| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Об одном классе диффеоморфизмов Аносова на бесконечномерном торе С. Д. Глызинa, А. Ю. Колесовa, Н. Х. Розовb a Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова b Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9002 
Реферативные базы данных:
    § 1. Постановка задачи и описание результатовИзучение бесконечномерных гиперболических динамических систем предпринималось неоднократно в целом ряде работ (см., например, [1]–[3] и многие другие). В связи с нашими результатами следует особо отметить статьи [4], [5], где доказывается, что линейных экспансивных гомеоморфизмов на бесконечномерном торе не существует. Для пояснения сути дела напомним, что гомеоморфизм $f$ метрического пространства $X$ называется экспансивным, если существует такое $\varepsilon>0$, что для любых двух различных точек $x$, $y$ из пространства $X$ выполняется неравенство $\operatorname{dist}(f^n(x), f^n(y))>\varepsilon$ для некоторого $n\in\mathbb{Z}$. Следует отметить, что любой диффеоморфизм Аносова на конечномерном торе очевидным образом является экспансивным. Как будет ясно из последующего изложения, свойство экспансивности сохраняется и для нашего класса гиперболических диффеоморфизмов (это следует из того факта, что неустойчивое многообразие любой точки $x\in\mathbb{T}^{\infty}$ имеет непустое пересечение с устойчивым многообразием любой другой точки $y\in\mathbb{T}^{\infty}$). Противоречия с утверждениями из [4], [5] здесь не возникает, поскольку мы используем другое определение бесконечномерного тора. В отличие от обычного определения (прямое произведение счетного числа окружностей с тихоновской топологией) в нашем случае $\mathbb{T}^{\infty}$ есть прямое произведение счетного числа окружностей с топологией равномерной покоординатной сходимости. Это существенно, так как в рамках нового определения тор $\mathbb{T}^{\infty}$ представляет собой дифференцируемое многообразие. Перейдем к описанию наших результатов. В связи с этим рассмотрим банахово пространство $\ell_{\infty}$, состоящее из бесконечномерных векторов
$$
\begin{equation*}
\varphi=\operatorname{colon}(\varphi_{(1)}, \varphi_{(2)}, \dots, \varphi_{(k)}, \dots),\quad \varphi_{(k)}\in \mathbb{R},\quad k\geqslant 1,\qquad \sup_{k\geqslant 1}|\varphi_{(k)}|<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Считаем, что в $\ell_{\infty}$ задана произвольная норма, эквивалентная стандартной норме Следует сразу отметить, что в дальнейшем (если не оговорено противное) одним и тем же символом $\|\,{\cdot}\,\|$ будем обозначать как норму в $\ell_{\infty}$, так и различные индуцированные этой нормой операторные нормы (из контекста всегда будет ясно, о какой именно норме идет речь). Бесконечномерным тором $\mathbb{T}^{\infty}$ назовем множество вида
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbb{T}^{\infty} &=\{\varphi=\operatorname{colon}(\varphi_{(1)}, \varphi_{(2)}, \dots, \varphi_{(k)}, \dots)\in\ell_{\infty}\colon \\ &\qquad 0\leqslant\varphi_{(k)}\leqslant 2\pi\ (\operatorname{mod} 2\pi),\, k\geqslant 1\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
снабженное метрикой
$$
\begin{equation}
\forall\,\overline{\varphi}, \overline{\overline{\varphi}}\in\mathbb{T}^{\infty}\colon\quad \rho(\overline{\varphi}, \overline{\overline{\varphi}})= \inf_{l\in\mathbb{Z}^{\infty}}\|\overline{\varphi}-\overline{\overline{\varphi}} +2\pi l\|.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Здесь $\mathbb{Z}^{\infty}$ – целочисленная решетка
$$
\begin{equation}
\{l=\operatorname{colon}(l_1, l_2, \dots, l_k, \dots)\in\ell_{\infty}\colon l_k\in\mathbb{Z},\,k\geqslant 1\},
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
а в качестве $\overline{\varphi}$, $\overline{\overline{\varphi}}$ под знаком нормы фигурируют не сами точки $\overline{\varphi}, \overline{\overline{\varphi}}\in\mathbb{T}^{\infty}$, а их “поднятия” из $\mathbb{T}^{\infty}$ в $\ell_{\infty}$, для которых мы сохранили прежние обозначения. Поскольку упомянутые поднятия определяются с точностью до аддитивных добавок вида $2\pi l$, $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$, то метрика (1.3) не зависит от их конкретного выбора. Далее, опишем необходимый в дальнейшем класс бесконечномерных матриц $\Lambda=(\lambda_{k j})^{\infty}_{k, j=1}$ с целочисленными элементами $\lambda_{k j}$. Будем считать, что в каждой строке любой из рассматриваемых матриц содержится лишь конечное число ненулевых коэффициентов и выполнено условие
$$
\begin{equation}
\sup_{k\geqslant 1}\sum_{j=1}^{\infty}|\lambda_{k j}|<\infty.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
В этом случае, как нетрудно проверить, матрица $\Lambda$ порождает в пространстве $\ell_{\infty}$ ограниченный линейный оператор. Предполагаем еще, что, во-первых, спектр $\sigma(\Lambda)$ этого оператора допускает представление вида $\sigma(\Lambda)=\sigma_1\cup\sigma_2$, где $\sigma_1$, $\sigma_2$ – непустые замкнутые подмножества такие, что
$$
\begin{equation}
\sigma_1\subset\{\lambda\in\mathbb{C}\colon |\lambda|>1\},\qquad \sigma_2\subset\{\lambda\in\mathbb{C}\colon |\lambda|<1,\,\lambda\ne 0\};
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
во-вторых, обратный оператор $\Lambda^{-1}\colon \ell_{\infty}\to\ell_{\infty}$ (существующий и непрерывный в силу предположений (1.6)) сохраняет целочисленную решетку (1.4), т. е. $\Lambda^{-1}\mathbb{Z}^{\infty}=\mathbb{Z}^{\infty}$. Любую матрицу с перечисленными свойствами назовем гиперболической, а совокупность всех таких матриц обозначим через $\operatorname{Hyp}(\Lambda)$. Заметим, что класс $\operatorname{Hyp}(\Lambda)$ заведомо не пуст. Простейшими его представителями являются так называемые диагональные матрицы
$$
\begin{equation}
\Lambda=\operatorname{diag}\{\Lambda_1, \Lambda_2, \dots, \Lambda_k, \dots\},
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
где $\Lambda_k$ – различные конечномерные блоки с целочисленными элементами. Предполагаем, естественно, что для матриц (1.7) выполнено условие (1.5). Считаем еще, что $|{\det\Lambda_k}|=1$ $\forall\,k\geqslant 1$ и спектры $\sigma(\Lambda_k)$ матриц $\Lambda_k$ допускают представления в виде $\sigma(\Lambda_k)=\sigma^k_1\cup\sigma^k_2$, где $\sigma^k_1$, $\sigma^k_2$ – непустые подмножества, причем
$$
\begin{equation}
\sigma^k_1\subset\sigma^*_1\subset\{\lambda\in\mathbb{C}\colon |\lambda|>1\},\quad \sigma^k_2\subset\sigma^*_2\subset\{\lambda\in\mathbb{C}\colon |\lambda|<1,\,\lambda\ne 0\}\quad \forall\,k\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
Подчеркнем, что фигурирующие в (1.8) замкнутые и ограниченные множества $\sigma^*_1$, $\sigma^*_2$ фиксированы, т. е. не зависят от $k$. В этом случае спектр $\sigma(\Lambda)$ оператора (1.7) задается равенствами
$$
\begin{equation*}
\sigma(\Lambda)=\sigma_1\cup\sigma_2,\qquad \sigma_1=\overline{\bigcup_{k\geqslant 1}\sigma^k_1},\quad \sigma_2=\overline{\bigcup_{k\geqslant 1}\sigma^k_2}
\end{equation*}
\notag
$$
(черта здесь означает замыкание), в которых множества $\sigma_1$, $\sigma_2$ обладают свойствами (1.6). Типовым примером матрицы вида (1.7) служит
$$
\begin{equation}
\Lambda=\operatorname{diag}\{\Lambda_0, \Lambda_0, \dots, \Lambda_0, \dots\},\qquad \Lambda_0= \begin{pmatrix} 1&1 \\ 1&2 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
Следует, однако, отметить, что класс $\operatorname{Hyp}(\Lambda)$ не исчерпывается лишь диагональными матрицами. В качестве примера рассмотрим матрицу где
$$
\begin{equation}
A=\operatorname{diag}\{A_0, A_0, \dots, A_0, \dots\},\qquad A_0= \begin{pmatrix} 2&1 \\ 1&1 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
$$
\begin{equation}
B=\begin{pmatrix} 1&0&0&0&\dots \\ 1&1&0&0&\dots \\ 1&0&1&0&\dots \\ 1&0&0&1&\dots \\ \dots&\dots&\dots&\dots&\dots \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
Опираясь на формулы (1.11), (1.12), нетрудно показать, что интересующая нас матрица (1.10) является гиперболической, но не диагональной. А именно, для нее имеет место равенство
$$
\begin{equation}
\Lambda=\begin{pmatrix} 3&1&0&0&0&0&\dots \\ 2&1&0&0&0&0&\dots \\ 3&0&2&1&0&0&\dots \\ 2&0&1&1&0&0&\dots \\ 3&0&0&0&2&1&\dots \\ 2&0&0&0&1&1&\dots \\ \dots&\dots&\dots&\dots&\dots&\dots&\dots \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
Что же касается спектра оператора (1.13), то он является объединением спектров двумерных матриц
$$
\begin{equation*}
C_0=\begin{pmatrix} 3&1 \\ 2&1 \end{pmatrix}, \qquad C_k=\begin{pmatrix} 2&1 \\ 1&1 \end{pmatrix}, \quad k\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Опишем теперь интересующий нас класс отображений $G\colon \mathbb{T}^{\infty}\to\mathbb{T}^{\infty}$. В связи с этим фиксируем произвольно гиперболическую матрицу $\Lambda$ и вектор-функцию $g(\varphi)$ со значениями в $\ell_{\infty}$, непрерывную по $\varphi\in\ell_{\infty}$. Считаем также, что ее производная Фреше $g'(\varphi)$ непрерывна по $\varphi\in\ell_{\infty}$ в равномерной операторной топологии и справедливы требования
$$
\begin{equation}
\sup_{\varphi\in\ell_{\infty}}\|g'(\varphi)\|<\infty,\qquad g(\varphi+2\pi l)\equiv g(\varphi)\quad\forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty}.
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
Далее, рассмотрим отображение
$$
\begin{equation}
G\colon \varphi\mapsto G(\varphi)=\Lambda\varphi+g(\varphi)\ (\operatorname{mod} 2\pi),
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
где вектор $\Lambda\varphi+g(\varphi)\ (\operatorname{mod} 2\pi)$ представляет собой естественную проекцию исходного вектора $\Lambda\varphi+g(\varphi)$ из $\ell_{\infty}$ на тор $\mathbb{T}^{\infty}$. Иными словами,
$$
\begin{equation}
\Lambda\varphi+g(\varphi)\ (\operatorname{mod} 2\pi)=p(\Lambda\varphi+g(\varphi)),
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \forall\,\varphi=\operatorname{colon}(\varphi_{(1)}, \varphi_{(2)}, \dots, \varphi_{(k)}, \dots)\in \ell_{\infty} \\ p(\varphi)=\operatorname{colon}\biggl(\varphi_{(1)} -2\pi\biggl\lfloor\frac{\varphi_{(1)}}{2\pi}\biggr\rfloor, \varphi_{(2)}-2\pi\biggl\lfloor\frac{\varphi_{(2)}}{2\pi}\biggr\rfloor, \dots, \varphi_{(k)}-2\pi\biggl\lfloor\frac{\varphi_{(k)}}{2\pi}\biggr\rfloor, \dots\biggr) \in\mathbb{T}^{\infty}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.17}
$$
а через $\lfloor\,{\cdot}\,\rfloor$ обозначена целая часть числа. Всюду ниже считаем, что $G$ – диффеоморфизм тора (1.2). Это означает, что $G$ гомеоморфно отображает тор $\mathbb{T}^{\infty}$ на $\mathbb{T}^{\infty}$ и при каждом $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ непрерывно обратим линейный оператор $DG(\varphi)=\Lambda+g'(\varphi)\colon \ell_{\infty}\to\ell_{\infty}$ (дифференциал). Кроме указанного оператора в дальнейшем нам потребуются семейства операторов $D(G^n(\varphi))$, $D(G^{-n}(\varphi))$, $n\in\mathbb{N}$, задающиеся равенствами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D(G^n(\varphi))&=DG(\varphi_{n-1})\circ DG(\varphi_{n-2})\circ\cdots\circ DG(\varphi_{0}), \\ D(G^{-n}(\varphi))&=[DG(\varphi_{-n})]^{-1}\circ [DG(\varphi_{-(n-1)})]^{-1}\circ\cdots\circ[DG(\varphi_{-1})]^{-1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.18}
$$
где $\varphi_j=G^j(\varphi)$, $j\in\mathbb{Z}$. Отдельно остановимся на определении гиперболичности, адаптированном для нашего случая. Определение 1.1. Будем говорить, что диффеоморфизм (1.15) гиперболический или является диффеоморфизмом Аносова, если для каждого $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ пространство $\ell_{\infty}$ допускает представление в виде прямой суммы замкнутых линейных подпространств $E_\varphi^u$, $E_\varphi^s$ и выполняются следующие требования: a) для $\forall\,\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}$ имеем $DG(\varphi)E_{\varphi}^u=E_{G(\varphi)}^u$, $DG(\varphi)E_{\varphi}^s=E_{G(\varphi)}^s$ (это свойство называется инвариантностью); b) существуют такие постоянные $\mu_1, \mu_2\in (0, 1)$, $c_1, c_2>0$, что
$$
\begin{equation}
\|D(G^{-n}(\varphi))\xi\|\leqslant c_1\mu_1^n\|\xi\|\quad \forall\,\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}, \quad \forall\,\xi\in E_\varphi^u,\quad \forall\,n\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{1.20}
$$
$$
\begin{equation}
\|D(G^n(\varphi))\xi\|\leqslant c_2\mu_2^n\|\xi\|\quad \forall\,\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}, \quad \forall\,\xi\in E_\varphi^s, \quad \forall\,n\in\mathbb{N};
\end{equation}
\tag{1.21}
$$
c) проекторы $P_{\varphi}\xi=\xi_1$, $Q_{\varphi}\xi=\xi_2$ $\forall\,\xi=\xi_1+\xi_2\in\ell_{\infty}$, $\xi_1\in E_\varphi^u$, $\xi_2\in E_\varphi^s$, связанные с разложением (1.19), непрерывны по $\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}$ в равномерной операторной топологии и ограничены, т. е. Отметим, что приведенное определение 1.1 совпадает с классическим определением гиперболичности из [6]–[8]. Отличие заключается лишь в том, что в нашем случае факт замкнутости подпространств $E_\varphi^u$, $E_\varphi^s$ и описанные выше свойства проекторов $P_{\varphi}$, $Q_{\varphi}$ необходимо постулировать. Следует также заметить, что поскольку тор $\mathbb{T}^{\infty}$ представляет собой аналитическое банахово многообразие, касательное пространство $T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}$ к которому в каждой точке $\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}$ совпадает с $\ell_{\infty}$, то перенос классических определений гиперболичности и диффеоморфизмов Аносова на рассматриваемый бесконечномерный случай вполне правомерен. В частности, в неравенствах (1.20), (1.21) фигурирует не норма, порожденная соответствующей римановой метрикой (как это имеет место в конечномерном случае), а естественная норма касательного пространства $\ell_{\infty}$. Из ограничений, наложенных на фигурирующую в (1.15) матрицу $\Lambda$, вытекает, что соответствующий линейный автоморфизм
$$
\begin{equation}
L\colon \varphi\mapsto\Lambda\varphi\ (\operatorname{mod} 2\pi)
\end{equation}
\tag{1.22}
$$
тора $\mathbb{T}^{\infty}$ является гиперболическим. Действительно, в этом случае разложение (1.19) имеет вид где сумма прямая, а замкнутые подпространства $E_1$, $E_2$ таковы, что $\Lambda E_j=E_j$, $j=1, 2$, и спектры сужений совпадают со спектральными множествами $\sigma_j$, $j=1, 2$, из (1.6). Для описания достаточных условий гиперболичности отображения (1.15) нам потребуются отвечающие разложению (1.23) проекторы
$$
\begin{equation}
P\xi=u,\quad Q\xi=v\quad \forall\,\xi=u+v\in\ell_{\infty},\quad u\in E_1,\quad v\in E_2.
\end{equation}
\tag{1.25}
$$
В свою очередь, опираясь на формулы (1.24), (1.25), введем в рассмотрение операторы
$$
\begin{equation}
\Lambda_{1, 1}(\varphi) =PDG(\varphi)|_{E_1\to E_1}=(\Lambda_1+Pg'(\varphi))\colon E_1\to E_1,
\end{equation}
\tag{1.26}
$$
$$
\begin{equation}
\Lambda_{2, 1}(\varphi) =PDG(\varphi)|_{E_2\to E_1}=Pg'(\varphi)\colon E_2\to E_1,
\end{equation}
\tag{1.27}
$$
$$
\begin{equation}
\Lambda_{1, 2}(\varphi) =QDG(\varphi)|_{E_1\to E_2}=Qg'(\varphi)\colon E_1\to E_2,
\end{equation}
\tag{1.28}
$$
$$
\begin{equation}
\Lambda_{2, 2}(\varphi) =QDG(\varphi)|_{E_2\to E_2}=(\Lambda_2+Qg'(\varphi))\colon E_2\to E_2.
\end{equation}
\tag{1.29}
$$
В дополнение к условиям (1.14) будем считать, что при любом $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ оператор (1.26) непрерывно обратим и
$$
\begin{equation}
\sup_{\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}}\|\Lambda^{-1}_{1, 1}(\varphi)\|<\infty.
\end{equation}
\tag{1.30}
$$
Соотношения (1.26)–(1.29) и требования (1.14), (1.30) позволяют корректно определить наборы постоянных
$$
\begin{equation}
\alpha_1 =\sup_{\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}}\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)\|, \qquad \alpha_2 =\sup_{\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}}\|\Lambda_{2, 2}(\varphi)\|,
\end{equation}
\tag{1.31}
$$
$$
\begin{equation}
\beta_1 =\sup_{\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}}\|\Lambda_{1, 2}(\varphi)\|, \qquad \beta_2 =\sup_{\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}}\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)\Lambda_{2, 1}(\varphi)\|,
\end{equation}
\tag{1.32}
$$
$$
\begin{equation}
\gamma_1 =\sup_{\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}}\|\Lambda_{1, 2}(\varphi)\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)\|, \qquad \gamma_2 =\sup_{\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}}\|\Lambda_{2, 1}(\varphi)\|.
\end{equation}
\tag{1.33}
$$
Эти постоянные (в силу (1.14), (1.30) заведомо конечные) играют ключевую роль во всех дальнейших построениях, поскольку именно с их помощью формулируются интересующие нас достаточные условия гиперболичности. Точнее говоря, справедливо следующее утверждение, являющееся основным результатом данной статьи. Теорема 1.1. Пусть выполнены условия (1.14), (1.30) и неравенства В конечномерном случае, т. е. при замене тора $\mathbb{T}^{\infty}$ на $\mathbb{T}^{m}$, $m\geqslant 2$, утверждение теоремы 1.1 сохраняет силу и может быть установлено с помощью известного критерия конусов (см. [7]–[10]). Однако в случае бесконечномерного тора $\mathbb{T}^{\infty}$ в обосновании нуждается сам критерий конусов. Поэтому в данной статье мы воспользуемся альтернативным подходом к проверке гиперболичности, основанным непосредственно на определении 1.1. В конечномерной ситуации упомянутый подход был разработан для диффеоморфизмов кольцевых множеств в статьях [11]–[13], а для диффеоморфизмов тора – в работе [14]. Но, как будет показано ниже, он может быть применен и на торе $\mathbb{T}^{\infty}$. Уместно заметить, что достаточные условия гиперболичности (1.34) слабее полученных ранее аналогичных условий в конечномерном случае. Именно по этой причине мы сочли необходимым отчасти продублировать при доказательстве теоремы 1.1 построения работ [11]–[14]. Характерной особенностью диффеоморфизмов Аносова на конечномерных многообразиях $M$ является наличие двух инвариантных слоений – устойчивого и неустойчивого. Эти слоения представляют собой семейства гладких иммерсированных многообразий, касательными пространствами к которым в каждой точке $x\in M$ являются подпространства $E_x^s$ и $E_x^u$ из аналогичного (1.19) разложения $T_xM=E_x^u\oplus E_x^s$. Как оказывается, такого типа слоения существуют и в бесконечномерном случае. А именно, справедливо следующее утверждение. Теорема 1.2. Пусть в дополнение к условиям теоремы 1.1 нелинейный оператор является вполне непрерывным в пространстве $\ell_{\infty}$. Тогда через каждую точку $\varphi_0\in\mathbb{T}^{\infty}$ проходит единственное многообразие вида Сформулированная теорема позволяет ввести в рассмотрение слоения
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}^s=\{\mathcal{F}^s(\varphi_0),\,\varphi_0\in\mathbb{T}^{\infty}\},\qquad \mathcal{F}^u=\{\mathcal{F}^u(\varphi_0),\,\varphi_0\in\mathbb{T}^{\infty}\},
\end{equation}
\tag{1.42}
$$
которые, следуя установившейся традиции, назовем устойчивым и неустойчивым. Это действительно слоения в обычном понимании, поскольку, например, любые слои $\mathcal{F}^s(\varphi_0)$, $\mathcal{F}^s(\varphi_1)$ не пересекаются вообще или совпадают и объединение $\mathcal{F}^s(\varphi_0)$ по $\varphi_0\in\mathbb{T}^{\infty}$ есть весь тор $\mathbb{T}^{\infty}$. Смысл же терминов “устойчивое” и “неустойчивое” проясняет следующая теорема. Теорема 1.3. Найдутся такие константы $r_1$, $r_2>0$, $\varepsilon>0$, что Скажем несколько слов о нелокальных вариантах неравенств (1.43), (1.44). Нетрудно показать, что они справедливы при замене метрики $\rho(\varphi_1, \varphi_2)$ на внутреннюю метрику $d^s(\varphi_1, \varphi_2)$ или $d^u(\varphi_1, \varphi_2)$ на устойчивом и неустойчивом многообразиях соответственно (с теми же самыми константами $r_1$, $r_2$, $\mu_1$, $\mu_2$). Например, в случае $\varphi_1, \varphi_2\in \mathcal{F}^s(\varphi_0)$ мы рассматриваем всевозможные непрерывные спрямляемые кривые, лежащие в $\mathcal{F}^s(\varphi_0)$ и соединяющие эти точки (поскольку многообразие $\mathcal{F}^s(\varphi_0)$ линейно связно, то такие кривые заведомо существуют). Что же касается метрики $d^s(\varphi_1, \varphi_2)$, то она определяется как $\inf$ длин этих кривых. Интересно отметить, что результаты теоремы 1.2 допускают некоторое усиление. А именно, опираясь на изложенную в монографии [15] методику, можно показать $C^1$-гладкость слоев (1.36), (1.37) по соответствующим переменным $v\in E_2$ и $u\in E_1$. Однако в настоящей статье связанные с указанным усилением дополнительные построения не приводятся, поскольку для наших целей достаточно знать лишь свойства (1.38), (1.39) и (1.40), (1.41) слоений (1.42). Заключительный результат касается факта топологической сопряженности диффеоморфизма (1.15) со своей линейной частью, т. е. с гиперболическим автоморфизмом (1.22). Как оказывается, при определенных предположениях этот факт верен. Точнее говоря, имеет место следующая теорема. Теорема 1.4. В рамках условий теоремы 1.2 диффеоморфизм (1.15) топологически сопряжен со своей линейной частью (1.22). Схема последующего изложения такова. В § 2 устанавливаются существование подпространств $E_{\varphi}^u$, $E_{\varphi}^s$ из (1.19) и справедливость для них оценок (1.20), (1.21). Параграфы 3 и 4 посвящены соответственно доказательствам существования устойчивого и неустойчивого слоений (1.42) со свойствами (1.38)–(1.41) и получению для них нужных оценок (1.43), (1.44). В § 5 содержится обоснование теоремы 1.4, а в § 6 вводится в рассмотрение специальный класс так называемых квазидвумерных диффеоморфизмов (1.15), и для этих диффеоморфизмов устанавливаются утверждения теорем 1.1–1.4. Разбирается также конкретный пример квазидвумерного отображения. И наконец, в заключительном параграфе 7 изучается вопрос о структурной устойчивости диффеоморфизмов (1.15). § 2. Доказательство гиперболичностиВ данном параграфе убедимся в справедливости при всех $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ разложения (1.19), где замкнутые подпространства $E_{\varphi}^u$, $E_{\varphi}^s$ инвариантны по отношению к дифференциалу $DG(\varphi)$ и удовлетворяют условиям (1.20), (1.21). Ниже будет показано, что хотя подпространства $E_{\varphi}^u$, $E_{\varphi}^s$ отличны от подпространств $E_1, E_2$, фигурирующих в (1.23), но между ними есть определенная связь. Действительно, при $C^1$-малой вектор-функции $g(\varphi)$ отображение (1.15) заведомо гиперболично, а отвечающие ему подпространства $E_{\varphi}^u$, $E_{\varphi}^s$ близки к $E_1, E_2$. При произвольной же нелинейности $g(\varphi)$ некоторая “квазиблизость” между этими подпространствами может сохраниться. А именно, мы убедимся, что при условиях (1.34) интересующие нас подпространства изоморфны $E_1$ и $E_2$. Точнее говоря, они могут быть представлены в параметрической форме
$$
\begin{equation}
E^u_\varphi =\{\xi=u+v\in \ell_{\infty}\colon v=a(\varphi)u,\, u\in E_1\},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
$$
\begin{equation}
E^s_\varphi =\{\xi=u+v\in \ell_{\infty}\colon u=b(\varphi)v,\, v\in E_2\},
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $u\in E_1$ и $v\in E_2$ – векторные параметры на $E^u_\varphi$ и $E^s_\varphi$ соответственно, а линейные операторы $a(\varphi)\colon E_1\to E_2$, $b(\varphi)\colon E_2\to E_1$ непрерывны по $\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}$ в равномерной операторной топологии (т. е. по нормам банаховых пространств $L(E_1, E_2)$, $L(E_2, E_1)$ линейных ограниченных операторов). Из условий инвариантности подпространств $E_{\varphi}^u$, $E_{\varphi}^s$ для отыскания $a(\varphi)$, $b(\varphi)$ выписываются некоторые нелинейные функциональные уравнения, к которым затем в подходящих пространствах применяется принцип сжимающих отображений. Рассмотрим сначала случай
$$
\begin{equation}
\min(\beta_1\beta_2, \gamma_1\gamma_2)=\beta_1\beta_2,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
когда условия (1.34) приобретают вид
$$
\begin{equation}
\alpha_1<1,\qquad \alpha_2<1,\qquad \beta_1\beta_2 <(1-\alpha_1)(1-\alpha_2).
