| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Об оснащенных простых чисто вещественных числах Гурвица М. Э. Казарянab, С. К. Ландоab, С. М. Натанзонac a Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва b Сколковский институт науки и технологий c Институт теоретической и экспериментальной физики им. А. И. Алиханова, г. Москва
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9022 
Реферативные базы данных:
    Вещественная алгебраическая кривая – это комплексная кривая вместе с антиголоморфной инволюцией на ней. Точки кривой, инвариантные относительно данной инволюции, являются вещественными точками кривой. Мероморфная функция $f\colon C\to\mathbb{C}\mathrm{P}^1$ на вещественной алгебраической кривой $C$ является вещественной, если она эквивариантна относительно антиголоморфной инволюции на $C$ и комплексного сопряжения на $\mathbb{C}\mathrm{P}^1$. Мы называем вещественную функцию $f$ простой, если просты все ее конечные критические значения. В комплексном случае числа Гурвица перечисляют мероморфные функции с данным набором критических значений, типы ветвления над которыми заранее заданы. Эти числа не зависят от конкретного расположения критических значений. Простые числа Гурвица перечисляют мероморфные функции с данным множеством критических значений, тип ветвления над одним из которых является заданным разбиением степени накрытия, тогда как все остальные критические значения предполагаются простыми. Простые числа Гурвица играют ключевую роль в изучении теории пересечений на пространствах модулей алгебраических кривых. Точку в $\mathbb{C}\mathrm{P}^1$, выделенный тип ветвления над которой задан, мы обычно считаем бесконечностью, а ее прообразы – полюсами. Таким образом, части выделенного разбиения являются порядками полюсов. Все остальные критические значений конечны. В отличие от комплексного случая, количество вещественных мероморфных функций с предписанными разбиениями степени над критическими значениями существенным образом зависит от взаимного расположения этих критических значений. Это отличие, однако, не проявляется в случае простых вещественных чисел Гурвица, перечисляющих вещественные мероморфные функции с предписанными порядками полюсов и данным набором вещественных конечных критических значений, которые все являются простыми. Классическим примером таких чисел служат числа Бернулли и Эйлера (подсчитывающие зигзагообразные перестановки), которые перечисляют простые чисто вещественные многочлены данной степени. Цель настоящей статьи – распространить наше понимание зигзагообразных перестановок на случай вещественных функций на разделяющих вещественных кривых произвольного рода. Мы надеемся, что наши результаты окажутся полезными для понимания геометрии пространств модулей вещественных кривых с отмеченными точками. § 1. Определения и формулировка основного результата1.1. Простые разделяющие вещественные мероморфные функцииПусть $C$ – гладкая компактная комплексная алгебраическая кривая. Для антиголоморфной инволюции $\tau\colon C\to C$ пара $(C,\tau)$ называется (гладкой компактной) вещественной алгебраической кривой. Разумеется, антиголоморфная инволюция существует не на всякой комплексной кривой; с другой стороны, на некоторых комплексных кривых существует несколько попарно неэквивалентных антиголоморфных инволюций, а значит, несколько различных структур вещественных кривых. Кратные вещественные структуры на комплексных кривых подробно изучены в [1], [2]. Неподвижные точки инволюции $\tau$ образуют вещественную часть $C^\tau $ кривой $(C,\tau)$, $C^\tau\subset C$. Вещественная часть $C^\tau$ является $1$-мерным вещественным многообразием, а значит, несвязным объединением окружностей. Связная вещественная кривая $(C,\tau)$ называется разделяющей, если поверхность $C\setminus C^\tau$ несвязна, и неразделяющей в противном случае. Для разделяющей вещественной кривой дополнение $C\setminus C^\tau$ состоит из двух компонент связности, переставляемых инволюцией $\tau$. Под оснащением неразделяющей вещественной кривой мы понимаем выбор одной из двух компонент связности поверхности $C\setminus C^\tau$. Если оснащение выбрано, то вещественная часть $C^\tau$ разделяющей вещественной кривой, являясь одномерным вещественным многообразием, приобретает естественную ориентацию как граница выбранной компоненты дополнения к ней, наделенной комплексной ориентацией. Замена оснащения разделяющей вещественной кривой приводит к замене ориентации всех компонент связности ее вещественной части. Вещественное голоморфное отображение вещественной кривой $(C_1,\tau_1)$ в вещественную кривую $(C_2,\tau_2)$ – это голоморфное отображение $f\colon C_1\to C_2$, эквивариантное по отношению к паре инволюций $(\tau_1,\tau_2)$, т. е. такое, что $f\circ\tau_1=\tau_2\circ f$. В частности, вещественная мероморфная функция на вещественной кривой $(C,\tau)$ – это вещественное голоморфное отображение из $(C,\tau)$ в $(\mathbb{C}\mathrm{P}^1,\sigma)$, где $\sigma\colon \mathbb{C}\mathrm{P}^1\to\mathbb{C}\mathrm{P}^1$ – стандартное комплексное сопряжение. Вещественная мероморфная функция $f\colon C\to\mathbb{C}\mathrm{P}^1$ на вещественной кривой $(C,\tau)$ называется простой, если все ее конечные критические значения просты. Вещественная мероморфная функция $f\colon C\to\mathbb{C}\mathrm{P}^1$ на вещественной кривой $(C,\tau)$ называется чисто вещественной, если все ее конечные критические значения вещественны. Основным объектом изучения в настоящей статье являются простые чисто вещественные мероморфные функции на оснащенных разделяющих вещественных кривых. 1.2. Оснащенные чисто вещественные простые числа ГурвицаПод оснащенной вещественной мероморфной функцией мы понимаем вещественную мероморфную функцию $f\colon (C,\tau)\to(\mathbb{C}\mathrm{P}^1,\sigma)$, определенную на оснащенной вещественной кривой $(C,\tau)$. Связную компоненту дополнения $C\setminus C^\tau$, определяющую оснащение, мы обозначаем через $C^f$. Оснащенные вещественные мероморфные функции $f_1\colon C_1\to\mathbb{C}\mathrm{P}^1$, $f_2\colon C_2\to\mathbb{C}\mathrm{P}^1$ на оснащенных разделяющих вещественных голоморфных кривых $(C_1,\tau_1)$, $(C_2,\tau_2)$ называются эквивалентными, если существует обратимое вещественное голоморфное отображение $\varphi\colon C_1\to C_2$, такое, что $f_1=f_2\circ \varphi$ и $\varphi(C_1^{f_1})=C_2^{f_2}$. В частности, области определения эквивалентных мероморфных функций имеют одинаковый род. При заданной степени функции, данном роде кривой ее определения и данном наборе критических значений множество классов эквивалентности функций с такими данными конечно. Пусть $f\colon (C,\tau)\to(\mathbb{C}\mathrm{P}^1,\sigma)$ – оснащенная вещественная мероморфная функция; определим тип ее ветвления над точкой в $\mathbb{R}\mathrm{P}^1$. Без потери общности можно предположить, что это точка $\infty\in\mathbb{R}\mathrm{P}^1$, и ее прообразы – полюсы функции $f$. Полюсы функции $f$ разбиваются на вещественные и пары $\tau$-сопряженных невещественных полюсов. В каждой паре $\tau$-сопряженных полюсов ровно один из них принадлежит компоненте $C^f$ области определения функции $f$. Порядки $\tau$-сопряженных полюсов в области $C^f$ образуют разбиение $\lambda=(\ell_1,\ell_2,\dots)$. Вещественные полюсы функции $f$ разбиваются на два типа, которые мы называем положительными и отрицательными. Вещественный полюс называется положительным (соответственно отрицательным), если функция $f$ слева от полюса (в смысле ориентации кривой $C^\tau$) возрастает (соответственно убывает). Заметим, что зная тип полюса и четность его порядка, мы знаем также и поведение функции справа от полюса (возрастает или убывает). Порядки положительных (соответственно отрицательных) полюсов функции $f$ образуют разбиение $\kappa^+=(k^+_1,k^+_2,\dots)$ (соответственно $\kappa^-=(k^-_1,k^-_2,\dots)$). Разбиения $\kappa^+$, $\kappa^-$ и $2\lambda=(2\ell_1,2\ell_2,\dots)$ в совокупности образуют разбиение степени функции $f$. Ниже мы используем мультипликативную форму записи разбиений, так что запись $1^{a_1}2^{a_2}\dots$ обозначает разбиение, в котором $a_1$ частей равны $1$, $a_2$ частей равны $2$, и так далее. Тройка разбиений $\mu=(\kappa^+,\kappa^-,\lambda)$ называется типом ветвления функции $f$ над бесконечностью. Если порядки всех полюсов равны $1$, то каждое из разбиений $\kappa^+$, $\kappa^-$, $\lambda$ состоит из частей $1$. Нас интересует случай, когда все конечные критические значения вещественны и просты. Обозначим через $h^\mathbb{R}_{m;\mu}$ оснащенное простое чисто вещественное связное число Гурвица, равное числу чисто вещественных мероморфных функций со связной областью определения, типом ветвления $\mu=(\kappa^+,\kappa^-,\lambda)$ над бесконечностью и $m$ данными невырожденными вещественными значениями. Говоря формально,
$$
\begin{equation*}
h^\mathbb{R}_{m;\mu}=\sum_{[f]}\frac1{\#\operatorname{Aut}(f)},
\end{equation*}
\notag
$$
где суммирование идет по всем оснащенным простым чисто вещественным мероморфным функциям $f$, определенным на связных кривых, имеющим $m$ конечных предписанных критических значений и ветвление типа $\mu$ над бесконечностью; через $\#\operatorname{Aut}(f)$ обозначен порядок группы автоморфизмов функции. Мы обозначаем через $h^{\mathbb{R}\circ}_{m;\mu}$ число всех простых оснащенных чисто вещественных мероморфных функций, включая те, кривая определения которых несвязна. Отметим, однако, что группа автоморфизмов оснащенной чисто вещественной функции со связной кривой определения тривиальна, и ее порядок равен $1$. Если, например, кривая $C$ гиперэллиптическая рода $g\geqslant2$, являющаяся компактификацией кривой в $\mathbb{C}^2$, где $P_{2g+1}(x)$ – вещественный многочлен степени $2g+1$ с $2g+1$ попарно различными вещественными корнями, то у функции на $C$, переводящей каждую точку в ее $x$-координату, есть нетривиальный автоморфизм – гиперэллиптическая инволюция $(x,y)\mapsto(x,-y)$. Однако этот автоморфизм переставляет два оснащения функции, т. е.
