| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 14 научных статьях (всего в 14 статьях) Разрешимость нестационарных уравнений трехмерного движения теплопроводных вязких сжимаемых двухкомпонентных жидкостей А. Е. Мамонтовab, Д. А. Прокудинc a Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск b Новосибирский государственный университет c Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9019 
Реферативные базы данных:
    В математической гидродинамике вязких сжимаемых жидкостей в последние полтора десятилетия одной из передовых задач выступает построение теории глобальной разрешимости краевых задач в теплопроводном случае. Речь идет о многомерных по пространству течениях, поскольку одномерный случай был в целом изучен в 1970-80-х годах. Опираясь на прорывные результаты 1990-х годов, касающиеся нетеплопроводных уравнений Навье–Стокса (в сжимаемом случае), теория уравнений Навье–Стокса–Фурье (т. е. с учетом теплопроводности) была значительно продвинута в 2000-е годы. О результатах этой работы можно судить по таким монографиям как [1]–[3]. К слову, характерной особенностью этих результатов является их крайняя техническая громоздкость, приводящая к большому объему текста с обилием дополнительных построений, что затрудняет их публикацию в журнальном формате. Одной из ветвей развития гидродинамики вязких сжимаемых жидкостей является теория движения смесей (многокомпонентных жидкостей, многожидкостных систем). Существуют разные подходы к трактовке этого понятия, приводящие к радикально различным моделям и уравнениям. Обзор этого вопроса занял бы много места, и это выходит за рамки настоящего введения (краткое описание можно найти в [4]). Нас будет интересовать так называемый многоскоростной подход, при котором компоненты смеси имеют каждая свой набор термодинамических и кинематических параметров (в частности, скорости). С математических позиций это означает, что рассматривается несколько систем Навье–Стокса–Фурье для каждой компоненты, связанных между собой через старшие члены, и потому для анализа такой системы недостаточно воспользоваться готовыми результатами из теории однокомпонентных течений (т. е. для одной системы Навье–Стокса–Фурье). Особенно это касается случая, когда в уравнениях учтен не только обмен импульсом, но и взаимное вязкое трение компонент смеси. В период развития одномерной теории (для однокомпонентных вязких газов) моделям смесей было уделено определенное внимание, но результаты касались только систем с учетом обмена импульсом (что означает связь уравнений только через младшие члены). Поэтому в теории смесей актуальны и одномерные по пространству результаты, если они учитывают взаимное вязкое трение компонент (такие результаты также новы) – многомерность по числу компонент никак логически и технически не связана с многомерностью по числу пространственных переменных. В представленной работе проводится анализ глобальной разрешимости начально-краевой задачи, моделирующей трехмерные течения двухкомпонентной теплопроводной вязкой сжимаемой жидкости (гомогенной смеси жидкостей) в рамках многоскоростного подхода. Теоретические основы моделирования таких сред заложены в [5], [6] (см. также [4]). Известные на сегодняшний день результаты о разрешимости начально-краевых задач для многомерной многоскоростной модели динамики смесей затрагивают либо баротропный случай [7]–[10], либо стационарный теплопроводный случай [11]. Отдельного упоминания заслуживают одномерные модели динамики смесей, для которых возможно построение сильных решений и доказательство единственности. В рамках многоскоростного подхода такие результаты получены в работах [12]–[15]. Следует также отметить результаты, полученные для смежных односкоростных моделей смесей [16]–[23]. Таким образом, к настоящему времени для нестационарных многомерных движений многокомпонентной вязкой сжимаемой теплопроводной жидкости нет каких-либо результатов в многоскоростном случае. Представленная работа начинает деятельность в этом направлении. В однокомпонентном случае аналогичные результаты были получены в [1], [24]. В работе рассмотрен (наиболее интересный физически) случай трехмерных движений, но как обычно в теории Навье–Стокса–Фурье, результат без труда повторяется в случае произвольной размерности пространственных переменных (с указанной выше спецификой одномерного случая). План работы следующий. В § 1 приводятся дифференциальные уравнения движения смесей, математическая формулировка решаемой задачи и основного результата. В § 2 формулируются необходимые вспомогательные результаты, полученные авторами в двух предыдущих работах [25] и [26]: постановка регуляризованной задачи, ее разрешимость, предельный переход по одному из параметров регуляризации и (нужные в дальнейшем) свойства получающегося приближенного решения. Наконец, в оставшихся параграфах обосновывается предельный переход по остальным трем параметрам регуляризации. Основной результат сформулирован в п. 1.7 в виде теоремы 1.7. § 1. Постановка задачи и основной результат1.1. Формулировка уравнений динамики смесейДана ограниченная область $\Omega\,{\subset}\,\mathbb{R}^{3}$ с границей $\partial\Omega$ класса $C^{2+\sigma_1}$, $\sigma_1\,{\in}\,(0,1)$, и число $T\,{>}\,0$. Движение в $\Omega$ теплопроводной смеси из двух вязких сжимаемых жидкостей с течением времени $t\in[0,T]$ описывается следующей системой уравнений в частных производных [5], [6] (см. также [4]):
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \rho_i}{\partial t}+\operatorname{div}(\rho_i\boldsymbol{u}_i)=0,\qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial (\rho_i\boldsymbol{u}_i)}{\partial t}+\operatorname{div}(\rho_i\boldsymbol{u}_i\otimes\boldsymbol{u}_i)+\nabla p_i=\operatorname{div}\mathbb{S}_i+\boldsymbol{J}_i+\rho_i \boldsymbol{f}_i,\qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\mathcal{E}}{\partial t}+\operatorname{div}\biggl(\sum_{i=1}^2 \mathcal{E}_i\boldsymbol{u}_i\biggr)+\operatorname{div}\biggl(\boldsymbol{q}-\sum_{i=1}^2 \mathbb{S}_i \boldsymbol{u}_i+\sum_{i=1}^2 p_i \boldsymbol{u}_i\biggr)= \sum_{i=1}^2\rho_i \boldsymbol{f}_i \cdot \boldsymbol{u}_i+\rho g.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Данные уравнения представляют собой соответственно математические формулировки законов сохранения массы для каждой компоненты, законов сохранения импульса для каждой компоненты и закона сохранения полной энергии для смеси. Здесь $\rho_i\geqslant 0$ – плотность $i$-й компоненты; $\rho=\rho_1+\rho_2$ – суммарная плотность; $\boldsymbol{u}_i$ – скорость $i$-й компоненты;
$$
\begin{equation*}
\mathcal{E}_i=\frac{\rho_i|\boldsymbol{u}_i|^2}2+\rho_i e_i(\rho_i,\theta)
\end{equation*}
\notag
$$
– полная энергия $i$-й компоненты, где $e_i(\rho_i,\theta)$ – внутренняя удельная энергия $i$-й компоненты, $\theta>0$ – температура смеси; $\mathcal{E}=\mathcal{E}_1+\mathcal{E}_2$ – суммарная полная энергия; $p_i=p_i(\rho_i,\theta)$ – давление в $i$-й компоненте; кроме того,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbb{S}_i &=\sum_{j=1}^2\bigl((\lambda_{ij}\operatorname{div}\boldsymbol{u}_j)\mathbb{I} +2\mu_{ij}\mathbb{D}(\boldsymbol{u}_j)\bigr) \nonumber \\ &=\sum_{j=1}^2\biggl((\eta_{ij}\operatorname{div}\boldsymbol{u}_j)\mathbb{I} +2\mu_{ij}\biggl(\mathbb{D}(\boldsymbol{u}_j) -\frac{1}{3}(\operatorname{div}\boldsymbol{u}_j)\mathbb{I}\biggr)\biggr) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
– вязкая часть тензора напряжений в $i$-й компоненте, где $\mathbb{I}$ – единичный тензор, $\mathbb{D}(\boldsymbol{v})=((\nabla\otimes\boldsymbol{v}) +(\nabla\otimes\boldsymbol{v})^{\ast})/2$ – тензор скоростей деформаций векторного поля $\boldsymbol{v}$ (верхний индекс $\ast$ означает транспонирование), а числовые коэффициенты вязкостей $\lambda_{ij}$, $\mu_{ij}$ и $\eta_{ij}$ образуют следующие матрицы:
$$
\begin{equation}
\mathbf{M}=\{\mu_{ij}\}_{i,j=1}^2>0,\qquad \boldsymbol{\Lambda}=\{\lambda_{ij}\}_{i,j=1}^2,\qquad \mathbf{H}=\{\eta_{ij}\}_{i,j=1}^2=\boldsymbol{\Lambda}+\frac{2}{3}\mathbf{M}\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
откуда в частности следует, что1
$$
\begin{equation}
\mathbf{N}=\{\nu_{ij}\}_{i,j=1}^2=\boldsymbol{\Lambda}+2\mathbf{M}>0.
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Далее, $\boldsymbol{J}_i=(-1)^{i}a(\boldsymbol{u}_1-\boldsymbol{u}_2)$ – приток импульса в $i$-ю компоненту из другой компоненты; $\boldsymbol{f}_i$ – плотность внешних массовых сил, действующих из внешней среды на $i$-ю компоненту; – суммарный тепловой поток, $k$ – теплопроводность; наконец, $g$ – плотность тепловых источников внешней среды.1.2. Определяющие уравненияПриведенная в п. 1.1 система уравнений не является замкнутой – число уравнений меньше числа неизвестных. Необходимы так называемые определяющие уравнения, т. е. соотношения, связывающие термодинамические параметры (плотности, давления, внутренние энергии, температуру) между собой. Эти уравнения обязаны удовлетворять определенным ограничениям, в частности, соотношениям Гиббса
$$
\begin{equation}
\theta \, ds_i=de_i+p_i\, d\biggl(\frac{1}{\rho_i}\biggr)\quad\forall\,\rho_i,\theta>0,\quad i=1,2,
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
где $s_i=s_i(\rho_i,\theta)$ – удельная энтропия $i$-й компоненты, что эквивалентно соотношениям Максвелла
$$
\begin{equation}
\rho_i^2\,\frac{\partial e_i}{\partial \rho_i}=p_i-\theta\,\frac{\partial p_i}{\partial \theta},\qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
а также условиям термодинамической устойчивости
$$
\begin{equation}
\frac{\partial p_i}{\partial \rho_i}>0,\quad \frac{\partial e_i}{\partial \theta}>0,\qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
Замечание 1.1. Для гладких решений системы (1.1)–(1.3) уравнение (1.3), выражающее баланс полной энергии, можно (ввиду (1.1), (1.2), (1.9)) записать в одной из следующих эквивалентных форм, выражающих эволюцию соответственно внутренней энергии, энтропии и температуры: Таким образом, в согласии с фундаментальными физическими принципами можно выбирать любые определяющие соотношения, которые не противоречат требованиям (1.8)–(1.10). В данной работе мы, следуя подходу, предложенному в [1], будем предполагать, что
$$
\begin{equation}
p_i(\rho_i, \theta)=p_{\mathrm{e}i}(\rho_i)+\theta p_{\theta i}(\rho_i),\qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
с некоторыми функциями $p_{\mathrm{e}i}$, $p_{\theta i}$. Тогда из (1.9) получаем
$$
\begin{equation}
e_i(\rho_i, \theta)=P_{\mathrm{e}i}(\rho_i)+Q_i(\theta),\qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
где
$$
\begin{equation}
P_{\mathrm{e}i}(\rho_i)=\int_1^{\rho_i}\frac{p_{\mathrm{e}i}(z)}{z^2}\,dz,\qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
и с точностью до несущественных аддитивных констант верно представление для тепловых энергий
$$
\begin{equation}
Q_i(\theta)=\int_0^{\theta}c_{\theta i}(z)\, dz,\qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
с некоторыми функциями $c_{\theta i}$ (теплоемкостями). Нам также потребуется обозначение Условия (1.10) будут заведомо выполнены, если $p'_{\mathrm{e}i}$, $p'_{\theta i}$ неотрицательны, причем $p'_{\mathrm{e}i}$ или $p'_{\theta i}$ положительны, а $c_{\theta i}(z)\geqslant c_1=\mathrm{const}>0$ $\forall\, z\geqslant 0$. Теперь из (1.8) находим
$$
\begin{equation}
s_i(\rho_i, \theta)=C_{\theta i}(\theta)-P_{\theta i}(\rho_i)+s_{0i},\qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{1.18}
$$
где
$$
\begin{equation}
C_{\theta i}(\theta)=\int_1^{\theta}\frac{c_{\theta i}(z)}{z}\, dz,\quad P_{\theta i}(\rho_i)=\int_1^{\rho_i}\frac{p_{\theta i}(z)}{z^2}\,dz,\qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{1.19}
$$
а $s_{0i}$ – произвольные постоянные. Уравнение (1.12) для температуры в этом случае примет следующий вид:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{\partial}{\partial t}\sum_{i=1}^2\rho_iQ_i(\theta) +\operatorname{div}\biggl(\sum_{i=1}^2\rho_iQ_i(\theta)\boldsymbol{u}_i\biggr) +\operatorname{div}\boldsymbol{q}+\theta\sum_{i=1}^2p_{\theta i}(\rho_i)\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i \nonumber \\ &\qquad=\sum_{i=1}^2 \mathbb{S}_i:\mathbb{D}(\boldsymbol{u}_i) +a|\boldsymbol{u}_1-\boldsymbol{u}_2|^2+\rho g, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.20}
$$
который и будет далее рассматриваться как основная форма уравнения энергии. 1.3. Формулировка задачи $\mathcal H$Основным объектом изучения настоящей работы является следующая задача. Задача $\mathcal H$. В замыкании $\overline{Q}_T$ цилиндра2 $Q_T$ требуется найти скалярные поля $\rho_i\geqslant 0$, $i=1,2$, $\theta>0$ и векторные поля $\boldsymbol{u}_i$, $i=1,2$, удовлетворяющие системе уравнений (1.1), (1.2), (1.20) и следующим начальным и краевым условиям: Замечание 1.2. Строго говоря, начальные условия должны быть заданы в терминах $\rho_i(0, {\cdot}\,)$, $(\rho_i\boldsymbol{u}_i)(0, {\cdot}\,)$ и $\rho_i Q_i(\theta)(0, {\cdot}\,)$, однако математически более удобно работать с начальными условиями, записанными в форме (1.21). И с физической точки зрения, и с математических позиций необходимо обеспечить неотрицательность производства энтропии. Общая энтропия системы
$$
\begin{equation*}
S=\sum_{i=1}^2 \int_\Omega \rho_i s_i\, d\boldsymbol{x}
\end{equation*}
\notag
$$
должна не убывать со временем в случае, когда система термодинамически замкнута, т. е. когда $g=0$ и $L=0$. В общем (термодинамически незамкнутом) случае из (1.7), (1.11), (1.22) и (1.23) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{dS}{dt}&= \int_\Omega \frac{1}{\theta}\sum_{i=1}^2\mathbb{S}_i:\mathbb{D}(\boldsymbol{u}_i)\, d\boldsymbol{x}+ \int_\Omega \frac{a|\boldsymbol{u}_1-\boldsymbol{u}_2|^2}{\theta}\, d\boldsymbol{x}+ \int_\Omega \frac{k(\theta)|\nabla \theta|^2}{\theta^2} \, d\boldsymbol{x} \\ &\qquad+\int_\Omega\frac{\rho g}{\theta}\, d\boldsymbol{x}- \int_{\partial\Omega}\frac{L(t,\boldsymbol{x},\theta)}{\theta}\, d\sigma. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, достаточно потребовать выполнения условий на коэффициенты $k\geqslant 0$, $a\geqslant 0$, а также следующего условия для тензоров вязких напряжений:
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^2 \mathbb{S}_i:\mathbb{D}(\boldsymbol{u}_i)\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{1.24}
$$
В рамках условий на матрицы вязкостей, перечисленных в (1.5), выполнение (1.24) очевидно ввиду равенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{i=1}^2 \mathbb{S}_i:\mathbb{D}(\boldsymbol{u}_i)&=\sum_{i, j=1}^2\biggl(\eta_{ij}(\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i)(\operatorname{div}\boldsymbol{u}_j) \nonumber \\ &\qquad+2\mu_{ij}\biggl(\mathbb{D}(\boldsymbol{u}_i) -\frac{1}{3}(\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i)\mathbb{I}\biggr) :\biggl(\mathbb{D}(\boldsymbol{u}_j)-\frac{1}{3}(\operatorname{div}\boldsymbol{u}_j) \mathbb{I}\biggr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.25}
$$
Кроме того, из условий (1.5) (см. (1.6)), в силу (1.22), следует весьма важное с математических позиций неравенство
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^2 \int_\Omega \mathbb{S}_i:(\nabla\otimes\boldsymbol{u}_i)\,d\boldsymbol{x}\geqslant B_0\sum_{i=1}^2 \int_\Omega|\nabla\otimes\boldsymbol{u}_i|^2 \,d\boldsymbol{x}
\end{equation}
\tag{1.26}
$$
с некоторой положительной постоянной $B_0=B_0(\boldsymbol{\Lambda},\mathbf{M})$. Анализ разрешимости задачи $\mathcal H$ будет нами проводиться в рамках определенных дополнительных (по сравнению с изложенными в п. 1.2) ограничений на определяющие соотношения и входные данные. Эти ограничения изложены в следующих двух пунктах. 1.4. Условия на определяющие функцииНа функции $p_{\mathrm{e}i}$, $p_{\theta i}$ будем налагать следующие условия:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} p_{\mathrm{e}i},p_{\theta i}\in C^{1}[0, +\infty),\ p_{\mathrm{e}i}(0)=p_{\theta i}(0)=0,\ \ i=1,2, \\ \dfrac{1}{c_2}z^{\gamma-1}\leqslant p_{\mathrm{e}i}'(z)\leqslant c_2z^{\gamma-1}+c_3\ \ \forall\, z\geqslant 0, \ \ i=1,2, \\ p_{\theta i}(z)\leqslant c_4(1+z^{\gamma/3})\ \ \forall\, z\geqslant 0,\ \ i=1,2, \\ p_{\theta i}'(z)>0\ \ \forall\, z\geqslant 0,\ \ i=1,2, \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.27}
$$
где $c_2=\mathrm{const}\geqslant 1$, $c_3, c_4=\mathrm{const}> 0$, и Замечание 1.3. В литературе по теории разрешимости уравнений Навье–Стокса и Навье–Стокса–Фурье (сжимаемых сред) существует традиция именовать число $\gamma$ (входящее в определяющие уравнения наподобие (1.13), (1.27)) показателем адиабаты, придавать физический смысл попаданию его в тот или иной диапазон ($\gamma=3/2$ для одноатомных газов, $\gamma=7/5$ для двухатомных, и т. п.), хотя это не вполне корректно, поскольку оправдано только в случае определяющих уравнений идеального газа. С другой стороны, несомненно, что больший математический интерес представляют результаты, в которых налагается как можно меньше ограничений на параметры задачи, в частности на $\gamma$. В данной работе мы не стремились достичь минимальных ограничений, и ограничились требованием (1.28). По аналогии с соответствующими результатами для однокомпонентных газов можно было бы рассчитывать, после существенных усилий, на достижение порога $\gamma>3/2$. Однако ввиду изложенных аргументов такая борьба не представляется нам достаточно целесообразной. В дополнение к (1.27) предположим, что3
$$
\begin{equation}
p_{\theta i}\in C^2[0, +\infty),\qquad p_{\theta i}'(z)\leqslant c_5(1+z^{\sigma_2}), \quad\text{где}\quad c_5>0,\quad\sigma_2<\frac{5\gamma}{6}-2,\quad i=1,2.
\end{equation}
\tag{1.29}
$$
О функции $k$ будем предполагать следующее:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} k\in C^2[0, +\infty), \\ \dfrac{1}{c_6}(1+z^{m})\leqslant k(z)\leqslant c_6(1+z^{m})\ \ \forall\,z\geqslant 0,\ \ c_6=\mathrm{const}\geqslant 1,\ \ m=\mathrm{const}>2. \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.30}
$$
Относительно функций $c_{\theta i}$ (см. (1.16)) примем следующие гипотезы4:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \begin{cases} c_{\theta i}\in C^{1}[0, +\infty),\ \ i=1,2, \\ \dfrac{1}{c_{7}}(1+z^{m/2-1})\leqslant c_{\theta i}(z)\leqslant c_{7}(1+z^{m/2-1})\ \ \forall\,z\geqslant 0,\ \ i=1,2,\ \ c_{7}=\mathrm{const}\geqslant 1. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.31}
$$
Сформулируем некоторые следствия из выписанных предположений. Из (1.15) и (1.27) следует, что при всех $i=1,2$ и $z\geqslant 0$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{c_2\gamma}z^{\gamma} \leqslant p_{\mathrm{e}i}(z)\leqslant \frac{c_2}{\gamma}z^{\gamma}+c_3z,
\end{equation}
\tag{1.32}
$$
$$
\begin{equation}
B_1z^{\gamma}- B_2\leqslant zP_{\mathrm{e}i}(z)\leqslant B_3z^{\gamma}+ B_4,
\end{equation}
\tag{1.33}
$$
где $ B_1= B_1(c_2, c_3, \gamma)$, $ B_2= B_2(c_2, c_3, \gamma)$, $ B_3= B_3(c_2, c_3, \gamma)$, $ B_4= B_4(c_2, c_3, \gamma)$. Из (1.19) и (1.27) нетрудно получить, что при всех $i=1,2$ и $z\geqslant 0$ верно $-B_5\leqslant zP_{\theta i}(z)\leqslant B_6z^{\gamma/3}+ B_{7}$, где $B_5= B_5(c_4, \gamma)$, $ B_6= B_6(c_4, \gamma)$, $B_{7}= B_{7}(c_4, \gamma)$. Наконец, из (1.16), (1.19) и (1.31) следует, что при всех $i=1,2$ и $z> 0$ справедливы оценки $C_{\theta i}(z)\leqslant Q_i(z)-Q_i(1)$ и
$$
\begin{equation}
B_{8}(c_{7}, m)(z+z^{m/2})\leqslant Q_i(z)\leqslant B_{9}(c_{7}, m) z^{m/2}+ B_{10}(c_{7}, m).
