| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 13 научных статьях (всего в 13 статьях) Исследование слабой разрешимости дробной альфа-модели Фойгта А. В. Звягинab a Воронежский государственный педагогический университет b Воронежский государственный университет
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9020 
Реферативные базы данных:
      § 1. ВведениеВ ограниченной области $\Omega \subset\mathbb{R}^n$, $n=2,3$, с достаточно гладкой границей $\partial \Omega$ на отрезке времени $[0,T]$, $T>0$, рассматривается следующая начально-краевая задача:
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\frac{\partial v}{\partial t}+\sum_{i=1}^nu_i\, \frac{\partial v}{\partial x_i} - \mu_0\Delta v \\ &\qquad-\frac{\mu_1}{\Gamma(1-\beta)}\operatorname{Div}\int_0^t(t-s)^{-\beta}\mathcal{E}(v) (s,z(s; t, x))\,ds + \nabla p=f, \end{split}
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
$$
\begin{equation}
u=(I-\alpha^2\Delta)^{-1}v, \qquad t\in [0, T], \quad x\in\Omega,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
$$
\begin{equation}
z(\tau; t, x)=x+\int_t^\tau v(s, z(s; t, x))\,ds, \qquad t, \tau\in [0, T], \quad x\in\Omega,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{div}v(t, x)=0, \qquad t\in [0, T], \quad x\in\Omega,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
$$
\begin{equation}
v|_{t=0}=v_0, \qquad v|_{[0,T]\times \partial \Omega}=0.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Здесь $v$ – вектор-функция скорости движения частицы среды, $u$ – вектор-функция модифицированной скорости движения частицы среды, определяемая равенством (1.2), $p$ – функция давления, $f$ – функция плотности внешних сил, $z(\tau; t, x)$ – траектория частицы среды, указывающая в момент времени $\tau$ расположение частицы среды, находящейся в момент времени $t$ в точке $x$, $\alpha>0$ – скалярный параметр, $\mu_0>0$, $\mu_1\geqslant0, 0<\beta<1$ – некоторые константы. Через
$$
\begin{equation*}
\mathcal{E}=(\mathcal{E}_{ij}(v)),\qquad \mathcal{E}_{ij}(v)=\frac{1}{2}\biggl(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+ \frac{\partial v_j}{\partial x_i}\biggr),\quad i, j=1,\dots,n,
\end{equation*}
\notag
$$
обозначается тензор скоростей деформации. Здесь $\Gamma(\beta)$ – гамма-функция Эйлера, определяемая через абсолютно сходящийся интеграл $\Gamma (\beta)\,{=}\int_0^\infty t^{\beta-1}e^{-t}\,dt$ (см. [1]). Данная начально-краевая задача (1.1)–(1.5) является альфа-моделью для математической модели, описывающей движение вязкоупругой среды Фойгта с дробным реологическим соотношением. Альфа-модели представляют собой своего рода регуляризованные приближенные системы, которые зависят от некоторого положительного параметра $\alpha$, причем регуляризация осуществляется путем некоторой фильтрации вектора скорости, который стоит в аргументе нелинейного члена. Параметр $\alpha$ отражает ширину шкалы пространственной фильтрации для модифицированной скорости. В качестве ядра фильтрации наиболее часто используют оператор Гельмгольца $I-\alpha^2\Delta$. Выбор такого оператора связан с его хорошими математическими свойствами. Идея использования такого рода аппроксимаций впервые возникла в работе Ж. Лере [2] (в данной работе Ж. Лере использовал общий вид ядра фильтрации) для доказательства существования слабого решения системы уравнений Навье–Стокса. Позднее на этой идее были построены различные альфа-модели для уравнений Эйлера [3], [4], Навье–Стокса [5] и др. Вообще каждая альфа-модель характеризуется своим векторным дифференциальным оператором первого порядка $F(u,v)=(F^1(u,v),\dots,F^n(u,v))$, в котором компоненты $F^i(u,v)$ являются линейными комбинациями всевозможных операторов вида $u^k\,\partial_{x_j}v^m$, $v^k\,\partial_{x_j}u^m$, $u^k\,\partial_{x_j}u^m$:
$$
\begin{equation}
F^i(u,v)=\sum_{k,j,m=1}^n (C_{kjm}^i u^k\,\partial_{x_j}v^m + D_{kjm}^iv^k\,\partial_{x_j}u^m +E_{kjm}^iu^k\,\partial_{x_j}u^m),
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
где $C_{kjm}^i$, $D_{kjm}^i$, $E_{kjm}^i$ – некоторые вещественные коэффициенты. Отметим, что в представлении (1.6) мономы вида $v^k\,\partial_{x_j}v^m$ не используются, так как они не содержат компонентов “сглаженного” векторного поля $u$. Интерес к изучению альфа-моделей в первую очередь связан с их применением к исследованию эффектов турбулентности для потоков жидкости, а также с лучшими по сравнению с исходными моделями численными результатами. Однако большая часть работ по исследованию разрешимости альфа-моделей посвящена моделям движения идеальной или ньютоновской жидкости (см. [6]–[9]). Только за последние несколько лет появились работы, посвященные альфа-моделям для неньютоновской жидкости (см. [10]–[12]). Данная работа продолжает исследования разрешимости альфа-моделей для неньютоновских жидкостей, а именно, для дробной модели вязкоупругой среды Фойгта (описание исходной модели см. в [13]):
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\frac{\partial v}{\partial t}+\sum_{i=1}^nv_i\, \frac{\partial v}{\partial x_i} - \mu_0\Delta v \\ &\qquad-\frac{\mu_1}{\Gamma(1-\beta)}\operatorname{Div}\int_0^t(t-s)^{-\beta}\mathcal{E}(v)(s, z(s; t, x))\,ds + \nabla p=f, \end{split}
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
$$
\begin{equation}
z(\tau; t, x)=x+\int_t^\tau v(s, z(s; t, x))\,ds, \qquad t, \tau\in [0, T], \quad x\in\Omega,
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{div}v(t, x)=0, \qquad t\in [0, T], \quad x\in\Omega,
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
Данная математическая модель описывает течение вязкоупругой жидкости с реологическим соотношением $\sigma=\mu_0\mathcal{E}(v)+ \mu_1 I_{0t}^{1-\beta} \mathcal{E}(v)$, рассматриваемым вдоль траекторий движения жидкости. Здесь $I_{0t}^{1-\beta}$ – дробный интеграл Римана–Лиувилля. Эта модель является дробным аналогом модели Фойгта, описывающей движение линейно упруго-запаздывающей жидкости. Переход к моделям с дробными производными вызван потребностью изучения большого класса полимеров, в которых необходимо учитывать эффекты ползучести и релаксации. Оказывается, что наиболее подходящими для этого являются модели с дробными производными (см. [14], [15]). Кроме того, достоинством рассматриваемой модели является то, что вместе с определением вектор-скорости $v$ движения частицы определяется и траектория $z$ движения частиц этой среды. Целью данной работы является исследование слабой разрешимости альфа-модели (1.1)–(1.5) для дробной модели Фойгта, учитывающей предысторию движения жидкости вдоль траектории движения среды, а также доказательство сходимости слабых решений семейства альфа-модели к решению исходной начально-краевой задачи (1.7)–(1.10) при стремлении $\alpha\to 0$. § 2. Предварительные сведения и формулировка основных результатовВведем основные обозначения и вспомогательные утверждения. Через $L_p(\Omega)$, $1\leqslant p<\infty$, будем обозначать множество измеримых вектор-функций $v\colon \Omega\to \mathbb{R}^n$, суммируемых с $p$-й степенью. Через $W_p^m(\Omega)$, $m\geqslant 1$, $p\geqslant 1$, будем обозначать пространства Соболева. Рассмотрим пространство $C_0^\infty(\Omega)^n$ бесконечно дифференцируемых вектор-функций из $\Omega$ в $\mathbb{R}^n$ с компактным носителем в $\Omega$. Обозначим $\mathcal{V}$ множество $\{v\in C_0^\infty(\Omega)^n, \operatorname{div}v=0\}$. Через $V^0$ мы обозначим замыкание $\mathcal{V}$ по норме $L_2(\Omega)$, через $V^1$ – по норме $W_2^1(\Omega)$ и через $V^2$ – пространство $V^2=W_2^2(\Omega)\cap V^1$. Введем шкалу пространств $V^\beta$, $\beta\in\mathbb{R}$ (см. [16; § 4.2]). Для этого рассмотрим проектор Лере $P\colon L_2(\Omega)\to V^0$ и оператор $A=-P\Delta$, определенный на $D(A)=V^2$. Этот оператор может быть продолжен в $V^0$ до замкнутого оператора, который является самосопряженным положительным оператором с компактным обратным. Пусть $0<\lambda_1\leqslant\lambda_2\leqslant\dots\leqslant \lambda_k\leqslant\cdots$ – собственные значения оператора $A$. В силу теоремы Гильберта о спектральном разложении компактных операторов, собственные функции $\{e_j\}$ оператора $A$ образуют ортонормированный базис в $V^0$. Обозначим через
$$
\begin{equation*}
E_\infty=\biggl\{v=\sum_{j=1}^Nv_je_j\colon v_j\in\mathbb{R},\, N\in\mathbb{N}\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
множество конечных линейных комбинаций, составленных из $e_j$ и определим пространство $V^\beta$, $\beta\in\mathbb{R}$, как пополнение $E_\infty$ по норме
$$
\begin{equation}
\|v\|_{V^\beta}=\biggl(\sum_{k=1}^\infty \lambda_k^\beta|v_k|^2\biggr)^{1/2}, \qquad \text{где}\quad v=\sum_{k=1}^\infty v_k e_k.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
В [16; лемма 4.5] показано, что на пространстве $V^\beta$, $\beta>-1/2$, норма (2.1) эквивалентна обычной норме $\|\,{\cdot}\,\|_{W_2^\beta(\Omega)}$ пространства $W_2^\beta(\Omega)$. Кроме того, согласно [17; следствие 4.2.1] нормы в пространствах $V^1$, $V^2$ и $V^3$ могут быть заданы следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|v\|_{V^1}=\biggl(\int_\Omega \nabla v(x) : \nabla v(x)\,dx\biggr)^{1/2}, \qquad \|v\|_{V^2}=\biggl(\int_\Omega \Delta v(x)\Delta v(x)\,dx\biggr)^{1/2}, \\ \|v\|_{V^3}=\biggl(\int_\Omega \nabla\Delta v(x) : \nabla\Delta v(x)\,dx\biggr)^{1/2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь символ “$\,:\,$” обозначает покомпонентное матричное произведение, т. е. для $C=(c_{ij})$, $D=(d_{ij})$, $i, j=1, \dots, m$, имеем Далее, через $V^{-\beta}=(V^\beta)^*$, $\beta\in\mathbb{N}$, будем обозначать сопряженное пространство к $V^\beta$. Через $C([0, T]; F)$, $C_w([0, T]; F)$, $L_p(0, T; F)$ обозначим банаховы пространства непрерывных, слабо непрерывных и суммируемых с $p$-степенью функций на $[0, T]$ со значениями в банаховом пространстве $F$. Множество $C^1D(\overline{\Omega})$ состоит из взаимно однозначных отображений $z\colon \overline{\Omega}\to\overline{\Omega}$, совпадающих с тождественным отображением на $\partial\Omega$, и имеющих непрерывные частные производные первого порядка на $\Omega$ такие, что $\operatorname{det}(\partial z/ \partial x)=1$ в каждой точке области ${\Omega}$. Будем предполагать, что в этом множестве используется норма пространства непрерывных функций $C(\overline{\Omega})$. Далее мы будем рассматривать множество Заметим, что
