| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Равномерное приближение функций решениями однородных сильно эллиптических уравнений второго порядка на компактах в М. Я. Мазаловab a Национальный исследовательский университет "Московский энергетический институт" в г. Смоленске b Санкт-Петербургский государственный университет
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9027 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеПусть
$$
\begin{equation}
L(x)=c_{11}x_1^2+2c_{12}x_1x_2+c_{22}x_2^2,\quad\text{где}\quad x=(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
– однородный эллиптический многочлен второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами; здесь эллиптичность означает, что $L(x)\ne0$ при всех $x\ne0$. С многочленом $L(x)$ связан эллиптический дифференциальный оператор
$$
\begin{equation}
L=c_{11}\,\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+2c_{12}\, \frac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_2}+c_{22}\, \frac{\partial^2}{\partial x_2^2}.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Существует (см. [1; теорема 7.1.20]) фундаментальное решение $E$ оператора $L$, имеющее вид где $E_0$ – вещественно аналитическая функция в ${\mathbb{R}}^2\setminus\{0\}$, ограниченная и однородная степени $0$, $A_0$ – постоянная. При $A_0\ne0$ оператор $L$ называется сильно эллиптическим, а если $A_0=0$, то $L$ – не сильно эллиптический оператор.Эллиптичность оператора $L$ равносильна тому, что корни $\lambda_1$ и $\lambda_2$ характеристического многочлена $c_{11}\lambda^2+2c_{12}\lambda+c_{22}$ невещественны. При этом (см., например, [2; § 2]) для сильно эллиптических операторов знаки мнимых частей $\lambda_1$ и $\lambda_2$ различны, а для не сильно эллиптических – совпадают. Пример сильно эллиптического оператора – оператор Лапласа $L=\Delta$, здесь $L(x)=x_1^2+x_2^2$, и в (1.3) имеем $E_0\equiv0$ и $A_0=(2\pi)^{-1}$. Квадрат оператора Коши–Римана – пример не сильно эллиптического оператора, здесь $L(x)=(x_1+ix_2)^2/4$, и $E=E_0=\pi^{-1}\overline{z}/z$, где $z=x_1+ix_2\in\mathbb{C}$, $\overline{z}=x_1-ix_2$. Пусть $Y$ – непустое подмножество $\mathbb{R}^2$. Функцию $f$ назовем $L$-аналитической на $Y$, если она удовлетворяет уравнению $Lf=0$ (в классическом смысле) на некотором открытом множестве $W$, содержащем $Y$. Заметим, что в силу эллиптичности $L$ достаточно потребовать непрерывности $f$ и выполнения равенства $Lf=0$ на $W$ в смысле теории распределений. Пусть $X\subset\mathbb{R}^2$, $X\ne\varnothing$ – компакт, $X^\circ$ – множество всех внутренних точек $X$. Через $H_L(X)$ обозначим класс функций $f\in C(X)$, таких, что для любого $\varepsilon>0$ существует функция $F$, $L$-аналитическая на $X$ и удовлетворяющая неравенству $\|F-f\|_{\mathrm{L}^{\infty}(X)}<\varepsilon$ (здесь и всюду ниже под $\mathrm{L}^{\infty}$-нормой функции на непустом множестве понимаем супремум модуля ее значений). Ясно, что имеет место включение $H_L(X)\subset h_L(X)$, где $h_L(X)$ – класс всех функций $f\in C(X)$, $L$-аналитических в $X^\circ$. Важно отметить, что в случае произвольного не сильно эллиптического оператора $L$ для любого компакта $X\subset\mathbb{R}^2$ имеет место равенство $h_L(X)=H_L(X)$, это частный случай теоремы 1 из [3] (который устанавливается существенно проще основных результатов настоящей работы). Если оператор $L$ сильно эллиптический, то, как хорошо известно, в силу $\lim_{x\to0}E(x)=\infty$ существуют компакты $X$ с $h_L(X)\ne H_L(X)$. В настоящей работе для произвольного сильно эллиптического оператора $L$ в $\mathbb{R}^2$ получен критерий принадлежности функций классу $H_L(X)$ (см. теоремы 1.1–1.4). Критерий формулируется в терминах $C$-емкости Харви и Полкинга [4; § 1], связанной с главным коэффициентом разложения функций в ряд типа Лорана по производным фундаментального решения и характеризующей множества устранимых особенностей решений уравнения $Lf=0$ в классе непрерывных функций (как множества емкости нуль). По существу это естественный аналог критерия Витушкина для аналитических функций [5; гл. 4, § 2, лемма 1 и гл. 5, § 3, теорема 1]. История вопроса обсуждается в [6], а результаты, полученные после 2012 г., – в [7], [8]. Важно отметить, что по сравнению с аналогичными задачами равномерных приближений в $\mathbb{R}^d$, $d>2$, здесь есть специфика, связанная с тем, что фундаментальные решения сильно эллиптических операторов в $\mathbb{R}^2$ неоднородны и не ограничены на бесконечности. По этой причине в работе [8] применяется метод редукции. А именно, теорема 1.1 из [8] сводит задачу приближения гармоническими функциями на компакте $X\subset\mathbb{R}^2$ к такой же задаче для компакта $X\times[-1,1]$ в пространстве $\mathbb{R}^3$ переменных $(x_1,x_2,x_3)$. В [8] (см. теоремы 1.1–1.3 и следствия к ним) получен критерий принадлежности функций классу $H_{\Delta}(X)$ в терминах логарифмической емкости редукцией к изученному в [9] случаю равномерных гармонических приближений в $\mathbb{R}^3$. В настоящей работе метод редукции не используется, все построения и оценки проводятся только в $\mathbb{R}^2$. Это позволяет добиться большей естественности в доказательствах и формах критериев. Далее через $\operatorname{Spt}(\,{\cdot}\,)$ обозначаем носитель распределения (функции), через $\langle \Psi\,|\,\varphi\rangle$ – действие распределения конечного порядка $\Psi$ на достаточно гладкую пробную функцию $\varphi$. Для $a\in\mathbb{R}^2$ через $B=B(a,r)$ обозначаем открытый круг с центром $a$ и радиусом $r$, $\overline{B}$ – его замыкание, $\partial B$ – границу, $\lambda B=B(a,\lambda r)$ при $\lambda>0$. Пусть $U$ – непустое ограниченное множество, $B$ – круг такой, что $U\subset(1/2)B$. Определим емкость $\operatorname{Cap}_L^B(U)$ множества $U$ относительно $B$ следующим образом. Допустимой (для $L$, $U$ и $B$) будем называть каждую функцию $g\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{C}$, для которой выполнены следующие условия:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \operatorname{Spt}(Lg)\subset U,\qquad g\in C(\mathbb{R}^2),\qquad \|g\|_{\mathrm{L}^{\infty}(B)}\leqslant1, \\ |g(x)|=O(\log|x|)\quad\text{при}\quad x\to\infty. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
При этом
$$
\begin{equation}
\operatorname{Cap}_L^B(U)=\sup_g\{|\langle Lg\,|\,1\rangle|\colon g\text{ допустимая}\}.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Комментарии. В силу определения имеем равенство
$$
\begin{equation}
\langle Lg\,|\,1\rangle=\langle Lg\,|\,\varphi\rangle=\int g(x)L(\varphi(x))\, dm_x,
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
где $\varphi\in C^2_0$ – произвольная функция такая, что $\varphi(x)\equiv1$ в некоторой окрестности $\operatorname{Spt}(Lg)$, интеграл вычисляется по мере Лебега в $\mathbb{R}^2$. Ясно, что $g\in C^{\infty}(\mathbb{R}^2\setminus U)$. Поскольку $L(g-E*(Lg))\equiv0$ в $\mathbb{R}^2$ (где “$*$” означает операцию свертки) и $|g(x)|=O(\log|x|)$ при $x\to\infty$, то в силу естественного аналога теоремы Лиувилля имеет место равенство (в обобщенном смысле) Заметим, что в определении (1.5) ограничение $|g(x)|=O(\log|x|)$ можно снять, а вместо $\mathrm{L}^{\infty}$-нормы достаточно рассмотреть колебание функции $g$ на $B$, что приводит к соизмеримой величине емкости. Действительно, взяв подходящую функцию $\varphi$ из (1.6) и применив стандартную оценку локализаций (см., например, лемму 2.1), будем иметь оценку
$$
\begin{equation*}
\|E*(\varphi Lg)+t\|_{\mathrm{L}^{\infty}(B)}\leqslant A,
\end{equation*}
\notag
$$
где $t$ – некоторая постоянная, и постоянная $A>0$ зависит только от оператора $L$. В частности, емкость (1.5) соизмерима с каждой $C$-емкостью из определений 1.1 и 1.2, см. [4], где в качестве $\Omega$ рассматривается круг $B$. В случае $L=\Delta$ и круга $B$ единичного радиуса емкость $\operatorname{Cap}_L^B(\,{\cdot}\,)$ соизмерима с гармонической (винеровой) емкостью $\operatorname{Cap}_2(\,{\cdot}\,)$. Напомним, что для $U\subset(1/2)B(a,1)$ одно из равносильных определений гармонической емкости следующее ($\mu$ – неотрицательная борелевская мера с полной вариацией $\|\mu\|$):
$$
\begin{equation}
\operatorname{Cap}_2(U)=\sup_{\mu}\biggl\{\|\mu\|\colon \operatorname{Spt}(\mu)\subset U,\, \mu*\log\frac1{|x|}\leqslant1\biggr\}.
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
Формально (1.8) – частный случай (1.5), в котором функции $g$ имеют специальный вид, соизмеримость этих емкостей следует из принципа максимума модуля и принципа непрерывности (см. [4; § 3] и [10; гл. 3, теорема 2 и лемма 6]). Отсюда непосредственно следует, что в случае круга $B$ единичного радиуса выполнена оценка
$$
\begin{equation}
\operatorname{Cap}_L^B(U)\geqslant A_1 \operatorname{Cap}_2(U)
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
с множителем $A_1>0$, зависящим только от $L$ (для доказательства достаточно ограничиться допустимыми функциями вида $g=\mu*E$, где $E$ из (1.3), $\mu$ – неотрицательная борелевская мера с носителем на $U$). В частности, для оценки снизу емкостей $\operatorname{Cap}_L^B(\,{\cdot}\,)$ в терминах мер Хаусдорфа можно использовать утверждения из [10; гл. 4]. Возможность обращения неравенства (1.9) – важный открытый вопрос. Ниже будем применять только элементарные свойства емкостей $\operatorname{Cap}_L^B(\,{\cdot}\,)$. 1) Для фиксированного $B$ и $U'\subset U$ имеем $\operatorname{Cap}_L^B(U')\leqslant \operatorname{Cap}_L^B(U)$. 2) При гомотетии с коэффициентом $\lambda$ относительно центра $B$ выполнено равенство $\operatorname{Cap}_L^{\lambda B}(\lambda U)=\operatorname{Cap}_L^B(U)$. 3) Пусть $B=B(a,r)$, $B'$ – круг радиуса $\rho$, содержащийся в $(1/2)B$. Тогда существует постоянная $A_2>1$, зависящая только от $L$, такая, что имеет место оценка
$$
\begin{equation}
(A_2)^{-1}\frac1{\log(r/\rho)}\leqslant\operatorname{Cap}_L^B(B')\leqslant A_2\frac1{\log(r/\rho)}.
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
Свойства 1) и 2) очевидны. Левое неравенство в (1.10) следует из (1.9) и свойства 2), а правое неравенство является несложным следствием асимптотики (2.3), (2.4), а именно, вместо модуля допустимой функции достаточно оценить модуль ее первого слагаемого в лорановском разложении. Изучение содержательных свойств емкостей $\operatorname{Cap}_L^B(\,{\cdot}\,)$ (в частности, обращение (1.9), вопрос о полуаддитивности, сравнение $C$- и $\mathrm{L}^{\infty}$-емкостей и так далее) представляет значительный интерес и требует отдельного исследования, но не является целью настоящей работы. Отметим, что для упрощения оценок удобно рассматривать емкости (1.5) не относительно фиксированного круга $B$, а варьировать $B$ в зависимости от масштаба локализации особенностей приближаемой функции. Это делается, например, в следующей теореме – критерии приближаемости в форме основной леммы Витушкина [5; гл. 4, § 2, лемма 1]. Функцию $f\in h_L(X)$ считаем продолженной до функции, непрерывной всюду в $\mathbb{R}^2$ с компактным носителем (см., например, [11; гл. 6, п. 2.2]), $\omega_f$ – модуль непрерывности продолженной функции, $\mathrm{L}^{\infty}=\mathrm{L}^{\infty}(\mathbb{R}^2)$. Теорема 1.1. Пусть $X$ – компакт, $f\in h_L(X)$. I) Если существуют $k\geqslant1$ и функция $\epsilon\colon\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$, $\epsilon(t)\to0$ при $t\to0$ такие, что для любого круга $B=B(a,r)$ и любой (пробной) функции $\varphi\in C^2_0(\mathbb{R}^2)$ такой, что $\operatorname{Spt}(\varphi)\subset B$, выполнена оценка
$$
\begin{equation}
|\langle Lf\,|\,\varphi\rangle|\leqslant \|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}} \epsilon(r)r^2\operatorname{Cap}_L^{2kB}(k B\setminus X),
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
то $f\in H_L(X)$. II) Если $f\in H_L(X)$, то оценка (1.11) имеет место при $k=1$ и $\epsilon=A\omega_f$, где постоянная $A>0$ может зависеть только от $L$. Замечание. Ключевой результат настоящей работы, который потребовал новых оценок и конструкций – часть I) теоремы 1.1 (часть II) стандартна). Важно отметить, что для доказательства части I) теоремы 1.1 оценка (1.11) в полном объеме не нужна, достаточно ее частного случая (2.10) для стандартных функций $\varphi\in C^{\infty}_0(\mathbb{R}^2)$ (см. леммы 2.6 и 2.7). Так же, как и для аналитических функций, несложным следствием теоремы 1.1 является следующий критерий равенства классов, аналогичный критерию Витушкина [5; гл. 5, § 3, теорема 1]. Теорема 1.2. Пусть $X\subset\mathbb{R}^2$ – компакт. Равенство $h_L(X)=H_L(X)$ имеет место тогда и только тогда, когда для произвольного ограниченного открытого множества $U$ и всех соответствующих $B$ из (1.5) выполнено равенство Цель следующих двух теорем – придать критерию (1.11) более простой вид. В работе [12] П. В. Парамонов предложил (в случае аналитических функций) удобный вид критериев приближаемости, использующий набор пробных функций $\varphi^a_{\delta}$, полученных из фиксированной $\varphi^0_1$ с помощью сдвигов и гомотетий. Такой подход реализуется в следующей теореме. Пусть
$$
\begin{equation}
\varphi^a_{\delta}(x)=\frac1{{\delta}^2}\varphi_1^0\biggl(\frac{x-a}{\delta}\biggr),
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
где $\varphi^0_1\in C^2_0(\mathbb{R}^2)\geqslant0$, $\varphi^0_1\geqslant0$, $\varphi^0_1\equiv0$ всюду вне $B(0,1)$ и $\int \varphi^0_1(x)\, dm_x=1$. Теорема 1.3. Если существуют $k_1\geqslant1$ и функция $\epsilon_1\colon\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$, $\epsilon_1(t)\to0$ при $t\to0$ такие, что для любого круга $B(a,{\delta})$ радиуса ${\delta}\leqslant1$ и функции $\varphi^a_{\delta}$ из (1.13) выполнена оценка то $f\in H_L(X)$. Теорема 1.4 – специальный случай теоремы 1.3, в которой функция $\varphi^0_1$ пропорциональна $\phi^0_1=(1-|x|^2)\chi(B(0,1))$, где $\chi(\,{\cdot}\,)$ – характеристическая функция. Хотя $\phi^0_1\notin C^1(\mathbb{R}^2)$, действия $\langle Lf\,|\,\varphi^a_{\delta}\rangle$ переносятся на функции $f\in C(\mathbb{R}^2)$ с помощью (1.15). Теорема 1.4 формулируется в терминах $L$-осцилляции, предложенной П. В. Парамоновым в [7], и аналогична по форме теореме 1 из [7], в которой получен критерий приближаемости индивидуальных функций в пространствах $C^m$ типа Уитни при $m\in(0,1)\cup(1,2)$. Заметим, что случай равномерных приближений ($m=0$) значительно сложнее по причине неограниченности в $\mathrm{L}^{\infty}$ сингулярных интегральных операторов с ядрами Кальдерона–Зигмунда. Напомним определение $L$-осцилляции (см. [7; лемма 1]). Пусть $f\in C^2(\mathbb{R}^2)$, $L(x)$ из (1.1), $B=B(a,{\delta})$, $l$ – мера Лебега (длина) на $\partial B$. Тогда имеет место равенство
$$
\begin{equation}
\int_B \frac{{\delta}^2-|x-a|^2}{4\pi\delta^2}L(f(x))\, dm_x=\frac1{2\pi\delta} \int_{\partial B}f(x)\frac{L(x-a)}{\delta^2}\, dl_x-\frac{c_{11}+c_{22}}{2\pi\delta^2}\int_B f(x)\, dm_x.
