| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Точное значение показателя сходимости особого интеграла проблемы Терри для однородного многочлена степени М. А. Чахкиев Российский государственный социальный университет, г. Москва
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9004 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеПусть $r \geqslant 1$ – натуральное число, $A=\{(t_1,\dots,t_r)\mid t_1 \geqslant 0,\,\dots,\,t_r \geqslant 0\}$ – некоторый конечный набор целочисленных векторов $(t_1,\dots,t_r)$, $(0,\dots,0)\notin A$. Рассмотрим интеграл
$$
\begin{equation}
\theta_k=\int_{-\infty}^{+\infty}\dots \int_{-\infty}^{+\infty} \biggl|\int_0^1\dots \int_0^1 \exp\bigl(2\pi i F(x_1,\dots,x_r)\, dx_1\dots dx_r\bigr)\biggr|^{2k}\,d\alpha,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где
$$
\begin{equation*}
F(x_1,\dots,x_r)=\sum_{(t_1,\dots,t_r)\in A}\alpha(t_1,\dots,t_r) x_1^{t_1}\cdots x_r^{t_r},
\end{equation*}
\notag
$$
$k>0$ – любое вещественное число. Интеграл (1) присутствует в виде множителя в полученной в 1938 г. Хуа Ло-Геном на основе метода тригонометрических сумм Виноградова формуле для числа решений системы диофантовых уравнений:
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} x_1+\cdots+x_k=y_1+\cdots+y_k, \\ x_1^2+\cdots+x_k^2=y_1^2+\cdots+y_k^2, \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ x_1^n+\cdots+x_k^n=y_1^n+\cdots+y_k^n, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $x_1,\dots,x_k$, $y_1,\dots,y_k$ принимают целые значения от 1 до некоторого достаточно большого значения $P$. Число $\gamma$ называется показателем сходимости интеграла (1), если интеграл (1) сходится при $2k\,{>}\,\gamma$ и расходится при $2k\,{<}\,\gamma$. При $r=1$ проблема Хуа Ло-Гена [2] о показателе сходимости интеграла (1) решена полностью в работах Г. И. Архипова, А. А. Карацубы и В. Н. Чубарикова, см. [3]–[6]. В многомерном случае для множества
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, A&=A(n_1,\dots,n_r) \nonumber \\ &=\{(t_1,\dots,t_r)\mid 0 \leqslant t_1 \leqslant n_1,\,\dots,\,0 \leqslant t_r \leqslant n_r\},\qquad (0,\dots,0) \notin A \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2}
$$
этими же авторами получены оценки сверху показателя сходимости особого интеграла (1), $\gamma=\gamma_A \leqslant n \cdot m$, где $n=\max(n_1,\dots,n_r)$, $m=(n_1+1)\cdots(n_r+1)-1$ и для множества
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, A=A(n)=\{(t_1,\dots,t_r)\mid t_j \geqslant 0,\ 1 \leqslant t_1+\cdots+t_r \leqslant n\}, \\ \nonumber \gamma=\gamma_A \leqslant r\begin{pmatrix} n+r \\ r+1 \end{pmatrix}+r. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3}
$$
И. А. Икромовым [7] получены оценки снизу
$$
\begin{equation}
\gamma \geqslant \frac{1}{2}n \cdot m+1,\qquad \gamma \geqslant\begin{pmatrix} n+r \\ r+1 \end{pmatrix}+1
\end{equation}
\tag{4}
$$
для множеств вида (2) и (3) соответственно. Также в [7] в одном частном случае множества $A$, имеющего вид
$$
\begin{equation*}
A=A(n)=\biggl\{(t_1,\dots,t_r)\biggm| \biggl[\frac{n}{2}\biggr]+1 \leqslant t_1 \leqslant n,\ 0 \leqslant t_2 \leqslant t_1,\, \dots,\, 0 \leqslant t_r \leqslant t_1\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
получено точное значение показателя сходимости: Более точные, чем (4), оценки снизу получены в [8], где также получены точные оценки в одном частном случае. Основной результат статьи состоит в доказательстве следующей теоремы. Теорема 1. Пусть $r=2$, $n>1$ – натуральное число, – однородный многочлен от двух переменных степени $n$. Тогда показатель сходимости $\gamma$ интеграла (1) равен Для доказательства теоремы нам понадобятся некоторые результаты из работ [8], [9] и их обобщения. Рассмотрим интеграл, оценка которого является основным моментом в оценке снизу показателя сходимости особого интеграла проблемы Терри. Лемма 1 (см. [8; с. 215]). Пусть $f(x)=\alpha_n x^n+\cdots+\alpha_1 x$ многочлен степени $n$ с вещественными коэффициентами. Тогда при $|\alpha_s|\geqslant 2$, $s=1,2,\dots,n$, справедливо представление Нам понадобится эта лемма при $s=n$, т. е.
