| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Квазиполиномиальные отображения с постоянным якобианом С. И. Пинчук Department of Mathematics, Indiana University, Bloomington, IN, USA
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9017 
Реферативные базы данных:
   § 1. Введение, обозначения, терминология и некоторые известные результатыПусть $F=(f,g)$ – локально обратимое полиномиальное отображение из $\mathbb{C}^2$ в себя. Точки пространства $\mathbb{C}^2$ обозначаются через $(x,y)$. Запишем $\phi\sim\psi$, если $\phi=c\psi$ для некоторой ненулевой константы $c$. Поскольку отображение $F=(f,g)$ локально обратимо, его комплексный якобиан
$$
\begin{equation*}
J(f,g)=\det \begin{pmatrix}f_x & f_y\\g_x& g_y\end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
равен ненулевой константе, т. е. $J(f,g)\sim1$. Гипотеза о якобиане гласит, что такое отображение глобально обратимо. В этом параграфе обсуждаются некоторые известные частичные результаты об этой гипотезе. Большинство из них содержатся в книге Абъянкара [1]. Ряд других результатов и исторические комментарии можно найти в [2]–[8]. Простейшие полиномиальные отображения $F=(f,g)$ с $J(f,g)\sim1$ – это линейные отображения и сдвиги $F(x,y)=(x,y+p(x))$ или $F(x,y)=(x+q(y),y)$. Они глобально обратимы. Выделим среди них отображения
$$
\begin{equation}
(x,y) \to (x,y+a x^m), \qquad (x,y) \to (x+b y^n, y),
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $ a,b \in {\mathbb{C}}$, а $m$, $n$ – неотрицательные целые числа. Определение 1.1. Отображения вида (1.1) в дальнейшем называются элементарными полиномиальными отображениями (преобразованиями). Скажем, что полиномиальное отображение $F$ является (полиномиально) эквивалентным $G$, если оно является композицией $G$ с несколькими элементарными преобразованиями (как в образе, так и в прообразе). Ясно, что в этом случае $F$ обратимо тогда и только тогда, когда $G$ обратимо. Известно, что всякое глобально обратимое полиномиальное отображение является композицией элементарных (см., например, [1]). 1.1. Веса и взвешенно однородные полиномыПусть $f(x,y)$ – полином. Для каждой точки $w=(w_1,w_2)\in\mathbb{R}^2$, $w\ne(0,0)$, сопоставим переменным $x$, $y$ веса $ wt(x) =w_1$, $wt(y) =w_2$. Тогда $ wt( x^k y^l )= kw_1+lw_2$. Полином $f(x,y)=\sum a_{kl} x^k y^l $ называется $w$-однородным, если все его члены – одного веса. Для общего полинома $f(x,y)$, сумма его членов наибольшего веса является $w$-однородным полиномом и обозначается через $f_w (x,y)$. Следуя [1], обозначим через $E(f)$ множество $\{(k,l)\colon a_{kl} \ne0\}$. Удобно считать, что $f(0,0)\ne 0$, так что $E(f)\ni (0,0)$. Многоугольник Ньютона $N(f)$ полинома $ f $ определяется как выпуклая оболочка множества $E(f)$. Для полиномиального отображения $F=(f,g)$ с $J(f,g)\sim1$ и для любых весов $w=(w_1,w_2)\ne(0,0)$ из условия $J(f,g)\sim1$ вытекает, что либо $J(f_w,g_w)\sim1$, либо $J(f_w,g_w) =0$. Легко показать, что если $\max(w_1,w_2)>0$, $J(f,g) \sim1$ и $ J(f_w,g_w) \sim 1$, то отображение $F=(f,g)$ либо линейно, либо является сдвигом. Исключая такие отображения из дальнейших рассмотрений, связанных с гипотезой о якобиане, мы тем самым можем считать, что $J(f_w,g_w)=0$. Заметим, что предположение $\max(w_1,w_2)>0$ также исключает случай, когда $ wt(f) =wt(g) =0$. В получившейся ситуации из условия $J(f_w,g_w) =0$ вытекает, что для некоторого $w$-однородного полинома $u$ и некоторых натуральных чисел $\mu$, $\nu$. Поэтому достаточно рассмотреть только ситуацию, когда многоугольники $N(f)$ и $N(g)$ гомотетичны относительно начала координат. Абъянкар показал также, что для обратимых $F$ многоугольники $N(f)$, $N(g)$ являются прямоугольными треугольниками с вершиной прямого угла в начале координат.Скажем, что веса $(w_1,w_2)$ ассоциированы со стороной $S$ многоугольника $N(f)$, если $f_w$ является суммой всех тех мономов $ a_{kl} x^k y^l $ полинома $f$, для которых $(k,l) \in S$. Рассмотрим любую сторону $S$ многоугольника $N(f)$, не примыкающую к началу координат. Для весов $w_1$, $w_2$, ассоциированных со стороной $S$, полиномы $f_w$, $g_w$ удовлетворяют (1.2). Абъянкар показал также, что полином $u(x,y)$ в равенствах (1.2) должен удовлетворять дополнительному условию: можно найти другой $w$-однородный полином $v$ и натуральное число $\alpha$ такие, что Мы называем (1.3) уравнением Абъянкара порядка $\alpha$. В следующем параграфе мы выведем это уравнение для более общего класса квазиполиномиальных отображений.Абъянкар описал решения (1.3) в случае, когда $w_1>0$, $w_2>0$, доказав следующую теорему. Теорема 1.2. Предположим, что $J(u,v)\sim u^\alpha$ и $w_1>0$, $w_2>0$. Тогда (i) $v$ делится на $u^{\alpha-1}$, так что всегда можно считать, что $\alpha=1$; (ii) если $w_1=w_2=1$ или $w_1=w_2>0$, то
