| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Положительные решения суперлинейных эллиптических задач с разрывными нелинейностями В. Н. Павленкоa, Д. К. Потаповb a Челябинский государственный университет b Санкт-Петербургский государственный университет
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9000 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеВ последние годы достаточно активно изучаются эллиптические краевые задачи с параметром и разрывными нелинейностями (см. [1]–[12]). Исследуемые задачи актуальны как с теоретической, так и с прикладной точек зрения. О приложениях эллиптических задач с параметром и разрывными нелинейностями в гидродинамике и электрофизике см., например, [13]–[17]. Данная статья является продолжением теоретических исследований в указанном направлении. В отличие от предыдущих работ авторов [1], [2], [6]–[8], [11], [12] предполагается суперлинейный рост нелинейности на бесконечности. В ограниченной области $\Omega\subset \mathbb R^n$ ($n\geqslant 3$) с границей $\partial\Omega$ класса $C_{1,1}$ рассматривается эллиптическая краевая задача с параметром $\lambda>0$ следующего вида: Здесь
$$
\begin{equation}
Lu(x)\equiv -\sum_{i,j=1}^{n}(a_{ij}(x)u_{x_i})_{x_j}+\sum_{j=1}^{n}b_{j}(x)u_{x_j}+c(x)u(x)
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
представляет собой равномерно эллиптический дифференциальный оператор, коэффициенты которого $a_{ij}$, $b_j \in C_{1,\alpha}(\overline{\Omega})$, $c\in C_{0,\alpha}(\overline{\Omega})$, $0<\alpha<1$. Дополнительно предполагается неотрицательность функций $c(x)$ и $c(x)-\sum_{j=1}^n(b_j(x))_{x_j}$ на $\Omega$. Нелинейность $g\colon \Omega\times \mathbb R\to \mathbb R_+$ равна нулю при $x\in\Omega$, $u\leqslant 0$ и удовлетворяет следующим условиям: (i1) $g(x,u)$ – борелева ($\operatorname{mod}0$) на $\Omega\times\mathbb R_+$ [18], т. е. отлична от некоторой борелевой на $\Omega\times \mathbb R_+$ функции лишь на множестве $\Omega_0\subset\Omega\times \mathbb R_+$, проекция которого на $\Omega$ имеет меру нуль; (i2) для почти всех $x\in\Omega$ функция $g(x,{\cdot}\,)$ имеет конечные односторонние пределы $g(x,u-)$, $g(x,u+)$ для любого $u\in \mathbb R_+$, причем $g(x,u)\in[g_-(x,u),g_+(x,u)]$, где
$$
\begin{equation*}
g_-(x,u)=\liminf_{\eta\to u}g(x,\eta),\qquad g_+(x,u)=\limsup_{\eta\to u}g(x,\eta);
\end{equation*}
\notag
$$
(i3) $g(x,u)\leqslant a(x)+bu^\beta$ для почти всех $x\in\Omega$ и всех $u>0$, где неотрицательная функция $a\in L_{\frac{2n}{n+1}}(\Omega)$, $b$ – положительная константа, $\beta=(n+1)/(n-1)$. Замечание 1 (см. также [19]). Если функция $f\colon \Omega\times\mathbb R\to\mathbb R$ борелева ($\operatorname{mod}0$), то она суперпозиционно измеримая на $\Omega\times\mathbb R$, т. е. для любой измеримой на $\Omega$ функции $u(x)$ суперпозиция $f(x,u(x))$ измерима на $\Omega$, см. [18]. Всякая каратеодориева функция $f(x,u)$ (измеримая по $x$ для любого $u\in\mathbb R$ и непрерывная по $u$ при почти всех $x\in\Omega$) борелева ($\operatorname{mod}0$), см. [18], но она может не быть борелевой. Если функция $f\colon \Omega\times\mathbb R\to\mathbb R$ удовлетворяет условию (i2) и для почти всех $x\in\Omega$ функция $f(x,u)$ непрерывна слева (справа) по $u$ на $\mathbb R$, то $f(x,u)$ суперпозиционно измеримая на $\Omega\times\mathbb R$, см. [20]. Для монотонной по $u$ для почти всех $x\in\Omega$ функции $f(x,u)$ борелевость ($\operatorname{mod}0$) равносильна суперпозиционной измеримости [18]. Пусть $E=\mathring{W}^1_2(\Omega)$. Пространство $E$ компактно вложено в пространство $E_1=L_{\frac{2n}{n-1}}(\Omega)$. Поэтому из условий (i1) и (i3) следует, что для любого $u\in E$ функция $g(x,u(x))\in E_1^*=L_{\frac{2n}{n+1}}(\Omega)$, см. [18]. Рассмотрим на $E\times E$ билинейную форму
$$
\begin{equation*}
B_L(u,v)=\int_\Omega\biggl(\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)u_{x_i}v_{x_j} +\sum_{j=1}^{n}b_j(x)u_{x_j}v+c(x)uv\biggr)\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 1. Обобщенным слабым решением задачи (1.1), (1.2) называется функция $u\in E$, если существует измеримая на $\Omega$ функция $z(x)$ такая, что для почти всех $x\in\Omega$ значения $z(x)\in[g_-(x,u(x)),g_+(x,u(x))]$ и Определение 2. Обобщенным сильным решением задачи (1.1), (1.2) называется функция $u\in E\cap W^2_q(\Omega)$, $q>1$, такая, что для почти всех $x\in\Omega$ Замечание 2. В силу сильного принципа максимума [21] из неотрицательности $g(x,u)$ на $\Omega\times\mathbb R$ следует, что любое ненулевое решение задачи (1.1), (1.2) положительное в $\Omega$. Формально сопряженный с $L$ дифференциальный оператор имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L^*v(x)&\equiv-\sum_{i,j=1}^{n}(a_{ij}(x)v_{x_i})_{x_j}-\sum_{j=1}^{n}(b_j(x)v)_{x_j}+c(x)v(x) \\ &=-\sum_{i,j=1}^{n}(a_{ij}(x)v_{x_i})_{x_j} -\sum_{j=1}^{n}b_j(x)v_{x_j}+\biggl(c(x)-\sum_{j=1}^{n}(b_j(x))_{x_j}\biggr)v(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\lambda_1$ минимальное число $\mu$, для которого задача
$$
\begin{equation}
L^*v(x)=\mu v(x), \quad x\in\Omega,\qquad v(x)=0, \quad x\in\partial\Omega,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
имеет ненулевое решение. Известно [21], что
$$
\begin{equation*}
\lambda_1=\inf\biggl\{\frac{B_{L^*}(u,u)}{\|u\|^2_2}\colon u\in E, \, u\neq\theta\biggr\}>0,