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Ниже подробно разбирается именно эта ситуация, а о другом случае будет сказано отдельно в конце данного параграфа. Начнем с построения подпространства $E_\varphi^u$ и будем искать его в виде (2.1). Из инвариантности $E_\varphi^u$ следует, что должно выполняться равенство вида
$$
\begin{equation}
DG(\varphi)(u+a(\varphi)u)=C_a(\varphi)u+a(G(\varphi))C_a(\varphi)u\quad \forall\,\varphi\in \mathbb{T}^{\infty},\quad \forall\,u\in E_1,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где $C_a(\varphi)\colon E_1\to E_1$ – некоторый линейный ограниченный оператор. Для анализа равенства (2.5) нам потребуются проекторы (1.25). Применяя каждый из них к (2.5), приходим соответственно к соотношениям
$$
\begin{equation}
C_a(\varphi)=\Lambda_{1, 1}(\varphi)+\Lambda_{2, 1}(\varphi)a(\varphi),
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
$$
\begin{equation}
\Lambda_{1, 2}(\varphi)+\Lambda_{2, 2}(\varphi)a(\varphi)=a(G(\varphi))C_a(\varphi),
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где $\Lambda_{j, k}(\varphi)$ – операторы (1.26)–(1.29). Подставляя затем представление (2.6) в (2.7) и заменяя в получившемся выражении $\varphi$ на $G^{-1}(\varphi)$, убеждаемся в том, что $a(\varphi)$ является решением нелинейного операторного уравнения где
$$
\begin{equation}
\mathscr{A}_a(\varphi)= \{\Lambda_{1, 2}(\theta)+\Lambda_{2, 2}(\theta)a(\theta)\}C_a^{-1}(\theta)\big|_{\theta=G^{-1}(\varphi)}.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Лемма 2.1. Уравнение (2.8) имеет решение $a=a_*(\varphi)$, непрерывное и ограниченное по параметру $\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}$ в равномерной операторной топологии. Доказательство. Обозначим через $X(\mathscr{L})$ совокупность линейных операторов $a(\varphi)$, действующих из $E_1$ в $E_2$, непрерывных по параметру $\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}$ в равномерной операторной топологии и удовлетворяющих неравенству
$$
\begin{equation}
\sup_{\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}}\|a(\varphi)\|\leqslant\mathscr{L}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
с некоторой постоянной $\mathscr{L}$ (не зависящей от выбора $a(\varphi)$). Упомянутую константу будем считать такой, что где величина $\beta_2$ определена формулой из (1.32). Далее, после введения метрики
$$
\begin{equation}
\forall\,a_1(\varphi), a_2(\varphi)\in X(\mathscr{L})\qquad \rho(a_1, a_2)=\sup_{\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}}\|a_1(\varphi)-a_2(\varphi)\|
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
множество $X(\mathscr{L})$ становится полным метрическим пространством. Наша ближайшая задача – показать, что при соответствующем выборе постоянной $\mathscr{L}$ в условии (2.10) нелинейный оператор $\mathscr{A}\colon a(\varphi)\mapsto \mathscr{A}_a(\varphi)$ переводит пространство $X(\mathscr{L})$ в себя и является сжимающим.
Прежде всего, убедимся в корректности определения оператора $\mathscr{A}$. А именно, проверим обратимость линейного оператора $C_a(G^{-1}(\varphi))$ при любом выборе $a(\varphi)\in X(\mathscr{L})$ и $\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}$. Для этого сначала заметим, что в силу соотношений (1.32), (2.10), (2.11) справедливы оценки
$$
\begin{equation}
\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(G^{-1}(\varphi))\Lambda_{2, 1}(G^{-1}(\varphi))a(G^{-1}(\varphi))\| \leqslant\beta_2\mathscr{L}<1.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Далее, используем вытекающие из формулы (2.6) представления
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, C_a(\varphi)=\Lambda_{1, 1}(\varphi)(I-D_a(\varphi)),\qquad C_a^{-1}(\varphi)=\biggl(\sum_{k=0}^{\infty}D_a^k(\varphi)\biggr) \Lambda_{1,1}^{-1}(\varphi), \\ D_a(\varphi)=-\Lambda_{1,1}^{-1}(\varphi)\Lambda_{2, 1}(\varphi)a(\varphi), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
где $I$ – единичный оператор в $E_1$. Заменяя в (2.14) аргумент $\varphi$ на $G^{-1}(\varphi)$ и учитывая информацию (2.13), приходим к выводу, что оператор $C_a(G^{-1}(\varphi))$ действительно обратим и, более того,
$$
\begin{equation}
\|C_a^{-1}(G^{-1}(\varphi))\|\leqslant \frac{\alpha_1}{1-\beta_2\mathscr{L}}.
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
В свою очередь, неравенство (2.15) и формула (2.9) приводят к оценке
$$
\begin{equation}
\|\mathscr{A}_a(\varphi)\|\leqslant\frac{\alpha_1(\beta_1+\alpha_2\mathscr{L})} {1-\beta_2\mathscr{L}}\quad\forall\,a(\varphi)\in X(\mathscr{L}),\quad \forall\,\varphi\in \mathbb{T}^{\infty},
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
где $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\beta_1$, $\beta_2$ – постоянные (1.31), (1.32).
На следующем этапе выберем константу $\mathscr{L}$. Для этого рассмотрим квадратное уравнение
$$
\begin{equation}
F(\mathscr{L})\stackrel{\mathrm{def}}{=}\beta_2\mathscr{L}^2+(\alpha_1\alpha_2-1)\mathscr{L} +\alpha_1\beta_1=0,
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
которое при условиях
$$
\begin{equation}
\mathscr{D}\stackrel{\mathrm{def}}{=}(1-\alpha_1\alpha_2)^2- 4\alpha_1\beta_1\beta_2>0,\qquad 1-\alpha_1\alpha_2>0
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
допускает на полуоси $\mathscr{L}\geqslant 0$ два различных корня. Заметим далее, что в нашем случае требования (2.18) выполняются. Действительно, эти требования равносильны условиям
$$
\begin{equation}
\beta_1\beta_2<\frac{(1-\alpha_1\alpha_2)^2}{4\alpha_1}, \qquad 1-\alpha_1\alpha_2>0.
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Что же касается приведенных неравенств (2.19), то они справедливы в силу оценок (2.4) и очевидного соотношения
$$
\begin{equation}
(1-\alpha_1)(1-\alpha_2)\leqslant \frac{(1-\alpha_1\alpha_2)^2}{4\alpha_1},
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
имеющего место при всех $\alpha_1, \alpha_2\in(0,1)$.
Опираясь на установленные свойства функции $F(\mathscr{L})$, в качестве постоянной $\mathscr{L}$ в (2.10) возьмем наименьший корень уравнения (2.17), т. е. положим
$$
\begin{equation}
\mathscr{L}=\mathscr{L}_*,\qquad \mathscr{L}_*=\frac{2\alpha_1\beta_1} {1-\alpha_1\alpha_2+\sqrt{\mathscr{D}}}.
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Далее, нетрудно увидеть, что в случае (2.21) выполняется априорное условие (2.11) (оно вытекает из неравенства $F'(\mathscr{L}_*)<0$) и, кроме того, справедливы свойства
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{\alpha_1(\beta_1+\alpha_2\mathscr{L})} {1-\beta_2\mathscr{L}}-\mathscr{L}\biggr)\bigg|_{\mathscr{L}= \mathscr{L}_*}=0, \qquad \frac{d}{d\mathscr{L}}\biggl(\frac{\alpha_1(\beta_1+\alpha_2\mathscr{L})} {1-\beta_2\mathscr{L}}\biggr)\bigg|_{\mathscr{L}=\mathscr{L}_*}<1.
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Учитывая первое из них в (2.16), заключаем, что $\mathscr{A}(X(\mathscr{L}_*))\subset X(\mathscr{L}_*)$.
Покажем теперь, что интересующий нас оператор $\mathscr{A}$ является сжимающим в пространстве $X(\mathscr{L}_*)$. С этой целью зафиксируем произвольно два оператора $a_1(\varphi)$, $a_2(\varphi)$ из $X(\mathscr{L}_*)$ и заметим, что в силу соотношений (2.6), (2.9) имеют место представления
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathscr{A}_{a_1}(\varphi)-\mathscr{A}_{a_2}(\varphi)&=\Lambda_{2,2}(\theta) [a_1(\theta)-a_2(\theta)]C_{a_1}^{-1}(\theta)\big|_ {\theta=G^{-1}(\varphi)} \\ &\qquad+\{\Lambda_{1,2}(\theta)+\Lambda_{2,2}(\theta)a_2(\theta)\} [C_{a_1}^{-1}(\theta)-C_{a_2}^{-1}(\theta)]\big|_{\theta=G^{-1}(\varphi)}, \\ C_{a_1}^{-1}(\theta)-C_{a_2}^{-1}(\theta)&=C_{a_1}^{-1}(\theta)\Lambda_{2,1}(\theta) \bigl(a_2(\theta)-a_1(\theta)\bigr)C_{a_2}^{-1}(\theta). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Объединяя затем полученные представления с оценками (2.10), (2.11), (2.13), (2.15) (при $\mathscr{L}=\mathscr{L}_*$), соотношениями
$$
\begin{equation*}
C_{a_1}^{-1}(\theta)\Lambda_{2,1}(\theta)= \biggl(\sum_{k=0}^{\infty}D_{a_1}^k(\theta)\biggr)\Lambda_{1,1}^{-1}(\theta) \Lambda_{2,1}(\theta), \qquad \|C_{a_1}^{-1}(\theta)\Lambda_{2,1}(\theta)\|\leqslant \frac{\beta_2}{1-\beta_2\mathscr{L}_*}
\end{equation*}
\notag
$$
и вытекающим из равенства $G^{-1}(\mathbb{T}^{\infty})=\mathbb{T}^{\infty}$ свойством
$$
\begin{equation*}
\rho(a_1(G^{-1}(\varphi)), a_2(G^{-1}(\varphi)))=\rho(a_1(\varphi), a_2(\varphi))
\end{equation*}
\notag
$$
метрики (2.12), последовательно выводим:
$$
\begin{equation*}
\|\mathscr{A}_{a_1}(\varphi)-\mathscr{A}_{a_2}(\varphi)\|\leqslant q\rho(a_1,a_2)\quad \forall\,\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}, \qquad \rho(\mathscr{A}_{a_1},\mathscr{A}_{a_2})\leqslant q\rho(a_1,a_2),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
q=\frac{\alpha_1\alpha_2}{1-\beta_2\mathscr{L}_*}+ \frac{\alpha_1\beta_2(\beta_1+\alpha_2\mathscr{L}_*)}{(1-\beta_2\mathscr{L}_*)^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим еще, что в силу второго свойства из (2.22) величина $q$ строго меньше единицы. Остается воспользоваться принципом сжимающих отображений и заключить, что уравнение (2.8) имеет единственное решение $a_*(\varphi)\in X(\mathscr{L}_*)$. Лемма 2.1 доказана. Проверим, далее, выполнение для подпространства $E_{\varphi}^u$ неравенства (1.20). Привлекая формулу (2.5), нетрудно показать, что
$$
\begin{equation*}
[D(\varphi_{-1})]^{-1}(u+a_*(\varphi)u)= C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-1})u+a_*(\varphi_{-1})C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-1})u \quad \forall\,\varphi\in \mathbb{T}^{\infty},\quad\forall\,u\in E_1,
\end{equation*}
\notag
$$
где, напомним, $\varphi_j=G^j(\varphi)$, $j\in\mathbb{Z}$. А отсюда, используя метод математической индукции и явное выражение для $D(G^{-n}(\varphi))$ (см. (1.18)), заключаем, что при всех $n\in\mathbb{N}$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &D(G^{-n}(\varphi))(u+a_*(\varphi)u)=C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-n}) C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-(n-1)})\cdots C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-1})u \nonumber \\ &\quad +a_*(\varphi_{-n})C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-n}) C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-(n-1)})\cdots C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-1})u\quad \forall\,\varphi\in \mathbb{T}^{\infty},\quad \forall\,u\in E_1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
Что же касается интересующего нас неравенства (1.20), то оно вытекает из (2.10), (2.15), (2.23) и из итоговой оценки
$$
\begin{equation}
\|C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-n}) C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-(n-1)})\cdots C^{-1}_{a_*}(\varphi_{-1})\|\leqslant \biggl(\frac{\alpha_1}{1-\beta_2\mathscr{L}_*}\biggr)^n.
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
В частности, согласно (2.24) постоянная $\mu_1$ из (1.20) имеет вид Для проверки выполнения условия $\mu_1<1$ подставим в (2.25) явную формулу (2.21) для $\mathscr{L}_*$. В результате убеждаемся в том, что оно эквивалентно неравенству
$$
\begin{equation}
\beta_1\beta_2< \begin{cases} \dfrac{(1-\alpha_1\alpha_2)^2}{4\alpha_1}&\text{при }1+\alpha_1\alpha_2-2\alpha_1\geqslant 0, \\ (1-\alpha_1)(1-\alpha_2) &\text{при }1+\alpha_1\alpha_2-2\alpha_1<0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
Последнее же в силу (2.4), (2.20) оказывается верным. Обратимся ко второму подпространству $E_{\varphi}^s$ из (1.19) и будем искать его в виде (2.2), где линейный ограниченный оператор $b(\varphi)\colon E_2\to E_1$ пока произволен. Из условия инвариантности подпространства (2.2) под действием дифференциала $DG(\varphi)$ следует, что результат применения оператора $DG(\varphi)$ к вектору $\xi=b(\varphi)v+v\in E^s_\varphi$ должен иметь вид
$$
\begin{equation}
DG(\varphi)(b(\varphi)v+v)=b(G(\varphi))C_b(\varphi)v+ C_b(\varphi)v\quad \forall\,\varphi\in \mathbb{T}^{\infty},\quad\forall\,v\in E_2,
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
где $C_b(\varphi)\colon E_2\to E_2$ – некоторый линейный ограниченный оператор. Как и в предыдущем случае, подействуем на (2.27) проекторами $P$ и $Q$. В итоге получим аналогичные (2.6), (2.7) соотношения
$$
\begin{equation}
\Lambda_{1,1}(\varphi)b(\varphi)+\Lambda_{2,1}(\varphi)= b(G(\varphi))C_b(\varphi),
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
$$
\begin{equation}
C_b(\varphi)=\Lambda_{2,2}(\varphi)+\Lambda_{1,2}(\varphi)b(\varphi).
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
Подставляя, далее, выражение (2.29) в (2.28), приходим к выводу, что $b(\varphi)$ является решением аналогичного (2.8) нелинейного операторного уравнения где
$$
\begin{equation}
\mathscr{B}_b(\varphi)=\Lambda_{1,1}^{-1}(\varphi) \{b(G(\varphi))C_b(\varphi)-\Lambda_{2,1}(\varphi)\}.
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
Лемма 2.2. Уравнение (2.30) имеет решение $b=b_*(\varphi)$, непрерывное и ограниченное по $\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}$ в равномерной операторной топологии. Доказательство. Как и при обосновании леммы 2.1, обозначим через $X(\mathscr{R})$ совокупность линейных ограниченных операторов $b(\varphi)\colon E_2\to E_1$, непрерывно зависящих от $\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}$ по норме пространства $L(E_2, E_1)$ и удовлетворяющих условию
$$
\begin{equation}
\sup_{\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}}\|b(\varphi)\|\leqslant \mathscr{R}
\end{equation}
\tag{2.32}
$$
с некоторой универсальной (не зависящей от $b(\varphi)$) постоянной $\mathscr{R}\geqslant 0$. Метрику в $X(\mathscr{R})$ определим равенством вида (2.12). Что же касается постоянной $\mathscr{R}$ из (2.32), то она находится из тех же соображений, что и константа $\mathscr{L}$ в предыдущем случае.
Действительно, из (2.29), (2.31), (2.32) нетрудно вывести, что
$$
\begin{equation}
\|\mathscr{B}_b(\varphi)\|\leqslant \alpha_1(\alpha_2+\beta_1\mathscr{R})\mathscr{R}+\beta_2,
\end{equation}
\tag{2.33}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} \|\mathscr{B}_{b_1}(\varphi)-\mathscr{B}_{b_2}(\varphi)\| &\leqslant\alpha_1(\alpha_2+\beta_1\mathscr{R}) \|b_1(G(\varphi))-b_2(G(\varphi))\| \\ &\qquad+\alpha_1\beta_1\mathscr{R}\|b_1(\varphi)-b_2(\varphi)\|\leqslant \alpha_1(\alpha_2+2\beta_1\mathscr{R})\rho(b_1, b_2). \end{split}
\end{equation}
\tag{2.34}
$$
Заметим, далее, что равенство
$$
\begin{equation}
\alpha_1(\alpha_2+\beta_1\mathscr{R})\mathscr{R}+\beta_2=\mathscr{R}
\end{equation}
\tag{2.35}
$$
для отыскания $\mathscr{R}$ эквивалентно уравнению $F(1/\mathscr{R})=0$, где $F$ – многочлен из (2.17). Поэтому, как и выше, в качестве $\mathscr{R}$ в (2.32) возьмем наименьший корень $\mathscr{R}=\mathscr{R}_*$ этого уравнения, где
$$
\begin{equation}
\mathscr{R}_*=\frac{2\beta_2}{1-\alpha_1\alpha_2+\sqrt{\mathscr{D}}}.
\end{equation}
\tag{2.36}
$$
Тогда в силу оценки (2.33) оператор $\mathscr{B}\colon b(\varphi)\mapsto \mathscr{B}_b(\varphi)$ переводит полное метрическое пространство $X(\mathscr{R}_*)$ в себя. Более того, опираясь на явное выражение для $\mathscr{R}_*$ (см. (2.36)), нетрудно увидеть, что (данное неравенство – следствие простоты корня $\mathscr{R}=\mathscr{R}_*$ уравнения (2.35)). А отсюда и из (2.34) заключаем, что оператор $\mathscr{B}$ является сжимающим в $X(\mathscr{R}_*)$. Тем самым, уравнение (2.30) имеет в пространстве $X(\mathscr{R}_*)$ единственное решение $b_*(\varphi)$. Лемма 2.2 доказана. Следующий этап проверки гиперболичности отображения (1.15) состоит в получении для подпространства $E^s_{\varphi}$ оценки (1.21). В связи с этим обратим внимание на то, что в силу формулы для $D(G^n(\varphi))$ (см. (1.18)) и равенства (2.27) справедливы соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &D(G^n(\varphi))(b_*(\varphi)v+v)=b_*(\varphi_n) C_{b_*}(\varphi_{n-1})C_{b_*}(\varphi_{n-2})\cdots C_{b_*}(\varphi_{0})v \\ &\qquad+C_{b_*}(\varphi_{n-1})C_{b_*}(\varphi_{n-2})\cdots C_{b_*}(\varphi_{0})v\quad \forall\,n\in\mathbb{N},\quad\forall\,\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}, \quad\forall\,v\in E_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Объединяя их с вытекающими из (2.29) и (2.32) (при $\mathscr{R}=\mathscr{R}_*$) неравенствами
$$
\begin{equation*}
\|C_{b_*}(\varphi_{n-1})C_{b_*}(\varphi_{n-2})\cdots C_{b_*}(\varphi_{0})\| \leqslant(\alpha_2+\beta_1\mathscr{R}_*)^n\quad\forall\,n\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $\xi=b_*(\varphi)v+v\in E_\varphi^s$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|D(G^n(\varphi))\xi\| \leqslant (1+\mathscr{R}_*)(\alpha_2+\beta_1\mathscr{R}_*)^n\|v\| \\ &\qquad=(1+\mathscr{R}_*)(\alpha_2+\beta_1\mathscr{R}_*)^n\frac{\|v\|} {\|b_*(\varphi)v+v\|}\|\xi\| \leqslant (1+\mathscr{R}_*)\|Q\|\,(\alpha_2+\beta_1\mathscr{R}_*)^n\|\xi\|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, требуемая оценка выполняется с константами
$$
\begin{equation}
\mu_2=\alpha_2+\beta_1\mathscr{R}_*,\qquad c_2=(1+\mathscr{R}_*)\|Q\|.
\end{equation}
\tag{2.37}
$$
Что же касается неравенства $\mu_2<1$, то оно эквивалентно аналогичному (2.26) условию
$$
\begin{equation}
\beta_1\beta_2< \begin{cases} \dfrac{(1-\alpha_1\alpha_2)^2}{4\alpha_1}&\text{при }1+\alpha_1\alpha_2-2\alpha_1\leqslant 0, \\ (1-\alpha_1)(1-\alpha_2)&\text{при }1+\alpha_1\alpha_2-2\alpha_1>0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.38}
$$
Последнее же в силу (2.4), (2.20) справедливо автоматически. Покажем, наконец, что сумма подпространств $E_{\varphi}^u$, $E_{\varphi}^s$ является прямой и совпадает с $\ell_{\infty}$. Согласно представлениям (2.1), (2.2) (при $a=a_*(\varphi)$, $b=b_*(\varphi)$) для этого достаточно убедиться в том, что однозначно разрешима относительно $u\in E_1$, $v\in E_2$ система уравнений
$$
\begin{equation*}
u+b_*(\varphi)v=\widetilde{u},\qquad a_*(\varphi)u+v=\widetilde{v}
\end{equation*}
\notag
$$
при любых фиксированных $\widetilde{u}\in E_1$, $\widetilde{v}\in E_2$. Но последнее верно в силу соотношений
$$
\begin{equation*}
v=\widetilde{v}-a_*(\varphi)u, \qquad u-b_*(\varphi)a_*(\varphi)u=\widetilde{u}- b_*(\varphi)\widetilde{v}
\end{equation*}
\notag
$$
и вытекающих из (2.10), (2.21), (2.32), (2.36) неравенств
$$
\begin{equation}
\|b_*(\varphi)a_*(\varphi)\|\leqslant \|b_*(\varphi)\|\cdot\|a_*(\varphi)\|\leqslant \mathscr{R}_*\mathscr{L}_*<1.
\end{equation}
\tag{2.39}
$$
Итак, мы установили справедливость разложения (1.19). Что же касается отвечающих этому разложению проекторов $P_{\varphi}$ и $Q_{\varphi}$, то согласно формулам
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \forall\,\xi=\widetilde{u}+\widetilde{v},\quad \widetilde{u}\in E_1,\quad \widetilde{v}\in E_2\colon\quad P_{\varphi}\xi=u+a_*(\varphi)u,\quad Q_{\varphi}\xi=b_*(\varphi)v+v, \\ u=(I-b_*(\varphi)a_*(\varphi))^{-1}(\widetilde{u}- b_*(\varphi)\widetilde{v}),\qquad v=\widetilde{v}-a_*(\varphi)u, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $I$ – единичный оператор в $E_1$, они обладают требуемыми в определении 1.1 свойствами непрерывности и ограниченности. Тем самым, в случае (2.3) факт гиперболичности отображения (1.15) полностью обоснован. Обратимся теперь к случаю
$$
\begin{equation}
\min(\beta_1\beta_2, \gamma_1\gamma_2)=\gamma_1\gamma_2,
\end{equation}
\tag{2.40}
$$
в котором условия (1.34) записываются в виде
$$
\begin{equation}
\alpha_1<1,\qquad \alpha_2<1,\qquad \gamma_1\gamma_2 <(1-\alpha_1)(1-\alpha_2),
\end{equation}
\tag{2.41}
$$
где $\gamma_1$, $\gamma_2$ – постоянные (1.33). Заметим, что при выполнении данных неравенств утверждения лемм 2.1, 2.2 сохраняют силу, но их доказательства нуждаются в надлежащих модификациях. Основная идея этих модификаций заключается в том, чтобы все нужные оценки сделать в терминах констант $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\gamma_1$, $\gamma_2$, полностью исключая $\beta_1$, $\beta_2$. В случае леммы 2.1 ее доказательство необходимо изменить следующим образом. В первую очередь, в определении пространства $X(\mathscr{L})$ мы вместо (2.10) требуем выполнения неравенства
$$
\begin{equation}
\sup_{\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}}\|a(\varphi)\|\leqslant\frac{\mathscr{L}}{\alpha_1},
\end{equation}
\tag{2.42}
$$
предполагая, что Далее, при анализе операторов $C_a(\varphi)$ и $\mathscr{A}_a(\varphi)$ вместо (2.14) воспользуемся представлениями
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, C_a(\varphi)=(I-D_a(\varphi))\Lambda_{1, 1}(\varphi),\qquad C_a^{-1}(\varphi)=\Lambda_{1,1}^{-1}(\varphi)\sum_{k=0}^{\infty}D_a^k(\varphi), \\ D_a(\varphi)=-\Lambda_{2, 1}(\varphi)a(\varphi)\Lambda_{1,1}^{-1}(\varphi). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.44}
$$
Объединяя формулы (2.9), (2.44) с оценками (2.42), (2.43), нетрудно увидеть, что
$$
\begin{equation}
\|C_a^{-1}(G^{-1}(\varphi))\|\leqslant \frac{\alpha_1}{1-\gamma_2\mathscr{L}},
\end{equation}
\tag{2.45}
$$
$$
\begin{equation}
\|\mathscr{A}_a(\varphi)\|\leqslant\frac{\gamma_1+\alpha_2\mathscr{L}} {1-\gamma_2\mathscr{L}}\quad\forall\,a(\varphi)\in X(\mathscr{L}),\quad \forall\,\varphi\in \mathbb{T}^{\infty},
\end{equation}
\tag{2.46}
$$
$$
\begin{equation}
\|\mathscr{A}_{a_1}(\varphi)-\mathscr{A}_{a_2}(\varphi)\|\leqslant q\rho(a_1,a_2)\quad \forall\,\varphi\in \mathbb{T}^{\infty},
\end{equation}
\tag{2.47}
$$
где
$$
\begin{equation}
q=\frac{\alpha_1\alpha_2}{1-\gamma_2\mathscr{L}}+ \frac{\alpha_1\gamma_2(\gamma_1+\alpha_2\mathscr{L})}{(1-\gamma_2\mathscr{L})^2}.