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
Правая часть формулы (1.15) не содержит производных $f$ и распространяется на все функции $f\in C(\mathbb{R}^2)$, она называется $L$-осцилляцией $f$ на $B(a,{\delta})$ и обозначается как $\mathcal{O}^L_B(f)$. В частном случае $L=\Delta$ – это разность средних значений функции $f$ по граничной окружности и кругу:
$$
\begin{equation}
\mathcal{O}^{\Delta}_B(f)=\frac1{2\pi\delta}\int_{\partial B}f(x)\, dl_x-\frac1{\pi\delta^2}\int_B f(x)\, dm_x.
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
Заметим, что величина (1.16) в настоящем контексте впервые появилась в работе [13; теорема 1.1]. Теорема 1.4. Если существуют $k_1\geqslant1$ и функция $\epsilon_1\colon \mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$, $\epsilon_1(t)\to0$ при $t\to0$ такие, что для любого круга $B$ радиуса ${\delta}$ выполнена оценка то $f\in H_L(X)$. Теоремы 1.3 и 1.4 сводятся к теореме 1.1 по схеме рассуждений из [14; § 4]. В основе этой схемы предложенные П. В. Парамоновым в [12] специальные разбиения единицы с помощью кратных сверток, а масштаб определяется емкостью $\operatorname{Cap}_L^{2kB}(k B\setminus X)$. Необходимость оценки (1.14) при $k_1=1$ и $\epsilon_1=A\omega_f$ следует из части II) теоремы 1.1, а необходимость (1.17) доказывается аналогично (см., например, [9; лемма 2.5]). Заметим, что следствию 1.1 из [8], в отличие от теоремы 1.4, соответствует другой специальный случай теоремы 1.3: $\phi^0_1=(1-|x|^2)^{3/2}\chi(B(0,1))$ и $L=\Delta$. План работы следующий. Параграф 2 содержит подготовительные результаты, в частности, здесь устанавливаются некоторые свойства емкостей (существенно новыми являются леммы 2.9 и 2.11), доказывается часть II) теоремы 1.1 (это лемма 2.4), в лемме 2.5 выводится теорема 1.2 из теоремы 1.1. Доказательство части I) теоремы 1.1 проводится в §§ 3–5. В доказательстве применяется схема разделения особенностей и приближения функции по частям (схема Витушкина), предложенная А. Г. Витушкиным в [5], усовершенствованная и адаптированная к случаю общих эллиптических уравнений в работах многих авторов. При этом важную роль играет теорема о приближении функции по частям [3; теорема 2], которая сводит приближение исходной функции к уравниванию лорановских коэффициентов при первых производных фундаментального решения у ее локализаций. Возможность такого уравнивания утверждается в основной лемме 3.3, см. § 3. Лемма 3.3 доказывается в § 4, § 5. В § 4 приводится геометрическая конструкция, представляющая собой значительную переработку конструкции из [9], в частности, существенно новыми являются леммы 4.5, 4.6. Результатом § 4 является лемма 4.4. В § 5 завершается доказательство леммы 3.3 (и соответственно теоремы 1.1). В доказательстве применяются методы теории сингулярных интегралов. В § 6 теоремы 1.3 и 1.4 выводятся из теоремы 1.1. § 2. Подготовительные результатыВсюду в дальнейшем через $A,A_1,A_2,\dots$ будем обозначать положительные постоянные, которые могут зависеть только от оператора $L$ и постоянной $k$ из (1.11). Значения каждой из этих постоянных в разных соотношениях могут быть различными. Зафиксируем $E$ из (1.3) с $|E_0(x)|\leqslant A=A(L)$ при $|x|=1$. При любом $r>0$ функция также является фундаментальным решением оператора $L$ (она отличается на постоянное слагаемое и фактически проводит перенормировку). Для $g\in C(\mathbb{R}^2)$ и $\varphi\in C^2_0(\mathbb{R}^2)$ свертка называется локализацией $g$, а соответствующий оператор $V_{\varphi}^{r}(\,{\cdot}\,)$ – локализационным оператором Витушкина.Следующая лемма стандартна (см. [2; предложение 2.5], [3; лемма 1.2]). Лемма 2.1. Пусть $g\in C(\mathbb{R}^2)$, $B=B(a,r)$ – круг, $\varphi\in C^2_0(\mathbb{R}^2)$, $\operatorname{Spt}(\varphi)\subset B$, функция $V_{\varphi}^{r}g$ – локализация из (2.2). Тогда имеет место следующее: a) $L(V_{\varphi}^rg)=\varphi L g$ и, следовательно, $\operatorname{Spt}(L(V_{\varphi}^rg))\subset(\operatorname{Spt}\varphi\cap \operatorname{Spt}(L g))$; b) $|V_{\varphi}^rg(x)|=O(\log|x|)$ при $x\to\infty$; c) $V_{\varphi}^rg\in C(\mathbb{R}^2)$; d) при всех $\lambda\geqslant2$ имеет место оценка Комментарии. Утверждения a), b) очевидны. Для доказательства c), d) делаем линейную замену переменных $y=(x-a)/r$, при этом $E^r$ меняется на $E=E^1$. Проводим интегрирование по частям в (2.2), при вычислении $L(\varphi E)$ учитываем фундаментальность $E$ и стандартные оценки $E$ и первых производных $E$ в силу (1.3) (подробно см., например, [3; лемма 1.2]). Пусть $T$ – распределение, причем $\operatorname{Spt}(T)$ содержится в круге $B(a,r)$, $a=(a_1,a_2)$. Тогда (см. [16; 1.B.], [2; предложение 2.3]) всюду вне круга $B(a,A_1r)$, где $A_1=A_1(L)\geqslant1$, для любого $\delta>0$ имеет место разложение в ряд Лорана, сходящийся в $C^{\infty}$:
$$
\begin{equation}
E^{\delta}*T(x)=c_0E^{\delta}(x-a)+\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{\{(m_1,m_2)\in\mathbb{Z}_+^2\colon m_1+m_2=m\}} c_{m_1,m_2}\frac{\partial^{m}E(x-a)}{\partial^{m_1}_{x_1}\, \partial^{m_2}_{x_2}}.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Коэффициенты разложения определяются как действия распределения $T$ на пробные $C^{\infty}$-функции:
$$
\begin{equation}
c_0=\langle T\,|\,1\rangle,\qquad c_{m_1,m_2}=\frac{(-1)^m}{m_1!\,m_2!}\langle T\,|\,(x_1-a_1)^{m_1}(x_2-a_2)^{m_2}\rangle \quad\text{при}\quad m\geqslant1.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Заметим, что лорановские коэффициенты не зависят от $\delta$, а главный коэффициент $c_0$ также не зависит от центра разложения $a$. С учетом асимптотики (1.7) и (2.4), емкость (1.5) определяется как супремум $|c_0(g)|$ по всем допустимым функциям $g$ из (1.4). В силу леммы 2.1 и определения емкости для любой функции $f\in h_L(X)$ при всех $\lambda\geqslant2$ выполнена оценка
$$
\begin{equation}
|c_0(V_{\varphi}^rf)|=|\langle \varphi Lf\,|\,1\rangle|=|\langle Lf\,|\,\varphi\rangle|\leqslant A\omega_f(r)\|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}} r^2\operatorname{Cap}_L^{\lambda B}(B\setminus X^\circ)\log\lambda.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Смысл условия (1.11) состоит в возможности заменить для функции $f\in h_L(X)$ в правой части (2.5) выражение $\omega_f(r)\operatorname{Cap}_L^{2B}(B\setminus X^\circ)$ на $\epsilon(r)\operatorname{Cap}_L^{2kB}(k B\setminus X)$. А именно, в силу определения емкости имеет место следующее утверждение об уравнивании коэффициента $c_0$ (не ограничивая общности, далее считаем, что $\omega_f(r)<\epsilon(r)$). Лемма 2.2. Пусть для функции $f$ выполнено условие (1.11), множество $kB\,{\setminus}\, X$ непусто. Тогда для любого $\delta>0$ и любой локализации $V_{\varphi}^{\delta}f$ вида (2.2) существует функция $g\in C(\mathbb{R}^2)$ такая, что 1) $\operatorname{Spt}(Lg)\subset(kB\setminus X)$; 2) $c_0(V_{\varphi}^{\delta}f)=c_0(g)$ и $\lim_{x\to\infty}(V_{\varphi}^{\delta}f(x)-g(x))=0$; 3) выполнена оценка $\|V_{\varphi}^{\delta}f-g\|_{\mathrm{L}^{\infty}} \leqslant\|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}\epsilon(r)r^2$. Условие (1.11) дает оценки и других коэффициентов через $\operatorname{Cap}_L^{2kB}(kB\setminus X)$. Для доказательства (2.6) заменим в (1.11) $\varphi$ на $\varphi(x)(x_1-a_1)^{m_1}(x_2-a_2)^{m_2}$ и воспользуемся элементарной оценкой
$$
\begin{equation*}
\|\nabla^2(\varphi(x)(x_1-a_1)^{m_1}(x_2-a_2)^{m_2})\|_{\mathrm{L}^{\infty}}\leqslant A\|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}(2r)^{m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 2.3 доказана. Важно отметить, что из условия (1.11) не следует возможности автоматически уравнять коэффициенты $c_{m_1,m_2}(V_{\varphi}^{\delta}f,a)$ даже при $m=1$. Тем не менее, сделать это удается, что приводит к требуемому приближению функции $f$ (см. лемму 3.2). Утверждение II) теоремы 1.1 стандартно. Оно устанавливается в следующей лемме. Лемма 2.4. Если $f\in H_L(X)$, то имеет место условие (1.11), где $k=1$ и $\epsilon=A\omega_f$. Доказательство. Пусть $f\,{\in}\, H_L(X)$. Тогда для любого $\varepsilon\,{>}\,0$ существует функция $F$ такая, что в некоторой окрестности $X$ $L F\,{=}\,0$ и $|f(x)\,{-}\,F(x)|\,{<}\,\varepsilon$. Уменьшив в случае необходимости $\varepsilon$ и продолжив разность $f-F$ по теореме Уитни [11; гл. 6, п. 2.2] до функции, непрерывной и финитной в $\mathbb{R}^2$, будем считать, что всюду в $\mathbb{R}^2$ выполнена оценка $|f(x)-F(x)|\leqslant \omega_f(r)$.
Оценив с помощью леммы 2.1, d) функцию $V_{\varphi}^rf=E^r*(\varphi L f)$, а также функцию $E^r*(\varphi L(f-F))$, получим соответствующую оценку и для функции $V_{\varphi}^rF$:
$$
\begin{equation}
\|V_{\varphi}^rF\|_{\mathrm{L}^{\infty}(2B)}\leqslant A\omega_f(r)\|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}r^2.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Так как $L(V_{\varphi}^rF)=\varphi L F$ и $\operatorname{Spt}(\varphi)\subset B$, то в силу леммы 2.1, a) имеем $\operatorname{Spt}(L(V_{\varphi}^rF))\subset(B\setminus X)$. В силу (2.7) и определения емкости (1.5) имеем
$$
\begin{equation}
|\langle L F\,|\,\varphi\rangle|=|\langle \varphi L F\,|\,1\rangle|\leqslant A\omega_f(r)\|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}r^2\operatorname{Cap}_L^{2B}(B\setminus X),
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
что в силу $|f(x)-F(x)|<\varepsilon$ и произвольности $\varepsilon$ приводит к такой же оценке и для $|\langle Lf\,|\,\varphi\rangle|$, т. е. левой части (1.11). Лемма 2.4 доказана. Теорема 1.2 вытекает из теоремы 1.1 и следующего утверждения. Лемма 2.5. Пусть $X\subset\mathbb{R}^2$ – компакт. 1) Если существует постоянная $A>0$ такая, что для любого круга $B$ имеет место оценка $\operatorname{Cap}_L^{2B}(B\setminus X^\circ)\leqslant A\operatorname{Cap}_L^{2B}(B\setminus X)$, то для любых соответствующих функций $f\in h_L(X)$ и $\varphi$ выполнена оценка (1.11) с $k=1$. 2) Если имеет место равенство $H_L(X)= h_L(X)$, то для любого ограниченного открытого множества $U$ и круга $B$ радиуса $r$ из (1.4) такого, что $U\subset(1/2)B$, выполнено равенство $\operatorname{Cap}_L^B(U\setminus X^\circ)=\operatorname{Cap}_L^B(U\setminus X)$. Доказательство. 1) В силу (2.5) для любых соответствующих функций $f$ и $\varphi$ имеем (1.11):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\langle Lf\,|\,\varphi\rangle| &\leqslant A_1\omega_f(r)\|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}} r^2\operatorname{Cap}_L^{2B}(B\setminus X^\circ) \\ &\leqslant A_2 \omega_f(r)\|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}} r^2\operatorname{Cap}_L^{2B}(B\setminus X). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
2) Очевидно, можем считать, что $\operatorname{Cap}_L^B(U\setminus X^\circ)>0$ (иначе $\operatorname{Cap}_L^B(U\setminus X)=0$). В силу (1.4), (1.5) для любого $\varepsilon>0$ существует функция $g\in h_L(X)$, допустимая для $U\setminus X^\circ$, такая, что $c_0(g)>\operatorname{Cap}_L^B(U\setminus X^\circ)-\varepsilon$. Так как множество $U\setminus \operatorname{Spt}(Lg)$ открыто, существует функция $\varphi\in C^2_0(U)$ такая, что $\varphi\equiv1$ в некоторой окрестности компакта $\operatorname{Spt}(Lg)$, при этом в силу (1.7) имеем $g=E^r*(\varphi Lg)+\mathrm{const}$, где $E^r$ из (2.1). Если $H_L(X)= h_L(X)$, то существует функция $G$ такая, что в некоторой окрестности $X$ выполнено условие $LG=0$, и, применив теорему Уитни [11; гл. 6, п. 2.2], можем считать, что всюду в $\mathbb{R}^2$ выполнена оценка $|g(x)-G(x)|\leqslant \varepsilon$. Рассмотрим функцию $G_r=E^r*(\varphi LG)$. Ясно, что $LG_r=\varphi LG$, и, в частности, $\operatorname{Spt}(LG_r)\subset (U\setminus X)$. В силу (1.6) и леммы 2.1 соответственно имеем:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |c_0(g)-c_0(G_r)|=|\langle L(g-G)|\varphi\rangle|\leqslant A\varepsilon\|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}r^2, \\ \|g-G_r\|_{\mathrm{L}^{\infty}(B)}=\|E^r*(\varphi L(g-G))\|_{\mathrm{L}^{\infty}(B)}\leqslant A\varepsilon\|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}r^2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу произвольности $\varepsilon$ отсюда следует, что $\operatorname{Cap}_L^B(U\setminus X^\circ)\leqslant\operatorname{Cap}_L^B(U\setminus X)$. Таким образом, $\operatorname{Cap}_L^B(U\setminus X^\circ)=\operatorname{Cap}_L^B(U\setminus X)$. Лемма 2.5 доказана. Начинаем доказательство части I) теоремы 1.1, которое завершится в § 5. Сначала дадим элементарные переформулировки условия (1.11) и его следствий. Всюду под квадратами будем понимать замкнутые квадраты с ребрами, параллельными осям координат. Для квадрата $Q=Q(a,s)$ с центром $a\in\mathbb{R}^2$ и ребром $s$ через $\lambda Q$ будем обозначать концентричный квадрат с ребром $\lambda s$. Для покрытий будем использовать двоичные квадраты вида
$$
\begin{equation}
Q=Q_{n_1,n_2}^p=[n_12^{-p},(n_1+1)2^{-p}]\times[n_22^{-p},(n_2+1)2^{-p}],
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
где $(p,n_1,n_2)\in\mathbb{Z}^3$. Будем считать, что в покрытиях квадраты раздельные, т. е. попарно не имеют общих внутренних точек. Для указанных покрытий будем рассматривать вариант разбиений единицы, введенных Р. Харви и Дж. Полкингом [15; лемма 3.1]. Лемма 2.6. Пусть $\{Q_j\}$ – конечное семейство раздельных двоичных квадратов с ребрами $s_j$. Тогда существуют функции $\varphi_j\in C^{\infty}_0(\mathbb{R}^2)$ такие, что 1) $0\leqslant \varphi_j(x)\leqslant1$ при всех $x$; 2) $\operatorname{Spt}(\varphi_j)\subset((33/32)Q_j)$; 3) для всех $j$ и $m\leqslant3$ выполнены неравенства $\|\nabla^{m}\varphi_j\|_{\mathrm{L}^{\infty}}\leqslant As_j^{-m}$; 4) $\sum_j\varphi_j(x)\equiv1$ на множестве $\bigcup_jQ_j$. По сравнению с леммой 3.1 из [15], здесь в условии 2) постоянная $3/2$ уменьшена до $33/32$, для этого, очевидно, достаточно каждый квадрат $Q_j$ разложить на $256$ двоичных квадратов одного размера и применить к ним лемму с $3/2$. Уменьшение геометрических постоянных полезно для упрощения сложных конструкций с двоичными квадратами. Если $\{Q_j\}$ – конечное семейство раздельных двоичных квадратов, то семейство функций $\{\varphi_j\}$ из леммы 2.6 будем называть стандартным разбиением единицы. Локализацию $V_{\varphi}^{s}(\,{\cdot}\,)$ вида (2.2) будем называть стандартной локализацией, если носитель $\varphi$ содержится в квадрате $(33/32)Q(a,s)$, и для $\varphi$ имеют место те же оценки производных относительно $s$, что и для $\varphi_j$ из леммы 2.6. Проведем и другие элементарные упрощения. Произвольно большая постоянная $k$ из (1.11) также создает неудобства в геометрических конструкциях, увеличивая кратность пересечений. С помощью подразбиения квадратов (в масштабе, зависящем от $k$) получим следующее утверждение, легко вытекающее из (1.11). Лемма 2.7. Пусть имеет место оценка (1.11), $Q=Q(a,s)$ – двоичный квадрат, функция $\varphi$ удовлетворяет условиям 2), 3) леммы 2.6 (где опущен индекс $j$), $B=B(a,2s)$. Тогда имеет место оценка где A=A(k).Для краткости введем (и будем всюду ниже использовать) обозначение
$$
\begin{equation}
\beta(Q)=\operatorname{Cap}_L^{B(a,2s)}\biggl(\frac{17}{16}Q^\circ\setminus X\biggr).
