| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Цветная теорема Тверберга, обобщения и новые результаты Д. Йойичa, Г. Ю. Панинаbc, Р. Живалевичd a Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Banja Luka, Banja Luka, Republic of Serbia b Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук c Санкт-Петербургский государственный университет d Mathematical Institute, Serbian Academy of Sciences and Arts, Belgrad, Republic of Serbia
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9024 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеНачнем с двух очень дальних предшественников результатов, обсуждаемых в настоящей статье. Известно, что сфера $S^2$ невложима в $\mathbb{R}^2$. Топологическая теорема Радона усиливает этот результат, утверждая, что для всякого непрерывного отображения границы тетраэдра в плоскость найдутся две дизъюнктные грани, чьи образы пересекаются. Здесь гранью мы называем пересечение тетраэдра с опорной плоскостью. Точнее говоря:
Полный граф на пяти вершинах $K_5$ (на который мы смотрим как на $1$-остов четырехмерного симплекса) невложим в $\mathbb{R}^2$. Теорема Ван Кампена–Флореса усиливает этот результат, утверждая, что для всякого непрерывного отображения $K_5 \to \mathbb{R}^2$ найдутся два дизъюнктных ребра графа, чьи образы пересекаются. Обобщение этих результатов на большие размерности и на иные кратности пересечения является на протяжении десятилетий одной из центральных тем в топологической комбинаторике; см. [1], [2] и § 2 для введения в тему и детального обзора. Такие обобщения называются теоремами типа Тверберга и обобщенными теоремами Ван Кампена–Флореса. Обычно они формулируются как утверждения о непрерывных отображениях $f\colon \Delta^N \to \mathbb{R}^d$ или, в большей общности, об отображениях $f\colon K \to \mathbb{R}^d$, где $K\subseteq \Delta^N$ – некоторый подкомплекс. (Здесь и далее в статье через $\Delta^N $ обозначим $N$-мерный симплекс с вершинами $[N+1]:=\{1, \dots,N+1\}$.) Так, например, топологическая теорема Тверберга [3]–[5] для плоскости и для кратности пересечения $4$ утверждает, что для всякого непрерывного отображения $\Delta^9 \to \mathbb{R}^2 $ существуют четыре попарно непересекающиеся грани $\Delta^9$, чьи образы имеют общую точку. Этот результат может быть переформулирован в терминах отображений $K_{10} \to \mathbb{R}^2$, где $K_{10}$ – полный граф на $10$ вершинах, см. [6], [7], а также обзор [8; теорема 2.3.2]. Еще один предшественник нашего первого результата (теоремы 1.1) таков. Рассмотрим $9$-мерный симплекс $\Delta^9$, множество вершин которого $[10]=\{1, 2, \dots, 10\}$ раскрашено в пять цветов: вершины с номерами $2j- 1$, $2j$ покрашены в один и тот же цвет. Цветная топологическая теорема Тверберга, см. [9], [1; § 6.5], а также [10], утверждает, что для всякого непрерывного отображения из $\Delta^9$ в плоскость найдутся четыре попарно не пересекающиеся грани $\Delta_1, \dots,\Delta_4$, образы которых имеют общую точку, и такие, что каждая грань $\Delta_i$ радужная (т. е. содержит не более одной вершины из каждой пары $2j-1$, $2j$). Кратная цветная теорема Тверберга – наш первый главный результат. Отметим новую черту теоремы 1.1: некоторым вершинам разрешено появляться дважды в качестве вершин различных граней $\Delta_i$. Как и ранее, удобно представлять множество вершин $[7]=\{1,2, \dots,7\} $ раскрашенными в четыре цвета: вершины $\{1,2\}$ красные, $\{3,4\}$ синие, $\{5,6\}$ зеленые, и последняя вершина $7$ белая. Теорема 1.1. Пусть $\Delta^6$ – $6$-мерный симплекс, множество вершин которого есть $[7]=\{1,2,\dots, 7\}$. Для всякого непрерывного отображения $f\colon \Delta^6 \to \mathbb{R}^2$ найдутся четыре грани $\Delta_1$, $\Delta_2$, $\Delta_3$, $\Delta_4$ симплекса $\Delta^6$ такие, что справедливо следующее. 1. Образы этих граней пересекаются:
$$
\begin{equation}
f(\Delta_1)\cap f(\Delta_2)\cap f(\Delta_3)\cap f(\Delta_4)\neq\varnothing.