\end{equation}
\tag{1.34}
$$
Кроме того, заметим что $\forall\, z>0$ верно, ввиду (1.19), (1.31) и (1.34), что
$$
\begin{equation*}
C_{\theta i}(z)+\frac{1}{c_{7}}|{\ln{z}}|\leqslant B_{11}( B_{8}, c_{7}, m)Q_i(z),\qquad i=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Пример 1.4. Приведем простейший пример ситуации, когда предположения на давления и энергии выполнены: 1.5. Условия на входные данныеНачальные данные в задаче $\mathcal H$ будем брать из класса
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \displaystyle \rho_{0i}\in L_{\gamma}(\Omega),\quad \rho_{0i}\geqslant 0,\quad \int_\Omega \rho_{0i}\, d\boldsymbol{x}>0,\quad \theta_0\in L_{\infty}(\Omega), \\ \operatorname*{ess\, inf}_{\Omega}\theta_0>0,\quad \boldsymbol{u}_{0i}\in L_{\infty}(\Omega), \quad i=1,2. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.36}
$$
На внешние силы и источники наложим следующие требования:
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{f}_i\in L_{\infty}(Q_T),\quad i=1, 2,\qquad g\in L_{\infty}(Q_T),\quad g\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{1.37}
$$
На функцию $L$ будем налагать следующие ограничения5:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} L\in C([0, T]\times\partial\Omega\times\mathbb{R}),\ \ L\geqslant 0\text{ в } [0, T]\times\partial\Omega\times\mathbb{R}, \\ \forall\, \theta_1,\theta_2,\ \ \theta_1\leqslant\theta_2\ \ \Longrightarrow\ \ L(\,{\cdot}\,, {\cdot}\,, \theta_1)\leqslant L(\,{\cdot}\,, {\cdot}\,, \theta_2). \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.38}
$$
Для удобства будем считать $L$ продолженной по $(t, \boldsymbol{x})$, так что $L\in C(\mathbb{R}^{5})$. 1.6. Определение диссипативного решения и его связь с классическими решениямиРассмотрим в данном пункте случай однородного6 краевого условия (теплоизолированная область течения), т. е. $L=0$. Под решением задачи $\mathcal H$ будем понимать так называемое диссипативное7 решение, концепция которого применительно к уравнениям однокомпонентного вязкого газа разработана в [1]. Определение 1.5. Диссипативным решением задачи $\mathcal H$ называется набор функций $\rho_i\geqslant 0$, $\boldsymbol{u}_i$, $i=1,2$, и $\theta >0$ следующего класса ($i=1,2$): 1) для любых скалярных полей8 $\phi_i\in C^{1}_0([0, T); C^{\infty}(\overline{\Omega}))$ выполняются интегральные тождества
$$
\begin{equation*}
\int_{Q_T}\biggl(\rho_i\, \frac{\partial\phi_i}{\partial t}+\rho_i\boldsymbol{u}_i\cdot\nabla\phi_i\biggr) \,d\boldsymbol{x}\, dt +\int_{\Omega}\rho_{0i}\phi_i|_{t=0}\,d\boldsymbol{x}=0,\qquad i=1,2;
\end{equation*}
\notag
$$
2) для любых векторных полей $\boldsymbol{\varphi}_i\in C^{1}_0([0, T); C^{\infty}_0(\Omega))$ выполнены интегральные тождества
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{Q_T}\biggl(\rho_i\boldsymbol{u}_i\cdot\frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_i}{\partial t}+(\rho_i \boldsymbol{u}_i\otimes\boldsymbol{u}_i): (\nabla\otimes\boldsymbol{\varphi}_i)+(p_{e i}(\rho_i)+\theta p_{\theta i}(\rho_i))\operatorname{div}\boldsymbol{\varphi}_i \\ &\qquad\qquad+\rho_i\boldsymbol{f}_i\cdot\boldsymbol{\varphi}_i+ \boldsymbol{J}_i\cdot\boldsymbol{\varphi}_i\biggr)\,d\boldsymbol{x}\,dt +\int_{\Omega}\rho_{0i}\boldsymbol{u}_{0i}\cdot\boldsymbol{\varphi}_i|_{t=0}\,d\boldsymbol{x} \\ &\qquad=\int_{Q_T}\mathbb{S}_i:(\nabla\otimes\boldsymbol{\varphi}_i) \,d\boldsymbol{x}\,dt,\qquad i=1,2; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
3) для любых скалярных полей $\psi\,{\in}\, C^{1}_0([0, T); C^{\infty}(\overline{\Omega}))$, $\psi\,{\geqslant}\, 0$, $\nabla\psi\cdot\boldsymbol{n}|_{[0, T]\times\partial\Omega}\,{=}\,0$ выполняется интегральное неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{Q_T}\biggl(\sum_{i=1}^2\rho_iQ_i(\theta )\biggr)\, \frac{\partial \psi}{\partial t}\,d\boldsymbol{x}\, dt+\int_{Q_T}\biggl(\sum_{i=1}^2\rho_iQ_i(\theta )\boldsymbol{u}_i\biggr)\cdot\nabla\psi\,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\qquad\quad+\int_{Q_T}\mathcal{K}(\theta )\Delta\psi\,d\boldsymbol{x}\,dt+ \int_{Q_T}\biggl(\sum_{i=1}^2 \mathbb{S}_i:\mathbb{D}(\boldsymbol{u}_i)\biggr) \psi\,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\qquad\qquad+a\int_{Q_T}|\boldsymbol{u}_1-\boldsymbol{u}_2|^2\psi\,d\boldsymbol{x}\,dt +\int_{Q_T}\rho g\psi\,d\boldsymbol{x}\,dt+\int_{\Omega} \biggl(\sum_{i=1}^2\rho_{0i}Q_i(\theta_0)\biggr)\psi|_{t=0}\,d\boldsymbol{x} \nonumber \\ &\qquad\leqslant \int_{Q_T}\theta\biggl(\sum_{i=1}^2p_{\theta i}(\rho_i)\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i\biggr)\psi\,d\boldsymbol{x}\,dt; \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.39}
$$
4) для п. в. $t\in(0, T)$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{i=1}^2\int_{\Omega}\biggl(\frac{1}{2}\rho_i(t)|\boldsymbol{u}_i(t)|^2+ \rho_i(t)P_{e i}(\rho_i)(t)+\rho_i(t)Q_i(\theta )(t)\biggr)\,d\boldsymbol{x} \nonumber \\ &\qquad\leqslant\int_{Q_{t}}\rho g \,d\boldsymbol{x}\, d\tau +\sum_{i=1}^2\int_{Q_{t}}\rho_i\boldsymbol{f}_i\cdot\boldsymbol{u}_i\,d\boldsymbol{x}\, d\tau \nonumber \\ &\qquad\qquad+\sum_{i=1}^2\int_{\Omega}\biggl(\frac{1}{2}\rho_{0i}|\boldsymbol{u}_{0i}|^2+ \rho_{0i}P_{e i}(\rho_{0 i})+\rho_{0 i}Q_i(\theta_0)\biggr)\, d\boldsymbol{x}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.40}
$$
Физический и математический смысл трактовки уравнения (1.20) в виде неравенств (1.39), (1.40) подробно пояснен, например, в [1] (см. разд. 4.2.4, 4.3 этой монографии). Диссипативное решение не является, вообще говоря, слабым – отличие состоит в том, что соотношение (1.39) представляет собой слабую формулировку супер-решения (а не решения) уравнения энергии (1.20). При этом уравнения неразрывности (1.1) и импульсов (1.2) выполнены в слабом смысле, причем вводится дополнительное требование – энергетическое неравенство (1.40) (для полной энергии). Таким образом, диссипативное решение – это более обобщенное понятие, чем так называемое подходящее9 слабое решение (suitable weak solution). Однако оно, как и всякое обобщенное решение, удовлетворяет двум фундаментальным требованиям: 1) всякое классическое решение является обобщенным; 2) всякое обобщенное решение, обладающее всеми классическими производными, входящими в уравнения, является классическим. Первый тезис очевиден (для классических решений все интегральные соотношения в определении 1.5 выполнены в виде равенств), а для проверки второго достаточно показать, что если диссипативное решение обладает “классической” гладкостью, то неравенство (1.39) превращается в равенство, т. е. решение является слабым (а потому и классическим, что показывается уже по стандартной схеме рассуждений). Действительно, пусть имеется гладкое диссипативное решение. Предположим, что неравенство (1.39) для некоторой $\psi$ строгое, т. е. найдутся число $\eta>0$ и функция
$$
\begin{equation*}
\psi^{\ast}\in C^{1}_0\bigl([0, T); C^{\infty}(\overline{\Omega})\bigr),\quad 0\leqslant\psi^{\ast}\leqslant 1,\qquad \nabla\psi^{\ast}\cdot\boldsymbol{n}|_{[0, T]\times\partial\Omega}=0
\end{equation*}
\notag
$$
такие, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{Q_T}\biggl(\sum_{i=1}^2\rho_iQ_i(\theta)\biggr)\, \frac{\partial \psi^{\ast}}{\partial t}\,d\boldsymbol{x}\, dt+ \int_{Q_T}\biggl(\sum_{i=1}^2\rho_iQ_i(\theta)\boldsymbol{u}_i\biggr) \cdot\nabla\psi^{\ast}\,d\boldsymbol{x}\,dt \\ &\qquad+\int_{Q_T}\mathcal{K}(\theta)\Delta\psi^{\ast}\,d\boldsymbol{x}\,dt +\int_{Q_T}\biggl(\sum_{i=1}^2 \mathbb{S}_i:\mathbb{D}(\boldsymbol{u}_i)\biggr) \psi^{\ast}\,d\boldsymbol{x}\,dt \\ &\qquad +a\int_{Q_T}|\boldsymbol{u}_1-\boldsymbol{u}_2|^2 \psi^{\ast}\,d\boldsymbol{x}\,dt +\int_{Q_T}\rho g\psi^{\ast}\,d\boldsymbol{x}\,dt \\ &\qquad+\int_{\Omega} \biggl(\sum_{i=1}^2\rho_{0i}Q_i(\theta_0)\biggr)\psi^{\ast}|_{t=0}\,d\boldsymbol{x}+\eta = \int_{Q_T}\theta\biggl(\sum_{i=1}^2p_{\theta i}(\rho_i) \operatorname{div}\boldsymbol{u}_i\biggr)\psi^{\ast}\,d\boldsymbol{x}\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для любой $\psi\geqslant \psi^{\ast}$ такой, что $\psi\in C^{1}_0([0, T); C^{\infty}(\overline{\Omega}))$, $\nabla\psi\cdot\boldsymbol{n}|_{[0, T]\times\partial\Omega}=0$, функция $\psi:=\psi-\psi^{\ast}$ годится в качестве тестовой для (1.39), и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{Q_T}\biggl(\sum_{i=1}^2\rho_iQ_i(\theta)\biggr)\, \frac{\partial \psi}{\partial t}\,d\boldsymbol{x}\, dt+ \int_{Q_T}\biggl(\sum_{i=1}^2\rho_iQ_i(\theta)\boldsymbol{u}_i\biggr)\cdot\nabla \psi\,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\qquad+\int_{Q_T}\mathcal{K}(\theta)\Delta\psi\,d\boldsymbol{x}\,dt+ \int_{Q_T}\biggl(\sum_{i=1}^2 \mathbb{S}_i:\mathbb{D}(\boldsymbol{u}_i)\biggr) \psi\,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\qquad+a\int_{Q_T}|\boldsymbol{u}_1-\boldsymbol{u}_2|^2\psi\,d\boldsymbol{x}\,dt +\int_{Q_T}\rho g\psi\,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\qquad+\int_{\Omega}\biggl(\sum_{i=1}^2\rho_{0i}Q_i(\theta_0)\biggr) \psi|_{t=0}\,d\boldsymbol{x}+\eta\leqslant \int_{Q_T}\theta\biggl(\sum_{i=1}^2p_{\theta i}(\rho_i)\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i\biggr)\psi\,d\boldsymbol{x}\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.41}
$$
Рассмотрим регуляризующее ядро
$$
\begin{equation}
\zeta_{\omega}(z)=\frac{1}{\omega}\,\zeta\biggl(\frac{z}{\omega}\biggr),
\end{equation}
\tag{1.42}
$$
где функция $\zeta\in C_0^{\infty}(\mathbb{R})$ такова, что $\operatorname{supp}\zeta\subset (-1/2,1/2)$, $\zeta(-x)=\zeta(x)\geqslant 0$, $\int_\mathbb{R}\zeta(z)\,dz=1$, а величина $\zeta(z)$ не убывает при $z\geqslant 0$. Положим в (1.41)
$$
\begin{equation*}
\psi=1-\int_{-\infty}^{t-T+\omega}\zeta_\omega(s)\, ds
\end{equation*}
\notag
$$
(см. (1.42)) с достаточно малым $\omega>0$ (так чтобы было верно $\psi\geqslant \psi^{\ast}$), и устремим $\omega\to 0$, тогда получим строгое неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{i=1}^2\int_{\Omega}\rho_i(T)Q_i(\theta)(T)\,d\boldsymbol{x} >\sum_{i=1}^2\int_{Q_T}\mathbb{S}_i:\mathbb{D}(\boldsymbol{u}_i)\,d\boldsymbol{x}\,dt +a\int_{Q_T}|\boldsymbol{u}_1-\boldsymbol{u}_2|^2\,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\ +\int_{Q_T}\rho g\,d\boldsymbol{x}\,dt+\sum_{i=1}^2\int_{\Omega} \rho_{0i}Q_i(\theta_0)\,d\boldsymbol{x}-\int_{Q_T}\theta\biggl(\sum_{i=1}^2p_{\theta i}(\rho_i)\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i\biggr)\, d\boldsymbol{x}\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.43}
$$
Поскольку рассматриваемое диссипативное решение удовлетворяет (1.1), (1.2) в классическом смысле, то выполняется энергетическое равенство (для кинетической энергии)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{i=1}^2\int_{\Omega}\biggl(\frac{1}{2}\rho_i(t)|\boldsymbol{u}_i(t)|^2+ \rho_i(t)P_{e i}(\rho_i)(t)\biggr)\,d\boldsymbol{x} \\ &\qquad\qquad+\sum_{i=1}^2\int_{Q_{t}} \mathbb{S}_i:\mathbb{D}(\boldsymbol{u}_i)\,d\boldsymbol{x}\,d\tau+ a\int_{Q_{t}}|\boldsymbol{u}_1-\boldsymbol{u}_2|^2\,d\boldsymbol{x}\,d\tau \\ &\qquad=\int_{Q_{t}}\theta\biggl( \sum_{i=1}^2 p_{\theta i}(\rho_i)\,\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i\biggr)\, d\boldsymbol{x}\, d\tau+\sum_{i=1}^2\int_{Q_{t}}\rho_i\boldsymbol{f}_i\cdot \boldsymbol{u}_i\,d\boldsymbol{x}\, d\tau \\ &\qquad\qquad+\sum_{i=1}^2\int_{\Omega}\biggl(\frac{1}{2}\rho_{0i}|\boldsymbol{u}_{0i}|^2+ \rho_{0i}P_{e i}(\rho_{0 i})\biggr)\, d\boldsymbol{x}\quad\forall\,t\in[0, T], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
которое при $t=T$ вместе с (1.43) противоречит соотношению (1.40) (выполненному для гладких функций при всех $t\in[0,T]$, и потому можно положить $t=T$). Таким образом, сделанное предположение о возможности строгого неравенства (1.39) (для какой-либо $\psi$) неверно. Отметим, что попутно получается равенство в (1.40), что, впрочем, и так очевидно для классических решений. Замечание 1.6. Как показано в статье [30] (для аналогичной постановки задачи в однокомпонентном случае), глобальное существование сильного решения эквивалентно оценке плотности(-ей) сверху и снизу, а температуры – сверху. Этот факт показывает перспективы дальнейшего повышения гладкости решений. 1.7. Основной результатОсновной целью настоящей работы является доказательство следующей теоремы. Теорема 1.7. Пусть дана ограниченная область $\Omega\subset\mathbb{R}^{3}$ с границей $\partial\Omega$ класса $C^{2+\sigma_1}$, $\sigma_1\in (0,1)$, и произвольное конечное число $T>0$. Пусть определяющие функции в задаче $\mathcal H$ (сформулированной в п. 1.3 на основе соотношений из пп. 1.1 и 1.2) удовлетворяют условиям, перечисленным в п. 1.4, а входные данные – условиям, перечисленным в п. 1.5. Наконец, пусть дополнительно выполнены ограничения (3.54), (3.59), (3.65) и (5.24). Тогда существует по крайней мере одно диссипативное решение задачи $\mathcal H$ в смысле определения 1.5 (см. п. 1.6). Замечание 1.8. Ограничения (3.54), (3.59), (3.65) и (5.24) не нужны на этапе доказательства разрешимости приближенной задачи $\mathcal{H}^{q,\varepsilon,\delta,\upsilon}$ и предельного перехода10 по $q\to+\infty$ (см. § 2). При обосновании предельного перехода по $\varepsilon\to +0$ (см. пп. 3.2.4 и 3.3.1) потребуются диагональность матрицы $\mathbf{N}$ (т. е. (3.54) и (3.59)) и пропорциональность теплоемкостей (т. е. (3.65)), а в процессе предельного перехода по $\delta\to +0$ на завершающем этапе (см. п. 5.4) потребуется однородность (5.24) краевого условия (1.23), причем на предшествующем этапе достаточно было ограничиться требованием (5.16). Замечание 1.9. В статье [25] доказаны (даже при условии $\gamma>3$ вместо (1.28), см. также замечание 1.8) априорные оценки классических решений задачи $\mathcal H$ в случае, когда система термодинамически замкнута, т. е. $g=0$ и $L=0$, причем плотности неотрицательны, а температура положительна. В дальнейшем на эти оценки нет прямых ссылок, но их формулировка и доказательство существенно облегчают понимание процесса доказательства существования слабого решения посредством построения решений приближенных задач. Предлагаемый результат будет доказан с помощью построения решения приближенной (регуляризованной) задачи и последующего предельного перехода по параметрам регуляризации. § 2. Формулировка приближенной задачи $\mathcal{H}^{q,\varepsilon,\delta,\upsilon}$, ее разрешимость, и предельный переход по $q\to+\infty$Зададим произвольно числа $q\in \mathbb{N}$, $0<\varepsilon\leqslant 1$, $0<\delta<1/2$, $0<\upsilon\leqslant 1$ и рассмотрим приближенную задачу $\mathcal{H}^{q,\varepsilon,\delta,\upsilon}$ (а именно, (2.1)–(2.14)) для функций $\rho_i$, $\boldsymbol{u}_i$, $i=1,2$, $\theta$ (все эти функции зависят от параметров $q$, $\varepsilon$, $\delta$ и $\upsilon$, но пока для краткости опустим соответствующие индексы). Параметр $q$ служит для конечномерной проекции уравнений импульсов по методу Фаэдо–Галеркина. Параметр $\varepsilon$ отвечает за параболическую регуляризацию уравнений неразрывности и соответствующие компенсационные слагаемые в уравнениях импульсов. Параметр $\delta$ предназначен для регуляризации входных данных (начальных и краевых условий, внешних источников), а также для коэрцитивной регуляризации (и соответствующего компенсационного слагаемого) в уравнении энергии. Наконец, параметр $\upsilon$ служит для предотвращения вырождения при производной по времени в уравнении энергии, и отделен от $\delta$ во избежание “информационной перенасыщенности” последнего (на последнем этапе, однако, будет положено $\upsilon=\delta$). 2.1. Уравнения неразрывностиВместо (1.1) будем рассматривать уравнения
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \rho_i}{\partial t}+\operatorname{div}(\rho_i\boldsymbol{u}_i) =\varepsilon\Delta\rho_i,\qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
с краевыми условиями
$$
\begin{equation}
\nabla\rho_i\cdot\boldsymbol{n}|_{(0,T)\times\partial\Omega}=0,\qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
а вместо (1.21) для плотностей поставим условия с некоторыми функциями $\rho_{0i}^\delta$ такими, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \rho_{0i}^\delta \in C^{2+\sigma_5}(\overline{\Omega}),\qquad \nabla\rho_{0i}^\delta\cdot\boldsymbol{n}|_{\partial\Omega}=0, \quad\rho_{0i}^\delta\xrightarrow[\delta\to 0]{}\rho_{0i}\quad\text{в}\quad L_{\gamma}(\Omega), \\ \inf_{\Omega}\rho_{0i}^\delta>0,\quad \int_{\Omega}\rho_{0i}^\delta\,d\boldsymbol{x} \geqslant \int_{\Omega}\rho_{0i}\,d\boldsymbol{x},\quad \rho_{0i}^\delta\geqslant\delta,\qquad i=1,2, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где $0<\sigma_5<1$. Например, можно положить11
$$
\begin{equation*}
\rho_{0i}^\delta=(\varphi_{\delta}\rho_{0i})\ast \widetilde{\zeta}_{\delta}+\delta +\frac{1}{|\Omega|}\max_{i=1,2}\biggl\{\int_{\Omega}\rho_{0i}(1-\varphi_{\delta})\,d\boldsymbol{x} \biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde{\zeta}_{\delta}$ – усредняющее ядро класса $C^{3}(\mathbb{R}^3)$, а $\varphi_{\delta}$ – срезающая функция класса $C^{\infty}(\mathbb{R}^3)$, равная нулю в $\delta$-окрестности $\partial\Omega$ и равная единице за пределами $2\delta$-окрестности $\partial\Omega$. 2.2. Уравнение энергииВместо (1.20) будем рассматривать уравнение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{\partial}{\partial t}\sum_{i=1}^2(\rho_i+\upsilon)Q_i(\theta) +\operatorname{div}\biggl(\sum_{i=1}^2\rho_iQ_i(\theta)\boldsymbol{u}_i\biggr) +\operatorname{div}\boldsymbol{q}+\theta\sum_{i=1}^2p_{\theta i}(\rho_i)\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i+\delta\theta^{m+1} \nonumber \\ &\qquad=(1-\delta)\sum_{i=1}^2 \mathbb{S}_i:\mathbb{D}(\boldsymbol{u}_i) +a|\boldsymbol{u}_1-\boldsymbol{u}_2|^2+\rho g^{\delta}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
а вместо (1.21) для температуры и (1.23) поставим соответственно условия
$$
\begin{equation}
k(\theta)\nabla\theta\cdot\boldsymbol{n}+L^{\delta}(t, \boldsymbol{x}, \theta)=0\quad\text{на}\quad(0,T)\times\partial\Omega,
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
с некоторой функцией $\theta_0^{\delta} \in C^{2+\sigma_6}(\overline{\Omega})$, $0<\sigma_6<1$, такой, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, k(\theta_0^{\delta})\nabla\theta_0^{\delta}\cdot\boldsymbol{n}+L^{\delta}(0, \boldsymbol{x}, \theta_0^{\delta})=0\quad\text{на}\quad\partial\Omega,\qquad \inf_{\Omega}\theta_0^{\delta}\geqslant \inf_{\Omega}\theta_0+\delta, \\ \|\theta_0^{\delta}\|_{L_\infty(\Omega)}\leqslant 2\|\theta_0\|_{L_\infty(\Omega)}, \quad\theta_0^{\delta}\xrightarrow[\delta\to 0]{}\theta_0\quad\text{в}\quad L_1(\Omega), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
и функциями $g^{\delta}$, $L^{\delta}$ определенными следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, g^{\delta}\in C^{1}(\overline{Q}_T),\qquad g^{\delta}\geqslant 0, \qquad g^{\delta}\to g \quad \text{в}\quad L_{\sigma_{7}}(Q_T)\quad\forall\,\sigma_{7}<+\infty, \\ \|g^{\delta}\|_{L_\infty(Q_T)}\leqslant 2\|g\|_{L_\infty(Q_T)}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, L^{\delta}\in C^2(\mathbb{R}^{5}),\quad L^{\delta} \geqslant 0, \quad L^{\delta}\to L\quad\text{в}\quad C(K)\quad\forall\,K\subset \mathbb{R}^{5},\quad K\text{ - компакт}, \\ L^{\delta}(\,{\cdot}\,, {\cdot}\,, \theta)\text{ не убывает по }\theta. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Например, можно положить:
$$
\begin{equation*}
\theta_0^\delta=\begin{cases} \inf_{\Omega}{\theta_0} &\text{в }2\delta\text{ окрестности }\partial\Omega, \\ \theta_0 &\text{вне }2\delta\text{ окрестности }\partial\Omega \end{cases}\ast \widetilde{\zeta}_{\delta}+\delta,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde{\zeta}_{\delta}$ – усредняющее ядро класса $C^{3}(\mathbb{R}^3)$; далее положить $g^{\delta}$, $L^{\delta}$ – усреднения от $g$, $L \psi_{\delta}$ по $(t,{\boldsymbol x})$ с ядрами классов $C^{1}(\mathbb{R}^4)$, $C^2(\mathbb{R}^4)$ соответственно, где $\psi_{\delta}$ – это срезающая функция класса $C^{\infty}(\mathbb{R}^4)$, равная нулю в $\delta$-окрестности многообразия $\{t=0\}\times\partial\Omega$ и равная единице за пределами $2\delta$-окрестности этого многообразия; в случае если $L$ имеет гладкость ниже двух по последнему аргументу, требуется дополнительно усреднение по нему. На данном этапе нет необходимости обеспечивать условие согласования в (2.8), а это нужно только для задачи с регуляризующим параметром $\omega$ (см. построение решения задачи $\mathcal{H}^{q,\varepsilon,\delta,\upsilon}$ в [25]). Однако для ясности оказалось удобнее заранее обеспечить условие согласования в (2.8) за счет описанной конструкции. 2.3. Уравнения импульсовОбозначим $X_{q}=\operatorname{Lin}\{\boldsymbol{\psi_i}\}_{i=1}^{q}\subset L_2(\Omega)$, где $\{\boldsymbol{\psi_i}\}_{i=1}^{\infty}$ – базис в $W^{1}_2(\Omega)$, ортонормированный в $L_2(\Omega)$, состоящий из гладких функций, имеющих компактный носитель в области $\Omega$. Для определенности норму в $X_{q}$ положим равной норме в $L_2(\Omega)$. Обозначим через $P_{q}$ ортогональный проектор из $L_2(\Omega)$ в $ X_{q}$, и положим $\mathcal{M}_{\xi}=P_{q}(\xi(\,{\cdot}\,))\colon X_{q}\to X_{q}$, где $\xi\in L_{\infty}(\Omega)$. Легко видеть, что
$$
\begin{equation*}
(\mathcal{M}_{\xi}(\boldsymbol{u}), \boldsymbol{v})_{L_2(\Omega)} =\int_{\Omega}\xi\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}\,d\boldsymbol{x}\quad\forall \,\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}\in X_{q},
\end{equation*}
\notag
$$
и для всех $\xi>0$ оператор $\mathcal{M}_{\xi}$ обратим (поскольку у него нулевое ядро). Вместо (1.2) будем рассматривать уравнения для $\boldsymbol{u}_i\in C([0, T], X_{q})$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{\partial (\rho_i\boldsymbol{u}_i)}{\partial t} +\operatorname{div}(\rho_i\boldsymbol{u}_i\otimes\boldsymbol{u}_i)+\nabla p_i +\varepsilon(\nabla\otimes\boldsymbol{u}_i)^\ast\nabla\rho_i \nonumber \\ &\qquad=\operatorname{div}\mathbb{S}_i+\boldsymbol{J}_i+\rho_i \boldsymbol{f}_i +\boldsymbol{h}_i,\qquad i=1,2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
где $\boldsymbol{h}_i\perp C_0^1([0,T),X_q)$ в $L_2(Q_T)$. Условия (1.21) для скоростей и (1.22) остаются прежними с точностью до проектирования на $X_q$. А именно, вместо прежних начальных условий положим
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{u}_i|_{t=0}=\mathcal{M}_{\rho_{0 i}^{\delta}}^{-1}P_{q}(\rho_{0 i}^{\delta}\boldsymbol{u}_{0 i})\in X_{q}.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Тогда легко проверить, что
$$
\begin{equation}
\rho_i\boldsymbol{u}_i|_{t=0}-\rho_{0 i}^{\delta}\boldsymbol{u}_{0 i}\in X_{q}^{\perp}.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
В интегральной записи описанные факты означают, что для любых пробных функций $\boldsymbol{\varphi}_i\in C_0^1([0,T),X_q)$ справедливы равенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{Q_T}\biggl(\rho_i\boldsymbol{u}_i\cdot\frac{\partial\boldsymbol{\varphi}_i}{\partial t}+(\rho_i\boldsymbol{u}_i\otimes\boldsymbol{u}_i):(\nabla\otimes\boldsymbol{\varphi}_i) +p_i\operatorname{div}\boldsymbol{\varphi}_i+(\boldsymbol{J}_i+\rho_i \boldsymbol{f}_i)\cdot\boldsymbol{\varphi}_i\biggr)\, d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\qquad =\int_{Q_T}\bigl(\varepsilon[(\nabla\otimes\boldsymbol{u}_i)\boldsymbol{\varphi}_i]\cdot \nabla\rho_i+\mathbb{S}_i:(\nabla\otimes\boldsymbol{\varphi}_i)\bigr)\, d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\qquad\qquad-\int_\Omega \rho_{0i}^{\delta}\boldsymbol{u}_{0i}\cdot \boldsymbol{\varphi}_i|_{t=0}\, d\boldsymbol{x},\qquad i=1,2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Сформулированную задачу (2.1)–(2.14) будем называть задачей $\mathcal{H}^{q,\varepsilon,\delta,\upsilon}$. 2.4. План доказательства разрешимости приближенной задачи и предельного перехода по параметрам $q$, $\varepsilon$, $\delta$ и $\upsilon$Доказательство теоремы 1.7 (о разрешимости задачи $\mathcal H$) проводится по следующей схеме: 1) доказательство разрешимости поставленной приближенной задачи при фиксированных $q$, $\varepsilon$, $\delta$ и $\upsilon$ (это сделано в [25], см. пояснения ниже в п. 2.5); 2) переход к пределу при $q\to+\infty$, и получение, в частности, в пределе уравнения (2.11) без слагаемых $\boldsymbol{h}_i$ (это сделано в [26], см. пояснения ниже в п. 2.6); 3) переход к пределу по малым параметрам: сначала $\varepsilon\to +0$, потом $\delta=\upsilon\to +0$ (это делается ниже в §§ 3–5); 4) на каждом этапе получение оценок решений, не зависящих от того параметра, по которому предполагается предельный переход. 2.5. Разрешимость приближенной задачи $\mathcal{H}^{q,\varepsilon,\delta,\upsilon}$В статье [25] доказано (причем, при условии $\gamma>3$ вместо (1.28), и без наложения некоторых условий, см. замечание 1.8), что задача $\mathcal{H}^{q,\varepsilon,\delta,\upsilon}$ имеет решение следующего класса (см. (1.17)):
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \boldsymbol{u}_i{\kern1pt}{\in}\, C([0, T], X_{q}),\quad \rho_i{\kern1pt}{\in}\, C\bigl([0, T]; C^{2+\sigma_{8}}(\overline{\Omega})\bigr),\quad \frac{\partial \rho_i}{\partial t}\,{\in}\, C\bigl([0, T]; C^{\sigma_{8}}(\overline{\Omega})\bigr),\qquad \rho_i\,{>}\,0, \\ \frac{\partial \theta}{\partial t}\in L_2(Q_T),\quad \theta\in L_{\infty}(Q_T)\cap L_{\infty}\bigl(0, T; W_2^{1}(\Omega)\bigr),\quad \theta\geqslant 0, \\ \mathcal{K}(\theta)\in L_2\bigl(0, T; W^2_2(\Omega)\bigr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $0<\sigma_{8}\leqslant \min\{\sigma_1,\sigma_5\}$. Замечание 2.1. Положительность температуры (это требование входит в определение 1.5 диссипативного решения) становится существенной только на этапе предельного перехода при $\delta\to+0$, и будет показана в п. 5.2. При этом, как показано также в [25], построенное решение задачи $\mathcal{H}^{q,\varepsilon,\delta,\upsilon}$ удовлетворяет, в частности, энергетическому равенству
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{i=1}^2\int_{\Omega}\biggl(\frac{1}{2}\rho_i(t)|\boldsymbol{u}_i(t)|^2+ \rho_i(t)P_{e i}(\rho_i)(t) +(\rho_i(t)+\upsilon)Q_i(\theta)(t)\biggr) \,d\boldsymbol{x} \\ &\qquad\qquad+\delta\sum_{i=1}^2\int_{Q_{t}} \mathbb{S}_i:(\nabla\otimes\boldsymbol{u}_i)\,d\boldsymbol{x}\,d\tau+ \varepsilon\sum_{i=1}^2\int_{Q_{t}} \frac{p_{e i}'(\rho_i)}{\rho_i} |\nabla\rho_i|^2\,d\boldsymbol{x}\,d\tau \\ &\qquad\qquad+\delta\int_{Q_{t}}\theta^{m+1} \,d\boldsymbol{x}\, d\tau +\int_0^{t}\int_{\partial\Omega}L^{\delta}(\tau, \boldsymbol{x}, \theta) \,d\sigma\, d\tau \\ &\qquad=\int_{Q_{t}}\rho g^{\delta} \,d\boldsymbol{x}\, d\tau+\sum_{i=1}^2\int_{Q_{t}}\rho_i\boldsymbol{f}_i\cdot \boldsymbol{u}_i\,d\boldsymbol{x}\, d\tau \\ &\qquad\qquad+\sum_{i=1}^2\int_{\Omega}\biggl(\frac{1}{2}\rho_{0i}^{\delta} |\boldsymbol{u}_{0i}|^2+\rho_{0i}^{\delta}P_{e i}(\rho^{\delta}_{0i})+(\rho^{\delta}_{0 i} +\upsilon)Q_i(\theta_0^{\delta})\biggr)\, d\boldsymbol{x} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при всех $t\in [0, T]$, и оценке
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^2\int_{\Omega}\rho_i|\boldsymbol{u}_i|^2\,d\boldsymbol{x}+ \sum_{i=1}^2\int_{Q_{t}} |\nabla\otimes\boldsymbol{u}_i|^2\,d\boldsymbol{x}\,d\tau\leqslant B_{12}\biggl(1+\sum_{i=1}^2\int_{Q_{t}}\rho_i|\boldsymbol{u}_i|^2\,d\boldsymbol{x}\,d\tau\bigg),
\end{equation*}
\notag
$$
где положительная величина $ B_{12}$ зависит только от $B_0$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, $B_{9}$, $B_{10}$, $\{\|\boldsymbol{f}_i\|_{L_{\infty}(Q_T)}\}$, $\|g^{\delta}\|_{L_{\infty}(Q_T)}$, $\{\|\boldsymbol{u}_{0i}\|_{L_{\infty}(\Omega)}\}$, $\{\|\rho_{0i}^{\delta}\|_{L_{\gamma}(\Omega)}\}$, $\|\theta^{\delta}_0\|_{L_{\infty}(\Omega)}$, $T$, $m$, $\gamma$, $\delta$ и $|\Omega|$, и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^2\int_{\Omega}\rho_i|\boldsymbol{u}_i|^2\,d\boldsymbol{x}\leqslant B_{13}( B_{12}, T).
\end{equation*}
\notag
$$
2.6. Предельный переход по $q\to +\infty$Итак, задача $\mathcal{H}^{q,\varepsilon,\delta,\upsilon}$ имеет решение, у которого далее будем писать индекс $q$. В статье [26] показано (даже при условии $\gamma>3$ вместо (1.28), и без наложения некоторых условий, см. замечание 1.8), что из последовательности $\rho_i^{q}$, $\boldsymbol{u}_i^{q}$, $i=1,2$, $\theta^{q}$ можно выделить подпоследовательность (далее обозначаемую так же), которая обладает следующими свойствами12. 2.6.1. Оценки приближенных решенийИмеют место следующие (равномерные по $q$) оценки (при $i=1,2$):
$$
\begin{equation}
\| \rho_i^{q}\|_{L_{\infty}(0, T; L_{\gamma}(\Omega))}\leqslant B_{14}( B_1, B_2, B_{13}, T, \gamma),
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
$$
\begin{equation}
\bigl\| \sqrt{\rho_i^{q}}\, \boldsymbol{u}_i^{q} \bigr\|_{L_{\infty}(0, T; L_2(\Omega))}+ \|\boldsymbol{u}_i^{q} \|_{L_2(0, T; W^{1}_2(\Omega))} \leqslant B_{15}( B_{12}, B_{13}, \Omega),
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
$$
\begin{equation}
\| \sqrt{\varepsilon}\, \nabla\rho_i^{q}\|_{L_2(Q_T)} \leqslant B_{16}( B_{14}, B_{15}, T, \gamma, \{\|\rho_{0i}^{\delta}\|_{L_2(\Omega)}\}, |\Omega|),
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\sum_{i=1}^2\int_{\Omega}(\rho_i^{q}+\upsilon)Q_i(\theta^{q})\,d\boldsymbol{x}+ \delta\int_{Q_T}(\theta^{q})^{m+1}\,d\boldsymbol{x}\, dt \\ &\qquad+\int_0^{T}\int_{\partial\Omega}L^{\delta}(t, \boldsymbol{x}, \theta^{q})\,d\sigma\, dt\leqslant B_{17}(\text{арг. } B_{12}), \end{split}
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
$$
\begin{equation}
\|\rho_i^q\|_{L_{\gamma/\sigma_{9}}(0, T;L_{3\gamma/(3-2\sigma_{9})}(\Omega))} \leqslant B_{18}(B_{13}, B_{14}, c_2, T, \gamma, \varepsilon, \sigma_{9}, \Omega)\quad \text{при всех }\sigma_{9}\in[0,1],
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
$$
\begin{equation}
\Bigl\| \sqrt{\rho_i^q}\,\boldsymbol{u}_i^q\Bigr\|_{L_{2\gamma/(\gamma+1)}(0, T;L_{6\gamma/(\gamma+1)}(\Omega))} \leqslant B_{19}(B_{15}, B_{18}, \Omega), \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\Bigl\|\sqrt{\rho_i^q}\,\boldsymbol{u}_i^q\Bigr\|_{L_{2\gamma/(\sigma_{10}(\gamma+1))} (0,T; L_{6\gamma/((3-2\sigma_{10})\gamma+\sigma_{10})}(\Omega))} \\ &\qquad\leqslant B_{20}(B_{15}, B_{19}, \sigma_{10})\quad\text{при всех }\sigma_{10}\in [0, 1], \end{aligned} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\|\rho_i^{q}\boldsymbol{u}_i^{q}\|_{L_{2\gamma/(\sigma_{10}\gamma+\sigma_{9}+\sigma_{10})}(0, T; L_{6\gamma/((3-2\sigma_{10})\gamma+\sigma_{10}-2\sigma_{9}+3)}(\Omega))} \\ &\qquad\leqslant B_{21}(B_{18}, B_{20})\quad\text{при любых }(\sigma_{9}, \sigma_{10})\in [0, 1]^2, \end{aligned} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\varepsilon\| \nabla \rho_i^{q}\|_{L_{\sigma_{11}}(0, T; L_{\sigma_{12}}(\Omega))}\leqslant B_{22}( B_{21}, \{\|\rho_{0i}^{\delta}\|_{L_{\gamma}(\Omega)}\}, \sigma_{9}, \sigma_{10}, \gamma, \Omega), \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\sigma_{11}=\frac{2\gamma}{\sigma_{10}\gamma+\sigma_{9}+\sigma_{10}},\qquad \sigma_{12}=\frac{6\gamma}{(3-2\sigma_{10})\gamma+\sigma_{10}-2\sigma_{9}+3},
\end{equation*}
\notag
$$
при любых $(\sigma_{9}, \sigma_{10})\in [0,1]^2\setminus \{0, 0\}$,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\varepsilon\| (\nabla\otimes\boldsymbol{u}_i^{q})^\ast\nabla\rho_i^{q}\|_{L_{\sigma_{13}} (0, T; L_{\sigma_{14}}(\Omega))} +\varepsilon\|\nabla\otimes(\rho_i^{q}\boldsymbol{u}_i^{q})\|_{L_{\sigma_{13}}(0, T; L_{\sigma_{15}}(\Omega))} \nonumber \\ &\qquad \leqslant B_{23}( B_{15}, B_{22}, \sigma_{9}, \sigma_{10}, T, \gamma, \Omega), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sigma_{13}=\frac{2\gamma}{(\sigma_{10}+1)\gamma+\sigma_{9}+\sigma_{10}}, \qquad \sigma_{14}=\frac{6\gamma}{2(3-\sigma_{10})\gamma+\sigma_{10}-2\sigma_{9}+3}, \\ \sigma_{15}=\frac{6\gamma}{2(2-\sigma_{10})\gamma+\sigma_{10}-2\sigma_{9}+3}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
при любых
$$
\begin{equation}
\sigma_{9}\in [0,1],\qquad \sigma_{10}\in \biggl(\frac{3-2\sigma_{9}}{2\gamma-1},\frac{\gamma-\sigma_{9}}{\gamma+1}\biggr),
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\varepsilon^{1-1/\sigma_{13}}\|\rho_i^{q}\|_{L_{\infty}(0, T; W^{2-2/\sigma_{13}}_{\sigma_{15}}(\Omega))} +\biggl\| \frac{\partial \rho_i^{q}}{\partial t}\biggr\|_{L_{\sigma_{13}}(0, T; L_{\sigma_{15}}(\Omega))}+ \varepsilon\|\rho_i^{q}\|_{L_{\sigma_{13}}(0, T; W^2_{\sigma_{15}}(\Omega))} \\ &\qquad\leqslant B_{24}(\sigma_{9}, \sigma_{10}, \gamma, \Omega)\biggl(\varepsilon^{1-1/\sigma_{13}} \|\rho_{0i}^{\delta}\|_{W^{2-2/\sigma_{13}}_{\sigma_{15}}(\Omega)} +\frac{B_{23}}{\varepsilon}\biggr), \end{split}
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
и, наконец13,
$$
\begin{equation}
\|\nabla\theta^{q}\|_{L_2(Q_T)}+\bigl\|\nabla\bigl((\theta^{q})^{m/2}\bigr)\bigr\|_{L_2(Q_T)} \,{\leqslant}\, B_{25}(B_{14}, B_{15}, B_{16}, B_{17}, c_4, c_6, c_{7}, m, T, \gamma, |\Omega|).