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Большой радиус круга $B(a,A_1r)$, вне которого имеет место разложение (2.3), также вносит неудобства. Леммы 2.1 и 2.3 и суммирование геометрической прогрессии в (2.3) стандартно дают следующие оценки при $|x-a|\geqslant A_2r$, где $A_2\geqslant2$ зависит от $A_1$:
$$
\begin{equation}
|V_{\varphi}^rf(x)|\leqslant A_3\epsilon(r)\|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}} r^2\operatorname{Cap}_L^{2kB}(kB\setminus X)\log\frac{|x-a|}{r},
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
$$
\begin{equation}
|V_{\varphi}^rf(x)-c_0(V_{\varphi}^rf)E^{r}(x-a)|\leqslant A_3\epsilon(r)\|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}} r^3\frac{\mathrm{Cap}_L^{2kB}(kB\setminus X)}{|x-a|}.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Применение оценок (2.12), (2.13) и лемм 2.1–2.3 и 2.7 к стандартным локализациям из леммы 2.6 функции $V_{\varphi}^rf$ в масштабе порядка $\max(k,A_1)^{-1}$ (где $A_1=A_1(L)$ из (2.3)), позволяет уменьшить круги, вне которых имеет место лорановское разложение. А именно, считаем, что для квадрата $Q$ и кругов $B_j$ с центрами на $(33/32)Q$ круги $A_2B_j$ и $2kB_j$ содержатся в $(17/16)Q^\circ$. Это приводит к следующему утверждению, с которым удобнее работать, чем с (2.12), (2.13). Лемма 2.8. Пусть для функции $f\in h_L(X)$ выполнено условие (1.11) с фиксированным $k\geqslant1$, $Q=Q(a,s)$ – двоичный квадрат, $\varphi\in C^{\infty}_0(\mathbb{R}^2)$, $\operatorname{Spt}(\varphi)\subset((33/32)Q)$, причем имеют место оценки $\|\nabla^{m}\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}\leqslant As^{-m}$ при $m\leqslant3$, $V_{\varphi}^sf$ – стандартная локализация $f$, $\beta(Q)$ из (2.11). Тогда выполнены следующие оценки с $A=A(L,k)$: (i) $\|V_{\varphi}^sf\|_{\mathrm{L}^{\infty}((9/8)Q)}\leqslant A\epsilon(s)$, а при $x\notin((9/8)Q)$ соответственно
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |V_{\varphi}^sf(x)|\leqslant A\epsilon(s)\beta(Q)\log\frac{3|x-a|}{s}, \\ |V_{\varphi}^sf(x)-c_0(V_{\varphi}^sf)E^{s}(x-a)|\leqslant A\epsilon(s)\beta(Q)\frac{s}{|x-a|}; \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
(ii)
$$
\begin{equation}
|c_{m_1,m_2}(V_{\varphi}^sf,a)|\leqslant A \epsilon(s)\beta(Q)s^{m},\qquad 0\leqslant m\leqslant 3,
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
причем старшие лорановские коэффициенты не зависят от центра разложения $a$; (iii) существует функция $g\in C(\mathbb{R}^2)$ такая, что $\operatorname{Spt}(Lg)\subset((17/16)Q^\circ\setminus X)$, $c_0(V_{\varphi}^sf)\,{=}\,c_0(g)$, и для $G\,{=}\,V_{\varphi}^sf\,{-}\,g$ имеют место оценки $\|G\|_{\mathrm{L}^{\infty}((9/8)Q)}\,{\leqslant}\, A\epsilon(s)$ и Не ограничивая общности, будем считать, что для функции $g$ из леммы 2.8, (iii) выполнено неравенство $\omega_g(t)<\epsilon(t)$ и, следовательно, для $|\langle Lg\,|\,\varphi\rangle|$, так же, как для $|\langle Lf\,|\,\varphi\rangle|$, имеет место оценка (2.10). Поэтому к стандартным локализациям функции так же как к $V_{\varphi}^sf$, применимы оценки леммы 2.8. В частности, с учетом асимптотики $G$, независимо от центра разложения при $m=m_1+m_2=1$ имеем неравенстваИспользуя следующие две леммы, оценку (2.16) можно улучшить за счет выбора подходящей функции $g$, если $\beta(Q)\ll 1$. Лемма 2.9 – аналог леммы 3 из [5; гл. 2, § 6]. Она имеет место несмотря на то, что емкость $\beta(\,{\cdot}\,)$ в общем случае немонотонна, т. е. возможна ситуация $Q'\subset Q$, но $\beta(Q')\gg\beta(Q)$, в частности, Поэтому в лемме 2.9 квадраты разложения $Q_j$ выбираются достаточно большими.Лемма 2.9 также используется ниже (в § 6) при выводе теорем 1.3 и 1.4 из теоремы 1.1. Лемма 2.9. Пусть $Q=Q(a,s)$ – двоичный квадрат, $0<\beta(Q)<1/10$, где $\beta(Q)$ из (2.11). Возьмем $\delta<s/4$ такое, что Разложим $(33/32)Q$ на семейство $\{Q_j(a_j,\delta)\}$ двоичных квадратов (одного размера). Пусть $\beta=\beta(Q)$ и $\beta_j=\beta(Q_j)$, тогда имеет место оценка Доказательство. Пусть $h_j$ – допустимые функции для $\beta_j$ из определения (1.4), (1.5), такие, что $c_0(h_j)\geqslant(1/2)\beta_j$. Возьмем функции где $0\leqslant\varphi_j\leqslant1$, $\varphi_j\equiv1$ на $\operatorname{Spt}(Lh_j)$, $\operatorname{Spt}(\varphi_j)\subset B(a_j,2\delta)$ и $\|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}\leqslant A_1\delta^{-2}$.
Ясно, что $h_j^*=h_j+\mathrm{const}$, $c_0(h_j^*)=c_0(h_j)$, и в силу леммы 2.8, (i) имеем: $|h_j^*(x)|\leqslant A_1$ на $(9/8)Q_j$ и $|h_j^*(x)|\leqslant A_1\beta_j\log(3|x-a_j|/\delta)$ вне $(9/8)Q_j$. Следовательно, выполнена оценка
$$
\begin{equation}
\biggl\|\sum_jh_j^*\biggr\|_{\mathrm{L}^{\infty}(B(a,2s))}\leqslant A_2\biggl(1+\log\frac{s}{\delta}\sum_j\beta_j\biggr).
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
В силу (2.20) и определения емкости $\beta$ имеем
$$
\begin{equation}
\sum_j\beta_j\leqslant2c_0\biggl(\sum_jh_j^*\biggr)\leqslant 2\beta\biggl\|\sum_jh_j^*\biggr\|_{\mathrm{L}^{\infty}(B(a,2s))}\leqslant A_3 \beta\biggl(1+\log\frac{s}{\delta}\sum_j\beta_j\biggr).
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Случай 1. Если $\log(s/\delta)\sum_j\beta_j>1$, то из (2.21) получим
$$
\begin{equation*}
\sum_j\beta_j\leqslant2A_3\beta\log\frac{s}{\delta}\sum_j\beta_j,
\end{equation*}
\notag
$$
и, так как $\sum_j\beta_j>0$, то Отсюда в силу (2.17) получим $\beta\geqslant(2A_3)^{-2}$, и в силу выбора $\delta$ число индексов $j$ не превосходит $A_4$, причем $\delta$ соизмеримо с $s$. Следовательно, $\sum_j\beta_j\leqslant A\beta$.
Случай 2. Если $\log(s/\delta)\sum_j\beta_j\leqslant1$, то в силу (2.21) получим Лемма 2.9 доказана.Следующее утверждение легко вытекает из лемм 2.8, 2.9. Лемма 2.10. Пусть $V_{\varphi}^sf$ – стандартная локализация функции $f$ из леммы 2.8, $\beta(Q)$ из (2.11), $\delta$ из (2.17). Тогда существует функция $g\in C(\mathbb{R}^2)$, $\operatorname{Spt}(Lg)\subset((17/16)Q^\circ\setminus X)$, $c_0(V_{\varphi}^sf)=c_0(g)$, такая, что для $G=V_{\varphi}^sf-g$ имеют место оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|G\|_{\mathrm{L}^{\infty}((9/8)Q)}\leqslant A\epsilon(s), \\ |c_{m_1,m_2}(G)|\leqslant A \epsilon(s)\beta(Q)\delta \quad\textit{при}\quad m_1+m_2=1, \\ |G(x)|\leqslant A\epsilon(s)\beta(Q)\frac{\delta}{|x-a|}\quad\textit{при}\quad x\notin\frac98Q. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для доказательства леммы 2.10 функция $V_{\varphi}^sf$ разбивается на сумму стандартных локализаций $f_j$, построенных по квадратам $\{Q_j(a_j,\delta)\}$ из леммы 2.9, для каждой функции $f_j$ строится функция $g_j=g$ из леммы 2.8, (iii) относительно $Q_j$, уравнивающая у $f_j$ коэффициент $c_0$, и применяются оценки (2.18) и (2.14) с $s=\delta$, $\beta(Q)=\beta_j$ и $m=1$. Замечание. Будет удобно использовать оценки леммы 2.10 с заменой $\beta(Q)\delta$ на $(\beta(Q))^ns$ для подходящего $n\geqslant1$ с учетом очевидного неравенства, вытекающего из (2.17): Следующее утверждение будет играть важную роль в оценке и уравнивании коэффициентов $c_{m_1,m_2}$ локализаций при $m_1+m_2=1$. Лемма 2.11. Пусть $Q=Q(a,s)$ – двоичный квадрат, $\{Q_j=Q_j(a_j,s_j)\}$ – конечное множество таких двоичных квадратов, что $Q_j\subset Q$ (квадраты $Q_j$ могут пересекаться); $\widetilde{Q}$ и $\widetilde{Q}_j$ – ортогональные проекции квадратов $Q$ и $Q_j$ на фиксированную координатную ось ($x_1=0$ или $x_2=0$). Квадратам $Q_j$ соответствуют коэффициенты $\Lambda_j=\Lambda(Q_j)\in[0,1]$, причем для всех $x\in\widetilde{Q}$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation}
\sum_j\Lambda_j\chi(\widetilde{Q}_j)(x)\leqslant 1,
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
где $\chi(\,{\cdot}\,)$ – характеристическая функция. Пусть $s=s(Q)$, $s_j=s(Q_j)$, тогда для $\beta=\beta(Q)$ из (2.11) и $\beta_j=\beta(Q_j)$ соответственно при $n\geqslant1$ имеет место оценка В частности, если проекции $\widetilde{Q}_j$ попарно раздельны, то Доказательство. Пусть, как и в лемме 2.9, $h_j$ – допустимые функции для $\beta_j$ из определения (1.4), (1.5) такие, что $c_0(h_j)\geqslant(1/2)\beta_j$. Ясно, что $|h_j(x)|\leqslant 1$ на $(9/8)Q_j$, и в силу леммы 2.8, (i) имеем вне $(9/8)Q_j$ следующую оценку:
Проведем следующую перенормировку, где $A_0$ из (1.3): Покажем, что при $n\geqslant0$ имеет место оценка
$$
\begin{equation}
\biggl\|\sum_j\Lambda_js_j(h_j^*)^n\biggr\|_{{\mathrm{L}}^{\infty}(B(a,2s))}\leqslant A_2(n)s.
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
Действительно, пусть $x\in B(a,2s)$ произвольно, и для $m\in\mathbb{Z}_+$ квадрат $Q_j$ содержится в круге $B(x,s/2^m)$, но не содержится в $B(x,s/2^{m+1})$. Тогда в силу (2.25), (2.26) выполнено неравенство $|h_j^*(x)|\leqslant A_3 m$. Следовательно, в силу (2.22) сумма $\Lambda_js_j|(h_j^*(x))^n|$ по всем соответствующим $Q_j$ не превосходит $A_4m^ns/2^m$, откуда суммированием по $m$ получается оценка (2.27). Выведем из (2.27) требуемую оценку (2.23). В силу определения емкости $\beta$ имеем
$$
\begin{equation}
\sum_j\Lambda_js_j(\beta_j)^n\leqslant2\sum_j\Lambda_js_j(\beta_j)^{n-1}c_0(h_j^*) \leqslant 2\beta\biggl\|\sum_j\Lambda_js_j(\beta_j)^{n-1}h_j^* \biggr\|_{{\mathrm{L}}^{\infty}(B(a,2s))}.
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
При $n=1$ оценка (2.23) немедленно следует из (2.27), (2.28). При $n>1$ воспользуемся неравенством Гёльдера с показателями $n/(n-1)$ и $n$. Получим для произвольного $x\in B(a,2s)$ в силу (2.27)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl|\sum_j(\Lambda_js_j)^{(n-1)/n}(\Lambda_js_j)^{1/n}(\beta_j)^{n-1}h_j^*(x)\biggr| \nonumber \\ &\qquad\leqslant \biggl(\sum_j\Lambda_js_j(\beta_j)^n\!\biggr)^{(n-1)/n} \biggl(\sum_j\Lambda_js_j|h_j^*(x)|^n\biggr)^{1/n} \nonumber \\ &\qquad\leqslant\biggl(\sum_j\Lambda_js_j(\beta_j)^n\biggr)^{(n-1)/n}(A_2(n)s)^{1/n}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
$$
\begin{equation*}
\biggl(\sum_j\Lambda_js_j(\beta_j)^n\biggr)^{1/n}\leqslant 2\beta(A_2(n)s)^{1/n},
\end{equation*}
\notag
$$
что равносильно (2.23). Лемма 2.11 доказана. § 3. Основная леммаПродолжим доказательство утверждения I) теоремы 1.1. Пусть $f\in h_L(X)$ – исходная функция, $\{\varphi_j\}$ – какое-либо стандартное разбиение единицы из леммы 2.6 на $\operatorname{Spt}(f)$. Представим функцию $f$ в виде конечной суммы стандартных локализаций:
$$
\begin{equation}
f=\sum_jf_j, \quad \text{где} \quad f_j=E*(\varphi_j L f).