\end{equation}
\tag{1}
$$
2. Каждая грань $\Delta_i$ радужная, т. е. содержит не более одной вершины из каждой пары $2j-1$, $2j$. 3. Каждая вершина $k\in[7]$ симплекса $\Delta^6$ фигурирует в гранях $\Delta_i$ самое большее один раз, если $k$ нечетно, и самое большее два раза, если $k$ четно. Наш второй главный результат – сбалансированная цветная теорема Тверберга (теорема 1.2). Она обобщает цветную теорему Тверберга типа В [11], [12] и представляет собой цветной аналог сбалансированной теоремы Ван Кампена–Флореса [13; теорема 1.2] (см. также ее более короткое доказательство в [14]). Теорема 1.2. Предположим, что $r=p^\nu$ – степень простого числа и $d\geqslant 1$. Пусть целые числа $k \geqslant 0$ и $0< s \leqslant r$ определяются условием или, более явно, Структура статьи такова. В § 2 мы опишем эти две теоремы в контексте недавнего прогресса результатов типа Тверберга. Далее следуют доказательства. Доказательство теоремы 1.1 (§ 3) опирается на теорию Эйленберга– Красносельского о степенях эквивариантных отображений для несвободных действий групп, см. детальное изложение этой теории в монографии [15]. Доказательство теоремы 1.2 (§ 4) опирается на высокую степень связности конфигурационного пространства (предложение 4.2), установленную с помощью дискретной теории Морса и методов из наших предыдущих работ [16]–[18]. Кроме того, для удобства мы приводим основные факты из дискретной теории Морса в § 5, отсылая читателя к [19] за более подробным изложением. Фундаментальный принцип сравнения эквивариантных отображений между пространствами с несвободным действием групп сформулирован в § 6. § 2. Краткий обзор теоремы Тверберга и родственных ей теоремСледующий факт известен как топологическая теорема Тверберга. Теорема 2.1 (см. [3], [4]). Предположим, что $r$ – степень простого числа. Тогда для всякого непрерывного отображения найдутся такие дизъюнктные грани $\Delta_1,\dots, \Delta_r \subseteq \Delta^{(r-1)(d+1)}$, что Пусть $K$ – геометрическая реализация конечного симплициального комплекса. Следуя [20]–[24], назовем непрерывное отображение $f \colon K \to \mathbb{R}^d$ почти $r$-вложением, если $f(\Delta_1)\cap \dots\cap f(\Delta_r)=\varnothing$ для всякого набора $\{\Delta_i\}_{i=1}^r$ попарно непересекающихся граней $K$. Если почти $r$-вложение комплекса $K$ в $\mathbb{R}^d$ не существует, будем говорить, что $K$ не является почти $r$-вложимым в $\mathbb{R}^d$. В такой терминологии теорема 2.1 утверждает, что
$$
\begin{equation}
\Delta^{(r-1)(d+1)} \text{ не является почти $r$-вложимым в }\mathbb{R}^d.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Следующие четыре утверждения иллюстрируют цветные результаты типа Тверберга (см. подробности и ссылки в [2], [25]):
$$
\begin{equation}
K_{3,3} \text{ не является почти $2$-вложимым в }\mathbb{R}^2,
\end{equation}
\tag{7}
$$
$$
\begin{equation}
K_{3,3,3} \text{ не является аффинно почти $3$-вложимым в }\mathbb{R}^2,
\end{equation}
\tag{8}
$$
$$
\begin{equation}
K_{5,5,5} \text{ не является почти $3$-вложимым в }\mathbb{R}^3,
\end{equation}
\tag{9}
$$
$$
\begin{equation}
K_{4,4,4,4} \text{ не является почти $4$-вложимым в }\mathbb{R}^3.
\end{equation}
\tag{10}
$$
По определению комплекс $K_{t_0,t_1,\dots,t_k}=[t_0]\ast[t_1]\ast\dots\ast[t_k]$ – это полный многодольный симплициальный комплекс, полученный как джойн нульмерных комплексов (конечных множеств). Например, $K_{p,q}=[p]\ast[q]$ – это полный двудольный граф, в котором каждая из $p$ “красных вершин” соединена с каждой из $q$ “синих вершин”. В (7) мы видим утверждение, тесно связанное с непланарностью графа $K_{3,3}$, а (8) говорит о том, что $2$-мерный комплекс $K_{3,3,3}$ не допускает аффинного почти $3$-вложения в $\mathbb{R}^2$. Раскраской вершин симплекса в $k+1$ цветов назовем разбиение $V=\operatorname{Vert}(\Delta^N)=C_0\sqcup C_1\sqcup \dots \sqcup C_k$ на монохроматичные подмножества $C_i$. Подмножество $\Delta\subseteq V$ называется радужным симплексом или радужной гранью, если $| \Delta\cap C_i| \leqslant 1$ для всех $i=0,\dots, k$. Если мощность множества $C_i$ есть $t_i$, то $K_{t_0,t_1,\dots, t_k}$ – в точности подкомплекс всех радужных граней $\Delta^N$. Цветной теоремой Тверберга называют утверждения типа
$$
\begin{equation}
K_{t_0,t_1,\dots, t_k} \text{ не является почти $r$-вложимым в }\mathbb{R}^d,
\end{equation}
\tag{11}
$$
и задача состоит в том, чтобы разобраться, для каких значений параметров $r$, $d$, $k$ и $t_i$ утверждение (11) справедливо. Мы отсылаем читателя к [11], [12], [26]–[28] и [1], [34], [8], [2] за более общими утверждениями, доказательствами, историей и приложениями как монохроматичных, так и цветных теорем Тверберга. В [2; п. 21.4] предложено классифицировать цветные теоремы Тверберга как теоремы типа A, B или C, в зависимости от того, какое условие выполнено: $k=d$, $k<d$ или $k> d$, где $k+1$ – число цветов, а $d$ – размерность целевого пространства. Основное различие между типами A и B состоит в том, что в типе B число $r$ обязано удовлетворять неравенству $(r-1)d/r\leqslant k$, тогда как для типа A нет априорных ограничений. В соответствии с этой классификацией, (8) и (10) – это