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I&=\int_0^1 \exp\bigl(2\pi i(\alpha_n x^n+\dots+\alpha_1 x)\bigr)\,dx \\ &=\frac{c_n}{|\alpha_n|^{1/n}}+ O\biggl(\frac{|\alpha_1|}{|\alpha_n|^{2/n}}+\cdots+ \frac{|\alpha_{n-2}|}{|\alpha_n|^{(n-1)/n}}+ \frac{|\alpha_{n-1}|}{|\alpha_n|}\ln|\alpha_n|+ \frac{1}{|\alpha_n|}\biggr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $|\alpha_n| \geqslant 2$, $c_n=\int_0^{+\infty} \exp(2\pi ix^n\operatorname{sign}\alpha_n)\,dx\ne 0$ и для отрезка $[0,\delta]$, $\delta>0$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, I&=\int_0^\delta \exp\bigl(2\pi i(\alpha_n x^n+\cdots+\alpha_1 x)\bigr)\,dx \\ &=\frac{c_n}{|\alpha_n|^{1/n}}+ O\biggl(\frac{|\alpha_1|}{|\alpha_n|^{2/n}}+\cdots+ \frac{|\alpha_{n-2}|}{|\alpha_n|^{(n-1)/n}}+ \frac{|\alpha_{n-1}|}{|\alpha_n|}\ln|\delta^n\alpha_n|+ \frac{1}{\delta^{n-1}|\alpha_n|}\biggr), \end{aligned}\nonumber \\ \delta^n|\alpha_n| \geqslant 2,\qquad c_n=\int_0^{+\infty}\exp(2\pi ix^n\operatorname{sign}\alpha_n)\,dx\ne 0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6}
$$
На основе этой леммы в [8] доказано следующее утверждение. Теорема 2. Пусть вектор $(0,\dots,n_s,\dots,0)$, где принадлежит множеству $A$. Тогда, если сходится интеграл (1), то Нам понадобится еще следствие из теоремы 2 при $r=2$. Следствие. Пусть интеграл Следствие позволяет при выполнении условия $2k>\sum_{(t_1,\dots,t_r) \in A}t_1$ отделить переменную $x_1$ от особой точки 0. Доказательство следствия. Пусть
$$
\begin{equation*}
J_\varepsilon=\int^\varepsilon_0 dx_1\int_0^1\dots \int_0^1\exp\bigl(2\pi iF(x_1,\dots,x_r)\bigr)\,dx_2\dots dx_r.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \theta_k(I)&=\int_{-\infty}^{+\infty}\dots\int_{-\infty}^{+\infty} |I|^{2k}\,d\alpha=\int_{-\infty}^{+\infty}\dots\int_{-\infty}^{+\infty} |I_\varepsilon+J_\varepsilon|^{2k}\,d\alpha \\ &\leqslant 2^{2k}\int_{-\infty}^{+\infty}\dots\int_{-\infty}^{+\infty} |I_\varepsilon|^{2k}\,d\alpha+2^{2k}\int_{-\infty}^{+\infty}\dots \int_{-\infty}^{+\infty}|J_\varepsilon|^{2k}\,d\alpha. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В последнем интеграле, сделав замену $x_1=\varepsilon x$, $\alpha(t_1,\dots,t_r)\varepsilon^{t_1}=\beta(t_1,\dots,t_r)$, получим:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \theta_k(I)&=\int_{-\infty}^{+\infty}\dots\int_{-\infty}^{+\infty} |I|^{2k}\,d\alpha \\ &\leqslant 2^{2k}\int_{-\infty}^{+\infty}\dots \int_{-\infty}^{+\infty}|I_\varepsilon|^{2k}\,d\alpha+ 2^{2k}\varepsilon^{2k-\sum_{(t_1,\dots,t_r) \in A}t_1}\theta_k(I). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда Так как по условию $2k>\sum_{(t_1,\dots,t_r) \in A}t_1$, то, выбирая $\varepsilon$ достаточно малым, получим доказательство правой части неравенства в следствии.