$$
\begin{equation*}
CG\subset C([0, T]\times [0, T], C^1(\overline{\Omega})),
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому далее $CG$ рассматривается как метрическое пространство с метрикой, определяемой нормой пространства $C([0, T]\times [0, T], C(\overline{\Omega}))$. Введем пространство, в котором будет доказана разрешимость изучаемой задачи:
$$
\begin{equation*}
W_1=\{v\in L_2(0, T; V^1)\cap L_\infty(0, T; V^0), \, v'\in L_{4/3}(0, T; V^{-1})\}
\end{equation*}
\notag
$$
с нормой
$$
\begin{equation*}
\|v\|_{W_1}=\|v\|_{L_2(0, T; V^1)}+ \|v\|_{L_\infty(0, T; V^0)}+\|v'\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\Delta_\alpha\colon V^{\beta} \to V^{\beta-2}$, $\beta\geqslant 0$, оператор $\Delta_\alpha= (J+\alpha^2A)$, где $J=P I$, $I$ – тождественный оператор. В силу [17; лемма 4.4.4] оператор $\Delta_\alpha$ обратим. Применим проектор Лере $P\colon L_2(\Omega) \to V^0$ к обеим частям равенства $v=(I-\alpha^2\Delta)u$ для $\beta =3$ и выразим из последнего равенства $u$: Так как $v(t)\in V^1$, получим, что $u(t)\in V^3$ при п.в. $t\in [0,T]$.Заметим, для корректной постановки начально-краевых задач необходимо, чтобы траектории $z$ однозначно определялись полем скоростей $v$, другими словами, чтобы уравнение (1.3) имело единственное решение для поля скоростей $v$. Однако существование решений уравнения (1.3) при фиксированном $v$ известно лишь в случае $v\in L_1(0,T;C(\overline\Omega)^n)$ и это решение единственно для $v\in L_1(0,T;C^1(\overline\Omega)^n)$ таких, что $v|_{(0,T)\times\partial\Omega}=0$ (см., например, [18]). Поэтому даже для сильных решений, частные производные которых, входящие в уравнение (1.3), содержатся в $L_2(0,T;L_2(\Omega))$, траектории движения не определяются однозначно. Один из возможных выходов из этой ситуации – это регуляризация поля скоростей в каждый момент времени $t$ с помощью усреднения по переменной $x$ и определение траекторий $z(\tau;t,x)$ для регуляризованного поля скоростей (см. [19]). Однако сравнительно недавно (см., например, [20]–[22]) была исследована разрешимость интегральной задачи Коши (1.3) в случае, когда скорость $v$ принадлежит пространству Соболева, и установлены существование, единственность и устойчивость регулярных лагранжевых потоков – обобщения понятия классического решения. Определение 1. Регулярным лагранжевым потоком (РЛП), порожденным $v$, называется функция $z(\tau; t, x)$, $(\tau; t, x)\,{\in}\, [0, T]\,{\times}\, [0, T]\,{\times}\,\overline{\Omega}$, которая удовлетворяет следующим условиям: 1) для п.в. $x\in \overline{\Omega}$ и $t\in [0, T]$ функция $\gamma(\tau)=z(\tau; t, x)$ абсолютно непрерывна и удовлетворяет уравнению (1.3); 2) для любых $t, \tau\in [0, T]$ и произвольного измеримого по Лебегу множества $B\subset\overline{\Omega}$ с мерой Лебега $m(B)$ справедливо равенство $m(z(\tau; t, B))=m(B)$; 3) для всех $t_i\in [0, T]$, $i=1, 2, 3$, и почти всех $x\in\overline{\Omega}$ справедливо Приведем необходимые результаты о РЛП. Теорема 1 (см. [20]). Пусть $v\in L_1(0, T; W_p^1(\Omega))$, $1\leqslant p\leqslant \infty$, $\operatorname{div}v(t, x)=0$, $(t, x)\in [0, T]\times\Omega$, и $v|_{[0, T]\times\partial\Omega}=0$. Тогда существует единственный РЛП $z\in C(D; L)$, порожденный $v$, где $C(D, L)$ – банахово пространство непрерывных функций на $D=[0,T]\times[0,T]$ со значениями в $L$ – метрическом пространстве измеримых на $\Omega$ вектор-функций. Более того, с точностью до множества меры нуль и Теорема 2. Пусть $v$, $v^m\in L_1(0, T; W_1^p(\Omega))$, $m=1, 2, \dots$, для некоторого $p>1$ и Также пусть выполнены следующие неравенства: здесь $v_x$ и $v_x^m$ – матрицы Якоби вектор-функций $v$ и $v^m$. Пусть $v^m$ сходится к $v$ в $L_1(0, T; L_1(\Omega))$ и $z^m(\tau; t, x)$, $z(\tau; t, x)$ – РЛП, порожденные $v^m$ и $v$ соответственно. Тогда последовательность $z^m(\tau; t, x)$ сходится к $z(\tau; t, x)$ по мере Лебега на $[0, T]\times\Omega$ относительно $(\tau, x)$ равномерно по $t\in [0, T]$. В более общей формулировке этот результат был доказан в [21]. Таким образом, в силу теоремы 1 для каждого $v\in L_2(0, T; V^1)$ и для почти всех $x\in\Omega$ уравнение (1.3) имеет единственное решение $z(v)$, где $z(v)(\tau; t, x)=z(\tau; t, x)$, в классе РЛП. Сформулируем определение слабого решения для изучаемой альфа-модели (1.1)–(1.5). Определение 2. Пусть $f\in L_2(0, T; V^{-1})$, $v_0\in V^0$. Функция $v\in W_1$ называется слабым решением начально-краевой задачи (1.1)–(1.5), если для всех $\varphi\in V^1$ при почти всех $t\in (0, T)$ она удовлетворяет равенству Замечание 1. Известно (см. [23; гл. III, лемма 1.1, лемма 1.4]), что $W\subset C_w(0, T; V^0)$. Следовательно, начальное условие (1.5) имеет смысл. Основными утверждениями работы являются следующие теоремы 3 и 4. Теорема 3. Пусть $f\,{\in}\,L_2(0, T; V^{-1})$, $v_0\,{\in}\,V^0$. Тогда начально-краевая задача (1.1)–(1.5) имеет хотя бы одно слабое решение $v\in W_1$. Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3. Кроме того, если рассмотреть семейство альфа-моделей (1.1)–(1.5), зависящих от параметра ${\alpha_m}$, то существует последовательность решений $v_m$ семейства альфа-моделей (1.1)–(1.5), которая при стремлении ${\alpha_m}$ к нулю сходится к слабому решению $v\in W_1$ начально-краевой задачи (1.7)–(1.10). Данные результаты были анонсированы в [24]. Доказательство представленных теорем состоит из нескольких частей. Сначала на основе аппроксимационно-топологического подхода к исследованию математических задач гидродинамики (см. [17] и [25]) доказывается существование слабых решений исследуемой альфа-модели. Для этого вводится семейство ($0\leqslant \xi\leqslant 1$) вспомогательных задач, зависящих от малого параметра $\varepsilon>0$, доказываются априорные оценки решений и на основе теории топологической степени для уплотняющих векторных полей доказывается существование слабых решений вспомогательной задачи при $\xi=1$ (см. § 3). Далее, для доказательства разрешимости исследуемой альфа-модели на основе необходимых оценок устанавливается предельный переход (см. § 4). В заключение, показывается, что последовательность решений исследуемой альфа-модели сходится к решению исходной модели, описывающей движение вязкоупругой среды с памятью (см. § 5). § 3. Семейство вспомогательных задачВсюду в этом параграфе будем предполагать, что $f\in L_2(0, T; V^{-1})$, $v_0\in V^3$. Рассмотрим следующее вспомогательное семейство систем уравнений ($0\leqslant \xi\leqslant 1$) с малым параметром $\varepsilon>0$:
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\varepsilon\,\frac{\partial \Delta^2v}{\partial t} + \frac{\partial v}{\partial t} + \xi\sum_{i=1}^n(\Delta_\alpha^{-1} v)_i \, \frac{\partial v}{\partial x_i} - \mu_0\Delta v \\ &\qquad-\frac{\mu_1\xi}{\Gamma(1-\beta)}\operatorname{Div}\int_0^t(t-s)^{-\beta}\mathcal{E}(v) (s, z(s; t, x))\,ds + \nabla p=\xi f, \end{split}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
$$
\begin{equation}
z(\tau; t, x)=x+\int_t^\tau v(s, z(s; t, x))\,ds, \qquad t, \tau\in [0, T], \quad x\in\Omega,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{div}v=0, \qquad t\in [0, T], \quad x\in\Omega,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
$$
\begin{equation}
v|_{\partial \Omega}=0, \qquad \Delta v|_{\partial \Omega}=0, \quad t\in [0, T],\qquad v|_{t=0}=v_0, \quad x\in\Omega.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Для данного семейства рассмотрим еще одно функциональное пространство: с нормой $\|v\|_{W_2}=\|v\|_{C(0, T; V^3)}+\|v'\|_{L_2(0, T; V^3)}$.Уравнение (3.1) включает интеграл, вычисляемый вдоль траекторий движения частиц жидкости. Как было отмечено в предыдущем параграфе, необходимо, чтобы траектории однозначно определялись полем скоростей $v(t, x)$. Другими словами, уравнение (3.2) должно иметь единственное решение для поля скоростей $v(t, x)$. Заметим, что для семейства вспомогательных задач (3.1)–(3.4), скорость $v$ из пространства $W_2$ обладает достаточной гладкостью (в силу вложения пространства $V^3$ в $C^1(\overline{\Omega})$ для $n=2,3$). Таким образом, из [18] следует, что задача Коши (3.2) нелокально однозначно разрешима. По аналогии с определением слабого решения для начально-краевой задачи (1.1)–(1.5), мы сформулируем определение слабого решения вспомогательной задачи (3.1)–(3.4) при фиксированном $0\leqslant \xi\leqslant 1$. Определение 3. Функция $v\in W_2$, которая для любого $\varphi\in V^1$ и почти всех $t\in (0, T)$ удовлетворяет равенству Для доказательства существования слабого решения вспомогательной задачи (3.1)–(3.4) при $\xi=1$, перепишем вспомогательное семейство в операторной форме. Используя слагаемые в равенстве (3.5), мы введем операторы с помощью следующих равенств:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, J\colon V^3\to V^{-1}, \qquad \langle Jv, \varphi\rangle = \int_\Omega v\varphi\,dx, \qquad v\in V^3, \quad \varphi\in V^1; \\ A\colon V^1\to V^{-1}, \qquad \langle Av, \varphi\rangle = \int_\Omega\nabla v: \nabla\varphi\,dx, \qquad v\in V^1, \quad \varphi\in V^1; \\ A_2\colon V^3\to V^{-1}, \qquad \langle A_2v, \varphi\rangle = -\int_\Omega\nabla\Delta v: \nabla\varphi\,dx, \qquad v\in V^3, \quad \varphi\in V^1; \\ B\colon L_4(\Omega)\,{\to}\, V^{-1}, \quad \langle B(v), \varphi\rangle\,{=}\! \int_\Omega\sum_{i, j=1}^n(\Delta_\alpha^{-1} v)_iv_j\,\frac{\partial\varphi_j}{\partial x_i}\,dx, \qquad v\,{\in}\, L_4(\Omega), \quad \varphi\,{\in}\, V^1; \\ C\colon V^1\times CG\to V^{-1},\quad (C(v, z)(t), \varphi) = \biggl(\int_0^t(t-s)^{-\beta}\mathcal{E}(v)(s, z(s; t, x))\,ds, \mathcal{E}(\varphi)\biggr), \\ v\in V^1, \qquad z\in CG, \qquad \varphi\in V^1, \qquad t\in (0, T). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку в (3.5) функция $\varphi\in V^1$ произвольна, то при почти всех $t\in (0, T)$ это равенство эквивалентно следующему операторному уравнению, рассматриваемого в $L_2(0, T; V^{-1})$:
$$
\begin{equation}