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Следующее утверждение – частный случай (для оператора $L$ второго порядка в $\mathbb{R}^2$) теоремы 2 из [3] о приближении функции по частям, доказательство см. в [3; § 2]. То, что в [3] теорема 2 сформулирована для $\varepsilon=\omega_f$, не меняет ее доказательства по существу. Лемма 3.1. Возьмем произвольное $n_0\in\mathbb{N}$. Пусть существует функция $\varepsilon\colon \mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$, $\varepsilon\to0$ при $r\to0$, такая, что имеет место следующее. Для любого покрытия $\{Q_j\}$ множества $\operatorname{Spt}(f)$ конечным семейством двоичных квадратов с $s_j\leqslant 2^{-n_0}$ и любой стандартной локализации $f_j$ из (3.1) существует функция $F_j$ со следующими свойствами 1)–3): 1) $\operatorname{Spt}LF_j\subset (2Q_j\setminus X)$; 2) $\|r_j\|_{\mathrm{L}^{\infty}}\leqslant \varepsilon(s_j)$, где $r_j=f_j-F_j$; 3) $\lim_{x\to\infty}|x|r_j(x)=0$ (или, что то же самое, у функций $f_j$ и $F_j$ совпадают коэффициенты $c_0$ и $c_{1,0}$ и $c_{0,1}$ из (2.4)). Тогда $f\in H_L(X)$. Так как коэффициент $c_0$ уравнивается в силу (1.11), лемма 3.1 сводит доказательство части I) теоремы 1.1 к следующему утверждению. Лемма 3.2. В обозначениях леммы 2.8, (iii) и (2.15) существует функция $\Phi$ такая, что $\operatorname{Spt}(L\Phi)\subset(2Q^\circ\setminus X)$, $\|\Phi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}\leqslant A\epsilon(s)$, $\lim_{x\to\infty}\Phi(x)=0$, $c_{1,0}(G)=c_{1,0}(\Phi)$ и $c_{0,1}(G)=c_{0,1}(\Phi)$. Сделаем ряд полезных переформулировок. Далее лорановский коэффициент $c_{1,0}$ для краткости будем обозначать через $c_1$, а $c_{0,1}$ – через $c_2$. В силу асимптотики функций $G$ и $\Phi$ указанные коэффициенты не зависят от центра разложения. При необходимости изменив масштаб, без ограничения общности будем считать, что $Q=[1/4,1/2]^2=Q((3/8,3/8),1/4)$ и $\|G\|_{\mathrm{L}^{\infty}}=1$ для $G$ из (2.15), при этом указанные квадрат и функцию обозначим через $\mathbf{Q}$ и $\mathbf{G}$. С учетом этого, лемма 3.2 сводится к следующему утверждению, в котором уточняется структура функции $\Phi$. Лемма 3.3 (основная). Существуют $4$ функции $\mathbf{g}_1$, $\mathbf{g}_2$, $\mathbf{h}_1$ и $\mathbf{h}_2$ из $C(\mathbb{R}^2)$, исчезающие на бесконечности, $L$-аналитические всюду вне $2\mathbf{Q}^\circ\setminus X$ и такие, что выполнены следующие неравенства: 1) $\sum_{m=1}^2(\|\mathbf{g}_m\|_{\mathrm{L}^{\infty}} +\|\mathbf{h}_m\|_{\mathrm{L}^{\infty}})\leqslant A$; 2) $\operatorname{Re}c_1(\mathbf{h}_1)\geqslant |c_1(\mathbf{G}-\mathbf{g}_1)|+|c_2(\mathbf{G}-\mathbf{g}_1)|$, $\operatorname{Re}c_2(\mathbf{h}_2)\geqslant |c_1(\mathbf{G}-\mathbf{g}_2)|+|c_2(\mathbf{G}-\mathbf{g}_2)|$; 3) $\operatorname{Re}c_1(\mathbf{h}_1)\geqslant (9/8)|c_2(\mathbf{h}_1)|$, $\operatorname{Re}c_2(\mathbf{h}_2)\geqslant (9/8)|c_1(\mathbf{h}_2)|$. Лемма 3.2 немедленно следует из леммы 3.3. Действительно, если выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
|c_1(\mathbf{G}-\mathbf{g}_1)|+|c_2(\mathbf{G}-\mathbf{g}_1)|\geqslant |c_1(\mathbf{G}-\mathbf{g}_2)|+|c_2(\mathbf{G}-\mathbf{g}_2)|,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
то нужная функция $\Phi$ леммы 3.2 строится как $\mathbf{g}_{2}+\lambda_1\mathbf{h}_1+\lambda_2\mathbf{h}_2$, причем в силу условия 3) система двух линейных уравнений, из которой находятся $\lambda_1$ и $\lambda_2$, хорошо обусловлена, поэтому $\max(|\lambda_1|,|\lambda_2|)\leqslant A_1$. В случае невыполнения неравенства (3.2), аналогично, возьмем $\Phi=\mathbf{g}_{1}+\lambda_1\mathbf{h}_1+\lambda_2\mathbf{h}_2$. В доказательстве леммы 3.3 построим только пару функций $(\mathbf{g}_2,\mathbf{h}_2)$, пара $(\mathbf{g}_1,\mathbf{h}_1)$ строится аналогично, с точностью до переобозначения осей координат. Лемма 3.3 доказывается в § 4, § 5, до конца § 3 рассмотрим вспомогательные утверждения. Сначала уточним структуру функции $\mathbf{h}_2$ ($\mathbf{g}_2$ получается из функций вида $g$ леммы 2.10 после подходящих разбиений единицы). В [17; § 3] было введено понятие согласованной пары квадратов, нам понадобится некоторое его обобщение. Упорядоченную пару $(Q,Q')$ двоичных квадратов назовем согласованной парой, если выполнены следующие условия. 1) Длины сторон квадратов согласованной пары или равны (это пара I типа), или отличаются в два раза (это пара II типа). 2) Проекции квадратов согласованной пары на ось $x_1$ имеют общие точки, в том числе для пары II типа – общие внутренние точки. 3) Пусть $x(x_1,x_2)$ и $x'(x_1',x_2')$ – произвольные точки квадратов $Q$ и $Q'$ соответственно, тогда выполнены неравенства
$$
\begin{equation}
a)\quad x_2'-x_2\geqslant\frac32|x_1'-x_1|,\qquad b)\quad 3s\leqslant x_2'-x_2<50s,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где $s$ – длина стороны не большего квадрата из пары. Пусть $(Q,Q')$ – согласованная пара квадратов, $y=(y_1,y_2)$ и $y'=(y_1',y_2')$ – пара произвольных точек таких, что $y\in(17/16)Q$ и $y'\in(17/16)Q'$, $s=s(Q)=s(Q')$, тогда для функции очевидно, $c_0(h_0)=0$, $c_1(h_0)=y_1'-y_1$, $c_2(h_0)=y_2'-y_2$, и в силу (3.3) “с запасом” выполнено то же неравенство в условии 3) леммы 3.3, что и для $\mathbf{h}_2$.Считаем, что емкости $\beta=\beta(Q)$ и $\beta'=\beta(Q')$ в обозначениях (2.11) положительны, $h_Q(x)\in C(\mathbb{R}^2)$ – функция, такая, что $\operatorname{Spt}(Lh_Q)\subset((17/16)Q^\circ\setminus X)$, $\|h_Q\|_{\mathrm{L}^{\infty}(2Q)}\leqslant A$ и $c_0(h_Q)=\beta$. Функция $h_{Q'}$ определяется аналогично относительно квадрата $Q'$. Положительные числа $\lambda$ и $\lambda'$ выберем так, что Рассмотрим функции вида В силу (3.5) имеем: $c_0(h_{\lambda}^{\beta})=0$ и $\max\bigl(|c_1(h_{\lambda}^{\beta})|,\,|c_2(h_{\lambda}^{\beta})|\bigr)\leqslant A_1\lambda\beta s$, причем указанные лорановские коэффициенты, как старшие, не зависят от центра разложения.Условие 3) леммы 3.3 (то же, что и для $\mathbf{h}_2$) для произвольной функции $h_{\lambda}^{\beta}$ в общем случае не выполняется, но его нетрудно добиться с помощью подразбиения квадратов $(17/16)Q$ и $(17/16)Q'$ (аналогично тому, как это было сделано перед леммой 2.8). А именно, берутся квадраты с центрами $y\in(17/16)Q$ и $y'\in(17/16)Q'$, для которых емкости $\beta$ и $\beta'$ соизмеримы с соответствующими емкостями для $Q$ и $Q'$, а достаточно малый размер позволит в силу (2.14) при $m=1$ с любой степенью точности приблизить коэффициенты $c_1$ и $c_2$ функции $\lambda\beta h_0$ для $h_0$ из (3.4). Тем самым, в дальнейшем будем считать, что выполнены следующие оценки ($a$ – центр $Q$):
$$
\begin{equation}
\operatorname{Re}c_2(h_{\lambda}^{\beta})\geqslant \frac98|c_1(h_{\lambda}^{\beta})|,\qquad 2\lambda\beta s<\operatorname{Re}c_2(h_{\lambda}^{\beta})\leqslant |c_2(h_{\lambda}^{\beta})|<100\lambda\beta s,
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
$$
\begin{equation}
|h_{\lambda}^{\beta}(x)|\leqslant A_2\lambda, \quad x\in\frac98Q,\qquad |h_{\lambda}^{\beta}(x)|\leqslant A_2\lambda', \quad x\in\frac98Q', \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
|h_{\lambda}^{\beta}(x)|\leqslant \frac{A_2\lambda\beta s}{|x-a|},\qquad x\notin\biggl(\frac98Q\cup\frac98Q'\biggr).
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Функцию $\mathbf{h}_2$ леммы 3.3 определим как конечную линейную комбинацию функций $h_{\lambda}^{\beta}$ с положительными коэффициентами. Тем самым, в силу (3.7) условие 3) леммы 3.3 будет выполняться автоматически. Согласованные пары будут строиться в геометрической конструкции § 4. В заключение § 3 введем соответствующую терминологию. Вертикальный ряд – это множество всех двоичных квадратов (2.9), таких, что $p$ и $n_1$ фиксированы. Два (различных) вертикальных ряда $\{Q^p_{n_1, n_2}\}$ и $\{Q^p_{n_1',n_2'}\}$ соседние, если $|n_1-n_1'|=1$. Таким образом, квадраты согласованных пар I) типа расположены в одном вертикальном ряду или в соседних. Меньший из квадратов согласованной пары II) типа вложен в квадрат (с вдвое большей длиной стороны), расположенный в том же вертикальном ряду, что и больший квадрат той же пары. Вертикальная тройка – множество из трех двоичных квадратов, расположенных подряд в одном вертикальном ряду, таких, что $n_2=3n,3n+1,3n+2$, где $n\in\mathbb{N}$. Если две вертикальные тройки расположены в одном вертикальном ряду или в соседних и не касаются друг друга, то для любых двух точек, принадлежащих разным вертикальным тройкам, выполнено неравенство (3.3), a), что позволяет автоматически получать согласованные пары. Вертикальная $5\times3$ группа – множество из пяти вертикальных троек, расположенных подряд в одном вертикальном ряду, причем для квадратов центральной вертикальной тройки максимальное значение $\beta$ из (2.11) положительно и не меньше максимального $\beta$ для других вертикальных троек группы. Применение вертикальных $5\times3$ групп в конструкции позволит почти автоматически добиться выполнения условия 4) леммы 4.4 за счет фиксирования квадратов с локально малыми $\beta$, расположенных “по краям”. Вертикальная $10\times3$ группа получается из вертикальной $5\times3$ группы, когда ее каждый квадрат разбивается на четыре двоичных квадрата со стороной в два раза меньше. § 4. КонструкцияНачинаем доказательство леммы 3.3 для пары функций $(\mathbf{g}_2,\mathbf{h}_2)$. Будем считать, что множество $(33/32)\mathbf{Q}\setminus X^\circ$ непусто, иначе $\mathbf{G}\equiv0$, и доказывать нечего. При этом, очевидно, $(17/16)\mathbf{Q}^\circ\setminus X$ – непустое открытое множество. 4.1. Общее описание и цели конструкцииСмысл конструкции в следующем (см. лемму 4.4). Строится покрытие компакта $(17/16)\mathbf{Q}\setminus X^\circ$ конечным семейством двоичных квадратов $Q_j$. Квадраты накапливаются к липшицевой кривой $\Gamma$, а именно, выполняются неравенства $\operatorname{dist}(Q_j,\Gamma)\leqslant As(Q_j)$ (кривая $\Gamma$ сама конструируется в процессе построения). Кратность пересечений квадратов $(9/8)Q_j$ оценивается сверху постоянной $A$. Величина $\sum_j(\beta(Q_j))^3s(Q_j)$ является мерой Карлесона относительно $\Gamma$ и допускает двустороннюю оценку через сумму $\operatorname{Re}c_2$ функций (3.6), или, что равносильно, через сумму $\lambda\beta s$ из (3.7). Каждой вертикальной $5\times3$ группе соответствует суммарный (накапливающийся) коэффициент $\Lambda_{\Sigma}\geqslant0$, который оценивает сверху лорановские коэффициенты локализаций в соответствии с леммой 2.11 и замечанием к лемме 2.10 (фактически суммы $(\beta(Q_j))^3s(Q_j)$), он будет увеличиваться на каждом шаге на величину, не превосходящую постоянной $A>0$ (она определяется количеством согласованных пар, которые группа может образовать). Условием локальной остановки будет: $\Lambda_{\Sigma}\geqslant1$ (и тем самым, всегда $0\leqslant\Lambda_{\Sigma}\leqslant A+1$). Двоичные квадраты первого поколения имеют длину стороны, равную $1$. На каждом шаге соответствующий квадрат поколения $n$ разбивается на четыре двоичных квадрата размера, в два раза меньшего, и получается $(n+1)$-е поколение квадратов. При этом вертикальная $5\times3$ группа разбивается на две вертикальные $10\times3$ группы следующего поколения, которые наследуют коэффициент $\Lambda_{\Sigma}$. Общее число шагов конструкции конечно и определяется $\epsilon(s_{\min})$ (см. (4.5)). 4.2. База индукцииВ начале конструкции имеем одну вертикальную $5\times3$ группу с $-6\leqslant n_2\leqslant8$ и $n_1=0$ (так как $\mathbf{Q}=Q((3/8,3/8),1/4)$, $(17/16)\mathbf{Q}$ покрывается одним квадратом с $n_2=0$). Положим для этой группы $\Lambda_{\Sigma}=0$. 4.3. Индукционный переходВ общем случае, перед каждым шагом $n\in\mathbb{N}$ имеем множество (возможно, пустое) зафиксированных ранее двоичных квадратов поколений не выше $n$ и множество вертикальных $5\times3$ групп поколения $n$, в каждой из которых не у всех квадратов $\beta=0$, и с которыми будем работать. Для указанных групп выполнены следующие три условия. 1) В каждом вертикальном ряду расположено не более одной вертикальной $5\times3$ группы. 2) Если две вертикальные $5\times3$ группы расположены в соседних вертикальных рядах, то их центральные вертикальные тройки касаются. 3) Каждой вертикальной $5\times3$ группе соответствует свой коэффициент $\Lambda_{\Sigma}\in[0,1)$. На каждом $n$-м шаге делаем следующее. Разбиваем каждую вертикальную $5\times3$ группу поколения $n$ на две вертикальные $10\times3$ группы поколения $n+1$, исключаем из рассмотрения группы, у которой для всех квадратов $\beta=0$ и проводим следующие операции I)–IV). I) В каждой вертикальной $10\times3$ группе поколения $n+1$ отметим вертикальную тройку квадратов, у которой максимум $\beta(Q_j)$ по всем своим квадратам $Q_j$ не меньше, чем у других вертикальных троек (если таких несколько, выбор делаем произвольно). В каждом случае, когда отмеченная вертикальная тройка не имеет общих точек (хотя бы граничных) с центральной вертикальной тройкой исходной $5\times3$ группы поколения $n$, переходим к п. II) (до исчерпания всех таких случаев), иначе сразу переходим к п. III). II) Пусть $D^1$ – отмеченная вертикальная тройка, $D^0$ – центральная вертикальная тройка исходной $5\times3$ группы поколения $n$, $Q^0$ и $Q^1$ – квадраты троек $D^0$ и $D^1$ соответственно с максимальными значениями $\beta$. Так как $Q^0$ – квадрат максимальной емкости $\beta$ в исходной $5\times3$ группе, то $\beta(Q^0)\geqslant(1/4)\beta(Q^1)$, причем $Q^0$ и $Q^1$ образуют согласованную пару II) типа. В обозначениях (3.5), (3.6) $Q'$ – тот из квадратов $Q^0$ или $Q^1$, который расположен выше по оси $x_2$, а $Q$ соответственно ниже. Построим по согласованной паре функцию $h_{\lambda}^{\beta}$ вида (3.6), в которой в соответствии с равенством (3.5) положим
$$
\begin{equation}
\lambda(Q^1)=(\beta(Q^1))^2,\qquad \lambda(Q^0)=\frac{(\beta(Q^1))^3}{\beta(Q^0)}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
В силу максимальности $\beta(Q^1)$ в $10\times3$ группе и (3.7) имеет место двусторонняя оценка с $A>1$:
$$
\begin{equation}
A^{-1}\operatorname{Re}c_2(h_{\lambda}^{\beta})\leqslant\sum_j(\beta(Q_j))^3s(Q_j)\leqslant A\operatorname{Re}c_2(h_{\lambda}^{\beta}),
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где сумма берется по всем квадратам вертикальной $10\times3$ группы. Так как сумма модулей коэффициентов $c_1$ и $c_2$ по всей $10\times3$ группе в силу (4.2) оценена, все ее квадраты фиксируются и исключаются из рассмотрения до окончания конструкции. Зададим коэффициент $\Lambda=\Lambda(Q^0)$ так, чтобы выполнялось следующее равенство: Замечание. Смысл равенства (4.3): $\Lambda$ – это та часть $(\beta(Q^0))^3s(Q^0)$, которая в силу (4.1) оценивается функцией $h_{\lambda}^{\beta}$; в силу максимальности $\beta(Q)$ аналогично (сверху) оцениваются все такие же выражения для квадратов $5\times3$ группы. В силу (4.1) и того, что $\beta(Q^0)$ по порядку величины не меньше $\beta(Q^1)$, имеем
$$
\begin{equation}