$$
\begin{equation*}
h^\mathbb{R}_{2g-1;2^1,\varnothing,\varnothing} =h^\mathbb{R}_{2g-1;\varnothing,2^1,\varnothing}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Оснащенная чисто вещественная функция $f$, определенная на несвязной кривой, может иметь нетривиальные автоморфизмы только если $C^f$ содержит несколько компонент связности рода $0$ без границы, а ограничение функции $f$ на каждую из этих компонент связности имеет степень $1$. Группа автоморфизмов такой функции состоит из перестановок отдельно компонент с положительным полюсом и компонент с отрицательным полюсом. Нам будет также удобно положить Это число Гурвица соответствует накрытию степени два проективной прямой $\mathbb{C} P^1$ такому, что накрывающая поверхность состоит из двух компонент связности, каждая из которых отображается на проективную прямую изоморфно, а инволюция $\tau$ переставляет эти две компоненты. Такое накрытие можно реализовать, например, как проекцию на ось $y$ (нормализации) кривой, заданной уравнением с вещественными коэффициентами $x^2+y^2=0$. Отметим, что множество вещественных точек такой кривой пусто. Функции на несвязных кривых могут содержать несколько копий вышеуказанного отображения и, как следствие, иметь нетривиальные автоморфизмы. Принятое соглашение упрощает дифференциальное уравнение на производящую функцию. Одна из причин включать в рассмотрение это отображение состоит в том, что хотя его область определения несвязна, ее фактор по инволюции все же связен. Более глубокие причины, приводящие к нему, будут объяснены в § 3 и § 4.Сопоставим типу ветвления
$$
\begin{equation*}
\mu=(\kappa^+,\kappa^-,\lambda)= \bigl((k_1^+,k_2^+,\dots),(k_1^-,k_2^-,\dots),(\ell_1,\ell_2,\dots)\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
моном
$$
\begin{equation*}
p_\mu=p_{k_1^+}^+p_{k_2^+}^+\cdots p_{k_1^-}^-p_{k_2^-}^-\cdots q_{\ell_1}q_{\ell_2}\cdots
\end{equation*}
\notag
$$
от независимых коммутирующих переменных $p_k^+$, $p_k^-$, $q_k$, $k=1,2,\dots$ . Введем производящие функции
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H^{\mathbb{R}}(u,\hbar;p^+_1,\dots,p^-_1,\dots,q_1,\dots)&=\sum\hbar^{\chi_{m;\mu}} h^\mathbb{R}_{m;\mu}p_\mu\frac{u^m}{m!}, \\ H^{\mathbb{R}\circ}(u,\hbar;p^+_1,\dots,p^-_1,\dots,q_1,\dots)&=\sum\hbar^{\chi_{m;\mu}} h^{\mathbb{R}\circ}_{m;\mu}p_\mu\frac{u^m}{m!}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где суммирование в правой части идет по всем тройкам разбиений $\mu\,{=}\,(\kappa^+,\kappa^-,\lambda)$ и всем неотрицательным значениям $m$. Здесь $\chi_{{m;\mu}}$ обозначает эйлерову характеристику кривой определения $C$ мероморфной функции $f$. Обратим внимание читателя на то, что символом $p_\mu$ обозначаются мономы, в которые входят, вообще говоря, не только переменные $p_i^\pm$, но и переменные $q_\ell$. Замечание 1.1. Для определения эйлеровой характеристики области определения функции по моному производящей функции не обязательно вводить явный параметр $\hbar$, степень которого равна этой эйлеровой характеристике $\chi$. Действительно, по формуле Римана–Гурвица для функции с разбиением полюсов $\mu=(\kappa^+,\kappa^-,\lambda)$ и $m$ простыми критическими значениями имеем где $|\kappa^++\kappa^-+2\lambda|$ – степень функции $f$, а через $\ell(\,{\cdot}\,)$ обозначена длина разбиения. Другими словами, функции $H^{\mathbb{R}}$, $H^{\mathbb{R}\circ}$ можно восстановить из их специализаций при $\hbar=1$ путем перешкалирования $p_k^\pm\mapsto\hbar^{k+1}p_k^\pm$, $q_k\mapsto\hbar^{2k+2}q_k$, $u\mapsto \hbar^{-1}u$. Удобнее, однако, следить за эйлеровой характеристикой, явно указанной в производящей функции. Как обычно, производящие функции, перечисляющие связные и несвязные мероморфные функции, удовлетворяют соотношению Теорема 1.1. Производящая функция $H^{\mathbb{R}\circ}$ удовлетворяет дифференциальному уравнению Рассматривая производящую функцию $H^{\mathbb{R}\circ}$ как ряд по степеням переменной $u$, мы можем воспользоваться уравнением (1) и начальными условиями при $u=0$
$$
\begin{equation*}
H^{\mathbb{R}\circ}(0,\hbar;p_1^\pm,p_2^\pm,\dots)=e^{\hbar^{2}(p^+_1+p^-_1)+\hbar^{4}q_1},
\end{equation*}
\notag
$$
для последовательного вычисления любого количества членов разложения. Действительно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W^+\bigl(e^{\hbar^{2}(p^+_1+p^-_1)+\hbar^{4}q_1}\bigr) &=e^{\hbar^{2}(p^+_1+p^-_1)+\hbar^{4}q_1}\hbar^{2}(p^+_2+p^-_2), \\ W^+\bigl(e^{\hbar^{2}(p^+_1+p^-_1)+\hbar^{4}q_1}\hbar^{2}(p^+_2+p^-_2)\bigr) &=e^{\hbar^{2}(p^+_1+p^-_1)+\hbar^{4}q_1}\bigl(\hbar^{4}(p^+_2+p^-_2)^2 \\ &\qquad +\hbar^{2}(p^+_3+p^-_3+p^+_1p^-_1+q_1)\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и так далее, откуда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H^{\mathbb{R}\circ}&=e^{\hbar^{2}(p^+_1+p^-_1)+\hbar^{4}q_1} \biggl(1+\hbar^{2}(p^+_2+p^-_2)\frac{u}{1!} \\ &\qquad+\bigl(\hbar^{4}(p^+_2+p^-_2)^2+\hbar^{2}(p^+_3+p^-_3+p^+_1p^-_1+q_1)\bigr)\frac{u^2}{2!} +\cdots\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Этот рекуррентный процесс можно записать в замкнутом виде:
$$
\begin{equation*}
H^{\mathbb{R}\circ}(u,\hbar;p_1^\pm,p_2^\pm,\dots) =e^{u\,W^+}e^{\hbar^{2}(p^+_1+p^-_1)+\hbar^{4}q_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Начальные члены разложения производящей функции $H^{\mathbb{R}\circ}$ после взятия логарифма немедленно дают начальные члены разложения производящей функции $H^{\mathbb{R}}(u,\hbar;p_1^\pm,p_2^\pm,\dots,q_1,\dots)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H^{\mathbb{R}}&=\hbar^{4}q_1+\hbar^{2}(p^+_1+p^-_1)+\hbar^{2}(p^+_2+p^-_2)\frac{u}{1!} \\ &\qquad+\hbar^{2}(p^+_3+p^-_3+p^+_1p^-_1+q_1)\frac{u^2}{2!} \\ &\qquad+\bigl(\hbar^2((p^+_1+p^-_1)(p^+_2+p^-_2)+2(p^+_4+p^-_4)) +(p^+_2+p^-_2)\bigr)\frac{u^3}{3!}+\cdots\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Логарифм $H^\mathbb{R}$ производящей функции $H^{\mathbb{R}\circ}$ удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных, которое можно получить, выполнив подстановку $H^{\mathbb{R}\circ}=e^{H^\mathbb{R}}$ в уравнение теоремы. Уравнение в частных производных на функцию $H^\mathbb{R}$ уже не является линейным, однако и оно позволяет последовательно вычислять коэффициенты разложения функции $H^\mathbb{R}$ по степеням переменной $u$. Следствие 1.1. Производящая функция $H^{\mathbb{R}}$ удовлетворяет дифференциальному уравнению Отметим, что хотя оператор $W^+$ и не симметричен по отношению к перестановке переменных $p^+_k\leftrightarrow p^-_k$ для $k=1,2,\dots$, производящая функция $H^{\mathbb{R}\circ}$ (а значит, и производящая функция $H^\mathbb{R}$) симметрична. Следствие 1.2. Производящая функция $H^{\mathbb{R}\circ}$ удовлетворяет дифференциальным уравнениям где оператор $W^-$ получается из оператора $W^+$ заменой каждой переменной $p^+_k$ на переменную $p^-_k$ и наоборот для $k=1,2,\dots$, и где Оператор $W$ симметричен относительно перестановки переменных $p_k^+\,{\leftrightarrow}\, p_k^-$, но в него входит больше членов, чем в $W^+$, который поэтому более эффективен с вычислительной точки зрения. Несложно проверить, что операторы $W^+$ и $W^-$ коммутируют между собой, и, значит, оба они коммутируют с $W$. Уравнение (1) является уравнением типа уравнения транспозиции (в англоязычной терминологии “cut-and-join equation”) из [3], которому подчиняется производящая функция для обычных, т. е. комплексных простых чисел Гурвица. Уравнение в [3] проще, поскольку в нем не приходится различать вещественные и комплексные полюсы, а также положительные и отрицательные вещественные полюсы, и вместо трех последовательностей переменных можно обойтись одной. Подобно комплексному оператору транспозиции дифференциальный оператор $W^+$ в правой части (а также операторы $W^-$ и $W$) однороден, т. е. он сохраняет подпространства многочленов данной однородной степени. В нашем вещественном случае степень монома определяется как сумма степеней входящих в него переменных, определяемых как $\deg p^\pm_{k}=k$, $\deg q_k=2k$, $k=1,2,\dots$ . Степень монома совпадает со степенью мероморфной функции, дающей вклад в коэффициент при нем. Однако в вещественном случае каждый из операторов $W^-$, $W^+$, $W$ дополнительно сохраняет более тонкое расщепление пространства многочленов от переменных $p^\pm_k,q_k$, заданное биградуировкой
