| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Аппроксимации по мере: задача Дирихле, универсальность и гипотеза Римана Х. Фалькоa, П. М. Готьеb a Departamento de Análisis Matemático, Universidad de Valencia, Burjasot (Valencia), Spain b Département de mathématiques et de statistique, Université de Montréal, Montréal, Québec, Canada
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9033 
Реферативные базы данных:
    Анатолию Георгиевичу (от младшего из авторов) или Толе (от старшего) § 1. ВведениеВ своем замечательном обзоре по проблеме универсальности Карл-Госвин Гроссе-Эрдманн [1; c. 263] заметил, что понятие об универсальности в смысле сходимости по мере по существу присутствовало уже в статье Меньшова об универсальных тригонометрических рядах (1945). Аппроксимации гармоническими и голоморфными функциями по мере рассматривались в недавних работах [2] и [3]. В настоящей статье будет показано, что голоморфные и гармонические функции, являющиеся универсальными в смысле сходимости по мере, существуют и даже преобладают. Мы используем аппроксимации по мере для решения задачи типа Дирихле для гармонических функций на произвольных открытых подмножествах римановых многообразий. Задача типа Дирихле, которую мы решаем, – это задача Дирихле по мере, причем не во вполне классическом смысле меры, заданной на границе, а относительно меры на рассматриваемом открытом множестве, в смысле определения 1. Похожие результаты были ранее получены в [4] для голоморфных функций на произвольных открытых подмножествах римановых поверхностей. Мы также рассматриваем универсальность в смысле сходимости по мере для гармонических функций в $\mathbb R^n$ и для рядов Дирихле на (комплексной) плоскости. На любом римановом многообразии $M$ задана естественная объемная мера; будем обозначать объем борелевского подмножества $A$ многообразия $M$ через $\mu(A)$, подробно см. в [5]. Шар с центром $p$ и радиусом $r$ обозначим через $B(p,r)$. Для локально компактного хаусдорфова пространства $X$ обозначим через $X^*=X\cup\{*\}$ его (одноточечную) компактификацию по Александрову; здесь $*=*_X$ – идеальная точка. Скажем, что подмножество открытого множества $U$ ограниченно в $U$, если его замыкание в $U$ компактно. Под регулярным исчерпанием $X$ мы будем подразумевать такую последовательность $\{X_n\}$ компактных подмножеств $X$, в которой для каждого $n$ выполнено включение $X_n\subset X_{n+1}^0$, множество $X^*\setminus X_n$ связно и $X=\bigcup_{n=1}^\infty X_n$. Для множества $F\subset M$ через $H(F)$ обозначим семейство всех функций $u$ гармонических в некоторой (зависящей от $u$) окрестности $F$. Определение 1. Для граничной точки $p$ открытого множества $U\subset M$ и измеримого подмножества $A\subset U$ определим плотность $A$ относительно $U$ в точке $p$ формулой если указанный предел существует. Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\mu_U(A,p)=0, \quad \text{если и только если} \quad \mu_U(U\setminus A,p)=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Как мы уже упоминали, наша цель в этой работе – решение задачи типа Дирихле, адекватной этому определению. Статья имеет следующую структуру. В § 2 мы докажем наш результат по асимптотической задаче Дирихле. Конкретнее, мы покажем, что для заданного открытого подмножества риманова многообразия (римановой поверхности) и вещественной (соответственно комплексной) функции на его границе существует гармоническая (соответственно голоморфная) функция, определенная на этом множестве и стремящаяся к исходной функции вне подмножества, имеющего плотность $0$ в каждой граничной точке. В прочих параграфах мы приводим другие результаты, в которых возникают аппроксимации по мере; они не зависят от результата по асимптотической задаче Дирихле. Мы будем рассматривать функции, являющиеся универсальными по Биркгофу, т. е. функции, сдвиги которых плотны в том или ином смысле. Сначала, в § 3 мы исследуем гармоническую универсальность в смысле сходимости “по мере”, а именно, рассмотрим гармонические функции, являющиеся универсальными в смысле сходимости по мере. Последний параграф статьи посвящен универсальности “по мере” в ситуации функций, представимых рядом Дирихле в некоторой полуплоскости. В частности, мы докажем теорему об универсальности дзета-функции Римана в смысле сходимости по мере. Недавно Андерссон [6] установил замечательный результат о том, что некоторое усиление впечатляющей теоремы Воронина об универсальности дзета-функции Римана было бы равносильно естественному усилению теоремы Мергеляна, самого важного результата по приближениям в комплексной области. Примером аксиоматического описания естественного класса рядов Дирихле, для которых мог бы выполняться аналог гипотезы Римана, является класс Сельберга $S$. Стёйдинг [7] ввел похожий класс $\widetilde S$, на который распространяется теорема об универсальности. Мы обобщаем теорему Андерссона об эквивалентности на функции из пересечения $S\,{\cap}\,\widetilde S$ классов Сельберга и Стёйдинга; это пересечение включает в себя многие естественно возникающие ряды Дирихле и, в том числе, дзета-функцию Римана. § 2. Асимптотическая задача ДирихлеОсновным результатом настоящего праграфа является теорема 5. Этот результат был упомянут во введении и относится к асимптотической задаче Дирихле. В доказательстве будут использованы множества Рунге–Карлемана. Прежде всего напомним их определение. Обзор теории касательной гармонической аппроксимации на римановых многообразиях дан в статье [8], см. также цитированную в ней литературу. Определение 2. Пусть $F\subset U\subset M$, где $M$ – риманово многообразие, $U$ – открытое множество, а $F$ – относительно замкнутое подмножество $U$. Тогда $F$ называется множеством Рунге–Карлемана в $U$, если для каждой функции $u\in H(F)$ и любой положительной непрерывной функции $\epsilon$ на $F$ существует такая гармоническая функция $h\colon U\mapsto \mathbb R$, что $|h-u |<\epsilon$ на $F$. Первый результат работы – это замечание, обобщающее лемму 13 из [3]. Там приведено достаточное условие того, что множество является множеством Рунге–Карлемана, сформулированное в терминах локальной связности и локальной конечности. Множество называется локально связным, если у каждой точки есть базис окрестностей, состоящий из связных открытых множеств. Семейство подмножеств $E_j$ риманова многообразия $M$ называется локально конечным, если каждый компакт $K$ на $M$ пересекается только с конечным числом множеств $E_j$. Лемма 3. Пусть $F\subset U\subset M$, где $M$ – риманово многообразие, $U$ – открытое множество, а $F$ – относительно замкнутое подмножество $U$. Предположим, что множество $U^*\setminus F$ связно и локально связно, а $F$ – объединение непересекающихся компактов, образующих локально конечное семейство в $U$. Тогда $F$ – множество Рунге–Карлемана в $U$. Доказательство. В случае $U=M$, это лемма 13 из [3]. Общий случай получается применением упомянутой леммы к каждой компоненте связности $U$, поскольку все они – римановы многообразия. Нашим следующим результатом является геометрическая лемма. В сочетании с леммой 3 она оказывается центральным элементом доказательства теоремы 5. Лемма 4. Пусть $U$ – собственное открытое подмножество риманова многообразия $M$, а $C$ – связное компактное подмножество $U$, имеющее нулевой объем. Тогда для любого $\epsilon>0$ у $C$ существует такая связная окрестность $R$ в $U$, что для любых $p\in \partial U$ и $r>0$ выполняется неравенство Доказательство. Рассмотрим компактное подмножество $C'$ множества $U$ такое, что $C$ лежит внутри $C'$. Поскольку $C'$ – компакт в $U$, можно найти такое положительное число $h$, что $d(C',\partial U)>2h>0$ и, значит, для каждого $x\in C'$ множество $\overline{B(x,4h/3)}\subset U$ компактно. Пусть Докажем, что $V(h)>0$. Действительно, если бы $V(h)=0$, то можно было бы найти последовательности точек $\{\alpha_n\}$ и $\{\beta_n\}$, для которых $\mu(B(\alpha_n,h)\cap B(\beta_n,h))\to 0$ и $d(\alpha_n, \beta_n)=h$. В силу компактности $C'$ можно считать, что $\alpha_n\to \alpha\in C'$. Тогда для каждого целого $n$, превосходящего некоторое натуральное $n_0$, выполнено $d(\alpha_n,\alpha)<h/4$. Поскольку $d(\alpha,\beta_n)\leqslant d(\alpha,\alpha_n)+d(\alpha_n,\beta_n)$, для всех $n>n_0$ имеет место включение $\beta_n\in {B(\alpha, 5h/4)}\subset U$. В силу компактности $\overline{B(\alpha, 4h/3)}$ можно считать, что $\beta_n\to \beta\in \overline{B(\alpha, 5h/4)}\subset U$. Также можно считать, что $d(\beta_n,\beta)<h/4$. Тогда в $M$ существует путь $\sigma$ из $\alpha$ в $\beta$ длины $\ell(\sigma)<4h/3$. Этот путь лежит в $U$, так как $d(C',\partial U)>2h$. Для точки $\gamma$, движущейся по этому пути, имеем $\sigma=\sigma_{<\gamma}+\sigma_{>\gamma}$, где $\sigma_{<\gamma}$ – часть $\sigma$ от $\alpha$ до $\gamma$, а $\sigma_{>\gamma}$ – часть $\sigma$ от $\gamma$ до $\beta$. Имеем: $\ell(\sigma_{<\gamma})+\ell(\sigma_{>\gamma})=\ell(\sigma)<4h/3$. Функция $\ell(\sigma_{<\gamma})- \ell(\sigma_{>\gamma})$ точки $\gamma$ обращается в нуль для некоторого значения $\gamma$, поскольку она непрерывна, отрицательна при $\gamma=\alpha$ и положительна при $\gamma=\beta$. Эта точка $\gamma$ разбивает $\sigma$ на два пути равной длины, так что $d(\alpha,\gamma)<2h/3$ и $d(\gamma,\beta)<2h/3$. В силу неравенства треугольника, для всех $n>n_0$ Однако $\mu(B(\alpha_n,h)\cap B(\beta_n,h))\to 0$ при $n$ стремящемся к бесконечности, а $\mu(B(\gamma,h/12))>0$ (так как открытое множество имеет положительный риманов объем), что ведет к противоречию. Следовательно, $V(h)>0$.
Поскольку $\mu$ – регулярная мера, в качестве $R$ можно выбрать связную открытую окрестность $C$ в $U$, содержащуюся в $\epsilon$-окрестности $C$, лежащей в $C'$, причем меры меньшей $\epsilon V(h)$, где $\epsilon< d(C',\partial U)-2h$. Заметим, что $d(R,\partial U)>2h$. Мы утверждаем, что это множество имеет нужное свойство. Зафиксируем точку $p\in \partial U$ и число $r>0$. Если $R\cap B(p,r)=\varnothing$, то нужный результат автоматически выполнен, так что мы можем считать, что $R\cap B(p,r)\ne \varnothing$. Значит, $r>2h$. Зафиксируем $x\in R\cap B(p,r)$. В $M$ можно найти путь $\sigma$, соединяющий $x$ с $p$ и такой, что $2h<\ell(\sigma)<r$. На этом пути можно найти точку $y$, для которой $d(x,y)=h$. Поскольку $U$ – открытое множество, а $d(x,\partial U)\geqslant d(R,\partial U)>2h$, точка $y$ лежит в $U$. Вдобавок, $d(y,p)< \ell(\sigma)-d(x,y) < r-h$. Значит, $B(y,h)\subset B(p,r)$. Заметим, что поскольку $d(R,\partial U)>2h$, имеет место включение $B(x,h)\subset U$. С помощью соотношений $B(y,h)\subset B(p,r)$, $x\in C'$, $d(x,y)=h$ и определения $V(h)$ получаем
$$
\begin{equation*}
\mu\bigl(U\cap B(p,r)\bigr)\geqslant \mu\bigl(B(x,h)\cap B(p,r)\bigr)\geqslant \mu\bigl(B(x,h)\cap B(y,h)\bigr)\geqslant V(h).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, Мы подошли к основному результату параграфа. Теорема 5. Пусть $U$ – открытое подмножество риманова многообразия $M$, а $\varphi$ – непрерывная функция на $\partial U$. Тогда на $U$ существует гармоническая функция $\widetilde\varphi$ такая, что для каждой точки $p\in \partial U$, $\widetilde\varphi(x)\to \varphi(p)$ при $x\to p$ вне множества плотности $0$ в $p$ относительно $U$. Доказательство. Если $U=M$, то $\partial U=\varnothing$, так что доказывать нечего. С другой стороны, если $U\ne M$, то $\partial U\ne \varnothing$ (поскольку $M$ связно).