\Lambda(Q^0)=\frac{(\beta(Q^1))^3}{(\beta(Q^0))^3}\leqslant A_1.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Каждый раз при построении функции $h_{\lambda}^{\beta}$ к коэффициенту $\Lambda_{\Sigma}$, соответствующему исходной $5\times3$ группе поколения $n$, добавляем величину $\Lambda=\Lambda(Q^0)$ из (4.3). В заключение п. II) каждую вертикальную $5\times3$ группу поколения $n$ исключим из рассмотрения до окончания конструкции, а ее коэффициент $\Lambda_{\Sigma}$, полученный в результате добавлений всех $\Lambda$, перенесем на незафиксированные $10\times3$ группы поколения $n+1$, полученные из нее. III) Теперь имеем дело только с незафиксированными вертикальными $10\times3$ группами поколения $n+1$, причем в каждом вертикальном ряду расположено не более одной группы. Рассмотрим произвольную такую группу и ее соответствующую $5\times3$ группу, в которой отмеченная в п. I) вертикальная тройка квадратов центральная. Далее коэффициент $\Lambda_{\Sigma}$ будем относить к $5\times3$ группе. Пронумеруем вертикальные тройки $10\times3$ группы числами $1,2,\dots,9,10$ по возрастанию $x_2$. Так как случай п. II) не имеет место, номер отмеченной вертикальной тройки не меньше $4$ и не больше $7$. Это означает, что в вертикальной $10\times3$ группе хотя бы одна вертикальная тройка расположена выше ее $5\times3$ группы и хотя бы одна – ниже. Такие тройки фиксируются и исключаются из рассмотрения в соответствии с процедурой, аналогичной п. II). А именно, пусть $Q^0$ – квадрат центральной вертикальной тройки с максимальным значением $\beta$, $Q^1$ – квадрат с максимальным значением $\beta$ из вертикальной тройки, расположенной выше или ниже $5\times3$ группы (достаточно рассмотреть случай $\beta(Q^1)>0$, противоположный случай тривиален). В силу построения имеем $\beta(Q^0)\geqslant\beta(Q^1)$. Построим по $Q^0$ и $Q^1$ согласованную пару I) типа, выбрав коэффициенты в соответствии с (4.1), при этом имеет место оценка (4.2) при суммировании по всем квадратам фиксируемой вертикальной тройки, $\Lambda=\Lambda(Q^0)$ выбирается в соответствии с (4.3) и прибавляется к $\Lambda_{\Sigma}$. По завершению таких процедур для всех (незафиксированных) вертикальных $5\times3$ групп переходим к п. IV). IV) Теперь имеем дело только с вертикальными $5\times3$ группами поколения $n\,{+}\,1$, причем в каждом вертикальном ряду расположено не более одной группы. Будем рассматривать пары вертикальных $5\times3$ групп, расположенных в соседних вертикальных рядах, таких, что их центральные вертикальные тройки не касаются друг друга. Пусть $Q^0$ и $Q^1$ – квадраты указанных троек с максимальными значениями $\beta$. Переобозначив в случае необходимости, будем считать, что $\beta(Q^0)\geqslant\beta(Q^1)$. Зафиксируем и исключим из рассмотрения вертикальную $5\times3$ группу, соответствующую $Q^1$ (в случае равенства фиксируем обе группы). Квадраты $Q^0$ и $Q^1$ образуют согласованную пару I) типа. Построим функцию $h_{\lambda}^{\beta}$ точно так же, как это делалось в п. II) и III) (в тех же обозначениях (4.1)–(4.4)), при этом имеет место оценка (4.2), где суммирование проводится по всем квадратам зафиксированной $5\times3$ группы. Если $5\times3$ группа, соответствующая $Q^0$, не фиксируется, добавим к ее коэффициенту $\Lambda_{\Sigma}$ величину $\Lambda$ в соответствии с (4.3). Продолжим процедуру до исчерпания указанных пар $5\times3$ групп. В заключение фиксируем (и исключаем из рассмотрения) те вертикальные $5\times3$ группы, которым соответствует $\Lambda_{\Sigma}\geqslant1$, и переходим к следующему $(n+1)$-у шагу. Конструкция завершается, если выполнено хотя бы одно из двух следующих условий. 1) Зафиксированы все квадраты, с которыми работали на последнем шаге. 2) Выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\epsilon(s_{\mathrm{min}})<\sum_{\{h_{\lambda}^{\beta}\}}\operatorname{Re}c_2(h_{\lambda}^{\beta}),
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где в левой части $s_{\mathrm{min}}$ – длина стороны квадратов последнего поколения, в правой части рассматривается сумма по всем построенным функциям $h_{\lambda}^{\beta}$. Правая часть (4.5), очевидно, не убывает при возрастании номера шага $n$ и (так как $(17/16)\mathbf{Q}^\circ\setminus X$ – непустое открытое множество, в котором заведомо есть согласованные пары с $\beta>0$) положительна, начиная с некоторого $n$. Тем самым, конструкция конечна. По ее окончании все квадраты последнего поколения фиксируются. Непосредственный результат конструкции – леммы 4.1 и 4.2. Лемма 4.1. По окончании конструкции выполнено следующее. 1) Имеет место двусторонняя оценка вида (4.2) с $A>1$:
$$
\begin{equation}
A^{-1}\sum_{\{h_{\lambda}^{\beta}\}}\operatorname{Re}c_2(h_{\lambda}^{\beta}) \leqslant\sum_j(\beta(Q_j))^3s(Q_j)\leqslant A\operatorname{Re}\sum_{\{h_{\lambda}^{\beta}\}}c_2(h_{\lambda}^{\beta}),
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
где рассматриваются сумма по всем построенным функциям $h_{\lambda}^{\beta}$ и сумма по всем квадратам $Q_j(a_j,s_j)$ конструкции, зафиксированным при непосредственной оценке в п. II)– IV) или в силу условия $\Lambda_{\Sigma}\geqslant1$, а также оценка
$$
\begin{equation}
\epsilon(s_{\mathrm{min}})\sum_j(\beta(Q_j))^3s_{\mathrm{min}}\leqslant A\operatorname{Re} \sum_{\{h_{\lambda}^{\beta}\}}c_2(h_{\lambda}^{\beta}),
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
где в левой части берется сумма по квадратам, зафиксированным в силу (4.5). 2) Пусть $Q(a,s)$ – двоичный квадрат. Тогда сумма $(\beta(Q_j))^3s(Q_j)$ по всем зафиксированным квадратам, содержащимся в $Q$, и сумма $|c_2(h_{\lambda}^{\beta})|+|c_1(h_{\lambda}^{\beta})|$ по всем построенным функциям $h_{\lambda}^{\beta}$, для которых хотя бы один квадрат согласованной пары содержится в $Q$, не превосходят $A_1s$. Доказательство. Оценка (4.7) следует из (4.5), оценка (4.6) по всем квадратам, зафиксированным в п. II)–IV) конструкции непосредственно, следует из (4.2). Оценка
$$
\begin{equation*}
\sum_j(\beta(Q_j))^3s(Q_j)\leqslant A_2\sum_p(\beta(Q_p))^3s(Q_p),
\end{equation*}
\notag
$$
где в левой части рассматривается сумма по всем квадратам, зафиксированным в силу условия $\Lambda_{\Sigma}\geqslant1$, а в правой части – по всем квадратам, зафиксированным непосредственно, следует из замечания к (4.3) и леммы 2.11 при $n=3$, что доказывает 1).
Для квадратов последнего поколения оценка 2) очевидна, поэтому рассмотрим все остальные квадраты. Из леммы 2.11 при $n=3$, замечания к (4.3), (3.7) и того, что $\Lambda_{\Sigma}\leqslant A_3$, следует, что указанные суммы в 2) не превосходят $A_4(\beta(Q^2))^3s(Q^2)$ для квадрата $Q^2$, содержащего все соответствующие согласованные пары. Так как квадраты согласованных пар расположены близко друг к другу, $Q^2$ можно взять соизмеримым с $Q$, что доказывает 2). Лемма 4.1 доказана. Лемма 4.2. Возьмем $n\in\mathbb{N}$ и рассмотрим множества всех вертикальных $5\times3$ и $10\times3$ групп поколений не выше $n$ (не обязательно зафиксированных), полученных в процессе построения. Имеет место следующее. a1) Каждая вертикальная $10\times3$ группа поколения выше первого вложена в соответствующую вертикальную $10\times3$ группу предыдущего поколения. Из двух различных вертикальных $10\times3$ групп либо одна вложена в другую, либо их проекции на ось $x_1$ не имеют общих внутренних точек. Все сказанное о вертикальных $10\times3$ группах имеет место и для вертикальных $5\times3$ групп. a2) Пусть вертикальная $10\times3$ группа $T$ вложена в вертикальную $10\times3$ группу $T_1$, $Q$ и $Q_1$ – квадраты соответственно $T$ и $T_1$, $a$ – центр $Q$. Тогда выполнено неравенство $\operatorname{dist}(Q_1,a)<As(Q_1)$. a3) В процессе построения квадраты каждой вертикальной $10\times3$ группы с максимальным и минимальным значениями $n_2$ из (2.9) (т. е. самый верхний и самый нижний) в любом случае фиксируются. a4) Пусть $Q_1$ и $Q_2$ – двоичные квадраты, каждый из которых либо был зафиксирован (допускается случай $\beta=0$), либо принадлежит к поколению $n$. Пусть $Q_1$ и $Q_2$ касаются, а одна из их проекций на прямую $x_1$ вложена в другую, тогда $1/2\leqslant s(Q_1)/s(Q_2)\leqslant2$. a5) Рассмотрим множество вертикальных $10\times3$ групп, которые либо были зафиксированы, либо принадлежат к поколению $n$. Пусть $Q'$ и $Q''$ – какие-либо выбранные квадраты различных $10\times3$ групп $T'$ и $T''$ с центрами соответственно $(x_1',x_2')$ и $(x_1'',x_2'')$. Тогда выполнено неравенство Доказательство. Утверждение a1) легко проверяется по индукции, a2) очевидно. Утверждение a3) следует из п. II) и III) конструкции, a4) следует из a3) и того, что при переходе к следующему поколению размеры квадратов уменьшаются в два раза.
Утверждение a5) является следствием п. IV) конструкции и условия 2) индукционного перехода (если две вертикальные $5\times3$ группы расположены в соседних вертикальных рядах, то их центральные вертикальные тройки касаются). Действительно, обозначим через $l_0$ номер поколения $10\times3$ группы $T'$; не ограничивая общности, считаем, что $l_0$ не больше, чем номер поколения $T''$. Рассмотрим вложенные цепочки вертикальных $10\times3$ групп $\{T'(l)\}$ и $\{T(l)\}$, приводящие от первого поколения к соответственно $T'$ и $T$, где $T$ – вертикальная $10\times3$ группа поколения $l_0$, содержащая $T''$ ($l=1,\dots,l_0$ – номер поколения). Так как в силу a1) проекции $T'$ и $T''$ на ось $x_1$ не имеют общих внутренних точек, существует максимальный номер $l_1\leqslant l_0$ такой, что $T'(l_1)$ и $T(l_1)$ находятся в соседних вертикальных рядах. Тогда возможны только два случая: 1) $T'(l_1)$ и $T(l_1)$ получены из одной вертикальной $5\times3$ группы предыдущего поколения; 2) $T'(l_1-1)$ и $T(l_1-1)$ получены из вертикальных $5\times3$ групп, расположенных в соседних вертикальных рядах, причем их центральные вертикальные тройки касаются. Ясно, что в каждом из указанных случаев для произвольных квадратов $T'(l_1)$ и $T(l_1)$ выполнена оценка (4.8). Так как номер $l_1$ максимален, то либо $T'=T'(l_1)$, либо $10\times3$ группы $T'(l_1+1)$ и $T(l_1+1)$ (вложенные соответственно в $T'(l_1)$ и $T(l_1)$ и содержащие центры указанных квадратов) уже не находятся в соседних вертикальных рядах, откуда следует (4.8) в общем случае. Утверждение a5) доказано. Лемма 4.2 доказана. Заметим, что она обобщает лемму 2.1 из [17]. По завершении конструкции возьмем в каждой зафиксированной вертикальной $10\times3$ группе центр произвольно выбранного квадрата. В силу (4.8) и теоремы Уитни о продолжении [11; гл. 6, § 2, теорема 3], существует липшицев граф $\Gamma$, с уравнением $x_2=\Psi(x_1)$, проходящий через указанные центры квадратов, такой, что При этом в силу a2) для любого зафиксированного квадрата $Q$ выполнено неравенство Заметим, что геометрические постоянные $A_1$ из (4.9) и $A_2$ из (4.10) – абсолютные. Напомним, что целью конструкции является лемма 4.4, в которой осталось добиться выполнения условия 4), все остальное следует из лемм 4.1 и 4.2. Дополнительное построение, использующее конструкцию Х. Уитни (см., например, [11; гл. 6, § 1]), позволяет получить требуемое условие 4) и не испортить остальные оценки. Напомним конструкцию Х. Уитни. Пусть $W$ – компакт в $\mathbb{R}^2$. Тогда существует разложение дополнения к $W$ на счетное семейство раздельных двоичных квадратов $Q_j$ со следующими двумя свойствами: 1) $\sqrt{2}\,s(Q_j)\leqslant \operatorname{dist}(Q_j,W)\leqslant 4\sqrt{2}\,s(Q_j)$; 2) если два квадрата семейства $\{Q_j\}$ имеют общую граничную точку, то отношение длин их сторон не превосходит $4$. Напомним, что в каждой вертикальной $10\times3$ группе $30$ квадратов. Следующее утверждение – простой вариант леммы 2.11 для квадратов Уитни. Лемма 4.3. Пусть $Q=Q(a,s)$ – двоичный квадрат с $\beta=\beta(Q)>0$, $\Omega$ – конечное множество двоичных квадратов, меньших $Q$ и касающихся $Q$ так, что проекции квадратов из $\Omega$ на ось $x_1$ не имеют общих внутренних точек с проекцией $Q$ на $x_1$, и для квадратов из $\Omega$ выполнено неравенство (4.10) относительно липшицевой кривой $\Gamma:y=\Psi(x)$, удовлетворяющей условию (4.9). Пусть $W$ – множество центров всех квадратов из $\Omega$, $\{Q_j=Q_j(a_j,s_j)\}$ – множество всех квадратов Уитни для $W$, содержащихся в $Q$, $\beta_j=\beta(Q_j)$. Тогда для указанных квадратов $Q_j$ имеет место оценка (2.24). Доказательство. Обозначим через $\mathcal{Q}^m$ множество всех квадратов $Q_j$ таких, что $s(Q)/s(Q_j)=2^m$. В силу свойства 1) квадратов Уитни, число квадратов в произвольном множестве $\mathcal{Q}^m$ не превосходит абсолютной постоянной $A_3$, зависящей от $A_1$ из (4.9) и $A_2$ из (4.10). Отсюда легко вывести, что
Окончательно, при суммировании по всем квадратам Уитни имеем оценку (2.24)
$$
\begin{equation*}
\sum_j(\beta_j)^ns_j\leqslant A_4\beta^ns\sum_{m=1}^{\infty}\frac{m^n}{2^m}\leqslant A(n)\beta^ns.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 4.3 доказана. Теперь применим лемму 4.3, а именно, разложим зафиксированные квадраты конструкции на соответствующие квадраты Уитни, если они касаются значительно меньших квадратов конструкции. Полученное покрытие компакта $(17/16)\mathbf{Q}\setminus X^\circ$ – требуемое, назовем его $\mathbf{Cover}$. С учетом условия a4) леммы 4.2 и свойства 2) квадратов Уитни, для множества квадратов $\{Q_j\}$ из $\mathbf{Cover}$ имеет место оценка $\bigl\|\sum_j\chi((9/8)Q_j)\bigr\|_{\mathrm L^{\infty}}\leqslant A_3$. В силу леммы 4.3 оценки 1) и 2) леммы 4.1 сохраняются (возможно, с несколько большими постоянными). В итоге (в силу лемм 4.1 и 4.2, (4.9) и (4.10)) имеет место следующее утверждение. Лемма 4.4. Существуют $\mathbf{Cover}$ – конечное семейство раздельных двоичных квадратов, покрывающее компакт $(17/16)\mathbf{Q}\setminus X^\circ$, $\mathbf{Pair}$ – конечный набор согласованных пар двоичных квадратов $(Q,Q')$ и соответствующий ему набор $\mathbf{H(Pair)}$ функций $h_{\lambda}^{\beta}$ вида (3.6) такие, что имеет место следующее. 1) Длины сторон всех указанных квадратов не превосходят $1$, при этом существует липшицев граф $\Gamma$, заданный уравнением $x_2=\Psi(x_1)$, такой, что $\|\Psi'\|_{\mathrm{L}^{\infty}}\leqslant A$, и имеет место следующее. Пусть $Q$ – квадрат покрытия $\mathbf{Cover}$ или квадрат, входящий в какую-либо согласованную пару из $\mathbf{Pair}$, тогда $\operatorname{dist}(Q,\Gamma)\leqslant A_1s(Q)$. При этом квадрат $Q$, входящий в согласованную пару из $\mathbf{Pair}$, не является собственной частью квадрата покрытия $\mathbf{Cover}$ (возможно, совпадает). 2) Имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
\sum_j\epsilon(s_j)(\beta(Q_j))^3s(Q_j)\leqslant A_1\operatorname{Re} \sum_{\{h_{\lambda}^{\beta}\}}c_2(h_{\lambda}^{\beta}),
\end{equation*}
\notag
$$
где в левой части записана сумма по всем квадратам $Q_j$ покрытия $\mathbf{Cover}$, а в правой части – сумма по всем функциям $h_{\lambda}^{\beta}$ из $\mathbf{H(Pair)}$. 3) Пусть $Q(a,s)$ – двоичный квадрат. Тогда сумма $(\beta_j)^3s_j$ по всем квадратам $Q_j$ покрытия $\mathbf{Cover}$, содержащимся в $Q$, и сумма $|c_2(h_{\lambda}^{\beta})|+|c_1(h_{\lambda}^{\beta})|$ по всем функциям $h_{\lambda}^{\beta}$ из $\mathbf{H(Pair)}$, для которых хотя бы один квадрат согласованной пары содержится в $Q$, не превосходят $A_2s$. 4) При суммировании по всем квадратам $Q_j$ покрытия $\mathbf{Cover}$ имеет место оценка $\bigl\|\sum_j\chi((9/8)Q_j)\bigr\|_{\mathrm L^{\infty}}\leqslant A_3$. В случае квадратов согласованных пар $Q_j$ получение аналога условия 4) леммы 4.4 для $\sum_j\lambda(Q_j)\chi((9/8)Q_j)$ при сохранении условия 2) приводит к весьма сложной конструкции (для сравнения см. [9; § 4]). Будет удобнее отказаться от аналога 4) и применить лемму 5.4, (b), опирающуюся на следующие две леммы. Напомним (см. (4.3)), что $\lambda(Q_j)=(\beta(Q_j))^2\Lambda(Q_j)$, и в силу условия $1<\Lambda_{\Sigma}\leqslant A$ имеет место неравенство, аналогичное (2.22) в обозначениях леммы 2.11:
$$
\begin{equation}
\sum_j\Lambda(Q_j)\chi(\widetilde{Q}_j)(x)\leqslant A.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Лемма 4.5. Пусть $\Gamma$ – липшицев граф из условия 1) леммы 4.4, $\{Q_j\}$ – конечное множество двоичных квадратов, пересекающих $\Gamma$, для которых выполнено неравенство (4.11). Тогда: 1) для $C\geqslant1$ при интегрировании по $\Gamma$ функции $F=\sum_j\Lambda(Q_j)\chi(CQ_j)$ имеет место оценка
$$
\begin{equation}
\int_{\Gamma}(F(x))^2\, dl_x\leqslant A_1C\sum_j\Lambda(Q_j)s(Q_j);
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
2) для $M\geqslant1$ множество $\{x|F(x)\geqslant M\}$ в $\mathbb{R}^2$ покрывается таким конечным семейством кругов $B_m$ с центрами на $\Gamma$, что Доказательство. Из (4.11) следует, что для всех квадратов $Q_p$, содержащихся в некотором квадрате $Q$, имеет место оценка
Поэтому для любого квадрата $Q_j$ и всех квадратов $Q_p$ таких, что $s(Q_p)\leqslant s(Q_j)$, выполнена оценка
$$
\begin{equation*}
\int_{\Gamma}\Lambda(Q_j)\chi(CQ_j)(x)\sum_p\Lambda(Q_p)\chi(CQ_p)(x)\, dl_x\leqslant A_4C\Lambda(Q_j)s(Q_j),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда суммированием по $j$ получается (4.12).