Jv'+\varepsilon A_2v' + \mu_0Av - \xi B(v) + \frac{\mu_1\xi}{\Gamma (1-\beta)} C(v, z)=\xi f.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Таким образом, слабое решение вспомогательной задачи (3.1)–(3.4) при фиксированном $0\leqslant \xi\leqslant 1$ – это решение $v\in W_2$ операторного уравнения (3.6), удовлетворяющее начальному условию (3.4). Также определим операторы при помощи следующих равенств:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} {L}&\colon W_2\to L_2(0, T; V^{-1})\times V^3, &\qquad {L}(v)&=\bigl((J+\varepsilon A_2)v'+\mu_0 Av, v|_{t=0}\bigr), \\ K&\colon W_2\to L_2(0, T; V^{-1})\times V^3, &\qquad K(v)&=(B(v), 0), \\ G&\colon W_2\to L_2(0, T; V^{-1})\times V^3, &\qquad G(v)&=\biggl(\frac{\mu_1}{\Gamma (1-\beta)}C(v, z), 0\biggr). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда задача о нахождении решения операторного уравнения (3.6) при фиксированном $0\leqslant \xi\leqslant 1$, удовлетворяющему начальному условию (3.4), эквивалентна задаче о нахождении решения при фиксированном $0\leqslant \xi\leqslant 1$ операторного уравнения Нам потребуются следующие свойства операторов, входящих в уравнения (3.6) и (3.7). Чтобы не нагромождать обозначений, мы будем использовать одну и ту же букву для обозначения одних и тех же операторов, действующих в разных функциональных пространствах. Лемма 1. 1) Для любой функции $v\in C([0, T]; V^3)$ функция $Av$ принадлежит $L_2(0, T; V^{-1})$, оператор $A\colon C([0, T]; V^3)\to L_2(0, T; V^{-1})$ непрерывен и имеют место оценки 2) Оператор $A_2\colon V^3\to V^{-1}$ – линейный, непрерывный, обратимый и для него имеет место оценка Кроме того, обратный оператор $A_2^{-1}\colon V^{-1}\to V^3$ также непрерывен.3) Для любой функции $v\in L_p(0, T; V^3)$, $1\leqslant p<\infty$, функция $(J+\varepsilon A_2)v$ принадлежит $L_p(0, T; V^{-1})$ и оператор $(J+\varepsilon A_2)\colon L_p(0, T; V^3)\to L_p(0, T; V^{-1})$ непрерывен и обратим. Кроме того, имеет место оценка
$$
\begin{equation}
\varepsilon\|v\|_{L_p(0, T; V^3)}\leqslant \|(J+\varepsilon A_2)v\|_{L_p(0, T; V^{-1})}\leqslant C_2(1+\varepsilon)\|v\|_{L_p(0, T; V^3)}.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
При этом обратный оператор $(J+\varepsilon A_2)^{-1}\colon L_p(0, T; V^{-1})\to L_p(0, T; V^3)$ непрерывен и для любого $w\in L_p(0, T; V^{-1})$ имеет место оценка
$$
\begin{equation}
\|(J+\varepsilon A_2)^{-1}w\|_{L_p(0, T; V^3)}\leqslant \frac{1}{\varepsilon}\|w\|_{L_p(0, T; V^{-1})}.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
4) Оператор ${L}\colon W_2\to L_2(0, T; V^{-1})\times V^3$ обратим и обратный к нему оператор ${L}^{-1}\colon L_2(0, T; V^{-1})\times V^3\to W_2$ является непрерывным оператором. Доказательство проводится аналогичным образом как в [17; лемма 4.4.1, лемма 4.4.2, лемма 4.4.3, лемма 7.7.6]. Лемма 2. 1) Отображение $B\colon L_4(\Omega)\to V^{-1}$ непрерывно и для него имеет место оценка 2) Для любого $v\in L_4(0, T; L_4(\Omega))$ функция $B(v)\in L_2(0, T; V^{-1})$ и отображение $B\colon L_4(0, T; L_4(\Omega))\to L_2(0, T; V^{-1})$ непрерывно. 3) Для любой функции $v\in W_2$ функция $B(v)\in L_2(0, T; V^{-1})$ и отображение $B\colon W_2\to L_2(0, T; V^{-1})$ является компактным. Доказательство. 1) Для любых $v\in L_4(\Omega)$, $\varphi\in V^1$, используя неравенство Гёльдера, мы получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|\langle B(v), \varphi\rangle| = \biggl|\sum_{i, j=1}^n\int_\Omega (\Delta_\alpha^{-1} v)_iv_j\, \frac{\partial\varphi_j}{\partial x_i}\,dx\biggr| \\ &\qquad\leqslant \sum_{i, j=1}^n\biggl(\int_\Omega |(\Delta_\alpha^{-1}v)_iv_j|^2\,dx\biggr)^{1/2} \biggl(\int_\Omega\biggl|\frac{\partial\varphi_j}{\partial x_i}\biggr|^2\,dx\biggr)^{1/2} \\ &\qquad\leqslant \sum_{i, j=1}^n\biggl(\int_\Omega|(\Delta_\alpha^{-1}v)_i|^4\,dx\biggr)^{1/4} \biggl(\int_\Omega|v_j|^4\,dx\biggr)^{1/4}\|\varphi\|_{V^1} \\ &\qquad\leqslant C_4\|\Delta_\alpha^{-1}v\|_{L_4(\Omega)}\|v\|_{L_4(\Omega)}\|\varphi\|_{V^1} \leqslant C_4C_5\|v\|_{L_4(\Omega)}^2\|\varphi\|_{V^1}=C_6\|v\|_{L_4(\Omega)}^2\|\varphi\|_{V^1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Откуда следует неравенство (3.13). Отметим, что здесь мы воспользовались следующей известной оценкой (см. [26], [27]):
Покажем непрерывность отображения $B\colon L_4(\Omega)\to V^{-1}$. Для произвольных $v^m$, $v^0\in L_4(\Omega)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|\langle B(v^m), \varphi\rangle - \langle B(v^0), \varphi\rangle| \\ &\ = \biggl|\int_\Omega\sum_{i, j=1}^n(\Delta_\alpha^{-1} v^m)_iv_j^m \, \frac{\partial\varphi_j}{\partial x_i}\,dx - \int_\Omega\sum_{i, j=1}^n(\Delta_\alpha^{-1} v^0)_iv_j^0\, \frac{\partial\varphi_j}{\partial x_i}\,dx\biggr| \\ &\ \leqslant \sum_{i, j=1}^n\|(\Delta_\alpha^{-1} v^m)_iv_j^m-(\Delta_\alpha^{-1} v^0)_iv_j^0\|_{L_2(\Omega)}\,\biggl\|\frac{\partial\varphi_j}{\partial x_i}\biggr\|_{L_2(\Omega)} \\ &\ \leqslant \|\varphi\|_{V^1}\sum_{i, j=1}^n\|(\Delta_\alpha^{-1} v^m)_iv_j^m-(\Delta_\alpha^{-1} v^0)_iv_j^0\|_{L_2(\Omega)} \\ &\ = \|\varphi\|_{V^1}\biggl( \sum_{i, j=1}^n\|(\Delta_\alpha^{-1} v^m)_iv_j^m-(\Delta_\alpha^{-1} v^m)_iv_j^0 + (\Delta_\alpha^{-1} v^m)_iv_j^0- (\Delta_\alpha^{-1} v^0)_iv_j^0\|_{L_2(\Omega)}\biggr) \\ &\ \leqslant \|\varphi\|_{V^1}\biggl(\sum_{i, j=1}^n\|(\Delta_\alpha^{-1} v^m)_iv_j^m-(\Delta_\alpha^{-1} v^m)_iv_j^0\|_{L_2(\Omega)} \\ &\ \qquad\qquad\qquad+ \sum_{i, j=1}^n\|(\Delta_\alpha^{-1} v^m)_iv_j^0-(\Delta_\alpha^{-1} v^0)_iv_j^0\|_{L_2(\Omega)}\biggr) \\ &\ \leqslant C_7 \|\varphi\|_{V^1}\biggl( \sum_{j=1}^n\|\Delta_\alpha^{-1}v^m\|_{L_4(\Omega)}\|v_j^m-v_j^0\|_{L_4(\Omega)} \\ &\ \qquad\qquad\qquad+ \sum_{j=1}^n\|\Delta_\alpha^{-1}(v^m-v^0)\|_{L_4(\Omega)}\|v_j^0\|_{L_4(\Omega)} \biggr) \\ &\ \leqslant C_7C_5\|\varphi\|_{V^1}\biggl( \sum_{j=1}^n\|v^m\|_{L_4(\Omega)}\|v_j^m-v_j^0\|_{L_4(\Omega)} + \sum_{j=1}^n\|v^m-v^0\|_{L_4(\Omega)}\|v_j^0\|_{L_4(\Omega)}\biggr) \\ &\ \leqslant C_8(\|v^m\|_{L_4(\Omega)}\|v^m-v^0\|_{L_4(\Omega)} + \|v^m-v^0\|_{L_4(\Omega)}\|v^0\|_{L_4(\Omega)})\|\varphi\|_{V^1} \\ &\ = C_8(\|v^m\|_{L_4(\Omega)} +\|v^0\|_{L_4(\Omega)})\|v^m-v^0\|_{L_4(\Omega)}\|\varphi\|_{V^1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\|B(v^m)-B(v^0)\|_{V^{-1}}\leqslant C_8(\|v^m\|_{L_4(\Omega)} +\|v^0\|_{L_4(\Omega)})\|v^m-v^0\|_{L_4(\Omega)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая $v^m\to v^0$ в $L_4(\Omega)$, получаем, что отображение $B\colon L_4(\Omega)\to V^{-1}$ является непрерывным.
2) Для доказательства необходимо воспользоваться последней оценкой и повторить доказательство леммы 2.5.4 (пункт 2) из [17]. 3) Для доказательства этого пункта воспользуемся теоремой Обена–Симона. Теорема 5 (см. [28], [29] и [17; теорема C.4.1]). Пусть $X\,{\subset}\,E\,{\subset}\,Y$ – банаховы пространства, причем вложение $X\subset E$ компактно, а вложение $E\subset Y$ непрерывно. Пусть $F\subset L_p(0, T; X)$, $1\leqslant p\leqslant\infty$. Будем предполагать, что для любого $f\in F$ его обобщенная производная принадлежит $L_r(0, T; Y)$, $1\leqslant r\leqslant\infty$. Далее пусть 1) множество $F$ ограничено в $L_p(0, T; X)$; 2) множество $\{f': f\in F\}$ ограничено в $L_r(0, T; Y)$. Тогда при $p<\infty$ множество $F$ относительно компактно в $L_p(0, T; E)$, а при $p=\infty$ и $r>1$ множество $F$ относительно компактно в $C([0, T]; E)$. Рассмотрим множество $F=\{v\in L_4(0, T; V^3),\, v'\in L_2(0, T; L_2(\Omega))\}$. Так как вложение $V^3\subset L_4(\Omega)$ является компактным, то компактным является вложение $F\subset L_4(0, T; L_4(\Omega))$. Из непрерывных вложений
$$
\begin{equation*}
C([0, T]; V^3)\subset L_4(0, T; V^3), \qquad L_2(0, T; V^3)\subset L_2(0, T; L_2(\Omega))
\end{equation*}
\notag
$$
следует непрерывное вложение $W_2\subset F$. Кроме того, из второго пункта настоящей леммы мы имеем, что оператор $B\colon L_4(0, T; L_4(\Omega))\to L_2(0, T; V^{-1})$ является непрерывным. Таким образом, имеем следующую суперпозицию вложений:
$$
\begin{equation*}
W_2\subset F\subset L_4(0, T; L_4(\Omega))\xrightarrow{B} L_2(0, T; V^{-1}),
\end{equation*}
\notag
$$
где первое вложение непрерывно, второе – компактно и отображение $B$ – непрерывно. Следовательно, для любой функции $v\in W_2$ получим, что функция $B(v)\in L_2(0, T; V^{-1})$, а отображение $B\colon W_2\to L_2(0, T; V^{-1})$ – компактно. Лемма доказана. Перейдем к изучению свойств отображения $C$. Введем норму $\|v\|_{k, L_2(0, T; V^{-1})}$, равную норме $\|\overline{v}\|_{L_2(0, T; V^{-1})}$, где $\overline{v}(t)=e^{-kt}v(t)$, $k\geqslant0$. Тогда имеет место следующая лемма. Лемма 3. Для любых $v\in L_2(0, T; V^1)$, $z\in CG$, имеет место соотношение $C(v, z)\in L_2(0, T; V^{-1})$ и отображение непрерывно и ограничено. Кроме того, для любой фиксированной функции $z\,{\in}\,CG$ и произвольных $u$, $v\in L_2(0, T; V^1)$ справедлива оценка Доказательство. Первая часть данной леммы доказывается аналогично лемме 2.2 работы [19]. Докажем необходимую оценку (3.15). Пусть $\overline{v}(t)=e^{-kt}v(t)$, $\overline{u}(t)=e^{-kt}u(t)$. По определению для $\varphi \in L_2(0,T,V^1)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\langle e^{-kt}C(v, z)(t) - e^{-kt}C(u,z)(t), \varphi(t) \rangle \\ &\qquad= \int_0^T\int_\Omega\int_0^te^{-k(t-s)}(t-s)^{-\beta}\mathcal{E}_{ij}(\overline v-\overline u)(s, z(s; t, x))\,ds\, \mathcal{E}_{ij}(\varphi)(t)\,dx\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда с помощью неравенства Гёльдера получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\langle e^{-kt}C(v, z)(t) - e^{-kt}C(u,z)(t), \varphi(t) \rangle \\ &\qquad\leqslant \int_0^T\int_0^te^{-k(t-s)}(t-s)^{-\beta} \biggl(\int_\Omega\mathcal{E}^2(\overline v-\overline u)(s, z(s; t, x))\,dx\biggr)^{1/2} \\ &\qquad\qquad\times\biggl( \int_\Omega\mathcal{E}^2(\varphi)(t,x)\,dx\biggr)^{1/2}\,ds\,dt \\ &\qquad=\int_0^T\int_0^te^{-k(t-s)}(t-s)^{-\beta}\|(\overline v-\overline u)(s,{\cdot}\,)\|_{V^1}\|\varphi(t,{\cdot}\,)\|_{V^1}\,ds\,dt \\ &\qquad\leqslant C_{9} T^{1-\beta} \|\overline v-\overline u\|_{L_2(0,T;V^1)}\|\varphi\|_{L_2(0,T;V^1)} \biggl(\int_0^T\int_0^te^{-k(t-s)}\,ds\,dt\biggr)^{1/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее неравенство выполнено в силу оценки (см. [30; теорема 2.6])
