С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе для проективных компактификаций моделей Нерона $3$-мерных абелевых многообразий”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:1 (2021), 154–186; Izv. Math., 85:1 (2021), 145

Пусть $H$ – обильный дивизор на гладком комплексном проективном $d$-мерном многообразии $X$. Тогда для любого натурального числа $i\leqslant d$ отображение

Известно, что из теоремы Лефшеца об $(1,1)$-классах следует существование алгебраического изоморфизма $H^{2d-1}(X,\mathbb{Q}) \,\widetilde{\to}\, H^1(X,\mathbb{Q})$.

Обозначим через $^{\mathrm{c}}\Lambda$ двойственный оператор для $L$ в классической теории Ходжа. Хорошо известно, что гипотеза $B(X)$ эквивалентна алгебраичности оператора $^{\mathrm{c}}\Lambda$, см. [2; предложение 2.3].

Имеется абстрактная формулировка стандартной гипотезы для этальных когомологий гладких проективных многообразий над произвольными полями [1]. В данной работе мы будем рассматривать только многообразия над полями характеристики нуль. При этом условии известно, что стандартная гипотеза $B(X)$ эквивалентна совпадению численной и гомологической эквивалентностей алгебраических циклов на декартовом произведении $X\times X$, см. [3; формула (1.11)]; кроме того, согласно [4; предложение 1.7] гипотеза $B(X)$ эквивалентна полупростоте $\mathbb{Q}$-алгебры $\mathcal A(X)=\operatorname{cl}_{X\times X}(\operatorname{CH}^\ast(X\times X))\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ алгебраических самосоответствий на многообразии $X$ с билинейным законом композиции [2; п. 1.3.1]

В абстрактном случае $B(X) \Rightarrow C(X)$, где стандартная гипотеза $C(X)$ типа Кюннета утверждает алгебраичность компонент Кюннета класса диагонали $\Delta_X\hookrightarrow X\times X$, см. [2; лемма 2.4]. Гипотеза $B(X)$ совместима с переходами к декартову произведению [2; следствие 2.5], гиперплоскому сечению [2; теорема 2.13] и специализации (с возможным изменением характеристики), см. [2; введение]. В характеристике нуль она совместима с моноидальными преобразованиями вдоль гладких центров [5; теорема 4.3].

По определению $d$-мерное эллиптическое многообразие бирационально эквивалентно многообразию, содержащему гладкое семейство эллиптических кривых, параметризованное некоторым аффинным многообразием размерности $d-1$.

Известно, что стандартная гипотеза $B(X)$ верна для всех гладких комплексных проективных кривых, поверхностей, абелевых многообразий [6] и трехмерных многообразий размерности Кодаиры $\varkappa(X)<3$, см. [7] (в частности, она верна для всех комплексных эллиптических трехмерных многообразий и компактификаций минимальных моделей Нерона абелевых поверхностей над полями алгебраических функций одной переменной с полем констант $\mathbb{C}$). Кроме того, $B(X)$ выполняется для точечных схем Гильберта поверхностей [8; следствие 7.5], для гиперкэлеровых многообразий, являющихся деформациями точечных схем Гильберта $K3$-поверхностей [9], а также для расслоенного произведения $X_1\times_CX_2$ двух проективных неизотривиальных гладких семейств $\pi_k\colon X_k\to C$ ($k=1,2$) регулярных поверхностей с геометрическим родом $1$ над гладкой проективной кривой $C$ при условии, что ранги решеток трансцендентных циклов на общих геометрических слоях $X_{ks}$ ($k=1,2$) являются различными простыми нечетными числами [10], [11].

Если $S$ – $K3$- или абелева поверхность, $H$ – обильное линейное расслоение на $S$ и $X$ – пространство модулей Гиезекера–Маруямы–Симпсона $H$-стабильных ранга $r$ пучков без кручения на $S$ с фиксированными классами Черна $\operatorname{c}_1$, $\operatorname{c}_2$, то стандартная гипотеза типа Лефшеца верна для $X$, если многообразие $X$ проективное [8; теорема 7.8, следствие 7.9].

Кроме того, стандартная гипотеза верна для компактификации Альтмана–Клеймана $X$ относительного якобиана семейства $\mathcal C\to\mathbb P^2$ гиперэллиптических кривых рода $2$ со слабыми вырождениями при условии, что каноническая проекция $X\to\mathbb P^2$ является лагранжевым слоением [12].

Гипотеза $B(X)$ верна для любой гладкой проективной компактификации $X$ минимальной модели Нерона абелевой схемы относительной размерности $3$ над аффинной кривой при условии, что общий схемный слой абелевой схемы имеет редукции мультипликативного типа во всех бесконечно удаленных точках [12]. Более того, она верна для $4$-мерного гладкого проективного комплексного многообразия, расслоенного над гладкой проективной кривой, если любой вырожденный слой является объединением гладких неприводимых компонент кратности $1$ с нормальными пересечениями, для общего геометрического слоя $X_{\overline\eta}$ верна стандартная гипотеза $B(X_{\overline\eta})$, существует хотя бы один вырожденный слой $X_\delta$, для неприводимых компонент $V_i$ любого вырожденного слоя $X_\delta=V_1+\dots+V_m$ кольца рациональных когомологий $H^\ast(V_i,\mathbb{Q})$ и $H^\ast(V_i\cap V_j,\mathbb{Q})$ порождаются классами алгебраических циклов [13].

Наконец, гипотеза $B(X)$ верна для расслоенного произведения трех комплексных эллиптических поверхностей $X_k\to C$ над гладкой проективной кривой $C$ при условии, что дискриминантные локусы $\{\delta\in C \mid \operatorname{Sing}(X_{k\delta})\neq\varnothing\}$ ($k=1,2,3$) попарно не пересекаются [14]; также она верна для любой гладкой проективной модели расслоенного на кривые $3$-мерного комплексного проективного многообразия $X$ при условиях, что $\operatorname{End}_\mathbb{C}(\operatorname{Pic}^0(X_s)) \,\widetilde{\to}\, \mathbb{Z}$ для некоторого гладкого слоя $X_s$ структурного морфизма $\pi\colon X\to S$ многообразия $X$ на поверхность $S$ и ранг соответствующего отображения Кодаиры–Спенсера для гладкой части $X'\to S'$ морфизма $\pi$ равен $1$ на некотором непустом открытом подмножестве в $S'$ (если род общего слоя морфизма $\pi$ равен $2$, то условие на кольцо эндоморфизмов $\operatorname{End}_\mathbb{C}(\operatorname{Pic}^0(X_s))$ можно исключить), см. [15].

Пусть $\mathcal M\to C$ – минимальная модель Нерона абелева многообразия $\mathcal M_\eta$ над полем $\kappa(\eta)$ рациональных функций гладкой проективной кривой $C$. Предположим, что в любой точке $s\in C$ редукция абелева многообразия $\mathcal M_\eta$ полустабильная в смысле Гротендика. В этом случае связная компонента $\mathcal M^0_s$ нейтрального элемента алгебраической группы $\mathcal M_s$ является расширением абелева многообразия с помощью линейного тора, размерность которого называется торическим (редуктивным) рангом в точке $s$, см. [16; п. 2.1.12].

Пусть $R$ – дедекиндово кольцо без делителей нуля с полем дробей $K$ и пусть $A_\eta$ – абелево многообразие над $\eta=\operatorname{Spec} K$, все редукции которого полустабильны в смысле Гротендика. Как показал Кюннеман [17; п. 5.8], в этом случае существует такое конечное расширение $K'$ поля $K$, что абелево многообразие $A_\eta\otimes_K K'$ имеет (не обязательно единственную) плоскую проективную регулярную модель $P'$ над целым замыканием $R'$ кольца $R$ в поле $K'$; эта модель $P'$ имеет строго полустабильные редукции над каждой локализацией кольца $R'$ (в частности, любой специальный слой $P'_s$ является объединением гладких дивизоров кратности $1$ с нормальными пересечениями [18; п. 1.9]), причем схема $P'$ содержит минимальную модель Нерона $\mathcal A'$ многообразия $A_\eta\otimes_K K'$ в случае, когда все поля вычетов схемы $\operatorname{Spec} R'$ совершенны [18; п. 4.4, теорема 4.6].

Поскольку координатное кольцо $\mathbb{C}[C']$ любой гладкой аффинной кривой $C'$ над полем $\mathbb{C}$ является дедекиндовым, то после замены базы, определенной подходящим разветвленным накрытием $\widetilde{C}\to C$, мы можем предполагать в силу цитированных выше результатов Кюннемана, что для минимальной модели Нерона $\mathcal M\to C$ существует гладкая компактификация $X$ многообразия $\mathcal M$, плоская и проективная над кривой $C$, причем выполнены следующие условия:

(i) модель $X/C$ имеет строго полустабильные редукции (в частности, все слои структурного морфизма $\pi\colon X\to C$ являются объединениями гладких неприводимых компонент кратности $1$ с нормальными пересечениями);

(ii) многообразие $X$ содержит многообразие $\mathcal M$ как открытую плотную подсхему;

(iii) ограничение $\pi|_{\mathcal M}\colon \mathcal M\to C$ совпадает со структурным морфизмом модели Нерона;

(iv) связная компонента $\mathcal M^0_s$ нейтрального элемента любого слоя $\mathcal M_s$ ($s\,{\in}\,C$) является расширением абелева многообразия с помощью линейного тора размерности $r_s$;

(v) $C$-групповой закон $\mathcal M^0\times_C\mathcal M^0\to \mathcal M^0$ продолжается до группового $C$-действия $\mathcal M^0\times_C X\to X$.