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $c(x)-\sum_{j=1}^{n}(b_j(x))_{x_j}\geqslant 0$ на $\Omega$. Здесь и далее $\|\cdot\|_p$, $p\geqslant 1$, – норма в пространстве $L_p(\Omega)$. Так как $B_L(u,u)=B_{L^*}(u,u)$ на $E$ и $c(x)\geqslant 0$ на $\Omega$, то и для оператора $L$ c граничным условием (1.2) $\lambda_1$ является минимальным собственным значением. Более того, подпространство решений задачи (1.4) при $\mu=\lambda_1$ одномерно и базисную функцию этого подпространства $J(x)$ можно считать положительной в $\Omega$, удовлетворяющей условию нормировки (см. [21]) Сформулируем основной результат данной статьи. Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия: 1) $\Omega$ – ограниченная область в $\mathbb R^n$ ($n\geqslant 3$) с границей $\partial\Omega$ класса $C_{1,1}$; 2) дифференциальный оператор $L$, заданный формулой (1.3), равномерно эллиптический в $\Omega$, его коэффициенты $a_{ij}$, $b_j\in C_{1,\alpha}(\overline\Omega)$, $c\in C_{0,\alpha}(\overline{\Omega})$, $0<\alpha<1$, причем $c(x)$ и $c(x)-\sum_{j=1}^{n}(b_j(x))_{x_j}$ неотрицательны на $\Omega$; 3) для нелинейности $g\colon \Omega\times\mathbb R\to\mathbb R_+$, равной нулю при $x\in\Omega$ и $u\leqslant0$, выполнены условия (i1) и (i2), а также
Тогда при любом $\lambda>\lambda_1/k$ ($k$ – постоянная из условия (i5)) задача (1.1), (1.2) имеет положительное в $\Omega$ обобщенное сильное решение из соболевского пространства $W^2_{\frac{2n}{n+1}}(\Omega)$ (если $k=+\infty$, то утверждение теоремы 1 справедливо при любом $\lambda>0$). Замечание 3. Из условий (i1), (i4) и (i6) заключаем, что для любого положительного $\varepsilon$ существует постоянная $C_\varepsilon>0$, для которой при почти всех $x\in\Omega$ верно неравенство В частности, отсюда следует, что $g(x,u)$ удовлетворяет условию (i3). Проблема существования положительных в $\Omega$ решений задачи (1.1), (1.2) изучалась многими авторами как в случае непрерывной по $u$ нелинейности $g(x,u)$, так и в разрывном случае. При этом использовались метод верхних и нижних решений (первая работа для эллиптических дифференциальных уравнений с разрывными нелинейностями [22]), вариационный метод (применительно к уравнениям эллиптического типа с разрывными нелинейностями, развитый в [23]) и топологические методы, базирующиеся на теориях топологической степени различных классов отображений, в том числе, многозначных в разрывном случае (см., например, [24]). Основной результат данной статьи получен топологическим методом, основанным на теории степени многозначных компактных векторных полей [25]. Укажем на статьи [8], [26]–[28], наиболее близкие к нашей работе. В [8] проблема существования положительных решений задачи (1.1), (1.2) изучается при следующих предположениях. Коэффициент $c(x)$ дифференциального оператора $L$ равен нулю на $\Omega$. Нелинейность $g(x,u)=0$, если $x\in\Omega$, $u\leqslant C$, и $g(x,u)=f(x,u)$, если $x\in\Omega$, $u>C$. Здесь $C$ – положительное число, функция $f(x,{\cdot}\,)$ непрерывна на $[C,+\infty)$ почти всюду на $\Omega$, а $f(\,{\cdot}\,,u)$ измерима на $\Omega$ для каждого $u\geqslant C$. Предполагается также, что $u-C_1\leqslant f(x,u)\leqslant u+D$ для почти всех $x\in\Omega$ и всех $u\geqslant C$ ($0<C_1<C$, $D>C$). Для произвольного $\lambda>\lambda_1$ устанавливается существование сильного положительного решения задачи (1.1), (1.2) из пространства $W^2_q(\Omega)$, $q>n/2$. Получена оценка снизу точной нижней грани $\lambda_{\mathrm{min}}$ множества $\Lambda$ тех $\lambda>0,$ для которых задача (1.1), (1.2) имеет ненулевое решение. Показано, что $\lambda_{\mathrm{min}}\in\Lambda$. В [26] предполагается, что дифференциальный оператор $L$ удовлетворяет условию коэрцитивности, т. е. существует положительная постоянная $\chi$ такая, что $B_L(u,u)\geqslant\chi \|u\|^2$ для всех $u\in E=\mathring{W}^1_2(\Omega)$. Здесь
$$
\begin{equation*}
\|u\|=\biggl(\int_\Omega\sum_{j=1}^n u^2_{x_j}\, dx\biggr)^{1/2}
\end{equation*}
\notag
$$
– норма в пространстве $E$. Кроме того, коэффициент $c(x)\leqslant 0$ на $\Omega,$ что по существу используется при доказательстве следующего результата (см. [26; теорема 6]): если $u\in E$ и
$$
\begin{equation*}
B_L(u,v)=\int_\Omega f(x)v(x)\, dx\quad \forall\, v\in E,\qquad 0<f(x)\in L_q(\Omega),\qquad q>\frac{n}2,
\end{equation*}
\notag
$$
а $\sigma$ – множество меры нуль в $\mathbb R$, то множество
$$
\begin{equation*}
u^{-1}(\sigma)=\{x\in\overline{\Omega}\colon u(x)\in\sigma\}
\end{equation*}
\notag
$$
имеет меру нуль в $\mathbb R^n$. Относительно нелинейности $g(x,u)$ в [26] предполагается непрерывность по $x$, а для произвольного $x\in\Omega$ сечение $g(x,{\cdot}\,)$ может иметь разрывы лишь в точках множества $\{u_1,u_2,\dots,u_N\}\subset\mathbb R$. Кроме этого, для почти всех $x\in\Omega$ и всех $u\in\mathbb R$ верны неравенство $g(x,u)\geqslant k(x)>0$ и равенство $g(x,u)=\varphi(x,u)+\psi_1(x,u)-\psi_2(x,u)$, где $\varphi(x,u)$ – неотрицательная и непрерывная на $\overline{\Omega}\times\mathbb R$ функция, функции $\psi_i(x,u)$, $i=1,2$, непрерывные по $x$ и неубывающие по $u$ степенного роста на бесконечности. При выполнении указанных условий доказывается существование положительных решений задачи (1.1), (1.2) для любого $\lambda>0$. В доказательстве исходная задача специальным образом аппроксимируется последовательностью задач с непрерывными нелинейностями, разрешимость которых устанавливается с помощью теоремы 5.5 из [29]. Затем, используя теорему 6 из [26], доказывается сходимость