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \biggl\|\int_0^t (t-s)^{-\beta} \varphi(s) \,ds \biggr\|_{L_p(0,T)} \leqslant C_9 T^{1-\beta} \|\varphi(s) \|_{L_p(0,T)}, \\ \varphi(s) \in L_p(0,T), \qquad 1\leqslant p< \infty. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим оставшийся интеграл следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\biggl(\int_0^T\int_0^te^{-k(t-s)}\,ds\,dt\biggr)^{1/2}= \frac{1}{k}\int_0^T 1-e^{-kt}\,dt \leqslant \frac{1}{k}\int_0^T \,dt=\frac{T}{k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, получим оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\langle e^{-kt}C(v, z)(t) - e^{-kt}C(u,z)(t), \varphi(t) \rangle \\ &\qquad\leqslant C_{9} T^{1-\beta}\sqrt{\frac{T}{k}}\, \|\overline v-\overline u\|_{L_2(0,T;V^1)}\|\varphi\|_{L_2(0,T;V^1)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Откуда и следует требуемая оценка (3.15). Лемма доказана. Сформулируем еще одно необходимое свойство оператора $C$. Но прежде определим несколько понятий, касающихся меры некомпактности и $L$-уплотняющих операторов (см. [31], [32]). Определение 4. Неотрицательная вещественная функция $\psi$, определенная на подмножествах банахова пространства $F$, называется мерой некомпактности, если для любого подмножества $\mathcal{M}$ этого пространства выполнены следующие свойства: 1) $\psi(\overline{\mathrm{co}}\,\mathcal{M})=\psi(\mathcal{M})$; 2) для любых двух множеств $\mathcal{M}_1$ и $\mathcal{M}_2$ из $\mathcal{M}_1\subset \mathcal{M}_2$ следует, что $\psi(\mathcal{M}_1)\leqslant \psi(\mathcal{M}_2)$. Здесь, через $\overline{\mathrm{co}}\,\mathcal{M}$ обозначается выпуклое замыкание множества $\mathcal{M}$. В качестве примера меры некомпактности мы приведем меру некомпактности Куратовского: точная нижняя граница $d>0$, для которого множество $\mathcal{M}$ допускает разбиение на конечное число подмножеств, диаметры которых меньше $d$. Мера некомпактности Куратовского имеет несколько важных свойств: 3) $\psi(\mathcal{M})=0$, если $\mathcal{M}$ относительно компактное подмножество; 4) $\psi(\mathcal{M}\cup K)=\psi(\mathcal{M})$, если $K$ относительно компактное множество. Определение 5. Пусть $X$ – ограниченное подмножество банахова пространства и ${L}\colon X\to F$ – отображение $X$ в банахово пространство $F$. Отображение $g\colon X\to F$ называется ${L}$-уплотняющим, если $\psi(g(\mathcal{M}))<\psi({L}(\mathcal{M}))$ для любого множества $\mathcal{M}\subseteq X$ такого, что $\psi(g(\mathcal{M}))\ne 0$. Пусть $\gamma_k$ – мера некомпактности Куратовского в пространстве $L_2(0, T; V^{-1})$ с нормой $\|v\|_{k, L_2(0, T; V^{-1})}$. Тогда имеет место следующая лемма. Лемма 4. Отображение $G\colon W_2\to L_2(0, T; V^{-1})\times V^3$ является ${L}$-уплотняющим по мере некомпактности Куратовского $\gamma_k$. Доказательство. Пусть $M\,{\subset}\, W_2\,{\subset}\, L_2(0,T;V^1)$ – произвольное ограниченное множество. В силу теоремы 2 множество $z(M)$ – множество траекторий $z$, однозначно определяемых по скоростям $v\in M$, относительно компактно. Тогда множество $C(v,z(M))$ относительно компактно для любого фиксированного $v\in W_2$. Кроме того, для любых $z\in z(M)$ отображение $C(\,{\cdot}\,,z)$ удовлетворяет условию Липшица с константой $C_9 T^{1-\beta}\sqrt{T/k}$ в нормах $\|\,{\cdot}\,\|_{k,L_2(0,T,V^1)}$ и $\|\,{\cdot}\,\|_{k,L_2(0,T,V^{-1})}$. Тогда согласно [33; теорема 1.5.7] отображение $C(v,z)$, а значит, и отображение $G$ являются $C_9 T^{1-\beta}\sqrt{T/k}$-ограниченным относительно меры некомпактности Хаусдорфа $\chi_k$. Известно, см. [33; теорема 1.1.7], что меры некомпактности Хаусдорфа и Куратовского удовлетворяют неравенствам $\chi_k(M)\leqslant\gamma_k(M)\leqslant 2 \chi_k(M)$. Поэтому справедлива оценка Выбирая $k$ так, чтобы $C_9 T^{1-\beta}\sqrt{T/k} <1$, получаем утверждение леммы. Используя полученные выше оценки и свойства операторов, докажем следующие априорные оценки для вспомогательного семейства (3.1)–(3.4). Лемма 5. Пусть $v_0\in V^3$, $f\in L_2(0, T; V^{-1})$. Тогда для любого решения $v\in W_2$ операторного уравнения (3.6) имеют место оценки Доказательство. Пусть $v\in W_2$ – решение операторного уравнения (3.6). Тогда при любом $\varphi\in V^1$ и почти всех $t\in (0, T)$ имеет место равенство (3.5). Поскольку оно справедливо при всех $\varphi\in V^1$, то положим $\varphi=\overline{v}$, где $\overline{v}(t)=e^{-kt}v(t)$. Тогда, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_\Omega v'(t)\overline{v}(t)\,dx - \xi\int_\Omega\sum_{i, j=1}^n(\Delta_\alpha^{-1} v)_i(t)v_j(t)\, \frac{\partial \overline{v}_j(t)}{\partial x_i}\,dx + \mu_0\int_\Omega \nabla v(t):\nabla\overline{v}(t)\,dx \nonumber \\ &\qquad+ \frac{\mu_1\xi}{\Gamma(1-\beta)}\biggl(\int_0^t(t-s)^{-\beta}\mathcal{E}(v)(s, z(s; t, x))\,ds,\, \mathcal{E}(\overline{v}(t))\biggr) \nonumber \\ &\qquad- \varepsilon\int_\Omega\nabla\Delta v'(t):\nabla \overline{v}(t)\,dx=\xi\langle f(t), \overline{v}(t)\rangle. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
Выполним замену $v(t)=e^{kt}\overline{v}(t)$ и отдельно преобразуем слагаемые в левой части последнего равенства следующим образом. Рассмотрим первое слагаемое:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_\Omega v'(t)\overline{v}(t)\,dx = \int_\Omega (e^{kt}\overline{v}(t))'\overline{v}(t)\,dx= e^{kt}\int_\Omega\overline{v}'(t)\overline{v}(t)\,dx + ke^{kt}\int_\Omega\overline{v}(t)\overline{v}(t)\,dx \\ &\qquad= \frac{e^{kt}}{2}\int_\Omega\frac{\partial (\overline{v}(t)\overline{v}(t))}{\partial t}\,dx + ke^{kt}\|\overline{v}(t)\|_{V^0}^2 =\frac{e^{kt}}{2}\, \frac{d}{dt}\|\overline{v}(t)\|^2_{V^0}+ke^{kt}\|\overline{v}(t)\|_{V^0}^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь перейдем к рассмотрению следующего слагаемого:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_\Omega\sum_{i, j=1}^n(\Delta_\alpha^{-1} v)_i(t)v_j(t)\, \frac{\partial\overline{v}_j(t)}{\partial x_i}\,dx = e^{kt}\int_\Omega\sum_{i, j=1}^n(\Delta_\alpha^{-1} v)_i(t)\overline{v}_j(t)\, \frac{\partial\overline{v}_j(t)}{\partial x_i}\,dx \\ &\quad= \frac{e^{kt}}{2}\int_\Omega\sum_{i, j=1}^n(\Delta_\alpha^{-1}v)_i(t) \, \frac{\partial (\overline{v}_j(t)\overline{v}_j(t))}{\partial x_i}\,dx = -\frac{e^{kt}}{2}\int_\Omega\sum_{i, j=1}^n\frac{\partial (\Delta_\alpha^{-1}v)_i(t)}{\partial x_i}\overline{v}_j^2(t)\,dx \\ &\quad= -\frac{e^{kt}}{2}\int_\Omega\sum_{j=1}^n \operatorname{div}u(t)\overline{v}_j^2(t)\,dx=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, преобразуем последнее слагаемое:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &-\varepsilon\int_\Omega \nabla\Delta v'(t):\nabla \overline{v}(t)\,dx = -\varepsilon\int_\Omega\nabla\Delta (e^{kt}\overline{v}(t))':\nabla \overline{v}(t)\,dx \\ &\qquad=\varepsilon ke^{kt}\int_\Omega\nabla\Delta \overline{v}(t):\nabla\overline{v}(t)\,dx - \varepsilon e^{kt}\int_\Omega\nabla\Delta\overline{v}'(t):\nabla\overline{v}(t)\,dx \\ &\qquad= \varepsilon ke^{kt}\int_\Omega \Delta\overline{v}(t)\Delta\overline{v}(t)\,dx + \frac{\varepsilon e^{kt}}{2}\int_\Omega\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\Delta\overline{v}(t)\Delta\overline{v}(t)\bigr)\,dx \\ &\qquad= \varepsilon ke^{kt}\|\overline{v}(t)\|_{V^2}^2 + \frac{\varepsilon e^{kt}}{2}\, \frac{d}{dt}\|\overline{v}(t)\|_{V^2}^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, равенство (3.19) можно переписать в виде:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{e^{kt}}{2}\, \frac{d}{dt}\|\overline{v}(t)\|^2_{V^0} + ke^{kt}\|\overline{v}(t)\|_{V^0}^2 + \mu_0e^{kt}\|\overline{v}(t)\|_{V^1}^2 + \varepsilon ke^{kt}\|\overline{v}(t)\|_{V^2}^2 + \frac{\varepsilon e^{kt}}{2}\, \frac{d}{dt}\|\overline{v}(t)\|_{V^2}^2 \nonumber \\ &\qquad= -\frac{\mu_1\xi}{\Gamma(1-\beta)} \biggl(\int_0^t(t-s)^{-\beta}\mathcal{E}(e^{kt}\overline{v})(s, z(s; t, x))\,ds,\, \mathcal{E}(\overline{v}(t))\biggr) + \xi e^{kt}\langle f(t), \overline{v}(t)\rangle. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Оценим по модулю правую часть полученного равенства. Воспользовавшись неравенством Коши
$$
\begin{equation*}
bc\leqslant \frac{\delta b^2}{2} +\frac{c^2}{2\delta}
\end{equation*}
\notag
$$
для $\delta=1/\mu_0$, мы получим:
$$
\begin{equation*}
\xi e^{kt}\langle f(t), \overline{v}(t)\rangle\leqslant e^{kt} \|f(t)\|_{V^{-1}}\|\overline{v}(t)\|_{V^1} \leqslant \frac{e^{kt}}{2\mu_0}\|f(t)\|_{V^{-1}}^2 + \frac{\mu_0e^{kt}}{2}\|\overline{v}(t)\|_{V^1}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Умножая обе части равенства (3.20) на $e^{-kt}$, при почти всех $t\in (0, T)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{2}\, \frac{d}{dt}\|\overline{v}(t)\|^2_{V^0} + \frac{\varepsilon}{2}\, \frac{d}{dt}\|\overline{v}(t)\|_{V^2}^2+ k\|\overline{v}(t)\|_{V^0}^2 + \frac{\mu_0}{2}\|\overline{v}(t)\|_{V^1}^2 + \varepsilon k\|\overline{v}(t)\|_{V^2}^2 \\ &\ \leqslant \frac{\mu_1}{\Gamma(1-\beta)} \biggl|\biggl(e^{-kt}\int_0^t(t-s)^{-\beta}\mathcal{E}(e^{kt}\overline{v})(s, z(s; t, x))\,ds,\, \mathcal{E}(\overline{v}(t))\biggr)\biggr| + \frac{1}{2\mu_0}\|f(t)\|_{V^{-1}}^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Проинтегрируем от $0$ до $\tau$, где $\tau\in [0, T]$, последнее неравенство по $t$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{2}\|\overline{v}(t)\|^2_{V^0}\,{+}\, \frac{\varepsilon}{2}\|\overline{v}(t)\|_{V^2}^2\,{+}\, k\int_0^\tau\|\overline{v}(t)\|_{V^0}^2\,dt\,{+}\,\varepsilon k\int_0^\tau\|\overline{v}(t)\|_{V^2}^2\,dt\,{+}\, \frac{\mu_0}{2}\int_0^\tau\!\|\overline{v}(t)\|_{V^1}^2\,dt \\ &\qquad\leqslant \frac{1}{2}\|v_0\|^2_{V^0}+\frac{\varepsilon}{2}\|v_0\|_{V^2}^2+ \frac{1}{2\mu_0}\int_0^\tau\|f(t)\|_{V^{-1}}^2\,dt \\ &\qquad\qquad+ \frac{\mu_1}{\Gamma(1-\beta)} \int_0^\tau\biggl|\biggl(e^{-kt}\int_0^t(t-s)^{-\beta}\mathcal{E}(e^{kt}\overline{v})(s, z(s; t, x))\,ds,\, \mathcal{E}(\overline{v}(t))\biggr)\biggr|\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользуемся оценкой (3.15) для $u=0$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{2}\|\overline{v}(t)\|^2_{V^0}\,{+}\, \frac{\varepsilon}{2}\|\overline{v}(t)\|_{V^2}^2\,{+}\, k\int_0^\tau\|\overline{v}(t)\|_{V^0}^2\,dt\,{+}\,\varepsilon k\int_0^\tau\|\overline{v}(t)\|_{V^2}^2\,dt\,{+}\, \frac{\mu_0}{2}\int_0^\tau\!\|\overline{v}(t)\|_{V^1}^2\,dt \\ &\ \ \leqslant \frac{1}{2}\|v_0\|^2_{V^0}+\frac{\varepsilon}{2}\|v_0\|_{V^2}^2 + \frac{\mu_1 C_9 T^{1-\beta}\sqrt{T/(2k)}}{\Gamma(1-\beta)}\|\overline{v}\|_{L_2(0, T; V^1)}^2+ \frac{1}{2\mu_0}\|f\|_{L_2(0, T; V^{-1})}^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Будем считать число $k$ достаточно большим таким, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\mu_1 C_9 T^{1-\beta}\sqrt{T/(2k)}}{\Gamma(1-\beta)}\leqslant \frac{\mu_0}4.