топологические теоремы Тверберга типа А, а (7) и (9) – топологические теоремы Тверберга типа В. Следующие результаты (теоремы 2.2 и 2.3) – главные представители этих двух классов цветных теорем Тверберга. В частности, (7), (9) и (10) – их простые следствия. Отметим, что если $d$ делится на $r$, то наш второй главный результат (теорема 1.2) превращается в цветную теорему Тверберга типа В (теорему 2.3). Теорема 2.2 (тип A; см. [26]). Пусть $r\geqslant 2$ – простое число и $d\geqslant 1$. Тогда комплекс $K_{r-1, r-1,\dots, r-1, 1}:= [r-1]^{\ast (d+1)}\ast [1]$, являющийся джойном $d+1$ копий нульмерного комплекса $[r-1]$ и одноточечного комплекса, не является почти $r$-вложимым в $\mathbb{R}^d$. Теорема 2.3 (тип B; см. [12], [34]). Пусть $r=p^\nu$ – степень простого числа, $d\geqslant 1$, и пусть $k$ – целое число такое, что $(r-1)d/r \leqslant k< d$. Тогда комплекс $K_{2r-1, 2r-1,\dots, 2r-1}:= [2r-1]^{\ast (k+1)}$, равный джойну $k+1$ копий нульмерного комплекса $[2r-1]$, не является почти $r$-вложимым в $\mathbb{R}^d$. Замечание 2.4. Для упрощения повествования мы, как правило, не различаем $N$-мерный (геометрический) симплекс $\Delta^N$ и абстрактный симплициальный комплекс $\Delta_{[m]}= 2^{[m]}$ на $m$ вершинах ($m=N+1$). Согласно такой договоренности подмножества $S\subset [m]$ интерпретируются как симплексы-грани $\Delta_{[m]}$. Для $S\subset [m]$ справедливо $\dim(S)=| S| -1$, где $| S|$ – мощность множества $S$. 2.1. Кратная теорема ТвербергаУтверждение (8) получили И. Барани и Д. Ларман [29]. Оно состоит в том, что каждый набор из девяти точек на плоскости, поровну раскрашенных в три цвета, можно разбить на три “радужных треугольника” с непустым пересечением. В настоящее время неизвестно, верна ли нелинейная (топологическая) версия утверждения (8):
$$
\begin{equation}
K_{3,3,3} \text{ не является почти $r$-вложимым в }\mathbb{R}^2.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Утверждение (12) очевидно следует из более сильного:
$$
\begin{equation}
K_{3,3,3,1} \text{ не является почти $4$-вложимым в }\mathbb{R}^2.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Однако, справедливо ли утверждение (13) также неизвестно, и мы подозреваем, что нет. Следующая кратная цветная теорема Тверберга переформулирует теорему 1.1. Она утверждает, что (13) справедливо для всех непрерывных отображений $f \colon K_{3,3,3,1} \to {\mathbb R}^2$, удовлетворяющих дополнительному (3-в-2)-условию. Определение 2.5. Функция $[3]\to [2]$, склеивающая последние две точки из $[3]$, называется отображением (3-в-2). Обобщая, будем говорить, что симплициальное отображение $\alpha \colon K_{3,3,3,\dots} \to K_{2,2,2,\dots}$ есть (3-в-2)-отображение, если оно склеивает в одну две вершины в каждой из копий $3$-элементного множества $[3]$. Теорема 2.6. Пусть $K=K_{3,3,3,1}\cong [3]\ast [3]\ast [3] \ast [1]$ – это $3$-мерный симплициальный комплекс с десятью вершинами, разделенными на четыре цветных класса. Предположим, что $f \colon K_{3,3,3,1}\to \mathbb{R}^2 $ – отображение, допускающее разложение $f\,{=}\,\widehat{f} \circ \alpha$ для некоторого $\widehat{f} \colon K_{2,2,2,1} \to \mathbb{R}^2$, где – это (3-в-2)-отображение в смысле определения 2.5. Тогда в комплексе $K$ найдутся четыре таких попарно непересекающихся симплекса (четыре попарно непересекающихся радужных симплекса) $\Delta_1$, $\Delta_2$, $\Delta_3$, $\Delta_4$, что Говоря иначе, для всякого отображения $\widehat{f} \colon K_{2,2,2,1} \to \mathbb{R}^2$ композиция $\widehat{f}\circ\alpha$ не является почти $4$-вложением комплекса $K_{3,3,3,1}$ в $\mathbb{R}^2$. Следовательно, утверждение (12) справедливо для некоторого особого класса нелинейных отображений. Следствие 2.7. Предположим, что $f \colon K_{3,3,3} \to \mathbb{R}^2$ – непрерывное отображение, допускающее разложение для некоторого $\widehat{f}$, где $\alpha$ – это (3-в-2)-отображение. Тогда найдутся три таких попарно непересекающихся треугольника $\Delta_1$, $\Delta_2$, $\Delta_3$ в $K_{3,3,3}$, что 2.2. Сбалансированная цветная теорема ТвербергаНа сбалансированную цветную теорему Тверберга (теорему 1.2) можно смотреть как на уточнение цветной теоремы Тверберга типа В (теоремы 2.3) в направлении, мотивированном следующим результатом, который называется сбалансированным уточнением обобщенной теоремы Ван Кампена–Флореса. Теорема 2.8 (см. [13; теорема 1.2]). Пусть $r\geqslant 2$ – степень простого числа, $d \geqslant 1$, $N \geqslant (r-1)(d + 2)$, а также $rk+s \geqslant (r-1)d$ для целых $k \geqslant 0$ и $0 \leqslant s < r$. Тогда для всякого непрерывного отображения $f \colon \Delta^N \to \mathbb{R}^d$ найдутся $r$ таких попарно не пересекающихся граней $\Delta_1,\dots,\Delta_r$ симплекса $\Delta^N$, что $f(\Delta_1)\cap \dots\cap f(\Delta_r) \neq \varnothing$, где $\dim\Delta_i\leqslant k+1 $ для $1 \leqslant i \leqslant s$ и $\dim\Delta_i\leqslant k$ для $s<i \leqslant r$. Если предположить, что $d$ делится на $r$, т. е. $s=0$ и $\dim\Delta_i\leqslant k$ для всех $i$, то теорема 2.8 превращается в обобщенную теорему Ван Кампена–Флореса, см. [30]–[32]. Теперь на сбалансированную цветную теорему Тверберга (теорему 1.2) можно одновременно смотреть и как на родственную теореме 2.8, и как на сбалансированное обобщение теоремы 2.3. § 3. Доказательство кратной цветной теоремы ТвербергаВ соответствии со схемой конфигурационное пространство/тестовое отображение (configuration space/test map scheme) [2], [1], [33], [34] первый шаг доказательства теоремы 2.6 состоит в стандартной редукции к задаче из эквивариантной топологии. Определим конфигурационное пространство, обслуживающее отображение $f \colon K_{3,3,3,1} \to \mathbb{R}^2$ как проколотый джойн