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
2.6.2. Сходимость приближенных решенийИмеют место следующие сходимости (при $i=1, 2$):
$$
\begin{equation}
\rho_i^{q}\to\rho_i\quad\ast\text{-слабо в }L_{\infty}\bigl(0, T; L_{\gamma}(\Omega)\bigr),
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
$$
\begin{equation}
\rho_i^{q}\to\rho_i\quad\text{сильно в }L_{\sigma_{16}}\bigl(0, T; L_{\sigma_{17}}(\Omega)\bigr)\quad\forall\,\sigma_{16}<+\infty,
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
где $\sigma_{17}\in [6\gamma/(5\gamma+3),6)$,
$$
\begin{equation}
\rho_i^{q}\to\rho_i\quad\text{в }C\bigl([0, T]; L_{\gamma, \mathrm{weak}}(\Omega)\bigr),
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
$$
\begin{equation}
\rho_i^{q}\to\rho_i\quad\text{сильно в }L_{\sigma_{18}}\bigl(0, T; L_{\sigma_{19}}(\Omega)\bigr)\quad\text{для всех}\quad \sigma_{18}< \frac{\gamma}{\sigma_{9}},\quad\sigma_{19}<\frac{3\gamma}{3-2\sigma_{9}}, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\nabla\rho_i^{q}\to\nabla\rho_i\quad\text{сильно в }L_2(Q_T),
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{u}_i^{q}\to\boldsymbol{u}_i\quad\text{слабо в }L_2\bigl(0, T; \mathring{W}^2_1(\Omega)\bigr),
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
$$
\begin{equation}
\rho_i^{q}\boldsymbol{u}_i^{q}\to\rho_i\boldsymbol{u}_i\quad \text{сильно в }L_{\sigma_{20}}\bigl(0, T; L_{\sigma_{21}}(\Omega)\bigr), \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, 1\leqslant \sigma_{20}<\frac{2\gamma}{(\sigma_{10}+\sigma_{22})\gamma+ \sigma_{9}+\sigma_{10}}, \\ 1\leqslant \sigma_{21}<\frac{6\gamma}{(2-\sigma_{22}-2\sigma_{10})\gamma+ \sigma_{10}-2\sigma_{9}+3}\quad\forall\,\sigma_{22}\in (0, 1], \\ \rho_i^{q}\boldsymbol{u}_i^{q}\otimes\boldsymbol{u}_i^{q}\to \rho_i\boldsymbol{u}_i\otimes\boldsymbol{u}_i\quad\text{слабо в }L_{\sigma_{23}}\bigl(0,T; L_{\sigma_{24}}(\Omega)\bigr), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\sigma_{23}<\frac{2\gamma}{(\sigma_{10}+\sigma_{22}+1)\gamma+\sigma_{9}+\sigma_{10}}, \quad \sigma_{24}<\frac{6\gamma}{(3-\sigma_{22}-2\sigma_{10})\gamma+ \sigma_{10}-2\sigma_{9}+3},
\end{equation*}
\notag
$$
причем можно считать, что $\sigma_{24}>1$ ввиду уже введенных условий, а $\sigma_{23}>1$ при выполнении неравенства
$$
\begin{equation*}
\sigma_{22}<1-\sigma_{10}-\frac{\sigma_{9}+\sigma_{10}}{\gamma},
\end{equation*}
\notag
$$
правая часть которого положительна ввиду (2.21),
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (\nabla\otimes\boldsymbol{u}_i^{q})^\ast\nabla\rho_i^{q} \to(\nabla\otimes\boldsymbol{u}_i)^\ast\nabla\rho_i\quad\text{слабо в }L_{\sigma_{25}}\bigl(0, T; L_{\sigma_{26}}(\Omega)\bigr) \\ \forall\,\sigma_{25}\in\biggl(1,\frac{2\sigma_{11}}{2+\sigma_{11}}\biggr),\quad \sigma_{26} \in\biggl(1,\frac{2\sigma_{12}}{2+\sigma_{12}}\biggr), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и, наконец,
$$
\begin{equation}
\theta^{q}\to\theta\quad\text{слабо в }L_{m+1}(Q_T).
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
Здесь $\rho_i\geqslant 0$, $\boldsymbol{u}_i$, $i=1,2$, и $\theta\geqslant 0$ – это некоторые элементы тех пространств, в которых имеют место сходимости. Более того,
$$
\begin{equation}
\rho_i\boldsymbol{u}_i\in C\bigl([0,T];L_{2\gamma/(\gamma+1),\mathrm{weak}}(\Omega)\bigr), \qquad i=1, 2.
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
По поводу знака температуры см. замечания 2.1 и 5.2. 2.6.3. Дополнительные свойства приближенных и предельных решений, предельный переходПредельные функции $\rho_i$, $\boldsymbol{u}_i$, $i=1,2$, и $\theta$ являются решением предельной задачи, в которой уравнения и граничные условия для плотностей (2.1)–(2.4) выполнены в том же смысле. Следовательно, имеют место соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{Q_T}\biggl(\rho_i\frac{\partial\phi_i}{\partial t} +(\rho_i\boldsymbol{u}_i-\varepsilon\nabla\rho_i)\cdot\nabla\phi_i\biggr)\,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\qquad+\int_{\Omega}\rho_{0i}^\delta\phi_i|_{t=0}\,d\boldsymbol{x}=0\quad \forall\, \phi_i\in C^{1}_0\bigl([0, T); C^{\infty}(\overline{\Omega})\bigr),\qquad i=1,2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
Далее, поскольку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{Q_T}\biggl(\rho_i^{q}\boldsymbol{u}_i^{q}\cdot \frac{\partial(\chi_i\boldsymbol{\omega}_i)}{\partial t}+(\rho_i^{q} \boldsymbol{u}_i^{q}\otimes\boldsymbol{u}_i^{q}):(\nabla\otimes(\chi_i \boldsymbol{\omega}_i))+ p_{e i}(\rho_i^{q})\operatorname{div}(\chi_i \boldsymbol{\omega}_i) \nonumber \\ &\qquad\qquad+\theta^{q}p_{\theta i}(\rho_i^{q})\operatorname{div}(\chi_i \boldsymbol{\omega}_i)+\boldsymbol{J}_i^{q}\cdot(\chi_i \boldsymbol{\omega}_i) +\rho_i^{q}\boldsymbol{f}_i\cdot(\chi_i \boldsymbol{\omega}_i)\biggr)\,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\qquad=\int_{Q_T}\bigl(\varepsilon((\nabla\otimes\boldsymbol{u}_i^{q})\chi_i \boldsymbol{\omega}_i)\cdot\nabla\rho_i^{q}+\mathbb{S}_i^{q}:(\nabla\otimes(\chi_i \boldsymbol{\omega}_i))\bigr) \,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\qquad\qquad-\int_{\Omega}\rho_{0i}^{\delta}\boldsymbol{u}_{0i}\cdot(\chi_i \boldsymbol{\omega}_i)|_{t=0}\,d\boldsymbol{x} \nonumber \\ &\qquad\qquad\forall\,\boldsymbol{\omega}_i\in X_{q_0}\quad \forall\, q_0\leqslant q,\quad \forall\,\chi_i\in C_0^{1}[0,T),\qquad i=1, 2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.32}
$$
то функции $\rho_i$, $\boldsymbol{u}_i$, $i=1, 2$, $\theta$ удовлетворяют аналогу (2.32) при всех $\boldsymbol{\omega}_i\in X_{q_0}$, $\forall\, q_0\in \mathbb{N}$, $\chi_i\in C_0^{1}[0,T)$, $i=1, 2$, который мы запишем в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{Q_T}\biggl(\rho_i\boldsymbol{u}_i\cdot\frac{\partial(\chi_i\boldsymbol{\omega}_i)}{\partial t}-(\operatorname{div}(\rho_i \boldsymbol{u}_i\otimes\boldsymbol{u}_i))\cdot(\chi_i \boldsymbol{\omega}_i) \nonumber \\ &\qquad\qquad-\nabla{p_i}(\rho_i, \theta)\cdot(\chi_i \boldsymbol{\omega}_i) +(\boldsymbol{J}_i+\rho_i\boldsymbol{f}_i)\cdot(\chi_i \boldsymbol{\omega}_i)\biggr)\,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\qquad=\int_{Q_T}\bigl(\varepsilon((\nabla\otimes\boldsymbol{u}_i)\chi_i \boldsymbol{\omega}_i)\cdot\nabla\rho_i-(\operatorname{div}\mathbb{S}_i)\cdot(\chi_i \boldsymbol{\omega}_i)\bigr) \,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\qquad\qquad-\int_{\Omega}\rho_{0i}^{\delta}\boldsymbol{u}_{0i}\cdot(\chi_i \boldsymbol{\omega}_i)|_{t=0}\,d\boldsymbol{x},\qquad i=1, 2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.33}
$$
где интегралы от обобщенных функций понимаются как их действия на соответствующие регулярные сомножители. Поскольку (при $\sigma_{9}<1$) все сомножители при $\boldsymbol{\omega}_i$ в (2.33) принадлежат пространству $L_1(0, T; W^{-1}_{\sigma_{27}}(\Omega))$ (а последний лежит в $L_{\infty}(\Omega)$), где
$$
\begin{equation*}
\sigma_{27}=\min\biggl\{\sigma_{24}, \frac{\sigma_{19}}{\gamma}, \frac{6\sigma_{19}}{\sigma_{19}+2\gamma}, \frac{3\sigma_{26}}{3-\sigma_{26}},2\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
то формула (2.33) остается справедливой и если заменить $\boldsymbol{\omega}_i$ на произвольные функции $\widetilde{\boldsymbol{\omega}}_i\in \mathring{W}^{1}_{\sigma_{27}'}(\Omega)$ (здесь и далее штрих у показателя означает сопряжение по Лебегу). Кроме того, интегральные тождества (2.14) (для предельных функций) справедливы для всех $\boldsymbol{\varphi}_i\in C^{1}_0([0, T); C^{\infty}_0(\Omega))$, $i=1,2$. Остается пояснить, в каком смысле выполнены соотношения для энергий. С этого момента (т. е. после предельного перехода по $q\to+\infty$) они будут выполняться в смысле диссипативных решений, т. е. в виде интегральных неравенств (см. п. 1.6). Рассмотрим произвольную регуляризующую функцию $\widehat{h}$ такую, что14
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widehat{h}\in C^2[0, +\infty),\qquad \widehat{h}(0)>0, \\ \lim_{z\to+\infty}\widehat{h}(z)=0,\qquad \widehat{h}'(z)\leqslant 0,\qquad\widehat{h}''(z)\widehat{h}(z)\geqslant 2\bigl(\widehat{h}'(z)\bigr)^2\quad\forall\,z\geqslant 0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.34}
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation}
0\leqslant -\widehat{h}'(z)<\frac{\widehat{h}(0)- B_{26}\widehat{h}'(0)}{z+ B_{26}} \quad\text{при всех }z\geqslant 0\text{ и } B_{26}\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{2.35}
$$
так как $((z+ B_{26})\widehat{h}'(z))' \geqslant \widehat{h}'(z)$. В частности, $z\widehat{h}'(z)>-\widehat{h}(0)$. Замечание 2.2. Переходя далее к пределу (по $\varepsilon$, $\delta$ и $\upsilon$), мы делаем это для конкретных $\widehat{h}$, выделяя соответствующие подпоследовательности решений для каждой из них. Это возможно (используя при необходимости диагональный процесс) сразу для всех необходимых $\widehat{h}$, если они образуют не более чем счетное множество. А именно, мы будем использовать следующие регуляризующие функции (см. фрагменты текста, следующие сразу после формул (3.61), (3.70), (4.7), (4.10), (5.14), (5.15), (5.22) и (5.30)): 1) $\widehat{h}(z)=1/(1+z)^{\omega}$, $0<\omega\leqslant 1$; 2) $\widehat{h}(z)=1/(z+\omega)$, $0<\omega\leqslant 1$. Однако в процессе предельного перехода по $q\to+\infty$ используются только базовые свойства (2.34), (2.35). Для приближенных решений имеют место соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{i=1}^2\int_{Q_T}(\rho_i^{q}+\upsilon)\widehat{Q}_i(\theta^{q}) \, \frac{\partial\psi}{\partial t} \,d\boldsymbol{x}\, dt +\sum_{i=1}^2\int_{Q_T}\rho_i^{q}\widehat{Q}_i(\theta^{q})\boldsymbol{u}_i^{q}\cdot\nabla\psi \,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\qquad\qquad+\int_{Q_T} \widehat{\mathcal{K}}(\theta^{q})\Delta\psi\,d\boldsymbol{x}\,dt -\delta\int_{Q_T} \widehat{h}(\theta^{q})(\theta^{q})^{m+1}\psi \,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\qquad=(\delta-1)\int_{Q_T}\widehat{h}(\theta^{q}) \biggl(\sum_{i=1}^2\mathbb{S}_i^{q}:\mathbb{D}(\boldsymbol{u}_i^{q})\biggr)\psi\,d\boldsymbol{x}\, dt -a\int_{Q_T}\widehat{h}(\theta^{q})|\boldsymbol{u}_1^{q}-\boldsymbol{u}_2^{q}|^2\psi \,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\qquad\qquad-\int_{Q_T}\widehat{h}(\theta^{q})\rho^{q} g^{\delta}\psi \,d\boldsymbol{x}\, dt+\int_{Q_T}\theta^{q} \widehat{h}(\theta^{q})\sum_{i=1}^2p_{\theta i}(\rho_i^{q})\, (\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i^{q})\psi\,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\qquad\qquad+\int_{Q_T}k(\theta^{q})\widehat{h}'(\theta^{q})|\nabla\theta^{q}|^2\psi \,d\boldsymbol{x}\,dt- \sum_{i=1}^2\int_{\Omega}(\rho_{0i}^{\delta}+\upsilon)\widehat{Q}_i(\theta_0^{\delta})\psi|_{t=0} \,d\boldsymbol{x} \nonumber \\ &\qquad\qquad+\int_0^{T}\int_{\partial\Omega}\widehat{h}(\theta^{q})L^{\delta}(t, \boldsymbol{x}, \theta^{q})\psi\,d\sigma\, dt \nonumber \\ &\qquad\qquad+\varepsilon \sum_{i=1}^2\int_{Q_T}\nabla\rho_i^{q}\cdot\nabla\bigl(\bigl(\widehat{Q}_i(\theta^{q}) -\widehat{h}(\theta^{q})Q_i(\theta^{q})\bigr)\psi\bigr)\, d\boldsymbol{x}\,dt \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.36}
$$
для всех функций $\psi$, удовлетворяющих условиям
$$
\begin{equation}
\psi\in C^2(\overline{Q}_T), \quad \psi\geqslant 0, \qquad \psi(T, {\cdot}\,)=0,\quad \nabla\psi\cdot\boldsymbol{n}|_{[0, T]\times\partial\Omega}=0,
\end{equation}
\tag{2.37}
$$
где
$$
\begin{equation}
\widehat{Q}_i(\theta^{q})=\int_0^{\theta^{q}}\widehat{h}(z)c_{\theta i}(z)\,dz,\quad i=1,2,\qquad \widehat{\mathcal{K}}(\theta^{q})=\int_0^{\theta^{q}}\widehat{h}(z)k(z)\, dz.
\end{equation}
\tag{2.38}
$$
Соответственно, предельные функции также удовлетворяют соотношениям
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{i=1}^2\int_{Q_T}(\rho_i+\upsilon)\widehat{Q}_i(\theta)\, \frac{\partial\psi}{\partial t}\,d\boldsymbol{x}\, dt +\sum_{i=1}^2\int_{Q_T}\rho_i\widehat{Q}_i(\theta)\boldsymbol{u}_i\cdot\nabla\psi\,d\boldsymbol{x} \,dt \nonumber \\ &\qquad\qquad+\int_{Q_T} \widehat{\mathcal{K}}(\theta)\Delta\psi\,d\boldsymbol{x}\,dt -\delta\int_{Q_T} \widehat{h}(\theta)\theta^{m+1}\psi \,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\qquad\leqslant(\delta-1)\int_{Q_T}\widehat{h}(\theta)\biggl(\sum_{i=1}^2\mathbb{S}_i: \mathbb{D}(\boldsymbol{u}_i)\biggr)\psi\,d\boldsymbol{x}\,dt -a\int_{Q_T}\widehat{h}(\theta)|\boldsymbol{u}_1-\boldsymbol{u}_2|^2\psi\,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\qquad\qquad-\int_{Q_T}\widehat{h}(\theta)\rho g^{\delta}\psi \,d\boldsymbol{x}\, dt +\int_{Q_T}\theta \widehat{h}(\theta)\sum_{i=1}^2p_{\theta i}(\rho_i)(\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i)\psi\,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\qquad\qquad +\int_{Q_T}k(\theta)\widehat{h}'(\theta)|\nabla\theta|^2\psi \,d\boldsymbol{x}\, dt- \sum_{i=1}^2\int_{\Omega}(\rho_{0i}^{\delta}+\upsilon)\widehat{Q}_i(\theta_0^{\delta})\psi|_{t=0} \,d\boldsymbol{x} \nonumber \\ &\qquad\qquad +\int_0^{T}\int_{\partial\Omega}\widehat{h}(\theta)L^{\delta}(t, \boldsymbol{x}, \theta)\psi\,d\sigma\, dt \nonumber \\ &\qquad\qquad+\varepsilon \sum_{i=1}^2\int_{Q_T}\nabla\rho_i\cdot\nabla \bigl(\bigl(\widehat{Q}_i(\theta)-\widehat{h}(\theta)Q_i(\theta)\bigr)\psi\bigr)\,d\boldsymbol{x} \, dt \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.39}
$$
для всех функций $\psi$, удовлетворяющих условиям (2.37). При выводе (2.39) важную роль играют соотношения
$$
\begin{equation}
\int_{Q_T}\widehat{h}(\theta)\biggl(\sum_{i=1}^2\mathbb{S}_i:\mathbb{D}(\boldsymbol{u}_i)\biggr) \psi\,d\boldsymbol{x}\, dt\leqslant\liminf_{q\to+\infty} \int_{Q_T}\widehat{h}(\theta^{q})\biggl(\sum_{i=1}^2 \mathbb{S}_i^{q}:\mathbb{D}(\boldsymbol{u}_i^{q})\biggr)\psi\,d\boldsymbol{x}\,dt,
\end{equation}
\tag{2.40}
$$
$$
\begin{equation}
a\int_{Q_T}\widehat{h}(\theta)|\boldsymbol{u}_1-\boldsymbol{u}_2|^2\psi\,d\boldsymbol{x}\, dt\leqslant a\liminf_{q\to+\infty} \int_{Q_T}\widehat{h}(\theta^{q})|\boldsymbol{u}_1^{q}-\boldsymbol{u}_2^{q}|^2\psi \,d\boldsymbol{x}\, dt.
\end{equation}
\tag{2.41}
$$
Наконец, имеет место неравенство (для п. в. $t\in (0, T)$):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{i=1}^2\int_{\Omega}\biggl(\frac{1}{2}\rho_i(t)|\boldsymbol{u}_i(t)|^2 +\rho_i(t)P_{e i}(\rho_i)(t)+(\rho_i+\upsilon)(t)Q_i(\theta)(t)\biggr)\,d\boldsymbol{x} \nonumber \\ &\qquad\qquad+\delta\sum_{i=1}^2\int_{Q_{t}} \mathbb{S}_i:(\nabla\otimes\boldsymbol{u}_i)\,d\boldsymbol{x}\,d\tau +\delta\int_{Q_{t}}\theta^{m+1} \,d\boldsymbol{x}\, d\tau \nonumber \\ &\qquad\qquad+\int_0^{t}\int_{\partial\Omega}L^{\delta}(\tau, \boldsymbol{x}, \theta) \,d\sigma\, d\tau \nonumber \\ &\qquad\leqslant\int_{Q_{t}}\rho g^{\delta} \,d\boldsymbol{x}\, d\tau +\sum_{i=1}^2\int_{Q_{t}}\rho_i\boldsymbol{f}_i\cdot\boldsymbol{u}_i\,d\boldsymbol{x}\, d\tau \nonumber \\ &\qquad\qquad+\sum_{i=1}^2\int_{\Omega}\biggl(\frac{1}{2}\rho_{0i}^{\delta}|\boldsymbol{u}_{0i}|^2 +\rho_{0i}^{\delta}P_{e i}(\rho^{\delta}_{0 i})+(\rho^{\delta}_{0i} +\upsilon)Q_i(\theta_0^{\delta})\biggr)\, d\boldsymbol{x}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.42}
$$
Все перечисленные в п. 2.6 факты доказаны в [26] и приведены здесь для удобства дальнейших ссылок. Для доказательства теоремы 1.7 остается обосновать предельный переход по параметрам $\varepsilon$, $\delta$ и $\upsilon$, чему и посвящена оставшаяся часть статьи. § 3. Предельный переход по $\varepsilon\to +0$3.1. Предельный переход по $\varepsilon\to +0$ в уравнениях неразрывности и импульсов, кроме слагаемых с давлениемРассмотрим построенное выше решение промежуточной задачи, т. е. (2.1)–(2.4), (2.14) (после предельного перехода по $q\to +\infty$), (2.39), (2.42), и получим для него (них) оценки, равномерные по параметру $\varepsilon$. 3.1.1. Базовые оценкиИз (2.15)–(2.18), (2.24), (2.25), (2.27)–(2.29) следуют оценки (далее у величин, зависящих от $\varepsilon$, будем писать индекс $\varepsilon$)
$$
\begin{equation}
\| \rho_i^{\varepsilon}\|_{L_{\infty}(0, T; L_{\gamma}(\Omega))}\leqslant B_{14},\qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
$$
\begin{equation}
\bigl\| \sqrt{\rho_i^{\varepsilon}} \boldsymbol{u}_i^{\varepsilon} \bigr\|_{L_{\infty}(0, T; L_2(\Omega))}+ \|\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon} \|_{L_2(0, T; W^{1}_2(\Omega))} \leqslant B_{15}, \qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
$$
\begin{equation}
\| \sqrt{\varepsilon}\nabla\rho_i^{\varepsilon}\|_{L_2(Q_T)} \leqslant B_{16},\qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
$$
\begin{equation}
\| \theta^{\varepsilon}\|_{L_{m+1}(Q_T)} \leqslant \biggl(\frac{B_{17}}{\delta}\biggr)^{1/(m+1)}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Из (3.1) и (3.2) вытекают оценки
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\| \rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}\|_{L_2(0, T; L_{6\gamma/(\gamma+6)}(\Omega))}+ \|\rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}\|_{L_{\infty}(0, T; L_{2\gamma/(\gamma+1)}(\Omega))} \nonumber \\ &\qquad \leqslant B_{27}( B_{14}, B_{15}, \Omega),\qquad i=1,2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
откуда получаем при любых $\sigma_{28}\in [0, 1]$ неравенства
$$
\begin{equation}
\| \rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}\|_{L_{2/\sigma_{28}}(0, T; L_{6\gamma/((3-2\sigma_{28})\gamma+3(\sigma_{28}+1))}(\Omega))}\leqslant B_{28}( B_{27}),\qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Тогда из (2.1)–(2.3) следуют равномерные по $\varepsilon$ оценки (см. [31; лемма 7.38, с. 344])
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\varepsilon\| \nabla \rho_i^{\varepsilon}\|_{L_{2/\sigma_{28}}(0, T; L_{6\gamma/((3-2\sigma_{28})\gamma+3(\sigma_{28}+1))}(\Omega))} \nonumber \\ &\qquad\leqslant B_{29}(B_{28}, \{\|\rho_{0i}^{\delta}\|_{L_{\gamma}(\Omega)}\}, \gamma, \sigma_{28}, \Omega),\qquad i=1, 2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
при любых $\sigma_{28}\in (0,1]$. Поэтому при $i=1,2$ и
$$
\begin{equation}
\frac{3}{2\gamma-3} \leqslant \sigma_{28} \leqslant 1
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
верны неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\varepsilon\| \nabla\otimes(\rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}) \|_{L_{2/(\sigma_{28}+1)}(0, T; L_{6\gamma/(2(2-\sigma_{28})\gamma+3(\sigma_{28}+1))}(\Omega))} \nonumber \\ &+\varepsilon\| (\nabla\otimes\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon})^\ast\nabla\rho_i^{\varepsilon} \|_{L_{2/(\sigma_{28}+1)}(0, T; L_{6\gamma/(2(3-\sigma_{28})\gamma+3(\sigma_{28}+1))}(\Omega))}\leqslant B_{30}( B_{14}, B_{15}, B_{29}, \Omega). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Наконец, из (3.2) и (3.6) следуют оценки
$$
\begin{equation}
\|\rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}\otimes\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon} \|_{L_{2/(\sigma_{28}+1)}(0, T; L_{6\gamma/(2(2-\sigma_{28})\gamma+3(\sigma_{28}+1))}(\Omega))} \leqslant B_{31}( B_{15}, B_{28}),\qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
3.1.2. Улучшенные оценки плотностейДалее, чтобы улучшить интегрируемость плотностей, воспользуемся оператором Боговского $\mathcal{B}$, определяемым следующим образом. Значение $\boldsymbol{v}=\mathcal{B}y$ оператора $\mathcal{B}$ на скалярной функции $y$, заданной в $\Omega$, есть решение задачи
$$
\begin{equation}
\operatorname{div}\boldsymbol{v}=y-\frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}y\,d\boldsymbol{x} \quad\text{в }\Omega,\qquad \boldsymbol{v}=0\quad\text{на }\partial\Omega.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Ясно, что решение (3.11) не единственно, но существуют (см., например, [32; с. 315, 316]) способы выбора единственного решения таким образом, чтобы оператор $\mathcal{B}$ обладал следующими свойствами: 1) $\|\mathcal{B}y\|_{W_{\sigma_{30}}^{\sigma_{29}+1}(\Omega)}\leqslant B_{32}(\sigma_{29}, \sigma_{30}, \Omega)\|y\|_{W_{\sigma_{30}}^{\sigma_{29}}(\Omega)}$ для всех $\sigma_{30}\in(1,+\infty)$ и $\sigma_{29}\,{=}\,-1,0,1,2,\dots$; 2) $(\mathcal{B}y)_t=\mathcal{B}y_t$; 3) оператор $\mathcal{B}\circ \operatorname{div}$ ограничен15 в $L_{\sigma_{31}}(\Omega)$ для всех $\sigma_{31}\in(1,+\infty)$. Из уравнений (2.1) для предельных функций $\rho_i^{\varepsilon}$, $\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}$, $i=1,2$, вытекают равенства
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial\boldsymbol{w}_i^{\varepsilon}}{\partial t}=-(\mathcal{B}\circ \operatorname{div})(\rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon} -\varepsilon\nabla\rho_i^{\varepsilon}),\qquad i=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\boldsymbol{w}_i^{\varepsilon}=\mathcal{B}(\rho_i^{\varepsilon})$, $i=1,2$. Из свойств $\mathcal{B}$ и (3.6), (3.7) следуют оценки
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl\|\frac{\partial \boldsymbol{w}_i^{\varepsilon}}{\partial t}\biggr\|_{L_{2/\sigma_{28}}(0, T; L_{6\gamma/((3-2\sigma_{28})\gamma+3(\sigma_{28}+1))}(\Omega))} \nonumber \\ &\qquad\leqslant B_{33}( B_{32}, B_{28}, B_{29}, \sigma_{28}, \gamma, \Omega), \qquad i=1,2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Отметим также следующие равномерные по $\varepsilon$ оценки:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|\mathbb{S}_i^{\varepsilon}\|_{L_2(Q_T)}&\leqslant B_{34}( B_{15}, \boldsymbol{\Lambda}, \mathbf{M}), \\ \|\rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{f}_i\|_{L_{\infty}(0, T; L_{\gamma}(\Omega))} &\leqslant B_{35}(B_{14}, \|\boldsymbol{f}_i\|_{ L_{\infty}(Q_T)}),\qquad i=1,2, \\ \|\boldsymbol{w}_i^{\varepsilon}\|_{L_{\infty}(Q_T)} &\leqslant B_{36}(B_{14}, \gamma, \Omega), \\ \|\nabla\otimes \boldsymbol{w}^{\varepsilon}_i\|_{L_{\infty}(0, T; L_{\gamma}(\Omega))} &\leqslant B_{37}( B_{14}, \gamma, \Omega),\qquad i=1,2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Возьмем в уравнениях (2.14) (после предельного перехода по $q\to +\infty$) в качестве тестовых функций векторные поля $\boldsymbol{\varphi}_i=\widetilde{\chi}_{k}\boldsymbol{w}_i^{\varepsilon}$, $k\in\mathbb{N}$, $i=1,2$, где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widetilde{\chi}_{k}\in C^{\infty}_0(0,T),\qquad 0\leqslant \widetilde{\chi}_{k}(t)\leqslant 1,\qquad \widetilde{\chi}_{k}(t)=1\quad\text{при}\quad t\in\biggl[\frac{1}{k}, T-\frac{1}{k}\biggr], \\ |\widetilde{\chi}_{k}'(t)|\leqslant 2k,\qquad k\in \mathbb{N}; \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \boldsymbol{\varphi}_i\in L_{\infty}(0, T; W^{1}_{\gamma}(\Omega)), \\ \frac{\partial\boldsymbol{\varphi}_i}{\partial t}\in L_{2/\sigma_{28}}(0, T; L_{6\gamma/((3-2\sigma_{28})\gamma+3(\sigma_{28}+1))}(\Omega)),\qquad i=1,2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда получим тождества
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{Q_T}p_i^{\varepsilon}\rho_i^{\varepsilon}\widetilde{\chi}_{k}\, d\boldsymbol{x}\,dt =\int_{Q_T}p_i^{\varepsilon}\biggl(\frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}\rho_i^{\varepsilon} \,d\boldsymbol{x}\biggr)\widetilde{\chi}_{k}\, d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\qquad-\int_{Q_T}\rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}\cdot \biggl(\frac{d\widetilde{\chi}_{k}}{dt}\,\boldsymbol{w}_i^{\varepsilon}+ \widetilde{\chi}_{k}\, \frac{\partial\boldsymbol{w}_i^{\varepsilon}}{\partial t}\biggr) \,d\boldsymbol{x}\,dt -\int_{Q_T}(\boldsymbol{J}_i^{\varepsilon}+\rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{f}_i) \cdot\widetilde{\chi}_{k}\boldsymbol{w}_i^{\varepsilon}\, d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\qquad+\int_{Q_T}({\mathbb{S}_i^{\varepsilon}}-\rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon} \otimes\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}):(\nabla\otimes\boldsymbol{w}_i^{\varepsilon}) \widetilde{\chi}_{k}\,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\qquad+\varepsilon\int_{Q_T}((\nabla\otimes\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}) \boldsymbol{w}_i^{\varepsilon})\cdot(\nabla\rho_i^{\varepsilon})\widetilde{\chi}_{k}\, d\boldsymbol{x}\,dt,\qquad i=1, 2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Другими словами, возьмем в (2.33) $\chi_i:=\widetilde{\chi}_{k}$ со свойствами указанными в (3.14), а вместо $\boldsymbol{\omega}_i$ – гладкие функции, стремящиеся к $\boldsymbol{w}_i^{\varepsilon}$ $\ast$-слабо в пространствах, сопряженных к тем, которым принадлежат их сомножители, и перейдем к пределу, в результате получим (3.15). При этом в левой части мы пользуемся (неравномерной по $\varepsilon$) оценкой (2.19), а в правой части – (равномерными по $\varepsilon$) оценками (1.13), (1.27), (1.32), (3.1), (3.2), (3.4), (3.6), (3.9), (3.10), (3.12), (3.13) и условием (3.8). Замечание 3.1. В терминах требования $\widetilde{\boldsymbol{\omega}}_i\in \mathring{W}^{1}_{\sigma_{27}'}(\Omega)$ (см. (2.33)) проделанные действия корректны при условии, что $\sigma_{27}\geqslant\gamma'$, что приводит к следующим ограничениям16: Из неравенств $\|\widetilde{\chi}_{k}'\|_{L_1(0, T)}\leqslant 4$, $k\in \mathbb{N}$, (3.5) и перечисленных выше равномерных по $\varepsilon$ оценок следует равномерная по $\varepsilon$ ограниченность слагаемых в правых частях (3.15), что дает оценки
$$
\begin{equation}
\int_{Q_T}p_i^{\varepsilon}\rho_i^{\varepsilon}\widetilde{\chi}_{k}\, d\boldsymbol{x}\,dt\leqslant B_{38},\qquad k\in \mathbb{N},\quad i=1,2,
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
где $B_{38}$ зависит от $B_{14}$, $B_{15}$, $B_{17}$, $B_{27}$, $ B_{28}$, $B_{30}$, $B_{31}$, $B_{33}$, $B_{34}$, $B_{35}$, $B_{36}$, $B_{37}$, $c_2$, $c_3$, $c_4$, $T$, $a$, $m$, $\gamma$, $\delta$, $\Omega$ и $\sigma_{28}$. Далее, поскольку при $k\to +\infty$ верно $\widetilde{\chi}_{k}\to 1$ поточечно в $(0, T)$, то, используя (1.13) и (1.32), получаем из (3.16) неравенства
$$
\begin{equation}
\int_{Q_T}(\rho_i^{\varepsilon})^{\gamma+1}\, d\boldsymbol{x}\,dt +\int_{Q_T}\theta^{\varepsilon}p_{\theta i}(\rho_i^{\varepsilon})\rho_i^{\varepsilon}\, d\boldsymbol{x}\,dt\leqslant B_{39}( B_{38}, c_2, \gamma), \qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
3.1.3. Предельный переход в уравнениях неразрывностиВвиду оценок (3.1)–(3.4) и (3.17), из семейства $\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}$, $\rho_i^{\varepsilon}$, $\theta^{\varepsilon}$, $\varepsilon\in(0,1]$, может быть выделена последовательность (которую мы обозначим так же), для которой при $\varepsilon\to + 0$ для всех $i=1, 2$ имеют место сходимости
$$
\begin{equation}
\rho_i^{\varepsilon} \to\rho_i \quad \!\ast\text{-слабо в }L_{\infty}(0, T;L_{\gamma}(\Omega)), \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon} \to \boldsymbol{u}_i \quad \text{слабо в }L_2\bigl(0, T; \mathring{W}^{1}_2(\Omega)\bigr),
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
$$
\begin{equation}
\varepsilon\nabla \rho_i^{\varepsilon} \to 0 \quad \text{сильно в }L_2(Q_T),
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
$$
\begin{equation}
\rho_i^{\varepsilon} \to\rho_i \quad \text{слабо в }L_{\gamma+1}(Q_T),
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
$$
\begin{equation}
\theta^{\varepsilon} \to\theta \quad \text{слабо в }L_{m+1}(Q_T).