последовательности решений аппроксимирующих задач к решению исходной задачи для произвольного $\lambda>0$. Отдельно рассматривается случай, когда $g(x,0)=0$ на $\overline{\Omega}$ (см. [26; теорема 28]). При этом вместо ограниченности снизу нелинейности положительной функцией требуется ограниченность снизу неотрицательной функцией со специальными свойствами. В [27] задача (1.1), (1.2) рассматривается в случае, когда $g(x,u)$ неотрицательная и непрерывная на $\overline{\Omega}\times\mathbb R_+$ функция. В предположении, что выполнены условия (i5), (i6) теоремы 1 и дополнительно равномерно по $x$ на $\overline{\Omega}$, доказывается существование сильного положительного решения задачи (1.1), (1.2) из пространства $W^2_q(\Omega)$ для всех $q<+\infty$ и любого $\lambda>0$. Доказательство базируется на ряде априорных оценок и использовании семейства вспомогательных задач.В [28] нелинейность $g(x,u)=f(x,u)$ при $u>C$ и $g(x,u)=0$ при $u\leqslant C$, где $f(x,u)$ – гладкая неотрицательная функция, монотонная по $u$, $C$ – положительная константа. Кроме этого, предполагается существование функции $0\leqslant \rho\in L_\infty(\Omega)$ и числа таких, что для любого $\varepsilon>0$ существует постоянная $K(\varepsilon)$ такая, что при любых $u>C$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
|f(x,u)-\rho(x)u^\gamma|\leqslant \rho(x)(\varepsilon u^\gamma+K(\varepsilon))
\end{equation*}
\notag
$$
($\Omega$ – ограниченная область в $\mathbb R^n$, $n\geqslant 3$). Устанавливается существование положительного обобщенного слабого решения задачи (1.1), (1.2) для любого $\lambda>0$. Доказательство базируется на теории степени отображения для многозначных компактных векторных полей. В отличие от работ [8], [26] и [28] в теореме 1 накладываются более слабые ограничения на нелинейность $g(x,u)$, а именно, на ее структуру и множество точек разрыва по переменной $u$. В отличие от [27] в данной статье непрерывность $g(x,u)$ не предполагается. § 2. Вспомогательные результаты2.1. Априорные оценкиКак и прежде, пусть $\Omega$ – ограниченная область в $\mathbb R^n$ ($n\geqslant 3$) с границей $\partial\Omega$ класса $C_{1,1}$, пространство $E=\mathring{W}^1_2(\Omega)$ с нормой
$$
\begin{equation*}
\|v\|=\biggl(\int_\Omega\sum_{j=1}^n v^2_{x_j}(x)\, dx\biggr)^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $\|\,{\cdot}\,\|_p$ обозначим норму в пространстве $L_p(\Omega)$, $p\geqslant 1$. Положим $\delta(x)=\operatorname{dist}(x,\partial\Omega)$, $x\in\Omega$. Рассмотрим граничную задачу $\lambda>0$, $t\geqslant 0$, $J(x)$ – положительная собственная функция формально сопряженного с $L$ дифференциального оператора $L^*$ с граничным условием (2.2), соответствующая минимальному собственному значению $\lambda_1$ и удовлетворяющая условию нормировки (1.5).Лемма 1. Пусть $v\in E$, $0\leqslant\tau\leqslant 1$ и $1/q=1/2-(1-\tau)/n$. Тогда где постоянная $C>0$ не зависит от $v\in E$ и $\tau\in [0,1]$. Лемма 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и функция $u(x)$ – обобщенное сильное решение задачи (2.1), (2.2), т. е. $u\in E\cap W^2_q(\Omega)$, $q>1$, и существует измеримая на $\Omega$ функция для почти всех $x\in\Omega$ такая, что почти всюду на $\Omega$ параметр $\lambda>\lambda_1/k$, где $k$ – постоянная в условии (i5) теоремы 1 ($\lambda>0$, если $k=+\infty$), $t\geqslant 0$. Тогда существует постоянная $K>0$, зависящая только от $\lambda$, такая, что $t\leqslant K$, Замечание 4. Из леммы 2 немедленно следует, что при выполнении условий теоремы 1 при $t>K$ задача (2.1), (2.2) не имеет решений, если $\lambda$ удовлетворяет указанным в лемме 2 неравенствам. Доказательство леммы 2. Возьмем $k_1\in(\lambda_1,k)$ такое, что $\lambda k_1>\lambda_1$. Тогда из условий (i4) и (i5) следует существование постоянной $C>0$ такой, что для почти всех $x\in\Omega$ и всех $u\geqslant 0$ справедливо неравенство $g(x,u)\geqslant k_1u-C$. Так как $u(x)$ – обобщенное сильное решение задачи (2.1), (2.2), то $u(x)\geqslant 0$ почти всюду на $\Omega$ (см. замечание 2). Умножим обе части равенства (2.3) на $J(x)$ и проинтегрируем по $\Omega$. Получим
$$
\begin{equation}
\int_\Omega Lu(x)J(x)\, dx=\lambda\int_\Omega z(x)J(x)\, dx+t\int_\Omega J^2(x)\, dx.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
\int_\Omega Lu(x)J(x)\, dx=\int_\Omega u(x)L^*J(x)\, dx=\lambda_1\int_\Omega u(x)J(x)\, dx
\end{equation*}
\notag
$$
и почти всюду на $\Omega$ верно неравенство $z(x)\geqslant k_1u(x)-C$, то
$$
\begin{equation*}
\lambda_1\int_\Omega u(x)J(x)\, dx\geqslant\lambda k_1\int_\Omega u(x)J(x)\, dx-\lambda C+ t\int_\Omega J^2(x)\, dx
\end{equation*}
\notag
$$
(воспользовались условием нормировки (1.5)). Из чего следует
$$
\begin{equation*}