Прежде всего, продолжим $\varphi$ непрерывно на $\overline U$, сохраняя за продолжением то же обозначение. Пусть $\mathcal S=\{S_j\}_{j=0}^{\infty}$ – такое локально конечное семейство компактных, диффеоморфных шару областей $S_j$ в $U$ с гладкими границами, что $U=\bigcup_jS_j^0$ и $|S_j|<\operatorname{dist}(S_j,\partial U)$, где $|S_j|$ – диаметр $S_j$. Без ограничения общности можно считать, что ни один из этих компактов не лежит в другом. Пусть $C_j=\partial S_j$. По лемме 4 у $C_j$ есть открытая окрестность $R_j$ в $U$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\mu\bigl(R_j\cap B(p,r)\bigr)}{\mu\bigl(U\cap B(p,r)\bigr)} < \frac{1}{2^j}\quad \forall \, p\in \partial U.
\end{equation*}
\notag
$$
Можно считать, что каждая окрестность $R_j$ – это сферический слой с гладкой границей. Иными словами, в некоторых локальных координатах $R_j=\{x\in\mathbb R^n\colon \rho_j<\|x\|<1\}$, где $\|\,{\cdot}\,\|$ – евклидова норма. Также можно считать, что $|R_j|<\operatorname{dist}(R_j,\partial U)$ и семейство множеств $\{R_j\}$ локально конечно (заметим однако, что оно неограниченно). Положим $R=R_0\cup R_1\cup\cdots$. Поскольку рассматриваемые “шары” не лежат один в другом, если два из них пересекаются, то их границы тоже пересекаются, а значит, соответствующие сферические слои тоже пересекаются.
Докажем, что множество $R\cup \{*_U\}$ связно. Поскольку $R$ неограниченно в $U$, достаточно показать, что $R$ связно. Рассуждая стандартным образом, для любой пары шаров $S_i$ и $S_j$ из $\mathcal S$ существует конечная цепочка $S_{n_k}$, $k=1,\dots, \ell$, шаров из $\mathcal S$, в которой $S_{n_1}=S_i$, $S_{n_\ell}=S_j$, и $\partial S_{n_k}\cap \partial S_{n_{k+1}}\ne \varnothing$ при $k=1,\dots, \ell-1$. Ей соответствует цепочка сферических слоев $R_{n_k}$ от $R_i$ к $R_j$. Так что $R$ действительно связно, а значит, и множество $R\cup \{*_U\}$ связно. Покажем, что $R\cup \{*_U\}$ еще и локально связно. Поскольку очевидно, что $R$ локально связно, достаточно показать, что множество $R\cup \{*_U\}$ локально связно в идеальной точке $*_U$. Для этого достаточно построить базис окрестностей точки $*_U$ в $R\cup \{*_U\}$, состоящий из связных множеств $\{V_n\}_{n=1}^\infty$. Пусть $\{K_n\}_{n=0}^\infty$ – регулярное исчерпание $U$ компактами с гладкими границами. Тогда все множества $U^*\setminus K_n$ связны. Для каждого $n $ положим
$$
\begin{equation*}
Q_n=K_n\setminus \bigcup\{S^0_j\colon S^0_j\cap \partial K_n\ne \varnothing\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку семейство $\{S_j'\}_{j=0}^\infty$ локально конечно в $U$, $\{Q_n\}$ – компактное исчерпание $U$, причем
$$
\begin{equation*}
U^*\setminus Q_n = (U^*\setminus K_n)\cup \bigcup\{S^0_j\colon S^0_j\cap \partial K_n\ne \varnothing\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Раз $U^*\setminus K_n$ связно, а каждое множество $S^0$ из объединения выше пересекает $U^*\setminus K_n$, разность $U^*\setminus Q_n$ также связна. Значит, исчерпание $\{Q_n\}_{n=1}^\infty$ множества $U$ тоже регулярное. Заметим, что семейство $\{Q_n\}_{n=1}^\infty$ локально конечно в $U$, и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
V_n=(R\cup \{*_U\})\setminus Q_n=(R\setminus Q_n)\cup\{*_U\}
\end{equation*}
\notag
$$
– базис окрестностей точки $*_U$ в $R\,{\cup}\, \{*_U\}$. Покажем, что множества $V_n$ связные. Граница $\partial K_n$ компакта $K_n$ состоит из конечного числа связных компонент, каждая из которых является границей неограниченной в $U$ (поскольку $U^*\setminus K_n$ связно) связной компоненты $W_i$, $i=1,\dots,m$, своего дополнения. Положим
$$
\begin{equation*}
V_{n,i}= \{*_U\}\cup\bigcup\{R_j\colon S^0_j\cap\overline W_i\ne \varnothing\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку границы компонент связности компакта $K_n$ являются границами множеств $W_1, W_2,\dots$, имеет место равенство $V_n=V_{n,1}\cup\dots\cup V_{n,m}$. Чтобы показать связность $V_n$, достаточно показать, что каждое из множеств $V_{n,i}$ связно, так как все они имеют общую точку $*_U$. Значит, достаточно доказать связность неограниченного в $U$ множества
$$
\begin{equation}
\bigcup\{R_j\colon S^0_j\cap\overline W_i\ne \varnothing\}.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Таким образом, достаточно показать, что для двух сферических слоев $R_k$ и $R_\ell$ с тем свойством, что $S^0_k\cap \overline W_i\ne \varnothing$ и $S^0_\ell\cap \overline W_i\ne \varnothing$ найдется конечная цепочка слоев, соединяющая их. Однако мы знаем, что имеется конечная цепочка сферических слоев, соединяющая $R_k$ и $R_\ell$, пусть эти слои и не обязательно пересекают $\overline W_i$. Допустим, что это свойство пересечения действительно нарушено. Тогда мы можем следующим образом заменить цепочку другой, у которой есть это свойство. Первый сферический слой в цепочке – это $R_k$ и он имеет нужное свойство. Пусть $R_{\nu}$ – последний из слоев в цепочке, непосредственно следующих за $R_k$, у которых тоже есть это свойство. Поскольку и $R_{\ell}$ обладает этим свойством, среди слоев, непосредственно следующих за $R_\nu$ и не имеющих этого свойства пересечения, есть последний, $R_{\mu}$. “Шары” $S^0_\nu$ и $S^0_{\mu+1}$, соответствующие $R_\nu$ и $R_{\mu+1}$, пересекают границу $ \partial W_i$, которая линейно связна. Поэтому подцепочку от $R_\nu$ до $R_{\mu+1}$ можно заменить такой конечной цепочкой, что все соответствующие шары пересекают $\partial W_i$. Поскольку изначально $R_k$ и $R_\ell$ связаны конечной цепочкой, после конечного числа таких замен мы снова получим конечную цепочку сферических слоев с требуемым свойством пересечения. Это показывает, что множество (1) действительно связно, а значит, и $V_{n,i}$ связно. Поскольку это выполнено для каждого $V_{n,i}$ и все они содержат точку $*_U$, их объединение $V_n$ связно. Это завершает доказательство утверждения, что множество $R\cup\{*_U\}$ локально связное.