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \operatorname{bdeg} p_{2k}^\pm =\operatorname{bdeg} q_k=(k,k), \\ \operatorname{bdeg} p_{2k+1}^+ =(k+1,k),\qquad\operatorname{bdeg} p_{2k+1}^-=(k,k+1). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2}
$$
Это утверждение легко проверить, поскольку каждое слагаемое в определении оператора $W^+$ (а значит, и двух остальных операторов) сохраняет указанную бистепень. Эта бистепень соответствует естественной бистепени оснащенной разделяющей вещественной функции: бистепень такой функции $f\colon (C,\tau)\to(\mathbb{C}\mathrm{P}^1,\sigma)$ это пара (количество прообразов верхней полусферы в $C^f$, количество прообразов верхней полусферы в дополнении $C\setminus C^f$). Поскольку оператор $W^+$ из теоремы 1.1 сохраняет биградуировку, он действует в пространстве многочленов данной бистепени. Другими словами, дифференциальное уравнение (1) распадается в прямую сумму обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в конечномерных пространствах многочленов заданной бистепени, и экспоненту оператора $W^+$ можно вычислить как прямую сумму экспонент его ограничений на подпространства заданной бистепени. В § 4 мы вводим невырожденное скалярное произведение на каждом подпространстве многочленов фиксированной бистепени и показываем, что ограничения операторов $W^+$, $W^-$, $W$ на эти подпространства являются самосопряженными и, значит, диагонализируемыми операторами. Замечание 1.2. Наши попытки вывести более простые эволюционные уравнения для функций, получаемых из $H^{\mathbb{R}\circ}$ путем отказа от рассмотрения комплексных полюсов или от различения двух типов вещественных полюсов, не привели к успеху. Во втором случае упрощения удалось достичь только для рода $0$, см. § 2. Замечание 1.3. В [4] близкими методами изучалась близкая задача вычисления простых дисковых чисел Гурвица. В дополнение к вещественным оснащенным мероморфным функциям в [4] рассматриваются более общие накрытия Дольда–Смита, соответствующие вещественным мероморфным функциям на необязательно разделяющих вещественных кривых, см. § 5. В этом случае как дифференциальные уравнения, так и начальные условия становятся более сложными, что делает предполагаемые вычисления менее эффективными. Замечание 1.4. Альтернативный подход к определению вещественных чисел Гурвица предложен в [5], при котором вещественные рациональные функции с данными критическими значениями учитываются с определенными знаками. Наш подход более прямолинейный, все рациональные функции учитываются с коэффициентом $+1$. § 2. Случай рода $0$В этом параграфе мы исследуем часть производящей функции для оснащенных простых вещественных чисел Гурвица, относящуюся к рациональным функциям $(\mathbb{C}\mathrm{P}^1,\sigma)\to(\mathbb{C}\mathrm{P}^1,\sigma)$. 2.1. Уравнение транспозиции для рациональных функцийПроизводящая функция для оснащенных связных простых чисел Гурвица на кривых рода $0$, т. е. для случая рациональных функций, представляет собой коэффициент при $\hbar^2$ в $H^\mathbb{R}$. Обозначим через $H_0^\mathbb{R}$ результат подстановки $p^+_i=p_i$, $p^-_i=p_i$, $i=1,2,\dots$, в половину этого коэффициента, т. е.
$$
\begin{equation*}
H_0^\mathbb{R}(u;p_1,p_2,\dots,q_1,q_2,\dots) =\frac12[\hbar^2]H^\mathbb{R}(u,\hbar;p_1,p_2,\dots,p_1,p_2,\dots,q_1,q_2,\dots).
\end{equation*}
\notag
$$
В производящей функции $H_0^\mathbb{R}$ мы не различаем положительные и отрицательные вещественные полюсы. В случае рода $0$ уравнение транспозиции значительно упрощается – в нем не остается частных производных второго порядка. Из следствия 1.2 немедленно вытекает следующее утверждение. Теорема 2.1. Функция $H_0^\mathbb{R}$ удовлетворяет уравнению в частных производных 2.2. Сравнение с известными вычислительными результатамиЯвные значения вещественных чисел Гурвица известны лишь для некоторых частных серий индексов, которые все относятся к ситуации рода $0$. Простые вещественные многочлены степени $n$ перечисляются числами Бернулли (для нечетного $n$) и Эйлера (при четном $n$); соответствующая экспоненциальная производящая функция имеет вид
$$
\begin{equation*}
\frac1{\cos x}+\tan x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+2\frac{x^3}{3!}+5\frac{x^4}{4!}+16\frac{x^5}{5!} +61\frac{x^6}{6!}+272\frac{x^7}{7!}+\cdots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Числа $1$, $1$, $1$, $2$, $5$, $16$, $61$, $\dots$ появляются как коэффициенты при мономах $p^\pm_n{u^{n-1}}/{(n-1)!}$ как в производящей функции $H^\mathbb{R}$, так и в $H^{\mathbb{R}\circ}$, а также как коэффициенты при мономах $p_n{u^{n-1}}/{(n-1)!}$ в $H_0^\mathbb{R}$. Аналогичным образом, числа вещественных тригонометрических многочленов, вычисленные в [6], соответствуют коэффициентам при $p_n^2$ в производящей функции $H_0^\mathbb{R}$. Общие вещественные рациональные функции степени $n$ были перечислены в [7], [8]. Мероморфная функция называется общей, если порядки всех ее полюсов равны $1$. Вычисленная в [8] последовательность, перечисляющая общие рациональные функции, начинается с (первый член соответствует значению $n=3$). Эти числа получаются суммированием коэффициентов при мономах
$$
\begin{equation*}
p_1^{n-2k}q_1^k \frac{u^{2n-2}}{(2n-2)!},\qquad k=0,1,\dots,\biggl[\frac{n}2\biggr],
\end{equation*}
\notag
$$
в производящей функции $H_0^\mathbb{R}$. Производящая функция для них имеет вид
$$
\begin{equation*}
H_0^\mathbb{R}(u;1,0,0,\dots,1,0,0,\dots)=1+\frac12\frac{u^2}{2!}+2\frac{u^4}{4!}+20\frac{u^6}{6!} +406\frac{u^8}{8!}+14652\frac{u^{10}}{10!}+\cdots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
§ 3. Описание вещественных мероморфных функций с помощью диаграммНаше доказательство основной теоремы 1.1 основано на диаграммном описании вещественных мероморфных функций, предложенном в [9]. Этот подход получил развитие в [10]. Отметим, что подобный подход был предложен С. Баранниковым в [11] в частном случае многочленов. Баранников дал топологическую классификацию вещественных многочленов, все критические значения которых (как вещественные, так и невещественные) являются простыми. Поскольку терминология еще не устоялась (различные авторы употребляют такие понятия как “хордовые диаграммы”, “сады”, “парки” и пр.), мы позволим себе для целей настоящей статьи ввести термин “диаграмма оснащенной вещественной мероморфной функции”. (В частности, первые два автора настоящего текста привыкли использовать термин “хордовая диаграмма” в другом контексте, а именно, в теории Васильева инвариантов узлов конечного порядка.) 3.1. Абстрактные диаграммыАбстрактные диаграммы призваны находиться во взаимно однозначном соответствии с топологическими типами оснащенных вещественных мероморфных функций. Мы начинаем с определения абстрактной диаграммы. Определение 3.1. Абстрактная диаграмма представляет собой компактную ориентированную двумерную поверхность $C_+$ с границей, на которой изображен ориентированный граф, удовлетворяющий следующим условиям: 1) вершины графа, расположенные на границе, разбиты на два класса, первый из которых называется критическими точками, второй – полюсами; все остальные вершины называются внутренними полюсами; 2) всякий отрезок между двумя последовательными вершинами на границе является ребром графа (такие ребра называются граничными; все остальные ребра называются внутренними); 3) каждой критической точке инцидентно в точности одно внутреннее ребро; 4) дополнение к графу на поверхности представляет собой несвязное объединение открытых дисков; граница каждого из этих дисков содержит в точности один полюс (либо граничный, либо внутренний); ниже мы называем эти диски гранями диаграммы; 5) ребра графа ориентированы таким образом, что ориентации граничных ребер каждой грани согласованы; 6) обозначим через $m$ количество критических точек; критические точки занумерованы числами от $1$ до $m$ таким образом, что нумерация возрастает от начала каждого ориентированного