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
Здесь $\rho_i\geqslant 0$, $\boldsymbol{u}_i$, $i=1,2$, и $\theta\geqslant 0$ – это некоторые элементы тех пространств, в которых имеют место сходимости. По поводу знака температуры см. замечания 2.1 и 5.2. Из уравнений (2.1) (для функций $\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}$, $\rho_i^{\varepsilon}$, $i=1,2$) ввиду (3.3) и (3.5) получаем равномерную по $\varepsilon$ ограниченность ${\partial \rho_i^{\varepsilon}}/{\partial t}$, $i=1, 2$, в пространстве $L_2(0, T; W^{-1}_{2\gamma/(\gamma+1)}(\Omega))$. Таким образом, последовательности ${\rho_i^{\varepsilon}}$, $i=1, 2$, равностепенно непрерывны по $t\in [0, T]$ со значениями в $W^{-1}_{2\gamma/(\gamma+1)}(\Omega)=(\mathring{W}^{1}_{2\gamma/(\gamma-1)}(\Omega))^\ast$ (здесь и далее верхний индекс $\ast$ у пространства означает сопряжение). Тогда, благодаря (2.26) и (3.1), приходим (см. [31; лемма 6.2, с. 301]) к сходимости (выделяя подпоследовательности и переобозначая их так же)
$$
\begin{equation}
\rho_i^{\varepsilon}\to\rho_i\quad\text{при }\varepsilon\to + 0\text{ в }C\bigl([0, T]; L_{\gamma, \mathrm{weak}}(\Omega)\bigr), \qquad i=1, 2.
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
Так как вложение $L_{\gamma}(\Omega)$ в $W^{-1}_2(\Omega)$ компактно, то (см. [31; лемма 6.4, с. 302])
$$
\begin{equation}
\rho_i^{\varepsilon}\to\rho_i\quad\text{при }\varepsilon\to +0\text{ в } L_{\sigma_{32}}\bigl(0, T; W^{-1}_2(\Omega)\bigr)\quad\forall\, \sigma_{32}\in[1, +\infty), \qquad i=1, 2.
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Выбирая в (3.6) любое $\sigma_{28}$ (из диапазона, указанного в (3.8)), после выбора подпоследовательности мы можем утверждать о сходимости
$$
\begin{equation}
\rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}\to\rho_i\boldsymbol{u}_i\quad \text{слабо в пространстве (3.6)}, \qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
Теперь из (2.31) получаем, что предельные функции $\boldsymbol{u}_i$, $\rho_i$, $i=1, 2$, удовлетворяют уравнениям
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \int_{Q_T}\biggl(\rho_i\, \frac{\partial\phi_i}{\partial t}+\rho_i\boldsymbol{u}_i\cdot\nabla\phi_i\biggr)\,d\boldsymbol{x}\,dt +\int_{\Omega}\rho_{0i}^{\delta}\phi_i|_{t=0}\,d\boldsymbol{x}=0\quad \\ \forall\, \phi_i\in C^{1}_0\bigl([0, T); C^{\infty}(\overline{\Omega})\bigr),\qquad i=1, 2 \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
(слабая форма (1.1)), которые, ввиду (3.22), означают, что $\rho_i$ удовлетворяют начальным условиям в (2.3) в смысле пространства $C([0, T]; L_{\gamma, \mathrm{weak}}(\Omega))$. Замечание 3.2. Как известно из теории уравнений переноса и Навье–Стокса (см., например, [32; с. 353–358]), все решения уравнений неразрывности (3.25) (т. е. (1.1)) рассматриваемого класса автоматически являются так называемыми ренормализованными решениями, т. е. удовлетворяют ренормализованным уравнениям (1.1), формально получающимся из (1.1) умножением на $\widetilde{G}'(\rho_i)$ для всех функций $\widetilde{G}$ определенного класса (а именно, обладающими достаточной гладкостью и свойствами роста в нуле и на бесконечности). 3.1.4. Частичный предельный переход в уравнениях импульсовИз уравнений (2.14) (для функций $\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}$, $\rho_i^{\varepsilon}$, $i=1,2$, $\theta^{\varepsilon}$), ввиду (1.13), (1.27), (1.32), (1.37), (3.2), (3.4), (3.9), (3.10) и (3.17), получаем равномерную по $\varepsilon$ ограниченность $\partial (\rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon})/\partial t$, $i=1, 2$, в пространстве $L_{\sigma_{33}}(0, T; W^{-1}_{(\gamma+1)/\gamma}(\Omega))$, где $\sigma_{33}=\min\{(\gamma+1)/\gamma,\,2/(\sigma_{28}+1)\}$. Таким образом, последовательности ${\rho_i^{\varepsilon}}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}$, $i=1, 2$, равностепенно непрерывны по $t\in [0, T]$ со значениями в $W^{-1}_{(\gamma+1)/\gamma}(\Omega)=(\mathring{W}^{1}_{\gamma+1}(\Omega))^\ast$. Тогда, благодаря (2.30) и (3.5), приходим (аналогично (3.22)) к сходимости (выделяя подпоследовательности и переобозначая их так же)
$$
\begin{equation}
\rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}\to\rho_i\boldsymbol{u}_i\quad \text{при }\varepsilon\to +0\text{ в }C\bigl([0, T]; L_{2\gamma/(\gamma+1), \mathrm{weak}}(\Omega)\bigr), \qquad i=1, 2.
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Так как вложение $L_{2\gamma/(\gamma+1)}(\Omega)$ в $W^{-1}_2(\Omega)$ компактно, то (см. [31; лемма 6.4, с. 302]) ввиду (3.10) и (3.18) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}\otimes\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon} \to\rho_i\boldsymbol{u}_i\otimes\boldsymbol{u}_i\quad \text{при}\quad \varepsilon\to +0 \\ \text{слабо в }L_{2/(\sigma_{28}+1)}\bigl(0, T; L_{6\gamma/(2(2-\sigma_{28})\gamma+3(\sigma_{28}+1))}(\Omega)\bigr),\qquad i=1, 2. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
Теперь мы можем перейти к пределу в (2.14) (для функций $\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}$, $\rho_i^{\varepsilon}$, $i=1,2$, $\theta^{\varepsilon}$) при $\varepsilon\to +0$ и получить
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{Q_T}\biggl(\rho_i\boldsymbol{u}_i\cdot\frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_i}{\partial t}+(\rho_i \boldsymbol{u}_i\otimes\boldsymbol{u}_i):(\nabla\otimes\boldsymbol{\varphi}_i)+ \overline{p}_i\operatorname{div}\boldsymbol{\varphi}_i+(\boldsymbol{J}_i +\rho_i\boldsymbol{f}_i)\cdot\boldsymbol{\varphi}_i\biggr)\,d\boldsymbol{x}\,dt \\ &\qquad=\int_{Q_T}\mathbb{S}_i:(\nabla\otimes\boldsymbol{\varphi}_i) \,d\boldsymbol{x}\,dt -\int_{\Omega}\rho_{0i}^{\delta} \boldsymbol{u}_{0i}\cdot\boldsymbol{\varphi}_i|_{t=0}\,d\boldsymbol{x} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\forall\,\boldsymbol{\varphi}_i\in C^{1}_0([0, T); C^{\infty}_0(\Omega)),\qquad i=1, 2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
где
$$
\begin{equation}
p_i(\rho_i^{\varepsilon},\theta^{\varepsilon})\to \overline{p}_i \quad \text{слабо в } L_{(\gamma+1)/\gamma}(Q_T), \qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
а $\overline{p}_i$, $i=1,2$, – это некоторые элементы пространства $L_{(\gamma+1)/\gamma}(Q_T)$. Ввиду (3.26), начальные условия для импульсов принимаются в смысле пространства $C([0, T]; L_{2\gamma/(\gamma+1), \mathrm{weak}}(\Omega))$. Таким образом, для завершения предельного перехода в уравнениях импульсов по $\varepsilon\to +0$ осталось доказать, что
$$
\begin{equation}
\overline{p}_i=p_i(\rho_i,\theta)\quad\text{п. в. в }Q_T,\qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
3.2. Завершение предельного перехода по $\varepsilon\to +0$ в уравнениях импульсов3.2.1. Эффективные вязкие потокиРассмотрим для всех $i=1, 2$ так называемые эффективные вязкие потоки компонент смеси $p_i-\sum_{j=1}^2 \nu_{ij}\operatorname{div}\boldsymbol{u}_{j}$, соответствующие величины для регуляризованной задачи $p_i^{\varepsilon}-\sum_{j=1}^2 \nu_{ij}\operatorname{div}\boldsymbol{u}_{j}^{\varepsilon}$, и их слабые пределы в $L_{(\gamma+1)/\gamma}(Q_T)$, т. е. величины $\overline{p}_i-\sum_{j=1}^2 \nu_{ij}\operatorname{div}\boldsymbol{u}_{j}$. Будем использовать оператор $\Delta^{-1}$, действующий по формуле
$$
\begin{equation*}
(\Delta^{-1}v)(\boldsymbol{x})=-\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{R}^3}\frac{v(\boldsymbol{y}) \,d\boldsymbol{y}}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|},
\end{equation*}
\notag
$$
применяя его к функциям $v\in L_{\sigma_{34}}(\Omega)$, $\sigma_{34}>3/2$, продолженным нулем за пределы $\Omega$. При этом $\Delta^{-1}\colon L_{\sigma_{34}}(\Omega)\to W^2_{\sigma_{34}}(\Omega)$ и $\Delta\circ\Delta^{-1}=I$. Из уравнений (2.1) (для функций $\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}$, $\rho_i^{\varepsilon}$, $i=1,2$) после элементарных преобразований (которые законны ввиду ограничения (2.21) и аналогов оценок (2.20) и (2.22) после перехода к пределу при $q\to +\infty$) получим тождества
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \boldsymbol{r}_{j}^{\varepsilon}}{\partial t} =\nabla\Delta^{-1}\operatorname{div}(-\rho_{j}^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_{j}^{\varepsilon}+ \varepsilon\nabla\rho_{j}^{\varepsilon}),\qquad j=1,2,
\end{equation}
\tag{3.31}
$$
в которых введены обозначения $\boldsymbol{r}_{j}^{\varepsilon} =\nabla\Delta^{-1}\rho_{j}^{\varepsilon}$, $j=1,2$. Возьмем в уравнениях (2.14) (для функций $\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}$, $\rho_i^{\varepsilon}$, $i=1,2$, $\theta^{\varepsilon}$) в качестве тестовых функций векторные поля $\boldsymbol{\varphi}_i=\psi\tau\boldsymbol{r}_{j}^{\varepsilon}$, $i, j=1,2$, где
$$
\begin{equation}
\psi\in C^{\infty}_0(0,T),\qquad \tau\in C^{\infty}_0(\Omega).
\end{equation}
\tag{3.32}
$$
Тогда, учитывая (3.31), приходим к равенствам
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{Q_T}\psi\bigl(\tau p_i^{\varepsilon}\rho_{j}^{\varepsilon} -\mathbb{S}_i^{\varepsilon}:(\nabla\otimes (\tau\boldsymbol{r}_{j}^{\varepsilon}))\bigr) \,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\ =-\int_{Q_T}\psi p_i^{\varepsilon}(\nabla\tau) \cdot\boldsymbol{r}_{j}^{\varepsilon}\,d\boldsymbol{x}\, dt-\varepsilon\int_{Q_T}\psi\tau \rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}\cdot\nabla\Delta^{-1} \Delta\rho_{j}^{\varepsilon}\,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\ \quad-\int_{Q_T}\psi\tau(\rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon} \otimes\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}):(\nabla\otimes\boldsymbol{r}_{j}^{\varepsilon})\, d\boldsymbol{x}\, dt +\int_{Q_T}\psi\tau\rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}\cdot \nabla\Delta^{-1}\operatorname{div}(\rho_{j}^{\varepsilon} \boldsymbol{u}_{j}^{\varepsilon})\,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\ \quad-\int_{Q_T}\psi(\rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon} \otimes\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}):(\nabla\tau\otimes\boldsymbol{r}_{j}^{\varepsilon})\, d\boldsymbol{x}\, dt -\int_{Q_T}\psi\tau(\boldsymbol{J}_i^{\varepsilon}+\rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{f}_i) \cdot\boldsymbol{r}_{j}^{\varepsilon}\,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\ \quad-\int_{Q_T}\frac{d\psi}{dt}\, \tau\rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon} \cdot\boldsymbol{r}_{j}^{\varepsilon}\,d\boldsymbol{x}\, dt+ \varepsilon\int_{Q_T}\psi\tau\bigl((\nabla\otimes\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon})^\ast\nabla \rho_i^{\varepsilon}\bigr)\cdot \boldsymbol{r}_{j}^{\varepsilon}\,d\boldsymbol{x}\,dt,\qquad i, j=1,2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.33}
$$
C другой стороны, приняв в (3.28) в качестве тестовых функций векторные поля $\boldsymbol{\varphi}_i=\psi\tau\nabla\Delta^{-1}\rho_{j}$, $i, j=1,2$ (см. (3.32)), выводим тождества
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{Q_T}\psi\bigl(\tau\overline{p}_i\rho_{j}-\mathbb{S}_i: (\nabla\otimes(\tau\boldsymbol{r}_{j}))\bigr)\,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\ =-\int_{Q_T}\psi\overline{p}_i(\nabla\tau)\cdot\boldsymbol{r}_{j}\,d\boldsymbol{x}\, dt -\int_{Q_T}\psi\tau(\rho_i\boldsymbol{u}_i\otimes\boldsymbol{u}_i) :(\nabla\otimes\boldsymbol{r}_{j})\,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\ \quad +\int_{Q_T}\psi\tau\rho_i\boldsymbol{u}_i \cdot\nabla\Delta^{-1}\operatorname{div}(\rho_{j}\boldsymbol{u}_{j})\,d\boldsymbol{x}\, dt -\int_{Q_T}\psi(\rho_i\boldsymbol{u}_i\otimes\boldsymbol{u}_i): (\nabla\tau\otimes\boldsymbol{r}_{j})\,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\ \quad-\int_{Q_T}\psi\tau(\boldsymbol{J}_i +\rho_i\boldsymbol{f}_i)\cdot\boldsymbol{r}_{j}\,d\boldsymbol{x}\, dt -\int_{Q_T}\frac{d\psi}{dt}\, \tau\rho_i\boldsymbol{u}_i\cdot \boldsymbol{r}_{j}\,d\boldsymbol{x}\, dt,\qquad i, j=1,2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.34}
$$
где $\boldsymbol{r}_{j}=\nabla\Delta^{-1}\rho_{j}$, $j=1,2$. Из (3.22) и компактности вложения $W^{1}_{\gamma}(\Omega)$ в $C(\overline{\Omega})$ следует, что при $\varepsilon\to +0$
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{r}_{j}^{\varepsilon}\to\boldsymbol{r}_{j}\quad\text{в }C(\overline{Q}_T),\qquad j=1,2.
\end{equation}
\tag{3.35}
$$
Вычитая из (3.33) равенства (3.34) и переходя к пределу при $\varepsilon\to +0$, получим, благодаря (3.8), (3.18)–(3.20), (3.24), (3.27), (3.29) и (3.35), соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\lim_{\varepsilon\to +0}\int_{Q_T}\psi\bigl(\tau p_i^{\varepsilon}\rho_{j}^{\varepsilon}-\mathbb{S}_i^{\varepsilon}:(\nabla\otimes (\tau\boldsymbol{r}_{j}^{\varepsilon}))\bigr)\,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\ \quad -\int_{Q_T}\psi\bigl(\tau\overline{p}_i\rho_{j}- \mathbb{S}_i:(\nabla\otimes(\tau\boldsymbol{r}_{j}))\bigr)\,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\ =\lim_{\varepsilon\to+0}\int_{Q_T}\psi\tau \bigl(\rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}\cdot \nabla\Delta^{-1}\operatorname{div}(\rho_{j}^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_{j}^{\varepsilon})- (\rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}\otimes\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}) :(\nabla\otimes\boldsymbol{r}_{j}^{\varepsilon})\bigr)\,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\ \quad-\int_{Q_T}\psi\tau\bigl(\rho_i\boldsymbol{u}_i\cdot\nabla\Delta^{-1} \operatorname{div}(\rho_{j}\boldsymbol{u}_{j})\,{-}\,(\rho_i\boldsymbol{u}_i\otimes\boldsymbol{u}_i): (\nabla\otimes\boldsymbol{r}_{j})\bigr)\,d\boldsymbol{x}\,dt,\qquad i, j\,{=}\,1,2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.36}
$$
3.2.2. Коммутативные соотношения для вязких потоковПроведем анализ правой части (3.36) (докажем, что она равна нулю при $i=j$). Введем в рассмотрение оператор $\operatorname{Comm}$, действующий по формуле17
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Comm}(z,\tau)=(\nabla\otimes\nabla\Delta^{-1}z)\tau -z(\nabla\otimes\nabla\Delta^{-1}\tau),
\end{equation*}
\notag
$$
о котором известно (см. [32]–[35]) следующее: если $z_k\xrightarrow{w}z$ в $L_{\sigma_{35}}(\Omega)$, $\tau_k\xrightarrow{w}\tau$ в $L_{\sigma_{36}}(\Omega)$, где $1/\sigma_{35}+1/\sigma_{36}<1$, то $\operatorname{Comm}(z_k,\tau_k)\xrightarrow{w}\operatorname{Comm}(z,\tau)$ в $L_{\sigma_{37}}(\Omega)$, где $1/\sigma_{37}=1/\sigma_{35}+1/\sigma_{36}$. Перепишем правую часть (3.36) при18 $i=j$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\lim_{\varepsilon\to+0}\int_{Q_T}\psi\tau\bigl(\rho_i^{\varepsilon} \boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}\cdot \nabla\Delta^{-1}\operatorname{div}(\rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon})- (\rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}\otimes\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}) :(\nabla\otimes\boldsymbol{r}_i^{\varepsilon})\bigr)\,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\qquad \qquad-\int_{Q_T}\psi\tau\bigl(\rho_i\boldsymbol{u}_i\cdot\nabla\Delta^{-1} \operatorname{div}(\rho_i\boldsymbol{u}_i)-(\rho_i\boldsymbol{u}_i\otimes\boldsymbol{u}_i): (\nabla\otimes\boldsymbol{r}_i)\bigr)\,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\qquad =\lim_{\varepsilon\to+0}\int_{Q_T}\psi\tau\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}\cdot \operatorname{Comm}(\rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon},\rho_i^{\varepsilon}) \,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\qquad \qquad -\int_{Q_T}\psi\tau\boldsymbol{u}_i \cdot\operatorname{Comm}(\rho_i\boldsymbol{u}_i,\rho_i)\,d\boldsymbol{x}\, dt,\qquad i=1,2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.37}
$$
Из (3.22) и (3.26) следует, что при всех $t\in[0,T]$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \rho_i^{\varepsilon}(t)\to\rho_i(t)\quad\text{слабо в }L_{\gamma}(\Omega), \\ \rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}(t)\to\rho_i\boldsymbol{u}_i(t)\quad \text{слабо в }L_{2\gamma/(\gamma+1)}(\Omega),\qquad i=1,2, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
а, следовательно, и $\operatorname{Comm}(\rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon},\rho_i^{\varepsilon})\to \operatorname{Comm}(\rho_i\boldsymbol{u}_i,\rho_i)$ слабо в $L_{2\gamma/(\gamma+3)}(\Omega)$, $i=1,2$, и поскольку вложение $L_{2\gamma/(\gamma+3)}(\Omega)$ в $W^{-1}_2(\Omega)$ компактно, то ввиду (3.1) и (3.5) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{Comm}(\rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon},\rho_i^{\varepsilon}) \to\operatorname{Comm}(\rho_i\boldsymbol{u}_i,\rho_i)\quad\text{сильно в }L_{\sigma_{38}}\bigl(0, T; W^{-1}_2(\Omega)\bigr) \\ \forall\,\sigma_{38}<\infty,\qquad i=1,2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Эти соотношения вместе с (3.18) влекут равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{\varepsilon\to +0}\int_{Q_T}\psi\tau\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}\cdot \operatorname{Comm}(\rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon},\rho_i^{\varepsilon}) \,d\boldsymbol{x}\, dt \\ &\qquad=\int_{Q_T}\psi\tau\boldsymbol{u}_i\cdot \operatorname{Comm}(\rho_i\boldsymbol{u}_i,\rho_i)\,d\boldsymbol{x}\, dt,\qquad i=1,2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому из (3.36) при $i=j$ и (3.37) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\lim_{\varepsilon\to +0}\int_{Q_T}\psi\bigl(\tau p_i^{\varepsilon}\rho_i^{\varepsilon}- \mathbb{S}_i^{\varepsilon}:(\nabla\otimes(\tau\boldsymbol{r}_i^{\varepsilon}))\bigr) \,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\qquad=\int_{Q_T}\psi\bigl(\tau\overline{p}_i\rho_i-\mathbb{S}_i :(\nabla\otimes(\tau\boldsymbol{r}_i))\bigr)\,d\boldsymbol{x}\,dt,\qquad i=1,2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.38}
$$
Далее, поскольку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\lim_{\varepsilon\to +0}\int_{Q_T}\psi \mathbb{S}_i^{\varepsilon}:\bigl(\nabla\otimes (\tau\boldsymbol{r}_i^{\varepsilon})\bigr)\,d\boldsymbol{x}\, dt-\int_{Q_T}\psi \mathbb{S}_i:\bigl(\nabla\otimes(\tau\boldsymbol{r}_i)\bigr)\,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\ =\lim_{\varepsilon\to +0}\sum_{k=1}^2\nu_{ik}\int_{Q_T}\psi\tau \rho_i^{\varepsilon}(\operatorname{div}\boldsymbol{u}_{k}^{\varepsilon})\,d\boldsymbol{x}\, dt -\sum_{k=1}^2\nu_{ik}\int_{Q_T}\psi\tau \rho_i(\operatorname{div}\boldsymbol{u}_{k})\,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\ \quad+\lim_{\varepsilon\to +0}\sum_{k=1}^2\nu_{ik}\int_{Q_T}\psi (\operatorname{div}\boldsymbol{u}_{k}^{\varepsilon})\bigl(2\nabla\tau \cdot\boldsymbol{r}_i^{\varepsilon}+(\Delta\tau)\Delta^{-1}\rho_i^{\varepsilon}\bigr) \,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\ \quad -\sum_{k=1}^2\nu_{ik}\int_{Q_T}\psi(\operatorname{div} \boldsymbol{u}_{k})\bigl(2\nabla\tau\cdot\boldsymbol{r}_i+(\Delta\tau)\Delta^{-1}\rho_i\bigr) \,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\ \quad -\lim_{\varepsilon\to +0}\int_{Q_T}\psi \mathbb{S}_i^{\varepsilon}:\bigl(\nabla\otimes[(\nabla\tau)\Delta^{-1}\rho_i^{\varepsilon}]\bigr) \,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\ \quad +\int_{Q_T}\psi \mathbb{S}_i:\bigl(\nabla\otimes[(\nabla\tau)\Delta^{-1}\rho_i]\bigr) \,d\boldsymbol{x}\, dt,\qquad i=1,2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.39}
$$
то (благодаря (3.18), (3.22) и (3.35) последние четыре интеграла в (3.39) взаимно уничтожаются) равенства (3.38) превращаются в следующие соотношения для эффективных вязких потоков компонент смеси:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\lim_{\varepsilon\to +0}\int_{Q_T} \psi\tau\rho_i^{\varepsilon}\biggl(p_i^{\varepsilon}- \sum_{k=1}^2 \nu_{ik}\operatorname{div} \boldsymbol{u}_{k}^{\varepsilon}\biggr)\, d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\qquad=\int_{Q_T} \psi\tau \rho_i\biggl(\overline{p}_i-\sum_{k=1}^2 \nu_{ik}\operatorname{div}\boldsymbol{u}_{k}\biggr)\, d\boldsymbol{x}\, dt,\qquad i=1,2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.40}
$$
Ввиду произвольности $\psi$ и $\tau$ равенства (3.40) означают
$$
\begin{equation}
\overline{\rho_ip_i}-\sum_{k=1}^2\nu_{ik}\overline{\rho_i \operatorname{div}\boldsymbol{u}_{k}}=\rho_i\overline{p}_i- \sum_{k=1}^2\nu_{ik}{\rho_i \operatorname{div}\boldsymbol{u}_{k}}\quad\text{п. в. в }Q_T,\qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{3.41}
$$
3.2.3. Ренормализация и дополнительный анализ сходимостейСогласно замечанию 3.2, выполнены ренормализованные уравнения (1.1). В частности, для функций $\widetilde{G}\in C[0,+\infty)\cap C^{1}(0,+\infty)$ таких, что $\lim_{s\to +0}(s\widetilde{G}'(s)-\widetilde{G}(s))\in\mathbb{R}$, $|\widetilde{G}'(s)|\leqslant B_{40}s^{\sigma_{39}}$ при всех $s\in(1,+\infty)$ для некоторого $\sigma_{39}\leqslant\gamma/2-1$, выполнены в $D'((0,T)\times\mathbb{R}^{3})$ уравнения
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \widetilde{G}(\rho_i)}{\partial t} +\operatorname{div}(\widetilde{G}(\rho_i)\boldsymbol{u}_i)+(\rho_i \widetilde{G}'(\rho_i)-\widetilde{G}(\rho_i))\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i=0,\qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{3.42}
$$
откуда при $\widetilde{G}(s)=s\ln{s}$ следуют (при п. в. $t\in (0,T)$) равенства19
$$
\begin{equation}
\int_\Omega(\rho_i\ln\rho_i)(t)\,d\boldsymbol{x} -\int_\Omega\rho_{0i}^{\delta}\ln\rho_{0i}^{\delta}\,d\boldsymbol{x} +\int_{Q_{t}}\rho_i\,\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i\,d\boldsymbol{x}\, d\tau=0,\qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{3.43}
$$
C другой стороны, умножая (2.1) (для $\rho_i^{\varepsilon}$, $\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}$) на $\ln(\rho_i^{\varepsilon}\,{+}\,\eta)\,{+}\,\rho_i^{\varepsilon}/(\rho_i^{\varepsilon}\,{+}\,\eta)$, $\eta\in(0,1]$, интегрируя результат по $Q_{t}$, а затем проводя элементарные оценки и переходя к пределу по $\eta\to +0$ и $\varepsilon\to +0$, получаем неравенства
$$
\begin{equation}
\int_\Omega\overline{\rho_i\ln\rho_i}(t)\,d\boldsymbol{x}- \int_\Omega\rho_{0i}^{\delta}\ln\rho_{0i}^{\delta}\,d\boldsymbol{x} +\int_{Q_{t}}\overline{\rho_i\,\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i}\,d\boldsymbol{x}\, d\tau \leqslant 0,\qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{3.44}
$$
Замечание 3.3. Выражение $\overline{\rho_i\ln\rho_i}$ в (3.44) понимается в следующем смысле. Функции $\rho_i^q\ln\rho_i^q$ (рассматриваемые в [26]) являются гладкими и удовлетворяют условиям [31; лемма 6.2, с. 301] с любыми $q:=\sigma_{41}\in(1,\gamma)$. Поэтому $\rho_i^q\ln\rho_i^q\to \overline{\rho_i\ln\rho_i}$ в $C([0, T]; L_{\sigma_{41}, \mathrm{weak}}(\Omega))$ при $q\to+\infty$, где $\overline{\rho_i\ln\rho_i}$ означает некоторый элемент пространства $C([0, T]; L_{\sigma_{41}, \mathrm{weak}}(\Omega))$. В дальнейшем благодаря (2.25) оказывается, что $\overline{\rho_i\ln\rho_i}=\rho_i\ln\rho_i$ (но в [26] эти рассуждения для $\rho_i\ln\rho_i$, в отличие от $\rho_i$ и $\rho_i\boldsymbol{u}_i$, были не нужны, так как сильная сходимость плотностей была показана иными методами). Здесь, в п. 3.2, в процессе предельного перехода по $\varepsilon\to+0$, эти функции обозначаются уже как $\rho_i^\varepsilon\ln\rho_i^\varepsilon$, и они снова, будучи элементами $C([0, T]; L_{\sigma_{41}, \mathrm{weak}}(\Omega))$ (с любыми $\sigma_{41}\in(1,\gamma)$) удовлетворяют условиям той же леммы, и потому опять сходятся к некоторому $\overline{\rho_i\ln\rho_i}\in C([0, T]; L_{\sigma_{41}, \mathrm{weak}}(\Omega))$ в смысле этого пространства. В дальнейшем (см. (3.55), (3.56) и (3.60)) будет показано $\overline{\rho_i\ln\rho_i}=\rho_i\ln\rho_i$, и эта величина в § 4 будет обозначаться как $\rho_i^\delta\ln\rho_i^\delta$, где она опять по той же лемме будет сходиться к $\overline{\rho_i\ln\rho_i}$ в том же смысле (см. (4.45)), причем черта опять же в дальнейшем снимается (см. (4.49) и (4.50)). Комбинируя (3.43) и (3.44), приходим к неравенствам
$$
\begin{equation}
\int_{Q_{t}}\bigl(\overline{\rho_i\,\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i} -\rho_i\,\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i\bigr)\,d\boldsymbol{x}\, d\tau\leqslant \int_\Omega\bigl((\rho_i\ln\rho_i)(t)-\overline{\rho_i\ln\rho_i}(t)\bigr)\,d\boldsymbol{x},\qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{3.45}
$$
Далее, заметим, что из (2.23) следует равномерная по $\varepsilon$ оценка
$$
\begin{equation}
\|\nabla\theta^{\varepsilon}\|_{L_2(Q_T)}+\bigl\|\nabla\bigl((\theta^{\varepsilon})^{m/2}\bigr) \bigr\|_{L_2(Q_T)}\leqslant B_{25},
\end{equation}
\tag{3.46}
$$
откуда и из (3.4) получаем сходимость
$$
\begin{equation}
\theta^{\varepsilon}\to \theta\quad\text{слабо в }L_2\bigl(0, T; W^{1}_2(\Omega)\bigr).