Пусть $F$ обозначает замкнутое множество $U\setminus R$. Покажем, что $F$ удовлетворяет условиям леммы 3. В качестве первого шага мы уже показали, что $U^*\setminus F=R\cup\{*_U\}$ связно и локально связно. Вспомним определение сферических слоев $R_j$ и представим каждый слой $R_j$ в виде $R_j= B_j\setminus S_j$, где $B_j$ – открытый топологический нар, содержащий замкнутый шар $S_j$. Положим $F_0\,{=}\,F\,{\cap}\, S_0$ и $F_j=(F\cap S_j)\setminus (B_0\cup\dots\cup B_{j-1})$ при $j>0$. Тогда $F=F_0\cup F_1\cup \cdots$. Семейство компактов $\{F_j\}_{j=0}^\infty$ локально конечно, так что $F$ действительно удовлетворяет условиям леммы 3. Возьмем теперь такую непрерывную функцию $\varepsilon\colon F\to (0,1]$, что $\varepsilon(x)\to 0 $ при $x\to\partial U$. В силу конструкции $F$, поскольку $F_j\subset S_j$ при $j=0,1,2,\dots$, семейство $\{F_j\}_{j=0}^\infty$ локально конечно и состоит из непересекающихся компактов, причем $|F_j|<d(F_j,\partial U)$. Для каждого компакта $F_{j}$ из $F$ выберем точку $x_{F_{j}}\in F_{j}$ и определим функцию $g$ на $F$ формулой
$$
\begin{equation*}
g(x)=\sum_{j=0}^\infty \varphi(x_{F_{j}})\chi_{F_{j}}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $g$ гармонична на $F$, поскольку она постоянна на каждом $F_j$. Так как $F$ – множество Рунге–Карлемана в $U$, $g$ можно приблизить функцией $\widetilde\varphi$ гармонической в $U$ так, чтобы $| g(x)-\widetilde\varphi(x)|<\varepsilon(x)$ при $x\in F$.
Докажем, что функция $\widetilde\varphi(x)$ такая, как требуется в теореме. Зафиксируем $p\in \partial U$ и выберем последовательность $\{x_{k}\}_{k=1}^{\infty}$ точек $F$, сходящуюся к $p$. Тогда $x_{k}\in F_{j_{k}}$ для некоторого компакта $F_{j_{k}}\subset F$. Рассмотрим последовательность $\{y_k\}_{k=1}^{\infty}$, где $y_k$ – точка из $F_{j_{k}}$, использованная в определении $g$. Имеем: $| F_{j_{k}}|\,{\to}\,0$, так что и в силу непрерывности $\varphi$ в точке $p$ выполнено соотношение
$$
\begin{equation*}
\limsup_{k\to\infty}| \widetilde \varphi(x_{k})-\varphi(p)| \leqslant\limsup_{k\to\infty}\bigl(| g(x_{k})-\varphi(p)|+\epsilon(x_{k})\bigr) =\limsup_{k\to\infty}| \varphi(y_k)-\varphi(p)|=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Остается показать, что у $F$ есть следующее свойство: для каждой точки $p\in \partial U$,
$$
\begin{equation*}
\mu_{U}(F,p)=\liminf_{r\to 0}\frac{\mu\bigl(B(p,r)\cap F\bigr)}{\mu\bigl(B(p,r)\cap U\bigr)}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Для этого покажем, что
$$
\begin{equation*}
\limsup_{r\to 0}\frac{\mu(B(p,r)\cap(U\setminus F))}{\mu(B(p,r)\cap U)}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем $p\in \partial U$ и $\epsilon>0$. Выберем $j_\epsilon$ так, чтобы Выберем такое $r_\epsilon>0$, что шар $B(p,r_\epsilon)$ не пересекает окрестности $R_j$ “сфер” $C_j$ при $j\leqslant j_\epsilon$. Тогда, поскольку $(U\setminus F)=\bigcup_j R_j$, для всех $r<r_\epsilon$ имеем
$$
\begin{equation*}
{\frac{\mu(B(p,r)\cap(U\setminus F))}{\mu(B(p,r)\cap U)}}\,{=}\, \frac{\mu\bigl(B(p,r)\cap\bigl(\bigcup_{j} R_j\bigr)\bigr)}{\mu(B(p,r)\cap U)}\,{\leqslant}\,\sum_{j>j_\epsilon}\frac{\mu(B(p,r)\cap R_j)}{\mu(B(p,r)\cap U)} \,{\leqslant}\,\sum_{j>j_\epsilon}2^{-j}\,{<}\,\epsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, $\mu$-плотность множества $U\setminus F$ относительно $U$ в точке $p$ не превосходит $\epsilon$. Поскольку $p$ и $\epsilon$ могут быть любыми, мы приходим к нужному результату. § 3. Гармоническая универсальность в смысле сходимости по мереСначала напомним следующую теорему об аппроксимациях по мере на некомпактных римановых многообразиях. Теорема 6 (см. [3; теорема 15]). Для каждого измеримого подмножества $E$ некомпактного риманова многообразия $M$ и для каждой измеримой функции $v \colon E\to \mathbb R$ существует такая последовательность $u_j\in H(M)$, что $u_j \to v$ по мере. Будем говорить, что гармоническая функция $u$ в $\mathbb R^n$ универсальна в смысле равномерной сходимости, если для каждой гармонической функции $v$ найдется такая последовательность $a_j\in\mathbb R^n$, что последовательность сдвигов $\{u(\,{\cdot}\,+a_j)\}$ сходится к $v$ равномерно на компактных подмножествах. Определение 7. Скажем, что измеримая функция $u$ в $\mathbb R^n$ универсальна в смысле сходимости по мере, если для каждой измеримой функции $v$ найдется такая последовательность векторов $a_j\in \mathbb R^n$, что последовательность сдвигов $u(\,{\cdot}\,{+}\,a_j)$ сходится к $v$ по мере на компактах. Следующим результатом мы показываем, что универсальность в смысле равномерной сходимости сильнее, чем универсальность в смысле сходимости по мере. Теорема 8. Если гармоническая