ребра, соединяющего критические точки, к его концу. Отметим, что ориентации ребер диаграммы никак не связаны с канонической ориентацией границы и, как правило, всякая компонента связности границы диаграммы разбивается на несколько граничных ребер, ориентации которых меняются в критических точках и в граничных полюсах четного порядка. Грани диаграммы допускают шахматную раскраску: грани, ориентация границы которых совпадает с индуцированной ориентацией грани, покрасим в белый цвет, а грани, ориентация границы которых противоположна индуцированной ориентацией грани, – в черный. Родом связной абстрактной диаграммы мы называем род компактной ориентированной поверхности без границы, полученной удвоением поверхности диаграммы, т. е. приклейкой к этой поверхности ее копии по соответствующим точкам границы. Соответственно эйлеровой характеристикой произвольной, необязательно связной, абстрактной диаграммы мы называем эйлерову характеристику компактной ориентированной поверхности без границы, полученной удвоением поверхности диаграммы, т. е. приклейкой к этой поверхности ее копии по соответствующим точкам границы. Из требования, предъявляемого к ориентации ребер графа, вытекает, что всякий внутренний полюс, рассматриваемый как вершина графа, имеет четную валентность (действительно, ребра, входящие во внутренний полюс и выходящие из него, должны чередоваться). Половина этой валентности называется порядком внутреннего полюса. (Другими словами, порядок внутреннего полюса равен его входящей валентности, или, что то же самое, его выходящей валентности.) Порядок граничного полюса на единицу меньше его валентности. На рис. 1 приведены примеры попарно неизоморфных абстрактных диаграмм на связной поверхности рода $2$. В каждой из этих диаграмм шесть критических точек и один граничный полюс порядка $3$, а внутренние полюсы отсутствуют. Три из этих диаграмм гомеоморфны сфере с тремя вырезанными дисками, тогда как четвертая представляет собой тор без диска. Замечание 3.1. В определении диаграммы не предполагается, что каждая компонента диаграммы имеет непустую границу. Но из условия наличия единственного полюса на каждой грани нетрудно вывести, что имеется единственная связная диаграмма без границы. Она представляет из себя сферу с единственным внутренним полюсом порядка $1$ и единственным ребром, выходящим из этого полюса и входящим в него обратно. 3.2. Диаграмма оснащенной вещественной мероморфной функцииДиаграмма оснащенной вещественной мероморфной функции $f\colon C\to\mathbb{C}\mathrm{P}^1$ – это граф, вложенный в компоненту $C^f$ области определения функции $f$ и представляющий собой по сути прообраз вещественной прямой в $\mathbb{C}\mathrm{P}^1$. Дополнительные пометки превращают этот граф в диаграмму. Определение 3.2. Пусть $f\colon (C,\tau)\to(\mathbb{C}\mathrm{P}^1,\sigma)$ – оснащенная простая вещественная мероморфная функция; здесь $\sigma\colon \mathbb{C}\mathrm{P}^1\to\mathbb{C}\mathrm{P}^1$ – комплексное сопряжение, $\tau\colon C\to C$ – антиголоморфная инволюция и $f\circ\tau=\sigma\circ f$. Пусть число конечных критических значений функции $f$ равно $m$. Занумеруем конечные критические значения функции $f$ (все они являются вещественными) числами $1,2,\dots,m$ последовательно в порядке возрастания, начиная с наименьшего. Диаграмма $D(f)$ функции $f$ образована следующими данными: 1) область $C^f$, задающая оснащение области определения функции $f$, и наделенная комплексной ориентацией; 2) ориентированный граф, вложенный в $C^f$, представляющий собой прообраз $f^{-1}(\mathbb{R}\mathrm{P}^1)$, в котором вершинами являются критические точки и полюса функции $f$, а ориентация ребер индуцирована естественной ориентацией проективной прямой $\mathbb{R}\mathrm{P}^1\subset\mathbb{C}\mathrm{P}^1$; 3) нумерация критических точек функции $f$, в которых она принимает конечные критические значения, которая сопоставляет каждой критической точке номер соответствующего ей критического значения. Ясно, что диаграмма оснащенной простой вещественной функции является абстрактной диаграммой. Порядки полюсов диаграммы при этом совпадают с порядками полюсов исходной функции. Теорема из [9] устанавливает взаимно однозначное соответствие между оснащенными вещественными мероморфными функциями и абстрактными диаграммами. Отсюда вытекает, что перечисление вещественных мероморфных функций сводится к перечислению их диаграмм. Например, четыре диаграммы с рис. 1 дают вклад в число $h^\mathbb{R}_{6;3^1,\varnothing,\varnothing}=4$ (мы предполагаем здесь, что ориентация этих диаграмм индуцирована стандартной ориентацией плоскости). Такие же диаграммы, но с противоположной ориентацией, дают значение $h^\mathbb{R}_{6;\varnothing,3^1,\varnothing}=4$. Это соответствие включает, в частности, диаграмму замечания 3.1: ей соответствует функция из соглашения, сформулированного в п. 1.2. Это замечание дает еще одно из возможных объяснений необходимости использования указанного соглашения. Отметим, что введенную в п. 1.2 бистепень функции можно определить по ее диаграмме: она образована количествами граней диаграммы, ориентация границы которых согласована или рассогласована с ориентацией самих граней. 3.3. Доказательство теоремы 1.1Коэффициент $h^{\mathbb{R}\circ}_{m;(\kappa^+,\kappa^-,\lambda)}$ производящей функции $H^{\mathbb{R}\circ}$ – это в точности число диаграмм с $m$ критическими точками, занумерованными от $1$ до $m$, и разбиением $\kappa^+$ (соответственно $\kappa^-$) порядков положительных (соответственно отрицательных) вещественных полюсов, а также разбиением $\lambda$ порядков внутренних полюсов. Обозначим множество таких диаграмм (как связных, так и несвязных) через $\mathcal{D}^\circ_{m;(\kappa^+,\kappa^-,\lambda)}$. Каждая диаграмма подсчитывается с коэффициентом, обратным порядку группы ее автоморфизмов. Доказательство теоремы состоит в установлении взаимно однозначного соответствия между множеством диаграмм с $m$ критическими точками с одной стороны, множеством диаграмм с $m-1$ критическими точками и дополнительными пометками с другой стороны. Введение дополнительных пометок действует на производящие функции как дифференциальные операторы. Соответствие устанавливается путем изучения локальных преобразований диаграмм, осуществляемых при исключении критической точки, отвечающей максимальному критическому значению. Дифференциальные операторы, соответствующие этим локальным преобразованиям, являются слагаемыми дифференциального оператора $W^+$. Доказательство для дифференциального оператора $W^-$ аналогично, однако вместо исключения критической точки, отвечающей максимальному критическому значению, происходит исключение критической точки с минимальным критическим значением. Мы предпочитаем работать с оператором $W^+$, поскольку исключение критической точки с максимальным критическим значением позволяет сохранить нумерацию остальных критических точек. Рассмотрим диаграмму из множества $\mathcal{D}^\circ_{m;(\kappa^+,\kappa^-,\lambda)}$. Эта диаграмма дает вклад в коэффициент при мономе $p^+_{\kappa^+}p^-_{\kappa^-}q_{\lambda}{u^m}/{m!}$ в производящей функции $H^{\mathbb{R}\circ}$. Имеется ровно две связные диаграммы без критических точек. Каждая из этих диаграмм представляет собой диск с единственным вещественным полюсом, который может быть положительным или отрицательным. Эти две диаграммы соответствуют двум возможным оснащениям линейной функции $z\mapsto z$. Вместе с диаграммой замечания 3.1 с эйлеровой характеристикой $4$, добавляемой в соответствии с нашим соглашением в п. 1.2, эти диаграммы образуют начальные условия: при $u=0$ выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