Мы будем называть такие компактификации модели Нерона компактификациями Кюннемана.

В этой статье мы докажем следующий основной результат.

Известно, что если $X,Y$ – гладкие комплексные проективные многообразия размерностей $\leqslant 4$, и $f\colon X\dashrightarrow Y$ – доминантное рациональное отображение, то $B(X)\Rightarrow B(Y)$, см. [7; лемма 1.1]. Поэтому мы можем (и будем) считать, что $X$ – компактификация Кюннемана минимальной модели Нерона $3$-мерного абелева многообразия с главной поляризацией над полем рациональных функций гладкой проективной кривой.

§ 1. Некоторые замечания о классах Пуанкаре, глобальной монодромии и сечениях локальных систем

1.1.

Поляризацией $\mathbb{Q}$-подструктуры Ходжа $V_\mathbb{Q}\hookrightarrow H^n(X,\mathbb{Q})$ называется такой морфизм рациональных структур Ходжа $\psi_{V_\mathbb{Q}}\colon V_\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q} V_\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}(-n)$, что вещественная билинейная форма $(u,v)\mapsto(2\pi i)^n\psi_{V_\mathbb{Q}}(u,h(i)v)$ симметрична и положительно определена на $V_\mathbb{R}$, см. [19; п. 2.1.14].

Обозначим через $\psi^0_{V_\mathbb{Q}}$ композицию $V_\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q} V_\mathbb{Q}\xrightarrow{\psi_{V_\mathbb{Q}}}\mathbb{Q}(-n) \,\underset{\widetilde{\qquad}}{\xrightarrow{(2\pi i)^n}}\,\mathbb{Q}$. Ясно, что билинейная форма $\psi^0_{V_\mathbb{Q}}$ невырождена; кроме того, это свойство выполняется для ограничения $\psi^0_{V_\mathbb{Q}}|_{W_\mathbb{Q}}$ формы $\psi^0_{V_\mathbb{Q}}$ на любую нетривиальную $\mathbb{Q}$-подструктуру Ходжа $W_\mathbb{Q}\subset V_\mathbb{Q}$, потому что форма $(u,v)\mapsto(2\pi i)^n\psi_{V_\mathbb{Q}}(u,h(i)v)$ положительно определена на $V_\mathbb{R}$ и, следовательно, ее ограничение положительно определено на $W_\mathbb{R}$. Хорошо известно, что классическая рациональная структура Ходжа $H^n(X,\mathbb{Q})$ поляризуема. Поэтому любая $\mathbb{Q}$-подструктура Ходжа $V_\mathbb{Q}\subset H^n(X,\mathbb{Q})$ также поляризуема.

Известно, что билинейная форма $\psi_{V_\mathbb{Q}\,\mathbb{R}}$ инвариантна относительно действия группы $U^1$, см. [19; п. 2.1.16]. С другой стороны, группа $U^1$ тривиально действует на структуре $\mathbb{Q}(-n)_\mathbb{R}$, поэтому билинейная форма $\psi^0_{V_\mathbb{Q}\,\mathbb{R}}$ также $U^1$-инвариантна. Значит, форма $\psi^0_{V_\mathbb{Q}}$ инвариантна относительно канонического действия группы Ходжа $\operatorname{Hg}(V_\mathbb{Q})$ в пространстве $V_\mathbb{Q}$. В частности, существует вложение связных алгебраических $\mathbb{Q}$-групп $\operatorname{Hg}(V_\mathbb{Q})\hookrightarrow [\operatorname{Aut}(\psi^0_{V_\mathbb{Q}})]^0$, где $[\operatorname{Aut}(\psi^0_{V_\mathbb{Q}})]^0$ – связная компонента единицы $\mathbb{Q}$-группы $\operatorname{Aut}(\psi^0_{V_\mathbb{Q}})$.

Рассмотрим диагональное действие группы $[\operatorname{Aut}(\psi^0_{V_\mathbb{Q}})]^0$ в $V_\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q} V_\mathbb{Q}$, определенное формулой $\mu(x\otimes y)=\mu(x)\otimes \mu(y)$. Ясно, что элементы подпространства

В частности, если число $n$ нечетное или $n$ четное и $\dim_\mathbb{Q} H^n(X,\mathbb{Q})\neq 2$, то существует класс Пуанкаре $\wp_0(H^n(X,\mathbb{Q}))$, ассоциированный с некоторой формой поляризации $\psi_{H^n(X,\mathbb{Q})}$ классической рациональной структуры Ходжа $H^n(X,\mathbb{Q})$, причем цикл Ходжа $\wp_0(H^n(X,\mathbb{Q}))$, рассматриваемый как (не обязательно алгебраическое) соответствие, дает изоморфизм $[\operatorname{Aut}(\psi^0_{H^n(X,\mathbb{Q})})]^0$-модулей $H^n(X,\mathbb{Q})^\vee \,\widetilde{\to}\, H^n(X,\mathbb{Q})$.

1.2.

Согласно сильной теореме Лефшеца и двойственности Пуанкаре билинейная форма

Если число $n$ нечетное или $n$ четное и $\dim_\mathbb{Q} H^n(X,\mathbb{Q})\neq 2$, то $1$-мерное $\mathbb{Q}$-пространство $[H^n(X,\mathbb{Q})\otimes H^n(X,\mathbb{Q})]^{\operatorname{Aut}(\Phi)^0}$ инвариантов диагонального действия группы $\operatorname{Aut}(\Phi)^0$ порождено циклом Ходжа $\wp(H^n(X,\mathbb{Q}))$, который снова называется классом Пуанкаре. Он определяет изоморфизм $[\operatorname{Aut}(\Phi)]^0$-модулей $H^n(X,\mathbb{Q})^\vee \,\widetilde{\to}\, H^n(X,\mathbb{Q})$, который является композицией

По контрасту с ситуацией п. 1.1, ограничение формы $\Phi$ на нетривиальную рациональную подструктуру Ходжа $V_\mathbb{Q}\subset H^n(X,\mathbb{Q})$ может быть вырожденным. Тем не менее, если ограничение формы $\Phi$ невырождено, то имеется разложение $\mathbb{Q}$-структур Ходжа [22; гл. IX, § 4, n$^0$ 1, следствие предложения 1]

1.3.

Всюду в дальнейшем мы будем обозначать через

Рассмотрим канонические диаграммы расслоенных произведений

Рассматривая в случае необходимости разветвленное накрытие $\widetilde{C}\to C$ и проективную модель Кюннемана $\widetilde{X}\to\widetilde{C}$ соответствующей модели Нерона $\widetilde{\mathcal M}\to\widetilde{C}$ общего схемного слоя канонической проекции $X\times_C\widetilde{C}\to\widetilde{C}$, мы можем считать в силу [17; п. 5.8], [18; п. 4.4, теорема 4.6] и [7; лемма 1.1], что любой особый слой $X_\delta$ является объединением гладких неприводимых компонент кратности $1$ с нормальными пересечениями. Можно также считать, что замыкание $G$ образа глобальной монодромии

По определению, абелева схема $\pi'\colon X'\to C'$ имеет тривиальный след, если для любого конечного разветвленного накрытия $\widetilde{C}\to C$ схема групп $\mathcal M\times_C\widetilde{C}\to\widetilde{C}$ не имеет нетривиальной постоянной абелевой подсхемы.

Можно считать, что след абелевой схемы $\pi'\colon X'\to C'$ тривиален (иначе многообразие $X$ рационально доминируется произведением трехмерного абелева многообразия и гладкой проективной кривой или произведением абелевой поверхности и эллиптической поверхности или произведением эллиптической кривой и трехмерного многообразия, расслоенного на абелевы поверхности (возможно, с вырождениями), так что для каждого фактора верна стандартная гипотеза [7], поэтому $B(X)$ верна в силу хорошо известной совместимости стандартной гипотезы с декартовыми произведениями [2; следствие 2.5] и [7; лемма 1.1]).

1.4.

Действительно, поскольку $R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}$ – поляризуемое семейство $\mathbb{Q}$-структур Ходжа веса $1$, то существует изоморфизм семейств $\mathbb{Q}$-структур Ходжа [19; п. 4.2.3]

Двойственность Пуанкаре на слоях гладкого морфизма $\pi'\colon X'\to C'$ дает изоморфизм локальных систем $R^5\pi'_\ast\mathbb{Q} \,\widetilde{\to}\, R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}$, поэтому

Заметим, что для любой нетривиальной абелевой подсхемы $J' \subset X'\to C'$ существует такое счетное подмножество $\Delta_{\text{countable}} \subset C'$, что для любой точки $s\in C'\setminus \Delta_{\text{countable}}$ замыкание образа представления монодромии

Предположим сначала, что абелево многообразие $X_\eta$ является произведением трех эллиптических кривых. Тогда стандартные аргументы [14; п. 1.3] показывают, что (1.4) легко следует из формулы Клебша–Гордона [21; гл. VIII, § 9, n$^0$ 4] для представлений простой алгебры Ли типа $A_1$.