Левая часть неравенства следует из того, что и причем оно справедливо и при $2k=\sum_{(t_1,\dots,t_r)\in A}t_1$.§ 2. Оценка сверху для показателя сходимостиОценку сверху получим так же, как в работе И. Ш. Джаббарова [1], при помощи распространения на преобразование Фурье теоремы Хаусдорфа–Юнга. Но здесь, в отличии от случая, рассмотренного И. Ш. Джаббаровым, существенную роль играет следствие из теоремы 2. Рассмотрим интеграл (1), где Пусть
$$
\begin{equation*}
I=\int_0^1\int_0^1\exp\biggl(2\pi i\sum_{j=0}^n a_j x_1^j x_2^{n-j}\biggr)\,dx_1\,dx_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие из теоремы позволяет вместо интеграла $I$ рассмотреть интеграл
$$
\begin{equation*}
I_\varepsilon=\int_\varepsilon^1 dx_1\int_0^1 \exp\biggl(2\pi i\sum_{j=0}^n a_j x_1^j x_2^{n-j}\biggr)\,dx_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Сделаем замену $x_2=tx_1$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_\varepsilon&=\int_\varepsilon^1 dx_1\int_0^1 \exp\biggl(2\pi i\sum_{j=0}^n a_j x_1^j x_2^{n-j}\biggr)\,dx_2 \\ &=\int_\varepsilon^1 dx_1\int_0^{1/x_1}x_1\exp\biggl(2\pi i\sum_{j=0}^n a_j x_1^n t^{n-j}\biggr)\,dt \\ &=\frac{1}{n}\int_{\varepsilon^n}^1 du\int_0^{u^{-1/n}}u^{-(1-2/n)} \exp\biggl(2\pi i\sum_{j=0}^n a_j u t^{n-j}\biggr)\,dt \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(2\pi i a_n u)s(u)\,du=\widehat{s}(a_n), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
s(u)=\begin{cases} \dfrac{1}{n}\displaystyle\int_0^{u^{-1/n}}u^{-(1-2/n)} \exp\biggl(\,\displaystyle\sum_{j=0}^{n-1} a_j u t^{n-j}\biggr)\,dt,& \text{если} \ \varepsilon^n \leqslant u \leqslant 1, \\ 0& \text{иначе}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{8}
$$
Таким образом, видим, что интеграл $I_\varepsilon$ есть преобразование Фурье функции $s(u)$, определенной равенством (8). Пусть $q>\gamma=n(n+1)/2+1\geqslant 2$. Тогда при помощи теоремы Хаусдорфа–Юнга, см. [10; с. 381], получим:
$$
\begin{equation}
\biggl(\int_{-\infty}^{+\infty}|I_\varepsilon|^q\,da_n\biggr)^{1/q}\leqslant c\biggl(\int_0^1|s(u)|^p\,du\biggr)^{1/p},\qquad \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,
\end{equation}
\tag{9}
$$
где $c$ – абсолютная постоянная. Интеграл в правой части (9) конечен, тривиальная оценка $|s(u)|$ дает:
$$
\begin{equation*}
|s(u)| \leqslant \frac{1}{n}u^{-1+2/n}u^{-1/n}=\frac{1}{n}u^{-1+1/n}\quad (\text{при $\varepsilon^n \leqslant u \leqslant 1$}),
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{+\infty}|s(u)|^p\,du \leqslant \frac{1}{n^p} \int_{\varepsilon^n}^1u^{-p(1-1/n)}\,du\leqslant c_3,\qquad c_3=c_3(\varepsilon,n,p).