H^\mathbb{R}=\hbar^2(p^+_1+p^-_1)+\hbar^4q_1,\qquad H^{\mathbb{R}\circ}=e^{\hbar^2(p^+_1+p^-_1)+\hbar^4q_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим теперь, что $m>0$, т. е. по крайней мере одна критическая точка имеется. Рассмотрим критическую точку диаграммы с номером $m$, т. е. критическую точку, отвечающую максимальному критическому значению. Имеются две возможные ориентации ребер, соединенных с этой критической точкой: либо выходящими являются два граничных ребра, соединенных с ней (и тогда внутреннее ребро – входящее), либо выходящим является внутреннее ребро (и тогда соседние граничные ребра – входящие). Ниже мы рассматриваем две эти возможности по отдельности. Отметим, что во всех случаях все выходящие ребра должны быть соединены с полюсами, поскольку все остальные критические точки имеют меньший номер. I. Ребра, выходящие из критической точки с номером $m$, являются граничными. Поскольку в этом случае две дуги граничной кривой $C^\tau$, выходящие из критической точки с номером $m$, ориентированы от нее, другим концом каждой из этих дуг является граничный полюс. Вновь возможны два случая: либо эти два полюса различны, либо вторые концы выходящих дуг также совпадают. В первом случае мы заменяем диаграмму другой диаграммой, получаемой из исходной стягиванием двух граничных дуг, выходящих из рассматриваемой критической точки. Более подробно, критическая точка с номером $m$ стирается, а два граничных полюса сливаются в один, заменяющий собой стертую критическую точку. Внутреннее ребро, ранее входившее в критическую точку с номером $m$, входит теперь в новый полюс диаграммы. Порядок нового полюса равен сумме порядков двух старых полюсов. Один из двух старых полюсов (тот, который расположен справа от критической точки номер $m$) по необходимости является положительным, тогда как другой может быть как положительным, так и отрицательным. Новый полюс является положительным или отрицательным в зависимости от того, был ли старый полюс слева от удаленной критической точки положительным или отрицательным. В новой диаграмме $m-1$ критических точек. Ориентация всех оставшихся ребер сохраняется. Это локальное преобразование изображено на рис. 2, (a). Ему соответствует слагаемое
$$
\begin{equation*}
p_i^{\bar i}p_j^+ \, \frac{\partial H^{\mathbb{R}\circ}}{\partial p_{i+j}^{\bar i}}
\end{equation*}
\notag
$$
в правой части уравнения (1). Действительно, все диаграммы указанного вида могут быть получены из диаграмм с $m-1$ критическими точками и отмеченным полюсом порядка $i+j$ обратным преобразованием, которое заменяет этот полюс на два граничных полюса порядков $i$ и $j$, причем знак левого из них совпадает со знаком исходного полюса. Частное дифференцирование по $ p_{i+j}^{\bar i}$ указывает на то, что отмеченный полюс порядка $i+j$ пропадает, а умножение на $ p_i^{\bar i}p_j^+$ – на то, что он заменяется на два полюса порядков $i$ и $j$ соответственно. Это слагаемое соответствует расщеплению цикла длины $i+j$ перестановки монодромии над бесконечностью в произведение двух независимых циклов длин $i$ и $j$. Если же две дуги, выходящие из критической точки с номером $m$, оканчиваются в одном граничном полюсе, то его порядок обязательно четен. Критическая точка с номером $m$ и этот полюс являются единственными вершинами графа на содержащей их компоненте связности границы диаграммы. Стянем эту компоненту связности в точку, превратим эту точку во внутренний полюс, порядок которого равен половине порядка бывшего граничного полюса, и сотрем критическую точку номер $m$, сохранив при этом ориентации всех оставшихся ребер. В результате мы получим диаграмму с $m-1$ критическими точками. Это локальное преобразование диаграммы изображено на рис. 2, (b). Ему соответствует слагаемое
$$
\begin{equation*}
i\hbar^{-2} p^+_{2i}\, \frac{\partial H^{\mathbb{R} \circ}}{\partial q_i}
\end{equation*}
\notag
$$
в дифференциальном уравнении (1). Действительно, всякая диаграмма такого вида может быть получена обратным преобразованием из соответствующей диаграммы с $m-1$ критической точкой, у которой отмечен внутренний полюс порядка $i$, а также одно из $i$ входящих в него ребер. Множитель $i$ соответствует возможности отметить произвольное входящее ребро. Отметим, в этом случае соответствующие друг другу диаграммы имеют разный топологический тип, и множитель $\hbar^{-2}$ отвечает за уменьшение эйлеровой характеристики на два. II. Выходящее ребро из точки с номером $m$ является внутренним. Другой конец выходящего ребра обязательно является полюсом, и это может быть либо граничный полюс, либо внутренний. Рассмотрим последовательно оба случая. В случае, если критическая точка с номером $m$ соединена выходящим внутренним ребром с граничным полюсом, локальное преобразование, исключающее эту критическую точку, состоит в следующем: диаграмма разрезается по этому ребру, а затем каждый из двух отрезков прообраза разреза стягивается. Граничный полюс расщепляется при этом на два граничных полюса, сумма порядков которых равна порядку исходного полюса, см. рис 3, (a). Преобразование, обратное к этому, дает слагаемое
$$
\begin{equation*}
\hbar^{-2}p_{i+j}^{\bar i}\, \frac{\partial^2 H^{\mathbb{R}\circ}}{\partial p_i^{\bar i}\, \partial p_j^+}
\end{equation*}
\notag
$$
в уравнении (1). Действительно, диаграммы такого вида перечисляются всеми возможными диаграммами с $m-1$ критическими точками и двумя отмеченными граничными полюсами, причем знак второго полюса должен быть положительным, а знак первого совпадает со знаком объединенного полюса. Множитель $\hbar^{-2}$ отвечает за изменение эйлеровой характеристики диаграммы при этом соответствии. Если же внутреннее ребро, исходящее из критической точки номер $m$, соединяет ее с внутренним полюсом порядка $i$, то локальное преобразование состоит в стягивании этого ребра, см. рис. 3, (b). Этот внутренний полюс заменяется граничным полюсом порядка $2i$, а топологический тип диаграммы сохраняется. Этой операции соответствует слагаемое
$$
\begin{equation*}
q_i\,\frac{\partial H^{\mathbb{R}\circ}}{\partial p_{2i}^+}
\end{equation*}
\notag
$$
в уравнении (1). Доказательство теоремы 1.1 завершено. Отметим, что каждое локальное преобразование диаграммы в доказательстве устанавливает взаимно однозначное соответствие между гранями исходной и новой диаграмм, а также обеспечивает ориентацию границы каждой грани. Это еще один способ доказать, что оператор $W^+$ уважает как градуировку, так и биградуировку в пространстве многочленов. § 4. Описание в терминах топологической теории поляВ этом параграфе мы даем еще одну комбинаторную интерпретацию диаграммной модели, которой мы воспользовались в § 3. Для упрощения обозначений мы полагаем здесь $\hbar=1$. Необходимое для восстановления степени переменной $\hbar$ в общем случае легко вытекает из формулы Римана–Гурвица, см. замечание 1.1. Приводимое в данном параграфе описание близко хорошо известной интерпретации обычных комплексных чисел Гурвица как корреляторов топологической теории поля (см. [12]–[15]), которая имеет следующий вид. Обозначим через $V_n$ центр групповой алгебры симметрической группы $S_n$, $V_n=Z\mathbb{C}[S_n]$. Это векторное пространство свободно порождено классами сопряженности $v_\mu$ перестановок из $S_n$, которые, в свою очередь, нумеруются разбиениями $\mu\vdash n$. Умножение в $V_n$, индуцированное умножением в групповой алгебре $\mathbb{C}[S_n]$, превращает это пространство во фробениусову алгебру, скалярное произведение $(a,b)$ в которой определяется как коэффициент при классе сопряженности $[\mathrm{id}]$ тождественной перестановки в произведении $ab$; при этом $(ab,c)=(a,bc)$ для любой тройки элементов $a,b,c\in V_n$. Упомянутая топологическая теория поля сопоставляет каждому из проколов данной ориентируемой поверхности $\Sigma$ с $m$ проколами векторное пространство $V_n$. Если зафиксировать последовательность из $m$ разбиений $(\mu_1,\dots,\mu_m)$ числа $n$, то коэффициент при $[\mathrm{id}]$ в произведении $v_{\mu_1}\cdots v_{\mu_m}$ перечисляет такие разветвленные накрытия степени $n$ поверхности $\Sigma$, которые не разветвлены над точками, отличными от $m$ отмеченных, и имеют заданные типы ветвления $\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_m$ над отмеченными точками. Если поверхность $\Sigma$ представляет собой сферу, тип ветвления над одной из точек равен $\mu$, а над остальными отмеченными точками $1^{n-2}2^1$, то такие разветвленные накрытия нумеруются простыми числами Гурвица. Оснащенные вещественные числа Гурвица допускают аналогичную