$$
\begin{equation*}
(K_{3,3,3,1})^{\ast 4}_\Delta=([3]\ast [3]\ast [3] \ast [1])^{\ast 4}_\Delta \cong (\Delta_{3,4})^{\ast 3}\ast [4],
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Delta_{3,4}$ – стандартный шахматный комплекс всех расстановок взаимно небьющих ладей на шахматной доске $(3\times 4)$. Тестовое отображение, проверяющее, удовлетворяет ли симплекс $\tau=(\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3, \Delta_4)\in (K_{3,3,3,1})^{\ast 4}_\Delta$ условию (14), задано как $\Sigma_4$-эквивариантное отображение
$$
\begin{equation}
\Phi \colon (K_{3,3,3,1})^{\ast 4}_\Delta \to (\mathbb{R}^2)^{\ast 4}/D \hookrightarrow (W_4)^{\oplus 3},
\end{equation}
\tag{16}
$$
где $D\subset (\mathbb{R}^2)^{\ast 4}$ – диагональное ($2$-мерное) подпространство, а $W_4$ – стандартное $3$-мерное представление группы $\Sigma_4$. (Здесь и далее $\Sigma_4$ обозначает симметрическую группу.) Итого, существование четверки граней $(\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3, \Delta_4)$, удовлетворяющей (14), равносильно существованию нулей у $\Sigma_4$-эквивариантного отображения (16). Для следующего шага нам понадобится кратный шахматный комплекс $\Delta_{2,4}^{\mathbf{1};\mathbf{L}}$, который определен как комплекс всех таких расстановок ладей на доске $(2\,{\times}\,4)$, что во втором столбце находятся не более двух ладей, тогда как в первом столбце, а также в каждом ряду разрешено находиться не более чем одной ладье. (Здесь мы используем декартовы обозначения, т. е. у доски $(2\times 4)$, представляемой в виде декартова произведения $[2]\times [4]$, есть два столбца и четыре ряда.) Кратные шахматные комплексы изучены в [35], и наши обозначения заимствованы из этой статьи. В частности, векторы $\mathbf{1}=(1,1,1,1)$ (соответственно $\mathbf{L}=(1,2)$) описывают ограничения на число ладей в рядах (соответственно в столбцах) доски $(2\times 4)$. Лемма 3.1. Предположим, что отображение $f \colon K_{3,3,3,1}\to \mathbb{R}^2 $ допускает разложение $f=\widehat{f} \circ \alpha$ для некоторого отображения $\widehat{f} \colon K_{2,2,2,1} \to \mathbb{R}^2$, где является (3-в-2)-отображением в смысле определения 2.5. При этом условии эквивариантное отображение (16) допускает разложение $\Phi=\widehat{\Phi} \circ \pi$ на $\Sigma_4$-эквивариантные отображения, как показано на следующей коммутативной диаграмме: где $\Delta_{2,4}^{\mathbf{1};\mathbf{L}}$ – кратный шахматный комплекс, определенный выше, а $\pi$ – эпиморфизм. Доказательство проводится элементарной проверкой. Заметим, что отображение $\widehat{\pi} \colon \Delta_{3,4} \to \Delta_{2,4}^{\mathbf{1};\mathbf{L}}$, индуцирующее $\pi$ в диаграмме (17), может быть описано неформально как отображение, сжимающее два столбца шахматной доски $(3\times 4)$ в один столбец доски $(2\times 4)$. Лемма доказана. Подытоживая два первых шага, отметим, что доказательство теоремы 2.6 будет окончено, если мы покажем, что $\Sigma_4$-эквивариантное отображение $\widehat{\Phi}$ всегда имеет нуль. 3.1. Эквивариантные отображения из $(\Delta_{2,4}^{\mathbf{1};\mathbf{L}})^{\ast (3)}$Рассматриваемое $\Sigma_4$-представление $W_4$ может быть описано как $\mathbb{R}^3$ с действием, индуцированным симметриями регулярного тетраэдра $\Delta_{[4]}$ с центром в начале координат. Если отображение $\widehat{\Phi}$ не имеет нулей, то существует $\Sigma_4$-эквивариантное отображение
$$
\begin{equation*}
g \colon (\Delta_{2,4}^{\mathbf{1};\mathbf{L}})^{\ast (3)}\ast [4] \to (\partial\Delta_{[4]})^{\ast (3)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\partial\Delta_{[4]}$ – граничная сфера симплекса $\Delta_{[4]}$. Однако это исключено благодаря следующей теореме. Теорема 3.2. Пусть $G=(\mathbb{Z}_2)^2=\{1, \alpha, \beta, \gamma\}$ – четверная группа Кляйна. Пусть $\Delta_{2,4}^{\mathbf{1};\mathbf{L}}$ – кратный шахматный комплекс на доске $2\times 4$, где $ \mathbf{1}=(1,1,1,1)$ и $\mathbf{L}=(1,2)$, и пусть $\partial\Delta_{[4]}\cong S^2$ – граница симплекса, натянутого на вершины $[4]$. Как $\Delta_{2,4}^{\mathbf{1};\mathbf{L}}$, так и $\partial\Delta_{[4]}\cong S^2$ являются $G$-пространствами, где в первом случае действие группы переставляет ряды доски $[2]\times [4]$, а во втором – переставляет вершины симплекса $\Delta_{[4]}$. При этих условиях не существует $G$-эквивариантного отображения где действие $G$ на джойне диагонально. Теорема 3.2 доказана аргументами, оперирующими степенью эквивариантного отображения, которые можно проследить в работах Эйленберга и Красносельского, см. [15] для подробного изложения и § 6, содержащий формулировку основной теоремы. Прежде чем