функция универсальна в смысле равномерной сходимости, то она универсальна и в смысле сходимости по мере. Доказательство. Пусть $u$ – гармоническая функция в $\mathbb R^n$, универсальная в смысле равномерной сходимости, и пусть $v$ – измеримая функция. Зафиксируем компакт $K\subset \mathbb R^n$ и $\epsilon>0$. По теореме 6 найдется такая последовательность функций $\{u_j\}_{j=1}^\infty$, $u_j\in H(\mathbb R^n)$, что $u_j\to v$ по мере. Поскольку $u$ универсальна по Биркгофу, найдутся такие векторы $a_j\in \mathbb R^n$, $j=1,2,\dots$, что Выберем $j_\epsilon> \|x\|$ для всех $x\in K$. Тогда при $j>j_\epsilon$ имеем Поскольку $u_j\to v$ по мере, выражение справа стремится к $0$ при $j\to\infty$. Следовательно, $u(\,{\cdot}\,{+}\,a_j)$ сходится к $v$ по мере. Напомним, что подмножество топологического пространства называется множеством первой категории Бэра, если оно является счетным объединением нигде не плотных множеств. Множества, не относящиеся к первой категории, называются множествами второй категории Бэра. Подмножество $A$ топологического пространства $X$ называется остаточным в $X$, если само $X$ имеет вторую категорию, а разность $X\setminus A$ – первой категории, т. е. не только дополнение $X\setminus A$ относится к первой категории, но и само $A$ относится ко второй (поскольку объединение двух множеств первой категории также очевидно относится к первой категории). С топологической точки зрения можно считать, что остаточное подмножество топологического пространства содержит “б\‘ольшую часть” точек пространства. Пространство гармонических функций $H(\mathbb R^n)$ имеет вторую категорию по Бэру (в силу теоремы Бэра), а семейство функций из $H(\mathbb R^n)$, являющихся универсальными в смысле равномерной сходимости, как известно (к примеру, см. [9]) остаточное в $H(\mathbb R^n)$. Поскольку ясно, что множество, содержащее остаточное множество, само остаточное, мы немедленно получаем следствие. Следствие 9. Множество гармонических функций в $\mathbb R^n$, являющихся универсальными в смысле сходимости по мере, – остаточное подмножество пространства $H(\mathbb R^n)$. Теоремы 5 и 8 и следствие 9 остаются в силе, если рассматривать функции одного комплексного переменного вместо гармонических функций. Таким образом, все результаты по гармоническим функциям на римановых многообразиях верны и для голоморфных функций на открытой римановой поверхности с римановой метрикой; см. [4; теорема 4.4]. Более того, аналогичные результаты о сходимости по мере выполнены и для универсальных целых функций. Все доказательства остаются теми же, поскольку у всех использованных нами инструментов гармонических приближений есть аналоги в голоморфных приближениях. Аналогичные результаты верны и для функций нескольких комплексных переменных, хотя ситуация с несколькими комплексными переменными более тонкая, так как используемая теория приближений хуже развита. Мы рассмотрим эти вопросы в последующих работах. § 4. Универсальность рядов Дирихле в смысле сходимости по мереВ этом параграфе мы исследуем универсальность рядов Дирихле в смысле сходимости по мере в $\mathbb C$. Будем рассматривать функции $\mathcal L(s)$, представимые рядом Дирихле в некоторой полуплоскости $\sigma>\sigma_0$, где $s=\sigma+it$, причем $\sigma = \operatorname{Re} s$ и $t=\operatorname{Im}s$. Класс функций $\widetilde{\mathcal S}$, называемый иногда классом Стёйдинга (см. [7]), состоит из рядов Дирихле со следующими свойствами.(i) Голоморфное продолжение: существует вещественное число $\sigma_{\mathcal L} < 1$ такое, что ряд $\mathcal L(s)$ голоморфно продолжается в полуплоскость $\sigma > \sigma_{\mathcal L}$, за исключением возможного полюса при $s = 1$. (ii) Конечный порядок: существует такая константа $\mu_{\mathcal L}\geqslant 0$, что для любого фиксированного $s$ с $\operatorname{Re} s>\sigma_{\mathcal L}$ и любого $\varepsilon>0$,
$$
\begin{equation*}
{\mathcal L}(s+it)\ll | t|^{\mu_{\mathcal L}+\epsilon}\quad\text{при}\quad |t|\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где подразумеваемая константа в неравенстве может зависеть от $\epsilon$. (iii) Полиномиальное произведение Эйлера: существует такое натуральное $m$ и для каждого простого $p$ существуют такие комплексные числа $\alpha_{j} (p$), $1\,{\leqslant}\, j \,{\leqslant}\, m$, что
$$
\begin{equation*}
\mathcal L(s)=\prod_{p}\prod_{j=1}^{m}\biggl(1-\frac{\alpha_{j}(p)}{p^{s}}\biggr)^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
(iv) Сходимость средних квадратических по ряду простых чисел: существует положительная постоянная $k$, для которой
$$
\begin{equation*}
\lim_{x\to\infty} \frac{1}{\pi(x)}\sum_{p\leqslant x}| a(p)|^{2}=k.