\end{equation}
\tag{3.47}
$$
Лемма 3.4. Для любых $\widehat{\varphi}\in C^2[0,+\infty)$ таких, что имеют место сходимости Доказательство. Справедливы неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\|\widehat{\varphi}(\rho_i^{\varepsilon})-\overline{\widehat{\varphi}(\rho_i)}\|_{L_2(0, T; W^{-1}_2(\Omega))}\leqslant \|\widehat{\varphi}(\rho_i^{\varepsilon}) -\widehat{\varphi}_{k}(\rho_i^{\varepsilon})\|_{L_2(0, T; W^{-1}_2(\Omega))} \nonumber \\ &\ +\|\widehat{\varphi}_{k}(\rho_i^{\varepsilon})-\overline{\widehat{\varphi}_{k}(\rho_i)} \|_{L_2(0, T; W^{-1}_2(\Omega))}+ \|\overline{\widehat{\varphi}_{k}(\rho_i)} -\overline{\widehat{\varphi}(\rho_i)}\|_{L_2(0, T; W^{-1}_2(\Omega))},\qquad i=1,2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.49}
$$
где20
$$
\begin{equation}
\widehat{\varphi}_{k}(z)=\begin{cases} \widehat{\varphi}(z), &0\leqslant z\leqslant k, \\ \widehat{\varphi}^{\,\prime}(k)(z-k)+\widehat{\varphi}(k), &z>k, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.50}
$$
а $k\geqslant 1$. Для первого слагаемого в правой части (3.49), в силу (2.15), получаем при всех $i=1,2$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|\widehat{\varphi}(\rho_i^{\varepsilon})-\widehat{\varphi}_{k} (\rho_i^{\varepsilon})\|_{L_2(0, T; W^{-1}_2(\Omega))}^2 &\leqslant B_{41}\int_0^T |\Omega : \rho_i^{\varepsilon}>k|^{(5\gamma-6(\sigma_{42}+1))/(3\gamma)}\, dt \nonumber \\ &\leqslant B_{42}\biggl(\frac{1}{k}\biggr)^{(5\gamma-6(\sigma_{42}+1))/(3\gamma)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.51}
$$
где $B_{41}= B_{41}(B_{14}, c_{9}, c_{10}, \Omega)$, $B_{42}= B_{42}(B_{41}, \{\|\rho_{0 i}^{\delta}\|_{L_1(\Omega)}\}, T, \gamma, \sigma_{42})$. Эта же оценка имеет место и для последнего слагаемого в правой части (3.49) (поскольку оно есть норма слабого предела выражения из первого слагаемого). Из (2.1) (для $\rho_i^{\varepsilon}$, $\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}$, $i=1,2$) следуют п. в. в $Q_T$ равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\partial \widehat{\varphi}_{k}(\rho_i^{\varepsilon})}{\partial t} &=-\operatorname{div}(\widehat{\varphi}_{k}(\rho_i^{\varepsilon})\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}) -(\widehat{\varphi}_{k}^{\,\prime}(\rho_i^{\varepsilon})\rho_i^{\varepsilon} -\widehat{\varphi}_{k}(\rho_i^{\varepsilon}))\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon} \\ &\qquad+\varepsilon\Delta\widehat{\varphi}_{k}(\rho_i^{\varepsilon})- \varepsilon\widehat{\varphi}_{k}^{\,\prime\prime}(\rho_i^{\varepsilon}) |\nabla\rho_i^{\varepsilon}|^2,\qquad i=1,2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
правые части которых (а значит, и левые), благодаря (3.1)–(3.3), (3.50), равномерно по $\varepsilon$ (но не по $k$) ограничены в пространстве $L_1(0, T; W^{-2}_2(\Omega))$. Тогда, ввиду (3.1) и [1; лемма 6.3, с. 131], получаем сходимости (при фиксированных $k$)
$$
\begin{equation}
\widehat{\varphi}_{k}(\rho_i^{\varepsilon})\to\overline{\widehat{\varphi}_{k}(\rho_i)}\quad \text{при }\varepsilon\to +0\text{ сильно в }L_2\bigl(0, T; W^{-1}_2(\Omega)\bigr),\qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{3.52}
$$
Теперь из (3.49) и (3.51) следуют соотношения
$$
\begin{equation*}
\limsup_{\varepsilon\to + 0}\|\widehat{\varphi}(\rho_i^{\varepsilon}) -\overline{\widehat{\varphi}(\rho_i)}\|_{L_2(0, T; W^{-1}_2(\Omega))}\leqslant 2 B_{42}^{1/2}\biggl(\frac{1}{k}\biggr)^{(5\gamma-6(\sigma_{42}+1))/(6\gamma)}, \qquad i=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
переходя в которых к пределу при $k\to +\infty$, получаем (3.48). Лемма доказана. Ввиду (1.27) и (1.29) в лемме 3.4 в качестве $\widehat{\varphi}(z)$ можно взять $p_{\theta i}(z)$, $zp_{\theta i}(z)$, $i=1,2$, и получить, что при $\varepsilon \to +0$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, p_{\theta i}(\rho_i^{\varepsilon})\to \overline{p_{\theta i}(\rho_i)},\quad \rho_i^{\varepsilon}p_{\theta i}(\rho_i^{\varepsilon})\to \overline{\rho_ip_{\theta i}(\rho_i)} \\ \text{сильно в }L_2\bigl(0, T; W^{-1}_2(\Omega)\bigr),\qquad i=1,2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (3.47) тогда следует, что при $\varepsilon \to +0$
$$
\begin{equation*}
\theta^{\varepsilon}p_{\theta i}(\rho_i^{\varepsilon})\to \theta\overline{p_{\theta i}(\rho_i)},\quad \theta^{\varepsilon}\rho_i^{\varepsilon}p_{\theta i}(\rho_i^{\varepsilon})\to \theta\overline{\rho_ip_{\theta i}(\rho_i)}\quad\text{в }D'(Q_T),\qquad i=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, благодаря (1.27), (3.20), (3.21), верны соотношения
$$
\begin{equation}
\overline{\theta p_{\theta i}(\rho_i)}=\theta \overline{p_{\theta i}(\rho_i)},\quad \overline{\theta \rho_i p_{\theta i}(\rho_i)}= \theta \overline{\rho_ip_{\theta i}(\rho_i)},\qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{3.53}
$$
Ввиду монотонности функций $z\mapsto p_{e i}(z)+\theta p_{\theta i}(z)$, $i=1,2$ (см. (1.27)), верны поточечные неравенства $(p_{e i}(\rho_i^{\varepsilon})\,{+}\,\theta p_{\theta i}(\rho_i^{\varepsilon})\,{-}\,p_{e i}(\rho_i)\,{-}\,\theta p_{\theta i}(\rho_i))(\rho_i^{\varepsilon}\,{-}\,\rho_i)\,{\geqslant}\, 0$, $i=1,2$, благодаря которым и формулам (1.27), (3.20), (3.21), выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{\varepsilon\to +0}\int_{B}\bigl(p_{e i}(\rho_i^{\varepsilon})\rho_i^{\varepsilon}+\theta p_{\theta i}(\rho_i^{\varepsilon})\rho_i^{\varepsilon}-p_{e i}(\rho_i^{\varepsilon})\rho_i-\theta p_{\theta i}(\rho_i^{\varepsilon})\rho_i\bigr)\,d\boldsymbol{x}\,dt \\ &\qquad=\lim_{\varepsilon\to +0}\int_{B}\bigl(p_{e i}(\rho_i^{\varepsilon})+\theta p_{\theta i}(\rho_i^{\varepsilon})-p_{e i}(\rho_i)-\theta p_{\theta i}(\rho_i)\bigr)(\rho_i^{\varepsilon}-\rho_i)\,d\boldsymbol{x}\,dt \\ &\qquad\qquad+\lim_{\varepsilon\to + 0}\int_{B}\bigl(p_{e i}(\rho_i)+\theta p_{\theta i}(\rho_i)\bigr)(\rho_i^\varepsilon-\rho_i)\,d\boldsymbol{x}\,dt\geqslant 0, \qquad i=1,2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $B$ – произвольный шар в $Q_T$, поэтому $\overline{p_{\mathrm{e}i}(\rho_i)\rho_i}+\theta \overline{p_{\theta i}(\rho_i)\rho_i}\geqslant \overline{p_{\mathrm{e}i}(\rho_i)}\rho_i+\theta \overline{p_{\theta i}(\rho_i)}\rho_i$ п. в. в $Q_T$, $i=1,2$. 3.2.4. Сильная сходимость плотностейНачиная с этого пункта нам потребуется диагональность матрицы $\mathbf{N}$ (см. замечание 1.8). Из (3.41) с $i=1$, при дополнительном к (1.5) предположении следует, что $\overline{\rho_1 \operatorname{div}\boldsymbol{u}_1}-{\rho_1 \operatorname{div}\boldsymbol{u}_1}\geqslant 0$ п. в. в $Q_T$. Возвращаясь к (3.45), теперь получаем
$$
\begin{equation*}
\int_\Omega\bigl((\rho_1\ln\rho_1)(t)-\overline{\rho_1\ln\rho_1}(t)\bigr)\,d\boldsymbol{x}\geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда вытекает (см. [31; следствие 3.33, с. 184])
$$
\begin{equation}
\overline{\rho_1\ln\rho_1}=\rho_1\ln\rho_1\quad\text{п. в. в }Q_T.
\end{equation}
\tag{3.55}
$$
Из (3.20) и (3.55) тогда следует (см. [31; лемма 3.34, с. 186]), что при $\varepsilon\to +0$
$$
\begin{equation}
\rho_1^{\varepsilon}\to\rho_1\quad\text{сильно в }L_1(Q_T),
\end{equation}
\tag{3.56}
$$
откуда и из (3.17) получаем, что
$$
\begin{equation}
\rho_1^{\varepsilon}\to\rho_1\quad\text{при }\varepsilon\to +0\text{ сильно в } L_{\sigma_{43}}(Q_T)\quad\forall\, 1\leqslant\sigma_{43}<\gamma+1.
\end{equation}
\tag{3.57}
$$
Рассмотрим теперь правую часть (3.36) при $i=1$, $j=2$. Из (3.26) и (3.57) следует, что
$$
\begin{equation}
\rho_1^{\varepsilon}\nabla\Delta^{-1}\operatorname{div}(\rho_2^{\varepsilon} \boldsymbol{u}_2^{\varepsilon})\to \rho_1\nabla\Delta^{-1} \operatorname{div}(\rho_2\boldsymbol{u}_2)\quad\text{при }\varepsilon\to +0\text{ в } L_{\sigma_{44}}\bigl(0, T; L_{\sigma_{45}, \mathrm{weak}}(\Omega)\bigr),
\end{equation}
\tag{3.58}
$$
где $\sigma_{44}\,{<}\,\sigma_{43}$, $1/\sigma_{45}\,{=}\,1/\sigma_{43}\,{+}\,(\gamma\,{+}\,1)/(2\gamma)$. Из (3.1), (3.5), (3.22) и (3.26) получаем равномерную по $\varepsilon$ ограниченность
$$
\begin{equation*}
\rho_1^{\varepsilon}\nabla\Delta^{-1} \operatorname{div}(\rho_2^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_2^{\varepsilon})\quad\text{в } C\bigl([0, T]; L_{2\gamma/(\gamma+3)}(\Omega)\bigr)\hookrightarrow C\bigl([0, T]; W^{-1}_2(\Omega)\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [31; упражнение 6.1, с. 300]) – здесь и далее символ $\hookrightarrow$ обозначает непрерывное вложение пространств. Поэтому21 и из (3.58)
$$
\begin{equation*}
\rho_1^{\varepsilon}\nabla\Delta^{-1} \operatorname{div}(\rho_2^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_2^{\varepsilon})\to \rho_1\nabla\Delta^{-1}\operatorname{div}(\rho_2\boldsymbol{u}_2)\quad\text{при } \varepsilon\to +0\text{ в }L_2\bigl(0, T; W^{-1}_2(\Omega)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, благодаря (3.18),
$$
\begin{equation*}
\rho_1^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_1^{\varepsilon}\cdot \nabla\Delta^{-1}\operatorname{div}(\rho_2^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_2^{\varepsilon})\to \rho_1\boldsymbol{u}_1\cdot\nabla\Delta^{-1}\operatorname{div}(\rho_2\boldsymbol{u}_2) \quad\text{при }\varepsilon\to +0\text{ в }D'(Q_T).
\end{equation*}
\notag
$$
Анализ сходимости оставшихся слагаемых в правой части (3.36) при $i=1$, $j=2$ неясен. Поэтому дополнительно к (1.5) и (3.54) примем, что и (взяв (3.41) с $i=2$) шаг за шагом повторяя вывод (3.57), получаем
$$
\begin{equation}
\rho_2^{\varepsilon}\to\rho_2\quad\text{при }\varepsilon\to +0\text{ сильно в } L_{\sigma_{46}}(Q_T)\quad\forall\, 1\leqslant\sigma_{46}<\gamma+1,
\end{equation}
\tag{3.60}
$$
что вместе с (3.53) и (3.57) завершает доказательство формулы (3.30). Итак, функции $\rho_i$, $\boldsymbol{u}_i$, $i=1,2$, $\theta$ являются решением уравнений импульсов (1.2) в том смысле, что выполнены интегральные соотношения (3.28), в которых $\overline{p}_i$ заменены на $p_i(\rho_i,\theta)$. Замечание 3.5. Требования (3.54) и (3.59) диагональности матрицы $\mathbf{N}$ не означают, что такими должны быть матрицы $\mathbf{M}$ и $\boldsymbol{\Lambda}$. Замечание 3.6. Из сходимости (3.22) следует (см. [31; лемма 6.15, с. 310]), что $\rho_i\in C([0,T]; L_{\sigma_{47}}(\Omega))$, $i=1,2$, для всех $\sigma_{47}<\gamma$. 3.3. Предельный переход в энергетических неравенствахНеобходимо совершить предельный переход по $\varepsilon\to +0$ в энергетических неравенствах (2.39) и (2.42). Заметим, что из (2.18) следует оценка
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^2\int_{\Omega}(\rho_i^{\varepsilon}+\upsilon)Q_i(\theta^{\varepsilon})\,d\boldsymbol{x} +\int_0^{T}\int_{\partial\Omega}L^{\delta}(t, \boldsymbol{x}, \theta^{\varepsilon})\,d\sigma \, dt\leqslant B_{17}.
\end{equation}
\tag{3.61}
$$
Примем в интегральном неравенстве (2.39) $\widehat{h}(z)=1/(1+z)^{\eta}$, $\eta\in(0,1)$ (счетное семейство – см. замечание 2.2), $\psi\in D(0, T), \psi(t)\in [0, 1]$ (см. (2.34), (2.37)), и, учитывая (1.16), (1.27), (1.30), (1.31), (2.9), (2.34), (2.38), (2.37), (3.1)–(3.4), (3.46) и (3.61), получим неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{Q_T} \psi |\nabla(\theta^{\varepsilon})^{(m+1-\eta)/2}|^2\,dx\,dt \nonumber \\ &\qquad\leqslant B_{43}(B_{14}, B_{15}, B_{16}, B_{17}, B_{25}, c_4, c_6, c_{7}, \|\psi'\|_{L_1(0, T)}, T, m, \delta, \eta, \gamma, \Omega), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.62}
$$
причем $ B_{43}$ локально ограничена по аргументу $\|\psi'\|_{L_1(0, T)}$. Выбирая в (3.62) в качестве $\psi$ функции $\psi^{q}$ такие, что $\psi^{q}\in C^{\infty}_0(0,T)$, $0\leqslant\psi^{q}\leqslant 1$, $\psi^{q}(t)=1$ при $t\in [1/q,T-1/q]$, $|(\psi^{q})'|\leqslant 2q$, $q\in\mathbb{N}$, после чего переходя (по теореме Фату) к пределу по $q\to+\infty$, приходим к оценке
$$
\begin{equation*}
\|\nabla(\theta^{\varepsilon})^{(m+1-\eta)/2}\|_{L_2(Q_T)}\leqslant B_{44}(\text{арг. } B_{43}\text{ кроме }\|\psi'\|_{L_1(0, T)})\quad\forall\,\eta\in(0,1).
\end{equation*}
\notag
$$
3.3.1. Сильная сходимость последовательности температурДокажем теперь сильную сходимость последовательности температур $\theta^{\varepsilon}$ в пространстве $L_2(Q_T)$. Из (1.31), (2.34), (2.38), (3.4) и (3.46) следуют следующие сходимости при $\varepsilon\to +0$:
$$
\begin{equation}
\widehat{Q}_i(\theta^{\varepsilon})\to \overline{\widehat{Q}_i(\theta)} \quad\text{слабо в } L_2\bigl(0, T; W^{1}_2(\Omega)\bigr),\qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{3.63}
$$
где $\overline{\widehat{Q}_i(\theta)}$, $i=1,2$, – это некоторые элементы пространства $L_2(0, T; W^{1}_2(\Omega))$. Привлекая (3.1), (3.57) и (3.60), получаем при $i=1,2$, что $\rho_i^{\varepsilon}\widehat{Q}_i(\theta^{\varepsilon})\to \rho_i\overline{\widehat{Q}_i(\theta)}$ при $\varepsilon\to +0$ слабо в $L_2(0, T; L_{6\gamma/(6+\gamma)}(\Omega))$. Далее, из энергетического неравенства (2.39) следует соотношение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\partial}{\partial t} \sum_{i=1}^2(\rho_i^{\varepsilon}+\upsilon)\widehat{Q}_i(\theta^{\varepsilon})\geqslant -\sum_{i=1}^2\operatorname{div} \bigl(\rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}\widehat{Q}_i(\theta^{\varepsilon})\bigr) +\Delta\widehat{\mathcal{K}}(\theta^{\varepsilon})-\delta \widehat{h}(\theta^{\varepsilon})(\theta^{\varepsilon})^{m+1} \\ &\qquad-\theta^{\varepsilon} \widehat{h}(\theta^{\varepsilon})\sum_{i=1}^2p_{\theta i}(\rho_i^{\varepsilon})\,(\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}) +\varepsilon\sum_{i=1}^2\Delta\rho_i^{\varepsilon}\bigl(\widehat{Q}_i(\theta^{\varepsilon}) -\widehat{h}(\theta^{\varepsilon})Q_i(\theta^{\varepsilon})\bigr)\quad \text{в }D'(Q_T), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
правая часть которого равномерно по $\varepsilon$ ограничена в $L_1(0, T; W^{-3}_{3/2}(\Omega))$. Поэтому, из (3.1), (3.61), равномерной по $\varepsilon$ ограниченности $\widehat{Q}_i(\theta^{\varepsilon})$ в $L_2(0,T; L_6(\Omega))$ и [1; лемма 6.3, с. 131] выводим, что при $\varepsilon\to +0$
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^2(\rho_i^{\varepsilon}+\upsilon)\widehat{Q}_i(\theta^{\varepsilon})\to \sum_{i=1}^2(\rho_i+\upsilon)\overline{\widehat{Q}_i(\theta)}\quad\text{сильно в } L_2\bigl(0, T; W_2^{-1}(\Omega)\bigr).
\end{equation}
\tag{3.64}
$$
Далее22 будем предполагать, что теплоемкости компонент линейно зависимы:
$$
\begin{equation}
c_{\theta i}(z)=k_ic_{\theta}(z),\quad\text{где }k_i=\mathrm{const}>0,\qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{3.65}
$$
Из (3.63)–(3.65) теперь следует, что при $\varepsilon\to +0$
$$
\begin{equation}
|\widehat{Q}(\theta^{\varepsilon})|^2\sum_{i=1}^2k_i(\rho_i^{\varepsilon}+\upsilon)\to \bigl|\overline{\widehat{Q}(\theta)}\bigr|^2\sum_{i=1}^2k_i(\rho_i+\upsilon)\quad\text{в }D'(Q_T),
\end{equation}
\tag{3.66}
$$
где
$$
\begin{equation}
\widehat{Q}(\theta)=\int_0^{\theta}\widehat{h}(z)c_{\theta}(z)\,dz,
\end{equation}
\tag{3.67}
$$
а $\overline{\widehat{Q}(\theta)}$ – это слабый предел $\widehat{Q}(\theta^{\varepsilon})$ в пространстве $L_2(0, T; W^{1}_2(\Omega))$ (отметим, что $\overline{\widehat{Q}_i(\theta)}=k_i\overline{\widehat{Q}(\theta)}$, $i=1,2$). С другой стороны, поскольку очевидно
$$
\begin{equation*}
\sqrt{\rho_i^{\varepsilon}}\to\sqrt{\rho_i}\quad\text{при }\varepsilon\to +0\text{ сильно в } L_2(Q_T),\qquad i=1, 2,
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
\sqrt{\rho_i^{\varepsilon}}\,\widehat{Q}_i(\theta^{\varepsilon})\to \sqrt{\rho_i}\,\overline{\widehat{Q}_i(\theta)}\quad\text{при }\varepsilon\to +0\text{ слабо в } L_1(Q_T),\qquad i=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого и того, что $\sqrt{\rho_i^{\varepsilon}}\,\widehat{Q}_i(\theta^{\varepsilon})$, $i=1,2$, равномерно по $\varepsilon$ ограничены в пространстве $L_2(0, T; L_{6\gamma/(\gamma+3)}(\Omega))$, получаем сходимости
$$
\begin{equation*}
\sqrt{\rho_i^{\varepsilon}}\, \widehat{Q}_i(\theta^{\varepsilon})\to \sqrt{\rho_i}\, \overline{\widehat{Q}_i(\theta)}\quad\text{при }\varepsilon\to +0 \text{ слабо в }L_2(Q_T), \qquad i=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
и вследствие этого оценки
$$
\begin{equation}
\int_{Q_T}\rho_i\bigl|\overline{\widehat{Q}_i(\theta)}\bigr|^2\,d\boldsymbol{x}\, dt \leqslant \liminf_{\varepsilon\to+0}\int_{Q_T}\rho_i^{\varepsilon} |\widehat{Q}_i(\theta^{\varepsilon})|^2\,d\boldsymbol{x}\,dt,\qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{3.68}
$$
Соотношения (3.68) вместе с (3.66) дают
$$
\begin{equation*}
\lim_{\varepsilon\to+0}\int_{Q_T}|\widehat{Q}(\theta^{\varepsilon})|^2\,d\boldsymbol{x}\, dt =\int_{Q_T}\bigl|\overline{\widehat{Q}(\theta)}\bigr|^2\,d\boldsymbol{x}\,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда мы можем сделать вывод о том, что при $\varepsilon\to +0$
$$
\begin{equation}
\widehat{Q}(\theta^{\varepsilon})\to \overline{\widehat{Q}(\theta)}\quad\text{сильно в } L_2(Q_T).