(\lambda k_1-\lambda_1)\int_\Omega u(x)J(x)\, dx+t\int_\Omega J^2(x)\, dx\leqslant\lambda C.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда из положительности $\lambda k_1-\lambda_1$ и $J(x)$ на $\Omega$, неотрицательности $t$, неотрицательности $u(x)$ почти всюду на $\Omega$, заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\int_\Omega u(x)J(x)\, dx\leqslant \frac{\lambda C}{\lambda k_1-\lambda_1},\qquad t\leqslant \frac{\lambda C}{\int_\Omega J^2(x)\, dx}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как предпоследняя оценка получена для произвольного $k_1$ и $\lambda k>\lambda_1$, то она верна и при $k_1=k$. Из полученных оценок и равенства (2.4) следует ограниченность $\int_\Omega z(x)J(x)\, dx$ константой, зависящей только от $\lambda$. Отсюда в силу неравенства $J(x)\geqslant C_2\delta(x)$ на $\overline{\Omega}$ с $C_2>0$ (см. [30]), заключаем об ограниченности $\int_\Omega\delta(x)z(x)\, dx$ постоянной, зависящей только от $\lambda$. Лемма 2 доказана. Лемма 3. Пусть выполнены условия теоремы 1 и $\lambda>\lambda_1/k$, где $k$ из условия (i5). Тогда найдется постоянная $K_1>0$, зависящая только от $\lambda$, такая, что для любого обобщенного сильного решения $u(x)$ задачи (2.1), (2.2) справедливо неравенство $\|u\|\leqslant K_1$, где $\|\,{\cdot}\,\|$ – норма в пространстве $E$. Доказательство. Поскольку дифференциальный оператор $L$ равномерно эллиптический на $\Omega$, то найдется постоянная $\chi>0$, для которой
$$
\begin{equation*}
\int_\Omega\sum_{i,j=1}^n a_{ij}(x)u_{x_i}u_{x_j}\, dx\geqslant\chi\|u\|^2 \quad \forall\, u\in E.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, с учетом неотрицательности $c(x)$ и $c(x)-\sum_{j=1}^n (b_j(x))_{x_j}$ на $\Omega$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &B_L(u,u)\geqslant\chi\|u\|^2+\int_\Omega\sum_{j=1}^n b_j(x)u_{x_j}u\, dx+\int_\Omega c(x)u^2(x)\, dx \\ &\quad=\chi\|u\|^2+\int_\Omega\biggl(c(x)-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^n(b_j(x))_{x_j}\biggr)u^2(x)\, dx \\ &\quad=\chi\|u\|^2+\frac12\int_\Omega c(x)u^2(x)\, dx +\frac12\int_\Omega\biggl(c(x)-\sum_{j=1}^n(b_j(x))_{x_j}\biggr)u^2(x)\, dx\geqslant \chi\|u\|^2 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $u\in E$. Пусть теперь $u(x)$ – обобщенное сильное решение задачи (2.1), (2.2), измеримая функция $z(x)\in [g_-(x,u(x)),\,g_+(x,u(x))]$ для почти всех $x\in\Omega$ и удовлетворяет почти всюду на $\Omega$ равенству
$$
\begin{equation*}
Lu(x)=\lambda z(x)+tJ(x),\qquad \lambda>\frac{\lambda_1}{k},\quad t\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|u\|^2 &\leqslant\frac{1}{\chi}B_L(u,u)= \frac{\lambda}{\chi}\int_\Omega z(x)u(x)\, dx+\frac{t}{\chi}\int_\Omega u(x)J(x)\, dx \nonumber \\ &\leqslant \frac{\lambda}{\chi}\int_\Omega z(x)u(x)\, dx+\frac{K^2}{\chi}; \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
здесь мы согласно лемме 2 воспользовались оценками $t\leqslant K$ и где постоянная $K>0$ зависит только от $\lambda$. Оценим Как уже отмечалось выше, пространство $E$ компактно вложено в пространство $E_1=L_\frac{2n}{n-1}(\Omega)$. В силу оценки (1.6) имеем $z(x)\in E_1^*=L_\frac{2n}{n+1}(\Omega)$. Положим $\alpha=2/(n+1)$. Представим $z(x)u(x)$ в виде
$$
\begin{equation*}
\delta^\alpha(x) z^\alpha(x)\cdot z^{1-\alpha}(x)\frac{u(x)}{\delta^\alpha(x)}
\end{equation*}
\notag
$$
и воспользуемся неравенством Гёльдера с $p=1/\alpha$ и $q=1/(1-\alpha)$ ($p^{-1}+q^{-1}\,{=}\,1$). В результате получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int_\Omega z(x)u(x)\, dx&=\int_\Omega\delta^\alpha(x) z^\alpha(x)\cdot z^{1-\alpha}(x)\frac{u(x)}{\delta^\alpha(x)}\, dx \nonumber \\ &\leqslant \biggl(\int_\Omega \delta(x) z(x)\, dx\biggr)^\alpha\cdot\biggl(\int_\Omega z(x)\frac{u^{1/(1-\alpha)}(x)}{\delta^{\alpha/(1-\alpha)}(x)}\, dx\biggr)^{1-\alpha} \nonumber \\ &\leqslant K^\alpha\cdot\biggl(\int_\Omega z(x)\frac{u^{1/(1-\alpha)}(x)}{\delta^{\alpha/(1-\alpha)}(x)}\, dx\biggr)^{1-\alpha}; \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
отметим, что на последнем шаге была использована лемма 2. Оценим последний интеграл. В силу замечания 3 для любого $\varepsilon>0$ существует постоянная $C_\varepsilon>0$ такая, что для почти всех $x\in\Omega$ и всех $u\geqslant 0$ справедливо неравенство $g(x,u)\leqslant\varepsilon u^\beta + C_\varepsilon$, где $\beta=(n+1)/(n-1)$. Отсюда следует
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U&=\biggl(\int_\Omega z(x)\frac{u^{1/(1-\alpha)}(x)}{\delta^{\alpha/(1-\alpha)}(x)}\, dx\biggr)^{1-\alpha} \\ &\leqslant \biggl(\varepsilon\int_\Omega\frac{u^{\beta+1/(1-\alpha)}(x)}{\delta^{\alpha/(1-\alpha)}(x)}\, dx+ C_\varepsilon\int_\Omega\frac{u^{1/(1-\alpha)}(x)}{\delta^{\alpha/(1-\alpha)}(x)}\, dx\biggr)^{1-\alpha} \\ &\leqslant (2\varepsilon)^{1-\alpha}\biggl(\int_\Omega \frac{u^{\beta+1/(1-\alpha)}(x)}{\delta^{\alpha/(1-\alpha)}(x)}\, dx\biggr)^{1-\alpha}+ (2C_\varepsilon)^{1-\alpha}\biggl(\int_\Omega \frac{u^{1/(1-\alpha)}(x)}{\delta^{\alpha/(1-\alpha)}(x)}\, dx\biggr)^{1-\alpha}; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
здесь мы воспользовались также неравенством
$$
\begin{equation*}
(\varepsilon U_1+C_\varepsilon U_2)^{1-\alpha} \leqslant(2\varepsilon)^{1-\alpha}U_1^{1-\alpha}+(2C_\varepsilon)^{1-\alpha}U_2^{1-\alpha},
\end{equation*}
\notag
$$
верным при $U_1\geqslant 0$, $U_2\geqslant 0$ и $1-\alpha>0$. Поскольку $\alpha=2/(n+1)$, то $n=(2-\alpha)/\alpha$,
$$
\begin{equation*}
\beta=\frac{n+1}{n-1}=\frac{1}{1-\alpha}\quad\text{и}\quad \beta+\frac{1}{1-\alpha}=\frac{2}{1-\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
U\leqslant (2\varepsilon)^{1-\alpha}\biggl\|\frac{u}{\delta^{\alpha/2}}\biggr\|^2_{\frac2{1-\alpha}} +(2C_\varepsilon)^{1-\alpha}\biggl\|\frac{u}{\delta^\alpha}\biggr\|_{\frac1{1-\alpha}}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Согласно лемме 1 справедлива оценка $\|u/\delta^{\alpha/2}\|_q\leqslant C\|u\|$, где
$$
\begin{equation*}
\frac1{q}=\frac12-\frac{1-\alpha/2}{n}=\frac{1-\alpha}2,
\end{equation*}
\notag
$$