\end{equation*}
\notag
$$
Из неотрицательности величин $\|\overline{v}(t)\|_{V^0}^2$, $\|\overline{v}(t)\|_{V^2}^2$ и $\|\overline{v}(t)\|_{V^1}^2$ следуют оценки:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{\mu_0}{2}\int_0^\tau\|\overline{v}(t)\|_{V^1}^2\,dt\leqslant \frac{1}{2}\|v_0\|^2_{V^0}+\frac{\varepsilon}{2}\|v_0\|_{V^2}^2+\frac{1}{2\mu_0}\|f\|_{L_2(0, T; V^{-1})}^2 + \frac{\mu_0}{4}\|\overline{v}\|_{L_2(0, T; V^1)}^2, \\ \begin{aligned} \, \frac{\varepsilon}{2}\|\overline{v}(t)\|_{V^2}^2 &\leqslant \frac{1}{2}\|v_0\|^2_{V^0}+\frac{\varepsilon}{2}\|v_0\|_{V^2}^2+\frac{1}{2\mu_0}\|f\|_{L_2(0, T; V^{-1})}^2 + \frac{\mu_0}{4}\|\overline{v}\|_{L_2(0, T; V^1)}^2, \\ \frac{1}{2}\|\overline{v}(t)\|^2_{V^0} &\leqslant \frac{1}{2}\|v_0\|^2_{V^0}+\frac{\varepsilon}{2}\|v_0\|_{V^2}^2+ \frac{1}{2\mu_0}\|f\|_{L_2(0, T; V^{-1})}^2 + \frac{\mu_0}{4}\|\overline{v}\|_{L_2(0, T; V^1)}^2. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как правая часть во всех приведенных неравенствах не зависит от $\tau$, то перейдем в левых частях этих неравенств к максимуму по $\tau\in [0, T]$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\mu_0}{2}\|\overline{v}\|_{L_2(0, T; V^1)}^2 &\leqslant \frac{1}{2}\|v_0\|^2_{V^0}+\frac{\varepsilon}{2}\|v_0\|_{V^2}^2+\frac{1}{2\mu_0}\|f\|_{L_2(0, T; V^{-1})}^2 + \frac{\mu_0}{4}\|\overline{v}\|_{L_2(0, T; V^1)}^2, \\ \frac{\varepsilon}{2}\|\overline{v}\|_{C([0, T]; V^2)}^2 &\leqslant \frac{1}{2}\|v_0\|^2_{V^0}+\frac{\varepsilon}{2}\|v_0\|_{V^2}^2+ \frac{1}{2\mu_0}\|f\|_{L_2(0, T; V^{-1})}^2 + \frac{\mu_0}{4}\|\overline{v}\|_{L_2(0, T; V^1)}^2, \\ \frac{1}{2}\|\overline{v}\|^2_{C([0, T]; V^0)} &\leqslant \frac{1}{2}\|v_0\|^2_{V^0}+\frac{\varepsilon}{2}\|v_0\|_{V^2}^2+ \frac{1}{2\mu_0}\|f\|_{L_2(0, T; V^{-1})}^2 + \frac{\mu_0}{4}\|\overline{v}\|_{L_2(0, T; V^1)}^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда непосредственно следуют требуемые оценки (3.16)–(3.18). Лемма доказана. Лемма 6. Пусть $v_0\in V^3$, $f\in L_2(0, T; V^{-1})$. Тогда для любого решения $v\in W_2$ операторного уравнения (3.6) имеют место оценки Доказательство. Пусть $v\in W_2$ – решение (3.6). Тогда оно удовлетворяет следующему операторному уравнению: Следовательно,
Оценим правую часть последнего равенства. В силу оценок (3.8) и (3.15) для $u=0$, мы получим:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\|\xi f+\xi B(v)-\mu_0 Av-\frac{\mu_1\xi}{\Gamma(1-\beta)} C(v, z)\|_{L_2(0, T; V^{-1})} \nonumber \\ &\, \leqslant \|f\|_{L_2(0, T; V^{-1})}\,{+}\,\|B(v)\|_{L_2(0, T; V^{-1})}\,{+}\, \frac{\mu_1C_9T^{1-\beta}}{\Gamma(1-\beta)} \|v\|_{L_2(0, T; V^1)}\,{+}\, \mu_0\|v\|_{L_2(0, T; V^1)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Отдельно оценим величину $\|B(v)\|_{L_2(0, T; V^{-1})}$. Используя (3.13), а также непрерывность вложения $V^2\subset L_4(\Omega)$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|B(v)\|_{L_2(0, T; V^{-1})} = \biggl(\int_0^T\|B(v)\|_{V^{-1}}^2\,dt\biggr)^{1/2}\leqslant C_3\biggl(\int_0^T\|v(t)\|_{L_4(\Omega)}^4\,dt\biggr)^{1/2} \\ &\quad\leqslant C_{16}\biggl(\int_0^T\|v(t)\|_{V^2}^4\,dt\biggr)^{1/2}\leqslant C_{16}T^{1/2}\max_{t\in[0, T]}\|v(t)\|_{V^2}^2 =C_{16}T^{1/2}\|v\|_{C([0, T]; V^2)}^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Перепишем неравенство (3.26) в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl\|\xi f+\xi B(v)-\mu_0Av - \frac{\mu_1\xi}{\Gamma(1-\beta)} C(v, z)\biggr\|_{L_2(0, T; V^{-1})} \\ &\qquad\leqslant C_{17}(\|f\|_{L_2(0, T; V^{-1})} + C_{16}T^{1/2}\|v\|_{C([0, T]; V^2)}^2 + \|v\|_{L_2(0, T; V^1)}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из априорных оценок (3.16) и (3.18) непосредственно следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|(J+\varepsilon A_2)v'\|_{L_2(0, T; V^{-1})} &\leqslant C_{13}\biggl(1+\frac{1}{\varepsilon}\biggr)(\|v_0\|_{V^0}^2 + \|f\|^2_{L_2(0, T; V^{-1})}) \\ &\qquad+ C_{13}\sqrt{\varepsilon}\, \|v_0\|_{V^2} + C_{13}\|v_0\|^2_{V^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для доказательства оценки (3.21) осталось воспользоваться левой частью оценки (3.11) для $p=2$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\varepsilon\|v'\|_{L_2(0, T; V^3)}\leqslant \|(J + \varepsilon A_2)v'\|_{L_2(0, T; V^{-1})} \\ &\qquad\leqslant C_{13}\biggl(1+\frac{1}{\varepsilon}\biggr)(\|v_0\|_{V^0}^2 + \|f\|^2_{L_2(0, T; V^{-1})}) + C_{13}\sqrt{\varepsilon}\, \|v_0\|_{V^2} + C_{13}\|v_0\|^2_{V^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, установлено неравенство (3.21).
Перейдем к доказательству оценки (3.22). Представим функцию $v\in W_2$ следующим образом: Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|v(t)\|_{V^3}&\leqslant \biggl\|v_0-\int_0^tv'(s)\,ds\biggr\|_{V^3}\leqslant \|v_0\|_{V^3} + \int_0^t\|v'(s)\|_{V^3}\,ds \\ &\leqslant \|v_0\|_{V^3}+T^{1/2}\|v'\|_{L_2(0, T; V^3)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как правая часть полученного неравенства не зависит от $t$, то перейдем к максимуму по $\tau\in [0, T]$ в левой части. Тогда с учетом оценки (3.21) получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \max_{t\in [0, T]}\|v(t)\|_{V^3} &\leqslant \|v_0\|_{V^3}+ \frac{C_{13}T^{1/2}}{\varepsilon}\biggl(1+\frac{1}{\varepsilon}\biggr)(\|v_0\|_{V^0}^2 + \|f\|^2_{L_2(0, T; V^{-1})}) \\ &\qquad+ \frac{C_{13}T^{1/2}}{\sqrt{\varepsilon}}\|v_0\|_{V^2} + \frac{C_{13}T^{1/2}}{\varepsilon}\|v_0\|^2_{V^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, установлена оценка (3.22).
Теперь мы докажем неравенство (3.23). Как и ранее, для решения операторного уравнения (3.25) справедливо включение $v\in W_2$. Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|v'\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})} &\leqslant \biggl\|\xi f+\xi B(v)-\mu_0 Av-\frac{\mu_1\xi}{\Gamma(1-\beta)}C(v, z) - \varepsilon A^2v'\biggr\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})} \nonumber \\ &\leqslant \|f\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})} + \|B(v)\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})} + \mu_0\|Av\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})} \nonumber \\ &\qquad+ \frac{\mu_1}{\Gamma(1-\beta)}\|C(v, z)\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})} + \varepsilon\|A^2v'\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
Отдельно рассмотрим слагаемые в правой части последнего неравенства. Сначала установим оценку на $\|B(v)\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})}$. Учитывая известное неравенство для $n=3$ (см. [23; лемма III.3.5])
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{L_4(\Omega)}\leqslant 2^{1/2}\|u\|^{1/4}_{L_2(\Omega)}\|\nabla u\|_{L_2(\Omega)}^{3/4}, \qquad u\in V^1,
\end{equation*}
\notag
$$
и оценку (3.13), мы получим (для случая $n=2$ доказательство аналогичное):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\|B(v)\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})} =\biggl(\int_0^T\|B(v)\|_{V^{-1}}^{4/3}\,dt\biggr)^{3/4}\leqslant C_3\biggl(\int_0^T\|v\|_{L_4(\Omega)}^{8/3}\,dt\biggr)^{3/4} \nonumber \\ &\qquad\leqslant 2C_3\biggl(\int_0^T\|v\|_{L_2(\Omega)}^{2/3}\|\nabla v\|_{L_2(\Omega)}^2\,dt\biggr)^{3/4}\leqslant C_{18}\biggl(\int_0^T\|v\|_{V^0}^{2/3}\|v\|_{V^1}^2\,dt\biggr)^{3/4} \nonumber \\ &\qquad\leqslant C_{18}\|v\|_{C([0, T]; V^0)}^{1/2}\biggl(\int_0^T\|v\|_{V^1}^2\,dt\biggr)^{3/4}= C_{18}\|v\|_{C([0, T]; V^0)}^{1/2}\|v\|_{L_2(0, T; V^1)}^{3/2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
Рассмотрим следующее слагаемое. Воспользуемся неравенством Гёльдера и оценкой (3.8). Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|Av\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})} &= \biggl(\int_0^T\|Av\|_{V^{-1}}^{4/3}\,dt\biggr)^{3/4}\leqslant \biggl(\int_0^T\|v\|_{V^1}^{4/3}\,dt\biggr)^{3/4} \nonumber \\ &\leqslant T^{1/4}\biggl(\int_0^T\|v\|_{V^1}^2\,dt\biggr)^{1/2}=T^{1/4}\|v\|_{L_2(0, T; V^1)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
Аналогичным образом с помощью неравенства Гёльдера и оценки (3.15) для $u=0$ мы получим оценку на очередное слагаемое:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|C(v, z)\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})} &= \biggl(\int_0^T\|C(v, z)\|_{V^{-1}}^{4/3}\,dt\biggr)^{3/4}{\leqslant}\, T^{1/4}\biggl(\int_0^T\|C(v, z)\|_{V^{-1}}^2\,dt\biggr)^{1/2} \\ &=T^{1/4}\|C(v, z)\|_{L_2(0, T; V^{-1})}\leqslant T^{1/4}T^{1-\beta}C_9\|v\|_{L_2(0, T; V^1)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, рассмотрим последнее слагаемое. Используя неравенство (3.10), получим:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varepsilon\|A^2v'\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})} &= \varepsilon\biggl(\int_0^T\|A^2v'\|_{V^{-1}}^{4/3}\,dt\biggr)^{3/4} \\ &\leqslant \varepsilon\biggl(\int_0^T\|v'\|_{V^3}^{4/3}\,dt\biggr)^{3/4}\leqslant \varepsilon\|v'\|_{L_{4/3}(0, T; V^3)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим величину в правой части последнего неравенства. Для этого воспользуемся левой частью оценки (3.12) для $p=4/3$. Таким образом, для получения оценки величины $\varepsilon\|v'\|_{L_{4/3}(0, T; V^3)}$ необходимо оценить норму $\|(J+\varepsilon A_2)v'\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})}$. Для этого мы вновь воспользуемся операторным уравнением (3.25). Из его вида следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varepsilon\|v'\|_{L_{4/3}(0, T; V^3)} &\leqslant \|f\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})} + \|B(v)\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})} \\ &\qquad- \mu_0\|Av\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})} +\mu_1\|C(v, z)\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \varepsilon\|A^2v'\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})} &\leqslant\varepsilon\|v'\|_{L_{4/3}(0, T; V^3)} \leqslant \|f\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})} + \|B(v)\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})} \nonumber \\ &\qquad+ \mu_0\|Av\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})}+\frac{\mu_1}{\Gamma(1-\beta)}\|C(v, z)\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
Итак, из (3.27), оценок (3.28)–(3.30) и априорных оценок (3.16) и (3.17), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|v'\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})} \leqslant 2\bigl(\|f\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})} + \|B(v)\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})} \\ &\qquad\qquad + \mu_0\|Av\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})} +\frac{\mu_1}{\Gamma(1-\beta)}\|C(v, z)\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})}\bigr) \\ &\qquad\leqslant C_{19}\bigl(\|f\|_{L_2(0, T; V^{-1})}+ \|v\|_{L_2(0, T; V^1)} + \|v\|_{C([0, T]; V^0)}^{1/2}\|v\|_{L_2(0, T; V^1)}^{3/2}\bigr) \\ &\qquad\leqslant C_{20}\bigl(\|f\|_{L_2(0, T; V^{-1})} + \|v_0\|_{V^0} + \sqrt{\varepsilon}\, \|v_0\|_{V^2} \\ &\qquad\qquad + (\|v_0\|_{V^0} + \sqrt{\varepsilon}\, \|v_0\|_{V^2}+ \|f\|_{L_2(0, T; V^{-1})})^{1/2} \\ &\qquad\qquad\qquad\times(\|v_0\|_{V^0} + \sqrt{\varepsilon}\, \|v_0\|_{V^2}+\|f\|_{L_2(0, T; V^{-1})})\bigr)^{3/2} \\ &\qquad\leqslant C_{21}\bigl(\|v_0\|_{V^0} + \sqrt{\varepsilon}\, \|v_0\|_{V^2}+\|f\|_{L_2(0, T; V^{-1})}+1\bigr)^2 \\ &\qquad\leqslant 4C_{21}\bigl(\|v_0\|_{V^0}^2 + \varepsilon\|v_0\|_{V^2}^2+\|f\|_{L_2(0, T; V^{-1})}^2+1\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Что и доказывает неравенство (3.23), где $C_{14}=4C_{21}$.