\end{equation}
\tag{3.69}
$$
Значит, в силу свойств (1.31) (справедливых для функции $c_{\theta}$ из (3.65)), (3.4) и (3.67), имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\lim_{\varepsilon_1,\varepsilon_2\to+0}\int_{Q_T}|\theta^{\varepsilon_1} -\theta^{\varepsilon_2}|^2\,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\qquad\leqslant c_{7}\lim_{\varepsilon_1,\varepsilon_2\to+0}\int_{Q_T}\bigl(\widehat{Q}(\theta^{\varepsilon_1}) -\widehat{Q}(\theta^{\varepsilon_2})\bigr) \frac{\theta^{\varepsilon_1}-\theta^{\varepsilon_2}} {\widehat{h}(\theta^{\varepsilon_2}+\lambda(\theta^{\varepsilon_1}-\theta^{\varepsilon_2}))} \,d\boldsymbol{x}\,dt=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.70}
$$
где $0\leqslant\lambda(\boldsymbol{x},t,\varepsilon_1,\varepsilon_2) \leqslant 1$, и взято, например, $\widehat{h}(z)=1/\sqrt{1+z}$. Из (3.70) с учетом (3.4) получаем
$$
\begin{equation}
\theta^{\varepsilon}\to \theta\quad\text{при } \varepsilon\to+0\text{ сильно в } L_{\sigma_{48}}(Q_T)
\end{equation}
\tag{3.71}
$$
при всех $\sigma_{48}<m+1$. 3.3.2. Предельный переход в интегральных неравенствахПерейдем к нижнему пределу при $\varepsilon\to +0$ в неравенстве (2.39). Предельный переход в последнем слагаемом в правой части (2.39), которое можно переписать в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\varepsilon \sum_{i=1}^2\int_{Q_T}\nabla\rho_i^{\varepsilon}\cdot\nabla \bigl(\bigl(\widehat{Q}_i(\theta^{\varepsilon}) -\widehat{h}(\theta^{\varepsilon})Q_i(\theta^{\varepsilon})\bigr)\psi\bigr)\,d\boldsymbol{x}\, dt \\ &\qquad=\varepsilon \sum_{i=1}^2\int_{Q_T}\bigl(\widehat{Q}_i(\theta^{\varepsilon})- \widehat{h}(\theta^{\varepsilon})Q_i(\theta^{\varepsilon})\bigr)\nabla\rho_i^{\varepsilon} \cdot\nabla\psi\,d\boldsymbol{x}\,dt \\ &\qquad\qquad-\varepsilon \sum_{i=1}^2\int_{Q_T}\psi\widehat{h}'(\theta^{\varepsilon}) Q_i(\theta^{\varepsilon})\nabla\rho_i^{\varepsilon}\cdot \nabla\theta^{\varepsilon}\,d\boldsymbol{x}\,dt, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
осуществляется (к нулевому пределу) благодаря формулам (1.16), (1.31), (2.34), (2.35), (2.38), (3.4), (3.19) и (3.46). Предельный переход в остальных слагаемых в (2.39) производится благодаря (1.25), (1.27), (1.30), (1.31), (2.10), (2.34), (2.35), (2.38), (3.1), (3.4), (3.6), (3.17), (3.18), (3.46), (3.47), (3.57), (3.60), (3.61), (3.71), теореме Витали (см., например, [31; теорема 1.18, с. 15]) и [1; следствие 2.2 теоремы 2.11, с. 36] аналогично предельному переходу (2.36) $\to$ (2.39) при $q\,{\to}\,{+}\infty$ (см. [26]). В результате перехода в (2.39) к нижнему пределу при $\varepsilon\to +0$ получаем неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{i=1}^2\int_{Q_T}(\rho_i+\upsilon)\widehat{Q}_i(\theta)\, \frac{\partial\psi}{\partial t}\,d\boldsymbol{x}\, dt +\sum_{i=1}^2\int_{Q_T}\rho_i\widehat{Q}_i(\theta)\boldsymbol{u}_i\cdot\nabla\psi\,d\boldsymbol{x} \, dt \nonumber \\ &\qquad\qquad+\int_{Q_T} \widehat{\mathcal{K}}(\theta)\Delta\psi\,d\boldsymbol{x}\, dt -\delta\int_{Q_T} \widehat{h}(\theta)\theta^{m+1}\psi\,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\qquad\leqslant(\delta-1)\int_{Q_T}\widehat{h}(\theta)\biggl(\sum_{i=1}^2\mathbb{S}_i: \mathbb{D}(\boldsymbol{u}_i)\biggr)\psi\,d\boldsymbol{x}\, dt -a\int_{Q_T}\widehat{h}(\theta)|\boldsymbol{u}_1-\boldsymbol{u}_2|^2\psi\,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\qquad\qquad-\int_{Q_T}\widehat{h}(\theta)\rho g^{\delta}\psi\,d\boldsymbol{x}\, dt +\int_{Q_T}\theta \widehat{h}(\theta)\sum_{i=1}^2p_{\theta i}(\rho_i)\,(\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i)\psi\,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\qquad\qquad+\int_{Q_T}k(\theta)\widehat{h}'(\theta)|\nabla\theta|^2\psi\,d\boldsymbol{x}\, dt- \sum_{i=1}^2\int_{\Omega}(\rho_{0i}^{\delta}+\upsilon) \widehat{Q}_i(\theta_0^{\delta})\psi|_{t=0}\,d\boldsymbol{x} \nonumber \\ &\qquad\qquad+\int_0^{T}\int_{\partial\Omega}\widehat{h}(\theta)L^{\delta}(t, \boldsymbol{x}, \theta)\psi\,d\sigma\, dt \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.72}
$$
для всех функций $\psi$, удовлетворяющих (2.37). В завершение перейдем к нижнему пределу при $\varepsilon\to +0$ в неравенстве (2.42). Для этого умножим (2.42) на произвольную гладкую функцию $\chi(t)\geqslant 0$ и проинтегрируем по $t\in [0, T]$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{i=1}^2\int_0^{T}dt\,\chi(t)\int_{\Omega} \biggl(\frac{1}{2}\rho_i^{\varepsilon}(t)|\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}(t)|^2+ \rho_i^{\varepsilon}(t)P_{e i}(\rho_i^{\varepsilon})(t) +(\rho_i^{\varepsilon}(t)+\upsilon)Q_i(\theta^{\varepsilon})(t)\biggr)\,d\boldsymbol{x} \\ &\quad\qquad+\delta\sum_{i=1}^2\int_0^{T}dt\,\chi(t)\int_{Q_{t}} \mathbb{S}_i^{\varepsilon}:(\nabla\otimes\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon})\,d\boldsymbol{x}\, d\tau+\delta\int_0^{T}dt\,\chi(t)\int_{Q_{t}} (\theta^{\varepsilon})^{m+1}\,d\boldsymbol{x}\, d\tau \\ &\quad\qquad+\int_0^{T}dt\,\chi(t)\int_0^{t}\int_{\partial\Omega} L^{\delta}(t,\boldsymbol{x},\theta^{\varepsilon})\,d\sigma\, d\tau \\ &\quad\leqslant \int_0^{T}dt\,\chi(t)\int_{Q_{t}} \rho^{\varepsilon}g^{\delta}\,d\boldsymbol{x}\, d\tau+\sum_{i=1}^2\int_0^{T}dt\,\chi(t)\int_{Q_{t}} \rho_i^{\varepsilon}\boldsymbol{u}_i^{\varepsilon}\cdot\boldsymbol{f}_i\,d\boldsymbol{x}\, d\tau \\ &\quad\qquad+\sum_{i=1}^2\int_0^{T}dt\,\chi(t)\int_{\Omega} \biggl(\frac{1}{2}\rho_{0i}^{\delta}|\boldsymbol{u}_{0i}|^2+ \rho_{0i}^{\delta}P_{e i} (\rho_{0i}^{\delta})+(\rho_{0i}^{\delta}+\upsilon)Q_i(\theta_0^{\delta})\biggr)\,d\boldsymbol{x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя здесь к пределу при $\varepsilon\to +0$, ввиду (1.15), (1.25), (1.27), (1.33), (1.34), (1.37), (2.9), (3.4), (3.17), (3.18), (3.21), (3.27), (3.46), (3.57), (3.60), (3.71), теоремы Витали, теоремы Фату и [1; следствие 2.2 теоремы 2.11], получим соответствующее предельное соотношение, из которого ввиду произвольности $\chi$ следует
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{i=1}^2\int_{\Omega}\biggl(\frac{1}{2}\rho_i(t)|\boldsymbol{u}_i(t)|^2+ \rho_i(t)P_{e i}(\rho_i)(t)+(\rho_i(t)+\upsilon)Q_i(\theta)(t)\biggr)\,d\boldsymbol{x} \nonumber \\ &\ \quad+\delta\sum_{i=1}^2\int_{Q_{t}} \mathbb{S}_i:(\nabla\otimes\boldsymbol{u}_i)\,d\boldsymbol{x}\, d\tau+\delta\int_{Q_{t}} \theta^{m+1}\,d\boldsymbol{x}\, d\tau +\int_0^{t}\int_{\partial\Omega} L^{\delta}(t,\boldsymbol{x},\theta)\,d\sigma\, d\tau \nonumber \\ &\ \leqslant \int_{Q_{t}} \rho g^{\delta}\,d\boldsymbol{x}\, d\tau +\sum_{i=1}^2\int_{Q_{t}}\rho_i\boldsymbol{f}_i\cdot\boldsymbol{u}_i\,d\boldsymbol{x} \, d\tau \nonumber \\ &\ \quad +\sum_{i=1}^2\int_{\Omega}\biggl(\frac{1}{2}\rho_{0i}^{\delta}|\boldsymbol{u}_{0i}|^2+ \rho_{0i}^{\delta}P_{e i}(\rho_{0i}^{\delta}) +(\rho_{0i}^{\delta}+\upsilon)Q_i(\theta_0^{\delta})\biggr)\,d\boldsymbol{x}\quad\text{для п. в. }t\in (0, T). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.73}
$$
§ 4. Предельный переход по $\delta=\upsilon\to +0$ в уравнениях неразрывности и импульсов4.1. Предельный переход по $\delta\to +0$ в уравнениях неразрывности и импульсов, кроме слагаемых с давлениемПоложим далее $\upsilon=\delta$ (см. комментарий в начале § 2). 4.1.1. Базовые оценкиПолучим оценки решений, равномерные по параметру $\delta$. В силу (1.33), (1.34), (1.36), (1.37), (2.4), (2.8), (2.9), (3.25) (откуда следует23, что для п. в. $t\in(0, T)$ верно24 $\|\rho_i^{\delta}(t)\|_{L_1(\Omega)}=\|\rho_{0i}^{\delta}\|_{L_1(\Omega)}$, $i=1,2$) и неотрицательности $\rho_i^{\delta}$, $i=1,2$, $\theta^{\delta}$ получаем из неравенства (3.73), что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{i=1}^2\operatorname*{ess\,sup}_{t\in(0, T)} \int_{\Omega}\rho_i^{\delta}|\boldsymbol{u}_i^{\delta}|^2\,d\boldsymbol{x} + \sum_{i=1}^2\operatorname*{ess\,sup}_{t\in(0, T)} \int_{\Omega}(\rho_i^{\delta})^{\gamma}\,d\boldsymbol{x} \nonumber \\ &\qquad\qquad+ \sum_{i=1}^2\operatorname*{ess\,sup}_{t\in(0, T)} \int_{\Omega}(\rho_i^{\delta}+\delta)Q_i(\theta^{\delta})\,d\boldsymbol{x}\, +\int_0^{T}\int_{\partial\Omega}L^{\delta}(t,\boldsymbol{x},\theta^{\delta})\,d\sigma dt \nonumber \\ &\qquad\qquad+\delta\sum_{i=1}^2\int_{Q_T}\mathbb{S}_i^{\delta}: (\nabla\otimes\boldsymbol{u}_i^{\delta})\,d\boldsymbol{x}\, dt +\delta\int_{Q_T}(\theta^{\delta})^{m+1}\,d\boldsymbol{x}\,dt\leqslant B_{45}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где положительная величина $ B_{45}$ зависит только от величин $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, $B_{9}$, $B_{10}$, $\{\|\rho_{0i}\|_{L_{\gamma}(\Omega)}\}$, $\{\|\boldsymbol{u}_{0i}\|_{L_{\infty}(\Omega)}\}$, $\{\|\theta_0\|_{L_{\infty}(\Omega)}\}$, $\{\|\boldsymbol{f}_i\|_{L_{\infty}(Q_T)}\}$, $\|g\|_{L_{\infty}(Q_T)}$, $m$, $\gamma$, $|\Omega|$ и $T$. Из (4.1) сразу следуют при $i=1,2$ равномерные по $\delta$ оценки
$$
\begin{equation}
\| \rho_i^{\delta}\|_{L_{\infty}(0, T; L_{\gamma}(\Omega))} \leqslant B_{46}( B_{45}, \gamma),
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
$$
\begin{equation}
\| \rho_i^{\delta} |\boldsymbol{u}_i^{\delta}|^2 \|_{L_{\infty}(0, T; L_1(\Omega))} \leqslant B_{45},
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
$$
\begin{equation}
\| (\rho_i^{\delta}+\delta)Q_i(\theta^{\delta}) \|_{L_{\infty}(0, T; L_1(\Omega))} \leqslant B_{45},
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
$$
\begin{equation}
\| \delta(\theta^{\delta})^{m+1} \|_{L_1(Q_T)} \leqslant B_{45},
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
$$
\begin{equation}
\| L^{\delta}(t,\boldsymbol{x},\theta^{\delta}) \|_{L_1((0, T)\times\partial\Omega)} \leqslant B_{45}.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Из (4.2) и (4.3) получаем
$$
\begin{equation}
\| \rho_i^{\delta}\boldsymbol{u}_i^{\delta}\|_{L_{\infty}(0, T; L_{2\gamma/(\gamma+1)}(\Omega))}\leqslant B_{47}( B_{45}, B_{46}),\qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Теперь возьмем в (3.72) $\psi=\psi^{q}$ такие, что $\psi^{q}\in C^{\infty}_0(0,T)$, $0\leqslant\psi^{q}\leqslant 1$, $\psi^{q}(t)=1$ при $t\in [1/q, T-1/q]$, $|(\psi^{q})'|\leqslant 2q$, $q\in\mathbb{N}$ (ср. (2.37)), и $\widehat{h}(z)=1/(1+z)$ (см. (2.34)), и как следствие выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(1-\delta)\sum_{i=1}^2\int_{Q_T}\frac{\mathbb{S}_i^{\delta} :\mathbb{D}(\boldsymbol{u}_i^{\delta})}{1+\theta^{\delta}}\psi^{q}\,d\boldsymbol{x}\, dt +\int_{Q_T}\frac{k(\theta^{\delta})|\nabla\theta^{\delta}|^2}{(1+\theta^{\delta})^2} \psi^{q}\,d\boldsymbol{x}\, dt \\ &\qquad\leqslant-\sum_{i=1}^2\int_{Q_T}(\rho_i^{\delta}+\delta)\biggl(\int_0^{\theta^{\delta}} \frac{c_{\theta i}(z)}{1+z}\,dz\biggr)(\psi^{q})'\,d\boldsymbol{x}\, dt+\delta\int_{Q_T} \frac{(\theta^{\delta})^{m+1}}{1+\theta^{\delta}}\psi^{q}\,d\boldsymbol{x}\, dt \\ &\qquad\qquad+\int_{Q_T}\frac{\theta^{\delta}}{1+\theta^{\delta}}\sum_{i=1}^2p_{\theta i}(\rho_i^{\delta})(\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i^{\delta})\psi^{q}\,d\boldsymbol{x}\, dt+\int_0^{T}\int_{\partial\Omega}\frac{L^{\delta}(t, \boldsymbol{x}, \theta^{\delta})}{1+\theta^{\delta}}\psi^{q}\,d\sigma\, dt, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
после чего, переходя к пределу по $q\to+\infty$, приходим, ввиду (1.27), (1.30), (1.34), (2.4), (4.2), (4.4)–(4.6) и [1; лемма 3.2, с. 47] (применяемой к $(\rho_i^{\delta}+\delta)$ и $\theta^{\delta}$ ввиду (4.4)), к оценке
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\|\nabla\theta^{\delta}\|_{L_2(Q_T)}+\|\nabla(\theta^{\delta})^{m/2}\|_{L_2(Q_T)} \nonumber \\ &\qquad\leqslant B_{48}(B_0, B_{8}, B_{45}, B_{46}, c_4, c_6, \{\|\rho_{0 i}\|_{L_1(\Omega)}\}, m, T, \gamma, \Omega). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Из (1.34), (2.4), (4.2), (4.4), (4.8) и той же леммы следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\|\theta^{\delta}\|_{L_2(0,T; W^{1}_2(\Omega))} +\|(\theta^{\delta})^{m/2}\|_{L_2(0,T; W^{1}_2(\Omega))} \nonumber \\ &\qquad\leqslant B_{49}( B_{8}, B_{45}, B_{46}, B_{48}, \{\|\rho_{0 i}\|_{L_1(\Omega)}\}, \gamma), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
а значит,
$$
\begin{equation}
\|\theta^{\delta}\|_{L_{m}(0,T; L_{3m}(\Omega))}\leqslant B_{50}( B_{49}, m, \Omega).
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Далее возьмем в (3.72) в качестве тестовых функций $\psi=\psi^{q}$ такие, что $\psi^{q}\in C^{\infty}_0(0,T)$, $0\leqslant\psi^{q}\leqslant 1$, $\psi^{q}(t)=1$ при $t\in [1/q, T-1/q]$, $|(\psi^{q})'|\leqslant 2q$, $q\in\mathbb{N}$ (см. (2.37)), и положим $\widehat{h}(z)=1/(1+z)^{\omega}$, $\omega\in(0,1)$ (счетное семейство, см. замечание 2.2, ср. также (2.34)), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(1-\delta)\sum_{i=1}^2\int_{Q_T} \frac{\mathbb{S}_i^{\delta}:\mathbb{D}(\boldsymbol{u}_i^{\delta})} {(1+\theta^{\delta})^{\omega}}\psi^{q}\,d\boldsymbol{x}\,dt+ \omega\int_{Q_T}\frac{k(\theta^{\delta})|\nabla\theta^{\delta}|^2} {(1+\theta^{\delta})^{1+\omega}}\psi^{q}\,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\ \leqslant-\sum_{i=1}^2\int_{Q_T}(\rho_i^{\delta}+\delta) \biggl(\int_0^{\theta^{\delta}}\frac{c_{\theta i}(z)}{(1+z)^{\omega}}\,dz\biggr) (\psi^{q})'\,d\boldsymbol{x}\, dt+\delta\int_{Q_T} \frac{(\theta^{\delta})^{m+1}}{(1+\theta^{\delta})^{\omega}}\psi^{q}\,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\ \qquad+\int_{Q_T}\frac{\theta^{\delta}}{(1+\theta^{\delta})^{\omega}} \sum_{i=1}^2p_{\theta i}(\rho_i^{\delta}) (\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i^{\delta})\psi^{q}\,d\boldsymbol{x}\, dt+ \int_0^{T}\int_{\partial\Omega}\frac{L^{\delta}(t, \boldsymbol{x}, \theta^{\delta})}{(1+\theta^{\delta})^{\omega}}\psi^{q}\,d\sigma\, dt, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
после чего, переходя к пределу сначала по $\omega\to+0$, а затем по $q\to+\infty$, приходим, ввиду (1.26), (1.27), (4.2), (4.4)–(4.6) и (4.9), к оценкам
$$
\begin{equation}
\|\boldsymbol{u}_i^{\delta}\|_{L_2(0,T; W^{1}_2(\Omega))}\leqslant B_{51}(B_0, B_{45}, B_{46}, B_{49}, c_4, \gamma, \Omega),\qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Из (4.2) и (4.12) получаем
$$
\begin{equation}
\| \rho_i^{\delta}\boldsymbol{u}_i^{\delta}\|_{L_2(0, T; L_{6\gamma/(\gamma+6)}(\Omega))}\leqslant B_{52}( B_{46}, B_{51}, \Omega),\qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
откуда и из (4.7) следуют при любых $\sigma_{49}\in [0, 1]$ неравенства
$$
\begin{equation}
\| \rho_i^{\delta}\boldsymbol{u}_i^{\delta}\|_{L_{2/\sigma_{49}}(0, T; L_{6\gamma/((3-2\sigma_{49})\gamma+3(\sigma_{49}+1))}(\Omega))} \leqslant B_{53}(B_{47}, B_{52}), \qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Отметим также, что из (4.11), благодаря (1.27), (1.30), (4.2), (4.4)–(4.6), (4.9) и (4.12), следует, что
$$
\begin{equation}
\|\nabla(\theta^{\delta})^{(m+1-\omega)/2}\|_{L_2(Q_T)} \leqslant B_{54}(B_{45}, B_{46}, B_{49}, B_{51}, c_4, c_6, m, \gamma, \omega, \Omega).
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Из равенства $\|\rho_1^{\delta}(t)\|_{L_1(\Omega)}=\|\rho_{01}^{\delta}\|_{L_1(\Omega)}$ и (4.2) при п. в. $t\in [0, T]$ вытекают неравенства
$$
\begin{equation*}
\|\rho_{01}^\delta\|_{L_1(\Omega)}-\sigma_{50}|\Omega|\leqslant\int_{\{\Omega\colon \rho_1^{\delta}\geqslant \sigma_{50}\}}\rho_1^{\delta}\,d\boldsymbol{x}\leqslant B_{46}|\{\Omega\colon \rho_1^{\delta}\geqslant \sigma_{50}\}|^{(\gamma-1)/\gamma},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда и из (2.4) получаем, что
$$
\begin{equation}
|\{\Omega\colon \rho_1^{\delta}\geqslant \sigma_{50}\}|\geqslant B_{55}(B_{46}, \|\rho_{01}\|_{L_1(\Omega)}, \sigma_{50}, \gamma, |\Omega|)>0,\qquad\sigma_{50}\,{\in}\biggl(0, \frac{\|\rho_{01}\|_{L_1(\Omega)}}{2|\Omega|}\biggr).
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Из (1.34), (4.4) и (4.10) следует оценка (ср. аналог этой оценки в априорных оценках в [25])
$$
\begin{equation*}
\int_0^{T}\biggl(\int_{\{\Omega\colon \rho_1^{\delta}\geqslant \sigma_{50}\}}(\theta^{\delta})^{(m+1-\omega)/2}\,d\boldsymbol{x}\biggr)^2\, dt\leqslant B_{56}(B_{8}, B_{45}, B_{50}, T, m, \omega, \sigma_{50}, |\Omega|),
\end{equation*}
\notag
$$
которая позволяет с помощью обобщенного неравенства Пуанкаре (см. [32; теорема 10.14, с. 327]), (4.15) и (4.16) заключить, что
$$
\begin{equation*}
\|(\theta^{\delta})^{(m+1-\omega)/2}\|_{L_2(0, T; W_2^{1}(\Omega))}\leqslant B_{57}(B_{54}, B_{55}, B_{56})
\end{equation*}
\notag
$$
и, в силу ограниченности вложения $W^{1}_2(\Omega)$ в $L_6(\Omega)$,
$$
\begin{equation}
\|\theta^{\delta}\|_{L_{m+1-\omega}(0, T; L_{3(m+1-\omega)}(\Omega))}\leqslant B_{58}( B_{57}, m, \omega, \Omega).
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
4.1.2. Улучшенные оценки плотностейТеперь, чтобы улучшить интегрируемость плотностей, воспользуемся оператором Боговского $\mathcal{B}$ (см. п. 3.1.2). Возьмем произвольно $\tau\in (0,T/2)$. Из ренормализованных уравнений (3.25) для любых гладких25 ограниченных функций $\widehat{G}$ вытекают для п. в. $(t, \boldsymbol{x})\in(\tau, T-\tau)\times\Omega$ равенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\mathcal{A}_{\tau}\bigl(\widehat{G} (\rho_i^{\delta})\bigr)\bigr) +\operatorname{div}\mathcal{A}_{\tau}\bigl(\widehat{G} (\rho_i^{\delta})\boldsymbol{u}_i^{\delta}\bigr) \nonumber \\ &\qquad+\mathcal{A}_{\tau}\bigl(\bigl(\rho_i^{\delta} \widehat{G}'(\rho_i^{\delta})-\widehat{G}(\rho_i^{\delta})\bigr)\operatorname{div} \boldsymbol{u}_i^{\delta}\bigr)=0,\qquad i=1,2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
где через $\mathcal{A}_{\tau}$ обозначен оператор усреднения по переменной $t$, т. е. для произвольной функции $g\in L_{\sigma_{51}}(\mathbb{R}; L_{\sigma_{52}}(\mathbb{R}^{3}))$, $\sigma_{51},\sigma_{52}\in[1,+\infty)$, полагаем
$$
\begin{equation*}
(\mathcal{A}_{\tau}g)(t,\boldsymbol{x})=\int_{\mathbb{R}}g(s,\boldsymbol{x})\zeta_{\tau}(t-s)\,ds, \qquad \zeta_{\tau}(t)=\frac{1}{\tau}\,\zeta\biggl(\frac{t}{\tau}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
с некоторым ядром усреднения
$$
\begin{equation*}
\zeta\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}),\qquad \operatorname{supp}\zeta\subset(-1,1),\qquad \zeta(-t)=\zeta(t)\geqslant 0,\qquad \int_{\mathbb{R}}\zeta(t)\, dt=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (4.18), в свою очередь, следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\partial\boldsymbol{w}_i^{\delta,\tau}}{\partial t} &=-\mathcal{B}\mathcal{A}_{\tau}\bigl(\operatorname{div}\bigl(\widehat{G} (\rho_i^{\delta}) \boldsymbol{u}_i^{\delta}\bigr)\bigr) -\mathcal{B}\mathcal{A}_{\tau}\biggl(\bigl(\rho_i^{\delta}\widehat{G} '(\rho_i^{\delta})- \widehat{G}(\rho_i^{\delta})\bigr)\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i^{\delta} \nonumber \\ &\qquad-\frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}\bigl(\rho_i^{\delta}\widehat{G} '(\rho_i^{\delta})- \widehat{G}(\rho_i^{\delta})\bigr)\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i^{\delta}\,d\boldsymbol{x} \biggr),\qquad i=1,2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{w}_i^{\delta,\tau}=\mathcal{B}\mathcal{A}_{\tau}\biggl(\widehat{G} (\rho_i^{\delta})-\frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}\widehat{G} (\rho_i^{\delta})\,d\boldsymbol{x}\biggr),\qquad i=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Из свойств $\mathcal{B}$ и (4.19) для любых $t\in[\tau, T-\tau]$, $i=1,2$, получаем оценки
$$
\begin{equation}
\|\boldsymbol{w}_i^{\delta,\tau}(t)\|_{W^{1}_{\sigma_{53}}(\Omega)}\leqslant B_{59}(B_{32}, \sigma_{53}, \Omega)\bigl\|\mathcal{A}_{\tau}\bigl(\widehat{G} (\rho_i^{\delta})\bigr)(t)\bigr\|_{L_{\sigma_{53}}(\Omega)},\qquad 1<\sigma_{53}<+\infty,
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} \biggl\|\frac{\partial\boldsymbol{w}_i^{\delta,\tau}}{\partial t}(t)\biggr\|_{L_{\sigma_{54}}(\Omega)} &\leqslant B_{60}(B_{32}, \sigma_{54},\sigma_{55}, \Omega)\bigl(\bigl\|\mathcal{A}_{\tau}\bigl(\widehat{G} (\rho_i^{\delta}) \boldsymbol{u}_i^{\delta}\bigr)(t)\bigr\|_{L_{\sigma_{54}}(\Omega)} \\ &\qquad+\bigl\|\mathcal{A}_{\tau}\bigl(\bigl(\rho_i^{\delta}\widehat{G} '(\rho_i^{\delta})- \widehat{G} (\rho_i^{\delta})\bigr) \operatorname{div}\boldsymbol{u}_i^{\delta}\bigr) (t) \bigr\|_{L_{\sigma_{55}}(\Omega)}\bigr), \end{split}
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \sigma_{55}=\dfrac{3\sigma_{54}}{\sigma_{54}+3}, &\text{если }\dfrac{3}{2}<\sigma_{54}<+\infty, \\ \sigma_{55}\in(1,+\infty)\text{ любое}, &\text{если } 1\leqslant\sigma_{54}\leqslant\dfrac{3}{2}. \end{cases} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
Возьмем в уравнениях импульсов (т. е. (3.28), в которых $\overline{p}_i$ заменено на $p_i(\rho_i^{\delta},\theta^{\delta})$, $i=1,2$) в качестве тестовых функций векторные поля $\boldsymbol{\varphi}_i=\chi\boldsymbol{w}_i^{\delta,\tau}$, $i=1,2$, где $\chi\in C^{\infty}_0(0,T)$. Тогда получим тождества
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{Q_T}p_i^{\delta}\mathcal{A}_{\tau}\bigl(\widehat{G} (\rho_i^{\delta})\bigr) \chi\,d\boldsymbol{x}\,dt= \int_{Q_T}p_i^{\delta} \biggl(\frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}\mathcal{A}_{\tau}\bigl(\widehat{G} (\rho_i^{\delta})\bigr)\,d\boldsymbol{x}\biggr)\chi\,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\qquad-\int_{Q_T}\rho_i^{\delta}\boldsymbol{u}_i^{\delta}\cdot\frac{d\chi}{dt} \boldsymbol{w}_i^{\delta,\tau}\,d\boldsymbol{x}\,dt -\int_{Q_T}\chi\rho_i^{\delta}\boldsymbol{u}_i^{\delta} \cdot\frac{\partial\boldsymbol{w}_i^{\delta,\tau}}{\partial t}\, d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\qquad-\int_{Q_T}(\rho_i^{\delta}\boldsymbol{f}_i+\boldsymbol{J}_i^{\delta})\cdot \chi\boldsymbol{w}_i^{\delta,\tau}\, d\boldsymbol{x}\,dt +\int_{Q_T}{\mathbb{S}_i^{\delta}} :(\nabla\otimes\boldsymbol{w}_i^{\delta,\tau})\chi\,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\qquad -\int_{Q_T}(\rho_i^{\delta}\boldsymbol{u}_i^{\delta} \otimes\boldsymbol{u}_i^{\delta}):(\nabla\otimes\boldsymbol{w}_i^{\delta,\tau})\chi\, d\boldsymbol{x}\,dt=:\sum_{s=1}^{6}J_{si},\qquad i=1,2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
Положим при этом
$$
\begin{equation}
\widehat{G}(s)=\widehat{G}_{k}(s):=\begin{cases} s^{\sigma_{56}}, &s\in[0, k], \\ k^{\sigma_{56}}, &s\in (k, +\infty), \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
где $k>0$, а $\sigma_{56}$ выбирается произвольно из диапазона Хотя функции (4.23) не являются гладкими, но они удовлетворяют условиям [31; лемма 6.11, с. 309], и поэтому процедура ренормализации для (4.18) с этими функциями остается в силе. Благодаря тому, что $\widehat{G}_{k}(\rho_i^{\delta})\in L_{\infty}(Q_T)$, получаем $\partial\boldsymbol{\varphi_i}/\partial t\in L_{\sigma_{57}}(0,T,L_6(\Omega))$, $\nabla\otimes\boldsymbol{\varphi_i}\in L_{\sigma_{57}}(Q_T)$ при всех $\sigma_{57}<+\infty$, что обеспечивает законность выбора таких пробных функций в (4.22), ср. оценки $J_{si}$ далее. Получим оценки интегралов в правой части (4.22), равномерные по параметрам $\tau$, $k$ и $\delta$. Ввиду (1.13), (1.27), (1.32), (4.2), (4.10), (4.23) и (4.24), имеют место оценки
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |J_{1i}| &\leqslant\frac{1}{|\Omega|} \|\chi\|_{L_{\infty}(0, T)}\|p_i^{\delta}\|_{L_2(0, T; L_1(\Omega))}\bigl\|\mathcal{A}_{\tau}\bigl(\widehat{G}_{k} (\rho_i^{\delta})\bigr)\bigr\|_{L_2(0, T; L_1(\Omega))} \nonumber \\ &\leqslant B_{61}(B_{46}, B_{50}, c_2, c_3, c_4, \|\chi\|_{L_{\infty}(0, T)}, T, m, \gamma, \sigma_{56}, |\Omega|),\qquad i=1,2; \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.25}
$$
в силу (4.2), (4.7), (4.20) (с $\sigma_{53}=6\gamma/(5\gamma-3)$), (4.23) и (4.24) верны соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |J_{2i}| &\leqslant \|\chi'\|_{L_1(0, T)}\|\rho_i^{\delta}\boldsymbol{u}_i^{\delta}\|_{L_{\infty}(0, T; L_{2\gamma/(\gamma+1)}(\Omega))}\|\boldsymbol{w}_i^{\delta,\tau}\|_{L_{\infty}(0, T; L_{2\gamma/(\gamma-1)}(\Omega))} \nonumber \\ &\leqslant B_{62}(B_{46}, B_{47}, B_{59}, \|\chi'\|_{L_1(0, T)}, \gamma, \sigma_{56}, \Omega), \qquad i=1,2; \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.26}
$$
благодаря (4.2), (4.12), (4.21), (4.23) и (4.24), справедливы оценки
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |J_{3i}| &\leqslant \|\chi\|_{L_{\infty}(0, T)}\|\rho_i^{\delta}\|_{L_{\infty}(0, T; L_{\gamma}(\Omega))}\|\boldsymbol{u}_i^{\delta}\|_{L_2(0, T; L_6(\Omega))} \biggl\|\frac{\partial\boldsymbol{w}_i^{\delta,\tau}}{\partial t}\biggr\|_{L_2(0, T; L_{6\gamma/(5\gamma-6)}(\Omega))} \nonumber \\ &\leqslant B_{63}(B_{46}, B_{51}, B_{60}, \|\chi\|_{L_{\infty}(0, T)}, \gamma, \sigma_{56}, \Omega), \qquad i=1,2; \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
из (1.37), (4.2), (4.12), (4.20) (при $\sigma_{53}=3/2$), (4.23) и (4.24) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |J_{4i}| &\leqslant \|\chi\|_{L_1(0, T)}\|\boldsymbol{f}_i\|_{L_{\infty}(Q_T)} \|\rho_i^{\delta}\|_{L_{\infty}(0, T; L_{\gamma}(\Omega))} \|\boldsymbol{w}_i^{\delta,\tau}\|_{L_{\infty}(0, T; L_{\gamma/(\gamma-1)}(\Omega))} \nonumber \\ &\qquad+\|\chi\|_{L_2(0, T)}\|\boldsymbol{J}_i\|_{L_2(0,T; L_6(\Omega))} \|\boldsymbol{w}_i^{\delta,\tau}\|_{L_{\infty}(0, T; L_{6/5}(\Omega))} \nonumber \\ &\leqslant B_{64}(B_{46}, B_{51}, B_{59}, \|\boldsymbol{f}_i\|_{L_{\infty}(Q_T)}, \|\chi\|_{L_{\infty}(0, T)}, T, a, \gamma, \sigma_{56}, \Omega),\qquad i=1,2; \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
ввиду (1.4), (4.2), (4.12), (4.20), (4.23) и (4.24) имеют место неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |J_{5i}| &\leqslant \|\chi\|_{L_{\infty}(0, T)}\|{\mathbb{S}_i^{\delta}}\|_{L_2(Q_T)} \|\nabla\otimes\boldsymbol{w}_i^{\delta,\tau}\|_{L_2(Q_T)} \nonumber \\ &\leqslant B_{65}(B_{46}, B_{51}, B_{59}, \|\chi\|_{L_{\infty}(0, T)}, T, \gamma, \boldsymbol{\Lambda}, \mathbf{M}, \sigma_{56}, |\Omega|),\qquad i=1,2; \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.29}
$$
и наконец, в силу (4.2), (4.12), (4.20), (4.23) и (4.24) верны оценки
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |J_{6i}|&\leqslant \|\chi\|_{L_{\infty}(0, T)}\|\rho_i^{\delta}\boldsymbol{u}_i^{\delta} \otimes\boldsymbol{u}_i^{\delta}\|_{L_1(0, T;L_{3\gamma/(\gamma+3)}(\Omega))} \|\nabla\otimes\boldsymbol{w}_i^{\delta,\tau}\|_{L_{\infty}(0, T;L_{3\gamma/(2\gamma-3)}(\Omega))} \nonumber \\ &\leqslant B_{66}(B_{46}, B_{51}, B_{59}, \|\chi\|_{L_{\infty}(0, T)}, \gamma, \sigma_{56}, |\Omega|),\qquad i=1,2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.30}
$$
Таким образом, из (4.22), с учетом (4.25)–(4.30) (при условии (4.24)), следуют соотношения
$$
\begin{equation*}
\int_{Q_T}p_i^{\delta}\mathcal{A}_{\tau}\bigl(\widehat{G}_{k} (\rho_i^{\delta})\bigr)\chi\,d\boldsymbol{x}\, dt\leqslant B_{67}(B_{61},\dots, B_{66}),\qquad i=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Совершим здесь (с использованием теоремы Фату) три предельных перехода: сначала по $\tau\to +0$, затем (выбирая в качестве тестовых функций $\chi$ функции $\psi^{q}$, $q\in\mathbb{N}$, с такими же свойствами, как и при выводе (4.11)) по $q\to +\infty$, и, наконец, по $k\to +\infty$, в результате приходим к оценкам
$$
\begin{equation}
\int_{Q_T}(\rho_i^{\delta})^{\sigma_{56}}p_i^{\delta}\,d\boldsymbol{x}\, dt\leqslant B_{67}, \qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{4.31}
$$
Теперь из (4.31), благодаря (1.13) и (1.32), получаем при $i=1,2$ нужные неравенства
$$
\begin{equation}
\int_{Q_T}((\rho_i^{\delta})^{\gamma}+\theta^{\delta}p_{\theta i}(\rho_i^{\delta}))(\rho_i^{\delta})^{\sigma_{56}}\, d\boldsymbol{x}\, dt\leqslant B_{68}(B_{67}, \gamma, c_2)
\end{equation}
\tag{4.32}
$$
при всех $\sigma_{56}$, удовлетворяющих (4.24). 4.1.3. Предельный переходВвиду оценок (4.2), (4.9), (4.10), (4.12) и (4.32) из семейства $\boldsymbol{u}_i^{\delta}$, $\rho_i^{\delta}$, $i=1,2$, $\theta^{\delta}$ может быть выделена последовательность (которую мы обозначим так же), для которой при $\delta\to +0$ для всех $i=1, 2$ имеют место сходимости
$$
\begin{equation}
\rho_i^{\delta} \to\rho_i \quad \!\ast\text{-слабо в }L_{\infty}\bigl(0, T;L_{\gamma}(\Omega)\bigr),
\end{equation}
\tag{4.33}
$$
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{u}_i^{\delta} \to \boldsymbol{u}_i \quad \text{слабо в }L_2\bigl(0, T; \mathring{W}^{1}_2(\Omega)\bigr),
\end{equation}
\tag{4.34}
$$
$$
\begin{equation}
\rho_i^{\delta} \to\rho_i \quad \text{слабо в }L_{\gamma+\sigma_{56}}(Q_T),
\end{equation}
\tag{4.35}
$$
$$
\begin{equation}
\theta^{\delta} \to\widetilde{\theta} \quad \text{слабо в } L_{m}\bigl(0,T;L_{3m}(\Omega)\bigr)\cap L_2\bigl(0,T; W^{1}_2(\Omega)\bigr).