\end{equation}
\tag{2.48}
$$
Отдельно остановимся на способе выбора постоянной $\mathscr{L}$. В связи с этим обозначим через $F(\mathscr{L})$ многочлен, получающийся из (2.17) при заменах $\beta_1$ на $\gamma_1$, $\beta_2$ на $\gamma_2$. Из условий (2.41) следует, что он допускает на полуоси $\mathscr{L}\geqslant 0$ два различных корня. Тем самым, как и выше, в качестве постоянной $\mathscr{L}$ в (2.42) возьмем наименьший корень $\mathscr{L}=\mathscr{L}_*$ уравнения $F(\mathscr{L})=0$, задающийся аналогичными (2.21) равенствами (с заменой $\beta_1$ на $\gamma_1$, $\beta_2$ на $\gamma_2$). Тогда априорное условие (2.43) заведомо выполняется. Более того, в этом случае в силу соотношений (2.45)–(2.48) оператор $\mathscr{A}$ переводит пространство $X(\mathscr{L}_*)$ в себя и является сжимающим. Перейдем к неравенству (1.20). Как и выше, нетрудно показать, что в данном случае оно выполняется с константой Что же касается требования $\mu_1<1$, то оно эквивалентно оценке, получающейся из (2.26) при заменах $\beta_1\to\gamma_1$, $\beta_2\to\gamma_2$. Остается добавить, что последняя в силу (2.20), (2.41) справедлива автоматически.Доказательство леммы 2.2 в случае (2.40) также нуждается в некоторых изменениях. А именно, выполним в операторном уравнении (2.30) замену В результате оно приобретает вид где
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathscr{B}}_b(\varphi) =\Lambda_{1, 1}^{-1}(G(\varphi))b(G(\varphi))\widehat{C}_b(\varphi)-\Lambda_{2, 1}(\varphi),
\end{equation}
\tag{2.51}
$$
$$
\begin{equation}
\widehat{C}_b(\varphi) =\Lambda_{2, 2}(\varphi)+\Lambda_{1, 2}(\varphi)\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)b(\varphi).
\end{equation}
\tag{2.52}
$$
Получившееся уравнение (2.50) будем изучать в том же самом метрическом пространстве $X(\mathscr{R})$, что и ранее. Из явных формул (2.51), (2.52) и оценки (2.32) заключаем, что имеют место аналогичные (2.33), (2.34) неравенства
$$
\begin{equation}
\|\widehat{\mathscr{B}}_b(\varphi)\|\leqslant \alpha_1(\alpha_2+\gamma_1\mathscr{R})\mathscr{R} +\gamma_2,
\end{equation}
\tag{2.53}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} \|\widehat{\mathscr{B}}_{b_1}(\varphi)-\widehat{\mathscr{B}}_{b_2}(\varphi)\| &\leqslant\alpha_1(\alpha_2+\gamma_1\mathscr{R}) \|b_1(G(\varphi))-b_2(G(\varphi))\| \\ &\qquad+\alpha_1\gamma_1\mathscr{R}\,\|b_1(\varphi)-b_2(\varphi)\|\leqslant \alpha_1(\alpha_2+2\gamma_1\mathscr{R})\rho(b_1, b_2). \end{split}
\end{equation}
\tag{2.54}
$$
Опишем теперь способ выбора параметра $\mathscr{R}$. В связи с этим рассмотрим аналогичное (2.35) уравнение
$$
\begin{equation}
\alpha_1(\alpha_2+\gamma_1\mathscr{R})\mathscr{R}+\gamma_2=\mathscr{R}
\end{equation}
\tag{2.55}
$$
и заметим, что в силу неравенств (2.41) оно имеет на полуоси $\mathscr{R}\geqslant 0$ два различных корня. Далее, из оценок (2.53), (2.54) следует, что если взять $\mathscr{R}=\mathscr{R}_*$, где $\mathscr{R}_*$ – величина, получающаяся из (2.36) при заменах $\beta_1\to\gamma_1$, $\beta_2\to\gamma_2$, то оператор $\widehat{\mathscr{B}}\colon b(\varphi)\mapsto \widehat{\mathscr{B}}_b(\varphi)$ будет переводить пространство $X(\mathscr{R}_*)$ в себя и являться сжимающим. Тем самым, выбирая $\mathscr{R}$ указанным способом, получаем утверждение леммы 2.2. Перейдем к вопросу о справедливости в случае (2.40) неравенства вида (1.21). Рассуждая как и выше, нетрудно убедиться в том, что теперь оно выполняется с постоянной $\mu_2=\alpha_2+\gamma_1\mathscr{R}_*$, а требование $\mu_2<1$ эквивалентно оценке, получающейся из (2.38) при заменах $\beta_1\to\gamma_1$, $\beta_2\to\gamma_2$. Что же касается упомянутой оценки, то ее справедливость вытекает из (2.20), (2.41). В заключение покажем, что в случае (2.40) сумма подпространств $E^u_\varphi$, $E^s_\varphi$ по-прежнему прямая и совпадает с $\ell_{\infty}$, а соответствующие ей проекторы $P_{\varphi}$, $Q_{\varphi}$ непрерывны по $\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}$ и ограничены. Как и ранее, упомянутая проблема сводится к доказательству оценки $\sup_{\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}}\|b_*(\varphi)a_*(\varphi)\|<1$ (см. (2.39)). Для проверки этого факта обратимся к соотношениям (2.42), (2.49), из которых следует, что в данной ситуации
$$
\begin{equation*}
\|a_*(\varphi)\|\leqslant\frac{\mathscr{L}_*}{\alpha_1},\qquad b_*(\varphi)=\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)\widehat{b}_*(\varphi),\qquad \|\widehat{b}_*(\varphi)\|\leqslant\mathscr{R}_*,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widehat{b}_*(\varphi)$ – решение уравнения (2.50) в пространстве $X(\mathscr{R}_*)$. Принимая во внимание перечисленные факты, приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|b_*(\varphi)a_*(\varphi)\|&\leqslant\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi) \widehat{b}_*(\varphi)\|\cdot \|a_*(\varphi)\| \\ &\leqslant\alpha_1\|\widehat{b}_*(\varphi)\|\cdot \|a_*(\varphi)\|\leqslant \mathscr{R}_*\mathscr{L}_*<1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подведем некоторый итог. Из проведенного в настоящем параграфе анализа вытекает, что при выполнении неравенств (1.34) диффеоморфизм (1.15) действительно является гиперболическим. Теорема 1.1 доказана. § 3. Построение устойчивого инвариантного слоенияПри отыскании устойчивого инвариантного слоения существенную роль играет отображение
$$
\begin{equation}
\widetilde{G}\colon \varphi\mapsto \widetilde{G}(\varphi)=\Lambda\varphi+g(\varphi),
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
действующее из $\ell_{\infty}$ в $\ell_{\infty}$ и являющееся поднятием диффеоморфизма (1.15) из $\mathbb{T}^{\infty}$ в $\ell_{\infty}$. А именно, сначала строится слоение
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widetilde{\mathcal{F}}^s=\{\widetilde{\mathcal{F}}^s(\varphi_0),\, \varphi_0\in\ell_{\infty}\}, \\ \widetilde{\mathcal{F}}^s(\varphi_0)=\{\varphi\in\ell_{\infty}\colon \varphi=\varphi_0+\Phi_*(v, \varphi_0)+v,\, v\in E_2\}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
инвариантное для отображения (3.1) (здесь вектор-функция $\Phi_*(v, \varphi_0)$ та же самая, что и в (1.36)). Затем осуществляется переход от (3.2) к слоению $\mathcal{F}^s$ из (1.42) посредством равенства
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}^s=\bigl\{\mathcal{F}^s(\varphi_0)= p\bigl(\widetilde{\mathcal{F}}^s(p^{-1}(\varphi_0))\bigr),\, \varphi_0\in \mathbb{T}^{\infty}\bigr\},
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где $p$ – проекция (1.17). Что же касается вектора $p^{-1}(\varphi_0)\in\ell_{\infty}$, то в качестве такового берется любой прообраз точки $\varphi_0\in \mathbb{T}^{\infty}$. В силу свойств (1.38) получающиеся на этом пути слои
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}^s(\varphi_0)=p\bigl(\widetilde{\mathcal{F}}^s(p^{-1}(\varphi_0))\bigr)\subset \mathbb{T}^{\infty}
\end{equation*}
\notag
$$
не зависят от указанного выбора. Итак, проблема обоснования теоремы 1.2 в части устойчивого слоения $\mathcal{F}^s$ сводится к отысканию слоения (3.2). В связи с этим нам потребуются некоторые вспомогательные утверждения. Первое из них касается общих свойств отображения (3.1). Лемма 3.1. Пусть выполнены условия теоремы 1.1. Тогда $\widetilde{G}$ – диффеоморфизм Аносова на пространстве $\ell_{\infty}$. Доказательство. Отметим сразу, что поскольку отображение $G$ является диффеоморфизмом и
$$
\begin{equation}
D\widetilde{G}(\varphi)=DG(p(\varphi))\quad\forall\,\varphi\in\ell_{\infty},
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где $p$ – проекция (1.17), то в силу теоремы о неявном отображении $\widetilde{G}$ – локальный диффеоморфизм. Принимая во внимание это обстоятельство, приходим к выводу, что $\widetilde{G}$ будет диффеоморфно отображать $\ell_{\infty}$ на $\ell_{\infty}$ при условиях инъективности и сюръективности данного оператора.
Предположим, что инъективность отсутствует. Тогда найдутся такие две точки $\varphi_1,\varphi_2\in\ell_{\infty}$, $\varphi_1\ne \varphi_2$, что $\widetilde{G}(\varphi_1)=\widetilde{G}(\varphi_2)$. А так как операторы $G$ и $\widetilde{G}$ связаны вытекающим из (1.16) соотношением $G(p(\varphi))=p(\widetilde{G}(\varphi))$ $\forall\,\varphi\in\ell_{\infty}$, то автоматически $G(p(\varphi_1))=G(p(\varphi_2))$. Далее, опираясь на факт инъективности отображения $G$, приходим к выводу, что $p(\varphi_1)=p(\varphi_2)$ и, следовательно, имеем $\varphi_2=\varphi_1+2\pi l$ при некотором $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$. Что же касается вектора $\varphi_1$, то для него из условия $\widetilde{G}(\varphi_1)=\widetilde{G}(\varphi_2)$ вытекает серия равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Lambda\varphi_1+g(\varphi_1)=\Lambda(\varphi_1+2\pi l)+g(\varphi_1+2\pi l)= \Lambda(\varphi_1+2\pi l)+g(\varphi_1), \\ \Lambda(\varphi_1+2\pi l)=\Lambda\varphi_1,\quad \varphi_1+2\pi l=\varphi_1,\qquad l=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, приходим к выводу, что $\varphi_1=\varphi_2$. А это противоречит исходной посылке.
Проверим теперь сюръективность $\widetilde{G}$. Для этого фиксируем произвольно вектор $\overline{\varphi}\in\ell_{\infty}$ и рассмотрим уравнение для отыскания $\varphi\in\ell_{\infty}$. Заметим, далее, что $\overline{\varphi}$ допускает представление вида $\overline{\varphi}=\overline{\varphi}_0+2\pi l_0$, где $\overline{\varphi}_0=p(\overline{\varphi})$ принадлежит множеству
$$
\begin{equation}
\mathscr{U}=\{\varphi=\operatorname{colon}(\varphi_{(1)}, \varphi_{(2)}, \dots, \varphi_{(k)}, \dots)\in\ell_{\infty}\colon 0\leqslant\varphi_{(k)}<2\pi,\,k\geqslant 1\}\subset \ell_{\infty},
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
а $l_0$ – некоторый вектор из $\mathbb{Z}^{\infty}$. Учитывая это обстоятельство, выполним в уравнении (3.5) замену $\varphi=\psi+2\pi\Lambda^{-1}l_0$. В результате для нахождения $\psi$ приходим к уравнению вида Остается добавить, что поскольку $G(\mathbb{T}^{\infty})\,{=}\,\mathbb{T}^{\infty}$, а множество (3.6) отождествляется с тором $\mathbb{T}^{\infty}$, то получившееся уравнение заведомо имеет решение $\psi\,{\in}\,\ell_{\infty}$.
Итак, мы показали, что (3.1) – диффеоморфизм из $\ell_{\infty}$ в $\ell_{\infty}$. Более того, можно утверждать, что отображение (3.1) является диффеоморфизмом Аносова. Действительно, поскольку в силу (3.4) дифференциалы $DG$ и $D\widetilde{G}$ совпадают, то в случае отображения $\widetilde{G}$ доказательства лемм 2.1, 2.2 сохраняются практически дословно. А это значит, что для диффеоморфизма $\widetilde{G}$ выполняются все фигурирующие в определении 1.1 требования и, более того, оценки вида (1.20), (1.21) справедливы с теми же самыми константами $c_1$, $c_2$, $\mu_1$, $\mu_2$, что и в случае отображения (1.15). Лемма 3.1 доказана. Следующее вспомогательное утверждение связано с анализом уравнения Здесь элементы $\varphi_0\in\ell_{\infty}$, $v\in E_2$, $z\in E_1$ произвольно фиксированы, а вектор $u\in E_1$ подлежит определению. Лемма 3.2. Пусть выполнены условия теоремы 1.2. Тогда при любых значениях $\varphi_0\in\ell_{\infty}$, $v\in E_2$, $z\in E_1$ уравнение (3.7) однозначно разрешимо по $u$, а его решение непрерывно по переменным $(z, v, \varphi_0)\in E_1\times E_2\times \ell_{\infty}$, непрерывно дифференцируемо по $(z, v)\in E_1\times E_2$ и обладает свойствами Доказательство. Введем в рассмотрение вспомогательный оператор
$$
\begin{equation}
F\colon u\mapsto F(u)=\Lambda_1u+P\,g(\varphi_0+u+v)
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
и покажем, что при любых фиксированных значениях $\varphi_0\in\ell_{\infty}$, $v\in E_2$ он диффеоморфно отображает $E_1$ на $E_1$. Соответствующий анализ можно провести, опираясь на известный результат Банаха и Мазура (см. [16], [17]). Однако ниже для полноты изложения приводится независимое доказательство данного факта.
В первую очередь отметим, что поскольку $F'(u)=\Lambda_{1, 1}(\varphi_0+u+v)$, то в силу (1.30) отображение (3.11) представляет собой локальный диффеоморфизм. Кроме того, нетрудно увидеть, что $F(E_1)=E_1$. Действительно, фиксируем произвольно элемент $z\in E_1$, рассмотрим уравнение $F(u)=z$ и выполним в нем замену $u=\Lambda_1^{-1}z+\Delta$. В результате для отыскания $\Delta$ приходим к уравнению вида
$$
\begin{equation}
\Delta=-\Lambda_1^{-1}P\,g(\varphi_0+\Lambda_1^{-1}z+\Delta+v).
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Далее, в силу предполагаемых условий (1.14) справедливо свойство ограниченности
$$
\begin{equation}
\sup_{\varphi\in\ell_{\infty}}\|g(\varphi)\|<\infty.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
В свою очередь, опираясь на соотношение (3.13), заключаем, что по переменной $\Delta$ правая часть уравнения (3.12) порождает в пространстве $E_1$ вполне непрерывный оператор, переводящий в себя некоторый замкнутый шар. Тем самым, в силу принципа Шаудера упомянутое уравнение допускает хотя бы одно решение $\Delta\in E_1$.
На следующем этапе доказательства леммы убедимся в инъективности оператора (3.11). Для этого заметим, что в силу непрерывной обратимости оператора $\Lambda_1$ и компактности добавки $g(\varphi)$ отображение (3.11) является собственным, т. е. прообраз $F^{-1}(Y)$ любого компактного множества $Y\subset E_1$ компактен. А отсюда и из локальной взаимной однозначности $F$ вытекает, что прообраз $F^{-1}(y)$ любой точки $y\in E_1$ состоит из конечного числа элементов. Предположим теперь, что для некоторого $y_0\in E_1$ множество $F^{-1}(y_0)$ представляет собой объединение $k$, $k\geqslant 2$, различных точек $u_1$, $u_2$, $\dots$, $u_k$. Рассмотрим затем отрезок
$$
\begin{equation}
J=\{J(t)=tu_1+(1-t)u_2\colon 0\leqslant t\leqslant 1\}
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
и заметим, что множество $\gamma=\{\gamma(t)=F(J(t))\colon 0\leqslant t\leqslant 1\}$ является гладкой замкнутой кривой, удовлетворяющей равенствам $\gamma(t)|_{t=0}=\gamma(t)|_{t=1}=y_0$. Далее, будем непрерывным образом стягивать эту кривую в точку $y_0$. А именно, включим $\gamma$ в непрерывное семейство кривых $\gamma_s$, $0\leqslant s\leqslant 1$, считая, что $\gamma_s|_{s=0}=\gamma$, $\gamma_s|_{s=1}=y_0$, а сама точка $y_0$ остается неподвижной при указанном процессе стягивания. В этом случае корректно определено семейство непрерывных кривых $J_s$, $0\leqslant s\leqslant 1$, таких что $F(J_s)=\gamma_s$ и $u_1, u_2\in J_s$.
Действительно, разобьем кривую $\gamma$ на конечное число достаточно малых частей $\gamma_{(j)}$, $j=1, \dots, m$. А именно, зафиксируем некоторое разбиение отрезка $0\leqslant t \leqslant 1$ и положим $\gamma_{(j)}=\{\gamma(t)\colon t_{j-1}\leqslant t\leqslant t_j\}$. В силу малости диаметров множеств $\gamma_{(j)}$ и локальной обратимости $F$ существуют такие открытые шары $U_j$, $j=1, \dots, m$, что $\gamma_{(j)}\subset U_j$ и на замыканиях $\overline{U}_j$ определены непрерывные ветви $F_j^{-1}(z)$ обратного отображения $F^{-1}$. В этом случае отрезок (3.14) допускает представление в котором ветви $F_j^{-1}(z)$ удовлетворяют условиям согласования
$$
\begin{equation}
F_j^{-1}(z)=F_{j+1}^{-1}(z)\quad\forall\,z\in \overline{U}_j\cap \overline{U}_{j+1},\qquad j=1, \dots, m-1,
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
и дополнительным требованиям Ясно, что поскольку кривые $J$, $\gamma$ связаны равенством $F(J)=\gamma$, то наборы шаров $U_j$ и отображений $F_j^{-1}(z)$ с нужными свойствами (3.17), (3.18) заведомо существуют.
Обратимся теперь к кривым $\gamma_s$, $0\leqslant s\leqslant 1$, и предположим, что
$$
\begin{equation}
\gamma_s=\{\gamma(t, s)\colon 0\leqslant t\leqslant 1\},\qquad 0\leqslant s\leqslant 1,
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
где вектор-функция $\gamma(t, s)\in E_1$ непрерывна по совокупности переменных $t$, $s$ и такова, что
$$
\begin{equation}
\gamma(t, 0)=J(t),\qquad \gamma(t, 1)\equiv y_0, \qquad \gamma(0, s)\equiv \gamma(1, s)\equiv y_0.
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
В свою очередь, равенства (3.19), (3.20) позволяют определить при всех достаточно малых $s\geqslant 0$ аналогичные (3.16) непрерывные кривые где $\gamma_{(j), s}=\{\gamma(t, s)\colon t_{j-1}\leqslant t\leqslant t_j\}$.
Подчеркнем, что формула (3.21) заведомо корректна при тех $s\in[0,1]$, для которых выполняются включения $\gamma_{(j), s}\subset U_j$, $j=1, \dots, m$. Предположим теперь, что указанные включения справедливы при $0\leqslant s<s_0$, где $s_0\in(0, 1)$, а при $s=s_0$ хотя бы одно из них нарушается. Тогда в силу непрерывности отображений $F^{-1}_j(z)$ на множествах $\overline{U}_j$ правая часть равенства (3.21) имеет предел при $s\to s_0-0$. Тем самым, существует непрерывная кривая обладающая свойствами $F(J_{s_0})=\gamma_{s_0}$, $u_1, u_2\in J_{s_0}$. Далее, мы привлекаем аналогичное (3.16) представление, связывающее кривые $J_{s_0}$ и $\gamma_{s_0}$ (вообще говоря, с другим разбиением (3.15) и другими наборами $U_j$, $F^{-1}_j$). Опираясь на это представление и используя аналог формулы (3.21), определяем $J_{s}$ для значений $0<s-s_0\ll 1$. Ясно также, что рассуждая подобным образом, удается непрерывно продолжить семейство кривых $J_s$ по $s$ на весь отрезок $0\leqslant s\leqslant 1$.Итак, мы построили семейство непрерывных кривых $J_s$, такое что
$$
\begin{equation*}
J_s|_{s=0}=J,\qquad J_s|_{s=1}\subset F^{-1}(y_0)=\{u_1, u_2, \dots, u_k\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из указанных соотношений, в частности, следует, что при $s=1$ кривая $J_s$ стягивается в точку. А это очевидным образом противоречит условиям $u_1\ne u_2$, $u_1, u_2\in J_s$. Тем самым, установлена инъективность отображения (3.11).
Вернемся к уравнению (3.7). Из проделанного анализа следует, что оно допускает единственное решение (3.8). Остается добавить, что равенства (3.9), (3.10) – очевидные следствия теоремы о неявном отображении, примененной к данному уравнению. Лемма 3.2 доказана. Приступим теперь к основному этапу доказательства существования слоения $\mathcal{F}^s$. А именно, убедимся в существовании аналогичного слоения $\widetilde{\mathcal{F}}^s$ (см. (3.2)) у диффеоморфизма (3.1). Лемма 3.3. При выполнении условий теоремы 1.2 инвариантное слоение (3.2), обладающее свойствами (1.38), (1.39), существует и единственно. Доказательство. Для отыскания слоения (3.2) сделаем некоторые предварительные построения. Сначала для любой точки $\varphi_0\in\ell_{\infty}$ определим точку $\varphi_1=\widetilde{G}(\varphi_0)$. Нас будет интересовать $\varphi_1=\varphi_1(\varphi_0)$ как функция переменной $\varphi_0$. Из формулы (3.1) следует, что
Далее, обозначим через $\mathscr{H}_0$ пространство, состоящее из вектор-функций вида $u=\Phi(v, \varphi_0)$ со значениями в пространстве $E_1$ (см. (1.23)), непрерывных по $(v, \varphi_0)\in E_2\times \ell_{\infty}$ и таких, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Phi(0, \varphi_0)\equiv 0,\qquad \Phi(v, \varphi_0+2\pi l)\equiv\Phi(v, \varphi_0) \quad \forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty}, \\ \sup_{(v, \varphi_0)\in E_2\times \ell_{\infty}}\|\Phi(v, \varphi_0)\|<\infty, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
$$
\begin{equation}
\|\Phi(v_1, \varphi_0)-\Phi(v_2, \varphi_0)\|\leqslant\mathscr{R}\|v_1-v_2\|\quad \forall\,v_1,v_2\in E_2.
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
Здесь $\mathscr{R}\geqslant 0$ – некоторая универсальная (не зависящая от $v_1$, $v_2$, $\varphi_0$ и конкретной функции $\Phi$) постоянная, выбором которой распорядимся позже. Как будет показано в последующем, правило этого выбора такое же, как и при доказательстве леммы 2.2.
Метрику в пространстве $\mathscr{H}_0$ зададим равенством
$$
\begin{equation}
\forall\,\Phi_1, \Phi_2\in\mathscr{H}_0\colon\quad \rho(\Phi_1,\Phi_2)=\sup_{(v,\varphi_0)\in E_2\times \ell_{\infty}} \|\Phi_1(v, \varphi_0)-\Phi_2(v,\varphi_0)\|,
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
где в силу (3.23) супремум заведомо конечен. Ясно, что после введения данной метрики пространство $\mathscr{H}_0$ становится полным.
И наконец, определим на $\mathscr{H}_0$ отображение $T$ по правилу: где вектор-функция $\overline{\Phi}(v, \varphi_0)$ такова, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\widetilde{G}\bigl(\{\varphi\in \ell_{\infty}\colon \varphi=\varphi_0+\overline{\Phi}(v, \varphi_0)+v,\, v\in E_2\}\bigr) \nonumber \\ &\qquad\subset\{\varphi\in \ell_{\infty}\colon \varphi=\varphi_1+\Phi(v, \varphi_1)+v,\, v\in E_2\}; \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
здесь $\varphi_1=\varphi_1(\varphi_0)$ – функция из (3.22). Другими словами, вектор-функция $\varphi=\varphi_0+\overline{\Phi}(v, \varphi_0)+v$ удовлетворяет уравнению
$$
\begin{equation}
\Lambda\varphi+g(\varphi)=\varphi_1+\Phi(\widetilde{v},\varphi_1)+\widetilde{v},
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\widetilde{v}=Q(\Lambda\varphi+g(\varphi)-\varphi_1)\in E_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Проблема доказательства леммы 3.3 сводится к установлению следующих двух фактов. Во-первых, покажем, что при любой вектор-функции $\Phi$ из пространства $\mathscr{H}_0$ уравнение (3.28) однозначно разрешимо и его решение имеет вид $\varphi=\varphi_0+\overline{\Phi}(v, \varphi_0)+v$, где вектор-функция $\overline{\Phi}(v, \varphi_0)$ также принадлежит пространству $\mathscr{H}_0$. Во-вторых, убедимся в сжимаемости оператора (3.26). Соответствующий анализ проведем сначала для случая (2.3), а об изменениях доказательства в случае (2.40) скажем отдельно. Выполняя в (3.28) подстановку $\varphi=\varphi_0+u+v$, $u\in E_1$, $v\in E_2$, и применяя к получившемуся выражению проектор $P$, убеждаемся в том, что функция $u=\overline{\Phi}(v, \varphi_0)\in E_1$ является решением уравнения
$$
\begin{equation}
\Lambda_1u+P\,g(\varphi_0+u+v)=\Phi(\widetilde{v}(u, v, \varphi_0), \varphi_1) -P(\Lambda\varphi_0-\varphi_1),
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
где
$$
\begin{equation}
\widetilde{v}(u, v, \varphi_0)=Q(\Lambda\varphi_0-\varphi_1)+\Lambda_2v+Q\, g(\varphi_0+u+v)\in E_2.
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
При анализе уравнения (3.29) нам потребуется вектор-функция (3.8). Данная функция позволяет записать упомянутое уравнение в виде где
$$
\begin{equation}
\Gamma_{\Phi}(u, v, \varphi_0)=\Sigma(z, v, \varphi_0)\big|_{z=\Phi(\widetilde{v}, \varphi_1)-P(\Lambda\varphi_0-\varphi_1)},
\end{equation}
\tag{3.32}
$$
а $\widetilde{v}=\widetilde{v}(u, v, \varphi_0)$ – функция (3.30).