начать доказательство теоремы 3.2, опишем удобную геометрическую модель комплекса $\Delta_{2,4}^{\mathbf{1};\mathbf{L}}$. Напомним, что сфера Бира $\operatorname{Bier}(K)$ симплициального комплекса $K\subset 2^{[m]}$ – это проколотый джойн $K\ast_\Delta K^\circ$ комплекса $K$ и двойственного ему по Александеру $K^\circ$, см. подробности в [1]. Лемма 3.3. Кратный шахматный комплекс $\Delta_{2,4}^{\mathbf{1};\mathbf{L}}$ есть триангуляция $2$-сферы. Точнее, имеется изоморфизм $\Delta_{2,4}^{\mathbf{1};\mathbf{L}} \cong \operatorname{Bier}(\Delta_{[4]}^{(1)})$, где $\Delta_{[4]}^{(1)}$ – $1$-остов тетраэдра $\Delta_{[4]}$, и $\operatorname{Bier}(K)=K\ast_\Delta K^\circ$ – сфера Бира, отвечающая симплициальному комплексу $K$. Доказательство следует непосредственно из наблюдения о том, что подкомплексы $\Delta_{2,4}^{\mathbf{1};\mathbf{L}}$, порожденные вершинами второго и первого столбцов доски $[2]\times [4]$, суть $K= \Delta_{[4]}^{(1)}$ и $K^\circ=\bigl(\Delta_{[4]}^{(1)}\bigr)^\circ=\Delta_{[4]}^{(0)}$. Следующая лемма описывает структуру $\Delta_{2,4}^{\mathbf{1};\mathbf{L}}$ как $G$-пространства, где $G=(\mathbb{Z}_2)^2=\{1, \alpha, \beta, \gamma\}$ – четверная группа Кляйна. Лемма 3.4. Как $G$-пространство сфера $\Delta_{2,4}^{\mathbf{1};\mathbf{L}}$ гомеоморфна правильной октаэдральной сфере (с центром в начале координат), а образующие $\alpha, \beta, \gamma$ суть вращения на $180^\circ$ вокруг осей, соединяющих пары противоположных вершин октаэдра. Подробнее, пусть $\mathbb{R}^1_\alpha$ – одномерное $G$-представление, характеризующееся условием $\alpha x=x$, $\beta x=\gamma x=-x $ ($\mathbb{R}^1_\beta$ и $\mathbb{R}^1_\gamma$ опеределены аналогично), и пусть $S^0_\alpha$, $S^0_\beta$, $S^0_\gamma$ – соответствующие нульмерные $G$-сферы. Тогда комплекс $\Delta_{2,4}^{\mathbf{1};\mathbf{L}}$ $G$-изоморфен $2$-сфере $S(\mathbb{R}^1_\alpha \oplus \mathbb{R}^1_\beta \oplus \mathbb{R}^1_\gamma) \cong S^0_\alpha \ast S^0_\beta \ast S^0_\gamma$ с индуцированным $G$-действием. Замечание 3.5. Мы имеем геометрическую интерпретацию (визуализацию) $G$-изоморфизма $\Delta_{2,4}^{\mathbf{1};\mathbf{L}} \cong \operatorname{Bier}(\Delta_{[4]}^{(1)})$. Геометрическая реализация комплекса $K=\Delta_{[4]}^{(1)}$ и двойственного к нему $K^\circ= \Delta_{[4]}^{(0)}$ построены соответственно в тетраэдре $\Delta_{[4]}$ и полярном к нему $\Delta_{[4]}^\circ$. Если оба тетраэдра вписаны в куб $I^3$, то на геометрическое представление $\operatorname{Bier}(K)$ можно смотреть как на триангуляцию границы куба $\partial (I^3) $. Лемма 3.6. Как $G$-пространство граничная сфера тетраэдра $\partial\Delta_{[4]}$ также изоморфна октаэдральной сфере, описанной в лемме 3.4. Более того, имеется радиальный $G$-изоморфизм $\rho \colon \partial (I^3)\to \partial\Delta_{[4]}$. Подытоживая, мы видели, что изучаемые в этом параграфе $G$-сферы имеют две комбинаторных $\Delta_{2,4}^{\mathbf{1};\mathbf{L}}, \partial\Delta_{[4]}=2^{[4]}\setminus \{[4]\}$ и три эквивалентных геометрических инкарнации: граница куба $\partial (I^3)$, граница тетраэдра $\partial\Delta_{[4]}$ и граница октаэдра $S^0_\alpha \ast S^0_\beta \ast S^0_\gamma$. 3.2. Завершение доказательства теоремы 3.2Предложение 3.7. Пусть $\phi \colon (\Delta_{2,4}^{\mathbf{1};\mathbf{L}})^{\ast (3)} \to (\partial\Delta_{[4]})^{\ast (3)}$ – произвольное $G$-эквивариантное отображение. Тогда Доказательство. Из теоремы 6.1 следует, что $\deg(\phi) \equiv \deg(\psi) \ (\operatorname{mod} 2)$ для любых двух эквивариантных отображений между указанными пространствами. Здесь мы используем тот факт, что $\bigl(\Delta_{2,4}^{\mathbf{1};\mathbf{L}}\bigr)^{\ast (3)} \cong (S^2)^{\ast (3)} \cong S^8$ – топологическое многообразие. Заметим, что неравенство (20), необходимое для применения теоремы 6.1, ввиду разложения (19) превращается в равенство. Следовательно, достаточно предъявить одно отображение $\psi$ с нечетной степенью. Мы знаем, что $\bigl(\Delta_{2,4}^{\mathbf{1};\mathbf{L}}\bigr)^{\ast (3)}$ и $(\partial\Delta_{[4]})^{\ast (3)}$ суть $G$-изоморфные $8$-мерные сферы. Если выбрать в качестве $G$-изоморфизма $\psi \colon \bigl(\Delta_{2,4}^{\mathbf{1};\mathbf{L}}\bigr)^{\ast (3)} \to (\partial\Delta_{[4]})^{\ast (3)}$, то получим $\deg(\psi)=\pm 1$. Предложение доказано. Доказательство теоремы 3.2. Имеем Предположим, что существует $G$-эквивариантное отображение $f$. Пусть $e$ – включение, и пусть $\phi=f\circ e$ – их композиция. Отображение $e$ гомотопически тривиально, поскольку $\operatorname{Im}(e) \subset \operatorname{Cone}(v)$ для всякого $v\in [4]$. Однако согласно предложению 3.7 отображение $\phi$ имеет нечетную степень. Противоречие. Теорема доказана. Замечание 3.8. Как было указано рецензентом, альтернативное и несколько более короткое доказательство теоремы 3.2 может быть получено, если вместо теоремы 6.1 пользоваться теоремой Воловикова [5], [31], как это сделано в доказательстве теоремы 1.2 (см. § 4). Действительно, $8$-связность $\bigl(\Delta_{2,4}^{\mathbf{1};\mathbf{L}}\bigr)^{\ast (3)}\ast [4]$ следует непосредственно из гомеоморфизма $\Delta_{2,4}^{\mathbf{1};\mathbf{L}} \cong S^2$ (лемма 3.3). Более