Оценка (4.13) – стандартное следствие (4.12), оценки слабого типа в $\mathrm{L}^2$ и расположения квадратов $Q_j$. Лемма 4.5 доказана. В силу (4.13) и того, что для любого квадрата $Q$ из $\mathbf{Pair}$ выполнено неравенство $\operatorname{dist}(Q,\Gamma)\leqslant A_1s(Q)$, имеет место следующее утверждение. Следствие 4.1. Пусть $\{Q_j\}(n)$ – некоторое подмножество квадратов из $\mathbf{Pair}$, для которых при $n{\kern1pt}{\in}{\kern1pt}\mathbb{N}$ выполнено неравенство $\lambda(Q_j)/\Lambda(Q_j){\kern1pt}{\in}{\kern1pt}(2^{-n},2^{-n+1}]$. Тогда для любого $M{\kern0.7pt}{\geqslant}{\kern1pt}2^{-n}$ множество $\bigl\{x\bigm|\!\sum_{\{Q_j\}(n)}\lambda(Q_j) \chi((5/4)Q_j)(x){\kern1pt}{\geqslant}{\kern0.8pt}M\bigr\}$ в $\mathbb{R}^2$ покрывается конечным семейством кругов $B_m$ с центрами на $\Gamma$ таким, что Лемма 4.6. Пусть $\{Q_j\}(n)$ – множество квадратов $Q_j$ из следствия леммы 4.5, $\{D_p\}$ – конечное множество раздельных двоичных квадратов, $\nu$ – неотрицательная функция из $\in\mathrm{L}^1(\mathbb{R}^2)$ такая, что $\operatorname{Spt}(\nu)\subset\bigl(\bigcup_pD_p\bigr)$, и выполнено следующее условие (a): (a) для любого двоичного квадрата $D$, содержащего хотя бы один из квадратов $D_p$, имеет место неравенство $\int_{D}\nu(x)\, dm_x\leqslant 4s(D)$. Пусть
$$
\begin{equation*}
F_n=\sum_{\{Q_j\}(n)}\lambda(Q_j)\chi\biggl(\frac98Q_j\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
и выполнены следующие условия: 1) имеет место неравенство
$$
\begin{equation}
\sum_{\{Q_j\}(n)}\lambda(Q_j)\beta(Q_j)s(Q_j)\leqslant \|\nu\|_{\mathrm{L}^1};
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
2) если квадраты $Q_j$ и $3D_p$ имеют общие внутренние точки, то $s(Q_j)\geqslant s(D_p)$. Тогда имеет место оценка Доказательство. Так как в силу (4.3) имеем $\lambda(Q_j)/\Lambda(Q_j)=(\beta(Q_j))^2$, из определения $\{Q_j\}(n)$ и неравенства (4.15) следует, что $\beta(Q_j)\leqslant2^{-n/2}$ и
Удобно несколько увеличить функции $\chi((9/8)Q_j)$. Для каждого квадрата $Q_j$ возьмем функцию $\varphi_j$ такую, что $\operatorname{Spt}(\varphi_j)\subset(5/4)Q_j$, $\varphi_j(x)\equiv1$ на $(9/8)Q_j$, $0\leqslant \varphi_j(x)\leqslant1$ и $|\nabla\varphi_j(x)|\leqslant A_1/s(Q_j)$ при всех $x$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\widetilde{F}_n=\sum_{\{Q_j\}(n)}\lambda(Q_j)\varphi_j.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как для любого $x$ выполнено неравенство $\sum_{\{Q_j\}(n)}\Lambda(Q_j)\chi(Q_j)(x)\leqslant A_2$ (имеет место более сильное утверждение (4.11) – для проекций квадратов на ось $x_1$), из условия 2) леммы 4.6 и $\lambda(Q_j)/\Lambda(Q_j)\in(2^{-n},2^{-n+1}]$ следует, что колебание функции $\widetilde{F}_n$ на произвольном квадрате $D_p$ не превосходит $A_32^{-n}$. Достаточно установить оценку (4.16) с заменой $F_n$ на $\widetilde{F}_n$. Разобьем множество квадратов $D_p$ на непересекающиеся классы $K_0,K_1,K_2,\dots$ так, что на всех квадратах из $K_0$ для некоторого $A_4>1$ выполнено неравенство $\widetilde{F}_n\leqslant A_42^{-n/4}$, а на всех квадратах из $K_t$ при $t\geqslant1$ соответственно $2^{(t-n)/4}\leqslant\widetilde{F}_n\leqslant A_42^{(t-n)/4}$. Очевидно,
$$
\begin{equation*}
\sum_{\{p\mid D_p\in K_0\}}\int_{D_p} \widetilde{F}_n(x)\nu(x)\, dm_x\leqslant \frac{A_4}{2^{n/4}} \|\nu\|_{\mathrm{L}^1},
\end{equation*}
\notag
$$
а в силу (4.14), (4.17) и условия (a) леммы 4.6 имеем:
$$
\begin{equation*}
\sum_{t=1}^{\infty}\sum_{\{p\mid D_p\in K_t\}}\int_{D_p} \widetilde{F}_n(x)\nu(x)\, dm_x\leqslant A_5\sum_{t=1}^{\infty}\frac{2^{(t-n)/4}2^{n/2}\|\nu\|_{\mathrm{L}^1}}{2^n2^{(t-n)/2}}\leqslant \frac{A_6}{2^{n/4}} \|\nu\|_{\mathrm{L}^1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 4.6 доказана. Заметим, что лемма 4.6 будет использоваться в лемме 5.4, а ее условие (a) будет следствием леммы 5.3. § 5. Завершение доказательства теоремы 1.1Напомним, что для завершения доказательства теоремы 1.1 остается установить лемму 3.3. Лемма 3.3 выводится из леммы 4.4 методами теории сингулярных интегралов с помощью леммы 5.1 – частного случая известной теоремы об отделимости выпуклых множеств в конечномерном пространстве. Лемма 5.1. Пусть $\mathbf{D}\subset\mathbb{R}^2$ – компакт; $\psi_1,\psi_2,\dots,\psi_p$ – конечное множество неотрицательных функций из $C(\mathbf{D})$; $b>0$ – постоянная. Если для любой неотрицательной функции $\nu\in\mathrm{L}^1(\mathbf{D},dm)$ найдется номер $n=n(\nu)$ такой, что то для некоторой выпуклой комбинации $\psi=\sum_{n=1}^p\lambda_n\psi_n$ (т. е. $\lambda_n\geqslant0$ и $\sum_{n=1}^p\lambda_n=1$) выполнена оценка $\max_{x\in \mathbf{D}}\psi(x)\leqslant b$.Обозначим сумму $\operatorname{Re}c_2(h_{\lambda}^{\beta})$ по всем функциям $h_{\lambda}^{\beta}$ из $\mathbf{H(Pair)}$ через $\mathbf{C_2(H)}$. Напомним, что в силу (3.7) величина $\mathbf{C_2(H)}$ соизмерима с суммой $\lambda\beta s$ по всем квадратам согласованных пар. Лемма 5.1 сводит лемму 3.3 к следующему утверждению (очевидно, достаточно добиться выполнения оценки 1) леммы 3.3 на $\mathbf{D}=[0,1]^2$). Лемма 5.2. Пусть $\mathbf{D}=[0,1]^2=Q(1/2,1)$, $\nu\in\mathrm{L}^1(\mathbb{R}^2)$ – произвольная неотрицательная функция такая, что $\operatorname{Spt}(\nu)\subset\mathbf{D}$. Тогда существуют покрытие $\mathbf{Cover(\nu)}$ и множество согласованных пар $\mathbf{Pair}(\nu)$ такие, что имеет место следующее. 1) Покрытие $\mathbf{Cover}(\nu)$ получено из $\mathbf{Cover}$ после того, как некоторые квадраты $\mathbf{Cover}$ увеличены по включению, т. е. заменены на содержащие их двоичные квадраты, при этом каждый квадрат $\mathbf{Cover}(\nu)$ содержится в $\mathbf{D}$; множество согласованных пар $\mathbf{Pair}(\nu)$ получено из $\mathbf{Pair}$ после исключения некоторых согласованных пар. 2) Для $\mathbf{Cover}(\nu)$, $\mathbf{Pair}(\nu)$ и соответствующего множества $\mathbf{H(Pair)}(\nu)$ функций $h_{\lambda}^{\beta}$ сохраняются оценки 2), 3) леммы 4.4 (аналогичных объектов без $\nu$) с тем же липшицевым графом $\Gamma$ и несколько увеличенными постоянными. 3) В обозначениях леммы 3.3 имеет место оценка
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbf{D}}\bigl(|\mathbf{G}(x)-\mathbf{g}_{2,\nu}(x)|+|\mathbf{h}_{2,\nu}(x)|\bigr)\nu(x)\, dm_x \leqslant A\|\nu\|_{\mathrm{L}^1},
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
где $\mathbf{h}_{2,\nu}$ – сумма всех функций $h_{\lambda}^{\beta}$ по $\mathbf{H(Pair)}(\nu)$, $\mathbf{g}_{2,\nu}$ – сумма всех функций $g$ из лемм 2.9, 2.10, соответствующих квадратам покрытия $\mathbf{Cover}(\nu)$. Действительно, применим лемму 5.1 к конечному множеству функций
$$
\begin{equation*}
\psi_n=\psi(\nu)=|\mathbf{g}_{2,\nu}|+|\mathbf{h}_{2,\nu}|
\end{equation*}
\notag
$$
(конечность очевидна из условия 1) леммы 5.2). Получим, что для $\mathbf{g}_{2}$ и $\mathbf{h}_{2}$ – подходящих выпуклых комбинаций соответственно $\mathbf{g}_{2,\nu}$ и $\mathbf{h}_{2,\nu}$ имеет место утверждение 1) леммы 3.3. При этом утверждения 2) и 3) леммы 3.3 для выпуклых комбинаций сохраняются. Доказательство леммы 5.2. Оценка (5.2) линейна относительно функции $\nu$, поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что где достаточно малая постоянная $A_0>0$ будет определена ниже, сразу же после леммы 5.3. Преобразования, указанные в условии 1) леммы 5.2, проводятся с помощью двоичного разложения Кальдерона–Зигмунда, а именно, следующим образом.
В силу (5.3) имеем $\int_\mathbf{D}\nu(x)\, dm_x<s(\mathbf{D})$. На каждом шаге делаем следующее. Рассмотрим произвольный двоичный квадрат $D$, полученный на предыдущем шаге, длина стороны которого больше, чем у минимальных квадратов покрытия $\mathbf{Cover}$. Если $\int_D\nu(x)\, dm_x\geqslant s(D)$, то фиксируем $D$ и назовем плохим, в противном случае делим $D$ на четыре двоичных квадрата одного размера. Если длина стороны этих квадратов такая же, как у минимальных квадратов покрытия $\mathbf{Cover}$, фиксируем их и назовем хорошими. После конечного числа шагов двоичное разложение завершается, и результатом является следующая стандартная лемма. Лемма 5.3. Существует разложение квадрата $\mathbf{D}$ на конечное семейство раздельных двоичных квадратов (так называемых хороших и плохих квадратов, $D^g$ и $D^b$ соответственно) со следующими свойствами. 1) Для каждого квадрата $D$ выполнено неравенство $s(D)\geqslant\min_js(Q_j)$, где $Q_j$ – квадраты покрытия $\mathbf{Cover}$. 2) Выполнены неравенства 3) Пусть $D'$ – произвольный двоичный квадрат, содержащий хотя бы один квадрат разложения. Тогда 4) Пусть $D'$ – двоичный квадрат, содержащий хотя бы один плохой квадрат. Тогда
$$
\begin{equation*}
\sum_{\{D^b\subset D'\}}s(D^b)\leqslant\int_{D'}\nu(x)\, dm_x<4s(D').