$$
\begin{equation*}
u(x,y)=(a_1 x +b_1 y)^k (a_2 x +b_2 y)^l, \qquad v(x,y) =(a_1 x +b_1 y) (a_2 x +b_2 y),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\det \begin{pmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{pmatrix} \ne0,
\end{equation*}
\notag
$$
$k\geqslant0$, $l\geqslant0$, $k+l>0$ и $ k\ne l$; (iii) если $0<w_1 <w_2$, то для некоторой константы $a \in\mathbb{C}$ и некоторых неотрицательных целых чисел $k\ne l$.Приведенная классификация важна для изучения гипотезы о якобиане. В частности, из нее вытекает, что многоугольник $N(f)$ не может иметь более одной вершины в квадранте $(\mathbb{R}^2_+)$. Для обратимого отображения $F=(f,g)$ многоугольник $N(f)$ обязан быть прямоугольным треугольником. Абъянкар показал с помощью теоремы 1.2, что степень $F$ можно понизить элементарными заменами координат (1.1), так что всякое обратимое полиномиальное отображение $F=(f,g)$ является композицией элементарных полиномиальных отображений. В случае необратимого отображения теорема 1.2 позволяет упростить его до вида, указанного в следующем известном результате, который доказывается теми же рассуждениями. Теорема 1.3. Пусть $ G\colon \mathbb{C}^2{\kern1pt}{\to}\,\mathbb{C}^2$ – полиномиальное отображение с $J(G)\,{\sim}\,1$. Если $G$ необратимо, то оно эквивалентно необратимому полиномиальному отображению $F=(f,g)$ со следующими свойствами: a) числа $\deg f$ и $\deg g$ не делят друг друга; b) многоугольники Ньютона $N(f),N(g)$ гомотетичны и c) если $w_1>0$ и $w_2>0$, то $f_w$ является мономом, т. е. $N(f)$ не имеет сторон с отрицательным наклоном и содержит такую вершину $(K,L)\in \mathbb {N}\,{\times}\, \mathbb{N}$, что причем $ K\geqslant L$.Для дальнейшего изучения гипотезы о якобиане требуется расширить постановку задачи из настоящего параграфа, перейдя от полиномиальных отображений к более широкому классу отображений, которые мы называем квазиполиномиальными и которые допускают дробные и отрицательные степени переменной $x$. Нужно также рассматривать отображения, многоугольники Ньютона которых имеют стороны с положительным или неотрицательным наклоном. Это означает, что либо соответствующие веса $w_1$, $w_2$ имеют разные знаки, либо $w_1 =0$, $w_2>0$. Такая техника использовалась рядом авторов (см., например, [4]–[7]) для получения оценок минимальной степени возможного контрпримера к гипотезе о якобиане. Эти оценки существенно опираются на уравнение Абъянкара, вытекающее из условий $J(f,g)\sim 1$ и $J(f_w,g_w) =0$. Однако для квазиполиномиальных отображений и весов разных знаков условие на якобиан $J(f,g)\sim 1$ может также повлечь Оказывается, что (1.5) – не просто теоретическая возможность. Основным результатом настоящей статьи является теорема 3.4, которая, как мы надеемся, может пролить свет на скрытые свойства возможных необратимых полиномиальных отображений с постоянным якобианом. Она гласит, что всякое необратимое полиномиальное отображение $G$ с постоянным ненулевым якобианом эквивалентно такому квазиполиномиальному отображению $F=(f,g)$, что $J(f_w,g_w) \sim 1$ для некоторых весов $w_1<0$, $w_2 >0$. Это отображение $F$ получается из $G$ последовательностью элементарных преобразований, которые в некотором смысле “выворачивают $G$ наизнанку”. Ж. Диксмье [9] и А. Джозеф [10] применяли подобную технику для изучения алгебры Вейля $A_1$. В частности, приведенная форма из теоремы 3.4 аналогична поляризованной форме элемента из $A_1$ (теорема 4.2 и следствие 5.5 работы [10]).