Наконец, вновь применяя оценки (3.28) и (3.29), для правой части (3.30), а также априорные оценки (3.16) и (3.17), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\varepsilon\|v'\|_{L_{4/3}(0, T; V^3)}\leqslant 2\bigl(\|f\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})} + \|B(v)\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})} \\ &\qquad\qquad+\mu_0\|Av\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})} + + \frac{\mu_1}{\Gamma(1-\beta)}\|C(v, z)\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})}\bigr) \\ &\qquad\leqslant C_{22}\bigl(\|f\|_{L_2(0, T; V^{-1})} + \|v\|_{L_2(0, T; V^1)} + \|v\|_{C([0, T]; V^0)}^{1/2}\|v\|_{L_2(0, T; V^1)}^{3/2}\bigr) \\ &\qquad\leqslant C_{23}\bigl(\|f\|_{L_2(0, T; V^{-1})} + \|v_0\|_{V^0} + \sqrt{\varepsilon}\, \|v_0\|_{V^2} \\ &\qquad\qquad+ (\|v_0\|_{V^0} + \sqrt{\varepsilon}\, \|v_0\|_{V^2}+ \|f\|_{L_2(0, T; V^{-1})})^{1/2} \\ &\qquad\qquad\qquad\times(\|v_0\|_{V^0} + \sqrt{\varepsilon}\, \|v_0\|_{V^2}+\|f\|_{L_2(0, T; V^{-1})})^{3/2}\bigr) \\ &\qquad\leqslant C_{24}\bigl(\|v_0\|_{V^0} + \sqrt{\varepsilon}\, \|v_0\|_{V^2}+\|f\|_{L_2(0, T; V^{-1})}+1\bigr)^2 \\ &\qquad\leqslant 4C_{24}\bigl(\|v_0\|_{V^0}^2 + \varepsilon\|v_0\|_{V^2}^2+\|f\|_{L_2(0, T; V^{-1})}^2+1\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, установлено неравенство (3.24), где $C_{15}=4C_{24}$. Лемма доказана. Лемма 7. Пусть $v_0\in V^3$, $f\in L_2(0, T; V^{-1})$. Тогда для любого решения $v\in W_2$ операторного уравнения (3.6) имеет место оценка где $C_{25}>0$ – некоторая постоянная, зависящая от $\varepsilon$. Теорема 6. Пусть $v_0\in V^3$ и $f\in L_2(0, T; V^{-1})$. Тогда существует по крайней мере одно решение $v\in W_2$ вспомогательной задачи (3.1)–(3.4) при $\xi=1$. Доказательство. Для доказательства данной теоремы воспользуемся теорией топологической степени уплотняющих векторных полей. Рассмотрим операторное уравнение (3.7):
Из следствия 7 следует, что все решения уравнения (3.32) лежат в шаре $B_R\subset W_2$ с центром в нуле и радиусом $R=C_{25}+1$. Согласно утверждению 4) леммы 1 оператор ${L}\colon W_2\to L_2(0, T; V^{-1})\times V^3$ является обратимым. Тогда ни одно решение семейства уравнений
$$
\begin{equation*}
v=\xi{L}^{-1}(K(v)-G(v)+(f, v_0)), \qquad \text{где} \quad \xi\in [0, 1],
\end{equation*}
\notag
$$
не принадлежит границе того же шара $B_R$.
В силу утверждения 4) леммы 1 оператор ${L}^{-1}\colon L_2(0, T; V^{-1})\times V^3\to W_2$ является непрерывным. Согласно леммам 2 и 4 отображение
$$
\begin{equation*}
(K(v)-G(v)+(f, v_0))\colon W_2\to L_2(0, T; V^{-1})\times V^3
\end{equation*}
\notag
$$
является ${L}$-уплотняющим относительно меры некомпактности Куратовского $\gamma_k$. Следовательно, оператор
является уплотняющим относительно меры некомпактности Куратовского $\gamma_k$. Таким образом, векторное поле $v-\xi{L}^{-1}(K(v)-G(v)+(f, v_0))$ невырождено на границе шара $B_R$, а значит для этого векторного поля определена топологическая степень $\operatorname{deg}(I-\xi{L}^{-1}(K-G+f), B_R, 0)$, см. [31], [32]. По свойствам гомотопической инвариантности и нормировки степени получим, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{deg}(I-\xi{L}(K-G+f), B_R, 0)=\operatorname{deg}(I, B_R, 0)=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Отличие от нуля степени отображения обеспечивает существование хотя бы одного решения $v\in W_2$ уравнения (3.32) при $\xi=1$, а следовательно, и вспомогательной задачи (3.1)–(3.4) при $\xi=1$. Теорема доказана. § 4. Доказательство теоремы 3Перейдем непосредственно к доказательству разрешимости начально-краевой задачи (1.1)–(1.5). Для этого осуществим предельный переход во вспомогательной задаче (3.1)–(3.4) при $\xi=1$. Поскольку пространство $V^3$ плотно в $V^0$, то для каждого $v_0^*\in V^0$ существует последовательность $v_0^m\in V^3$, сходящаяся к $v_0^*$ в $V^0$. Если $v_0^*\equiv 0$, то положим $v_0^m\equiv 0$, $\varepsilon_m=1/m$. Если же $\|v_0^*\|_{V^0}\ne 0$, то начиная с некоторого номера $\|v_0^m\|_{V^2}\ne 0$. Тогда положим $\varepsilon_m=1/(m\|v_0^m\|_{V^2}^2)$. В силу нашего выбора полученная последовательность $\{\varepsilon_m\}$ сходится к нулю при $m\to\infty$. Причем $\varepsilon_m\|v_0^m\|_{V^2}^2\leqslant 1$. По теореме 6 при каждом $\varepsilon_m$ и $v_0^m$ существует решение $v_m\in W_2\subset W_1$ вспомогательной задачи (3.1)–(3.4) при $\xi=1$. Таким образом, каждое решение $v_m$ для всех $\varphi\in V^1$ при почти всех $t\in (0, T)$ удовлетворяет равенству
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\langle v_m', \varphi\rangle - \int_\Omega\sum_{i, j=1}^n(\Delta_\alpha^{-1} v_m)_i(v_m)_j\, \frac{\partial\varphi_j}{\partial x_i}\,dx \nonumber \\ &\qquad\qquad+ \mu_0\int_\Omega\nabla v_m:\nabla \varphi\,dx-\varepsilon_m\int_\Omega \nabla\Delta v_m': \nabla\varphi\,dx \nonumber \\ &\qquad\qquad+ \frac{\mu_1}{\Gamma(1-\beta)}\biggl(\int_0^t(t-s)^{-\beta}\mathcal{E}(v_m)(s, z_m(s; t, x))\,ds,\, \mathcal{E}(\varphi)\biggr) =\langle f, \varphi\rangle \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
и начальному условию Так как последовательность $\{v_0^m\}$ сходится в $V^0$, то она ограничена по норме $V^0$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\|v_0^m\|_{V^0}^2+\varepsilon_m\|v_0^m\|_{V^2}^2\leqslant C_{26}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, из оценок (3.16), (3.17), (3.23) и (3.24) получаем, что
$$
\begin{equation}
\|v_m\|_{L_2(0, T; V^1)}^2 \leqslant C_{27}(\|f\|_{L_2(0, T; V^{-1})}^2+1),
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
$$
\begin{equation}
\|v_m\|_{C([0, T]; V^0)}^2 \leqslant C_{28}(\|f\|_{L_2(0, T; V^{-1})}^2+1),
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
$$
\begin{equation}
\|v_m'\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})} \leqslant C_{29}(\|f\|_{L_2(0, T; V^{-1})}^2+1),
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
$$
\begin{equation}
\varepsilon\|v_m'\|_{L_{4/3}(0, T; V^3)} \leqslant C_{30}(\|f\|_{L_2(0, T; V^{-1})}^2+1),
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где константы $C_{27}-C_{30}$ не зависят от $\varepsilon$. В силу непрерывности вложения $C([0, T]; V^0)\subset L_\infty(0, T; V^0)$ и оценок (4.2)–(4.4), без ограничения общности (если необходимо переходя к подпоследовательности) получим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{5} v_m &\to v_* &\quad &\text{слабо в} &\quad &L_2(0, T; V^1) &\quad &\text{при} &\quad m&\to\infty, \\ v_m &\to v_* &\quad &\text{$*$-слабо в} &\quad &L_\infty(0, T; V^0) &\quad &\text{при} &\quad m&\to\infty, \\ v_m' &\to v_*' &\quad &\text{слабо в} &\quad &L_{4/3}(0, T; V^{-1}) &\quad &\text{при} &\quad m&\to\infty, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
и что предельная функция $v_*$ принадлежит пространству $W_1$. Рассмотрим задачу Коши (1.8) для предельной функции $v_*$. Заметим, что $v_*$ удовлетворяет условиям теоремы 1. Поэтому в $[0,T]\times[0,T]\times\overline{\Omega}$ существует РЛП $z_*(\tau;t,x)$, порожденный $v_*$. Обозначим через $z_m(\tau;t,x)$ – РЛП, порожденные $v_m$. Лемма 8. Последовательность $z_m(\tau;t,x)$ сходится по мере Лебега на $[0,T]\times\Omega$ по $(\tau,x)$ к $z(\tau;t,x)$ для $t\in[0,T]$. Данная лемма следует из априорной оценки (3.31) и теоремы 2. Доказательства разрешимости начально-краевой задачи (1.1)–(1.5) разделим на две части. Сначала докажем предельный переход во вспомогательной задаче (3.1)–(3.4) при $\xi=1$ с гладкой пробной функцией $\varphi$ из $V^1$, а затем – для производной функции $\varphi \in V^1$. I часть. Пусть пробная функция $\varphi$ из $V^1$ – гладкая. Перейдем к пределу в каждом слагаемом (4.1). При $m\to\infty$ по определению слабой сходимости $v_m\to v^*$ в $L_2(0, T; V^1)$ получим
$$
\begin{equation*}
\mu_0\int_\Omega \nabla v_m: \nabla\varphi\,dx\to \mu_0\int_\Omega \nabla v_*: \nabla\varphi\,dx
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $\varphi\in V^1$. В силу слабой сходимости $v_m'\to v_*'$ в $L_{4/3}(0, T; V^{-1})$ при $m\to\infty$ получим, что
$$
\begin{equation*}
\langle v_m', \varphi\rangle\to \langle v_*', \varphi\rangle
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $\varphi\in V^1$. Далее, используя оценку (4.5), без ограничения общности и в случае необходимости переходя к подпоследовательности, мы имеем, что существует функция $u\in L_{4/3}(0, T; V^3)$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_mv_m'\to u \quad \text{слабо в} \quad L_{4/3}(0, T; V^3) \quad \text{при} \quad m\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_m\langle\nabla\Delta v_m', \nabla\varphi\rangle\to \langle\nabla\Delta u, \nabla\varphi\rangle\quad \text{при} \quad m\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Однако последовательность $\varepsilon_mv_m'$ сходится к нулю в смысле распределений на отрезке $[0, T]$ со значениями в $V^{-3}$. Действительно, для любой гладкой скалярной функции $\psi$ с компактным носителем и $\varphi\in V^3$ мы получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{m\to\infty}\biggl|\varepsilon_m\int_0^T\int_\Omega\nabla\Delta v_m':\nabla \varphi\,dx\, \psi(t)\,dt\biggr|= \lim_{m\to\infty}\varepsilon_m\biggl|\int_0^T\int_\Omega\Delta v_m' \Delta\varphi\,dx\, \psi(t)\,dt\biggr| \\ &\qquad= \lim_{m\to\infty}\varepsilon_m\biggl|\int_0^T\int_\Omega\nabla v_m': \nabla\Delta\varphi\,dx\, \psi(t)\,dt\biggr| \\ &\qquad= \lim_{m\to\infty}\varepsilon_m\lim_{m\to\infty}\biggl|\int_0^T\int_\Omega\nabla v_m' : \nabla\Delta\varphi\,dx\, \psi(t)\,dt\biggr| \\ &\qquad= \lim_{m\to\infty}\varepsilon_m\lim_{m\to\infty} \biggl|\int_\Omega\biggl(\int_0^T\nabla v_m'\psi(t)\,dt\biggr) : \nabla\Delta\varphi\,dx\biggr| \\ &\qquad=\lim_{m\to\infty}\varepsilon_m\lim_{m\to\infty}\biggl|\int_\Omega\biggl(\int_0^T\nabla v_m\, \frac{\partial\psi(t)}{\partial t} \,dt\biggr) :\nabla\Delta\varphi\,dx\biggr| \\ &\qquad= \lim_{m\to\infty}\varepsilon_m\lim_{m\to\infty}\biggl|\int_0^T\int_\Omega \nabla v_m:\nabla\Delta\varphi\,dx\, \frac{\partial\psi(t)}{\partial t}\,dt\biggr|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $v_m$ слабо сходится к $v^*$ в $L_2(0, T; V^1)$ и, следовательно, сходится к $v^*$ в смысле распределений, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{m\to\infty}\varepsilon_m\lim_{m\to\infty}\biggl|\int_0^T\int_\Omega\nabla v_m : \nabla\Delta\varphi\,dx\,\psi(t)\,dt\biggr| \\ &\qquad= \biggl|\int_0^T\int_\Omega \nabla v_*:\nabla\Delta\varphi\,dx\, \frac{\partial\psi(t)}{\partial t}\,dt\biggr|\lim_{m\to\infty}\varepsilon_m=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, в силу единственности слабого предела
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_m\langle\nabla\Delta v_m', \nabla\varphi\rangle\to 0 \quad \text{при} \quad m\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как вложение $V^1\subset L_4(\Omega)$ является вполне непрерывным, а вложение $L_4(\Omega)\subset V^{-1}$ – непрерывно, то по теореме 5 следует, что
$$
\begin{equation*}
F=\{v\in L_2(0, T; V^1), v'\in L_{4/3}(0, T; V^{-1})\}\subset L_2(0, T; L_4(\Omega)).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, учитывая оценки (4.3) и (4.4), заключаем, что
$$
\begin{equation*}
v_m\to v_* \quad \text{сильно в} \quad L_2(0, T; L_4(\Omega)).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу того, что оператор
$$
\begin{equation*}
\Delta_\alpha^{-1}=(I-\alpha^2\Delta)^{-1}\colon L_2(0, T; V^1)\to L_2(0, T; V^3)
\end{equation*}
\notag
$$
является непрерывным, имеет место соотношение
$$
\begin{equation*}
\int_\Omega\sum_{i, j=1}^n(\Delta_\alpha^{-1} v_m)_i(v_m)_j\, \frac{\partial\varphi_j}{\partial x_i}\,dx\to \int_\Omega\sum_{i, j=1}^n(\Delta_\alpha^{-1} v_*)_i(v_*)_j\, \frac{\partial\varphi_j}{\partial x_i}\,dx \quad \text{при} \quad m\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где первая последовательность $(\Delta_\alpha^{-1} v_m)_i$ слабо сходится в $L_2(0, T; V^1)$, а вторая $(v_m)_j$ – сильно в $L_2(0, T; L_4(\Omega))$. Следовательно, их произведение сходится слабо к произведению пределов. Теперь покажем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{\mu_1}{\Gamma(1-\beta)}\biggl(\int_0^t(t-s)^{-\beta}\mathcal{E}(v_m)(s, z_m(s; t, x))\,ds, \mathcal{E}(\varphi)\biggr) \nonumber \\ &\qquad\to \frac{\mu_1}{\Gamma(1-\beta)}\biggl(\int_0^t(t-s)^{-\beta}\mathcal{E}(v_*)(s, z_*(s; t, x))\,ds, \mathcal{E}(\varphi)\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Рассмотрим разность
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\mu_1}{\Gamma(1-\beta)}\biggl(\int_0^t(t-s)^{-\beta}\mathcal{E}(v_m)(s, z_m(s; t, x))\,ds, \mathcal{E}(\varphi)\biggr) \\ &\, -\frac{\mu_1}{\Gamma(1-\beta)}\biggl(\int_0^t(t-s)^{-\beta}\mathcal{E}(v_*)(s, z_*(s; t, x))\,ds, \mathcal{E}(\varphi)\biggr) \\ &=\frac{\mu_1}{\Gamma(1{\kern0.8pt}{-}{\kern0.8pt}\beta)}\biggl(\int_0^t(t{\kern0.8pt}{-}{\kern0.8pt}s)^{-\beta} \!\!\int_\Omega[\mathcal{E}(v_m)(s,z_m(s; t, x)){\kern0.8pt}{-}{\kern0.8pt}\mathcal{E}(v_*)(s,z_m(s; t, x)) ] \,{:}\,\mathcal{E}(\varphi)\,dx\,ds\biggr) \\ &\, + \frac{\mu_1}{\Gamma(1{\kern0.8pt}{-}{\kern0.8pt}\beta)}\biggl(\int_0^t(t{\kern0.8pt}{-}{\kern0.8pt}s)^{-\beta} \!\!\int_\Omega[\mathcal{E}(v_*)(s,z_m(s; t, x)){\kern0.8pt}{-}{\kern0.8pt}\mathcal{E}(v_*)(s, z_*(s; t, x))] \,{:}\, \mathcal{E}(\varphi)\,dx\,ds\biggr) \\ &=Z_1^m+Z_2^m. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
1) Покажем сначала, что $Z_1^m\to 0$ при $m\to \infty$. Обозначим интеграл по области $\Omega$ в $Z_1^m$ через $I$:
$$
\begin{equation*}
I=\int_\Omega[\mathcal{E}(v_m)(s,z_m(s; t, x))-\mathcal{E}(v_*)(s,z_m(s; t, x))] :\mathcal{E}(\varphi)\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Сделаем в интеграле $I$ замену переменных $x=z^m(t; s, y)$ (где обратная замена $y=z_m(s;t,x)$):
$$
\begin{equation*}
I=\int_\Omega[\mathcal{E}(v_m)(s,y)-\mathcal{E}(v_*)(s,y) ] :\mathcal{E}(\varphi)(z_m(t;s,y))\,dy.