интерпретацию, которую мы приводим ниже. 4.1. Состояния и переходыВ этом пункте мы адаптируем конструкцию алгебры пар инволюций из [13; разд. 5]. Адаптация состоит в ее приспособлении к случаю простых чисто вещественных оснащенных чисел Гурвица. Выберем конечное множество $N$ с числом элементов $n=|N|$ и разбиение множества $N$ в несвязное объединение $N=N^+\sqcup N^-$ двух подмножеств $N^+$, $N^-$, состоящих из $n^+$ и $n^-$ элементов соответственно, $n^++n^-=n$. Определение 4.1. Состоянием называется разбиение множества $N$ в несвязное объединение одно- и двух-элементных подмножеств, такое, что каждое двухэлементное подмножество содержит один элемент из множества $N^+$ и один из множества $N^-$. Переходом называется упорядоченная пара состояний; первое состояние в переходе называется исходным, второе – конечным. Таким образом, для любых двух состояний существует единственный переход из первого из них во второе. Пример перехода изображен на рис. 4, (a). Элементы множества $N$ соответствуют горизонтальным отрезкам. Они помечены знаками “$+$” или “$-$” в зависимости от того, принадлежат ли они множеству $N^+$ или $N^-$ соответственно. Исходное и конечное состояния перехода соответствуют левой и правой частям рисунка: точки, образующие общую часть, изображаются двумя приближающимися дугами. Определение 4.2. Типом перехода называется его орбита относительно действия на множестве переходов группы $S(n^+)\times S(n^-)$, переставляющей по отдельности элементы в $N^+$ и $N^-$. Типы переходов мы помечаем тройками разбиений $\mu=(\kappa^+,\kappa^-,\lambda) =((k_1^+,k_2^+,\dots),(k_1^-,k_2^-,\dots),(\ell_1,\ell_2,\dots))$ следующим образом. Пара, состоящая из начального и конечного состояния, определяет цепочки элементов следующего вида: элемент $x_1$, его пара $x_2$ в начальном состоянии, пара $x_3$ элемента $x_2$ в конечном состоянии, пара $x_4$ элемента $x_3$ в начальном состоянии и так далее. Каждая такая цепочка либо является циклической, либо начинается и кончается элементом, не имеющим пары в одном из двух состояний. Мы упорядочиваем элементы цепочки таким образом, чтобы положительный элемент пары предшествовал отрицательному в начальном состоянии, и отрицательный элемент пары предшествовал положительному в конечном состоянии. В соответствии с этим соглашением, мы определяем знак цепочки, не являющейся циклом, как знак ее первого элемента. Говоря более явно, если в цепочке нечетное число элементов, то ее знак совпадает со знаком любого из ее концов. Если же в цепочке четное число элементов, то она имеет положительный или отрицательный знак в зависимости от того, являются ли оба ее конца единичными элементами в начальном или в конечном состоянии соответственно. Тип перехода равен
$$
\begin{equation*}
\mu=\bigl((k_1^+,k_2^+,\dots),(k_1^-,k_2^-,\dots),(\ell_1,\ell_2,\dots)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
если множество $N$ расщепляется в несвязное объединение положительных цепочек длин $k_1^+,k_2^+,\dots$, отрицательных цепочек длин $k_1^-,k_2^-,\dots$, и циклических цепочек длин $2\ell_1,2\ell_2,\dots$ . Отметим, что числа $n^+$ и $n^-$ однозначно восстанавливаются по типу перехода. А именно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, n^+(\kappa^+,\kappa^-,\lambda)&=\sum_{k\in \kappa^+}\biggl\lceil \frac{k}2\biggr\rceil+\sum_{k\in \kappa^-}\biggl\lfloor \frac{k}2\biggr\rfloor+\sum_{\ell\in \lambda}\ell, \\ n^-(\kappa^+,\kappa^-,\lambda)&=\sum_{k\in \kappa^+}\biggl\lfloor \frac{k}2\biggr\rfloor+\sum_{k\in \kappa^-}\biggl\lceil \frac{k}2\biggr\rceil+\sum_{\ell\in \lambda}\ell, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $\lfloor\,\,{\cdot}\,\rfloor$ и $\lceil\,{\cdot}\,\rceil$ обозначают пол (целую часть) и потолок числа соответственно. Сопряженный переход получается из данного заменой начального состояния на конечное и наоборот. На рис. 4, (b) изображен переход, сопряженный к переходу с рис. 4, (a). Если тип исходного перехода $\mu=(\kappa^+,\kappa^-,\lambda)$, то тип сопряженного к нему получается из $\mu$ заменой частей четной длины в разбиении $\kappa^+$ на части четной длины в разбиении $\kappa^-$ и наоборот. Переход называется тривиальным, если начальное и конечное состояния совпадают. Тип тривиального перехода имеет вид $(1^i,1^j,1^{k})$ для некоторых $i$, $j$, $k$, таких, что $i+k=n^+$, $j+k=n^-$. Переход называется транспозицией, если начальное и конечное состояние различаются двумя элементами, объединенными в пару в одном из состояний, и образующими два одноэлементных подмножества в другом. Тип транспозиции равен либо $(1^{i-2}2^1,1^j,1^{k})$, либо $(1^i,1^{j-2}2^1,1^{k})$. Транспозиции первого типа называются положительными, второго – отрицательными. Композиция двух переходов $(s_1,s'_1)$ и $(s_2,s'_2)$ отлична от нуля в том и только в том случае, если конечное состояние первого перехода совпадает с начальным состоянием второго, $s'_1=s_2$; в этом случае композиция равна $(s_1,s'_2)$. В частности, композиция перехода и сопряженного к нему является тривиальным переходом. Пример ненулевой композиции двух переходов приведен на рис. 5. Пусть теперь $f\colon (C,\tau)\to(\mathbb{C}\mathrm{P}^1,\sigma)$ – оснащенная вещественная функция. Полный прообраз $f^{-1}(\mathbb{R}\mathrm{P}^1)$ вещественной прямой разбивает область определения $C$ функции $f$ на открытые диски. В качестве множества $N_f$, ассоциированного с функцией $f$, возьмем множество тех открытых дисков, которые $f$ переводит в верхнюю полусферу. Число $n_f=|N_f|$ элементов в $N_f$ равно степени функции $f$. Каждый из выбранных дисков лежит либо в $C^f$, либо в дополнении $C\setminus C^f$; тем самым, определено разбиение множества $N_f$ на два подмножества $N_f^+$, $N_f^-$. Комплексное сопряжение $\tau$ устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством дисков $N_f$ и множеством дисков – прообразов нижней полусферы. Конечные критические значения функции $f$, вместе с бесконечностью, разбивают вещественную проективную прямую $\mathbb{R}\mathrm{P}^1\subset\mathbb{C}\mathrm{P}^1$ на $m+1$ интервалов. Интервал между $k$-м и $(k+1)$-м критическими значениями определяет состояние на множестве $N_f$: два диска из $N_f$ принадлежат одной паре, если и только если общая граница первого из этих дисков и $\tau$-сопряженному ко второму содержит дугу, соединяющую критические точки с номерами $k$ и $k+1$. Поэтому всякое критическое значение определяет переход между двумя последовательными состояниями. Переход, отвечающий простому критическому значению, является транспозицией. Предложение 4.1. Для любой тройки $\mu$ разбиений число Гурвица $h^{\mathbb{R}\circ}_{m;\mu}$, перечисляющее необязательно связные оснащенные простые вещественные мероморфные функции, равно числу последовательностей из $m$ транспозиций, таких, что их произведение имеет данный тип $\mu$, поделенному на $n^+!\,n^-!$, Доказательство. Множество $N$ граней произвольной диаграммы (в смысле § 3) разбивается на два подмножества $N^+$ и $N^-$, в зависимости от того, совпадает ли ориентация границы грани с той, которая индуцирована ориентацией самой грани. Теперь достаточно установить взаимно однозначное соответствие между всеми возможными последовательностями переходов, дающими вклад в правую часть равенства (4), и множеством диаграмм с занумерованными гранями.
Пусть $\tau_1,\dots,\tau_m$ – последовательность переходов. Пусть $s_0,\dots,s_m$ – соответствующая последовательность состояний, так что $\tau_k$ является переходом от $s_{k-1}$ к $s_k$. Рассмотрим также последовательность отрезков
$$
\begin{equation*}
I_0=[\infty,1],\quad I_1=[1,2],\quad \dots,\quad I_{m-1}=[1,m],\quad I_m=[m,\infty]
\end{equation*}
\notag
$$
вещественной проективной прямой $\mathbb{R} P^1=\mathbb{R}\cup\{\infty\}$. Соответствующая диаграмма определяется как объединение дисков $D_i$, помеченных индексами $i\in N$. Каждый диск изоморфен верхней полусфере $\{\operatorname{Im}z\geqslant0\}\subset\mathbb{C} P^1$. Диски $D_i$ и $D_j$ склеиваются по отрезку $I_k$, если точки $i$ и $j$ образуют пару в состоянии $s_k$. Необходимые свойства этого соответствия легко проверяются.