Для анализа уравнения (3.31) обратимся к формулам (3.9), (3.10), (3.30), из которых следует, что
$$
\begin{equation}
\biggl\|\frac{\partial}{\partial z}\Sigma(z, v, \varphi_0)\biggr\|\leqslant \alpha_1,\qquad \biggl\|\frac{\partial}{\partial v}\Sigma(z, v, \varphi_0)\biggr\|\leqslant \beta_2,
\end{equation}
\tag{3.33}
$$
$$
\begin{equation}
\|\widetilde{v}(u_1, v, \varphi_0)-\widetilde{v}(u_2, v, \varphi_0)\|\leqslant \beta_1\|u_1-u_2\|\quad \forall\,u_1,\,u_2\in E_1,
\end{equation}
\tag{3.34}
$$
где, напомним, $\alpha_1$, $\beta_1$, $\beta_2$ – постоянные из (1.31), (1.32). В свою очередь, объединяя оценки (3.33), (3.34) с предполагаемым неравенством (3.24), нетрудно увидеть, что вектор-функция (3.32) удовлетворяет по переменной $u$ условию Липшица
$$
\begin{equation}
\|\Gamma_{\Phi}(u_1, v, \varphi_0)-\Gamma_{\Phi}(u_2, v, \varphi_0)\|\leqslant \alpha_1\beta_1\mathscr{R}\|u_1-u_2\|\quad \forall\,u_1,u_2\in E_1.
\end{equation}
\tag{3.35}
$$
Всюду ниже считаем, что Тогда в силу оценок (3.35), (3.36) к уравнению (3.31) можно применить принцип сжимающих отображений по $u\in E_1$ (при фиксированных $v$, $\varphi_0$). Из этого принципа следует, что оно допускает единственное решение $u=\overline{\Phi}(v, \varphi_0)\in E_1$, непрерывно зависящее от $(v, \varphi_0)\in E_2\times \ell_{\infty}$ (поскольку согласно (3.35), (3.36) сжатие равномерно по переменным $v$, $\varphi_0$).Покажем теперь, что $\overline{\Phi}(v, \varphi_0)\in \mathscr{H}_0$. Для проверки первых двух свойств из (3.23) заметим, что в силу аналогичных свойств функции $\Phi(v, \varphi_0)$ и формулы (3.22) уравнение (3.29) не меняется при преобразованиях
$$
\begin{equation*}
\varphi_0\to\varphi_0+2\pi l,\qquad l\in\mathbb{Z}^{\infty},
\end{equation*}
\notag
$$
и обращается в верное равенство при $u=0$, $v=0$. Тем самым, первым двум соотношениям из (3.23) удовлетворяет и функция $\overline{\Phi}(v, \varphi_0)$.
Для проверки факта ограниченности $\overline{\Phi}$ заметим, что согласно (3.7), (3.13), (3.33) вектор-функция (3.8) допускает оценку вида
$$
\begin{equation*}
\|\Sigma(z, v, \varphi_0)\|\leqslant c_1+c_2\|z\|, \qquad c_1,c_2=\mathrm{const}>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая эту оценку вместе со свойством ограниченности $\Phi(v, \varphi_0)$ (см. (3.23)) в формулах (3.31), (3.32), убеждаемся в том, что
$$
\begin{equation*}
\sup_{(v, \varphi_0)\in E_2\times \ell_{\infty}}\|\overline{\Phi}(v, \varphi_0)\|<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, далее, что вектор-функция $\overline{\Phi}(v, \varphi_0)$ удовлетворяет по переменной $v\in E_2$ условию Липшица. В связи с этим фиксируем произвольно элементы $v_1, v_2\in E_2$ и обратимся к формулам (3.30), (3.32). Из упомянутых формул с учетом оценок (3.33) последовательно выводим
$$
\begin{equation}
\|\widetilde{v}(u, v_1, \varphi_0)-\widetilde{v}(u, v_2, \varphi_0)\|\leqslant \alpha_2\|v_1-v_2\|,
\end{equation}
\tag{3.37}
$$
$$
\begin{equation}
\|\Gamma_{\Phi}(u, v_1, \varphi_0)-\Gamma_{\Phi}(u, v_2, \varphi_0)\|\leqslant(\beta_2+\alpha_1\alpha_2\mathscr{R})\|v_1-v_2\|.
\end{equation}
\tag{3.38}
$$
Полагая затем $u_1=\overline{\Phi}(v_1, \varphi_0)$, $u_2=\overline{\Phi}(v_2, \varphi_0)$ и опираясь на серию неравенств (3.35)–(3.38), убеждаемся в том, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \|u_1-u_2\|&=\|\Gamma_{\Phi}(u_1, v_1, \varphi_0)-\Gamma_{\Phi}(u_2, v_2, \varphi_0)\| \\ &\leqslant (\beta_2+\alpha_1\alpha_2\mathscr{R})\|v_1-v_2\|+ \alpha_1\beta_1\mathscr{R}\|u_1-u_2\|, \end{aligned} \\ \|u_1-u_2\|\leqslant\frac{\alpha_1\alpha_2\mathscr{R}+\beta_2}{1-\alpha_1\beta_1\mathscr{R}} \|v_1-v_2\|. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, требуемое включение $\overline{\Phi}(v, \varphi_0)\in \mathscr{H}_0$ будет заведомо выполнено, если постоянная $\mathscr{R}$ из (3.24) удовлетворяет уравнению
$$
\begin{equation}
\frac{\alpha_1\alpha_2\mathscr{R}+\beta_2}{1-\alpha_1\beta_1\mathscr{R}}= \mathscr{R}
\end{equation}
\tag{3.39}
$$
и неравенству (3.36).
Нетрудно заметить, что уравнение (3.39) эквивалентно уравнению (2.35), а значит, имеет при условиях (2.4) на полуоси $\mathscr{R}\geqslant 0$ два различных корня. Поэтому положим $\mathscr{R}=\mathscr{R}_*$, где $\mathscr{R}_*$ – величина (2.36). Тогда априорное требование (3.36) выполняется автоматически. Итак, оператор $T$ действует из $\mathscr{H}_0$ в $\mathscr{H}_0$. Проверим теперь справедливость неравенства
$$
\begin{equation}
\rho(T(\Phi_1), T(\Phi_2))\leqslant q\rho(\Phi_1, \Phi_2)\quad \forall\,\Phi_1, \Phi_2\in \mathscr{H}_0,
\end{equation}
\tag{3.40}
$$
где $\rho$ – метрика (3.25), $q=\mathrm{const}\in (0, 1)$.
Для доказательства оценки (3.40) выберем произвольно две функции $\Phi_1, \Phi_2\in \mathscr{H}_0$ и положим $\overline{\Phi}_1=T(\Phi_1)$, $\overline{\Phi}_2=T(\Phi_2)$. Далее, остановимся на зависимости от $\Phi$ вектор-функции $\Gamma_\Phi$ из (3.31). Опираясь на ее явную формулу (3.32) и полагая $z_j=\Phi_j(\widetilde{v}, \varphi_1)-P(\Lambda\varphi_0-\varphi_1)$, $j=1, 2$, заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\Gamma_{\Phi_1}(u, v, \varphi_0)-\Gamma_{\Phi_2}(u, v, \varphi_0)\| &= \|\Sigma(z_1, v, \varphi_0)-\Sigma(z_2, v, \varphi_0)\| \\ &\leqslant\alpha_1\|z_1-z_2\|\leqslant\alpha_1\rho(\Phi_1, \Phi_2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Объединяя это свойство с (3.35) (при $\mathscr{R}=\mathscr{R}_*$), приходим к цепочке неравенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\overline{\Phi}_1(v, \varphi_0)-\overline{\Phi}_2(v, \varphi_0)\| &= \|\Gamma_{\Phi_1}(\overline{\Phi}_1, v, \varphi_0)-\Gamma_{\Phi_2}(\overline{\Phi}_2, v, \varphi_0)\| \\ &\leqslant\alpha_1\rho(\Phi_1, \Phi_2)+\alpha_1\beta_1\mathscr{R}_*\rho(\overline{\Phi}_1, \overline{\Phi}_2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
А отсюда очевидным образом следует, что оценка (3.40) имеет место с константой
$$
\begin{equation}
q=\frac{\alpha_1}{1-\alpha_1\beta_1\mathscr{R_*}}<1
\end{equation}
\tag{3.41}
$$
(данное неравенство – следствие условий (2.4) и выбора (2.36) значения $\mathscr{R_*}$).
Проделанный выше анализ показывает, что уравнение допускает в пространстве $\mathscr{H}_0$ единственное решение $\Phi_*(v, \varphi_0)$. Более того, из соотношений (3.26), (3.27) вытекает справедливость включения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\widetilde{G}\bigl(\{\varphi\in \ell_{\infty}\colon \varphi=\varphi_0+\Phi_*(v, \varphi_0)+v,\,v\in E_2\}\bigr) \nonumber \\ &\qquad\subset \{\varphi\in \ell_{\infty}\colon \varphi=\varphi_1+\Phi_*(v, \varphi_1)+v,\,v\in E_2\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.43}
$$
Подводя итог, интересующее нас слоение $\widetilde{\mathcal{F}}^s$ определим посредством равенств (3.2), в которых $\Phi_*(v, \varphi_0)$ – решение уравнения (3.42). По построению вектор-функция $\Phi_*(v, \varphi_0)$ удовлетворяет соотношениям (1.38), (1.39). Далее, из свойства (3.43) следует, что многообразия $\widetilde{\mathcal{F}}^s(\varphi_0)$ инвариантны, т. е.
$$
\begin{equation}
\widetilde{G}\bigl(\widetilde{\mathcal{F}}^s(\varphi_0)\bigr)\subset \widetilde{\mathcal{F}}^s\bigl(\widetilde{G}(\varphi_0)\bigr)\quad \forall\,\varphi_0\in \ell_{\infty}.
\end{equation}
\tag{3.44}
$$
Кроме того, в силу единственности решения $\Phi_*(v, \varphi_0)$ уравнения (3.42) через каждую точку $\varphi_0\in \ell_{\infty}$ проходит ровно одно такое многообразие. А это значит, что в пространстве $\ell_{\infty}$ мы построили требуемое слоение (3.2), инвариантное для оператора (3.1).
Итак, в случае (2.3) утверждение леммы 3.3 полностью обосновано. Что же касается случая (2.40), то здесь, не приводя подробных выкладок, сделаем акцент лишь на новых моментах. Обратимся сначала к вопросу о нахождении фигурирующей в (3.26) функции $\overline{\Phi}(v, \varphi_0)$. С этой целью положим
$$
\begin{equation}
\overline{z}(v, \varphi_0)=\bigl(\Lambda_1u+P\,g(\varphi_0+u+v)\bigr)\big|_{u=\overline{\Phi}(v, \varphi_0)}.
\end{equation}
\tag{3.45}
$$
Из (3.29), (3.30) следует, что вектор-функция $z=\overline{z}(v, \varphi_0)$ является решением уравнения где
$$
\begin{equation}
\Gamma_{\Phi}\stackrel{\mathrm{def}}{=} \Phi(\widetilde{v}(u, v, \varphi_0), \varphi_1)\big|_{u=\Sigma(z, v, \varphi_0)}-P(\Lambda\varphi_0-\varphi_1),
\end{equation}
\tag{3.47}
$$
а $\widetilde{v}(u, v, \varphi_0)$ – функция (3.30).
При анализе уравнения (3.46) воспользуемся соотношениями (3.9), (3.10). Объединяя эту информацию с явной формулой (3.30) для $\widetilde{v}(u, v, \varphi_0)$, убеждаемся в том, что
$$
\begin{equation}
\|\widetilde{v}(\Sigma(z_1, v, \varphi_0), v, \varphi_0)-\widetilde{v}(\Sigma(z_2, v, \varphi_0), v, \varphi_0)\|\leqslant\gamma_1\|z_1-z_2\|\quad \forall\,z_1, z_2\in E_1,
\end{equation}
\tag{3.48}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\|\widetilde{v}(\Sigma(z, v_1, \varphi_0), v_1, \varphi_0)-\widetilde{v}(\Sigma(z, v_2, \varphi_0), v_2, \varphi_0)\| \\ &\qquad\leqslant(\alpha_2+\gamma_1\gamma_2)\|v_1-v_2\|\quad \forall\,v_1, v_2\in E_2. \end{split}
\end{equation}
\tag{3.49}
$$
В свою очередь, из оценок (3.24), (3.48) и формулы (3.47) вытекает, что
$$
\begin{equation}
\|\Gamma_{\Phi}(z_1, v, \varphi_0)-\Gamma_{\Phi}(z_2, v, \varphi_0)\|\leqslant \gamma_1\mathscr{R}\,\|z_1-z_2\|\quad \forall\,z_1, z_2\in E_1.
\end{equation}
\tag{3.50}
$$
Принимая во внимание неравенство (3.50) и предполагая, что величина $\mathscr{R}$ из (3.24) удовлетворяет условию приходим к выводу, что к уравнению (3.46) можно применить принцип сжимающих отображений по переменной $z\in E_1$. Тем самым, упомянутое уравнение однозначно разрешимо и его решение $z=\overline{z}(v, \varphi_0)$ непрерывно по совокупности переменных $(v, \varphi_0)\in E_2\times\ell_{\infty}$. Что же касается функции $\overline{\Phi}(v, \varphi_0)$, то для нее из (3.45) имеем
$$
\begin{equation}
\overline{\Phi}(v, \varphi_0)=\Sigma(z, v, \varphi_0)|_{z=\overline{z}(v, \varphi_0)}.
\end{equation}
\tag{3.52}
$$
Приступим к проверке для функции (3.52) свойств (3.23), (3.24). Заметим, что соотношения (3.23) справедливы здесь по тем же причинам, что и в предыдущем случае. Опираясь, далее, на оценки (3.49)–(3.51) и вытекающие из (3.9), (3.10) неравенства
$$
\begin{equation}
\biggl\|\frac{\partial}{\partial z}\Sigma(z, v, \varphi_0)\biggr\|\leqslant\alpha_1,\qquad \biggl\|\frac{\partial}{\partial v}\Sigma(z, v, \varphi_0)\biggr\|\leqslant\alpha_1\gamma_2,
\end{equation}
\tag{3.53}
$$
последовательно выводим:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|\overline{z}(v_1, \varphi_0)-\overline{z}(v_2, \varphi_0)\|&\leqslant \frac{\mathscr{R}(\alpha_2+\gamma_1\gamma_2)}{1-\gamma_1\mathscr{R}}\|v_1-v_2\|, \\ \|\overline{\Phi}(v_1, \varphi_0)-\overline{\Phi}(v_2, \varphi_0)\|&\leqslant \frac{\alpha_1(\gamma_2+\alpha_2\mathscr{R})}{1-\gamma_1\mathscr{R}}\|v_1-v_2\|, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.54}
$$
где $v_1,v_2\in E_2$. После этого распорядимся выбором постоянной $\mathscr{R}$. А именно, будем считать, что она является корнем аналогичного (3.39) уравнения
$$
\begin{equation}
\frac{\alpha_1(\gamma_2+\alpha_2\mathscr{R})}{1-\gamma_1\mathscr{R}}= \mathscr{R},
\end{equation}
\tag{3.55}
$$
удовлетворяющим оценке (3.51). Тогда, очевидно, функция $\overline{\Phi}(v, \varphi_0)$ будет обладать требуемым свойством (3.24).
Отметим, что описанный выше способ выбора $\mathscr{R}$ возможен. Действительно, после замены $\mathscr{R}/\alpha_1\to\mathscr{R}$ уравнение (3.55) преобразуется к уравнению (2.55), которое, напомним, при условиях (2.41) допускает на полуоси $\mathscr{R}\geqslant 0$ два различных корня. Таким образом, положим в (3.24) $\mathscr{R}=\alpha_1\mathscr{R}_*$, где $\mathscr{R}_*$ – наименьший корень уравнения (2.55). В этом случае априорное условие (3.51) выполняется автоматически, а значит, имеет место и нужное включение $T(\mathscr{H}_0)\subset\mathscr{H}_0$. Вопрос о справедливости для оператора (3.26) оценки вида (3.40) решается по той же схеме, что и в предыдущем случае. А именно, сначала, опираясь на явный вид $\Gamma_{\Phi}$ (см. (3.47)), заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|\Gamma_{\Phi_1}(z, v, \varphi_0)-\Gamma_{\Phi_2}(z, v, \varphi_0)\|\leqslant \rho(\Phi_1, \Phi_2), \\ \|\overline{z}_1(v, \varphi_0)-\overline{z}_2(v, \varphi_0)\|\leqslant \frac{1}{1-\alpha_1\gamma_1\mathscr{R}_*}\,\rho(\Phi_1, \Phi_2), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Phi_1, \Phi_2\in\mathscr{H}_0$, $\overline{z}_1$, $\overline{z}_2$ – решения уравнения (3.46) при $\Phi=\Phi_1$ и $\Phi=\Phi_2$ соответственно. А отсюда и из (3.52) выводим неравенство (3.40) с константой Остается добавить, что оценка $q<1$ – следствие условий (2.41). Лемма 3.3 полностью доказана. Следующая лемма описывает поведение полутраекторий $\widetilde{G}^n(\varphi_1)$, $\widetilde{G}^n(\varphi_2)$, $n\geqslant 0$, отображения (3.1) с начальными условиями $\varphi_1$, $\varphi_2$, принадлежащими одному и тому же слою $\widetilde{\mathcal{F}}^s(\varphi_0)$, $\varphi_0\in\ell_{\infty}$. Как оказывается, при $n\to+\infty$ имеет место свойство экспоненциального сближения этих полутраекторий. Лемма 3.4. Найдется такая постоянная $r_1>0$, что Доказательство. Зафиксируем произвольно точки
$$
\begin{equation*}
\varphi_0\in\ell_{\infty},\qquad \varphi_1,\varphi_2\in\widetilde{\mathcal{F}}^s(\varphi_0)
\end{equation*}
\notag
$$
и рассмотрим соответствующие им итерации
$$
\begin{equation*}
\varphi_{j, n}=\widetilde{G}^n(\varphi_j),\qquad j=0, 1, 2,\quad n\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, далее, что в силу свойства инвариантности (3.44) справедливы включения $\varphi_{j, n}\in\widetilde{\mathcal{F}}^s(\varphi_{0, n})$, $j=1, 2$, $n\geqslant 0$, означающие (см. (3.2)), что
$$
\begin{equation}
\varphi_{j, n}=\varphi_{0, n}+\Phi_*(v_{j, n}, \varphi_{0, n})+v_{j, n}, \qquad j=1, 2,\quad n\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{3.57}
$$
где В свою очередь, из формул (3.57), (3.58) и неравенства (3.24) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\|\varphi_{1, n}-\varphi_{2, n}\|\leqslant (1+\mathscr{R})\|v_{1, n}-v_{2, n}\|.
\end{equation*}
\notag
$$
А отсюда очевидным образом следует, что свойство экспоненциального сближения (3.56) будет установлено, если мы покажем справедливость оценок
Рассмотрим сначала случай (2.3), в котором нам потребуется вспомогательная вектор-функция
$$
\begin{equation}
\Delta(u, v, \varphi_0)=\Lambda_2v+Q\,g(\varphi_0+u+v)
\end{equation}
\tag{3.60}
$$
со значениями в $E_2$, зависящая от переменных $u\,{\in}\, E_1$, $v\,{\in}\, E_2$, $\varphi_0\,{\in}\,\ell_{\infty}$. Нетрудно увидеть, что для ее частных производных имеют место равенства
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial\Delta}{\partial u}=\Lambda_{1, 2}(\varphi_0+u+v),\qquad \frac{\partial\Delta}{\partial v}=\Lambda_{2, 2}(\varphi_0+u+v),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Lambda_{1, 2}, \Lambda_{2, 2}$ – операторы (1.28), (1.29). А отсюда и из (1.31), (1.32) заключаем, что
$$
\begin{equation}
\biggl\|\frac{\partial\Delta}{\partial u}\biggr\|\leqslant\beta_1,\qquad \biggl\|\frac{\partial\Delta}{\partial v}\biggr\|\leqslant\alpha_2.
\end{equation}
\tag{3.61}
$$
Обратимся теперь к векторам $v_{j, n}$, $j=1, 2$. Из формул (3.57), (3.58) и соотношений
$$
\begin{equation*}
\varphi_{j, n}=\Lambda\varphi_{j, n-1}+g(\varphi_{j, n-1}),\qquad j=0, 1, 2,
\end{equation*}
\notag
$$
для их разности несложно вывести представление
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v_{1, n}-v_{2, n} &=\Delta(u, v_{1, n-1}, \varphi_{0, n-1})\big|_{u=\Phi_*(v_{1, n-1}, \varphi_{0, n-1})} \nonumber \\ &\qquad-\Delta(u, v_{2, n-1}, \varphi_{0, n-1})\big|_{u=\Phi_*(v_{2, n-1}, \varphi_{0, n-1})}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.62}
$$
где $\Delta(u, v, \varphi_0)$ – функция (3.60). Объединим затем оценку (3.24) (при $\mathscr{R}=\mathscr{R}_*$, где $\mathscr{R}_*$ – величина (2.36)) с неравенствами (3.61). В результате из формулы (3.62) имеем
$$
\begin{equation*}
\|v_{1, n}-v_{2, n}\|\leqslant(\alpha_2+\beta_1\mathscr{R}_*)\|v_{1, n-1}-v_{2, n-1}\|\quad\forall\,n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Что же касается получившихся оценок, то в силу (2.37) они совпадают с искомыми неравенствами (3.59).
Случай (2.40) чуть сложнее. Здесь вместо вектор-функции (3.60) нам потребуется функция
$$
\begin{equation}
H(z, v, \varphi_0)=\Lambda_2v+Q\,g(\varphi_0+\Sigma(z, v, \varphi_0)+v)\in E_2
\end{equation}
\tag{3.63}
$$
переменных $z\in E_1$, $v\in E_2$, $\varphi_0\in\ell_{\infty}$. Нетрудно увидеть, что для этой функции из равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\partial H}{\partial z}&=\Lambda_{1, 2}(\varphi_0+u+v)\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi_0+u+v)\big|_{u=\Sigma(z, v, \varphi_0)}, \\ \frac{\partial H}{\partial v}&=\bigl[\Lambda_{2, 2}(\varphi_0+u+v) \\ &\qquad-\Lambda_{1, 2}(\varphi_0+u+v)\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi_0+u+v) \Lambda_{2, 1}(\varphi_0+u+v)\bigr]\big|_{u=\Sigma(z, v, \varphi_0)} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и формул (1.31), (1.33) вытекают оценки
$$
\begin{equation}
\biggl\|\frac{\partial H}{\partial z}\biggr\|\leqslant\gamma_1,\qquad \biggl\|\frac{\partial H}{\partial v}\biggr\|\leqslant\alpha_2+\gamma_1\gamma_2.
\end{equation}
\tag{3.64}
$$
Отметим, что в случае (2.40) аналогом формулы (3.62) является соотношение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v_{1, n}-v_{2, n} &=H(z, v_{1, n-1}, \varphi_{0, n-1})\big|_{z=\overline{z}_*(v_{1, n-1}, \varphi_{0, n-1})} \nonumber \\ &\qquad-H(z, v_{2, n-1}, \varphi_{0, n-1})\big|_{z=\overline{z}_*(v_{2, n-1}, \varphi_{0, n-1})}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.65}
$$
где
$$
\begin{equation}
\overline{z}_*(v, \varphi_0)=(\Lambda_1u+P\,g(\varphi_0+u+v))\big|_{u=\Phi_*(v, \varphi_0)}.
\end{equation}
\tag{3.66}
$$
Далее, из первого неравенства (3.54) заключаем, что фигурирующая в (3.65) функция (3.66) удовлетворяет оценке
$$
\begin{equation}
\|\overline{z}_*(v_1, \varphi_0)-\overline{z}(v_2, \varphi_0)\|\leqslant \frac{\mathscr{R}(\alpha_2+\gamma_1\gamma_2)}{1-\gamma_1\mathscr{R}} \|v_1-v_2\|\quad \forall\,v_1,v_2\in E_2,
\end{equation}
\tag{3.67}
$$
где теперь константа $\mathscr{R}$ задается формулой $\mathscr{R}=\alpha_1\mathscr{R}_*$, а $\mathscr{R}_*$ – наименьший корень уравнения (2.55).