\end{equation*}
\notag
$$
Перепишем $Z_1^m$ и продолжим дальнейшее разложение:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Z_1^m &=\frac{\mu_1}{\Gamma(1\,{-}\,\beta)}\biggl(\int_0^t(t\,{-}\,s)^{-\beta} \int_\Omega[\mathcal{E}(v_m)(s,y)\,{-}\,\mathcal{E}(v_*)(s,y) ] :\mathcal{E}(\varphi)(z_m(t;s,y))\,dy\,ds\biggr) \\ &= \frac{\mu_1}{\Gamma(1-\beta)}\biggl(\int_0^t(t-s)^{-\beta} \int_\Omega[\mathcal{E}(v_m)(s,y)-\mathcal{E}(v_*)(s,y) ] :[\mathcal{E}(\varphi)(z_m(t;s,y)) \\ &\ -\mathcal{E}(\varphi)(z_*(t;s,y))]\,dy\,ds\biggr) \\ &\ + \frac{\mu_1}{\Gamma(1\,{-}\,\beta)}\biggl(\int_0^t(t\,{-}\,s)^{-\beta} \int_\Omega[\mathcal{E}(v_m)(s,y)\,{-}\,\mathcal{E}(v_*)(s,y) ] :\mathcal{E}(\varphi)(z_*(t;s,y))\,dy\,ds\biggr) \\ &=Z_{11}^m+Z_{12}^m. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
a) Получаем, что $Z_{12}^m\to 0$ при $m\to\infty$ в силу слабой сходимости $v_m$ к $v_*$ в пространстве $L_2(0,T;V^1)$. b) Применяя неравенства Гёльдера и Коши–Буняковского, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |Z_{11}^m|^2 &\leqslant C_{31}\biggl(\int_0^t(t-s)^{-\beta}\|v_m(s,{\cdot}\,)-v_*(s,{\cdot}\,)\|_{V^1} \nonumber \\ &\qquad\qquad\times\|\varphi_x(z_m(t;s,{\cdot}\,)) -\varphi_x(z_*(t;s,{\cdot}\,))\|_{V^0}\,ds\biggr)^2 \nonumber \\ &\leqslant C_{32}\|v_m(s,{\cdot}\,)-v_*(s,{\cdot}\,)\|_{L_2(0,T;V^1)} \nonumber \\ &\qquad\times \int_0^T\|\varphi_x(z_m(t;s,{\cdot}\,))-\varphi_x(z_*(t;s,{\cdot}\,))\|_{V^0}\,ds. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Обозначим второй сомножитель в последнем неравенстве через $\Phi_m(s)$:
$$
\begin{equation*}
\Phi_m(s)=\int_0^T\|\varphi_x(z_m(t;s,{\cdot}\,))-\varphi_x(z_*(t;s,{\cdot}\,))\|_{V^0}\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем сходимость $\Phi_m(s)\to 0$ при $m\to \infty$ для всех $s\in[0,T]$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\Phi_m(s)=\int_0^T\int_\Omega|\varphi_x(z_m(t;s,y))-\varphi_x(z_*(t;s,y))|^2\,dy\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\varepsilon>0$ – достаточно малое число. Непрерывность функции $\varphi_x$ в $\overline{\Omega}$ означает, что существует $\delta(\varepsilon)$ такое, что если $|x''-x'|\leqslant\delta(\varepsilon)$, то
$$
\begin{equation}
|\varphi_x(x'')-\varphi_x(x')|\leqslant \varepsilon.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Так как последовательность $z_m(t;s,y)$ сходится к $z_*(t;s,y)$ по мере Лебега по $(t,y)$, то для $\delta(\varepsilon)$ существует такое число $N=N(\delta(\varepsilon))$, что для $m\geqslant N$ выполнено следующее неравенство:
$$
\begin{equation}
m\bigl(\{(t,y)\colon |z_m(t;s,y)-z_*(t;s,y)|\geqslant \delta(\varepsilon)\}\bigr)\leqslant\varepsilon.
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Введем обозначения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q(>\delta(\varepsilon))&=\{(t,y)\in Q_T\colon |z_m(t;s,y)-z_*(t;s,y)|> \delta(\varepsilon) \}, \\ Q(\leqslant\delta(\varepsilon))&=\{(t,y)\in Q_T\colon |z_m(t;s,y)-z_*(t;s,y)|\leqslant \delta(\varepsilon) \}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Phi_m(s) &\leqslant C_{33}\biggl(\int_{Q(>\delta(\varepsilon))} |\varphi_x(z_m(t;s,y))-\varphi_x(z_*(t;s,y))|^2\,dy\,ds \nonumber \\ &\qquad+ \int_{Q(\leqslant\delta(\varepsilon))} |\varphi_x(z_m(t;s,y))-\varphi_x(z_*(t;s,y))|^2\,dy\,ds\biggr) \nonumber \\ &=C_{33}\bigl(\Phi_m^1(s)+\Phi_m^2(s)\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Для $\Phi_m^2(s)$ в силу (4.8) имеем $|z_m(t;s,y)-z_*(t;s,y)|\leqslant\delta(\varepsilon)$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\Phi_m^2(s)\leqslant \int_{Q(\leqslant\delta(\varepsilon))}\varepsilon^2\,dy\,ds=C_{34}\varepsilon^2.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Для $\Phi_m^1(s)$ в силу (4.9) имеем $m(Q(>\delta(\varepsilon)))\leqslant\varepsilon$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Phi_m^1(s)\leqslant C_{35}\|\varphi_x\|_{C(\Omega)} \int_{Q(>\delta(\varepsilon))}\,dy\,ds=C_{35}\varepsilon\|\varphi_x\|_{C(\Omega)}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Таким образом, из (4.10)–(4.12) следует, что для малого $\varepsilon>0$ и $m\geqslant N(\delta(\varepsilon))$ выполнено неравенство Следовательно, получена сходимость $\Phi_m(s) \to 0$ при $m\to \infty$ для всех $s\in[0,T]$. Рассмотрим правую часть неравенства (4.7). В силу ограниченности первого сомножителя (так как $v_m\in L_2(0,T;V^1)$) и сходимости к $0$ второго сомножителя при $m\to \infty$, получаем, что $Z_{11}^m\to 0$ при $m\to \infty$. Таким образом, доказано, что $Z_1^m\to 0$ при $m\to \infty$. 2) Теперь покажем, что $Z_2^m\to 0$ при $m\to \infty$. Рассмотрим вспомогательную гладкую и конечную на $[0,T]\times\Omega$ функцию $\widetilde{v}(t,x)$ такую, что справедлива оценка $\|v_*-\widetilde{v}\|_{L_2(0,T;V^1)}\leqslant\varepsilon$ для достаточно малого $\varepsilon>0$. Оценим теперь $Z_2^m$ через три интеграла
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |Z_2^m| &\leqslant C_{37} \biggl(\int_0^t(t-s)^{-\beta} \int_\Omega\|v_*(s,z_m(s; t, x))- \widetilde{v}(s, z_m(s; t, x))\|_{V^1}\,ds \\ &\qquad+ \int_0^t(t-s)^{-\beta}\int_\Omega\|\widetilde{v}(s,z_m(s; t, x))- \widetilde{v}(s, z_*(s; t, x))\|_{V^1}\,ds \\ &\qquad+ \int_0^t(t-s)^{-\beta}\int_\Omega\|\widetilde{v}(s,z_*(s; t, x))- v_*(s, z_*(s; t, x))\|_{V^1}\,ds\biggr) \\ &=C_{37}(Z_{21}^m+Z_{22}^m+Z_{23}^m). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сделаем замену переменных в нормах под интегралами $Z_{21}^m$ и $Z_{23}^m$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|v_*(s,z_m(s; t, x))- \widetilde{v}(s, z_m(s; t, x))\|_{V^1} &=\|v_*(s,y)- \widetilde{v}(s,y)\|_{V^1}, \\ \|\widetilde{v}(s,z_*(s; t, x))- v_*(s, z_*(s; t, x))\|_{V^1} &=\|\widetilde{v}(s,y)- v_*(s,y)\|_{V^1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда получим
$$
\begin{equation*}
Z_{21}^m+Z_{23}^m=C_{37} \biggl(\int_0^t(t-s)^{-\beta}\|v_*(s,{\cdot}\,)- \widetilde{v}(s,{\cdot}\,)\|_{V^1}\,ds\biggr)\leqslant C_{37}\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим также $Z_{22}^m$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
Z_{22}^m\leqslant C_{37} \biggl(\int_0^t(t-s)^{-\beta}\biggl(\int_\Omega|\widetilde{v}_x(s,z_m(s; t,{\cdot}\,))- \widetilde{v}_x(s, z_*(s; t,{\cdot}\,))|^2\,dx\biggr)^{1/2}\,ds\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу леммы 8 последовательность $z_m(s;t,x)$ сходится к $z(s;t,x)$ и функция $\widetilde{v}_x(t,x)$ – ограниченная и гладкая, поэтому по теореме Лебега получим сходимость $Z_{2}^m\to 0$ при $m\to\infty$. Таким образом, доказали сходимость (4.6). В итоге показали, что функция $v_*$ при гладкой пробной функции $\varphi$ из $V^1$ удовлетворяет равенству
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\langle v_*', \varphi\rangle - \int_\Omega\sum_{i, j=1}^n(\Delta_\alpha^{-1} v_*)_i(v_*)_j\,\frac{\partial\varphi_j}{\partial x_i}\,dx + \mu_0\int_\Omega\nabla v_*:\nabla \varphi\,dx \nonumber \\ &\qquad+ \frac{\mu_1}{\Gamma(1-\beta)}\biggl(\int_0^t(t-s)^{-\beta}\mathcal{E}(v_*)(s, z_*(s; t, x))\,ds,\, \mathcal{E}(\varphi)\biggr) = \langle f, \varphi\rangle. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Так как имеют место априорные оценки (4.2)–(4.4), то в силу свойств слабой сходимости для $v_*$ непосредственно получаем оценку:
$$
\begin{equation*}
\|v_*\|_{L_\infty(0, T; V^0)}+\|v_*\|_{L_2(0, T; V^1)}+\|v_*\|_{L_{4/3}(0, T; V^{-1})}\leqslant C_{38}(\|f\|_{L_2(0, T; V^{-1})}+1).