\end{equation}
\tag{4.36}
$$
Здесь $\rho_i\geqslant 0$, $\boldsymbol{u}_i$, $i=1,2$, и $\widetilde{\theta}\geqslant 0$ – это некоторые элементы тех пространств, в которых имеют место сходимости. Функции $\rho_i$, $\boldsymbol{u}_i$ будут, как показано далее, компонентами искомого решения задачи $\mathcal H$, а искомой температурой будет не $\widetilde{\theta}$, а построенная ниже (см. (5.36)) функция $\theta>0$, хотя и совпадающая с $\widetilde{\theta}$ п. в. на множестве $\{\rho>0\}$ (см. (5.37)). Из уравнений (3.25), благодаря (4.7), получаем при $i=1, 2$
$$
\begin{equation*}
\biggl\| \frac{\partial \rho_i^{\delta}}{\partial t}\biggr\|_{L_{\infty}(0, T; W^{-1}_{2\gamma/(\gamma+1)}(\Omega))} \leqslant B_{69}( B_{47}).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, последовательности ${\rho_i^{\delta}}$, $i=1, 2$, равностепенно непрерывны по $t\in [0, T]$ со значениями в $W^{-1}_{2\gamma/(\gamma+1)}(\Omega)=(\mathring{W}^{1}_{2\gamma/(\gamma-1)}(\Omega))^\ast$. Тогда, благодаря (3.22) и (4.2), приходим, выделяя подпоследовательности и переобозначая их так же, к сходимостям (см. [31; лемма 6.2, с. 301])
$$
\begin{equation}
\rho_i^{\delta}\to\rho_i\quad\text{при }\delta\to +0\text{ в }C([0, T]; L_{\gamma, \mathrm{weak}}(\Omega)), \qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{4.37}
$$
Так как вложение $L_{\gamma}(\Omega)$ в $W^{-1}_2(\Omega)$ при $\gamma>6/5$ компактно, то (аналогично (3.23))
$$
\begin{equation*}
\rho_i^{\delta}\to\rho_i\quad\text{при }\delta\to +0\text{ в }L_{\sigma_{58}}\bigl(0, T; W^{-1}_2(\Omega)\bigr)\quad \forall\, \sigma_{58}\in[1, +\infty), \qquad i=1, 2.
\end{equation*}
\notag
$$
Выбирая в (4.14) любое $\sigma_{49}\in (0, 1]$, после выбора подпоследовательности можно утверждать о сходимости
$$
\begin{equation}
\rho_i^{\delta}\boldsymbol{u}_i^{\delta}\to\rho_i\boldsymbol{u}_i\quad\text{при }\delta\to +0\text{ слабо в пространстве (4.14)},\qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{4.38}
$$
Тогда из (2.4) и (3.25) вытекает, что предельные функции $\rho_i$, $\boldsymbol{u}_i$, $i=1, 2$, удовлетворяют уравнениям (1.1) в слабом смысле, т. е.
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \int_{Q_T}\biggl(\rho_i\frac{\partial\phi_i}{\partial t} +\rho_i\boldsymbol{u}_i\cdot\nabla\phi_i\biggr) \,d\boldsymbol{x}\, dt +\int_{\Omega}\rho_{0i}\phi_i|_{t=0}\,d\boldsymbol{x}=0 \\ \forall\, \phi_i\in C^{1}_0\bigl([0, T); C^{\infty}(\overline{\Omega})\bigr),\qquad i=1, 2. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.39}
$$
Перейдем теперь к пределу в уравнениях импульсов (т. е. (3.28), в которых $\overline{p}_i$ заменено на $p_i(\rho_i^{\delta},\theta^{\delta})$, $i=1,2$):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{Q_T}\biggl(-\frac{\partial (\rho_i^{\delta}\boldsymbol{u}_i^{\delta})}{\partial t}\cdot\boldsymbol{\varphi}_i+(\rho_i^{\delta} \boldsymbol{u}_i^{\delta}\otimes\boldsymbol{u}_i^{\delta}) :(\nabla\otimes\boldsymbol{\varphi}_i)+p_i(\rho_i^{\delta},\theta^{\delta})\operatorname{div} \boldsymbol{\varphi}_i \nonumber \\ &\qquad+\rho_i^{\delta}\boldsymbol{f}_i\cdot\boldsymbol{\varphi}_i+\boldsymbol{J}_i^{\delta} \cdot\boldsymbol{\varphi}_i\Big)\,d\boldsymbol{x}\,dt =\int_{Q_T}\mathbb{S}_i^{\delta}:(\nabla\otimes\boldsymbol{\varphi}_i) \,d\boldsymbol{x}\, dt,\qquad i=1,2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.40}
$$
при всех $\boldsymbol{\varphi}_i\in C^{1}_0([0, T); C^{\infty}_0(\Omega))$, $i=1,2$ (здесь первое слагаемое понимается как действие функционала на пробную функцию). Используя (1.13), (1.27), (1.32), (4.2), (4.10), (4.12), (4.14) (с $\sigma_{49} =(\gamma+3)/(5\gamma-3)$), (4.24) и (4.32), получаем при $i=1, 2$ равномерную по $\delta$ ограниченность $\partial (\rho_i^{\delta}\boldsymbol{u}_i^{\delta})/\partial t$, $i=1,2$, в пространстве $L_{(\gamma+\sigma_{56})/\gamma}(0, T; W^{-1}_{(\gamma+\sigma_{56})/\gamma}(\Omega))$. Поэтому величины ${\rho_i^{\delta}}\boldsymbol{u}_i^{\delta}$, $i=1, 2$, равностепенно непрерывны по $t\in [0, T]$ со значениями в $W^{-1}_{(\gamma+\sigma_{56})/\gamma}(\Omega)= (\mathring{W}^{1}_{(\gamma+\sigma_{56})/\sigma_{56}}(\Omega))^\ast$. Тогда, благодаря (3.26) и (4.7), приходим (аналогично (4.37)) к сходимости (выделяя подпоследовательности и переобозначая их так же)
$$
\begin{equation}
\rho_i^{\delta}\boldsymbol{u}_i^{\delta}\to\rho_i\boldsymbol{u}_i\quad\text{при } \delta\to +0\text{ в }C\bigl([0, T]; L_{2\gamma/(\gamma+1), \mathrm{weak}}(\Omega)\bigr), \qquad i=1, 2.
\end{equation}
\tag{4.41}
$$
Так как вложение $L_{2\gamma/(\gamma+1)}(\Omega)$ в $W^{-1}_2(\Omega)$ компактно, то (аналогично (3.23)) из (4.41) заключаем $\rho_i^{\delta}\boldsymbol{u}_i^{\delta}\to\rho_i\boldsymbol{u}_i$ при $\delta\to +0$ в $C([0, T]; W^{-1}_2(\Omega))$, $i=1, 2$, и теперь, ввиду (4.14) и (4.34), получаем при любых $\sigma_{49}\in (0, 1)$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \rho_i^{\delta}\boldsymbol{u}_i^{\delta}\otimes\boldsymbol{u}_i^{\delta}\to\rho_i\boldsymbol{u}_i \otimes\boldsymbol{u}_i\quad\text{при}\quad \delta\to +0 \\ \text{слабо в }L_{2/(\sigma_{49}+1)}\bigl(0, T; L_{6\gamma/(2(2-\sigma_{49})\gamma+3(\sigma_{49}+1))}(\Omega)\bigr),\qquad i=1,2. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.42}
$$
Теперь, перебрасывая производную по времени на пробные функции в (4.40) и привлекая (1.13), (1.27), (1.32), (2.4), (4.2), (4.10), (4.32)–(4.34), (4.38) и (4.42), мы можем перейти к пределу при $\delta\to + 0$ и получить
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{Q_T}\biggl(\rho_i\boldsymbol{u}_i\cdot\frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_i}{\partial t}+(\rho_i \boldsymbol{u}_i\otimes\boldsymbol{u}_i):(\nabla\otimes\boldsymbol{\varphi}_i)+ \overline{p}_i\operatorname{div}\boldsymbol{\varphi}_i +\rho_i\boldsymbol{f}_i\cdot\boldsymbol{\varphi}_i+\boldsymbol{J}_i\cdot\boldsymbol{\varphi}_i \biggr)\,d\boldsymbol{x}\,dt \\ &\qquad=\int_{Q_T}\mathbb{S}_i:(\nabla\otimes\boldsymbol{\varphi}_i) \,d\boldsymbol{x}\,dt-\int_{\Omega}\rho_{0i}\boldsymbol{u}_{0i}\cdot\boldsymbol{\varphi}_i(0, \boldsymbol{x})\,d\boldsymbol{x} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\boldsymbol{\varphi}_i\in C^{1}_0([0, T); C^{\infty}_0(\Omega)),$ $i=1, 2$, причем ввиду (4.41) начальные условия для импульсов принимаются в смысле (4.41). Здесь
$$
\begin{equation*}
p_i(\rho_i^{\delta},\theta^{\delta})\to \overline{p}_i\quad\text{при }\delta\to +0 \text{ слабо в }L_{(\gamma+\sigma_{56})/\gamma}(Q_T), \qquad i=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\overline{p}_i$, $i=1,2$, – это некоторые элементы пространства $L_{(\gamma+\sigma_{56})/\gamma}(Q_T)$. Таким образом, для завершения предельного перехода в уравнениях импульсов по $\delta\to +0$ осталось доказать, что26
$$
\begin{equation}
\overline{p}_i=p_i(\rho_i,\widetilde{\theta})\quad\text{п. в. в }Q_T,\qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{4.43}
$$
4.2. Завершение предельного перехода по $\delta\to +0$ в уравнениях импульсовАналогично выводу (3.41) нетрудно получить следующие соотношения для эффективных вязких потоков (см. (3.54) и (3.59)):
$$
\begin{equation}
\overline{\rho_ip_i}-\nu_{ii}\overline{\rho_i \operatorname{div}\boldsymbol{u}_i} =\rho_i\overline{p}_i-\nu_{ii}{\rho_i \operatorname{div} \boldsymbol{u}_i}\quad\text{п. в. в }Q_T,\qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{4.44}
$$
Согласно замечанию 3.2 с $\widetilde{G}(s)=s\ln{s}$, из (3.25) и (4.39) следуют (ср. вывод (3.43)) при п. в. $t\in(0,T)$ равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_\Omega(\rho_i^{\delta}\ln\rho_i^{\delta})(t)\,d\boldsymbol{x}- \int_\Omega\rho_{0i}^{\delta}\ln\rho_{0i}^{\delta}\,d\boldsymbol{x} +\int_{Q_{t}}\rho_i^{\delta}\,\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i^{\delta}\,d\boldsymbol{x}\, d\tau=0,\qquad i=1,2, \\ \int_\Omega(\rho_i\ln\rho_i)(t)\,d\boldsymbol{x}- \int_\Omega\rho_{0i}\ln\rho_{0i}\,d\boldsymbol{x} +\int_{Q_{t}}\rho_i\,\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i\,d\boldsymbol{x}\,d\tau=0,\qquad i=1,2, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда и из (2.4) следует, что
$$
\begin{equation}
\int_{Q_{t}}\bigl(\overline{\rho_i\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i} -\rho_i\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i\bigr)\,d\boldsymbol{x}\,d\tau =\int_\Omega\bigl((\rho_i\ln\rho_i)(t)-\overline{\rho_i\ln\rho_i}(t)\bigr)\,d\boldsymbol{x}, \qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{4.45}
$$
Смысл выражения $\overline{\rho_i\ln\rho_i}$ оговорен в замечании 3.3. Лемма 4.1. Для любых $\widehat{\varphi}$, удовлетворяющих условиям, перечисленным в лемме 3.4, имеют место сходимости Доказательство. Согласно замечанию 3.2 с $\widetilde{G}(s)=\widehat{\varphi}_{k}(s)$, где $\widehat{\varphi}_{k}$ определяются в (3.50), из (3.25) следуют п. в. в $Q_T$ равенства
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial \widehat{\varphi}_{k}(\rho_i^{\delta})}{\partial t}=-\operatorname{div}(\widehat{\varphi}_{k}(\rho_i^{\delta})\boldsymbol{u}_i^{\delta}) -\bigl(\widehat{\varphi}_{k}^{\,\prime}(\rho_i^{\delta})\rho_i^{\delta} -\widehat{\varphi}_{k}(\rho_i^{\delta})\bigr)\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i^{\delta},\qquad i=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
правые части которых, благодаря (4.12) и (4.13), равномерно по $\delta$ ограничены в пространстве $L_2(0, T; W^{-1}_2(\Omega))$. Тогда, ввиду (4.2), имеем (аналогично (3.52)) сходимости (при фиксированных $k$)
$$
\begin{equation}
\widehat{\varphi}_{k}(\rho_i^{\delta})\to\overline{\widehat{\varphi}_{k}(\rho_i)}\quad\text{при }\delta\to +0\text{ сильно в }L_2\bigl(0, T; W^{-1}_2(\Omega)\bigr),\qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{4.47}
$$
Далее, аналогично выводу (3.51), в силу (2.4) и (4.2), получаем оценки ($i=1,2$)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|\widehat{\varphi}(\rho_i^{\delta})-\widehat{\varphi}_{k}(\rho_i^{\delta})\|_{L_2(0, T; W^{-1}_2(\Omega))}^2 &\leqslant B_{70}\int_0^T |\Omega\colon \rho_i^{\delta}>k|^{(5\gamma-6(\sigma_{42}+1))/(3\gamma)}\, dt \nonumber \\ &\leqslant B_{71}\biggl(\frac{1}{k}\biggr)^{(5\gamma-6(\sigma_{42}+1))/(3\gamma)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.48}
$$
где $B_{70}= B_{70}(B_{46}, c_{9}, c_{10}, \Omega)$, $B_{71}= B_{71}(B_{70}, \{\|\rho_{0 i}\|_{L_1(\Omega)}\}, T, \gamma, \sigma_{42})$. Эти же оценки имеют место и для выражений $\bigl\|\overline{\widehat{\varphi}_{k}(\rho_i)} -\overline{\widehat{\varphi}(\rho_i)}\bigr\|_{L_2(0, T; W^{-1}_2(\Omega))}$, $i=1,2$. Из (4.47) и (4.48) тогда следует, что
$$
\begin{equation*}
\limsup_{\delta\to + 0} \bigl\|\widehat{\varphi}(\rho_i^{\delta}) -\overline{\widehat{\varphi}(\rho_i)}\bigr\|_{L_2(0, T; W^{-1}_2(\Omega))}\leqslant 2 B_{71}^{1/2}\biggl(\frac{1}{k}\biggr)^{(5\gamma-6(\sigma_{42}+1))/(6\gamma)}, \qquad i=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
а отсюда, в свою очередь, после предельного перехода при $k\to +\infty$, получаем (4.46). Лемма доказана. Ввиду (1.27) и (1.29), в лемме 4.1 в качестве $\widehat{\varphi}(z)$ можно взять $p_{\theta i}(z)$, $zp_{\theta i}(z)$, $i=1,2$, и получить, что при $\delta \to +0$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, p_{\theta i}(\rho_i^{\delta})\to \overline{p_{\theta i}(\rho_i)},\quad \rho_i^{\delta}p_{\theta i}(\rho_i^{\delta})\to \overline{\rho_ip_{\theta i}(\rho_i)} \\ \text{сильно в }L_2\bigl(0, T; W^{-1}_2(\Omega)\bigr),\qquad i=1,2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (4.36) тогда следует, что при $\delta \to +0$
$$
\begin{equation*}
\theta^{\delta}p_{\theta i}(\rho_i^{\delta})\to \widetilde{\theta}\,\overline{p_{\theta i}(\rho_i)},\quad \theta^{\delta}\rho_i^{\delta}p_{\theta i}(\rho_i^{\delta})\to \widetilde{\theta}\,\overline{\rho_ip_{\theta i}(\rho_i)}\text{ в }D'(Q_T),\qquad i=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, благодаря (1.27), (4.33) и (4.36), верны соотношения
$$
\begin{equation*}
\overline{\theta p_{\theta i}(\rho_i)}=\widetilde{\theta}\,\overline{p_{\theta i}(\rho_i)},\quad \overline{\theta \rho_i p_{\theta i}(\rho_i)}= \widetilde{\theta}\,\overline{\rho_ip_{\theta i}(\rho_i)},\qquad i=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как функции $z\mapsto p_{e i}(z)+\widetilde{\theta}p_{\theta i}(z)$, $i=1,2$, монотонны (см. (1.27)), то верны поточечные неравенства $(p_{e i}(\rho_i^{\delta})+\widetilde{\theta}p_{\theta i}(\rho_i^{\delta})-p_{e i}(\rho_i)-\widetilde{\theta}p_{\theta i}(\rho_i))(\rho_i^{\delta}-\rho_i)\geqslant 0$, $i=1,2$, благодаря чему и (1.27), (4.33), (4.35), (4.36), верно
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{\delta\to +0}\int_{B}\bigl(p_{e i}(\rho_i^{\delta})\rho_i^{\delta} +\widetilde{\theta}p_{\theta i}(\rho_i^{\delta})\rho_i^{\delta}-p_{e i} (\rho_i^{\delta})\rho_i -\widetilde{\theta}p_{\theta i}(\rho_i^{\delta})\rho_i\bigr) \,d\boldsymbol{x}\, dt \\ &\qquad=\lim_{\delta\to +0}\int_{B}\bigl(p_{e i}(\rho_i^{\delta}) +\widetilde{\theta}p_{\theta i}(\rho_i^{\delta})-p_{e i}(\rho_i)-\widetilde{\theta}p_{\theta i}(\rho_i)\bigr)(\rho_i^{\delta}-\rho_i)\,d\boldsymbol{x}\, dt \\ &\qquad\qquad+\lim_{\delta\to + 0}\int_{B}(p_{e i}(\rho_i)+\widetilde{\theta}p_{\theta i}(\rho_i))(\rho_i^\delta-\rho_i)\,d\boldsymbol{x}\,dt\geqslant 0,\qquad i=1,2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $B$ – произвольный шар в $Q_T$, поэтому $\overline{p_{\mathrm{e}i}(\rho_i)\rho_i}+\widetilde{\theta}\,\overline{p_{\theta i}(\rho_i)\rho_i}\geqslant \overline{p_{\mathrm{e}i}(\rho_i)}\rho_i+\widetilde{\theta}\,\overline{p_{\theta i}(\rho_i)}\rho_i$ п. в. в $Q_T$, $i=1,2$. Ввиду (4.44) это означает, что $\overline{\rho_i \operatorname{div}\boldsymbol{u}_i}-{\rho_i \operatorname{div}\boldsymbol{u}_i}\,{\geqslant}\,0$ п. в. в $Q_T$, $i=1,2$. Возвращаясь к (4.45), теперь получаем
$$
\begin{equation*}
\int_\Omega\bigl((\rho_i\ln\rho_i)(t)-\overline{\rho_i\ln\rho_i}(t)\bigr)\,d\boldsymbol{x}\geqslant 0,\qquad i=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда (аналогично (3.55)) следует
$$
\begin{equation}
\overline{\rho_i\ln\rho_i}=\rho_i\ln\rho_i\quad\text{п. в. в }Q_T,\qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{4.49}
$$
Из (4.35) и (4.49) тогда вытекает (так же как для (3.56)), что при $\delta\to +0$
$$
\begin{equation}
\rho_i^{\delta}\to\rho_i\quad\text{сильно в }L_1(Q_T),\qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{4.50}
$$
откуда и из (4.32) получаем при $i=1,2$, что
$$
\begin{equation}
\rho_i^{\delta}\to\rho_i\quad\text{при }\delta\to +0\text{ сильно в } L_{\sigma_{59}}(Q_T)\quad\forall\, 1\leqslant\sigma_{59}<\gamma+\sigma_{56},
\end{equation}
\tag{4.51}
$$
при любых $\sigma_{56}$, удовлетворяющих условию (4.24). Тем самым формула (4.43) доказана, и предельный переход по $\delta\to +0$ в уравнениях импульсов завершен. Замечание 4.2. Из сходимости (4.37) следует (аналогично замечанию 3.6), что $\rho_i\in C([0,T]; L_{\sigma_{60}}(\Omega))$, $i=1,2$, для всех $\sigma_{60}<\gamma$. Остается совершить предельный переход в энергетических неравенствах (3.72) и (3.73). § 5. Предельный переход по $\delta=\upsilon\to +0$ в энергетических неравенствах5.1. Улучшенная оценка температурыДокажем равномерную по $\delta$ ограниченность температуры $\theta^{\delta}$ в пространстве $L_{m+1}(Q_T)$. Фиксируем произвольно число $\sigma_{61}\in(0, \|\rho_{01}\|_{L_1(\Omega)}/(2|\Omega|))$. Выбирая в (4.17) $\omega=1/3$ и используя (1.34), (4.4), получаем, что
$$
\begin{equation}
\int_0^{T}\int_{\{\Omega\colon \rho_1^{\delta}\geqslant \sigma_{61}\}}(\theta^{\delta})^{m+1}\,d\boldsymbol{x}\, dt\leqslant B_{72}(B_{8}, B_{45}, B_{58}, T, m, \sigma_{61}).
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Далее, рассмотрим следующую задачу Неймана для уравнения Пуассона:
$$
\begin{equation}
\Delta\eta^{\delta}=B(\rho_1^{\delta})-\frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}B(\rho_1^\delta) \,d\boldsymbol{x}\text{ в }\Omega,\qquad \nabla\eta^{\delta}\cdot\boldsymbol{n}=0\text{ на } \partial\Omega,\quad\int_{\Omega}\eta^{\delta}\,d\boldsymbol{x}=0,
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
в которой $B\in C^{\infty}(\mathbb{R})$, $B\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$,
$$
\begin{equation}
B(z)=\begin{cases} 0, &z\leqslant \sigma_{61}, \\ \text{невозр.}, &\sigma_{61}<z<2\sigma_{61}, \\ -1, &z\geqslant 2\sigma_{61}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Обозначим через $ B_{73}$ константу, при которой верна оценка $|B'(z)z-B(z)|\leqslant B_{73}$. Поскольку правая часть уравнения в (5.2) равномерно по $\delta$ ограничена, то существует постоянная $\eta_\ast=\eta_\ast(\Omega)$ такая, что $\eta^{\delta}(t,\boldsymbol{x})\geqslant\eta_\ast$ $\forall\,t\in[0,T]$, $\boldsymbol{x}\in\Omega$. Из (4.12) и (5.2) следует оценка
$$
\begin{equation}
\biggl\|\Delta\biggl(\frac{\partial \eta^{\delta}}{\partial t}\biggr)\biggr\|_{L_2(0, T; W^{-1}_2(\Omega))}\leqslant B_{74}( B_{51}, B_{73}).
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Для любой функции $\varphi\in \mathring{W}^1_2(\Omega)$ имеем неравенство
$$
\begin{equation}
\biggl|\int_{\Omega}\nabla\biggl(\frac{\partial \eta^{\delta}}{\partial t}\biggr) \cdot\nabla\varphi\,d\boldsymbol{x}\biggr|\leqslant\biggl\|\Delta\biggl(\frac{\partial \eta^{\delta}}{\partial t}\biggr)\biggr\|_{W_2^{-1}(\Omega)}\|\varphi\|_{W^{1}_2(\Omega)}.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Так как произвольную функцию $\boldsymbol{h}\in L_2(\Omega)$ можно представить в виде (см., например, [36])
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{h}=\nabla\varphi+\boldsymbol{w},\qquad \varphi\in \mathring{W}^1_2(\Omega),\qquad \int_{\Omega}\boldsymbol{w}\cdot \nabla\xi\,d\boldsymbol{x}=0\quad \forall\, \xi\in W^{1}_2(\Omega),
\end{equation*}
\notag
$$
и при этом $\|\nabla\varphi\|_{L_2(\Omega)}\leqslant \|\boldsymbol{h}\|_{L_2(\Omega)}$, то из (5.5) следует, что при всех $\boldsymbol{h}\in L_2(\Omega)$
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int_{\Omega}\nabla\biggl(\frac{\partial \eta^{\delta}}{\partial t}\biggr) \cdot\boldsymbol{h}\,d \boldsymbol{x}\biggr|\leqslant B_{75}(\Omega) \biggl\|\Delta\biggl(\frac{\partial \eta^{\delta}}{\partial t}\biggr)\biggr\|_{W_2^{-1}(\Omega)}\|\boldsymbol{h}\|_{L_2(\Omega)},
\end{equation*}
\notag
$$
что вместе с неравенством Пуанкаре, (5.2) и (5.4) влечет оценку
$$
\begin{equation}
\biggl\|\frac{\partial\eta^{\delta}}{\partial t}\biggr\|_{L_2(0, T; W^{1}_2(\Omega))}\leqslant B_{76}(B_{74}, B_{75}, \Omega).