Точные определения и формулировки даются в следующем параграфе. § 2. Квазиполиномиальные отображения и уравнение АбъянкараМы обсуждаем гипотезу о якобиане, изучая гипотетическое необратимое полиномиальное отображение $F=(f,g)$ с постоянным якобианом. Одним из наших средств является изучение многоугольников Ньютона компонент $f$ и $g$ отображения $ F$. Они гомотетичны по теореме 1.3. Поэтому мы будем рассматривать только один из них, а именно, $N(f)$. По теореме 1.3 можно считать, что $N(f)$ содержит стороны с неотрицательными наклонами, отвечающими весам $w_1$, $ w_2$, для которых $ w_1 \leqslant 0$, $w_2 >0$. Изучение полиномиальных отображений в этом контексте естественно приводит к более общему классу квазиполиномиальных отображений. Определение 2.1. Скажем, что $f(x,y)$ – квазиполином (или $q$-полином), если $f(x,y) =\sum a_l(x)y^l$ является полиномом от $y$, коэффициенты которого $ a_l(x)$ – конечные суммы мономов вида $a_{kl}x^k $ с рациональными (возможно отрицательными) $k$. Под $q$-полиномиальным отображением будем понимать пару $F=(f,g)$, состоящую из $q$-полиномов. Для избежания неопределенностей можно рассматривать $q$-полиномы как однозначные функции, определенные в окрестности множества $ \{(x,y) \colon y \in \mathbb{C},\, x\in \mathbb{R},\, x>0\}$, где предполагается, что $x^k$ принимает положительные значения при $x>0$. Это соглашение позволяет нам распространить условие якобиана $ J(F)\sim 1$ на случай $q$-полиномиальных отображений. Для $q$-полиномов также определены понятия многоугольника Ньютона, весов, $w$-однородности. Под $\deg f$ понимается степень $f(x,y)$ как полинома от $y$. Пусть $u(x,y)$ – ненулевой $w$-однородный полином, причем $w_1 \leqslant 0$, $w_2 >0$. Не теряя общности, можно считать, что $w_2 =1$. Положим $t=x^m y^n$, где $n=0$, $m=1$ при $ w_1 =0$ и $n=1$, $m=-1/w_1$ при $w_1 <0$. Тогда $u(x,y)$ однозначно записывается в виде где $ k\in \mathbb{Q}$, $ l\geqslant0$ – целое и $ p(0) \ne 0$. Мы называем эту запись стандартным представлением полинома $u(x,y)$.Следующая лемма доказывается прямым вычислением. Лемма 2.2. Допустим, что $w_1 \leqslant 0$, $w_2 =1$ и пусть $u$, $v$ – $w$-однородные $q$-полиномы со стандартными представлениями Тогда Лемма 2.3. Если в условиях леммы 2.2 имеем $ J(f,g) =0$, то $f^{\deg g} \sim g^{\deg f} $ и существует такой $w$-однородный $q$-полином $u(x,y)$, что для некоторых различных натуральных чисел $ \mu$, $\nu$. Доказательство. Так как $ p(0) \ne 0$, $q(0) \ne 0$ и $ J(f,g) =0$, то из (2.1) вытекает равенство $ks-lr =0$ и, тем самым, $(ms-nr)p'q-(lm-kn)pq' =0$ или $(p^{ms-nr} q^{-( lm-kn)})' =0$, т. е. $p^{ms-nr}\sim q^{lm-kn}$. Для завершения доказательства заметим, что (2.3) вытекает из факторизаций $ p$ и $q$. Лемма доказана. Пусть $ F=(f,g)$ – $q$-полиномиальное отображение с $J(f,g) \sim1$, $S$ – сторона многоугольника $N(f)$, а $w_1$, $w_2$ – ассоциированные с ней веса. Как и выше, обозначим $w$-однородные компоненты старшего веса квазиполиномов $ f$, $g$ через $f_w$, $g_w$ соответственно. Из условия $J(f,g)\sim1$ вытекает, что либо $J(f_w,g_w) \sim1$, либо $J(f_w,g_w) =0$. Рассмотрим случай, когда $J(f_w,g_w) =0$. По лемме 2.3 существует такой $q$-полином $u$, что $ f_w \sim u^\mu$, $g_w \sim u^\nu$. Теорема 2.4. Пусть $ F$, $S$, $u$ и $w_1 \leqslant 0$, $w_2 =1$ – как выше. Тогда существует такой $w$-однородный $q$-полином $v=v(x,y)$, что $u$, $v$ удовлетворяют уравнению Абъянкара (1.3) порядка $\alpha>0$. Эта теорема была доказана Абъянкаром для случая полиномиальных отображений и весов $w_1 >0$, $w_2>0$. Доказательство теоремы 2.4 в основном такое же. Приведем его для полноты. Доказательство теоремы 2.4. Обозначим через $\mathcal{Q}$ множество всех $q$-полиномов, а через $\mathcal{Q}(u)$ – класс тех $q$-полиномов $h$, для которых $h_w \sim u^\gamma $ при некотором $\gamma \in \mathbb{N}$. Для ненулевых $q$-полиномов $a, b\in \mathcal{Q}$ положим Поскольку $wt((J(a,b)) \leqslant wt(ab)-wt(xy)$, имеем $\delta(a,b) \geqslant0$. Если $J(a_w,b_w)= 0$, то $wt(J(a,b))<wt(ab) -wt(xy)$ и $\delta(a,b)>0$. Если $J(a_w,b_w)\ne 0$, то $wt(J(a,b))= wt(ab)-wt(xy)$ и $\delta(a,b)=0$. Таким образом, $ J(a_w,b_w)= 0$ тогда и только тогда, когда $\delta J(a,b)>0$.