Последующий анализ стандартен: из представления (3.65) и свойств (3.64) функции (3.63) вытекает неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|v_{1, n}-v_{2, n}\| &\leqslant\gamma_1\|\overline{z}_*(v_{1, n-1}, \varphi_{0, n-1})-\overline{z}_*(v_{2, n-1}, \varphi_{0, n-1})\| \\ &\qquad+(\alpha_2+\gamma_1\gamma_2)\|v_{1, n-1}-v_{2, n-1}\|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
из которого, в свою очередь, с учетом оценки (3.67) после некоторых преобразований выводим
$$
\begin{equation*}
\|v_{1, n}-v_{2, n}\|\leqslant(\alpha_2+\gamma_1\mathscr{R}_*)\|v_{1, n-1}-v_{2, n-1}\|\quad\forall\,n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Остается лишь добавить, что и здесь константа $\alpha_2+\gamma_1\mathscr{R}_*$ совпадает с постоянной $\mu_2$ из неравенства (1.21). Лемма 3.4 доказана. Как уже было сказано в начале данного параграфа, искомое слоение $\mathcal{F}^s$ на торе $\mathbb{T}^{\infty}$ (см. (1.42)) получается из слоения (3.2) с помощью формулы (3.3). Это слоение заведомо инвариантно для оператора $G$, поскольку в силу соотношения
$$
\begin{equation}
G(\varphi)=p\big[\widetilde{G}(p^{-1}(\varphi))\big]\quad \forall\,\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}
\end{equation}
\tag{3.68}
$$
и включения (3.44) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, G(\mathcal{F}^s(\varphi_0))&= G\bigl[p\bigl(\widetilde{\mathcal{F}}^s(p^{-1}(\varphi_0))\bigr)\bigr]= p\bigl[\widetilde{G}\bigl(\widetilde{\mathcal{F}}^s(p^{-1}(\varphi_0))\bigr)\bigr]\subset p\bigl[\widetilde{\mathcal{F}}^s\bigl(\widetilde{G}(p^{-1}(\varphi_0))\bigr)\bigr] \\ &=p\bigl[\widetilde{\mathcal{F}}^s\bigl(p^{-1}(G(\varphi_0))\bigr)\bigr] =\mathcal{F}^s\bigl(G(\varphi_0)\bigr)\quad \forall\,\varphi_0\in \mathbb{T}^{\infty}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, на $\mathcal{F}^s$ наблюдается экспоненциальное сближение траекторий, т. е. справедливо свойство (1.43). Действительно, в силу того что естественная проекция $p\colon \ell_{\infty}\to\mathbb{T}^{\infty}$ (см. (1.17)) является локальным изоморфизмом, найдется постоянная $\varepsilon_0>0$ со следующими свойствами:
$$
\begin{equation}
\rho(\varphi_1, \varphi_2)=\|\overline{\varphi}_1-\overline{\varphi}_2\| \quad \forall\,\overline{\varphi}_1, \overline{\varphi}_2\in\ell_{\infty},\qquad \|\overline{\varphi}_1-\overline{\varphi}_2\|<\varepsilon_0,
\end{equation}
\tag{3.69}
$$
где $\varphi_j=p(\overline{\varphi}_j)$, $j=1, 2$. Таким образом, для любых элементов $\varphi_1,\varphi_2\in\mathcal{F}^s(\varphi_0)$, где $\varphi_0\in\mathbb{T}^{\infty}$, при априорных предположениях
$$
\begin{equation}
\|\widetilde{G}^n(\overline{\varphi}_1)- \widetilde{G}^n(\overline{\varphi}_2)\|<\varepsilon_0,\qquad n=0, 1, \dots,
\end{equation}
\tag{3.70}
$$
из (3.56), (3.69) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \rho(G^n(\varphi_1), G^n(\varphi_2))&=\rho(p(\widetilde{G}^n(\overline{\varphi}_1)), p(\widetilde{G}^n(\overline{\varphi}_2))) \nonumber \\ &=\|\widetilde{G}^n(\overline{\varphi}_1)-\widetilde{G}^n(\overline{\varphi}_2)\| \leqslant r_1\mu_2^n\|\overline{\varphi}_1-\overline{\varphi}_2\| =r_1\mu_2^n\rho(\varphi_1, \varphi_2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.71}
$$
Остается заметить, что в силу (3.71) и условия $\mu_2<1$ априорные требования (3.70) при подходящем уменьшении величины $\varepsilon$ из (1.43) действительно выполняются. Суммируя проделанные в данном параграфе построения, приходим к выводу о справедливости утверждений теорем 1.2, 1.3 в части, касающейся устойчивого слоения $\mathcal{F}^s$. § 4. Построение неустойчивого инвариантного слоенияВ случае слоения $\mathcal{F}^u$ общая схема исследования та же самая, что и в предыдущем разделе. Как и ранее, сначала строится инвариантное для оператора (3.1) слоение
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widetilde{\mathcal{F}}^u=\{\widetilde{\mathcal{F}}^u(\varphi_0),\, \varphi_0\in\ell_{\infty}\}, \\ \widetilde{\mathcal{F}}^u(\varphi_0)=\{\varphi\in\ell_{\infty}\colon \varphi=\varphi_0+u+\Psi_*(u, \varphi_0),\, u\in E_1\}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где вектор-функция $\Psi_*(u, \varphi_0)$ обладает всеми описанными в § 1 общими свойствами (см. (1.40), (1.41)), а затем осуществляется переход от $\widetilde{\mathcal{F}}^u$ к искомому слоению $\mathcal{F}^u$ по аналогичному (3.3) правилу
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}^u=\bigl\{\mathcal{F}^u(\varphi_0)= p\bigl(\widetilde{\mathcal{F}}^u(p^{-1}(\varphi_0))\bigr),\, \varphi_0\in \mathbb{T}^{\infty}\bigr\}.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Проблему существования вспомогательного слоения (4.1) решает следующее утверждение. Лемма 4.1. В рамках условий теоремы 1.2 инвариантное слоение (4.1), обладающее свойствами (1.40), (1.41), существует и единственно. Доказательство. Как и при обосновании леммы 3.3, обозначим через $\mathscr{H}_0$ пространство вектор-функций $v=\Psi(u, \varphi_0)$ со значениями в $E_2$, непрерывных по $(u, \varphi_0)\in E_1\times \ell_{\infty}$ и таких, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Psi(0, \varphi_0)\equiv 0,\qquad \Psi(u, \varphi_0+2\pi l)\equiv\Psi(u, \varphi_0) \quad \forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty}, \\ \sup_{(u, \varphi_0)\in E_1\times \ell_{\infty}}\|\Psi(u, \varphi_0)\|<\infty, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
$$
\begin{equation}
\|\Psi(u_1, \varphi_0)-\Psi(u_2, \varphi_0)\|\leqslant\mathscr{L}\|u_1-u_2\|\quad \forall\,u_1,u_2\in E_1.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Здесь $\mathscr{L}\geqslant 0$ – некоторая фиксированная постоянная (не зависящая от $u_1$, $u_2$, $\varphi_0$ и от конкретной функции $\Psi$), выбором которой распорядимся в последующем. Как будет ясно из дальнейшего анализа, способ этого выбора совпадает с описанным при доказательстве леммы 2.1. Заметим также, что после задания метрики аналогичным (3.25) равенством пространство $\mathscr{H}_0$ становится полным.
На следующем этапе доказательства определим на $\mathscr{H}_0$ аналогичный (3.26) оператор $T$ по правилу: где вектор-функция $\overline{\Psi}(u, \varphi_0)$ такова, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\widetilde{G}\bigl(\{\varphi\in \ell_{\infty}\colon \varphi=\varphi_0+u+\Psi(u, \varphi_0),\, u\in E_1\}\bigr) \nonumber \\ &\qquad\subset\{\varphi\in \ell_{\infty}\colon \varphi=\varphi_1+u+\overline{\Psi}(v, \varphi_1),\,u\in E_1\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Здесь, как и ранее, $\varphi_1=\widetilde{G}(\varphi_0)$. Однако ниже для удобства будем считать, что $\varphi_0=\widetilde{G}^{-1}(\varphi_1)$, а $\varphi_1$ – независимая переменная, пробегающая пространство $\ell_{\infty}$.
Наша ближайшая задача – показать, что оператор (4.6) переводит пространство $\mathscr{H}_0$ в себя и является сжимающим. Как и при доказательстве леммы 3.3, соответствующий анализ проделаем сначала для случая (2.3), а случай (2.40) изложим с меньшей степенью подробности. Нетрудно увидеть, что включение (4.7) означает выполнение соотношения
$$
\begin{equation}
\widetilde{G}(\varphi)\big|_{\varphi=\varphi_0+u+\Psi(u, \varphi_0)}= \varphi_1+\widetilde{u}+\overline{\Psi}(\widetilde{u}, \varphi_1),
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
где
$$
\begin{equation}
\widetilde{u}=\Lambda_1u+Pg(\varphi_0+u+\Psi(u, \varphi_0))+P(\Lambda\varphi_0-\varphi_1).
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Далее, применяя к равенству (4.8) проектор $Q$, приходим к выводу, что
$$
\begin{equation}
\overline{\Psi}(\widetilde{u}, \varphi_1)=Q(\Lambda\varphi_0-\varphi_1)+ \Lambda_2\Psi(u, \varphi_0)+Qg(\varphi_0+u+\Psi(u, \varphi_0)).
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Тем самым, для отыскания $\overline{\Psi}(u, \varphi_0)$ достаточно выразить из (4.9) аргумент $u\in E_1$ через $\widetilde{u}\in E_1$, подставить получившуюся формулу в (4.10), а затем переобозначить $\widetilde{u}$ через $u$, $\varphi_1$ через $\varphi_0$.
Итак, фиксируем произвольно вектор $\widetilde{u}\in E_1$ и рассмотрим равенство (4.9) как уравнение для отыскания $u\in E_1$. Используя функцию (3.8), перепишем его в эквивалентной форме
$$
\begin{equation}
u=\Sigma(z, v, \varphi_0)\big|_{z=\widetilde{u}-P(\Lambda\varphi_0-\varphi_1),\, v=\Psi(u, \varphi_0)}
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
и заметим, что в силу (3.33), (4.4)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\|\Sigma(z, \Psi(u_1, \varphi_0), \varphi_0)-\Sigma(z, \Psi(u_2, \varphi_0), \varphi_0)\| \nonumber \\ &\qquad\leqslant\beta_2\mathscr{L}\|u_1-u_2\|\quad \forall\, u_1,u_2\in E_1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
А отсюда и из априорного предположения (2.11) (которое в случае (2.3) считаем выполненным) заключаем, что к уравнению (4.11) можно применить принцип сжимающих отображений по переменной $u$. Следовательно, оно допускает единственное решение $u=u_{\Psi}(\widetilde{u}, \varphi_1)$, непрерывное по совокупности переменных $(\widetilde{u}, \varphi_1)\in E_1\times \ell_{\infty}$. Отметим еще, что из (4.9) и равенства $\Psi(0, \varphi_0)\equiv 0$ (см. (4.3)) вытекает свойство
После введения вспомогательной функции $u=u_{\Psi}(\widetilde{u}, \varphi_1)$ вектор-функция $\overline{\Psi}(u, \varphi_0)$, являющаяся образом $\Psi(u, \varphi_0)\in\mathscr{H}_0$ под действием оператора $T$, может быть выписана в явном виде. А именно, из (4.9), (4.10) для нее имеем
$$
\begin{equation}
\overline{\Psi}(u, \varphi_0)=\overline{\Psi}(\widetilde{u}, \varphi_1)\big|_{\widetilde{u}\to u,\,\varphi_1\to\varphi_0}.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Здесь операции $\widetilde{u}\to u$, $\varphi_1\to\varphi_0$ означают переобозначение переменных, а функция $\overline{\Psi}(\widetilde{u}, \varphi_1)$, $(\widetilde{u}, \varphi_1)\in E_1\times \ell_{\infty}$, задана равенством
$$
\begin{equation}
\overline{\Psi}(\widetilde{u}, \varphi_1)=\widetilde{v}(u, \Psi(u, \varphi_0), \varphi_0)\big|_{u=u_{\Psi}(\widetilde{u}, \varphi_1),\, \varphi_0=\widetilde{G}^{-1}(\varphi_1)},
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
где $\widetilde{v}(u, v, \varphi_0)$ – функция (3.30).
Для проверки наличия у функции $\overline{\Psi}(u, \varphi_0)$ свойств (4.3) заметим, что из аналогичных свойств функции $\Psi(u, \varphi_0)$, оценки (3.13) и формул (3.30), (4.13) вытекают соотношения вида
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \overline{\Psi}(0, \varphi_1)\equiv 0,\qquad \overline{\Psi}(\widetilde{u}, \varphi_1+2\pi l)\equiv\overline{\Psi}(\widetilde{u}, \varphi_1)\quad \forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty}, \\ \sup_{(\widetilde{u}, \varphi_0)\in E_1\times \ell_{\infty}}\|\overline{\Psi}(\widetilde{u}, \varphi_1)\|<\infty \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
для функции (4.15). А отсюда и из (4.14) заключаем, что $\overline{\Psi}(u, \varphi_0)$ также обладает требуемыми свойствами.
Убедимся теперь в том, что вектор-функция $\overline{\Psi}(\widetilde{u}, \varphi_1)$ удовлетворяет условию Липшица по переменной $\widetilde{u}$. В связи с этим фиксируем произвольно значения $\widetilde{u}_1,\,\widetilde{u}_2\in E_1$ и положим $u_1=u_{\Psi}(\widetilde{u}_1, \varphi_1)$, $u_2=u_{\Psi}(\widetilde{u}_2, \varphi_1)$. Далее, из равенства (4.11) и оценок (3.33), (4.12) последовательно выводим:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \|u_1-u_2\|&=\bigl\|\Sigma\bigl(\widetilde{u}_1-P(\Lambda\varphi_0-\varphi_1), \Psi(u_1, \varphi_0), \varphi_0\bigr) \\ &\qquad-\Sigma\bigl(\widetilde{u}_2-P(\Lambda\varphi_0-\varphi_1), \Psi(u_2, \varphi_0), \varphi_0\bigr)\bigr\| \\ &\leqslant\alpha_1\|\widetilde{u}_1-\widetilde{u}_2\|+\beta_2\mathscr{L}\|u_1-u_2\|, \end{aligned} \\ \|u_{\Psi}(\widetilde{u}_1, \varphi_1)-u_{\Psi}(\widetilde{u}_2, \varphi_1)\|\leqslant \frac{\alpha_1}{1-\beta_2\mathscr{L}}\|\widetilde{u}_1-\widetilde{u}_2\|. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Обращаясь затем к формуле (4.15) и принимая во внимание информацию (3.34), (3.37), (4.16), приходим к выводу, что
$$
\begin{equation}
\|\overline{\Psi}(\widetilde{u}_1, \varphi_1)-\overline{\Psi}(\widetilde{u}_2, \varphi_1)\|\leqslant\frac{\alpha_1(\beta_1+\alpha_2\mathscr{L})}{1-\beta_2\mathscr{L}} \|\widetilde{u}_1-\widetilde{u}_2\|.
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Из полученной оценки (4.17) и формулы (4.14) следует, что если постоянную $\mathscr{L}$ в (4.4) выбрать корнем уравнения
$$
\begin{equation}
\frac{\alpha_1(\beta_1+\alpha_2\mathscr{L})}{1-\beta_2\mathscr{L}}=\mathscr{L},
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
удовлетворяющим условию (2.11), то для $\overline{\Psi}(u, \varphi_0)$ будет иметь место нужное свойство (4.4). Остается заметить, что уравнение (4.18) эквивалентно уравнению (2.17), допускающему в случае (2.3), (2.4) на полуоси $\mathscr{L}\geqslant 0$ два различных корня. Поэтому, как и при доказательстве леммы 2.1, положим $\mathscr{L}=\mathscr{L}_*$, где $\mathscr{L}_*$ – величина (2.21). Тогда заведомо справедливо и априорное условие (2.11).
Итак, мы установили, что при описанном выше способе выбора $\mathscr{L}$ выполняется включение $T(\mathscr{H}_0)\subset\mathscr{H}_0$. Покажем теперь, что
$$
\begin{equation}
\rho(T(\Psi_1), T(\Psi_2))\leqslant q\rho(\Psi_1, \Psi_2)\quad \forall\,\Psi_1, \Psi_2\in \mathscr{H}_0,
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
где $\rho$ – метрика (4.5), $q=\mathrm{const}\in(0, 1)$.
Как и при доказательстве леммы 3.3, для получения оценки (4.19) выберем произвольно два элемента $\Psi_1, \Psi_2\in \mathscr{H}_0$ и обозначим через $\overline{\Psi}_j(\widetilde{u}, \varphi_1)$, $j=1, 2$, функции (4.15) при $\Psi=\Psi_1$ и $\Psi=\Psi_2$ соответственно. Кроме этого, положим $u_1=u_{\Psi_1}(\widetilde{u}, \varphi_1)$, $u_2=u_{\Psi_2}(\widetilde{u}, \varphi_1)$, где, напомним, $u=u_{\Psi}(\widetilde{u}, \varphi_1)$ – решение уравнения (4.11). Опираясь далее, на неравенства (3.33), (3.34), (3.37) и (4.4) (при $\mathscr{L}=\mathscr{L}_*$), последовательно выводим:
$$
\begin{equation}
\begin{split} \|u_1-u_2\| &=\bigl\|\Sigma\bigl(\widetilde{u}-P(\Lambda\varphi_0-\varphi_1), \Psi_1(u_1, \varphi_0), \varphi_0\bigr) \\ &\qquad-\Sigma\bigl(\widetilde{u}-P(\Lambda\varphi_0-\varphi_1), \Psi_2(u_2, \varphi_0), \varphi_0\bigr)\bigr\| \\ &\leqslant\beta_2\rho(\Psi_1, \Psi_2)+\beta_2\mathscr{L}_*\|u_1-u_2\|, \end{split}
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
$$
\begin{equation}
\|u_1-u_2\|\leqslant\frac{\beta_2}{1-\beta_2\mathscr{L}_*}\rho(\Psi_1, \Psi_2),
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} \|\overline{\Psi}_1(\widetilde{u}, \varphi_1)-\overline{\Psi}_2(\widetilde{u}, \varphi_1)\| &=\bigl\|\widetilde{v}\bigl(u_1, \Psi_1(u_1, \varphi_0), \varphi_0\bigr)-\widetilde{v}\bigl(u_2, \Psi_2(u_2, \varphi_0), \varphi_0\bigr)\bigr\| \\ &\leqslant\alpha_2\|\Psi_1(u_1, \varphi_0)-\Psi_2(u_2, \varphi_0)\|+\beta_1\|u_1-u_2\| \\ &\leqslant\alpha_2\bigl(\rho(\Psi_1, \Psi_2)+\mathscr{L}_*\|u_1-u_2\|\bigr) +\frac{\beta_1\beta_2}{1-\beta_2\mathscr{L}_*}\rho(\Psi_1, \Psi_2) \\ &\leqslant\frac{\alpha_2+\beta_1\beta_2}{1-\beta_2\mathscr{L}_*}\,\rho(\Psi_1, \Psi_2). \end{split}
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
А отсюда и из (4.14) заключаем, что требуемая оценка (4.19) имеет место с константой
$$
\begin{equation}
q=\frac{\alpha_2+\beta_1\beta_2}{1-\beta_2\mathscr{L}_*}.
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
Что же касается неравенства $q<1$, то для величины (4.23) в силу (2.4) оно заведомо выполняется при $\beta_2\mathscr{L}_*<\alpha_1(1-\alpha_2)$. Последнее же условие, в свою очередь, вытекает из (2.4).
Подведем промежуточный итог. Из проделанного анализа следует, что уравнение имеет в пространстве $\mathscr{H}_0$ единственное решение $\Psi_*(u, \varphi_0)$. Далее, в силу (4.7), (4.24) справедливо включение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\widetilde{G}\bigl(\{\varphi\in \ell_{\infty}\colon \varphi=\varphi_0+u+\Psi_*(u, \varphi_0),\,\,u\in E_1\}\bigr) \\ &\qquad\subset\{\varphi\in \ell_{\infty}\colon \varphi=\varphi_1+u+\Psi_*(v, \varphi_1),\, u\in E_1\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
А это значит, что вектор-функция $\Psi_*(u, \varphi_0)$ порождает слоение (4.1) со свойствами (4.3), (4.4), инвариантное для оператора (3.1), т. е. такое что
$$
\begin{equation}
\widetilde{G}\bigl(\widetilde{\mathcal{F}}^u(\varphi_0)\bigr)\subset \widetilde{\mathcal{F}}^u\bigl(\widetilde{G}(\varphi_0)\bigr)\quad \forall\,\varphi_0\in \ell_{\infty}.
\end{equation}
\tag{4.25}
$$
В случае (2.3) утверждение леммы 4.1 полностью доказано. Завершая обоснование леммы, остановимся на новых моментах, возникающих в случае (2.40). Первый из этих моментов связан с определением пространства $\mathscr{H}_0$. Теперь вместо (4.4) мы требуем выполнения неравенства
$$
\begin{equation}
\|\Psi(u_1, \varphi_0)-\Psi(u_2, \varphi_0)\|\leqslant\frac{\mathscr{L}}{\alpha_1}\,\|u_1-u_2\|\quad \forall\,u_1,u_2\in E_1,
\end{equation}
\tag{4.26}
$$
где $\mathscr{L}\geqslant 0$ – подлежащая определению постоянная. При анализе уравнения (4.11) вместо (3.33), (4.4) используются оценки (3.53), (4.26). В результате здесь получается аналогичное (4.12) неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl\|\Sigma\bigl(z, \Psi(u_1, \varphi_0), \varphi_0\bigr)-\Sigma\bigl(z, \Psi(u_2, \varphi_0), \varphi_0\bigr)\bigr\| \nonumber \\ &\qquad\leqslant\gamma_2\mathscr{L}\|u_1-u_2\|\quad \forall\, u_1,u_2\in E_1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
Предположим, далее, что постоянная $\mathscr{L}$ удовлетворяет априорному условию (2.43). Тогда из (4.27) и принципа сжимающих отображений заключаем, что в случае (2.40) уравнение (4.11) по-прежнему допускает единственное решение $u=u_{\Psi}(\widetilde{u}, \varphi_1)$, непрерывное по $(\widetilde{u}, \varphi_1)\in E_1\times\ell_{\infty}$ и обладающее свойством (4.13). Следующий новый момент связан с проверкой выполнения для функции (4.15) условия Липшица по переменной $\widetilde{u}$. Опираясь на неравенства (3.53), (4.27), в рассматриваемом случае вместо (4.16) получаем оценку
$$
\begin{equation}
\|u_{\Psi}(\widetilde{u}_1, \varphi_1)-u_{\Psi}(\widetilde{u}_2, \varphi_1)\|\leqslant \frac{\alpha_1}{1-\gamma_2\mathscr{L}}\|\widetilde{u}_1-\widetilde{u}_2\|.
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
Далее, воспользуемся вытекающим из (4.11), (4.15) представлением
$$
\begin{equation}
\overline{\Psi}(\widetilde{u}, \varphi_1)=\widetilde{v}\bigl(\Sigma(z, v, \varphi_0), v, \varphi_0\bigr),
\end{equation}
\tag{4.29}
$$
где
$$
\begin{equation}
z=\widetilde{u}-P(\Lambda\varphi_0-\varphi_1),\qquad v=\Psi(u_{\Psi}(\widetilde{u}, \varphi_1), \varphi_0).
\end{equation}
\tag{4.30}
$$
Привлекая уже известную информацию (3.48), (3.49), (4.26), (4.28) и опираясь на формулы (4.29), (4.30), нетрудно убедиться в том, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\|\overline{\Psi}(\widetilde{u}_1, \varphi_1)-\overline{\Psi}(\widetilde{u}_2, \varphi_1)\| \nonumber \\ &\qquad\leqslant(\alpha_2+\gamma_1\gamma_2)\|\Psi(u_{\Psi}(\widetilde{u}_1, \varphi_1), \varphi_0)-\Psi(u_{\Psi}(\widetilde{u}_2, \varphi_1), \varphi_0)\|+\gamma_1\|\widetilde{u}_1-\widetilde{u}_2\| \nonumber \\ &\qquad\leqslant\frac{\gamma_1+\alpha_2\mathscr{L}}{1-\gamma_2\mathscr{L}} \|\widetilde{u}_1-\widetilde{u}_2\|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.31}
$$
Как и при доказательстве леммы 2.1, положим $\mathscr{L}=\mathscr{L}_*$, где $\mathscr{L}_*$ – наименьший корень уравнения, получающегося из (2.17) при заменах $\beta_1\to\gamma_1$, $\beta_2\to\gamma_2$. Тогда в силу (2.41) выполняется априорная оценка (2.43). Что же касается включения $T(\mathscr{H}_0)\subset\mathscr{H}_0$, то оно – очевидное следствие неравенств (4.31) и указанного способа выбора $\mathscr{L}$. Завершающий этап обоснования леммы 4.1 состоит в проверке для случая (2.40) факта сжимаемости оператора $T$ (см. (4.19)). В данной ситуации, опираясь на неравенства (3.49), (3.53), (4.27) (при $\mathscr{L}=\mathscr{L}_*$) и формулы (4.29), (4.30), приходим к выводу, что имеют место аналогичные (4.20)–(4.22) оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|u_{\Psi_1}(\widetilde{u}, \varphi_1)-u_{\Psi_2}(\widetilde{u}, \varphi_1)\|\leqslant \frac{\alpha_1\gamma_2}{1-\gamma_2\mathscr{L}_*}\,\rho(\Psi_1, \Psi_2), \\ \begin{aligned} \, \|\overline{\Psi}_1(\widetilde{u}, \varphi_1)-\overline{\Psi}_2(\widetilde{u}, \varphi_1)\| &\leqslant(\alpha_2+\gamma_1\gamma_2)\|\Psi_1(u_{\Psi_1}(\widetilde{u}, \varphi_1), \varphi_0)-\Psi_2(u_{\Psi_2}(\widetilde{u}, \varphi_1), \varphi_0)\| \\ &\leqslant \frac{\alpha_2+\gamma_1\gamma_2}{1-\gamma_2\mathscr{L}_*}\rho(\Psi_1, \Psi_2). \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
А это значит, что в случае (2.40) неравенство вида (4.19) выполняется с константой
$$
\begin{equation}
q=\frac{\alpha_2+\gamma_1\gamma_2}{1-\gamma_2\mathscr{L}_*}.
\end{equation}
\tag{4.32}
$$
Остается заметить, что в силу условий (2.41) постоянная (4.32) строго меньше единицы. Лемма 4.1 полностью доказана. Покажем теперь, что любые две отрицательные полутраектории $\widetilde{G}^{-n}(\varphi_1)$, $\widetilde{G}^{-n}(\varphi_2)$, $n\geqslant 1$, отображения (3.1) с начальными условиями $\varphi_1,\varphi_2\in\widetilde{\mathcal{F}}^u(\varphi_0)$ экспоненциально сближаются при $n\to+\infty$. А именно, справедливо следующее утверждение. Лемма 4.2. Существует такая постоянная $r_2>0$, что Доказательство. Из формул (4.7) – (4.9) и уравнения (4.24), которому удовлетворяет фигурирующая в (4.1) функция $\Psi_*(u, \varphi_0)$, вытекает соотношение играющее ключевую роль при обосновании леммы.
Действительно, поскольку $\varphi=\varphi_1+u+\Psi_*(u, \varphi_1)$ – произвольная точка из $\widetilde{\mathcal{F}}^u(\varphi_1)$, то в силу (4.34) имеем
$$
\begin{equation*}
\widetilde{G}^{-1}(\widetilde{\mathcal{F}}^u(\varphi_1))\subset \widetilde{\mathcal{F}}^u(\widetilde{G}^{-1}(\varphi_1)).