\end{equation*}
\notag
$$
Откуда следует, что $v_*\in W_1$. Таким образом, доказали предельный переход при гладкой пробной функции $\varphi$ из $V^1$. II часть. Докажем данный предельный переход для произвольной пробной функции $\varphi$ из $V^1$. Перепишем равенство (4.13) для гладкой функции $\varphi$ в виде где введены обозначения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{split} [G_1,\varphi] &= \langle v', \varphi\rangle - \int_\Omega\sum_{i, j=1}^n(\Delta_\alpha^{-1} v)_i(v)_j\, \frac{\partial\varphi_j}{\partial x_i}\,dx + \mu_0\int_\Omega\nabla v:\nabla \varphi\,dx \\ &\qquad+\frac{\mu_1}{\Gamma(1-\beta)}\biggl(\int_0^t(t-s)^{-\beta}\mathcal{E}(v)(s, z(s; t, x))\,ds, \mathcal{E}(\varphi)\biggr), \end{split} \\ [G_2,\varphi]=\langle f, \varphi\rangle. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство данной леммы аналогично получению априорных оценок в § 3. Так как множество гладких функций плотно в $V^1$, для $\varphi \in V^1$ существует последовательность гладких функций $\varphi^l\in V^1$ таких, что $|\varphi^l-\varphi|_{V^1}\to0$ при $l\to \infty$. В силу (4.14) получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [G_1,\varphi]-[G_2,\varphi] &=[G_1,\varphi-\varphi^l]-[G_2,\varphi-\varphi^l]+[G_1,\varphi^l]-[G_2,\varphi^l] \\ &=[G_1,\varphi-\varphi^l]-[G_2,\varphi-\varphi^l]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего равенства и оценок (4.15) получим
$$
\begin{equation*}
|[G_1,\varphi]-[G_2,\varphi]|\leqslant C_{41}|\varphi-\varphi^l|.
\end{equation*}
\notag
$$
Принимая во внимание последнее неравенство и переходя к пределу при $l\to\infty$ в равенстве (4.13) для $\varphi=\varphi^l$, получим равенство (4.13) для произвольной $\varphi\,{\in}\, V^1$, что и завершает доказательство существования слабых решений начально-краевой задачи (1.1)–(1.5).
§ 5. Доказательство теоремы 4В данном параграфе установим сходимость решений альфа-модели (1.1)–(1.5) к решениям исходной модели (1.7)–(1.10), когда параметр $\alpha$ стремится к нулю. Прежде чем переходить непосредственно к доказательству, сформулируем определение слабого решения начально-краевой задачи (1.7)–(1.10). Определение 6. Пусть $f\in L_2(0, T; V^{-1})$, $v_0\in V^0$. Функция $v\in W_1$ называется слабым решением начально-краевой задачи (1.7)–(1.10), если для всех $\varphi\in V^1$ при почти всех $t\in (0, T)$ она удовлетворяет равенству Рассмотрим последовательность чисел $\alpha_m$, таких что $\alpha_m\to 0$ при $m\to\infty$, и еще одно семейство вспомогательных задач, зависящих от параметра $\alpha_m$:
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\frac{\partial v^m}{\partial t} + \sum_{i=1}^n u_i^m\frac{\partial v^m}{\partial x_i} - \mu_0\Delta v^m \\ &\qquad- \frac{\mu_1}{\Gamma(1-\beta)}\operatorname{Div}\int_0^t (t-s)^{-\beta}\mathcal{E}(v^m)(s, z^m(s; t, x))\,ds = f, \end{split}
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
$$
\begin{equation}
z^m(\tau; t, x)=x+\int^\tau_tv^m(s, z^m(s; t, x))\,ds,
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{div}v^m=0,\qquad v^m|_{t=0}=v_0, \qquad v^m|_{\partial\Omega}=0.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
По доказанной теореме 3 при каждом $\alpha_m$ существует решение $v^m\in W_1$ вспомогательной задачи (5.2)–(5.5). Тогда для всех $\varphi\in V^2$ при почти всех $t\in (0, T)$ имеет место равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\langle (v^m)', \varphi\rangle - \int_\Omega\sum_{i, j=1}^n(\Delta_\alpha^{-1}v^m)_i v^m_j \, \frac{\partial\varphi_j}{\partial x_i}\,dx + \mu_0\int_\Omega\nabla v^m :\nabla \varphi\,dx \nonumber \\ &\qquad+ \frac{\mu_1}{\Gamma(1-\beta)}\biggl(\int_0^t(t-s)^{-\beta}\mathcal{E}(v^m)(s, z(v^m)(s; t, x))\,ds,\, \mathcal{E}(\varphi)\biggr) = \langle f, \varphi\rangle. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Из оценок (4.2)–(4.4) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{5} v^m&\to v^* &\quad &\text{слабо в} &\quad &L_2(0, T; V^1)&\quad &\text{при}&\quad m&\to\infty, \\ v^m&\to v^* &\quad &\text{*-слабо в} &\quad &L_\infty(0, T; V^0)&\quad &\text{при}&\quad m&\to\infty, \\ (v^m)'&\to (v^*)' &\quad &\text{слабо в} &\quad &L_{4/3}(0, T; V^{-1}) &\quad &\text{при} &\quad m&\to\infty. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя эти сходимости, перейдем к пределу в равенстве (5.6). Рассмотрим отдельно второе слагаемое. Справедливы следующие соотношения:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|\langle B(v^m), \varphi\rangle - \langle B(v_*), \varphi\rangle|=\biggl|\int_\Omega\sum_{i, j=1}^nu_i^mv^m_j \, \frac{\partial\varphi_j}{\partial x_i}\,dx - \int_\Omega\sum_{i, j=1}^nv_i^*v^*_j \, \frac{\partial\varphi_j}{\partial x_i}\,dx\biggr| \\ &\ = \biggl|\int_\Omega\sum_{i, j=1}^n \bigl((u_i^m-v_i^m)v_j^m+(v_i^m-v_i^*)v_j^m+(v_j^m-v_j^*)v_i^*\bigr) \, \frac{\partial\varphi_j}{\partial x_i}\,dx\biggr| \\ &\ \leqslant \biggl|\int_\Omega\sum_{i, j=1}^n(u_i^m-u_i^m+\alpha_m^2\Delta u_i^m)v_j^m \, \frac{\partial\varphi_j}{\partial x_i}\,dx\biggr| + \biggl|\int_\Omega\sum_{i, j=1}^n(v_i^m-v_i^*)v_j^m \, \frac{\partial\varphi_j}{\partial x_i}\,dx\biggr| \\ &\qquad+ \biggl|\int_\Omega\sum_{i, j=1}^n(v_j^m-v_j^*)v_i^*\, \frac{\partial\varphi_j}{\partial x_i}\,dx\biggr|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отдельно оценим каждое слагаемое. В первом слагаемом, используя неравенство Гёльдера, а также непрерывность вложения $V^1\subset L_4(\Omega)$, для всех $\varphi\in V^2$ получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int_\Omega\sum_{i, j=1}^n\alpha_m^2\Delta u_i^mv_j^m\, \frac{\partial\varphi_j}{\partial x_i}\,dx\biggr| \\ &\qquad\leqslant \alpha_m\sum_{i, j=1}^n\biggl(\int_\Omega|\alpha_m\Delta u_i^m|^2\,dx\biggr)^{1/2} \biggl(\int_\Omega\biggl|v_j^m\, \frac{\partial\varphi_j}{\partial x_i} \biggr|^2\,dx\biggr)^{1/2} \\ &\qquad\leqslant \alpha_m\sum_{i, j=1}^n\|\alpha_m\Delta u_i^m\|_{L_2(\Omega)} \|v_j^m\|_{L_4(\Omega)}\, \biggl\|\frac{\partial\varphi_j}{\partial x_i} \biggr\|_{L_4(\Omega)} \\ &\qquad\leqslant C_{42}\alpha_m\sum_{i, j=1}^n\|\alpha_m\Delta u_i^m\|_{L_2(\Omega)}\|v_j^m\|_{V^1} \, \biggl\|\frac{\partial\varphi_j}{\partial x_i}\biggr\|_{V^1} \\ &\qquad\leqslant C_{43}\alpha_m\|\alpha_m\Delta u^m\|_{L_2(\Omega)}\|v^m\|_{V^1}\|\varphi\|_{V^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Остальные слагаемые оцениваются аналогичным образом. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|\langle B(v^m), \varphi\rangle - \langle B(v_*), \varphi\rangle|\leqslant C_{44}\bigl(\alpha_m\|\alpha_m\Delta u^m\|_{L_2(\Omega)} \|v^m\|_{V^1}\|\varphi\|_{V^2} \\ &\qquad\qquad+ \|v^m-v^*\|_{L_4(\Omega)}\|v^m\|_{L_4(\Omega)}\|\varphi\|_{V^1} + \|v^m-v^*\|_{L_4(\Omega)} \|v^*\|_{L_4(\Omega)}\|\varphi\|_{V^1}\bigr) \\ &\qquad\leqslant C_{45}\bigl(\alpha_m\|\alpha_m\Delta u^m\|_{L_2(\Omega)} \|v^m\|_{V^1} + \|v^m-v^*\|_{L_4(\Omega)}\|v^m\|_{V^1} \\ &\qquad\qquad+ \|v^m-v^*\|_{L_4(\Omega)}\|v^*\|_{V^1}\bigr)\|\varphi\|_{V^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|B(v^m)-B(v_*)\|_{V^{-2}} &\leqslant C_{45}\bigl(\alpha_m\|\alpha_m\Delta u^m\|_{L_2(\Omega)}\|v^m\|_{V^1} \\ &\qquad+ \|v^m-v^*\|_{L_4(\Omega)}\|v^m\|_{V^1} + \|v^m-v^*\|_{L_4(\Omega)}\|v^*\|_{V^1}\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Проинтегрируем обе части последнего неравенства по $t$ в пределах от $0$ до $T$. Применяя неравенство Гёльдера, заключаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_0^T\|B(v^m) - B(v_*)\|_{V^{-2}}\, dt \leqslant \alpha_mC_{45}\int_0^T\|\alpha_m\Delta u^m\|_{L_2(\Omega)}\|v^m\|_{V^1}\,dt \nonumber \\ &\qquad\qquad+ C_{45}\int_0^T\|v^m-v^*\|_{L_4(\Omega)}\|v^m\|_{V^1}\,dt + C_{45}\int_0^T\|v^m-v^*\|_{L_4(\Omega)}\|v^*\|_{V^1}\,dt \nonumber \\ &\qquad\leqslant \alpha_mC_{45}\biggl(\int_0^T\|\alpha_m\Delta u^m\|_{L_2(\Omega)}^2\,dt\biggr)^{1/2} \biggl(\int_0^T\|v^m\|_{V^1}\,dt\biggr)^{1/2} \nonumber \\ &\qquad\qquad+ C_{45}\|v^m-v^*\|_{L_2(0, T; L_4(\Omega))}\|v^m\|_{L_2(0, T; V^1)} \nonumber \\ &\qquad\qquad+ C_{45}\|v^m-v^*\|_{L_2(0, T; L_4(\Omega))}\|v^*\|_{L_2(0, T; V^1)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Так как $v^m\to v^*$ слабо в $L_2(0, T; V^1)$ и $(v^m)'\to (v^*)'$ слабо в $L_{4/3}(0, T; V^{-1})$, то в силу теоремы Обена–Симона $v^m\to v^*$ сильно в $L_2(0, T; L_4(\Omega))$. Таким образом, с учетом оценки (4.2) получаем, что последние два слагаемых в неравенстве (5.7) стремятся к нулю. Напомним, что
$$
\begin{equation*}
\|v\|_{V^1}^2=\|u-\alpha^2\Delta u\|_{V^1}^2=\|u\|_{V^1}^2+2\|\alpha\Delta u\|_{L_2(\Omega)}^2+\alpha^4\|u\|_{V^3}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому в силу оценки (4.2) следует, что
$$
\begin{equation}
\int_0^T\|\alpha \Delta u\|_{L_2(\Omega)}^2\,dt\leqslant \frac{1}{2}\int_0^T\|v\|_{V^1}^2\,dt\leqslant C_{27}(\|f\|_{L_2(0, T; V^{-1})}^2+1).
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Таким образом, в силу неравенств (5.7) и (5.8), а также указанных сходимостей, получим
$$
\begin{equation*}
\int_0^T\|B(v^m) - B(v_*)\|_{V^{-2}}\, dt\leqslant \alpha_mC_{45}C_{27}(\|f\|_{L_2(0, T; V^{-1})}^2+1)\to 0
\end{equation*}
\notag
$$
при $\alpha_m\to 0$. Следовательно, $B(v^m)\to B(v^*)$ сильно в $L_1(0, T; V^{-2})$, а значит и в пространстве $\mathcal{D}'(0,T;V^{-2})$. Для установления сходимостей в остальных слагаемых равенства (5.6) мы полностью повторим рассуждения, которые были проведены при доказательстве предельного перехода в предыдущем параграфе. Все эти слагаемые сходятся в пространстве $L_{4/3}(0, T; V^{-1})$, а значит, и в пространстве $\mathcal{D}'(0,T;V^{-2})$. Таким образом, переходя в равенстве (5.6) к пределу при $m\to\infty$, получим, что предельная функция $v_*$ удовлетворяет равенству
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\langle (v^*)', \varphi\rangle - \int_\Omega\sum_{i, j=1}^n v_i^*v_j^*\frac{\partial\varphi_j}{\partial x_i}\,dx + \mu_0\int_\Omega\nabla v^*:\nabla \varphi\,dx \\ &\qquad+ \frac{\mu_1}{\Gamma(1-\beta)}\biggl(\int_0^t(t-s)^{-\beta}\mathcal{E}(v^*)(s, Z(v^*)(s; t, x))\,ds,\, \mathcal{E}(\varphi)\biggr) = \langle f, \varphi\rangle. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $v^*$ согласно определению 6 является слабым решением начально-краевой задачи (1.7)–(1.10) для пробной функции $\varphi \in V^2$. Однако заметим, что функция $v^*$ в силу полученных сходимостей удовлетворяет оценкам (4.2)–(4.4). Следовательно, каждое слагаемое последнего равенства выполнено и для произвольной пробной функции $\varphi \in V^1$. Таким образом, доказана сходимость слабых решений альфа-модели (1.7)–(1.10) к слабым решениям начально-краевой задачи (1.7)–(1.10). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Zvy21} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|