Согласно лемме 2.3 $ f_w\sim u^\mu$, $g_w \sim u^\nu$. Поэтому существует такое $c \ne 0$, что $wt (f^\nu\,{-}\,c g^\mu)\,{<}\,wt (f^\nu)$. Положим $ f_1\,{=}\,f^{\nu}\,{-}\,c g^\mu $. Покажем, что $ \delta(f_1,g)<\delta (f,g)$. Действительно, так как $J(f,g) \sim1$, то $\delta (f,g)= wt(fg)-wt(xy)$ и $J(f_1,g) \sim f^{\nu-1}$. Поэтому $ \delta(f_1,g)=wt(f_1 g)-wt(xy)-(\nu-1) wt (f)$. Но $ wt(f_1 g)<\nu wt(f)+wt(g)$ и, следовательно, $\delta(f_1,g)<wt(fg)- wt(xy)=\delta (f,g)$. Если $ \delta(f_1,g)\,{=}\,0$, то $J(f_{1w}, g_w) \sim (f_w)^{\nu-1}$, или $J(f_{1w}, u) \sim u^{\mu \nu-\mu -\nu +1}$. Этим доказано (1.3), поскольку $ \mu \nu-\mu -\nu +1>0$. Если же $ \delta(f_1,g)>0$, то найдутся $\gamma$ и $c\ne 0$ такие, что для $f_2=(f_1)^\nu-c g^\gamma$ выполнено $ \delta(f_2,g)<\delta(f_1,g)$. При необходимости продолжаем так до тех пор, пока не будет $ \delta(f_n,g)=0$ при некотором $n>1$, и заключаем, что $ J(u, (f_n)_w) =-J((f_n)_w,u) \sim u^\alpha$, т. е. уравнение (1.3) выполнено при $v=(f_n)_w$. Умножая, если это необходимо, $(f_n)_w$ на $ u$, мы можем считать, что $\alpha >0$. Теорема доказана. Пользуясь равенством (2.2) и стандартными представлениями $u,v$, можно записать (1.3) как обыкновенное дифференциальное уравнение на полиномы $p(t)$, $q(t)$:
$$
\begin{equation}
[(ks-lr)pq+(ms-nr) t p'q -(lm-kn) tpq'] \sim t^\beta p^\alpha,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где
$$
\begin{equation}
t^\beta=x^{(\alpha -1) k-r +1} y^{(\alpha -1)l -s +1},
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
так что
$$
\begin{equation}
m\beta=(\alpha -1)k -r +1,\qquad n\beta=(\alpha -1)l -s +1.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
В следующих четырех леммах предполагается, что $ -1<w_1 \leqslant 0$, $w_2 =1$ (т. е. $m >1$, $n=1$ или $m=1$, $n=0$) и что $u$, $v$ удовлетворяют (1.3), (2.1), (2.2), (2.4)–(2.6), причем $\deg p >0$, $\deg q >0$. Наша цель – выяснить, как некоторые свойства решений уравнения (1.3) зависят от их стандартных представлений. Лемма 2.5. Если $ks-lr\ne0$, $ml-nk >0$ и $\alpha \geqslant 1$, то $v$ делится на $u^{\alpha -1}$, так что $u$ удовлетворяет уравнению Абъянкара порядка $1$: которое можно записать в виде при $r=1$, $s=1$. Доказательство. Из условий $p(0)\ne0$, $q(0)\ne0$ вытекает, что $\beta =0$ и Если $t_0 \in \mathbb C$ – корень $p(t)$ и $q(t)$ порядка $\mu$ и $\nu$ соответственно, то достаточно показать, что $\nu \geqslant (\alpha -1) \mu$, заменить $v$ на $v/u^{\alpha -1}$ и заметить, что теперь $r=1$, $s=1$.