Если быть совсем точным, то тип ветвления над бесконечностью мероморфной функции, отвечающей построенной диаграмме, совпадает с типом перехода между $s_m$ и $s_0$, который обратен типу перехода $\mu$ композиции $\tau_1\cdots\tau_m$. Однако числа Гурвица $h^{\mathbb{R}\circ}_{m;(\kappa^+,\kappa^-,\lambda)}$ и $h^{\mathbb{R}\circ}_{m;(\kappa^-,\kappa^+,\lambda)}$ совпадают в силу симметрии. Отсюда и вытекает предложение. 4.2. Фробениусова алгебра переходовПредложение 4.1 можно переформулировать следующим образом. Определим алгебру $T_{n^+,n^-}$ (скажем, над $\mathbb{Q}$), порожденную как векторное пространство всеми возможными переходами на данном множестве $N=N^+\sqcup N^-$, $|N^\pm|=n^\pm$, и с произведением, заданным композицией (если композиция двух переходов не определена, то мы полагаем их произведение равным $0$). Определим алгебру как $S(n^+)\times S(n^-)$-инвариантную часть алгебры $T_{n^+,n^-}$. Обозначим через $C_\mu\in T_{n^+,n^-}$ сумму всех транспозиций типа $\mu$. Тогда $A_{n^+,n^-}$ – ассоциативная (вообще говоря, некоммутативная) алгебра с базисом $C_\mu$ для всех троек разбиений $\mu=(\kappa^+,\kappa^-,\lambda)$, таких, что $n^\pm(\mu)=n^\pm$. Единицей в алгебре $A_{n^+,n^-}$ является элемент
$$
\begin{equation*}
\mathbb{I}_{n^+,n^-}=\sum_{\substack{i+k=n^+\\ j+k=n^-}}C_{1^i,1^j,1^k},
\end{equation*}
\notag
$$
сумма всех тривиальных переходов. Теперь утверждение предложения 4.1 можно переформулировать следующим образом: число Гурвица $h^{\mathbb{R}\circ}_{m;\mu}$ представляет собой подходящим образом перешкалированный коэффициент при $C_\mu$ в $C_2^m$ в алгебре $A_{n^+,n^-}$,
$$
\begin{equation}
\frac{C_2^m\,\mathbb{I}_{n^+,n^-}}{n^+!\,n^-!}=\sum_{\mu,\,n^\pm(\mu)=n^\pm} h^{\mathbb{R}\circ}_{m;\mu}\frac{C_\mu}{|C_\mu|},
\end{equation}
\tag{5}
$$
где $C_2$ представляет собой сумму всех транспозиций, а $|C_\mu|$ – число различных переходов типа $\mu$ в $T_{n^+,n^-}$. Теперь мы можем отождествить $A_{n^+,n^-}$ с пространством $(n^+,n^-)$-однородных многочленов от переменных $p_k^+$, $p_k^-$, $q_k$, $k=1,2,\dots$, с бистепенью, определенной равенством (2), положив где для $\mu=((k_1^+,\dots),(k_1^-,\dots),(\ell_1,\dots))$ мы полагаем
$$
\begin{equation*}
p_\mu=\prod p_{k_i^+}^+\prod p_{k_i^-}^-\prod q_{\ell_i}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 4.1. При отождествлении (6) оператор умножения слева на класс $C_2$ в $A_{n^+,n^-}$ действует на многочленах $p^\pm_k,q_k$ как дифференциальный оператор $W^+$ из теоремы 1.1. С учетом этого равенства уравнение (5) принимает вид
$$
\begin{equation*}
(W^+)^m\sum_{i+k=n^+,\,j+k=n^-}\frac{(p_1^+)^i}{i!}\, \frac{(p_1^-)^j}{j!}\, \frac{q_1^k}{k!}=\sum_{\mu,\,n^\pm(\mu)=n^\pm} h^{\mathbb{R}\circ}_{m;\mu}p_\mu,
\end{equation*}
\notag
$$
или, суммируя по всем $n^+$, $n^-$, и $m$ эти равенства, умножив их на коэффициент $u^m/m!$, мы получаем другое доказательство равенства из которого, в частности, вытекает справедливость дифференциального уравнения из теоремы 1.1,
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial H^{\mathbb{R}\circ}}{\partial u}=W^+ H^{\mathbb{R}\circ}.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство теоремы 4.1. Представим класс $C_2$ в виде $C_2=C_2^{\mathrm{cut}}+C_2^{\mathrm{join}}$, где $C_2^{\mathrm{cut}}$ и $C_2^{\mathrm{join}}$ – это соответственно суммы положительных и отрицательных транспозиций.
Тогда $C_2^{\mathrm{join}}$ действует на переходах, объединяя два раздельных элемента исходного состояния в пару. Если эти два элемента принадлежат общей цепочке длины $2k$, то эта цепочка положительна, и в результате объединения она превращается в цикл длины $2k$. Эта возможность соответствует слагаемому $\sum q_{k}{\partial}/{\partial p_{2k}^+}$ в $W^+$. Если же объединяемые положительный и отрицательный элементы принадлежат различным цепочкам, длины которых равны $i$ и $j$ соответственно, то эти две цепочки объединяются в одну длины $i+j$. Более того, из нашего соглашения о знаках вытекает, что знаки двух исходных цепей и их объединения равны $+$, $\overline i$ и $\overline i$ соответственно. Эта возможность соответствует слагаемому $\sum p_{i+j}^{\overline i}{\partial^2}/(\partial p_i^{\overline i}p_{j}^+)$ в $W^+$. Оператор $C_2^{\mathrm{cut}}$ действует на переходах, расщепляя пару элементов исходного состояния перехода в пару отдельных элементов. Если два эти элемента принадлежат циклической цепочке длины $2k$, то результат расщепления представляет собой (положительную) цепочку длины $2k$. Эта возможность соответствует слагаемому $\sum k p_{2k}^+{\partial}/{\partial q_{k}}$ в операторе $W^+$. Присутствие коэффициента $k$ отражает тот факт, что в исходной циклической цепочке длины $2k$ имеется в точности $k$ пар элементов, к которым может быть применено расщепление. Наконец, если элементы пары принадлежат нециклической цепочке, то результатом их расщепления являются две цепочки. Если длина той из двух цепочек, которая содержит положительный элемент пары, равна $i$, а длина цепочки с отрицательным элементом равна $j$, то знаки исходной и двух полученных цепочек имеют соответственно вид $\overline i$, $\overline i$, и $+$. Этому случаю отвечает слагаемое $\sum p_{i}^{\overline i}p_j^+{\partial}/{\partial p_{i+j}^{\overline i}}$ в $W^+$. Доказательство теоремы 4.1 завершено. Детали мы оставляем читателю. Замечание 4.1. Подобно тому, как оператор $W^+$ соответствует умножению слева на элемент $C_2$ в алгебре $A_{n^+,n^-}$, оператор $W^-$ соответствует умножению на $C_2$ справа. Это наблюдение объясняет, почему эти два оператора коммутируют. Отметим, что введенная нами биградуировка переменных дает следующее представление производящей функции:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{A}(x,y)&=\sum_{n^\pm=0}^\infty \dim A_{n^+,n^-}x^{n^+}y^{n^-} \\ &=1+(x+y)+(x^2+4xy+y^2)+(x^3+5x^2y+5xy^2+y^3) \\ &\quad+(x^4+5x^3y+15x^2y^2+5xy^3+y^4) \\ &\quad+(x^5+5x^4y+19x^3y^2+19x^2y^3+5xy^4+y^5)+\cdots \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для размерностей пространств $A_{n^+,n^-}$ в виде произведения:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}(x,y)=\frac1{\prod_{k=1}^\infty(1-x^ky^k)^3(1-x^ky^{k-1})(1-x^{k-1}y^k)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь мы введем на каждом из векторных пространств $A_{n^+,n^-}$ невырожденное скалярное произведение, относительно которого операторы $W^+$, $W^-$, и $W$ являются самосопряженными. Для типа перехода, представленного тройкой разбиений $\mu=(\kappa^+,\kappa^-,\lambda)$, обозначим через $\zeta(\mu)$ порядок стабилизатора в $S(n^+)\times S(n^-)$ произвольного перехода типа $\mu$, так что $|C_\mu|=n^+!\,n^-!/\zeta(\mu)$. Более явно,
$$
\begin{equation*}
\zeta(\mu)=|{\operatorname{Aut}(\kappa^+)}|\,|{\operatorname{Aut}(\kappa^-)}|\, |{\operatorname{Aut}(\lambda)}|\prod_{j=1}^{\ell(\lambda)}\ell_j,
\end{equation*}
\notag
$$
где для разбиения $\lambda$ мы обозначаем через $|{\operatorname{Aut}(\lambda)}|$ порядок его группы автоморфизмов, т. е. произведение факториалов количеств повторяющихся частей в $\lambda$. Скалярное произведение в $A_{n^+,n^-}$ определяется равенством При изоморфизме (6) пространство многочленов от переменных $(p_k^\pm,q_k)$ наделяется соответствующим скалярным произведением Предложение 4.2. Операторы $W^+$, $W^-$ на каждом из векторных пространств $A_{n^+,n^-}$ являются самосопряженными относительно скалярного произведения (7). Кроме того, операторы $W^+$ и $W^-$ коммутируют между собой. В качестве немедленного следствия приходим к следующему утверждению. Следствие 4.1. В каждом векторном пространстве $A_{n^+,n^-}$ у операторов $W^+$, $W^-$ и $W$ есть базис, состоящий из их общих собственных векторов. Подходящим образом подобранные элементы этих базисов могут считаться “вещественными” аналогами многочленов Шура. Например, при $(n^+,n^-)=(1,1)$ векторное пространство $A_{1,1}$ $4$-мерно и порождено мономами $p_2^+$, $p_2^-$, $p_1^+p_1^-$, $q_1$, собственный базис определяется единственным образом с точностью до пропорциональности и имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, p_2^++p_2^-+p_1^+p_1^-+q_1,\qquad p_2^++p_2^--p_1^+p_1^-+q_1, \\ p_2^+-p_2^-+p_1^+p_1^--q_1,\qquad p_2^+-p_2^--p_1^+p_1^--q_1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Эти многочлены управляются теорией представлений алгебр $A_{n^+,n^-}$, а их изучение является предметом дальнейших исследований. Доказательство предложения 4.2. Обозначим через $w^+_{\mu\nu}$ матричные элементы оператора $W^+$: $W^+C_\nu=\sum_\mu w^+_{\mu\nu}C_\mu$. По определению, число $w^+_{\mu\nu}\,|C_\mu|$ равно количеству троек $(a,b,\tau)$ переходов таких, что типы переходов $a$ и $b$ равны соответственно $\mu$ и $\nu$, а $\tau$ является транспозицией и $b\tau=a$. Последнее равенство равносильно равенству $a\tau^*=b$, где звездочкой обозначено преобразование сопряженности, меняющее местами начальный и конечный элементы перехода. Поскольку для транспозиции $\tau$ сопряженный переход $\tau^*$ также является транспозицией, мы получаем соотношение Оно эквивалентно самосопряженности оператора $W^+$: и предложение доказано.