\end{equation*}
\notag
$$
А отсюда и из метода математической индукции заключаем, что
$$
\begin{equation}
\widetilde{G}^{-n}(\widetilde{\mathcal{F}}^u(\varphi_1))\subset \widetilde{\mathcal{F}}^u(\widetilde{G}^{-n}(\varphi_1)) \quad \forall\,n\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{4.35}
$$
Перейдем теперь к обоснованию неравенства (4.33). В связи с этим выберем произвольно две точки
$$
\begin{equation}
\overline{\varphi}=\varphi_1+\overline{u}+\Psi_*(\overline{u}, \varphi_1),\qquad \overline{\overline{\varphi}}=\varphi_1+\overline{\overline{u}}+ \Psi_*(\overline{\overline{u}}, \varphi_1)
\end{equation}
\tag{4.36}
$$
из одного и того же слоя $\widetilde{\mathcal{F}}^u(\varphi_1)$ при любом фиксированном $\varphi_1\in \ell_{\infty}$. Заметим, далее, что из представлений (4.34), (4.36) и включений (4.35) для соответствующих итераций $\widetilde{G}^{-n}(\overline{\varphi})$, $\widetilde{G}^{-n}(\overline{\overline{\varphi}})$, $n\geqslant1$, получаются формулы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widetilde{G}^{-n}(\overline{\varphi})&=\varphi_{-(n-1)}+\overline{u}_n+ \Psi_*(\overline{u}_n, \varphi_{-(n-1)}), \\ \widetilde{G}^{-n}(\overline{\overline{\varphi}})&= \varphi_{-(n-1)}+\overline{\overline{u}}_n+ \Psi_*(\overline{\overline{u}}_n, \varphi_{-(n-1)}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.37}
$$
где $\varphi_{-(n-1)}=\widetilde{G}^{-n}(\varphi_1)$,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \overline{u}_n=u_{\Psi_*}(\overline{u}_{n-1}, \varphi_{-(n-2)}),\quad \overline{\overline{u}}_n=u_{\Psi_*}(\overline{\overline{u}}_{n-1}, \varphi_{-(n-2)}),\qquad n\geqslant 1, \\ \overline{u}_0=\overline{u},\qquad \overline{\overline{u}}_0=\overline{\overline{u}}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.38}
$$
Опираясь на рекуррентные соотношения (4.38), вторую из оценок (4.16) (в случае (2.3)) или оценку (4.28) (в случае (2.40)), приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
\|\overline{u}_n-\overline{\overline{u}}_n\|\leqslant \mu_1 \|\overline{u}_{n-1}-\overline{\overline{u}}_{n-1}\|,\quad \|\overline{u}_n-\overline{\overline{u}}_n\|\leqslant \mu_1^n \|\overline{u}-\overline{\overline{u}}\|,\qquad n\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mu_1<1$ – постоянная из (1.20). А отсюда и из (4.37) вытекает, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|\widetilde{G}^{-n}(\overline{\varphi})-\widetilde{G}^{-n}(\overline{\overline{\varphi}})\| &\leqslant \|\Psi_*(\overline{u}_n, \varphi_{-(n-1)})- \Psi_*(\overline{\overline{u}}_n, \varphi_{-(n-1)})\|+\|\overline{u}_n-\overline{\overline{u}}_n\| \nonumber \\ &\leqslant(\mathscr{L}+1)\mu_1^n\|\overline{u}-\overline{\overline{u}}\|= (\mathscr{L}+1)\mu_1^n\|P(\overline{\varphi}-\overline{\overline{\varphi}})\| \nonumber \\ &\leqslant(\mathscr{L}+1)\|P\|\cdot\mu_1^n\cdot\|\overline{\varphi}-\overline{\overline{\varphi}}\|, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.39}
$$
где $\mathscr{L}$ – константа Липшица из (4.4).
Итак, неравенства вида (4.39) установлены для любых двух точек $\overline{\varphi}$, $\overline{\overline{\varphi}}$ из слоя $\widetilde{\mathcal{F}}^u(\varphi_1)$, где $\varphi_1$ – произвольный элемент из $\ell_{\infty}$. Что же касается требуемой оценки (4.33), то она получается из (4.39) после соответствующих переобозначений $\overline{\varphi}\to\varphi_1$, $\overline{\overline{\varphi}}\to\varphi_2$, $\varphi_1\to \varphi_0$. Лемма 4.2 доказана. Проделанный анализ позволяет завершить обоснования теорем 1.2, 1.3. Напомним, что нам осталось убедиться в справедливости их утверждений, касающихся слоения $\mathcal{F}^u$. Но это слоение уже построено, поскольку оно получается из слоения (4.1) по правилу факторизации (4.2). Добавим еще, что требуемое свойство инвариантности
$$
\begin{equation*}
G(\mathcal{F}^u(\varphi_0))\subset \mathcal{F}^u(G(\varphi_0))\quad\forall\,\varphi_0\in\mathbb{T}^{\infty}
\end{equation*}
\notag
$$
и оценка (1.44) вытекают из соотношений (4.25), (4.33) (см. аналогичные рассуждения в конце § 3, относящиеся к случаю $\mathcal{F}^s$).
§ 5. Доказательство теоремы 1.4Установим сначала два дополнительных свойства вспомогательного диффеоморфизма (3.1). Первое из этих свойств носит геометрический характер и заключается в следующем. Лемма 5.1. Для любых двух элементов $\varphi_1,\varphi_2\in\ell_{\infty}$ пересечение соответствующих слоев $\widetilde{\mathcal{F}}^u(\varphi_1)$, $\widetilde{\mathcal{F}}^s(\varphi_2)$ из (3.2), (4.1) не пусто и состоит из одной точки. Доказательство. Согласно фигурирующим в (3.2), (4.1) параметрическим представлениям для слоев $\widetilde{\mathcal{F}}^u(\varphi_1)$, $\widetilde{\mathcal{F}}^s(\varphi_2)$ проблема обоснования леммы сводится к отысканию векторов $u\in E_1$, $v\in E_2$, удовлетворяющих соотношению
$$
\begin{equation}
\varphi_1+u+\Psi_*(u, \varphi_1)=\varphi_2+\Phi_*(v, \varphi_2)+v.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Далее, подействуем на равенство (5.1) последовательно проекторами (1.25). В результате приходим к выводу, что
Будем рассматривать формулы (5.2) как систему для нахождения $u\in E_1$, $v\in E_2$. Подставляя второе равенство из (5.2) в первое, для переменной $u\in E_1$ получаем уравнение где
$$
\begin{equation}
\Delta(u)=P(\varphi_2-\varphi_1)+\Phi_*(v, \varphi_2)\big|_{v=Q(\varphi_1-\varphi_2)+\Psi_*(u, \varphi_1)}.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Нетрудно увидеть, что фигурирующая в (5.3) функция (5.4) удовлетворяет условию Липшица. Действительно, опираясь на свойства (1.39), (1.41) функций $\Phi_*(v, \varphi_2)$, $\Psi_*(u, \varphi_1)$, убеждаемся в том, что
$$
\begin{equation}
\|\Delta(u_1)-\Delta(u_2)\|\leqslant\mathscr{R}\mathscr{L}\|u_1-u_2\|\quad\forall\,u_1,\,u_2\in E_1.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Напомним, далее, что постоянные $\mathscr{R}$, $\mathscr{L}$ из условий Липшица (1.39), (1.41) выбираются по правилам, описанным при доказательствах лемм 2.1, 2.2, и для них в обоих случаях (2.3) и (2.40) имеет место неравенство (см., например, (2.39)). В свою очередь, оценки (5.5), (5.6) позволяют применить к уравнению (5.3) в пространстве $E_1$ принцип сжимающих отображений. Из этого принципа следует, что оно допускает единственное решение $u=u_*\in E_1$. Полагая затем
$$
\begin{equation*}
v_*=Q(\varphi_1-\varphi_2)+\Psi_*(u, \varphi_1)\big|_{u=u_*},
\end{equation*}
\notag
$$
приходим к выводу, что $\widetilde{\mathcal{F}}^u(\varphi_1)\cap \widetilde{\mathcal{F}}^s(\varphi_2)=\varphi_*$, где
$$
\begin{equation*}
\varphi_*=\varphi_1+u_*+\Psi_*(u_*, \varphi_1)=\varphi_2+\Phi_*(v_*, \varphi_2)+v_*.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 5.1 доказана. В случае слоев (1.36), (1.37) мы можем утверждать, что
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}^u(\varphi_1)\cap \mathcal{F}^s(\varphi_2)\ne \varnothing\quad \forall\,\varphi_1,\varphi_2\in\mathbb{T}^{\infty}.
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Действительно, в силу установленной леммы и равенств (3.3), (4.2) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varnothing &\ne p\bigl[\widetilde{\mathcal{F}}^u(\varphi_1)\cap \widetilde{\mathcal{F}}^s(\varphi_2)\bigr] \subset p\bigl(\widetilde{\mathcal{F}}^u(\varphi_1)\bigr)\cap p\bigl(\widetilde{\mathcal{F}}^s(\varphi_2)\bigr) \\ &=\mathcal{F}^u(p(\varphi_1))\cap \mathcal{F}^s(p(\varphi_2))\quad \forall\,\varphi_1,\varphi_2\in\ell_{\infty}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $p$ – проекция (1.17). А поскольку при $\varphi_1,\varphi_2\in\ell_{\infty}$ значения $p(\varphi_1)$, $p(\varphi_2)$ пробегают весь тор $\mathbb{T}^{\infty}$, то отсюда требуемый факт (5.7) вытекает автоматически. Второе дополнительное свойство отображения (3.1), которое будет использоваться в дальнейшем, связано с линейным оператором $\widetilde{L}\colon \ell_{\infty}\to\ell_{\infty}$ вида где $\Lambda$ – матрица из (1.15). Справедливо следующее утверждение.Лемма 5.2. При выполнении условий теоремы 1.2 диффеоморфизм (3.1) топологически сопряжен со своей линейной частью, т. е. с отображением (5.8). Доказательство. Построим сначала полусопрягающее непрерывное отображение удовлетворяющее соотношению
Используя явные выражения для $\widetilde{G}$, $\varkappa$, $\widetilde{L}$ (см. (3.1), (5.8), (5.9)), перепишем равенство (5.10) в виде
$$
\begin{equation}
\Lambda\widetilde{\varkappa}(\varphi)=g(\varphi)+ \widetilde{\varkappa}(\widetilde{G}(\varphi)).
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Далее, применим к (5.11) последовательно проекторы (1.25) и положим
$$
\begin{equation}
\widetilde{\varkappa}_1(\varphi)=P\widetilde{\varkappa}(\varphi),\qquad \widetilde{\varkappa}_2(\varphi)=Q\widetilde{\varkappa}(\varphi).
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
В результате для отыскания компонент (5.12) приходим к независимым друг от друга уравнениям
$$
\begin{equation}
\widetilde{\varkappa}_1(\varphi) =\Lambda^{-1}_1[Pg(\varphi)+ \widetilde{\varkappa}_1(\widetilde{G}(\varphi))],
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{\varkappa}_2(\varphi) = \Lambda_2\widetilde{\varkappa}_2(\widetilde{G}^{-1}(\varphi))- Qg(\widetilde{G}^{-1}(\varphi)),
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
где, напомним, $\Lambda_1$, $\Lambda_2$ – операторы (1.24).
При анализе уравнения (5.13) нам потребуется полное метрическое пространство $\mathscr{H}_1$, состоящее из вектор-функций $\widetilde{\varkappa}_1(\varphi)$ со значениями в $E_1$ таких, что
$$
\begin{equation}
\widetilde{\varkappa}_1(\varphi+2\pi l)\equiv\widetilde{\varkappa}_1(\varphi) \quad\forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty},\qquad \sup_{\varphi\in\ell_{\infty}}\|\widetilde{\varkappa}_1(\varphi)\|<\infty.
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
Кроме этого, предполагаем, что является вполне непрерывным оператором в пространстве $\ell_{\infty}$.
Метрику в $\mathscr{H}_1$ зададим соотношением
$$
\begin{equation}
\forall\,\widetilde{\varkappa}_1^1, \widetilde{\varkappa}^2_1\in\mathscr{H}_1\colon\quad \rho(\widetilde{\varkappa}_1^1, \widetilde{\varkappa}_1^2)=\sup_{\varphi\in\ell_{\infty}} \|\widetilde{\varkappa}_1^1(\varphi)-\widetilde{\varkappa}_1^2(\varphi)\|_*.
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
Здесь $\|\,{\cdot}\,\|_*$ – специальная норма в $E_1$ такая, что соответствующая индуцированная норма $\|\Lambda^{-1}_1\|_*$ оператора $\Lambda^{-1}_1$ строго меньше единицы. Согласно предполагаемым спектральным свойствам оператора $\Lambda_1$ указанная норма заведомо существует и эквивалентна исходной норме (1.1).
Опираясь на свойства (1.14), (3.13), (5.15) и факты полной непрерывности отображений (1.35), (5.16), убеждаемся в том, что введенное пространство $\mathscr{H}_1$ действительно является полным, а оператор, порожденный правой частью равенства (5.13), переводит $\mathscr{H}_1$ в себя и оказывается сжимающим (с константой сжатия $q=\|\Lambda^{-1}_1\|_*<1$). Тем самым, уравнение (5.13) допускает единственное решение $\widetilde{\varkappa}_1^*(\varphi)\in\mathscr{H}_1$. Анализ уравнения (5.14) вполне аналогичен изложенному выше. В данном случае обозначим через $\mathscr{H}_2$ полное метрическое пространство, состоящее из вектор-функций $\widetilde{\varkappa}_2(\varphi)$, $\varphi\in\ell_{\infty}$, со значениями в $E_2$. Предполагаем, что по-прежнему справедливы аналогичные (5.15) соотношения
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\varkappa}_2(\varphi+2\pi l)\equiv\widetilde{\varkappa}_2(\varphi) \quad\forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty},\qquad \sup_{\varphi\in\ell_{\infty}}\|\widetilde{\varkappa}_2(\varphi)\|<\infty
\end{equation*}
\notag
$$
и вполне непрерывно в $\ell_{\infty}$ аналогичное (5.16) отображение
Метрику в пространстве $\mathscr{H}_2$ определим аналогичным (5.17) равенством
$$
\begin{equation}
\forall\,\widetilde{\varkappa}_2^1,\widetilde{\varkappa}^2_2\in\mathscr{H}_2\colon\quad \rho(\widetilde{\varkappa}_2^1, \widetilde{\varkappa}_2^2)=\sup_{\varphi\in\ell_{\infty}} \|\widetilde{\varkappa}_2^1(\varphi)-\widetilde{\varkappa}_2^2(\varphi)\|_{**},
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
где $\|\,{\cdot}\,\|_{**}$ – специальная норма в $E_2$, для которой индуцированная норма $\|\Lambda_2\|_{**}$ оператора $\Lambda_2$ строго меньше единицы. Как и в предыдущем случае, упомянутая норма заведомо существует и эквивалентна стандартной норме (1.1).
Из свойства полной непрерывности отображения (1.35) вытекает, что обратное отображение $\widetilde{G}^{-1}(\varphi)$ допускает представление
$$
\begin{equation}
\widetilde{G}^{-1}(\varphi)=\Lambda^{-1}\varphi+h(\varphi),\qquad h(\varphi+2\pi l)\equiv h(\varphi)\quad\forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty},
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
где добавка $h(\varphi)$ также индуцирует в $\ell_{\infty}$ вполне непрерывный оператор Принимая во внимание представление (5.19) и объединяя свойства оператора (5.20) с описанными ранее свойствами $\widetilde{\varkappa}_2(\varphi)$, приходим к выводу, что правая часть уравнения (5.14) порождает в пространстве $\mathscr{H}_2$ сжимающий оператор (с константой сжатия $q=\|\Lambda_2\|_{**}<1$). Тем самым, как и выше, указанное уравнение имеет единственное решение $\widetilde{\varkappa}_2^*(\varphi)\in\mathscr{H}_2$.
Из проделанных построений следует, что функция
$$
\begin{equation}
\widetilde{\varkappa}(\varphi)=\widetilde{\varkappa}_1^*(\varphi) +\widetilde{\varkappa}_2^*(\varphi)
\end{equation}
\tag{5.21}
$$
обладает свойствами
$$
\begin{equation}
\widetilde{\varkappa}(\varphi+2\pi l)\equiv\widetilde{\varkappa}(\varphi) \quad\forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty},\qquad \sup_{\varphi\in\ell_{\infty}}\|\widetilde{\varkappa}(\varphi)\|<\infty,
\end{equation}
\tag{5.22}
$$
а отвечающее ей отображение вполне непрерывно в $\ell_{\infty}$. Кроме того, по построению функция (5.21) является решением уравнения (5.11). Тем самым, мы нашли требуемое отображение (5.9), удовлетворяющее условию полусопряженности (5.10).
Покажем, далее, что отображение (5.9) представляет собой гомеоморфизм пространства $\ell_{\infty}$. Для этого фиксируем произвольно вектор $\overline{\varphi}\in\ell_{\infty}$ и рассмотрим уравнение $\varkappa(\varphi)=\overline{\varphi}$ относительно $\varphi\in\ell_{\infty}$. Подставляя в него $\varphi=\overline{\varphi}+\psi$, для отыскания $\psi\in\ell_{\infty}$, в свою очередь, приходим к уравнению $\psi=-\widetilde{\varkappa}(\overline{\varphi}+\psi)$. Остается заметить, что в силу свойств (5.22) и полной непрерывности отображения (5.23) правая часть получившегося уравнения порождает по переменной $\psi\in\ell_{\infty}$ нелинейный вполне непрерывный оператор, переводящий в себя некоторый замкнутый шар из $\ell_{\infty}$. Тем самым, согласно теореме Шаудера это уравнение допускает хотя бы одно решение $\psi\in\ell_{\infty}$. Итак, мы установили, что $\varkappa(\ell_{\infty})=\ell_{\infty}$. Далее, нетрудно увидеть, что отображение (5.9) собственное. Как уже было сказано в процессе доказательства леммы 3.2, упомянутое свойство означает, что прообраз $\varkappa^{-1}(Y)$ любого компактного множества $Y\subset\ell_{\infty}$ компактен. Следовательно, для проверки того, что (5.9) гомеоморфизм, достаточно убедиться во взаимной однозначности данного отображения. Покажем сначала, что отображение $\varkappa$ инъективно на любом неустойчивом слое $\widetilde{\mathcal{F}}^u(\varphi_0)$ из (4.1). В предположении противного найдутся такие точки $\varphi_1,\varphi_2\in\widetilde{\mathcal{F}}^u(\varphi_0)$, $\varphi_1\ne\varphi_2$, для которых $\varkappa(\varphi_1)=\varkappa(\varphi_2)$. Рассмотрим затем последовательности $\varphi_n^j=\widetilde{G}^n(\varphi_j)$, $j=1, 2$, $n\in\mathbb{N}$, и заметим, что вследствие вытекающих из свойства (5.10) соотношений $\varkappa\circ\widetilde{G}^n=\widetilde{L}^n\circ\varkappa$, $n\geqslant 1$, справедлива цепочка равенств
$$
\begin{equation}
\varkappa(\varphi_n^1)=\varkappa(\widetilde{G}^n(\varphi_1))= \widetilde{L}^n(\varkappa(\varphi_1))=\widetilde{L}^n(\varkappa(\varphi_2))= \varkappa(\widetilde{G}^n(\varphi_2))= \varkappa(\varphi_n^2).
\end{equation}
\tag{5.24}
$$
А отсюда и из (5.9), (5.22) с необходимостью имеем
$$
\begin{equation}
\|\varphi_n^1-\varphi_n^2\|=\|\widetilde{\varkappa}(\varphi_n^2) -\widetilde{\varkappa}(\varphi_n^1)\|\leqslant 2\sup_{\varphi\in\ell_{\infty}}\|\widetilde{\varkappa}(\varphi)\|<\infty.
\end{equation}
\tag{5.25}
$$
Последнее же противоречит вытекающим из (4.33) соотношениям
$$
\begin{equation}
\|\varphi_n^1-\varphi_n^2\|\geqslant \frac{1}{r_2}\biggl(\frac{1}{\mu_1}\biggr)^n \|\varphi_1-\varphi_2\|\to+\infty,\qquad n\to+\infty.
\end{equation}
\tag{5.26}
$$
Инъективность отображения (5.9) на любом устойчивом слое $\widetilde{\mathcal{F}}^s(\varphi_0)$ из (3.2) проверяется аналогично. Действительно, пусть существуют такие значения $\varphi_1,\varphi_2\in\widetilde{\mathcal{F}}^s(\varphi_0)$, $\varphi_1\ne\varphi_2$, что $\varkappa(\varphi_1)=\varkappa(\varphi_2)$. В этом случае воспользуемся получающимся из (5.11) при замене $\widetilde{G}(\varphi)\to\varphi$ свойством $\varkappa\circ\widetilde{G}^{-1}=\widetilde{L}^{-1}\circ\varkappa$ и вытекающими из него формулами
$$
\begin{equation}
\varkappa\circ\widetilde{G}^{-n}=\widetilde{L}^{-n}\circ\varkappa,\qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{5.27}
$$
Далее, полагая $\varphi_{-n}^j=\widetilde{G}^{-n}(\varphi_j)$, $j=1, 2$, $n\in\mathbb{N}$, из (5.27) выводим аналогичные (5.24), (5.25) соотношения (в которых $n$ заменено на $-n$). Последние же вступают в противоречие с оценкой
$$
\begin{equation*}
\|\varphi_{-n}^1-\varphi_{-n}^2\|\geqslant \frac{1}{r_1}\biggl(\frac{1}{\mu_2}\biggr)^n\|\varphi_1-\varphi_2\|,
\end{equation*}
\notag
$$
являющейся следствием неравенства (3.56).
Убедимся теперь в инъективности $\varkappa$ на всем пространстве $\ell_{\infty}$. В предположении противного имеем $\varkappa(\varphi_1)=\varkappa(\varphi_2)$ при некоторых $\varphi_1,\varphi_2\in\ell_{\infty}$, $\varphi_1\ne\varphi_2$. Далее, положим $\varphi_*=\widetilde{\mathcal{F}}^u(\varphi_1)\cap\widetilde{\mathcal{F}}^s(\varphi_2)$ (в силу леммы 5.1 точка $\varphi_*$ существует и единственна) и рассмотрим соответствующие итерации
$$
\begin{equation*}
\varphi_n^j=\widetilde{G}^n(\varphi_j),\quad j=1, 2,\qquad \varphi_n^*=\widetilde{G}^n(\varphi_*),\quad n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем считать, что $\varphi_*\ne\varphi_1$, $\varphi_*\ne\varphi_2$, поскольку случаи $\varphi_*=\varphi_1$ и $\varphi_*=\varphi_2$ уже рассматривались выше. Тогда, как нетрудно увидеть, для $\varphi_n^1$, $\varphi_n^2$ сохраняется оценка (5.25) и в то же время в силу (3.56), (5.26) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|\varphi_n^1-\varphi_n^*\|\geqslant \frac{1}{r_2}\biggl(\frac{1}{\mu_1}\biggr)^n\|\varphi_1-\varphi_*\|\to+\infty,\qquad \|\varphi_n^2-\varphi_n^*\|\leqslant r_1\mu_2^n\|\varphi_2-\varphi_*\|\to 0, \\ n\to+\infty. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
А отсюда, в свою очередь, следует, что
$$
\begin{equation}
\|\varphi_n^1-\varphi_n^2\|\geqslant \|\varphi_n^1-\varphi_n^*\|-\|\varphi_n^2-\varphi_n^*\|\to+\infty,\qquad n\to+\infty.
\end{equation}
\tag{5.28}
$$
Остается добавить, что соотношения (5.25), (5.28) противоречат друг другу.
Подводя итог, отметим, что отображение (5.9) действительно является гомеоморфизмом из $\ell_{\infty}$ в $\ell_{\infty}$, а значит, операторы (3.1) и (5.8) топологически сопряжены. Лемма 5.2 доказана. Перейдем теперь к рассмотрению эндоморфизма
$$
\begin{equation}
\overline{\varkappa}(\varphi)=p\bigl(\varkappa(p^{-1}(\varphi))\bigr)\quad \forall\,\varphi\in\mathbb{T}^{\infty},
\end{equation}
\tag{5.29}
$$
порожденного отображением $\varkappa$ на торе $\mathbb{T}^{\infty}$. Покажем, что (5.29) представляет собой гомеоморфизм тора $\mathbb{T}^{\infty}$. В предположении противного существуют такие точки $\varphi_1,\varphi_2\in\mathbb{T}^{\infty}$, $\varphi_1\ne\varphi_2$, что $\overline{\varkappa}(\varphi_1)=\overline{\varkappa}(\varphi_2)$. Тогда в силу (5.29) имеем $p\bigl(\varkappa(p^{-1}(\varphi_1))\bigr)=p\bigl(\varkappa(p^{-1}(\varphi_2))\bigr)$ и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\varkappa(p^{-1}(\varphi_1))=\varkappa(p^{-1}(\varphi_2))+2\pi l
\end{equation}
\tag{5.30}
$$
при некотором $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$. Далее, при анализе равенства (5.30) воспользуемся очевидным свойством
$$
\begin{equation*}
\varkappa(\varphi+2\pi l)\equiv 2\pi l+\varkappa(\varphi)\quad \forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty}.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая это обстоятельство и факт взаимной однозначности отображения $\varkappa$, приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
\varkappa(p^{-1}(\varphi_1))=\varkappa(p^{-1}(\varphi_2)+2\pi l),\qquad p^{-1}(\varphi_1)=p^{-1}(\varphi_2)+2\pi l.
\end{equation*}
\notag
$$
А это значит, что вопреки предполагаемому выше точки $\varphi_1,\varphi_2\in\mathbb{T}^{\infty}$ совпадают. Полученное противоречие доказывает, что $\overline{\varkappa}$ – гомеоморфизм тора (1.2). Обратим внимание, что по своему построению отображение (5.29) удовлетворяет аналогичному (5.10) условию полусопряженности
$$
\begin{equation*}
\overline{\varkappa}\circ G=L\circ\overline{\varkappa},
\end{equation*}
\notag
$$
где, напомним, $L$ – линейный автоморфизм (1.22). Тем самым, оно представляет собой искомый гомеоморфизм, сопрягающий отображения (1.15) и (1.22). Теорема 1.4 полностью доказана.
§ 6. Квазидвумерный случайОтметим, что условия теорем 1.2, 1.3 можно несколько ослабить. А именно, утверждения этих теорем остаются в силе при отказе от свойства полной непрерывности оператора (1.35). Однако взамен мы должны постулировать однозначную разрешимость по переменной $u\in E_1$ уравнения (3.7) при любых фиксированных $\varphi_0\in\ell_{\infty}$, $v\in E_2$, $z\in E_1$. В случае же теоремы 1.4 заменить полную непрерывность отображения (1.35) какими-либо более слабыми ограничениями, вообще говоря, не удается. Но есть некоторый специальный класс так называемых квазидвумерных отображений (1.15), для которых необходимость в упомянутом свойстве отпадает. Соответствующий результат приводится ниже. Для описания интересующего нас класса квазидвумерных отображений будем считать, что любой вектор $\varphi$ из пространства $\ell_{\infty}$ представлен в виде
$$
\begin{equation}
\varphi=\operatorname{colon}(\vartheta_1, \vartheta_2, \dots, \vartheta_k, \dots),\qquad \vartheta_k=\operatorname{colon}(x_k, y_k)\in\mathbb{R}^2,\quad k\geqslant 1,
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
а норма в $\ell_{\infty}$ задана эквивалентным (1.1) способом
$$
\begin{equation}
\|\varphi\|=\sup_{k\geqslant 1}\|\vartheta_k\|_{\mathbb{R}^2}.