\end{equation*}
\notag
$$
В определении класса $\widetilde{\mathcal S}$, данном Стёйдингом, присутствует еще одно условие, однако (как заметил Стёйдинг) оно вытекает из остальных условий. Заметим, что класс $\widetilde{\mathcal S}$ непуст. В частности, дзета-функция Римана $\zeta(s)$, $L$-функции Дирихле и дзета-функции Дедекинда входят в $\widetilde{\mathcal S}$. Для функции $\mathcal L$ из $\widetilde{\mathcal S}$ рассмотрим вопрос о сходимости ее средних квадратических на вертикальных прямых и пусть $\sigma_{m}$ – абсцисса сходимости средних квадратических функции $\mathcal L$ (см. [7; разд. 2.1]).В 1975 г. Воронин доказал впечатляющий результат об универсальности дзета-функции Римана в смысле равномерной сходимости, а затем Стёйдинг следующим образом распространил результат Воронина на класс $\widetilde{\mathcal S}$ рядов Дирихле (см. также [10]). Обозначим линейную меру Лебега через $m_1(\,{\cdot}\,)$, а плоскую меру Лебега через $m_2(\,{\cdot}\,)$. Теорема 10 (см. [7; теорема 5.14]). Пусть $\mathcal L\in \widetilde S$, пусть $K$ – компактное подмножество вертикальной полосы $\mathfrak S=\{ \sigma_m<\sigma <1\}$ со связным дополнением, а $g$ – непрерывная функция на $K$, отличная от нуля и голоморфная во внутренних точках $K$. Тогда для каждого $\epsilon > 0$, Для дзета-функции Римана из теорем 7.2 и 7.3 в [11] следует, что $\sigma_m\,{=}\,1/2$. Таким образом, для этой функции в правой половине фундаментальной полосы мы получаем универсальность в смысле равномерной сходимости, что совпадает с теоремой Воронина. Замечание 11. Заметим, что $\mathfrak S = \{\sigma_{m}<\sigma<1\}$, полоса универсальности функции $\mathcal L$, непуста, поскольку В первом результате этого параграфа для функций из $\widetilde{\mathcal S}$ мы установим свойство универсальности в смысле сходимости по мере. Теорема 12. Пусть $\mathcal L$ – функция из $\widetilde{\mathcal S}$. Рассмотрим вертикальную полосу $\mathfrak S = \{\sigma_{m}<\sigma<1\}$, ограниченное борелевское подмножество $A$ полосы $\mathfrak S$ и измеримую функцию $f$ на $A$. Тогда существует такая последовательность $\{t_n\}$ вещественных чисел, что функции $\mathcal L(\,{\cdot}\,{+}\,it_n)$ сходятся к $f$ по мере. Доказательство. Можно считать, что $m_2(A)>0$, иначе результат тривиален. Умножая меру на константу, можно считать, что $m_2(A)>1$. По теореме Лузина существует такая последовательность $\{A_n\}$ компактных подмножеств множества $A$, что $m_2(A_n)>m_2(A)-1/n$ и для каждого $n$ ограничение $f_n$ функции $f$ на $A_n$ непрерывно. По теореме 1.2 из [2] найдется компактное подмножество $F_n\subset A_n$, для которого $R\setminus F_n$ связно, а $m_2(F_n)>m_2(A_n)-1/n$. Заметим, что дополнение $\mathbb C\setminus F_n$ тоже связно.
Пусть $\mathcal P_n$ – диадическое разбиение $\mathbb C$ на квадраты со стороной $2^{-k}$, где $k$ будет выбрано ниже. Соответствующее покрытие $\mathbb C$ замкнутыми квадратами позволим себе обозначить той же буквой. Пусть $\mathcal Q_n$ – набор квадратов $Q$ из разбиения для которых $m_2(F_n\cap Q)>0$ (он конечен в силу компактности $F_n$). Для каждого $n$ в силу компактности $F_n$ и непрерывности $f$ можно найти значение $k$, с которым разбиение $\mathcal P_n$ получается достаточно мелким для того, чтобы
$$
\begin{equation*}
\max\{|f(z)-f(w)|\colon z,\, w\in F_n\cap Q\}<\frac1{n} \quad \forall\, Q\in \mathcal Q_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку в $\mathcal Q_n$ конечное число квадратов $Q$, для каждого из них мы можем найти такой компактный квадрат $\widetilde Q\subset Q^0$, что, положив $K_n=\bigcup_Q F_n\cap \widetilde Q$, мы получим $m_2(K_n)>m_2(F_n)-1/n$.
Зададим голоморфную функцию $g_n$ на (т. е. в окрестности) $K_n$, выбирая произвольным образом точку $a_Q$ в каждом пересечении $F_n\cap\widetilde Q$ и число $b_Q\ne 0$, для которого $|f(a_Q)-b_Q|<1/n$, и полагая $g_n=b_Q$ на $F_n\cap \widetilde Q$. Таким образом, $g_n=\sum_Q b_Q \chi_{F\cap \widetilde Q}$. Для каждой точки $z\in K_n$, если $Q$ – тот единственный квадрат $Q\in \mathcal Q_n$, для которого $z\in F_n\cap\widetilde Q$, то
$$
\begin{equation}
|f(z)-g_n(z)|=|f(z)-b_Q| \leqslant |f(z)-f(a_Q)|+|f(a_Q)-b_Q|<\frac2{n}.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Поскольку множество $\mathbb C\setminus K_n$ связно, из теоремы 10 следует, что для некоторого вещественного числа $t_n$ справедливы неравенства
$$
\begin{equation}
\max\{|g_n(z)-\mathcal L(z+it_n)|\colon z\in K_n\} < \frac1{n}, \quad n=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Соотношения (3) и (4) показывают, что
$$
\begin{equation*}
|f(z)-\mathcal L(z+it_n)|<\frac3{n} \quad \text{при} \quad z\in K_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $K_n\subset F_n\subset A_n \subset A$, выполнено неравенство Таким образом, Следовательно, $\mathcal L(\,{\cdot}\,{+}\,it_n)\to f$ по мере на $A$. В частности, теорема 12 говорит, что дзета-функция Римана универсальна в смысле сходимости по мере. Следствие 13. Пусть $A$ – ограниченное борелевское подмножество полосы $R = \{1/2<\operatorname{Re} z<1\}$, а $f$ – измеримая функция на $A$. Тогда найдется такая последовательность вещественных чисел $\{t_n\}$, что функции $\zeta(\,{\cdot}\,{+}\,it_n)$ сходятся к $f$ по мере. Установим теперь аналог теоремы 10, утверждающий, что в полосе $\mathfrak S=\{\sigma_{m}<\sigma<1\}$ функции из класса $\widetilde{\mathcal S}$ универсальны в смысле сходимости по мере. Это более сильный результат, чем теорема 12, альтернативное доказательство которой можно получить, рассматривая значения $t_n$, полученные с его помощью для $\epsilon=n^{-1}$, $n=1,2,\dots$ . Теорема 14. Пусть $\mathcal L\in \widetilde S$, $ A$ – ограниченное измеримое подмножество вертикальной полосы $\mathfrak S=\{ \sigma_m<\sigma <1\}$, а $\phi$ – измеримая функция на $\mathcal A$. Тогда для каждого $\epsilon > 0$ справедлива оценка Доказательство. Пусть $\phi$ – измеримая функция на ограниченном подмножестве $\mathcal A$ полосы $\mathfrak S$. Выберем $\epsilon > 0$. По теореме Лузина найдется компактное подмножество $C\subset \mathcal A$ такое, что ограничение $\phi_C$ функции $\phi$ на $C$ непрерывно и $m_2(A\setminus C)<\epsilon/3$. Вдобавок, мы можем считать, что дополнение к $C$ связно. Поскольку $\phi_C$ непрерывна на $C$, а $C$ – компакт, в силу равномерной непрерывности найдется $\delta>0$, для которого Рассмотрим диадическое разбиение плоскости $\mathbb C$ с диаметрами квадратов $Q$ меньше $\delta$. Тогда для каждого квадрата из этого разбиения