того, действие $G\,{=}\,(\mathbb{Z}_2)^2$ на $\bigl(\Delta_{2,4}^{\mathbf{1};\mathbf{L}}\bigr)^{\ast (3)}\ast [4]$ и $(\partial\Delta_{[4]})^{\ast (3)}$ не имеет фиксированных точек, поскольку по леммам 3.4 и 3.6 существует $(\mathbb{Z}_2)^2$-гомеоморфизм § 4. Доказательство сбалансированной цветной теоремы ТвербергаСледуя схеме конфигурационное пространство/тестовое отображение (configuration space/test map scheme) [1] [2], опишем конфигурационное пространство $\mathfrak{C} \subseteq \Delta_{[m]}^{\ast (r)}$, обслуживающее доказательство теоремы 1.2. Определение 4.1. Положим $m=N+1$, и пусть $\Delta_{[m]}=\Delta^N$. Конфигурационно пространство $\mathfrak{C}$ всех $r$-наборов дизъюнктных радужных симплексов, удовлетворяющих ограничениям, выписанным в теореме 1.2 – это симплициальный комплекс, симплексы которого помечены $(A_1, \dots,A_r;B)$, где: – $[m]=A_1\sqcup \dots \sqcup A_r\sqcup B$ – разбиение такое, что $B\neq[m]$; – каждое $A_i$ – радужное множество (радужный симплекс), в частности, $|A_i|\leqslant k+1$ для каждого $i\in [r]$; – число симплексов $A_i$, для которых $|A_i|= k+1$, не превосходит $s$. Отметим, что размерность симплекса $(A_1, \dots,A_r;B)$ равна $|A_1|+ \dots +|A_r|-1$. Далее, гиперграни симплекса $(A_1, \dots,A_r;B)$ формально получаются перемещением элемента из одного из множеств $A_i$ в множество $B$. Объясним кратко, почему теорема 1.2 следует из предложения 4.2. Здесь работает стандартный аргумент, использовавшийся, например, в доказательстве топологической теоремы Тверберга, см. [1; § 6] или [2], [5]. Предположим, что утверждение теоремы 1.2 не верно. Тогда существует $(\mathbb{Z}/p)^\nu$-эквивариантное отображение образ которого не задевает диагональ $D=\{(y,y, \dots,y)\colon y\in \mathbb{R}^{d+1}\}$. Это утверждение противоречит теореме Воловикова [5], [31], поскольку $\mathbb{R}^{(d+1)r}\setminus D$ является $(\mathbb{Z}/p)^\nu$-гомотопически эквивалентным сфере размерности $(r-1)(d+1)-1=rk+s-2$, тогда как конфигурационное пространство $\mathfrak{C}$ $(rk+s-2)$-связно. Доказательство предложения 4.2. Введем удобные сокращения. Множество $A\subset [m]$ называется $C_i$-полным, если оно содержит вершину цвета $C_i$. Симплекс $(A_1, \dots,A_r;B)$ называется $C_i$-полным, если каждое $A_i$ является $C_i$-полным, или, что то же самое, если $\bigl|\bigcup_{i=1}^rA_i \cap C_i\bigr|=r$. Симплекс $(A_1, \dots,A_r;B)$ называется $(k+1)$-полным, если он содержит (максимальное допустимое число) $s$ штук $k+1$-множеств среди всех $A_i$. Симплекс $(A_1, \dots,A_r;B)$ насыщенный, если он $(k+1)$-полон и $|A_i|\geqslant k$ для любого $i$. Насыщенные симплексы суть максимальные грани конфигурационного пространства $\mathfrak{C}$. Их размерность равна $rk+s-1$. Следуя дискретной теории Морса и теореме 5.1, зададим спаривание на $\mathfrak{C}$. Для данного симплекса $(A_1, \dots,A_r;B)$ мы либо опишем спаренный с ним симплекс, либо поймем, что этот симплекс является критическим, т. е. неспаренным. Будем действовать постепенно. Мы опишем $r$ “больших” шагов, каждый из которых расщепляется на $k+1$ последовательных маленьких шагов. Большие шаги перебирают одно за другим множества $A_i$, а маленькие шаги перебирают цвета, один за другим. Шаг 1. Шаг 1.1. Предположим, что вершины каждого цвета занумерованы числами $\{1,2, \dots,2r-1\}$. Положим и спарим $(A_1\cup a_1^1,A_2, \dots,A_r;B)$ с $(A_1,A_2, \dots,A_r;B\cup a_1^1)$ в том случае, когда оба этих симплекса принадлежат $\mathfrak{C}$.Симплекс типа $(A_1\cup a_1^1,A_2, \dots,A_r;B)\in \mathfrak{C}$ не спарен тогда и только тогда, когда он равен
$$
\begin{equation*}
(\{a_1^1\},\varnothing, \dots,\varnothing;[m]\setminus \{a_1^1\}).
\end{equation*}
\notag
$$
Это нульмерный симплекс, и он останется неспаренным до самого конца процесса спаривания. Если симплекс типа $(A_1,A_2, \dots,A_r;B\cup a_1^1)$ не спарен, то либо $A_1$ является $C_1$-полным, либо $|A_1|=k$, и $(A_1,A_2, \dots,A_r;B\cup a_1^1)$ является $(k+1)$-полным. Шаг 1.2. Пусть спарим симплексы $(A_1\cup a_1^2,A_2, \dots,A_r;B)$ с $(A_1,A_2, \dots,A_r;B\cup a_1^2)$, если оба симплекса принадлежат $\mathfrak{C}$ и не были спарены на шаге 1.1.
В дальнейшем мы используем аналогичные сокращения. “Шаг $i.j$ – тип 1” означает, что невозможно переместить элемент цвета $j$ из множества $B$ в $A_i$. “Шаг $i.j$ – тип 2” означает, что невозможно переместить элемент цвета $j$ из множества $A_i$ в $B$. Шаг 1.3 и последующие шаги (до шага $1.k+1$) аналогичны. Подытоживая, мы заключаем следующее. Лемма 4.3. За исключением единственного нульмерного неспаренного симплекса, если симплекс $(A_1, \dots,A_r;B)$ не спарен после шага 1, то верно одно из следующих утверждений: 1) $|A_1|=k+1$; 2) $|A_1|=k$, и $(A_1, \dots,A_r;B)$ является $(k+1)$-полным. Шаг 2. Теперь будем работать с множеством $A_2$ для симплексов, которые не спарены после шага 1. Шаг 2.1. Положим
$$
\begin{equation*}
a_2^1=\min\bigl[\bigl((A_2\cup B)\setminus [1,a_1^1]\bigr)\cap C_1\bigr]
\end{equation*}
\notag
$$
и спарим $(A_1,A_2\cup a_2^1, \dots,A_r;B)$ с $(A_1,A_2, \dots,A_r;B\cup a_2^1)$, если оба симплекса принадлежат $\mathfrak{C}$ и не спарены на шаге 1.