Если $(ms-nr)\mu -(lm-kn)\nu \ne 0$, то $t_0$ является корнем $(ks-lr)pq +(ms-nr) t p'q -(lm-kn) tpq'$ порядка $\mu +\nu -1$. Поэтому $\mu +\nu -1 =\mu \alpha$ и $\nu=(\alpha -1)\mu +1$. Если $(ms-nr)\mu -(lm-kn)\nu=0$, то из (2.8) выводится, что Поэтому $\mu [(\alpha -1)(ml-nk) +m-n] =\nu (lm-kn)$. Теперь из неравенства $m-n\geqslant 0$ вытекает, что $\nu \geqslant \mu (\alpha-1)$. Лемма доказана.Лемма 2.6. Пусть $ks-lr \ne 0$, $k<l$, $-1<w_1 \leqslant 0$ и $u$, $v$ удовлетворяют (2.7). (i) Если $m=1$, $n=0$, то $p(t)$ имеет корень порядка большего, чем $l$. (ii) Если $m>1$, $n=1$, то $ p(t)$ имеет корень порядка Доказательство. (i) При $m=1$, $n=0$ и $t=x$ уравнение (2.7) принимает вид Поскольку $\deg p >0$, $\deg q>0$, это означает, что $k-l +\deg p-l \deg q =0 $ и, следовательно, $\deg p>l \deg q$. Из (2.7) вытекает, что любой корень $p$ является простым корнем $q$. Поэтому существует корень $p$ порядка не менее $l+1$.
(ii) При $m>1$, $n=1$ мы аналогично получаем соотношение Поскольку $k<l$, отсюда вытекает существование корня $ p(t)$ порядка большего, чем $(ml-k)/(m-1)$. Лемма доказана. Доказательство. Допустим от противного, что $ks-lr =0$. Тогда из (2.4) вытекает, что $\beta \geqslant 1$. Поскольку $ m=1$, $n=0$, из (2.6) вытекает, что $s=(\alpha-1) l +1$, $\beta =(\alpha -1) k-r+1$. Умножим первое уравнение на $k$, а второе – на $l$. Так как $ks-lr =0$, это приводит к равенству $\beta l=l-k$, т. е. $\beta<1$. Противоречие. Лемма доказана. Доказательство. Поскольку $-1 <w_1 <0$, имеем $m>1$, $n=1$. Если $ks-lr=0$, то, как и выше, $\beta \geqslant 1$ и из (2.8) вытекает, что $ l-k=\beta (ml-k) \geqslant ml-k$ и, следовательно, $ l\geqslant ml$. Противоречие. Лемма доказана.
§ 3. Многоугольник Ньютона и приведенная формаС введением квазиполиномиальных отображений переменные $x$ и $y$ получили разные роли и перестали быть равноправными. Поэтому мы модифицируем определение эквивалентности для таких отображений. Под $q$-элементарными отображениями (преобразованиями, заменами переменных) будем понимать отображения вида где $c \in \mathbb{C}$ и $ \mu \in \mathbb{Q}$. Заметим, что композиция $F \circ \Phi $ $q$-полиномиального отображения $F$ и $q$-элементарного переобразования $\Phi$ является $q$-полиномиальным отображением.Определение 3.1. Назовем $q$-полиномиальные отображения $F$ и $G$ $q$-эквивалентными, если $G=F \circ \Phi_1 \circ\dots \circ \Phi_ s$, где $\Phi_1,\dots, \Phi_s$ – $q$-элементарные преобразования. Определение 3.2. Полиномиальное отображение $F$ эквивалентно $q$-полиномиальному отображению $G$, если существует полиномиальное отображение $H$, полиномиально эквивалентное $F$ и $q$-полиномиально эквивалентное $G$. Определение 3.3. Скажем, что $q$-полиномиальное отображение $F=(f,g)$ находится в приведенной форме, если существуют веса $ w=(w_1,w_2)$ вида $w_1=-1/m$, $w_2 =1$, $m>1$ такие, что $J(f_w,g_w) \sim 1$. Теорема 3.4. Каждое необратимое полиномиальное отображение $F=(f,g)\colon \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$ с $J(f,g) \sim 1$ эквивалентно некоторому $q$-полиномиальному отображению $G$, находящемуся в приведенной форме. Мы называем отображение $G$ приведенной формой отображения $F$. Доказательство. Поскольку многоугольники Ньютона $ N(f)$ и $N(g)$ гомотетичны, мы будем рассматривать только $N(f)$. По теореме 2.4 можно считать, что выполнено включение (1.4), причем $K\geqslant L$ и $(K,L)\in N(f).$ Для доказательства теоремы 3.4 проделаем ряд $q$-элементарных замен координат вида (3.1) и проследим, как меняется при этом многоугольник Ньютона функции $f$.