Предположим, что абелево многообразие $X_\eta$ является произведением эллиптической кривой $E_\eta$ и абсолютно простой абелевой поверхности $F_\eta$. Тогда, как замечено выше, $E_\eta$ и $F_\eta$ не могут быть абелевыми многообразиями CM-типа. Это же верно для слоев $E_s$, $F_s$ над точкой $s\in C'\setminus \Delta_{\text{countable}}$ их моделей Нерона $E\to C$, $F\to C$. В рассматриваемом случае группа Ходжа $\operatorname{Hg}(E_s)$ является $\mathbb{Q}$-простой группой (с алгеброй Ли $\operatorname{Lie}\operatorname{Hg}(E_s)(\overline{\mathbb{Q}})$ типа $A_1$ [28; п. (2.1)]), группа Ходжа $\operatorname{Hg}(F_s)$ является $\mathbb{Q}$-простой группой [28; предложение (2.4)] (с алгеброй Ли $\operatorname{Lie}\operatorname{Hg}(F_s)(\overline{\mathbb{Q}})$ типа $C_2$ в случае $\operatorname{End}_\mathbb{C}(F_s)=\mathbb{Z}$, типа $A_1\times A_1$ в случае, когда $\operatorname{End}_\mathbb{C}(F_s)$ – порядок в вещественном квадратичном поле, типа $A_1$ в случае, когда $\operatorname{End}_\mathbb{C}(F_s)\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ – расщепляемая в точке $\infty$ кватернионная алгебра с делением над $\mathbb{Q}$, см. [28; п. (2.2)]). Поскольку алгебра Ли $\operatorname{Lie} G$ является идеалом в алгебре Ли $\operatorname{Lie}\operatorname{Hg}(X_s) \subset \operatorname{Lie}\operatorname{Hg}(E_s)\times\operatorname{Lie}\operatorname{Hg}(F_s)$ с сюръективными проекциями $\operatorname{Lie} G$ на $\operatorname{Lie}\operatorname{Hg}(E_s)$ и $\operatorname{Lie}\operatorname{Hg}(F_s)$ (в силу $\mathbb{Q}$-простоты групп $\operatorname{Hg}(E_s)$, $\operatorname{Hg}(F_s)$ и тривиальности следа абелева многообразия $X_\eta$), то пара

В случае (1.5) имеем: $\wedge^2E(\omega_1^{(1)})=E(0)$, $\wedge^2E(\omega_1^{(2)})=E(\omega_2^{(2)})+E(0)$, см. [21; гл. VIII, § 13, п. 3, лемма 2], $\wedge^3E(\omega_1^{(2)})=E(\omega_1^{(2)})^\vee= E(\omega_1^{(2)})$ в силу автодуальности невырожденного симплектического представления $E(\omega_1^{(2)})$ степени $4$, см. [21; гл. VIII, таблица 1], поэтому

В случае (1.6) имеем: $\wedge^2E(\omega_1^{(k)})=E(0)$, поэтому

В случае (1.7) формула Клебша–Гордона [21; гл. VIII, § 9, n$^0$ 4] дает равенство $E(\omega^{(2)}_1)\otimes_{\overline{\mathbb{Q}}} E(\omega^{(2)}_1)=E(2\omega^{(2)}_1)+ E(0)$, поэтому

Наконец, в случае (1.8) формула Клебша–Гордона дает равенства

Предположим, что абелево многообразие $X_\eta$ является абсолютно простым. Тогда для любой точки $s\in C'\setminus \Delta_{\text{countable}}$ многообразие $X_s$ не может быть абелевым многообразием CM-типа. Более того, тривиальность следа и равенство

В случае (1.10) имеем разложение $\wedge^3E(\omega_1)=E(\omega_3)+E(\omega_1)$, см. [21; гл. VIII, § 13, п. 3, лемма 2], поэтому

§ 2. Построение алгебраического изоморфизма рациональных когомологий степеней $6$ и $2$

2.1.

По построению общий схемный слой $\mathcal M_\eta$ модели Нерона является абелевым многообразием с главной поляризацией; следовательно, для любой точки $s\in C'$ абелево многообразие $X_s$ имеет главную поляризацию, определенную некоторым обильным дивизором $H_s$ на многообразии $X_s$. Принимая во внимание аргументы [3; § 4], мы можем считать, что существует жесткое расслоение Пуанкаре $\mathcal P'$ на абелевой схеме $X'\times_{C'}X'$, индуцирующее расслоение Пуанкаре $\mathcal P'_s$ на декартовом произведении $X_s\times X_s$ для любой точки $s\in C'$.

По теореме Делиня для любой точки $s\in C'$ вне некоторого счетного подмножества $\Delta_{\text{countable}}$, группа $G$ (определенная в п. 1.3) является нормальной подгруппой в группе Ходжа $\operatorname{Hg}(H^1(X_s,\mathbb{Q}))$ рациональной структуры Ходжа $H^1(X_s,\mathbb{Q})$, см. [26; теорема 7.3]. Мы фиксируем такую точку $s$ и будем называть ее общей в смысле Ходжа. С другой стороны, согласно результатам п. 1.2 имеем $\operatorname{Hg}(H^1(X_s,\mathbb{Q})) \hookrightarrow \operatorname{Sp}(H^1(X_s,\mathbb{Q}),\Phi_s)$. Значит,

Поскольку класс Пуанкаре $\wp(H^1(X_s,\mathbb{Q}))$ является образующей $1$-мерного подпространства

По теореме Делиня канонический морфизм $H^2(Y,\mathbb{Q})\to H^0(C',R^2\tau'_\ast\mathbb{Q})$ является сюръективным морфизмом $\mathbb{Q}$-структур Ходжа [19; теорема 4.1.1, доказательство следствия 4.1.2]. Поскольку $\Lambda'_{1,1}\in H^0(C',R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Q} R^1\pi'_\ast\mathbb{Q})\subset H^0(C',R^2\tau'_\ast\mathbb{Q})$ – элемент типа Ходжа $(1,1)$, то из теоремы Лефшеца о дивизорах следует, что существует $\mathbb{Q}$-дивизор $D^{(1)}$ на многообразии $Y$, для которого образ класса

2.2.

По построению, абелева схема $\pi'\colon X'\to C'$ относительной размерности $3$ не содержит нетривиальных постоянных абелевых подсхем, поэтому в силу [19; следствие 4.4.13] имеется канонический изоморфизм $\operatorname{End}_{C'}(X')\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q} \,\widetilde{\to}\, \operatorname{End}_{C'}(R^1\pi'_\ast\mathbb{Q})$, где пространство $\operatorname{End}_{C'}(X')\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}$ совпадает с компонентой типа $(0,0)$ рациональной структуры Ходжа $\operatorname{End}_{C'}(R^1\pi'_\ast\mathbb{Q})$ веса $0$, см. [19; п. 4.4.6]. С другой стороны, поляризация абелевой схемы $\pi'\colon X'\to C'$ определяет изоморфизм семейств рациональных структур Ходжа $[R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}]^\vee \,\widetilde{\to}\, R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}(1)$, см. [19; доказательство леммы 4.2.3], поэтому из существования морфизмов $\mathbb{Q}$-структур Ходжа

В частности, если $\Delta=\varnothing$, то $\mathbb{Q}$-пространство

2.3.

Будем предполагать в дальнейшем, что $\Delta\neq\varnothing$. Тогда существует особый слой $X_\delta$ (компонентами которого являются гладкие многообразия кратности $1$ с нормальными пересечениями) и, следовательно, $\operatorname{rank}\operatorname{NS}(X)\geqslant 3$, см. [13; формула (2.24)].

Пусть $T^2_\mathbb{Q}(X)$ – сумма всех неприводимых $\mathbb{Q}$-подструктур Ходжа размерности больше $1$ в классической рациональной структуре Ходжа $H^2(X,\mathbb{Q})$. По теореме Лефшеца о дивизорах мы имеем каноническое разложение

В обозначениях п. 1.3 и п. 2.1 компонента Кюннета $u_{2,2}\in H^2(X,\mathbb{Q})\otimes_\mathbb{Q} H^2(X,\mathbb{Q})$ алгебраического класса

С другой стороны, $T^2_\mathbb{Q}(X)\,{\smile}\,\operatorname{NS}_\mathbb{Q}(X)^{\smile 3}=0$, потому что иначе эта $\mathbb{Q}$-структура Ходжа содержит неприводимую $\mathbb{Q}$-подструктуру Ходжа размерности больше $1$, что противоречит равенству $\dim_\mathbb{Q} H^8(X,\mathbb{Q})=1$. Из этого факта следует, что ограничение невырожденной билинейной формы

2.4.