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Положив в неравенстве (3.72) $\psi=\psi^{q}(\eta^{\delta}-\eta_\ast)$, где $\psi^{q}\in C^{\infty}_0(0,T)$, $0\leqslant\psi^{q}\leqslant 1$, $\psi^{q}(t)=1$ при $t\in [1/q, T-1/q]$, $|(\psi^{q})'|\leqslant 2q$, $q\in\mathbb{N}$ (см. (2.37)), получим, используя (2.34), что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_0^{T}\int_{\{\Omega\colon \rho_1^{\delta}<\sigma_{61}\}}\psi^{q} \widehat{\mathcal{K}}(\theta^{\delta})\biggl(B(\rho_1^{\delta})- \frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}B(\rho_1^{\delta})\,d\boldsymbol{x}\biggr)\,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\ \leqslant-\int_0^{T}\int_{\{\Omega\colon \rho_1^{\delta}\geqslant\sigma_{61}\}}\psi^{q} \widehat{\mathcal{K}}(\theta^{\delta})\biggl(B(\rho_1^{\delta})- \frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}B(\rho_1^{\delta})\,d\boldsymbol{x}\biggr)\,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\ \qquad+2\widehat{h}(0)\|\eta^{\delta}\|_{L_{\infty}(Q_T)} \biggl(\delta\int_{Q_T}(\theta^{\delta})^{m+1}\,d\boldsymbol{x}\,dt+ \sum_{i=1}^2\int_{Q_T}\theta^{\delta}p_{\theta i}(\rho_i^{\delta}) |\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i^{\delta}|\,d\boldsymbol{x}\,dt\biggr) \nonumber \\ &\ \qquad+2\widehat{h}(0)\|\eta^{\delta}\|_{L_{\infty}((0,T)\times\partial\Omega)} \int_0^{T}\int_{\partial\Omega}L^{\delta}(t, \boldsymbol{x}, \theta^{\delta})\,d\sigma\, dt \nonumber \\ &\ \qquad+\|\nabla\eta^{\delta}\|_{L_{\infty}(Q_T)}\sum_{i=1}^2 \int_{Q_T}\rho_i^{\delta}\widehat{Q}_i(\theta^{\delta})|\boldsymbol{u}_i^{\delta}| \,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\ \qquad-\sum_{i=1}^2\int_{Q_T}(\rho_i^{\delta}+\delta)\widehat{Q}_i(\theta^{\delta}) \, \frac{d\psi^{q}}{d t}(\eta^{\delta}-\eta_\ast)\,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\ \qquad-\sum_{i=1}^2\int_{Q_T}(\rho_i^{\delta}+\delta)\widehat{Q}_i(\theta^{\delta})\psi^{q} \, \frac{\partial\eta^{\delta}}{\partial t}\,d\boldsymbol{x}\, dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Левую часть неравенства (5.7), благодаря (4.16) и (5.3), оценим снизу следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_0^{T}\int_{\{\Omega\colon \rho_1^{\delta}<\sigma_{61}\}}\psi^{q}\widehat{\mathcal{K}}(\theta^{\delta}) \biggl(B(\rho_1^{\delta})-\frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}B(\rho_1^{\delta}) \,d\boldsymbol{x}\biggr)\,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\qquad\geqslant \frac{|\{\Omega\colon \rho_1^{\delta}\geqslant 2\sigma_{61}\}|}{|\Omega|}\int_0^{T}\int_{\{\Omega\colon \rho_1^{\delta}< \sigma_{61}\}}\psi^{q}\widehat{\mathcal{K}}(\theta^{\delta}) \,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\qquad\geqslant\frac{ B_{55}}{|\Omega|}\int_0^{T}\int_{\{\Omega\colon \rho_1^{\delta}< \sigma_{61}\}}\psi^{q}\widehat{\mathcal{K}}(\theta^{\delta})\,d\boldsymbol{x}\, dt \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
при условии $2\sigma_{61}\leqslant\sigma_{50}$. Теперь оценим сверху каждое слагаемое в правой части (5.7):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &-\int_0^{T}\int_{\{\Omega\colon \rho_1^{\delta}\geqslant\sigma_{61}\}}\psi^{q} \widehat{\mathcal{K}}(\theta^{\delta})\biggl(B(\rho_1^{\delta})-\frac{1}{|\Omega|} \int_{\Omega}B(\rho_1^{\delta})\,d\boldsymbol{x}\biggr)\,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\qquad\leqslant B_{77}(B_{72}, c_6, \widehat{h}(0), T, m, |\Omega|) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
(здесь использовались (1.30), (2.34), (5.1) и (5.3));
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &2\widehat{h}(0)\biggl(\|\eta^{\delta}\|_{L_{\infty}(Q_T)}\delta \int_{Q_T}(\theta^{\delta})^{m+1}\,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\qquad+\|\eta^{\delta}\|_{L_{\infty}((0,T)\times\partial\Omega)} \int_0^{T}\int_{\partial\Omega}L^{\delta}(t, \boldsymbol{x}, \theta^{\delta})\,d\sigma dt\, \biggr)\leqslant B_{78}(B_{45}, \widehat{h}(0), \Omega) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
(тут применялись стандартные оценки для эллиптических уравнений27, ограниченность вложения $W_{\sigma_{62}}^2(\Omega)$ в $C^1(\overline{\Omega})$, где $\sigma_{62}>3$, а также (4.5), (4.6), (5.2) и (5.3));
$$
\begin{equation}
2\widehat{h}(0)\|\eta^{\delta}\|_{L_{\infty}(Q_T)} \sum_{i=1}^2\int_{Q_T}\theta^{\delta}p_{\theta i}(\rho_i^{\delta}) |\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i^{\delta}|\,d\boldsymbol{x}\, dt\leqslant B_{79}(B_{46}, B_{49}, B_{51}, \widehat{h}(0), \gamma, c_4, \Omega)
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
(здесь мы прибегали к стандартным оценкам для эллиптических уравнений, ограниченности вложения $W_2^{1}(\Omega)$ в $L_6(\Omega)$ и $W_{\sigma_{63}}^2(\Omega)$ в $C(\overline{\Omega})$, где $\sigma_{63}> 3/2$, и (1.27), (4.2), (4.9), (4.12), (5.2), (5.3));
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\|\nabla\eta^{\delta}\|_{L_{\infty}(Q_T)}\sum_{i=1}^2 \int_{Q_T}\rho_i^{\delta}\widehat{Q}_i(\theta^{\delta})|\boldsymbol{u}_i^{\delta}| \,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\qquad-\sum_{i=1}^2\int_{Q_T}(\rho_i^{\delta}+\delta)\widehat{Q}_i(\theta^{\delta}) \, \frac{d\psi^{q}}{d t}(\eta^{\delta}-\eta_\ast)\,d\boldsymbol{x}\, dt\leqslant B_{80}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
где $B_{80}= B_{80}(B_{9}, B_{10}, B_{45}, B_{46}, B_{50}, B_{51}, \widehat{h}(0), m, \gamma, \eta_\ast, T, \Omega)$ (в этом месте применялись стандартные оценки для эллиптических уравнений, ограниченность вложений $W_{\sigma_{63}}^2(\Omega)$ в $C(\overline{\Omega})$, и $W_{\sigma_{62}}^2(\Omega)$ в $C^{1}(\overline{\Omega})$, а также (1.34), (2.34), (4.2), (4.4), (4.10), (4.12), (5.2) и (5.3));
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &-\sum_{i=1}^2\int_{Q_T}(\rho_i^{\delta}+\delta)\widehat{Q}_i(\theta^{\delta})\psi^{q} \, \frac{\partial\eta^{\delta}}{\partial t}\,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\qquad\leqslant B_{81}(B_{9}, B_{10}, B_{46}, B_{50}, B_{76}, \widehat{h}(0), m, T, \gamma, \Omega) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
(здесь применялись ограниченность вложения $W_2^{1}(\Omega)$ в $L_6(\Omega)$, а также (1.34), (2.34), (4.2), (4.10) и (5.6)). Таким образом, из (5.7), благодаря (5.8)–(5.13), следует неравенство
$$
\begin{equation}
\int_0^{T}\int_{\{\Omega\colon \rho_1^{\delta}<\sigma_{61}\}}\psi^{q}\widehat{\mathcal{K}}(\theta^{\delta}) \,d\boldsymbol{x}\, dt\leqslant B_{82}(B_{55}, B_{77}, B_{78}, B_{79}, B_{80}, B_{81}, |\Omega|),
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
выбирая в котором $\widehat{h}(z)=\widehat{h}^{k}(z)\to 1$ при $k\to+\infty$ (например, как после (3.61) или (4.10)), после чего переходя к пределу (по теореме Фату) по $q\to+\infty$, а затем по $k\to+\infty$, приходим, ввиду (1.30) и (5.1), к нужной оценке
$$
\begin{equation}
\|\theta^{\delta}\|_{L_{m+1}(Q_T)}\leqslant B_{83}(B_{72}, B_{82}, c_6, m).
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
5.2. Оценка положительности температурыДокажем осмысленность величин $\ln{\theta^{\delta}}$ (т. е. факт $\theta^{\delta}>0$) и их равномерную по $\delta$ ограниченность в $L_2(Q_T)$. Для этого положим в (3.72) $\psi\in C^{\infty}_0[0,T)$, $0\leqslant\psi\leqslant 1$, $\psi(0)=1$ (см. (2.37)), и $\widehat{h}(z)=1/(z+\omega)$ (счетное семейство, см. замечание 2.2, ср. также (2.34)), получим в силу (1.27), (1.30), (4.2), (4.5), (4.6), (4.10), (4.12), и при дополнительном к (1.38) предположении28
$$
\begin{equation}
L(t,\boldsymbol{x},z)\leqslant \ell(t,\boldsymbol{x})\mathcal{K}(z)\quad\text{при}\quad z\leqslant 1,\qquad \ell\in C(\mathbb{R}^4),\quad \ell\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{i=1}^2\int_{Q_T}(\rho_i^{\delta}+\delta) \biggl(\int_0^{\theta^{\delta}}\frac{c_{\theta i}(z)}{z+\omega}\,dz\biggr) \psi'\, d\boldsymbol{x}\, dt+ \frac{1}{c_6}\int_{Q_T} \frac{|\nabla\theta^{\delta}|^2}{(\theta^{\delta}+\omega)^2}\psi\,d\boldsymbol{x}\, dt \\ &\qquad\leqslant B_{84}(B_{45}, B_{46}, B_{50}, B_{51}, \|\ell\|_{L_1((0,T)\times\partial\Omega)}, T, c_4, c_6, m, \gamma, |\Omega|) \\ &\qquad\qquad-\sum_{i=1}^2\int_{\Omega}(\rho_{0i}^{\delta}+\delta) \biggl(\int_0^{\theta_0^{\delta}}\frac{c_{\theta i}(z)}{z+\omega}\,dz\biggr)\, d\boldsymbol{x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем здесь
$$
\begin{equation*}
\psi=\psi^{\widetilde{\omega}}=1-\int_{-\infty}^{t-\tau+\widetilde{\omega}} \zeta_{\widetilde{\omega}}(s)\,ds,\qquad \tau\in(0,T]
\end{equation*}
\notag
$$
(см. (1.42)), и устремим $\widetilde{\omega}\to +0$, получим в силу (1.31), (1.34), (2.4), (2.8), (3.25) (откуда следует, что для п. в. $t\in(0, T)$ верно $\|\rho_i^{\delta}(t)\|_{L_1(\Omega)}=\|\rho_{0i}^{\delta}\|_{L_1(\Omega)}$, $i=1,2$), (4.4) (и соображений в следующей фразе) неравенство
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^2\sup_{(0,T)}\int_{\Omega}\rho_i^{\delta}\,|\ln{(\theta^{\delta}+\omega)}| \,d\boldsymbol{x}+\int_{Q_T}|\nabla\ln{(\theta^{\delta}+\omega)}|^2\,d\boldsymbol{x}\, dt\leqslant B_{85},
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
где $B_{85}= B_{85}(B_{8}, B_{45}, B_{84}, \{\|\rho_{0i}\|_{L_1(\Omega)}\}, \sup_{\Omega}{\theta_0}, \inf_{\Omega}{\theta_0}, c_6, c_{7}, m, |\Omega|)$. При выводе (5.17) использовались искусственное введение слагаемого
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^2\int_{\Omega}(\rho_i^{\delta}+\delta) \biggl(\int_0^{\theta_0^{\delta}}\frac{c_{\theta i}(z)}{z+\omega}\,dz\biggr)\, d\boldsymbol{x}
\end{equation*}
\notag
$$
с разными знаками и лемма 5.1 для $ B_{86}=\inf_{\Omega}{\theta_0}$, $B_{87}=\sup_{\Omega}{\theta_0}$, $\alpha=\theta_0^\delta$, $z=\theta^\delta$. Лемма 5.1. Пусть $ B_{86}$ и $ B_{87}$ – положительные постоянные. Обозначим $B_{88}=\max_{z\in[0, B_{87}]}c_{\theta i}'(z)$, $B_{89}=\max\{1+c_{7}^2, B_{88}c_{7}\}$. Пусть $\omega>0$, $\alpha\in[ B_{86}, B_{87}]$. Рассмотрим функцию Тогда при всех $z\geqslant 0$ верна оценка $\Phi(z)\leqslant B_{90}= B_{88} B_{87}+c_{7}\ln(1/B_{86})$. Доказательство. Отметим, что $c_{\theta i}(z)=c_{\theta i}(0)+z\varphi(z)$, где $|\varphi(z)|\leqslant B_{88}$ при всех $z\in[0, B_{87}]$. Рассматривая отдельно случаи $z+\omega\geqslant 1$ и $z+\omega\leqslant 1$, несложно показать что $\Phi'(z)\leqslant 0$ при всех $z\geqslant 0$. С другой стороны, В результате при всех $z\geqslant 0$ получаем $\Phi(z)\leqslant\Phi(0)\leqslant B_{90}$. Лемма доказана. Из (2.4), (3.25), (4.2), (5.17) и [1; лемма 3.2, с. 47], следует, что
$$
\begin{equation*}
\ \|{\ln{(\theta^{\delta}+\omega)}}\|_{L_2(Q_T)}\leqslant B_{91}(B_{46}, B_{85}, \{\|\rho_{0 i}\|_{L_1(\Omega)}\}, T, \gamma),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда, устремив $\omega\to +0$, приходим (по теореме Фату) к нужной оценке (с попутным обоснованием положительности $\theta^{\delta}$)
$$
\begin{equation}
\|{\ln{\theta^{\delta}}}\|_{L_2(Q_T)}\leqslant B_{91}.
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
Замечание 5.2. До настоящего момента мы обеспечивали только неотрицательность температур на всех этапах, но теперь можно утверждать $\theta^{\delta}>0$ п. в. в $Q_T$, причем это свойство сохранится и после предельного перехода по $\delta\to +0$ (см. (5.29) и (5.36)), и оно вошло в определение 1.5 диссипативного решения задачи $\mathcal H$. 5.3. Сильная сходимость последовательности температурОбозначим $P_+=\{\rho>0\}=\{\rho_1>0\text{ или }\rho_2>0\}=\{k_1\rho_1+k_1\rho_2>0\}\subset Q_T$ и докажем сильную сходимость последовательности температур $\theta^{\delta}$ на множестве $P_+$. Из (1.31), (2.34), (2.38) и (4.9) следуют следующие сходимости при $\delta\to +0$:
$$
\begin{equation}
\widehat{Q}_i(\theta^{\delta})\to \overline{\widehat{Q}_i(\theta)}\quad\text{слабо в } L_2\bigl(0, T; W^{1}_2(\Omega)\bigr),\qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
где $\overline{\widehat{Q}_i(\theta)}$, $i=1,2$, – это некоторые элементы пространства $L_2(0, T; W^{1}_2(\Omega))$. Привлекая (4.2) и (4.51), получаем, что при $\delta\to +0$
$$
\begin{equation}
\rho_i^{\delta}\widehat{Q}_i(\theta^{\delta})\to \rho_i\overline{\widehat{Q}_i(\theta)}\quad \text{слабо в }L_2\bigl(0, T; L_{6\gamma/(6+\gamma)}(\Omega)\bigr),\qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{5.20}
$$
Далее, из энергетического неравенства (3.72) следует соотношение в $D'(Q_T)$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\partial}{\partial t} \sum_{i=1}^2(\rho_i^{\delta}+\delta)\widehat{Q}_i(\theta^{\delta})\geqslant -\sum_{i=1}^2\operatorname{div}\bigl(\rho_i^{\delta}\boldsymbol{u}_i^{\delta} \widehat{Q}_i(\theta^{\delta})\bigr)+\Delta\widehat{\mathcal{K}}(\theta^{\delta}) \\ &\qquad-\delta \widehat{h}(\theta^{\delta})(\theta^{\delta})^{m+1} -\theta^{\delta} \widehat{h}(\theta^{\delta})\sum_{i=1}^2p_{\theta i}(\rho_i^{\delta})(\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i^{\delta}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
правая часть которого ограничена в пространстве $L_1(0, T; W^{-3}_{3/2}(\Omega))$ равномерно по $\delta$. Поэтому из (4.2), (4.4), (5.20) и равномерной по $\delta$ ограниченности $\widehat{Q}_i(\theta^{\delta})$, $i=1,2$, в $L_2(0,T; W^{1}_2(\Omega))$ выводим (аналогично (3.64)), что при $\delta\to +0$
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^2\rho_i^{\delta}\widehat{Q}_i(\theta^{\delta})\to \sum_{i=1}^2\rho_i\overline{\widehat{Q}_i(\theta)}\quad\text{сильно в }L_2(0, T; W_2^{-1}(\Omega)).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (5.19), (3.65) теперь следует, что при $\delta\to +0$
$$
\begin{equation}
|\widehat{Q}(\theta^{\delta})|^2\sum_{i=1}^2k_i\rho_i^{\delta}\to \bigl|\overline{\widehat{Q}(\theta)}\bigr|^2\sum_{i=1}^2k_i\rho_i\quad\text{в }D'(Q_T),
\end{equation}
\tag{5.21}
$$
где $\widehat{Q}$ определена в (3.67), а $\overline{\widehat{Q}(\theta)}$ – это слабый предел $\widehat{Q}(\theta^{\delta})$ в пространстве $L_2(0, T; W^{1}_2(\Omega))$ (отметим, что $\overline{\widehat{Q}_i(\theta)}=k_i\overline{\widehat{Q}(\theta)}$, $i=1,2$). Из (4.51), (5.19) и (5.21) мы можем сделать вывод29, что при $\delta\to +0$ верно $\widehat{Q}(\theta^{\delta})\to \overline{\widehat{Q}(\theta)}$ п. в. в $P_+$, а значит по теореме Витали ввиду (5.15) получаем
$$
\begin{equation*}
\widehat{Q}(\theta^{\delta})\to \overline{\widehat{Q}(\theta)}\quad\text{сильно в } L_2(P_+).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, в силу свойств (1.31) (справедливых для функции $c_{\theta}$ из (3.65)), (3.67) и (5.15), имеем30
$$
\begin{equation}
\lim_{\delta_1,\delta_2\to+0}\int_{P_+}|\theta^{\delta_1} -\theta^{\delta_2}|^2\,d\boldsymbol{x}\, dt\leqslant 0,
\end{equation}
\tag{5.22}
$$
что с учетом (5.15) дает при всех $\sigma_{64}<m+1$
$$
\begin{equation}
\theta^{\delta}\to \widetilde{\theta}\quad\text{при }\delta\to+0\text{ сильно в } L_{\sigma_{64}}(P_+).
\end{equation}
\tag{5.23}
$$
5.4. Частичный предельный переход в энергетических неравенствахТеперь мы можем перейти к нижнему пределу при $\delta\to +0$ в энергетическом неравенстве (3.72) и при предположении (см. замечание 1.8) получить для всех31 функций $\widehat{h}$ и $\psi$ (удовлетворяющих условиям, перечисленным соответственно в (2.34) и (2.37)), что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{i=1}^2\int_{Q_T}\rho_i\widehat{Q}_i(\widetilde{\theta})\, \frac{\partial\psi}{\partial t}\,d\boldsymbol{x}\, dt +\sum_{i=1}^2\int_{Q_T}\rho_i\widehat{Q}_i(\widetilde{\theta})\boldsymbol{u}_i \cdot\nabla\psi\,d\boldsymbol{x}\, dt+\int_{Q_T} \overline{\widehat{\mathcal{K}}(\theta)}\Delta\psi\,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\qquad\leqslant-\int_{Q_T}\widehat{h}(\widetilde{\theta}) \biggl(\sum_{i=1}^2\mathbb{S}_i:\mathbb{D}(\boldsymbol{u}_i)\biggr)\psi\,d\boldsymbol{x}\,dt -a\int_{Q_T}\widehat{h}(\widetilde{\theta})|\boldsymbol{u}_1-\boldsymbol{u}_2|^2\psi \,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\qquad\qquad-\int_{Q_T}\widehat{h}(\widetilde{\theta})\rho g\psi\,d\boldsymbol{x}\, dt +\int_{Q_T}\widetilde{\theta}\, \widehat{h}(\widetilde{\theta})\sum_{i=1}^2p_{\theta i}(\rho_i)(\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i)\psi\,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\qquad\qquad-\sum_{i=1}^2\int_{\Omega}\rho_{0i}\widehat{Q}_i(\theta_0)\psi|_{t=0} \,d\boldsymbol{x}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.25}
$$
где32
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathcal{K}}(\theta^{\delta})\to \overline{\widehat{\mathcal{K}}(\theta)}\quad\text{при }\delta\to +0 \text{ слабо в } L_1(Q_T).
\end{equation}
\tag{5.26}
$$
Здесь предельный переход к четвертому и пятому интегралам получается аналогично (2.40) и (2.41), к последнему – в силу (2.4) и (2.8), а к первому, второму, шестому и седьмому интегралам – в силу (1.27), (2.9), (4.34), (4.51) и (5.23). При этом следует привлечь (4.2) и (4.10) для уточнения (4.51) и (5.23). В силу (5.23) и (5.26) имеем
$$
\begin{equation}
\rho \overline{\widehat{\mathcal{K}}(\theta)} =\rho\widehat{\mathcal{K}}(\widetilde{\theta})\quad\text{п. в. в }Q_T.
\end{equation}
\tag{5.27}
$$
Далее, из (1.30), (2.34), (2.38), (5.15), (5.18) и [31; следствие 3.33, с. 184] получаем соотношения
$$
\begin{equation}
\bigl\|\overline{\widehat{\mathcal{K}}(\theta)}\bigr\|_{L_1(Q_T)}\leqslant B_{92}(B_{83}, c_6, m, T, |\Omega|), \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\overline{\widehat{\mathcal{K}}(\theta)}>0\quad \text{ п. в. в }Q_T,
\end{equation}
\tag{5.28}
$$
$$
\begin{equation}
\bigl\|{\ln\overline{\widehat{\mathcal{K}}(\theta)}}\bigr\|_{L_2(Q_T)}\leqslant B_{93}(B_{91}, B_{92}, c_6, m, T, |\Omega|).
\end{equation}
\tag{5.29}
$$
В самом деле, функция
$$
\begin{equation*}
\Phi(z)=\begin{cases} \ln^2 z,&0\leqslant z\leqslant 1, \\ z-1,& z>1, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
выпукла, поэтому $\ln^2 \overline{\widehat{\mathcal{K}}(\theta)}\leqslant \Phi(\overline{\widehat{\mathcal{K}}(\theta)})\leqslant \overline{\Phi(\widehat{\mathcal{K}}(\theta))}$ п. в. в $Q_T$, и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\int_{Q_T}\ln^2 \overline{\widehat{\mathcal{K}}(\theta)}\,d\boldsymbol{x}\, dt \,{\leqslant}\lim_{\delta\to+0} \int_{Q_T}\Phi(\widehat{\mathcal{K}}(\theta^\delta))\,d\boldsymbol{x}\, dt\,{\leqslant}\, B_{94}(B_{91}, B_{92}, c_6, m, T, |\Omega|)=: B_{93}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, из показанного выше (см. замечание 5.2) факта $\theta^\delta>0$ п. в. в $Q_T$ следует $\widehat{\mathcal{K}}(\theta^\delta)>0$ п. в. в $Q_T$. Наконец, умножая (3.73) на произвольную гладкую функцию $\chi(t)\geqslant 0$ и интегрируя по $t\in [0, T]$, выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{i=1}^2\int_0^{T}dt\,\chi(t)\int_{\Omega}\biggl(\frac{1}{2}\rho_i^{\delta}(t) |\boldsymbol{u}_i^{\delta}(t)|^2+\rho_i^{\delta}(t)P_{e i}(\rho_i^{\delta})(t) +(\rho_i^{\delta}(t)+\delta)Q_i(\theta^{\delta})(t)\biggr)\,d\boldsymbol{x} \\ &\ \qquad+\delta\sum_{i=1}^2\int_0^{T}dt\,\chi(t)\int_{Q_{t}} \mathbb{S}_i^{\delta}:(\nabla\otimes\boldsymbol{u}_i^{\delta})\,d\boldsymbol{x}\, d\tau+\delta\int_0^{T}dt\,\chi(t)\int_{Q_{t}} (\theta^{\delta})^{m+1}\,d\boldsymbol{x}\, d\tau \\ &\ \leqslant \int_0^{T}dt\,\chi(t)\int_{Q_{t}} \rho^{\delta}g^{\delta}\,d\boldsymbol{x}\, d\tau + \sum_{i=1}^2\int_0^{T}dt\,\chi(t)\int_{Q_{t}}\rho_i^{\delta}\boldsymbol{u}_i^{\delta} \cdot\boldsymbol{f}_i\,d\boldsymbol{x}\, d\tau \\ &\ \qquad+\sum_{i=1}^2\int_0^{T}dt\,\chi(t)\int_{\Omega} \biggl(\frac{1}{2}\rho_{0i}^{\delta}|\boldsymbol{u}_{0i}|^2+\rho_{0i}^{\delta}P_{e i} (\rho_{0i}^{\delta})+(\rho_{0i}^{\delta}+\delta)Q_i(\theta_0^{\delta})\biggr)\,d\boldsymbol{x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя здесь к пределу при $\delta\to +0$, получим (частично привлекая те же соображения, что и при выводе (3.73)) соответствующее предельное соотношение, из которого ввиду произвольности $\chi$ следует для п. в. $t\in (0, T)$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{i=1}^2\int_{\Omega}\biggl(\frac{1}{2}\rho_i(t)|\boldsymbol{u}_i(t)|^2+ \rho_i(t)P_{e i}(\rho_i)(t)+\rho_i(t)Q_i(\widetilde{\theta})(t)\biggr)\,d\boldsymbol{x} \nonumber \\ &\qquad\leqslant \int_{Q_{t}} \rho g\,d\boldsymbol{x} d\tau +\sum_{i=1}^2\int_{Q_{t}}\rho_i\boldsymbol{f}_i\cdot\boldsymbol{u}_i\,d\boldsymbol{x}\, d\tau \nonumber \\ &\qquad\qquad+\sum_{i=1}^2\int_{\Omega}\biggl(\frac{1}{2}\rho_{0i}|\boldsymbol{u}_{0i}|^2+ \rho_{0i}P_{e i}(\rho_{0i})+\rho_{0i}Q_i(\theta_0)\biggr)\,d\boldsymbol{x}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.30}
$$
5.5. Обоснование предела в нелинейном слагаемом с температуройТаким образом, для завершения предельного перехода, в рамках стандартной техники работы с нелинейными уравнениями в частных производных, следовало бы (помимо перехода $\widehat{h}\to 1$) сперва показать, что $\overline{\widehat{\mathcal{K}}(\theta)}=\widehat{\mathcal{K}}(\widetilde{\theta})$, однако в текущих условиях это не представляется возможным ввиду слишком слабого характера оценок и сходимостей, и мы будем следовать идее, предложенной в [1; с. 197]. Полагая в (5.25) $\widehat{h}(z)=1/(1+z)^{\omega}$, $\omega\in(0,1)$ (счетное семейство – см. замечание 2.2, ср. также (2.34)), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{i=1}^2\int_{Q_T}\rho_i\biggl(\int_0^{\widetilde{\theta}}\frac{c_{\theta i}(z)}{(1+z)^{\omega}}\,dz\biggr)\, \frac{\partial\psi}{\partial t}\,d\boldsymbol{x}\,dt \nonumber \\ &\ \quad+\sum_{i=1}^2\int_{Q_T}\rho_i\biggl(\int_0^{\widetilde{\theta}}\frac{c_{\theta i} (z)}{(1+z)^{\omega}}\,dz\biggr)\boldsymbol{u}_i\cdot\nabla\psi\,d\boldsymbol{x}\, dt \,{+}\int_{Q_T} \Biggl(\,\overline{\int_0^{\theta}\frac{k(z)}{(1+z)^{\omega}}\,dz}\,\Biggr)\Delta\psi \,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\ \leqslant-\int_{Q_T}\frac{1}{(1+\widetilde{\theta})^{\omega}} \biggl(\sum_{i=1}^2\mathbb{S}_i:\mathbb{D}(\boldsymbol{u}_i)\biggr)\psi\,d\boldsymbol{x}\,dt -a\int_{Q_T}\frac{1}{(1+\widetilde{\theta})^{\omega}}|\boldsymbol{u}_1-\boldsymbol{u}_2|^2 \psi\,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\ \quad - \int_{Q_T}\frac{1}{(1+\widetilde{\theta})^{\omega}}\rho g\psi\,d\boldsymbol{x}\,dt+\int_{Q_T}\frac{\widetilde{\theta}}{(1+\widetilde{\theta})^{\omega}} \sum_{i=1}^2p_{\theta i}(\rho_i)\,(\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i) \psi \,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\ \quad-\sum_{i=1}^2\int_{\Omega}\rho_{0i}\biggl(\int_0^{\theta_0}\frac{c_{\theta i}(z)}{(1+z)^{\omega}}\,dz\biggr)\psi|_{t=0}\,d\boldsymbol{x}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.31}
$$
Из (5.26) видно, что $\overline{\widehat{\mathcal{K}}(\theta)}$ с выбранными $\widehat{h}$ монотонно не убывают поточечно (т. е. при каждом $(\boldsymbol{x},t)\in Q_T$) при $\omega\to+0$. С другой стороны, в силу (1.30) и (5.15)
$$
\begin{equation*}
\int_{Q_T}\overline{\widehat{\mathcal{K}}(\theta)}\, d\boldsymbol{x}\, dt\leqslant B_{95}( B_{83}, c_6, m, T, |\Omega|).
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме Леви это гарантирует существование функции $\overline{\mathcal{K}(\theta)}\in L_1(Q_T)$ такой, что
$$
\begin{equation}
\overline{\widehat{\mathcal{K}}(\theta)}= \Biggl(\,\overline{\int_0^{\theta}\frac{k(z)}{(1+z)^{\omega}}\,dz}\,\Biggr)\nearrow \overline{\mathcal{K}(\theta)}\quad\text{при }\omega\to +0\text{ п. в. в }Q_T\text{ и сильно в }L_1(Q_T).
\end{equation}
\tag{5.32}
$$
При этом в силу (5.27) и (5.32) получаем
$$
\begin{equation}
\rho \overline{\mathcal{K}(\theta)}=\rho\mathcal{K}(\widetilde{\theta})\quad\text{п. в. в } Q_T,
\end{equation}
\tag{5.33}
$$
а из (5.28) и (5.32) следует
$$
\begin{equation}
\overline{{\mathcal{K}}(\theta)}>0\quad \text{п. в. в }Q_T.
\end{equation}
\tag{5.34}
$$
Переходя в (5.31) к пределу по $\omega\to+0$, приходим33 к неравенству
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{i=1}^2\int_{Q_T}\rho_iQ_i(\widetilde{\theta})\frac{\partial\psi}{\partial t}\,d\boldsymbol{x}\, dt +\sum_{i=1}^2\int_{Q_T}\rho_iQ_i(\widetilde{\theta}) \boldsymbol{u}_i \cdot\nabla\psi\,d\boldsymbol{x}\, dt+\int_{Q_T} \overline{\mathcal{K}(\theta)}\Delta\psi\,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\qquad\leqslant-\int_{Q_T}\biggl(\sum_{i=1}^2\mathbb{S}_i:\mathbb{D}(\boldsymbol{u}_i)\biggr) \psi\,d\boldsymbol{x}\, dt -a\int_{Q_T}|\boldsymbol{u}_1-\boldsymbol{u}_2|^2\psi\,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\qquad\qquad-\int_{Q_T}\rho g\psi\,d\boldsymbol{x}\,dt+\int_{Q_T}\widetilde{\theta} \sum_{i=1}^2p_{\theta i}(\rho_i)(\operatorname{div}\boldsymbol{u}_i)\psi\,d\boldsymbol{x}\, dt \nonumber \\ &\qquad\qquad-\sum_{i=1}^2\int_{\Omega}\rho_{0i}Q_i(\theta_0)\psi|_{t=0}\,d\boldsymbol{x}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.35}
$$
Обозначим
$$
\begin{equation}
\theta=\mathcal{K}^{-1}(\overline{\mathcal{K}(\theta)}),
\end{equation}
\tag{5.36}
$$
тогда в (5.35) можно заменить $\overline{\mathcal{K}(\theta)}$ на $\mathcal{K}(\theta)$, а ввиду (5.34) $\theta>0$ п. в. в $Q_T$. Заметим, что34 в силу (4.2), (4.4), (4.10), (5.29), (5.32) и (5.33) верны соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \rho\theta =\rho\widetilde{\theta}\text{ п. в. в }Q_T,\qquad \mathcal{K}(\theta)\in L_1(Q_T), \\ \ln{\theta },\theta p_{\theta i}(\rho_i)\in L_2(Q_T),\qquad i=1,2, \\ \rho_iQ_i(\theta )\in L_{\infty}\bigl(0, T; L_1(\Omega)\bigr)\cap L_2\bigl(0, T; L_{6\gamma/(6+\gamma)}(\Omega)\bigr),\qquad i=1,2. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.37}
$$
Отсюда, в частности, следует, что в (5.30) и (5.35) можно заменить $\widetilde{\theta}$ на $\theta$. Таким образом, доказано, что функция $\theta $ вместе с $\rho_i$, $\boldsymbol{u}_i$, $i=1,2$, является решением задачи $\mathcal H$ в смысле определения 1.5, что завершает доказательство теоремы 1.7. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{MamPro21} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|