени элементов $a_s$, $s=j,\dots,r$. Таким способом мы можем перейти к такой записи элемента $v$, которая не содержит отрицательных степеней элементов $a_j,\dots, a_r$.
Поэтому достаточно рассмотреть лишь случай, когда элементы $a_{i_1},\dots, a_{i_m}$ входят в запись $a$ в положительных степенях. Случай 2.2. Элемент $a_{i_1}$ входит в запись элемента $a$ в положительной степени. Воспользуемся второй из формул (4) для $g = x_i$, $h = x_j$, $f = x_n$. Получим
$$
\begin{equation*}
[x_i, x_j]^{a_{i_1}} = [x_i, x_j][x_i, x_{i_1}]^{a_{i_1}-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, элемент $[x_i, x_j]^{a_{i_1}}$ записывается в виде произведения элементов $[x_i, x_j]$, $[x_{i_1}, x_j]^{a_{i}}$, $[x_{i_1}, x_j]$. Фактически от элемента $[x_i,x_j]^{a_{i_1}}$ мы перешли к элементу $[x_{i_1}, x_j]^{a_{i}}$.
Далее, проделываем те же действия, которые мы совершили с элементами $x_i$, $x_{i_1}$, но уже с элементами $x_{i_1}$, $x_{i_2}$. На последнем шаге поменяем элементы $[x_{i_m}, x_j]^{a_n^{\pm1}}$ на элементы из множества $\mathcal B'(M_\Delta)$. Теорема доказана. Следствие 1. Пусть на множестве $\mathcal B'(M_\Delta)$ зафиксирован некоторый порядок. Тогда каждый элемент $g$ группы $M_\Delta$ можно однозначно записать в виде где $\alpha_i, \beta_j \in \mathbb Z$, $v_1< \dots < v_m$, $v_j \in \mathcal B'(M_\Delta)$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tim21} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|