постоянная $C$ не зависит от $u\in E$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\frac{u}{\delta^{\alpha/2}}\biggr\|_{\frac2{1-\alpha}}\leqslant C\|u\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, $\|u/\delta^\alpha\|_{\overline{q}}\leqslant \overline{C}\|u\|$, где
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\overline{q}}=\frac{1}{2}-\frac{1-\alpha}{n}=\frac{2\alpha^2-3\alpha+2}{2(2-\alpha)},
\end{equation*}
\notag
$$
а постоянная $\overline{C}$ не зависит от выбора $u\in E$. Заметим, что поскольку $\alpha=2/(n+1)$ и $n\geqslant 3$, то
$$
\begin{equation*}
\overline{q}=\frac{2(2-\alpha)}{2\alpha^2-3\alpha+2}>\frac{1}{1-\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $L_{\overline{q}}(\Omega)$ непрерывно вложено в $L_{\frac1{1-\alpha}}(\Omega)$ и, значит, существует постоянная $B>0$ такая, что $\|v\|_{\frac1{1-\alpha}}\leqslant B\|v\|_{\overline{q}}$ для всех $v\in L_{\overline{q}}(\Omega)$. Следовательно, $\|u/\delta^\alpha\|_{\frac1{1-\alpha}}\leqslant D\|u\|$, где постоянная $D=\overline{C}B$ не зависит от выбора $u\in E$. В результате, с учетом (2.7), получаем оценку для $U$ следующего вида:
$$
\begin{equation*}
U\leqslant (2\varepsilon)^{1-\alpha}C^2\|u\|^2+(2C_\varepsilon)^{1-\alpha}D\|u\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда из (2.6) имеем
$$
\begin{equation*}
\int_\Omega z(x)u(x)\, dx\leqslant K^\alpha U \leqslant \varepsilon^{1-\alpha}A\|u\|^2+C_\varepsilon^{1-\alpha}\overline{D}\|u\|,
\end{equation*}
\notag
$$
где $A=2^{1-\alpha}K^\alpha C^2$, $\overline{D}=2^{1-\alpha}K^\alpha D$ – постоянные, не зависящие от $u(x)$. Подставим последнюю оценку в (2.5). Получим
$$
\begin{equation}
\|u\|^2\leqslant\frac{\lambda}{\chi}\varepsilon^{1-\alpha}A\|u\|^2 +\frac{\lambda}{\chi}C_\varepsilon^{1-\alpha}\overline{D}\|u\|+\frac{K^2}{\chi}.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Если выбрать $\varepsilon>0$ таким, что $1-(\lambda/\chi)\varepsilon^{1-\alpha}A>0$, то из (2.8) имеем
$$
\begin{equation*}
0\leqslant \|u\| \leqslant\frac{(\lambda/\chi)C_\varepsilon^{1-\alpha}\overline{D} +\sqrt{(\lambda^2/\chi^2)C_\varepsilon^{2-2\alpha}\overline{D}^2+4(K^2/\chi)(1 -(\lambda/\chi)\varepsilon^{1-\alpha}A)}}{2(1-(\lambda/\chi)\varepsilon^{1-\alpha}A)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 3 доказана. Лемма 4. Пусть выполнены условия теоремы 1, кроме условий (i5) и (i6), $\lambda>0$. Тогда существует постоянная $r>0$, зависящая только от $\lambda$, такая, что для любого ненулевого обобщенного сильного решения $u(x)$ задачи имеем $\|u\|\geqslant r$ ($0<\tau\leqslant 1$). Доказательство. При доказательстве леммы 3 было установлено, что
$$
\begin{equation}
B_L(v,v)\geqslant\chi \|v\|^2 \quad \forall\, v \in E,
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
где $\chi$ – положительная константа. Пусть $u(x)$ – ненулевое обобщенное сильное решение задачи (2.9), (2.10). Тогда существует измеримая функция $z(x)\in [g_-(x,u(x)),\, g_+(x,u(x))]$ для почти всех $x\in\Omega$, для которой $Lu(x)=\tau\lambda z(x)$ почти всюду на $\Omega$.Пространство $E$ компактно вложено в $L_{\gamma+1}(\Omega)$, где $1<\gamma\leqslant(n+1)/(n-1)$ из условия (i4), поскольку Следовательно, существует постоянная $C>0$ такая, что $\|v\|_{\gamma+1}\leqslant C\|v\|$ для всех $v\in E$. Отсюда из неравенства (2.11) и условия (i4) получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \chi\|u\|^2 &\leqslant B_L(u,u)=\tau\lambda\int_\Omega z(x)u(x)\, dx\leqslant\tau\lambda\int_\Omega a(x)u^{\gamma+1}(x)\, dx \\ &\leqslant \tau\lambda \|a\|_\infty \int_\Omega u^{\gamma+1}(x)\, dx=\tau\lambda \|a\|_\infty\cdot \|u\|^{\gamma+1}_{\gamma+1}\leqslant C^{\gamma+1}\tau\lambda \|a\|_\infty\cdot \|u\|^{\gamma+1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из чего заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\|u\|^{\gamma-1}\geqslant\frac{\chi}{C^{\gamma+1}\tau\lambda\|a\|_\infty} \geqslant\frac{\chi}{C^{\gamma+1}\lambda\|a\|_\infty}=B(\lambda),
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $u$ – ненулевой элемент пространства $E$ и $\tau\in (0,1]$. Так как $\gamma>1$, то из последнего неравенства следует, что $\|u\|\geqslant r$, где $r=(B(\lambda))^{1/(\gamma-1)}>0$. Лемма 4 доказана. Таким образом, получены априорные оценки решений вспомогательных задач (2.1), (2.2), (2.9), (2.10) (леммы 2–4), которые играют ключевую роль в доказательстве теоремы 1. 2.2. Топологическая степень многозначных компактных векторных полей и ее свойстваПриведем необходимые сведения из теории топологической степени многозначных компактных векторных полей [25], которые используются при доказательстве теоремы 1. Пусть $X$ – вещественное банахово пространство, $I$ – тождественное отображение в $X$, $\Phi$ – многозначное отображение в $X$. Определение 3. Отображение $\Phi$ называется компактным, если 1) образ любого ограниченного множества из $X$ при отображении $\Phi$ предкомпактен в $X$; 2) его значения – выпуклые компакты; 3) $\Phi$ – полунепрерывно сверху на $X$, т. е. для любого $x\in X$ и произвольного открытого множества $G\subset\Phi(x)$ найдется окрестность $O$ точки $x$ такая, что $\Phi(O)\subset G$. При этом отображение $I-\Phi$ называется многозначным компактным векторным полем в $X$, порожденным $\Phi$. Пусть $B$ – открытое ограниченное множество в $X$, $\partial B$ – его граница, $\overline{B}$ – замыкание, $\theta$ – нуль пространства $X$. Обозначим через $C(\partial B,\overline{B},\theta)$ множество многозначных компактных векторных полей $f$ в $X$, для которых $\theta\notin f(\partial B)$. Определение 4. Гомотопией в $C(\partial B,\overline{B},\theta)$ называется многозначное компактное векторное поле $h(t,x)$, заданное на $[0,1]\times \overline{B}$, для которого $\theta\notin h([0,1]\times \partial B)$. Заметим, что $h(t,x)\in C(\partial B,\overline{B},\theta)$ для любого $t\in[0,1]$. При этом говорят, что гомотопия $h$ соединяет отображения $f=h(0,{\cdot}\,)$ и $g=h(1,{\cdot}\,)$, а отображения $f$ и $g$ называются гомотопными в $C(\partial B,\overline{B},\theta)$. Замечание 5. Если $f,g\in C(\partial B,\overline{B},\theta)$, $h(t,x)=(1-t)f(x)+tg(x)$, $t\in [0,1]$, $x\in\overline{B}$ и $\theta\notin h([0,1]\times \partial B)$, то $h$ – гомотопия в $C(\partial B,\overline{B},\theta)$, соединяющая $f$ и $g$, и, значит, $f$ и $g$ гомотопны в $C(\partial B,\overline{B},\theta)$. Действительно, В [25] излагается теория топологической степени для многозначных компактных векторных полей в отделимых локально выпуклых пространствах. Понятия, введенные в п. 2.2 данной статьи, в локально выпуклых пространствах определяются также. В [25] доказывается, что на $C(\partial B,\overline{B},\theta)$ ($B$ – ограниченное открытое множество) можно определить целочисленную функцию $\deg(f,B,\theta)$, обладающую следующими свойствами. 1) Если $\theta\in B$, то $\deg(I,B,\theta)=1$ (условие нормировки). 2) Пусть $f$ – многозначное компактное векторное поле в $X$, $B$ – открытое ограниченное множество в $X$, $B_1$, $B_2$ – непересекающиеся открытые подмножества $B$ и $\theta\notin f(x)$ при $x\in\overline{B}\setminus{(B_1\cup B_2)}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\deg(f,B,\theta)=\deg(f,B_1,\theta)+\deg(f,B_2,\theta)
\end{equation*}
\notag
$$
(свойство аддитивности степени относительно области). 3) Если $f,g\in C(\partial B,\overline{B},\theta)$ гомотопны в $C(\partial B,\overline{B},\theta)$, то (инвариантность степени при гомотопии).4) Если $f\in C(\partial B,\overline{B},\theta)$ и $\deg(f,B,\theta)\neq 0$, то существует $x\in B$ такой, что $\theta\in f(x)$. Значение $\deg(f,B,\theta)$ называется топологической степенью отображения $f$ на $B$ относительно нуля пространства. Заметим, что $\deg(f,B,\theta)$ определено, если $f=I-\Phi$, где $\Phi$ – компактное отображение, и $\theta\notin f(\partial B)$. Замечание 6. Свойства 1)–3) топологической степени на $C(\partial B,\overline{B},\theta)$ однозначно ее определяют. § 3. Операторная постановка задачи (1.1), (1.2)Перейдем к операторной постановке задачи (1.1), (1.2). Пусть, как и прежде, $E$ – гильбертово пространство $\mathring{W}^1_2(\Omega)$ со скалярным произведением
$$
\begin{equation*}
(u,v)=\int_\Omega\sum_{j=1}^n u_{x_j}v_{x_j}\, dx \quad \forall\, u, v\in E,
\end{equation*}
\notag
$$
норма $\|u\|\,{=}\sqrt{(u,u)}$. Билинейная форма $B_L(u,v)$, ассоциированная с дифференциальным оператором (1.3), удовлетворяет неравенству $|B_L(u,v)|\,{\leqslant}\, C\|u\|\,{\cdot}\,\|v\|$ для всех $u,v\in E$, где постоянная $C$ не зависит от $u$, $v\in E$. В силу неотрицательности $c(x)-\sum_{j=1}^n(b_j(x))_{x_j}$ на $\Omega$ она коэрцитивна на $E$, т. е. $B_L(u,u)\geqslant\chi \|u\|^2$ для всех $u\in E$, где $\chi$ – константа равномерной эллиптичности оператора $L$ в $\Omega$ (см. начало доказательства леммы 3). Определим оператор $A\colon E\to E^*$ равенством $\langle Au,v\rangle=B_L(u,v)$ для всех $u,v\in E$. В силу теоремы Лакса–Мильграма (см. [21; теорема 5.8]) оператор $A$ является линейным гомеоморфизмом. Пусть $D=C_{0,\infty}(\Omega)$ – пространство основных функций. Сопряженное пространство $E^*$ линейно изоморфно подпространству
$$
\begin{equation*}
W_2^{-1}(\Omega)=\biggl\{f\in D^* \colon \sup\biggl\{\frac{|\langle f,\phi\rangle|}{\|\phi\|}\colon \phi\in D\biggr\}<+\infty\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
пространства обобщенных функций $D^*$. Норма на $W_2^{-1}(\Omega)$ задается равенством
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{2,-1}=\sup\biggl\{\frac{|\langle f,\phi\rangle|}{\|\phi\|}\colon \phi\in D\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $f\in W^{-1}_2(\Omega)$ – регулярная, то равенство $Au=f$ равносильно интегральному тождеству
$$
\begin{equation}
B_L(u,w)=\int_\Omega f(x)w(x)\, dx \quad \forall\, w\in D.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Пусть $E_1=L_\frac{2n}{n-1}(\Omega)$. Тогда $E_1^*=L_\frac{2n}{n+1}(\Omega)$. Так как $E$ компактно и плотно вложено в $E_1$, то $E_1^*$ компактно вложено в $E^*=W^{-1}_2(\Omega)$. Если $f\in E_1^*$ и $u\in E$ удовлетворяет равенству $Au=f$, то равенство (3.1) верно для любого $v\in E$. Последнее означает, что $u(x)$ является слабым решением задачи $Lu(x)=f(x)$, $x\in\Omega$, $u(x)=0$, $x\in\partial\Omega$. Поскольку $f\in L_\frac{2n}{n+1}(\Omega)$, то слабое решение этой задачи принадлежит пространству $W^2_{\frac{2n}{n+1}}(\Omega)$ и удовлетворяет равенству $Lu(x)=f(x)$ почти всюду на $\Omega$ (см. [21; теорема 9.15]). Как отмечалось выше, при выполнении условий (i1) и (i3) для любой функции $u(x)\in E$ функция $g(x,u(x))\in L_\frac{2n}{n+1}(\Omega)$, а, значит, и измеримая функция $z(x)\in [g_-(x,u(x)),\,g_+(x,u(x))]$ почти всюду на $\Omega$ принадлежит пространству $L_\frac{2n}{n+1}(\Omega)$ (дополнительно предполагаем, что выполнено условие (i2)). Следовательно, при выполнении условий (i1)–(i3) любое обобщенное слабое решение задачи (1.1), (1.2) является обобщенным сильным решением этой задачи из пространства $W^2_{\frac{2n}{n+1}}(\Omega)$. С нелинейностью $g(x,u)$ ассоциируется оператор Немыцкого $Gu=g(x,u(x))$, который при выполнении условий (i1) и (i3) действует из $E_1$ в $E_1^*$, причем справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\|Gu\|_{2n/(n+1)}\leqslant\|a\|_{\frac{2n}{n+1}}+b\|u\|_{\frac{2n}{n-1}}^\beta