Лемма. Пусть $X$ – гладкое $d$-мерное комплексное проективное многообразие, $\pi\colon X\to C$ – сюръективный морфизм на гладкую кривую $C$, любой геометрический слой $X_s$ является объединением гладких многообразий кратности $1$ с нормальными пересечениями, $\pi'\colon X'\to C'$ – гладкая часть морфизма $\pi$. Если пространство $H^0(C',R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})$ инвариантных циклов является $\mathbb{Q}$- структурой Ходжа типа $(1,1)$ и для общего геометрического слоя $X_{\overline\eta}$ верна стандартная гипотеза $B(X_{\overline\eta})$ типа Лефшеца, то существует алгебраический изоморфизм $H^{2d-2}(X,\mathbb{Q}) \,\widetilde{\to}\, H^2(X,\mathbb{Q})$.

Доказательство этой леммы дословно повторяет доказательство теоремы 1.2 в [15], где разобран случай $d=3$.

2.5.

По доказанному в п. 2.2 $\mathbb{Q}$-структура Ходжа $H^0(C',R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})$ имеет тип $(1,1)$, поэтому стандартные алгоритмы п. 1.2 в [15] показывают, что в рассматриваемом случае алгебраический изоморфизм, о котором идет речь в лемме 2.4, можно определить формулой

§ 3. Построение алгебраического изоморфизма рациональных когомологий степеней $5$ и $3$

3.1.

Спектральные последовательности Лере $E_2^{p,q}(\pi)=H^p(C,R^q\pi_\ast\mathbb{Q})$ и $E_2^{p,q}(\tau\sigma)=H^p(C,R^q(\tau\sigma)_\ast\mathbb{Q})$ вырождаются: $E_2^{p,q}=E_\infty^{p,q}$, см. [24; следствие (15.15)], поэтому в обозначениях п. 1.3 для любого натурального числа $n$ имеются точные последовательности $\mathbb{Q}$-структур Ходжа [13; формула (2.4)]

3.2.

Мы утверждаем, что для любого нечетного натурального числа $n$ имеется равенство

Действительно, поляризация на многообразии $X_s$ определяет изоморфизм рациональных структур Ходжа $H^a(X_s,\mathbb{Q})^\vee \,\widetilde{\to}\, H^a(X_s,\mathbb{Q})(a)$, см. [19; п. 4.2.3], поэтому в силу формулы Кюннета мы имеем изоморфизмы

Предположим сначала, что абелево многообразие $X_\eta$ является произведением трех эллиптических кривых. Тогда стандартные аргументы [14; п. 1.3] показывают, что формула (3.5) легко следует из формулы Клебша–Гордона [21; гл. VIII, § 9, n$^0$ 4] для представлений простой алгебры Ли типа $A_1$.

Предположим, что абелево многообразие $X_\eta$ является произведением эллиптической кривой $E_\eta$ и абсолютно простой абелевой поверхности $F_\eta$. Тогда в случае (1.5) имеем:

Предположим, наконец, что абелево многообразие $X_\eta$ является абсолютно простым. Тогда в случае (1.10) имеем:

3.3.

Известно, что для любой точки $s\in C'$ соответствие $\operatorname{c}_1(\mathcal P'_s)^{\smile\,2}$ дает алгебраический изоморфизм $H^4(X_s,\mathbb{Q})\,\widetilde{\to}\,H^2(X_s,\mathbb{Q})$, см. [2; лемма 2A12, замечание 2A13].

С другой стороны, естественные $\smile$-произведения (вместе с поляризацией локальной системы $R^n(\tau'\sigma')_\ast\mathbb{Q}$) определяют невырожденное спаривание [24; предложение (10.5)]

3.4.

Из аргументов п. 1.2, формулы (3.6) и аргументов п. 2.6 в [14] следует существование канонических (не зависящих от выбора обильного дивизора $H$ на многообразии $X$) разложений $\mathbb{Q}$-структур Ходжа

Аргументы п. 2.7 в [14] показывают, что в обозначениях п. 1.2 класс Пуанкаре $\wp(K_{3X}^\perp)$ дает изоморфизм

3.5.

Лемма. Имеется равенство $K_{3X}^\perp=(i_\Delta f)_\ast\,H^1(Z,\mathbb{Q})$.

Доказательство. Проверим сначала, что

$$ \begin{equation} (i_\Delta f)_\ast\,H^1(Z,\mathbb{Q})\,{\smile}\,K_{5X}=0. \end{equation} \tag{3.12} $$

Неприводимые компоненты гладкого многообразия $Z$ естественным образом отождествляются с неприводимыми компонентами $X_{\delta i}$ дивизора $\pi^{-1}(\Delta)=\sum_{\delta\in\Delta}X_{\delta}$. Обозначим через $\iota_{X_{\delta i}/X}\colon X_{\delta i} \hookrightarrow X$, $\iota_{X_{\delta i}/Z}\colon X_{\delta i} \hookrightarrow Z$ канонические вложения. Из коммутативности диаграммы

канонических морфизмов следует равенство

$$ \begin{equation} (i_\Delta f)_\ast(\iota_{X_{\delta i}/Z})_\ast|_{H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q})}= \iota_{X_{\delta i}/X\ast}|_{H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q})}, \end{equation} \tag{3.13} $$

поэтому для доказательства формулы (3.12) достаточно проверить, что

$$ \begin{equation*} \iota_{X_{\delta i}/X\ast}\,H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q})\,{\smile}\,K_{5X}=0. \end{equation*} \notag $$

По определению, оператор $\iota_{X_{\delta i}/X\ast}$ сопряжен оператору $\iota_{X_{\delta i}/X}^\ast$, см. [2; п. 1.2.A], поэтому

$$ \begin{equation*} \langle\iota_{X_{\delta i}/X\ast}\,H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q})\,{\smile}\,K_{5X}\rangle =\langle H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q})\,{\smile}\,\iota_{X_{\delta i}/X}^\ast K_{5X}\rangle \end{equation*} \notag $$

и, следовательно, достаточно проверить равенство

$$ \begin{equation} \iota_{X_{\delta i}/X}^\ast K_{5X}=0. \end{equation} \tag{3.14} $$

Морфизм $\pi$ собственный, поэтому слой пучка $R^n\pi_\ast\mathbb{Q}$ над точкой $s\in C$ совпадает с пространством $H^n(X_s,\mathbb{Q})$, см. [30; гл. II, § 4, замечание 4.17.1]. С другой стороны, спектральная последовательность Лере функториальная, поэтому гомоморфизм ограничения $\iota_{X_s/X}^\ast\colon H^n(X,\mathbb{Q})\to H^n(X_s,\mathbb{Q})$ трансформирует спектральную последовательность Лере $E_2^{p,q}(\pi)=H^p(C,R^q\pi_\ast\mathbb{Q})$ в спектральную последовательность Лере, соответствующую морфизму $X_s\to s$; следовательно, гомоморфизм $\iota_{X_s/X}^\ast$ совпадает с композицией (см. [31; гл. 9, начало § 5], [34; т. II, п. 4.3.1, с. 118])

$$ \begin{equation*} H^n(X,\mathbb{Q})=F^0H^n(X,\mathbb{Q})\to E_\infty^{0,n}(\pi)\to E_2^{0,n}(\pi)=H^0(C,R^n\pi_\ast\mathbb{Q})\to H^n(X_s,\mathbb{Q}). \end{equation*} \notag $$

Значит, отображение $\iota_{X_s/X}^\ast$ является композицией канонических отображений

$$ \begin{equation*} H^n(X,\mathbb{Q})\to H^0(C,R^n\pi_\ast\mathbb{Q}) \hookrightarrow \prod_{s\in C}H^n(X_s,\mathbb{Q})\to H^n(X_s,\mathbb{Q}) \end{equation*} \notag $$

и, следовательно, для всех элементов $\omega\in\operatorname{Ker}[H^n(X,\mathbb{Q})\to H^0(C,R^n\pi_\ast\mathbb{Q})]$, мы имеем равенство $\iota_{X_s/X}^\ast(\omega)=0$.

Поскольку $\iota^\ast_{X_{\delta i}/X}=\iota^\ast_{X_{\delta i}/X_\delta}\,\iota^\ast_{X_{\delta}/X}$ и $\iota_{X_\delta/X}^\ast K_{5X}=0$, то мы видим, что формулы (3.14) и (3.12) верны.

Имеется точная последовательность рациональных структур Ходжа [24; с. 473]

$$ \begin{equation*} 0\to\mathcal A_3\to H^0(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})\to H^0(C,j_\ast R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})\to 0, \end{equation*} \notag $$

так что $H^0(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q})=\mathcal A_3$ в силу очевидного равенства

$$ \begin{equation*} H^0(C,j_\ast R^3\pi'_\ast\mathbb{Q})=H^0(C',R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}) \end{equation*} \notag $$

и формулы (1.2).