\end{equation*}
\notag
$$
При этом Доказательство. Свойства 1) и 2) очевидны из построения. Если бы свойство 3) не выполнялось, то в силу построения двоичный квадрат, содержащий $D'$ и не совпадающий с ним, был бы ранее зафиксирован как плохой. Свойство 4) следует из 2) и 3):
$$
\begin{equation*}
\sum_{\{D^b\subset D'\}}s(D^b)\leqslant\sum_{\{D^b\subset D'\}}\int_{D^b}\nu(x)\, dm_x \leqslant\int_{D'}\nu(x)\, dm_x<4s(D'),
\end{equation*}
\notag
$$
а оценка (5.4) – из 2).
Лемма 5.3 доказана. Теперь построим требуемые $\mathbf{Cover}(\nu)$ и $\mathbf{Pair}(\nu)$. Для каждого квадрата $D^b$ из леммы 5.3 рассмотрим его “оболочку” – множество, состоящее из девяти двоичных квадратов того же размера, составляющих $3D^b$. Каждый квадрат $Q_j$ покрытия $\mathbf{Cover}$, который является собственной частью квадрата $D$, принадлежащего оболочке некоторого $D^b$, заменим на $D$, затем в полученном семействе удалим все квадраты, не являющиеся максимальными по включению. В результате получим покрытие $\mathbf{Cover}(\nu)$. Аналогично, если в согласованной паре $(Q,Q')$ хотя бы один из двух квадратов является собственной частью квадрата $D$, принадлежащего оболочке некоторого $D^b$, исключим из рассмотрения эту пару и соответствующую ей функцию $h_{\lambda}^{\beta}$. Оставшиеся семейства согласованных пар и функций $h_{\lambda}^{\beta}$ – это $\mathbf{Pair}(\nu)$ и $\mathbf{H(Pair)}(\nu)$. Утверждение 1) леммы 5.2 очевидно в силу построения. Из (5.4) и утверждения 3) леммы 4.4 следует, что для всех достаточно малых $A_0>0$ в (5.3) величина $\mathbf{C_2(H)}$ при переходе к $\mathbf{H(Pair)}(\nu)$ уменьшается не более, чем в два раза, а сумма $\epsilon(s_j)(\beta(Q_j))^3s(Q_j)$ по всем квадратам $Q_j$ покрытия $\mathbf{Cover}$ увеличивается не более, чем в два раза. При этом утверждение 2) леммы 5.2 является следствием утверждения 2) леммы 4.4 и утверждения 4) леммы 5.3. Таким образом, для завершения доказательства леммы 3.3 осталось установить оценку (5.2) с учетом (5.3). В силу построения имеет место следующее свойство A), которое будет играть ключевую роль в доказательстве оценки (5.2). Свойство A). Пусть квадрат $Q_0$ принадлежит покрытию $\mathbf{Cover}(\nu)$ или согласованной паре из $\mathbf{Pair}(\nu)$, $D^b$ – плохой квадрат из леммы 5.3. Если $Q_0$ и $3D^b$ имеют общие внутренние точки, то $s(Q_0)\geqslant s(D^b)$. Вернемся к формулировке леммы 4.6. Условие (а) леммы 4.6 для функции $\nu$ следует из утверждения 3) леммы 5.3, условие 1) леммы 4.6 для всех квадратов $Q_j$ согласованных пар следует из (3.7) и (5.3) с точностью до постоянного множителя $A_0>0$, условие 2) леммы 4.6 следует из свойства A). Имеет место следующее утверждение. Лемма 5.4. При суммировании по всем квадратам $Q_j$ покрытия $\mathbf{Cover}(\nu)$ и по всем квадратам $Q_j$ и $Q_j'$ согласованных пар из $\mathbf{Pair}(\nu)$ имеют место следующие оценки: (a)
$$
\begin{equation*}
\int\sum_j\chi\biggl(\frac98Q_j\biggr)(x)\nu(x)\, dm_x\leqslant A\|\nu\|_{\mathrm{L}^1};
\end{equation*}
\notag
$$
(b) Доказательство. Оценка (a) для квадратов $Q_j$, которые не изменялись при переходе от $\mathbf{Cover}$ к $\mathbf{Cover}(\nu)$, следует из леммы 4.4, 4). При суммировании по всем остальным квадратам покрытия $\mathbf{Cover}(\nu)$ в силу (5.3) и (5.4) имеем
причем в силу свойства A) и утверждения 3) леммы 5.3 выполнены неравенства
$$
\begin{equation*}
\int\chi\biggl(\frac98Q_j\biggr)(x)\nu(x)\, dm_x\leqslant A_1s(Q_j),
\end{equation*}
\notag
$$
что доказывает (a). Оценка (b) следует из леммы 4.6 суммированием (4.16) по всем $n$ (в случае $\lambda(Q_j)/\Lambda(Q_j)\geqslant1/2$ доказательство только упрощается). Лемма 5.4 доказана. Продолжим доказательство оценки (5.2). Рассмотрим структуру функций из левой части (5.2). С помощью покрытия $\mathbf{Cover}(\nu)=\{Q_j(a_j,s_j)\}$ и соответствующего ему разбиения единицы из леммы 2.6 при $\tau=1/32$ представим функцию $\mathbf{G}$ в виде суммы стандартных локализаций $\mathbf{G}_j$ из леммы 2.8. Пусть $R_j$ – соответствующие $\mathbf{G}_j$ функции $G$ из леммы 2.10, тогда $\mathbf{g}_{2,\nu}=\sum_j(\mathbf{G}_j-R_j)$. Из лемм 2.8 и 2.10 (с учетом замечания к ней) вытекают следующие оценки:
$$
\begin{equation}
\biggl|R_j(x)-c_{1}(R_j)\, \frac{\partial E(x-a_j)}{\partial{x_1}}-c_{2}(R_j)\,\frac{\partial E(x-a_j)}{\partial{x_2}}\biggr|\leqslant A_1\epsilon(s_j) \frac{(\beta_j)^3(s_j)^{2}}{|x-a_j|^{2}},
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
где $x\notin(9/8)Q_j$, и
$$
\begin{equation}
|c_{1}(R_j)|+|c_{2}(R_j)|\leqslant A_1\epsilon(s_j)(\beta_j)^3s_j.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Функция $\mathbf{h}_{2,\nu}$ – сумма всех функций $h_{\lambda}^{\beta}$ по $\mathbf{H(Pair)}(\nu)$, которые в силу (3.8) оцениваются аналогично, при этом $\epsilon(s_j)(\beta_j)^3s_j$ заменяется на $\operatorname{Re}c_2(h_{\lambda}^{\beta})$ (или, в силу (3.5) и (3.7), на сравнимую величину: $\lambda\beta s$ или $\lambda'\beta' s'$ для любого квадрата согласованной пары $(Q,Q')$). В силу леммы 5.4 в доказательстве оценки (5.2) заменим $R_j$ на $R_j(1-\chi((9/8)Q_j))$ и аналогично – каждую функцию $h_{\lambda}^{\beta}$ на $h_{\lambda}^{\beta}(1-\chi((9/8)Q))(1-\chi((9/8)Q'))$. Полученные функции обозначим как $R^0_j$ и $h_{\lambda}^{0,\beta}$. Тем самым оценка (5.2) сводится к следующей:
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbf{D}}\biggl(\biggl|\sum_{\{\mathbf{Cover}(\nu)\}}R^0_j(x)\biggr| +\biggl|\sum_{\{\mathbf{H(Pair)}(\nu)\}}h_{\lambda}^{0,\beta}(x)\biggr|\biggr)\nu(x)\, dm_x \leqslant A\|\nu\|_{\mathrm{L}^1}.
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Оценка (5.7) является следствием: а) оценок (5.5) и (5.6) и аналогичных оценок функций $h_{\lambda}^{\beta}$, где $\epsilon(s_j)(\beta_j)^3s_j$ заменяется на $\operatorname{Re}c_2(h_{\lambda}^{\beta})$ с оценкой из (3.7); b) $\mathrm{L}^2$-ограниченности сингулярных интегралов на $\Gamma$ с ядрами $\partial E/\partial x_1$ и $\partial E/\partial x_2$, которые являются функциями нечетными, однородными степени $-1$ и вещественно аналитическими при $x\ne0$ (конкретный вид ядер см., например, в [2; § 2]); c) лемм 4.4 и 5.2, в силу которых сумма $(\beta_j)^3s_j$ по квадратам $Q_j$ покрытия $\mathbf{Cover}(\nu)$ и сумма $|c_2(h_{\lambda}^{\beta})|+|c_1(h_{\lambda}^{\beta})|$ по функциям $h_{\lambda}^{\beta}$ из $\mathbf{H(Pair)}(\nu)$ являются мерами Карлесона относительно $\Gamma$; d) утверждения 3) леммы 5.3 и свойства A), которые являются условиями регулярности меры $\nu$. Для произвольного квадрата $D\,{\in}\,\{D^g\}\,{\cup}\,\{D^b\}$ из леммы 5.3 возьмем функции и $\nu_b=\nu-\widetilde{\nu}$. Ясно, что и для функции $\widetilde{\nu}$ имеет место оценка 3) леммы 5.3 в случае любого квадрата $D'$ (не обязательно содержащего квадрат разложения).Оценка (5.7) естественно сводится к двум следующим оценкам:
$$
\begin{equation}
\biggl|\int_{\mathbf{D}}\biggl(\biggl|\sum_{\{\mathbf{Cover}(\nu)\}}R^0_j(x)\biggr| +\biggl|\sum_{\{\mathbf{H(Pair)}(\nu)\}} h_{\lambda}^{0,\beta}(x)\biggr|\biggr)\nu_b(x)\, dm_x \biggr|\leqslant A_1\|\nu\|_{\mathrm{L}^1};
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbf{D}}\biggl(\biggl|\sum_{\{\mathbf{Cover}(\nu)\}}R^0_j(x)\biggr| +\biggl|\sum_{\{\mathbf{H(Pair)}(\nu)\}} h_{\lambda}^{0,\beta}(x)\biggr|\biggr)\widetilde{\nu}(x)\, dm_x \leqslant A_1\|\nu\|_{\mathrm{L}^1}.
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Сначала установим следующую оценку:
$$
\begin{equation}
\Biggl|\int_{\mathbf{D}}\biggl|\sum_{\{\mathbf{Cover}(\nu)\}}R^0_j(x)\biggr|\nu_b(x)\, dm_x\Biggr|\leqslant A_2\|\nu\|_{\mathrm{L}^1}.
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Пусть $\mathbf{Cover}(\nu)=\{Q_j(a_j,s_j)\}$ и $\{D_p(a_p',s_p')\}$ – множество квадратов из леммы 5.3. В силу (5.8) и элементарных свойств модуля оценка (5.11) вытекает из следующей:
$$
\begin{equation}
\sum_p\sum_j \int_{D_p}|R^0_j(x)-R^0_j(a_p')||\nu_b(x)|\, dm_x \leqslant A_3\|\nu\|_{\mathrm{L}^1}.
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
Зафиксируем $p$ и рассмотрим каждый квадрат $Q_j$ такой, что $(9/8)Q_j\cap D_p\,{=}\,\varnothing$. В силу (5.5) и (5.6) выполнены оценки
$$
\begin{equation*}
\int_{D_p}|R^0_j(x)-R^0_j(a_p')||\nu_b(x)|\, dm_x\leqslant A_4\frac{\epsilon(s_j)(\beta_j)^3(s_j)^{2}}{|a_j-a_p'|^2}s_p'\int_{D_p} \nu(x)\, dm_x.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу условия 3) леммы 4.4 и условия 2) леммы 5.2 имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_j\frac{\epsilon(s_j)(\beta_j)^3(s_j)^{2}}{|a_j-a_p'|^2}\leqslant A\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2^ms_p'}{(2^ms_p')^2} =A(s_p')^{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, имеем оценку (5.12) при суммировании по всем парам квадратов $(Q_j,D_p)$ таким, что $(9/8)Q_j\cap D_p=\varnothing$. В силу очевидной оценки $|R^0_j(x)|\leqslant A\epsilon(s_j)(\beta_j)^3$, утверждения 3) леммы 5.3 и свойства A), для всех $D_p$ таких, что $(9/8)Q_j\cap D_p\ne\varnothing$, имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_p\int_{D_p}|R^0_j(x)-R^0_j(a_p')||\nu_b(x)|\, dm_x \leqslant A\epsilon(s_j)(\beta_j)^3s_j,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда при суммировании по всем $j$ в силу утверждения 2) леммы 4.4 и (5.3) получим оценку (5.12) и для всех пар квадратов $(Q_j,D_p)$ таких, что $(9/8)Q_j\cap D_p\ne\varnothing$. Оценка второго слагаемого в (5.9), содержащего модуль суммы функций $h_{\lambda}^{0,\beta}$, проводится аналогично первому, с очевидными изменениями, а именно, $\epsilon(s_j)(\beta_j)^3s_j$ заменяется на $\operatorname{Re}c_2(h_{\lambda}^{\beta})$. Таким образом, для завершения доказательства леммы 3.3 осталось установить оценку (5.10). В силу липшицевости $\Gamma$ (см. условие 1) леммы 4.4) в пространстве $\mathrm{L}^2=\mathrm{L}^2(d\sigma)$ для функции $\psi\in\mathrm{L}^2$ при $m=1,2$ выполнены оценки
$$
\begin{equation}
\biggl\|\frac{\partial E}{\partial x_m}*\psi\biggr\|_{\mathrm{L}^2}\leqslant A\|\psi\|_{\mathrm{L}^2},
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
где $\sigma(\,{\cdot}\,)$ – поверхностная мера на $\Gamma$, свертка понимается как сингулярный интеграл в смысле главного значения. Так как для функции $\widetilde{\nu}$ имеет место оценка 3) леммы 5.3 в случае произвольного квадрата $D'$, то (см., например, [18; ч. 3, леммы 2.5, 2.6]) выполнены неравенства
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}^2}\biggl|\frac{\partial E}{\partial x_m}*\psi(x)\biggr|^2 \widetilde{\nu}(x)\, dm_x\leqslant A_1 \int_{\Gamma}\biggl|\frac{\partial E}{\partial x_m}*\psi(x)\biggr|^2\, d\sigma_x\leqslant A_2\int_{\Gamma}|\psi(x)|^2\, d\sigma_x.
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
Рассмотрим произвольный квадрат $Q_j$ покрытия $\mathbf{Cover}(\nu)$ и соответствующую функцию $R_j^0$. Несколько изменив обозначения, через $\widetilde{Q}_j$ обозначим проекцию $Q_j$ на $\Gamma$ в направлении оси $x_2$. Возьмем
$$
\begin{equation}
\widetilde{R}_j=\sum_{m=1}^2\biggl(\frac{\partial E}{\partial x_m}*\psi_{m,j}\biggr),
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
где $\psi_{m,j}=c_{m}(R_j)\chi(\widetilde{Q}_j)/\sigma(\widetilde{Q}_j)$. Ясно, что $\int_{\Gamma}\psi_{m,j}(x)\, d\sigma_x=c_{m}(R_j)$, где $m=1,2$. В силу неравенства Коши–Буняковского, (5.5), (5.6) и (5.14) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbf{D}}|\widetilde{R}_j(x)-R_j^0(x)|\widetilde{\nu}(x)\, dm_x \\ &\qquad\leqslant A_1\frac{\epsilon(s_j)(\beta_j)^3s_j}{\sigma(\widetilde{Q}_j)}\sqrt{s_j}\, \sqrt{\int_{\Gamma}|\chi(\widetilde{Q}_j)(x)|^2\, d\sigma_x}\leqslant A_2 \epsilon(s_j)(\beta_j)^3s_j, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, таким образом, в левой части (5.10) мы можем заменить $R_j^0$ на $\widetilde{R}_j$. Аналогично (5.15), для каждой функции $h_{\lambda}^{0,\beta}$ возьмем функцию
$$
\begin{equation*}
\widetilde{h}_{\lambda}^{\beta}=\sum_{m=1}^2\biggl(\frac{\partial E}{\partial x_m}*\phi_{m}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\phi_{m}=c_{m}(h_{\lambda}^{\beta})\chi(\widetilde{Q})/\sigma(\widetilde{Q})$, $\widetilde{Q}$ – проекция выбранного квадрата из двух квадратов согласованной пары. Напомним, что размеры квадратов согласованной пары различаются не более, чем в два раза, расстояния между ними и от квадратов до $\Gamma$ не превосходят по порядку величины длины сторон (см. (3.3) и утверждение 1) леммы 4.4). Повторяя те же аргументы, которые были применены для функций $\widetilde{R}_j$, мы можем в левой части (5.10) заменить каждую функцию $h_{\lambda}^{0,\beta}$ на $\widetilde{h}_{\lambda}^{\beta}$, и оценка (5.10) сводится к следующей:
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbf{D}}\biggl(\biggl|\sum_{\{\mathbf{Cover}(\nu)\}}\widetilde{R}_j(x)\biggr| +\biggl|\sum_{\{\mathbf{H(Pair)}(\nu)\}}\widetilde{h}_{\lambda}^{\beta}(x)\biggr|\biggr) \widetilde{\nu}(x)\, dm_x \leqslant A_1\|\nu\|_{\mathrm{L}^1}.