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
для любого $u\in E_1$. Рассмотрим многозначные отображения, действующие из $E_1$ в $E_1^*$, ассоциированные с $G$, а именно, овыпукливание $G^\Box$ и слабое замыкание  оператора $G$. По определению (см. [18]) имеем для произвольного $u\in E_1$. Здесь $\overline{\rm co}\,V$ – замкнутая выпуклая оболочка множества $V\subset E_1^*$, символ $\rightharpoonup$ означает слабую сходимость. В [18] доказано, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, G^\Box u&=\{y\colon \Omega\to\mathbb R\colon y(x)\text{ - измеримая на }\Omega \text{ функция и } \\ &\qquad y(x)\in[g_-(x,u(x)),\,g_+(x,u(x))]\text{ для почти всех } x\in\Omega\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $u\in E_1$, отображения $G^\Box$ и совпадают (см. [18; теорема 27.2]). Определим многозначное отображение $T$, действующее из $E$ в $E$ равенством $T=A^{-1}P^*G^\Box P$, где $P$ – оператор вложения $E$ в $E_1$, $P^*$ – cопряженный с $P$ оператор. $P^*$ является оператором вложения $E^*$ в $E_1^*$. Включение $u\in\lambda Tu$ равносильно наличию $z\in G^\Box(Pu)$ такого, что $Au=\lambda P^*z$. Последнее равенство означает, что
$$
\begin{equation*}
\langle Au,\phi\rangle =\langle \lambda P^*z,\phi\rangle =\lambda\langle z,P\phi\rangle =\lambda\int_\Omega z(x)\phi(x)\, dx\quad \forall\, \phi\in E,
\end{equation*}
\notag
$$
так как $z\in E_1^*$ и $P\phi\in E_1$. Поскольку $\langle Au,\phi\rangle =B_L(u,\phi),$ то $u(x)$ удовлетворяет интегральному тождеству
$$
\begin{equation*}
B_L(u,\phi)=\lambda\int_\Omega z(x)\phi(x)\, dx\quad \forall\,\phi\in E.
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее означает, что $u$ – слабое решение задачи Дирихле
$$
\begin{equation*}
Lu(x)=\lambda z(x),\qquad x\in\Omega,\quad u(x)=0,\quad x\in\partial\Omega.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом гладкости коэффициентов дифференциального оператора $L$, неотрицательности коэффициента $c(x)$ на $\Omega$ в (1.3), принадлежности $z(x)$ пространству $E_1^*$ следует, что $u\in W^2_\frac{2n}{n+1}(\Omega)$ и удовлетворяет равенству $Lu(x)=\lambda z(x)$ почти всюду на $\Omega$. Из чего заключаем, что $u(x)$ – обобщенное сильное решение задачи (1.1), (1.2). Таким образом, неподвижные точки отображения $\lambda T$ являются обобщенными сильными решениями задачи (1.1), (1.2). Лемма 5. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда $T$ – многозначное компактное отображение в $E$. Доказательство. Необходимо показать, что отображение $T$ переводит ограниченные множества в предкомпактные, его значения – выпуклые компакты и $T$ полунепрерывно сверху на $E$.
Из оценки (3.2) следует, что $G^\Box$ ограниченные множества из $E_1$ переводит в ограниченные в $E_1^*$. Компактный оператор $P^*$ ограниченное множество из $E_1^*$ переводит в предкомпактное в $E^*$, а непрерывный линейный оператор $A^{-1}$ предкомпактные множества из $E^*$ переводит в предкомпактные в $E$. По определению овыпукливания оператора $G$ его значение $G^\Box v$ ($v\in E_1$) – выпуклое замкнутое и ограниченное множество в $E_1^*$. Так как $P^*$ – линейный компактный оператор, то множество $P^*G^\Box v$ выпуклое и предкомпактное. Покажем, что оно замкнутое в $E^*$. Пусть $(y_n)\subset P^*G^\Box v$ и $y_n\to y$ в $E^*$. Тогда существует последовательность $(z_n)\subset G^\Box v$ такая, что $y_n=P^* z_n$ ($n\in\mathbb N$). Поскольку $G^\Box v$ ограничено в $E^*_1$ и $E^*_1$ рефлексивно, то найдется подпоследовательность $(z_{n_k})$ последовательности $(z_n)$, слабо сходящаяся к некоторому $z\in E^*_1$. Однако $G^\Box v$ – выпуклое замкнутое множество. Поэтому $z\in G^\Box v$. Так как $P^*$ – линейный компактный оператор, то $y_{n_k}=P^*z_{n_k}\to P^*z$. Следовательно, $y=P^*z\in P^* G^\Box v$. Замкнутость $P^*G^\Box v$ установлена, и, значит, $P^*G^\Box v$ – выпуклый компакт. Отсюда из непрерывности линейного оператора $A^{-1}$ следует, что $A^{-1}P^*G^\Box v$ – выпуклый компакт. Осталось доказать полунепрерывность сверху отображения $T$ на $E$. Допустим противное. Тогда существуют $u\in E$ и открытое множество $B\supset Tu$ такие, что для любой окрестности $U$ точки $u$ найдутся $v\in U$ и $w\in Tv\setminus{B}$. В частности, если $U$ – открытый шар с центром в точке $u$ радиуса $1/n$, $n\in\mathbb N$, то существуют $u_n$, принадлежащие этому шару, и $w_n\in Tu_n\setminus{B}$. Из ограниченности $(u_n)$ в $E$ и неравенства (3.2) следует ограниченность $(z_n)$ в $E^*_1$. Отсюда из рефлексивности $E^*_1$ следует существование подпоследовательности $(z_{n_k})$, слабо сходящейся к некоторому $z\in E^*_1$. Отсюда, поскольку $Pu_{n_k}\to Pu$, а Итак, исходная задача свелась к проблеме существования неподвижных точек многозначного компактного отображения. Компактность построенного многозначного отображения доказана в лемме 5. § 4. Доказательство основного результата Доказательство теоремы 1. Зафиксируем значение параметра $\lambda$ большее, чем $\lambda_1/k$, если в условии (i5) теоремы 1 $k$ – конечно, и $\lambda>0$, если $k=+\infty$.