Шаг 2.2. Положим
$$
\begin{equation*}
a_2^2=\min\bigl[\bigl((A_2\cup B)\setminus [1,a_1^2]\bigr)\cap C_2\bigr]
\end{equation*}
\notag
$$
и спарим $(A_1,A_2\,{\cup}\, a_2^2, \dots,A_r;B)$ с $(A_1,A_2, \dots,A_r;B\,{\cup}\, a_2^2)$, если оба эти симплекса принадлежат $\mathfrak{C}$ и не были спарены раньше, т. е. на шаге 1 или шаге 2.1. Шаг 2.3 и последующие шаги (до шага $2.k+1$) аналогичны. Подытожим. Лемма 4.4. За исключением единственного нульмерного неспаренного симплекса, если симплекс $(A_1, \dots,A_r;B)$ остался неспаренным после шага 2, то он не спарен и после шага 1 (и для него верна лемма 4.3), а также: 1) либо $|A_2|=k+1$, 2) либо $|A_2|=k$ и $(A_1, \dots,A_r;B)$ является $(k+1)$-полным. Шаги $3$, $4$, $\dots$ и $r-1$ аналогичны. Доказательство. Действительно, для $(A_1, \dots,A_r;B)\,{\in}\,\mathfrak{C}$ множество $B\,{\cap}\, C_i$ содержит по крайней мере $r-1$ элемент. (Здесь мы пользуемся тем, что $|C_i|=2r-1$ и $| A_j\cap C_i| \leqslant 1$ для всякого $j$.) Элементы $a_1^i, a_2^i, \dots,a_{j-1}^i$ лежат либо не в $B\cap C_i$, либо (по построению) являются наименьшими последовательно идущими элементами $B\cap C_i$. Их общее число строго меньше $r-2$. Лемма доказана. Последнему шагу $r$ следует уделить особое внимание. Прежде всего заметим, что (по построению) нам уже известно следующее. Лемма 4.6. За исключением единственного нульмерного неспаренного симплекса, если симплекс $(A_1, \dots,A_r;B)$ не спарен после шага $r-1$, то верно одно из следующих утверждений: 1) $|A_1|=|A_2|= \dots =|A_{r-1}|=k+1$, 2) для некоторого $i$ выполняется $|A_i|=k$, и $(A_1, \dots,A_r;B)$ является $(k\,{+}\,1)$-полным. Шаг $r$. Теперь обратим внимание на $A_r$. Шаг $r.1$. Положим
$$
\begin{equation*}
a_r^1=\min\bigl[\bigl((A_r\cup B)\setminus [1,a_{r-1}^1]\bigr)\cap C_1\bigr].
\end{equation*}
\notag
$$
Может оказаться, что $\bigl[\bigl((A_r\cup B)\setminus [1,a_{r-1}^1]\bigr)\cap C_1\bigr]$ пусто для $(A_1, \dots,A_r;B)$, так что значение $a_r^1$ не определено. Это означает, что $(A_1, \dots,A_r;B)$ является $C_1$-полным. Такие симплексы остаются неспаренными, и назовем их “шаг $r.1$ – тип 3”-(неспаренными) симплексами. Если $a_r^1$ определено корректно, продолжим стандартным образом: спарим $(A_1,A_2, \dots,A_r\cup a_r^1;B)$ и $(A_1,A_2, \dots,A_r;B\cup a_r^1)$, если оба эти симплекса принадлежат $\mathfrak{C}$ и не были спарены до сих пор. Шаг $r.2$. Положим
$$
\begin{equation*}
a_r^2=\min\bigl[\bigl((A_r\cup B)\setminus [1,a_{r-1}^2]\bigr)\cap C_2\bigr].
\end{equation*}
\notag
$$
Опять же, если это число не определено, то симплекс $(A_1, \dots,A_r;B)$ является $C_2$-полным, и мы оставляем этот симплекс “шаг $r.2$ – тип 3” неспаренным. В противным случае продолжаем стандартным образом. Шаг $r.3$ и последующие шаги (вплоть до шага $r.k+1$) аналогичны. Подытожим. Лемма 4.7. За исключением единственного нульмерного неспаренного симплекса, если симплекс $(A_1, \dots,A_r;B)$ не спарен после шага $r$, то он насыщен. Доказательство. Во-первых, по лемме 4.6 выполняется $|A_i|\geqslant k$ для всех $i=1, \dots,r-1$. Если для симплекса $(A_1, \dots,A_r;B)$ выполнено $|A_i|<k$ для некоторого $i$, то в $A_i$ имеется некоторый отсутствующий цвет. Пусть наименьший из отсутствующих цветов есть цвет $j$. Тогда этот симплекс спарен на шаге $i.j$, так как $a^i_j$ хорошо определено и может быть добавлено в $A_i$. На каждом шаге $i.j$ симплекс $(A_1, \dots,A_r;B)$ либо типа 1, либо типа 2, либо (это может случиться только для шага $r.j$) типа 3. Если он хотя бы один раз является типом 2 (неважно, на каком именно шаге), то (по той же лемме) он $(k+1)$-полон и, следовательно, насыщен. Если симплекс всегда имеет тип 1 на шагах $1, \dots,r-1$ и не насыщен, то $|A_i|=k+1$ для всех $i=1, \dots,r-1$. Поскольку $s<r$, он насыщен. Лемма 4.7 доказана. Осталось доказать ацикличность спаривания. Пусть имеется градиентный путь
$$
\begin{equation*}
\alpha_0^p \nearrow \beta_0^{p+1} \searrow \alpha_1^p \nearrow \beta_1^{p+1} \searrow \alpha_2^p \nearrow \beta_2^{p+1} \searrow \, \cdots \, \searrow\alpha_m^p \nearrow \beta_m^{p+1} \searrow \alpha_{m+1}^p.