§ 5. ПриложениеЗадача перечисления простых вещественных мероморфных функций на необязательно разделяющих вещественных кривых изучается в [4] под именем “вычисление дисковых чисел Гурвица” (см. также [16]–[18]). Эти два случая – простых вещественных функций на произвольных кривых и на разделяющих кривых – параллельны друг другу. В настоящем приложении мы напоминаем результаты из [4], приводя их в обозначениях настоящей статьи, и сравниваем два подхода, уделяя особое внимание различию между ними. Сопоставим вещественной кривой $(C,\tau)$ факторпространство $D=C/\tau$, представляющее собой поверхность с границей. Поверхность $D$ ориентируема в том и только том случае, если кривая разделяющая. В случае разделяющей кривой поверхность $D$ также диффеоморфна любой из двух поверхностей, на которые кривая вещественных точек $C^\tau$ делит поверхность $C$. Вещественная мероморфная функция $f\colon (C,\tau)\to(\mathbb{C} P^1,\sigma)$ задает соответствующее отображение факторповерхностей $C/\tau\to\mathbb{C} P^1/\sigma$, и это сопоставление устанавливает взаимно однозначное соответствие между классами изоморфизма вещественных функций и накрытиями диска в смысле Дольда–Смита, изучаемыми в [4]. Если вещественная функция простая, то ее можно однозначно восстановить по ее диаграмме, аналогичной обсуждавшейся в § 3. Определение диаграммы простой вещественной функции на необязательно разделяющей кривой повторяет определение 3.1; единственное различие состоит в том, что диаграмма не предполагается ориентированной. Например, для вещественных функций степени $3$ на кривой рода $2$ с единственным полюсом в дополнение к ориентированным диаграммам с рис. 1 мы имеем еще пять неориентируемых диаграмм; они изображены на рис. 6. Поверхность определения верхних трех неориентируемых диаграмм представляет собой ленту Мебиуса без диска, тогда как в двух остальных случаях это бутылка Клейна без диска.  Рис. 6.Все $5$ неориентируемых диаграмм рода $2$ с единственным граничным полюсом порядка $3$; вместе с ориентированными диаграммами с рис. 1 они составляют $\widetilde h^\mathbb{R}_{6;\varnothing,\varnothing,3^1,\varnothing}=9$ диаграмм, отвечающих вещественным функциям как на разделяющих, так и на неразделяющих кривых Аналогично разделяющему случаю полюсы простой вещественной функции разбиваются на вещественные и пары комплексно-сопряженных невещественных. Однако, поскольку поверхность $C^\tau$ неориентируема, знак вещественного полюса определен только для полюса четного порядка: полюс положителен (отрицателен), если соответствующая ему критическая точка является локальным минимумом (локальным максимумом) ограничения функции на множество вещественных точек. Таким образом, тип ветвления функции $f$ над бесконечностью представляет собой четверку $\mu=(\kappa^+,\kappa^-,\kappa,\lambda)$, в которой $\kappa^+$ и $\kappa^-$ являются разбиениями, образованными четными частями, состоящими из порядков положительных и отрицательных вещественных полюсов соответственно, разбиение $\kappa$ образовано нечетными частями, состоящими из порядков полюсов нечетных порядков, а разбиение $\lambda$ образовано порядками пар сопряженных невещественных полюсов. Соответствующие простые чисто вещественные числа Гурвица, которые мы обозначаем $\widetilde h^{\mathbb{R}}_{m;\mu}$, $\widetilde h^{\mathbb{R}\circ}_{m;\mu}$, и соответствующие производящие функции, обозначаемые $\widetilde H^{\mathbb{R}}$ и $\widetilde H^{\mathbb{R}\circ}=\exp(\widetilde H^{\mathbb{R}})$, определяются аналогично разделяющему случаю, как в п. 1.2. Поскольку знаки полюсам нечетного порядка не присваиваются, множество независимых переменных, входящих в функции $\widetilde H^{\mathbb{R}}$ и $\widetilde H^{\mathbb{R}\circ}$, имеет следующий вид: $p_{2i}^+$, $p_{2i}^-$, $p_{2i-1}$, $q_i$, $i=1,2,3,\dots$ (в [4] эти переменные обозначены соответственно $\acute{p}_i$, $\grave{p}_i$, $\bar{p}_i$, $\dot{p}_i$). Теорема 5.1 (см. [4]). Производящая функция $\widetilde H^{\mathbb{R}\circ}$ удовлетворяет дифференциальному уравнению В отличие от операторов $W^+,W^-,W$ оператор $\widetilde W$ сохраняет не биградуировку, а только градуировку. Доказательство в [4] использует алгебраическую модель для вещественных чисел Гурвица, введенную в [13; разд. 5]. Эта модель похожа на введенную в § 4 (и даже в некотором смысле проще последней). Напомним ее. Зафиксируем конечное множество $N$, состоящее из $|N|=n$ элементов. Состояние на множестве $N$ определяется как произвольная его инволютивная перестановка, т. е. разбиение множества $N$ на попарно непересекающиеся одно- и двухэлементные подмножества. Переход – это упорядоченная пара состояний. Например, транспозиция – это переход, состояния в котором отличаются в точности на двух элементах, образующих двухэлементное подмножество в одном из них и пару одноэлементных подмножеств в другом. Сравнивая это определение с данным в § 4, мы видим, что элементы множества $N$ лишены знаков. Переход можно изображать с помощью диаграммы, аналогичной диаграмме с рис. 4, все знаки в которой опущены. Тип перехода представляет собой орбиту группы перестановок $S(n)$, действующей на множестве переходов перестановками элементов множества $N$. Типы переходов находятся во взаимно однозначном соответствии с типами ветвления рациональных функций степени $n$. Переходы порождают алгебру, обозначаемую $\widetilde T_n$. Обозначим также через $\widetilde A_n=\widetilde T_n^{S(n)}$ ее $S(n)$-инвариантную подалгебру. Она порождена элементами $C_\mu$, определяемыми как сумма всех переходов данного типа $\mu$. Рассуждение, аналогичное приведенному в § 4, показывает, что число Гурвица $\widetilde h^{\mathbb{R}\circ}_{m,\mu}$ равно подходящим образом отнормированному коэффициенту при $C_\mu$ в произведении $m$ транспозиций $C_2^m$. Таким образом, оператор $\widetilde W$ из теоремы 5.1 описывает действие умножения на $C_2$ в алгебре $\widetilde A_n$, где $\widetilde A_n$ отождествляется с пространством мономов взвешенной степени $n$ от переменных $p^+_{2i}$, $p^-_{2i}$, $p_{2i-1}$, $q_{i}$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KazLanNat21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|