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Далее, на торе
$$
\begin{equation}
\mathbb{T}^{\infty}=\{\varphi=\operatorname{colon}(\vartheta_1, \vartheta_2, \dots, \vartheta_k, \dots)\in \ell_{\infty}\colon \vartheta_k=\operatorname{colon}(x_k, y_k)\in\mathbb{T}^2,\, k\geqslant 1\},
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
где
$$
\begin{equation}
\mathbb{T}^2=\{\vartheta=\operatorname{colon}(x, y)\,\colon 0\leqslant x\leqslant 2\pi\ (\operatorname{mod} 2\pi),\, 0\leqslant y\leqslant 2\pi\ (\operatorname{mod} 2\pi)\},
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
определим оператор $G$ посредством равенства
$$
\begin{equation}
G\colon \varphi\mapsto G(\varphi)=\operatorname{colon}(G_0(\vartheta_1), G_0(\vartheta_2), \dots, G_0(\vartheta_k), \dots)\ (\operatorname{mod} 2\pi),
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
где
$$
\begin{equation}
G_0(\vartheta)=\Lambda_0\vartheta+g_0(\vartheta),\qquad \vartheta\in\mathbb{R}^2.
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
Сформулируем сначала ограничения общего характера, накладываемые на фигурирующие в (6.6) двумерную квадратную матрицу $\Lambda_0$ с целочисленными коэффициентами и вектор-функцию $g_0(\vartheta)\in C^1(\mathbb{R}^2; \mathbb{R}^2)$. Предположим, что, во-первых, собственные значения $\lambda_1$, $\lambda_2$ матрицы $\Lambda_0$ удовлетворяют требованиям $|\lambda_1|>1$, $|\lambda_2|<1$, $|\lambda_1\lambda_2|=1;$ во-вторых, справедливы свойства
$$
\begin{equation}
g_0(\vartheta+2\pi l)\equiv g_0(\vartheta)\quad\forall\,l\in\mathbb{Z}^2,\qquad \det(\Lambda_0+g_0'(\vartheta))\ne 0\quad\forall\,\vartheta\in\mathbb{R}^2.
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
Опираясь на соотношения (6.1)–(6.6), нетрудно показать, что при условиях (6.7) оператор (6.5) диффеоморфно отображает $\mathbb{T}^{\infty}$ на $\mathbb{T}^{\infty}$ и удовлетворяет требованиям (1.14). Такие операторы будем называть квазидвумерными. Сформулируем теперь для отображения (6.5) аналоги условий (1.34). Для этого нам потребуются собственные векторы $\mathrm{e}_1$, $\mathrm{e}_2$ матрицы $\Lambda_0$, отвечающие ее собственным значениям $\lambda_1$, $\lambda_2$. Рассмотрим также векторы $\mathrm{g}_s$, $s=1,2$, удовлетворяющие соотношениям
$$
\begin{equation}
\Lambda_0^*\mathrm{g}_s=\lambda_s\mathrm{g}_s,\quad (\mathrm{e}_j, \mathrm{g}_s)=\delta_{j\,s}, \qquad j,s=1,2,
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
где $\Lambda_0^*$ – сопряженная матрица, $(*, *)$ – евклидово скалярное произведение в $\mathbb{R}^2$, $\delta_{j\,s}$ – символ Кронекера. Далее, положим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \beta_{j, s}(\vartheta)=(g'_0(\vartheta)\mathrm{e}_j, \mathrm{g}_s),\quad \beta_{j, s}^0=\max_{\vartheta\in\mathbb{R}^2}|\beta_{j, s}(\vartheta)|, \qquad j, s=1, 2, \\ \alpha_1(\vartheta)=\lambda_1+\beta_{1, 1}(\vartheta),\qquad \alpha_2(\vartheta)=\lambda_2+\beta_{2, 2}(\vartheta), \\ \alpha_1^0=\max_{\vartheta\in\mathbb{R}^2}\frac{1}{|\alpha_1(\vartheta)|},\qquad \alpha_2^0=\max_{\vartheta\in\mathbb{R}^2}|\alpha_2(\vartheta)|. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
Имеет место следующая теорема. Теорема 6.1. Пусть в дополнение к условиям (6.7) выполнены неравенства Доказательство. Прежде всего, выпишем в явном виде для рассматриваемого случая подпространства $E_1$, $E_2$ из (1.23) и проекторы (1.25). Привлекая векторы $\mathrm{e}_j$, $\mathrm{g}_s$, $j,s=1,2$, из (6.8), убеждаемся в том, что, во-первых,
$$
\begin{equation}
E_1 =\{u=\operatorname{colon}(\vartheta_1, \vartheta_2, \dots, \vartheta_k, \dots)\colon \vartheta_k=t_k\mathrm{e}_1,\, t_k\in\mathbb{R},\, k\geqslant 1,\, \sup_{k\geqslant 1}|t_k|<\infty\},
\end{equation}
\tag{6.11}
$$
$$
\begin{equation}
E_2 =\{v=\operatorname{colon}(\vartheta_1, \vartheta_2, \dots, \vartheta_k, \dots)\colon \vartheta_k=\tau_k\mathrm{e}_2,\, \tau_k\in\mathbb{R},\, k\geqslant 1,\, \sup_{k\geqslant 1}|\tau_k|<\infty\};
\end{equation}
\tag{6.12}
$$
во-вторых,
$$
\begin{equation}
P\xi=u,\quad Q\xi=v\quad\forall\,\xi=\operatorname{colon}(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_k, \dots)\in\ell_{\infty},
\end{equation}
\tag{6.13}
$$
где $\xi_k\in\mathbb{R}^2$, $k\geqslant 1$, а векторы $u\in E_1$, $v\in E_2$ задаются равенствами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u&=\operatorname{colon}(\vartheta_1, \vartheta_2, \dots, \vartheta_k, \dots),\qquad \vartheta_k=t_k\mathrm{e}_1,\quad t_k=(\xi_k, \mathrm{g}_1),\quad k\geqslant 1, \\ v&=\operatorname{colon}(\vartheta_1, \vartheta_2, \dots, \vartheta_k, \dots),\qquad \vartheta_k=\tau_k\mathrm{e}_2,\quad \tau_k=(\xi_k, \mathrm{g}_2),\quad k\geqslant 1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.14}
$$
А отсюда, в свою очередь, для операторов (1.24) имеем
В дальнейшем нам потребуется новая норма в $\ell_{\infty}$, определяющаяся по правилу
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \forall\,\varphi=u+v\in\ell_{\infty},\quad u\in E_1,\quad v\in E_2\colon\quad \|\varphi\|=\max(\|u\|_{E_1}, \|v\|_{E_2}), \\ \|u\|_{E_1}=\sup_{k\geqslant 1}|t_k|,\qquad \|v\|_{E_2}=\sup_{k\geqslant 1}|\tau_k|. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.16}
$$
Из соотношений (6.11)–(6.14) очевидным образом следует, что норма (6.16) эквивалентна стандартной норме (6.2).
Обратимся теперь к операторам (1.26)–(1.29), для которых в квазидвумерном случае также выходят некоторые явные формулы. Для получения этих формул отождествим векторы $u\in E_1$, $v\in E_2$ с бесконечномерными векторами
$$
\begin{equation*}
t=\operatorname{colon}(t_1, t_2, \dots, t_k, \dots),\qquad \tau=\operatorname{colon}(\tau_1, \tau_2, \dots, \tau_k, \dots),
\end{equation*}
\notag
$$
где $t_k$, $\tau_k$ – координаты из (6.11), (6.12). В результате получаем серию представлений
$$
\begin{equation}
\Lambda_{1, 1}(\varphi)\colon t\mapsto\overline{t}=\operatorname{colon} (\alpha_1(\vartheta_1)t_1, \alpha_1(\vartheta_2)t_2,\dots, \alpha_1(\vartheta_k)t_k, \dots),
\end{equation}
\tag{6.17}
$$
$$
\begin{equation}
\Lambda_{2, 1}(\varphi)\colon \tau\mapsto t=\operatorname{colon} (\beta_{2, 1}(\vartheta_1)\tau_1, \beta_{2, 1}(\vartheta_2)\tau_2,\dots, \beta_{2, 1}(\vartheta_k)\tau_k, \dots),
\end{equation}
\tag{6.18}
$$
$$
\begin{equation}
\Lambda_{1, 2}(\varphi)\colon t\mapsto \tau=\operatorname{colon} (\beta_{1, 2}(\vartheta_1)t_1, \beta_{1, 2}(\vartheta_2)t_2,\dots, \beta_{1, 2}(\vartheta_k)t_k, \dots),
\end{equation}
\tag{6.19}
$$
$$
\begin{equation}
\Lambda_{2, 2}(\varphi)\colon \tau\mapsto\overline{\tau}=\operatorname{colon} (\alpha_2(\vartheta_1)\tau_1, \alpha_2(\vartheta_2)\tau_2,\dots, \alpha_2(\vartheta_k)\tau_k, \dots),
\end{equation}
\tag{6.20}
$$
где, напомним, $\vartheta_k$, $k\geqslant 1$, – компоненты вектора (6.1), а функции $\beta_{j, s}(\vartheta)$, $\alpha_s(\vartheta)$, $j, s=1,2$, определены формулами из (6.9).
Как оказывается, неравенства (6.10) гарантируют выполнение условий (1.34). Действительно, из способа (6.16) задания нормы в $\ell_{\infty}$ и формул (6.17)–(6.20) вытекает серия оценок
$$
\begin{equation*}
\alpha_1\leqslant\alpha_1^0,\quad\alpha_2\leqslant\alpha_2^0,\quad \beta_1\leqslant\beta_{1, 2}^0,\quad \beta_2\leqslant\alpha_1^0\beta_{2, 1}^0,\quad \gamma_1\leqslant\alpha_1^0\beta_{1, 2}^0,\quad \gamma_2\leqslant\beta_{2, 1}^0,
\end{equation*}
\notag
$$
где, напомним, $\alpha_j$, $\beta_j$, $\gamma_j$, $j=1, 2$, – постоянные (1.31)–(1.33), $\alpha_j^0$, $j=1,2$, и $\beta_{1, 2}^0$, $\beta_{2, 1}^0$ – константы из (6.9). А отсюда, в свою очередь, следует, что
$$
\begin{equation*}
\min(\beta_1\beta_2, \gamma_1\gamma_2)\leqslant\alpha_1^0\beta_{1, 2}^0\beta_{2, 1}^0< (1-\alpha_1^0)(1-\alpha_2^0)\leqslant(1-\alpha_1)(1-\alpha_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, в силу теоремы 1.1 отображение (6.5) является диффеоморфизмом Аносова на торе (6.3).
В случае теорем 1.2, 1.3 ситуация чуть сложнее. Поскольку для диффеоморфизма (6.5) аналогичное (1.35) отображение
$$
\begin{equation}
\varphi\mapsto g(\varphi)=\operatorname{colon}(g_0(\vartheta_1), g_0(\vartheta_2), \dots, g_0(\vartheta_k), \dots)
\end{equation}
\tag{6.21}
$$
не является вполне непрерывным, мы не можем воспользоваться этими теоремами непосредственно. Однако, как уже отмечалось в начале данного параграфа, свойство полной непрерывности оператора (6.21) можно заменить требованием однозначной разрешимости уравнения (3.7). Что же касается этого уравнения, то в данном случае оно распадается на счетное число независимых скалярных уравнений.
Действительно, опираясь на формулы (6.11)–(6.15) и полагая в (3.7)
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} u&\,{=}\,\operatorname{colon}(t_1\mathrm{e}_1, t_2\mathrm{e}_1, \dots, t_k\mathrm{e}_1, \dots)\,{\in}\, E_1,&\quad v&\,{=}\,\operatorname{colon}(\tau_1\mathrm{e}_2, \tau_2\mathrm{e}_2, \dots, \tau_k\mathrm{e}_2, \dots)\,{\in}\, E_2, \\ \varphi_0&\,{=}\,\operatorname{colon}(\vartheta_0^1, \vartheta_0^2, \dots , \vartheta_0^k, \dots)\,{\in}\,\ell_{\infty},&\quad z&\,{=}\,\operatorname{colon}(\theta_1\mathrm{e}_1, \theta_2\mathrm{e}_1, \dots, \theta_k\mathrm{e}_1, \dots)\,{\in}\, E_1, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\vartheta_0^k\in\mathbb{R}^2$, $\theta_k\in\mathbb{R}$, $k\geqslant 1$, приходим к выводу, что интересующее нас уравнение эквивалентно счетной системе вида
$$
\begin{equation}
\lambda_1t_k+(g_0(\vartheta_0^k+t_k\mathrm{e}_1+\tau_k\mathrm{e}_2), \mathrm{g}_1)= \theta_k,\qquad k\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{6.22}
$$
Заметим, далее, что в силу (6.10)
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial t_k}[\lambda_1t_k+(g_0(\vartheta_0^k+t_k\mathrm{e}_1+\tau_k\mathrm{e}_2), \mathrm{g}_1)]=\alpha_1(\vartheta) \big|_{\vartheta=\vartheta_0^k+t_k\mathrm{e}_1+\tau_k\mathrm{e}_2}\ne 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha_1(\vartheta)$ – функция из (6.9). Поэтому при любых фиксированных $\vartheta_0^k$, $\tau_k$, $\theta_k$ уравнение из (6.22) с номером $k$ однозначно разрешимо по $t_k$. Остается лишь добавить, что
$$
\begin{equation*}
|t_k|\leqslant\frac{1}{|\lambda_1|}\max_{\vartheta\in\mathbb{R}^2}|(g_0(\vartheta), \mathrm{g}_1)|+ \frac{1}{|\lambda_1|}\sup_{k\geqslant 1}|\theta_k|,
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, имеет место и требуемое в определении подпространства $E_1$ (см. (6.11)) свойство ограниченности
Проделанные построения показывают, что при условиях (6.10) для диффеоморфизма (6.5) справедливы утверждения теорем 1.2, 1.3. Таким образом, для завершения обоснования теоремы 6.1 остается лишь установить факт топологической сопряженности оператора (6.5) со своей линейной частью, т. е. с отображением
$$
\begin{equation}
L\colon \varphi\mapsto \Lambda\varphi=\operatorname{colon}(\Lambda_0\vartheta_1, \Lambda_0\vartheta_2, \dots, \Lambda_0\vartheta_k, \dots)\ (\operatorname{mod} 2\pi).
\end{equation}
\tag{6.23}
$$
Обратимся к вспомогательному диффеоморфизму
$$
\begin{equation}
G_0\colon \vartheta\mapsto\Lambda_0\vartheta+g_0(\vartheta)\ (\operatorname{mod} 2\pi)
\end{equation}
\tag{6.24}
$$
на торе (6.4), порожденному вектор-функцией (6.6). Как показано в статье [18], при выполнении условий (6.10) он является диффеоморфизмом Аносова. Поэтому существует такой гомеоморфизм
$$
\begin{equation*}
\varkappa_0\colon \vartheta\mapsto\varkappa_0(\vartheta)=\vartheta +\widetilde{\varkappa}_0(\vartheta)\ (\operatorname{mod} 2\pi),\qquad \widetilde{\varkappa}_0(\vartheta+2\pi l)\equiv\widetilde{\varkappa}_0(\vartheta) \quad\forall\,l\in\mathbb{Z}^2
\end{equation*}
\notag
$$
тора $\mathbb{T}^2$, что где
$$
\begin{equation}
L_0\colon \vartheta\mapsto\Lambda_0\vartheta\ (\operatorname{mod} 2\pi).
\end{equation}
\tag{6.26}
$$
Обыгрывая факт существования гомеоморфизма $\varkappa_0$, положим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varkappa\colon \varphi\mapsto\varkappa(\varphi)= \operatorname{colon}(\varkappa_0(\vartheta_1), \varkappa_0(\vartheta_2), \dots, \varkappa_0(\vartheta_k), \dots)\ (\operatorname{mod} 2\pi)\\ \forall\,\varphi=\operatorname{colon}(\vartheta_1, \vartheta_2, \dots, \vartheta_k, \dots)\in \mathbb{T}^{\infty}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.27}
$$
Из явного вида (6.27) отображения $\varkappa$ очевидным образом следует, что, во-первых, оно представляет собой гомеоморфизм тора $\mathbb{T}^{\infty}$, а во-вторых, имеет место аналогичное (6.25) равенство где $L$ – линейный автоморфизм (6.23). Тем самым, отображения (6.5) и (6.23) топологически сопряжены. Теорема 6.1 доказана. Напомним, что характерной особенностью диффеоморфизмов Аносова на конечномерном торе является свойство плотности периодических точек. Это свойство вытекает из аналогичного свойства линейных гиперболических автоморфизмов тора и из факта топологической сопряженности любого диффеоморфизма Аносова на $\mathbb{T}^{m}$, $m\geqslant 2$, со своей линейной частью. В бесконечномерном случае, т. е. для отображения (1.15), при определенных условиях указанная топологическая сопряженность имеет место (см. теорему 1.4). Однако вопрос о том, будут ли периодические точки любого гиперболического автоморфизма (1.22) плотны на $\mathbb{T}^{\infty}$, пока открыт. Ясно лишь, что линейные бесконечномерные автоморфизмы, обладающие интересующим нас свойством, заведомо существуют. Одним из них является автоморфизм (6.23). Действительно, обратимся сначала к линейному гиперболическому автоморфизму (6.26) тора $\mathbb{T}^2$. Поскольку его периодические точки всюду плотны на $\mathbb{T}^2$, то для любого $\varepsilon>0$ существует такой конечный набор периодических точек
$$
\begin{equation}
\vartheta_{(1)},\vartheta_{(2)},\dots, \vartheta_{(s)}\in\mathbb{T}^2
\end{equation}
\tag{6.28}
$$
одного и того же периода $m_0=m_0(\varepsilon)$, что
$$
\begin{equation}
\forall\,\vartheta\in\mathbb{T}^2\quad\exists\, \vartheta_{(k)}\colon\quad \rho(\vartheta, \vartheta_{(k)})<\varepsilon,
\end{equation}
\tag{6.29}
$$
где
$$
\begin{equation}
\forall\,\vartheta_1,\vartheta_2\in\mathbb{T}^2\colon\quad \rho(\vartheta_1,\vartheta_2)=\min_{l\in\mathbb{Z}^2}\|\vartheta_1-\vartheta_2+2\pi l\|_{\mathbb{R}^2}.
\end{equation}
\tag{6.30}
$$
Далее, на торе (6.3) рассмотрим множество
$$
\begin{equation}
\Omega=\{\varphi=\operatorname{colon}(\vartheta_1, \vartheta_2, \dots, \vartheta_k, \dots)\colon \vartheta_k\in\{\vartheta_{(1)},\,\vartheta_{(2)},\dots, \vartheta_{(s)}\},\,k\geqslant 1\}.
\end{equation}
\tag{6.31}
$$
Из очевидной связи между операторами (6.23), (6.26) и из $m_0$-периодичности точек (6.28) для $L_0$ заключаем, что все точки (6.31) являются $m_0$-периодическими для $L$. Кроме того, из соотношений (6.29), (6.30) и вытекающей из (1.3), (6.2) формулы
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \forall\,\varphi_j=\operatorname{colon}(\vartheta_1^j, \vartheta_2^j, \dots, \vartheta_k^j, \dots)\in\mathbb{T}^{\infty},\qquad j=1,\,2, \\ \rho(\varphi_1, \varphi_2)=\sup_{k\geqslant 1} \Bigl(\min_{l\in\mathbb{Z}^2}\|\vartheta_k^1-\vartheta_k^2+2\pi l\|_{\mathbb{R}^2}\Bigr) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
следует, что множество $\Omega$ образует $\varepsilon$-сеть для $\mathbb{T}^{\infty}$. А отсюда в силу произвольности $\varepsilon$ получаем требуемое свойство плотности на $\mathbb{T}^{\infty}$ периодических точек отображения (6.23). Подводя некоторый итог, отметим, что в рамках условий теоремы 6.1 для отображения (6.5) справедливо свойство топологического перемешивания (поскольку оно – прямое произведение счетного числа одинаковых двумерных перемешивающих отображений). Объединяя это свойство с установленным выше фактом плотности периодических орбит, приходим к выводу, что оно будет хаотическим в смысле Девани [19], [20]. Для построения конкретного примера диффеоморфизма (6.5), удовлетворяющего условиям теоремы 6.1, обратимся к модифицированному отображению “кот Арнольда”, введенному в рассмотрение в работе [21]. Пусть на торе $\mathbb{T}^2$ задана координата $\vartheta=\operatorname{colon}(x, y)$. Тогда в переменных $x$, $y$ интересующее нас отображение имеет вид
$$
\begin{equation}
x\mapsto x+y+\delta\cos y\ (\operatorname{mod} 2\pi),\qquad y\mapsto x+2y\ (\operatorname{mod} 2\pi),
\end{equation}
\tag{6.32}
$$
где $\delta=\mathrm{const}>0$. Анализ этого отображения на предмет гиперболичности проделан в [18], где было установлено, что оно является диффеоморфизмом Аносова при Всюду ниже указанное ограничение считаем выполненным. На бесконечномерном торе $\mathbb{T}^{\infty}$ диффеоморфизму (6.32) соответствует квазидвумерное отображение
$$
\begin{equation}
x_k\mapsto x_k+y_k+\delta\cos y_k\ (\operatorname{mod} 2\pi),\qquad y_k\mapsto x_k+2y_k\ (\operatorname{mod} 2\pi),\quad k\geqslant 1,
\end{equation}
\tag{6.34}
$$
где $x_k$, $y_k$ – координаты из (6.1). Поскольку в данном случае $\Lambda_0$ представляет собой матрицу из (1.9), а нелинейность $g_0(\vartheta)$ имеет вид
$$
\begin{equation}
g_0(\vartheta)=\operatorname{colon}(\delta\cos y, 0),
\end{equation}
\tag{6.35}
$$
то $\det(\Lambda_0+g_0'(\vartheta))=1+\delta\sin y$. Тем самым, при условии (6.33) требования (6.7) заведомо справедливы. Нетрудно проверить, что для отображения (6.34) выполняются и остальные условия теоремы 6.1. Действительно, собственные значения фигурирующей в (1.9) матрицы $\Lambda_0$ задаются равенствами
$$
\begin{equation}
\lambda_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},\qquad \lambda_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2},
\end{equation}
\tag{6.36}
$$
а векторы $\mathrm{e}_s$, $\mathrm{g}_s$, $s=1, 2$, из (6.8) имеют вид
$$
\begin{equation}
\mathrm{e}_s=\mathrm{g}_s=\frac{1}{\sqrt{1+(\lambda_s-1)^2}}\operatorname{colon}(1, \lambda_s-1),\qquad s=1, 2.
\end{equation}
\tag{6.37}
$$
В свою очередь, объединяя соотношения (6.36), (6.37) с вытекающей из (6.35) формулой
$$
\begin{equation*}
g'(\vartheta)=\begin{pmatrix} 0&-\delta\sin y \\ 0&0 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
для фигурирующих в (6.9) величин $\alpha_1^0$, $\alpha_2^0$, $\beta_{j, s}^0$, $j, s=1, 2$, приходим к равенствам
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \beta_{1, 1}^0=\frac{(\lambda_1-1)\delta}{1+(\lambda_1-1)^2},\qquad \beta_{2, 2}^0=\frac{(1-\lambda_2)\delta}{1+(\lambda_2-1)^2}, \\ \beta_{1, 2}^0=\frac{(\lambda_1-1)\delta}{\sqrt{(1+(\lambda_1-1)^2) (1+(\lambda_2-1)^2)}}, \\ \beta_{2, 1}^0 =\frac{(1-\lambda_2)\delta}{\sqrt{(1+(\lambda_1-1)^2)(1+(\lambda_2-1)^2)}}, \\ \alpha_1^0=\frac{1}{\lambda_1-\beta_{1, 1}^0},\qquad \alpha_2^0=\lambda_2+\beta_{2, 2}^0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из приведенных формул следует, что в данном случае интересующие нас условия (6.10) приобретают вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \delta<1+\min\bigl((\lambda_1-1)^2, (\lambda_2-1)^2\bigr), \\ \frac{\delta^2}{(1+(\lambda_1-1)^2)(1+(\lambda_2-1)^2)}< \biggl(1-\frac{\delta}{1+(\lambda_1-1)^2}\biggr)\biggl(1-\frac{\delta}{1+(\lambda_2-1)^2}\biggr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.38}
$$
Несложная проверка показывает, что неравенства (6.38) эквивалентны требованию (6.33). Таким образом, при условии (6.33) для отображения (6.34) справедливы все утверждения теоремы 6.1.
§ 7. ЗаключениеВ данном параграфе обсудим вопрос о так называемой $C^1$-структурной устойчивости диффеоморфизмов (1.15). В связи с этим введем в рассмотрение банахово пространство $C^1(\ell_{\infty})$, элементами которого являются вектор-функции $\Delta(\varphi)$ со значениями в $\ell_{\infty}$. Считаем, что все они непрерывны по $\varphi\in\ell_{\infty}$, их производные Фреше $\Delta'(\varphi)$ непрерывны по $\varphi$ в равномерной операторной топологии и выполняются требования
$$
\begin{equation}
\sup_{\varphi\in\ell_{\infty}}\|\Delta(\varphi)\|<\infty,\qquad \sup_{\varphi\in\ell_{\infty}}\|\Delta'(\varphi)\|<\infty,\qquad \Delta(\varphi+2\pi l)\equiv\Delta(\varphi)\quad\forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty}.
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
Предполагаем также полную непрерывность в $\ell_{\infty}$ отображения Норму в $C^1(\ell_{\infty})$ зададим равенством
$$
\begin{equation}
\|\Delta\|_{C^1}=\sup_{\varphi\in\ell_{\infty}}\|\Delta(\varphi)\|+ \sup_{\varphi\in\ell_{\infty}}\|\Delta'(\varphi)\|,
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
правая часть которого в силу (7.1) заведомо конечна. Всюду ниже считаем, что фигурирующая в (1.15) вектор-функция $g(\varphi)$ принадлежит пространству $C^1(\ell_{\infty})$. Сформулируем теперь определения структурной устойчивости и сильной структурной устойчивости из [7], адаптированные для нашего случая. Определение 7.1. Будем говорить, что диффеоморфизм (1.15) является $C^1$-структурно устойчивым, если существует такое $\varepsilon>0$, что для любой функции $\Delta(\varphi)\in C^1(\ell_{\infty})$, $\|\Delta\|_{C^1}<\varepsilon$, соответствующее возмущенное отображение топологически сопряжено с невозмущенным отображением $G$. Определение 7.2. Диффеоморфизм (1.15) является $C^1$-сильно структурно устойчивым, если, во-первых, он $C^1$-структурно устойчив; во-вторых, найдется такое $\varepsilon>0$, что определено семейство гомеоморфизмов $\tau_{\Delta}\colon \mathbb{T}^{\infty}\to\mathbb{T}$, где $\Delta\in C^1(\ell_{\infty})$, $\|\Delta\|_{C^1}<\varepsilon$, со следующими свойствами: Здесь $\mathrm{id}$ – тождественный оператор на торе $\mathbb{T}^{\infty}$, а сходимость предполагается равномерной. Как оказывается, класс $C^1$-сильно структурно устойчивых отображений (1.15) заведомо не пуст. А именно, справедливо следующее утверждение. Теорема 7.1. Пусть в дополнение к условиям теоремы 1.2 выполняется требование Доказательство. Покажем сначала, что при достаточно малой по норме (7.3) добавке $\Delta(\varphi)$ отображение
$$
\begin{equation}
\widetilde{G}_{\Delta}\colon \varphi\mapsto \widetilde{G}_{\Delta}(\varphi)=\Lambda\varphi+g(\varphi)+\Delta(\varphi),
\end{equation}
\tag{7.7}
$$
являющееся поднятием отображения (7.4), представляет собой диффеоморфизм из $\ell_{\infty}$ в $\ell_{\infty}$. В связи с этим зафиксируем произвольно элемент $\overline{\varphi}\in\ell_{\infty}$ и рассмотрим уравнение $\widetilde{G}_{\Delta}(\varphi)=\overline{\varphi}$ относительно $\varphi\in\ell_{\infty}$. Привлекая отображение (5.19), перепишем его в эквивалентной форме и убедимся в том, что оно имеет единственное решение $\varphi\in\ell_{\infty}$ при любом векторе $\overline{\varphi}\in\ell_{\infty}$.