\end{equation*}
\notag
$$
В интеграле (8) сделаем замену $t=u^{-1/n}z$. Тогда справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, s(u)=\frac{u^{-(1-1/n)}}{n}\int_0^1\exp\biggl(2\pi i \sum_{j=0}^{n-1} a_j u^{j/n}z^{n-j}\biggr)\,dz, \\ \int_0^1|s(u)|^p\,du=\frac{1}{n^p}\int_{\varepsilon^n}^1u^{-p(1-1/n)} \biggl|\int_0^1\exp\biggl(2\pi i\sum_{j=0}^{n-1} a_j u^{j/n} z^{n-j}\biggr)\,dz\biggr|^p\,du. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя неравенство Гёльдера с показателями $q-1$ и $(q-1)/(q-2)$ к внешнему интегралу, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \int_0^1|s(u)|^p\,du&\leqslant\frac{1}{n^p}\biggl(\int_{\varepsilon^n}^1 u^{-(1-1/n)q/q-2)}\,du\biggr)^{(q-2)/(q-1)} \\ &\qquad\times\biggl(\int_{\varepsilon^n}^1 \biggl|\int_0^1\exp\biggl(2\pi i\sum_{j=0}^{n-1} a_j u^{j/n} z^{n-j}\biggr)\,dz\biggr|^q\,du\biggr)^{1/(q-1)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10}
$$
Отсюда и из (9) имеем:
$$
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{+\infty}|I|^q\,da_n \leqslant c_4\int_{\varepsilon^n}^1 \biggl|\int_0^1\exp\biggl(2\pi i\sum_{j=0}^{n-1} a_j u^{j/n} z^{n-j}\biggr)\,dz\biggr|^q\,du,
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_4$ – постоянная, зависящая только от $\varepsilon$, $p$ и $n$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \theta_k&=\int_{-\infty}^{+\infty}\dots\int_{-\infty}^{+\infty} |I_\varepsilon|^q\,da_0\dots da_n \\ &\leqslant c_4\int_{-\infty}^{+\infty}\dots\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{\varepsilon^n}^1\biggl|\int_0^1\exp 2\pi i\sum_{j=0}^{n-1} a_j u^{j/n}z^{n-j}\,dz\biggr|^q\,du\,da_0\dots da_{n-1} \\ &=c_4\int_{\varepsilon^n}^1\,du \int_{-\infty}^{+\infty}\dots \int_{-\infty}^{+\infty}\biggl|\int_0^1\exp 2\pi i\sum_{j=0}^{n-1} a_j u^{j/n}z^{n-j}\,dz\biggr|^q\,da_0\dots da_{n-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выполняя замены $\beta_j=a_ju^{j/n}$, $j=0,1,\dots,n-1$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \theta_k&\leqslant c_4\int_{\varepsilon^n}^1 u^{-1/n} u^{-2/n}\cdots u^{(n-1)/n}\,du \\ &\qquad\times\int_{-\infty}^{+\infty} \dots\int_{-\infty}^{+\infty}\biggl|\int_0^1 \exp\biggl(2\pi i\sum_{j=0}^{n-1} \beta_j z^{n-j}\biggr)\,dz\biggr|^q\,d\beta_0\dots d\beta_{n-1} \\ &\leqslant c_5\int_{-\infty}^{+\infty}\dots\int_{-\infty}^{+\infty} \biggl|\int_0^1\exp\biggl(2\pi i\sum_{j=0}^{n-1}\beta_j z^{n-j}\biggr)\, dz\biggr|^q\,d\beta_0\dots d\beta_{n-1}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_5$ зависит только от $\varepsilon$, $p$ и $n$. Но показатель сходимости последнего интеграла равен $\gamma=n(n+1)/2+1$, см. [3; с. 27], и при $q>\gamma$ интеграл сходится.