Обозначим через $D(\delta)\subset C$ маленький открытый диск с центром в точке $\delta\in\Delta$. Положим $X_{D(\delta)}=X\times_CD(\delta)$. Вырожденные слои морфизма $\pi$ являются объединениями гладких $3$-мерных многообразий кратности $1$ с нормальными пересечениями, поэтому согласно [24; третья строка снизу на с. 473] имеем:

$$ \begin{equation*} \mathcal A_3=\bigoplus_{\delta\in\Delta}\operatorname{Ker}[H^3(X_\delta,\mathbb{Q})\to R^3\pi'_\ast\mathbb{Q}]. \end{equation*} \notag $$

В силу теоремы о локально инвариантных циклах [24; предложение (15.12)] для любой точки $s$ проколотого диска $D^\ast(\delta)$ с центром $\delta$ композиция

$$ \begin{equation*} H^3(X_\delta,\mathbb{Q}) \,\widetilde{\to}\, H^3(X_{D(\delta)},\mathbb{Q})\to H^3(X_s,\mathbb{Q}) \end{equation*} \notag $$

изоморфизма деформационной ретракции (определенного отображением Клеменса многообразия $X_{D(\delta)}$ на вырожденный слой $X_\delta$, согласованным с радиальной ретракцией $D(\delta)\to\{\delta\}$, см. [25], [32; гл. 5, п. 1.2, п. 3.3]) и ограничения имеет в качестве образа пространство классов когомологий, инвариантных относительно локальной монодромии [24; доказательство предложения (15.12)]. Другими словами, имеется сюръективная композиция

$$ \begin{equation*} H^3(X_\delta,\mathbb{Q}) \,\widetilde{\to}\, H^3(X_{D(\delta)},\mathbb{Q})\to H^3(X_s,\mathbb{Q})^{\pi_1(D^\ast(\delta),s)}. \end{equation*} \notag $$

Значит,

$$ \begin{equation} H^0(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}) =\bigoplus_{\delta\in\Delta}\operatorname{Ker}[H^3(X_\delta,\mathbb{Q})\to H^3(X_s,\mathbb{Q})^{\pi_1(D^\ast(\delta),s)}]. \end{equation} \tag{3.15} $$

Из (3.12), (3.9), (3.7) и (3.15) следует, что

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &(i_\Delta f)_\ast\,H^1(Z,\mathbb{Q})\subset K_{3X}^\perp \,\widetilde{\to}\, H^0(C,R^3\pi_\ast\mathbb{Q}) \nonumber \\ &\qquad=\bigoplus_{\delta\in\Delta}\operatorname{Ker}[H^3(X_\delta,\mathbb{Q})\to H^3(X_s,\mathbb{Q})^{\pi_1(D^\ast(\delta),s)}]. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.16} $$

Пусть $Z_\delta$ – нормализация дивизора $\pi^{-1}(\delta)=X_\delta$. Из (3.16) следует, что для доказательства леммы достаточно проверить равенство

$$ \begin{equation*} (i_\Delta f)_\ast(\iota_{Z_\delta/Z})_\ast\,H^1(Z_\delta,\mathbb{Q}) =\operatorname{Ker}[H^3(X_\delta,\mathbb{Q})\to H^3(X_s,\mathbb{Q})^{\pi_1(D^\ast(\delta),s)}] \end{equation*} \notag $$

для любой точки $\delta\in\Delta$.

Хорошо известно, что имеется длинная точная последовательность когомологий с компактными носителями [33; гл. III, § 1, замечание 1.30]

$$ \begin{equation*} \dots\to H^5_{\mathrm{c}}(X_{D(\delta)}\setminus\pi^{-1}(\delta),\mathbb{Q}) \to H^5_{\mathrm{c}}(X_{D(\delta)},\mathbb{Q})\to H^5_{\mathrm{c}}(\pi^{-1}(\delta),\mathbb{Q}) \to\cdots, \end{equation*} \notag $$

поэтому двойственность Пуанкаре [33; гл. VI, § 11, следствие 11.2] дает точную последовательность [23; следствие (8.2.8)]

$$ \begin{equation} H^1(Z_\delta,\mathbb{Q}) \xrightarrow{(i_\Delta f)_\ast(\iota_{Z_\delta/Z})_\ast|_{H^1(Z_\delta,\mathbb{Q})}} H^3(X_{D(\delta)},\mathbb{Q})\to H^3(X_{D^\ast(\delta)},\mathbb{Q}). \end{equation} \tag{3.17} $$

Значит, теория Клеменса (см. [25], [32; гл. 5, п. 1.2, п. 3.3]), теорема о локально инвариантных циклах [24; доказательство предложения (15.12)] и (3.17) дают равенства

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, (i_\Delta f)_\ast\,(\iota_{Z_\delta/Z})_\ast\,H^1(Z_\delta,\mathbb{Q}) &=\operatorname{Ker}[H^3(X_{D(\delta)},\mathbb{Q})\to H^3(X_{D^\ast(\delta)},\mathbb{Q})] \\ &=\operatorname{Ker}[H^3(X_\delta,\mathbb{Q})\to H^3(X_s,\mathbb{Q})^{\pi_1(D^\ast(\delta),s)}]. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Лемма доказана.

3.6.

Лемма. Класс Пуанкаре $\wp(K_{3X}^\perp)$ алгебраический.

3.7.

Для любой точки $\delta\in\Delta=\{\delta\in C \,| \,r_\delta>0\}$ положим

В силу универсального свойства модели Нерона [16; (1.1.2)] имеется канонический изоморфизм

3.8.

Лемма. Линейный оператор $[p^{m!}_{X/C}]^\ast\colon H^3(X,\mathbb{Q})\to H^3(X,\mathbb{Q})$ сохраняет разложение $H^3(X,\mathbb{Q})=K_{3X}\oplus K_{3X}^\perp$, причем он индуцирует умножение на число $p^{2m!}$ в пространстве $K_{3X}$ и умножение на число $p^{m!}$ в пространстве $K_{3X}^\perp$.

Доказательство. В силу теоремы о локально инвариантных циклах каноническое отображение $R^2\pi_\ast\mathbb{Q}\to j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q}$ является сюръективным с ядром, сосредоточенным на конечном множестве $\Delta$ (см. [24; предложение (15.12)], [25; п. (3.7)]), поэтому в силу (3.3) имеются канонические отождествления

$$ \begin{equation} K_{3X}=H^1(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q})=H^1(C,j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q}). \end{equation} \tag{3.20} $$

Аналогично для структурного морфизма $\widetilde{\pi}\colon \widetilde{X}\to C$ получаем каноническое отождествление

$$ \begin{equation} H^1(C,R^2\widetilde{\pi}_\ast\mathbb{Q})=H^1(C,j_\ast R^2\widetilde{\pi}'_\ast\mathbb{Q}). \end{equation} \tag{3.21} $$

Коммутативная диаграмма рациональных отображений (3.19) дает коммутативную диаграмму $C'$-морфизмов

так что для любого открытого подмножества $U\subset C'$ определена коммутативная диаграмма

которая в свою очередь дает коммутативную диаграмму локальных систем

$(3.22)$

Для любого слоя $X_s$ абелевой схемы $\pi'\colon X'\to C'$ изогения умножения на число $p^{m!}$ индуцирует умножение на $p^{m!}$ в пространстве $H^1(X_s,\mathbb{Q})$, см. [2; лемма 2A3, п. 2A11]. Следовательно, каноническое отображение в нижней строке диаграммы (3.22) является умножением на число $p^{2m!}$ в силу равенства $R^2\pi'_\ast\mathbb{Q}=\wedge^2R^1\pi'_\ast\mathbb{Q}$, так что

$$ \begin{equation} {\nu'}^\ast=p^{2m!}{\sigma'}^\ast. \end{equation} \tag{3.23} $$

Очевидно, что изоморфизм ${\sigma'}^\ast\colon R^2\pi'_\ast\mathbb{Q} \,\widetilde{\to}\, R^2\widetilde{\pi}'_\ast\mathbb{Q}$ определяет изоморфизм

$$ \begin{equation*} j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q} \,\widetilde{\to}\, j_\ast R^2\widetilde{\pi}'_\ast\mathbb{Q} \end{equation*} \notag $$

и соответствующий изоморфизм когомологий

$$ \begin{equation*} H^1(C,j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q}) \,\widetilde{\to}\, H^1(C,j_\ast R^2\widetilde{\pi}'_\ast\mathbb{Q}), \end{equation*} \notag $$

который в силу (3.20), (3.21) имеет вид $\sigma^\ast\colon H^1(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q}) \,\widetilde{\to}\, H^1(C,R^2\widetilde{\pi}_\ast\mathbb{Q})$. С другой стороны, отображение ${\nu'}^\ast\colon R^2\pi'_\ast\mathbb{Q}\to R^2\widetilde{\pi}'_\ast\mathbb{Q}$ определяет отображение

$$ \begin{equation*} j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q}\to j_\ast R^2\widetilde{\pi}'_\ast\mathbb{Q} \end{equation*} \notag $$

и соответствующее отображение когомологий

$$ \begin{equation*} H^1(C,j_\ast R^2\pi'_\ast\mathbb{Q})\to H^1(C,j_\ast R^2\widetilde{\pi}'_\ast\mathbb{Q}), \end{equation*} \notag $$

которое в силу (3.20), (3.21) и (3.23) имеет вид

$$ \begin{equation*} \nu^\ast=p^{2m!}\sigma^\ast\colon H^1(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q})\to H^1(C,R^2\widetilde{\pi}_\ast\mathbb{Q}). \end{equation*} \notag $$

Хорошо известная формула $\sigma_\ast\sigma^\ast=\operatorname{id}_{H^3(X,\mathbb{Q})}$ показывает, что линейный оператор

$$ \begin{equation*} [p^{m!}_{X/C}]^\ast=\sigma_\ast\nu^\ast\colon H^3(X,\mathbb{Q})\to H^3(X,\mathbb{Q}) \end{equation*} \notag $$

индуцирует умножение на число $p^{2m!}$ в подпространстве $K_{3X}\,{=}\,H^1(C,R^2\pi_\ast\mathbb{Q})\subset H^3(X,\mathbb{Q})$.