Пусть $Q_1, Q_2, \dots, Q_n$ – квадраты разбиения, внутренности которых пересекают $C$. Для каждого $j=1, 2, \dots, n$ выберем точку $s_j\in C\cap Q^0$ и пусть $\widetilde Q_j$ – такой замкнутый квадрат, что $s_j\in \widetilde Q_j\subset Q_j^0$ и $m_2(\mathcal C\,{\cap}\,\widetilde Q_j)\,{>}\, m_2(C\cap Q_j)\,{-}\,\epsilon/(3n)$. При $j=1, 2, \dots, n $ положим $K_j = C\cap\widetilde Q_j$ и $K=K_1\cup K_2\cup\dots\cup K_n$. Тогда $K$ – компактное подмножество полосы $\mathfrak S$ и дополнение к $K$ связно. Для каждого $j=1, 2, \dots, n$ выберем число $v_j\ne 0 $ такое, что $|v_j-\phi(s_j)|<\epsilon/3$. Определим функцию $g$, непрерывную на $K$ и голоморфную в $K^0$, условиями $g(s) = v_j$ при $s\in K_j$. Тогда
$$
\begin{equation*}
|g(s)-\phi(s)| < \frac{2\epsilon}3 \quad \text{при} \quad s\in K
\end{equation*}
\notag
$$
и Применение теоремы 10 к $K$, функции $g$ и $\epsilon/3$ в роли $\epsilon$ завершает доказательство. В заключение статьи приведем некоторые соображения касательно гипотезы Римана. Теорема 15 (см. [12]). Гипотеза Римана верна, если и только если дзета-функция Римана приближает саму себя равномерно в смысле теоремы 10 в правой половине $\{1/2<\sigma<1\}$ фундаментальной полосы. Замечание. В теореме 10 условие необращения в нуль нельзя опустить. Действительно, предположим, что указанное условие можно опустить. Тогда мы получим следствия, несовместимые между собой. 1) По теореме 15 гипотеза Римана окажется верной. 2) Мы сможем также аппроксимировать функцию $s-3/4$, откуда в силу теоремы Руше будет следовать, что у функции Римана есть нуль в фундаментальной полосе, так что гипотеза Римана будет опровергнута. Замечание. Дзета-функция Римана приближает саму себя в смысле теоремы 14 (являющейся (слабым) аналогом теоремы 10 в терминах теории меры) в правой половине $\{1/2<\sigma<1\}$ фундаментальной полосы. Замечание. В теореме 14 не предполагается, что приближаемая функция отделена от нуля. Ввиду последних теорем и результатов, доказательство усиленного варианта теоремы 14 могло бы дать новую информацию о гипотезе Римана. К примеру, рассмотрим следующую гипотезу, относящуюся к классу Сельберга. Напомним, что класс Сельберга $\mathcal S$ – это множество рядов Дирихле, удовлетворяющих следующим условиям. (i) Гипотеза Рамануджана: $a(n) \ll n^\epsilon$ для каждого $\epsilon > 0$, где константа, подразумеваемая в неравенстве, может зависеть от $\epsilon$, а $a(n)$ – коэффициенты ряда (2). (ii) Голоморфное продолжение: найдется такое неотрицательное целое $k$, для которого $(s- 1)^k \mathcal L(s)$ – целая функция конечного порядка. (iii) Функциональное уравнение: функция $\mathcal L(s)$ удовлетворяет уравнению вида
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{\mathcal L}(s)=\omega\overline{\Lambda_{\mathcal L}(1-\overline{s}}),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{\mathcal L}:=\mathcal L(s)Q^s\prod_{j=1}^f\Gamma(\lambda_js+\mu_j)
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторых положительных вещественных чисел $Q$ и $\lambda_j$ и комплексных чисел $\mu_j$ и $\omega$ таких, что $\operatorname{Re} \mu_j\geqslant0$ и $| \omega|=1$. (iv) Эйлерово произведение: у функции $\mathcal L(s)$ есть разложение в произведение где
$$
\begin{equation*}
\mathcal L_p(s)=\exp\biggl(\sum_{k=1}^\infty \frac{b(p^k)}{p^{ks}}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
с некоторыми коэффициентами $ b(p^k)$, удовлетворяющими неравенству $b(p^k)\ll p^{k\theta}$ для некоторого $\theta < 1/2$. Гипотеза 16. Пусть $S$ – класс Сельберга и пусть $\mathcal L\in \widetilde{\mathcal S}\cap S$. Пусть $K$ – компактное подмножество полосы $\mathfrak S=\{ \sigma_m<\sigma <1\}$ co связным дополнением, а $g$ – непрерывная функция на $K$, голоморфная в $K^0$ и не имеющая изолированных нулей в $K^0$. Тогда для каждого $\epsilon > 0$, Предположение, что отсюда можно получить полезную информацию относительно гипотезы Римана, может и не оправдаться. Однако наша гипотеза заведомо представляет интерес по следующей причине. Иохан Андерссон [6] установил следующий замечательный факт: в случае, когда $\mathcal L$ – дзета функция Римана, гипотеза 16 эквивалентна следующей гипотезе, касающейся естественного усиления важнейшего результата по полиномиальным приближениям, теоремы Мергеляна. Гипотеза 17. Пусть $K$ – компактное подмножество плоскости $\mathbb C$ со связным дополнением, а $g$ – непрерывная функция на $K$, голоморфная в $K^0$ и не имеющая изолированных нулей в $K^0$. Тогда найдется последовательность многочленов $p_j$, не имеющих нулей на $K$, такая, что $p_j\to f$ равномерно на $K$. Покажем, что результат Андерссона распространяется и на функции в пересечении $\widetilde{\mathcal S}\cap S$ классов Стёйдинга и Сельберга. Доказательство. Чтобы показать, что из гипотезы 17 следует гипотеза 16, заметим, что рассуждения Андерссона для дзета-функции Римана проходят и в общем случае $\mathcal L \in \widetilde S$: в оригинальном доказательстве Андерссона, вместо теоремы Воронина об универсальности надо воспользоваться теоремой 10.