§ 3. Оценка снизу для показателя сходимостиПусть $2k \geqslant \sum_{(t_1,\dots,t_r)\in A}t_1$. Множество $A$ в данном случае состоит из пар вида $(n,0)$, $(n-1,1)$, $\dots$, $(0,n)$, так что необходимо, чтобы
$$
\begin{equation*}
2k \geqslant \sum_{(t_1,\dots,t_r)\in A}t_1=n+(n-1)+\dots+1= \frac{n(n+1)}{2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что тогда при $2k< n(n+1)/2+1$ интеграл $\theta_k(I)$ расходится. Согласно замечанию к следствию из теоремы 2 достаточно рассмотреть интеграл $\theta_k(I_\varepsilon)$, где
$$
\begin{equation*}
I_\varepsilon=\int_\varepsilon^1 dx_2 \int_0^1 \exp\bigl(2\pi iF(x_1,x_2)\bigr)\,dx_1=\int_\varepsilon^1 dx_2 \int_0^1 \exp\biggl(2\pi i\sum_{j=0}^na_j x_1^j x_2^{n-j}\biggr)\,dx_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим многочлен $f(x)=\sum_{j=0}^n \beta_j x^j$, где $x=x_1$, $\beta_j=a_j x_2^{n-j}$. Разложим его по формуле Тейлора по степеням $x-b$, где $b$ выберем позже
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f(x)&=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(b)}{k!}(x-b)^k=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!} \sum_{j=k}^n j(j-1)\cdots (j-k+1)\beta_j b^{j-k}(x-b)^k \\ &=\sum_{k=0}^n\alpha_k(x-b)^k, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\alpha_k=\sum_{j=k}^n C_j^k \beta_j b^{j-k}= \sum_{j=k}^n C_j^k a_j x_2^{n-j}b^{j-k}.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Полагая еще $x-b=z$ для интеграла $I_\varepsilon$, получаем
$$
\begin{equation*}
I_\varepsilon=\int_\varepsilon^1 dx_2 \int_{-b}^{1-b} \exp\bigl(2\pi ig(z)\bigr)\,dz,\qquad g(z)=\sum_{k=0}^n\alpha_k z^k.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь $b=-\beta_{n-1}/(n\beta_n)=-a_{n-1}x_2/(na_n)$. Из (11) нетрудно видеть, что тогда $\alpha_n=a_n$, $\alpha_{n-1}=0$ и
$$
\begin{equation}
\alpha_k=\sum_{j=k}^n C_j^k \beta_j b^{j-k}=x_2^{n-k}\biggl(a_k+ \sum_{j=k+1}^n C_j^k a_j \biggl(-\frac{a_{n-1}}{na_n}\biggr)^{j-k}\biggr),\qquad k=1,\dots,n-2.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Будем считать, что $a_n \geqslant 2$, $na_n/4 \leqslant |a_{n-1}| \leqslant na_n/2$, и $a_{n-1}$ отрицательно. Тогда $b$ положительно и $\varepsilon/4\leqslant b \leqslant 1/2$, так как $\varepsilon \leqslant x_2 \leqslant 1$. Следовательно, из (6) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{-b}^{1-b}\exp(2\pi ig(z))\,dx&=\int_{0}^{1-b}\exp(2\pi ig(z))\,dx+ \int_0^b\exp\bigl(2\pi ig(-z)\bigr)\,dx \\ &=\frac{\gamma_n}{|\alpha_n|^{1/n}}+ O\biggl(\frac{|\alpha_1|}{|\alpha_n|^{2/n}}+\cdots+ \frac{|\alpha_{n-2}|}{|\alpha_n|^{(n-1)/n}}+ \frac{1}{\varepsilon^{n-1}|\alpha_n|}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma_n=2c_n$, если $n$ четное, и $\gamma_n=c_n+\bar{c}_n=2\operatorname{Re}c_n \ne 0$, если $n$ нечетное. Пусть, далее $1/(\varepsilon^{n-1}\alpha_n) \leqslant \varepsilon/\alpha_n^{1/n}$ , т. е. $\alpha_n \geqslant \varepsilon^{-n^2/(n-1)}$, $|\alpha_k| \leqslant\varepsilon\alpha_n^{k/n}$, при $k=0,1,\dots,n-2$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\int_{-b}^{1-b}\exp\bigl(2\pi ig(z)\bigr)\,dx= \frac{\gamma_n}{|\alpha_n|^{1/n}}+ O\biggl(\frac{\varepsilon}{|\alpha_n|^{1/n}}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
I_\varepsilon=\int_\varepsilon^1\,\int_{-b}^{1-b} \exp\bigl(2\pi ig(z)\bigr)\,dz\,dx_2 =\int_\varepsilon^1 \biggl(\frac{\gamma_n}{|\alpha_n|^{1/n}}+ O\biggl(\frac{\varepsilon}{|\alpha_n|^{1/n}}\biggr)\biggr) \exp(2\pi i\alpha_0)\,dx_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $|\alpha_0|\leqslant \varepsilon$, то нетрудно видеть, что $|I_\varepsilon| \geqslant |\gamma_n|/(2|\alpha_n|^{1/n})$ при достаточно малом $\varepsilon$. Выберем теперь в $\mathbb R^{n+1}$ множество $\Omega$ векторов $(a_0,a_1,\dots,a_n)$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a_n\geqslant \frac{1}{\varepsilon^{n^2/(n-1)}},\qquad \frac{na_n}{4} \leqslant |a_{n-1}| \leqslant \frac{na_n}{2},\qquad a_{n-1}<0, \\ \biggl|a_k+\sum_{j=k+1}^n C_j^k a_j \biggl(-\frac{a_{n-1}}{na_n}\biggr)^{j-k}\biggr| \leqslant \varepsilon a_n^{k/n},\qquad k=0,1,\dots,n-2, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. $a_k$ пробегают отрезки длины $2\varepsilon a_n^{k/n}$, а переменная $a_{n-1}$ – отрезок длины $na_n/4$. Тогда из (12) ясно, что выполнены и условия $|\alpha_k| \leqslant \varepsilon\alpha_n^{k/n}$, $k=0,\dots,n-2$, справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
|I_\varepsilon| \geqslant \dfrac{|\gamma_n|}{2|\alpha_n|^{1/n}}
\end{equation*}
\notag
$$
и тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \theta_k(I_\varepsilon)&=\int_{-\infty}^{+\infty}\dots\int_{-\infty}^{+\infty} |I_\varepsilon|^{2k}\,da \geqslant \int_\Omega|I_\varepsilon|^{2k}\, da_0\, da_1\dots da_n \\ &\geqslant \frac{1}{4}(2\varepsilon)^{n-1}n|\gamma_n/2|^{2k} \int_{n^2/\varepsilon^{n-1}}^{+\infty} \frac{a_na_n^{(n-2)/n}a_n^{(n-3)/n}\cdots a_n^{1/n}}{a_n^{2k/n}}\,da_n \\ &=C(n,k,\varepsilon)\int_{n/\varepsilon^{n-1}}^{+\infty} \frac{t^{n-1}t^nt^{n-2}\cdots t^1}{t^{2k}}\,dt= C(n,k,\varepsilon)\int_{n/\varepsilon^{n-1}}^{+\infty} \frac{t^{n+1}/2}{t^{2k}}\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для сходимости последнего интеграла необходимо, чтобы $2k$ было больше, чем $n(n+1)/2+1$. Оценка снизу доказана. Тем самым доказано, что интеграл (1) сходится, если $2k>n(n+1)/2+1$, и расходится, если $2k\leqslant n(n+1)/2+1$. Автор благодарен рецензентам за большое число полезных замечаний, которые были учтены. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Cha21} |
|
||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|