Необходимо доказать, что задача (1.1), (1.2) имеет обобщенное сильное решение из соболевского пространства $W_{\frac{2n}{n+1}}^{2}(\Omega)$, положительное в $\Omega$. Выше было показано, что существование обобщенного сильного решения равносильно наличию неподвижной точки отображения $\lambda T$ в пространстве $E$. Поскольку любое ненулевое решение задачи (1.1), (1.2) положительное в $\Omega$ (см. замечание 2), то достаточно установить наличие ненулевой неподвижной точки у $\lambda T$. Ниже будет показано, что (d1) существует открытый шар $B_1$ с центром в нуле радиуса $r_1>0$, для которого $\theta\notin(I-\lambda T)(\partial B_1)$ и $\deg(I-\lambda T,B_1,\theta)=1$; (d2) существует открытый шар $B$ с центром в нуле пространства $E$ радиуса $R>r_1$, для которого $\theta\notin(I-\lambda T)(\partial B)$ и $\deg(I-\lambda T,B,\theta)=0$ ($r_1$ из утверждения (d1)). Пусть $B_1$ и $B$ – шары из утверждений (d1) и (d2) соответственно. Положим $B_2=B\setminus{\overline{B_1}}$. Это открытое множество, $\partial B_2=\partial B_1\cup\partial B$, оно не пересекается с $B_1$ и на $\overline{B}\setminus (B_1\cup B_2)$ отображение $\lambda T$ не имеет неподвижных точек. В силу свойства 2) топологической степени имеем
$$
\begin{equation*}
\deg(I-\lambda T, B,\theta)=\deg(I-\lambda T, B_1,\theta)+\deg(I-\lambda T, B_2,\theta).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\deg(I-\lambda T, B_2,\theta)=-1\neq 0$. Отсюда из свойства 4) топологической степени следует существование неподвижной точки $u\in B_2$ отображения $\lambda T$. Поскольку $\theta\notin B_2$, то $u\neq\theta$. Для завершения доказательства теоремы 1 осталось показать справедливость утверждений (d1) и (d2).
Докажем справедливость (d1). Поскольку $\lambda>\lambda_1/k$, где $k$ из условия (i5), то согласно лемме 4 существует $r>0$, зависящее только от $\lambda$, такое, что для любого ненулевого обобщенного сильного решения $u(x)$ задачи (2.9), (2.10) при произвольном $\tau\in [0,1]$ верна оценка $\|u\|\geqslant r$.Отсюда следует, что если взять $r_1\in (0,r)$, то $\theta\notin(I-\tau\lambda T)(\partial B_1)$ для $\tau\in [0,1]$, где $B_1$ – открытый шар с центром в $\theta$ радиуса $r_1$. В противном случае, найдутся $u\in\partial B_1$ и $\tau\in [0,1]$, для которых $\theta\in (I-\tau\lambda T)(u)$, т. е. $u$ – неподвижная точка отображения $\tau\lambda T$. Последнее равносильно тому, что $u$ – обобщенное сильное решение задачи (2.9), (2.10) и, значит, $r_1=\|u\|\geqslant r$. Получено противоречие. Из леммы 5 следует, что отображение $I-\lambda T$ – многозначное компактное векторное поле в $E$. Тогда $h(\tau,x)=(1-\tau)x+\tau(I-\lambda T)(x)$ – многозначное компактное векторное поле в $[0,1]\times\overline{B_1}$ (см. замечание 5). Выше было показано, что $\theta\notin(I-\tau\lambda T)(\partial B_1)$ для $\tau\in [0,1]$. Это равносильно $\theta\notin h(\tau,\partial B_1)$ для $\tau\in [0,1]$, так как $h(\tau,x)=(I-\tau\lambda T)(x)$. Следовательно, $h(\tau,x)$ – гомотопия в $C(\partial B_1, \overline{B_1},\theta)$, соединяющая $I$ и $I-\lambda T$. В силу свойства 3) топологической степени получаем $\deg(I-\lambda T,B_1,\theta)=\deg(I,B_1,\theta)$. Согласно свойству 1) топологической степени $\deg(I,B_1,\theta)=1$. Утверждение (d1) доказано. Перейдем к доказательству утверждения (d2). Для любого $t\geqslant 0$ отображение $u-(\lambda Tu+tA^{-1}J)$ – многозначное компактное векторное поле в $E$. Включение $u\in\lambda Tu+tA^{-1}J$ равносильно тому, что $u$ – обобщенное сильное решение задачи (2.1), (2.2). Лемма 3 гарантирует существование постоянной $K_1>0$, зависящей только от $\lambda$, такой, что для любого обобщенного сильного решения $u$ задачи (2.1), (2.2) верно неравенство $\|u\|\leqslant K_1$. Отсюда следует, что если взять $R>K_1$, то многозначное компактное векторное поле $u-(\lambda Tu+tA^{-1}J)$ при любом $t\geqslant 0$ не обращается в нуль на границе шара $B=\{u\in E\colon \|u\|<R\}$ (не теряя общности можно считать $R>r_1$, где $r_1$ из утверждения (d1)). На самом деле, если допустить противное, то найдутся $u\in\partial B$ и $t\geqslant 0$, для которых $u\in\lambda Tu+tA^{-1}J$. Последнее равносильно тому, что $u$ – обобщенное сильное решение задачи (2.1), (2.2) и, значит, $R=\|u\|\leqslant K_1$. Получено противоречие. Рассмотрим многозначное компактное векторное поле
$$
\begin{equation*}
h_1(\tau, {\cdot}\,)=(1-\tau)(I-\lambda T)+\tau(I-\lambda T-tA^{-1}J)=I-\lambda T-\tau tA^{-1}J
\end{equation*}
\notag
$$
на $[0,1]\times B$ ($t\geqslant 0$). Из доказанного выше следует, что $\theta\notin h_1(\tau,\partial B)$ для любого $\tau\in [0,1]$. Из чего следует, что $h_1$ – гомотопия в $C(\partial B, \overline{B},\theta)$, соединяющая $I-\lambda T$ и $I-\lambda T-tA^{-1}J$. Отсюда из свойства 3) топологической степени заключаем, что
$$
\begin{equation}
\deg(I-\lambda T,B,\theta)=\deg(I-\lambda T-tA^{-1}J,B,\theta)
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
для любого $t\geqslant 0$. В силу леммы 2 существует постоянная $K>0$, зависящая только от $\lambda$, такая, что если задача (2.1), (2.2) имеет обобщенное сильное решение, то $t\leqslant K$. Возьмем $t_0>K$. Тогда при $t=t_0$ задача (2.1), (2.2) не имеет решений и, значит, образ $E$ при отображении $I-\lambda T-t_0A^{-1}J$ не содержит $\theta$. Из чего следует, что так как в противном случае найдется $u\in B$, для которого $\theta\in (I-\lambda T)(u)-t_0A^{-1}J$ (см. свойство 4) топологической степени). Получено противоречие. Отсюда и из (4.1) получаем $\deg(I-\lambda T,B,\theta)=0$. Утверждение (d2) доказано. На этом завершается и доказательство теоремы 1. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PavPot21} |
|
||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|