Доказательство. Если $N(f)\cap \{(k,l)\colon k<l\}=\varnothing$, то и $N(g)\cap \{(k,l)$: $k< l\}= \varnothing$ в силу гомотетичности $N(f)$ и $N(g)$. Но тогда невозможно будет найти мономы $a x^k y^l$ в составе $f$ и $b x^r y^s$ в составе $g$, якобиан которых – ненулевая константа. Лемма доказана. Многоугольник Ньютона $w$-однородного полинома $ u(x,y)=x^k y^l p(t)$ в стандартном представлении (где $t=x^m y$, $m>1$) является отрезком с левым концом $(k,l)$ и правым концом $(k+m \deg p$, $l+ \deg p)$. Если $S$ – сторона многоугольника Ньютона функции $f$ с ассоциированными весами $-1<w_1=-1/m< 0$, $w_2 =1$, то $S$ является многоугольником Ньютона функции $f_w$. Если $u(x,y)$ – это $q$-однородный полином из леммы 2.3, т. е. $f_w \sim u^\mu$, то $N(f_w)$ и $N(u)$ гомотетичны. Поэтому по $N(u)$ можно судить об $N(f_w)$. Упомянем частный случай, когда $u(x,y)=x^k(x^m y-c)^d$. При $q$-элементарной замене $(x,y) \to (x, y+c/x^m)$ этот $q$-полином становится мономом, а сторона $S$ сводится к своему правому концу. Пусть $F=(f,g)\colon \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$ – необратимое полиномиальное отображение с $J(f,g) \sim 1$. По теореме 2.4 можно считать, что
$$
\begin{equation*}
N(f) \subset \{(k,l) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \colon 0\leqslant k \leqslant K,\, 0\leqslant l \leqslant L \},
\end{equation*}
\notag
$$
причем $(K,L) \in N(f)$ и $K\geqslant L$. Доказательство. Рассмотрим сторону $S_1 =[(K_1,L_1), (K,L)]$ многоугольника $N(f)$, примыкающую к $(K,L)$ при обходе против часовой стрелки. По лемме 3.5 можно считать, что для ассоциированных с ней весов $w=(w_1,w_2)$ выполнено $ w_1 \leqslant 0$, $w_2 =1$. По лемме 2.3 найдутся натуральные числа $\mu$, $\nu$ и $w$-однородный $q$-полином $u(x,y)=x^k y^l p(t)$ такие, что $ f_w \sim u^\mu$, $g_w \sim u^\nu$.
Рассмотрим следующие случаи. Случай 1. $L_1 =L$, $w_1 =0$, т. е. $m=1$, $n=0$, $t=x$ и $S_1$ совпадает с $\{(k,l)\colon K_1 \leqslant k \leqslant K,\, l =L \}$, где $0<K_1 <K$. Так как $K_1 >0$, то $k>0$ и последовательное применение к $u$ леммы 2.7, леммы 2.5 и п. (i) леммы 2.6 позволяет заключить, что $p(x)$ имеет корень порядка выше, чем $l$. Поскольку $f_w \sim u^\mu$, отсюда вытекает, что $K>K_1>L$. Случай 2. $L_1=L$, $K_1 =0$ и полином $p(x)$ имеет более одного корня. С помощью сдвига $(x,y) \to (x+x_0,y)$, где $x_0$ – любой корень $p(x)$, этот случай сводится к предыдущему. Случай 3. $L_1 =L$, $K_1 =0$ и $p(x)$ имеет только один корень, т. е. $p(x) \sim (x-x_0)^d$. Сдвиг $(x,y) \to (x+x_0,y)$ устраняет сторону $S_0$ и остается рассмотреть случай стороны $[(K_1,L_1), (K,L)]$ многоугольника $N(f)$ с $K_1<K$, $L_1<L$. Случай 4. $0<L_1<L$. По лемме 3.5 имеем $K_1<L_1$ и $u(x,y)=x^k y^l p(x^m y)$, где $m\,{>}\,1$. Поскольку $L_1\,{>}\,0$, мы находимся в ситуации леммы 2.8 и можем применить лемму 2.6, (ii) к $u(x,y)$. Поэтому найдется корень $t_0$ полинома $p(t)$ порядка $d >(ml-k)/(m-1)$. Тогда $q$-элементарная замена $(x,y) \to (x, y+t_0/x^m)$ преобразует стандартное представление функции $u$ к виду $ x^{k+m(d-l)} y^d p_1(t)$, где $k+m(d-l)>d$. Следовательно, $K>L$. Случай 5. $L_1 =0$ и $p(t)$ имеет более одного корня. Этот случай сводится к случаю 4, если сделать $L_1 >0$ надлежащей заменой $(x,y) \to (x, y+t_0/x^m)$, где $t_0$ – корень $p(t)$. Случай 6. $L_1 =0$ и $p(t) \sim (t-t_0)^d$. Замена $ (x,y) \to (x, y+t_0/x^m)$ убирает сторону $S_0$, а вершина $(K,L)$ становится правым концом новой стороны $S_1$ с $t=x^{m_1} y$, где $1<m_1 <m$. Для завершения доказательства леммы 3.6 нам надо оценить $m-m_1$. Для $q$-полинома $f(x,y)=\sum a_{\alpha \beta} x^\alpha y^\beta$ обозначим через $N$ наименьшее натуральное число такое, что $\alpha \in \frac{1}{N} \mathbb{Z} $ для всех $(\alpha,\beta)$ с $ a_{\alpha \beta} \ne 0$. Так как $f_w \sim u^\mu$ и $p(t) \sim (t-t_0)^d$, то $m\in \frac{1}{N} \mathbb{Z}$. Преобразование $(x,y) \to (x, y+t_0/x^m)$, очевидно, не меняет $N$ и $m-m_1 \geqslant 1/N$. Так как $m_1$ должно быть больше единицы, то после нескольких повторений случая 6 получаем случай 4 или 5. Лемма доказана. Остаток доказательства теоремы 3.4 подобен доказательству леммы 3.6. Рассмотрим сторону $S_1 =[(K_1,L_1), (K,L)]$ многоугольника $N(f)$, примыкающую к $(K,L)$ при обходе против часовой стрелки, где $K_1 <K$, $L_1 \leqslant L$. Повторяя рассуждения шагов 1–6 из доказательства леммы 3.6, мы можем считать, что $K_1>L_1$. Пусть $w_1$, $w_2$ – веса, ассоциированные со стороной $S_2= [(K_2,L_2),(K_1,L_1)]$. По лемме 3.5 можно также считать, что $-1<w_1 <0$, $w_2 =1$. Если $J(f_w,g_w) \sim 1$, то все доказано. Если $J(f_w,g_w) =0$, то продолжаем рассуждение и строим стороны $S_n= [(K_n,L_n),(K_{n-1},L_{n-1)}]$, $n=2,3,\dots$, модифицированного многоугольника $N(f)$, для которых $K_n >L_n$, $L_n<L_{n-1}$. Этот процесс оборвется на некотором шаге, так как все $L_n$ – неотрицательные целые. Единственной причиной такого обрыва является то, что $J(f_w,g_w) \sim 1$ при некотором $n$, где $w=(w_1,w_2)$ – веса, ассоциированные с $S_n$. Теорема 3.4 доказана. Замечание. Всякое $q$-полиномиальное отображение в приведенной форме можно заменой вида $(x,y) \to (x^\mu,x^{1-\mu} y)$ сделать отображением в приведенной форме, содержащим только целые степени $x$. Теорему 3.4 можно использовать при попытках как доказательства, так и опровержения гипотезы о якобиане. Пусть, например, $F=(f,g)$ – приведенная форма полиномиального отображения с $J(f,g) \sim 1$, причем $J(f_w,g_w) \sim 1$ при $w=(-1/m,1)$, $ m>1$. Для любого полиномиального отображения $ G\colon \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$ с ненулевым постоянным якобианом, композиция $G(F(x,y))$ также является $q$-полиномиальным отображением с постоянным якобианом. Легко видеть, что если $F_1$ – приведенная форма этого отображения, то $m_1 <m$. Для доказательства гипотезы о якобиане достаточно доказать, что $m_1$ можно сделать $ \leqslant 1$. Другой потенциальный путь решения гипотезы о якобиане состоит в рассмотрении приведенной формы $F=(f,g)$ возможного контрпримера. Из доказательства теоремы 3.4 вытекает, что многоугольник Ньютона $N(f)$ должен содержать пару соседних сторон $S$ и $S'$, см. рис. 1, с такими ассоциированными весами $w=(-1/m,1)$, $w'=(-1/{m'})$, что $m' >m>1$ и $J(f_w,g_w) \sim 1$. Существование такой стороны $S'$ налагает сильные ограничения на отображение. Если удастся доказать, что $q$-полиномиального отображения $F$ с такими свойствами не существует, то гипотеза о якобиане будет доказана. С другой стороны, всякое такое отображение $F$, допускающее преобразование в полиномиальное отображение с помощью элементарных замен, даст контрпример. Тем самым гипотеза о якобиане связана с вопросом о существовании указанного $q$-полиномиального отображения в приведенной форме. Здесь содержится вопрос о $w$-однородных $q$-полиномиальных отображениях с постоянным якобианом. Этот вопрос намного проще. Такие $w$-однородные отображения существуют, примеры можно построить. Например, пусть и $t=x^6 y$. Тогда прямое вычисление показывает, что $J(u,v)=-72$.