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого из симплексов $\alpha$ рассмотрим последовательность чисел
$$
\begin{equation*}
\Pi(\alpha):=(a_1^1,a_1^2, \dots,a_1^{k+1}, a_2^1, \dots,a_2^{k+1}, \dots, a_r^1, \dots,a_r^{k+1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь выписаны все числа $a^i_j$ в том порядке, в котором они появляются в алгоритме спаривания. Если $a^i_r$ не определено, положим его равным $\infty$. Лемма 4.8. В течение пути $\Pi(\alpha)$ строго убывает по отношению к лексикографическому порядку. Следовательно, спаривание ациклично. Доказательство леммы вытекает из анализа возможных случаев. Прежде всего заметим, что достаточно смотреть только на трехшаговые пути: 1. Предположим, что $\alpha_0^p \nearrow \beta_0^{p+1}$ означает добавление цвета $i$ в $A_j$, а $\beta_0^{p+1} \searrow \alpha_1^p$ означает означает удаление цвета $i'>i$ из $A_j$. Тогда:
2. Предположим, что $\alpha_0^p \nearrow \beta_0^{p+1}$ означает добавление цвета $i$ в $A_j$, а $\beta_0^{p+1} \searrow \alpha_1^p$ означает удаление цвета $i'<i$ из $A_j$. Тогда $\alpha_1^p$ спарен до шага $j.i$. 3. Предположим, что $\alpha_0^p \nearrow \beta_0^{p+1}$ означает добавление цвета $i$ в $A_j$, а $\beta_0^{p+1} \searrow \alpha_1^p$ означает удаление цвета $i'$ из $A_{j'}$ с $j'<j$. Тогда:
4. Предположим, что $\alpha_0^p \nearrow \beta_0^{p+1}$ означает добавление цвета $i$ в $A_j$, а $\beta_0^{p+1} \searrow \alpha_1^p$ означает удаление цвета $i'$ из $A_{j'}$ с $j'>j$. Тогда:
Доказательства предложения 4.2 и теоремы1.2 завершены. § 5. Приложение 1. Дискретная теория МорсаПо определению [19] дискретная функция Морса на симплициальном комплексе $K\subseteq 2^V$ есть ациклическое спаривание на диаграмме Хассе частично упорядоченного множества $(K, \subseteq)$. Подробнее, пусть $K$ – симплициальный комплекс. Его $p$-мерные симплексы ($p$-симплексы, для краткости) обозначаются через $\alpha^p$, $\alpha^p_i$, $\beta^p$, $\sigma^p$, $\dots$ . Дискретное векторное поле – это множество пар $D=\{\dots, (\alpha^p,\beta^{p+1}), \dots\}$ (называемое спариванием) такое, что: (a) каждый симплекс комплекса участвует не более чем в одной паре; (b) в каждой паре $(\alpha^p,\beta^{p+1})\in D$ симплекс $\alpha^p$ является гранью $\beta^{p+1}$; (c) пустое множество $\varnothing\in K$ не спарено, т. е. если $(\alpha^p,\beta^{p+1})\in D$, то $p\geqslant 0$. Про пару $(\alpha^p, \beta^{p+1})$ можно неформально думать как про вектор в векторном поле $D$. Поэтому ее часто обозначают через $\alpha^p \to \beta^{p+1}$ или $\alpha^p \nearrow \beta^{p+1}$ (в этом случае об $\alpha^p$ и $\beta^{p+1}$ неформально говорят как о начале и конце стрелки $\alpha^p \to \beta^{p+1}$). Для дискретного векторного поля $D$ градиентным путем в $D$ называется последовательность симплексов
$$
\begin{equation*}
\alpha_0^p \nearrow \beta_0^{p+1} \searrow \alpha_1^p \nearrow \beta_1^{p+1} \searrow \alpha_2^p \nearrow \beta_2^{p+1} \searrow \, \cdots \, \searrow\alpha_m^p \nearrow \beta_m^{p+1} \searrow \alpha_{m+1}^p,
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяющая следующим условиям: 1) $(\alpha_i^p,\beta_i^{p+1})$ – пара в $D$ для каждого $i$; 2) для каждого $i=0,\dots, m$ симплекс $\alpha_{i+1}^p$ – грань симплекса $\beta_i^{p+1}$; 3) для каждого $i=0,\dots, m-1$ справедливо $\alpha_i\neq \alpha_{i+1}$. Путь замкнут, если $\alpha_{m+1}^p=\alpha_{0}^p$. Дискретная функция Морса (для краткости ДФМ) – это дискретное векторное поле без замкнутых путей. Предполагая, что фиксирована дискретная функция Морса, критические симплексы – это неспаренные симплексы комплекса. Неравенство Морса [19] показывает, что критических симплексов невозможно избежать. В настоящей статье мы пользуемся следующей теоремой. Теорема 5.1 (см. [19]). Пусть ДФМ на симплициальном комплексе имеет единственный критический симплекс $\sigma^0$ размерности нуль. Если все прочие критические симплексы имеют одну и ту же размерность $N>1$, то комплекс $K$ гомотопически эквивалентен букету $N$-мерных сфер. Если все критические симплексы, кроме $\sigma^0$, имеют размерность не меньше $N$, то комплекс $K$ является $(N-1)$-связным. § 6. Приложение 2. Принцип сравнения для эквивариантных отображенийСледующая теорема доказана в [15; § 2, теорема 2.1]. Отметим, что условие о том, что множества фиксированных относительно $H_i$ точек $S^{H_i}$ локально $k$-связны для $k\leqslant \dim(M^{H_i})-1$ выполнено автоматически, если $S$ – сфера представления. Поэтому в этом случае достаточно показать, что $S^{H_i}$ глобально $(\dim(M^{H_i})-1)$-связно, что эквивалентно условию
$$
\begin{equation}
\dim(M^{H_i}) \leqslant \dim(S^{H_i}),\qquad i=1,\dots, m.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Теорема 6.1. Пусть $G$ – конечная группа, действующая на компактном топологическом многообразии $M= M^n$ и на сфере $S \cong S^n$ той же размерности. Пусть $N\subset M$ – замкнутое инвариантное подмножество, и пусть $(H_1), (H_2), \dots, (H_k)$ – типы орбит в $M\setminus N$. Предположим, что множество $S^{H_i}$ глобально и локально $k$-связно для всех $k=0, 1,\dots, \dim(M^{H_i})-1$, где $i=1,\dots, k$. Тогда для каждой пары $G$-эквивариантных отображений $\Phi, \Psi \colon M\to S$, эквивариантно гомотопных на $N$, верно следующее соотношение: Авторы выражают благодарность А. Скопенкову за ценные замечания.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{JojPanZiv22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|