Известно, что для любого гладкого комплексного проективного многообразия $W$ многообразие Пикара

$$ \begin{equation*} \operatorname{Pic}^0(W)=H^{0,1}(W,\mathbb{C})/\operatorname{Im}[H^1(W,\mathbb{Z})\to H^{0,1}(W,\mathbb{C})] \end{equation*} \notag $$

и двойственное к нему многообразие Альбанезе (см. [35; гл. II, § 3], [36; гл. 2, конец § 6], [37; с. 171, 172])

$$ \begin{equation*} \operatorname{Alb}(W)=H^0(W,\Omega^1_W)^\vee/(H_1(W,\mathbb{Z})/\operatorname{tors}) \end{equation*} \notag $$

не изменяются при переходе к гладкому проективному многообразию, бирационально эквивалентному многообразию $W$, потому что моноидальное преобразование $f\colon W'\to W$ с центром в замкнутом по Зарискому гладком подмногообразии $D\hookrightarrow W$ определяет канонический изоморфизм структур Ходжа $H^1(W,\mathbb{Z}) \underset{\widetilde{\qquad}}{\xrightarrow{f^\ast}} H^1(W',\mathbb{Z})$ [37; предложение 13.1] и бирациональное отображение проективных неособых комплексных многообразий является композицией проективных раздутий и проективных стягиваний с гладкими центрами [38; теорема 0.1.1].

Далее мы рассмотрим действие оператора $[p^{m!}_{X/C}]^\ast$ в пространстве

$$ \begin{equation*} K_{3X}^\perp=\sum_{\delta\in\Delta} (i_\Delta f)_\ast\,(\iota_{Z_\delta/Z})_\ast H^1(Z_\delta,\mathbb{Q}). \end{equation*} \notag $$

Если торический ранг $r_\delta$ равен $3$, то абелево многообразие $X_\eta$ имеет вполне вырожденную редукцию мультипликативного типа в точке $\delta$. Поскольку в этом случае любая неприводимая компонента $X_{\delta i}$ слоя $X_\delta$ является замыканием тора $\operatorname{Gm}^3$ в топологии Зариского многообразия $X$, то $H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q})=0$ и, следовательно, $H^1(Z_\delta,\mathbb{Q})=0$.

Далее мы будем считать, что $r_\delta\in\{1,2\}$. Слой $X_\delta$ является объединением гладких $3$-мерных многообразий $X_{\delta i}$ кратности $1$ с нормальными пересечениями, причем многообразие $X_{\delta i}$ является замыканием неприводимой компоненты $\mathcal M_{\delta i}$ алгебраической группы $\mathcal M_\delta$ в топологии Зариского многообразия $X$. С другой стороны,

$$ \begin{equation*} \mathcal M_{\delta i}=a_{\delta i}\mathcal M_\delta^0 \end{equation*} \notag $$

для некоторого элемента $a_{\delta i}\in\mathcal M_{\delta i}$, поэтому многообразие $\mathcal M_{\delta i}$ изоморфно связной компоненте $\mathcal M_\delta^0$ нейтрального элемента группы $\mathcal M_\delta$, которая включается в точную последовательность алгебраических групп

$$ \begin{equation} 1\to\operatorname{Gm}^{r_\delta}\to\mathcal M_\delta^0 \xrightarrow{f_\delta} A_\delta\to 0, \end{equation} \tag{3.24} $$

где $A_\delta$ – некоторая эллиптическая кривая или абелева поверхность.

Всюду в дальнейшем через $\operatorname{alb}_{\delta i}\colon X_{\delta i}\to\operatorname{Alb}(X_{\delta i})$ обозначается отображение Альбанезе, которое определено однозначно, с точностью до сдвига на абелевом многообразии $\operatorname{Alb}(X_{\delta i})$, см. [35; гл. II, § 3, теорема 11].

Можно считать, что $X_{\delta 1}=\overline{\mathcal M_\delta^0}$. Известно, что каноническое рациональное отображение $F_\delta\colon X_{\delta 1}\dashrightarrow A_\delta$, определенное расширением (3.24), в действительности является регулярным [35; гл. II, § 1, теорема 2]. Из (3.24) следует, что слои морфизма $f_\delta$ изоморфны тору $\operatorname{Gm}^{r_\delta}$. Поэтому для любого морфизма $\Phi\colon X_{\delta 1}\to A$ в произвольное абелево многообразие $A$ ограничение морфизма $\Phi$ на любой слой морфизма $f_\delta$ является постоянным отображением [35; гл. II, § 1, с. 25, следствие]. Значит, морфизм $\Phi|_{\mathcal M_\delta^0}$ разлагается в композицию $\mathcal M_\delta^0 \xrightarrow{f_\delta} A_\delta\to A$ и, следовательно, морфизм $\Phi$ является композицией $\overline{\mathcal M_\delta^0} \xrightarrow{F_\delta} A_\delta\to A$. Поэтому $\operatorname{Alb}(X_{\delta 1})=A_\delta$. Поскольку многообразие Альбанезе не изменяется при переходе к гладкому проективному многообразию $X_{\delta i}$, бирационально эквивалентному многообразию $X_{\delta 1}$, то

$$ \begin{equation} \forall\, i \quad\operatorname{Alb}(X_{\delta i})=A_\delta. \end{equation} \tag{3.25} $$

Пусть $X^{\operatorname{sm}}$ – множество всех точек $x\in X$, в которых структурный морфизм $\pi\colon X\to C$ является гладким. Очевидно, что специальный слой $X^{\operatorname{sm}}_\delta$ – несвязное объединение полуабелевых схем $\mathcal M_{\delta i}$, изоморфных многообразию $\mathcal M^0_\delta$, см. [18; п. 4.4]. Поскольку редукции полустабильные в смысле Гротендика, то для любого разветвленного накрытия $\widetilde{C}\to C$ связная компонента нейтрального элемента специального слоя $\mathcal M_\delta$ модели Нерона $\mathcal M\to C$ изоморфна связной компоненте нейтрального элемента специального слоя $\widetilde{\mathcal M}_\delta$ модели Нерона $\widetilde{\mathcal M}\to\widetilde{C}$, см. [16; следствия 3.3, 3.9]; в частности, все неприводимые компоненты $\widetilde{X}_{\delta j}$ специального слоя компактификации Кюннемана модели Нерона $\widetilde{\mathcal M}\to\widetilde{C}$ бирационально эквивалентны многообразию $X_{\delta i}$. Следовательно, равенства (3.25) сохраняются при замене базы $\widetilde{C}\to C$.

Каноническая сюръекция $f_\delta\colon \mathcal M^0_\delta\to A_\delta$ продолжается до сюръективного морфизма $F_\delta\colon X_{\delta 1}\to A_\delta$, который в свою очередь дает инъекцию

$$ \begin{equation*} F_\delta^\ast\colon H^1(A_\delta,\mathbb{Q}) \hookrightarrow H^1(X_{\delta 1},\mathbb{Q}), \end{equation*} \notag $$

см. [2; предложение 1.2.4], так что в действительности из (3.25) следует, что инъекция $F_\delta^\ast$ является изоморфизмом

$$ \begin{equation} H^1(A_\delta,\mathbb{Q}) \,\widetilde{\to}\, H^1(X_{\delta 1},\mathbb{Q}). \end{equation} \tag{3.26} $$

Поскольку пространство $H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q})$ не изменяется при переходе к многообразию $X_{\delta 1}$, бирационально эквивалентному многообразию $X_{\delta i}$, то (3.25), (3.26) и точная последовательность

$$ \begin{equation*} 0\to H^1(\operatorname{Alb}(X_{\delta i}),\mathbb{Q})\to H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q})\to H^0(X_{\delta i},R^1\operatorname{alb}_{\delta i\ast}\mathbb{Q}), \end{equation*} \notag $$

определенная спектральной последовательностью Лере

$$ \begin{equation*} E_2^{p,q}(\operatorname{alb}_{\delta i})= H^p(\operatorname{Alb}(X_{\delta i}),R^q\operatorname{alb}_{\delta i\ast}\mathbb{Q}) \end{equation*} \notag $$

отображения Альбанезе $\operatorname{alb}_{\delta i}$, дают канонический изоморфизм рациональных структур Ходжа

$$ \begin{equation} \operatorname{alb}^\ast_{\delta i}\colon H^1(\operatorname{Alb}(X_{\delta i}),\mathbb{Q}) \,\widetilde{\to}\, H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q}). \end{equation} \tag{3.27} $$