Завершим этот параграф следующим вопросом. Существует ли $q$-полиномиальное отображение $F=(f,g)$ в приведенной форме с многоугольниками Ньютона $N(f)=3 R$ и $N(g)=2 R$, где $ R$ – четырехугольник с вершинами $(-1,0)$, $(35,6)$, $(42,7)$, $(0,0)$? Вот некоторые причины для рассмотрения именно этой конфигурации. Если $S$ – это сторона $[(-3,0), (105,18)]$ многоугольника $N(f)$, то ассоциированные с ней веса имеют вид $w_1=-1/6$, $w_2 =1$. Сначала надо удовлетворить условию $J(f_w,g_w) \sim1$. Такие $w$-однородные $q$-полиномы $f_w$ и $g_w$ существуют согласно [6], [11] (см. § 4). Для соседней стороны $S' =[(105,18), (126,21)]$, ассоциированные веса имеют вид $w_1=-1/7$, $w_2 =1$ и $J(f_w,g_w)=0$. Таким образом, $f_w=u^3$, $g_w =u^2$, где функция $u(x,y)=x^{35} y^6 p(x^7 y)$ должна удовлетворять уравнению Абъянкара $J(u,v) \sim u$ при некотором $v(x,y)=xyq(x^7y)$. Если обозначить $ t=x^7y$, то в силу (2.2) это означает, что Легко проверить, что это уравнение выполнено при $p(t)= t+1$, $q(t)= (t+1)(t^4-t^3/7+4 t^2/7^2-20t/7^3 +110/7^4 )$. Теперь можно изучать условие на якобиан $J(f,g)\sim1$, разлагая $f$ и $g$ на $w$-однородные компоненты с весами $(-1/6, 1)$. Поскольку $\deg p =1$, это даст лишь немного уравнений на такие компоненты.§ 4. Приведенная форма и минимизация степениВ этом параграфе показано, что $w$-однородные $q$-полиномиальные отображения с постоянным якобианом тесно связаны со следующим вопросом. Пусть $k,r \in \mathbb{N}$ взаимно просты, а $p(t)$, $q(t)$ – полиномы степеней $k d$, $r d$ (соответственно) со старшим коэффициентом единица, где $d \in \mathbb{N}$. Какова минимальная возможная степень полинома $A= p^r -q^k$, при условии, что $A \ne 0$? Этот вопрос был задан для случая $k=3$, $r =2$ в работе Б. Берча и др. [11] в 1965 г. В том же году Г. Дэвенпорт [12] показал, что Намного труднее установить, что эта оценка достигается при любом $d \in \mathbb{N}$. Это было сделано в 1981 г. В. Штотерсом [13]. Заметим, что равенство в (4.1) имеет место для полиномов (3.2).Для произвольных взаимно простых $k,r$ точная оценка имеет вид У. Заннье [14] в 1995 г. показал, что оценка (4.2) достигается при любом $d\in \mathbb{N}$. В 2014 г. Ф. Пакович и А. Звонкин [15] получили полную классификацию пар полиномов $p$, $q$, минимизирующих $\deg(p^{r}-q^{k})$.Для полноты приведем здесь короткое доказательство оценки (4.2). Для любых полиномов $a(t)$, $b(t)$ положим $\delta(a/b )=\deg a-\deg b$. Если $\delta (a/b ) \ne 0$, то из разложения в ряд Лорана на $\infty$ вытекает, что $\delta (a/b )'=\delta (a/b ) -1.$ Пусть $R=\deg(p^{r}- q^{k})$, тогда $\delta((p^r-q^k)/q^k)'=R-k \deg q -1$. С другой стороны, $\delta((p^r-q^k)/q^k)'=\delta(p^r/q^k)'$. Дифференцированием получаем, что
$$
\begin{equation*}
\delta\biggl(\frac{p^r-q^k}{q^k}\biggr)'=\deg(p^{r-1})-\deg(q^{k+1})+\deg(r p' q -k p q')
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, $ R-k \deg q -1=\deg (p^{r-1}-\deg (q^{k+1}+\deg (r p' q -k p q')))$. Поскольку $\deg p=k d$ и $\deg q=r d$, отсюда вытекает, что
$$
\begin{equation}
R=d(k r-k -r) +1+\deg (r p' q -k p q') \geqslant d(kr -k -r) +1.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Завершим работу следующей теоремой. Теорема 4.1. Пусть $k,r \in \mathbb{N}$ взаимно просты, $d\in\mathbb{N}$ и $ m=k+r+1$. Пусть $p(t)$, $q(t)$ – полиномы степеней $kd$, $rd$ соответственно. Положим Тогда следующие условия эквивалентны: (1) $rp'q-kpq' \sim 1$; (2) $\deg (p^r -q^k)=d(kr-k-r) +1$. (3) $J(u,v) \sim 1$. Доказательство. $(1)\Leftrightarrow (2)$ вытекает из (4.3). $(1)\Leftrightarrow (3)$ вытекает из (2.2), если заменить $k$, $r$ на $-k$, $-r$ и положить $l=0$, $s=0$, $n=1$, $t=x^m y$. Теорема доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pin21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|