Покажем, что из гипотезы 16 следует гипотеза 17. Из плотностных результатов Качоровского и Перелли (см. [7; гл. 8, с. 160]) следует, что найдется значение $\sigma_*$, удовлетворяющее неравенству $\sigma_m<\sigma_*<1$, для которого где
$$
\begin{equation*}
N_\mathcal L(\sigma_*,T) = \#\{s\colon \mathcal L(s)=0, \, \operatorname{Re} s\geqslant\sigma_*, \, 0\leqslant\operatorname{Im} s\leqslant T\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для фиксированного $m\in \mathbb N$, положим $I_j=\{t\colon (j-1)m<t<jm\}$ и обозначим через $\nu(n)$ число таких интервалов $I_j$ среди $I_1$, $I_2$, $\dots$, $I_n$, что у функции $\mathcal L$ нет нулей в $\{s\colon \sigma_*\leqslant \sigma, \, t\in I_j\}$. Докажем, что для каждого фиксированного $0<\lambda<1$ найдется такое $n_{m,\lambda}$, что $\nu(n)/n>\lambda$ при $n>n_{m,\lambda}$. Предположим противное. Тогда существуют произвольно большие целые $n$ для которых на отрезке $[0,mn]$ существует не менее $\lambda$ непересекающихся интервалов длины $m$, на каждом из которых у функции $\mathcal L$ есть нуль. Значит, для произвольно больших значений $n$
$$
\begin{equation*}
\frac{N_\mathcal L(\sigma_*,mn)}{mn} \geqslant \frac{n-\nu(n)}{mn}\geqslant \frac{1-\lambda}{m} > 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Это противоречит (5) и доказывает искомый результат.
Повторяя доказательство из [6], выберем линейное преобразование $\ell$ так, чтобы множество $K_*=\ell(K)$ лежало в прямоугольнике $\mathfrak S^+_*=\{s\colon \sigma_*<\sigma<1, 0< t < m \}$. Зафиксируем $\epsilon>0$. Если гипотеза 16 верна, то найдется $\delta>0 $ такое, что для достаточно больших $n$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{mn}m_1\Bigl\{t\in [0,mn]\colon \max_{s\in K_*}|\mathcal L(s+it)-g(\ell^{-1}(s))|>\epsilon\Bigr\} > \delta.
\end{equation}
\tag{6}
$$
В соответствии с доказанным утверждением выберем такое $\nu(n)$, что $\nu(n)/n>1-\delta$ при $n>n_{m,1-\delta}$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{mn} m_1\{t\in[0,mn]\colon s\in(\sigma_*,1)\times[0,m], \, \mathcal L(s+it)\ne 0\} = \frac{\nu(n)\cdot m} {mn}>1-\delta.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности,
$$
\begin{equation}
\frac{1}{mn} m_1\{t\in[0,mn]\colon s\in K_*, \, \mathcal L(s+it)\ne 0\} >1-\delta.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Из (6) и (7) следует существование такого $t\in [0,mn]$, что при всех $s\in K_*$ выполнено равенство $\mathcal L(s+it)\ne 0$, и при этих значениях $s$ имеет место $|\mathcal L(s+it)-g(\ell^{-1}(s))|<\epsilon$. Итак, $|\mathcal L(\ell(z)+it)-g(z)|<\epsilon $ при $z\in K$. По теореме Мергеляна найдется последовательность многочленов $p_k(z)$, равномерно сходящаяся к $\mathcal L(\ell(z)+it)$ на компакте $K$. Для достаточно больших $k $ у $p_k$ нет нулей на $K$, и $|p_k(z)-\mathcal L(\ell(z)+it)|<\epsilon $ при $z\in K$. В силу неравенства треугольника получаем многочлен $p$ без нулей на $K$, удовлетворяющий неравенству $|p(z)-g(z)|<2\epsilon$ при $z\in K$. Значит, выполнена гипотеза 17. Для римановой поверхности $M$ обозначим через $\operatorname{Hol}(M)$ семейство голоморфных функций на $M$. Следующее утверждение является комплексным аналогом теоремы 6. Теорема 19 (см. [2; следствие 1.4]). Для любого измеримого подмножества $E$ некомпактной римановой поверхности $M$ и каждой измеримой функции $v \colon E\to \mathbb R $ найдется такая последовательность функций $u_j\in \operatorname{Hol}(M)$, что $u_j \to v$ по мере. Следствие ниже связано с проведенными нами рассмотрениями. Следствие 20. Пусть $K$ – компактное подмножество плоскости $\mathbb C$ со связным дополнением, а $g$ – непрерывная функция на $K$, голоморфная в $K^0$ и не имеющая изолированных нулей в $K^0$. Тогда найдется такая последовательность многочленов $p_j$ без нулей на $K$, что $p_j\to g$ по мере на $K$. Доказательство. Если $m_2(f^{-1}(0))\,{=}\,m_2(K)$, то можно положить $p_j\,{=}\,1/j$.
Допустим, что $m_2(f^{-1}(0)) < m_2(K)$; зафиксируем $\epsilon>0$. Для каждого натурального $j$ введем множества $A_j=\{z\in K\colon |g(z)|\leqslant 1/j\}$ и $B_j=\{z\in K$: $|g(z)|\geqslant 2/j\}$. Зафиксируем такое достаточно большое $j$, что $m_2(A_j\cup B_j)>m_2(K)-\epsilon$. Перенумеруем дополнения $\{U_k\}$ к компонентам связности $A_j$ и $B_j$, и пусть $\{\delta_k\}$ – последовательность положительных чисел. Для каждого $k$ обозначим через $R_k$ открытый прямоугольник меры меньше $\delta_k$, связывающий $U_k$ с $\mathbb C\setminus K$, и положим $K_\epsilon=A_j\cup B_j\setminus \bigcup_k R_k$. Тогда $K_\epsilon$ – компактное подмножество множества $K$ со связным дополнением, и при этом у $K\cap A_j$ и $K\cap B_j$ тоже связные дополнения. Выберем достаточно малые $\delta_k$ так, чтобы $m_2(K\setminus K_\epsilon)<2\epsilon$. Зададим функцию $g_\epsilon \in A(K_\epsilon)$, полагая $g_\epsilon = 1/j$ на $K_\epsilon\cap A_j$ и $g_\epsilon =g$ на $K_\epsilon\cap B_j$. По теореме Мергеляна найдется такой многочлен $p_\epsilon$, что $|p_\epsilon-g_\epsilon|<\epsilon/2$ на $K_\epsilon$. Заметим, что $|p_\epsilon|>\epsilon/2$ на $K_\epsilon$. Теперь, выбирая последовательность $\epsilon_n\to 0$, мы получаем последовательность многочленов $p_n$ без нулей на $K$, сходящуюся к $g$ по мере на $K$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{FalGau21} |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|