Наконец, отображение $\operatorname{alb}_{\delta i}$ включается в коммутативную диаграмму рациональных отображений

$(3.28)$

где для всех $x_{\delta i}\in \mathcal M_{\delta i}$ имеем:

$$ \begin{equation*} \operatorname{alb}_{\delta 1}[\times a_{\delta i}^{-1}](x_{\delta i})=(\operatorname{alb}_{\delta 1}[\times a_{\delta i}^{-1}])_\ast \operatorname{alb}_{\delta i}(x_{\delta i})+c_{\delta 1}, \end{equation*} \notag $$

$c_{\delta 1}\in\operatorname{Alb}(X_{\delta 1})$, $(\operatorname{alb}_{\delta 1}[\times a_{\delta i}^{-1}])_\ast$ – канонический изоморфизм абелевых многообразий [35; гл. II, § 3, с. 41], определенный в силу универсального свойства отображения Альбанезе регулярным [35; гл. II, § 1, теорема 2] морфизмом

$$ \begin{equation*} \operatorname{alb}_{\delta 1}[\times a_{\delta i}^{-1}]\colon X_{\delta i}\to \operatorname{Alb}(X_{\delta 1}). \end{equation*} \notag $$

Из (3.28) мы получаем коммутативную диаграмму изоморфизмов

$(3.29)$

определяющую изоморфизм $[\times a_{\delta i}^{-1}]^\ast$ и не зависящую от выбора точки $c_{\delta 1}$, потому что сдвиг $z\,{\mapsto}\, z\,{+}\,c_{\delta 1}$ на многообразии Альбанезе $\operatorname{Alb}(X_{\delta 1})$ действует тождественно на пространстве $H^1(\operatorname{Alb}(X_{\delta 1}),\mathbb{C})$, порожденном дифференциалами $dz_i$, $\overline{dz_i}$ ($i=1,\dots,\dim_\mathbb{C}\operatorname{Alb}(X_{\delta 1})$) в терминах некоторой решетки $L_{\delta 1}\hookrightarrow \mathbb{C}^{\dim_\mathbb{C}\operatorname{Alb}(X_{\delta 1})}$ и канонических координат $z_i$ ($i=1,\dots,\dim_\mathbb{C}\operatorname{Alb}(X_{\delta 1})$) на многообразии

$$ \begin{equation*} \mathbb{C}^{\dim_\mathbb{C}\operatorname{Alb}(X_{\delta 1})}/L_{\delta 1}= \operatorname{Alb}(X_{\delta 1}). \end{equation*} \notag $$

Рассмотрим коммутативные диаграммы с точными строками

$(3.30)$

$(3.31)$

где $\mathcal M_\delta/\mathcal M^0_\delta$ – конечная группа (порядка $m_\delta$) связных компонент алгебраической группы $\mathcal M_\delta$, см. [16; п. (1.1.5)]. Очевидная сюръективность канонических отображений ${p^{m!}_{X/C}|_{\operatorname{Gm}^{r_\delta}}}$, $A_\delta \xrightarrow{\times p^{m!}} A_\delta$ и соответствующая диаграмме (3.30) точная последовательность змеевидной диаграммы [39; § 1, предложение 2] показывают, что каноническое отображение ${p^{m!}_{X/C}|_{\mathcal M^0_\delta}}$ сюръективное. С другой стороны, умножение на обратимый в кольце $\mathbb{Z}/m_\delta\mathbb{Z}$ элемент $p\ \operatorname{mod} m_\delta$ задает перестановку элементов конечной группы $\mathcal M_\delta/\mathcal M^0_\delta$, так что по теореме Лагранжа умножение на элемент $p^{m!}\ \operatorname{mod} m_\delta$ является тождественной биекцией множества $\mathcal M_\delta/\mathcal M^0_\delta$. Поэтому из коммутативности диаграммы (3.31), точности соответствующей последовательности змеевидной диаграммы и из сюръективности морфизма ${p^{m!}_{X/C}|_{\mathcal M^0_\delta}}$ следует, что морфизм $p^{m!}_{X/C}|_{\mathcal M_\delta}$ сюръективен, причем

$$ \begin{equation} (\forall\, i)\quad {p^{m!}_{X/C}}(\mathcal M_{\delta i})=\mathcal M_{\delta i}. \end{equation} \tag{3.32} $$

Имеется коммутативная диаграмма

$(3.33)$

разрешения неопределенностей рационального отображения $p^{m!}_{X/C}|_{X_{\delta i}}$, где морфизм $\sigma_{\delta i}$ является композицией моноидальных преобразований с неособыми центрами, лежащими над многообразием $X_{\delta i}\setminus\mathcal M_\delta$, см. [38; теорема 0.1.1].

Для любого элемента $x_{\delta 1}\in\mathcal M_{\delta 1}$ имеем

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, a_{\delta i}x_{\delta 1}\in\mathcal M_{\delta i}, \\ p^{m!}_{X/C}|_{X_{\delta i}}(a_{\delta i}x_{\delta 1})=(a_{\delta i}x_{\delta 1})^{p^{m!}}= a_{\delta i}^{p^{m!}}x_{\delta 1}^{p^{m!}}= p^{m!}_{X/C}|_{X_{\delta i}}(a_{\delta i})p^{m!}_{X/C}|_{X_{\delta 1}}(x_{\delta 1})\in\mathcal M_{\delta i}, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

причем из (3.32) следует, что

$$ \begin{equation*} p^{m!}_{X/C}|_{X_{\delta i}}(a_{\delta i})=a_{\delta i}b_{\delta 1} \end{equation*} \notag $$

для некоторого элемента $b_{\delta 1}\in\mathcal M_{\delta 1}$. Поэтому согласно (3.25) диаграмму (3.33) можно расширить до коммутативной диаграммы рациональных отображений

которая в силу (3.25), (3.27) и (3.29) дает коммутативную диаграмму изоморфизмов рациональных структур Ходжа

$(3.34)$

Рассмотрим морфизм $\varphi_{\delta i}\colon X_{\delta i}\to A_\delta$, являющийся композицией рациональных отображений

Очевидно, что композиция рациональных отображений

является морфизмом и принимает вид

$$ \begin{equation*} X_{\delta i} \xrightarrow{\varphi_{\delta i}} A_\delta\, \xrightarrow{z\,{\mapsto}\, z-f_\delta(b_{\delta 1})}\,A_\delta, \end{equation*} \notag $$

где отображение $f_\delta$ определено точной последовательностью (3.24) алгебраических групп. С другой стороны, принимая во внимание комментарий к формуле (3.29), легко видеть, что сдвиг $A_\delta\,\xrightarrow{z\,{\mapsto}\, z-f_\delta(b_{\delta 1})}\,A_\delta$ индуцирует тождественное отображение пространства $H^1(A_\delta,\mathbb{Q})$, поэтому из коммутативности диаграммы (3.34) и из (3.25), (3.26) следует существование коммутативной диаграммы

$$ \begin{equation*} \begin{matrix} H^1(W_{\delta i},\mathbb{Q})\\ \quad\simeq\uparrow^{[\sigma_{\delta i}]^\ast}&\quad \, \nwarrow^{[\nu_{\delta i}]^\ast}\\ H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q}) &\,& H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q})\\ \simeq\uparrow^{\varphi_{\delta i}^\ast}&\,&\simeq\uparrow^{\varphi_{\delta i}^\ast}\\ H^1(A_\delta,\mathbb{Q})&\xleftarrow{\times p^{m!}}&H^1(A_\delta,\mathbb{Q}), \end{matrix} \end{equation*} \notag $$

так что

$$ \begin{equation*} [\nu_{\delta i}]^\ast|_{H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q})} =p^{m!}[\sigma_{\delta i}]^\ast|_{H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q})}. \end{equation*} \notag $$

Следовательно,

$$ \begin{equation} [\sigma_{\delta i}]_\ast[\nu_{\delta i}]^\ast|_{H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q})} =p^{m!}[\sigma_{\delta i}]_\ast[\sigma_{\delta i}]^\ast |_{H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q})}=p^{m!}|_{H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q})} \end{equation} \tag{3.35} $$

в силу хорошо известного равенства $[\sigma_{\delta i}]_\ast[\sigma_{\delta i}]^\ast |_{H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q})}=\operatorname{id}_{H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q})}$.