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
В силу неравенства Коши–Буняковского, (5.6) и (5.14) имеем (суммирование проводится по всем квадратам покрытия $\mathbf{Cover}(\nu)$):
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbf{D}}\biggl|\sum_j\widetilde{R}_j(x)\biggr|\widetilde{\nu}(x)\, dm_x \leqslant A_2\sqrt{\|\nu\|_{\mathrm{L}^1}}\, \sqrt{\int_{\Gamma}\biggl(\sum_j\epsilon(s_j)(\beta_j)^3 \chi(\widetilde{Q}_j)(x)\biggr)^2\, d\sigma_x}.
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы установить оценку (5.16) для слагаемого, содержащего модуль суммы $\widetilde{R}_j$, осталось показать, что
$$
\begin{equation}
\int_{\Gamma}\biggl(\sum_j\epsilon(s_j)(\beta_j)^3 \chi(\widetilde{Q}_j)(x)\biggr)^2\, d\sigma_x\leqslant A_3 \|\nu\|_{\mathrm{L}^1}.
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
Квадраты $Q_j$ двоичные, поэтому если внутренние части проекций $\widetilde{Q}_j$ и $\widetilde{Q_p}$ пересекаются, то одна из проекций содержится в другой. В силу утверждения 1) леммы 4.4 из $\widetilde{Q_p}\subset\widetilde{Q}_j$ следует $Q_p\subset AQ_j$. Поэтому в силу утверждений 2) и 3) леммы 4.4, а также (5.3), левая часть (5.17) не превосходит
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &A_4\sum_j\epsilon(s_j)(\beta_j)^3\sum_{\{p\mid\widetilde{Q_p}\subset\widetilde{Q}_j\}} \int_{\widetilde{Q}_j}\epsilon(s_p)(\beta_p)^3 \chi(\widetilde{Q_p})(x)\, d\sigma_x \\ &\qquad\leqslant A_5\sum_j\epsilon(s_j)(\beta_j)^3s_j\leqslant A_3\|\nu\|_{\mathrm{L}^1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценка (5.16) для второго слагаемого, содержащего модуль суммы функций $\widetilde{h}_{\lambda}^{\beta}$, проводится аналогично. Лемма 3.3 доказана. Доказательство теоремы 1.1 завершено. § 6. Доказательство теорем 1.3 и 1.4Теоремы 1.3 и 1.4 вытекают из леммы 6.1, обобщающей теорему 3 из [14], и замечания к теореме 1.1 (в доказательстве утверждения I) теоремы 1.1 оценка (1.11) используется только для функций $\varphi$ таких, что $\|\nabla^3\varphi\|_{\mathrm{L}_{\infty}}r^3\leqslant A$). Пусть $B=B(0,1)$ – единичный круг, а функция $\varphi^0_1\in C^2(B)$ удовлетворяет следующим условиям: 1) $\varphi^0_1\in C(\mathbb{R}^2)$ и $\varphi^0_1\equiv0$ вне $B$; 2) $\nabla\varphi^0_1\in C(\overline{B})$; 3) $\nabla^2\varphi^0_1\in\mathrm{L}^1(B)$. Тогда (см., например, [19; гл. 1, § 2, п.3] или [7], доказательство леммы 1) интегрирование по частям дает для функции $f\in C^2(\mathbb{R}^2)$ следующую оценку:
$$
\begin{equation}
|\langle Lf\,|\,\varphi^0_1\rangle|\leqslant A(\varphi^0_1) \|f\|_{\mathrm{L}^{\infty}(\overline{B(0,1)})},
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
причем распределение $L(\varphi^0_1)$ представляет собой сумму функции из $\mathrm{L}^1(B)\cap C(B)$ и конечной комплексной борелевской меры на $\partial B$. Следовательно, действие $\langle Lf|\varphi^0_1\rangle$ корректно определено для любой функции $f\in C(\mathbb{R}^2)$. Дополнительно считаем, что
$$
\begin{equation}
\varphi^0_1(x)\geqslant0\quad\text{на}\quad B(0,1),\qquad\int \varphi^0_1(x)\, dm_x=1,
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
при этом функции $\varphi^a_{\delta}$ для $\delta>0$ и $a\in\mathbb{R}^2$ определяем в соответствии с (1.13), а именно, $\varphi^a_{\delta}(x)=\delta^{-2}\varphi_1^0((x-a)/\delta)$. Теореме 1.3 соответствует частный случай $\varphi^0_1\in C^2_0(\mathbb{R}^2)$, в теореме 1.4, напомним, $\varphi^0_1(x)=A(1-|x|^2)\chi(B(0,1))$, а действия $\langle Lf|\varphi^a_{\delta}\rangle$ определяются по формуле (1.15) (см. [7; лемма 1]). Также напомним, что в [8; следствие 1.1] рассматривается другой частный случай: $\varphi^0_1(x)=A(1-|x|^2)^{3/2}\chi(B(0,1))$. Лемма 6.1. Пусть для исходной функции $f\in h_L(X)\cap C_0(\mathbb{R}^2)$ и произвольного круга $B(a,\delta)$ выполнены оценки Тогда для произвольного круга $B$ радиуса $r$ и произвольной функции $\varphi\in C^3(\mathbb{R}^2)$ такой, что $\operatorname{Spt}(\varphi)\subset B$, имеет место оценка где $k$ зависит от $k_1$, $\epsilon$ зависит от $k_1$ и $\epsilon_1$. Доказательство. Следуя [12], построим некоторые вспомогательные функции. Рассмотрим для $\varphi^0_{\delta}$ из (1.13) следующую свертку:
$$
\begin{equation}
\varphi^0_{3,\delta}=\varphi^0_{\delta}*\varphi^0_{\delta}*\varphi^0_{\delta}.
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
Ясно в силу (6.2), что $\varphi^0_{3,\delta}(x)\geqslant0$, $\operatorname{Spt}(\varphi^0_{3,\delta})\subset \overline{B(0,3\delta)}$ и $\int \varphi^0_{3,\delta}(x)\, dm_x=1$.
Пусть $\{Q_j(a_j,\delta)\}$ – множество двоичных квадратов с длиной стороны $\delta$, объединение которых содержит круг $B$; нужное значение $\delta<r$ определим ниже, в (6.10), $\{\varphi_j\}$ – подчиненное $\{Q_j\}$ разбиение единицы из леммы 2.6. Используя функции $\varphi^0_{3,\delta}$, получим новое разбиение единицы при этом выполнены следующие свойства: $\psi_{3,j}\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^2)$, $\operatorname{Spt}(\psi_{3,j})\subset B(a_j,5\delta)$ и $\|\nabla^3\psi_{3,j}\|_{\mathrm{L}^{\infty}}\leqslant A\delta^{-3}$.Для доказательства леммы 6.1 понадобится оценка (6.7), вытекающая из следующих двух лемм. Лемма 6.2. Пусть $f\in C(\mathbb{R}^2)$, $\Psi\in \mathrm{L}^1(\mathbb{R}^2)\cap C(\mathbb{R}^2)$, тогда имеет место равенство Доказательство. Для функции $f\in C^2(\mathbb{R}^2)$ в силу теоремы Фубини выполнена цепочка равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\langle L f\,|\,\varphi^0_{\delta}*\Psi\rangle=\iint L_x f(x+y)\varphi^0_{\delta}(x)\Psi(y)\, dm_x\, dm_y \\ &\qquad=\int\Psi(y)\, dm_y\int L f(t)\varphi^0_{\delta}(t-y)\, dm_t=\int\Psi(y)\, dm_y\int L f(t)\varphi^y_{\delta}(t)\, dm_t \\ &\qquad=\int\Psi(y)\, dm_y\,\langle L f\,|\,\varphi^y_{\delta}\rangle. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
То же самое для $f\,{\in}\, C(\mathbb{R}^2)$ получается предельным переходом, сдвигом и гомотетией, так как в (6.1) оценки зависят только от равномерной нормы функции $f$. Лемма 6.2 доказана. Следующее утверждение обобщает лемму 2.5 из [12]. Введем стандартные обозначения: $\alpha=(\alpha_1,\alpha_2)\in\mathbb{Z}_+^2$ – би-индекс, при этом
$$
\begin{equation*}
|\alpha|=\alpha_1+\alpha_2,\qquad \partial^{\alpha}=\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1}\, \partial x_2^{\alpha_2}},\qquad \alpha!=\alpha_1!\,\alpha_2!,\qquad x^{\alpha}=x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 6.3. Пусть $\{\varphi^0_{3,\delta}\}$ из (6.5), $\{\varphi_j\}$ – разбиение единицы из (6.6), $a_j$ – центр квадрата $Q_j$, $\alpha$, $|\alpha|\leqslant 2$ – би-индекс, $\Psi_{\alpha,j}$ – решение следующего уравнения свертки: Тогда $\Psi_{\alpha,j}\in C^{\infty}_0(\mathbb{R}^2)$, $\operatorname{Spt}(\Psi_{\alpha,j})\subset B(a_j,A\delta)$ и $\|\Psi_{\alpha,j}\|_{\mathrm{L}^\infty}\leqslant A\delta^{|\alpha|}$. Доказательство. Утверждение леммы при $|\alpha|\,{=}\,0$ очевидно, так как $\Psi_{0,j}\,{=} \varphi^0_{\delta}*\varphi^0_{\delta}*\varphi_j$. Считаем, что $|\alpha|>0$, достаточно рассмотреть случай $a_j=0$. Пусть $\mathrm{F}[\,\cdot\,]$ – прямое преобразование Фурье. Напомним, что имеют место равенства $\mathrm{F}[x_mg]=-i\,\partial\mathrm{F}[g]/\partial x_m$, где $m=1,2$. Вычисление дает:
Заметим, что в формуле (6.5) взята двойная свертка для возможности разделить без остатка при $|\alpha|\leqslant{2}$ числитель полученной дроби на $\mathrm{F}[\varphi^0_{\delta}]$. Функция $\Psi_{\alpha,j}$ находится с помощью обратного преобразования Фурье, где учитываем, что произведение функций преобразуется в свертку, а дифференцирование $\partial^{\gamma}$, $|\gamma|\leqslant|\alpha|$, дает множитель $x^{\gamma}$; это приводит к требуемому утверждению. Лемма 6.3 доказана. Результатом лемм 6.2 и 6.3 является следующая оценка для разбиения единицы $\{\psi_{3,j}\}=\{\varphi^0_{3,\delta}*\varphi_j\}$ из (6.6) при $|\alpha|\leqslant 2$:
$$
\begin{equation}
|\langle \psi_{3,j}L f\,|\,(x-a_j)^{\alpha}\rangle|=|\langle L f\,|\, \varphi^0_{\delta}*\Psi_{\alpha,j}\rangle|\leqslant A_1\delta^{2+|\alpha|}\sup_{y\in B(a_j,A\delta)}|\langle L f\,|\,\varphi^y_{\delta}\rangle|.
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
Отсюда в силу (6.3) имеем
$$
\begin{equation}
|\langle \psi_{3,j}L f\,|\,(x-a_j)^{\alpha}\rangle|\leqslant A_1 \epsilon_1(\delta)\delta^{|\alpha|}\widetilde{\beta}_j^{\delta},
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
где
$$
\begin{equation}
\widetilde{\beta}_j^{\delta}=\sup_{y\in B(a_j,A\delta)} \operatorname{Cap}_L^{2k_1B(y,\delta)}(k_1 B(y,\delta)\setminus X),
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
ясно, что кратность пересечений указанных кругов $2k_1B(y,\delta)$ при различных $j$ не превосходит постоянной, зависящей от $k_1$. Теперь определим подходящие $k$ и $\delta$, зависящие от $k_1$ и $r$ из леммы 6.1. Считаем, что $\delta<r$, тогда существует $k(k_1)$, такое, что все круги $2k_1B(y,\delta)$ из (6.9) содержатся в $(k/2)B$. Выберем соответствующее “почти минимальное” $k$. Не ограничивая общности, можем считать, что $0<\operatorname{Cap}_L^{2kB}(k B\setminus X)<1/10$, иначе оценка (6.4) тривиальна. Аналогично лемме 2.9, определим $\delta$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\operatorname{Cap}_L^{2kB}(k B\setminus X)=\frac1{(\log(r/\delta_0))^2}, \qquad \frac{\delta}2\leqslant\delta_0<\delta, \qquad \delta=2^{-p_0}, \quad p_0\in\mathbb{Z}.
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
Повторяя доказательство леммы 2.9, получим для $\widetilde{\beta}_j^{\delta}$ из (6.9) следующую оценку:
$$
\begin{equation}
\sum_j\widetilde{\beta}_j^{\delta}\leqslant A(k_1)\operatorname{Cap}_L^{2kB}(k B\setminus X).
\end{equation}
\tag{6.11}
$$
Вернемся к доказательству леммы 6.1. Проведем разбиение единицы $\{\psi_{3,j}\}$. По формуле Тейлора имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\langle L f\,|\,\varphi\rangle=\sum_j\langle \psi_{3,j}L f\,|\, \varphi\rangle=\sum_j\varphi(a_j)\langle \psi_{3,j}L f\,|\, 1\rangle \nonumber \\ &\qquad+\sum_j\sum_{\{\alpha\colon 1\leqslant|\alpha|\leqslant2\}}\frac{\partial^{\alpha}\varphi(a_j)} {\alpha!}\langle \psi_{3,j}L f\,|\,(x-a_j)^{\alpha}\rangle+\sum_j\langle \psi_{3,j}L f\,|\, R_{3,j}\rangle, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.12}
$$
где $\partial^{\alpha}R_{3,j}(a_j)=0$ при $|\alpha|\leqslant 2$ и $\partial^{\alpha}R_{3,j}\equiv\partial^{\alpha}\varphi$ при $|\alpha|=3$. Рассмотрим сначала слагаемые
$$
\begin{equation*}
\langle \psi_{3,j}L f\,|\,R_{3,j}\rangle=\int f(x)L\bigl(\psi_{3,j}(x)R_{3,j}(x)\bigr)\, dm_x.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\partial^{\alpha}R_{3,j}\equiv\partial^{\alpha}\varphi$ при $|\alpha|=3$, то при $|\alpha|\leqslant 2$ имеют место оценки
$$
\begin{equation*}
|\partial^{\alpha} R_{3,j}(x)|\leqslant A\delta^{3-|\alpha|}\|\nabla^3\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом стандартных оценок производных функций $\psi_{3,j}$ отсюда следует, что $\|L(\psi_{3,j}R_{3,j})\|_{\mathrm{L}^{\infty}}\leqslant A\delta\|\nabla^3\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}$. Так как число индексов $j$ квадратов $Q_j$ не превосходит $A(r/\delta)^2$, выполнена оценка
$$
\begin{equation}
\biggl|\sum_j\langle \psi_{3,j}L f\,|\,R_{3,j}\rangle\biggr|\leqslant A_1\epsilon_1(\delta)\delta^2\|\nabla^3\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}\delta \biggl(\frac{r}{\delta}\biggr)^2= A_1\epsilon_1(\delta)\|\nabla^3\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}r^3\frac{\delta}{r}.
\end{equation}
\tag{6.13}
$$
При этом в силу (6.10)
$$
\begin{equation*}
\frac{\delta}r\approx\exp\Biggl(\frac1{\sqrt{\operatorname{Cap}_L^{2kB}(k B\setminus X)}}\Biggr)<\operatorname{Cap}_L^{2kB}(k B\setminus X),
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, правая часть (6.13) не превосходит правой части (6.4). Остальные слагаемые из (6.12) оцениваются в силу (6.8) и (6.11). При $|\alpha|\leqslant 2$ имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_j\biggl|\frac{\partial^{\alpha}\varphi(a_j)} {\alpha!}\langle \psi_{3,j}L f|(x-a_j)^{\alpha}\rangle\biggr| \leqslant A_2 \epsilon_1(\delta)\delta^{|\alpha|} \|\nabla^{|\alpha|}\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}\operatorname{Cap}_L^{2kB}(k B\setminus X).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как при $|\alpha|\leqslant 2$: $\|\nabla^{|\alpha|}\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}\delta^{|\alpha|} \leqslant\|\nabla^{|\alpha|}\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}r^{|\alpha|}\leqslant A\|\nabla^3\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}r^3$, оценка (6.4) установлена. Тем самым завершено доказательство леммы 6.1. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Maz21} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|