При анализе уравнения (7.8) нам потребуется некоторая дополнительная информация о вектор-функции $\widetilde{G}^{-1}(\varphi)$. Для ее получения объединим равенство
$$
\begin{equation*}
D\widetilde{G}^{-1}(\varphi)= (\Lambda+g'(\theta))^{-1}\big|_{\theta=\widetilde{G}^{-1}(\varphi)}
\end{equation*}
\notag
$$
с условием (7.6) и будем считать добавку $\Delta$ в (7.4) настолько малой, что
$$
\begin{equation}
q(\Delta)\stackrel{\mathrm{def}}{=}q_0\sup_{\varphi\in\ell_{\infty}}\|\Delta'(\varphi)\|<1.
\end{equation}
\tag{7.9}
$$
В результате приходим к оценкам
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|\widetilde{G}^{-1}(\varphi_1)-\widetilde{G}^{-1}(\varphi_2)\|\leqslant q_0\|\varphi_1-\varphi_2\|\quad \forall\,\varphi_1,\varphi_2\in\ell_{\infty}, \\ \|\widetilde{G}^{-1}(\overline{\varphi}-\Delta(\varphi_1))- \widetilde{G}^{-1}(\overline{\varphi}-\Delta(\varphi_2))\|\leqslant q(\Delta)\|\varphi_1-\varphi_2\|\quad \forall\,\varphi_1,\varphi_2\in\ell_{\infty}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.10}
$$
Неравенства (7.9), (7.10) и принцип сжимающих отображений гарантируют требуемую однозначную разрешимость уравнения (7.8). Таким образом, обратное отображение $\widetilde{G}^{-1}_{\Delta}$ существует и допускает представление вида
$$
\begin{equation}
\widetilde{G}^{-1}_{\Delta}(\varphi)=\widetilde{G}^{-1}(\varphi)+ \omega_{\Delta}(\varphi),
\end{equation}
\tag{7.11}
$$
где добавка $\omega_{\Delta}(\varphi)\in C^1(\ell_{\infty})$ обладает свойством
$$
\begin{equation}
\lim_{\|\Delta\|_{C^1}\to 0}\,\sup_{\varphi\in\ell_{\infty}}\|\omega_{\Delta}(\varphi)\|=0.
\end{equation}
\tag{7.12}
$$
Действительно, опираясь на неравенства (7.6), (7.9), (7.10), последовательно выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|\omega_{\Delta}(\varphi)\|= \|\widetilde{G}^{-1}(\varphi-\Delta(\theta)) \big|_{\theta=\widetilde{G}^{-1}_{\Delta}(\varphi)}-\widetilde{G}^{-1}(\varphi)\| \leqslant q_0\sup_{\varphi\in\ell_{\infty}}\|\Delta(\varphi)\|, \\ \|(\Lambda+g'(\varphi)+\Delta'(\varphi))^{-1}\|\leqslant\frac{q_0}{1-q(\Delta)}, \\ \begin{aligned} \, \|\omega_{\Delta}'(\varphi)\|&=\|(\Lambda+g'(\theta)+\Delta'(\theta))^{-1} \big|_{\theta=\widetilde{G}^{-1}_{\Delta}(\varphi)}- (\Lambda+g'(\theta))^{-1} \big|_{\theta=\widetilde{G}^{-1}(\varphi)}\| \\ &\leqslant q_0+\frac{q_0}{1-q(\Delta)}. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
А отсюда и из свойства полной непрерывности отображения (7.2) требуемое включение $\omega_{\Delta}(\varphi)\in C^1(\ell_{\infty})$ и предельное равенство (7.12) вытекают автоматически.
Итак, мы убедились в том, что отображение (7.7) является диффеоморфизмом из $\ell_{\infty}$ в $\ell_{\infty}$. Рассуждая, далее, как и в случае отображения (5.29), нетрудно увидеть, что оно сохраняет свойство взаимной однозначности при спуске на тор $\mathbb{T}^{\infty}$. Тем самым, установлено, что отображение (7.4) при всех достаточно малых $\Delta$ представляет собой диффеоморфизм тора $\mathbb{T}^{\infty}$. Следует также отметить, что в силу малости $\Delta$ для него сохраняются неравенства (1.34), а из компактности в $\ell_{\infty}$ оператора (7.2) вытекает, что таковым будет и аналогичный (1.35) оператор $\varphi\mapsto g(\varphi)+\Delta(\varphi)$. Перечисленные факты свидетельствуют о том, что к оператору (7.4) применимы теоремы 1.1–1.4. В частности, согласно теореме 1.4 диффеоморфизмы (1.15) и (7.4) топологически подобны линейному автоморфизму (1.22). Поэтому и сами они топологически сопряжены. Таким образом, свойство $C^1$-структурной устойчивости (см. определение 7.1) для отображения (1.15) полностью обосновано. Для доказательства более сильного варианта структурной устойчивости (см. определение 7.2) сначала необходимо изучить характер зависимости от $\Delta$ аналогичного (5.9) отображения
$$
\begin{equation}
\varkappa_{\Delta}\colon \varphi\mapsto \varkappa_{\Delta}(\varphi)=\varphi+\widetilde{\varkappa}_{\Delta}(\varphi),\qquad \widetilde{\varkappa}_{\Delta}(\varphi+2\pi l)\equiv\widetilde{\varkappa}_{\Delta}(\varphi) \quad\forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty},
\end{equation}
\tag{7.13}
$$
удовлетворяющего аналогичному (5.10) уравнению
$$
\begin{equation}
\varkappa_{\Delta}\circ \widetilde{G}_{\Delta}=\widetilde{L}\circ\varkappa_{\Delta}.
\end{equation}
\tag{7.14}
$$
Как и ранее, применим к (7.14) последовательно проекторы (1.25) и положим
$$
\begin{equation}
\widetilde{\varkappa}_{1, \Delta}(\varphi)=P\widetilde{\varkappa}_{\Delta}(\varphi),\qquad \widetilde{\varkappa}_{2, \Delta}(\varphi)=Q\widetilde{\varkappa}_{\Delta}(\varphi).
\end{equation}
\tag{7.15}
$$
В результате для компонент (7.15) получаем аналогичную (5.13), (5.14) систему уравнений
$$
\begin{equation}
\widetilde{\varkappa}_{1, \Delta}(\varphi) =\Lambda^{-1}_1[Pg(\varphi)+P\Delta(\varphi)+ \widetilde{\varkappa}_{1, \Delta}(\widetilde{G}_{\Delta}(\varphi))],
\end{equation}
\tag{7.16}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{\varkappa}_{2, \Delta}(\varphi) = \Lambda_2\widetilde{\varkappa}_{2, \Delta}(\widetilde{G}^{-1}_{\Delta}(\varphi))- Qg(\widetilde{G}^{-1}_{\Delta}(\varphi)) -Q\Delta(\widetilde{G}^{-1}_{\Delta}(\varphi)).
\end{equation}
\tag{7.17}
$$
При анализе уравнения (7.16) используется то же самое метрическое пространство $\mathscr{H}_1$, что и при исследовании уравнения (5.13). Однако теперь мы дополнительно предполагаем, что входящие в $\mathscr{H}_1$ вектор-функции равномерно непрерывны по $\varphi\in\ell_{\infty}$. Повторяя, далее, соответствующий фрагмент обоснования леммы 5.2, убеждаемся в том, что упомянутое уравнение имеет единственное решение $\widetilde{\varkappa}_{1, \Delta}^*(\varphi)\in\mathscr{H}_1$. Покажем теперь, что
$$
\begin{equation}
\lim_{\|\Delta\|_{C^1}\to 0}\,\sup_{\varphi\in\ell_{\infty}}\|\widetilde{\varkappa}_{1, \Delta}^*(\varphi)-\widetilde{\varkappa}_{1}^*(\varphi)\|=0,
\end{equation}
\tag{7.18}
$$
где через $\widetilde{\varkappa}_{1}^*(\varphi)$ обозначена функция $\widetilde{\varkappa}_{1, \Delta}^*(\varphi)\big|_{\Delta=0}$. С этой целью вычтем из уравнения (7.16) при $\widetilde{\varkappa}_{1, \Delta}(\varphi)=\widetilde{\varkappa}_{1, \Delta}^*(\varphi)$ аналогичное уравнение при $\Delta=0$. В результате приходим к серии неравенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\widetilde{\varkappa}_{1, \Delta}^*(\varphi)-\widetilde{\varkappa}_{1}^*(\varphi)\|_* &\leqslant q\bigl(\|P\,\Delta(\varphi)\|_*+ \|\widetilde{\varkappa}_{1, \Delta}^*(\widetilde{G}_{\Delta}(\varphi))- \widetilde{\varkappa}_{1}^*(\widetilde{G}_{\Delta}(\varphi))\|_* \\ &\qquad+\|\widetilde{\varkappa}_{1}^*(\widetilde{G}(\varphi)+\Delta(\varphi))- \widetilde{\varkappa}_{1}^*(\widetilde{G}(\varphi))\|_*\bigr), \\ \sup_{\varphi\in\ell_{\infty}}\|\widetilde{\varkappa}_{1, \Delta}^*(\varphi)-\widetilde{\varkappa}_{1}^*(\varphi)\|_* &\leqslant \frac{q}{1-q}\Bigl(\sup_{\varphi\in\ell_{\infty}}\|P\,\Delta(\varphi)\|_* \\ &\qquad+\sup_{\varphi\in\ell_{\infty}} \|\widetilde{\varkappa}_{1}^*(\widetilde{G}(\varphi)+\Delta(\varphi))- \widetilde{\varkappa}_{1}^*(\widetilde{G}(\varphi))\|_*\Bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\|\,{\cdot}\,\|_*$ – норма из (5.17), $q=\|\Lambda_1^{-1}\|_*<1$. А отсюда и из равномерной непрерывности $\widetilde{\varkappa}_{1}^*(\varphi)$ требуемое предельное равенство (7.18) вытекает автоматически.
Обратимся теперь к уравнению (7.17) и будем изучать его в пространстве $\mathscr{H}_2$ (см. доказательство леммы 5.2) с дополнительным условием равномерной непрерывности всех входящих в это пространство вектор-функций. Рассуждая как и при обосновании леммы 5.2, сначала находим единственное решение $\widetilde{\varkappa}_{2, \Delta}^*(\varphi)$ уравнения (7.17), принадлежащее $\mathscr{H}_2$. Опираясь затем на представление (7.11), свойство (7.12) и принимая во внимание факт равномерной непрерывности вектор-функции $\widetilde{\varkappa}_{2}^*(\varphi)=\widetilde{\varkappa}_{2, \Delta}^*(\varphi)\big|_{\Delta=0}$, приходим к аналогичному (7.18) предельному равенству
$$
\begin{equation}
\lim_{\|\Delta\|_{C^1}\to 0}\,\sup_{\varphi\in\ell_{\infty}}\|\widetilde{\varkappa}_{2, \Delta}^*(\varphi)-\widetilde{\varkappa}_{2}^*(\varphi)\|=0.
\end{equation}
\tag{7.19}
$$
Проделанные построения показывают, что функция $\widetilde{\varkappa}_{\Delta}(\varphi)$ из (7.13) задается формулой
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\varkappa}_{\Delta}(\varphi)=\widetilde{\varkappa}_{1, \Delta}^*(\varphi)+\widetilde{\varkappa}_{2, \Delta}^*(\varphi)
\end{equation*}
\notag
$$
и в силу (7.18), (7.19) обладает свойством
$$
\begin{equation}
\lim_{\|\Delta\|_{C^1}\to 0}\,\sup_{\varphi\in\ell_{\infty}}\| \widetilde{\varkappa}_{\Delta}(\varphi)-\widetilde{\varkappa}(\varphi)\|=0,
\end{equation}
\tag{7.20}
$$
где $\widetilde{\varkappa}(\varphi)= \widetilde{\varkappa}_{\Delta}(\varphi)\big|_{\Delta=0}$.
Рассмотрим теперь обратное к (7.13) отображение $\varkappa_{\Delta}^{-1}$ и убедимся в том, что
$$
\begin{equation}
\lim_{\|\Delta\|_{C^1}\to 0}\,\sup_{\varphi\in\ell_{\infty}}\| \varkappa_{\Delta}^{-1}(\varphi)-\varkappa^{-1}(\varphi)\|=0,
\end{equation}
\tag{7.21}
$$
где $\varkappa^{-1}(\varphi)= \varkappa_{\Delta}^{-1}(\varphi)\big|_{\Delta=0}$. Как оказывается, для этого достаточно показать равномерную непрерывность отображения $\varkappa^{-1}(\varphi)$.
Действительно, пусть упомянутая равномерная непрерывность уже установлена. Тогда обратимся к уравнению $\varkappa_{\Delta}(\varphi)=\overline{\varphi}$ при любом фиксированном $\overline{\varphi}\in\ell_{\infty}$ и перепишем его в виде
$$
\begin{equation}
\varphi+\widetilde{\varkappa}(\varphi)+f_{\Delta}(\varphi)=\overline{\varphi},
\end{equation}
\tag{7.22}
$$
где в силу (7.20) добавка $f_{\Delta}(\varphi)$ такова, что
$$
\begin{equation}
\lim_{\|\Delta\|_{C^1}\to 0}\,\sup_{\varphi\in\ell_{\infty}}\|f_{\Delta}(\varphi)\|=0.
\end{equation}
\tag{7.23}
$$
Далее, поскольку согласно лемме 5.2 отображение $\varkappa_{\Delta}(\varphi)$ является гомеоморфизмом, то уравнение (7.22) имеет единственное решение $\varphi=\varkappa_{\Delta}^{-1}(\overline{\varphi})$, которое одновременно удовлетворяет и уравнению
$$
\begin{equation}
\varphi=\varkappa^{-1}(\overline{\varphi}-f_{\Delta}(\varphi)).
\end{equation}
\tag{7.24}
$$
Объединяя затем информацию (7.23), (7.24) с фактом равномерной непрерывности $\varkappa^{-1}(\varphi)$, приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
\|\varkappa_{\Delta}^{-1}(\overline{\varphi})-\varkappa^{-1}(\overline{\varphi})\|= \|\varkappa^{-1}(\overline{\varphi}-f_{\Delta}(\theta)) \big|_{\theta=\varkappa_{\Delta}^{-1}(\overline{\varphi})} -\varkappa^{-1}(\overline{\varphi})\|\to 0
\end{equation*}
\notag
$$
при $\|\Delta\|_{C^1}\to 0$ равномерно по $\overline{\varphi}\in\ell_{\infty}$.
Для проверки свойства равномерной непрерывности отображения $\varkappa^{-1}$ представим его в виде
$$
\begin{equation}
\varkappa^{-1}\colon \varphi\mapsto \varkappa^{-1}(\varphi)=\varphi+\widetilde{\widetilde{\varkappa}}(\varphi),\qquad \widetilde{\widetilde{\varkappa}}(\varphi+2\pi l)\equiv\widetilde{\widetilde{\varkappa}}(\varphi) \quad\forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty}
\end{equation}
\tag{7.25}
$$
и заметим, что из аналогичного (5.10) соотношения $\widetilde{G}\circ\varkappa^{-1}=\varkappa^{-1}\circ \widetilde{L}$ для отыскания вектор-функции $\widetilde{\widetilde{\varkappa}}(\varphi)$ получаем аналогичное (5.11) уравнение
$$
\begin{equation}
\Lambda\widetilde{\widetilde{\varkappa}}(\varphi)+ g(\varphi+\widetilde{\widetilde{\varkappa}}(\varphi))= \widetilde{\widetilde{\varkappa}}(\Lambda\varphi).
\end{equation}
\tag{7.26}
$$
В свою очередь, полагая $\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_1(\varphi)= P\widetilde{\widetilde{\varkappa}}(\varphi)$, $\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2(\varphi)= Q\widetilde{\widetilde{\varkappa}}(\varphi)$, перейдем от (7.26) к системе
$$
\begin{equation}
\Lambda_1\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_1(\varphi)+ Pg(\varphi+\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_1(\varphi)+ \widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2(\varphi)) = \widetilde{\widetilde{\varkappa}}_1(\Lambda\varphi),
\end{equation}
\tag{7.27}
$$
$$
\begin{equation}
\Lambda_2\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2(\varphi)+ Qg(\varphi+\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_1(\varphi)+ \widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2(\varphi)) = \widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2(\Lambda\varphi).
\end{equation}
\tag{7.28}
$$
Как и при анализе уравнений (7.16), (7.17), для исследования системы (7.27), (7.28) нам потребуются введенные при доказательстве леммы 5.2 полные метрические пространства $\mathscr{H}_1$, $\mathscr{H}_2$, состоящие теперь из равномерно непрерывных вектор-функций. Кроме того, считаем, что метрики в них заданы равенствами (5.17), (5.18), в которых вместо специальных норм $\|\,{\cdot}\,\|_*$, $\|\,{\cdot}\,\|_{**}$ фигурирует обычная норма $\|\,{\cdot}\,\|$ в $\ell_{\infty}$. Ниже вопрос о разрешимости системы (7.27), (7.28) в $\mathscr{H}_1\times \mathscr{H}_2$ изучается для случая (2.3), а случай (2.40) подробно не рассматривается, поскольку в нем все рассуждения аналогичны. Схема последующих действий такова. Сначала, привлекая вектор-функцию (3.8), перепишем уравнение (7.27) в эквивалентной форме
$$
\begin{equation}
\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_1(\varphi)=\Sigma(z, v, \varphi_0) \big|_{z=\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_1(\Lambda\varphi),\, v=\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2(\varphi),\,\varphi_0=\varphi}.
\end{equation}
\tag{7.29}
$$
Далее, опираясь на неравенства (3.33), приходим к выводу, что при любой фиксированной вектор-функции $\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2(\varphi)\in\mathscr{H}_2$ правая часть из (7.29) порождает в пространстве $\mathscr{H}_1$ сжимающий оператор (с константой сжатия $\alpha_1<1$). Тем самым, из уравнения (7.29) однозначно определяется вектор-функция
$$
\begin{equation}
\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_1(\varphi)= \Pi_{\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2}(\varphi)\in \mathscr{H}_1.
\end{equation}
\tag{7.30}
$$
Что же касается оператора $\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2(\varphi)\mapsto \Pi_{\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2}(\varphi)$, действующего из $\mathscr{H}_2$ в $\mathscr{H}_1$, то он удовлетворяет условию Липшица
$$
\begin{equation}
\forall\,\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2^1,\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2^2\in \mathscr{H}_2\colon\quad \rho(\Pi_{\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2^1}, \Pi_{\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2^2})\leqslant \frac{\beta_2}{1-\alpha_1}\,\rho(\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2^1, \widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2^2).
\end{equation}
\tag{7.31}
$$
Действительно, полагая $\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_1^1(\varphi)= \Pi_{\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2^1}(\varphi)$, $\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_1^2(\varphi)= \Pi_{\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2^2}(\varphi)$, из равенства (7.29) и оценок (3.33) выводим
$$
\begin{equation*}
\|\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_1^1(\varphi)- \widetilde{\widetilde{\varkappa}}_1^2(\varphi)\|\leqslant \alpha_1\|\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_1^1(\Lambda\varphi)- \widetilde{\widetilde{\varkappa}}_1^2(\Lambda\varphi)\|+ \beta_2\|\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2^1(\varphi)- \widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2^2(\varphi)\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда требуемое условие (7.31) вытекает очевидным образом.
Обратимся теперь к уравнению (7.28) и подставим в него формулу (7.30). В результате после замены $\Lambda\varphi\to\varphi$ оно приобретает вид
$$
\begin{equation}
\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2(\varphi)= F_{\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2}(\varphi),
\end{equation}
\tag{7.32}
$$
где оператор $F_{\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2}\colon \mathscr{H}_2\to \mathscr{H}_2$ допускает представление
$$
\begin{equation}
F_{\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2}(\varphi)= \Lambda_2\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2(\Lambda^{-1}\varphi) +Q\,g\bigl(\Lambda^{-1}\varphi+ \Pi_{\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2}(\Lambda^{-1}\varphi) +\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2(\Lambda^{-1}\varphi)\bigr).
\end{equation}
\tag{7.33}
$$
Принимая во внимание соотношения (7.31), (7.33), для любых $\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2^1,\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2^2\in\mathscr{H}_2$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|F_{\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2^1}(\varphi)- F_{\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2^2}(\varphi)\| &\leqslant \alpha_2\|\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2^1(\Lambda^{-1}\varphi)- \widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2^2(\Lambda^{-1}\varphi)\|+ \beta_1\|\Pi_{\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2^1}(\Lambda^{-1}\varphi) -\Pi_{\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2^2}(\Lambda^{-1}\varphi)\| \\ &\leqslant \biggl(\alpha_2+\frac{\beta_1\beta_2}{1-\alpha_1}\biggr) \rho(\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2^1, \widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2^2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, оператор (7.33) является сжимающим с константой сжатия (данное неравенство – следствие условий (2.4)), а значит, уравнение (7.32) допускает единственное решение $\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2 =\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2^*(\varphi)\in\mathscr{H}_2$.
Подводя итог, отметим, что интересующая нас вектор-функция $\widetilde{\widetilde{\varkappa}}(\varphi)$ из (7.25) задается формулами
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\widetilde{\varkappa}}(\varphi)= \widetilde{\widetilde{\varkappa}}_1^*(\varphi)+ \widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2^*(\varphi),\qquad \widetilde{\widetilde{\varkappa}}_1^*(\varphi)= \Pi_{\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2}(\varphi) \big|_{\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2= \widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2^*(\varphi)}
\end{equation*}
\notag
$$
и вследствие этого обладает требуемым свойством равномерной непрерывности.
В случае (2.40) анализ системы (7.27), (7.28) аналогичен описанному выше. Главное отличие от уже изученного случая здесь состоит в том, что оператор $F_{\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2}(\varphi)$ вместо (7.33) задается равенством
$$
\begin{equation*}
F_{\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2}(\varphi)= \Lambda_2\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2(\Lambda^{-1}\varphi) +Qg\bigl(\Lambda^{-1}\varphi+ \Sigma(z, v, \varphi_0) +\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2(\Lambda^{-1}\varphi)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
z=\Pi_{\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2}(\varphi),\qquad v=\widetilde{\widetilde{\varkappa}}_2(\Lambda^{-1}\varphi), \qquad \varphi_0=\Lambda^{-1}\varphi.
\end{equation*}
\notag
$$
Для завершения обоснования теоремы 7.1 рассмотрим гомеоморфизмы $\overline{\varkappa}_{\Delta}$, $\overline{\varkappa}$ тора $\mathbb{T}^{\infty}$, порожденные отображением (7.13) при $\Delta\ne 0$ и $\Delta=0$ соответственно. Из соотношений
$$
\begin{equation*}
G_{\Delta}=\overline{\varkappa}_{\Delta}^{-1}\circ L\circ\overline{\varkappa}_{\Delta},\qquad G=\overline{\varkappa}^{-1}\circ L\circ\overline{\varkappa},
\end{equation*}
\notag
$$
справедливых в силу равенства (7.14), следует, что искомый гомеоморфизм $\tau_{\Delta}$, о котором говорится в определении 7.2, имеет вид $\tau_{\Delta}=\overline{\varkappa}^{-1}\circ\overline{\varkappa}_{\Delta}$. Что же касается требуемых свойств (7.5), то они являются очевидными следствиями предельных равенств (7.20), (7.21). Теорема 7.1 полностью доказана. В заключение остановимся на следующей нерешенной проблеме. Пусть диффеоморфизм (1.15) является гиперболическим (см. определение 1.1), добавка $g(\varphi)$ в нем принадлежит введенному в данном разделе пространству $C^1(\ell_{\infty})$ и выполнено условие (7.6). Вопрос заключается в том, будет ли при этих предположениях рассматриваемый диффеоморфизм $C^1$-структурно устойчивым (см. определение 7.1). Из проделанных нами построений следует, что для решения поставленной проблемы достаточно показать наличие у вспомогательного отображения (3.1) слоений (3.2), (4.1) и справедливость оценок (3.56), (4.33). Однако пока не ясно, можно ли получить указанные факты, опираясь лишь на одну гиперболичность диффеоморфизма $G$ (без каких-либо дополнительных предположений, подобных условиям (1.34)). Необходимо также отметить, что все наши построения существенным образом опирались на связь между подпространствами $E^u_{\varphi}$, $E^s_{\varphi}$ и $E_1$, $E_2$ (см. равенства (2.1), (2.2)). Эта связь, в частности, позволила при построении устойчивого и неустойчивого инвариантных слоений использовать глобальные координаты $v\in E_2$, $u\in E_1$. Вопрос же о том, сохранится ли подобная связь для произвольного диффеоморфизма Аносова на торе $\mathbb{T}^{\infty}$ из рассматриваемого нами класса (линейное слагаемое плюс периодическая добавка), остается открытым. В связи с поставленной выше нерешенной проблемой уместно добавить следующее. Наши достаточные условия (1.34) позволяют избежать всевозможных трудностей, связанных с некомпактностью многообразия $\mathbb{T}^{\infty}$, таких как отделенность от нуля угла между устойчивым и неустойчивым подпространствами и так далее. Дело в том, что на самом деле в теореме 1.1 о гиперболичности нет необходимости, поскольку все остальные утверждения статьи вытекают только из условий (1.34). Точнее говоря, они доказываются с использованием данных условий и различных вариантов принципа сжимающих отображений. И в этом плане предложенные нами условия уникальны. Нетривиальным и пока открытым является вопрос об их возможном ослаблении в рамках рассматриваемого в данной статье класса диффеоморфизмов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GlyKolRoz21} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|