Точная последовательность когомологий с компактными носителями [33; гл. III, § 1, замечание 1.30]

$$ \begin{equation*} \dots\to H^5_{\mathrm{c}}(X\setminus\pi^{-1}(\Delta),\mathbb{Q}) \to H^5_{\mathrm{c}}(X,\mathbb{Q})\to H^5_{\mathrm{c}}(\pi^{-1}(\Delta),\mathbb{Q})\to\cdots \end{equation*} \notag $$

и двойственность Пуанкаре [33; гл. VI, § 11, следствие 11.2] дают точную последовательность [23; следствие (8.2.8)]

$$ \begin{equation} \bigoplus_{\delta\in\Delta, \, i=1,\dots,m_\delta}(\iota_{X_{\delta i}/Z})_\ast H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q})=H^1(Z,\mathbb{Q}) \xrightarrow{(i_\Delta f)_\ast} H^3(X,\mathbb{Q})\to H^3(X',\mathbb{Q}). \end{equation} \tag{3.36} $$

Далее мы отождествляем дивизор $X_{\delta i}$ с нулевым сечением нормального расслоения $\mathcal N_{X_{\delta i}/X}$. Имеется класс $t\in H^2(\mathcal N_{X_{\delta i}/X},\mathcal N_{X_{\delta i}/X}\,\setminus\, X_{\delta i},\mathbb{Q})$, называемый классом Тома нормального расслоения $\mathcal N_{X_{\delta i}/X}$, характеризуемый тем свойством, что он ограничивается до выбранной образующей $1$-мерного пространства $H^2([\mathcal N_{X_{\delta i}/X}]_x, [\mathcal N_{X_{\delta i}/X}]_x\,\setminus x,\mathbb{Q})$ для всех $x\in X_{\delta i}$. Он определяет изоморфизм Тома

$$ \begin{equation*} H^k(X_{\delta i},\mathbb{Q}) \,\widetilde{\to}\, H^{k+2}(\mathcal N_{X_{\delta i}/X}, \mathcal N_{X_{\delta i}/X}\,\setminus\,X_{\delta i},\mathbb{Q}), \end{equation*} \notag $$

задаваемый формулой $\alpha\mapsto\alpha\,{\smile}\,t$, см. [40; с. 3], при отождествлении когомологий $H^\ast(X_{\delta i},\mathbb{Q}) \,\widetilde{\to}\, H^\ast(\mathcal N_{X_{\delta i}/X},\mathbb{Q})$, определенном каноническим отображением $\mathcal N_{X_{\delta i}/X}\to X_{\delta i}$.

Известно, что для вложения $\iota_{X_{\delta i}/X}\colon X_{\delta i} \hookrightarrow X$ дивизора $X_{\delta i}$, отображение Гизина когомологий $\iota_{X_{\delta i}/X\ast}\colon H^k(X_{\delta i},\mathbb{Q})\,\to\,H^{k+2}(X,\mathbb{Q})$ является композицией (см. [40; с. 11, п. (iv)])

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &H^k(X_{\delta i},\mathbb{Q})\underset{\widetilde{\qquad}}{\xrightarrow{\,{\smile}\,t}}H^{k+2}(\mathcal N_{X_{\delta i}/X}, \mathcal N_{X_{\delta i}/X}\,\setminus\,X_{\delta i},\mathbb{Q}) \\ &\qquad=H^{k+2}(X,X\setminus X_{\delta i},\mathbb{Q})\,\to\,H^{k+2}(X,\mathbb{Q}). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

С другой стороны, образ элемента $1\in H^0(X_{\delta i},\mathbb{Q})$ при отображении Гизина $H^0(X_{\delta i},\mathbb{Q})\to H^2(X,\mathbb{Q})$ совпадает с классом когомологий $\operatorname{cl}_X(X_{\delta i})\in H^2(X,\mathbb{Q})$, так что можно отождествить класс Тома нормального расслоения $\mathcal N_{X_{\delta i}/X}$ с классом $\operatorname{cl}_X(X_{\delta i})$, см. [33; гл. VI, § 6]. Поэтому отображение Гизина $\iota_{X_{\delta i}/X\ast}$ определено формулой [41; определение 14]

$$ \begin{equation} \alpha\mapsto\alpha\,{\smile}\,\operatorname{cl}_X(X_{\delta i}). \end{equation} \tag{3.37} $$

В согласии с (3.35) мы имеем равенства операторов

$$ \begin{equation} [p^{m!}_{X/C}|_{X_{\delta i}}]^\ast|_{H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q})}=[\sigma_{\delta i}]_\ast [\nu_{\delta i}]^\ast|_{H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q})} =p^{m!}\,|_{H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q})}. \end{equation} \tag{3.38} $$

С другой стороны, возвращаясь к изоморфизму (3.18), мы утверждаем, что морфизм ${p^{m!}_{X/C}}_{|_{\mathcal M}}\colon \mathcal M\to\mathcal M$ этальный [33; гл. I, § 3, теорема 3.20], потому что он неразветвленный [33; гл. I, § 3, предложение 3.2] в силу гладкости его конечных слоев, являющихся схемами групп над полем характеристики нуль [42; лекция 25, теорема 1], и канонический морфизм колец $\mathcal O_{\mathcal M,{p^{m!}_{X/C}}_{|_{\mathcal M}}(y)}\to \mathcal O_{\mathcal M,y}$ инъективен для всех точек $y\in\mathcal M$, потому что он включен в коммутативную диаграмму

где $\kappa(\mathcal M)$ – поле рациональных функций на многообразии $\mathcal M$ и вложение полей $\kappa(\mathcal M) \hookrightarrow \kappa(\mathcal M)$ определено доминантным морфизмом

$$ \begin{equation*} {p^{m!}_{X/C}}_{|_{\mathcal M}}\colon \mathcal M\to \mathcal M. \end{equation*} \notag $$

В результате мы получаем из (3.32) равенства гладких дивизоров

$$ \begin{equation} \bigl[{p^{m!}_{X/C}}_{|_{\mathcal M}}\bigr]^{-1}(\mathcal M_{\delta i})=\bigl[{p^{m!}_{X/C}}_{|_{\mathcal M}}\bigr]^\ast(\mathcal M_{\delta i})=\mathcal M_{\delta i}. \end{equation} \tag{3.39} $$

Очевидно, что имеется разложение групп дивизоров

$$ \begin{equation} \operatorname{Div}(\widetilde{X})=\sigma^\ast(\operatorname{Div}(X)) \oplus\operatorname{Ker}(\sigma_\ast), \end{equation} \tag{3.40} $$

где группа $\operatorname{Ker}(\sigma_\ast)$ порождается стягиваемыми морфизмом $\sigma$ дивизорами, и отображение $\sigma_\ast\,\sigma^\ast$ является тождественным [43; гл. III, § 3, п. 3.5].

Поскольку коразмерность множества точек неопределенности рационального отображения $p^{m!}_{X/C}$ больше $1$, то из определения строгого прообраза $X_{\delta i}^{\text{strict}}$ дивизора $X_{\delta i}=\overline{\mathcal M_{\delta i}}$, см. [43; гл. III, § 3, п. 3.3], и из (3.39), (3.40) следует, что

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \nu^\ast (X_{\delta i})\in X_{\delta i}^{\text{strict}}+\operatorname{Ker}(\sigma_\ast), \\ [p^{m!}_{X/C}]^\ast(X_{\delta i})= \sigma_\ast\nu^\ast(X_{\delta i})= \sigma_\ast(X_{\delta i}^{\text{strict}})=X_{\delta i}. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Следовательно, имеется равенство

$$ \begin{equation*} [p^{m!}_{X/C}]^\ast|_{H^2(X,\mathbb{Q})}(\operatorname{cl}_X(X_{\delta i}))= \operatorname{cl}_X(X_{\delta i}), \end{equation*} \notag $$

поэтому из (3.37), (3.38) и из функториальности рассматриваемых конструкций следует, что для любого элемента $\alpha\in H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q})$ имеются равенства

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, [p^{m!}_{X/C}]^\ast(\iota_{X_{\delta i}/X\ast}(\alpha))&= [p^{m!}_{X/C}]^\ast|_{H^3(X,\mathbb{Q})}(\alpha\,{\smile}\,\operatorname{cl}_X(X_{\delta i})) \nonumber \\ &= [p^{m!}_{X/C}|_{X_{\delta i}}]^\ast|_{H^1(X_{\delta i},\mathbb{Q})}(\alpha) \,{\smile}\,[{p^{m!}_{X/C}}]^\ast|_{H^2(X,\mathbb{Q})}(\operatorname{cl}_X(X_{\delta i})) \nonumber \\ &=p^{m!}\,\alpha\,{\smile}\,\operatorname{cl}_X(X_{\delta i})=p^{m!}\iota_{X_{\delta i}/X\ast}(\alpha). \end{aligned} \end{equation} \tag{3.41} $$

Значит, лемма следует из (3.13), (3.36) и (3.41).

3.9.

Пусть $u_{3,3}$, $u_{3,3^\perp}$, $u_{3^\perp,3}$, $u_{3^\perp,3^\perp}$, $h$ – компоненты алгебраического соответствия $u \stackrel{\mathrm{def}}{=} (\iota\sigma)_\ast\bigl[[\operatorname{cl}_Y(D^{(1)})]^{\,{\smile}\,2}\bigr]$ в прямых слагаемых

Действуя этими операторами на алгебраический класс $u$ по модифицированному методу Либермана [2; п. 2A11] (адаптированному к случаю, когда умножение на число $p^{m!}$ на общем схемном слое определяет рациональное отображение многообразия $X$), легко проверить, что для некоторого элемента $h_{10}\in H$ класс когомологий $u_{3,3}+u_{3,3^\perp}+h_{10}$ алгебраический [14; п. 3.3, п. 3.4]. С другой стороны, разложения (3.7), (3.8), равенства (3.9), (3.10), алгебраические изоморфизмы (3.6), (3.11) и лемма 3.6 показывают, что алгебраический класс

Введение